Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π° ΡΠΈΡΠ»ΠΎ.
ΠΠ΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠΏΡΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΡ.
ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅Π½ΡΠ»Π΅Π²ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π° ΡΠΈΡΠ»ΠΎ — ΡΡΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ, ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°ΡΠ½ΡΠΉ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌΡ (ΡΠΎΠ½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π½ΡΠΉ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌΡ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅, ΠΈΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΉ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠ΅ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅), Π° Π΅Π³ΠΎ ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ ΡΠ°Π²Π΅Π½ ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°, ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠΌΡ Π½Π° ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ ΡΠΈΡΠ»Π°.ΠΠ»Π³Π΅Π±ΡΠ°ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠΏΡΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΡ. ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅Π½ΡΠ»Π΅Π²ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π° ΡΠΈΡΠ»ΠΎ — ΡΡΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ, ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ°Π²Π½Ρ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΠΌ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ°ΠΌ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°, ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΡΠΌ Π½Π° ΡΠΈΡΠ»ΠΎ.
Π€ΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π° ΡΠΈΡΠ»ΠΎ
Π€ΠΎΡΠΌΡΠ»Π° ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π° ΡΠΈΡΠ»ΠΎ Π΄Π»Ρ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ
Π ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΠΉ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° a = {ax ; ay} ΠΈ ΡΠΈΡΠ»Π° k ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡΠΈ Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π²ΡΠΈΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅ΠΉ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»ΠΎΠΉ:
k Β· a = {k Β· ax; k Β· ay}
Π€ΠΎΡΠΌΡΠ»Π° ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π° ΡΠΈΡΠ»ΠΎ Π΄Π»Ρ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ
Π ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° a = {ax ; ay ; az} ΠΈ ΡΠΈΡΠ»Π° k ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡΠΈ Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π²ΡΠΈΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅ΠΉ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»ΠΎΠΉ:
k Β· a = {k Β· ax ; k Β· ay
Π€ΠΎΡΠΌΡΠ»Π° ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ n -ΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°
Π ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ n-ΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° a = {a1 ; a2; … ; an} ΠΈ ΡΠΈΡΠ»Π° k ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡΠΈ Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π²ΡΠΈΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅ΠΉ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»ΠΎΠΉ:
k Β· a = {k Β· a1; k Β· a2; … ; k Β· an}
Π‘Π²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π° ΡΠΈΡΠ»ΠΎ
ΠΡΠ»ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ b ΡΠ°Π²Π΅Π½ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π½Π΅Π½ΡΠ»Π΅Π²ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° k ΠΈ Π½Π΅Π½ΡΠ»Π΅Π²ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° a, ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ b = k Β· a, ΡΠΎΠ³Π΄Π°:
b || a — Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° b ΠΈ a ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½Ρ
aββb, Π΅ΡΠ»ΠΈ k > 0 — Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° b ΠΈ a ΡΠΎΠ½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π½ΡΠ΅, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ k > 0
aββb, Π΅ΡΠ»ΠΈ k < 0 — Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° b ΠΈ a ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π½ΡΠ΅, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ k < 0
|b| = |k| Β· |a| — ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° b ΡΠ°Π²Π΅Π½ ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° a ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠΌΡ Π½Π° ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ ΡΠΈΡΠ»Π° k
ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ Π½Π° ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΠΈ ΡΠΈΡΠ»Π°
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π° ΡΠΈΡΠ»ΠΎ Π΄Π»Ρ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 1. ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° a = {1; 2} Π½Π° 3.Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅: 3 Β· a = {3 Β· 1; 3 Β· 2} = {3; 6}.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π° ΡΠΈΡΠ»ΠΎ Π΄Π»Ρ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΡ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 2. ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° a = {1; 2; -5} Π½Π° -2.Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅: (-2) Β· a = {(-2) Β· 1; (-2) Β· 2; (-2) Β· (-5)} = {-2; -4; 10}.
ΠΡΠ±ΡΠ΅ Π½Π΅ΡΠ΅Π½Π·ΡΡΠ½ΡΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠΈΠΈ Π±ΡΠ΄ΡΡ ΡΠ΄Π°Π»Π΅Π½Ρ, Π° ΠΈΡ Π°Π²ΡΠΎΡΡ Π·Π°Π½Π΅ΡΠ΅Π½Ρ Π² ΡΠ΅ΡΠ½ΡΠΉ ΡΠΏΠΈΡΠΎΠΊ!
Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π° ΡΠΈΡΠ»ΠΎ — ΠΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΠΊΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡ
ΠΠ°ΠΊ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠΈ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π° ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½?
- Π£ΠΊΠ°ΠΆΠΈΡΠ΅ ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° (Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ Π² ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅).
- ΠΡΠ±Π΅ΡΠΈΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΌΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° (ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ°ΠΌΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠΎΡΠΊΠ°ΠΌΠΈ).
- Π ΠΏΠΎΠ»Π΅ Β«Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°Β» ΡΠ½Π°ΡΠ°Π»Π° Π·Π°Π΄Π°ΠΉΡΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ, Π° Π·Π°ΡΠ΅ΠΌ Π²ΠΏΠΈΡΠΈΡΠ΅ Π»ΡΠ±ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ, Π½Π° ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ Π΄Π°Π½Π½ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΡ.
- ΠΠ°ΠΆΠΌΠΈΡΠ΅ ΠΊΠ½ΠΎΠΏΠΊΡ Β«ΡΠ°ΡΡΡΠΈΡΠ°ΡΡΒ».
Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π° ΡΠΈΡΠ»ΠΎ. ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΠΈ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π°
ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° aΒ Π½Π° ΡΠΈΡΠ»ΠΎ k Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ b, ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°ΡΠ½ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ a. ΠΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° b ΡΠ°Π²Π΅Π½ ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π°, ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠΌΡ Π½Π° ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ ΡΠΈΡΠ»Π° k. ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΡ Π° ΠΈ b ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°ΡΠ½Ρ Π΄Π»Ρ Π»ΡΠ±ΠΎΠ³ΠΎ k
Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎΠΉ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ: ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ a(4; 5) Π½Π° ΡΠΈΡΠ»ΠΎ 3:
aβ=4;53*aΒ―=(3*4;3*5)=12;15
ΠΠ»Ρ Π»ΡΠ±ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Π° ΠΈ b ΠΈ ΡΠΈΡΠ΅Π» k ΠΈ l ΡΠΏΡΠ°Π²Π΅Π΄Π»ΠΈΠ²Ρ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ:
(kl)aβ=k(laβ)Β β ΡΠΎΡΠ΅ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½;
k(aβ+bβ)=kaβ+kbβΒ β ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠΉ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½;
(k+l)aβ=kaβ+laβΒ β Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½;
ΠΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΠΊΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π° ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π΅Π½ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΌΡΡ ΡΡΠ°ΡΡΠΈΡ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΎΠ² ΠΈ ΡΡΡΠ΄Π΅Π½ΡΠ°ΠΌ Π² ΠΏΠΎΠ΄Π³ΠΎΡΠΎΠ²ΠΊΠ΅ ΠΊ ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠΎΠ»ΡΠ½ΡΠΌ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ°ΠΌ. Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ΅Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠΈ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ Π±ΡΡΡΡΠΎ, ΡΠ»ΡΡΡΠΈΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΡ, ΠΏΡΠΎΠ²Π΅ΡΠΈΡΡ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΡ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠΉ, ΡΠ΄Π΅Π»Π°Π½Π½ΡΡ ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡΠΎΡΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ.
ΠΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΈ Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ, ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ², ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π° Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ.
Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ v Ρ Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΎΠΉ Π² Π½Π°ΡΠ°Π»Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ Π² Π»ΡΠ±ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ΅ x-y ΠΈ Ρ ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΎΠΉ Π² (a,b). ΠΡ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Π½Π°Ρ
ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ Π² ΡΡΠ°Π½Π΄Π°ΡΡΠ½ΠΎΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΈ ΡΡΡΠ»Π°Π΅ΠΌΡΡ Π½Π° Π½Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π° ΡΠ°Π΄ΠΈΡΡ-Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ. ΠΠ±ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, ΡΡΠΎ ΠΏΠ°ΡΠ° ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅Ρ ΡΡΠΎΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΡΡΠΎ Π΄Π»Ρ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°. Π§ΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΠΎΠ΄ΡΠ΅ΡΠΊΠ½ΡΡΡ, ΡΡΠΎ ΠΌΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ Π² Π²ΠΈΠ΄Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ, ΠΈ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΈΠ·Π±Π΅ΠΆΠ°ΡΡ ΠΏΡΡΠ°Π½ΠΈΡΡ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ, ΠΏΠΈΡΡΡ:
ΠΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ° a Π΅ΡΡΡ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠΎΠΌ Π³ΠΎΡΠΈΠ·ΠΎΠ½ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°, ΠΈ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ° b Π΅ΡΡΡ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠΎΠΌ Π²Π΅ΡΡΠΈΠΊΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°. ΠΠΎΠ΄ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠΎΠΌ ΠΌΡ ΠΏΠΎΠ΄ΡΠ°Π·ΡΠΌΠ΅Π²Π°Π΅ΠΌ ΡΠΈΡΠ»Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ, Π° Π½Π΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΡΡ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΡΡΠΎ ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠ½Π°Ρ ΡΠΎΡΠΌΠ° v. ΠΠ±ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, ΡΡΠΎ a ΠΈ b ΠΠ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΠΈ ΠΈΡ
Π½Π΅ Π½Π°Π΄ΠΎ ΠΏΡΡΠ°ΡΡ Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠ° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°.
Π’Π΅ΠΏΠ΅ΡΡ ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ Ρ A = (x1, y1) ΠΈ C = (x2, y2). ΠΠ°Π²Π°ΠΉΡΠ΅ ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΡΠ°Π΄ΠΈΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ, ΡΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½ΡΠ½ΡΠΉ . ΠΠ°ΠΊ ΠΡ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΡΠ΅ Π½Π° ΡΠΈΡΡΠ½ΠΊΠ΅ Π²Π½ΠΈΠ·Ρ, Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½Π°Ρ ΡΠΎΡΠΊΠ° A ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½Π° Π² Π½Π°ΡΠ°Π»ΠΎ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ (0, 0). ΠΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ P Π½Π°Ρ
ΠΎΠ΄ΡΡΡΡ Π²ΡΡΠΈΡΠ°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ A ΠΈΠ· ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ C. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, P = (x
ΠΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ, ΡΡΠΎ ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΠΎΠ΄Π½Ρ ΠΈ ΡΡ ΠΆΠ΅ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ ΠΈ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΈ ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΡΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½ΡΠ½Ρ. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, = = 2 — x1, y2 — y1 >.
ΠΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠ½Π°Ρ ΡΠΎΡΠΌΠ° Ρ A = (x1, y1) ΠΈ C = (x2, y2) Π΅ΡΡΡ
= 2 — x1, y2 — y1 >.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 1 ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠ½ΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡ Π΅ΡΠ»ΠΈ C = (- 4, — 3) ΠΈ F = (1, 5).
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ
= = .
ΠΠ±ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, ΡΡΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Π΅ΡΡΡ ΡΠ°Π²Π½ΡΠΌ ΡΠ°Π΄ΠΈΡΡ-Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ , ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½Π° ΡΠΈΡΡΠ½ΠΊΠ΅ Π²Π²Π΅ΡΡ
Ρ.
Π’Π΅ΠΏΠ΅ΡΡ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Π² ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΠ΅, Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡΠ΅ ΠΈΠ·Π»ΠΎΠΆΠΈΠΌ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ.
ΠΠ»ΠΈΠ½Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° v Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½Ρ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°. ΠΠ»Ρ v = 1, v2 >, ΠΌΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ
|v|2 = v21 + v22 Β Β Β Β Β Β Β Β ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΡ ΠΠΈΡΠ°Π³ΠΎΡΠ°
|v| = βv21 + v22.
ΠΠ»ΠΈΠ½Π°, ΠΈΠ»ΠΈ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π° Π²Π΅ΡΠΊΡΠΎΡΠ° v = 1, v2 > Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ |v| = βv21 + v22.
ΠΠ²Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΡΠ°Π²Π½Ρ ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½ΡΠ½Ρ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΠΎΠ΄Π½Ρ ΠΈ ΡΡ ΠΆΠ΅ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ ΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈ ΡΠΎ ΠΆΠ΅ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅.
ΠΡΡΡΡ u = 1, u2 > ΠΈ v = 1, v2 >. TΠΎΠ³Π΄Π°
1, u2 > = 1, v2 > Β Β Β Β Β Β Β Β ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π΅ΡΠ»ΠΈ u1 = v1 and u2 = v2.
ΠΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΈ Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ
Π§ΡΠΎΠ±Ρ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ V Π½Π° ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ, ΠΌΡ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅ΠΌ Π΅Π³ΠΎ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ Π½Π° ΡΡΠΎ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ. ΠΠ³ΠΎ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΏΡΠ΅ΠΆΠ½ΠΈΠΌ. ΠΠΎΠ³Π΄Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ V ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅ΡΡΡ Π½Π° 2, Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, Π΅Π³ΠΎ Π΄Π»ΠΈΠ½Π° ΡΠ²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π² Π΄Π²Π° ΡΠ°Π·Π°, Π½ΠΎ Π΅Π³ΠΎ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΡΡΡ. ΠΠΎΠ³Π΄Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅ΡΡΡ Π½Π° 1,6, Π΅Π³ΠΎ Π΄Π»ΠΈΠ½Π° ΡΠ²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π½Π° 60%, Π° Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΏΡΠ΅ΠΆΠ½ΠΈΠΌ. Π§ΡΠΎΠ±Ρ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ V Π½Π° ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ, ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅ΠΌ Π΅Π³ΠΎ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ Π½Π° ΡΡΠΎ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΠΈ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΠΌ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠ΅. ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΠΠΎΠ³Π΄Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅ΡΡΡ Π½Π° (-2), Π΅Π³ΠΎ Π΄Π»ΠΈΠ½Π° ΡΠ²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π² Π΄Π²Π° ΡΠ°Π·Π° ΠΈ Π΅Π³ΠΎ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΡΡΡ Π½Π° ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠ΅. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π° ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ°ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΡΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΠΈ Π² ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ², ΠΌΡ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΠΌ ΠΈΡ
ΠΠ»Ρ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° k ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° v = 1, v2 >, ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ k ΠΈ v Π΅ΡΡΡ
kv = k.1, v2 > = 1, kv2 >.
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡ kv Π΅ΡΡΡ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΡΠΌ ΠΊΡΠ°ΡΠ½ΡΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° v.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 2 ΠΡΡΡΡ u = ΠΈ w = . ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ — 7w, 3u ΠΈ — 1w.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
— 7w = — 7. = ,
3u = 3. = ,
— 1w = — 1. = .
Π’Π΅ΠΏΠ΅ΡΡ ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΡ Π΄Π²Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΡ. Π§ΡΠΎΠ±Ρ ΡΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΡ Π΄Π²Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π² ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΠ΅, ΠΌΡ ΡΠΊΠ»Π°Π΄ΡΠ²Π°Π΅ΠΌ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΡ. ΠΡΡΡΡ u = 1, u
u + v = 1 + v1, u2 + v2 >
ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, Π΅ΡΠ»ΠΈ v = ΠΈ w = , ΡΠΎΠ³Π΄Π°
v + w = =
ΠΡΠ»ΠΈ u = 1, u2 > ΠΈ v = 1, v2 >, ΡΠΎΠ³Π΄Π°
u + v = 1 + v1, u2 + v2 >.
ΠΠ΅ΡΠ΅Π΄ ΡΠ΅ΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ Π²ΡΡΠΈΡΠ°Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Π½Π°ΠΌ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ Π΄Π°ΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ — v. ΠΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ v = 1, v2 >, ΠΈΠ·ΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠΌΡ Π²Π½ΠΈΠ·Ρ, Π΅ΡΡΡ
— v = (- 1).v = (- 1)1, v2 > = 1, — v2 >
ΠΡΡΠΈΡΠ°Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ², ΡΠ°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊ u — v Π²ΠΎΠ²Π»Π΅ΠΊΠ°Π΅Ρ Π²ΡΡΠΈΡΠ°Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΡ
ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ. ΠΡ ΠΏΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ ΡΡΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ u — v ΠΊΠ°ΠΊ u + (- v). ΠΡΠ»ΠΈ u = 1, u
u — v = u + (- v) = 1, u2 > + 1, — v2 > = 1 + (- v1), u2 + (- v2) > = 1 — v1, u2 — v2 >
ΠΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ»Π»ΡΡΡΡΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ Π²ΡΡΠΈΡΠ°Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ° , ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΡ ΡΡΠΎ Π΄Π΅Π»Π°Π»ΠΈ Π΄Π»Ρ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ².
ΠΡΡΠΈΡΠ°Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²
ΠΡΠ»ΠΈ u = 1, u2 > ΠΈ v = 1, v2 >, ΡΠΎΠ³Π΄Π°
u — v = 1 — v1, u2 — v2 >.
ΠΠ½ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ½ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½ΠΈΡΡ ΡΡΠΌΠΌΡ Π΄Π²ΡΡ
Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Ρ ΡΠ°Π·Π½ΠΈΡΠ΅ΠΉ ΡΠ΅Ρ
ΠΆΠ΅ Π΄Π²ΡΡ
Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ΅. ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΡ u + v ΠΈ u — v Π΅ΡΡΡ Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΡΠΌΠΈ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ°.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 3 Π‘Π΄Π΅Π»Π°ΠΉΡΠ΅ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠ΅ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ, Π³Π΄Π΅ u = ΠΈ v = .
a) u + v
b) u — 6v
c)3u + 4v
d)|5v — 2u|
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
a) u + v = + = = ;
b)u — 6v = — 6. = — = ;
c) 3u + 4v = 3. + 4. = + = ;
d) |5v — 2u| = |5. — 2.| = | — | = || = β(- 29)2 + 212 = β1282 β 35,8
ΠΡΠ΅ΠΆΠ΄Π΅ ΡΠ΅ΠΌ ΡΡΠΎΡΠΌΡΠ»ΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ, ΠΌΡ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ Π΄Π°ΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΅ΡΠ΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΡ ΡΠΏΠ΅ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΌΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ — Π½ΡΠ»Π΅Π²ΠΎΠΌΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ. ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡ, ΡΡΡ Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½Π°Ρ ΡΠΎΡΠΊΠ° ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°Π΅Ρ Ρ ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΎΠΉ, Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π½ΡΠ»Π΅Π²ΡΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ, ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅ΡΡΡ O, ΠΈΠ»ΠΈ . ΠΠ³ΠΎ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π° ΡΠ°Π²Π½Π° 0. Π ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²:
v + O = v. Β Β Β Β Β Β Β Β 1, v2 > + = 1, v2 >
ΠΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΈ Π½Π°Π΄ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°ΡΡ ΡΠ΅ ΠΆΠ΅ ΡΠ°ΠΌΡΠΌΠΈ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π°ΠΌΠΈ, ΡΡΠΎ ΠΈ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΈ Π½Π°Π΄ Π²Π΅ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΠΌΠΈ ΡΠΈΡΠ»Π°ΠΌΠΈ.
ΠΠ»Ρ Π²ΡΠ΅Ρ
Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² u, v, ΠΈ w, ΠΈ Π΄Π»Ρ Π²ΡΠ΅Ρ
ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠΎΠ² b ΠΈ c:
1. u + v = v + u.
2. u + (v + w) = (u + v) + w.
3. v + O = v.
4 1.v = v; Β Β Β Β Β Β Β Β 0.v = O.
5. v + (- v) = O.
6. b(cv) = (bc)v.
7. (b + c)v = bv + cv.
8. b(u + v) = bu + bv.
ΠΡΡΡ
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½ΠΎΠΉ, ΠΈΠ»ΠΈ Π΄Π»ΠΈΠ½ΠΎΠΉ 1 Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΎΡΡ. ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡ v = Π΅ΡΡΡ ΠΎΡΡ, ΠΏΠΎΡΠΎΠΌΡ ΡΡΠΎ
|v| = || = β(- 3/5)2 + (4/5)2 = β9/25 + 16/25 = β25/25 = β1 = 1.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 4 ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ ΠΎΡΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΡΠΎ ΠΆΠ΅ ΡΠ°ΠΌΠΎΠ΅ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΡΡΠΎ ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ w = .
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΠ°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΡΠ½Π°ΡΠ°Π»Π° Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ w:
|w| = β(- 3)2 + 52 = β34. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΠΌΡ ΠΈΡΠ΅ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ, Ρ Π΄Π»ΠΈΠ½ΠΎΠΉ 1/β34 ΠΎΡ w ΠΈ Ρ ΡΠ°ΠΊΠΈΠΌ ΠΆΠ΅ ΡΠ°ΠΌΡΠΌ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ w. ΠΡΠΎΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Π΅ΡΡΡ
u = w/β34 = /β34 = 34, 5/β34 >.
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡ u Π΅ΡΡΡ ΠΎΡΡ, ΠΏΠΎΡΠΎΠΌΡ ΡΡΠΎ
|u| = |w/β34| = = β34/34 = β1 = 1.
ΠΡΠ»ΠΈ v Π΅ΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΈ v β O, ΡΠΎΠ³Π΄Π°
(1/|v|)β’ v, Β Β Β Β Β Β Β Β or Β Β Β Β Β Β Β Β v/|v|,
Π΅ΡΡΡ ΠΎΡΡ Π² Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ v.
Π₯ΠΎΡΡ ΠΎΡΡΡ ΠΌΠΎΠ³ΡΡ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Π»ΡΠ±ΠΎΠ΅ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΎΡΡΡ, ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΎΡΡΠΌ x ΠΈ y ΠΎΡΠΎΠ±Π΅Π½Π½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½Ρ. ΠΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΡΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ
i = Β Β Β Β Β Β Β Β and Β Β Β Β Β Β Β Β j = .
ΠΡΠ±ΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ ΠΊΠ°ΠΊ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Π°Ρ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΈΡ ΠΎΡΡΠ° i ΠΈ j. ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΠΏΡΡΡΡ v = 1, v2 >. TΠΎΠ³Π΄Π°
v = 1, v2 > = 1, 0 > + 2 > = v1 + v2 = v1i + v2j.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 5 ΠΡΡΠ°Π·ΠΈΡΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ r = ΠΊΠ°ΠΊ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΈΡ i ΠΈ j.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
r = = 2i + (- 6)j = 2i — 6j.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 6 ΠΠ°ΠΏΠΈΡΠΈΡΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ q = — i + 7j Π² ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΠ΅.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅q = — i + 7j = -1i + 7j =
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΡΠ΅ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΈ ΠΌΠΎΠ³ΡΡ Π±ΡΡΡ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½Ρ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Π½Ρ ΠΊΠ°ΠΊ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡΠ΅ i ΠΈ j.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 7 ΠΡΠ»ΠΈ a = 5i — 2j ΠΈ b = -i + 8j, Π½Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ 3a — b.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
3a — b = 3(5i — 2j) — (- i + 8j) = 15i — 6j + i — 8j = 16i — 14j.
Π£Π³Π»Ρ ΠΎΠ±Π·ΠΎΡΠ°
ΠΠΎΠ½Π΅ΡΠ½Π°Ρ ΡΠΎΡΠΊΠ° P ΠΎΡΡΡ Π² ΡΡΠ°Π½Π΄Π°ΡΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΎΠ·ΠΈΡΠΈΠΈ Π΅ΡΡΡ ΡΠΎΡΠΊΠΎΠΉ Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ, ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ (cosΞΈ, sinΞΈ). Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΠΎΡΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ Π² ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΠ΅,
u = ,
ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Π°Ρ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΈΡ ΠΎΡΡ i ΠΈ j,
u = (cosΞΈ)i + (sinΞΈ)j,
Π³Π΄Π΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΡ u Π΅ΡΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡΠΌΠΈ ΡΠ³Π»Π° ΠΎΠ±Π·ΠΎΡΠ° ΞΈ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅ΡΡΠ΅ΠΌΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ² ΡΠ°ΡΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠΈ ΠΎΡ ΠΎΡΠΈ x ΠΊ ΡΡΠΎΠΌΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΞΈ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΎΡ 0 Π΄ΠΎ 2Ο, ΡΠΎΡΠΊΠ° P ΠΎΡΡΠ»Π΅ΠΆΠΈΠ²Π°Π΅Ρ ΠΊΡΡΠ³ x2 + y2 = 1. ΠΡΠΎ ΠΎΡ
Π²Π°ΡΡΠ²Π°Π΅Ρ Π²ΡΠ΅ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΡΠ΅ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΎΡΡΠΎΠ² ΠΈ ΡΠΎΠ³Π΄Π° ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ u = (cosΞΈ)i + (sinΞΈ)j ΠΎΠΏΠΈΡΡΠ²Π°Π΅Ρ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΡΠΉ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΡΠΉ ΠΎΡΡ Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 8 ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅ ΠΈ ΡΠ΄Π΅Π»Π°ΠΉΡΠ΅ ΡΡΠΊΠΈΠ· ΠΎΡΡΠ° u = (cosΞΈ)i + (sinΞΈ)j Π΄Π»Ρ ΞΈ = 2Ο/3. ΠΠ·ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΈΡΠ΅ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΡ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΡ Π½Π° ΡΡΠΊΠΈΠ·Π΅.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
u = (cos(2Ο/3))i + (sin(2Ο/3))j = (- 1/2)i + (β3/2)j
ΠΡΡΡΡ v = 1, v2 > Ρ ΡΠ³Π»ΠΎΠΌ ΠΎΠ±Π·ΠΎΡΠ° ΞΈ. ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΡΠ°Π½Π³Π΅Π½ΡΠ°, ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ ΡΠ³ΠΎΠ» ΠΎΠ±Π·ΠΎΡΠ° ΠΈΡ
ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ v:
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 9 ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅ ΡΠ³ΠΎΠ» ΠΎΠ±Π·ΠΎΡΠ° ΞΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° w = — 4i — 3j.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΡ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ
w = — 4i — 3j = .
Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ
tanΞΈ = (- 3)/(- 4) = 3/4 Β Β Β Β Β Β Β Β ΠΈ ΞΈ = tan— 1(3/4).
Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ w Π½Π°Ρ
ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ Π² ΡΡΠ΅ΡΡΠ΅ΠΌ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°Π½ΡΠ΅, ΠΌΡ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ ΞΈ Π΅ΡΡΡ ΡΠ³Π»ΠΎΠΌ ΡΡΠ΅ΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°Π½ΡΠ°. Π‘ΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΠΉ ΡΠ³ΠΎΠ» Π΅ΡΡΡ
tan— 1(3/4) β 37Β°, Β Β Β Β Β Β Β Β ΠΈ Β Β Β Β Β Β Β Β ΞΈ β 180Β° + 37Β°, ΠΈΠ»ΠΈ 217Β°.
ΠΡΠΎ ΡΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎ Π΄Π»Ρ ΡΠ°Π±ΠΎΡΡ Ρ ΠΏΡΠΈΠΊΠ»Π°Π΄Π½ΡΠΌΠΈ Π·Π°Π΄Π°ΡΠ°ΠΌΠΈ, Π° Π² ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΡ
ΠΊΡΡΡΠ°Ρ
, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ± Π²ΡΡΠ°Π·ΠΈΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΡΠ°ΠΊ, ΡΡΠΎΠ±Ρ Π΅Π³ΠΎ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π° ΠΈ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠ³Π»ΠΈ Π±ΡΡΡ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Ρ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΡΠΎΡΠΈΡΠ°Π½Ρ. ΠΡΡΡΡ v ΡΡΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° v/|v| Π΅ΡΡΡ ΠΎΡΡ Π² ΡΠΎΠΌ ΠΆΠ΅ ΡΠ°ΠΌΠΎΠΌ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ, ΡΡΠΎ ΠΈ v. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΠΌΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ
v/|v| = (cosΞΈ)i + (sinΞΈ)j
v = |v|[(cosΞΈ)i + (sinΞΈ)j] Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Ρ Π½Π° |v|
v = |v|(cosΞΈ)i + |v|(sinΞΈ)j.
Π£Π³Π»Ρ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ
ΠΠΎΠ³Π΄Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅ΡΡΡ Π½Π° ΡΠΊΠ°Π»ΡΡ, ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠΎΠΌ Π΅ΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ. ΠΠΎΠ³Π΄Π° ΡΠΊΠ»Π°Π΄ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ Π΄Π²Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°, ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠΎΠΌ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ Π΅ΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΠΌΡ ΠΌΠΎΠ³Π»ΠΈ Π±Ρ ΠΎΠΆΠΈΠ΄Π°ΡΡ, ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Π΅ΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ, Π½ΠΎ ΡΡΠΎ Π½Π΅ ΡΠ°ΠΊ. Π‘ΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Π΅ΡΡΡ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡ. ΠΡΠΎΡ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π΅Π½ Π² Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΈ ΡΠ³Π»Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π΄Π²ΡΠΌΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ ΠΈ Π² ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ, ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ Π»ΠΈ Π΄Π²Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΡΠΌΠΈ.
Π‘ΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡΡ
Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² u = 1, u2 > ΠΈ v = 1, v2 > is
u β’ v = u1.v1 + u2.v2
(ΠΠ±ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, ΡΡΠΎ u1v1 + u2v2 Π΅ΡΡΡ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠΎΠΌ, Π° Π½Π΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ.)
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 10ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π°
u = , v = ΠΈ w = .
a)u β’ w
b)w β’ v
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
a) u β’ w = 2(- 3) + (- 5)1 = — 6 — 5 = — 11;
b) w β’ v = (- 3)0 + 1(4) = 0 + 4 = 4.
Π‘ΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΎ Π΄Π»Ρ Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ³Π»Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π΄Π²ΡΠΌΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ. Π£Π³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π΄Π²ΡΠΌΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ ΡΡΠΎ ΡΠ°ΠΌΡΠΉ ΠΌΠ°Π»Π΅Π½ΡΠΊΠΈΠΉ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΡΠ³ΠΎΠ», ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΡΠΉ Π΄Π²ΡΠΌΡ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π½ΡΠΌΠΈ ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠ°ΠΌΠΈ. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΞΈ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ u ΠΈ v ΡΡΠΎ ΡΠΎΡ ΠΆΠ΅ ΡΠ°ΠΌΡΠΉ ΡΠ³ΠΎΠ», ΡΡΠΎ ΠΈ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ v ΠΈ u, ΠΈ 0 β€ ΞΈ β€ Ο.
ΠΡΠ»ΠΈ ΞΈ Π΅ΡΡΡ ΡΠ³Π»ΠΎΠΌ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π΄Π²ΡΠΌΡ Π½Π΅Π½ΡΠ»Π΅Π²ΡΠΌΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ u ΠΈ v, ΡΠΎΠ³Π΄Π°
cosΞΈ = (u β’ v)/|u||v|.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 11ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ ΡΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ u = ΠΈ v = .
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΠ°ΡΠ½Π΅ΠΌ Ρ Π½Π°Ρ
ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ u β’ v, |u|, ΠΈ |v|:
u β’ v = 3(- 4) + 7(2) = 2,
|u| = β32 + 72 = β58, and
|v| = β(- 4)2 + 22 = β20.
TΠΎΠ³Π΄Π°
cosΞ± = (u β’ v)/|u||v| = 2/β58.β20
Ξ± = cos— 1(2/β58.β20)
Ξ± β 86,6Β°.
Π Π°Π²Π½ΠΎΠ²Π΅ΡΠΈΠ΅ ΡΠΈΠ»
ΠΠΎΠ³Π΄Π° Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΠΈΠ» Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΡΡΡ Π½Π° ΠΎΠ΄Π½Ρ ΠΈ ΡΡ ΠΆΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΡ Π½Π° ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅, ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½Π°Ρ ΡΡΠΌΠΌΠ° Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° Π±ΡΡΡ ΡΠ°Π²Π½Π° Π½ΡΠ»Ρ, Π΄Π»Ρ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΡΡΠΎΠ±Ρ Π±ΡΠ» Π±Π°Π»Π°Π½Ρ. ΠΠΎΠ³Π΄Π° Π΅ΡΡΡ Π±Π°Π»Π°Π½Ρ ΡΠΈΠ», ΡΠΎ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΡΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅ΡΡΡ ΠΏΠΎ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ, Π±Π΅Π· ΡΡΠΊΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡ. Π’ΠΎΡ ΡΠ°ΠΊΡ, ΡΡΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½Π°Ρ ΡΡΠΌΠΌΠ° Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° Π±ΡΡΡ ΡΠ°Π²Π½Π° Π½ΡΠ»Ρ Π²ΡΠ²ΠΎΠ΄Π° Π΄Π»Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π±Π°Π»Π°Π½ΡΠ°, ΠΈ Π½Π°ΠΎΠ±ΠΎΡΠΎΡ, ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ΅Ρ ΡΠ΅ΡΠ°ΡΡ Π½Π°ΠΌ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΈΠΊΠ»Π°Π΄Π½ΡΠ΅ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ Ρ ΡΡΠ°ΡΡΠΈΠ΅ΠΌ ΡΠΈΠ».
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 12 ΠΠΎΠ΄Π²Π΅ΡΠ½ΠΎΠΉ Π±Π»ΠΎΠΊ 350- ΡΡΠ½ΡΠΎΠ²ΡΠΉ Π±Π»ΠΎΠΊ ΠΏΠΎΠ΄Π²Π΅ΡΠ΅Π½ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ Π΄Π²ΡΡ ΠΊΠ°Π±Π΅Π»Π΅ΠΉ. ΠΎΡΡΠ°Π»ΠΎΡΡ. Π ΡΠΎΡΠΊΠ΅ Π Π΅ΡΡΡ ΡΡΠΈ ΡΠΈΠ»Ρ, Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΠ΅ ΡΠ°ΠΊ: W Π±Π»ΠΎΠΊ ΡΡΠ½Π΅Ρ Π²Π½ΠΈΠ·, Π° R ΠΈ S (Π΄Π²Π° ΠΊΠ°Π±Π΅Π»Ρ) ΡΡΠ½ΡΡ Π²Π²Π΅ΡΡ ΠΈ Π½Π°ΡΡΠΆΡ. ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ Π½Π°Π³ΡΡΠ·ΠΊΡ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠ°Π±Π΅Π»Ρ.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΠ°ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌ Π΄ΠΈΠ°Π³ΡΠ°ΠΌΠΌΡ Ρ Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΠΎΡΠΊΠ°ΠΌΠΈ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π² Π½Π°ΡΠ°Π»Π΅ ΠΊΠΎΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ. ΠΠ»Ρ Π±Π°Π»Π°Π½ΡΠ°, ΡΡΠΌΠΌΠ° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° Π±ΡΡΡ ΡΠ°Π²Π½Π° Π:
R + S + W = Π.
ΠΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π²ΡΡΠ°Π·ΠΈΡΡ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· Π΅Π³ΠΎ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ ΠΈ ΡΠ³ΠΎΠ» ΠΎΠ±Π·ΠΎΡΠ° :
R = |R|[(cos125Β°)i + (sin125Β°)j],
S = |S|[(cos37Β°)i + (sin37Β°)j], ΠΈ
W = |W|[(cos270Β°)i + (sin270Β°)j]
= 350(cos270Β°)i + 350(sin270Β°)j
= -350j Β Β Β Β Β Β Β Β cos270Β° = 0; sin270Β° = — 1.
ΠΠ°ΠΌΠ΅Π½ΡΡ R, S, ΠΈ W in R + S + W + O, ΠΌΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ
[|R|(cos125Β°) + |S|(cos37Β°)]i + [|R|(sin125Β°) + |S|(sin37Β°) — 350]j = 0i + 0j.
ΠΡΠΎ Π΄Π°Π΅Ρ Π½Π°ΠΌ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ:
|R|(cos125Β°) + |S|(cos37Β°) = 0,
|R|(sin125Β°) + |S|(sin37Β°) — 350 = 0.
Π Π΅ΡΠ°Ρ ΡΡΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ, ΠΌΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ
|R| β 280 ΠΈ |S| β 201.
Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, Π½Π°Π³ΡΡΠ·ΠΊΠ° Π½Π° ΠΊΠ°Π±Π΅Π»ΠΈ 280 ΡΡΠ½ΡΠΎΠ² ΠΈ 201 ΡΡΠ½Ρ.
32. ΠΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΡ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π° ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΠΈ Π΅Π΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π°
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ 13. ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° A Π½Π° ΡΠΈΡΠ»ΠΎ L ΠΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠ°ΠΊΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ B, ΡΡΠΎ
1) | B | = | L || A |
2) Π΅ΡΠ»ΠΈ l > 0, ΡΠΎ AΒΒB, Π΅ΡΠ»ΠΈ l < 0, ΡΠΎ AΒΒ―B, Π΅ΡΠ»ΠΈ l = 0 ΠΈΠ»ΠΈ A = 0, ΡΠΎ B = 0.
ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° A Π½Π° ΡΠΈΡΠ»ΠΎ l ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΡΠΈΠΌΠ²ΠΎΠ»ΠΎΠΌ L A. Π§ΠΈΡΠ»Π° Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ Π‘ΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΡΠΌΠΈ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ Π‘ΠΊΠ°Π»ΡΡΠ°ΠΌΠΈ.
Π’Π΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ° 8. ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ° A β 0 ΠΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°ΡΠ΅Π½ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ B ΡΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΡΡΡ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ, ΡΡΠΎ B = L A.
ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ. ΠΡΠ»ΠΈ, ΡΠΎ ΠΏΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ 13 ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ, ΡΡΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°ΡΠ½Ρ. ΠΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΠΎ, ΠΏΡΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°ΡΠ½Ρ. Π’ΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Ρ L = Β±|B|/|A|, Π³Π΄Π΅ ΡΡΠΎΠΈΡ Π·Π½Π°ΠΊ «+», Π΅ΡΠ»ΠΈ AΒΒB, ΡΡΠΎΠΈΡ Π·Π½Π°ΠΊ «-«, Π΅ΡΠ»ΠΈ AΒΒ―B, ΠΏΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ 13 ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ B = L A.
Π’Π΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ° 9. ΠΠ»Ρ Π»ΡΠ±ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² A, B ΠΈ Π΄Π»Ρ Π»ΡΠ±ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» l, m Π‘ΠΏΡΠ°Π²Π΅Π΄Π»ΠΈΠ²Ρ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π°:
1) l(m A) = (lm) A — Π‘ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½Π½ΡΠΉ Π°ΡΡΠΎΡΠΈΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΡΠΉ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½;
2) (l + m) A = l A+ m A — ΠΠΈΡΡΡΠΈΠ±ΡΡΠΈΠ²Π½ΡΠΉ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½;
3) l (A + B) = l A + l B — ΠΠΈΡΡΡΠΈΠ±ΡΡΠΈΠ²Π½ΡΠΉ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½;
4) 1 A = A — Π‘Π²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΡ.
ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ. 1. ΠΡΠ»ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ A ΠΈΠ»ΠΈ B ΡΠ°Π²Π½Ρ 0 ΠΠ»ΠΈ ΡΠΈΡΠ»Π° m ΡΠ°Π²Π½Ρ Π½ΡΠ»Ρ, ΡΠΎ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π° 1-3 ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΡ ΠΏΠΎΡΡΠΈ ΠΎΡΠ΅Π²ΠΈΠ΄Π½Ρ (ΠΏΡΠΎΠ²Π΅ΡΡΠ΅ ΠΈΡ ). Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΏΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΏΡΠΎΠ²Π΅ΡΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ 4. ΠΠΎΡΡΠΎΠΌΡ Π΄Π°Π»ΡΡΠ΅ Π±ΡΠ΄Π΅ΠΌ ΡΡΠΈΡΠ°ΡΡ, ΡΡΠΎ A β 0, B β 0, lm β 0.
1. ΠΠ»ΠΈΠ½Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² l(m A), (lm) A ΡΠ°Π²Π½Ρ |l||m| |A|, ΠΈ ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΡΠ°Π²Π½Ρ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ. ΠΠ°Π»Π΅Π΅ ΠΎΠ±Π° ΡΡΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°ΡΠ½Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ A. ΠΡΠ»ΠΈ ΡΠΈΡΠ»Π° l ΠΈ m ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π·Π½Π°ΠΊΠ°, ΡΠΎ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² l(m A), (lm) A ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°Π΅Ρ Ρ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° A. ΠΡΠ»ΠΈ ΡΠΈΡΠ»Π° l ΠΈ m ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΡ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ², ΡΠΎ ΡΡΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ A. ΠΡΡΡΠ΄Π° ΠΏΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ l(m A), (lm) A ΡΠ°Π²Π½Ρ.
2. ΠΡΠ»ΠΈ ΡΠΈΡΠ»Π° l ΠΈ m ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π·Π½Π°ΠΊΠ°, ΡΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ (l + m) A, l A, m A ΡΠΎΠ½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Ρ ΠΈ |l A+m A| = |l A|+|m A|= |l ||A| + | m|| A| = (| l | + | m | )| A|.
Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π² ΡΡΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ |l + m | = | l | + | m |, ΡΠΎ |(l + m) A| = || l A + m A|.
ΠΡΡΡΠ΄Π°, ΠΏΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² (l + m) A = l A + m A.
Π‘Π»ΡΡΠ°ΠΉ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΡΠΈΡΠ»Π° l ΠΈ m ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π·Π½Π°ΠΊΠ° ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΡΠ΅ ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡΠΎΡΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ.
3. ΠΡΠ»ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ A ΠΈ B ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°ΡΠ½Ρ, ΡΠΎ ΠΏΠΎ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ΅ 8 Π΅Π³ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ B = m A. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΠΎ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π°ΠΌ 1, 2 ΠΈ 4 ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ
L (A + B) = l (1A + m A) = l (1A) + l (m A) =l A + l (m A) = l A + l B.
ΠΡΠ»ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ A ΠΈ B Π½Π΅ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°ΡΠ½Ρ, ΡΠΎ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠΈΠΌ ΡΡΠΌΠΌΡ A + B = = +.
ΠΠΎΡΡΡΠΎΠΈΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ l A =, l (A + B) = (ΡΠΌ. ΡΠΈΡ. 15 ΠΏΡΠΈ l > 0 ΠΈ ΡΠΈΡ. 16 ΠΏΡΠΈ l < 0). ΠΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠΈ ΠAB ΠΈ OCD ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ. ΠΠ· ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±ΠΈΡ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² ΠΈ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ 13 ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ = l A. ΠΡΡΡΠ΄Π° Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ l (A + B) = = =+=lA + l B.
ΠΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²ΠΎ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ². ΠΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ V3 Π²ΡΠ΅Ρ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π° ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΡΠΌ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²ΠΎΠΌ Π½Π° ΠΏΠΎΠ»Π΅ΠΌ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΉ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΈ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π° ΡΠΈΡΠ»ΠΎ (ΡΠΌ. ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΡ 6 ΠΈ 9 Β§ 1).. Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΡΠΌ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²ΠΎΠΌ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ V2 (V1) Π²ΡΠ΅Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ (ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ).
ΠΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ Π²ΡΠ΅Ρ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ², ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°ΡΠ½ΡΡ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ A ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΡΠ΅Ρ ΠΏΠΎΠ΄ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²ΠΎ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π° V3 Π²ΡΠ΅Ρ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ².
< ΠΡΠ΅Π΄ΡΠ΄ΡΡΠ°Ρ | Β | Π‘Π»Π΅Π΄ΡΡΡΠ°Ρ > |
---|
ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π° ΡΠΈΡΠ»ΠΎ
ΠΠ°ΠΌ ΡΠΆΠ΅ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ°, ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ° ΠΈ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ².
Π§ΡΠΎΠ±Ρ ΡΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΡ Π½Π΅ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°ΡΠ½ΡΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ Β ΠΈ Β ΠΏΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Ρ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ°, Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΡ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π ΠΎΡΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ , ΡΠ°Π²Π½ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ . ΠΠ°Π»Π΅Π΅ ΠΎΡ ΡΠΎΡΠΊΠΈ B ΠΎΡΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ , ΡΠ°Π²Π½ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ . ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡ Β ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ ΡΡΠΌΠΌΡ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Β ΠΈ .
ΠΠ»Ρ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠΈΡ ΠΆΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ°. ΠΡΠΈ ΡΡΠΎΠΌ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΡΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΡ ΠΎΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ Β ΠΈ , ΡΠ°Π²Π½ΡΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌ ΠΒ ΠΈ Β ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ, ΠΈ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠΈΡΡ Π½Π° Π½ΠΈΡ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌ ABCD. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ AC ΡΠ°Π²Π΅Π½ ΡΡΠΌΠΌΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Β ΠΈ .
ΠΠ»Ρ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ°. ΠΡΠΈ ΡΡΠΎΠΌ ΠΎΡ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΎΡΠΊΠ»Π°Π΄ΡΠ²Π°ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ Π΄ΡΡΠ³ Π·Π° Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΌ, ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ ΠΈΡ ΡΡΠΌΠΌΡ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ, ΠΏΡΠΎΠ²Π΅Π΄ΡΠ½Π½ΡΠΉ ΠΎΡ Π½Π°ΡΠ°Π»Π° ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΠΊ ΠΊΠΎΠ½ΡΡ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄Π½Π΅Π³ΠΎ.
Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π²Ρ Π²Π»Π°Π΄Π΅Π΅ΡΠ΅ Π΄Π²ΡΠΌΡ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±Π°ΠΌΠΈ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠΈ.
ΠΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΡ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π ΠΎΡΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ Β Β ΠΈ , ΡΠ°Π²Π½ΡΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌ Β ΠΈ . ΠΡΠΈ ΡΡΠΎΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ ΠΈΡ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠΈ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ , Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π½ΡΠΉ ΠΎΡ ΠΊΠΎΠ½ΡΠ° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°-Π²ΡΡΠΈΡΠ°Π΅ΠΌΠΎΠ³ΠΎ ΠΊ ΠΊΠΎΠ½ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°-ΡΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ°Π΅ΠΌΠΎΠ³ΠΎ.
Π’Π°ΠΊ ΠΆΠ΅, ΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΡΡ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠΎΠΉ ΠΎ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠΈ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ², ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Β ΠΈ Β ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΡΡΠΌΠΌΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Β Β ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°, ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ .
Π’ΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΎΡΠ»ΠΎΠΆΠΈΠ² ΠΎΡ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Β = Β Β Β , Π° ΠΎΡ ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π β Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Β = -, ΠΏΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Ρ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ .
ΠΠ½ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ ΡΡΠΌΠΌΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Β ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°, ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ . Π, ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ, Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Β ΠΈ .
Π‘Π΅Π³ΠΎΠ΄Π½Ρ ΠΌΡ ΠΏΠΎΠ·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΠΈΠΌΡΡ Ρ Π΅ΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΠ΅ΠΌ Π½Π°Π΄ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ β ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π° ΡΠΈΡΠ»ΠΎ.
ΠΠΎ, Π΄Π»Ρ Π½Π°ΡΠ°Π»Π°, ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ.
ΠΠ°ΡΡΡΠ½ΠΈΠΊ Π΄ΡΠ΅ΠΉΡΡΠ΅Ρ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠ»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎ Ρ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈ ΡΠΎΠΉ ΠΆΠ΅ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡΡ, Π° ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· Π»Π°ΠΉΠ½Π΅ΡΠΎΠ² Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅ΡΡΡ Π² ΠΏΠΎΠΏΡΡΠ½ΠΎΠΌ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ ΡΠΎ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡΡ Π² ΠΏΡΡΡ ΡΠ°Π· Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅ΠΉ. ΠΡΠΎΡΠΎΠΉ Π»Π°ΠΉΠ½Π΅Ρ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅ΡΡΡ ΠΈΠΌ Π½Π° Π²ΡΡΡΠ΅ΡΡ, ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ Π² ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΌ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ, Ρ ΡΠΎΠΉ ΠΆΠ΅ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡΡ, ΡΡΠΎ ΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠΉ Π»Π°ΠΉΠ½Π΅Ρ.
ΠΡΠ»ΠΈ ΠΈΠ·ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΈΡΡ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΠΏΠ°ΡΡΡΠ½ΠΈΠΊΠ° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ , ΡΠΎ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ Π»Π°ΠΉΠ½Π΅ΡΠ°, Π΄Π²ΠΈΠΆΡΡΠ΅Π³ΠΎΡΡ Π² ΠΏΠΎΠΏΡΡΠ½ΠΎΠΌ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ, Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΠ·ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΈΡΡ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΡΠΎΠ½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°, Π΄Π»ΠΈΠ½Π° ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ Π² ΠΏΡΡΡ ΡΠ°Π· Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅. Π Π²ΡΡΠ°Π·ΠΈΡΡ ΡΡΡ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ b ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π½Π° 5.
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΈ Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ Π»Π°ΠΉΠ½Π΅ΡΠ° Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΡΠ°ΠΊΡΡ ΠΆΠ΅ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ Π»Π°ΠΉΠ½Π΅ΡΠ°, Π½ΠΎ ΠΎΠ½ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ Π±ΡΡΡ Π΅ΠΌΡ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π½ΡΠΌ. ΠΠ½Π°ΡΠΈΡ, Π΅Π³ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΡΡΠ°Π·ΠΈΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Β ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π½Π° -5.
ΠΡΠΎΡ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π½Π°ΠΌ Π²Π²Π΅ΡΡΠΈ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π° ΡΠΈΡΠ»ΠΎ.
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅. ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π½Π΅Π½ΡΠ»Π΅Π²ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Β Π½Π° ΡΠΈΡΠ»ΠΎ Β Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠ°ΠΊΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ , Π΄Π»ΠΈΠ½Π° ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ°Π²Π½Π° . ΠΡΠΈΡΠ΅ΠΌ , .
ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π° Β ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°ΡΡ ΡΠ°ΠΊ .
Π‘Π»Π΅Π΄ΡΡΠ²ΠΈΡ.
1.Β Β Β Β ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Β Π½Π° Π½ΠΎΠ»Ρ, ΡΠ°Π²Π½ΠΎ Π½ΡΠ»Π΅Π²ΠΎΠΌΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ .
2.Β Β Β Β ΠΠ΅Π½ΡΠ»Π΅Π²ΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Β ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°ΡΠ΅Π½ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ, Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Β Π½Π° ΡΠΈΡΠ»ΠΎ kΒ Β ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°ΡΠ½Ρ.
ΠΠ΅Π΄Ρ, Π΅ΡΠ»ΠΈ , ΡΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΡΠΎΠ½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ , Π° Π΅ΡΠ»ΠΈ , ΡΠΎ ΠΎΠ½ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ Π΅ΠΌΡ. ΠΠΎ Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌ ΠΈΠ· ΡΡΠΈΡ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅Π² ΠΎΠ½ΠΈ Π±ΡΠ΄ΡΡ ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°ΡΠ½Ρ.
ΠΠΎ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ Β ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠΈΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ: ; ; ; .
Β ΠΠ»ΠΈΠ½Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Β Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° Π±ΡΡΡ Π² ΡΡΠΈ ΡΠ°Π·Π° Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° . Π ΡΡΠΎΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΡΠΎΠ½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ , Π²Π΅Π΄Ρ k Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ ΡΠ°Π²Π½ΠΎ ΡΡΡΠΌ, Π° ΡΡΠΎ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅ Π½ΡΠ»Ρ.
; .
ΠΠ°Π»Π΅Π΅ ΠΈΠ·ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΈΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ , .
ΠΠ»ΠΈΠ½Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° , .
ΠΠΎΡΠ»Π΅Π΄Π½ΠΈΠΌ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠΈΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ .
, .
Π§ΡΠΎΠ±Ρ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Β Π½Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΈΡΠ΅Π» k ΠΈ l, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Β ΡΠ½Π°ΡΠ°Π»Π° ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΡ Π½Π° ΡΠΈΡΠ»ΠΎ l, Π° Π·Π°ΡΠ΅ΠΌ Π½Π° ΡΠΈΡΠ»ΠΎ k: . ΠΡΠΎΡ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ ΡΠΎΡΠ΅ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌ, ΠΈ Π΅Π³ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ»Π»ΡΡΡΡΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ ΡΠ°ΠΊ.
Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΉ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° , : .
ΠΡΠΎΡΡΠΌ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎΠΌ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ΅ΠΌ, ΡΡΠΎ . ΠΡΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠΉ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½.
ΠΡΠΎΠΈΠ»Π»ΡΡΡΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌ Π΅Π³ΠΎ.
Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΉ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° , : .
ΠΠ°ΠΏΠΈΡΠ΅ΠΌ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ .
ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠ΅ΡΡ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½ΡΠ΅ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠΈ Β Ρ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΠΎΠΌ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±ΠΈΡ k, ΡΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ, ΡΡΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ , Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ , Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ .
Π‘ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΉ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ . ΠΡΡΡΠ΄Π° ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ .
ΠΠ°Π½Π½ΡΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π° ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΡΡ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡΡ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ Π² Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡΡ , ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°ΡΠΈΡ ΡΡΠΌΠΌΡ, ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Π½Π° ΡΠΈΡΠ»Π°, ΡΠ°ΠΊ ΠΆΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ Π² ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠ²ΡΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡΡ .
ΠΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΡΠ΅ΠΌ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΡΡ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ².
ΠΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ΄Π΅Π»Π°ΡΡ Π²ΡΠ²ΠΎΠ΄, ΡΡΠΎ Π½Π°Π΄ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡΡ Π²ΡΠ΅ ΡΠ΅ ΠΆΠ΅ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ, ΡΡΠΎ ΠΈ Π½Π°Π΄ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ°ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌΠΈ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ.
ΠΠ°Π΄Π°ΡΠ°. ΠΠ°ΡΠ΅ΡΡΠΈΡΡ ΠΏΠΎΠΏΠ°ΡΠ½ΠΎ Π½Π΅ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°ΡΠ½ΡΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ , Β ΠΈ . ΠΠΎΡΡΡΠΎΠΈΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ , Β ΠΈ .
ΠΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅.
Β
ΠΠΎΠ΄Π²Π΅Π΄ΡΠΌ ΠΈΡΠΎΠ³ΠΈ Π½Π°ΡΠ΅Π³ΠΎ ΡΡΠΎΠΊΠ°.
Π‘Π΅Π³ΠΎΠ΄Π½Ρ Π²Ρ ΠΏΠΎΠ·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΠΈΠ»ΠΈΡΡ Ρ Π½ΠΎΠ²ΡΠΌ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΠ΅ΠΌ Π½Π°Π΄ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ: ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π° ΡΠΈΡΠ»ΠΎ.
ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π½Π΅Π½ΡΠ»Π΅Π²ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Β Π½Π° ΡΠΈΡΠ»ΠΎ k Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠ°ΠΊΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ , Π΄Π»ΠΈΠ½Π° ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ°Π²Π½Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ ΡΠΈΡΠ»Π° k ΠΈ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° . ΠΡΠΈΡΠ΅ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ Β ΠΈ Β ΡΠΎΠ½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Ρ, Π΅ΡΠ»ΠΈ k Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅ Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΡΠ°Π²Π½ΠΎ 0, ΠΈ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Ρ, Π΅ΡΠ»ΠΈ k ΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ΅ 0.
Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Π»ΠΈ Π΄Π²Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΠ²ΠΈΡ ΠΈΠ· ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ:
ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Β Π½Π° Π½ΠΎΠ»Ρ, ΡΠ°Π²Π½ΠΎ ;
Π½Π΅Π½ΡΠ»Π΅Π²ΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Β ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°ΡΠ΅Π½ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ, Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Β Π½Π° ΡΠΈΡΠ»ΠΎ k.
ΠΡΡ ΠΎΠ΄Ρ ΠΈΠ· ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π° ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°Π΅Ρ ΡΡΠ΅ΠΌΡ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π°ΠΌΠΈ, ΠΌΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠ»ΠΈ ΡΠΎΡΠ΅ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½, Π° ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠΉ ΠΈ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρ.
ΠΠ½ΠΈ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΡΡ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡΡ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ Π² Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡΡ , ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°ΡΠΈΡ ΡΡΠΌΠΌΡ, ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Π½Π° ΡΠΈΡΠ»Π°, ΡΠ°ΠΊ ΠΆΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ Π² ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠ²ΡΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡΡ .
ΠΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° ΠΈ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π° ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΠΈ ΠΈΡ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΡΡΠ°Π½Π΄Π°ΡΡΠ½ΡΡ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΡΡ
ΠΡΠΈ ΠΎΠ±ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅ ΠΈ ΡΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ΅ Π² ΡΡΠ°ΡΡΠΈΡ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠ°Ρ ΡΡΠ΅Π΄Π½Π΅ΠΉ ΡΠΊΠΎΠ»Ρ, Π° ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ Π² Π²ΡΡΡΠΈΡ ΡΡΠ΅Π±Π½ΡΡ Π·Π°Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡΡ ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΠΎ ΠΏΡΠΈΡ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ ΡΡΠ°Π»ΠΊΠΈΠ²Π°ΡΡΡΡ Ρ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΠ΅ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°. Π£ΡΠ°ΡΠΈΠ΅ΡΡ ΠΈ ΡΡΡΠ΄Π΅Π½ΡΡ ΠΎΠ±ΡΠ·Π°Π½Ρ ΡΠΌΠ΅ΡΡ ΠΏΡΠΎΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡΡ Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ ΠΏΡΠΎΡΡΠ΅ΠΉΡΠΈΠ΅ Π°ΡΠΈΡΠΌΠ΅ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡ.
Π ΡΡΠ°ΡΡΠ΅ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°ΡΡ ΠΈΡ Π½Π° ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°.
ΠΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΠ΅ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΡ ΠΈ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ
Π§ΡΠΎΠ±Ρ Π² Π΄Π°Π»ΡΠ½Π΅ΠΉΡΠ΅ΠΌ ΡΠΏΡΠΎΡΡΠΈΡΡ ΡΠ°Π±ΠΎΡΡ ΡΠΎ ΡΡΠ°ΡΡΡΠΉ, Π²Π²Π΅Π΄ΡΠΌ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»ΠΈΡΠΎΠ²ΠΊΠΈ ΠΈ Π΄ΠΎΠ³ΠΎΠ²ΠΎΡΡΠ½Π½ΠΎΡΡΠΈ:
- ΠΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½Π°Ρ β Π»ΡΠ±ΠΎΠ΅ ΠΎΠ±ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΠΏΡΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°ΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ½Π½ΡΠ΅ ΡΠΈΠΊΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΡΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ, Π±ΡΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌ, ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ Π½ΡΠ»Π΅Π²ΡΠΌ. ΠΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°ΡΡ Π±ΡΠ΄Π΅ΠΌ Π»Π°ΡΠΈΠ½ΡΠΊΠΎΠΉ Π±ΡΠΊΠ²ΠΎΠΉ Π‘ (ΠΎΡ Π³ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ»ΠΎΠ²Π° constanta, ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½Π°Ρ).
- ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡ β ΡΡΠ°ΡΡΠΎΠΊ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ, ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½Π½ΡΠΉ Π΄Π²ΡΠΌΡ ΡΠΎΡΠΊΠ°ΠΌΠΈ ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΉ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅. ΠΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°ΡΡ Π±ΡΠ΄Π΅ΠΌ ΠΊΠ°ΠΊ (ΠΠ). ΠΡΠΈΡΡΠΌ ΡΠΎΡΠΊΠ°, Π ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π΅Π³ΠΎ Π½Π°ΡΠ°Π»ΠΎΠΌ, Π β ΠΊΠΎΠ½ΡΠΎΠΌ. ΠΠ°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π±ΡΠ΄Π΅ΠΌ ΡΡΠΈΡΠ°ΡΡ ΠΎΡ ΡΠΎΡΠΊΠΈ, Π ΠΊ ΡΠΎΡΠΊΠ΅ Π. ΠΠΎΠΏΡΡΡΠΈΠΌΠ° Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Π° Π½Π° (CD).
- ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ (ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°ΡΠ½ΡΠΌΠΈ), Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΎΠ½ΠΈ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ Π½Π° ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°ΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΡΠΌΡΡ ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ.
- ΠΡΠ»Π΅Π²ΡΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠ°ΠΊΠΎΠΉ, Ρ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ ΠΈ Π½Π°ΡΠ°Π»ΠΎ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡΡ. ΠΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π½ΡΠ»Ρ-Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΈ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅ΡΡΡ (0).
- ΠΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ°ΠΌΠΈ (ΠΠ) Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ ΡΠΈΡΠ»Π°, ΡΠ°Π²Π½ΡΠ΅ Π΅Π³ΠΎ ΠΏΡΠΎΡΡΠΆΡΠ½Π½ΠΎΡΡΠΈ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΠΈΠ· ΠΎΡΠΈ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ Π² ΠΠ΅ΠΊΠ°ΡΡΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ΅. ΠΠ½ΠΈ Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΡΡΡΡ Π²ΡΡΠΈΡΠ°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ ΠΊΠΎΠ½ΡΠ° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ Π΅Π³ΠΎ Π½Π°ΡΠ°Π»Π°. ΠΠ½Π°ΠΊ ΠΌΠΈΠ½ΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π΄ ΡΡΠΈΠΌ ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠΌ ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ, ΡΡΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ² Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΎΡΠΈ.
- ΠΠΎΠ΄ΡΠ»Π΅ΠΌ (ΠΠ) Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π΄Π»ΠΈΠ½Π° ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠ° ΠΠ.
- ΠΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΡΠΉ ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΠΈΠ· ΡΠΈΡΠ»Π° ΠΈΠ»ΠΈ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠΌΡΡ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°ΡΡ Π»Π°ΡΠΈΠ½ΡΠΊΠΈΠΌ Π±ΡΠΊΠ²ΠΎΡΠΎΡΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ SQRT.
- (ΠΠ) Ρ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ°ΠΌΠΈ (x, y, z) Π±ΡΠ΄Π΅ΠΌ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ (ΠΠ) (x, y, z).
ΠΡΠΎ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ½ΠΎ: ΠΠ°ΠΊ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» Π² ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅?
ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π° ΡΠΈΡΠ»ΠΎ
Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Π½Π° ΡΠΈΡΠ»ΠΎ:
- ΠΡΠ΅ΠΆΠ΄Π΅ Π²ΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΎΡΠΌΠ΅ΡΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΈ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π½Π° ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΡΡ ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΡΡΡ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠ΅.
- ΠΡΠ»ΠΈ constanta Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅ -1, Π½ΠΎ ΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ΅ 1, ΡΠΎ ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ (ΠΠ) ΡΠΌΠ΅Π½ΡΡΠΈΡΡΡ. ΠΡΠΎΡΠ΅ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡΡ β ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΎΠΊ ΡΡΠ°Π½Π΅Ρ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠ΅.
- ΠΡΠ»ΠΈ ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½Π°Ρ ΡΠ°Π²Π½Π° Π½ΡΠ»Ρ, Π‘=0, ΡΠΎ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠΎΠΌ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΡΡΡ (0).
- ΠΠ»Ρ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ (ΠΠ) (x, y, z) Π½Π° Π½Π΅ΠΊΡΡ ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΡΡ, Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ Ρ ΡΡΠΎΠΉ ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΠΎΠΉ. ΠΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡΡ (Π1Π1) (Π‘*x, Π‘*y, Π‘*z).
ΠΠ½ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ½ΠΎ Π·Π½Π°ΡΡ: ΠΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ ΡΠΈΡΠ»Π° Π² ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅.
ΠΠ»Π³Π΅Π±ΡΠ°ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΠΈ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΡΠΌΡΡΠ» Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡ
ΠΡΠ±ΠΎΠ΅ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π½Π΅ΠΊΠΈΠΉ ΡΠΌΡΡΠ», ΠΏΡΠΈΡΡΠΌ Π² ΡΠ°Π·Π½ΡΡ Π½Π°ΡΠΊΠ°Ρ ΠΎΠ½ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ°Π΅ΡΡΡ. Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ Π½Π°ΠΌ Π΄Π°ΡΡ ΡΡΠΎΡ Π²ΠΈΠ΄ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ:
- ΠΠ΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΡΠΌΡΡΠ»: (ΠΠ)*Π‘ β ΡΡΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ, ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°ΡΠ½ΡΠΉ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌΡ, ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π² Π‘ ΡΠ°Π· ΠΎΡ ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ, Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡΡ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠ΅Π½ΡΡΡΡΡ Π½Π° ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠ΅ Π² Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈ ΠΎΡ Π·Π½Π°ΠΊΠ° ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΠΎΠΉ.
- ΠΠ»Π³Π΅Π±ΡΠ°ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΡΠΌΡΡΠ»: (ΠΠ) (x, y, z)*Π‘ β ΡΡΠΎ Π½ΠΎΠ²ΡΠΉ (Π1Π1) Ρ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ°ΠΌΠΈ ΡΠ°Π²Π½ΡΠΌΠΈ (Π‘*x, Π‘*y, Π‘*z).
- Π€ΠΈΠ·ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΡΠΌΡΡΠ»: ΡΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠ²Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Π‘ ΡΠ°Π· ΡΠΈΠ»Ρ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΡΡΡΠ΅ΠΉ Π½Π° ΡΠ΅Π»ΠΎ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠΎΡΠΊΡ.
ΠΡΠΎ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ½ΠΎ: ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡΡ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΡΠΉ ΡΡΠ΅Ρ ΡΠ»Π΅Π½?
Π€ΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ
ΠΡΠΈ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΏΡΠΎΡΠ΅ Π²ΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ Π·Π°ΡΠ°Π½Π΅Π΅ Π·Π°ΡΡΠ΅Π½Π½ΡΠ΅ Π½Π° ΠΏΠ°ΠΌΡΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ Π²ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡΡ ΠΏΠΎ ΡΠ°Π±Π»ΠΎΠ½Ρ, Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡ Π±ΡΠΊΠ²Π°Π»ΡΠ½ΠΎ Π½Π° ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠΌ Π°Π²ΡΠΎΠΌΠ°ΡΠ΅:
- Π‘*(ΠΠ) (x, y, z) = (Π1Π1) (Π‘*x, Π‘*y, Π‘*z).
- 0*(ΠΠ) = (0).
ΠΠ»Ρ Π½Π°ΡΠ°Π»Π° Π²ΠΎΠ·ΡΠΌΡΠΌ ΡΠΈΠ·ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΡΡ Π·Π°Π΄Π°ΡΡ Π²ΠΎΠ·Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡ ΡΠΈΠ»Ρ Π½Π° ΠΌΠ°ΡΠ΅ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠΎΡΠΊΡ. ΠΡΡΡΡ Π½Π° Π½Π΅Ρ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ ΡΠΈΠ»Π°, ΠΎΠΏΠΈΡΡΠ²Π°Π΅ΠΌΠ°Ρ (ΠΠ) (57,63,28). ΠΠ°ΠΊ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡΡΡ ΡΡΠ° ΡΠΈΠ»Π° ΠΏΠΎ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ°ΠΌ ΠΏΡΠΈ Π΅Ρ Π΄Π΅ΡΡΡΠΈΠΊΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠΌ ΡΠ²Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ?
ΠΡΠ΅ΠΆΠ΄Π΅ Π²ΡΠ΅Π³ΠΎ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ ΠΎΡΠΌΠ΅ΡΠΈΡΡ, ΡΡΠΎ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΠΎΠ·Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡ ΡΠΈΠ»Ρ Π½Π΅ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡΡΡ, Π° ΡΠ°ΠΌΠ° ΡΠΈΠ»Π° Π²ΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΡΡ Π΄Π΅ΡΡΡΠΈΠΊΡΠ°ΡΠ½ΠΎ. ΠΡΠΈ ΡΠ°ΡΠΊΠ»Π°Π΄ΠΊΠ΅ ΠΏΠΎ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ°ΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅Π΅:
10*(ΠΠ) (57,63,28) = (Π1Π1) (10*57,10*63,10*28) = (Π1Π1) (570,630,280).
ΠΡΠΎΡΡΡ Π·Π°Π΄Π°ΡΡ Π²ΠΎΠ·ΡΠΌΡΠΌ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ½ΡΡ: ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡΡΡ ΡΠΈΠ»Π°, Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΡΡΡΠ°Ρ Π½Π° ΠΌΠ°ΡΠ΅ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠ΅Π»ΠΎ, ΠΎΠΏΠΈΡΡΠ²Π°Π΅ΠΌΠ°Ρ (ΠΠ) (46,59,-43) ΠΏΡΠΈ Π΅Ρ ΡΠ²Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π² -0,5 ΡΠ°Π·Π°.
ΠΡΠ΅ΠΆΠ΄Π΅ Π²ΡΠ΅Π³ΠΎ Π·Π°ΠΌΠ΅ΡΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ Π·Π½Π°ΠΊ Ρ ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΠΎΠΉ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ°ΠΌΠΎΠΉ ΡΠΈΠ»Ρ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡΡΡ Π½Π° ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠ΅. ΠΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΠΌΡΡ ΠΏΡΠ½ΠΊΡΠΎΠΌ 2 Π²ΡΡΠ΅ΠΈΠ·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΡΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ» ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ, ΡΠΎΠ³Π΄Π° ΡΡΠ°Π·Ρ ΡΡΠ°Π½Π΅Ρ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠ½ΠΎ, ΡΡΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΈΠ»Ρ ΡΠΌΠ΅Π½ΡΡΠΈΡΡΡ Π²Π΄Π²ΠΎΠ΅. ΠΡΠΎΠ²Π΅Π΄ΡΠΌ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠΎ ΡΠ°Π±Π»ΠΎΠ½Ρ:
-0,5*(ΠΠ) (46,59,-43) = (Π1Π1) (-0,5*46,-0,5*59,-0,5*(-43)) = (Π1Π1) (-23,-29,5,21,5).
Π‘Π»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ Π·Π°ΠΌΠ΅ΡΠΈΡΡ, ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄ΡΠ½Π½ΡΠ΅ Π²ΡΡΠ΅ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ ΡΠ΅ΡΠ°Π»ΠΈΡΡ Π΄Π»Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ², ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΡΠ½Π½ΡΡ Π² ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅ ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡ ΡΡΠΈ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ. Π ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ ΡΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π΄ΠΎ Π΄Π²ΡΡ , Π° Π² ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ β Π΄ΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ. Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Π΄Π»Ρ ΡΡΠΈΡ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅Π²:
- 33*(CD) (11,10) = (C1D1) (33*11,33*10) = (C1D1) (363,330).
- -0,2*(ΠΠ) (-0,3,25) = (Π1Π1) (-0,2*(-0,3), -0,2*25) = (Π1Π1) (0,06, -5).
- 67*(CD) (2) = (C1D1) (67*2) = (C1D1) (134).
- 0*(ΠΠ) (65,-87) = (0).
ΠΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΡΠ΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡ Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ
ΠΠ΅ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ Π΄ΡΠΌΠ°ΡΡ, ΡΡΠΎ Π²ΡΠ΅ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΡΠ΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡ ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠΈΠ²Π°ΡΡΡΡ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡΠΌ Π½Π° ΡΠΈΡΠ»ΠΎ. ΠΡΠ΅ΠΆΠ΄Π΅ Π²ΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ (ΠΠ) β ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ. ΠΠ½ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΡΠ°Π²Π½ΡΡΡΡΡ SQRT ΠΈΠ· ΡΡΠΌΠΌΡ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠΎΠ² ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ. ΠΠΎΡΡΠ½ΠΈΠΌ ΡΡΠΎ Π½Π° ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ΅:
- ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ (ΠΠ) (3,4) = SQRT (3 2+ 4 2) = SQRT (9 + 16) = SQRT25 = 5.
ΠΡΠΎΠΌΠ΅ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ, ΠΈΠ· ΠΊΡΡΡΠ° ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ ΠΈ ΡΠΈΠ·ΠΈΠΊΠΈ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΠΎ, ΡΡΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ»Π°Π³Π°ΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Ρ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΠΌ ΠΈ Π²ΡΡΠΈΡΠ°ΡΡ Π΄ΡΡΠ³ ΠΈΠ· Π΄ΡΡΠ³Π°. ΠΡΠΈ ΡΡΠΎΠΌ ΠΏΡΠΎΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π²ΡΡΠΈΡΠ°Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΡ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ.
ΠΠ°ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ, Π²ΡΡΡΠ°Ρ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ° Π²Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΡ ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ (ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ) ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ². Π ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡΡ Π½Π΅ΠΊΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ, Π²ΠΎ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΌ β ΡΡΠ΅ΡΠΈΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ, Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π½ΡΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ, ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°ΡΠ΅ΠΉ Π΄Π²Π° ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΡ .
Π Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ°ΡΡΠ΅ ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Ρ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π° ΡΠΈΡΠ»ΠΎ. ΠΡΡ ΠΎΠ΄Ρ ΠΈΠ· Π΅Ρ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΡΠΈΠ°Π»Π°, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΡΠ²Π΅ΡΠΆΠ΄Π°ΡΡ, ΡΡΠΎ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΠ΅ ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎΠ΅ ΠΈ Π΄ΠΎΡΡΡΠΏΠ½ΠΎΠ΅ Π»ΡΠ±ΠΎΠΌΡ ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΡ Ρ ΡΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅ΡΠ²ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠΏΠ΅Π²Π°Π΅ΠΌΠΎΡΡΡΡ. Π Π΅ΠΊΠΎΠΌΠ΅Π½Π΄ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΈΠ·ΡΡΠΈΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΠΈ Π² ΡΠ²ΠΎΠΈΡ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡΡ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΏΠΎ ΠΈΠ·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠΌΡ Π² ΡΠ΅ΠΊΡΡΠ΅ ΡΠ°Π±Π»ΠΎΠ½Ρ.
ΠΠ°ΠΊ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Π½Π° ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΠΈ ΡΡΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ Π² ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠ΅
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°ΡΡ Π½Π° ΡΠΈΡΠ»ΠΎ (ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΡΡ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ).
Π§ΡΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡΡ Π² ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠ΅? ΠΠ΅Π³ΠΊΠΎ Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡΡ ΡΠ°ΠΊ:
\[ \large \boxed { Β \text{Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ} \cdot \text{ΡΠΈΡΠ»ΠΎ} = \text{Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ} } \]
Π’ΠΎ Π΅ΡΡΡ, ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ² Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Π½Π° ΡΠΈΡΠ»ΠΎ, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ Π½ΠΎΠ²ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ.
ΠΠ°ΠΊ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Π½Π° ΡΠΈΡΠ»ΠΎ
Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Π½Π° ΡΠΈΡΠ»ΠΎ, ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΠΌ Π΅Π³ΠΎ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ.
ΠΠ°ΠΊ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡΡΡ Π΄Π»ΠΈΠ½Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°
ΠΠ»ΠΈΠ½Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΡΠ²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ²Π°Π΅ΡΡΡ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΠΏΡΠ΅Π²ΡΡΠ°Π΅Ρ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΡ (ΠΏΠΎ ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ).
ΠΡΠ»ΠΈ ΠΆΠ΅, ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ΅ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΡ (ΠΏΠΎ ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ), Π΄Π»ΠΈΠ½Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΡΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ.
ΠΠΎΠ³Π΄Π°:
β ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅, ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ ΡΠΎΠ½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ Ρ Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ.
β ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅, ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ ΡΠ°Π·Π²Π΅ΡΠ½Π΅ΡΡΡ Π² ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΡ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ.
Π ΠΈΡ. 1. ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΈ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΡ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π΅Π³ΠΎ Π½Π° ΡΠΈΡΠ»Π° 2,5; -2,5; ΠΈ 0,5; -0,5
ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΠ΅:
ΠΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΡ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π° ΡΠΈΡΠ»ΠΎ Π½Π΅ ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡΠ°ΡΠΈΠ²Π°Π΅Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Π½Π° ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ-Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΡΠ³ΠΎΠ» ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ. Π’ΠΎ Π΅ΡΡΡ, Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΈ ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ ΠΎΡΡΠ°Π½ΡΡΡΡ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ.
ΠΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½Ρ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°
ΠΠ½Π°Ρ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°, ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΡ Π΅Π³ΠΎ Π½Π° ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ Π½Π° ΡΡΠΎ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ.
β\( \vec{a} = \{ a_{x}; a_{y}\} \)β β ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° \( \vec{a}\)
β\[ \large \boxed { k \cdot \vec{a} = \{ k \cdot a_{x}; k \cdot a_{y} \} }\]β
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ ΠΈΠ· ΡΠΈΠ·ΠΈΠΊΠΈ
ΠΠ΄Π½ΠΈΠΌ ΠΈΠ· ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠΎΠ² ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π° ΡΠΈΡΠ»ΠΎ Π² ΡΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΡΠ»ΡΠΆΠΈΡΡ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ ΠΡΡΡΠΎΠ½Π°.
ΠΠΎΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ² ΠΎΠ±Π΅ ΡΠ°ΡΡΠΈ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Π° ΠΡΡΡΠΎΠ½Π° Π½Π° ΠΌΠ°ΡΡΡ ΡΠ΅Π»Π°, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ
\[ m \cdot \vec{a} = \vec{F} \]
Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ² ΠΌΠ°ΡΡΡ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ΅Π»Π° β ΡΠΊΠ°Π»ΡΡ \( m \), Π½Π° ΡΡΠΊΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ΅Π»Π° β Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ \( \vec{a} \), ΠΌΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ Π½ΠΎΠ²ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ \( m \cdot \vec{a} \). ΠΡΠΎΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠΈΠΌ ΡΠΈΠΌΠ²ΠΎΠ»ΠΎΠΌ \( \vec{F} \) ΠΈ Π½Π°Π·ΠΎΠ²Π΅ΠΌ ΡΠΈΠ»ΠΎΠΉ.
Π‘ΠΈΠ»Π°, Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΡΡΡΠ°Ρ Π½Π° ΡΠ΅Π»ΠΎ, ΠΏΡΠΈΠ΄Π°Π΅Ρ Π΅ΠΌΡ ΡΡΠΊΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅.
Π ΠΈΡ. 2. ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡ ΡΡΠΊΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡ a ΠΈ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π΅Π³ΠΎ Π½Π° ΡΠΈΡΠ»ΠΎ m
Π€ΠΎΡΠΌΡΠ»Π° \( m \cdot \vec{a} = \vec{F} \) Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Π½Π° Π² Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅. Π’Π°ΠΊΠ°Ρ Π·Π°ΠΏΠΈΡΡ ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ, ΡΡΠΎ ΡΠ΅ΡΡ ΠΈΠ΄Π΅Ρ Π½Π΅ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΎ ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»ΡΡ
(Π΄Π»ΠΈΠ½Π°Ρ
) Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ². ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΡΠΉ Π²ΠΈΠ΄ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ΅Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π΄Π°ΡΡ ΠΈΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΡ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°.
ΠΠ°ΠΊ ΠΎΡΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΎ Π²ΡΡΠ΅, ΠΌΡ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ²Π΅ΡΠ½ΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Π½Π° ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ-Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΡΠ³ΠΎΠ» ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ, ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Ρ Π΅Π³ΠΎ Π½Π° ΡΠΈΡΠ»ΠΎ. ΠΠΎΡΠ»Π΅ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡΡΡ Π»ΠΈΡΡ Π΄Π»ΠΈΠ½Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°.
ΠΠ½Π°ΡΠΈΡ, Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ \( \vec{F} \) ΠΈ \( \vec{a} \) ΡΠΎΠ½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Ρ, Π½ΠΎ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΡ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ. ΠΠ»ΠΈΠ½Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π² \( m \) ΡΠ°Π·.
Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΡ — ΡΡΠΎ ΡΡΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ΅? Π΄Π°Π΅Ρ Π²Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ.
ΠΡΡΡ Π΄Π²Π° ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½ΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Π² Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ — ΡΠΊΠ°Π»ΡΡ, Π° Π² Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΌ — ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ. ΠΠ΅Ρ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΈ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ². Π Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΡ Π²Ρ Π²ΡΡΡΠ΅ΡΠΈΡΠ΅ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ, Π½ΠΎ Π½Π΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠ΄ΡΠΊΡΠΎΠ², Π½ΠΎ ΠΌΡ ΠΎΠ±ΡΡΠΆΠ΄Π°Π΅ΠΌ ΠΎΠ±Π° ΡΠΈΠΏΠ° ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Π² Π² ΡΡΠΎΠΉ ΡΡΠ°ΡΡΠ΅, ΡΡΠΎΠ±Ρ Π΄Π°ΡΡ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ± ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Ρ ΡΡΠ±ΡΠ΅ΠΊΡ
Π‘ΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅
Π‘ΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ $ {\ bf u} = (u_1, u_2, u_3) $ ΠΈ $ {\ bf v} = (v_1, v_2, v_3) $ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠΎΠΌ, ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΠΌΡΠΌ ΠΊΠ°ΠΊ $$ {\ bf u.2 \ quad (2), $$ ΠΈ Π΅ΡΠ»ΠΈ $ {\ bf i, j, k} $ — Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ Π²Π΄ΠΎΠ»Ρ ΠΎΡΠΈ ΡΠΎΠ³Π΄Π° $$ {\ bf i.i} = {\ bf j.j} = {\ bf k.k} = 1, \ quad {\ rm ΠΈ} \ quad {\ bf i.j} = {\ bf j.k} = {\ bf k.i} = 0 \ quad (3). $$ ΠΡΠΎ ΠΎΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΎ ΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»Ρ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΡΠΎΠ²Π΅ΡΠΈΡΡ ΠΈΠ· ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ, ΡΡΠΎ $$ {\ bf u.v} = {\ bf v.u}, \ {\ rm ΠΈ} \ ({\ bf u + v}). {\ bf w} = {\ bf u.w} + {\ bf v.w}. $$ ΠΡΠΎ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅Ρ, ΡΡΠΎ ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡΠ°ΡΡΠΈΡΡΡΡ ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°ΡΡ $$ {\ bf u.v} = (u_1 {\ bf i} + u_2 {\ bf j} + u_3 {\ bf k}). (v_1 {\ bf i} + v_2 {\ bf j} + u_3 {\ bf k}) $$ Π΄Π°Π΅Ρ Π΄Π΅Π²ΡΡΡ ΡΠ΅ΡΠΌΠΈΠ½ΠΎΠ². ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ (3), ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΈΠ· ΡΡΠΈΡ ΡΠ»Π΅Π½ΠΎΠ² ΡΠ°Π²Π½Ρ Π½ΠΎΠ»Ρ, Π° ΠΎΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠΈ Π΄Π°ΡΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ $ u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3 $ Π² ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΠΈΠΈ Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π² ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ (1).{-1} \ left ({{\ bf u.v} \ over | {\ bf u} ||| {\ bf v} |} \ right) \ quad (7). $$ Π ΡΡΠ΅Ρ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡΡ ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΈΠ½ΡΡΠΈΡΠΈΠ²Π½ΠΎΠ΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ³Π»Π° Ρ ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π·ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡΠΎΡΠ°, Π½ΠΎ Π² Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Π²ΡΡΠΎΠΊΠΈΠ΅ ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΡ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ³Π»Π° Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π° (7). ΠΡΠ»ΠΈ ΠΌΡ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΠΌ ΡΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ Π΄Π»Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ³Π»Π°, ΡΠΎ ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΠ° ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ ΠΏΡΡΠΌΠΎ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΠΎΠ½ΠΈ ΡΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½ΡΠ½Ρ.
ΠΠ±ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°-ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°-ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠ° ΡΠ°Π²Π½ΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π² ΡΠ΅ΡΠΌΠΈΠ½Π°Ρ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ, ΠΈ ΡΡΠΎ ΡΠΎΠ³Π»Π°ΡΡΠ΅ΡΡΡ Ρ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅.$$ (u_1 \ u_2 \ u_3) \ left (\ begin {array} {cc} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \ end {array} \ right) = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3. $$
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ $ {\ bf b} $ ΠΈ $ {\ bf c} $, Π·Π°ΠΏΠΈΡΡΠ²Π°Π΅ΠΌΡΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊ $ {\ bf b} \ times {\ bf c} $ (ΠΈ ΠΈΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ ΠΊΡΠ΅ΡΡΠΎΠΌ product), ΡΡΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ $$ {\ bf b} \ times {\ bf c} = \ left ( \ begin {array} {cc} b_2c_3-b_3c_2 \\ b_3c_1 -b_1c_3 \\ b_1c_2 -b_2c_1 \ end {array} \ right) \ quad (8). $$ Π‘ΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ Π°Π»ΡΡΠ΅ΡΠ½Π°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΠ΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ, Π° ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ, ΡΡΠΎ $ {\ bf b} \ times {\ bf c} $ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ $ | {\ bf b} || {\ bf c} | \ sin \ theta $ ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΠΎ $ {\ bf b} $ ΠΈ $ {\ bf c} $ ΠΈ ΠΏΠΎΠ΄ΡΠΈΠ½ΡΡΡΡ «ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Ρ ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΠΉ ΡΡΠΊΠΈ», ΠΈ Π΄ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ, ΡΡΠΎ ΡΡΠΎΡ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ ΠΈΠ· Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈ ΡΡΠΎ ΡΡΠΈ Π΄Π²Π° ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½ΡΠ½Ρ.ΠΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ ΠΏΠΎΠ·ΠΆΠ΅ Π΄Π»Ρ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ, Π½ΠΎ ΡΠ½Π°ΡΠ°Π»Π° ΠΌΡ ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ $ {\ bf b} \ times {\ bf c} $ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ°Π΅ΡΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΡ Π² Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡΡ $ {\ bf i, j, k} $.
ΠΠ· ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, ΡΡΠΎ $ {\ bf b} \ times {\ bf c} = — {\ bf c} \ times {\ bf b} $, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΡΡΠ° ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΡ Π½Π΅ ΠΊΠΎΠΌΠΌΡΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½Π°. ΠΡΠ»ΠΈ $ {\ bf i, j, k} $ — Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ Π²Π΄ΠΎΠ»Ρ ΠΎΡΠ΅ΠΉ, ΡΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈΠ· ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ: $$ {\ bf i} \ times {\ bf i} = {\ bf j} \ times {\ bf j} = {\ bf k} \ times {\ bf k}, $$ ΠΈ $$ \ eqalign {{\ bf i} \ times {\ bf j} & = {\ bf k}, \ quad {\ bf j} \ times {\ bf i} = — {\ bf k} \ cr {\ bf j} \ times {\ bf k} & = {\ bf i}, \ quad {\ bf k} \ times {\ bf j} = — {\ bf i} \ cr {\ bf k} \ times {\ bf i} & = {\ bf j}, \ quad {\ bf i} \ times {\ bf k} = — {\ bf j}.} $$ ΠΠ· ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ, ΡΡΠΎ $$ k ({\ bf b} \ times {\ bf c}) = (k {\ bf b}) \ times {\ bf c} = {\ bf b} \ times (k {\ bf c}), \ quad \ quad ({\ bf a + b}) \ times {\ bf c} = ({\ bf a} \ times {\ bf c}) + ({\ bf b} \ times {\ bf c}). $$ Π Π°ΡΡΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ $$ {\ bf b} \ times {\ bf c} = (b_1 {\ bf i} + b_2 {\ bf j} + b_3 {\ bf k}) \ times (c_1 {\ bf i} + c_2 {\ bf j} + c_3 {\ bf k}) $$ Π΄Π°Π΅Ρ $$ (b_2c_3-b_3c_2) {\ bf i} + (b_3c_1-b_1c_3) {\ bf j} + (b_1c_2-b_2c_1) {\ bf k} \ quad (9) $$ ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ — ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π° Π΄Π»Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ, Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Π°Ρ Π² ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ (8).
Π’Π΅ΠΏΠ΅ΡΡ ΠΌΡ Π΄ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ, ΡΡΠΎ Π΄Π²Π° ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΡΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½Ρ. ΠΠ° ΡΡ Π΅ΠΌΠ΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Ρ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² $ {\ bf b} $, $ {\ bf c} $ ΠΈ $ {\ bf b} \ times {\ bf c} $, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΡΡΡ ΠΏΡΠ°Π²ΡΡ Π²ΡΡΡΠΈΠ» Π½Π°Π±ΠΎΡ Β».
ΠΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΡΠ΅ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ΡΠΈΡΡ ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π΄Π΅ΡΡ, ΠΈ ΡΡΠΎ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅ Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°ΡΡ, ΡΡΠΎ Π΅ΡΡΡ Π΄Π²Π° ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΠΏΡΠΎΠ΄ΡΠΊΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½ΡΠ½ΡΠΉ, ΡΠ΅ΠΌ ΠΎΠ½ ΠΌΠ΅Ρ Π°Π½ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ ΠΏΡΠΎΡΠ°Π±ΠΎΡΠ°ΡΡ Π΄Π΅ΡΠ°Π»ΠΈ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²Π°.
Π’Π΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ° ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² $ {\ bf b} $ ΠΈ $ {\ bf c} $ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ $ {\ bf b} \ times {\ bf c} $ ΡΠΎ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΌΠΈ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π°ΠΌΠΈ:
(i) $ {\ bf b} \ times {\ bf c} $ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π° $ | {\ bf b} || {\ bf c} | \ sin \ theta $, Π³Π΄Π΅ $ \ theta $ — ΡΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ $ {\ bf b} $ ΠΈ $ {\ bf c} $;
(ii) $ {\ bf b} \ times {\ bf c} $ — ΡΡΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΠΎ $ {\ bf b} $ ΠΈ $ {\ bf c} $ Ρ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ, ΡΠ°ΠΊΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ $ {\ bf b} $, $ {\ bf c} $ ΠΈ $ {\ bf b} \ times {\ bf c} $ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΡΡΡ ΠΏΡΠ°Π²ΡΠΉ Π½Π°Π±ΠΎΡ, ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π° ΡΡ Π΅ΠΌΠ΅, ΡΠ°ΠΊ ΡΡΠΎ $ {\ bf b} \ times {\ bf c} $ ΠΈ $ {\ bf c} \ times {\ bf b} $ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Ρ Π² ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ. 2 $.2} \ cr & = | {\ bf b} \ times {\ bf c} |. } $$
ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ ΡΠ°ΡΡΠΈ (ii) ΠΠΎΠΌΡ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ, ΡΡΠΎ $ {\ bf b} $ ΠΈ $ {\ bf b} \ times {\ bf c} $ ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½Ρ ΠΏΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ, ΡΡΠΎ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ°Π²Π½ΠΎ Π½ΡΠ»Ρ: $$ {\ bf b}. {\ bf b} \ times {\ bf c} = b_1 (b_2c_3-b_3c_2) + b_2 (b_3c_1-b_1c_3) + b_3 (b_1c_2-b_2c_1) = 0, $$ ΠΈ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ½ΠΎ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ $ {\ bf c} $ ΠΈ $ {\ bf b} \ times {\ bf c} $ ΡΠ°Π²Π΅Π½ Π½ΡΠ»Ρ, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΡΡΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½Ρ.
ΠΠ±ΡΡΡΠ½ΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΡΡΠΎΠΊΠ°: ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ
Π ΡΡΠΎΠΌ ΠΏΠΎΡΡΠ½ΠΈΡΠ΅Π»Π΅ ΠΌΡ ΡΠ·Π½Π°Π΅ΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Π½Π° ΡΠΊΠ°Π»ΡΡ ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π°ΠΉΡΠΈ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Π² ΠΠ°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π»ΡΠ±ΠΎΠΉ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΏΡΡΠ΅ΠΌ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π° ΡΠΊΠ°Π»ΡΡ.
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡ — ΡΡΠΎ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π°, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠ°Ρ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΊΠ°ΠΊ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ, ΡΠ°ΠΊ ΠΈ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π‘ΠΎΡΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ Π΄Π΅Π»Π°Π΅Ρ vector — ΡΠ½ΠΈΠ²Π΅ΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΈΠ½ΡΡΡΡΠΌΠ΅Π½Ρ, ΠΈΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ. ΠΠ΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠΎΠ² Π²ΠΊΠ»ΡΡΠ°ΡΡ ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π² ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²ΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΠΈ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ°ΡΡΠ΅Π΅ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ Π΄Π²ΠΈΠΆΡΡΠ΅Π³ΠΎΡΡ ΡΠ΅Π»Π°.
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΡ ΡΠ°ΡΡΠΎ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ°ΡΡΡΡ ΡΠ²ΡΠ·ΡΡ ΠΈΡ Ρ Π½Π°Π±ΠΎΡΠΎΠΌ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ ΠΈ, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅ ΡΠ΅ΠΌ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ. Π Π’ΡΠ΅Ρ ΠΌΠ΅ΡΠ½ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ βπ ΡΠ°ΡΡΠΎ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ°Π΅ΡΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· Π΄Π΅ΠΊΠ°ΡΡΠΎΠ²Ρ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ π₯, π¦ ΠΈ π§, βπ = (π₯, π¦, π§), ΠΈΠ»ΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ, βπ = π₯βπ + π¦βπ + π§βπ.
Π ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠΈΠ΅ ΠΎΡ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ, ΡΠΊΠ°Π»ΡΡ — ΡΡΠΎ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π°, ΠΈΠΌΠ΅ΡΡΠ°Ρ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ Π½ΠΎ Π½Π΅Ρ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ. Π‘ΠΊΠ°Π»ΡΡ ΡΠ°ΡΡΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ ΠΏΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΡ Π½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡ, Π±Π΅Π· Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΈΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΠΈ.
Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΡ Π΄Π²Π° ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ° Π²ΠΌΠ΅ΡΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎ, Π½ΠΎ Π² ΡΡΠΎΠΌ ΠΏΠΎΡΡΠ½Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΌΡ ΡΠΎΠ±ΠΈΡΠ°Π΅ΠΌΡΡ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ. ΠΠ°ΠΊ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ ΠΈΠ· Π½Π°Π·Π²Π°Π½ΠΈΡ, ΡΡΠΎ Π²ΠΊΠ»ΡΡΠ°Π΅Ρ Π² ΡΠ΅Π±Ρ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π° ΡΠΊΠ°Π»ΡΡ.
Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΡΠ°ΡΡΠΈΡΡ, Π΄Π²ΠΈΠΆΡΡΡΡΡΡ ΡΠΎ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡΡ. ΠΡΠ»ΠΈ ΡΠ°ΡΡΠΈΡΠ° ΠΏΡΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠ°Π΅Ρ Π΄Π²ΠΈΠ³Π°ΡΡΡΡ Π² ΡΠΎΠΌ ΠΆΠ΅ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ, Π½ΠΎ Π΅Π΅ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΡΠ΄Π²Π°ΠΈΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΏΠΎ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΡΡΠΎ ΠΎΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ? ΠΡΠΎΡΡΠΎΠΉ ΠΎΡΠ²Π΅Ρ — 2βπ.ΠΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΠΌΡ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ»ΠΈ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡ Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ, ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ.
ΠΠ°Π²Π°ΠΉΡΠ΅ ΠΏΠΎΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ ΡΡΠΎ ΡΠΎΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΡΡ Ρ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠ°ΠΌΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°.
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅: ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅
Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ° Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅.
Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ βπ ΠΈ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡ π: βπ = (π₯, π¦, π§).
ΠΡΠΈ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ ΠΏΠΎ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠ°ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°: πβπ = π (π₯, π¦, π§) = (ππ₯, ππ¦, ππ§).
Π Π΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠΎΠΌ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ, Π³Π΄Π΅ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π° ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅ΡΡΡ Π½Π° Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠΎΠΌ.
ΠΡ ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎΠΉ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΠΏΡΠ΅ΠΆΠ΄Π΅ ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΉΡΠΈ ΠΊ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΈΠ½ΡΡΠΈΡΠΈΠ²Π½ΡΠΌ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠΏΡΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΡΠΌ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 1: Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π° ΡΠΊΠ°Π»ΡΡ
Π£ΡΠΈΡΡΠ²Π°Ρ, ΡΡΠΎ βπ΄ = (- 1, β8), Π½Π°ΠΉΡΠΈ 3βπ΄.
ΠΡΠ²Π΅Ρ
ΠΠ° ΡΡΠΎΡ Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡ Π½Π°ΠΌ Π΄Π°Π»ΠΈ Π΄Π²ΡΠΌΠ΅ΡΠ½ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΈ ΠΏΠΎΠΏΡΠΎΡΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠΈ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΡΡ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ. ΠΈΠ· 3.
ΠΠ»Ρ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΡ π₯ Π° π¦-ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠ° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΡΠΌΠΈ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡ: 3βπ΄ = 3 (β1, β8) = (3 (β1), 3 (β8)) = (- 3, β24).
ΠΠΎΡΠ»Π΅ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΏΡΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΡ Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ Π½Π°Ρ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅Ρ ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Ρ π₯ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ β3 ΠΈ π¦ ΡΠΎΡΡΠ°Π²Π»ΡΡΡΠ°Ρ β24.
ΠΠ±ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, ΡΡΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ 3βπ΄ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΡΠΎ ΠΆΠ΅ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΡΡΠΎ ΠΈ βπ΄, Π½ΠΎ Π΅Π³ΠΎ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π° ΡΠ΅ΠΏΠ΅ΡΡ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅, ΠΏΠΎΡΠ»Π΅ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ°ΠΊΡΠΎΡ 3.
ΠΠΎΠΏΡΠΎΡ Π²ΡΡΠ΅ Π΄Π°Π΅Ρ Π½Π°ΠΌ ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π½Π° ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ. ΠΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ ΡΠ°ΡΡΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Ρ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΎΠΊ, Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡΠ΅ ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π½Π°Π³Π»ΡΠ΄Π½ΡΡ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠΎΠ².
ΠΠ°ΠΊ ΠΌΡ Π²ΠΈΠ΄Π΅Π»ΠΈ, ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π° ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡ Π½Π΅ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡΡ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠΈΡΡΡΡΠ΅Π³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°, Π½ΠΎ ΠΌΠ°ΡΡΡΠ°Π±ΠΈΡΡΠ΅Ρ Π΅Π³ΠΎ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ.
Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ Π²ΠΈΠ·ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° βπ, ΠΏΡΠΈ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΡ ΡΠΎΡΠΌΠ°Ρ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ.
ΠΠ±ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΡΠ°ΡΡΡ (A) Π΄ΠΈΠ°Π³ΡΠ°ΠΌΠΌΡ.Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°ΡΡΠΈΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ βπ Π½Π° 1 Π΄Π°ΡΡ Π½Π°ΠΌ ΡΠΎΡ ΠΆΠ΅ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ, ΡΡΠΎ ΠΈ ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ, ΠΈ Π΅Π³ΠΎ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π° Π½Π΅ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡΡΡ; ΠΎΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ, ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Ρ Π½Π° 3 ΡΠ²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ»ΠΎ Π±Ρ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ Π² 3 ΡΠ°Π·Π°.
Π Π°Π·Π΄Π΅Π» (B) Π΄ΠΈΠ°Π³ΡΠ°ΠΌΠΌΡ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅Ρ, ΡΡΠΎ Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°ΡΡ, ΡΡΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π° ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ Π½Π΅ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅Ρ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ . Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΠΏΡΠΎΡΡΠ΅ΠΉΡΠΈΠΉ ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΉ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ βπ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅ΡΡΡ Π½Π° -1. ΠΠ΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΎΡΡΠ°Π½Π΅ΡΡΡ Π½Π΅ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΠΌ, Π½ΠΎ Π΅Π³ΠΎ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΠΌ ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ Π²ΡΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΡ ΠΏΠΎΠΌΠ΅Π½ΡΡΡ Π·Π½Π°ΠΊ: βπ = (π₯, π¦) ββπ = (- π₯, βπ¦).
Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ, ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΎΡ -1 ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π° ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠ°ΡΡΡΠ°Π±ΠΈΡΡΠ΅Ρ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°.
ΠΠ°ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ, Π΄Π»Ρ ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»Π° (C) Π΄ΠΈΠ°Π³ΡΠ°ΠΌΠΌΡ ΠΎΡΠΌΠ΅ΡΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠΈΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠ΅Π»ΡΠΌΠΈ ΡΠΈΡΠ»Π°ΠΌΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠΈΡΠ»Π°ΠΌΠΈ ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅ 1. ΠΡΠ»ΠΈ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π° ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ° ΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ΅ 1, ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Ρ ΠΊ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ Ρ ΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ΅ΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½ΠΎΠΉ (ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ΅ΠΉ Π΄Π»ΠΈΠ½ΠΎΠΉ), ΡΠ΅ΠΌ ΠΎΡΠΈΠ³ΠΈΠ½Π°Π».
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 2: ΠΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π° ΡΠΊΠ°Π»ΡΡ
βπ΄ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ Π½Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅ΠΌ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅.
ΠΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΠΈΠ· ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΡ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠΎΠ² ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅Ρ β2βπ΄?
ΠΡΠ²Π΅Ρ
ΠΠ°Π²Π°ΠΉΡΠ΅ ΡΠ½Π°ΡΠ°Π»Π° ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΠΌΠ΅Π½Π΅Π΅ ΡΠΎΡΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡ.
ΠΠΎΠΏΡΠΎΡ Π΄Π°Π΅Ρ Π½Π°ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ βπ΄ ΠΈ ΠΏΡΠΎΡΠΈΡ Π½Π°Ρ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡΡ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½Ρ β2. Π‘ ΠΌΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ Π΄Π΅Π»ΠΎ Ρ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠΎΠΌ, ΠΌΡ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ ΡΡΠ° ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΡ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π°ΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°.
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡ βπ΄ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠΎΡΠΊΡ Π² ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠ΅ ΠΈ Π΅Π΅ ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠ΅ Π² Π²Π΅ΡΡ Π½Π΅ΠΌ ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΠΌ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°Π½ΡΠ΅.ΠΡΠ»ΠΈ Π±Ρ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠΈΡΡΡΡΠΈΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Π±ΡΠ» ΡΡΠΎΠ±Ρ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ Π½Π°ΡΠ°ΡΡ Ρ Π½Π°ΡΠ°Π»Π° ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ (ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π²ΠΎ Π²ΡΠ΅Ρ Π²Π°ΡΠΈΠ°Π½ΡΠ°Ρ ), ΠΌΡ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½Π°Ρ ΡΠΎΡΠΊΠ° Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡΡ Π²Π½ΠΈΠ·Ρ ΡΠ»Π΅Π²Π° ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°Π½Ρ, ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ΅.
ΠΠ΄ΠΈΠ½ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΠΉ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ ΡΡΠΎΠΌΡ ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Π½ΠΈΡ, — ΡΡΠΎ Π²Π°ΡΠΈΠ°Π½Ρ (Π°), ΠΈ ΡΠ°ΠΊ ΡΡΠΎ ΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΡΡΡ, ΡΡΠΎ ΡΡΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΎΡΠ²Π΅Ρ.
ΠΡ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠ΅ΡΡ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ Π½Π°ΡΠ΅Π³ΠΎ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ°. Π‘ | β2 | = 2, Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΈΠ· Π½Π°ΡΠ΅Π³ΠΎ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΡΠ΄Π²ΠΎΠ΅Π½Π½ΡΡ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ ΠΎΡΠΈΠ³ΠΈΠ½Π°Π»Π°.ΠΠΈΠ·ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΎΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°Ρ Π²Π°ΡΠΈΠ°Π½Ρ (Π°), ΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΡΡΡ, ΡΡΠΎ ΡΡΠΎ Π΄Π΅Π»ΠΎ!
ΠΠ»Ρ Π΄Π°Π»ΡΠ½Π΅ΠΉΡΠ΅ΠΉ ΠΏΡΠΎΠ²Π΅ΡΠΊΠΈ Π½Π°ΡΠ΅Π³ΠΎ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡΠΎΡΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΏΠΎΠ΄Ρ ΠΎΠ΄. ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠ² ΡΠ½Π°ΡΠ°Π»Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ βπ΄. ΠΡ Π½Π°ΡΠ΅Π³ΠΎ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ, ΠΌΡ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½Π°Ρ ΡΠΎΡΠΊΠ° βπ΄ — Π½Π°ΡΠ°Π»ΠΎ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ, ΠΈΠΌΠ΅ΡΡΠ΅Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ (0,0), Π° ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ Π»Π΅ΠΆΠΈΡ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ (1,1). ΠΡΡΡΠ΄Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ, ΡΡΠΎ βπ΄ = (1,1) — (0,0) = (1,1).
Π’Π΅ΠΏΠ΅ΡΡ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠ»ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ βπ΄, ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡΡ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ: β2βπ΄ = β2 (1,1) = (- 2 (1), — 2 (1)) = (- 2, β2).
ΠΠ°ΠΊ ΡΠΆΠ΅ ΡΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°Π»ΠΎΡΡ, Π²ΡΠ΅ Π²Π°ΡΠΈΠ°Π½ΡΡ Ρ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΠΌ Π²ΡΠ±ΠΎΡΠΎΠΌ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ Ρ Π½Π°Ρ Π΅ΡΡΡ, Π²ΠΊΠ»ΡΡΠ°ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ Π½Π°ΡΠΈΠ½Π°Π΅ΡΡΡ Π² Π½Π°ΡΠ°Π»Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ. ΠΡΠ»ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ (β2, β2), Π½Π°ΡΠΈΠ½Π°Π΅ΡΡΡ Π² Π½Π°ΡΠ°Π»Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ, Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½Π°Ρ ΡΠΎΡΠΊΠ° Π±ΡΠ΄Π΅Ρ Π² ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ°Ρ (β2, β2).
ΠΡΠ°ΡΠΈΠΊ, ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΠΉ ΡΡΠΎΠΌΡ ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Π½ΠΈΡ, ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅Ρ ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ Π²Π°ΡΠΈΠ°Π½Ρ (Π°), ΠΈ, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΠΌΡ ΠΏΠΎΠ΄ΡΠ²Π΅ΡΠ΄ΠΈΠ»ΠΈ, ΡΡΠΎ ΡΡΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΎΡΠ²Π΅Ρ.
ΠΡΠ΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΠ΅, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΡΠ²ΡΠ·Π°Π½ΠΎ ΡΠΎ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΡΠΌ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ. ΡΡΠΎ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ. ΠΡ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΡ Ρ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠΌΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ βπ, βπ, ΠΈ βπ.ΠΡΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ 1 Π² π₯-, π¦- ΠΈ π§-Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ.
Π€Π°ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ Π»ΡΠ±ΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ 1 ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ! Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Π² Π»ΡΠ±ΠΎΠΌ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ Π΄Π»Ρ Π»ΡΠ±ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π°Π±ΠΎΡΠ° ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ. ΠΠ°Π²Π°ΠΉΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΎΠ±ΠΎΠ±ΡΠΈΡΡ ΡΡΠΎ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΠ΅.
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅: ΠΠ΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ
ΠΠ΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ — ΡΡΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ, ΠΈΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ 1.
ΠΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π½Π°ΠΉΡΠΈ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ, ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½Π½ΡΠΉ βπ£, Π² Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ βπ ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΠ² Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Π½Π° Π΅Π³ΠΎ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ: βπ£ = βπβββπββ.
ΠΠ°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° βπ = (π₯, π¦, π§) ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ βββπββ = βπ₯ + π¦ + π§.ο¨ο¨ο¨
Π£ΡΠΈΡΡΠ²Π°Ρ ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π²ΡΡΠ΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°, ΠΌΡ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ ΠΎΡΠΌΠ΅ΡΠΈΡΡ, ΡΡΠΎ ΡΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½Ρ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΡΡΠ²Π΅ΡΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ βπ£ = βπβββπββ.
ΠΠ±ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, ΡΡΠΎ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π° βββπββ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΡΡΠ²ΡΡΠ²Π° Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈ ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠΎΠΌ. ΠΡΠΎ Π·Π½Π°ΡΠΈΡ, ΡΡΠΎ 1βββπββ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠΎΠΌ.
ΠΠ³Π»ΡΠ΄ΡΠ²Π°ΡΡΡ Π½Π° Π½Π°ΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ, ΠΌΡ ΡΠ΅ΠΏΠ΅ΡΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠΈΠ·Π½Π°ΡΡ, ΡΡΠΎ ΠΎΠ½Π° Π²ΠΊΠ»ΡΡΠ°Π΅Ρ Π² ΡΠ΅Π±Ρ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ° 1βββπββ ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ βπ.ΠΡΠΎΡΠ΅ΡΡ ΠΏΠΎΠΈΡΠΊΠ° ΡΠ½ΠΈΡΠ° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Π² Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ Β«Π§Π°ΡΡΠ½ΡΠΉ ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΉΒ» ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ!
ΠΠΌΠ΅ΡΡΠΎ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Π½Π° Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΡΠΉ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡ, ΠΌΡ Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ Π΄Π°ΡΡ Π½Π°ΡΠ΅ΠΌΡ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΡ ΠΆΠ΅Π»Π°Π΅ΠΌΡΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π°. Π ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ βπ = (π₯, π¦, π§), Π½Π°Ρ ΡΠ°ΡΡΠ΅Ρ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π²ΡΠ³Π»ΡΠ΄Π΅ΡΡ ΡΠ°ΠΊ: βπ£ = 1βββπβββπ = 1βπ₯ + π¦ + π§ (π₯, π¦, π§) .ο¨ο¨ο¨
ΠΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ Π½Π΅ ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅Ρ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°, ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ Π½ΠΎΠ²ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ ΡΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅Ρ Π² ΡΠΎΠΌ ΠΆΠ΅ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ βπ Π½ΠΎ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ 1.ΠΡΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ βπ.
Π ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅ Π½Π΅Π±ΠΎΠ»ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΡ, Π² ΡΠΎ Π²ΡΠ΅ΠΌΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΡΠ°Π½Π΄Π°ΡΡΠ½ΡΠΌ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π°ΠΊΡΠ΅Π½Ρ Ρ ΡΠΈΡΠΊΡΠΌΡΠ»Π΅ΠΊΡΠΎΠΌ (ΠΈΠ»ΠΈ Β«ΡΠ»ΡΠΏΠ°Β»), Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ οπ Π΄Π»Ρ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°, Π²Ρ ΠΎΠ±ΡΡΠ½ΠΎ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ Μπ, Μπ, ΠΈ Μπ Π±Π΅Π· ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ. ΠΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΡΡΠΈ ΡΡΠΈ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΡΠΈΡΠΎΠΊΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΡΡΡ, ΠΎΠ½ΠΈ ΡΠ°ΡΡΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Ρ ΠΊΠ°ΠΊ Π²ΡΠ΅Π³ΠΎ βπ, βπ, ΠΈ βπ.
ΠΠ°Π²Π°ΠΉΡΠ΅ ΠΏΠΎΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ Π½Π° ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ ΠΏΠΎΠΈΡΠΊΠ° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 3: ΠΠ°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π² ΡΠ΅ΡΠΌΠΈΠ½Π°Ρ ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°
ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Π² ΡΠΎΠΌ ΠΆΠ΅ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ, ΡΡΠΎ ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ βπ β βπ β βπ.
ΠΡΠ²Π΅Ρ
ΠΡΠΎΡ Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡ Π΄Π°Π» Π½Π°ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ βπ β βπ β βπ ΠΈ ΠΏΠΎΠΏΡΠΎΡΠΈΠ» Π½Π°Ρ Π½Π°ΠΉΡΠΈ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Π² ΡΠΎΠΌ ΠΆΠ΅ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ. ΠΡΠΎ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ 1. ΠΠ±ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, ΡΡΠΎ Π½Π°ΠΌ Π΄Π°Π½ΠΎ Π½Π°Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ βπ, βπ, ΠΈ βπ Π½ΠΎ ΡΡΠΎ Π½Π΅ Π²Π»ΠΈΡΠ΅Ρ Π½Π° ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ ΠΌΡ Π±ΡΠ΄Π΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ.
ΠΠ°ΡΠΈΠΌ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠΌ ΡΠ°Π³ΠΎΠΌ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ βπ β βπ β βπ. ΠΠ±ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, ΡΡΠΎ Π² ΡΠΎ Π²ΡΠ΅ΠΌΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΡΠ΄Π΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΡ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π² π₯-, π¦- ΠΈ π§-Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π²ΡΠ΅ ΡΠ°Π²Π½Ρ 1, ΡΡΠΎ Π½Π΅ ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ, ΡΡΠΎ ΡΠ°ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ 1: βββπ β βπ β βπββ = ο1 + (- 1) + (- 1) = β1 + 1 + 1 = β3.ο¨ο¨ο¨
Π’Π΅ΠΏΠ΅ΡΡ Π²ΡΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ Π΄Π»Ρ Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° βπ, Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ Π΅Π³ΠΎ ΠΏΠΎ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π΅: βπ£ = βπβββπββ = 1βββπβββπ.
Π§ΡΠΎΠ±Ρ Π½Π°ΠΉΡΠΈ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Π΄Π»Ρ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡΠ°, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΉ ΡΠ°ΡΡΠ΅Ρ: 1β3ο»βπ β βπ β βπο = β33ο»βπ β βπ β βπο.
ΠΠ° Π²ΡΡΠ΅ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΡΡ ΡΡΠ°ΠΏΠ°Ρ ΠΌΡ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΠ±ΡΡΡ ΡΠ΅Ρ Π½ΠΈΠΊΡ ΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΠΈΠ·Π°ΡΠΈΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°ΡΠ΅Π»Ρ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ ΠΎΡΠ²Π΅Ρ. ΠΡΠ° ΡΠΎΡΠΌΠ° ΠΎΡΠ²Π΅ΡΠ° ΡΠΎΠ²Π΅ΡΡΠ΅Π½Π½ΠΎ Π²Π΅ΡΠ½Π°, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΠΎΠ½Π° Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ°Π΅Ρ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ.
ΠΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½ΡΠ½ΠΎΠ΅ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ, ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ² ΠΈΠ½Π΄ΠΈΠ²ΠΈΠ΄ΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΠΏΠΎ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΡ: = β33βπ β β33βπ β β33βπ.
Π Π½Π°ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄Π½Π΅ΠΌ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ΅ ΠΌΡ ΠΎΠ±ΡΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΠΌ Π½Π°ΡΠΈ Π½Π°Π²ΡΠΊΠΈ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π²ΠΌΠ΅ΡΡΠ΅ Ρ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΠΌΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΡΠΌΠΈ Π² ΡΡΠΎΠ±Ρ ΡΠ΅ΡΠΈΡΡ Π·Π°Π΄Π°ΡΡ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 4: ΠΠ±ΡΠ΅Π΄ΠΈΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ, Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΡΡ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΉ ΠΈ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠΉ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°
ΠΠ°Π½ΠΎ βπ΄ = (2,0; β2) ΠΈ βπ΅ = (1, β1,1), ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Π² Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ 2βπ΅ β βπ΄.
ΠΡΠ²Π΅Ρ
ΠΡΠΎΡ Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡ ΠΏΡΠΎΡΠΈΡ Π½Π°Ρ Π½Π°ΠΉΡΠΈ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Π² Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ 2βπ΅ β βπ΄, ΠΈ Π΄Π»Ρ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ Π½Π°ΠΌ ΠΏΠΎΠ½Π°Π΄ΠΎΠ±ΠΈΡΡΡ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° 2βπ΅ β βπ΄.
Π§ΡΠΎΠ±Ρ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΡΡΡ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ, Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡΠ΅ ΡΠ½Π°ΡΠ°Π»Π° Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΡ 2βπ΅ β βπ΄.ΠΠ»Ρ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΅Π±ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΈΡ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΡΡ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π²ΡΡΠΈΡΠ°Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²: 2βπ΅ β βπ΄ = 2 (1, β1,1) — (2,0, β2).
ΠΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡΠΎΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ βπ΄ ΠΈ βπ΅ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΎ Π² Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡΠ΅. ΠΠ±ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, ΡΡΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠΉ ΡΠ»Π΅Π½ Π² ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΠΉ ΡΠ°ΡΡΠΈ — ΡΡΠΎ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅. Π‘ΠΊΠ°Π»ΡΡ 2 ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Ρ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠ°ΠΌΠΈ βπ΅. Π‘Π»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΉ ΡΡΠΎ ΠΌΡ ΡΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡΡ Π²ΡΡΠΈΡΠ°Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°: 2βπ΅ β βπ΄ = (2, β2,2) — (2,0, β2) = (0, β2,4).
Π’Π΅ΠΏΠ΅ΡΡ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Ρ Π½Π°Ρ Π΅ΡΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΡ 2βπ΅ β βπ΄, ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π½Π°ΠΉΡΠΈ Π΅Π³ΠΎ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ: ββ2βπ΅ β βπ΄ββ = ο0 + (- 2) + 4 = β0 + 4 + 16 = β20 = 2β5.ο¨ο¨ο¨
ΠΠ±ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, ΡΡΠΎ Π½Π° Π½Π°ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄Π½Π΅ΠΌ ΡΠ°Π³Π΅ ΠΌΡ ΡΠΏΡΠΎΡΡΠΈΠ»ΠΈ Π½Π°ΡΡ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ Π²Π·ΡΠ² ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Ρ 2 Π²Π½Π΅ ΡΠ°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»Π°.
Π’Π΅ΠΏΠ΅ΡΡ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ Π½Π°ΡΠ»ΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΡ 2βπ΅ β βπ΄ ΠΈ Π΅Π³ΠΎ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ, ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π½Π°ΠΉΡΠΈ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Π² Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΈΠ· 2βπ΅ β βπ΄ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅Π΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ: βπ£ = βπβββπββ = 1βββπβββπ.
Π§ΡΠΎΠ±Ρ Π½Π°ΠΉΡΠΈ Π½Π°Ρ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ, ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ 2βπ΅ β βπ΄ ΠΏΠΎ ΡΠ²ΠΎΠ΅ΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π΅. ΠΡΡΠ³ΠΎΠΉ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ± Π²ΡΡΠ°Π·ΠΈΡΡ ΡΡΠΎ — ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΡ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π°, ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½Π°Ρ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π΅ ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°: 1ββ2βπ΅ β βπ΄ββοΊ2βπ΅ β βπ΄ο = 12β5 (0, β2,4) = β510 (0, β2,4) = οΏ0, β2β510,4β510ο = οΏ0, ββ55,2β55ο.
ΠΠΎΡΠ»Π΅ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΈΡ ΡΠ°Π³ΠΎΠ² ΡΠΏΡΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΡ ΠΏΡΠΈΡΠ»ΠΈ ΠΊ Π½Π°ΡΠ΅ΠΌΡ ΠΎΡΠ²Π΅ΡΡ.
Π ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄Π½Π΅Π³ΠΎ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΡ, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡΡ Π±ΡΡΡΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠ²Π΅ΡΠΊΡ, ΡΠ±Π΅Π΄ΠΈΠ²ΡΠΈΡΡ, ΡΡΠΎ Π½Π°Ρ ΠΎΡΠ²Π΅Ρ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ 1: ο‘ο£ο£ο 0 + οΏ β β55ο + οΏ2β55ο = ο525 + 2025 = ο2525 = 1.ο¨ο¨ο¨
ΠΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎ, Π² ΡΡΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ ΡΡΠΎΡ ΡΠ°Π³ Π½Π΅ΠΎΠ±ΡΠ·Π°ΡΠ΅Π»Π΅Π½, Π½ΠΎ ΠΈΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΎΠ½ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π΅Π½ ΠΏΡΠΈ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ΅ Ρ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Π΄Π»ΠΈΠ½Π½ΡΠΌΠΈ ΡΠ°ΡΡΠ΅ΡΡ.
ΠΠ°Π²Π°ΠΉΡΠ΅ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡΠΎΠΆΠΈΠΌ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΊΠ»ΡΡΠ΅Π²ΡΠ΅ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½ΡΡ, ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΡΠΈΠ΅ΡΡ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ².
ΠΠ»ΡΡΠ΅Π²ΡΠ΅ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½ΡΡ
- Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ° Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΡΠΌ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ.
- ΠΡΠΈ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Ρ ΠΏΠΎ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠ°ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°: πβπ = π (π₯, π¦, π§) = (ππ₯, ππ¦, ππ§).
- Π Π΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠΎΠΌ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΌ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅ΡΡΡ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π° ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°. Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ, ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π½ΡΠΌ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠΎΠΌ.
- ΠΠΎΠ³Π΄Π° ΡΠΊΠ°Π»ΡΡ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠΌ, ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠΈΡΡΡΡΠΈΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΡΠΎ ΠΆΠ΅ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΡΡΠΎ ΠΈ ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΡΠΉ. ΠΠΎΠ³Π΄Π° ΡΠΊΠ°Π»ΡΡ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ, ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠΈΡΡΡΡΠΈΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΡ.
- ΠΠ΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ — ΡΡΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ, Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π° ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ°Π²Π½Π° 1.
- ΠΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π½Π°ΠΉΡΠΈ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ, ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½Π½ΡΠΉ βπ£, Π² Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ βπ ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΠ² ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Π½Π° Π΅Π³ΠΎ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ: βπ£ = βπβββπββ = 1βββπβββπ.
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅ | ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ (Π²ΠΈΠ΄Π΅ΠΎ)
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΡ Π² ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅ — ΡΡΠΎ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ Ρ Π΄Π²ΡΠΌΡ Π°ΡΡΠΈΠ±ΡΡΠ°ΠΌΠΈ: , Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π° ΠΈ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ , . ΠΠ΄Π΅ΡΡ Π²Ρ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΡΠ΅ ΡΠ·Π½Π°ΡΡ ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°Ρ , ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠΊΠ»Π°Π΄ΡΠ²Π°ΡΡ ΠΈ Π²ΡΡΠΈΡΠ°ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ, ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ Π½Π° ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΡΠ΅ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ ΡΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ ΠΏΡΡΡ Π² ΡΠ΅Π°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΆΠΈΠ·Π½ΠΈ.
Π‘ΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅
- ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅
- ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΡΠΉ ΡΠΈΠΌΠ²ΠΎΠ»
- Π‘Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π²ΡΡΠΈΡΠ°Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²
- ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΡ ΡΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ
- Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Π½Π° ΡΠΊΠ°Π»ΡΡ
- ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΡΡ ΠΈΠ·ΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡ — ΡΡΠΎ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π° Π² ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠ°Ρ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ , (ΡΠ°ΡΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠ΅, ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅Ρ) ΠΈ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ , (ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π° ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ°ΡΠ°, Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, Π·Π°ΠΏΠ°Π΄, Π²Π²Π΅ΡΡ , ΡΠ³ΠΎ-Π²ΠΎΡΡΠΎΠΊ, Π²Π½ΠΈΠ· ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠ΅Π²Π΅Ρ Π½Π° ΡΠ΅Π²Π΅ΡΠΎ-Π·Π°ΠΏΠ°Π΄) .
ΠΡΠ΅Π±Ρ Π½Π° Π»ΠΎΠ΄ΠΊΠ΅ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· Π·Π°Π»ΠΈΠ², Π²Ρ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΡΠ΅ ΠΏΠΎΠ΄ΡΠΌΠ°ΡΡ, ΡΡΠΎ Π³ΡΠ΅Π±Π΅ΡΠ΅ ΡΡΡΠΎΠ³ΠΎ Π½Π° ΡΠ³ ΡΠΎ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡΡ 3 ΡΠ·Π»Π°, Π½ΠΎ Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΏΡΠΈΠ»ΠΈΠ²Ρ ΠΎΡΡΡΡΠΏΠ°ΡΡ, Π²Ρ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΡΠ΅ Π΄Π²ΠΈΠ³Π°ΡΡΡΡ ΡΠΎ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡΡ 5 ΡΠ·Π»ΠΎΠ² Π½Π° ΡΠ³ΠΎ-Π²ΠΎΡΡΠΎΠΊ.
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ², ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ°ΡΡΠΈΡ Π²ΠΌΠ΅ΡΡΠ΅, Π±ΡΠ΄ΡΡ ΡΡΠΈΡΡΠ²Π°ΡΡ ΡΠ°ΡΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠ΅, Π½Π° ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ Π²Ρ Π³ΡΠ΅Π±Π΅ΡΠ΅, Π²Π°ΡΡ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΠΈ Π²Π°ΡΠ΅ ΡΠ°ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅.
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΡΠΉ ΡΠΈΠΌΠ²ΠΎΠ»
ΠΠ»Ρ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ, ΡΠΈΠ·ΠΈΠΊΠΈ ΠΈ ΠΈΠ½ΠΆΠ΅Π½Π΅ΡΡ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΡ Π»ΡΡΠΈ, ΠΏΠΎΠΌΠ΅ΡΠ°Ρ ΠΈΡ ΡΡΡΠΎΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΡΠΎΠΏΠΈΡΠ½ΡΠΌΠΈ Π±ΡΠΊΠ²Π°ΠΌΠΈ, Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ:
Π‘ΠΎΠ²Π΅ΡΡ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°ΡΠΊΠΈΡΠΎΠ²ΠΊΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²:
- ΠΡΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ ΠΎΡ Ρ Π²ΠΎΡΡΠ° (Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΈ) Π΄ΠΎ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠΈ, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ Ρ Π½Π°Ρ Π΅ΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ AB, Π° Π½Π΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ BA
- ΠΡΠ»ΠΈ Π²Ρ ΠΌΠ°ΡΠΊΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ, ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΏΠΈΡΠ½ΡΠ΅ ΠΈΠ»ΠΈ ΡΡΡΠΎΡΠ½ΡΠ΅ Π±ΡΠΊΠ²Ρ ΠΎΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π·Π° Π²Π°ΠΌΠΈ; Π΅ΡΠ»ΠΈ Π²Π°ΠΌ Π·Π°Π΄Π°Π½Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ, ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° (ΠΏΠΎΡΠΌΠΎΡΡΠΈΡΠ΅ Π½Π° ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠΈ)
- ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΡ ΠΌΠΎΠ³ΡΡ Π±ΡΡΡ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½Ρ ΠΈ ΡΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΡ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡΡ (ΠΏΠΎΡΠΌΠΎΡΡΠΈΡΠ΅ Π½Π° ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠΈ)
- ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ, Π½ΠΎ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π½ΡΠ΅ Π² ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ, ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΠΌΠΈ, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ b ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ -a , ΡΡΠΎ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°Π΅Ρ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ a
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΠΎΠΉ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ ΠΈ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΡΠ°ΠΊ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΠΌΠΎΠΉ ΡΠ»ΡΠΏΠΎΠΉ: v ^
Π‘Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π²ΡΡΠΈΡΠ°Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²
ΠΡΠΎΡΡΠ°Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½Π°Ρ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ° Π½Π΅ ΡΠ»ΠΈΡΠΊΠΎΠΌ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½Π°.
Π§ΡΠΎΠ±Ρ ΡΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ, ΠΌΡ ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΡΠ΅ΠΌ Ρ Π²ΠΎΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Ρ Π³ΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΡ. ΠΡΡΠΌΠΎΠ»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡΠΉ Π»ΡΡ, ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡΡΠΈΠΉ Π΄Π²Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°, ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠΈΡΡΡΡΠΈΠΌ r, ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π° ΡΡΠΎΠΌ ΡΠΈΡΡΠ½ΠΊΠ΅:
ΠΠΎΠ±Π°Π²Π»ΡΠ΅ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ CD ΠΊ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ EF ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ r.
ΠΠΎΡ Π·Π°Π³Π²ΠΎΠ·Π΄ΠΊΠ°: Π΄Π°Π΅Ρ Π»ΠΈ ΡΡΠ° ΡΠΈΡΡΠ° ΡΠ΅ ΠΆΠ΅ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΡ, ΡΡΠΎ ΠΈ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΠ΄ΡΡΠ°Ρ?
ΠΠ΄Π΅ΡΡ ΠΌΡ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²Π»ΡΠ΅ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ EF ΠΊ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ CD, ΠΈ ΠΏΠΎ-ΠΏΡΠ΅ΠΆΠ½Π΅ΠΌΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠΈΡΡΡΡΠΈΠΉ r. ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΡ ΠΏΠΎΠ΄ΡΠΈΠ½ΡΡΡΡΡ ΡΠ΅ΠΌ ΠΆΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π°ΠΌ Π°ΡΠΈΡΠΌΠ΅ΡΠΈΠΊΠΈ, ΡΡΠΎ ΠΈ ΡΠ΅Π»ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π° (Π·Π΄Π΅ΡΡ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ ΠΊΠΎΠΌΠΌΡΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡΠΈ).
Π ΡΠ΅Π°Π»ΡΠ½ΠΎΠΌ ΠΌΠΈΡΠ΅ Π΄Π²Π° ΠΏΡΡΠ΅ΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΈΡ ΠΏΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌ ΠΌΠΎΠ³ΡΡ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ Π²Π°ΠΌ ΡΠΎΠ²Π΅ΡΡΠ΅Π½Π½ΠΎ ΡΠ°Π·Π½ΡΠ΅ ΠΏΠ΅ΠΉΠ·Π°ΠΆΠΈ. Π ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ Π΄Π²Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π΅ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠ²ΠΎΠ΅Π³ΠΎ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈΠ»ΠΈ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ, ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠΈΡΡΡΡΠΈΠ΅ ΠΈΠ΄Π΅Π½ΡΠΈΡΠ½Ρ: CD + EF = EF + CD = r.
ΠΡΡΠΈΡΠ°Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π·Π°Π½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ Π²ΡΠ΅Π³ΠΎ Π΄Π²Π° ΡΠ°Π³Π°:
- ΠΈΠ½Π²Π΅ΡΡΠΈΡΡΠ΅Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ Π²Ρ Ρ ΠΎΡΠΈΡΠ΅ Π²ΡΡΠ΅ΡΡΡ
- Π·Π°ΡΠ΅ΠΌ ΡΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅ Π΄Π²Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π²ΠΌΠ΅ΡΡΠ΅
ΠΠΎΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ SA ΠΈ IL, ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΠΈΠ΅ ΠΌΠ°ΡΡΡΡΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΡ Π΄ΡΠΌΠ°Π»ΠΈ, ΠΌΡ Π΅Ρ Π°Π»ΠΈ Π½Π° ΠΏΠ°ΡΡΡΠ½ΠΎΠΉ Π»ΠΎΠ΄ΠΊΠ΅:
ΠΡ Π½Π΅ ΠΎΡΠΎΠ·Π½Π°Π²Π°Π»ΠΈ, ΡΡΠΎ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π±ΡΠ»ΠΎ ΡΠΈΠ»ΡΠ½ΡΠΌ; ΠΌΡ Π·Π°Π±Π»ΡΠ΄ΠΈΠ»ΠΈΡΡ Π² ΡΡΠΌΠ°Π½Π΅; ΡΠΎΠ»Π½ΡΠ΅ ΡΠ»Π΅ΠΏΠΈΠ»ΠΎ.ΠΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ-ΡΠΎ ΠΏΡΠΈΡΠΈΠ½Π΅, Π²ΠΌΠ΅ΡΡΠΎ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ IL, ΠΌΡ ΠΏΠΎΡΠ»ΠΈ Π² Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ , ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΌ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ . ΠΠΎΡΡΠΎΠΌΡ Π²ΠΌΠ΅ΡΡΠΎ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΡΡΠΎΠ±Ρ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²Π»ΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ IL, Π½Π°ΠΌ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ Π΅Π³ΠΎ Π²ΡΡΠ΅ΡΡΡ. ΠΡ Π΄Π΅Π»Π°Π΅ΠΌ ΡΡΠΎ, ΠΈΠ½Π²Π΅ΡΡΠΈΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ IL ΠΈ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²Π»ΡΡ Π΅Π³ΠΎ ΠΊ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ SA:
.SA + (-IL) = r
Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Π½Π° ΡΠΊΠ°Π»ΡΡ
Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π° ΡΠΊΠ°Π»ΡΡ (Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ) Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΡΠΌ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ .
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΡ ΡΠΎΡΡΠΎΡΡ ΠΈΠ· Π΄Π²ΡΡ ΡΠ°ΡΡΠ΅ΠΉ (Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ ΠΈ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ), Π½ΠΎ ΠΌΡ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΡ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅.Π ΡΡΠΎΠΌ Π½Π΅Ρ ΡΠΌΡΡΠ»Π°: Π΄Π²Π° Β«ΡΠ³Π°Β» Π½Π΅ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ΅Π½Ρ Π½Π° ΡΠ³, ΡΠ΅ΠΌ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Β«ΡΠ³Β». ΠΠΎ ΠΌΡ, , ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π½Π° ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΡ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°:
- Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π° ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡ ΡΠ΅Π»ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° > 1 Π΄Π°Π΅Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΠ°
- Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π° ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡ ΡΠ΅Π»ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° <-1 Π΄Π°Π΅Ρ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Π² , ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΌ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ
- Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π° 1 Π²ΠΎΠ·Π²ΡΠ°ΡΠ°Π΅Ρ ΡΠΎΡ ΠΆΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ (ΡΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ 0)
- Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π° ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π΄ΡΠΎΠ±Π½ΡΠΉ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡ <1 Π΄Π°Π΅Ρ ΠΌΠ΅Π½ΡΡΠΈΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ
- Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π° ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π΄ΡΠΎΠ±Π½ΡΠΉ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡ > -1 Π΄Π°Π΅Ρ ΠΌΠ΅Π½ΡΡΠΈΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Π² Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ , ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΌ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ
ΠΠ²Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΡ Π΄ΡΡΠ³ Π½Π° Π΄ΡΡΠ³Π° Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ.
ΠΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Π΄Π°Π΅Ρ Π½ΠΎΠ²ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ, Π° ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π°Π΅Ρ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ, ΠΈΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅.
ΠΠ΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°
ΠΠ΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΠΎΡΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅: a, ΠΈΠ»ΠΈ Π΄Π²ΡΠΌΡ Π»ΠΈΠ½ΠΈΡΠΌΠΈ, ΡΡΠΎΠ±Ρ Π½Π΅ ΠΏΡΡΠ°ΡΡ Π΅Π³ΠΎ Ρ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡΡΠ½ΡΠΌ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ: β₯aβ₯.
ΠΡΠ»ΠΈ Π²Ρ Π·Π½Π°Π΅ΡΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠΎ ΠΎΡΠΈ x ΠΈ ΠΎΡΠΈ y Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° (ΠΊΠ°ΠΊ Π΅ΡΠ»ΠΈ Π±Ρ ΠΎΠ½ Π±ΡΠ» Π½Π° ΠΊΠ°ΡΡΠ΅ ΠΈΠ»ΠΈ Π² Π΄Π΅ΠΊΠ°ΡΡΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ΅ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ), Π²Ρ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΡΠ΅ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΡ Π΅Π³ΠΎ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ, ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠ² ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΡ ΠΠΈΡΠ°Π³ΠΎΡΠ° ΠΊ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΎΡ Ρ Π²ΠΎΡΡΠ° ΠΊ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠ΅:
ΠΡΠ°ΠΊ, Π·Π΄Π΅ΡΡ, Ρ Ρ Π²ΠΎΡΡΠΎΠΌ Π² (1, 4) ΠΈ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠΎΠΉ Π² ββ(7, 8), Ρ Π½Π°Ρ Π΅ΡΡΡ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ x Π½Π° 6 ΠΈ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ y Π½Π° 4, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ:
β₯uβ₯ = 62 + 42
β₯uβ₯ = 36 + 16
β₯uβ₯ = 52
β₯uβ₯ = 7.2111 ΡΡ.
ΠΠ΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΡΠΎΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅Ρ 7,2111 Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ.
ΠΠ΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ° ΠΈΠ·ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ΅ΠΌ, ΡΡΠΎ Π²Ρ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅ΡΡΠ΅ΡΠ΅; Π΄ΡΠΉΠΌΡ, ΠΊΠΈΠ»ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΡ, ΠΌΠΈΠ»ΠΈ Π² ΡΠ°Ρ (ΠΌΠΈΠ»Ρ / Ρ) ΠΈ Ρ. Π΄. ΠΡΠ°ΠΊ, Π΅ΡΠ»ΠΈ Π±Ρ ΠΌΡ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅ΡΠΈΠ»ΠΈ ΡΠ°ΡΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠ΅ Π² ΠΌΠΈΠ»ΡΡ , ΡΠΎ Π΄Π»ΠΈΠ½Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΡΠΎΡΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° Π±Ρ 7,2111 ΠΌΠΈΠ»ΠΈ.
Π‘ΠΊΠ°Π»ΡΡ Π² ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ
ΠΠ»Ρ ΡΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ, ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΡΠ΅ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ — ΡΡΠΎ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ: ΠΌΠ°ΡΡΠ°, ΡΠ΅ΠΌΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΡΡΠ°, ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ, ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌ, ΡΠ°ΡΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠ΅, ΡΠ½Π΅ΡΠ³ΠΈΡ, ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ° ΠΈ ΡΠ°ΠΊ Π΄Π°Π»Π΅Π΅. ΠΡΠΌΠ°ΠΉΡΠ΅ ΠΎ Π½ΠΈΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎ ΡΠΈΡΡΡΡ ΡΠΈΡΠ»Π°Ρ .
Π‘Π»ΡΡΠ°ΠΉΡΠ΅ ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠΈΡΠ°ΠΉΡΠ΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ : Π‘Π»ΡΡΠ°ΠΉΡΠ΅ ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠΈΡΠ°ΠΉΡΠ΅ Π΄Π²Π΅ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ, Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΠΈ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ? Π’ΠΎΠ³Π΄Π° Π²Ρ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΡΠ΅ Π΄Π΅Π»ΠΎ Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ.ΠΠ΅ ΡΠΈΡΠ°Π΅ΡΠ΅ ΠΈ Π½Π΅ ΡΠ»ΡΡΠΈΡΠ΅ Π΄Π²Π΅ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ? ΠΠ΅ΡΠΎΡΡΠ½ΠΎ, Π²Ρ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΡΠ΅ Π΄Π΅Π»ΠΎ ΡΠΎ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠΎΠΌ.
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΡ ΡΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ
ΠΠ΅ΡΠ°ΡΡΠΈΠ΅ ΡΡΠΏΠ΅ΡΠ³Π΅ΡΠΎΠΈ ΡΠ΅Π΄ΠΊΠΎ Π²ΡΠ±ΠΈΡΠ°ΡΡ ΠΊΡΠ°ΡΡΠ°ΠΉΡΠΈΠΉ ΠΏΡΡΡ ΠΎΡ Daily Bugle ΠΈΠ»ΠΈ Daily Planet Π΄ΠΎ Π±Π΅Π΄ΡΡΠ²ΠΈΡ ΡΠΎΠ³ΠΎ Π΄Π½Ρ. ΠΠ½ΠΈ ΠΏΡΡΠ³Π°ΡΡ, ΠΏΠ΅ΡΠ»ΡΡΡ, ΠΏΡΡΠ³Π°ΡΡ ΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡΡΠ²Π°ΡΡΡΡ, ΠΏΡΠ΅ΠΆΠ΄Π΅ ΡΠ΅ΠΌ Π½Π°ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ ΠΏΡΠΈΠ±ΡΠ²Π°ΡΡ Π² ΡΠ°ΠΌΡΠΉ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄Π½ΠΈΠΉ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ.
ΠΡΠ»ΠΈ Π±Ρ ΠΌΡ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π»ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ Π΄Π»Ρ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊΡΡΡΠ° Π»Π΅ΡΠ°ΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΡΡΠΏΠ΅ΡΠ³Π΅ΡΠΎΡ, Π½Π°ΠΌ ΠΌΠΎΠ³Π»ΠΎ Π±Ρ ΠΏΠΎΡΡΠ΅Π±ΠΎΠ²Π°ΡΡΡΡ ΠΏΡΡΡ ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠ΅ΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ², ΡΡΠΎΠ±Ρ ΡΡΠ΅ΡΡΡ Π²ΡΠ΅ ΡΡΠΈ ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ ΠΏΡΡΠΈ. ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡ ΡΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠ°Π·ΡΠ΅Π·Π°Π΅Ρ ΠΎΡ Π½Π°ΡΠ°Π»Π° Π΄ΠΎ ΠΊΠΎΠ½ΡΠ° ΠΏΠΎ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ:
Π‘ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΡΡΠΎΠΌ ΡΠΌΡΡΠ»Π΅ ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΡ ΠΈΠ· ΡΠΈΠ·ΠΈΠΊΠΈ, ΡΡΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ.
ΠΡ Π²ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅ΡΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΡΡ ΡΡΠΊΡ; Π²Ρ Π²ΡΡΡΠ³ΠΈΠ²Π°Π΅ΡΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΡΡ ΡΡΠΊΡ: Π½ΡΠ»Π΅Π²ΠΎΠ΅ ΡΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅. ΠΡ ΡΠ°-ΡΠ°-ΡΠ° ΡΡΠΈ ΡΠ°Π³Π° Π²Π»Π΅Π²ΠΎ ΠΈ Π΄Π²Π° ΡΠ°Π³Π° Π²ΠΏΡΠ°Π²ΠΎ: Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΡΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π½Π° ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΡΠ°Π³ Π²Π»Π΅Π²ΠΎ.
ΠΠ° ΡΡΠΎΠΌ ΡΠΈΡΡΠ½ΠΊΠ΅ ΠΌΡ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΡΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠΈΡΡΡΡΠΈΠΌ.
Π Π°ΡΡΠ΅Ρ ΡΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠΎ-ΠΏΡΠ΅ΠΆΠ½Π΅ΠΌΡ ΠΎΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ n + Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ v = r, ΠΏΠΎΡΠΎΠΌΡ ΡΡΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ a ΠΈ y ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΡ Π΄ΡΡΠ³ Π΄ΡΡΠ³Π°!
ΠΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΡΠ΅ ΠΏΠΎΠ΄ΡΠΌΠ°ΡΡ, ΡΡΠΎ ΠΌΡ ΠΏΠΎΡΡΠ°ΡΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠΈΠ»ΠΈΠΉ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΡΡΡ Π½Π° ΡΠ°ΠΊΠΎΠ΅ Π½Π΅Π±ΠΎΠ»ΡΡΠΎΠ΅ ΡΠ°ΡΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠ΅, Π½ΠΎ ΡΡΠΎ, Π΅ΡΠ»ΠΈ Π±Ρ ΠΌΡ Π±ΡΠ»ΠΈ Π½Π° ΠΊΠΎΡΠ°Π±Π»Π΅ ΠΠΠ€ ΠΈ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ Π±ΡΠ»ΠΈ ΠΎΠ±ΠΎΠ³Π½ΡΡΡ ΠΏΡΠΈΡΡΠ°Π½Ρ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΡ ΡΠ°Π½ΡΠ΅ΠΌΡΠΉ Π·Π°ΠΏΠΎΠ²Π΅Π΄Π½ΠΈΠΊ? Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ ΡΡΠΎ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ Π±ΡΠ» ΠΊΡΠ°ΡΡΠ°ΠΉΡΠΈΠΉ ΠΌΠ°ΡΡΡΡΡ
.ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ
ΠΡΠ΅ ΡΡΠΈ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ°ΠΌΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ², ΠΏΠΎΡΠΎΠΌΡ ΡΡΠΎ Π²ΡΠ΅ ΠΎΠ½ΠΈ Π²ΠΊΠ»ΡΡΠ°ΡΡ ΡΠ°ΡΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠ΅ ΠΈΠ»ΠΈ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ ΡΠΈΠ»Ρ ΠΈ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅:
- Π‘ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ
- Π‘ΠΈΠ»Π°
- Π Π°Π·Π³ΠΎΠ½
- ΠΠΌΠΏΡΠ»ΡΡ
- Π Π°Π±ΠΎΡΠΈΠΉ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌ
ΠΠΎΠΌΠΌΠ΅ΡΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ Π°Π²ΠΈΠ°Π»Π°ΠΉΠ½Π΅ΡΡ, ΠΈΡΡΡΠ΅Π±ΠΈΡΠ΅Π»ΠΈ, Π»ΠΎΠ΄ΠΊΠΈ, Π°Π²ΡΠΎΠΌΠΎΠ±ΠΈΠ»ΠΈ, Π²Π΅Π»ΠΎΡΠΈΠΏΠ΅Π΄ΠΈΡΡΡ, Π±Π΅Π³ΡΠ½Ρ, ΠΏΠ°Π΄Π°ΡΡΠΈΠ΅ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡΡ, ΡΠ°ΠΊΠ΅ΡΡ, Π²ΠΎΠ·Π΄ΡΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠ°ΡΡ, Π±ΡΠΌΠ°ΠΆΠ½ΡΠ΅ ΡΠ°ΠΌΠΎΠ»Π΅ΡΠΈΠΊΠΈ ΠΈ ΠΏΠΎΠ΄Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ Π»ΠΎΠ΄ΠΊΠΈ — Π²ΡΠ΅ ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Π΄Π²ΠΈΠΆΡΡΠΈΡ ΡΡ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡΠΎΠ², ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ Π² ΠΏΠΎΠ²ΡΠ΅Π΄Π½Π΅Π²Π½ΠΎΠΉ ΠΆΠΈΠ·Π½ΠΈ.
ΠΠΈΠ»ΠΎΡΡ ΠΈ ΡΡΡΡΠΌΠ°Π½Ρ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ, ΡΡΠΎΠ±Ρ Π΄ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΡΡΡ Π΄ΠΎ ΠΌΠ΅ΡΡΠ° Π½Π°Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ. Π Π°ΠΊΠ΅ΡΡΠΈΠΊΠΈ ΠΈ Π°ΡΡΠΎΠΊΠΎΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΠΈΠ½ΠΆΠ΅Π½Π΅ΡΡ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ Π΄Π»Ρ ΡΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ°ΠΊΠ΅ΡΠ°ΠΌΠΈ.
ΠΡΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈΡΠΊΠ»ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠ· Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ², ΠΈΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ ΠΈ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΈ ΡΡΠΎ Π½ΡΠ»Π΅Π²ΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ. Π£ Π½ΡΠ»Π΅Π²ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π΅Ρ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΠΎΠ½ Π½Π΅ ΡΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅Ρ Π² ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΌ-Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΠΌ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ. ΠΡΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ, ΡΡΠΎ Π½ΡΠ»Π΅Π²ΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π½Π΅ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅.
ΠΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΡΠ΅ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ
- Π§ΡΠΎ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΌΡ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Π½Π° 4?
- «25 ΡΠ·Π»ΠΎΠ² ΠΊ ΡΠ³Ρ Π½Π° ΡΠ³ΠΎ-Π·Π°ΠΏΠ°Π΄» — ΡΡΠΎ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡ ΠΈΠ»ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ?
- Π§ΡΠΎ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΌΡ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠΌ Π΅Π³ΠΎ Π½Π° -12?
- ΠΠ²Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½Ρ, Π½ΠΎ ΡΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ Π² ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΡ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡΡ . ΠΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ — Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ z. ΠΠ°ΠΊΠΎΠΉ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ?
ΠΠ°Π΄Π΅Π΅ΠΌΡΡ, Π²Ρ ΡΠΊΠ°Π·Π°Π»ΠΈ, ΡΡΠΎ ΠΎΠ½ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΡΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ Π² ΡΠΎΠΌ ΠΆΠ΅ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ, Π½ΠΎ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ Π² ΡΠ΅ΡΡΡΠ΅ ΡΠ°Π·Π° Π΄Π»ΠΈΠ½Π½Π΅Π΅!
ΠΡΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΠΎΠ½ Π΄Π°Π΅Ρ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ ΠΈ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅.
ΠΠ°Π΄Π΅Π΅ΠΌΡΡ, Π²Ρ ΡΠΊΠ°Π·Π°Π»ΠΈ, ΡΡΠΎ ΠΎΠ½ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ Π²Π΄Π²ΠΎΠ΅ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠ΅ ΠΈ ΠΏΠΎΠΉΠ΄Π΅Ρ Π² ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠΌ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ!
ΠΡ Π½Π°Π΄Π΅Π΅ΠΌΡΡ, ΡΡΠΎ Π²Ρ Π²ΡΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΠ± ΠΎΡΡΠΈΡΠ°Π½ΠΈΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ², ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠΈΠ² Π΅Π³ΠΎ -z.
Π‘Π»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΉ ΡΡΠΎΠΊ:
ΠΠΎΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ½ΡΠ΅ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ (ΡΠ³Π»Ρ ΠΈ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅)
Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°
Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Π΄Π°Π΅Ρ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΡ, Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΡΠΌ Π²Π½ΡΡΡΠ΅Π½Π½ΠΈΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΡΠΌ Π²Π½Π΅ΡΠ½ΠΈΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ.
ΠΡΠ΅Π΄Π²Π°ΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠ΅Π±ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ: ΠΡΠΎΡ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΡΠΈΠ°Π» ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Π΅Ρ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΡΡΠ²ΠΎ Ρ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅.
ΠΠ½ΡΡΡΠ΅Π½Π½Π΅Π΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°
ΠΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ a ΠΈ b ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ, ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΡΠΉ Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΡΠΌ ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎΠΌ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ². ΠΠ°ΡΠ΅ΠΌ Π²Π½ΡΡΡΠ΅Π½Π½ΠΈΠΉ ΠΏΡΠΎΠ΄ΡΠΊΡ ΠΈΠ· ΠΈ ΠΈ b ΡΠ°Π²Π½ΠΎ s .
Π° ‘ Π± = b ‘ a = Ρ
Π³Π΄Π΅
a ΠΈ b — Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ-ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΡ,
ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΡΠΉ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ n ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ²,
a ‘ — ΡΡΠΎ ΡΡΠ°Π½ΡΠΏΠΎΠ½ΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ a , ΡΡΠΎ Π΄Π΅Π»Π°Π΅Ρ a ‘ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ-ΡΡΡΠΎΠΊΠ°,
b ‘ — ΡΡΠΎ ΡΡΠ°Π½ΡΠΏΠΎΠ½ΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ b , ΡΡΠΎ Π΄Π΅Π»Π°Π΅Ρ b ‘ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ-ΡΡΡΠΎΠΊΠ°, Π°
s — ΡΠΊΠ°Π»ΡΡ; ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ s — Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ, Π° Π½Π΅ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ°.
ΠΠ±ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΡΡΠΎΡ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ½ΡΠΉ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ. ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡ ΠΎΠ±ΡΡΠ½ΠΎ Π΄ΡΡΠ³Π°Ρ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ°. ΠΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ Π²Π½ΡΡΡΠ΅Π½Π½Π΅Π΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΡΠ°Π·Π½ΠΎΠ΅. Π ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ, Π° Π½Π΅ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ°. ΠΡΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ»Π»ΡΡΡΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΎ Π½ΠΈΠΆΠ΅.
Π’ΠΎΠ³Π΄Π°
a ‘ b = 1 * 4 + 2 * 5 + 3 * 6 = 4 + 10 + 18 = 32
Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, Π²Π½ΡΡΡΠ΅Π½Π½Π΅Π΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ a’ b ΡΠ°Π²Π½ΠΎ ΡΠ°Π²Π½ΠΎ 32.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΠ΅. ΠΠ½ΡΡΡΠ΅Π½Π½ΠΈΠΉ ΠΏΡΠΎΠ΄ΡΠΊΡ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ΅Π½ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ .
ΠΠ½Π΅ΡΠ½ΠΈΠΉ ΠΏΡΠΎΠ΄ΡΠΊΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°
ΠΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ a ΠΈ b ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ². ΠΠ°ΡΠ΅ΠΌ Π²Π½Π΅ΡΠ½ΠΈΠΉ ΠΏΡΠΎΠ΄ΡΠΊΡ ΠΈΠ· ΠΈ ΠΈ b — ΡΡΠΎ C .
a b ‘ = C
Π³Π΄Π΅
a — Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ-ΡΡΠΎΠ»Π±Π΅Ρ, ΠΈΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΉ m ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ²,
b — Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ-ΡΡΠΎΠ»Π±Π΅Ρ, ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°ΡΠΈΠΉ n ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ²,
b ‘ — ΡΡΠΎ ΡΡΠ°Π½ΡΠΏΠΎΠ½ΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ b , ΡΡΠΎ Π΄Π΅Π»Π°Π΅Ρ b ‘ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ-ΡΡΡΠΎΠΊΠ°, Π°
C ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅Ρ ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ ΠΏΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΡΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ m x n
Π ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠΈΠ΅ ΠΎΡ Π²Π½ΡΡΡΠ΅Π½Π½Π΅Π³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ, Π²Π½Π΅ΡΠ½Π΅Π΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Π΄Π°Π΅Ρ ΠΏΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½Π°Ρ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ°, Π° Π½Π΅ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡ.ΠΡΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ»Π»ΡΡΡΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΎ Π½ΠΈΠΆΠ΅.
Π’ΠΎΠ³Π΄Π°,
C = a b ‘ = |
|
ΠΠ±ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, ΡΡΠΎ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΡ Matrix C ΡΠΎΡΡΠΎΡΡ ΠΈΠ· ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ² Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° A , ΡΠΊΡΠ΅ΡΠ΅Π½Π½ΡΡ Ρ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΡ ΠΈΠ· Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° B .Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, Matrix C ΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅ΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΉ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ².
ΠΡΠΎΠ²Π΅ΡΡΡΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅
ΠΡΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡ
Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΡΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ, ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΡΠ΅ Π½ΠΈΠΆΠ΅ — a , b , ΠΈ c
ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ a , b ΠΈ c , ΠΎΡΠ²Π΅ΡΠΈΡΡ Π½Π° Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡΡ Π½ΠΈΠΆΠ΅.
1. ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ a ‘ b ,
Π²Π½ΡΡΡΠ΅Π½Π½Π΅Π΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ a ΠΈ b .
2. ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ b c ‘,
Π²Π½Π΅ΡΠ½Π΅Π΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ b ΠΈ c .
3. ΠΠ΅ΡΠ½ΠΎ ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅Π²Π΅ΡΠ½ΠΎ: b c ‘ = c b’
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ
Π’Π΅ΡΠΌΠΈΠ½ a ‘ b ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π²Π½ΡΡΡΠ΅Π½Π½ΠΈΠΌ ΠΏΡΠΎΠ΄ΡΠΊΡΠΎΠΌ, ΡΡΠΎ ΡΠ°Π²Π½ΠΎ 3. Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΎ Π½ΠΈΠΆΠ΅.
a ‘ b = * a’ b = 903 0 * 3 Π’Π΅ΡΠΌΠΈΠ½ b c ‘ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π²Π½Π΅ΡΠ½ΠΈΠΌ ΠΏΡΠΎΠ΄ΡΠΊΡΠΎΠΌ.ΠΠΎΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° 2 x 3, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½ΠΈΠΆΠ΅.
b c ‘ = * b c’ 2 ΠΠ°ΡΠ²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ b c ‘ = c b ‘ Π»ΠΎΠΆΠ½ΠΎ.=
ΠΠ±ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, ΡΡΠΎ b — ΡΡΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ 2 x 1, Π° c Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ 3 x 1.Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, b c ‘ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅Ρ ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ 2 x 3, Π° c b ‘ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅Ρ ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ ΠΠ°ΡΡΠΈΡΠ° 3 x 2. ΠΠΎΡΠΎΠΌΡ ΡΡΠΎ b c ‘ ΠΈ c b ‘ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΡΠ°Π·Π½ΡΠ΅ ΠΠ°Π±Π°ΡΠΈΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΡ, ΠΎΠ½ΠΈ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠ³ΡΡ Π±ΡΡΡ ΡΠ°Π²Π½Ρ.
Π‘ΠΊΠ°Π»ΡΡ — Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ, ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ ΠΈ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅
Π‘ΠΊΠ°Π»ΡΡ — ΡΡΠΎ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠ΅ΡΠ°, ΠΎΠ±ΡΡΠ½ΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΡΡΠ°Ρ ΡΠΈΠ·ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΡΡ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ, Π½Π΅ Π·Π°Π²ΠΈΡΡΡΡΡ ΠΎΡ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ. ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΡΠ°ΡΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠ΅ — ΡΡΠΎ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½Π°Ρ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π°, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΠΎΠ½Π° ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡΡΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½Π° ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠΈΡΡΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ Π±Π΅Π· ΡΡΡΠ»ΠΊΠΈ Π½Π° ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΠ΅ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ.ΠΡΡΠ³ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΡΡ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½ Π²ΠΊΠ»ΡΡΠ°ΡΡ ΠΌΠ°ΡΡΡ , ΡΠ΅ΠΌΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΡΡΡ ΠΈ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ .
Π’Π΅ΡΠΌΠΈΠ½ Β«ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΒ» ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΠ»ΡΡ ΠΊ Π»ΡΠ±ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π΅, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅ΡΠΈΡΡ ΠΏΠΎ ΡΠΊΠ°Π»Π΅. ΠΠΎΠ·ΡΠΌΠ΅ΠΌ, ΠΊ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ, ΡΠΈΡΠ»Π° Π½Π° ΡΠΊΠ°Π»Π΅ ΡΠ΅ΡΠΌΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠ° , ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅ΡΡΡΡ ΡΠ΅ΠΌΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΡΡΡ. ΠΡΠΈ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ΅Π±ΡΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π·Π½Π°ΠΊΠ° , ΡΡΠΎΠ±Ρ ΡΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ, Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ΅ Π½ΡΠ»Ρ , Π½ΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ Π½Π΅ ΡΡΠ΅Π±ΡΡΡ ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΈΡ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ, ΠΏΠΎΡΠΎΠΌΡ ΡΡΠΎ Ρ Π½ΠΈΡ Π½Π΅Ρ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠ°, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ ΠΎΠΏΠΈΡΡΠ²Π°Π΅Ρ ΠΈΡ ΠΌΠ΅ΡΡΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅.Π’Π°ΠΊΠΈΠ΅ ΡΠΈΠ·ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡΡΡ ΠΎΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ ΡΠΈΡΡΡΠΌ ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠΌ ΠΈ Π½Π΅ ΡΡΠ΅Π±ΡΡΡΠΈΠ΅ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠ°, Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΡΠΌΠΈ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ°ΠΌΠΈ. Π‘ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΉ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ, Π΅ΡΡΡ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΠ΅ ΡΠΈΠ·ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Π½Π΅ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ (ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΡΡ) ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΡ, Π½ΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ. ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, Ρ ΠΎΡΡ ΠΌΡ ΠΎΠ±ΡΡΠ½ΠΎ Π½Π΅ Π΄ΡΠΌΠ°Π΅ΠΌ ΠΎΠ± ΡΡΠΎΠΌ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΌ, ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΠΎΠΏΠΈΡΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π½Π΅ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡΡ, Π½ΠΎ ΠΈ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ. Π’ΠΎΡΠ½ΠΎ ΡΠ°ΠΊ ΠΆΠ΅ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΠ΅ ΡΠΈΠ·ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ, ΡΠ°ΠΊΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠΈΠ»Π° , , Π²ΡΠ°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ ΠΌΠ°Π³Π½Π΅ΡΠΈΠ·ΠΌ, , ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ Π²ΠΊΠ»ΡΡΠ°ΡΡ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΡ ΠΎΡΠΈΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠΈΡ.ΠΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΠΌΠΎΠ΅ Π΄Π»Ρ ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Π½ΠΈΡ ΡΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΈΠΈ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ ΠΈ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ — Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΎΡ Π»Π°ΡΠΈΠ½ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ»ΠΎΠ²Π° «Π½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»Ρ». Π ΠΏΡΠΎΡΡΠ΅ΠΉΡΠ΅ΠΉ ΡΠΎΡΠΌΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π½ΡΠΉ ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΎΠΊ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ. ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, Π΅ΡΠ»ΠΈ A ΠΈ B — Π΄Π²Π΅ ΡΠ°Π·Π½ΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ, Π° AB — ΡΡΠΎ ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΎΠΊ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ, ΠΈΠ΄ΡΡΠΈΠΉ ΠΎΡ A Π΄ΠΎ B, ΡΠΎ AB ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°Π·Π²Π°ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ, v. Π‘ΠΊΠ°Π»ΡΡΡ — ΡΡΠΎ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ², ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΎΠΏΠΈΡΡΠ²Π°ΡΡ Π΅Π³ΠΎ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ, ΠΎΠ½ΠΈ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΎΡΡΠ°Π²Π»ΡΡΡ ΠΈΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΡ ΠΎ ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ². ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, Π΄Π»Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°, ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ, ΡΠΊΠ°Π»ΡΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ ΠΎΠΏΠΈΡΡΠ²Π°Π΅Ρ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ, Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡΡ.ΠΠ°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΎΠΏΠΈΡΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠ³Π»ΠΎΠΌ , ΠΎΠ±ΡΡΠ½ΠΎ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅ΠΌΡΠΌ ΠΊΠ°ΠΊ ΞΈ (ΡΠ΅ΡΠ°).
Π‘ΠΏΠΎΡΠΎΠ±Π½ΠΎΡΡΡ ΠΎΡΠ΄Π΅Π»ΡΡΡ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΡΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΡ ΠΎΡ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΡ ΠΈΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Π²Π°ΠΆΠ½Π°, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ΅Ρ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ ΠΌΠ°Π½ΠΈΠΏΡΠ»ΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ. ΠΠ²ΡΠΌΡ ΡΠ°ΡΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½Π΅Π½Π½ΡΠΌΠΈ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌΠΈ ΠΌΠ°Π½ΠΈΠΏΡΠ»ΡΡΠΈΡΠΌΠΈ Ρ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠΎΠ² ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ , ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅. Π‘ΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄ΠΎΡΡΠΈΠ³Π°Π΅ΡΡΡ ΠΏΡΡΠ΅ΠΌ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ° ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π²ΠΌΠ΅ΡΡΠ΅, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Ρ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½ΠΎΠΉ.ΠΡΠΎ ΠΏΠΎΡ ΠΎΠΆΠ΅ Π½Π° ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π° Π½Π° ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½Ρ ΠΌΠ°ΡΡΡΠ°Π±ΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ Π΄Π»Ρ ΡΠ²Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π΅Π³ΠΎ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΏΠΎΡΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΠΎ Π΅Π³ΠΎ ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ. Π ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΌ Π²ΡΡΠ΅ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ΅, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΠΎΠΏΠΈΡΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ v ΠΈ Π΅ΡΠ»ΠΈ c — ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ , ΡΠΎ cv — ΡΡΠΎ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ, Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°Π΅Ρ Ρ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ v, Π° Π΄Π»ΠΈΠ½Π° — c | v |. Π‘Π»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ ΠΎΡΠΌΠ΅ΡΠΈΡΡ, ΡΡΠΎ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π»Ρ c ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Ρ ΠΊ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ Ρ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ, ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΠΌ v. ΠΠΎΠ³Π΄Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅ΡΡΡ Π½Π° ΡΠΊΠ°Π»ΡΡ, Π΅Π³ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ΄Π΅Π»Π°ΡΡ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ΅, ΠΈΠ»ΠΈ Π΅Π³ΠΎ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΎ Π½Π° ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠ΅, Π½ΠΎ ΡΠ³ΠΎΠ» Π΅Π³ΠΎ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π΅ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡΡΡ.Π‘ΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΡΡΡ Π² Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ΅ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡ , Π³Π΄Π΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ°ΡΡΡΡ Π² ΠΏΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΡΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°Ρ , ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ.
Π ΡΠΎ Π²ΡΠ΅ΠΌΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ ΠΊ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΌΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ, ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² (Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΌ Π΄Π²Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°ΡΡΡΡ Π²ΠΌΠ΅ΡΡΠ΅) ΠΏΡΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ ΠΊ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠΌΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ. ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, Π΅ΡΠ»ΠΈ u ΠΈ v — Π΄Π²Π° ΡΠ°Π·Π½ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Ρ ΡΠ³Π»ΠΎΠΌ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π½ΠΈΠΌΠΈ q, ΡΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡΡ Π΄Π°Π΅Ρ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅Π΅: u . v = | uv | cosq. Π ΡΡΠΎΠΉ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΈ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ cos ΞΈ ΠΎΡΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΡΡΡ, ΠΈ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠΎΠΌ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ uv.Π‘ΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΡΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΡΠΎΡΠΊΠ° ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΡΡΡ Π΄Π»Ρ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΈ.
Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π° ΡΠΊΠ°Π»ΡΡ
Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π° ΡΠΊΠ°Π»ΡΡ
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡ, ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΡΠΉ Π½Π° ΡΠΊΠ°Π»ΡΡ Ξ», Π΄Π°Π΅Ρ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ, Ξ». ΠΡΠ»ΠΈ Ξ» — ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ, ΡΠΎ Ξ» ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ Π² Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ. ΠΡΠ»ΠΈ Ξ» — ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ, Ξ» — Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ.
Π‘ΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΡΠΉ ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ (ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅) Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ ΠΎΠ±ΠΎΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΈ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡ ΡΠ³Π»Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π½ΠΈΠΌΠΈ.
Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ Π΅ΡΠ»ΠΈ Π΅ΡΡΡ Π΄Π²Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΠΈ ΡΠ³ΠΎΠ» ΞΈ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π½ΠΈΠΌΠΈ, ΡΠΎ ΠΈΡ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ β = AB cos ΞΈ. ΠΠ΄Π΅ΡΡ A ΠΈ B — Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ ΠΈ.
ΠΠ΅Π΄Π²ΠΈΠΆΠΈΠΌΠΎΡΡΡΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ ΡΠΎΠ²Π°ΡΠ° β ΡΠΎΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅Ρ Π²ΡΠ΅Π³Π΄Π° ΡΠΊΠ°Π»ΡΡ. ΠΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΡΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ ΠΎΡΡΡΡΠΉ (Ρ. Π΅. <90 Β°) ΠΈ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΡΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π½ΠΈΠΌΠΈ ΡΡΠΏΠΎΠΉ (Ρ.Π΅.Π΅. 90 Β° <ΞΈ <180 Β°).
Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½Π½Π°Ρ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ° — ΡΡΠΎ, ΠΏΠΎ ΡΡΡΠΈ, ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ ΡΠΈΠ»Ρ ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΡΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ. ΠΠΎΠΌΠΈΠΌΠΎ ΠΏΡΠΎΠ΄Π΅Π»Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΠ°Π±ΠΎΡΡ, ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΡΡ ΠΈ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΠ΅ ΡΠΈΠ·ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ. ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΡΡΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ.
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΡΠΎΡΡ-ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ, ΠΈΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ, ΡΠ°Π²Π½ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΈ ΡΠΈΠ½ΡΡΠ° ΡΠ³Π»Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΠΈΡ .ΠΠ°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°ΡΠΈΠΉ Π΄Π²Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°, Π² ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΠΈΠΈ Ρ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎΠΌ ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΠ³ΠΎ Π²ΠΈΠ½ΡΠ° ΠΈΠ»ΠΈ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠΊΠ° Π΄Π»Ρ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ°Π»ΡΡΠ° ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΠΉ ΡΡΠΊΠΈ (ΡΠΈΡ. 2.22) .
Π ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΠΌΡΡ Π² ΡΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ΅, ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ. Π ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ, ΡΠΈΠ·ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ, ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΡΡΠΈΠ΅ Π²ΡΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΡΠ΅ΠΊΡΡ, ΡΠ°ΠΊΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊΡΡΡΡΡΠΈΠΉ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ, ΡΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ, ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΡΡΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ.
ΠΡΠ»ΠΈ Π΄Π²Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΠΈ ΡΠ°Π²Π½Ρ, ΡΠΎ ΠΈΡ ΠΎΡΠ΄Π΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΡ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΡΠ°Π²Π½Ρ.
Π Π΅ΡΠ΅Π½Π½ΡΠ΅ ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ Π΄Π»Ρ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΎ ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ Π΄Π»Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²
Π£ΡΠ΅Π±Π½ΡΠΉ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΡΠΈΠ°Π», ΠΊΠΎΠ½ΡΠΏΠ΅ΠΊΡΡ Π»Π΅ΠΊΡΠΈΠΉ, Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΡ, ΡΡΡΠ»ΠΊΠΈ, ΠΎΠ±ΡΡΡΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Π½ΠΈΡ Wiki, ΠΊΡΠ°ΡΠΊΠ°Ρ Π΄Π΅ΡΠ°Π»Ρ
11-Ρ ΡΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ°: ΠΊΠΈΠ½Π΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ°: ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π° ΡΠΊΠ°Π»ΡΡ | Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½Π½ΡΠΌΠΈ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ°ΠΌΠΈ Π·Π°Π΄Π°Ρ
.Π‘ΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΈ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅
Π‘ΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΡΠΉ ΠΈ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ (ΡΡΡ. 1 ΠΈΠ· 3)
ΠΡΡΡ Π΄Π²Π° ΡΠΈΠΏΠ° ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π»Ρ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡ: ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡ.Π‘ΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ — ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎ. ΠΡ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎ Π½Π°Π±ΠΈΡΠ°Π΅ΡΠ΅ ΠΎΠ±ΡΡΠ½ΡΠΉ Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ (Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Β«ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΒ») ΠΈ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΡΡΠ΅ Π΅Π³ΠΎ Π½Π° ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΡΡ Π·Π°ΠΏΠΈΡΡ Π² ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅.
- ΠΠ»Ρ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅ΠΉ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π , Π½Π°ΠΉΡΠΈ 2 A ΠΈ 1 A .
Π‘Π΄Π΅Π»Π°ΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠΉ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΡΡΠΎΠ±Ρ Π½Π°ΠΉΡΠΈ 2 Π , Π― ΠΏΡΠΎΡΡΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Ρ 2 Π½Π° ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΡΡ Π·Π°ΠΏΠΈΡΡ Π² ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅:
ΠΡΡΠ³ΠΎΠ΅ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, Π½Π°ΠΉΡΠΈ 1 A , ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ°Π΅Ρ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ½ΠΎ:
ΠΡΠ°ΠΊ, ΠΎΠΊΠΎΠ½ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΎΡΠ²Π΅Ρ: Π°Π²ΡΠΎΡΡΠΊΠΎΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΎ ΠΠ»ΠΈΠ·Π°Π±Π΅Ρ Π‘ΡΠ°ΠΏΠ΅Π»Ρ 2003-2011 ΠΡΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²Π° Π·Π°ΡΠΈΡΠ΅Π½Ρ
Π‘ΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ.ΠΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡ — ΡΡΠΎ ΡΠΎΠ²ΡΠ΅ΠΌ Π΄ΡΡΠ³Π°Ρ ΠΈΡΡΠΎΡΠΈΡ. ΠΠΎ ΡΠ°ΠΊΡΡ, ΡΡΠΎ ΠΊΠΎΡΠΎΠ»Π΅Π²ΡΠΊΠ°Ρ Π±ΠΎΠ»Ρ. ΠΠ°Ρ ΡΠ΅ΠΊΡΡ, Π²Π΅ΡΠΎΡΡΠ½ΠΎ, Π΄Π°Π» Π²Π°ΠΌ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ Π΄Π»Ρ ΠΏΡΠΎΡΠ΅ΡΡ, ΠΈ ΡΡΠ° ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π°, Π²Π΅ΡΠΎΡΡΠ½ΠΎ, Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π»Π° Π΄Π»Ρ Π²Π°Ρ Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΌΡΡΠ»Π°. ΠΡΠΎ Ρ ΠΎΡΠΎΡΠΎ. ΠΡΠΎΡΠ΅ΡΡ Π³ΡΡΠ·Π½ΡΠΉ, ΠΈ ΡΡΠ° ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½Π°Ρ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π° — Π»ΡΡΡΠ΅Π΅, ΡΡΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΠΏΡΠΈΠ³ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡΡ Π΄Π»Ρ ΠΎΠ±ΡΡΡΠ½Π΅Π½ΠΈΡ Π² ΡΠΎΡΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΎΠ±ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠ΅, Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, Π² ΡΡΠ΅Π±Π½ΠΈΠΊΠ΅. ΠΠΎΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ°Π΅Ρ ΠΏΡΠΎΡΠ΅ΡΡ:
- ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΠΏΡΠΎΠ΄ΡΠΊΡ AB Π΄Π»Ρ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡ:
ΠΠ»Ρ ΡΠ°ΡΡΠ΅ΡΠ° AB , ΠΠ°ΠΏΠΈΡΡΠ²Π°Ρ Π ΠΈ B ΡΡΠ΄ΠΎΠΌ Π΄ΡΡΠ³ Ρ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΌ Π²ΠΎΡ ΡΠ°ΠΊ:
Π’Π΅ΠΏΠ΅ΡΡ ΠΌΠ½Π΅ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΡ Π Π―Π Π ΠΠΠΠΠΠΠΠΠ B .ΠΠΎΠ΄ ΡΡΠΈΠΌ Ρ ΠΏΠΎΠ΄ΡΠ°Π·ΡΠΌΠ΅Π²Π°Ρ, ΡΡΠΎ ΡΠ½Π°ΡΠ°Π»Π° Π±Π΅ΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠΉ ΡΡΠ΄ A ΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠΉ ΡΡΠΎΠ»Π±Π΅Ρ B , ΠΈ Ρ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠ΅ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠΈ, Π·Π°ΡΠ΅ΠΌ Π²ΡΠΎΡΡΠ΅ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠΈ, Π° Π·Π°ΡΠ΅ΠΌ ΡΡΠ΅ΡΡΠΈ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠΈ, Π° Π·Π°ΡΠ΅ΠΌ Ρ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²Π»ΡΡ ΡΡΠΈ ΠΏΡΠΎΠ΄ΡΠΊΡΠ°. Π‘ΡΠΌΠΌΠ° ΠΎΠ΄Π½Π° Π·Π°ΠΏΠΈΡΡ Π² ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠ΄ΡΠΊΡΠΎΠ² AB ; ΡΠ°ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ, Π±ΡΠ΄ΡΡΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ 1 ΠΈ ΡΡΠΎΠ»Π±Π΅Ρ 1, ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠΎΠΌ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ 1,1-Π·Π°ΠΏΠΈΡΡ ΠΈΠ· AB .ΠΠ°ΡΠ΅ΠΌ Ρ ΠΏΡΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠ°Ρ Π² ΡΠΎΠΌ ΠΆΠ΅ Π΄ΡΡ Π΅. ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΡΡΠΌΠΌΠ° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈΠ· 2-Π³ΠΎ ΡΡΠ΄Π° ΠΈΠ· Π ΠΈ ΡΡΠΎΠ»Π±Π΅Ρ 1 ΠΈΠ· B 2,1-Π·Π°ΠΏΠΈΡΡ ΠΈΠ· AB .
ΠΠΎΠ³Π΄Π° Ρ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Ρ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ, Π― ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ ΠΏΠ°Π»ΡΡΡ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΡΠ»Π΅Π΄ΠΈΡΡ Π·Π° ΡΠ΅ΠΌ, ΡΡΠΎ Ρ Π΄Π΅Π»Π°Ρ. Π‘Π»Π΅Π΄ΡΡΡΠ°Ρ Π°Π½ΠΈΠΌΠ°ΡΠΈΡ ΡΡΠΎ ΠΌΠΎΡ ΠΏΠΎΠΏΡΡΠΊΠ° ΠΏΡΠΎΠΈΠ»Π»ΡΡΡΡΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ ΡΡΠΎΡ ΠΏΡΠΎΡΠ΅ΡΡ. (ΠΠ΅ ΡΠΌΠ΅ΠΉΡΠ΅ΡΡ, Ρ Π½Π΅ Ρ ΡΠ΄ΠΎΠΆΠ½ΠΈΠΊ!)
(ΠΡΠ°ΠΊ, ΠΊΠ»Π°ΡΡ; ΡΡΠΎ Ρ ΡΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ ΠΏΡΠΎ ΡΠΌΠ΅Ρ ?)
ΠΠΊΠΎΠ½ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΎΡΠ²Π΅Ρ:
ΠΠ°ΠΊ Π²Ρ Π²ΠΈΠ΄Π΅Π»ΠΈ Π² ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΌ Π²ΡΡΠ΅ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ΅, ΠΏΠΎ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Ρ ΠΏΡΠΎΠ΄ΡΠΊΡ i -ΠΉ ΡΡΠ΄ Π ΠΈ j -ΠΉ ΠΊΠΎΠ»ΠΎΠ½ΠΊΠ° Π ΡΡΠΎ i , j -ΠΉ Π·Π°ΠΏΠΈΡΡ Π² ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠ΄ΡΠΊΡΠΎΠ² AB .ΠΡΠΎ ΠΎΠ±ΡΠ΅Π΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΠΎ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅ΠΉ ΡΠ°ΡΡΠΈ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅Ρ ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ Π² Π²Π°Ρ ΡΠ΅ΠΊΡΡ Π±ΡΠ» ΠΎ.
ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Ρ, Π² Π² ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΌ Π²ΡΡΠ΅ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ΅ ΡΠ½Π°ΡΠ°Π»Π° ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ»ΠΈ Π½Π° ΡΡΠ΄ (ΠΈΠ· Π ) ΠΈ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ ΡΡΠΎΠ»Π±Π΅Ρ (ΠΈΠ· B ), ΡΡΠΎ Π΄Π°Π»ΠΎ ΠΌΠ½Π΅ ΠΏΠ΅ΡΠ²Π°Ρ ΡΡΡΠΎΠΊΠ° — Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ ΡΡΠΎΠ»Π±Π΅Ρ Π·Π°ΠΏΠΈΡΡ Π² ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠ΄ΡΠΊΡΠΎΠ² AB .
ΠΠ²Π΅ΡΡ | 1 | 2 | 3 | ΠΠ΅ΡΠ½ΡΡΡΡΡ ΠΊ ΡΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»Ρ ΠΠ°Π»Π΅Π΅ >>
Π¦ΠΈΡΠΈΡΡΠΉΡΠ΅ ΡΡΡ ΡΡΠ°ΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ:
Π‘ΡΠ°ΠΏΠ΅Π»Ρ, ΠΠ»ΠΈΠ·Π°Π²Π΅ΡΠ°.Β«Π‘ΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΈ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅Β». Purplemath . ΠΠΎΡΡΡΠΏΠ½ΠΎ ΠΏΠΎ Π½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡ
https://www.purplemath.com/modules/mtrxmult.htm . ΠΠ°ΡΠ° ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ [ΠΠ°ΡΠ°] [ΠΠ΅ΡΡΡ] 2016 Π³.