Скалярное произведение в координатах. Свойство скалярного произведения 9 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей |

 

 

Тема: Соотношения между сторонами и углами треугольника. Раздел 3. Скалярное произведение векторов

 

Урок: Скалярное произведение векторов в координатах

 

 

1. Тема урока, введение

 

 

Тема урока: «Скалярное произведение векторов в координатах. Свойства скалярного произведения». На этом уроке мы выведем формулу вычисления скалярного произведения через координаты векторов, рассмотрим свойства скалярного произведения и решим задачу на использование свойств скалярного произведения векторов.

 

 

2. Теорема о скалярном произведении векторов в координатах

 

 

Сформулируем и докажем центральную теорему урока.

 

Теорема. Скалярное произведение векторов  и  выражается формулой

Доказательство.

1. При  или  теорема очевидна.

2. Пусть  и  – ненулевые векторы. Тогда по теореме косинусов

Перейдем в этой формуле к координатам.

Уточним, что теорема доказана для случая неколлинеарных векторов, в доказательстве был использован треугольник, теорема косинусов, поэтому случай коллинеарных векторов тоже рассмотрим, при этом учтем, что угол между коллинеарными векторами может быть равен 180° или 0°.

3. Пусть

Подгоним это равенство под формулу, полученную при доказательстве теоремы.

Формула та же самая, если записать ее в координатах, то получим

4. Аналогично рассмотрим случай 

Вывод:  для всех векторов   и .

 

3. Следствия из теоремы

 

 

Сформулируем следствия из доказанной теоремы.

 

Следствие 1. Ненулевые векторы  и  перпендикулярны тогда и только тогда, когда  .

Действительно,  .

Следствие 2. Косинус угла между ненулевыми векторами  и  выражается формулой:

Действительно,

 

4. Свойства скалярного произведения векторов

 

 

Рассмотрим свойства скалярного произведения векторов.

 

Для любых векторов  и любого числа k справедливы соотношения:

1. , причем  при  .

Доказательство.

Но  при  .

2.  (переместительный закон).

Доказательство (из определения).

3.  (распределительный закон).

Доказательство.

Для доказательства используем метод координат.

 , тогда

.

 

4.   (сочетательный закон).

Доказательство.

, значит,

Замечание. Распределительный закон справедлив и в случае нескольких слагаемых, например,

.

 

5. Задача на использование свойств скалярного произведения векторов

 

 

Задача. Вычислить скалярное произведение векторов  и  , если  и  .

 

Решение.

По свойствам скалярного произведения

Ответ: 13.

 

6. Заключение

 

 

Итак, мы вывели формулу вычисления скалярного произведения векторов через координаты векторов, доказали свойства скалярного произведения и решили задачу на вычисление скалярного произведения с использованием свойств скалярного произведения.

 

На следующем уроке мы рассмотрим решение задач на вычисление скалярного произведения.

 

Список литературы

1. Атанасян Л. С. и др. Геометрия 7–9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2010.
2. Фарков А. В. Тесты по геометрии: 9 класс. К учебнику Л. С. Атанасяна и др. – М.: Экзамен, 2010.
3. Погорелов А. В. Геометрия. Уч. для 7–11 кл. общеобр. учрежд. – М.: Просвещение, 1995.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. E-science. ru (Источник).
2. Mathematics.ru (Источник).

 

Домашнее задание

1. Атанасян Л. С. и др. Геометрия 7–9 классы. №№1044, 1048.

 

 

 

Скалярное произведение в координатах / Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов / Справочник по геометрии 7-9 класс

1. Главная
2. Справочники
3. Справочник по геометрии 7-9 класс
4. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов
5. Скалярное произведение в координатах

Теорема

В прямоугольной системе координат скалярное произведение векторов    и  выражается формулой        (1)

Доказательство

Дано: ,

Доказать:

Доказательство:

Каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала, поэтому если хотя бы один из векторов нулевой, то справедливость равенства очевидна, так как координаты нулевого вектора равны нулю.

Рассмотрим ненулевые векторы и . Отложим от произвольной точки О векторы = и = :

1 случай: векторы и не коллинеарны:

Тогда по теореме косинусов получаем

.      (2)

2 случай: векторы и сонаправленные:

Тогда и получаем, что

3 случай: векторы и противоположно направленные:

Тогда и получаем, что

Итак, мы получили, что равенство (2) верно для любых двух ненулевых векторов и .

Так как = — , = , = , то равенство (2) можно записать следующим образом:

Следовательно,

Вектора имеют следующие координаты , и ( — ), при этом длина вектора равна квадратному корню из суммы квадратов координат данного вектора, поэтому

,

Учитывая это, получаем

Итак, , что и требовалось доказать. Теорема доказана.

Следствие 1

Ненулевые векторы   и  перпендикулярны тогда и только тогда, когда  .

Следствие 2

Косинус угла  между ненулевыми векторами и выражается формулой .

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

Синус, косинус, тангенс, котангенс

Основное тригонометрическое тождество. Формулы приведения.

Формулы для вычисления координат точки

Теорема о площади треугольника

Теорема синусов

Теорема косинусов

Решение треугольников

Измерительные работы

Угол между векторами

Скалярное произведение векторов

Свойства скалярного произведения векторов

Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов

Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Задание 1044, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 18, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 20, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1073, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

---

Формула векторного перекрестного произведения

| Примеры с шаблоном Excel

Формула векторного произведения (оглавление)

• Формула
• Примеры

В векторной алгебре и математике термин «векторное перекрестное произведение» относится к бинарным операциям между векторами в трехмерной геометрии. Перекрестное произведение обозначается перекрестным знаком «x» между двумя векторами, а операция перекрестного произведения приводит к другому вектору, который перпендикулярен плоскости, содержащей исходные два вектора. Формула векторного векторного произведения может быть получена путем умножения абсолютных значений двух векторов и синуса угла между двумя векторами. Математически предположим, что

a and  b are two vectors, such that  a = a ₁  i + a ₂  j + a ₃  k and b  = b ₁ I + B ₂ J + B ₃ K , затем векторный поперечный продукт представлен как

A X B = | A | A | |б| sin θ n

, где θ = угол между   a и   b

|a| = √(a ₁ ² + a ₂ ² + a ₃ ² )

|b| = √ (B ₁ ² + B ₂ ² + B ₃ ² )

N = Блок -вектор перпендикулярный0006

Кроме того, векторное векторное произведение также можно разложить на компоненты трехмерного вектора, т.

е. i , j и k , которые все перпендикулярны друг другу. Формула векторного векторного произведения представлена ​​​​как

a x b = i (a ₂ b ₃ – a ₃ b ₂ ) + j (a 5 0 2 1 b _{3 900 а 1 б 3 ) + к (а 1 б 2 – a 2 b 1 )}

Примеры формулы векторного перекрестного произведения (с шаблоном Excel)

Давайте рассмотрим пример, чтобы лучше понять расчет векторного перекрестного произведения.

Вы можете скачать этот шаблон Excel с формулой векторного перекрестного произведения здесь. Шаблон Excel с формулой векторного перекрестного произведения.0015 b такие, что их скалярная величина равна |a| = 5 и |b| = 3, а угол между двумя векторами равен 30 градусов. Вычислите векторное перекрестное произведение двух векторов.

Решение:

Векторное векторное произведение двух векторов вычисляется по формуле, приведенной ниже: |б| sin θ n

• a x б = 5 * 3 * sin30 п
• a x b = 7,5 n

Таким образом, векторное произведение двух векторов равно 7,5.

Формула векторного векторного произведения – пример № 2

Рассмотрим пример двух векторов a (4, 2, -5) и b (2, -3, 7), таких, что a = 4i + 2j – 5k и b= 2i – 3j + 7k. Вычислите векторное перекрестное произведение двух векторов.

Решение:

Векторное перекрестное произведение двух векторов вычисляется по формуле, приведенной ниже j (a ₃ b ₁ – a ₁ b ₃ ) + k (a ₁ b ₂ – a ₂ b ₁ )

• a x б  = i {2 * 7 – (-5) * (-3)} + j {(-5) * 2 – 4 * 7} + k {4 * (-3) – 2 * 2}
• a x b = -i + ( – 38 j ) + ( – 16 k 909006 0)

Таким образом, векторное перекрестное произведение двух векторов (4, 2, -5) и (2, -3, 7) равно (-1, -38, -16).

Формула векторного векторного произведения – Пример №3

Рассмотрим пример параллелограмма, смежные стороны которого определяются двумя векторами a (6, 3, 1) и b (3, -1, 5) такие, что a = 6i + 3j + 1k и b = 3i – 1j + 5k. Вычислите площадь параллелограмма.

Решение:

Теперь векторный кросс -продукт двух векторов можно рассчитать с помощью вышеуказанной формулы,

A X B = I (A ₂ B ₃ — A _{. 3} б ₂ ) + к (а ₃ б ₁ – а ₁ б ₃ ) + к (а ₁ B ₂ -A ₂ B ₁ )

• A X B = I {3 * 5-1 * (-1)} + J 6. 1 * 3 – 6 * 5} + k {6 * (-1) – 3 * 3}
• a x b = 16 i + ( –
  27 j ) + ( – 15 k )

  6

Теперь площадь параллелограмма может быть получена путем вычисления величины векторного векторного произведения как,

• |а х б| = √[(16) ² + (-27) ²  + (-15) ² ]
• |а х б| = 34,79

Следовательно, площадь параллелограмма равна 34,79.

Пояснение

Формулу векторного векторного произведения можно вывести, выполнив следующие шаги:

Шаг 1: Сначала определите первый вектор a и его векторные компоненты.

Шаг 2: Затем определите второй вектор b и его компоненты вектора.

Шаг 3: Далее определите угол между плоскостями двух векторов, который обозначается как θ .

Шаг 4: Наконец, формула векторного векторного произведения между векторами a и b может быть получена путем умножения абсолютных значений a и b , который затем умножается на синус угла (шаг 3) между двумя векторами, как показано ниже.

a x b = |a| |б| sin θ n

Актуальность и использование формулы векторного перекрестного произведения

Концепция векторного перекрестного произведения имеет различные применения в области инженерии, математики, вычислительной геометрии, физики, компьютерного программирования и т. д. Лежащая в основе концепция помогает нам в определении не только величины скалярной составляющей произведения двух векторов, но и дает направление равнодействующей. Кроме того, он также используется для определения угла между плоскостями двух векторов. Концепция векторных перекрестных произведений и их применение могут быть очень сложными и интересными.

Рекомендуемые статьи

Это руководство по формуле векторного перекрестного произведения. Здесь мы обсуждаем, как рассчитать формулу векторного перекрестного произведения, а также практические примеры и загружаемый шаблон Excel. Вы также можете прочитать следующие статьи, чтобы узнать больше –

1. Формула для квартильного отклонения
2. Как рассчитать ВВП на душу населения Формула
3. Примеры процентных расходов
4. Расчет чистой процентной маржи

линейная алгебра — запись формулы векторного умножения

спросил 4 года 3 месяца назад

Изменено 4 года, 3 месяца назад

Просмотрено 139 раз

$\begingroup$

Я смотрю на формулу вращения Родригеса. Прошло некоторое время с тех пор, как я посещал соответствующие курсы в школе, и у меня возникли небольшие проблемы с обозначениями.

Согласно википедии, формула выглядит следующим образом:

 vrot = v cos θ + (k × v) sin θ + k (k · v) (1 – cos θ)
 

Меня смущают две вещи: 1) Является ли v cos θ скалярным умножением? 2) В случае k (k · v) пусть m = k · v. Является ли k (k · v) = k · m?

Я думаю, что оба сводятся к одному и тому же — я не понимаю, какой продукт рассчитать, когда символ не используется, или как определить, какой использовать.

• линейная алгебра
• векторов

$\endgroup$

1

$\begingroup$

$k\cdot v$ является внутренним произведением и возвращает скаляр, а $v \cos\theta$ – это вектор $v$, умноженный на скаляр $\cos\theta$. Нет смысла говорить $k\cdot m$, как вы написали, потому что скалярное произведение $\cdot$ — это бинарная операция над векторами. Вместо этого вы должны написать $mk$, что является скаляром $m$, умноженным на вектор $k$.

$\endgroup$

1

$\begingroup$

Строго говоря, обычные аксиомы векторного пространства определяют только левое умножение на скаляр, но обычно их расширяют, так что вы можете поместить скаляр в любом месте члена. Если хотите, всякий раз, когда вы видите «неуместную» скалярную $c$, подобную этой, вы можете думать об этом как о сокращении $c$, умноженной на единичную матрицу соответствующего размера.

Также довольно распространенной практикой является опускание скобок вокруг аргументов тригонометрических функций. Когда это будет сделано, вы также обычно увидите, что эти факторы будут последними в термине, чтобы устранить неоднозначность. Например, у вас есть $\mathbf k\sin\theta$ вместо $\sin\theta\mathbf k$ или $\sin(\theta)\mathbf k$.