Работа с векторами. Примеры решения задач по физике. 10-11 класс
Работа с векторами. Примеры решения задач по физике. 10-11 класс
- Подробности
- Просмотров: 975
Задачи по физике — это просто!
Элементарные задачи из курса школьной физики.
Векторы в физике
Многие физические величины зависят от направления и называются векторными, например, скорость, перемещение, ускорение.
При работе с векторами (векторными величинами) существуют специальные обозначения, которые надо запомнить:
Изображение вектора на чертеже:
Если вектор параллелен координатной оси, то модуль вектора равен модулю проекции вектора на эту ось:
Проекция вектора может быть положительной или отрицательной (в зависимости от его положения относительно оси координат):
Если вектор перпендикулярен оси, то проекция вектора на эту ось равна нулю!
Как бы ни был направлен вектор, его модуль всегда можно рассчитать по формуле:
Сложение векторов (а это часто приходится выполнять в задачах) можно производить графически двумя способами — треугольника и параллелограмма.
Расчетные формулы прямолинейного равномерного движения
Расчетные формулы для прямолинейного равномерного движения — это формулы в проекциях векторов на координатную ось.
Скорость тела:
где
Vx — проекция вектора скорости на координатную ось х
Sx — проекция вектора перемещения на ось х
t —
время, за которое совершается данное перемещение
Координата тела в любой момент времени
или после подстановки скорости:
Последнюю формулу иначе называют уравнением прямолинейного равномерного движения:
где
xo — начальная координата тела
x —
конечная координата тела через время t после начала движения
Расстояние между движущимися телами при прямолинейном равномерном движении в любой момент времени:
где
l — расстояние между телами в любой момент времени движения
x1 — конечная координата первого тела на момент определения расстояния между телами
x2 — конечная координата второго тела на момент определения расстояния между телами
О понятиях вектора и векторной величины в школьной математике и физике Текст научной статьи по специальности «Философия, этика, религиоведение»
_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №3/2016 ISSN 2410-6070_
УДК 372.8
И.В. Шурыгина, И.П. Фунт МБОУ «СОШ №8», г. Елабуга, Российская Федерация
О ПОНЯТИЯХ ВЕКТОРА И ВЕКТОРНОЙ ВЕЛИЧИНЫ В ШКОЛЬНОЙ
МАТЕМАТИКЕ И ФИЗИКЕ
Аннотация
В статье рассматривается один из аспектов межпредметных связей физики и математики, касающийся понятия вектора и векторной алгебры. Показаны некоторые несоответствия школьных программ физики и математики в плане преемственности и предложены способы их устранения.
Ключевые слова
Физика, математика, межпредметная связь, вектор, векторная величина
Тесная связь между школьными курсами физики и математики является традиционной. В результате коренной перестройки преподавания этих дисциплин связь между ними усилилась, однако имеют место и некоторые несоответствия в плане преемственности. Они не столь уж значительны, но на наш взгляд, их знание и глубокое понимание позволят учителю физики или математики более эффективно выстраивать преподавание своего предмета.
В настоящей работе мы затронем лишь один из аспектов данной проблемы, который был обозначен почти полвека назад [1], но до сих пор остается актуальным. Речь идет о соотношении понятий вектора в математике и векторной величины в физике, а также элементов векторной алгебры.
В школьной программе по геометрии понятие вектора вводится в конце 8 класса [1, с.129; 2, с. 189]. При этом под вектором понимается направленный отрезок. Причем в [1] данное понятие вводится совершенно абстрактно, а в [2] — как обобщение некоторого класса физических величин, которые характеризуются не только своим численным значением, но и направлением в пространстве. С точки зрения физики второй подход более приемлем, хотя и не совсем точен. Дело в том, что понятия «вектор» и «векторная величина» тесно связаны между собой, но не являются тождественными. Физика оперирует векторными величинами, которые задаются указанием размера и направления в пространстве. Поэтому направленный отрезок (вектор) является лишь удобным наглядным изображением векторной величины. Векторная величина характеризует какое-либо свойство тела, явления, процесса, существующее реально; её можно измерить. Понятия «измерение вектора» не существует.
Другим важным моментом является то, что геометрия имеет дело со свободными векторами. Геометрический вектор может быть перенесен в любую точку пространства. С физическими векторными величинами так вольно обращаться нельзя. Например, одна и та же сила, но приложенная в разных точках тела вызывает совершенно разные механические воздействия. Если тело является абсолютно твердым, то силу можно переносить, но только вдоль линии ее действия. Поэтому, в частности, геометрическая сумма всех сил и их равнодействующая это в общем случае разные понятия.
Особое внимание необходимо обратить на то, что при изучении векторной алгебры в математике подробно рассматривается сложение и вычитание векторов, умножение вектора на число, скалярное произведение векторов. Однако совершенно не рассматривается такое необходимое для физики понятие, как проекция вектора на ось. При решении огромного числа физических задач необходимо осуществлять переход от векторных уравнений и законов к скалярным выражениям. Как правило, это выполняется при помощи проектирования векторных уравнений на оси выбранной системы координат. Поэтому введением понятия проекции вектора на ось и отработкой навыков нахождения проекций различных векторов приходится
_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №3/2016 ISSN 2410-6070
заниматься на уроках физики.
Однако при этом не следует забывать и о других, чисто геометрических методах. Продемонстрируем это на примере классической ситуации, к которой приводит ряд задач статики. Это точка, находящаяся в равновесии под действием трех сил. Пусть, например, дана величина силы F и угол а, необходимо найти Si и S2 (это могут быть силы реакции опор, стержней, натяжения нитей и т.д.).
Поступим вначале традиционным способом. Запишем векторное условие равновесия
F + 4 + S2 = 0.
Выберем систему координат, направив оси вдоль неизвестных сил, и спроектируем векторное уравнение на оси координат
Ох: Fcosa — = 0, Oy. Fsina — S2 = 0. Решая полученную систему уравнений, находим неизвестные величины.
Воспользуемся теперь геометрическими соображениями. Если сумма векторов равна нулю, то ломаная, построенная на этих векторах должна быть замкнута. В данном случае это будет прямоугольный треугольник, из которого сразу находятся неизвестные величины — катеты
S1 = Fcosa, S2 = Fsina. Остановимся еще на одном важном моменте. В курсе физики встречаются скалярные выражения, которые на самом деле имеют геометрический смысл. На это также следует обращать особое внимание. Так, например, механическая работа вводится при помощи следующей формулы
А = FScos<p.
На самом же деле работа это скалярное произведение векторов силы и перемещения, которое вычисляется по данной формуле.
Уже из рассмотренных примеров видно, насколько могут быть многогранны и глубоки межпредметные связи физики и математики. Современный учитель должен их знать, понимать и использовать в процессе преподавания своего предмета. В своей практике для их активизации и устранения некоторых несоответствий школьных программ по физике и математике мы зачастую используем интегрированные уроки, а также обращаемся к вузовским электронных образовательным ресурсам [5, 6].
В заключение отметим, что ряд особенностей и проявлений связи физики и математики лежит в области множеств, функциональных зависимостей, графиков функций, дифференциального и интегрального исчисления.
Список использованной литературы:
1. Лернер Я.Ф. Векторные величины в курсе механике средней школы // Физика в школе. — 1971. — №2. — С. 36-39.
2. Погорелов А.В. Геометрия: учеб. для 7-9 кл. общеобразоват. учреждений. — 8-е изд. — М.: Просвещение, 2007. — 224 с.
3. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия: учеб. для 7-9 кл. сред. шк. — 2-е изд. — М.: Просвещение, 2014. — 383 с.
4. Перышкин А.В. Физика. 7 кл.: Учеб. Для общеобразоват. учеб. заведений. — 6-е изд., стереотип.. — М.: Дрофа, 2002. — 192 с.
5. Шурыгина И.В., Никитина С.К. Использование вузовских электронных образовательных курсов в процессе преподавания физики и математики в школе // Результаты научных исследований: Сборник статей Международной научно-практической конференции. Ч. 1. — Уфа: Аэтерна, 2015. — С. 254-257.
6. Шурыгин В.Ю., Краснова Л.А. Организация самостоятельной работы студентов при изучении физики на основе использования элементов дистанционного обучения в LMS MOODLE // Образование и наука. -2015. — № 8. — С. 125-139.
© Шурыгина И.В., Фунт И.П., 2016
Проекция вектора на ось в физике
Содержание:
Проекция вектора на ось:
Вы уже знаете, что вектор имеет модуль и направление. При решении задач часто используется понятие проекция вектора на ось. Что такое проекция вектора? Как ее определяют?
Начнем с понятия проекция точки на ось.
Проекция точки — это основание перпендикуляра, опущенного из данной точки на ось.
На рисунке 24 точка
Как определяют проекцию
вектора на осьПроекция вектора на ось — это длина отрезка между проекциями начала и конца вектора, взятая со знаком «+» или «-». Знак «+» берут, если угол между вектором и осью острый, а знак «-» — если угол тупой.
На рисунке 25 проекция вектора на ось Ох обозначена через а проекция вектора — через
Проекция — число положительное, т. к. угол на рисунке 25, а — острый. Проекция — число отрицательное т. к. угол на рисунке 25, б — тупой.
А если вектор перпендикулярен оси? Тогда его проекция на эту ось равна нулю (рис. 26).
Проекцию вектора можно выразить через его модуль и угол между вектором и осью.
Рассмотрим треугольник на рисунке 25, а. Его гипотенуза катет а угол между ними равен Следовательно,
Проекция вектора на ось равна модулю вектора, умноженному на косинус угла между вектором и осью.
Это правило справедливо при любых углах между вектором и осью. Подтвердите это с помощью рисунков 25 и 26.
Обратим внимание на еще одно важное свойство проекций: проекция суммы векторов на ось равна сумме их проекций на эту ось.
С помощью рисунка 27, а, б убедитесь, что из векторного равенства следует равенство для проекций: Не забывайте о знаках проекций.
Можно ли найти модуль и направление вектора по его проекциям на координатные оси
Рассмотрим вектор лежащий в плоскости (рис. 28). Его проекции на оси определим из рисунка:
Модуль вектора находим по теореме Пифагора из треугольника ACD: Разделив на получим: По значению косинуса находим угол
Таким образом, вектор, лежащий в заданной плоскости, полностью определяется двумя проекциями на оси координат.
Вектор в пространстве определяется тремя проекциями: (рис. 29).
Главные выводы:
- Проекция вектора на ось — это длина отрезка, заключенного между проекциями начала и конца вектора на эту ось, взятая со знаком «+» или «-».
- Если угол между вектором и осью острый, то его проекция на эту ось положительна, если угол тупой — отрицательна, если прямой — равна нулю.
- Проекция вектора на ось равна произведению его модуля на косинус угла между вектором и осью.
- Проекция суммы векторов на ось равна сумме их проекций на эту ось.
Пример №1
1. Определите сумму и разность взаимно перпендикулярных векторов (рис. 30). Найдите модули векторов суммы и разности
Решение
Сумму векторов находим по правилу треугольника (рис. 31, а) или параллелограмма (рис. 31, б). Так как векторы взаимно перпендикулярны, модуль вектора находим по теореме Пифагора: Разность векторов определим по правилам вычитания векторов (рис. 32, а, б).
Модуль вектора находим аналогично:
Ответ:
Пример №2
Выразите вектор через векторы (рис. 33). Как связаны между собой проекции этих векторов на оси Ох и Оу?
Решение
По правилу треугольника находим: Отсюда Определив координаты начальных и конечных точек векторов находим проекции этих векторов:
Вычислением убедимся, что проекции векторов связаны теми же равенствами, что и сами векторы:
Ответ:
Из истории векторов
Из истории векторовИз истории векторов
Реально физика развивается не так, как об этом пишут в учебниках. Хотя в целом ее развитие — процесс поступательный, но фактически он идет с большими отклонениями. Можно, конечно, проследить единую неизбежную тенденцию развития, и если видно, что некоторое открытие должно появиться, то скорее всего оно появится. Однако происходит это не всегда сразу.
Пример такого отклонения — векторы. Они удобны, использование их весьма естественно, и обычно думают, что ими оперируют давно. Но это неверно. Даже в книге Максвелла, о которой уже говорилось, вы не найдете векторных обозначений для производных в декартовой системе координат, с помощью которых обычно записывают полученные им уравнения. Это — вторая половина XIX в., но даже тогда векторная символика еще не привилась.
Гораздо раньше векторов в науку были введены кватернионы. Эти и в самом деле странные величины придумал Гамильтон. Создатели квантовой механики очень обязаны трудам Гамильтона (см. примеч. 28) и Лагранжа (см. примеч. 29), бывших не только физиками, но и превосходными математиками. Гамильтон творил в XIX в., но созданный им канонический формализм (см. примеч. 30) крайне полезен и сегодня. Кватернион (выражаемый с помощью четверки чисел — см. примеч. 31) и обычный вещественный вектор — совершенно разные понятия. Нашел ли кватернион сразу хоть какое-то применение — не знаю; скорее всего, в XIX в. его появление было преждевременным. Историей кватернионов я не очень интересовался, но знаю, что их исследовали известные английские ученые Тэйт и лорд Кельвин. Последнему принадлежит большая книга «Кватернионы».
Несколько позже Гамильтона жил известный вам в другой связи американский ученый Гиббс. По моему мнению, из американских физиков он самый великий; правда, это утверждение не согласуется с другими оценками. Если бы американцы позволили, то я назвал бы Гиббса младшим Ньютоном. Вы спросите, почему? Всю жизнь он словно в башне из слоновой кости прожил в маленьком городке Нью-Хейвене и преподавал в Йельском университете. Работы его безупречны. Как и работы Ньютона, они, по-видимому, совсем не содержат неверных утверждений. Имя Гиббса прочно связано со статистической механикой, где наряду с больцманов-ской статистикой различают также статистику Гиббса (см. примеч. 32). Думаю, большинству из вас Гиббс импонирует. Больцман — он мне тоже нравится — напряженно боролся за признание своих идей, а Гиббс, сразу определив область своих интересов, разрабатывал статистическую механику спокойно, не ввязываясь ни в какую борьбу.
Но не о статистической механике хочу я здесь сказать. Сохранились записи лекций, прочитанных Гиббсом около 1880 г. в Йельском университете. Хотя векторы и не обозначались в них с помощью жирных букв (см. примеч. 33), но, насколько я знаю, там дано определение скалярного и векторного произведений и введены символы, соответствующие современным круглым скобкам, оператору набла и прочим, т. е., в сущности, впервые механика изложена на языке векторов. Этим вопросом занимался г-н Кавагути (ранее ассистент Института фундаментальных исследований при университете Киото, теперь — профессор кафедры физики высоких энергий в Университете Цукуба).
Идеи Гиббса об использовании векторов не получили немедленного признания. Например, уже упоминавшийся английский ученый Тейт утверждал, что пользоваться векторами неудобно. Нам это удивительно, мы, напротив, не видим, зачем нужны кватернионы, которыми увлекался Тейт, где они могут найти применение? Правда, с появлением квантовой механики некоторые прежде непонятные величины приобретают важное значение. В частности, матрицы, казавшиеся раньше очень трудными для усвоения, в XX в. проникли даже в классическую физику.
Несмотря на оппозицию сторонников кватернионов, после Гиббса векторы стали широко применять. Так, на использовании векторов основано изложение механики во многих английских учебниках (кстати, в наше время применение векторных обозначений характерно именно для английских книг по физике). Язык кватернионов теперь уже не выдвигают на первый план. Да, история — любопытная вещь! Гамильтон, несомненно, был великим человеком. Так неулсели он ошибся, просмотрев векторы и введя кватернионы?
Ведь как получается? Гамильтон придумывает заумную вещь (кватернионы) и возвращается к своим обычным делам. Криминала здесь нет—физика не могла бы развиваться, если бы все и всегда делали только привычное (в нашем примере, правда, необычное понятие введено в непринципиальном месте — речь идет о форме записи механики). А спустя некоторое время после странного изобретения Гамильтона на сцене появились более естественные и удобные, чем кватернионы, величины — векторы. Однако при взгляде из XX в. обнаруживается, что кватернионы сильно напоминают спиноры, играющие важную роль в квантовой механике. Так может быть, при создании кватернионов Гамильтон смотрел далеко вперед?
Векторы и физика в играх
Можно ли хранить силы в виде точечных продуктов? например, гравитация на планете.
И для игры, например, для игры в космический корабль 2d. можно ли добавить правый вектор тяги и левый вектор, чтобы привести корабль в движение и переместить его? тогда это будет означать, что угол корабля, показанный на экране, вычисляется из этих векторов, и игрок не будет иметь никакого контроля над фактическим углом корабля.
Правильно ли это?
math vectorПоделиться Источник Joseph Le Brech 21 января 2011 в 14:33
2 ответа
- Поиск закономерностей в логических играх
Мне было интересно, какие наиболее часто используемые алгоритмы применяются для поиска паттернов в играх-головоломках, соответствующих сеткам ячеек. Я знаю, что это зависит от многих факторов, таких как тип паттернов, которые вы хотите обнаружить, или правила game…but, которые я хотел бы знать,…
- Заставка в iOS играх
Я знаю, что есть HIG о стартовых изображениях, и основная (и единственная) цель стартового изображения-создать у пользователей впечатление, что приложение быстро и отзывчиво. Но это более привычно для приложений (например, погодных приложений), а не для игр. В каждой игре почти всегда есть…
1
Можно ли хранить силы в виде точечных продуктов? например, гравитация на планете.
В этом нет никакого смысла . Сила-это вектор; произведение точек-это произведение scalar двух векторов.
И для игры, например , для игры в космический корабль 2d. можно ли добавить правый вектор тяги и левый вектор, чтобы привести корабль в движение и переместить его. тогда это означало бы, что угол корабля, показанный на экране, вычисляется из этих векторов и
игрок не будет контролировать фактический угол наклона корабля.
А?
Позволите ли вы игроку изменять величины любого из векторов? Если да, то у них есть некоторый контроль.
Что для вас значит вектор «left» и «right»? Что они означают, если корабль поворачивается на 90 градусов? Становятся ли они «up» и «down»?, как это меняет ситуацию?
Согласитесь ли вы, что если у вас есть векторы «left» и «right» равной величины, то сумма сил в направлении x равна нулю, и корабль вообще не ускорится? (Вы не упоминаете о векторах в направлении y, поэтому я предположу, что сумма сил в направлении y тоже равна нулю.)
Это правильно?
Нет.
Ваше понимание ньютоновской механики равно вашему текущему уровню принятия.
Поделиться duffymo 22 января 2011 в 03:06
0
Что касается вашего первого вопроса, то да. Почему бы тебе не сделать это? Хотя я бы сохранил гравитацию как просто значение, а затем рассчитал вес объекта.
Если я вас правильно понимаю, вы спрашиваете, должна ли у вас быть правая клавиша космического корабля в качестве векторной силы для перемещения влево или чтобы правая клавиша вращала корабль? Первая идея кажется более логичной; если ваш космический корабль застрял в таком месте, как это:
_
|*|
| |
_| |___
|_______
(Извините моего бедного ASCII; это должен быть корабль, застрявший в вертикальном тупике) ваше первое решение приведет к тому, что корабль срикошетит в туннеле. Ваше второе решение (прямое применение вращения) будет просто вращать корабль. Что было бы очень неестественно, если бы туннель был узким.
Посмотрите матрицы вращения.
Поделиться The Communist Duck 21 января 2011 в 16:22
Похожие вопросы:
3D физика мягкого тела с Ammo.js?
Мне сказали, что физика мягкого тела не была перенесена на Ammo.js. Итак несколько вопросов: Почему? Не будет ли это слишком вычислительно интенсивно для JavaScript? Существуют ли какие-либо сборки…
Линейная алгебра в Играх в пространстве 2D
В настоящее время я изучаю линейную алгебру в играх и почти чувствую себя готовым использовать свои новые знания в простом пространстве 2D. Я планирую использовать математическую библиотеку с…
Flash физика гоночных игр
Я хочу сделать гоночную игру AS3 сверху вниз. Я написал основной код, но теперь хочу сделать игру более реалистичной. Мне нужна некоторая физика (ускорение, рулевое управление, дрейф и т. д.)….
Поиск закономерностей в логических играх
Мне было интересно, какие наиболее часто используемые алгоритмы применяются для поиска паттернов в играх-головоломках, соответствующих сеткам ячеек. Я знаю, что это зависит от многих факторов, таких…
Заставка в iOS играх
Я знаю, что есть HIG о стартовых изображениях, и основная (и единственная) цель стартового изображения-создать у пользователей впечатление, что приложение быстро и отзывчиво. Но это более привычно…
2D платформер гравитационная физика с замедленным движением
Я точно настроил физику своего платформера 2d, а когда добавил замедленное движение, то понял, что все испортилось. Проблема у меня в том, что по какой-то причине физика все еще зависит от частоты…
какие базы данных используются в играх?
какие распространенные и популярные database/(types базы данных) используются в играх? MMORPG браузерные, flash игр видео игры
Искусственный интеллект в играх
Я делаю автомобильную гоночную игру в THREE.js году. Я хочу спросить, как я могу поместить искусственный интеллект во врагов, чтобы они могли искать игрока и бить игрока. какие алгоритмы…
iOS SpriteKit физика для пошаговой игры?
В настоящее время я работаю над игрой, которая в значительной степени опирается на физику, которая определит, проиграл ли игрок. Игра отлично работает большую часть времени, но время от времени…
Единство мрамор/мяч, как физика
Физика твердого тела Unity хороша для базовой гравитационной физики, но когда дело доходит до более реалистичной физики шара, то она не делает трюка. Я хочу мрамор, как физика с физическими…
Векторы
Всем здравствуйте! Сегодня разбираемся с векторами: научимся складывать вектора, определять их координаты, длины, выражать один вектор через другие, и пользоваться координатным методом на плоскости для решения задач. Начнем с умения выражать один вектор через другие.
Чтобы выразить нужный вектор через другие, нужно сначала найти любой путь от начала нужного нам вектора к концу, потом записать «кусочки» этого пути в виде векторов, и, наконец, выразить эти векторы через требуемые.
Задача 1. Точка М лежит на стороне ВС параллелограмма ABCD, причем . Выразите векторы и через векторы и .
Найдем путь от точки А к точке М: для этого из точки А идем к В, а затем из В – к М. Часть работы сделана: путь мы нашли. Теперь представляем отрезки этого пути векторами: . Так как – это дано, то полдела сделано, осталось выразить вектор . Так как ABCD – параллелограмм, и BC=AD, то . А вектор – часть . Какая часть? Так как соотношение , то, значит, отрезок BC разделили на 4 части: 3x+1x, и тогда вектор – это три части из четырех, то есть . Теперь объединяем весь путь от А к М: .
Теперь так же поступим с вектором : пройдем от точки М к D: . Вектор . А что такое вектор CD? По длине он равен вектору и параллелен ему, но вектор направлен вверх, а вектор – вниз. То есть данные вектора коллинеарны, и получить один из другого можно умножением на (-1): , тогда . Теперь записываем весь путь: .
Задача 2. В параллелограмме АВСD диагонали пересекаются в точке О, а М – точка на стороне АD, такая, что . Выразите через векторы , следующие векторы: .
Рассмотрим рисунок. Так как AC – диагональ параллелограмма, то понятно, что, по правилу параллелограмма сложения векторов вектор является суммой векторов и : , ну а – его половина, поэтому .
Выразим вектор : по длине он равен вектору , но направлен противоположно, поэтому получим его, умножив вектор на (-1): . Тогда , или , и аналогично
Теперь нам нужно получить вектор , значит, нужно пройти от точки D к точке O любым маршрутом, я выбрала тот, что выделен зеленым. Тогда . , а вектор мы уже нашли ранее. Получим:
Векторы и получим из чисто арифметических соображений: ;
Получим векторы . Так как отношение , то получается, что отрезок разделили на три части, и длина равна длине одной из этих трех частей: .
Чтобы получить вектор , пройдем от точки М к С: . , , получаем:
Чтобы получить вектор , пройдем от точки B к М: . , , получаем:
Остался последний: вектор . От точки О к точке М можно пройти зеленым или красным маршрутом, тогда или , в обоих случаях результат будет одним и тем же, выбираем красный маршрут:
Задача 3. На стороне ВС треугольника АВС отмечена точка так, что . Выразите вектор через и .
, тогда
Задача 4. Пусть – медианы треугольника ABC, О – произвольная точка. Докажите, что .
, , .
Теперь сложим все три выражения:
, или, вынося за скобки дробь ,
Но , так как, обходя такой маршрут, мы возвращаемся в точку старта. Поэтому
, ч.т.д.
Задача 5. Точки А и С – середины противоположных сторон произвольного четырехугольника, а точки B и D – середины двух других его сторон. Докажите, что для любой точки О верно равенство: .
.
.
.
.
.
.
Таким образом, раз правые части равны, равны и левые: .
Задача 6. Даны четырехугольник MNPQ и точка О. Что представляет собой данный четырехугольник, если .
Так как , а , то , следовательно, эти два вектора лежат на параллельных прямых и равны по длине, следовательно, если соединить концы таких отрезков – то получим еще пару равных отрезков, лежащих на параллельных прямых, откуда следует, что MNPQ – параллелограмм.
Задача 7. Найдите координаты вектора , если а) , ; б), ; в), ; г) , .
Когда мы складываем два вектора по правилу ломаной, то к концу первого мы пристраиваем второй. То есть от исходной координаты по оси х первого вектора мы откладываем координату по оси х второго, или, что то же самое, складываем координаты двух исходных векторов, чтобы получить координату х искомого вектора суммы. Так же поступаем и с координатой у. Тогда: а) , ; б) ; ; в) ; ; г) ; .
Задача 8. Найдите длины векторов: , , , , , .
Длина вектора – расстояние между точками его начала и конца. Координаты вектора – это координаты его конца, если его начало совпадает с началом координат. Таким образом, можно представить себе прямоугольный треугольник (так как система координат – прямоугольная), один из катетов которого – координата вектора по оси х, а второй – координата по оси у, тогда длина вектора – гипотенуза такого треугольника, а гипотенузу можно найти по теореме Пифагора:
Задача 9. Найдите , если расстояние между точками а), равно 2; б) расстояние между точками , равно 7.
a) Как вы, может быть, помните, расстояние между двумя точками выражается формулой:
. Запишем:
б) . Тогда:
Дискриминант. Определяем четверть дискриминанта, так как второй коэффициент – четный:
Корни:
Ответ: а)
б) либо
Задача 10. На оси ординат найдите точку, равноудаленную от точек а) и ; б) от точек ,
Искомая точка лежит на оси у, поэтому координата х у нее – нулевая:
а) Запишем расстояние от точки А до точки N: ,
.
Запишем расстояние от точки B до точки N:
Приравниваем расстояния:
Таким образом, искомая точка –
б) Запишем расстояние от точки С до точки N: ,
.
Запишем расстояние от точки D до точки N:
Приравниваем расстояния:
Таким образом, искомая точка –
Задача 11. Докажите, что четырехугольник ABCD является прямоугольником и найдите его площадь, если , , , .
Найдем координаты векторов сторон такого четырехугольника. Тогда координаты вектора AB будут: , , .
Найдем координаты вектора DC: , , .
Таким образом, получили для обеих противоположных сторон четырехугольника один и тот же вектор. А это значит, что они противоположны и равны. Теперь докажем, что сторона АВ перпендикулярна стороне ВС. Найдем координаты вектора ВС: , , .Условие перпендикулярности векторов на плоскости имеет вид: , проверим, выполняется ли оно: – да, условие выполняется. Таким образом, мы доказали, что противоположные стороны четырехугольника равны и параллельны – а это означает, что и две другие его стороны будут также равны и параллельны, а значит, он – параллелограмм, после чего доказали, что смежные стороны нашего четырехугольника перпендикулярны – значит, он прямоугольник. Тогда найдем его площадь: . Найдем длины векторов и .
Расстояние между двумя точками выражается формулой:
,
Таким образом, четырехугольник не только является прямоугольником, но и квадратом, и его площадь равна 17.
Задача 12. Медиана, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, равна 160 см, а основание треугольника равно 80. Найдите две другие медианы этого треугольника.
Так как треугольник равнобедренный, то медиана, проведенная к основанию, является и его высотой. Введем систему координат так, чтобы ось х совпала бы с основанием треугольника, а ось у – с высотой, проведенной к основанию. В такой системе координат мы можем узнать длину любого вектора по координатам его концов. Один из концов искомой медианы – вершина треугольника, одна из точек его основания, а второй конец – середина противолежащей стороны. То есть, чтобы решить задачу, нам надо определить координаты вершин такого треугольника. Координаты вершин треугольника будут: , , , а координату середины стороны ВС определим так: для этого берем полусумму координат по х, и полусумму по у точек концов отрезка: ,
Длина искомой медианы:
Ответ: .
Задача 13. Высота треугольника, равная 10 см, делит основание на два отрезка, равные 10 и 4 см. Найдите медиану, проведенную к меньшей из двух других сторон.
Введем систему координат так, чтобы ось х совпала бы с основанием треугольника, а ось у – с высотой, проведенной к основанию. В такой системе координат мы можем узнать длину любого вектора по координатам его концов. Координаты вершин треугольника будут: , , .
Нам нужна медиана, проведенная к меньшей стороне. Рассмотрев треугольники АВО и ОВС можем заключить, что гипотенуза первого больше, чем гипотенуза второго даже без расчета, поэтому меньшая из оставшихся сторон – ВС. Точка М – середина ВС, а координату середины стороны ВС теперь можно легко определить: для этого берем полусумму координат по х, и полусумму по у точек концов отрезка: , . Таким образом, нас интересует длина отрезка AM, координаты концов которого и .
Расстояние между двумя точками выражается формулой:
Тогда
Ответ: .
Задача 14. Дан прямоугольник АВСD. Докажите, что для произвольной точки М плоскости справедливо равенство:
В треугольнике АМТ АМ – гипотенуза. Тогда
В треугольнике CМK CМ – гипотенуза. Тогда
Рассмотрим треугольник BMS:
А гипотенуза треугольника DMT:
Сложим квадраты:
Видим, что правые части равенств равны, значит, равны и левые: , ч.т.д.
положение, смещение, скорость и ускорение
Физика > Положение, смещение, скорость и ускорение как векторы
Положение, смещение, скорость и ускорение могут отображаться в качестве векторов, потому что определяются в терминах величины направления.
Задача обучения
- Изучить использование векторов при анализе физических величин.
Основные пункты
- Векторы – стрелки, вмещающие величину и направление. Их применяют в физике для отображения физических величин.
- Смещение – дистанция от объекта к контрольной точке. Оно располагает протяжностью к точке отсчета и направлением, поэтому прекрасно изображается вектором.
- Векторная скорость – скорость изменения положения со временем. Чтобы вычислить ее, нужно понять, как быстро меняется смещение и в каком направлении.
- Ускорение – изменение векторной скорости, требующее величины и направления.
- При изображении векторов может не хватить места, чтобы привлечь их к реальному масштабу, поэтому важно не забывать, какой именно масштаб вы выбрали.
Термины
- Смещение – длина и направление прямой линии между двумя объектами.
- Ускорение – темп изменения скорости со временем.
Пример
На рисунке продемонстрирован пример использования вектора для визуального отображения объекта в физике.
Использование векторов
Векторы используют для отображения физических величин. Чаще всего ими изображают смещение, скорость и ускорение. Комбинация величины и направления выливается в виде стрелки. Длина отмечает величину, а направление показывается кончиком стрелы.
Применения
В физике векторы приносят много пользы, потому что визуально демонстрируют положение, скорость, смещение и ускорение. Если вы рисуете векторы, то можете столкнуться с нехваткой места, чтобы отобразить в полноценном масштабе. Но все можно исправить, если помнить о масштабе. Например, величину 100 можно отобразить длиной в 5 единиц при масштабе 120. Когда инверсия масштаба умножается на отображенную величину, она должна приравниваться к фактической величине.
Положение и смещение
Смещение – дистанция в любом направлении от объекта. Вектор здесь применяется в качестве визуализации перемещения. Вектор позиции отображает позицию объекта вначале координат. Вектор положения отображает позицию относительно контрольной точки, вторичного объекта или изначального положения. Вектор положение – прямая линия, проведенная от любого начала к объекту.
Скорость
Определяется величиной и направлением. Чтобы указать, что объект набирает скорость или тормозит, нужно знать направление. Например, самолет со скоростью 200 км/ч, отправляющийся на северо-восток, отображается вектором в том же направлении и скорости. Величина важна только в качестве сравнения векторов с другим объектом.
Ускорение
Это характеристика изменения скорости, представленная величиной и направлением. Эти значения очень важны. Например, в диаграмме свободного тела полезно использовать вектор ускорения возле объекта, чтобы отметить ускорение в направлении поверхности. Если гравитация выступает единственной влияющей силой, то вектор укажет вниз с величиной 9.81 м/с2.
Мы видим человека, взбирающегося на холм. Направление движения определяется углом тета относительно вертикальной оси и длины стрелки, поднимающейся вверх. Также он ускоряется вниз из-за влияния силы тяжести
Веб-сайт класса физики
Направление вектора
Вектор — это величина, которая имеет как величину, так и направление. Примеры векторов включают смещение, скорость, ускорение и силу. Чтобы полностью описать одну из этих векторных величин, необходимо указать как величину, так и направление. Например, если было сказано, что скорость объекта составляет 25 м / с, то описание скорости объекта является неполным; объект может двигаться на 25 м / с на юг, на 25 м / с на север или 25 м / с на юго-восток.Чтобы полностью описать скорость объекта, необходимо указать как величину (25 м / с), так и направление (например, юг).
Чтобы такое описание векторных величин было полезным, важно, чтобы все согласились с тем, как описывается направление объекта. Большинство из нас привыкло к мысли, что вверх на карте относится к направлению на север, а прямо на карте — к направлению на восток. Это всего лишь условное обозначение , которое картографы использовали в течение многих лет и с которым мы все можем согласиться.Но каково направление векторной величины, которая идет не на север или восток, а где-то между севером и востоком? Для таких случаев важно, чтобы существовала некоторая договоренность для описания направления такого вектора. Соглашение, с которым мы все можем согласиться, иногда называют соглашением CCW — против часовой стрелки, соглашением . Используя это соглашение, мы можем описать направление любого вектора в терминах его угла поворота против часовой стрелки с востока.Направление на север будет под углом 90 градусов, поскольку вектор, указывающий на восток, должен быть повернут на 90 градусов против часовой стрелки, чтобы указывать на север. Направление на запад будет на 180 градусов, поскольку вектор, указывающий на запад, должен быть повернут на 180 градусов против часовой стрелки, чтобы указывать на запад. Дальнейшие иллюстрации использования этого соглашения показаны на анимации ниже.
Для получения дополнительной информации о физических описаниях движения посетите The Physics Classroom Tutorial.Подробная информация доступна по следующим темам:
Векторы и направлениеСложение векторов
Компоненты вектора
Направление вектора
Эта веб-страница предназначена для обеспечения некоторой дополнительной практики с использованием масштабированных векторных диаграмм для представления величины и направления вектора. Лучше всего потратить время, если вы внимательно прочитаете каждую практическую задачу, попытаетесь решить ее, а затем проверите свой ответ.Предупреждаем, чтобы не делайте быстрых ссылок на решение, прежде чем пытаться найти решение самостоятельно. Такая привычка, скорее всего, не поможет развить способность рисовать масштабированную векторную диаграмму. Если решение этих практических проблем по-прежнему не имеет смысла, вам рекомендуется получить некоторую онлайн-помощь в Учебном пособии по физике — посетите страницу, посвященную векторному направлению.Определите величину и направление следующих векторов в вопросах №1 — №6 .Используйте условное обозначение против часовой стрелки (с востока), обсуждавшееся в классе, чтобы определить направление. Используйте указанную шкалу и преобразование шкалы, чтобы определить величину. Используйте раскрывающийся список, чтобы просмотреть ответы.
1. Учитывая МАСШТАБ : 1 см = 10 м / с , определите величину и направление этого вектора.
2. Учитывая МАСШТАБ : 1 см = 50 км / ч , определите величину и направление этого вектора.
3.Учитывая МАСШТАБ : 1 см = 10 м / с , определите величину и направление этого вектора.
4. Учитывая МАСШТАБ : 1 см = 50 км / ч , определите величину и направление этого вектора.
5. Учитывая МАСШТАБ : 1 см = 10 м / с , определите величину и направление этого вектора.
6. Учитывая МАСШТАБ : 1 см = 50 км / ч , определите величину и направление этого вектора.
Используйте точно нарисованную масштабированную векторную диаграмму, чтобы представить величину и направление следующих векторов в вопросах №7 — №12. Используйте указанную шкалу и условные обозначения против часовой стрелки, обсуждаемые в классе. Щелкните по горячей ссылке , чтобы проверить ответы.
ПРИМЕЧАНИЕ: Поскольку ваши ответы были определены с использованием масштабированной векторной диаграммы, небольшие ошибки в измерении направления и величины любого из векторов могут привести к небольшим отличиям между вашими ответами и правильными, которые показаны здесь. Это не должно быть поводом для беспокойства.
8. Учитывая МАСШТАБ : 1 см = 10 м , изобразите вектор 60 м, 150 градусов, с помощью масштабированной векторной диаграммы.
9. Учитывая МАСШТАБ : 1 см = 20 м , изобразите вектор 140 м / с, 200 градусов, с помощью масштабированной векторной диаграммы.
10. Учитывая МАСШТАБ : 1 см = 15 м / с , изобразите вектор 120 м / с, 240 градусов, с помощью масштабированной векторной диаграммы.
11. Учитывая МАСШТАБ : 1 см = 5 м / с , изобразите вектор 35 м / с, 270 градусов, с помощью масштабированной векторной диаграммы.
12. Учитывая МАСШТАБ : 1 см = 5 м / с , изобразите вектор 31 м / с, 310 градусов, с помощью масштабированной векторной диаграммы.
2.2 Векторы, скаляры и системы координат — College Physics
Рис. 2.6. Движение струи Eclipse Concept можно описать с помощью пройденного ею расстояния (скалярная величина) или ее смещения в определенном направлении (векторная величина).Чтобы указать направление движения, его перемещение должно быть описано в системе координат. В этом случае может быть удобно выбрать движение влево в качестве положительного движения (это прямое направление для плоскости), хотя во многих случаях координата xx размера 12 {x} {} проходит слева направо, с движением вправо как положительным и движением влево как отрицательным. (кредит: Armchair Aviator, Flickr)В чем разница между расстоянием и смещением? В то время как смещение определяется как направлением, так и величиной, расстояние определяется только величиной.Смещение — это пример векторной величины. Расстояние — это пример скалярной величины. Вектор — это любая величина с величиной и направлением . Другие примеры векторов включают скорость 90 км / ч на восток и силу 500 ньютонов прямо вниз.
Направление вектора в одномерном движении задается просто плюсом (+) (+) размером 12 {\ (+ \)} {} или минусом (-) (-) размером 12 {\ (- \) } {} подписать. Векторы графически представлены стрелками. Стрелка, используемая для представления вектора, имеет длину, пропорциональную величине вектора (например,g., чем больше величина, тем больше длина вектора) и указывает в том же направлении, что и вектор.
Некоторые физические величины, например расстояние, либо не имеют направления, либо не указаны. Скаляр — это любая величина, имеющая величину, но не направление. Например, температура 20ºC20ºC, 250 килокалорий (250 калорий) энергии в шоколадном батончике, ограничение скорости 90 км / ч, рост человека 1,8 м и расстояние 2,0 м — все это скаляры — количества без указания направления. .Обратите внимание, однако, что скаляр может быть отрицательным, например, температура –20–20 ° C. В этом случае знак минус указывает точку на шкале, а не направление. Скаляры никогда не изображаются стрелками.
Системы координат для одномерного движения
Чтобы описать направление векторной величины, вы должны указать систему координат в системе отсчета. Для одномерного движения это простая система координат, состоящая из одномерной координатной линии.В общем, при описании горизонтального движения движение вправо обычно считается положительным, а движение влево — отрицательным. При вертикальном движении движение вверх обычно положительное, а движение вниз — отрицательное. Однако в некоторых случаях, как, например, в случае струи на рис. 2.6, может быть удобнее переключать положительное и отрицательное направления. Например, если вы анализируете движение падающих объектов, может быть полезно определить направление вниз как положительное. Если участники забега бегут влево, полезно определить влево как положительное направление.Это не имеет значения, если система ясна и последовательна. Как только вы зададите положительное направление и начнете решать проблему, вы не сможете ее изменить.
Рисунок 2.7 Обычно удобно рассматривать движение вверх или вправо как положительное (+) (+) размер 12 {\ (+ \)} {}, а движение вниз или влево как отрицательное (-) (-).Проверьте свое понимание
Скорость человека может оставаться такой же, когда он или она поворачивает угол и меняет направление. Учитывая эту информацию, является ли скорость скалярной или векторной величиной? Объяснять.
Решение
Скорость — это скалярная величина. Он совершенно не меняется при смене направления; следовательно, он имеет только величину. Если бы это была векторная величина, она бы изменилась при изменении направления (даже если бы ее величина оставалась постоянной).
4.1 Векторы в физике Цель: Студенты будут знать, как разрешить двумерные векторы по величине и направлению вектора на их компоненты / части.
Презентация на тему: «4.1 Векторы в физике Цель: студенты будут знать, как разрешить двумерные векторы из величины и направления вектора в их компоненты / части »- стенограмма презентации:
1 4.1 Векторы в физике Цель: студенты будут знать, как разрешить двумерные векторы из величины и направления вектора в их компоненты / части и вычислить величину и направление вектора из его компонентов или частей.2-мерный вектор с x и y Компоненты / части 1-мерный вектор в положительном направлении x. y часть x часть 1 Размерный вектор в отрицательном направлении y. Обратите внимание на направление векторов компонентов !!!
2 Вектор подобен стрелке, у которой есть величина и направление.
Вектор подобен стрелке, у которой есть величина и направление. Направление определяется с помощью и Угол или может быть представлено Компонентами.D = o или D = 3 x + 4 y Векторы всегда прямые. Это означает, что векторы имеют 1 направление. Величина — это размер или длина вектора, и их можно легко представить / нарисовать с помощью линейки и миллиметровой бумаги. Направление задается либо величиной и углом, либо в форме компонента с использованием x и y для обозначения каждого субвектора / подчасти. При рисовании векторов на миллиметровой бумаге, представленных величиной и углом, необходимы транспортир и линейка. Вы рисуете и измеряете величину векторов линейкой или транспортиром? В нашем классе расстояние, время, средняя скорость были обозначены как скалярные, а смещение, скорость и ускорение — это векторы.
3 1) Для каждой из следующих величин укажите, какой это масштабатор или вектор?
a) Время пробега 1 мили. Скалярный б) Ваше смещение после пробега на 100 метров. Вектор c) Средняя скорость при пробеге по вектору 10 К. d) Скорость, считываемая на одометре во время движения в Лос-Анджелес. Скаляр 2) Ранжируйте векторы в порядке возрастания их величины! y x B C D A C
4 Вектор — это величина с величиной и направлением.
Мы сказали: «Величина — это размер или длина вектора». Как нам записать этот вектор с величиной и направлением? Величина вычисляется с использованием теоремы Пифагора путем возведения в квадрат компонентов вектора. | V | = (x2 + y2) Каково значение компонента X этого вектора, когда величина рассчитывается ниже? V = 3 270o | V | = (-3) 2 = = 9 = 3 V = -3y Аналогично | V | = | — 3 | = 3, но это сокращение для одномерного вектора.
5 Вектор — это величина с величиной и направлением.
Направление задается углом вектора или определяется, когда вектор записывается в форме компонента, а затем отображается в виде графика. Мы указываем Компоненты / Направления вектора, используя x, –x, + y, –y 90o или + y 0o (360o) или + x 270o South, или –y 180o или –x + 53o. Угол к его компонентам? D = o или D = 3 x + 4 y
6 Давайте найдем компоненты по величине и углу (направлению):
5 y = 5 sin 53o = 4 yx = 5 cos 53o = 3 x Adj = x Opp = y Компонент Vectors дает каждому вектору собственную уникальную систему координат! !! D = 3 x + 4 y Вот что делает их ОСОБЕННЫМИ, их можно перемещать, и в них все еще есть свои компоненты.
7 = (напротив / рядом) = (y / x)
Теперь давайте вернемся назад от формы компонента к величине и направлению! Таким образом, направление из приведенных выше компонентов вектора получается из определения касательного угла прямоугольного треугольника: D = 3 x + 4 y Tangent angle = tan = (напротив / рядом) = (y / x) Следовательно, угол Theta является арктангенсом или арктангенсом противоположной точки над соседней или y / x.y x 3 = tan -1 (4)) = 53o И снова величина — это квадратный корень из суммы квадратов компонентов или теоремы Пифагора: | D | = (4) 2 = = 25 = 5 D = o
8 1) Почему скорость -30 м / сек x (30 м / с) больше, чем скорость 20 м / сек x (20 м / с)?
Потому что его величина составляет 30 против 20. Возведение в квадрат -30 и извлечение квадратного корня из 900 дает 30. | V | = (0) 2 = = 30 2) Найдите компоненты по величине и углу: D = 20 <30o = 30o 20 x = 20 cos 30o = 20 3 2 x = 17.1 x y = 20 sin 30o = 20 1 2 x = 10 y D = 17,1 x + 10 y 3) И каков тангенс, обратный (10 / 17,1) y x 17,1 = tan -1 (10)) = 30o
9 Если вектор находится в 1-мерном измерении:
Мы указываем направление, используя x, –x, + y, –y. Любой вектор 1 или 2-мерный, может быть перемещен в любое место на их собственной уникальной оси !!! Они движимые лица !! –3y + 5y + 5y Там местоположение значения не имеет! Векторы дарят СВОБОДУ !!! –6x + 2x –3y + 2x Могу ли я объединить компонент x вектора A с компонентом y вектора B? НЕТ ! Могу ли я объединить компонент x вектора A с компонентом x вектора B? ДА !
10 Векторы под углами 90o север + 45o 0o восток (360o) 180o запад 270o юг
Когда векторы не выровнены по оси, направление задается как угол, отсчитываемый против часовой стрелки от оси + x.0o восток (360o) 90o север 270o юг 180o запад + 45o
11 Векторы под углами 90o север + 135o 0o восток (360o) 180o запад 270o юг
Когда векторы не выровнены по направлению оси, задается как угол, измеренный против часовой стрелки от оси + x 0o восток (360o) 90o север 270o юг 180o Запад + 135o
12 Векторы под углами 90o север + 225o 0o восток (360o) 180o запад 270o юг
Когда векторы не выровнены по направлению оси, задается как угол, измеренный против часовой стрелки от оси + x 0o восток (360o) 90o север 270o юг 180o Запад + 225o
13 Векторы под углами 90 ° северной широты 0 ° восточной долготы (360 °) 180 ° западной долготы + 315 ° 270 ° южной широты
Если векторы не выровнены по оси, задается как угол, измеренный против часовой стрелки от оси + x 0 ° восточной долготы (360 °) 90 ° северной широты 270 ° южной широты 180 ° Запад + 315o
14 Отрицательные углы 90o на север 0o на восток (360o) 180o на запад –45o + 315o
Вы можете измерять углы по часовой стрелке, но вы должны указать их как отрицательные углы.0o восток (360o) 90o север 270o юг 180o запад –45o + 315o
15 Добавление векторов Векторы можно добавлять друг к другу.
Добавлять друг к другу можно только похожие векторы. Смещение добавляет к смещению Скорость к скорости и т. Д. НЕЛЬЗЯ добавлять смещение к скорости. Однако, когда вы умножаете вектор скорости на скалярное время, он становится вектором смещения, который можно добавить к начальному вектору смещения объекта.х = х0 + vt. Когда вы умножаете вектор ускорения на скалярное время, он становится вектором скорости, который можно добавить к вектору начальной скорости объекта. v = v0 + at. Добавление некоторых векторов очень концептуально, поэтому давайте начнем с чего-то, что легко визуализировать. Добавление обычных векторов смещения.
16 1) Объект следует по пути на схеме ниже
1) Объект следует по пути на схеме ниже.В конце движения каково общее пройденное расстояние, а также величина и направление вектора смещения? -3 км Расстояние = = D = 4,72 4 км Расстояние = = 12 км 63,4o D = 5 км x км x + 4 км y = 5 км = 2 км x + 4 км y D | D | = (4) 2 = = 20 = Km y x 2 = tan -1 (4)) = 63,4o = o D
17 Есть 2 метода добавления векторов!
Метод «от кончика к хвосту». Поместив кончик одного вектора, который вы хотите добавить, на миллиметровой бумаге, к хвосту другого вектора, который нужно добавить, и нарисовав результат от хвоста 1-го вектора к голове 2-го вектора.Это легко сделать с помощью миллиметровой бумаги, линейки и транспортира. 2) Векторы можно добавлять с помощью компонентов. Добавляя компоненты x 1 вектора к компоненту x 2-го вектора, а затем добавляя компонент y 1 вектора к компоненту y 2-го вектора. Подобно добавлению одинаковых терминов в алгебре !!!
18 Метод 1 — сложение вектора кончик к хвосту
Одним из визуальных методов сложения вектора является добавление вектора кончик к хвосту.Рисуется первый вектор, устанавливая масштаб для всех последующих векторов. (Вектор 100 должен быть вдвое длиннее вектора 50 и т. Д.) Хвост следующего вектора добавляется к вершине первого вектора. Это продолжается до тех пор, пока все векторы не будут добавлены «кончик к хвосту». Затем пройдите 25 м под углом 90o Идите 50 м под углом 45o Идите 100 м под углом 0o Начните здесь
19 Результирующий Конечный результат Это называется результирующим R или векторной суммой.
Результирующий результат — это результат (сумма) сложения векторов.Результирующий — вектор, указывающий от начального до конечного. Для векторов смещения это кратчайшее прямолинейное смещение от исходного положения к конечному положению. Примечание: результат НЕ нарисован кончиком к хвосту. Final Это называется результирующим R или векторной суммой.
20 Сложение векторов Результирующий красный вектор выполняет ту же работу, что и три черных вектора, сложенных вместе. Результат математически равен сумме векторов.C B R A Очевидно, что добавление векторов — это не просто вопрос сложения их величин. 1) Этот тип сложения потребует геометрии и тригонометрии. 2) Или вы можете использовать миллиметровую бумагу, линейку и транспортир.
21 год Добавление векторов по оси
Пример: перемещение на 20 м, направление + x, за которым следует 10 м, направление –x. Объект имеет окончательное (результирующее) смещение 10 м в направлении + x. Векторы на одной оси могут быть добавлены с помощью обычного сложения и вычитания.Направление легко. или = o R или = o R + 20 м R = +10 м –10 м
22 Что делать, если они находятся на разных осях?
Пример: 20 м, + x, затем 10 м, + y. Перпендикулярные векторы ВСЕГДА могут быть добавлены с помощью теоремы Пифагора, чтобы найти результирующую величину. Триггер необходим, чтобы найти результирующее направление. R =? θ =? + 10 м 22,4 26,6 + 20 м
23 Что, если они оба под углом?
Пример: 20 м под углом 45 °, затем 10 м под углом 30 °.+ 20м 45o + 10м 30o
24 + 10m 30o + 20m 45o Нарисуйте 1-й вектор в начале координат.
На вершине первого вектора представьте новую координатную ось. Затем добавьте следующий вектор от кончика к хвосту, используя воображаемую вторую ось в качестве ориентира. Продолжайте делать это, пока не будут добавлены все векторы. + 10м 30o + 20м 45o
25 Как нам найти результат ?????
Помните, что результат — это не конец к хвосту, а от начального до конечного.+ 10м 30o + 20м 45o R =? Теперь используйте линейку для измерения величины и транспортир, чтобы найти угол результирующего вектора R.
26 год Добавить векторы на оси было легко.
Метод добавления векторов с компонентами. Добавить векторы на оси было легко. Теперь давайте конвертируем эти векторы в векторы, лежащие вдоль осей, что проще добавить? Мы будем добавлять похожие компоненты к похожим компонентам! + 10м 30o + 20м 45o
27 Разделить эти векторы на компоненты.
Всегда сначала рисовать x-компонент.Затем советуем привязать вектор y-компоненты к x-компонентам. + 10м 30o + 20м 45o
28 год Использовать косинус и синус y y x + 10m 30o + 20m 45o
x составляющая = гипотенуза (угол Cos) y составляющая = гипотенуза (sin угол) x y + 10m 30o + 20m 45o y
29 x y + 10м 30o + 20м 45o y
30 y + 10м 30o + 20м 45o 8.66 л 14,1
31 год + 10м 30o + 20м 45o год 8,66 14,1
32 + 10м 30o + 20м 45o 5,00 8,66 14,1 14,1
33 Попадают ли сложенные вместе составляющие вектора (x и y) в то же место, что и два исходных вектора? + 10м 30o + 20м 45o 14.1 8,66 5,00
34 Да, они это делают! И их можно легко сложить. 14,1 8,66 5,00
35 год Сгруппируйте компоненты x по оси x и компоненты y по оси y
14,1 8,66 5,00
36 Добавьте векторы x-компонентов, чтобы получить результат в x-направлении Rx.
Добавьте векторы y-компонентов, чтобы получить результат в направлении y Ry. 14,1 5,00 14,1 8,66
37 Теперь у вас есть два перпендикулярных вектора
22,8 19,1
38 После суммирования компонентов нарисуйте результат.
Это тот результат, который мы хотим? Проверить исходные векторы Да, это так.Он попадает в то же место, что и исходные векторы. + 20м 45o + 10м 30o R =? θ =? 22,8 19,1
39 Величина и направление результирующего
θ =? 22,8 19,1 В первом квадранте опорный угол равен углу оси x 40 градусов.
40 Математически 1. Найдите компоненты
2.Просуммируйте компоненты x и просуммируйте компоненты y. 3. Теорема Пифагора для определения величины R. 4. Обратный тангенс, чтобы найти направление R. Это вектор первого квадранта, поэтому опорный угол также является векторным углом, отсчитываемым от оси x.
41 год Результирующее направление может быть непростым
Предыдущий пример завершился результирующим направлением в 1-м квадранте. Однако, если результат находится в любом другом квадранте, вам нужно будет обратиться к рисунку Rx, Ry и R, чтобы отрегулировать окончательный угол на восток.Пример: Если Rx = –30 м и Ry = + 40 м. Формула обратного тангенса часто вычисляет опорный угол, в данном случае 53o. Если нарисовать кончик к хвосту, как показано справа, очевидно, что это опорный угол. (Сначала нарисуйте компонент x, затем нарисуйте компонент y от кончика к хвосту.) Теперь легко настроить угол, чтобы он отсчитывался от оси + x. θ = 180o — 53o = 127o + 40m — 30m R 127o 53o
42 Пример: 30 м под углом 150o, затем 50 м под углом 240o
Эскиз проблемы.50 м 30 м 150o 240o
43 год 1. Найдите компоненты 50 м 30 м 150o 240o –25,0 –43,3 +15,0 –26,0
44 год 2. Просуммируйте компоненты x и просуммируйте компоненты y.
–25,0 –43,3 +15,0 –26,0 –28,3 –51,0
45 3.Теорема Пифагора для нахождения результирующей звездной величины
–28,3 –51,0 R = 58,3 м
46 4. Обратный тангенс для определения опорного угла
Не забудьте отрегулировать угол 209o θ –28,3 –51,0 R = 58,3 м
47 209o R = 58,3 м 209o = x — 28,3 y R = 58,3 м R = 58,3 м 209o R = x — 28,3 y
48 Вот и все !!! 29o -R = 58.3 м R = 58,3 м 209o 209o R = — 51 x — 28,3 y
Подумайте и скажите мне, как бы вы вычесть 2 вектора? Свяжите это с вычитанием подобных терминов в алгебре! Что вы делаете с термином, который хотите вычесть? Когда вы вычитаете векторы, вы вычитаете компоненты. Возьмите обратный или противоположный знак каждого компонента вычитаемого вектора. Кроме того, при вычитании графика отрицательный вектор указывает в противоположном направлении. То есть умножение вектора на -1 меняет его направление на противоположное. После того, как компоненты найдены, величина и угол направления рассчитываются, как и раньше.-R = 58,3 м 29o R = 58,3 м 209o 209o R = x — 28,3 y 29o -R = x y Вот и все !!!
49 Подведите итоги в своей записной книжке / дневнике
Подведите итоги в своей записной книжке / дневнике. Напишите, как найти величину вектора, угол вектора и, и опишите, как добавить 2 вектора. Напишите формулы для вычисления величины, вычисления угла, вычисления компонентов векторов и опишите, как складывать 2 вектора !!! Домашнее задание: Проверка урока страницы и Проверка урока страницы !!! 3 2 3 2 1 2
Киберфизика: скаляры и векторы
Скалярные величины имеют только звездную величину (размер)
, но величины вектора имеют величину и направление .
Например, вес (вектор) объекта действует вниз по направлению к центру Земли, но его масса (скаляр) — это просто величина — у нее нет направления.
Силы (векторы) могут толкать в разных направлениях — но энергия (скаляр) не имеет связанного с ней направления.
Путаница часто возникает, когда мы используем скалярный термин и / или векторный термин в повседневной жизни как «взаимозаменяемые».
Скорость — это скалярная величина, а скорость — это векторная величина.
Рассмотрим следующий пример:
Игрушечной машинке на круговой трассе требуется t секунд, чтобы проехать полкруга.
Какова его средняя скорость и какова величина ее скорости?
Он движется от точки A до точки B.
Следовательно, расстояние , которое он проходит, составляет половину окружности.
Но его смещение (векторная версия расстояния) через полкруга — это диаметр окружности.
скорость = пройденное расстояние / затраченное время
= πd / (2 т )
Но
величина скорости = d / t
Вы представляете векторы стрелкой:длина стрелки представляет величину вектора r и
направление , на которое он указывает на странице, представляет направление .
Обычно вы помещаете маленькую стрелку над буквой, представляющей вектор на ваших диаграммах.
Примеры скалярных величин | Примеры векторных величин |
Масса | Масса |
Длина | Усилие |
Расстояние | Рабочий объем |
Скорость | Скорость |
Мощность | Разгон |
Энергия, работа | Тяга, сопротивление |
Температура | Импульс |
Давление в газах | Давление между твердыми частицами |
Объем | трение |
К добавить скаляры просто — вы просто складываете значения вместе, но добавление векторов немного сложнее.Вы должны принять во внимание направление.
На GCSE вам нужно будет только добавить коллинеарных векторов (те, которые находятся на прямой линии).
Векторы, тянущиеся в противоположном направлении, просто нейтрализуют влияние друг друга.
На уровне A немного сложнее.
Вам нужно бороться с векторами, указывающими во всех направлениях!
При рисовании векторов вы должны быть осторожны, чтобы рисовать их очень аккуратно.
Используйте острый карандаш
Используйте линейку
Используйте транспортир.
Всегда наносите на шкалу , которую вы используете, на бумаге — например, напишите 1 см 10 Н. (Не забудьте, что 1 см = 10 Н — длина не может равняться силе на изображении единицы!)
Выберите большой масштаб насколько это возможно — это сделает ваш ответ более точным — Если вы можете измерить линию с точностью до миллиметра — тогда линия длиной 1 см будет иметь допуск 10%, а длина линии 10 см будет иметь отклонение. 1% допуск
Экзаменаторы обычно рисуют для вас диаграмму и добавляют углы, чтобы вы могли проводить расчеты, но если вектор просто записывается как 20N при 35 o , вам нужно понимать, что под этим подразумевается….
Измерение угла вектора
| Угол вектора всегда отсчитывается от горизонтали в направлении против часовой стрелки | ||
Чтобы добавить векторы, указывающие в разных направлениях, вам необходимо разбить их на горизонтальные и вертикальные компоненты.
Затем их можно легко сложить вместе, чтобы получить вертикальные и горизонтальные компоненты результирующего вектора.
Простое использование теоремы Пифагора затем дает вам величину вектора — и немного триггера дает вам угол.
Это действительно просто!
Сначала нарисуйте векторную линию на своей странице Затем превратите этот вектор в прямоугольный треугольник (как показано на схеме), нарисовав два вектора, которые могли бы его заменить — один горизонтальный и один вертикальный. | |
Затем вам нужно вычислить значение горизонтальной и вертикальной составляющих с помощью тригонометрии . Вектор A — гипотенуза треугольника. Вертикальный компонент . — это «противоположная» сторона треугольника (напротив угла). Горизонтальная составляющая — это «прилегающая» сторона треугольника — она примыкает к углу. | Следовательно, синус угла — это вертикальная составляющая, деленная на вектор, а косинус угла — это горизонтальная составляющая, деленная на вектор: Вертикальный компонент = A sin θ аналогично Горизонтальная составляющая = A cos θ |
Вы делаете это с каждым из векторов, которые нужно сложить вместе. Затем вы складываете все вертикальные компоненты и все горизонтальные Это дает вам треугольник, который представляет вектор R (результирующий вектор). | |
Затем вы можете использовать Теорема Пифагора , чтобы найти величину результирующего вектора, и тригонометрию, чтобы найти угол вектора. |
Чтобы вычесть вектор, просто измените его направление — затем добавьте его!
Умножение векторов на скалярыЭто влияет только на величину.
Умножение векторов на векторы (перекрестное и точечное произведения)Это может повлиять на величину и / или направление — это не требуется для уровня A по физике — вы сделаете это в университете.
Практика
Вы можете попрактиковаться в разделении векторов на их компоненты, используя мою интерактивную электронную таблицу XL.
Попробуйте! Просто составьте вектор (скажем, 64N под углом 23 градуса к горизонтали), а затем с помощью калькулятора вычислите его горизонтальную и вертикальную составляющие.
Электронная таблица сообщит вам, правильно ли вы сделали это.
Введите значения в таблицу, и он разработает для вас компоненты. Это полезный инструмент, который можно использовать, когда вам нужна дополнительная практика.
У разрешения векторов на наклонной плоскости есть своя страница!
Вот ссылка на мою страницу о трех копланарных силах в равновесии …. и вот интерактивный апплет …
векторов и скаляров — Педагог.com Blog
В физике мы встретимся с двумя очень распространенными типами величин: векторами и скалярами.
Скаляры- Определение скаляра
Скаляры — это величины, которые имеют только величину. Скаляры можно складывать и вычитать как обычные числа.
- Примеры:
Такие величины, как масса, температура, объем; заряд, время и т. д. — все это скалярные величины. Их величин достаточно, чтобы их определить.
* время не является векторной величиной.Он не может двигаться в разных направлениях, например, влево, вправо, вверх, вниз и т. Д.
ВекторыВекторы — это величины, которые имеют величину и направление. Оба эти качества вместе определяют вектор.
Примеры векторных величин: смещение, скорость, ускорение, сила, электрическое поле, магнитное поле и т. Д.
- векторные величины обычно обозначаются верхней стрелкой (сила =) или жирными буквами (сила = ) F )
[В этой статье мы будем обозначать векторы жирной буквой.]
Графически векторы представлены стрелками. Относительная длина стрелок обычно обозначает величину векторной величины, в то время как направление, в котором указывает стрелка, дает направление вектора.
Мы должны помнить, что расстояние — это скалярная величина, а смещение — это векторная величина.
Как так? В конце статьи есть пример, поясняющий это понятие.
Графическое представление- Представление стрелками
Как упоминалось ранее, длина стрелки представляет силу вектора, а направление, в котором указывает острие стрелки, определяет направление вектора .
Векторы, указывающие на плоскость бумаги, обычно представлены крестиком, а векторы, указывающие из плоскости бумаги, обычно обозначаются точкой.
- Теперь предположим, что у нас есть два вектора, представленные стрелками a (указывающими на север) и B (указывающими на запад). Если мы немного сдвинем эти стрелки, не меняя их направления или длины, мы увидим, что в их новом положении стрелки по-прежнему указывают в том же направлении (A-север и B-запад) и имеют одинаковую длину. Таким образом, представленные ими векторы также имеют одинаковое направление и величину.
Итак, мы видим, что можем перемещаться по векторам, если не меняем их длину (величину) или направление.
Сложение графического вектораЕсли нам нужно сложить вектор V1 и вектор V2 , нам просто нужно выровнять хвост вектора V2 к голове вектора V1 . Поскольку нам разрешено перемещать или сдвигать векторы (при условии, что мы не меняем длину или направление вектора), это очень простая задача.Затем, если мы нарисуем результирующую стрелку, начинающуюся с хвоста V1 и заканчивающуюся в начале V2, , эта результирующая векторная стрелка (фиолетового цвета) представляет векторную сумму V1 + V2.
Закон параллелограмма прекрасно демонстрирует сложение векторов.
Теперь, скажем, как на рисунке, у нас есть два вектора: a (синяя стрелка) и b (красная стрелка). Мы можем сложить их, как мы обсуждали выше, выровняв хвост b с головой a , и результирующий вектор a + b будет вектором, обозначенным фиолетовой стрелкой.
Теперь, что, если мы пойдем другим путем и поместим хвост a в голову b ?
В итоге мы получим тот же результирующий вектор!
Это также прекрасно демонстрирует, что a + b = b + a , т.е. векторное сложение коммутативно.
Мы также видим, что диаграмма, нарисованная в процессе с вектором a и b , является параллелограммом. Итак, если нам нужно сложить a и b , мы можем просто нарисовать их, начиная с одной и той же точки (скажем, точки ‘O’), и с этими двумя векторами в качестве двух смежных сторон, если мы нарисуем полный параллелограмм, тогда диагональ от точки «О» до противоположного угла — результирующий вектор.Это закон параллелограмма.
Графическое вычитание- Отрицательный вектор
Отрицательный вектор — это просто вектор той же величины в противоположном направлении. Таким образом, графически нам просто нужно повернуть стрелку на 180 градусов.
Итак, теперь, если нужно вычесть b из a вместо того, чтобы записывать его как a — b , мы записываем его как a + (- b ) и добавляем отрицательное значение вектора b к a .
Итак, a — b = a + (- b ) = c
Компоненты вектора- Допустим, у нас есть вектор In a xy co -координатной плоскости, мы можем выразить V как сумму Vx (вектор по оси x) и Vy (вектор по оси y).
Когда мы это делаем, векторы Vx и Vy известны как компоненты V вдоль оси x и оси y соответственно.
Это упрощает работу с векторами.
Как определить компоненты?
Как мы видим, компонент x вектора расположен вдоль оси x, а компонент y — вдоль оси y. Итак, направление у нас уже есть. Теперь мы видим, что векторы V , Vx и Vy образуют прямоугольный треугольник, а угол между V и Vx равен?.
Используя базовую тригонометрию, мы видим, что Vx / V = cos?
Итак, Vx = V cos?
Аналогично Vy = V sin?
Если мы знаем компоненты векторов, мы можем просто сложить компоненты и узнать результирующие векторы вместо того, чтобы рисовать два вектора и вычислять их.
EX: скажем, у нас есть вектор A с компонентами Ax и Ay с длинными осями x и y. Вектор B с компонентами Bx и By по осям x и y. Мы замечаем, что компоненты результирующего вектора имеют компонент оси x, равный Ax + Bx, и компонент оси y, равный Ay + By.
Итак, если результирующий вектор R с компонентами Rx и Ry.
Тогда Rx = Ax + Bx
и Ry = Ay + By
Угол вектора
Теперь, если нам даны компоненты вектора, вычисление угла с помощью обратных тригонометрических функций будет очень просто.
Мы знаем, что Vx = V cos?
Итак? = cos -1 (Vx / V)
Аналогично? = sin -1 (Vy / V)
и? = tan -1 (Vy / Vx)
Векторное обозначение- Векторы могут быть выражены разными способами. Мы уже видели, как выразить их графически, используя стрелки в двух измерениях.
Мы также говорим, как это можно выразить как сумму компонентов осей x и y.
- Мы можем расширить это до 3D.Тогда векторы будут иметь компоненты по осям x, y и z
Это можно выразить в математической записи как i, j, k. В =
- Или мы можем ввести единичные векторы, называемые i, j, k, которые являются единичными векторами вдоль осей x, y и z.
Тогда векторы можно выразить как V = Vxi + Vyj + Vzk
- Затем, как объяснялось ранее для двумерных векторов, мы можем просто складывать векторы, добавляя их соответствующие компоненты.
Итак, если мы хотим сложить два вектора P и Q , где P = <2, 4, 6> и Q = <4, 5, 6>. Мы просто добавляем их компоненты. P + Q = <2 + 4, 4 + 5, 6 + 6> = <6, 9, 12>.
Итак, результирующий вектор R = <6, 9, 12>
Теперь давайте посмотрим на несколько примеров:
- Допустим, женщина идет 3 метра на восток и 4 метра на север. Какое расстояние пройдено и каково ее перемещение?
Ответ: Как мы видим, пройденное расстояние составляет 3 м + 4 м = 7 м.Расстояние — это скалярная величина, которая складывается как обычные числа.
С другой стороны, смещение является векторным. Это чистое движение между начальной и конечной точкой. Зеленая стрелка представляет чистое смещение как вектор.
Если применить теорему Пифагора, то длина зеленой стрелки составляет
Таким образом, смещение составляет 5 м в сторону северо-востока.
[box type = ”success” align = ”” class = ”” width = ””] Для получения дополнительных примеров ознакомьтесь с некоторыми уроками нашего курса AP Physics 1 & 2 .Мы рассматриваем такие темы, как векторов и скаляров . [/ Box]
Vector Tutorial | Физика
В этом уроке мы рассмотрим некоторые элементарные идеи, касающиеся векторов. Причина этого введения в векторы заключается в том, что многие понятия в науке, например, смещение, скорость, сила, ускорение, имеют размер или величину, но также они связывают с ними идею направления. И, очевидно, удобнее представлять обе величины одним символом.Это вектор .
Графически вектор представлен стрелкой, определяющей направление, а длина стрелки определяет величину вектора. Это показано на панели 1. Если мы обозначим один конец стрелки точкой начала координат \ (O \), а конец стрелки — \ (Q. \), тогда вектор может быть представлен алгебраически как \ (OQ. \)
Панель 1Вектор \ (OQ \)
Часто его упрощают до \ (\ vec Q \) или \ (\ bar Q \). Линия и стрелка над \ (Q \) указывают на то, что символ представляет вектор.Другие обозначения выделены жирным шрифтом как: \ (Q. \)
.Обратите внимание, что поскольку направление подразумевается, \ (OQ \ neq QO \). Несмотря на то, что их длина идентична, их направления прямо противоположны, фактически \ (OQ = -QO \).
Величина вектора обозначается знаками абсолютного значения вокруг символа вектора: величина \ (Q = | Q | \).
Операции сложения, вычитания и умножения в обычной алгебре могут быть расширены до векторов с некоторыми новыми определениями и несколькими новыми правилами.Есть два основных определения.
Два вектора, \ (A \) и \ (B \) равны, если они имеют одинаковую величину и направление, независимо от того, имеют ли они одинаковые начальные точки, как показано на панели 2.
Панель 22 вектора A, B, в этом примере \ (A = B \)
Вектор, имеющий ту же величину, что и \ (A \), но в направлении, противоположном A, обозначается \ (- A \), как показано на панели 3.
Панель 3Теперь мы можем определить сложение векторов. Сумма двух векторов \ (A \) и \ (B, \) представляет собой вектор \ (C, \), который получается помещением начальной точки \ (B \) в конечную точку \ (A, \), а затем проведите линию от начальной точки \ (A \) до конечной точки \ (B, \), как показано на панели 4.Это иногда называют методом «кончик к хвосту».
Панель 4Описанная здесь операция сложения векторов может быть записана как \ (C = A + B \)
Вычитание вектора определяется следующим образом. Разность двух векторов \ (A — B \) — это вектор \ (C \), то есть \ (C = A — B \) или \ (C = A + (-B) \). Таким образом, вектор вычитание можно представить как сложение векторов.
Графическое представление показано на Панели 5. Проверка графического представления показывает, что мы помещаем начальную точку вектора \ (- B \) в конечную точку вектора \ (A \), а затем проводим линию от начальная точка \ (A \) до конечной точки \ (- B \), чтобы дать разность \ (C \).
Панель 5Любая величина, имеющая величину, но не связанную с направлением, называется «скаляром ». Например, скорость, масса и температура.
Произведение скаляра, скажем, \ (m \), умноженное на вектор \ (A \) , является другим вектором, \ (B \) , где \ (B \) имеет то же направление, что и \ (A \) , но величина изменилась, то есть \ (| B | = m | A | \).
Многие законы обычной алгебры справедливы и для векторной алгебры.Эти законы:
Коммутативный закон для сложения: \ (A + B = B + A \)
Ассоциативный закон сложения: \ (A + (B + C) = (A + B) + C \)
Панель 6: Проверка ассоциативного закона Если мы сложим \ (A \) и \ (B \), мы получим вектор \ (E \). И аналогично, если \ (B \) добавить к \ (C \), мы получим \ (F \).
Теперь \ (D = E + C = A + F \). Заменив \ (E \) на \ ((A + B) \) и \ (F \) на \ ((B + C) \), мы получим
\ ((A + B) + C = A + (B + C) \) и мы видим, что закон проверяется.
Остановитесь сейчас и убедитесь, что вы следуете приведенному выше доказательству.
Коммутативный закон для умножения: \ (мА = Am \)
Ассоциативный закон умножения: \ ((m + n) A = mA + nA \), где m и n — два разных скаляра.
Распределительный закон: \ (m (A + B) = mA + mB \)
Эти законы позволяют манипулировать векторными величинами почти так же, как обычные алгебраические уравнения.
Векторы могут быть связаны с основными системами координат, которые мы используем, введя то, что мы называем « единичных векторов ».«
Единичный вектор — это вектор, который имеет величину \ (1 \) и часто обозначается помещением шляпы (или циркумфлекса) поверх символа вектора, например, единичный вектор = \ (\ hat a \), \ ( | \ hat a | = 1 \). Величина \ (\ hat a \) читается как «шляпа» или «единица».
Давайте рассмотрим двумерную (или \ (x, y \)) декартову систему координат, как показано на панели 7.
Панель 7Декартова система координат
Мы можем определить единичный вектор в направлении x как \ (\ hat x \) или иногда его обозначают как \ (\ hat i \).Аналогично в направлении y мы используем \ (\ hat y \) или иногда \ (\ hat j \). Любой двумерный вектор теперь может быть представлен с использованием кратных единичных векторов, \ (\ hat x \) и \ (\ hat y \), как показано на панели 8.
Панель 8Пример двумерного вектора
Вектор A может быть представлен алгебраически как \ (A = A_x + A_y \). Где \ (A_x \) и \ (A_y \) — векторы в направлениях \ (x \) и \ (y \). Если \ (A_x \) и \ (A_y \) — величины \ (A_x \) и \ (A_y \), то \ (A_x \ hat X \) и \ (A_y \ hat y \) — компоненты вектора A в направлениях x и y соответственно.
Фактическая операция, подразумеваемая этим, показана на Панели 9.
Помните, что \ (\ hat x \) (или \ (\ hat i \)) и \ (\ hat y \) (или \ (\ hat j \)) имеют величину \ (1 \), поэтому они не изменяют длину вектора, они только задают ему направление.
Панель 9\ (A = A_x + A_y \)
Разбиение вектора на составные части известно как , разрешающее вектора. Обратите внимание, что представление \ (A \) его компонентами, \ (A_x \ hat x \) и \ (A_y \ hat y \) не уникально.В зависимости от ориентации системы координат относительно рассматриваемого вектора возможно наличие более одного набора компонентов.
Возможно, это легче понять, посмотрев на пример.
Рассмотрим объект массы \ (M \), расположенный на гладкой наклонной плоскости, как показано на панели 10. Гравитационная сила, действующая на объект, равна \ (F = mg \), где g — ускорение свободного падения.
Панель 10\ (F = mg \)
В системе координат без штриховки вектор \ (F \) может быть записан как \ (F = -F_y \ hat y \), но в системе координат со штрихом \ (F = -F_ {x ‘^ \ hat {x’}} + F_ {y ‘^ \ hat {y’}} \).3} — \ sqrt {9 + 16} = \ sqrt {25} = 5 \)
Разрешение вектора на его компоненты может использоваться при сложении и вычитании векторов.
Чтобы проиллюстрировать это, давайте рассмотрим пример, какова сумма следующих трех векторов?
\ (A = A_x \ шляпа x + A_y \ шляпа y \)
\ (B = B_x \ hat x + B_y \ hat y \)
\ (C = C_x \ hat x + C_y \ hat y \)
Разложив каждый из этих трех векторов на их компоненты, мы видим, что результатом является Панель 11.
\ (D_x = A_x + B_x + C_x \)
\ (D_y = A_y + B_y + C_y \)
Панель 11Теперь вы должны использовать это моделирование, чтобы изучить очень важную тему алгебраического сложения векторов. Используйте кнопку «НАЗАД», чтобы вернуться к этой точке.
Очень часто в векторных задачах вы знаете длину, то есть величину вектора, а также направление вектора. Из них вам нужно будет вычислить декартовы компоненты, то есть компоненты \ (x \) и \ (y \).
Ситуация проиллюстрирована на панели 12. Предположим, что даны величина \ (A \) и угол \ (\ theta \); мы хотим знать, что такое \ (A_x \) и \ (A_y \)?
Панель 12Из элементарной тригонометрии мы имеем, что \ (\ cos \ theta = A_x / | A | \), следовательно, \ (A_x = | A | \ cos \ theta \), и аналогично \ (A_y = | A | \ cos (90 — \ theta) = | A | \ sin \ theta \).
До сих пор мы обсуждали векторы в терминах декартовой системы координат, то есть системы координат \ (x-y \).Любой из векторов, используемых в этой системе отсчета, был направлен вдоль или относился к осям координат. Однако есть еще одна система координат, с которой очень часто сталкиваются, и это Полярная система координат .
Панель 13: В полярных координатах указывается длина линии и ее ориентация относительно некоторой фиксированной линии. Положение точки определяется расстоянием от начала координат, то есть r, а положение линии находится под некоторым углом q от фиксированной линии, как показано.Величины r и q известны как полярных координат точки.Можно определить фундаментальные единичные векторы в системе полярных координат почти так же, как и для декартовых координат. Мы требуем, чтобы единичные векторы были перпендикулярны друг другу, и чтобы один единичный вектор был в направлении увеличения r, а другой — в направлении увеличения \ (\ theta \).
Панель 14На панели 14 мы нарисовали эти два единичных вектора с помощью символов \ (\ hat r \) и \ (\ hat \ theta \).Ясно, что должна быть связь между этими единичными векторами и векторами декартовой системы.
Эти отношения приведены на Панели 15.
Панель 15\ (\ hat r = \ cos \ theta \ hat x + \ sin \ theta \ hat y \)
\ (\ hat \ theta = — \ sin \ hat x + \ cos \ theta \ hat y \)
Умножение двух векторов не определено однозначно в том смысле, что возникает вопрос, будет ли произведение вектором или нет. По этой причине существует два типа умножения векторов.
Во-первых, скаляр или скалярное произведение двух векторов, что приводит к скаляру.
И, во-вторых, вектор или — произведение двух векторов, которое дает вектор.
В этом руководстве мы обсудим только скалярное произведение или скалярное произведение.
\ (A \ cdot B = | A | | B ‘| \ cos \ theta \)Панель 16: Скалярное произведение двух векторов, A и B, обозначенных A · B, определяется как произведение величин векторов, умноженных на косинус угла между ними.
Обратите внимание, что результатом скалярного произведения является скаляр, а не вектор.
Правила для скалярных произведений приведены в следующем списке;
(1) \ (\ overrightarrow A \ cdot \ overrightarrow B = \ overrightarrow B \ cdot \ overrightarrow A \)
(2) \ (\ overrightarrow A \ cdot (\ overrightarrow B + \ overrightarrow C) = \ overrightarrow A \ cdot \ overrightarrow B + \ overrightarrow A \ cdot \ overrightarrow C \)
(3) \ (m (\ overrightarrow A \ cdot \ overrightarrow B) = (m \ overrightarrow A) \ cdot \ overrightarrow B \)
\ (= \ overrightarrow A \ cdot (m \ overrightarrow B) \)
\ (= (\ overrightarrow A \ cdot \ overrightarrow B) m \)
И, в частности, у нас есть \ (\ hat x \ cdot \ hat x = \ hat y \ cdot \ hat y = 1 \), поскольку угол между вектором и самим собой равен \ (0 \), а косинус \ ( 0 \) равно \ (1.\ circ \) равно \ (0. \)
В общем случае, если \ (A · B = 0 \) и ни величина \ (A \), ни \ (B \) не равна \ (0, \), то \ (A \) и \ (B \) должен быть перпендикулярным.
Определение скалярного произведения, данное ранее, требовало знания величины \ (A \) и \ (B \), а также угла между двумя векторами. Если нам даны векторы в декартовом представлении, то есть в терминах \ (\ hat x \) и \ (\ hat y \), мы можем использовать эту информацию для вычисления скалярного произведения без необходимости определить угол между векторами.
Если,
\ (\ overrightarrow A = A_x \ hat x + A_y \ hat y \),
\ (\ overrightarrow B = B_x \ hat x + B_y \ hat y \)
, затем
\ (\ overrightarrow A \ cdot \ overrightarrow B = (A_x \ hat x + A_y \ hat y) \ cdot (B_x \ hat x + B_y \ hat y) \)
\ (= A_x \ hat x \ cdot (B_x \ hat x + B_y \ hat y) + A_y \ hat y \ cdot (B_x \ hat x + B_y \ hat y) \)
\ (= A_xB_x + A_y B_y \)
Поскольку задействованы другие термины, \ (\ hat x \ cdot \ hat y = 0 \), как мы видели ранее.
