Site Loader
Posted on 23.02.2023

Найти модуль векторного произведения векторов:

Векторная алгебра. Векторное и смешанное произведения векторов._____________

Векторное произведение векторов и его свойства

Определение: Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , который:

1. перпендикулярен векторам и , то есть , и ;

2. имеет длину, численно равную площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах, то есть;

, где

3. векторы , и взятые в указанном порядке, образуют правую тройку.

Итак:

Свойства векторного произведения

  1. — при перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак;

  1. ;

  1. ;

  1. ;

  1. — векторное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда они коллинеарны.

Выражение векторного произведения через координаты

—

—

—

Пусть заданы два вектора или, что то же самое ={ax; ay; az} и ={bx; by; bz}, тогда векторное произведение векторов равно:

Приложения векторного произведения

Установление коллинеарности векторов:

Пусть заданы два ненулевых вектора ={

ax; ay; az} и ={bx; by; bz}, тогда:

Нахождение площади параллелограмма и треугольника:

  1. Площадь параллелограмма, построенного на векторах ={ax; ay; az} и ={bx; by; bz}, равна модулю векторного произведения:

  1. Площадь треугольника, построенного на векторах ={ax; ay; az} и ={bx; by; bz}, равна половине площади параллелограмма и равна половине модуля векторного произведения:

  1. Найти векторное произведение векторов (I способ):

{3; 4; 7}

{2; -5; 2}

{ ; ; }

{1; -2; 4}

{2; -3; -2}

{ ; ; }

  1. Найти векторное произведение векторов (II способ):

    {-2; 1; 4}

    {0; -3; 5}

    { ; ; }

    {2; 0; -3}

    {1; 2; 4}

    { ; ; }

  2. Найти векторное произведение векторов (III способ):

{1; -3; 5}

{-4 2; 0}

{ ; ; }

{-3; 1; -1}

{2; -2; 0}

{ ; ; }

3; 4 и 120

2; 5 и 60

  1. Вычислить:

{4; -2; -4}

{6; -3; 2}

– такая запись употребляется только для скалярного произведения;

{-1; 3; 5}

{2; -2; 4}

– такая запись употребляется только для скалярного произведения;

  1. Вычислить площадь параллелограмма построенного на векторах:

и , если 2; 5 и 150

и , если 1; 2 и 30

  1. Вычислить модули

    :

3, 4 и 30

6, 1 и 150

  1. Раскрыть скобки в выражении:

  1. Вычислить площадь треугольника АВС:

A(7; 3; 4),

B(1; 0; 6), C(4; 5; -2)

A(2; -2; 0), B(1; -3; 5), C(-2; 3; -1)

  1. Вычислить площадь треугольника АВС и высоту ВD:

A(1; -2; 8), B(0; 0; 4), C(6; 2; 0)

A(1; -1; 0), B(2; -3; 2), C(-2; 3; -1)

7.

2.3. Векторное произведение MathCAD 12 руководство

RADIOMASTER

Лучшие смартфоны на Android в 2022 году

Серия iPhone от Apple редко чем удивляет. Когда вы получаете новый iPhone, общее впечатление, скорее всего, будет очень похожим на ваше предыдущее устройство. Однако всё совсем не так в лагере владельцев устройств на Android. Существуют телефоны Android всех форм и размеров, не говоря уже о разных ценовых категориях. Другими словами, Android-телефон может подойти многим. Однако поиск лучших телефонов на Android может быть сложной задачей.

1092 0

Документация Схемотехника CAD / CAM Статьи

MathCAD 12 MatLab OrCAD P CAD AutoCAD MathCAD 8 — 11

  • Главная
    • /
  • База знаний
    • /
  • CAD / CAM
    • /
  • org/Breadcrumb»>MathCAD 12
  • Линейная алгебра
  • 7.1. Простейшие матричные операции
    • 7.1.1. Транспонирование
    • 7.1.2. Сложение и вычитание
    • 7.1.3. Умножение
  • 7.2. Векторная алгебра
    • 7.2.1. Модуль вектора
    • 7.2.2. Скалярное произведение
    • 7.2.3. Векторное произведение
    • 7.2.4. Векторизация массива
  • 7.3. Вычисление определителей и обращение квадратных матриц
    • 7.3.1. Определитель квадратной матрицы
    • 7.3.2. Ранг матрицы
    • 7.3.3. Обращение квадратной матрицы
    • 7.3.4. Возведение квадратной матрицы в степень
    • 7.3.5. Матричные нормы
    • 7.3.6. Число обусловленности квадратной матрицы
  • 7.4. Вспомогательные матричные функции
    • 7.4.1. Автоматическая генерация матриц
    • 7.4.2. Разбиение и слияние матриц
    • 7. 4.3. Сортировка элементов матриц
    • 7.4.4. Вывод размера матрицы

Векторное произведение (cross product) двух векторов u и v с углом 9 между ними равно вектору с модулем |u|-|v|sin0, направленным перпендикулярно плоскости векторов u и v. Обозначают векторное произведение символом х, который можно ввести нажатием кнопки Cross Product (Векторное произведение) в панели Matrix (Матрица) или сочетанием клавиш <Ctrl>+<8>. Пример приведен в листинге 7.11.

Листинг 7.11. Векторное произведение двух векторов

Теги MathCad САПР

Сюжеты MathCad

Глава 1 Основы работы с системой Mathcad 11

9959 0

Глава 10 Работа с информационными ресурсами Mathcad 11

6973 0

Глава 2 Работа с файлами Mathcad 11

12509 0

Комментарии (0)

Вы должны авторизоваться, чтобы оставлять комментарии.

Вход

О проекте Использование материалов Контакты

Новости Статьи База знаний

Радиомастер
© 2005–2022 radiomaster. ru

При использовании материалов данного сайта прямая и явная ссылка на сайт radiomaster.ru обязательна. 0.2341 s

вычислить векторное произведение

Присутствуют величина и направление вектора. Скалярное произведение и векторное произведение можно использовать для умножения двух или более векторов. Давайте узнаем больше о каждом из векторных продуктов.

Существует две категории векторных продуктов. Скалярное произведение двух векторов и перекрестное произведение двух векторов основаны на том факте, что вектор имеет как величину, так и направление. Скалярное произведение двух векторов также известно как скалярное произведение, поскольку результирующее значение является скалярной величиной. Поскольку выход представляет собой вектор, перпендикулярный этим двум векторам, перекрестное произведение называется векторным произведением.

Скалярное произведение: Скалярное произведение векторов также известно как скалярное произведение векторов. Скалярное произведение векторов дает скалярное значение. Скалярное произведение векторов — это произведение модулей двух векторов и косинуса угла между двумя векторами. При скалярном произведении двух векторов результат находится в той же плоскости, что и два вектора.

Перекрестное произведение: Перекрестное произведение также известно как векторное произведение. Перекрестное произведение — это своего рода векторное умножение, которое включает в себя умножение двух векторов разного типа или природы. Когда два вектора умножаются друг на друга и произведение также является векторной величиной, результирующий вектор называется перекрестным произведением двух векторов или векторным произведением.

Как найти модуль векторного произведения

Расстояние между начальной точкой P и конечной точкой Q является модулем вектора PQ. Величина PQ ⃑ обозначается символами |PQ|⃑.

Формулу расстояния можно использовать для нахождения величины вектора, если известны координаты начальной и конечной точек.

PQ⃑=(x2-x1)2+ (y2-y1)2

Пример нахождения модуля векторного произведения

Пример: Определить модуль вектора PQ ⃑, начальной точкой которого является (1, 1) и конечная точка (5,3).

Решение: Используйте формулу расстояния, чтобы рассчитать расстояние.

Замените x1,y1.x2,y2

Ответ: Величина PQ равна 4,5

Вычислите векторное произведение двух векторов

Перекрестное произведение двух векторов также известно как векторное произведение.

Векторное произведение a и b равно c, если у вас есть два вектора a и b.

c=a×b

В результате величина c = ab sin , где угол между a × b  и направлением c перпендикулярно как a, так и b. Каким должно быть направление этого перекрестного произведения сейчас? Поэтому мы используем правило, известное как «правило большого пальца правой руки», чтобы определить направление.

Согните пальцы от a × b , чтобы определить направление от a к b. Итак, если мы согнем пальцы в направлении, изображенном на диаграмме, ваш большой палец будет указывать вверх в направлении c. Направление векторного произведения показано большим пальцем.

При применении правил к направлению следует поворачивать меньшие углы, например угол 180° между a и b. В результате пальцы всегда должны быть согнуты под острым углом между a и b.

Пример: Определите угол, образованный углами 2i + 3j + k и 5i -2j + 3k.

Решение: Два вектора выглядят следующим образом:

В результате угол между векторами равен 72,3°.

Заключение

Мы изучаем, векторное произведение представляет собой бинарную операцию над двумя векторами в трехмерном ориентированном евклидовом векторном пространстве, обозначенном символом.

Векторы — это математические элементы, которые указывают как направление, так и величину элемента. Поскольку векторы обычно изображаются в виде отрезка линии с конечной точкой на одной стороне и стрелкой на другой, они выглядят как лучи.

 

Параметрические поверхности, часть 3

Параметрические поверхности, часть 3

Параметрические представления поверхностей

Часть 3: Фундаментальное векторное произведение и площадь поверхности

В части 2 мы видели, что изменения координат поверхностей приводят к масштабу коэффициент площади, который можно вычислить как якобиан преобразования координат. Здесь мы расширяем эту идею параметрических представлений поверхностей, которые мы сейчас думайте о преобразованиях координат из плоскости параметров в пространство. Фактор изменения площади рассчитаем точно так же, как и площадь параллелограмма, который снова окажется величиной креста произведение касательных векторов. Однако, поскольку образ прямоугольника параметра не обязательно в xy — плоскость, векторное произведение не ограничивается k компонент только — или даже в постоянном направлении.

В качестве примера рассмотрим параметризацию тора из части 1:

x ( u , v ) = ( A + B COS V ) COS U ,
Y ( U , V ) = ( A + B COS V ).0090,
Z ( U , V ) = B SIN V ,

0 < U < 2, 0 < v < 2.        

На следующем рисунке мы показываем часть плоскости параметров и часть тора. На слева мы выделили типичный прямоугольник R в плоскости параметров, а на справа соответствующий участок поверхности, обозначенный буквой S. Как и в части 2, коэффициент изменения площади будет отношением площади S к площади Р.

На следующем рисунке показано крупный план типичного прямоугольника параметров R и его изображения S на параметризованном поверхность (оба желтые), а также касательные векторы в одном углу (синий и красный), параллелограмм, определяемый этими векторами (зеленый), и векторное произведение этих касательных векторов (черный).

На этот раз (в отличие от к части 2) касательные векторы задаются формулой

т и   =  x U ( U , V ) I + y U ( U , V ) J +0, V ) J +9, V ) J +9, V ) ( U , V ) ( U , V ) . v )  k ,
t v   =  x v ( u , v )  i  +  y v ( u , v )  j  +  z v ( u , v ) к .

Как и в Части 2, эти векторы масштабируются шагами сетки du и dv соответственно, чтобы получить касательные векторы к поверхности, которые аппроксимируют изогнутые изображения сегментов параметров. Мы вычисляем приблизительную площадь S как

дА = | t u   x   t v | дю дв .

С дю дв площадь R, длина векторного произведения снова локальная фактор изменения площади. Чтобы найти общую площадь поверхности, определяемую регионом плоскости параметров, мы интегрируем дА по этой области. Крест произведение касательных векторов t u и т в называется фундаментальным вектором продукт параметризации, а его длина снова называется Якобиан , более короткое, но менее описательное название, чем «местный фактор изменения площади».

  1. Для параметризации данного выше тора, вычислить фундаментальное векторное произведение.
  2. Найдите длину основного векторное произведение, т. е. локальный коэффициент изменения площади. Упростить настолько, насколько вы можете. Ваш ответ не должен зависеть от одного из двух параметров — объясните геометрически, почему это должно быть так.
  3. Рассчитайте площадь поверхности тор с «большим радиусом» a и «малым радиусом» б . Объясните, почему неудивительно, что ответ оказывается быть произведением длин окружностей двух окружностей.
  4. Найдите формулу поверхности площадь графика функции z  = f( x , y ) для a < x < b , c <   г < д . [Подсказка: используйте u = x и v = y . как параметры.]
  5. Используйте формулу из шага 4, чтобы найти площадь седловой поверхности f( x , y ) = x 2  —  y 2 for -1   <   x < 1, -1   <   y < 1.
  6. В формуле ничего нет на шаге 4, который требует, чтобы параметры были декартовыми переменными. Примените свой формула для нахождения площади поверхности конуса высотой ч и радиусом основания a , используя формулу полярных координат az  =  hr . Свяжите свой ответ геометрически с высотой, радиусом основания и наклоном высота. Приведите геометрический аргумент, чтобы показать, что ваш ответ правильный. [Намекать: Если разрезать конус вдоль одной стороны, он расплющится и превратится в часть круга.]
  7. В Части 1, шаг 5, вы построили параметризация сферы радиусом 2 с использованием сферических координат.

alexxlab

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *