f9_1_векторы_в_физике

2013-2014 уч. год, №1, 9 кл. Физика. Векторы в физике (вводное задание)

§2. Определение вектора и линейные операции над векторами

1. Основные определения. Отвлекаясь от конкретных свойств, встречающихся в природе физических векторных величин, мы приходим к понятию геометрического вектора, или просто вектора, который представляет собой, направленный отрезок прямой.

Мы будем рассматривать векторы на плоскости и в соответствии со сложившейся традицией обозначать их латинской буквой со стрелкой

наверху, например: v, F, a, b и т. п.

Так как у всякого отрезка есть две граничные точки, то имеет их и геометрический вектор; одна из граничных точек является его началом, а другая – концом. Направление вектора задаѐтся от начала к концу, причѐм на чертеже конец вектора отмечают стрелкой. Начало вектора называют также точкой его приложения. Если точка A является началом вектора a , то мы будем говорить, что вектор a приложен в точке

A (рис. 4).

a

A

Рис. 4 Рис. 5 Рис. 6

Число, выражающее длину направленного отрезка, называют модулем вектора и обозначают той же буквой, что и сам вектор, но без

стрелки наверху, например: модулем вектора v является число v . Часто для обозначения модуля вектора прибегают к помощи знака абсо-

лютной величины и пишут, например, v или F , что не всегда удоб-

но, и мы по возможности будем этого избегать.

Вектор называется нулевым, если его начало и конец совпадают. Нулевой вектор не имеет определѐнного направления и его длина (модуль) равна нулю. Это позволяет при записи отождествлять нулевой вектор с числом нуль.

Векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых. Так, например, на рис. 5 векто-

ры a, b и c коллинеарны.

Два вектора называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и одинаковое направление. Все нулевые векторы счи-

таются равными. На рис. 6 слева изображены неравные векторы a и

f , g и h , а справа – равные векторы p и q.

Поскольку через точку, не лежащую на данной прямой, можно про-

2013, ЗФТШ МФТИ, Чугунов Алексей Юрьевич

Творческая работа «Применение векторов»

Содержание:

1. Введение

С понятием вектор я познакомилась на уроках геометрии. Особого интереса она у меня не вызвала. Однако, практически сразу понятие «вектор» встретилось и на уроках физики. Тогда стало ясно, что вектор не сугубо математическое понятие, оно применяется и в других областях науки. Вектор — это направленный отрезок. А зачем они нужны? Встречаются ли они в жизни? Может, стоит присмотреться? Если вы начинаете утро с прогноза погоды, то слышали, к примеру: «Ветер северо-западный, скорость 18 метров в секунду». Нельзя не согласится,, имеет значение и направление ветра (откуда он дует), и модуль (то есть абсолютная величина) его скорости. Идем в школу: видим дорожные знаки, вроде этих:

Придя в школу или на работу, видим направляющие знаки:

«Выход», например

Примеры направляющих знаков вы можете увидеть в Приложении 1. Видим, что векторы присутствуют в нашей жизни.

Актуальность изучения данной темы связано с многообразием сфер применения векторов: от искусства до сложных задач моделирования реальных процессов. Понятие вектора используется во многих приложениях математики, таких, как современная алгебра и геометрия, теория функций и теория вероятностей. Учебники по таким, на первый взгляд, далеким от математики предметам, как электротехника, радиотехника, теория антенн и др., очень широко используют векторы.

Я решила выяснить, в каких именно областях науки применяются векторы, насколько это понятие актуально в жизни.

Целью моей работы:

Рассмотреть векторы как математические модели реальных процессов.

Перед собой я поставила такие задачи:

• Изучить литературу по данной теме;

• Изучить понятие «вектор» в предметах естественно-научного цикла;

• Узнать, как осуществляется моделирование с помощью векторов.

• Установить, используется ли данное понятие в жизни;

1. Возникновение понятия «вектор»

Одним из основных понятий математики являются «вектор». Развитие этого понятия происходило благодаря широкому использованию его в различных областях математики, информатики, механики, а так же в технике.

Вектор – молодое математическое понятие. Этот термин впервые употребил ирландский математик Уильям Гамильтон в 1845 году в своих работах по построению числовых систем, обобщающих комплексные числа. Также он ввел термины «скаляр», «скалярное произведение», «векторное произведение». Исследования в этой области проводил ещё немецкий физик-математик Г.Грассман. Его идеи об абстрактных векторных пространствах привели к важному открытию – возможности рассматривать цветовые ощущения как трехмерные векторы. Это легло в основу современного учения о свете. Им были установлены законы сложения цветов.

Понятие «вектор» стало широко использоваться в математике в XIX веке, когда стал активно развиваться раздел математики «Комплексные числа». Векторы использовались для наглядного представления таких чисел. В школах эта тема изучается с 1963 года. Сейчас понятие вектора стало одним из ведущих понятий школьного курса математики.

Есть такое высказывание: «Карьера начинается в школе», поэтому я решила глубже изучить понятие «вектор», рассмотреть его значение в математическом моделировании и выяснить в каких профессиях применяется данное понятие.

1. Использование векторов в различных науках:

   1. В физике

Векторы — мощный инструмент не только математики, но и физики. Понятие вектора возникает там, где приходится иметь дело с объектами, которые характеризуются величиной и направлением. Многие физические величины, такие, как сила, скорость, ускорение, характеризуются не только числовым значением, но и направлением. Эти величины очень удобно изображать в виде направленных отрезков. На языке векторов формулируются основные законы механики и электродинамики. Чтобы понимать физику, нужно научиться работать с векторами. Векторная алгебра является фундаментом, на котором построена классическая физика. С помощью векторов можно моделировать различные физические процессы. Например, некоторые физические поля (магнитное и электромагнитное, сила тяжести) рассматриваются как векторные поля. Такая модель позволяет применять к изучаемым понятиям удобные методы математических расчётов.

Векторные величины в физике: скорость, перемещение, ускорение, сила, импульс, напряженность электрического поля, магнитная индукция, момент силы. Для этих величин важно «сколько» и «куда».

Скорость изучается на уроках математики и на уроках физики, и при решении многих задач на скорость необходимо сделать рисунок, на котором направление движения показывается стрелками. Векторами удобно моделировать движение в одном направлении, в разных направлениях, движение по кругу, движение по воде. Составленная таким образом схема-модель поможет решить задачу.

Пример схем некоторых задач на движение:

Тело с большей скоростью догоняет тело с меньшей скоростью:

Движение в противоположные стороны:

Равномерным движением по окружности называется такое движение, при котором скорость не меняется по модулю, а меняется лишь её направление. При этом вектор ускорения перпендикулярен вектору скорости. Вектор скорости направлен по касательной к окружности.

Еще одна физическая векторная величина, которую я хотела бы рассмотреть – это сила. Сила определяет меру интенсивности воздействия, которое оказывается на тело со стороны других тел или полей. Результат действия силы зависит от направления. На рисунке вы можете видеть модель направления силы тяжести и всемирного тяготения.

В физике можно найти ещё много примеров, где векторы применяются как средство моделирования физических процессов.

1. В химии

Также векторы помогают создавать математические модели некоторых химических процессов. Например, для того, чтобы показать строение атома используются всё те же векторы.

На схеме вы можете видеть строение атома азота:

На таких схемах стрелками изображается электрон, а направление соответствует направлению спина (собственного магнитного момента электрона). Операции над спинами производятся так же, как и операции над векторами, что позволяет трактовать химические процессы языком математики. Примером векторных частиц, имеющих спин служат: фотон, глюон, W- и Z-бозоны, векторные мезоны, ортопозитроний.

Химические реакции записываются с помощью уравнений, в записи которых используются векторы.

Пример, реакция обмена, взаимодействие хлорида кальция и нитрата серебра с образованием осадка хлорида серебра:

CaCl2(ж) + 2AgNO3(ж) Ca(NO3)2(ж) + 2AgCl(тв)

3.3.В биологии

Биология относится к наукам естественно-математического цикла. Часто для того, чтобы смоделировать тот или иной процесс, приходится использовать язык математики или переносить суть математических понятий на понятия биологические. Суть понятия «вектор» — это направленность. В биологии этим словом называют организм, который переносит паразита от одного организма к другому. Например, клещи являются переносчиками вируса, вызывающего энцефалит. В генетике вектором считается молекула нуклеиновой кислоты, которая используется для передачи генетического материала другой клетке. С помощью организмов векторов синтезируются различные лекарственные средства, в том числе и антибиотики, ферменты, необходимые человеку (инсулин).

В настоящее время создана векторная модель для доставки в клетки костного мозга гена, кодирующего гранулоцитарный колониестимулирующий фактор человека. Данный белок относится увеличивает продолжительность жизни клеток костного мозга, усиливает функциональную активность зрелых нейтрофилов. Созданный вектор представляет собой многослойную конструкцию. Эффективность описанной векторной модели была доказана опытным путем. При конструировании противовирусных вакцин немаловажное значение имеет создание специального вектора-носителя, обеспечивающего адресную доставку генов и их защиту от действия нуклеаз крови.

1. В географии

Оказывается, векторы, как отрезки, показывающие направление нашли своё отражение и в географии. Так, ветер – характеризуемый величиной и направлением, рассматривается как вектор. Распределение ветра исследуется в векторной форме. Таким образом, ветер (горизонтальное движение воздушных частиц относительно подстилающей поверхности) – векторная величина и описывается двумя параметрами – скоростью ( м/с) и направлением. Вектор – модель ветра. Аналогично, с помощью векторов показывают направление движения воздушных масс в циклонах и антициклонах.

Вектор также служит моделью всевозможных течений. Горизонтальные перемещения водных масс в морях и океанах называются морскими течениями. К элементам, характеризующим течение, относятся направление и скорость. Значит, течение – векторная величина. С помощью векторов и действий над ними осуществляется учет приливно-отливных течений.

Течение реки, подводные течения океанов показывают с помощью векторов.

С помощью векторов составляют карты миграции птиц и животных.

Используя действия над векторами можно рассчитать пролетные пути перелетных птиц.

1. Векторы в профессиях.

Я выяснила, что векторы используются во многих науках для моделирования самых различных процессов и явлений. Значит, это понятие потребуется во всех технических профессиях, профессиях, связанных с компьютерном деле, в медицине, химии и т.д. Векторы нужны для освоения профессии строителя и архитектора, так как особое место вектору отводится в сопромате, ведь нагрузка на разные элементы конструкций является разложением вектора по базису векторов силы тяжести и других приложенных к конструкции сил. В самолетостроении, судостроении, автомобилестроении при конструировании транспорта также применяются векторы и их свойства.

В науке судовождение используются векторы и их свойства для определения кажущегося ветра во время движения судна. В штилевую погоду на судне, имеющего ход, всегда ощущается встречный ветер, равный скорости судна. Он имеет название курсовой ветер и имеет направление, противоположное движению судна. Таким образом, на движущемся судне наблюдается кажущийся ветер, вектор которого равен геометрической сумме истинного и курсового ветров. Для определения направления ветра используется способ построения векторного треугольника.

Векторы понадобятся и портному для правильного составления выкроек одежды.

1. Выводы

Выполнив работу, я увидела, что векторы находят широкое применение в геометрии и в прикладных науках, где используются для представления величин, имеющих направление (силы, скорости и т. п.).

Вектор может служить моделью для любого явления, характеризующегося величиной и направлением. Так, в физике – это сила, ускорение, скорость; в химии – это изображения строения атома, изображения химических реакций; в биологии – это модель переноса вирусов, процессов клонирования и создания вакцин; в географии – это модель ветра, течения. Таким образом, векторное исчисление является универсальным инструментом, позволяющим создавать математические модели физических, химических и биологических процессов. Векторы широко используются в экономике и компьютерной графике, при построении вычислительных нейронных структур и всем известных популярных социальных сетей. Умение оперировать с объектами посредством векторного исчисления помогает находить удобные и наглядные пути решения сложных задач, поэтому хорошее знание этого раздела школьной математики необходимо каждому, чья будущая профессия связана с техникой, компьютерами, естественными науками, пространственным мышлением.

Литература:

Башмаков М.А. Что такое вектор?-2-е изд., стер.- М.: Квант, 1976.-221с.

Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике.-3-е изд., стер. — М.: Наука, 1978.-186с.

Гусятников П.Б. Векторная алгебра в примерах и задачах.-2-е изд., стер.- М.: Высшая школа, 1985.-302с.

Зайцев

В.В. Элементарная математика. Повторительный курс.-3-е изд., стер.- М.: Наука,1976.-156с.

Коксетер Г.С. Новые встречи с геометрией.-2-е изд., стер. — М.: Наука,1978.-324с.

Погорелов А.В. Аналитическая геометрия.- 3-е изд., стер. — М.: Квант,1968.-235с.

Интернет –источники:

https://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/401756

http://www.microarticles.ru/article/primenenie-vektorov-v-prikladnih-naykah.html

http://online.mephi.ru/courses/physics/atomic_physics/data/course/5/5.5.html

http://www.sworld.com.ua/konfer47/32.pdf

https://flot.com/publications/books/shelf/rulkov/24.htm

Приложение 1.

8

Векторы в физике — 4. Примеры из физики — ЗФТШ, МФТИ

Простейшие примеры векторов в физике — скорость и сила.

1. Всякое движение можно представить как результат сложения нескольких движений, его составляющих. Скорость результирующего движения изображается по величине и направлению диагональю параллелограмма, построенного на отрезках, изображающих составляющие скорости, как на сторонах. Рассмотрим конкретный пример.

Рыбак переправляется на лодке `A` через реку, которая течёт в сторону, указанную стрелкой.

Пусть скорость течения воды `vec(v_1)` изображается по величине и направлению отрезком `AB`, а скорость `vec(v_2)` движения лодки относительно воды под влиянием усилий гребца изображается отрезком `AC` (в стоячей воде лодка двигалась бы по направлению `AC` со  скоростью `vec(v_2)`). Лодка будет двигаться относительно берега по направлению `AM` со скоростью `vec v`, изображаемой диагональю `AD` параллелограмма, постро­енного на векторах `vec(v_1)` и `vec(v_2)` (в данном случае параллелограмм `ABCD` является прямоугольником).

2. Сила — как векторная величина — всегда имеет определённое направление, модуль, а также точку приложения.

Часто встречаются случаи, когда на тело действуют несколько сил. Тогда бывает удобно заменить их одной силой, которая производит на тело такое же действие, как и несколько одновременно действующих сил. Такую силу (если она существует) называют равнодействующей. Нахождение равнодействующей нескольких сил осуществляется с по­мощью правил векторного сложения, при этом слагаемые силы назы­вают составляющими.

Так, несколько сил, действующих на одну и ту же точку тела, всегда можно заменить одной равнодействующей, как бы ни были направлены силы  и каковы бы ни были их величины. Пусть, например, на тело действуют  четыре  силы `vec(F_1)`, `vec(F_2)`,  `vec(F_3)` и `vec(F_4)`, приложенные  к  одной  точке `O` и лежащие в одной плоскости.

Тогда их равнодействующая `vec F` будет равна векторной  сумме  этих  сил,  найденной   по  правилу   многоугольника.

Найти равнодействующую `vec R` трёх равных по модулю сил, приложенных к телу в одной точке и расположенных в одной плоскости, если углы между всеми силами равны между собой.

`F_1 = F_2 = F_3 = F`.

Углы между парами векторов  `vec(F_1)` и `vec(F_2)`, `vec(F_2)` и `vec(F_3)`, а также между векторами `vec(F_1)` и `vec(F_3)`, равны друг другу и равны `120^@`. Сложим силы `vec(F_2)` и `vec(F_3)` по правилу параллелограмма. Вследствие равенства модулей сил `vec(F_2)` и `vec(F_3)` этот параллелограмм есть ромб. Сумма сил `vec(F_2) + vec(F_3)` есть диагональ ромба, поэтому углы между парами векторов `vec(F_2)` и `vec(F_2) + vec(F_3)`, а также `vec(F_3)` и `vec(F_2) + vec(F_3)` равны по `60^@`, т. е. векторы `vec(F_1)` и `vec(F_2) + vec(F_3)` направлены вдоль одной прямой, но в противоположные стороны. Силовой параллелограмм, построенный на векторах `vec(F_2)` и `vec(F_3)`, состоит из двух равносторонних треугольников, поэтому модуль силы

`|vec(F_2) + vec(F_3)| = F_2 = F_3 = F = F_1`,  т. е  `vec F_1 = — (vec(F_2) + vec(F_3))`, 

откуда следует  `vec(F_1) + vec(F_2) + vec(F_3) = 0`.

К телу приложено `6` сил, лежащих в одной плоскости и составляющих друг с другом углы в `60^@`. Силы последовательно равны `1`, `2`, `3`, `4`, `5` и `6 Н`. Найти равнодействующую `vec R`  этих шести сил.

Сложение сил по правилу многоугольника здесь нецелесообразно. Поступим иначе.  Сложим сначала попарно силы, направленные вдоль одной прямой.

Получим

 `|vec(F_2) + vec(F_4)| = 4 — 1 = 3`,

аналогично  `|vec(F_2) + vec(F_5)| = 5 — 2 = 3`  и `|vec(F_3) + vec(F_6)| = 6 — 3 = 3`.

Сумма сил `vec(F_2) + vec(F_5)` направлена вдоль вектора `vec(F_5)`. Туда же направлена и сумма сил `vec(F_1) + vec(F_4) + vec(F_3) + vec(F_6)`, причём модуль этой силы равен `3`. В итоге получаем, что сумма всех шести сил `vec(F_1) + vec(F_2) + vec(F_3) + vec(F_4) + vec(F_5) + vec(F_6)` направлена вдоль направления силы `vec(F_5)`, а модуль этой силы `|vec(F_1) + vec(F_2) + vec(F_3) + vec(F_4) + vec(F_5) + vec(F_6)| = 3 + 3 = 6 Н`.

Найти равнодействующую `vec R` пяти равных по модулю сил, приложенных к телу в одной точке и расположенных в одной плоскости, если углы между всеми соседними силами равны между собой.

(Эти углы, разумеется, равны `360^@ //5 = 72^@`.) 

В отличие от предыдущего примера здесь мы имеем нечётное число сил, поэтому невозможно образовать из них целое число пар. Поступим иначе. Возьмём какую-нибудь силу, например, `vec(F_1)`, а остальные сгруппируем в пары и попарно сложим их:

 `vec(F_2) + vec(F_5)` и `vec(F_3) + vec(F_4)`.

Почему удобна именно такая группировка сил в пары? Дело в том, что обе суммы сил (и `vec(F_2) + vec(F_5)` и `vec(F_3) + vec(F_4)`)  направлены вдоль линии действия силы `vec(F_1)`. Ясно, что равнодействующая всех сил будет направлена вдоль линии действия силы `vec(F_1)`. Модули сумм сил легко найти из геометрии. Например, в силовом параллелограмме, построенном на векторах `vec(F_2)` и `vec(F_5)`, который является ромбом, длина диагонали ромба (модуль силы `vec(F_2) + vec(F_5)`) равна удвоенной половинке диагонали, а та легко ищется из любого из 4-х прямоугольных треугольников, на которые ромб разбивается диагоналями. В результате

`|vec(F_2) + vec(F_5) | = 2F cos 72^@`,

где `F` — модуль любой из 5-ти исходных сил. Аналогично

`|vec(F_3) + vec(F_4)| = 2F cos 36^@`.

В итоге для модуля искомой силы получаем формулу

`R = F(1 + 2 cos 72^@ — 2 cos 36^@)`      (*).

Для углов `72^@` и `36^@` нет таких простых формул, как для углов `30^@`, `45^@` или `60^@`. Пользуясь калькулятором, можно, однако, показать, что согласно формуле (*) `R = 0`.

Имеется и более красивое доказательство того, что результирующий вектор есть нулевой вектор. В самом деле, мы довольно произвольно взяли в качестве силы, которой не хватило пары, силу `vec(F_1)`. Если бы в качестве такой взять силу `vec(F_2)`, а в пары объединить `vec(F_1)` и `vec(F_3)` (одна пара) и `vec(F_4)` и `vec(F_5)`, то, повторив рассуждения, получим, что равнодействующая всех пяти сил `vec R` должна быть направлена вдоль линии действия силы `vec(F_2)`. Возможно ли, чтобы вектор был одновременно направлен вдоль двух несовпадающих друг с другом направлений (и `vec(F_1)`, и `vec(F_2)`; а на самом деле, как догадался читатель, ещё и вдоль направления действия сил `vec(F_3)`, `vec(F_4)` и `vec(F_5)`!)? Ненулевым вектор не может быть! Остаётся одна возможность: суммарный вектор – нулевой!

В примерах 10 и 11 мы искали по правилу параллелограмма суммы сил. В примере 12 нас  интересовала лишь проекция равнодействующей силы на направление (например, силы `vec(F_1)`). В следующих примерах наш интерес будет также скорее не к равнодействующей силе, а только к каким-то её проекциям.

Электрический фонарь весом `Q = 16 Н` укреплён, как показано на рисунке.

Определите отношение натяжений `T_1` и `T_2` в проволоках `BA` и `BC`, углы наклона которых даны на рисунке.

В условиях равновесия сумма всех сил, приложенных к точке `B`, равна нулю. Поэтому проекция равнодействующей всех сил на горизонтальное направление тоже равна нулю. Проекция силы со стороны проволоки, идущей к фонарю, на это направление равна нулю (эта сила вертикальна). Остаются вклады от двух натяжений со стороны проволок `BA` и `BC`. Горизонтальную ось направим слева направо. Тогда имеем:  T1, гор+T2, гор=0T_{1,\;\mathrm{гор}}+T_{2,\;\mathrm{гор}}=0,

т. е.

`T_1 * cos 60^@ — T_2 cos 45^@ = 0`

(или `T_1 * sin 30^@ — T_2 sin 45^@ = 0`), откуда получаем `T_1//T_2 = sqrt2`.

Однородная массивная верёвка подвешена за два конца на разных высотах.

Масса верёвки `m`.  Углы, которые составляет верёвка с вертикалью в точках закрепления, равны `30^@` и `60^@`. Определите силы натяжения верёвки вблизи её точек крепления.

Задача кажется очень трудной, т. к. не ясно, какую роль играет неизвестная нам форма верёвки, которую она примет под действием сил тяжести всех частей верёвки. (В предыдущем примере мы не интересовались провисанием проволок под действием силы тяжести, молчаливо считая провисание малым.) И всё же задача в той постановке, в какой дана,  имеет простое решение. Мысленно проведём горизонтальную ось слева направо. Поскольку верёвка находится в равновесии, то сумма проекций всех сил на горизонтальное направление равна нулю. Сила тяжести верёвки имеет нулевую проекцию на это направление (эта сила направлена вертикально). Снова остаются вклады от двух натяжений:

T1, гор+T2, гор=0T_{1,\;\mathrm{гор}}+T_{2,\;\mathrm{гор}}=0, или `- T_1 * sin 30^@ + T_2 sin 60^@ = 0`. Полагая `sin 30^@ = 1//2` и `sin 60^@ = sqrt3 //2`, находим `T_1 // T_2 = sqrt3`. Мысленно проведём ещё и вертикальную ось, направив её вниз. Сумма проекций всех сил на эту ось также равна нулю:

`mg — T_1 cos 30^@ — T_2 cos 60^@ = 0`.

Учитывая найденное ранее соотношение между `T_1` и `T_2` и значения `cos 60^@ = 1//2` и `cos 30^@ = sqrt3 //2`, получаем:

`mg — sqrt3 * T_2 * sqrt3 //2 — T_2 //2 = 0`,  

откуда

`T_2 = mg//2` и `T_1 = sqrt3 mg//2`.

На гладкой наклонной плоскости с углом наклона  лежит брусок массой m. Какую горизонтальную силу нужно приложить к бруску, чтобы он находился в покое?

Определите также модуль нормальной силы реакции на брусок со стороны наклонной плоскости.

Брусок по условию задачи  покоится. Значит, сумма всех сил, приложенных к бруску, равна нулю. Равны нулю и суммы проекций сил на любые направления,  в частности, на направление вдоль наклонной плоскости и перпендикулярное ему. Нормальная сила реакции `vec N` со стороны наклонной плоскости имеет равную нулю составляющую вдоль наклонной плоскости.

Проекция сила тяжести `m vec g` на ось `Ox` вдоль наклонной плоскости

равна `- mg sin alpha`, а проекция горизонтальной силы `F` на эту ось равна `F cos alpha`. Других сил вдоль наклонной плоскости не действует (плоскость, по условию задачи, гладкая, т. е. сила трения пренебрежимо мала). Приравнивая нулю сумму проекций на ось `Ox` всех сил, действующих на тело, получаем: `- mg sin alpha + F cos alpha = 0`, откуда находим

  `F = mg  (sin alpha)/(cos alpha) = mg * bbb»tg»  alpha`.     

Для отыскания `N` обратимся к проекциям сил на направление `Oy`. Приравняем нулю и сумму проекций на ось `Oy`:

 `N — mg cos alpha — F sin alpha = 0`,        

откуда `N = mg cos alpha + F sin alpha`, или с учётом найденного значения `F`:

`N = mg cos alpha + mg  (sin^2 alpha)/(cos alpha) = mg  (cos^2 alpha + sin^2 alpha)/(cos alpha)`,

тогда с учётом основного тригонометрического тождества, `sin^2 alpha + cos^2 alpha = 1`, получаем окончательно

`N = (mg)/(cos alpha)`.

На шероховатой поверхности доски лежит брусок массой `m`. К нему приложена сила, направленная под углом `alpha` к горизонту.

Определите модуль нормальной силы реакции со стороны поверхности.

Поскольку брусок не проваливается и не подскакивает вверх, то сумма проекций сил на вертикальную ось равна нулю:

`N + F * sin alpha — mg = 0`,

откуда находим

                 `N = mg — F * sin alpha`.

Часто совершенно безосновательно приравнивают силу реакции `N` силе тяжести `mg`. Мы видим, что даже в случае горизонтальной поверхности это в общем случае не так. Для наклонной плоскости это тоже не так. В предыдущем примере нормальная сила реакции равнялась `mg//cos alpha`. Кстати, если бы удерживающая сила `F` действовала там не вдоль горизонтали, а вдоль наклонной плоскости, то для удержания бруска на наклонной плоскости потребовалась бы сила величиной `F = mg sin alpha`, а нормальная сила реакции была бы равна `N = mg cos alpha` (и снова не равнялась бы `mg`!)  

Докажите это самостоятельно.

Самолёт взлетает с аэродрома со скоростью v=220 км/чv=220\;\mathrm{км}/\mathrm ч под углом `alpha = 20^@` к горизонту. Найдите модули горизонтальной и вертикальной составляющих скорости самолёта.

В данном примере мы имеем дело с весьма простым случаем разложения скорости на два взаимно перпендикулярных направления:  

`vec v = vec(v _sf»гор») + vec(v_sf»верт»)`,

vгор=v cos α≈207 км/чv_\mathrm{гор}=v\;\cos\;\alpha\approx207\;\mathrm{км}/\mathrm ч,  vверт=v sin α≈75 км/чv_\mathrm{верт}=v\;\sin\;\alpha\approx75\;\mathrm{км}/\mathrm ч.

В  безветренную  погоду  самолёт  летит  со   скоростью 180 км/ч180\;\mathrm{км}/\mathrm ч (50 м/с50\;\mathrm м/\mathrm с) относительно земли. С какой скоростью относительно земли будет лететь самолёт, если дует западный ветер со скоростью   10 м/с10\;\mathrm м/\mathrm с?

В данном случае мы имеем дело со сложением движений: `vec(v_sf»с») = vec(v_sf»св») + vec(v_sf»в»)`, где `vec(v_sf»св»)` — скорость самолёта относительно воздуха (модуль которой равен скорости самолёта относительно земли в безветренную погоду), а `vec(v_sf»в»)` — скорость воздуха. Далее по теореме Пифагора получаем:

vс=502+102=2600≈51 м/сv_\mathrm с=\sqrt{50^2+10^2}=\sqrt{2600}\approx51\;\mathrm м/\mathrm с.

Лодка пытается пересечь реку, текущую со скоростью u=3 км/чu=3\;\mathrm{км}/\mathrm ч. Скорость лодки в стоячей воде v=5 км/чv=5\;\mathrm{км}/\mathrm ч. Под каким углом `alpha` к нормали к берегу надо направить лодку, чтобы она двигалась поперек реки (без сноса)? Какой будет при этом модуль скорости лодки `v` относительно берега?

Как и в примере 9, мы также имеем дело со случаем сложения движений. Но там было проще: не требовалось выбирать никакой стратегии, рыбак лишь наблюдал, как снесёт его лодку течением воды в реке. Если бы вода в реке покоилась, то, направив корпус лодки под углом `alpha` к нормали, мы заставили бы её двигаться в направлении вектора `vec V`.

В действительности, вода в реке не стоячая, а имеет скорость `vec u` Поэтому сносимая течением лодка будет двигаться в направлении вектора `vec v` таком, что `vec v = vec V + vec u`. Учитывая, что оба треугольника в параллелограмме прямоугольные (по условию, лодка должна двигаться перпендикулярно берегам), находим

`sin alpha = u//V = 3//5`, `alpha ~~ 37^@`,

а по теореме Пифагора v=V2-u2=4 м/сv=\sqrt{V^2-u^2}=4\;\mathrm м/\mathrm с.

Лодка  пытается  пересечь  реку, текущую  со    скоростью u=5 км/чu=5\;\mathrm{км}/\mathrm ч. Скорость лодки в стоячей воде V=3 км/чV=3\;\mathrm{км}/\mathrm ч.   Под каким углом `alpha` к нормали к берегу надо направить корпус лодки, чтобы её снесло как можно меньше? Под каким углом `beta` к нормали к берегу будет при этом плыть лодка?

В данном примере скорость лодки относительно воды меньше, чем скорость воды в реке, `V < u`, поэтому реализовать план из предыдущего примера невозможно. Наша цель состоит в том, чтобы направить корпус лодки под таким углом `alpha` к нормали к берегу, чтобы сносимая течением лодка двигалась под углом `beta`, по возможности наименьшим.

В данном примере складывать скорости (лодки относительно воды `vec V` и воды в реке `vec u`) удобно по правилу треугольника, а не параллелограмма: приставим начало вектора `vec V` к концу вектора `vec u`. Выбирая оптимальный план (с наименьшим углом сноса), будем мысленно поворачивать вектор `vec V`. При этом конец вектора будет описывать окружность с центром в конце вектора `vec u`. Из рисунков видно, что минимальному углу сноса лодки `beta` соответствует случай, когда вектор `vec v = vec V + vec u` направлен по касательной к этой окружности. При этом вектор `vec V _|_ vec v` т. е. треугольник скоростей на  рис. 36 в прямоугольный. Отсюда получаем:

`sin alpha = V//u = 3//5`;  `alpha ~~37^@`; `beta = 90^@ — alpha ~~53^@`.   

Лодку вытягивают из воды, стоя на крутом берегу и выбирая верёвку, которая привязана к носу лодки, со скоростью `v`.

Какой будет скорость лодки `u` в момент, когда верёвка будет составлять угол `alpha` с горизонтом? Верёвка нерастяжима.

Традиционная ошибка решающих эту задачу состоит в том, что пытаются разложить движение лодки на два направления – горизонтальное и вертикальное, делая (неправильное!) построение, как показано на рисунке

и получая неверный ответ `u = v * cos alpha`. Что здесь неправильно? В отличие от самолёта из примера 17, который двигался под отличным от нуля углом к горизонту, здесь лодка движется горизонтально! Сделаем другое разложение скорости лодки `vec u` по двум направлениям – вдоль верёвки (в данный момент времени!) и перпендикулярно ей.

Проекция вектора `vec u` на направление верёвки будет равна скорости `v`, с которой выбирают верёвку: `v = u cos alpha`, поэтому `u = v/(cos alpha)`.

Поясним ещё, почему проекция вектора `vec u` на направление верёвки будет равна скорости `v` с которой выбирают верёвку. Если мы имеем абсолютно твердое тело (АТТ), деформациями в котором можно пренебречь, или нерастяжимую нить (но уже максимально натянутую), то как бы ни двигались АТТ или нерастяжимая нить, они будут обладать следующим свойством. Возьмём две произвольные точки `A` и `B` нити или АТТ и мысленно соединим их прямой. Тогда составляющие скоростей выбранных точек вдоль этой прямой в любой момент времени будут равны друг другу: vA∥→=vB∥→\overrightarrow{v_{A\parallel}}=\overrightarrow{v_{B\parallel}}.

В противном случае изменялось бы расстояние между точками `A` и `B`. Составляющие скорости, перпендикулярные отрезку прямой `AB`, могут быть при этом любыми.

Две лодки 1 и 2 буксируют третью лодку с помощью двух тросов.

В некоторый момент времени силы натяжения тросов, идущих от лодок 1 и 2, равны друг другу по модулю и равны `F`. Угол между тросами равен `2 alpha`. Какая равнодействующая сила приложена к буксируемой лодке со стороны тянущих её лодок? Чему будет равна эта сила в случае малого угла `alpha`  (когда буксирующие лодки тянут третью лодку почти в одном направлении)?

Две силы нужно сложить по правилу параллелограмма, который в данном случае будет ещё и ромбом с перпендикулярными друг другу диагоналями, разбивающими его на четыре равных прямоугольных треугольника. Из геометрии

видно, что модуль равнодействующей силы `R` равен удвоенной длине прилежащего катета: `R = 2F cos alpha`. При стремлении угла между направлениями тросов к нулю `R -> 2F`   (`cos alpha -> 1`  при  `alpha -> 0`).

Хитрее оказывается похожая задача, когда заданы не силы, а скорости.

Две лодки 1 и 2 буксируют третью лодку с помощью двух тросов.

В некоторый момент времени модули скоростей лодок 1 и 2 равны друг другу и равны `v_1 = v_2 = v`. Найти модуль и направление скорости буксируемой лодки `u`. Тросы нерастяжимы. Чему будет равна эта скорость в случае малого угла `alpha`  (когда буксирующие лодки тянут третью лодку почти в одном направлении)?

Ясно, что «решение» `u = 2v cos alpha` (как в предыдущем примере) не подходит, т. к. при `alpha -> 0` мы получили бы, что `u -> 2v`, чего не может быть. Если, например, две собаки в упряжке бегут с одинаковыми скоростями `v` в одном направлении, то и скорость упряжки будет равна этой же скорости `v` (если, конечно, упряжка не отцепилась или к ней не подключили дополнительно мотор).

Решение задачи такое же, как в примере 21. В данном примере важнейшими словами являются «Тросы нерастяжимы». Ясно, что правильное построение, учитывающее это условие, должно быть таким, как на рисунке ниже,

откуда немедленно получаем `v = u cos alpha`, поэтому `u = v/(cos alpha)`. Тогда в предельном случае, когда `alpha -> 0`, имеем `u -> v`,  как и должно быть.

Заметим, что четырёхугольник весьма мало похож на параллелограмм из предыдущего примера. Еще меньше будет похож на параллелограмм этот четырёхугольник, когда модули скоростей `v_1 != v_2`.

Две лодки буксируют третью с помощью двух тросов.

В некоторый момент времени скорость 2-ой лодки в 2 раза больше, чем скорость 1-ой, `v_2 = 2v_1 = 2v`, а угол между тросами равен `90^@`. В каком направлении и с какой скоростью движется в этот момент буксируемая лодка? Тросы нерастяжимы.

В данном случае четырёхугольник будет прямоугольником (т. е. всё же параллелограммом).

По определению тангенса угла  tg`phi _1 = v_2 //v_1 = 2`, откуда, пользуясь калькулятором, находим `phi _1 ~~63^@`; `phi _2 = 90^@ — phi _1 ~~ 27^@`.                

Модуль скорости буксируемой лодки найдём по теореме Пифагора (раз уж у нас «случайно» появились прямоугольные треугольники):    

`u = sqrt(v_1^2 + v_2^2) = sqrt(v^2 + (2v)^2) = sqrt5 * v ~~ 2,2 v`. 

Векторы в физике — 1. Определение вектора. Операции над векторами — ЗФТШ, МФТИ

1. Основные определения

Удивительно, но с векторными величинами разной природы (перемещением, скоростью, силой, импульсом и др.) можно работать в значительной мере единообразно — как с геометрическими объектами — геометрическими векторами, или просто векторами, хотя есть и нюансы (см. ниже).

Вектор пред­ставляет собой направленный отрезок прямой, для которого определены правила (законы) сложения с другими векторами, правило вычитания векторов, правило умножения вектора на число, скалярное произведение двух векторов и некоторые другие операции.

Стрелка компаса — не вектор, т. к. для неё нет таких операций.

Мы будем рассматривать векторы на плоскости и в соответствии со сложившейся традицией обозначать их латинскими буквами со стрелками наверху, например: `vec v`, `vec F`, `vec a`, `vec b` и т. п. Часто в целях экономии используют упрощённое обозначение — букву с чертой, например, `bar v` или `bar F`.

Одну из граничных точек вектора называют его началом, а другую — концом. Направление вектора задаётся от начала к концу, причём на чертеже конец вектора отмечают стрелкой. Начало вектора называют также точкой его приложения. Если точка `A` является нача­лом вектора `vec a`, то мы будем говорить, что вектор `vec a` приложен в точке `A`.

Число, выражающее длину направленного отрезка, называют модулем вектора и обозначают той же буквой, что и сам вектор, но без стрелки наверху, например: модулем вектора `vec v` является число `v`. Часто для обозначения модуля вектора прибегают к помощи знака абсолютной величины и пишут, например, `|vec v|` или `|vec F|`.

Вектор называется нулевым, если его начало и конец совпадают. Нулевой вектор не имеет определённого направления и его длина (модуль) равна нулю.

Векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых. Так, например, на рисунке

векторы `vec a`, `vec b` и `vec c` коллинеарны. 

Два вектора называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и одинаковое направление.

Слева изображены неравные векторы `vec a` и `vec f`, `vec g` и `vec h`, а справа — равные векторы `vec p` и `vec q`. Точка приложения геометрического вектора `vec a` может быть выбрана произвольно. Мы не различаем двух равных векторов, имеющих разные точки приложения и получающихся один из другого параллельным переносом. В соответствии с этим векторы, изучаемые в геометрии, называют свободными (они определены с точностью до точки приложения).

В физике точка приложения вектора иногда имеет  принципиальное значение. Достаточно вспомнить рычаг: две равные по модулю силы, направленные в одну и ту же сторону, производят на рычаг разное действие, если плечи сил не равны друг другу. И всё же сами силы равны друг другу! Бывают и случаи, когда вектору трудно приписать конкретную точку приложения. Например, если одна система отсчёта движется  относительно другой со скоростью `vec v`, то какой точке  приписать эту скорость?  Всем точкам движущейся системы!

2. Сложение двух векторов.

Пусть даны два произвольных вектора `vec a` и `vec b`.

Для нахождения их суммы нужно перенести вектор `vec b` параллельно самому себе так, чтобы его начало совпало с концом вектора `vec a`. Тогда вектор, проведённый из начала вектора `vec a` в конец перенесённого вектора `vec b`, и будет являться суммой `vec a` и `vec b`. На рисунке ниже — это вектор `vec c`.

Описанное правило есть просто определение суммы векторов. Как и в случае с числами, сумма векторов не зависит от порядка слагаемых, и поэтому можно записать

Приведённое выше правило геометрического сложения векторов называется правилом треугольника.

Сумма векторов может быть найдена и по правилу параллелограмма. В этом случае параллельным переносом нужно совместить начала векторов `vec a` и `vec b` и построить на них, как на сторонах,  параллелограмм. Тогда сумма `vec a` и `vec b` будет представлять собой диагональ этого параллелограмма, конкретно — суммой `vec a` и `vec b` будет вектор, начало которого совпадает с общим началом векторов `vec a` и `vec b` конец расположен в противоположной вершине параллелограмма, а длина равна длине указанной диагонали.

Оба способа сложения дают идентичный результат и одинаково часто применяются на практике. Когда речь идёт о нахождении суммы трёх и более векторов, часто последовательно используют  правило  треугольника. Поясним сказанное.

3. Сложение трёх и более векторов. 

Пусть нужно сложить три вектора `vec a`, `vec b` и `vec d`. 

Для этого  по правилу треугольника сначала находится сумма любых двух векторов, например `vec a` и `vec b`, потом полученный вектор `vec c = vec a + vec b` по тому же правилу складывается с третьим  вектором  `vec d`. Тогда  полученный  вектор `vec f = vec c + vec d` и  будет представлять собой сумму  трёх  векторов `vec a`, `vec b` и `vec d`: `vec f = vec a + vec b + vec d`. Как и в случае с двумя векторами, порядок слагаемых не влияет на конечный результат.

Чтобы упростить процесс сложения трёх и более векторов, обычно не находят промежуточные суммы типа `vec c = vec a + vec b`, а применяют правило многоугольника: параллельными переносами из конца первого вектора откладывают второй, из конца второго — откладывают третий, из конца третьего  — четвёртый  и  т.  д. 

Так,   вектор  `vec g`  представляет собой сумму векторов `vec a`, `vec b`, `vec d`, `vec e`,  найденную по правилу многоугольника: `vec g = vec a + vec b + vec d + vec e`.

Не всякая векторная сумма может иметь физический смысл. Не всякие величины вообще имеет смысл складывать. Так,  например, бессмысленно говорить, что, если у меня температура `36,6^@` и у вас тоже `36,6^@`, то вместе у нас температура `73,2^@`, хотя складывать температуры (числа) никто не запрещает. Всё же чаще всего сумма температур представляет собой никому не нужную величину; она редко входит в какие-либо уравнения (входит почти случайно).

Иное дело – с массой. Если система состоит из тел с массами `m_1`, `m_2`, `m_3` и т. д., то масса всей системы равна `m = m_1 + m_2 + m_3 + ` и т. д. (Если на лифте написано, что максимальный груз, перевозимый лифтом, равен `500` кг, то перед входом в лифт нужно убедиться, что сумма масс вносимых в лифт грузов не превышает `500` кг.) Говорят, что масса – есть аддитивная величина (от английского слова add – добавлять, прибавлять, складывать). А вот температура – не аддитивная величина.

Сила есть аддитивная векторная величина. Если к телу в точке (или к системе тел в разных точках!) приложены силы `vec(F_1)`, `vec(F_2)`, `vec(F_3)` и т. д., то сумма векторов сил `vec(F_1) + vec(F_2) + vec(F_3) + …` есть осмысленная и даже очень нужная величина. Например, в условиях равновесия тела сумма всех приложенных к нему сил `vec(F_1) + vec(F_2) + vec(F_3) + … = 0`, даже если силы приложены в разных точках тела. Причём это относится не только к твёрдым телам. Если нитка подвешена за два конца к двум гвоздям, а в промежутке перекинута еще через какие-нибудь гвозди, то сначала нужно найти силы со стороны каждого из гвоздей и  силу со стороны Земли (силу тяжести) `vec F_1`, `vec(F_2)`, `vec(F_3)`, `…`; при этом говорят, что к нитке приложена сумма сил `vec(F_1) + vec(F_2) + vec(F_3) + …`; в условиях равновесия эта сумма будет равна нулю.

Не так со скоростями. Если система состоит из двух частиц, имеющих в некоторый момент времени скорости `vec(v_1)` и `vec(v_2)`, то это не означает, что в этот момент вся система обладает скоростью равной векторной сумме `vec(v_1) + vec(v_2)`. Никто не запрещает складывать векторы скорости разных частиц; но с точки зрения физики вектор `vec(v_1) + vec(v_2)` ничему приписать нельзя. В этом смысле скорость — не аддитивная величина. Суммой скоростей (векторной суммой) интересуются, когда одно движение накладывается на другое (например, Земля вращается вокруг Солнца, но вместе с Солнцем движется вокруг центра Галактики). А вот сумма скоростей отдельных частиц системы (например, сумма скоростей звезд в Галактике) физического интереса не представляет.

Родственная скорости величина, с которой вы еще не раз встретитесь в курсе физики, импульс материальной точки, равный произведению массы на скорость, `vec p = m vec v` снова — величина аддитивная.

  В последнем равенстве мы встречаемся с умножением вектора на скаляр. Поясним эту процедуру.

4. Умножение вектора на скаляр. 

Произведением вектора `vec a` на число `k` называют новый вектор `vec b = k vec a`, коллинеарный вектору `vec a`, направленный в ту же сторону, что и вектор `vec a`, если `k > 0`, и в противоположную сторону, если `k < 0`, а модуль `b` равен

где `|k|` — абсолютная величина числа `k`. 

Если два вектора коллинеарны, то они отличаются только скалярным множителем. Наоборот, если два вектора отличаются только ска­лярным множителем, не равным  нулю, то они коллинеарны.      

В случае, когда `k = 0` или `vec a = 0`, произведение `k vec a` представляет собой нулевой  вектор,  направление которого не определено.

Если `k = 1`, то согласно (2) `vec b = vec a` и векторы `vec a` и `vec b` равны.

При `k = — 1` получим `vec b = — vec a`. Вектор `- vec a` имеет модуль, равный модулю вектора `vec a`, но направлен в противоположную сторону.

Два  вектора,  противоположно  направленные и имеющие  равные длины, называются противоположными.

Импульс тела `vec p = m vec v` коллинеарен вектору скорости и направлен с ней в одну сторону, т. к. массы всех тел положительны. Чуть ранее говорилось об аддитивности импульса. Если система состоит из материальных точек с массами `m_1`, `m_2`, `m_3`, `…`, которые в некоторый момент времени имели скорости `vec(v_1)`, `vec(v_2)`, `vec(v_3)`, `…`, т. е. имели импульсы `vec(p_1) = m_1 vec(v_1)`, `vec(p_2) = m_2 vec(v_2)`, `vec(p_3) = m_3 vec(v_3)`, `…`, то вся система в этот момент обладает импульсом  

`vec p = vec(p_1) + vec(p_2) + vec(p_3) + … = m_1 vec(v_1) + m_2 vec(v_2) + m_3 vec(v_3) + …`.

При этом каждое из слагаемых здесь должно быть найдено по правилу умножения вектора (скорости данной частицы) на скаляр (её массу), а затем все эти векторы должны быть сложены, например, по правилу многоугольника.

5. Разность двух векторов. 

Вычесть из вектора `vec a` вектор `vec b` означает прибавить к вектору `vec a` вектор   `- vec b`:

`vec a — vec b = vec a + (- vec b)`