Скалярное произведение между векторами. Как найти скалярное произведение векторов. Косинус угла между векторами a b.

Векторы — это величины, которые  описываются как величиной, так и направлением.

 

Скалярное произведение \( \overline{a }\) и \( \overline{b }\) определяется как
\( \overline{a }· \overline{b }\) \(= |a| |b|· ∠ (\overline{a }\overline{b })\)
где \(| a |-\) модуль, или величина \( a\),
\(| b |-\) модуль \(b\), 
\(∠ (\overline{a }\overline{b })\)-угол между \(a\) и \(b\):

Если два вектора сонаправены,  то \( ∠cos (\overline{a }\overline{b })= ∠cos \;0=1\) скалярное произведение равно \( \overline{a }· \overline{b }\)\(=​​\)\( \overline{|a| }· \overline{|b| }\).

Пример 1. Рассмотрим два вектора \( \overline{a }\)  и  \( \overline{b }\) модуль \( \overline{a }\)  равен \(4\), а \( \overline{b }\) равен \(5\), а угол между ними равен \(60◦\). Найдите скалярное  произведение \( \overline{a }· \overline{b }\).

Решение:  \( 4 × 5 × cos 60◦ = 4 × 5 ×\frac{1}{2}= 10 \).

Ответ: \(10\).

---

• Если угол между \( \overline{a }\) и \( \overline{b }\)  меньше \(90◦\) , то есть распаложен на промежутке   \(0<∠ (\overline{a }\overline{b })<\frac{\pi}{2}\), то результат скалярного произведения будет больше \(0\) ,  то есть положительным.

 

• Если угол между \( \overline{a }\) и \( \overline{b }\) больше  \(90◦\) , то есть распаложен на промежутке   \(\frac{\pi}{2}<∠ (\overline{a }\overline{b })<\pi\) , то результат скалярного произведения будет меньше  \(0\) , то есть отрицательным.

 

• Если угол между \( \overline{a }\) и \( \overline{b }\) равен  \(90◦\), то результат скалярного произведения будет равен  \(0\), так как \(cos\frac{\pi}{2}=0\).

         

---

Пример 2. Даны два вектора \( \overline{с }= -2\overline{a }+\overline{b }\) и \(\overline{d }=\overline{a }-\overline{b }\) , \(\overline{|a| }=4\sqrt{3}\) и \(\overline{|b| }=8\).2=-64+96\sqrt{2}*\frac{\sqrt{2}}{2}-64=32\).

Ответ: \(32\).

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

Наши преподаватели

Оставить заявку

Репетитор по математике

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор 9-11 классов. Готовлю учеников к ОГЭ и ЕГЭ. Моя методика направлена на развитие логического мышления, способности самостоятельно решать нетипичные задачи, на понимание сути материала, а не его зазубривания. Помогу Вам разобраться со сложными и непонятными темами.

Оставить заявку

Репетитор по математике

Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор 7-11 классов. Я люблю математику за то, что она развивает мышление. Математика учит обобщать, выделять важное, анализировать, систематизировать, рассуждать и делать выводы. Мой главный принцип – это заставить ученика думать и не бояться рассуждать вслух. Ошибаться в процессе обучения можно и нужно, и, когда ученик это понимает, он не стесняется говорить о своих мыслях, идеях решения задач, не стесняется задавать вопросы. Я не даю ответы, не показываю, как «правильно» решать задачу, я задаю наводящие вопросы, чтобы ученик самостоятельно пришел к результату. Весь процесс обучения основан на доверительном отношении наставника и ученика.

Оставить заявку

Репетитор по математике

Брестский государственный университет им. А.С. Пушкина

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор 5-10 классов. Люблю математику за то, что она дисциплинирует человека, систематизирует мысли, помогает другим наукам, без неё никуда! Помогу ученикам закрепить знания, которые имеются, восполню «пробелы» и научу новому. Также помогу с домашним заданием. Индивидуальный подход к каждому ученику. Жду Вас на своих занятиях!

Курсы ЕГЭ

• — Индивидуальные занятия
• — В любое удобное для вас время
• — Бесплатное вводное занятие

Математика по Skype

• — Индивидуальные занятия
• — В любое удобное для вас время
• — Бесплатное вводное занятие

Похожие статьи

Скалярное произведение векторов, формула и примеры

Определение и формула скалярного произведения векторов

Если векторы заданы своими координатами, то их скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат:

   

Свойства скалярного произведения векторов

1. Скалярное произведение вектора самого на себя всегда больше или равно нуля:

   

Выражение называется скалярным квадратом вектора .

2. Скалярное произведение вектора самого на себя равно нулю тогда и только тогда, когда вектор равен нулевому вектору:

   

3. Скалярное произведение вектора самого на себя равно квадрату его модуля:

   

4. Операция скалярного умножения коммуникативна:

   

5. Если скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю, то эти вектора ортогональны (перпендикулярны):

   

6. .

7. Операция скалярного умножения дистрибутивна:

   

8. Если угол между векторами острый, то скалярное произведение этих векторов будет положительным числом (так как косинус острого угла – положительное число). Если угол между векторами тупой, то скалярное произведение будет отрицательным (так как косинус тупого угла есть величина отрицательная). Имеют место и обратные утверждения.

9. Если векторы сонаправлены, то угол между ними будет равен , а скалярное произведение будет положительным. Угол между противоположно направленными векторами равен и их скалярное произведение отрицательно.

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Скалярное произведение векторов

Скалярное произведение векторов (далее в тексте СП). Дорогие друзья! В состав экзамена по математике входит группа задач на решение векторов. Некоторые задачи мы уже рассмотрели. Можете посмотреть их в категории «Векторы».  В целом, теория векторов несложная, главное последовательно её изучить. Вычисления и действия с векторами в школьном курсе математики просты, формулы не сложные.  Загляните в справочник. В этой статье мы разберём задачи на СП векторов (входят в ЕГЭ). Теперь «погружение» в теорию:

Чтобы найти координаты вектора, нужно из координат его конца вычесть соответствующие координаты его начала

И ещё:

*Длина вектора (модуль) определяется следующим образом:

Данные  формулы необходимо запомнить!!!

Покажем угол между векторами:

Понятно, что он может изменяться в пределах от 0 до 180⁰ (или в радианах от 0 до Пи).

Можем сделать некоторые выводы о знаке скалярного произведения. Длины векторов имеют положительное значение, это очевидно. Значит знак скалярного произведения зависит от значения косинуса угла между векторами.

Возможны случаи:

1. Если угол между векторами острый (от 0⁰ до 90⁰), то косинус угла будет иметь положительное значение.

2. Если угол между векторами тупой (от 90⁰ до 180⁰), то косинус угла будет иметь отрицательное  значение.

*При нуле градусов, то есть когда векторы имеют одинаковое направление, косинус равен единице и соответственно результат будет положительным.

При  180^о, то есть когда векторы имеют противоположные направления, косинус равен минус единице,  и соответственно результат будет отрицательным.

Теперь ВАЖНЫЙ МОМЕНТ!

При 90^о, то есть когда векторы перпендикулярны друг другу, косинус равен нулю, а значит и СП равно нулю. Этот факт (следствие, вывод) используется при решение многих задач, где речь идёт о взаимном расположении векторов, в том числе и в задачах входящих в открытый банк заданий по математике.

Сформулируем утверждение:  скалярное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда данные векторы лежат на перпендикулярных прямых.

Итак, формулы СП векторов:

Если известны координаты векторов или координаты точек их начал и концов, то всегда сможем найти угол между векторами:

Рассмотрим задачи:

27724 Найдите скалярное произведение векторов a и b.

Скалярное произведение векторов мы можем найти по одной из двух формул:

Угол между векторами неизвестен, но мы без труда можем найти координаты векторов и далее воспользоваться первой формулой. Так как начала обоих векторов совпадают с началом координат, то координаты данных векторов равны координатам их концов, то есть

Как найти координаты вектора изложено в этой статье.

Вычисляем:

Ответ: 40

Найдём координаты векторов и воспользуемся формулой:

Чтобы найти координаты вектора необходимо из координат конца вектора вычесть соответствующие координаты его начала, значит

Вычисляем скалярное произведение:

Ответ: 40

Найдите угол между векторами a и b. Ответ дайте в градусах.

Пусть координаты векторов имеют вид:

Для нахождения угла между векторами используем формулу скалярного произведения векторов:

Косинус угла между векторами:

Следовательно:

Координаты данных векторов равны:

Подставим их в формулу:

Угол между векторами равен 45 градусам.

Ответ: 45

Посмотреть решение

Посмотреть решение

27710. Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Найдите скалярное произведение векторов АВ и AD.

Посмотреть решение

27719. Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке О и равны 12 и 16. Найдите скалярное произведение векторов AB и BO.

Посмотреть решение

27719. Стороны правильного треугольника ABC равны 3. Найдите скалярное произведение векторов AB и АС.

Посмотреть решение

На этом  всё! Успехов вам! 

С уважением, Александр Крутицких.

На уроке физкультуры: — Так, парни, кто из вас курит? Честно! Не врать! Так. … значит, ты… и ты. … Понятно… Значит, так: мы с вами покурим, остальным — пять кругов по стадиону.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Скалярное произведение векторов в EXCEL, ортогональные векторы. Примеры и описание

Вычислим скалярное произведение векторов и проверим вектора на ортогональность. Подберем координаты вектора, ортогонального заданному, а также отобразим вектора в прямоугольной системе координат.

Скалярным произведением двух векторов называется действительное число (скаляр), равное произведению длин умножаемых векторов на косинус угла между ними.

СОВЕТ : о нахождении длин векторов см. статью Вычисление длины (модуля) вектора в MS EXCEL .

В случае двухмерной задачи скалярное произведение векторов a = { a _x ; a _y } и b = { b _x ; b _y } можно найти воспользовавшись следующей формулой: a · b = a _x · b _x + a _y · b _y Для вычисления скалярного произведения векторов в MS EXCEL идеально подходит функция СУММПРОИЗВ()

СОВЕТ : о функции СУММПРОИЗВ() см. статью Функция СУММПРОИЗВ() — Сложение и подсчет с множественными условиями в MS EXCEL

Если координаты 2-х векторов введены в диапазоны B8:C8 и B9:C9 соответственно, то формула =СУММПРОИЗВ(B8:C8;B9:C9) подсчитает скалярное произведение векторов (см. файл примера ).

Естественно, для трехмерного случая можно записать аналогичную формулу.

Ортогональность векторов

Два вектора называются ортогональными если угол между ними равен 90 градусов. Т.к. косинус угла 90 градусов равен 0, то и их скалярное произведение равно 0.

Интерес представляет поиск вектора, ортогонального заданному.

Поиск одной координаты. Сначала подберем одну из координат трехмерного вектора, так, чтобы он стал ортогональным заданному (2 другие координаты известны). Такая координата всегда существует и решение единственно.

Для нахождения третьей координаты будем использовать инструмент MS EXCEL Подбор параметра (подробнее см. Подбор параметра в MS EXCEL ).

Пусть координаты заданного вектора равны {2; 3; 1} (и размещены в ячейках В37:В39 ), а известные координаты искомого ортогонального вектора равны  {3; 1; ?} (размещены в ячейках С37:С39 ) См. рисунок выше и файл примера .

Вычислим в ячейке А42 скалярное произведение векторов с помощью формулы =СУММПРОИЗВ(B37:B39;C37:C39)

Вызовем окно Подбора параметра для ввода критериев поиска и установим их как показано на рисунке выше. После нажатия кнопки ОК в ячейке С39 (искомая координата) будет введено значение -9, а скалярное произведение станет равно 0.

Поиск всех координат ортогонального вектора. Если заданы координаты только исходного вектора и требуется определить все 3 координаты вектора, ортогональному к нему, то, понятно, что решение не единственно.

Например, для двухмерного случая (на плоскости), можно построить 2 разных вектора, которые будут ортогональны заданному (точнее не 2, а бесконечное множество коллинеарных векторов в двух противоположных направлениях).

Так как нам придется одновременно подбирать сразу 3 координаты, то Подбор параметра нам не подходит, нужно использовать Поиск решения (См. файл примера) .

В качестве ограничений для Поиска решения можно установить: найденные координаты должны быть целыми числами, а квадрат модуля искомого вектора д.б. >1 (иначе 0 вектор будет предложен в качестве решения). Также можно наложить ограничение на максимальную длину вектора.

После запуска инструмента Поиск решения будут найдены координаты {0; -1; 3}

Отображение (ортогональных) векторов на плоскости

В двухмерном случае можно отобразить 2 ортогональных вектора.

Тип диаграммы установлен График (см. Основные типы диаграмм в MS EXCEL , раздел График).

Чтобы вектора выглядели ортогональными, необходимо зафиксировать минимальные и максимальные значения, отображаемые осями (см. Основы построения диаграмм в MS EXCEL , раздел 7.Оси), иначе при построении различных пар векторов MS EXCEL будет применять автомасштабирование графика и масштабы осей могут стать не равными (это приведет к тому, что угол 90 градусов не будет выглядеть прямым).

Скалярное произведение векторов.

Навигация по странице:

Геометрическая интерпретация. Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная произведению модулей этих векторов умноженного на косинус угла между ними:

a · b = |a| · |b| cos α

Алгебраическая интерпретация. Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b.

Формулы скалярного произведения векторов заданных координатами

Формула скалярного произведения векторов для плоских задач

В случае плоской задачи скалярное произведение векторов a = {a_x ; a_y} и b = {b_x ; b_y} можно найти воспользовавшись следующей формулой:

a · b = a_x · b_x + a_y · b_y

Формула скалярного произведения векторов для пространственных задач

В случае пространственной задачи скалярное произведение векторов a = {a_x ; a_y ; a_z} и b = {b_x ; b_y ; b_z} можно найти воспользовавшись следующей формулой:

a · b = a_x · b_x + a_y · b_y + a_z · b_z

Формула скалярного произведения n -мерных векторов

В случае n-мерного пространства скалярное произведение векторов a = {a₁ ; a₂ ; … ; a_n} и b = {b₁ ; b₂ ; … ; b_n} можно найти воспользовавшись следующей формулой:

a · b = a₁ · b₁ + a₂ · b₂ + … + a_n · b_n

Свойства скалярного произведения векторов

1. Скалярное произведение вектора самого на себя всегда больше или равно нуля:

   a · a ≥ 0

2. Скалярное произведение вектора самого на себя равно нулю тогда и только тогда, когда вектор равен нулевому вектору:

   a · a = 0   <=>   a = 0

3. Скалярное произведение вектора самого на себя равно квадрату его модуля:

   a · a = |a|²

4. Операция скалярного умножения коммуникативна:

   a · b = b · a

5. Если скалярное произведение двух не нулевых векторов равно нулю, то эти вектора ортогональны:

   a ≠ 0, b ≠ 0, a · b = 0   <=>   a ┴ b

6. (αa) · b = α(a · b)

7. Операция скалярного умножения дистрибутивна:

   (a + b) · c = a · c + b · c

Примеры задач на вычисление скалярного произведения векторов

Примеры вычисления скалярного произведения векторов для плоских задач

Пример 1. Найти скалярное произведение векторов a = {1; 2} и b = {4; 8}.

Решение: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 = 4 + 16 = 20.

Пример 2. Найти скалярное произведение векторов a и b, если их длины |a| = 3, |b| = 6, а угол между векторами равен 60˚.

Решение: a · b = |a| · |b| cos α = 3 · 6 · cos 60˚ = 9.

Пример 3. Найти скалярное произведение векторов p = a + 3b и q = 5a — 3 b, если их длины |a| = 3, |b| = 2, а угол между векторами a и b равен 60˚.

Решение:

p · q = (a + 3b) · (5a — 3b) = 5 a · a — 3 a · b + 15 b · a — 9 b · b =

= 5 |a|² + 12 a · b — 9 |b|² = 5 · 3² + 12 · 3 · 2 · cos 60˚ — 9 · 2² = 45 +36 -36 = 45.

Пример вычисления скалярного произведения векторов для пространственных задач

Пример 4. Найти скалярное произведение векторов a = {1; 2; -5} и b = {4; 8; 1}.

Решение: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 + (-5) · 1 = 4 + 16 — 5 = 15.

Пример вычисления скалярного произведения для n -мерных векторов

Пример 5. Найти скалярное произведение векторов a = {1; 2; -5; 2} и b = {4; 8; 1; -2}.

Решение: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 + (-5) · 1 + 2 · (-2) = 4 + 16 — 5 -4 = 11.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением ненулевых векторов x и y называется произведение

(1)

где |·|-модуль вектора, φ -угол между векторами.

Если x=0 или y=0, то скалярное произведение равно нулю.

Пусть в n-мерном пространстве задан ортонормированный базис

Вариант 1. Начальные точки всех векторов совпадают с началом координат.

Пусть заданы векторы

тогда скалярное произведение (x,y) векторов x и y определяется соотношением:

(2)

 

Рис. 1

На рисунке Рис. 1 в двухмерном пространстве представлены векторы x=(7,0) и y=(5,5).

Для вычисления скалярного произведения методом (1), вычислим нормы векторов x и y:

Учитывая что , получим:

Теперь вычислим скалярное произведение векторов x и y используя выражение (2):

Получили одинаковые результаты, но посдедний вариант вычисления проще и не требует знания угла между векторами.

Вариант 2. Начальные точки векторов произвольные.

Пусть заданы векторы x=AB и y=CD, где ,,,.

Переместим векторы x и y так, чтобы начальные точки векторов совпали с началом координат. Получим векторы x’ и y’ с координатами (т.е. с конечными точками):

где

Из выражения (1) видно, что скалярное произведение векторов x и y зависит только от нормы векторов и от угла между ними. Так как |x’|=|x| , |y’|=|y| и угол между векторами x’ и y’ равен углу между векторами x и y, следовательно

Учитывая (2) получаем:

 

Рис. 2

На рисунке Рис. 2 в двухмерном пространстве представлены векторы x=AB и y=CD, где A(4,1), B(9,-2), C(1,2), D(5,6).

Из выражения (1) видно, что скалярное произведение векторов x и y зависит только от нормы векторов и от угла между ними. Переместим параллельно векторы так, что их начальные точки совпали с началом координат. Тогда x’=(9-4, -2-1)=(5, -3), y’=(5-1, 6-2)=(4,4), |x’|=|x| , |y’|=|y| и угол между векторами x’ и y’ равен углу между векторами x и y. Следовательно

 

• Скалярное произведение обладает следующими свойствами:
•  
• 1. (x,y)=(y,x) ( коммутативность) .
• 2. (x,y+z)=(x,y)+(x,z) (дистрибутивность относительно сложения векторов).
• 3. λ(x,y)=(λx,y)=(x,λy) (ассоциативность относительно умножения на число).

§4. Скалярное произведение векторов

Определение.

Пусть даны два ненулевых вектора и. Скалярным произведением векторовиназывается число, обозначаемоеи равное

,

где — угол между векторамии. Если хотя бы один из векторов нулевой, то полагаем, что. При обозначении скалярного произведения точка часто опускается.

Свойства скалярного произведения сформулируем в виде теоремы.

Теорема.

Свойства скалярного произведения.

1)

2)

3)

4)

5) Если ,и- орты осей координат, то

.

6) Если

,

,

то

.

7) Векторы ивзаимно перпендикулярны тогда и только тогда, когда

Доказательство.

Свойства 1, 2, 3, 5 следуют непосредственно из определения скалярного произведения. Свойство 4 следует из теоремы 10 о проекции суммы векторов. Действительно,

.

Далее из свойств 4 и 5 получаем свойство 6. Имеем

В последних равенствах учтено, что

,

а

.

Рассмотрим свойство 7. Если векторы ивзаимно перпендикулярны, то

.

Если же

,

где — угол между векторами ииненулевые векторы, то. Отсюдаи значит векторыивзаимно перпендикулярны. Таким образом, чтобы ненулевые векторыибыли взаимно перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство.

Из определения скалярного произведения следует, что если иненулевые векторы, то

.

В свою очередь, зная координаты векторов, можно найти скалярное произведение и длины векторов. Таким образом, зная координаты векторов, можно найти косинус угла между векторами, а зная косинус можно найти и сам угол.

Пример.

.

Найти угол между векторами.

Решение.

Отсюда

.

§5. Векторное произведение векторов

Введем понятие определителя. С помощью определителя удобно записывать одно из свойств векторного произведения векторов. Кроме того, понятие определителя будет применяться при рассмотрении смешанного произведения векторов.

Матрицей размером называется таблица из чисел вида

Определителем этой матрицы называется число, обозначаемое в виде

и вычисляемое по формуле

.

Матрицей размера называется таблица вида

.

Определитель этом матрицы есть число, обозначаемое в виде

.

Этот определитель можно вычислить следующим образом. Выбирается какая-то строка или какой-то столбец. Возьмем, например первую строку. Тогда вычисление определителя проводится по формуле

То есть определитель есть сумма трех слагаемых. Каждое слагаемое образуется так. Последовательно берутся элементы выбранной строки или столбца (в данном случае выбрана первая строка) и умножаются на , где- номер строки, в которой находится данный элемент, а- номер столбца, в котором он находится. Затем полученное число умножается на определитель размером, который получается вычеркиваем строки и столбца, в которых расположен взятый элемент. Такой способ вычисления определителя называется разложением его по строке или по столбцу.

Пример.

Вычислить определитель, разложив его по 2-й строке.

Решение.

Введем понятие ориентации базиса пространства.

Определение.

Три ненулевых вектора ,иназываются компланарными, если они, будучи отложенными от одной точки, лежат в одной и той же плоскости. Будем говорить, что имеется упорядоченная тройка некомпланарных векторов, если все три вектора ненулевые и не лежат в одной плоскости (будучи отложенными от общей точки).

Заметим, что два вектора всегда лежат в одной плоскости. Третий же вектор может лежать, а может и не лежать в той плоскости, в которой лежат первые два вектора. Плоскость, в которой лежат два вектора, разбивает все пространство на два полупространства.

Определение.

Пусть имеется упорядоченная тройка некомпланарных векторов . Плоскость, в которой расположены векторыи, делит все пространство на два полупространства. Тогда третий векторнаходится в одном из этих полупространств. Упорядоченная тройка векторовназывается правой при условии, что если смотреть из полупространства, в котором расположен вектор, кратчайший поворот от векторак вектору(то есть от первого вектора ко второму) осуществляется против часовой стрелки. Если же кратчайший поворот откосуществляется по часовой стрелке, то упорядоченную тройку векторовназывают левой. Все тройки некомпланарных векторов делятся на правые и левые.

Рассмотрим тройку базисных векторов . В зависимости от взаимной ориентации векторов эта тройка может быть как правой, так и левой. В дальнейшем будем считать, что тройка базисных вектороввсегда правая. Такой ориентации базисных векторов соответствует ориентация осей координат, показанная на Рис. 27.

Рис. 27.

В этом случае говорят, что выбрана ориентация базиса в пространстве.

Далее вводится понятие векторного произведения векторов.

Определение.

Пусть даны два ненулевых неколлинеарных вектора и. Векторным произведением векторовиназывается вектор, обозначаемыйи удовлетворяющий следующим условиям:

1) Вектор перпендикулярен одновременно и векторуи вектору, а значит перпендикулярен и плоскости, в которой лежат эти векторы (если их отложить от общей точки).

2) , где- угол между векторамии.

3) Если вектор отложить от общей точки векторов(на рисунке 28 это точка), то векторнаправлен так, что если смотреть из конца вектора, то кратчайший поворот от векторак вектору(то есть от первого сомножителя ко второму) осуществляется против часовой стрелки. Можно также сказать что векторы,иобразуют правую тройку векторов. Таким образом, вектордолжен быть направлен так, как показано на Рис. 28.

Если хотя бы один из векторов инулевой или эти векторы коллинеарны, то по определению полагается, что

. При этом, формула

остается справедливой.

Рис. 28.

Свойства векторного произведения.

1)

2)

3) Если — число, то

4) Если тройка базисных векторов правая, то

5) Если

,

и тройка базисных векторов правая, то векторное произведение можно вычислить символически с помощью определителя, разлагая его по первой строке

.

6) Пусть даны два ненулевых неколлинеарных вектораи. Отложим их от общей точки и построим параллелограмм, как это показано на рисунке 29. Такой параллелограмм называется

Рис.29.

параллелограммом, построенным на векторах и. Тогда площадьэтого параллелограммаравна

,

а площадь треугольникаравна

Свойства 1, 3 и 4 следуют непосредственно и определения векторного произведения. Свойство 5 легко доказать, если справедливо свойство 2. В самом деле, разлагая определитель по 1-й строке, получим

С другой стороны, если справедливо свойство 2, то с учетом свойств 1, 3 и 4 получаем

Отсюда следует справедливость свойства 5.

Рассмотрим пример на свойство 5.

Пример.

.

Найти .

Решение.

Свойство 2 примем без доказательства.

Обратимся к свойству 6. Из элементарной геометрии известно, что площадь параллелограмма равна

,

где . Отсюда

и, следовательно,

.

Так как параллелограмм диагональю разбивается на два равновеликих треугольника, то

.

Пример.

Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах

.

Решение.

Найдем .

Тогда

.

Скалярное произведение — Точечное произведение

(Векторное произведение двух векторов)

---

Точечный продукт , также называемый скалярным произведением двух векторов , является одним из двух способов узнать, как умножить два вектора вместе, а другой способ — это перекрестное произведение, также называется векторным произведением.

Когда мы умножаем два вектора с помощью скалярного произведения , мы получаем скаляр (число, а не другой вектор !.

Обозначение

Учитывая два вектора \ (\ vec {u} \) и \ (\ vec {v} \), мы ссылаемся на скалярное произведение , записывая:

\ [\ vec {u} \ bullet \ vec {v} \]

Другими словами, поставив точку между двумя векторами, что объясняет, почему мы также называем это скалярным произведением .

---

Скалярное произведение: использование компонентов векторов

---

2D-векторы

Даны два вектора \ (\ vec {u} = \ begin {pmatrix} u_1 \\ u_2 \ end {pmatrix} \) и \ (\ vec {v} = \ begin {pmatrix} v_1 \\ v_2 \ end {pmatrix} \) их скалярное произведение: \ [\ vec {u} \ bullet \ vec {v} = u_1v_1 + u_2v_2 \]

---

3D-векторы

Даны два вектора \ (\ vec {u} = \ begin {pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \ end {pmatrix} \) и \ (\ vec {v} = \ begin {pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \ end {pmatrix} \) их скалярное произведение: \ [\ vec {u} \ bullet \ vec {v} = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3 \]

---

Учебное пособие: вычисление скалярного произведения

В этом руководстве мы узнаем, как вычислить скалярное произведение векторов \ (2 \), , используя их компоненты .Мы делаем это как для 2D, так и для 3D-векторов.

---

Пример (2D-векторы)

Учитывая \ (\ vec {a} = \ begin {pmatrix} 2 \\ — 5 \ end {pmatrix} \) и \ (\ vec {b} = \ begin {pmatrix} 1 \\ -3 \ end {pmatrix} \), мы можем вычислить их скалярное произведение \ (\ vec {a} \ bullet \ vec {b} \) следующим образом: \ [\ begin {выровнено} \ vec {a} \ bullet \ vec {b} & = 2 \ times 1 + (-5) \ times (-3) \\ & = 2 + 15 \\ \ vec {a} \ bullet \ vec {b} & = 17 \ конец {выровнено} \]

---

Пример (3D-векторы)

Учитывая \ (\ vec {u} = \ begin {pmatrix} 2 \\ 1 \\ -3 \ end {pmatrix} \) и \ (\ vec {v} = \ begin {pmatrix} 4 \\ 0 \\ 5 \ end {pmatrix} \), мы можем вычислить их перекрестное произведение \ (\ vec {u} \ bullet \ vec {v} \) следующим образом: \ [\ begin {выровнено} \ vec {u} \ bullet \ vec {v} & = 2 \ times 4 + 1 \ times 0 + (-3) \ times 5 \\ & = 8 + 0-15 \\ \ vec {u} \ bullet \ vec {v} & = -7 \ конец {выровнено} \]

---

Скалярное произведение: с использованием величин и угла

---

Для двух векторов \ (\ vec {u} \) и \ (\ vec {v} \) в 2D или в 3D их скалярное произведение (или скалярное произведение) можно вычислить по формуле: \ [\ vec {u} \ bullet \ vec {v} = \ begin {vmatrix} \ vec {u} \ end {vmatrix}.{\ circ} \ end {pmatrix} \\ & = 20 \ умножить на 0,5 \\ \ vec {a} \ cdot {b} & = 10 \ end {align} \] Скалярное произведение этих двух векторов равно \ (10 ​​\).

---

Роль внутреннего угла \ (\ theta \)

---

Угол \ (\ theta \) между двумя векторами \ (\ vec {u} \) и \ (\ vec {v} \) играет важную роль в знаке скалярного произведения .

Это связано с тем, что \ (cos \ theta \) изменяется с положительный на ноль на отрицательный , поскольку \ (\ theta \) меняется с на , на прямой угол , к тупой .

Глядя на формулу \ (\ vec {u} \ bullet \ vec {v} = \ begin {vmatrix} \ vec {u} \ end {vmatrix}. \ Begin {vmatrix} \ vec {v} \ end {vmatrix} cos \ theta \) ясно, что звездных величин \ (\ begin {vmatrix} \ vec {u} \ end {vmatrix} \) и \ (\ begin {vmatrix} \ vec {u} \ end {vmatrix} \) всегда положительны , поэтому \ (cos \ theta \) и, следовательно, \ (\ theta \) — это параметр, определяющий знак результата. {\ circ} \)

Когда угол \ (\ theta \) между векторами \ (\ vec {u} \) и \ (\ vec {v} \) является прямым углом , точечное произведение равно нулю : \ [\ vec {u} \ cdot \ vec {v} = 0 \]

---

ИСПЫТАНИЕ ДЛЯ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ ВЕКТОРОВ

---

Для двух векторов \ (\ vec {u} \) и \ (\ vec {v} \) (в 2D или 3D) они перпендикулярны тогда и только тогда, когда: \ [\ vec {u} \ cdot \ vec {v} = 0 \]

---

Это дает очень полезный способ проверить, перпендикулярны ли два вектора.

Пример

Укажите, являются ли следующие пары векторов перпендикулярными:

1. \ (\ vec {u} = \ begin {pmatrix} 3 \\ -2 \ end {pmatrix} \) и \ (\ vec {v} = \ begin {pmatrix} -4 \\ -6 \ end {pmatrix} \)

---

2. \ (\ vec {a} = \ begin {pmatrix} -5 \\ 2 \ end {pmatrix} \) и \ (\ vec {b} = \ begin {pmatrix} 1 \\ 3 \ end {pmatrix} \)

---

3. \ (\ vec {a} = \ begin {pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \ end {pmatrix} \) и \ (\ vec {b} = \ begin {pmatrix} 4 \\ -2 \\ -3 \ end {pmatrix} \)

---

4. \ (\ vec {u} = \ begin {pmatrix} 2 \\ — 1 \\ 5 \ end {pmatrix} \) и \ (\ vec {v} = \ begin {pmatrix} -3 \\ 4 \\ 2 \ end {pmatrix} \)

ПОСМОТРЕТЬ РЕШЕНИЯ +

1. Мы нашли: \ [\ begin {выровнено} \ vec {u} \ cdot \ vec {v} & = \ begin {pmatrix} 3 \\ -2 \ end {pmatrix} \ cdot \ begin {pmatrix} -4 \\ -6 \ end {pmatrix} \\ & = 3 \ раз (-4) + (-2) \ раз (-6) \\ & = -12 + 12 \\ \ vec {u} \ cdot \ vec {v} & = 0 \ конец {выровнено} \] Поскольку \ (\ vec {u} \ cdot \ vec {v} = 0 \), эти два перпендикулярны.

---

2. Мы нашли: \ [\ begin {выровнено} \ vec {a} \ cdot \ vec {b} & = \ begin {pmatrix} -5 \\ 2 \ end {pmatrix} \ cdot \ begin {pmatrix} 1 \\ 3 \ end {pmatrix} \\ & = -5 \ раз 1 + 2 \ раз 3 \\ & = -5 + 6 \\ \ vec {a} \ cdot \ vec {b} & = 1 \ конец {выровнено} \] Поскольку \ (\ vec {a} \ cdot \ vec {b} \ neq 0 \) они не перпендикулярны.

---

3. Мы нашли: \ [\ begin {выровнено} \ vec {a} \ cdot \ vec {b} & = \ begin {pmatrix} 1 \\ 3 \\ 1 \ end {pmatrix} \ cdot \ begin {pmatrix} 4 \\ -2 \\ -3 \ end { pmatrix} \\ & = 2 \ раз 4 + 3 \ раз (-2) + 1 \ раз (-3) \\ & = 8 + (-6) + (-3) \\ \ vec {a} \ cdot \ vec {b} & = -1 \ конец {выровнено} \] Поскольку \ (\ vec {a} \ cdot \ vec {b} \ neq 0 \) векторы \ (\ vec {a} \) и \ (\ vec {b} \) не перпендикулярны.

---

4. Мы нашли: \ [\ begin {выровнено} \ vec {u} \ cdot \ vec {v} & = \ begin {pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \ end {pmatrix} \ cdot \ begin {pmatrix} -3 \\ 4 \\ 2 \ end { pmatrix} \\ & = 2 \ раз (-3) + (-1) \ раз 4 + 5 \ раз 2 \\ & = -6 + (-4) + 10 \\ & = -6 — 4 + 10 \\ \ vec {u} \ cdot \ vec {v} & = 0 \ конец {выровнено} \] Поскольку \ (\ vec {u} \ cdot \ vec {v} = 0 \) эти два вектора перпендикулярны.

Учебное пособие: вопрос стиля экзамена

Мы прорабатываем типичный вопрос стиля экзамена , который мы несколько раз встречаем на экзаменах (хотя и с разными номерами).

Учитывая векторы \ (\ vec {u} = \ begin {pmatrix} 0 \\ 5 \\ q \ end {pmatrix} \) и \ (\ vec {v} = \ begin {pmatrix} 0 \\ 10 \\ 14 \ end {pmatrix} \) найдите значение \ (q \), для которого \ (\ vec {u} \) и \ (\ vec {v} \) равны:

1. Параллельный
2. Перпендикуляр

---

Свойства скалярного произведения

---

Для любых векторов, таких как \ (\ vec {u} \), \ (\ vec {v} \) и \ (\ vec {w} \)

• Скалярное произведение равно , коммутативное : \ (\ vec {u} \ bullet \ vec {v} = \ vec {v} \ bullet \ vec {u} \)
• Скалярное произведение подчиняется «обычным» законам распределенности \ (\ vec {u} \ bullet \ begin {pmatrix} \ vec {v} + \ vec {v} \ end {pmatrix} = \ vec {u } \ пуля \ vec {v} + \ vec {u} \ bullet \ vec {w} \)
• \ (\ vec {u} \ bullet \ vec {u} = \ begin {vmatrix} \ vec {u} \ end {vmatrix} ^ 2 \)
• Для вектора \ (\ vec {u} \) и скаляра \ (k \ in \ mathbb {R} \): \ (\ begin {vmatrix} k.\ vec {u} \ end {vmatrix} = \ begin {vmatrix} k \ end {vmatrix}. \ begin {vmatrix} \ vec {u} \ end {vmatrix} \)

---

Пример 1

Учитывая два вектора \ (\ vec {a} = \ begin {pmatrix} 1 \\ 4 \\ -3 \ end {pmatrix} \) и \ (\ vec {b} = \ begin {pmatrix} 2 \\ 7 \\ 5 \ end {pmatrix} \), мы можем показать, что \ (\ vec {a} \ cdot \ vec {b} = \ vec {b} \ cdot \ vec {a} \):

\ [\ begin {выровнено} \ vec {a} \ cdot \ vec {b} & = 1 \ раз 2 + 4 \ раз 7 + (-3) \ раз 5 \\ & = 2 + 28 + (- 15) \\ & = 30-15 \\ \ vec {a} \ cdot \ vec {b} & = 15 \ конец {выровнено} \]

\ [\ begin {выровнено} \ vec {b} \ cdot \ vec {a} & = 2 \ раз 1 + 7 \ раз 4 + 5 \ раз (-3) \\ & = 2 + 28 + (- 15) \\ & = 30-15 \\ \ vec {b} \ cdot \ vec {a} & = 15 \ конец {выровнено} \]

мы ясно видим, что \ (\ vec {a} \ cdot \ vec {b} = \ vec {b} \ cdot \ vec {a} \).

---

Пример 2

Учитывая два вектора \ (\ vec {u} = \ begin {pmatrix} 2 \\ 6 \\ 3 \ end {pmatrix} \), \ (\ vec {v} = \ begin {pmatrix} 5 \\ 1 \ \ -3 \ end {pmatrix} \) и \ (\ vec {w} = \ begin {pmatrix} 4 \\ -1 \\ 2 \ end {pmatrix} \) мы можем проверить, что \ (\ vec {u} \ cdot \ begin {pmatrix} \ vec {v} + \ vec {w} \ end {pmatrix} \) следующим образом:

\ [\ begin {выровнено} \ vec {u} \ cdot \ begin {pmatrix} \ vec {v} + \ vec {w} \ end {pmatrix} & = \ vec {u} \ cdot \ vec {v} + \ vec {u} \ cdot \ vec {w} \\ & = \ begin {pmatrix} 2 \\ 6 \\ 3 \ end {pmatrix} \ cdot \ begin {pmatrix} 5 \\ 1 \\ -3 \ end {pmatrix} + \ begin {pmatrix} 2 \\ 6 \ \ 3 \ end {pmatrix} \ cdot \ begin {pmatrix} 4 \\ -1 \\ 2 \ end {pmatrix} \\ & = \ underbrace {2 \ times 5 + 6 \ times 1 +3 \ times (-3)} _ {\ vec {u} \ cdot \ vec {v}} + \ underbrace {2 \ times 4 + 6 \ times (-1) + 3 \ times 2} _ {\ vec {u} \ cdot \ vec {w}} \\ & = 10 + 6 + (-9) + 8 + (-6) + 6 \\ & = 10 + 6-9 + 8-6 + 6 \\ & = 16-9 + 8-6 + 6 \\ & = 7 + 8-6 + 6 \\ & = 15-6 + 6 \\ & = 9 + 6 \\ \ vec {u} \ cdot \ begin {pmatrix} \ vec {v} + \ vec {w} \ end {pmatrix} & = 15 \ конец {выровнено} \]

\ [\ begin {выровнено} \ vec {u} \ cdot \ begin {pmatrix} \ vec {v} + \ vec {w} \ end {pmatrix} & = \ begin {pmatrix} 2 \\ 6 \\ 3 \ end {pmatrix} \ cdot \ begin {pmatrix} \ begin {pmatrix} 5 \\ 1 \\ -3 \ end {pmatrix} + \ begin {pmatrix} 4 \\ -1 \\ 2 \ end {pmatrix} \ end {pmatrix} \\ & = \ begin {pmatrix} 2 \\ 6 \\ 3 \ end {pmatrix} \ cdot \ begin {pmatrix} \ begin {pmatrix} 5 + 4 \\ 1 + (-1) \\ -3 + 2 \ end {pmatrix} \ end {pmatrix} \\ & = \ begin {pmatrix} 2 \\ 6 \\ 3 \ end {pmatrix} \ cdot \ begin {pmatrix} 9 \\ 0 \\ -1 \ end {pmatrix} \\ & = 2 \ раз 9 + 6 \ раз 0 + 3 \ раз (-1) \\ & = 18 + 0 + (-3) \\ & = 18 — 3 \\ \ vec {u} \ cdot \ begin {pmatrix} \ vec {v} + \ vec {w} \ end {pmatrix} & = 15 \ конец {выровнено} \]

Мы можем видеть, что оба результата равны и что скалярное произведение подчиняется «обычным» законам дистибутивности.

---

Упражнение 1

1. Вычислите скалярное произведение каждой из следующих пар векторов:
   1. \ (\ vec {a} = \ begin {pmatrix} -2 \\ 1 \ end {pmatrix} \) и \ (\ vec {b} = \ begin {pmatrix} 3 \\ 7 \ end {pmatrix} \)
   2. \ (\ vec {u} = 3 \ vec {i} — 2 \ vec {j} + \ vec {k} \) и \ (\ vec {v} = — \ vec {i} + 4 \ vec {j } + 2 \ vec {k} \)
   3. \ (\ vec {c} = \ begin {pmatrix} 2 \\ 0 \\ — 5 \ end {pmatrix} \) и \ (\ vec {d} = \ begin {pmatrix} 1 \\ — 3 \\ 4 \ end {pmatrix} \)

---

2. Учитывая векторы \ (\ vec {a} = \ begin {pmatrix} 2 \\ -3 \\ 4 \ end {pmatrix} \) и \ (\ vec {b} = \ begin {pmatrix} 1 \\ -2 \\ p \ end {pmatrix} \), найдите значение \ (p \), для которого \ (\ vec {a} \) и \ (\ vec {b} \) перпендикулярны.

---

3. Учитывая векторы \ (\ vec {u} = \ begin {pmatrix} 0 \\ 5 \\ q \ end {pmatrix} \) и \ (\ vec {v} = \ begin {pmatrix} 0 \\ 10 \\ 14 \ end {pmatrix} \) найдите значение \ (q \), для которого \ (\ vec {u} \) и \ (\ vec {v} \) равны:
   1. параллельный
   2. перпендикуляр

---

4. Покажите этот треугольник ABC, в котором вершины \ (A \), \ (B \) и \ (C \) имеют координаты \ (A (0, -3,9) \), \ (B (5, -10, 10) \) и \ (C (2, -4,6) \) находится под прямым углом к ​​\ (C \).

---

5. Учитывая \ (\ vec {u} = \ begin {pmatrix} 2k \\ — 1 \\ 1 \ end {pmatrix} \) и \ (\ vec {v} = \ begin {pmatrix} k \\ k \\ — 1 \ end {pmatrix} \) перпендикулярны и \ (k> 0 \), найдите значение \ (k \).

Примечание : это упражнение можно загрузить как рабочий лист для практики: Рабочий лист 1

Выберите номер вопроса, для которого вы хотели бы видеть работу:

Qu.1 Qu. 2 Qu. 3 Qu. 4 Qu. 5

Точечное произведение двух векторов

Скалярное произведение двух векторов всегда является скалярным значением .По этой причине его иногда называют скалярным произведением . Полученное скалярное значение тесно связано с косинусом угла между двумя векторами, то есть углом, полученным при размещении их хвостом к хвосту, как показано ниже. Функция косинуса представляет собой тригонометрическую функцию , и, хотя вам не нужно глубокое понимание тригонометрии, чтобы понять материал на этой странице, вам необходимо знать, как использовать косинус — и арккосинус . кнопки на вашем калькуляторе правильно.Скалярное произведение двух векторов найти относительно легко. Нам просто нужно знать компоненты x и y для каждого вектора. Мы начнем с нахождения скалярного произведения двух векторов: a и b .

Мы хотим найти скалярное произведение векторов a и b

Скалярное произведение векторов выражается как a · b .Использование символа средней точки («·») здесь несколько необычно, поскольку обычно используется для обозначения умножения двух скалярных значений. В этом случае мы умножаем вместе компонентов двух векторов, то есть два компонента x умножаются вместе, а два компонента y умножаются вместе. Затем результаты этих операций умножения складываются для получения скалярного произведения. Нахождение скалярного произведения несложно, если вы знаете компоненты x и y двух векторов (обратите внимание, что мы также можем найти скалярное произведение трехмерных векторов — нам просто нужно включить произведение z компонентов).Скалярное произведение векторов a и b находится следующим образом:

a · b = a _x b _x + a _y b _y = (2) (2) (2) (- 1)) = 6 — 2 = 4

Мы можем использовать другой метод нахождения скалярного произведения, если нам известна величина звездной величины (т.е. длина) каждого вектора и угол θ между двумя векторами. Кстати, это та часть, где вам нужно использовать кнопку косинуса на вашем калькуляторе. На рисунке ниже еще раз показаны два вектора a и b . На этот раз также показаны величина каждого вектора и угол между ними.

Теперь мы знаем величину каждого вектора и угол между ними.

Вот уравнение для нахождения скалярного произведения векторов a и b с использованием функции косинуса.Обратите внимание, что величина вектора обозначается размещением имени вектора между двумя вертикальными полосами.

a · b = | a || b | cos ( θ )

Подставляя фактические значения, получаем:

a · b = 2.83 × 3,16 × 0,447 = 4,0

Это тот же ответ, который мы получили ранее, чего и следовало ожидать. Обратите внимание: если нам не даны длины векторов, мы всегда можем найти их, используя теорему Пифагора, если мы знаем компоненты x и y каждого вектора. Вы можете спросить себя, почему, если мы все равно знаем компоненты x и y , не могли бы мы просто использовать их для нахождения скалярного произведения, как мы это делали раньше.Если бы все, что мы хотели, — это найти скалярное произведение, было бы проще всего это сделать. С другой стороны, для многих проблем, с которыми мы сталкиваемся (например, в инженерии или физике), величина векторов и угол между ними являются известными величинами, и в этом случае, вероятно, проще использовать уравнение косинуса.

Возможность найти скалярное произведение двух векторов полезно в ряде ситуаций. Это позволяет нам, например, рассчитать объем работы, выполняемой какой-либо физической системой.Представьте трактор, тянущий бетонный блок, как показано ниже. Трактор тянет блок с постоянной силой так, чтобы он двигался горизонтально по земле.

Трактор тянет бетонный блок на расстояние | b |

Поскольку вектор a указывает в направлении, отличном от вектора b , только , приблизительно силы, прикладываемой трактором, действует в направлении, в котором движется блок.Работа, выполненная при перемещении блока, определяется как расстояние , пройденное на (заданное как | b | ), умноженное на прилагаемую силу , то есть этот компонент общей силы, прилагаемой трактором (заданной как | a | ), который действует в направлении движения (другими словами, в том же направлении, что и вектор b ). Фактически проделанная работа определяется скалярным произведением векторов a и b .

Выполненная работа = a · b = | a || b | cos ( θ )

Если бы трактор мог тянуть блок горизонтально, то все приложенной силы действовали бы в направлении вектора b .Возможно, этого можно было бы достичь, разместив буксирный крюк на тракторе на той же высоте, что и точка крепления на блоке. Вектор a будет тогда действовать в том же направлении, что и вектор b , а угол θ станет ноль градусов (что дает значение косинуса , единица ). Уравнение сводится к следующему:

Выполненная работа = a · b = | a || b | (сила умноженная на расстояние)

Может случиться так, что мы на самом деле не знаем угол между векторами a и b , и нам нужно его найти.Мы можем сделать это, изменив уравнение косинуса, как показано ниже (это та часть, где вам нужно использовать кнопку arccosine (обычно обозначается cos ^-1 ) на вашем калькуляторе. Тогда как кнопка косинус возвращает значение косинуса для заданного угла, кнопка arccosine () возвращает угол, соответствующий заданному значению косинуса). Вот преобразованное уравнение:

Подставляя фактические значения в уравнение, получаем:

θ = cos -1	4	= cos -1 (0.447) = 63,43 °
	2,83 × 3,16

Если вы попробуете произвести расчет самостоятельно, полученный ответ может немного отличаться от показанного из-за ошибок округления, но он должен быть достаточно точным для большинства целей. Здесь следует отметить, что, если векторы перпендикулярны (то есть под прямым углом друг к другу), значение cos ( θ ) будет ноль . Векторы, расположенные под прямым углом друг к другу, называются ортогональными .Иногда векторы параллельны друг другу (т.е. действуют в одном направлении). В этом случае угол θ будет ноль градусов, а значение cos ( θ ) будет единица .

Как мы видели выше, когда трактор тянет блок, сила прикладывается под углом к ​​направлению, в котором блок перемещается. Только или от общего усилия, прилагаемого трактором, выполняет работу, необходимую для перемещения блока.Нам часто нужно знать, какая часть приложенной силы используется для выполнения некоторой задачи в физической системе, чтобы мы могли повысить эффективность системы или чтобы мы могли предсказать поведение подобных систем. В случае нашего трактора сила, прикладываемая в направлении вектора b , будет составлять некоторую долю силы, действующей в направлении вектора a .

Мы можем узнать, какая часть общей силы, прилагаемой трактором, используется для вытягивания блока, используя так называемую скалярную проекцию (иногда называемую векторной проекцией ).Вероятно, лучший способ объяснить, как работает скалярная проекция, — это посмотреть на примере. На рисунке ниже снова показаны векторы a и b . На этот раз мы нарисовали скалярную проекцию вектора a на вектор b , для которого мы используем обозначение a _b . Как вы, вероятно, можете видеть из диаграммы, мы находим скалярную проекцию a _b , рисуя отрезок линии от вершины вектора a к вектору b таким образом, чтобы отрезок прямой был перпендикулярен вектору b .Скалярная проекция — это часть вектора b , которая находится между его хвостом и точкой, в которой его пересекает отрезок прямой.

Скалярная проекция

Мы можем использовать дальнейшую вариацию уравнения косинуса скалярного произведения, чтобы сказать нам, какая часть одного вектора проецируется на другой вектор. Скалярная проекция a на b (т.е. длина a _b ) определяется по формуле:

a _b = | a | cos ( θ )

и с тех пор

a · b = | a || b | cos ( θ )

потом

Подставляя фактические значения, получаем:

Из приведенного выше должно быть ясно, что все, что нам нужно для нахождения скалярного произведения двух векторов, — это компоненты векторов x и y .В качестве альтернативы, скалярное произведение можно найти, если мы знаем величину , величину (длину) векторов и угол между ними. Нам просто нужно применить немного тригонометрии. Точечное произведение очень полезно в ряде ситуаций, таких как вычисление работы, выполняемой физической системой, определение расстояния между точкой и линией или определение объема параллелепипеда (для тех, кто не знает, параллелепипед — это многогранник с шестью гранями, каждая из которых представляет собой параллелограмм!) На самом деле он встречается повсюду, поэтому вам было бы хорошо с ним ознакомиться.

[Линейная алгебра] 3. Точечное произведение. Определение точечного произведения | автор: июн | jun-devpBlog

1.2 Алгебраическое определение

Рисунок 5. Алгебраическое определение скалярного произведения

Скалярное произведение двух векторов 𝑎 и 𝑏 определяется, как указано выше. Обозначает суммирование, а 𝒏 указывает размерность векторного пространства.

Рисунок 6. Пример скалярного произведения алгебраическим способом

Даны векторы 𝑎 и 𝑏 , как показано на рисунке 2, результат 𝑎 ∙ 𝑏 может быть вычислен по формуле умножение пары элементов из 𝑎 и 𝑏 , имеющих одинаковый индекс, с последующим суммированием.В связи с этим очевидно, что результат « 𝑎 ∙ 𝑏’ равен 50 в приведенном выше случае.

Давайте введем ортогональный базис 𝐁, чтобы покрыть векторное пространство 𝐕. Поскольку любой базисный вектор 𝑒ᵢ в 𝐁 перпендикулярен всем другим базисным векторам 𝑒ⱼ , точечное произведение двух векторов 𝑒ᵢ и 𝑒ⱼ всегда равен нулю.и мы можем записать вектор и 𝑦 как линейную комбинацию базисных векторов. В случае, если размерность ‘n’ равна 2, тогда 𝑥 можно записать как 𝑥 = 𝑥₁𝑒₁ + 𝑥₂𝑒₂ ( 𝑥₁ и являются скалярным значением), а 𝑦 равно 𝑦 = 𝑦₁𝑒₁ + 𝑦₂𝑒₂.

Таким образом, согласно доказательству, показанному на рисунке 3, мы можем видеть, что результат

из 𝑥 ∙ 𝑦 идентичен 𝑥₁𝑦₁ + 𝑥₂𝑦₂.

Рис. 7. Доказательство формулы скалярного произведения для случая, когда размерность ‘n’ равна 2

Чтобы вычислить скалярное произведение произвольных векторов, мы можем использовать библиотеку Python под названием «NumPy». Приведенные ниже коды — это пример того, как его использовать.

[2] http: // blog.naver.com/PostView.nhn?blogId=destiny9720&logNo=221407625806&parentCategoryNo=&categoryNo=21&viewDate=&isShowPopularPosts=true&from=search

[3] m.n. jsjhahi & logNo = 199178105 & proxyReferer = https% 3A% 2F% 2Fwww.google.com% 2F

[4] https://en.wikipedia.org/wiki/Dot_product

[5] https://en.wikipedia.org/wiki/Dot_product

[5] //en.wikipedia.org/wiki/Dot_product

Точечное произведение

Точечное произведение
следующий: Свойства точки Up: векторов Предыдущая: Скалярное умножение

Скалярное произведение — это один из двух способов умножения двух векторов.В Результатом скалярного произведения является скалярная величина. Итак, начнем с двух векторы величин, скажем и, и образуют их точечный продукт, написано как. Ответом будет число, которое в некоторых смысл, говорит нам, насколько похожи два вектора. Более положительный ответ , тем ближе два вектора с точки зрения их направлений.

Один из способов вычисления скалярного произведения двух векторов показан ниже.

Точка product — это, более или менее, компонент первого вектора вдоль направление второго вектора.Простая тригонометрия показывает, что это должно быть таким же, как где угол между два вектора. По правде говоря, скалярное произведение также включает длину другой вектор, так что

Теперь легко увидеть, что если два вектора имеют одинаковые направления, то угол между векторами равен 0, поэтому скалярное произведение будет максимальным. Под какими углами исчезнет точечный продукт? Чтобы убедиться в этом, посмотрите анимацию ниже. На иллюстрации для простоты оба вектора имеют единичную длину.

Давайте воспользуемся этими идеями, чтобы придумать несколько простых точечных произведений.

1. Начнем с простого. Поскольку длина вектора равно 1, мы знаем, что, поскольку угол между векторов равен 0, что составляет косинус угла 1. Фактически, скалярное произведение любого единичного вектора с самим собой должен быть 1. Проверьте это и .
2. Что произойдет, если мы расставим точки на единичных базисных векторах по-другому? Попробуйте с и . Поскольку угол между векторами составляет 90 градусов, косинус угла равен 0, поэтому скалярное произведение также должно быть равно нулю.
3. Теперь перейдем к единичным векторам.

Это не так уж и плохо. Но как насчет более общих векторов, которые не указывают непосредственно по базисным векторам? К счастью для нас, есть свойства скалярный продукт, который нам помогает.

---

Векторное исчисление
Mon Jul 14 10:10:30 MST 1997

1.3: Точечное произведение — математика LibreTexts

Возможно, вы заметили, что, хотя в предыдущем разделе векторной алгебры мы определяли умножение вектора на скаляр, мы не определяли умножение вектора на вектор.{2} \) скалярное произведение:

\ [\ textbf {v} \ cdot \ textbf {w} = v_ {1} w_ {1} + v_ {2} w_ {2} \]

Обратите внимание, что скалярное произведение двух векторов является скаляром, а не вектором. Таким образом, ассоциативный закон, который выполняется для умножения чисел и для сложения векторов (см. Теорему 1.5 (b), (e)), выполняется для скалярного произведения векторов \ (\ textit {not} \). Почему? Поскольку для векторов \ (\ textbf {u} \), \ (\ textbf {v} \), \ (\ textbf {w} \) точечное произведение \ (\ textbf {u} \ cdot \ textbf {v} \) является скаляром, поэтому \ ((\ textbf {u} \ cdot \ textbf {v}) \ cdot \ textbf {w} \) не определен, поскольку левая часть этого скалярного произведения (часть в скобках) является скаляром, а не вектором.

Для векторов \ (\ textbf {v} = v_ {1} \ textbf {i} + v_ {2} \ textbf {j} + v_ {3} \ textbf {k} \) и \ (\ textbf {w} = w_ {1} \ textbf {i} + w_ {2} \ textbf {j} + w_ {3} \ textbf {k} \) в компонентной форме, точечное произведение по-прежнему будет \ (\ textbf {v} \ cdot \ textbf {w} = v_ {1} w_ {1} + v_ {2} w_ {2} + v_ {3} w_ {3} \).

Также обратите внимание, что мы определили скалярное произведение аналитическим способом, то есть путем ссылки на координаты вектора. Существует геометрический способ определения скалярного произведения, который мы сейчас разработаем как следствие аналитического определения.{\ circ} \). См. Рисунок 1.3.1.

Рисунок 1.3.1 Угол между векторами

Теперь мы можем получить более геометрическое представление о скалярном произведении, установив связь между скалярным произведением двух векторов и углом между ними.

Теорема 1.6

Пусть \ (\ textbf {v} \), \ (\ textbf {w} \) ненулевые векторы, и пусть \ (\ theta \) будет углом между ними. {2} \) аналогично).{2} — 2 (\ textbf {v} \ cdot \ textbf {w}) \ text {, поэтому} \\ [4pt] \ nonumber -2 \, \ norm {\ textbf {v}} \, \ norm { \ textbf {w}} \ cos \ theta & = -2 (\ textbf {v} \ cdot \ textbf {w}) \ text {, так как} \ textbf {v} \ neq \ textbf {0} \ text { и} \ textbf {w} \ neq \ textbf {0} \ text {then} \\ [4pt] \ nonumber \ cos \ theta & = \ dfrac {\ textbf {v} \ cdot \ textbf {w}} {\ norm {\ textbf {v}} \ norm {\ textbf {w}}} \ text {, поскольку} \ norm {\ textbf {v}}> 0 \ text {и} \ norm {\ textbf {w}}> 0. \\ [4pt] \ end {align} \]

Пример 1.5

Найдите угол \ (\ theta \) между векторами \ (\ textbf {v} = (2,1, -1) \) и \ (\ textbf {w} = (3, -4,1) \) .{\ circ} \ end {case} \]

Согласно следствию 1.8, скалярное произведение можно рассматривать как способ определения того, является ли угол между двумя векторами острым, тупым или прямым, в зависимости от того, является ли скалярное произведение положительным, отрицательным или нулевым соответственно. См. Рисунок 1.3.3.

Рисунок 1.3.3 Знак скалярного произведения и угол между векторами

Пример 1.6

Находятся ли векторы \ (\ textbf {v} = (-1,5, -2) \) и \ (\ textbf {w} = (3,1,1) \) перпендикулярно?

Решение

Да, \ (\ textbf {v} \ perp \ textbf {w} \), поскольку \ (\ textbf {v} \ cdot \ textbf {w} = (-1) (3) + (5) (1) + (-2) (1) = 0 \).

Следующая теорема суммирует основные свойства скалярного произведения.

Теорема 1.9: Основные свойства скалярного произведения

Для любых векторов \ (\ textbf {u}, \ textbf {v}, \ textbf {w} \) и скаляра \ (k \) имеем

1. \ (\ textbf {v} \ cdot \ textbf {w} = \ textbf {w} \ cdot \ textbf {v} \) Коммутативный закон
2. \ ((k \ textbf {v}) \ cdot \ textbf {w} = \ textbf {v} \ cdot (k \ textbf {w}) = k (\ textbf {v} \ cdot \ textbf {w}) \) Ассоциативный закон
3. \ (\ textbf {v} \ cdot \ textbf {0} = 0 = \ textbf {0} \ cdot \ textbf {v} \)
4. \ (\ textbf {u} \ cdot (\ textbf {v} + \ textbf {w}) = \ textbf {u} \ cdot \ textbf {v} + \ textbf {u} \ cdot \ textbf {w} \ ) Закон о распределении
5. \ ((\ textbf {u} + \ textbf {v}) \ cdot \ textbf {w} = \ textbf {u} \ cdot \ textbf {w} + \ textbf {v} \ cdot \ textbf {w} \ ) Закон о распределении
6. \ (| \ textbf {v} \ cdot \ textbf {w} | \ le \ norm {\ textbf {v}} \, \ norm {\ textbf {w}} \) Неравенство Коши-Шварца

Проба

Доказательства частей (a) — (e) являются прямым применением определения скалярного произведения и оставлены читателю в качестве упражнений.Докажем часть (е).

(f) Если либо \ (\ textbf {v} = \ textbf {0} \), либо \ (\ textbf {w} = \ textbf {0} \), то \ (\ textbf {v} \ cdot \ textbf {w} = 0 \) по части (c), поэтому неравенство тривиально выполняется. Итак, предположим, что \ (\ textbf {v} \) и \ (\ textbf {w} \) ненулевые векторы. Тогда по теореме 1.6

\ [\ nonumber \ begin {align} \ textbf {v} \ cdot \ textbf {w} & = \ cos \ theta \, \ norm {\ textbf {v}} \, \ norm {\ textbf {w}} \ text {, so} \\ [4pt] \ nonumber | \ textbf {v} \ cdot \ textbf {w} | & = | \ cos \ theta | \, \ norm {\ textbf {v}} \, \ norm {\ textbf {w}} \ text {, so} \\ [4pt] \ nonumber | \ textbf {v} \ cdot \ textbf {w} | & \ le \ norm {\ textbf {v}} \, \ norm {\ textbf {w}} \ text {Since} | \ cos \ theta | \ le 1.\\ [4pt] \ end {align} \]

Используя теорему 1.9, мы видим, что если \ (\ textbf {u} \ cdot \ textbf {v} = 0 \) и \ (\ textbf {u} \ cdot \ textbf {w} = 0 \), то \ ( \ textbf {u} \ cdot (k \ textbf {v} + l \ textbf {w}) = k (\ textbf {u} \ cdot \ textbf {v}) + l (\ textbf {u} \ cdot \ textbf {w}) = k (0) + l (0) = 0 \) для всех скаляров \ (k, l \). Таким образом, мы имеем следующий факт:

\ [\ nonumber \ text {Если \ (\ textbf {u} \ perp \ textbf {v} \) и \ (\ textbf {u} \ perp \ textbf {w} \), то \ (\ textbf {u } \ perp (k \ textbf {v} + l \ textbf {w}) \) для всех скаляров \ (k, l \).} \]

Для векторов \ (\ textbf {v} \) и \ (\ textbf {w} \) набор всех скалярных комбинаций \ (k \ textbf {v} + l \ textbf {w} \) называется \ (\ textbf {span} \) из \ (\ textbf {v} \) и \ (\ textbf {w} \). Если ненулевые векторы \ (\ textbf {v} \) и \ (\ textbf {w} \) параллельны, то их промежуток является линией; если они не параллельны, то их размах — плоскость. Итак, что мы показали выше, это то, что вектор, перпендикулярный двум другим векторам, также перпендикулярен их размаху.

Скалярное произведение можно использовать для получения свойств величин векторов, наиболее важным из которых является \ (\ textit {Triangle Inequality} \), как указано в следующей теореме:

Теорема 1.{2} \ text {и так} \\ [4pt]
\ norm {\ textbf {v} + \ textbf {w}} & \ le \ norm {\ textbf {v}} + \ norm {\ textbf {w }}
\ text {после извлечения квадратного корня из обеих частей, что доказывает (b).}
\ end {align *}

(c) Поскольку \ (\ textbf {v} = \ textbf {w} + (\ textbf {v} — \ textbf {w}) \), то \ (\ norm {\ textbf {v}} = \ norm {\ textbf {w} + (\ textbf {v} — \ textbf {w})} \ le \ norm {\ textbf {w}} + \ norm {\ textbf {v} — \ textbf {w}} \) неравенством треугольника, поэтому вычитание \ (\ norm {\ textbf {w}} \) с обеих сторон дает \ (\ norm {\ textbf {v}} — \ norm {\ textbf {w}} \ le \ norm { \ textbf {v} — \ textbf {w}} \).

Неравенство треугольника получило свое название от того факта, что в любом треугольнике ни одна сторона не длиннее суммы длин двух других сторон (см. Рисунок 1.3.4). Другой способ сказать это, используя известное утверждение: «Кратчайшее расстояние между двумя точками — прямая линия».

Рисунок 1.3.4

Авторы и авторства

Разница между скалярным произведением и кросс-произведением (с таблицей)

Векторная алгебра является неотъемлемой частью физико-математических наук.Это упрощает вычисления и помогает в анализе самых разных пространственных концепций. Вектор — это физическая величина, которая имеет как величину, так и направление. Его двойник — скалярная величина, которая имеет только величину, но не имеет направления.

Вектором можно управлять с помощью двух основных операций. Эти операции являются скалярным произведением и перекрестным произведением, и они сильно различаются.

Точечное произведение против перекрестного произведения

Разница между скалярным произведением и перекрестным произведением двух векторов состоит в том, что результат скалярного произведения является скалярной величиной, тогда как результат перекрестного произведения — векторной величиной.

Скалярное произведение двух векторов также называется скалярным произведением. Это произведение величины двух векторов и косинуса угла, который они образуют друг с другом.

Перекрестное произведение двух векторов также называется векторным произведением. Это произведение величины двух векторов и синуса угла, который они образуют друг с другом.

---

Таблица сравнения скалярного произведения и перекрестного произведения (в табличной форме)

Параметр сравнения	Точечное произведение	Перекрестное произведение
	Общее определение произведение величины векторов и cos угла между ними.	Перекрестное произведение — это произведение величины векторов и синуса угла, который они прилегают друг к другу.
Математическая связь	Скалярное произведение двух векторов A и B представлено как: Α.Β = ΑΒ cos θ	Перекрестное произведение двух векторов A и B представлено как: Α × Β = ΑΒ sin θ
Результат	Результат скалярного произведения векторов является скалярной величиной.	Результатом перекрестного произведения векторов является векторная величина.
Ортогональность векторов	Скалярное произведение равно нулю, когда векторы ортогональны (θ = 90 °).	Перекрестное произведение является максимальным, когда векторы ортогональны (θ = 90 °).
Коммутативность	Скалярное произведение двух векторов подчиняется закону коммутативности: A. B = B. A	Перекрестное произведение двух векторов не подчиняется закону коммутативности: A × B ≠ B × A

---

Скалярное произведение или скалярное произведение двух векторов — это произведение их величин и косинуса угла, образованного одним вектором над другим.Его также называют внутренним продуктом или проекционным продуктом.

Представляется как:

A · Β = | A | | B | cos θ

Результат — скалярная величина, поэтому она имеет только величину, но не направление.

Мы берем косинус угла для вычисления скалярного произведения, чтобы векторы были выровнены в одном направлении. Таким образом, мы получаем проекцию одного вектора на другой.

Для векторов с n размерностями скалярное произведение определяется как:

A · Β = Σ α¡b¡

Скалярное произведение имеет следующие свойства:

Α · b = b · α

• . распределительный закон.

Α · (b + c) = α · b + α · c

• Это следует скалярному закону умножения.

(λα) · (μb) = λμ (α · b)

Скалярное произведение имеет следующие приложения:

• Оно используется для определения расстояния между двумя точками на плоскости.

Используется для определения проекции точки на плоскость, когда известны ее координаты.

Перекрестное произведение или векторное произведение двух векторов — это произведение их величин и синуса угла между ними.Его также называют произведением направленной площади.

Представляется как:

A × Β = | A | | B | sin θ

Результат — другая векторная величина. Результирующий вектор перпендикулярен обоим векторам. Его направление можно определить с помощью правила правой руки.

При вычислении перекрестного произведения следует учитывать следующие правила:

• I × j = k
• J × k = i
• K × I = j

Где I, j и k — единичные векторы в направлениях x, y и z соответственно.

Перекрестное произведение имеет следующие свойства:

a × b = — (b × α)

• Оно подчиняется закону распределения.

a × (b + c) = α × b + α × c

• Это следует скалярному закону умножения.

(λα) × (b) = λ (α × b)

Перекрестное произведение имеет следующие приложения:

1. Оно используется для нахождения расстояния между двумя наклонными линиями.
2. Используется для определения компланарности двух векторов.

---

Основные различия между скалярным произведением и перекрестным произведением

Скалярное произведение и перекрестное произведение позволяют проводить вычисления в векторной алгебре. У них разные приложения и разные математические отношения.

Основными различиями между ними являются:

• Скалярное произведение двух векторов — это произведение их величин и косинуса угла, который они соединяют друг с другом. С другой стороны, произведение двух векторов является произведением их величин и синуса угла между ними.
• Соотношение для скалярного произведения: α • b = | a | | б | cos θ. С другой стороны, соотношение для перекрестного произведения: α × b = | α | | б | sin θ
• Результат скалярного произведения двух векторов является скалярной величиной, тогда как результат перекрестного произведения двух векторов является векторной величиной.
• Если два вектора ортогональны, то их скалярное произведение равно нулю, а их перекрестное произведение является максимальным.
• Скалярное произведение подчиняется коммутативному закону, тогда как перекрестное произведение антикоммутативно.

---

Векторная алгебра очень полезна в различных математических дисциплинах. Его использование очень распространено в геометрии и электромагнетизме. Скалярное произведение и векторное произведение векторов являются основными операциями в векторной алгебре. У них есть несколько приложений. Скалярное произведение вычисляет скалярную величину. Обычно это расстояние или длина.

Перекрестное произведение вычисляет векторную величину. Итак, мы получаем еще один вектор в космосе. Мы можем выполнять такие операции, как сложение, вычитание и умножение векторов.Смещение, скорость и ускорение — общие векторы в физике.

Концепция вектора возникла более 200 лет назад. С тех пор он процветал благодаря вкладу многих математиков и ученых.

---

Точечное произведение и перекрестное произведение (табличная форма)

Основное различие между скалярным произведением и перекрестным произведением состоит в том, что результат скалярного произведения является скалярной величиной. С другой стороны, результат перекрестного произведения является векторной величиной.

Двумя основными способами манипулирования векторными алгебраическими операциями являются скалярное произведение и перекрестное произведение. Фактически, они самые важные.

Ну, прежде чем перейти к вопросам, например, почему скалярное произведение двух векторов является скаляром? Или почему произведение двух векторов является вектором? Позвольте мне дать вам краткий обзор основных различий между скалярным произведением и перекрестным произведением.

Точечное произведение и перекрестное произведение (табличная форма)

	Точечное произведение	Перекрестное произведение
1.	Скалярное произведение — это произведение величины векторов и косинуса угла между ними.	Перекрестное произведение — это произведение величины векторов и синуса угла между ними.
2.	Математически скалярное произведение представлено как A. B = A B Cos θ	Математически перекрестное произведение представлено как A × B = A B Sin θ
3.	Конечный результат скалярного произведения векторов является скалярной величиной.	Конечным результатом перекрестного произведения векторов является векторная величина.
4.	Скалярное произведение векторов не имеет направления, потому что это скаляр.	Направление векторного произведения векторов задается правилом правой руки.
5.	Если векторы перпендикулярны друг другу, то их скалярное произведение равно нулю, то есть A. B = 0	Если векторы параллельны друг другу, то их векторное произведение равно нулю i.e A × B = 0
6.	Скалярное произведение строго следует коммутативному закону.	Перекрестное произведение не подчиняется закону коммутативности.
7.	Скалярные произведения являются распределительными по сравнению с сложением.	Перекрестные произведения также являются распределительными поверх сложения.
8.	Они следуют скалярному закону умножения.	Они тоже следуют скалярному закону умножения.

Как и в приведенной выше табличной форме «Точечное произведение против перекрестного произведения», вы получили представление об этих двух алгебраических операциях с векторами.И наоборот, чтобы познакомиться с ними подробно, давайте попробуем разобраться в них обоих в подробном формате. Продолжай читать!

Что такое точечный продукт?

Иллюстрация, показывающая, как найти угол между векторами с помощью скалярного произведения. Предоставлено: Wikimedia Commons

Скалярное произведение — это не что иное, как произведение величины векторов и косинуса угла между ними. Результат скалярного произведения векторов всегда является скалярной величиной. Следовательно, результат имеет только величину.

Чтобы выровнять векторы в одном направлении, мы берем косинус угла между векторами. В результате результат скалярного произведения векторов не имеет направления, поэтому его также называют скалярным произведением.

Помимо того, что скалярное произведение известно как скалярное произведение, оно также называется внутренним произведением или просто проекционным произведением.

Формула скалярного произведения

Согласно определению скалярного произведения, есть два способа записать формулу скалярного произведения.Давайте познакомимся с ними по порядку подробно.

Алгебраическое определение

Предположим, есть два вектора;

Где, a = [a1, a2, a3,… .., an]

b = [b1, b2, b3, ……, bn]

Согласно алгебраическому определению, формула векторного скалярного произведения имеет следующий вид:

А. B = ∑ ai. bi = a1b1 + a2b2 + a3b3 + …… + anbn

Где ∑ означает суммирование, а n — размерность векторного пространства.

Геометрическое определение

Согласно геометрическому определению, векторное внутреннее произведение или формула скалярного произведения:

A · Β = | A | | B | cos θ

Где A и B — евклидовы векторы, а θ — угол между векторами.

Специальное упоминание

При вычислении векторного скалярного произведения следует учитывать следующий набор правил.

• i. i = 1 , т.е. j = 0, т.е. k = 0
• дж. i = 0, Дж. j = 1 , j. к = 0
• к. я = 0, к. j = 0, к. k = 1

Где i, j, k — единичные векторы в направлениях x, y и z.

Свойства скалярного произведения

Помимо того, что скалярное произведение является скалярным по своей природе, оно обладает следующими свойствами:

Коммутативный

Точечные произведения или векторные скалярные произведения являются коммутативными по своей природе.

A · Β = | A | | B | cos θ = | B | | A | cos θ = A. B

Или просто A .B = B. A

Distributive

Точечные продукты являются распределительными по своей природе.

Α · (B + C) = A · B + A · C

Скалярный закон умножения

Точечные произведения строго подчиняются скалярному закону умножения.

(мкА). (νB) = μν (A. B)

Ортогонально

Скалярное произведение двух векторов ортогонально, только и только если их произведение равно нулю i.е θ = 90 °.

А. B = 0

Приложения скалярного произведения

Точечные произведения или скалярные произведения в основном используются для определения длины между двумя точками на плоскости, конечно, когда их координаты известны.

Что такое перекрестное произведение?

Векторное произведение векторов — это не что иное, как произведение величины векторов и синуса угла между ними. Результат перекрестного произведения векторов всегда является векторной величиной, поэтому также известен как векторное произведение.Иллюстрация, показывающая, как найти направление перекрестного произведения по правилу правой руки.

Следовательно, результат имеет не только направление, но и величину. Результирующий вектор векторного произведения двух векторов всегда перпендикулярен. Следовательно, направление векторного произведения векторов можно определить по правилу правой руки.

Помимо того, что векторное произведение известно как векторное произведение, оно также называется произведением направленной площади.

Формула перекрестного произведения

Иллюстрация перекрестного произведения в правой системе координат.Предоставлено: Wikimedia Commons

Формула векторного векторного произведения определяется как:

A × Β = | A | | B | sin θ n

Где A и B — два вектора, θ — угол между A и B, а | A | и | B | — величины двух векторов. И, конечно же, n — это единичный вектор, перпендикулярный плоскости, содержащей A и B.

Специальное упоминание

При вычислении вектора или векторного произведения следует учитывать следующий набор правил.

• i × j = k
• j × k = i
• k × i = j

Где i, j, k — единичные векторы в направлениях x, y и z.

Свойства перекрестного произведения

Помимо векторного по своей природе, перекрестное произведение обладает следующими свойствами:

Некоммутативное

Перекрестное произведение некоммутативно по своей природе.

A × B ≠ B × A

Распределительный

Как и точечные произведения, перекрестные произведения также являются распределительными по своей природе.

A × (B + C) = (A × B) + (A × C)

Скалярный закон умножения

Перекрестные произведения также совместимы со скалярным законом умножения.

(мкА) × (B) = μ (A × B)

Ортогонально

Перекрестное произведение двух векторов ортогонально, только и только если их произведение является максимальным, т. Е. Θ = 90 °.

Приложения перекрестного произведения

Перекрестные произведения или векторные произведения в основном используются в вычислительной геометрии, например, для определения расстояния между двумя наклонными линиями. Они также часто используются, чтобы определить, являются ли два вектора компланарными или нет.

Вот и все.Если вам нравится эта статья, поделитесь ею, если хотите, понравится, если вы поделитесь ею. Вы также можете найти нас на Mix, Twitter, Pinterest и Facebook. Привет, чувак, если вы зашли так далеко, дайте нам обратную связь в разделе комментариев.