Site Loader

Содержание

Помогите решить / разобраться (Ф)

Н. Е. Кочин ВЕКТОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И НАЧАЛА ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ писал(а):


В сущности представление некторого произведения вектором чисто
условно; гораздо естественнее было бы изображать его площадкой,
например, параллелограммом, построенным на векторах а и Ь, имеющим
определенное направление обхода в зависимости от порядка сомножителей.
Однако для целей векторного анализа гораздо удобнее оперировать
с вектором, представляющим эту площадку и являющимся как бы ее
дополнением в нашем трехмерном пространстве.
Такие векторы, связанные с направлением некоторого обхода, назы-
ваются аксиальными, осевыми, или псевдовекторами.
К числу их принадлежит, помимо вектора, представляющего пло-
щадку, и помимо векторного произведения двух обыкновенных или, как
их обычно называют, полярных векторов, еще, например, угловая
скорость вращения твердого тела, которую можно представлять вектором,
направленным по оси вращения о ту или другую сторону в зависимости
от наличия обхода вокруг оси в ту или другую сторону (отсюда название
аксиальный, или осевой, вектор).
Полярными же векторами являются, например, перемещение, ско-
рость, ускорение, сила.
Природу того или другого механического вектора можно узнать по
следующему правилу.
Отразим явление в плоскости, перпендикулярной к рассматривае-
мому вектору; если при этом направление, в котором протекает явле-
ние, изменится на обратное, то вектор есть полярный; если же направ-
ление явления останется прежним, то мы имеем дело с аксиальным век-
тором. Так, отражая векторное произведение двух полярных векторов
и плоскости составляющих векторов, мы последние, очевидно,не изменим,
явление не изменится, следовательно, векторное произведение двух по-
лярных векторов есть вектор аксиальный.
В качестве другого примера рассмотрим вращение твердого тела
вокруг оси.
Отражая явление вращения в плоскости, перпендикулярной оси вра-
щения, увидим, что вращение будет происходить опять в ту же самую
сторону, поэтому вектор угловой скорости мы должны считать вектором
аксиальным. Напротив, отражая вектор скорости точки в перпендикуляр-
ной к нему плоскости, мы увидим, что точка будет двигаться в обратную
сторону, следовательно, вектор скорости есть полярный вектор.

Заметим, что при зеркальном отображении и при инверсии левая
система координат переходит в правую и обратно, так что пока мы ос-
таемся и области одних левых или одних правых систем координат, ни-
какого различия между полярными и аксиальными векторами нет.
Когда же мы переходим от левой системы к правой или обратно, то
аксиальный вектор изменяет свое направление на прямо противоположное,
в то время как полярный вектор остается без изменения.
Это и вызывает то различие в поведении составляющих вектора, ко-
торое было выше указало.
Значение различия между аксиальными а полярными векторами
состоит в том, что, подобно тому как складывать, вычитать и приравни-
вать можно только величины одинаковой размерности, так точно векторы
разного рода не могут быть складываемы или сравниваемы. В самом
деле, иначе при переходе от левой системы координат к правой соста-
вляющие некоторых членов суммы или равенства изменили бы свой знак
на обратный, в то время как другие члены сохранили бы его, при этом
значение суммы изменилось бы, а равенство нарушилось.
Оказывается, что и скаляры, подобно векторам, надо делить на две
группы: скаляры первого рода, пли просто скаляры,
и скаляры второго рода или псевдоскаляры. Все
величины скалярного характера, получающиеся в результате измерения
какого-либо физического объекта, например масса, температура и т. д..
являются скалярами первого рода; напротив, некоторые из выражений,
получающихся в результате математических операций над векторами,
могут изменять свой знак на обратный при переходе от левой системы
к правой или от правой системы к левой.
Такие величины называются псевдоскалярами. Так, например, ска-
лярное произведение полярного и аксиального векторов является псевдо-
скаляром.

100 ballov.kz образовательный портал для подготовки к ЕНТ и КТА

Код и классификация направлений подготовки Код группы образовательной программы Наименование групп образовательных программ Количество мест
8D01 Педагогические науки   
8D011 Педагогика и психология D001 Педагогика и психология 45
8D012 Педагогика дошкольного воспитания и обучения D002 Дошкольное обучение и воспитание 5
8D013 Подготовка педагогов без предметной специализации D003 Подготовка педагогов без предметной специализации 22
8D014 Подготовка педагогов с предметной специализацией общего развития D005 Подготовка педагогов физической культуры 7
8D015 Подготовка педагогов по естественнонаучным предметам D010 Подготовка педагогов математики 30
D011 Подготовка педагогов физики (казахский, русский, английский языки) 23
D012 Подготовка педагогов информатики (казахский, русский, английский языки) 35
D013 Подготовка педагогов химии (казахский, русский, английский языки) 22
D014 Подготовка педагогов биологии (казахский, русский, английский языки) 18
D015 Подготовка педагогов географии 18
8D016 Подготовка педагогов по гуманитарным предметам D016 Подготовка педагогов истории 17
8D017 Подготовка педагогов по языкам и литературе D017 Подготовка педагогов казахского языка и литературы 37
D018 Подготовка педагогов русского языка и литературы 24
D019 Подготовка педагогов иностранного языка 37
8D018 Подготовка специалистов по социальной педагогике и самопознанию D020 Подготовка кадров по социальной педагогике и самопознанию 10
8D019 Cпециальная педагогика D021 Cпециальная педагогика 20
    Всего 370
8D02 Искусство и гуманитарные науки   
8D022 Гуманитарные науки D050 Философия и этика 20
D051 Религия и теология 11
D052 Исламоведение 6
D053 История и археология 33
D054 Тюркология 7
D055 Востоковедение 10
8D023 Языки и литература D056 Переводческое дело, синхронный перевод 16
D057
Лингвистика 15
D058 Литература 26
D059 Иностранная филология 19
D060 Филология 42
    Всего 205
8D03 Социальные науки, журналистика и информация   
8D031 Социальные науки D061 Социология 20
D062 Культурология 12
D063 Политология и конфликтология 25
D064 Международные отношения 13
D065 Регионоведение 16
D066 Психология 17
8D032 Журналистика и информация D067 Журналистика и репортерское дело 12
D069 Библиотечное дело, обработка информации и архивное дело 3
    Всего 118
8D04 Бизнес, управление и право   
8D041 Бизнес и управление D070 Экономика 39
D071 Государственное и местное управление 28
D072 Менеджмент и управление 12
D073 Аудит и налогообложение 8
D074 Финансы, банковское и страховое дело 21
D075 Маркетинг и реклама 7
8D042 Право D078 Право 30
    Всего 145
8D05 Естественные науки, математика и статистика      
8D051 Биологические и смежные науки D080 Биология 40
D081 Генетика 4
D082 Биотехнология 19
D083 Геоботаника 10
8D052 Окружающая среда D084 География 10
D085 Гидрология 8
D086 Метеорология 5
D087 Технология охраны окружающей среды 15
D088 Гидрогеология и инженерная геология 7
8D053 Физические и химические науки
D089 Химия 50
D090 Физика 70
8D054 Математика и статистика D092 Математика и статистика 50
D093 Механика 4
    Всего 292
8D06 Информационно-коммуникационные технологии   
8D061 Информационно-коммуникационные технологии
D094
Информационные технологии 80
8D062 Телекоммуникации D096 Коммуникации и коммуникационные технологии 14
8D063 Информационная безопасность D095 Информационная безопасность 26
    Всего 120
8D07 Инженерные, обрабатывающие и строительные отрасли   
8D071 Инженерия и инженерное дело D097 Химическая инженерия и процессы 46
D098 Теплоэнергетика 22
D099 Энергетика и электротехника 28
D100 Автоматизация и управление 32
D101 Материаловедение и технология новых материалов 10
D102 Робототехника и мехатроника 13
D103 Механика и металлообработка 35
D104 Транспорт, транспортная техника и технологии 18
D105 Авиационная техника и технологии 3
D107 Космическая инженерия 6
D108 Наноматериалы и нанотехнологии 21
D109 Нефтяная и рудная геофизика 6
8D072 Производственные и обрабатывающие отрасли D111 Производство продуктов питания 20
D114 Текстиль: одежда, обувь и кожаные изделия 9
D115 Нефтяная инженерия 15
D116 Горная инженерия 19
D117 Металлургическая инженерия 20
D119 Технология фармацевтического производства 13
D121 Геология 24
8D073 Архитектура и строительство D122 Архитектура 15
D123 Геодезия 16
D124 Строительство 12
D125 Производство строительных материалов, изделий и конструкций 13
D128 Землеустройство 14
8D074 Водное хозяйство D129 Гидротехническое строительство 5
8D075 Стандартизация, сертификация и метрология (по отраслям) D130 Стандартизация, сертификация и метрология (по отраслям) 11
    Всего 446
8D08 Сельское хозяйство и биоресурсы   
8D081 Агрономия D131 Растениеводство 22
8D082 Животноводство D132 Животноводство 12
8D083 Лесное хозяйство D133 Лесное хозяйство 6
8D084 Рыбное хозяйство D134 Рыбное хозяйство 4
8D087 Агроинженерия D135 Энергообеспечение сельского хозяйства 5
D136 Автотранспортные средства 3
8D086 Водные ресурсы и водопользование D137 Водные ресурсы и водопользования 11
    Всего 63
8D09 Ветеринария   
8D091 Ветеринария D138 Ветеринария 21
    Всего 21
8D11 Услуги   
8D111 Сфера обслуживания D143 Туризм 11
8D112 Гигиена и охрана труда на производстве D146 Санитарно-профилактические мероприятия 5
8D113 Транспортные услуги D147 Транспортные услуги 5
D148 Логистика (по отраслям) 4
8D114 Социальное обеспечение D142 Социальная работа 10
    Всего 35
    Итого 1815
    АОО «Назарбаев Университет» 65
    Стипендиальная программа на обучение иностранных граждан, в том числе лиц казахской национальности, не являющихся гражданами Республики Казахстан 10
    Всего 1890

Траектория, путь, перемещение. Векторные величины в физике

п.1. Траектория и путь

Траектория – это линия, которую материальная точка описывает во время своего движения.

Примеры траекторий


Траектория полета баскетбольного мяча

Траектория полета на Марс и обратно

Внимание!
Траектория зависит от выбранной системы отсчета.

Пример зависимости траектории от системы отсчета
Жук сел в центр больших башенных часов и пополз по минутной стрелке.
За час, двигаясь с постоянной скоростью, он дополз до конца стрелки.


В системе отсчета, связанной с минутной стрелкой, траектория жука – отрезок прямой.

В системе отсчета, связанной с циферблатом, траектория жука – спираль Архимеда.

Путь – это расстояние, пройденное материальной точкой вдоль траектории движения.
Единица пути в СИ – 1 метр.

Путь также зависит от выбора системы отсчета, как и траектория.
Допустим, что минутная стрелка, по которой ползал жук в нашем примере, имеет длину L=7,5 м. Тогда в системе отсчета, связанной со стрелкой, путь жука s1=L=7,5 м.
Для спирали Архимеда длина описанной дуги также известна и равна s1≈2,83L≈21,2 м. Т.е. в системе отсчета, связанной с циферблатом, путь жука почти в 3 раза больше.

п.2. Перемещение

Перемещение – это направленный отрезок, соединяющий начальное и конечное положение движущейся материальной точки.
Модуль перемещения равен длине направленного отрезка и измеряется в метрах.

Пример перемещения в разных системах отсчета


В системе отсчета, связанной с минутной стрелкой, модуль перемещения жука равен его пути $$ |\overrightarrow{r}|=s=L $$

В системе отсчета, связанной с циферблатом, модуль перемещения жука меньше его пути \begin{gather*} |\overrightarrow{r}|\lt s\\ |\overrightarrow{r}|=L,\ \ s\approx 2,83L \end{gather*}

В общем случае модуль перемещения не превышает пройденный путь: $$ |\overrightarrow{r}|\leq s $$

п.3. Понятие вектора и суммы векторов

Вектор это направленный отрезок.

Примеры векторов на плоскости и их обозначений:

Вектор \(\overrightarrow{BA}\) является обратным для вектора \(\overrightarrow{AB}\), т.е. \(\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}\).
При этом оба вектора равны по модулю: \(|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{BA}|\).
Сумма двух взаимно обратных векторов равна нулю: \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AB}=0\).
С точки зрения физики это можно пояснить так: точка переместилась из A в B, а затем вернулась обратно в A. В итоге перемещение равно 0.

Сумма двух векторов – также вектор. Чтобы найти сумму двух векторов, необходимо от конца первого вектора отложить второй вектор; тогда суммой будет вектор в направлении от начала первого вектора до конца второго: $$ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}= \overrightarrow{AC} $$ Это правило сложения векторов называют правилом треугольника.

С точки зрения физики правило треугольника можно пояснить так: точка переместилась из A в B, а затем из B в C. В итоге произошло перемещение из A в C, т.е. \(\overrightarrow{AC}\).

В курсе механики, который мы изучаем, нам встретится много векторных величин:
\(\overrightarrow{r}\) — перемещение, \(\overrightarrow{v}\) — скорость, \(\overrightarrow{a}\) — ускорение, \(\overrightarrow{F}\) — сила.
Постепенно, мы научимся с ними работать.

п.4. Задачи

Задача 1. Пассажир движущегося по прямой круизного лайнера прогуливается по палубе, от правого борта к левому и обратно. Постройте траектории движения пассажира:
а) относительно лайнера;
б) относительно Земли.

а) относительно лайнера;

Траектория – отрезок между бортами, по которому пассажир движется туда и обратно.

б) относительно Земли.

Траектория – кривая (синусоида), которая получается как сумма движений пассажира от одного борта к другому и движения лайнера вперед.

Задача 2. Платформа длиной l движется по дороге, а человек движется по платформе.

Каков путь человека: а) относительно платформы; б) относительно дороги? в) Каков путь переднего колеса платформы относительно дороги?

а) Путь человека относительно платформы равен длине платформы l.
б) Путь человека относительно дороги равен s.
в) Путь переднего колеса платформы относительно дороги (s-l).

Задача 3. Мяч, брошенный вертикально вверх, поднялся на высоту 7 м и упал обратно.
Чему равен: а) его путь; б) перемещение?

а) Путь равен сумме пройденных расстояний вверх и вниз: s=7+7=14 (м)
б) Перемещение равно \(|\overrightarrow{r}|=0\), т.к. мяч упал в исходную точку.

Ответ: s=14 м; \(|\overrightarrow{r}|=0\)

Задача 4. Вертолет пролетел 400 км на север, 200 км на восток и 400 км на юг.
Начертите схему движения и определите путь и перемещение вертолета.

Путь равен сумме длин всех векторов: s=400+300+400=1100 (км)
Начало движения – точка A, конец – точка D. Перемещение равно: \(\overrightarrow{r}=\overrightarrow{AD}\).
Модуль перемещения равен длине отрезка AD.
По условию AB=CD и AB || CD. Значит, ABCD — прямоугольник, и AD=BC=300  (км).
\(\overrightarrow{r}=AD=300\ \)(км)

Ответ: s=1100 км; \(|\overrightarrow{r}|=300\ \)км, на восток

Задача 5. В сундуке старого пирата найдена старая карта, на которой точкой отмечен старый дуб. На обратной стороне карты есть надпись, которую удалось расшифровать: «30 шагов на север, 20 шагов на запад, 50 шагов на юг, 50 шагов на восток, 20 шагов на север. Копай!». Начертите схему движения, найдите путь и перемещение от дуба к кладу в шагах и метрах, если в одном шаге 70 см.

Строим прямоугольную систему координат, дуб – в начале отсчета.
Откладываем векторы перемещений и отмечаем координаты на осях:

Получаем, что клад находится в точке F, расположенной в 30 шагах на восток от дуба.
Путь из точки A в точку F равен сумме длин всех отложенных векторов:

s = 30+20+50+50+20=170 (шагов)
s = 170 · 0,7 = 119 (м)

Перемещение из точки A в точку F равно вектору \(\overrightarrow{AF},\ \overrightarrow{r}=\overrightarrow{AF}\).
Модуль перемещения равен длине отрезка AF: \begin{gather*} |\overrightarrow{r}|=AB=30\ \text{(шагов)}\\ |\overrightarrow{r}|=30\cdot 0,7=21\ \text{(м)} \end{gather*}
Ответ: s=119 м; \(|\overrightarrow{r}|=21\ \)м, на восток

Приложение. Векторы в физике

Пугающие школьника два слова — вектор и скаляр — на самом деле не являются страшными. Если подойти к теме с интересом, то все можно понять. В данной статье рассмотрим, какая величина является векторной, а какая скалярной. Точнее, приведем примеры. Каждый ученик, наверное, обращал внимание, что в физике некоторые величины обозначаются не только символом, но и стрелкой сверху. Что они обозначают? Об этом будет сказано ниже. Постараемся разобраться, чем отличается от скалярной.

Примеры векторов. Как они обозначаются

Что подразумевается под вектором? То, что характеризует движение. Не важно, в пространстве или на плоскости. Какая величина является векторной вообще? Например, летит самолет с определенной скоростью на какой-то высоте, имеет конкретную массу, начал движение из аэропорта с нужным ускорением. Что относится к движению самолета? Что заставило его лететь? Конечно, ускорение, скорость. Векторные величины из курса физики являются наглядными примерами. Говоря прямо, векторная величина связана с движением, перемещением.

Вода тоже движется с определенной скоростью с высоты горы. Видите? Движение осуществляется за счет не объема или массы, а именно скорости. Теннисист дает возможность мячику двигаться при помощи ракетки. Он задает ускорение. К слову сказать, приложенная в данном случае сила также является векторной величиной. Потому что она получается вследствие заданных скоростей и ускорений. Сила способна также меняться, осуществлять конкретные действия. Ветер, который колышет листья на деревьях, тоже можно считать примером. Так как имеется скорость.

Положительные и отрицательные величины

Векторной величиной называется величина, которая имеет направление в окружающем пространстве и модуль. Снова появилось пугающее слово, на этот раз модуль. Представьте, что нужно решить задачку, где будет фиксироваться отрицательное значение ускорения. В природе отрицательных значений, казалось бы, не существует. Как скорость может быть отрицательной?

У вектора есть такое понятие. Это касается, например, сил, которые приложены к телу, но имеют разные направления. Вспомните третий где действие равно противодействию. Ребята перетягивают канат. Одна команда в синих футболках, вторая — в желтых. Вторые оказываются сильнее. Допустим, что вектор их силы направлен положительно. В то же время у первых не получается натянуть канат, но пытаются. Возникает противодействующая сила.

Векторная или скалярная величина?

Поговорим о том, чем отличается векторная величина от скалярной. Какой параметр не имеет никакого направления, но имеет свое значение? Перечислим некоторые скалярные величины ниже:


Имеют ли все они направление? Нет. Какая величина является векторной, а какая скалярной, можно показать только наглядными примерами. В физике есть такие понятия не только в разделе «Механика, динамика и кинематика», а так же в параграфе «Электричество и магнетизм». Сила Лоренца, — все это так же векторные величины.

Вектор и скаляр в формулах

В учебниках по физике часто встречаются формулы, в которых есть стрелочка сверху. Вспомните второй закон Ньютона. Сила («F» со стрелочкой сверху) равна произведению массы («m») и ускорения («a» со стрелочкой сверху). Как говорилось выше, сила и ускорение являются величинами векторными, а вот масса — скалярной.

К сожалению, не во всех изданиях есть обозначение этих величин. Наверное, сделано это для упрощения, чтобы школьников не вводить в заблуждение. Лучше всего покупать те книги и справочники, в которых обозначены векторы в формулах.

То, какая величина является векторной, покажет иллюстрация. Рекомендуется обращать внимание на картинки и схемы на уроках физики. Векторные величины имеют направление. Куда направлена Конечно же, вниз. Значит, стрелочка будет показана в том же направлении.

В технических вузах изучают физику углубленно. В рамках многих дисциплин преподаватели рассказывают о том, какие величины являются скалярными и векторными. Такие знания требуются в сферах: строительство, транспорт, естественные науки.

Величинам (строго говоря — тензорам ранга 2 и более). Также может противопоставляться тем или иным объектам совершенно другой математической природы.

В большинстве случаев термин вектор употребляется в физике для обозначения вектора в так называемом «физическом пространстве», то есть в обычном трёхмерном пространстве классической физики или в четырехмерном пространстве-времени в современной физике (в последнем случае понятие вектора и векторной величины совпадают с понятием 4-вектора и 4-векторной величины).

Употребление словосочетания «векторная величина» практически исчерпывается этим. Что же касается употребления термина «вектор», то оно, несмотря на тяготение по умолчанию к этому же полю применимости, в большом количестве случаев всё же весьма далеко выходит за такие рамки. Об этом см. ниже.

Энциклопедичный YouTube

    1 / 3

    Урок 8. Векторные величины. Действия над векторами.

    ВЕКТОР — что это такое и зачем он нужен, объяснение

    ИЗМЕРЕНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН 7 класс | Романов

    Субтитры

Употребление терминов

вектор и векторная величина в физике

В целом в физике понятие вектора практически полностью совпадает с таковым в математике. Однако есть терминологическая специфика, связанная с тем, что в современной математике это понятие несколько излишне абстрактно (по отношению к нуждам физики).

В математике, произнося «вектор» понимают скорее вектор вообще, то есть любой вектор любого сколько угодно абстрактного линейного пространства любой размерности и природы, что, если не прилагать специальных усилий, может приводить даже к путанице (не столько, конечно, по существу, сколько по удобству словоупотребления). Если же необходимо конкретизировать, в математическом стиле приходится или говорить довольно длинно («вектор такого-то и такого-то пространства»), или иметь в виду подразумеваемое явно описанным контекстом.

В физике же практически всегда речь идет не о математических объектах (обладающих теми или иными формальными свойствами) вообще, а об определенной их конкретной («физической») привязке. Учитывая эти соображения конкретности с соображениями краткости и удобства, можно понять, что терминологическая практика в физике заметно отличается от математической. Однако она не входит с последней в явное противоречие. Этого удается достичь несколькими простыми «приемами». Прежде всего, к ним относится соглашение об употребление термина по умолчанию (когда контекст особо не оговаривается). Так, в физике, в отличие от математики, под словом вектор без дополнительных уточнений обычно понимается не «какой-то вектор любого линейного пространства вообще», а прежде всего вектор, связанный с «обычным физическим пространством» (трехмерным пространством классической физики или четырехмерным пространством-временем физики релятивистской). Для векторов же пространств, не связанных прямо и непосредственно с «физическим пространством» или «пространством-временем», как раз применяют специальные названия (иногда включающие слово «вектор», но с уточнением). Если вектор некоторого пространства, не связанного прямо и непосредственно с «физическим пространством» или «пространством-временем» (и которое трудно сразу как-то определенно охарактеризовать), вводится в теории, он часто специально описывается как «абстрактный вектор».

Всё сказанное еще в большей степени, чем к термину «вектор», относится к термину «векторная величина». Умолчание в этом случае еще жестче подразумевает привязку к «обычному пространству» или пространству-времени, а употребление по отношению к элементам абстрактных векторных пространств скорее практически не встречается, по крайней мере, такое применение видится редчайшим исключением (если вообще не оговоркой).

В физике векторами чаще всего, а векторными величинами — практически всегда — называют векторы двух сходных между собою классов:

Примеры векторных физических величин: скорость , сила , поток тепла.

Генезис векторных величин

Каким образом физические «векторные величины» привязаны к пространству? Прежде всего, бросается в глаза то, что размерность векторных величин (в том обычном смысле употребления этого термина, который разъяснен выше) совпадает с размерностью одного и того же «физического» (и «геометрического») пространства, например, пространство трехмерно и вектор электрического поля трехмерен. Интуитивно можно заметить также, что любая векторная физическая величина, какую бы туманную связь она не имела с обычной пространственной протяженностью, тем не менее имеет вполне определенное направление именно в этом обычном пространстве.

Однако оказывается, что можно достичь и гораздо большего, прямо «сведя» весь набор векторных величин физики к простейшим «геометрическим» векторам, вернее даже — к одному вектору — вектору элементарного перемещения, а более правильно было бы сказать — произведя их всех от него.

Эта процедура имеет две различные (хотя по сути детально повторяющие друг друга) реализации для трехмерного случая классической физики и для четырехмерной пространственно-временной формулировки, обычной для современной физики.

Классический трехмерный случай

Будем исходить из обычного трехмерного «геометрического» пространства, в котором мы живем и можем перемещаться.

В качестве исходного и образцового вектора возьмем вектор бесконечно малого перемещения. Довольно очевидно, что это обычный «геометрический» вектор (как и вектор конечного перемещения).

Заметим теперь сразу, что умножение вектора на скаляр всегда дает новый вектор. То же можно сказать о сумме и разности векторов. В этой главе мы не будем делать разницы между полярными и аксиальными векторами , поэтому заметим, что и векторное произведение двух векторов дает новый вектор.

Также новый вектор дает дифференцирование вектора по скаляру (поскольку такая производная есть предел отношения разности векторов к скаляру). Это можно сказать дальше и о производных всех высших порядков. То же верно по отношению к интегрированию по скалярам (времени, объему).

Теперь заметим, что, исходя из радиус-вектора r или из элементарного перемещения dr , мы легко понимаем, что векторами являются (поскольку время — скаляр) такие кинематические величины, как

Из скорости и ускорения, умножением на скаляр (массу), появляются

Поскольку нас сейчас интересуют и псевдовекторы, заметим, что

  • с помощью формулы силы Лоренца напряженность электрического поля и вектор магнитной индукции привязаны к векторам силы и скорости.

Продолжая эту процедуру, мы обнаруживаем, что все известные нам векторные величины оказываются теперь не только интуитивно, но и формально, привязаны к исходному пространству. А именно все они в некотором смысле являются его элементами, так как выражаются в сущности как линейные комбинации других векторов (со скалярными множителями, возможно, и размерными, но скалярными, а поэтому формально вполне законными).

Современный четырехмерный случай

Ту же процедуру можно проделать исходя из четырехмерного перемещения. Оказывается, что все 4-векторные величины «происходят» от 4-перемещения, являясь поэтому в некотором смысле такими же векторами пространства-времени, как и само 4-перемещение.

Виды векторов применительно к физике

  • Полярный или истинный вектор — обычный вектор.
  • Аксиальный вектор (псевдовектор) — на самом деле не является настоящим вектором, однако формально почти не отличается от последнего, за исключением того, что меняет направление на противоположное при изменении ориентации системы координат (например, при зеркальном отражении системы координат). Примеры псевдовекторов: все величины, определяемые через векторное произведение двух полярных векторов.
  • Для сил выделяется несколько различных

При изучении различных разделов физики, механики и технических наук встречаются величины, которые полностью определяются заданием их числовых значений, более точно, которые полностью определяются при помощи числа, полученного в результате их измерения однородной величиной, принятой за единицу. Такие величины называются скалярными или, короче, скалярами. Ска­лярными величинами, например, являются длина, площадь, объ­ем, время, масса, температура тела, плотность, работа, электроёмкость и др. Так как скалярная величина определяется числом (положительным или отрицательным), то ее можно откладывать на соответствующей координатной оси. Так например, часто стро­ят ось времени, температуры, длины (пройденного пути) и другие.

Помимо скалярных величин, в различных задачах встречаются величины, для определения ко­торых, кроме числового значения, необходимо знать также их направление в пространстве. Такие величины называются векторными . Физиче­скими примерами векторных величин могут служить смещение материальной точки, двигающейся в пространстве, скорость и ускорение этой точки, а также действующая на нее сила, напряженность электрического или магнитного поля. Век­торные величины используются, например, и в климатологии. Рассмотрим простой пример из климатологии. Если мы скажем, что ветер дует со скоростью 10 м/с, то тем самым введем скаляр­ную величину скорости ветра, но если мы скажем, что дует се­верный ветер со скоростью 10 м/с, то в этом случае скорость ветра будет уже векторной величиной.

Векторные величины изображаются с помощью векторов.

Для геометрического изображения векторных величин слу­жат направленные отрезки, то есть отрезки, имеющие фикси­рованное направление в пространстве. При этом длина отрез­ка равна числовому значению векторной величины, а его на­правление совпадает с направлением векторной величины. Направленный отрезок, характеризующий данную векторную величину, называют геометрическим вектором или просто вектором.

Понятие вектора играет большую роль как в математике, так и во многих областях физики и механики. Многие физические величины могут быть представлены при помощи векторов, и это представление очень часто способствует обобщению и упрощению формул и результатов. Часто векторные величины и векторы, их изображающие, отождествляются друг с другом: так, например, говорят, что сила (или скорость) есть вектор.

Элементы векторной алгебры применяются в таких дисциплинах как: 1) электрические машины; 2) автоматизированный электропривод; 3) электроосвещение и облучение; 4) неразвлетвлённые цепи переменного тока; 5) прикладная механика; 6) теоретическая механика; 7) физика; 8) гидравлика:9) детали машин; 10) сопромат; 11) управление; 12) химия; 13) кинематика; 14) статика и др.

2. Определение вектора. Отрезок прямой задается дву­мя равноправными точками -его концами. Но можно рассматривать направленный отрезок, определяемый упо­рядоченной парой точек. Про эти точки известно, какая из них первая (начало), а какая вторая (конец).

Под направленным отрезком понимают упорядоченную пару точек, первая из которых — точка А — называется его началом, а вторая — В — его концом.

Тогда под вектором понимается в простейшем случае сам направленный отрезок, а в других случаях различные векторы — это разные классы эквивалентности направленных отрезков, определяемые неким конкретным отношением эквивалентности. Причем отношение эквивалентности может быть разным, определяя тип вектора («свободный», «фиксированный» и т.д.). Проще говоря, внутри класса эквивалентности все входящие в него направленные отрезки рассматриваются как совершенно равные, и каждый может равно представлять весь класс.

Большую роль играют векторы в изучении бесконечно малых трансформаций пространства.

Определение 1. Направленный отрезок (или, что то же, упорядоченную пару точек) мы будем называть вектором . Направление на отрезке принято отмечать стрелкой. Над буквенным обозначением вектора при письме ста­вится стрелка, например: (при этом буква, соответст­вующая началу вектора, обязательно ставится впереди). В книгах часто буквы, обозначающие вектор, набираются полужирным шрифтом, например: а .

К векторам будем относить и так называемый нулевой вектор, у которого начало и конец совпадают.

Вектор, начало которого совпадает с его концом, называют нулевым. Нулевой вектор обозначается или просто 0.

Расстояние между началом и концом вектора называ­ется его длиной (а также модулем и абсолютной величи­ной). Длина вектора обозначается | | или | |. Длиной вектора, или модулем вектора, называют длину соответствующего направленного отрезка: | | = .

Векторы называются коллинеарными , если они распо­ложены на одной прямой или на параллельных прямых, короче говоря, если существует прямая, которой они параллельны.

Векторы называются компланарными , если существует плоскость, которой они параллельны, их можно изобразить векторами, лежащими на одной плоскости. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору, так как он не имеет определенного направления. Длина его, разумеется, равна нулю. Очевидно, любые два вектора компланарны; но, конечно, не каждые три вектора в пространстве компланарны. Так как векторы, параллельные друг другу, параллельны одной и той же плоскости, то коллинеарные векторы подавно компланарны. Разумеется, обратное неверно: компланарные векторы могут быть и не коллинеарными. В силу принятого выше условия нулевой вектор коллинеарен со всяким вектором и компланарен со всякой парой векторов, т.е. если среди трёх векторов хотя бы один нулевой, то они компланарны.

2) Слово «компланарные» означает в сущности: «имеющие общую плос­кость», т. е. «расположенные в одной плоскости». Но так как речь здесь идет о свободных векторах, которые можно переносить (не изменяя длины и направ­ления) произвольным образом, мы должны называть компланарными векторы, параллельные одной и той же плоскости, ибо в этом случае их можно пере­нести так, чтобы они оказались расположенными в одной плоскости.

Для сокращения речи условимся в одном термине: если несколько свободных векторов параллельны одной и той же плоскости, то мы будем говорить, что они компланарны. В частности, два вектора всегда компланарны; чтобы в этом убе­диться, достаточно отложить их от одной и той же точки. Ясно, далее, что направление плоскости, в которой параллельны два дан­ных вектора, вполне определено, если эти два вектора не парал­лельны между собою. Любую плоскость, которой параллельны данные компланарные векторы, мы будем называть просто пло­скостью данных векторов.

Определение 2. Два вектора называются равными , если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют равные длины.

Необходимо всегда помнить, что равенство длин двух векторов ещё не означает равенства этих векторов.

По самому смыслу определения, два вектора, порознь равные третьему, равны между собой. Очевидно, все нулевые векторы равны между собой.

Из этого определения непосредственно вытекает, что, выбрав любую точку А», мы может построить (и притом только один) вектор А» В», равный некоторому заданному вектору , или, как говорят, перенести вектор в точку А» .

Замечание . Для векторов нет понятий «больше» или «меньше», т.е. они равны или не равны.

Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором и обозначается через е. Единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора а, называется ортом вектора и обозначается а .

3. О другом определении вектора . Заметим, что понятие равенства векторов существенно отличается от понятия равенства, например, чисел. Каждое число равно только самому себе, иначе говоря, два равных числа при всех обстоятельствах могут рассматриваться как одно и то же число. С векторами, как мы видим, дело обстоит по-другому: в силу определения существуют различные, но равные между собой векторы. Хотя в большинстве случаев у нас не будет необходимости различать их между собой, вполне может оказаться, что в какой-то момент нас будет интересовать именно вектор , а не другой, равный ему вектор А»В».

Для того чтобы упростить понятие равенства векторов (и снять некоторые связанные с ним трудности), иногда идут на усложнение определения вектора. Мы не будем пользоваться этим усложненным определением, но сформулируем его. Чтобы не путать, мы будем писать «Вектор» (с большой буквы) для обозначения определяемого ниже понятия.

Определение 3 . Пусть дан направленный отрезок. Множество всех направленных отрезков, равных данному в смысле определения 2, называется Вектором.

Таким образом, каждый направленный отрезок определяет Век­тор. Легко заметить, что два направленных отрезка определяют один и тот же Вектор тогда и только тогда, когда они равны. Для Векторов, как и для чисел, равенство означает совпадение: два Вектора равны в том и только в том случае, когда это один и тот же Век­тор.

При параллельном переносе пространства точка и ее образ сос­тавляют упорядоченную пару точек и определяют направленный отрезок, причем все такие направленные отрезки равны в смысле определения 2. Поэтому параллельный перенос пространства можно отождествить с Вектором, составленным из всех этих направленных отрезков.

Из начального курса физики хорошо известно, что сила может быть изображена направленным отрезком. Но она не может быть изображена Вектором, поскольку силы, изображаемые равными нап­равленными отрезками, производят, вообще говоря, различные дейст­вия. (Если сила действует на упругое тело, то изображающий ее направленный отрезок не может быть перенесён даже вдоль той прямой, на которой он лежит.)

Это только одна из причин, по которым наряду с Векторами, т. е. множествами (или, как говорят, классами) равных направлен­ных отрезков, приходится рассматривать и отдельных представителей этих классов. При этих обстоятельствах применение определения 3 усложняется большим числом оговорок. Мы будем придерживаться определения 1, причем по общему смыслу всегда будет ясно, идет ли речь о вполне определенном векторе, или на его место может быть подставлен любой, ему равный.

В связи с определением вектора стоит разъяснить значение не­которых слов, встречающихся в литературе.

Физика и математика не обходятся без понятия «векторная величина». Ее необходимо знать и узнавать, а также уметь с нею оперировать. Этому обязательно стоит научиться, чтобы не путаться и не допускать глупых ошибок.

Как отличить скалярную величину от векторной?

Первая всегда имеет только одну характеристику. Это ее числовое значение. Большинство скалярных величин могут принимать как положительные, так и отрицательные значения. Их примерами может служить электрический заряд, работа или температура. Но есть такие скаляры, которые не могут быть отрицательными, например, длина и масса.

Векторная величина, кроме числовой величины, которая всегда берется по модулю, характеризуется еще и направлением. Поэтому она может быть изображена графически, то есть в виде стрелки, длина которой равна модулю величины, направленной в определенную сторону.

При письме каждая векторная величина обозначается знаком стрелки на буквой. Если идет речь о числовом значении, то стрелка не пишется или ее берут по модулю.

Какие действия чаще всего выполняются с векторами?

Сначала — сравнение. Они могут быть равными или нет. В первом случае их модули одинаковые. Но это не единственное условие. У них должны быть еще одинаковые или противоположные направления. В первом случае их следует называть равными векторами. Во втором они оказываются противоположными. Если не выполняется хотя бы одно из указанных условий, то векторы не равны.

Потом идет сложение. Его можно сделать по двум правилам: треугольника или параллелограмма. Первое предписывает откладывать сначала один вектор, потом от его конца второй. Результатом сложения будет тот, который нужно провести от начала первого к концу второго.

Правило параллелограмма можно использовать, когда нужно сложить векторные величины в физике. В отличие от первого правила, здесь их следует откладывать от одной точки. Потом достроить их до параллелограмма. Результатом действия следует считать диагональ параллелограмма, проведенную из той же точки.

Если векторная величина вычитается из другой, то они снова откладываются из одной точки. Только результатом будет вектор, который совпадает с тем, что отложен от конца второго к концу первого.

Какие векторы изучают в физике?

Их так же много, как скаляров. Можно просто запомнить то, какие векторные величины в физике существуют. Или знать признаки, по которым их можно вычислить. Тем, кто предпочитает первый вариант, пригодится такая таблица. В ней приведены основные векторные

Теперь немного подробнее о некоторых из этих величин.

Первая величина — скорость

С нее стоит начать приводить примеры векторных величин. Это обусловлено тем, что ее изучают в числе первых.

Скорость определяется как характеристика движения тела в пространстве. Ею задается числовое значение и направление. Поэтому скорость является векторной величиной. К тому же ее принято разделять на виды. Первый является линейной скоростью. Ее вводят при рассмотрении прямолинейного равномерного движения. При этом она оказывается равной отношению пути, пройденного телом, ко времени движения.

Эту же формулу допустимо использовать при неравномерном движении. Только тогда она будет являться средней. Причем интервал времени, который необходимо выбирать, обязательно должен быть как можно меньше. При стремлении промежутка времени к нулю значение скорости уже является мгновенным.

Если рассматривается произвольное движение, то здесь всегда скорость — векторная величина. Ведь ее приходится раскладывать на составляющие, направленные вдоль каждого вектора, направляющего координатные прямые. К тому же определяется он как производная радиус-вектора, взятая по времени.

Вторая величина — сила

Она определяет меру интенсивности воздействия, которое оказывается на тело со стороны других тел или полей. Поскольку сила — векторная величина, то она обязательно имеет свое значение по модулю и направление. Так как она действует на тело, то важным является еще и точка, к которой приложена сила. Чтобы получить наглядное представление о векторах сил, можно обратиться к следующей таблице.

Также еще векторной величиной является равнодействующая сила. Она определяется как сумма всех действующих на тело механических сил. Для ее определения необходимо выполнить сложение по принципу правила треугольника. Только откладывать векторы нужно по очереди от конца предыдущего. Результатом окажется тот, который соединяет начало первого с концом последнего.

Третья величина — перемещение

Во время движения тело описывает некоторую линию. Она называется траекторией. Эта линия может быть совершенно разной. Важнее оказывается не ее внешний вид, а точки начала и конца движения. Они соединяются отрезком, который называется перемещением. Это тоже векторная величина. Причем оно всегда направлено от начала перемещения к точке, где движение было прекращено. Обозначать его принято латинской буквой r.

Здесь может появиться такой вопрос: «Путь — векторная величина?». В общем случае это утверждение не является верным. Путь равен длине траектории и не имеет определенного направления. Исключением считается ситуация, когда рассматривается в одном направлении. Тогда модуль вектора перемещения совпадает по значению с путем, и направление у них оказывается одинаковым. Поэтому при рассмотрении движения вдоль прямой без изменения направления перемещения путь можно включить в примеры векторных величин.

Четвертая величина — ускорение

Оно является характеристикой быстроты изменения скорости. Причем ускорение может иметь как положительное, так и отрицательное значение. При прямолинейном движении оно направлено в сторону большей скорости. Если перемещение происходит по криволинейной траектории, то вектор его ускорения раскладывается на две составляющие, одна из которых направлена к центру кривизны по радиусу.

Выделяют среднее и мгновенное значение ускорения. Первое следует рассчитывать как отношение изменения скорости за некоторый промежуток времени к этому времени. При стремлении рассматриваемого интервала времени к нулю говорят о мгновенном ускорении.

Пятая величина — импульс

По-другому его еще называют количеством движения. Импульс векторной величиной является из-за того, что напрямую связан со скоростью и силой, приложенной к телу. Обе они имеют направление и задают его импульсу.

По определению последний равен произведению массы тела на скорость. Используя понятие импульса тела, можно по-другому записать известный закон Ньютона. Получается, что изменение импульса равно произведению силы на промежуток времени.

В физике важную роль имеет закон сохранения импульса, который утверждает, что в замкнутой системе тел ее суммарный импульс является постоянным.

Мы очень кратко перечислили, какие величины (векторные) изучаются в курсе физики.

Задача о неупругом ударе

Условие. На рельсах стоит неподвижная платформа. К ней приближается вагон со скоростью 4 м/с. и вагона — 10 и 40 тонн соответственно. Вагон ударяется о платформу, происходит автосцеп. Необходимо вычислить скорость системы «вагон-платформа» после удара.

Решение. Сначала требуется ввести обозначения: скорость вагона до удара — v 1 , вагона с платформой после сцепки — v, масса вагона m 1 , платформы — m 2 . По условию задачи необходимо узнать значение скорости v.

Правила решения подобных заданий требуют схематичного изображения системы до и после взаимодействия. Ось OX разумно направить вдоль рельсов в ту сторону, куда движется вагон.

В данных условиях систему вагонов можно считать замкнутой. Это определяется тем, что внешними силами можно пренебречь. Сила тяжести и уравновешены, а трение о рельсы не учитывается.

Согласно закону сохранения импульса, их векторная сумма до взаимодействия вагона и платформы равна общему для сцепки после удара. Сначала платформа не двигалась, поэтому ее импульс был равен нулю. Перемещался только вагон, его импульс — произведение m 1 и v 1 .

Так как удар был неупругий, то есть вагон сцепился с платформой, и дальше он стали катиться вместе в ту же сторону, то импульс системы не изменил направления. Но его значение стало другим. А именно произведением суммы массы вагона с платформой и искомой скорости.

Можно записать такое равенство: m 1 * v 1 = (m 1 + m 2) * v. Оно будет верно для проекции векторов импульсов на выбранную ось. Из него легко вывести равенство, которое потребуется для вычисления искомой скорости: v = m 1 * v 1 / (m 1 + m 2).

По правилам следует перевести значения для массы из тонн в килограммы. Поэтому при подстановке их в формулу следует сначала умножить известные величины на тысячу. Простые расчеты дают число 0,75 м/с.

Ответ. Скорость вагона с платформой равна 0,75 м/с.

Задача с разделением тела на части

Условие . Скорость летящей гранаты 20 м/с. Она разрывается на два осколка. Масса первого 1,8 кг. Он продолжает двигаться в направлении, в котором летела граната, со скоростью 50 м/с. Второй осколок имеет массу 1,2 кг. Какова его скорость?

Решение. Пусть массы осколков обозначены буквами m 1 и m 2 . Их скорости соответственно будут v 1 и v 2 . Начальная скорость гранаты — v. В задаче нужно вычислить значение v 2 .

Для того чтобы больший осколок продолжал двигаться в том же направлении, что и вся граната, второй должен полететь в обратную сторону. Если выбрать за направление оси то, которое было у начального импульса, то после разрыва большой осколок летит по оси, а маленький — против оси.

В этой задаче разрешено пользоваться законом сохранения импульса из-за того, что разрыв гранаты происходит мгновенно. Поэтому, несмотря на то что на гранату и ее части действует сила тяжести, она не успевает подействовать и изменить направление вектора импульса с его значением по модулю.

Сумма векторных величин импульса после разрыва гранаты равна тому, который был до него. Если записать закон сохранения в проекции на ось OX, то он будет выглядеть так: (m 1 + m 2) * v = m 1 * v 1 — m 2 * v 2 . Из него просто выразить искомую скорость. Она определится по формуле: v 2 = ((m 1 + m 2) * v — m 1 * v 1) / m 2 . После подстановки числовых значений и расчетов получается 25 м/с.

Ответ. Скорость маленького осколка равна 25 м/с.

Задача про выстрел под углом

Условие. На платформе массой M установлено орудие. Из него производится выстрел снарядом массой m. Он вылетает под углом α к горизонту со скоростью v (данной относительно земли). Требуется узнать значение скорости платформы после выстрела.

Решение. В этой задаче можно использовать закон сохранения импульса в проекции на ось OX. Но только в том случае, когда проекции внешних равнодействующих сил равна нулю.

За направление оси OX нужно выбрать ту сторону, куда полетит снаряд, и параллельно горизонтальной линии. В этом случае проекции сил тяжести и реакции опоры на OX будут равны нулю.

Задача будет решена в общем виде, так как нет конкретных данных для известных величин. Ответом в ней является формула.

Импульс системы до выстрела был равен нулю, поскольку платформа и снаряд были неподвижны. Пусть искомая скорость платформы будет обозначена латинской буквой u. Тогда ее импульс после выстрела определится как произведение массы на проекцию скорости. Так как платформа откатится назад (против направления оси OX), то значение импульса будет со знаком минус.

Импульс снаряда — произведение его массы на проекцию скорости на ось OX. Из-за того, что скорость направлена под углом к горизонту, ее проекция равна скорости, умноженной на косинус угла. В буквенном равенстве это будет выглядеть так: 0 = — Mu + mv * cos α. Из нее путем несложных преобразований получается формула-ответ: u = (mv * cos α) / M.

Ответ. Скорость платформы определяется по формуле u = (mv * cos α) / M.

Задача о переправе через реку

Условие. Ширина реки по всей ее длине одинакова и равна l, ее берега параллельны. Известна скорость течения воды в реке v 1 и собственная скорость катера v 2 . 1). При переправе нос катера направлен строго к противоположному берегу. На какое расстояние s его снесет вниз по течению? 2). Под каким углом α нужно направить нос катера, чтобы он достиг противоположного берега строго перпендикулярно к точке отправления? Сколько времени t потребуется на такую переправу?

Решение. 1). Полная скорость катера является векторной суммой двух величин. Первая из них течение реки, которое направлено вдоль берегов. Вторая — собственная скорость катера, перпендикулярная берегам. На чертеже получается два подобных треугольника. Первый образован шириной реки и расстоянием, на которое сносит катер. Второй — векторами скоростей.

Из них следует такая запись: s / l = v 1 / v 2 . После преобразования получается формула для искомой величины: s = l * (v 1 / v 2).

2). В этом варианте задачи вектор полной скорости перпендикулярен берегам. Он равен векторной сумме v 1 и v 2 . Синус угла, на который должен отклоняться вектор собственной скорости, равен отношению модулей v 1 и v 2 . Для расчета времени движения потребуется разделить ширину реки на сосчитанную полную скорость. Значение последней вычисляется по теореме Пифагора.

v = √(v 2 2 — v 1 2), тогда t = l / (√(v 2 2 — v 1 2)).

Ответ. 1). s = l * (v 1 / v 2), 2). sin α = v 1 / v 2 , t = l / (√(v 2 2 — v 1 2)).

Академия занимательных наук. Физика — Формула расчёта скорости. Определение вектора скорости. Видеоуроки физики

Формула расчёта скорости. Определение вектора скорости. Видеоуроки физики

Выпуск 13

В видеоуроке физики от Академии занимательных наук профессор Кварк со своими ассистентами познакомят ребят с понятием скорости. Это очень нужное знание, которое может здорово пригодиться в жизни. Речь пойдет о формуле расчёта скорости и её применении на практике, а также про определение вектора скорости, которое может понадобиться, если от цели нас начнёт отклонять какая-нибудь сила.

Формула расчёта скорости

Как узнать, за сколько минут нужно выйти из дома, чтобы не опоздать в школу? При решении этой задачи на помощь приходит формула расчёта скорости. Формула расчёта скорости выглядит так: V=S/t Это означает, что для того, чтобы найти скорость, нужно пройденное расстояние разделить на время, за которое оно было пройдено. Достаточно лишь немного изменить  формулу расчёта скорости и мы получим формулу для расчёта необходимого на дорогу времени. Скорость идущего человека равна приблизительно 5 километров в час. Длина одного квартала составляет около 200 метров. Если, к примеру, школа находится в пяти кварталах от дома, время, за которое мы дойдём до неё равно примерно за 10 минут. А что если нам нужно вычислить, за какое время мы доберёмся до пункта назначения по реке, на пароходе? Казалось бы, в этом случае формула расчёта скорости должна быть той же самой. Но на самом деле формула расчёта скорости должна быть немного дополнена. Дело в том, что у реки есть течение. И в зависимости от того, в какую сторону плывёт пароход (вверх по течению или вниз), нужно отнять от его скорости скорость течения или прибавить её. Если пароход плывёт по течению, формула расчёта времени его пути будет такой: t=  S/(Vпар.+Vтеч.)

Определение вектора скорости

А как же быть в случаях, когда мы плывём не против течения и не по течению? В этих случаях течение вмешивается в наши планы и мы можем оказаться совсем не там, где рассчитывали. Дело в том, что скорость это векторная величина. Это значит, что скорость не существует без направления. Вектор как раз и означает направление. Определение вектора скорости поможет нам рассчитать, какое действие окажет течение на нас. Благодаря такому расчёту станет возможным внести поправку в вектор нашего движения и мы прибудем точно в то место, в какое собирались.Таким образом, можно сказать, что скорость — это векторная физическая величина, характеризующая быстроту перемещения и направление движения материальной точки относительно выбранной системы отсчёта.

Формулы векторов

1. Координаты вектора

Если вектор задан координатами своих начала и конца: , то его координаты равны разности соответствующих координат конца и начала:

   

2. Длина или модуль вектора

Если вектор , то его длина равна корню квадратному из суммы квадратов координат:

   

3. Сумма векторов

Если векторы и заданы своими координатами, то суммой этих векторов есть вектор, координаты которого равны сумме соответствующих координат векторов-слагаемых:

   

4. Умножение вектора на число

Чтобы найти произведение вектора на некоторое число , нужно каждую координату заданного вектора умножить на это число:

   

5. Скалярное произведение векторов

Если векторы и заданы своими координатами, то их скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат:

   

6. Векторное произведение векторов

Если векторы и заданы своими координатами в некотором ортонормированном базисе , то их векторное произведение находится по формуле:

   

7. Смешанное произведение векторов

Если заданы три вектора и , то их смешанное произведение равно определителю, по строкам которого записаны координаты этих векторов:

   

Замечание. Обычно такой определитель вычисляется методом треугольников.

8. Угол между векторами

Косинус угла между двумя векторами и , заданными своими координатами, равен частному скалярного произведения этих векторов и произведению их модулей:

   

9. Проекция вектора на вектор

Проекция вектора на направление вектора равна отношение скалярного произведения этих векторов к модулю вектора :

   

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Векторный способ решения задач по физике при подготовке к ЕГЭ. Шмелева Гульджихан Равильевна учитель физики лицей 384 Санкт- Петербург

3. Законы сохранения в механике

Выдержки из книги Горбатого ИН «Механика» 3 Законы сохранения в механике 3 Импульс тела Закон сохранения импульса Импульсом p материальной точки называется векторная величина, равная произведению массы

Подробнее

Образовательный портал «РЕШУ ЕГЭ» (

Закон сохранения импульса, второй закон Ньютона в импульсной форме 1. Два тела движутся по взаимно перпендикулярным пересекающимся прямым, как показано на рисунке. Модуль импульса первого тела равен а

Подробнее

1) 135 кг 2) 150 кг 3) 1350 кг 4) 1500 кг

Задание 3. Закон сохранения импульса. Закон сохранения энергии 3.1. Тело массой m, брошенное с поверхности земли вертикально вверх с начальной скоростью υ 0, поднялось на максимальную высоту h 0. Сопротивление

Подробнее

Курсы подготовки к ЕГЭ по физике

Курсы подготовки к ЕГЭ по физике Механика. Задание 9 Учитель физики: Бабчик И.И. Учебное заведение: МБОУ лицей 1 г. Сургут, 019 г. Задание 9. Основные вопросы 1 1. Кинематика Задача 1 Задача 7. Движение

Подробнее

Занятие 1. Вариант t

Занятие. Вариант… Тело движется равномерно по окружности. Найти отношение пройденного пути к величине перемещения тела за четверть периода движения… 3. 4. 3… Движение тела является равномерным, если:.

Подробнее

Демонстрационный вариант 1

Тестовые задания на экзамене по курсу «Физика. Механика. Термодинамика» Демонстрационный вариант 1 1. Материальная точка движется равномерно по окружности со скоростью v. Определите модуль изменения вектора

Подробнее

Глава 3. Закон сохранения импульса

37 Глава 3. Закон сохранения импульса Задача 1. Тело массой 2 кг свободно падает без начальной скорости с высоты 5 м на горизонтальную поверхность и отскакивает от нее со скоростью 5 м/с. Найдите абсолютную

Подробнее

Динамика. Законы сохранения

Динамика. Законы сохранения Лекция-видеопрезентация по физике для слушателей подготовительного отделения Составитель М.Н. Бардашевич, ассистент кафедры довузовской подготовки и профориентации 5. Динамика

Подробнее

mυ 2 /R = qυb. sin α = d/r

Задача 1 Альфа-частица, пройдя ускоряющую разность потенциалов U, влетает в однородное магнитное поле с индукцией В. Толщина области поля d. Определите, на сколько изменится ее импульс за время пролета

Подробнее

Законы сохранения в механике

Законы сохранения в механике Существуют такие величины — функции состояния, которые обладают весьма важным и замечательным свойством сохраняться во времени. Среди этих сохраняющихся величин наиболее важную

Подробнее

4. Механика. Законы сохранения.

4. Механика. Законы сохранения. 2005 1. Тележка массой 2 кг, движущаяся со скоростью 3 м/с, сталкивается с неподвижной тележкой массой 4 кг и сцепляется с ней. Найдите скорость обоих тележек после взаимодействия.

Подробнее

Вопрос N 1 Два бруска с массами m 1

Билет N 5 Билет N 4 Вопрос N 1 На тело массой m 2,0 кг начинает действовать горизонтальная сила, модуль которой линейно зависит от времени: F t, где 0.7 Н/с. Коэффициент трения k 0,1. Определить момент

Подробнее

Занятие 7 Законы сохранения

Занятие 7 Законы сохранения Задача 1 На рисунке изображены графики изменения скоростей двух взаимодействующих тележек разной массы (одна тележка догоняет и толкает другую). Какую информацию о тележках

Подробнее

З А Д А Ч А 6. P 2 3 P 1 V 1 V 2. A α

Первый (отборочный) этап академического соревнования Олимпиады школьников «Шаг в будущее» по образовательному предмету «Физика», осень г Вариант 9 З А Д А Ч А Тело массы кг движется по оси x по закону

Подробнее

КИНЕМАТИКА ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ

КИНЕМАТИКА ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ 2.1. Понятие механики, модели в механике 2.2. Система отсчета, тело отсчета 2.3. Кинематика материальной точки 2.3.1. Путь, перемещение 2.3.2. Скорость 2.3.3. Проекция

Подробнее

Задания к контрольной работе

Задания к контрольной работе Если ученик выполнил все тестовые задания и ответил на теоретический вопрос, то за выполненную работу ставится отметка «4». Отметка «5» ставится за выполнение всех заданий

Подробнее

Решение задач по теме «Магнетизм»

Решение задач по теме «Магнетизм» Магнитное поле- это особая форма материи, которая возникает вокруг любой заряженной движущейся частицы. Электрический ток- это упорядоченное движение заряженных частиц

Подробнее

Будем изучать физику вместе

Расскажи мне и я забуду, Покажи мне и я запомню, Вовлеки меня и я научусь! Конфуций (6-й век до нашей эры) Учебник реализует системно-деятельностный поход к изу- Будем изучать физику вместе чению физики.

Подробнее

= const. r r. 1 m Законы Ньютона

5.3. Законы Ньютона При рассмотрении движении материальной точки в рамках динамики решаются две основные задачи. Первая или прямая задача динамики заключается в определении системы действующих сил по заданным

Подробнее

9 класс Тесты для самоконтроля ТСК

ТСК 9.1.14 1.Тело массой m движется со скоростью. Как найти импульс тела? 1) 2) 3) 4) 2. На левом рисунке представлены векторы скорости и ускорения тела. Какой из четырех векторов на правом рисунке указывает

Подробнее

уч. год. 3, 9 кл. Физика. Динамика.

006-007 уч. год. 3, 9 кл. Физика. Динамика. 6. Примеры решения задач Приступая к решению задач, сделаем несколько общих замечаний. Во-первых, при решении задач нужно прежде всего выяснить, какие силы действуют

Подробнее

Лабораторная работа 122

1 Лабораторная работа 1 Применение закона сохранения импульса при изучении центрального удара шаров. Цель работы: изучение центрального удара шаров с применением закона сохранения импульса, расчет величины

Подробнее

Что такое вектор? — Определение и типы — Видео и стенограмма урока

Примеры векторов

В физике есть много примеров векторных величин. Мы уже упоминали смещение и скорость. Но ускорение — это тоже вектор. Сила — это вектор, потому что, давя на что-то, вы всегда толкаете в определенном направлении.

Итак, у вас есть векторы толкающей силы, но также векторы гравитационной силы, векторы электрической силы и векторы магнитной силы.Поля также являются векторами: у вас может быть вектор для напряженности гравитационного поля, напряженности электрического поля и напряженности магнитного поля. Но все это довольно абстрактные концепции. А в повседневной жизни?

Хотя явных примеров векторов в жизненном опыте большинства людей гораздо меньше, есть пара. Например, если вы когда-либо видели традиционную карту скорости ветра в сводке погоды, с множеством стрелок разного размера, это тоже примеры векторов.Стрелки большего размера указывают на более сильный ветер, а направление стрелки показывает, куда направлен ветер. Итак, карта скорости ветра — это карта векторов.

Управление векторами

Представление количества в виде вектора имеет свои преимущества, и эти преимущества заключаются в том, как вы можете ими манипулировать.

Если трое ваших детей тянут вас за руки в трех разных направлениях, как узнать, какой ребенок победит? Что ж, если вы можете представить эти силы в виде векторов, все, что вам нужно сделать, это добавить их кончик к хвосту (графически) или добавить компоненты x и y (математически).Таким образом вы можете складывать или вычитать векторы, чтобы найти итог; результирующий. Результирующий вектор — это общая сила.

Или, если вы стреляете из пушки под углом 60 градусов, вы можете представить это как вектор и использовать геометрию треугольника, чтобы разбить его на скорость в направлении x и скорость в направлении y . . Это значительно упрощает понимание движения пушечного ядра.

Мы поговорим о каждом из них более подробно в других видеороликах о векторах, но именно благодаря этим математическим и графическим процессам векторы становятся чрезвычайно полезными для понимания физических явлений.

Резюме урока

Вектор — это величина, которая имеет как величину (числовой размер), так и направление. Это противоположность скаляру , который является величиной, которая имеет только величину и не имеет направления.

Скорость — это скаляр: например, 60 миль в час. Скорость — это вектор: 60 миль в час на север. Расстояние — скаляр: всего четыре мили. Смещение — это вектор: две мили от вашей исходной позиции. Любая величина, в которой имеет значение направление, является векторной величиной.

Векторы схематически представлены стрелкой. Длинная стрелка представляет собой большое число, а маленькая стрелка представляет собой небольшое число. Направление стрелки обозначает направление.

Примеры векторов включают смещение, скорость, ускорение, силу и напряженность поля. Обычным примером вектора может быть стрелка на карте погоды со скоростью ветра.

Векторы позволяют выполнять всевозможные математические манипуляции, например разбивать вектор на компоненты x и y или складывать два вектора для нахождения общей суммы.Это делает их чрезвычайно полезными для понимания физических явлений.

Результаты обучения

После того, как вы закончите этот урок, вы должны уметь:

  • Описывать вектор и скаляр
  • Вспомните примеры векторов
  • Объясните использование векторов в математике

Определение единичного вектора в физике.

Примеры единичного вектора в следующих темах:

  • Единичные векторы и умножение на скаляр

    • Помимо добавления векторов , векторов также можно умножить на константы, известные как скаляры.
    • Полезной концепцией при изучении векторов и геометрии является концепция единиц вектора .
    • Единица Вектор — это вектор с длиной или величиной, равной единице.
    • Единица векторов различны для разных координат.
    • Единица Векторы в декартовых координатах описывают круг, известный как «круг единицы », который имеет радиус один.
  • Умножение векторов на скаляр

    • Умножение вектора на скаляр изменяет величину вектора , но не направление.
    • Точно так же, если вы возьмете число 3, которое является чистым скаляром без единиц и умножите его на вектор , вы получите версию исходного вектора , которая в 3 раза длиннее.
    • Большинство из единиц , используемых в величинах вектора , по сути являются скалярами, умноженными на вектор .
    • Например, единица метров в секунду, используемая в скорости, которая представляет собой вектор , состоит из двух скаляров, которые являются величинами: скаляр длины в метрах и скаляр времени в секундах.
    • Чтобы сделать это преобразование из величин в скорость, нужно умножить элемент вектор в определенном направлении на эти скаляры.
  • Проецирование векторов на другие векторы

    • Рисунок 3.1 иллюстрирует основную идею проецирования одного вектора на другой.
    • Что нам нужно сделать, так это умножить $ \ | \ mathbf {b} \ | \ cos \ theta $ на единицу вектор в направлении $ \ mathbf {a} $.
    • Очевидно, что удобная единица вектор в направлении $ \ mathbf {a} $ — это $ \ mathbf {a} / \ | \ mathbf {a} \ | $, что равно
    • Итак, вектор в $ \ mathbf {a} $ с длиной $ \ | \ mathbf {b} \ | \ cos \ theta $ задается числом
    • Пусть $ \ mathbf {a} $ и $ \ mathbf {b} $ будут любыми двумя векторами .
  • Суперпозиция сил

    • Принцип суперпозиции (свойство суперпозиции) гласит, что для всех линейных сил общая сила равна векторной сумме отдельных сил.
    • Следовательно, принцип предполагает, что общая сила — это вектор сумма индивидуальных сил.
    • Результирующий вектор силы оказывается параллельным вектору электрического поля в этой точке, с удаленным точечным зарядом.
    • где qi и ri — величина и положение вектора i-го заряда, соответственно, а $ \ boldsymbol {\ widehat {R_i}} $ — это единица вектор в направлении $ \ boldsymbol { R} _ {i} = \ boldsymbol {r} — \ boldsymbol {r} _i $ (вектор , указывающий от зарядов qi к q.)
    • Полная сила, влияющая на движение заряда, будет векторной суммой двух сил.
  • Сложение и вычитание векторов с использованием компонентов

    • Другой способ добавления векторов — добавить компоненты.
    • Например, вектор с длиной 5 под углом 36,9 градуса к горизонтальной оси будет иметь горизонтальную составляющую 4 единиц и вертикальную составляющую 3 единиц .
    • Эта новая строка является результирующим вектором .
    • Вектор на этом изображении имеет величину 10,3 единиц и направление на 29,1 градуса выше оси x.
    • Вектор : сложение, урок 2 из 2: Как добавить векторов по компонентам
  • Материя существует в пространстве и времени

    • Логически начальные знания векторов, , векторов, пробелов и векторной алгебры необходимы для понимания его идей.
    • Примеры этого раздела относятся к представлению пространства как начала координат, координат и базиса вектора вектора .
    • Спасение лестничной стрелы: Vector Анализ является методическим.
    • Каждый вектор имеет компонент и форму величины-направления.
    • Ньютон использовал векторов и исчисление, потому что ему была нужна эта математика.
  • Положение, смещение, скорость и ускорение как векторы

    • Векторы могут использоваться для представления физических величин.
    • Векторы представляют собой комбинацию величины и направления и отображаются в виде стрелок.
    • Поскольку векторов построены таким образом, полезно анализировать физические величины (как с размером, так и с направлением) как векторов .
    • Например, при рисовании вектора , который представляет величину 100, можно нарисовать линию длиной 5 единиц в масштабе $ \ displaystyle \ frac {1} {20} $.
    • При рисовании вектора величина важна только как способ сравнения двух векторов из одних и тех же единиц .
  • Угловые и линейные величины

    • Обратите внимание, что есть два вектора , перпендикулярных любой плоскости.
    • единиц угловой скорости — радианы в секунду.
    • Тем не менее, его угловая скорость постоянна, так как он непрерывно сметает постоянную длину дуги за единиц времени .
    • Векторная диаграмма , иллюстрирующая круговое движение.
    • Красный вектор — это вектор угловой скорости , направленный перпендикулярно плоскости движения и имеющий величину, равную мгновенной скорости.
  • Компоненты вектора

    • Все векторы имеют длину, называемую величиной, которая представляет некоторое качество, представляющее интерес, так что вектор можно сравнивать с другим вектором .
    • Векторы , будучи стрелками, тоже имеют направление.
    • Чтобы визуализировать процесс разложения вектора на его компоненты, начните с рисования вектора из начала набора координат.
    • Это горизонтальный компонент вектора .
    • Он также использует демонстрацию, чтобы показать важность сложения векторов и векторов .
  • Сложение и вычитание векторов графически

    • Нарисуйте новый вектор от начала до конца последнего вектора .
    • Поскольку векторов являются графическими визуализациями, сложение и вычитание векторов можно выполнять графически.
    • Эта новая строка представляет собой вектор , полученный в результате сложения этих векторов вместе.
    • Затем, чтобы вычесть вектор , действуйте так, как если бы добавляли противоположность этому вектору .
    • Нарисуйте новый вектор от начала до конца последнего вектора .

векторов, скаляров и систем координат — College Physics

Цели обучения

  • Определение и различие между скалярными и векторными величинами.
  • Назначьте систему координат для сценария, включающего одномерное движение.
Движение этой струи Eclipse Concept можно описать с помощью пройденного ею расстояния (скалярная величина) или ее смещения в определенном направлении (векторная величина). Чтобы указать направление движения, его перемещение должно быть описано в системе координат. В этом случае может быть удобно выбрать движение влево как положительное движение (это прямое направление для плоскости), хотя во многих случаях -координата проходит слева направо, а движение вправо считается положительным и движение влево как отрицательное.(Источник: Armchair Aviator, Flickr)

В чем разница между расстоянием и смещением? В то время как смещение определяется как направлением, так и величиной, расстояние определяется только величиной. Смещение — это пример векторной величины. Расстояние — это пример скалярной величины. Вектор — это любая величина с величиной и направлением . Другие примеры векторов включают скорость 90 км / ч на восток и силу 500 ньютонов прямо вниз.

Направление вектора в одномерном движении задается просто знаком плюс или минус.Векторы графически представлены стрелками. Стрелка, используемая для представления вектора, имеет длину, пропорциональную величине вектора (например, чем больше величина, тем больше длина вектора), и указывает в том же направлении, что и вектор.

Некоторые физические величины, такие как расстояние, либо не имеют направления, либо не указаны. Скаляр — это любая величина, имеющая величину, но не направление. Например, температура, 250 килокалорий (250 калорий) энергии в шоколадном батончике, ограничение скорости 90 км / ч, 1 человека.Высота 8 м и расстояние 2,0 м — все это скаляры — величины без определенного направления. Однако обратите внимание, что скаляр может быть отрицательным, например, температура. В этом случае знак минус указывает точку на шкале, а не направление. Скаляры никогда не изображаются стрелками.

Системы координат для одномерного движения

Чтобы описать направление векторной величины, вы должны указать систему координат в системе отсчета. Для одномерного движения это простая система координат, состоящая из одномерной координатной линии.В общем, при описании горизонтального движения движение вправо обычно считается положительным, а движение влево — отрицательным. При вертикальном движении движение вверх обычно положительное, а движение вниз — отрицательное. Однако в некоторых случаях, как в случае струи на (Рисунок), может быть удобнее переключать положительное и отрицательное направления. Например, если вы анализируете движение падающих объектов, может быть полезно определить направление вниз как положительное. Если участники забега бегут влево, полезно определить влево как положительное направление.Это не имеет значения, если система ясна и последовательна. Как только вы зададите положительное направление и начнете решать проблему, вы не сможете ее изменить.

Обычно удобно рассматривать движение вверх или вправо как положительное, а движение вниз или влево как отрицательное.

Проверьте свое понимание

Скорость человека может оставаться такой же, когда он или она поворачивает за угол и меняет направление. Учитывая эту информацию, является ли скорость скалярной или векторной величиной? Объяснять.

Скорость — это скалярная величина. Он совершенно не меняется при смене направления; следовательно, он имеет только величину. Если бы это была векторная величина, она бы изменилась при изменении направления (даже если бы ее величина оставалась постоянной).

Сводка раздела

  • Вектор — это любая величина, имеющая величину и направление.
  • Скаляр — это любая величина, которая имеет величину, но не имеет направления.
  • Смещение и скорость — это векторы, а расстояние и скорость — скаляры.
  • В одномерном движении направление указывается знаком плюс или минус для обозначения влево или вправо, вверх или вниз и т.п.

Концептуальные вопросы

Студент пишет: « Птица, ныряющая за добычей, имеет скорость ». Что не так с утверждением студента? Что на самом деле описал студент? Объяснять.

Какова скорость птицы на (рисунок)?

Ускорение — это изменение скорости во времени.Учитывая эту информацию, является ли ускорение векторной или скалярной величиной? Объяснять.

В прогнозе погоды указано, что температура ожидается на следующий день. Является ли эта температура векторной или скалярной величиной? Объяснять.

Глоссарий

скаляр
величина, описываемая величиной, но не направлением
вектор
величина, описываемая как величиной, так и направлением
Геометрия

— Почему вектор определяется как одна прямая линия?

Все данные ответы верны (насколько я знаю), но я чувствую, что существует разрыв между основным характером вашего вопроса и очень сложным содержанием этих ответов.Итак, вот попытка моего непрофессионала объяснить это простыми словами:

Векторы определяются как «путешествие» из точки A в точку B.

Вы могли подумать, что для этого нужно определить две точки: начало (A) и конец (B). Однако векторы решили использовать соглашение, согласно которому начало всегда считается исходной точкой:

  • (0,0) в двухмерной плоскости
  • (0,0,0) в трехмерном пространстве
  • и так далее

Следовательно, все, что нам нужно записать, — это конечная точка (B), которую мы называем «вектором».

С точки зрения данных вектор — это просто координата точки. Однако из-за правила «начинать с начала координат», используемого с векторами, векторы фактически представляют собой перемещение от исходной точки до указанной точки .

Я понял, что векторы составлены по направлению и величине, которые представляют собой разницу между двумя точками

Все наоборот. Векторы состоят из двух точек (ну, как уже говорилось, неявного источника и специально выбранной точки), а направление / величина вектора является следствием этой специально выбранной точки.

Вы можете объединить / подумать о полярных (угол и расстояние) и декартовых (классические x, y ) координатах вместо векторов.

Хотя между этими двумя типами координат (угол, расстояние, x, y ) и вектором (направление, величина и определенная точка B) много общего с точки зрения информации, которую они содержат, вектора выражают нечто, что концептуально очень разный .

Координаты представляют фиксированное состояние , т.е.е. снимок. Лондон [здесь]. Пэрис [здесь].

Векторы представляют преобразование , то есть разницу между двумя снимками. Самолет летит [из Лондона в Париж].

Но почему они прямые?

Ну, проще говоря, потому что это самый простой и понятный (каламбур) способ представить себе путешествие из одной точки в другую.

Если я спрошу вас, какое расстояние между Лондоном и Парижем, вы подумаете о расстоянии по прямой, не так ли? Вы не указываете мне расстояние, на которое я могу добраться от Парижа до Берлина, до Пекина, до Лос-Анджелеса, от Нью-Йорка до Лондона, не так ли?

И даже когда вы теперь думаете об этом маршруте Париж-Берлин-Пекин-Лос-Анджелес-Нью-Йорк-Лондон, я готов поспорить, что вы все еще , думая об индивидуальных расстояниях по прямой между каждым городом.

Это своего рода доказательство того, что прямые линии — самый простой способ думать о вещах.
Существует бесконечно много «извилистых» способов путешествовать между двумя точками, но есть только один способ путешествовать по прямой. Поэтому движение по прямой считается неявным стандартом.

Но что, если я хочу ехать по кривой?

Важно учитывать, что, говоря о векторах, вы говорите только о начальной и конечной точке с мгновенным временем прохождения.Вы действительно не учитываете промежуточные места. Все, что вас интересует, — это точное начало путешествия и его точный конец.

Для простоты: думайте об этом как о телепортации.

Почему? Что ж, допустим, есть интересная точка C, которую вы проходите, путешествуя из A в B.
Вместо того, чтобы каким-то образом определять интересную точку в середине вектора, гораздо проще просто разбить вектор на два отдельных вектора. : От A к C и от C к B.

Это значительно упрощает рассмотрение векторов, потому что вы можете полностью игнорировать все, что находится между A и B. И если есть что-то, что вы не хотите игнорировать (C), вы разбиваете свои векторы, чтобы они выбирались из одного интересного точка (A или C) на следующую (C или B соответственно).

Это похоже на планирование маршрута GPS как отдельных маршрутов между остановками, в отличие от одного маршрута с множеством остановок. Оба имеют смысл по-своему для человека. Но с чисто математической точки зрения, разбиение вектора на отдельные маршруты значительно упрощает работу, поэтому это предпочтительный подход.

Итак, если вы хотите смоделировать кривую, вы моделируете ее как комбинацию векторов, например:

Чем больше векторов вы используете, тем точнее будет ваша кривая. Это баланс между точностью и усилием, которое вы должны нанести.

Тангенциально: компьютерная графика не может точно отображать кривые. Они используют МНОГО прямых линий, так много, что человеческий глаз не может различить их, что технически это не кривая. Пример:

Каждая черная линия на всех изображениях прямая.Но вы действительно не можете больше видеть это на изображениях справа, потому что ваш разум предполагает, что это должна быть идеальная сфера, поскольку она похожа на вроде .

Почему это так? Ну, проще говоря, потому что с прямыми линиями гораздо проще иметь дело, чем с кривыми, с точки зрения вычислений. Разница в вычислительной сложности настолько велика, что компьютер более способен обрабатывать вычисления, включающие десятков тысяч определенных многоугольников, в отличие от вычислений для одной определенной сферы.

Различные типы векторов в физике и их примеры

В этом разделе мы узнаем о различных типах векторов, таких как единичный, свободный, нулевой вектор, например, непохожий, копланарный, положение, начальный, правильный, отрицательный и равный векторы. Далее мы будем учиться на примерах векторов, чтобы лучше понять.
Предлагаемое видео:

Типы векторов

В целом векторы можно разделить на три типа.
Типы векторов

  • Правильные векторы
  • Осевые векторы
  • Инерционные или псевдо-векторы

Правильные векторы

Смещение, сила, импульс и т. Д. — правильные векторы.

Осевые векторы

Векторы, действующие вдоль оси вращения, называются аксиальными векторами. Например, угловая скорость, крутящий момент, угловой момент, угловое ускорение являются осевыми векторами.

Псевдо или инерционные векторы

Векторы, используемые для преобразования инерциальной системы отсчета в инерциальную систему отсчета, называются псевдо или инерциальными векторами.Вектор можно дополнительно разделить как:

Единичный вектор — это вектор, величина которого равна единице, то есть 1, и имеет только любое заданное направление. Единичный вектор получается делением вектора на величину.

Вектор, который может быть перемещен параллельно самому себе и применен в любой точке, называется свободным вектором.


Вектор, который представляет положение точки относительно фиксированной точки, называется вектором положения


Вектор, имеющий ту же величину, что и данный вектор, но противоположное направление, называется отрицательным вектором.

  • Нулевой вектор

  • Вектор, величина которого равна нулю и не имеет направления, он может иметь все направления, называется нулевым вектором. Нулевой вектор может быть получен путем сложения двух или более векторов.
  • Подобные или параллельные векторы

Если два вектора имеют одинаковое направление, но разную величину, это называется параллельными или подобными векторами.

Называются два вектора, имеющие противоположные направления и разные величины, в отличие от векторов.

Два вектора считаются равными, если они имеют равные величины.

Если векторы имеют общую начальную точку, то эти типы векторов называются ко-начальными векторами.

Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной прямой или параллельно.

  • C0-планарные векторы

  • Векторы, лежащие в одной плоскости, называются компланарными векторами.

Связанные темы

Концепция векторов и скаляров в физике — PhysicsGoEasy

Эта статья о векторах и скалярах в физике дает общее представление об обеих этих величинах.Здесь мы определили обе эти величины и создали список, содержащий примеры векторных и скалярных величин. В этой статье вы также узнаете различия и некоторые сходства между скалярными и векторными величинами.
Векторы — одно из важнейших понятий математики. Векторы находят широкое применение в таких областях, как

  • Геометрия
  • Механика
  • Прикладная математика
  • Машиностроение
  • Физика
  • Информатика и т. Д.

Здесь мы обсудим векторы в контексте физики. Изучая физику


Введение в векторы и скаляры в физике


, мы сталкиваемся с различными физическими величинами. Эти величины обычно бывают двух типов:

  • Скалярные величины: Они имеют только величину.
  • Количество векторов: У них есть и величина, и направление.

Определение скалярной величины


Те величины, которые имеют только величину и не относятся к какому-либо фиксированному направлению в пространстве, называются скалярными величинами.

Чтобы представить скалярную величину, мы присваиваем ей действительное число, которое дает величину рассматриваемой величины. Мы также прикрепляем единицу к этому количеству, например, число 20 может означать что угодно, но если мы связываем это число с длиной, мы должны связать с ним единицу. Эта единица показывает порядок величины рассматриваемой величины, поскольку длина 20 км больше, чем длина 20 м, а длина 20 м больше 20 см.

Таким образом, вы должны указать единицу рассматриваемой скалярной величины, иначе количество не будет иметь четкого значения.


Примеры скалярных величин


При изучении физики мы сталкиваемся с множеством скалярных величин. Ниже приведен список скалярных количеств некоторых часто используемых скаляров

  • Масса
  • Объем
  • Плотность
  • Работа
  • Скорость
  • Энергия
  • Мощность
  • Площадь
  • Объем
  • Время
  • Температура
  • Расстояние
  • Ток
  • Разница потенциалов
  • Сопротивление
  • Заряд и т. Д.

Определение векторной величины


Физические величины, которые имеют как величину, так и направление, известны как векторные величины.

Здесь важно отметить, что в дополнение к величине и направлению две векторные величины одного и того же вида должны соединяться в соответствии с законом параллелограмма сложения векторов. Если они не сложатся по закону параллелограмма сложения векторов, то они не будут считаться векторами.

Например, повороты твердого тела на конечные углы имеют как величину, так и направление, но они не удовлетворяют закону параллелограмма сложения векторов.


Примеры векторных величин


В приведенном ниже списке показаны некоторые примеры векторных величин в физике

  • Смещение
  • Скорость
  • Ускорение
  • Сила
  • Вес
  • Импульс
  • Давление
  • Импульс
  • Сила тяжести
  • Крутящий момент
  • Электрическое поле
  • Магнитное поле
  • Угловая скорость
  • Угловой момент
  • Электрический поток
  • Угловое ускорение и т. Д.

Список скалярных и векторных величин в табличной форме



Разница между скалярными и векторными величинами



Сходства между скалярами и векторами


Несмотря на различия, есть несколько сходств между векторами и скалярами

  • Оба они выражают определенные физические величины.
  • Обе эти величины можно измерить. То есть эти количества можно определить количественно.
  • Обе эти физические величины имеют размеры и единицы измерения
Дополнительная литература

Введение в векторы

Введение в векторы

Введение в Vectors
Джон Денкер

1 Обзор

В этом документе рассматриваются основы того, что мы подразумеваем под «вектором».Это больше обзор, чем введение или руководство. Он пытается Избегайте некоторых заблуждений, которые часто перерастают в простые обсуждение векторов.

* Содержание

2 Основные свойства

2.1 Направление и величина

Вектор — это нечто, имеющее направление и величину. Это «Начальная школа» определение вектора, но это правда, важно, надежный, а на самом деле довольно сложный.

Неформально вектор можно представить в виде стрелки.Например, в На рисунке 1 все векторы имеют одинаковое направление (но разной величины). Между тем, на рисунке 2, все векторы имеют одинаковую величину (но разные направления).

Рисунок 1: Векторы с одинаковым направлением Рисунок 2: Векторы с одинаковой величиной

Вот реальный пример: скорость — это вектор, потому что у него есть и направление и величина.И величина, и направление равны важный. Рассмотрим контраст, как показано на рисунке 3:

  • В точке А машина движется со скоростью А, а именно 20 метров в секунду на северо-запад. В точке c автомобиль движется со скоростью C, которая такая же, а именно 20 метров за второй к северо-западу.
  • В точке b машина движется с той же скоростью в сторону юго-восток. Несмотря на то, что величина такая же, направление отличается, поэтому скорость B отличается от скорости A и C.

2.2 Перемещение

Единственное, чего нет у вектора, — это расположение . Все стрелки на рисунке 4 представляют один и тот же вектор, потому что все они имеют одинаковую величину и направление.

Аналогично, вернемся к рисунку 3, вектор скорости A и скорость вектора C точно равны, потому что они имеют одинаковое направление и величие. Когда мы сравниваем точку C с точкой A, время другое и положение объекта другое … но скорость не заботится ни о чем из этого.Два вектора скорости (показаны на красный) равны.

По этой причине представление вектора стрелкой несовершенно и неофициальный. Вектор нельзя «определять» стрелкой, потому что стрелка имеет свойства, которых нет у вектора, в том числе место нахождения. Подробнее об этом см. Раздел 16.1.

2.3 Добавление

В любом конкретном векторном пространстве векторы могут быть добавлены. Это один определяющих свойств векторов (ссылка 1). Вы добавляете их «кончик к хвосту», как показано на рисунке 5.

Сложение является коммутативным, что означает, что вы можете складывать векторы в обратный порядок, как показано на рисунке 6.

Тангенциальное замечание: при рисовании векторов длина стрелки указывает величину вектора; тем временем ориентация стрелки с помощью наконечника стрелки указывает направление. Это все, что требуется. В частности, там нет ничего, что требует, чтобы стрелка находилась в конце стрелка. Вы можете поместить стрелку где-нибудь посередине стрелка, как мы видим на рисунке 6.Я упоминаю это потому, что с некоторыми программами рисования относительно легко построить линию точно нужной длины, но замечательно сложно нарисовать наконечник стрелки в конце, не испортив длина. Даже с лучшими инструментами для рисования куча перекрытий стрелки, как правило, делают диаграмму загроможденной. Так, особенно когда вы пытаетесь выполнить точную арифметику, как в рисунок 6, вы можете переместить стрелка к середине.

Вы можете объединить цифры 6 и 6, чтобы получить цифру 7.По понятным причинам это называется правилом параллелограмма. Это не сообщает нам того, чего мы раньше не знали. Параллелограмм Правило — это всего лишь две копии правила от кончика до хвоста.

2.4 Вычитание

В любой ситуации, когда C = A + B, мы узнаем, просто переставив алгебра A = C — B, B = C — A.

Мы также можем вычитать векторы, используя геометрию напрямую. Как всегда, Правило: если вы хотите вычесть B, добавьте противоположность B. (Это — аксиоматическое определение вычитания!) Итак, чтобы найти C — B, старт в начальной точке C.Затем добавьте [−B], т.е. противоположно B, всегда добавляя кончик к хвосту. Конечная точка — это конец [-B]. Это показано на рисунке 8.

2.5 Умножение на скаляры

Еще одним определяющим свойством является то, что вы можете умножать векторы на скаляры, как показано на рисунке 9. Вы также можете разделить на скаляры, используя простое правило: если A = sB, то B = A / s, для любого векторы A и B и любой ненулевой скаляр s.


Рисунок 9: Умножение вектора на скаляр: C = 3A

2.6 Закон распределения

Скалярное умножение распределяется по сложению векторов: s (A + B) = sA + сб.

Помните, что векторы — это не числа. Поэтому этот дистрибутив закон для векторов не может быть выведен как следствие знакомого закон распределения для обычных чисел. Это отдельный закон.

Это гарантированно верно, потому что это часть определения что мы подразумеваем под вектором. Это одна из аксиом векторного пространства; видеть Раздел 11.

2.7 Сравнение

Мы можем сравнивать направления следующим образом для векторов с ненулевой длиной:

  • Мы говорим, что два вектора имеют противоположные направления, если A = λB для некоторого λ <0.
  • Мы говорим, что два вектора имеют одинаковое направление, если A = λB для некоторого λ> 0.
  • Мы говорим, что два вектора параллельны , если они имеют одинаковые или в противоположных направлениях.
  • Остерегайтесь людей, которые иногда неосторожны сказать «в том же» направлении, когда они должны были сказать «параллельно», то есть в том же или противоположном направлении.

Если вектор имеет нулевую длину, его направление не определено, неопределимо, и неактуально.

3-точечное произведение

В простых случаях векторное пространство имеет скалярное произведение , что позволяет нам, чтобы количественно оценить величину вектора и количественно определить угол между двумя векторами.

Помните, что это не общий случай. Есть важные ситуации (например, термодинамика), где нет точки продукт. Грубо говоря, в такой ситуации мы можем рисовать векторы, но у нас нет линейки для измерения величин, и у нас нет транспортир для измерения углов. Как всегда, векторы имеют направление и величину, но без скалярного произведения наше понятие направление и величина очень слабые и очень ограниченные. Мы можем всегда определять, имеют ли два вектора одинаковое направление или нет, и если они имеют одинаковое направление, мы можем определить, есть ли у них такая же величина или нет, но за ее пределами мы не можем количественно оценить направление или величина.

В оставшейся части этого раздела мы ограничиваем внимание ситуациями где есть точечный продукт.

Когда мы формируем скалярное произведение двух векторов, результатом является скаляр. (Это часть аксиоматического определения скалярного произведения.)

Мы можем использовать скалярное произведение для количественной оценки величины вектора:

| A | = величина A
= | 2
= А · А
(1)

Терминология: величина вектора также известна как норма вектора.В частности | A | можно назвать нормой A, а | A | 2 можно назвать квадратом нормы A.

Мы также можем использовать скалярное произведение для количественной оценки угла между любыми двумя ненулевые векторы:

угол между A и B = 905 2)
cos −1




908

Вы можете убедиться, что угол не зависит от величины.Для Например, угол между A и B такой же, как угол между A и 2B, что имеет смысл.

Аксиомы векторного пространства требуют, чтобы скалярное произведение распределялось по векторное сложение:

A · (B + C) = A · B + A · C
(3)

Аксиомы также требуют, чтобы скалярное произведение было билинейным. То есть для любые скаляры λ и µ имеем:

(λ A) · (µ B) = λµ (A · B)
(4)

Обратите внимание, что билинейное свойство согласуется с определением величины (уравнение 1).Вы легко можете доказать, что

(5)

что имеет смысл. На LHS мы умножаем вектор на скаляр, а затем вычислите величину. На правой стороне мы сначала вычисляем величина, которая дает нам скаляр, а затем умножьте этот скаляр на Другая. Другими словами, умножение векторов на скаляры непротиворечиво. с умножением скаляров на скаляры.

В качестве забавного упражнения вы можете проверить прямым вычислением, что

| A + B | 2 = | A | 2 + | B | 2 + 2 | A | | B | соз (θ)
(6)

где θ — угол между двумя векторами.Обратите внимание, что это Выражение включает теорему Пифагора как частный случай. Ты должен убедиться, что уравнение имеет смысл в случае, когда A = B, и где A = −B, и где A перпендикулярно B.

4 Построение числовой прямой; Базис и Mels

Вот рецепт построения числовой прямой:

Выберите ненулевой вектор B. Вычислите соответствующий единичный вектор:

(7)

Затем для любого скаляра s вы можете построить вектор, который «Соответствует» s путем умножения вектора b на этот скаляр:

(8)

И наоборот, для любого вектора V в одномерном пространстве вы можете построить скаляр, который в некотором смысле «соответствует» V, образуя скалярное произведение, а именно:

s : = b · V
= V · b
(9)

В одномерном векторном пространстве это взаимно однозначное соответствие, так как:

s = b · (s b) (для любого скаляра s и любого единичного вектора b) (10а)
V = (V · b) b (в 1D, для любого вектора V и любого единичного вектора b) (10b)

Как следствие уравнения 10b, вы можете показать, что | s | = | V | в одномерном векторном пространстве.На левой стороне этого выражения мы имеют простое абсолютное значение скаляра, в то время как на правой стороне мы имеем величина вектора. Помните, что это довольно слабый следствие, а не однозначное соответствие, потому что есть четыре возможности: | ± s | = | ± V |

В многомерном векторном пространстве уравнение 10b превращается в это:

11)
V =
(V · x̂) x̂
+ (V · ŷ) ŷ
+ (V · ẑ) ẑ

где x̂ — единичный вектор в направлении x.Срок (V · x̂) x̂ — проекция из V в направлении x. Равнозначно мы говорим (V · x̂) x̂ — проекция V на одномерное подпространство, определяемое x̂. Это не равно V, за исключением особого случая, когда V уже была параллельна b.

Такие расширения настолько распространены, что существует специальное обозначение:

)
V = (
V x
+ V y ŷ
+ V z
45

Терминология: x̂ называется базисным вектором и V x называется мел .(В формальной линейной алгебре они называются элементов матрицы , но нам не нужно об этом беспокоиться.)

Вот полезная мнемоника: вы можете думать о мел как о сокращении от меланж, что означает смесь. В уравнение 12, mels говорят нам, сколько каждый базисный вектор нам нужно соединить вместе, чтобы восстановить вектор V. Обратите внимание, что «mell» — хорошее английское слово, означающее смешать или смешать.

Обратите внимание, что список mels, «соответствующих» данному вектору V зависит не только от V, но и от выбора основы.Если вы выберете базисный вектор, который указывает на северо-восток, вы получите числовую прямую где мелы увеличиваются на северо-восток … тогда как если вы выберете базисный вектор, который указывает в противоположном направлении, вы получите число линия, где мелы увеличиваются на юго-запад.

Поскольку выбор основы произвольный, физически значимого ответ (или физически значимый вопрос) может зависеть от основе или на мелс. Имейте в виду, что мелы — это всего лишь представление векторов, да и вообще только часть представление; не думайте о них как о векторах.

Рассмотрим контраст:

Вектор существует как физическая и математическая сущность до сам, независимо от того, какое представление (если оно есть!) вы выберете. В общем, старайтесь делать как можно больше, используя сами векторы. Многие теоретические результаты могут быть легко получены без подходить к любой базе или любым мелам; см. например уравнение 6. Есть ситуации, когда целесообразно преобразовать векторы к соответствующим числам, выполните арифметические действия с числами и затем конвертировать обратно.В частности, простые калькуляторы и электронные таблицы лучше справляются с числами, чем с абстрактными векторы. Однако вы должны думать об этом как о немного грязном обманывать.

5 Представлений для векторов

Как видно из двух столбцов на рисунке 10, мы можем классифицировать векторы как контравариантный против ковариантного. Это важный, неотъемлемый различие. Это говорит нам кое-что о физическом значении векторы. Однако мы откладываем до раздела 13 обсуждение контравариантного и ковариантного.

В этом разделе мы сосредоточимся в основном на вопросе представительства, т.е. различие от строки к строке на рисунке 10.

5.1 Графические представления

Мы можем представить векторы, используя графическое представление (как в нижний ряд рисунка 10).

5.2 Вектор как массив Mels

Мы также можем представить векторы численно, в единицах mels, как в верхний ряд рисунка 10 или, что эквивалентно, в уравнение 12. Изменение представления не меняет смысла вектора.

Следует подчеркнуть, что для представления физического вектора в с точки зрения mels, вам понадобится не только набор mels, но и ассоциированная основа.

Примечательно, что при работе с векторами некоторые математические операции могут выполняться при работе с мелами вместо самих векторов. Например, следующие уравнение выражает умножение вектора на скаляр с последующим добавлением другой вектор:

2-пол. + Q = R
+ =
(13)

, где мы расширили каждый из векторов (P, Q и R) в с точки зрения ее мелса в определенной основе.Это гарантированно сработает, потому что операция расширения вектора по его компонентам в частном порядке — это линейная операция .

Примечательно то, что расчет можно провести в уравнение 13, не зная деталей основы. В базисные векторы просто ходят по дороге. Вам нужны базисные векторы если вы хотите узнать физическое значение уравнения, но в в этой ситуации вы можете выполнять арифметические операции, не зная физических значение.Просто измельчите умножения и сложения: 2 (1) + 5 = 7 и 2 (−2) + 3 = −1.

Следовательно, можно удалить спецификаторы «@B» из уравнение 13 и все еще математически верный уравнение. Если массивы поддерживают аксиомы векторного пространства, это Можно сказать, что массивы сами по себе являются векторами, даже если мы не можем приписывать им какое-либо физическое значение.

С другой стороны, вы должны быть осторожны, потому что есть много другие ситуации, когда было бы небезопасно отбрасывать базис спецификаторы.См., Например, уравнение 23.

Что еще хуже, ужасающая путаница возникает из-за того, что некоторые компьютерные языки используют слово «вектор» со значением совершенно отличное от физического смысла. Они применяют его к спискам числа и списки нечисловых объектов, даже если списки не придерживаться аксиом векторного пространства. В математике и физике такое дело будет называться списком, массивом или последовательностью.

5.3 Вектор как топологический объект

То, что мы называем физическими векторами, также можно назвать математические векторы или топологических векторов .Заманчиво назовем их геометрических векторов , но это не совсем верно, потому что как обсуждалось в разделе 13, существуют важные физические ситуации, когда у нас есть топология, но нет геометрии. Некоторые (но не все) из того, что вы хотели бы делать с векторами, можно сделано с использованием только топологии, без геометрии.

Топологический вектор — это объект P, который живет в некотором пространстве, возможно обычное трехмерное позиционное пространство, или, возможно, некоторые более абстрактное пространство. Топологический вектор имеет прямую, внутреннюю значение в этом пространстве.Топологические векторы можно представить в виде стрелками или контурами, без привязки к какой-либо основе, как показано на нижняя строка на рисунке 10.

Векторы точек могут быть добавлены с помощью правила «кончик к хвосту». Аналогичным образом прямое графическое правило может использоваться для добавления единичных форм.

Не существует единственного способа расширить топологический вектор с точки зрения его компоненты. То есть без какой-то нетривиальной дополнительной информации, мы не можем приписать какое-либо физическое значение выражению форма

P =



(? Предположительно?) (14)

, потому что мы не знаем, какую основу для наблюдения следует использовать.Это несравненно больше смысла написать:

P =



(15)

, что означает

P = a e x (@M) + b e y (@M) (16)

где e x (@M) и e y (@M) — базисные векторы в кадре Мо. Интересно то, что мы можем одинаково хорошо выразить P как:

P =



(17)

, что означает

P = p e x (@J) + q e y (@J) (18)

, где e x (@J) и e y (@J) являются основой векторы в кадре Джо.Обратите внимание, что все четыре из этих выражений (уравнение 15) — уравнение 18) равны одновременно действующие описания одного и того же топологического вектора P, поскольку a e x (@M) + b e y (@M) = p e x (@J) + q e y (@J) .

5.4 Имена базисных векторов

Осторожно: обозначения здесь неэлегантны и могут сбивать с толку. Обратите внимание на контраст:

Говоря о базисных векторах, e x — это вектор к сам.Это базисный вектор в направлении x. В уравнении 22 P является вектором, а P 1 является одним из его значений. P 1 не является вектором.

Если бы вы захотели, вы могли бы думать о е как о каком-то более высоком ранге. объект, как вектор векторов, так что вектор e x является компонент этого объекта более высокого ранга. Это логично, но требует немного изысканности. А пока, особенно во вводном курсе, проще сказать, что индекс x — это просто часть имени вектора e x .

Повторюсь: когда мы говорим о базисном векторе e x , нижний индекс x является частью имени вектора и указывает, какой член базисного набора, о котором мы говорим, а именно базисный вектор в x-направлении. Вектор e x имеет собственные компоненты; это Компонента x можно записать как (e x ) x .

Иногда люди пытаются решить эту проблему, выбирая разные имена для базисных векторов. Один из вариантов — использовать {i, j, k} вместо {e x , e y , e z }.Некоторым нравится украсить единичные векторы, написав над ними шляпу, как в {î, ĵ, k̂}. Другая версия этого — {x̂, ŷ, ẑ}. Обобщить:

e x → x̂ → î → i
e y → ŷ → ĵ → j
e z → ẑ → k̂ → k
(19)

Однако я не рекомендую какие-либо замены в уравнении 19 по причинам, которые будут рассмотрены ниже.{E x , e y , e z } обозначение лучше. Однако есть один улучшение, которое мы можем сделать: мы можем использовать цифры (а не буквы) для определить координаты, а затем использовать соответствующие числа для определить базисные векторы. То есть: имена координат {x 1 , x 2 , x 3 } оказывается более практичным, чем {e x , e y , e z }. Соответствие такое:

20)
x → x 1
y → x 2
z → x 3
t → x 0

Базисные векторы пронумерованы соответственно.Также в В литературе по алгебре Клиффорда базисные векторы обычно обозначаются как γ, а не e. То есть,

e x → e 1 → γ 1
e y → e 2 → γ 2
e e z γ 3
e t → e 0 → γ 0
(21)

В уравнении 21 все три варианта наименования единичных векторов имеют тот же потенциал, чтобы вызвать путаницу, потому что e 1 выглядит как Однокомпонентный, как и e x , выглядит как x-компонент.Использование γ вместо e не является принципиальным изменением, но снижает конфликт с другим использованием символа e. Что касается прочего этого документа мы будем использовать γ.

Практика использования нижних индексов для обозначения базисного вектора хорошо зарекомендовал себя в математическом и физическом сообществе и вряд ли изменения в ближайшее время Очевидный недостаток — это бесконечное источник путаницы для студентов. Однако в практике есть значительные преимущества, такие как разрешение таких выражений, как уравнение 16 записать более компактно:

P = P 1 γ 1 (@M) + P 2 γ 2 (@M)
P
P = P i γ i (@M)
(22)

где последняя строка использует соглашение о суммировании Эйнштейна, я.е. подразумевается суммирование по повторяющимся индексам.

6 Выбор основы

6.1 Использование базиса или нет

При работе с векторами часто можно вычислить все, что вам нужно. знать, даже не используя основы. С другой стороны, иногда это помогает иметь основу.

Попадаешь на выбираешь основу. Иногда один конкретный основа заведомо удобная, но иногда бывает много возможностей.

За основу может быть взят любой полный набор ортонормированных векторов.Ты можете выбрать любой базовый набор, который вам нравится (но имейте в виду, что другие люди может выбрать по другому).

Новичкам следует выбрать одну основу и придерживаться ее до конца расчет. Если изначально выбранный базис оказался неудобно, перезапустите расчет с самого начала, используя лучшая основа, и постоянно используйте новую основу.

6.2 Изменение или сравнение баз

В более расширенных настройках может быть удобно выполнить часть расчет в одном базисе, а часть в другом.Примерная идея Как это работает, показано на рисунке 11.

Система отсчета Джо показана синим цветом, в то время как система Мо опорная рамка показана красным. В топологический вектор P показан жирной черной стрелкой. Это не «Принадлежать» любому фрейму; это реальный топологический объект со своим собственное независимое существование. Джо смотрит на П. с одной точки зрения, в то время как Мо смотрит на это с другой точки зрения.

Важным моментом является то, что P не меняется, когда мы переключаемся с одного опорный кадр к другому.Топологический вектор не знает и не знает все равно, кто — если кто — смотрит на это.

Аналогично, если у нас есть векторная связь, такая как P = Q + R, мы может складывать векторы A и R графически, кончик к хвосту, без ссылка на любую систему координат. Все наблюдатели согласны с тем, что P равно сумма Q и R … даже если они не согласны с x-компоненты, y-компоненты и так далее.

Если мы решим расширить вектор P по компонентам, как в уравнение 23, мы находим, что a численно не равно p, а b численно не равно q.Тем не менее, уравнение 23 фактически является уравнением, выражающим равенство двух топологических векторов:





знак равно



(23)

Образно говоря, это похоже на запись 2 · 12 = 3 · 8 … это два выражения для одного и того же. Более именно смысл уравнения 23 объясняется выше; см. уравнение 15 и уравнение 17.

Обратите внимание, что было бы ошибкой опускать «@Moe» и «@Joe». спецификаторы из уравнения 23. Это оставило бы нас с ложное уравнение:





знак равно



☠ (24)

По соглашению, в уравнении, таком как уравнение 24, если нет указано основание подразумевается, что основание одинаково для обоих стороны уравнения.Другими словами, два массивы (как в уравнении 24) равны тогда и только тогда, когда соответствующие компоненты равны.

В этом случае они не могут быть равны. То есть, если уравнение 23 верно, тогда уравнение 24 должно быть ложный. Вы можете легко доказать это, используя рисунок 11. графически вычислить p и q (проекции вектора на Осей Джо) в сравнении с a и b (проекции вектора на Топоры Мо). Вы также можете сделать вывод, сравнив уравнение 16 к уравнению 18.

6.3 Законы, не зависящие от основы

Все основные законы физики не зависят от выбора основание. Это означает, что возможно (и действительно часто), что базис векторы не имеют прямого физического значения. Иногда бывает удобно выбирать базисные векторы, связанные с физически значимые векторы, но в этом нет необходимости.

Основные законы физики не зависят от выбор основы.

Если вы видите закон, который, кажется, зависит от выбора основания, вы должен найти лучший способ выразить закон.

6.4 Обычная основа?

В некоторых ситуациях может быть «традиционная» основа, но соглашения определенно зависят от контекста; они отличаются от ситуации к ситуации.

  • При рисовании в перспективе по трем осям рисование на классной доске, некоторым людям нравится рисовать ось абсцисс, как если бы она была торчащая передняя часть доски в сторону аудитории, в то время как Ось Y проходит более или менее горизонтально вправо по всей доске, а ось z проходит вертикально вверх.
  • Другие люди любят рисовать ось x более или менее вытянутой горизонтально по доске, а ось Y входит в пространство за доской, а ось Z проходит вертикально вверх.
  • В авиационной технике, ось x самолета. обычно проходит вперед, в то время как ось Y простирается из правого крыла, а ось z проходит вниз через брюхо самолета.

Обратите внимание, что все три приведенных выше примера являются праворукими. системы.

Обратите внимание, что при описании направлений на бумаге, даже если бумага лежа на столе принято говорить о «вертикальном» направление, как если бы бумага висела на стене. Это противоречит почти все другие варианты использования слова «вертикальный», но так оно и есть.

7 Некоторые примеры

7.1 Вектор интереса в сравнении с базисом

Предположим, нас интересуют некоторая сила F и некоторая скорость v. решили разложить их с помощью некоторых базисных векторов {γ 1 , γ 2 }, так что

1 v 2 γ 2
F = F 1 γ 1 + F 2 γ 2
v = v =
(25)

Обратите внимание, что F — вектор, тогда как mels F 1 и F 2 скаляры.

Мы можем применить это расширение к физической ситуации, показанной на Рисунок 12. Мы видим, что v 1 положительный, v 2 положительный, F 1 равен нулю, а F 2 отрицательный в этой ситуации.

В этом примере мы изложили вещи достаточно подробно, чтобы нет сомнений в правильной интерпретации. Таким образом, это считается хороший пример.

Теперь давайте рассмотрим контрастирующий пример, основанный на рисунке 13. Переменная I представляет ток.В этом На диаграмме пурпурная стрелка должна рассматриваться как базисный вектор. Предположим, мы вычисляем, что в интересующий момент значение I отрицательный. Это означает, что физический ток течет в направление, противоположное пурпурной стрелке.

Обратите внимание на контраст:

На рисунке 13 отрицательное значение I означает ток течет в направлении, противоположном стрелке. В На рисунке 12 отрицательное значение F 2 не означает, что сила противоположна красному вектору F.Это просто означает, что вектор силы противоположен вектору γ 2 .

Из рисунка 13 это не особенно очевидно. что пурпурная стрелка означает базисный вектор, а не физический ток. См. Раздел 7.3 для получения дополнительной информации.

Это постоянный источник путаницы. Отчасти проблема в том, что ток вынужден двигаться в одном измерении по проводу. Та же проблема возникает в механике, когда мы рассматриваем одномерные движение.В одном измерении существует взаимно однозначное соответствие между векторами и скалярами, и иногда люди небрежно относятся к различие между F (вектор) и F 1 (мел). Рисунок 13 — пример небрежного использования. Переменная I является скаляром. Предположительно он представляет собой мел. если ты хотите думать о токе как о векторе с направлением и величиной, вам нужно умножить I на базисный вектор. Увы, нет ни одного условный символ для представления этого вектора, насколько мне известно.

Вы могли подумать, что ситуация будет еще более запутанной в многомерные пространства, но, по иронии судьбы, на самом деле меньше сбивает с толку. Это потому, что когда есть два или более измерения, более очевидно, что такое вектор, а что скаляр.

Никогда не следует говорить о векторах как о «положительных» или «Отрицательный». Это плохая практика в одномерном пространстве, и полная невозможность в многомерном пространстве. Это потому что «Положительный» означает больше нуля, и не может быть никаких Отношение «больше чем», когда D> 1.Даже в одном измерении это Хорошая практика — говорить о векторах с точки зрения величины и направление, а не положительное и отрицательное. Если базисный вектор вправо, а физический вектор — влево, скажем, что это влево; не говорите, что это отрицательно. Понятие позитивного и отрицательный должен быть ограничен только скалярами. Учитывая вектор F в два или более измерения, 1 вы можете сказать, что один из его mels , например F 1 положительный или отрицательный, но весь вектор F никогда не может быть положительным или отрицательным.

В любом случае помните, что на рисунке 12 физический вектор F существует независимо от выбранного вами базиса (если он есть) использовать.

Конструктивное предложение: по возможности помечайте векторы так, как чтобы было понятно, что является базисным вектором, а что нет, поскольку у нас есть сделано на рисунке 12. См. раздел 12 для некоторые связанные предложения.

7.2 Анекдот

Когда я поступил в аспирантуру, первое домашнее задание включает вектор, указывающий налево.Каждый первокурсник обозначил это как стрелку, указывающую влево, и количественно оценил как отрицательное число. Классник (студент 3-го курса) поставил отметку студент ошибся.

Некоторые из нас достали факелы и вилы и двинулись в в кабинете оценщика, чтобы объяснить несколько вещей, как показано на рисунок 14.

7.3 Векторы тока на принципиальных схемах

Рассмотрим простую схему, показанную на рисунке 15.

В фундаментальном смысле «ток» одинаков везде в цепи, но численно I 2 является отрицательным I 1 .

Умный способ справиться с этим — распознать что «ток» — это одномерный вектор!

Для некоторых это шокирует, но на самом деле я просто имя широко распространенной, общепринятой, чрезвычайно полезной практики. В первое важное приложение — сказать, что символ «-> -» базисный вектор , в то время как числа, такие как I 1 и I 2 , не являются векторы, а просто mels. Это позволяет нам для записи выражения в единицах mels: 2

I 1 = — I 2 (со знаком минус)
(26)

Напротив, мы также можем записать выражение в терминах векторов:

«Текущий» = вектор
= [I 1 ] @a

[I 2 ] @b (без знака минус)
(27)

где, как и раньше, [⋯] @F — моя любимая нотация для выражая вектор через его mels относительно указанное основание F.

Как всегда, существует изоморфизм между одномерными векторами и простые старые скаляры, но изоморфность — это не то же самое, что неотличимы. Ключевое различие здесь в том, что векторы могут расширяться по выбранному базису, а скаляры — нет. Это важно, потому что разные люди могут выбирать разные базы.

Следующее может помочь вам почувствовать себя лучше в фундаментальной физике: Электрон, движущийся в пространстве, имеет скорость, а скорость равна вектор. Если мы ограничим электрон проволокой, средняя скорость будет должен быть параллельным (или антипараллельным!) проводу… но это все еще вектор. Если скорость вектор, то ток должен быть вектор.

Предполагается, что ток в проводе течет по проводу, но это все равно оставляет вопрос, какое из двух возможных направлений. Это давняя и необходимая традиция, что в принципиальных схемах, таких как На рисунке 15 мы принимаем I 2 за скаляр, а соответствующий вектор физического тока равен I 2 , умноженному на единичный вектор. Направление единичного вектора указано стрелкой.В вводных учебниках этот вопрос часто скрывается, потому что в них можно использовать 20/20 задним числом расположить наконечники стрел так, чтобы все (или почти все) Токи постоянного тока имеют положительные составляющие. Однако в реальном мире анализ цепей, даже для цепей постоянного тока вам часто приходится рисовать диаграмму и определите свои переменные с до , вы знаете, в каком направлении ток будет течь … а для цепей переменного тока речь идет о «Направление» течения в любом случае бессмысленно.

Чтобы повторить: стрелка на диаграмме означает , а не , что ток течет в направлении стрелки! Если я 2 — это отрицательный, направление тока противоположно стрелке.Стрелка — это просто базисный вектор, как и пурпурные векторы в рис. 12. Следует отметить, что наконечник стрелки имеет никакая длина, связанная с этим; это просто бестелесный наконечник стрелы, а не полная стрелка, поэтому она не может отображать величину и направление фактического тока.

7.4 Векторы напряжения на принципиальных схемах

Само собой разумеется, что падение напряжения ΔV равно еще один одномерный вектор. Есть пара разных условные обозначения для построения диаграмм базисных векторов напряжения.Эти показано на рисунке 16.

Для двух верхних резисторов базовое направление указано Знаки + и -. Это позволяет нам писать 3

(28)

Используя другое соглашение для третьего резистора, мы можем записать напряжение между точками a и b следующим образом:

(29)

V ab является отрицательным для V ba , даже если они представляющий точно такую ​​же физику.Пуристы могут предпочесть писать это как ΔV ab и ΔV ba , но на практике инженеры не утруждают себя написанием дельт в подобных ситуациях, потому что смысл уже ясен на 100%.

Примечание. Это подчеркивает правило №1 электротехники: нарисуйте принципиальную схему. Без этого никто не знает, кто ты говоря о. Удивительно, как часто незрелые ученики думают, что могут решить проблему в голове, не рисуя схему, в ситуации, когда супер-умные профессиональные инженеры рисуют диаграмма.

8 Обсуждение

В любой ситуации, когда используется только один опорный кадр, различие между массивами и топологическими векторами не очень важно.

Однако во многих ситуациях — как в физике, так и в жизни в целом. — важно иметь возможность видеть вещи более чем с одной точки зрения. Техника перехода от одного референсного кадра к другой был стандартной процедурой в физике, по крайней мере, с того времени Галилея.

Основные законы физики можно записать в виде топологических векторных уравнений, действителен в любой системе отсчета и действительно действителен, даже если у вас нет любая система отсчета вообще.Примеры включают второй закон движения и уравнения Максвелла, которые условно представлены в термины 3-мерных топологических векторов, так что представление явно инвариантна относительно произвольных поворотов в 3-х мерное пространство.

Касательное замечание: После небольшой дополнительной работы эти законы может быть перевыражен через 4-мерные топологические векторы, что делает проявляют свою инвариантность относительно произвольных вращений в пространстве-времени — включая ускорения — как обсуждалось в ссылка 2… но если вы не знаете, что это замечание означает, не беспокойтесь об этом.

Лучшее использование топологических векторов и массивов — это их использование. вместе, используя одно против другого. Топологические векторы особенно полезно на концептуальном и стратегическом уровне, чтобы настроить план расчета и выполнение основных шагов. Каждый так часто по пути, расширяя топологический вектор как массив компонентов в выбранной базе полезно для оценки того или иного подвыражение.Забавным примером такого комбинированного подхода может быть найдено в ссылке 3.

Важно четко продумать как топологические векторы, так и массивы. Увы, тот факт, что до сих пор люди использовали один и тот же термин — «вектор» — ссылка на два разных понятия затрудняет ясно подумайте о любом из них.

Владение студентами топологическими векторами, к сожалению, оставляет желать лучшего. немонотонный функция их общей сложности:

a) Они начинают с интуитивного предчувствия переносчиков, на основе их практического опыта работы с топологией и геометрия трехмерного пространства.В младших классах они учатся рисовать векторы в виде стрелок. Они добавляют их графически, кончик к хвосту. Они сравнивают их графически, сравнивая их по величине и направлению.
б) Позже они узнают о массивах чисел, матрицах и всем остальном. что. Они добавляют массивы, добавляя элементы численно, element по элементам. (Предполагается, что все представления основаны на та же основа; в противном случае массивы вообще не нужно добавлять.) пока все хорошо.

Проблема в том, что слишком часто их знание массивов числовые элементы мешают и отвлекают от их понимание топологических векторов.Мелсы получаются неправильно отделены от их основы.

c) Наконец, когда они становятся действительно сложными, они начинают снова используя концепции геометрических векторов. Это может включать более формальные идеи, упомянутые в разделе 9. Они рисуют заостренные векторы в виде стрелок и нарисуйте единичные формы в виде контуров. Они научитесь понимать разницу между тензором и матрицей элементы этого тензора.

9 Более формальная терминология

То, что мы назвали топологическим вектором, правильно называется тензор; все наши примеры были тензорами ранга = 1.Аналогичным образом то, что мы называем массивом, правильно называется матрицей; все нашими примерами были матрицы с рангом = 1, т. е. столбчатые матрицы с N элементов (в отличие от более распространенных квадратных матриц с N × N элементов). Таким образом, в множестве мелсов мелы могли также называться матричными элементами. В этом документе мы называем их просто мелс.

Тензоры существуют как геометрические объекты сами по себе, независимо от их представление в виде матриц в том или ином базисе. Тензоры могут быть представлены матрицами почти так же, как числа. могут быть представлены цифрами.

Мы отложили вызов топологических векторов и массивов их собственными имена (тензоры и матрицы) по педагогическим причинам. Как говорится Итак, обучение происходит от известного к неизвестному. Важный идеи, изложенные в этой статье, не требуют каких-либо предварительных знаний о тензорах или матрицы.

10 прогнозов по сравнению с Mels

10.1 Особый случай: D = 1

Векторы в одном измерении — особый случай, потому что существует изоморфизм между векторами и скалярами.

Это вызывает проблемы на вводном уроке физики, потому что обычной практикой является введение векторов в связи с одномерное движение. Имеет смысл делать все так просто, как возможно, поэтому D = 1. С другой стороны, дилемма заставляет разум, чтобы развить хорошие привычки и избегать вредных привычек, которые должны быть разучился позже.

Предложение: Избегайте написания уравнений в форме

(30)

и особенно избегать

v > 0 ???
v это «положительный» ???
(31)

, потому что левая часть этих уравнений является вектором, а правая часть — вектором. скаляр.Кроме того, в уравнении 31 оператор «>» существует только для скаляров. При D = 1 такие уравнения, возможно, являются технически приемлемы, но они педагогически несостоятельны, потому что они стирают различие между векторами и скалярами.

Конструктивное предложение: существуют лучшие альтернативы.

  • Вместо того, чтобы говорить, что вектор «положительный», вы могли бы сказать вектор «направлен вправо».
  • Вы можете ввести единичный вектор γ в первый день, как на рисунке 17.

    Вы можете использовать это, чтобы отслеживать различие между векторами и скаляры.Например, вы можете написать

    v = 17 γ векторное уравнение
    v · γ = 17 скалярное уравнение
    (32)

    где мы опустили стрелку из v в соответствии с Политика запрета на украшение, описанная в разделе 12.

10.2 Общий случай

Полезно различать:

  • мел по сравнению с
  • проекция (которая может быть в несколько раз больше базисного вектора)

Помните, что слово «компонент» неоднозначно. В зависимости от В контексте, это может относиться либо к мелу, либо к проекции, как показано ниже:

  • Элемент массива можно рассматривать как «Компонент» массива. Каждый элемент массива — это просто число.Если вы знаете все элементы данного массива, вы можете восстановить массив, собрав все элементы массива вместе по порядку. Но даже в этом случае это просто массив, а не вектор.
  • Выступ можно рассматривать как «компонент» топологический вектор. Каждая проекция — это топологический вектор к сам. Если вы спроецируете данный вектор на каждый член полный набор ортогональных направлений, можно восстановить вектор сложив проекции вместе, используя правило кончика к хвосту.

Для любого топологического вектора V это означает:

  • mel V x — это скаляр V · x̂, а
  • проекция V на направление x это вектор (V · x̂) x̂.

Чтобы избежать двусмысленности, рекомендуется избегать использования термина «компонент». все вместе; если вы имеете в виду «мел», скажите «мел» (или, возможно, «матрица элемент »), а если вы имеете в виду« проекцию », скажите« проекция ».

У прогнозов есть приятное свойство: мы можем делать прогнозы. в любом направлении, а не только по заранее заданному набору основы направления.В общем случае оператор проекции в q-направлении это

P q : = для любого ненулевого вектора q (33)

так, чтобы P q (V) было проекцией V в q-направлении. Этот позволяет формировать проекции в направлении некоторого q то есть физически релевантный проблеме. Ты не хочешь быть ограниченным предопределенной основой, которая обычно имеет мало или совсем не физическое значение.

Как правило, когда можно топологически сформулировать задачу, используя проекции, лучше сделать это так, а чем вводить основу и растирать мелс.

Физика в стрелках и контурах,
не в мелах.

Знаменатель в уравнении 33 гарантирует, что проекция оператор работает правильно для любого ненулевого q, а не только для единичные векторы.

Касательное замечание: важно держать компьютеры в их место. Когда простые компьютерные программы работают с векторами, они внутренне используют числовые мели … ну и что? В физика по-прежнему в стрелках и контурах, а не в мелсах. По аналогии, компьютеры выполняют арифметические операции с использованием двоичного кода. внутренне, но это не значит, что мы, люди, должны переключиться на использование бинарный для повседневных целей. Я никогда не видел 110111 миль в час знак ограничения скорости. (Я все ожидаю, что какой-нибудь умный студент сделать один, но этого еще не произошло.)

Некоторые учебники об этом лучше, чем другие. Некоторые из них определяют векторов в виде стрелок … но вскоре перейдем в формализм на основе мел по мере того, как они начинают выполнять фактические вычисления, ослабляя связь с настоящая физика.

Если торопитесь, можете судить об учебнике по к тому, как он определяет точечный продукт.

a) Некоторые книги определяют A · B: = A x B x + A y B y + A z B z .Это не подходит для книги по физике.
б) Некоторые книги определяют A · B: = | A | | B | соз (θ). Хорошо для вводной книги по физике. Предполагается, что предварительные знание того, что означает cos (⋯).
c) Часто бывает выгоднее использовать более аксиоматический подход, как указано в разделе 11.

Второй способ быстрой проверки текста заключается в проверке наличия термин «оператор проекции» есть в указателе. Увы, я не знаю любой общефизический текст, прошедший этот тест.(Если кто-нибудь знает о один, расскажите, пожалуйста, об этом.)

Более тщательная проверка текста включает просмотр задачи в конце главы, чтобы увидеть, связаны ли они с геометрическими отношениями между векторами, в отличие от перемалывания числовых значений.

11 Аксиоматическое определение скалярного произведения

Самый чистый и классный способ, который я знаю для определения скалярного произведения, — это постулат существование трех векторов в пространстве (или четырех векторы в пространстве-времени), для которых мы знаем скалярные произведения.Нет необходимо предположить, что эти векторы ортонормированы, но без потери общности сделаем так, для удобства.

Мы постулируем существование по крайней мере одного набора базисных векторов с следующие свойства:

γ x · γ x = 1
γ y · γ y = 1
γ z · γ z 9 = 1 γ x · γ y = γ y · γ z = γ z · γ х = 0
(34)

, который просто говорит, что основа ортонормирована.В пространстве-времени мы обобщаем уравнение 34 следующим образом:

= 1
γ t · γ t = −1
γ x · γ x = 1
γ y · γ y 9
γ z · γ z = 1
γ x · γ y = γ y · γ z = γ z · γ x = 0
γ x · γ t = γ y · γ t = γ z · γ т = 0
(35)

но если вы не занимаетесь теорией относительности, вы можете игнорировать уравнение 35; не беспокойся об этом.

Мы не предполагаем, что существует только одно основание. Учитывая любую такую ​​основу, вы может построить бесчисленное множество других баз, взяв линейные комбинации.

В любом случае мы постулируем, что скалярное произведение билинейно … что это то же самое, что сказать, что существует закон распределения, такой, что «точка» распределяется по «плюсу» следующим образом:

A · (C + D) = A · C + A · D
(A + B) · C = A · C + B · C
(36)

Учитывая все это, вы можете вычислить скалярное произведение любых двух векторов путем расширения каждого вектора по базисным векторам в соответствии с с уравнением 16, перераспределяя члены в соответствии с с уравнением 36, а затем расставляя точки на базисных векторах, используя уравнение 34.

Мы можем записать любой возможный вектор как линейную комбинацию базиса векторы. Тогда мы можем взять скалярное произведение любого вектора на прямое обращение к аксиомам. В частности, как следствие этого определения скалярного произведения, предположим, что у нас есть два пространственноподобных вектора A и B, которые известны в терминах линейных комбинаций базисные векторы, а именно

A : = A x e x + A y e y + A z e z
B : B x e x + B y e y + B z e z
(37)

, то их скалярное произведение

A · B = A x B x + A y B y + A z B z (космическое пространство) (38)

в том, что вы можете проверить путем прямой замены и поворота рукоятки.Мы подчеркнем, что уравнение 38 не является определением скалярного продукта; это просто следствие, действительное при определенных условия. (Соответствующее выражение для векторов пространства-времени имеет знак минус в нем, а не все знаки плюса.)

При таком подходе скалярное произведение определяет то, что мы имею в виду под углом. Он также определяет, что мы подразумеваем под длиной. Это важно в абстрактных и / или незнакомых местах, где понятия угол и длина не могли быть интуитивно очевидными.В В частности, уравнение 34 имеет элегантный, простой, но очень нетривиальное расширение до пространства-времени , как обсуждается в ссылка 2.

Этот подход (аксиоматическое определение скалярного произведения) обращает идея в п. (b), позволяющая определить cos (θ): = A · B / | A | | B |.

12 Некоторые предложения

1. Если вы рисуете диаграммы векторов, нарисуйте физически релевантные топологические векторы. Нарисуйте их в масштабе. Это чисто аналог представление.Такие векторы можно сравнивать визуально, сравнивая их. относительно направления и величины. Такие векторы можно складывать графически, сложив их кончиками к хвосту.
2. Если вы собираетесь количественно оценить векторы с точки зрения массивы mels, обязательно отслеживайте, какие базисные векторы находятся. Мел ничего не значит, если мы не знаем основы векторы. Связь между mels, базисными векторами и общим геометрические векторы определяются уравнением 16 или эквивалентным ему уравнение 18.
3. Комбинируя два предыдущих пункта, вполне вероятно, что вы хотите нарисовать как физически значимые векторы, так и основу векторов, как на рисунке 12. Дайте понять, что который.
4. Не стоит использовать отличительные символы для векторы (например, жирные буквы или буквы, украшенные стрелками Над ними). В выражении F = ma даже без украшений это Хорошо известно, что F и a — векторы, а m — скаляр. К аналогия: мы используем обычные буквы алфавита для длин, области, объемы и т. д., и мы можем сказать, что из чего определение символов.Мы можем проанализировать размеры и единиц, чтобы убедиться, что мы все сделали правильно. К тому же мы можем использовать обычные буквы для обозначения векторов. Векторный символ является частью «единиц» и «размеров» количества.

Как обсуждалось в ссылке 4, имя — это не то же самое, что объяснение. Не ждите, что структура имени или символа скажет вам все, что вам нужно знать. Большая часть того, что вам нужно знать принадлежит легенде. Имя или символ должны позволять вам искать объяснение в легенде.

Соглашение об использовании полужирного шрифта для представления векторов не работает как в рукописные заметки и в электронном письме в формате ASCII. Условие рисования стрелка над символом не работает в электронном письме.

Соглашение об использовании украшенной буквы для представления вектора, в то время как соответствующая неукрашенная буква представляет звездной величины вектор симпатичный, но хлопот не стоит. Если вы хотите величина F, напишите | F | явно. Стоимость написания | F | когда вы хотите, чтобы величина была бесконечно мала по сравнению со стоимостью украшать F, когда вам нужен весь вектор.

Возможно, самое главное: все схемы с декорированными векторами терпят неудачу в контексте алгебры Клиффорда, известной как геометрическая алгебра, где некоторые величины имеют как скалярную, так и векторную части. См. Ссылку 5. Ротор является важным примером с скалярная часть и бивекторная часть.

13 Контравариантные и ковариантные векторы

Примечательно, что математическое определение «векторного пространства» (как указано в ссылке 1) не включает упоминание о скалярном продукте.

Это означает, что у нас могут быть векторные пространства, для которых мы не имеем понятия длина и без понятия угла. Важный физический пример этого термодинамика. Как обсуждалось в ссылке 6, там это абстрактное пространство — пространство состояний — где существуют различные «Функции состояния», включая энергию (E), энтропию (S), энтальпию (H), давление (P), температура (T), объем (V) и т. Д. Векторы градиента dE, dS, dH, dP, dT, dV и т. д. хорошо определены (обычно, если не всегда), но есть невозможно узнать угол между такими векторами.(Время от времени кто-то предположит , что определенная пара таких векторов ортогональны, но делать такое предположение бесполезно. Если вы сделаете математику правильно, любой действительный результат, который может быть получен с такое предположение может быть получено и без него, во всех случаях я когда-либо видно.)

Такие векторные пространства обычно попадают в пары, объединяя пространство заостренных векторы с пространством одноформ. Это хорошо, потому что любой член пары сам по себе не был бы очень полезным.

Если вы визуализируете заостренный вектор как маленькую стрелку с «кончиком» и «хвостом» ни в коем случае нельзя визуализировать 1-форма так же.

Предположим, мы хотим визуализировать градиент некоторого ландшафта. если ты визуализируйте градиент как заостренный вектор, он указывает вверх. В однако во многих случаях лучше визуализировать градиент как однообразный, соответствующий контурным линиям, которые проходят через через склон.

Вы можете судить о величине 1-формы по тому, насколько близко упакованы контурные линии.Плотно сжатые контуры представляют собой 1-форма большой величины. Чтобы сказать то же самое по-другому, расстояние между контурами составляет обратно по отношению к величине однокомпонентной.

Контурные линии обладают замечательным свойством правильного поведения. при смене координат: если взять пейзаж, такой как тот на рисунке 10. и растяните его по горизонтали (соблюдая высоту то же самое), как показано на рисунке 18, уклоны становятся меньше. В контурные линии на соответствующей топографической карте разложены тот же коэффициент растяжения, как и должен, для представления меньшего наклона.Напротив, если вы попытаетесь представить градиент заостренными векторами, представление полностью нарушается при изменении координат. Когда вы растягиваете карту, заостренный вектор не растягивается; он должен укорочите для представления меньшего наклона. Если хотите представляют собой градиент, заостренные векторы не так хороши, как 1-формы; они не привязаны к реальному ландшафту, как контур линии есть.


Рисунок 18: Растяжение координаты уменьшает наклон

Конечно, нужны и заостренные векторы; они подходят для представляющий расположение одной точки относительно другой в этом пейзаж.Эти векторы местоположения и растягиваются должным образом. когда мы растягиваем карту.

909 not45
заостренный вектор однообразный
Пример: расстояние вектор

9049

вектор-строка
Когда мы растягиваем карту: становится больше становится меньше
Прилагательное: контравариант ket |⟩ бюстгальтер ⋯ |

См. Ссылку 7 для получения дополнительной информации об обозначении скобок Дирака.

14 Позиция не вектор

Это может показаться несколько придирком … но сделать все правильно так же просто как делать это неправильно, так почему бы не сделать это правильно?

Позиция не вектор. Позиция — это точка нулевого размера. А позиция не имеет ни направления, ни величины.

Вектор перемещения из одного положения в другое — это вектор … хотя сами позиции не являются векторами.

Вы не обязаны выбирать происхождение, и ваше происхождение (если таковое имеется) может отличаться от моего (если есть).Однако, если вы выберете источник, вы можете установить взаимно однозначное соответствие между должностями и векторов, а именно радиус-векторы, учитывая смещение от Происхождение. Однако это следует считать второстепенным, необязательным и калибровочно-зависимый. То есть это зависит от выбора происхождения, которое произвольный.

  • Вектор смещения из одного положения в другое является наилучшим определены в терминах самих позиций. Это очевидно независимо от выбора происхождения, если таковое имеется.Однако вектор смещения также может быть вычислен путем вычитания радиуса векторы. В этом случае вектор смещения снова независимо от выбора происхождения, как должно быть, так как должно быть. Эту независимость можно понять как следствие аксиомы векторного пространства. Подсказка: вычтите два радиус-вектора графически.
  • Как следствие вышесказанного, люди иногда пишут вектор смещения путем «вычитания» двух позиций. Если ты возьмешь это буквально, с точки зрения обычного вычитания, это не имеет смысла что бы то ни было; нельзя отнять яблоки от яблок и получить апельсины.Вместо этого вы должны считать это идиоматическим выражением. Это удобное сокращение, и все знают, что оно означает: Позиция B «минус» позиция A обозначает вектор смещения от A до B. (Это включает вычитания, подразумеваемые Δ.)
  • Следует подчеркнуть, что законы физики никогда не зависят от выбор происхождения. Они могут зависеть от различного смещения векторов, но никогда не о позиции как таковой. Это пример инвариантность. Есть несколько подобных инвариантов, которые среди самых фундаментальных законов физики.Другие примеры включают Принцип относительности Галилея. Позиционная инвариантность такова фундаментально то, что люди часто принимают это как должное, но они не должен.

15 Прикрепление вектора

На рисунке 19 и аналогичных диаграммах следующие правила применить: черные стрелки представляют векторное поле. Для каждой стрелки черный кружок показывает, какая точка поля описывается вектор. Мы называем это точкой крепления . Длина и ориентация стрелки говорит нам о величине и направлении поле в этот момент.

Как подчеркивалось в разделе 2.1, вектор имеет направление и величину, но у него категорически нет места. Поэтому на этих диаграммах нужна стрелка и маленький кружок; в стрелка обозначает направление и величину, а круг представляет местоположение.

Предположим, мы хотим изобразить бездивергентное поле, такое как магнитное поле. поле или установившееся течение сохраняющейся жидкости. Есть несколько способов сделать это, некоторые из которых работают лучше, чем другие.

На рисунке 19 каждый вектор нанесен таким образом, что точка крепления совпадает с серединой стрелки.


Рисунок 19: Векторы скорости, прикрепленные в средней точке
На рисунке 20 точка крепления совпадает с хвостиком стрелки. На рисунке 21 точка крепления совпадает с острием стрелки.
Рисунок 20: Векторы скорости, прикрепленные к хвосту Рисунок 21: Векторы скорости, прикрепленные к наконечнику

Следует подчеркнуть контраст:

  1. С точки зрения фундаментальной физики, точнее математики, все три из этих диаграмм представляют одно и то же векторное поле.В оценивается в тех же шести точках, и в каждой точке направление и величина поля на всех трех рисунках одинаковы. Расположение черных стрелок ничего не значит; только величины и направления значимы. (Расположение точек приложение имеет смысл, но расположение стрелок — нет.)
  2. С точки зрения психологии и педагогики, эти три фигуры очень другой. С точки зрения искусства и науки «демонстрации количественная информация », эти три цифры очень разные.В На первый взгляд это «выглядит» так, как будто векторное поле на рис. цифра 21 спиралью внутрь … ни то, ни другое не является точное восприятие.

    Для большинства целей цифра 19 — гораздо лучшее изображение, насколько легче правильно интерпретировать. Помните, мы пытаясь изобразить бездивергентное поле. Рисунок 19 «Выглядит» без расхождений. То есть вполне уместно «Выглядит» так, будто вектор просто тянет вас вдоль линии поля, с нет тенденции уводить вас от линии поля боя.

Помните, что вектор имеет направление и величину, но не имеет место нахождения. На диаграммах, подобных этой, вы могли бы прекрасно построить стрелку в паре сантиметров от места крепления, если вы думали, что это поможет. Это будет означать то же самое.

16 мутаций

16.1 Так называемые «связанные векторы»

Как упоминалось в разделе 2.2, вектор не имеет место нахождения. У него есть направление и величина, и не более того.

В физике есть некоторые физические ситуации, когда полный для описания требуется больше, чем вектор.Например, вам может понадобиться чтобы знать как силу, так и крутящий момент.

  • Лучшим подходом является использование вектора для представления силы и бивектор для представления крутящего момента. Это чисто, просто и правильно.
  • Менее умный подход — описать ситуацию с помощью сила и «линия действия». Это удобно в некоторых ситуации, но не другие. Одна проблема заключается в том, что не каждый крутящий момент имеет четко определенная линия действий. Также это представление беспорядок, когда вы хотите добавить два момента.Что еще более важно, это глубокое заблуждение полагать, что «линия действий» каким-то «Связанный» с силой. На самом деле это часть общей ситуация, но это не часть силы.
  • Еще худшая идея — описать ситуацию в терминах сила и «точка приложения». Это все проблемы предыдущее представление и многое другое.
  • Еще худшая идея — систематически искажать понятие силы и понятия вектора, введя так называемую «границу вектор », имеющий направление, величину и точку приложения.Это ужасная идея. В частности, любой такой «связанный вектор» является не вектор.

Как упоминалось в разделе 2.2, когда вы рисуете стрелку у него есть величина, направление и положение. Следовательно, стрелка не совсем точное представление вектора. Представлять вектор, вы должны использовать свое воображение, чтобы отделить стрелку от его местоположение, так что остаются только направление и величина.

17 Выводы

Полезно иметь дело с векторами как с самими собой объектами, я.е. векторы с направлением и величиной. Можно добавить векторы кончик к хвосту, без привязки к компонентам.

Иногда также полезно представлять векторы в терминах компоненты, а также для работы с массивами числовых файлов.

Ценная и легко достижимая цель — уметь видеть вещи. в обе стороны. Квалифицированный специалист должен уметь переключиться с базы A базе B до базы вообще нет и обратно.

Мы должны избегать вмешательства, упомянутого в пункте (b) в Раздел 8.То есть мы должны научить людей пользоваться массивами мелов, углубляя, а не уменьшая, их понимание топологические векторы как реальные физические объекты, имеющие значение независимо от их отношений, независимо от каких-либо оснований и независимо от наблюдателей.

18 Ссылки

Статья Википедии «Векторное пространство»
http://en.wikipedia.org/wiki/Vector_space
Джон Денкер,
«Геометрия и тригонометрия пространства-времени»
www.av8n.com/physics/spacetime-trig.htm
Джон Денкер,
«Как сделать антивещество — упражнение с использованием четырех векторов»
www.av8n.com/physics/bevatron.htm
Джон Денкер,
«Советы по математике»
www.av8n.com/physics/math-hints.htm
Джон Денкер «Введение в алгебру Клиффорда».
www.av8n.com/physics/clifford-intro.htm
Джон Денкер,
«Термодинамика и дифференциальные формы»
www.av8n.com/physics/thermo-forms.htm
Статья в Википедии: «Нотация Бра-Кет»
http://en.wikipedia.org/wiki/Bra-ket_notation
.

alexxlab

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *