Два вида физических величин: скалярные величины и векторные величины | LAMPA

«Что-то я не помню такой темы в физике» — первое, что, наверное, пришло вам в голову. Да, вы правы — тема незаметная, но в некоторых учебниках она присутствует. «А нужна она мне для ЕГЭ?» Нужна. Точно нужна. Очень нужна. Постоянно нужна.

Давайте приступим. Надо запомнить, что в физике (школьной) есть два типа физических величин:

• скалярная величина;
• векторная величина.

Скалярная величина — это просто число. Ну, например, масса тела MMM — это скалярная величина. Пусть, например, M=3M = 3M=3 кг. Время ttt — скалярная величина. Например, время может быть такое: t=7t = 7t=7 сек. 

Векторная величина. Что это такое? Давайте вспомним (а для тех, кто не знал — узнаем), что

вектор — это направленный отрезок.

Стрелка — по-простому. У стрелки (вектора) есть длина (длина стрелки) и направление. Вектор — это нечто, что обладает длиной и направлением.

Примеры векторных величин: сила F⃗\vec {F}F⃗, скорость V⃗\vec{V}V⃗.

Длина вектора обозначается специальным символом — символом модуля | | — это две параллельные палочки. Например, ∣F⃗∣|\vec{F}|∣F⃗∣ — модуль силы;  ∣V⃗∣|\vec{V}|∣V⃗∣ — модуль скорости. Модуль вектора — это уже число. Например, может быть так, что модуль силы ∣F⃗∣=8|\vec{F}|=8∣F⃗∣=8 H, модуль скорости ∣V⃗∣=8|\vec{V}|=8∣V⃗∣=8 м/с.

Направление вектора изображается на картинке. Куда показывает вектор — туда он и направлен. Например, бывает так, что вектор направлен вверх, вниз и т.д. Вектор может быть направлен вдоль какой-то плоскости. Примеры можете видеть на картинках.

Может возникнуть вопрос: а как отличить векторную величину от скалярной? Или так: как я узнаю, что передо мной вектор, а не скаляр?

Ну, самое простое — это опыт. Решая задачи, читая теоретический материал, вы со временем запомните, какие величины векторные, а какие скалярные. Физических величин не так много, как может показаться.

А способ чуть посложнее — это представить эти величины и решить для себя: могут они иметь направление? Если да — то это вектор, если нет — скаляр.

Например: заряд конденсатора. Если заряд имеет направление, то куда он направлен? Непонятно — поэтому, скорее всего, заряд — это скалярная величина.

Другой пример: длина отрезка. Если эта физическая величина имеет направление, то откуда куда она направлена: от точки 1 до точки 2? Или от точки 2 до точки 1? Трудно выбрать — поэтому, скорее всего, длина отрезка — это скаляр.

Скалярные и векторные величины | Математика

Скалярной называется величина, определяемая заданием своего численного значения.

Векторной называется величина, определяемая заданием своего численного значения и направления.

Примерами скалярных величин являются длина, площадь, объем, масса, температура и др. Скалярные величины обозначаются символами и изображаются точками соответствующей числовой оси. Примерами векторных величин являются сила, скорость, ускорение и др. Векторные величины изображаются с помощью векторов — направленных отрезков, т.е. таких отрезков, у которых одна из ограничивающих их точек принята за начало вектора, а другая за его конец. Пусть точка есть начало вектора, а точка его конец, тогда этот вектор обозначается символом и изображается с помощью стрелки (рис.1.1.1).

Рисунок 1.1.1

Получить решение

Определения векторных понятий

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.18

Вектор может быть обозначен также одним из символов . Расстояние между началом и концом вектора называется

длиной вектора или его модулем. Модуль вектора обозначается символами

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.19

Вектор, начало которого совпадает с его концом, называется нулевым и обозначается . Нулевой вектор не имеет определенного направления и его .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.20

Векторы, расположенные на одной прямой или параллельных прямых, называются коллинеарными.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.21

Векторы, расположенные на одной плоскости или на параллельных плоскостях, называются компланарными.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.22

Два вектора и называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковую длину. Равенство векторов записывается в виде .

Из определения равенства векторов следует, что вектор можно перенести параллельно самому себе из одной точки пространства в любую другую его точку.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.23

Вектор называется противоположным вектором для вектора , если он ему коллинеарен, имеет одинаковую с длину, но направлен в противоположную сторону. Векторы и называются взаимно противоположными векторами.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.24

Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором и обозначается символом .

Векторная величина в физике. Примеры векторных величин

Физика и математика не обходятся без понятия «векторная величина». Ее необходимо знать и узнавать, а также уметь с нею оперировать. Этому обязательно стоит научиться, чтобы не путаться и не допускать глупых ошибок.

Как отличить скалярную величину от векторной?

Первая всегда имеет только одну характеристику. Это ее числовое значение. Большинство скалярных величин могут принимать как положительные, так и отрицательные значения. Их примерами может служить электрический заряд, работа или температура. Но есть такие скаляры, которые не могут быть отрицательными, например, длина и масса.

Векторная величина, кроме числовой величины, которая всегда берется по модулю, характеризуется еще и направлением. Поэтому она может быть изображена графически, то есть в виде стрелки, длина которой равна модулю величины, направленной в определенную сторону.

При письме каждая векторная величина обозначается знаком стрелки на буквой. Если идет речь о числовом значении, то стрелка не пишется или ее берут по модулю.

Какие действия чаще всего выполняются с векторами?

Сначала — сравнение. Они могут быть равными или нет. В первом случае их модули одинаковые. Но это не единственное условие. У них должны быть еще одинаковые или противоположные направления. В первом случае их следует называть равными векторами. Во втором они оказываются противоположными. Если не выполняется хотя бы одно из указанных условий, то векторы не равны.

Потом идет сложение. Его можно сделать по двум правилам: треугольника или параллелограмма. Первое предписывает откладывать сначала один вектор, потом от его конца второй. Результатом сложения будет тот, который нужно провести от начала первого к концу второго.

Правило параллелограмма можно использовать, когда нужно сложить векторные величины в физике. В отличие от первого правила, здесь их следует откладывать от одной точки. Потом достроить их до параллелограмма. Результатом действия следует считать диагональ параллелограмма, проведенную из той же точки.

Если векторная величина вычитается из другой, то они снова откладываются из одной точки. Только результатом будет вектор, который совпадает с тем, что отложен от конца второго к концу первого.

Какие векторы изучают в физике?

Их так же много, как скаляров. Можно просто запомнить то, какие векторные величины в физике существуют. Или знать признаки, по которым их можно вычислить. Тем, кто предпочитает первый вариант, пригодится такая таблица. В ней приведены основные векторные

Теперь немного подробнее о некоторых из этих величин.

Первая величина — скорость

С нее стоит начать приводить примеры векторных величин. Это обусловлено тем, что ее изучают в числе первых.

Скорость определяется как характеристика движения тела в пространстве. Ею задается числовое значение и направление. Поэтому скорость является векторной величиной. К тому же ее принято разделять на виды. Первый является линейной скоростью. Ее вводят при рассмотрении прямолинейного равномерного движения. При этом она оказывается равной отношению пути, пройденного телом, ко времени движения.

Эту же формулу допустимо использовать при неравномерном движении. Только тогда она будет являться средней. Причем интервал времени, который необходимо выбирать, обязательно должен быть как можно меньше. При стремлении промежутка времени к нулю значение скорости уже является мгновенным.

Если рассматривается произвольное движение, то здесь всегда скорость — векторная величина. Ведь ее приходится раскладывать на составляющие, направленные вдоль каждого вектора, направляющего координатные прямые. К тому же определяется он как производная радиус-вектора, взятая по времени.

Вторая величина — сила

Она определяет меру интенсивности воздействия, которое оказывается на тело со стороны других тел или полей. Поскольку сила — векторная величина, то она обязательно имеет свое значение по модулю и направление. Так как она действует на тело, то важным является еще и точка, к которой приложена сила. Чтобы получить наглядное представление о векторах сил, можно обратиться к следующей таблице.

Также еще векторной величиной является равнодействующая сила. Она определяется как сумма всех действующих на тело механических сил. Для ее определения необходимо выполнить сложение по принципу правила треугольника. Только откладывать векторы нужно по очереди от конца предыдущего. Результатом окажется тот, который соединяет начало первого с концом последнего.

Третья величина — перемещение

Во время движения тело описывает некоторую линию. Она называется траекторией. Эта линия может быть совершенно разной. Важнее оказывается не ее внешний вид, а точки начала и конца движения. Они соединяются отрезком, который называется перемещением. Это тоже векторная величина. Причем оно всегда направлено от начала перемещения к точке, где движение было прекращено. Обозначать его принято латинской буквой r.

Здесь может появиться такой вопрос: «Путь — векторная величина?». В общем случае это утверждение не является верным. Путь равен длине траектории и не имеет определенного направления. Исключением считается ситуация, когда рассматривается в одном направлении. Тогда модуль вектора перемещения совпадает по значению с путем, и направление у них оказывается одинаковым. Поэтому при рассмотрении движения вдоль прямой без изменения направления перемещения путь можно включить в примеры векторных величин.

Четвертая величина — ускорение

Оно является характеристикой быстроты изменения скорости. Причем ускорение может иметь как положительное, так и отрицательное значение. При прямолинейном движении оно направлено в сторону большей скорости. Если перемещение происходит по криволинейной траектории, то вектор его ускорения раскладывается на две составляющие, одна из которых направлена к центру кривизны по радиусу.

Выделяют среднее и мгновенное значение ускорения. Первое следует рассчитывать как отношение изменения скорости за некоторый промежуток времени к этому времени. При стремлении рассматриваемого интервала времени к нулю говорят о мгновенном ускорении.

Пятая величина — импульс

По-другому его еще называют количеством движения. Импульс векторной величиной является из-за того, что напрямую связан со скоростью и силой, приложенной к телу. Обе они имеют направление и задают его импульсу.

По определению последний равен произведению массы тела на скорость. Используя понятие импульса тела, можно по-другому записать известный закон Ньютона. Получается, что изменение импульса равно произведению силы на промежуток времени.

В физике важную роль имеет закон сохранения импульса, который утверждает, что в замкнутой системе тел ее суммарный импульс является постоянным.

Мы очень кратко перечислили, какие величины (векторные) изучаются в курсе физики.

Задача о неупругом ударе

Условие. На рельсах стоит неподвижная платформа. К ней приближается вагон со скоростью 4 м/с. и вагона — 10 и 40 тонн соответственно. Вагон ударяется о платформу, происходит автосцеп. Необходимо вычислить скорость системы «вагон-платформа» после удара.

Решение. Сначала требуется ввести обозначения: скорость вагона до удара — v 1 , вагона с платформой после сцепки — v, масса вагона m 1 , платформы — m 2 . По условию задачи необходимо узнать значение скорости v.

Правила решения подобных заданий требуют схематичного изображения системы до и после взаимодействия. Ось OX разумно направить вдоль рельсов в ту сторону, куда движется вагон.

В данных условиях систему вагонов можно считать замкнутой. Это определяется тем, что внешними силами можно пренебречь. Сила тяжести и уравновешены, а трение о рельсы не учитывается.

Согласно закону сохранения импульса, их векторная сумма до взаимодействия вагона и платформы равна общему для сцепки после удара. Сначала платформа не двигалась, поэтому ее импульс был равен нулю. Перемещался только вагон, его импульс — произведение m 1 и v 1 .

Так как удар был неупругий, то есть вагон сцепился с платформой, и дальше он стали катиться вместе в ту же сторону, то импульс системы не изменил направления. Но его значение стало другим. А именно произведением суммы массы вагона с платформой и искомой скорости.

Можно записать такое равенство: m 1 * v 1 = (m 1 + m 2) * v. Оно будет верно для проекции векторов импульсов на выбранную ось. Из него легко вывести равенство, которое потребуется для вычисления искомой скорости: v = m 1 * v 1 / (m 1 + m 2).

По правилам следует перевести значения для массы из тонн в килограммы. Поэтому при подстановке их в формулу следует сначала умножить известные величины на тысячу. Простые расчеты дают число 0,75 м/с.

Ответ. Скорость вагона с платформой равна 0,75 м/с.

Задача с разделением тела на части

Условие . Скорость летящей гранаты 20 м/с. Она разрывается на два осколка. Масса первого 1,8 кг. Он продолжает двигаться в направлении, в котором летела граната, со скоростью 50 м/с. Второй осколок имеет массу 1,2 кг. Какова его скорость?

Решение. Пусть массы осколков обозначены буквами m 1 и m 2 . Их скорости соответственно будут v 1 и v 2 . Начальная скорость гранаты — v. В задаче нужно вычислить значение v 2 .

Для того чтобы больший осколок продолжал двигаться в том же направлении, что и вся граната, второй должен полететь в обратную сторону. Если выбрать за направление оси то, которое было у начального импульса, то после разрыва большой осколок летит по оси, а маленький — против оси.

В этой задаче разрешено пользоваться законом сохранения импульса из-за того, что разрыв гранаты происходит мгновенно. Поэтому, несмотря на то что на гранату и ее части действует сила тяжести, она не успевает подействовать и изменить направление вектора импульса с его значением по модулю.

Сумма векторных величин импульса после разрыва гранаты равна тому, который был до него. Если записать закон сохранения в проекции на ось OX, то он будет выглядеть так: (m 1 + m 2) * v = m 1 * v 1 — m 2 * v 2 . Из него просто выразить искомую скорость. Она определится по формуле: v 2 = ((m 1 + m 2) * v — m 1 * v 1) / m 2 . После подстановки числовых значений и расчетов получается 25 м/с.

Ответ. Скорость маленького осколка равна 25 м/с.

Задача про выстрел под углом

Условие. На платформе массой M установлено орудие. Из него производится выстрел снарядом массой m. Он вылетает под углом α к горизонту со скоростью v (данной относительно земли). Требуется узнать значение скорости платформы после выстрела.

Решение. В этой задаче можно использовать закон сохранения импульса в проекции на ось OX. Но только в том случае, когда проекции внешних равнодействующих сил равна нулю.

За направление оси OX нужно выбрать ту сторону, куда полетит снаряд, и параллельно горизонтальной линии. В этом случае проекции сил тяжести и реакции опоры на OX будут равны нулю.

Задача будет решена в общем виде, так как нет конкретных данных для известных величин. Ответом в ней является формула.

Импульс системы до выстрела был равен нулю, поскольку платформа и снаряд были неподвижны. Пусть искомая скорость платформы будет обозначена латинской буквой u. Тогда ее импульс после выстрела определится как произведение массы на проекцию скорости. Так как платформа откатится назад (против направления оси OX), то значение импульса будет со знаком минус.

Импульс снаряда — произведение его массы на проекцию скорости на ось OX. Из-за того, что скорость направлена под углом к горизонту, ее проекция равна скорости, умноженной на косинус угла. В буквенном равенстве это будет выглядеть так: 0 = — Mu + mv * cos α. Из нее путем несложных преобразований получается формула-ответ: u = (mv * cos α) / M.

Ответ. Скорость платформы определяется по формуле u = (mv * cos α) / M.

Задача о переправе через реку

Условие. Ширина реки по всей ее длине одинакова и равна l, ее берега параллельны. Известна скорость течения воды в реке v 1 и собственная скорость катера v 2 . 1). При переправе нос катера направлен строго к противоположному берегу. На какое расстояние s его снесет вниз по течению? 2). Под каким углом α нужно направить нос катера, чтобы он достиг противоположного берега строго перпендикулярно к точке отправления? Сколько времени t потребуется на такую переправу?

Решение. 1). Полная скорость катера является векторной суммой двух величин. Первая из них течение реки, которое направлено вдоль берегов. Вторая — собственная скорость катера, перпендикулярная берегам. На чертеже получается два подобных треугольника. Первый образован шириной реки и расстоянием, на которое сносит катер. Второй — векторами скоростей.

Из них следует такая запись: s / l = v 1 / v 2 . После преобразования получается формула для искомой величины: s = l * (v 1 / v 2).

2). В этом варианте задачи вектор полной скорости перпендикулярен берегам. Он равен векторной сумме v 1 и v 2 . Синус угла, на который должен отклоняться вектор собственной скорости, равен отношению модулей v 1 и v 2 . Для расчета времени движения потребуется разделить ширину реки на сосчитанную полную скорость. Значение последней вычисляется по теореме Пифагора.

v = √(v 2 2 — v 1 2), тогда t = l / (√(v 2 2 — v 1 2)).

Ответ. 1). s = l * (v 1 / v 2), 2). sin α = v 1 / v 2 , t = l / (√(v 2 2 — v 1 2)).

При изучении различных разделов физики, механики и технических наук встречаются величины, которые полностью определяются заданием их числовых значений, более точно, которые полностью определяются при помощи числа, полученного в результате их измерения однородной величиной, принятой за единицу. Такие величины называются

скалярными или, короче, скалярами. Ска­лярными величинами, например, являются длина, площадь, объ­ем, время, масса, температура тела, плотность, работа, электроёмкость и др. Так как скалярная величина определяется числом (положительным или отрицательным), то ее можно откладывать на соответствующей координатной оси. Так например, часто стро­ят ось времени, температуры, длины (пройденного пути) и другие.

Помимо скалярных величин, в различных задачах встречаются величины, для определения ко­торых, кроме числового значения, необходимо знать также их направление в пространстве. Такие величины называются

векторными . Физиче­скими примерами векторных величин могут служить смещение материальной точки, двигающейся в пространстве, скорость и ускорение этой точки, а также действующая на нее сила, напряженность электрического или магнитного поля. Век­торные величины используются, например, и в климатологии. Рассмотрим простой пример из климатологии. Если мы скажем, что ветер дует со скоростью 10 м/с, то тем самым введем скаляр­ную величину скорости ветра, но если мы скажем, что дует се­верный ветер со скоростью 10 м/с, то в этом случае скорость ветра будет уже векторной величиной.

Векторные величины изображаются с помощью векторов.

Для геометрического изображения векторных величин слу­жат направленные отрезки, то есть отрезки, имеющие фикси­рованное направление в пространстве. При этом длина отрез­ка равна числовому значению векторной величины, а его на­правление совпадает с направлением векторной величины. Направленный отрезок, характеризующий данную векторную величину, называют геометрическим вектором или просто вектором.

Понятие вектора играет большую роль как в математике, так и во многих областях физики и механики. Многие физические величины могут быть представлены при помощи векторов, и это представление очень часто способствует обобщению и упрощению формул и результатов. Часто векторные величины и векторы, их изображающие, отождествляются друг с другом: так, например, говорят, что сила (или скорость) есть вектор.

Элементы векторной алгебры применяются в таких дисциплинах как: 1) электрические машины; 2) автоматизированный электропривод; 3) электроосвещение и облучение; 4) неразвлетвлённые цепи переменного тока; 5) прикладная механика; 6) теоретическая механика; 7) физика; 8) гидравлика:9) детали машин; 10) сопромат; 11) управление; 12) химия; 13) кинематика; 14) статика и др.

2. Определение вектора. Отрезок прямой задается дву­мя равноправными точками -его концами. Но можно рассматривать направленный отрезок, определяемый упо­рядоченной парой точек. Про эти точки известно, какая из них первая (начало), а какая вторая (конец).

Под направленным отрезком понимают упорядоченную пару точек, первая из которых — точка А — называется его началом, а вторая — В — его концом.

Тогда под вектором понимается в простейшем случае сам направленный отрезок, а в других случаях различные векторы — это разные классы эквивалентности направленных отрезков, определяемые неким конкретным отношением эквивалентности. Причем отношение эквивалентности может быть разным, определяя тип вектора («свободный», «фиксированный» и т.д.). Проще говоря, внутри класса эквивалентности все входящие в него направленные отрезки рассматриваются как совершенно равные, и каждый может равно представлять весь класс.

Большую роль играют векторы в изучении бесконечно малых трансформаций пространства.

Определение 1. Направленный отрезок (или, что то же, упорядоченную пару точек) мы будем называть вектором . Направление на отрезке принято отмечать стрелкой. Над буквенным обозначением вектора при письме ста­вится стрелка, например: (при этом буква, соответст­вующая началу вектора, обязательно ставится впереди). В книгах часто буквы, обозначающие вектор, набираются полужирным шрифтом, например: а .

К векторам будем относить и так называемый нулевой вектор, у которого начало и конец совпадают.

Вектор, начало которого совпадает с его концом, называют нулевым. Нулевой вектор обозначается или просто 0.

Расстояние между началом и концом вектора называ­ется его длиной (а также модулем и абсолютной величи­ной). Длина вектора обозначается | | или | |. Длиной вектора, или модулем вектора, называют длину соответствующего направленного отрезка: | | = .

Векторы называются коллинеарными , если они распо­ложены на одной прямой или на параллельных прямых, короче говоря, если существует прямая, которой они параллельны.

Векторы называются компланарными , если существует плоскость, которой они параллельны, их можно изобразить векторами, лежащими на одной плоскости. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору, так как он не имеет определенного направления. Длина его, разумеется, равна нулю. Очевидно, любые два вектора компланарны; но, конечно, не каждые три вектора в пространстве компланарны. Так как векторы, параллельные друг другу, параллельны одной и той же плоскости, то коллинеарные векторы подавно компланарны. Разумеется, обратное неверно: компланарные векторы могут быть и не коллинеарными. В силу принятого выше условия нулевой вектор коллинеарен со всяким вектором и компланарен со всякой парой векторов, т.е. если среди трёх векторов хотя бы один нулевой, то они компланарны.

2) Слово «компланарные» означает в сущности: «имеющие общую плос­кость», т. е. «расположенные в одной плоскости». Но так как речь здесь идет о свободных векторах, которые можно переносить (не изменяя длины и направ­ления) произвольным образом, мы должны называть компланарными векторы, параллельные одной и той же плоскости, ибо в этом случае их можно пере­нести так, чтобы они оказались расположенными в одной плоскости.

Для сокращения речи условимся в одном термине: если несколько свободных векторов параллельны одной и той же плоскости, то мы будем говорить, что они компланарны. В частности, два вектора всегда компланарны; чтобы в этом убе­диться, достаточно отложить их от одной и той же точки. Ясно, далее, что направление плоскости, в которой параллельны два дан­ных вектора, вполне определено, если эти два вектора не парал­лельны между собою. Любую плоскость, которой параллельны данные компланарные векторы, мы будем называть просто пло­скостью данных векторов.

Определение 2. Два вектора называются равными , если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют равные длины.

Необходимо всегда помнить, что равенство длин двух векторов ещё не означает равенства этих векторов.

По самому смыслу определения, два вектора, порознь равные третьему, равны между собой. Очевидно, все нулевые векторы равны между собой.

Из этого определения непосредственно вытекает, что, выбрав любую точку А», мы может построить (и притом только один) вектор А» В», равный некоторому заданному вектору , или, как говорят, перенести вектор в точку А» .

Замечание . Для векторов нет понятий «больше» или «меньше», т.е. они равны или не равны.

Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором и обозначается через е. Единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора а, называется ортом вектора и обозначается а .

3. О другом определении вектора . Заметим, что понятие равенства векторов существенно отличается от понятия равенства, например, чисел. Каждое число равно только самому себе, иначе говоря, два равных числа при всех обстоятельствах могут рассматриваться как одно и то же число. С векторами, как мы видим, дело обстоит по-другому: в силу определения существуют различные, но равные между собой векторы. Хотя в большинстве случаев у нас не будет необходимости различать их между собой, вполне может оказаться, что в какой-то момент нас будет интересовать именно вектор , а не другой, равный ему вектор А»В».

Для того чтобы упростить понятие равенства векторов (и снять некоторые связанные с ним трудности), иногда идут на усложнение определения вектора. Мы не будем пользоваться этим усложненным определением, но сформулируем его. Чтобы не путать, мы будем писать «Вектор» (с большой буквы) для обозначения определяемого ниже понятия.

Определение 3 . Пусть дан направленный отрезок. Множество всех направленных отрезков, равных данному в смысле определения 2, называется Вектором.

Таким образом, каждый направленный отрезок определяет Век­тор. Легко заметить, что два направленных отрезка определяют один и тот же Вектор тогда и только тогда, когда они равны. Для Векторов, как и для чисел, равенство означает совпадение: два Вектора равны в том и только в том случае, когда это один и тот же Век­тор.

При параллельном переносе пространства точка и ее образ сос­тавляют упорядоченную пару точек и определяют направленный отрезок, причем все такие направленные отрезки равны в смысле определения 2. Поэтому параллельный перенос пространства можно отождествить с Вектором, составленным из всех этих направленных отрезков.

Из начального курса физики хорошо известно, что сила может быть изображена направленным отрезком. Но она не может быть изображена Вектором, поскольку силы, изображаемые равными нап­равленными отрезками, производят, вообще говоря, различные дейст­вия. (Если сила действует на упругое тело, то изображающий ее направленный отрезок не может быть перенесён даже вдоль той прямой, на которой он лежит.)

Это только одна из причин, по которым наряду с Векторами, т. е. множествами (или, как говорят, классами) равных направлен­ных отрезков, приходится рассматривать и отдельных представителей этих классов. При этих обстоятельствах применение определения 3 усложняется большим числом оговорок. Мы будем придерживаться определения 1, причем по общему смыслу всегда будет ясно, идет ли речь о вполне определенном векторе, или на его место может быть подставлен любой, ему равный.

В связи с определением вектора стоит разъяснить значение не­которых слов, встречающихся в литературе.

Векторная величина

Векторная величина — физическая величина , являющаяся вектором (тензором ранга 1). Противопоставляется с одной стороны скалярным (тензорам ранга 0), с другой — тензорным величинам (строго говоря — тензорам ранга 2 и более). Также может противопоставляться тем или иным объектам совершенно другой математической природы.

В большинстве случаев термин вектор употребляется в физике для обозначения вектора в так называемом «физическом пространстве», т.е. в обычном трехмерном пространстве в классической физике или в четырехмерном пространстве-времени в современной физике (в последнем случае понятие вектора и векторной величины совпадают с понятием 4-вектора и 4-векторной величины).

Употребление словосочетания «векторная величина» практически исчерпывается этим. Что же касается употребления термина «вектор», то оно, несмотря на тяготение по умолчанию к этому же полю применимости, в большом количестве случаев всё же весьма далеко выходит за такие рамки. Об этом см. ниже.

Употребление терминов

вектор и векторная величина в физике

В целом в физике понятие вектора практически полностью совпадает с таковым в математике. Однако есть терминологическая специфика, связанная с тем, что в современной математике это понятие несколько излишне абстрактно (по отношению к нуждам физики).

В математике, произнося «вектор» понимают скорее вектор вообще, т.е. любой вектор любого сколь угодно абстрактного линейного пространства любой размерности и природы, что, если не прилагать специальных усилий, может приводить даже к путанице (не столько, конечно, по существу, сколько по удобству словоупотребления). Если же необходимо конкретизировать, в математическом стиле приходится или говорить довольно длинно («вектор такого-то и такого-то пространства»), или иметь в виду подразумеваемое явно описанным контекстом.

В физике же практически всегда речь идет не о математических объектах (обладающих теми или иными формальными свойствами) вообще, а об определенной их конкретной («физической») привязке. Учитывая эти соображения конкретности с соображениями краткости и удобства, можно понять, что терминологическая практика в физике заметно отличается от математической. Однако она не входит с последней в явное противоречие. Этого удается достичь несколькими простыми «приемами». Прежде всего, к ним относится соглашение об употребление термина по умолчанию (когда контекст особо не оговаривается). Так, в физике, в отличие от математики, под словом вектор без дополнительных уточнений обычно понимается не «какой-то вектор любого линейного пространства вообще», а прежде всего вектор, связанный с «обычным физическим пространством» (трехмерным пространством классической физики или четырехмерным пространством-временем физики релятивистской). Для векторов же пространств, не связанных прямо и непосредственно с «физическим пространством» или «пространством-временем», как раз применяют специальные названия (иногда включающие слово «вектор», но с уточнением). Если вектор некоторого пространства, не связанного прямо и непосредственно с «физическим пространством» или «пространством-временем» (и которое трудно сразу как-то определенно охарактеризовать), вводится в теории, он часто специально описывается как «абстрактный вектор».

Всё сказанное еще в большей степени, чем к термину «вектор», относится к термину «векторная величина». Умолчание в этом случае еще жестче подразумевает привязку к «обычному пространству» или пространству-времени, а употребление по отношению к элементам абстрактных векторных пространств скорее практически не встречается, по крайней мере, такое применение видится редчайшим исключением (если вообще не оговоркой).

В физике векторами чаще всего, а векторными величинами — практически всегда — называют векторы двух сходных между собою классов:

Примеры векторных физических величин: скорость , сила , поток тепла.

Генезис векторных величин

Каким образом физические «векторные величины» привязаны к пространству? Прежде всего, бросается в глаза то, что размерность векторных величин (в том обычном смысле употребления этого термина, который разъяснен выше) совпадает с размерностью одного и того же «физического» (и «геометрического») пространатсва, например, пространство трехмерно и вектор электрического поля трехмерен. Интуитивно можно заметить также, что любая векторная физическая величина, какую бы туманную связь она не имела с обычной пространственной протяженностью, тем не менее имеет вполне определенное направление именно в этом обычном пространстве.

Однако оказывается, что можно достичь и гораздо большего, прямо «сведя» весь набор векторных величин физики к простейшим «геометрическим» векторам, вернее даже — к одному вектору — вектору элементарного перемещения, а более правильно было бы сказать — произведя их всех от него.

Эта процедура имеет две различные (хотя по сути детально повторяющие друг друга) реализации для трехмерного случая классической физики и для четырехмерной пространственно-временной формулировки, обычной для современной физики.

Классический трехмерный случай

Будем исходить из обычного трехмерного «геометрического» пространства, в котором мы живем и можем перемещаться.

В качестве исходного и образцового вектора возьмем вектор бесконечно малого перемещения. Довольно очевидно, что это обычный «геометрический» вектор (как и вектор конечного перемещения).

Заметим теперь сразу, что умножение вектора на скаляр всегда дает новый вектор. То же можно сказать о сумме и разности векторов. В этой главе мы не будем делать разницы между полярными и аксиальными векторами , поэтому заметим, что и векторное произведение двух векторов дает новый вектор.

Также новый вектор дает дифференцирование вектора по скаляру (поскольку такая производная есть предел отношения разности векторов к скаляру). Это можно сказать дальше и о производных всех высших порядков. То же верно по отношению к интегрированию по скалярам (времени, объему).

Теперь заметим, что, исходя из радиус-вектора r или из элементарного перемещения dr , мы легко понимаем, что векторами являются (поскольку время — скаляр) такие кинематические величины, как

Из скорости и ускорения, умножением на скаляр (массу), появляются

Поскольку нас сейчас интересуют и псевдовекторы, заметим, что

• с помощью формулы силы Лоренца напряженность электрического поля и вектор магнитной индукции привязаны к векторам силы и скорости.

Продолжая эту процедуру, мы обнаруживаем, что все известные нам векторные величины оказываются теперь не только интуитивно, но и формально, привязаны к исходному пространству. А именно все они в некотором смысле являются его элементами, т.к. выражаются в сущности как линейные комбинации других векторов (со скалярными множителями, возможно, и размерными, но скалярными, а поэтому формально вполне законными).

Современный четырехмерный случай

Ту же процедуру можно проделать исходя из четырехмерного перемещения. Оказывается, что все 4-векторные величины «происходят» от 4-перемещения, являясь поэтому в некотором смысле такими же векторами пространства-времени, как и само 4-перемещение.

Виды векторов применительно к физике

• Полярный или истинный вектор — обычный вектор.
• Аксиальный вектор (псевдовектор) — на самом деле не является настоящим вектором, однако формально почти не отличается от последнего, за исключением того, что меняет направление на противоположное при изменении ориентации системы координат (например, при зеркальном отражении системы координат). Примеры псевдовекторов: все величины, определяемые через векторное произведение двух полярных векторов.
• Для сил выделяется несколько различных классов эквивалентности .

Примечания

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое «Векторная величина» в других словарях:

векторная величина — — [Я.Н.Лугинский, М.С.Фези Жилинская, Ю.С.Кабиров. Англо русский словарь по электротехнике и электроэнергетике, Москва, 1999 г.] Тематики электротехника, основные понятия EN vector quantity … Справочник технического переводчика

векторная величина — vektorinis dydis statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. vector quantity; vectorial quantity vok. Vektorgröße, f; vektorielle Größe, f rus. векторная величина, f pranc. grandeur vectorielle, f … Automatikos terminų žodynas

векторная величина — vektorinis dydis statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. vector quantity; vectorial quantity vok. Vektorgröße, f; vektorielle Größe, f rus. векторная величина, f pranc. grandeur vectorielle, f … Fizikos terminų žodynas

Графическое изображение меняющихся по закону синуса (косинуса) величин и соотношений между ними при помощи направленных отрезков векторов. Векторные диаграммы широко применяются в электротехнике, акустике, оптике, теории колебаний и так далее.… … Википедия

Запрос «сила» перенаправляется сюда; см. также другие значения. Сила Размерность LMT−2 Единицы измерения СИ … Википедия

Эта статья или раздел нуждается в переработке. Пожалуйста, улучшите статью в соответствии с правилами написания статей. Физическая … Википедия

Это величина, которая принимает в результате опыта одно из множества значений, причём появление того или иного значения этой величины до её измерения нельзя точно предсказать. Формальное математическое определение следующее: пусть вероятностное… … Википедия

Векторная и скалярная ф ции координат и времени, являющиеся хар ками электромагнитного поля. Векторным П. э. наз. векторная величина А, ротор к рой равен вектору В магнитной индукции поля; rotA В. Скалярным П. э. наз. скалярная величина ф,… … Большой энциклопедический политехнический словарь

Величина, характеризующая вращат. эффект силы при действии её на тв. тело. Различают М. с. относительно центра (точки) и относительно осн. М. с. относительно центра О (рис. а) векторная величина, численно равная произведению модуля силы F на… … Естествознание. Энциклопедический словарь

Векторная величина, характеризующая быстроту изменения скорости точки по её численному значению и по направлению. При прямолинейном движении точки, когда её скорость υ возрастает (или убывает) равномерно, численно У. по времени: … … Большая советская энциклопедия

Все величины, с которыми нам приходится встречаться в физике и, в частности, в одном из ее разделов механики, можно разделить на два типа:

а) скалярные, которые определяются одним действительным положительным или отрицательным числом. Примером таких величин могут служить время, температура;

б) векторные, которые определяются направленным пространственным отрезком прямой (или тремя скалярными величинами) и обладают свойствами, приведенными ниже.

Примером векторных величин служат сила, скорость, ускорение.

Декартова система координат

Когда речь идет о направленных отрезках, то следует указать объект, по отношению к которому это направление определяется. В качестве такого объекта принимается декартова система координат, составляющими которой являются оси.

Осью называется прямая, на которой указано направление. Три взаимно перпендикулярные оси, пересекающиеся в точке О, названные соответственно образуют прямоугольную декартову систему координат. Декартова система координат может быть правой (рис. 1) или левой (рис. 2). Эти системы являются зеркальным изображением друг друга и не могут быть совмещены каким-либо перемещением.

Во всем дальнейшем изложении всюду принимается правая система координат. В правой системе координат положительное направление отсчета всех углов принимается против часовой стрелки.

Это соответствует направлению совмещения осей х с у, если глядеть с положительного направления оси

Свободные векторы

Вектор, характеризуемый только длиной и направлением в заданной системе координат, носит название свободного. Свободный вектор изображается отрезком заданной длины и направления, начало которого расположено в любой точке пространства. На чертеже вектор изображается стрелкой (рис. 3).

Векторы обозначаются одной жирной буквой или двумя буквами, соответствующими началу и концу стрелки с черточкой над ними или

Величину вектора называют его модулем и обозначают одним из указанных способов

Равенство векторов

Так как основными характеристиками вектора считаются его длина и направление, то векторы называются равными, если их направления и величины совпадают. В частном случае равные векторы могут быть направлены вдоль одной прямой. Равенство векторов, например а и b (рис. 4), записывается в виде:

Если векторы (а и b) равны по модулю, но диаметрально противо положны по направлению (рис. 5), то это записывается в виде:

Векторы, имеющие одинаковое или диаметрально противоположное направление, называются коллинеарными.

Умножение вектора на скаляр

Произведение вектора а на скаляр К называется вектор по модулю, равный совпадающий по направлению с вектором а, если К положительно, и диаметрально ему противоположный, если К отрицательно.

Единичный вектор

Вектор, у которого модуль равен единице и направление совпадает с заданным вектором а, называется единичным вектором данного вектора или его ортом. Орт обозначается . Всякий вектор через его орт можно представить в виде

Единичные векторы, расположенные вдоль положительных направлений координатных осей, обозначаются соответственно (рис. 6).

Сложение векторов

Правило сложения векторов постулируется (оправданием для этого постулата служат наблюдения над реальными объектами векторной природы). Этот постулат заключается в том, что два вектора

Переносят в какую-либо точку пространства так, чтобы начала их совпадали (рис. 7). Направленная диагональ параллелограмма, построенного на этих векторах (рис. 7), называется суммой векторов сложение векторов записывается в виде

и носит название сложения по правилу параллелограмма.

Указанное правило сложения векторов можно осуществить еще и следующим образом: в любой точке пространства откладывается вектор далее, от конца вектора откладывается вектор (рис. 8). Вектор а, начало которого совпадает с началом вектора а конец — с концом вектора будет суммой векторов

Последнее правило сложения векторов удобно, если нужно сложить более чем два вектора. Действительно, если нужно сложить несколько векторов, то, используя указанное правило, следует построить ломаную, сторонами которой являются заданные векторы, причем начало какого-либо вектора совпадает с концом предыдущего вектора. Суммой этих векторов будет вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец совпадает с концом последнего вектора (рис. 9). Если заданные векторы образуют замкнутый многоугольник, то говорят, что сумма векторов равна нулю.

Из правила построения суммы векторов следует, что сумма их не зависит от порядка, в котором взяты слагаемые, или сложение векторов коммутативно. Для двух векторов последнее может быть записано в виде:

Вычитание векторов

Вычитание вектора из вектора производится по следующему правилу: строится вектор и из конца его откладывается вектор — (рис. 10). Вектор а, начало которого совпадает с началом

вектора а конец — с концом вектора равен разности векторов и Проведенная операция может быть записана в виде:

Разложение вектора на составляющие

Разложить заданный вектор — это значит представить его как сумму нескольких векторов, которые называются его составляющими.

Рассмотрим задачу о разложении вектора а, если задано, что составляющие его должны быть направлены по трем координатным осям. Для этого построим параллелепипед, диагональю которого является вектор а и ребра параллельны координатным осям (рис. 11). Тогда, как очевидно из чертежа, сумма векторов расположенных по ребрам этого параллелепипеда, дает вектор а:

Проекция вектора на ось

Проекцией вектора на ось называется величина направленного отрезка, который ограничивают плоскости, перпендикулярные к оси, проходящие через начало и конец вектора (рис. 12). Точки пересечения указанных плоскостей с осью (А и В) называются проекцией соответственно начала и конца вектора.

Проекция вектора имеет знак плюс, если направления ее, считая от проекции начала вектора к проекции его конца, совпадают с направлением оси. Если эти направления не совпадают то проекция имеет знак минус.

Проекции вектора а на оси координат обозначаются соответственно

Координаты вектора

Составляющие вектора а, расположенные параллельно координатным осям через проекции вектора и единичные векторы могут быть записаны в виде:

Следовательно:

где полностью определяют вектор и носят название его координат.

Обозначая через углы, которые составляет вектор а с осями координат, проекции вектора а на оси можно записать в виде:

Отсюда для модуля вектора а имеем выражение:

Так как задание вектора его проекциями однозначно, то два равных вектора будут иметь равные координаты.

Сложение векторов через их координаты

Как следует из рис. 13, проекция суммы векторов на ось равна алгебраической сумме их проекций. Следовательно, из векторного равенства:

вытекают три следующих скалярных равенства:

или координаты суммарного вектора равны алгебраической сумме координат составляющих векторов.

Скалярное произведение двух векторов

Скалярное произведение двух векторов обозначается а b и определяется произведением их модулей на косинус угла между ними:

Скалярное произведение двух векторов можно также определить как произведение модуля одного из векторов на проекцию другого вектора на направление первого вектора.

Из определения скалярного произведения следует, что

т. е. имеет место переместительный закон.

По отношению к сложению скалярное произведение обладает свойством распределительности:

что непосредственно следует из свойства — проекция суммы векторов равна алгебраической сумме их проекций.

Скалярное произведение через проекции векторов можно записать в виде:

Векторное произведение двух векторов

Векторное произведение двух векторов обозначается axb. Это есть вектор с, модуль которого равен произведению модулей перемножаемых векторов на синус угла между ними:

Вектор с направлен перпендикулярно к плоскости, определяемой векторами а и b так, что если смотреть с конца вектора с, то для кратчайшего совмещения вектора а с вектором b первый вектор надо было вращать в положительном направлении (против часовой стрелки; рис. 14). Вектор, представляющий собой векторное произведение двух векторов, называется аксиальным вектором (или псевдовектором). Его направление зависит от выбора системы координат или условия о положительности направления отсчета углов. Указанное направление вектора с соответствует правой системе декартовых осей координат, выбор которой был оговорен ранее.

(тензорам ранга 0), с другой — тензорным величинам (строго говоря — тензорам ранга 2 и более). Также может противопоставляться тем или иным объектам совершенно другой математической природы.

В большинстве случаев термин вектор употребляется в физике для обозначения вектора в так называемом «физическом пространстве», то есть в обычном трёхмерном пространстве классической физики или в четырёхмерном пространстве-времени в современной физике (в последнем случае понятие вектора и векторной величины совпадают с понятием 4-вектора и 4-векторной величины).

Употребление словосочетания «векторная величина» практически исчерпывается этим. Что же касается употребления термина «вектор», то оно, несмотря на тяготение по умолчанию к этому же полю применимости, в большом количестве случаев всё же весьма далеко выходит за такие рамки. Об этом см. ниже.

Употребление терминов

вектор и векторная величина в физике

В целом в физике понятие вектора практически полностью совпадает с таковым в математике. Однако есть терминологическая специфика, связанная с тем, что в современной математике это понятие несколько излишне абстрактно (по отношению к нуждам физики).

В математике, произнося «вектор» понимают скорее вектор вообще, то есть любой вектор любого сколько угодно абстрактного линейного пространства любой размерности и природы, что, если не прилагать специальных усилий, может приводить даже к путанице (не столько, конечно, по существу, сколько по удобству словоупотребления). Если же необходимо конкретизировать, в математическом стиле приходится или говорить довольно длинно («вектор такого-то и такого-то пространства»), или иметь в виду подразумеваемое явно описанным контекстом.

В физике же практически всегда речь идёт не о математических объектах (обладающих теми или иными формальными свойствами) вообще, а об определённой их конкретной («физической») привязке. Учитывая эти соображения конкретности с соображениями краткости и удобства, можно понять, что терминологическая практика в физике заметно отличается от математической. Однако она не входит с последней в явное противоречие. Этого удаётся достичь несколькими простыми «приемами». Прежде всего, к ним относится соглашение об употребление термина по умолчанию (когда контекст особо не оговаривается). Так, в физике, в отличие от математики, под словом вектор без дополнительных уточнений обычно понимается не «какой-то вектор любого линейного пространства вообще», а прежде всего вектор, связанный с «обычным физическим пространством» (трёхмерным пространством классической физики или четырёхмерным пространством-временем физики релятивистской). Для векторов же пространств, не связанных прямо и непосредственно с «физическим пространством» или «пространством-временем», как раз применяют специальные названия (иногда включающие слово «вектор», но с уточнением). Если вектор некоторого пространства, не связанного прямо и непосредственно с «физическим пространством» или «пространством-временем» (и которое трудно сразу как-то определённо охарактеризовать), вводится в теории, он часто специально описывается как «абстрактный вектор».

Всё сказанное ещё в большей степени, чем к термину «вектор», относится к термину «векторная величина». Умолчание в этом случае ещё жёстче подразумевает привязку к «обычному пространству» или пространству-времени, а употребление по отношению к элементам абстрактных векторных пространств скорее практически не встречается, по крайней мере, такое применение видится редчайшим исключением (если вообще не оговоркой).

В физике векторами чаще всего, а векторными величинами — практически всегда — называют векторы двух сходных между собою классов:

Примеры векторных физических величин: скорость , сила , поток тепла.

Генезис векторных величин

Каким образом физические «векторные величины» привязаны к пространству? Прежде всего, бросается в глаза то, что размерность векторных величин (в том обычном смысле употребления этого термина, который разъяснён выше) совпадает с размерностью одного и того же «физического» (и «геометрического») пространства, например, пространство трёхмерно и вектор электрического поля трехмерен. Интуитивно можно заметить также, что любая векторная физическая величина, какую бы туманную связь она не имела с обычной пространственной протяжённостью, тем не менее имеет вполне определённое направление именно в этом обычном пространстве.

Однако оказывается, что можно достичь и гораздо большего, прямо «сведя» весь набор векторных величин физики к простейшим «геометрическим» векторам, вернее даже — к одному вектору — вектору элементарного перемещения, а более правильно было бы сказать — произведя их всех от него.

Эта процедура имеет две различные (хотя по сути детально повторяющие друг друга) реализации для трёхмерного случая классической физики и для четырёхмерной пространственно-временной формулировки, обычной для современной физики.

Классический трёхмерный случай

Будем исходить из обычного трёхмерного «геометрического» пространства, в котором мы живём и можем перемещаться.

В качестве исходного и образцового вектора возьмём вектор бесконечно малого перемещения. Довольно очевидно, что это обычный «геометрический» вектор (как и вектор конечного перемещения).

Заметим теперь сразу, что умножение вектора на скаляр всегда даёт новый вектор. То же можно сказать о сумме и разности векторов. В этой главе мы не будем делать разницы между полярными и аксиальными векторами , поэтому заметим, что и векторное произведение двух векторов даёт новый вектор.

Также новый вектор даёт дифференцирование вектора по скаляру (поскольку такая производная есть предел отношения разности векторов к скаляру). Это можно сказать дальше и о производных всех высших порядков. То же верно по отношению к интегрированию по скалярам (времени, объёму).

Теперь заметим, что, исходя из радиус-вектора r или из элементарного перемещения dr , мы легко понимаем, что векторами являются (поскольку время — скаляр) такие кинематические величины, как

Из скорости и ускорения, умножением на скаляр (массу), появляются

Поскольку нас сейчас интересуют и псевдовекторы, заметим, что

• с помощью формулы силы Лоренца напряжённость электрического поля и вектор магнитной индукции привязаны к векторам силы и скорости.

Продолжая эту процедуру, мы обнаруживаем, что все известные нам векторные величины оказываются теперь не только интуитивно, но и формально, привязаны к исходному пространству. А именно все они в некотором смысле являются его элементами, так как выражаются в сущности как линейные комбинации других векторов (со скалярными множителями, возможно, и размерными, но скалярными, а поэтому формально вполне законными).

📝векторные и скалярные велечины

Часто многим ученикам или даже студентам сложно понять отличия векторной и скалярной величины. Поэтому я хотел бы объяснить максимально понятным языком суть каждого из этих понятий и на примерах показать главные их отличия. Так как они оба часто используются в математических задачах, для правильного и быстрого решения которых нужно знать это.

Начнём с определений:

Векторной величиной, или вектором (в широком смысле), называется всякая величина, обладающая направлением.
Скалярной величиной, или скаляром, называется величина, не обладающая направлением.

То есть у вас уже должна появиться основная картина, если есть направление у величины, то это вектор, а если нет, то это скаляр. Далее рассмотрим всё на конкретных примерах.

Пример 1. Когда какая-то сила действует на материальную точку, то она будет вектором, так как она обладает направлением. Так же и скорость материальной точки — тоже вектор.

Пример 2. А от уже температура тела будет скаляром, так как с ней не связано никакое направление. Поэтому масса тела и его плотность — тоже будут скалярами.

Если не учитывать направление векторной величины, то ее, как и скалярную, можно измерить, выбрав соответствующую единицу измерения. Но в этом случае полученное число, характеризует скалярную величину полностью, а векторную только частично. Её можно полностью охарактеризовать направленным отрезком, предварительно задав линейный масштаб. И это хорошо показано в следующем примере.
Пример 3. Направленный отрезок АВ при введенном масштабе MN, изображающем единицу силы (1 Н) (более подробно смотрите на рисунке), характеризует силу в 3,5 Н, направление которой совпадает с направлением отрезка АВ (указанным стрелкой).

Думаю, после таких явных данных у вас уже не должно появиться проблем, при различии этих понятий.

Материалы по теме:

Поделиться с друзьями:

Загрузка…

12. СКАЛЯРЫ и ВЕКТОРЫ — Физика это просто!!! 2016

 В физике существуют скалярные величины (скаляры) и векторные величины (векторы). Хотя, правильнее в последнем случае все-таки говорить векторная величина, часто говорят, например, «вектор скорости».

Упрощенно можно сказать, что скаляр — это просто число.

Векторная величина — это когда есть число, которое имеет еще и направление в пространстве. Вектор в трехмерном пространстве можно представить в виде тройки чисел, каждое из которых есть компонента вектора относительно соответствующей координаты в трехмерной системе координат.

            Запутанно?

            Чтобы совсем запутаться, рекомендую обратиться к Википедии: https://ru.wikipedia.org/wiki/Векторная_величина.

            Для тех, кто любит попроще — первый том Фейнмановских лекций по физике.

            Для нас важно понять два момента:

1) Примерами скаляров являются: длина, площадь, время, масса, плотность, температура и т.п.

            Для наших задач достаточно понимания скаляра, как величины (числа с размерностью) без направления.

2) Под вектором мы будем понимать направленный отрезок. То есть три числа (мы ведь живем в трехмерном пространстве), которые преобразуются по определенным правилам при переходе от одной системы координат к другой.

Попробуем обойтись без математических формул этих правил. Просто представим в нашем трехмерном пространстве направленный отрезок. Некую стрелку, которая, для простоты, неподвижна, неизменна, и имеет направление от одного конца к другому. Или даже представим, что у нас есть определенная операция перемещения в пространстве. У нее есть величина (расстояние перемещения по прямой из начальной точки в конечную) и направление.

И представим систему координат (например, прямоугольную), которая неподвижна относительно нас, и начало отсчета которой совпадает с началом нашего направленного отрезка.

Представили?

            Отлично! Тогда координаты «заостренного» конца нашего «направленного» отрезка с началом в точке (0,0,0) в этой системе координат будут выражаться тремя числами (А_х, А_y, А_z). Будет ли эта тройка чисел вектором?

Будет! Мы же сами задали эти три числа, как координаты вектора.

Теперь мы берем и поворачиваем произвольно нашу систему координат (но пока не сдвигаем начало координат). Тогда в новой системе координат координаты нашего вектора будут (А_x’, А_y’, А_z’). Заметьте, сам наш вектор (направленный отрезок в трехмерном пространстве) не изменился. Как бы мы не вращали систему координат, тройка чисел будет меняться, но вектор (в смысле направленного отрезка) останется на своем месте. Он смотрит в одну и ту же «точку вселенной». О как! И длина его не меняется из-за вращения системы координат.

            А теперь вывод. То, что важно для физики!

            Если у нас есть три какие-то величины (возможно, мы даже не знаем, связаны ли они между собой), которые изменяются с изменением системы координат, по такому же закону, по которому изменяются компоненты вектора из предыдущего абзаца ((А_х, А_y, А_z) —> (А_x’, А_y’, А_z’)), то мы можем смело утверждать, что эти три величины представляют собой компоненты какого-то вектора.

            Формулы можно посмотреть у Фейнмана или еще где-нибудь. Они пока для понимания не столь важны. А важно следующее!

            Рассмотрим подробнее физические величины в нашем трехмерном пространстве. Зададим прямоугольную систему координат X, Y, Z. Помним, что у нас есть еще время t.

            Теперь посмотрим, что есть что.

            Путь вектор или скаляр? Скаляр. Почему?

Перемещение — вектор. У перемещения есть начало и конец, есть величина перемещения и направление перемещения. Таким образом, у него три компоненты — три величины, по одной на каждую из координат.

            Далее сами перебираем физические величины и определяем, что есть скаляр, а что вектор!

Физическая величина	Размерность
Скорость	м/с	Вектор
Ускорение	м/с2	Вектор
Сила	Н = кг*м/с2	Вектор
Вес	Н = кг*м/с2	Вектор
Давление	Па = кг/(м*с2)	Скаляр
Плотность	кг/м3	Скаляр
Импульс массы	кг*м/с	Вектор
Импульс силы	Н*с	Вектор
Работа	Дж = кг*м2/с2	Скаляр
Энергия	Дж = кг*м2/с2	Скаляр
Момент силы	Дж= кг*м2/с2	Вектор
Температура	К	Скаляр
Относительное удлинение	%	Скаляр
Механическое напряжение	Н/м2	Скаляр
Количество теплоты	Дж = кг*м2/с2	Скаляр
Удельная теплоемкость	Дж/ кг*К = м2/(с2*К)	Скаляр
Удельная теплота плавления	Дж/кг = м2/с2	Скаляр
Удельная теплота парообразования	Дж/кг = м2/с2	Скаляр
Электрический заряд	Кл = с*А	Скаляр
Напряженность электрического поля	В/м = кг*м/(с3*А)	Вектор
Работа по перемещению заряда в эл. поле	Дж = кг*м2/с2	Скаляр
Потенциал электрического поля	В == кг*м2/(с3*А)	Скаляр
Напряжение	В == кг*м2/(с3*А)	Скаляр
Электрическая емкость	Ф == с4*А2/ (кг*м2)	Скаляр
Сопротивление проводника	Ом == кг*м2/(с3*А2)	Скаляр
Работа эл. тока	Дж = кг*м2/с2	Скаляр
Мощность эл. тока	Вт = кг*м2/с3	Скаляр
Электродвижущая сила	В == кг*м2/(с3*А)	Скаляр
Магнитная индукция	Тл == кг/(с2*А)	Вектор
Магнитный поток	Вб == кг*м2/(с2*А)	Вектор
Индуктивность	Гн == кг*м2/(с2*А2)	Скаляр
Энергия магнитного поля	Дж = кг*м2/с2	Скаляр
Фокусное расстояние	м	Скаляр
Оптическая сила линзы	Дптр = 1/м	Скаляр
Длина волны	м	Скаляр
Частота	Гц = 1/с	Скаляр

Скаляры и векторы. Изображение векторов. Примеры скалярных и векторных величин

В теории электромагнитного поля применяется некоторый традиционный математический аппарат, без которого невозможно построить ясное и обозримое изложение. К числу математических средств, которые нам потребуются, относятся разделы векторной алгебры и векторного анализа. Эти разделы в общем знакомы из курса высшей математики, однако в нашем курсе они тоже будут кратко описаны.

Первым необходимым понятием являются скалярные и векторные величины.

В математике и технике приходится иметь дело с величинами двух родов: одни из величин связаны с понятием о направлении в пространстве, другие имеют чисто числовой характер и не связаны с направлением. Рассмотрим например, температуру, массу, плотность, энергию, перемещение точки, скорость, ускорение, силу. Четыре последние величины резко отличаются от первых тем, что с ними обязательно должно быть связано понятие о направлении: например, точка может перемещаться вверх или вниз, вперед или назад.

Наоборот, температура, например, не имеет направления. и чтобы охарактеризовать ее, мы должны измерить ее например, в градусах Цельсия, полученное число и даст величину температуры. Точно так же можно измерить в соответствующих единицах массу, плотность и т.п. Эти величины принадлежат к классу величин, называемых скалярами.

Скаляром называется величина, характеризующаяся при выбранной единице меры одним числом.

Рассмотрим теперь один из векторов – скорость точки. Указания величины скорости, измеренной, например в м\с недостаточно для характеристики скорости. Нужно еще знать направление движения точки. Точно так же имеют определенное направление и ускорение точки, и сила, действующая на точку. Дадим поэтому следующее определение:

Вектором называется величина, характеризующаяся, помимо измеряющего ее числа, еще своим направлением в пространстве.

Простейшим вектором является прямолинейный отрезок , имеющий определенну величину – длинуАВи определенное направление – от начальной точкиАк конечной точкеВ.

На чертежах векторы изображаются стрелками (рисунок Error: Reference source not found). Направление стрелки указывает на направление вектора, длина стрелки дает длину вектора. Обычно векторы обозначаются жирными латинскими буквами: , но при письме от руки это неудобно, поэтому мы будем пользоваться буквами со стрелкой: .

1. − Вектор AB

Иногда приходится рассматривать величины тоже направленного характера, но более сложного, чем векторы, строения. Эти величины называются тензорами. Мы рассмотрим их позднее.

8. Операции над векторами. Скалярное, векторное, смешанное произведение

Векторное исчисление должно ввести ряд операций с векторами и тензорами, как например сложение, умножение, дифференцирование, и изучить эти операции. Эти операции определяются таким образом, чтобы при их помощи легко было интерпретировать те комбинации векторов, которые приходится изучать. В результате как основные элементы векторного исчисления – вектор и тензор, так и операции над ними оказываются хорошо приспособленными для изучения тех физических явлений, в которых большую роль играет направление величин. С одной стороны, это упрощает исследование, с другой, ведет его более естественным и наглядным образом, не требуя введения посторонних элементов.

Рассмотрим, как определяется величина и направление вектора.

Векторы , можно представить как, и, где,− единичные векторы, называемые также ортами, а числаа,b− абсолютные значения векторов, .

Орты, соответствующие направлениям осей x,y,zдекартовой координат, будут обозначаться,,(рисунок Рисунок 2 ). Любой вектортогда можно представить в виде разложения, где,,являются его проекциями на оси декартовой системы координат. Они также называются компонентами (составляющими) вектора.

Положение какой-либо точки пространства P может быть определено вектором , начальной точкой которого служит некоторая, определенным образом выбранная точкаO, а концом – точкаP. Вектор мы будем называть радиусом-вектором точкиP относительно точкиОи будем обозначать обычно как. Про точкуP, заданную радиусом-вектором, мы будем говорить, для краткости, что дана точка.

2. −Орты декартовой системы координат и радиус-вектор

Сложение векторов векторов сводится к сложению их компонент:

,

эта операция обозначается с помощью обыкновенного знака алгебраического сложения: . Сложение обладает свойством коммутативности: сумма не меняется от перестановки слагаемых:.

Геометрически это выглядит, как показано на рисунке Рисунок 3 .

3. — Сложение векторов

Скалярное произведение необходимо, например, в механике при вычислении работы, производимой постоянной силой при прямолинейном перемещении и при условии, что сила действует под углом α к перемещению. Работа в этом случае вычисляется как скалярное произведение вектора силы и вектора перемещения. Скалярное произведение двух произвольных векторов определяется как , то есть произведение их длин, умноженное на угол между ними (рисунок Рисунок 4 ). Результатом скалярного произведения является скаляр.

4. — Скалярное произведение

Векторное произведение. К необходимости рассматривать такую операцию приводят требования геометрического и физического характера.

Векторным произведением векторов иназывается вектор, по величине равный площади параллелограмма, построенного на векторахи, перпендикулярный плоскости этих векторов и направленный в такую сторону, чтобы вращение откна кратчайшем пути вокруг полученного вектора происходило в ту же сторону, как вращение осиxк осиyвокруг осиz(рисунок Рисунок 5 ).

5. −Векторное произведение

Векторное произведение вычисляется как

,

тогда компоненты векторного произведения получаются из раскрытия определителя:

Изменение порядка сомножителей приводит к изменению знака векторного произведения: .

Размерность векторного произведения – единицы измерения площади, т.е. квадратные метры.

Кроме описанных операций сложения, скалярного и векторного произведений, мы будем использовать векторные дифференциальные операторы. Их определение дается позже, непосредственно перед использованием.

Векторная и скалярная величина — чем они отличаются?

В физике существует несколько категорий величин: векторные и скалярные.

Что такое векторная величина?

Векторная величина имеет две основные характеристики: направление и модуль. Два вектора будут одинаковыми, если их значение по модулю и направление совпадают. Для обозначения векторной величины чаще всего используют буквы, над которыми отображается стрелочка. В качестве примера векторной величины можно привести силу, скорость или ускорение.

Для того, чтобы понять сущность векторной величины, следует рассмотреть ее с геометрической точки зрения. Вектор представляет собой отрезок, имеющий направление. Длина такого отрезка соотносится со значением его модуля. Физическим примером векторной величины является смещение материальной точки, перемещающейся в пространстве. Такие параметры, как ускорение этой точки, скорость и действующие на нее силы, электромагнитного поля тоже будут отображаться векторными величинами.

Если рассматривать векторную величину независимо от направления, то такой отрезок можно измерить. Но, полученный результат будет отображать только лишь частичные характеристики величины. Для ее полного измерения следует дополнить величину другими параметрами направленного отрезка.

В векторной алгебре существует понятие нулевого вектора. Под этим понятием подразумевается точка. Что касается направления нулевого вектора, то оно считается неопределенным. Для обозначения нулевого вектора используется арифметический нуль, набранный полужирным шрифтом.

Если проанализировать все вышесказанное, то можно сделать вывод, что все направленные отрезки определяют вектора. Два отрезка будут определять один вектор только в том случае, если они являются равными. При сравнении векторов действует тоже правило, что и при сравнении скалярных величин. Равенство означает полное совпадение по всем параметрам.

Что такое скалярная величина?

В отличие от вектора, скалярная величина обладает только лишь одним параметром – это ее численное значение. Стоит отметить, что анализируемая величина может иметь как положительное численное значение, так и отрицательное.

В качестве примера можно привести массу, напряжение, частоту или температуру. С такими величинами можно выполнять различные арифметические действия: сложение, деление, вычитание, умножение. Для скалярной величины такая характеристика, как направление, не свойственна.

Скалярная величина измеряется числовым значением, поэтому ее можно отображать на координатной оси. Например, очень часто строят ось пройденного пути, температуры или времени.

Основные отличия между скалярными и векторными величинами

Из описаний, приведенных выше, видно, что главное отличие векторных величин от скалярных заключается в их характеристиках. У векторной величины есть направление и модуль, а у скалярной только численное значение. Безусловно, векторную величину, как и скалярную, можно измерить, но такая характеристика не будет полной, так как отсутствует направление.

Для того, чтобы более четко представить отличие скалярной величины от векторной, следует привести пример. Для этого возьмем такую область знаний, как климатология. Если сказать, что ветер дует со скоростью 8 метров в секунду, то будет введена скалярная величина. Но, если сказать, что северный ветер дует со скоростью 8 метров в секунду, то речь пойдет о векторном значении.

Векторы играют огромную роль в современной математике, а также во многих сферах механики и физики. Большинство физических величин может быть представлено в виде векторов. Это позволяет обобщить и существенно упростить используемые формулы и результаты. Часто векторные значения и векторы отождествляются друг с другом. Например, в физике можно услышать, что скорость или сила является вектором.

Некоторые формулы векторной алгебры используются в таких областях науки, как:

1. Сопромат.
2. Кинематика.
3. Облучение и электрическое освещение.
4. Прикладная механика.
5. Гидравлика.
6. Электрические машины.
7. Теоретическая механика.
8. Физика.

Четкое осознание разницы между векторной и скалярной величиной позволит специалистам решать сложные задачи и более подробно характеризовать используемые данные.

Скаляров и векторов

Чтобы лучше понять науку о движении необходимо использовать некоторые математические идеи из векторный анализ . Большинство людей знакомятся с переносчиками в средней школе или колледже, но для учащихся начальной и средней школы, а также для детей с математическими трудностями:

НЕ ПАНИКА! .

В векторном анализе есть много сложных частей, и мы не собираемся туда идти.Мы собираемся ограничиться самыми основами. Векторы позволяют нам смотреть на сложные, многомерные проблемы. как более простая группа одномерных задач. Мы будем интересоваться в основном определениями Слова немного странные, но идеи очень мощный, как вы увидите. Если вы хотите узнать больше о векторах, вы можете скачать этот отчет о векторный анализ.

Математика и естественные науки были изобретены людьми для описания и понять мир вокруг нас.Мы живем в (по крайней мере) четырехмерном мире, управляемом течение времени и трех пространственных измерений; вверх и вниз, влево и вправо, вперед и назад. Мы наблюдаем, что есть некоторые количества и процессы в наш мир, который зависит от направления , в котором они происходят, и есть некоторые количества, которые не зависят по направлению. Например, объем объекта, трехмерное пространство, которое занимает объект, не зависит от направления.Если у нас есть железный блок объемом 5 кубических футов, мы перемещаем его вверх и вниз и затем налево и направо, у нас все еще остается железный блок объемом 5 кубических футов. С другой стороны, расположение, объекта действительно зависит от направления. Если мы переместим блок 5 кубических футов на 5 миль к север, результирующее местоположение сильно отличается от если мы переместим его на 5 миль к востоку. Математики и ученые называют количество которое зависит от направления , вектор, величина .Количество которая не зависит от направления, называется скалярной величиной .

Векторные величины имеют две характеристики: величину и направление. Скалярные величины имеют только величину. Когда сравнение две векторные величины одного типа, необходимо сравнить обе величина и направление. Для скаляров вам нужно только сравнивать величина. При выполнении любой математической операции над векторной величиной (например, сложение, вычитание, умножение..) вы должны рассматривать как по величине, так и по направлению. Это делает работу с вектором величины немного сложнее скаляров.

На слайде мы перечисляем некоторые из обсуждаемых физических величин. в Руководство по воздухоплаванию для новичков и сгруппируйте их в векторные или скалярные величины. В частности интерес, силы которые работают на летающих самолетах, масса, тяга, и аэродинамические силы, все векторные величины.Результирующий движение самолета с точки зрения водоизмещения, скорости и ускорение — это тоже векторные величины. Эти количества можно определить, применяя Законы Ньютона для векторов. Скалярные величины включают большую часть термодинамическое состояние переменные, связанные с двигательной установкой, такие как плотность, давление, и температура порохов. В энергия работай, и энтропия с двигателями также связаны скалярные величины.

У векторов есть величина и направление, у скаляров — только величина. Тот факт, что величина встречается как для скаляров, так и для векторов, может привести к некоторой путанице. Есть несколько величин, например скорость , которые имеют очень специальные определения для ученых. По определению, скорость — это скалярная величина вектора скорости . Машина при движении по дороге скорость составляет 50 миль в час. Его скорость 50 миль / ч в северо-восточном направлении.Это может быть очень сбивает с толку, когда термины используются как синонимы! Другой пример масса и масса . Вес — это сила, которая является вектором и имеет величину и направление. Масса — скаляр. Масса и масса связаны друг с другом, но это не одно и то же.

В то время как законы Ньютона описывают результирующее движение твердого тела существуют специальные уравнения, описывающие движение жидкостей, газы и жидкости.Для любой физической системы масса, импульс, и энергия системы должны быть сохранены. Масса и энергия — скалярные величины, а импульс — вектор количество. Это приводит к связанной системе уравнений, называется Уравнения Навье-Стокса, которые описывают, как жидкости ведут себя под воздействием внешних сил. Эти уравнения являются жидким эквивалентом законов движения Ньютона. и их очень сложно решить и понять.Упрощенная версия уравнений, названная Уравнения Эйлера может быть решена для некоторых проблем с жидкостями.

---

Действия:

---

Экскурсии с гидом

---

Навигация ..

Руководство для начинающих Домашняя страница

Векторы и скаляры: что они и почему они имеют значение?

Обновлено 28 декабря 2020 г.

Ли Джонсон

В повседневной жизни большинство людей используют термины скорость и скорость как синонимы, но для физиков они являются примерами двух очень разных типов количество.

Задачи механики связаны с движением объектов, и хотя вы можете просто описать движение в терминах скорости, конкретное направление, в котором что-то движется, часто имеет решающее значение.

Точно так же силы, приложенные к объектам, могут поступать со многих разных направлений — подумайте, например, о противодействующих силах в перетягивании каната — поэтому физики, описывающие подобные ситуации, должны использовать величины, которые описывают как «размер» таких вещей, как силы и направление, в котором они действуют.Эти величины называются векторами .

TL; DR (слишком длинный; не читал)

Вектор имеет как величину, так и определенное направление, но скалярная величина имеет только величину.

Векторы и скаляры

Ключевое различие между векторами и скалярами состоит в том, что величина вектора не полностью описывает его; также должно быть определенное направление.

Направление вектора может быть указано множеством способов, будь то положительные или отрицательные знаки перед ним, выражая его в форме компонентов (скалярные значения рядом с соответствующими i , j и k «единичный вектор», которые соответствуют декартовым координатам x , y и z соответственно) , добавляя угол по отношению к указанному направлению (например,g., «60 градусов от оси x ») или просто добавив несколько слов для описания направления (например, «северо-запад»).

Напротив, скаляр — это просто величина вектора без каких-либо дополнительных обозначений или информации — например, скорость является скалярным эквивалентом вектора скорости. С математической точки зрения это абсолютное значение вектора.

Однако многие величины, такие как энергия, давление, длина, масса, мощность и температура, являются примерами скаляров, которые не являются просто величиной соответствующего вектора.Вам не нужно знать «направление» массы, например, чтобы иметь полное представление о ней как о физическом свойстве.

Есть несколько противоречивых фактов, которые можно понять, зная разницу между скаляром и вектором, например, идея о том, что что-то может иметь постоянную скорость, но постоянно меняющуюся скорость. Представьте себе автомобиль, движущийся по кругу с постоянной скоростью 10 км / ч. Поскольку направление вектора является частью его определения, вектор скорости автомобиля в этом примере всегда меняется, несмотря на то, что величина вектора (т.е., его скорость) постоянна.

Примеры векторных величин

В физике есть много примеров векторов, но некоторые из наиболее известных примеров — сила, импульс, ускорение и скорость, и все они сильно характерны для классической физики. Вектор скорости может отображаться как 25 м / с на восток, −8 км / ч в направлении y , v = 5 м / с i + 10 м / с j , или 10 м / с в направлении 50 градусов от оси x .

Векторы импульса — еще один пример, который вы можете использовать, чтобы увидеть, как величина и направление вектора отображаются в физике. Они работают так же, как примеры вектора скорости, с 50 кг м / с на запад, −12 км / ч в направлении z , p = 12 кг м / с i — 10 кг м / с j — 15 кг м / с k и 100 кг м / с 30 градусов от оси x являются примерами того, как они могут отображаться . Те же основные точки используются для отображения векторов ускорения, с той лишь разницей, что единица измерения м / с ² и обычно используемый символ вектора, a .

Сила — последний из этих примеров векторных выражений, и, хотя есть много общего, использование цилиндрических координат ( r , θ , z ) вместо декартовых координат может помочь показать другие способы их отображения. Например, вы можете записать силу как F = 10 Н r + 35 Н 𝛉 для силы с компонентами в радиальном и азимутальном направлениях, или описывают силу тяжести, действующую на объект массой 1 кг на Земле, как 10 Н в направлении — r (т.е.е., к центру планеты).

Векторное представление в диаграммах

На диаграммах векторы отображаются с помощью стрелок, причем величина вектора представлена ​​длиной стрелки, а его направление — направлением, в котором указывает стрелка. Например, большая стрелка показывает, что сила больше (т. Е. Больше ньютонов или большая величина), чем другая сила.

Для вектора, показывающего движение, такого как импульс или вектор скорости, нулевой вектор (т.е.е., вектор, не представляющий ни скорости, ни импульса) отображается с помощью одной точки.

Следует отметить, что длина стрелки представляет величину вектора, а ее ориентация представляет направление вектора. При создании векторной диаграммы полезно быть достаточно точным. Он не обязательно должен быть идеальным, но если вектор a вдвое больше вектора b , стрелка должна быть примерно вдвое длиннее.

Сложение и вычитание векторов

Сложение векторов и вычитание векторов немного сложнее, чем сложение и вычитание скаляров, но вы можете легко понять эти концепции. Вы можете использовать два основных подхода, каждый из которых имеет потенциальное применение в зависимости от конкретной проблемы, которую вы решаете.

Первый и самый простой в использовании, когда вам даны два вектора в форме компонентов, — это просто добавить совпадающие компоненты так же, как вы добавляете обычные скаляры.Например, если вам нужно сложить две силы F ₁ = 5 Н i + 10 Н j и F ₂ = 6 N i + 15 N j + 10 N k , вы должны добавить компоненты i , затем компоненты j и, наконец, k компонентов следующим образом:

\ begin {align} \ bm {F} _1 + \ bm {F} _2 & = (5 \; \ text {N} \; \ bold {i} + 10 \; \ text {N} \; \ bold {j}) + (6 \; \ text {N} \; \ bold {i} + 15 \; \ text {N} \; \ bold {j} + 10 \; \ text {N} \; \ bold {k}) \\ & = (5 \; \ text {N} + 6 \; \ text {N}) \ bold {i} + (10 \; \ text {N } + 15 \; \ text {N}) \ bold {j} + (0 \; \ text {N} + 10 \; \ text {N}) \ bold {k} \\ & = 11 \; \ text {N} \; \ bold {i} + 25 \; \ text {N} \; \ bold {j} + 10 \; \ text {N} \; \ bold {k} \ end {align}

Вектор вычитание работает точно так же, за исключением того, что вы вычитаете количества, а не складываете их.Векторное сложение также коммутативно, как и обычное сложение с действительными числами, поэтому a + b = b + a .

Вы также можете выполнить сложение векторов с помощью диаграмм со стрелками, поместив векторные стрелки голова к хвосту, а затем нарисовав новую векторную стрелку для суммы векторов, соединяющих хвост первой стрелки с концом второй.

Если у вас есть простое сложение векторов с одним в направлении x и другим в направлении y , диаграмма образует прямоугольный треугольник.Вы можете завершить сложение векторов и определить величину и направление результирующего вектора, «решив» треугольник с помощью тригонометрии и теоремы Пифагора.

Точечное произведение и перекрестное произведение

Умножение векторов немного сложнее, чем скалярное умножение действительных чисел, но двумя основными формами умножения являются скалярное произведение и перекрестное произведение. Скалярное произведение называется скалярным произведением и определяется как:

\ bm {u} \; ∙ \; \ bm {v} = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3

\ bm {u} \; ∙ \; \ bm {v} = \ lvert \ bm {u} \ rvert \ lvert \ bm {v} \ rvert \ text {cos} (θ)

, где θ — угол между двумя векторами, а нижние индексы 1 , 2 и 3 представляют первую, вторую и третью компоненты вектора.Результатом скалярного произведения является скаляр.

Перекрестное произведение определяется как:

\ bm {a} \; \ bold {×} \; \ bm {b} = (a_2b_3 — a_3b_2, a_3b_1 — a_1b_3, a_1b_2 — a_2b_1)

с запятыми, разделяющими компоненты результата в разных направлениях.

Скаляры и векторы

Введение

Некоторые физические величины могут быть выражены одним числом, например масса, температура, объем, напряжение, энергия, давление и заряд. Они известны как скаляры.Для векторных величин нужны как величина, так и направление. Примеры включают скорость, силу, импульс, угловую скорость и электрическое поле.

Векторы

Если мы находимся в большой комнате в точке A , и я перемещаюсь на десять метров по прямой к точке B , то это можно представить в виде вектора. Начиная с точки A и двигаясь в новом направлении и перемещаясь на 10 метров в другом направлении, вы получаете новый вектор AC.

Flash 1. Вектор.Перетащите точки, чтобы изменить величину и направление вектора.

Поскольку вектор имеет направление, мы не можем указать его одним числом, нам нужно определить положение конечной точки от некоторого источника.

Обозначение

Векторы обычно отличаются от скалярных значений, выделяя их жирным шрифтом. Записывая их на бумаге, мы обычно обозначаем их стрелкой или линией над буквой. Например, a или a .

Компоненты вектора

Один вектор можно разложить на два независимых вектора в том же направлении, что и оси координат.Они известны как компоненты вектора. Mqgnitude горизонтальной составляющей | a _x | = | а | cos θ и величина вертикальной составляющей | и _и | = | a | sin θ, где θ — угол между вектором a и горизонтальной осью

Рисунок. Вектор и его компоненты.

Векторы обеспечивают сокращение, когда мы думаем об уравнениях в более чем одном измерении, мы можем написать F = м a , чтобы описать силу, но на самом деле мы думаем о трех уравнениях,

F _x = ma _x

F _y = ma _y

F _z = ma _z

Где F _x , F _y и F _z — три компонента вектора F в направлениях x, y и z соответственно и a _x , a _y и a _z — три компонента вектора a в направлениях x, y и z соответственно.Иногда мы можем уменьшить проблему до одного измерения и отказаться от векторной записи.

Единичные векторы

Компоненты вектора находятся в том же направлении, что и оси системы координат, если они имеют единичную длину, то они также являются единичными векторами в направлении осей.

Дополнение

Правило «лицом к лицу»

Рис. 1. Сложение векторов от головы к хвосту

Два вектора можно сложить вместе, чтобы получить новый вектор. Графически это делается путем перемещения головы одного из векторов вверх к хвосту другого.В результате получается линия, проведенная от хвоста одного к голове другого.

Правило паралограммы

Рисунок 2. Сложение векторов в виде параллелограмма

Написание векторов

Хотя рисунки отлично подходят для демонстрации концепции векторов, рисование стрелок для масштабирования быстро становится утомительным, и поэтому мы ищем менее утомительный способ представления векторов. К счастью, мы также можем записывать векторы алгебраически в терминах их компонентов. Таким образом, вектор может быть записан в виде координат ( x , y ), которые определяют положение кончика стрелки от начала координат.Если мы хотим использовать более двух измерений, мы можем просто добавить еще один компонент в список. В качестве альтернативы мы можем представить компоненты вектора как кратные вектора с единичным расстоянием. Эти умножающие векторы известны как единичные векторы. Условно их обозначают i и j (также k в 3-D). Таким образом, вектор a может быть представлен как a = x i + y j . Где x и y .

Два вектора складываются, чтобы получить еще один вектор.

c = a + b

c = ( a _x i + a _y j ) + ( b _x i + b _{y )}

c = ( a _x + b _x ) i + ( b _x + b _y ) j

Вычитание векторов обрабатывается аналогично.Таким образом, c = a — b

c = ( a _x — b _x ) i + ( b _x — b _y ) j

Величина

Определив вектор в пространстве, как мы узнаем его длину, когда он куда-то указывает? Здесь мы вспоминаем, что по теореме Пифагора (он не смог ее открыть) нам нужно получить расстояние. Компоненты вектора перпендикулярны друг другу, поэтому по ним можно определить длину вектора.

Теорема Пифагора: c ² = a ² + b ² . Где a и b перпендикулярны друг другу, а c — гипотенеус.

Рисунок. Вектор и компоненты для определения величины.

Если соотнести это с вектором, то величина вектора a будет | a | = √ (a _x ² + a _y ² ). Мы используем | линии вокруг вектора, чтобы указать величину.

Направляющий косинус

Точечный продукт

Скалярное произведение или скалярное произведение — это особая форма умножения вектора. Скалярное произведение дает проекцию вектора на ось абсцисс. Он представлен точкой между двумя векторами, один из которых умножается, и . б . Результат — не вектор, а скаляр. а . b = | a || b | cos θ

Рисунок. Скалярное произведение двух векторов a и b .

Также: и . b = a _x . b _x + a _y . b _y + a _z . b _z . Оба они дают одинаковый результат, однако последний иногда может быть более удобным, если неизвестен угол между двумя векторами.

Векторный продукт

Векторное произведение — это другая форма умножения векторов. Результат векторного произведения — это другой вектор, перпендикулярный двум перемножаемым векторам.Чтобы получить векторное произведение, мы должны переместиться в трехмерное пространство.

Рисунок. Векторное произведение двух векторов a и b .

Мы всегда работаем в правой системе координат. (т.е. перекрестное произведение a и b равно 1. a x b = c ), и рекомендуется нарисовать ось, чтобы прояснить ее.

Скаляр, Вектор, Матрица

(… и матрицы)

Что такое скаляры и векторы?

Скаляр

имеет только звездную величину (размер):

3.044, −7 и 2½ — скаляры

Расстояние, скорость, время, температура, масса, длина, площадь, объем, плотность, заряд, давление, энергия, работа и мощность — все это скаляры.

И обратите внимание на эти особые слова:

Расстояние от смещения

• Расстояние — скаляр («3 км»)
• Смещение — вектор («3 км к юго-востоку»)

Вы можете пройти большое расстояние, но ваше перемещение может быть небольшим (или нулевым, если вы вернетесь на старт).

Скорость против скорости

• Скорость — это то, насколько быстро что-то движется.
• Скорость — это скорость с направлением .

Говоря, что Собака Ариэль бежит со скоростью , 9 км / ч. (километров в час) — это скорость.

Но сказать, что он бежит 9 км / ч на запад — это скорость.

См. «Скорость» и «Скорость», чтобы узнать больше.

Обозначение

Вектор часто пишется жирным шрифтом , например a или b , поэтому мы знаем, что это не скаляр:

• , поэтому c — вектор, он имеет величину и направление
• , но c — скаляр, например 3 или 12.4

Пример: k b на самом деле является скаляром k, умноженным на вектор b .

Вектор также может быть записан как буквы его головы и хвоста со стрелкой над ним, например:

Использование скаляров

Скаляры просты в использовании. Просто относитесь к ним как к обычным числам.

Пример: 3 кг + 4 кг = 7 кг

Использование векторов

На странице, посвященной векторам, есть более подробная информация, но вот краткое изложение:

Мы можем сложить два вектора, соединив их голова к хвосту:

Мы можем вычесть один вектор из другого:

• сначала мы меняем направление вектора, который мы хотим вычесть,
• , затем добавьте их как обычно:

а — б

Мы можем умножить вектор на скаляр (это называется «масштабирование» вектора):

Пример: умножить вектор

m = (7,3) на скаляр 3

a = 3 м = (3 × 7,3 × 3) = (21,9)

Он по-прежнему указывает в том же направлении, но в 3 раза длиннее

(И теперь вы знаете, почему числа называются «скалярами», потому что они «масштабируют» вектор вверх или вниз.)

Полярное или декартово

Вектор может быть в:

• звездная величина и направление (полярная) форма,
• или x и y (декартово)

Как это:

	<=>
Vector a in Polar Координаты		Вектор a в декартовой системе координат Координаты

(Прочтите, как преобразовать их в полярные и декартовы координаты.)

Пример: вектор

13 под углом 22,6 °

В полярной форме (величина и направление):

Вектор 13 под углом 22,6 °

Приблизительно (12,5) В декартовой (x, y) форме:

Вектор (12,5)

Попробуйте векторный калькулятор, чтобы понять, как все это работает.

Умножение вектора на вектор (скалярное произведение и перекрестное произведение)

Как умножить два вектора вместе? Есть несколько способов! (Подробности читайте на этих страницах.)

Более двух размеров

Векторы также отлично работают в трех и более измерениях:

Вектор (1,4,5)

Список номеров

Таким образом, вектор можно представить как список из чисел :

• 2 числа для двухмерного пространства, например (4,7)
• 3 числа для трехмерного пространства, например (1,4,5)
• и т. Д.

Скаляры, векторы и матрицы

И когда мы включаем матрицы, мы получаем вот такой интересный паттерн:

• Скаляр — это число, например 3, -5, 0.368, пр. ,
• Вектор — это список чисел (может быть в строке или столбце),
• Матрица — это массив чисел (одна или несколько строк, один или несколько столбцов).

Фактически вектор также является матрицей ! Потому что матрица может иметь только одну строку или один столбец.

Итак, правила, которые работают для матриц, работают и для векторов.

Скаляров и векторов

Физические науки по самой своей природе в высшей степени математичны.Ученые всегда задают вопросы, на которые можно дать удовлетворительный ответ, только выполнив вычисления или применив формулы для получения значимого числа или набора результатов. В расчетах ученых, естественно, задействовано единиц различных видов, единиц. Эти величины делятся на два основных типа — скалярных величин и векторных величин . Сначала мы будем иметь дело со скалярными величинами, поскольку они относительно просты. Скалярная величина — это величина чего-то, имеющая величину звездной величины (т.е.е. размер), но не направление . Примеры скалярных величин включают длину , массу , время и количество вещества . Возможно, вы уже поняли, что каждый из этих примеров является одной из базовых величин , определенных в Международной системе единиц .

Каждая из основных величин имеет одно измерение. Например, мы можем говорить о длине, не задумываясь о конкретном направлении.Подумайте о таких вопросах, как «Какова длина веревки?» или «Как далеко отсюда до Луны?» На эти вопросы есть ответы, которые можно выразить одним числом, за которым следует соответствующий символ единицы. Длина веревки может быть выражена в дюймах или сантиметрах. Расстояние от Земли до Луны можно выразить в километрах или милях (на самом деле среднее расстояние составляет 384 403 километра или 238 857 миль). Раз уж мы заговорили об этой теме, масса Луны оценивается в 7 единиц.34767309 × 10 ²² килограммов, а возраст — 4,527 миллиарда лет. Вся эта статистика, конечно, скалярных величин . У них есть величина, но не направление.

Возраст Луны около 4,527 миллиарда лет —
(фото предоставлено НАСА / Билл Ингаллс).

Со скалярными величинами можно производить те же алгебраические операции, что и с чистыми числами.Их можно складывать или умножать вместе, и одно скалярное значение можно делить на другое скалярное значение или вычитать из него. Обычные правила арифметики, конечно, применимы к алгебраическим операциям со скалярными величинами. Однако есть одна или две вещи, о которых следует знать. Во-первых, в отличие от чистых чисел, скалярные величины могут относиться к различным типам физических величин. Вы можете использовать только такие операции, как сложение , вычитание , умножение и деление для скалярных величин того же типа .Вы можете прибавить десять килограммов (10 кг) к пятистам граммам (500 г), например, но вы должны выразить обе суммы в одних и тех же единицах (граммах или килограммах). С другой стороны, добавление количества длины или времени к количеству массы привело бы к совершенно бессмысленному результату.

Умножение или деление скалярной величины на чистое число совершенно законно. Например, если бы у нас было пять (5) идентичных золотых слитков, каждый массой шесть килограммов (6 кг), мы могли бы умножить шесть килограммов на пять, чтобы получить общую массу тридцать килограммов (6 кг). × 5 = 30 кг).Однако при умножении двух скалярных величин вместе мы должны также умножить единиц . Если умножить три метра (3 м) на пять метров (5 м), например, мы получим результат пятнадцать квадратных метров (15 м ² ). Это тип расчета, который мы обычно выполняем, чтобы найти площадь некоторой поверхности (например, площадь поверхности солнечной панели), поэтому ответ, выраженный в квадратных метрах, будет иметь смысл.

Величины, которые имеют направленную составляющую , называются векторными величинами . Величины, такие как смещение , скорость и сила , имеют направление, а также величину, поэтому все они являются векторными величинами. Большинство векторных величин, с которыми вы столкнетесь при изучении физики, будут иметь либо две компоненты (векторы, указывающие величину и направление в двухмерной плоскости), либо три компонента (векторы, указывающие величину и направление в трехмерной плоскости). пространство).Двумерные векторы лежат в одной плоскости и поэтому называются копланарными . Компоненты вектора обычно (хотя и не всегда) перпендикулярны (под прямым углом) друг к другу. В двухмерной среде, например, вектор будет иметь компонент x и компонент y , как показано на диаграмме ниже. Величина вектора обозначена на диаграмме его длиной .

В двумерной плоскости вектор имеет компонент x и компонент y .

Из приведенной выше диаграммы мы видим, что векторы могут быть представлены графически с помощью стрелок.Головка стрелки указывает в направлении вектора, а длина стрелки представляет величину вектора . Вы также могли понять, что компоненты вектора x и y сами являются векторами, хотя по существу одномерными векторами. Вектор v имеет компонентные векторы x и y . Это означает, что вектор v является результатом сложения векторов x и y вместе.Вектор, который мы получаем путем сложения двух векторов таким образом, называется результирующим . Мы можем сложить любое количество векторов вместе, как показано на векторной диаграмме ниже. Векторы просто размещаются так, чтобы голова первого вектора указывала на хвост следующего вектора и так далее. Вы можете расположить векторы в любом порядке и получить тот же результат.

Когда векторы a , b и c складываются вместе, в результате получается вектор v

Вектор v в этом примере является результатом сложения векторов a , b и c .Обратите внимание, что он имеет компоненты x и y из пять (5) и один (1) соответственно. Мы можем складывать векторы вместе без необходимости рисовать векторную диаграмму, просто суммируя их компоненты x и y , чтобы найти компоненты x и y результирующего. Это гораздо более краткий (и часто менее подверженный ошибкам) ​​способ добавления векторов. Здесь следует отметить одну интересную вещь: если все складываемые векторы не указывают в одном и том же направлении, величина результирующего всегда будет меньше суммарной величины составляющих векторов.Это имеет смысл, если подумать, поскольку кратчайшее расстояние между двумя точками всегда является прямой линией. В некоторых случаях результатом может быть нулевой вектор , если и компоненты x , и компоненты y суммируемых векторов в сумме равны нулю.

Вычесть один вектор из другого также относительно просто. Мы можем представить векторное вычитание графически, как показано ниже.Здесь мы вычитаем вектор b из суммы векторов a и c . Мы эффективно достигаем этого, изменяя направление вектора b , который в результате теперь показан на диаграмме как вектор — b . Обратите внимание, что при алгебраическом вычитании вектора самый простой способ — просто отрицать значения компонентов вектора x и y вычитаемого вектора, а затем просто найти суммы компонентов x и y . , как и для любого другого сложения векторов.Мы просто складываем векторы a , — b и c вместе вместо вычитания вектора b из суммы векторов a и c .

Вот результат сложения векторов a , — b и c

Умножение вектора на скалярное значение является относительно простой операцией и дает другой вектор.Просто умножьте компоненты x и y исходного вектора на скалярное значение, чтобы получить компоненты x и y нового вектора. Направление нового вектора будет точно таким же, как у исходного вектора. Конечно, можно умножить компоненты вектора x и y на два разных скалярных значения , что даст вектор, указывающий в другом направлении.Мы также можем умножить вектор на отрицательное число , и в этом случае результирующий вектор будет указывать в направлении , противоположном направлению . Частным случаем этого является умножение вектора на минус один (-1). Это оставляет звездную величину (то есть длину) вектора неизменной и просто меняет его направление. Умножение вектора на любое отрицательное значение, кроме минус единицы, изменит направление и на противоположное, и величина вектора изменится.Давайте посмотрим на пару примеров.

Начнем с вектора (3, 1)

Вот результат умножения вектора (3, 1) на два (2):

Теперь у нас есть вектор (6, 2)

Вот результат умножения вектора (3, 1) на минус один (-1):

Умножение вектора (3, 1) на минус один (-1) дает нам вектор (-3, -1)

Мы уже несколько раз упоминали величину векторов , но как на самом деле найти величину вектора, если у нас есть только его компоненты x и y ? Ответ относительно прост.Вот еще раз первый вектор, на который мы посмотрели. На этот раз составляющие вектора x и y расположены так, что они образуют катеты прямоугольного треугольника, для которого вектор v образует гипотенузу.

Вектор v — гипотенуза прямоугольного треугольника

Мы можем найти величину вектора v (т.е.е. длина вектора) по теореме Пифагора. Вот расчет:

v = √ ( x ² + y ² ) = √ (16 + 9) = 25 = 5

Вы часто будете сталкиваться с векторами при изучении физических наук. Например, физиков интересуют силы , действующие на объект, который находится в состоянии покоя или в движении.Сила — это векторная величина, потому что она имеет как величину, так и направление. Нам часто нужно приложить силу к объекту, чтобы выполнить какую-то задачу. Примеры могут включать такие разнообразные действия, как подъем бетонного блока на место, буксировка прицепа или каравана или вывод спутника связи на орбиту. В некоторых случаях сила, необходимая для выполнения задачи, должна применяться косвенно . Следовательно, нам нужно иметь возможность разделить силы на составляющие их векторы, чтобы определить, сколько силы должно быть приложено в данном направлении для достижения конкретной задачи.Векторная арифметика, используемая для такого рода вычислений, несколько выходит за рамки того, что мы обсуждали здесь. Гораздо более подробное описание векторов можно найти в разделе Mathematics этого веб-сайта, в разделе «Векторы и векторная арифметика».

Скалярное сложение: определение, использование и пример

Scalar Addition How-To

Скалярное сложение очень просто, как и базовое сложение: все, что вам нужно сделать, это сложить значения вместе.Вам не о чем больше беспокоиться.

Например, вам даны эти две скалярные величины: 20 и 54. Вы можете сложить эти две величины так же, как и обычные числа.

И готово.

Использует

В физике две скалярные величины, с которыми вы часто будете работать, — это масса и заряд . Масса объекта показывает, из какого количества вещества он сделан. Когда вы встаете на весы, в которых используется балансир, вы получаете свою массу.Заряд объекта — это то, сколько напряжения он излучает.

Поскольку обе эти величины являются скалярными, их можно сложить с помощью скалярного сложения.

Примеры

Давайте рассмотрим несколько примеров с использованием массы и заряда.

Вам нужно воспользоваться лифтом, чтобы поднять тяжелые ящики на третий этаж здания. Лифт имеет грузоподъемность 600 фунтов, что означает, что лифт может поднять только 600 фунтов. Вам нужно выяснить массу ваших ящиков, чтобы увидеть, сможет ли лифт справиться с этим.Общая масса всех объектов не должна превышать 600 фунтов. Что вы делаете? Вот список ваших ящиков и их масс.

Коробка 1	45 фунтов
Коробка 2	20 фунтов
Коробка 3	95 фунтов
Ящик 4	70 фунтов
Коробка 5	80 фунтов

Вы понимаете, что масса является скалярной величиной, поэтому для решения этой проблемы вы можете пойти дальше и использовать скалярное сложение, чтобы найти ответ.Вы можете сложить массы следующим образом:

• 45 + 20 + 95 + 70 + 80 = 310 фунтов

Все ваши коробки в сумме составляют 310 фунтов. Это намного меньше 600 фунтов, поэтому вы можете безопасно использовать этот лифт, чтобы перевезти коробки на третий этаж.

Вот еще пример.

Ваш напарник-инженер работает над новой игрушкой — электрической собакой, которая может слышать простые команды, такие как «приходи» и «садиться», и подчиняться им. Эта электронная собака требует множества электрических компонентов.Один такой компонент питается от двух источников питания. Вашему напарнику необходимо вычислить общий заряд, который получает этот компонент. Один источник питания посылает заряд 2 вольта, а другой источник питания посылает заряд 3 вольта. Вы можете помочь своему другу?

Вы, безусловно, можете помочь своему другу! На самом деле это очень простая проблема: вы понимаете, что заряд — это скалярная величина, поэтому вы можете использовать скалярное сложение с этими двумя величинами.

И готово. Этот конкретный компонент получает в общей сложности 5 вольт.

Краткое содержание урока

Прямое сложение чисел называется скалярным сложением . При скалярном сложении все, что вам нужно сделать, это сложить свои значения вместе. Вам не о чем больше беспокоиться.

В физике и масса , и заряд являются скалярными величинами, поэтому вы можете использовать скалярное сложение с обоими из них. Это означает, что все, что вам нужно сделать, это добавить значения для каждого объекта, и вы найдете общую сумму.

Другими примерами скалярных величин являются скорость и высота.

Скалярная величина — обзор

3.1 Понимание напряжения

Чтобы получить хоть какой-то опыт в инженерной механике горных пород, важно понимать концепцию напряжения . Напряжение — это не тот же тип величины, что и давление или сила, потому что напряжение не является скаляром или вектором: это величина тензора . Поскольку тензор — это математическая сущность, подчиняющаяся определенному набору правил, нетрудно развить поверхностное понимание напряжения.Однако также важно иметь более глубокое понимание того, почему применяются эти правила, и мы подготовили эту главу, чтобы обеспечить это понимание.

Давление в жидкости является скалярной величиной : это означает, что оно имеет определенную величину, которая не зависит от направления, например Давление в автомобильной шине ¹ составляет 25 фунтов силы / дюйм ² во всех направлениях. Сила — это вектор , величина : она имеет величину и направление и должна задаваться тремя компонентами в трехмерном случае, обычно тремя компонентами в трех взаимно ортогональных (перпендикулярных) направлениях.Однако напряжение в точке внутри горной породы имеет три компонента, действующих перпендикулярно граням куба, и шесть компонентов напряжения, действующих вдоль граней. То, как эти компоненты меняются при вращении куба, означает, что напряжение является величиной тензора и должно задаваться в трехмерном случае шестью независимыми компонентами. Нормальные и касательные напряжения, действующие на плоскости в различных направлениях внутри массива горных пород, требуются для исследований при проектировании горных пород и могут быть рассчитаны с использованием уравнений преобразования, как мы проиллюстрируем.

Проблема восприятия стресса заключается в том, что люди в повседневной жизни имеют дело со скалярными и векторными величинами, а не с тензорами. Например, температура — это скалярная величина, а скорость ветра — это векторная величина, поэтому у нас нет проблем с этими понятиями. Однако напряжение, деформация, проницаемость и моменты инерции, которые являются тензорными величинами, сознательно не встречаются в повседневной жизни. Это означает, что у нас нет интуитивного ощущения таких величин, как напряжение и деформация, за исключением сокращенных одномерных форм (где напряжение или деформация действуют только в одном направлении) или когда значения нормальных компонентов равны (так что напряжение становится давлением, а деформация — равномерным сжатием или расширением).Требуются дополнительные усилия, чтобы понять тензорную величину и, следовательно, природу напряжения в твердом теле.

Читатели, которые уже подвергались некоторому стресс-анализу и которые могут несколько скептически относиться к отсутствию их интуитивного понимания стресса, могут попробовать Q3.10 в Части B книги. В Части B можно отвечать на вопросы без видимых ответов. Если вы можете решить задачу Q3.10, не прибегая к математике, у вас действительно есть чувство стресса!

Сила — это векторная величина: она имеет величину и направление.Например, мы можем сказать, что «сила в 5 МН действует горизонтально в северо-восточном направлении». Чтобы указать вектор в двух измерениях, требуются две части информации: либо величина и направление, либо компоненты вектора x и y . В трех измерениях требуются три части информации: либо величина и два направления, либо компоненты вектора x, y и z . Когда сила F разрешается через угол θ , в результате получается F cos θ , как показано на диаграмме на рис.3.1 иллюстрирует.

Рисунок 3.1. Разрешение силы.

Единицами силы являются ньютон (Н) или фунт-сила (фунт-сила) с размерами LMT ^{— 2} .

Напряжение — это тензорная величина, основанная на идее нормальных сил и поперечных сил, действующих в породе. Если надавить рукой на стол, вы создадите нормальную силу. Если протолкнуть руку по поверхности стола, возникает сила сдвига. Дело в том, что твердое тело может выдерживать поперечную силу, которая вызывает поле напряжений: в противном случае было бы просто скалярное давление с одинаковым значением во всех направлениях, и туннели в горных породах всплыли бы на поверхность.Первый ключ к пониманию напряжения — это понимание существования поперечной силы. Нормальные и поперечные силы масштабируются по областям, на которые они действуют, давая нормальные напряжения и напряжения сдвига ² . Единицы измерения напряжения — ньютоны на квадратный метр, Н · м ^{— 2} , известные как паскали, Па, или фунты силы на квадратный дюйм, фунт-сила / дюйм ² , с размерами L ^{— 1} MT ^{— 2} .

Если указана плоскость, на которую действуют напряжения, компоненты нормального напряжения и напряжения сдвига имеют величину и направление.Нормальное напряжение действует перпендикулярно плоскости; напряжение сдвига действует вдоль плоскости. Поскольку напряжение сдвига на плоскости может быть разделено на две перпендикулярные составляющие, на плоскости будут действовать три ортогональных компонента напряжения: нормальное напряжение и два касательных напряжения. Например, в вертикальной плоскости в направлении восток-запад может быть нормальное напряжение 10 МПа, действующее с севера, напряжение сдвига 5 МПа, действующее с запада, и напряжение сдвига 7 МПа, действующее вертикально вниз.Таким образом, для задания тензора в двух измерениях требуется три единиц информации: либо (а) два нормальных напряжения, действующих в указанных направлениях x и y , плюс напряжение сдвига; или (b) два главных напряжения (см. раздел 3.2, Q3.5) и их ориентацию. Для задания тензора в трех измерениях требуется шесть единиц информации: (a) либо три нормальных напряжения, либо три напряжения сдвига, действующие в трех указанных ортогональных плоскостях; или (б) три главных напряжения и их три направления.

Выше мы отметили, что когда сила F разрешается через угол θ , результат будет F cos θ . Однако, когда компонент напряжения, скажем, нормальный компонент σ _n , разрешается через угол θ , в результате получается σ _n cos ² θ . Член cos ² θ возникает потому, что требуется двойное разрешение: то есть разрешение составляющей силы и разрешение области, на которую она действует.Это проиллюстрировано на рис. 3.2, где исходная составляющая нормального напряжения (обозначенная жирной стрелкой) преобразуется в новую составляющую напряжения (представленная более светлой стрелкой) с использованием члена cos ² θ . Второй ключ к пониманию стресса. — это двойное разрешение.

Рисунок 3.2. Разрешение составляющей напряжения от более тяжелой стрелки к более легкой стрелке (для призмы с единичной глубиной).

Когда все компоненты напряжения преобразуются таким образом в двух измерениях, результирующие уравнения для напряжений на плоскости дают геометрическое место круга в пространстве нормальных напряжений и сдвигов. Третий ключ к пониманию напряжения. (см. Q3.4). Круг возникает из-за разрешения cos ² θ первого нормального напряжения, разрешения sin ² θ второго нормального напряжения (sin ² , потому что второе нормальное напряжение перпендикулярно первому нормальному напряжению. напряжения), а также тот факт, что круг с радиусом r представлен в пространстве ( r, θ ) как

r2cos2θ + r2sin2θ = r2.

Эти принципы напряжения применимы ко всем материалам от мела до сыра и, следовательно, ко всем типам горных пород. Более того, в инженерной механике горных пород знание значений компонентов естественного напряжения на месте и требуется для понимания предварительных условий напряжения.