Правила сложения и вычитания векторов. Геометрия, 9 класс: уроки, тесты, задания.

1.	Сложение векторов Сложность: среднее	1
2.	Сложение векторов по правилу многоугольника Сложность: среднее	1
3.	Сложение и вычитание векторов Сложность: среднее	1
4.	Сложение векторов по закону многоугольника Сложность: среднее	2
5.	Сложение векторов в четырёхугольнике Сложность: среднее	1
6.	Разность векторов в ромбе Сложность: среднее	1
7.	Выражение вектора в четырёхугольнике Сложность: среднее	1
8.	Сложение перпендикулярных векторов Сложность: сложное	3

Сложение векторов — презентация онлайн

п.79- 81
Вопросы 1-11 (стр.213-214)
№ 754, 755, 759
2
C
B
BO
AB
O
A
CD
OD
D
3
C
B
O
A
D
4
C
B
O
A
D
5
C
B
O
A
D
6
C
B
O
A
D
AA
BB
CC
DD
7
b
a
B
C
c
A
a+b=c
Сумма векторов — ВЕКТОР
Для любого нулевого вектора справедливо:
a+0=a
8
b
a
B
C
c
A
a+b=c
D
9
B
C
C
c
A
c
A
Есть ли разница в том, каким
правилом вы воспользуетесь при
нахождении суммы векторов?
10
a
b
a+b
b+a
=
11
Сочетательный закон сложения
a
b
(a + b)+c
a +(b+c)
c
=
12
a+b
a
b
a+c
c
d
b+d
b + c= 0
13

14. Сумма нескольких векторов

Правило многоугольника
s= a+ b+ c+ d+ e+ f
m
d
c
n
r
b
e
a
f
s
k
O
p
k+n+m+r+p=0
А) PM+MT=PT
Б) CH+HC=CC
В) AВ+ 0 =AB+BB=AB
Г) 0+ CE =CC+CE=CE
15
1.Упростите выражение
MN+XY=MX
а) MX
в) NY
б) MY
г) YM
16
2.Найдите вектор х :
АВ + х = АК
а) ВК
в) КК
б) КВ
г) СК
17
3.Найдите вектор a+b,
используя правило треугольника :
b
а)
в)
a
a
a+b
a+b
b
б)
г)
a
a+b
b
a
a+b
b
18
4.Найдите вектор a+b,
используя правило параллелограмма:
а)
в)
a
a
a+b
a+b
b
b
б)
г)
a
a+b
b
a
a+b
b
19
1
2
3
4
Б
А
Г
Б
За верно выполненные 2 задания – оценка «3»
3 задания – оценка «4»
4 задания – оценка «5»
20
Какие правила можно использовать для
нахождения суммы векторов?
Какова последовательность выполнения при
использовании этих правил?
Есть ли разница в том, каким правилом вы
воспользуетесь при нахождении суммы векторов?
Что можно сказать при сложении ненулевого
вектора с нулевым?
21

Сложение векторов: — это… Что такое Сложение векторов:?

Сложение векторов:

1) скоростей и ускорений, 2) сил, 3) моментов сил и количества движения. С. скоростей и ускорений. При разложении движения точки или твердого тела на составляющие движения и при соединении нескольких движений (см. Соединение движений) является представление о зависимости между скоростями этих движений, а также между их ускорениями. В различных учебниках механики и физики, даже элементарных, доказывается, что каковы бы ни были составляемые движения, скорость точки в составном движении есть геометрическая сумма (см.) скоростей ее в составляющих движениях. Правило это общее и не имеющее исключений. Если составляющих движений два, то скорость составного движения есть диагональ параллелограмма, построенного на скоростях составляющих движений. Поэтому правило это называют иногда правилом параллелограмма скоростей. Когда составляющие движения получаются при посредстве твердых тел, движущихся поступательно, то и ускорение составного движения какой-либо точки есть геометрическая сумма ускорений ее в составляющих движениях; но если хотя бы одно из твердых тел движется не поступательно, а имеет вращение, то правило это изменяется вследствие появления так наз. поворотного ускорения, как сказано в статье Поворотное ускорение (см.), где говорится о С. ускорений при двух составляющих движениях. С. и разложение сил (Composition et dé composides forces). Под именем С. сил подразумеваются два различные вопроса механики: 1) определение равнодействующей сил, приложенных к одной точке, и 2) приведение совокупности сил, приложенных к твердому телу, к одной силе или (если нельзя к одной силе) к паре сил, или к двум силам (R éduction des forces appliqué es a un corps solide). С. сил, приложенных к одной материальной точке, основывается на втором основном начале механики. Это начало высказывается теперь в таком виде: «Ускорение, получаемое свободною материальною точкою, к которой приложена какая-либо сила, имеет направление этой силы и равно величине этой силы, деленной на массу точки. Если к материальной точке приложено одновременно несколько сил, то, будет ли точка в покое или в движении, каждая сила сообщает такое же ускорение, какое она сообщила бы, действуя отдельно от прочих сил, так что ускорение, сообщаемое точке несколькими одновременно приложенными силами, равно геометрической сумме ускорений, сообщаемых отдельными силами. Величина и направление ускорения не зависят от скорости, которую имеет точка». Здесь речь идет о материальной точке, о силах к ней приложенных и о ее ускорении. В «С. скоростей и ускорений» было сказано, что ускорения составляющих движений слагаются по правилу геометрического С., если составляющие движения поступательны, без вращений; но о вращении материальной точки, не имеющей размеров, не может быть и речи, поэтому ускорение, сообщаемое точке всеми силами, приложенными к ней одновременно, слагается геометрически из ускорений, сообщаемых каждою из составляющих сил. Так как величины приложенных к одной материальной точке сил пропорциональны величинам сообщаемых им ускорений, то они могут быть изображены векторами, пропорциональными ускорениям и совпадающими с направлениями последних. Из геометрического С. этих векторов получается одна сила, равная геометрической сумме этих составляющих сил, называемая равнодействующею их; она сообщает материальной точке то самое ускорение, которое сообщают все составляющие совместно. Если к материальной точке приложены две силы, то их равнодействующая есть диагональ параллелограмма, построенного на этих силах, как на сторонах. Если составляющих сил несколько, то, построив диагональ на двух силах, строят параллелограм на этой диагонали и на третьей силе; диагональ этого второго параллелограмма будет равнодействующею трех сил и так далее. Поэтому правило С. сил, приложенных к одной материальной точке, называется правилом, или началом, параллелограмма сил. В различных трактатах по механике (напр. у Пуассона) предлагаются доказательства или выводы, исходящие из того основания, что при С. сил, имеющих одно и то же направление, равнодействующая равна их алгебраической сумме и что две равные и противоположные силы взаимно уравновешиваются. Силу, приложенную к точке, можно разложить определенным образом на две, направленные по данным направлениям, заключающимся в одной плоскости с данною силою. Для этого надо построить параллелограмм, имеющий диагональю данную силу, а сторонами — длины, совпадающие с данными направлениями. Можно также вполне определенным образом разложить данную силу, приложенную к точке, на три силы, имеющие данные направления, проходящие через эту точку и не заключающиеся в одной плоскости. Для этого надо построить параллелепипед, имеющий данную силу диагональю, а сторонами — данные направления. Разложение силы на четыре и более направлений или на три направления в одной плоскости есть задача неопределенная. О приведении сил, приложенных к твердому телу, — см. Статика. Сложение моментов сил и количества движения. В статье Момент (см.) дано определение моментов сил, пар сил и количества движения, моменты сил и количеств движений вокруг точки изображаются в виде векторов, которые называются линейными моментами. Линейный момента силы вокруг точки представляется в виде длины, проведенной из точки (полюса), вокруг которой берется момент, в таком направлении, чтобы, стоя ногами в полюсе, головою по этому направлению и глядя на точку приложения силы, видеть направление силы идущим слева направо. Длина вектора должна так относиться к единице длины, как величина момента относится к единице моментов. То же самое следует сказать и о линейном моменте количества движения какой-либо точки. Моменты сил, приложенных к различным точкам, взятые вокруг одного и того же полюса, слагаются по правилу геометрического С. (см.), и геометрическая сумма их называется главным моментом этих сил вокруг точки (полюса). То же самое относится и до линейных моментов количества движения разных точек вокруг одного и того же полюса. Эти моменты тоже геометрически слагаются, и геометрическая сумма их называется главным моментом количества движения. Главные моменты сил и количеств движения постоянно встречаются во многих вопросах механики системы материальных точек и в особенности в механике твердого тела.

Д.

Б.

Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона. — С.-Пб.: Брокгауз-Ефрон. 1890—1907.

• Сложение
• Апсида

Смотреть что такое «Сложение векторов:» в других словарях:

• сложение векторов — vektorių sudėtis statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. composition of vectors; vector addition vok. Zusammensetzung von Vektoren, f rus. сложение векторов, n pranc. addition des vecteurs, f; addition vectorielle, f …   Fizikos terminų žodynas

• Сложение векторов — 1) скоростей и ускорений, 2) сил, 3) моментов сил и количества движения. С. скоростей и ускорений. При разложении движения точки или твердого тела на составляющие движения и при соединении нескольких движений (см. Соединение движений) является… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

• СЛОЖЕНИЕ СИЛ — операция определения векторной величины R, равной геом. сумме векторов, изображающих силы данной системы и наз. главным вектором этой системы сил. С. с. производится по правилу сложения векторов, в частности построением параллелограмма сил или… …   Физическая энциклопедия

• СЛОЖЕНИЕ — арифметическое Действие. Обозначается знаком + (плюс). В области целых положительных чисел (натуральных чисел) в результате сложения по данным числам (слагаемым) находится новое число (сумма), содержащее столько единиц, сколько их содержится во… …   Большой Энциклопедический словарь

• сложение — я; ср. 1. к Сложить (2, 5, 9 зн.). С. чисел. С. депутатских полномочий. С. стихов. 2. Обратное вычитанию математическое действие, посредством которого из двух или нескольких чисел (или величин) получают новое, содержащее столько единиц (или… …   Энциклопедический словарь

• Сложение сил —         операция определения векторной величины R, равной геометрической сумме векторов, изображающих силы данной системы и называется главным вектором этой системы сил. С. с. производится по правилу сложения векторов, в частности построением… …   Большая советская энциклопедия

• Сложение —         арифметическое действие. Результатом С. чисел а и b является число, называемое суммой чисел а и b (слагаемых) и обозначаемое а + b. При С. выполняются переместительный (коммутативный) закон: а + b = b + а и сочетательный (ассоциативный)… …   Большая советская энциклопедия

• СЛОЖЕНИЕ — арифметич. действие. Обозначается знаком + (плюс). В области целых положит. чисел (натуральных чисел) в результате С. по данным числам (слагаемым) находится новое число (сумма), содержащее столько единиц, сколько их содержится во всех слагаемых.… …   Естествознание. Энциклопедический словарь

• Позиционные коды векторов — Содержание 1 Специальная алгебра многомерных векторов[1] 1.1 Специальное умножение …   Википедия

• Геометрические сложения и вычитания векторов — встречаются весьма часто в физике и механике; таковы, например, сложения сил, приложенных к одной точке, сложения скоростей, ускорений и проч. Геометрическое сложение двух векторов АА1 и BB1 имеет целью построение третьего вектора СС1, такого,… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

Вектора, допускающие сложение. Основы объектно-ориентированного программирования

Вектора, допускающие сложение

Приведем простой, но характерный пример, демонстрирующий необходимость введения ограниченной универсальности. Он поможет в обосновании метода решения поставленной задачи и в выборе соответствующей конструкции языка.

Предположим, что мы хотим объявить класс VECTOR, над элементами которого определена операция сложения. Потребность в подобном базовом классе неоспорима. Вот первый вариант:

indexing

description: «Векторы со сложением»

class

VECTOR [G]

feature — Доступ

count: INTEGER

— Количество элементов

item, infix «@» (i: INTEGER): G is

— Элемент вектора с индексом i (нумерация с 1)

require … do

…

end

feature — Основные операции

infix «+» (other: VECTOR [G]): VECTOR is

— Поэлементное сложение текущего вектора с other

require … do

…

end

… Прочие компоненты …

invariant

non_negative_count: count >= 0

end

Применение инфиксной записи продиктовано соображениями удобства. Для удобства введены и синонимы в обозначении i-го компонента вектора: v.item (i) или просто v @ i.

Обратимся к функции «+«. Сначала сложение двух векторов кажется очевидным и состоящим в суммировании элементов на соответствующих местах. Общая его схема такова:

infix «+» (other: VECTOR [G]): VECTOR is

— Поэлементное сложение текущего вектора с other

require

count = other.count

local

i: INTEGER

do

«Создать Result как массив из count элементов»

from i := 1 until i > count loop

Result.put(item (i) + other.item (i), i)

i := i + 1

end

end

Выражение в прямоугольнике — результат сложения i-го элемента текущего вектора с i-м элементом other. Процедура put сохраняет это значение в i-м элементе Result, и хотя она не показана в классе VECTOR, данная процедура в нем, безусловно, присутствует.

Рис. 16.5.  Поэлементное сложение векторов

Но подобная схема не работает! Операция +, которую мы определили для сложения векторов (VECTOR), здесь применяется к объектам совсем другого типа (G), являющегося родовым параметром. По определению, родовой параметр представлен неизвестным типом — фактическим параметром, появляющимся только тогда, когда нам понадобится для каких либо целей родовой класс. Процесс порождения класса при задании фактического родового параметра называется родовым порождением (generic derivation). Если фактическим параметром служит INTEGER либо иной тип (класс), содержащий функцию infix «+» правильной сигнатуры, корректная работа обеспечена. Но что если параметром станет ELLIPSE, STACK, EMPLOYEE или другой тип без операции сложения?

С прежними родовыми классами: контейнерами STACK, LIST и ARRAY — этой проблемы не возникало, поскольку их действия над элементами (типа G как формального параметра) были универсальны — операции (присваивание, сравнение) могли выполняться над элементами любого класса. Но для абстракций, подобных векторам, допускающих сложение, нужно ограничить круг допустимых фактических родовых параметров, чтобы быть уверенными в допустимости проектируемых операций.

Этот случай отнюдь не является исключением. Вот еще два примера того же рода.

[x]. Предположим, вы проектируете класс, описывающий структуру данных с операцией sort, упорядочивающей элементы структуры в соответствии с некоторым критерием сортировки. Тогда элементы этой структуры должны принадлежать типу, для которого определена операция сравнения infix «<=», задающая порядок для любой пары соответствующих объектов.

[x]. При разработке таких базисных структур данных как словари зачастую используется для хранения данных хеш-таблица, в которой место элемента определяется ключом, вычисляемым по значению элемента. Элементы, размещаемые в словаре должны принадлежать классу, допускающему применение хеш-функции, вычисляющей ключ каждого элемента.

10 класс. Геометрия. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число. — Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число.

Комментарии преподавателя

От­ме­тим, что сло­же­ние век­то­ров про­из­во­дит­ся ана­ло­гич­но пла­ни­мет­рии, толь­ко все дей­ствия вы­пол­ня­ют­ся в про­стран­стве.

Итак, пусть за­да­ны два про­из­воль­ных век­то­ра в про­стран­стве (рис. 1):

Рис. 1. Про­из­воль­ные век­то­ры в про­стран­стве

Опре­де­лим, что же на­зы­ва­ет­ся сум­мой двух этих век­то­ров.

Точно так же, как в пла­ни­мет­рии, из любой удоб­ной точки, на­зо­вем ее точ­кой А, можно един­ствен­ным об­ра­зом от­ло­жить век­тор, рав­ный век­то­ру . На­пом­ним, что за­дан­ные век­то­ры, как и любые дру­гие, сво­бод­ны, важно лишь на­прав­ле­ние и длина, сам век­тор можно па­рал­лель­но пе­ре­но­сить в любое место как на плос­ко­сти, так и в про­стран­стве. Так, мы по­лу­чи­ли век­тор  – в ре­зуль­та­те дей­ствия век­то­ра  точка А пе­ре­ме­сти­лась в точку В. Те­перь из точки В от­кла­ды­ва­ем един­ствен­но воз­мож­ным об­ра­зом век­тор , по­лу­ча­ем век­тор  – так, в ре­зуль­та­те дей­ствия век­то­ра  точка В пе­ре­ме­сти­лась в точку С. В ре­зуль­та­те точка А пе­ре­ме­сти­лась в точку С, по­лу­чен век­тор , ко­то­рый и на­зы­ва­ет­ся сум­мой век­то­ров  и  (рис. 2).

Рис. 2. Сумма двух век­то­ров в про­стран­стве

Так, по­лу­че­но пра­ви­ло тре­уголь­ни­ка для сло­же­ния век­то­ров в про­стран­стве.

Пра­ви­ло тре­уголь­ни­ка

Из любой точки про­стран­ства (точка А) от­кла­ды­ва­ем пер­вый век­тор, из конца пер­во­го век­то­ра (точка В) от­кла­ды­ва­ем вто­рой век­тор и по­лу­ча­ем точку С. Век­тор, со­еди­ня­ю­щий на­ча­ло пер­во­го век­то­ра (точка А) и конец вто­ро­го (точка С), и будет ре­зуль­ти­ру­ю­щим.

От­ме­тим, что ре­зуль­тат сло­же­ния век­то­ров не за­ви­сит от вы­бо­ра на­чаль­ной точки, су­ще­ству­ет со­от­вет­ству­ю­щая тео­ре­ма, ко­то­рая это до­ка­зы­ва­ет на ос­но­ва­нии того, что из точки можно от­ло­жить век­тор, рав­ный за­дан­но­му, един­ствен­ным об­ра­зом.

Опре­де­ле­ние

Раз­но­стью двух век­то­ров на­зы­ва­ет­ся такой тре­тий век­тор, ко­то­рый, бу­дучи сло­жен­ным со вто­рым век­то­ром, даст пер­вый век­тор.

Вве­дем раз­ность век­то­ров  и , для этого сло­жим век­тор  с про­ти­во­по­лож­ным век­то­ром :

Итак, из про­из­воль­ной точки А от­кла­ды­ва­ем век­тор , по­лу­ча­ем точку В. Чтобы по­лу­чить век­тор  мы стро­им век­тор, рав­ный век­то­ру  по длине, но про­ти­во­на­прав­лен­ный. По­лу­чен­ный век­тор от­кла­ды­ва­ем из точки В – по­лу­ча­ем точку D. Век­тор  и будет ис­ко­мым век­то­ром раз­но­сти.

Про­ил­лю­стри­ру­ем (рис. 3):

Рис. 3. Вы­чи­та­ние двух век­то­ров в про­стран­стве

По­стро­им на за­дан­ных век­то­рах  и  па­рал­ле­ло­грамм (рис. 4):

Рис. 4. Па­рал­ле­ло­грамм на двух за­дан­ных век­то­рах

Т. к. век­тор ; ана­ло­гич­но .

По пра­ви­лу тре­уголь­ни­ка:

Так, одна из диа­го­на­лей па­рал­ле­ло­грам­ма, по­стро­ен­но­го на двух век­то­рах, со­от­вет­ству­ет сумме этих век­то­ров.

Рас­смот­рим раз­ность век­то­ров. По пра­ви­лу тре­уголь­ни­ка:

.

Так, вто­рая диа­го­наль па­рал­ле­ло­грам­ма, по­стро­ен­но­го на двух век­то­рах, со­от­вет­ству­ет раз­но­сти этих век­то­ров.

Для сло­же­ния и вы­чи­та­ния несколь­ких век­то­ров при­ме­ня­ет­ся пра­ви­ло мно­го­уголь­ни­ка. Пусть за­да­ны век­то­ры  и :

Рис. 5. Три век­то­ра в про­стран­стве

Необ­хо­ди­мо по­стро­ить век­тор .

Видим, что перед неко­то­ры­ми век­то­ра­ми стоят чис­лен­ные мно­жи­те­ли. На­пом­ним, что при умно­же­нии век­то­ра на число по­лу­ча­ем со­на­прав­лен­ный век­тор, длина ко­то­ро­го – это длина ис­ход­но­го век­то­ра, умно­жен­ная на за­дан­ное число. По­лу­чим век­то­ры  и . Век­тор  со­на­прав­лен с век­то­ром , длина его в три раза боль­ше. Век­тор  про­ти­во­на­прав­лен век­то­ру , длина его в два раза боль­ше. Про­ил­лю­стри­ру­ем (рис. 6):

Рис. 6. Умно­же­ние век­то­ра на число

При­сту­па­ем к сло­же­нию. Из про­из­воль­ной точки А от­кла­ды­ва­ем по­лу­чен­ный век­тор  – по­лу­ча­ем точку В. Из точки В от­кла­ды­ва­ем век­тор  – по­лу­ча­ем точку С. Из точки С от­кла­ды­ва­ем век­тор  – по­лу­ча­ем точку D. Со­глас­но пра­ви­лу мно­го­уголь­ни­ка, век­тор  со­от­вет­ству­ет ис­ко­мо­му век­то­ру :

Рис. 7. Сло­же­ние век­то­ров по пра­ви­лу мно­го­уголь­ни­ка

За­да­ча 1:

Задан тет­ра­эдр ABCD (ри­су­нок 8). До­ка­зать:

  

Рис. 8. Тет­ра­эдр, за­да­ча 1

Ре­ше­ние:

По пра­ви­лу тре­уголь­ни­ка: 

Ана­ло­гич­но: 

, ч. т. д.

По пра­ви­лу тре­уголь­ни­ка: 

Ана­ло­гич­но: , ч. т. д.

За­да­ча 2

Упро­стить вы­ра­же­ние: 

Рас­смот­рим от­дель­но сумму двух век­то­ров: , ее зна­че­ние оче­вид­но:

Про­ил­лю­стри­ру­ем (рис. 9):

Рис. 9. Сумма двух век­то­ров

Те­перь со­кра­тим про­ти­во­по­лож­ные век­то­ры:

Можно было сразу за­ме­тить:

.

В ре­зуль­та­те упро­ще­ния по­лу­че­но:

.

Итак, мы ввели опе­ра­ции сло­же­ния и вы­чи­та­ния век­то­ров, умно­же­ния век­то­ра на число в сте­рео­мет­рии, от­ме­ти­ли, что опе­ра­ции ана­ло­гич­ны таким же для пла­ни­мет­рии. Кроме того, ре­ши­ли несколь­ко задач, ба­зи­ру­ю­щих­ся на опи­сан­ных опе­ра­ци­ях.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/10-klass/vektory-v-prostranstve/slozhenie-i-vychitanie-vektorov-umnozhenie-vektora-na-chislo

http://www.youtube.com/watch?v=a0ohdyq56vQ

http://www.youtube.com/watch?v=JQzv4c5ak-0

http://www.youtube.com/watch?v=sKCfeWlmsLk

http://azdekor.ru/Spektr/SREDN_SKOOL/MATEM/026/images/Vkt3.jpg

https://www.kursoteka.ru/teacher//index.cfm/getfile/2364/7703/4155

 http://azdekor.ru/Spektr/SREDN_SKOOL/MATEM/026/images/Vkt4.jpg

http://portfoliosmolgu.ucoz.ru/_ph/8/2/143950352.jpg?1445058118

http://www.mathprofi.ru/vektory_dlya_chainikov.html

 

Сложение — вектор — Большая Энциклопедия Нефти и Газа, статья, страница 2

Сложение — вектор

Cтраница 2

Сложение векторов, особенно трех и более, удобнее вести в таком порядке: один вектор остается на месте, другие переносятся параллельно самим себе так, чтобы начало последующего вектора совпало с концом предыдущего.  [17]

Сложение векторов и умножение вектора на число называются линейными операциями над векторами.  [18]

Сложение векторов и умножение вектора на ( действительный) скаляр.  [19]

Сложение векторов, их разложение на составляющие, вычитание одного вектора из другого производятся по единым правилам для всех векторных величин, основанным и проверенным на огромном числе опытов. Эти действия часто называют геометрическими в отличие от алгебраических действий над скалярными величинами. С действиями над векторами мы познакомимся на примерах сложения сил и разложения их на составляющие.  [20]

Сложение векторов, умножение вектора на число и скалярное умножение векторов определяются обычным образом.  [21]

Сложение векторов на прямой.  [22]

Сложение векторов производится здесь и ниже покомпонентно.  [23]

Сложение векторов тогда сводится к поэлементному сложению вектор-столбцов, умножение на число а — к умножению на а каждого элемента вектор-столбца.  [24]

Сложение векторов ( рис. 255, б) показывает, что на диодах VD1 и VD2 действуют одинаковые напряжения, а следовательно, и одинаковые токи. При этом напряжения на нагрузочных резисторах R1 и R2 такж: е равны. Так как эти напряжения противо-фазны относительно общей точки резисторов R1 и R2, полное выходное напряжение UBax равно нулю.  [25]

Сложение векторов может производиться лишь при равенстве частот слагаемых колебаний.  [26]

Сложение векторов может быть сделано и по правилу параллелограмма. Угол ф между суммарным вектором и вектором тока — это угол отставания по фазе тока от напряжения или угол опережения по фазе напряжения относительно тока.  [27]

Сложение векторов и умножение вектора на число называются линейными операциями над векторами.  [28]

Сложение векторов подчиняется сочетательному закону.  [29]

Страницы:      1    2    3    4

20.4 Приемы сложения векторов | Векторы и скаляры

Гарольд идет в школу, идя \ (\ text {600} \) \ (\ text {m} \) на северо-восток, а затем \ (\ text {500} \) \ (\ text {m} \) N \ (\ text {40} \) \ (\ text {°} \) W. Определите его результирующее смещение, используя точные масштабные чертежи.

Решение пока недоступно

Голубь вылетает из гнезда в поисках еды для своего птенца.{-1} $} \).

1. Каково изменение скорости мяча для сквоша?

2. Какова результирующая скорость мяча для сквоша?

Решение пока недоступно

Лягушка пытается перейти реку. Он плавает в \ (\ text {3} \) \ (\ text {m · s $ ^ {- 1} $} \) в северном направление на противоположный берег.{-1} $} \). Найдите результирующую скорость лягушки, используя соответствующие вычисления. Включите в свой ответ грубый набросок ситуации.

Решение пока недоступно

Мпихлонхле идет к магазину, пройдя \ (\ text {500} \) \ (\ text {m} \) на северо-запад, а затем \ (\ text {400} \) \ (\ text {m} \) N \ (\ text {30} \) \ (\ text {°} \) E. Определите ее результирующее смещение, выполнив соответствующие расчеты.

Решение пока недоступно

Графические методы — Физика колледжа, главы 1-17

Сводка

• Поймите правила сложения, вычитания и умножения векторов.
• Применяйте графические методы сложения и вычитания векторов для определения смещения движущихся объектов.

Рис. 1. Смещение может быть определено графически с использованием масштабной карты, такой как эта для Гавайских островов.Путешествие с Гавайев на Молокаи состоит из нескольких этапов или сегментов пути. Эти сегменты могут быть добавлены графически с помощью линейки для определения общего двухмерного смещения маршрута. (Источник: Геологическая служба США).

Вектор — величина, имеющая величину и направление. Например, смещение, скорость, ускорение и сила — это векторы. В одномерном или прямолинейном движении направление вектора может быть задано просто знаком плюс или минус.Однако в двух измерениях (2-d) мы указываем направление вектора относительно некоторой системы отсчета (то есть системы координат), используя стрелку, имеющую длину, пропорциональную величине вектора, и указывающую в направлении вектора.

На рисунке 2 показано такое графическое представление вектора , используя в качестве примера полное смещение человека, идущего по городу, рассмотренное в главе 3.1 «Кинематика в двух измерениях: введение». Мы будем использовать обозначение, что жирный символ, такой как [latex] \ textbf {D} [/ latex], обозначает вектор.Его величина обозначается курсивом [латекс] \ boldsymbol {D}, [/ latex], а направление — [латексом] \ boldsymbol {\ theta}. [/ Latex]

ВЕКТОРОВ В ЭТОМ ТЕКСТЕ

В этом тексте мы представим вектор с переменной жирным шрифтом. Например, мы представим количественную силу вектором [latex] \ textbf {F}, [/ latex], который имеет как величину, так и направление. Величина вектора будет представлена ​​переменной курсивом, например [latex] \ boldsymbol {F}, [/ latex], а направление переменной будет задано углом [latex] \ boldsymbol {\ theta}. .[/ латекс]

Рис. 2. Человек идет 9 кварталов на восток и 5 кварталов на север. Смещение составляет 10,3 блока под углом 29,1 ^o к северу от востока. Рисунок 3. Чтобы графически описать результирующий вектор для человека, идущего по городу, рассматриваемому на рисунке 2, нарисуйте стрелку, представляющую вектор полного смещения D . Используя транспортир, нарисуйте линию под углом θ относительно оси восток-запад. Длина D стрелки пропорциональна величине вектора и измеряется по линии линейкой.В этом примере величина вектора D составляет 10,3 единицы, а направление θ составляет 29,1 ^o к северу от востока.

Метод «голова к хвосту» — это графический способ добавления векторов, описанный на рисунке 4 ниже и в следующих шагах. Хвостовик , вектора является начальной точкой вектора, а конец , (или острие) вектора является конечным заостренным концом стрелки.

Рис. 4. Метод «голова к хвосту». Метод «голова к хвосту» графического сложения векторов проиллюстрирован для двух перемещений человека, идущего по городу, рассмотренного на рисунке 2.(а) Нарисуйте вектор, представляющий смещение на восток. (b) Нарисуйте вектор, представляющий смещение на север. Хвост этого вектора должен исходить из головы первого вектора, направленного на восток. (c) Проведите линию от хвоста вектора, указывающего на восток, до начала вектора, указывающего на север, чтобы сформировать сумму или результирующего вектора D . Длина стрелки D пропорциональна величине вектора и составляет 10,3 единицы. Его направление, описываемое как угол относительно востока (или горизонтальной оси) θ , измеряется транспортиром и составляет 29.1 ⁰ .

Шаг 1. Нарисуйте стрелку для обозначения первого вектора (9 блоков на восток) с помощью линейки и транспортира .

Рис. 5.

Шаг 2. Теперь нарисуйте стрелку, представляющую второй вектор (5 блоков к северу). Поместите хвост второго вектора в начало первого вектора .

Рисунок 6.

Шаг 3. Если имеется более двух векторов, продолжить этот процесс для каждого добавляемого вектора.Обратите внимание, что в нашем примере у нас только два вектора, поэтому мы закончили размещать стрелки от конца к хвосту .

Шаг 4. Нарисуйте стрелку от хвоста первого вектора к началу последнего вектора . Это результат или сумма других векторов.

Рис. 7.

Шаг 5. Чтобы получить звездную величину полученного результата, измерьте его длину линейкой. (Обратите внимание, что в большинстве вычислений мы будем использовать теорему Пифагора для определения этой длины.)

Шаг 6. Чтобы получить направление результирующего, измерьте угол, который он образует с системой отсчета, используя транспортир. (Обратите внимание, что в большинстве расчетов мы будем использовать тригонометрические отношения для определения этого угла.)

Точность графического сложения векторов ограничена только точностью, с которой могут быть сделаны чертежи, и точностью измерительных инструментов. Это справедливо для любого количества векторов.о} [/ латекс] к северу от востока. Наконец, она поворачивается и проходит 32,0 м в направлении 68,0 ° к югу от востока.

Стратегия

Изобразите каждый вектор смещения графически стрелкой, обозначив первый [latex] \ textbf {A}, [/ latex], второй [latex] \ textbf {B}, [/ latex] и третий [latex] \ textbf { C}, [/ latex] делая длины пропорциональными расстоянию и направлениям, указанным относительно линии восток-запад. Описанный выше метод «голова к хвосту» дает возможность определить величину и направление результирующего смещения, обозначенного [latex] \ textbf {R}.[/ латекс]

Решение

(1) Нарисуйте три вектора смещения.

Рис. 8.

(2) Поместите векторы голова к хвосту, сохраняя как их начальную величину, так и направление.

Рисунок 9.

(3) Нарисуйте результирующий вектор, [latex] \ textbf {R}. [/ Latex]

Рис. 10.

(4) Используйте линейку для измерения величины [latex] \ textbf {R}, [/ latex] и транспортир для измерения направления [latex] \ textbf {R}. [/ Latex ] Хотя направление вектора можно указать разными способами, самый простой способ — измерить угол между вектором и ближайшей горизонтальной или вертикальной осью.о} [/ латекс] к югу от востока.

Обсуждение

Графический метод сложения векторов «голова к хвосту» работает для любого количества векторов. Также важно отметить, что результат не зависит от порядка добавления векторов. Следовательно, мы можем складывать векторы в любом порядке, как показано на рисунке 12, и мы все равно получим то же самое решение.

Рисунок 12.

Здесь мы видим, что когда одни и те же векторы добавляются в другом порядке, результат тот же.Эта характеристика верна во всех случаях и является важной характеристикой векторов. Сложение вектора — это коммутативный . Векторы можно добавлять в любом порядке.

[латекс] \ boldsymbol {\ textbf {A} + \ textbf {B} = \ textbf {B} + \ textbf {A}}. [/ Latex]

(Это верно и для сложения обычных чисел — вы получите тот же результат независимо от того, добавляете ли вы [латекс] \ boldsymbol {2 + 3} [/ latex] или [латекс] \ boldsymbol {3 + 2}, [/ латекс] например).

Вычитание векторов — это прямое расширение векторного сложения.Чтобы определить вычитание (скажем, мы хотим вычесть [latex] \ textbf {B} [/ latex] из [latex] \ textbf {A}, [/ latex] написано [latex] \ boldsymbol {\ textbf {A} — \ textbf {B}} [/ latex], мы должны сначала определить, что мы подразумеваем под вычитанием. Отрицательное значение для вектора [latex] \ textbf {B} [/ latex] определяется как [latex] \ boldsymbol {- \ textbf {B}}; [/ latex] то есть графически негатив любого вектора имеет ту же величину, но противоположное направление , как показано на рисунке 13. Другими словами, [latex] \ textbf {B} [/ latex] имеет ту же длину, что и [latex] \ boldsymbol {- \ textbf {B}}, [/ latex], но указывает в противоположном направлении.По сути, мы просто переворачиваем вектор, чтобы он указывал в противоположном направлении.

Рис. 13. Негатив вектора — это просто еще один вектор той же величины, но указывающий в противоположном направлении. Итак, B — это отрицательное значение -B ; он имеет ту же длину, но противоположное направление.

Вычитание вектора [latex] \ textbf {B} [/ latex] из вектора [latex] \ textbf {A} [/ latex] тогда просто определяется как добавление [latex] \ boldsymbol { — \ textbf {B}} [/ latex] в [latex] \ textbf {A}.[/ latex] Обратите внимание, что вычитание вектора — это сложение отрицательного вектора. Порядок вычитания не влияет на результаты.

[латекс] \ boldsymbol {\ textbf {A} — \ textbf {B} = \ textbf {A} + (- \ textbf {B})}. [/ Latex]

Аналогично вычитанию скаляров (где, например, [latex] \ boldsymbol {5-2 = 5 + (- 2)} [/ latex]). Опять же, результат не зависит от порядка, в котором выполняется вычитание. Когда векторы вычитаются графически, используются описанные выше методы, как показано в следующем примере.о} [/ латекс] к западу от севера). Если женщина совершит ошибку и поедет в направлении , противоположном направлению , на втором этапе пути, где она окажется? Сравните это местоположение с расположением дока.

Рисунок 14.

Стратегия

Мы можем представить первый этап путешествия вектором [latex] \ textbf {A}, [/ latex], а второй этап путешествия вектором [latex] \ textbf {B}. [/ Latex] док-станция расположена по адресу [latex] \ boldsymbol {\ textbf {A} \: + \: \ textbf {B}}.о} [/ латекс] к югу от востока. Мы представляем это как [latex] \ boldsymbol {- \ textbf {B}}, [/ latex], как показано ниже. Вектор [latex] \ boldsymbol {- \ textbf {B}} [/ latex] имеет ту же величину, что и [latex] \ textbf {B} [/ latex], но в противоположном направлении. Таким образом, она окажется в местоположении [latex] \ boldsymbol {\ textbf {A} + (- \ textbf {B})}, [/ latex] или [latex] \ boldsymbol {\ textbf {A} — \ textbf {B}}. [/ Латекс]

Рис. 15.

Мы выполним векторное сложение, чтобы сравнить местоположение док-станции, [latex] \ boldsymbol {\ textbf {A} + \ textbf {B}}, [/ latex] с местоположением, в котором по ошибке женщина прибывает, [латекс] \ boldsymbol {\ textbf {A} + (- \ textbf {B})}.[/ латекс]

Решение

(1) Чтобы определить место, куда случайно попала женщина, нарисуйте векторы [latex] \ textbf {A} [/ latex] и [latex] \ boldsymbol {- \ textbf {B}}. [/ Latex]

(2) Поместите векторы голова к хвосту.

(3) Нарисуйте результирующий вектор [latex] \ textbf {R}. [/ Latex]

(4) Используйте линейку и транспортир, чтобы измерить величину и направление [латекса] \ textbf {R}. [/ Latex]

Рисунок 16.

В этом случае [latex] \ boldsymbol {\ textbf {R} = 23.о} [/ латекс] к северу от востока.

Мы видим, что женщина окажется на значительном расстоянии от пристани, если она поедет в противоположном направлении на втором этапе пути.

Обсуждение

Поскольку вычитание вектора аналогично сложению вектора с противоположным направлением, графический метод вычитания векторов работает так же, как и для сложения.

Если бы мы решили пройти в три раза дальше на первом отрезке пути, рассмотренном в предыдущем примере, то мы прошли бы [латекс] \ boldsymbol {3 \ times 27.о} [/ латекс] к северу от востока. Это пример умножения вектора на положительный скаляр . Обратите внимание, что величина меняется, но направление остается прежним.

Если скаляр отрицательный, то умножение вектора на него изменяет величину вектора и дает новому вектору в противоположном направлении . Например, если вы умножите на –2, величина удвоится, но направление изменится. Мы можем резюмировать эти правила следующим образом: Когда вектор [latex] \ textbf {A} [/ latex] умножается на скаляр [latex] \ boldsymbol {c}, [/ latex]

• величина вектора становится абсолютным значением [latex] \ boldsymbol {cA}, [/ latex]
• если [latex] \ boldsymbol {c} [/ latex] положительный, направление вектора не меняется,
• если [latex] \ boldsymbol {c} [/ latex] отрицательно, направление меняется на противоположное.

В нашем случае [latex] \ boldsymbol {c = 3} [/ latex] и [latex] \ boldsymbol {\ textbf {A} = 27.5 \ textbf {m}}. [/ Latex] Векторы умножаются на скаляры во многих ситуациях. Обратите внимание, что деление — это обратное умножение. Например, деление на 2 аналогично умножению на значение (1/2). Правила умножения векторов на скаляры такие же, как и для деления; просто рассматривайте делитель как скаляр от 0 до 1.

В приведенных выше примерах мы добавляли векторы для определения результирующего вектора.Однако во многих случаях нам нужно будет сделать наоборот. Нам нужно будет взять один вектор и найти, какие другие векторы, сложенные вместе, производят его. В большинстве случаев это включает определение перпендикулярных компонентов одного вектора, например компонентов x – и y или компонентов север-юг и восток-запад.

Например, мы можем знать, что общее перемещение человека, идущего по городу, равно 10.o} [/ latex] к северу от востока и хотите узнать, сколько кварталов на восток и север нужно было пройти. Этот метод называется нахождения компонентов (или частей) смещения в восточном и северном направлениях, и это процесс, обратный процессу, применяемому для нахождения полного смещения. Это один из примеров нахождения компонентов вектора. В физике есть много приложений, в которых это полезно. Мы скоро увидим это в главе 3.4 «Движение снаряда» и многое другое, когда мы рассмотрим силы в главе 4 «Динамика: законы движения Ньютона».Большинство из них включает поиск компонентов вдоль перпендикулярных осей (например, север и восток), так что задействованы прямоугольные треугольники. Аналитические методы, представленные в главе 3.3 Сложение и вычитание векторов: аналитические методы, идеально подходят для поиска компонентов вектора.

ФЕТ ИССЛЕДОВАНИЯ: ИГРА В ЛАБИРИНТ

Узнайте о положении, скорости и ускорении в «Arena of Pain». Используйте зеленую стрелку, чтобы переместить мяч. Добавьте больше стен на арену, чтобы усложнить игру.Постарайтесь достичь цели как можно быстрее.

Рисунок 18. Лабиринт.

• Графический метод добавления векторов [latex] \ textbf {A} [/ latex] и [latex] \ textbf {B} [/ latex] включает рисование векторов на графике и добавление их с помощью метода «голова-к-» хвостовой метод. Результирующий вектор [latex] \ textbf {R} [/ latex] определяется таким образом, что [latex] \ boldsymbol {\ textbf {A} + \ textbf {B} = \ textbf {R}}. [/ Latex] Величина и направление [latex] \ textbf {R} [/ latex] затем определяется с помощью линейки и транспортира соответственно.
• Графический метод вычитания вектора [latex] \ textbf {B} [/ latex] из [latex] \ textbf {A} [/ latex] включает добавление противоположности вектора [latex] \ textbf {B}, [ / latex], который определяется как [latex] \ boldsymbol {- \ textbf {B}}. [/ latex] В этом случае [latex] \ boldsymbol {\ textbf {A} — \ textbf {B} = \ textbf { A} + (- \ textbf {B}) = \ textbf {R}}. [/ Latex] Затем метод сложения «голова к хвосту» выполняется обычным способом для получения результирующего вектора [latex] \ textbf {R}. [/ Латекс]
• Сложение векторов — это коммутативный , такой, что [latex] \ boldsymbol {\ textbf {A} + \ textbf {B} = \ textbf {B} + \ textbf {A}}.[/ латекс]
• Метод «голова к хвосту» добавления векторов включает рисование первого вектора на графике с последующим помещением хвоста каждого последующего вектора в начало предыдущего вектора. Результирующий вектор затем рисуется от хвоста первого вектора к голове последнего вектора.
• Если вектор [latex] \ textbf {A} [/ latex] умножается на скалярную величину [latex] \ boldsymbol {c}, [/ latex], величина продукта определяется как [latex] \ boldsymbol {cA }. [/ latex] Если [latex] \ boldsymbol {c} [/ latex] положительное значение, направление продукта указывает в том же направлении, что и [latex] \ textbf {A}; [/ latex] if [latex] \ boldsymbol {c} [/ latex] имеет отрицательное значение, товар указывает в противоположном направлении, как [latex] \ textbf {A}.[/ латекс]

Концептуальные вопросы

1: Что из следующего является вектором: рост человека, высота на Эвересте, возраст Земли, температура кипения воды, стоимость этой книги, население Земли, ускорение свободного падения. ?

2: Приведите конкретный пример вектора, указав его величину, единицы измерения и направление.

3: Что общего у векторов и скаляров? Чем они отличаются?

4: Два отдыхающих в национальном парке выходят из своей хижины в одно и то же место на озере, каждый идет своим путем, как показано ниже.Общее расстояние, пройденное по пути 1, составляет 7,5 км, а по маршруту 2 — 8,2 км. Каково окончательное смещение каждого кемпера?

Рисунок 19.

5: Если пилоту самолета приказывают пролететь 123 км по прямой, чтобы добраться из Сан-Франциско в Сакраменто, объясните, почему он может оказаться в любом месте круга, показанного на рисунке 20. Какую еще информацию ему потребуется получить. в Сакраменто?

Рисунок 20.

6: Предположим, вы сделали два шага [latex] \ textbf {A} [/ latex] и [latex] \ textbf {B} [/ latex] (то есть два ненулевых смещения).При каких обстоятельствах вы можете оказаться в исходной точке? В более общем плане, при каких обстоятельствах два ненулевых вектора могут складываться, чтобы дать ноль? Максимальное расстояние, которое вы можете пройти от начальной точки [latex] \ boldsymbol {\ textbf {A} + \ textbf {B}} [/ latex], является суммой длин двух шагов?

7: Объясните, почему нельзя добавить скаляр к вектору.

8: Если вы сделаете два шага разного размера, сможете ли вы прийти к исходной точке? В более общем смысле, могут ли два вектора с разными величинами складываться к нулю? Можно трое и больше?

Задачи и упражнения

Используйте графические методы для решения этих проблем.Вы можете предположить, что данные, взятые с графиков, имеют точность до трех цифр.

1: Найдите следующее для пути A на рисунке 21: (a) общее пройденное расстояние и (b) величину и направление смещения от начала до конца.

Рис. 21. Различные линии представляют собой пути, по которым идут разные люди в городе. Все блоки имеют ширину 120 м.

2: Найдите следующее для пути B на рисунке 21: (a) общее пройденное расстояние и (b) величину и направление смещения от начала до конца.

3: Найдите северную и восточную составляющие смещения для туристов, показанных на рисунке 19.

4: Предположим, вы идете 18,0 м прямо на запад, а затем 25,0 м прямо на север. Как далеко вы находитесь от начальной точки и каково направление по компасу линии, соединяющей вашу отправную точку с конечным положением? (Если вы представляете две части прогулки как векторные смещения [latex] \ textbf {A} [/ latex] и [latex] \ textbf {B}, [/ latex], как на рисунке 22, то эта задача требует от вас найдите их сумму [латекс] \ boldsymbol {\ textbf {R} = \ textbf {A} + \ textbf {B}} [/ latex].о} [/ латекс] к югу от запада. Как далеко вы находитесь от начальной точки и каково направление по компасу линии, соединяющей вашу отправную точку с конечным положением? (Если вы представите две части прогулки как векторные смещения [latex] \ textbf {A} [/ latex] и [latex] \ textbf {B}, [/ latex], как на рисунке 23, то эта задача находит их сумму [латекс] \ boldsymbol {\ textbf {R} = \ textbf {A} + \ textbf {B}} [/ latex].)

Рисунок 23.

6: Повторите описанную выше задачу, но поменяйте порядок двух этапов ходьбы; покажите, что вы получите тот же конечный результат.{\ prime}} [/ latex]). Покажи, что это так.

8: Покажите, что порядок сложения трех векторов не влияет на их сумму. Покажите это свойство, выбрав любые три вектора [latex] \ textbf {A}, \: \ textbf {B}, [/ latex] и [latex] \ textbf {C}, [/ latex], имеющих разную длину и направление. Найдите сумму [latex] \ boldsymbol {\ textbf {A} + \ textbf {B} + \ textbf {C}} [/ latex], затем найдите их сумму при добавлении в другом порядке и покажите, что результат тот же.(Есть пять других порядков, в которые можно добавить [latex] \ textbf {A}, \ textbf {B}, [/ latex] и [latex] \ textbf {C} [/ latex]; выберите только один.)

9: Покажите, что сумма векторов, рассмотренных в примере 2, дает результат, показанный на рисунке 17.

10: Найдите величины скоростей [latex] \ boldsymbol {v_A} [/ latex] и [latex] \ boldsymbol {v_B} [/ latex] на Рисунке 24

Рис. 24. Две скорости v _A и v _B складываются, чтобы получить общее v _к .o} [/ latex] против часовой стрелки относительно изображений на Рисунке 24.

Глоссарий

компонент (двумерного вектора)

кусок вектора, указывающий либо в вертикальном, либо в горизонтальном направлении; каждый двумерный вектор может быть выражен как сумма двух вертикальных и горизонтальных составляющих вектора

коммутативный

относится к взаимозаменяемости порядка в функции; сложение векторов коммутативно, потому что порядок, в котором векторы складываются вместе, не влияет на окончательную сумму

направление (вектора)

ориентация вектора в пространстве

голова (вектора)

конечная точка вектора; расположение кончика стрелки вектора; также называется «наконечник»

метод «голова к хвосту»

метод сложения векторов, в котором хвост каждого вектора помещается в начало предыдущего вектора

звездная величина (вектора)

длина или размер вектора; величина — скалярная величина

результат

сумма двух или более векторов

результирующий вектор

векторная сумма двух или более векторов

скаляр

величина с величиной, но без направления

хвост

начальная точка вектора; напротив наконечника или наконечника стрелки

Решения

Задачи и упражнения

1:

(а) [латекс] \ boldsymbol {480 \ textbf {m}} [/ латекс]

(b) [латекс] \ boldsymbol {379 \ textbf {m}}, \ boldsymbol {18.o} [/ latex] относительно оси x .

11:

x -компонент 4,41 м / с

y -компонент 5,07 м / с

Сложение векторов — поступательное движение

Векторов можно добавлять или вычитать графически, накладывая их встык по набору осей.

Одним из способов, которым представление физических величин в виде векторов упрощает анализ, является легкость, с которой векторы могут быть добавлены друг к другу.Поскольку векторы представляют собой графические визуализации, сложение и вычитание векторов можно выполнять графически.

Графический метод сложения векторов также известен как метод «голова к хвосту». Для начала нарисуйте набор осей координат . Затем нарисуйте первый вектор с его хвостом (основанием) в начале осей координат. Для сложения векторов не имеет значения, какой вектор вы рисуете первым, поскольку сложение коммутативно, но для вычитания убедитесь, что вектор, который вы рисуете первым, — это тот, из которого вы вычитаете.Следующий шаг — взять следующий вектор и нарисовать его так, чтобы его хвост начинался с головы предыдущего вектора (сторона стрелки). Продолжайте помещать каждый вектор в начало предыдущего, пока все векторы, которые вы хотите добавить, не будут объединены. Наконец, проведите прямую линию от начала координат до головы последнего вектора в цепочке. Эта новая линия является векторным результатом сложения этих векторов вместе.

Метод вычитания векторов аналогичен. Убедитесь, что первый вектор, который вы рисуете, — это тот, из которого нужно вычесть.Затем, чтобы вычесть вектор, действуйте так, как если бы добавляли напротив этого вектора. Другими словами, переверните вектор, который нужно вычесть, по осям, а затем соедините его хвостом к голове, как будто складывая. Чтобы перевернуть вектор, просто поместите его голову на место хвоста, а хвост на место головы.

Помните:

• Векторная сумма всех компонентов вектора, равная самому вектору.
• Операция с вектором и вектором может привести или не привести к вектору (кинетическая энергия из квадрата скорости вектора дает скалярную энергию).
• Операция с вектором и скаляром всегда приводит к вектору.
• Операция со скаляром и скаляром всегда приводит к скаляру.

Практические вопросы

Академия Хана

Свиной грипп в Финляндии

Официальная подготовка MCAT (AAMC)

Пакет вопросов по физике Вопрос 116

Практический экзамен 4 Раздел C / P, вопрос 12

Ключевые точки

• Чтобы добавить векторы, положите первую на наборе осей хвостом в начале координат.Поместите следующий вектор хвостом в голову предыдущего вектора. Когда векторов больше нет, проведите прямую линию от начала до конца последнего вектора. Эта линия представляет собой сумму векторов.

• Чтобы вычесть векторы, действуйте так, как если бы складывались два вектора, но переверните вектор для вычитания по осям, а затем соедините его хвостом к голове, как если бы складывались.

• Сложение или вычитание любого количества векторов дает результирующий вектор.

• Векторная сумма всех компонентов вектора, равная самому вектору.

• Операция с вектором и вектором может привести или не привести к вектору (кинетическая энергия из квадрата скорости вектора дает скалярную энергию)

• Операция с вектором и скаляром всегда приводит к вектору.

• Операция со скаляром и скаляром всегда приводит к скаляру.

Ключевые термины

Начало координат : центр координатной оси, определенный как координата 0 по всем осям.

Оси координат : Набор перпендикулярных линий, определяющих координаты относительно начала координат. Пример: оси координат x и y определяют горизонтальное и вертикальное положение.

Видеоурок: Сложение векторов | Нагва

Стенограмма видео

В этом видео мы узнаем, как сложить два или более векторов, как графически, так и с использованием обозначения единичного вектора. Начнем с графического метода.Но прежде чем мы научимся складывать векторы графически, давайте освежим в памяти, что такое вектор и как мы можем представить вектор в графической форме. Вектор — это величина, которая имеет как величину, так и направление. Таким образом, простой способ графического представления вектора — использовать стрелку.

Например, эта стрелка представляет вектор с величиной четыре единицы и направлением по горизонтальной оси к правой части экрана. Мы можем дать этому вектору имя. Назовем это 𝐀.И обратите внимание, что когда мы обозначаем наш вектор 𝐀, мы рисуем полустрелку поверх буквы. Это обычное соглашение для обозначения векторов. И когда мы видим вектор, напечатанный, например, в Интернете или в книге, мы часто видим, что он выделен жирным шрифтом, чтобы обозначить тот факт, что это вектор.

Давайте нарисуем еще один пример вектора, и назовем этот вектор 𝐁. Мы видим, что вектор 𝐁 имеет ту же величину, равную четырем единицам, что и вектор. Но на этот раз все в другом направлении. Он ориентирован вертикально к верхней части экрана.Еще раз, когда мы помечаем наш вектор 𝐁, мы рисуем полустрелку поверх переменной, чтобы обозначить, что это вектор.

Прежде чем мы перейдем к добавлению векторов, давайте нарисуем еще один пример. Вектор 𝐂 имеет компоненты как в горизонтальном, так и в вертикальном направлениях. В горизонтальном направлении он имеет длину пять единиц. А в вертикальном направлении он имеет длину три единицы. Таким образом, мы могли бы сказать, что вектор 𝐂 имеет горизонтальную составляющую, равную пяти, и вертикальную составляющую, равную трем.Мы можем видеть, что вектор 𝐂 имеет большую горизонтальную составляющую, чем вектор 𝐀, и меньшую вертикальную составляющую, чем вектор.

Хорошо, теперь мы сделали краткий обзор того, что такое векторы и как мы можем их представить графически. Давайте посмотрим, как мы можем сложить их вместе, начиная с графического метода. Всякий раз, когда мы складываем векторы вместе, например, 𝐀 и 𝐁, результатом всегда будет также вектор. Назовем этот вектор результатов 𝐕. Подход, который мы будем использовать для графического сложения векторов, называется методом кончика к хвосту.В этом методе один вектор скользит, пока его хвост не окажется на кончике другого вектора. Результирующий вектор рисуется от хвоста неподвижного вектора к вершине перемещенного вектора.

Давайте попробуем использовать этот метод, чтобы сложить два новых вектора. Мы снова назовем эти векторы 𝐀 и 𝐁. Поскольку эти векторы отличаются от векторов 𝐀 и 𝐁, которые мы использовали в предыдущем примере, давайте быстро посмотрим на их вертикальные и горизонтальные компоненты, прежде чем добавлять их. Вектор 𝐀 имеет горизонтальную составляющую, равную трем, и вертикальную составляющую, равную нулю.А вектор 𝐁 имеет горизонтальную составляющую, равную единице, и вертикальную составляющую, равную трем.

Итак, чтобы найти вектор, который образуется при сложении векторов 𝐀 и 𝐁 вместе, мы начинаем с того, что оставляем вектор 𝐀 на месте, а затем сдвигаем вектор 𝐁 так, чтобы хвост вектора 𝐁 касался кончика вектора 𝐀. И при этом очень важно, чтобы горизонтальная и вертикальная составляющие 𝐁 оставались одинаковыми. Как только мы это сделаем, мы можем нарисовать результирующий вектор, то есть вектор, который эквивалентен сумме 𝐀 и 𝐁.Он проводится от хвоста вектора 𝐀 к вершине перемещенного вектора 𝐁. И мы можем обозначить этот новый вектор, как мы его назвали в нашем выражении в верхней части экрана.

Мы можем думать о векторах как о движении на определенное расстояние в определенном направлении. Здесь мы видим, что если бы мы начали с начала координат и двигались по вектору 𝐀, а затем двигались по вектору 𝐁, мы бы здесь оказались. В целом наше движение такое же, как если бы мы двигались по вектору. Это один из способов подумать о том, что означает, когда мы говорим, что 𝐕 — это сумма 𝐀 и 𝐁.

Метод «кончик к хвосту» не ограничивается простым сложением двух векторов. Итак, в этом примере давайте введем третий вектор 𝐂. Мы видим, что этот вектор имеет горизонтальную составляющую, равную двум слева. Таким образом, мы могли бы сказать, что горизонтальный компонент равен двум отрицательным. Он также имеет вертикальную составляющую, равную единице в направлении вниз. Таким образом, можно сказать, что вертикальная составляющая отрицательная. Давайте воспользуемся методом «кончик к хвосту», чтобы сложить векторы 𝐀, 𝐁 и 𝐂. И мы назовем результирующий вектор 𝐖.

Еще раз оставим вектор 𝐀 неподвижным и будем скользить по вектору 𝐁 так, чтобы его хвост касался кончика вектора 𝐀. Затем мы скользим по вектору 𝐂 так, чтобы хвост вектора 𝐂 касался кончика перемещаемого вектора 𝐁. Теперь мы можем нарисовать результирующую от начала координат вектора 𝐀 до вершины вектора. Мы видим, что результирующий вектор 𝐖 имеет горизонтальную составляющую, равную двум, и вертикальную составляющую, равную двум. Этот метод можно продолжить для любого количества векторов, которое мы хотим сложить.Давайте теперь перейдем к другому методу, сложив вместе векторы, используя обозначение единичного вектора.

Во-первых, нам нужно вспомнить, что единичный вектор — это вектор длины один. Когда мы смотрим на векторы в двумерном пространстве, то есть там, где у нас есть горизонтальная и вертикальная оси, есть два особых единичных вектора, о которых нам нужно знать, 𝐢 и 𝐣. Мы видим, что когда мы пишем символы для 𝐢 и 𝐣, мы можем надеть небольшую шляпу поверх буквы, чтобы обозначить, что это единичный вектор.По этой причине эти единичные векторы иногда называют hat и 𝐣 hat. А в текстовой форме мы иногда видим эти векторы, выделенные жирным шрифтом 𝐢 или.

Мы можем видеть, что единичный вектор или hat — это единичный вектор, который указывает в 𝑥-направлении, тогда как единичный вектор 𝐣 или hat указывает в-направлении. Эти векторы полезны, потому что любой двумерный вектор может быть выражен через 𝐢 и 𝐣. В частности, мы можем выразить горизонтальную составляющую через и вертикальную составляющую через.Например, этот вектор 𝐀 имеет горизонтальную или 𝑥-компоненту положительной единицы и вертикальную или 𝑦-компоненту положительной тройки. Это означает, что вектор 𝐀 равен 𝐢 плюс три раза 𝐣.

Возьмем другой пример, этот вектор 𝐁 имеет 𝑥-компоненту отрицательной двойки и 𝑦-компоненту отрицательной единицы. Это означает, что мы можем сказать, что равно отрицательному дважды 𝐢 минус 𝐣. Таким образом, выражение двумерных векторов через единичные векторы 𝐢 и 𝐣 дает нам возможность отдельно описывать их горизонтальные компоненты через и их вертикальные компоненты через.Мы можем использовать это, чтобы складывать векторы вместе. Чтобы сложить векторы вместе, используя обозначение единичного вектора, нам просто нужно добавить горизонтальные компоненты и вертикальные компоненты отдельно. Это означает, что для всех векторов, которые мы складываем вместе, мы складываем их 𝐢-компоненты, чтобы найти 𝐢-компонент результирующего вектора, и мы складываем их 𝐣-компоненты, чтобы найти-компонент результирующего вектора.

Итак, допустим, у нас есть два вектора 𝐀 и 𝐁, и оба они выражены с помощью записи единичного вектора.Предположим, что 𝐀 равно четырем 𝐢 плюс девять 𝐣, а 𝐁 равно семи 𝐢 плюс пять 𝐣. Допустим, мы хотим сложить эти два вектора вместе, чтобы найти результирующий вектор 𝐕. Что ж, для этого мы начнем с добавления вместе. Четыре 𝐢 плюс семь 𝐢 дают нам 11𝐢. Затем мы складываем вместе. Девять 𝐣 плюс пять равно 14𝐣. Итак, здесь наш результирующий вектор 𝐕 равен 11𝐢 плюс 14𝐣; то есть он имеет горизонтальный компонент 11 и вертикальный компонент 14.

Давайте попробуем другой пример.На этот раз 𝐀 равно трем 𝐢 плюс пять 𝐣, а 𝐁 равно четырем 𝐢 минус шесть 𝐣. Большая разница в этом примере заключается в том, что один из наших векторов имеет отрицательную составляющую. -Компонента вектора отрицательна шесть 𝐣. Однако, даже если мы имеем дело с отрицательными компонентами, мы все равно складываем 𝐢- и 𝐣-компоненты по отдельности. Нам просто нужно учитывать любые негативные признаки.

Имея дело с первым, у нас есть три 𝐢 плюс четыре, что дает нам семь. А теперь, глядя на, у нас пять 𝐣 плюс минус шесть.Пять 𝐣 плюс отрицательные шесть 𝐣 равны пяти 𝐣 минус шесть 𝐣, что оставляет нам отрицательную единицу 𝐣. И самый простой способ записать это отрицательно 𝐣. Таким образом, в этом случае результирующий вектор 𝐕 равен семи 𝐢 минус 𝐣.

Давайте теперь рассмотрим два примера сложения векторов: в одном мы добавляем их графически, а во втором — в нотации единичного вектора.

Какой из векторов 𝐏, 𝐐, 𝐑, 𝐒 или 𝐓, показанных на диаграмме, равен 𝐀 плюс 𝐁?

Итак, здесь у нас есть диаграмма, показывающая нам семь векторов, включая векторы 𝐀 и 𝐁.И нас спрашивают из других пяти векторов 𝐏, 𝐐, 𝐑, 𝐒 и 𝐓, какой из них будет равен сумме 𝐀 и 𝐁. Поскольку векторы были даны нам в графической форме — они представлены синими стрелками — мы можем сложить их вместе графически, используя метод кончика к хвосту. В методе кончик к хвосту один вектор скользит, пока его хвост не окажется на кончике другого вектора. Результирующий переносится от хвоста неподвижного вектора к вершине перемещенного вектора.

В нашей задаче мы хотим сложить векторы 𝐀 и 𝐁.Итак, давайте оставим вектор 𝐀 неподвижным и сдвинем вектор 𝐁 так, чтобы его хвост опирался на кончик вектора 𝐀, убедившись, что и горизонтальные, и вертикальные компоненты вектора, как мы его сейчас нарисовали, такие же, как и у оригинала. вектор 𝐁. В этом случае горизонтальная составляющая находится на две единицы вправо, а вертикальная составляющая — на три единицы вверх. Теперь мы можем нарисовать результирующий вектор, то есть вектор, который эквивалентен 𝐀 плюс 𝐁. Он проводится от хвоста неподвижного вектора 𝐀 к вершине перемещенного вектора 𝐁.

Мы видим, что этот результирующий вектор имеет то же направление и величину, что и вектор 𝐐. Другими словами, он равен вектору 𝐐. Это означает, что вектор 𝐐 равен сумме 𝐀 и 𝐁. Из пяти векторов, нарисованных на диаграмме, 𝐏, 𝐐, 𝐑, 𝐒 и, вектор 𝐐 равен 𝐀 плюс 𝐁.

Теперь давайте посмотрим на другой пример, в котором мы складываем векторы, используя обозначение единичного вектора.

Рассмотрим два вектора 𝐀 и 𝐁. 𝐀 равно двум 𝐢 плюс три 𝐣, а 𝐁 равно семи 𝐢 плюс пять 𝐣.Вычислите 𝐀 плюс 𝐁.

В этой задаче векторы 𝐀 и 𝐁 выделены жирным шрифтом, чтобы показать, что они векторы. Поскольку мы собираемся решать это вручную, мы можем обозначить, что 𝐀 и 𝐁 — векторы, нарисовав сверху половинные стрелки. Точно так же единичные векторы 𝐢 и 𝐣 были выделены жирным шрифтом. Когда мы пишем их от руки, мы рисуем шляпу сверху, чтобы обозначить, что это единичные векторы. Каждый раз, когда мы добавляем векторы, которые выражаются в обозначении единичного вектора, например 𝐀 и 𝐁, мы должны помнить, что добавляем 𝐢-компоненты и 𝐣-компоненты по отдельности.

Может быть полезно записать векторы один над другим со знаком плюс, чтобы 𝐢-компоненты и 𝐣-компоненты были выровнены по вертикали. В результате сложения двух векторов 𝐀 и 𝐁 мы получим вектор. Мы можем дать этому результирующему вектору имя. Назовем это 𝐕. Чтобы определить компоненты, мы начнем с сложения 𝐢-компонентов 𝐀 и 𝐁. Два 𝐢 плюс семь 𝐢 — девять 𝐢. Затем мы складываем 𝐣-компоненты, и три 𝐣 плюс пять 𝐣 составляют восемь 𝐣. Если вектор 𝐀 равен двум 𝐢 плюс три 𝐣, а вектор 𝐁 равен семи 𝐢 плюс пять 𝐣, то 𝐀 плюс 𝐁 равно девяти 𝐢 плюс восемь 𝐣.

Хорошо, теперь мы рассмотрели пару примеров, давайте подытожим ключевые моменты этого урока. Мы видели, что можем складывать векторы вместе графически, используя метод кончика к хвосту. Мы также увидели, как складывать векторы, используя обозначение единичного вектора. Когда мы это делаем, нам нужно сложить 𝐢-компоненты вместе и 𝐣-компоненты вместе по отдельности.

Сложение вектора

следующий: Величина вектора Up: Движение в 3-х измерениях Предыдущий: Векторное смещение Предположим, что векторное смещение некоторой точки от начала координат задается следующим образом:

(31)

На рисунке 12 показано, как это выражение интерпретируется схематически: для того, чтобы чтобы добраться от точки к точке, мы сначала перемещаемся от точки к точке по вектору , а затем перемещаемся от точки к точке по вектору.В чистый результат такой же, как если бы мы двигались от точки прямо к точке вектор. Вектор называется результирующим сложения векторов. а также .

Рисунок 12: Сложение вектора

Обратите внимание, что у нас есть два способа задать векторное смещение точки от происхождение: мы можем написать или . В выражение интерпретируется следующим образом: начиная с начала координат, двигаться по вектору в направлении стрелки, затем двигаться по вектор в направлении , противоположном направлению стрелки .Другими словами, знак минус перед вектором указывает, что мы должны двигаться по этому вектору в противоположно направлению его стрелки.

Предположим, что компоненты векторов и равны а также , соответственно. Как легко показать, компоненты результирующий вектор находятся

			(32)
			(33)
			(34)

Другими словами, компоненты суммы двух векторов — это просто алгебраические суммы компонентов отдельных векторов.

---

следующий: Величина вектора Up: Движение в 3-х измерениях Предыдущий: Векторное смещение

Ричард Фицпатрик 2006-02-02

Влияние контекста и положения векторов

Таблица 2 показывает, что проблема контекста смещения

дает наиболее правильные ответы. Это

может быть связано с тем, что это наиболее знакомый учащимся контекст

.Самая распространенная ошибка в этом контексте

(7%) — это нарисовать линию, представляющую вектор

с правильной величиной, но без указания направления

стрелкой (см. Рис. 3). Это могло произойти из-за путаницы

между перемещением и расстоянием или из-за простого недосмотра ученика

.

В задачах принудительного контекста и без контекста наиболее распространенной ошибкой

является рисование биссектрисы вектора, также

, упомянутого Ван Девентером [4].В этой ошибке учащиеся

рисуют векторную сумму, которая проходит между двумя векторами

, но не имеет точности, чтобы считаться правильной. Биссектрисы

, обнаруженные в этом исследовании, имеют разные величины и направления

. Можно различить

между короткими биссектрисами и длинными биссектрисами (аналогично

, показанным на рис. 3). Вероятно, что эта ошибка составляет

из-за того, что в задачах

принудительного контекста и без контекста векторная сумма менее известна и более

абстрактна, чем в задаче контекста смещения.

Таблица 2 также показывает, что в проблеме без контекста,

ошибки до конца и закрытия цикла расширяются.

Это еще один признак того, что контекст влияет на

ответ и что учащиеся

испытывают трудности с построением ментальных моделей без проблем с контекстом.

2. Влияние положения векторов

В этом подразделе мы анализируем влияние положения векторов

на задачу сложения векторов

, представленную в трех различных представлениях (задачи

4-6).Прежде чем сравнивать распределение ошибок в этих проблемах

, необходимо объяснить некоторые из найденных ошибок

. На рис. 4 эти ошибки показаны графически. Ошибка tip-

to-tip появляется также с противоположным направлением.

РИСУНОК 4. Ошибки в задачах 4-6.

Обычно учащиеся, допускающие эти ошибки,

не показывают явно процедуру, которой они следуют, чтобы получить

своих результатов. Многие ученики непосредственно рисуют векторную сумму

.Это затрудняет анализ. В этом подразделе

есть много типов векторов биссектрисы

(рис. 4). Мы решили не различать короткую биссектрису

и длинную биссектрису (как в предыдущем подразделе).

Вместо этого мы решили различать общие

биссектрисы, горизонтальной биссектрисы и вертикальной биссектрисы. Общим для всех

этих биссектрисных векторов является то, что они представляют собой

, проведенные между двумя векторами.

Общая ошибка биссектрисы — это вектор, который не имеет точности

и показывает разные величины x- и

y-компонентов. На рис. 4 показано общее представление.

Студент написал объяснение (как часть своей процедуры

), которое иллюстрирует эту ошибку: «A больше

, чем B, поэтому R больше склоняется к A.»

В горизонтальной биссектрисе учащиеся рисуют вектор

(с разными величинами) точно по отрицательной оси абсцисс

.На рис. 4 показано обычное представление

. Студент написал рассуждение, что

иллюстрирует эту ошибку: «A и B со своими направлениями

компенсируют друг друга к центру (слева), а величина

находится между 3 и 2, то есть 2,5». Также обратите внимание на

, что некоторые ученики рисуют горизонтальный вектор с величиной 5

, что является правильным x-компонентом

векторной суммы. Похоже, что эти студенты добавляют компоненты x-

без добавления y-компонентов.Ошибки общей биссектрисы

и горизонтальной биссектрисы

также были обнаружены Нгуеном и Мельцером [1], но в нашем исследовании

мы уточняем эти ошибки, используя определение ошибки биссектрисы

, данное Ван Девентером [4]. Мы подтверждаем, что

многие студенты складывают векторы, набрасывая векторную сумму

, которая проходит между двумя векторами, но не имеет точности,

, поэтому мы решили идентифицировать эти две ошибки как биссектрисы

векторов.

В наших данных появляется еще одна ошибка: биссектриса вертикального вектора

(рис. 4). Этот вектор также находится между

двумя векторами, но студенты, похоже, не осознают

, что это представление «голова к хвосту». Ошибка биссектрисы по вертикали

также показывает разные величины

и, в некоторых случаях, небольшой наклон. Об этой ошибке

не сообщалось в литературе.

Противоположные векторы смешения, показанные на рис.4 имел

также не упоминалось в литературе. Студенты

обычно рисовали векторную сумму напрямую, поэтому

сложно провести полный анализ этой ошибки. Мы наблюдали две неверные процедуры

, которые привели к этому конкретному неправильному ответу

.