Site Loader

Содержание

Вектор противоположный данному — Энциклопедия по машиностроению XXL

Линиям Маха в общем случае присуще и другое свойство, аналогичное тому, которое было отмечено ранее для прямолинейной сетки они составляют в каждой точке равные по абсолютной величине и противоположные по знаку углы с вектором скорости данной точки. Для того чтобы обнаружить это, вычислим тангенсы углов наклона касательных к двум линиям Маха, исходящим пз какой-либо точки, т. е. решим уравнение (38) относительно ах  [c.405]
В противоположную сторону,—отрицательными. Если сумма векторов-моментов данных пар равна нулю, то такие пары уравновешиваются.  [c.360]

Полагая, что во всех исследуемых положениях лопатки насоса вектор касательной составляющей абсолютного уск >ения направлен в сторону движения точки М, а вектор относительного ускорения — по радиусу 0 М ротора в направлении от точки М к центру 0, воспользуемся методом проекций векторного уравнения на оси координат.

Если в результате рещения модуль какого-либо из этих ускорений получит отрицательное значение, то это значит, что действительное направление данного вектора противоположно принятому.  [c.176]

По своей структуре результаты измерений профилей распределения составляющих вектора скорости качественно сходны во многих исследованиях [146, 184, 208, 236], о чем можно судить по данным рис. 3.5. Составляющие скорости выражены в относительных величинах как отношение к средней скорости истечения струи газа на выходе из соплового ввода V [184]. Эпюры распределения окружной и осевой составляющих скоростей по характеру практически не отличаются от приведенных в [208]. Некоторое расхождение наблюдается в эпюрах распределения радиальной составляющей вектора скорости. В периферийных слоях радиальная составляющая направлена к стенке камеры энергоразделения, а в центральных слоях — к оси. Поверхность смены направления радиальной компоненты на противоположное совпадает с радиусом  

[c. 107]

Знак минус показывает, что вектор ав имеет направление, противоположное сГд (вращение коромысла СВ из данного положения замедленное).  [c.144]

Напомним, что знак направляющего косинуса определяется знаком числителя. Если со и Е имеют одинаковые знаки (как в данной задаче), то тело вращается ускоренно и направление касательных ускорений его точек совпадает с направлением их скоростей, если же знаки со п к различны, то вращение замедленное и векторы касательных ускорений и скоростей точек направлены в противоположные стороны.  

[c.176]

Затем переместим пару (/ , — 1) в ее плоскости таким образом, чтобы сила —Rl была приложена в точке О и направлена по одной прямой с главным вектором R, но в противоположную сторону. В данном случае, как это следует из рис. 78, вектор Lд показывает, что сила / 1 располагается справа от точки О. Тогда на тело в точке О будут действовать две силы одна из них равна главному вектору R, а другая (—Rl) равна вектору —R.

Так как обе эти силы действуют на тело по одной прямой, то они взаимно уравновешиваются.  [c.76]


Тензоры первого ранга (N=1) имеют в трехмерном пространстве компоненты п=3 =3, оии называются векторами и представляют величины, которые характеризуются как числовым значением, так и направлением. При мерами векторов могут служить сила, скорость, ускорение и т. д. Графически вектор изображается направленным прямолинейным отрезком, длина которого в масштабе соответствует значению вектора или его модулю. Векторы обозначаются строчными буквами с черточкой вверху, например а, Б и т. д. Модули векторов означаются, как скаляры, т. е. а =а, 151=6 и т. д. Отрицательным по отношению к данному называется вектор с тем же модулем, но противоположно направленный. Единичным вектором (ортом) называется вектор, длина которого равна единице. Единичные векторы обозначим крышечкой над буквой, например й, S, д.  
[c.7]

Если, например, неинерциальная система отсчета движется поступательно (по отношению к инерциальной системе отсчета), то в этой системе на свободную частицу действует только сила (2. 20), направление которой противоположно ускорению ао данной системы отсчета. Вспомним, как при резком торможении вагона сила инерции бросает нас вперед, т. е. в сторону, противоположную вектору ао.  

[c.50]

Силы Rl и R как равные и противоположно направленные взаимно уравновешены, и их отбрасываем. Оставшаяся сила R, равная по величине главному вектору, приложенная в точке О1, представляет собой равнодействующую данных сил.  [c.57]

Обозначим через Пт проекцию вектора скорости на направление касательной к траектории. Очевидно, что по абсолютной величине равно численной величине скорости о что же касается знака Пг, то Пт положительно, если направление движения в данный момент совпадает с направлением положительного отсчета дуг ст по траектории, и отрицательно в противоположном случае. Будем иметь  

[c.187]

Сложив по правилу параллелограмма силы/ 1 и fa приложенные в точке А, получим равнодействующую / Точно так же, сложив силы и Яа, приложенные в точке В, получим равнодействующую / Силы Я и Я равны по модулю, параллельны (вследствие равенства и параллельности соответствующих сторон параллелограмма сил) и направлены в противоположные стороны. Таким образом, система двух данных пар (Я1, Я/) и (Яа, Я а) приводится к одной равнодействующей паре (Я, Я0> лежащей в некоторой плоскости Я, несовпадающей ни с одной из плоскостей Я1 и Яа. Найдем вектор-момент т пары (Я, R ). Так как Я=Я1- -Я2, а вектор-момент всякой пары, в том числе и пары (Я, Я ), равен вектору-моменту одной из ее сил относительно точки приложения другой силы, то  

[c.171]

Полученное направление Жо» и формула (а) показывают, что вектор (Од в данном случае направлен в сторону, противоположную  [c.723]

Действительно, из рис. 10.6 видно, что векторы vo и [ о, г ,] направлены в противоположные стороны, а модули их равны, как показывает формула (10.3). Итак, скорость точки С фигуры в данный момент равна нулю. Эта точка плоской фигуры (подвижной плоскости О х у ) называется мгновенным центром скоростей.  

[c.196]

Здесь Г — по-прежнему циркуляция скорости, взятая по любому контуру, охватывающему данный единичный профиль. Таким образом, можем сформулировать следующую теорему при обтекании единичного профиля потенциальным потоком равнодействующая сил, приложенных к профилю, равна произведению плотности и скорости набегающего потока на значение циркуляции Г вокруг профиля. Для отыскания направления равнодействующей, являющейся в этом случае подъемной силой, нужно вектор скорости повернуть на угол л/2 в сторону, противоположную направлению циркуляции.  [c.12]

Напомним правило знаков для напряжений. Нормальное растягивающее напряжение считается положительным, сжимающее — отрицательным. Знак касательного напряжения связан с направлением осей координат. Для определения знака т служит правило внешней нормали если направление внешней нормали данной площадки совпадает (противоположно) с направлением оси координат, то направление вектора положительного касательного напряжения на площадке также совпадает (противоположно) с соответствующей осью. На рис. б показаны положительные напряжения т на гранях элемента.

Противоположные направления т на гранях при тех же направлениях осей будут отрицательны. Следует помнить, что формулы теории напряженного состояния в точке, в частности и формулы (а), дают знак напряжений в осях, повернутых так, чтобы ось г совпадала с внешней нормалью рассматриваемой  
[c.43]


В отличие от идеального кристалла, в кристалле с дислокациями процесс скольжения протекает не путем одновременного перемещения всех атомов в плоскости скольжения, а только небольших групп, что соответствует движению дислокаций. Легкость перемещения дислокаций объясняется тем, что потенциальная энергия кристалла в зоне дислокаций выше, чем энергия в зонах, где дислокация отсутствует, поэтому напряжение, необходимое для осуществления сдвига, значительно меньше, чем для бездислокационного металла. Так как одна дислокация приходится на 10 атомов, то общее число смещенных атомов при деформации металла будет большое. Схема сдвига в кристалле, обусловленного последовательным перемещением дислокации при приложении силы Р, дана на рис.
56. Возникшая у одной грани кристалла дислокация (рис. 56, б) перемещается вдоль плоскости скольжения АА (рис. 56, в) к противоположной стороне кристалла, образуя на поверхности ступеньку (рис. 56, г). При этом верхняя половина кристалла смещается относительно нижней на расстояние, равное вектору Бюргерса. Упрочнение при пластической деформа-  [c.78]

Необходимое и достаточное условие динамического равновесия в данное мгновение времени сил и пар сил, приложенных к некоторому механизму или мащине, состоит в статическом равновесии сил и пар сил, приложенных к повернутому вокруг полюса в направлении, противоположном вращению стрелки часов, на угол л/2 плану скоростей, рассматриваемому как жесткий рычаг, в изображающих точках которого приложены векторы сил, а к изображающим звенья отрезкам которого — приведенные к плану скоростей пары сил .  

[c.89]

Тепловой поток. Тепло самопроизвольно переносится только в сторону убывания температуры. Количество тепла, переносимого через какую-либо поверхность в единицу времени, называется тепловым потоком Q. Тепловой поток, отнесенный к единице поверхности, называется плотностью теплового потока, или удельным тепловым потоком, или тепловой нагрузкой поверхности q. Если тепловой поток отнесен к единице изотермической поверхности, то величина q является вектором, направление которого совпадает с направлением распространения тепла в данной точке и противоположно направлению вектора температурного градиента (рис. 1-2).  [c.9]

Если бы Vij была функцией разности других векторов, связанных с материальными точками, например разности их скоростей или (беря пример из современной физики) внутренних кинетических моментов — спинов , —то силы были бы равными и противоположными, но не лежали бы на прямой, соединяющей две данные частицы.  [c.20]

Определение скользящего вектора. Векторы эквивалентные и прямо противоположные. Скользящим вектором, в отличие от вектора свободного, называется вектор, лежащий на данной прямой последняя называется основанием вектора. Два скользящих вектора равной длины и одинакового направления, лежащие на общем основании, носят название эквивалентных, или равносильных. Два скользящих вектора равной длины, лежащие на одном и том же  [c.12]

Две системы скользящих векторов, у которых главные векторы и главные моменты противоположны для любого полюса, называются системами, прямо противоположными друг другу. Чтобы это обстоятельство имело место, необходимо и достаточно, чтобы таким свойством обладали главный вектор и главный момент для одного какого-либо полюса. Если в данной системе векторов все векторы заменим прямо противоположными, то, очевидно, новая система векторов будет прямо противоположна прежней.  [c.25]

При графическом изображении комплексных чисел на плоскости выражение изображается вектором, который вращается в положительном направлении с угловой скоростью vw. Аналогично представляется вектором, вращающимся в противоположном направлении. Если сила Sv дана функцией  [c. 135]

Знак плюс для w ba показывает, что направление вектора цувл выбрано правильно. Кулиса III в данный момент имеет ускоренное вращение, так как Шв л имеет то же направление, что и Vba Точка В вдоль прорези движется замедленно, так как относительное движение прямолинейное и Wg и Уд, направлены в противоположные стороны.  [c.271]

Решение. Вода течет по каналу, меняя направление и величину своей скорости. Механическое движение воды не исчезает н не возникает вновь, меняется лишь вектор скорости. Требуется определить горизонтальную составляюн1ую реакции, которую вода оказывает па стенки канала. Правильнее было бы назвать эту активную силу давлением воды па стенки канала. Все данные этой задачи относятся к иоде, и мы будем определять горизонтальную составляющую реакции, оказываелюй стенками канала на ио,цу. Эта сила равна и противоположна искомой силе. Система единиц- (Л4.  [c.304]

Вектор S, равный по величине произведению массы точки на ее ускорение и направленный в сторону, противоположную ускорению, называется силой инерции материальной точки и считается приложенным к этой точке. Представление о силах инерции будет расширено в гл. XXX в связи с рассмотрением динамики относительного движения. Сейчас удовольствуемся принятым формальным определением силы инерции и заметим, что в результате такого подхода уравнение динамики (2) свелось к уравнению равновесия (19) материальной точки под действием приложенной силы и силы инерции. Изложенный прием сведения задачи динамики к задаче статики лежит в основе метода кинетостатики, который будет в более общем виде изложен в гл. XXVIII. По своей сути метод этот относится к первой задаче динамики. Как выяснится из следующих примеров, данный метод особенно полезен при рассмотрении движений в естественной форме.  [c.22]


Формулы (8.6) и (8.10) определяют алгебраические величины угловой скорости и углового ускорения. Можно доказать, что угловая скорость и- угловое ускорение являются величинами векторными (рис. 1.104). Вращательное движение твердого тела в данный момент времени определяется вектором угловой скорости (й и вектором углового ускорения е. Вектор о направлен по оси вращения таким обррзом, что с его конца направление вращения наблюдается против движения часовой стрелки. Модуль этого вектора равен модулю производной угла поворота по времени 1 фМ I. Вектор углового ускорения е, так же как и ш, направлен по оси вращения. Если вращение ускоренное, то направления 0) и е совпадают, если замедленное — противоположны. Модуль вектора е равен модулю производной от угловой скорости по времени или модулю второй производной от угла поворота  [c.112]

Диэлектрики, в силу того, что свободных носителей заряда в них мало, состоят по сути из связанных заряженных частиц положительно заряженных ядер и обращающихся вокруг них электронов в атомах, молекулах и ионах, а также упруго связанных разноименных ионов, )асположенных в узлах решетки ионных кристаллов. Толяризация диэлектриков — упорядоченное смещение связанных зарядов под действием внешнего электрического поля (положительные заряды смещаются по направлению вектора напряженности поля , а отрицательные— против него). Смещение / невелико и прекращается, когда сила электрического поля, вызывающая движение зарядов относительно друг друга, уравновешивается силой взаимодействия между ними. В результате поляризации каждая молекула или иная частица диэлектрика становится электрическим диполем — системой двух связанных одинаковых по значению и противоположных по знаку зарядов q, Кл, расположенных на расстоянии I, м, друг от друга, причем q — это либо заряд иона в узле кристаллической решетки, либо эквивалентный заряд системы всех положительных или системы всех отрицательных зарядов поляризующейся частицы. Считают, что в результате процесса поляризации в частице индуцируется электрический момент p=ql, Кл-м. У линейных диэлектриков (их большинство) между индуцируемым моментом и напряженностью электрического поля , действующей на частицу, существует прямая пропорциональность р = аЕ. Коэффициент пропорциональности а, Ф-м , называют поляризуемостью данной частицы. Количественно интенсивность поляризации определяется поляризованно-стью Р диэлектрика, которая равна сумме индуцированных электрических моментов всех N поляризованных частиц, находящихся в единице объема вещества  [c. 543]

Пусть тело обладает плоскостью упругой симметрии, с которой совместим координатную плоскость х х . Это означает, что если направление оси Ха изменить на противоположное, т. е. сделать замену координат ж = Xi, д = Xj, х з = —Хз, то упругий потенциал W (ец), не изменится. Поскольку при данной замене координат компоненты Ml и 2 вектора перемещения не меняются, а компонента з изменяет знак, т. е. u[ = ui, = и = —и , то в этом случае у компонент 8f/тензора деформации, для которых индекс 3 фигурйрует один раз, изменится знак, а остальные компоненты тензора деформации останутся неизменными  [c.58]

Определение явления концентрационной диффузии былс дано в 3.2. Анализируя первый член формулы (3.6.19), заключаем, что вектор плотности потока молекул в случае концентрационной диффузии направлен в сторону, противоположную градиенту концентрации, т. е. молекулы данного компонента перемещаюжя в область, где концентрация этого компонента понижена.  [c. 121]

Согласно теореме об эквивалентных системах сил получим, что J 2). Главные векторы этих систем одинаковы, главные моменты относительно точки С также равны, так как главный момент Й равен нулю, и главный момент двух сил и J 2 также равен нулю [см. (4.1)], то Md i) + Мс( г) = = Р АС — PiB = 0. При одинаковом направлении сил R = Pi + Р2, при противоположном К = Рг + где Р2 Ф Pi. Следовательно, две параллельные силы, направленные в одну сторону, имеют равнодействующую, параллельную этим силам, направленную в ту же сторону, равную по модулю арифметической сумме модулей слагаемых сил и проходящей через точку, которая делит внутренним образом отрезок между точками приложения данных сил на части, обратно пропорциональные модулям этих сил. Две неравные по модулю и противоположно направленные параллельные силы имеют равнодействующую, параллельную этим силам, направленную в сторону большей силы, равную по модулю абсолютному значению алгебраической суммы модулей слагаемых сил и делящей внешним образом отрезок между точками приложения данных сил на части, обратно пропорциональные модулям этих сил.[c.61]

Накопление случайного необратимого скольжения с различными знаками [11 должно привести к смещениям обоих знаков. Таким образом можно объяснить рельеф свободной поверхности УПС (рис. 4, б), но в то же время нельзя объяснить одинаковое направление смещений во всех УПС. Двия ение винтовой дислокации путем двойного поперечного скольжения в одном цикле дает смещение (Ь) (Ь — вектор Бгоргерса) в описанном объеме. Избыток винтовых дислокаций одинакового знака в одной УПС привел бы к микроскопическому смещению УПС с экструзией иа одной поверхности образца и с интрузией на другой стороне (рис. 4, в). До сих пор такие корреляции между экструзиями и интрузиями на противоположных свободных поверхностях УПС не исследованы. Однако известно, что существует хорошее согласие между шириной УПС внутри объема и шириной экструзий на поверхности [11]. Но такая модель также не может объяснить одинакового направления смещения во всех УПС (см. рис. 2). Имеются данные о высокой плотности избыточных вакансий в. металлах при усталости, особенно в УПС с высокой местной пластической ялшлитудой [9]. Такая избыточная концентрация вакансий связана с расширением объема. В эксперименте с постоянной амплитудой деформации рост объема УПС привел бы к экструзиям на поверхности образца ( swelling ) [10] и смещениям внутри его от центра к  [c.161]

Формула 2Л9) в соответствии с геометрическим смыслом векторно-скалярного произведения показывает, что взаимный момент двух векторов численно равен ушестерённому объёму тетраэдра, построенного на данных векторах как на противоположных рёбрах при этом объёму тетраэдра приписьгеается знак в прежде указанном смысле ( 5, а).  [c.18]

Теоремы Шаля и Мёбиуса. Замена данной системы векторов двумя векторами может быть сделана бесчисленным множеством способов. В самом деле, когда пару (Р, Р ) мы заменяем ей эквивалентною, то можем взять произвольную длину плеча Л, лишь бы при соответственном изменении модуля вектора Р произведение Ph сохранило свою величину кроме того, пара может быть повёрнута на произвольный угол в своей плоскости наконец, полюс может быть взят в любой точке, по интересно, что какими бы двумя векторами Р и Q мы ни заменили данную систему, взаимный момент тога (P,Q) остаётся величиной постоянной, а так как по 11 взаимный момент численно равняется ушестерённому объёму тетраэдра, построенного на Р и Q, как на противоположных рёбрах, то и этот объём остаётся постоянным. Чтобы доказать высказанное положение, называемое теоремою Шаля ( hasles), положим, что моменты рассматриваемых векторов относительно некоторого центра соответственно равны L(P) и L(Q)- По формуле (2.21) взаимный момент векторов Р и Q равен  [c.27]



Действия над векторами — презентация онлайн

1. Тема занятия: Действия над векторами

2. Понятие вектора

• Рассмотрим произвольный
отрезок. На нем можно указать
два направления.
Чтобы выбрать одно из
направлений, один конец отрезка
назовем НАЧАЛОМ, а другой –
КОНЦОМ и будем считать, что
отрезок направлен от начала к
концу.
• Определение.
Отрезок, для
которого указано,
какой из его концов
считается началом, а
какой — концом,
называется
направленным
отрезком или
вектором.

3. Понятие вектора

• На рисунках вектор изображается отрезком со
стрелкой
АВ
А
В
Вектор АВ, А – начало вектора, В – конец.
E
F
CD
D
L
K
C
EF
LK

4. Понятие вектора

• Векторы часто обозначают и одной строчной латинской
буквой со стрелкой над ней:
b
c
a
• Любая точка плоскости также является вектором, который
называется НУЛЕВЫМ. Начало нулевого вектора совпадает с
его концом:
М
ММ = 0.

5. Понятие вектора

• Длиной или модулем ненулевого вектора АВ
называется длина отрезка АВ:
АВ = а = АВ = 5
с
В
a
с = 17
А
• Длина нулевого вектора считается равной нулю:
ММ = 0.
М

6. Коллинеарные векторы

а
• Ненулевые векторы
называются
c
коллинеарными,
если они лежат либо на
одной прямой, либо на
параллельных прямых.
Коллинеарные векторы
могут быть
сонаправленными или
противоположно
направленными.
Нулевой вектор
считается коллинеарным
любому вектору.
b
m
d
s
n
L

7.

Равенство векторов а
• Определение.
Векторы
называются
равными, если
они сонаправлены
и их длины равны.
а = b , если
1) а b
2) а = b
c
b
d
m
f
n
s

8. Откладывание вектора от данной точки

• Если точка А – начало вектора а , то говорят,
что вектор а отложен от точки А.
А
а
• Утверждение: От любой точки М можно
отложить вектор, равный данному вектору а,
и притом только один.
М
а
Равные векторы, отложенные от разных точек, часто
обозначают одной и той же буквой

9. Сумма двух векторов

Правило треугольника
Пусть а и b – два вектора. Отметим произвольную
точку А и отложим от этой точки АВ = а, затем от
точки В отложим вектор ВС = b.
АС = а + b
b
B
a
a
A
b
C

10. Сложение векторов

а
Дано :
а , b векторы
Найти :
c a b
b
O
c a b
Правило треугольника

11.

Законы сложения векторов 1) а+b=b+a (переместительный закон)
Правило параллелограмма
Пусть а и b – два вектора. Отметим
произвольную точку А и отложим от этой точки
АВ = а, затем вектор АD = b. На этих векторах
построим параллелограмм АВСD.
АС = АВ + BС = а+b
a
D
C
АС = АD + DС = b+a
b
a
2) (а+b)+c=a+(b+c)
(сочетательный закон)
b
A
b
a
B

12. Сложение векторов

а
Дано :
а , b векторы
Найти :
c a b
b
O
c a b
Правило параллелограмма

13. Сумма нескольких векторов

Правило многоугольника
s=a+b+c+d+e+f
m
d
c
n
r
b
e
a
f
s
k
O
p
k+n+m+r+p=0

14. Противоположные векторы

Пусть а – произвольный ненулевой вектор.
Определение. Вектор b называется противоположным
вектору а, если а и b имеют равные длины и
противоположно направлены.
a = АВ, b = BA
a
b
B
c
-c
А
Вектор, противоположный вектору c, обозначается так: -c.
Очевидно, с+(-с)=0 или АВ+ВА=0

15. Вычитание векторов

Определение. Разностью двух векторов а и b
называется такой вектор, сумма которого с вектором b
равна вектору а.
Теорема. Для любых векторов а и b справедливо
равенство а — b = а + (-b).
Задача. Даны векторы а и b. Построить вектор а – b.
b
а
-b
-b
а
a-b

16. Вычитание векторов

а
Дано :
а , b векторы
Найти :
c a b
b
O
c a b

17. Умножение вектора на число

Определение. Произведением ненулевого
вектора а на число k называется такой вектор b, длина
которого равна вектору k а , причем векторы а и b
сонаправлены при k≥0 и
противоположно направлены при k
а
-2a

Произведением нулевого вектора на любое число считается
нулевой вектор.
Для любого числа k и любого вектора а векторы а и
ka коллинеарны.

18. Законы умножения вектора на число

Для любых чисел k, n и любых векторов а, b
справедливы равенства:
1)
2)
3)
(kn) а = k (na) (сочетательный закон)
(k+n) а = kа + na (первый распределительный закон)
K ( а+ b ) = kа + kb (второй распределительный закон)
Свойства действий над векторами позволяют в выражениях,
содержащих суммы, разности векторов и произведения векторов
на числа, выполнять преобразования по тем же правилам, что и в
числовых выражениях. Например,
p = 2( a – b) + ( c + a ) – 3( b – c + a ) =
= 2a – 2b + c + a – 3b + 3c – 3a = — 5b + 4c

19. Задания для закрепления

Решить № 401, 402, 403

20. Спасибо за занятие

Хорошего Вам дня!!!!!

Векторы. Откладывание вектора от данной точки

1. Векторы

2. Откладывание вектора от данной точки

Если точка А – начало вектора а , то говорят,
что вектор а отложен от точки А.
А
а
Утверждение: От любой точки М можно
отложить вектор, равный данному вектору а,
и притом только один.
М
а
Равные векторы, отложенные от разных точек, часто
обозначают одной и той же буквой

3. Сумма двух векторов

Рассмотрим пример:
Петя из дома(D) зашел к Васе(B), а потом поехал
в кинотеатр(К).
B
D
K
В результате этих двух перемещений, которые
можно представить векторами DB и BK, Петя
переместился из точки D в К, т.е. на вектор DК:
DK=DB+BK.
Вектор DK называется суммой векторов DB и BK.

4. Сумма двух векторов

Правило треугольника
Пусть а и b – два вектора. Отметим произвольную
точку А и отложим от этой точки АВ = а, затем от
точки В отложим вектор ВС = b.
АС = а + b
b
B
a
a
A
b
C

5. Законы сложения векторов

1) а+b=b+a (переместительный закон)
Правило параллелограмма
Пусть а и b – два вектора. Отметим
произвольную точку А и отложим от этой точки
АВ = а, затем вектор АD = b. На этих векторах
построим параллелограмм АВСD.
АС = АВ + BС = а+b
a
D
C
АС = АD + DС = b+a
b
a
2) (а+b)+c=a+(b+c)
(сочетательный закон)
b
A
b
a
B

6. Сумма нескольких векторов

Правило многоугольника
s=a+b+c+d+e+f
m
d
c
n
r
b
e
a
f
s
k
O
p
k+n+m+r+p=0

7. Противоположные векторы

Пусть а – произвольный ненулевой вектор.
Определение. Вектор b называется противоположным
вектору а, если а и b имеют равные длины и
противоположно направлены.
a = АВ, b = BA
a
b
B
c
-c
А
Вектор, противоположный вектору c, обозначается так: -c.
Очевидно, с+(-с)=0 или АВ+ВА=0

8. Вычитание векторов

Определение. Разностью двух векторов а и b
называется такой вектор, сумма которого с вектором b
равна вектору а.
Теорема. Для любых векторов а и b справедливо
равенство а — b = а + (-b).
Задача. Даны векторы а и b. Построить вектор а – b.
b
а
-b
-b
а
a-b

9. Умножение вектора на число

Определение. Произведением ненулевого
вектора а на число k называется такой вектор b, длина
которого равна вектору k а , причем векторы а и b
сонаправлены при k≥0 и
противоположно направлены при k
а
-2a

Произведением нулевого вектора на любое число считается
нулевой вектор.
Для любого числа k и любого вектора а векторы а и
ka коллинеарны.

10. Умножение вектора на число

Для любых чисел k, n и любых векторов а, b
справедливы равенства:
1)
2)
3)
(kn) а = k (na) (сочетательный закон)
(k+n) а = kа + na (первый распределительный закон)
K ( а+ b ) = kа + kb (второй распределительный закон)
Свойства действий над векторами позволяют в выражениях,
содержащих суммы, разности векторов и произведения векторов
на числа, выполнять преобразования по тем же правилам, что и в
числовых выражениях. Например,
p = 2( a – b) + ( c + a ) – 3( b – c + a ) =
= 2a – 2b + c + a – 3b + 3c – 3a = — 5b + 4c

п.2.4 Вычитание векторов. Разработка методики обучения учащихся по теме «Векторы на плоскости»

Похожие главы из других работ:

Методические приемы формирования вычислительных навыков письменного сложения и вычитания в начальном курсе математики

1.1 Сложение и вычитание с позиций аксиоматической теории и теоретико-множественного подхода к построению множества целых неотрицательных чисел

Перед тем, как перейти к рассмотрению методики изучения приемов письменного сложения и вычитания в начальных классах, необходимо выявить математические основы изучения арифметических действий, установить их важнейшие законы и правила. ..

Процесс изучения письменных приёмов сложения и вычитания в математике

2.1 Характеристика ошибок, допускаемых учениками, при выполнении письменных заданий на сложение и вычитание

Одна из задач математической подготовки младших школьников — формирование вычислительных навыков. Это сложный и длительный процесс, эффективность которого во многом зависит от индивидуальных особенностей ребёнка…

Разработка методики обучения учащихся по теме «Векторы на плоскости»

п.1.2 Равенство векторов

Прежде чем дать определение равных векторов, обратимся к примеру. Рассмотрим движение тела, при котором все его точки движутся с одной и той же скоростью и в одном и том же направлении. Скорость каждой точки М тела является векторной величиной…

Разработка методики обучения учащихся по теме «Векторы на плоскости»

§ 2. Сложение и вычитание векторов

Разработка методики обучения учащихся по теме «Векторы на плоскости»

п.
2.1 Сумма двух векторов

Все сказанное пока еще не дает понятие вектора достаточно содержательным и полезным. Большую содержательность и богатую возможность приложений понятие вектора получает тогда…

Разработка методики обучения учащихся по теме «Векторы на плоскости»

п.2.2 Законы сложения векторов. Правило параллелограмма

Теорема. Для любых векторов , и справедливы равенства: 1. +=+ (переместительный закон) 2. (+) + =+ (+) (сочетательный закон) Докажем это. 1. Рассмотрим случай, когда векторы и неколлинеарны…

Разработка методики обучения учащихся по теме «Векторы на плоскости»

п.2.3 Сумма нескольких векторов

Сложение нескольких векторов производится следующим образом: первый вектор складывается со вторым, затем их сумма складывается с третьим вектором и т.д. Из закона сложения векторов следует, что сумма нескольких векторов не зависит от того…

Разработка методики обучения учащихся по теме «Векторы на плоскости»

п.
2.2 Равенство векторов

Договорившись, что такое направленный отрезок, можно дать определение равных направленных отрезков. Направленные отрезки называют равными…

Разработка методики обучения учащихся по теме «Векторы на плоскости»

п.2.4 Сумма векторов

Остановимся на трудностях, которые возникают при знакомстве со свойствами суммы векторов. Если ученики, работая по учебнику Погорелова, научились пользоваться приведенным здесь формальным и поэтому весьма трудным определением суммы векторов…

Разработка методики обучения учащихся по теме «Векторы на плоскости»

п.2.6 Вычитание векторов

Урок следует начать с повторения прошлых тем: сложение векторов, откладывание вектора от данной точки (5-7 минут), а затем перейти к основной теме урока — вычитание векторов. Основываясь на материале школьного учебника…

Разработка методики обучения учащихся по теме «Векторы на плоскости»

п.2.8 Скалярное произведение векторов

В учебнике Л. С. Атанасяна скалярное произведение векторов определяется как произведение модулей векторов па косинус угла между ними, а затем доказывается теорема о том, как можно выразить скалярное произведение через координаты векторов…

Разработка методики обучения учащихся по теме «Векторы на плоскости»

п.2.9 Свойства скалярного произведения векторов

Полезно предложить записать, какими свойствами обладает произведение чисел и указать, какими из этих свойств может обладать скалярное произведение векторов…

Разработка методики обучения учащихся по теме «Векторы на плоскости»

п.2.11 Использование векторов при знакомстве с тригонометрическими функциями

Учитывая, что тригонометрические функции к моменту изучения векторов рассмотрены на примере прямоугольных треугольников, данный материал можно использовать как в качестве дополнительного изучения более сильными учениками…

Векторы в математике — определение и основные понятия с примерами

Величины, которые полностью определяются своим численным значением, называются скалярными. Примерами скалярных величин являются: площадь, длина, объем, температура, работа, масса.

Другие величины, например сила, скорость, ускорение, определяются не только своим числовым значением, но и направлением. Такие величины называют векторными. Векторная величина геометрически изображается с помощью вектора.

Вектор — это направленный прямолинейный отрезок, т. е. отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление. Если А — начало вектора, а В — его конец, то вектор обозначается символом или . Вектор (у него начало в точке В, а конец в точке А) называется противоположным вектору . Вектор, противоположный вектору , обозначается —.

Длиной или модулем вектора называется длина отрезка и обозначается ||. Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым вектором и обозначается . Нулевой вектор направления не имеет.

Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором и обозначается через . Единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора , называется ортом вектора и обозначается .

Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых; записывают Коллинеарные векторы могут быть направлены одинаково или противоположно.

Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору. £5] Два вектора называются равными , если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые длины. Из определения равенства векторов следует, что вектор можно переносить параллельно самому себе, а начало вектора помещать в любую точку О пространства.


На рисунке 1 векторы образуют прямоугольник. Справедливо равенство но Векторы — противоположные,

Равные векторы называют также свободными. Три вектора в пространстве называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях. Если среди трех векторов хотя бы один нулевой или два любые колли-неарны, то такие векторы компланарны.

Линейные операции над векторами

Под линейными операциями над векторами понимают операции сложения и вычитания векторов, а также умножение вектора на число.

Пусть — два произвольных вектора. Возьмем произвольную точку О и построим вектор От точки А отложим вектор Вектор , соединяющий начало первого вектора с концом второго, называется суммой векторов : (см. рис. 2).

Это правило сложения векторов называют правилом треугольника. Сумму двух векторов можно построить также по правилу параллелограмма (см. рис. 3).

На рисунке 4 показано сложение трех векторов

Под разностью векторов понимается вектор такой, что (см. рис. 5).

Отметим, что в параллелограмме, построенном на векторах , одна направленная диагональ является суммой векторов , а другая — разностью (см. рис. 6).

Можно вычитать векторы по правилу: , т. е. вычитание векторов заменить сложением вектора с вектором, противоположным вектору

Произведением вектора на скаляр (число) называется вектор , который имеет длину , коллинеарен вектору , имеет направление вектора , если и противоположное направление, если . Например, если дан вектор, то векторы будут иметь вид

Из определения произведения вектора на число следуют свойства этого произведения:

1) если Наоборот, если , то при некотором верно равенство

2) всегда , т. е. каждый вектор равен произведению его модуля на орт.

Линейные операции над векторами обладают следующими свойствами:

Эти свойства позволяют проводить преобразования в линейных операциях с вектором так, как это делается в обычной алгебре: слагаемые менять местами, вводить скобки, группировать, выносить за скобки как скалярные, так и векторные общие множители.

Проекция вектора на ось

Пусть в пространстве задана ось l, т. е. направленная прямая. Проекцией точки М на ось l называется основание перпендикуляра , опущенного из точки на ось.

Точка есть точка пересечения оси l с плоскостью, проходящей через точку М перпендикулярно оси (см. рис. 7).

Если точка М лежит на оси l , то проекция точки М на ось совпадает с М.

Пусть — произвольный вектор . Обозначим через проекции на ось l соответственно начала А и конца В вектора и рассмотрим вектор

Проекцией вектора на ось l называется положительное число , если вектор и ось l одинаково направлены и отрицательное число —если вектор и ось l противоположно направлены (см. рис. 8). Если точки совпадают , то проекция вектора равна 0.

Проекция вектора на ось l обозначается так: . Если или , то .

Угол между вектором и осью l (или угол между двумя векторами) изображен на рисунке 9. Очевидно,

Рассмотрим некоторые основные свойства проекций. Свойство 1. Проекция вектора на ось l равна произведению модуля вектора на косинус угла между вектором и осью, т. е.

Следствие:

Проекция вектора на ось положительна (отрицательна), если вектор образует с осью острый (тупой) угол, и равна нулю, если этот угол — прямой.

Следствие:

Проекции равных векторов на одну и ту же ось равны между собой.

Свойство 2. Проекция суммы нескольких векторов на одну и ту же ось равна сумме их проекций на эту ось.

Пусть, например, Имеем т. е. (см. рис. 11).

Свойство 3. При умножении вектора на число его проекция на ось также умножается на это число, т. е.

При имеем

(свойство 1)

При :

Свойство справедливо, очевидно, и при .

Таким образом, линейные операции над векторами приводят к соответствующим линейным операциям над проекциями этих векторов.

Разложение вектора по ортам координатных осей. Модуль вектора. Направляющие косинусы

Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат Oxyz. Выделим на координатных осях Ох, Оу и Oz единичные векторы (орты), обозначаемые соответственно (см. рис. 12).

Выберем произвольный вектор а пространства и совместим его начало с началом координат:

Найдем проекции вектора на координатные оси. Проведем через конец вектора плоскости, параллельные координатным плоскостям. Точки пересечения этих плоскостей с осями обозначим соответственно через Получим прямоугольный параллелепипед, одной из диагоналей которого является вектор . Тогда По определению суммы нескольких векторов находим А так как то

Но

Обозначим проекции вектора на оси Ох, Оу и Oz соответственно через

Тогда из равенств (5.1) и (5.2) получаем

Эта формула является основной в векторном исчислении и называется разложением вектора по ортам координатных осей.

Числа называются координатами вектора , т. е. координаты вектора есть его проекции на соответствующие координатные оси.

Векторное равенство (5.3) часто записывают в символическом виде:

Зная проекции вектора , можно легко найти выражение для модуля вектора. На основании теоремы о длине диагонали прямоугольного параллелепипеда можно написать

Отсюда

т. е. модуль вектора равен квадратному корню из суммы квадратов его проекций на оси координат.

Пусть углы вектора с осями Ох, Оу и Oz соответственно равны По свойству проекции вектора на ось, имеем

Или, что то же самое,

Числа называются направляющими косинусами вектора .

Подставим выражения (5.5) в равенство (5.4), получаем

Сократив на получим соотношение

т. е. сумма квадратов направляющих косинусов ненулевого вектора равна единице.

Легко заметить, что координатами единичного вектора являются числа т. е. Итак, задав координаты вектора, всегда можно определить его модуль и направление, т. е. сам вектор.

Действия над векторами, заданными проекциями

Пусть векторы заданы своими проекциями на оси координат Ох, Оу , Oz или, что то же самое

Линейные операции над векторами

Так как линейные операции над векторами сводятся к соответствующим линейным операциям над проекциями этих векторов, то можно записать:

  1. или кратко То есть при сложении (вычитании) векторов их одноименные координаты складываются (вычитаются).
  2. или короче То есть при умножении вектора на скаляр координаты вектора умножаются на этот скаляр.
Равенство векторов

Из определения вектора как направленного отрезка, который можно передвигать в пространстве параллельно самому себе, следует, что два вектора равны тогда и только тогда, когда выполняются равенства: т. е.

Коллинеарность векторов

Выясним условия коллинеарности векторов , заданных своими координатами.

Так как то можно записать где— некоторое число. То есть

Отсюда

T.e.

Таким образом, проекции коллинеарных векторов пропорциональны. Верно и обратное утверждение: векторы, имеющие пропорциональные координаты, коллинеарны.

Координаты точки

Пусть в пространстве задана прямоугольная декартова система координат Oxyz. Для любой точки М координаты вектораназываются координатами точки М. Вектор называется радиус-вектором точки М, обозначается г, т. е. Следовательно, координаты точки — это координаты ее радиус-вектора

Координаты точки М записываются в виде М(х; у, z).

Координаты вектора

Найдем координаты вектора , если известны координаты точек — Имеем (см. рис. 13):

Следовательно, координаты вектора равны разностям соответствующих координат его конца и начала:

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике:

  1. Тождественные преобразования алгебраических выражений
  2. Функции и графики
  3. Преобразования графиков функций
  4. Квадратная функция и её графики
  5. Алгебраические неравенства
  6. Неравенства
  7. Неравенства с переменными
  8. Прогрессии в математике
  9. Арифметическая прогрессия
  10. Геометрическая прогрессия
  11. Показатели в математике
  12. Логарифмы в математике
  13. Исследование уравнений
  14. Уравнения высших степеней
  15. Уравнения высших степеней с одним неизвестным
  16. Комплексные числа
  17. Непрерывная дробь (цепная дробь)
  18. Алгебраические уравнения
  19. Неопределенные уравнения
  20. Соединения
  21. Бином Ньютона
  22. Число е
  23. Непрерывные дроби
  24. Функция
  25. Исследование функций
  26. Предел
  27. Интеграл
  28. Двойной интеграл
  29. Тройной интеграл
  30. Интегрирование
  31. Неопределённый интеграл
  32. Определенный интеграл
  33. Криволинейные интегралы
  34. Поверхностные интегралы
  35. Несобственные интегралы
  36. Кратные интегралы
  37. Интегралы, зависящие от параметра
  38. Квадратный трехчлен
  39. Производная
  40. Применение производной к исследованию функций
  41. Приложения производной
  42. Дифференциал функции
  43. Дифференцирование в математике
  44. Формулы и правила дифференцирования
  45. Дифференциальное исчисление
  46. Дифференциальные уравнения
  47. Дифференциальные уравнения первого порядка
  48. Дифференциальные уравнения высших порядков
  49. Дифференциальные уравнения в частных производных
  50. Тригонометрические функции
  51. Тригонометрические уравнения и неравенства
  52. Показательная функция
  53. Показательные уравнения
  54. Обобщенная степень
  55. Взаимно обратные функции
  56. Логарифмическая функция
  57. Уравнения и неравенства
  58. Положительные и отрицательные числа
  59. Алгебраические выражения
  60. Иррациональные алгебраические выражения
  61. Преобразование алгебраических выражений
  62. Преобразование дробных алгебраических выражений
  63. Разложение многочленов на множители
  64. Многочлены от одного переменного
  65. Алгебраические дроби
  66. Пропорции
  67. Уравнения
  68. Системы уравнений
  69. Системы уравнений высших степеней
  70. Системы алгебраических уравнений
  71. Системы линейных уравнений
  72. Системы дифференциальных уравнений
  73. Арифметический квадратный корень
  74. Квадратные и кубические корни
  75. Извлечение квадратного корня
  76. Рациональные числа
  77. Иррациональные числа
  78. Арифметический корень
  79. Квадратные уравнения
  80. Иррациональные уравнения
  81. Последовательность
  82. Ряды сходящиеся и расходящиеся
  83. Тригонометрические функции произвольного угла
  84. Тригонометрические формулы
  85. Обратные тригонометрические функции
  86. Теорема Безу
  87. Математическая индукция
  88. Показатель степени
  89. Показательные функции и логарифмы
  90. Множество
  91. Множество действительных чисел
  92. Числовые множества
  93. Преобразование рациональных выражений
  94. Преобразование иррациональных выражений
  95. Геометрия
  96. Действительные числа
  97. Степени и корни
  98. Степень с рациональным показателем
  99. Тригонометрические функции угла
  100. Тригонометрические функции числового аргумента
  101. Тригонометрические выражения и их преобразования
  102. Преобразование тригонометрических выражений
  103. Комбинаторика
  104. Вычислительная математика
  105. Прямая линия на плоскости и ее уравнения
  106. Прямая и плоскость
  107. Линии и уравнения
  108. Прямая линия
  109. Уравнения прямой и плоскости в пространстве
  110. Кривые второго порядка
  111. Кривые и поверхности второго порядка
  112. Числовые ряды
  113. Степенные ряды
  114. Ряды Фурье
  115. Преобразование Фурье
  116. Функциональные ряды
  117. Функции многих переменных
  118. Метод координат
  119. Гармонический анализ
  120. Вещественные числа
  121. Предел последовательности
  122. Аналитическая геометрия
  123. Аналитическая геометрия на плоскости
  124. Аналитическая геометрия в пространстве
  125. Функции одной переменной
  126. Высшая алгебра
  127. Векторная алгебра
  128. Векторный анализ
  129. Скалярное произведение векторов
  130. Векторное произведение векторов
  131. Смешанное произведение векторов
  132. Операции над векторами
  133. Непрерывность функций
  134. Предел и непрерывность функций нескольких переменных
  135. Предел и непрерывность функции одной переменной
  136. Производные и дифференциалы функции одной переменной
  137. Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
  138. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
  139. Матрицы
  140. Линейные и евклидовы пространства
  141. Линейные отображения
  142. Дифференциальные теоремы о среднем
  143. Теория устойчивости дифференциальных уравнений
  144. Функции комплексного переменного
  145. Преобразование Лапласа
  146. Теории поля
  147. Операционное исчисление
  148. Системы координат
  149. Рациональная функция
  150. Интегральное исчисление
  151. Интегральное исчисление функций одной переменной
  152. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
  153. Отношение в математике
  154. Математическая логика
  155. Графы в математике
  156. Линейные пространства
  157. Первообразная и неопределенный интеграл
  158. Линейная функция
  159. Выпуклые множества точек
  160. Система координат

Вычитание векторов

Вам уже знакомы правила сложения векторов.

Чтобы сложить неколлинеарные векторы  и   по правилу треугольника, нужно от некоторой точки А отложить вектор , равный вектору . Далее от точки B отложить вектор , равный вектору . Вектор  является вектором суммы двух векторов  и .

Для сложения этих же векторов можно использовать правило параллелограмма. При этом нужно отложить от произвольной точки А векторы  и , равные векторам  и  соответственно, и построить на них параллелограмм ABCD. Тогда вектор  равен сумме векторов  и .

Для сложения нескольких векторов применяют правило многоугольника. При этом от некоторой точки последовательно откладывают векторы друг за другом, и вектором их суммы является вектор, проведённый от начала первого вектора к концу последнего.

Так же вам известны законы сложения векторов: переместительный и сочетательный.

На этом уроке поговорим о разности двух векторов. Её обозначают так .

Разностью векторов  и  называют такой вектор , сумма которого с вектором  равна вектору .

Чтобы получить представление о разности двух векторов, решим задачу.

Задача. По данным векторам  и  построить вектор .

Построение

 

 

 

.

Вектор  — искомый.

Эту задачу можно решить другим способом.

Но перед тем как его привести введём понятие вектора, противоположного данному.

Для произвольного ненулевого вектора  вектор  будет противоположным, если:

Вектор, противоположный вектору , обозначается так . И говорят «вектор минус a».

Очевидно, что сумма вектора  с противоположным ему равна нулевому вектору .

Запишем теорему о разности двух векторов.

Для любых векторов  и  справедливо равенство .

Докажем данную теорему.

Доказательство.

Что и требовалось доказать.

Опираясь на эту теорему, приведём ещё одно решение задачи на построение разности векторов .

Способ

 

Отметим произвольную точку О и от неё отложим вектор . Далее отложим от точки А вектор .

По правилу треугольника сумма .

 

А значит, пользуясь теоремой о разности двух векторов, можем сделать вывод о том, что разность векторов . И вектор  — искомый.

Итак, можем сделать вывод, что вектор разности двух векторов можно строить двумя способами.

Можно от некоторой точки О отложить векторы  и , равные векторам . При этом вектором их разности будет вектор , направленный от конца вектора-вычитаемого к концу вектора-уменьшаемого.

Так же, пользуясь теоремой о разности двух векторов, разность векторов  можно представить в виде суммы вектора .

Тогда, отложив от некоторой точки О вектор , равные вектору , а от точки А — вектор , равный вектору , по правилу треугольника получим вектор .

Он является вектором суммы вектора . И, соответственно, вектором разности векторов .

Задача. Начертить попарно неколлинеарные векторы ,  и . Построить на них векторы: , , , ,  и .

Построение.

Для начала построим векторы, противоположные данным.

Векторы являются противоположными, если их длины равны и они противоположно направлены.

Выберем точки А, B и C, от которых будем откладывать противоположные векторы.

Далее через каждую из этих точек проведём прямые параллельные векторам ,  и   соответственно.

От отмеченных точек на проведённых прямых можно изобразить векторы, равные данным, и, противоположные данным. Нам нужны те, которые противоположны векторам ,  и    соответственно.

Так мы построили векторы ,  и .

Задача. Сторона квадрата  равна . Найти  и .

Построение.

Решение.

 

По  теореме Пифагора: 

Ответ: ; .

Подведём итоги нашего урока.

Сегодня вы познакомились с понятием противоположного вектора. Противоположные векторы имеют равные длины и противоположно направлены.

Мы ввели понятие разности двух векторов. Разностью векторов ,  называют такой вектор , сумма которого с вектором    равна вектору .

Для построения вектора разности мы выделили два способа.

Можно от некоторой точки О отложить векторы  и , равные векторам  и . При этом вектором их разности будет вектор, направленный от конца вектора-вычитаемого к концу вектора-уменьшаемого.

Так же, пользуясь теоремой о разности двух векторов, разность векторов  и  можно представить в виде суммы вектора  и вектора, противоположного вектору  .

Тогда, отложив от некоторой точки О вектор , равный вектору , а от точки А — вектор , равный вектору , по правилу треугольника получим вектор .

Он является вектором суммы вектора  и вектора, противоположного вектору . И, соответственно, вектором разности векторов  и .

Теперь вы владеете не только правилами сложения, а ещё и правилом вычитания векторов.

отрицательных векторов — объяснение и примеры

Если есть отрицательные скаляры, возможно ли также иметь отрицательный вектор ? Это! На самом деле отрицательный вектор:

«Вектор, величина которого такая же, как у опорного вектора, но его направление противоположно направлению опорного вектора».

В этой статье мы обсудим следующие подтемы, связанные с отрицательными векторами:

  • Что такое отрицательный вектор?
  • Как найти отрицательный вектор

 

Что такое отрицательный вектор?

Векторы, имеющие ту же длину, что и конкретный вектор, но в противоположном направлении, называются отрицательными векторами. Отрицательный знак изменит направление вектора и сделает его отрицательным вектором. Векторы отрицательны только по отношению к другому вектору.

Например, , если вектор PQ указывает слева направо, то вектор QP будет указывать справа налево. Поскольку эти направления противоположны, мы говорим, что PQ = – QP. То есть QP является отрицательным вектором для PQ, , как показано на рисунке ниже. Важно отметить, что вектор PQ и вектор QP имеют одинаковую величину, но противоположные направления, что делает их отрицательными векторами друг друга.

Величина или длина вектора не может быть отрицательной; он может быть нулевым или положительным. Знак минус используется здесь, чтобы указать, что вектор имеет направление, противоположное опорному вектору.

Математически можно сказать, что два вектора A и B являются отрицательными друг другу, если они удовлетворяют следующим двум условиям:

A = – B вектор A” )

If

|A| = |В| (одинаковая величина) и

A ↑ и B ↓   или   A↓ и B ↑    (противоположные направления).

Еще один простой способ узнать, являются ли два вектора отрицательными значениями друг друга, — это сравнить их координаты. Если координаты векторов равны по значению, но имеют противоположные знаки, то векторы будут отрицательными друг другу. Например, рассмотрим векторы A = (ax1, ay1) и B = (bx1, by1). Мы говорим, что вектор B является отрицательным вектором A , или:

A = – B

If        

ax1 = -bx1 и ay1 = -by1.y1 = -by1.ay1

Этого критерия достаточно, чтобы показать, что B является отрицательным вектором A и наоборот.

 Как найти отрицательный вектор?

Основная идея поиска отрицательного вектора данного вектора состоит в том, чтобы найти две компоненты данного вектора (то есть величину вектора и направление), а затем найти вектор той же длины, который указывает в противоположном направлении. Два таких вектора будут отрицательными векторами друг друга.

Нахождение отрицательного вектора заданного вектора можно выполнить, поставив перед ним знак минус.Например, пусть X будет вектором. Чтобы получить отрицательный вектор X , , мы умножаем X на -1, в результате чего получается X. Помните, что величина вектора X такая же, как у вектора X .

Примеры

В этом разделе сначала будут рассмотрены различные примеры, в которых мы находим отрицательные векторы путем сравнения компонентов опорного вектора. Затем мы обсудим еще несколько примеров и их пошаговые решения, чтобы развить еще более глубокое понимание негативных векторов.

Пример 1

Учитывая вектор P = (2, 4), определить отрицательное значение P.

Решение

как направление, противоположное опорному вектору. В этом случае опорный вектор равен P, и его направление на 2 точки вправо по оси x и на 4 точки вверх по оси y. Таким образом, чтобы найти отрицательный вектор P , , мы сохраняем ту же величину и умножаем опорный вектор P на -1.Это дает нам:

P = (-2,-4)

Или

  – P = – (2, 4)

Теперь направление отрицательного вектора можно интерпретировать как 2 точки на влево по оси x и на 4 точки вниз по оси y. Это явно противоположно направлению опорного вектора P.

Пример 2

Учитывая параллелограмм ABCD на изображении ниже, определите, какие векторы равны друг другу и отрицательные друг другу.

Решение

По определению два вектора могут быть равны, только если они имеют одинаковую величину и направлены в одном направлении. В параллелограмме ABCD вектор AB параллелен вектору CD, , тогда как вектор BC параллелен вектору DA. Кроме того, вектор AB и вектор CD указывают в одном направлении. Поэтому можно сказать, что это равные векторы, т.е.e.:

AB = CD (равные векторы)

Аналогично, вектор BC и вектор DA имеют одинаковую длину, но противоположные направления. Следовательно, они отрицательны друг относительно друга, то есть:

BC = – DA (отрицательные векторы)

Пример 3

Рассмотрим изображение, приведенное ниже. Сравните два вектора P и Q и определите, являются ли они отрицательными друг для друга или нет.

Решение

Этот пример прост. На изображении выше видно, что вектор P и вектор Q имеют одинаковую величину. Оба вектора также указывают в одном направлении. Таким образом, быстрое сравнение двух векторов показывает, что они равны, но не являются минусами друг друга. Пример 4 2).2

|- OW | = √  18

Таким образом, модуль вектора – OW также оказывается примерно равным 4,242 единицы. Следовательно, два вектора имеют одинаковую длину, но противоположные направления, а это означает, что вектор – OW является отрицательным вектором OW. Пример 5 -1;-3) и c = (1;3).2

| с | = √10

Очевидно, что | и | = | б |, | и | = | с |, и | б | = | с |. Таким образом, величины векторов a, , векторов b, и вектора c одинаковы.

Чтобы сравнить направление, мы можем нанести три вектора на координатную плоскость, как показано на рисунке ниже. Можно заметить, что векторы a и c имеют одинаковую величину и указывают в одном направлении.С другой стороны, вектор b указывает в противоположном направлении. Следовательно, можно сделать следующий вывод:

Векторы а и с являются равными векторами,

а = с

и пара векторов а и

и пара векторов а и 90 b и c — отрицательные векторы.

A = — B = — B

C

C = — B

Пример 6

Определите значение x, для которого два вектора A = (4, 10 ) и B = (2x, 5x) являются минусами друг друга.

Решение

Мы знаем, что два вектора являются отрицательными по отношению друг к другу, если их величины одинаковы, а их направления противоположны друг другу. Мы используем это, чтобы определить значение неизвестного x следующим образом:

A = – B =>  (2, 10) =  – (2x, 5x)

Установив соответствующие компоненты равными друг другу, получаем:

2 = -2х

А

10 = -5х

Упрощая вышеприведенное уравнение, получаем:

х = -2

Таким образом, при х = -2 два вектора А и B являются негативами друг друга.

Пример 7

Определите значение n, для которого два вектора A = (-5, -1, 3n) и B = (-5, -1, -9) являются отрицательными друг друга.

Решение

Мы знаем, что два вектора равны, если их величины одинаковы, а их направления противоположны друг другу. Мы используем это, чтобы определить значение неизвестного n следующим образом:

A = – B  => (-5, -1, -3n) =  – (-5, -1, -9)

Уравнивая соответствующие компоненты, получаем:

-5 = 5, -1 = 1 и 3n = 9

-3n = -9

Упрощая приведенное выше уравнение, получаем:

n = 3

Таким образом, когда n = 3, два вектора A и B являются отрицательными по отношению друг к другу.

Практические вопросы

Найдите отрицательные значения следующих векторов: В = (2, 5) и Д = (3, -2). Кроме того, проверьте, являются ли два вектора отрицательными друг для друга или нет.

  • F = (4, 10), G = (5, 5) и H = (-4, -10). Также проверьте, являются ли заданные векторы негативами друг друга или нет.
  • Определите значение n, при котором два вектора A = (-2n, -3, -2) и B = (8, 3, 2) будут отрицательными по отношению друг к другу.
  • Vector OA с начальной точкой O = (-1, 0, 3) и конечной точкой A = (5, 2,0)
  • Vector UV, , где U = (1, -2, 0) и V = (-2, 2, 0).
  • Ответы

    1. Отрицательное значение вектора A будет – A = (1, 2/3, 0).
    2. Минус вектора T будет равен – T = (0, -2, 1).
    3. Минус вектора В будет – В = (-2, -5), минус вектора D будет – D = (-3, 2). Ясно, что два вектора не являются негативами друг друга.
    4. Минус вектора F будет равен – F = (-4, -10). Минус вектора G будет – G = (-5,-5), а минус вектора H будет – H = (4,10). Ясно, что два вектора F и G не являются отрицательными друг другу, но векторы F и H равны F = – H.
    5. Сравнивая компоненты двух векторов, мы находим, что при n = 4 два вектора, A и B, , будут отрицательными по отношению друг к другу.
    6. Величина вектора OA  равна | ОА |= 7 единиц, а минус вектора ОА будет – ОА. Его величина должна быть такой же, как у вектора OA . Таким образом, вектор – ОА будет начинаться в точке -О = (1, 0, -3) и заканчиваться в точке -А = (-5, -2, 0).
    7. Величина вектора UV | UV |= 5 единиц, а минус вектора UV будет – UV. Его величина должна быть такой же, как у вектора UV. Таким образом, вектор – UV будет начинаться в точке -U = (-1, 2, 0) и заканчиваться в точке -V = (2, -2, 0).
    Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

    Параллельные векторы — определение, примеры, формула

    параллельных вектора — это векторы, имеющие одинаковое или точно противоположное направление.т. е. для любого вектора a сам вектор и противоположный ему вектор -a являются векторами, которые всегда параллельны a . Расширяя это далее, любой скаляр, кратный a , параллелен a. т. е. вектор a и k a всегда являются параллельными векторами, где k — скаляр (действительное число).

    Давайте узнаем больше о параллельных векторах вместе с их определением, формулой и примерами.

    Что такое параллельные векторы?

    Два вектора называются параллельными тогда и только тогда, когда угол между ними равен 0 градусов.Параллельные векторы также известны как коллинеарные векторы. т. е. два параллельных вектора всегда будут параллельны одной и той же прямой, но они могут быть либо в одном направлении, либо в совершенно противоположном направлении. На следующем изображении векторы, показанные на крайнем левом рисунке, НЕ параллельны, поскольку они имеют разные направления (т. е. ни одно и то же, ни противоположные направления).

    Параллельные векторы, направленные в противоположные стороны, иногда также называют антипараллельными векторами.На изображении выше последний рисунок показывает антипараллельные векторы. Но как математически идентифицировать параллельные векторы? Давайте посмотрим.

    Как найти параллельные векторы?

    Два вектора a и b называются параллельными векторами, если один из них кратен другому. т. е. a = k b , где k — скаляр (действительное число). Здесь «k» может быть положительным, отрицательным или 0. В этом случае

    • a и b имеют одинаковые направления, если k положительно.
    • a и b имеют противоположные направления, если k отрицательно.

    Вот несколько примеров параллельных векторов:

    1. a и 3 a параллельны и имеют те же направления, что и 3 > 0.
    2. v и (-1/2) v параллельны и имеют те же направления, что и (-1/2) < 0,
    3. a = <1, -3> и b = <3, -9> параллельны, поскольку b = <3, -9> = 3 <1, -3> = 3 a .

    В приведенных выше примерах пример 2 относится к антипараллельным векторам.

    Скалярное произведение параллельных векторов

    Скалярное произведение любых двух параллельных векторов равно произведению их величин. Рассмотрим два параллельных вектора a и b . Тогда угол между ними равен θ = 0. По определению скалярного произведения

    а · б = | и | | б | cos θ
    = | и | | б | 0
    = | и | | б | (1) (потому что cos 0 = 1)
    = | и | | б |

    Таким образом, скалярное произведение двух параллельных векторов равно произведению их модулей.

    Перекрестное произведение параллельных векторов

    Перекрестное произведение любых двух параллельных векторов является нулевым вектором. Рассмотрим два параллельных вектора a и b . Тогда угол между ними равен θ = 0. По определению перекрестного произведения

    а × б = | и | | б | грех θ \ (\ шляпа {n} \)
    = | и | | б | грех 0 \(\шляпа{п}\)
    = | и | | б | (0) \(\шляпа{n}\) (поскольку sin 0 = 0)
    = 0

    Обратите внимание, что 0 здесь является вектором, а не скаляром.Таким образом, векторное произведение двух параллельных векторов является нулевым вектором (не просто нулем).

    Формула параллельных векторов

    Параллельные векторы можно определить с помощью скалярного множителя, скалярного произведения или перекрестного произведения. Вот формула параллельных векторов в соответствии с ее значением, объясненным в предыдущих разделах.

    Единичный вектор, параллельный заданному вектору

    Единичный вектор, параллельный заданному вектору a , обозначается \(\hat{a}\) и задается как \(\hat{a}\) = a / | и |.Здесь обратите внимание на две вещи:

    • и / | и | (что равно 1/| a | · a) являются скалярными кратными друг другу. Следовательно, a и \(\hat{a}\) параллельны.
    • Величина / | и | есть | и | / | и | = 1. Следовательно, \(\hat{a}\) — единичный вектор.

    Следовательно, a / | и | является единичным вектором, параллельным a .Он получается делением вектора на его величину.

    Пример: Найдите единичный вектор, параллельный вектору a = 3 i + 4 j .

    Решение:

    Дано, что a = 3 i + 4 j .

    Его величина | и | = √(3 2 + 4 2 ) = √(25) = 5,

    Таким образом, единичный вектор, параллельный a , равен

    \(\шляпа{а}\) = а / | и |
    = (3 i + 4 j ) / 5
    = (3/5) i + (4/5) j

    Свойства параллельных векторов

    • Два вектора a и b параллельны друг другу тогда и только тогда, когда a = k b , где k — скаляр.
    • Здесь a и b расположены в направлениях, если k > 0, и в противоположных направлениях, если k < 0.
    • Каждый вектор a параллелен самому себе, так как a = 1 a.
    • Два вектора a и b называются параллельными, если их векторное произведение равно нулю. т. е. a × b = 0 .
    • Для любых двух параллельных векторов a и b их скалярное произведение равно произведению их модулей.т. е. a · b = | и | | б |.

    ☛ Похожие темы:

    Часто задаваемые вопросы о параллельных векторах

    Что такое определение параллельных векторов?

    Два вектора a и b называются параллельными векторами , если выполняется одно из условий:

    • Если один вектор кратен другому. т. е. a = k b , где k — скаляр.
    • Если их перекрестное произведение равно 0, то есть a × b = 0 .
    • Если их скалярное произведение равно произведению их величин. т. е. a · b = | и | | б |.

    Как найти вектор, параллельный заданному вектору?

    Чтобы найти вектор, параллельный заданному вектору a , просто умножьте его на любой скаляр. Например, 3 a , -0.5 a , √2 a и т. д. параллельны вектору a .

    Как определить, параллельны ли два вектора?

    Чтобы определить, параллельны ли два заданных вектора, просто посмотрите, можно ли взять общий множитель из одного вектора так, чтобы он был кратен другому вектору. Другой способ — проверить, равно ли их перекрестное произведение 0,

    .

    В чем разница между перпендикулярными и параллельными векторами?

    Вот различия между перпендикулярными и параллельными векторами.

    Перпендикулярные векторы Параллельные векторы
    Два вектора называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 градусов. Два вектора называются параллельными, если угол между ними равен 0 градусов.
    Скалярное произведение двух перпендикулярных векторов равно 0. Перекрестное произведение двух параллельных векторов равно 0 .
    Если a и b перпендикулярны, то | а × б | = | и || б |. Если a и b параллельны, то a · b = | и || б |.

    Параллелен ли вектор самому себе?

    Каждый вектор a является скалярным множителем самого себя. т. е. a = 1 a .Таким образом, каждый вектор параллелен самому себе. Кроме того, угол между вектором и самим собой всегда равен 0 градусов. Таким же образом мы можем сказать, что вектор параллелен самому себе.

    Какова формула для единичного вектора, параллельного результирующим векторам?

    Мы знаем, что единичный вектор, параллельный вектору a , равен a / | и |. Таким образом, единичный вектор, параллельный равнодействующей двух векторов a и b , равен ( a+b) / | а+б |.

    В чем разница между параллельными векторами и наклонными линиями?

    Параллельные векторы и наклонные линии находятся в трехмерном пространстве. Параллельные прямые никогда не пересекаются и параллельны относительно координат x, y и z. Наклонные линии также находятся в трехмерном пространстве, но не параллельны и не пересекаются. Наклонные линии — это линии, присутствующие в разных плоскостях.

    Что такое равные и параллельные векторы?

    Равные векторы имеют одинаковую величину и одинаковое направление.Параллельные векторы могут иметь разные величины, но они имеют одинаковые/противоположные направления. Например:

    • a и a равные векторы.
    • a и 3 a — параллельные векторы.

    V1 Знакомство с векторами | Учебная лаборатория

    Открыть образ

    Open imageСовременное представление о векторах появилось в конце 19 века, когда Джозайя Уиллард Гиббс и Оливер Хевисайд (соответственно из США и Великобритании) независимо друг от друга разработали векторный анализ для выражения новых законов электромагнетизма, открытых шотландским физиком Джеймсом Клерком Максвеллом.

    Вектор – это величина, которая имеет величину и направление. Векторы используются во многих областях науки и математики. Этот модуль знакомит с векторами и описывает, как их складывать и вычитать.

    Векторы и скаляры

    Одним из примеров вектора является скорость. Скорость объекта определяется величиной (скоростью) и направлением движения. Другими примерами векторов являются сила, смещение и ускорение.

    Скаляр – это величина, которая имеет только величину.Масса, время и объем — все это примеры скалярных величин.

    Векторы в трехмерном пространстве определяются тремя взаимно перпендикулярными направлениями и могут быть обозначены жирным шрифтом или как на этом листе \(\vec{a}\) или \(\vec{b}\) или \(\ vec{c}.\)

    Вектор в противоположном направлении от \(\vec{a}\) обозначается \(-\vec{a}\).

    Векторы можно складывать или вычитать графически, используя правило треугольника.

    Сложение и вычитание векторов

    Правило треугольника:

    Чтобы добавить векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\), показанные выше, поместите конец вектора \(\vec{b}\) в начало вектора \(\vec{a }\) (точка Q).

    Векторная сумма, \(\vec{a}+\vec{b},\) — это вектор \(\overrightarrow{PR}\) , от хвоста вектора \(\vec{a}\) до глава \(\vec{b}.\)

    Чтобы вычесть \(\vec{b}\) из \(\vec{a}\), измените направление \(\vec{b}\), чтобы получить \(-\vec{b}\), затем добавьте \(\vec{a}\) и \(-\vec{b}\).

    \(\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b})\)

    Вектор \(\overrightarrow{PR}\) равен вектору \(\vec{a}-\vec{b}\).

    Компоненты вектора

    На диаграмме ниже вектор \(\vec{r}\) представлен как \(\overrightarrow{OP}\), где \(P\) — точка \((x,y,z)\).

    , если \(\vec{i}\) ,\(\vec{j}\) и \(\vec{k}\) являются векторами величины один11 Вектор величины один называется единичным вектором. Величина векторов и единичные векторы обсуждаются позже в этом модуле. параллельны положительным направлениям осей \(x\)-, \(y\)-осей и \(z\)-осей соответственно, тогда:

    \(x\vec{i}\) — вектор длины x в направлении оси \(x\)

    \(y\vec{i}\) — вектор длины y в направлении оси \(y\)

    \(z\vec{k}\) — вектор длины z в направлении оси \(z\)

    \(\overrightarrow{OP}\) — это вектор \(x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}\)

    \(x\), \(y\) и \(z\) называются компонентами вектора.

    Обозначение \((x,y,z)\) будет использоваться для обозначения вектора \(\vec{r}=(x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k} )\), а также координаты точки \(P\) \((x,y,z)\). Контекст определит правильное значение.

    Векторы также можно добавлять или вычитать, добавляя или вычитая их соответствующие компоненты.

    Пример

    Если \(\vec{a}=(-3,4,2)\) и \(\vec{b}=(-1,-2,3)\) , найти:

    \[\begin{выравнивание*} \vec{a}+\vec{b} & =(-3,4,2)+(-1,-2,3)\\ & =(-3+(-1),4+(-2),2+3)\\ & = (-4,2,5) \end{выравнивание*}\] и

    \[\begin{выравнивание*} \vec{a}-\vec{b} & =(-3,4,2)-(-1,-2,3)\\ & = (-3-(-1),4-(-2),2-3)\\ & = (-2,6,-1) \конец{выравнивание*}\]

    См. упражнение 1.

    Сегмент направленной линии

    Направленный отрезок или геометрический вектор, \(\overrightarrow{PQ}\) , от\(P(x_{1},y_{1},z_{1})\) до \(Q(x_{2 },y_{2},z_{2})\) находится вычитанием координат \(P\) (начальной точки) из координат \(Q\) (конечной точки).


    \(\overrightarrow{PQ}=(x_{2}-x_{1})\vec{i}+(y_{2}-y_{1})\vec{j}+(z_{2}-z_ {1})\vec{k}\)


    Пример

    \(PQ=(5-3)i+(6-4)+(-1-1)k\)

    \(PQ=2i+2j-2k\)

    Направленный отрезок \(\overrightarrow{PQ}\) представлен вектором \(2\vec{i}+2\vec{j}-2\vec{k}\) или \((2, 2,-2)\).Любой другой направленный отрезок такой же длины и того же направления, что и \(\overrightarrow{PQ}\), также представлен как \(2\vec{i}+2\vec{j}-2\vec{k}\) или \((2,2,-2)\).

    Направленный отрезок \(\overrightarrow{QP}\) имеет ту же длину, что и \(\overrightarrow{PQ}\), но направлен в противоположном направлении.

    \[\begin{alignat*}{1} \overrightarrow{QP} & =-\overrightarrow{PQ}\\ & =-(2\vec{i}+2\vec{j}-2\vec{k})\\ & =-2\vec{i}-2\vec{j}+2\vec{k}\\ есть\ также\ & =(-2,-2,2) \end{выравнивание*}\]

    Вектор положения

    Вектор положения любой точки представляет собой направленный отрезок прямой от начала координат \(O\) \((0,0,0)\) до этой точки и задается координатами точки.{2}}=\sqrt{38}\)

    В этом случае \(a_{1}=2,a_{2}=3,a_{3}=-5\)

    \(a_{1},a_{2},a_{3}\) называются компонентами вектора \(\vec{a}\).

    Единичный вектор

    Любой вектор с величиной единица называется единичным вектором.

    Если \(\vec{a}\) является любым вектором, то единичный вектор, параллельный \(\vec{a}\), записывается как \(\hat{a}\) («шляпа»).{2}}}\\ & =\frac{(1i+2j+3k)}{\sqrt{14}}\\ & =\frac{1}{\sqrt{14}}(1i+2j+3k) \end{выравнивание*}\]

    см. упражнение 3.

    Умножение на скаляр

    Чтобы умножить вектор \(\vec{a}=\) \(a_{1}\vec{i}+a_{2}\vec{j}+a_{3}\vec{k}\) на a скаляр, \(m\), умножьте каждый компонент \(\vec{a}\) на \(m\).


    \[\begin{alignat*}{1} m\vec{a} & =ma_{1}\vec{i}+ma_{2}\vec{j}+ma_{3}\vec{k} \end{выравнивание*}\]


    Результатом является вектор длины \(m\times\left|\vec{a}\right|\)

    Если \(m>0\) результирующий вектор имеет то же направление, что и \(\vec{a}\)

    Если \(m<0\), результирующий вектор находится в направлении, противоположном \(\vec{a}\).{2}}=\sqrt{14}\\ 7\влево|\vec{a}\вправо| & =7\кв{14} \end{выравнивание*}\]

    Следовательно, мы можем вывести:

    \[\begin{alignat*}{1} \left|7\vec{a}\right| & =7\влево|\vec{a}\вправо|=7\sqrt{14}. \end{выравнивание*}\]

    См. упражнение 4.

    Упражнение 1

    Учитывая \(\vec{a}=(2,1,1)\) , \(\vec{b}=(1,3,-3)\) и \(\vec{c}=(0, 3,-2)\) найти:

    1. \(\vec{a}+\vec{b}\)
    2. \(\vec{a}+\vec{c}\)
    3. \(\vec{c}-\vec{b}\)
    4. \(\vec{a}-\vec{b}\).

    Ответы:
    a) \(\left(3,4,-2\right)\quad\) b) \(\left(2,4,-1\right)\quad\) c) \(\ влево(-1,0,1\вправо)\квадратик\) г) \(\влево(1,-2,4\вправо)\)

    Упражнение 2

    1. Учитывая точки \(A(3,0,4)\) , \(B(-2,4,3)\) и \(C(1,-5,0)\), находим:

    \(\text{i}.\;\overrightarrow{AB}\quad\) ii. \(\overrightarrow{AC}\quad\) iii. \(\overrightarrow{CB}\quad\) iv. \(\overrightarrow{BC}\quad\) v. \(\overrightarrow{CA}\)
    Сравните свои ответы на (ii) и (v), а также на (iii) и (iv).Что ты заметил?

    1. Каковы векторы положения точек \(A,\,B\) и \(C\)?

    Ответы:
    \(\text{ai)}\) \(\left(-5,4,-1\right)\quad\)ii) \(\left(-2,-5,-4\) вправо)\квадратик\) iii) \(\влево(-3,9,3\вправо)\квадратик\) iv) \(\влево(3,-9,-3\вправо)\квадратик\) v) \ (\слева(2,5,4\справа)\)

    Они в противоположных направлениях.
    \(\text{b.}\) \(\overrightarrow{OA}=3\vec{i}+4\vec{k}\), \(\overrightarrow{OB}=2\vec{i}+ 4\vec{j}+3\vec{k}\) и \(\overrightarrow{OC}=\vec{i}-5\vec{j}\).

    Упражнение 3

    1. Найдите длину векторов:
      \(\text{(i)}\;(3,-1,-1)\quad\) (ii) \((0,2,4)\quad\ ) (iii) \((0,-2,0)\)

    2. Учитывая точки \(A\,(3,0,4)\), \(B\,(0,4,3)\) и \(C\,(1,-5,0)\) ;
      найти единичные векторы, параллельные \(\text{(i)}\;\overrightarrow{BA}\quad\text{(ii) $\overrightarrow{CB}\quad\text{(iii) $\overrightarrow{AC} $ .}$ }\)

    Ответы:
    \(\text{a.$\,$ i)$\;$ }\) \(\text{$\sqrt{11}$ $\quad$ }\)ii) \(\sqrt {20}=2\sqrt{5}\quad\) iii) \(2\)

    \(\текст{б.$\,$ i)$\;$ }\) \(\frac{(3,-4,1)}{\sqrt{26}}\quad\)ii) \(\frac{(-1,9 ,3)}{\sqrt{91}}\quad\)iii) \(\frac{(-2,-5,-4)}{\sqrt{45}}=\frac{(-2,-5 ,-4)}{3\sqrt{5}}\)

    Упражнение 4

    1. Расширьте следующее: (i) \(3(\vec{i}+3\vec{j}-5\vec{k})\) (ii) \(-4(\vec{j}- 3\vec{k})\)

    2. Если \(\vec{a}=(2,-2,1)\) , \(\vec{b}=(0,1,1)\) и \(\vec{c}=(- 1,3,-2)\) , найти (i) \((2\vec{a}+3\vec{b})\) (ii) \((3\vec{a}-2\vec{ b})\) (iii) \((2\vec{a}-\vec{b}+2\vec{c})\) (iv) единичный вектор, параллельный \(2\vec{a}- \vec{b}\)

    3. Запишите вектор, в три раза превышающий длину \((6\vec{i}+2\vec{j}-5\vec{k})\) и в обратном направлении.

    alexxlab

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.