Тогда (2.4.9) применительно к ΔxΔy принимает следующий вид: n}=\oint_{\mathrm{C}} \overline{\mathrm{A}} \bullet \mathrm{d} \overline{\mathrm{s}} \]

, где d\(\overline s\) представляет собой дифференциальную длину линии над линией [м] вдоль контура C, ограничивающего инкрементальную область, определяемую ΔxΔy = da. Контур C трансверсирован в правом направлении относительно \(\hat{n}\). Мы можем собрать такие бесконечно малые области, чтобы сформировать поверхности произвольной формы и площади A, как показано на рис. 2.4.2(b). Суммируя (2.4.10) по всем этим бесконечно малым площадям da, мы находим, что все вклады в правую внутренность области A сокращаются, остаются только вклады от контура C вдоль границы A. Таким образом, (2.4. 10) становится Теорема Стокса :

\[ \int \int _{\mathrm{A}}(\nabla \times \overline{\mathrm{A}}) \bullet \hat{n} \mathrm{da}=\ oint_{\mathrm{C}} \overline{\mathrm{A}} \cdot \mathrm{d} \overline{\mathrm{s}}\]

где соотношение между направлением интегрирования вокруг контура и ориентация \(\шляпа{n}\) подчиняется правилу правой руки (если пальцы правой руки сгибаются в направлении d\(\над чертой s\), то большой палец указывает в направлении \(\шляпа{ п}\)).

Уравнения Максвелла в интегральной форме

Дифференциальную форму уравнений Максвелла (2. 1.5–8) можно преобразовать в интегральную форму с помощью теоремы Гаусса о дивергенции и теоремы Стокса. Закон Фарадея (2.1.5):

\[\nabla \times \overline{\mathrm{E}}=-\frac{\partial \overline{\mathrm{B}}}{\partial \mathrm{t }} \]

Применяя теорему Стокса (2.4.11) к криволинейной поверхности A, ограниченной контуром C, получаем:

\[ \iint_{\mathrm{A}}(\nabla \times \overline{ \mathrm{E}}) \bullet \hat{n} \mathrm{d} \mathrm{a}=\oint _{\mathrm{C}} \overline{\mathrm{E}} \bullet \mathrm{d} \ overline {\ mathrm {s}} = — \ iint _ {\ mathrm {A}} \ frac {\ partial \ overline {\ mathrm {B}}} {\ partial \ mathrm {t}} \ bullet \ hat {n } \mathrm{d} \mathrm{a}\]

Это становится интегральной формой закона Фарадея: } \overline{B} \bullet \hat{n} d a \quad\quad\quad\quad\quad(\text {Закон Фарадея} a w)\]

Аналогичное применение теоремы Стокса к дифференциальной форме уравнения Ампера закон дает свою интегральную форму:

\[ \oint_{\mathrm{C}} \overline{\mathrm{H}} \bullet \mathrm{d} \overline{\mathrm{s}}=\iint_{\mathrm {A}}\left[\overline{\mathrm{J}}+\frac{\partial \overline{\mathrm{D}}}{\partial \mathrm{t}}\right] \bullet\hat{n } \mathrm{d} \mathrm{a} \quad\quad\quad\quad\quad \text { (Закон Ампера) }\]

Теорему Гаусса о расходимости (2. {\prime} s \text {Закон заряда}\right)\]

\[\oiint_{\mathrm{A}}(\overline{\mathrm{B}} \bullet \hat{n}) \mathrm{d} \mathrm{a}=0 \quad \quad \quad \ quad \quad \text{ (Закон Гаусса для } \overline{B}) \]

Наконец, закон сохранения заряда (1.3.19) может быть преобразован к интегральной форме, как и законы Гаусса:

\[ \oiint_{\ mathrm {A}} (\ overline {\ mathrm {J}} \ bullet \ hat {n}) \ mathrm {d} \ mathrm {a} = — \ int \ int \ int _ {\ mathrm {V}} \ frac {\ парциальное \ rho} {\ парциальное \ mathrm {t}} \ mathrm {d} \ mathrm {v} \ quad \ quad \ quad \ quad \ quad (\ text {сохранение заряда}) \]

Четыре схемы уравнений Максвелла, представленные на рис. 2.4.3, могут облегчить запоминание; их можно интерпретировать как в дифференциальной, так и в интегральной форме, поскольку они охватывают основную физику.

Пример \(\PageIndex{A}\)

Используя закон Гаусса, найдите \(\overline E\) на расстоянии r от точечного заряда q. {2}\).

Пример \(\PageIndex{B}\)

Что такое \(\overline H\) на расстоянии r = 1 см от тока линии \(\overline I\) = \(\hat{z}\) [ ампер] расположен на r = 0?

Решение

Поскольку геометрия этой задачи цилиндрически симметрична, решение тоже. Используя интегральную форму закона Ампера (2.4.15) и интегрируя в правом смысле по окружности радиуса r с центром в токе и в плоскости, ортогональной ему, получаем 2\(\pi\)rH = I , поэтому \(\overline H\) = \(\hat{\theta}\) 100/2\(\pi\) [A m ^-1 ].

Эта страница под названием 2.4: Связь между интегральной и дифференциальной формами уравнений Максвелла распространяется под лицензией CC BY-NC-SA 4.0 и была создана, изменена и/или курирована Дэвидом Х. Стелином (MIT OpenCourseWare) через исходный контент это было отредактировано в соответствии со стилем и стандартами платформы LibreTexts; подробная история редактирования доступна по запросу.

1. Наверх

• Была ли эта статья полезной?

1. Тип изделия

   Раздел или Страница

   Автор

   Дэвид Х. Стаелин

   Лицензия

   CC BY-NC-SA

   Версия лицензии

   4,0

   Программа ООР или издатель

   MIT OpenCourseWare

2. Теги

   1. source@https://ocw.mit.edu/courses/electrical-engineering-and-computer-science/6-013-electromagnetics-and-applications-spring-2009
   2. Теорема Стокса

электромагнетизм — Интегральная и дифференциальная формы уравнений Максвелла

Интегральная и дифференциальная версии эквивалентны, поэтому похоже, что ваш текст просто не знает, как использовать дифференциальную версию так же широко, как ваш текст знает, как использовать интегральную версию.

Например, вам не нужно иметь частные производные для определения дивергенции и/или завихрения, но если у вас есть частные производные, то есть простые формулы для дивергенции и завихрения в этой ситуации вы можете использовать к этим формулам в качестве определения, но они не являются надлежащим общим определением.

Эти две формы действительно эквивалентны, и они эквивалентны, потому что на самом деле не говорят ничего другого. Понимание интегральных форм состоит в том, что они выполняются для каждой замкнутой/открытой поверхности в любой ограниченной области. Понимание дифференциальной формы состоит в том, что они выполняются в любой ограниченной области.

Похоже, ваш текст знает, как настроить интегральные формы в довольно общем виде. Дифференциальные формы можно настроить таким же общим образом, поскольку существуют очень общие способы определения дивергенции и завитка. Один из способов — взять теорему о дивергенции и теорему о роторе в качестве определений операторов (вместо того, чтобы допускать частные производные, затем составлять случайные комбинации, а затем составлять теорему). Например

$$\vec{\nabla}\cdot\vec{A}@(x,y,z)=\lim_{DiameterV\стрелка вправо 0, V\стрелка вправо\{(x,y,z)\}}\ frac{\iint_{\partial V}\шляпа{n}\cdot\vec{A}dS}{\iiint_VdV}$$

и

$$\шляпа{S}\cdot\left(\vec{\ nabla}\times\vec{A}@(x,y,z)\right)=\lim_{Диаметр S\стрелка вправо 0, S\стрелка вправо\{(x,y,z)\}}\frac{\int_ {\partial S}\vec{A}\cdot d\vec{l}}{\iint_SdS}$$

не требуют частных производных, только поля должны быть достаточно хорошими, чтобы иметь пределы, которые допускают расхождение и теоремы о завитках, ни больше, ни меньше. Но этот уровень общности основан на предположении, что ваша интегральная версия использует интеграцию Римана. Это самый простой вариант интеграции (но не самый общий), и я хочу, чтобы вы увидели, как нам не нужно произвольно делать один вариант более общим, чем другой. 93(\vec{r}-\vec{r}_0)dxdydz=f(\vec{r}_0)$. И это всего лишь одна из многих таких карт, называемых распределениями, которые передают тестовые функции числам красивым (линейным и непрерывным) способом. Поэтому, если мы ожидаем, что производные дадут нам распределения, то мы должны определить их так, чтобы они это делали.

Сначала отметим, что любая хорошая функция $g$ является распределением в том смысле, что она отправляет тестовую функцию $f$ на число $\iiint fg dxdydz$, обозначим это через $G:f\mapsto\iiint fg dxdydz =G(f)$, а затем обратите внимание, что если функция $g$ имеет частную производную $\partial g$, которая является хорошей функцией, то $\iiint f\partial g dxdydz$ = $-\iiint g\partial f dxdydz $. Это приводит к обобщению частных производных. Для любого распределения $G$, которое отправляет тестовые функции $f$ в $G(f)$, мы можем определить его производную как распределение, которое отправляет $f$ в $-G(\partial f)$. Для любой хорошей функции это определение согласуется с исходным определением производных в том смысле, что они действуют одинаково под интегралами. Но сейчас у любого дистрибутива есть производная.

Но даже при таком обобщении дивергенция может быть определена более широко.