Обычное, или точечное, произведение двух векторов — это просто одномерное число или скаляр. Напротив, перекрестное произведение двух векторов приводит к другому вектору, направление которого ортогонально обоим исходным векторам, как показано правилом правой руки. Величина или длина вектора векторного произведения равна v w sin θ , где θ — это угол между исходными векторами v и w .

Хотя векторы математически просты и чрезвычайно полезны при обсуждении физики, они не были разработаны в их современной форме до конца XIX века, когда Джозайя Уиллард Гиббс и Оливер Хевисайд (из США и Англии соответственно) применили векторный анализ в чтобы помочь выразить новые законы электромагнетизма, предложенные Джеймсом Клерком Максвеллом.

Что такое векторы и как они используются?

В эпизоде ​​Vectors телеканала NBC Learn «Наука о футболе НФЛ» вы видите, что квотербэки должны учитывать свое собственное движение при выполнении передачи, и что движение игрока и траектория мяча могут быть представлены стрелками, известными как векторы.

nbcunifiles.com/icue/files/ari/NBC_Learn/NBC_Learn_Video_Widget.swf?VIDEO_ID=1248081″/>
Векторы используются в науке для описания всего, что имеет как направление, так и величину. Обычно они изображаются в виде заостренных стрелок, длина которых представляет величину вектора.Передача квотербека — хороший пример, потому что у него есть направление (обычно где-то в поле) и величина (насколько сильно брошен мяч).

Вне поля векторы могут использоваться для представления любого количества физических объектов или явлений. Например, ветер является векторной величиной, потому что в любом данном месте он имеет направление (например, северо-восток) и величину (скажем, 45 километров в час). Затем вы можете составить карту воздушного потока в любой момент времени, нарисовав векторы ветра для ряда различных географических мест.

Многие свойства движущихся объектов также являются векторами. Возьмем, к примеру, бильярдный шар, катящийся по столу. Вектор скорости мяча описывает его движение — направление векторной стрелки указывает направление движения мяча, а длина вектора представляет скорость мяча.

Импульс бильярдного шара также является векторной величиной, потому что импульс равен массе, умноженной на скорость. Следовательно, вектор импульса мяча указывает в том же направлении, что и вектор его скорости, а величина или длина вектора импульса является произведением скорости мяча и его массы.

Векторы импульса полезны, когда вы хотите предсказать, что произойдет, когда два объекта соприкоснутся. Вспомните из видео, что векторы можно сложить вместе, соединив их в форму, называемую параллелограммом, и найдя диагональ этого параллелограмма. Диагональ — это сумма двух векторов, образующих стороны параллелограмма.

Допустим, катящийся бильярдный шар движется навстречу скользящему столкновению с неподвижным бильярдным шаром. При ударе движущийся шар передает часть своего импульса неподвижному шару, и оба откатываются от столкновения в разных направлениях.После удара оба шара имеют скорость и, следовательно, импульс. Фактически, сумма векторов импульса двух шаров после столкновения равна вектору импульса первого шара до столкновения, без учета небольших потерь из-за трения, а также звуковой и тепловой энергии, возникающей во время удара.

Итак, с пониманием векторов, игроки в бильярд могут предсказать, куда пойдут оба шара после столкновения, что позволит им утопить больше целевых шаров, сохраняя при этом биток на столе.

Что такое вектор? — Объяснение и примеры

Векторы эффективно передают информацию о математическом или физическом элементе. В частности:

Векторы — это математические величины, используемые для представления объектов, имеющих как величину, так и направление.

Вы когда-нибудь задумывались, что отличает скорость от скорости или массу от веса? Подсказка: ответ связан с векторами! Мы рассмотрим эти и другие вопросы, когда будем обсуждать следующие векторные темы в этой статье:

• Векторное определение
• Введение в векторы

Векторное определение

В физике и математике вектор определяется как:

«Объект или физическая величина, которые могут быть представлены как величиной, так и направлением. ”

Используя приведенное выше определение, мы видим, что представление векторов требует наличия двух компонентов, а именно:

• Величина (или размер)
• Направление

Введение в векторы

Исторически векторы использовались в геометрии, физике и механике. Однако со временем векторы стали широко использоваться во многих областях, включая линейную алгебру, инженерию, информатику, структурный анализ и навигацию.

Поскольку векторы выражают два понятия, а именно величину и направление, они могут создавать широкий спектр математических моделей для различных проблем и сценариев.

В этом разделе мы узнаем о следующих важных векторных концепциях:

• Геометрические и математические представления векторов
• Скаляры против векторов
• Различные типы векторов

Геометрическое и математическое представление векторов

Векторы могут быть геометрически представлены прямыми стрелками определенной длины, указывающими в определенном направлении с определенными начальной и конечной точками. Длина вектора представляет его величину, тогда как направление указывает его направление относительно набора координат. На изображении ниже показан пример геометрического представления вектора.

Рассмотрим следующий рисунок, где A — вектор. | A | представляет его длину (или величину), а стрелка, указывающая от точки a к точке b, представляет его направление. Точка a называется начальной или начальной точкой, а точка b называется конечной или конечной точкой вектора A .Хотя этот пример показывает вектор в двух измерениях, он также может иметь трех-, четырех- или более высокие измерения.

Величина вектора в основном такая же, как длина отрезка ab. Направление вектора в основном такое же, как направление стрелки.

Алгебраически вектор может быть выражен как упорядоченная пара. Это представление называется вектором-столбцом. На изображении ниже вектор OA представлен как вектор-столбец.

OA = (2,3)

Это означает, что вектор смещен от начала координат на две точки по горизонтали (ось x) и четыре точки по вертикальной оси (ось y).

Векторы часто обозначаются полужирными буквами, например a или A. Если полужирный шрифт невозможен, например, при написании заметок от руки, вектор представлен буквой со стрелкой над ним.

Векторы против скаляров

Физические и математические величины классифицируются как векторы или скаляры.Хотя они связаны, векторы и скаляры используются в разных ситуациях.

Скалярная величина

Скалярная величина имеет величину, но не имеет направления.

Скаляры представлены простыми буквами, такими как a или A, и обычно состоят из действительных чисел. Некоторые общие примеры скаляров: время, скорость, энергия, масса, объем, площадь и высота.

Число векторов

Векторная величина имеет как величину, так и направление.

В отличие от скалярных величин, которые имеют только одну составляющую, векторные величины состоят из двух составляющих. Некоторые общие примеры векторов включают скорость, смещение и ускорение.

Чтобы лучше понять разницу между скалярными и векторными величинами, рассмотрим несколько примеров:

Определите, является ли данная величина вектором или скаляром.

V = 10 м, восток

Чтобы классифицировать это количество, нам нужно рассмотреть определения векторов и скаляров и выяснить, сколько в нем компонентов. Сначала разложим данное количество на части.Данная величина имеет составляющую величины | V | = 10м. Он также указывает на восток. Таким образом, можно сделать вывод, что данная величина является вектором, поскольку она имеет две составные части.

A = 5 см

В этом примере присутствует только составляющая величины. Поскольку направление не упоминается, эта величина является скаляром.

Величина скаляра A равна 5 см.

Различные типы векторов

В математике используются различные типы векторов:

• Нулевой вектор
• Единичные векторы
• Равные векторы
• Векторы смещения
• Негатив вектора
• Векторы положения
• Совместные инициалы векторов
• Коллинеарные векторы
• Копланарные векторы

Каждый из этих типов векторов очень важен и имеет различные приложения. Их описание можно найти ниже.

Нулевой вектор

Вектор называется нулевым вектором, если его величина равна нулю. Нулевой вектор начинается и заканчивается в одной и той же точке, что означает, что он имеет координаты (0,0). У него также нет определенного направления. Например: A = (0,0) и A = 0 — разные способы записи нулевых векторов.

Единичный вектор

Единичный вектор — это вектор, длина или величина которого равна 1. Нахождение единичного вектора с тем же направлением, что и другой вектор, может быть полезным инструментом, и мы называем его нормализованным вектором.Такой вектор находится путем деления данного вектора на его величину:

Y шляпа = Y / | Y |

Примечание: помните, что единичные векторы равны друг другу, только если они указывают в одном направлении.

Равный вектор

Два или более вектора считаются равными, если они имеют одинаковую величину и указывают в одном направлении. Два вектора, A и B, на изображении, показанном ниже, равны, поскольку их величина и направление одинаковы.

Вектор смещения

Если точка X перемещается (перемещается) из одной позиции в другую позицию Y, то смещение между двумя точками может быть представлено в виде вектора смещения.В этом случае вектор смещения будет записан как XY.

Отрицательный вектор

Два вектора одинаковой величины, но в противоположных направлениях называются отрицаниями друг друга. Пусть a и b — два вектора с одинаковой величиной. Если направление b противоположно направлению a, , тогда a и b являются противоположностями друг друга. Связь между этими двумя векторами:

a = -b

Вектор положения

Вектор положения используется для указания положения объекта в трехмерных декартовых координатах относительно указанной опорной точки.

Совместные инициалы Векторов

Два или более вектора, имеющих одинаковую начальную или начальную точку, называются ко-начальными векторами. На изображении, приведенном ниже, векторы AC и AB являются векторами со-начальными.

Коллинеарные векторы

Векторы, которые параллельны друг другу или лежат на одной прямой, называются коллинеарными векторами.

Копланарные векторы

Два или более трехмерных вектора, лежащих в одной плоскости, называются компланарными векторами.

Примеры

В этом разделе мы обсудим некоторые векторные примеры задач и их пошаговые решения.

Пример 1

Выразите данный вектор AD , как показано на изображении ниже, как вектор-столбец.

Решение

По определению вектор-столбец выражается как упорядоченная пара. Из рисунка видно, что AD начинается в точке A и заканчивается в точке D. Он смещен на 3 единицы вправо по оси x и на 4 единицы вверх по оси y.

Таким образом, данный вектор AD , записанный как вектор-столбец:

н.э. = (3,4)

Пример 2

Выразите данный вектор UV , как показано на изображении ниже, как вектор-столбец.

Решение

По определению вектор-столбец выражается как упорядоченная пара.Из рисунка видно, что UV начинается в точке U и заканчивается в точке V. Он смещен на 3 единицы вправо по оси x и на 2 единицы вниз по оси y.

Таким образом, данный вектор UV , записанный как вектор-столбец:

УФ = (5, -2)

Обратите внимание, что отрицательный знак указывает на то, что вектор движется вниз по оси y.

Пример 3

Определяет данную величину как скаляр или вектор.

S = 40 минут

Решение

Данная величина является скаляром, потому что она имеет только величину и не имеет направления. Его величина | S | = 40,

Пример 4

Определяет данную величину как скаляр или вектор.

OW = (2, -3)

Решение

Данная величина является векторной. Он выражается как вектор-столбец, OW, , где O — начальная точка, а W — конечная точка.Это показывает, что перевод от O к W составляет 2 точки вправо по горизонтальной оси и 3 точки вниз по оси y.

Пример 5

Определяет данную величину как скаляр или вектор.

В = 0

Решение

Данная величина является векторной. Величина вектора V задается как | V | = 0, так что это фактически нулевой вектор. Следовательно, направление этого вектора не определено, поскольку нулевой вектор не имеет направления.

Пример 6

Определяет данную величину как скаляр или вектор.

F = 20N, вниз

Решение

Данная величина является векторной. Величина вектора F, равна | F | = 20, а направление указано вниз.

Определите следующие величины как векторы или скаляры и определите их величины и направления.2, вертикально вверх.

Ответы

1. Вектор: Величина | X | = 2 м, а направление указано как север.2)
2. Вектор: величина | V | = 20 миль в час, направление — северо-восток.
3. Вектор PQ можно представить в виде упорядоченной пары:

PQ = (5,5).

Это означает, что вектор PQ начинается в точке P и заканчивается в точке Q. Он перемещается на 5 точек вправо по горизонтальной оси и на 5 точек вверх.

12. Вектор MN может быть выражен в виде упорядоченной пары:

MN = (-2, -4).

Это означает, что вектор MN начинается в точке M и заканчивается в точке N.Он перемещается на 2 точки влево по горизонтальной оси и на 4 точки вниз по оси Y.

Векторы

Нет, это не просто стрелы.

И нет, это не лучи.

Векторы — это математические элементы, используемые для представления объекта с указанием направления и величины.

Они нарисованы так, чтобы выглядеть как луч, поскольку векторы обычно представлены в виде отрезка линии с конечной точкой на одной стороне и стрелкой на другой.

Однако, в отличие от лучей, векторы имеют определенную длину, которая отражает их величину. Стрелка вместо того, чтобы символизировать бесконечное продолжение вектора, указывает направление вектора так, как это не может сделать обычный линейный сегмент.

Векторная математика использует некоторые концепции из таких тем, как геометрия и алгебра, для определения векторных пространств. Однако сама тема имеет множество приложений в физике.

Например, , скорость отличается от скорости, потому что у нее есть направление, обычно обозначаемое положительным или отрицательным знаком при представлении алгебраически.Математический подход к векторам часто включает координатную плоскость и геометрические концепции, но физика обычно отделяет концепцию от конкретных мест.

В этом справочнике векторы представлены с математической точки зрения . Он начинается с объяснения векторов в целом и того, как работают векторные операции. Первая тема также включает информацию о геометрических представлениях векторов. Вторая тема связывает векторы с параметрическими уравнениями, поскольку обе концепции могут использоваться для описания движения.

Он начинается с демонстрации различных стратегий для векторных операций. Затем объясняется, как векторы могут использоваться для представления сил. В разделе эта информация используется для определения взаимосвязи между параметрическими уравнениями и векторами.

Тема заканчивается обобщением векторов в двух измерениях на векторы в трех измерениях.

Введение в вектор

В геометрическом представлении длина вектора указывает его величину, а угол — его направление.Однако, в отличие от обычных геометрических элементов, операции могут выполняться с векторами почти так же, как они выполняются с обычными числами, функциями и даже матрицами. Например, можно складывать и вычитать векторы, а также умножать их на скаляр.

Изображение иллюстрирует интуитивно понятную концепцию сложения векторов, показывая сумму красного и синего вектора в виде фиолетового вектора. Хотя это может не совпадать с представлением многих людей о сумме, это имеет смысл в свете сил в физике.

В этом руководстве сначала объясняются векторы и значение вектора, имеющего величину. Затем объясняются векторные операции сложения, вычитания и скалярного умножения.

Тема заканчивается объяснением параллельных векторов, векторной геометрии и векторов положения.

Векторы и параметрические уравнения

Векторы обычно рисуются в виде стрелки, и это геометрическое представление более знакомо большинству людей. Однако их можно представить алгебраически, задав пару координат.

Обычно это делается, предполагая, что вектор имеет конечную точку в точке (0,0) на координатной плоскости, и используя метод, аналогичный поиску полярных координат, для определения направления и величины. Например, вектор, представленный координатами (3, 0), указывает прямо вправо и имеет величину 3.

В этом разделе также рассматривается, почему векторные операции работают и как их можно обобщить за пределами координатной плоскости, особенно в физических сценариях.

Параметрические уравнения, в которых переменная x зависит от третьей переменной, можно использовать для получения информации о векторах.Поскольку x зависит от третьей переменной, t, x записывается как функция от t. Следовательно, y считается функцией как x, так и t. Параметрические уравнения отлично подходят для описания движения, так как векторы отлично подходят для описания сил.

Наконец, большая часть обсуждения векторов в этом руководстве касается векторов в двух измерениях. Однако в приложениях трехмерные векторы довольно распространены.

Эти ресурсы по этой теме начинаются с объяснения различий между геометрическим и алгебраическим представлениями векторов и их отношения к векторным операциям.Затем он более подробно объясняет, как векторы используются для представления сил в физике. В следующей части рассматривается связь между параметрическими уравнениями и векторами.

Наконец, тема завершается объяснением трехмерных векторов.

векторов | Безграничная физика

Компоненты вектора

Векторы — это геометрические представления величины и направления, которые могут быть выражены в виде стрелок в двух или трех измерениях.

Цели обучения

Контрастность двумерных и трехмерных векторов

Основные выводы

Ключевые моменты

• Векторы можно разбить на две составляющие: величину и направление.
• Взяв вектор, который нужно проанализировать, как гипотенузу, можно найти горизонтальную и вертикальную составляющие, заполнив прямоугольный треугольник. Нижний край треугольника — это горизонтальная составляющая, а сторона, противоположная углу, — вертикальная составляющая.
• Угол, который вектор образует с горизонталью, можно использовать для вычисления длины двух компонентов.

Ключевые термины

• координаты : числа, указывающие положение относительно некоторой оси. Пример: [latex] \ text {x} [/ latex] и [latex] \ text {y} [/ latex] координаты указывают положение относительно [latex] \ text {x} [/ latex] и [latex] \ text {y} [/ latex] топоры.
• ось : воображаемая линия, вокруг которой объект вращается или симметрично расположен.
• величина : число, присвоенное вектору, указывающее его длину.

Обзор

Векторы — это геометрические представления величины и направления, которые часто представлены прямыми стрелками, начинающимися в одной точке на оси координат и заканчивающимися в другой точке. Все векторы имеют длину, называемую величиной, которая представляет некоторое интересное качество, так что вектор можно сравнивать с другим вектором. Векторы, будучи стрелками, тоже имеют направление.Это отличает их от скаляров, которые представляют собой простые числа без направления.

Вектор определяется его величиной и ориентацией относительно набора координат. При анализе векторов часто бывает полезно разбить их на составные части. Для двумерных векторов эти компоненты бывают горизонтальными и вертикальными. Для трехмерных векторов компонент величины такой же, но компонент направления выражается в терминах [латекс] \ text {x} [/ latex], [latex] \ text {y} [/ latex] и [latex] \ text {z} [/ латекс].

Разложение вектора

Чтобы визуализировать процесс разложения вектора на его компоненты, начните с рисования вектора из начала набора координат. Затем нарисуйте прямую линию от начала координат по оси x до тех пор, пока линия не сравняется с концом исходного вектора. Это горизонтальная составляющая вектора. Чтобы найти вертикальный компонент, нарисуйте линию прямо вверх от конца горизонтального вектора, пока не дойдете до конца исходного вектора. Вы должны обнаружить, что у вас есть прямоугольный треугольник, в котором исходный вектор является гипотенузой.

Разложение вектора на горизонтальные и вертикальные компоненты — очень полезный метод для понимания физических задач. Всякий раз, когда вы видите движение под углом, вы должны думать о нем как о движении одновременно по горизонтали и вертикали. Такое упрощение векторов может ускорить вычисления и помочь отслеживать движение объектов.

Скаляры и векторы : Г-н Андерсен объясняет различия между скалярными и векторными величинами.Он также использует демонстрацию, чтобы показать важность векторов и сложения векторов.

Компоненты вектора : исходный вектор, определенный относительно набора осей. Горизонтальный компонент простирается от начала вектора до его самой дальней координаты x. Вертикальный компонент простирается от оси x до самой вертикальной точки вектора. Вместе два компонента и вектор образуют прямоугольный треугольник.

Скаляры против векторов

Скаляры — это физические величины, представленные одним числом, а векторы представлены как числом, так и направлением.

Цели обучения

Определите разницу между скалярами величин и векторами, которые представляют

Основные выводы

Ключевые моменты

• Скаляры — это физические величины, представленные одним числом без направления.
• Векторы — это физические величины, требующие как величины, так и направления.
• Примеры скаляров: высота, масса, площадь и объем. Примеры векторов включают смещение, скорость и ускорение.

Ключевые термины

• Оси координат : набор перпендикулярных линий, определяющих координаты относительно начала координат. Пример: оси координат x и y определяют горизонтальное и вертикальное положение.

Физические величины обычно можно разделить на две категории: векторы и скаляры. Эти две категории типичны в зависимости от того, какая информация им требуется. Векторы требуют двух частей информации: величины и направления. Напротив, скаляры требуют только величины.Скаляры можно рассматривать как числа, тогда как векторы следует рассматривать как стрелки, указывающие в определенном направлении.

Вектор : пример вектора. Векторы обычно представлены стрелками, длина которых представляет величину, а их направление — направлением, указанным стрелкой.

Векторы требуют как величины, так и направления. Величина вектора — это число для сравнения одного вектора с другим. В геометрической интерпретации вектора вектор представлен стрелкой.Стрелка состоит из двух частей, определяющих ее. Две части — это его длина, которая представляет величину и направление относительно некоторого набора осей координат. Чем больше величина, тем длиннее стрелка. Физические понятия, такие как смещение, скорость и ускорение, являются примерами величин, которые могут быть представлены векторами. Каждая из этих величин имеет как величину (как далеко или как быстро), так и направление. Чтобы указать направление, должно быть что-то, относительно чего это направление.Обычно эта контрольная точка представляет собой набор осей координат, таких как плоскость x-y.

Скаляры отличаются от векторов тем, что у них нет направления. Скаляры используются в основном для представления физических величин, для которых направление не имеет смысла. Вот некоторые из них: масса, высота, длина, объем и площадь. Говорить о направлении этих величин не имеет смысла, и поэтому они не могут быть выражены в виде векторов.

Разница между векторами и скалярами, Введение и основы : В этом видео представлена ​​разница между скалярами и векторами.Представлены идеи о величине и направлении, а также приведены примеры векторов и скаляров.

Сложение и вычитание векторов графически

Векторы могут быть добавлены или вычтены графически, положив их встык по набору осей.

Цели обучения

Смоделируйте графический метод сложения и вычитания векторов

Основные выводы

Ключевые моменты

• Чтобы добавить векторы, положите первую на наборе осей хвостом в начале координат.Поместите следующий вектор хвостом в голову предыдущего вектора. Когда векторов больше нет, проведите прямую линию от начала до конца последнего вектора. Эта линия представляет собой сумму векторов.
• Чтобы вычесть векторы, действуйте так, как если бы складывались два вектора, но переверните вектор, который нужно вычесть, по осям, а затем соедините его хвостом к голове, как будто складывая.
• Сложение или вычитание любого количества векторов дает результирующий вектор.

Ключевые термины

• начало координат : Центр координатной оси, определенный как координата 0 по всем осям.
• Оси координат : набор перпендикулярных линий, определяющих координаты относительно начала координат. Пример: оси координат x и y определяют горизонтальное и вертикальное положение.

Сложение и вычитание векторов

Одним из способов, которым представление физических величин в виде векторов упрощает анализ, является легкость, с которой векторы могут быть добавлены друг к другу. Поскольку векторы представляют собой графические визуализации, сложение и вычитание векторов можно выполнять графически.

Графический метод сложения векторов также известен как метод «голова к хвосту». Для начала нарисуйте набор осей координат. Затем нарисуйте первый вектор с его хвостом (основанием) в начале координат осей. Для сложения векторов не имеет значения, какой вектор вы рисуете первым, поскольку сложение коммутативно, но для вычитания убедитесь, что вектор, который вы рисуете первым, это тот, который вы вычитаете из . Следующий шаг — взять следующий вектор и нарисовать его так, чтобы его хвост начинался с головы предыдущего вектора (сторона стрелки).Продолжайте помещать каждый вектор в начало предыдущего, пока все векторы, которые вы хотите добавить, не будут объединены. Наконец, проведите прямую линию от начала координат до головы последнего вектора в цепочке. Эта новая линия является векторным результатом сложения этих векторов вместе.

Графическое сложение векторов : Метод сложения векторов «голова к хвосту» требует, чтобы вы расположили первый вектор вдоль набора осей координат. Затем поместите хвост следующего вектора на голову первого.Нарисуйте новый вектор от начала до конца последнего вектора. Этот новый вектор представляет собой сумму двух исходных.

Сложение векторов Урок 1 из 2: Метод сложения «голова к хвосту» : Это видео знакомит зрителей с добавлением и вычитанием векторов. В первом уроке показано графическое сложение, а во втором видео используется более математический подход и показано сложение векторов по компонентам.

Метод вычитания векторов аналогичен.Убедитесь, что первый вектор, который вы рисуете, — это тот, из которого нужно вычесть. Затем, чтобы вычесть вектор, действуйте так, как если бы добавляли напротив этого вектора. Другими словами, переверните вектор, который нужно вычесть, по осям, а затем соедините его хвостом к голове, как будто складывая. Чтобы перевернуть вектор, просто поместите его голову на место хвоста и хвост на место головы.

Сложение и вычитание векторов с использованием компонентов

Часто проще складывать или вычитать векторы, используя их компоненты.

Цели обучения

Продемонстрируйте, как складывать и вычитать векторы по компонентам

Основные выводы

Ключевые моменты

• Векторы можно разложить на горизонтальные и вертикальные компоненты.
• После того, как векторы разложены на компоненты, можно добавлять компоненты.
• Сложение соответствующих компонентов двух векторов дает вектор, который является суммой двух векторов.

Ключевые термины

• Компонент : часть вектора.Например, горизонтальная и вертикальная составляющие.

Использование компонентов для сложения и вычитания векторов

Другой способ добавления векторов — это добавление компонентов. Ранее мы видели, что векторы можно выразить через их горизонтальные и вертикальные компоненты. Чтобы добавить векторы, просто выразите их оба в терминах их горизонтальных и вертикальных компонентов, а затем сложите компоненты вместе.

Вектор с горизонтальными и вертикальными компонентами : Вектор на этом изображении имеет величину 10.3 единицы и направление на 29,1 градуса выше оси абсцисс. Его можно разделить на горизонтальную и вертикальную части, как показано на рисунке.

Например, вектор длиной 5 под углом 36,9 градуса к горизонтальной оси будет иметь горизонтальную составляющую 4 единицы и вертикальную составляющую 3 единицы. Если бы мы добавили это к другому вектору той же величины и направления, мы бы получили бы вектор вдвое большей длины под тем же углом. Это можно увидеть, сложив горизонтальные компоненты двух векторов ([latex] 4 + 4 [/ latex]) и двух вертикальных компонентов ([latex] 3 + 3 [/ latex]).Эти добавления дают новый вектор с горизонтальной составляющей 8 ([latex] 4 + 4 [/ latex]) и вертикальной составляющей 6 ([latex] 3 + 3 [/ latex]). Чтобы найти результирующий вектор, просто поместите хвост вертикального компонента в головку (сторона стрелки) горизонтального компонента, а затем проведите линию от начала до вершины вертикального компонента. Эта новая строка является результирующим вектором. Он должен быть вдвое длиннее оригинала, так как оба его компонента в два раза больше, чем были ранее.

Чтобы вычесть векторы по компонентам, просто вычтите два горизонтальных компонента друг из друга и сделайте то же самое для вертикальных компонентов. Затем нарисуйте получившийся вектор, как вы делали в предыдущей части.

Добавление векторов Урок 2 из 2: Как добавить векторы по компонентам : Это видео знакомит зрителей с добавлением векторов с использованием математического подхода и демонстрирует сложение векторов по компонентам.

Умножение векторов на скаляр

Умножение вектора на скаляр изменяет величину вектора, но не направление.

Цели обучения

Обобщить взаимодействие между векторами и скалярами

Основные выводы

Ключевые моменты

• Вектор — это величина, имеющая как величину, так и направление.
• Скаляр — это величина, имеющая только величину.
• Умножение вектора на скаляр эквивалентно умножению величины вектора на скаляр. Вектор удлиняется или сжимается, но не меняет направления.

Ключевые термины

• вектор : Направленная величина, имеющая как величину, так и направление; между двумя точками.
• величина : число, присвоенное вектору, указывающее его длину.
• скаляр : величина, имеющая величину, но не направление; сравнить вектор.

Обзор

Хотя векторы и скаляры представляют различные типы физических величин, иногда необходимо, чтобы они взаимодействовали. Хотя добавление скаляра к вектору невозможно из-за их различных пространственных размеров, вектор можно умножить на скаляр.Однако скаляр нельзя умножить на вектор.

Чтобы умножить вектор на скаляр, просто умножьте аналогичные компоненты, то есть величину вектора, на величину скаляра. Это приведет к новому вектору с тем же направлением, но произведению двух величин.

Пример

Например, если у вас есть вектор A с определенной величиной и направлением, умножение его на скаляр a с величиной 0,5 даст новый вектор с величиной, равной половине исходной.Точно так же, если вы возьмете число 3, которое является чистым скаляром без единиц измерения, и умножите его на вектор, вы получите версию исходного вектора, которая в 3 раза длиннее. В качестве более физического примера возьмем гравитационную силу, действующую на объект. Сила — это вектор, величина которого зависит от скаляра, известного как масса, и его направления вниз. Если масса объекта удваивается, сила тяжести также удваивается.

Умножение векторов на скаляры очень полезно в физике. Большинство единиц, используемых в векторных величинах, по своей сути являются скалярами, умноженными на вектор.Например, единица измерения скорости в метрах в секунду, которая является вектором, состоит из двух скаляров, которые являются величинами: скаляр длины в метрах и скаляр времени в секундах. Чтобы преобразовать величины в скорость, нужно умножить единичный вектор в определенном направлении на эти скаляры.

Скалярное умножение : (i) Умножение вектора [latex] \ text {A} [/ latex] на скаляр [latex] \ text {a} = 0,5 [/ latex] дает вектор [latex] \ text { B} [/ latex] который вдвое короче.(ii) Умножение вектора [латекс] \ text {A} [/ latex] на 3 увеличивает его длину в три раза. (iii) Удвоение массы (скаляр) удваивает силу (вектор) гравитации.

Единичные векторы и умножение на скаляр

Умножение вектора на скаляр — это то же самое, что умножение его величины на число.

Цели обучения

Предсказать влияние умножения вектора на скаляр

Основные выводы

Ключевые моменты

• Единичный вектор — это вектор величины (длины) 1.
• Скаляр — это физическая величина, которая может быть представлена ​​одним числом. В отличие от векторов, скаляры не имеют направления.
• Умножение вектора на скаляр — это то же самое, что умножение величины вектора на число, представленное скаляром.

Ключевые термины

• скаляр : Величина, которая может быть описана одним числом, в отличие от вектора, который требует направления и числа.
• единичный вектор : вектор величины 1.

Помимо сложения векторов, векторы также можно умножать на константы, известные как скаляры. Скаляры отличаются от векторов тем, что они представлены величиной, но не направлением. Примеры скаляров включают массу, высоту или объем объекта.

Скалярное умножение : (i) Умножение вектора A на 0,5 уменьшает его длину вдвое. (ii) Умножение вектора A на 3 увеличивает его длину втрое. (iii) Увеличение массы (скаляр) увеличивает силу (вектор).

При умножении вектора на скаляр направление вектора не изменяется, а величина умножается на величину скаляра. Это приводит к тому, что новая векторная стрелка указывает в том же направлении, что и старая, но с большей или меньшей длиной. Вы также можете выполнить скалярное умножение с помощью компонентов вектора. Когда у вас есть компоненты вектора, умножьте каждый из компонентов на скаляр, чтобы получить новые компоненты и, следовательно, новый вектор.

Полезной концепцией при изучении векторов и геометрии является концепция единичного вектора. Единичный вектор — это вектор с длиной или величиной, равной единице. Единичные векторы различны для разных координат. В декартовых координатах направлениями являются x и y, обычно обозначаемые [latex] \ hat {\ text {x}} [/ latex] и [latex] \ hat {\ text {y}} [/ latex]. С треугольником над буквами называется «шляпа». Единичные векторы в декартовых координатах описывают круг, известный как «единичный круг» с радиусом один.Это можно увидеть, взяв все возможные векторы длины один под всеми возможными углами в этой системе координат и поместив их в координаты. Если бы вы провели линию, соединяющую все головы всех векторов вместе, вы бы получили круг радиуса один.

Положение, смещение, скорость и ускорение как векторы

Положение, смещение, скорость и ускорение могут быть показаны векторами, поскольку они определены в терминах величины и направления.

Цели обучения

Изучить применение векторов в анализе физических величин

Основные выводы

Ключевые моменты

• Векторы — это стрелки, состоящие из величины и направления. Они используются в физике для обозначения физических величин, которые также имеют как величину, так и направление.
• Смещение — это физический термин, означающий расстояние объекта от контрольной точки. Поскольку смещение содержит две части информации: расстояние от опорной точки и направление от точки, оно хорошо представлено вектором.
• Скорость определяется как скорость изменения смещения во времени. Чтобы узнать скорость объекта, нужно знать, как быстро изменяется смещение, и в каком направлении. Следовательно, он также хорошо представлен вектором.
• Ускорение, будучи скоростью изменения скорости, также требует как величины, так и направления относительно некоторых координат.
• При рисовании векторов часто не хватает места, чтобы нарисовать их в масштабе, который они представляют, поэтому важно где-нибудь указать, в каком масштабе они нарисованы.

Ключевые термины

• скорость : Скорость изменения смещения относительно изменения во времени.
• смещение : Длина и направление прямой линии между двумя объектами.
• ускорение : скорость, с которой скорость тела изменяется со временем

Использование векторов

Векторы могут использоваться для представления физических величин. Чаще всего в физике векторы используются для обозначения смещения, скорости и ускорения.Векторы представляют собой комбинацию величины и направления и отображаются в виде стрелок. Длина представляет собой величину, а направление этой величины — это направление, в котором указывает вектор. Поскольку векторы строятся таким образом, полезно анализировать физические величины (как с размером, так и с направлением) как векторами.

Приложения

В физике векторы полезны, потому что они могут визуально представлять положение, смещение, скорость и ускорение. При рисовании векторов часто не хватает места, чтобы нарисовать их в масштабе, который они представляют, поэтому важно где-то обозначить, в каком масштабе они нарисованы.Например, при рисовании вектора, представляющего величину 100, можно нарисовать линию длиной 5 единиц в масштабе [латекс] \ displaystyle \ frac {1} {20} [/ latex]. Когда величина, обратная шкале, умножается на нарисованную величину, она должна равняться действительной величине.

Положение и перемещение

Смещение определяется как расстояние объекта в любом направлении относительно положения другого объекта. Физики используют концепцию вектора положения как графический инструмент для визуализации смещений.Вектор положения выражает положение объекта от начала системы координат. Вектор положения также может использоваться для отображения положения объекта относительно опорной точки, вторичного объекта или исходного положения (при анализе того, насколько далеко объект переместился от своего исходного положения). Вектор положения — это прямая линия, проведенная от произвольной исходной точки к объекту. После рисования вектор имеет длину и направление относительно используемой системы координат.

Скорость

Скорость также определяется величиной и направлением.Чтобы сказать, что что-то набирает или теряет скорость, нужно также сказать, насколько и в каком направлении. Например, самолет, летящий в 200 [latex] \ frac {\ text {km}} {\ text {h}} [/ latex] на северо-восток, может быть представлен вектором, указывающим в северо-восточном направлении, с магнитудой 200 [латекс] \ frac {\ text {km}} {\ text {h}} [/ latex]. При рисовании вектора величина важна только как способ сравнения двух векторов одинаковых единиц. Итак, если бы другой самолет летел на 100 [latex] \ frac {\ text {km}} {\ text {h}} [/ latex] на юго-запад, векторная стрелка должна быть вдвое короче и указывать в направлении юго-запад.

Разгон

Ускорение, представляющее собой скорость изменения скорости во времени, складывается из величины и направления и строится по той же концепции, что и вектор скорости. Значение ускорения не помогло бы в физике, если бы величина и направление этого ускорения были неизвестны, поэтому эти векторы важны. На диаграмме свободного тела, например, падающего объекта, было бы полезно использовать вектор ускорения рядом с объектом, чтобы обозначить его ускорение по направлению к земле.2} [/ латекс] _.

Векторная диаграмма : Мужчина поднимается на холм. Его направление движения определяется углом тета относительно вертикальной оси и длиной стрелки, идущей вверх по холму. Он также ускоряется вниз под действием силы тяжести.

Вектор по математике | Определение, умножение и примеры (видео)

Векторы в математике — это величины с двумя атрибутами: , величина и направление , . Здесь вы можете узнать о векторах, как складывать и вычитать векторы, как умножать векторы на скалярные величины и как векторы указывают путь в реальной жизни.

Содержание

1. Векторное определение
2. Векторный символ
3. Сложение и вычитание векторов
4. Векторы смещения
5. Умножение векторов на скаляр
6. Векторные примеры

Векторное определение

Вектор — величина в математике, которая имеет величину , (расстояние, скорость или размер) и направление (как на стрелке компаса, например, запад, вверх, юго-восток, вниз или север на северо-запад) .

Гребя на лодке через залив, вы можете подумать, что гребете строго на юг со скоростью 3 узла, но если приливы отступают, вы можете двигаться со скоростью 5 узлов на юго-восток.

Вектор или несколько векторов, работающих вместе, будут учитывать расстояние, на которое вы гребете, вашу скорость и ваше фактическое направление.

Векторный символ

Для представления векторов математики, физики и инженеры используют лучи, помечая их строчными или прописными буквами, например:

Советы по маркировке векторов:

• Все векторы называются хвостом (начальной точкой) до стрелки, поэтому у нас есть вектор AB, а не вектор BA
• Если вы маркируете свои векторы, решение использовать прописные или строчные буквы остается за вами; если вам заданы векторы, обратите внимание на направление вектора (посмотрите на стрелки)
• Векторы могут быть параллельны и указывать в одном или противоположных направлениях (посмотрите на стрелки)
• Векторы одинаковой величины, но направленные в противоположных направлениях, являются противоположными, поэтому вектор b также можно записать как -a , что отрицает величину a

Вектор единичной длины называется единичным вектором и обозначается так называемой шляпой: v ^

Сложение и вычитание векторов

Простая векторная математика не слишком сложна.

Чтобы сложить векторы, мы соединяем хвост одного вектора с головой другого, используя стрелку. Прямолинейный луч, соединяющий два вектора, является результирующим r, как на этом рисунке:

Добавляем вектор CD к вектору EF и получаем r.

Вот загвоздка: дает ли эта цифра те же результаты, что и предыдущая?

Здесь мы добавляем вектор EF к вектору CD, и по-прежнему получаем результирующий r. Векторы подчиняются тем же правилам арифметики, что и целые числа (здесь свойство коммутативности).

В реальном мире два путешествия по векторам могут показать вам совершенно разные пейзажи. В математике, поскольку два вектора не меняли своего направления или величины, результирующие идентичны: CD + EF = EF + CD = r.

Вычитание вектора занимает всего два шага:

1. отрицать вектор, который вы хотите вычесть
2. затем сложите два вектора вместе

Вот векторы SA и IL, показывающие маршрут, который, как мы думали, мы ехали на парусной лодке:

Мы не осознавали, что течение было сильным; мы заблудились в тумане; солнце слепило.По какой-то причине, вместо того, чтобы следовать вектору IL, мы пошли в направлении , противоположном направлению . Поэтому вместо того, чтобы добавлять вектор IL, нам нужно его вычесть. Мы делаем это, инвертируя вектор IL и добавляя его к вектору SA:

SA + (-IL) = r

Умножение векторов на скаляр

Умножение вектора на скаляр (действительное число) называется скалярным умножением .

Векторы состоят из двух частей (величины и направления), но мы не можем, , умножить направление на .В этом нет смысла: два «юга» не более обращены на юг, чем один «юг». Но мы, , можем на умножить величину вектора:

• Умножение вектора на положительный целочисленный скаляр > 1 дает вектор большего размера
• Умножение вектора на отрицательный скаляр целого числа <-1 дает больший вектор в противоположном направлении
• Умножение вектора на 1 возвращает тот же вектор (смещение 0)
• Умножение вектора на положительный дробный скаляр <1 дает вектор меньшего размера
• Умножение вектора на отрицательный дробный скаляр > -1 дает меньший вектор в противоположном направлении

Два вектора также можно умножить друг на друга с помощью перекрестного произведения или скалярного произведения.

Перекрестное произведение двух векторов дает новый вектор, а скалярное произведение дает число, иногда известное как скалярное произведение.

Величина вектора

Величина вектора отображается как абсолютное значение: a, или двумя линиями, чтобы не путать его с абсолютным значением: ∥a∥.

Если вы знаете значения по оси x и оси y вектора (как если бы он был на карте или в декартовой системе координат), вы можете легко вычислить его величину, применив теорему Пифагора к изменению положения от хвоста к стрелке:

Итак, здесь, с хвостом в (1, 4) и стрелкой в ​​(7, 8), у нас есть изменение значения x на 6 и изменение значения y на 4, поэтому:

∥u∥ = 62 + 42

∥u∥ = 36 + 16

∥u∥ = 52

∥u∥ = 7.2111 шт.

Величина вектора составляет 7,2111 единиц.

Единица измерения определяется тем, что вы измеряете; дюймы, километры, мили в час (миль / ч) и т. д. Итак, если бы мы просто измерили расстояние в милях, то длина вектора составила бы 7,2111 мили.

Скаляр против векторов

Для ясности, скалярные величины — это только величины: масса, температура, скорость, объем, расстояние, энергия, работа и так далее. Думайте о них как о чистых числах.

Слушайте или читайте внимательно : Слушайте или читайте две величины, например скорость и направление ? Тогда вы имеете дело с вектором.Не читаете и не слышите две величины? Вероятно, вы имеете дело со скаляром.

Векторы смещения

Летающие супергерои редко выбирают кратчайший путь от Daily Bugle или Daily Planet до бедствия того дня. Они прыгают, петляют, прыгают и перекатываются, прежде чем, наконец, прибывают в самый последний момент.

Если бы мы использовали векторы для построения курса летающего супергероя, нам могло бы потребоваться пять или шесть векторов, чтобы учесть все эти обходные пути. Вектор смещения разрезает от начала до конца по прямой линии:

Смещение в этом смысле исходит из физики, что означает изменение положения относительно исходного положения.

Вы вставляете правую руку; вы вытягиваете правую руку: нулевое смещение. Вы ча-ча три шага влево и два шага вправо: вектор смещения на один шаг влево.

На этом рисунке мы видим, что вектор смещения также является результирующим.

Расчет смещения по-прежнему осуществляется вектором n + вектором v = r, потому что векторы a и y отрицают друг друга!

Вы можете подумать, что мы потратили много усилий, чтобы переместиться на такое небольшое расстояние, но что, если бы мы были на корабле ВМФ и должны были обогнуть пристань или охраняемый заповедник? Тогда мы видим, что это действительно был кратчайший маршрут

Примеры векторных изображений

Все эти измерения являются примерами векторов, потому что все они включают расстояние или величину силы и направление:

• Скорость
• Сила
• Разгон
• Импульс
• Рабочий объем

Коммерческие авиалайнеры, истребители, лодки, автомобили, велосипедисты, бегуны, падающие объекты, ракеты, воздушные шары, бумажные самолетики и подводные лодки — все это примеры движущихся объектов, которые используют векторы в повседневной жизни.

Пилоты и штурманы должны использовать векторы, чтобы добраться до места назначения. Ракетчики и аэрокосмические инженеры используют векторы для управления ракетами.

Есть одно исключение из векторов, имеющих длину и направление, и это нулевой вектор. У нулевого вектора нет длины, поэтому он не указывает в каком-либо конкретном направлении. Это означает, что нулевой вектор имеет неопределенное направление.

Основные векторные задачи

1. Что будет, если мы умножим вектор на 4?

Надеемся, вы сказали, что он будет указывать в том же направлении, но будет в четыре раза длиннее!

2. «25 узлов к югу на юго-запад» — это скаляр или вектор?

Это вектор, поскольку он дает величину и направление.

3. Что будет с вектором, если мы умножим его на -12?

Надеемся, вы сказали, что он будет вдвое короче и пойдет в обратном направлении!

4. Два вектора параллельны, но указывают в противоположных направлениях.