Смешанное произведение векторов и его свойства

Смешанным произведением векторов называется число, равное скалярному произведению векторана векторное произведение векторови. Смешанное произведение обозначается.

Геометрические свойства смешанного произведения

1. Модуль смешанного произведения некомпланарных векторов 

равен объемупараллелепипеда, построенного на этих векторах. Произведениеположительно, если тройка векторов— правая, и отрицательно, если тройка— левая, и наоборот.

2. Смешанное произведение 

равно нулю тогда и только тогда, когда векторыкомпланарны:

 векторы компланарны.

Докажем первое свойство. Найдем по определению смешанное произведение: , где— угол между векторами

и. Модуль векторного произведения (по геометрическому свойству 1) равен площадипараллелограмма, построенного на векторахи: . Поэтому. Алгебраическое значение длины проекции векторана ось, задаваемую вектором, равно по модулю высотепараллелепипеда, построенного на векторах(рис. 1.47). Поэтому модуль смешанного произведения равен объему этого параллелепипеда:

Знак смешанного произведения определяется знаком косинуса угла . Если тройкаправая, тои смешанное произведениеположительно. Если же тройкалевая, тои смешанное произведение

отрицательно.

Докажем второе свойство. Равенство возможно в трех случаях:или(т.е.),или(т.е. вектор

принадлежит плоскости векторови). В каждом случае векторыкомпланарны (см. разд. 1.1).

Смешанным произведением трех векторов называется число, равное векторному произведению первых двух векторов,

, умноженному скалярно на вектор. Векторами это можно представить так

Так как векторы на практике задают в координатной форме, то их смешанный произведение равен определитель, построенном на их координатамВ силу того, что векторное произведение антикомутативно, а скалярное произведение коммутативно, то циклическая перестановка векторов в смешанном произведении не изменяет его значение. Перестановка двух соседних векторов меняет знак на противоположный

Смешанный произведение векторов положительный, если они образуют правую тройку и отрицательный — если левую.

Геометрические свойства смешанного произведения1. Объем параллелепипеда, построенного на векторах равен модулю смешанного произведения этих векторов.2. Объем четырехугольной пирамиды равен трети модуля смешанного произведения

3. Объем треугольной пирамиды равен одной шестой модуля смешанного произведения4. Векторы планарных тогда и только тогда, когдаВ координатах условие компланарности означает равенство нулю определителя Для практического усвоения рассмотрим примеры. Пример 1.

Определить, какой тройкой (правой или левой) являются векторы

Решение.

Найдем смешанное произведение векторов и по знаку выясним, какую тройку векторов они образуют

Векторы образуют правую тройку Векторы образуют правую тройку

Векторы образуют левую тройкуВекторы образуют правую тройкуВекторы образуют левую тройкуДанные векторы линейно зависимы.. Смешанным произведением трех векторов.  Смешанным произведением трех векторов называется число

Геометрическое свойство смешанного произведения:

Теорема 10.1.Объём параллелепипеда, построенного на векторах равен модулю смешанного произведения этих векторов

,

или объём тетраэдра (пирамиды), построенного на векторах равен одной шестой модуля смешанного произведения

.

Доказательство. Из элементарной геометрии известно, что объём параллелепипеда равен произведению высоты на площадь основания

Площадь основания параллелепипеда S равна площади параллелограмма, построенного на векторах (см. рис. 1). Используя

Рис. 1. К доказательству теоремы 1. геометрический смысл векторного произведения векторов , получаем, что

.

Далее, если тройка векторов является правой (как на рис. 1), то высота параллелепипеда равна проекции векторана вектор, т.е.

Отсюда получаемЕсли тройка векторов левая, то вектор и вектор направлены противоположно, тогдаилиТаким образом, попутно доказано, что знак смешанного произведения определяет ориентацию тройки векторовтройка правая и ‑ тройка левая). Докажем теперь вторую часть теоремы. Из рис. 2 очевидно, что объем треугольной призмы, построенной на трех векторахравен половине объема параллелепипеда, построенного на этих векторах, то есть Рис. 2. К доказательству теоремы 1.

Но призма состоит из трех одинакового объема пирамид OABC, ABCD и ACDE. Действительно, объемы пирамид ABCD и ACDE равны, так как они имеют равные по площади основания BCD и CDE и одинаковую высоту, опущенную из вершины A. То же справедливо для высот и оснований пирамид OABC и ACDE. Отсюда

Смешанное произведение векторов

Определение

Смешанным произведением трех векторов $\overline{a}$, $\overline{b}$, $\overline{c}$ называется число, равное скалярному произведению вектора $\overline{a} \times \overline{b}$ на вектор $\overline{c}$: $(\overline{a}, \overline{b}, \overline{c})=([\overline{a}, \overline{b}], \overline{c})$

Геометрический смысл смешанного произведения

Геометрический смысл смешанного произведения: если тройка векторов $\{\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}\}$ правая, то их смешанное произведение равно объему параллелепипеда построенного на этих векторах: $(\overline{a}, \overline{b}, \overline{c})=V$. В случае левой тройки $\{\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}\}$ смешанное произведение указанных векторов равно объему параллелепипеда со знаком минус: $(\overline{a}, \overline{b}, \overline{c})=-V$. Если $\overline{a}$, $\overline{b}$ и $\overline{c}$ компланарны, то их смешанное произведение равно нулю.

Итак, из выше сказанного можно сделать вывод, что объем параллелепипеда, построенного на векторах $\overline{a}$, $\overline{b}$ и $\overline{c}$ равен модулю смешанного произведения этих векторов:

Объем пирамиды, построенной на этой тройке векторов равен

Свойства смешанного произведения:

1°    $(\overline{a}, \overline{b}, \overline{c})=(\overline{a},[\overline{b}, \overline{c}])$

2°    $(\overline{a}, \overline{b}, \overline{c})=(\overline{b}, \overline{c}, \overline{a})=(\overline{c}, \overline{a}, \overline{b})=-(\overline{b}, \overline{a}, \overline{c})=-(\overline{c}, \overline{b}, \overline{a})=-(\overline{a}, \overline{c}, \overline{b})$

3°    Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда $(\overline{a}, \overline{b}, \overline{c})=0$

4°    Тройка векторов является правой тогда и только тогда, когда $(\overline{a}, \overline{b}, \overline{c})>0$. Если же $(\overline{a}, \overline{b}, \overline{c})

5°    $(\lambda \overline{a}, \overline{b}, \overline{c})=(\overline{a}, \lambda \overline{b}, \overline{c})=(\overline{a}, \overline{b}, \lambda \overline{c})=\lambda(\overline{a}, \overline{b}, \overline{c})$

6°    $\left(\overline{a}_{1}+\overline{a}_{2}, \overline{b}, \overline{c}\right)=\left(\overline{a}_{1}, \overline{b}, \overline{c}\right)+\left(\overline{a}_{2}, \overline{b}, \overline{c}\right)$

7°    $\left(\overline{a}, \overline{b}_{1}+\overline{b}_{2}, \overline{c}\right)=\left(\overline{a}, \overline{b}_{1}, \overline{c}\right)+\left(\overline{a}, \overline{b}_{2}, \overline{c}\right)$

8°    $\left(\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}_{1}+\overline{c}_{2}\right)=\left(\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}_{1}\right)+\left(\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}_{2}\right)$

9°    $([\overline{a}, \overline{b}], \overline{c})=\overline{b}(\overline{a}, \overline{c})-\overline{a}(\overline{b}, \overline{c}) ;(\overline{a},[\overline{b}, \overline{c}])=\overline{b}(\overline{a}, \overline{c})-\overline{c}(\overline{a}, \overline{b})$

10°    Тождество Якоби: $(\overline{a},[\overline

Определение смешанного произведения.

Смешанное произведение определяется для трех векторов, заданных в трехмерном пространстве.

Определение.

Смешанным произведением трех векторов и называется действительное число, равное скалярному произведению векторов и , где — векторное произведение векторов и .

Из определения понятно, почему смешанное произведение часто называют векторно-скалярным произведением.

Смешанное произведение векторов и обычно обозначают . В таких обозначениях по определению смешанного произведения .

Смешанное произведение в координатной форме.

Покажем, как находится смешанное произведение, если известны координаты умножаемых векторов в прямоугольной системе координат. Пусть — координатные векторы.

Векторное произведение в координатах имеет вид   а скалярное произведение векторов в прямоугольной системе координат равно сумме произведений соответствующих координат, поэтому,

Таким образом, смешанное произведение векторов равно определителю матрицы третьего порядка, строками которой являются координаты умножаемых векторов, то есть, .

Свойства смешанного произведения.

Из свойств векторного произведения и свойств скалярного произведения следуют следующиесвойства смешанного произведения:

1. ;

2. ;

3. 

Очевидно, что если хотя бы один из умножаемых векторов нулевой, то смешанное произведение равно нулю.

Смешанное произведение также равно нулю, если хотя бы два умножаемых вектора равны.

Действительно, если , то по определению векторного произведения , следовательно, смешанное произведение равно нулю, так как . Если же или , то угол между векторами и равен , следовательно, по определению скалярного произведения векторов .

Свойства смешанного произведения обычно применяются при доказательстве тождеств или неравенств.

Рассмотрим несколько характерных задач.

Пример.

Докажите равенство , где — некоторое действительное число.

Решение.

Преобразуем левую часть равенства, обратившись к третьему свойству смешанного произведения:

Выше мы показали, что , следовательно,

По первому свойству смешанного произведения , а . Таким образом, .

Поэтому,

Что и требовалось доказать.

Пример.

Докажите, что модуль смешанного произведения трех векторов не превосходит произведения длин этих векторов.

Решение.

Иными словами, нам требуется доказать неравенство .

По определению скалярного и векторного произведения векторов, мы можем записать

Из свойств основных элементарных функций мы знаем, что . Следовательно, что и требовалось доказать.

К началу страницы

Вычисление смешанного произведения, примеры и решения.

Проще всего смешанное произведение находится, когда известны координаты векторов. Для вычисления используется формула .

Пример.

Даны координаты трех векторов в прямоугольной системе координат . Найдите смешанное произведение .

Решение.

Мы выяснили, что смешанное произведение векторов может быть вычислено через определитель матрицы третьего порядка, строками которой являются координаты векторов, то есть,

Ответ:

.

Пример.

Найдите векторно-скалярное произведение векторов , где — орты прямоугольной декартовой системы координат.

Решение.

Данные векторы имеют следующие координаты (при необходимости смотрите статьюкоординаты вектора в прямоугольной системе координат)

Осталось воспользоваться формулой для вычисления смешанного произведения через координаты векторов

Ответ:

.

Смешанное произведение векторов также может быть вычислено, если известны длины векторов и углы между ними. Рассмотрим решение характерного примера.

Пример.

В правой прямоугольной декартовой системе координат заданы три взаимно перпендикулярных вектора и , образующих правую тройку, их длины равны соответственно 4, 2 и 3. Найдите их смешанное произведение .

Решение.

Обозначим .

Нам известно, что скалярное произведение векторов равно произведению их длин на косинус угла между ними, поэтому .

Сразу подставим значение длины вектора , известное из условия: .

У нас остались неизвестные и . Найдем их.

По условию , тогда по определению векторного произведения находим длину вектора :

Из определения векторного произведения мы можем заключить, что вектор перпендикулярен вектору и вектору , причем тройка векторов будет правой, так как векторы и заданы в правой прямоугольной декартовой системе координат. Следовательно, векторы и будут сонаправленными, то есть, .

Подставляем полученные результаты и получаем искомое смешанное произведение: .

Ответ:

Смешанное произведение векторов. Онлайн калькулятор

Данный онлайн калькулятор вычисляет смешанное произведение векторов. Дается подробное решение. Для вычисления смешанного произведения векторов выберите способ представления векторов (по координатам или по двум точкам) введите данные в ячейки и нажимайте на кнопку «Вычислить.»

Очистить все ячейки?

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

 

Смешанное произведение векторов (теория)

Смешанное произведение трех векторов это число, которое получается при скалярном произведении результата векторного произведения первых двух векторов на третьий вектор. Другими словами, если заданы три вектора a, b и c, то для получения смешанного произведения этих векторов, сначала векторно умножаются первые два вектора и полученный вектор [ab] скалярно умножается на вектор c.

Смешанное произведение трех векторов a, b и c обозначается так: abc или так (a,b,c). Тогда можно записать:

Прежде чем сформулировать теорему, представляющую геометрический смысл смешанного произведения, ознакомьтесь с понятиями правая тройка, левая тройка, правая система координат, левая система координат (определения 2, 2′ и 3 на странице векторное произведение векторов онлайн).

Для определенности, в дальнейшем мы будем рассматривать только правые системы координат.

Теорема 1. Смешанное произведение векторов ([ab],c) равно объему параллелипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах a, b, c, взятому со знаком плюс, если тройка a, b, c правая, и со знаком минус, если тройка a, b, c левая. Если векторы a, b, c компланарны, то ([ab],c) равно нулю.

Следствие 1. Имеет место следующее равенство:

Для доказательства следствия заметим, что из переместительного свойства скалярного произведения имеем:

Следовательно нам достаточно доказать, что

Из выражения (3) видно, что левая и правая часть равны объему параллелипеда. Но и знаки правой и левой частей совпадают, так как тройки векторов abc и bca имеют одинаковую ориентацию.

Доказанное равенство (1) позволяет записать смешанное произведение трех векторов a, b, c просто в виде abc, не указывая, какие именно два вектора перемножаются векторно первые два или последние два.

Следствие 2. Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения.

Доказательство вытекает из теоремы 1. Действительно, если векторы компланарны, то смешанное произведение этих векторов равно нулю. Обратное, если смешанное произведение равно нулю, то из теоремы 1 вытекает компланарность этих векторов (так как объем параллелипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах равно нулю).

Следствие 3. Смешанное произведение трех векторов, два из которых совпадают, равно нулю.

Действительно. Если два вектора из трех совпадают, то они компланарны. Следовательно, смешанное произведение этих векторов равно нулю.

Смешанное произведение векторов в декартовых координатах

Теорема 2. Пусть три вектора a, b и c определены своими декартовыми прямоугольными координатами

Тогда смешанное произведение abc равняется определителю, строки которого соответственно равны координатам перемножаемых векторов:

Доказательство. Смешанное произведение abc равно скалярному произведению векторов [ab] и c. Векторное произведение векторов [ab] в декартовых координатах вычисляется формулой (подробнее смотрите на странице векторное произведение векторов онлайн):

Тогда скалярное произведение векторов [ab] и c можно записать так:

Последнее выражение можно записать, используя определители второго порядка:

Формулы (6) и (4) эквивалентны, так как (6) является разложением определителя (4) по третьей строке.

Теорема доказана.

Следствие 3. Для компланарности трех векторов

необходимо и достаточно равенство нулю определителя, строки которой заполнены координатами этих векторов, т.е:

Для доказательства следствия достаточно рассмотреть формулу (4) и следствие 2.

Смешанное произведение векторов на примерах

Пример 1. Найти смешанное произведение векторов abс, где

Решение.

Для вычисления смешанного произведения векторов a, b, c составим матрицу, строки которой образуются векторами a, b, c:

Смешанное произведение векторов a, b, c равен определителю матрицы L. Вычислим определитель матрицы L, разложив определитель по строке 1:

Ответ.

Смешанное произведение векторов a, b, c равен :

Пример 2. Найти смешанное произведение векторов abс, где

Начальная точка вектора a:

Конечная точка вектора a:

Вектор b:

Начальная точка вектора c:

Конечная точка вектора c:

Решение.

Переместим вектор a на начало координат. Для этого вычтем из соответствующих координат конечной точки B координаты начальной точки A:

Переместим вектор c на начало координат. Для этого вычтем из соответствующих координат конечной точки F координаты начальной точки E:

Для вычисления смешанного произведения векторов a, b, c составим матрицу, строки которой образуются векторами a, b, c:

Смешанное произведение векторов a, b, c равен определителю матрицы L. Вычислим определитель матрицы L, разложив определитель по строке 1:

Ответ.

Смешанное произведение векторов a, b, c равен :

Как найти смешанное произведение векторов

Предварительные сведения

Для того чтобы мы могли ввести понятие смешанного произведения векторов, нужно сначала вспомнить понятия скалярного и векторного произведений этих векторов.

Определение 1

Скалярным произведением двух векторов будем называть такой скаляр (или число), который равняется произведению длин двух этих векторов с косинусом угла между данными векторами.

Математически это может выглядеть следующим образом:

$\overline{α}\overline{β}=|\overline{α}||\overline{β}|cos⁡∠(\overline{α},\overline{β})$

Также, помимо того, как из самого определения 1, для нахождения скалярного произведения можно пользоваться следующей теоремой.

Теорема 1

Скалярное произведение двух данных векторов $\overline{α}$ и $\overline{β}$ равняется сумме произведений их соответствующих координат.

Математически выглядит следующим образом

$\overline{α}\overline{β}=α_1 α_2+β_1 β_2$

Обозначение: $\overline{α}\cdot \overline{β}$.

Определение 2

Векторным произведением двух векторов будем называть такой вектор, который будет перпендикулярен обоим данным векторам, и его длина будет равняться произведению длин этих векторов с синусом угла между данными векторами, а также этот вектор с двумя начальными имеют туже ориентацию, как и декартова система координат.

Обозначение: $\overline{α}х\overline{β}$.

Математически это выглядит следующим образом:

1. $|\overline{α}х\overline{β}|=|\overline{α}||\overline{β}|sin⁡∠(\overline{α},\overline{β})$
2. $\overline{α}х\overline{β}⊥\overline{α}$, $\overline{α}х\overline{β}⊥\overline{β}$
3. $(\overline{α}х\overline{β},\overline{α},\overline{β})$ и $(\overline{i},\overline{j},\overline{k})$ одинаково ориентированы (рис. 1)

Понятие смешанного произведения векторов

Определение 3

Смешанным произведением векторов $\overline{α}$, $\overline{β}$ и $\overline{γ}$ будем называть такой скаляр (или число), которое будет равняться скалярному произведению первого вектора $\overline{α}$ на вектор векторного произведения $\overline{β}х\overline{γ}$ двух других векторов.

Обозначение: $(\overline{α},\overline{β},\overline{γ})$.

Математически это выглядит следующим образом:

$(\overline{α},\overline{β},\overline{γ})=\overline{α}\cdot (\overline{β}х\overline{γ})$

Очевидно, что смешанное произведение будет равняться нулю в двух случаях:

1. Если длина одного или нескольких векторов равняется нулю.
2. Если эти векторы будут являться компланарными.

Пример 1

Найти значение смешанного произведения векторов $\overline{α}$, $\overline{β}$ и $\overline{γ}$, которые имеют координаты $(0,0,5)$, $(0,4,0)$ и $(3,0,0)$, соответственно.

Решение.

Из определений 1, и 3 будем получать

$(\overline{α},\overline{β},\overline{γ})=\overline{α}\cdot (\overline{β}х\overline{γ})=|\overline{a}||\overline{β}х\overline{γ}|cos∠(\overline{α},\overline{β}х\overline{γ})$

Изобразим эти векторы в декартовом координатном пространстве (рис. 2):

Найдем вначале длину вектора векторного произведения векторов $\overline{β}$ и $\overline{γ}$

Видим, что эти векторы лежат на осях $Ox$ и $Oy$, соответственно. Следовательно, угол между ними будет равняться $90^0$. Найдем длины этих векторов:

$|\overline{β}|=\sqrt{0+16+0}=4$

$|\overline{γ}|=\sqrt{9+0+0}=3$

Тогда, по определению 2, получим

$|\overline{β}х\overline{γ}|=|\overline{α}||\overline{β}|sin90^\circ=4\cdot 3\cdot 1=12$

Из 3 части определения 2 очевидно, что вектор $\overline{β}х\overline{γ}$ принадлежит оси $Oz$ и направлен в туже сторону, что и сама ось, следовательно, угол между векторами $\overline{α}$ и $\overline{β}х\overline{γ}$ равняется $0^\circ$.

Длина вектора $\overline{α}$

$|\overline{α}|=\sqrt{0+0+25}=5$

Получим

$(\overline{α},\overline{β},\overline{γ})=|\overline{a}||\overline{β}х\overline{γ}|cos∠(\overline{α},\overline{β}х\overline{γ})=5\cdot 12\cdot cos0^\circ=60$

Ответ: $60$.

Вычисление смешанного произведения по координатам векторов

Из определения 1 сразу же вытекает и способ нахождения смешанного произведения для трех данных векторов. Но существует еще способ нахождения с помощью координат данных нам векторов.

Пусть нам даны векторы $\overline{α}$, $\overline{β}$ и $\overline{γ}$, которые будут иметь координаты $(α_1,α_2,α_3)$, $(β_1,β_2,β_3)$ и $(γ_1,γ_2,γ_3)$, соответственно. Тогда значение смешанного произведения можно найти по следующей формуле:

$(\overline{α},\overline{β},\overline{γ})=\begin{vmatrix}α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\\γ_1&γ_2&γ_3\end{vmatrix}$

Иначе, получим

$\overline{α}х\overline{β}=α_1 β_2 γ_3+α_3 β_1 γ_2+α_2 β_3 γ_1-α_3 β_2 γ_1-α_2 β_1 γ_3-α_1 β_3 γ_2$

Пример 2

Найти значение смешанного произведения векторов $\overline{α}$, $\overline{β}$ и $\overline{γ}$ с координатами $(1,1,0)$, $(0,3,3)$ и $(-1,2,6)$.

Решение.

Воспользуемся формулой, приведенной выше. Получим

$(\overline{α},\overline{β},\overline{γ})=\begin{vmatrix}1&1&0\\0&3&3\\-1&2&6\end{vmatrix}=18+(-3)+0-0-6-0=18-9=9$

Ответ: $9$.

Свойства смешанного произведения векторов

Для произвольных четырех векторов $\overline{α}, $\overline{β}$, $\overline{γ}$ и $\overline{δ}$, а также $r∈R$ справедливы следующие свойства: справедливы следующие свойства:

1) При перестановке местами знаков произведений в смешанном произведении можно менять между собой

$(\overline{α},\overline{δ},\overline{γ})=\overline{α}\cdot (\overline{δ}х\overline{γ})=(\overline{α}х\overline{δ})\cdot \overline{γ}$

2) Векторы в смешанном произведении можно менять только циклически

$(\overline{α},\overline{δ},\overline{γ})=(\overline{δ},\overline{γ},\overline{α})=(\overline{γ},\overline{α},\overline{δ})$

3) Перемещение только одного вектора на другое место меняет знак

$(\overline{α},\overline{δ},\overline{γ})=-(\overline{β},\overline{α},\overline{γ})=-(\overline{γ},\overline{δ},\overline{α})=-(\overline{α},\overline{γ},\overline{δ})$

4) Из формулы выше, очевидны следующие равенства:

$(r\overline{α},\overline{δ},\overline{γ})=r(\overline{α},\overline{δ},\overline{γ})$

$(\overline{α},r\overline{δ},\overline{γ})=r(\overline{α},\overline{δ},\overline{γ})$

$(overlie{α},\overline{δ},r\overline{γ})=r(\overline{α},\overline{δ},\overline{γ})$

5) Справедливы равенства:

$(\overline{α}+\overline{β},\overline{δ},\overline{γ})=(\overline{α},\overline{δ},\overline{γ})+(\overline{β},\overline{δ},\overline{γ})$

$(\overline{α},\overline{δ}+\overline{β},\overline{γ})=(\overline{α},\overline{δ},\overline{γ})+(\overline{α},\overline{β},\overline{γ})$

$(\overline{α},\overline{δ},\overline{γ}+\overline{β})=(\overline{α},\overline{δ},\overline{γ})+(\overline{α},\overline{δ},\overline{β})$

6) Геометрический смысл – площадь параллелепипеда (рис. 3):

$S=|(\overline{α},\overline{β},\overline{c})|$