Умножение вектора на число
Откладывание вектора от данной точки
Для того чтобы ввести понятие умножения вектора на число, сначала необходимо разобраться в таком понятии, как откладывание вектора от данной точки.
Определение 1
Если точка $A$ начала какого-либо вектора $\overrightarrow{a}$, то говорят, что вектор $\overrightarrow{a}$ отложен от точки $A$ (рис. 1).
Рисунок 1. $\overrightarrow{a}$ отложенный от точки $A$
Введем следующую теорему:
Теорема 1
От любой точки $K$ можно отложить вектор $\overrightarrow{a}$ и притом только один.
Доказательство.
Существование: Здесь нужно рассмотреть два случая:
Вектор $\overrightarrow{a}$ — нулевой.
В этом случае, очевидно, что искомый вектор — вектор $\overrightarrow{KK}$.
Вектор $\overrightarrow{a}$ — ненулевой.
Обозначим точкой $A$ начало вектора $\overrightarrow{a}$, а точкой $B$ — конец вектора $\overrightarrow{a}$.
Рисунок 2. Иллюстрация теоремы 1
Единственность: единственность сразу следует из построения, проведенного в пункте «существование».
Теорема доказана.
Умножение вектора на число
Пусть нам дан вектор $\overrightarrow{a\ }$ и действительное число $k$.
Произведением вектора $\overrightarrow{a\ }$ на действительное число $k$ называется вектор $\overrightarrow{b\ }$ удовлетворяющий следующим условиям:
Длина вектора $\overrightarrow{b\ }$ равна $\left|\overrightarrow{b\ }\right|=\left|k\right||\overrightarrow{a\ }|$;
Векторы $\overrightarrow{a\ }$ и $\overrightarrow{b\ }$ сонаправлены, при $k\ge 0$ и противоположно направлены, если $k
Обозначение: $\ \overrightarrow{b\ }=k\overrightarrow{a\ }$.
Замечание 1
Отметим, что в результате произведения вектора на число всегда получается векторная величина.
Свойства произведения вектора на число
Произведение любого вектора с числом ноль равняется нулевому вектору.
Доказательство.
По определению 2, имеем $\left|\overrightarrow{b\ }\right|=\left|k\right|\left|\overrightarrow{a\ }\right|=0\cdot \left|\overrightarrow{a\ }\right|=0$, следовательно,$\overrightarrow{b\ }=k\overrightarrow{a\ }=\overrightarrow{0}$
Для любого вектора $\overrightarrow{a\ }$ и любого действительного числа $k$ векторы $\overrightarrow{a\ }$ и $k\overrightarrow{a\ }$ коллинеарны.
Доказательство.
Так как по определению 2, векторы $\overrightarrow{a\ }$ и $k\overrightarrow{a\ }$ сонаправлены или противоположно направлены (в зависимости от значения $k$), то они будут коллинеарны.
Для любых действительных чисел $m$ и $n$ и вектора $\overrightarrow{a\ }$ справедлив сочетательный закон:
\[\left(mn\right)\overrightarrow{a\ }=m(n\overrightarrow{a\ })\]Доказательство этого закона иллюстрирует рисунок 3.
Рисунок 3. Сочетательный закон
Для любых действительных чисел $m$ и $n$ и вектора $\overrightarrow{a\ }$ справедлив первый распределительный закон:
\[\left(m+n\right)\overrightarrow{a\ }=m\overrightarrow{a\ }+n\overrightarrow{a\ }\]Доказательство этого закона иллюстрирует рисунок 4.
Рисунок 4. Первый распределительный закон
Для любого действительного числа $m$ и векторов $\overrightarrow{a\ }$ и $\overrightarrow{b\ }$ справедлив второй распределительный закон:
Доказательство этого закона иллюстрирует рисунок 5.
Рисунок 5. Второй распределительный закон
Готовые работы на аналогичную тему
Пример задачи на использование понятия произведения вектора на число
Пример 1
Пусть $\overrightarrow{x}=\overrightarrow{a\ }+\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{y}=\overrightarrow{a\ }-\overrightarrow{b}$. Найти векторы:
$2\overrightarrow{x}+2\overrightarrow{y}$
$\overrightarrow{x}+\frac{1}{2}\overrightarrow{y}$
$-\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}$
Решение.
$2\overrightarrow{x}+2\overrightarrow{y}=2\left(\overrightarrow{a\ }+\overrightarrow{b}\right)+2\left(\overrightarrow{a\ }-\overrightarrow{b}\right)=2\overrightarrow{a\ }+2\overrightarrow{b}+2\overrightarrow{a\ }-2\overrightarrow{b}=4\overrightarrow{a\ }$
$\overrightarrow{x}+\frac{1}{2}\overrightarrow{y}=\overrightarrow{a\ }+\overrightarrow{b}+\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{a\ }-\overrightarrow{b}\right)=\overrightarrow{a\ }+\overrightarrow{b}+\frac{1}{2}\overrightarrow{a\ }-\frac{1}{2}\overrightarrow{b}=\frac{3}{2}\overrightarrow{a\ }+\frac{1}{2}\overrightarrow{b}=\frac{3\overrightarrow{a\ }+\overrightarrow{b}}{2}$
$-\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}=-\left(\overrightarrow{a\ }-\overrightarrow{b}\right)-\left(\overrightarrow{a\ }+\overrightarrow{b}\right)=-\overrightarrow{a\ }+\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a\ }-\overrightarrow{b}=-2\overrightarrow{a\ }$
Умножение вектора на число
Векторы: \( \mathbf{u} \), \( \mathbf{v} \), \( \mathbf{w} \)
Нулевой вектор: \( \mathbf{0} \)
Координаты векторов: \( X \), \( Y \), \( Z \)
Действительные числа: \( \lambda \), \( \mu \)
Произведением вектора на число
Произведением вектора \( \mathbf{u} \ne \mathbf{0} \) на число \( \lambda \ne 0 \) называется вектор \( \mathbf{w} \), модуль которого равен \( \left| \lambda \right| \cdot \left| \mathbf{u} \right| \), направление которого совпадает с вектором \( \mathbf{u} \) при \( \lambda > 0 \) и противоположно ему при \( \lambda
\(\mathbf{w} = \lambda \mathbf{u},\;\;\left| \mathbf{w} \right| = \left| \lambda \right| \cdot \left| \mathbf{u} \right|\)
Произведение вектора \( \mathbf{u} \) на число \( \lambda \) при \( \lambda = 0 \) и/или \( \mathbf{u} = \mathbf{0} \) равно нулевому вектору \( \mathbf{0} \).
Операция умножения вектора на число обладает следующими линейными свойствами :
Коммутативность умножения вектора на число
\( \lambda \mathbf{u} = \mathbf{u}\lambda \)
Дистрибутивность умножения относительно сложения чисел
\( \left( {\lambda + \mu } \right)\mathbf{u} = \lambda \mathbf{u} + \mu \mathbf{u} \)
Дистрибутивность умножения относительно сложения векторов
\( \lambda \left( {\mathbf{u} + \mathbf{v}} \right) = \lambda \mathbf{u} + \lambda \mathbf{v} \)
Ассоциативность умножения вектора на число
\( \lambda \left( {\mu \mathbf{u}} \right) = \mu \left( {\lambda \mathbf{u}} \right) = \left( {\lambda \mu } \right)\mathbf{u} \)
Умножение вектора на единицу
\( 1 \cdot \mathbf{u} = \mathbf{u} \)
Умножение вектора на число в координатной форме
\( \lambda \mathbf{u} = \left( {\lambda X,\lambda Y,\lambda Z} \right) \)
Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!Больше интересного в телеграм @calcsbox
Как умножить вектор на число
Если об одной из двух крайних точек произвольного отрезка можно сказать, что именно она является начальной, то этот отрезок следует называть вектором. Начальную точку считают точкой приложения вектора, а длину отрезка — его длиной или модулем. С векторами можно осуществлять разнообразные операции, в том числе и умножать на произвольное число.Определите длину (модуль) вектора, который требуется умножить на число. Если этот вектор изображен на каком-либо чертеже, то просто измерьте расстояние между его начальной и конечной точками.
Если решение надо отобразить на бумаге, то измеренную на предыдущем шаге длину (модуль) вектора умножьте на абсолютное значение числа, данного в исходных условиях задачи. Например, если длина вектора равна 5см, а число, на которое надо умножать, равно -7,5, то перемножьте 5 на 7,5 (5*7,5=37,5см).
Отобразите полученный результат на бумаге. При этом начальная точка будет совпадать с исходной, а конечная должна отстоять от нее на расстояние, полученное вами на предыдущем шаге. Если число, на которое умножается этот направленный отрезок, отрицательно, то направление результирующего вектора изменится на противоположное, а если положительно — просто продлите существующий отрезок до новой длины.
Если начальная и конечная точки исходного вектора заданы в какой-либо системе координат, то проще всего сначала определить координаты новой конечной точки. Для этого определите длины проекций на каждую из координатных осей и умножьте их на заданное число по отдельности. Например, пусть направленный отрезок AB в трехмерной системе координат определен начальной точкой A(1;4;5) и конечной точкой B(3;5;7), а умножить его надо на число 3. Тогда длина проекции на ось X равна 3-1=2, а после умножения на 3 она должна стать равной 2*3=6. Аналогично рассчитайте новые длины проекций на оси Y и Z: (5-4)*3=3 и (7-5)*3=6. Затем вычислите координаты новой конечной точки (C), прибавив полученные величины проекций к координатам начальной точки: 1+6=7, 4+3=7 и 5+6=11. Т.е. результирующий вектор AC будет образован начальной точкой A(1;4;5) и конечной точкой С(7;7;11).
Умножение — вектор — Большая Энциклопедия Нефти и Газа, статья, страница 3
Умножение — вектор
Cтраница 3
При умножении вектора на число А, все его координаты умножаются на это число. [31]
При умножении вектора
При умножении вектора А на отрицательный скаляр k получаем новый вектор & А, направление которого противоположно вектору А, а числовое значение отличается в k раз. [33]
При умножении вектора на положительное число получается вектор с тем же направлением, но с другим модулем; при умножении вектора на отрицательное число направление его изменится па противоположной; модуль вектора также изменится. [35]
При умножении вектора А на положительный скаляр k получаем новый вектор k, направление которого совпадает с направлением вектора А, а числовое значение отличается в k раз. [37]
При умножении вектора на число все его компоненты умножаются на это число. [38]
При умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число. [41]
При умножении векторов модули их перемножаются, а аргументы складываются. [42]
При умножении векторов различают скалярное и векторное произведения. [44]
Страницы: 1 2 3 4
Как умножить вектор на число? Формулы и примеры просчета
Автор Violetta На чтение 3 мин. Просмотров 154 Опубликовано
Определения и основные понятия
Вектор – это направленный отрезок, имеющий начало в точке А и конец в точке В, обозначается (АВ) или a .2 )
По отношению к другому отрезку, исходный направленный отрезок может быть сонаправленным a b , то есть направления совпадают, между ними угол 0°, и противонаправленным a b , то есть направления противоположны, между ними угол 180°.
Коллинеарные векторы – это векторы, лежащие на параллельных прямых или на одной прямой.
Компланарные векторы – это векторы, лежащие в параллельных плоскостях или в одной плоскости.
Условие равенства двух a =b заключается в их коллинеарности и сонаправленности a b , равенстве длин |a |=|b |.
Как умножить вектор на число
Что значит умножить вектор на число? Это значит получить другой вектор, коллинеарный данному, сонаправленный с ним при положительном числе >0 или противонаправленный с ним при <0, модуль которого равен произведению модуля заданного вектора и модуля .
Чтобы умножить вектор на число необходимо воспользоваться формулами:
b =a и |b |=|a |||
где a – исходный вектор, – число, не равное 0, b – полученный при умножении вектор.
Чтобы умножить число на координаты вектора необходимо воспользоваться формулой:
a =(x,y)
где x и y – координаты исходного вектора.
Примеры задач
Задача 1: Упростить выражение 2(a -b )-3(c +a )+4(a +c ) и найти w , если a =(1;3)(2;7), b =(4;8)(6;5), c =(2;4)(1;9).
Решение: 2(a -b )-3(c +a )+4(b -c ) = 2a -2b -3c -3a +4b —4c =-a +2b -7c .
x_wн=-x_aн+2x_bн-7x_cн=-1+24-72=-1+8-14=-7;
x_wк=-x_aк+2x_bк-7x_cк=-2+26-71=-2+12-7=3;
y_wн=-y_aн+2y_bн-7y_cн=-3+28-74=-3+16-28=-15;
y_wк=-y_aк+2y_bк-7y_cк=-7+25-79=-7+10-63=-60;
Ответ: w =(-7;-15)(3;-60).
Задача 2: На рисунке графически изображены два вектора, определить на какое был умножен a для получения b .
Решение:
a имеет координаты: x_aн=1; x_aк=2;y_aн=2; y_aк=4;
b имеет координаты: x_bн=3; x_bк=6;y_bн=6; y_bк=12.
Возьмем координаты начала и конца b разделим на a :
=x_bнx_aн=31=3.
Аналогично и с другими координатами.
Ответ: =3.
Задача 3: Получить b , зная a =(1;4)(3;9) и =5.
Решение:
x_bн=x_aн =15=5;
x_bк=x_aк =35=15;
y_bн=y_aн =45=20;
y_bк=y_aк =95=45.
Ответ: b =(5;20)(15;45).
Рисунок 2 – графическое изображение a (фиолетовым цветом) и b (синим цветом).
9 класс. Геометрия. Метод координат. Векторы. — Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число в координатах.
Комментарии преподавателяРис. 1. Векторы
Ранее мы умели складывать векторы (рис. 1) по правилу параллелограмма либо по правилу треугольника.
Например, от одной точки откладываем вектор , от его конца откладываем вектор и от конца откладываем вектор (рис. 2).
Рис. 2. Иллюстрация к примеру
В результате получается сумма: ().
Мы умеем умножать вектор на число.
Если был задан вектор то мы умели построить 2, растянув в два раза (рис. 3).
Рис. 3. Иллюстрация к примеру
Теперь рассмотрим, как это все нужно делать через координаты.
Вспомним, как мы ввели координаты (рис. 4).
Рис. 4. Иллюстрация к примеру
Мы доказали теорему, что если есть два неколлинеарных вектора и , то любой третий вектор однозначно выражается через эти два вектора (рис. 5).
Рис. 5. Иллюстрация к примеру
Это означает, что .
Числа х и у единственны для данного вектора.
Далее мы ввели единичные векторы и (рис. 6).
Рис. 6. Иллюстрация к примеру
Тогда вектор однозначно раскладывается по координатным векторам его координаты, =
Рассмотрим правила, позволяющие по координатам векторов находить координаты их суммы, разности и произведения на число.
Правило 1. Координаты суммы векторов.
Каждая координата суммы векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов.
Дано: ; .
Доказать: .
Доказательство:
.
Вектор суммы имеет такие координаты:
Правило 2. Координаты разности векторов.
Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов.
.
Доказывается аналогично предыдущему правилу.
Правило 3. Координаты произведения вектора на число.
Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число.
Действительно,
Если умножить слева и справа это равенство на k, получим:
значит, .
Закрепим рассмотренные правила решением задач.
Задача 1.
Дано: ; ; ; .
Найти: координаты вектора .
Решение:
Вектор – линейная комбинация векторов , и .
Ответ:
Задача 2.
Дано: ; ; .
Доказать: координаты коллинеарных векторов пропорциональны.
Доказательство:
Векторы и коллинеарны – это означает, что вектор можно получить из вектора , умножив его на некоторое число k:
Из равенства векторов следует равенство их координат:
то есть координаты пропорциональны, что и требовалось доказать.
Задача 3.
Дано: ; ; ; .
Найти: попарно коллинеарные векторы среди данной группы векторов.
Решение:
Векторы коллинеарные, если их координаты пропорциональны.
Рассмотрим векторы и :
коллинеарны.
Рассмотрим векторы и :
и коллинеарны.
Ответ: и .
Итак, мы рассмотрели действия сложения, вычитания векторов, умножения вектора на число через координаты, вывели соответствующие правила и решили примеры.
ИСТОЧНИК
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/9-klass/metod-koordinat/slozhenie-i-vychitanie-vektorov-umnozhenie-vektora-na-chislo-v-koordinatah
http://www.youtube.com/watch?v=a0ohdyq56vQ
Умножение вектора на число — презентация онлайн
Естественносчитать,
что одно
вектор
2v получается
Если мы чем
изобразим
первого
автомобиля
Прежде,
ввести скорость
еще
действие
– умножение
умножением
v на число
2, а вектор
-2v получается
вектором
v, число,
товектора
естественно
изобразить
скорость
второго
вектора на
обратимся
к примеру.
Представим
себе,
умножением
вектора vдвижется
число прямолинейно
-2.
Этот пример
автомобиля
вектором,
унакоторого
направление
что один автомобиль
стакое же,
показывает
каким
образом
вести виумножение
как
у вектора
v, а длина
в 2 следует
разадвижется
больше,
обозначить
этот
постоянной
скоростью,
второй
том
же
вектора
наСкорость
число
и что
при умножении
получается
вектор.
вектор
2v.
третьего
автомобиля
изобразиться
направлении
со скоростью,
вдвое
большей,
а третий
вектором,
противоположным
вектору т.е.
2v, в
т.е. вектором -2v.
автомобиль
движется им навстречу,
противоположном направлении, и величина его скорости
такая же, как у второго автомобиля.
v
2v
-2v
Умножение вектора на число.
Произведением ненулевого вектора
a
на число
k
b, длина которого равна k a ,
причем векторы a и b сонаправлены при k>0 и
притивоположно направлены при k
называется такой вектор
a
3a
1
12
a
— 2a
Умножение вектора на число.
b
2b
a
2b b
2b = 2 b
1
a
2
1
a
2
1
a
2
a
=
1
2
a
Умножение вектора на число.
Для любого числа
kи
a
ka
любого вектора
векторы
a
и
коллинеарны.
1
2
— a
a
1
12
a
— 2a
Произведение нулевого вектора на любое число
считается нулевой вектор.
k o=o
Произведение любого вектора на число нуль есть
нулевой вектор.
o a=o
Назовите вектор, который получится в результате
умножения.
A
B
C
D
N
M
R
E
S
F
Q
I
H
V
O
J
T
P
K
Y
X
L
U
G
Z
JO 3
1
ML
3
4 AB
4 ЕУ
3
NZ
4
х JO
СК = -4
JO = – х1
4 CK
XD =– х3
4 CK
A
B
C
D
N
0 XD
NN = х
M
R
E
S
F
ХТ = х XD
Q
V
T
Y
U
х не существует
х XT
XT = 1
I
O
P
X
G
х XT
TX = -1
H
J
K
L
Z
О – точка пересечения медиан треугольника.
3 ОК
ВК = х
B
КO =– х1
3 ВK
2 КО
ОВ = х
T
O
A
K
C
T
A
B
7
3
C
TВ = 7
AC = 3
х TВ
AC = 3
7
х AC
TB = 7
3
10
D
O
DO = 10
2,5
K
F
KF = 2,5
KF = – х1 DO
4
х KF
DO = –4
Длина вектора TB на 25% больше длины вектора АС
T
B
х АС
ТВ = 1,25
A
C
Длина вектора SD на 25% меньше длины вектора LK
L
K
х LK
SD =-0,75
D
S
ABCD – трапеция.
В
С
8
х DA
BC = –0,8
х BC
DA = – 10
8
А
10
D
ABCD – параллелограмм. CS : SB = 5 : 3
В
А
С
S
D
3
BS = – х
8
DA
8
DA = – х
3
BS
Умножение вектора на число обладает следующими
основными свойствами.
Для любых
равенства:
a, b
и любых чисел
1
(kl)a = k (l a)
2
(k+l)a = ka + la
k, l
справедливы
Сочетательный закон
Первый распределительный закон
3
k (a + b) = ka + kb
Второй распределительный закон
Рисунок иллюстрирует сочетательный закон.
Представлен случай, когда
k = 2, l = 3.
1
Сочетательный закон
(kl)a = k (l a)
a
a
a
A
O
OВ = 2OA = 2(3
a a
B
a)
a a a a
B
O
OВ = 6
a = (2 3) a
Рисунок иллюстрирует первый распределительный
закон. Представлен случай, когда
2
(k+l)a = ka + la
Первый
распределительный закон
B
la
a
ka
k = 3, l = 2.
A
OA =
ka;
AB =
la
O
OB =
(k+l)a = ka + la
3
k (a + b) = ka + kb
Второй
распределительный
закон
Рисунок иллюстрирует второй распределительный закон.
На рисунке ОАВ
ОА1В1, коэффициент подобия
k
A
OA =
ka
AB =
kb
OB =
k(a+b)
OB = OA + AB =
ka+kb
A1
a
O
b
a+b
B1
С другой стороны,
Таким образом,
B
k(a+b) = ka+kb
№ 781 Пусть х = m + n, y = m – n
Выразите через m и n
векторы
2х – 2у 2(m n ) 2(m n ) 2m 2n 2m 2n 4n
1
1
1
2(m n ) (m n ) 2m 2n m n
2
2
2
1
1
2 m 1 n
2
2
1
1
1
–х – 1 у (m n ) (m n ) m n m n
3
3
3
3
1
2
1 m n
3
3
2х + 1 у
2
Задача
Построить вектор
3
1
3
3
1
ВС АВ АС ( ВС АС ) АВ
7
14
7
7
14
В
С
3
1
( ВС СА) АВ
7
14
3
1
7
ВА ВА
ВА
7
14
14
А
1
ВА
2
Задача
Построить вектор
5
1
5 1
5
1
( АВ ВС АС ) ( АС АС ) АС
2
2
2 2
2
2
В
5
АС
С
4
А
Задача
2
1
2
1
СD DA BС AB =
Построить вектор.
9
3
9
3
В
С
2
1
(СD BС ) ( АВ DA)
9
3
CA
AC
2
1
(СD СB) ( АВ AD)
9
3
А
D
2
1
2
1
CA AC СА СА
9
3
9
3
АВСD – параллелограмм.
1
СА
9
Задача
Построить вектор.
2
1
2
АВ СA DA
5
10
5
В
С
2
1
( АВ DA) CА
5
10
AC
2
1
( АВ AD) CА
5
10
2
1
5
AС AC
АС
5
10
10
А
D
АВСD – параллелограмм.
1
АС
2
Задача
B
C
Точка С – середина
отрезка АВ,
а О – произвольная точка
плоскости. Доказать, что
1
ОС (ОА ОВ )
2
из ОАС
OС = OА + АС
A
O
из ОАС
+
OС = OВ + ВС
0
2 OС = ОА + ОВ + (АС + ВС )
2 OС = ОА + ОВ : 2
1
OС = (ОА + ОВ)
2
Задача
Докажите теорему о средней линии
треугольника.
1
MN AC
2
MN AC
В
+
NM = NB + BM
из NMB
NM = NA + AС + CM
N
M
NACM
0
0
2 NM =(NB + NA)+ АС + (ВM + CM)
2 NM = AC
A
из четырехуг.
С
NM =
1
AC
2
:2
1
NM = AC
2
NM
AC
Теорема
Средняя линия трапеции параллельна
основаниям и равна их полусумме.
Дано:
трапеция АВСD, MN- средняя линия
Доказать:
MN AD BC
1
MN ( AD BC )
2
Доказать:
В
MN AD BC
С
+
Правило
многоугольника
N
1
MN ( AD BC )
2
NM = NB + BС + СМ
NM = NA + AD + DM
M
0
0
2NM =(NB + NA)+ BС + AD + (CM +DM )
2NM = ВC + AD
D
A
NM
BC
:2
1
NM = (BC+AD)
2
AD;
1
NM = BC+AD
2
АВСD – ромб. Е ВС, ВЕ : ЕС = 3 : 1,
Задача
К – середина DC, АВ =
векторы
a
и
b
b. Выразите через
3
3
AE AB BE AB BC a b
4
из АВЕ 4
a
E
А
K
D
AD =
векторы:
В
b
a,
1
AK AD DK AD DС
2
из АDK
1
b a
С
2
1
3
KE KA AE (b a ) (a b)
2
4
из АEK
1
1
a d
2
4
АВ — СВ =
АS — СS =
— ОА — РО =
— MN — LM =
MN — RN =
RP — RP =
— KM + KM =
— KZ + KZ =
— KM + OM =
— ED + KD =
MK + КO + OP + PR =
3
1
3
ВС АВ АС
7
14
7
SK + КV + VP + PM =
2
1
2
1
СD CB AD AB
9
3
9
3
Умножение векторов — Гипертекст по физике
Обсуждение
скалярно-векторное умножение
Умножение вектора на скаляр изменяет величину вектора, но оставляет его направление неизменным. Скаляр изменяет размер вектора. Скаляр «масштабирует» вектор. Например, вектор полярной формы…
r = r r̂ + θ θ̂
, умноженное на скаляр , а получается…
.a r = ar r̂ + θ θ̂
Умножение вектора на скаляр является дистрибутивным.
a ( A + B ) = a A + a B
Следовательно, вектор прямоугольной формы…
r = x î + y ĵ
, умноженное на скаляр , а получается…
.a r = ax î + ay ĵ
точечный продукт
Геометрически, скалярное произведение двух векторов — это величина, умноженная на проекцию второго на первый.
Символ, используемый для представления этой операции, представляет собой маленькую точку на средней высоте (·), отсюда и произошло название «скалярный продукт». Поскольку это произведение имеет только величину, оно также известно как скалярное произведение .
A · B = AB cos θ
Скалярное произведение распределительное…
A · ( B + C ) = A · B + A · C
и коммутативный…
A · B = B · A
Поскольку проекция вектора на сам себя оставляет его величину неизменной, скалярное произведение любого вектора на себя является квадратом величины этого вектора.
A · A = AA cos 0 ° = A 2
Применение этого следствия к единичным векторам означает, что скалярное произведение любого единичного вектора на себя равно единице. Кроме того, поскольку вектор не имеет проекции, перпендикулярной самому себе, скалярное произведение любого единичного вектора на любой другой равно нулю.
î · î = · ĵ = · = (1) (1) (cos 0 °) = 1
î · = ĵ · k̂ = k̂ · î = (1) (1) (cos 90 °) = 0
Используя эти знания, мы можем вывести формулу для скалярного произведения любых двух векторов в прямоугольной форме.Полученный продукт выглядит ужасно беспорядочно, но состоит в основном из членов, равных нулю.
| A · B = | ( A x до + A y ĵ + A z k̂ ) · ( B x до + B 8 y ĵ + B z k̂ ) | |||||||||||
| A · B = | A x или | · | B x или | + | A x или | · | B y ĵ | + | A x или | · | B z k̂ | |
| + | A y ĵ | · | B x или | + | A y ĵ | · | B y ĵ | + | A y ĵ | · | B z k̂ | |
| + | A z k̂ | · | B x или | + | A z k̂ | · | B y ĵ | + | A z k̂ | · | B z k̂ | |
| A · B = | A x B x + A y B y + A z B z | |||||||||||
Скалярное произведение двух векторов, таким образом, является суммой произведений их параллельных компонентов.Отсюда мы можем вывести теорему Пифагора в трех измерениях.
A · A = AA cos 0 ° = A x A x + A y A y + A z A z
A 2 = A x 2 + A y 2 + A z 2
перекрестное произведение
Геометрически, перекрестное произведение двух векторов — это площадь параллелограмма между ними.
Символ, используемый для обозначения этой операции, представляет собой большой диагональный крест (×), отсюда и произошло название «перекрестное произведение». Поскольку это произведение имеет величину и направление, оно также известно как векторное произведение .
A × B = AB sin θ n̂
Вектор n̂ (n hat) — это единичный вектор, перпендикулярный плоскости, образованной двумя векторами. Направление n̂ определяется правилом правой руки, которое мы вскоре обсудим.
Перекрестное произведение распределительное…
A × ( B + C ) = ( A × B ) + ( A × C )
, но не коммутативный…
A × B = — B × A
Изменение порядка перекрестного умножения меняет направление произведения на противоположное.
Поскольку два идентичных вектора образуют вырожденный параллелограмм без площади , векторное произведение любого вектора на себя равно нулю…
A × A = 0
Применение этого следствия к единичным векторам означает, что произведение любого единичного вектора на себя равно нулю.
î × î = ĵ × ĵ = k̂ × k̂ = (1) (1) (sin 0 °) = 0
Следует отметить, что произведение любого единичного вектора на любой другой будет иметь величину, равную единице. (В конце концов, синус 90 ° равен единице.) Однако направление не является интуитивно очевидным. Правило правой руки для перекрестного умножения связывает направление двух векторов с направлением их произведения. Поскольку перекрестное умножение является , а не коммутативным , порядок операций важен.
- Держите правую руку ровно так, чтобы большой палец был перпендикулярен пальцам. Никогда не сгибайте большой палец.
- Укажите пальцами в направлении первого вектора.
- Сориентируйте ладонь так, чтобы при сгибании пальцев они указывали в направлении второго вектора.
- Ваш большой палец теперь указывает в направлении перекрестного произведения.
Правая система координат , которая является обычной системой координат, используемой в физике и математике, — это система, в которой любое циклическое произведение трех осей координат положительно, а любое антициклическое произведение отрицательно.Представьте себе часы с тремя буквами x-y-z вместо обычных двенадцати цифр. Любое произведение этих трех букв, которое круглосуточно движется в том же направлении, что и последовательность x-y-z, равно циклическому и положительному. Любой продукт, который движется в обратном направлении, — это антициклический, и отрицательный.
| Перекрестное произведение циклической пары единичных векторов равно положительным . | Перекрестное произведение антициклической пары единичных векторов равно отрицательным . |
Используя эти знания, мы можем вывести формулу для векторного произведения любых двух векторов в прямоугольной форме. Полученный продукт выглядит так, как будто это будет ужасный беспорядок, и это так!
A × B = ( A x î + A y ĵ + A z k̂ ) × ( B x î + B y ĵ + B z k̂ )
Произведение двух трехчленов состоит из девяти членов.
| A × B | = | A x или | × | B x или | + | A x или | × | B y ĵ | + | A x или | × | B z k̂ |
| + | A y ĵ | × | B x или | + | A y ĵ | × | B y ĵ | + | A y ĵ | × | B z k̂ | |
| + | A z k̂ | × | B x или | + | A z k̂ | × | B y ĵ | + | A z k̂ | × | B z k̂ |
Три из них равны нулю.Устраните их.
| A × B | = | A x B y k̂ | – | A x B z ĵ |
| – | A y B x k̂ | + | A y B z или | |
| + | A z B x ĵ | – | A z B y или |
Сгруппируйте термины по единичному вектору и коэффициенту.
A × B = ( A y B z — A z B y ) î
Есть более простой способ написать это. Для тех из вас, кто знаком с матрицами, перекрестное произведение двух векторов является определителем матрицы, первая строка которой является единичными векторами, вторая строка — первым вектором, а третья строка — вторым вектором.Условно…
| A × B = | до | ĵ | k̂ |
| A x | A y | A z | |
| B x | B y | B z |
Расширение определителя 3 × 3 его первой строкой является первым шагом.Это дает нам три определителя 2 × 2.
| A × B = | A y | A z | до — | A x | A z | ĵ + | A x | A y | k̂ |
| B y | B z | B x | B z | B x | B y |
Эти детерминанты 2 × 2 можно найти быстро.Они также дают нам решение, предварительно отсортированное по единичному вектору, поэтому нет необходимости сортировать термины и множители.
A × B = ( A y B z — A z B y ) î
NumPy | Векторное умножение — GeeksforGeeks
Векторное умножение бывает трех типов:
- Скалярное произведение
- Точечное произведение
- Перекрестное произведение
Скалярное умножение:
Скалярное умножение может быть представлено умножением скалярного количества элементов на все элементы вектора матрица.Код: код Python, объясняющий скалярное умножение
importnumpy as npimportmatplotmatplotv=np.array ([4,1])w000 * 512749127печать("w =", w)происхождение=[0], [000], [000]000 0 plt.grid ()plt.ticklabel_format (стиль='sci', ось='оба',,0))plt.quiver (*происхождение,*w, масштаб=10Вывод:
w = [20 5]
Умножение точечного произведения:
Код: код Python для объяснения умножения
Выход: [12 76-61]9127
importnumpy as npimportmathv=np.array ([]с=нп.массив ([3,-2])d=np.dot (v, s)print9 (d)Здесь скалярное произведение также можно получить с помощью оператора '@'.
d = v @ s
Выход:
4
Перекрестный продукт:
Код: код Python, объясняющий Перекрестный продукт
06импортnumpy как npимпорт00 00 9127=нп.массив ([4,9,12])s=np.array ([21 7444])r=np.cross (v, s)print(r)Внимание компьютерщик! Укрепите свои основы с помощью курса Python Programming Foundation и изучите основы.
Для начала подготовьтесь к собеседованию. Расширьте свои концепции структур данных с помощью курса Python DS . И чтобы начать свое путешествие по машинному обучению, присоединяйтесь к Машинное обучение - курс базового уровня
1.2: Умножение векторов - Физика LibreTexts
Теперь мы знаем, как выполнять математические вычисления с векторами, и возникает вопрос: « Если мы можем складывать и вычитать векторы, можем ли мы их также умножать? » Ответ и да и нет.Оказывается, не существует одного уникального способа определить произведение двух векторов, а есть два…
Скалярное произведение
Вскоре мы рассмотрим, как мы можем описать эффект, который сила, толкающая объект, оказывает на его скорость при его перемещении из одного положения в другое. Сила - это вектор, потому что у нее есть величина (величина толчка) и направление (направление толчка). И движение объекта также является вектором (хвост находится в начальной точке объекта, а голова - в его конечной точке).Оказывается, этот эффект математически описывается как произведение количества силы и количества движения. Это просто вычислить, если толчок идет по направлению движения, но что, если это не так? Оказывается, только количество толчка, которое действует в направлении движения , повлияет на скорость объекта.
Поэтому мы хотели бы ввести понятие проекции одного вектора на другой. Лучшее описание этого - «количество данного вектора, которое указывает на другой вектор."Это можно представить как« тень », которую один вектор отбрасывает на другой вектор:
Рисунок 1.2.1 - Проецирование одного вектора на другой
Итак, если мы хотим умножить длину вектора на количество второго вектора, который проецируется на него, мы получим:
\ [(\ text {проекция} \ overrightarrow A \ text {на} \ overrightarrow B) (\ text {величина} \ overrightarrow B) = (A \ cos \ theta) (B) = AB \ cos \ тета \]
Это первый из двух типов умножения векторов, и он называется скалярным произведением , потому что результатом произведения является скаляр.Обычно мы пишем продукт через точку (давая альтернативное название точечный продукт ):
\ [\ overrightarrow A \ cdot \ overrightarrow B \ Equiv AB \ cos \ theta, \; \; \; \; \; \ theta = angle \; между \; \ overrightarrow A \; и \; \ overrightarrow B \ ]
Пример \ (\ PageIndex {1} \)
Вектор \ (\ overrightarrow A \) имеет величину 120 единиц, а при проецировании на \ (\ overrightarrow B \) проецируемая часть имеет значение 105 единиц. Предположим, что \ (\ overrightarrow B \) теперь проецируется на \ (\ overrightarrow A \), а прогнозируемая длина составляет 49 единиц.Найдите величину \ (\ overrightarrow B \).
- Решение
Коэффициент, определяющий длину выступа, равен \ (\ cos \ theta \). Угол между двумя векторами одинаков независимо от того, какой вектор проецируется, поэтому коэффициент одинаков в обоих направлениях. Проекция \ (\ overrightarrow A \) на \ (\ overrightarrow B \) составляет 7/8 величины \ (\ overrightarrow A \), поэтому величина \ (\ overrightarrow B \) должна быть 8/7. его проекции, что составляет 56 единиц.2 \]
Должно быть сразу понятно, каковы скалярные произведения единичных векторов. У них единичная длина, поэтому скалярное произведение единичного вектора на себя равно 1.
\ [\ widehat i \ cdot \ widehat i = \ widehat j \ cdot \ widehat j = \ widehat k \ cdot \ widehat k = 1 \]
Они также взаимно ортогональны , поэтому скалярные произведения друг с другом равны нулю:
\ [\ widehat i \ cdot \ widehat j = \ widehat j \ cdot \ widehat k = \ widehat k \ cdot \ widehat i = 0 \]
Это дает нам альтернативный способ взглянуть на компоненты, которые являются проекциями вектора на оси координат.Поскольку единичные векторы указывают вдоль направлений \ (x \), \ (y \) и \ (z \), компоненты вектора могут быть выражены как скалярное произведение. Например:
\ [\ begin {align} \ overrightarrow A \ cdot \ widehat i & = (A_x \ widehat i + A_y \ widehat j + A_z \ widehat k) \ cdot \ widehat i \ nonumber \\ [5pt] & = A_x \ cancelto {1} {\ widehat i \ cdot \ widehat i} + A_y \ cancelto {0} {\ widehat j \ cdot \ widehat i} + A_z \ cancelto {0} {\ widehat k \ cdot \ widehat i} \ end {align} \]
Единичные векторы также показывают нам простой способ взять скалярное произведение двух векторов, компоненты которых мы знаем.Начнем с двух векторов, записанных в компонентной форме:
\ [\ overrightarrow A = A_x \ widehat i + A_y \ widehat j \ nonumber \]
\ [\ overrightarrow B = B_x \ widehat i + B_y \ widehat j \ nonumber \]
, тогда просто выполните «обычную алгебру», распределяя скалярное произведение, как при обычном умножении:
\ [\ begin {align} \ overrightarrow A \ cdot \ overrightarrow B & = (A_x \ widehat i + A_y \ widehat j) \ cdot (B_x \ widehat i + B_y \ widehat j) \ nonumber \\ [5pt] & = (A_x B_x) \ cancelto {1} {\ widehat i \ cdot \ widehat i} + (A_y B_x) \ cancelto {0} {\ widehat j \ cdot \ widehat i} + (A_x B_y) \ cancelto {0} {\ widehat i \ cdot \ widehat j} + (A_y B_y) \ cancelto {1} {\ widehat j \ cdot \ widehat j} \ nonumber \\ [5pt] & = A_x B_x + A_yB_y \ end {align} \]
Если бы у нас не было этого простого результата, подумайте, что нам нужно сделать: нам нужно было бы вычислить углы, которые каждый вектор образует с (скажем) осью \ (x \).Затем, исходя из этих двух углов, нам нужно вычислить углы между двумя векторами. Затем нам нужно будет вычислить величины двух векторов. Наконец, с величинами векторов и углом между векторами, мы могли наконец включить наше уравнение скалярного произведения.
Предупреждение
При двух разных способах вычисления скалярного произведения должно быть ясно, что самый простой метод для использования будет зависеть от предоставленной информации. Если вам даны (или вы можете легко определить) величины векторов и угол между ними, используйте уравнение 1.2.2, но если вам даны (или можете легко определить) компоненты векторов, используйте уравнение 1.2.7.
Пример \ (\ PageIndex {2} \)
Два приведенных ниже вектора перпендикулярны друг другу. Найдите неизвестный \ (z \) - компонент.
\ [\ overrightarrow A = +5 \ widehat i - 4 \ widehat j - \ widehat k \; \; \; \; \; \; \ overrightarrow B = +2 \ widehat i + 3 \ widehat j + B_z \ widehat k \ nonumber \]
- Решение
Скалярное произведение двух векторов пропорционально косинусу угла между ними.Это означает, что если они ортогональны, скалярное произведение равно нулю. Если заданы компоненты, то скалярное произведение легко вычислить, поэтому мы делаем это и решаем для \ (B_z \):
\ [0 = \ overrightarrow A \ cdot \ overrightarrow B = \ left (+5 \ right) \ left (+2 \ right) + \ left (-4 \ right) \ left (+3 \ right) \ + \ left (-1 \ right) \ left (B_z \ right) \; \; \; \Правая стрелка \;\;\; B_z = -2 \ nonumber \]
Скалярное произведение двух векторов в терминах векторов-столбцов работает именно так, как и следовало ожидать - просто умножьте аналогичные компоненты и просуммируйте все произведения.
Векторный продукт
Как упоминалось ранее, на самом деле существует два способа определить произведения векторов. Если скалярное произведение включает в себя количество одного вектора, который на параллелен другому вектору, тогда не должно удивлять, что наш другой продукт включает в себя количество вектора, который на перпендикулярен на другому вектору.
Рисунок 1.2.2 - Часть одного вектора, перпендикулярная другому
Если мы возьмем произведение, как и раньше, умножив этот перпендикулярный кусок на величину другого вектора, мы получим выражение, подобное тому, которое мы получили для скалярного произведения, на этот раз с функцией синуса, а не косинусом.По причинам, которые вскоре станут ясны, этот тип продукта называется векторным продуктом . Поскольку это отличается от скалярного произведения, мы также используем другое математическое обозначение - крест, а не точку (давая ему альтернативное имя cross product ). Это имеет простую (хотя и не совсем полезную, по крайней мере, не в физике) геометрическую интерпретацию в терминах параллелограмма, определяемого двумя векторами:
Рисунок 1.2.3 - Построение векторного произведения (величина)
\ [величина \; из\; \ overrightarrow A \ times \ overrightarrow B = \ left | \ overrightarrow A \ times \ overrightarrow B \ right | = \ left | \ overrightarrow A \ right | \ left | \ overrightarrow B \ right | \ sin \ theta = AB \ sin \ theta \]
Но есть еще одна еще большая разница между векторным и скалярным произведениями. Хотя проекция всегда приземляется параллельно второму вектору, перпендикулярная часть подразумевает ориентацию, поскольку перпендикулярная часть может указывать в нескольких направлениях.Любая величина, имеющая ориентацию, потенциально может быть вектором, и на самом деле мы определим вектор, который является результатом этого типа продукта, следующим образом: если мы проследим периметр параллелограмма выше в направлении, заданном двумя векторами, мы получаем ориентацию по часовой стрелке [ Получили бы мы такую же ориентацию, если бы товар был в обратном порядке: \ (\ overrightarrow B \) \ (\ times \) \ (\ overrightarrow A \)? ]. Мы превращаем это направление циркуляции в векторное направление (которое указывает в определенном направлении в пространстве), используя соглашение, называемое правилом правой руки :
Условные обозначения: правило правой руки
Укажите пальцами правой руки в направлении первого вектора в произведении, затем сориентируйте руку так, чтобы эти пальцы естественным образом загибались в направлении второго вектора в произведении. 2 \ sin 0 = 0 \]
Как и в случае со скалярным произведением, векторное произведение можно легко выразить с помощью компонентов и единичных векторов.Векторные произведения единичных векторов сами на себя равны нулю. Каждый из единичных векторов находится под прямым углом к двум другим единичным векторам, поэтому величина перекрестного произведения двух единичных векторов также является единичным вектором (поскольку синус угла между ними равен 1).
Условное обозначение: системы координат для правой руки
Мы всегда будем выбирать правую систему координат, что означает, что использование правила правой руки на оси + \ (x \) - + \ (y \) дает ось + \ (z \).
Таким образом, в единицах единичных векторов мы имеем:
\ [\ widehat i \ times \ widehat i = \ widehat j \ times \ widehat j = \ widehat k \ times \ widehat k = 0 \]
и
\ [\ widehat i \ times \ widehat j = - \ widehat j \ times \ widehat i = \ widehat k, \; \; \; \; \; \; \ widehat j \ times \ widehat k = - \ widehat k \ times \ widehat j = \ widehat i, \; \; \; \; \; \; \ widehat k \ times \ widehat i = - \ widehat i \ times \ widehat k = \ widehat j \]
Это позволяет нам производить перекрестные произведения чисто математически (не прибегая к правилу правой руки), когда мы знаем компоненты, как мы это сделали для скалярного произведения.Снова начнем с двух векторов в компонентной форме:
\ [\ overrightarrow A = A_x \ widehat i + A_y \ widehat j \ nonumber \]
\ [\ overrightarrow B = B_x \ widehat i + B_y \ widehat j \ nonumber \]
тогда, как и в случае со скалярным произведением, просто выполните «нормальную алгебру», распределяя перекрестное произведение и применяя перекрестные произведения единичного вектора, указанные выше:
\ [\ begin {align} \ overrightarrow A \ times \ overrightarrow B & = (A_x \ widehat i + A_y \ widehat j) \ times (B_x \ widehat i + B_y \ widehat j) \\ [5pt] & = ( A_x B_x) \ cancelto {0} {\ widehat i \ times \ widehat i} + (A_yB_x) \ cancelto {- \ widehat k} {\ widehat j \ times \ widehat i} + (A_x B_y) \ cancelto {+ \ widehat k} {\ widehat i \ times \ widehat j} + (A_y B_y) \ cancelto {0} {\ widehat j \ times \ widehat j} \\ [5pt] & = (A_x B_y - A_yB_x) \ widehat k \ конец {align} \]
В данный момент не очевидно, как мы будем использовать точечное произведение и кросс-произведение в физике, но оно приближается, поэтому неплохо было бы сейчас твердо разобраться в этих важных инструментах.
Умножение векторов: Блок 3: Векторы
Вектор можно умножить на другой вектор или на скаляр. Если его умножить на скаляр, произведение будет новым вектором, параллельным первому, с его величиной, равной величине исходного вектора, умноженной на скаляр.
Точечный продукт
Есть два способа умножения двух векторов. Первый называется скалярным или скалярным произведением. Он представлен в виде выпуклой точки между двумя векторами как A • B.Произведение - скаляр; нет направления. Число определяется путем умножения величины одного вектора на параллельную составляющую другого. Как показано на рисунке 3.3.1 ниже, это то же самое, что найти произведение ABcos (Θ). Однако лучше запомнить его как продукт параллельных компонентов, чем пытаться запомнить эту формулу.
Рисунок 3.3.1
Перекрестное произведение
Второй тип умножения векторов производит вектор как его произведение и является более сложным в первую очередь потому, что необходимо найти направление вектора произведения.Этот вид умножения называется вектором или перекрестным произведением и обозначается A × B. Величина результирующего вектора равна произведению одного вектора и перпендикулярной составляющей другого. Построение векторной диаграммы покажет, что величина произведения равна ABsin (), но лучше не забыть умножить перпендикулярные компоненты, чем запомнить эту формулу. Направление вектора произведения будет перпендикулярно обоим исходным векторам. Тщательный анализ ситуации покажет, что два вектора A и B определяют плоскость и что существует два направления, в которых вектор произведения может указывать и быть перпендикулярным обоим векторам.Чтобы найти направление вектора произведения, необходимо использовать какой-то мнемонический прием. Их несколько, одна из которых будет показана здесь. Предположим, вам нужно найти произведение A × B. Нарисуйте два вектора, которые нужно перемножить, чтобы они исходили из одной и той же точки, как показано на рисунке 3.3.2.
Рисунок 3.3.2
Теперь представьте линию, перпендикулярную как A, так и B, пересекающую их в точке, где они соединяются. Представьте, что вы захватываете эту линию правой рукой таким образом, что ваши пальцы, охватывающие линию, указывают от A до B.Ваш большой палец теперь указывает в направлении вектора произведения (см. Рисунок 3.3.2). Обратите внимание, что умножение векторов не коммутативно. Если вы найдете продукт B × A, ваши пальцы должны указывать от B к A, а не от A к B, и для этого ваш большой палец должен указывать в противоположном направлении (см. Рисунок 3.3.3).
Рисунок 3.3.3
Исчисление- Что такое деление вектора?
Вы, , можете определять деление векторов, но, поскольку умножение и деление являются связанными операциями, вы можете сделать это, только выбрав определение умножения, которое позволяет это.
Как уже указывалось, в векторной алгебре мы обычно определяем просто скалярные произведения и перекрестные произведения. Для двух векторов $ a $ и $ b $ скалярное произведение $ a \ cdot b $ сообщает нам, насколько эти два вектора параллельны. Перекрестное произведение $ a \ times b $ говорит нам, насколько перпендикулярны векторы, и, более того, оно говорит нам кое-что об их относительной ориентации - о плоскости, в которой лежат два вектора. Я представляю вам без доказательств, что точка и кросс-продукты содержат всю возможную релевантную информацию из двух векторов.п $. Геометрическое произведение векторов определяется следующим образом:
$$ e_i e_j = \ begin {cases} 1, & i = j \\ -e_j e_i, & i \ neq j \ end {cases} $$
Когда два базисных вектора совпадают и умножаются через геометрическое произведение, результатом является скаляр, и поэтому мы фиксируем поведение скалярного произведения. Когда два базисных вектора ортогональны, результат антисимметричен, и мы фиксируем поведение перекрестного произведения. Однако важно отметить, что эта антисимметричная часть не приводит к вектору - скорее, она приводит к новому объекту, который мы называем бивектором .п $.
Геометрическое произведение линейно по своим аргументам, поэтому мы можем найти геометрическое произведение $ a $ и $ b $, просто разбив их на компоненты. Кроме того, геометрическое произведение ассоциативно, поэтому мы можем найти $ ab $, а затем умножить (слева или справа) на другой вектор $ c $ и так далее. Но пока мы можем ограничиться случаем двух векторов. Геометрическое произведение часто записывается как
.$$ ab = a \ cdot b + a \ клин b $$
Этот клин позволяет избежать одной проблемы с поперечным произведением - он не существует в размерах, отличных от 3 или 7.2} [a (a \ cdot b) + a \ cdot (a \ wedge b)] $$
, который представляет собой геометрическую форму алгебры разложения, которое я написал ранее. Здесь это следует просто из свободы группировать продукты по своему усмотрению. Это мощный метод геометрической алгебры, полезный для доказательства многих тождеств (вплоть до векторного исчисления и не только).
Кроме того, каково же произведение двух векторов под геометрическим произведением? Как мы установили, это скаляр и бивектор. Одно название множества таких объектов - спиноров .Спиноры полезны для представления вращений, и действительно, произведение $ ab $ дает нам спинор, соответствующий вращению из $ b $ в направление $ a $. В двух измерениях такие спиноры состоят только из двух компонентов, и они соответствуют комплексным числам. В 3-х измерениях такие спиноры имеют 4 компонента (1 скаляр, 3 бивектора - для 3-х плоскостей 3D-пространства), и эти спиноры соответствуют кватернионам и так далее. Таким образом, геометрическое произведение дает отличное представление о природе вращений и о том, как их можно построить из векторов.
Определение и примеры векторного умножения | определение векторного умножения
Определение векторного умножения
В векторном умножении вектор умножается на один или несколько векторов или на скалярную величину.
Подробнее о векторном умножении
Существует три различных типа умножения: скалярное произведение, перекрестное произведение и умножение вектора на скаляр
Скалярное произведение двух векторов u и v задается как u.v = uv cos θ, где θ - угол между векторами u и v
Перекрестное произведение двух векторов u и v задается как u × v = uv sin θ, где θ - угол между векторами u и v
Когда вектор умножается на скаляр, изменяется только величина вектора, но направление остается прежнимПримеры видео: умножение векторов
Примеры умножения векторов
Если вектор умножается на скаляр, то
Если u = 2i + 6j и v = 3i - 4j - два вектора и угол между ними равен 60 °, то для нахождения скалярного произведения векторов мы сначала находим их величину.
Величина вектора
Величина вектора
Скалярное произведение векторов u , v равно u · v = uv cos θ
= (2) (5) cos 60 °
= (2) (5) ×
= 5
Если u = 5i + 12j и v = 3i + 6j - два вектора и угол между ними равен 60 °, то для нахождения векторного произведения векторов мы сначала находим их величину.
Величина вектора
Величина вектора
Произведение векторов u, v равно u × v = uv sin θРешенный пример умножения векторов
Вопрос: Что из следующего является скалярным произведением векторов u = 6i + 8j и v = 7i - 9j?Выбор:
А.114
Б. - 30
С. - 2
Д. 110
Правильный ответ: BРешение:
Шаг 1: u = 6i + 8j, v = 7i - 9j - два вектора
Шаг 2: скалярное произведение двух векторов u, v = u. v = u 1 v 1 + u 2 v 2
Шаг 3: = (6i + 8j). (7i - 9j)
Шаг 4: = (6) (7) + (8) (- 9) [Используйте определение скалярного произведения двух векторов.]
Шаг 5: = - 30 [Упростить.]Умножение векторов
Эта комбинация слов «умножение» и «вектор» встречается как минимум в четырех случаях:
- умножение вектора на скаляр
- скалярное умножение векторов
- умножение вектора на матрицу
- векторное умножение векторов
, из которых только четвертая может рассматриваться как (полу) групповая операция.Хотя остальные тоже важны, здесь я остановлюсь только на последнем. Умножение вектора (произведение) определено для 3-мерных векторов. Для продолжения нам понадобится понятие правого, и левостороннего, , которые применимы к трем взаимно перпендикулярным векторам.
Два неколлинеарных вектора (непараллельных) определяют плоскость, и есть два способа построить третий вектор перпендикулярно этой плоскости (и, следовательно, двум заданным векторам.) Различают по правому - или правила для левшей . Направление, определяемое правилом правой руки, обычно предпочтительнее другого. Если смотреть сверху указательного пальца (z), движение среднего пальца (x) в сторону большого пальца (y) будет положительным (против часовой стрелки).
Покойный Исаак Исимов однажды с опаской предположил, что технический прогресс может привести к изменениям тезауруса, которые устранило бы такие милые сердцу понятия, как по часовой стрелке и против часовой стрелки направлений.К счастью, никакой технический прогресс не мог повлиять на физическую основу правила правой руки.
Определение
Пусть a и b - два неколлинеарных вектора . Их пересекает (или внешний , или вектор ) произведение определяется как вектор a × b , перпендикулярный как a, так и b, и чей
Направление- таково, что три вектора a , b и a × b образуют правостороннюю систему. Длина
- равна площади параллелограмма, построенного на векторах a и b .
Перекрестное произведение коллинеарных векторов определяется как 0. (что согласуется с неколлинеарным случаем, поскольку мы можем думать о двух параллельные векторы как определяющие (однострочный) параллелограмм с нулевой площадью.
Очевидно, что у продукта нет элемента единицы измерения. С одной стороны, действуют как ассоциативный, так и распределительный законы. Что касается последнего, это очевидно из геометрических соображений.Закон распределения подразумевает однородность (при условии, конечно, что мы сначала установим некоторую непрерывность. Но это возможно: небольшие изменения либо в a , либо в b приводят к небольшим изменениям площади параллелограмма, который они определяют. Плоскость тоже кардинально не меняется.) Для скаляра t
(t a ) × b = a × (t b ) = t ( a × b ) Перекрестное произведение также является антикоммутативным :
, как следует из определения.
Перекрестное произведение может быть выражено через определитель 3 × 3. Пусть e 1 , e 2 и e 3 будут тремя взаимно ортогональными единичными векторами, которые образуют правосторонний система. Тогда опять же по определению
e 3 = e 1 × e 2 , e 2 = e 3 × e 1 , e = e 2 × e 3 Если a = a 1 e 1 + a 2 e 2 + a 3 e 3 и b
= b e 1 + b 2 e 2 + b 3 e 3 затем
a × b = (a 2 b 3 - a 3 b 2 ) e 1 - (a 1 b 3 - a 3 b 1 ) e 2 + (a 1 b 2 - a 2 b 1 ) e 3 , который часто записывается как
Ассоциативный закон не выполняется для векторного произведения.Т.е. в целом
a × ( b × c ) ≠ ( a × b ) × c . Например,
e 1 × ( e 1 × e 2 ) = e 1 × e 3 = - e 2 тогда как
(e 1 × e 1 ) × e 2 = 0 × e 2 = 0. Для компенсации есть другие полезные свойства, например,
a × ( b × c ) = ( a · c ) b - ( a · b ) c . Особенно полезно смешанное произведение трех векторов:
a · ( b × c ) = det ( a b c ), , где точка обозначает скалярное произведение, а определитель det ( a b c ) имеет векторы a , b , c в качестве столбцов.
