Site Loader

Содержание

Скалярное и векторное произведение векторов

Скалярное произведение двух векторов (обозначают также ) есть скаляр (число)

= , (4.8)

где – угол между векторами и (рис. 4.12).

Для острого угла между векторами и их скалярное произведение , а для тупого – . Если они взаимно перпендикулярны

( ), то . Для коллинеарных векторов и скалярное произведение = , где “+” для однонаправленных векторов, а “–“ ― для противоположно направленных. В частности = , что позволяет записать длину вектора в виде = (отсюда другое название длины вектора – «модуль вектора»).

Единичные базисные векторы прямоугольной декартовой системы координат удовлетворяют соотношениям: , , , . Используя эти соотношения, не трудно получить, что если векторы и заданы своими декартовыми координатами: , , то их скалярное произведение

= . (4.9)

Из определения скалярного произведения (4.8) следует, что угол между векторами

. (4.10)

Свойства скалярного произведения:

= ; ;

; ;

.

 

Пример. Вычислить , если , .

◄ Используя свойства скалярного произведения, имеем =

= .►

 

Пример. Даны координаты вершин треугольника на плоскости: , , . Найти угол в треугольнике при вершине и длину стороны .

◄ Проведем из вершины векторы в вершины и (рис. 4.13). Тогда угол при вершине будет равен углу между векторами и , а длина стороны равна длине вектора . Находим координаты векторов: , . Согласно формуле (.10) Длина стороны = = . ►

 

Векторное произведение (другое обозначение ) двух векторов и есть третий вектор , модуль которого (т. е. равен площади параллелограмма, построенного на векторах и ), а направление перпендикулярно к обоим векторам и (т. е. плоскости упомянутого параллелограмма) и совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его повороте от к на угол, меньший (рис 4.14). Из этого определения векторного произведения следует, что векторы , и образуют

правую систему.

Если векторы и коллинеарны ( ), то =0.

Свойства векторного произведения:

; ; ;

; .

Базисные единичные векторы декартовой прямоугольной системы координат удовлетворяют следующим соотношениям:

; ; ; .

Если векторы и заданы своими декартовыми координатами: , , то их векторное произведение

. (4.11)

Смешанным (векторно – скалярным) произведением векторовназывается произведение , результатом которого является скаляр (число). Для компланарных векторов их смешанное произведение . Если векторы , и образуют правую тройку, то , если – левую, то .

Смешанное произведение равно объему параллелепипеда , построенного на векторах , и (рис. 4.15), взятому со знаком “+”, если векторы , и образуют правую тройку, и со знаком “–“, если ― левую:

. (4.12)

Если векторы , и заданы своими декартовыми координатами: , , , то их смешанное произведение

(4.13)

Пример. Даны координаты вершин треугольника: , , . Найти площадь .

◄ Направим из вершины треугольника векторы в вершины и (рис. 4.16). Учитывая, что площадь равна половине площади параллелограмма, построенного на этих векторах, площадь которого, в свою очередь, можно выразить через векторное произведение, будем иметь . Находим координаты векторов: , . По формуле (4.11) находим векторное произведение = .

Таким образом, (кв. ед.). ►

 

Пример. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах , , .

◄ Искомый объем найдем по формуле (4.13). Вычисляем смешанное произведение данных векторов: =

. Объем параллелепипеда . ►

Иллюстрированный самоучитель по MathCAD 12 › Линейная алгебра › Скалярное произведение. Векторное произведение. [страница — 131] | Самоучители по математическим пакетам

Скалярное произведение. Векторное произведение.

Скалярное произведение векторов (vector inner product) определяется как скаляр, равный сумме попарных произведений соответствующих элементов. Векторы должны иметь одинаковую размерность, скалярное произведение имеет ту же размерность. Скалярное произведение двух векторов u и v равно uv=|u||v|cos0, где 0 – угол между векторами. Если векторы ортогональны, то их скалярное произведение равно нулю. Обозначается скалярное произведение тем же символом, что и умножение (листинг 7.9).

Внимание!
Для обозначения скалярного произведения пользователю позволяется выбирать представление оператора умножения при помощи контекстного меню (подобно умножению скалярных величин). Однако никогда не применяйте для обозначения скалярного произведения символ

х, который является общеупотребительным символом векторного произведения (см. разд. 7.2.3).

Листинг 7.9. Скалярное произведение векторов:

С осторожностью перемножайте несколько (более двух) векторов. По-разному расставленные скобки полностью изменяют результат умножения. Примеры такого умножения приведены в листинге 7.10.

Листинг 7.10. Скалярное произведение векторов, умноженное на третий вектор:

Векторное произведение

Векторное произведение (cross product) двух векторов u и v с углом 9 между ними равно вектору с модулем |u|-|v|sin0, направленным перпендикулярно плоскости векторов u и v. Обозначают векторное произведение символом х, который можно ввести нажатием кнопки Cross Product (Векторное произведение) в панели Matrix (Матрица) или сочетанием клавиш CTRL + 8. Пример приведен в листинге 7.11.

Листинг 7.11. Векторное произведение двух векторов:

Векторное скалярное произведение (внутреннее произведение), кросс-произведение (внешнее произведение)

Векторное точечное произведение (внутренний продукт)

Народный язык: каждое соответствующее значение по очереди умножается, а затем складывается. Это скаляр, который также является модулем двух векторов и затем умножается на косинус угла.

Свойство: если два вектора перпендикулярны, точечное произведение равно 0, потому что cos90 ° = 0, в противном случае это не так, если скалярное произведение нулевого вектора и любого вектора равно 0

Другими словами, величина двух векторов в одном направлении, другими словами, является произведением двух векторов в одном направлении. К

Из cosθ также видно, что чем меньше θ, тем больше внутреннее произведение

Вот почему он называется внутренним продуктом.

 

 

Вертикальный = ортогональный

 

 

 

 

 

 

 

Векторное произведение (внешнее произведение)

Внешний продукт полезен только в R3

Методика расчета следующая:

Нормальный вектор плоскости образован вектором a и вектором b, и направление соответствует теореме правой руки. (Трехмерное пространство)

Площадь четырехугольника, образованного вектором ab. (Двумерное пространство)

 

 

Другими словами, модуль внешнего произведения ab эквивалентен месяцу b, умноженному на часть a вне b (то есть компонент, перпендикулярный b),

Чем больше компонент, перпендикулярный b, тем больше внешнее произведение ab и тем больше площадь ab, поскольку длина b фиксирована.

Вот почему это называется внешним продуктом.

 

 

 

 

Вы можете сделать это, возьмите b за ось и сделайте компонент a,

Компонент падения на b, умноженный на b, является внутренним произведением a и b.

Компонент, который a падает на b и перпендикулярен b, умноженный на b, является внешним произведением b.

Внутреннее произведение эквивалентно степени измерения одного и того же направления, а внешнее произведение эквивалентно степени измерения вертикали.

 

Перепечатано по адресу: https://www.cnblogs.com/Mjerry/p/9630961.html

Произведение векторов 1 Скалярное произведение 2 Векторное произведение

Произведение векторов 1. Скалярное произведение. 2. Векторное произведение. 3. Смешанное произведение.

1. Скалярное произведение 1. 1 Основные понятия. 1. 2 Свойства. 1. 3 Выражение через координаты. 1. 4. Некоторые приложения.

1. 1 Основные понятия.

1. 1 Основные понятия

Скалярное произведение двух векторов равно модулю одного из них, умноженного на проекцию другого на ось, сонаправленную с первым вектором.

1. 2 Свойства скалярного произведения.

1. 2 Свойства 1. Переместительное свойство: = =

1. 2 Свойства 2. Сочетательное свойство, относительно скалярного множителя:

1. 2 Свойства 3. Распределительное свойство:

1. 2 Свойства 4. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины: .

1. 2 Свойства Замечания: 1 . 2

1. 2 Свойства .

1. 2 Свойства 5. Справедливо и обратное утверждение: .

1. 2 Свойства Замечание: .

1. 3 Выражение скалярного произведения через координаты.

1. 3 Выражение через координаты Скалярное произведение .

1. 3 Выражение через координаты . Скалярное произведение векторов равно сумме произведений их одноименных координат.

1. 4. Некоторые приложения скалярного произведения.

1. 4. Некоторые приложения Угол между векторами:

1. 4. Некоторые приложения Проекции вектора

1. 4. Некоторые приложения Работа постоянной силы при прямолинейном перемещении её точки приложения, равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения:

2. Векторное произведение 2. 1 Основные понятия. 2. 2 Свойства. 2. 3 Выражение через координаты. 2. 4. Некоторые приложения.

2. 1 Основные понятия.

1. 1 Основные понятия

1. 1 Основные понятия Левая тройка Правая тройка

1. 1 Основные понятия

2. 2 Свойства векторного произведения.

Свойства: 1) При перестановке сомножителей, векторное произведение меняет знак: .

Следствие Ранее доказано: Свойство 1.

2) Сочетательное свойство, относительно скалярного множителя, т. е. Пусть 1 λ·(a b) (λa) b a b b a λ·a

2) Сочетательное свойство, относительно скалярного множителя, т. е. Пусть 2

2) Сочетательное свойство, относительно скалярного множителя, т. е. Пусть 1 2 При аналогично.

Свойства: = 0 о = 180 о

Свойства: = 0 о = 180 о

Следствие:

Свойства: 4) Распределительное свойство:

2. 3 Выражение векторного произведения через координаты

2. 3 Выражение через координаты Векторное произведение Если направление кратчайшего пути от первого вектора к второму совпадает с направлением стрелки, то произведение равно третьему вектору, если не совпадает – третий вектор берется со знаком «минус»

2. 3 Выражение через координаты

2. 3 Выражение через координаты

2. 3 Выражение через координаты

2. 3 Выражение через координаты

2. 4 Некоторые приложения векторного произведения

2. 4 Некоторые приложения 2. 4. 1 Установление коллинеарности векторов Св-во определителя

2. 4 Некоторые приложения 2. 4. 2 Нахождение площади параллелограмма и треугольника

2. 4 Некоторые приложения 2. 4. 3 Определение момента силы относительно точки

2. 4 Некоторые приложения 2. 4. 4 Нахождение линейной скорости вращения

3. Смешанное произведение 3. 1 Основные понятия. 3. 2 Свойства. 3. 3 Выражение через координаты. 3. 4. Некоторые приложения.

3. 1 Основные понятия.

3. 1 Основные понятия

3. 1 Основные понятия Геометрический смысл Построим: 1) параллелепипед, ребрами которого являются векторы 2) вектор

3. 1 Основные понятия Геометрический смысл

3. 1 Основные понятия Геометрический смысл

3. 1 Основные понятия Геометрический смысл

3. 1 Основные понятия Геометрический смысл Смешанное произведение трех векторов равно объему параллепипеда, построенного на этих векторах, взятому со знаком «+» , если они образуют правую тройку и со знаком « –» , если левую тройку.

3. 2 Свойства смешанного произведения.

Свойства: 1) Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке его сомножителей, т. е. в этом случае не изменяется ни объем параллелепипеда, ни ориентация его ребер.

Свойства: 2) Смешанное произведение меняет свой знак при перемене мест двух векторов-сомножителей Перестановка сомножителей в векторном произведении, меняет у произведения знак.

Свойства: 3) Смешанное произведение не меняется при перемене местами знаков векторного и скалярного умножения:

Свойства:

Свойства: c b a !!!

Свойства: d P c b a

3. 3 Выражение смешанного произведения через координаты

3. 3 Выражение через координаты .

3. 3 Выражение через координаты .

3. 3 Выражение через координаты Скалярное произведение.

3. 3 Выражение через координаты . Смешанное произведение векторов равно определителю третьего порядка, составленному из координат перемножаемых векторов.

3. 4 Некоторые приложения смешанного произведения

2. 4 Некоторые приложения 3. 4. 1 Определение взаимной ориентации векторов в пространстве

2. 4 Некоторые приложения 3. 4. 2 Установление компланарности векторов

2. 4 Некоторые приложения 3. 4. 3 Определение объема параллелепипеда и треугольной пирамиды c b a

Векторная алгебра. Скалярное произведение векторов. Векторное произведение векторов. Смешанное произведение векторов

1. Векторная алгебра

Скалярное произведение векторов
Векторное произведение векторов
Смешанное произведение векторов

2. Скалярное произведение векторов

Пусть постоянная сила F действует на прямолинейно
перемещающуюся точку М под углом φ к направлению движения
Как известно из физики, работа силы F по
перемещению точки М определяется по
формуле:
A F S cos
F
М
S
Таким образом, двум векторам: силе и перемещению оказался
сопоставлен скаляр – работа.
Этот скаляр А и называется скалярным произведением силы
перемещение S
F на
Скалярным произведением двух векторов называется
произведение модулей этих векторов на косинус угла между ними.

3. Скалярное произведение векторов

Скалярное произведение двух векторов
a и b обозначатся:
a b a b cos
Если векторы
a и b не нулевые:
a b 0
ПР
cos
a a b
a b a bПР
cos
b b aПР
b
a
a a a a cos 0o
a a
2
2
ПРb a
Скалярный квадрат
вектора
равен
квадрату его модуля:
Законы скалярного произведения
1) a b b a
2)
(a b ) c a c b c
3) (a b ) ( a ) b a ( b )
a b

4. Скалярное произведение векторов

Для координатных ортов декартовой системы координат
справедливо:
i i j j k k 1
i j i k j k 0
Пусть в декартовой прямоугольной системе координат заданы
векторы:
a x1 i y1 j z1 k
b x2 i y 2 j z2 k
Найдем скалярное произведение:
a b x1 i y1 j z1 k x2 i y 2 j z2 k
k0 i y z 0j k z z k1
x1x2 i12 y1x2 i0 j z1x2 i 0 k x1y 2 j0 i y1y 2 j12
z1y 2 0
j k x1z2
2
1 2
1 2
a b x1 x2 y1 y 2 z1 z2

5. Скалярное произведение векторов

Из формулы скалярного произведения векторов следует формула
для нахождения угла между векторами:
a b
cos
a b
x1 x 2 y 1 y 2 z1 z2
x12 y 12 z12 x 22 y 22 z22
Найти косинус угола между векторами:
a b 1 6 2 4 3 2 8
a i 2 j 3k
b 6i 4 j 2k
a 12 22 3 2 14
b 62 42 2 56 2 14
8
2
cos
14 2 14 7
2

6. Векторное произведение векторов

левой
Тройка некомпланарных векторов a; b; c называется правой
если наименьший поворот с конца третьего вектора c от первого
вектора a ко второму вектору b виден против
часовой стрелки
по
c
c
b
a
a
c
b
a b
Векторным произведением вектора a на вектор b называется
вектор c , определяемый следующим образом:
c a b sin( a ; b ) .
c a; c b
Вектор
c направлен так, что тройка векторов a; b ; c — правая.

7. Векторное произведение векторов

Модуль вектороного произведения равен площади
параллелограмма, построенного на перемножаемых векторах
S c a b sin
c
b
a
a b 0
a II b
Законы векторного произведения
1) a b b a
2)
a b c a b a c
3) (a b ) ( a ) b a ( b )
4)
a a 0 — векторный квадрат равен нулю для любого вектора

8. Векторное произведение векторов

Для координатных ортов декартовой системы координат
справедливо: i i j j k k 0
i j k
k
i
j
j k i
k i j
+
k 90 0 j0 1
j i k k i — j sin
i j k sin 90 0 1
i sin 90 1
k j i k j i ; kk
ji
i j; i k
; j i
i k j i ; j ;jk kправая
тройка
j ; k ; i правая тройка
k ; i ; j правая тройка
двух разноименных
Векторное произведение
ортов, следующих друг за другом в направлении
положительного
обхода
окружности,
равно
Пусть
в
декартовой
прямоугольной
системе
заданы
третьему
орту
со
знаком
плюс,координат
в
векторы:
противоположном же случае — знаком минус.
a x1 i y1 j z1 k
b x2 i y 2 j z2 k
Найдем векторное произведение:

9. Векторное произведение векторов

x x i 0 i y x
j ki z x k j i x y i
k j
y y j0 j z y k i j x z i jk
y z ji k z z 0k k
a b x1 i y1 j z1 k x2 i y 2 j z2 k
1
1
2
1
2
1
1
2
2
1
2
1
1
2
1
2
2
2
y1x2 k z1x2 j x1y 2 k z1y 2 i x1z2 j y1z2 i
y1
z1
x1
z1
x1
y1
y2
z2
x2
z2
x2
y2
y1z2 z1y 2 i x1z2 z1x2 j x1y 2 y1x2 k
i
j
k
a b x1 y 1 z1
x 2 y 2 z2

10. Векторное произведение векторов

Найти векторное произведение векторов:
a 2i 3 j k
i
j
b 3i j 4k
k
a b 2 3 1
3 1 4
3
1
1 4
i
2
1
3
4
j
2
3
3
1
k
12 1 i 8 3 j 2 9 k 11i 5 j 7k

11. Векторное произведение векторов

Найти площадь треугольника с вершинами:
A 2; 3; 1
B 5; 6; 3
C 7; 1; 10
В
Найдем координаты векторов:
AB 5 2; 6 3; 3 1 3; 3; 2
AC 7 2; 1 3; 10 1 5; 2; 9
S
А
1
a b
2
i
a b 3
j
k
3
2 31i 17 j 21k
5 2 9
1
1
2
2
2
1691 20.6
S
31 ( 17) ( 21)
2
2
С

12. Смешанное произведение векторов

Векторно — скалярным или смешанным произведением трех
векторов a; b; c называется произведение, которое получается
скалярным умножением векторного произведения двух векторов
на третий вектор, т.е. произведение вида:
a b c
Смешанное произведение представляет собой скаляр. Выясним
его геометрический смысл.
d c
h b
h
V
a
Построим
на d
векторах
Обозначим:
, ; b; c
a h высоту
ba
Обозначим
через
параллелепипед,
тогда
площадь основанием,
параллелепипеда,
тогда
которого
c
cos
будем
считать
основания
будет
равна:
объем будет
равен:
параллелограмм со
сторонами
d cVS cos
a
Sd; b h. dd ch
V (a b ) c

13. Смешанное произведение векторов

Смешанное произведение трех векторов равно объему
параллелепипеда, построенного на этих векторах в том случае,
если векторы a; b; c образуют правую тройку векторов (как в
предыдущем примере).
В случае, если векторы образуют левую тройку, то смешанное
произведение равно объему параллелепипеда, взятому со знаком
«-»:
a b c V
Таким образом, объем параллелепипеда, построенного на трех
векторах, всегда равен абсолютной величине их смешанного
произведения:
V a b c

14. Смешанное произведение векторов

Законы смешанного произведения
1) Сочетательный закон следует из геометрического
смысла смешанного произведения:
a b c a (b c )
V a (b c )
V a b c
Учитывая сочетательный закон, смешанное произведение
обозначают: (a ; b ; c ) или a b c .
2) Закон круговой переместительности:
a b c b c a c a b a c b c b a b a c
c
b
a
При перестановке множителей не нарушающей их кругового
порядка, смешанное произведение не меняется, при
перестановке же множителей, нарушающей круговой
порядок, смешанное произведение меняет свой знак

15. Смешанное произведение векторов

3) Распределительный закон
a
1
a2 b c a1b c a2b c
abc 0
a ; b ; c компланарны
В частности, смешанное произведение равно нулю, если в нем
два множителя одинаковы: a a c 0
Пусть в декартовой прямоугольной системе координат заданы
векторы:
a x1 i y1 j z1 k
c x3 i y 3 j z3 k
b x2 i y 2 j z2 k

16. Смешанное произведение векторов

i
j
k
y2
b c x 2 y 2 z2
y3
x3 y 3 z3
a (b c )
y2
z2
y3
z3
x1
z2
z3
i
x2
z2
x3
z3
x1 y 1 z1
a b c x 2 y 2 z2
x 3 y 3 z3
x2
z2
x3
z3
y1
j
x2
y2
x3
y3
x2
y2
x3
y3
z1
k

17. Смешанное произведение векторов

Найти объем треугольной пирамиды с вершинами:
A 2; 2; 2 B 4; 3; 3 C 4; 5; 4 D 5; 5; 6
А
Найдем координаты векторов:
AB 4 2; 3 2; 3 2 2; 1; 1
D
AC 4 2; 5 2; 4 2 2; 3; 2
AD 5 2; 5 2; 6 2 3; 3; 4
2 1 1
0
0 1
AB AC AD 2 3 2 2
3 3 4
1
V abc
6
1
2
5 1 4
В
С
2
1
5 1
7
Объем треугольной
7 пирамиды
равен 1/6 части
V параллелепипеда,
6
построенного на векторах
a; b ; c

Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения.

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра

Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса

Подробнее

Введение в линейную алгебру

Введение в линейную алгебру Матрицы. Определение. Таблица m n чисел вида m m n n mn состоящая из m строк и n столбцов называется матрицей. Элементы матрицы нумеруются аналогично элементам определителя

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 6 СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ 1. Скалярное произведение Определение 1. Углом ϕ между векторами a и b называется тот из углов, образованный

Подробнее

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).

Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется

Подробнее

Аналитическая геометрия. Лекция 1.4

Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция

Подробнее

Геометрические векторы

Геометрические векторы Определение Вектором называется направленный отрезок начальной точкой А и конечной точкой В (который можно перемещать параллельно самому себе) Если начало вектора — точка А, а его

Подробнее

4. Координаты вектора

4. Координаты вектора ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Коэффициенты в разложении вектора по базису называются координатами этого вектора в данном базисе. Декартовой прямоугольной системой координат в пространстве называют

Подробнее

Основы векторной алгебры

) Понятие вектора и линейные операции над векторами ) Скалярное произведение векторов ) Векторное и смешанное произведение векторов 4) Выражение линейных операций и произведений векторов в декартовой системе

Подробнее

Лекция 6. Геометрические векторы.

Лектор Гущина Елена Николаевна, кафедра Высшей математики 2. Лекция 6. Геометрические векторы. Вектор как направленный отрезок. Сложение векторов и умножение вектора на число. Свойства линейных операций.

Подробнее

a b и вычисляемое по формуле a b a b cos

2. Векторная алгебра В 2 представлены три типа задач на векторы, охватывающие скалярное, векторное и смешанное произведения векторов. Каждый тип задач составлен в 12 вариантах. 2.1.Основные формулы для

Подробнее

Аналитическая геометрия. Лекция 1.5

Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция

Подробнее

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЗАНЯТИЕ МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Дать определение матрицы Классификация матриц по размерам Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными?

Подробнее

a + x = a + ( ( a) + b ) = ( a + ( a) ) + b = 0 + b = b.

ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» А.Н. Канатников, А.П. Крищенко

Подробнее

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ

Оглавление 1. Векторы. Действия над векторами 4 2. Скалярное произведение векторов 14 3. Векторное произведение векторов 19 4. Смешанное произведение векторов 24 5. Прямая на плоскости 28 6. Плоскость

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 3 ВЕКТОРЫ 1. Определение вектора. Свободные и скользящие векторы Дадим определение направленного отрезка. Определение 1. Отрезок, концы которого упорядочены, называется

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 5 СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 1. Проекция вектора на ось Дадим определение. Определение 4. Осью называется прямая, на которой указано направление. Рис. 1. Ось. Пусть A и B это

Подробнее

Базис. Координаты вектора в базисе

Тема 0 Базис Существование и единственность разложения вектора по базису Координатное представление векторов Действия с векторами в координатном представлении Необходимое и достаточное условие линейной

Подробнее

Элементы высшей математики

Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 5 Элементы аналитической геометрии на плоскости

Подробнее

Высшая математика для психологов

Саратовский государственный университет им Н Г Чернышевского Галаев СВ, Шевцова ЮВ Высшая математика для психологов Часть (Линейная алгебра и аналитическая геометрия) Саратов 00 СОДЕРЖАНИЕ Глава Векторная

Подробнее

Уравнения прямой и плоскости

Уравнения прямой и плоскости Уравнение прямой на плоскости.. Общее уравнение прямой. Признак параллельности и перпендикулярности прямых. В декартовых координатах каждая прямая на плоскости Oxy определяется

Подробнее

Тема 1-13: Скалярное произведение векторов

Тема 1-13: Скалярное произведение векторов А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт естественных наук и математики Департамент математики, механики и компьютерных наук Алгебра и геометрия

Подробнее

5. Система координат. Координаты точки

5. Система координат. Координаты точки 1. Понятие системы координат Определение. Системой координат в пространстве (на плоскости) называется совокупность базиса пространства (соответственно базиса плоскости)

Подробнее

УДК [ ](075.8) ISBN ISBN УДК [ ](075.8)

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА Учебное пособие МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

Подробнее

) — с координатами O M в O x

Преобразования на плоскости Преобразования в пространстве 3 Выражение направляющих косинусов в матричной форме Преобразования на плоскости Пусть на плоскости координат Oxy и O. P заданы две правые декартовы

Подробнее

В чем разница между скалярным произведением и векторным произведением? — Restaurantnorman.com

В чем разница между скалярным произведением и векторным произведением?

Основное различие между скалярной и векторной величиной состоит в том, что скалярная величина просто связана с величиной любой величины. Векторная величина определяется как величиной, так и направлением физической величины.

Что такое скалярное произведение?

: действительное число, которое является произведением длин двух векторов и косинуса угла между ними.- называется также скалярным продуктом, внутренним продуктом.

Как найти скалярное произведение вектора?

Это формула, которую мы можем использовать для вычисления скалярного произведения, когда нам заданы декартовы компоненты двух векторов. Обратите внимание, что это полезный способ запомнить: умножить i компонентов вместе, умножить j компонентов вместе, умножить k компонентов вместе и, наконец, сложить результаты.

Скалярное произведение — скалярное или векторное?

Скалярное произведение, также называемое скалярным произведением двух векторов s — это число (скалярная величина), полученное путем выполнения определенной операции над компонентами вектора.Скалярное произведение имеет значение только для пар векторов, имеющих одинаковое количество измерений. Символ скалярного произведения — жирная точка ().

Почему скалярное произведение не является вектором?

5 ответов. Нет, другого вектора он не дает. Он дает произведение длины одного вектора на длину проекции другого. Это скаляр.

Что означает скалярный продукт 0?

Скалярное произведение двух векторов — это произведение их длин на косинус угла между ними.Если скалярное произведение равно 0, то либо длина одного, либо обоих равна 0, либо угол между ними равен 90 градусам.

Всегда ли скалярное произведение положительно?

Ответ: Скалярным произведением может быть любое действительное значение, включая отрицательное и нулевое. Скалярное произведение равно 0, только если векторы ортогональны (образуют прямой угол).

Что такое скалярное произведение?

Алгебраически скалярное произведение — это сумма произведений соответствующих записей двух последовательностей чисел.Геометрически это произведение евклидовых величин двух векторов и косинуса угла между ними. Эти определения эквивалентны при использовании декартовых координат.

Что делать, если скалярное произведение отрицательное?

скалярное произведение) Если скалярное произведение отрицательное, то угол больше 90 градусов, и один вектор имеет компонент, противоположный другому. Таким образом, простой знак скалярного произведения дает информацию о геометрическом соотношении двух векторов.

Что означает скалярный продукт 1?

Если скалярное произведение двух векторов равно 1, это означает, что векторы находятся в одном направлении, а если оно равно -1, то векторы находятся в противоположных направлениях.

Что такое скалярное произведение единичного вектора i и i?

Скалярное произведение между единичным вектором и самим собой также просто вычислить. Учитывая, что все векторы имеют длину один, точечные произведения равны i⋅i = j⋅j = k⋅k = 1.

Почему используется скалярное произведение?

Скалярное произведение по существу говорит нам, какая часть вектора силы приложена в направлении вектора движения.Скалярное произведение также может помочь нам измерить угол, образованный парой векторов, и положение вектора относительно осей координат.

Скалярный продукт — это то же самое, что и внутренний продукт?

Скалярное произведение — это имя, данное внутреннему произведению в конечномерном евклидовом пространстве. Для такого пространства все термины означают одно и то же, но для нас может быть лучше использовать тот или иной термин в разных контекстах.

Является ли внутреннее произведение скаляром?

Внутренний продукт — это обобщение скалярного произведения.В векторном пространстве это способ умножения векторов вместе с результатом этого умножения, являющимся скаляром.

Что такое векторное произведение двух векторов?

Обозначается знаком ×. Перекрестное произведение двух векторов — это вектор. Рассмотрим два вектора, обозначенные как. Пусть произведение (также вектор) этих двух векторов обозначено как… .Распределительное свойство.

Ссылки по теме ФИЗИКА
разница между двухтактным и четырехтактным двигателем определение контактного усилия

Что такое векторное произведение и его свойства?

: вектор c, длина которого является произведением длин двух векторов a и b и синуса их включенного угла, направление которого перпендикулярно их плоскости, и направление — это то, в котором правый винт вращается от к b по оси c будет двигаться.

Как создать вектор продукта?

Величину векторного произведения двух векторов можно построить, взяв произведение величин векторов на синус угла (<180 градусов) между ними. Величина векторного произведения может быть выражена в форме:, а направление задается правилом правой руки.

Какая польза от векторного продукта?

Используя произведение векторов, найдите вектор, перпендикулярный двум заданным векторам. Одно из распространенных применений векторного произведения — найти вектор, перпендикулярный двум заданным векторам.Два вектора не должны быть равны нулю и не должны быть параллельны.

Что произойдет, если вы произведете скрещивание одного и того же вектора?

кросс-произведение. Поскольку два идентичных вектора образуют вырожденный параллелограмм без площади, перекрестное произведение любого вектора на себя равно нулю… A × A = 0. Применение этого следствия к единичным векторам означает, что перекрестное произведение любого единичного вектора на себя равно нулю.

Можете ли вы перемножить два вектора?

Точечное произведение — также известное как «скалярное произведение», операция, которая берет два вектора и возвращает скалярную величину.Скалярное произведение двух векторов может быть определено как произведение величин двух векторов и косинуса угла между двумя векторами.

Каково произведение i и j?

Мы можем использовать эти свойства вместе с перекрестным произведением стандартных единичных векторов, чтобы записать формулу для перекрестного произведения в терминах компонентов. Поскольку мы знаем, что i × i = 0 = j × j и что i × j = k = −j × i, это быстро упрощается до a × b = (a1b2 − a2b1) k = | a1a2b1b2 | k.

Является ли I J K единичным вектором?

i, j и k обычно используются для обозначения взаимно перпендикулярных единичных векторов в трехмерном пространстве.Их называют базисными векторами.

Сколько стоит крестик I?

Значение i cap × i cap равно 0. Следовательно, значение i cap × i cap равно 0.

Что такое класс единичного вектора 11?

Единичный вектор — это вектор единичной величины и определенного направления. Они указывают только направление. У них нет размерности и единицы измерения. В прямоугольной системе координат оси x, y и z представлены единичными векторами î, ĵ и k̂

Единичный вектор, векторное скалярное произведение, векторное векторное произведение, тройное произведение, тройное скалярное произведение

Единичный вектор. Любой вектор A может быть представлен величиной вектора | A | умноженный на единичный вектор, записанный как a n

Так A = | A | а .

Единичный вектор имеет направление основного вектора единичной величины. Это отношение самого вектора к его величине.

Таким образом, величина единичного вектора равна единице.

Скалярное произведение двух векторов :

Точечное произведение двух векторов — это скалярная величина, значение которой равно произведению величин двух векторов и косинуса угла между ними.

A и B — два вектора, имеющих угол θ между собой, скалярное произведение между A и B равно

A.B = ABcosθ

Операция скалярного произведения состоит в умножении величины одного вектора на скаляр, полученный путем проецирования второго вектора на первый вектор.

Законы скалярного произведения:

Операция скалярного произведения коммутативна

A.B = B.A .

Dot product также подчиняется закону о дистрибьюции

A. (B + C) = A.B + A.C

Также A.A = A 2

Вектор или кросс-произведение двух векторов :.

Перекрестное или векторное произведение двух векторов A и B — это еще один вектор, величина которого

является произведением величин A и B и синуса угла тета между A и B , и направление которого является направлением правого винта при его повороте от A к B через тета.

Таким образом,

A x B = | A || B |} син тета

В векторном произведении ассоциативный закон не выполняется

(A x B) x C не равно A x (B x C)

, но закон о распределении удерживает

А х (В + С) = А х В + А х С

Примером перекрестного произведения является сила, действующая на проводник с током, помещенный в магнитное поле,

Произведение тройного креста.

Тройное перекрестное произведение включает три вектора, и в результате получается вектор.

A x (B x C) не равно (A x B) x C

Скалярное тройное произведение

Он включает в себя три вектора в операции скалярного произведения и операцию перекрестного произведения, равную

A.B x C = B.C x A = C.A x B

Ссылка: Эти статьи взяты из моей авторской книги «Концепции теории электромагнитного поля», имеющей ISBN 978-81-272-5245-8. Попробуйте сделать фигурки произведений векторов. В случае каких-либо сомнений в этой статье или любой другой статье, связанной с EMFT или физикой, просьба оставить сообщение в разделе комментариев.

Просмотры сообщений: 325

векторов и скаляров

векторов и скаляров

Прежде чем углубляться в детали алгоритма трассировки лучей, читатель должен хорошо разбираться в векторах и скалярах. Если вы уже чувствуете себя комфортно с векторами, скалярами и математическими операциями с ними, такими как сложение и вычитание векторов, умножение вектора на скаляр, а также векторные скалярные произведения и перекрестные произведения, то вы можете пропустить эту главу и по-прежнему понимать последующие материал.Эта глава не предназначена для исчерпывающего рассмотрения векторных концепций, а просто как краткое изложение тем, которые нам необходимы для понимания трассировки лучей.

4.1 Скаляры

Скаляр — это число, например 3,7 $ или -14,25 $. Скаляр может быть отрицательным, положительным или нулевым. Мы используем слово «скаляр» для описания таких чисел в первую очередь, чтобы мы могли отличить их от векторов.

4.2 Векторы

Вектор — это тройка чисел, которые могут представлять положение точки в трехмерном пространстве или направление в пространстве от заданной начальной точки.Вектор записывается как $ (x, y, z) $, где $ x $, $ y $ и $ z $ — действительные числа, называемые компонентами или координатами . Компоненты $ x $, $ y $ и $ z $ указывают, как далеко и в каком направлении нужно пройти по трем перпендикулярным линиям, чтобы добраться до точки. Перпендикулярные линии называются осями (множественное число; единственное число — ось ).

Начальная точка пересечения осей $ x $, $ y $ и $ z $ называется исходной точкой .В начале координат все значения $ x $, $ y $ и $ z $ равны нулю, поэтому начало координат можно записать как $ (0, 0, 0) $. На рисунке 4.1, начиная с начала координат $ \ mathbf {O} $, вектор $ \ mathbf {P} = (3, 2, 1) $ переводит нас на 3 единицы вправо (или «на восток», если хотите), 2 единицы к верху страницы («север») и 1 единицу прямо от страницы к вам («вверх»).

Рисунок 4.1: Вектор $ \ mathbf {P} = (3,2,1) $. Начало координат помечено $ \ mathbf {O} $.

Обратите внимание, что мы можем смотреть на оси $ x $, $ y $ и $ z $ с разных точек зрения. Например, мы могли бы позволить $ x $ указывать на юго-восток, а $ y $ указывать на северо-восток. Но не только оси $ x $, $ y $ и $ z $ должны быть под прямым углом друг к другу, но и направления, на которые указывают любые две оси, определяют направление, которое должна указывать третья ось. Легкий способ визуализировать это требование — представить, что ваша голова находится в начале координат и что вы смотрите в направлении оси $ x $, а верхняя часть головы указывает в направлении оси $ y $.В этом случае ось $ z $ должна указывать вправо; нельзя указывать налево. Это соглашение является произвольным, но его последовательное следование необходимо в математике и алгоритмах; в противном случае некоторые векторные операции дадут неправильные ответы. (См. Также статью Википедии Правило правой руки .)

4.3 Сложение вектора

Предположим, что мы начнем с исходной точки, но на этот раз совершим немного более сложное путешествие.

Рисунок 4.2: Сложение векторов $ \ mathbf {A} = (2,2,1) $ и $ \ mathbf {B} = (2, -1, -1) $.

Сначала мы следуем вектору $ \ mathbf {A} $, чтобы переместиться на 2 единицы на восток, на 2 единицы на север и на 1 единицу вверх. Затем, начиная с этой точки, мы перемещаемся по вектору $ \ mathbf {B} $ и перемещаемся еще на 2 единицы на восток, на одну единицу на юг (то же самое, что и на $ -1 $ единиц на север) и на 1 единицу вниз (на $ -1 $ единиц вверх. ). Мы оказываемся в месте, указанном путем добавления соответствующих компонентов $ x $, $ y $ и $ z $ векторов $ \ mathbf {A} $ и $ \ mathbf {B} $, а именно $ (2 + 2, 2 + (- 1), 1 + (- 1)) = (4, 1, 0) $.(См. Рис. 4.2.) Если мы назовем нашу конечную позицию $ \ mathbf {C} $, мы можем кратко записать в векторной записи, что

\ [ \ mathbf {A} + \ mathbf {B} = \ mathbf {C} \]

или

\ [ (2, 2, 1) + (2, -1, -1) = (4, 1, 0). \]

Не имеет значения, поменяли ли мы порядок векторов на противоположное — если бы мы пошли от начала координат в направлении, указанном вектором $ \ mathbf {B} $, сначала, а затем оттуда в направлении, указанном $ \ mathbf {A } $ vector, мы все равно окажемся в $ \ mathbf {C} $.Таким образом, векторы, добавленные в любом порядке, $ \ mathbf {A} + \ mathbf {B} $ или $ \ mathbf {B} + \ mathbf {A} $, всегда дают один и тот же результат, точно так же, как скаляры могут быть добавлены в любом порядке. для получения того же скалярного результата. Выражаясь в более формальных математических терминах, сложение векторов и скалярное сложение являются коммутативными и . В общем, если

\ [ \ mathbf {A} = (A_x, A_y, A_z) \]

и

\ [ \ mathbf {B} = (B_x, B_y, B_z) \]

, затем

\ [ \ mathbf {A} + \ mathbf {B} = (A_x + B_x, A_y + B_y, A_z + B_z).\]

4.4 Вычитание вектора

Точно так же мы можем определить вычитание вектора на

\ [ \ mathbf {A} — \ mathbf {B} = (A_x — B_x, A_y — B_y, A_z — B_z). \]

Одна полезная интерпретация вычитания вектора состоит в том, чтобы представить, что он начинается в начале координат и движется вдоль вектора $ \ mathbf {A} $ (как мы делали ранее для сложения векторов), но затем движется в противоположном направлении, как указано в $ \ mathbf {B } $. Например, повторно используя $ \ mathbf {B} = (2, -1, -1) $, мы переместимся на 2 единицы на запад (вместо востока), на 1 на север (вместо юга) и на 1 единицу вверх ( вместо вниз), чтобы получить $ (2-2, 2 — (- 1), 1 — (- 1)) = (0, 3, 2) $, помеченное как $ \ mathbf {D} $ на рисунке 4. .3.

Рисунок 4.3: Вычитание вектора: $ \ mathbf {D} = \ mathbf {A} — \ mathbf {B} = \ mathbf {A} + (- \ mathbf {B}) $.

Другая важная интерпретация вычитания векторов заключается в том, что оно вычисляет вектор, который переносит нас из одного места в другое. Предположим, мы находимся в точке $ \ mathbf {E} = (1, 3, 0) $ и хотим знать, как добраться до точки $ \ mathbf {F} = (5, 2, 0) $.Другой способ задать этот вопрос — спросить, какой вектор $ \ mathbf {G} $ такой, что $ \ mathbf {E} + \ mathbf {G} = \ mathbf {F} $? В алгебре со скалярами мы могли бы вычесть $ \ mathbf {E} $ из обеих частей уравнения и определить, что $ \ mathbf {G} = \ mathbf {F} — \ mathbf {E} $. Оказывается, этот подход справедлив и применительно к векторам. Итак, в нашем текущем примере $ \ mathbf {G} = \ mathbf {F} — \ mathbf {E} = (5, 2, 0) — (1, 3, 0) = (5-1, 2-3, 0-0) = (4, -1, 0) $. Глядя на рисунок 4.4, становится логичным, что если мы начнем с $ \ mathbf {E} $, переместимся на 4 единицы на восток, на 1 на юг и 0 единиц вверх, мы окажемся в $ \ mathbf {F} $.

Рисунок 4.4: Чтобы добраться из $ \ mathbf {E} $ в $ \ mathbf {F} $, перейдите на $ \ mathbf {G} = \ mathbf {F} — \ mathbf {E} $.

4,5 Скаляры, умноженные на векторы

Предположим, мы хотим начать с начальной точки $ (0, 0, 0) $ и двигаться в направлении некоторого вектора $ \ mathbf {A} $, но продвинуться 3 раза до $ \ mathbf {A} $. ? Основываясь на том, что мы уже видели, мы можем вычислить $ \ mathbf {A} + \ mathbf {A} + \ mathbf {A} $.Если бы мы имели дело со скалярной величиной, мы бы сразу смогли упростить это как $ \ mathbf {A} + \ mathbf {A} + \ mathbf {A} = 3 \ mathbf {A} $. Это работает для векторов? Давайте разберемся.

\ begin {align *} & \ mathbf {A} + \ mathbf {A} + \ mathbf {A} \\ = & (A_x, A_y, A_z) + (A_x, A_y, A_z) + (A_x, A_y, A_z) \\ = & (A_x + A_x + A_x, A_y + A_y + A_y, A_z + A_z + A_z) \\ = & (3 A_x, 3 A_y, 3 A_z) \ end {align *}

Если мы позволим себе записать окончательный вектор как $ (3 A_x, 3 A_y, 3 A_z) = 3 \ mathbf {A} $, то мы получим поведение для векторов, которое соответствует знакомым правилам скалярной алгебры.В общем, мы определяем умножение скаляра $ u $ и вектора $ \ mathbf {A} $ как

\ [ u \ mathbf {A} = u (A_x, A_y, A_z) = (u A_x, u A_y, u A_z) \]

, где $ u $ — любое скалярное значение, отрицательное, положительное или нулевое. Если $ u = 0 $, результирующий продукт $ u \ mathbf {A} = (0,0,0) $, независимо от значений $ A_x $, $ A_y $ и $ A_z $. Еще один способ подумать об этом: движение ноль раз в любом направлении — это то же самое, что не двигаться вообще. Умножение $ u = -1 $ на вектор аналогично перемещению на то же расстояние, что и этот вектор, но в противоположном направлении.Мы можем записать $ (- 1) \ mathbf {A} $ более кратко, как $ — \ mathbf {A} $.

4.6 Величина вектора

Иногда у нас есть вектор, и нам нужно знать его длину. Длина вектора называется величиной . Математики выражают величину вектора, записывая его между двумя вертикальными чертами. Таким образом, величина вектора $ \ mathbf {A} $ записывается так: $ \ lvert \ mathbf {A} \ rvert $. $ \ lvert \ mathbf {A} \ rvert $ — это скаляр, потому что это просто простое число.2} = \ sqrt {14} = 3,7416 … \]

4.7 Единичные векторы

Иногда будет удобно использовать вектор для задания направления в пространстве, требуя, чтобы величина вектора была точно равна 1. 2} $.(В этом тексте я буду использовать строчную букву с кареткой над ней для обозначения единичных векторов, поэтому, если вы видите переменную вроде $ \ hat {v} $, вы можете предположить, что $ \ lvert \ hat {v} \ rvert = 1 $.) Единственный случай, когда вышеприведенная формула величины не работает, — это когда $ \ mathbf {A} = (0, 0, 0) $, потому что в конечном итоге мы попытаемся разделить на 0. Имеет смысл, что $ (0 , 0, 0) $ не «указывает» в каком-либо конкретном направлении, поэтому это тот случай, когда становится бессмысленным говорить о связанном единичном векторе.

4.8 Векторных точечных произведений

Полезный вопрос, который мы можем задать о двух разных векторах $ \ mathbf {A} $ и $ \ mathbf {B} $: указывают ли $ \ mathbf {A} $ и $ \ mathbf {B} $ в одном направлении, противоположные направления, перпендикулярны ли они друг другу или где-то между этими частными случаями? Есть удивительно простой способ ответить на этот вопрос, хотя объяснение того, почему он работает, выходит за рамки этой книги.

Умножая каждый из трех компонентов $ \ mathbf {A} $ на соответствующий компонент $ \ mathbf {B} $ и складывая три результирующих произведения, мы получаем сумму, называемую скалярным произведением векторов $ \ mathbf {A} $ и $ \ mathbf {B} $, названные так потому, что математики ставят между ними точку «$ \ cdot $»:

\ [ \ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {B} = (A_x, A_y, A_z) \ cdot (B_x, B_y, B_z) = A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z \]

Обратите внимание, что хотя $ \ mathbf {A} $ и $ \ mathbf {B} $ оба являются векторами, их скалярное произведение является скаляром.По этой причине некоторые авторы будут называть эту операцию скалярным произведением двух векторов. Оказывается, что если $ \ mathbf {A} $ и $ \ mathbf {B} $ перпендикулярны друг другу, то их скалярное произведение $ \ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {B} $ будет равно 0. Как просто Например, рассмотрим векторы $ (3, 2, 0) $ и $ (2, -3, 0) $. Их скалярное произведение: $ (3, 2, 0) \ cdot (2, -3, 0) = (3) (2) + (2) (- 3) + (0) (0) = 0 $. Если угол между двумя векторами меньше $ 90 ° $, их скалярное произведение является положительным числом.Если угол больше $ 90 ° $, скалярное произведение отрицательное. Таким образом, скалярные произведения полезны для определения того, являются ли два вектора перпендикулярными, примерно указывающими в одном направлении или примерно указывающими в противоположных направлениях.

Точечные произведения также зависят от величин двух векторов: предполагая, что скалярное произведение не равно нулю (случай, когда векторы не перпендикулярны), чем больше величина $ \ mathbf {A} $ или $ \ mathbf {B } $ есть, тем больше становится скалярное произведение.Все эти факты резюмируются следующим уравнением, которое связывает угол между любыми двумя векторами и их соответствующие величины.

\ [ \ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {B} = \ lvert \ mathbf {A} \ rvert \ lvert \ mathbf {B} \ rvert \ cos (\ theta) \]

, где $ \ theta $ — угол между $ \ mathbf {A} $ и $ \ mathbf {B} $. Если вы плохо разбираетесь в тригонометрии, часть $ \ cos (\ theta) $ читается как «косинус теты». На данный момент все, что вам нужно знать, это то, что:

  • $ \ cos (0 °) = 1 $
  • $ \ cos (\ theta) $ находится между 0 и 1, когда $ \ theta $ находится между $ 0 ° $ и $ 90 ° $.
  • $ \ cos (90 °) = 0 $
  • $ \ cos (\ theta) $ находится между 0 и $ -1 $, когда $ \ theta $ находится между $ 90 ° $ и $ 180 ° $.
  • $ \ cos (180 °) = -1 $

Я объясню функции тригонометрии косинуса и синуса более подробно позже.

4.9 Векторные перекрестные произведения

Еще один важный вопрос, на который нам нужно будет ответить о двух векторах: какие направления в пространстве перпендикулярны обоим векторам? Этот вопрос не во всех случаях имеет смысл. Если какой-либо из векторов имеет нулевую величину (т.е. равен $ (0,0,0) $), нет значимого понятия, что другой вектор параллелен или перпендикулярен ему. Кроме того, если угол между двумя векторами составляет $ 0 ° $ (они оба указывают в одном и том же направлении) или $ 180 ° $ (они указывают точно в противоположных направлениях, как показано на рисунке 4.5) существует бесконечное количество направлений, перпендикулярных обоим.

Рисунок 4.5: Бесконечное количество векторов перпендикулярно паре векторов $ \ mathbf {A} $ и $ \ mathbf {B} $, которые указывают в противоположных направлениях.

Но если оба вектора имеют положительные величины и угол между ними находится где-то между $ 0 ° $ и $ 180 ° $, тогда существует уникальная плоскость, которая проходит через оба вектора.Чтобы третий вектор указывал в направлении, перпендикулярном как $ \ mathbf {A} $, так и $ \ mathbf {B} $, этот вектор должен быть перпендикулярен этой плоскости. На самом деле таких направлений всего два, и они лежат по разные стороны плоскости. Если вектор $ \ mathbf {C} $ указывает в одном из этих перпендикулярных направлений, то $ — \ mathbf {C} $ указывает в другом, как показано на рисунке 4.6.

Рисунок 4.6: Есть два направления $ \ mathbf {C} $ и $ — \ mathbf {C} $, перпендикулярные плоскости двух непараллельных векторов $ \ mathbf {A} $ и $ \ mathbf {B} $.

Нахождение вектора типа $ \ mathbf {C} $ ответит на наш исходный вопрос, независимо от величины $ \ mathbf {C} $: он будет указывать в направлении под прямым углом как к $ \ mathbf {A} $, так и к $ \ mathbf {B} $.

Существует формула для вычисления перпендикулярного вектора $ \ mathbf {C} $ из любых двух векторов $ \ mathbf {A} $ и $ \ mathbf {B} $, хотя она сложнее формулы скалярного произведения.Он называется перекрестным произведением , названным в честь «$ \ times $» в традиционной математической записи «$ \ mathbf {A} \ times \ mathbf {B} $». Без вывода из этой книги, вот формула для перекрестного произведения:

\ begin {align *} \ mathbf {A} \ times \ mathbf {B} & = (A_x, A_y, A_z) \ times (B_x, B_y, B_z) \\ & = (A_y B_z — A_z B_y, A_z B_x — A_x B_z, A_x B_y — A_y B_x) \ end {align *}

Если мы позволим $ \ mathbf {C} = \ mathbf {A} \ times \ mathbf {B} $, тогда $ \ mathbf {C} $ будет указывать в направлении, показанном на рисунке 4.6. Перекрестное произведение, взятое в другом порядке, $ \ mathbf {B} \ times \ mathbf {A} $, указывает в противоположном направлении и фактически равно $ — \ mathbf {C} $. Чтобы визуализировать направление $ \ mathbf {C} = \ mathbf {A} \ times \ mathbf {B} $ для любых двух векторов $ \ mathbf {A} $ и $ \ mathbf {B} $, представьте, что вы ориентированы в пространстве. таким образом, что $ \ mathbf {A} $ находится справа от вас, а $ \ mathbf {B} $ — слева. (Для этого может потребоваться, чтобы ваше тело было повернуто боком или даже перевернуто, но, к счастью, это только ваше воображение!) Тогда $ \ mathbf {C} = \ mathbf {A} \ times \ mathbf {B} $ укажет на то же самое путь как макушка.Перекрестные произведения имеют одну общую черту с скалярными произведениями: они становятся «больше» по мере увеличения величины $ \ mathbf {A} $ или $ \ mathbf {B} $. Но перекрестное произведение — это вектор, а не скаляр, как скалярное произведение. Другое отличие состоит в том, что скалярное произведение двух перпендикулярных векторов равно нулю, но перекрестное произведение двух перпендикулярных векторов максимизирует величину их перекрестного произведения. Если и $ \ lvert \ mathbf {A} \ rvert> 0 $, и $ \ lvert \ mathbf {B} \ rvert> 0 $, единственный способ получить перекрестное произведение с нулевой величиной — это когда $ \ mathbf {A} $ и $ \ mathbf {B} $ указывают в одном и том же ($ 0 ° $) или прямо противоположном ($ 180 ° $) направлениях.Общая формула для величины перекрестного произведения

.

\ [ \ lvert \ mathbf {A} \ times \ mathbf {B} \ rvert = \ lvert \ mathbf {A} \ rvert \ lvert \ mathbf {B} \ rvert \ sin (\ theta) \]

Сравните это с формулой, связывающей скалярное произведение и включенный угол $ \ theta $. Так же, как $ \ cos (\ theta) $ равен нулю, когда $ \ theta = 90 ° $, $ \ sin (\ theta) $ равен нулю, когда $ \ theta = 0 ° $ или $ 180 ° $.

4.10 Синус и косинус: ускоренный курс

Если вы новичок в тригонометрии или когда-то знали это, но все забыли, этот раздел поможет.В тригонометрии много всего, но я расскажу только о самом главном, что вам понадобится для понимания тем о трассировке лучей, затронутых в этой книге. В частности, мы исследуем функции синуса и косинуса и узнаем простой способ визуализировать, что они означают.

Начнем с круга на плоскости $ xy $, радиус которого равен 1 единице и центрирован в начале координат $ (0, 0) $, как показано на рисунке 4.7.

Рисунок 4.7: Синус и косинус угла $ \ theta $

Если мы проведем линию под углом $ \ theta $, измеренным против часовой стрелки от оси $ + x $, и найдем точку $ \ mathbf {P} $, где эта линия пересекает круг, тогда $ \ cos (\ theta) $ будет координата точки $ x $ (как далеко $ \ mathbf {P} $ находится справа или слева от начала координат), а $ \ sin (\ theta) $ — координата точки $ y $ (как далеко $ \ mathbf {P } $ находится выше / ниже начала координат). Если $ \ mathbf {P} = (P_x, P_y) $, то $ P_x = \ cos (\ theta) $, читать «P sub x равно косинусу теты» и $ P_y = \ sin (\ theta) $, читать «P sub y равно синусу теты.»Итак, если вы хотите знать, например, когда $ \ cos (\ theta) $ равно нулю, спросите себя, под какими углами может быть $ \ theta $, чтобы $ \ mathbf {P} $ не находился ни слева, ни справа от origin. Если мы говорим о том, что $ \ theta $ представляет собой угол между двумя векторами, $ \ theta $ должен находиться в диапазоне $ 0 ° … 180 ° $, и, следовательно, для того, чтобы $ P_x $ был равен нулю, $ \ mathbf { P} $ должен быть в $ (0, +1) $, в результате чего $ \ theta $ будет $ 90 ° $.


Авторские права © 2013 Автор Дон Кросс. Все права защищены.

Правило произведения скалярных векторов

Пусть u будет вещественной функцией n переменных, и пусть v будет векторной функцией n переменных, функцией от переменных n до вектора размера n .Тогда у нас есть следующее правило продукта:

D ( uv ) = v D u + u D v.

Кажется странным, что первый член справа не D u v .

Функция uv — это функция от размеров n до размеров n , поэтому ее производная должна быть матрицей n на n . Таким образом, два члена справа должны быть матрицей n на n , и они есть.Но D u v — это матрица 1 на 1, поэтому она не имеет смысла в правой части.

Вот почему приведенное выше правило произведения выглядит странно: умножение на u — это скалярное произведение , а не матричное произведение. Иногда вы можете думать о действительных числах как о матрицах 1 на 1, и все работает нормально, но не здесь. Произведение uv не имеет смысла, если представить вывод u как матрицу 1 на 1. То же самое и с продуктом u D v .

Если вы думаете о v как о матрице n на 1 и D u как о матрице 1 на n , все работает. Если вы думаете о v и D u как о векторах, то v D u — это внешнее произведение двух векторов. Вы можете думать о D и как о градиенте и , но убедитесь, что вы думаете о нем горизонтально, то есть как матрицу 1 на n . И, наконец, D ( uv ) и D v — это матрицы Якоби .

Обновление : Как указывает Харальд в комментариях, обычное правило произведения применяется, если вы записываете скалярно-векторное произведение uv как матричное произведение vu , где теперь мы — это , считая u как 1 на 1 матрицу! Теперь правило продукта выглядит правильно

D ( vu ) = D v u + v D u

, но произведение vu выглядит неправильно, потому что вы всегда пишете скаляры слева.Но здесь и не скаляр!

Точечное произведение и перекрестное произведение

Существует несколько способов умножения двух чисел.

Обычное повседневное умножение (например,) не всегда достаточно для физики. Если мы хотим перемножить два вектора (величины, которые имеют направление размера и ), например силу или скорость, то направление этих векторов имеет значение. Результат силы 3 Н, умноженной на силу 4 Н, будет зависеть от их относительных направлений: если они указывают в одном направлении, мы получим другой ответ, если они находятся под прямым углом друг к другу.

При умножении двух векторов физики используют одно из двух произведений: скалярное произведение или перекрестное произведение. И момент силы (крутящий момент), и работа, выполняемая силой, рассчитываются путем нахождения произведения силы и расстояния, но при вычислении выполненной работы используется скалярное произведение, а при вычислении момента силы используется перекрестное произведение.

Скалярное произведение дает скалярный ответ, ответ, который не имеет направления. Проделанная работа является скалярной величиной и не имеет направления, поэтому используется скалярное произведение.Перекрестное произведение дает векторный ответ, у которого есть направление (если вы когда-либо использовали правило левой руки Флеминга, чтобы найти силу, действующую на провод с током в магнитном поле, вы нашли перекрестное произведение этих двух векторов. ). Момент силы действительно имеет направление, отсюда и использование перекрестного произведения.

В отличие от «обычного» умножения и скалярного произведения, перекрестное произведение не коммутативно, т.е. имеет значение, в каком порядке вы умножаете величины. Если мы найдем перекрестное произведение двух сил, и тогда мы получим другой ответ, чем если бы мы нашли перекрестное произведение и, т. Е.е. . Это имеет смысл, если учесть векторную природу перекрестного произведения: вектор вправо, умноженный на вектор вверх, не должен давать тот же результат, что и вектор вверх, умноженный на вектор вправо: результат имеет ту же величину, но указывает в другом (противоположном) направлении.

alexxlab

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.