Элементы векторного исчисления

Лаптев Г. Ф. Элементы векторного исчисления. М., 1975 г. — 336 с. Книга представляет собой учебное руководство для студентов втузов. В пен содержится предусмотренный учебными программами материал но векторной алгебре, дифференциальной геометрии и теории поля. Изложение построено с учетом потребностей технических дисциплин, в которых используется векторное исчисление. Книга написана просто и ясно; это делает ее доступной пониманию студентов первого курса, впервые приступающих к изучению высшей математики. Книга окажется полезной и в условиях заочного обучения. Оглавление ВВЕДЕНИЕ ЧАСТЬ ПЕРВАЯ. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Глава I. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ 2. Скаляры и векторы. 3. Равенство векторов. 4. Скользящие и приложенные векторные величины. 5. Модуль вектора. 6. Орт вектора. 7. Угол между двумя векторами. § 2. Сложение векторов 1. Сложение двух векторов. 2. Сложение более чем двух векторов. 3. Модуль суммы. 4. Законы сложения. § 3. Вычитание векторов § 4. Умножение и деление вектора на скаляр 2. Законы умножения вектора на скаляр. 3. Деление вектора на скаляр. 4. Выражение вектора через его модуль и орт. § 5. Линейные зависимости между векторами 2. Коллинеарные векторы. 3. Компланарные векторы. 4. Разложение вектора по трем некомпланарным векторам. 5. Метод координат. Глава II. ТЕОРИЯ ПРОЕКЦИЙ. ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ § 1. Проекции векторов на ось § 2. Основные теоремы о скалярных проекциях § 3. Прямоугольная система координат в пространстве 1. Правая и левая прямоугольные системы координат. 2. Разложение вектора по ортам осей 3. Линейные операции над векторами в координатной форме. 4. Радиус-вектор и координаты точки. 5. Определение вектора по его началу и концу. 6. Деление отрезка в данном отношении. Глава III. ПРОИЗВЕДЕНИЯ ДВУХ ВЕКТОРОВ § 1. Скалярное произведение двух векторов 2. Работа силы. 3. Определение. 4. Равенство скалярного произведения нулю. 5. Законы скалярного умножения. 7. Скалярные произведения координатных ортов. 8. Скалярное произведение в координатной форме. 9. Неопределенность действия, обратного скалярному умножению. § 2. Векторное произведение двух векторов 3. Условия равенства нулю векторного произведения. 4. Законы векторного умножения. 5. Векторные произведения координатных ортов. 6. Определители. 7. Векторное произведение в координатной форме. 8. Неопределенность действия, обратного векторному умножению. Глава IV. ПРОИЗВЕДЕНИЯ ТРЕХ ВЕКТОРОВ § 1. Простейшее произведение трех векторов § 2. Векторно-векторное произведение трех векторов 3. Правило разложения векторно-векторного произведения. § 3. Векторно-скалярное произведение трех векторов 2. Законы векторно-скалярного умножения 3. Обращение в нуль векторно-скалярного произведения трех векторов. 4. Векторно-скалярное произведение в координатной форме. § 4. Выражение векторно-скалярного произведения через скалярные произведения Глава V. ФУНКЦИИ ВЕКТОРОВ § 1. Произведения четырех векторов 2. Выражение скалярного произведения двух векторных произведений (а x b), (р x q) через скалярные произведения. 3. Разложение вектора (а, b, с) R по трем векторам a, b, c. 4. Разложение вектора (a, b, c) по векторным произведениям b x с, c x a, а x b § 2. Произведения пяти и шести векторов 2. Разложение вектора (a, b, c) (m x n) по векторам a, b, c. 3. Выражение произведения двух смешанных произведений (a, b, c) (l, m, n) через скалярные произведения. § 3. Основные теоремы о функциях векторов 1. Рациональные функции векторов. 2. Элементарные функции векторов. 3. Произвольные скалярные функции от векторов. 4. Произвольные векторные функции векторов. Глава VI. ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ § 2. Основные задачи, связанные со скалярным умножением векторов § 3. Основные задачи, связанные с векторным умножением векторов § 4. Основные задачи, связанные с произведениями трех и более векторов § 5. Простейшие векторные уравнения § 6. Геометрические инварианты фигур 2. Треугольник. 3. Полные системы инвариантов треугольника. 4. Тетраэдр. 5. Полные системы инвариантов тетраэдра. 6. Гексаэдр с треугольными гранями. ЧАСТЬ ВТОРАЯ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ § 1. Векторы, зависящие от скаляра 2. Вектор-функция в координатной форме. 3. Годограф вектора. 4. Предел вектора. § 2. Дифференцирование вектора по скаляру 2. Геометрический смысл производной вектора по скаляру. 3. Механический смысл производной. 5. Дифференциал вектора. 6. Инвариантность дифференциала. 7. Связь дифференциала вектора с его приращением. § 3. Формула Тейлора Глава VIII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ЛИНИИ В ПРОСТРАНСТВЕ § 1. Основные дифференциально-геометрические понятия, связанные с линией 2. Касательная. 3. Соприкасающаяся плоскость. 4. Главная нормаль и бинормаль. 5. Кривизна. 6. Кручение. 7. Длина дуги. § 2. Основные формулы дифференциальной геометрии линий в пространстве 1. Дуга как параметр. Дифференциал дуги. 2. Орт касательной. Первая основная формула. 3. Инвариантность геометрических понятий. 4. Главная нормаль и кривизна. Вторая основная формула. 5. Бинормаль и кручение. Третья основная формула. 6. Винтовая линия. § 3. Сопровождающий трехгранник 2. Система дифференциальных уравнений движения сопровождающего трехгранника. 3. Расположение линии относительно сопровождающего трехгранника. 4. Линии без кривизны. 5. Линии без кручения. § 4. Инвариантные формулы Глава IX. ПЛОСКИЕ ЛИНИИ § 1. Дифференциальные уравнения плоской линии § 2. Кривизна плоской линии § 3. Круг кривизны § 4. Эволюта § 5. Эвольвента Глава X. ПРИЛОЖЕНИЯ К МЕХАНИКЕ § 1. Скорость и ускорение точки § 2. Движение твердого тела вокруг неподвижной точки 2. Формула Эйлера. 3. Угловая скорость. 4. Доказательстве существования угловой скорости твердого тела. § 3. Относительная производная вектора 2. Абсолютная и относительная производные вектора. 3. Общий случай движения твердого тела. Глава XI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТИ § 1. Векторные функции нескольких скалярных аргументов § 2. Параметризованная поверхность 2. Поверхность в декартовых координатах. 3. Параметрическая сеть. 4. Линия на параметризованной поверхности. § 3. Касательная плоскость и нормаль 3. Нормальный вектор. 4. Преобразование параметров. § 4. Площадь области на поверхности 2. Площадь области на поверхности. 3. Формула для вычисления площади поверхности, заданной уравнением z=z(x,y). 4. Элемент площади поверхности. 5. Векторный элемент площади поверхности. § 5. Первая квадратичная форма поверхности 2. Внутренняя геометрия поверхности. 3. Длина дуги линии на поверхности. 4. Угол между линиями на поверхности. 5. Площадь области на поверхности. § 6. Вторая квадратичная форма поверхности 2. Нормальная кривизна линии на поверхности. 3. Теорема Менье. § 7. Главные направления и главные кривизны поверхности 2. Главные направления на поверхности. 3. Перпендикулярность главных направлений. 4. Формула Эйлера. 5. Полная и средняя кривизны поверхности. ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. ТЕОРИЯ ПОЛЯ § 1. Функция поля. Поверхности уровня § 2. Градиент поля 2. Первая теорема о градиенте. § 3. Производная по направлению 2. Выражение производной по направлению через градиент. 3. Вторая теорема о градиенте. § 4. Направляющие косинусы нормали поверхности Глава XIII. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ И ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛЫ § 1. Криволинейный интеграл как определенный интеграл от сложной функции 2. Криволинейный интеграл от линейной формы по произвольной кривой. 3. Основные свойства криволинейного интеграла. 4. Обобщенный криволинейный интеграл. 5. Примеры. § 2. Криволинейный интеграл как предел криволипейной интегральной суммы § 3. Поверхностный интеграл как двойной интеграл от сложной функции 2. Определение простейшего поверхностного интеграла. 3. Поверхностный интеграл от билинейной формы по произвольной поверхности. § 4. Поверхностный интеграл как предел поверхностной интегральной суммы § 5. Поверхностный интеграл в параметрической форме 2. Параметрический поверхностный интеграл. 3. Поверхностный интеграл как предел суммы. § 6. Кратный интеграл как предел обобщенной интегральной суммы 2. Обобщение основной теоремы о кратном интеграле. Глава XIV. ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ И ЕГО ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ИНВАРИАНТЫ § 1. Векторное поле § 2. Векторные линии § 3. Циркуляция поля вдоль линии § 4. Поток поля через поверхность Глава XV. ТЕОРЕМА ОСТРОГРАДСКОГО. ДИВЕРГЕНЦИЯ ПОЛЯ § 1. Формула Остроградского § 2. Дивергенция поля 2. Дивергенция как предел отношения. 3. Гидромеханический смысл дивергенции. 4. Теорема Остроградского. Глава XVI. ТЕОРЕМА СТОКСА. РОТАЦИЯ ПОЛЯ § 1. Формула Стокса § 2. Ротация поля § 3. Оператор Гамильтона Глава XVII. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ § 1. Потенциальное поле 3. Циркуляция потенциального поля по замкнутому контуру. 4. Циркуляция потенциального поля между двумя точками. 5. Потенциал. 6. Элемент циркуляции. 7. Характеристические признаки потенциального поля. 8. Вычисление потенциала. 9. Центральное поле. 10. Вихревые шнуры. § 2. Соленоидальное поле 3. Поток соленоидального поля через замкнутую поверхность. 4. Трубчатое строение соленоидального поля. 5. Векторный потенциал. 6. Характеристические признаки соленоидального поля. 7. Источники и стоки. § 3. Потенциальное несжимаемое поле Глава XVIII. ПРОСТЕЙШИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ § 1. Электростатическое поле точечного заряда 2. Дивергенция поля точечного заряда. 3. Поток поля точечного заряда через замкнутую поверхность. 4. Ротация поля точечного заряда. 5. Потенциал поля точечного заряда. § 2. Электростатическое поле системы точечных зарядов 2. Дивергенция и ротация поля системы точечных зарядов. 3. Поток поля системы точечных зарядов через замкнутую поверхность. 4. Потенциал поля системы точечных зарядов. 5. Непрерывно распределенный заряд. § 3. Магнитное поле тока 2. Напряженность магнитного поля тока, текущего по бесконечному прямолинейному проводу. 3. Векторные линии поля H. 4. Потенциал поля Н. 5. Провод как вихревой шнур. Глава XIX. ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ § 1. Криволинейные координаты 3. Координатные поверхности и линии. 4. Линейный элемент. 5. Элемент объема. 6. Подвижной репер. 7. Векторное поле в криволиненных координатах. § 2. Дифференциальные операции в криволинейных координатах 2. Дивергенция в криволинейных координатах. 3. Ротация в криволинейных координатах. § 3. Ортогональные координаты § 4. Цилиндрические координаты 2. Линейный элемент и элемент объема в цилиндрических координатах. 3. Дифференциальные операции в цилиндрических координатах. § 5. Сферические координаты

Свойства скалярного произведения векторов

Скалярное произведение двух векторов.

В физике работа А постоянной силы F при прямолинейном движении материальной точки из положения В в положение С (рис. 52) вычисляется по формуле

Эта формула вектору силы F и вектору перемещения ВС ставит в соответствие скалярную величину — работу. Величину А называют скалярным произведением векторов F и \(\overrightarrow{BC}\). Скалярное произведение может быть определено для любых двух векторов. Оно широко используется в физике и в математике.

Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Если из двух векторов хотя бы один нулевой, то скалярное произведение этих векторов принимается равным нулю.

Скалярное произведение векторов а и b обозначается а • b. Итак, по определению

а • b = | а | • | b | cos\(\widehat{(a; b)}\). (1)

Если а = b, то скалярное произведение принимает вид а • a и называется скалярным квадратом вектора а и обозначается символом a². Очевидно, что a² = а • a = |а|².

Как известно, проекция вектора b на ось, направление которой совпадает с направлением вектора а, выражается формулой

пр_ab = | b | cos\(\widehat{(a; b)}\). (2)

Используя формулы (1) и (2), можно записать

а • b = | а | np_ab. (3)

Таким образом, скалярное произведение двух векторов равно произведению длины одного из них и проекции второго вектора на направление первого.

Аналогично получается формула а • b = | b | np_ba.

Задача 1. Известно, что | а | = 2, | b | = ¹/₃ , \(\widehat{(a; b)}\) = 150°. Найти а • b .

По формуле (1) находим

а • b = | а | • | b | cos\(\widehat{(a; b)}\) = 2 • ¹/₃ • 150°

Задача 2. Найти всевозможные скалярные произведения базисных векторов i и j прямоугольной декартовой системы координат на плоскости.

По определению скалярного произведения

i • j = | i | • | j | cos 90° = 1 • 1 • 0 = 0,

i² = i • i = | i | • | i | cos 0° = 1 • 1 • 1 = 1.

Аналогично j • i = 0, j² = 1.

Задача 3. Какой знак имеет скалярное произведение векторов а и b, если
90° < \(\widehat{(a; b)}\) < 180°?

Так как в формуле а • b = | а | • | b | cos \(\widehat{(a; b)}\) числа | а | и | b | неотрицательны, знак а • b зависит от знака косинуса.

В промежутке ] 90°; 180°] cos \(\widehat{(a; b)}\) < 0, поэтому а • b < 0.

Задача 4. В каком промежутке находится величина угла между векторами а и b, если а • b > 0?

Так как а • b > 0, то | а | =/= 0, | b | =/= 0 и cos \(\widehat{(a; b)}\) > 0. Отсюда \(\widehat{(a; b)}\) \(\in\) [0°; 90° [.

Свойства скалярного произведения векторов

1. Скалярное умножение векторов обладает переместительным свойством:

а Х b = b Х а. (1)

Так как

\(\widehat{(a; b)}\) = \(\widehat{(b; a)}\) и | а | Х | b | = | b | Х | а |,

то

а Х b = | а | Х | b | cos \(\widehat{(a; b)}\) = | b | Х | а | cos\(\widehat{(b; a)}\) = b Х а.

Если а = 0 или b = 0, то по определению скалярного произведения а Х b = 0 и b Х а = 0, т. е. а Х b = b Х а

2. Скалярное умножение векторов обладает сочетательным свойством по отношению к умножению вектора на число:

(ka) Х b = k (а Х b). (2)

Обозначим \(\widehat{(a; b)}\) = φ и \(\widehat{(ka; b)}\) = φ₁.

Если k > 0, то \(\widehat{(a; b)}\) = \(\widehat{(ka; b)}\), т. е. φ = φ₁ и тогда

(ka) Х b = | kа | Х | b | cos φ₁ = k | а | Х | b | cos φ = k (а Х b).

Если k < 0, то ka \(\uparrow\downarrow\) a и φ₁ = 180° Ч φ, и тогда

(ka) Х b = | kа | Х | b | cos φ₁ = | k | Х | а | Х | b | cos (180° Ч φ) =
= Ч k Х | а | Х | b |(Ч cos φ) =

= k | а | Х | b | cos φ = k (а Х b)

Если k = 0 или a = 0, или b = 0, то

(ka) Х b = 0 и k (а Х b) = 0, и поэтому (ka) Х b =k (а Х b).

3. Скалярное умножение векторов обладает распределительным свойством относительно сложения векторов

а Х (b + с) = а Х b + а Х c. (3)

Если a = 0, то свойство (3) очевидно.

Пусть a =/= 0. Тогда

а Х (b + с) = | a | Х np_a(b + c) = | a | Х (np_ab + np_ac) =
= | a | Х np_ab + | a | Х np_ac = а Х b + а Х c.

В ходе доказательства были использованы известные свойства проекции вектора на ось.

Заметим, что из (1) и (3) следует формула

(a + b) Х c = a Х c + b Х c. (4)

Сходство свойств скалярного произведения векторов со свойствами произведения действительных чисел позволяет легко производить вычисления и преобразования со скалярными произведениями.

Задача. Доказать тождество

(a + b) ² = а² + 2a Х b + b².

Используя свойства (1) и (4) скалярного произведения, получаем

(a + b) ² = (a + b) Х (a + b) = (a + b) Х а + (a + b) Х b =
= aХa + bХa + aХb + bХb = а² + aХb + aХb + b² =

= а² + 2a Х b + b²

Теорема. Для того чтобы два ненулевых вектора были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы их скалярное произведение было равно нулю:

(а =/= 0, b =/= 0, a Х b = 0 ) <==> a ⊥ b. (5)

Необходимость. Пусть a ⊥ b. Тогда

φ = \(\widehat{(a; b)}\) = 90° и a Х b = | а | Х | b | Х cos 90° = 0.

Достаточность. Пусть a Х b = 0 , а =/= 0, b =/= 0.

Так как а =/= 0, b =/= 0, то | а | =/= 0, | b | =/= 0, а так как | а | Х | b | Х cos φ = 0, то cos φ = 0 и, следовательно, φ = 90°, т. е. a ⊥ b.

Скалярное произведение векторов, заданных своими координатами

Пусть на плоскости имеется некоторая прямоугольная декартова система координат и пусть заданы векторы а = (x₁ ; y₁ ) и b = (x₂ ; y₂). Так как

a = x₁i + y₁ j, b = x₂i + y₂ j,

то, используя соответствующие свойства скалярного умножения векторов, получаем

а • b = (x₁ + y₁ j) • (x₂i + y₂ j) = (x₁x₂) i ² + (x₁y₂) i • j + (y₁x₂) j • i+ (y₁y₂) j ².

Очевидно, что i ² = j ² = 1 и i • j = j • i = 0, поэтому

а • b = x₁x₂ + y₁y₂. (1)

Пусть теперь в пространстве имеется некоторая прямоугольная декартова система координат и заданы векторы

а = (x₁ ; y₁ ; z₁) , b = (x₂ ; y₂; z₂).

Аналогично предыдущему получим

а • b = x₁x₂ + y₁y₂+ z₁z₂. (2)

Итак, скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений одноименных координат этих векторов.

Задача 1. Вычислить а • b , если а = 2i + 3j, b = — 5i + j. 2} $$

Разница между скаляром и вектором и его практическое применение в реальной жизни

Обычно оба эти термина звучат одинаково, но есть разница между скалярными и векторными величинами. Обе эти величины используются для представления движения объекта.

Содержание Разница между скаляром и вектором Часто задаваемые вопросы – Часто задаваемые вопросы

Разница между скаляром и вектором

Скалярная величина отличается от векторной с точки зрения направления. У скаляров нет направления, а у вектора есть. Благодаря этой особенности можно сказать, что скалярная величина представлена ​​в одном измерении, тогда как векторная величина может быть многомерной. Из приведенной ниже таблицы давайте узнаем больше различий между скалярами и векторами.

Разница между скаляром и вектором
Скаляр	Вектор
Имеет только звездную величину	Имеет направление и величину
Только одномерный	Многомерный
Эта величина изменяется с изменением магнитуды	Это меняется в зависимости от величины и направления
Здесь применимы обычные правила алгебры	Существует другой набор правил, известный как векторная алгебра
Одна скалярная величина может делить другую скалярную	Один вектор не может делить другой вектор
В примере со скоростью, временем и т. д. расстояние между точками является скалярной величиной, а не направлением	Скорость может быть примером, потому что это измерение скорости изменения положения объекта

Подробнее: Скаляры и векторы

Часто задаваемые вопросы – Часто задаваемые вопросы

Q1

Приведите два примера количества скейлера.

Время и расстояние

Q2

Приведите два примера векторных величин.

Скорость и ускорение.

Q3

Запишите две разницы между скалярной и векторной величинами.

1. Скалярные величины имеют только величину, а Векторные величины имеют и величину, и направление.
2. К скалярным величинам применимы обычные правила алгебры, но к векторным величинам применяется другой набор правил, известный как векторная алгебра.

Q4

Что такое векторные величины?

Математики и ученые называют векторной величиной величину, зависящую от направления. Векторные величины имеют две характеристики: величину и направление.

Q5

Зависят ли скалярные величины от системы отсчета?

Скаляр Количество не зависит от системы отсчета.

СВЯЗАННЫЕ СТАТЬИ:

Посмотрите видео, чтобы узнать, что такое базовые измерения?

скаляров и векторов (1.1.4) | CIE AS Physics Revision Notes 2022

1.1.4 Скаляры и векторы

Проверь себя

Что такое скалярные и векторные величины?

• Скаляр является величиной, которая имеет только величину (размер)
• Вектор является величиной, которая имеет как величину, так и направление
• Например, если человек идет на поход в лес к месту, которое находится в паре миль от исходной точки
  • По прямой, их перемещение будет всего несколько миль, но расстояние , которое они прошли, будет намного больше 3

    Перемещение — это вектор, а расстояние — это скаляр количество

    • Расстояние является скалярной величиной, потому что оно описывает, как объект перемещался в целом, но не направление, в котором он перемещался в
    • Перемещение является векторной величиной, потому что она описывает, как далеко объект находится от того места, где он начал и в каком направлении
    • Существует ряд общих скалярных и векторных величин я Совет

      У вас есть проблемы с определением, является ли величина вектором или скаляром? Подумайте только – может ли эта величина иметь знак минус? Например — может ли у вас быть отрицательная энергия? Нет. Можно ли иметь отрицательное смещение? Да!

      Объединение векторов

      • Векторы представлены стрелкой
        • Наконечник стрелки указывает направление вектора
        • Длина стрелки представляет величину 900 16
      • Векторы можно комбинировать, добавляя или путем вычитания их друг из друга
      • Существует два метода, которые можно использовать для объединения векторов: метод треугольника и метод параллелограмма
      • Для объединения векторов методом треугольника:
        • Шаг 1: соедините векторы «голова к хвосту» второй вектор
      • Для объединения векторов методом параллелограмма:
        • Шаг 1: соедините векторы хвост к хвосту
        • Шаг 2: завершите полученный параллелограмм
        • Шаг 3: результирующий вектор является диагональю параллелограмма
      • Когда два или более вектора складываются вместе (или один вычитается из другого), формируется один вектор, известный как результирующий вектор

      Сложение векторов

      Вычитание векторов

      Условие равновесия

      • Копланарные силы могут быть представлены векторными треугольниками
      • В равновесии , это закрытых векторных треугольников. Векторы, соединенные вместе, образуют замкнутый путь

      Если три силы, действующие на объект, находятся в равновесии; они образуют замкнутый треугольник. 10 два вектора, которые в сочетании имеют тот же эффект, что и исходный

    • Когда один результирующий вектор разбивается на частей , эти частей называются компонентами
    • Например, вектор силы с величиной F и углом θ к горизонтали показан ниже
    • Можно разделить этот вектор на его горизонтальные и вертикальные компоненты с помощью тригонометрии

     

    • Для горизонтальный компонент , F _x = F cos θ
    • Для вертикальный компонент 900 13 , F _y = F sin θ
    Проверь себяСледующая тема

    Автор: Katie M

    Кэти всегда увлекалась наукой и получила степень по астрофизике в Шеффилдском университете.