Site Loader

Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅

Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° число.

ГСомСтричСская интСрпрСтация.

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° число — это Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€, ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°Ρ€Π½Ρ‹ΠΉ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ (сонаправлСнный Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ, Ссли число ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅, ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰ΠΈΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠ΅ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, Ссли число ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅), Π° Π΅Π³ΠΎ ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŽ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ Π½Π° ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ числа.

АлгСбраичСская интСрпрСтация. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° число — это Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€, ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°ΠΌ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ Π½Π° число.


Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ умноТСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° число

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° умноТСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° число для плоских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡

Π’ случаС плоской Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° a = {ax ; ay} ΠΈ числа k ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ воспользовавшись ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΎΠΉ:

k Β· a = {k Β· ax; k Β· ay}


Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° умноТСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° число для пространствСнных Π·Π°Π΄Π°Ρ‡

Π’ случаС пространствСнной Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° a = {ax ; ay ; az} ΠΈ числа k ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ воспользовавшись ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΎΠΉ:

k Β· a = {k Β· ax ; k Β· ay

; k Β· az}


Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° умноТСния n -ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°

Π’ случаС n-ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ пространства ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° a = {a1 ; a2; … ; an} ΠΈ числа k ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ воспользовавшись ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΎΠΉ:

k Β· a = {k Β· a1; k Β· a2; … ; k Β· an}


Бвойства Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π° число

Если Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ b Ρ€Π°Π²Π΅Π½ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡŽ Π½Π΅Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠ³ΠΎ числа k ΠΈ Π½Π΅Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° a, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ b = k Β· a, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π°:

  • b || a — Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° b ΠΈ a ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹

  • a↑↑b, Ссли k > 0 — Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° b ΠΈ a сонаправлСнныС, Ссли число k > 0

  • a↑↓b, Ссли k < 0 — Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° b ΠΈ a ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅, Ссли число k < 0

  • |b| = |k| Β· |a| — ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° b Ρ€Π°Π²Π΅Π½ ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŽ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° a ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ Π½Π° ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ числа k

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ Π½Π° ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ΠΈ числа

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ умноТСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° число для плоских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1. Найти ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° a = {1; 2} Π½Π° 3.

РСшСниС: 3 · a = {3 · 1; 3 · 2} = {3; 6}.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ умноТСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° число для пространствСнных Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 2. Найти ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° a = {1; 2; -5} Π½Π° -2.

РСшСниС: (-2) · a = {(-2) · 1; (-2) · 2; (-2) · (-5)} = {-2; -4; 10}.

Π›ΡŽΠ±Ρ‹Π΅ Π½Π΅Ρ†Π΅Π½Π·ΡƒΡ€Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΈ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ ΡƒΠ΄Π°Π»Π΅Π½Ρ‹, Π° ΠΈΡ… Π°Π²Ρ‚ΠΎΡ€Ρ‹ занСсСны Π² Ρ‡Π΅Ρ€Π½Ρ‹ΠΉ список!

Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° число — Онлайн ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€

Как произвСсти ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° число ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½?

  1. Π£ΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° (Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π½Π° плоскости ΠΈΠ»ΠΈ Π² пространствС).
  2. Π’Ρ‹Π±Π΅Ρ€ΠΈΡ‚Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ прСдставлСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° (ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°ΠΌΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ).
  3. Π’ ΠΏΠΎΠ»Π΅ «значСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°Β» сначала Π·Π°Π΄Π°ΠΉΡ‚Π΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€, Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ Π²ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ любоС число, Π½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ слСдуСт ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ.
  4. НаТмитС ΠΊΠ½ΠΎΠΏΠΊΡƒ Β«Ρ€Π°ΡΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΒ».

Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° число. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ ΠΈ свойства

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° aΒ Π½Π° число k называСтся Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ b, ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°Ρ€Π½Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρƒ a. ΠœΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° b Ρ€Π°Π²Π΅Π½ ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŽ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π°, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ Π½Π° ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ числа k. Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ Π° ΠΈ b ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°Ρ€Π½Ρ‹ для любого k

. Если число k большС нуля, направлСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡŽΡ‚. Если k мСньшС нуля, Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ b Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ Π² сторону, ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡƒΡŽ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρƒ a.

Рассмотрим простой ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€: ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ a(4; 5) Π½Π° число 3:

a→=4;53*a¯=(3*4;3*5)=12;15

Для Π»ΡŽΠ±Ρ‹Ρ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Π° ΠΈ b ΠΈ чисСл k ΠΈ l справСдливы Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹:

(kl)aβ†’=k(laβ†’)Β β€” ΡΠΎΡ‡Π΅Ρ‚Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½;

k(aβ†’+bβ†’)=kaβ†’+kbβ†’Β β€” ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ Ρ€Π°ΡΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½;

(k+l)aβ†’=kaβ†’+laβ†’Β β€” Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ€Π°ΡΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½;

Онлайн ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ умноТСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° число ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π΅Π½ учащимся ΡΡ‚Π°Ρ€ΡˆΠΈΡ… классов ΠΈ студСнтам Π² ΠΏΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΊΠ΅ ΠΊ ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°ΠΌ. РСшСниС ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ позволяСт произвСсти вычислСния быстро, ΡƒΠ»ΡƒΡ‡ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹ вычислСний, сдСланных ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ.

ΠžΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ с Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ, слоТСниС Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ², ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число.

Рассмотрим Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ v с Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ Π² Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ Π² любой ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ систСмС x-y ΠΈ с ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ Π² (a,b). ΠœΡ‹ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ находится Π² стандартном ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΈ ссылаСмся Π½Π° Π½Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π° радиус-Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€. ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠ°Ρ€Π° Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ опрСдСляСт этот Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ это для обозначСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ΄Ρ‡Π΅Ρ€ΠΊΠ½ΡƒΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ Π² Π²ΠΈΠ΄Ρƒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€, ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΈΠ·Π±Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡƒΡ‚Π°Π½ΠΈΡ†Ρ‹, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ, ΠΏΠΈΡˆΡƒΡ‚:

v = .


ΠšΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π° a Π΅ΡΡ‚ΡŒ скаляром Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Ρ‹ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°, ΠΈ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π° b Π΅ΡΡ‚ΡŒ скаляром Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Ρ‹ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°. Под скаляром ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ΄Ρ€Π°Π·ΡƒΠΌΠ΅Π²Π°Π΅ΠΌ числСнноС количСство, Π° Π½Π΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΡƒΡŽ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, это рассматриваСтся ΠΊΠ°ΠΊ компонСнтная Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ° v. ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ a ΠΈ b НЕ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ΠΈ ΠΈΡ… Π½Π΅ Π½Π°Π΄ΠΎ ΠΏΡƒΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ с ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°.

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ рассмотрим с A = (x1, y1) ΠΈ C = (x2, y2). Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ рассмотрим, ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ радиус Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€, эквивалСнтный . Как Π’Ρ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ Π½Π° рисункС Π²Π½ΠΈΠ·Ρƒ, Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° A ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½Π° Π² Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ (0, 0). ΠšΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ P находятся Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ A ΠΈΠ· ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ C. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, P = (x

2 — x1, y2 — y1) ΠΈ радиус Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π΅ΡΡ‚ΡŒ .

МоТно ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΠΎΠ΄Π½Ρƒ ΠΈ Ρ‚Ρƒ ΠΆΠ΅ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ ΠΈ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΈ поэтому эквивалСнтны. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, = = 2 — x1, y2 — y1 >.

ΠšΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Π½Π°Ρ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ° с A = (x1, y1) ΠΈ C = (x2, y2) Π΅ΡΡ‚ΡŒ
= 2 — x1, y2 — y1 >.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1 НайдитС ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ Ссли C = (- 4, — 3) ΠΈ F = (1, 5).

РСшСниС ΠœΡ‹ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ
= = .

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌ радиус-Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρƒ , ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½Π° рисункС Π²Π²Π΅Ρ€Ρ…Ρƒ.

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π² ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅, Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ ΠΈΠ·Π»ΠΎΠΆΠΈΠΌ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ опрСдСлСния.
Π”Π»ΠΈΠ½Ρƒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° v Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° извСстны ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Ρ‹ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°. Для v = 1, v2 >, ΠΌΡ‹ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ
|v|2 = v21 + v22 Β Β Β Β Β Β Β Β  Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡƒ ΠŸΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€Π°
|v| = √v21 + v22.

Π”Π»ΠΈΠ½Π°, ΠΈΠ»ΠΈ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° Π²Π΅Ρ‚ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° v = 1, v2 > находится ΠΊΠ°ΠΊ |v| = √v21 + v22.

Π”Π²Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ ΠΈΠ»ΠΈ эквивалСнтны, Ссли ΠΎΠ½ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΠΎΠ΄Π½Ρƒ ΠΈ Ρ‚Ρƒ ΠΆΠ΅ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ ΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈ Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅.

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ u = 1, u2 > ΠΈ v = 1, v2 >. TΠΎΠ³Π΄Π°
1, u2 > = 1, v2 > Β Β Β Β Β Β Β Β  Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ссли u1 = v1 and u2 = v2.

ΠžΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ с Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ V Π½Π° ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число, ΠΌΡ‹ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅ΠΌ Π΅Π³ΠΎ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ Π½Π° это число. Π•Π³ΠΎ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ остаСтся ΠΏΡ€Π΅ΠΆΠ½ΠΈΠΌ. Когда Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ V умноТаСтся Π½Π° 2, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, Π΅Π³ΠΎ Π΄Π»ΠΈΠ½Π° увСличиваСтся Π² Π΄Π²Π° Ρ€Π°Π·Π°, Π½ΠΎ Π΅Π³ΠΎ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ измСняСтся. Когда Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ умноТаСтся Π½Π° 1,6, Π΅Π³ΠΎ Π΄Π»ΠΈΠ½Π° увСличиваСтся Π½Π° 60%, Π° Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ остаСтся ΠΏΡ€Π΅ΠΆΠ½ΠΈΠΌ. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ V Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅ΠΌ Π΅Π³ΠΎ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ Π½Π° это число ΠΈ измСняСм Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠ΅. НапримСр, Когда Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ умноТаСтся Π½Π° (-2), Π΅Π³ΠΎ Π΄Π»ΠΈΠ½Π° увСличиваСтся Π² Π΄Π²Π° Ρ€Π°Π·Π° ΠΈ Π΅Π³ΠΎ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ измСняСтся Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠ΅. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°ΡŽΡ‚ ΠΊΠ°ΠΊ скалярныС ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ Π² ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ², ΠΌΡ‹ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌ ΠΈΡ…

скаляры ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ kv называСтся скалярныС ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ v.

Для Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа k ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° v = 1, v2 >, скалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ k ΠΈ v Π΅ΡΡ‚ΡŒ
kv = k.1, v2 > = 1, kv2 >.
Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ kv Π΅ΡΡ‚ΡŒ скалярным ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° v.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 2 ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ u = ΠΈ w = . НайдитС — 7w, 3u ΠΈ — 1w.

РСшСниС
— 7w = — 7. = ,
3u = 3. = ,
— 1w = — 1. = .

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π΄Π²Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Ρ‹. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π΄Π²Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π² ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅, ΠΌΡ‹ складываСм ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Ρ‹. ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ u = 1, u

2 > ΠΈ v = 1, v2 >. Π’ΠΎΠ³Π΄Π°
u + v = 1 + v1, u2 + v2 >

НапримСр, Ссли v = ΠΈ w = , Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π°
v + w = =

Если u = 1, u2 > ΠΈ v = 1, v2 >, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π°
u + v = 1 + v1, u2 + v2 >.

ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Π΄ Ρ‚Π΅ΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΡ‹ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π΄Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ — v. ΠŸΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρƒ v = 1, v2 >, ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ Π²Π½ΠΈΠ·Ρƒ, Π΅ΡΡ‚ΡŒ
— v = (- 1).v = (- 1)1, v2 > = 1, — v2 >

Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ², Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊ u — v Π²ΠΎΠ²Π»Π΅ΠΊΠ°Π΅Ρ‚ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚. ΠœΡ‹ ΠΏΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ это прСдставлСниСм u — v ΠΊΠ°ΠΊ u + (- v). Если u = 1, u

2 > ΠΈ v = 1, v2 >, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π°
u — v = u + (- v) = 1, u2 > + 1, — v2 > = 1 + (- v1), u2 + (- v2) > = 1 — v1, u2 — v2 >

ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ»Π»ΡŽΡΡ‚Ρ€ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ° , ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΡ‹ это Π΄Π΅Π»Π°Π»ΠΈ для слоТСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ².

Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²

Если u = 1, u2 > ΠΈ v = 1, v2 >, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π°
u — v = 1 — v1, u2 — v2 >.

Π˜Π½Ρ‚Π΅Ρ€Π΅ΡΠ½ΠΎ ΡΡ€Π°Π²Π½ΠΈΡ‚ΡŒ суммы Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² с Ρ€Π°Π·Π½ΠΈΡ†Π΅ΠΉ Ρ‚Π΅Ρ… ΠΆΠ΅ Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ΅. Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ u + v ΠΈ u — v Π΅ΡΡ‚ΡŒ диагоналями ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ°.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 3 Π‘Π΄Π΅Π»Π°ΠΉΡ‚Π΅ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ вычислСния, Π³Π΄Π΅ u = ΠΈ v = .
a) u + v
b) u — 6v
c)3u + 4v
d)|5v — 2u|

РСшСниС
a) u + v = + = = ;
b)u — 6v = — 6. = — = ;
c) 3u + 4v = 3. + 4. = + = ;
d) |5v — 2u| = |5. — 2.| = | — | = || = √(- 29)2 + 212 = √1282 β‰ˆ 35,8

ΠŸΡ€Π΅ΠΆΠ΄Π΅ Ρ‡Π΅ΠΌ ΡΡ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ свойства Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ слоТСния ΠΈ умноТСния, ΠΌΡ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π΄Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΅Ρ‰Π΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΡƒ ΡΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌΡƒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρƒ — Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠΌΡƒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρƒ. Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€, Ρ‡ΡŒΡ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° совпадаСт с ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ, называСтся Π½ΡƒΠ»Π΅Π²Ρ‹ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ, обозначаСтся O, ΠΈΠ»ΠΈ . Π•Π³ΠΎ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° Ρ€Π°Π²Π½Π° 0. Π’ слоТСнии Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²:
v + O = v. Β Β Β Β Β Β Β Β  1, v2 > + = 1, v2 >
ΠžΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ Π½Π°Π΄ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°ΡŽΡ‚ Ρ‚Π΅ ΠΆΠ΅ самыми свойствами, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ Π½Π°Π΄ вСщСствСнными числами.

Бвойства Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ слоТСния ΠΈ умноТСния

Для всСх Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² u, v, ΠΈ w, ΠΈ для всСх скаляров b ΠΈ c:
1. u + v = v + u.
2. u + (v + w) = (u + v) + w.
3. v + O = v.
4 1.v = v; Β Β Β Β Β Β Β Β  0.v = O.
5. v + (- v) = O.
6. b(cv) = (bc)v.
7. (b + c)v = bv + cv.
8. b(u + v) = bu + bv.

ΠžΡ€Ρ‚Ρ‹

Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½ΠΎΠΉ, ΠΈΠ»ΠΈ Π΄Π»ΠΈΠ½ΠΎΠΉ 1 называСтся ΠΎΡ€Ρ‚. Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ v = Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΡ€Ρ‚, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ
|v| = || = √(- 3/5)2 + (4/5)2 = √9/25 + 16/25 = √25/25 = √1 = 1.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 4 НайдитС ΠΎΡ€Ρ‚, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ самоС Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ w = .

РСшСниС НайдСм сначала Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ w:
|w| = √(- 3)2 + 52 = √34. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΌΡ‹ ΠΈΡ‰Π΅ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€, с Π΄Π»ΠΈΠ½ΠΎΠΉ 1/√34 ΠΎΡ‚ w ΠΈ с Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΆΠ΅ самым Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ w. Π­Ρ‚ΠΎΡ‚ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π΅ΡΡ‚ΡŒ
u = w/√34 = /√34 = 34, 5/√34 >.
Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ u Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΡ€Ρ‚, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ
|u| = |w/√34| = = √34/34 = √1 = 1.

Если v Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ΠΈ v β‰  O, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π°
(1/|v|)β€’ v, Β Β Β Β Β Β Β Β  or Β Β Β Β Β Β Β Β  v/|v|,
Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΡ€Ρ‚ Π² Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ v.

Π₯отя ΠΎΡ€Ρ‚Ρ‹ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ любоС Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΎΡ€Ρ‚Ρ‹, ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ осям x ΠΈ y особСнно ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½Ρ‹. Они ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ
i = Β Β Β Β Β Β Β Β  and Β Β Β Β Β Β Β Β  j = .

Π›ΡŽΠ±ΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ ΠΊΠ°ΠΊ линСйная комбинация ΠΎΡ€Ρ‚Π° i ΠΈ j. НапримСр, ΠΏΡƒΡΡ‚ΡŒ v = 1, v2 >. TΠΎΠ³Π΄Π°
v = 1, v2 > = 1, 0 > + 2 > = v1 + v2 = v1i + v2j.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 5 Π’Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ r = ΠΊΠ°ΠΊ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡƒΡŽ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΡŽ i ΠΈ j.

РСшСниС
r = = 2i + (- 6)j = 2i — 6j.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 6 Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ q = — i + 7j Π² ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅.

РСшСниСq = — i + 7j = -1i + 7j =

Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹Π΅ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½Ρ‹, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ записаны ΠΊΠ°ΠΊ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Π΅ i ΠΈ j.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 7 Если a = 5i — 2j ΠΈ b = -i + 8j, Π½Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ 3a — b.

РСшСниС
3a — b = 3(5i — 2j) — (- i + 8j) = 15i — 6j + i — 8j = 16i — 14j.

Π£Π³Π»Ρ‹ ΠΎΠ±Π·ΠΎΡ€Π°

ΠšΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Π°Ρ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° P ΠΎΡ€Ρ‚Ρ‹ Π² стандартной ΠΏΠΎΠ·ΠΈΡ†ΠΈΠΈ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ окруТности, ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ (cosΞΈ, sinΞΈ). Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΎΡ€Ρ‚ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ Π² ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅,
u = ,
ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ линСйная комбинация ΠΎΡ€Ρ‚ i ΠΈ j,
u = (cosΞΈ)i + (sinΞΈ)j,
Π³Π΄Π΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Ρ‹ u Π΅ΡΡ‚ΡŒ функциями ΡƒΠ³Π»Π° ΠΎΠ±Π·ΠΎΡ€Π° ΞΈ измСряСмого ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ² часовой стрСлки ΠΎΡ‚ оси x ΠΊ этому Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρƒ. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΞΈ измСняСтся ΠΎΡ‚ 0 Π΄ΠΎ 2Ο€, Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° P отслСТиваСт ΠΊΡ€ΡƒΠ³ x2 + y2 = 1. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΎΡ…Π²Π°Ρ‚Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ всС Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ направлСния ΠΎΡ€Ρ‚ΠΎΠ² ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ u = (cosΞΈ)i + (sinΞΈ)j описываСт ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΎΡ€Ρ‚ Π½Π° плоскости.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 8 ВычислитС ΠΈ сдСлайтС эскиз ΠΎΡ€Ρ‚Π° u = (cosΞΈ)i + (sinΞΈ)j для ΞΈ = 2Ο€/3. Π˜Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚Π΅ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΡƒΡŽ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π½Π° эскизС.

РСшСниС
u = (cos(2Ο€/3))i + (sin(2Ο€/3))j = (- 1/2)i + (√3/2)j

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ v = 1, v2 > с ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ ΠΎΠ±Π·ΠΎΡ€Π° ΞΈ. Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ тангСнса, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΎΠ±Π·ΠΎΡ€Π° ΠΈΡ… ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚ v:

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 9 ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΎΠ±Π·ΠΎΡ€Π° ΞΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° w = — 4i — 3j.

РСшСниС ΠœΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ
w = — 4i — 3j = .
Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ
tanΞΈ = (- 3)/(- 4) = 3/4 Β Β Β Β Β Β Β Β  ΠΈ ΞΈ = tan— 1(3/4).
Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ w находится Π² Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅ΠΌ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Π½Ρ‚Π΅, ΠΌΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΞΈ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅Π³ΠΎ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Π½Ρ‚Π°. Π‘ΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» Π΅ΡΡ‚ΡŒ
tan— 1(3/4) β‰ˆ 37Β°, Β Β Β Β Β Β Β Β  ΠΈ Β Β Β Β Β Β Β Β  ΞΈ β‰ˆ 180Β° + 37Β°, ΠΈΠ»ΠΈ 217Β°.

Π­Ρ‚ΠΎ ΡƒΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎ для Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ с ΠΏΡ€ΠΈΠΊΠ»Π°Π΄Π½Ρ‹ΠΌΠΈ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π°ΠΌΠΈ, Π° Π² ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… курсах, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ способ Π²Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π΅Π³ΠΎ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° ΠΈ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠ³Π»ΠΈ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Ρ‹ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΡ‡ΠΈΡ‚Π°Π½Ρ‹. ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ v это Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° v/|v| Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΡ€Ρ‚ Π² Ρ‚ΠΎΠΌ ΠΆΠ΅ самом Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ v. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΌΡ‹ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ
v/|v| = (cosΞΈ)i + (sinΞΈ)j
v = |v|[(cosθ)i + (sinθ)j]              УмноТая на |v|
v = |v|(cosΞΈ)i + |v|(sinΞΈ)j.

Π£Π³Π»Ρ‹ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ

Когда Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ умноТаСтся Π½Π° скаляр, Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠΌ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€. Когда ΡΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π΄Π²Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°, Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠΌ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠ³Π»ΠΈ Π±Ρ‹ ΠΎΠΆΠΈΠ΄Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€, Π½ΠΎ это Π½Π΅ Ρ‚Π°ΠΊ. БкалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число ΠΈΠ»ΠΈ скаляр. Π­Ρ‚ΠΎΡ‚ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π΅Π½ Π² Π½Π°Ρ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΈ ΡƒΠ³Π»Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ ΠΈ Π² ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ, ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π»ΠΈ Π΄Π²Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° пСрпСндикулярными.

БкалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² u = 1, u2 > ΠΈ v = 1, v2 > is
u β€’ v = u1.v1 + u2.v2
(ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ u1v1 + u2v2 Π΅ΡΡ‚ΡŒ скаляром, Π° Π½Π΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ.)

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 10НайдитС скалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π°
u = , v = ΠΈ w = .
a)u β€’ w
b)w β€’ v

РСшСниС
a) u β€’ w = 2(- 3) + (- 5)1 = — 6 — 5 = — 11;
b) w β€’ v = (- 3)0 + 1(4) = 0 + 4 = 4.

БкалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ использовано для нахоТдСния ΡƒΠ³Π»Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ. Π£Π³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ это самый малСнький ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ», ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ двумя Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°ΠΌΠΈ. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΞΈ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ u ΠΈ v это Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΆΠ΅ самый ΡƒΠ³ΠΎΠ», Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ v ΠΈ u, ΠΈ 0 ≀ ΞΈ ≀ Ο€.

Если ΞΈ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Π½Π΅Π½ΡƒΠ»Π΅Π²Ρ‹ΠΌΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ u ΠΈ v, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π°
cosΞΈ = (u β€’ v)/|u||v|.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 11НайдитС ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ u = ΠΈ v = .

РСшСниС НачнСм с нахоТдСния u β€’ v, |u|, ΠΈ |v|:
u β€’ v = 3(- 4) + 7(2) = 2,
|u| = √32 + 72 = √58, and
|v| = √(- 4)2 + 22 = √20.
TΠΎΠ³Π΄Π°
cosΞ± = (u β€’ v)/|u||v| = 2/√58.√20
Ξ± = cos— 1(2/√58.√20)
Ξ± β‰ˆ 86,6Β°.

РавновСсиС сил

Когда нСсколько сил Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ Π½Π° ΠΎΠ΄Π½Ρƒ ΠΈ Ρ‚Ρƒ ΠΆΠ΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ Π½Π° ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π΅, ΠΈΡ… вСкторная сумма Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π²Π½Π° нуля, для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π±Ρ‹Π» баланс. Когда Π΅ΡΡ‚ΡŒ баланс сил, Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚ являСтся стационарным ΠΈΠ»ΠΈ двиТСтся ΠΏΠΎ прямой Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ, Π±Π΅Π· ускорСния. Π’ΠΎΡ‚ Ρ„Π°ΠΊΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ вСкторная сумма Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄Π° для получСния баланса, ΠΈ Π½Π°ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚, позволяСт Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ Π½Π°ΠΌ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΊΠ»Π°Π΄Π½Ρ‹Π΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ с участиСм сил.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 12 ПодвСсной Π±Π»ΠΎΠΊ 350- Ρ„ΡƒΠ½Ρ‚ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ Π±Π»ΠΎΠΊ подвСшСн с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΊΠ°Π±Π΅Π»Π΅ΠΉ. ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΠΎΡΡŒ. Π’ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ А Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ‚Ρ€ΠΈ силы, Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Ρ‚Π°ΠΊ: W Π±Π»ΠΎΠΊ тянСт Π²Π½ΠΈΠ·, Π° R ΠΈ S (Π΄Π²Π° кабСля) тянут Π²Π²Π΅Ρ€Ρ… ΠΈ Π½Π°Ρ€ΡƒΠΆΡƒ. НайдитС Π½Π°Π³Ρ€ΡƒΠ·ΠΊΡƒ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ кабСля.

РСшСниС НарисуСм Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡƒ с Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π² Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π΅ ΠΊΠΎΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚. Для баланса, сумма Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π²Π½Π° О:

R + S + W = О.
ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π²Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π΅Π³ΠΎ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ ΠΈ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΎΠ±Π·ΠΎΡ€Π° :
R = |R|[(cos125Β°)i + (sin125Β°)j],
S = |S|[(cos37Β°)i + (sin37Β°)j], ΠΈ
W = |W|[(cos270Β°)i + (sin270Β°)j]
= 350(cos270Β°)i + 350(sin270Β°)j
= -350j Β Β Β Β Β Β Β Β  cos270Β° = 0; sin270Β° = — 1.
ЗамСняя R, S, ΠΈ W in R + S + W + O, ΠΌΡ‹ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ
[|R|(cos125Β°) + |S|(cos37Β°)]i + [|R|(sin125Β°) + |S|(sin37Β°) — 350]j = 0i + 0j.
Π­Ρ‚ΠΎ Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π½Π°ΠΌ систСму ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ:
|R|(cos125Β°) + |S|(cos37Β°) = 0,
|R|(sin125Β°) + |S|(sin37Β°) — 350 = 0.
РСшая эту систСму, ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ
|R| β‰ˆ 280 ΠΈ |S| β‰ˆ 201.
Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Π½Π°Π³Ρ€ΡƒΠ·ΠΊΠ° Π½Π° ΠΊΠ°Π±Π΅Π»ΠΈ 280 Ρ„ΡƒΠ½Ρ‚ΠΎΠ² ΠΈ 201 Ρ„ΡƒΠ½Ρ‚.

32. ΠžΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΡ умноТСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° число ΠΈ Π΅Π΅ свойства

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ 13. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° A Π½Π° число L НазываСтся Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ B, Ρ‡Ρ‚ΠΎ

1) | B | = | L || A |

2) Ссли l > 0, Ρ‚ΠΎ AΒ­Β­B, Ссли l < 0, Ρ‚ΠΎ AΒ­Β―B, Ссли l = 0 ΠΈΠ»ΠΈ A = 0, Ρ‚ΠΎ B = 0.

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° A Π½Π° число l обозначаСтся символом L A. Числа Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Бкалярными Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ Бкалярами.

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° 8. Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° A β‰  0 ΠšΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°Ρ€Π΅Π½ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρƒ B Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° найдСтся Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ число, Ρ‡Ρ‚ΠΎ B = L A.

Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ. Если, Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎ опрСдСлСния 13 слСдуСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°Ρ€Π½Ρ‹. ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎ, ΠΏΡƒΡΡ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°Ρ€Π½Ρ‹. Π’ΠΎΠ³Π΄Π°, полагая L = Β±|B|/|A|, Π³Π΄Π΅ стоит Π·Π½Π°ΠΊ «+», Ссли AΒ­Β­B, стоит Π·Π½Π°ΠΊ «-«, Ссли AΒ­Β―B, ΠΏΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ 13 ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ B = L A.

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° 9. Для Π»ΡŽΠ±Ρ‹Ρ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² A, B ΠΈ для Π»ΡŽΠ±Ρ‹Ρ… чисСл l, m Π‘ΠΏΡ€Π°Π²Π΅Π΄Π»ΠΈΠ²Ρ‹ свойства:

1) l(m A) = (lm) AΠ‘ΠΌΠ΅ΡˆΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ ассоциативный Π·Π°ΠΊΠΎΠ½;

2) (l + m) A = l A+ m AДистрибутивный Π·Π°ΠΊΠΎΠ½;

3) l (A + B) = l A + l BДистрибутивный Π·Π°ΠΊΠΎΠ½;

4) 1 A = A Бвойство умноТСния Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρƒ.

Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ. 1. Если Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ A ΠΈΠ»ΠΈ B Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ 0 Или числа m Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ Π½ΡƒΠ»ΡŽ, Ρ‚ΠΎ равСнства 1-3 Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΡ‡Ρ‚ΠΈ ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½Ρ‹ (ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€Ρ‚Π΅ ΠΈΡ…). Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΏΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ равСнства Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² провСряСтся равСнство 4. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ дальшС Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ A β‰  0, B β‰  0, lm β‰  0.

1. Π”Π»ΠΈΠ½Ρ‹ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² l(m A), (lm) A Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ |l||m| |A|, ΠΈ поэтому Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ собой. Π”Π°Π»Π΅Π΅ ΠΎΠ±Π° эти Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°Ρ€Π½Ρ‹ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρƒ A. Если числа l ΠΈ m ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π·Π½Π°ΠΊΠ°, Ρ‚ΠΎ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² l(m A), (lm) A совпадаСт с Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° A. Если числа l ΠΈ m ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹Ρ… Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ², Ρ‚ΠΎ эти Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρƒ A. ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° ΠΏΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ l(m A), (lm) A Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹.

2. Если числа l ΠΈ m ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π·Π½Π°ΠΊΠ°, Ρ‚ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ (l + m) A, l A, m A сонаправлСны ΠΈ |l A+m A| = |l A|+|m A|= |l ||A| + | m|| A| = (| l | + | m | )| A|.

Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π² этом случаС |l + m | = | l | + | m |, Ρ‚ΠΎ |(l + m) A| = || l A + m A|.

ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π°, ΠΏΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ равСнства Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² (l + m) A = l A + m A.

Π‘Π»ΡƒΡ‡Π°ΠΉ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° числа l ΠΈ m ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π·Π½Π°ΠΊΠ° рассмотритС ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ.

3. Если Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ A ΠΈ B ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°Ρ€Π½Ρ‹, Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ΅ 8 Π΅Π³ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ B = m A. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΠΎ свойствам 1, 2 ΠΈ 4 ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ

L (A + B) = l (1A + m A) = l (1A) + l (m A) =l A + l (m A) = l A + l B.

Если Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ A ΠΈ B Π½Π΅ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°Ρ€Π½Ρ‹, Ρ‚ΠΎ построим сумму A + B = = +.

ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ l A =, l (A + B) = (см. рис. 15 ΠΏΡ€ΠΈ l > 0 ΠΈ рис. 16 ΠΏΡ€ΠΈ l < 0). ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ ОAB ΠΈ OCD ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹. Из подобия Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² ΠΈ опрСдСлСния 13 ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ = l A. ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ l (A + B) = = =+=lA + l B.

ΠŸΡ€ΠΎΡΡ‚Ρ€Π°Π½ΡΡ‚Π²ΠΎ гСомСтричСских Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ². ΠœΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²ΠΎ V3 всСх гСомСтричСских Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² пространства являСтся Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹ΠΌ пространством Π½Π° ΠΏΠΎΠ»Π΅ΠΌ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΉ слоТСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΈ умноТСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° число (см. Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ 6 ΠΈ 9 Β§ 1).. Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹ΠΌ пространством являСтся мноТСство V2 (V1) всСх Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² плоскости (прямой).

ΠœΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²ΠΎ всСх гСомСтричСских Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ², ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°Ρ€Π½Ρ‹Ρ… Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρƒ A ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅Ρ‚ подпространство пространства V3 всСх гСомСтричСских Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ².

< ΠŸΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π°Ρ Β  Π‘Π»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ >

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° число

Π’Π°ΠΌ ΡƒΠΆΠ΅ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΡ‹ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°, ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ° ΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° слоТСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ².

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π΅ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°Ρ€Π½Ρ‹Π΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ Β ΠΈ Β ΠΏΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Ρƒ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°, Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΡ‚ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ А ΠΎΡ‚Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ , Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρƒ . Π”Π°Π»Π΅Π΅ ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ B ΠΎΡ‚Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ , Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρƒ . Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€  являСтся Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ суммы Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Β ΠΈ .

Для слоТСния этих ΠΆΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ°. ΠŸΡ€ΠΈ этом Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΡ‚Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΡ‚ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ А Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ Β ΠΈ , Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Π΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌ А и  соотвСтствСнно, ΠΈ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° Π½ΠΈΡ… ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌ ABCD. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ AC Ρ€Π°Π²Π΅Π½ суммС Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Β ΠΈ .

Для слоТСния Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΈΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡŽΡ‚ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°. ΠŸΡ€ΠΈ этом ΠΎΡ‚ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΎΡ‚ΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ Π·Π° Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΌ, ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ ΠΈΡ… суммы являСтся Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€, ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Ρ‘Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΎΡ‚ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ΠΊ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Ρƒ послСднСго.

Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π²Ρ‹ Π²Π»Π°Π΄Π΅Π΅Ρ‚Π΅ двумя способами построСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° разности.

МоТно ΠΎΡ‚ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ О ΠΎΡ‚Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ Β Β ΠΈ , Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Π΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌ Β ΠΈ . ΠŸΡ€ΠΈ этом Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ ΠΈΡ… разности Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ , Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΎΡ‚ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°-Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π΅ΠΌΠΎΠ³ΠΎ ΠΊ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Ρƒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°-ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ°Π΅ΠΌΠΎΠ³ΠΎ.

Π’Π°ΠΊ ΠΆΠ΅, ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡΡΡŒ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠΎΠΉ ΠΎ разности Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ², Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Β ΠΈ Β ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ суммы Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Β Β ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°, ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρƒ .

Π’ΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΎΡ‚Π»ΠΎΠΆΠΈΠ² ΠΎΡ‚ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ О Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Β = Β Β Β , Π° ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ А β€” Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Β = -, ΠΏΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Ρƒ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ .

Он являСтся Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ суммы Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Β ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°, ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρƒ . И, соотвСтствСнно, Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ разности Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Β ΠΈ .

БСгодня ΠΌΡ‹ познакомимся с Π΅Ρ‰Ρ‘ ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ дСйствиСм Π½Π°Π΄ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ β€” ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° число.

Но, для Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π°, рассмотрим ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€.

ΠŸΠ°Ρ€ΡƒΡΠ½ΠΈΠΊ Π΄Ρ€Π΅ΠΉΡ„ΡƒΠ΅Ρ‚ прямолинСйно с ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈ Ρ‚ΠΎΠΉ ΠΆΠ΅ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ, Π° ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· Π»Π°ΠΉΠ½Π΅Ρ€ΠΎΠ² двиТСтся Π² ΠΏΠΎΠΏΡƒΡ‚Π½ΠΎΠΌ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ со ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Π² ΠΏΡΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Π· большСй. Π’Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π»Π°ΠΉΠ½Π΅Ρ€ двиТСтся ΠΈΠΌ Π½Π° встрСчу, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π² ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΌ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ, с Ρ‚ΠΎΠΉ ΠΆΠ΅ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ Π»Π°ΠΉΠ½Π΅Ρ€.

Если ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ парусника Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ , Ρ‚ΠΎ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ Π»Π°ΠΉΠ½Π΅Ρ€Π°, двиТущСгося Π² ΠΏΠΎΠΏΡƒΡ‚Π½ΠΎΠΌ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ, Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ сонаправлСнного Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°, Π΄Π»ΠΈΠ½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Π² ΠΏΡΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Π· большС. И Π²Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ эту ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ b ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π½Π° 5.

Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ скорости Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Π»Π°ΠΉΠ½Π΅Ρ€Π° Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊΡƒΡŽ ΠΆΠ΅ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ скорости ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ Π»Π°ΠΉΠ½Π΅Ρ€Π°, Π½ΠΎ ΠΎΠ½ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π΅ΠΌΡƒ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ. Π—Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, Π΅Π³ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Β ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π½Π° -5.

Π­Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π½Π°ΠΌ ввСсти понятиС произвСдСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° число.

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π½Π΅Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Β Π½Π° число  называСтся Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ , Π΄Π»ΠΈΠ½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½Π° . ΠŸΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ , .

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ числа Β ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ Ρ‚Π°ΠΊ .

БлСдствия.

1.Β Β Β Β  ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Β Π½Π° ноль, Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠΌΡƒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρƒ .

2.Β Β Β Β  НСнулСвой Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Β ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°Ρ€Π΅Π½ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρƒ, Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Β Π½Π° число kΒ  Β ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°Ρ€Π½Ρ‹.

Π’Π΅Π΄ΡŒ, Ссли , Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ сонаправлСн Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρƒ , Π° Ссли , Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ Π΅ΠΌΡƒ. Но Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌ ΠΈΠ· этих случаСв ΠΎΠ½ΠΈ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°Ρ€Π½Ρ‹.

По Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρƒ Β ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹: ; ; ; .

Β Π”Π»ΠΈΠ½Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Β Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π² Ρ‚Ρ€ΠΈ Ρ€Π°Π·Π° большС Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° . И этот Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ сонаправлСн Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρƒ , вСдь k Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ случаС Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Ρ‚Ρ€Ρ‘ΠΌ, Π° это большС нуля.

; .

Π”Π°Π»Π΅Π΅ ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ , .

Π”Π»ΠΈΠ½Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° , .

ПослСдним построим Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ .

, .

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Β Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ чисСл k ΠΈ l, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€  сначала ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° число l, Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ Π½Π° число k: . Π­Ρ‚ΠΎΡ‚ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ ΡΠΎΡ‡Π΅Ρ‚Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ, ΠΈ Π΅Π³ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ»Π»ΡŽΡΡ‚Ρ€ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊ.

Рассмотрим случай, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° , : .

Π’Ρ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌ свойством запишСм, Ρ‡Ρ‚ΠΎ . Π­Ρ‚ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ Ρ€Π°ΡΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½.

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ»Π»ΡŽΡΡ‚Ρ€ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌ Π΅Π³ΠΎ.

Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ рассмотрим случай, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° , : .

Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠ΅ΠΌ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ€Π°ΡΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ .

НапримСр, Ссли Ρ€Π°ΡΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹Π΅ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ  с коэффициСнтом подобия k, Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ , Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ , Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ .

Π‘ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ стороны Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ . ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ .

Π”Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ свойства произвСдСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° число ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΡŽΡ‚ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡ‚ΡŒ прСобразования Π² выраТСниях, содСрТащих суммы, разности Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΈ произвСдСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Π½Π° числа, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ Π² числовых выраТСниях.

ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅ΠΌ выраТСния с Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ извСстных свойств.

МоТно ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π΄ выраТСниями с Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡ‚ΡŒ всС Ρ‚Π΅ ΠΆΠ΅ прСобразования, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ Π½Π°Π΄ алгСбраичСскими выраТСниями.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π°. ΠΠ°Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠΏΠ°Ρ€Π½ΠΎ Π½Π΅ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°Ρ€Π½Ρ‹Π΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ , Β ΠΈ . ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ , Β ΠΈ .

ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅.

Β 

ΠŸΠΎΠ΄Π²Π΅Π΄Ρ‘ΠΌ ΠΈΡ‚ΠΎΠ³ΠΈ нашСго ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ°.

БСгодня Π²Ρ‹ познакомились с Π½ΠΎΠ²Ρ‹ΠΌ дСйствиСм Π½Π°Π΄ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ: ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° число.

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π½Π΅Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Β Π½Π° число k называСтся Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ , Π΄Π»ΠΈΠ½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡŽ модуля числа k ΠΈ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° . ΠŸΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ Β ΠΈ  сонаправлСны, Ссли k большС Π»ΠΈΠ±ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 0, ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½Ρ‹, Ссли k мСньшС 0.

Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ записали Π΄Π²Π° слСдствия ΠΈΠ· опрСдСлСния:

ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Β Π½Π° ноль, Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ ;

Π½Π΅Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Β ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°Ρ€Π΅Π½ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρƒ, Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Β Π½Π° число k.

Π˜ΡΡ…ΠΎΠ΄Ρ ΠΈΠ· Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° число ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°Π΅Ρ‚ трСмя свойствами, ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠΎΡ‡Π΅Ρ‚Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ ΠΈ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ€Π°ΡΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρ‹.

Они ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΡŽΡ‚ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡ‚ΡŒ прСобразования Π² выраТСниях, содСрТащих суммы, разности Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΈ произвСдСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Π½Π° числа, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ Π² числовых выраТСниях.

ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° ΠΈ свойства умноТСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° число ΠΈ ΠΈΡ… ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° стандартных заданиях

ΠŸΡ€ΠΈ ΠΎΠ±ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ ΠΈ Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ΅ Π² ΡΡ‚Π°Ρ€ΡˆΠΈΡ… классах срСднСй ΡˆΠΊΠΎΠ»Ρ‹, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π² Π²Ρ‹ΡΡˆΠΈΡ… ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½Ρ‹Ρ… завСдСниях постоянно приходится ΡΡ‚Π°Π»ΠΊΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ с понятиСм Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°. УчащиСся ΠΈ студСнты обязаны ΡƒΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ с Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉΡˆΠΈΠ΅ арифмСтичСскиС дСйствия.

Π’ ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΠ΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΈΡ… Π½Π° постоянныС числа.

ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ понятия ΠΈ опрСдСлСния

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π² дальнСйшСм ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρƒ со ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΡ‘ΠΉ, Π²Π²Π΅Π΄Ρ‘ΠΌ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠΈ ΠΈ договорённости:

  1. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΡΠ½Π½Π°Ρ β€” любоС ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎΠ΅ число, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‘Π½Π½Ρ‹Π΅ фиксированныС значСния, Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ, ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ Π½ΡƒΠ»Π΅Π²Ρ‹ΠΌ. ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ латинской Π±ΡƒΠΊΠ²ΠΎΠΉ Π‘ (ΠΎΡ‚ грСчСского слова constanta, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ постоянная).
  2. Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ β€” участок прямой, ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ двумя Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅. ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΊΠ°ΠΊ (АВ). ΠŸΡ€ΠΈΡ‡Ρ‘ΠΌ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°, А являСтся Π΅Π³ΠΎ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎΠΌ, Π’ β€” ΠΊΠΎΠ½Ρ†ΠΎΠΌ. НаправлСниС Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, А ΠΊ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Π’. Допустима Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Π° Π½Π° (CD).
  3. Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ (ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°Ρ€Π½Ρ‹ΠΌΠΈ), Ссли ΠΎΠ½ΠΈ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ Π½Π° ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°Ρ€Π½Ρ‹Ρ… прямых ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ прямой.
  4. НулСвым Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ называСтся Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ, Ρƒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ† ΠΈ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡŽΡ‚. НазываСтся Π½ΡƒΠ»ΡŒ-Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ΠΈ обозначаСтся (0).
  5. ΠšΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°ΠΌΠΈ (АВ) Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ числа, Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Π΅ Π΅Π³ΠΎ протяТённости ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΠΈΠ· оси ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ Π² Π”Π΅ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΎΠ²ΠΎΠΉ систСмС. Они находятся Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ Π΅Π³ΠΎ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π°. Π—Π½Π°ΠΊ минус ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄ этим числом ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ² направлСния Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ оси.
  6. ΠœΠΎΠ΄ΡƒΠ»Π΅ΠΌ (АВ) называСтся Π΄Π»ΠΈΠ½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° АВ.
  7. ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· числа ΠΈΠ»ΠΈ выраТСния условимся ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ латинским буквосочСтаниСм SQRT.
  8. (АВ) с ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°ΠΌΠΈ (x, y, z) Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ (АВ) (x, y, z).

Π­Ρ‚ΠΎ интСрСсно: Как Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ чисСл Π² ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅?

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° умноТСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° число

Рассмотрим, ΠΊΠ°ΠΊ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π½Π° число:

  1. ΠŸΡ€Π΅ΠΆΠ΄Π΅ всСго ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΠΏΠΎΡΡ‚ΠΎΡΠ½Π½ΡƒΡŽ мСняСтся Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠ΅.
  2. Если constanta большС -1, Π½ΠΎ мСньшС 1, Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ (АВ) ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠΈΡ‚ΡΡ. ΠŸΡ€ΠΎΡ‰Π΅ говоря β€” ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ станСт ΠΊΠΎΡ€ΠΎΡ‡Π΅.
  3. Если постоянная Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ, Π‘=0, Ρ‚ΠΎ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠΌ вычислСний окаТСтся (0).
  4. Для умноТСния (АВ) (x, y, z) Π½Π° Π½Π΅ΠΊΡƒΡŽ ΠΏΠΎΡΡ‚ΠΎΡΠ½Π½ΡƒΡŽ, Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ с этой постоянной. ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡΡ (А1Π’1) (Π‘*x, Π‘*y, Π‘*z).

Π˜Π½Ρ‚Π΅Ρ€Π΅ΡΠ½ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‚ΡŒ: ΠœΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ числа Π² ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅.

АлгСбраичСский ΠΈ гСомСтричСский смысл дСйствия

Π›ΡŽΠ±ΠΎΠ΅ матСматичСскоС дСйствиС ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π½Π΅ΠΊΠΈΠΉ смысл, ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Ρ‘ΠΌ Π² Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Ρ… Π½Π°ΡƒΠΊΠ°Ρ… ΠΎΠ½ различаСтся. Рассмотрим, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°ΠΌ Π΄Π°Ρ‘Ρ‚ этот Π²ΠΈΠ΄ умноТСния:

  1. ГСомСтричСский смысл: (АВ)*Π‘ β€” это Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€, ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°Ρ€Π½Ρ‹ΠΉ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ, ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ отличаСтся Π² Π‘ Ρ€Π°Π· ΠΎΡ‚ исходного, Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒΡΡ Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠ΅ Π² зависимости ΠΎΡ‚ Π·Π½Π°ΠΊΠ° постоянной.
  2. АлгСбраичСский смысл: (АВ) (x, y, z)*Π‘ β€” это Π½ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ (А1Π’1) с ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°ΠΌΠΈ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌΠΈ (Π‘*x, Π‘*y, Π‘*z).
  3. ЀизичСский смысл: ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠ»ΠΈ ΡƒΠ²Π΅Π»ΠΈΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Π‘ Ρ€Π°Π· силы Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Π½Π° Ρ‚Π΅Π»ΠΎ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ.

Π­Ρ‚ΠΎ интСрСсно: ΠΊΠ°ΠΊ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ…Ρ‡Π»Π΅Π½?

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ умноТСния

ΠŸΡ€ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅ всСго ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π·Π°Ρ€Π°Π½Π΅Π΅ Π·Π°ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Π½Π° ΠΏΠ°ΠΌΡΡ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π²ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎ ΡˆΠ°Π±Π»ΠΎΠ½Ρƒ, выполняя дСйствия Π±ΡƒΠΊΠ²Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π½Π° ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠΌ Π°Π²Ρ‚ΠΎΠΌΠ°Ρ‚Π΅:

  • Π‘*(АВ) (x, y, z) = (А1Π’1) (Π‘*x, Π‘*y, Π‘*z).
  • 0*(АВ) = (0).

Для Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° Π²ΠΎΠ·ΡŒΠΌΡ‘ΠΌ Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ воздСйствия силы Π½Π° ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ. ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Π½Π° Π½Π΅Ρ‘ дСйствуСт сила, описываСмая (АВ) (57,63,28). Как измСнится эта сила ΠΏΠΎ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈ Π΅Ρ‘ дСсятикратном ΡƒΠ²Π΅Π»ΠΈΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ?

ΠŸΡ€Π΅ΠΆΠ΄Π΅ всСго слСдуСт ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ воздСйствия силы Π½Π΅ измСнится, Π° сама сила возрастёт дСсятикратно. ΠŸΡ€ΠΈ раскладкС ΠΏΠΎ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°ΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅:

10*(АВ) (57,63,28) = (А1Π’1) (10*57,10*63,10*28) = (А1Π’1) (570,630,280).

Π’Ρ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ Π²ΠΎΠ·ΡŒΠΌΡ‘ΠΌ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½ΡƒΡŽ: ΠΊΠ°ΠΊ измСнится сила, Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ Π½Π° ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Ρ‚Π΅Π»ΠΎ, описываСмая (АВ) (46,59,-43) ΠΏΡ€ΠΈ Π΅Ρ‘ ΡƒΠ²Π΅Π»ΠΈΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ Π² -0,5 Ρ€Π°Π·Π°.

ΠŸΡ€Π΅ΠΆΠ΄Π΅ всСго Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π·Π½Π°ΠΊ Ρƒ постоянной ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ самой силы измСнится Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠ΅. Π’ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΡΡ ΠΏΡƒΠ½ΠΊΡ‚ΠΎΠΌ 2 Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ΠΈΠ·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ» умноТСния, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° сразу станСт понятно, Ρ‡Ρ‚ΠΎ числСнноС Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ силы ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠΈΡ‚ΡΡ Π²Π΄Π²ΠΎΠ΅. ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Ρ‘ΠΌ вычислСния ΠΏΠΎ ΡˆΠ°Π±Π»ΠΎΠ½Ρƒ:

-0,5*(АВ) (46,59,-43) = (А1Π’1) (-0,5*46,-0,5*59,-0,5*(-43)) = (А1Π’1) (-23,-29,5,21,5).

Π‘Π»Π΅Π΄ΡƒΠ΅Ρ‚ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Ρ‘Π½Π½Ρ‹Π΅ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Π»ΠΈΡΡŒ для Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ², Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ‰Ρ‘Π½Π½Ρ‹Ρ… Π² пространствС ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰ΠΈΡ… Ρ‚Ρ€ΠΈ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹. Π’ случаС плоскостного размСщСния количСство ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ°Π΅Ρ‚ΡΡ Π΄ΠΎ Π΄Π²ΡƒΡ…, Π° Π² случаС Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ β€” Π΄ΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ. Рассмотрим матСматичСскиС ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ для этих случаСв:

  • 33*(CD) (11,10) = (C1D1) (33*11,33*10) = (C1D1) (363,330).
  • -0,2*(АВ) (-0,3,25) = (А1Π’1) (-0,2*(-0,3), -0,2*25) = (А1Π’1) (0,06, -5).
  • 67*(CD) (2) = (C1D1) (67*2) = (C1D1) (134).
  • 0*(АВ) (65,-87) = (0).

Π’ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ дСйствия с Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ

НС слСдуСт Π΄ΡƒΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ всС Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ дСйствия ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ умноТСниям Π½Π° число. ΠŸΡ€Π΅ΠΆΠ΄Π΅ всСго ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ (АВ) β€” ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ. Он Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π²Π½ΡΡ‚ΡŒΡΡ SQRT ΠΈΠ· суммы ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚. Поясним это Π½Π° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅:

  • ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ (АВ) (3,4) = SQRT (3 2+ 4 2) = SQRT (9 + 16) = SQRT25 = 5.

ΠšΡ€ΠΎΠΌΠ΅ этого, ΠΈΠ· курса школьной ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ ΠΈ Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠΈ извСстно, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ»Π°Π³Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ с Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌ ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ ΠΈΠ· Π΄Ρ€ΡƒΠ³Π°. ΠŸΡ€ΠΈ этом проводится слоТСниС ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚.

НаконСц, Π²Ρ‹ΡΡˆΠ°Ρ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° Π²Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ понятия числового (скалярного) ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ умноТСния Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ². Π’ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΌ случаС получится Π½Π΅ΠΊΠΎΠ΅ число, Π²ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ β€” Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΠΈΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€, Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ пСрпСндикулярно плоскости, содСрТащСй Π΄Π²Π° ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Ρ….

Π’ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ‹ основы умноТСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° число. Π˜ΡΡ…ΠΎΠ΄Ρ ΠΈΠ· Π΅Ρ‘ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Π°, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ дСйствиС это простоС ΠΈ доступноС Π»ΡŽΠ±ΠΎΠΌΡƒ ΡˆΠΊΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΡƒ с ΡƒΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅Ρ‚Π²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΡƒΡΠΏΠ΅Π²Π°Π΅ΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ. РСкомСндуСтся ΠΈΠ·ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΈ Π² своих вычислСниях Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎ ΠΈΠ·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ Π² тСкстС ΡˆΠ°Π±Π»ΠΎΠ½Ρƒ.

Как ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π½Π° число ΠΈ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ Π² Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅

Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ Π½Π° число (ΡΠΊΠ°Π»ΡΡ€Π½ΡƒΡŽ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ).
Π§Ρ‚ΠΎ получится Π² Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅? Π›Π΅Π³ΠΊΠΎ Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊ:
\[ \large \boxed { Β \text{Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€} \cdot \text{число} = \text{Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€} } \]

Π’ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ² Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π½Π° число, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ Π½ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€.

Как ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π½Π° число

УмноТая Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π½Π° число, измСняСм Π΅Π³ΠΎ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ.

Как измСнится Π΄Π»ΠΈΠ½Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°

Π”Π»ΠΈΠ½Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° увСличиваСтся, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° число ΠΏΡ€Π΅Π²Ρ‹ΡˆΠ°Π΅Ρ‚ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρƒ (ΠΏΠΎ ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŽ).
Если ΠΆΠ΅, число мСньшС Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹ (ΠΏΠΎ ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŽ), Π΄Π»ΠΈΠ½Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ°Π΅Ρ‚ΡΡ.

Когда:
β€” число ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅, Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ сонаправлСн с Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ.
β€” число ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅, Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ развСрнСтся Π² ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡƒΡŽ сторону.

Рис. 1. Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ΠΈ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹ умноТСния Π΅Π³ΠΎ Π½Π° числа 2,5; -2,5; ΠΈ 0,5; -0,5

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅:
ΠžΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΡ умноТСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° число Π½Π΅ ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡ€Π°Ρ‡ΠΈΠ²Π°Π΅Ρ‚ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π½Π° ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ-Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ полоТСния. Π’ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ, Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΈ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ останутся ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ.

Когда извСстны ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°

Зная ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π΅Π³ΠΎ Π½Π° число ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Π½Π° это число.

​\( \vec{a} = \{ a_{x}; a_{y}\} \)​ β€” ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° \( \vec{a}\)
​\[ \large \boxed { k \cdot \vec{a} = \{ k \cdot a_{x}; k \cdot a_{y} \} }\]​

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ ΠΈΠ· Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠΈ

Одним ΠΈΠ· ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ² умноТСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° число Π² Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΡΠ»ΡƒΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ ΠΡŒΡŽΡ‚ΠΎΠ½Π°.
Π”ΠΎΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ² ΠΎΠ±Π΅ части Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Π° ΠΡŒΡŽΡ‚ΠΎΠ½Π° Π½Π° массу Ρ‚Π΅Π»Π°, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ
\[ m \cdot \vec{a} = \vec{F} \]
Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ² массу этого Ρ‚Π΅Π»Π° – скаляр \( m \), Π½Π° ускорСниС Ρ‚Π΅Π»Π° – Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ \( \vec{a} \), ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ Π½ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ \( m \cdot \vec{a} \). Π­Ρ‚ΠΎΡ‚ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΠΌ символом \( \vec{F} \) ΠΈ Π½Π°Π·ΠΎΠ²Π΅ΠΌ силой.
Π‘ΠΈΠ»Π°, Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ Π½Π° Ρ‚Π΅Π»ΠΎ, ΠΏΡ€ΠΈΠ΄Π°Π΅Ρ‚ Π΅ΠΌΡƒ ускорСниС.

Рис. 2. Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ускорСния a ΠΈ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ умноТСния Π΅Π³ΠΎ Π½Π° число m

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° \( m \cdot \vec{a} = \vec{F} \) записана Π² Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅. Вакая запись ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ€Π΅Ρ‡ΡŒ ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ Π½Π΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎ модулях (Π΄Π»ΠΈΠ½Π°Ρ…) Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ². Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹ΠΉ Π²ΠΈΠ΄ позволяСт ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΡŽ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°.
Как ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‡Π΅Π½ΠΎ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅, ΠΌΡ‹ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ²Π΅Ρ€Π½ΡƒΡ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π½Π° ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ-Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ полоТСния, умноТая Π΅Π³ΠΎ Π½Π° число. ПослС умноТСния измСнится лишь Π΄Π»ΠΈΠ½Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°.
Π—Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ \( \vec{F} \) ΠΈ \( \vec{a} \) сонаправлСны, Π½ΠΎ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½ΡƒΡŽ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ. Π”Π»ΠΈΠ½Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² отличаСтся Π² \( m \) Ρ€Π°Π·.

Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²


Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ — Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅? Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π²Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚.

Π•ΡΡ‚ΡŒ Π΄Π²Π° ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½Ρ‹Ρ… опрСдСлСния умноТСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Π² Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ — скаляр, Π° Π² Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΌ — ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€. НСт ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ дСлСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ². Π’ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΡˆΠΊΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡ‹ Π²Ρ‹ встрСтитС скалярныС произвСдСния, Π½ΠΎ Π½Π΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ‚ΠΎΠ², Π½ΠΎ ΠΌΡ‹ обсуТдаСм ΠΎΠ±Π° Ρ‚ΠΈΠΏΠ° умноТСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Π² Π² этой ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π΄Π°Ρ‚ΡŒ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠ΅ прСдставлСниС ΠΎΠ± основах ΡΡƒΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚

БкалярноС ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅

БкалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ $ {\ bf u} = (u_1, u_2, u_3) $ ΠΈ $ {\ bf v} = (v_1, v_2, v_3) $ являСтся скаляром, опрСдСляСмым ΠΊΠ°ΠΊ $$ {\ bf u.2 \ quad (2), $$ ΠΈ Ссли $ {\ bf i, j, k} $ — Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ вдоль оси Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° $$ {\ bf i.i} = {\ bf j.j} = {\ bf k.k} = 1, \ quad {\ rm ΠΈ} \ quad {\ bf i.j} = {\ bf j.k} = {\ bf k.i} = 0 \ quad (3). $$ Π­Ρ‚ΠΎ оставлСно Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŽ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΠ· опрСдСлСния, Ρ‡Ρ‚ΠΎ $$ {\ bf u.v} = {\ bf v.u}, \ {\ rm ΠΈ} \ ({\ bf u + v}). {\ bf w} = {\ bf u.w} + {\ bf v.w}. $$ Π­Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€ΡΡ‚ΡŒ ΠΈΠ»ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ $$ {\ bf u.v} = (u_1 {\ bf i} + u_2 {\ bf j} + u_3 {\ bf k}). (v_1 {\ bf i} + v_2 {\ bf j} + u_3 {\ bf k}) $$ Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π΄Π΅Π²ΡΡ‚ΡŒ Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½ΠΎΠ². Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ (3), ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΈΠ· этих Ρ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ ноль, Π° ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ‚Ρ€ΠΈ Π΄Π°ΡŽΡ‚ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ $ u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3 $ Π² соотвСтствии с ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π² ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ (1).{-1} \ left ({{\ bf u.v} \ over | {\ bf u} ||| {\ bf v} |} \ right) \ quad (7). $$ Π’ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… измСрСниях ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΈΠ½Ρ‚ΡƒΠΈΡ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠ΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡƒΠ³Π»Π° с Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ зрСния ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΎΡ‚Π°, Π½ΠΎ Π² Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ высокиС Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡƒΠ³Π»Π° Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° (7). Если ΠΌΡ‹ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌ эту Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ для опрСдСлСния ΡƒΠ³Π»Π°, Ρ‚ΠΎ ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ косинуса слСдуСт прямо, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΠΎΠ½ΠΈ эквивалСнтны.

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°-строки ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°-столбца Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ опрСдСляСтся Π² Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Ρ… скалярного произвСдСния, ΠΈ это согласуСтся с ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅.$$ (u_1 \ u_2 \ u_3) \ left (\ begin {array} {cc} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \ end {array} \ right) = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3. $$

Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅

Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ $ {\ bf b} $ ΠΈ $ {\ bf c} $, записываСмыС ΠΊΠ°ΠΊ $ {\ bf b} \ times {\ bf c} $ (ΠΈ ΠΈΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ крСстом product), это Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ $$ {\ bf b} \ times {\ bf c} = \ left ( \ begin {array} {cc} b_2c_3-b_3c_2 \\ b_3c_1 -b_1c_3 \\ b_1c_2 -b_2c_1 \ end {array} \ right) \ quad (8). $$ БущСствуСт Π°Π»ΡŒΡ‚Π΅Ρ€Π½Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠ΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ произвСдСния, Π° ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ $ {\ bf b} \ times {\ bf c} $ являСтся Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ $ | {\ bf b} || {\ bf c} | \ sin \ theta $ пСрпСндикулярно $ {\ bf b} $ ΠΈ $ {\ bf c} $ ΠΈ ΠΏΠΎΠ΄Ρ‡ΠΈΠ½ΡΡΡΡŒ «ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Ρƒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΉ Ρ€ΡƒΠΊΠΈ», ΠΈ Π΄ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ этот Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ слСдуСт ΠΈΠ· Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ опрСдСлСния ΠΈ Ρ‡Ρ‚ΠΎ эти Π΄Π²Π° опрСдСлСния эквивалСнтны.ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ ΠΏΠΎΠ·ΠΆΠ΅ для ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡ‚Ρ‹, Π½ΠΎ сначала ΠΌΡ‹ рассмотрим $ {\ bf b} \ times {\ bf c} $ выраТаСтся Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Ρ‹ Π² направлСниях $ {\ bf i, j, k} $.

Из этого опрСдСлСния Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ $ {\ bf b} \ times {\ bf c} = — {\ bf c} \ times {\ bf b} $, поэтому эта опСрация Π½Π΅ ΠΊΠΎΠΌΠΌΡƒΡ‚Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½Π°. Если $ {\ bf i, j, k} $ — Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ вдоль осСй, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈΠ· этого опрСдСлСния: $$ {\ bf i} \ times {\ bf i} = {\ bf j} \ times {\ bf j} = {\ bf k} \ times {\ bf k}, $$ ΠΈ $$ \ eqalign {{\ bf i} \ times {\ bf j} & = {\ bf k}, \ quad {\ bf j} \ times {\ bf i} = — {\ bf k} \ cr {\ bf j} \ times {\ bf k} & = {\ bf i}, \ quad {\ bf k} \ times {\ bf j} = — {\ bf i} \ cr {\ bf k} \ times {\ bf i} & = {\ bf j}, \ quad {\ bf i} \ times {\ bf k} = — {\ bf j}.} $$ Из опрСдСлСния слСдуСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ $$ k ({\ bf b} \ times {\ bf c}) = (k {\ bf b}) \ times {\ bf c} = {\ bf b} \ times (k {\ bf c}), \ quad \ quad ({\ bf a + b}) \ times {\ bf c} = ({\ bf a} \ times {\ bf c}) + ({\ bf b} \ times {\ bf c}). $$ Π Π°ΡΡˆΠΈΡ€Π΅Π½ΠΈΠ΅ выраТСния $$ {\ bf b} \ times {\ bf c} = (b_1 {\ bf i} + b_2 {\ bf j} + b_3 {\ bf k}) \ times (c_1 {\ bf i} + c_2 {\ bf j} + c_3 {\ bf k}) $$ Π΄Π°Π΅Ρ‚ $$ (b_2c_3-b_3c_2) {\ bf i} + (b_3c_1-b_1c_3) {\ bf j} + (b_1c_2-b_2c_1) {\ bf k} \ quad (9) $$ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ — Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° для Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ произвСдСния, заданная Π² ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ (8).

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΌΡ‹ Π΄ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Π²Π° опрСдСлСния умноТСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² эквивалСнт. На схСмС ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Ρ‹ направлСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² $ {\ bf b} $, $ {\ bf c} $ ΠΈ $ {\ bf b} \ times {\ bf c} $, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΡŽΡ‚ ΠΏΡ€Π°Π²ΡƒΡŽ Π²Ρ€ΡƒΡ‡ΠΈΠ» Π½Π°Π±ΠΎΡ€ Β».

Π’Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚Π΅Π½ΠΈΠ΅ здСсь, ΠΈ это Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ большС Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π΄Π²Π° опрСдСлСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ‚, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ ΠΊΠ°ΠΊ эквивалСнтный, Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ мСханичСски ΠΏΡ€ΠΎΡ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Π΄Π΅Ρ‚Π°Π»ΠΈ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π°.

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² $ {\ bf b} $ ΠΈ $ {\ bf c} $ являСтся Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ $ {\ bf b} \ times {\ bf c} $ со ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌΠΈ свойствами:

(i) $ {\ bf b} \ times {\ bf c} $ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° $ | {\ bf b} || {\ bf c} | \ sin \ theta $, Π³Π΄Π΅ $ \ theta $ — ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ направлСниями $ {\ bf b} $ ΠΈ $ {\ bf c} $;

(ii) $ {\ bf b} \ times {\ bf c} $ — это пСрпСндикулярно $ {\ bf b} $ ΠΈ $ {\ bf c} $ с Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ $ {\ bf b} $, $ {\ bf c} $ ΠΈ $ {\ bf b} \ times {\ bf c} $ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΡŽΡ‚ ΠΏΡ€Π°Π²Ρ‹ΠΉ Π½Π°Π±ΠΎΡ€, ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π° схСмС, Ρ‚Π°ΠΊ Ρ‡Ρ‚ΠΎ $ {\ bf b} \ times {\ bf c} $ ΠΈ $ {\ bf c} \ times {\ bf b} $ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½Ρ‹ Π² ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ стороны. 2 $.2} \ cr & = | {\ bf b} \ times {\ bf c} |. } $$

Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ части (ii) ΠšΠΎΠΌΡƒ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ $ {\ bf b} $ ΠΈ $ {\ bf b} \ times {\ bf c} $ пСрпСндикулярны ΠΏΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ скалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Π½ΡƒΠ»ΡŽ: $$ {\ bf b}. {\ bf b} \ times {\ bf c} = b_1 (b_2c_3-b_3c_2) + b_2 (b_3c_1-b_1c_3) + b_3 (b_1c_2-b_2c_1) = 0, $$ ΠΈ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½ΠΎ скалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ $ {\ bf c} $ ΠΈ $ {\ bf b} \ times {\ bf c} $ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π½ΡƒΠ»ΡŽ, поэтому эти Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ пСрпСндикулярны.


ΠžΠ±ΡŠΡΡΠ½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ°: скалярноС ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹

Π’ этом пояснитСлС ΠΌΡ‹ ΡƒΠ·Π½Π°Π΅ΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π½Π° скаляр ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π² НаправлСниС любой Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΠΌ дСлСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° скаляр.

Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ — это Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π°, которая ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΊΠ°ΠΊ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π‘ΠΎΡ‡Π΅Ρ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ этих Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π΄Π΅Π»Π°Π΅Ρ‚ vector — ΡƒΠ½ΠΈΠ²Π΅Ρ€ΡΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ инструмСнт, ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰ΠΈΠΉ мноТСство ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ. НСсколько ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ² Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Ρ‚ΡŒ описаниС полоТСния Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π² пространство ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΈ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ°ΡŽΡ‰Π΅Π΅ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ двиТущСгося Ρ‚Π΅Π»Π°.

Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ часто Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ связью ΠΈΡ… с Π½Π°Π±ΠΎΡ€ΠΎΠΌ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ ΠΈ, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ большС Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚. А Π’Ρ€Π΅Ρ…ΠΌΠ΅Ρ€Π½Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ⃑𝑉 часто выраТаСтся Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π΄Π΅ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΎΠ²Ρ‹ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ π‘₯, 𝑦 ΠΈ 𝑧, ⃑𝑉 = (π‘₯, 𝑦, 𝑧), ΠΈΠ»ΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹, ⃑𝑉 = π‘₯⃑𝑖 + 𝑦⃑𝑗 + π‘§βƒ‘π‘˜.

Π’ ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ΅ ΠΎΡ‚ этого, скаляр — это Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π°, ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰Π°Ρ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ Π½ΠΎ Π½Π΅Ρ‚ направлСния. Бкаляр часто ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΡƒ Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€Ρƒ, Π±Π΅Π· Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΠΈ.

Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π΄Π²Π° скаляра вмСстС просто, Π½ΠΎ Π² этом пояснСнии ΠΌΡ‹ собираСмся ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ скалярноС ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€. Как слСдуСт ΠΈΠ· названия, это Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅Ρ‚ Π² сСбя ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° скаляр.

Рассмотрим частицу, Π΄Π²ΠΈΠΆΡƒΡ‰ΡƒΡŽΡΡ со ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ. Если частица ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠ°Π΅Ρ‚ Π΄Π²ΠΈΠ³Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π² Ρ‚ΠΎΠΌ ΠΆΠ΅ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ, Π½ΠΎ Π΅Π΅ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ удваиваСтся ΠΏΠΎ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π΅, ΠΊΠ°ΠΊ это ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ? ΠŸΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΎΠΉ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ — 2⃑𝑉.ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΠΌΡ‹ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ»ΠΈ скаляр Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€, это ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ скалярного умноТСния.

Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ посмотрим, ΠΊΠ°ΠΊ это соотносится с ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Π°ΠΌΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°.

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅: скалярноС ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅

Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ скаляра Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ извСстно ΠΊΠ°ΠΊ скалярноС ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅.

Рассмотрим Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ⃑𝑉 ΠΈ скаляр π‘˜: ⃑𝑉 = (π‘₯, 𝑦, 𝑧).

ΠŸΡ€ΠΈ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ скалярного умноТСния скаляр ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°ΡΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Π°ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°: π‘˜βƒ‘π‘‰ = π‘˜ (π‘₯, 𝑦, 𝑧) = (π‘˜π‘₯, π‘˜π‘¦, π‘˜π‘§).

Π Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠΌ скалярного умноТСния Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ являСтся Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€, Π³Π΄Π΅ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° исходного Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° умноТаСтся Π½Π° Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅, прСдставлСнноС скаляром.

ΠœΡ‹ рассмотрим простой ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, ΠΏΡ€Π΅ΠΆΠ΄Π΅ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΊ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΈΠ½Ρ‚ΡƒΠΈΡ‚ΠΈΠ²Π½Ρ‹ΠΌ интСрпрСтациям скалярного умноТСния.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1: Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡƒΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° скаляр

Учитывая, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ⃑𝐴 = (- 1, βˆ’8), Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ 3⃑𝐴.

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚

На этот вопрос Π½Π°ΠΌ Π΄Π°Π»ΠΈ Π΄Π²ΡƒΠΌΠ΅Ρ€Π½Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ΠΈ попросили произвСсти ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΡΠΊΠ°Π»ΡΡ€Π½ΡƒΡŽ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ. ΠΈΠ· 3.

Для этого ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ просто ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ π‘₯ Π° 𝑦-ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ скаляр: 3⃑𝐴 = 3 (βˆ’1, βˆ’8) = (3 (βˆ’1), 3 (βˆ’8)) = (- 3, βˆ’24).

ПослС Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ упрощСния ΠΌΡ‹ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ наш Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ прСдставляСт собой Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ с π‘₯ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚ βˆ’3 ΠΈ 𝑦 ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰Π°Ρ βˆ’24.

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ 3⃑𝐴 ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ ⃑𝐴, Π½ΠΎ Π΅Π³ΠΎ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ большС, послС Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ 3.

Вопрос Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π½Π°ΠΌ числовой ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ скалярного умноТСния Π½Π° ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число. ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ часто прСдставлСны Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ стрСлок, Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ рассмотрим нСсколько наглядных ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ².

Как ΠΌΡ‹ Π²ΠΈΠ΄Π΅Π»ΠΈ, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ скаляр Π½Π΅ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°, Π½ΠΎ ΠΌΠ°ΡΡˆΡ‚Π°Π±ΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚ Π΅Π³ΠΎ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ.

Рассмотрим Π²ΠΈΠ·ΡƒΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ прСдставлСниС Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ⃑𝑉, ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ… скалярного умноТСния.

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ (A) Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡ‹.Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ⃑𝑉 Π½Π° 1 даст Π½Π°ΠΌ Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΆΠ΅ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ исходный Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€, ΠΈ Π΅Π³ΠΎ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° Π½Π΅ измСнится; ΠΎΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ, умноТая Π½Π° 3 ΡƒΠ²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ»ΠΎ Π±Ρ‹ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ Π² 3 Ρ€Π°Π·Π°.

Π Π°Π·Π΄Π΅Π» (B) Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число Π½Π΅ измСняСт Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ . Рассмотрим ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉΡˆΠΈΠΉ случай, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ⃑𝑉 умноТаСтся Π½Π° -1. Π’Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ останСтся Π½Π΅ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ, Π½ΠΎ Π΅Π³ΠΎ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ всС ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Ρ‹ ΠΏΠΎΠΌΠ΅Π½ΡΡŽΡ‚ Π·Π½Π°ΠΊ: ⃑𝑉 = (π‘₯, 𝑦) βˆ’βƒ‘π‘‰ = (- π‘₯, βˆ’π‘¦).

Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число, ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ΅ ΠΎΡ‚ -1 ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠ°ΡΡˆΡ‚Π°Π±ΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°.

НаконСц, для Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π° (C) Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡ‹ ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ скалярноС ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ ограничиваСтся Ρ†Π΅Π»Ρ‹ΠΌΠΈ числами ΠΈΠ»ΠΈ числами ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ большС 1. Если Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° скаляра мСньшС 1, скалярноС ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Ρ‚ ΠΊ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρƒ с мСньшСй Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½ΠΎΠΉ (ΠΈΠ»ΠΈ мСньшСй Π΄Π»ΠΈΠ½ΠΎΠΉ), Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΡ€ΠΈΠ³ΠΈΠ½Π°Π».

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 2: ГрафичСскоС ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡƒΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° скаляр

⃑𝐴 прСдставлСн Π½Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΌ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅.

Какой ΠΈΠ· ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ² прСдставляСт βˆ’2⃑𝐴?

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚

Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ сначала рассмотрим ΠΌΠ΅Π½Π΅Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ этой ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡ‹.

Вопрос Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π½Π°ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ⃑𝐴 ΠΈ просит нас Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ΡŒ скаляр ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° коэффициСнт βˆ’2. Π‘ ΠΌΡ‹ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ Π΄Π΅Π»ΠΎ с ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ скаляром, ΠΌΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ эта опСрация ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ нашСго исходного Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°.

Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ⃑𝐴 ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ Π² исходной Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ ΠΈ Π΅Π΅ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Π² Π²Π΅Ρ€Ρ…Π½Π΅ΠΌ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΌ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Π½Ρ‚Π΅.Если Π±Ρ‹ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π±Ρ‹Π» Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π½Π°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ с Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ (ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π²ΠΎ всСх Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚Π°Ρ…), ΠΌΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΅Π³ΠΎ конСчная Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ Π²Π½ΠΈΠ·Ρƒ слСва ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Π½Ρ‚, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅.

ЕдинствСнный Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ соотвСтствуСт этому описанию, — это Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ (Π°), ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊ Ρ‡Ρ‚ΠΎ каТСтся, Ρ‡Ρ‚ΠΎ это ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚.

ΠœΡ‹ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ нашСго скаляра. Π‘ | βˆ’2 | = 2, Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ получаСтся ΠΈΠ· нашСго скалярного ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ ΡƒΠ΄Π²ΠΎΠ΅Π½Π½ΡƒΡŽ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ ΠΎΡ€ΠΈΠ³ΠΈΠ½Π°Π»Π°.Π’ΠΈΠ·ΡƒΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎ осматривая Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ (Π°), каТСтся, Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Π΄Π΅Π»ΠΎ!

Для дальнСйшСй ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΊΠΈ нашСго Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΏΠΎΠ΄Ρ…ΠΎΠ΄. ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠ² сначала Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ⃑𝐴. ΠžΡ‚ нашСго Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ, ΠΌΡ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° ⃑𝐴 — Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚, ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰Π΅Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ (0,0), Π° ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ† Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ (1,1). ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° слСдуСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ⃑𝐴 = (1,1) — (0,0) = (1,1).

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ‹ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠ»ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ⃑𝐴, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ΡŒ скалярноС ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ: βˆ’2⃑𝐴 = βˆ’2 (1,1) = (- 2 (1), — 2 (1)) = (- 2, βˆ’2).

Как ΡƒΠΆΠ΅ ΡƒΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°Π»ΠΎΡΡŒ, всС Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚Ρ‹ с мноТСствСнным Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€ΠΎΠΌ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Ρƒ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ, Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°ΡŽΡ‚ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ начинаСтся Π² Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚. Если Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ (βˆ’2, βˆ’2), начинаСтся Π² Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚, Π΅Π³ΠΎ конСчная Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π² ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°Ρ… (βˆ’2, βˆ’2).

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ, ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ этому описанию, прСдставляСт собой Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ (Π°), ΠΈ, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ΄Ρ‚Π²Π΅Ρ€Π΄ΠΈΠ»ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ это ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚.

Π•Ρ‰Π΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎΠ΅ понятиС, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ связано со скалярным ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ. это Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€. ΠœΡ‹ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΡ‹ с Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ ⃑𝑖, ⃑𝑗, ΠΈ βƒ‘π‘˜.Π­Ρ‚ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ 1 Π² π‘₯-, 𝑦- ΠΈ 𝑧-направлСния соотвСтствСнно.

ЀактичСски любой Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ 1 ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€! Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π² любом Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ для любого Π½Π°Π±ΠΎΡ€Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚. Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΎΠ±ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΡ‚ΡŒ это понятиС.

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅: Π•Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹

Π•Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ — это Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€, ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ 1.

ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€, ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ ⃑𝑣, Π² Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ ⃑𝑉 Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΠ² Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π½Π° Π΅Π³ΠΎ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ: ⃑𝑣 = ⃑𝑉‖‖⃑𝑉‖‖.

Напомним, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ⃑𝑉 = (π‘₯, 𝑦, 𝑧) опрСдСляСтся Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ‖‖⃑𝑉‖‖ = √π‘₯ + 𝑦 + 𝑧.

Учитывая ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°, ΠΌΡ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ эквивалСнт матСматичСскоС ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ⃑𝑣 = ⃑𝑉‖‖⃑𝑉‖‖.

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° ‖‖⃑𝑉‖‖ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ чувства направлСния ΠΈ поэтому являСтся скаляром. Π­Ρ‚ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ 1‖‖⃑𝑉‖‖ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ являСтся скаляром.

ΠžΠ³Π»ΡΠ΄Ρ‹Π²Π°ΡΡΡŒ Π½Π° Π½Π°ΡˆΡƒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ, ΠΌΡ‹ Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½Π° Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅Ρ‚ Π² сСбя ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ скаляра 1‖‖⃑𝑉‖‖ ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ⃑𝑉.ΠŸΡ€ΠΎΡ†Π΅ΡΡ поиска ΡŽΠ½ΠΈΡ‚Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π² Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ «Частный случай» скалярного умноТСния!

ВмСсто Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π½Π° Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ скаляр, ΠΌΡ‹ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ скаляр, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ даст Π½Π°ΡˆΠ΅ΠΌΡƒ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρƒ ΠΆΠ΅Π»Π°Π΅ΠΌΡ‹ΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π°. Π’ случаС ⃑𝑉 = (π‘₯, 𝑦, 𝑧), наш расчСт ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π²Ρ‹Π³Π»ΡΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊ: ⃑𝑣 = 1‖‖⃑𝑉‖‖⃑𝑉 = 1√π‘₯ + 𝑦 + 𝑧 (π‘₯, 𝑦, 𝑧) .

ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ скалярноС ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число Π½Π΅ мСняСт направлСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°, Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π½ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΡƒΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π² Ρ‚ΠΎΠΌ ΠΆΠ΅ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ ⃑𝑉 Π½ΠΎ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ 1.Π­Ρ‚ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ⃑𝑉.

Π’ качСствС нСбольшого примСчания, Π² Ρ‚ΠΎ врСмя ΠΊΠ°ΠΊ стандартным являСтся использованиС Π°ΠΊΡ†Π΅Π½Ρ‚ с циркумфлСксом (ΠΈΠ»ΠΈ «шляпа»), Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 𝑉 для обозначСния Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°, Π²Ρ‹ ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ̂𝑖, ̂𝑗, ΠΈ Μ‚π‘˜ Π±Π΅Π· этого обозначСния. ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ эти Ρ‚Ρ€ΠΈ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ΡˆΠΈΡ€ΠΎΠΊΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ, ΠΎΠ½ΠΈ часто прСдставлСны ΠΊΠ°ΠΊ всСго ⃑𝑖, ⃑𝑗, ΠΈ βƒ‘π‘˜.

Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ посмотрим Π½Π° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ поиска Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 3: НахоТдСниС Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π² Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Ρ… исходного Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°

НайдитС Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π² Ρ‚ΠΎΠΌ ΠΆΠ΅ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ⃑𝑖 βˆ’ ⃑𝑗 βˆ’ βƒ‘π‘˜.

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚

Π­Ρ‚ΠΎΡ‚ вопрос Π΄Π°Π» Π½Π°ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ⃑𝑖 βˆ’ ⃑𝑗 βˆ’ βƒ‘π‘˜ ΠΈ попросил нас Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π² Ρ‚ΠΎΠΌ ΠΆΠ΅ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ. Π­Ρ‚ΠΎ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ 1. ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°ΠΌ Π΄Π°Π½ΠΎ наш Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ⃑𝑖, ⃑𝑗, ΠΈ βƒ‘π‘˜ Π½ΠΎ это Π½Π΅ влияСт Π½Π° ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΌΡ‹ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ.

Нашим ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΌ шагом Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ ⃑𝑖 βˆ’ ⃑𝑗 βˆ’ βƒ‘π‘˜. ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² Ρ‚ΠΎ врСмя ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Ρ‹ этого Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π² π‘₯-, 𝑦- ΠΈ 𝑧-направлСния всС Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ 1, это Π½Π΅ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ сам Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ 1: ‖‖⃑𝑖 βˆ’ ⃑𝑗 βˆ’ βƒ‘π‘˜β€–β€– = 1 + (- 1) + (- 1) = √1 + 1 + 1 = √3.

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ вспомним, Ρ‡Ρ‚ΠΎ для нахоТдСния Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ⃑𝑉, Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ Π΅Π³ΠΎ ΠΏΠΎ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π΅: ⃑𝑣 = ⃑𝑉‖‖⃑𝑉‖‖ = 1‖‖⃑𝑉‖‖⃑𝑉.

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ для Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ вопроса, поэтому ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ расчСт: 1√3⃑𝑖 βˆ’ ⃑𝑗 βˆ’ βƒ‘π‘˜ο‡ = √33⃑𝑖 βˆ’ ⃑𝑗 βˆ’ βƒ‘π‘˜ο‡.

На Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… этапах ΠΌΡ‹ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΠ±Ρ‰ΡƒΡŽ Ρ‚Π΅Ρ…Π½ΠΈΠΊΡƒ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚. Π­Ρ‚Π° Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ° ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Π° ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ΅Π½Π½ΠΎ Π²Π΅Ρ€Π½Π°, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΠΎΠ½Π° Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ°Π΅Ρ‚ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ исходному Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρƒ.

Π­ΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ² ΠΈΠ½Π΄ΠΈΠ²ΠΈΠ΄ΡƒΠ°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Ρ‹ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ΠΏΠΎ скаляру: = √33⃑𝑖 βˆ’ √33⃑𝑗 βˆ’ √33βƒ‘π‘˜.

Π’ нашСм послСднСм ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ ΠΌΡ‹ объСдиним наши Π½Π°Π²Ρ‹ΠΊΠΈ скалярного умноТСния вмСстС с Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹ΠΌΠΈ опСрациями Π² Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 4: ОбъСдинСниС скалярного умноТСния, Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹Ρ… ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΉ ΠΈ вычислСний Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°

Π”Π°Π½ΠΎ ⃑𝐴 = (2,0; βˆ’2) ΠΈ ⃑𝐡 = (1, βˆ’1,1), ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π² Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ 2⃑𝐡 βˆ’ ⃑𝐴.

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚

Π­Ρ‚ΠΎΡ‚ вопрос просит нас Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π² Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ 2⃑𝐡 βˆ’ ⃑𝐴, ΠΈ для этого Π½Π°ΠΌ понадобится Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° 2⃑𝐡 βˆ’ ⃑𝐴.

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ эту Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ, Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ сначала Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Ρ‹ 2⃑𝐡 βˆ’ ⃑𝐴.Для этого потрСбуСтся комбинация скалярных ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²: 2⃑𝐡 βˆ’ ⃑𝐴 = 2 (1, βˆ’1,1) — (2,0, βˆ’2).

ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ⃑𝐴 ΠΈ ⃑𝐡 Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΎ Π² вопросС. ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ Ρ‡Π»Π΅Π½ Π² ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΉ части — это скалярноС ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅. Бкаляр 2 ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ распрСдСлСны ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Π°ΠΌΠΈ ⃑𝐡. Π‘Π»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ это ΠΌΡ‹ смоТСм Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°: 2⃑𝐡 βˆ’ ⃑𝐴 = (2, βˆ’2,2) — (2,0, βˆ’2) = (0, βˆ’2,4).

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Ρƒ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Ρ‹ 2⃑𝐡 βˆ’ ⃑𝐴, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π΅Π³ΠΎ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ: β€–β€–2⃑𝐡 βˆ’ ⃑𝐴‖‖ = 0 + (- 2) + 4 = √0 + 4 + 16 = √20 = 2√5.

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π° нашСм послСднСм шагС ΠΌΡ‹ упростили Π½Π°ΡˆΡƒ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ взяв ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ 2 Π²Π½Π΅ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»Π°.

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ‹ нашли ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Ρ‹ 2⃑𝐡 βˆ’ ⃑𝐴 ΠΈ Π΅Π³ΠΎ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π² Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΈΠ· 2⃑𝐡 βˆ’ ⃑𝐴 примСняя ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ: ⃑𝑣 = ⃑𝑉‖‖⃑𝑉‖‖ = 1‖‖⃑𝑉‖‖⃑𝑉.

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ наш Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€, Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ 2⃑𝐡 βˆ’ ⃑𝐴 ΠΏΠΎ своСй Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π΅. Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ способ Π²Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ это — ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π°, обратная Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π΅ исходного Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°: 1β€–β€–2⃑𝐡 βˆ’ ⃑𝐴‖‖2⃑𝐡 βˆ’ ⃑𝐴 = 12√5 (0, βˆ’2,4) = √510 (0, βˆ’2,4) = ο€Ώ0, βˆ’2√510,4√510 = ο€Ώ0, βˆ’βˆš55,2√55.

ПослС Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΈΡ… шагов упрощСния ΠΌΡ‹ ΠΏΡ€ΠΈΡˆΠ»ΠΈ ΠΊ Π½Π°ΡˆΠ΅ΠΌΡƒ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Ρƒ.

Π’ качСствС послСднСго примСчания, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Π±Ρ‹ΡΡ‚Ρ€ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΊΡƒ, ΡƒΠ±Π΅Π΄ΠΈΠ²ΡˆΠΈΡΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ наш ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ являСтся Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ 1: ο„‘ο„£ο„£ο„ 0 + ο€Ώ βˆ’ √55 + ο€Ώ2√55 = ο„ž525 + 2025 = ο„ž2525 = 1.

ΠšΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎ, Π² этом случаС этот шаг нСобязатСлСн, Π½ΠΎ ΠΈΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΎΠ½ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π΅Π½ ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π΅ с Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Π΄Π»ΠΈΠ½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ расчСты.

Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ ΠΏΠΎΠ΄Ρ‹Ρ‚ΠΎΠΆΠΈΠΌ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π²Ρ‹Π΅ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρ‹, ΠΊΠ°ΡΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ΡΡ скалярного умноТСния ΠΈ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ².

ΠšΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π²Ρ‹Π΅ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρ‹

  • Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ скаляра Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ называСтся скалярным ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ.
  • ΠŸΡ€ΠΈ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ скалярного умноТСния скаляр ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ распрСдСлСны ΠΏΠΎ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Π°ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°: π‘˜βƒ‘π‘‰ = π‘˜ (π‘₯, 𝑦, 𝑧) = (π‘˜π‘₯, π‘˜π‘¦, π‘˜π‘§).
  • Π Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠΌ скалярного умноТСния Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ являСтся Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ умноТаСтся Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° исходного Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°. Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ, прСдставлСнным скаляром.
  • Когда скаляр являСтся ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ числом, Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ исходный. Когда скаляр ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ, Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ исходному.
  • Π•Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ — это Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€, Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½Π° 1.
  • ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€, ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ ⃑𝑣, Π² Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ ⃑𝑉 Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΠ² исходный Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π½Π° Π΅Π³ΠΎ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ: ⃑𝑣 = ⃑𝑉‖‖⃑𝑉‖‖ = 1‖‖⃑𝑉‖‖⃑𝑉.

Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ | ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ (Π²ΠΈΠ΄Π΅ΠΎ)

Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ Π² ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ — это Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ с двумя Π°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ±ΡƒΡ‚Π°ΠΌΠΈ: , Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° ΠΈ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ , . Π—Π΄Π΅ΡΡŒ Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°Ρ…, ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹, ΠΊΠ°ΠΊ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ Π½Π° скалярныС Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ΡƒΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ ΠΏΡƒΡ‚ΡŒ Π² Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΆΠΈΠ·Π½ΠΈ.

Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅

  1. Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅
  2. Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹ΠΉ символ
  3. Π‘Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²
  4. Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ смСщСния
  5. Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Π½Π° скаляр
  6. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹Ρ… ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ

Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅

Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ — это Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° Π² ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅, которая ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ , (расстояниС, ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈΠ»ΠΈ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€) ΠΈ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ , (ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π° стрСлкС компаса, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, Π·Π°ΠΏΠ°Π΄, Π²Π²Π΅Ρ€Ρ…, юго-восток, Π²Π½ΠΈΠ· ΠΈΠ»ΠΈ сСвСр Π½Π° сСвСро-Π·Π°ΠΏΠ°Π΄) .

ГрСбя Π½Π° Π»ΠΎΠ΄ΠΊΠ΅ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π·Π°Π»ΠΈΠ², Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΏΠΎΠ΄ΡƒΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π³Ρ€Π΅Π±Π΅Ρ‚Π΅ строго Π½Π° юг со ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ 3 ΡƒΠ·Π»Π°, Π½ΠΎ Ссли ΠΏΡ€ΠΈΠ»ΠΈΠ²Ρ‹ ΠΎΡ‚ΡΡ‚ΡƒΠΏΠ°ΡŽΡ‚, Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π΄Π²ΠΈΠ³Π°Ρ‚ΡŒΡΡ со ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ 5 ΡƒΠ·Π»ΠΎΠ² Π½Π° юго-восток.

Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ΠΈΠ»ΠΈ нСсколько Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ², Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°ΡŽΡ‰ΠΈΡ… вмСстС, Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ расстояниС, Π½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹ Π³Ρ€Π΅Π±Π΅Ρ‚Π΅, Π²Π°ΡˆΡƒ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈ вашС фактичСскоС Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅.

Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹ΠΉ символ

Для прСдставлСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ, Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠΈ ΠΈ ΠΈΠ½ΠΆΠ΅Π½Π΅Ρ€Ρ‹ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ Π»ΡƒΡ‡ΠΈ, помСчая ΠΈΡ… строчными ΠΈΠ»ΠΈ прописными Π±ΡƒΠΊΠ²Π°ΠΌΠΈ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€:

Π‘ΠΎΠ²Π΅Ρ‚Ρ‹ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ€ΠΊΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²:

  • ВсС Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΎΡ‚ хвоста (Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ) Π΄ΠΎ стрСлки, поэтому Ρƒ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ AB, Π° Π½Π΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ BA
  • Если Π²Ρ‹ ΠΌΠ°Ρ€ΠΊΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚Π΅ свои Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹, Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ прописныС ΠΈΠ»ΠΈ строчныС Π±ΡƒΠΊΠ²Ρ‹ остаСтся Π·Π° Π²Π°ΠΌΠΈ; Ссли Π²Π°ΠΌ Π·Π°Π΄Π°Π½Ρ‹ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹, ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° (посмотритС Π½Π° стрСлки)
  • Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ ΠΈ ΡƒΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹Ρ… направлСниях (посмотритС Π½Π° стрСлки)
  • Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹, Π½ΠΎ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Π² ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ стороны, ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ, поэтому Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ b Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ -a , Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Π΅Ρ‚ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ a

Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ называСтся Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ ΠΈ обозначаСтся Ρ‚Π°ΠΊ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΠΎΠΉ шляпой: v ^

Π‘Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²

ΠŸΡ€ΠΎΡΡ‚Π°Ρ вСкторная ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° Π½Π΅ слишком слоТна.

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹, ΠΌΡ‹ соСдиняСм хвост ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° с Π³ΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ стрСлку. ΠŸΡ€ΡΠΌΠΎΠ»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹ΠΉ Π»ΡƒΡ‡, ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Π΄Π²Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°, являСтся Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ r, ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π° этом рисункС:

ДобавляСм Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ CD ΠΊ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρƒ EF ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ r.

Π’ΠΎΡ‚ Π·Π°Π³Π²ΠΎΠ·Π΄ΠΊΠ°: Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π»ΠΈ эта Ρ†ΠΈΡ„Ρ€Π° Ρ‚Π΅ ΠΆΠ΅ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ прСдыдущая?

Π—Π΄Π΅ΡΡŒ ΠΌΡ‹ добавляСм Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ EF ΠΊ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρƒ CD, ΠΈ ΠΏΠΎ-ΠΏΡ€Π΅ΠΆΠ½Π΅ΠΌΡƒ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ r. Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ΠΏΠΎΠ΄Ρ‡ΠΈΠ½ΡΡŽΡ‚ΡΡ Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΆΠ΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°ΠΌ Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ Ρ†Π΅Π»Ρ‹Π΅ числа (здСсь свойство коммутативности).

Π’ Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ ΠΌΠΈΡ€Π΅ Π΄Π²Π° ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΡˆΠ΅ΡΡ‚Π²ΠΈΡ ΠΏΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Π²Π°ΠΌ ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ΅Π½Π½ΠΎ Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΠ΅ΠΉΠ·Π°ΠΆΠΈ. Π’ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Π΄Π²Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π΅ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΠΈΠ»ΠΈ своСго направлСния ΠΈΠ»ΠΈ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹, Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΠΈΠ΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ‡Π½Ρ‹: CD + EF = EF + CD = r.

Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π·Π°Π½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ всСго Π΄Π²Π° шага:

  1. ΠΈΠ½Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ Π²Ρ‹ Ρ…ΠΎΡ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Ρ‹Ρ‡Π΅ΡΡ‚ΡŒ
  2. Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ слоТитС Π΄Π²Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° вмСстС

Π’ΠΎΡ‚ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ SA ΠΈ IL, ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ€ΡˆΡ€ΡƒΡ‚, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΡ‹ Π΄ΡƒΠΌΠ°Π»ΠΈ, ΠΌΡ‹ Π΅Ρ…Π°Π»ΠΈ Π½Π° парусной Π»ΠΎΠ΄ΠΊΠ΅:

ΠœΡ‹ Π½Π΅ осознавали, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π±Ρ‹Π»ΠΎ ΡΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ; ΠΌΡ‹ Π·Π°Π±Π»ΡƒΠ΄ΠΈΠ»ΠΈΡΡŒ Π² Ρ‚ΡƒΠΌΠ°Π½Π΅; солнцС слСпило.По ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ-Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π΅, вмСсто Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρƒ IL, ΠΌΡ‹ пошли Π² Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ , ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΌ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ . ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ вмСсто Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²Π»ΡΡ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ IL, Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π΅Π³ΠΎ Π²Ρ‹Ρ‡Π΅ΡΡ‚ΡŒ. ΠœΡ‹ Π΄Π΅Π»Π°Π΅ΠΌ это, инвСртируя Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ IL ΠΈ добавляя Π΅Π³ΠΎ ΠΊ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρƒ SA:

.

SA + (-IL) = r

Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Π½Π° скаляр

Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° скаляр (Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число) называСтся скалярным ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ .

Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ состоят ΠΈΠ· Π΄Π²ΡƒΡ… частСй (Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ ΠΈ направлСния), Π½ΠΎ ΠΌΡ‹ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅.Π’ этом Π½Π΅Ρ‚ смысла: Π΄Π²Π° «юга» Π½Π΅ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‰Π΅Π½Ρ‹ Π½Π° юг, Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ «юг». Но ΠΌΡ‹, , ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π½Π° ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°:

  • Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ скаляр Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ³ΠΎ числа > 1 Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ большСго Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π°
  • Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ скаляр Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ³ΠΎ числа <-1 Π΄Π°Π΅Ρ‚ больший Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π² , ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΌ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ
  • Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° 1 Π²ΠΎΠ·Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°Π΅Ρ‚ Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΆΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ (смСщСниС 0)
  • Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π½Ρ‹ΠΉ скаляр <1 Π΄Π°Π΅Ρ‚ мСньший Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€
  • Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π½Ρ‹ΠΉ скаляр > -1 Π΄Π°Π΅Ρ‚ мСньший Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π² Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ , ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΌ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ

Π”Π²Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ Π½Π° Π΄Ρ€ΡƒΠ³Π° с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ пСрСкрСстного произвСдСния ΠΈΠ»ΠΈ скалярного произвСдСния.

ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΊΡ€Π΅ΡΡ‚Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π½ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€, Π° скалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π°Π΅Ρ‚ число, ΠΈΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° извСстноС ΠΊΠ°ΠΊ скалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅.

Π’Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°

Π’Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° отобраТаСтся ΠΊΠ°ΠΊ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅: a, ΠΈΠ»ΠΈ двумя линиями, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π΅ ΠΏΡƒΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Π΅Π³ΠΎ с Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½Ρ‹ΠΌ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ: βˆ₯aβˆ₯.

Если Π²Ρ‹ Π·Π½Π°Π΅Ρ‚Π΅ значСния ΠΏΠΎ оси x ΠΈ оси y Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° (ΠΊΠ°ΠΊ Ссли Π±Ρ‹ ΠΎΠ½ Π±Ρ‹Π» Π½Π° ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚Π΅ ΠΈΠ»ΠΈ Π² Π΄Π΅ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΎΠ²ΠΎΠΉ систСмС ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚), Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ Π΅Π³ΠΎ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ, ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠ² Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡƒ ΠŸΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€Π° ΠΊ измСнСнию полоТСния ΠΎΡ‚ хвоста ΠΊ стрСлкС:

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, здСсь, с хвостом Π² (1, 4) ΠΈ стрСлкой Π² ​​(7, 8), Ρƒ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ значСния x Π½Π° 6 ΠΈ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ значСния y Π½Π° 4, поэтому:

βˆ₯uβˆ₯ = 62 + 42

βˆ₯uβˆ₯ = 36 + 16

βˆ₯uβˆ₯ = 52

βˆ₯uβˆ₯ = 7.2111 ΡˆΡ‚.

Π’Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° составляСт 7,2111 Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†.

Π•Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π° измСрСния опрСдСляСтся Ρ‚Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹ измСряСтС; Π΄ΡŽΠΉΠΌΡ‹, ΠΊΠΈΠ»ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹, ΠΌΠΈΠ»ΠΈ Π² час (миль / Ρ‡) ΠΈ Ρ‚. Π΄. Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, Ссли Π±Ρ‹ ΠΌΡ‹ просто ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€ΠΈΠ»ΠΈ расстояниС Π² милях, Ρ‚ΠΎ Π΄Π»ΠΈΠ½Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° составила Π±Ρ‹ 7,2111 ΠΌΠΈΠ»ΠΈ.

Бкаляр Π² сравнСнии с Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ

Для ясности, скалярныС Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ — это Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹: масса, Ρ‚Π΅ΠΌΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°, ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ, объСм, расстояниС, энСргия, Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π° ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊ Π΄Π°Π»Π΅Π΅. Π”ΡƒΠΌΠ°ΠΉΡ‚Π΅ ΠΎ Π½ΠΈΡ… ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎ чистых числах.

Π‘Π»ΡƒΡˆΠ°ΠΉΡ‚Π΅ ΠΈΠ»ΠΈ Ρ‡ΠΈΡ‚Π°ΠΉΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ : Π‘Π»ΡƒΡˆΠ°ΠΉΡ‚Π΅ ΠΈΠ»ΠΈ Ρ‡ΠΈΡ‚Π°ΠΉΡ‚Π΅ Π΄Π²Π΅ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ? Π’ΠΎΠ³Π΄Π° Π²Ρ‹ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚Π΅ Π΄Π΅Π»ΠΎ с Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ.НС Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π΅Ρ‚Π΅ ΠΈ Π½Π΅ ΡΠ»Ρ‹ΡˆΠΈΡ‚Π΅ Π΄Π²Π΅ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹? ВСроятно, Π²Ρ‹ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚Π΅ Π΄Π΅Π»ΠΎ со скаляром.

Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ смСщСния

Π›Π΅Ρ‚Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ супСргСрои Ρ€Π΅Π΄ΠΊΠΎ Π²Ρ‹Π±ΠΈΡ€Π°ΡŽΡ‚ ΠΊΡ€Π°Ρ‚Ρ‡Π°ΠΉΡˆΠΈΠΉ ΠΏΡƒΡ‚ΡŒ ΠΎΡ‚ Daily Bugle ΠΈΠ»ΠΈ Daily Planet Π΄ΠΎ бСдствия Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ дня. Они ΠΏΡ€Ρ‹Π³Π°ΡŽΡ‚, ΠΏΠ΅Ρ‚Π»ΡΡŽΡ‚, ΠΏΡ€Ρ‹Π³Π°ΡŽΡ‚ ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΊΠ°Ρ‚Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ, ΠΏΡ€Π΅ΠΆΠ΄Π΅ Ρ‡Π΅ΠΌ Π½Π°ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ† ΠΏΡ€ΠΈΠ±Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ Π² самый послСдний ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚.

Если Π±Ρ‹ ΠΌΡ‹ использовали Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ для построСния курса Π»Π΅Ρ‚Π°ΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ супСргСроя, Π½Π°ΠΌ ΠΌΠΎΠ³Π»ΠΎ Π±Ρ‹ ΠΏΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π±ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΏΡΡ‚ΡŒ ΠΈΠ»ΠΈ ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ², Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΡ‡Π΅ΡΡ‚ΡŒ всС эти ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡƒΡ‚ΠΈ. Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ смСщСния Ρ€Π°Π·Ρ€Π΅Π·Π°Π΅Ρ‚ ΠΎΡ‚ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° Π΄ΠΎ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π° ΠΏΠΎ прямой Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ:

Π‘ΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² этом смыслС исходит ΠΈΠ· Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ полоТСния ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ исходного полоТСния.

Π’Ρ‹ вставляСтС ΠΏΡ€Π°Π²ΡƒΡŽ Ρ€ΡƒΠΊΡƒ; Π²Ρ‹ вытягиваСтС ΠΏΡ€Π°Π²ΡƒΡŽ Ρ€ΡƒΠΊΡƒ: Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠ΅ смСщСниС. Π’Ρ‹ Ρ‡Π°-Ρ‡Π°-Ρ‡Π° Ρ‚Ρ€ΠΈ шага Π²Π»Π΅Π²ΠΎ ΠΈ Π΄Π²Π° шага Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ: Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ смСщСния Π½Π° ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ шаг Π²Π»Π΅Π²ΠΎ.

На этом рисункС ΠΌΡ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ смСщСния Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ являСтся Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ.

РасчСт смСщСния ΠΏΠΎ-ΠΏΡ€Π΅ΠΆΠ½Π΅ΠΌΡƒ осущСствляСтся Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ n + Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ v = r, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ a ΠΈ y ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°ΡŽΡ‚ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ Π΄Ρ€ΡƒΠ³Π°!

Π’Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΏΠΎΠ΄ΡƒΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΡ‚Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ усилий, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ Π½Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ нСбольшоС расстояниС, Π½ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ, Ссли Π±Ρ‹ ΠΌΡ‹ Π±Ρ‹Π»ΠΈ Π½Π° ΠΊΠΎΡ€Π°Π±Π»Π΅ Π’ΠœΠ€ ΠΈ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π±Ρ‹Π»ΠΈ ΠΎΠ±ΠΎΠ³Π½ΡƒΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈΡΡ‚Π°Π½ΡŒ ΠΈΠ»ΠΈ охраняСмый Π·Π°ΠΏΠΎΠ²Π΅Π΄Π½ΠΈΠΊ? Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Π» ΠΊΡ€Π°Ρ‚Ρ‡Π°ΠΉΡˆΠΈΠΉ ΠΌΠ°Ρ€ΡˆΡ€ΡƒΡ‚

.

Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹

ВсС эти измСрСния ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π°ΠΌΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ², ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ всС ΠΎΠ½ΠΈ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°ΡŽΡ‚ расстояниС ΠΈΠ»ΠΈ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ силы ΠΈ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅:

  • Π‘ΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ
  • Π‘ΠΈΠ»Π°
  • Π Π°Π·Π³ΠΎΠ½
  • Π˜ΠΌΠΏΡƒΠ»ΡŒΡ
  • Π Π°Π±ΠΎΡ‡ΠΈΠΉ объСм

ΠšΠΎΠΌΠΌΠ΅Ρ€Ρ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠ΅ Π°Π²ΠΈΠ°Π»Π°ΠΉΠ½Π΅Ρ€Ρ‹, истрСбитСли, Π»ΠΎΠ΄ΠΊΠΈ, Π°Π²Ρ‚ΠΎΠΌΠΎΠ±ΠΈΠ»ΠΈ, вСлосипСдисты, Π±Π΅Π³ΡƒΠ½Ρ‹, ΠΏΠ°Π΄Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Ρ‹, Ρ€Π°ΠΊΠ΅Ρ‚Ρ‹, Π²ΠΎΠ·Π΄ΡƒΡˆΠ½Ρ‹Π΅ ΡˆΠ°Ρ€Ρ‹, Π±ΡƒΠΌΠ°ΠΆΠ½Ρ‹Π΅ самолСтики ΠΈ ΠΏΠΎΠ΄Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ Π»ΠΎΠ΄ΠΊΠΈ — всС это ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ двиТущихся ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚ΠΎΠ², ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ Π² повсСднСвной ΠΆΠΈΠ·Π½ΠΈ.

ΠŸΠΈΠ»ΠΎΡ‚Ρ‹ ΠΈ ΡˆΡ‚ΡƒΡ€ΠΌΠ°Π½Ρ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π΄ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π΄ΠΎ мСста назначСния. Π Π°ΠΊΠ΅Ρ‚Ρ‡ΠΈΠΊΠΈ ΠΈ аэрокосмичСскиС ΠΈΠ½ΠΆΠ΅Π½Π΅Ρ€Ρ‹ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ для управлСния Ρ€Π°ΠΊΠ΅Ρ‚Π°ΠΌΠΈ.

Π•ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠ· Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ², ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰ΠΈΡ… Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ ΠΈ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΈ это Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€. Π£ Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π΅Ρ‚ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹, поэтому ΠΎΠ½ Π½Π΅ ΡƒΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π² ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΌ-Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡ€Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΌ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π½Π΅ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅.

ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹Π΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ

  1. Π§Ρ‚ΠΎ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚, Ссли ΠΌΡ‹ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π½Π° 4?
  2. НадССмся, Π²Ρ‹ сказали, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΡƒΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ Π² Ρ‚ΠΎΠΌ ΠΆΠ΅ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ, Π½ΠΎ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π² Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ Ρ€Π°Π·Π° Π΄Π»ΠΈΠ½Π½Π΅Π΅!

  3. «25 ΡƒΠ·Π»ΠΎΠ² ΠΊ ΡŽΠ³Ρƒ Π½Π° юго-Π·Π°ΠΏΠ°Π΄» — это скаляр ΠΈΠ»ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€?
  4. Π­Ρ‚ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΠΎΠ½ Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ ΠΈ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅.

  5. Π§Ρ‚ΠΎ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ с Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ, Ссли ΠΌΡ‹ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠΌ Π΅Π³ΠΎ Π½Π° -12?
  6. НадССмся, Π²Ρ‹ сказали, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π²Π΄Π²ΠΎΠ΅ ΠΊΠΎΡ€ΠΎΡ‡Π΅ ΠΈ ΠΏΠΎΠΉΠ΄Π΅Ρ‚ Π² ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΌ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ!

  7. Π”Π²Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹, Π½ΠΎ ΡƒΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ Π² ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹Ρ… направлСниях. Один ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ… — Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ z. Какой Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€?
  8. ΠœΡ‹ надССмся, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹ вспомнили ΠΎΠ± ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Π½ΠΈΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ², ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΠ² Π΅Π³ΠΎ -z.

Π‘Π»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ ΡƒΡ€ΠΎΠΊ:

ΠŸΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ‡Π½Ρ‹Π΅ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ (ΡƒΠ³Π»Ρ‹ ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅)

Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°

Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ интСрСсныС Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹, называСтся Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹ΠΌ Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½ΠΈΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹ΠΌ внСшним ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ.

ΠŸΡ€Π΅Π΄Π²Π°Ρ€ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ трСбования: Π­Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π» ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Π΅Ρ‚ знакомство с ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅.

Π’Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½Π΅Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°

ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ a ΠΈ b ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹, ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ с ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌ количСством элСмСнтов. Π—Π°Ρ‚Π΅ΠΌ Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½ΠΈΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ‚ ΠΈΠ· ΠΈ ΠΈ b Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ s .

Π° ‘ Π± = b ‘ a = с

Π³Π΄Π΅
a ΠΈ b — Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹-столбцы, ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ n элСмСнтов,
a ‘ — это транспонированиС a , Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Π΅Π»Π°Π΅Ρ‚ a ‘ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€-строка,
b ‘ — это транспонированиС b , Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Π΅Π»Π°Π΅Ρ‚ b ‘ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€-строка, Π°
s — скаляр; Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ s — Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число, Π° Π½Π΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°.

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° этот интСрСсный Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ другая ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°. Однако Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½Π΅Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΠ΅. Π’ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ получаСтся Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число, Π° Π½Π΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ»Π»ΡŽΡΡ‚Ρ€ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΎ Π½ΠΈΠΆΠ΅.

Π’ΠΎΠ³Π΄Π°

a ‘ b = 1 * 4 + 2 * 5 + 3 * 6 = 4 + 10 + 18 = 32

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½Π΅Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ a’ b Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 32.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅. Π’Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½ΠΈΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ‚ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ извСстСн ΠΊΠ°ΠΊ скалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ скалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ .

Π’Π½Π΅ΡˆΠ½ΠΈΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ‚ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°

ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ a ΠΈ b ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ². Π—Π°Ρ‚Π΅ΠΌ внСшний ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ‚ ΠΈΠ· ΠΈ ΠΈ b — это C .

a b ‘ = C

Π³Π΄Π΅
a — Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€-столбСц, ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰ΠΈΠΉ m элСмСнтов,
b — Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€-столбСц, содСрТащий n элСмСнтов,
b ‘ — это транспонированиС b , Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Π΅Π»Π°Π΅Ρ‚ b ‘ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€-строка, Π°
C прСдставляСт собой ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ m x n

Π’ ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ΅ ΠΎΡ‚ Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½Π΅Π³ΠΎ произвСдСния, внСшнСС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Π΄Π°Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°, Π° Π½Π΅ скаляр.Π­Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ»Π»ΡŽΡΡ‚Ρ€ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΎ Π½ΠΈΠΆΠ΅.

Π’ΠΎΠ³Π΄Π°,

C = a b ‘ = 906 906 906 906 906
v * x v * y v * z
w * y w * z

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ элСмСнты Matrix C состоят ΠΈΠ· ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ элСмСнтов Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° A , скрСщСнных с элСмСнты ΠΈΠ· Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° B .Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Matrix C оказываСтся ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅ΠΉ пСрСкрСстных ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΉ Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ².

ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡŒΡ‚Π΅ своС ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅

ΠŸΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡ‹

РассмотритС Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹, ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ Π½ΠΈΠΆΠ΅ — a , b , ΠΈ c

Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ a , b ΠΈ c , ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° вопросы Π½ΠΈΠΆΠ΅.

1. НайдитС a ‘ b , Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½Π΅Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ a ΠΈ b .
2. НайдитС b c ‘, внСшнСС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ b ΠΈ c .
3. Π’Π΅Ρ€Π½ΠΎ ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ: b c ‘ = c b’

РСшСния

  1. Π’Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½ a ‘ b являСтся Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½ΠΈΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 3. РСшСниС прСдставлСно Π½ΠΈΠΆΠ΅.

    a ‘ b = *

    a’ b = 903 0 * 3
  2. Π’Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½ b c ‘ являСтся внСшним ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ‚ΠΎΠΌ.Π’ΠΎΡ‚ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° 2 x 3, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½ΠΈΠΆΠ΅.

    b c ‘ = *

    2 ЗаявлСниС b c ‘ = c b ‘ Π»ΠΎΠΆΠ½ΠΎ.

    ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ b — это Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ 2 x 1, Π° c Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ 3 x 1.Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, b c ‘ прСдставляСт собой ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ 2 x 3, Π° c b ‘ прСдставляСт собой ΠœΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° 3 x 2. ΠŸΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ b c ‘ ΠΈ c b ‘ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Π΅ Π“Π°Π±Π°Ρ€ΠΈΡ‚Π½Ρ‹Π΅ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹, ΠΎΠ½ΠΈ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹.

    Бкаляр — Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ΠΈ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅

    Бкаляр — это число ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠ΅Ρ€Π°, ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰Π°Ρ Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ, Π½Π΅ Π·Π°Π²ΠΈΡΡΡ‰ΡƒΡŽ ΠΎΡ‚ направлСния. НапримСр, расстояниС — это скалярная Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π°, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΠΎΠ½Π° ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½Π° ΠΊΠ°ΠΊ чистоС число Π±Π΅Π· ссылки Π½Π° пространствСнныС ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹.Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ скалярных Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°ΡŽΡ‚ массы , Ρ‚Π΅ΠΌΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΡƒΡ€Ρ‹ ΠΈ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ .

    Π’Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½ «скаляр» ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎ относился ΠΊ любой Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π΅, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎ шкалС. Π’ΠΎΠ·ΡŒΠΌΠ΅ΠΌ, ΠΊ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρƒ, числа Π½Π° шкалС Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π° , ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€ΡΡŽΡ‚ Ρ‚Π΅ΠΌΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΡƒΡ€Ρƒ. Π­Ρ‚ΠΈ значСния Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΡƒΡŽΡ‚ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π·Π½Π°ΠΊΠ° , Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, большС ΠΎΠ½ΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ мСньшС нуля , Π½ΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ Π½Π΅ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΡƒΡŽΡ‚ указания направлСния, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρƒ Π½ΠΈΡ… Π½Π΅Ρ‚ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Π°, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ описываСт ΠΈΡ… мСстополоТСниС Π² пространствС.Π’Π°ΠΊΠΈΠ΅ физичСскиС Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ чистым числом ΠΈ Π½Π΅ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Π°, Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ скалярными Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ скалярами. Π‘ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ стороны, Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ физичСскиС измСрСния, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ Π½Π΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ (ΡΠΊΠ°Π»ΡΡ€Π½ΡƒΡŽ) ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Ρƒ, Π½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚ направлСния. НапримСр, хотя ΠΌΡ‹ ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ Π½Π΅ Π΄ΡƒΠΌΠ°Π΅ΠΌ ΠΎΠ± этом ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΌ, ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ описываСтся Π½Π΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ, Π½ΠΎ ΠΈ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ двиТСния. Π’ΠΎΡ‡Π½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ физичСскиС Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊ сила , , Π²Ρ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ ΠΌΠ°Π³Π½Π΅Ρ‚ΠΈΠ·ΠΌ, , Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°ΡŽΡ‚ ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚Ρ€Π°Π½ΡΡ‚Π²Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ ΠΎΡ€ΠΈΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ†ΠΈΡŽ.ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΠΎΠ΅ для описания Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠΈ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ ΠΈ направлСния — Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ΠΎΡ‚ латинского слова «Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ». Π’ ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉΡˆΠ΅ΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ. НапримСр, Ссли A ΠΈ B — Π΄Π²Π΅ Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Π° AB — это ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ прямой, ΠΈΠ΄ΡƒΡ‰ΠΈΠΉ ΠΎΡ‚ A Π΄ΠΎ B, Ρ‚ΠΎ AB Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°Π·Π²Π°Ρ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ, v. Бкаляры — это ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Ρ‹ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ², ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΎΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ Π΅Π³ΠΎ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ, ΠΎΠ½ΠΈ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΡŽ ΠΎ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ². НапримСр, для Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°, ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ, скаляр, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ описываСт Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ двиТСния, называСтся ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ.НаправлСниС двиТСния описываСтся ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ , ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅ΠΌΡ‹ΠΌ ΠΊΠ°ΠΊ ΞΈ (Ρ‚Π΅Ρ‚Π°).

    Π‘ΠΏΠΎΡΠΎΠ±Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΡΡ‚ΡŒ скалярныС ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Ρ‹ ΠΎΡ‚ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΠΈΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Π²Π°ΠΆΠ½Π°, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ позволяСт матСматичСски ΠΌΠ°Π½ΠΈΠΏΡƒΠ»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ. Двумя распространСнными матСматичСскими манипуляциями с использованиСм скаляров ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ скалярноС ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ , ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅. БкалярноС ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ достигаСтся ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΠΌ умноТСния скаляра ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° вмСстС, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ с Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½ΠΎΠΉ.Π­Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΡ…ΠΎΠΆΠ΅ Π½Π° ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ числа Π½Π° коэффициСнт ΠΌΠ°ΡΡˆΡ‚Π°Π±ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ для увСличСния ΠΈΠ»ΠΈ ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π΅Π³ΠΎ значСния ΠΏΡ€ΠΎΠΏΠΎΡ€Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π΅Π³ΠΎ исходному Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ. Π’ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΌ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅, Ссли ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ описываСтся Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ v ΠΈ Ссли c — ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число , Ρ‚ΠΎ cv — это Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€, Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ совпадаСт с Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ v, Π° Π΄Π»ΠΈΠ½Π° — c | v |. Π‘Π»Π΅Π΄ΡƒΠ΅Ρ‚ ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ для c ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Ρ‚ ΠΊ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρƒ с Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ, ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹ΠΌ v. Когда Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ умноТаСтся Π½Π° скаляр, Π΅Π³ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ большС ΠΈΠ»ΠΈ мСньшС, ΠΈΠ»ΠΈ Π΅Π³ΠΎ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΎ Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠ΅, Π½ΠΎ ΡƒΠ³ΠΎΠ» Π΅Π³ΠΎ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π΅ измСнится.БкалярноС ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ Π² Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† , Π³Π΄Π΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ Π² ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… массивах, извСстных ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹.

    Π’ Ρ‚ΠΎ врСмя ΠΊΠ°ΠΊ скалярноС ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΠΊ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΌΡƒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρƒ, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² (Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ Π΄Π²Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ вмСстС) ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΠΊ скалярному ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡŽ. НапримСр, Ссли u ΠΈ v — Π΄Π²Π° Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Ρ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° с ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π½ΠΈΠΌΠΈ q, Ρ‚ΠΎ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡƒΡ… Π΄Π°Π΅Ρ‚ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅: u . v = | uv | cosq. Π’ этой ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ cos ΞΈ отмСняСтся, ΠΈ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠΌ являСтся просто скалярноС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ uv.БкалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ скалярным ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ для обозначСния ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ.


    Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° скаляр

    Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° скаляр

    Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ Π½Π° скаляр Ξ», Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€, Ξ». Если Ξ» — ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число, Ρ‚ΠΎ Ξ» Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ находится Π² Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ. Если Ξ» — ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число, Ξ» — Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρƒ.


    Бкалярный ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²

    ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅

    скалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ (ΠΈΠ»ΠΈ скалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅) Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² опрСдСляСтся ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ ΠΎΠ±ΠΎΠΈΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΈ косинус ΡƒΠ³Π»Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π½ΠΈΠΌΠΈ.

    Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ Ссли Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π΄Π²Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ΠΈ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΞΈ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π½ΠΈΠΌΠΈ, Ρ‚ΠΎ ΠΈΡ… скалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ опрСдСляСтся ΠΊΠ°ΠΊ β‹… = AB cos ΞΈ. Π—Π΄Π΅ΡΡŒ A ΠΈ B — Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ ΠΈ.

    ΠΠ΅Π΄Π²ΠΈΠΆΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ

    количСство Ρ‚ΠΎΠ²Π°Ρ€Π° β‹… составляСт всСгда скаляр. ΠŸΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Ссли ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ острый (Ρ‚. Π΅. <90 Β°) ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅, Ссли ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π½ΠΈΠΌΠΈ Ρ‚ΡƒΠΏΠΎΠΉ (Ρ‚.Π΅.Π΅. 90 Β° <ΞΈ <180 Β°).




    выполнСнная Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π° — это, ΠΏΠΎ сути, скалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ силы ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ смСщСния. Помимо ΠΏΡ€ΠΎΠ΄Π΅Π»Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹, ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ физичСскиС Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹. ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· скалярныС произвСдСния.

    The Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²

    ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅

    Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠ»ΠΈ кросс-ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² опрСдСляСтся ΠΊΠ°ΠΊ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€, ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ, Ρ€Π°Π²Π½ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½ Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΈ синуса ΡƒΠ³Π»Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΈΡ….НаправлСниС Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° произвСдСния пСрпСндикулярно плоскости содСрТащий Π΄Π²Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°, Π² соотвСтствии с ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎΠΌ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠ³ΠΎ Π²ΠΈΠ½Ρ‚Π° ΠΈΠ»ΠΈ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠΊΠ° для большого ΠΏΠ°Π»ΡŒΡ†Π° ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΉ Ρ€ΡƒΠΊΠΈ (рис. 2.22) .



    Бвойства Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ (пСрСкрСстного) произвСдСния.

    А количСство Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΡ‹Ρ… Π² Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ΅, опрСдСляСтся Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹Π΅ произвСдСния. Π’ частности, физичСскиС Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹, ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ эффСкты, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊ крутящий ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚, ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚, ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹Π΅ произвСдСния.




    ΠΠ΅Π΄Π²ΠΈΠΆΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²

    Если Π΄Π²Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ΠΈ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹, Ρ‚ΠΎ ΠΈΡ… ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Ρ‹ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹.


    РСшСно ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ умноТСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° скаляр

    Π Π΅ΡˆΠ΅Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ для скалярного произвСдСния Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²

    РСшСно ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ для Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ произвСдСния Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²


    РСшСно ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ для свойств ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚ΠΎΠ² Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²


    Π£Ρ‡Π΅Π±Π½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π», конспСкты Π»Π΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, задания, ссылки, объяснСниС описания Wiki, краткая Π΄Π΅Ρ‚Π°Π»ΡŒ

    11-я Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ°: ΠΊΠΈΠ½Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°: ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° скаляр | с Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π°ΠΌΠΈ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡

    b c’

    =

    БкалярноС ΠΈ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅

    Бкалярный ΠΈ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ (стр. 1 ΠΈΠ· 3)


    Π•ΡΡ‚ΡŒ Π΄Π²Π° Ρ‚ΠΈΠΏΠ° ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ для ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†: скалярноС ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†.БкалярноС ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ — это просто. Π’Ρ‹ просто Π½Π°Π±ΠΈΡ€Π°Π΅Ρ‚Π΅ ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½Ρ‹ΠΉ Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€ (называСтся «скаляр») ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΡŒΡ‚Π΅ Π΅Π³ΠΎ Π½Π° ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΡƒΡŽ запись Π² ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅.

    • Для ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ А , Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ 2 A ΠΈ 1 A .

      Π‘Π΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ скаляр ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ 2 А , Π― просто ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°ΡŽ 2 Π½Π° ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΡƒΡŽ запись Π² ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅:

      Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠ΅ скалярноС ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ 1 A , Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π΅Ρ‚ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½ΠΎ:

      Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, ΠΎΠΊΠΎΠ½Ρ‡Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚: авторскоС ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ Π­Π»ΠΈΠ·Π°Π±Π΅Ρ‚ Π‘Ρ‚Π°ΠΏΠ΅Π»ΡŒ 2003-2011 ВсС ΠΏΡ€Π°Π²Π° Π·Π°Ρ‰ΠΈΡ‰Π΅Π½Ρ‹


    БкалярноС ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ.Однако ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ† — это совсСм другая история. По Ρ„Π°ΠΊΡ‚Ρƒ, это королСвская боль. Π’Π°Ρˆ тСкст, вСроятно, Π΄Π°Π» Π²Π°ΠΌ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ для процСсс, ΠΈ эта Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°, вСроятно, Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π»Π° для вас Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ смысла. Π­Ρ‚ΠΎ Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΎ. ΠŸΡ€ΠΎΡ†Π΅ΡΡ грязный, ΠΈ эта слоТная Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° — Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΈΠ³ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ для объяснСния Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ обстановкС, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, Π² ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΈΠΊΠ΅. Π’ΠΎΡ‚ ΠΊΠ°ΠΊ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π΅Ρ‚ процСсс:

    • Найти ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ‚ AB для ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†:

      Для расчСта AB , Π—Π°ΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°ΡŽ А ΠΈ B рядом Π΄Ρ€ΡƒΠ³ с Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΌ Π²ΠΎΡ‚ Ρ‚Π°ΠΊ:

      Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΌΠ½Π΅ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π Π―Π” А ΠšΠžΠ›ΠžΠΠΠΠœΠ˜ B .Под этим я ΠΏΠΎΠ΄Ρ€Π°Π·ΡƒΠΌΠ΅Π²Π°ΡŽ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ сначала Π±Π΅Ρ€Ρƒ ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ ряд A ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ столбСц B , ΠΈ я ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°ΡŽ ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Π΅ записи, Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ Π²Ρ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ записи, Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠΈ записи, Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ я добавляю Ρ‚Ρ€ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ‚Π°. Π‘ΡƒΠΌΠΌΠ° ΠΎΠ΄Π½Π° запись Π² ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ‚ΠΎΠ² AB ; фактичСски, Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‡ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ строки 1 ΠΈ столбСц 1, Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠΌ являСтся 1,1-запись ΠΈΠ· AB .Π—Π°Ρ‚Π΅ΠΌ я ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠ°ΡŽ Π² Ρ‚ΠΎΠΌ ΠΆΠ΅ Π΄ΡƒΡ…Π΅. НапримСр, сумма ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈΠ· 2-Π³ΠΎ ряда ΠΈΠ· А ΠΈ столбСц 1 ΠΈΠ· B 2,1-запись ΠΈΠ· AB .

      Когда я ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°ΡŽ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹, Π― ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽ ΠΏΠ°Π»ΡŒΡ†Ρ‹, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡΠ»Π΅Π΄ΠΈΡ‚ΡŒ Π·Π° Ρ‚Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ я дСлаю. Π‘Π»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ анимация это моя ΠΏΠΎΠΏΡ‹Ρ‚ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ»Π»ΡŽΡΡ‚Ρ€ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ этот процСсс. (НС ΡΠΌΠ΅ΠΉΡ‚Π΅ΡΡŒ, я Π½Π΅ Ρ…ΡƒΠ΄ΠΎΠΆΠ½ΠΈΠΊ!)

      (Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, класс; Ρ‡Ρ‚ΠΎ я ΡΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎ смСх?)

      ΠžΠΊΠΎΠ½Ρ‡Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚:

    Как Π²Ρ‹ Π²ΠΈΠ΄Π΅Π»ΠΈ Π² ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΌ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅, ΠΏΠΎ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌΡƒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Ρƒ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ‚ i -ΠΉ ряд А ΠΈ j -ΠΉ ΠΊΠΎΠ»ΠΎΠ½ΠΊΠ° Π‘ это i , j -ΠΉ запись Π² ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ‚ΠΎΠ² AB .Π­Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΠΎ большСй части прСдставляСт собой ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ Π² ваш тСкст Π±Ρ‹Π» ΠΎ.

    НапримСр, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° я, Π² Π² ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΌ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ сначала ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ»ΠΈ Π½Π° ряд (ΠΈΠ· А ) ΠΈ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ столбСц (ΠΈΠ· B ), это Π΄Π°Π»ΠΎ ΠΌΠ½Π΅ пСрвая строка Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ столбСц запись Π² ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ‚ΠΎΠ² AB .

    Π’Π²Π΅Ρ€Ρ… | 1 | 2 | 3 | Π’Π΅Ρ€Π½ΡƒΡ‚ΡŒΡΡ ΠΊ ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŽ Π”Π°Π»Π΅Π΅ >>

    Π¦ΠΈΡ‚ΠΈΡ€ΡƒΠΉΡ‚Π΅ эту ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΡŽ ΠΊΠ°ΠΊ:

    Π‘Ρ‚Π°ΠΏΠ΅Π»ΡŒ, Π•Π»ΠΈΠ·Π°Π²Π΅Ρ‚Π°.«БкалярноС ΠΈ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅Β». Purplemath . Доступно ΠΏΠΎ Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€Ρƒ
    https://www.purplemath.com/modules/mtrxmult.htm . Π”Π°Ρ‚Π° обращСния [Π”Π°Ρ‚Π°] [ΠœΠ΅ΡΡΡ†] 2016 Π³.


    .

    alexxlab

    Π”ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΉ

    Π’Π°Ρˆ адрСс email Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π½. ΠžΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ поля ΠΏΠΎΠΌΠ΅Ρ‡Π΅Π½Ρ‹ *