Site Loader

Содержание

Онлайн калькуляторы векторов

Данный раздел содержит калькуляторы, позволяющие выполнять все основные действия над векторами. В частности, с помощью данных калькуляторов можно вычислять скалярное, векторное и смешанное произведения векторов, раскладывать вектора по базису, проверять их ортогональность, компланарность и др. Всего представлено 19 калькуляторов и для каждого предусмотрено подробное решение соответствующей задачи.

Операции над векторами 19

Сложение векторов Калькулятор позволяет складывать вектора, заданные в координатной форме.

Разность векторов Калькулятор позволяет вычитать вектора, заданные в координатной форме.

Модуль (длина) вектора Калькулятор находит модуль (длину) вектора с описанием подробного решения на русском языке.

Угол между векторами Калькулятор позволяет найти угол между векторами. Подробное решение также имеется.

Проекция вектора Калькулятор вычисляет проекцию вектора на ось или на другой вектор.

Векторы. Векторные величины — презентация онлайн

1. Презентация на тему «Векторы»

ПРЕЗЕНТАЦИЯ НА ТЕМУ
«ВЕКТОРЫ»
Выполнила : Снегирева Алина
Ученица 9 «Б» класса

2. Понятие вектора . Равенство векторов.

ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА . РАВЕНСТВО ВЕКТОРОВ.
1. Какова разница между векторными и скалярными величинами?
Есть два вида величин . Первый вид величин – скалярные величины .
Это : площадь , объем , масса , длинна и.т.д.
Второй вид величин – векторные величины.
Это : сила , перемещение материальной точки , скорость и.т.д.
Скалярные величины определяются заданием своих численных величин ,а
Векторные величины характеризуются не только своим числовым
значением , но и направлением в пространстве.
2. Что такое вектор и как его обозначают?
Векторные величины можно называть просто векторами.
Вектором называется любой направленный отрезок.
Если на отрезке АВ взять точку
А принять за начало , а В – за
конец, то получиться вектор,
который обозначается
А
Векторы также обозначаются строчными буквами
латинского алфавита со стрелкой сверху :
В
4. Какие векторы называвются коллинеарными . Приведите пример
сонаправленнных и противопролжно направленных векторов.
Векторы называются коллинеарными , если два вектора лежат
на одной прямой или на параллельных прямых.
Коллинеарность векторов a и b записывают так : ││
Если коллинеарные векторы имеют одинаковые
направления , то их называют
сонаправленными векторами .
Сонаправленность векторов a и b
записывают так:
↑↑
Если векторы a и b коллинеарны и имеют
разные напрвления то их называют
противоположно направленными и
записывают так:
↑↓
5. Какая связь между равенством векторов и параллельным переносом?
Равные векторы можно совместить параллельным переносом , и , обратно
если векторы совмещаются параллельным переносом , то эти векторы
равны.
6. Что такое модуль вектора?
Модуль вектора – длина вектора , например │АВ│ = 3 , │КС│ = 5
А
К
В
С
7. Что вы знаете о нулевом векторе?
Нулевой вектор – вектор , в котором начало и конец
совпадают.
Нулевой вектор обозначается так : 0

6. Сложение и вычитание векторов

СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ
1.Сформулируйте правило треугольника и правило параллелограмма
сложения вектора
Сложение векторов по правилу параллелограмма
Даны векторы и . Если векторы и исходят из одной точки, то вектор
суммы c исходит из общей начальной точки векторов и является диагональю
параллелограмма, сторонами которого являются векторы
и .
+
Сложение векторов по правилу треугольника
Даны векторы и . Если векторы и отложить последовательно друг за
другом (начало вектора попадает в конец вектора ), то вектор
суммы соединяет начало одного вектора с концом второго вектора.
+
3. Какими свойствами обладает сумму векторов?
Свойства сложения векторов
Теорема. Для любых векторов
1.
2. (
+ = +
+
)+
,
и
верно :
(переместительный закон)
=
+(
+
) (сочетательный закон )
4. Как определяется разность векторов ?
Разностью векторов и называется вектор , который в
сумме с вектором равен вектору . Разность векторов
и
обозначают так :

5. Какие векторы называются противоположными?
Если нулевые векторы и удовлетворяют условиям : = и а , то
векторы
и называются противоположными векторами.
6. Как можно разложить вектор на сумму двух состовляющих?
Если a = b + c , то векторы b и с называются составляющими вектора а .
Также говорят , что вектор а разложен на сумму составляющих векторов b и с.
Теорема. Пусть даны две пересекающиеся прямые . Тогда любой вектор
можно разложить на сумму составляющих , расположенных на данных
прямых .

9. Умножение вектора на число

УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО
1. Каким может быть произведение r ∙ , если 1) =0 ,2) r=0 ?
Произведением вектора = 0 на число r называется вектор , модуль которого
равен числу │r│∙│a│и сонаправлен с вектором а при r > 0 , противоположно
направлен с вектором а при r
записывают так : r∙a .
Если r = 0 , то 0 ∙ = 0
3. Какими свойствами обладает умножение вектора на число ?
Теорема . Для любых чисел α , β и любых векторов а , b верно равенство :
1. (α∙β)
2. (α+β)
= α(β∙
)
(сочитательный закон)
= а + β (первый распределительный закон)
3. α ( + ) = α + α (второй распределительный закон)
4. Докажите признак коллинеарности векторов
Теорема . Что вектор был коллинеарен ненулевому вектору а , необходимо и
достаточно существование числа α такого что = α .
Доказательство . Необходимость . Докажем , что существует число α такое ,
что
= α при
1. Если =0 , то при α=0 получим =0∙ = 0
2. Пусть
a. Если
=0
↑↑
, то при α=
5. Какое условие является необходимым и достаточным для
того , что бы точки А , В и С лежали на одной прямой?
Для того, чтобы точка С лежала на прямой АВ, необходимо
и достаточно, чтобы существовало число α такое, что

С
В
А
.

12. Угол между векторами . Скалярное произведение векторов

УГОЛ МЕЖДУ ВЕКТОРАМИ . СКАЛЯРНОЕ
ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
1. Какой угол называется углом между векторами АВ и ВС?
Углом между векторами АВ и АС называется угол ВАС. Углом между
ненулевыми векторами и называется угол, образованный при
откладывании этих векторов от одной точки.
Угол между векторами и обозначают через ( , ).
(
,
)
2. Как определяется угол между векторами в общем случае?
Угол между векторами может быть равен от 0° до 180°, ( , )=0°, когда
векторы и сонаправлены , ( , )=180°, когда векторы а и b
противоположно направлены . Если ( , )=90° , векторы а и b
перпендикулярны. Угол ( , ) неопределен , если один из векторов и
нуливой
3.Что называется скалярным произведением ? Скалярное
произведение векторов является числом или вектором?
Скалярным произведением двух векторов называется число, равное
произведению модулей этих векторов на косинус угла угла между ними,
т.е. скалярное произведение векторов равно числу
| |∙| |∙cos( , ).
∙ =| |∙ | |∙ Cos φ , где φ= ( , ).
Скалярное произведение равных векторов называется скалярным
квадратов этого вектора и обозначается через а².
²=

= | |∙ | |∙ Cos0° = | а²|.
4. Сформулируйте свойства скалярного произведения.
1. Для любых векторов
и
верно равенство :

=

2. Для любых векторов а, b и c любого действительного числа α верно
равенство : (α
)∙
= α(

)
3. Для любых векторов а, b и с верно равенcтво : (
+
)∙ =
∙ +

5. Укажите принципы применения элементов в векторной алгебре.
Раздел математики , изучающий векторы и действия над ними называется
векторной алгеброй. Существует процесс решения каждой задачи с помощью
векторов , решаемой с помощью векторов , в векторной алгебре они делятся
на 3 этапа :
1-й этап Вводя векторы в удобной нас форме , нужно
переписать условие задачи с помощью векторов.
2-й этап Преобразовывая задачу , записанную в
векторной форме , получаем решение в векторной
форме.
3-й этап Решение задачи , полученное в векторных
соотношения , нужно перевести на исходный «язык»
задачи и записать ответ .

15. Координаты вектора

КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА
1. Сформулируйте и докажите теорему о разложении вектора по двум
неколлинеарным векторам
Теорема. Если ненулевые векторы и не коллинеарны, то для любого
вектора найдутся числа х и у такие, что выполняется равенство с = ха + уb,
причем коэффициенты разложения х и у определяются единственным
образом.
А1
На плоскости отложим от точки О
С
векторы
. Концы векторов
обозначим через А , В и С . Вдоль
А
прямых ОА и ОВ найдутся
единственные векторы
и
такие , что ОС= +
Так как
││
и ││ , то по теореме
О
о коллинеарных векторах существуют
единственные действительные числа х и у
=>
= х∙

и
= у∙
= у ∙ => =
ТЕОРЕМА ДОКАЗАНА.
В1


В
2. Какие векторы называются базисными векторами на плоскости?
Из этой теоремы вытекает, что любой вектор можно разложить по двум
произвольным неколлинеарным векторам. Если на плоскости выбраны
такие два неколлинеарных вектора, то они называются базисными
векторами плоскости. Итак, любые два неколлинеарных вектора можно
принять в качестве базисных векторов и любой вектор этой плоскости
однозначно разлагается по этим базисным векторам. А действительные
числа х и у называются координатами вектора с в базисе а , b.
3. Что такое координаты вектора и как их обозначают?
Рассмотрим прямоугольную систему координат Оху. Пусть — единичный
вектор, сонаправленнный с осью Ох, а – единичный вектор,
сонаправленный с осью Оу. Эти векторы называют координатными
векторами. Так как векторы и не коллинеарны, то их можно рассматривать в качестве базисных векторов. Тогда для любого вектора а плоскости
Оху найдутся единственные действительные числа х и у такие, что
а=х +y
Здесь числа х и у называются координатами вектора а в прямоугольгой
системе координат Оху, и это записывается так: а = (х; у).
5. Какие свойства координат векторов вы знаете?
Свойства :
1. У равных векторов соответствующие координаты равны: если
= (х; у), = (u; v) и
= , то х=u и y=v.
Обратно, векторы, у которых соответствующие коорднаты равны
между собой: если = ( х; у), = (u; v) и x= u, y= v, то = .
2. При сложении векторов складываются их соответствующие
координаты: если =(х;у), =(u;v), то + =(x+u; y+v).
+ =(x +y )+(u +v )=(x+u) +(y + v) .
3. При умножении вектора на число его координаты умножаются на
это же число, если =(х; у) и λ- число, то λ∙ =(λ ∙х; λ∙ у).
6. Какой вектор называется радиус — вектором точки А?
Если на плоскости Оху задана точка А
(х;у), то вектор ОА называется
радиус-вектором точки А. Для радиусвектора ОА верно равенство
ОА= (х;у), т.е. соответствующие
координаты точки А и радиус-вектора
ОА совпадают.
у
А(х,у)
Ау
1
О
1
Ах
х
7. Как определяются координаты вектора если , если заданы
координаты его концов?
Нам дан вектор
, чтобы найти координаты
вектора
, нам необходимо знать координаты
начальной точки А и конечной точки В. Нужно
из координат конечной точки вычесть
координаты начальной
Заданы координаты точек А( xa, ya ) и В ( хв , ув ) .
Можно найти координаты вектора
, только
воспользовавшись этой формулой :
В
= ( xb – xa, yb — уа)
АВ
А
8. По какой формуле определяется модуль вектора ?
Модуль вектора АВ вычисляется по этой формуле:

│=

20. Выражение скалярного произведения через координаты вектора

ВЫРАЖЕНИЕ СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ
ЧЕРЕЗ КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА
1.Как можно опредилить скалярное произведение векторов по их
координатам ?
Скалярное произведение векторов = ( ; ) и
определяется по формуле: ∙ = ∙ + ∙ .
=(
;
)
2.Напишите условие перпендикулярности векторов
Если вектора =(
, ) и =( , ) взаимно перпендикулярны , то их
скалярное прпоизведение равно нулю. Тогда мы имеем это условие
перпендикулярности векторов: + + + =0
3. Напишите условие коллинеарности векторов
Пусть векторы = ( ; ) и = (
; ) коллинеарны тогда найдется число r
такое , что а= r∙b . Отсюда х1= r , y1=r , то из последних равенств получим
равенства :
= r
= r т.е выполняет равенство
=

21. Различные способы заданиями прямой в прямоугольной системе координатР

РАЗЛИЧНЫЕ СПОСОБЫ ЗАДАНИЯМИ ПРЯМОЙ
В ПРЯМОУГОЛЬНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТР
1. Какой вектор называется направляющим вектором ?
Направляющий вектор прямой — это любой ненулевой вектор, лежащий на
данной прямой или на параллельной ей прямой.
2.Какая точка называется начальной точкой прямой ?
Напишите уравнение прямой по точке и направляющему
вектору .
Пусть нам задана точка М0 ( х0 , у0 ) и вектор р (α ,β) . Тогда через
точку М0 параллельно вектору р проходит одна и только одна
прямая l. Точка М0 называется начальной точкой прямой l, а вектор
р- направляющим вектором этой прямой.
Рисунок на стр. 21
у
у
l
n= (a,b)
М2 (
,
)
l
М0(х0,у0)
М (х ,у)
О
х
О
х
М(х,у)
3. Напишите уравнение прямой , проходящей через две заданные точки
=
4.Что такое вектор нормали прямой?
Если прямая перпендикулярна заданному вектору, то заданный
вектор называется вектором нормали

24. Спасибо за внимание !

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ !

Смешанное произведение калькулятор. Смешанное произведение векторов. Онлайн калькулятор

Смешанным (или векторно-скалярным) произведением трех векторов a, b, c (взятых в указанном порядке) называется скалярное произведение вектора a на векторное произведение b x c , т. е. число a(b x c), или, что то же, (b x c)a.
Обозначение: abc .

Назначение . Онлайн-калькулятор предназначен для вычисления смешанного произведения векторов. Полученное решение сохраняется в файле Word . Дополнительно создается шаблон решения в Excel .

Признаки компланарности векторов

Три вектора (или большее число) называются компланарными, если они, будучи приведены к общему началу, лежат в одной плоскости.
Если хотя бы один из трех векторов – нулевой, то три вектора тоже считаются компланарными.

Признак компланарности . Если система a, b, c – правая, то abc>0 ; если левая, то abcГеометрический смысл смешанного произведения . Смешанное произведение abc трех некомпланарных векторов a, b, c равно объему параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c , взятому со знаком плюс, если система a, b, c – правая, и со знаком минус, если эта система левая.

Свойства смешанного произведения

  1. При круговой перестановке сомножителей смешанное произведение не меняется, при перестановке двух сомножителей – меняет знак на обратный: abc=bca=cab=-(bac)=-(cba)=-(acb)
    Вытекает из геометрического смысла.
  2. (a+b)cd=acd+bcd (распределительное свойство). Распространяется на любое число слагаемых.
    Вытекает из определения смешанного произведения.
  3. (ma)bc=m(abc) (сочетательное свойство относительно скалярного множителя).
    Вытекает из определения смешанного произведения. Эти свойства позволяют применять к смешанным произведениям преобразования, отличающиеся от обычных алгебраических лишь тем, что менять порядок сомножителей можно только с учетом знака произведения.
  4. Смешанное произведение, имеющее хотя бы два равных сомножителя, равно нулю: aab=0 .

Пример №1 . Найти смешанное произведение. ab(3a+2b-5c)=3aba+2abb-5abc=-5abc .

Пример №2 . (a+b)(b+c)(c+a)= (axb+axc+bxb+bxc)(c+a)= (axb+axc +bxc)(c+a)=abc+acc+aca+aba+bcc+bca . Все члены, кроме двух крайних, равны нулю. Кроме того, bca=abc . Поэтому (a+b)(b+c)(c+a)=2abc .

Пример №3 . Вычислить смешанное произведение трех векторов a=15i+20j+5k, b=2i-4j+14k, c=3i-6j+21k .
Решение . Чтобы вычислить смешанное произведение векторов, необходимо найти определитель системы, составленной из координат векторов. Запишем систему в виде.

Для того, чтобы подробно рассмотреть такую тему, нужно охватить еще несколько разделов. Тема напрямую связана с такими терминами, как скалярное и векторное произведение. В этой статье мы постарались дать точное определение, указать формулу, которая поможет определить произведение, используя координаты векторов. Помимо этого, статья включает в себя разделы с перечислением свойств произведения и представлены подробный разбор типовых равенств и задач.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Термин

Для того, чтобы определить, в чем заключается данный термин, нужно взять три вектора.

Определение 1

Смешанным произведением a → , b → и d → является та величина, которая равняется скалярному произведению a → × b → и d → , где a → × b → — умножение a → и b → . Операцию умножения a → , b → и d → зачастую обозначают a → · b → · d → . Можно преобразовать формулу так: a → · b → · d → = (a → × b → , d →) .

Умножение в системе координат

Мы можем умножить вектора, если они указаны на координатной плоскости.

Возьмем i → , j → , k →

Произведение векторов в данном конкретном случае будет иметь следующий вид: a → × b → = (a y · b z — a z · b y) · i → + (a z · b x + a x · b z) · j → + (a x · b y + a y · b x) · k → = a y a z b y b z · i → — a x a z b x b z · j → + a x a y b x b y · k →

Определение 2

Для выполнения скалярного произведения в системе координат необходимо сложить результаты, полученный во время умножения координат.

Из этого следует:

a → × b → = (a y · b z — a z · b y) · i → + (a z · b x + a x · b z) · j → + (a x · b y + a y · b x) · k → = a y a z b y b z · i → — a x a z b x b z · j → + a x a y b x b y · k →

Мы также можем определить смешанное произведение векторов, если в заданной системе координат указаны координаты векторов, которые умножаются.

a → × b → = (a y a z b y b z · i → — a x a z b x b z · j → + a x a y b x b y · k → , d x · i → + d y · j → + d z · k →) = = a y a z b y b z · d x — a x a z b x b z · d y + a x a y b x b y · d z = a x a y a z b x b y b z d x d y d z

Таким образом, можно сделать вывод, что:

a → · b → · d = a → × b → , d → = a x a y a z b x b y b z d x d y d z

Определение 3

Смешанное произведение можно приравнять к определителю матрицы, в качестве строк которой использованы векторные координаты. Наглядно это выглядит так: a → · b → · d = a → × b → , d → = a x a y a z b x b y b z d x d y d z .

Свойства операции над векторами Из особенностей, которые выделяются в скалярном или векторном произведении, можно вывести особенности, которые характеризуют смешанное произведение. Ниже мы приведем основные свойства.

  1. (λ · a →) · b → · d → = a → · (λ · b →) · d → = a → · b → · (λ · d →) = λ · a → · b → · d → λ ∈ R ;
  2. a → · b → · d → = d → · a → · b → = b → · d → · a → ; a → · d → · b → = b → · a → · d → = d → · b → · a → ;
  3. (a (1) → + a (2) →) · b → · d → = a (1) → · b → · d → + a (2) → · b → · d → a → · (b (1) → + b (2) →) · d → = a → · b (1) → · d → + a → · b (2) → · d → a → · b → · (d (1) → + d (2) →) = a → · b → · d (2) → + a → · b → · d (2) →

Помимо приведенных свойств, следует уточнить, что если множитель нулевой, то результатом умножения также станет нуль.

Результатом умножения также будет нуль в том случае, если два или больше множителей равны.

Действительно, если a → = b → , то, следуя определению векторного произведения [ a → × b → ] = a → · b → · sin 0 = 0 , следовательно, смешанное произведение равно нулю, так как ([ a → × b → ] , d →) = (0 → , d →) = 0 .

Если же a → = b → или b → = d → , то угол между векторами [ a → × b → ] и d → равен π 2 . По определению скалярного произведения векторов ([ a → × b → ] , d →) = [ a → × b → ] · d → · cos π 2 = 0 .

Свойства операции умножения чаще всего требуются во время решения задач.
Для того, чтобы подробно разобрать данную тему, возьмем несколько примеров и подробно их распишем.

Пример 1

Докажите равенство ([ a → × b → ] , d → + λ · a → + b →) = ([ a → × b → ] , d →) , где λ — некоторое действительное число.

Для того, чтобы найти решение этого равенства, следует преобразовать его левую часть. Для этого необходимо воспользоваться третьим свойством смешанного произведения, которое гласит:

([ a → × b → ] , d → + λ · a → + b →) = ([ a → × b → ] , d →) + ([ a → × b → ] , λ · a →) + ([ a → × b → ] , b →)
Мы разобрали, что (([ a → × b → ] , b →) = 0 . Из этого следует, что
([ a → × b → ] , d → + λ · a → + b →) = ([ a → × b → ] , d →) + ([ a → × b → ] , λ · a →) + ([ a → × b → ] , b →) = = ([ a → × b → ] , d →) + ([ a → × b → ] , λ · a →) + 0 = ([ a → × b → ] , d →) + ([ a → × b → ] , λ · a →)

Согласно первому свойству ([ a ⇀ × b ⇀ ] , λ · a →) = λ · ([ a ⇀ × b ⇀ ] , a →) , а ([ a ⇀ × b ⇀ ] , a →) = 0 . , d →) ≤ ≤ a → · b → · 1 · d → · 1 = a → · b → · d →

Неравенство доказано.

Разбор типовых задач

Для того, чтобы определить, чему равно произведение векторов, следует знать координаты умножаемых векторов. Для операции можно использовать такую формулу a → · b → · d → = (a → × b → , d →) = a x a y a z b x b y b z d x d y d z .

Пример 3

В прямоугольной системе координат представлены 3 вектора с такими координатами: a → = (1 , — 2 , 3) , b → (- 2 , 2 , 1) , d → = (3 , — 2 , 5) . Необходимо определить, чему равно произведение указанных векторов a → · b → · d → .

Исходя из теории, представленной выше, мы можем воспользоваться правилом, которое гласит, что смешанное произведение может быть вычислено через определитель матрицы. Это будет выглядеть так: a → · b → · d → = (a → × b → , d →) = a x a y a z b x b y b z d x d y d z = 1 — 2 3 — 2 2 1 3 — 2 5 = = 1 · 2 · 5 + (- 1) · 1 · 3 + 3 · (- 2) · (- 2) — 3 · 2 · 3 — (- 1) · (- 2) · 5 — 1 · 1 · (- 2) = — 7

Пример 4

Необходимо найти произведение векторов i → + j → , i → + j → — k → , i → + j → + 2 · k → , где i → , j → , k → — орты прямоугольной декартовой системы координат.

Исходя из условия, которое гласит, что вектора расположены в данной системе координат, можно вывести их координаты: i → + j → = (1 , 1 , 0) i → + j → — k → = (1 , 1 , — 1) i → + j → + 2 · k → = (1 , 1 , 2)

Используем формулу, которая использовалась выше
i → + j → × (i → + j → — k → , (i → + j → + 2 · k →) = 1 1 0 1 1 — 1 1 1 2 = 0 i → + j → × (i → + j → — k → , (i → + j → + 2 · k →) = 0

Смешанное произведение также возможно определить с помощью длины вектора, которая уже известна, и угла между ними. Разберем этот тезис в примере.

Пример 5

В прямоугольной системе координат расположены три вектора a → , b → и d → , которые перпендикулярны между собой. Они представляют собой правую тройку, их длины составляют 4 , 2 и 3 . Необходимо умножить вектора.

Обозначим c → = a → × b → .

Согласно правилу, результатом умножения скалярных векторов является число, которое равно результату умножения длин используемых векторов на косинус угла между ними.) = c → · n p c → d → , где n p c → d → — числовая проекция вектора d → на направление вектора c → = [ a → × b → ] .

Абсолютная величина n p c → d → равняется числу, которое также является равно высоте фигуры, для которого использованы вектора a → , b → и d → в качестве сторон. Исходя из этого, следует уточнить, что c → = [ a → × b → ] перпендикулярен a → и вектору и вектору согласно определению умножения векторов. Величина c → = a → x b → равняется площади параллелепипеда, построенного на векторах a → и b → .

Делаем вывод, что модуль произведения a → · b → · d → = c → · n p c → d → равен результату умножения площади основания на высоту фигуры, которая построена на векторах a → , b → и d → .

Определение 4

Абсолютная величина векторного произведения является объемом параллелепипеда : V п а р а л л е л е п и п и д а = a → · b → · d → .

Данная формула и является геометрическим смыслом.

Определение 5

Объем тетраэдра , который построен на a → , b → и d → , равняется 1 / 6 объема параллелепипеда Получаем, V т э т р а э д а = 1 6 · V п а р а л л е л е п и п и д а = 1 6 · a → · b → · d → .

Для того, чтобы закрепить знания, разберем несколько типичных примеров

Пример 6

Необходимо найти объем параллелепипеда, в качестве сторон которого используются A B → = (3 , 6 , 3) , A C → = (1 , 3 , — 2) , A A 1 → = (2 , 2 , 2) , заданные в прямоугольной системе координат. Объем параллелепипеда можно найти, используя формулу об абсолютной величине. Из этого следует: A B → · A C → · A A 1 → = 3 6 3 1 3 — 2 2 2 2 = 3 · 3 · 2 + 6 · (- 2) · 2 + 3 · 1 · 2 — 3 · 3 · 2 — 6 · 1 · 2 — 3 · (- 2) · 2 = — 18

Тогда, V п а р а л л е л е п и п е д а = — 18 = 18 .

V п а р а л л е л е п и п и д а = 18

Пример 7

В системе координат заданы точки A (0 , 1 , 0) , B (3 , — 1 , 5) , C (1 , 0 , 3) , D (- 2 , 3 , 1) . Следует определить объем тетраэдра, который расположен на этих точках.

Воспользуемся формулой V т э т р а э д р а = 1 6 · A B → · A C → · A D → . Мы можем определить координаты векторов по координатам точек: A B → = (3 — 0 , — 1 — 1 , 5 — 0) = (3 , — 2 , 5) A C → = (1 — 0 , 0 — 1 , 3 — 0) = (1 , — 1 , 3) A D → = (- 2 — 0 , 3 — 1 , 1 — 0) = (- 2 , 2 , 1)

Дальше определяем смешанное произведение A B → · A C → · A D → по координатам векторов: A B → · A C → · A D → = 3 — 2 5 1 — 1 3 — 2 2 1 = 3 · (- 1) · 1 + (- 2) · 3 · (- 2) + 5 · 1 · 2 — 5 · (- 1) · (- 2) — (- 2) · 1 · 1 — 3 · 3 · 2 = — 7 Объем V т э т р а э д р а = 1 6 · — 7 = 7 6 .

V т э т р а э д р а = 7 6 .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

На данном уроке мы рассмотрим ещё две операции с векторами: векторное произведение векторов и смешанное произведение векторов (сразу ссылка, кому нужно именно оно) . Ничего страшного, так иногда бывает, что для полного счастья, помимо скалярного произведения векторов , требуется ещё и ещё. Такая вот векторная наркомания. Может сложиться впечатление, что мы залезаем в дебри аналитической геометрии. Это не так. В данном разделе высшей математики вообще мало дров, разве что на Буратино хватит. На самом деле материал очень распространенный и простой – вряд ли сложнее, чем то же скалярное произведение , даже типовых задач поменьше будет. Главное в аналитической геометрии, как многие убедятся или уже убедились, НЕ ОШИБАТЬСЯ В ВЫЧИСЛЕНИЯХ. Повторяйте как заклинание, и будет вам счастье =)

Если векторы сверкают где-то далеко, как молнии на горизонте, не беда, начните с урока Векторы для чайников , чтобы восстановить или вновь приобрести базовые знания о векторах. Более подготовленные читатели могут знакомиться с информацией выборочно, я постарался собрать максимально полную коллекцию примеров, которые часто встречаются в практических работах

Чем вас сразу порадовать? Когда я был маленьким, то умел жонглировать двумя и даже тремя шариками. Ловко получалось. Сейчас жонглировать не придётся вообще, поскольку мы будем рассматривать только пространственные векторы , а плоские векторы с двумя координатами останутся за бортом. Почему? Такими уж родились данные действия – векторное и смешанное произведение векторов определены и работают в трёхмерном пространстве. Уже проще!

В данной операции, точно так же, как и в скалярном произведении, участвуют два вектора . Пусть это будут нетленные буквы .

Само действие обозначается следующим образом: . Существуют и другие варианты, но я привык обозначать векторное произведение векторов именно так, в квадратных скобках с крестиком.

И сразу вопрос : если в скалярном произведении векторов участвуют два вектора, и здесь тоже умножаются два вектора, тогда в чём разница ? Явная разница, прежде всего, в РЕЗУЛЬТАТЕ:

Результатом скалярного произведения векторов является ЧИСЛО:

Результатом векторного произведения векторов является ВЕКТОР : , то есть умножаем векторы и получаем снова вектор. Закрытый клуб. Собственно, отсюда и название операции. В различной учебной литературе обозначения тоже могут варьироваться, я буду использовать букву .

Определение векторного произведения

Сначала будет определение с картинкой, затем комментарии.

Определение : Векторным произведением неколлинеарных векторов , взятых в данном порядке , называется ВЕКТОР , длина которого численно равна площади параллелограмма , построенного на данных векторах; вектор ортогонален векторам , и направлен так, что базис имеет правую ориентацию:

Разбираем определение по косточкам, тут много интересного!

Итак, можно выделить следующие существенные моменты:

1) Исходные векторы , обозначенные красными стрелками, по определению не коллинеарны . Случай коллинеарных векторов будет уместно рассмотреть чуть позже.

2) Векторы взяты в строго определённом порядке : – «а» умножается на «бэ» , а не «бэ» на «а». Результатом умножения векторов является ВЕКТОР , который обозначен синим цветом. Если векторы умножить в обратном порядке, то получим равный по длине и противоположный по направлению вектор (малиновый цвет). То есть, справедливо равенство .

3) Теперь познакомимся с геометрическим смыслом векторного произведения. Это очень важный пункт! ДЛИНА синего вектора (а, значит, и малинового вектора ) численно равна ПЛОЩАДИ параллелограмма, построенного на векторах . На рисунке данный параллелограмм заштрихован чёрным цветом.

Примечание : чертёж является схематическим, и, естественно, номинальная длина векторного произведения не равна площади параллелограмма.

Вспоминаем одну из геометрических формул: площадь параллелограмма равна произведению смежных сторон на синус угла между ними . Поэтому, исходя из вышесказанного, справедлива формула вычисления ДЛИНЫ векторного произведения:

Подчёркиваю, что в формуле речь идёт о ДЛИНЕ вектора, а не о самом векторе . Каков практический смысл? А смысл таков, что в задачах аналитической геометрии площадь параллелограмма часто находят через понятие векторного произведения:

Получим вторую важную формулу. Диагональ параллелограмма (красный пунктир) делит его на два равных треугольника. Следовательно, площадь треугольника, построенного на векторах (красная штриховка), можно найти по формуле:

4) Не менее важный факт состоит в том, что вектор ортогонален векторам , то есть . Разумеется, противоположно направленный вектор (малиновая стрелка) тоже ортогонален исходным векторам .

5) Вектор направлен так, что базис имеет правую ориентацию. На уроке о переходе к новому базису я достаточно подробно рассказал об ориентации плоскости , и сейчас мы разберёмся, что такое ориентация пространства. Объяснять буду на пальцах вашей правой руки . Мысленно совместите указательный палец с вектором и средний палец с вектором . Безымянный палец и мизинец прижмите к ладони. В результате большой палец – векторное произведение будет смотреть вверх. Это и есть правоориентированный базис (на рисунке именно он). Теперь поменяйте векторы (указательный и средний пальцы ) местами, в результате большой палец развернётся, и векторное произведение уже будет смотреть вниз. Это тоже правоориентированный базис. Возможно, у вас возник вопрос: а какой базис имеет левую ориентацию? «Присвойте» тем же пальцам левой руки векторы , и полУчите левый базис и левую ориентацию пространства (в этом случае большой палец расположится по направлению нижнего вектора) . Образно говоря, данные базисы «закручивают» или ориентируют пространство в разные стороны. И это понятие не следует считать чем-то надуманным или абстрактным – так, например, ориентацию пространства меняет самое обычное зеркало, и если «вытащить отражённый объект из зазеркалья», то его в общем случае не удастся совместить с «оригиналом». Кстати, поднесите к зеркалу три пальца и проанализируйте отражение;-)

…как всё-таки хорошо, что вы теперь знаете о право- и левоориентированных базисах, ибо страшнЫ высказывания некоторых лекторов о смене ориентации =)

Векторное произведение коллинеарных векторов

Определение подробно разобрано, осталось выяснить, что происходит, когда векторы коллинеарны. Если векторы коллинеарны, то их можно расположить на одной прямой и наш параллелограмм тоже «складывается» в одну прямую. Площадь такого, как говорят математики, вырожденного параллелограмма равна нулю. Это же следует и из формулы – синус нуля или 180-ти градусов равен нулю, а значит, и площадь нулевая

Таким образом, если , то . Строго говоря, само векторное произведение равно нулевому вектору, но на практике этим часто пренебрегают и пишут, что оно просто равно нулю.

Частный случай – векторное произведение вектора на самого себя:

С помощью векторного произведения можно проверять коллинеарность трёхмерных векторов, и данную задачу среди прочих мы тоже разберём.

Для решения практических примеров может потребоваться тригонометрическая таблица , чтобы находить по ней значения синусов.

Ну что же, разжигаем огонь:

Пример 1

а) Найти длину векторного произведения векторов , если

б) Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах , если

Решение : Нет, это не опечатка, исходные данные в пунктах условия я намеренно сделал одинаковыми. Потому что оформление решений будет отличаться!

а) По условию требуется найти длину вектора (векторного произведения). По соответствующей формуле:

Ответ :

Коль скоро спрашивалось о длине, то в ответе указываем размерность – единицы.

б) По условию требуется найти площадь параллелограмма, построенного на векторах . Площадь данного параллелограмма численно равна длине векторного произведения:

Ответ :

Обратите внимание, что в ответе о векторном произведении речи не идёт вообще, нас спрашивали о площади фигуры , соответственно, размерность – квадратные единицы.

Всегда смотрим, ЧТО требуется найти по условию, и, исходя из этого, формулируем чёткий ответ. Может показаться буквоедством, но буквоедов среди преподавателей хватает, и задание с хорошими шансами вернётся на доработку. Хотя это не особо натянутая придирка – если ответ некорректен, то складывается впечатление, что человек не разбирается в простых вещах и/или не вник в суть задания. Этот момент всегда нужно держать на контроле, решая любую задачу по высшей математике, да и по другим предметам тоже.

Куда подевалась большая буковка «эн»? В принципе, её можно было дополнительно прилепить в решение, но в целях сократить запись, я этого не сделал. Надеюсь, всем понятно, что и – это обозначение одного и того же.

Популярный пример для самостоятельного решения:

Пример 2

Найти площадь треугольника, построенного на векторах , если

Формула нахождения площади треугольника через векторное произведение дана в комментариях к определению. Решение и ответ в конце урока.

На практике задача действительно очень распространена, треугольниками вообще могут замучить.

Для решения других задач нам понадобятся:

Свойства векторного произведения векторов

Некоторые свойства векторного произведения мы уже рассмотрели, тем не менее, я их включу в данный список.

Для произвольных векторов и произвольного числа справедливы следующие свойства:

1) В других источниках информации данный пункт обычно не выделяют в свойствах, но он очень важен в практическом плане. Поэтому пусть будет.

2) – свойство тоже разобрано выше, иногда его называют антикоммутативностью . Иными словами, порядок векторов имеет значение.

3) – сочетательные или ассоциативные законы векторного произведения. Константы безпроблемно выносятся за пределы векторного произведения. Действительно, чего им там делать?

4) – распределительные или дистрибутивные законы векторного произведения. С раскрытием скобок тоже нет проблем.

В качестве демонстрации рассмотрим коротенький пример:

Пример 3

Найти , если

Решение: По условию снова требуется найти длину векторного произведения. Распишем нашу миниатюру:

(1) Согласно ассоциативным законам, выносим константы за переделы векторного произведения.

(2) Выносим константу за пределы модуля, при этом модуль «съедает» знак «минус». Длина же не может быть отрицательной.

(3) Дальнейшее понятно.

Ответ :

Пора подбросить дров в огонь:

Пример 4

Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах , если

Решение : Площадь треугольника найдём по формуле . Загвоздка состоит в том, что векторы «цэ» и «дэ» сами представлены в виде сумм векторов. Алгоритм здесь стандартен и чем-то напоминает примеры № 3 и 4 урока Скалярное произведение векторов . Решение для ясности разобьём на три этапа:

1) На первом шаге выразим векторное произведение через векторное произведение , по сути, выразим вектор через вектор . О длинах пока ни слова!

(1) Подставляем выражения векторов .

(2) Используя дистрибутивные законы, раскрываем скобки по правилу умножения многочленов.

(3) Используя ассоциативные законы, выносим все константы за пределы векторных произведений. При маломальском опыте действия 2 и 3 можно выполнять одновременно.

(4) Первое и последнее слагаемое равно нулю (нулевому вектору) благодаря приятному свойству . Во втором слагаемом используем свойство антикоммутативности векторного произведения:

(5) Приводим подобные слагаемые.

В результате вектор оказался выражен через вектор, чего и требовалось достичь:

2) На втором шаге найдем длину нужного нам векторного произведения. Данное действие напоминает Пример 3:

3) Найдём площадь искомого треугольника:

Этапы 2-3 решения можно было оформить и одной строкой.

Ответ :

Рассмотренная задача достаточно распространена в контрольных работах, вот пример для самостоятельного решения:

Пример 5

Найти , если

Краткое решение и ответ в конце урока. Посмотрим, насколько вы были внимательны при изучении предыдущих примеров;-)

Векторное произведение векторов в координатах , заданных в ортонормированном базисе , выражается формулой :

Формула и правда простецкая: в верхнюю строку определителя записываем координатные векторы, во вторую и третью строки «укладываем» координаты векторов , причём укладываем в строгом порядке – сначала координаты вектора «вэ», затем координаты вектора «дубль-вэ». Если векторы нужно умножить в другом порядке, то и строки следует поменять местами:

Пример 10

Проверить, будут ли коллинеарны следующие векторы пространства:
а)
б)

Решение : Проверка основана на одном из утверждений данного урока: если векторы коллинеарны, то их векторное произведение равно нулю (нулевому вектору): .

а) Найдём векторное произведение:

Таким образом, векторы не коллинеарны.

б) Найдём векторное произведение:

Ответ : а) не коллинеарны, б)

Вот, пожалуй, и все основные сведения о векторном произведении векторов.

Данный раздел будет не очень большим, так как задач, где используется смешанное произведение векторов, немного. Фактически всё будет упираться в определение, геометрический смысл и пару рабочих формул.

Смешанное произведение векторов – это произведение трёх векторов :

Вот так вот они выстроились паровозиком и ждут, не дождутся, когда их вычислят.

Сначала опять определение и картинка:

Определение : Смешанным произведением некомпланарных векторов , взятых в данном порядке , называется объём параллелепипеда , построенного на данных векторах, снабжённый знаком «+», если базис правый, и знаком «–», если базис левый.

Выполним рисунок. Невидимые нам линии прочерчены пунктиром:

Погружаемся в определение:

2) Векторы взяты в определённом порядке , то есть перестановка векторов в произведении , как вы догадываетесь, не проходит без последствий.

3) Перед тем, как прокомментировать геометрический смысл, отмечу очевидный факт: смешанное произведение векторов является ЧИСЛОМ : . В учебной литературе оформление может быть несколько другим, я привык обозначать смешанное произведение через , а результат вычислений буквой «пэ».

По определению смешанное произведение – это объем параллелепипеда , построенного на векторах (фигура прочерчена красными векторами и линиями чёрного цвета). То есть, число равно объему данного параллелепипеда.

Примечание : чертёж является схематическим.

4) Не будем заново париться с понятием ориентации базиса и пространства. Смысл заключительной части состоит в том, что к объёму может добавляться знак минус. Простыми словами, смешанное произведение может быть отрицательным: .

Непосредственно из определения следует формула вычисления объема параллелепипеда, построенного на векторах .

Данный онлайн калькулятор вычисляет смешанное произведение векторов. Дается подробное решение. Для вычисления смешанного произведения векторов выберите способ представления векторов (по координатам или по двум точкам) введите данные в ячейки и нажимайте на кнопку «Вычислить.»

×

Предупреждение

Очистить все ячейки?

Закрыть Очистить

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Смешанное произведение векторов (теория)

Смешанное произведение трех векторов это число, которое получается при скалярном произведении результата векторного произведения первых двух векторов на третьий вектор. Другими словами, если заданы три вектора a, b и c , то для получения смешанного произведения этих векторов, сначала векторно умножаются первые два вектора и полученный вектор [ab ] скалярно умножается на вектор c .

Смешанное произведение трех векторов a, b и c обозначается так: abc или так (a,b,c ). Тогда можно записать:

Прежде чем сформулировать теорему, представляющую геометрический смысл смешанного произведения, ознакомьтесь с понятиями правая тройка, левая тройка, правая система координат, левая система координат (определения 2, 2″ и 3 на странице векторное произведение векторов онлайн).

Для определенности, в дальнейшем мы будем рассматривать только правые системы координат.

Теорема 1. Смешанное произведение векторов ([ab ],c ) равно объему параллелипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах a, b, c , взятому со знаком плюс, если тройка a, b, c правая, и со знаком минус, если тройка a, b, c левая. Если векторы a, b, c компланарны, то ([ab ],c ) равно нулю.

Следствие 1. Имеет место следующее равенство:

Следовательно нам достаточно доказать, что

([ab ],c )=([bc ],a ) (3)

Из выражения (3) видно, что левая и правая часть равны объему параллелипеда. Но и знаки правой и левой частей совпадают, так как тройки векторов abc и bca имеют одинаковую ориентацию.

Доказанное равенство (1) позволяет записать смешанное произведение трех векторов a, b, c просто в виде abc , не указывая, какие именно два вектора перемножаются векторно первые два или последние два.

Следствие 2. Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения.

Доказательство вытекает из теоремы 1. Действительно, если векторы компланарны, то смешанное произведение этих векторов равно нулю. Обратное, если смешанное произведение равно нулю, то из теоремы 1 вытекает компланарность этих векторов (так как объем параллелипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах равно нулю).

Следствие 3. Смешанное произведение трех векторов, два из которых совпадают, равно нулю.

Действительно. Если два вектора из трех совпадают, то они компланарны. Следовательно, смешанное произведение этих векторов равно нулю.

Смешанное произведение векторов в декартовых координатах

Теорема 2. Пусть три вектора a, b и c определены своими декартовыми прямоугольными координатами

Доказательство. Смешанное произведение abc равно скалярному произведению векторов [ab ] и c . Векторное произведение векторов [ab ] в декартовых координатах вычисляется формулой ():

Последнее выражение можно записать, используя определители второго порядка:

необходимо и достаточно равенство нулю определителя, строки которой заполнены координатами этих векторов, т.е:

. (7)

Для доказательства следствия достаточно рассмотреть формулу (4) и следствие 2.

Смешанное произведение векторов на примерах

Пример 1. Найти смешанное произведение векторов abс , где

Смешанное произведение векторов a, b, c равен определителю матрицы L . Вычислим определитель матрицы L , разложив определитель по строке 1:

Конечная точка вектора a .

Смешанное произведение векторов онлайн калькулятор. Смешанное произведение векторов, его свойства, примеры и решения

Смешанным (или векторно-скалярным) произведением трех векторов a, b, c (взятых в указанном порядке) называется скалярное произведение вектора a на векторное произведение b x c , т. е. число a(b x c), или, что то же, (b x c)a.
Обозначение: abc .

Назначение . Онлайн-калькулятор предназначен для вычисления смешанного произведения векторов. Полученное решение сохраняется в файле Word . Дополнительно создается шаблон решения в Excel .

Признаки компланарности векторов

Три вектора (или большее число) называются компланарными, если они, будучи приведены к общему началу, лежат в одной плоскости.
Если хотя бы один из трех векторов – нулевой, то три вектора тоже считаются компланарными.

Признак компланарности . Если система a, b, c – правая, то abc>0 ; если левая, то abcГеометрический смысл смешанного произведения . Смешанное произведение abc трех некомпланарных векторов a, b, c равно объему параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c , взятому со знаком плюс, если система a, b, c – правая, и со знаком минус, если эта система левая.

Свойства смешанного произведения

  1. При круговой перестановке сомножителей смешанное произведение не меняется, при перестановке двух сомножителей – меняет знак на обратный: abc=bca=cab=-(bac)=-(cba)=-(acb)
    Вытекает из геометрического смысла.
  2. (a+b)cd=acd+bcd (распределительное свойство). Распространяется на любое число слагаемых.
    Вытекает из определения смешанного произведения.
  3. (ma)bc=m(abc) (сочетательное свойство относительно скалярного множителя).
    Вытекает из определения смешанного произведения. Эти свойства позволяют применять к смешанным произведениям преобразования, отличающиеся от обычных алгебраических лишь тем, что менять порядок сомножителей можно только с учетом знака произведения.
  4. Смешанное произведение, имеющее хотя бы два равных сомножителя, равно нулю: aab=0 .

Пример №1 . Найти смешанное произведение. ab(3a+2b-5c)=3aba+2abb-5abc=-5abc .

Пример №2 . (a+b)(b+c)(c+a)= (axb+axc+bxb+bxc)(c+a)= (axb+axc +bxc)(c+a)=abc+acc+aca+aba+bcc+bca . Все члены, кроме двух крайних, равны нулю. Кроме того, bca=abc . Поэтому (a+b)(b+c)(c+a)=2abc .

Пример №3 . Вычислить смешанное произведение трех векторов a=15i+20j+5k, b=2i-4j+14k, c=3i-6j+21k .
Решение . Чтобы вычислить смешанное произведение векторов, необходимо найти определитель системы, составленной из координат векторов. Запишем систему в виде.

Данный онлайн калькулятор вычисляет смешанное произведение векторов. Дается подробное решение. Для вычисления смешанного произведения векторов выберите способ представления векторов (по координатам или по двум точкам) введите данные в ячейки и нажимайте на кнопку «Вычислить.»

×

Предупреждение

Очистить все ячейки?

Закрыть Очистить

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Смешанное произведение векторов (теория)

Смешанное произведение трех векторов это число, которое получается при скалярном произведении результата векторного произведения первых двух векторов на третьий вектор. Другими словами, если заданы три вектора a, b и c , то для получения смешанного произведения этих векторов, сначала векторно умножаются первые два вектора и полученный вектор [ab ] скалярно умножается на вектор c .

Смешанное произведение трех векторов a, b и c обозначается так: abc или так (a,b,c ). Тогда можно записать:

Прежде чем сформулировать теорему, представляющую геометрический смысл смешанного произведения, ознакомьтесь с понятиями правая тройка, левая тройка, правая система координат, левая система координат (определения 2, 2″ и 3 на странице векторное произведение векторов онлайн).

Для определенности, в дальнейшем мы будем рассматривать только правые системы координат.

Теорема 1. Смешанное произведение векторов ([ab ],c ) равно объему параллелипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах a, b, c , взятому со знаком плюс, если тройка a, b, c правая, и со знаком минус, если тройка a, b, c левая. Если векторы a, b, c компланарны, то ([ab ],c ) равно нулю.

Следствие 1. Имеет место следующее равенство:

Следовательно нам достаточно доказать, что

([ab ],c )=([bc ],a ) (3)

Из выражения (3) видно, что левая и правая часть равны объему параллелипеда. Но и знаки правой и левой частей совпадают, так как тройки векторов abc и bca имеют одинаковую ориентацию.

Доказанное равенство (1) позволяет записать смешанное произведение трех векторов a, b, c просто в виде abc , не указывая, какие именно два вектора перемножаются векторно первые два или последние два.

Следствие 2. Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения.

Доказательство вытекает из теоремы 1. Действительно, если векторы компланарны, то смешанное произведение этих векторов равно нулю. Обратное, если смешанное произведение равно нулю, то из теоремы 1 вытекает компланарность этих векторов (так как объем параллелипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах равно нулю).

Следствие 3. Смешанное произведение трех векторов, два из которых совпадают, равно нулю.

Действительно. Если два вектора из трех совпадают, то они компланарны. Следовательно, смешанное произведение этих векторов равно нулю.

Смешанное произведение векторов в декартовых координатах

Теорема 2. Пусть три вектора a, b и c определены своими декартовыми прямоугольными координатами

Доказательство. Смешанное произведение abc равно скалярному произведению векторов [ab ] и c . Векторное произведение векторов [ab ] в декартовых координатах вычисляется формулой ():

Последнее выражение можно записать, используя определители второго порядка:

необходимо и достаточно равенство нулю определителя, строки которой заполнены координатами этих векторов, т.е:

. (7)

Для доказательства следствия достаточно рассмотреть формулу (4) и следствие 2.

Смешанное произведение векторов на примерах

Пример 1. Найти смешанное произведение векторов abс , где

Смешанное произведение векторов a, b, c равен определителю матрицы L . Вычислим определитель матрицы L , разложив определитель по строке 1:

Конечная точка вектора a .

Для того, чтобы подробно рассмотреть такую тему, нужно охватить еще несколько разделов. Тема напрямую связана с такими терминами, как скалярное и векторное произведение. В этой статье мы постарались дать точное определение, указать формулу, которая поможет определить произведение, используя координаты векторов. Помимо этого, статья включает в себя разделы с перечислением свойств произведения и представлены подробный разбор типовых равенств и задач.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Термин

Для того, чтобы определить, в чем заключается данный термин, нужно взять три вектора.

Определение 1

Смешанным произведением a → , b → и d → является та величина, которая равняется скалярному произведению a → × b → и d → , где a → × b → — умножение a → и b → . Операцию умножения a → , b → и d → зачастую обозначают a → · b → · d → . Можно преобразовать формулу так: a → · b → · d → = (a → × b → , d →) .

Умножение в системе координат

Мы можем умножить вектора, если они указаны на координатной плоскости.

Возьмем i → , j → , k →

Произведение векторов в данном конкретном случае будет иметь следующий вид: a → × b → = (a y · b z — a z · b y) · i → + (a z · b x + a x · b z) · j → + (a x · b y + a y · b x) · k → = a y a z b y b z · i → — a x a z b x b z · j → + a x a y b x b y · k →

Определение 2

Для выполнения скалярного произведения в системе координат необходимо сложить результаты, полученный во время умножения координат.

Из этого следует:

a → × b → = (a y · b z — a z · b y) · i → + (a z · b x + a x · b z) · j → + (a x · b y + a y · b x) · k → = a y a z b y b z · i → — a x a z b x b z · j → + a x a y b x b y · k →

Мы также можем определить смешанное произведение векторов, если в заданной системе координат указаны координаты векторов, которые умножаются.

a → × b → = (a y a z b y b z · i → — a x a z b x b z · j → + a x a y b x b y · k → , d x · i → + d y · j → + d z · k →) = = a y a z b y b z · d x — a x a z b x b z · d y + a x a y b x b y · d z = a x a y a z b x b y b z d x d y d z

Таким образом, можно сделать вывод, что:

a → · b → · d = a → × b → , d → = a x a y a z b x b y b z d x d y d z

Определение 3

Смешанное произведение можно приравнять к определителю матрицы, в качестве строк которой использованы векторные координаты. Наглядно это выглядит так: a → · b → · d = a → × b → , d → = a x a y a z b x b y b z d x d y d z .

Свойства операции над векторами Из особенностей, которые выделяются в скалярном или векторном произведении, можно вывести особенности, которые характеризуют смешанное произведение. Ниже мы приведем основные свойства.

  1. (λ · a →) · b → · d → = a → · (λ · b →) · d → = a → · b → · (λ · d →) = λ · a → · b → · d → λ ∈ R ;
  2. a → · b → · d → = d → · a → · b → = b → · d → · a → ; a → · d → · b → = b → · a → · d → = d → · b → · a → ;
  3. (a (1) → + a (2) →) · b → · d → = a (1) → · b → · d → + a (2) → · b → · d → a → · (b (1) → + b (2) →) · d → = a → · b (1) → · d → + a → · b (2) → · d → a → · b → · (d (1) → + d (2) →) = a → · b → · d (2) → + a → · b → · d (2) →

Помимо приведенных свойств, следует уточнить, что если множитель нулевой, то результатом умножения также станет нуль.

Результатом умножения также будет нуль в том случае, если два или больше множителей равны.

Действительно, если a → = b → , то, следуя определению векторного произведения [ a → × b → ] = a → · b → · sin 0 = 0 , следовательно, смешанное произведение равно нулю, так как ([ a → × b → ] , d →) = (0 → , d →) = 0 .

Если же a → = b → или b → = d → , то угол между векторами [ a → × b → ] и d → равен π 2 . По определению скалярного произведения векторов ([ a → × b → ] , d →) = [ a → × b → ] · d → · cos π 2 = 0 .

Свойства операции умножения чаще всего требуются во время решения задач.
Для того, чтобы подробно разобрать данную тему, возьмем несколько примеров и подробно их распишем.

Пример 1

Докажите равенство ([ a → × b → ] , d → + λ · a → + b →) = ([ a → × b → ] , d →) , где λ — некоторое действительное число.

Для того, чтобы найти решение этого равенства, следует преобразовать его левую часть. Для этого необходимо воспользоваться третьим свойством смешанного произведения, которое гласит:

([ a → × b → ] , d → + λ · a → + b →) = ([ a → × b → ] , d →) + ([ a → × b → ] , λ · a →) + ([ a → × b → ] , b →)
Мы разобрали, что (([ a → × b → ] , b →) = 0 . Из этого следует, что
([ a → × b → ] , d → + λ · a → + b →) = ([ a → × b → ] , d →) + ([ a → × b → ] , λ · a →) + ([ a → × b → ] , b →) = = ([ a → × b → ] , d →) + ([ a → × b → ] , λ · a →) + 0 = ([ a → × b → ] , d →) + ([ a → × b → ] , λ · a →)

Согласно первому свойству ([ a ⇀ × b ⇀ ] , λ · a →) = λ · ([ a ⇀ × b ⇀ ] , a →) , а ([ a ⇀ × b ⇀ ] , a →) = 0 . , d →) ≤ ≤ a → · b → · 1 · d → · 1 = a → · b → · d →

Неравенство доказано.

Разбор типовых задач

Для того, чтобы определить, чему равно произведение векторов, следует знать координаты умножаемых векторов. Для операции можно использовать такую формулу a → · b → · d → = (a → × b → , d →) = a x a y a z b x b y b z d x d y d z .

Пример 3

В прямоугольной системе координат представлены 3 вектора с такими координатами: a → = (1 , — 2 , 3) , b → (- 2 , 2 , 1) , d → = (3 , — 2 , 5) . Необходимо определить, чему равно произведение указанных векторов a → · b → · d → .

Исходя из теории, представленной выше, мы можем воспользоваться правилом, которое гласит, что смешанное произведение может быть вычислено через определитель матрицы. Это будет выглядеть так: a → · b → · d → = (a → × b → , d →) = a x a y a z b x b y b z d x d y d z = 1 — 2 3 — 2 2 1 3 — 2 5 = = 1 · 2 · 5 + (- 1) · 1 · 3 + 3 · (- 2) · (- 2) — 3 · 2 · 3 — (- 1) · (- 2) · 5 — 1 · 1 · (- 2) = — 7

Пример 4

Необходимо найти произведение векторов i → + j → , i → + j → — k → , i → + j → + 2 · k → , где i → , j → , k → — орты прямоугольной декартовой системы координат.

Исходя из условия, которое гласит, что вектора расположены в данной системе координат, можно вывести их координаты: i → + j → = (1 , 1 , 0) i → + j → — k → = (1 , 1 , — 1) i → + j → + 2 · k → = (1 , 1 , 2)

Используем формулу, которая использовалась выше
i → + j → × (i → + j → — k → , (i → + j → + 2 · k →) = 1 1 0 1 1 — 1 1 1 2 = 0 i → + j → × (i → + j → — k → , (i → + j → + 2 · k →) = 0

Смешанное произведение также возможно определить с помощью длины вектора, которая уже известна, и угла между ними. Разберем этот тезис в примере.

Пример 5

В прямоугольной системе координат расположены три вектора a → , b → и d → , которые перпендикулярны между собой. Они представляют собой правую тройку, их длины составляют 4 , 2 и 3 . Необходимо умножить вектора.

Обозначим c → = a → × b → .

Согласно правилу, результатом умножения скалярных векторов является число, которое равно результату умножения длин используемых векторов на косинус угла между ними.) = c → · n p c → d → , где n p c → d → — числовая проекция вектора d → на направление вектора c → = [ a → × b → ] .

Абсолютная величина n p c → d → равняется числу, которое также является равно высоте фигуры, для которого использованы вектора a → , b → и d → в качестве сторон. Исходя из этого, следует уточнить, что c → = [ a → × b → ] перпендикулярен a → и вектору и вектору согласно определению умножения векторов. Величина c → = a → x b → равняется площади параллелепипеда, построенного на векторах a → и b → .

Делаем вывод, что модуль произведения a → · b → · d → = c → · n p c → d → равен результату умножения площади основания на высоту фигуры, которая построена на векторах a → , b → и d → .

Определение 4

Абсолютная величина векторного произведения является объемом параллелепипеда : V п а р а л л е л е п и п и д а = a → · b → · d → .

Данная формула и является геометрическим смыслом.

Определение 5

Объем тетраэдра , который построен на a → , b → и d → , равняется 1 / 6 объема параллелепипеда Получаем, V т э т р а э д а = 1 6 · V п а р а л л е л е п и п и д а = 1 6 · a → · b → · d → .

Для того, чтобы закрепить знания, разберем несколько типичных примеров

Пример 6

Необходимо найти объем параллелепипеда, в качестве сторон которого используются A B → = (3 , 6 , 3) , A C → = (1 , 3 , — 2) , A A 1 → = (2 , 2 , 2) , заданные в прямоугольной системе координат. Объем параллелепипеда можно найти, используя формулу об абсолютной величине. Из этого следует: A B → · A C → · A A 1 → = 3 6 3 1 3 — 2 2 2 2 = 3 · 3 · 2 + 6 · (- 2) · 2 + 3 · 1 · 2 — 3 · 3 · 2 — 6 · 1 · 2 — 3 · (- 2) · 2 = — 18

Тогда, V п а р а л л е л е п и п е д а = — 18 = 18 .

V п а р а л л е л е п и п и д а = 18

Пример 7

В системе координат заданы точки A (0 , 1 , 0) , B (3 , — 1 , 5) , C (1 , 0 , 3) , D (- 2 , 3 , 1) . Следует определить объем тетраэдра, который расположен на этих точках.

Воспользуемся формулой V т э т р а э д р а = 1 6 · A B → · A C → · A D → . Мы можем определить координаты векторов по координатам точек: A B → = (3 — 0 , — 1 — 1 , 5 — 0) = (3 , — 2 , 5) A C → = (1 — 0 , 0 — 1 , 3 — 0) = (1 , — 1 , 3) A D → = (- 2 — 0 , 3 — 1 , 1 — 0) = (- 2 , 2 , 1)

Дальше определяем смешанное произведение A B → · A C → · A D → по координатам векторов: A B → · A C → · A D → = 3 — 2 5 1 — 1 3 — 2 2 1 = 3 · (- 1) · 1 + (- 2) · 3 · (- 2) + 5 · 1 · 2 — 5 · (- 1) · (- 2) — (- 2) · 1 · 1 — 3 · 3 · 2 = — 7 Объем V т э т р а э д р а = 1 6 · — 7 = 7 6 .

V т э т р а э д р а = 7 6 .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

На данном уроке мы рассмотрим ещё две операции с векторами: векторное произведение векторов и смешанное произведение векторов (сразу ссылка, кому нужно именно оно) . Ничего страшного, так иногда бывает, что для полного счастья, помимо скалярного произведения векторов , требуется ещё и ещё. Такая вот векторная наркомания. Может сложиться впечатление, что мы залезаем в дебри аналитической геометрии. Это не так. В данном разделе высшей математики вообще мало дров, разве что на Буратино хватит. На самом деле материал очень распространенный и простой – вряд ли сложнее, чем то же скалярное произведение , даже типовых задач поменьше будет. Главное в аналитической геометрии, как многие убедятся или уже убедились, НЕ ОШИБАТЬСЯ В ВЫЧИСЛЕНИЯХ. Повторяйте как заклинание, и будет вам счастье =)

Если векторы сверкают где-то далеко, как молнии на горизонте, не беда, начните с урока Векторы для чайников , чтобы восстановить или вновь приобрести базовые знания о векторах. Более подготовленные читатели могут знакомиться с информацией выборочно, я постарался собрать максимально полную коллекцию примеров, которые часто встречаются в практических работах

Чем вас сразу порадовать? Когда я был маленьким, то умел жонглировать двумя и даже тремя шариками. Ловко получалось. Сейчас жонглировать не придётся вообще, поскольку мы будем рассматривать только пространственные векторы , а плоские векторы с двумя координатами останутся за бортом. Почему? Такими уж родились данные действия – векторное и смешанное произведение векторов определены и работают в трёхмерном пространстве. Уже проще!

В данной операции, точно так же, как и в скалярном произведении, участвуют два вектора . Пусть это будут нетленные буквы .

Само действие обозначается следующим образом: . Существуют и другие варианты, но я привык обозначать векторное произведение векторов именно так, в квадратных скобках с крестиком.

И сразу вопрос : если в скалярном произведении векторов участвуют два вектора, и здесь тоже умножаются два вектора, тогда в чём разница ? Явная разница, прежде всего, в РЕЗУЛЬТАТЕ:

Результатом скалярного произведения векторов является ЧИСЛО:

Результатом векторного произведения векторов является ВЕКТОР : , то есть умножаем векторы и получаем снова вектор. Закрытый клуб. Собственно, отсюда и название операции. В различной учебной литературе обозначения тоже могут варьироваться, я буду использовать букву .

Определение векторного произведения

Сначала будет определение с картинкой, затем комментарии.

Определение : Векторным произведением неколлинеарных векторов , взятых в данном порядке , называется ВЕКТОР , длина которого численно равна площади параллелограмма , построенного на данных векторах; вектор ортогонален векторам , и направлен так, что базис имеет правую ориентацию:

Разбираем определение по косточкам, тут много интересного!

Итак, можно выделить следующие существенные моменты:

1) Исходные векторы , обозначенные красными стрелками, по определению не коллинеарны . Случай коллинеарных векторов будет уместно рассмотреть чуть позже.

2) Векторы взяты в строго определённом порядке : – «а» умножается на «бэ» , а не «бэ» на «а». Результатом умножения векторов является ВЕКТОР , который обозначен синим цветом. Если векторы умножить в обратном порядке, то получим равный по длине и противоположный по направлению вектор (малиновый цвет). То есть, справедливо равенство .

3) Теперь познакомимся с геометрическим смыслом векторного произведения. Это очень важный пункт! ДЛИНА синего вектора (а, значит, и малинового вектора ) численно равна ПЛОЩАДИ параллелограмма, построенного на векторах . На рисунке данный параллелограмм заштрихован чёрным цветом.

Примечание : чертёж является схематическим, и, естественно, номинальная длина векторного произведения не равна площади параллелограмма.

Вспоминаем одну из геометрических формул: площадь параллелограмма равна произведению смежных сторон на синус угла между ними . Поэтому, исходя из вышесказанного, справедлива формула вычисления ДЛИНЫ векторного произведения:

Подчёркиваю, что в формуле речь идёт о ДЛИНЕ вектора, а не о самом векторе . Каков практический смысл? А смысл таков, что в задачах аналитической геометрии площадь параллелограмма часто находят через понятие векторного произведения:

Получим вторую важную формулу. Диагональ параллелограмма (красный пунктир) делит его на два равных треугольника. Следовательно, площадь треугольника, построенного на векторах (красная штриховка), можно найти по формуле:

4) Не менее важный факт состоит в том, что вектор ортогонален векторам , то есть . Разумеется, противоположно направленный вектор (малиновая стрелка) тоже ортогонален исходным векторам .

5) Вектор направлен так, что базис имеет правую ориентацию. На уроке о переходе к новому базису я достаточно подробно рассказал об ориентации плоскости , и сейчас мы разберёмся, что такое ориентация пространства. Объяснять буду на пальцах вашей правой руки . Мысленно совместите указательный палец с вектором и средний палец с вектором . Безымянный палец и мизинец прижмите к ладони. В результате большой палец – векторное произведение будет смотреть вверх. Это и есть правоориентированный базис (на рисунке именно он). Теперь поменяйте векторы (указательный и средний пальцы ) местами, в результате большой палец развернётся, и векторное произведение уже будет смотреть вниз. Это тоже правоориентированный базис. Возможно, у вас возник вопрос: а какой базис имеет левую ориентацию? «Присвойте» тем же пальцам левой руки векторы , и полУчите левый базис и левую ориентацию пространства (в этом случае большой палец расположится по направлению нижнего вектора) . Образно говоря, данные базисы «закручивают» или ориентируют пространство в разные стороны. И это понятие не следует считать чем-то надуманным или абстрактным – так, например, ориентацию пространства меняет самое обычное зеркало, и если «вытащить отражённый объект из зазеркалья», то его в общем случае не удастся совместить с «оригиналом». Кстати, поднесите к зеркалу три пальца и проанализируйте отражение;-)

…как всё-таки хорошо, что вы теперь знаете о право- и левоориентированных базисах, ибо страшнЫ высказывания некоторых лекторов о смене ориентации =)

Векторное произведение коллинеарных векторов

Определение подробно разобрано, осталось выяснить, что происходит, когда векторы коллинеарны. Если векторы коллинеарны, то их можно расположить на одной прямой и наш параллелограмм тоже «складывается» в одну прямую. Площадь такого, как говорят математики, вырожденного параллелограмма равна нулю. Это же следует и из формулы – синус нуля или 180-ти градусов равен нулю, а значит, и площадь нулевая

Таким образом, если , то . Строго говоря, само векторное произведение равно нулевому вектору, но на практике этим часто пренебрегают и пишут, что оно просто равно нулю.

Частный случай – векторное произведение вектора на самого себя:

С помощью векторного произведения можно проверять коллинеарность трёхмерных векторов, и данную задачу среди прочих мы тоже разберём.

Для решения практических примеров может потребоваться тригонометрическая таблица , чтобы находить по ней значения синусов.

Ну что же, разжигаем огонь:

Пример 1

а) Найти длину векторного произведения векторов , если

б) Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах , если

Решение : Нет, это не опечатка, исходные данные в пунктах условия я намеренно сделал одинаковыми. Потому что оформление решений будет отличаться!

а) По условию требуется найти длину вектора (векторного произведения). По соответствующей формуле:

Ответ :

Коль скоро спрашивалось о длине, то в ответе указываем размерность – единицы.

б) По условию требуется найти площадь параллелограмма, построенного на векторах . Площадь данного параллелограмма численно равна длине векторного произведения:

Ответ :

Обратите внимание, что в ответе о векторном произведении речи не идёт вообще, нас спрашивали о площади фигуры , соответственно, размерность – квадратные единицы.

Всегда смотрим, ЧТО требуется найти по условию, и, исходя из этого, формулируем чёткий ответ. Может показаться буквоедством, но буквоедов среди преподавателей хватает, и задание с хорошими шансами вернётся на доработку. Хотя это не особо натянутая придирка – если ответ некорректен, то складывается впечатление, что человек не разбирается в простых вещах и/или не вник в суть задания. Этот момент всегда нужно держать на контроле, решая любую задачу по высшей математике, да и по другим предметам тоже.

Куда подевалась большая буковка «эн»? В принципе, её можно было дополнительно прилепить в решение, но в целях сократить запись, я этого не сделал. Надеюсь, всем понятно, что и – это обозначение одного и того же.

Популярный пример для самостоятельного решения:

Пример 2

Найти площадь треугольника, построенного на векторах , если

Формула нахождения площади треугольника через векторное произведение дана в комментариях к определению. Решение и ответ в конце урока.

На практике задача действительно очень распространена, треугольниками вообще могут замучить.

Для решения других задач нам понадобятся:

Свойства векторного произведения векторов

Некоторые свойства векторного произведения мы уже рассмотрели, тем не менее, я их включу в данный список.

Для произвольных векторов и произвольного числа справедливы следующие свойства:

1) В других источниках информации данный пункт обычно не выделяют в свойствах, но он очень важен в практическом плане. Поэтому пусть будет.

2) – свойство тоже разобрано выше, иногда его называют антикоммутативностью . Иными словами, порядок векторов имеет значение.

3) – сочетательные или ассоциативные законы векторного произведения. Константы безпроблемно выносятся за пределы векторного произведения. Действительно, чего им там делать?

4) – распределительные или дистрибутивные законы векторного произведения. С раскрытием скобок тоже нет проблем.

В качестве демонстрации рассмотрим коротенький пример:

Пример 3

Найти , если

Решение: По условию снова требуется найти длину векторного произведения. Распишем нашу миниатюру:

(1) Согласно ассоциативным законам, выносим константы за переделы векторного произведения.

(2) Выносим константу за пределы модуля, при этом модуль «съедает» знак «минус». Длина же не может быть отрицательной.

(3) Дальнейшее понятно.

Ответ :

Пора подбросить дров в огонь:

Пример 4

Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах , если

Решение : Площадь треугольника найдём по формуле . Загвоздка состоит в том, что векторы «цэ» и «дэ» сами представлены в виде сумм векторов. Алгоритм здесь стандартен и чем-то напоминает примеры № 3 и 4 урока Скалярное произведение векторов . Решение для ясности разобьём на три этапа:

1) На первом шаге выразим векторное произведение через векторное произведение , по сути, выразим вектор через вектор . О длинах пока ни слова!

(1) Подставляем выражения векторов .

(2) Используя дистрибутивные законы, раскрываем скобки по правилу умножения многочленов.

(3) Используя ассоциативные законы, выносим все константы за пределы векторных произведений. При маломальском опыте действия 2 и 3 можно выполнять одновременно.

(4) Первое и последнее слагаемое равно нулю (нулевому вектору) благодаря приятному свойству . Во втором слагаемом используем свойство антикоммутативности векторного произведения:

(5) Приводим подобные слагаемые.

В результате вектор оказался выражен через вектор, чего и требовалось достичь:

2) На втором шаге найдем длину нужного нам векторного произведения. Данное действие напоминает Пример 3:

3) Найдём площадь искомого треугольника:

Этапы 2-3 решения можно было оформить и одной строкой.

Ответ :

Рассмотренная задача достаточно распространена в контрольных работах, вот пример для самостоятельного решения:

Пример 5

Найти , если

Краткое решение и ответ в конце урока. Посмотрим, насколько вы были внимательны при изучении предыдущих примеров;-)

Векторное произведение векторов в координатах , заданных в ортонормированном базисе , выражается формулой :

Формула и правда простецкая: в верхнюю строку определителя записываем координатные векторы, во вторую и третью строки «укладываем» координаты векторов , причём укладываем в строгом порядке – сначала координаты вектора «вэ», затем координаты вектора «дубль-вэ». Если векторы нужно умножить в другом порядке, то и строки следует поменять местами:

Пример 10

Проверить, будут ли коллинеарны следующие векторы пространства:
а)
б)

Решение : Проверка основана на одном из утверждений данного урока: если векторы коллинеарны, то их векторное произведение равно нулю (нулевому вектору): .

а) Найдём векторное произведение:

Таким образом, векторы не коллинеарны.

б) Найдём векторное произведение:

Ответ : а) не коллинеарны, б)

Вот, пожалуй, и все основные сведения о векторном произведении векторов.

Данный раздел будет не очень большим, так как задач, где используется смешанное произведение векторов, немного. Фактически всё будет упираться в определение, геометрический смысл и пару рабочих формул.

Смешанное произведение векторов – это произведение трёх векторов :

Вот так вот они выстроились паровозиком и ждут, не дождутся, когда их вычислят.

Сначала опять определение и картинка:

Определение : Смешанным произведением некомпланарных векторов , взятых в данном порядке , называется объём параллелепипеда , построенного на данных векторах, снабжённый знаком «+», если базис правый, и знаком «–», если базис левый.

Выполним рисунок. Невидимые нам линии прочерчены пунктиром:

Погружаемся в определение:

2) Векторы взяты в определённом порядке , то есть перестановка векторов в произведении , как вы догадываетесь, не проходит без последствий.

3) Перед тем, как прокомментировать геометрический смысл, отмечу очевидный факт: смешанное произведение векторов является ЧИСЛОМ : . В учебной литературе оформление может быть несколько другим, я привык обозначать смешанное произведение через , а результат вычислений буквой «пэ».

По определению смешанное произведение – это объем параллелепипеда , построенного на векторах (фигура прочерчена красными векторами и линиями чёрного цвета). То есть, число равно объему данного параллелепипеда.

Примечание : чертёж является схематическим.

4) Не будем заново париться с понятием ориентации базиса и пространства. Смысл заключительной части состоит в том, что к объёму может добавляться знак минус. Простыми словами, смешанное произведение может быть отрицательным: .

Непосредственно из определения следует формула вычисления объема параллелепипеда, построенного на векторах .

формула, как найти по координатам, примеры решения

Что такое произведение векторов

Определение

Векторное произведение двух векторов в трёхмерном евклидовом пространстве — вектор, перпендикулярный обоим исходным векторам, длина которого равна площади параллелограмма, образованного исходными векторами.

Это одна из основных операций над векторами в векторной алгебре. Вектор, в отличие от обычного отрезка, имеет не только длину, но и направление в пространстве.

Основные типы перемножения векторов

В математике есть два основных вида умножения векторов: скалярное и векторное. Результатом первого является число, результатом второго — вектор. Оба произведения применяются к двум векторам. Также выделяют смешанное произведение векторов, которое является комбинацией двух вышеописанных. Оно применяется, когда необходимо узнать результат умножения трех векторов.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Скалярное

Определение

Скалярным произведением двух векторов называется число (скаляр), равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Длина вектора является его модулем.

Записывается скалярное произведение двумя способами: \( (\overline a,\;\overline b) \) или \( \overline a\cdot\overline b.\)

Алгебраические свойства скалярного произведения
  1. Перестановочность. Произведение не меняется от перемены мест множителей: \(\overline a\cdot\overline b=\overline b\cdot\overline a.\)
  2. Сочетательность относительно числа. Умножение одного из векторов на число равносильно умножению обоих векторов на это число: \((\lambda\overline a)\cdot\overline b=\lambda(\overline a\cdot\overline b)(\lambda\overline a)\cdot(\mu\overline b)=(\lambda\mu)(\overline a\cdot\overline b).\circ\)), то их скалярное произведение будет равняться нулю.
  3. Если координаты перемножаемых векторов известны, то их скалярное произведение будет равняться сумме произведений соответствующих координат:\( \overline a\cdot\overline b=a_x\cdot b_x+a_y\cdot b_y+a_z\cdot b_z.\)
Геометрический смысл

Скалярное произведение двух векторов равно произведению модуля одного из них на проекцию второго вектора на первый.

\(\overline a\cdot\overline b=\left|\overline a\right|\cdot пр_\overline a\overline b=\overline{\left|b\right|}\cdot пр_\overline b\overline a\)

\(пр_\overline b\overline a=\frac{\overline a\cdot\overline b}{\left|\overline b\right|}\)

Физический смысл

Скалярное произведение применяется для расчета работы, выполняемой при перемещении материальной точки вдоль вектора \(\overline s\) под действием силы \(\overline F\), приложенной под некоторым углом \(\varphi.\)

 

Рисунок 1. Физический смысл скалярного произведения

Силу \(\overline F\) необходимо разложить на ортогональные компоненты \(\overline{F_1}\) и \(\overline{F_2}.\) Тогда \(\overline{F_1}\) будет являться проекцией силы \(\overline F\) на вектор \(\overline s:\)

\(\left|\overline{F_1}\right|=\left|\overline F\right|\cdot\cos\left(\varphi\right).\)

В свою очередь, работа A вычисляется по формуле:

\(A=\left|\overline{F_1}\right|\cdot\left|\overline S\right|.\)

Соединив данные формулы получим:

\(A=\left|\overline F\right|\cdot\left|\overline S\right|\cdot\cos\left(\varphi\right),\)

что является скалярным произведением векторов \(\overline F\) и \(\overline s:\)

\(A=\overline F\cdot\overline S.\)

Векторное

Определение

Векторным произведением векторов \overline a и \overline b называют перпендикулярный им вектор \overline c из правой тройки, модуль которого равняется произведению модулей векторов \overline a и \overline b на синус угла между ними.

Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется правой, если с конца третьего вектора кратчайший поворот от первого ко второму совершается против часовой стрелки. В противном случае такая тройка называется левой.

Три вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

Векторное произведение может выражаться в записи двумя способами: \(\overline a\times\overline b\) и \(\lbrack\overline a,\overline b\rbrack.\)

Алгебраические свойства
  1. Антиперестановочность. В отличие от скалярного произведения, в векторном при перемене мест множителей знак меняется на противоположный: \(\overline a\times\overline b=-(\overline b\times\overline a)\)
  2. Сочетательность относительно числа. Как и в случае со скалярным умножением, произведение числа на один из векторов равняется произведению его на другой или на оба вектора: \((\lambda\overline a)\times\overline b=\overline a\times(\lambda\overline b)=\lambda(\overline a\times\overline b).\)
  3. Распределительный закон. Векторное произведение суммы двух векторов на третий равносильно сумме векторных произведений этих векторов на третий вектор: \((\overline a+\overline b)\times\overline c=\overline a\times\overline c+\overline b\times\overline c.\)

Из этого следует, что при выполнении алгебраических действий, связанных с векторным произведением, скобки можно раскрывать так же, как при работе с числами, с поправкой на правило антиперестановочности.

Геометрические свойства
  1. Если вектора \(\overline a\) и \(\overline b\) параллельны, то их векторное произведение равняется нулю.
  2. Векторное произведение векторов с известными координатами выражается в матричном виде: \(\overline a\times\overline b=\begin{vmatrix}i&j&k\\a_x&a_y&a_z\\b_x&b_y&b_z\end{vmatrix}=\left(\begin{vmatrix}a_y&a_z\\b_y&b_z\end{vmatrix};\;-\begin{vmatrix}a_x&a_z\\b_x&b_z\end{vmatrix};\;\begin{vmatrix}a_x&a_y\\b_x&b_y\end{vmatrix}\right).\)
Геометрический смысл

Модуль векторного произведения двух векторов равняется площади параллелограмма, сторонами которого являются эти вектора.

 

Рисунок 2. Геометрический смысл векторного произведения

Из определения векторного умножения следует, что модуль полученного вектора равняется произведению модулей исходных векторов на синус угла между ними:

\(\left|\overline c\right|=\left|\overline a\right|\cdot\left|\overline b\right|\cdot\sin\left(\varphi\right)\)

Площадь параллелограмма вычисляется так:

\(S=\left|\overline a\right|\cdot h, где h=\left|\overline b\right|\cdot\sin\left(\varphi\right).\)

Таким образом, получаем:

\(S=\left|\overline a\right|\cdot\left|\overline b\right|\cdot\sin\left(\varphi\right)=\left|\overline a\times\overline b\right|\)

Отсюда следует формула для площади треугольника:

\(S_\bigtriangleup=\frac12\left|\overline a\times\overline b\right|\)

Физический смысл

В физике векторное произведение применяется для расчета момента силы, приложенной к одной точке относительно другой:

\(\overline M=\overline{AB}\times\overline F\)

Смешанное умножение векторов

Фактически, смешанное произведение векторов представляется как скалярное умножение одного вектора на векторное произведение двух других. Результатом смешанного произведения является число.

Свойства смешанного умножения
  1. \((\overline a\times\overline b)\cdot\overline c=\overline a\cdot(\overline b\times\overline c)=\overline a\cdot\overline b\cdot\overline c.\)
  2. Если \(\overline a\cdot\overline b\cdot\overline c\) больше нуля, тройка векторов — правая.
  3. Если\( \overline a\cdot\overline b\cdot\overline c\) меньше нуля, тройка векторов — левая.
  4. Если вектора \(\overline a, \overline b\) и \(\overline c\) компланарны, то их смешанное произведение равняется нулю.
Геометрический смысл

Если вектора \overline a, \overline b и \overline c не компланарны, то их смешанное произведение равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах. Число будет положительным, если тройка векторов правая, и отрицательным, если тройка левая.

\(V_{пар.}=\overline a\cdot\overline b\cdot\overline c\)

Следствием этого является формула нахождения объема пирамиды:

\(V_{пир.}=\frac16\left(\overline a\cdot\overline b\cdot\overline c\right)\)

Произведение векторов, примеры и решения

Задача №1

Даны вектора \(\overline a=(-1,\;0,\;3) и \overline b=(2,\;-3,\;1).\)

Найти их скалярное произведение.

Решение

Возьмем формулу скалярного произведения для векторов с известными координатами:

\(\overline a\cdot\overline b=a_x\cdot b_x+a_y\cdot b_y+a_z\cdot b_z\) и подставим имеющиеся значения:

\(\overline a\cdot\overline b=(-1)\cdot2+0\cdot(-3)+3\cdot1=1\)

Задача №2

Найти площадь треугольника с известными координатами угловых точек

 

Координаты точек: \(A(-1,\;2,\;3), B(0,\;-2,\;1), C(1,\;2,\;1)\)

Решение

Для решения этой простейшей задачи из геометрии воспользуемся следствием геометрического смысла векторного произведения:

\(S_\bigtriangleup=\frac12\left|\overline a\times\overline b\right|\)

В данном случае треугольник построен на векторах\( \overline{AB}\) и \(\overline{AC}\). Чтобы рассчитать их координаты, необходимо вычесть из координат конечной точки координаты начальной:

\(\overline{AB}=(0-(-1),\;(-2)-2,\;1-3)=(1,\;-4,\;-2)\)

\(\overline{AC}=(1-(-1),\;2-2,\;1-3)=(2,\;0,\;-2)\)

Векторное произведение векторов с известными координатами выполняется в матричном виде:

\(\overline a\times\overline b=\begin{vmatrix}i&j&k\\a_x&a_y&a_z\\b_x&b_y&b_z\end{vmatrix}=\left(\begin{vmatrix}a_y&a_z\\b_y&b_z\end{vmatrix};\;-\begin{vmatrix}a_x&a_z\\b_x&b_z\end{vmatrix};\;\begin{vmatrix}a_x&a_y\\b_x&b_y\end{vmatrix}\right)\)

Подставляем значения векторов\( \overline{AB}\) и \(\overline{AC}\) в матрицу и производим вычисления:

\(\overline{AB}\times\overline{AC}=\begin{vmatrix}i&j&k\\1&-4&-2\\2&0&-2\end{vmatrix}=\left(i\begin{vmatrix}-4&-2\\0&-2\end{vmatrix};\;-j\begin{vmatrix}1&-2\\2&-2\end{vmatrix};\;k\begin{vmatrix}1&-4\\2&0\end{vmatrix}\right)=8i-2j+8k\)

Подставляем полученное значение в формулу вычисления площади треугольника, учитывая, что в ней фигурирует модуль произведения:

\(S_\bigtriangleup=\frac12\left|\overline{AB}\times\overline{AC}\right|=\frac12\sqrt{8^2+{(-2)}^2+8^2}=\sqrt{132}=11.49\)

Смешанное произведение векторов. Векторное произведение векторов. Смешанное произведение векторов Вычисление площади параллелограмма построенного на векторах онлайн

Площадь параллелограмма, построенного на векторах, равняется произведению длин этих векторов на угол угла, который лежит между ними.

Хорошо, когда по условиям даны длины этих самых векторов. Однако бывает и так, что применить формулу площади параллелограмма, построенного на векторах можно только после расчетов по координатам.
Если повезло, и по условиям даны длины векторов, то нужно просто применить формулу, которую мы уже подробно разбирали в статье . Площадь будет равняться произведению модулей на синус угла между ними:

Рассмотрим пример расчета площади параллелограмма построенного на векторах.

Задача: параллелограмм построен на векторах и . Найдите площадь, если , а угол между ними 30°.
Выразим вектора через их значения:

Возможно, у вас возник вопрос – откуда взялись нули? Стоит вспомнить, что мы работаем с векторами, а для них . также обратите внимание, что если в результате мы получаем выражение ,то оно будет преобразовано в. Теперь проводим итоговые вычисления:

Вернемся к проблеме, когда длины векторов не указаны в условиях. Если ваш параллелограмм лежит в декартовой системе координат, то потребуется сделать следующее.

Расчет длин сторон фигуры, заданной координатами

Для начала находим координаты векторов и отнимаем от координат конца соответствующие координаты начала. Допустим координаты вектора a (x1;y1;z1), а вектора b (x3;y3;z3).
Теперь находим длину каждого вектора. Для этого каждую координату необходимо возвести в квадрат, потом сложить полученные результаты и из конечного числа извлечь корень. По нашим векторам будут следующие расчеты:


Теперь потребуется найти скалярное произведение наших векторов. Для этого их соответствующие координаты множатся и складываются.

Имея длины векторов и их скалярное произведение, мы можем найти косинус угла, лежащего между ними .
Теперь можем найти синус этого же угла:
Теперь у нас есть все необходимые величины, и мы можем запросто найти площадь параллелограмма построенного на векторах по уже известной формуле.

Вспомним в начале, что такое векторное произведение.

Замечание 1

Векторным произведением для $\vec{a}$ и $\vec{b}$ является $\vec{c}$, представляющий собой некоторый третий вектор $\vec{c}= ||$, причём этот вектор обладает особенными свойствами:

  • Cкаляр полученного вектора — произведение $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ на синус угла $\vec{c}= ||= |\vec{a}| \cdot |\vec{b}|\cdot \sin α \left(1\right)$;
  • Все $\vec{a}, \vec{b}$ и $\vec{c}$ образуют правую тройку;
  • Полученный вектор ортогонален к $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Если для векторов присутствуют некоторые координаты ($\vec{a}=\{x_1; y_1; z_1\}$ и $\vec{b}= \{x_2; y_2; z_2\}$), то их векторное произведение в декартовой системе координат можно определить по формуле:

$ = \{y_1 \cdot z_2 – y_2 \cdot z_1; z_1 \cdot x_2 – z_2 \cdot x_1; x_2 \cdot y_2 – x_2 \cdot y_1\}$

Легче всего запомнить эту формулу записав в форме определителя:

$ = \begin{array} {|ccc|} i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \\ \end{array}$.

Эта формула весьма удобна для использования, но чтобы понимать, как её использовать, для начала следует ознакомиться с темой матриц и их определителей.

Площадь параллелограмма , стороны которого определяются двумя векторами $\vec{a}$ и $vec{b}$ равна скаляру векторного произведения данных двух векторов.

Это соотношение совсем несложно вывести.

Вспомним формулу для нахождения площади обычного параллелограмма, который можно охарактеризовать образующими его отрезками $a$ и $b$:

$S = a \cdot b \cdot \sin α$

При этом длины сторон равны скалярным значениям векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, что вполне себе подходит нам, то есть, скаляр векторного произведения данных векторов и будет площадью рассматриваемой фигуры.

Пример 1

Даны векторы $\vec{c}$ c координатами $\{5;3; 7\}$ и вектор $\vec{g}$ с координатами $\{3; 7;10 \}$ в декартовой системе координат. Найти, чему равна площадь параллелограмма, образованного $\vec{c}$ и $\vec{g}$.2} = \sqrt{1878} ≈ 43, 34$.

Данный ход рассуждений справедлив не только для нахождения площади в 3-хмерном пространстве, но и для двухмерного. Познакомьтесь со следующей задачкой на эту тему.

Пример 2

Вычислить площадь параллелограмма, если его образующие отрезки задаются векторами $\vec{m}$ с координатами $\{2; 3\}$ и $\vec{d}$ с координатами $\{-5; 6\}$.

Решение:

Эта задача представляет собой частный пример задачки 1, решённой выше, но при этом оба вектора лежат в одной плоскости, а это значит, что третью координату, $z$, можно принять за нуль.

Подведём итоги по всему вышесказанному, площадь параллелограмма составит:

$S = \begin{array} {||cc||} 2 & 3\\ -5 & 6 \\ \end{array} = \sqrt{12 + 15} =3 \sqrt3$.

Пример 3

Даны векторы $\vec{a} = 3i – j + k; \vec{b}= 5i$. Определите площадь образуемого ими параллелограмма.

$[ \vec{a} \times \vec{b}] = (3i – j + k) \times 5i = 15 – 5 + $

Упростим согласно приведённой таблице для единичных векторов:

Рисунок 1.2} = 5\sqrt{2}$.

Предыдущие задачи были о векторах, координаты которых заданы в декартовой системе координат, но рассмотрим также случай, если угол между базисными векторами отличается от $90°$:

Пример 4

Вектор $\vec{d} = 2a + 3b$, $\vec{f}= a – 4b$, длины $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равны между собой и равны единице, а угол между $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равен 45°.

Решение:

Вычислим векторное произведение $\vec{d} \times \vec{f}$:

$[\vec{d} \times \vec{f} ]= (2a + 3b) \times (a – 4b) = 2 – 8 + 3 – 12 $.

Для векторных произведений согласно их свойствам справедливо следующее: $$ и $$ равны нулю, $ = — $.

Используем это для упрощения:

$[\vec{d} \times \vec{f} ]= -8 + 3 = -8 — 3 =-11$.

Теперь воспользуемся формулой $(1)$ :

$[\vec{d} \times \vec{f} ] = |-11 | = 11 \cdot |a| \cdot |b| \cdot \sin α = 11 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac12=5,5$.

На данном уроке мы рассмотрим ещё две операции с векторами: векторное произведение векторов и смешанное произведение векторов (сразу ссылка, кому нужно именно оно) . Ничего страшного, так иногда бывает, что для полного счастья, помимо скалярного произведения векторов , требуется ещё и ещё. Такая вот векторная наркомания. Может сложиться впечатление, что мы залезаем в дебри аналитической геометрии. Это не так. В данном разделе высшей математики вообще мало дров, разве что на Буратино хватит. На самом деле материал очень распространенный и простой – вряд ли сложнее, чем то же скалярное произведение , даже типовых задач поменьше будет. Главное в аналитической геометрии, как многие убедятся или уже убедились, НЕ ОШИБАТЬСЯ В ВЫЧИСЛЕНИЯХ. Повторяйте как заклинание, и будет вам счастье =)

Если векторы сверкают где-то далеко, как молнии на горизонте, не беда, начните с урока Векторы для чайников , чтобы восстановить или вновь приобрести базовые знания о векторах. Более подготовленные читатели могут знакомиться с информацией выборочно, я постарался собрать максимально полную коллекцию примеров, которые часто встречаются в практических работах

Чем вас сразу порадовать? Когда я был маленьким, то умел жонглировать двумя и даже тремя шариками. Ловко получалось. Сейчас жонглировать не придётся вообще, поскольку мы будем рассматривать только пространственные векторы , а плоские векторы с двумя координатами останутся за бортом. Почему? Такими уж родились данные действия – векторное и смешанное произведение векторов определены и работают в трёхмерном пространстве. Уже проще!

В данной операции, точно так же, как и в скалярном произведении, участвуют два вектора . Пусть это будут нетленные буквы .

Само действие обозначается следующим образом: . Существуют и другие варианты, но я привык обозначать векторное произведение векторов именно так, в квадратных скобках с крестиком.

И сразу вопрос : если в скалярном произведении векторов участвуют два вектора, и здесь тоже умножаются два вектора, тогда в чём разница ? Явная разница, прежде всего, в РЕЗУЛЬТАТЕ:

Результатом скалярного произведения векторов является ЧИСЛО:

Результатом векторного произведения векторов является ВЕКТОР : , то есть умножаем векторы и получаем снова вектор. Закрытый клуб. Собственно, отсюда и название операции. В различной учебной литературе обозначения тоже могут варьироваться, я буду использовать букву .

Определение векторного произведения

Сначала будет определение с картинкой, затем комментарии.

Определение : Векторным произведением неколлинеарных векторов , взятых в данном порядке , называется ВЕКТОР , длина которого численно равна площади параллелограмма , построенного на данных векторах; вектор ортогонален векторам , и направлен так, что базис имеет правую ориентацию:

Разбираем определение по косточкам, тут много интересного!

Итак, можно выделить следующие существенные моменты:

1) Исходные векторы , обозначенные красными стрелками, по определению не коллинеарны . Случай коллинеарных векторов будет уместно рассмотреть чуть позже.

2) Векторы взяты в строго определённом порядке : – «а» умножается на «бэ» , а не «бэ» на «а». Результатом умножения векторов является ВЕКТОР , который обозначен синим цветом. Если векторы умножить в обратном порядке, то получим равный по длине и противоположный по направлению вектор (малиновый цвет). То есть, справедливо равенство .

3) Теперь познакомимся с геометрическим смыслом векторного произведения. Это очень важный пункт! ДЛИНА синего вектора (а, значит, и малинового вектора ) численно равна ПЛОЩАДИ параллелограмма, построенного на векторах . На рисунке данный параллелограмм заштрихован чёрным цветом.

Примечание : чертёж является схематическим, и, естественно, номинальная длина векторного произведения не равна площади параллелограмма.

Вспоминаем одну из геометрических формул: площадь параллелограмма равна произведению смежных сторон на синус угла между ними . Поэтому, исходя из вышесказанного, справедлива формула вычисления ДЛИНЫ векторного произведения:

Подчёркиваю, что в формуле речь идёт о ДЛИНЕ вектора, а не о самом векторе . Каков практический смысл? А смысл таков, что в задачах аналитической геометрии площадь параллелограмма часто находят через понятие векторного произведения:

Получим вторую важную формулу. Диагональ параллелограмма (красный пунктир) делит его на два равных треугольника. Следовательно, площадь треугольника, построенного на векторах (красная штриховка), можно найти по формуле:

4) Не менее важный факт состоит в том, что вектор ортогонален векторам , то есть . Разумеется, противоположно направленный вектор (малиновая стрелка) тоже ортогонален исходным векторам .

5) Вектор направлен так, что базис имеет правую ориентацию. На уроке о переходе к новому базису я достаточно подробно рассказал об ориентации плоскости , и сейчас мы разберёмся, что такое ориентация пространства. Объяснять буду на пальцах вашей правой руки . Мысленно совместите указательный палец с вектором и средний палец с вектором . Безымянный палец и мизинец прижмите к ладони. В результате большой палец – векторное произведение будет смотреть вверх. Это и есть правоориентированный базис (на рисунке именно он). Теперь поменяйте векторы (указательный и средний пальцы ) местами, в результате большой палец развернётся, и векторное произведение уже будет смотреть вниз. Это тоже правоориентированный базис. Возможно, у вас возник вопрос: а какой базис имеет левую ориентацию? «Присвойте» тем же пальцам левой руки векторы , и полУчите левый базис и левую ориентацию пространства (в этом случае большой палец расположится по направлению нижнего вектора) . Образно говоря, данные базисы «закручивают» или ориентируют пространство в разные стороны. И это понятие не следует считать чем-то надуманным или абстрактным – так, например, ориентацию пространства меняет самое обычное зеркало, и если «вытащить отражённый объект из зазеркалья», то его в общем случае не удастся совместить с «оригиналом». Кстати, поднесите к зеркалу три пальца и проанализируйте отражение;-)

…как всё-таки хорошо, что вы теперь знаете о право- и левоориентированных базисах, ибо страшнЫ высказывания некоторых лекторов о смене ориентации =)

Векторное произведение коллинеарных векторов

Определение подробно разобрано, осталось выяснить, что происходит, когда векторы коллинеарны. Если векторы коллинеарны, то их можно расположить на одной прямой и наш параллелограмм тоже «складывается» в одну прямую. Площадь такого, как говорят математики, вырожденного параллелограмма равна нулю. Это же следует и из формулы – синус нуля или 180-ти градусов равен нулю, а значит, и площадь нулевая

Таким образом, если , то и . Обратите внимание, что само векторное произведение равно нулевому вектору, но на практике этим часто пренебрегают и пишут, что оно тоже равно нулю.

Частный случай – векторное произведение вектора на самого себя:

С помощью векторного произведения можно проверять коллинеарность трёхмерных векторов, и данную задачу среди прочих мы тоже разберём.

Для решения практических примеров может потребоваться тригонометрическая таблица , чтобы находить по ней значения синусов.

Ну что же, разжигаем огонь:

Пример 1

а) Найти длину векторного произведения векторов , если

б) Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах , если

Решение : Нет, это не опечатка, исходные данные в пунктах условия я намеренно сделал одинаковыми. Потому что оформление решений будет отличаться!

а) По условию требуется найти длину вектора (векторного произведения). По соответствующей формуле:

Ответ :

Коль скоро спрашивалось о длине, то в ответе указываем размерность – единицы.

б) По условию требуется найти площадь параллелограмма, построенного на векторах . Площадь данного параллелограмма численно равна длине векторного произведения:

Ответ :

Обратите внимание, что в ответе о векторном произведении речи не идёт вообще, нас спрашивали о площади фигуры , соответственно, размерность – квадратные единицы.

Всегда смотрим, ЧТО требуется найти по условию, и, исходя из этого, формулируем чёткий ответ. Может показаться буквоедством, но буквоедов среди преподавателей хватает, и задание с хорошими шансами вернётся на доработку. Хотя это не особо натянутая придирка – если ответ некорректен, то складывается впечатление, что человек не разбирается в простых вещах и/или не вник в суть задания. Этот момент всегда нужно держать на контроле, решая любую задачу по высшей математике, да и по другим предметам тоже.

Куда подевалась большая буковка «эн»? В принципе, её можно было дополнительно прилепить в решение, но в целях сократить запись, я этого не сделал. Надеюсь, всем понятно, что и – это обозначение одного и того же.

Популярный пример для самостоятельного решения:

Пример 2

Найти площадь треугольника, построенного на векторах , если

Формула нахождения площади треугольника через векторное произведение дана в комментариях к определению. Решение и ответ в конце урока.

На практике задача действительно очень распространена, треугольниками вообще могут замучить.

Для решения других задач нам понадобятся:

Свойства векторного произведения векторов

Некоторые свойства векторного произведения мы уже рассмотрели, тем не менее, я их включу в данный список.

Для произвольных векторов и произвольного числа справедливы следующие свойства:

1) В других источниках информации данный пункт обычно не выделяют в свойствах, но он очень важен в практическом плане. Поэтому пусть будет.

2) – свойство тоже разобрано выше, иногда его называют антикоммутативностью . Иными словами, порядок векторов имеет значение.

3) – сочетательные или ассоциативные законы векторного произведения. Константы безпроблемно выносятся за пределы векторного произведения. Действительно, чего им там делать?

4) – распределительные или дистрибутивные законы векторного произведения. С раскрытием скобок тоже нет проблем.

В качестве демонстрации рассмотрим коротенький пример:

Пример 3

Найти , если

Решение: По условию снова требуется найти длину векторного произведения. Распишем нашу миниатюру:

(1) Согласно ассоциативным законам, выносим константы за переделы векторного произведения.

(2) Выносим константу за пределы модуля, при этом модуль «съедает» знак «минус». Длина же не может быть отрицательной.

(3) Дальнейшее понятно.

Ответ :

Пора подбросить дров в огонь:

Пример 4

Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах , если

Решение : Площадь треугольника найдём по формуле . Загвоздка состоит в том, что векторы «цэ» и «дэ» сами представлены в виде сумм векторов. Алгоритм здесь стандартен и чем-то напоминает примеры № 3 и 4 урока Скалярное произведение векторов . Решение для ясности разобьём на три этапа:

1) На первом шаге выразим векторное произведение через векторное произведение , по сути, выразим вектор через вектор . О длинах пока ни слова!

(1) Подставляем выражения векторов .

(2) Используя дистрибутивные законы, раскрываем скобки по правилу умножения многочленов.

(3) Используя ассоциативные законы, выносим все константы за пределы векторных произведений. При маломальском опыте действия 2 и 3 можно выполнять одновременно.

(4) Первое и последнее слагаемое равно нулю (нулевому вектору) благодаря приятному свойству . Во втором слагаемом используем свойство антикоммутативности векторного произведения:

(5) Приводим подобные слагаемые.

В результате вектор оказался выражен через вектор, чего и требовалось достичь:

2) На втором шаге найдем длину нужного нам векторного произведения. Данное действие напоминает Пример 3:

3) Найдём площадь искомого треугольника:

Этапы 2-3 решения можно было оформить и одной строкой.

Ответ :

Рассмотренная задача достаточно распространена в контрольных работах, вот пример для самостоятельного решения:

Пример 5

Найти , если

Краткое решение и ответ в конце урока. Посмотрим, насколько вы были внимательны при изучении предыдущих примеров;-)

Векторное произведение векторов в координатах , заданных в ортонормированном базисе , выражается формулой :

Формула и правда простецкая: в верхнюю строку определителя записываем координатные векторы, во вторую и третью строки «укладываем» координаты векторов , причём укладываем в строгом порядке – сначала координаты вектора «вэ», затем координаты вектора «дубль-вэ». Если векторы нужно умножить в другом порядке, то и строки следует поменять местами:

Пример 10

Проверить, будут ли коллинеарны следующие векторы пространства:
а)
б)

Решение : Проверка основана на одном из утверждений данного урока: если векторы коллинеарны, то их векторное произведение равно нулю (нулевому вектору): .

а) Найдём векторное произведение:

Таким образом, векторы не коллинеарны.

б) Найдём векторное произведение:

Ответ : а) не коллинеарны, б)

Вот, пожалуй, и все основные сведения о векторном произведении векторов.

Данный раздел будет не очень большим, так как задач, где используется смешанное произведение векторов, немного. Фактически всё будет упираться в определение, геометрический смысл и пару рабочих формул.

Смешанное произведение векторов – это произведение трёх векторов :

Вот так вот они выстроились паровозиком и ждут, не дождутся, когда их вычислят.

Сначала опять определение и картинка:

Определение : Смешанным произведением некомпланарных векторов , взятых в данном порядке , называется объём параллелепипеда , построенного на данных векторах, снабжённый знаком «+», если базис правый, и знаком «–», если базис левый.

Выполним рисунок. Невидимые нам линии прочерчены пунктиром:

Погружаемся в определение:

2) Векторы взяты в определённом порядке , то есть перестановка векторов в произведении , как вы догадываетесь, не проходит без последствий.

3) Перед тем, как прокомментировать геометрический смысл, отмечу очевидный факт: смешанное произведение векторов является ЧИСЛОМ : . В учебной литературе оформление может быть несколько другим, я привык обозначать смешанное произведение через , а результат вычислений буквой «пэ».

По определению смешанное произведение – это объем параллелепипеда , построенного на векторах (фигура прочерчена красными векторами и линиями чёрного цвета). То есть, число равно объему данного параллелепипеда.

Примечание : чертёж является схематическим.

4) Не будем заново париться с понятием ориентации базиса и пространства. Смысл заключительной части состоит в том, что к объёму может добавляться знак минус. Простыми словами, смешанное произведение может быть отрицательным: .

Непосредственно из определения следует формула вычисления объема параллелепипеда, построенного на векторах .

Умножение матрицы на вектор с примерами решения

Содержание:

  1. Примеры с решением

Каждый вектор можно рассматривать как одностолбцовую или однострочную матрицу. Одностолбцовую матрицу будем называть вектор-столбцом, а однострочную матрицу — вектор-строкой.

Если — матрица размера , вектор-столбец имеет размерность , а вектор-строка — размерность , то определены произведения и , причем — вектор-столбец размерности , а — вектор-строка размерности . Таким образом, при умножении матрицы на вектор, надо рассматривать вектор как вектор-столбец. При умножении вектора на матрицу его нужно рассматривать как вектор-строку.

Примеры с решением

Пример 1.

Даны матрица и векторы и :

.

Вычислить координаты векторов и . Имеем

Свойства умножения матрицы на вектор ( — число; — матрица; — векторы):

Элемент новой матрицы, стоящий на пересечении — й строки и — ro столбца, равен сумме произведений элементов — й строки первой матрицы на соответствующие элементы — ro столбца второй матрицы.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Операция определена при условии, что число столбцов первой матрицы равно числу строк второй.

Произведением матрицы на матрицу называется матрица такая, что . Элементы матрицы вычисляются по формуле . (1)

Матрица умножается на вектор в соответствии с правилом «строк на столбец». При умножении матрицы на вектор столбцов количество столбцов в матрице должно соответствовать количеству строк в векторе столбцов.
Пример 2.

Замечание 1. Используя знак сокращенного суммирования, формулу (1) можно записать в виде .

Замечание 2. Введем обозначение матрицы в виде , означающее, что матрица содержит строк и столбцов. Тогда произведение матриц можно записать следующим образом: .

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Замечание 3. Порядок матриц-сомножителей существен. Поэтому говорят об умножении матрицы на матрицу справа или слева. Если произведение матриц существует, то произведение матриц может не существовать. Если существуют произведения матриц и , они могут быть матрицами разных размеров. Если матрицы и квадратные, то их произведения и существуют и имеют одинаковый порядок, но в общем случае .

Замечание 4. Умножение единичной матрицы на квадратную матрицу не изменяет последней: .

Замечание 5. Произведение двух ненулевых матриц может дать нулевую матрицу , например:

.

Умножение векторов, онлайн калькулятор


Онлайн калькулятор умножения двух векторов на 4 элемента

Вычислить умножение векторов

Перемножаются два вектора с двумя элементами в каждом.

Это простое умножение, в котором отдельные элементы вектора умножаются на соответствующий элемент другого вектора.Смотрите описание справа.

Умножение на векторное произведение или кросс-произведение можно найти здесь, на других страницах.

Чтобы выполнить расчет, введите векторы, которые необходимо вычислить, и нажмите кнопку «Рассчитать». Пустые поля считаются как 0.


Калькулятор векторного умножения


Описание умножения векторов

Векторы умножаются путем умножения отдельных элементов первый вектор соответствующими элементами второго вектора.

\ (\ Displaystyle \ left [\ матрица {x1 \\ y1 \\ z1 \\ w1} \ right] \ cdot \ left [\ matrix {x2 \\ y2 \\ z2 \\ w2} \ right] = \ left [ \ matrix {x1 \ cdot x2 \\ y1 \ cdot y2 \\ z1 \ cdot z2 \\ w1 \ cdot w2} \ right] \)

Пример

\ (\ Displaystyle \ влево [\ матрица {2 \\ 3 \\ 4 \\ 5} \ вправо] \ CDOT \ влево [\ матрица {5 \\ 4 \\ 3 \\ 2} \ вправо] = \ left [\ matrix {2 \ cdot 5 \\ 3 \ cdot 4 \\ 4 \ cdot 3 \\ 5 \ cdot 2} \ right] = \ left [\ matrix {10 \\ 12 \\ 12 \\ 10 }\Правильно]\)

Эта страница полезна? да Нет

Спасибо за ваш отзыв!

Прошу прощения за это

Как мы можем это улучшить?

послать

Калькулятор перекрестных произведений (вектор)

Свойства играют большую роль в обнаружении перекрестных произведений различных заданных векторов, которые руководствуются принципами компоновки в определенных условиях.Они связывают полученные растворы перекрестных продуктов. Есть четыре свойства, из которых два самых важных. Их —

  • 1. Антикоммутативная собственность

В основном это свойство имеет отрицательные признаки.
Представлено как —

Антикоммутативность принимает участие в методе записи координат, поэтому равенства i, j и k становятся -i, -j, и -k, соответственно.

2. Распределительное свойство
Он показывает нам, как найти решение для таких выражений, как a (b + c). Это также называется «Распределительный закон умножения и деления».

Представляется как —

Обычно, решая выражение вышеприведенного шаблона, мы сначала решаем уравнение в скобках. Тем не менее, когда речь идет о распределительном свойстве , мы должны сначала умножить числа вне скобок на числа внутри него в правильном порядке.

Пример:

В приведенном выше примере мы видим, что 2 умножается на 4 , затем на 8 , а затем их результат складывается, и мы получаем ответ 24 .
Если мы используем стандартный метод, упомянутый ранее, мы все равно получим ответ 24. Тогда почему мы используем свойство распределения? Когда дело доходит до векторов, часто вместо чисел переменные представлены в виде коэффициентов. Когда присутствуют переменные, мы должны использовать свойство распределения , а не стандартный метод; в противном случае мы получим неправильные ответы.

  • 3. Собственность Якоби
    Названа в честь немецкого математика Карла Густава Якоба Якоби.

В лице —

Это свойство контролирует порядок, в котором предполагается вычислять выражения, и положение скобок в выражениях с несколькими порядками. Это необходимо для обеспечения единообразия в решении похожих типов выражений во всем мире.

Имеет различные формы в зависимости от предмета использования.

Представлен как —

Имеет три основных подсвойства. Это —
(i) Аддитивная идентичность, означающая a + 0 = a.
(ii) Нуль, умноженный на любой вектор в пространстве, дает это свойство, что означает 0 ( a ) = 0.
(iii) Прямые углы (ортогональные) к каждому вектору в пространстве, что означает a . 0 = 0.

Калькулятор взаимного произведения двух векторов

Рассмотрим пример использования калькулятора.скажем, вектор A = 2i + 3j + 4k и вектор B = 3.2i + 1j + 7k, чем согласно калькулятору, мы имеем x1 = 2, y1 = 3, z1 = 4 и x2 = 3.2, y2 = 1, z2 = 7 поместив эти значения в соответствующий столбец ниже, мы получим окончательный расчетный продукт как 17i-1.2j-7.6k.

Вышеупомянутый калькулятор перекрестного произведения может использоваться для вычисления произведения двух векторов, результирующий вектор представляет собой комбинацию векторов i, j, k, тогда как коэффициент каждого вектора представляет длину каждого вектора x, y, z соответственно — AxB ( i) + AxB (j) + AxB (k).

Основы расчета перекрестных произведений

Есть два способа получить произведение пары векторов. Один из этих методов умножения — это перекрестное произведение , второе умножение — это скалярное произведение, которое обсуждается в калькуляторе скалярного произведения.

Если a и b — два трехмерных вектора, то их перекрестное произведение, записанное как a × b и произносимое как «крест b», является другим трехмерным или трехмерным вектором.

Вы также можете убедиться, что апплет демонстрирует b × a = — a × b и a × a = 0 , которые являются важными свойствами перекрестного произведения.

Перекрестное произведение, иногда называемое векторным произведением, является результатом умножения двух векторов вместе и приводит к третьему вектору, который находится на перпендикулярно (то есть под прямым углом или ортогонально ) к обоим исходным векторов.Следовательно, перекрестное произведение не имеет смысла в двумерной среде

давайте рассмотрим пример, чтобы понять метод перекрестного умножения, используемый в калькуляторе.

сначала мы находим компоненты x , y и z вектора c , используя компоненты x , y и z векторов a и b следующим образом:

c x = a y b z a z b y = (1) (- 2) ) (- 1) = -1

c y = a z b x a x b z = 1) (2) — (1) (- 2) = 4

c z = a x b y a y b x = (1) (- 1) — (1) (2) = -3

Допустим, a⃗ × b⃗ = c⃗.Этот новый вектор c⃗ обладает двумя особыми свойствами.

он перпендикулярен как a⃗, так и b⃗. Формулируя это в терминах скалярного произведения, мы могли бы сказать, что c⃗⋅a⃗ = c⃗⋅b⃗ = 0

Во-вторых, длина c⃗ с вектором наверху — это мера того, насколько далеко друг от друга указывают a⃗, увеличенная на их величину. ∥c⃗∥ = ∥a⃗∥∥b⃗∥sin⁡ (θ).

Это похоже на скалярное произведение, но вместо cos⁡ (θ), где θ — угол между a⃗ и b⃗. Таким образом, когда угол равен 90 градусам, векторное произведение будет максимальным.В этом смысле скалярное произведение и векторное произведение дополняют друг друга.

выражение ∥c⃗∥ = a⃗∥∥b⃗∥sin⁡ (θ) также может использоваться в качестве формулы перекрестного произведения

Правило правой руки для перекрестного умножения

Если вы поднимите правую руку, укажите указательным пальцем в направлении a⃗, а средний палец — в направлении b⃗, тогда ваш большой палец будет указывать в направлении a⃗ × b⃗. Мы произвольно определяем перекрестное произведение с помощью правила правой руки, а не с помощью правила левой руки, но при использовании этого соглашения перекрестное произведение больше не имеет двусмысленности.

Вики-изображения

Калькулятор расчета перекрестных произведений

с учетом i, j, k как векторов, чем скрещенные произведения этих координатных осей могут быть записаны как

  • i * j = k, j * i = -k
  • j * k = i, k * j = -i
  • k * i = j, i * k = -j
  • i * i = j * j = k * k = 0

Получение перекрестного произведения любых двух векторов a и b , используемых в калькуляторе. Это произведение часто называют векторным произведением, поскольку результат произведения является вектором, тогда как результат скалярного произведения является скалярной величиной.

wiki images

Матричная запись векторных произведений

Другой полезный калькулятор — Ач на кВтч, кВтч на Ач

Приложения для векторных продуктов

Векторное произведение полезно как метод построения вектора, перпендикулярного плоскости, если у вас есть два вектора на плоскости. Физически это проявляется при вычислении крутящего момента и при расчете магнитной силы на движущийся заряд и магнитной силы как векторного произведения.

Произведение единичных векторов

Стандартные единичные векторы в трех измерениях: i (зеленый), j (синий) и k (красный) — это векторы длины один, которые указывают параллельно оси x , y , и z — ось соответственно.

Параллелограмм, натянутый на любые два из этих стандартных единичных векторов, является единичным квадратом, площадь которого равна единице. Следовательно, согласно геометрическому определению, векторное произведение должно быть единичным вектором. Поскольку векторное произведение должно быть перпендикулярно двум единичным векторам, оно должно быть равно другому единичному вектору или противоположно этому единичному вектору. Глядя на приведенный выше график, вы можете использовать правило правой руки для определения следующих результатов. i × jj × kk × i = k = i = j

Эта небольшая диаграмма циклов поможет вам запомнить эти результаты.

А как насчет i × k ? По правилу правой руки это должно быть — j . Помня, что b × a = — a × b , можно сделать вывод, что j × i k × j i × k = — k = — i = — j .

Наконец, произведение любого вектора на себя является нулевым вектором ( a × a = 0 ).В частности, произведение любого стандартного единичного вектора на себя является нулевым вектором.

Глядя на формулу для определителя 3 × 3, мы видим, что формула для векторного произведения очень похожа на формулу для определителя 3 × 3. Если мы позволим матрице иметь вектор i , j и k в качестве элементов, определитель 3 × 3 даст удобную мнемонику для запоминания векторного произведения .

Метод перекрестного произведения

Метод перекрестного произведения используется для сравнения двух дробей.Он включает в себя умножение числителя одной дроби на знаменатель другой дроби, а затем сравнение ответов, чтобы показать, больше или меньше одна дробь, или эквивалентны ли эти две дроби. Этот метод является быстрым способом нахождения общего знаменателя и не меняет значения ни одной из используемых дробей.

С помощью этого метода мы можем сравнивать только две дроби за раз, поэтому, если вы пытаетесь сравнить более двух дробей, вам нужно будет повторить эти шаги, используя две дроби за раз.Давайте рассмотрим пошаговый пример, чтобы увидеть, насколько простым может быть метод перекрестного произведения.

Калькулятор точечного произведения

| PureCalculators

О калькуляторе скалярных произведений

Определение скалярного произведения векторов может быть сложной задачей. На этой странице вы можете легко рассчитать скалярные произведения и найти всю необходимую информацию о скалярных произведениях.

Как использовать калькулятор скалярного произведения?

Добавьте координаты вектора в калькулятор скалярного произведения, и вы получите скалярный результат.

Если у вас есть двумерные координаты, добавьте 0 к z-координатам, и вы можете использовать калькулятор для ваших векторов.

Что такое скалярное произведение?

Скалярное произведение — это способ умножения векторов, в результате чего получается скалярная величина. Скалярное произведение также часто называют скалярным произведением. Результат скалярного произведения зависит от угла между векторами и длины входных данных.

Следовательно, скалярное произведение — это простая, но фундаментальная концепция, которая преобразует сходство между разными векторами в скалярный результат.

Точечное произведение в математике
Какова формула скалярного произведения?

Скалярное произведение двух векторов, определенных как a и b, имеет следующий вид:

a⋅b = | a | * | b | * cosθ

Какова формула угла скалярного произведения?

Формула угла скалярного произведения для двух векторов, которые определены как a и b, следующая:

cosθ = a · b / (| a | * | b |)

Как рассчитать скалярное произведение?

Точечный продукт между векторами вычисляется путем оценки количества векторов, указывающих в одном направлении друг с другом.

Вычисление точечного произведения просто выполняется путем умножения соответствующих координат векторов и их сложения.

Для двух векторов a и b скалярное произведение вычисляется следующим образом:

(a1 * b1) + (a2 * b2) + (a3 * b3) …. + (an * bn)

Что такое разница между положительным и отрицательным скалярным произведением?

Полученное количество относительно направлений двух векторов.

Если угол между ними меньше 90 градусов, скалярное произведение будет положительным, и они будут ближе к сходным направлениям.

Если угол между ними больше 90 градусов, скалярное произведение будет отрицательным, и они будут ближе к противоположным направлениям.

Положительное и отрицательное скалярное произведение
Что происходит, когда скалярное произведение равно 0?

Если две стороны перпендикулярны друг другу под углом 90 градусов, скалярное произведение равно нулю.

В чем разница между скалярным произведением и перекрестным произведением?

Скалярное произведение двух векторов показывает величину двух векторов и косинус угла, который они образуют друг с другом.

Перекрестное произведение двух векторов получается синусом угла, который они образуют друг с другом, и величиной двух векторов.

Разница между скалярным произведением и перекрестным произведением состоит в том, что первое является скалярной величиной, а второе — векторной величиной.

Следовательно, результатом скалярного произведения является одно число, а результатом перекрестного произведения является вектор.

Перекрестное произведение
Как рассчитать матричное скалярное произведение?

Чтобы получить скалярное произведение матриц, строки первых матриц и столбцы вторых матриц должны иметь одинаковую длину.

Матричное умножение
Калькулятор точечного произведения Английский

Опубликовано: Вт 24 августа 2021 г.

В категории Математические калькуляторы

Добавить Калькулятор точечного произведения на свой веб-сайт

Векторное произведение двух векторов

Вы не знаете, , как вычислить векторное произведение двух векторов ? Воспользуйтесь нашим онлайн-калькулятором и узнайте результат автоматически, не выполняя никаких действий.

Просто введите компоненты i, j и k двух векторов и нажмите кнопку вычислить, чтобы получить их векторное произведение.Например, если вам дан вектор

= (1, 2, 3) y = (4, 5, 6), значения каждого из его компонентов — это те значения, которые вы должны записать в инструменте. Если вы не знаете , как вычислить векторное произведение , прочтите, и мы вам объясним.

Что такое векторное произведение?

Векторное произведение двух векторов приводит к другому вектору с:

  • Перпендикулярное направление двум векторам
  • Направление согласно правилу штопора или правой рукой.

Что говорит правило правой руки? Правило правой руки или штопора говорит нам направление, в котором будет иметь вектор. в соответствии с движением штопора (или отвертки, винта и т. Д.).

В случае с рисунком выше вы можете видеть, что если мы повернем штопор влево (против часовой стрелки), штопор пойдет вверх и, следовательно, это будет направление результирующего вектора «c».

Очень важно не путать вектор со скалярным произведением.

Как сделать векторное произведение двух векторов

Чтобы решить векторное произведение двух векторов

= (a 1 , a 2 , a 3 ) y = (b 1 , b 2 , b 3 ), мы должны примените следующую формулу , которая даст нам компоненты вектора «c»:

В принципе, необходимо записать в определитель 3 × 3 и разложить его на три определителя 2 × 2 для каждого компонента i, j, k.

Вам не нужно запоминать элементы определителя, связанные с каждым элементом, поскольку их легко вывести. Просто вам нужно вычислить присоединенный определитель , то есть вам нужно исключить строку и столбец, в которых каждый элемент i, j, k расположен таким образом, чтобы с оставшимися элементами вы образовали определитель 2 × 2. Здесь мы покажем вам, как решить определитель матрицы 2 × 2.

Например, мы увидим решенное упражнение, в котором нас просят вычислить векторное произведение векторов

= (2, 0, -1) y = (1, 1, -2):

В результате векторного произведения получился вектор:

Существует метод секунд для вычисления векторного произведения двух векторов по следующей математической формуле:

Метод состоит в умножении их модулей на синус угла, который они образуют, и единичный вектор «n , который ортогонален векторам, смысл и направление которого регулируются правилом правой руки.

Если вы не знаете, как это сделать, вот как это сделать — вычислить модуль вектора.

Модуль векторного произведения

Для вычислите модуль векторного произведения двух векторов , вы должны использовать эту формулу:

В этом случае результатом будет скалярное число, которое представляет длину, которую будет иметь сегмент результирующего вектора.

Векторное произведение двух векторов в R2

Если нас попросят вычислить векторное произведение двух векторов в R2 Последующий процесс в точности такой же, как и в R3.Нам просто нужно будет заполнить 0 отсутствующим компонентом вектора.

Например, давайте вычислим векторное произведение векторов в R2

= (3, 2) y = (2, -1).

Как видите, у нас нет компонента «k», поэтому элементы a 3 y b 3 будут равны нулю . Принимая во внимание эту деталь, мы решаем упражнение, и у нас остается следующее:

Тройное векторное произведение

Тройное векторное произведение (также известное как двойное векторное произведение) состоит из векторного умножения двух векторов, и на основе полученного результата получается другое векторное произведение с отсутствующим вектором.Например:

A × (B × C) = B (A — C) — C (A — B)

Умножая векторы B x C, мы генерируем вектор, который мы затем должны векторно умножить на A. Результатом будет вектор , содержащийся в плоскости, определенной B и C.

Поскольку двойное векторное произведение обладает антикоммутативным свойством Мы также можем выразить это следующим образом:

A × (B × C) = — C x (A x B)

Наконец, следует отметить, что тройное произведение не имеет ассоциативного свойства .

Свойства векторного произведения

Вот свойства векторного произведения, которые еще не упоминались:

  • Антикоммутативный: a x b = — (b x a)
  • а — (а х б) = 0
  • Если a x b = 0, будучи a 0 и b ≠ 0, это означает, что векторы параллельны, и поэтому их векторное произведение равно нулю.
  • (a + b) x c = a x c + b x c
  • a x (b x c) + c x (a x b) + b x (c x a) = 0 согласно тождеству Якоби

Векторные приложения продукта

У нас есть множество приложений для векторного произведения в мире математики, физики или астрономии.

Некоторые из тех, что всегда используются в качестве примеров и которые позволяют нам вычислить площадь и объем некоторых фигур геометрических фигур, таких как треугольник или параллелограмм.

Калькулятор перекрестных произведений

— Онлайн-калькулятор перекрестных произведений

Калькулятор перекрестного произведения

вычисляет перекрестное произведение двух данных векторов. Перекрестное произведение двух векторов дает третий вектор, перпендикулярный двум исходным векторам. Кроме того, направление вектора, полученного после взятия перекрестного произведения двух векторов, можно определить по правилу правой руки.

Что такое калькулятор перекрестных произведений?

Cross Product Calculator — это онлайн-инструмент, который вычисляет перекрестное произведение двух векторов. Если два вектора находятся либо в одном, либо в противоположном направлении, их перекрестное произведение равно нулю. Более того, если какой-либо вектор имеет нулевую длину, тогда перекрестное произведение снова будет нулевым. Чтобы использовать калькулятор перекрестного произведения , введите входные значения в поля.

Калькулятор перекрестного произведения

* Используйте только 2 цифры.

Как пользоваться калькулятором перекрестных продуктов?

Выполните следующие действия, чтобы найти перекрестное произведение с помощью онлайн-калькулятора перекрестного произведения:

  • Шаг 1: Зайдите в онлайн-калькулятор кросс-произведений Cuemath.
  • Шаг 2: Введите коэффициенты двух векторов в указанные поля ввода калькулятора перекрестного произведения.
  • Шаг 3: Нажмите кнопку «Вычислить» , чтобы вычислить перекрестное произведение.
  • Шаг 4: Нажмите кнопку «Сброс» , чтобы очистить поля и ввести другие значения.

Как работает калькулятор кросс-продуктов?

Векторы — это величины, имеющие как величину, так и направление. Векторы помогают одновременно представлять разные величины в одном выражении. С векторами можно выполнять ряд арифметических операций, таких как сложение, вычитание и умножение.Есть два типа умножения векторов. Это скалярное произведение и перекрестное произведение.

Стандартная форма представления вектора:

a = \ (a_ {1} i \ hat {} + a_ {2} j \ hat {} + a_ {3} k \ hat {} \)

b = \ (b_ {1} i \ hat {} + b_ {2} j \ hat {} + b_ {3} k \ hat {} \)

Где \ (a_ {1} \), \ (a_ {2} \), \ (a_ {3} \) и \ (b_ {1} \), \ (b_ {2} \), \ (b_ {3} \) — числовые значения. \ (i \ hat {} \), \ (j \ hat {} \) и \ (k \ hat {} \) — единичные векторы вдоль оси x, оси y и оси z соответственно.

Когда два вектора умножаются друг на друга и произведение также является векторной величиной, тогда результирующий вектор называется перекрестным произведением или векторным произведением. Перекрестное произведение представлено как a × b. Перекрестное произведение двух векторов равно:

a × b = \ ({\ begin {bmatrix} i \ hat {} & j \ hat {} & k \ hat {} \\ a_ {1} & a_ {2} & a_ {3} \\ b_ {1} & b_ {2} & b_ {3} \ end {bmatrix}} \)

Если мы используем расширение кофактора для решения этой матрицы, перекрестное произведение дается следующим образом:

(a × b) = (\ (a_ {2} \) \ (b_ {3} \) — \ (a_ {3} \) \ (b_ {2} \)) \ (i \ hat {} \) — (\ (a_ {1} \) \ (b_ {3} \) — \ (a_ {3} \) \ (b_ {1} \)) \ (j \ hat {} \) + ( \ (a_ {1} \) \ (b_ {2} \) — \ (a_ {2} \) \ (b_ {1} \)) \ (k \ hat {} \).

Хотите найти сложные математические решения за секунды?

Воспользуйтесь нашим бесплатным онлайн-калькулятором для решения сложных вопросов. Cuemath находит решения простым и легким способом.

Забронируйте бесплатную пробную версию Класс

Решенных примеров на перекрестном произведении

Пример 1: Найдите векторное произведение двух векторов a = 4 \ (i \ hat {} \) + 2 \ (j \ hat {} \) — 5 \ (k \ hat {} \) и b = 3 \ (i \ hat {} \) — 2 \ (j \ hat {} \) + \ (k \ hat {} \) и проверьте это с помощью калькулятора кросс-произведения.

Раствор:

Для a = 4 \ (i \ hat {} \) + 2 \ (j \ hat {} \) — 5 \ (k \ hat {} \) и b = 3 \ (i \ hat {} \) — 2 \ (j \ hat {} \) + \ (k \ hat {} \)

(a × b) = (\ (a_ {2} \) \ (b_ {3} \) — \ (a_ {3} \) \ (b_ {2} \)) \ (i \ hat {} \) — (\ (a_ {1} \) \ (b_ {3} \) — \ (a_ {3} \) \ (b_ {1} \)) \ (j \ hat {} \) + ( \ (a_ {1} \) \ (b_ {2} \) — \ (a_ {2} \) \ (b_ {1} \)) \ (k \ hat {} \).

= ((2 × 1) — (-5) × (-2)) \ (i \ hat {} \) — (4 × 1 — (5) × (3)) \ (j \ hat {} \ ) + ((4) × (-2) — (2 × 3)) \ (k \ hat {} \)

= (2-10) \ (i \ hat {} \) — (4 + 15) \ (j \ hat {} \) + (-8-6) \ (k \ hat {} \)

= -8 \ (i \ hat {} \) — 19 \ (j \ hat {} \) — 14 \ (k \ hat {} \)

Следовательно, произведение двух векторов равно -8 \ (i \ hat {} \) — 19 \ (j \ hat {} \) — 14 \ (k \ hat {} \)

Пример 2: Найдите векторное произведение двух векторов a = 3 \ (i \ hat {} \) + 6 \ (j \ hat {} \) — 5 \ (k \ hat {} \) и b = 5 \ (i \ hat {} \) — 8 \ (j \ hat {} \) + \ (k \ hat {} \) и проверьте это с помощью калькулятора кросс-произведения.

Раствор:

Дано a = 3 \ (i \ hat {} \) + 6 \ (j \ hat {} \) — 5k и b = 5 \ (i \ hat {} \) — 8 \ (j \ hat {} \ ) + \ (к \ шляпа {} \)

(a × b) = (\ (a_ {2} \) \ (b_ {3} \) — \ (a_ {3} \) \ (b_ {2} \)) \ (i \ hat {} \) — (\ (a_ {1} \) \ (b_ {3} \) — \ (a_ {3} \) \ (b_ {1} \)) \ (j \ hat {} \) + ( \ (a_ {1} \) \ (b_ {2} \) — \ (a_ {2} \) \ (b_ {1} \)) \ (k \ hat {} \).

= (6-40) \ (i \ hat {} \) — (3 + 25) \ (j \ hat {} \) + (-24-30) \ (k \ hat {} \)

= -34 \ (i \ hat {} \) — 28 \ (j \ hat {} \) — 54 \ (k \ hat {} \)

Следовательно, произведение двух векторов равно -34 \ (i \ hat {} \) — 28 \ (j \ hat {} \) — 54 \ (k \ hat {} \)

Точно так же вы можете использовать калькулятор перекрестного произведения, чтобы найти перекрестное произведение двух векторов для следующего:

  • a = 4 \ (i \ hat {} \) + 2 \ (j \ hat {} \) — 5k и b = -1 \ (i \ hat {} \) + 4 \ (j \ hat {} \) — 3 \ (к \ hat {} \)
  • a = -2 \ (i \ hat {} \) — 5k и b = -7 \ (i \ hat {} \) + \ (j \ hat {} \) + \ (k \ hat {} \)

☛ Математические калькуляторы:

Калькулятор тензорного произведения

⊗ Вектор / Матрица

Поиск инструмента

Тензорный продукт

Инструмент для вычисления тензорного произведения, своего рода умножения, применимого к тензорам, векторам или матрицам.

Результаты

Тензорный продукт — dCode

Тэги: Matrix

Поделиться

dCode и другие

dCode является бесплатным, а его инструменты являются ценным подспорьем в играх, математике, геокэшинге, головоломках и задачах, которые нужно решать каждый день!
Предложение? обратная связь? Жук ? идея ? Запись в dCode !

Матричный тензорный продукт ⊗

Матрица 1

Загрузка …
(если это сообщение не исчезает, попробуйте обновить страницу)

Матрица 2

Загрузка…
(если это сообщение не исчезает, попробуйте обновить страницу)

Рассчитать

Векторное тензорное произведение ⊗

Вектор 1 (строка или столбец)

Загрузка …
(если это сообщение не исчезает, попробуйте обновить эту страницу)

Вектор 2 (строка или столбец)

Загрузка …
(если это сообщение не исчезает, попробуйте обновить эту страницу)

Рассчитать

Ответы на вопросы (FAQ)

Как вычислить тензорное произведение матриц?

Из 2 матриц $ A = \ begin {bmatrix} a_ {11} & a_ {12} \\ a_ {21} & a_ {22} \ end {bmatrix} $ и $ B = \ begin {bmatrix} b_ {11} & b_ {12} \\ b_ {21} & b_ {22} \ end {bmatrix} $ вычисляется тензорное произведение , отмеченное $ \ otimes $ $$ A \ otimes B = \ begin {bmatrix} a_ {11} \ begin { bmatrix} b_ {11} & b_ {12} \\ b_ {21} & b_ {22} \ end {bmatrix} & a_ {12} \ begin {bmatrix} b_ {11} & b_ {12} \\ b_ {21} & b_ { 22} \ end {bmatrix} \\ a_ {21} \ begin {bmatrix} b_ {11} & b_ {12} \\ b_ {21} & b_ {22} \ end {bmatrix} & a_ {22} \ begin {bmatrix } b_ {11} & b_ {12} \\ b_ {21} & b_ {22} \ end {bmatrix} \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} a_ {11} b_ {11} & a_ {11} b_ {12 } & a_ {12} b_ {11} & a_ {12} b_ {12} \\ a_ {11} b_ {21} & a_ {11} b_ {22} & a_ {12} b_ {21} & a_ {12} b_ {22 } \\ a_ {21} b_ {11} & a_ {21} b_ {12} & a_ {22} b_ {11} & a_ {22} b_ {12} \\ a_ {21} b_ {21} & a_ {21} b_ {22} & a_ {22} b_ {21} & a_ {22} b_ {22} \ end {bmatrix} $$

Как вычислить тензорное произведение векторов?

Из двух векторов $ \ vec {a} = \ begin {bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \ vdots \\ a_n \ end {bmatrix} $ и $ \ vec {b} = \ begin {bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \ vdots \\ b_m \ end {bmatrix} $, тензорное произведение , отмеченное $ \ otimes $, вычисляется $$ \ vec {a} \ otimes \ vec {b} = \ vec {a}.T $$ т.е. как матричное произведение «умножения», но с транспонированной матрицей второго вектора.

$$ \ vec {a} \ otimes \ vec {b} = \ begin {bmatrix} a_1 b_1 & a_1 b_2 & \ cdots & a_1 b_m \\ a_2 b_1 & a_2 b_2 & \ cdots & a_2 b_m \\ \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ a_n b_1 & a_n b_2 & \ cdots & a_n b_m \ end {bmatrix} $$

Пример: $$ \ begin {bmatrix} 1 \\ 2 \ end {bmatrix} \ otimes \ begin {bmatrix} 3 \\ 4 \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} 3 & 4 \\ 6 & 8 \ end {bmatrix} $$

Задайте новый вопрос

Исходный код

dCode сохраняет за собой право собственности на исходный код «Тензорного продукта» в Интернете.За исключением явной лицензии с открытым исходным кодом (обозначенной CC / Creative Commons / free), алгоритм «Тензорный продукт», апплет или фрагмент (конвертер, решатель, шифрование / дешифрование, кодирование / декодирование, шифрование / дешифрование, переводчик) или «Тензор «Функции продукта» (вычисление, преобразование, решение, расшифровка / шифрование, дешифрование / шифрование, декодирование / кодирование, перевод), написанные на любом информационном языке (Python, Java, PHP, C #, Javascript, Matlab и т.

alexxlab

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *