Site Loader

Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅

Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²

Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ‚ΠΈΠΏΠΎΠ²: скалярноС ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ΅. Π’ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ скалярного умноТСния Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ число (скаляр). Π’ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ произвСдСния Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€. Бкалярным ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π΄Π²ΡƒΡ… Π½Π΅Π½ΡƒΠ»Π΅Π²Ρ‹Ρ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΈ называСтся число, Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡŽ Π΄Π»ΠΈΠ½ этих Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Π½Π° косинус ΡƒΠ³Π»Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π½ΠΈΠΌΠΈ: , Π³Π΄Π΅ .

Бвойства скалярного произвСдСния Π²ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΌ сходны со свойствами произвСдСния Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл.

Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΈ называСтся Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ , ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ:

  1. ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ, числСнно Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ°, построСнного Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°Ρ… ΠΈ : ;

  2. пСрпСндикулярСн ΠΊ плоскости этого ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ°;

  3. Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ Π² Ρ‚Π°ΠΊΡƒΡŽ сторону, с ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΊΡ€Π°Ρ‚Ρ‡Π°ΠΉΡˆΠΈΠΉ ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΎΡ‚ ΠΎΡ‚ ΠΊ рассматриваСтся ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΠΌΡΡ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ² часовой стрСлки (Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ располоТСниС Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² , ΠΈ называСтся ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€ΠΎΠΉΠΊΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²).

ΠžΡ‚Π»ΠΈΡ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΎΡΠΎΠ±Π΅Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ произвСдСния состоит Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ для Π½Π΅Π³ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ свойство (ΠΊΠΎΠΌΠΌΡƒΡ‚Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ) Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ мСста. ΠžΡ‚ пСрСстановки Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² – сомноТитСлСй Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ измСняСт Π·Π½Π°ΠΊ Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹ΠΉ: .

Π’Ρ€ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Ρ‹ нСсколькими способами. Π§Π°Ρ‰Π΅ всСго Ρ€Π°ΡΡΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‚ смСшанноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎ ΠΈ Π½Π° Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΠΈΠΉ скалярно.Π’ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°ΡŽΡ‚ число.

БмСшанноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² , ΠΈ , ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ обозначаСтся ΠΈΠ»ΠΈ , Π΅ΡΡ‚ΡŒ скаляр, Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½Π°Ρ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΎΠ±ΡŒΠ΅ΠΌΡƒ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»Π΅ΠΏΠΈΠΏΠ΅Π΄Π°, построСнного Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°Ρ… , ΠΈ , ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π° Ρ€Π΅Π±Ρ€Π°Ρ….

Π£ΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ произвСдСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΈ ΠΈΡ… свойства достаточно просто Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΈΡ… ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹, Ρ‚.Π΅. ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Π² базисС , ΠΏΠΎ ΡΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡŽ с Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌΠΈ выраТСниями Π² ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ базисС , ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΌΡ‹ Π½Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ.

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Π·Π°Π΄Π°Π½Ρ‹ Π΄Π²Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ΠΈ .

БкалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡƒΡ… Π½Π΅Π½ΡƒΠ»Π΅Π²Ρ‹Ρ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ суммС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΉ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ этих Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²:

.

Π£Π³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ вычисляСтся ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅

,

ΠΈΠ»ΠΈ Π² ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅ .

ΠŸΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° ось Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° находится ΠΈΠ· ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ:

,

ΠΈΠ»ΠΈ Π² ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅ .

Если ΡƒΡ‡Π΅ΡΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ — ΠΎΡ€Ρ‚ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°, Ρ‚ΠΎ .

УсловиСм пСрпСндикулярности Π½Π΅Π½ΡƒΠ»Π΅Π²Ρ‹Ρ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΈ являСтся равСнство Π½ΡƒΠ»ΡŽ ΠΈΡ… скалярного произвСдСния:

.

Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅Π½ΡƒΠ»Π΅Π²Ρ‹Ρ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² выраТаСтся Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΈ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ:

.

РавСнство Π½ΡƒΠ»ΡŽ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ произвСдСния Π΄Π²ΡƒΡ… Π½Π΅Π½ΡƒΠ»Π΅Π²Ρ‹Ρ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² являСтся условиСм ΠΈΡ… коллинСарности, Ρ‚.Π΅. ο‚½ο‚½ .

Бкаляр , ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠΉ смСшанноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ², равняСтся ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŽ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅Π³ΠΎ порядка, составлСнному ΠΈΠ· ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ этих Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²:

.

РавСнство Π½ΡƒΠ»ΡŽ смСшанного произвСдСния Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… Π½Π΅Π½ΡƒΠ»Π΅Π²Ρ‹Ρ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² являСтся условиСм ΠΈΡ… компланарности: .

ΠšΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° зависят ΠΎΡ‚ Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€Π° базиса. Π’Ρ‹Π±ΠΎΡ€ базиса Π½ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ Π½Π΅ ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½, ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Ρ†ΠΈΠΏΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π° ΠΎ Π½Π°Ρ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌ базисС ΠΏΠΎ Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°ΠΌ Π² Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΌ базисС. Выясним, ΠΊΠ°ΠΊ устанавливаСтся связь ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°ΠΌΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ ΠΆΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π² Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… базисах.

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Π² пространствС ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ΡΡ Π΄Π²Π° базиса: старый ΠΈ Π½ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ . ΠšΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ· Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² (i =1,2,3) Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ базиса ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² старого базиса:

.

ΠœΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° (i,k=1,2,3) называСтся ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅ΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄Π° ΠΎΡ‚ старого базиса ΠΊ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΌΡƒ. БазисныС Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ (i =1,2,3) Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎ нСзависимы, поэтому ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° нСособСнная.

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄ ΠΎΡ‚ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ базиса ΠΊ старому базису осущСствляСтся с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ .

НайдСм Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°ΠΌΠΈ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π² Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Ρ… базисах. ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ этот Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ старого базиса ΠΈ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ базиса, Ρ‚.Π΅. ΠΈ

ΠŸΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΠ² значСния ΠΈΠ· ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π΅ΠΉ систСмы Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ΅ равСнство

для Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ΠΈ учитывая Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ равСнство, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ систСму ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ:

Как Π½Π΅Ρ‚Ρ€ΡƒΠ΄Π½ΠΎ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ, ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅ΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄Π° ΠΎΡ‚ Π½ΠΎΠ²Ρ‹Ρ… ΠΊ старым ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°ΠΌ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ транспонированная ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° . Π’ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅ взаимосвязь ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ старыми ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°ΠΌΠΈ ΠΈ Π½ΠΎΠ²Ρ‹ΠΌΠΈ выраТаСтся ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌΠΈ равСнствами:

ΠΈ .

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. Π’ базисС Π·Π°Π΄Π°Π½Ρ‹ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ . ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ (i =1,2,3) ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΡŽΡ‚ базис Π² Ρ‚Ρ€Π΅Ρ…ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΠΌ пространствС ΠΈ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π² этом базисС.

РСшСниС. Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΡŽΡ‚ базис, Ссли ΠΎΠ½ΠΈ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎ нСзависимы. Боставим Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ΅ равСнство ΠΈΠ»ΠΈ

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° сводится ΠΊ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡŽ систСмы:

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ систСмы Π½Π΅ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π½ΡƒΠ»ΡŽ.

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, однородная систСма ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠ΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ , Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎ нСзависимы ΠΈ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΡŽΡ‚ базис.

Бвязь ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ старым базисом ΠΈ Π½ΠΎΠ²Ρ‹ΠΌ выраТаСтся систСмой ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ:

ΠœΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄Π° ΠΎΡ‚ старого базиса ΠΊ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΌΡƒ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄

ВычисляСм . Она ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄

Находим Ρ‚Ρ€Π°Π½ΡΠΏΠΎΠ½ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΡƒΡŽ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ

ΠšΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Π² Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΌ базисС Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΈΠ· равСнства

НовыС ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π² базисС Π΅ΡΡ‚ΡŒ (9/6, 5/6, 1/6) ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ прСдставлСн Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅:

ГСомСтрия Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° число

ΠœΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Ρ‹ ΠΊ ΡƒΡ€ΠΎΠΊΡƒ

ΠšΠΎΠ½ΡΠΏΠ΅ΠΊΡ‚ ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ°

5. Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° число

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π½Π΅Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π° Π½Π° число k называСтся Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Β  b, Π΄Π»ΠΈΠ½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ |k| ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ Π½Π° ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ|Π°|, ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ Π° ΠΈ b сонаправлСны, Ссли  k ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΈΒ  ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½Ρ‹, Ссли k ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ.

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π° Π½Π° число k обозначаСтся Ρ‚Π°ΠΊ: ka.

Β 

ВСкст

Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° число

Β 

Рисунок Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²

Β 

Β 

Для любого числа k ΠΈ любого Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ Π° ΠΈ ka ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°Ρ€Π½Ρ‹.

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° любоС число считаСтся Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€.

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ любого Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° число Π½ΡƒΠ»ΡŒ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€.

Β 

ВСкст

Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° число

Β 

Β 

Β 

Β 

Рассмотрим основныС свойства умноТСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° число. Для Π»ΡŽΠ±Ρ‹Ρ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Π°,b ΠΈ Π»ΡŽΠ±Ρ‹Ρ… чисСл k ΠΈ l справСдливы равСнства:

ΠŸΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ΅. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ k ΠΈ l, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π°, Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡŽ k Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ lΠ°. Π­Ρ‚ΠΎ свойство извСстно ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠΎΡ‡Π΅Ρ‚Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½. На рисункС, Π½Π° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ это свойство.

Β 

ВСкст

Бвойства умноТСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° число

  1. Π‘ΠΎΡ‡Π΅Ρ‚Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½

Β 

Рисунок Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²

Β 

ВСкст

Β 

Β 

Π’Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ свойство, ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ Ρ€Π°ΡΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ числа k Π½Π° сумму Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Π° ΠΈ b Β Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ суммС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΉ этого числа Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ Π° ΠΈ b.

На рисункС, Π½Π° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ это свойство.

Β 

ВСкст

Бвойства умноТСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° число

  1. ΠŸΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ Ρ€Π°ΡΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½

Π’Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅ свойство, Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ€Π°ΡΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½.

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ суммы чисСл k ΠΈΒ  l Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ суммС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΉ чисСл k ΠΈ l Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π°.

На рисункС, Π½Π° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ это свойство.

Β 

ВСкст

Бвойства умноТСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° число

  1. Π’Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ€Π°ΡΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½

Β 

Π‘Ρ‚ΠΎΠΈΡ‚ ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ числа -1 Π½Π° любой Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹ΠΉ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ.

Богласно ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ произвСдСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° число, ΠΈΡ… Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹, Π° направлСния ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹. ΠŸΡ€ΠΈ условии, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π° Π½Π΅Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠΉ.

Β 

ВСкст

Β 

Для Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Π² пространствС, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ Π² ΠΏΠ»Π°Π½ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ, выполняСтся ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ условиС:

Если Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ a ΠΈ b ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°Ρ€Π½Ρ‹ (Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ прямой ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π° ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… прямых) ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π° Π½Π΅Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠΉ, Ρ‚ΠΎ сущСствуСт число k Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ bΒ  Ρ€Π°Π²Π΅Π½ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡŽ числа k Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π°.

Β 

РСшим Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ β„–347 (Π°)

НСобходимо ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅.

РСшСниС. ΠŸΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ Ρ€Π°ΡΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ позволяСт Π½Π°ΠΌ Ρ€Π°ΡΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΡŒ скобки. А ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ свойство слоТСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² – привСсти ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹Π΅.Β 

Β 

.

Β 

Β 

ΠžΡΡ‚Π°Π»ΠΈΡΡŒ вопросы ΠΏΠΎ Ρ‚Π΅ΠΌΠ΅? Наши ΠΏΠ΅Π΄Π°Π³ΠΎΠ³ΠΈ Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²Ρ‹ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‡ΡŒ!

  • ΠŸΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΈΠΌ ΠΊ Π•Π“Π­, ΠžΠ“Π­ ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌ экзамСнам

  • Найдём слабыС мСста ΠΏΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚Ρƒ ΠΈ Ρ€Π°Π·Π±Π΅Ρ€Ρ‘ΠΌ ошибки

  • ΠŸΠΎΠ²Ρ‹ΡΠΈΠΌ ΡƒΡΠΏΠ΅Π²Π°Π΅ΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎ ΡˆΠΊΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚Π°ΠΌ

  • ПомоТСм ΠΏΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ ΠΊ ΠΏΠΎΡΡ‚ΡƒΠΏΠ»Π΅Π½ΠΈΡŽ Π² любой Π’Π£Π—

Π’Ρ‹Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠ΅Π΄Π°Π³ΠΎΠ³Π°ΠžΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ заявку Π½Π° ΠΏΠΎΠ΄Π±ΠΎΡ€

Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² β€” ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° GCSE

Π’Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅?

Как ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€

Π½Π°

Π Π°Π±ΠΎΡ‡ΠΈΠΉ лист Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ умноТСния

РаспространСнныС заблуТдСния

УпраТнСния Π½Π° ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²

Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² GCSE вопросы

ΠšΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ список обучСния

Π‘Π»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠΈ

Π’Ρ‹ Π·Π½Π°Π»ΠΈ?

ВсС Π΅Ρ‰Π΅ застряли?

Π˜Π½Π΄ΠΈΠ²ΠΈΠ΄ΡƒΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ занятия ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅, созданныС для успСха KS4

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ доступны Π΅ΠΆΠ΅Π½Π΅Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½-ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠΈ повторСния ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ GCSE

Π£Π·Π½Π°Ρ‚ΡŒ большС

Π’Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅?

Как ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€

Π½Π°

Π Π°Π±ΠΎΡ‡ΠΈΠΉ лист Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ умноТСния

РаспространСнныС заблуТдСния

УпраТнСния Π½Π° ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²

Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² GCSE вопросы

ΠšΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ список обучСния

Π‘Π»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠΈ

Π’Ρ‹ Π·Π½Π°Π»ΠΈ?

ВсС Π΅Ρ‰Π΅ застряли?

Π—Π΄Π΅ΡΡŒ ΠΌΡ‹ ΡƒΠ·Π½Π°Π΅ΠΌ ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠΌ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ, Π² Ρ‚ΠΎΠΌ числС Π½Π° скалярноС ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° (ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° число).

Π‘ΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹Π΅ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‡ΠΈΠ΅ листы Π½Π° основС экзамСнационных вопросов Edexcel, AQA ΠΈ OCR, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ€Π΅ΠΊΠΎΠΌΠ΅Π½Π΄Π°Ρ†ΠΈΠΈ ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ дальшС, Ссли Π²Ρ‹ всС Π΅Ρ‰Π΅ застряли.

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅?

Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² β€” это ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° число. Число являСтся скаляром ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΊΠ°ΠΊ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ ΠΈ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅.

Для этого ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅ΠΌ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΡƒΡŽ ΠΈΠ· ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΡ… Π½Π° скалярноС число.

Π’ΠΎΡ‚ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€:

Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ a Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΒ 

\[\textbf{a}= \left(\begin{массив}{1} 2\\ 1\\ \end{array}\right)\]

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° a Π½Π° 3 Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚

\[3\textbf{a}= 3\Π²Π»Π΅Π²ΠΎ(\Π½Π°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ{массив}{1} 2\\ 1\\ \ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ†{массив}\справа) «=» \left(\begin{массив}{1} 3\Ρ€Π°Π·2\\ 3\ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° 1\\ \ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ†{массив}\справа) «=» \left(\begin{массив}{1} 6\\ 3\\ \end{array}\right)\]

Π­Ρ‚ΠΎ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π΅Ρ‚, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ β€” это ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ слоТСниС. Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌ способом умноТСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° Π½Π° 3 Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ 9. 0003

\[3\textbf{Π°}=\textbf{Π°}+\textbf{Π°}+\textbf{Π°}= \left(\begin{массив}{1} 2\\ 1\\ \ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ†{массив}\справа) +\Π²Π»Π΅Π²ΠΎ(\Π½Π°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ{массив}{1} 2\\ 1\\ \ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ†{массив}\справа) +\Π²Π»Π΅Π²ΠΎ(\Π½Π°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ{массив}{1} 2\\ 1\\ \ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ†{массив}\справа) =\Π²Π»Π΅Π²ΠΎ(\Π½Π°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ{массив}{1} 6\\ 3\\ \end{array}\right)\]

Π­Ρ‚ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ Π½Π° Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ΅. Π’Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ 3 Π»ΠΎΡ‚Π° ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Π° x ΠΈ 3 Π»ΠΎΡ‚Π° ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Π° y.

НаправлСниС Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ΠΏΡ€ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π½Π° скалярноС число Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΆΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ Ρƒ исходного Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°, Π½ΠΎ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° (Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ называСмая Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½Ρ‹ΠΌ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°) измСнилась.

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅?

Как ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π½Π° скаляр:

  1. Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΡŒΡ‚Π΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚ x Π½Π° скаляр.
  2. Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΡŒΡ‚Π΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚ y Π½Π° скаляр.
  3. Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€.

Как ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€

Π Π°Π±ΠΎΡ‡ΠΈΠΉ лист Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² (Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Ρ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²)

ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Π΅ Π±Π΅ΡΠΏΠ»Π°Ρ‚Π½ΡƒΡŽ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρƒ умноТСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ², ΡΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Ρ‰ΡƒΡŽ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ 20 Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹Ρ… вопросов ΠΈ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΠΎΠ². Π’ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅Ρ‚ рассуТдСния ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠΊΠ»Π°Π΄Π½Ρ‹Π΅ вопросы.

БКАЧАВЬ Π‘Π•Π‘ΠŸΠ›ΠΠ’ΠΠž

Икс

Лист Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² (Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅Ρ‚ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²)

ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Π΅ бСсплатный лист умноТСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ², содСрТащий Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ 20 вопросов ΠΈ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΠΎΠ² ΠΏΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌ. Π’ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅Ρ‚ рассуТдСния ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠΊΠ»Π°Π΄Π½Ρ‹Π΅ вопросы.

БКАЧАВЬ Π‘Π•Π‘ΠŸΠ›ΠΠ’ΠΠž

БвязанныС ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠΈ ΠΏΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌ

Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² являСтся Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒΡŽ нашСй сСрии ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠΎΠ² для ΠΏΠΎΠ΄Π΄Π΅Ρ€ΠΆΠΊΠΈ повторСния Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² . Π’ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ, Π²Π°ΠΌ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½ΠΎ Π½Π°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ с ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ° ΠΏΠΎ основным Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π΅ прСдставлСниС ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Π΅Π³ΠΎ ΠΎΠΆΠΈΠ΄Π°Ρ‚ΡŒ, ΠΈΠ»ΠΈ Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΏΠΎΡˆΠ°Π³ΠΎΠ²Ρ‹ΠΌΠΈ руководствами, ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ Π½ΠΈΠΆΠ΅, для получСния Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΠΈ ΠΏΠΎ ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ Ρ‚Π΅ΠΌΠ°ΠΌ. Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠΈ этой сСрии Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°ΡŽΡ‚:

  • Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹
  • Π’Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°
  • Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€-столбСц
  • Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ΅ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅
  • Π”ΠΎΠ±Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°
  • Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²
  • Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡ‹

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ умноТСния

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1: Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅

ВычислСниС:

\[2\left(\begin{array}{1} 4\\ 5\\ \end{массив}\right)\]

  1. Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΡŒΡ‚Π΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚ x Π½Π° скаляр.

Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ скалярноС число Π½Π° Π²Π΅Ρ€Ρ…Π½Π΅Π΅ число

2\Ρ€Π°Π·4=8

2 Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΡŒΡ‚Π΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚ y Π½Π° скаляр.

Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ скалярноС число Π½Π° Π½ΠΈΠΆΠ½Π΅Π΅ число

2\Ρ…5=10

3 Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€.

Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ Π΄Π²Π° ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Π° Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€-столбца

\[2\left(\begin{array}{1} 4\\ 5\\ \ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ†{массив}\справа) «=» \left(\begin{массив}{1} 2\Ρ€Π°Π·4\\ 2\Ρ€Π°Π·5\\ \ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ†{массив}\справа) «=» \left(\begin{массив}{1} 8\\ 10\\ \end{array}\right)\]

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 2: Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅

ВычислСниС:

\[4\left(\begin{array}{1} 8\\ 3\\ \end{массив}\right)\]

Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΡŒΡ‚Π΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚ x Π½Π° скаляр.

Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ скалярноС число Π½Π° Π²Π΅Ρ€Ρ…Π½Π΅Π΅ число

4\Ρ…8=32

Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΡŒΡ‚Π΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚ y Π½Π° скаляр.

Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ скалярноС число Π½Π° Π½ΠΈΠΆΠ½Π΅Π΅ число

4\times3=12

Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€.

Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ Π΄Π²Π° ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Π° Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€-столбца

\[4\left(\begin{array}{1} 8\\ 3\\ \ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ†{массив}\справа) «=» \left(\begin{массив}{1} 4\Ρ€Π°Π·8\\ 4\Ρ€Π°Π·3\\ \ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ†{массив}\справа) «=» \left(\begin{массив}{1} 32\\ 12\\ \ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ†{массив}\справа)\]

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 3: Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, дСсятичный скаляр

ВычислСниС:

\[0,5\left(\begin{array}{1} 10\\ 8\\ \end{массив}\right)\]

Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΡŒΡ‚Π΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚ x Π½Π° скаляр.

Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ скалярноС число Π½Π° наибольшСС число

0,5\Γ—10=5

Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΡŒΡ‚Π΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚ y Π½Π° скаляр.

Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ скалярноС число Π½Π° Π½ΠΈΠΆΠ½Π΅Π΅ число

0,5\Ρ…8=4

Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€.

Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ Π΄Π²Π° ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Π° Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€-столбца

\[0,5\left(\begin{array}{1} 10\\ 8\\ \ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ†{массив}\справа) «=» \left(\begin{массив}{1} 0,5\Ρ…10\\ 0,5\Ρ…8\\ \ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ†{массив}\справа) «=» \left(\begin{массив}{1} 5\\ 4\\ \end{array}\right)\]

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 4: Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π½Ρ‹ΠΉ скаляр

ВычислСниС:

\[\frac{1}{3}\left(\begin{array}{1} -6\\ 9\\ \end{массив}\right)\]

Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ 9ΠšΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚ 0066 x скаляром.

Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ скалярноС число Π½Π° наибольшСС число

\frac{1}{3}\times-6=-2

Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΡŒΡ‚Π΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚ y Π½Π° скаляр.

Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ скалярноС число Π½Π° Π½ΠΈΠΆΠ½Π΅Π΅ число

\frac{1}{3}\times9=3

Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€.

Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ Π΄Π²Π° ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Π° Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€-столбца

\[\frac{1}{3}\left(\begin{array}{1} -6\\ 9\\ \ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ†{массив}\справа) «=» \left(\begin{массив}{1} \frac{1}{3}\times-6\\ \frac{1}{3}\times9\\ \ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ†{массив}\справа) «=» \left(\begin{массив}{1} -2\\ 3\\ \end{array}\right)\]

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 5: Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅

ВычислСниС:

\[4\left(\begin{array}{1} -5\\ -2\\ \end{массив}\right)\]

Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΡŒΡ‚Π΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚ x Π½Π° скаляр.

Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ скалярноС число Π½Π° наибольшСС число

4\Ρ€Π°Π·-5=-20

Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΡŒΡ‚Π΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚ y Π½Π° скаляр.

Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ скалярноС число Π½Π° Π½ΠΈΠΆΠ½Π΅Π΅ число

4\Ρ€Π°Π·-2=-8

Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€.

Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ Π΄Π²Π° ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Π° Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€-столбца

\[4\left(\begin{array}{1} -5\\ -2\\ \ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ†{массив}\справа) «=» \left(\begin{массив}{1} 4\Ρ€Π°Π·-5\\ 4\Ρ€Π°Π·-2\\ \ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ†{массив}\справа) «=» \left(\begin{массив}{1} -20\\ -8\\ \end{array}\right)\]

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 6: Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ скаляр

ВычислСниС:

\[-3\left(\begin{array}{1} -2\\ 5\\ \ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ†{массив}\справа)\]

Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚ x Π½Π° скаляр.

Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ скалярноС число Π½Π° наибольшСС число

-3\Ρ€Π°Π·-2=6

Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΡŒΡ‚Π΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚ y Π½Π° скаляр.

Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ скалярноС число Π½Π° Π½ΠΈΠΆΠ½Π΅Π΅ число

-3\times5=-15

Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€.

Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ Π΄Π²Π° ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Π° Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€-столбца

\[-3\left(\begin{array}{1} -2\\ 5\\ \ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ†{массив}\справа) «=» \left(\begin{массив}{1} -3\Ρ€Π°Π·-2\\ -3\Ρ€Π°Π·5\\ \ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ†{массив}\справа) «=» \left(\begin{массив}{1} 6\\ -15\\ \ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ†{массив}\справа)\]

РаспространСнныС заблуТдСния

  • Π£Π±Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ΡΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΠ±Π° ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Π° Π½Π° скалярноС число

ΠšΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Ρ‹ x ΠΈ y Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° скалярноС число.

  • Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹-столбцы ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ 2 числа Π² скобках

Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹-столбцы ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ Π²Π΅Ρ€Ρ…Π½Π΅Π΅ ΠΈ Π½ΠΈΠΆΠ½Π΅Π΅ число Π² скобках. НСт нСобходимости Π² ΠΊΠ°ΠΊΠΈΡ…-Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… Π·Π½Π°ΠΊΠ°Ρ… прСпинания, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… ΠΊΠ°ΠΊ запятыС ΠΈΠ»ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ с запятой. НСт нСобходимости Π² Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ для раздСлСния чисСл.

Π£ΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²

\begin{pmatrix} \; 5 \;\\ \; 7\; \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} \; 6 \;\\ \; 4\; \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} \; 12 \;\\ \; 6\; \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} \; 6 \;\\ \; 12\; \end{pmatrix}

3\textbf{a}= 3\begin{pmatrix} \; 2 \;\\\; 4\; \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \; 3\ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° 2\;\\\; 3\Ρ…4\; \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \; 6 \;\\\; 12\; \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} \; 6 \;\\ \; 8\; \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} \; 5 \;\\ \; 3 \; \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} \; 5 \;\\ \; 15 \; \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} \; 6 \;\\ \; 15 \; \end{pmatrix}

5\textbf{b}= 5\begin{pmatrix} \; 1 \;\\ \; 3 \; \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \; 5\ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° 1\;\\\; 5\Ρ€Π°Π·3\; \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \; 5 \;\\\; 15 \; \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} \; 21 \;\\ \; 31\; \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} \; 20. 1 \;\\ \; 30,1 \; \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} \; 2 \;\\ \; 3 \; \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} \; 20 \;\\ \; 3 \; \end{pmatrix}

0.1\textbf{c}= 0.1\begin{pmatrix} \; 20 \;\\ \; 30 \; \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \; 0,1\Ρ€Π°Π· 20\;\\\; 0,1\Ρ…30\; \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \; 2 \;\\\; 3 \; \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} \; -4 \;\\ \; 3 \; \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} \; -4 \;\\ \; 6\; \end{pΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°}

\begin{pmatrix} \; -2 \;\\ \; 3 \; \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} \; -10 \;\\ \; 6\; \end{pmatrix}

\frac{2}{5}\textbf{a}= \frac{2}{5}\begin{pmatrix} \; -10\;\\\; 15 \; \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \; \frac{2}{5}\times -10 \;\\ \; \frac{2}{5}\times15 \; \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \; -4\;\\\; 6\; \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} \; 12 \;\\ \; 18 \; \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} \; 4 \;\\ \; 3 \; \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} \; -12 \;\\ \; -18\; \end{pΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°}

\begin{pmatrix} \; -4 \;\\ \; -3\; \end{pmatrix}

6\textbf{d}= 6\begin{pmatrix} \; -2 \;\\\; -3\; \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \; 6\Ρ€Π°Π· -2\;\\\; 6\Ρ€Π°Π· -3\; \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \; -12\;\\\; -18\; \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} \; -15 \;\\ \; -12 \; \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} \; -2 \;\\ \; -1\; \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} \; 15 \;\\ \; 12\; \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} \; -15 \;\\ \; -4\; \end{pΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°}

-3\textbf{f}= -3\begin{pmatrix} \; -5 \;\\\; -4\; \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \; -3\Ρ€Π°Π· -5\;\\\; -3\Ρ€Π°Π· -4\; \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \; 15 \;\\\; 12\; \end{pmatrix}

Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Вопросы GCSE

1. Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ \textbf{v} Ρ€Π°Π²Π΅Π½

Β 

\textbf{v}= \begin{pmatrix} \; -3 \;\\ \; 5 \; \end{pΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°}

Β 

Какой ΠΈΠ· ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Π½ΠΈΠΆΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² эквивалСнтСн 4\textbf{v} ?

Β 

А \ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡŠΡΠ΄Π΅Ρ€Π½Ρ‹ΠΉ \ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡŠΡΠ΄Π΅Ρ€Π½Ρ‹ΠΉ Π‘ \ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡŠΡΠ΄Π΅Ρ€Π½Ρ‹ΠΉ \ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡŠΡΠ΄Π΅Ρ€Π½Ρ‹ΠΉ Π‘ \ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡŠΡΠ΄Π΅Ρ€Π½Ρ‹ΠΉ \ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡŠΡΠ΄Π΅Ρ€Π½Ρ‹ΠΉ Π”
\begin{pmatrix} \; -12 \;\\ \; 5 \; \end{pmatrix} \ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡŠΡΠ΄Π΅Ρ€Π½Ρ‹ΠΉ \ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡŠΡΠ΄Π΅Ρ€Π½Ρ‹ΠΉ \begin{pmatrix} \; -1 \;\\ \; 20 \; \end{pmatrix} \ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡŠΡΠ΄Π΅Ρ€Π½Ρ‹ΠΉ \ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡŠΡΠ΄Π΅Ρ€Π½Ρ‹ΠΉ \begin{pmatrix} \; -1 \;\\ \; 5 \; \end{pmatrix} \ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡŠΡΠ΄Π΅Ρ€Π½Ρ‹ΠΉ \ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡŠΡΠ΄Π΅Ρ€Π½Ρ‹ΠΉ \begin{pmatrix} \; -12 \;\\ \; 20 \; \end{pΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°}

Β 

(1 Π±Π°Π»Π»)

ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚

2. Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ \textbf{a} Ρ€Π°Π²Π΅Π½

Β 

\textbf{Π°}= \begin{pmatrix} \; 3 \;\\ \; -6\; \end{pΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°}

Β 

Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ 5\textbf{a}

Β 

(2 Π±Π°Π»Π»Π°)

ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚

\begin{pmatrix} \; 15 \;\\ \; -30 \; \end{pΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°}

Β 

Для ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Π° x (Π²Π΅Ρ€Ρ…Π½Π΅Π΅ число)

(1)

Для ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Π° y (Π½ΠΈΠΆΠ½ΠΈΠΉ Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€)

(1)

Β 

3. Π’ΠΎΡ‚ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅

Β 

900 28 3 \begin{pmatrix} \; -4 \;\\ \; \тСкст{Π±} \; \end{pΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°} «=» \begin{pmatrix} \; \тСкст{Π°} \;\\ \; 24\; \end{pΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°}

Β 

(a) НайдитС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ a .

Β 

(b) НайдитС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ b .

Β 

(2 Π±Π°Π»Π»Π°)

ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚

(Π°)

Π°=-12

(1)

Β 

(Π±)

Π±=8

(1)

ΠšΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ список для обучСния

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π²Ρ‹ Π½Π°ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈΡΡŒ:

  • Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π½Π° скаляр

Π—Π½Π°Π΅Ρ‚Π΅ Π»ΠΈ Π²Ρ‹?

НС Π²Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Π² GCSE: ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Ρ‚Ρ€Π°Π½ΡΠΏΠΎΠ½ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€-столбСц, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€-строку (ΠΈ Π½Π°ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚). Они выглядят ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹, Π½ΠΎ Π±Π΅Π· запятых.

Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€ΠΈΡ‚ΡŒ Π΄ΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ уровня A ΠΈ Π²Ρ‹ΡΡˆΠ΅ΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ, Π½Π°ΡƒΡ‡ΠΈΠ²ΡˆΠΈΡΡŒ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ Π΄Π²Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° вмСстС с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ скалярного произвСдСния. Π­Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ извСстно ΠΊΠ°ΠΊ скалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ². Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ, ΠΈ это извСстно ΠΊΠ°ΠΊ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π­Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ извСстно ΠΊΠ°ΠΊ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ². ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΊΡ€Π΅ΡΡ‚Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ связано с ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎΠΌ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΉ Ρ€ΡƒΠΊΠΈ.

ΠœΡ‹ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€ΡΡ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ Π΄ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€Π΅Π½ΠΈΠΉ. ΠœΡ‹ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€, пСрпСндикулярный плоскости, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ плоскости.

Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹-столбцы ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ простым ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠΌ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†. Π’ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ GCSE Ρƒ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ столбСц. ΠœΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π½Π° ΡƒΡ€ΠΎΠ²Π½Π΅ A Level Additional Maths. ΠšΠΎΠ»ΠΈΡ‡Π΅ΡΡ‚Π²ΠΎ столбцов ΠΈ строк Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ большС 1 . Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π°Ρ‚ΡŒ вмСстС с Π½Π°Ρ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹. ΠœΡ‹ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΈ ΠΏΠΎΠΉΡ‚ΠΈ дальшС ΠΈ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ собствСнныС значСния ΠΈ собствСнныС Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹.

Если Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Ρ€Π°Π²Π½Π° 1 , этот Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ называСтся Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ.

ВсС Π΅Ρ‰Π΅ зависаСт?

ΠŸΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΡŒΡ‚Π΅ своих ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΊΠΎΠ² KS4 ΠΊ ΡƒΡΠΏΠ΅ΡˆΠ½ΠΎΠΉ сдачС выпускных экзамСнов ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡ‹ Third Space Learning. Π•ΠΆΠ΅Π½Π΅Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½-ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠΈ повторСния GCSE ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ проводят ΠΎΠΏΡ‹Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€Π΅ΠΏΠΎΠ΄Π°Π²Π°Ρ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ.

Π£Π·Π½Π°ΠΉΡ‚Π΅ большС ΠΎ нашСй ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ΅ обучСния ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ GCSE.

Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ β€” ΠœΡΡ‚ΡŒΡŽ Н. БСрнстайн