B), если угол между ними прямой. Нулевой вектор считается ортогональным любому. Из определения скалярного произведения вытекает, что

(символом Û обозначается эквивалентность утверждений).

Остановимся на основных свойствах скалярного произведения.

1. Ab = ba.

2. (λA)B = λ(Ab).

3. Ab = |A| прА b.

4. A(B + c) = Ab + ac.

Доказательство.

В силу свойства 3 и (6)

A(B + c) = |A| прA (B + c) = |A|(прA B + прA C) = |A| прA B + |A| ПрA C = ab + ac.

5. Скалярным квадратом вектора

А называется величина А2 = Аа. Из определения скалярного произведения получаем

А2 = |A|2. (8)

6. Если A = (X1,Y1,Z1) и B = (X2,Y2,Z2), то

Доказательство.

Имеем

Ab = (X1 i + y1 J + z1 K)( x2 i + y2 J + z2 K) = X1X2 I2 + Y1X2 Ji + Z1X2 Ki + X1Y2 Ij +

+ Y1Y2 J2 +

Z1Y2 Kj + X1Z2 Ik + Y1Z2 Jk + Z1Z2 K2.

Поскольку Ij = Ik = Jk = 0, I2 = J2 = K2 = 1, получаем

Ab = x1X2 + Y1Y2 + Z1Z2.

7. Если A = (X,Y,Z), то

Доказательство.

Из свойств 5 и 6 получаем

Из равенства (7) и свойства 7 вытекает, что направляющие косинусы связаны соотношением

Cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1.

8. Если A = (X1,Y1,Z1) и B = (X2,Y2,Z2), а φ – угол между векторами А и B, то

Доказательство.

Из свойств 6 и 7 получаем

9. Если A = (X1,Y1,Z1) и B = (X2,Y2,Z2), то

ПрB A

=

Доказательство.

Обозначим через φ угол между векторами А и B. Тогда из свойства 8 получаем

Рассмотрим выражение (A + b)2. Имеем

(A + b)2 = (A + b)(A + b) = A2 + 2Ab + B2.

Пользуясь равенством (8) и определением скалярного произведения, получаем

|A + B|2 = |A|2 + 2|A||B| + |B|2, (9)

Где φ – угол между векторами А и B. Рассмотрим треугольник с вершинами в

Точках А, В и С.

Рис. 11

Пусть А = B = Тогда = A + B. Положим α = R АВС. В силу того, что α = π – φ, cos α = — cos φ. Поэтому из (9) получаем известную теорему косинусов:

Пример 2. Даны координаты вершин треугольника A = {1, 1, 2},

B = {1, 6, 3} и C = {4, 5, 2}. Найти координаты проекции точки В на сторону АС.

Рис. 12

Обозначим проекцию точки В на сторону АС через В′. Тогда

Имеем

Поэтому

Следовательно,

Отсюда

Упражнение 1.

В треугольнике с вершинами в точках A = {1, -2, 3},

B = {2, -2, 3} и C = {2,0,3} найти угол между медианой, проведенной из вершины А, и стороной АВ.

Решение

Найдем координаты вектора

Пусть точка М – середина стороны ВС, тогда

Найдем косинус искомого угла:

< Предыдущая		Следующая >

Скалярное произведение векторов. Векторное произведение векторов. Смешанное произведение векторов.

Под углом между векторами мы понимаем угол между векторами, равными данным и имеющим общее начало. Если нет ни каких указаний, то углом между векторами считается тот, который меньше .

Скалярным произведением двух не нулевых векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Признак перпендикулярности векторов: скалярное произведение не нулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда векторы перпендикулярны

.

т.к.

Скалярное произведение может быть вычислено, если известны координаты веторов: . Скалярное произведение равно сумме произведений одноименных координат.

С помощью скалярного произведения вычисляют угол между векторами .

Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется право ориентированной или правой тройкой векторов, если из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого ко второму виден против часовой стрелки. В противоположном случае тройка называется левой.

Пусть даны векторы . Построим вектор , удовлетворяющий условиям:

a) ;

b) ;

c) образуют правую тройку векторов.

Вектор называется векторным произведением

векторов . .

антикоммутативность (следует из определения)

Геометрический смысл векторного произведения: — численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах .

Векторное произведение не нулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда векторы коллинеарны.

,

т.е. векторы коллинеарны.

Смешанное произведение векторов.

Число называется смешанным произведением векторов иобозначается .

Геометрический смысл: смешанное произведение не компланарных векторов равно по модулю объему параллелепипеда построенных на этих векторах. Смешанное произведение положительно, если векторы образуют правую тройку векторов, и отрицательно, если векторы образуют левую тройку векторов.

Знак смешанного произведения совпадает со знаком . Если векторы лежат по одну сторону плоскости , то и тройка векторов – правая; если векторы лежат по разные стороны плоскости , то и ройка векторов – левая.

Смешанное произведение не нулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда векторы компланарны.

При перестановке множителей в смешанном произведении абсолютная величина числа не меняется, быть может, изменится, только знак

Смешенное произведение векторов равно определителю третьего порядка, составленному из координат векторов.

Плоскость в пространстве.

В прямоугольной декартовой системе координат каждая плоскость может быть задана линейным уравнением вида: , которое называется «общее уравнение»

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору, имеет вид .

Геометрический смысл коэффициентов при неизвестных уравнения общего уравнения плоскости – координаты нормального вектора плоскости.

Если плоскость проходит через заданную точку компланарно двум векторам , то уравнение плоскости можно написать так: , раскрывая определитель, получим уравнение плоскости.

Если плоскость проходит через три заданные точки , то уравнение плоскости получим из условия

Если плоскость отрезает на координатных осях не нулевые отрезки т.е. пересекает координатные оси в точках , то получим уравнение плоскости в отрезках

Расстояние от точки до плоскости можно вычислить по формуле

.

Пусть даны две плоскости и .

а) если плоскости пересекаются, то их нормальные векторы и не коллинеарны, т.е. или .

б) если плоскости параллельны (но не совпадают), то , то

.

в) если плоскости совпадают, то .

Прямая в пространстве.

В прямоугольной декартовой системе координат

Каждая прямая может быть задана, как линия пересечения двух непараллельных плоскостей

Верно обратное утверждение: каждое уравнение указанного вида при определяет прямую в пространстве.

Однако более удобно при решении задач использовать другие уравнения.

– параметрическое уравнение прямой или

– каноническое уравнение прямой (два линейно независимых уравнения), где – направляющий вектор прямой, а точка принадлежит прямой.

Через две заданные точки M₁(x₁; y₁; z₁), M₂(x₂; y₂; z₂) можно провести прямую, уравнение которой находится по формуле

Пусть даны уравнения двух прямых.

L₁: L₂:

а) прямые скрещиваются (не лежат в одной плоскости), если выполняется условие

б) прямые пересекаются если

и .

в) прямые параллельны если

, .

г) прямые совпадают три вектора коллинеарны.

Углом между двумя прямыми называется любой из двух углов между двумя параллельными им прямыми, проходящими через произвольную точку пространства. Вычислить косинус угла можно вычислить по формуле

.

Пусть дана прямая и плоскость

а) плоскость и прямая пересекаются если .

б) плоскость и прямая параллельны если

, но .

в) прямая лежит в плоскости если.

и .

Углом между прямой и плоскостью называется, меньший из двух углов между этой прямой и ее ортогональной проекцией на эту плоскость.

.

Прямая и плоскость перпендикулярны, если коллинеарны.

Для того чтобы найти точку пересечения прямой и плоскости.

Воспользуемся параметрическим уравнением прямой и составим систему

Если , то система имеет единственное решение, а значит общая точка находится однозначно.

Прямая на плоскости.

Любая прямая на плоскости может быть задана линейным уравнением .

Верно и обратное утверждение: любое линейное уравнение определяет некоторую прямую.

– уравнениепрямой проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору .

Пусть — угол, который прямая L образует с положительным направлением оси ox. Тогда уравнение прямой можно записать в виде: или , где k называется угловым коэффициентом, а b начальной ординатой. Если выразить y из общего уравнения, то получим равенство: . Таким образом,

Пусть точка M₀(x₀; y₀) принадлежит прямой L, уравнение которой , т.е. y₀ = kx₀ + b и y – y₀ = k(x –x₀) – уравнение прямой, проходящей через заданную точку в заданном направлении.

Пусть прямая L проходит через точку M₀(x₀; y₀) параллельно заданному вектору – направляющему вектору данной прямой. Тогда

– параметрическое уравнение,

а – каноническое уравнение прямой.

Можно написать уравнение прямой проходящей через две заданные точки : .

Две прямые L₁ : и L₂ : на плоскости либо пересекаются, либо параллельны, либо совпадают.

В первом случае нормальные векторы не коллинеарны; т.е. или . При этом условии система

имеет единственное решение, так как главный определитель

Если прямые L₁ и L₂ параллельны, то и

Если прямые L₁ и L₂ совпадают, то нетрудно видеть, что и

Угол между двумя прямыми L₁ и L₂ определяется углом между их нормальными векторами : .

Угол между двумя прямыми может быть найден с помощью угловых коэффициентов. Рассмотрим прямые L₁ и L₂ ,

которые составляют с координатной осью углы .

Если угол между прямыми L₁ и L₂ , тогда , или .

Если прямые параллельны, то – условие параллельности прямых.

Если прямые перпендикулярны, то – условие перпендикулярности векторов.

Пусть даны прямая L Ax + By + С = 0 и точка не лежащая на данной прямой. Расстояние от точки до прямой можно вычислить по формуле .

Кривые второго порядка.

Общее уравнение кривой второго порядка имеет вид

I. Эллипс.

Определение: Эллипсом называется множество точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть данное число 2a, большее, чем расстояние 2c между фокусами.

Каноническое уравнение эллипса: .

Число a называется большая полуось, b – малая полуось, причем .

Из уравнения следует, что , т.е. все точки эллипса лежат внутри прямоугольника .

Эллипс имеет центр симметрии – начало координат, и две оси симметрии – координатные оси. Если a = b, то уравнение принимает вид: . Т.е. окружность есть частный случай эллипса.

Отношение расстояния между фокусами 2c к длине большой полуоси 2a называется эксцентриситет и обозначается . Т.к. ; т.к. т.е. эксцентриситет определяет форму эллипса.

II. Гипербола

Определение: Гиперболой называется множество точек плоскости, для каждой из которых абсолютная величина разности расстояний до двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть данное положительное число 2a, меньшее, чем расстояние 2c между фокусами.

Уравнение называется каноническим уравнением гиперболы. Число a называется действительная полуось, а b – мнимая полуось, причем по определению .

Из уравнения (2) следует, что . Ось ox пересекает гиперболу в двух точках A₁(–a; 0) и A₂(a; 0) и называется действительной осью гиперболы. Ось oy не пересекает гиперболу и называется мнимой осью. Две прямые являются асимптотами гиперболы.

Асимптоты гиперболы являются диагоналями прямоугольника со сторонами .

Отношение расстояния между фокусами 2c к действительной оси 2a называется эксцентриситетом гиперболы и обозначается . Т.к. , т.е. эксцентриситет определяет форму гиперболы

Уравнение определяет гиперболу сопряженную данной. У них меняются местами действительная и мнимая оси.

III. Парабола

Определение: Параболой называется множество точек плоскости, для каждой из которых расстояние до некоторой фиксированной точки плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, не проходящей через фокус, и называемой директрисой.

Расстояние от фокуса параболы до ее директрисы называется параметром (p>0). Эксцентриситет параболы принимается равным единице .

Каноническое уравнение параболы .

Ось ox является осью параболы, начало координат – вершиной, уравнение директрисы .

 

Свойства скалярного произведения векторов

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

   

Замечание. Если хотя бы один из двух векторов нулевой, то их скалярное произведение равно нулю.

Свойства скалярного произведения векторов

1. Скалярное произведение вектора самого на себя называется скалярным квадратом:

   

Скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля:

   

2. .

3. .

4. .

5. Длина вектора равна

   

6. Величина угла (а точнее косинус этого угла) между ненулевыми векторами и равна частному скалярного произведения этих векторов и произведения их длин:

   

7. Два ненулевых вектора и ортогональны (перпендикулярны) тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю:

   

8. Угол между двумя ненулевыми векторами и является острым тогда и только тогда, когда их скалярное произведение положительно; и является тупым – когда скалярное произведение отрицательно.

9. Длина проекции вектора на ось, образованную вектором , равна скалярному произведению этих векторов, деленному на модуль вектора :

   

10. Если векторы и заданы своими координатами, то их скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат:

   

Примеры решения задач

ПРИМЕР

Задание	Найти модуль вектора , если
Решение	Модуль вектора равен корню квадратному из скалярного квадрата этого вектора:
Ответ

ПРИМЕР

Задание	Найти скалярное произведение векторов и
Решение	Искомое скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат рассматриваемых векторов, то есть
Ответ

Скалярное произведение векторов / Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов / Справочник по геометрии 7-9 класс

1. Главная
2. Справочники
3. Справочник по геометрии 7-9 класс
4. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов
5. Скалярное произведение векторов

Определение

Пусть нам даны векторы и , тогда их скалярное произведение будет обозначаться так: или .

Из определения мы можем записать:

             (1)

Утверждение:

Скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны.

Доказательство:

Пусть , т.е. = 90⁰, тогда , а, значит, = 0.

Пусть и ненулевые, при этом = 0, тогда из равенства (1) получаем, что , а, значит, = 90⁰, т.е. . Следовательно, утверждение верно.

Так как при ( при ) тогда из формулы (1) следует, что скалярное произведение ненулевых векторов и положительно (отрицательно) тогда и только тогда, когда ().

Пусть векторы и будут являться сонаправленными, тогда угол между ними будет равен 0⁰ и , тогда из формулы (1) получим . Частным случаем является произведение вектора на себя, т.е.

Скалярное произведение называется скалярным квадратом вектора и обозначается . Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

Синус, косинус, тангенс, котангенс

Основное тригонометрическое тождество. Формулы приведения.

Формулы для вычисления координат точки

Теорема о площади треугольника

Теорема синусов

Теорема косинусов

Решение треугольников

Измерительные работы

Угол между векторами

Скалярное произведение в координатах

Свойства скалярного произведения векторов

Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов

Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Задание 1042, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1044, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1051, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1054, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 17, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 20, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 21, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 22, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1067, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1069, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

---

© budu5.com, 2021

Пользовательское соглашение

Copyright

Скалярное произведение векторов

Вы уже знакомы с понятием угла между векторами в пространстве. Поэтому на этом уроке мы приступим к рассмотрению скалярного произведения векторов в пространстве.

Как и на плоскости, скалярное произведение двух векторов в пространстве равно произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Задание: по рисунку определить величину угла между векторами.

Рассмотрим куб АBCDА₁B₁C₁D₁, сторона которого равна a, а точка О₁ — центр грани А₁B₁C₁D₁.

Мы с вами выполнили задание, где нашли скалярное произведение данных пар векторов.

Можно заметить, что, если угол между векторами острый, то скалярное произведение больше нуля. А если угол между векторами тупой, то их скалярное произведение меньше нуля. И только лишь когда векторы перпендикулярны, их скалярное произведение равно нулю. В данном случае, конечно, имеется в виду, что рассматриваемые векторы ненулевые.

А сейчас попробуем разобраться, как находить скалярное произведение векторов по их координатам.

На плоскости скалярное произведение двух векторов равнялось сумме произведений соответствующих координат. В пространстве имеет место такая же формула.

Задание: по координатам векторов ,  и  найти значения выражений: , , , , .

Решение:

Задание: пользуясь координатами векторов , , , выяснить, каким является угол между парами векторов: острым, прямым или тупым.

а)                             б)                             в)

Решение:

Итак, мы узнали и использовали 2 формулы скалярного произведения.

Выразив из первой формулы косинус угла между векторами, скалярное произведение можно расписать по второй формуле. А вот длины векторов запишем как корни квадратные из сумм квадратов их соответствующих координат.

Так мы получили формулу вычисления косинуса угла между векторами по их координатам.

Задание: найти угол между векторами  и .

а) , , б) , , в) , , г) , , д) , .

Решение:

Стоит отметить, что для скалярного произведения векторов в пространстве справедливы те же свойства, что и для скалярного произведения на плоскости.

Скалярный квадрат вектора всегда больше либо равен нулю.

; , если

А также можно записать переместительный, распределительный и сочетательный законы скалярного произведения. Они позволят в будущем преобразовывать выражения с векторами.

 (переместительный закон)

 (распределительный закон)

 (сочетательный закон)

Итоги:

На этом уроке мы сформулировали определение скалярного произведения двух векторов в пространстве, записали формулу вычисления скалярного произведения векторов по их координатам и получили формулу вычисления косинуса угла между двумя векторами. Помимо этого, для скалярного произведения в пространстве имеют место те же свойства, что и на плоскости.

Скалярное произведение — Math Insight

Скалярное произведение двух векторов основано на проекции одного вектора на другой. Представим, что у нас есть два вектора $ \ vc {a} $ и $ \ vc {b} $, и мы хотим вычислить, какая часть $ \ vc {a} $ указывает в том же направлении, что и вектор $ \ vc {b} $. Нам нужна величина, которая была бы положительной, если два вектора указывают в аналогичных направлениях, ноль, если они перпендикулярны, и отрицательные если два вектора указывают почти в противоположных направлениях.Мы определим скалярное произведение между векторами, чтобы зафиксировать эти величины.

Но сначала обратите внимание, что вопрос «сколько $ \ vc {a} $ указывает в том же направлении, что и вектор $ \ vc {b} $» не имеет ничего общего с величиной (или длиной) $ \ vc {b} $; он основан только на своем направлении. (Напомним, что у вектора есть величина и направление.) Ответ на этот вопрос не должен зависеть от величины $ \ vc {b} $, а только от его направления.Чтобы избежать путаницы, вызванной величиной $ \ vc {b} $, давайте масштабируем вектор так, чтобы он имел длину, равную единице. Другими словами, давайте заменим $ \ vc {b} $ единичным вектором, который указывает в том же направлении, что и $ \ vc {b} $. Мы назовем этот вектор $ \ vc {u} $, который определяется $$ \ vc {u} = \ frac {\ vc {b}} {\ | \ vc {b} \ |}. $$

Скалярное произведение $ \ vc {a} $ с единичным вектором $ \ vc {u} $, обозначенное $ \ vc {a} \ cdot \ vc {u} $ определяется как проекция $ \ vc {a} $ в направление $ \ vc {u} $ или сумма, на которую указывает $ \ vc {a} $ в том же направлении, что и единичный вектор $ \ vc {u} $.Предположим на мгновение, что $ \ vc {a} $ и $ \ vc {u} $ указывают в аналогичные направления. Тогда вы можете представить $ \ vc {a} \ cdot \ vc {u} $ как длину тени. из $ \ vc {a} $ на $ \ vc {u} $, если их хвосты были вместе и солнце светило с направления, перпендикулярного $ \ vc {u} $. Сформировав прямоугольный треугольник с $ \ vc {a} $ и этой тенью, вы можно использовать геометрию, чтобы вычислить, что \ begin {gather} \ vc {a} \ cdot \ vc {u} = \ | \ vc {a} \ | \ cos \ theta, \ label {dot_product_unit} \ end {gather} где $ \ theta $ — угол между $ \ vc {a} $ и $ \ vc {u} $.

Если бы $ \ vc {a} $ и $ \ vc {u} $ были перпендикулярны, тени не было бы. Это соответствует случаю, когда $ \ cos \ theta = \ cos \ pi / 2 = 0 $ и $ \ vc {a} \ cdot \ vc {u} = 0 $. Если бы угол $ \ theta $ между $ \ vc {a} $ и $ \ vc {u} $ был больше $ \ pi / 2 $, тогда тень не попадет в $ \ vc {u} $. Поскольку в этом случае $ \ cos \ theta

Но нам нужно вернуться к скалярному произведению $ \ vc {a} \ cdot \ vc {b} $, где $ \ vc {b} $ может иметь величину, отличную от единицы.Это точечное произведение $ \ vc {a} \ cdot \ vc {b} $ должно зависеть от величины обоих векторы, $ \ | \ vc {a} \ | $ и $ \ | \ vc {b} \ | $, и быть симметричным по этим векторам. Следовательно, мы не хотим определять $ \ vc {a} \ cdot \ vc {b} $ как точно проекция $ \ vc {a} $ на $ \ vc {b} $; мы хотим свести его к этой проекции для случая, когда $ \ vc {b} $ — единичный вектор. Мы можем сделать это очень легко: просто вставьте определение $ \ vc {u} = \ frac {\ vc {b}} {\ | \ vc {b} \ |} $ в наше определение скалярного произведения уравнения \ eqref {dot_product_unit }.Это приводит к определению, что скалярное произведение $ \ vc {a} \ cdot \ vc {b} $, деленное на величину $ \ | \ vc {b} \ | $ из $ \ vc {b} $, является проекцией $ \ vc {a} $ на $ \ vc {b} $. $$ \ frac {\ vc {a} \ cdot \ vc {b}} {\ | \ vc {b} \ |} = \ | \ vc {a} \ | \ cos \ theta. $$ Тогда, если мы умножим на на $ \ | \ vc {b} \ | $, мы получим красивый симметричное определение скалярного произведения $ \ vc {a} \ cdot \ vc {b} $. \ begin {gather} \ vc {a} \ cdot \ vc {b} = \ | \ vc {a} \ | \ | \ vc {b} \ | \ cos \ theta. \ label {dot_product_definition} \ tag {2} \ end {gather}

Изображение геометрической интерпретации $ \ vc {a} \ cdot \ vc {b} $ почти идентична изображению выше для $ \ vc {a} \ cdot \ vc {u} $.Нам просто нужно помнить, что мы должны разделить на $ \ | \ vc {b} \ | $ чтобы получить проекцию $ \ vc {a} $ на $ \ vc {b} $.

В следующем интерактивном апплете вы можете изучить это геометрическая интерпретация скалярного произведения и посмотрите, как это зависит от векторов и угла между ними. (В сообщенном номере не должно быть зависят от длины $ \ | \ vc {b} \ | $, так как мы разделили на эту величину.)

Скалярное произведение как проекция. Точечное произведение векторов $ \ vc {a} $ (синим цветом) и $ \ vc {b} $ (зеленым цветом) при делении на величину $ \ vc {b} $ является проекцией вектора $ \ vc {a} $ на $ \ vc {b} $. Эта проекция иллюстрируется отрезком красной линии от хвоста $ \ vc {b} $ до проекции головы $ \ vc {a} $ на $ \ vc {b} $. Вы можете изменить векторы $ \ vc {a} $ и $ \ vc {b} $, перетаскивая точки на их концах или перетаскивая сами векторы. Обратите внимание на то, что скалярное произведение положительно для острых углов и отрицательно для тупых.Сообщаемое число не зависит от $ \ | \ vc {b} \ | $ только потому, что мы разделили на эту величину.

Подробнее об апплете.

Геометрическое определение уравнения \ eqref {dot_product_definition} проясняет свойства скалярного произведения. Из формулы сразу видно, что скалярное произведение $ \ vc {a} \ cdot \ vc {b} $ положительно для острых углов и отрицательно для тупых. Формула показывает, что скалярное произведение линейно растет с длиной обоих векторов и является коммутативным, т.е.е., $ \ vc {a} \ cdot \ vc {b} = \ vc {b} \ cdot \ vc {a} $.

Однако геометрическая формула \ eqref {dot_product_definition} не удобна для вычисления скалярного произведения, когда нам даны векторы $ \ vc {a} $ и $ \ vc {b} $ в терминах их компонентов. Чтобы облегчить такие вычисления, мы выводим формулу для скалярного произведения в терминах компонентов вектора. Имея такую ​​формулу в руках, мы можем просмотреть примеры вычисления скалярного произведения.

11.3: Точечное произведение — математика LibreTexts

Если мы применяем силу к объекту так, что объект перемещается, мы говорим, что работа выполняется за счет силы.Ранее мы рассматривали постоянную силу и предполагали, что сила приложена в направлении движения объекта. В этих условиях работа может быть выражена как произведение силы, действующей на объект, и расстояния, на которое объект перемещается. Однако в этой главе мы увидели, что и сила, и движение объекта могут быть представлены векторами.

В этом разделе мы разрабатываем операцию, называемую скалярным произведением, которая позволяет нам вычислять работу в случае, когда вектор силы и вектор движения имеют разные направления.Точечный продукт по существу говорит нам, какая часть вектора силы приложена в направлении вектора движения. Скалярное произведение также может помочь нам измерить угол, образованный парой векторов, и положение вектора относительно осей координат. Он даже обеспечивает простой тест, чтобы определить, встречаются ли два вектора под прямым углом.

Точечное произведение и его свойства

Мы уже научились складывать и вычитать векторы. В этой главе мы исследуем два типа умножения векторов.Первый тип умножения векторов называется скалярным произведением на основе обозначений, которые мы используем для него, и определяется следующим образом:

Определение: скалярное произведение

Точечное произведение векторов \ (\ vecs {u} = ⟨u_1, u_2, u_3⟩ \) и \ (\ vecs {v} = ⟨v_1, v_2, v_3⟩ \) дается как сумма изделий из комплектующих

\ [\ vecs {u} ⋅ \ vecs {v} = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3. \]

Обратите внимание, что если \ (u \) и \ (v \) — двумерные векторы, мы вычисляем скалярное произведение аналогичным образом.Таким образом, если \ (\ vecs {u} = ⟨u_1, u_2⟩ \) и \ (\ vecs {v} = ⟨v_1, v_2⟩, \), то

\ [\ vecs {u} ⋅ \ vecs {v} = u_1v_1 + u_2v_2. \]

Когда два вектора объединяются путем сложения или вычитания, результатом является вектор. Когда два вектора объединяются с использованием скалярного произведения, результатом является скаляр. По этой причине скалярное произведение часто называют скалярным произведением . Его также можно назвать внутренним продуктом .

Пример \ (\ PageIndex {1} \): вычисление скалярных произведений

1. Найдите скалярное произведение \ (\ vecs {u} = ⟨3,5,2⟩ \) и \ (\ vecs {v} = ⟨− 1,3,0⟩ \).
2. Найдите скалярное произведение \ (\ vecs {p} = 10 \ hat {\ textbf i} −4 \ hat {\ textbf j} +7 \ hat {\ textbf k} \) и \ (\ vecs {q} = −2 \ hat {\ textbf i} + \ hat {\ textbf j} +6 \ hat {\ textbf k}. \)

Решение :

а. Подставьте компоненты вектора в формулу для скалярного произведения:

\ [\ begin {align *} \ vecs {u} ⋅ \ vecs {v} & = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3 \\ [4pt] & = 3 (−1) +5 (3) +2 (0) \ \ [4pt] & = — 3 + 15 + 0 \\ [4pt] & = 12. \ end {align *} \]

г. Вычисления такие же, если векторы записаны с использованием стандартных единичных векторов.У нас все еще есть три компонента для каждого вектора, которые нужно подставить в формулу для скалярного произведения:

\ [\ begin {align *} \ vecs {p} ⋅ \ vecs {q} & = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3 \\ [4pt] & = 10 (−2) + (- 4) (1) + (7 ) (6) \\ [4pt] & = — 20−4 + 42 \\ [4pt] & = 18. \ End {align *} \]

Упражнение \ (\ PageIndex {1} \)

Найдите \ (\ vecs {u} ⋅ \ vecs {v} \), где \ (\ vecs {u} = ⟨2,9, −1⟩ \) и \ (\ vecs {v} = ⟨− 3, 1, −4⟩. \)

Подсказка

Умножьте соответствующие компоненты, а затем сложите их произведения.

Ответ

\ (7 \)

Подобно сложению и вычитанию векторов, скалярное произведение имеет несколько алгебраических свойств. Мы докажем три из этих свойств, а остальные оставим в качестве упражнений. 2 \]

Проба

Пусть \ (\ vecs {u} = ⟨u_1, u_2, u_3⟩ \) и \ (\ vecs {v} = ⟨v_1, v_2, v_3⟩.\) Тогда

\ [\ begin {align *} \ vecs {u} ⋅ \ vecs {v} & = ⟨u_1, u_2, u_3⟩⋅⟨v_1, v_2, v_3⟩ \\ [4pt] & = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3 \ \ [4pt] & = v_1u_1 + v_2u_2 + v_3u_3 \\ [4pt] & = ⟨v_1, v_2, v_3⟩⋅⟨u_1, u_2, u_3⟩ \\ [4pt] & = \ vecs {v} ⋅ \ vecs {u }. \ end {align *} \]

Ассоциативное свойство выглядит как ассоциативное свойство для умножения действительных чисел, но обратите внимание на разницу между скалярными и векторными объектами:

\ [\ begin {align *} c (\ vecs {u} ⋅ \ vecs {v}) & = c (u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3) \\ [4pt] & = c (u_1v_1) + c (u_2v_2) + c (u_3v_3) \\ [4pt] & = (cu_1) v_1 + (cu_2) v_2 + (cu_3) v_3 \\ [4pt] & = ⟨cu_1, cu_2, cu_3⟩⋅⟨v_1, v_2, v_3⟩ \\ [4pt] & = c⟨u_1, u_2, u_3⟩⋅⟨v_1, v_2, v_3⟩ \\ [4pt] & = (c \ vecs {u}) ⋅ \ vecs {v}.2. \ end {align *} \]

□

Обратите внимание, что по свойству iv. имеем \ (\ vecs {0} ⋅ \ vecs {v} = 0. 2 \)

Решение

а.Обратите внимание, что это выражение запрашивает скалярное кратное \ (\ vecs {c} \) на \ (\ vecs {a} ⋅ \ vecs {b} \):

\ [\ begin {align *} (\ vecs {a} ⋅ \ vecs {b}) \ vecs {c} & = (⟨1,2, −3⟩⋅⟨0,2,4⟩) ⟨5, −1,3⟩ \\ [4pt] & = (1 (0) +2 (2) + (- 3) (4)) ⟨5, −1,3⟩ \\ [4pt] & = — 8⟨5 , −1,3⟩ \\ [4pt] & = ⟨− 40,8, −24⟩. \ End {align *} \]

г. Это выражение является скалярным произведением вектора \ (\ vecs {a} \) и скалярного кратного 2 \ (\ vecs {c} \):

\ [\ begin {align *} \ vecs {a} ⋅ (2 \ vecs {c}) & = 2 (\ vecs {a} ⋅ \ vecs {c}) \\ [4pt] & = 2 (⟨1 , 2, −3⟩⋅⟨5, −1,3⟩) \\ [4pt] & = 2 (1 (5) +2 (−1) + (- 3) (3)) \\ [4pt] & = 2 (−6) = — 12.2 = 53 \)

Использование точечного произведения для определения угла между двумя векторами

Когда два ненулевых вектора помещаются в стандартное положение, будь то в двух измерениях или в трех измерениях, они образуют угол между ними (рисунок \ (\ PageIndex {1} \)). Точечное произведение позволяет найти меру этого угла. Это свойство является результатом того факта, что мы можем выразить скалярное произведение через косинус угла, образованного двумя векторами.

Рисунок \ (\ PageIndex {1} \): Пусть \ (θ \) будет углом между двумя ненулевыми векторами \ (\ vecs {u} \) и \ (\ vecs {v} \) такими, что \ ( 0≤θ≤π \).

Оценка скалярного произведения

Скалярное произведение двух векторов — это произведение величины каждого вектора и косинуса угла между ними:

\ [\ vecs {u} ⋅ \ vecs {v} = ‖ \ vecs {u} ‖‖ \ vecs {v} ‖ \ cos θ. \ label {evaldot} \]

Проба

Поместите векторы \ (\ vecs {u} \) и \ (\ vecs {v} \) в стандартное положение и рассмотрите вектор \ (\ vecs {v} — \ vecs {u} \) (Рисунок \ (\ PageIndex {2} \)). Эти три вектора образуют треугольник с длинами сторон \ (‖ \ vecs {u} ‖, ‖ \ vecs {v} ‖ \) и \ (‖ \ vecs {v} — \ vecs {u} ‖ \).2−2‖ \ vecs {u} ‖‖ \ vecs {v} ‖ \ cos θ \\ [4pt] −2 \ vecs {u} ⋅ \ vecs {v} & = — 2‖ \ vecs {u} ‖‖ \ vecs {v} ‖ \ cos θ \\ [4pt] \ vecs {u} ⋅ \ vecs {v} & = ‖ \ vecs {u} ‖‖ \ vecs {v} ‖ \ cos θ. \ end {align *} \]

□

Мы можем использовать форму скалярного произведения в уравнении \ ref {evaldot}, чтобы найти меру угла между двумя ненулевыми векторами, переставив уравнение \ ref {evaldot} для определения косинуса угла:

\ [\ cos θ = \ dfrac {\ vecs {u} ⋅ \ vecs {v}} {‖ \ vecs {u} ‖‖ \ vecs {v} ‖}. \ label {dot2} \]

Используя это уравнение, мы можем найти косинус угла между двумя ненулевыми векторами.Поскольку мы рассматриваем наименьший угол между векторами, мы предполагаем \ (0 ° ≤θ≤180 ° \) (или \ (0≤θ≤π \), если мы работаем в радианах). Обратный косинус уникален в этом диапазоне, поэтому мы можем определить меру угла \ (θ \).

Пример \ (\ PageIndex {3} \): определение угла между двумя векторами

Найдите угол между каждой парой векторов.

1. \ (\ mathbf {\ hat i} + \ mathbf {\ hat j} + \ mathbf {\ hat k} \) и \ (2 \ mathbf {\ hat i} — \ mathbf {\ hat j} — 3 \ mathbf {\ hat k} \)
2. \ (⟨2,5,6⟩ \) и \ (⟨− 2, −4,4⟩ \)

Решение

а.2}} \\ [4pt] & = \ dfrac {0} {\ sqrt {65} \ sqrt {36}} = 0. \ end {align *} \]

Теперь \ (\ cos θ = 0 \) и \ (0≤θ≤π \), поэтому \ (θ = π / 2 \).

Упражнение \ (\ PageIndex {3} \)

Найдите угол в радианах, образованный векторами \ (\ vecs {a} = ⟨1,2,0⟩ \) и \ (\ vecs {b} = ⟨2,4,1⟩ \). Округлите до ближайшей сотой.

Подсказка

Используйте уравнение \ ref {dot2}.

Ответ

\ (θ≈0.22 \) рад

Угол между двумя векторами может быть острым \ ((0 <\ cos θ <1), \) тупым \ ((- 1 <\ cos θ <0) \) или прямым \ ((\ cos θ = −1 ) \). Если \ (\ cos θ = 1 \), то оба вектора имеют одинаковое направление. Если \ (\ cos θ = 0 \), то векторы, помещенные в стандартное положение, образуют прямой угол (рисунок \ (\ PageIndex {3} \)). Мы можем формализовать этот результат в виде теоремы об ортогональных (перпендикулярных) векторах.

Рисунок \ (\ PageIndex {3} \): (a) У острого угла \ (0 <\ cos θ <1 \).(b) Тупой угол имеет \ (- 1 <\ cos θ <0. \) (c) У прямой есть \ (\ cos θ = −1 \). (d) Если векторы имеют одинаковое направление, \ (\ cos θ = 1 \). (e) Если векторы ортогональны (перпендикулярны), \ (\ cos θ = 0. \)

Ортогональные векторы

Ненулевые векторы \ (\ vecs {u} \) и \ (\ vecs {v} \) являются ортогональными векторами тогда и только тогда, когда \ (\ vecs {u} ⋅ \ vecs {v} = 0. \)

Проба

Пусть \ (\ vecs {u} \) и \ (\ vecs {v} \) ненулевые векторы, и пусть \ (θ \) обозначает угол между ними.Сначала предположим, что \ (\ vecs {u} ⋅ \ vecs {v} = 0. \), Тогда

\ [‖ \ vecs {u} ‖‖ \ vecs {v} ‖ \ cos θ = 0. \]

Однако \ (‖ \ vecs {u} ‖ ≠ 0 \) и \ (‖ \ vecs {v} ‖ ≠ 0, \), поэтому мы должны иметь \ (\ cos θ = 0 \). Следовательно, \ (θ = 90 ° \), и векторы ортогональны.

Теперь предположим, что \ (\ vecs {u} \) и \ (\ vecs {v} \) ортогональны. Тогда \ (θ = 90 ° \) и имеем

\ [\ begin {align *} \ vecs {u} ⋅ \ vecs {v} & = ‖ \ vecs {u} ‖‖ \ vecs {v} ‖ \ cos θ \\ [4pt] & = ‖ \ vecs { u} ‖‖ \ vecs {v} ‖ \ cos 90 ° \\ [4pt] & = ‖ \ vecs {u} ‖‖ \ vecs {v} ‖ (0) \\ [4pt] & = 0.\ end {align *} \]

□

Термины ортогональный, перпендикулярный, и нормальный каждый указывает, что математические объекты пересекаются под прямым углом. Использование каждого термина определяется главным образом его контекстом. Мы говорим, что векторы ортогональны, а прямые перпендикулярны. Термин нормальный используется чаще всего при измерении угла, образованного плоскостью или другой поверхностью.

Пример \ (\ PageIndex {4} \): определение ортогональных векторов

Определите, являются ли \ (\ vecs {p} = ⟨1,0,5⟩ \) и \ (\ vecs {q} = ⟨10,3, −2⟩ \) ортогональными векторами.

Решение

Используя определение, нам нужно только проверить скалярное произведение векторов:

\ [\ vecs {p} ⋅ \ vecs {q} = 1 (10) + (0) (3) + (5) (- 2) = 10 + 0−10 = 0. \ nonumber \]

Поскольку \ (\ vecs {p} ⋅ \ vecs {q} = 0, \) векторы ортогональны (рисунок \ (\ PageIndex {4} \)).

Рисунок \ (\ PageIndex {4} \): Векторы \ (\ vecs {p} \) и \ (\ vecs {q} \) образуют прямой угол, когда их начальные точки выровнены.

Упражнение \ (\ PageIndex {4} \)

Для какого значения \ (x \) \ (\ vecs {p} = ⟨2,8, −1⟩ \) ортогонально \ (\ vecs {q} = ⟨x, −1,2⟩ \)?

Подсказка

Векторы \ (\ vecs {p} \) и \ (\ vecs {q} \) ортогональны тогда и только тогда, когда \ (\ vecs {p} ⋅ \ vecs {q} = 0 \).

Ответ

\ (х = 5 \)

Пример \ (\ PageIndex {5} \): измерение угла, образованного двумя векторами

Пусть \ (\ vecs {v} = ⟨2,3,3⟩. \) Найдите меры углов, образованных следующими векторами.

1. \ (\ vecs {v} \) и \ (\ mathbf {\ hat i} \)
2. \ (\ vecs {v} \) и \ (\ mathbf {\ hat j} \)
3. \ (\ vecs {v} \) и \ (\ mathbf {\ hat k} \)

Решение

а.2} \ sqrt {1}} = \ dfrac {3} {\ sqrt {22}} \\ [4pt] γ & = \ arccos \ dfrac {3} {\ sqrt {22}} ≈0.877 \, \ text { рад.} \ end {align *} \]

Упражнение \ (\ PageIndex {5} \)

Пусть \ (\ vecs {v} = ⟨3, −5,1⟩. \) Найдите меру углов, образованных каждой парой векторов.

1. \ (\ vecs {v} \) и \ (\ mathbf {\ hat i} \)
2. \ (\ vecs {v} \) и \ (\ mathbf {\ hat j} \)
3. \ (\ vecs {v} \) и \ (\ mathbf {\ hat k} \)

Подсказка

\ (\ mathbf {\ hat i} = ⟨1,0,0⟩, \ mathbf {\ hat j} = ⟨0,1,0⟩, \) и \ (\ mathbf {\ hat k} = ⟨0 , 0,1⟩ \)

Ответ

\ (г.α≈1,04 \) рад; б. \ (β≈2,58 \) рад; c. \ (γ≈1,40 \) рад

Угол, который вектор образует с каждой из координатных осей, называемый углом направления, очень важен в практических вычислениях, особенно в такой области, как инженерия. Например, в космонавтике угол запуска ракеты должен определяться очень точно. Очень маленькая ошибка в угле может привести к тому, что ракета отклонится от курса на сотни миль. Углы направления часто вычисляются с помощью скалярного произведения и косинусов углов, называемых направляющими косинусами.Поэтому мы определяем как эти углы, так и их косинусы.

Определение: углы направления

Углы, образованные ненулевым вектором и осями координат, называются углами направления для вектора (рисунок \ (\ PageIndex {5} \)). Косинусы для этих углов называются направляющими косинусами .

Рисунок \ (\ PageIndex {5} \): Угол \ (α \) образован вектором \ (\ vecs {v} \) и единичным вектором \ (\ mathbf {\ hat i} \). Угол β образован вектором \ (\ vecs {v} \) и единичным вектором \ (\ mathbf {\ hat j} \).Угол γ образован вектором \ (\ vecs {v} \) и единичным вектором \ (\ mathbf {\ hat k} \).

В примере, направляющие косинусы \ (\ vecs {v} = ⟨2,3,3⟩ \) равны \ (\ cos α = \ dfrac {2} {\ sqrt {22}}, \ cos β = \ dfrac {3} {\ sqrt {22}}, \) и \ (\ cos γ = \ dfrac {3} {\ sqrt {22}} \). Углы направления \ (\ vecs {v} \) равны \ (α = 1,130 \) рад, \ (β = 0,877 \) рад и \ (γ = 0,877 \) рад.

До сих пор мы сосредоточились в основном на векторах, связанных с силой, движением и положением в трехмерном физическом пространстве. Однако векторы часто используются более абстрактно.Например, предположим, что продавец фруктов продает яблоки, бананы и апельсины. В определенный день он продает 30 яблок, 12 бананов и 18 апельсинов. Он может использовать вектор количества \ (\ vecs {q} = ⟨30,12,18⟩, \), чтобы представить количество фруктов, которые он продал в тот день. Точно так же он может захотеть использовать вектор цен \ (\ vecs {p} = ⟨0.50,0.25,1⟩, \), чтобы указать, что он продает свои яблоки по 50 центов за штуку, бананы за 25 центов за штуку и апельсины за 1 доллар за штуку. В этом примере, хотя мы все еще можем изобразить эти векторы, мы не интерпретируем их как буквальные представления положения в физическом мире.Мы просто используем векторы, чтобы отслеживать отдельные фрагменты информации о яблоках, бананах и апельсинах.

Эта идея может показаться немного странной, но если мы просто будем рассматривать векторы как способ упорядочивания и хранения данных, мы обнаружим, что они могут быть довольно мощным инструментом. Возвращаясь к продавцу фруктов, давайте подумаем о скалярном произведении \ (\ vecs {q} ⋅ \ vecs {p} \). Мы вычисляем его, умножая количество проданных яблок (30) на цену за яблоко (50 центов), количество проданных бананов на цену за банан и количество проданных апельсинов на цену за апельсин.Затем мы складываем все эти значения вместе. Итак, в этом примере скалярный продукт сообщает нам, сколько денег продавец фруктов имел от продаж в этот конкретный день.

Когда мы используем векторы в более общем смысле, нет причин ограничивать количество компонентов тремя. Что, если продавец фруктов решит начать продавать грейпфрут? В этом случае он хотел бы использовать четырехмерные векторы количества и цен для представления количества проданных яблок, бананов, апельсинов и грейпфрутов и их удельных цен.Как и следовало ожидать, для вычисления скалярного произведения четырехмерных векторов мы просто складываем произведения компонентов, как и раньше, но в сумме четыре члена вместо трех.

Пример \ (\ PageIndex {6} \): использование векторов в экономическом контексте

AAA Party Supply Store продает приглашения, праздничные сувениры, украшения и предметы общественного питания, такие как бумажные тарелки и салфетки. Когда AAA покупает свой инвентарь, он платит 25 центов за упаковку за приглашения и вечеринки. Украшения стоят 50 центов AAA каждое, а предметы общественного питания — 20 центов за упаковку.AAA продает приглашения по цене 2,50 доллара за пакет, а сувениры для вечеринок по цене 1,50 доллара за пакет. Украшения продаются по 4,50 доллара за штуку, а предметы общественного питания — по 1,25 доллара за упаковку.

В течение мая AAA Party Supply Store продает 1258 приглашений, 342 праздничных подарка, 2426 украшений и 1354 предмета общественного питания. Используйте векторы и точечные произведения, чтобы подсчитать, сколько денег AAA заработало на продажах в мае. Какую прибыль принес магазин?

Решение

Векторы затрат, цены и количества равны

.

\ [\ begin {align *} \ vecs {c} & = ⟨0.25,0.25,0.50,0.20⟩ \\ [4pt] \ vecs {p} & = ⟨2.50,1.50,4.50,1.25⟩ \\ [4pt] \ vecs {q} & = ⟨1258,342,2426,1354⟩ . \ end {align *} \]

продаж AAA в мае можно рассчитать с помощью скалярного произведения \ (\ vecs {p} ⋅ \ vecs {q} \). У нас

\ [\ begin {align *} \ vecs {p} ⋅ \ vecs {q} & = ⟨2.50,1.50,4.50,1.25⟩⋅⟨1258,342,2426,1354⟩ \\ [4pt] & = 3145 + 513 + 10917 + 1692,5 \\ [4pt] & = 16267,5. \ end {align *} \]

Итак, AAA заработала 16 267,50 долларов в течение мая. Чтобы рассчитать прибыль, мы должны сначала подсчитать, сколько AAA заплатили за проданные товары.Мы используем скалярное произведение \ (c⋅q \), чтобы получить

\ [\ begin {align *} \ vecs {c} ⋅ \ vecs {q} & = ⟨0.25,0.25,0.50,0.20⟩⋅⟨1258,342,2426,1354⟩ \\ [4pt] & = 314.5 + 85,5 + 1213 + 270,8 \\ [4pt] & = 1883,8. \ end {align *} \]

Итак, AAA заплатила 1883,30 доллара за проданные товары. Таким образом, их прибыль равна

.

\ [\ vecs {p} ⋅ \ vecs {q} — \ vecs {c} ⋅ \ vecs {q} = 16267,5−1883,8 = 14383,7. \ nonumber \]

Таким образом, магазин AAA Party Supply в мае заработал 14 383,70 долларов.

Упражнение \ (\ PageIndex {6} \)

1 июня магазин AAA Party Supply решил повысить цену, которую они взимают за праздничные сувениры, до 2 долларов за упаковку.Они также сменили поставщиков для своих приглашений и теперь могут покупать приглашения всего за 10 центов за упаковку. Все остальные затраты и цены остаются прежними. Если AAA продает 1408 приглашений, 147 сувениров для вечеринок, 2112 украшений и 1894 предмета общественного питания в июне, используйте векторы и точечные продукты для расчета их общих продаж и прибыли за июнь.

Подсказка

Используйте четырехмерные векторы для определения стоимости, цены и количества проданных товаров.

Ответ

Продажи = 15 685,50 долларов США; прибыль = 14 073,15 $

Проекции

Как мы видели, сложение объединяет два вектора для создания результирующего вектора. Но что, если нам дан вектор и нам нужно найти его составные части? Мы используем векторные проекции, чтобы выполнить противоположный процесс; они могут разбить вектор на составляющие. Величина проекции вектора — это скалярная проекция.Например, если ребенок тянет за ручку повозки под углом 55 °, мы можем использовать проекции, чтобы определить, какая часть силы, действующей на ручку, фактически перемещает повозку вперед (\ (\ PageIndex {6} \)) . Мы вернемся к этому примеру и узнаем, как его решить, после того, как увидим, как рассчитывать прогнозы.

Рисунок \ (\ PageIndex {6} \): Когда ребенок тянет повозку, только горизонтальная составляющая силы толкает повозку вперед.

Определение: вектор и проекция

Проекция вектора \ (\ vecs {v} \) на \ (\ vecs {u} \) — это вектор с меткой \ (\ text {proj} _ \ vecs {u} \ vecs {v} \) на рисунке \ (\ PageIndex {7} \).Он имеет ту же начальную точку, что и \ (\ vecs {u} \) и \ (\ vecs {v} \), и то же направление, что и \ (\ vecs {u} \), и представляет собой компонент \ (\ vecs {v} \), который действует в направлении \ (\ vecs {u} \). Если \ (θ \) представляет собой угол между \ (\ vecs {u} \) и \ (\ vecs {v} \), то по свойствам треугольников мы знаем длину \ (\ text {proj} _ \ vecs {u} \ vecs {v} \) равно \ (\ | \ text {proj} _ \ vecs {u} \ vecs {v} \ | = ‖ \ vecs {v} ‖ \ cos θ. \) Когда выражая \ (\ cos θ \) через скалярное произведение, получается

\ [\ | \ text {proj} _ \ vecs {u} \ vecs {v} \ | = ‖ \ vecs v‖ \ cos θ = ‖ \ vecs {v} ‖ \ left (\ dfrac {\ vecs {u } ⋅ \ vecs {v}} {‖ \ vecs {u} ‖‖ \ vecs {v} ‖} \ right) = \ dfrac {\ vecs {u} ⋅ \ vecs {v}} {‖ \ vecs {u} ‖.2} \ vecs {u}. \]

Длина этого вектора также известна как скалярной проекции \ (\ vecs {v} \) на \ (\ vecs {u} \) и обозначается

.

\ [\ | \ text {proj} _ \ vecs {u} \ vecs {v} \ | = \ text {comp} _ \ vecs {u} \ vecs {v} = \ dfrac {\ vecs {u} ⋅ \ vecs {v}} {‖ \ vecs {u} ‖.} \]

Рисунок \ (\ PageIndex {7} \): проекция \ (\ vecs {v} \) на \ (\ vecs {u} \) показывает компонент вектора \ (\ vecs {v} \) в направлении из \ (\ vecs {u} \).

Пример \ (\ PageIndex {7} \): поиск прогнозов

Найдите проекцию \ (\ vecs {v} \) на \ (\ vecs {u} \).2} (\ mathbf {\ hat i} +6 \ mathbf {\ hat j}) \\ [4pt] & = — \ dfrac {9} {37} (\ mathbf {\ hat i} +6 \ mathbf {\ hat j}) \\ [4pt] & = — \ dfrac {9} {37} \ mathbf {\ hat i} — \ dfrac {54} {37} \ mathbf {\ hat j}. \ end {align *} \]

Иногда полезно разложить векторы, то есть разбить вектор на сумму. Этот процесс называется разрешением вектора на составляющие единиц. Проекции позволяют нам идентифицировать два ортогональных вектора, имеющих желаемую сумму. Например, пусть \ (\ vecs {v} = ⟨6, −4⟩ \) и пусть \ (\ vecs {u} = ⟨3,1⟩.2} \ vecs {u} \\ [4pt] = \ dfrac {18−4} {9 + 1} \ vecs {u} \\ [4pt] = \ dfrac {7} {5} \ vecs {u} = \ dfrac {7} {5} ⟨3,1⟩ = ⟨\ dfrac {21} {5}, \ dfrac {7} {5}⟩. \ end {align *} \]

Теперь рассмотрим вектор \ (\ vecs {q} = \ vecs {v} — \ vecs {p}. \). У нас есть

\ [\ begin {align *} \ vecs {q} = \ vecs {v} — \ vecs {p} \\ [4pt] = ⟨6, −4⟩ − ⟨\ dfrac {21} {5}, \ dfrac {7} {5}⟩ \\ [4pt] = ⟨\ dfrac {9} {5}, — \ dfrac {27} {5}⟩. \ end {align *} \]

Ясно, что согласно тому, как мы определили \ (\ vecs {q} \), мы имеем \ (\ vecs {v} = \ vecs {q} + \ vecs {p}, \) и

\ [\ begin {align *} \ vecs {q} ⋅ \ vecs {p} = ⟨\ dfrac {9} {5}, — \ dfrac {27} {5} ⟩⋅⟨ \ dfrac {21} {5 }, \ dfrac {7} {5}⟩ \\ [4pt] = \ dfrac {9 (21)} {25} + — \ dfrac {27 (7)} {25} \\ [4pt] = \ dfrac { 189} {25} — \ dfrac {189} {25} = 0.\ end {align *} \]

Следовательно, \ (\ vecs {q} \) и \ (\ vecs {p} \) ортогональны.

Пример \ (\ PageIndex {8} \): преобразование векторов в компоненты

Выразите \ (\ vecs {v} = ⟨8, −3, −3⟩ \) как сумму ортогональных векторов, один из которых имеет то же направление, что и \ (\ vecs {u} = ⟨2,3 , 2⟩. \)

Решение

Пусть \ (\ vecs {p} \) представляет проекцию \ (\ vecs {v} \) на \ (\ vecs {u} \):

\ [\ begin {align *} \ vecs {p} & = \ text {proj} _ \ vecs {u} \ vecs {v} \\ [4pt] & = \ dfrac {\ vecs {u} ⋅ \ vecs {v}} {‖ \ vecs {u} ‖ ^ 2} \ vecs {u} \\ [4pt] & = \ dfrac {⟨2,3,2⟩⋅⟨8, −3, −3⟩} {∥ ⟨2,3,2⟩∥ ^ 2} ⟨2,3,2⟩ \\ [4pt] & = \ dfrac {16−9−6} {2 ^ 2 + 3 ^ 2 + 2 ^ 2} ⟨2, 3,2⟩ \\ [4pt] & = \ dfrac {1} {17} ⟨2,3,2⟩ \\ [4pt] & = ⟨\ dfrac {2} {17}, \ dfrac {3} {17 }, \ dfrac {2} {17}⟩.\ end {align *} \]

Затем,

\ [\ begin {align *} \ vecs {q} & = \ vecs {v} — \ vecs {p} = ⟨8, −3, −3⟩ − ⟨\ dfrac {2} {17}, \ dfrac {3} {17}, \ dfrac {2} {17}⟩ \\ [4pt] & = ⟨\ dfrac {134} {17}, — \ dfrac {54} {17}, — \ dfrac {53} { 17}⟩. \ end {align *} \]

Чтобы проверить нашу работу, мы можем использовать скалярное произведение, чтобы убедиться, что \ (\ vecs {p} \) и \ (\ vecs {q} \) — ортогональные векторы:

\ [\ begin {align *} \ vecs {p} ⋅ \ vecs {q} & = ⟨\ dfrac {2} {17}, \ dfrac {3} {17}, \ dfrac {2} {17}⟩ ⋅⟨ \ dfrac {134} {17}, — \ dfrac {54} {17}, — \ dfrac {53} {17}⟩ \\ [4pt] & = \ dfrac {268} {17} — \ dfrac { 162} {17} — \ dfrac {106} {17} = 0.\ end {align *} \]

Затем,

\ [\ vecs {v} = \ vecs {p} + \ vecs {q} = ⟨\ dfrac {2} {17}, \ dfrac {3} {17}, \ dfrac {2} {17}⟩ + ⟨\ Dfrac {134} {17}, — \ dfrac {54} {17}, — \ dfrac {53} {17}⟩. \ nonumber \]

Упражнение \ (\ PageIndex {7} \)

Выразите \ (\ vecs {v} = 5 \ mathbf {\ hat i} — \ mathbf {\ hat j} \) как сумму ортогональных векторов, один из которых имеет то же направление, что и \ (\ vecs { u} = 4 \ mathbf {\ hat i} +2 \ mathbf {\ hat j} \).

Подсказка

Начните с поиска проекции \ (\ vecs {v} \) на \ (\ vecs {u} \).

Ответ

\ (\ vecs {v} = \ vecs {p} + \ vecs {q}, \), где \ (\ vecs {p} = \ dfrac {18} {5} \ mathbf {\ hat i} + \ dfrac {9} {5} \ mathbf {\ hat j} \) и \ (\ vecs {q} = \ dfrac {7} {5} \ mathbf {\ hat i} — \ dfrac {14} {5} \ mathbf {\ hat j} \)

Пример \ (\ PageIndex {9} \): Скалярная проекция скорости

Контейнеровоз покидает порт, идя \ (15 ° \) к северу от востока. Его двигатель развивает скорость 20 узлов на этом пути (см. Следующий рисунок).Кроме того, океанское течение перемещает корабль на северо-восток со скоростью 2 узла. С учетом двигателя и течения, насколько быстро корабль движется в направлении \ (15 ° \) к северу от востока? Ответ округлите до двух десятичных знаков.

Решение

Пусть \ (\ vecs {v} \) будет вектором скорости, генерируемым двигателем, и пусть w будет вектором скорости течения. Мы уже знаем \ (‖ \ vecs {v} ‖ = 20 \) по желаемому маршруту. Нам просто нужно добавить скалярную проекцию \ (\ vecs {w} \) на \ (\ vecs {v} \).Получаем

\ [\ begin {align *} \ text {comp} _ \ vecs {v} \ vecs {w} = \ dfrac {\ vecs {v} ⋅ \ vecs {w}} {‖ \ vecs {v} ‖} \\ [4pt] = \ dfrac {‖ \ vecs {v} ‖‖ \ vecs {w} ‖ \ cos (30 °)} {‖ \ vecs {v} ‖} = ‖ \ vecs {w} ‖ \ cos ( 30 °) = 2 \ dfrac {\ sqrt {3}} {2} = \ sqrt {3} ≈1.73 \, \ text {knots.} \ End {align *} \]

Корабль движется со скоростью 21,73 узла в направлении \ (15 ° \) к северу от востока.

Упражнение \ (\ PageIndex {8} \)

Повторите предыдущий пример, но предположите, что океанское течение движется на юго-восток, а не на северо-восток, как показано на следующем рисунке.

Подсказка

Вычислите скалярную проекцию \ (\ vecs {w} \) на \ (\ vecs {v} \).

Ответ

21 узел

Работа

Теперь, когда мы разбираемся в скалярных произведениях, мы можем увидеть, как применять их в реальных ситуациях. Наиболее распространенное применение скалярного произведения двух векторов — расчет работы.

Из физики мы знаем, что работа совершается, когда объект перемещается силой.Когда сила постоянна и приложена в том же направлении, в котором движется объект, тогда мы определяем проделанную работу как произведение силы и расстояния, которое проходит объект: \ (W = Fd \). Мы видели несколько примеров этого типа в предыдущих главах. Теперь представьте, что направление силы отличается от направления движения, как в примере с ребенком, тянущим повозку. Чтобы найти проделанную работу, нам нужно умножить компонент силы, действующей в направлении движения, на величину смещения.Точечный продукт позволяет нам это делать. Если мы представим приложенную силу вектором \ (\ vecs {F} \), а смещение объекта вектором \ (\ vecs {s} \), тогда работа , выполненная силой , будет скалярным произведением из \ (\ vecs {F} \) и \ (\ vecs {s} \).

Определение: постоянная сила

Когда к объекту прикладывается постоянная сила, так что объект движется по прямой от точки \ (P \) к точке \ (Q \), работа \ (W \), совершаемая силой \ (\ vecs {F } \), действующий под углом θ от линии движения, равен

\ [W = \ vecs {F} ⋅ \ vecd {PQ} = ∥ \ vecs {F} ∥∥ \ vecd {PQ} ∥ \ cos θ.\]

Вернемся к проблеме детской повозки, о которой говорилось ранее. Предположим, ребенок тянет тележку с силой в 8 фунтов на ручке под углом 55 ° . Если ребенок тянет повозку на 50 футов, найдите работу, выполняемую силой (Рисунок \ (\ PageIndex {8} \)).

Рисунок \ (\ PageIndex {8} \): Горизонтальная составляющая силы — это проекция \ (\ vecs {F} \) на положительную ось \ (x \) .

У нас

\ [W = ∥ \ vecs {F} ∥∥ \ vecd {PQ} ∥ \ cos θ = 8 (50) (\ cos (55 °)) ≈229 \, \ text {ft⋅lb.} \ nonumber \]

В стандартных единицах США мы измеряем величину силы \ (∥ \ vecs {F} ∥ \) в фунтах. Величина вектора смещения \ (∥ \ vecd {PQ} ∥ \) говорит нам, как далеко переместился объект, и измеряется в футах. Таким образом, общепринятой единицей измерения работы является фут-фунт. Один фут-фунт — это объем работы, необходимый для перемещения объекта весом 1 фунт на расстояние 1 фут по вертикали. В метрической системе единицей измерения силы является ньютон (Н), а единицей измерения величины работы является ньютон-метр (Н · м) или джоуль (Дж).

Пример \ (\ PageIndex {10} \): расчет работы

Конвейерная лента создает силу \ (\ vecs {F} = 5 \ mathbf {\ hat i} −3 \ mathbf {\ hat j} + \ mathbf {\ hat k} \), которая перемещает чемодан из точки \ ( (1,1,1) \) в точку \ ((9,4,7) \) по прямой. Найдите работу, проделанную конвейерной лентой. Расстояние измеряется в метрах, а сила — в ньютонах.

Решение

Вектор смещения \ (\ vecd {PQ} \) имеет начальную точку \ ((1,1,1) \) и конечную точку \ ((9,4,7) \):

\ [\ vecd {PQ} = ⟨9−1,4−1,7−1⟩ = ⟨8,3,6⟩ = 8 \ mathbf {\ hat i} +3 \ mathbf {\ hat j} +6 \ mathbf {\ hat k}.\ nonumber \]

Работа — это скалярное произведение силы и смещения:

\ [\ begin {align *} W & = \ vecs {F} ⋅ \ vecd {PQ} \\ [4pt] & = (5 \ mathbf {\ hat i} −3 \ mathbf {\ hat j} + \ mathbf {\ hat k}) ⋅ (8 \ mathbf {\ hat i} +3 \ mathbf {\ hat j} +6 \ mathbf {\ hat k}) \\ [4pt] = 5 (8) + (- 3 ) (3) +1 (6) \\ [4pt] & = 37 \, \ text {N⋅m} \\ [4pt] & = 37 \, \ text {J} \ end {align *} \]

Упражнение \ (\ PageIndex {9} \)

Постоянная сила в 30 фунтов прикладывается под углом 60 °, чтобы тянуть ручную тележку на 10 футов по земле.Какую работу выполняет эта сила?

Подсказка

Используйте определение работы как скалярное произведение силы и расстояния.

Ответ

150 фут-фунтов

World Web Math: векторное исчисление: скалярное произведение

World Web Math: векторное исчисление: скалярное произведение Предпосылки: Векторы

Скалярное произведение — это чудо, состоящее из двух определений.Первое геометрическое определение:

v · w = | v | | w | потому что & тета куда тета — это угол между два вектора. Мы называем это геометрическим определением, потому что оно полностью состоит из терминов с геометрическим значением: углы и длины.

Алгебраическое определение скалярного произведения таково:

(v ₁ , v ₂ , v ₃ ) · (ш ₁ , ш ₂ , ш ₃ ) = v ₁ w ₁ + v ₂ w ₂ + v ₃ w ₃ Чудо в том, что эти два определения, геометрическое и алгебраическое, — это одно и то же .

Это отнюдь не очевидно, и вам действительно следует потратить несколько минут (или больше) думать о том, как, почему и может ли это быть правдой. Пытаться применение обоих определений к парам векторов с легко вычисляемым углы, такие как (1,0,0) и (0,0,1), или между двумя произвольными векторами в плоскость, или между вектором и самим собой.

Прежде чем мы докажем, что эти два определения одинаковы, давайте рассмотрим некоторые из свойства скалярного произведения. Прежде всего, оба определения согласны с тем, что скалярное произведение двух векторов является скалярным Реальный номер .»/> v · v = | v | ² = v ₁ ² + v ₂ ² + v ₃ ² .Это хорошо, и это дополнительно подразумевает что v · v > = 0 и что v · v = 0 тогда и только тогда, когда v = v = 0.

Итак, наши два определения скалярного произведения во многом совпадают. Что еще более важно, так это разные сильные стороны:

• Алгебраическое определение скалярного произведения отлично подходит для вычислений. Учитывая декартовы координаты двух векторов, вы можете вычислить их точку продукт безвкусный.Это также очень помогает при доказательстве алгебраической идентичности как ( v ₁ + v ₂ ) · v = v ₁ · v + v ₂ · v . Попробуйте доказать это с помощью геометрическое определение!
• Геометрическое определение скалярного произведения отлично подходит для геометрии. Например, если два вектора ортогональны (перпендикулярны), чем их скалярный продукт равен 0, потому что косинус 90 (или 270) градусов равен 0.

  Другой пример — нахождение проекции вектора на другой вектор. По тригонометрии длина проекции вектора w на вектор v есть

  | proj _v w | знак равно | w | cos theta = v · w / | v |

  Если вам нужна проекция вектора w на вектор v как вектор, затем просто умножьте указанную выше величину на v нормализовано:

  proj _v w = ( v · w ) v / v · v Эти выражения используются постоянно, поэтому либо запомните их, либо помните, как их выводить.Вот одно приложение: проделанная работа приложив силу Ф над смещением d равно произведение величины смещения и составляющей силы в направлении смещения: Работа = | d | proj _{d F = d · F}
• Конечно, скалярное произведение становится наиболее эффективным, когда вы комбинируете сильные стороны двух его определений, когда вы используете тот факт, что | v | | w | cos theta = v ₁ w ₁ + v ₂ w ₂ + v ₃ w ₃

  Например, вот формула для угла между двумя векторами это замечательно, если у вас есть калькулятор с кнопкой обратного косинуса:

  theta = cos ^-1 ( v · w ) / (| v | | w | )

Ну хватит саспенса. - 2 | <vec>v</vec> | &sp; | <vec>w</vec> | &sp; <t>cos</t> θ»/> (v ₁ — w ₁ ) ² + (v ₂ — w ₂ ) ² + (v ₃ — w ₃ ) ² = v ₁ ² + v ₂ ² + v ₃ ² + w ₁ ² + ш ₂ ² + ш ₃ ² — 2 | v | | w | cos тета

-2 v ₁ w ₁ -2 v ₂ w ₂ -2 v ₃ w ₃ = -2 | v | | w | cos тета

v ₁ w ₁ + v ₂ w ₂ + v ₃ w ₃ = | v | | w | cos theta

Верно.Возможно, вы заметили, что мы очень внимательно следили за тем, чтобы назовите скалярное произведение скалярным произведением, а не просто произведением два вектора. Это потому, что есть много разных способов произведение двух векторов, включая, как мы скоро увидим, перекрестное произведение.

Упражнений:

1. Почему вы не можете доказать ассоциативность скалярного произведения?
2. Вычислите скалярное произведение (1,2,3) и (4,5,6).
3. Вычислить скалярное произведение двух единичных векторов, разделенных угол 60 градусов.
4. Что такое i · j ? i · i ?
5. Найдите вектор, ортогональный (1,2,3).
6. Докажите, что проекция является аддитивной; то есть, что proj _v ( w ₁ + w ₂ ) = (проект _v w ₁ ) + (проект _v w ₂ ).
7. Вычислите угол между (0,4, -6) и (3,0, -2).
8. Вычислить проекцию (1,2,3) на (4,4,4).
9. Рассчитайте работу, выполненную против силы (0,0, -30), перемещая объект от (1,1,1) до (-10,3,7).
10. Докажите неравенство Коши-Буняковского-Шварца: v · w v | | w |.
11. Докажите неравенство треугольника: | v + w | v | + | w |. [Подсказка: возведите обе стороны в квадрат и примените Коши-Бернар-Шварц.] Откуда взялось название неравенство треугольника?

---

Решения для упражнений | Индекс векторного исчисления | Главная страница World Web Math

---

thomasc @ athena.mit.edu

последнее изменение 1 июля 1997 г.

Точечное произведение векторов: определение и применение — видео и стенограмма урока

Величина

Поскольку нам не всегда дается величина, нам нужен способ найти величину вектора, если нам даны только начальная и конечная точки. Для этого воспользуемся формулой:

Эта формула говорит нам, что для вектора A величина находится путем возведения в квадрат длины x и длины y , сложения их вместе и последующего извлечения квадратного корня.Если вы заметили в наших векторах, я показал их, начиная с точки (0, 0). Если они начинаются в другой точке, нам нужно будет вычислить длину x и длину y , прежде чем использовать формулу величины. В качестве альтернативы мы можем переместить вектор так, чтобы его начальная точка находилась в (0, 0), а затем использовать новую конечную точку для вычисления нашей величины.

Давайте посмотрим, как мы используем эту формулу. Допустим, у нас есть стрелка, плоский конец которой находится в точке (0, 0) и указывает на точку (3, -4).2). Это оценивается как sqrt. (9 + 16) = sqrt. (25). Взяв квадратный корень из этого, мы получаем 5. Таким образом, длина или величина этой стрелки равна 5.

Обратите внимание, что мы сохранили отрицательный знак, поскольку стрелка указывает вниз. Поскольку векторы имеют направление, важно сохранять любые положительные или отрицательные знаки, которые у нас есть.

Точечное произведение

Теперь поговорим о скалярном произведении . Это умножение двух векторов. Мы получаем скалярный результат, то есть получаем простое число вместо числа с направлением.У нас есть две формулы, которые мы можем использовать для нахождения скалярного произведения в зависимости от того, даны ли нам начальная и конечная точки или даны величины с углом.

Формула, которую следует использовать, когда нам задаются начальная и конечная точки, следующая:

Итак, мы берем длину x каждого вектора и умножаем их вместе; затем мы берем длины y каждого вектора и умножаем их вместе.Затем мы складываем их, чтобы найти наш точечный продукт.

Формула, которую следует использовать, когда нам даны величины и угол, такая:

Эта формула говорит нам умножить две величины вместе, а затем найти косинус угла между ними. Затем мы умножаем все это вместе, чтобы найти скалярный продукт.

Хотя эти две формулы совершенно разные, вы обнаружите, что они дадут вам один и тот же ответ для одной и той же ситуации.

Пример

Давайте посмотрим, а?

Давайте воспользуемся первой формулой для начальной и конечной точек. Мы назовем вектор справа вектором A , а вектор слева вектором B . Итак, для вектора A длина x равна 3, а длина y равна 4. Для нашего вектора B длина x равна -6, а длина y равна 8.Подставляя их в нашу формулу, мы получаем A * B = 3 * -6 + 4 * 8. Это оценивается как A * B = -18 + 32 = 14. Итак, наше скалярное произведение из этой формулы равно 14.

Давайте попробуем другую формулу. Наша звездная величина для вектора A равна 5, а наша величина для вектора B равна 10. Угол между ними составляет 73,7 градуса. Подставляя их в нашу формулу, мы получаем A * B = 5 * 10 * cos (73,7). Это примерно равно A * B = 50 * 0,2806667 = 14.

Они оба дают один и тот же ответ, за исключением того, что для второй формулы нам просто нужно было немного округлить.

Краткое содержание урока

Итак, что мы узнали?

Мы узнали, что вектор — это измерение с величиной и направлением. Мы рисуем векторы на нашей декартовой координатной плоскости. Мы можем отмечать векторы либо с начальной и конечной точками, либо с их величинами с направлением. Скалярное произведение — это умножение двух векторов. Формула, которую следует использовать, когда нам задают начальную и конечную точки, следующая:

Мы умножаем длины x каждого вектора и длину y каждого вектора, а затем складываем их.

Формула, которую следует использовать, когда нам даны величины и угол между векторами, следующая:

Мы умножаем величины вместе, берем косинус угла и умножаем все вместе.

Результатом скалярного произведения является скалярное число без направления.

Результаты обучения

Этот урок поможет вам приобрести навыки, необходимые для:

• Распознавать вектор
• Нарисовать векторы на декартовой плоскости
• Примените формулу для определения величины векторов
• Найдите скалярное произведение по двум формулам

Интерактивное точечное произведение двух векторов

Что такое точечное произведение

Скалярное произведение — это операция, которая принимает два вектора и возвращает число.
Это описание, вероятно, не очень помогает.
Точечное произведение говорит нам, насколько похожи направления двух наших векторов. Помните, что вектор — это длина и направление.
Он говорит нам, как далеко нужно идти в этом направлении.

Как найти точечное произведение

Допустим, у нас есть два вектора с именами вектор A и вектор B.
Есть два способа найти скалярное произведение наших векторов.

Способ №1: с базовой алгеброй

Мы думаем об этом как о «способе разработчика» найти точечный продукт.

A.x * B.x + A.y * B.y Все просто, не правда ли? Только умножение и сложение. Сверхбыстрый для компьютеров.

Этот способ заставляет нас выполнять больше работы, чтобы нормализовать наш скалярный продукт, что в данном случае означает , что мы хотим, чтобы наш результат находился в диапазоне от -1 до 1.
Если мы хотим преобразовать число в , одно в , мы делим это число само по себе; Итак, мы делим на длины обоих наших векторов, умноженные вместе.
A.x * B.x + A.y * B.y / (|| A || * || B ||) The || вокруг наших векторов означает, что мы берем их длину. Мы используем две полосы, потому что одна из них может означать, что мы берем абсолютное значение.

Способ № 2: с базовым триггером

Мы думаем об этом как о «чистой математике».
Мы вычитаем угол одного из наших векторов из угла другого (работает в любом случае).
Затем мы берем косинус результата или наше вычитание.
Затем мы умножаем результат нашего косинуса на величину (длину) обоих наших векторов. Виола, у нас есть точечный продукт. cos (Угол A - Угол B) * || A || * || B || Наш случай проще, потому что мы заинтересованы в том, чтобы наш результат был нормализован на (мы хотим, чтобы наш результат находился в диапазоне от -1 до 1).

Хмм, это диапазон cos …
cos (угол A - угол B) Это все, что нам нужно, наш нормализованный скалярный продукт — это косинус разности углов наших векторов…интересно.

Узнайте больше о косинусе здесь.

Какой путь лучше?

Итак, как мы узнаем, какой способ использовать?
Это зависит от того, какие данные у нас есть.
Если у нас уже есть позиции, мы можем использовать способ алгебры.
Если у нас уже есть углы, мы можем использовать триггерный способ.
Если у нас нет ни того, ни другого, мы получим то, что нам проще всего.
Оба способа дают одинаковый результат! Обратите внимание, как в обоих направлениях есть элемент направленности

Проекция точечного продукта

Мы думаем о скалярных произведениях как о проекции одного вектора на другой.
Идея проста.
Мы рисуем оба наших вектора, затем проводим линию от кончика одного, чтобы соединить их под углом 90 °.

Рисунок А
Мы замечаем, что наш результат — это косинус треугольника, который мы создали, когда отбросили линию.

Что происходит, если векторы не перекрываются?
Если векторы не перекрываются, результат будет отрицательным; Мы «вытягиваем» вектор, на который проецируем, в противоположном направлении, а затем отбрасываем нашу линию.

Рисунок B

Скалярное произведение

Вам кажется странным, что скалярное произведение принимает два вектора, но не возвращает вектор?

Вместо этого он возвращает число, которое мы могли бы назвать скаляром.
Вот почему некоторые называют скалярное произведение скалярным произведением.

Имя другое, но одно и то же.

Почему имеет смысл, что скалярное произведение возвращает скаляр, а не новый вектор?
Поскольку скалярное произведение описывает отношения между двумя векторами.

Внутренний продукт против точечного произведения

Внутреннее произведение является более общим, чем скалярное произведение. Скалярное произведение — это особый случай внутреннего продукта. То есть скалярное произведение — это приложение внутреннего продукта, но внутреннее произведение выходит за рамки скалярного произведения.

Что представляет собой скалярное произведение?

В результате мы получаем число (скаляр), а не вектор; Результат описывает взаимосвязь между двумя векторами. Чем ближе результат к 1, тем больше похожи векторы, чем ближе результат к -1, тем больше несходство, чем ближе результат к 0, тем ближе два вектора к перпендикулярности.

Рисунок C

Заключение

Скалярное произведение отвечает на вопрос: насколько похожи направления двух векторов .
Ответ на этот вопрос решает для нас множество различных проблем.

Ресурсы

Объяснение урока: Точечное произведение в 2D

В этом объяснительном материале мы узнаем, как найти скалярное произведение двух векторов в 2D.

Есть три способа умножения векторов. Во-первых, вы можете выполнить скалярное умножение в который вы умножаете каждый компонент вектора на действительное число, например, 3⃑𝑣. Здесь мы бы умножили каждый компонент на вектор ⃑𝑣 под номером три.Во-вторых, мы можем умножить вектор на другой вектор; здесь есть два различные методы, скалярное произведение и перекрестное произведение. В этом объяснении мы собираемся только посмотрите на скалярное произведение.

Предположим, у нас есть вектор ⃑𝑢, который 𝑢, 𝑢 и вектор ⃑𝑣 то есть 𝑣, 𝑣. Их скалярный продукт записывается как ⃑𝑢⋅⃑𝑣. Обратите внимание, что точка находится в центре двух векторов, а не в основание каждого. Теперь, чтобы вычислить скалярное произведение, нам нужно записать два вектора в компонентную форму, умножьте соответствующие компоненты каждого вектора и сложите полученный числа.

Определение: скалярное произведение двух векторов

Скалярное произведение двух векторов ⃑𝑢 = 𝑢, 𝑢 и ⃑𝑣 = 𝑣, 𝑣 задается перемножением соответствующих компонент каждого вектора и складывая полученные числа: ⃑𝑢⋅⃑𝑣 = 𝑢⋅𝑣 + 𝑢⋅𝑣.

Это продемонстрировано в примере 1.

Пример 1: Нахождение скалярного произведения двумерных векторов

Учитывая вектор ⃑𝑣 = (7,2 ) а также вектор ⃑𝑢 = (3,6), найти ⃑𝑢⋅⃑𝑣.

Ответ

Напомним, что скалярное произведение двух векторов ⃑𝑢 = 𝑢, 𝑢 и ⃑𝑣 = 𝑣, 𝑣 задается формулой ⃑𝑢⋅⃑𝑣 = 𝑢⋅𝑣 + 𝑢⋅𝑣.

Отсюда имеем ⃑𝑢⋅⃑𝑣 = (7,2) ⋅ (3,6) = 7⋅3 + 2⋅6 = 21 + 12 = 33.

Уведомление в в этом примере мы написали «7⋅3», что другой способ написать «7 × 3». Мы используем первый обозначение, чтобы избежать возможной путаницы с векторным кросс-произведением, которое, как и название подсказывает, использует крестик вместо точки. Также обратите внимание, что скалярное произведение дает ответ, который является числовым значением или скаляром. Здесь стоит отметить, что точка По этой причине произведение также называется скалярным произведением.

Давайте посмотрим, что происходит, когда мы выполняем скалярное произведение 𝑘⃑𝑢⋅⃑𝑣, где 𝑘 — ненулевое действительное число и ⃑𝑢 = 𝑢, 𝑢 и ⃑𝑣 = 𝑣, 𝑣. Компоненты 𝑘⃑𝑢 равны 𝑘𝑢, 𝑘𝑢, и мы находим, что 𝑘⃑𝑢⋅⃑𝑣 = 𝑘𝑢⋅𝑣 + 𝑘𝑢⋅𝑣 = 𝑘𝑢⋅𝑣 + 𝑢⋅𝑣 = 𝑘⃑𝑢⋅⃑𝑣.

Аналогично находим, что ⃑𝑢⋅𝑘⃑𝑣 = 𝑘⃑𝑢⋅⃑𝑣 а также 𝑘⃑𝑢⋅𝑘′⃑𝑣 = 𝑘𝑘′⃑𝑢⋅⃑𝑣.

Поскольку это важное свойство, позвольте нам отметить его здесь.

Свойство: скалярное умножение и точечное произведение

Для действительных чисел и 𝑘 ′ имеем 𝑘⃑𝑢⋅𝑘′⃑𝑣 = 𝑘𝑘′⃑𝑢⋅⃑𝑣.

Кроме того, из определения находим, что ⃑𝑣⋅⃑𝑢 = 𝑣⋅𝑢 + 𝑣⋅𝑢,  что, учитывая, что умножение коммутативно, приводит к ⃑𝑣⋅⃑𝑢 = 𝑢⋅𝑣 + 𝑢⋅𝑣 = ⃑𝑢⋅⃑𝑣.

Это доказывает коммутативность скалярного произведения.

Свойство: Коммутативность скалярного произведения

Скалярное произведение коммутативно: ⃑𝑢⋅⃑𝑣 = ⃑𝑣⋅⃑𝑢.

Рассмотрим теперь три вектора ⃑𝑢 = 𝑢, 𝑢, ⃑𝑣 = 𝑣, 𝑣 и ⃑𝑤 = 𝑤, 𝑤 и работаем из скалярного произведения ⃑𝑢⋅⃑𝑣 + ⃑𝑤. У нас есть ⃑𝑣 + ⃑𝑤 = 𝑣 + 𝑤, 𝑣 + 𝑤; следовательно, ⃑𝑢⋅⃑𝑣 + ⃑𝑤 = 𝑢 (𝑣 + 𝑤) + 𝑢𝑣 + 𝑤 = 𝑢𝑣 + 𝑢𝑤 + 𝑢𝑣 + 𝑢𝑤 = 𝑢𝑣 + 𝑢𝑣 + 𝑢𝑤 + 𝑢𝑤.

Наконец мы находим, что ⃑𝑢⋅⃑𝑣 + ⃑𝑤 = ⃑𝑢⋅⃑𝑣 + ⃑𝑢⋅⃑𝑤.

Это уравнение показывает, что скалярное произведение является распределительным.

Свойство: Дистрибутивность скалярного произведения

Скалярное произведение является распределительным: ⃑𝑢⋅⃑𝑣 + ⃑𝑤 = ⃑𝑢⋅⃑𝑣 + ⃑𝑢⋅⃑𝑤.

Давайте рассмотрим полезное свойство, которое имеет скалярное произведение, когда мы берем точку произведение вектора на себя, которое мы вычислим в следующем пример.

Пример 2: Вычисление скалярного произведения вектора на самого себя

Учитывая, что 𝐴𝐵 = (5,12), найти 𝐴𝐵⋅𝐴𝐵.

Ответ

Напомним, что скалярное произведение двух векторов ⃑𝑢 = 𝑢, 𝑢 и ⃑𝑣 = 𝑣, равно ⃑𝑢⋅⃑𝑣 = 𝑢⋅𝑣 + 𝑢⋅𝑣.

Поскольку ⃑𝑢 = ⃑𝑣 = (5,12), имеем (5,12) ⋅ (5,12) = 5⋅5 + 12⋅12 = 25 + 144 = 169.

Чтобы увидеть, насколько значим этот результат, давайте посчитаем величину того же вектор. Сначала мы рисуем набросок вектора.

Мы можем вычислить его величину, найдя его длину с помощью теоремы Пифагора. Итак, величина 𝐴𝐵, обычно обозначаемая как ‖‖𝐴𝐵‖‖, рассчитывается следующим образом: ‖‖𝐴𝐵‖‖ = √5 + 12 = √169 = 13.

Если мы сравним величину и скалярное произведение, мы обнаружим следующее свойство.

Свойство: скалярное произведение и величина

Величина вектора равна квадратному корню из его скалярного произведения на себя: ‖‖𝐴𝐵‖‖ = 𝐴𝐵⋅𝐴𝐵.

Скалярное произведение двух векторов можно интерпретировать геометрически, как указано в следующем блоке определения.

Определение: геометрическое определение скалярного произведения

Скалярное произведение двух векторов ⃑𝑢 и ⃑𝑣 равно произведению их величин с косинусом угла между ними: ⃑𝑢⋅⃑𝑣 = ‖‖⃑𝑢‖‖⋅‖‖⃑𝑣‖‖⋅𝜃, cos где 𝜃 — угол между ⃑𝑢 и.

Геометрическая интерпретация показывает нам, что чем «ближе» два вектора, тем больше скалярное произведение, потому что чем меньше угол, тем больше его косинус. Следовательно, максимальное значение скалярного произведения двух векторов Данная величина возникает, когда два вектора имеют одинаковое направление, то есть когда угол между ними равен нулю.

Скалярное произведение двух коллинеарных векторов, имеющих одинаковое направление, равно ⃑𝑢⋅⃑𝑣 = ‖‖⃑𝑢‖‖⋅‖‖⃑𝑣‖‖⋅0, cos что, поскольку cos0 = 1, дает ⃑𝑢⋅⃑𝑣 = ‖‖⃑𝑢‖‖⋅‖‖⃑𝑣‖‖.

Это согласуется с тем, что мы обнаружили ранее для скалярного произведения вектора на самого себя.

Когда два вектора ⃑𝑢 и ⃑𝑣 коллинеарны, но имеют противоположные направлений, угол между ними 180∘, с косинусом −1, так что их скалярное произведение тогда дается выражением ⃑𝑢⋅⃑𝑣 = −‖‖⃑𝑢‖‖⋅‖‖⃑𝑣‖‖.

С другой стороны, когда два вектора ⃑𝑢 и ⃑𝑣 перпендикулярны, их скалярный продукт равен нулю, поскольку косинус угла между ними (90∘) равно нулю.Это важное свойство, которое можно использовать для проверки того, перпендикулярны ли два вектора заданных компонентов.

Свойство: скалярное произведение двух перпендикулярных векторов

Точечное произведение двух перпендикулярных векторов равно нулю. И наоборот, когда скалярное произведение двух векторов равно нулю, два вектора перпендикулярны.

Давайте посмотрим на пример, где нам нужно использовать это свойство.

Пример 3: Нахождение скалярного произведения двух векторов в квадрате

Квадрат 𝐴𝐵𝐶𝐷 имеет сторону 10 см.Что такое 𝐴𝐵⋅𝐵𝐶?

Ответ

Мы можем начать отвечать на этот вопрос с рисования квадрата 𝐴𝐵𝐶𝐷 и векторов. 𝐴𝐵 и 𝐵𝐶.

Мы видим, что и 𝐵𝐶 перпендикулярны, поскольку два смежные стороны квадрата перпендикулярны. Угол между двумя векторами равен 90∘, и, как cos90 = 0∘, имеем 𝐴𝐵⋅𝐵𝐶 = ‖‖𝐴𝐵‖‖⋅‖‖𝐵𝐶‖‖⋅90 = 0.cos∘

Ответ: 𝐴𝐵⋅𝐵𝐶 = 0.

Давайте посмотрим на другой пример, где нам нужно использовать свойство перпендикулярных векторов.

Пример 4: Нахождение недостающего компонента вектора при условии, что он перпендикулярен другому

При условии, что ⃑𝐴 = (- 4, 𝑘), ⃑𝐵 = (- 12, −3) и ⃑𝐴⟂⃑𝐵, определить значение 𝑘.

Ответ

⃑𝐴 и ⃑𝐵 — два перпендикулярных вектора; это означает, что их скалярный продукт равен нулю. Поэтому давайте рассчитаем их скалярное произведение, используя их компоненты: ⃑𝐴⋅⃑𝐵 = 𝐴⋅𝐵 + 𝐴⋅𝐵,  где 𝐴, 𝐴 — компоненты и 𝐵, 𝐵 принадлежат ⃑𝐵.

Подставляя в наши уравнения действительные компоненты ⃑𝐴 и ⃑𝐵, мы получаем ⃑𝐴⋅⃑𝐵 = −4⋅ (−12) + 𝑘⋅ (−3) ⃑𝐴⋅⃑𝐵 = 48−3𝑘.

Поскольку и ⃑𝐵 перпендикулярны, их скалярное произведение равно нулю, который дает 48−3𝑘 = 03𝑘 = 48𝑘 = 16.

В нашем последнем примере мы увидим, как найти скалярное произведение, используя его геометрическое определение.

Пример 5: Нахождение скалярного произведения двух векторов в треугольнике

Учитывая, что 𝐴𝐵𝐶 — равнобедренный треугольник, где 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 = 6 см и 𝑚∠𝐴 = 120∘, определите 𝐶𝐴⋅𝐵𝐶.

Ответ

Давайте сначала нарисуем треугольник 𝐴𝐵𝐶 и векторы 𝐶𝐴 и 𝐵𝐶.

Нас просят найти. Для этого нам нужно проработать угол между 𝐶𝐴 и 𝐵𝐶 и величина 𝐵𝐶.

Чтобы найти угол 𝜃 между двумя векторами, мы рисуем вектор ⃑𝑢 эквивалентно 𝐵𝐶, так что начальные точки и 𝐶𝐴 совпадают.

В равнобедренном треугольнике 𝐴𝐵𝐶, 𝑚∠𝐶 = 𝑚∠𝐵 = 180−1202 = 30∘∘∘. Угол между 𝐶𝐵 и ⃑𝑢 равно 180∘; следовательно, у нас есть 𝜃 = 180−30 = 150.∘∘∘

Чтобы найти величину, поскольку нам даны длины 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶, мы просто считаем, что здесь величины векторов задаются их длинами в сантиметры. Следовательно, нам нужно найти длину 𝐵𝐶. Для этого мы можем использовать правило синуса в треугольнике 𝐴𝐵𝐶. Это дает 630 = 𝐵𝐶120𝐵𝐶 = 612030𝐵𝐶 = 6⋅𝐵𝐶 = 6√3.sinsinsincm∘∘∘∘√

Теперь мы можем найти 𝐶𝐴⋅𝐵𝐶, написав, что 𝐶𝐴⋅𝐵𝐶 = ‖‖𝐶𝐴‖‖⋅‖‖𝐵𝐶‖‖⋅𝜃, cos где 𝜃 — угол между 𝐶𝐴 и.Подставляя величины ‖‖𝐶𝐴‖‖ и ‖‖𝐵𝐶‖‖ и значение 𝜃 в нашем уравнении дает нам 𝐶𝐴⋅𝐵𝐶 = 6⋅6√3⋅150.cos∘

При cos150 = −√32∘ находим 𝐶𝐴⋅𝐵𝐶 = 6⋅6√3⋅ − √32𝐶𝐴⋅𝐵𝐶 = −54.

В заключение, давайте посмотрим, как вывести закон косинусов, используя дистрибутивность скалярного произведения и его геометрическую форму. определение. Для любых трех точек 𝐴, 𝐵 и 𝐶 мы можем написать ‖‖𝐵𝐶‖‖ = 𝐵𝐶⋅𝐵𝐶 = 𝐵𝐴 + 𝐴𝐶⋅𝐵𝐴 + 𝐴𝐶.

Раскрывая круглые скобки, находим, что ‖‖𝐵𝐶‖‖ = ‖‖𝐵𝐴‖‖ + 𝐵𝐴⋅𝐴𝐶 + 𝐴𝐶⋅𝐵𝐴 + ‖‖𝐴𝐶‖‖.

Поскольку 𝐵𝐴⋅𝐴𝐶 = 𝐴𝐶⋅𝐵𝐴, имеем ‖‖𝐵𝐶‖‖ = ‖‖𝐵𝐴‖‖ + ‖‖𝐴𝐶‖‖ + 2𝐵𝐴⋅𝐴𝐶.

Пусть 𝜃 — угол между 𝐵𝐴 и 𝐴𝐶. как показано на диаграмме выше. У нас есть ‖‖𝐵𝐶‖‖ = ‖‖𝐵𝐴‖‖ + ‖‖𝐴𝐶‖‖ + 2‖‖𝐵𝐴‖‖⋅‖‖𝐴𝐶‖‖⋅𝜃.cos

Угол между 𝐴𝐵 и ⃑𝑢 это 180∘; следовательно, у нас есть 𝜃 = 180 − 𝑚∠𝐵𝐴𝐶.∘

А, поскольку coscos (180 − 𝑥) = — 𝑥∘ для любого находим ‖‖𝐵𝐶‖‖ = ‖‖𝐵𝐴‖‖ + ‖‖𝐴𝐶‖‖ − 2‖‖𝐵𝐴‖‖⋅‖‖𝐴𝐶‖‖⋅∠𝐵𝐴𝐶, cos что соответствует закону косинусов, 𝑎 = 𝑏 + 𝑐 − 2𝑏𝑐𝐴, cos при 𝑎 = 𝐵𝐶, 𝑏 = 𝐴𝐶, 𝑐 = 𝐵𝐴 и 𝐴 = ∠𝐵𝐴𝐶.

Давайте подведем итог тому, что мы узнали в этом объяснителе.

Ключевые точки

• Точечное произведение двух векторов ⃑𝑢 = 𝑢, 𝑢 и ⃑𝑣 = 𝑣, 𝑣 задается умножением соответствующих компонент каждый вектор и складываем полученные числа: ⃑𝑢⋅⃑𝑣 = 𝑢𝑣 + 𝑢𝑣.
• Имеем 𝑘⃑𝑢⋅𝑘′⃑𝑣 = 𝑘𝑘′⃑𝑢⋅⃑𝑣.
• Скалярное произведение коммутативно: ⃑𝑢⋅⃑𝑣 = ⃑𝑣⋅⃑𝑢.
• Скалярное произведение является распределительным: ⃑𝑢⋅⃑𝑣 + ⃑𝑤 = ⃑𝑢⋅⃑𝑣 + ⃑𝑢⋅⃑𝑤.
• Скалярное произведение двух векторов ⃑𝑢 и ⃑𝑣 равно произведение их величин на косинус угла между ними: ⃑𝑢⋅⃑𝑣 = ‖‖⃑𝑢‖‖⋅‖‖⃑𝑣‖‖⋅𝜃, cos где 𝜃 — угол между ⃑𝑢 и.
• Скалярное произведение двух перпендикулярных векторов равно нулю. И наоборот, когда скалярное произведение двух векторов равно нулю, два векторы перпендикулярны.

Точечный (Скалярный) Произведение | Макс Бартоло

Скалярное произведение — это алгебраическая операция, которая берет два вектора одинакового размера и возвращает один скаляр (поэтому его иногда называют скалярным произведением). В евклидовой геометрии скалярное произведение декартовых компонентов двух векторов часто называют внутренним произведением.{n} x_iy_i = x_1y_1 + x_2y_2 +… + x_ny_n $$

В Python одним из способов вычисления скалярного произведения было бы взятие суммы понимания списка, выполняющего поэлементное умножение.

  # Определить x и y
х = [1, 3, -5]
y = [4, -2, -1]
  

  def dot (x, y):
    "" "Точечное произведение как сумма значений списка при поэлементном умножении" ""
    вернуть сумму (x_i * y_i для x_i, y_i в zip (x, y))

print ("Скалярное произведение x и y равно", dot (x, y))
  

  Скалярное произведение x и y равно 3
  

Python 3.5 и далее также имеет явный оператор @ для скалярного произведения (применяется к множественным массивам НЕ спискам):

  dot_product = np.array (x) @ np.array (y)
print ("Скалярное произведение x и y равно", dot_product)
  

  Скалярное произведение x и y равно 3
  

В качестве альтернативы мы можем использовать функцию np.dot () .

  точка_продукт = np.dot (x, y)
print ("Скалярное произведение x и y равно", dot_product)
  

  Скалярное произведение x и y равно 3
  

Согласно условию использования $ \ mathbf {x} $ и $ \ mathbf {y} $ в качестве векторов-столбцов, скалярное произведение равно матричному умножению $ \ mathbf {x} ^ T \ mathbf {y} $.T (n \ times 1) = (1 \ times n) (n \ times 1) = (1 \ times 1) $, как и ожидалось.

Использование NumPy (и определение векторов столбцов как матриц):

  x = np.expand_dims (np.array (x), ось = 1)
y = np.expand_dims (np.array (y), ось = 1)
print ("x имеет форму {}, а y имеет форму {}". format (x.shape, y.shape))
  

  x имеет форму (3, 1), а y имеет форму (3, 1)
  

  dot_product = np.matmul (x.T, y) # Обратите внимание, что мы транспонировали x
print ("Точечное произведение x и y с использованием матричного умножения:", dot_product)
print ("Результат имеет форму {}".формат (dot_product.shape))
  

  Точечное произведение x и y с использованием матричного умножения равно [[3]]
Результат имеет форму (1, 1)
  

Как и ожидалось, результатом умножения является матрица размером $ 1 \ times 1 $. На практике, $ 1 \ times 1 $ обычно также называют скаляром.

Геометрическое определение

В евклидовом пространстве евклидов вектор имеет как величину, так и направление. Величина вектора $ \ mathbf {x} $ обозначается $ \ left | \ mathbf {x} \ right | $.{\ circ}) = 0 $, это означает, что скалярное произведение любых двух ортогональных векторов должно быть $ 0 $ .

  # Давайте проверим это, определив два вектора, которые, как мы знаем, ортогональны
х = [1, 0, 0]
у = [0, 1, 0]
print ("Скалярное произведение x и y равно", dot (x, y))
  

  Скалярное произведение x и y равно 0
  

Более интересные свойства см .: https://en.wikipedia.org/wiki/Dot_product

Источник: https://github.com/maxbartolo/ml-index/blob/master/01-basic-math/01-linear-algebra/05-dot-(scalar)-product.ipynb

.