1. Определение вектора. Длина вектора. Коллинеарность, компланарность векторов.

Вектором называется направленный отрезок.    Длиной или модулем вектора называется длина соответствующего направленного отрезка.        

Модуль вектора a обозначается . Векторa называется единичным, если . Векторы называются коллинеарными, если они параллельны одной прямой. Векторы называются компланарными, если они параллельны одной плоскости.

2. Умножение вектора на число. Свойства операции.

Умножение вектора на число, даёт противоположно направленный вектор в длиной в

раз больше. Умножение вектора на число в координатной форме производится умножением всех координат на это число:

Исходя из определения получается выражение для модуля вектора, умноженного на число:

Аналогично как и числами, операции сложение вектора с самим с собой можно записать через умножение на число:

А вычитание векторов можно переписать через сложение и умножение:

Исходя из того, что умножение на не меняет длины вектора, а меняет только направление и учитывая определение вектора, получаем:

3. Сложение векторов, вычитание векторов.

В координатном представлении вектор суммы получается суммированием соответствующих координат слагаемых:

Для геометрического построения вектора суммы

используют различные правила (методы), однако они все дают одинаковый результат. Использование того или иного правила обосновывается решаемой задачей.

Правило треугольника

Правило треугольника наиболее естественно следует из понимания вектора как переноса. Ясно, что результат последовательного применения двух переносов инекоторой точки будет тем же, что применение сразу одного переноса

, соответствующего этому правилу. Для сложения двух векторовипо правилутреугольника оба эти вектора переносятся параллельно самим себе так, чтобы начало одного из них совпадало с концом другого. Тогда вектор суммы задаётся третьей стороной образовавшегося треугольника, причём его начало совпадает с началом первого вектора, а конец с концом второго вектора.

Это правило прямо и естественно обобщается для сложения любого количества векторов, переходя в

правило ломаной:

Правило многоугольника

Начало второго вектора совмещается с концом первого, начало третьего — с концом второго и так далее, сумма же векторов есть вектор, с началом, совпадающим с началом первого, и концом, совпадающим с концом-го (то есть изображается направленным отрезком, замыкающим ломаную). Так же называется правилом ломаной.

Правило параллелограмма

Для сложения двух векторов и

по правилупараллелограмма оба эти векторы переносятся параллельно самим себе так, чтобы их начала совпадали. Тогда вектор суммы задаётся диагональю построенного на них параллелограмма, исходящей из их общего начала. (Легко видеть, что эта диагональ совпадает с третьей стороной треугольника при использовании правила треугольника).

Правило параллелограмма особенно удобно, когда есть потребность изобразить вектор суммы сразу же приложенным к той же точке, к которой приложены оба слагаемых — то есть изобразить все три вектора имеющими общее начало.

Модуль суммы векторов

Модуль суммы двух векторов можно вычислить, использую

теорему косинусов:

, где — косинус угла между векторамии.

Если векторы изображены в соответствии с правилом треугольника и берется угол по рисунку — между сторонами треугольника — что не совпадает с обычным определением угла между векторами, а значит и с углом в приведенной формуле, то последний член приобретает знак минус, что соответствует теореме косинусов в ее прямой формулировке.

Для суммы произвольного количества векторов применима аналогичная формула, в которой членов с косинусом больше: по одному такому члену существует для каждой пары векторов из суммируемого набора. Например, для трех векторов формула выглядит так:

Вычитание векторов

Два вектора и вектор их разности

Для получения разности в координатной форме надо вычесть соответствующие координаты векторов:

Для получения вектора разности начала векторов соединяются и началом векторабудет конец, а концом — конец. Если записать, используя точки векторов, то

.

Модуль разности векторов

Три вектора , как и при сложении, образуют треугольник, и выражение для модуля разности получается аналогичным:

где — косинус угла между векторамии

Отличие от формулы модуля суммы в знаке перед косинусом, при этом надо хорошо следить, какой именно угол берется (вариант формулы модуля суммы с углом между сторонами треугольника при суммировании по правилу треугольника по виду не отличается от данной формулы для модуля разности, но надо иметь в виду, что для тут берутся разные углы: в случае суммы берётся угол, когда вектор переносится к концу вектора, когда же ищется модель разности, берётся угол между векторами, приложенными к одной точке; выражение для модуля суммы с использованием того же угла, что в данном выражении для модуля разности, отличается знаком перед косинусом).

Помогите Что такое сумма векторов Именно определение!

Элементы векторной алгебры Определение. Вектором называется направленный отрезок (упорядоченная пара точек). К векторам относится также и нулевой вектор, начало и конец которого совпадают. Определение. Длиной (модулем) вектора называется расстояние между началом и концом вектора. |AB|=|а| Коллинеарные и компланарные векторы Определение. Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной или параллельных прямых. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору. Определение. Векторы называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны. Коллинеарные векторы всегда компланарны, но не все компланарные векторы коллинеарны. Определение. Векторы называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые модули. Всякие векторы можно привести к общему началу, т.е. построить векторы, соответственно равные данным и имеющие общее начало. Из определения равенства векторов следует, что любой вектор имеет бесконечно много векторов, равных ему. Линейные операции над векторами Определение. Линейными операциями над векторами называется сложение и умножение на число. Суммой векторов является вектор — c=a+b Произведение b=aa, |b|=a|a|, при этом a коллинеарен b. Вектор a сонаправлен с вектором b (ab), если a > 0. Вектор a противоположно направлен с вектором b(a¯b), если a < 0.

сумма векторов. Это сумма соответствующих координат векторов! абцисса + абцисса, ордината+ордината

Суммой векторов a и b называется такой третий вектор c, что при совмещенных началах этих трех векторов, векторы a и b служат сторонами параллелограмма, а вектор c — его диагональю.

Какой вектор называется суммой двух векторов, правило треугольника сложения векторов

Для правильного отображения законов природы в физике требуется соответствующий математический инструментарий.

В геометрии и физике есть величины, характеризующиеся и числовым значением, и направлением.

Их целесообразно изображать направленными отрезками или векторами.

У таких величин есть начало (отображается точкой) и конец, обозначаемый стрелкой. Длина отрезка называется модулем (длиной).

Примеры:

• скорость,
• ускорение,
• импульс,
• сила,
• момент,
• силы,
• перемещение,
• напряженность поля и др.

Это интересно: как переводить градусы в радианы?

Координаты на плоскости

Зададим на плоскости отрезок, направленный из точки, А (x1,y1) в точку В (x2,y2). Его координатами a (a1, a2) являются числа а1=x2-x1, а2=y2-y1.

Модуль рассчитывается по теореме Пифагора:

У нулевого вектора начало совпадает с концом. Координаты и длина равны 0.

Сумма векторов

Существуют несколько правил для расчета суммы

• правило треугольника,
• правило многоугольника ,
• правило параллелограмма.

Правило сложения векторов можно объяснить на задачах из динамики и механики. Рассмотрим сложение векторов по правилу треугольника на примере сил, воздействующих на точечное тело и последовательных перемещений тела в пространстве.

Допустим, тело переместилось сначала из точки A в точку B, а затем из точки B в точку C. Итоговое перемещение есть отрезок, направленный от начальной точки A к конечной точке C.

Результат двух перемещений или их сумма s = s1+ s2. Такой способ называется правилом треугольника.

Стрелки выстраивают в цепочку одну за другой, при необходимости осуществляя параллельный перенос. Суммарный отрезок замыкает последовательность. Его начало совпадает с началом первого, конец — с концом последнего. В иностранных учебниках данный метод называется «хвост к голове».

Координаты результата c = a + b равны сумме соответствующих координат слагаемых c (a1+ b1, a2+ b2).

Сумма параллельных (коллинеарных) векторов также определяется по правилу треугольника.

Если два исходных отрезка перпендикулярны друг другу, то результат их сложения представляет собой гипотенузу построенного на них прямоугольного треугольника. Длина суммы вычисляется по теореме Пифагора.

Примеры:

• Скорость тела, брошенного горизонтально, перпендикулярна ускорению свободного падения.
• При равномерном вращательном движении линейная скорость тела перпендикулярна центростремительному ускорению.

Сложение трех и более векторов производят по правилу многоугольника, «хвост к голове»

Предположим, что к точечному телу приложены силы F1 и F2.

Опыт доказывает, что совокупное воздействие этих сил равнозначно действию одной силы, направленной по диагонали построенного на них параллелограмма. Эта равнодействующая сила равна их сумме F = F1 + F 2. Приведенный способ сложения называется правилом параллелограмма.

Длина в этом случае вычисляется по формуле

, где θ угол между сторонами.

Правила треугольника и параллелограмма взаимозаменяемы. В физике чаще применяют правило параллелограмма, так как направленные величины сил, скоростей, ускорений обычно приложены к одному точечному телу. В трехмерной системе координат применяется правило параллелепипеда.

Обратите внимание: что такое луч в геометрии.

Элементы алгебры

1. Сложение является двоичной операцией: за один раз можно сложить только пару.
2. Коммутативность: сумма от перестановки слагаемых не изменяется a + b = b + a. Это ясно из правила параллелограмма: диагональ всегда одна и та же.
3. Ассоциативность: сумма произвольного числа векторов не зависит от порядка их сложения (a + b)+ c = a +(b + c).
4. Суммирование с нулевым вектором не меняет ни направление, ни длину: a +0= a .
5. Для каждого вектора есть противоположный. Их сумма равна нулю a +(-a)=0, а длины совпадают.

Вычитание направленного отрезка равносильно прибавлению противоположного. Координаты равны разности соответствующих координат. Длина равна:

Для вычитания можно использовать видоизмененное правило треугольника.

Умножение на скаляр

Результатом умножения на скаляр будет вектор.

Координаты произведения получаются перемножением на скаляр соответствующих координат исходного.

Скаляр — числовая величина со знаком плюс или минус, больше или меньше единицы.

Примеры скалярных величин в физике:

• масса,
• время,
• заряд ,
• длина,
• площадь,
• объем,
• плотность,
• температура,
• энергия.

Примеры:

• Перемещение равномерно движущегося тела равно произведению времени и скорости s = vt .
• Импульс тела — масса, умноженная на скорость p = mv .
• Второй закон Ньютона. Произведение массы тела на ускорение равно приложенной равнодействующей силе ma=F.
• Сила, действующая на заряженную частицу в электрическом поле, пропорциональна заряду F = qE.

Скалярное произведение направленных отрезков a и b равно произведению модулей на косинус угла между ними. Скалярное произведение взаимно перпендикулярных отрезков равно нулю.

Пример:

Работа является скалярным произведением силы и перемещения A = Fs .

Сумма векторов и разность векторов

Сумма векторов

Сумма векторов: векторы складываются по правилу треугольника, т.е. начало суммарного вектора находится в начальной точке 1-го вектора, а конец, в конце второго вектора:

Сумма любого вектора с нулевым вектором, будет равна 1-му вектору: 

Для векторов справедлив переместительный закон: 

И сочетательный закон:

При сложении трех и более векторов обычно суммируют два вектора, затем получившийся с третьим и т.д. По сути, получается многоугольник.

Разность векторов

Разность векторов чуть менее очевидна, но тоже вполне понятна: для разности векторов необходимо подобрать вектор, сумма которого вместе с вектором  будет равна вектору ​​​​​​​.

​​​​​​​

Редактировать этот урок и/или добавить задание Добавить свой урок и/или задание

Добавить интересную новость