Site Loader

Онлайн калькулятор умножения матриц

Данный калькулятор дает детальное решение с объяснением умножения двух матриц. Умножить две матрицы возможно только в том случае, если количество столбцов первой матрицы, равно количеству строк второй

Матрица размерности m × n – это таблица чисел у которой m строк и n столбцов. Элементы матрицы обозначаются как aij, где i – номер строки, j – номер столбца.
Чтобы записать дробь, воспользуйтесь знаком “ / ” например 3/5 или -3/5


Примеры умножения матриц

Умножить две матрицы размерности 3 × 2 и 2 × 3
C = A × B = × =
4.8 49.4 -36
15 7 0
-8.1 19.8 -18

Решение

Даны две матрицы
A = где,

a11 = 4
a12 = 1
a21 = 0
a22 = 5
a31 = 2
a32 = -3

B = где,

b11 = 0.45
b12 = 12
b13 = -9
b21 = 3
b22 = 1.4
b23 = 0


Умножить две матрица можно только, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В

При умножении матрицы А размерности l × m на матрицу В размерности m × n получаем матрицу С размерности l × n

C = × =
c11 c12 c13
c21 c22 c23
c31 c32 c33

Элемент матрицы с индексом Cij находится по формуле

c11 = a11 ⋅ b11 + a12 ⋅ b21 = 4 ⋅ 0.45 + 1 ⋅ 3 = 4.8

c12 = a11 ⋅ b12 + a12 ⋅ b22 = 4 ⋅ 12 + 1 ⋅ 1.4 = 49.4

c13 = a11 ⋅ b13 + a12 ⋅ b23 = 4 ⋅ (-9) + 1 ⋅ 0 = -36

c21 = a21 ⋅ b11 + a22 ⋅ b

21 = 0 ⋅ 0.45 + 5 ⋅ 3 = 15

c22 = a21 ⋅ b12 + a22 ⋅ b22 = 0 ⋅ 12 + 5 ⋅ 1.4 = 7

c23 = a21 ⋅ b13 + a22 ⋅ b23 = 0 ⋅ (-9) + 5 ⋅ 0 = 0

c31 = a31 ⋅ b11 + a32 ⋅ b21 = 2 ⋅ 0.45 + (-3) ⋅ 3 = -8.1

c32 = a31 ⋅ b12 + a32 ⋅ b22 = 2 ⋅ 12 + (-3) ⋅ 1.4 = 19.8

c33 = a31 ⋅ b13 + a32 ⋅ b23 = 2 ⋅ (-9) + (-3) ⋅ 0 = -18

C =
4.8 49.4 -36
15 7 0
-8.1 19.8 -18
Перейти в калькулятор Умножить две матрицы размерности 2 × 2 и 2 × 4

Решение

Даны две матрицы
A = где,

a11 = 7
a12 = 1
a21 = 0
a22 = 3

B =
b11 b12 b13 b14
b21 b22 b23 b24
где,

b11 = -5
b12 = 6
b13 = 2
b

14 = 9
b21 = 12
b22 = 37
b23 = 1
b24 = 0


Умножить две матрица можно только, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В

При умножении матрицы А размерности l × m на матрицу В размерности m × n получаем матрицу С размерности l × n

C = ×
b11 b12 b13 b14
b21 b22 b23 b24
=
c11 c12 c13 c
14
c21 c22 c23 c24

Элемент матрицы с индексом Cij находится по формуле

c11 = a11 ⋅ b11 + a12 ⋅ b21 = 7 ⋅ (-5) + 1 ⋅ 12 = -23

c12 = a11 ⋅ b12 + a12 ⋅ b22 = 7 ⋅ 6 + 1 ⋅ 37 = 79

c13 = a11 ⋅ b13 + a12 ⋅ b23 = 7 ⋅ 2 + 1 ⋅ 1 = 15

c14 = a11 ⋅ b14 + a12 ⋅ b24 = 7 ⋅ 9 + 1 ⋅ 0 = 63

c21 = a21 ⋅ b11 + a22 ⋅ b21 = 0 ⋅ (-5) + 3 ⋅ 12 = 36

c22 = a21

⋅ b12 + a22 ⋅ b22 = 0 ⋅ 6 + 3 ⋅ 37 = 111

c23 = a21 ⋅ b13 + a22 ⋅ b23 = 0 ⋅ 2 + 3 ⋅ 1 = 3

c24 = a21 ⋅ b14 + a22 ⋅ b24 = 0 ⋅ 9 + 3 ⋅ 0 = 0

Перейти в калькулятор Умножить две матрицы размерности 1 × 3 и 3 × 2

Решение

Даны две матрицы
A = где,

a11 = 2
a12 = -7
a13 = 0

B = где,

b11 = 3
b12 = 6
b21 = 4
b22 = 1
b31 = 0
b32

= 8


Умножить две матрица можно только, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В

При умножении матрицы А размерности l × m на матрицу В размерности m × n получаем матрицу С размерности l × n


Элемент матрицы с индексом Cij находится по формуле

c11 = a11 ⋅ b11 + a12 ⋅ b21 + a13 ⋅ b31 = 2 ⋅ 3 + (-7) ⋅ 4 + 0 ⋅ 0 = -22

c12 = a11 ⋅ b12 + a12 ⋅ b22 + a13 ⋅ b32 = 2 ⋅ 6 + (-7) ⋅ 1 + 0 ⋅ 8 = 5

Перейти в калькулятор

Умножение вектора на число.

Геометрическая интерпретация.

Произведение ненулевого вектора на число
— это вектор, коллинеарный данному (сонаправленный данному, если число положительное, имеющий противоположное направление, если число отрицательное), а его модуль равен модулю данного вектора, умноженному на модуль числа.

Алгебраическая интерпретация. Произведение ненулевого вектора на число — это вектор, координаты которого равны соответствующим координатам данного вектора, умноженным на число.


Формулы умножения вектора на число

Формула умножения вектора на число для плоских задач

В случае плоской задачи произведение вектора a = {ax ; ay} и числа k можно найти воспользовавшись следующей формулой:

k · a = {k · ax; k · ay}


Формула умножения вектора на число для пространственных задач

В случае пространственной задачи произведение вектора a = {a

x ; ay ; az} и числа k можно найти воспользовавшись следующей формулой:

k · a = {k · ax ; k · ay ; k · az}


Формула умножения n -мерного вектора

В случае n-мерного пространства произведение вектора a = {a1 ; a2; … ; an} и числа k можно найти воспользовавшись следующей формулой:

k · a = {k · a1; k · a2; … ; k · an}


Свойства вектора умноженного на число

Если вектор b равен произведению ненулевого числа k и ненулевого вектора a, то есть b = k · a, тогда:

  • b || a — вектора b и a параллельны

  • a↑↑b, если k > 0 — вектора b и a сонаправленные, если число k > 0

  • a↑↓b, если k < 0 — вектора b и a противоположно направленные, если число k < 0

  • |b| = |k| · |a| — модуль вектора b равен модулю вектора a умноженному на модуль числа k

Примеры задач на умножение вектора и числа

Пример умножения вектора на число для плоских задачи

Пример 1. Найти произведение вектора a = {1; 2} на 3.

Решение: 3 · a = {3 · 1; 3 · 2} = {3; 6}.

Пример умножения вектора на число для пространственных задачи

Пример 2. Найти произведение вектора a = {1; 2; -5} на -2.

Решение: (-2) · a = {(-2) · 1; (-2) · 2; (-2) · (-5)} = {-2; -4; 10}.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Умножение комплексного вектора на матрицу


Результат умножения вектора-строки на матрицу с*A
Результат умножения
Результат умножения матрицы на вектор-столбец A*b
Результат умножения

Каждый вектор можно рассматривать как одностолбцовую или однострочную матрицу. Одностолбцовую матрицу будем называть вектор-столбцом, а однострочную матрицу — вектор-строкой.

Если A-матрица размера m*n, то вектор столбец b имеет размер n, а вектор строка b имеет размер m.

Таким образом, что бы умножить матрицу на вектор, надо рассматривать вектор как вектор-столбец. При умножении вектора на матрицу, его нужно рассматривать как вектор -строку.

Пример.

Умножить матрицу

\begin{pmatrix} 1+2i & 2+i & 1+3i \\ 2 & 4+2i & 2+5i \end{pmatrix} 

на комплексный вектор

\begin{pmatrix} 2+2i  \\ 1+4i \\ 2+2i \end{pmatrix}
 

Получаем результат

Результат умножения матрицы на вектор A*b
Результат умножения вектора на матрицу b*A

 

Как видите при неизменной размерности вектора, у нас могут существовать два решения.

Хотелось бы обратить Ваше внимание на то что матрица в первом и втором варианте, несмотря на одинаковые значения, совершенно разные (имеют различную размерность)

 

В первом случае вектор считается как столбец и тогда необходимо  умножать матрицу на вектор, а во втором случае у нас вектор-строка и тогда у нас произведение вектора на матрицу.

 

 

Свойства умножения матрицы на вектор

 — матрица   — вектор столбец   — вектор-строка  — произвольное число

1. Произведение матрицы на сумму векторов-столбцов равна сумме произведений матрицы на каждый из векторов

2. Произведение суммы векторов-строк на матрицу  равна сумме произведений векторов на матрицу

3. Общий множитель вектора  можно вынести за пределы произведения матрицы на вектор/вектора на матрицу

4.Произведение вектора-строки на произведение матрицы и вектора столбца, равноценно произведению произведения вектора-строки на матрицу и вектора-столбца.

 

Удачных расчетов!!

 

  • Умножение матриц с комплексными значениями онлайн >>

Сложение и вычитание векторов. Онлайн калькулятор.

Как сложить или вычесть два вектора плоскости и пространства

Пример №1
Найдем сумму векторов плоскости. Координаты обоих векторов заданны точками.
Координаты точки А вектора AB: (5 ; 9)
Координаты точки B вектора AB: (-2 ; 11)
Координаты точки C вектора CD: (0 ; 12)
Координаты точки D вектора CD: (-3 ; 1)

Решение:

Для того, чтобы сложить два вектора необходимо сложить их координаты. Результатом сложения векторов AB и CD будет вектор c

Вычислим координаты первого вектора по двум точкам A и B:

AB = {xB — xA  ; yB — yA} = {-2 — 5 ; 11 — 9} = {-7 ; 2}

Вычислим координаты второго вектора по двум точкам C и D:

CD = {xD — xC  ; yD — yC} = {-3 — 0 ; 1 — 12} = {-3 ; -11}

c = AB + CD = {ABx + CDx ; ABy + CDy} = {-7 + (-3) ; 2 + (-11)} = {-10 ; -9}

Пример №2
Найдем разность векторов плоскости.
Координаты вектора a: (5 ; 9)
Координаты вектора b: (-1 ; 7)

Решение:

Для того, чтобы вычесть два вектора необходимо вычесть их координаты. Результатом вычитания векторов a и b будет вектор c
c = a — b = {ax — bx ; ay — by} = {5 — (-1) ; 9 — 7} = {6 ; 2}

Пример №3
Найдем разность векторов пространства. Координаты обоих векторов заданны точками.
Координаты точки А вектора AB: (7; 0.2 ; 69)
Координаты точки B вектора AB: (-1 ; 0 ; 2/8)
Координаты точки C вектора CD: (-4 ; -6 ; 2)
Координаты точки D вектора CD: (3 ; 0 ; 9)

Решение:

Для того, чтобы вычесть два вектора необходимо вычесть их координаты. Результатом вычитания векторов AB и CD будет вектор c

Вычислим координаты первого вектора по двум точкам A и B:

AB = {xB — xA  ; yB — yA; zB — zA} = {-1 — 7 ; 0 — 0.2 ; 2/8 — 69} = {-8 ; -1/5 ; -275/4}

Вычислим координаты второго вектора по двум точкам C и D:

CD = {xD — xC  ; yD — yC; zD — zC} = {3 — (-4) ; 0 — (-6) ; 9 — 2} = {7 ; 6 ; 7}

c = AB — CD = {ABx — CDx ; ABy — CDy ; ABz — CDz} = {-8 — 7 ; -1/5 — 6 ; -275/4 — 7} = {-15 ; -31/5 ; -303/4}= {-15 ; -6.2 ; -75.75}

Пример №4
Найдем сумму векторов пространства.
Координаты вектора a: (5 ; 1 ; 7)
Координаты вектора b: (2 ; 4 ; 6)

Решение:

Для того, чтобы сложить два вектора необходимо сложить их координаты. Результатом сложения векторов a и b будет вектор c
c = a + b = {ax + bx ; ay + by ; az + bz} = {5 + 2 ; 1 + 4 ; 7 + 6} = {7 ; 5 ; 13}

alexxlab

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *