Математика для чайников. Глава 10. Линейная алгебра | Александр Шуравин.

Изображение взято из открытых источников

Изображение взято из открытых источников

Начало: Математика для чайников. Глава 1. Что такое математическая абстракция.

Предыдущая глава: Математика для чайников. Глава 9. Основы матанализа

В публикации Математика для чайников. Глава 4. Алгебра я уже кратко писал, что такое линейная алгебра. Напомню, что это про векторы, матрицы и прочее тому подобное, и этот раздел математики вам жизненно необходим если вы хотите стать программистом в области искусственного интеллекта и Data Science . Предметом изучения линейной алгебры являться различные объекты линейной природы, а именно:

· Векторы

· Матрицы и определители

· Системы линейных уравнений

· Тензоры и тензорное исчисление.

· Теория инвариантов.

Кроме программирования, линейная алгебра так же используется в экономике и физике (особенно в квантовой механике).

Теперь разберемся с понятиями линейной алгебры. И так, вектор . С точки зрения математики, это объект, который характеризуется величиной и направлением. А если сказать проще, то вектор – это стрелка. Проще всего, конечно, изобразить двумерный вектор:

Изображение взято из открытых источников

Изображение взято из открытых источников

Как видим, вектор характеризуется двумя точками: началом и концом. Вообще, различают векторы, которые:

· Жестко заданы в одном месте.

· Можно двигать вдоль линии, на которой вектор лежит.

· Можно двигать как вдоль линии, на которой он лежит, так переносить на другие линии, параллельный ей – так называемый параллельный перенос.

Нам особо интересный третий случай. Тогда начало вектора можно перенести в начало координат – в точку (0,0). Тогда точка конца вектора будет равна значению вектора. Или, если начало не в начале координат, тогда значение вектора можно получить, вычтя соответствующие координаты начала вектора из соответствующих координат конца вектора.

Таким образом, двумерный вектор – это два числа. Трехмерный (пространственный) вектор – это три числа. Но мерность вектора может быть и больше. Конечно, мы вряд ли сможем представить себе четырехмерное или даже пятимерное пространство, но как математический объект оно вполне себе может существовать.

Теперь о том, что можно сделать с векторами? Во-первых, их можно складывать. В координатах сложение векторов происходит поэлементно, первую координату складываем с первой, вторую со второй и так далее. Геометрический смысл сложения состоит в том, что мы конец первого вектора совмещаем с началом второго и проводим вектор из начала первого вектора в конец второго:

Изображение взято из открытых источников

Изображение взято из открытых источников

Что в геометрическом понимании, что в математическом, вообще без разницы, в какой последовательности складывать вектора. Поэтому здесь тоже действует алгебраический закон: «от перестановки слагаемых сумма не меняется», то есть:

Еще векторы можно умножать. А вот тут интересней. Можно конечно, перемножить их координаты (векторное произведение). Но особого смысла в этом нет. А можно сложить поэлементные произведения и получить некоторое число (скалярное произведение):

Смысл скалярного произведения состоит в том, что это косинус угла между векторами, умноженный на произведение их длин, то есть:

Таким образом, через скалярное произведение мы можем вычислить угол между векторами:

Где можно использовать понятие скалярное произведения векторов? Как я уже говорил, для определения угла между векторами, для определения длины вектора, проекции одного вектора на другой, нахождение перпендикуляра многих других операций, о которых я подробнее расскажу в будущих уроках. А сейчас поехали дальше.

Нетрудно заметить, что скалярное произведение так же подчиняется закону перестановки множителей, то есть:

Существует насколько обозначений произведения векторов. Это знак умножения (точка), просто без знака, и угловые скобки:

Последнее называется обозначение Дирака и используется в квантовой механике для обозначения состояния.

Перейдем к следующему объекту: матрица . Если вектор – это просто несколько чисел (в отличии от множества, тут порядок важен), то матрица – это уже таблица чисел. Вообще-то матрица необязательно состоит из чисел, там могут быть другие математические объекты, но для упрощения понимания пока думайте, что матрица – это таблица чисел. Эта таблица имеет размеры ( n , m ), где n – количество строк, m – количество столбцов. Запомните, в матрице сначала индексируются строки, а потом столбцы. Как правило, матрица обозначается заглавной латинской буквой, а ее элемент – строчной. Допустим, у нас есть матрица A , элемент ее строки i и столбца j будет обозначен как

Матрица может быть задана явно в виде таблицы, в таком случае она обозначается вот так:

Часто, запятую опускают (если индекс понятен и без запятой):

Что можно сделать с матрицами? Можно их поэлементно складывать (если размер матриц одинаков). Такая операция называется сложением матриц и так же подчиняется закону перестановки слагаемых:

Аналогично, матрицы можно вычитать и умножать на число.

Другая интересная операция с матрицами – это матричное умножение. Многим оно не очень понятно, многие в нем путаются и многих оно пугает. Но на самом деле ничего сложно в этом нет. Давайте вернемся к скалярному произведению векторов. Только на этот раз первый вектор будет строка, а второй – столбец:

Кстати, это так и называется вектор – строка и вектор столбец. По сути, вектор – это частный случай матрицы, которая состоит или из одной строки, или из одного столбца.

А что если вместо вектора строки мы возьмем матрицу? По сути, это будет несколько векторов-строк? Тогда для каждого вектора-строки мы посчитаем скалярное произведение. В нашем примере первая матрица содержит две строки:

В итоге нас получился вектор столбец из двух элементов. Ну или матрица из двух строк и одного столбца. Вообще, если мы умножаем матрицу на вектор-столбец, то у нас в итоге образуется матрица с количеством строк, как в этой матрице.

Аналогично, если мы умножаем одну строку на несколько столбцов, только теперь результаты будут уже в столбцы записывать, не в строки, и на выходе мы получим вектор-строку:

Теперь осталось разобраться с умножением матрицы на матрицу. Очевидно, что количество строк в первой матрице должно быть равно количеству столбцов во второй матрице. И тогда мы берем каждую сторожку первой матрицы и считаем скалярное произведение на каждый столбец второй матрицы, результат записывая в ячейку с номером строки из первой матрицы и соответствующим номером столбца из второй матрицы.

Математически формулу умножения матриц можно записать так:

Пусть существует матрица A размером l x m :

И матрица B размером m x n :

Тогда матрица C , являющаяся произведением матрицы A и B :

Будет матрица из элементов, которые вычисляются по следующей формуле:

Если сказать по русский, то мы считаем скалярное произведение каждой строки на каждый столбце и результат пишем в точку их пересечения:

Изображение взято из открытых источников

Изображение взято из открытых источников

Может возникнуть вопрос, а для чего это вообще нужно, перемножать матрицы? Для ответа на этот вопрос рассмотрим систему линейных уравнений:

Ее можно представить в матричной форме:

Или:

Если бы это было уравнение из элементарной алгебры, то мы могли бы записать:

Но можно ли так же сделать в матричном виде? Существует ли деление матриц. На самом деле в матричном исчислении есть такое понятие, как обратная матрица. Она обозначается

Что же за штука такая, обратная матрица? Это такая матрица, что если ее умножить на исходную матрицу то получиться единичная матрица, то есть:

Единичная матрица обозначается буковкой E и состоит из единиц по диагонали, остальные нули, то есть:

То есть с нашей системой уравнений мы можем следить вот такой трюк:

Тогда получаем:

Нетрудно догадаться (или можете проверить сами), что умножая единичную матрицу на любую другую матрицу, мы получаем ту же самую матрицу. Тогда:

И все, система уравнений решена. Осталось только найти обратную матрицу. Существует даже метод нахождения такой обратной матрицу. Но его мы рассмотрим позже, когда будет изучать линейную алгебру более подробно. А на сегодня все.

Следующая глава: Математика для чайников. Глава 11. Почему делить на нуль нельзя или кое-что о пределах.

Геометрия: уроки, тесты, задания.

Геометрия: уроки, тесты, задания.

1. 1. Прямая, отрезок, точки

   2. Луч, угол, обозначение угла

   3. Сравнение отрезков и углов. Биссектриса

   4. Измерение отрезков и углов

   5. Перпендикулярные прямые. Смежные и вертикальные углы

2. 1. Первый признак равенства треугольников

   2. Медиана, биссектриса, высота треугольника

   3. Второй и третий признаки равенства треугольников

   4. Окружность. Радиус. Задачи на построение

3. 1. Признаки параллельности двух прямых. Аксиома параллельных прямых

4. 1. Сумма углов треугольника. Виды треугольников

   2. Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника

   3. Прямоугольный треугольник. Свойства. Признаки равенства

   4. Расстояние от точки до прямой. Построение треугольника по трём элементам

1. 1. Ломаная. Виды ломаных. Многоугольники

   2. Параллелограмм. Свойства параллелограмма. Трапеция

   3. Прямоугольник, квадрат. Признаки прямоугольника и квадрата. Ромб

2. 1. Площадь многоугольника. Свойства площадей

   2. Формулы площадей параллелограмма, треугольника и трапеции

   3. Теорема Пифагора. Доказательство

3. 1. Подобные треугольники. Пропорциональные отрезки

   2. Признаки подобия треугольников

   3. Применение подобия. Решение задач

   4. Тригонометрические функции острого угла прямоугольного треугольника

4. 1. Касательная и окружность

   2. Центральные и вписанные углы. Свойство пересекающихся хорд окружности

   3. Замечательные точки треугольника

   4. Вписанная и описанная окружности

1. 1. Понятие вектора. Виды векторов

   2. Правила сложения и вычитания векторов

   3. Умножение векторов на число

   4. Проекция вектора на ось

2. 1. Вектор в системе координат

   2. Решение простейших задач в координатах

   3. Уравнение окружности. Уравнение прямой

3. 1. Синус, косинус, тангенс угла

   2. Соотношения между сторонами и углами треугольника

   3. Скалярное произведение векторов. Свойства

4. 1. Правильные многоугольники

   2. Длина окружности. Площадь круга

5. 1. Понятие движения. Симметрия

   2. Параллельный перенос и поворот

6. 1. Многогранники. Основные формулы для расчётов

   2. Цилиндр. Конус. Сфера

1. 1. Аксиомы стереометрии и их простейшие следствия

2. 1. Определение и свойства параллельности прямых, прямой и плоскости

   2. Определение и свойства скрещивающихся прямых. Угол между прямыми

   3. Определение, признак и свойства параллельности плоскостей

   4. Элементы тетраэдра и параллелепипеда

3. 1. Определение и свойства перпендикулярности прямой и плоскости

   2. Определение перпендикуляра, наклонной. Теорема о трёх перпендикулярах

   3. Понятие двугранного угла. Признак перпендикулярности плоскостей

4. 1. Понятие многогранника. Призма

   2. Элементы пирамиды. Виды пирамид

   3. Определение и свойства правильных многогранников

5. 1. Определение и физический смысл вектора в пространстве

   2. Как складывать векторы и умножать вектор на число

   3. Разложение вектора. Понятие компланарности

1. 1. Абсцисса, ордината и аппликата точки. Простейшие задачи в координатах

   2. Угол между векторами. Скалярное произведение

   3. Отображения пространства на себя. Виды движения

2. 1. Элементы цилиндра. Площадь поверхности

   2. Элементы конуса. Площадь поверхности

   3. Элементы сферы и шара. Уравнение сферы. Сечение шара плоскостью

3. 1. Как найти объём прямоугольного параллелепипеда

   2. Как найти объём прямой призмы, цилиндра

   3. Как найти объём наклонной призмы, пирамиды, конуса

   4. Как найти объём шара

1. Коллекция интерактивных моделей

Разложение вектора по базису, формулы и примеры

Определение и формулы разложения вектора по базису

Если для произвольного вектора и произвольной системы векторов выполняется равенство

   

то говорят, что вектор является линейной комбинации указанной системы векторов.

Если система векторов является базисом некоторого векторного пространства (то есть векторы – упорядоченная линейно независимая система векторов, и добавление к ней хотя бы одного вектора делает ее линейно зависимой), тогда разложение (1) называется разложением вектора по базису .

Коэффициенты линейной комбинации (1) называются координатами вектора в базисе .

Примеры разложения вектора по базису

ТЕОРЕМА

(О разложении вектора по базису). Любой вектор некоторого пространства можно разложить по его базису, причем такое разложение единственно.

Таким образом, чтобы разложить некоторый вектор по базису , необходимо найти такие коэффициенты , при которых линейная комбинация базисных векторов равна вектору :

   

ПРИМЕР

Задание	Написать разложение вектора по векторам , ,
Решение	Векторы заданы в одном базисе. Пусть искомое разложение имеет вид:     Запишем это равенство в векторной форме:     При умножении вектора на число надо каждую координату этого вектора умножить на указанное число:     Чтобы найти сумму векторов, заданных своими координатами, необходимо просуммировать соответствующие координаты:     Два вектора равны, если равны их соответствующие координаты, то есть получаем следующую систему относительно неизвестных коэффициентов разложения:     Найдем решение полученной системы, например, методом Крамера. Основной определитель системы:     Вычислим теперь вспомогательные определители системы:             Тогда     Следовательно, искомое разложение
Ответ

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

тензорное исчисление для чайников

3) преобразование компонент таково, что оставляет, тем не менее, неизменными некоторые особые величины – инварианты.

Итак, тензор это таблица или матрица чисел (компонент, зависящих от выбранных ко-

ординат). В то же время задача тензорного исчисления – развить такую форму записи тензоров, чтобы обойтись без таблиц компонент. То есть, инвариантную форму. Которая,

тем не менее, позволит записывать любые (инвариантные) операции над тензорами.

Начнем с вектора

Частным примером тензора и является вектор, который привычно видится чем-то вроде палки, заостренной на конце. При всей комичности такого представления, оно отчасти даже полезно. Ясно, что вектор это цельный, самостоятельный объект, независимый от того, как мы его представим математически.

Принцип целостности вообще любого тензора может показаться тривиальным… Но мы убедимся, что из него вытекают особые следствия.

Во всяком случае, пока отметим, что вектор объективно имеет длину.

Вектор рассматривается в пространстве. Пространство характеризуется числом измерений, фиксированным для данного класса задач.

Мы не сомневаемся в том, что в пространстве введены векторные операции: сложение векторов и умножение вектора на число.

В трехмерном пространстве рассмотрим перемещение из точки А в точку В. Его принято изображать вектором, то есть направленным отрезком из А в В. Это так называемый вектор перемещения x (обычный геометрический вектор). Впрочем, считают, что вектор не меняется при параллельном переносе.

Очевидно, что при сложении перемещений – результирующее перемещение (векторная сумма) определяется по известному правилу параллелограмма.

Компоненты вектора

Нужно уметь производить с нашим объектом (вектором) операции – пользоваться

векторной алгеброй. Для этого вводят систему координат, или базис.

В пространстве (до поры будем считать его трехмерным) выберем три вектора e1, e2 , e3 . Это будут единичные векторы, или орты. Непременное условие: орты линейно не-

зависимы. Это значит, что ни один из них нельзя представить в виде линейной комбинации остальных (такое было бы, если бы тройка векторов лежала в одной плоскости).

Несложно доказать, что любой вектор x можно представить однозначным образом в виде: x x1e1 x2e2 x3e3 , то есть в качестве линейной комбинации ортов. Коэффициенты

(x1 , x2 , x3 ) и есть компоненты вектора x в принятом базисе. Если больше нравится, можете называть их координатами вектора.

Примечание: верхние индексы – это не показатели степени, а попросту индексы! Степени тут всюду первые, ведь мы занимаемся чисто линейными преобразованиями.

Имея в виду представление через компоненты, вектор далее нередко будем обозначать по типу: (x1, x2 , x3 ) , или, короче, xi .

Все помнят, конечно, что операции с векторами представляются в координатах так: x y (x1 y1, x2 y2 , x3 y3 ) – сложение векторов,

ax (ax1, ax2 , ax3 ) – умножение вектора на число.

Урок 18. компланарные векторы. векторный метод решения задач — Геометрия — 10 класс

Геометрия, 10 класс

Урок №18. Компланарные векторы. Векторный метод решения задач

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

— какие векторы называются компланарными и их изображение на чертежах

-определение компланарных векторов.

— признак компланарности трех векторов и правило параллелепипеда, сложение трех некомпланарных векторов.

— основы векторного метода решения задач.

Основная литература:

Атанасян Л.С. и др. Геометрия. Учебник для 10-11классов — М.: Просвещение, 2017. C. 77-85.

Ершова А.П., Голобородько В.В., Крижановский А.Ф. Тетрадь-конспект по геометрии для 10 класса.  2016. С.88-93.

Теоретический материал для самостоятельного изучения:

Давайте вспомним основные определения по теме «Векторы». В этом поможет следующее задание: установите соответствие между понятием и его определением.

Вектор		?
Равные векторы		Противоположно направлены и их длины равны.
Противоположные векторы		Направленный отрезок
Коллинеарные векторы		Сонаправлены и их длины равны.
Компланарные векторы		Лежат на одной или параллельных прямых

Появилось новое понятие о векторах в пространстве, которого не было на плоскости — компланарность  векторов. С определения компланарных векторов и начинаются главные отличия векторов в планиметрии и стереометрии.

Компланарные векторы.

Определение2.Векторы называются компланарными, если имеются равные им векторы, лежащие в одной плоскости.

Рассмотрим некоторые случаи:

1 случай. Любые два вектора всегда будут компланарными, ведь через них 
можно провести прямые, а через две прямые всегда можно провести 
единственную плоскость.

2 случай. Три вектора будут компланарными если среди них есть пара коллинеарных
векторов. Тогда через один из коллинеарных векторов и вектор не коллинеарный ему 
можно провести плоскость. А для второго из коллинеарных векторов легко 
изобразить равный в этой плоскости.

3 случай. Если хотя бы один из трёх векторов является нулевым, то эти три вектора компланарны

Из планиметрии: Любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.

Следующая теорема выражает признак компланарности трех векторов. Теорема (признак) Если вектор  можно представить в виде  = х + у, где х и у — некоторые числа, то векторы ,  и  компланарны.

Для сложения трёх некомпланарных векторов можно пользоваться правилом параллелепипеда. Отложим от произвольной точки О векторы =, =, = и построим параллелепипед так, чтобы отрезки ОА, ОВ и ОС были рёбрами.
Тогда ОD — диагональ этого параллелепипеда равна  сумме векторов, и . Если вектор можно представить в виде суммы:  = х + у + z, то говорят, что вектор d разложен по векторам , и . Числа х, у, z называют коэффициентами разложения.

Теорема. Любой вектор можно разложить по трём данным некомпланарным векторам, причём коэффициенты разложения определяются единственным образом.

Часть 2. Векторный метод решения задач

Векторный метод решения задач – один из наиболее общих методов решения геометрических задач. Векторное решение стереометрических задач значительно проще их решения средствами элементарной геометрии.

Рассмотрим следующую задачу: Доказать, что прямая, проведенная через середины оснований трапеции, проходит через точку пересечения продолжений боковых сторон.

Пусть ABCD — данная трапеция, M и N — середины оснований BC И AD, а O — точка пересечения прямых AB и CD.

Докажем, что точка О лежит на прямой МN.

Условие задачи переводится на «векторный» язык. После такого перевода осуществляются алгебраические вычисления с векторами, а затем полученное снова «переводится» на «геометрический» язык.

Решением задач векторным методом занимались ученые: Уильман Гамильтон  Иога́нн Берну́лли, Пьер Ферма, Рене Декарт, Леонард Эйлер.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля:

Задача. В параллелепипеде АВСDА₁В₁С₁D₁  М —точка пересечения диагоналей грани A₁B₁C₁D₁, точка K — середина ребра ВВ₁. Докажите, что прямые А₁В₁, KМ и ВС₁ параллельны некоторой плоскости.

Решение. Введем векторы:     . Векторы некомпланарны.

Разложим векторы и   по векторам. Получим:

+= .

Тогда векторы =+ компланарны. Следовательно, они параллельны некоторой плоскости, тогда этой плоскости параллельны и прямые А₁В₁, KМ и ВС₁.

Поляризация света для чайников: суть явления, сущность, определение

В нашем блоге уже можно найти статьи про преломление, дисперсию и дифракцию света. Теперь пришло время поговорить о том, в чем заключается сущность поляризации света.

В самом общем смысле правильнее говорить о поляризации волн. Поляризация света, как явление, представляет собой частный случай поляризации волны. Ведь свет представляет собой электромагнитное излучение в диапазоне, воспринимаемом глазами человека.

Что такое поляризация света

Поляризация – это характеристика поперечных волн. Она описывает положение вектора колеблющейся величины в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны.

Если этой темы не было на лекциях в университете, то вы, вероятно, спросите: что это за колеблющаяся величина и какому направлению она перпендикулярна?

Как выглядит распространение света, если посмотреть на этот вопрос с точки зрения физики? Как, где и что колеблется, и куда при этом летит?

Электромагнитная волна

Свет – это электромагнитная волна, которая характеризуется векторами напряженности электрического поля E и вектором напряженности магнитного поля Н. Кстати, интересные факты о природе света можно узнать из нашей статьи.

Согласно теории Максвелла, световые волны поперечны. Это значит, что векторы E и H взаимно перпендикулярны и колеблются перпендикулярно вектору скорости распространения волны.

Поляризация наблюдается только на поперечных волнах.

Для описания поляризации света достаточно знать положение только одного из векторов. Обычно для этого рассматривается вектор E.

Если направления колебаний светового вектора каким-то образом упорядочены, свет называется поляризованным.

Возьмем свет на рисунке, который приведен выше. Он, безусловно, поляризован, так как вектор E колеблется в одной плоскости.

Если же вектор E колеблется в разных плоскостях с одинаковой  вероятностью, то такой свет называется естественным.

Поляризация света

Поляризация света по определению – это выделение из естественного света лучей с определенной ориентацией электрического вектора.

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Откуда берется поляризованный свет?

Свет, который мы видим вокруг себя, чаще всего неполяризован. Свет от лампочек, солнечный свет – это свет, в котором вектор напряженности колеблется во всех возможных направлениях. Но если вам по роду деятельности приходится весь день смотреть в ЖК-монитор, знайте: вы видите поляризованный свет.

Естественный, поляризованный  и частично поляризованный свет

Чтобы наблюдать явление поляризации света, нужно пропустить естественный свет через анизотропную среду, которая называется поляризатором и «отсекает» ненужные направления колебаний, оставляя какое-то одно.

Анизотропная среда – среда, имеющая разные свойства в зависимости от направления внутри этой среды.

В качестве поляризаторов используются кристаллы. Один из природных кристаллов, часто и давно применяемых в опытах по изучению поляризации света — турмалин.

Еще один способ получения поляризованного света — отражение от диэлектрика. Когда свет падает на границу раздела двух сред, луч разделяется на отраженный и преломленный.  При этом лучи являются частично поляризованными, а степень их поляризации зависит от угла падения.

Поляризация отражением

Связь между углом падения и степенью поляризации света выражается законом Брюстера.

Когда свет падает на границу раздела под углом, тангенс которого равняется относительному показателю преломления двух сред, отраженный луч является линейно поляризованным, а преломленный луч поляризован частично с преобладанием колебаний, лежащих в плоскости падения луча.

Линейно поляризованный свет — свет, который поляризован так, что вектор E колеблется только в одной определенной плоскости.

Практическое применение явления поляризации света

Поляризация света – не просто явление, которое интересно изучать. Оно широко применяется на практике.

Пример, с которым знакомы почти все – 3D-кинематограф. Еще один пример – поляризационные очки, в которых не видно бликов солнца на воде, а свет фар встречных машин не слепит водителя. Поляризационные фильтры применяются в фототехнике, а поляризация волн используется для передачи сигналов между антеннами космических аппаратов.

Фото, сделанные с применением поляризационного фильтра и без него

Поляризация — не самое сложное для понимания природное явление. Хотя если копнуть глубоко и начать основательно разбираться с физическими законами, которым она подчиняется, могут возникнуть сложности.

Чтобы не терять время и преодолеть трудности максимально быстро, обратитесь за советом и помощью к нашим авторам. Мы поможем выполнить реферат, лабораторную работу, решить контрольные задания на тему «поляризация света».

Может ли кто-нибудь порекомендовать некоторые учебники по матрице преобразования для чайников?

Я написал веб-программу, которую можно использовать для игры с матрицами преобразований. Он позволяет использовать как предустановленные типы, так и пользовательские.

Играйте с ним онлайн или возьмите источник .

Должно быть легко играть с цифрами и мгновенно видеть, как это влияет на рисунок дома. Посмотрите на код, доступный в Интернете, чтобы определить, что он делает, и вы сможете понять, что происходит.

Если у вас возникли проблемы, поймите, что матрица 3×3 просто умножается на каждую вершину (координата X & Y) в форме дома. Умножение матрицы на вершину (теперь мы будем называть ее вектором) и матрица преобразования выглядят так…

1 0 0   1
0 1 0 * 2
0 0 1   0

Слева находится матрица идентичности (идемпотентная матрица, которая не влияет на вектор) и вектор 1, 2, 0 (предположим, что это соответствует положению X1 и Y2 в графике программы, упомянутой выше, и игнорирует конечный 0 ).

Умножение матриц можно визуализировать следующим образом…

a b c   x   a * x + b * y + c * z
d e f + y = d * x + e * y + f * z
g h i   z   g * x + h * y + i * z

Итак, в нашем примере это было бы так…

1 0 0   1   1 * 1 + 0 * 2 + 0 * 0
0 1 0 * 2 = 0 * 1 + 1 * 2 + 0 * 0
0 0 1   0   0 * 1 + 0 * 2 + 1 * 0

Проделайте эту математику, и мы получим окончательный вектор…

1
2
0

Поскольку мы сказали, что наша матрица идентичности не должна изменять значения, мы можем видеть выше, что это так, поскольку результирующий вектор соответствует оригиналу.

Чтобы объяснить дальше, подумайте, когда вам нужно перевести вектор. Допустим, мы хотим перевести дом на 5 пикселя вдоль оси X. Мы хотим начать с матрицы идентичности, но измените верхнее правое число на 5 и сделайте дополнительное измерение в векторе 1 (вы кратко поймете, почему).

1 0 5   1   1 * 1 + 0 * 2 + 5 * 1 
0 1 0 * 2 = 0 * 1 + 1 * 2 + 0 * 1
0 0 1   1   0 * 1 + 0 * 2 + 1 * 1

Мы снова делаем математику…

6
2
1

Мы видим, что первое число (X в наших координатах) было переведено вдоль оси X на 5 . Попробуйте это в программе, связанной выше.

Причина, по которой мы сделали третье значение 1 , заключается в том, что при выполнении математики учитывался перевод. Если бы это был 0 , он будет проигнорирован, так как любое число, умноженное на 0 , приведет к 0 .

Если у вас все еще возникают проблемы, посмотрите видео в Интернете ( например , это видео), которое может помочь объяснить это более наглядно.

Помните: почти каждый может водить машину, и почти каждый может научиться этому, несмотря на любое самооценочное плохое понимание математики. Просто продолжайте в том же духе: настойчивость-это ключ к успеху. Удачи.

Для чайников: линейная алгебра делает все проще! , Стерлинг, Мэри Джейн

Научитесь:

• Решать уравнения линейной алгебры несколькими способами
• Упорядочить данные с помощью матриц
• Определить значения с помощью определителей
• Работа с собственными числами

6 Ваш практический справочник по реальным приложениям линейной алгебры

Вы чувствуете себя потерянным благодаря линейной алгебре? Не беспокойтесь — это простое руководство объясняет, как и зачем решать задачи линейной алгебры на простом английском языке.От матриц до векторных пространств и линейных преобразований вы поймете ключевые концепции и увидите, как они соотносятся со всем, от генетики до питания и исчезновения пятнистой совы.

• Объедините основы — откройте для себя несколько различных подходов к организации чисел и уравнений и решайте системы уравнений алгебраически или с помощью матриц
• Свяжите векторы и линейные преобразования — связывайте векторы и матрицы с линейными комбинациями и ищите решения однородные системы
• Оцените детерминанты — посмотрите, как выполнять функцию детерминанта для матриц разных размеров и воспользуйтесь правилом Крамера
• Отточите свои навыки работы с векторными пространствами — определите свойства векторных пространств и их подпространств и посмотрите линейные преобразование в действии
• Собственные значения и собственные векторы — определение и решение собственных значений и собственных векторов, а также понимание того, как они взаимодействуют с конкретными матрицами

Откройте книгу и найдите:

• Теоретические и практические способы решения линейных алгебр. задачи бюстгальтера
• Определения терминов в глоссарии
• Новые подходы к операциям
• Как линейная алгебра связывает вместе векторы, матрицы, детерминанты и линейные преобразования
• Десять общих математических представлений греческих букв
• Реальные приложения матриц и определителей
— Этот текст относится к изданию в мягкой обложке.

Научитесь:

• Решать уравнения линейной алгебры несколькими способами
• Упорядочить данные с помощью матриц
• Определить значения с помощью определителей
• Работа с собственными числами

6 Ваш практический справочник по реальным приложениям линейной алгебры

Вы чувствуете себя потерянным благодаря линейной алгебре? Не беспокойтесь — это простое руководство объясняет, как и зачем решать задачи линейной алгебры на простом английском языке.От матриц до векторных пространств и линейных преобразований вы поймете ключевые концепции и увидите, как они соотносятся со всем, от генетики до питания и исчезновения пятнистой совы.

• Объедините основы — откройте для себя несколько различных подходов к организации чисел и уравнений и решайте системы уравнений алгебраически или с помощью матриц
• Свяжите векторы и линейные преобразования — связывайте векторы и матрицы с линейными комбинациями и ищите решения однородные системы
• Оцените детерминанты — узнайте, как выполнять детерминантную функцию для матриц разных размеров и воспользуйтесь правилом Крамера
• Отточите свои навыки работы с векторными пространствами — определите свойства векторных пространств и их подпространств и посмотрите линейные преобразование в действии
• Собственные значения и собственные векторы — определение и решение собственных значений и собственных векторов, а также понимание того, как они взаимодействуют с конкретными матрицами

Откройте книгу и найдите:

• Теоретические и практические способы решения линейного алгебры задачи бюстгальтера
• Определения терминов в глоссарии
• Новые подходы к операциям
• Как линейная алгебра связывает вместе векторы, матрицы, детерминанты и линейные преобразования
• Десять общих математических представлений греческих букв
• Реальные приложения матриц и определителей
— Этот текст относится к изданию в мягкой обложке.

Об авторе

Мэри Джейн Стерлинг является автором множества книг Для чайников . Она преподает в Университете Брэдли в Пеории, штат Иллинойс, где в течение почти 30 лет преподавала курсы алгебры, исчисления и других математических дисциплин.

Векторное управление для чайников — Switchcraft

В этой статье объясняется, как векторное управление работает дружелюбно и безвредно. Однако сначала нам нужно прояснить, что мы подразумеваем под контролем при обсуждении моторных приводов:

Контролировать или не контролировать

Представьте, что вы гуляете со своей собакой, Фидо, в парке.

У вас есть поводок, привязанный к Фидо, так что он может вынюхивать все, что ему заблагорассудится. В любом случае он будет следовать примерно по тому же маршруту, что и вы. Вы можете подумать, что ваша собака находится под контролем , верно? Ну не очень. Этот сценарий будет называться Скалярное управление в области моторных приводов.

Скалярное управление означает, что вы не управляете двигателем в точности, но имеете довольно хорошее представление о том, что он делает.Инвертор подает на электродвигатель напряжение и частоту, и электродвигатель будет реагировать на этот ввод так же, как Fido на поводке.

Теперь приклеим Fido к скейтборду и заменим поводок на стальной стержень.

Фидо теперь переместит точно на , как вы хотите, дюйм за дюймом. Это Vector C ontrol . Для моторного привода это означает, что контроллер знает положение ротора в любое время и будет создавать новое магнитное поле, чтобы толкать ротор в желаемом направлении несколько сотен (или тысяч) раз в секунду.С другой стороны, скалярное управление не имеет представления о положении ротора и предоставляет двигателю только заданную скорость, которой двигатель должен следовать, насколько это возможно, с учетом колебаний нагрузки и других помех.

Итак, теперь, когда мы прояснили эту часть, мы собираемся объяснить, как именно и что Vector Control делает то, что делает.

Выявление магнитного поля ротора

Самой важной частью векторного управления является определение положения ротора.Под положением я имею в виду не то, что ротор физически расположен внутри статора, а то, в каком направлении направлено магнитное поле ротора. Видите ли, когда индукционная машина (IM) намагничена, в роторе возникают индуцированные (doh) напряжения и токи, которые создают магнитные поля. Суммируя все магнитные поля тока, мы получим поле NET , которое указывает в заданном направлении. Это направление важно, так как оно определяет, куда инвертор должен поместить магнитное поле статора для дальнейшего толкания ротора.

Для синхронных машин с постоянными магнитами (PMSM) магнитное поле более или менее создается магнитами ротора и остается постоянным большую часть времени (я объясню ослабление поля на днях). Тем не менее, его необходимо определить, и это выполняется одинаково как для асинхронных машин, так и для PMSM.

Фактическое направление магнитного поля задается электродвижущей силой двигателя (ЭДС), которая наводится на обмотки статора полем ротора. Эта ЭДС будет вести себя как источник напряжения, подключенный последовательно с сопротивлением ротора / индуктивностью рассеяния и параллельно индуктивности намагничивания.Если параметры двигателя известны (сопротивление статора / ротора и индуктивность намагничивания), можно оценить значение ЭДС. Это значение является вектором, то есть оно имеет величину и (* помпы *) направление , которое указывает так же, как и чистое магнитное поле ротора.

Это направление используется, когда контроллер собирается построить магнитное поле в статоре. Поле статора предназначено для притяжения ротора так же, как обычные магниты притягивают друг друга.Также можно оттолкнуть ротор, но в этом случае вместо этого используется магнитное поле позади ротора, преследуя его более или менее так же, как собака преследует свой хвост.

Обратите внимание, что приведенное выше описание не полностью охватывает науку о выявлении направления поля ротора. Дальнейшие методы будут подробно описаны в отдельной статье.

Оптимальный угол между магнитными полями статора и ротора

Когда магнитное поле ротора определено, пора решить, куда приложить собственное магнитное поле, чтобы в дальнейшем перемещать ротор в желаемом направлении.

Допустим, поле ротора расположено под углом 90 градусов. Это означает, что северный полюс направлен прямо вверх (для простоты в двухполюсной машине).
Теперь, где мы должны разместить поле статора, чтобы толкать ротор в желаемом направлении?

Ну, основная цель — создать крутящий момент, поэтому мы хотим разместить поле статора в направлении, в котором я получаю наибольшее приложение крутящего момента на роторе. Я также не хочу, чтобы платил на больше силы тока, чем мне абсолютно необходимо.Ток — это ограниченный ресурс, поскольку цены на компоненты инвертора основаны на их текущем номинальном значении.

Итак, получается, что наибольший крутящий момент на ампер достигается, когда магнитное поле статора ориентировано перпендикулярно ротору. В нашем случае на 180 или 0 градусов, в зависимости от того, в каком направлении вы хотите переместить ротор.

Вполне возможно выровнять поле статора, например, всего в 10 градусах от поля ротора, но создаваемый крутящий момент будет намного ниже, а ток почти такой же.Не особо удачная сделка, поэтому давайте придерживаться 90-градусного разделения между двумя полями.

Рабочий процесс векторного управления

Интуитивное введение — глубокая физика

Этот пост может содержать партнерские ссылки на книги или другие ресурсы, которые я лично рекомендую.

Относительность обычно рассматривается как одна из наиболее сложных областей физики, но это не обязательно так.

Лично изучение специальной теории относительности и наблюдение за тем, как все в ней соответствует «обычной» ньютоновской физике, было одним из самых увлекательных моментов в моем собственном физическом путешествии.

В качестве введения специальная теория относительности — это изучение высоких скоростей, близких к скорости света. Специальная теория относительности основана на двух фундаментальных принципах; постоянство скорости света и универсальность законов физики, которые приводят к представлениям о пространстве-времени и 4-векторах.

В этой статье я планирую пройтись по фундаментальным принципам специальной теории относительности, как концептуально, так и интуитивно, а также через математику и уравнения, лежащие в основе теории.

Во-первых, я объясню основные концепции, на которых основана специальная теория относительности, как можно более интуитивно.

Позже в статье мы рассмотрим релятивистские законы движения (и их отношение к ньютоновской физике), а также рассмотрим довольно интересный пример того, как их можно использовать.

Кроме того, эта статья построена таким образом, что вы можете выбрать, хотите ли вы знать все математические концепции или нет; Сама информация в этой статье не обязательно требует от вас понимания всей математики .

Эта статья должна стать отправной точкой для изучения фундаментальных принципов специальной теории относительности и релятивистской динамики, и если вы хотите узнать больше о специальной (и общей) теории относительности, у меня есть много полезных ресурсов на этом веб-сайте.

Если вы изучаете специальную теорию относительности самостоятельно , лучшей отправной точкой, на мой взгляд, является Теоретический минимум Л. Сасскинда . Это первая настоящая книга, которую я лично прочитал по специальной теории относительности, и она открыла мне глаза на то, о чем на самом деле идет эта теория.

Кроме того, я настоятельно рекомендую ознакомиться с этим пошаговым руководством по , как самостоятельно изучить специальную и общую теорию относительности . Там у меня есть много деталей и рекомендаций о том, как вы можете это сделать.

В любом случае, приступим к специальной теории относительности.

Интуиция и ключевые концепции, лежащие в основе специальной теории относительности

Для начала нам нужно взглянуть на то, каковы на самом деле логика и принципы, лежащие в основе специальной теории относительности.

Теперь специальная теория относительности практически основана на двух принципах, известных как постулаты специальной теории относительности .Эти постулаты следующие:

1. Законы физики должны быть одинаковыми во всех инерциальных системах отсчета (это также имеет место в обычной ньютоновской механике).
2. Скорость света (в вакууме) постоянна во всех инерциальных системах отсчета.

Честно говоря, мне не очень нравится называть эти постулаты, но я все равно буду использовать это слово в этой статье. Причина в том, что слово постулат немного преуменьшает эти принципы.

На протяжении развития современной физики эти принципы действительно доказывали себя снова и снова до такой степени, что их можно было считать фундаментальными законами природы.

Хорошо, теперь, когда это было сказано, я хочу немного глубже погрузиться в то, что на самом деле говорят эти постулаты или законы и что они интуитивно означают.

Референсные системы

Во-первых, что вообще такое опорная система (или инерциальная)? Проще говоря, система отсчета означает систему координат, в которой выполняется движение и физические измерения наблюдателя . Вот и все.

Хорошо, если честно, это может не полностью объяснить идею, но в качестве примера вот как может выглядеть система отсчета: Эта система координат принимается за систему отсчета наблюдателя A, поскольку он находится в состоянии покоя (вертикальный линия).Мы могли бы переключиться на систему отсчета наблюдателя B, вращая и растягивая координаты таким образом, чтобы B стала вертикальной линией (обратите внимание, что тогда линия A больше не будет в состоянии покоя; таким образом, B будет наблюдать, как A движется).

Это основная концепция системы отсчета, хотя стоит отметить, что не всегда возможно представить эти системы координат с помощью простых графиков, поскольку их может быть больше трех измерений.

Теперь следующий вопрос; что такое инерциальная система отсчета? Инерциальная система отсчета — это просто система отсчета, в которой все объекты движутся с постоянной скоростью (без ускорения) .

Специальная теория относительности в основном имеет дело с инерциальными системами отсчета, однако распространено заблуждение, что для ускорения системы отсчета потребуется общая теория относительности. Это просто неправда.

Хотя ускоряющаяся система отсчета не является инерциальной, ее все же можно проанализировать с помощью инструментов специальной теории относительности. Конечно, есть способы справиться с ускорением в специальной теории относительности, однако к ускоряющим системам нужно относиться немного иначе.

То, чем НЕ занимается специальная теория относительности, так это гравитация (т.е.е. кадры с приливными силами и искривленным пространством-временем, но мы не будем углубляться в это сейчас).

Гравитация оставлена ​​для решения общей теории относительности. Вы можете прочитать об этом больше в моей вводной статье по общей теории относительности .

Итак, первый постулат специальной теории относительности гласит, что законы физики должны быть одинаковыми (инвариантными) во всех инерциальных системах отсчета . Честно говоря, это касается не только теории относительности, но и практически всей физики.

Это имеет смысл и интуитивно, поскольку законы физики должны быть универсальными для всех.

Этот постулат, однако, заслуживает упоминания, так это то, что обычные законы Ньютона, такие как F = ma, на самом деле не инвариантны, если мы примем во внимание второй постулат .

Именно этот факт мотивирует формулировку специальной теории относительности и всех релятивистских законов движения, которые построены таким образом, чтобы они были одинаковыми во всех инерциальных системах отсчета, но также учитывали постоянство скорости света. . Об этом мы поговорим позже.

Также стоит отметить, что в этой статье о специальной теории относительности всякий раз, когда я говорю о системе отсчета, имеется в виду инерциальная система отсчета, если я явно не заявляю, что это неинерциальная система отсчета.

Постоянство скорости света

Второй постулат специальной теории относительности утверждает, что скорость света в вакууме должна быть одинаковой во всех (инерциальных) системах отсчета . Это наблюдательный факт, который также подтверждается теорией электромагнетизма Максвелла.Скорость света определяется в терминах свойств свободного пространства, которые могут быть получены из волновых уравнений Максвелла.

На самом деле постоянство скорости света не обязательно связано со скоростью самого света. Как бы то ни было, скорость света может быть любым числом. Звучит странно, но позвольте мне объяснить.

Основополагающий принцип здесь на самом деле заключается в том, что во Вселенной существует определенное ограничение скорости , выше которого никакая информация не может перемещаться со скоростью .

Обычно, когда физика рассматривается в классическом ньютоновском стиле, считается, что физические взаимодействия, такие как силы (и, что более важно, поток информации) происходят мгновенно .

Второй постулат специальной теории относительности (который на самом деле является законом природы) предотвращает подобное. Каждое взаимодействие, каждое событие, поток каждого бита информации может происходить только при определенном пороге скорости .

Причина, по которой это важно, состоит в том, что этот единственный факт требует, чтобы ньютоновские теории физики не были полностью изобретены заново, а были существенно изменены.

Подумайте об этом интуитивно. Каждое физическое явление основано на взаимодействии частиц.

Даже функции ваших клеток и вашего тела регулируются взаимодействием частиц и, таким образом, испытывают эффекты специальной теории относительности, такие как замедление времени, до которого мы доберемся.

Итак, с точки зрения релятивизма каждое взаимодействие происходит с конечной скоростью (ниже скорости света c), что на самом деле приводит к довольно странным последствиям, когда вещи начинают двигаться с разными скоростями.

В типичной механике Ньютона разные наблюдатели, движущиеся с разной скоростью, могут измерять скорость света по-разному, в зависимости от их движения. Это будет означать, что не существует фундаментального ограничения скорости во Вселенной .

Но теперь мы знаем, что это не так. Если мы хотим сохранить ограничение скорости Вселенной, скорость света постоянной (которая, как мы знаем, должна быть), мы должны изобрести новые способы сравнения и преобразования между наблюдателями и системами отсчета.

Вот здесь и проявляются неинтуитивные идеи относительности. Нам придется полностью изменить то, как мы думаем о времени и пространстве, и осознать, что даже само время относительно.

Концепция пространства-времени: что это такое?

Чтобы сохранить скорость света постоянной во всех инерциальных системах отсчета, мы быстро столкнемся с проблемами, такими как сложение скоростей, семантику которых мы не будем углубляться.

Дело в том, что то, что мы называем обычной теорией относительности Галилея (т.е. преобразование и сравнение систем отсчета согласно обычной ньютоновской физике), может быть не совсем корректным.

Во-первых, давайте подумаем, как мы будем регулярно описывать пространство и время, и в частности, обычных расстояний или интервалов .

Согласно физике Ньютона и теории относительности Галилея, время — это просто числовое значение, которое всегда одинаково для всех, например, независимо от того, как движутся наблюдатели (т.е. оно инвариантно).

Кроме того, расстояние или пространственный интервал между двумя точками всегда остается неизменным, даже если вы переключаетесь между опорными кадрами (это также определяется как обычный скаляр).

Итак, оказывается, что в теории относительности ни одно из этих утверждений не соответствует действительности . Поначалу это кажется крайне неинтуитивным, но это просто результат того факта, что скорость света должна быть одинаковой во всех системах отсчета. В ньютоновской физике (евклидовой геометрии) пространственное расстояние между двумя точками инвариантно и определяется выражением теорема Пифагора.

Согласно теории относительности, время и пространство (или пространственное расстояние) сами по себе НЕ могут быть инвариантными величинами, если мы хотим, чтобы скорость света была универсальной константой.Вместо этого они родственников .

Но что на самом деле означает слово «относительный»? Что-то относительное просто означает, что оно не одинаково для каждого наблюдателя, а зависит от того, в чьей системе отсчета оно наблюдается с .

На самом деле это означает, что если время и пространство на самом деле относительны, они зависят от того, как движется их измеряющий наблюдатель . Смысл теории относительности в конечном итоге объясняется так называемым преобразованием Лоренца , к которому мы скоро вернемся.

Хорошо, теперь у вас могут возникнуть вопросы, например: если и пространство, и время относительны, разве не все зависит только от того, кто наблюдает? как что-то больше имеет смысл?

Что ж, в теории относительности, пространство и время сами по себе относительны, но их комбинация не равна . Эта комбинация называется пространство-время .

Обычно пространство-время рассматривается как четырехмерная сущность с тремя пространственными измерениями (x, y, z) и одним измерением времени (t), но на самом деле не так уж важно, определяете ли вы время как измерение или нет.

Важно то, что пространство и время следует рассматривать как единое целое, а не как отдельные величины, и что они должны рассматриваться на равных (ну, по крайней мере, почти равны, поскольку они все еще имеют разные единицы, но мы еще вернемся к этому).

«Взгляды на пространство и время, которые я хочу изложить, прежде чем вы возникли на почве экспериментальной физики, и в этом их сила. Они радикальны. Отныне пространство само по себе и время само по себе обречены на то, чтобы раствориться в простых тенях, и только своего рода союз этих двух будет сохранять независимую реальность.”

— Герман Минковски

Есть еще одна вещь, о которой нам нужно быстро поговорить, — это событие. Событие — это просто точка в пространстве-времени, которая имеет как временные, так и пространственные координаты (t, x, y, z).

В качестве примера вы читаете эту статью о событии в пространстве-времени; у него есть временная координата (скажем, 17:30, например) и какие-то пространственные координаты (например, координаты GPS на Земле).

Интервалы пространства-времени

Чтобы быть более кратким, то, что одинаково для каждого наблюдателя (неизменная величина), — это интервал в пространстве-времени .Не интервал во времени или пространстве сам по себе, а в пространстве-времени.

Во-первых, давайте снова подумаем об интервале в регулярном евклидовом пространстве (обычная декартова система координат с координатами x, y и z). Интервал (dS) там задается теоремой Пифагора следующим образом:

Маленькая буква d здесь просто обозначает небольшое смещение или интервал. Эта величина dS является инвариантом в евклидовом пространстве , но не в релятивистском пространстве-времени .

Теперь, чтобы определить что-то, что инвариантно в пространстве-времени, нам нужно рассмотреть более общее определение интервала в любом пространстве, если на то пошло.

Теорема Пифагора фактически может быть обобщена с помощью метрического тензора способом, который работает для любого типа пространства.

Это работает даже для любых искривленных пространств, но это другая история, о которой вы можете прочитать больше в моей статье по общей теории относительности. Обобщенная версия теоремы Пифагора, которая дает квадрат интервала dS на любой поверхности с помощью метрического тензора г _мин . Обратите внимание, что прописные буквы a и b НЕ являются показателями, это просто индексы.

Хорошо, приведенная выше формула может показаться немного сложной, но на самом деле это не так. Ниже вы найдете краткое объяснение того, что такое метрический тензор и как он используется. Надеюсь, это должно немного прояснить ситуацию.

Краткое объяснение метрического тензора (щелкните, чтобы увидеть больше)

Метрический тензор (без необходимости слишком углубляться в тензоры) — это просто объект или функция, которая описывает, как расстояния измеряются в определенной системе координат или пространстве .

Итак, разные виды систем координат могут иметь по-разному определенные метрические тензоры. Например, метрический тензор для системы координат в обычных декартовых координатах (x, y, z) очень прост: метрические тензоры часто представлены в виде таких матриц. Здесь и m, и n идут от 1 до 3, образуя матрицу 3 × 3. В общем, метрика может иметь любое количество измерений, но в данном случае она имеет 3.

Мы можем легко проверить, что эта конкретная метрика действительно возвращает старую добрую теорему Пифагора.Все, что вы делаете, это просто суммируете все возможные комбинации m и n следующим образом:

Обратите внимание, что здесь метрика имеет значение 0 везде, кроме диагонали, т.е. 1, если m и n одинаковые, и 0, если они разные. . Таким образом, это сокращается до:

Теперь мы выбираем значения для этих g из нашей матрицы метрического тензора (все они равны 1). Кроме того, поскольку у dx одинаковые индексы, их можно записать просто в виде квадратов:

Это явно не что иное, как теорема Пифагора! Обычно мы определяем эти x с помощью x, y и z следующим образом (обычно проще использовать x, потому что тогда у нас не закончатся буквы в более высоких измерениях):

А теперь вернемся к пространственно-временным интервалам.Мы собираемся использовать это обобщение теоремы Пифагора, но с другой формой метрического тензора.

Во-первых, мы должны отметить, что в пространстве-времени индексы метрического тензора изменяются от 0 до 3 вместо 1 до 3. Эти индексы обычно обозначаются μ и ν вместо m и n.

Причина для индексов 0-3 состоит в том, что 0-индекс фактически определяется как компонент времени, а индексы 1-3 являются регулярными пространственными координатами (x, y, z).

В любом случае, точно так же, как метрика в евклидовом пространстве произвела типичную теорему Пифагора, метрический тензор из специальной теории относительности (также называемый метрикой Минковского ) дает пространственно-временную инвариантную версию теоремы Пифагора (не волнуйтесь, это станет ясно позже) называется пространственно-временным интервалом : Метрический тензор специальной теории относительности и пространственно-временной интервал (щелкните, чтобы увидеть больше)

Метрический тензор в специальной теории относительности имеет очень специальную форму и особое имя; ее обычно называют метрикой Минковского (вместо g _μν она обозначается η _μν ) и вместо единиц в ней определяется как: Метрика Минковского также может быть определена как имеющая диагональ elements (-1, 1, 1, 1), что полностью эквивалентно приведенному выше.

Можно показать, что эта конкретная метрика действительно дает инвариантный пространственно-временной интервал , что мы и сделаем, когда дойдем до преобразований Лоренца.

Теперь интервал в пространстве-времени дается обобщенной теоремой Пифагора, подобной этой (где μ и ν изменяются от 0 до 3):

Выписывая сумму, мы получаем:

Опять же, недиагональные элементы равны 0 и у нас осталось:

Теперь, помните, когда я сказал вам, что компонент 0-индекса относится ко времени? На самом деле это не совсем так.Dx ⁰ фактически определяется как dx ⁰ = cdt.

Причина этого в том, что части пространства и времени должны иметь одни и те же единицы , и мы можем сделать это, указав скорость света там, поскольку она также является инвариантной величиной. Теперь dx ⁰ также имеет единицы измерения расстояния.

В любом случае, dx определены следующим образом:

Затем мы можем заменить dx на эти:

Затем мы просто выбираем соответствующие элементы метрики Минковского для каждого из компонентов и получаем:

Позже Далее мы увидим, что этот пространственно-временной интервал действительно является инвариантной величиной, которая окажется очень полезной, например, при выводе релятивистских уравнений движения.

Я также хотел бы сказать несколько слов о так называемом соглашении суммирования Эйнштейна , объяснение которому вы найдете ниже; мы будем использовать его на протяжении всей статьи, и это также один из самых полезных инструментов записи в общей теории относительности.

Соглашение о суммировании Эйнштейна (щелкните, чтобы увидеть больше)

Соглашение о суммировании Эйнштейна в своей простоте в основном означает, что всякий раз, когда есть объект с более низким индексом, умноженный на другой объект с тем же индексом наверху, индексы автоматически суммируются более .

В формуле для пространственно-временного интервала вы можете видеть, что это так. По соглашению о суммировании мы могли бы опустить этот знак суммирования, и тот факт, что есть эти повторяющиеся верхние и нижние индексы, говорит вам, что на самом деле это означает сумму по μ и ν : соглашение Эйнштейна о суммировании обычно используется в теории относительности (особенно общая теория относительности), чтобы уравнения выглядели более красивыми и компактными.

Раньше я использовал явный знак суммирования, так как он сделает все более ясным, но в теории относительности (как специальной, так и общей) соглашение суммирования чрезвычайно распространено, и я действительно рекомендую к нему привыкнуть.

Правильные интервалы времени

Теперь я хочу снова вернуться к концепции времени и, в частности, найти для него более полезное математическое определение.

Итак, время, являющееся относительной величиной в специальной теории относительности, делает его не очень полезным для объективного анализа движения или чего-либо еще.

Но время по-прежнему является важным понятием в физике, так что, конечно же, оно нам понадобится в какой-то форме? Например, производные, такие как скорость (dx / dt), берутся по времени, что делает их также относительными величинами, верно?

Ответ — да.Обычные производные по времени не считаются очень полезными в специальной теории относительности, когда объекты движутся с очень высокими скоростями, а это означает, что нам понадобится определение времени, которое является инвариантной величиной (т.е. не зависящей от движения наблюдателя ).

На самом деле это не так уж сложно. Мы знаем, что время можно выразить как расстояние, разделенное на скорость (t = x / v). Итак, нам просто нужны определения как расстояния, так и скорости, которые являются инвариантными , и мы должны получить определение для инвариантного временного интервала.

Ну, мы знаем, что это могло быть. Инвариантный интервал расстояний — это просто пространственно-временной интервал , а инвариантная скорость — это скорость света ! Можем ли мы их использовать?

Разделив инвариантный интервал пространства-времени и инвариантную скорость света (на самом деле их квадраты), мы получим временной интервал, который также должен быть инвариантным (обозначается dτ):

Это предположение действительно оказывается верным (однако они есть , больше математических способов показать это, но этот подход, на мой взгляд, был более простым и интуитивно понятным).

Величина dτ называется собственным временным интервалом, и она по существу играет роль того, для чего в ньютоновской механике используется обычное время .

Теперь вам может быть интересно, есть ли какой-либо физический смысл для этого «инвариантного времени», и действительно ли он есть.

В физическом смысле собственное время определяется как время, которое всегда измеряется в системе покоя наблюдателя .

Это просто означает, что если наблюдатель движется, собственное время будет измеряться с точки зрения наблюдателя или системы отсчета (т.е.е. система покоя), что делает ее инвариантной величиной, поскольку она по определению всегда измеряется в системе отсчета покоя.

Это потому, что наблюдатель всегда находится в состоянии покоя в своей собственной системе отсчета (подумайте об этом; вы не можете перемещаться на относительно себя , поэтому вы всегда находитесь в состоянии покоя, если смотреть из своего собственного кадра).

Хорошо, теперь мы можем получить более точное математическое определение для этого собственного временного интервала, просто используя уравнение, которое мы вывели ранее:

Теперь, вставив определение пространственно-временного интервала (теперь мы используем соглашение о суммировании как объяснено в предыдущем разделе, так что эти повторяющиеся верхний и нижний индексы μ и ν на самом деле означают сумму над ними): Здесь действительно полезно извлекать квадратный корень.

Затем, расширяя эту сумму (оставлю это вам, это точно такой же процесс, как и ранее), мы получаем:

Преобразования Лоренца и инвариантность Лоренца

До этого момента я упоминал концепцию инвариантности . совсем немного, но на самом деле не объясняет и не определяет его подробно. Этим мы и займемся дальше.

Цель состоит в том, чтобы по существу иметь возможность сравнивать измеренные величины в разных системах отсчета, то есть для преобразования из одного кадра в другой , и если величина остается неизменной после этого преобразования, это инвариант .

Однако есть небольшая загвоздка. В специальной теории относительности (согласно второму постулату ) скорость света должна быть постоянной (инвариантной) независимо от того, в какой системе отсчета мы смотрим.

Это означает, что скорость света всегда должна оставаться постоянной при преобразовании между опорными кадрами . В обычной ньютоновской физике (т. Е. В преобразованиях Галилея) это НЕ так. В обычных преобразованиях Галилея все наблюдатели будут описывать время как одно и то же независимо от их движения и могут наблюдать скорость света по-разному.

Преобразование, которое нас интересует в специальной теории относительности, называется преобразованием Лоренца .

Преобразование Лоренца по существу определяется как преобразование, которое всегда поддерживает постоянную скорость света, чем оно отличается от преобразований Галилея . Вот и все, ничего сложнее.

Теперь, прежде всего, геометрически преобразование Лоренца можно рассматривать как способ переключения между системами координат так, чтобы скорость света (т.е. световой луч) остается неподвижным. Вот небольшая анимация, которую я сделал, демонстрируя это:

Стоит отметить, что в специальной теории относительности, поскольку мы говорим о пространстве-времени, а не о пространстве и времени отдельно, имеет смысл иметь графиков с x ⁰ и x оси вместо осей t и x .

Теперь, вспомним ранее, что x ⁰ по-прежнему представляет компонент времени, но с коэффициентом c, чтобы дать согласованные единицы для пространственно-временного интервала, а именно x ⁰ = ct.

Хорошо, первое, что мы собираемся сделать, это рассмотреть сценарий, в котором наблюдатель A находится в состоянии покоя (т.е. мы находимся в его системе отсчета), а другой наблюдатель B движется со скоростью v относительно наблюдателя A.

Этот сценарий может быть представлен в такой системе координат (рамка покоя наблюдателя A), как это (световые лучи обычно рисуются под углом 45 градусов, что означает, что они имеют наклон 1): движение наблюдателя A и B можно описать уравнениями для линий (линия, проходящая через начало координат, имеет вид y = kx) в кадре покоя A согласно рисунку.Наблюдатель B имеет свою собственную систему покоя (описываемую координатами x ⁰ _B и x _B ), в которой сам B находится в состоянии покоя (то есть вертикальной линией).

Цель состоит в том, чтобы выяснить , как наблюдатель B описал бы координаты наблюдателя A , то есть преобразовал бы из системы покоя A в систему покоя B (при сохранении c постоянным, что означает, что желтая линия остается полностью неизменной) .

Вывод уравнений трансформации (щелкните, чтобы увидеть больше)

Первое, что мы сделаем, это выясним, какой будет координата x точки A в кадре B (мы обозначим это как x _B ).

Во-первых, наклон k (изменение вертикальной координаты, деленное на изменение горизонтальной координаты) синей линии (т. Е. Линия, которую A видит движущейся вправо), с учетом того факта, что x ⁰ = ct:

Теперь уравнение для синей линии принимает вид:

Или решается для координаты x синей линии:

Теперь мы можем найти Δx, которое просто разность координат x между синяя линия и красная линия (красная линия с координатой x x = 0):

Затем, когда мы преобразуем кадры из A в B (т.е.е. сдвиньте координаты так, чтобы синяя линия была установлена ​​вертикально), координата x, которую B описал бы, чтобы иметь (x _B ), является просто разницей x-координаты A (x) и сдвигом между двумя lines (Δx):

Запомните это уравнение, оно нам скоро понадобится. Однако, прежде чем мы это сделаем, мы должны также найти координату x ⁰ , которую B описал бы как имеющуюся.

Проблема в том, что для этого нам также необходимо вычислить сдвиг или разность между координатами x ⁰ этих двух линий (Δx ⁰ ).Это, однако, нельзя вывести непосредственно из рисунка выше.

К счастью, мы можем использовать небольшой трюк: отразит синюю линию вокруг желтой линии (луч света). Это дает нам простой способ получить Δx ⁰ . Это в основном то, как это выглядит на картинке: угол между синей линией и световым лучом остается неизменным, когда он отражается относительно светового луча. Отражения функций относительно линии y = x (в данном случае светового луча) обычно называют обратными функциями .

Теперь, отражение линии таким симметричным способом на самом деле то же самое, что просто поменять местами оси координат вот так (обратите внимание, что при смене осей мы также должны отражать красную линию):

Это действительно дает нам то, что нам нужно, чтобы получить Δx ⁰ . Сначала нам просто нужно найти x ⁰ из уравнения для отраженной синей линии (и вставив k = c / v):

Тогда Δx ⁰ — это просто разница в между координатами x ⁰ отраженная синяя линия и отраженная красная линия (отраженная красная линия с координатой x ⁰ x ⁰ = 0):

Теперь это действительно тот же процесс, который мы уже прошли с первым преобразованием.Координата x ⁰ , которую B описал бы для A (x ⁰ _B ), выглядит просто:

Математические формулы, описывающие преобразования для обеих координат, следующие (обратите внимание на симметрию между ними):

Но это еще не совсем так. Мы не знаем, верны ли эти уравнения для каждого преобразования. Таким образом, в более общем случае мы умножаем уравнения на коэффициент масштабирования γ.

Теперь, коэффициент масштабирования обычно будет зависеть от относительной скорости между двумя кадрами, которые мы преобразуем между .Итак, коэффициент масштабирования является функцией скорости, а это означает, что; γ = γ (v).

Фактически, этот коэффициент масштабирования оказывается необходимым для работы уравнений, и он также должен быть одинаковым для обоих этих уравнений преобразования .

В основном это касается симметричного масштабирования между пространством и временем и постоянства скорости света.

Так или иначе, преобразование Лоренца уравнений тогда имеют вид:

Итак, что такое γ (v) и как мы его находим? Я просто скажу вам, что на самом деле это очень обычная вещь, которую часто можно увидеть в теории относительности, и она называется фактором Лоренца .Далее мы выясним, что это такое на самом деле.

Фактор Лоренца

Прежде всего я собираюсь заменить x _B и x ⁰ _B на x ‘и (x ⁰ )’, чтобы обозначить любую преобразованную систему отсчета, а не только B. Рамка.

Итак, в физике существует очень глубокий принцип, заключающийся в том, что не существует универсальной или предпочтительной системы отсчета , поэтому все кадры одинаково действительны.

Основываясь на этом, вместо того, чтобы спрашивать, как x ’видит x, мы могли бы эквивалентно спросить, как x’ видит x ’.

Если, скажем, x перемещается к влево согласно x ’, то согласно x, x’ будет перемещаться к правому . Итак, два кадра описывают противоположные направления скоростей друг друга.

Итак, чтобы переключаться между этими системами отсчета, нам нужно только изменить знак перед членом скорости , что по сути означает изменение скорости на противоположное:

Теперь у нас есть два уравнения, которые образуют систему уравнений, которую мы можно решить для γ:

Что вы получите, так это то, что фактор Лоренца γ определяется как: Вывод фактора Лоренца (щелкните, чтобы увидеть больше)

Теперь осталось сделать еще кое-что.Рассмотрим снова уравнения преобразования Лоренца:

Мы носили с собой эту вещь x ⁰ просто потому, что с ней легче иметь дело, но помните, как она фактически определяется как; x ⁰ = ct. Итак, вставив это, мы получим:

Их можно упростить (исключив некоторые из с):

Эти два уравнения являются обычными формами преобразований Лоренца. Но что они на самом деле означают и как их вообще использовать? Это то, что мы рассмотрим дальше.

Практический пример: замедление времени из-за преобразований Лоренца

Я хочу быстро рассмотреть пример того, как на самом деле используются эти преобразования Лоренца, поскольку они кажутся немного абстрактными, и это может дать вам более конкретную картину того, что они, по сути, означают .

Итак, пример такой; у нас есть два наблюдателя, Джеймс и Мэри. Мэри практиковалась в беге, и теперь она может бегать со скоростью 90% от скорости света (ладно, это была шутка, никто не может бегать так быстро!).

Вопрос следующий: Джеймс видит событие, происходящее в пространстве-времени, которое, как он описывает, имеет координаты t = 2 и x = 3. Какую временную координату описывает Мэри для того же события, если она движется со скоростью 90% скорости света?

Мы собираемся описать кадр Джеймса с помощью x, а кадр Мэри с помощью x ‘, поэтому, по сути, мы пытаемся найти , какой была бы координата времени для точки (2,3), если бы смотреть на точку x’ рама .

На графике x, x, вот как это выглядит (для целей этого примера мы используем ось t вместо оси x ⁰ ):

Итак, как мы найти эту точку в рамке x ‘? Это просто, мы просто используем преобразования Лоренца и преобразуем из кадра x в кадр x ’.

Поскольку нас интересует только t-координата, нам нужно только уравнение преобразования для t ’:

Давайте сначала вычислим значение для γ. Поскольку Мэри двигалась со скоростью 90% скорости света (c), мы можем подставить v = 0,9c:

Теперь, подставив все значения в уравнение t ‘(t = 2, x = 3, v = 0.9c, γ = 2.3 и c = 3 × 10 ⁸ ), получаем:

Это действительно интересно. Мы видим, что Мэри на самом деле описала бы одно и то же событие с другой координатой времени, потому что она движется.Джеймс измерил 2 секунды, Мэри — 4,6 секунды.

Вот что значит относительность времени; разных наблюдателей измеряют время по-разному в зависимости от того, как они движутся . Этот эффект называется замедлением времени .

Инвариантность Лоренца

Теперь, когда у нас есть представление о преобразованиях Лоренца, пора на самом деле определить, что на самом деле означает инвариантность чего-либо.

Инвариантная величина в специальной теории относительности означает величину, которая остается неизменной после применения преобразования Лоренца .

Это довольно простая концепция, но также и довольно глубокая. Поскольку эти инвариантные величины Лоренца остаются неизменными после преобразований Лоренца, они всегда одинаковы для всех в каждой системе отсчета.

Это делает их основой для формулирования почти всех фундаментальных законов физики в релятивистской форме.

Лоренц-инвариантность также дает более глубокий смысл и краткое определение первому постулату СТО, который состоит в том, что законы физики должны быть одинаковыми для всех, т.е.е. законы физики должны быть построены из величин, которые являются инвариантами Лоренца .

Это достигается с помощью так называемого принципа действия , который лежит в основе практически всей физики, но мы до него доберемся.

Итак, ранее я сказал, что пространственно-временной интервал является инвариантной величиной, что доказывается ниже.

Доказательство инвариантности пространственно-временного интервала (щелкните, чтобы увидеть больше)

Для этого мы просто применяем преобразования Лоренца.Для этого примера достаточно взглянуть на пространственно-временной интервал только в одном пространственном и одном временном измерении:

Цель состоит в том, чтобы найти (S ‘) ² , то есть преобразованный пространственно-временной интервал, который составляет:

Здесь мы просто вставляем уравнения преобразования Лоренца для t ‘и x’, которые:

Вставляя их, мы получаем:

Теперь мы просто немного изменим это и посмотрим, что произойдет:

Теперь перемножьте все квадраты и скобки:

Мы можем сократить пучок скорости света, чтобы получить:

Здесь члены с двойками в них сокращаются, и у нас остается:

Из этого мы видим, что первый и последний члены имеют γ ² t ² и два других члена имеют γ ² x ² .Итак, мы можем выразить это как:

Из первого члена мы можем фактически извлечь ac ² следующим образом:

Теперь давайте фактически вставим определение для γ:

Мы видим, что члены в знаменателе отмените условия в круглых скобках, и мы просто останемся с:

Это именно то, что у нас было до преобразования. Итак, из этого мы заключаем, что:

Определение того, что что-то инвариантно, по сути, состоит в том, что оно остается таким же после преобразования Лоренца .Пространственно-временной интервал, очевидно, является инвариантной величиной, основываясь на приведенном выше доказательстве.

Теперь, если вы вспомните связь между собственным временем и пространственно-временными интервалами (τ ² = S ² / c ² ), мы могли бы просто разделить обе стороны на c ² (поскольку c инвариантно также), что дает:

Итак, мы можем сказать, что собственное время также является инвариантной величиной . Это дает полезное инвариантное определение времени, которое мы будем использовать гораздо позже в этой статье.

Теперь вы также можете вывести этот факт, просто используя преобразования Лоренца на собственном временном интервале, точно так же, как мы сделали с пространственно-временным интервалом. Вы можете попробовать это как упражнение, если хотите.

Позже, когда мы дойдем до четырехвекторов , я покажу вам простой способ построения инвариантных величин Лоренца, который станет чрезвычайно полезным.

Возвращение к пространству-времени и собственным временным интервалам

Теперь, с определением коэффициента Лоренца (γ), который мы вывели ранее, мы можем фактически найти новые выражения для собственного временного интервала и пространственно-временного интервала (которые на самом деле окажутся равными пригодится позже).

Мы можем довольно легко получить более компактное выражение для пространственно-временного интервала в терминах фактора Лоренца : Вывод этой формулы (щелкните, чтобы увидеть больше)

Теперь мы также можем найти аналогичное выражение для собственного времени интервал по определению:

Эта формула окажется полезной позже, например, при обмене между обычными производными по времени и производными по собственному времени, но мы еще вернемся к этому.

Также обратите внимание, что выражение для собственного времени также можно изменить, чтобы придать новый смысл фактору Лоренца, а именно:

Это говорит нам о том, что на самом деле фактор Лоренца — это просто мера, которая сравнивает относительное время с подходящее время.Для повседневных малых скоростей (когда γ ≈ 1) это говорит нам о том, что относительное время и собственное время примерно одинаковы:

Однако для скоростей, близких к скорости света, γ станет намного больше 1.

Это означает, что относительное время становится намного больше, чем собственное время , и, таким образом, время, которое внешний наблюдатель мог бы измерить (относительное время) для кого-то, кто путешествует со скоростью, близкой к скорости света, будет проходить медленнее (т.е. замедление времени ) .

---

Четыре вектора: математический язык специальной теории относительности

Прежде чем мы начнем рассматривать любую релятивистскую динамику, мы должны рассмотреть концепцию 4-вектора. Проще говоря, 4-вектор — это вектор с четырьмя компонентами (в теории относительности это могут быть t, x, y и z), что означает, что это 4-мерный вектор .

Если мы сравним это с обычным 3-мерным вектором в ньютоновской физике (который может иметь, например, компоненты x, y и z), 4-вектор будет таким же, за исключением того, что вы добавляете к нему компонент времени.

Кроме того, 4-вектора определяются как объекты, которые преобразуются в соответствии с преобразованиями Лоренца , что делает их полезными в теории относительности, поскольку это гарантирует, что скорость света одинакова в каждой системе отсчета.

Идея 4-вектора очень похожа на идею пространства-времени, и это действительно так.

Точно так же, как положение в обычном пространстве (с 3 пространственными компонентами) описывается 3-мерным вектором положения, положение в пространстве-времени описывается 4-вектором положения (4-положение).

Это означает, что четырехпозиционный вектор имеет компоненты t, x, y и z. Ну почти по крайней мере. Компонент времени фактически определяется как ct, чтобы иметь те же единицы, что и пространственные компоненты. Компоненты 4-позиционного вектора. Индекс μ идет от 0 до 3 и описывает компоненты сверху вниз.

Вам это кажется знакомым? Это в точности то, что мы имели раньше при обсуждении пространственно-временных интервалов! Не совсем так. Пространственно-временной интервал фактически построен из этих 4-х позиционных векторов.Позволь мне объяснить.

В самом начале мы определили интервал в пространстве-времени как (используя соглашение Эйнштейна о суммировании, что означает, что пары верхних и нижних индексов фактически являются индексами суммирования, поэтому здесь суммируются μ и ν):

Теперь эти x-величины на самом деле являются 4-позиционными векторами (d просто обозначает небольшое смещение или интервал )! Это означает, что интервал пространства-времени фактически построен как в основном квадраты 4-позиционных векторов, умноженных на метрику Минковского .

Мы также доказали, что интервал пространства-времени (dS ² ) является инвариантной величиной. Следовательно, эта величина также должна быть инвариантной:

В общем, такие величины всегда будут инвариантными в специальной теории относительности. Итак, инвариант может быть построен путем умножения 4-вектора на себя и на метрику Минковского и суммирования по всем индексам .

Это очень общее правило специальной теории относительности, которое мы еще будем использовать позже, но практически любой 4-вектор (A ^μ ) может быть преобразован в инвариант таким же образом:

Теперь, если если вы напишете эту сумму, вы получите:

Это точно такая же форма, что и уравнение пространственно-временного интервала, но форма в левой части более компактна, поэтому мы обычно будем использовать ее. .

Ну, вообще-то мы и эту форму обычно не используем. Существует еще более компактный способ создания инвариантных величин, который заключается в умножении 4-вектора на самого себя, но с более низким индексом : 4-вектора с верхними индексами обычно называются контравариантными 4-векторами и векторами с более низким индексом. индексы называются ковариантными 4-векторами .

Обратите внимание, что это действительно означает сумму по всем значениям μ. Теперь, что на самом деле означает, что тот же 4-вектор имеет более низкий индекс?

На самом деле это довольно просто, и я просто сформулирую общее правило; , чтобы перевести верхний индекс в нижний, просто умножьте его на показатель Минковского .

Итак, мы можем заменить 4-вектор с верхним индексом (A ^ν ) на вектор с нижним индексом (A _μ ) с помощью метрики Минковского (обратите внимание, что индекс меняется, потому что ν превращается в индекс суммирования, когда мы умножаем его на показатель, поскольку он имеет меньшее значение ν; общее правило состоит в том, что если индекс НЕ суммируется, то один и тот же индекс должен появляться на обеих сторонах уравнения ():

Итак, на самом деле приведенное ранее уравнение действительно означает следующее:

Как вы можете видеть, это именно тот способ сделать инвариантом , который я объяснил ранее (что также видно в формуле пространственно-временного интервала).Левая часть выглядит намного красивее, поэтому мы будем использовать ее в дальнейшем. Просто помните, что полностью написано, это на самом деле означает:

Итак, если весь этот индекс был для вас несколько абстрактным, это нормально. Чтобы привыкнуть, нужно время. Но мы будем использовать эти идеи позже, поэтому, если есть что вспомнить из этого раздела с 4 векторами, так это следующее правило:

Оператор четырех градиентов

Я хочу быстро перейти к так называемому 4-градиенту .Теперь, в теории относительности, довольно часто берется частных производных относительно 4-позиционного , то есть оператора:

Компоненты этой вещи следующие (обратите внимание, что на самом деле это комбинация производных по времени и пространственных производных ): 4-градиент имеет более низкий индекс, потому что он означает производную по 4-позиции, которая имеет верхний индекс, но находится под полосой дроби, что делает индекс более низким. Что ж, это не очень математический способ думать об этом, но он работает.Компоненты 4-градиента (щелкните, чтобы увидеть больше)

Теперь давайте посмотрим, что разные значения µ дают для этого оператора. Во-первых, µ = 0 дает (вспомните компонентов 4-позиционного ):

Итак, µ = 0 на самом деле является производной по времени. Затем давайте рассмотрим пространственные компоненты (µ = 1,2,3):

Теперь, если мы сложим эти пространственные производные вместе, что они дают? Это означало бы производную чего-либо по каждому из пространственных направлений (x, y, z).Ну, это просто обычный 3-мерный градиент :

Затем мы можем фактически объединить каждый из них в одну величину, называемую 4-градиент , которая имеет компоненты (обозначенные ∂ _µ ):

Для последнего , просто помните, что 4-градиент определяется как частная производная по 4-позиционному , что довольно сильно проявляется в теории относительности (обозначение 4-градиента просто делает его более компактным):

Кроме того, это можно превратить в контравариантную производную (с верхним индексом), просто изменив знак у пространственных компонентов (это связано со знаками минус в метрике Минковского, которая используется при изменении индексов):

Эта контравариантная форма просто означает производную по коварианту (нижний индекс) 4 позиции:

Релятивистские законы движения

Итак, специальная теория относительности в основном не касается замедления времени, т.е. Сжатие, парадоксы близнецов или любые связанные с ними странные явления, как это иногда бывает.

Это скорее примерно , переопределяющий фундаментальные законы физики в терминах величин, которые преобразуются в соответствии с преобразованиями Лоренца (т.е. скорость света остается постоянной!).

Этими величинами преобразования Лоренца являются четырехвекторные , и удивительно то, что существует четырехвекторный аналог почти для каждого ньютоновского закона физики (на самом деле, для квантовой механики тоже).

Теперь имейте в виду, что сюда не входит гравитация, поскольку это часть общей теории относительности.Итак, специальная теория относительности имеет дело только с негравитационными законами физики и системами отсчета.

Хорошо, теперь мы готовы перейти к основам специальной теории относительности.

Four-Velocity

Первая 4-векторная величина, о которой мы собираемся поговорить (после 4-х позиций), — это 4-Velocity . 4-скорость обычно обозначается u ^μ и по сути является релятивистской версией обычной скорости (v).

Теперь обычная ньютоновская скорость определяется как производная положения по времени:

В соответствии с этим, какой может быть релятивистская 4-скорость? Это просто.Это производная 4-позиции не по времени, а по собственному времени :

Или мы можем фактически использовать определение для собственного времени, которое мы получили в разделе «Пространство-время и правильные временные интервалы. :

Тогда, выражая этим 4-скорость, мы получаем:

Итак, на самом деле, 4-скорость может быть фактически выражена как обычная производная по времени, , но мы также должны умножить на коэффициент Лоренца .

Теперь давайте рассмотрим компоненты этой 4-скорости.Для этого нам нужно напомнить себе о компонентах dx ^μ :

Первый компонент 4-скорости равен μ = 0, что составляет:

Остальные компоненты (μ = 1,2,3) являются : Обратите внимание, что dx / dt — это просто x-компонента обычной скорости v. То же самое касается других компонентов.

Теперь, как правило, полезно объединить эти пространственные компоненты 4-скорости в один член, который представляет собой просто γv.

У нас есть компоненты для u ^μ :

Теперь я хочу рассмотреть еще одну вещь для 4-скоростной.Помните, ранее мы пришли к выводу, что 4-положение может быть выражено как инвариант, подобный этому (который был просто пространственно-временным интервалом):

Мы могли бы спросить, существует ли аналогичная форма инварианта для 4-скорости? Ответ таков: действительно есть! Давайте просто разделим обе стороны на (dτ) ² :

Или мы могли бы выразить это так:

Что это за левая часть? Это не что иное, как контравариантные и ковариантные формы 4-скоростной (производной 4-позиционного w.в свое время).

Правая часть тоже знакома. Это просто c ² (из соотношения (dτ) ² = (dS) ² / c ² ). Таким образом, это становится:

Теперь давайте запишем эту сумму в левую часть (помните соглашение о суммировании!):

Затем, вставив все компоненты 4-скорости:

Теперь мы можем фактически объединить здесь все пространственные компоненты только в v ² :

Это соотношение фактически сводится к простому определению фактора Лоренца:

Интересно то, что на самом деле, в общем, каждая из 4-векторных величин Я буду говорить о том, что приведет к чему-то интересному, когда мы построим из них инвариант, как мы это сделали здесь.

Принцип наименьшего действия в специальной теории относительности

В этом разделе я хотел бы остановиться на принципе наименьшего действия в контексте специальной теории относительности, поскольку он имеет огромное значение при формулировании некоторых релятивистских законов движения. .

Прежде всего, каков принцип наименьшего действия (или, короче, принцип действия)?

Принцип наименьшего действия — это, по сути, фундаментальный принцип в физике, который гласит, что физические объекты следуют траекториям в пространстве и времени, в которых величина, называемая действием, минимизирована (или, точнее, стационарна).

Все это объясняется в моей вводной статье о механике Лагранжа, поэтому я рекомендую прочитать это, если вы совершенно не понимаете, о чем я здесь говорю.

Тем не менее, мы все же рассмотрим основные правила для принципа действия здесь. Стоит отметить, что принцип действия основан на механике Лагранжа, но на самом деле он гораздо более фундаментален.

Фактически, можно сказать, что почти все фундаментальные законы физики на самом деле основаны на принципе действия, который просто показывает, что принцип действия действительно является чрезвычайно глубоким принципом природы.

В любом случае, давайте быстро поговорим о том, что на самом деле означает количество action . Действие — это практически величина, которая определяет, как объекты движутся в пространстве и времени (пространство-время в специальной теории относительности).

Каждая траектория, которую может принять объект, имеет значение для связанного с ним действия. Объект, согласно экспериментальным данным, также всегда будет выбирать траекторию, в которой действие происходит в стационарной точке (то есть не меняется относительно этой траектории).

Теперь, действие определяется как интеграл по траектории , то есть в основном сумма каждой из точек траектории: Действие определяется как интеграл по общей траектории (здесь обозначается dS, но это не так. ‘не обязательно должны обозначать интервал пространства-времени). Маленький a означает любую константу.

Теперь, чтобы получить полезные уравнения движения из действия, его нужно записать в форме:

Скрипт L здесь обозначает лагранжиан, который в основном является функцией энергий объекта в каждой точке.Обычно лагранжиан имеет форму кинетики минус потенциальная энергия , но в теории относительности это не так, поскольку эта форма не является лоренц-инвариантной.

По сути, существует несколько правил для принципа действия, а именно:

1. Действие должно быть интегралом по траектории (умноженным на любую константу).
2. Действие должно иметь единицы энергии , умноженные на времени.
3. Действие должно быть инвариантом Лоренца .Это гарантирует, что все вытекающие из него законы физики также будут лоренц-инвариантными.
4. Требуется, чтобы действие было стационарным (что позволяет нам использовать уравнение Эйлера-Лагранжа ).

Теперь давайте попробуем найти выражение для действия, которое удовлетворяло бы всем этим правилам. Прежде всего, какой могла бы быть траектория, если бы она была лоренц-инвариантной, а также имела релятивистский смысл (она должна быть траекторией как в пространстве, так и во времени)?

Ответ должен быть довольно простым.Траектория, конечно же, представляет собой пространственно-временной интервал , поскольку она, безусловно, инвариантна Лоренца.

Итак, действие затем принимает форму (выражающую пространственно-временной интервал через γ, который мы вывели ранее):

Теперь давайте посмотрим на единицы этого. В настоящее время это единицы скорости, умноженные на время. Однако действие должно иметь единицы энергии , умноженные на время (т.е. единицы массы, умноженные на квадрат скорости, умноженные на время).

Следовательно, нам нужно найти константу, которая имеет единицы массы , умноженные на скорость .Ну, масса, конечно, просто постоянная, и почти единственный вариант постоянной скорости — это скорость света.

Итак, константа a и действие должны быть (мы также добавляем знак минус для обычных целей, однако он не имеет никакого реального значения):

Теперь мы хотим написать действие в форме лагранжиан, интегрированный по времени , который даст нам релятивистский лагранжиан, который мы затем сможем использовать.

Лагранжиан на самом деле можно увидеть прямо из действия:

И вот он, релятивистский лагранжиан (однако, не включая потенциальную энергию).Было бы полезно записать фактор Лоренца:

В следующем разделе мы будем использовать этот лагранжиан, чтобы получить некоторые довольно полезные вещи, такие как формулы для релятивистской энергии .

Релятивистская энергия (полная + кинетическая)

Далее нам нужно найти выражения для энергии в специальной теории относительности.

Теперь, когда мы обычно анализируем энергию в классической механике (и во многих других областях физики), самый надежный способ — использовать гамильтониан .

Это объясняется гораздо более подробно в моей статье об основах гамильтоновой механики, но, по сути, практическое правило таково; гамильтониан системы описывает энергию этой конкретной системы .

Итак, наиболее общая форма для функции Гамильтона (как объяснено в моей статье о гамильтоновой механике):

Знаки q с точкой здесь означают производную по времени от q (а q — это обобщенная координата положения), то есть обобщенная скорость .Суммирование по i означает, что мы суммируем по каждому пространственному измерению. L — это, конечно, лагранжиан, который мы определили ранее.

Для наших целей мы можем определить обобщенную скорость как просто v и просто взглянуть на гамильтониан в такой форме:

Теперь, когда гамильтониан является энергией, мы должны быть в состоянии найти уравнение для энергии из этого. Фактически, этот гамильтониан в точности равен энергии:

То, что вы получите из этого, вставив ранее лагранжиан, является формулой для релятивистской полной энергии : Вывод формулы релятивистской энергии (нажмите, чтобы увидеть больше)

Эта формула может показаться вам знакомой, но давайте посмотрим, как именно.Это можно сделать с помощью так называемой серии Taylor .

Ряд Тейлора — это, по сути, способ аппроксимации функции как суммы бесконечного числа членов . В контексте специальной теории относительности мы можем использовать это, чтобы расширить фактор Лоренца как ряд Тейлора .

Формула, которую мы используем для этого ряда Тейлора, следующая:

В основном это говорит вам вычислять производные функции разного порядка, оценивать производные в точке x = 0, а затем умножать их на что-то.

Из этого вы получите серию, которая выглядит так: Расширение Тейлора для релятивистской энергии (щелкните, чтобы увидеть больше)

Прежде всего, мы собирались определить переменную β = v / c (чтобы упростим задачу), и тогда коэффициент Лоренца является функцией β и принимает вид:

Тогда формула ряда Тейлора для этого:

Давайте начнем с вычисления производных γ при β = 0. Например, первая производная, вычисленная при β = 0, дает:

Теперь вы можете сделать некоторые производные более высокого порядка самостоятельно, используя калькулятор или вручную, как угодно.По сути, это то, что вы получите (для первых 6 производных):

При использовании этих производных здесь прослеживается четкая закономерность. Производные с неравномерным порядком (n = 1,3,5…) всегда равны 0, поэтому нам не нужно беспокоиться об этих условиях.

Кроме того, поскольку ряд начинается с n = 0, 0-я производная — это, по сути, просто сама функция (γ), вычисленная в точке β = 0:

Итак, сложив все вместе и расширив сумму (и игнорируя члены с n = 1,3,5… так как они идут в ноль), получаем:

Или возвращая β = v / c:

Тогда мы можем записать релятивистскую энергию в следующей форме:

Хорошо, давайте посмотрим в приведенной выше серии более подробно.

Первый член, очевидно, представляет собой некоторую форму энергии, связанную с массой объекта (также называемую энергией покоя ). Другие члены — это энергии, связанные со скоростью, поэтому они должны быть своего рода кинетической энергией членов:

Прежде всего, это уравнение говорит нам, что объект имеет энергию, даже если он находится в состоянии покоя, и эта энергия находится в форма массы. Итак, масса на самом деле просто еще одна форма энергии , что является очень важным результатом специальной теории относительности.

Во-вторых, на самом деле уравнение Ньютона для кинетической энергии является лишь приближением релятивистской кинетической энергии и работает только при малых скоростях (скорости намного медленнее скорости света).

Это можно увидеть из того факта, что если скорости медленные по сравнению с c, эти члены с c в знаменателе становятся практически нулевыми, а кинетическая энергия уменьшается до обычного ½ мв ² .

Итак, оказывается, что эти релятивистские «поправочные члены» к кинетической энергии начинают становиться заметными только при примерно 10% скорости света (0.1в).

Вы можете убедиться в этом сами, если хотите, просто подставив числа в релятивистскую формулу и сравнив значения с формулой ньютоновской кинетической энергии.

Теперь, используя приведенную выше формулу, мы можем найти хорошее уравнение для релятивистской кинетической энергии . Давайте просто вычтем mc ² с обеих сторон:

Теперь правая часть — это просто кинетическая энергия. Мы также можем снова подключить E = γmc ² , и тогда мы получим:

И это релятивистская формула для кинетической энергии .Затем мы рассмотрим релятивистскую версию импульса, а также то, как он соотносится с энергией (это также даст нам другой способ вывести E = mc ² ).

Четырехимпульсный

Затем давайте рассмотрим то, что называется 4-моментумом. По сути, 4-импульс — это всего лишь 4-векторный (релятивистский) аналог обычного ньютоновского импульса .

Итак, 4-импульс имеет огромное значение в специальной теории относительности, так как он на самом деле дает изящный способ связать энергию с импульсом, который мы вскоре обнаружим.

Прежде всего, в механике Ньютона импульс просто определяется как масса, умноженная на скорость, p = mv.

В специальной теории относительности это тоже почти так, за исключением того, что 4-импульс (p ^μ ) определяется как масса, умноженная на 4-скорость , а именно:

Теперь, исходя из этого, мы можем посмотреть, что компоненты 4-импульса равны. Прежде всего, давайте рассмотрим пространственных компонентов (μ = 1,2,3):

Мы можем вставить в них пространственные компоненты 4-скорости, а именно:

Итак, пространственных компонентов Тогда 4-импульс будет:

Обычно мы объединяем пространственные компоненты в один член p (который является просто обычным 3-мерным импульсом , за исключением фактора Лоренца, чтобы сделать его релятивистски правильным):

Хорошо, Теперь, когда у нас есть пространственные части, давайте рассмотрим 0-компонент p ^μ , используя тот факт, что u ⁰ = γc:

Но что такое γmc? Это очень похоже на релятивистскую энергию, которую мы вывели в предыдущем разделе:

Фактически, γmc — это просто энергия, деленная на скорость света.Итак, 0-компонент 4-импульса на самом деле:

Итак, в целом, у нас есть компоненты 4-импульса:

Следующее, что мы хотим сделать, это посмотреть, что произойдет, если мы построим . инвариант из 4-импульса . Давайте начнем с использования инвариантного уравнения для 4-скорости:

Давайте умножим это на m ² с обеих сторон:

Или распределим m следующим образом:

Теперь, что это за члены в левой части ? Это всего лишь контравариантных и ковариантных 4-импульса :

Давайте затем выпишем сумму в левой части, которая дает:

Теперь мы знаем, что p ¹ , p ² и p ³ — это просто пространственные компоненты импульса, которые мы можем объединить в один член p:

Давайте теперь вставим компонент p ⁰ , который равен E / c:

Умножив обе стороны на c ² и извлекем квадратный корень , получаем:

И это уравнение известно как известное соотношение энергии-импульса .Теперь, если частица находится в состоянии покоя (т. Е. P = 0), второй член стремится к нулю, и это уменьшает что-то очень узнаваемое:

Итак, всемирно известное уравнение E = mc ² может быть фактически получено умножением вместе контравариантная и ковариантная версии 4-импульса . Как это круто!

Четыре силы + теорема о релятивистской работе и энергии

Здесь я кратко рассмотрю понятие 4-силы, которое фактически является релятивистской 4-векторной формой ньютоновской концепции силы .

Прежде всего, давайте подумаем о том, как силы определяются в ньютоновской физике. Обычная трехмерная сила определяется просто как производная от импульса по времени (то есть второй закон Ньютона):

Теперь вы, возможно, уже догадались, как можно определить 4-силу (F ^µ ) . Это просто , производная по собственному времени от 4-импульса (или масса, умноженная на 4-ускорение, но мы будем использовать первое определение):

По этому определению мы можем легко найти компоненты 4-силы.Сначала давайте посмотрим на пространственные компоненты (µ = 1,2,3). Соответствующие компоненты 4-импульса (из раздела 4-импульса):

Теперь мы просто возьмем их производную по собственному времени, чтобы получить компоненты 4-силы (хотя мы хотим выразить их как обычные производные по времени):

Эти обычные производные по времени здесь просто ньютоновских сил в каждом пространственном направлении (например, dp _x / dt это просто F _x ). Мы можем просто записать все эти термины в один такой:

Теперь давайте посмотрим на 0-компонент в 4-силовом .Для этого нам понадобится 0-составляющая 4-импульса, а именно:

Тогда 0-составляющая 4-силы будет просто производной по собственному времени этого:

Теперь, что такое dE / dt (т. Е. изменение энергии относительно времени) на самом деле? Это просто мощность . Итак, 0-составляющая 4-силы — это мощность (деленная на скорость света).

Затем у нас есть все компонентов 4-силового :

Следующее, что я хочу рассмотреть, это то, что произойдет, если мы построим инвариант из 4-силового .Для этого умножим вместе контравариантные и ковариантные 4-силы и запишем сумму, которая даст:

Вставив компоненты, мы получим (а также объединим F ¹ , F ² и F ³ в один член):

Теперь давайте умножим обе стороны на (dτ) ² и на c ² :

Или левую часть, записанную так:

Давайте теперь более внимательно посмотрим на этот cF ^µ dτ -терм, в частности, что дают разные значения для µ.Во-первых, если мы установим µ = 0, это даст (вставив компонент F ⁰ ):

Итак, что такое dE? Здесь d означает небольшое изменение, поэтому dE означает небольшое изменение энергии. Но каково изменение энергии? Это просто работа , совершенная в системе по изменению ее энергии (dW). Таким образом, это становится:

Теперь давайте установим µ = 1:

Что это тогда? Это изменение x-импульса (умноженного на c), но каково изменение импульса, определяемое как? Это импульс .Итак, это просто импульс в направлении x (dI _x ), умноженный на c:

То же самое касается направлений y и z, которые дают cdI _y и cdI _z .

А теперь самое интересное. Фактически мы можем объединить эти величины в новый 4-вектор, называемый 4-вектором импульсной работы или 4-импульсом или 4-импульсом (я не знаю, как он на самом деле называется, но я назову его 4-импульсным, поскольку он звучит круто!)

Этот 4-импульсный (обозначенный dW ^µ ) элемент просто определяется как:

Его компоненты:

Затем мы можем написать уравнение из более раннего периода с этими 4-импульсными векторами:

Теперь , давайте посмотрим на эту правую часть уравнения.У нас явно есть что-то с энергией и импульсом , и оно имеет инвариантную форму (разность квадратов). Давайте запишем это так, чтобы было легче понять, что это на самом деле:

Это довольно интересно. Это что-то с E / c, а также с импульсом p. Это просто с 4-мя импульсами ! Ну, почти. Это небольшое изменение на в 4-импульсе (dp ^µ ) , умноженном на c.

И, точнее, эта правая часть представляет собой инвариантную форму небольших изменений в 4-импульсе (контравариантное и ковариантное умноженные вместе):

Тогда мы можем записать форму уравнения ранее как:

Это уравнение равно релятивистский эквивалент теоремы о работе-энергии .Я не знаю, как на самом деле называется это уравнение, поэтому назову его релятивистской теоремой о четырех импульсах и импульсе .

Если вы хотите подробно описать уравнение, оно будет выглядеть так:

Из этого мы можем видеть, что если импульс не изменится, он уменьшится до просто dW = dE, что является обычной работой . Энергетическая теорема .

Эквивалентно, если изменяется только импульс, это становится просто dI = dp (путем объединения всех компонентов в отдельные члены), что является обычной теоремой об импульсе-импульсе .

Практический пример: релятивистский закон силы Лоренца

Я много говорил о формулировании различных законов физики в релятивистски правильной форме, но до сих пор мы рассмотрели только основные концепции.

Здесь я хотел бы показать, как обычные ньютоновские законы физики могут быть сформулированы в их релятивистских версиях, на реальном практическом примере.

Мы собираемся кратко обсудить закон релятивистской силы, который эквивалентен обычному закону силы Лоренца , который является силой, которая создается электрическими и магнитными полями .

Классически сила Лоренца задается уравнением (где q — заряд частицы, на которую действует сила, v — ее скорость, E и B — электрическое и магнитное поля):

Теперь это уравнение не может быть вполне правильным, принимая во внимание специальную теорию относительности. Причина этого в том, что обычная скорость, электрическое поле и магнитное поле на самом деле относительны .

Следовательно, эта форма закона силы также относительна, что не является хорошим физическим законом.Теперь релятивистски инвариантная форма этого закона может быть фактически получена из релятивистского принципа действия , который мы обсуждали ранее.

Прежде мы рассмотрим релятивистский закон силы Лоренца, однако мне придется ввести нечто, называемое векторным потенциалом и скалярным потенциалом . Прежде всего, мы знаем, что магнитное и электрическое поля являются векторными величинами, то есть векторными полями .

Векторные поля, как правило, выводятся из величин, известных как векторные потенциалы и скалярные потенциалы .Таким образом, электрические и магнитные поля фактически являются производными от векторных и скалярных потенциалов.

Странно то, что векторные и скалярные потенциалы на самом деле не уникальны в том смысле, что вы всегда можете изменить их значение, но все равно получите тот же ответ.

Причина этого в том, что электрические и магнитные поля определены в терминах изменений (производных) этих скалярных и векторных потенциалов , а не в терминах их точных значений.

Следовательно, значения скалярного и векторного потенциала важны не сами по себе, а только их изменения.

Математически, электрическое поле определяется в терминах скалярного потенциала, называемого электрическим потенциалом (φ), и векторного потенциала, называемого векторным магнитным потенциалом (A) :

Магнитное поле, с другой стороны, определяется как ротор магнитного векторного потенциала (A) :

Хорошо, я хотел обсудить это потому, что нам скоро понадобятся эти определения, и стоит их явно сформулировать.

А теперь вернемся к теории относительности.В специальной теории относительности величины обычно объединяются в 4-векторные величины, и фактически то же самое касается электрического и магнитного потенциалов.

Электрический потенциал и векторный магнитный потенциал могут быть объединены в одну 4-векторную величину, называемую электромагнитным 4-потенциалом . Он обозначается A ^µ и имеет компоненты: φ обозначает электрический потенциал, c — скорость света, а буквы A — компоненты векторного потенциала магнитного поля.

Итак, я не буду сейчас выводить следующее уравнение, поскольку оно, вероятно, потребует отдельной статьи. Вместо этого я расскажу вам, что такое закон релятивистской силы Лоренца, и мы рассмотрим, что он на самом деле означает.

Релятивистский эквивалент для закона силы Лоренца :

Это выглядит довольно просто, не правда ли, но что все это здесь такое?

Ну, во-первых, F ^µ — это, конечно же, 4-сильный , как и следовало ожидать. Здесь q — это просто электрический заряд (постоянная) объекта, который мы рассматриваем, а u _ν — это 4-скоростная (ее ковариантная форма, к этому мы вскоре вернемся).

Итак, F ^µν — это то, что называется тензором электромагнитного поля (не путать с 4-силой, которая обозначается F только с одним индексом).

Этот тензор поля в основном представляет собой набор объектов, которые являются компонентами электрического и магнитного полей.Итак, тензор электромагнитного поля — это объект, который описывает каждую составляющую как электрического, так и магнитного полей (то есть электромагнитного поля).

Оба индекса µ и ν меняются от 0 до 3, как мы привыкли в теории относительности. Итак, этот тензор действительно имеет 16 различных компонентов (хотя 4 из них на самом деле равны нулю, но мы скоро к этому вернемся).

Итак, этот тензор на самом деле является функцией 4-градиента электромагнитного 4-потенциала .Вот как это определяется математически: помните, что этот символ частной производной с индексом на самом деле является оператором 4-градиента .

Я просто напомню вам компоненты 4-потенциала , а также 4-градиента (нас интересует контравариантная форма 4-градиента, которая имеет отрицательные пространственные компоненты):

Хорошо, давайте посмотрим на компоненты тензора электромагнитного поля. Сначала положим µ = 0 и пробежимся по ν = 1,2,3.Вот что вы получите для первого (µ = 0 и ν = 1):

Теперь давайте выразим это в такой форме:

Но что это за штука, включающая производную по времени от магнитного векторного потенциала и пространство? производная электрического потенциала? Эта вещь в скобках представляет собой просто x-компонент электрического поля (вернитесь к определению электрического поля, показанному ранее).

Тогда эта компонента тензора электромагнитного поля становится отрицательной x-компонентой электрического поля, деленной на скорость света :

То же самое касается двух других значений ν (ν = 2 и ν = 3 ), мы просто получаем y- и z-компоненты электрического поля:

Теперь, если вы поменяете местами µ и ν (т.е.е. установите ν = 0 и дайте µ перейти от 1 к 3), вы получите то же самое, но с противоположным знаком :

Также стоит отметить, что каждая из компонент тензора EM, где µ = ν, просто ноль, что легко увидеть из его определения.

Затем давайте посмотрим, что произойдет, если у нас есть оба индекса как пространственных индексов (то есть µ = 1,2,3 и ν = 1,2,3). Во-первых, для µ = 1 и ν = 2 мы имеем:

Теперь вернемся и посмотрим на картинку, сделанную ранее, на которой были компоненты магнитного поля.Эта вещь в скобках — это просто z-компонента ротора векторного потенциала, который является z-компонентом магнитного поля .

Итак, этот компонент тензора ЭМ является просто отрицательной z-компонентой магнитного поля:

То же самое происходит и в других случаях, когда µ и ν являются пространственными индексами (1,2,3). У вас получится компонент магнитного поля, но с разными знаками . При желании можно самостоятельно рассчитать остальные составляющие.

Фактически, все эти компоненты тензора EM могут быть собраны в матрицу 4 × 4. В итоге мы имеем тензор электромагнитного поля в его полном релятивистском великолепии:

Теперь давайте вернемся к закону силы Лоренца, теперь, когда у нас есть основная идея тензора электромагнитного поля. Уравнение релятивистской силы Лоренца было:

4-скорость u _ν здесь является ковариантным 4-вектором. Ранее мы обсуждали только контравариантную версию 4-скорости, но чтобы превратиться в ковариантную, вы используете метрику Минковского, которая на самом деле просто меняет знак пространственных компонентов.

Итак, u _ν определяется как:

Хорошо, тогда давайте сначала рассмотрим пространственные компоненты силы Лоренца (µ = 1,2,3). Помните, что ν — это просто индекс суммирования в уравнении силы Лоренца (основанном на соглашении о суммировании Эйнштейна).

Итак, давайте сначала установим µ = 1 и просуммируем по всем значениям ν:

Давайте теперь вставим все компоненты для 4-силы, 4-скорости и тензора EM:

Мы можем упростить это и разделите обе стороны на γ:

Если вы когда-либо видели компоненты силы Лоренца, это действительно правильный x-компонент для силы, которую частица с зарядом q будет испытывать в электромагнитном поле.

Для других пространственных значений µ (µ = 1,2) вы просто получаете y- и z-компоненты силы. Я не буду вдаваться в подробности, так как это точно такой же процесс, как и выше, но вот что вы получите:

Теперь более удивительным результатом будет 0-составляющая этой силы (когда мы положим µ = 0). Давайте запишем эту сумму:

Здесь единственное, что мы должны помнить, это то, что 0-компонент силы на самом деле был:

Отсюда вопрос только о вставке всех компонентов.Сделав это, мы получим:

Мы можем упростить это, умножив на c и разделив на γ:

Теперь помните, что компоненты v здесь просто обычные скорости (производные от x, y и z по времени):

Затем мы можем записать уравнение:

Затем просто умножьте обе части на dt, и мы получим:

Итак, что такое dE, снова бесконечно малое изменение энергии? Это просто проделанная работа, dW:

Это уравнение действительно является работой, совершаемой электрическим полем .Если вы хотите его в более узнаваемой форме, вы можете объединить все компоненты электрического поля в один член (E), а также объединить все компоненты пространственных смещений в один член (dr):

Then , мы просто интегрируем обе части и получаем:

И это действительно стандартное уравнение для работы, совершаемой электрическим полем. Как видите, здесь нет никаких компонентов магнитного поля, потому что магнитные поля не выполняют никакой работы .

В любом случае, самое интересное в этом заключается в том, что опять же, релятивистская формулировка и 4-векторы дают нам изящный способ объединить вещи, как уравнение работы, так и различные компоненты силы Лоренца, в одно простое уравнение, релятивистский закон силы Лоренца .

---

Шпаргалка по специальной теории относительности (+ Мои рекомендуемые ресурсы для изучения специальной теории относительности)

Я понимаю, что эта статья получилась довольно длинной, поэтому здесь я собрал основные идеи и формулы, которые мы обсуждали, в компактный PDF-лист, который вы можете скачать бесплатно здесь:

Если вы хотите больше изучить специальную теорию относительности, я настоятельно рекомендую проверить мои страниц ресурсов , где вы найдете мои личные рекомендации по книгам (для людей, желающих самостоятельно изучить) учиться).

Вы также можете посмотреть это короткое видео, которое я сделал в качестве резюме этой статьи:

Теперь я также хочу сказать, что есть некоторые вещи, которые я специально упустил в этой статье, поскольку просто не хватило места, чтобы покрыть все.

Например, я не обсуждал такие вещи, как энергии и импульсы для безмассовых частиц, таких как фотоны. Причина, по которой я этого не сделал, заключается в том, что у меня есть целая статья на эту тему, которую можно найти здесь.

Уменьшение размерности для чайников — Часть 2: Укладка кирпичей | Хусейн Абдуллатиф

Давайте договоримся о том, что облегчит нашу жизнь: все наборы данных, с которыми мы будем иметь дело, ориентированы на среднее. Это означает, что мы вычитаем среднее значение каждого объекта из каждой точки, так что набор данных будет центрирован в начале координат. Это никак не меняет структуру наших данных, но упрощает вычисления.

1. Дисперсия

В двойном пространстве компоненты вектора x являются координатами x каждого примера, т.е.е. Vx = ( x1, x2, x3 ). Аналогично, Vy = ( y1, y2, y3). Помните, что отклонение по x — это средний квадрат отклонения координат x от их среднего значения. Но поскольку среднее значение равно нулю, оно будет:

Но это точно скалярное произведение вектора x на себя , или, что то же самое, его квадрат длины:

Где я намеренно проигнорировал множитель. 1/3, чтобы упростить задачу, поскольку сейчас нас интересуют только отношения количеств.

2. Ковариация

Помните из части 1, что мы интерпретировали ковариацию как , меру того, насколько точно одна переменная может быть предсказана на основе другой. Чтобы выразить это количественно, мы предполагаем простейшую связь: y является некоторым кратным x , или y = mx (линия, проходящая через начало координат). Чем точнее наши переменные демонстрируют это соотношение, тем больше ковариация, и наоборот.

Если вы внимательно посмотрите на анимацию выше формулы № 2, вы обнаружите, что , чем больше данные отклоняются от линии , , тем больше угол между двумя векторами , и, следовательно, , тем меньше скалярное произведение. Итак, скалярное произведение — очень естественная мера ковариации.

Небольшое наблюдение заставит вас понять, что это имеет смысл. Помните, что Vx = ( x1, x2, x3) и Vy = ( y1, y2, y3 ). Если данные соответствуют линейной зависимости ( y = 2x ), тогда Vy = (2 * x 1, 2 * x 2, 2 * x 3) = 2 * Vx .То есть векторы являются скалярными, кратными друг другу, они коллинеарны, а скалярное произведение является максимальным.

Теперь мы можем формализовать это утверждение, определив:

3. Матрица ковариации

Дисперсия и ковариация, которые являются просто скалярными произведениями, могут быть сведены в единую матрицу:

Очевидно, cov (x, y) = cov (у, х). Итак, матрица симметрична.

4. Обобщение

Распространить эту идею на более чем 3 точки в наборе данных несложно.Для представления примеров нам понадобится четырехмерный график, , но по-прежнему будет только два вектора для двух функций , x и y , и они будут определять 2D-плоскость, которую можно легко нарисовать, и точку продукт выполнен. Те же идеи останутся в силе.

3D-векторы | Суперпроф

Мы живем в трехмерном мире, что означает, что у нас есть 3 оси в качестве ориентира. Эти оси — ось x, ось y и ось z. Векторное знание применимо в реальной жизни, что в конечном итоге означает, что применяются все векторные законы, но в предыдущих источниках мы были привязаны к 2-мерному, изменяет ли 3-мерный мир все законы? Абсолютно! но неужели это изменение слишком велико? Нет, все, что вам нужно сделать, это добавить третье измерение (ось z) ко всем этим законам.Трехмерный вектор — это отрезок прямой в трехмерном пространстве, проходящий от точки A (хвост) до точки B (голова).

Каждый вектор имеет величину (или длину) и направление. Помните, что основы не изменятся, потому что мы просто добавляем здесь еще одно измерение. Это не означает, что то, что вы изучали раньше, будет полностью изменено, всего несколько изменений в формуле, но концепция останется той же. Если у вас есть хорошее понимание предыдущих законов, то понимание законов в трехмерном пространстве не будет для вас проблемой.

Компоненты трехмерного вектора

Когда мы работаем в трехмерном пространстве, мы всегда рассматриваем все три базы координат, которые являются осью x, осью y и осью z. Например, у нас есть две точки в трехмерном пространстве, и это точка A и точка B. Координаты точек A и B будут записаны (в трехмерном пространстве) следующим образом:

и. Ваш учитель также попросил вас найти вектор, но как вы это сделаете в трехмерном пространстве? Та же голова без хвоста? Да точно так же! Вам нужно вычесть координату головы из координаты хвоста.

Вычислите компоненты векторов, которые можно нарисовать в треугольнике с вершинами

и.

Не забывайте, что вектор состоит из двух вещей: одна — это направление, а другая — величина. Если вы перевернете направление, это означает, что все координаты вектора также будут перевернуты:

Лучшие доступные репетиторы по математике

Первый урок бесплатно

Величина или длина вектора

Величина — это ключ элемент вектора и вектор без величины — это просто направление без мощности.Величина вектора вектора — это длина отрезка линии, который его определяет. Величина вектора всегда представлена ​​положительным числом, и только нулевой вектор имеет величину ноль .

Расчет величины для определения ее компонентов

Возможно, вы знакомы с формулой величины, которая равна

, но с третьим новым измерением все будет немного иначе. Чтобы найти величину трехмерного вектора, вам нужно просуммировать все возведенные в квадрат компоненты различных осей, а затем извлечь квадратный корень из ответа.

Ниже решенный вопрос для уточнения.

Учитывая векторы

и, найдите величины и ·

Расчет модуля, зная координаты точек

Чтобы вычислить величину, мы воспользуемся формулой расстояния, но с небольшим изменением. Возможно, вы раньше сталкивались с проблемами двух измерений, поэтому в то время вы использовали только компоненты x и y, но теперь все изменилось.На этот раз вы будете использовать три компонента, но не волнуйтесь, если вы хорошо понимаете формулу расстояния, это будет для вас кусок пирога. Например, у вас есть две точки A и B. Координаты точки A равны

, а координаты точки B равны.

Первый шаг — вычесть компонент хвоста из компонента головы, как вы делали это раньше. Найдите разницу для всех компонентов, а затем возьмите квадрат всех этих ответов. Сложите все эти квадраты ответов, а затем извлеките квадратный корень из полученного ответа, и это будет ваша величина из двух разных векторов, или вы можете использовать приведенную ниже формулу и просто подставить значения и найти ответ всего за один шаг.

Расстояние между двумя точками

Формула для расстояния между двумя точками аналогична найденной величине двух векторов.

ПРИМЕР

Найдите расстояние между точками

и.

Единичный вектор

Векторы бывают самых разных форм и размеров, но как мы описываем эти векторы? С помощью единичного вектора. Определение единичного вектора довольно просто, это вектор с величиной

.Это означает, что любой вектор, величина которого равна единице, независимо от направления, называется единичным вектором. Один из наиболее распространенных терминов, которые мы используем в главе, посвященной векторам, — это нормализация. Нормализация означает получение другого единичного вектора в том же направлении. Чтобы нормализовать вектор, вам нужно разделить компоненты этого вектора на величину вектора.

r — Добавление вектора фиктивных переменных в логистическую регрессию

Если вы хотите, чтобы каждый вид преступления был отдельным предиктором, вам необходимо привязать их к train , а затем указать переменные в формуле lm .(На самом деле для logit это должно быть glm () .)

Для более компактной формулы подмножество train в аргументе data = функции glm () , чтобы включить только переменную ответа и предполагаемую матрицу дизайна. Затем используйте street1 ~. в качестве формулы.

  поезд <- cbind (поезд, наркотики, кража) I
model.vars <- c («наркотики», «кража», «улица1»)
logit.mod.train <- glm (street1 ~., data = train [, model.vars], family = "binomial")
  

Дополнительные пояснения:

Использование ifelse , как вы это сделали, дает 1 или 0 для каждого элемента в train .
Когда вы определяете Crime.type как narcotics (который имеет длину поезда ) плюс любые дополнительные элементы, Crime.type длиннее, чем количество строк в поезд .
Затем вы просите lm () обработать однобокую матрицу плана, в которой один предиктор ( Crime.type ) содержит больше элементов, чем другие предикторы. Вот почему вы получаете сообщение об ошибке.

Вот репликация проблемы:

  N <- 100
поезд <- данные.frame (PRIMARY.DESCRIPTION = sample (c ("A", "B"), replace = T, size = N),
                    ответ = rbinom (n = N, вероятность = 0,7, размер = 1))
тусклый (поезд) # 100 2

наркотики <- ifelse (train $ PRIMARY.DESCRIPTION == "A", 1, 0)
длина (наркотики) # 100

кража <- ifelse (train $ PRIMARY.DESCRIPTION == "B", 1, 0)
длина (кража) # 100

преступление. тип <- c (desc.A, desc.B)
длина (Crime.type) # 200

logit.mod.train <- glm (ответ ~ PRIMARY.DESCRIPTION + Crime.type, data = train, family = "binomial")
  

Ошибка в модели.frame.default (формула = ответ ~ ПЕРВИЧНОЕ ОПИСАНИЕ +: различаются по длине (найдено для 'Crime.type')

Основы кинематики | Безграничная физика

Определение кинематики

Кинематика - это исследование движения точек, объектов и групп объектов без учета причин их движения.

Цели обучения

Определить кинематику

Основные выводы

Ключевые моменты

• Для описания движения кинематика изучает траектории точек, линий и других геометрических объектов.
• Изучение кинематики можно абстрагировать в чисто математических выражениях.
• Кинематические уравнения могут использоваться для расчета различных аспектов движения, таких как скорость, ускорение, смещение и время.

Ключевые термины

• кинематика : Раздел механики, связанный с движущимися объектами, но не с задействованными силами.

Кинематика - это раздел классической механики, который описывает движение точек, объектов и систем групп объектов без ссылки на причины движения (т.е., силы). Изучение кинематики часто называют «геометрией движения».

Объекты вращаются вокруг нас. Все, от теннисного матча до полета космического зонда над планетой Нептун, связано с движением. Когда вы отдыхаете, ваше сердце перемещает кровь по венам. Даже в неодушевленных предметах есть непрерывное движение в колебаниях атомов и молекул. Могут возникнуть интересные вопросы о движении: сколько времени потребуется космическому зонду, чтобы добраться до Марса? Куда приземлится футбольный мяч, если его бросить под определенным углом? Однако понимание движения также является ключом к пониманию других концепций физики.Например, понимание ускорения имеет решающее значение для изучения силы.

Для описания движения кинематика изучает траектории точек, линий и других геометрических объектов, а также их дифференциальные свойства (такие как скорость и ускорение). Кинематика используется в астрофизике для описания движения небесных тел и систем; и в машиностроении, робототехнике и биомеханике для описания движения систем, состоящих из соединенных частей (таких как двигатель, роботизированная рука или скелет человеческого тела).

Формальное изучение физики начинается с кинематики. Слово «кинематика» происходит от греческого слова «kinesis», означающего движение, и связано с другими английскими словами, такими как «cinema» (фильмы) и «kinesiology» (изучение движения человека). Кинематический анализ - это процесс измерения кинематических величин, используемых для описания движения. Изучение кинематики можно абстрагировать в чисто математических выражениях, которые можно использовать для расчета различных аспектов движения, таких как скорость, ускорение, смещение, время и траектория.

Кинематика траектории частицы : Кинематические уравнения могут использоваться для расчета траектории частиц или объектов. Физические величины, относящиеся к движению частицы, включают: массу m, положение r, скорость v, ускорение a.

Системы отсчета и смещение

Чтобы описать движение объекта, необходимо указать его положение относительно удобной системы отсчета.

Цели обучения

Оценить смещение в системе координат.

Основные выводы

Ключевые моменты

• Выбор системы отсчета требует решения, где находится исходное положение объекта и какое направление будет считаться положительным.
• Действительные системы отсчета могут отличаться друг от друга перемещением друг относительно друга.
• Рамки отсчета особенно важны при описании смещения объекта.
• Смещение - это изменение положения объекта относительно его системы отсчета.

Ключевые термины

• смещение : векторная величина, которая обозначает расстояние с направленным компонентом.
• рамка отсчета : система координат или набор осей, в пределах которых можно измерить положение, ориентацию и другие свойства объектов в ней.

Чтобы описать движение объекта, вы должны сначала описать его положение - где он находится в любой конкретный момент времени. Точнее, нужно указать его положение относительно удобной системы отсчета.Земля часто используется в качестве системы отсчета, и мы часто описываем положение объектов, связанных с их положением на Землю или от нее. Математически положение объекта обычно представлено переменной x .

Код ссылки

Есть два варианта, которые вы должны сделать, чтобы определить переменную положения x . Вы должны решить, где поставить x = 0 и какое направление будет положительным. Это называется выбором системы координат или выбором системы отсчета.Пока вы последовательны, любой фрейм одинаково действителен. Но вы не хотите менять систему координат во время расчета. Представьте, что вы сидите в поезде на станции и вдруг замечаете, что станция движется назад. Большинство людей сказали бы, что они просто не заметили, что поезд движется - только казалось, что станция движется как . Но это показывает, что существует третий произвольный выбор , который входит в выбор системы координат: действительные системы отсчета могут отличаться друг от друга, перемещаясь друг относительно друга.Может показаться странным использовать систему координат, движущуюся относительно земли, но, например, система координат, движущаяся вместе с поездом, может быть гораздо более удобной для описания вещей, происходящих внутри поезда. Рамки отсчета особенно важны при описании смещения объекта.

СПРАВОЧНИКИ профессора Хьюма и профессора Дональда Айви из Университета Торонто

В этом классическом фильме профессора Хьюм и Айви умело иллюстрируют системы отсчета и различают фиксированные и движущиеся системы отсчета.

Frames of Reference (1960) Обучающий фильм : Frames of Reference - образовательный фильм 1960 года, созданный Комитетом по изучению физических наук. Фильм предназначен для показа на курсах физики в средней школе. В фильме профессора физики Университета Торонто Паттерсон Хьюм и Дональд Айви объясняют различие между инерциальной и неинтерциальной системами отсчета, демонстрируя эти концепции с помощью юмористических трюков с камерой. Например, фильм открывается с Доктора.Хьюм, который кажется перевернутым, обвиняет доктора Айви в том, что он перевернут. Только когда пара подбрасывает монету, становится очевидно, что доктор Айви - и камера - действительно перевернуты. Юмор фильма служит как для заинтересованности студентов, так и для демонстрации обсуждаемых концепций. В этом фильме PSSC используется увлекательный набор, состоящий из вращающегося стола и мебели, занимающих неожиданно непредсказуемые места в зоне просмотра. Прекрасная кинематография Авраама Морочника и забавное повествование профессоров Университета Торонто Дональда Айви и Паттерсона Хьюма - прекрасный пример того, как творческая группа кинематографистов может весело провести время с предметом, который другие, менее изобретательные люди могут посчитать пешеходом.Продюсер: Ричард Ликок Продюсерская компания: Educational Development Corp. Спонсор: Эрик Престамон

Рабочий объем

Смещение - это изменение положения объекта относительно его системы отсчета. Например, если автомобиль движется из дома в продуктовый магазин, его перемещение - это относительное расстояние продуктового магазина до системы отсчета или дома. Слово «смещение» означает, что объект переместился или был перемещен. Смещение - это изменение положения объекта, которое математически можно представить следующим образом:

[латекс] \ Delta \ text {x} = \ text {x} _ \ text {f} - \ text {x} _0 [/ latex]

, где Δ x - смещение, x _f - конечное положение, а x ₀ - начальное положение.

показывает важность использования системы координат при описании перемещения пассажира в самолете.

Перемещение в системе ведения : Пассажир перемещается со своего места на заднюю часть самолета. Его расположение относительно самолета указано x. Смещение пассажира на -4,0 м относительно самолета показано стрелкой в ​​направлении задней части самолета. Обратите внимание, что стрелка, обозначающая его перемещение, вдвое длиннее стрелки, обозначающей перемещение профессора (он перемещается вдвое дальше).

Введение в скаляры и векторы

Вектор - это любая величина, имеющая как величину, так и направление, тогда как скаляр имеет только величину.

Цели обучения

Определите разницу между скалярами и векторами

Основные выводы

Ключевые моменты

• Вектор - это любая величина, имеющая величину и направление.
• Скаляр - это любая величина, которая имеет величину, но не имеет направления.
• Смещение и скорость - это векторы, а расстояние и скорость - скаляры.

Ключевые термины

• скаляр : величина, имеющая величину, но не направление; сравнить вектор.
• вектор : Направленная величина, имеющая как величину, так и направление; между двумя точками.

В чем разница между расстоянием и смещением? В то время как смещение определяется как направлением, так и величиной, расстояние определяется только величиной. Смещение - это пример векторной величины. Расстояние - это пример скалярной величины.Вектор - это любая величина, имеющая как величину, так и направление. Другие примеры векторов включают скорость 90 км / ч на восток и силу 500 ньютонов прямо вниз.

Скаляры и векторы : Г-н Андерсен объясняет различия между скалярными и векторными величинами. Он также использует демонстрацию, чтобы показать важность векторов и сложения векторов.

В математике, физике и технике вектор - это геометрический объект, который имеет величину (или длину) и направление и может быть добавлен к другим векторам в соответствии с векторной алгеброй.Направление вектора в одномерном движении задается просто знаком плюс (+) или минус (-). Вектор часто представлен отрезком линии с определенным направлением или графически в виде стрелки, соединяющей начальную точку A с конечной точкой B, как показано на.

Векторное представление : Вектор часто представлен отрезком линии с определенным направлением или графически в виде стрелки, соединяющей начальную точку A с конечной точкой B.

Некоторые физические величины, такие как расстояние, либо не имеют направления, либо не имеют определенного направления.В физике скаляр - это простая физическая величина, которая не изменяется при поворотах или перемещениях системы координат. Это любая величина, которая может быть выражена одним числом и имеет величину, но не направление. Например, температура 20ºC, 250 килокалорий (250 калорий) энергии в шоколадном батончике, ограничение скорости 90 км / ч, рост человека 1,8 м и расстояние 2,0 м - все это скаляры или количества без указания направление.