определения, свойства, формулы, примеры и решения

Определение векторного произведения

Перед тем, как дать понятие векторного произведения, обратимся к вопросу о ориентации упорядоченной тройки векторов a→, b→, c→ в трехмерном пространстве.

Отложим для начала векторы a→, b→, c→ от одной точки. Ориентация тройки a→, b→, c→ бывает правой или левой, в зависимости от направления самого вектора c→. От того, в какую сторону осуществляется кратчайший поворот от вектора a→ к b→ с конца вектора c→, будет определен вид тройкиa→, b→, c→.

Если кратчайший поворот осуществляется против часовой стрелки, то тройка векторов a→, b→, c→ называется правой, если по часовой стрелке – левой.

Далее возьмем два не коллинеарных вектора a→ и b→. Отложим затем от точки A векторы AB→=a→ и AC→=b→. Построим вектор AD→=c→, который одновременно перпендикулярный одновременно и AB→ и AC→. Таким образом, при построении самого вектора AD→=c→ мы можем поступить двояко, задав ему либо одно направление, либо противоположное (смотрите иллюстрацию).

Упорядоченная тройка векторов a→, b→, c→ может быть, как мы выяснили правой или левой в зависимости от направления вектора.

Из вышесказанного можем ввести определение векторного произведения. Данное определение дается для двух векторов, определенных в прямоугольной системе координат трехмерного пространства.

Определение 1

Векторным произведением двух векторов a→ и b→ будем называть такой вектор заданный в прямоугольной системе координат трехмерного пространства такой, что:

• если векторы a→ и b→ коллинеарны, он будет нулевым;
• он будет перпендикулярен и вектору a→​​​​ и вектору b→ т.е. ∠a→c→=∠b→c→=π2 ;
• его длина определяется по формуле: c→=a→·b→·sin∠a→,b→;
• тройка векторов a→, b→, c→ имеет такую же ориентацию, что и заданная система координат.

Векторное произведение векторов a→ и b→ имеет следущее обозначение: a→×b→.

Координаты векторного произведения

Так как любой вектор имеет определенные координаты в системе координат, то можно ввести второе определение векторного произведения, которое позволит находить его координаты по заданным координатам векторов.

Определение 2

В прямоугольной системе координат трехмерного пространства векторным произведением двух векторов a→=(ax; ay; az) и b→=(bx; by; bz) называют вектор c→=a→×b→=(ay·bz-az·by)·i→+(az·bx-ax·bz)·j→+(ax·by-ay·bx)·k→, где i→, j→, k→ являются координатными векторами.

Векторное произведение можно представит как определитель квадратной матрицы третьего порядка, где первая строка есть векторы орты i→, j→, k→, вторая строка содержит координаты вектора a→, а третья – координаты вектора b→ в заданной прямоугольной системе координат, данный определитель матрицы выглядит так: c→=a→×b→=i→j→k→axayazbxbybz

Разложив данный определитель по элементам первой строки, получим равенство: c→=a→×b→=i→j→k→axayazbxbybz=ayazbybz·i→-axazbxbz·j→+axaybxby·k→==a→×b→=(ay·bz-az·by)·i→+(az·bx-ax·bz)·j→+(ax·by-ay·bx)·k→

Свойства векторного произведения

Известно, что векторное произведение в координатах представляется как определитель матрицы c→=a→×b→=i→j→k→axayazbxbybz, то на базе свойств определителя матрицы выводятся следующие свойства векторного произведения:

1. антикоммутативность a→×b→=-b→×a→;
2. дистрибутивность a(1)→+a(2)→×b=a(1)→×b→+a(2)→×b→ или a→×b(1)→+b(2)→=a→×b(1)→+a→×b(2)→;
3. ассоциативность λ·a→×b→=λ·a→×b→ или a→×(λ·b→)=λ·a→×b→, где λ — произвольное действительное число.

Данные свойства имеют не сложные доказательства.

Для примера можем доказать свойство антикоммутативности векторного произведения.

Доказательство антикоммутативности

По определению a→×b→=i→j→k→axayazbxbybz и b→×a→=i→j→k→bxbybzaxayaz. А если две строчки матрицы переставить местами, то значение определителя матрицы должно меняется на противоположное,следовательно,a→×b→=i→j→k→axayazbxbybz =-i→j→k→bxbybzaxayaz=-b→×a→, что и доказывает антикоммутативность векторного произведения.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Векторное произведение – примеры и решения

В большинстве случаев встречаются три типа задач.

В задачах первого типа обычно заданы длины двух векторов и угол между ними, а нужно найти длину векторного произведения. В этом случае пользуются следующей формулойc→=a→·b→·sin∠a→,b→ .

Пример 1

Найдите длину векторного произведения векторов a→ и b→, если известноa→=3, b→=5, ∠a→,b→=π4.

Решение

С помощью определения длины векторного произведения векторов a→ и b→ решим данную задач: a→×b→=a→·b→·sin∠a→,b→=3·5·sinπ4=1522.

Ответ: 1522.

Задачи второго типа имеют связь с координатами векторов, в них векторное произведение, его длина и т.д. ищутся через известные координаты заданных векторов a→=(ax; ay; az) и b→=(bx; by; bz).

Для такого типа задач, можно решить массу вариантов заданий. Например, могут быть заданы не координаты векторов  a→ и b→, а их разложения по координатным векторам вида b→=bx·i→ +by·j→+bz·k→

 и c→=a→×b→=(ay·bz-az·by)·i→+(az·bx-ax·bz)·j→+(ax·by-ay·bx)·k→, или векторы a→ и b→ могут быть заданы координатами точек их начала и конца.

Рассмотрим следующие примеры.

Пример 2

В прямоугольной системе координат заданы два вектора a→=(2; 1; -3), b→=(0; -1; 1). Найдите их векторное произведение.

Решение

По второму определению найдем векторное произведение двух векторов в заданных координатах:a→×b→=(ay·bz-az·by)·i→+(az·bx-ax·bz)·j→+(ax·by-ay·bx)·k→==(1·1-(-3)·(-1))·i→+((-3)·0-2·1)·j→+(2·(-1)-1·0)·k→==-2i→-2j→-2k→.

Если записать векторное произведение через определитель матрицы, то решение данного примера выглядит следующим образом: a→×b→=i→j→k→axayazbxbybz=i→j→k→21-30-11=-2i→-2j→-2k→.

Ответ: a→×b→=-2i→-2j→-2k→.

Пример 3

Найдите длину векторного произведения векторов i→-j→ и i→+j→+k→, где i→, j→, k→ — орты прямоугольной декартовой системы координат.

Решение

Для начала найдем координаты заданного векторного произведения i→-j→×i→+j→+k→ в данной прямоугольной системе координат.

Известно, что векторы i→-j→ и i→+j→+k→ имеют координаты (1; -1; 0)  и (1; 1; 1) соответственно. Найдем длину векторного произведения при помощи определителя матрицы, тогда имеем i→-j→×i→+j→+k→=i→j→k→1-10111=-i→-j→+2k→.

Следовательно, векторное произведение i→-j→×i→+j→+k→ имеет координаты (-1; -1; 2) в заданной системе координат.

Длину векторного произведения найдем по формуле (см. в разделе нахождение длины вектора): i→-j→×i→+j→+k→=-12+-12+22=6.

Ответ: i→-j→×i→+j→+k→=6..

Пример 4

В прямоугольной декартовой системе координат заданы координаты трех точек A(1,0,1), B(0,2,3), C(1,4,2) . Найдите какой-нибудь вектор, перпендикулярный AB→ и AC→ одновременно.

Решение

Векторы  AB→ и AC→ имеют следующие координаты (-1; 2; 2) и (0; 4; 1) соответственно. Найдя векторное произведение векторов AB→ и AC→, очевидно, что оно является перпендикулярным вектором по определению и к  AB→​​​​​ и к AC→, то есть, является решением нашей задачи. Найдем его AB→×AC→=i→j→k→-122041=-6i→+j→-4k→.

Ответ: -6i→+j→-4k→. — один из перпендикулярных векторов.

Задачи третьего типа ориентированы на использование свойств векторного произведения векторов. После применения которых, будем получать решение заданной задачи.

Пример 5

Векторы  a→ и b→ перпендикулярны и их длины равны соответственно 3 и 4. Найдите длину векторного произведения 3·a→-b→×a→-2·b→=3·a→×a→-2·b→+-b→×a→-2·b→==3·a→×a→+3·a→×-2·b→+-b→×a→+-b→×-2·b→.

Решение

По свойству дистрибутивности векторного произведения мы можем записать 3·a→-b→×a→-2·b→=3·a→×a→-2·b→+-b→×a→-2·b→==3·a→×a→+3·a→×-2·b→+-b→×a→+-b→×-2·b→

По свойству ассоциативности вынесем числовые коэффициенты за знак векторных произведений в последнем выражении: 3·a→×a→+3·a→×-2·b→+-b→×a→+-b→×-2·b→==3·a→×a→+3·(-2)·a→×b→+(-1)·b→×a→+(-1)·(-2)·b→×b→==3·a→×a→-6·a→×b→-b→×a→+2·b→×b→

Векторные произведения a→×a→ и b→×b→ равны 0, так как a→×a→=a→·a→·sin0=0 и b→×b→=b→·b→·sin0=0, тогда 3·a→×a→-6·a→×b→-b→×a→+2·b→×b→=-6·a→×b→-b→×a→..

Из антикоммутативности векторного произведения следует -6·a→×b→-b→×a→=-6·a→×b→-(-1)·a→×b→=-5·a→×b→..

Воспользовавшись свойствами векторного произведения, получаем равенство 3·a→-b→×a→-2·b→==-5·a→×b→.

По условию векторы  a→ и b→ перпендикулярны, то есть угол между ними равен π2. Теперь остается лишь подставить найденные значения в соответствующие формулы: 3·a→-b→×a→-2·b→=-5·a→×b→==5·a→×b→=5·a→·b→·sin(a→,b→)=5·3·4·sinπ2=60.

Ответ: 3·a→-b→×a→-2·b→=60.

Геометрический смысл векторного произведения

Длина векторного произведения векторов по орпеделению равна a→×b→=a→·b→·sin∠a→,b→. Так как уже известно (из школьного курса), что площадь треугольника равна половине произведения длин двух его сторон умноженное на синус угла между данными сторонами. Следовательно, длина векторного произведения равна площади параллелограмма — удвоенного треугольника, а именно произведению сторон в виде векторов  a→ и b→, отложенные от одной точки, на синус угла между ними sin∠a→,b→.

Это и есть геометрический смысл векторного произведения.

Физический смысл векторного произведения

В механике, одном из разделов физики, благодаря векторному произведению можно определить момент силы относительно точки пространства.

Определение 3

Под моментом силы F→, приложенной к точке B, относительно точки A будем понимать следующее векторное произведение AB→×F→.

определения, свойства, формулы, примеры и решения

Определение векторного произведения

Перед тем, как дать понятие векторного произведения, обратимся к вопросу о ориентации упорядоченной тройки векторов a→, b→, c→ в трехмерном пространстве.

Отложим для начала векторы a→, b→, c→ от одной точки. Ориентация тройки a→, b→, c→ бывает правой или левой, в зависимости от направления самого вектора c→. От того, в какую сторону осуществляется кратчайший поворот от вектора a→ к b→ с конца вектора c→, будет определен вид тройкиa→, b→, c→.

Если кратчайший поворот осуществляется против часовой стрелки, то тройка векторов a→, b→, c→ называется правой, если по часовой стрелке – левой.

Далее возьмем два не коллинеарных вектора a→ и b→. Отложим затем от точки A векторы AB→=a→ и AC→=b→. Построим вектор AD→=c→, который одновременно перпендикулярный одновременно и AB→ и AC→. Таким образом, при построении самого вектора AD→=c→ мы можем поступить двояко, задав ему либо одно направление, либо противоположное (смотрите иллюстрацию).

Упорядоченная тройка векторов a→, b→, c→ может быть, как мы выяснили правой или левой в зависимости от направления вектора.

Из вышесказанного можем ввести определение векторного произведения. Данное определение дается для двух векторов, определенных в прямоугольной системе координат трехмерного пространства.

Определение 1

Векторным произведением двух векторов a→ и b→ будем называть такой вектор заданный в прямоугольной системе координат трехмерного пространства такой, что:

• если векторы a→ и b→ коллинеарны, он будет нулевым;
• он будет перпендикулярен и вектору a→​​​​ и вектору b→ т.е. ∠a→c→=∠b→c→=π2 ;
• его длина определяется по формуле: c→=a→·b→·sin∠a→,b→;
• тройка векторов a→, b→, c→ имеет такую же ориентацию, что и заданная система координат.

Векторное произведение векторов a→ и b→ имеет следущее обозначение: a→×b→.

Координаты векторного произведения

Так как любой вектор имеет определенные координаты в системе координат, то можно ввести второе определение векторного произведения, которое позволит находить его координаты по заданным координатам векторов.

Определение 2

В прямоугольной системе координат трехмерного пространства векторным произведением двух векторов a→=(ax; ay; az) и b→=(bx; by; bz) называют вектор c→=a→×b→=(ay·bz-az·by)·i→+(az·bx-ax·bz)·j→+(ax·by-ay·bx)·k→, где i→, j→, k→ являются координатными векторами.

Векторное произведение можно представит как определитель квадратной матрицы третьего порядка, где первая строка есть векторы орты i→, j→, k→, вторая строка содержит координаты вектора a→, а третья – координаты вектора b→ в заданной прямоугольной системе координат, данный определитель матрицы выглядит так: c→=a→×b→=i→j→k→axayazbxbybz

Разложив данный определитель по элементам первой строки, получим равенство: c→=a→×b→=i→j→k→axayazbxbybz=ayazbybz·i→-axazbxbz·j→+axaybxby·k→==a→×b→=(ay·bz-az·by)·i→+(az·bx-ax·bz)·j→+(ax·by-ay·bx)·k→

Свойства векторного произведения

Известно, что векторное произведение в координатах представляется как определитель матрицы c→=a→×b→=i→j→k→axayazbxbybz, то на базе свойств определителя матрицы выводятся следующие свойства векторного произведения:

1. антикоммутативность a→×b→=-b→×a→;
2. дистрибутивность a(1)→+a(2)→×b=a(1)→×b→+a(2)→×b→ или a→×b(1)→+b(2)→=a→×b(1)→+a→×b(2)→;
3. ассоциативность λ·a→×b→=λ·a→×b→ или a→×(λ·b→)=λ·a→×b→, где λ — произвольное действительное число.

Данные свойства имеют не сложные доказательства.

Для примера можем доказать свойство антикоммутативности векторного произведения.

Доказательство антикоммутативности

По определению a→×b→=i→j→k→axayazbxbybz и b→×a→=i→j→k→bxbybzaxayaz. А если две строчки матрицы переставить местами, то значение определителя матрицы должно меняется на противоположное,следовательно,a→×b→=i→j→k→axayazbxbybz =-i→j→k→bxbybzaxayaz=-b→×a→, что и доказывает антикоммутативность векторного произведения.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Векторное произведение – примеры и решения

В большинстве случаев встречаются три типа задач.

В задачах первого типа обычно заданы длины двух векторов и угол между ними, а нужно найти длину векторного произведения. В этом случае пользуются следующей формулойc→=a→·b→·sin∠a→,b→ .

Пример 1

Найдите длину векторного произведения векторов a→ и b→, если известноa→=3, b→=5, ∠a→,b→=π4.

Решение

С помощью определения длины векторного произведения векторов a→ и b→ решим данную задач: a→×b→=a→·b→·sin∠a→,b→=3·5·sinπ4=1522.

Ответ: 1522.

Задачи второго типа имеют связь с координатами векторов, в них векторное произведение, его длина и т.д. ищутся через известные координаты заданных векторов a→=(ax; ay; az) и b→=(bx; by; bz).

Для такого типа задач, можно решить массу вариантов заданий. Например, могут быть заданы не координаты векторов  a→ и b→, а их разложения по координатным векторам вида b→=bx·i→ +by·j→+bz·k→ и c→=a→×b→=(ay·bz-az·by)·i→+(az·bx-ax·bz)·j→+(ax·by-ay·bx)·k→, или векторы a→ и b→ могут быть заданы координатами точек их начала и конца.

Рассмотрим следующие примеры.

Пример 2

В прямоугольной системе координат заданы два вектора a→=(2; 1; -3), b→=(0; -1; 1). Найдите их векторное произведение.

Решение

По второму определению найдем векторное произведение двух векторов в заданных координатах:a→×b→=(ay·bz-az·by)·i→+(az·bx-ax·bz)·j→+(ax·by-ay·bx)·k→==(1·1-(-3)·(-1))·i→+((-3)·0-2·1)·j→+(2·(-1)-1·0)·k→==-2i→-2j→-2k→.

Если записать векторное произведение через определитель матрицы, то решение данного примера выглядит следующим образом: a→×b→=i→j→k→axayazbxbybz=i→j→k→21-30-11=-2i→-2j→-2k→.

Ответ: a→×b→=-2i→-2j→-2k→.

Пример 3

Найдите длину векторного произведения векторов i→-j→ и i→+j→+k→, где i→, j→, k→ — орты прямоугольной декартовой системы координат.

Решение

Для начала найдем координаты заданного векторного произведения i→-j→×i→+j→+k→ в данной прямоугольной системе координат.

Известно, что векторы i→-j→ и i→+j→+k→ имеют координаты (1; -1; 0)  и (1; 1; 1) соответственно. Найдем длину векторного произведения при помощи определителя матрицы, тогда имеем i→-j→×i→+j→+k→=i→j→k→1-10111=-i→-j→+2k→.

Следовательно, векторное произведение i→-j→×i→+j→+k→ имеет координаты (-1; -1; 2) в заданной системе координат.

Длину векторного произведения найдем по формуле (см. в разделе нахождение длины вектора): i→-j→×i→+j→+k→=-12+-12+22=6.

Ответ: i→-j→×i→+j→+k→=6..

Пример 4

В прямоугольной декартовой системе координат заданы координаты трех точек A(1,0,1), B(0,2,3), C(1,4,2) . Найдите какой-нибудь вектор, перпендикулярный AB→ и AC→ одновременно.

Решение

Векторы  AB→ и AC→ имеют следующие координаты (-1; 2; 2) и (0; 4; 1) соответственно. Найдя векторное произведение векторов AB→ и AC→, очевидно, что оно является перпендикулярным вектором по определению и к  AB→​​​​​ и к AC→, то есть, является решением нашей задачи. Найдем его AB→×AC→=i→j→k→-122041=-6i→+j→-4k→.

Ответ: -6i→+j→-4k→. — один из перпендикулярных векторов.

Задачи третьего типа ориентированы на использование свойств векторного произведения векторов. После применения которых, будем получать решение заданной задачи.

Пример 5

Векторы  a→ и b→ перпендикулярны и их длины равны соответственно 3 и 4. Найдите длину векторного произведения 3·a→-b→×a→-2·b→=3·a→×a→-2·b→+-b→×a→-2·b→==3·a→×a→+3·a→×-2·b→+-b→×a→+-b→×-2·b→.

Решение

По свойству дистрибутивности векторного произведения мы можем записать 3·a→-b→×a→-2·b→=3·a→×a→-2·b→+-b→×a→-2·b→==3·a→×a→+3·a→×-2·b→+-b→×a→+-b→×-2·b→

По свойству ассоциативности вынесем числовые коэффициенты за знак векторных произведений в последнем выражении: 3·a→×a→+3·a→×-2·b→+-b→×a→+-b→×-2·b→==3·a→×a→+3·(-2)·a→×b→+(-1)·b→×a→+(-1)·(-2)·b→×b→==3·a→×a→-6·a→×b→-b→×a→+2·b→×b→

Векторные произведения a→×a→ и b→×b→ равны 0, так как a→×a→=a→·a→·sin0=0 и b→×b→=b→·b→·sin0=0, тогда 3·a→×a→-6·a→×b→-b→×a→+2·b→×b→=-6·a→×b→-b→×a→..

Из антикоммутативности векторного произведения следует -6·a→×b→-b→×a→=-6·a→×b→-(-1)·a→×b→=-5·a→×b→..

Воспользовавшись свойствами векторного произведения, получаем равенство 3·a→-b→×a→-2·b→==-5·a→×b→.

По условию векторы  a→ и b→ перпендикулярны, то есть угол между ними равен π2. Теперь остается лишь подставить найденные значения в соответствующие формулы: 3·a→-b→×a→-2·b→=-5·a→×b→==5·a→×b→=5·a→·b→·sin(a→,b→)=5·3·4·sinπ2=60.

Ответ: 3·a→-b→×a→-2·b→=60.

Геометрический смысл векторного произведения

Длина векторного произведения векторов по орпеделению равна a→×b→=a→·b→·sin∠a→,b→. Так как уже известно (из школьного курса), что площадь треугольника равна половине произведения длин двух его сторон умноженное на синус угла между данными сторонами. Следовательно, длина векторного произведения равна площади параллелограмма — удвоенного треугольника, а именно произведению сторон в виде векторов  a→ и b→, отложенные от одной точки, на синус угла между ними sin∠a→,b→.

Это и есть геометрический смысл векторного произведения.

Физический смысл векторного произведения

В механике, одном из разделов физики, благодаря векторному произведению можно определить момент силы относительно точки пространства.

Определение 3

Под моментом силы F→, приложенной к точке B, относительно точки A будем понимать следующее векторное произведение AB→×F→.

определения, свойства, формулы, примеры и решения

Определение векторного произведения

Перед тем, как дать понятие векторного произведения, обратимся к вопросу о ориентации упорядоченной тройки векторов a→, b→, c→ в трехмерном пространстве.

Отложим для начала векторы a→, b→, c→ от одной точки. Ориентация тройки a→, b→, c→ бывает правой или левой, в зависимости от направления самого вектора c→. От того, в какую сторону осуществляется кратчайший поворот от вектора a→ к b→ с конца вектора c→, будет определен вид тройкиa→, b→, c→.

Если кратчайший поворот осуществляется против часовой стрелки, то тройка векторов a→, b→, c→ называется правой, если по часовой стрелке – левой.

Далее возьмем два не коллинеарных вектора a→ и b→. Отложим затем от точки A векторы AB→=a→ и AC→=b→. Построим вектор AD→=c→, который одновременно перпендикулярный одновременно и AB→ и AC→. Таким образом, при построении самого вектора AD→=c→ мы можем поступить двояко, задав ему либо одно направление, либо противоположное (смотрите иллюстрацию).

Упорядоченная тройка векторов a→, b→, c→ может быть, как мы выяснили правой или левой в зависимости от направления вектора.

Из вышесказанного можем ввести определение векторного произведения. Данное определение дается для двух векторов, определенных в прямоугольной системе координат трехмерного пространства.

Определение 1

Векторным произведением двух векторов a→ и b→ будем называть такой вектор заданный в прямоугольной системе координат трехмерного пространства такой, что:

• если векторы a→ и b→ коллинеарны, он будет нулевым;
• он будет перпендикулярен и вектору a→​​​​ и вектору b→ т.е. ∠a→c→=∠b→c→=π2 ;
• его длина определяется по формуле: c→=a→·b→·sin∠a→,b→;
• тройка векторов a→, b→, c→ имеет такую же ориентацию, что и заданная система координат.

Векторное произведение векторов a→ и b→ имеет следущее обозначение: a→×b→.

Координаты векторного произведения

Так как любой вектор имеет определенные координаты в системе координат, то можно ввести второе определение векторного произведения, которое позволит находить его координаты по заданным координатам векторов.

Определение 2

В прямоугольной системе координат трехмерного пространства векторным произведением двух векторов a→=(ax; ay; az) и b→=(bx; by; bz) называют вектор c→=a→×b→=(ay·bz-az·by)·i→+(az·bx-ax·bz)·j→+(ax·by-ay·bx)·k→, где i→, j→, k→ являются координатными векторами.

Векторное произведение можно представит как определитель квадратной матрицы третьего порядка, где первая строка есть векторы орты i→, j→, k→, вторая строка содержит координаты вектора a→, а третья – координаты вектора b→ в заданной прямоугольной системе координат, данный определитель матрицы выглядит так: c→=a→×b→=i→j→k→axayazbxbybz

Разложив данный определитель по элементам первой строки, получим равенство: c→=a→×b→=i→j→k→axayazbxbybz=ayazbybz·i→-axazbxbz·j→+axaybxby·k→==a→×b→=(ay·bz-az·by)·i→+(az·bx-ax·bz)·j→+(ax·by-ay·bx)·k→

Свойства векторного произведения

Известно, что векторное произведение в координатах представляется как определитель матрицы c→=a→×b→=i→j→k→axayazbxbybz, то на базе свойств определителя матрицы выводятся следующие свойства векторного произведения:

1. антикоммутативность a→×b→=-b→×a→;
2. дистрибутивность a(1)→+a(2)→×b=a(1)→×b→+a(2)→×b→ или a→×b(1)→+b(2)→=a→×b(1)→+a→×b(2)→;
3. ассоциативность λ·a→×b→=λ·a→×b→ или a→×(λ·b→)=λ·a→×b→, где λ — произвольное действительное число.

Данные свойства имеют не сложные доказательства.

Для примера можем доказать свойство антикоммутативности векторного произведения.

Доказательство антикоммутативности

По определению a→×b→=i→j→k→axayazbxbybz и b→×a→=i→j→k→bxbybzaxayaz. А если две строчки матрицы переставить местами, то значение определителя матрицы должно меняется на противоположное,следовательно,a→×b→=i→j→k→axayazbxbybz =-i→j→k→bxbybzaxayaz=-b→×a→, что и доказывает антикоммутативность векторного произведения.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Векторное произведение – примеры и решения

В большинстве случаев встречаются три типа задач.

В задачах первого типа обычно заданы длины двух векторов и угол между ними, а нужно найти длину векторного произведения. В этом случае пользуются следующей формулойc→=a→·b→·sin∠a→,b→ .

Пример 1

Найдите длину векторного произведения векторов a→ и b→, если известноa→=3, b→=5, ∠a→,b→=π4.

Решение

С помощью определения длины векторного произведения векторов a→ и b→ решим данную задач: a→×b→=a→·b→·sin∠a→,b→=3·5·sinπ4=1522.

Ответ: 1522.

Задачи второго типа имеют связь с координатами векторов, в них векторное произведение, его длина и т.д. ищутся через известные координаты заданных векторов a→=(ax; ay; az) и b→=(bx; by; bz).

Для такого типа задач, можно решить массу вариантов заданий. Например, могут быть заданы не координаты векторов  a→ и b→, а их разложения по координатным векторам вида b→=bx·i→ +by·j→+bz·k→ и c→=a→×b→=(ay·bz-az·by)·i→+(az·bx-ax·bz)·j→+(ax·by-ay·bx)·k→, или векторы a→ и b→ могут быть заданы координатами точек их начала и конца.

Рассмотрим следующие примеры.

Пример 2

В прямоугольной системе координат заданы два вектора a→=(2; 1; -3), b→=(0; -1; 1). Найдите их векторное произведение.

Решение

По второму определению найдем векторное произведение двух векторов в заданных координатах:a→×b→=(ay·bz-az·by)·i→+(az·bx-ax·bz)·j→+(ax·by-ay·bx)·k→==(1·1-(-3)·(-1))·i→+((-3)·0-2·1)·j→+(2·(-1)-1·0)·k→==-2i→-2j→-2k→.

Если записать векторное произведение через определитель матрицы, то решение данного примера выглядит следующим образом: a→×b→=i→j→k→axayazbxbybz=i→j→k→21-30-11=-2i→-2j→-2k→.

Ответ: a→×b→=-2i→-2j→-2k→.

Пример 3

Найдите длину векторного произведения векторов i→-j→ и i→+j→+k→, где i→, j→, k→ — орты прямоугольной декартовой системы координат.

Решение

Для начала найдем координаты заданного векторного произведения i→-j→×i→+j→+k→ в данной прямоугольной системе координат.

Известно, что векторы i→-j→ и i→+j→+k→ имеют координаты (1; -1; 0)  и (1; 1; 1) соответственно. Найдем длину векторного произведения при помощи определителя матрицы, тогда имеем i→-j→×i→+j→+k→=i→j→k→1-10111=-i→-j→+2k→.

Следовательно, векторное произведение i→-j→×i→+j→+k→ имеет координаты (-1; -1; 2) в заданной системе координат.

Длину векторного произведения найдем по формуле (см. в разделе нахождение длины вектора): i→-j→×i→+j→+k→=-12+-12+22=6.

Ответ: i→-j→×i→+j→+k→=6..

Пример 4

В прямоугольной декартовой системе координат заданы координаты трех точек A(1,0,1), B(0,2,3), C(1,4,2) . Найдите какой-нибудь вектор, перпендикулярный AB→ и AC→ одновременно.

Решение

Векторы  AB→ и AC→ имеют следующие координаты (-1; 2; 2) и (0; 4; 1) соответственно. Найдя векторное произведение векторов AB→ и AC→, очевидно, что оно является перпендикулярным вектором по определению и к  AB→​​​​​ и к AC→, то есть, является решением нашей задачи. Найдем его AB→×AC→=i→j→k→-122041=-6i→+j→-4k→.

Ответ: -6i→+j→-4k→. — один из перпендикулярных векторов.

Задачи третьего типа ориентированы на использование свойств векторного произведения векторов. После применения которых, будем получать решение заданной задачи.

Пример 5

Векторы  a→ и b→ перпендикулярны и их длины равны соответственно 3 и 4. Найдите длину векторного произведения 3·a→-b→×a→-2·b→=3·a→×a→-2·b→+-b→×a→-2·b→==3·a→×a→+3·a→×-2·b→+-b→×a→+-b→×-2·b→.

Решение

По свойству дистрибутивности векторного произведения мы можем записать 3·a→-b→×a→-2·b→=3·a→×a→-2·b→+-b→×a→-2·b→==3·a→×a→+3·a→×-2·b→+-b→×a→+-b→×-2·b→

По свойству ассоциативности вынесем числовые коэффициенты за знак векторных произведений в последнем выражении: 3·a→×a→+3·a→×-2·b→+-b→×a→+-b→×-2·b→==3·a→×a→+3·(-2)·a→×b→+(-1)·b→×a→+(-1)·(-2)·b→×b→==3·a→×a→-6·a→×b→-b→×a→+2·b→×b→

Векторные произведения a→×a→ и b→×b→ равны 0, так как a→×a→=a→·a→·sin0=0 и b→×b→=b→·b→·sin0=0, тогда 3·a→×a→-6·a→×b→-b→×a→+2·b→×b→=-6·a→×b→-b→×a→..

Из антикоммутативности векторного произведения следует -6·a→×b→-b→×a→=-6·a→×b→-(-1)·a→×b→=-5·a→×b→..

Воспользовавшись свойствами векторного произведения, получаем равенство 3·a→-b→×a→-2·b→==-5·a→×b→.

По условию векторы  a→ и b→ перпендикулярны, то есть угол между ними равен π2. Теперь остается лишь подставить найденные значения в соответствующие формулы: 3·a→-b→×a→-2·b→=-5·a→×b→==5·a→×b→=5·a→·b→·sin(a→,b→)=5·3·4·sinπ2=60.

Ответ: 3·a→-b→×a→-2·b→=60.

Геометрический смысл векторного произведения

Длина векторного произведения векторов по орпеделению равна a→×b→=a→·b→·sin∠a→,b→. Так как уже известно (из школьного курса), что площадь треугольника равна половине произведения длин двух его сторон умноженное на синус угла между данными сторонами. Следовательно, длина векторного произведения равна площади параллелограмма — удвоенного треугольника, а именно произведению сторон в виде векторов  a→ и b→, отложенные от одной точки, на синус угла между ними sin∠a→,b→.

Это и есть геометрический смысл векторного произведения.

Физический смысл векторного произведения

В механике, одном из разделов физики, благодаря векторному произведению можно определить момент силы относительно точки пространства.

Определение 3

Под моментом силы F→, приложенной к точке B, относительно точки A будем понимать следующее векторное произведение AB→×F→.

Векторное произведение — это… Что такое Векторное произведение?

Векторное произведение в трёхмерном пространстве.

Векторное произведение — это псевдовектор, перпендикулярный плоскости, построенной по двум сомножителям, являющийся результатом бинарной операции «векторное умножение» над векторами в трёхмерном Евклидовом пространстве. Произведение не является ни коммутативным, ни ассоциативным (оно является антикоммутативным) и отличается от скалярного произведения векторов. Во многих задачах инженерии и физики нужно иметь возможность строить вектор, перпендикулярный двум имеющимся — векторное произведение предоставляет эту возможность. Векторное произведение полезно для «измерения» перпендикулярности векторов — длина векторного произведения двух векторов равна произведению их длин, если они перпендикулярны, и уменьшается до нуля, если векторы параллельны либо антипараллельны.

Определить векторное произведение можно по-разному, и теоретически, в пространстве любой размерности n можно вычислить произведение n-1 векторов, получив при этом единственный вектор, перпендикулярный к ним всем. Но если произведение ограничить нетривиальными бинарными произведениями с векторным результатами, то традиционное векторное произведение определено только в трёхмерном и семимерном пространствах. Результат векторного произведения, как и скалярного, зависит от метрики Евклидова пространства.

В отличие от формулы для вычисления по координатам векторов скалярного произведения в трёхмерной прямоугольной системе координат, формула для векторного произведения зависит от ориентации прямоугольной системы координат или, иначе, её «хиральности».

Определение и история

Векторным произведением вектора на вектор в пространстве называется вектор , удовлетворяющий следующим требованиям:

Обозначение:

В литературе^[1] определение векторного произведения может даваться по-разному. Например, в качестве определения даётся описанное далее выражение векторного произведения в координатах в правой и левой прямоугольной системе координат. А далее выводится данное выше определение, а также определение правой и левой тройки векторов.

Также для исходного определения может быть взят набор алгебраических свойств векторного произведения, а из них выводиться остальное.

Векторное произведение было введено У. Гамильтоном в 1846 году^[2] одновременно со скалярным произведением в связи с кватернионами — соответственно, как векторная и скалярная часть произведения двух кватернионов, скалярная часть которых равна нулю^[3].

Правые и левые тройки векторов в трёхмерном пространстве

Рассмотрим упорядоченную тройку некомпланарных векторов в трёхмерном пространстве. Совместим начала этих векторов в точке (то есть выберем произвольно в пространстве точку и параллельно перенесём каждый вектор так, чтобы его начало совпало с точкой ). Концы векторов, совмещённых началами в точке , не лежат на одной прямой, так как векторы некомпланарны. Рассмотрим плоскость  — единственную плоскость, проходящую через концы векторов, совмещённых началами в точке . Тогда можно в плоскости провести через концы векторов , совмещённых началами в точке , единственную окружность и выяснить направление обхода трёх точек на окружности, смотря на неё с одной из сторон от плоскости.

Упорядоченная тройка некомпланарных векторов в трёхмерном пространстве называется правой, если наблюдателю, находящемуся по одну сторону с точкой от плоскости , обход концов приведённых в общее начало векторов в указанном порядке кажется совершающимся в плоскости по часовой стрелке.

B противном случае  — левая тройка. В этом случае наблюдателю, находящемуся с другой стороны от плоскости , обход концов таких векторов будет казаться совершающимся против часовой стрелки.

Другое определение связано с правой рукой человека (см. рисунок), откуда и берётся название.

Все правые между собой (и левые между собой) тройки векторов называются одинаково ориентированными.

Заметим, что определения «правой» и «левой» тройки векторов не зависят от хиральности рассматриваемой системы координат; более того, они вообще не требуют задания в рассматриваемом пространстве какой-либо системы координат, как и не требует этого само векторное произведение.

Свойства

Геометрические свойства векторного произведения

Рисунок 1: Площадь параллелограмма равна модулю векторного произведения. Рисунок 2: Объём параллелепипеда при использовании векторного и скалярного произведения векторов; пунктирные линии показывают проекции вектора c на a × b и вектора a на b × c, первым шагом является нахождение скалярных произведений.

• При использовании векторного и скалярного произведений можно высчитать объём параллелепипеда, построенного на приведённых к общему началу векторах a, b и c (см. Рисунок 2). Такое произведение трех векторов называется смешанным.

На рисунке показано, что этот объём может быть найден двумя способами: геометрический результат сохраняется даже при замене «скалярного» и «векторного» произведений местами:

Величина векторного произведения зависит от синуса угла между изначальными векторами, поэтому векторное произведение может восприниматься как степень «перпендикулярности» векторов также, как и скалярное произведение может рассматриваться как степень «параллельности». Векторное произведение двух единичных векторов равно 1 (единичному вектору), если изначальные векторы перпендикулярны, и равно 0 (нулевому вектору), если векторы параллельны либо антипараллельны.

Алгебраические свойства векторного произведения

Выражение для векторного произведения в декартовых координатах

Если два вектора и определены своими прямоугольными декартовыми координатами, а говоря точнее — представлены в ортонормированном базисе

а система координат правая, то их векторное произведение имеет вид

Для запоминания этой формулы удобно использовать определитель:

или

где  — символ Леви-Чивиты.

Если система координат левая, то их векторное произведение имеет вид

Для запоминания, аналогично:

или

Формулы для левой системы координат можно легко получить из формул правой системы координат, записав те же векторы и во вспомогательной правой системе координат ():

Обобщения

Кватернионы

Векторное произведение можно также записать в кватернионной форме, поэтому буквы , ,  — стандартные обозначения для ортов в : они рассматриваются как воображаемые кватернионы.

Заметим, что соотношения через векторное произведение между , и соответствуют правилам умножения для кватернионов , и . Если представить вектор как кватернион , то векторное произведение двух векторов получается взятием векторной части от произведения соответствующих им кватернионов. Скалярное произведение этих векторов противоположно скалярной части произведения этих кватернионов.

Преобразование к матричной форме

Векторное произведение двух векторов можно записать как произведение кососимметрической матрицы и вектора:

где

Пусть равен векторному произведению:

тогда

Такая форма записи позволяет обобщить векторное произведение на высшие размерности, представляя псевдовекторы (угловая скорость, индукция и т. п.) как такие кососимметричные матрицы. Ясно, что такие физические величины будут иметь независимых компонент в -мерном пространстве. В трёхмерном пространстве получаются три независимые компоненты, поэтому такие величины можно представлять как векторы этого пространства.

С такой формой записи также зачастую проще работать (например, в en:epipolar geometry).

Из общих свойств векторного произведения следует, что

  и  

а так как кососимметрична, то

В такой форме записи легко доказывается тождество Лагранжа (правило «бац минус цаб»).

Распространение на матрицы

В трёхмерном случае можно определить векторное произведение матриц и произведение матрицы на вектор. Это делает очевидным указанный выше изоморфизм и позволяет упростить многие выкладки. Представим матрицу как столбец векторов, тогда

Умножение матрицы на вектор слева определяется аналогично, если представить как строку векторов. Транспонирование матрицы, соответственно, переводит строку векторов в столбец векторов, и наоборот. Легко обобщить многие соотношения для векторов на соотношения для векторов и матриц, например ( — матрица, ,  — векторы):

После этого можно изменить форму записи для векторного произведения:

 — единичная матрица. Отсюда очевидны существование и вид матрицы, соответствующей векторному умножению на вектор слева. Аналогично можно получить выражение для матрицы умножения на вектор справа. Распространяя операции над векторами на матрицы покомпонентно, представляя их как «векторы из векторов», стандартные соотношения для векторов легко обобщаются на матрицы. Например, теорема Стокса в примет вид:

где ротор матрицы вычисляется как векторное произведение матрицы на оператор Гамильтона слева. В этих обозначениях очень легко доказать, например, следующие формы теоремы Стокса:

Размерности, не равные трём

Пусть  — размерность пространства.

Векторное произведение, обладающее всеми свойствами обычного трёхмерного векторного произведения, то есть бинарное билинейное антисимметричное невырожденное отображение , можно ввести только для размерностей 3 и 7.

Однако есть простое обобщение на остальные натуральные размерности, начиная с 3, а если нужно — и на размерность 2 (последнее, правда, сравнительно специфическим образом). Тогда это обобщение, в отличие от невозможного, описанного чуть выше, вводится не для пары векторов, а лишь для набора векторов-сомножителей. Вполне аналогично смешанному произведению, естественно обобщаемому в -мерном пространстве на операцию с сомножителями. Используя символ Леви-Чивиты с индексами, можно явно записать такое -валентное векторное произведение как

Такое обобщение дает гиперплощадь размерности .

Если нужно ввести операцию именно для двух сомножителей, имеющую геометрический смысл, предельно близкий к смыслу векторного произведения (то есть представляющую ориентированную площадь), то результат уже не будет вектором, так как при не найдется единственной, однозначно определённой нормали к двумерной плоскости, натянутой на множители. Можно ввести бивектор, компоненты которого равны проекциям ориентированной площади параллелограмма, натянутого на пару векторов, на координатные плоскости:

.

Эта конструкция называется внешним произведением.

Для двумерного случая операция

.

называется псевдоскалярным произведением, так как получающееся пространство одномерно и результат есть псевдоскаляр. (Двухиндексное внешнее произведение, описанное выше, можно ввести и для двумерного пространства, однако оно, очевидно, достаточно тривиально связано с псевдоскалярным произведением, а именно внешнее произведение в этом случае представляется матрицей, на диагонали которой нули, а оставшиеся два недиагональных элемента равны псевдоскалярному произведению и минус псевдоскалярному произведению).

Алгебра Ли векторов

Векторное произведение вводит на структуру алгебры Ли (поскольку оно удовлетворяет обеим аксиомам — антисимметричности и тождеству Якоби). Эта структура соответствует отождествлению с касательной алгеброй Ли к группе Ли ортогональных линейных преобразований трёхмерного пространства.

См. также

Произведения векторов

Другое

Примечания

Литература

• Кочин Н. Е. Введение в векторный и тензорный анализ.

Ссылки

Векторное произведение | Компьютерная графика

Векторное произведение — это псевдовектор, перпендикулярный плоскости, построенной по двум сомножителям, являющийся результатом бинарной операции «векторное умножение» над векторами в трёхмерном Евклидовом пространстве. Векторное произведение не обладает свойствами коммутативности и ассоциативности (является антикоммутативным) и, в отличие от скалярного произведения векторов, является вектором. Широко используется во многих технических и физических приложениях. Например, момент импульса и сила Лоренца математически записываются в виде векторного произведения. Векторное произведение полезно для «измерения» перпендикулярности векторов — модуль векторного произведения двух векторов равен произведению их модулей, если они перпендикулярны, и уменьшается до нуля, если векторы параллельны либо антипараллельны.

Определить векторное произведение можно по-разному, и теоретически, в пространстве любой размерности n можно вычислить произведение n-1 векторов, получив при этом единственный вектор, перпендикулярный к ним всем. Но если произведение ограничить нетривиальными бинарными произведениями с векторным результатами, то традиционное векторное произведение определено только в трёхмерном и семимерном пространствах. Результат векторного произведения, как и скалярного, зависит от метрики Евклидова пространства.

В отличие от формулы для вычисления по координатам векторов скалярного произведения в трёхмерной прямоугольной системе координат, формула для векторного произведения зависит от ориентации прямоугольной системы координат или, иначе, её «хиральности».

Определение:
Векторным произведением вектора a на вектор b в пространстве R³ называется вектор c, удовлетворяющий следующим требованиям:
длина вектора c равна произведению длин векторов a и b на синус угла φ между ними:
|c|=|a||b|sin φ;
вектор c ортогонален каждому из векторов a и b;
вектор c направлен так, что тройка векторов abc является правой;
в случае пространства R7 требуется ассоциативность тройки векторов a,b,c.
Обозначение:
c=[ab]=[a,b]=a × b

Рис. 1. Площадь параллелограмма равна модулю векторного произведения

Геометрические свойства векторного произведения:
Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух ненулевых векторов является равенство нулю их векторного произведения.

Модуль векторного произведения [ab] равняется площади S параллелограмма, построенного на приведённых к общему началу векторах a и b (см. рис.1).

Если e — единичный вектор, ортогональный векторам a и b и выбранный так, что тройка a,b,e — правая, а S — площадь параллелограмма, построенного на них (приведённых к общему началу), то для векторного произведения справедлива формула:
[a, b]=S e

Рис.2. Объём параллелепипеда при использовании векторного и скалярного произведения векторов; пунктирные линии показывают проекции вектора c на a × b и вектора a на b × c, первым шагом является нахождение скалярных произведений

Если c — какой-нибудь вектор, π — любая плоскость, содержащая этот вектор, e — единичный вектор, лежащий в плоскости π и ортогональный к c,g— единичный вектор, ортогональный к плоскости π и направленный так, что тройка векторов ecg является правой, то для любого лежащего в плоскости π вектора a справедлива формула:
[a, c]=Pr_ea•|c|g
где Pr_ea проекция вектора e на a
|c|-модуль вектора с

При использовании векторного и скалярного произведений можно высчитать объём параллелепипеда, построенного на приведённых к общему началу векторах a, b и c. Такое произведение трех векторов называется смешанным.
V=|a•(b×c)|
На рисунке показано, что этот объём может быть найден двумя способами: геометрический результат сохраняется даже при замене «скалярного» и «векторного» произведений местами:
V=a×b•c=a•b×c

Величина векторного произведения зависит от синуса угла между изначальными векторами, поэтому векторное произведение может восприниматься как степень «перпендикулярности» векторов также, как и скалярное произведение может рассматриваться как степень «параллельности». Векторное произведение двух единичных векторов равно 1 (единичному вектору), если изначальные векторы перпендикулярны, и равно 0 (нулевому вектору), если векторы параллельны либо антипараллельны.

Выражение для векторного произведения в декартовых координатах
Если два вектора a и b определены своими прямоугольными декартовыми координатами, а говоря точнее — представлены в ортонормированном базисе
a=(a_x,a_y,a_z)
b=(b_x,b_y,b_z)
а система координат правая, то их векторное произведение имеет вид
[a, b]=(a_yb_z-a_zb_y,a_zb_x-a_xb_z,a_xb_y-a_yb_x)
Для запоминания этой формулы :
[a,b]_i=∑ε_ijka_jb_k
где ε_ijk— символ Леви-Чивиты.

Часть 2 — Векторные и тензорные операции. Ранги тензоров / Хабр

1. Что такое тензор и для чего он нужен?
2. Векторные и тензорные операции. Ранги тензоров
3. Криволинейные координаты
4. Динамика точки в тензорном изложении
5. Действия над тензорами и некоторые другие теоретические вопросы
6. Кинематика свободного твердого тела. Природа угловой скорости
7. Конечный поворот твердого тела. Свойства тензора поворота и способ его вычисления
8. О свертках тензора Леви-Чивиты
9. Вывод тензора угловой скорости через параметры конечного поворота. Применяем голову и Maxima
10. Получаем вектор угловой скорости. Работаем над недочетами
11. Ускорение точки тела при свободном движении. Угловое ускорение твердого тела
12. Параметры Родрига-Гамильтона в кинематике твердого тела
13. СКА Maxima в задачах преобразования тензорных выражений. Угловые скорость и ускорения в параметрах Родрига-Гамильтона
14. Нестандартное введение в динамику твердого тела
15. Движение несвободного твердого тела
16. Свойства тензора инерции твердого тела
17. Зарисовка о гайке Джанибекова
18. Математическое моделирование эффекта Джанибекова

Введение

Несказанно рад, что читателям понравилась

предыдущая статья

. Сразу сделаю оговорку — просто рассказать о таком ёмком понятии как тензор не получится — велик объем информации. Могу обещать, что к концу цикла мозаика сложится.

А в прошлый раз мы остановились на том, что рассмотрев представление вектора в косоугольном базисе, и определив, что он представляется двумя разными (ковариантными и контравариантными) наборами координат, получили общие выражения для скалярного произведения, учитывающие изменение метрики пространства. Таким образом, мы весьма осторожно подошли к понятию тензора

Тензор — математический объект, не изменяющийся при изменении системы координат, представленный набором >своих компонент и правилом преобразования компонент при смене базиса.

Скалярное произведение — это хорошо. Но как же быть с остальными операциями? Как они связываются с геометрией пространства и представимы ли в тензорном виде? Разумеется представимы, ведь векторы — это… тензоры! И скаляры — это тоже тензоры. Привычные нам математические объекты лишь частные примеры более общего понятия, коим является тензор.

Вот об этом мы и поговорим под катом.

1. Геометрический смысл метрического тензора

Для наглядности, которая не слишком повлияет на общность рассуждений, ограничимся трехмерным пространством. Докажем следующее утверждение — определитель метрического тензора равен квадрату объема параллелепипеда, натянутого на векторы базиса.

Рис. 1. Соотношения в трехгранном угле, образованном базисом

Рассмотрим произвольный базис

Вычислим объем параллелепипеда, натянутого на базис так, как это принято в стереометрии

где

S

— площадь основания параллелепипеда;

h

— высота, проведенная к данному основанию.

Площадь основания вычисляется тривиально — как модуль векторного произведения

С определением высоты придется повозится. Если бы мы знали угол

, то легко нашли бы высоту

Угол

связан с линейными и двугранными углами трехгранного угла

– первая теорема косинусов для трехгранного угла. Из нее выражаем косинус двугранного угла

Квадрат синуса необходимого нам угла выражаем через полученный косинус

Выполняем последовательные подстановки от (6) до (2), не забывая возвести в квадрат площадь

S

и высоту

h

. Выкладки достаточно громоздкие и для их выполнения можно воспользоваться СКА (Maple или Mathematica) и получить квадрат объема параллелепипеда

Теперь вычислим определитель метрического тензора. Им называется определитель матрицы, которая составлена из компонентов тензора. Входящие в нее скалярные произведения векторов базиса выпишем в явном виде

Вычислив его, получим тот же результат, что и для квадрата объема

Таким образом, утверждение (1) верно. Соответственно, объем параллелепипеда, натянутого на базис можно получить извлечением корня из определителя метрического тензора

где

для краткости обозначим значение определителя.

Корень (7) часто встречается в литературе по ОТО и альтернативным теориям гравитации типа РТГ. Эта величина имеет фундаментальное значение и пригодится нам чуть позже.

2. Тензорное произведение векторов. Диада. Ранг тензора. Свертка

Обратим внимание на выражение скалятного произведения

Величину

называют

тензорным произведением двух векторов

или

диадой

. Тензорным это произведение названо потому что перемножаются тензоры и на выходе получается тензор, в данном случае второго ранга,

.

Ранг тензора

— это количество его индексов. Вектор, внезапно, тоже является тензором, только первого ранга. Да это и понятно — ведь вектор, как геометрическая сущность, не зависит от системы координат, в которой его рассматривают. От выбора системы координат зависят лишь его компоненты.

Тензор второго ранга (8), разумеется, представлен матрицей своих компонент

Используя (8) можно переписать скалярное произведение в виде

это тоже тензорное произведение, называемое

сверткой

из-за того, что приводит к уменьшению ранга результирующего тензора. Все индексы в (10) «немые», по ним производится двойное суммирование компонент метрического тензора и диады и на выходе получатся число

c

.

Внимательный читатель скажет, что на выходе должен получится тензор. Так тензор и получается — скаляр, это тоже тензор. Нулевого ранга, так как не имеет индексов и не подлежит преобразованию при смене базиса. Скалярное произведение инвариантно относительно смены базиса, ибо ни длина участвующих в нем векторов ни угол между ними от смены базиса не меняются. Значит скаляр — это тензор нулевого ранга.

Но не любое число есть скаляр. Скаляр — это длина вектора, скалярное произведение векторов, масса материального тела, абсолютная температура и прочие величины, не зависящие от системы координат. Компонента вектора уже не является скаляром — она меняется при смене базиса.

О ранге тензоров и типе из компонент мы поговорим чуть позже, а пока перейдем к следующему животрепещущему вопросу.

3. Векторное произведение. Тензор Леви-Чивиты

Вернемся к нашим векторам и выполним их векторное умножение

За неимением других вариантов, аккуратно раскроем скобки, помня о некоммутативности операции

Разумеется мы хорошо учились в университете и знаем, что векторное произведение вектора самого на себя равно нулю. Но мы не будем сильно спешить с упрощением, ибо кроме этого, несомненно приятного факта, мы видим ещё одну вешь — компоненты диады (9). Но кроме упрощения связанного с нулевым произведением коллинеарных векторов мы больше ничего не наблюдаем. Мы работаем с произвольным базисом в чистом виде.

Применим хитрость — умножим вектор скалярно на первый вектор базиса учтя теперь, что произведения

Коэффициенты в квадратных скобках — смешанные произведения векторов. Если векторы компланарны (лежат в одной плоскости) то такое произведение равно нулю. То есть, если в смешанном произведении повторяется хотя бы один вектор, оно равно нулю. Значит у нас остается только два слагаемых из девяти, в которых не повторяются векторы при смешанном умножении

Так, а теперь вспоминаем, что

— ковариантная компонента вектора

. Ну и наконец переставим векторы в векторном произведении первого слагаемого, добавив минус как и положено по правилу векторного произведения

Аналогичным образом выделяем остальные компоненты

Выражения (11) — (13) очень напоминают формулы для расчета проекций векторного произведения из курса векторной алгебры, с точностью до множителя со смешанным произведением. Но мы-то работаем не в декартовом базисе, естественно ожидать некоторое отличие. Кстати, а что это за множитель? Ведь смешанное произведение векторов имеет геометрический смысл… Это же… объем параллелепипеда, натянутого на векторы в нем участвующие. А объем параллелепипеда, натянутого на базис это ведь корень из определителя метрического тензора! То есть

Вот она и всплыла на поверхность, метрика используемого пространства. Таким образом, можно построить некий тензор, свертка исходных векторов с которым дает ковариантный вектор, являющийся результатом векторного произведения. Более того, этот тензор связан с метрическим тензором. Таковой тензор третьего ранга носит имя итальянского математика Леви-Чивиты.

Не трудно увидеть, что компоненты тензора Леви-Чивиты определяются соотношением

Их будет 27, но большинство из них, а именно 21 равны нулю. Это те компоненты, индексы которых повторяются хотя бы один раз. Ненулевых компоненты только шесть, они соответствуют не повторяющимся индексам. По модулю они равны

, но три из них положительны, другие три отрицательны. В формулах (11) — (13) мы переставили векторы местами и добавили минусы, чтобы сделать коэффициенты при диадах положительными а сами формулы похожими на привычные нам по курсу векторной алгебры. Теперь вернем всё на свои места

Знак смешанных произведений зависит от порядка индексов: в наборах (1,2,3), (2,3,1), (3,1,2) они положительны, в наборах (1,3,2), (2,1,3) и (3,2,1) — отрицательны. Известно, что если векторы заданы в правой системе координат, то их смешанное произведение будет положительно, если они образуют правую тройку векторов. В первых слагаемых (16) — (18) фигурируют правые тройки векторов базиса. Во вторых слагаемых, в смешанном произведении участвуют те же векторы, но взятые как левая тройка.

Как определить, какую тройку дают базисные векторы? Очень просто, ведь они упорядочены, им присвоены номера 1, 2, 3. Если мы соблюдаем порядок следования векторов, мы получаем тройку, соответствующую используемой системе координат, то есть (1,2,3) — правая тройка.

А если первым мы берем вектор 2? То за ним должен следовать вектор 3, по порядку. А какой следующий? А следующий вектор 1, начинаем всё сначала, но не нарушая порядка следования векторов, то есть и (2,3,1) — правая тройка, ну и (3,1,2) — тоже правая тройка. Говоря языком комбинаторики — базисные векторы в упорядоченной тройке образуют четную перестановку (то есть не нарушающую порядок следования элементов). Если порядок следовая векторов в тройке обратный принятому, то их перестановка будет нечетной. Таким образом перестановки (3,2,1), (2,1,3), (1,3,2) — нечетные, а тройки векторов — левые.

Используя всё вышесказанное, введем функцию

и, на основании (14) и (19) наконец выпишем тензор Леви-Чивиты

для правой системы координат

для левой системы координат.

После этого можно выписать выражение для векторного произведения в тензорном виде

Таким образом — векторное произведение, это свертка диады тензором Леви-Чивиты, дающая на выходе

ковектор

— то есть вектор, заданный ковариантными компонентами.

4. Смешанное (векторно-скалярное) произведение векторов

Вооружившись полученными знаниями рассмотрим теперь такую операцию

Не оперируя векторами, попробуем сразу записать её в тензорном виде. Во-первых, скалярное произведение коммутативно, поэтому

А теперь вспомним, что скалярное произведение можно расписать как тензорное

произведение ковектора на вектор

Векторное произведение, исходя из (21)как раз и дает ковектор, а значит

То есть, окончательно, смешанное произведение в тензорной форме

где снова участвует тензор Леви-Чивиты.

Выражение (22) можно было получить оперируя векторами, выйдя опять на определение тензора Леви-Чивиты, но, как видно, рациональнее использовать тензорную запись.

5. Ранг тензора. Ковариантные и контравариантные компоненты

Итак, в процессе разбора векторных операций мы пришли к выводу, что тензоры — это математические объекты, обобщающие свойства и операции над многими, известными нам математическими объектами. Тензорами являются и скаляры и векторы. Различаются они рангом и количеством ковариантных и контравариантных компонент. Ранг равен общему числу индексов тензора, а обозначается он парой целых чисел в скобках (

p, q

), где

p

— число контравариантных индексов,

q

— число ковариантных индексов. Говорят что тензор —

p

-раз контравариантный и

q

-раз ковариантный, ранга

p+q

.

1. Тензор ранга (0,0) — это скаляр, величина, значение которой может быть выражено одним числом, со значением инвариантным относительно смены системы координат. У скаляра нет индексов, и он вообще не преобразуется при смене базиса. Но, повторимся, не всякое число есть скаляр. Так например, компонент вектора или тензора не есть скаляр, ибо он изменяется при смене базиса.
   
2. Тензор ранга (1,0) — вектор. Для вектора естественно контравариантное представление, для вычисления скалярного произведения векторов требуется их свертка с метрическим тензором.

   Преобразование компонент вектора производится путем применения к нему линейного оператора, по сути умножением матрицы преобразования на столбец, содержащий компоненты вектора, что в тензорной форме выглядит как

   
   
3. Тензор ранга (0,1) — ковектор. Если в рассматриваемом пространстве определен невырожденный метрический тензор
   то вектор и ковектор — это два разных представления одного и того же геометрического объекта — вектора. В ортогональном базисе (векторы которого взаимно перпендикулярны) контравариантные и ковариантные координаты cовпадают. Переход от одного представления к другому производится сверткой с метрическим тензором
   где контрвариантный метрический тензор, компоненты которого — матрица,
   обратная матрице компонент тензора .

   Для скалярного умножения ковектора на вектор не нужно использовать метрический тензор, оно производится прямой сверткой с вектором.

   
   Преобразование компонент ковектора так же производится путем применения к нему линейного оператора, но в отличие от вектора, производится умножение строки, содержащей компоненты ковектора на матрицу преобразования координат
   
4. Тензор ранга (0,2) — билинейная форма, примером которой может служить дважды ковариантный метрический тензор g_ij. Компоненты метрического тензора преобразуются путем двукратного применения к нему линейного оператора преобразования координат, что соответствует умножению транспонированной матрицы преобразования на матрицу метрического тензора и последующему умножению результата на матрицу преобразования
   
5. Тензор ранга (2,0) — примером может служить диада (8). Вообще, все тензоры рангов (k,0) называются поливекторами или полиадами (триады, тетрады и т.д.), и образованы они как линейные комбинации тензорных произведений соответствующего количества векторов. Их компоненты преобразуются соответствующим рангу количеством применения линейных
   операторов, преобразующих исходные векторы.
   
6. Тензор ранга (1,1) — линейный оператор. Примером может служить матрица поворота или любого другого преобразования координат векторов и ковекторов. Вообще, применение линейного оператора сводится к операции матричного умножения
   где — результат преобразования; — исходный вектор; — компоненты матрицы линейного оператора. Рассмотрим процесс преобразования линейного оператора. Пусть S матрица перехода от одно базиса к другому. Тогда, при смене базиса преобразуются оба вектора — и аргумент и результат
   Подставляя (24) в (23) получаем
   откуда, умножая слева на матрицу получаем
   где — компоненты матрицы . С другой стороны, для векторов в новом базисе справедливо
   сравнивая (25) и (26), получаем выражение преобразования линейного оператора
   Все перечисленные объекты обладают общностью свойств: имеют набор компонент и правило преобразования при смене базиса.
   

Выводы

Подведем некоторые итоги.

Во-первых, мы выяснили, что векторные операции могут быть сведены к тензорным соотношениям, что избавляет нас от неудобства каждый раз выводить формулы для них при использовании экзотической системы координат или увеличении размерности пространства. Соотношения останутся прежними, изменится только внутренность тензоров, связанных с геометрией пространства и выбором положительного направления вращения в нем. Учитывая, что многие уравнения физики, математики и механики оперируют векторными величинами, использование тензоров позволяет записать уравнения лишь однажды. Кроме того, тензорная запись компактна — это упрощает проведение выкладок.

Во-вторых, мы понимаем, что многие математические объекты — скаляры, векторы, билинейные формы, линейные операторы — всё это частные случаи тензоров, а значит их свойства могут быть обобщены под могучим крылом своего более сложного собрата-тензора.

В дальнейшем мы увидим, как тензорная запись позволяет подходить к весьма прозаичным вопросам с общих позиций, облегчая жизнь исследователю.

Продолжение следует…

Error

Jump to… Jump to…Согласие на обработку персональных данных Учебно-тематический планАвторы и разработчики курсаИнформация для студентов и преподавателейВводная лекцияIntroductory lectureЛекция о системе обозначений Lecture on the notation systemВидеолекция (часть 1)Lecture (Part 1)Видеолекция 2. Операции над функциями. Свойства функции.Lecture 2. Operations on functions. The properties of the functionТеоретический материал Практическое занятие. Исследование свойств функций по определениюPractical lesson. Investigation of the properties of functions by definitionЗадачи для самостоятельной работыРешения задачТест 1.1.1(Часть 1). Числовые функцииQuiz 1.1.1 (part 1)Тест 1.1.1(Часть 2). Числовые функцииQuiz 1.1.1 (part 2)Видеолекция 1. Числовая последовательность Lecture 1. Numeric sequenceВидеолекция 2. Предел числовой последовательностиLecture 2. The limit of a numeric sequence.Practical lesson 1. Study of properties of a numerical sequence by conventionПрактическое занятие 1 (часть 2)Теоретический материалЗадачи для самостоятельной работыРешения задачТест 1.1.2. Числовые последовательностиВидеолекция 1. Предел функции в точкеLecture 1. The limit of a function at a pointВидеолекция (часть 2)Практическое занятие 1. Вычисление пределов, неопределенности.Practical lesson 1. Calculation of limits. UncertaintiesПрактическое занятие 2. Вычисление пределов. Замечательные пределы.Practical lesson 2. Calculation of limits. Remarkable limits.Задачи для самостоятельной работыРешения задачТест 1.1.3. Предел функции в точкеВидеолекция. Непрерывность функции в точкеLecture 1. Сontinuity of a function at a pointПрактическое занятие. Исследование функций на непрерывность. Классификации точек разрываPractical lesson. The study of function continuity and classification of discontinuity pointsЗадачи для самостоятельной работыРешения задачТест 1.1.4. Непрерывность функции в точкеВидеолекция (часть 1)Lecture 1. Differential calculus of functions of a single variableВидеолекция (часть 2)Lecture 2. Differentiation of a function given parametricallyПрактическое занятие 1. Правила дифференцированияПрактическое занятие 2. Логарифмическое дифференцирование. Дифференцирование функции, заданной параметрическиPractical lesson 1. Logarithmic differentiation. Differentiating a function defined parametricallyPractical lesson 2. Rules of differentiationЗадачи для самостоятельной работыРешения задачТаблица производныхТест 1.1.5 Производная функцииВидеолекция 1. Геометрический и физический смысл производнойLecture 1. Geometric and physical meaning of the derivativeВидеолекция 2. Дифференциал функцииLecture 2. Differential of a functionПрактическое занятие 1. Геометрический смысл производнойPractical lesson 1. The geometric meaning of the derivativeПрактическое занятие 2. Производные и дифференциалы высших порядковPractical lesson 2. Higher-order derivatives and differentialsЗадачи для самостоятельной работыРешения задачТест 1.1.6. Геометрический и физический смысл производнойQuiz 1.1.6. Geometric and physical sense of the derivativeВидеолекция 1. Основные теоремы дифференциального исчисления.Lecture 1. Basic theorems of differential calculusВидеолекция 2. Исследование функций на монотонность и выпуклостьLecture 2. The study of the monotonicity of the functionПрактическое занятие 1. Исследование свойств функций с помощью производнойPractical lesson 1. Studying the properties of functions using a derivativeПрактическое занятие 2. Правило ЛопиталяPractical lesson 2. L’Hospital’s ruleЗадачи для самостоятельной работы (Часть 1)Решения задач (Часть 1)Задачи для самостоятельной работы (Часть 2)Решения задач (Часть 2)Тест 1.1.7 (часть 1). Исследование свойств функции с помощью производнойQuiz 1.1.7 (part 1)Тест 1.1.7 (Часть 2). Исследование свойств функции с помощью производнойQuiz 1.1.7 (part 2)Теоретический материал (Часть 1)Задачи для самостоятельной работы (Часть 1)Решения задач (Часть 1)Теоретический материал (Часть 2)Задачи для самостоятельной работы (Часть 2)Решения задач (Часть 2)Тест 1.1.8. Асимптоты графика функцииВидеолекция. Дифференциальное и интегральное исчислениеLecture. Differential and Integral CalculationЗадачи для самостоятельной работыРешения задачТаблица интеграловТест 1.2.1. Неопределенный интегралВидеолекция. Неопределенный интеграл: методы интегрирования.Lecture. Indefinite integral: methods of integration.Практическое занятие. Внесение функции под знак дифференциалаPractical lesson. Adding a function under the sign of the differentialЗадачи для самостоятельной работыРешения задачТест 1.2.2. Методы интегрированияВидеолекция 1. Интегрирование дробно-рациональных функций (часть1)Lecture 1. Integration of fractional-rational functions (part 1)Видеолекция 2. Интегрирование дробно-рациональных функций (часть 2)Lecture 2. Integration of fractionally rational functions (part 2)Практическое занятие 1. Интегрирование иррациональных выражений (часть 1)Practical lesson 1. Integration of irrational expressions (part 1)Практическое занятие 2. Интегрирование тригонометрических функцийPractical lesson 2. Integration of trigonometric functionsЗадачи для самостоятельного решенияРешения задачТест 1.2.3. Интегрирование рациональных дробей, тригонометрических и иррациональных функцийВидеолекция. Определенный интеграл: интеграл РиманаLecture. Definite integral: Riemann integral. Практическое занятие 1. Вычисление определенного интегралаPractical lesson 1. Calculating a certain integralЗадачи для самостоятельной работыРешения задачТест 1.2.4. Определенный интегралВидеолекция LectureЗадачи для самостоятельного решенияРешения задачТест 1.2.5 Приложения определенного интегралаВидеолекция. Несобственный интегралыLecture. Improper integralЗадачи для самостоятельного решенияРешения задачТест 1.2.6. Несобственные интегралыВидеолекция 1. Функции нескольких переменныхLecture 1. Functions of Multiple VariablesВидеолекция 2. Частные производныеLecture 2. Partial derivativesПрактическое занятие. Функция двух переменныхPractical lesson. Function of several variablesЗадачи для самостоятельной работыРешения задачТест 1.3.1. Функции нескольких переменных (основные понятия)Quiz 1.3.1Видеолекция Дифференцируемость функции двух переменныхLecture. Differentiable functions of two variablesПрактическое занятие 1. Производные и дифференциалы высших порядковПрактическое занятие 2. Понятие дифференциала первого и второго порядкаPractical lesson 2. The concept of the first- and second-order differentialЗадачи для самостоятельной работыРешения задач Тест 1.3.2. Дифференцирование функции нескольких переменныхQuiz 1.3.2Видеолекция 1. Дифференцирование сложной функции, заданной неявноLecture 1. Differentiation of a complex function and a function given implicitlyВидеолекция 2. Производная по направлению. ГрадиентLecture 2. The directional derivative and the gradientПрактическое занятие 1. Производная по направлению, градиентPractical lesson 1. The directional derivative, the gradientПрактическое занятие 2. Исследование свойств функций по определениюPractical lesson 2. Investigating function properties by defenition Практическое занятие 3. Дифференцирование сложной функции и дифференцирование функции, заданной неявноPractical lesson 3. Differentiation of a composite function and differentiation of implicitly defined functionЗадачи для самостоятельного решенияРешения задачТест 1.3.3. Частные производныеQuiz 1.3.3Видеолекция 1. Экстремум функции двух переменныхВидеолекция 2. Экстремумы функции в замкнутой областиЗадачи для самостоятельной работы (Часть 1)Решения задач (Часть 1)Задачи для самостоятельной работы (Часть 2)Решения задач (Часть 2)Тест 1.3.4. Экстремум функции двух переменныхQuiz 1.3.4Видеолекция 1. Двойной интеграл Lecture 1. Double integral Видеолекция 2. Вычисление двойного интегралаLecture 2. Calculation of the double integralПрактическое занятие 1. Вычисление двойного интегралаPractical lesson 1. Calculating a certain integralПрактическое занятие 2. Вычисление двойного интегралаPractical lesson 2. Calculating a certain integralЗадачи для самостоятельного решения (Часть 1)Решения задач (Часть 1)Задачи для самостоятельного решения (Часть 2)Решения задач (Часть 2)Тест 1.3.5. Двойной интегралQuiz 1.3.5Видеолекция. Криволинейные интегралыLecture. Curvilinear integralsПрактическое занятие. Вычисление криволинейные интегралов I и II родаPractical lesson. Calculating curvilinear integrals 1 and 2 kind Задачи для самостоятельного решенияРешения задачТест 1.3.6. Криволинейные интегралыАттестация по модулю 1Итоговое тестирование по курсу (2-1)Видеолекция 1. Система линейных уравнений: основные понятияПрактическое занятие 1. Системы линейных уравненийPractical lesson (part 1). Systems of linear equationsТеоретический материал (лекция 1)Задачи для самостоятельной работы 1Решения задач 1Видеолекция 2. Решение систем линейных уравнений методом ГауссаПрактическое занятие 2. Решение систем линейных уравнений методом гауссаPractical lesson (part 2). The system of linear equationsТеоретический материал (лекция 2)Задачи для самостоятельной работы 2Решения задач 2Видеолекция 3. Исследование систем линейных уравненийLecture 3. A system of linear equationsPractical lesson (part 3). The system of linear equationsПрактическое занятие 3. Исследование систем линейных уравненийТеоретический материал (лекция 3)Задачи для самостоятельной работы 3Решения задач 3Тест 2.1.1. Системы линейных уравненийСправочник (часть 1)Справочник (часть 2)Справочник (часть 3)Видеолекция 1. Векторное пространствоLecture 1. Vector spaceВидеолекция 2. линейная зависимость векторов. Базис векторного пространстваLecture 2. Linear dependence of vectors and the concept of the basis of the vector systemПрактическое занятие 1. Арифметическое векторное пространствоPractical lesson 1. Arithmetic vector spaceПрактическое занятие 2. Линейная зависимость векторов. Базис векторного пространстваPractical lesson 2. Linear dependence of vectors and the concept of the basis of the vector systemТеоретический материал (лекция 1)Задачи для самостоятельной работы 1Решения задач 1Теоретический материал (лекция 2)Задачи для самостоятельной работы 2Решения задач 2Тест 2.1.2. Арифметическое n-мерное векторное пространствоСправочник (часть 1)Справочник (часть 2)Видеолекция 1. Исследование систем линейных уравненийLecture 1. Study systems of linear equationsВидеолекция 2. Однородная система линейных уравненийLecture 2. Homogeneous system of equationsПрактическое занятие 1. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравненийPractical lesson 1. Fundamental system of solutionsПрактическое занятие 2Practical lesson 2Теоретический материал (лекция 1)Теоретический материал (лекция 2)Задачи для самостоятельной работыРешения задачТест 2.1.3. Исследование систем линейных уравненийСправочникВидеолекция 1. Матрицы и определителиLecture 1. Matrix determinantВидеолекция 2. Операции над матрицамиLecture 2. Operations on matricesВидеолекция 3. Обратная матрицаLecture 3. Inverse matrixПрактическое занятие 1. Операции над матрицамиPractical lesson 1. The operations on matrices Практическое занятие 2. Вычисление определителейТеоретический материал (лекция 1)Задачи для самостоятельной работы 1Решения задач 1Теоретический материал (лекция 2)Задачи для самостоятельной работы 2Решения задач 2Теоретический материал (лекция 3)Тест 2.1.4. МатрицыQuiz 2.1.4. MatricesСправочник (часть 1)Справочник (часть 2)Справочник (часть 3)Видеолекция 1. Прямоугольная декартова система координатLecture 1. Rectangular Cartesian coordinate systemТеоретический материалПрактическое занятие. Решение задач в координатахPractical lesson. Solution of problems in coordinatesЗадачи для самостоятельной работыРешения задачТест 2.2.1. Декартова система координатСправочникВидеолекция 1. Скалярное произведение векторовLecture 1. Scalar product of vectorsТеоретический материал (Часть 1)Видеолекция 2. Векторное и смешанное произведения векторовLecture 2. Vector and mixed products of vectorsПрактическое занятие 1. Скалярное произведение векторовPractical lesson 1. Scalar product of vectorsПрактическое занятие 2. Применение произведений векторов при решении задачPractical lesson 2. vector and mixed product of vectors to solve themЗадачи для самостоятельной работы 1Решения задач 1Тест 2.2.2.(часть 1). Скалярное произведение векторов. Длина вектора. Векторное произведение векторов. Смешанное произведение векторовЗадачи для самостоятельной работы 2Решения задач 2Тест 2.2.2. (часть2). Скалярное произведение векторов. Длина вектора. Векторное произведение векторов. Смешанное произведение векторовСправочник (Часть 1)Справочник (Часть 2)Видеолекция. Уравнения прямой на плоскости и в пространствеLecture. Equation of a straight line on a plane and in spaceТеоретический материалПрактическое занятие 1. Уравнения прямой на плоскостиPractical lesson 1. Related to the equation of a straight line on a planeЗадачи для самостоятельной работы 1Решение задач 1Практическое занятие 2. Взаимное расположение прямыхPractical lesson 2. The relative position of straight lines.Задачи для самостоятельной работы 2Решение задач 2Тест 2.2.3. Уравнения прямойСправочникВидеолекция. Уравнение плоскости. Взаимное расположение прямой и плоскостиТеоретический материалПрактическое занятие. Уравнение плоскости. Взаимное расположение прямой и плоскости Practical lesson. Equation of a plane Задачи для самостоятельной работы 1Решение задач 1Задачи для самостоятельной работы 2Практическое занятие 2. Взаимное расположение плоскостейPractical lesson 2. Relative position of planesРешение задач 2Тест 2.2.4. Уравнения плоскостиСправочникВидеолекция 1. ЭллипсLecture 1. EllipseТеоретический материал Часть 1Практическое занятие 1. ЭллипсPractical lesson 1. EllipseЗадачи для самостоятельной работы 1Решение задач 1Видеолекция 2. Гипербола и параболаLecture 2. Hyperbola and parabolaТеоретический материал (Часть 2)Практическое занятие 2. Гипербола и параболаЗадачи для самостоятельной работы 2Решение задач 2Тест 2.2.5. Кривые второго порядкаСправочник (Часть 1)Справочник (Часть 2)Аттестация по модулю 2Анкета обратной связиИтоговое тестирование по курсу (1-2)Итоговое тестирование по курсу (2)Видеолекция 1. Основные понятия теории вероятностей Lecture 1. Basic concepts of probability theoryВидеолекция 2. Вероятность случайного событияLecture 2. Probability of a random eventПрактическое занятие 1. Классическая вероятностьPractical lesson 1. Classical probabilityЗадачи для самостоятельной работы (часть 1)Решения задач (часть 1)Практическое занятие 2. Операции над событиями. Practical lesson (part 2). Algebra of events. Properties of probabilitiesЗадачи для самостоятельно работы (часть 2)Решения задач (часть 2)Теоретический материалТест 3.1.1. Классическая вероятностьВидеолекция 1. Условная вероятностьLecture 1. Conditional probabilityПрактическое занятие 1. Условная вероятность. Формула полной вероятности. Формула БайесаPractical lesson 1. Conditional probability. The formula of total probability, Bayes ‘ formulaЗадачи для самостоятельной работы. Условная вероятностьРешения задач. Условная вероятностьВидеолекция 2. Повторные независимые опыты и формула БернуллиLecture 2. Repeated Independent Experiments and the Bernoulli FormulПрактическое занятие 2. Схема БернуллиPractical lesson 2. Bernoulli’s formulaЗадачи для самостоятельной работы. Схема БернуллиРешения задач. Схема БернуллиТеоретический материалТест 3.1.2. Условная вероятностьВидеолекция 1. Дискретные лучайные величиныLecture 1. Discrete random variablesВидеолекция 2. Числовые характеристики дискретных случайных величинПрактическое занятие. Дискретные случайные величиныPractical lesson. Discrete random variablesЗадачи для самостоятельного решенияРешения задачЛабораторная работа. Законы распределения дискретных случайных величинLaboratory work 1. Distribution Laws of Discrete Random VariablesЛабораторная работаРешения задач (лабораторная работа)Теоретический материалТест 3.2.1. Дискретные случайные величиныВидеолекция 1. Непрерывные случайные величиныВидеолекция 2. Частные случаи распределений случайных величинLecture 2. Special cases of distributions of random variablesПрактическое занятие. Непрерывные случайные величиныPractical lesson. Continuous random variableЗадачи для самостоятельного решенияРешения задачЛабораторная работа (видео). Законы распределения непрерывных случайных величинLaboratory work (video). Distribution Laws of Continuous Random VariablesЛабораторная работаРешения задач (лабораторная работа)Теоретический материалТест 3.2.2. Непрерывные случайные величиныТеоретический материалТест 3.3.1. Законы больших чиселВидеолекция 1. Система случайных величин (часть 1)Видеолекция 2. Система случайных величин (часть 2)Lecture 2. Systems of random variables (part 2)Практическое занятие. Система случайных величинЗадачи для самостоятельной работыРешения задачЛабораторная работаРешение задачи (лабораторная работа)Теоретический материалТест 3.4.1. Совместный закон распределенияВидеолекция 1. Характеристическая функция случайной величиныLecture 1. Characteristic function of a random variableВидеолекция 2. Свойства характеристической функции случайной величиныLecture 2. Properties of characteristic functions random variable Практическое занятие 1. Вычисление характеристической функции случайной величиныPractical lesson 1. Calculation of Characteristic Functions Практическое занятие 2. Проверка устойчивости для стандартных распределенийPractical lesson 2. Testing the robustness for standard distributions.Задачи для самостоятельного решения (часть 1)Задачи для самостоятельного решения (часть 2)Решения задач (часть 1)Решения задач (часть 2)Тест 3.4.2. (данное тестирование по теме 1)Видеолекция. Основные понятия математической статистикиLecture. The basic concepts of mathematical statisticsЛабораторная работа (видео). Основные понятия математической статистикиLaboratory work (video). Basic concepts of mathematical statisticsТеоретический материалЛабораторная работа. Основные понятия математической статистикиРешения задач (лабораторная работа)Тест 3.5.1. Основные понятия математической статистикиQuiz 3.5.1.Видеолекция. Статистические оценки параметров генеральной совокупности. Lecture. Statistical estimates of general population parametersЛабораторная работа 1 (видео). Статистические оценки параметров генеральной совокупностиLaboratory work 1 (video). Statistical estimators of the parameters of the populationЛабораторная работа 1. Статистические оценки параметров генеральной совокупностиРешения задач 1Лабораторная работа 2 (видео). Минимальный или оптимальный объем выборочной совокупностиLaboratory work 2(video). Minimum or optimal sample sizeЛабораторная работа 2. Минимальный или оптимальный объем выборочной совокупностиРешения задач 2Теоретический материалТест 3.5.2. Статистические оценкиQuiz 3.5.2Видеолекция. Зависимость между величинами. Виды зависимостейLecture. Dependence between quantities. Types of dependenciesТеоретический материал 1Лабораторная работа 1 (видео, часть 1). Парный корреляционный анализLaboratory work 1 (video, part 1). Pair correlation analysisЛабораторная работа 1. Парный корреляционный анализЛабораторная работа 1 (видео, часть 2). Множественный корреляционный анализРешение задач 1Лабораторная работа 2 (видео, часть 2). Парный регрессионный анализLaboratory work 2 (video, part 2). Paired Regression AnalysisЛабораторная работа 2. Парный регрессионный анализРешения задач 2Теоретический материал 2Тест 3.5.3. Зависимость между величинамиQuiz 3.5.3Лекция. Статистические гипотезы Теоретический материалЛабораторная работа (видео). Статистический критерий хи-квадратLaboratory work. The Chi-Square StatisticЛабораторная работа 1. Критерий хи-квадратРешения задач (Критерий хи-квадрат)Лабораторная работа 2. Критерий ПирсонаЛабораторная работа (расчетная таблица)Решения задач (Критерий Пирсона)Тест 3.6.1. Проверка статистических гипотез: основные понятияQuiz 3.6.1Видеолекция. Проверка статистических гипотезLecture. Testing statistical hypothesesЛабораторная работа 1 (видео). Сравнение средних выборочных совокупностей при известных дисперсиях генеральных совокупностейLaboratory work 1. Comparison of Sampled Population Means with Known Population VariancesЛабораторная работа 1. Сравнение средних выборочных совокупностей при известных дисперсиях генеральных совокупностейРешения задач (лабораторная работа 1)Лабораторная работа 2 (часть 1). Сравнение средних независимых выборочных совокупностей при неизвестных дисперсиях генеральных совокупностейLaboratory work 2 (part 1). Comparison of means of independent sample populations with unknown variances of general populationsЛабораторная работа 2 (часть 2). Сравнение средних зависимых выборочных совокупностей при неизвестных дисперсиях генеральных совокупностейLaboratory work 2 (part 2). Comparison of mean dependent sample populations with unknown variances of general populationsЛабораторная работа 2. Проверка статистических гипотез о сравнении средних выборочных совокупностей, если не известны дисперсии генеральных совокупностейРешения задач (лабораторная работа 2)Теоретический материалТест 3.6.2. Проверка гипотезQuiz 3.6.2Аттестация по модулю 3Итоговое тестирование по курсу 1-2-3Итоговое тестирование по курсу для математических специальностейИтоговое тестирование по курсу (3)

Перекрестное произведение | Глоссарий | Underground Mathematics

Перекрестное произведение (или векторное произведение ) двух трехмерных вещественных векторов \ (\ mathbf {a} \) и \ (\ mathbf {b} \), записанное \ (\ mathbf { a} \ times \ mathbf {b} \) или \ (\ mathbf {a} \ wedge \ mathbf {b} \) — еще один трехмерный вектор. Он определяется следующим образом: \ [\ begin {pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \ end {pmatrix} \ раз \ begin {pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} a_2 b_3 — a_3 b_2 \\ a_3 b_1 — a_1 b_3 \\ a_1 b_2 — a_2 b_1 \ end {pmatrix}.\] Его также можно вычислить, развернув «определитель» \ [\ begin {vmatrix} \ mathbf {i} & \ mathbf {j} & \ mathbf {k} \\ а_1 и а_2 и а_3 \\ b_1 и b_2 и b_3 \ end {vmatrix}. \]

Это вектор (отсюда и название «векторный» продукт). Определение нелегко распространить на векторы \ (\ mathbf {a} \) и \ (\ mathbf {b} \) с компонентами \ (n \) для \ (n \ ne3 \). (Сравните это с скалярным произведением, которое дает скаляр и имеет простое обобщение.)

Перекрестное произведение объединяет информацию о длинах \ (\ mathbf {a} \) и \ (\ mathbf {b} \) и их направлениях.В частности, \ [\ mathbf {a} \ times \ mathbf {b} = | \ mathbf {a} | \, | \ mathbf {b} | \ грех \ тета \, \ hat {\ mathbf {n}} \], где \ (| \ mathbf {a} | \) и \ (| \ mathbf {b} | \) — длины (величины) \ (\ mathbf {a } \) и \ (\ mathbf {b} \), \ (\ theta \) — угол между двумя векторами (с \ (0 \ le \ theta \ le \ pi \)) и \ (\ hat { \ mathbf {n}} \) — единичный вектор, перпендикулярный как \ (\ mathbf {a} \), так и \ (\ mathbf {b} \). Вектор \ (\ hat {\ mathbf {n}} \) выбран так, чтобы \ (\ mathbf {a} \), \ (\ mathbf {b} \) и \ (\ hat {\ mathbf {n}} \) удовлетворяют правилу для правой руки : если вы используете правую руку, укажите первым (указательным) пальцем в направлении \ (\ mathbf {a} \), а вторым (средним) пальцем — в направлении \ (\ mathbf {b} \), то при поднятии большого пальца он будет указывать в направлении \ (\ hat {\ mathbf {n}} \) и, следовательно, в направлении \ (\ mathbf {a} \ times \ mathbf {b} \).

Отсюда следует, что для ненулевых векторов \ (\ mathbf {a} \) и \ (\ mathbf {b} \) перекрестное произведение равно нулю точно тогда, когда \ (\ mathbf {a} \) и \ (\ mathbf {b} \) параллельны друг другу.

Любые два вектора \ (\ mathbf {a} \) и \ (\ mathbf {b} \) определяют параллелограмм и треугольник. Площадь параллелограмма равна \ (| \ mathbf {a} \ times \ mathbf {b} | \), а площадь треугольника составляет половину этой площади.

Для каждого выбора \ (\ mathbf {a} \), \ (\ mathbf {b} \) и \ (\ mathbf {c} \) и каждого скаляра \ (\ lambda \) мы имеем \ [\ begin {align *} \ mathbf {a} \ times \ mathbf {b} & = — \ mathbf {b} \ times \ mathbf {a} && \ text {(антикоммутативность)} \\ \ mathbf {a} \ times (\ mathbf {b} + \ mathbf {c}) & = \ mathbf {a} \ times \ mathbf {b} + \ mathbf {a} \ times \ mathbf {c} && \ text {(дистрибутивность над сложением)} \\ (\ lambda \ mathbf {a}) \ times \ mathbf {b} & = \ lambda (\ mathbf {a} \ times \ mathbf {b}) = \ mathbf {a} \ times (\ lambda \ mathbf {b} ).\ конец {выравнивание *} \]

math_tutorial_10

10.1 — Знакомство с кросс-произведением

Скалярное произведение, описанное в предыдущем руководстве, — это только один способ умножения двух векторов. Мы также можем умножить два вектора \ (\ overrightarrow {A} \) и \ (\ overrightarrow {B} \), используя перекрестное произведение .

Эта операция записывается как

\ (\ overrightarrow {C} = \ overrightarrow {A} \ times \ overrightarrow {B} \)

В уравнении символ «×» представляет математическую операцию, известную как перекрестное произведение .

Примечание. Результатом взятия перекрестного произведения двух векторов является другой вектор, тогда как взятие скалярного произведения двух векторов (см. Учебное пособие 9) дает скалярную величину.

Величина вектора, полученного в результате перекрестного произведения, равна произведению модулей двух векторов и синуса угла между ними.

Так

\ (C = | \ overrightarrow {A} \ times \ overrightarrow {B} | = AB {\,} \ mathtt {sin} \, \ phi \)

Перекрестное произведение двух векторов \ (\ overrightarrow {A} \) и \ (\ overrightarrow {B} \) всегда является вектором, перпендикулярным как \ (\ overrightarrow {A} \), так и \ (\ overrightarrow {B}. \), как мы видим на картинке:

Перекрестное произведение — это вектор \ (\ overrightarrow {C} \), который перпендикулярен как \ (\ overrightarrow {A} \), так и \ (\ overrightarrow {B} \), и имеет величину AB sin ϕ, которая равна площади показанного параллелограмма.

Примечание. Порядок двух векторов в перекрестном произведении имеет значение. Перекрестное произведение \ (\ overrightarrow {B} \) и \ (\ overrightarrow {A} \) является отрицательным перекрестным произведением \ (\ overrightarrow {A} \) и \ (\ overrightarrow {B} \) или

\ (\ overrightarrow {A} \ times \ overrightarrow {B} = — \ overrightarrow {B} \ times \ overrightarrow {A} \)

Это является результатом определения угла ϕ, показанного на диаграмме — ϕ направлен от первого вектора (\ (\ overrightarrow {A} \)) ко второму вектору ( \ (\ overrightarrow {B} \) ) .Если вы перемещаете угол от второго вектора к первому — в обратном направлении, -ϕ становится отрицательным. Синус отрицательного угла также отрицателен, поэтому вычисление перекрестного произведения даст отрицательный ответ.

Перекрестные продукты являются распределительными, поэтому \ (\ overrightarrow {A} \ times (\ overrightarrow {B} + \ overrightarrow {C}) = \ overrightarrow {A} \ times \ overrightarrow {B} + \ overrightarrow {A} \ times \ overrightarrow {C} \)

10.2 — Определение направления поперечного произведения

Определение направления перекрестного произведения
— Потратьте
минут, чтобы попрактиковаться в этом
для \ (\ overrightarrow {A} \ times \ overrightarrow {B} \) и \ (\ overrightarrow {B} \ times \ overrightarrow {A} \).У
вы получаете противоположное направление
для вектора \ (\ overrightarrow {C} \)?

Для определения направления векторного произведения

\ (\ overrightarrow {C} = \ overrightarrow {A} \ times \ overrightarrow {B} \), вы можете использовать правило правой руки.

Как это сделать:

1. Укажите пальцами правой руки в направлении первого вектора перекрестного произведения (в данном случае \ (\ overrightarrow {A} \)).

2. Затем согните пальцы ко второму вектору \ (\ overrightarrow {B} \).Если вы высунете большой палец прямо, он будет указывать в направлении перекрестного произведения, вектора \ (\ overrightarrow {C} \) (изображение слева может помочь).

Если вместо этого вы хотите найти направление перекрестного произведения \ (\ overrightarrow {B} \ times \ overrightarrow {A} \), начните с направления пальцами правой руки в направлении вектора \ (\ overrightarrow {B } \). Затем сверните их к вектору \ (\ overrightarrow {A} \). Ваш большой палец снова указывает в направлении перекрестного произведения.

Обратите внимание, что использование этого метода \ (\ overrightarrow {A} \ times \ overrightarrow {B} \) дает направление, противоположное \ (\ overrightarrow {B} \ times \ overrightarrow {A} \), как и ожидалось!

10.3 — Перекрестное произведение — особые случаи

Стоит отметить два частных случая перекрестного произведения.

1. Произведение перпендикулярных векторов

В данном случае угол между векторами ϕ = 90 °, поэтому sin ϕ = 1

Следовательно, величина векторного произведения перпендикулярных векторов равна:

\ (| \ overrightarrow {A} \ times \ overrightarrow {B} | = AB {\,} \ mathtt {sin} {\,} 90 ° = AB (1) = AB \)

2.Перекрестное произведение параллельных векторов

В данном случае угол между векторами ϕ = 0 °, поэтому Sin ϕ = 0

Следовательно, величина векторного произведения параллельных векторов равна:

\ (| \ overrightarrow {A} \ times \ overrightarrow {B} | = AB {\,} \ mathtt {sin} {\,} 0 = AB (0) = 0 \)

Одним из примеров этого является векторное произведение вектора на себя, \ (\ overrightarrow {A} \ times \ overrightarrow {A} \) = 0.

Попробуйте сами 1

Оцените величину следующих перекрестных произведений,

Последовательность вопросов

Вопрос 1.1

fY4hPY5tf3rubx0MIF3AqWSK4CA9xuNLt0K8OPx8hzdcM80N4k66ZqkGeLFQx / qkKnVx57wVVfxhV + r30DmmLoAQoT / sSSUOMabRbXZPnxvHBPhYbD / WvcLJRoTWx8zVq0QkZfZHPNTWBtfCkgXDn3E6QfJfzgxq2rNaZxVCvhb1TnB / XJcYRpHj2srNTACVo1CTBfep0gETyz84VBLudArRzYW7Ne6tZ + NQ0cBunlNBWX8hUfKxhHBh51l647eX3SzuuPgfZ5jMzcsTLiWaMw ==

2

Попробуйте еще раз.

Правильно.

Неправильно.

Вопрос 1.2

BM0UEIYSzsOKWgs2NNTdQimmjCVdODIA2QCBNZyAbGNJzVh5pyIkuhqlm8uXk / 2XD4z4W9AWo8SCNSqUXQhnk0Hg9Of0YweMN1TaSZ19pTptamC1a3c9gL7WucagYM1YrEGP7P7kfcpHO7k + pV4GbL5QxgxoYUpg6o + dKWEyTtYRntSlMSLi7BGzz7x1k3H0QhBzJtC0 + MbHQ9 + rv7s7XqtzoMPRddJZb / 0bhb2AoTNvVg1ppSF842d2VmE0whBUYxz2jUYGVtJcAqTriRGSnw ==

2

Попробуйте еще раз. Помните, что величины всегда положительны.

Правильно.

Неправильно.

Вопрос 1.3

S + gJTjAbjuG3LRR6OvHejvJJR5zi4kaYK4h7ezqVErhTtr7m / giZCwlndc3mkHJFRgP / 34aeA6w6XwSm / oOVacEj71x6YsHYUhxcW8JJeXtf3fOXV8563G7vGIwA9vRi7o0mACognoe + 5jn66 / AInWPCVFVEKY5PQAMnXEsp6lySJfLeDGL7BdY4nIHpNqS + clQ4C8OZN7BwKb8QJ6 + pyjwdcIL0fNSyc4gph + u6iUljFeEBJTq9MiX7uRG4abBgeJOjP9UhED2jvCS1G7Dggg ==

2

Попробуйте еще раз. Что такое перекрестное произведение параллельных векторов?

Правильно.

Неправильно.

Рабочий пример

Попробуйте сами 2

Последовательность вопросов

Вопрос 1.4

По вопросам 4-8:
Вектор \ (\ overrightarrow {A} \) имеет компоненты, A _x = 2, A _y = 2, A _z = 0
Вектор \ (\ overrightarrow {B} \) имеет компоненты B _x = 7, B _y = 0, B _z = 0

txbS + Sn6B8q3m6GPefh3IocHGkqu3TIrIresh0t1RFJbchA5lqmudu / 5C3dQ3PB6dWTPxatiF5IFWtlc + 7whhQ ==

2

Попробуйте еще раз.Найдите результирующий вектор A _x и A _y .

Правильно.

Неправильно.

Вопрос 1.5

cAorbWSVDOL3oecAo3VPO + rIzUVPYPSSA2WXk9xR3vuNFkb + Ee7EbUzxzPjU4iuDXI2xFRQhXxy2ad6HEr + 6LQ ==

2

Попробуйте еще раз.

Правильно.

Неправильно.

Вопрос 1.6

PgMJ1xzEPsMYc7xcnenXwwkzSutam4mz5pecfQ9s3pvxUmQo36 / 77QYmGUNsW9EtuKVqv6wfRAV / E6xyh3fNRzN / + R0xA5tWsezPWmkfNLO2e

2

Попробуйте еще раз.Используйте набросок, чтобы понять это.

Правильно.

Неправильно.

Вопрос 1,7

O4Haxy + Dm / 53XrxCZQUdNxvknoE1jqeLG5jzDq2fn05j7qIwbyRYBziWqXOV4OqG4cJRpK53F2d9IOrMV72HFml / GkwVeYFwSV / jNCm5CyQCNqxnq

2

Попробуйте еще раз. В этой части используйте ответы на вопросы 4–6.

Правильно.

Неправильно.

Вопрос 1.8

5Pwcobh5Np46lJzjqEwguIuy / 0xN974BL0qURdc5FMem6qgfkOZrUKMfAoozZMcMYMxUc7SlnQFkpiLYYo0n0JAdtmyBVlAv09pg / KaD6rl6ekTx + sHV8SvdzVMjJdooFMugMUhlVOaHb0CV / уА / + TdmbtPIOgIn5MMexK500twZDjFNSnEQOIYP472PoifxeOYlAkgP1CLTuMWYcRtSB5aghdqKKklM + XX / WdOtzAUsVmX / mrDpwlctJ8qqe4DNbSW / wz4dLPF / l01uztJ8Il0rQve6fYoHFl7hmQ + ygOFPVitd7RYekUrfg / EE3vnVtr28AIjzbGbWKuglhBLHdhhqiFzUOy + yQmSFPDsKDFEWvhigWAILAj2HuZATBcNGkcMLQpBQjyW8t38U4KxGeC57swnPxnF4KnDyY6Iz8RReXzCO0 / sOQuUzqWjl + J3KEJ7Yw + L0fB17PF48kCBbKan8HgdvDVqCfFKx2tvmokGZpd2ih5JeZgRtBL42VtLuwtjdd2 + XEiV8JlRe2IcM / kpfJzjUDg01TBQKHqIKlsdcd1OJGEofCSiwA8hr0QEvb7 + gXSqcMTHfmXkgZhnUkhl02U / hFb9DuNwKx4DDlJ + rPQrCudg3CoRO0ldSLEM7DfPbrcSnbcSn9Hi0A5 + fHcxBeRDTwilPfUR1ahz3DyJ1bx3liu9PT3YgwPeBF + r4oJTdodhIem7tubPfLzE8JvWRplZyAjnQ5Vrbg0NSt3CRsL4wrb + m12S7gRY8Rvu97RVmmCpt5kWZBmlCZVGvSzDOZpJCey8TqHIlfh32wb8w1CzB084Ul6SinDQQYr0PLv6M2BBgiwFQkn / i0GIV / koJf900dGljFIHEflIkSayd85e2DHBiMApNnNKRkYDUOBQEpsVwjhfp3WrUv4LqXu2YHV + VJMGpOnuR + ihUSEAqyl13Zuw3HUwtgAg + ihUSEAqyl13Zuw3HUwtgAtGZeNG2HPH6KFM6KLXNX6KLXXLXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXP ABnobnh4

3

Попробуйте еще раз.

Правильно.

Неправильно.

Вопрос 1.9

Для вопросов 9-12: Вычислите величину перекрестного произведения, \ (\ overrightarrow {A} \ times \ overrightarrow {B} \) , если вектор \ (\ overrightarrow {A} \) имеет компоненты, Ax = 5, Ay = 5, Az = 0 и вектор \ (\ overrightarrow {B} \) имеет компоненты Bx = 2, By = 3, Bz = 0

d4uhG5iRbBIf5xsym3XEAKaRcSivKZYtN3Wc9GYJhl2Whe3x5oDrznE0iCN / IBldH8L6ARnD6NPpVoSqezudUUIzEYc =

2

Попробуйте еще раз.

Правильно.

Неправильно.

Вопрос 1,10

ecixJNRm2sum2i3id / GsekEFGHArfVrH9mUl6Mwae1 / w6yq2Qn6E6ZoImvme04zAWzXTITeH / n16Rz2vPF + A / DYGSHQ =

2

Попробуйте еще раз.

Правильно.

Неправильно.

Вопрос 1.11

+ QJOqxyIk8y6N / IwAnp5t2rlh4kCPgyvDKeqij9GyDKdFNrhGldHdsXYvU2nErVz

2

Попробуйте найти угол, под которым каждый вектор образует ось x, а затем найдите разницу между ними.

Правильно.

Неправильно.

Вопрос 1,12

romuJgRTJabQ + x60Er5vFiTIDIaJriDh8dr4yZUXcNjXiFdw + aM2Vbnlz9Jbj3XEUvYuPy11hNtaz / tkiIYVOQq3I48MUDz3HiHecvxSmkelyk8wog / ru

2

Попробуйте еще раз.

Правильно.

Неправильно.

Вопрос 1.13

+ Wq + л / GU1 / bCc0wjNVfhuTV7UDV6sCI0jXonypVs00uKhOjEq4o + WoL1PuI3iPQ7NOjd2iWaOR / T5sZVeT / EZbNSd + AG6Rcdc8jukCliQkMB4X3dMrY3fi1nCQBhLhiCQIT4SInQ180DzgayQZYWETC9wyyVSXFAB1ltOR5flej2O49RbxJTzdJLPQWVRu90MkUJqm6DEm9KiyQqpfPsMbKEDYZ1OCMVzHdlhgTuwbQGyUUUc7bz2mfWM9rioTQqIqYJ7kP4 + 8FkHkl / dz0Yj1BAX7w7asHMapSYq00S1 / fsarElDJIAJ43kL1dVChZ9pWNczdc7DVik6xVBr9iB9gOYZIQmE0iqBO9HVeAg // LGw1vrrYur6DfiCB4XC6Lqy4HBXB9oQCPUzPkhs5BIszaaq0CYlOhv

2

Попробуйте еще раз.Обратите внимание, что два вектора \ (\ overrightarrow {A} \) и \ (\ overrightarrow {B} \) перпендикулярны.

Правильно.

Неправильно.

Вопрос 1.14

t8Eg6tGi3e2W1yA5EDQdw6gCoSPyyYM0 / J7T9hvWBvZkhCp77xtHvBpHAziu + UFSpw7pBGg2BmGhumfnzWqV2XAA + QVCleo5 + GdtsF392Va2mzSb07Mgo3jtU0NqmnCQz7yeHAapLwZDqwqd3Zcg / LXNf + HwUHi1rMuzu3 / 2q393RlIsixElFSsu8IpXP4c7SdOPHLKZAdfLVzkLuHJeKvCvGwcJpMR3zfwBQe / OvBW + 1NLJMhWsqeGPs1jyuqiNbWOBdbGo / dEgJKpk8zFeZ + EVioDs675IiTCIMprI7sUg9DnZqFeTHS0H0aS29aEWQ2tEaIvCyIjV5RJ4Uks5oPbj95Ns2E2BWVWWswfSjAN58NfF5CdgzI17Ym1k6KZgcIjN8qxIN4aL / + tcTWdYeX97HUkFpW9 + tfAiIQfHU8M =

2

Попробуйте еще раз.

Правильно.

Неправильно.

Перекрестное произведение векторов — Концепция

В исчислении мы часто используем , произведение векторов , чтобы найти ортогональные векторы и площадь параллелограммов в трех измерениях. Перекрестное произведение векторов находится путем идентификации определителей 3×3, однако мы заменяем одну из строк символами, представляющими единичные векторы.Поиск детерминантов 3×3 можно упростить, если мы поймем, как упростить детерминанты.

Одним из действительно важных применений детерминант является то, что их можно использовать для определения перекрестного произведения векторов, так что это возвращает нас к векторам. Но давайте рассмотрим одну идею. Вектор 3D-вектор v, компоненты которого являются a, b, c, можно записать в терминах единичных векторов i, j и k, где i — единичный вектор в положительном направлении x, j — единичный вектор в положительном направлении y. а k — это единичный вектор в положительном направлении z, поэтому он в алфавитном порядке, как xyz, ijk, и вот как вы бы написали вектор v, вы бы записали его как aah aah a раз i плюс b раз j плюс c раз k вправо , компоненты все еще хорошо видны.
Теперь предположим, что у нас есть два вектора в этой форме в этой форме i, j, k, тогда определяется перекрестное произведение v cross w равно определителю, и через первую строку я помещаю 3 единичных вектора i, j и k, а затем Я помещаю во вторую строку компоненты первого вектора в перекрестном произведении v, а в последней строке я помещаю компоненты второго вектора в перекрестное произведение w, так что действительно важен порядок, в котором вы правильно разместили эти два? Первую в перекрестном произведении вы помещаете во второй ряд, вторую — в третью.Попробуем это на примере.
Итак, у меня есть два вектора: v равно 4, -5, -3, w равно 2, 2, 1. Сначала мне нужно поместить их в форму ijk, так что это действительно просто, потому что все, что вам нужно сделать, это просто заполнить i-5j -3k то же самое для этого, 2i плюс 2j плюс 1k, это просто k, а затем мы пересекаем w, это определитель i, j, k, поэтому вы всегда помещаете i, j, k сверху, а затем 4, -5, -3, это компоненты v, а затем компоненты w 2, 2 и 1, и вы расширяете это так, как если бы вы использовали обычный определитель, поэтому я расширяю верхнюю строку, у меня есть i раз этот второстепенный -5, -3, 2, 1 тогда мне нужно вычесть j раз, что это второстепенные 4, -3, 2, 1, затем я добавляю k раз его второстепенные 4, -5, 2, 2, хорошо, а затем я просто вычисляю эти два с помощью двух определителей, так что этот будет быть -5-6, поэтому -5 + 6, что дает мне i умножить на 1 минус j, это будет 4-6, 4 + 6 10, поэтому j умножить на 10 плюс k У меня 8-10 8 + 10 будет 18, поэтому ответ будет i-10j + 18k, и, конечно, вы можете поместить это в обычную компонентную форму, если хотите, v cross w равно 1, -10, 18, поэтому в зависимости от того, что Если ваш учитель хочет, чтобы любой из этих вариантов был приемлемым.

Общие факты о продукте для детей

Перекрестное произведение — это математическая операция, которая может выполняться между двумя трехмерными векторами. Часто обозначается символом [математика] \ раз [/ математика]. ^[1] После выполнения перекрестного произведения формируется новый вектор. Перекрестное произведение двух векторов равно , всегда перпендикулярно и векторов, которые были «пересечены». ^{[2] [3]} Это означает, что векторное произведение обычно действует только в трехмерном пространстве.

Важность перекрестного произведения

Являясь векторной операцией, перекрестное произведение чрезвычайно важно во всех областях науки (особенно в физике), инженерии и математике. Одним из важных примеров перекрестного произведения является крутящий момент или момент. Еще одно важное приложение связано с магнитным полем.

Визуализация кросс-продукта в трех измерениях

Нахождение направления перекрестного произведения.

Перекрестное произведение [math] \ vec {a} [/ math] и [math] \ vec {b} [/ math] — это вектор, который мы назовем [math] \ vec c [/ math]:

[math] \ vec {c} = \ vec {a} \ times \ vec {b} [/ math]

Вектор [math] \ vec a \ times \ vec b [/ math] перпендикулярен и [math] \ vec a [/ math], и [math] \ vec b [/ math].Направление [math] \ vec a \ times \ vec b [/ math] определяется разновидностью правила правой руки. Держа правую руку, как показано на рисунке, ваш большой палец указывает в направлении [math] \ vec c [/ math] (перекрестное произведение [math] \ vec a [/ math] и [math] \ vec b [/ math]), причем указательный палец указывает в направлении, указанном [math] \ vec a [/ math], а средний палец — в направлении, указанном [math] \ vec b [/ math]. Если угол между указательным и средним пальцами больше 180 °, то нужно перевернуть руку вверх ногами.

Как вычислить векторное произведение в векторной записи

Как и любую математическую операцию, векторное произведение может быть выполнено простым способом.

Два измерения

Поскольку перекрестные произведения обычно определяются только для трехмерных векторов, при вычислении перекрестного произведения в двух измерениях векторы обрабатываются так, как если бы они были векторами на плоскости xy в трехмерном пространстве.

Более конкретно, если
[math] \ vec {a} = \ langle a_1, a_2 \ rangle [/ math]
и
[math] \ vec {b} = \ langle b_1, b_2 \ rangle [/ math]
, затем
[математика] \ vec {a} \ times \ vec {b} = (a_1b_2-a_2b_1) \ hat {k} [/ math]

или

[математика] \ vec {a} \ times \ vec {b} = \ vec {c} [/ math]
и
[математика] \ vec {c} = \ langle 0,0, a_1b_2-a_2b_1 \ rangle = (a_1b_2-a_2b_1) \ hat {k} [/ math]

где [math] \ hat {k} [/ math] — это просто символ, указывающий, что новый вектор направлен вверх (в направлении z).Если один «пересекает» два вектора, которые оба находятся в плоскости xy, то произведение, перпендикулярное обоим векторам, должно указывать в направлении z. Если значение [math] a_1b_2-a_2b_1 [/ math] положительно, то оно указывает за пределы страницы; если его значение отрицательное, то он указывает на страницу.

Три измерения

Есть два способа найти векторное произведение двух трехмерных векторов: с помощью координатной записи или с помощью угла.

Координатная запись

Даны векторы [math] \ vec a [/ math] и [math] \ vec b [/ math], где
[math] \ vec {a} = \ langle a_1, a_2, a_3 \ rangle [/ math]
и
[math] \ vec {b} = \ langle b_1, b_2, b_3 \ rangle [/ math]

Затем перекрестное произведение [math] \ vec a [/ math] и [math] \ vec b [/ math]:
[математика] \ vec {a} \ times \ vec {b} = \ langle a_2 b_3 — a_3 b_2, a_3 b_1 — a_1 b_3, a_1 b_2 — a_2 b_1 \ rangle [/ math]. ^[2]

с уголком

Даны векторы [math] \ vec a [/ math] и [math] \ vec b [/ math], где
[math] \ vec {a} = \ langle a_1, a_2, a_3 \ rangle [/ math]
и
[math] \ vec {b} = \ langle b_1, b_2, b_3 \ rangle [/ math]

Затем перекрестное произведение [math] \ vec a [/ math] и [math] \ vec b [/ math]:
[math] \ vec {a} \ times \ vec {b} = \ left \ | \ mathbf {a} \ right \ | \ left \ | \ mathbf {b} \ right \ | \ sin (\ theta) \ \ mathbf {n} [/ math], ^[2]
где [math] \ theta [/ math] — это угол между [math] \ vec a [/ math] и [math ] \ vec b [/ math], ‖ a ‖ и ‖ b ‖ — величины векторов [math] \ vec {a} [/ math] и [math] \ vec {b} [/ math] , а n — единичный вектор, перпендикулярный плоскости, содержащей [math] \ vec {a} [/ math] и [math] \ vec {b} [/ math].

Основные свойства кросс-продукта

• Антикоммутативность: [математика] \ vec {a} \ times \ vec {b} = — \ vec {b} \ times \ vec {a} [/ math] ^[2]
• Распределимость сверх сложения: [математика] \ vec {a} \ times (\ vec {b} + \ vec {c}) = \ vec {a} \ times \ vec {b} + \ vec {a} \ times \ vec {c} [/ math] ^[2]
• Скалярная коммутативность: [математика] c (\ vec {a} \ times \ vec {b}) = (c \ vec {a}) \ times \ vec {b} = \ vec {a} \ times (c \ vec {b}) [/ math]

Связанные страницы

Список литературы

1. ↑ «Полный список символов алгебры» (на английском языке).2020-03-25. https://mathvault.ca/hub/higher-math/math-symbols/algebra-symbols/.
2. ↑ ^{2,0 2,1 2,2 2,3 2,4} Вайсштейн, Эрик В. «Перекрестное произведение» (на английском языке). https://mathworld.wolfram.com/CrossProduct.html.
3. ↑ «Перекрестное произведение». https://www.mathsisfun.com/algebra/vectors-cross-product.html.

Математика — векторное произведение

Когда мы посмотрели на векторы, мы увидели, что они должны иметь две операции сложения и скалярного умножения.

операция	обозначение	объяснение
добавление	В (а + б) = В (а) + В (б)	сложение двух векторов выполняется путем сложения соответствующих элементов двух векторов.
скалярное умножение	В (с * а) = с * В (а)	, скалярное произведение вектора получается путем умножения скалярного произведения на каждый из его членов по отдельности.

Эти операции взаимодействуют согласно свойству распределенности: s * (b + c) = s * b + s * c

В дополнение к этим операциям у нас могут быть другие операции, которые мы можем применить к векторам, например, векторное векторное произведение:

Векторное произведение

В отличие от скалярного произведения, оба операнда и результат перекрестного произведения являются векторами.

Векторное произведение векторов имеет некоторые полезные свойства, оно дает вектор, взаимно перпендикулярный двум перемножаемым векторам.

Результирующий вектор A × B определяется как:

x = Ay * Bz — By * Az
y = Az * Bx — Bz * Ax
z = Ax * By — Bx * Ay

, где x, y и z — компоненты A x B

Скалярная длина A × B равна

.

| A × B | = | A | * | B | * грех (θ)

, где θ — угол между A и B.

Интерпретация кросс-произведения только для трехмерных векторов. Например, в 2-х измерениях невозможно найти другой вектор, взаимно перпендикулярный 2 произвольных вектора, в четырех измерениях (или более) есть много векторов, которые взаимно перпендикулярны двум произвольным векторам.

Перекрестное произведение можно использовать для вычисления нормали к поверхности как показано здесь.

Пример На приведенной выше диаграмме трудно четко обозначить направления представляют все 3 измерения. Я подумал, что это поможет проверить направление разработав пример по приблизительному направлению: Если пустить: Вектор A должен быть в направлении y (Ax = 0, Ay = 1, Az = 0) Вектор B должен быть в направлении x (Bx = 1, By = 0, Bz = 0) итак, Компоненты вектора A × B: x = Ay * Bz — By * Az = 0 y = Az * Bx — Bz * Ax = 0 z = Ax * By — Bx * Ay = -1 так, AxB = (0, 0, -1) = вдали от зрителя

Перекрестное произведение также определяется определителем:

где: i, j и k — единичные векторы в измерениях x, y и z.

Важные вопросы

Мы должны быть осторожны при выполнении векторной алгебры с перекрестным умножением, потому что мы не можем использовать обычные правила:

• Перекрестные произведения векторов применимы только к векторам в 3 или 7 измерениях. (на одну размерность меньше, чем кватернион алгебры с делением = 4, октонион = 8).
• Векторные перекрестные произведения не коммутируют, они антикоммутируют (A × B = -B × A), это не обязательно плохо, например, трехмерное вращение не коммутируется, но мы должны быть осторожны.
• Векторные перекрестные произведения не ассоциативны, они антиассоциативны ((A × B) × C может не равняться A × (B × C))
• Квадрат вектора равен нулю.
• Перекрестное умножение не имеет уникального обратного.
• Идентификационный элемент отсутствует I × A = A

Идентификационные данные

A × B + B × A = 0	антикоммутативный, векторное перекрестное умножение не коммутативно, изменение порядка меняет направление результирующего вектора: A × B = — B × A.
A × (B × C) + В × (К × А) + C × (A × B) = 0	Идентичность Якоби: антиассоциативная: антисимметрия Таким образом, перекрестное размножение не ассоциативно.
A × A = 0	‘Квадрат’ — это вектор нулевой длины, потому что sin (0) = 0
A × (B + C) = (A × B) + (A × C)	перекрестное умножение векторов распределяется по +
0 × A = 0

Где:

• A, B и C = любые векторы
• 0 = вектор нулевой длины (все элементы равны нулю)
• × = векторное произведение крестов

Например, следующее выражение:

А × А × В

Можно ожидать, что это ноль, потому что A x A = 0, но это не обязательно так, потому что перекрестное умножение не ассоциативно.Нам нужно указать заказ, если он:

А × (А × В)

, то результат не обязательно равен нулю.

Родственные умножения

Есть обобщения векторной алгебры, например,

Алгебра Клиффорда	В частности, внешний продукт алгебры Грассмана, который включен в алгебру Клиффорда.
Алгебра Ли	Алгебра Ли — это линейное преобразование групп Ли и, следовательно, связывает эту тему с группами и симметриями.

Внешний продукт Grassmann имеет гораздо лучшие свойства, чем продукт другого вида:

• Продукт Grassmann применим в любом количестве размеров.
• Произведение Грассмана ассоциативно.

Сравнение с внешним видом

Внешний продукт объединяет два вектора и дает бивектор. В трех измерениях бивектор имеет свойства, аналогичные свойствам вектора, поэтому для многих целей его можно рассматривать как вектор.Например, таблица умножения для векторного произведения:

а × б	b.e1	b.e2	b.e3
а.е.1	0	e3	-e2
а.е.2	-e3	0	e1
а.е.3	e2	-e1	0

Внешняя таблица умножения:

а / \ б	г.e1	b.e2	b.e3
а.е.1	0	e1 / \ e2	-e3 / \ e1
а.е.2	-e1 / \ e2	0	e2 / \ e3
а.е.3	e3 / \ e1	-e2 / \ e3	0

Таким образом, результат двух типов умножения практически одинаков, разница в том, что внешнее умножение дает бивектор, а не вектор.Важно то, что таблица умножения вектора / \ bivector — это не то же самое, что vector / \ vector, на самом деле таблица умножения вектора / \ bivector похожа на скалярное произведение вектора • vector.

Итак, когда у нас есть тройные умножения, они ассоциативны, внешнее произведение 3 векторов, A, B и C дает объем, заключенный между тремя векторами:

А / \ Б / \ С

Это эквивалентно уравнению перекрестных и точечных произведений:

(A × B) • C

Двойственность между векторами и бивекторами в 3-х измерениях

Эта двойственность применяется только к трём измерениям, если два двумерных вектора перемножаются, бивектор является одномерным, если два четырёхмерных вектора перемножаются, то бивектор является 6-мерным.бивекторы обсуждаются здесь.

Только в трехмерной векторной алгебре бивектор также имеет три измерения, поэтому для большинства целей (в трех измерениях) мы можем рассматривать результат перекрестного произведения как вектор.

Косая симметричная матрица

Мы также можем вычислить кососимметричную матрицу 3×3, которая эквивалентна перекрестное произведение, другими словами, если,

C = A × B

Тогда мы можем найти кососимметричную матрицу [~ A] такую, что:

C = [~ A] B

Эта матрица:

[~ A] =

0 -Az Ay Az 0 -Ax -Эй Топор 0

Как описано здесь.

Код:

.

Ниже приведен код Java для векторного векторного произведения.

 Void cross (sfvec3f other) {
   double xh = y * other.z - другой.y * z;
   double yh = z * other.x - другой.z * x;
   double zh = x * other.y - другой.x * y;
   х = хх;
   y = yh;
   z = zh;
} 

Ниже приводится управляемый код C ++ для векторного векторного произведения.

 Void sfvec3f :: cross (sfvec3f * other) {
   double xh = y * другое-> z - другое-> y * z;
   double yh = z * другое-> x - другое-> z * x;
   double zh = x * другое-> y - другое-> x * y;
   х = хх;
   y = yh;
   z = zh;
} 

Этот метод будет использоваться классом sfvec3f.

Дополнительная литература

Векторы могут управляться с помощью матриц, для пример переведен, повернут, масштабирован, отражен.

Есть математические объекты, известные мультивекторами, их можно использовать для выполнения многих задач, которые выполняют векторы, но у них нет некоторые ограничения (например, векторное векторное произведение ограничено 3-мя измерениями и не имеет обратного).

В чем разница между скалярным произведением и перекрестным произведением? — Реабилитационная робототехника.нетто

В чем разница между скалярным произведением и кросс-произведением?

Основное различие между скалярным произведением и перекрестным произведением состоит в том, что скалярное произведение — это произведение величины векторов и cos угла между ними, тогда как перекрестное произведение — это произведение величины вектора и синуса угла. в котором они подчиняются друг другу.

Что представляет собой скалярный продукт?

Точечное произведение сообщает вам, какое количество одного вектора идет в направлении другого.Таким образом, скалярное произведение в этом случае даст вам величину силы, действующей в направлении смещения или в направлении движения прямоугольника.

В чем разница между нахождением скалярного произведения и использованием скалярного умножения?

Векторное скалярное произведение и перекрестное произведение — это два типа векторного произведения, основное различие между скалярным произведением и скалярным произведением состоит в том, что в скалярном произведении произведение двух векторов равно скалярному количеству, а в скалярном произведении произведение двух векторов равно векторной величине.

Что означают скалярное произведение и кросс-произведение?

Скалярное произведение и перекрестное произведение — это методы соотнесения двух векторов друг с другом. Скалярное произведение — это скалярное представление двух векторов, которое используется для нахождения угла между двумя векторами в любом размерном пространстве. Для векторов и перекрестное произведение равно, что является определяющим элементом матрицы три на три.

В чем важность скалярного произведения?

Скалярное произведение (также называемое скалярным произведением) дает нам угол между любыми двумя векторами.Это одно из самых важных соотношений между векторами. В этом разделе мы определим скалярное произведение и покажем, как он дает угол между векторами для двух- и трехмерных векторов.

Для чего используется кросс-произведение?

Перекрестное произведение используется для нахождения вектора, перпендикулярного плоскости, натянутой на два вектора.

Что вам говорит кросс-произведение?

Перекрестное произведение a × b определяется как вектор c, который перпендикулярен (ортогонален) как a, так и b, с направлением, заданным правилом правой руки, и величиной, равной площади параллелограмма, который охватывают векторы.

Почему перекрестное произведение — это грех?

Потому что sin используется в произведении x, которое дает площадь параллелограмма, состоящую из двух векторов, которая становится длиной нового vwctor, являющегося их произведением. В скалярном произведении используется cos, потому что два вектора имеют нулевое значение произведения, когда они перпендикулярны, то есть cos угла между ними равна нулю.

Каково физическое значение перекрестного произведения?

Перекрестное произведение любых двух векторов — это вектор, перпендикулярный этим двум векторам.У него есть и величина, и направление. Величина результирующего вектора равна параллелограмму, длина сторон которого равна величине двух данных векторов.

Как вы рассчитываете кросс-произведение?

Мы можем вычислить перекрестное произведение следующим образом: Итак, длина равна: длина a, умноженная на длину, умноженную на длину b, умноженную на синус угла между a и b. Затем мы умножаем на вектор n, чтобы он направился в правильном направлении ( под прямым углом к ​​a и b).

Как найти точечное произведение и кросс-произведение?

1. Точечное произведение и перекрестное произведение.
2. Точечное произведение.
3. Примеры:
4. Упражнение. Найдите скалярное произведение. 2i + j — k и i + 2j.
5. Угол между двумя векторами.
6. Пример. Чтобы найти угол между. v = 2i + 3j + k. а также. ш = 4i + j + 2k. вычисляем: и. а также. v. w = 8 + 3 + 2 = 13. Отсюда.
7. Углы направления.
8. Работа.

Возможно ли, что перекрестное произведение двух векторов дает ноль, в результате каков его физический смысл?

Перекрестное произведение двух копланарных векторов, A и B, определяется как AxB = AB sin (theta) n, где theta — угол между двумя векторами, а n — единичный вектор, нормальный к плоскости, содержащей два вектора.Поскольку оба вектора направлены в одном направлении, угол между ними равен 0. Следовательно, векторное произведение равно нулю.

Что произойдет, если скалярное произведение равно 0?

Скалярное произведение вектора с нулевым вектором равно нулю. Два ненулевых вектора перпендикулярны или ортогональны, если и только если их скалярное произведение равно нулю.

Каково произведение двух векторов?

Скалярное произведение измеряет, насколько два вектора указывают в одном направлении, а перекрестное произведение измеряет, насколько два вектора указывают в разных направлениях.

Почему произведение двух векторов ортогонально?

Посмотрите, что происходит, когда вы пытаетесь взять (a × b) ⋅a или (a × b) ⋅b (вы должны получить 0). Если вектор перпендикулярен основанию плоскости, то он перпендикулярен всей этой плоскости. Таким образом, перекрестное произведение двух (линейно независимых) векторов, поскольку оно ортогонально каждому, ортогонально плоскости, которую они охватывают.

Почему произведение двух векторов не коммутативно?

Пояснение: Произведение двух векторов не подчиняется закону коммутативности.Перекрестное произведение двух векторов аддитивно противоположно друг другу. Здесь направление перекрестного произведения задается правилом правой руки.

Как найти произведение двух векторов?

Направление векторного произведения можно визуализировать с помощью правила правой руки. Если вы согнете пальцы правой руки так, чтобы они следовали повороту от вектора A к вектору B, то большой палец будет указывать в направлении векторного произведения. Векторное произведение A и B всегда перпендикулярно как A, так и B.

Каков результат перекрестного произведения?

Следует отметить, что для перекрестного произведения оба вектора должны быть трехмерными. Результатом скалярного произведения является число, а результатом перекрестного произведения — вектор!

Что такое AxB?

Перекрестное произведение (или векторное произведение) между двумя векторами A и B записывается как AxB. Результатом перекрестного произведения является новый вектор. Как и в случае скалярного произведения, θ — это угол между векторами A и B, когда они нарисованы «хвост к хвосту».Направление: вектор AxB перпендикулярен плоскости, образованной A и B.

Что такое свойство перекрестного произведения в математике?

Свойство пропорций перекрестных произведений гласит, что произведение средних равно произведению крайних значений в пропорции. Вы можете найти эти перекрестные произведения путем перекрестного умножения, как показано ниже.

Что такое уравнение скалярного произведения?

Скалярное произведение между единичным вектором и самим собой также просто вычислить. Учитывая, что все векторы имеют длину один, точечные произведения равны i⋅i = j⋅j = k⋅k = 1.

Что такое скалярное произведение i и j?

Другими словами, скалярное произведение i, j или k с самим собой всегда равно 1, а скалярное произведение i, j и k друг с другом всегда равно 0. Скалярное произведение вектора с самим собой представляет собой сумму квадратов: в 2-пространстве, если u = [u1, u2], то u • u = u12 + u22, в 3-пространстве, если u = [u1, u2, u3], то u • u = u12 + u22 + u32.

Как узнать, является ли скалярное произведение параллельным?

Два вектора A и B параллельны тогда и только тогда, когда они скалярно кратны друг другу.A = k B, k — постоянная, не равная нулю. Два вектора A и B перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

Как сделать скалярное произведение?

Скалярное произведение двух векторов можно построить, взяв компонент одного вектора в направлении другого и умножив его на величину другого вектора.

Для чего используется скалярное произведение?

Используя скалярное произведение, найдите угол между двумя векторами.Одно из распространенных применений скалярного произведения — найти угол между двумя векторами, когда они выражены в декартовой форме.

Что такое скалярное произведение?

«Скалярные произведения можно найти, взяв компонент одного вектора в направлении другого вектора и умножив его на величину другого вектора». Его можно определить как: Скалярное произведение или скалярное произведение — это алгебраическая операция, которая берет две последовательности чисел одинаковой длины и возвращает одно число.

В чем физический смысл скалярного произведения?

В математике скалярное произведение или скалярное произведение — это алгебраическая операция, которая берет две последовательности чисел одинаковой длины (обычно координатные векторы) и возвращает одно число. Геометрически это произведение евклидовых величин двух векторов и косинуса угла между ними.

Как вы определяете внутренний продукт?

Внутренний продукт — это обобщение скалярного произведения.В векторном пространстве это способ умножения векторов вместе с результатом этого умножения, являющимся скаляром.

Почему скалярное произведение скалярно?

Простой ответ на ваш вопрос состоит в том, что скалярное произведение — это скаляр, а перекрестное произведение — это вектор, потому что они определены таким образом. Скалярное произведение определяет компонент одного вектора в направлении другого, когда второй вектор нормализован. По сути, это скалярный множитель.

Дает ли скалярное произведение скаляр?

Точечное произведение дает скалярный ответ (обычное число) и иногда называется скалярным произведением.Но есть также перекрестное произведение, которое дает вектор в качестве ответа и иногда называется векторным произведением.

Перекрестное произведение

Точечный продукт: Скалярное произведение двух векторов дает скаляр:

А.В = С

Величина:

Крест товар: Перекрестное произведение из два вектора дают вектор: Величина: Направление: вектор C имеет направление, перпендикулярное на плоскость, содержащую A и B, такую, что C задается правилом правой руки.
Законы операция: Коммутативный закон недействителен: Умножение на скаляр: Закон о распределении:
Перекрестные произведения единичных векторов: Направление определяется по правилу правой руки.Как показано на схеме, для этого случая направление k , а величина: | я j | = (1) (1) (sin90) = (1) (1) (1) = 1 так: я j = (1) k = k и: i j = k i k = — j i i = 0 j k = i j i = — k j j = 0 k i = j к к = — i к к = 0	в алфавитном порядке +

Произведение двух векторов по их компонентам:

A = A _x i + A _y j + A _z k

B = B _x i + B _y j + B _z k

A B = (A _x i + A _y j + A _z k ) (B _x i 901 901 901 901 j + B _z k )

= A _x B _x ( i i ) + A _x B _y ( i j ) + A _x B _z ( i k )

+ A _y B _x ( j i ) + A _y B _y ( j j ) + A _y B _z ( j k )

+ A _z B _x ( k i ) + A _z B _y ( k j ) + A _z B _z ( k k )

= 0 + A _x B _y k — A _x B _z j — A _y B _x k + 0 + A _y B _z i + A _z B _x j — A _z B _y i + 0

Отсюда:

A B = (A _y B _z — A _z B _y ) i — (A _x B _z -A _z B _x ) j + (A _x B _y — A _y B _x ) к

Это уравнение может также записать в компактной детерминантной форме:

Для элемента i :	( i ) (A y B z — A z B y )
Для элемента j :	(- j ) (A x B z -A z B x ) ( уведомление здесь отрицательный знак )
Для элемента k :	( k ) (A x B y — A y B x )

Отсюда:

A B = (A _y B _z — A _z B _y ) i — (A _x B _z -A _z B _x ) j + (A _x B _y — A _y B _x ) к

Таким образом, перекрестное произведение векторов a и b является вектор, перпендикулярный обоим a и b и имеет величину, равную площади параллелограмма, сформированного из a и b .Направление скрещенного произведения задается правилом правой руки (пальцы из вектора a к вектору b и большой палец вдоль вектора c ). Порядок важен в перекрестном произведении:

Тройной продукт:

Вернуться к векторам Рядом с интегралом / дифференциацией

.