Колебательный контур — что это, определение и ответ

Колебательный контур ― это электрическая цепь, содержащая катушку индуктивности и конденсатор. В такой электрической цепи происходят колебания электрического тока и напряжения, и взаимная трансформация энергии электрического поля и энергии магнитного поля.

Процессы в колебательном контуре У заряженного конденсатора на одной пластине находится определенное количество отрицательного заряда, а на другой ― положительного. Поскольку между пластинами конденсатора расположен диэлектрик (или воздух, и пластины не соприкасаются) ― заряд не может прямо перейти из одной пластины на другую. Но как только такой конденсатор оказывается подключенным к проводящей цепи, один конец которой связан с одной пластиной ― а другой с другой, заряды начинают переходить от пластины к пластине по «длинному пути» ― через всю цепь. Постепенно конденсатор разряжается ― теряет заряд, а в цепи наблюдается ток, ведь ток ― это направленные движения зарядов.

Если в цепи, кроме проводов и резисторов, находится катушка индуктивности, в равномерный и быстрый процесс перераспределения заряда вмешивается ЭДС самоиндукции катушки. Согласно правилу Ленца, втекающий в катушку ток вызывает ЭДС самоиндукции ― а ЭДС самоиндукции создает индуцированный ток, направленный так, чтобы препятствовать изменению тока в цепи. Если ток в цепи вдруг резко увеличивается ― индукционный ток стремиться его уменьшить, если ток в сети вдруг уменьшается ― индукционный ток стремиться его увеличивать.

Поэтому из―за катушки индуктивности заряд не переходит сразу через всю цепь, от одной обкладки конденсатора к другой. Сила тока в цепи медленно увеличивается ― потому что ее быстрому росту препятствует ЭДС самоиндукции катушки. Максимальной сила тока становится в тот момент, когда конденсатор разряжен (обе его обкладки обладают нулевым зарядом). В этот момент сила тока максимальна благодаря тому, что как только ее перестает наращивать конденсатор за счет потерянных зарядов ― ЭДС самоиндукции прекращает ей препятствовать.

Но разряженный конденсатор больше не может поддерживать силу току ― ведь заряда на его обкладках нет, и не будь в цепи катушки индукции, ток бы прекратился. Однако здесь вновь срабатывает правило Ленца: после того как сила тока достигла максимума и начала уменьшаться ― в катушке возникает ЭДС и индукционные токи, которые стремятся вернуть силу тока такой, как она была ― максимальной. Поэтому, даже после того, как конденсатор разряжен, в цепи продолжает течь ток. Заряды попадают на обкладку конденсатора и постепенно заряжают ее. На этот раз, та обкладка конденсатора, которая была заряжена положительно и принимала заряд, начинает накапливать отрицательный заряд, а так обкладка, которая была заряжена отрицательно, становится заряженной положительно.

После того как конденсатор зарядиться ― он вновь начинает разряжаться. Таким образом, в контуре происходят колебания заряда, силы тока, напряжения и энергий магнитного и электрического поля в катушке индуктивности и конденсаторе.

Цикл процессов, происходящих в колебательном контуре:

1: Начальное состояние ― конденсатор заряжен до максимального заряда Q_m, но силы тока в цепи пока нет.

2. Конденсатор разряжается ― заряд переходит от одной обкладки на другую через всю цепь, сила тока в цепи постепенно увеличивается.

3. Конденсатор разряжен ― весь заряд с обкладок уже ушел, сила тока в цепи максимальна и равна I_m.

4. Конденсатор заряжается ― сила тока в цепи уменьшается, а конденсатор получает заряд.

5. Конденсатор перезаряжен ― но теперь та обкладка, которая была положительно заряженной, стала отрицательно заряженной, и наоборот. Тока в цепи нет.

6. Конденсатор вновь разряжается, но в обратную сторону ― и ток течет в сторону, обратную тому, что был на этапе 2.

7. Конденсатор разряжен ― ток достиг максимума, а заряда на конденсаторе нет.

На графике показаны колебания изменения напряжения на конденсаторе (U), колебания изменения заряда на конденсаторе (Q), и колебания силы тока в катушке индуктивности (I). Период колебаний параметров колебательного контура равен T.

Для постоянного тока сила тока определялась как количество заряда, прошедшее через сечение проводника за некоторый промежуток времени: \(I = \frac{\mathrm{\Delta}q}{\mathrm{\Delta}t}\), где

I ― сила тока, [А];

∆q ― количество заряда, [Кл];

∆t ― время, [c]. {‘}\left( t \right),\ \)где

I ― сила тока, [А];

q ― количество заряда, [Кл];

t ― время, [c].

Заряд в колебательном контуре изменяется по гармоническому закону q(t) = Q_maxsin(ωt + φ₀), где

q ― количество заряда, [Кл];

Q_max ― максимальный заряд (амплитуда колебаний заряда), [Кл];

ω ― циклическая частота колебаний [рад/с];

φ₀ ― начальная фаза колебаний, [рад];

t ― время, [c].

Следовательно, сила тока в контуре изменяется по закону I = q_t^‘ = (Q_maxsin(ωt + φ₀))_t^‘ = Q_maxωcos(ωt + φ₀). При этом Q_maxω ― максимальная сила тока в цепи: I_max = Q_maxω. {2}}{2}\), где

W_m ― энергия магнитного поля индукционной катушки, [Дж];

L ― индуктивность катушки, [Гн];

I ― сила тока, [А].

Как видно из формулы, энергия магнитного поля катушка также всегда положительна ― вне зависимости от того, какое из направлений силы тока принято в качестве положительного, а какое ― в качестве отрицательно, сила тока, возведенная в квадрат, всегда будет положительной величиной.

График изменения энергии электрического поля конденсатора W_e и магнитного поля катушки W_m за один цикл работы колебательного контура показан на рисунке выше.

В начальный момент времени конденсатор полностью заряжен, и энергия его электрического поля максимальна и равна W_{e max}, а энергия магнитного поля катушки равна нулю, так как ток в цепи отсутствует. По мере разрядки конденсатора, энергия его электрического поля уменьшается ― из-за того, что уменьшается заряд обкладок, а энергия магнитного поля катушки увеличивается ― поскольку заряд, ушедший из конденсатора, создает ток в цепи, сила которого увеличивается. В момент, когда конденсатор разряжается полностью, энергия его электрического поля равна нулю ― а энергия магнитного поля катушки максимальна W_{m max}. Затем, по мере перезарядки конденсатора, энергия его электрического поля восстанавливается до максимума, а энергия магнитного поля катушки уменьшается до нуля.

Согласно закону сохранения энергии, полная энергия колебательного контура постоянна в любой момент времени: W = W_{m max} = W_{e max} = W_e + W_m, где

W ― полная энергия свободных электромагнитных колебаний, W = const, [Дж];

W_{m max} ― максимальная энергия магнитного поля катушки индуктивности, [Дж];

W_{e max} ― максимальная энергия электрического поля конденсатора, [Дж];

W_m ― энергия магнитного поля катушки индуктивности, [Дж];

W_e ― энергия электрического поля конденсатора, [Дж];

или \(W = \frac{CU^{2}}{2} + \frac{LI^{2}}{2} = \frac{CU_{\max}^{2}}{2} = \frac{LI_{\max}^{2}}{2}\), где

W ― полная энергия свободных электромагнитных колебаний, W = const, [Дж];

C ― электроемкость конденсатора, [Ф];

U ― напряжение на обкладках конденсатора, [В];

U_max ― максимальное напряжение на обкладках конденсатора, [В];

L ― индуктивность катушки, [Гн];

I ― сила тока в катушке индуктивности, [А];

I_max ― максимальная сила тока в катушке индуктивности, [A].

Частота колебаний силы тока и напряжения в колебательном контуре определяется формулой Томпсона и зависят только от индуктивности катушки и электроемкости конденсатора. Частота и период гармонических колебаний в колебательном контуре равны \(\nu = \frac{1}{2\pi\sqrt{\text{LC}}}\) и \(T = 2\pi\sqrt{\text{LC}}\)где

v ― частота колебаний [Гц];

Т ― период колебаний [c];

L ― индуктивность катушки [Гн];

С ― электроёмкость конденсатора [Ф].

Контрольна робота «Електромагнітна магнітна «

Контрольная работа

по теме «Электромагнитная индукция»

 

ВАРИАНТ

 

Задание 1 (1,5 балла). Вектормагнитной индукции однородного магнитного поля направлен перпендикулярно плоскости рамки площадью 150 см². Каков модуль вектора, если магнитный поток через рамку равен 600 мкВб?

Задание 2 (1,5 балла). Какова индуктивность контура, в котором ток 2 А создаёт магнитный поток 40 мВб?

Задание 3 (2 балла). Какой заряд пройдёт через поперечное сечение витка, сопротивление которого 0,05 Ом, при уменьшении магнитного потока внутри витка на 15 мВб?

Задание 4 (3 балла). На рисунке показан график зависимости силы тока от времени в катушке индуктивности на протяжении неболь-шого промежутка времени после замыкания цепи. Какова энергия магнитного поля катушки через   10 мс, если ЭДС самоиндукции в катушке равна    5 В?

Задание 5 (4 балла). В показанной на рисунке цепи ЭДС источника тока равна 36 В, а его внутреннее сопротивление – 1 Ом. Индуктивность катушки равна     1,2 Гн, её электрическим сопротивлением можно пренебречь. При перемещении движка реостата вправо сопротивление реостата уменьшается от 17 Ом до 8 Ом. На сколько изменяется при этом энергия магнитного поля катушки?

Контрольная работа

по теме «Электромагнитная индукция»

 

ВАРИАНТ

 

Задание 1 (1,5 балла).

Магнитный поток через замкнутый контур равномерно возрастает от 7 мВб до 25 мВб за 3 с. Какова ЭДС индукции в контуре?

Задание 2 (1,5 балла). Какова энергия магнитного поля катушки с индуктивностью 150 мГн, сила тока в которой равна 4 А?

Задание 3 (2 балла). Магнитный поток, пронизывающий контур проводника, равномерно изменился на 2 Вб так, что ЭДС индукции оказалась равной 5 В. Найдите время изменения магнитного потока и силу индукционного тока, если сопротивление проводника 0,25 Ом.

Задание 4

(3 балла). Энергия магнитного поля короткозамкнутой сверхпроводящей катушки уменьшается вследствие электрического сопротивления контактов цепи на 0,1% за 10 мин. Каково сопротив-ление контактов, если индуктивность катушки 8 Гн?

Задание 5 (4 балла). К источнику постоянного тока подключают параллельно две катушки и замыкают цепь. На рисунке показаны графики зависимости силы тока в каждой из катушек от времени на протяжении небольшого промежутка времени после включения. Найдите ЭДС самоин-дукции в катушках и индуктивность второй катушки, если индуктив-ность первой катушки равна 0,8 Гн.

Контрольная работа

по теме «Электромагнитная индукция»

 

ВАРИАНТ

 

Задание 1 (1,5 балла). Какова ЭДС индукции в горизонтальном стержне длиной 20 см, падающем со скоростью 2 м/с в однородном магнитном поле с индукцией 50 мТл? Вектор магнитной индукции поля направлен горизонтально, под прямым углом к стержню.

Задание 2 (1,5 балла). Какая ЭДС самоиндукции возникает в катушке с индуктивностью 60 мГн при равномерном изменении силы тока на 12 А за 1 с?

Задание 3

(2 балла). Алюминиевое кольцо расположено в одно-родном магнитном поле так, что его плоскость перпендикулярна вектору магнитной индукции. Диаметр кольца 25 см, толщина провода кольца 2 мм. Определить скорость изменения магнитной индукции со временем, если при этом в кольце возникает индукци-онный ток 12 А.

Задание 4 (3 балла). Катушку с индуктивностью 0,7 Гн, сила тока в которой равна 2 А, замкнули накоротко. Через какое время сила тока в ней уменьшится на 0,01 А, если электрическое сопротивление катушки равно 10 Ом?

Задание 5 (4 балла). В цепи, показанной на рисунке, катушка, содержащая 200 витков провода, находится в однородном магнитном поле, вектор магнитной индукции которого направлен вдоль оси катушки. Ключ разомкнут, заряд конденсатора равен 6 нКл. Какой должна быть скорость изменения магнитного поля, чтобы после замыкания ключа в цепи не возник электрический ток? Ёмкость конденсатора равна 0,5 мкФ, площадь сердечника катушки – 2,5 см

2.

Контрольная работа

по теме «Электромагнитная индукция»

 

ВАРИАНТ

 

Задание 1 (1,5 балла). Линии магнитной индукции однородного магнитного поля образуют угол 60^о с вертикалью.

Найдите магнитный поток через горизонтальную квадратную проволочную рамку со стороной 5 см, если модуль вектора магнитной индукции равен
60 мТл.

Задание 2 (1,5 балла). При какой силе тока энергия магнитного поля катушки с индуктивностью 0,6 Гн равна 2,7 Дж?

Задание 3 (2 балла). Короткозамкнутая катушка, состоящая из 1000 витков, помещена в магнитное поле, линии индукции которого направлены вдоль оси катушки. Индукция магнитного поля меняется со скоростью 5·10^–3 Тл/с. Площадь поперечного сечения катушки
40 см², сопротивление катушки 160 Ом. Найдите мощность тепловых потерь.

Задание 4 (3 балла). Катушку с индуктив-ностью 0,4 Гн, по которой шёл ток, замкнули накоротко. На рисунке показан график зависимос-ти силы тока в катушке от времени. Какое коли-чество теплоты выделилось в катушке за первые 20 мс после замыкания?

Задание 5 (4 балла). Какова энергия магнитного поля катушки в показанной на рисунке цепи, если ЭДС источника тока 18 В, его внутреннее сопротивление 1,5 Ом, а сопротивление каждого из резисторов 3 Ом? Индуктивность катушки равна 0,9 Гн, а её электрическим сопротивлением можно пренебречь.

Контрольная работа

по теме «Электромагнитная индукция»

 

ВАРИАНТ

 

Задание 1 (1,5 балла). При равномерном возрастании магнитного потока через катушку в ней возникает ЭДС индукции 80 мВ. На сколько увеличивается магнитный поток через катушку за 5 с?

Задание 2 (1,5 балла). Найдите индуктивность катушки, в которой при равномерном изменении силы тока на 6 А за 120 мс возникает ЭДС самоиндукции 4 В.

Задание 3 (2 балла). В однородном магнитном поле с индукцией 0,1 Тл находится виток площадью 10 см

2, расположенный перпенди-кулярно линиям индукции. Сопротивление витка 2 Ом. Какой заряд протечёт по витку при выключении поля?

Задание 4 (3 балла). На сколько изменится за 50 мс индукция магнитного поля в сердечнике катушки из 300 витков, если в катушке возникает ЭДС индукции 2 В? Радиус сердечника катушки 1 см.

Задание 5 (4 балла). В цепи, показанной на рисунке, ЭДС источника тока 12 В, его внутреннее сопротивление 1,5 Ом, индуктивность катушки равна 0,3 Гн, а её электрическое сопротивление – 3 Ом. При перемещении движка рео-стата влево сопротивление реостата увеличивается от 1,5 Ом до

7,5 Ом. На сколько изменяется при этом энергия магнитного поля катушки?

Контрольная работа

по теме «Электромагнитная индукция»

 

ВАРИАНТ

 

Задание 1 (1,5 балла). Вертикальный стержень длиной 40 см движется со скоростью 1 м/с в горизонтальном направлении перпен-дикулярно горизонтальным линиям магнитной индукции однородного магнитного поля. Какова ЭДС индукции в стержне, если магнитная индукция поля равна 75 мТл?

Задание 2 (1,5 балла). При силе тока в катушке 1,5 А энергия магнитного поля равна 0,45 Дж. Найдите индуктивность катушки.

Задание 3 (2 балла). В однородном магнитном поле с индукцией 0,1 Тл расположен плоский проволочный виток так, что его плоскость перпендикулярна линиям индукции. Виток замкнут на гальванометр. При повороте витка через гальванометр протёк заряд 9,5·10^–3 Кл. На какой угол повернули виток? Площадь витка 10³ см², сопротивление витка 2 Ом.

Задание 4 (3 балла). Магнитная индукция однородного магнитно-го поля в сердечнике короткозамкнутой катушки из 500 витков изме-няется со скоростью 0,6 Тл/с. Найдите силу тока в катушке, если её электрическое сопротивление 40 Ом, а радиус сердечника 2 см.

Задание 5 (4 балла). Короткозамкнутая катушка, состоящая из 1000 витков, помещена в магнитное поле, линии индукции которого направлены вдоль оси катушки. Индукция магнитного поля меняется со скоростью 5·10^–3 Тл/с. Площадь поперечного сечения катушки
40 см², сопротивление катушки 160 Ом. Найдите мощность тепловых потерь.

5.4: Катушки индуктивности в цепях — Физика LibreTexts

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

Идентификатор страницы

21537

• Том Вайдеман
• Калифорнийский университет, Дэвис

Энергия магнитного поля

Индукторы — это то, что мы искали — устройство, которое входит в цепь подобно конденсатору, в котором участвуют магнитные, а не электрические поля. Несколько глав назад мы говорили, что основное назначение конденсатора — хранить энергию в электрическом поле между пластинами, поэтому, чтобы следовать параллельному курсу, катушка индуктивности должна накапливать энергию в своем магнитном поле. Мы можем точно рассчитать, сколько хранится, используя уже имеющиеся у нас инструменты.

Предположим, мы начинаем наращивать ток от нуля в катушку индуктивности. Без тока в нем нет магнитного поля и, следовательно, нулевой энергии, но по мере увеличения тока увеличивается магнитное поле, а вместе с ним растет и накопленная энергия. На самом деле у нас есть способ определить скорость , с которой накопленная энергия растет из того, что мы уже знаем. Здесь нет сопротивления, о котором нужно беспокоиться, поэтому никакая энергия не теряется на тепло, а это означает, что мы можем записать мощность как произведение тока и разности напряжений. Напоминаем, что мощность, отдаваемая батареей или от нее, равна плюс-минус произведению тока и ЭДС батареи:

Рисунок 5.4.1 – Питание Зарядка или разрядка батареи ) магнитное поле внутри индуктора. Если положительный вывод нашей умной батареи обращен к входящему току, это должно быть потому, что ток увеличивается. Это приводит к увеличению энергии, запасенной в индукторе, и, конечно, увеличение тока соответствует увеличению напряженности магнитного поля внутри индуктора. Обратный аргумент для индуктора, где ток (и, следовательно, поле) уменьшается, также идеально подходит. Математика работает легко, заменив ЭДС батареи на катушку индуктивности: 9{-1}\). Однако эта параллель заходит так далеко. Например, это не работает для \(Q=CV\). Однако с точки зрения энергии это работает хорошо, и мы увидим, что это распространяется и на энергию поля.

Потенциальная энергия, хранящаяся внутри соленоида (который, как мы сказали выше, в значительной степени является конструкцией каждой катушки индуктивности), может быть выражена в терминах магнитного поля внутри. Для этого нам понадобится собственная индуктивность соленоида (уравнение 5.3.8) и поле соленоида (уравнение 4.4.13): 92\]

И снова очевидно сходство с версией для электрического поля, с той лишь разницей, что здесь в знаменателе стоит константа, а в числителе — ее электрическая копия.

Усиление индукторов

Когда мы обсуждали конденсаторы, мы обнаружили, что можем изменить их способность накапливать энергию, поместив диэлектрик между их пластинами. У нас есть аналогичный вариант для катушек индуктивности. Ранее мы обсуждали концепции, связанные с магнитными полями в различных веществах, и узнали, что вещества могут реагировать в основном одним из двух способов: магнитные диполи в веществе могут выравниваться с полем или могут индуцироваться новые диполи, которые (согласно закону Ленца) выровнять напротив поля. Первый мы назвали парамагнетизмом (или, если диполи остаются выровненными после удаления поля, ферромагнетизмом), и он увеличивает приложенное поле. Последний мы назвали диамагнетизмом, и он уменьшает приложенное поле. Это контрастирует со случаем электричества, где изоляционные материалы могут реагировать только как диэлектрики и действовать только для уменьшения поля.

Как и в случае с электричеством, мы введем физическую постоянную, известную как проницаемость , которая, как и диэлектрическая проницаемость в случае электричества, заменяет константу вакуума:

\[\text{электричество: } \epsilon_o \rightarrow \epsilon \;\;\;\;\;\;\;\; \text{магнетизм: }\mu_o \rightarrow \mu \]

Как и в случае с электричеством, мы просто заменяем проницаемость вакуума на проницаемость вещества, чтобы получить ответы внутри материи. Таким образом, законы Био-Савара и Ампера легко переводятся в более общие формы: 92}\;\;\;\;\;\;\;\;\oint \overrightarrow B \cdot \overrightarrow {dl} = \mu I_{enclosed}\]

Замечание из закона Био-Савара, что увеличение проницаемость для того же источника увеличивает напряженность поля (в отличие от диэлектрической проницаемости в случае кулоновского поля). Следовательно, проницаемость выше, чем у вакуума, означает, что материал является парамагнитным (и намного выше, чем у ферромагнитного). Значение ниже вакуумного соответствует диамагнетизму. Часто материалы классифицируют в соответствии с процентным увеличением/уменьшением общего поля по сравнению с вакуумным случаем. То есть:

\[\mu = \left(1+\chi_m\right)\mu_o\]

Константа \(\chi_m\) называется магнитной восприимчивостью . Это имеет положительное значение для парамагнитных и ферромагнитных веществ и отрицательное значение для диамагнитных веществ.

LR Circuits

Пришло время добавить катушки индуктивности в наши принципиальные схемы, поэтому нам нужен новый символ:

индуктор:

Как и для любого другого объекта в цепи, на устройстве будет определенное падение напряжения, когда мы использовать правило цикла Кирхгофа. Отличие этого устройства в том, что его свойство «умной батареи» делает его несколько сложнее, чем другие объекты, для определения знака изменения напряжения.

Одной из причин включения катушки индуктивности в цепь является защита цепи от скачков тока (например, в качестве устройства защиты от перенапряжений ). Если ток резко и внезапно изменится, то индуктор отреагирует, создав ЭДС, которая противодействует внезапному изменению, уменьшая величину, на которую ток может измениться за короткий период, защищая систему от потенциального повреждения. Мы увидим некоторые другие эффекты, которые индуктор оказывает на цепь, начиная с того, как он взаимодействует в цепи с резистором.

Рисунок 5.4.2a – Цепь LR с нарастающим током \математический E = IR\), но индуктор этого не допускает, потому что вырабатывает ЭДС, противодействующую резким изменениям. Мы начнем с правила петли Кирхгофа (что создает для нас новую проблему, когда дело доходит до катушек индуктивности), затем решим дифференциальное уравнение, как мы делали ранее для RC-цепи. Чтобы использовать правило петли, нам нужно пометить ток и выбрать направление петли. Для случая выше, давайте выберем по часовой стрелке для обоих. Обходя эту петлю, батарея обеспечивает повышение напряжения \(+\mathcal E\), а резистор — падение напряжения \(-IR\). А индуктор?

Когда переключатель замкнут, ток, направленный справа налево для катушки индуктивности, увеличивается в направлении контура. В результате действия закона Фарадея катушка индуктивности становится «умной батареей», уменьшающей ток, что означает падение напряжения :

\[\mathcal E_{индуктор} = -L\dfrac{dI} {dt}\]

При увеличении тока производная положительна, а поскольку \(L\) всегда положительна, падение напряжения требует знака минус. Прежде чем составить уравнение контура, давайте спросим, ​​как оно могло бы измениться, если бы мы обозначили ток по-другому или выбрали другое направление контура. Во-первых, если мы изменим направление текущей метки на слева направо и оставим направление цикла, то увеличение тока приведет к тому, что левая сторона «умной батареи» будет иметь более высокий потенциал, а это означает, что в петле по часовой стрелке индуктор даст увеличение потенциала, и нам придется использовать \(\mathcal E_{индуктор } = +L\dfrac{dI}{dt}\). Таким образом, кажется очевидным, что мы получаем правильный знак, когда используем то же соглашение, что и для резистора — знак минус, когда направление тока совпадает с направлением контура, и положительный знак, когда направления контура и тока противоположны друг другу. . 9{-\frac{t}{\tau}}\right)\;,\;\;\;\;\; \tau\equiv \dfrac{L}{R}\]

Обратите внимание, что постоянная времени для этой схемы сильно отличается от постоянной времени для RC-цепи. В частности, более высокое сопротивление в RC-цепи приводит к большей постоянной времени — заряду требуется больше времени, чтобы сходить с пластин конденсатора, когда сопротивление выше, потому что это снижает скорость потока (ток). Однако в этом случае большее сопротивление вызывает более быстрое затухание тока (т. е. \(\dfrac{dI}{dt}\) является более отрицательным числом):

\[\dfrac{dI}{dt} = \dfrac{1}{L}\left(\mathcal E — IR\right)\]

Более быстрое затухание означает меньшую постоянную времени.

Рисунок 5. 4.2b – Цепь LR с нарастающим током Когда ключ впервые замыкается, ток растет с максимальной скоростью, , но это не бесконечность . То есть ток не сразу подскакивает до значения, заданного законом Ома. Чем больше индуктивность, тем медленнее начальный рост тока, так как наклон кривой тока при \(t=0\) обратно пропорционален \(L\). По прошествии длительного времени кривая зависимости тока от времени выравнивается, и когда наклон равен нулю, в катушке индуктивности не возникает ЭДС, а это означает, что ток достигает значения закона Ома – он достигает этой точки асимптотически. . 9{-\frac{t}{\tau}}\;,\;\;\;\;\; \tau\equiv \dfrac{L}{R}\]

С точки зрения энергии легко понять, что здесь происходит. Энергия, накопленная в магнитном поле, постепенно преобразуется резистором в тепловую энергию.

LC-схемы

Давайте посмотрим, что произойдет, если соединить катушку индуктивности с конденсатором.

Рисунок 5.4.3 – LC-цепь

у нас есть: 92} + \dfrac{1}{LC}Q = 0\]

Это еще одно дифференциальное уравнение, которое мы видели ранее, хотя оно не относилось к этому классу. Да, это то же самое дифференциальное уравнение, которое возникает для массы, колеблющейся на пружине. Решение для \(Q\left(t\right)\) должно быть синусоидальным, поскольку две производные функции синуса или косинуса возвращают отрицательное значение самой себя (умноженное на константу, полученную из цепного правила). Решение для этого конкретного случая (с заданным начальным зарядом при \(t=0\)) таково:

\[Q\влево(т\вправо) = Q_o\cos\влево(\omega t\вправо)\;,\;\;\;\;\;\omega\equiv \dfrac{1}{\sqrt {LC}}\]

Интерпретируя этот результат, мы видим, что заряд на самом деле плещется туда-сюда между пластинами (заряды на пластинах фактически меняются местами!). Мы также можем записать уравнение для тока:

\[I\left(t\right) = -\dfrac{dQ}{dt} = Q_o\omega\sin\left(\omega t\right)=\ dfrac{Q_o}{\sqrt{LC}}\sin\left(\omega t\right) = I_{max}\sin\left(\omega t\right)\;,\;\;\;\;\ ;I_{max}\equiv\dfrac{Q_o}{\sqrt{LC}}\]

Мы видим, что ток начинается с нуля и растет до максимального значения, и этот максимум возникает, когда значение синуса равно 1, что совпадает с моментом, когда заряд конденсатора достигает нуля. 2}{2C}\] 92}{2C}\номер\]

Схемы LRC

Все, что осталось исследовать с точки зрения схем, которые объединяют различные компоненты, это собрать их все вместе. Мы можем догадаться о результате — сопротивление приводит к распаду, поскольку энергия в цепи преобразуется в тепловую. Емкость и индуктивность совершают свой танец колебаний между энергией электрического и магнитного поля. Если сложить их все вместе, получится эквивалент затухающего осциллятора (гармонический осциллятор с трением). 9Рис. 5.4.4. Цепь LRC На этот раз решение дифференциального уравнения имеет разные характеристики в зависимости от значений задействованных констант. Например, если сопротивление превышает определенное значение, ток рассеивается до того, как заряд сможет переключить пластины конденсатора — он просто спадает до нуля. это называется передемпфированная система . Если сопротивление лишь едва достаточно велико, чтобы вызвать такое поведение, говорят, что система имеет критическое демпфирование . И если сопротивление достаточно низкое, чтобы допустить колебания, это называется с недостаточным демпфированием . В этом случае заряд колеблется между двумя пластинами конденсатора, заполняя их с каждой итерацией все меньше и меньше.

Рисунок 5.4.5 – Текущее поведение на основе сведений о схеме

92>\dfrac{4L}{C} \end{массив}\]

---

Эта страница под названием 5.4: Inductors in Circuits распространяется под лицензией CC BY-SA 4.0 и была создана, изменена и/или курирована Томом Вайдеманом непосредственно на платформе LibreTexts.

1. Наверх

• Была ли эта статья полезной?

1. Тип изделия

   Раздел или Страница

   Автор

   Том Вайдеман

   Лицензия

   CC BY-SA

   Версия лицензии

   4,0

   Показать оглавление

   нет

2. Теги

   1. источник@родной

электрических цепей — Сохраняет ли индуктор свою энергию?

Магнитное поле определяется током и изменяющимся электрическим полем. И у него есть энергия только для того, чтобы существовать. Для создания магнитного поля требуется энергия, например, для увеличения силы тока, и вы получаете энергию обратно, когда сила магнитного поля уменьшается.

Для обычного индуктора магнитное поле и связанная с ним накопленная энергия обусловлены исключительно током в проводах в данный момент и ни чем другим.

Конденсатор тот же. Электрическое поле возникает из-за изменяющихся магнитных полей и из-за дисбаланса заряда. И у него есть энергия только для того, чтобы существовать. Требуется энергия, чтобы сделать электрическое поле сильнее, например, чтобы создать больший дисбаланс заряда, и вы получаете энергию обратно, когда напряженность электрического поля уменьшается. Для обычного конденсатора электрическое поле и связанная с ним накопленная энергия обусловлены исключительно дисбалансом заряда на конденсаторе.

Для схемы LCR случается, что для того, чтобы через индуктор проходил большой ток, заряд должен течь от одной части конденсатора к другой части конденсатора, при этом весь заряд должен проходить через индуктор. Это из-за того, как они связаны друг с другом, и из-за сохранения заряда, а не из-за закона физики о полях. Но это означает, что большие токи через индуктор возникают, когда дисбаланс заряда на конденсаторе сильно меняется. Таким образом, магнитное поле является самым сильным, когда электрическое поле изменяется больше всего.

Точно так же, когда электрические поля в конденсаторе сильны, это требует большого дисбаланса зарядов, но дисбаланс зарядов между частями, соединенными проводником, требует внешней ЭДС для большой ЭДС через индуктор, чтобы противостоять толчку зарядов, который в противном случае ощущался бы от большой дисбаланс заряда. Для этого требуется большая ЭДС, поэтому переменное магнитное поле. Поскольку магнитное поле связано с током, нам нужен изменяющийся ток.

Таким образом, большое магнитное поле требует большого тока, а большой ток требует изменения дисбаланса заряда, а значит, изменения величины электрического поля внутри конденсатора.

И большое электрическое поле требует сильного дисбаланса заряда, а большой дисбаланс заряда требует большой ЭДС от неэлектростатических источников, чтобы создать его сильным, поэтому нам нужны изменяющиеся магнитные поля, чтобы создать ЭДС. Хотя, если бы цепь двигалась или была прикреплена к батарее, были бы другие способы получить противодействующую ЭДС. Чтобы получить эту большую ЭДС, нам нужны изменяющиеся магнитные поля, чтобы управлять ею.

Таким образом, изменение электрических полей в конденсаторе позволяет создать большое магнитное поле в катушке индуктивности. А большое электрическое поле требует изменяющегося магнитного поля. Так что энергия хлюпает туда-сюда.

Это гармонический поток тока.

Как магнитное поле «удерживает/хранит энергию»? Или, точнее, как он передает его обратно на провод?

Таким образом, магнитное поле имеет энергию только за счет существующего, более сильного поля больше энергии. При изменении магнитного поля возникают циркулирующие электрические поля. Представьте себе электрические поля, идущие по кругу во всем пространстве между круговыми проводами в проводниках, подобно тому, как если бы вода текла по изгибам в пластинке, просто двигаясь по кругу. И они становятся сильнее пространственно по мере удаления от центра, пока не достигают своего пика в месте фактического расположения провода. Таким образом, между проводами существуют круговые электрические поля. Общая сила связана со скоростью изменения магнитного поля. Так что даже прямо внутри пустого пространства внутри индуктора есть электрические поля. Это не случайно, что у вас есть и электрическое, и магнитное поля в одной и той же точке, потому что это обязательно всякий раз, когда энергия изменяется в области без зарядов. Внутри конденсатора происходит то же самое, когда электрическое поле меняется, циркулирующие магнитные поля движутся по кругу и становятся сильнее по мере приближения к краю конденсатора, а сила связана с общей скоростью дисбаланса заряда конденсатора ( следовательно, электрическое поле) изменяется.

В области без зарядов энергия хранится в каждом маленьком кусочке пространства, где есть электрические или магнитные поля, и энергия, хранящаяся в области без зарядов, изменяется за счет того, что эта энергия течет к другим областям. В случае индуктора магнитное поле однородно и уменьшается, поэтому возникает неоднородное электрическое поле. Неравномерность представляет собой тот факт, что полная энергия течет из центра (меньшие электрические поля, те же магнитные поля) к внешнему краю цилиндра (большие электрические поля, те же магнитные поля).

Теперь, когда есть заряды, энергия полей может изменяться, и она изменяется, перетекая от полей к зарядам, а скорость потока энергии составляет $\vec J\cdot \vec E$, поэтому в нашем случае расширяющиеся кольца более сильное электрическое поле ударяет по проводам и передает энергию движущимся там зарядам, совершая работу. В случае, когда напряженность магнитного поля уменьшается, электрические поля направлены в направлении передачи кинетической энергии зарядам.

Таким образом, изменяющиеся магнитные поля внутри проводника имеют неравномерные циркулирующие электрические поля, неравномерность представляет собой поток энергии, и он продолжает течь, пока не достигнет провода, где электрическое поле совершает работу над зарядами. И вот где и как энергия переходит от магнитного поля внутри индуктора к проводам, которые идут вокруг индуктора. Если вместо пустого пространства внутри индуктора у вас есть магнитный материал, то внутри материала будут циркулирующие электрические поля, и в этом случае сразу же может произойти некоторая потеря энергии. Но вам это не нужно.

Теперь я ответил на ваш вопрос об изменении магнитного поля внутри конденсатора. Но сейчас вас может волновать, как может измениться электрическое поле и куда и как уходит его энергия. В конце концов, вокруг него нет проводов, и даже в этом случае, когда расширяющиеся магнитные поля достигают проводов, они не передают энергию, выполняя работу. Итак, давайте посмотрим, что произойдет.

Когда электрическое поле изменяется, циркулирующие магнитные поля внутри конденсатора снова становятся сильнее вблизи края конденсатора, и это действительно представляет собой поток энергии к краям, а когда он достигает края, остается просто больше пустого пространства. . Электрическое поле на самом деле не ограничивается только внутренней частью, поэтому энергия продолжает вытекать наружу, но скручивается вокруг конденсатора и течет в пустом пространстве снаружи проводов по всей цепи, потому что помните, как при изменении электрического поля возникает ток принес провода хорошо, есть связанный ток, следовательно, магнитное поле, эти поля объединяются, и энергия течет через пустое пространство вне проводов. Теперь магнитные поля продолжают изменяться и, следовательно, производят новые электрические поля, которые циркулируют, а не те, которые заканчиваются дисбалансом заряда. Но они циркулируют вокруг магнитных полей, которые сами циркулируют вокруг проводов, поэтому эти новые электрические поля на самом деле указывают направление тока, поэтому они выполняют работу над зарядами, и именно здесь энергия течет в конденсаторе из пустого свободного от заряда пространства внутри. конденсатор между пластинами наружу, потому что магнитные поля там усиливаются в область снаружи и обтекают провода вдоль проводов, а также втекают в каждую маленькую область тока снаружи проводов внутрь. Это также включает прямо внутри проводник прямо в пластины (это потому, что электрическое поле на самом деле не направлено точно ортогонально пластине). И вы могли бы заметить, что если электрическое поле изменяется, это связано с магнитным полем, а затем, если электрическое поле изменяется изменяющимся образом, тогда эти магнитные поля меняются, поэтому появляются новые электрические поля, которые циркулируют вокруг магнитных полей. Итак, у вас есть что-то, что вращается вокруг чего-то, что вращается вокруг исходных электрических полей, что на самом деле просто означает, что есть новое электрическое поле, не связанное с дисбалансом заряда, которое возникает только из-за изменяющегося магнитного поля, и оно указывает в направлении, чтобы противостоять изменению. в электрических полях, поэтому в каждом месте, где электрическое поле сталкивается с током, энергия тока переходит от электромагнитных полей к зарядам (или наоборот), а в резисторе эта работа идет на борьбу с резистором, который возражает против тока. В остальном, если на внешней стороне проводов образуется дисбаланс заряда, который помогает направлять ток в проводе, чтобы течь устойчивым образом, потому что, если бы у вас был больший ток в одной части провода, то заряд накапливался бы в этой области. если бы ток увеличивался или уменьшался, но они накапливались бы на краях таким образом, чтобы выровнять ток и больше не подниматься, поэтому вы просто создаете некоторый дисбаланс заряда на внешней стороне провода пропорционально текущий. Таким образом, они вносят вклад в электрическое поле внутри, направляя ток, и являются еще одним фактором в электрических полях снаружи проводов. И ток (отличный от дисбаланса заряда на внешней стороне проводов) вносит свой вклад в магнитное поле. И когда у вас есть и электрическое поле, и магнитное поле (не указывающие в одном и том же направлении или в совершенно противоположном направлении), тогда у вас есть поток энергии поля и где у вас есть электрическое поле и ток (ни ортогональны друг другу) тогда энергия течет между электромагнитным полем и зарядами.

Как индуктор удерживает энергию без изменения тока, сопротивления или обратной ЭДС, чтобы обеспечить постоянное изменение потока и, следовательно, магнитного поля? Неотъемлемым является предположение, что индуктор все еще будет иметь энергию, если вы отсоедините его от остальной части цепи, что я понял до сих пор.

Надеюсь, я уже ответил на ваш вопрос. Однако подчеркнем, что магнитное поле просто имеет энергию: если ваш индуктор сделан из идеального проводника, и вы отключили его от остальной части цепи и соединили с самим собой, тогда он будет поддерживать свой ток и, следовательно, магнитное поле. Наличие тока означает наличие магнитного поля, что означает наличие соответствующей энергии для магнитного поля, хранящейся в самом поле внутри индуктора.

Когда в катушке индуктивности нет сопротивления, ток не требует затрат, а поддержание магнитного поля также не требует затрат. Есть цена, чтобы увеличить его, и есть выгода от того, чтобы позволить ему стать слабее.