Вектор: определение и основные понятия

Определение вектора

Определение. Вектор — это направленный отрезок, то есть отрезок, имеющий длину и определенное направление. Графически вектора изображаются в виде направленных отрезков прямой определенной длины. (рис.1)

рис. 1

Обозначение вектора

Вектор началом которого есть точка А, а концом — точка В, обозначается AB (рис.1). Также вектора обозначают одной маленькой буквой, например a.

Длина вектора

Для обозначения длины вектора используются две вертикальные линии слева и справа |AB|.

Нулевой вектор

Определение. Нулевым вектором называется вектор, у которого начальная и конечная точка совпадают.

Нулевой вектор обычно обозначается как 0.

Длина нулевого вектора равна нулю.

Сонаправленные вектора

Определение. Два коллинеарных вектора a и b называются сонаправленными векторами, если их направления совпадают: a↑↑b (рис. 3).

рис. 3

Противоположно направленные вектора

Определение. Два коллинеарных вектора a и b называются противоположно направленными векторами, если их направления противоположны: a↑↓b (рис. 4).

рис. 4

Компланарные вектора

Определение. Вектора, параллельные одной плоскости или лежащие на одной плоскости называют компланарными векторами. (рис. 5).

рис. 5

Всегда возможно найти плоскости параллельную двум произвольным векторам, по этому любые два вектора всегда компланарные.

Равные вектора

Определение. Вектора a и b называются равными, если они лежат на одной или параллельных прямых, их направления совпадают, а длины равны (рис. 6).

рис. 6

То есть, два вектора равны, если они коллинеарные, сонаправленые и имеют равные длины:

a = b, если a↑↑b и |a| = |b|.

Лечение зубов и забор анализов в Суровикино. Прием врача, УЗИ, диагностика

В клинике ВЕКТОР-А ведут приём врачи :

Апрель 2021

ЛОР(Отоларинголог) -10.04.-24.04.2021

Сосудистый хирург(флеболог) -.2020г.

Кардиолог — 2020

Ортодонт — 15.05.2021

Эндокринолог -24.04.2021

Врач УЗИ — постоянно

Гинеколог — 11.04.2021

Травматолог .10.04.2021

Офтальмолог 25.04.2021

Дерматолог 09.04.2021

Терапевт ежедневно по записи с 9.00-12.00 Выезд на дом по записи после 17-00

Стоматология – все виды лечения, протезирования, гигиены полости рта.

ВРАЧ УЗИ Побежимова Юлия Михайловна Проводит исследование всех органов

ГИНЕКОЛОГ из г.Волжского, врач высшей категории Исаев Александр Владимирович. Лечение: — бесплодия; — воспалений малого таза; — кисты яичников; эрозии шейки матки; и многое др. ЗПП, кольпоскопия, удаление новообразований на коже и слизистых, а также медикаментозное прерывание беременности.

ДЕРМАТОВЕНЕРОЛОГ Высшая категория с 2008 года по Дерматовенерологии, стаж по Дерматовенерологии 25 лет, по косметологии 11 лет. Почетный донор России. Награждена благодарственным письмом Департамента Здравоохранения ХМАО-Югры и почетными грамотами города Лангепаса ХМАО-Югры, Ханты-Мансийского Окружного Кожно-венерологического диспансера , медицинской клиники Семейный доктор города Москвы.По результатам отзывов пациентов за 2019 год признана лучшей в номинации Безупречная репутация в клинике Семейный доктор города Москвы. Врач: Рудакова Елена Алексеевна

ЭНДОКРИНОЛОГ из г.Морозовск, Ростовской обл., врач высшей категории. Врач: Капыток Юлия Михайловна

ЛЕЧЕНИЕ: — сахарного диабета; заболеваний щитовидной железы; ожирения; климактерического синдрома; лечение остеопороза; и многое др.

Ортодонт из Волгограда ,врач высшей категории. Соловов Антон Алексеевич

ЛЕЧЕНИЕ- нарушения прикуса, от самых легких и до серьезных патологий.

Различные искривления в росте зубов, их неправильное расположение. Некоторые виды нарушения дыхания, связанные с дефектами челюстного аппарата. Проблемы с речевой функцией или жевательной работой мышц. Асимметрия или другие аномалии лица.

Терапевт, Врач: Агеева Ольга Анатольевна (по записи)

Косметолог из Волгограда оказывает услуги по косметологии( по записи) Чистка лица ультразвуковая, пилинги всех видов, массаж лица, мезотерапия восстанавливающая трихология, сжиросжигающая, трихология от выпадения волос, депиляция (воск, сахарная паста), архитектура бровей, аппаратная косметология, программа снижения веса.

Анализы от «Диалайн» (более 1000 наименований) Забор анализов производится с 8:00 до 11:30 часов подельник, среда, пятница. Возможен экстренный забор анализов на дому и в клинике, а так же постановка систем, в/в, в/м инъекции

В клинике «Вектор-А» 1 раз в месяц производит прием высококвалифицированный врач акушер-гинеколог

из г.Волжского и врач ультразвуковой диагностики из г.Волгограда .

Весь спектр услуг по гинекологии- акушерству и ультразвуковой диагностики на сайте клиники

vektor-a.net

Вы также можете получить полную консультацию по телефону

8 (84473) 2-17-87

8 (904) 410-82-26

Векторы и операции над векторами

Будут и задачи для самостоятельного решения, к которым можно посмотреть ответы.

Прежде чем Вы узнаете всё о векторах и операциях над ними, настройтесь на решение несложной задачи. Есть вектор Вашей предприимчивости и вектор Ваших инновационных способностей. Вектор предприимчивости ведёт Вас к Цели 1, а вектор инновационных способностей — к Цели 2. Правила игры таковы, что Вы не можете двигаться сразу по направлениям двух этих векторов и достигнуть сразу двух целей. Векторы взаимодействуют, или, если говорить математическим языком, над векторами производится некоторая операция. Результатом этой операции становится вектор «Результат», который приводит Вас к Цели 3.

А теперь скажите: результатом какой операции над векторами «Предприимчивость» и «Инновационные способности» является вектор «Результат»? Если не можете сказать сразу, не унывайте. По мере изучения этого урока Вы сможете ответить на этот вопрос.

Как мы уже увидели выше, вектор обязательно идёт от некоторой точки

A по прямой к некоторой точке B. Следовательно, каждый вектор имеет не только числовое значение — длину, но также физическое и геометрическое — направленность. Из этого выводится первое, самое простое определение вектора. Итак, вектор — это направленный отрезок, идущий от точки A к точке B. Обозначается он так: .

А чтобы приступить к различным операциям с векторами, нам нужно познакомиться с ещё одним определением вектора.

Вектор — это вид представления точки, до которой требуется добраться из некоторой начальной точки. Например, трёхмерный вектор, как правило, записывается в виде (

х, y, z). Говоря совсем просто, эти числа означают, как далеко требуется пройти в трёх различных направлениях, чтобы добраться до точки.

Пусть дан вектор. При этом x = 3 (правая рука указывает направо), y = 1 (левая рука указывает вперёд), z = 5 (под точкой стоит лестница, ведущая вверх). По этим данным вы найдёте точку, проходя 3 метра в направлении, указываемом правой рукой, затем 1 метр в направлении, указываемом левой рукой, а далее Вас ждёт лестница и, поднимаясь на 5 метров, Вы, наконец, окажетесь в конечной точке.

Все остальные термины — это уточнения представленного выше объяснения, необходимые для различных операций над векторами, то есть, решения практических задач. Пройдёмся по этим более строгим определениям, останавливаясь на типичных задачах на векторы.

---

Физическими примерами векторных величин могут служить смещение материальной точки, двигающейся в пространстве, скорость и ускорение этой точки, а также действующая на неё сила.

---

Геометрический вектор представлен в двумерном и трёхмерном пространстве в виде направленного отрезка. Это отрезок, у которого различают начало и конец.

Если A — начало вектора, а

B — его конец, то вектор обозначается символом или одной строчной буквой . На рисунке конец вектора указывается стрелкой (рис. 1)

---

Длиной (или модулем) геометрического вектора называется длина порождающего его отрезка

---

Два вектора называются равными, если они могут быть совмещены (при совпадении направлений) путём параллельного переноса, т.е. если они параллельны, направлены в одну и ту же сторону и имеют равные длины.

---

В физике часто рассматриваются закреплённые векторы, заданные точкой приложения, длиной и направлением. Если точка приложения вектора не имеет значения, то его можно переносить, сохраняя длину и направление в любую точку пространства. В этом случае вектор называется

свободным. Мы договоримся рассматривать только свободные векторы.

Умножение вектора на число

---

Сложение и вычитание векторов

Слагаемые называются составляющими вектора , а сформулированное правило — правилом многоугольника. Этот многоугольник может и не быть плоским.

Пример 1. Упростить выражение:

.

Решение:

,

то есть, векторы можно складывать и умножать на числа так же, как и многочлены (в частности, также задачи на упрощение выражений). Обычно необходимость упрощать линейно подобные выражения с векторами возникает перед вычислением произведений векторов.

Пример 2. Векторы и служат диагоналями параллелограмма ABCD (рис. 4а). Выразить через и векторы , , и , являющиеся сторонами этого параллелограмма.

Решение. Точка пересечения диагоналей параллелограмма делит каждую диагональ пополам. Длины требуемых в условии задачи векторов находим либо как половины сумм векторов, образующих с искомыми треугольник, либо как половины разностей (в зависимости от направления вектора, служащего диагональю), либо, как в последнем случае, половины суммы, взятой со знаком минус. Результат — требуемые в условии задачи векторы:

Есть все основания полагать, что теперь Вы правильно ответили на вопрос о векторах «Предприимчивость» и «Инновационные способности» в начале этого урока. Правильный ответ: над этими векторами производится операция сложения.

Решить задачи на векторы самостоятельно, а затем посмотреть решения

Как найти длину суммы векторов?

Эта задача занимает особое место в операциях с векторами, так как предполагает использование тригонометрических свойств. Допустим, Вам попалась задача вроде следующей:

Даны длины векторов и длина суммы этих векторов . Найти длину разности этих векторов .

Решения этой и других подобных задач и объяснения, как их решать — в уроке «Сложение векторов: длина суммы векторов и теорема косинусов«.

А проверить решение таких задач можно на Калькуляторе онлайн «Неизвестная сторона треугольника (сложение векторов и теорема косинусов)».

А где произведения векторов?

Произведения вектора на вектор не являются линейными операциями и рассматриваются отдельно. И у нас есть уроки «Скалярное произведение векторов» и «Векторное и смешанное произведения векторов».

Проекция вектора на ось равна произведению длины проектируемого вектора на косинус угла между вектором и осью:

Как известно, проекцией точки A на прямую (плоскость) служит основание перпендикуляра , опущенного из этой точки на прямую (плоскость).

Пусть — произвольный вектор (Рис. 5), а и — проекции его начала (точки A) и конца (точки B) на ось l. (Для построения проекции точки A) на прямую проводим через точку A плоскость, перпендикулярную прямой. Пересечение прямой и плоскости определит требуемую проекцию.

Составляющей вектора на оси l называется такой вектор , лежащий на этой оси, начало которого совпадает с проекцией начала, а конец — с проекцией конца вектора .

Проекцией вектора на ось l называется число

,

равное длине составляющего вектора на этой оси, взятое со знаком плюс, если направление составляюшей совпадает с направлением оси l, и со знаком минус, если эти направления противоположны.

Основные свойства проекций вектора на ось:

1. Проекции равных векторов на одну и ту же ось равны между собой.

2. При умножении вектора на число его проекция умножается на это же число.

3. Проекция суммы векторов на какую-либо ось равна сумме проекций на эту же ось слагаемых векторов.

4. Проекция вектора на ось равна произведению длины проектируемого вектора на косинус угла между вектором и осью:

Пример 5. Рассчитать проекцию суммы векторов на ось l, если , а углы —

.

Решение. Спроектируем векторы на ось l как определено в теоретической справке выше. Из рис.5а очевидно, что проекция суммы векторов равна сумме проекций векторов. Вычисляем эти проекции:

Находим окончательную проекцию суммы векторов:

.

Знакомство с прямоугольной декартовой системой координат в пространстве состоялось в соответствующем уроке, желательно открыть его в новом окне.

В упорядоченной системе координатных осей 0xyz ось Ox называется осью абсцисс, ось 0y – осью ординат, и ось 0z – осью аппликат.

С произвольной точкой М  пространства свяжем вектор

,

называемый радиус-вектором точки М и спроецируем его на каждую из координатных осей. Обозначим величины соответствующих проекций:

Числа x, y, z называются координатами точки М , соответственно абсциссой, ординатой и аппликатой, и записываются в виде упорядоченной точки чисел: M (x; y; z) (рис.6).

Вектор единичной длины, направление которого совпадает с направлением оси, называют единичным вектором(или ортом) оси. Обозначим через

Соответственно орты координатных осей Ox, Oy, Oz

---

Теорема. Всякий вектор может быть разложен по ортам координатных осей:

        (2)

Равенство (2) называется разложением вектора по координатным осям. Коэффициентами этого разложения являются проекции вектора на координатные оси. Таким образом, коэффициентами разложения (2) вектора по координатным осям являются координаты вектора.

После выбора в пространстве определённой системы координат вектор и тройка его координат однозначно определяют друг друга, поэтому вектор может быть записан в форме

              (3)

Представления вектора в виде (2) и (3) тождественны.

Как мы уже отмечали, векторы называются коллинеарными, если они связаны отношением

.

Пусть даны векторы . Эти векторы коллинеарны, если координаты векторов связаны отношением

,

то есть, координаты векторов пропорциональны.

Пример 6. Даны векторы . Коллинеарны ли эти векторы?

Решение. Выясним соотношение координат данных векторов:

.

Координаты векторов пропорциональны, следовательно, векторы коллинеарны, или, что то же самое, параллельны.

Вследствие взаимной перпендикулярности координатных осей длина вектора

равна длине диагонали прямоугольного параллелепипеда, построенного на векторах

и выражается равенством

                       (4)

Вектор полностью определяется заданием двух точек (начала и конца), поэтому координаты вектора можно выразить через координаты этих точек.

Пусть в заданной системе координат начало вектора находится в точке

а конец – в точке

(рис.8).

Тогда

Из равенства

следует, что

Отсюда

или в координатной форме

          (5)

Следовательно, координаты вектора равны разностям одноимённых координат конца и начала вектора. Формула (4) в этом случае примет вид

          (6)

Направление вектора определяют направляющие косинусы. Это косинусы углов, которые вектор образует с осями Ox, Oy и Oz. Обозначим эти углы соответственно α, β и γ. Тогда косинусы этих углов можно найти по формулам

,

,

.

Направляющие косинусы вектора являются также координатами орта этого вектора и, таким образом, орт вектора

или

.

Учитывая, что длина орта вектора равна одной единице, то есть

,

получаем следующее равенство для направляющих косинусов:

.

Пример 7. Найти длину вектора x = (3; 0; 4).

Решение. Длина вектора равна

Пример 8. Даны точки:

Выяснить, равнобедренный ли треугольник, построенный на этих точках.

Решение. По формуле длины вектора (6) найдём длины сторон и установим, есть ли среди них две равные:

Две равные стороны нашлись, следовательно необходимость искать длину третьей стороны отпадает, а заданный треугольник является равнобедренным.

Пример 9. Найти длину вектора и его направляющие косинусы, если .

Решение. Координаты вектора даны:

.

Длина вектора равна квадратному корню из суммы квадратов координат вектора:

.

Находим направляющие косинусы:

Решить задачу на векторы самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пусть даны два вектора и , заданные своими проекциями:

или

или 

Укажем действия над этими векторами.

1.Сложение:

или, что то же

(при сложении двух векторов одноимённые координаты складываются).

2.Вычитание:

или, что то же

,

(при вычитании двух векторов одноимённые координаты вычитаются).

3.Умножение вектора на число:

или, что то же

,

(при умножении вектора на число все координаты умножаются на это число).

Пример 11. Даны два вектора, заданные координатами:

.

Найти заданный координатами вектор, являющийся суммой этих векторов: .

Решение:

.

Решить задачи на координаты векторов самостоятельно, а затем посмотреть решение

При изучении многих вопросов, в частности, экономических, оказалось удобным обобщить рассмотренные приёмы установления соответствия между числами и точками двумерного и трёхмерного пространства и рассматривать последовательности n действительных чисел как «точки» некоторого абстрактного «n-мерного пространства», а сами числа — как «координаты» этих точек. За составляющие n-мерного вектора можно принимать такие данные, как урожайность различных культур, объёмы продаж товаров, технические коэффициенты, номенклатура товаров на складах и т.д.

n-мерным вектором называется упорядоченный набор из n действительных чисел, записываемых в виде

,

где  - i – й элемент (или i – я координата) вектора x.

Возможна и другая запись вектора – в виде столбца координат:

Размерность вектора определяется числом его координат и является его отличительной характеристикой. Например, (2; 5) – двухмерный вектор, (2; -3; 0) – трёхмерный, (1; 3; -2; -4; 7) – пятимерный,

—

n – мерный вектор.

Нулевым вектором называется вектор, все координаты которого равны нулю:

0 = (0; 0; …; 0).

Введём операции над n-мерными векторами.

Произведением вектора

на действительное число  называется вектор

(при умножении вектора на число каждая его координата умножается на это число).

Зная вектор

можно получить противоположный вектор

Суммой векторов

и

называется вектор

,

(при сложении векторов одной и той же размерности их соответствующие координаты почленно складываются).

Если в плане продаж сети торговых предприятий продажи товаров определить как положительные уровни товаров, а затраты на продажи – как отрицательные, то получим вектор затрат-продаж

,

где

—

продажи (затраты) k – м предприятием товара i, а k = 1, 2, 3,…, m .

Суммарный вектор затрат-продаж y определяется суммированием векторов затрат-продаж всех m предприятий сети:

Сумма противоположных векторов даёт нулевой вектор:

При вычитании двух векторов одной и той же размерности их соответствующие координаты почленно вычитаются:

Операции над n-мерными векторами удовлетворяют следующим свойствам.

Свойство 1.

Свойство 2.

Свойство 3.

Свойство 4.

Свойство 5.

Свойство 6.

Поделиться с друзьями

Весь блок «Аналитическая геометрия»

• Векторы
• Плоскость
• Прямая на плоскости

Метод координат (ЕГЭ 2022) | ЮКлэва

Я неслучайно расположил задачи в таком порядке. Пока ты еще не успел начать ориентироваться в методе координат, я сам разберу наиболее «проблемные» фигуры, а тебе предоставлю разобраться с простейшим кубом!

Постепенно тебе предстоит научиться работать со всеми фигурами, сложность задач я буду увеличивать от теме к теме.

Приступаем к решению задач:

1. Рисуем тетраэдр, помещаем его в систему координат так, как я предлагал ранее. Поскольку тетраэд правильный – то все его грани (включая основание) – правильные треугольники.

Поскольку нам не дана длина стороны, то я могу принять ее равной \( 1\). Я думаю, ты понимаешь, что угол на самом деле не будет зависеть от того, насколько наш тетраэдр будет «растянут»?

Также проведу в тетраэдре высоту и медиану \( \displaystyle BM\).

Попутно я нарисую его основание (оно нам тоже пригодится).

Мне нужно найти угол между \( \displaystyle DH\) и \( \displaystyle BM\). Что нам известно?

Нам известна только координата точки \( \displaystyle B\). Значит, надо найти еще координаты точек \( \displaystyle D,H,M\).

Теперь думаем: точка \( \displaystyle H\) – это точка пересечения высот (или биссектрисс или медиан) треугольника \( \displaystyle ABC\).

А точка \( \displaystyle D\) – это приподнятая точка \( \displaystyle H\).

Точка же \( \displaystyle M\) – это середина отрезка \( \displaystyle AD\).

Тогда окончательно нам надо найти: координаты точек: \( \displaystyle A,D,H,M\).

Начнем с самого простого: координаты точки \( \displaystyle A\).

Смотри на рисунок: Ясно, что аппликата точки \( \displaystyle A\) равна нулю (точка лежит на плоскости \( \displaystyle Oxy\)).

Её ордината равна \( \displaystyle 0,5\) (так как \( \displaystyle AK\) – медиана).

Сложнее найти ее абсциссу. Однако это легко делается на основании теоремы Пифагора: Рассмотрим треугольник \( \displaystyle BAS\). Его гипотенуза \( \displaystyle BA\) равна \( \displaystyle 1\), а один из катетов \( \displaystyle AS\) равен \( \displaystyle 0,5\)

Тогда:

\( BS=\sqrt{B{{A}^{2}}-A{{S}^{2}}}=\sqrt{1-\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

Окончательно имеем: \( A\left( \frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2},0 \right)\).

Теперь найдем координаты точки \( \displaystyle H\).

Ясно, что ее аппликата опять равна нулю, а ее ордината такая же, как у точки \( \displaystyle A\), то есть \( 0,5\).

Найдем ее абсциссу. Это делается достаточно тривиально, если помнить, что высоты равностороннего треугольника точкой пересечения делятся в пропорции \( \displaystyle \mathbf{2}:\mathbf{1}\), считая от вершины. Так как: \( AK=BS=\frac{\sqrt{3}}{2}\), то искомая абсцисса точки, равная длине отрезка \( \displaystyle KH\), равна: \( KH=\frac{AK}{3}=\frac{\sqrt{3}}{6}\). Т

аким образом, координаты точки \( \displaystyle H\) равны:

\( H\left( \frac{\sqrt{3}}{6},\frac{1}{2},0 \right).\)

Найдем координаты точки \( \displaystyle D\).

Ясно, что ее абсцисса и ордината совпадают с абсциссой и ординатой точки \( \displaystyle H\). А аппликата равна длине отрезка \( \displaystyle DH\). \( \displaystyle DH\) – это один из катетов треугольника \( \displaystyle DAH\).{2}}}}=\frac{\frac{1}{3}}{\sqrt{\frac{19}{36}}\cdot \sqrt{\frac{2}{3}}}=\frac{\frac{1}{3}}{\sqrt{\frac{19}{54}}}=\frac{\sqrt{54}}{3\sqrt{19}}=\sqrt{\frac{6}{19}}\)

Таким образом, \( \varphi =arccos\sqrt{\frac{6}{19}}.\)

Ответ: \( \varphi =arccos\sqrt{\frac{6}{19}}.\)

Тебя не должны пугать такие «страшные» ответы: для задач С2 это обычная практика. Я бы скорее удивился «красивому» ответу в этой части. Также, как ты заметил, я практически не прибегал ни к чему, кроме как к теореме Пифагора и свойству высот равностороннего треугольника. То есть для решения стереометрической задачи я использовал самый минимум стереометрии. Выигрыш в этом частично «гасится» достаточно громоздкими вычислениями. Зато они достаточно алгоритмичны!

Физические основы механики

Как известно, бывают величины скалярные, не имеющие направления, а бывают векторные, которым кроме величины приписывается некое направление. Время — величина скалярная, а положение в пространстве надо задавать векторами. Недостаточно сказать, что лекция состоится в 860 км от Таллинна. Этой информации не хватит, чтобы узнать, где именно: в Москве или, скажем, в Копенгагене. Отсюда ясно, что векторы должны играть важную роль в физике. Недаром векторное исчисление получило современный вид именно благодаря работам физиков (Дж. Гиббс). Кроме длины и направления, для векторов определяются операция умножения вектора на действительное число и операция сложения векторов, то есть задается векторная алгебра.

Использование векторного исчисления удобно тем, что многие соотношения получаются в общем компактном виде и без особого труда могут быть трансформированы в соответствующие соотношения для любой системы координат. Соотношения между векторами остаются неизменными при смене начала отсчета или выборе иной системы координат. В этом разделе мы напомним некоторые правила векторной алгебры. Занимаясь сейчас физикой, мы не стремимся к точным математическим доказательствам.

Пусть нам дана какая-то декартова прямоугольная система координат. Любой вектор A можно задать тремя компонентами — проекциями вектора на оси , , .В дальнейшем мы используем обе общепринятых записи векторов, выделяя соответствующую букву жирным шрифтом, либо ставя над ней вектор:

Модулем вектора А (или его длиной) называется число:

Длина вектора не меняется при поворотах системы координат.

Произведение вектора А на число является вектором

проекции которого определяются как

Отсюда следует, во-первых, что длина вектора B равна длине вектора A, умноженной на абсолютное значение числа

Во-вторых, векторы A и A коллинеарны и имеют одно направление, если >0, и противоположное, если <0.

Суммой двух векторов A и B называется вектор с

чьи компоненты определяются как сумма компонент слагаемых

Отсюда следует геометрическое представление суммы векторов — правило параллелограмма либо правило треугольника (рис. 1.12).

Рис. 1.12. Сложение двух векторов

Аналогично для вычитания векторов

где

Правило вычитания векторов иллюстрируется на рис. 1.13.

Рис. 1.13. Вычитание векторов

Единичный вектор n — это вектор с длиной, равной единице

Единичный вектор n_A в направлении какого-то вектора а равен

Особую роль играют единичные векторы вдоль положительных направлений осей , , системы координат.

Единичные векторы вдоль положительных направлений осей , , системы координат

называются ортами.Совокупность ортов состовляет базис данной системы координат.

Иногда оси маркируются цифрами (1,2,3 ) или индексами соответствия осям (x,y,z) обозначают так

или

Любой вектор а можно представить в виде разложения по базису

На рис. 1.14 показано разложение вектора вдоль координатных осей

Рис. 1.14. Разложение вектора вдоль координатных осей

Скалярное произведение двух векторов а и b — это число, равное сумме произведений одноименных проекций векторов — сомножителей

Отсюда следует, что скалярное произведение вектора на самого себя равно квадрату длины вектора

Второе следствие: скалярное произведение коммутативно, то есть

Справедливо также соотношение

Скалярное произведение не зависит от поворотов системы координат. Можно систему повернуть так, чтобы оба вектора лежали в плоскости и ось была направлена вдоль вектора а. В этой повернутой системе координат векторы-сомножители имеют следующие проекции:

Поэтому скалярное произведение может быть также представлено в виде

Здесь — угол между векторами а и b.

Если векторы ортогональны, то есть

то скалярное произведение равно нулю:

Обратно: если скалярное произведение равно нулю, то либо один из сомножителей — вектор нулевой длины, либо они ортогональны.

Рис. 1.15. Скалярное произведение

Приведем пример использования скалярного произведения (рис. 1.16). Пусть

Возведем в квадрат обе части равенства:

Это — так называемая теорема косинусов; в частном случае прямоугольного треугольника из нее следует теорема Пифагора.

Рис. 1.16. Теорема косинусов

Векторное произведение двух векторов а и b — это вектор с, чьи компоненты равны

Отсюда следует, что разложение векторного произведения по базису может быть представлено в виде определителя

(1.5.1)

Для обозначения векторного произведения используется либо косой крест между сомножителями, либо помещение разделенных запятой (запятая необязательна, если и без неё ясно, где кончается первый сомножитель и начинается второй) сомножителей в квадратные скобки.

Видно также, что в векторном произведении важен порядок сомножителей

Справедливо соотношение

Чтобы понять, куда направлено векторное произведение и чему равна его длина, снова повернем систему координат так, чтобы плоскость осей совпала с плоскостью векторов а и b и ось была направлена вдоль вектора а. Тогда

Подставляя эти значения в определитель (1.5.1) для векторного произведения, получаем

Это значит, что длина векторного произведения равна

и оно ортогонально обоим сомножителям а и b, причем направление его определяется по правилу правого винта.

Если правый винт вращается от первого вектора — сомножителя ко второму по кратчайшему пути, то этот винт перемещается по направлению их векторного произведения.

Применение правила буравчика иллюстрируется на рис. 1.17.

Рис. 1.17. Правило буравчика для определения направления векторного произведения

Видео 1.2. Правое и левое вращение. Векторное произведение векторов

Если сомножители векторного произведения коллинеарны (, ; = 0), то векторное произведение равно нулю. Обратно, из равенства нулю векторного произведения вытекает, что либо векторы — сомножители коллинеарны, либо один из векторов равен нулю.

Операция деления на вектор не определена.

Производная вектора a — это вектор, чьи компоненты равны производным от соответствующих компонент вектора а.

Пусть, например, вектор а зависит от времени t. Тогда

Производные от скалярного и векторного произведений выглядят обычным образом:

Подчеркнем, что в выражении для производной векторного произведения необходимо сохранять исходный порядок сомножителей.

Дополнительная информация

http://www.plib.ru/library/book/14978.html — Сивухин Д.В. Общий курс физики, том 1, Механика Изд. Наука 1979 г.– стр. 54–59 (§ 7, п.п.9–11 и задачи 1–4): о векторных и скалярных величинах в физике.

http://www.plib.ru/library/book/14978.html — Сивухин Д.В. Общий курс физики, том 1, Механика Изд. Наука 1979 г.– стр. 44–48 (§ 6): о смысле производной и интеграла в физических приложениях.

Векторы. Действия с векторами

Векторы. Действия с векторами. В этой статье мы поговорим о том, что такое вектор,  как находить его длину, и как умножать вектор на число,  а также как находить сумму, разность и скалярное произведение двух векторов.

Как обычно, немного самой необходимой теории.

Вектор — это направленный отрезок, то есть такой отрезок, у которого есть начало и конец:

Здесь точка А — начало вектора, а точка В — его конец.

У вектора есть два параметра: его длина и направление.

Длина вектора — это длина отрезка, соединяющего начало и конец вектора. Длина вектора  обозначается 

Два вектора называются равными, если они имеют одинаковую длину и сонаправлены.

Два вектора называются сонаправленными, если они лежат на параллельных прямых и направлены в одну сторону: вектора и   сонаправлены:

Два вектора называются противоположно направленными, если они лежат на параллельных прямых и направлены в противоположные стороны: вектора  и , а также  и  направлены в противоположные стороны:

Вектора, лежащие на параллельных прямых называются коллинеарными: вектора ,  и  — коллинеарны.

Произведением вектора на число  называется вектор, сонаправленный вектору , если  , и направленный в противоположную сторону, если  , и длина которого равна длине вектора  , умноженной на :

=k:

Чтобы сложить  два вектора  и , нужно начало вектора   соединить с концом вектора . Вектор суммы соединяет начало вектора  с концом вектора :

Это правило сложения векторов называется правилом треугольника.

Чтобы сложить два вектора по правилу параллелограмма, нужно отложить вектора от одной точки и достроить до параллелограмма. Вектор суммы соединяет точку  начала векторов с противоположным углом параллелограмма:

Разность двух векторов определяется через сумму: разностью векторов  и называется такой вектор , который в сумме с вектором  даст вектор :

:        

Отсюда вытекает правило нахождения разности двух векторов: чтобы из вектора   вычесть вектор , нужно отложить эти вектора от одной точки. Вектор разности соединяет конец вектора  с концом вектора ( то есть конец вычитаемого с концом уменьшаемого):

Чтобы найти угол между вектором  и вектором , нужно отложить эти вектора от одной точки. Угол, образованный лучами, на которых лежат вектора, называется углом между векторами: 

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

Предлагаю вам решить задачи  из Открытого банка заданий для  подготовки к ЕГЭ  по математике, а затем сверить све решение с ВИДЕОУРОКАМИ:

1. Задание 4 (№ 27709)

Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Найдите длину разности векторов   и .

2. Задание 4 (№ 27710)

Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Найдите скалярное произведение векторов   и .  (чертеж из предыдущей задачи).

 

3. Задание 4 (№ 27711)

Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Диагонали пересекаются в точке O. Найдите длину суммы векторов   и .

4. Задание 4 (№ 27712)

Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Диагонали пересекаются в точке O. Найдите длину разности векторов   и . (чертеж из предыдущей задачи).

 

 

5. Задание 4 (№ 27713)

Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16. Найдите длину вектора .

6. Задание 4 (№ 27714)

Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16. Найдите длину вектора  + .

 

7.Задание 4 (№ 27715)

Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16. Найдите длину вектора — .(чертеж из предыдущей задачи).

 

8.Задание 4 (№ 27716)

Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16. Найдите длину вектора — .

9. Задание 4 (№ 27717)

Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O и равны 12 и 16. Найдите длину вектора  + .

10. Задание 4 (№ 27718)

Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O и равны 12 и 16. Найдите длину вектора  — .(чертеж из предыдущей задачи).

 

11.Задание 4 (№ 27719)

Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O и равны 12 и 16. Найдите скалярное произведение векторов   и .(чертеж из предыдущей задачи).

 

 

12. Задание 4 (№ 27720)

Стороны правильного треугольника ABC равны   Найдите длину вектора   +.

13. Задание 4 (№ 27721)

Стороны правильного треугольника ABC равны 3. Найдите длину вектора  -.(чертеж из предыдущей задачи).

 

14. Задание 4 (№ 27722)

Стороны правильного треугольника ABC равны 3. Найдите скалярное произведение векторов  и . (чертеж из предыдущей задачи).

 

 

Вероятно, Ваш браузер не поддерживается. Чтобы использовать тренажёр «Час ЕГЭ», попробуйте скачать
Firefox

 

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

 

Вектор, действия с векторами, сложение и вычитание

Тестирование онлайн

• Проекция вектора

• Сложение и вычитание векторов

Вектор

Вектор — это отрезок, который имеет направление. Конец вектора совпадает со стрелкой, начало — точка. Модуль вектора (абсолютная величина) — длина этого направленного отрезка.

Если начало вектора совпадает с его концом, получим нулевой вектор.

Два вектора являются равными, если их длина одинаковая и они имеют одинаковое направление. Они совмещаются при переносе.

На рисунке только вектор a равен вектору b. Вектор c им не равен, так как направлен в противоположную сторону

Вектор -c — это вектор c, но противоположного направления. Тогда

Проекция вектора

Проекция вектора на ось имеет положительное значение в том случае, когда направление вектора совпадает с направлением оси. Отрицательное значение — в противоположном случае.

Спроецируем вектор перемещения на ось Ox и на ось Oy. Для того, чтобы получить проекцию необходимо из координаты конца вектора отнять координату начала. На ось ОХ: s_x=x-x₀, на ось ОУ: s_y=y-y₀.

Рассмотрим примеры

Частные случаи, когда проекция на ось Ox или Oy нулевая.

Сумма составляющих вектора по осям равна данному вектору, т.е.

Сложение векторов

Правило параллелограмма: диагональ параллелограмма — сумма двух векторов с общим началом.

Правило треугольника: от конца первого вектора отложить второй вектор, тогда их суммой будет вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец с концом второго вектора.

Рассмотрим правила на примерах.

Вычитание векторов

Вычитание векторов — это сумма положительного и отрицательного вектора.

Упражнения

Может ли при сложении двух векторов по правилу параллелограмма равнодействующая быть численно равной одному из составляющих векторов?

Может ли при сложении двух векторов по правилу параллелограмма равнодействующая быть меньше меньшего из составляющих векторов?

Векторов

Это вектор:

Вектор имеет величину , (размер) и направление :

Длина линии показывает ее величину, а стрелка указывает направление.

Мы можем сложить два вектора, соединив их голова к хвосту:

И неважно, в каком порядке мы их добавляем, результат будет тот же:

Пример: самолет летит на север, но ветер дует с северо-запада.

Два вектора (скорость, создаваемая воздушным винтом, и скорость ветра) приводят к немного более низкой путевой скорости при движении немного к востоку от севера.

Если бы вы смотрели на самолет с земли, казалось бы, он немного скользит в сторону.

Вы когда-нибудь видели это? Возможно, вы видели птиц, борющихся с сильным ветром, которые, кажется, летят боком. Векторы помогают это объяснить.

Скорость, ускорение, сила и многое другое — векторы.

Вычитание

Мы также можем вычесть один вектор из другого:

• сначала мы меняем направление вектора, который мы хотим вычесть,
• , затем добавьте их как обычно:

а — б

Обозначение

Вектор часто пишется полужирным шрифтом , например a или b .

Вектор также может быть записан как буквы в его голове и хвосте со стрелкой над ним, например:

Расчеты

Сейчас… как мы делаем расчеты?

Самый распространенный способ — сначала разбить векторы на части x и y, например:

Вектор a разбивается на
, два вектора a _x и a _y

(Позже мы увидим, как это сделать.)

Добавление векторов

Затем мы можем сложить векторы на , добавив части x и , добавив части y :

Вектор (8, 13) и вектор (26, 7) складываются в вектор (34, 20)

Пример: складываем векторы

a = (8, 13) и b = (26, 7)

c = a + b

c = (8, 13) + (26, 7) = (8 + 26, 13 + 7) = (34, 20)

Когда мы разбиваем такой вектор, каждая часть называется компонентом :

Вычитание векторов

Для вычитания сначала переверните вектор, который мы хотим вычесть, а затем сложите.

Пример: вычесть

k = (4, 5) из v = (12, 2)

a = v + — k

a = (12, 2) + — (4, 5) = (12, 2) + (−4, −5) = (12−4, 2−5) = (8, −3)

Величина вектора

Величина вектора показана двумя вертикальными полосами по обе стороны от вектора:

| a |

ИЛИ можно написать с двойной вертикальной чертой (чтобы не путать с абсолютным значением):

|| a ||

Для его вычисления мы используем теорему Пифагора:

| a | = √ (х ² + у ² )

Пример: какова величина вектора

b = (6, 8)?

| b | = √ (6 ² + 8 ² ) = √ (36 + 64) = √100 = 10

Вектор с величиной 1 называется единичным вектором.

Вектор против скалярного

Скаляр имеет величину (размер) только .

Скаляр: просто число (например, 7 или -0,32) … определенно не вектор.

Вектор имеет величину и направление и часто выделяется полужирным шрифтом , поэтому мы знаем, что это не скаляр:

• , поэтому c — вектор, он имеет величину и направление
• , но c — это просто значение, например 3 или 12.4

Пример: k

b на самом деле является скаляром k, умноженным на вектор b .

Умножение вектора на скаляр

Когда мы умножаем вектор на скаляр, это называется «масштабированием» вектора, потому что мы меняем размер вектора.

Пример: умножить вектор

m = (7, 3) на скаляр 3

a = 3 м = (3 × 7, 3 × 3) = (21, 9)

Он все еще указывает в том же направлении, но в 3 раза длиннее

(И теперь вы знаете, почему числа называются «скалярами», потому что они «масштабируют» вектор вверх или вниз.)

Умножение вектора на вектор (скалярное произведение и перекрестное произведение)

Как умножить два вектора вместе? Есть несколько способов! (Подробности см. На этих страницах.)

Более двух размеров

Векторы также отлично работают в трех и более измерениях:

Вектор (1, 4, 5)

Пример: складываем векторы

a = (3, 7, 4) и b = (2, 9, 11)

c = a + b

c = (3, 7, 4) + (2, 9, 11) = (3 + 2, 7 + 9, 4 + 11) = (5, 16, 15)

Пример: какова величина вектора

w = (1, −2, 3)?

| w | = √ (1 ² + (−2) ² + 3 ² ) = √ (1 + 4 + 9) = √14

Вот пример с 4-мя измерениями (но его сложно нарисовать!):

Пример: вычесть (1, 2, 3, 4) из (3, 3, 3, 3)

(3, 3, 3, 3) + — (1, 2, 3, 4)
= (3, 3, 3, 3) + (−1, −2, −3, −4)
= (3 −1, 3−2, 3−3, 3−4)
= (2, 1, 0, −1)

Звездная величина и направление

Мы можем знать величину и направление вектора, но нам нужны его длины по осям x и y (или наоборот):

	<=>
Вектор a в полярных координатах Координаты		Вектор a в декартовых координатах

Вы можете прочитать, как преобразовать их в полярные и декартовы координаты, но вот краткое описание:

От полярных координат (r, θ ) до декартовых координат (x, y)		От декартовых координат (x, y) до полярных координат (r, θ)
x = r × cos ( θ ) y = r × sin ( θ )		r = √ (x 2 + y 2 ) θ = tan -1 (y / x)

Пример

Сэм и Алекс тянут ящик.

• Сэм тянет с силой 200 Ньютонов при 60 °
• Алекс тянет с силой 120 Ньютонов под углом 45 °, как показано на рисунке

Что такое объединенная сила и ее направление?

Давайте сложим два вектора голова к хвосту:

Первое преобразование из полярной системы в декартовую (до 2 десятичных знаков):

Вектор Сэма:

• x = r × cos ( θ ) = 200 × cos (60 °) = 200 × 0,5 = 100
• y = r × sin ( θ ) = 200 × sin (60 °) = 200 × 0.8660 = 173,21

Вектор Алекса:

• x = r × cos ( θ ) = 120 × cos (-45 °) = 120 × 0,7071 = 84,85
• y = r × sin ( θ ) = 120 × sin (-45 °) = 120 × -0,7071 = -84,85

Теперь у нас:

Добавьте их:

(100, 173,21) + (84,85, -84,85) = (184,85, 88,36)

Этот ответ верен, но давайте вернемся к полярному, поскольку вопрос был в полярном:

• r = √ (x ² + y ² ) = √ (184.85 ² + 88,36 ² ) = 204,88
• θ = tan ^-1 (y / x) = tan ^-1 (88,36 / 184,85) = 25,5 °

И у нас есть результат (округленный):

А для Сэма и Алекса это выглядит так:

Они могли бы получить лучший результат, если бы стояли плечом к плечу!

Полярных и декартовых координат

… и как конвертировать между ними.

Спешите? Прочтите резюме. Но сначала прочтите, почему:

Чтобы точно определить, где мы находимся на карте или графике, есть две основные системы:

Декартовы координаты

Используя декартовы координаты, мы отмечаем точку по , насколько далеко вдоль и , насколько она выше :

Полярные координаты

Используя полярные координаты, мы отмечаем точку , как далеко , и , под каким углом это:

Преобразование

Чтобы преобразовать одно в другое, мы будем использовать этот треугольник:

преобразовать из декартовой в полярную систему координат

Когда мы знаем точку в декартовых координатах (x, y) и хотим, чтобы она была в полярных координатах (r, θ ), мы решаем прямоугольный треугольник с двумя известными сторонами .

Пример: что такое (12,5) в полярных координатах?

Используйте теорему Пифагора, чтобы найти длинную сторону (гипотенузу):

r ² = 12 ² + 5 ²

г = √ (12 ² + 5 ² )

г = √ (144 + 25)

г = √ (169) = 13

Используйте функцию касания, чтобы найти угол:

тангенс ( θ ) = 5/12

θ = tan ^-1 (5/12) = 22.6 ° (с точностью до одного знака после запятой)

Ответ : точка (12,5) равна (13, 22,6 °) в полярных координатах.

Что такое

tan ^-1 ?

Это функция обратной касательной:

• Касательная принимает угол и дает нам отношение,
• Обратный тангенс принимает соотношение (например, «5/12») и дает нам угол.

Сводка : для преобразования декартовых координат (x, y) в полярные координаты (r, θ):

Примечание. Калькуляторы могут дать неверное значение tan ^-1 () , если x или y отрицательны… Подробнее см. ниже.

Преобразование из полярного в декартово

Когда мы знаем точку в полярных координатах (r, θ ) и хотим, чтобы она была в декартовых координатах (x, y), мы решаем прямоугольный треугольник с известной длинной стороной и углом :

Пример: Что такое (13, 22,6 °) в декартовых координатах?

Используйте функцию косинуса для x:		cos (22,6 °) = x / 13
Перестановка и решение:		x = 13 × cos (22.6 °)
		х = 13 × 0,923
		х = 12,002 …
Используйте функцию синуса для y:		sin (22,6 °) = y / 13
Перестановка и решение:		y = 13 × sin (22.6 °)
		y = 13 × 0,391
		г = 4,996 …

Ответ: точка (13, 22,6 °) равна почти точно (12, 5) в декартовых координатах.

Сводка : для преобразования полярных координат (r, θ ) в декартовы координаты (x, y):

Как помнить?

(x, y) по алфавиту,
(cos, sin) также по алфавиту

Также «y and sine rhyme» (попробуйте сказать это!)

Но как насчет отрицательных значений X и Y?

Четыре квадранта

Когда мы включаем отрицательные значения, оси x и y делят пространство
на 4 части:

Квадранты I, II, III и IV

(пронумерованы против часовой стрелки)

При преобразовании полярных координат в декартовы все получается отлично:

Пример: Что такое (12, 195 °) в декартовых координатах?

r = 12 и θ = 195 °

• x = 12 × cos (195 °)
  x = 12 × −0.9659 …
  x = −11,59 до 2 десятичных знаков
• y = 12 × sin (195 °)
  y = 12 × −0,2588 …
  y = −3,11 от до 2 десятичных знаков

Итак, точка находится в (-11,59, -3,11) , что в квадранте III

.

Но при преобразовании декартовых координат в полярные …

… калькулятор может дать неправильное значение tan ^-1

Все зависит от того, в каком квадранте находится точка! Используйте это, чтобы исправить ситуацию:

Квадрант	Значение тангенса -1
I	Использование значение калькулятора
II	Добавить 180 ° к значению калькулятора
III	Добавить 180 ° к значению калькулятора
IV	Добавить 360 ° к значению калькулятора

Пример: P = (−3, 10)

P находится в квадранте II

• r = √ ((- 3) ² + 10 ² )
  r = √109 = 10.4 до 1 знака после запятой
• θ = tan ^-1 (10 / −3)
  θ = tan ^-1 (−3,33 …)

Значение tan ^-1 (-3,33 …) калькулятора равно -73,3 °

Правило для квадранта II: Добавить 180 ° к значению калькулятора

θ = -73,3 ° + 180 ° = 106,7 °

Итак, полярные координаты для точки (−3, 10) равны (10,4, 106,7 °)

Пример: Q = (5, −8)

Q находится в квадранте IV

• г = √ (5 ² + (−8) ² )
  г = √89 = 9.4 до 1 знака после запятой
• θ = tan ^-1 (-8/5)
  θ = tan ^-1 (−1,6)

Значение tan ^-1 (-1,6) калькулятора равно -58,0 °

Правило для квадранта IV: Добавить 360 ° к калькулятору значение

θ = -58,0 ° + 360 ° = 302,0 °

Итак, полярные координаты для точки (5, −8) равны (9,4, 302,0 °)

Сводка

Для преобразования полярных координат (r, θ ) в декартовы координаты (x, y):

• x = r × cos ( θ )
• y = r × sin ( θ )

Для преобразования декартовых координат (x, y) в полярные координаты (r, θ):

• r = √ (x ² + y ² )
• θ = tan ^-1 (y / x)

Значение tan ^-1 (y / x) , возможно, потребуется скорректировать:

• Квадрант Я использую на калькуляторе значение
• Квадрант II: Добавить 180 °
• Квадрант III: Добавить 180 °
• Квадрант IV: Добавить 360 °

Скаляров и векторов

Физика — математическая наука.Основные концепции и принципы имеют математическую основу. В ходе изучения физики мы будем сталкиваться с множеством концепций, связанных с математической базой. Хотя мы часто делаем упор на концептуальную природу физики, мы будем уделять значительное и постоянное внимание ее математическому аспекту.

Движение предметов можно описать словами. Даже у человека без образования в области физики есть набор слов, которые можно использовать для описания движущихся объектов.Такие слова и фразы, как , идет быстро, , , остановился, , , замедляет, , , ускоряет, и , поворачивает, , обеспечивают достаточный словарный запас для описания движения объектов. В физике мы используем эти и многие другие слова. Мы будем расширять этот словарный список такими словами, как расстояние , смещение , скорость , скорость и ускорение . Как мы вскоре увидим, эти слова связаны с математическими величинами, имеющими строгие определения.Математические величины, которые используются для описания движения объектов, можно разделить на две категории. Величина может быть векторной или скалярной. Эти две категории можно отличить друг от друга по их различным определениям:

• Скаляры — это величины, которые полностью описываются только величиной (или числовым значением).
• Векторы — это величины, которые полностью описываются величиной и направлением.

Остальная часть этого урока будет посвящена нескольким примерам векторных и скалярных величин (расстояние, смещение, скорость, скорость и ускорение).По мере прохождения урока обращайте особое внимание на векторную и скалярную природу каждой величины. По мере того, как мы переходим к другим разделам Учебного пособия по физике и знакомимся с новыми математическими величинами, обсуждение часто начинается с определения новой величины как вектора или скаляра.

Проверьте свое понимание

1. Чтобы проверить ваше понимание этого различия, примите во внимание следующие величины, перечисленные ниже.Классифицируйте каждую величину как вектор или скаляр. Нажмите кнопку, чтобы увидеть ответ.

Кол-во	Категория
а. 5 м
б. 30 м / сек, восток
г. 5 миль, север
г. 20 градусов Цельсия
д.256 байт
ф. 4000 калорий

Векторная алгебра:

ВЕКТОРНЫЕ МЕТОДЫ

Приоритетные направления:

1. Векторы и векторное сложение
2. Единичные векторы
3. Базовые векторы и компоненты вектора
4. прямоугольный координаты в 2-D
5. Прямоугольный координаты в 3-D
6. Вектор соединение двух точек
7. Точечный продукт
8. Перекрестное произведение
9. Трехместный товар
10. Трехместный векторный продукт

Векторы и сложение вектора:

Скаляр — это величина, такая как масса или температура, которая имеет только величину.» на жирном символе (т.е.,). Следовательно,

Любой вектор можно превратить в единичный вектор, разделив его на длину.

Любой вектор можно полностью представить, указав его величину и единицу. вектор по его направлению.

Базовые векторы и компоненты вектора:

Базовые векторы — это набор векторов, выбранных в качестве базовых для представления всех остальных векторы.Идея состоит в том, чтобы построить каждый вектор из сложения векторов по базовым направлениям. Например, вектор на рисунке можно записать как сумму трех векторов u ₁ , u ₂ и u ₃ , каждый по направлению одного из базовых векторов e ₁ , e ₂ и e ₃ , так что

Каждый из векторов u ₁ , u ₂ и u ₃ параллельна одному из базовых векторов и может быть записана как скалярное кратное эта база.Пусть u ₁ , u ₂ и u ₃ обозначим эти скалярные множители так, чтобы получилось

Оригинальный вектор u банка теперь записывается как

Скалярные множители u ₁ , u ₂ и u ₃ известны как компоненты и в базе, описываемой базой векторы e ₁ , e ₂ и e ₃ .Если базовые векторы являются единичными векторами, то компоненты представляют собой длины соответственно трех векторов u ₁ , u ₂ , и u ₃ . Если базовые векторы являются единичными векторами и взаимно ортогонально, то основание называется ортонормированным, евклидовым или декартовым база.

Вектор может быть разрешен по любым двум направлениям в плоскости, содержащей его. На рисунке показано, как правило параллелограмма используется для построения векторов и . и b , что в сумме дает c .

В трех измерениях вектор может быть разрешен вдоль любых трех некомпланарных линий. На рисунке показано, как можно разрешить вектор по трем направлениям. сначала найдя вектор в плоскости двух направлений, а затем разрешение этого нового вектора по двум направлениям на плоскости.

Когда векторы представлены в терминах базовых векторов и компонентов, сложение двух векторов приводит к сложению компонентов векторы.Следовательно, если два вектора A и B представлены как

тогда,

прямоугольный компоненты в 2-D:

Базовые векторы прямоугольной системы координат x-y задаются формулой единичные векторы и вдоль x и y направления соответственно.

Используя базовые векторы, можно представить любой вектор F как

В силу ортогональности базисов имеют место следующие соотношения.

прямоугольный координаты в 3-D:

Базовые векторы прямоугольной системы координат задаются набором три взаимно ортогональных единичных вектора, обозначенных,, и что расположены вдоль координатных направлений x , y и z , соответственно, как показано на рисунке.

Показанная система является системой для правой руки, поскольку большой палец правой руки указывает в направлении z , если пальцы таковы, что представляют вращение вокруг оси z от x до y . Эта система может можно превратить в левостороннюю систему, изменив направление любого из координатные линии и связанный с ними базовый вектор.

В прямоугольной системе координат компонентами вектора являются проекции вектора на x , y и z направления. Например, на рисунке проекции вектора A по x, y, и z направлениям задаются A _x , A _y , и A _z соответственно.

В результате теоремы Пифагора и ортогональности базы векторов, величина вектора в прямоугольной системе координат может быть рассчитано по

Направляющий косинус:

Направляющие косинусы определены как

где углы, и — углы показаны на рисунке.Как показано на рисунке, направляющие косинусы представляют собой косинусы углов между вектором и тремя координаты направления.

Направляющие косинусы могут быть вычислены из компоненты вектора и его величина через соотношения

Три направляющих косинуса не являются независимыми и должно удовлетворять соотношению

Эти результаты формируют тот факт, что

Единичный вектор может быть построен вдоль вектора используя направляющие косинусы в качестве компонентов вдоль x , y и z направление.Например, единичный вектор вдоль вектора A получается из

Следовательно,

Вектор соединение двух точек:

Вектор, соединяющий точку A с точкой B дается

Единичный вектор вдоль линии A-B может быть получен из

Вектор F по линии A-B и величиной F может таким образом получается из соотношения

Точечный продукт:

Скалярное произведение обозначается «» между двумя векторами.В скалярное произведение векторов A и B приводит к скаляру, заданному отношение

где — угол между двумя векторами. Порядок не важен в скалярное произведение, как видно из определения скалярных произведений. В результате один получает

Скалярное произведение имеет следующие свойства.

Поскольку косинус 90, ^o равен нулю, скалярное произведение двух ортогональные векторы приведут к нулю.

Поскольку угол между вектором и самим собой равен нулю, а косинус нуля единица, величина вектора может быть записана в терминах скалярного произведения используя правило

Прямоугольные координаты:

При работе с векторами, представленными в прямоугольная система координат по компонентам

, то скалярное произведение может быть оценено из отношение

Это можно проверить прямым умножением векторы и отмечая, что из-за ортогональности базовых векторов прямоугольная система

Проекция вектора на линию:

Ортогональная проекция вектора вдоль прямой получается перемещением одного конца вектора на линию и опусканием перпендикулярно линии от другого конца вектора.Результирующий отрезок на прямой — это ортогональная проекция вектора или просто его проекция.

Скалярная проекция вектора A вдоль направления единичный вектор — длина ортогональной проекции A вдоль линии, параллельной, и может быть оценен с помощью скалярного произведения. В отношение для проекции

Векторная проекция А вдоль агрегата. вектор просто умножает скалярную проекцию на единичный вектор, чтобы получить вектор вместе.Это дает соотношение

Крест товар:

Перекрестное произведение векторов a и b — это вектор, перпендикулярный к обоим a и b и имеет величину, равную площади параллелограмм, созданный из a и b . Направление креста продукт определяется правилом правой руки.Перекрестное произведение обозначается «» между векторами

Порядок важен в перекрестном произведении. Если порядок операций изменится в перекрестном произведении направление результирующего вектора меняется на противоположное. То есть

Перекрестное произведение имеет следующие свойства.

Прямоугольные координаты:

При работе в прямоугольных системах координат, перекрестное произведение векторов a и b , заданных

можно оценить с помощью правила

Можно также использовать прямое умножение основания векторов с использованием соотношений

Тройной товар:

Тройное произведение векторов a , b и c равно

Стоимость тройного произведения равна объему параллелепипеда. построенный из векторов.Это видно из рисунка с

Тройной продукт имеет следующие свойства

Прямоугольные координаты:

Рассмотрим векторы, описанные в прямоугольнике. система координат как

Тройное произведение можно оценить с помощью отношение

Тройной вектор товар:

Произведение тройного вектора имеет свойства

вектор | Определение, физика и факты

Вектор , в физике величина, имеющая как величину, так и направление.Обычно он представлен стрелкой, направление которой совпадает с направлением количества, а длина пропорциональна величине величины. Хотя вектор имеет величину и направление, у него нет позиции. То есть, пока его длина не изменяется, вектор не изменяется, если он смещается параллельно самому себе.

В отличие от векторов, обычные величины, которые имеют величину, но не направление, называются скалярами. Например, смещение, скорость и ускорение — векторные величины, а скорость (величина скорости), время и масса — скаляры.

Чтобы считаться вектором, величина, имеющая величину и направление, также должна подчиняться определенным правилам комбинирования. Одним из них является сложение векторов, символически записываемое как A + B = C (векторы обычно обозначаются жирным шрифтом). Геометрически векторную сумму можно визуализировать, поместив хвост вектора B в начало вектора A и нарисовав вектор C, начиная с хвоста A и заканчивая в голове B, так, чтобы он завершал треугольник. Если A, B и C являются векторами, должна быть возможность выполнить ту же операцию и получить тот же результат (C) в обратном порядке, B + A = C.Такие величины, как смещение и скорость, обладают этим свойством (законом коммутативности), но есть величины (например, конечные вращения в пространстве), которые не являются векторами и, следовательно, не являются векторами.

векторный параллелограмм для сложения и вычитания

Один из методов сложения и вычитания векторов состоит в том, чтобы соединить их хвосты вместе, а затем подвести еще две стороны, чтобы сформировать параллелограмм. Вектор от их хвостов к противоположному углу параллелограмма равен сумме исходных векторов.Вектор между их головами (начиная с вычитаемого вектора) равен их разности.

Encyclopdia Britannica, Inc.

Другими правилами обработки векторов являются вычитание, умножение на скаляр, скалярное умножение (также известное как скалярное произведение или внутреннее произведение), векторное умножение (также известное как перекрестное произведение) и дифференцирование. . Нет операции, соответствующей делению на вектор. См. векторный анализ для описания всех этих правил.

Правило правой руки для векторного векторного произведения

Обычное, или точечное, произведение двух векторов — это просто одномерное число или скаляр. Напротив, перекрестное произведение двух векторов приводит к другому вектору, направление которого ортогонально обоим исходным векторам, как показано правилом правой руки. Величина или длина вектора векторного произведения задается следующим образом: v w sin θ , где θ — это угол между исходными векторами v и w .

Encyclopædia Britannica, Inc. Получите подписку Britannica Premium и получите доступ к эксклюзивному контенту. Подпишитесь сейчас

Хотя векторы математически просты и чрезвычайно полезны при обсуждении физики, они не были разработаны в их современной форме до конца XIX века, когда Джозайя Уиллард Гиббс и Оливер Хевисайд (из США и Англии соответственно) применили векторный анализ в своих исследованиях. чтобы помочь выразить новые законы электромагнетизма, предложенные Джеймсом Клерком Максвеллом.

Сложение и вычитание векторов

Чтобы сложить или вычесть два вектора, сложите или вычтите соответствующие компоненты.

Позволять ты → знак равно 〈 ты 1 , ты 2 〉 а также v → знак равно 〈 v 1 , v 2 〉 быть двумя векторами.

Тогда сумма ты → а также v → это вектор

ты → + v → знак равно 〈 ты 1 + v 1 , ты 2 + v 2 〉

Разница ты → а также v → является

ты → — v → знак равно ты → + ( — v → ) знак равно 〈 ты 1 — v 1 , ты 2 — v 2 〉

Сумма двух или более векторов называется результирующей.Результат двух векторов можно найти, используя либо метод параллелограмма или метод треугольника .

Метод параллелограмма:

Нарисуйте векторы так, чтобы их начальные точки совпадали. Затем нарисуйте линии, чтобы сформировать полный параллелограмм. Диагональ от начальной точки до противоположной вершины параллелограмма и есть результирующая.

Добавление вектора:

1. Поместите оба вектора ты → а также v → в той же начальной точке.


2. Завершите параллелограмм. Результирующий вектор ты → + v → — диагональ параллелограмма.

Вычитание вектора:

1. Завершите параллелограмм.


2. От начальной точки начертите диагонали параллелограмма.

Метод треугольника:

Нарисуйте векторы один за другим, помещая начальную точку каждого последующего вектора в конечную точку предыдущего вектора.Затем проведите результат от начальной точки первого вектора к конечной точке последнего вектора. Этот метод также называют метод «голова к хвосту» .

Добавление вектора:

Вычитание вектора:

Пример:

Найти) ты → + v → и (б) ты → — v → если ты → знак равно 〈 3 , 4 〉 а также v → знак равно 〈 5 , — 1 〉 .

Подставьте указанные значения ты 1 , ты 2 , v 1 а также v 2 в определение сложения векторов.

ты → + v → знак равно 〈 ты 1 + v 1 , ты 2 + v 2 〉 знак равно 〈 3 + 5 , 4 + ( — 1 ) 〉 знак равно 〈 8 , 3 〉

Перепиши разницу ты → — v → как сумма ты → + ( — v → ) .Нам нужно будет определить компоненты — v → .

Напомним, что — v → является скалярным кратным — 1 раз v . Из определения скалярного умножения имеем:

— v → знак равно — 1 〈 v 1 , v 2 〉 знак равно — 1 〈 5 , — 1 〉 знак равно 〈 — 5 , 1 〉

Теперь добавьте компоненты ты → а также — v → .

ты → + ( — v → ) знак равно 〈 3 + ( — 5 ) , 4 + 1 〉 знак равно 〈 — 2 , 5 〉

Сравнение двух векторов

Математика и естественные науки были изобретены людьми для описания и понять мир вокруг нас.Мы наблюдаем, что есть некоторые количества и процессы в наш мир, который зависит от направления , в котором они происходят, и есть некоторые количества, которые не зависят по направлению. Математики и ученые называют количество которое зависит от направления вектор, величина . Количество которая не зависит от направления, называется скалярной величиной . А векторная величина имеет две характеристики: звездной величины и направление .При сравнении две векторные величины одного типа, необходимо сравнить обе величина и направление.

На этом слайде мы показываем три примера, в которых два вектора по сравнению. На рисунках векторы обычно обозначаются стрелкой. Длина стрелки указывает величину и кончик стрелки указывает направление. Вектор помечены алфавитным букву с чертой сверху, чтобы отличить ее от скаляра.Наши шрифты для веб-печати не позволяют использовать эту нотацию, поэтому мы будем использовать жирная буква для вектора. Мы будем сравнивать два вектора: и . и b . Это могут быть силы, скорости или ускорения; это не имеет значения.

Пример №1: У нас есть два вектора с одинаковым направлением, но величины (или длины векторов) разные. Вектор а не равно вектору b в этом примере.Этот пример кажется довольно просто, потому что то же правило применяется для скаляров; если величина разная, количества не равны. Объект вес 50 фунтов не равен объекту весом 25 фунтов.

Пример №2: Этот пример немного сложнее. В этом случае у нас есть два вектора с одинаковой величины, но направления разные. Вектор а не равно вектору b в этом примере. Если бы вектор был скорости, это говорит нам о том, что автомобиль, движущийся на 45 миль в час на северо-восток окажется в другом месте, чем другая машина, также едущая со скоростью 45 миль в час прямо на восток.За час они оба пройдут 45 миль, но локации будет иначе. Через два часа они будут еще дальше друг от друга.