Умножение вектора на число.

Геометрическая интерпретация.

Произведение ненулевого вектора на число — это вектор, коллинеарный данному (сонаправленный данному, если число положительное, имеющий противоположное направление, если число отрицательное), а его модуль равен модулю данного вектора, умноженному на модуль числа.

Алгебраическая интерпретация. Произведение ненулевого вектора на число — это вектор, координаты которого равны соответствующим координатам данного вектора, умноженным на число.

Формулы умножения вектора на число

Формула умножения вектора на число для плоских задач

В случае плоской задачи произведение вектора a = {a_x ; a_y} и числа k можно найти воспользовавшись следующей формулой:

k · a = {k · a_x; k · a_y}

Формула умножения вектора на число для пространственных задач

В случае пространственной задачи произведение вектора a = {a_x ; a_y ; a_z} и числа k можно найти воспользовавшись следующей формулой:

k · a = {k · a_x ; k · a_y

; k · a_z}

Формула умножения n -мерного вектора

В случае n-мерного пространства произведение вектора a = {a₁ ; a₂; … ; a_n} и числа k можно найти воспользовавшись следующей формулой:

k · a = {k · a₁; k · a₂; … ; k · a_n}

Свойства вектора умноженного на число

Если вектор b равен произведению ненулевого числа k и ненулевого вектора a, то есть b = k · a, тогда:

• b || a — вектора b и a параллельны

• a↑↑b, если k > 0 — вектора b и a сонаправленные, если число k > 0

• a↑↓b, если k < 0 — вектора b и a противоположно направленные, если число k < 0

• |b| = |k| · |a| — модуль вектора b равен модулю вектора a умноженному на модуль числа k

Примеры задач на умножение вектора и числа

Пример умножения вектора на число для плоских задачи

Пример 1. Найти произведение вектора a = {1; 2} на 3.

Решение: 3 · a = {3 · 1; 3 · 2} = {3; 6}.

Пример умножения вектора на число для пространственных задачи

Пример 2. Найти произведение вектора a = {1; 2; -5} на -2.

Решение: (-2) · a = {(-2) · 1; (-2) · 2; (-2) · (-5)} = {-2; -4; 10}.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Умножение вектора на число — Онлайн калькулятор

Как произвести умножение вектора на число онлайн?

1. Укажите размерность вектора (вектор на плоскости или в пространстве).
2. Выберите форму представления вектора (координатами или точками).
3. В поле «значения вектора» сначала задайте вектор, а затем впишите любое число, на которое данный вектор следует умножить.
4. Нажмите кнопку «рассчитать».

Умножение вектора на число. Определение, примеры и свойства

Произведением вектора a на число k называется вектор b, коллинеарный вектору a. Модуль вектора b равен модулю вектора а, умноженному на модуль числа k. Векторы а и b коллинеарны для любого k

. Если число k больше нуля, направления векторов совпадают. Если k меньше нуля, вектор b направлен в сторону, противоположную вектору a.

Рассмотрим простой пример: умножим вектор a(4; 5) на число 3:

a→=4;53*a¯=(3*4;3*5)=12;15

Для любых векторов а и b и чисел k и l справедливы формулы:

(kl)a→=k(la→) — сочетательный закон;

k(a→+b→)=ka→+kb→ — первый распределительный закон;

(k+l)a→=ka→+la→ — второй распределительный закон;

Онлайн калькулятор умножения вектора на число может быть полезен учащимся старших классов и студентам в подготовке к контрольным работам. Решение онлайн позволяет произвести вычисления быстро, улучшить производительность, проверить результаты вычислений, сделанных самостоятельно.

Операции с векторами, сложение векторов, умножение вектора на действительное число.

Рассмотрим вектор v с начальной точкой в начале координат в любой координатной системе x-y и с конечной точкой в (a,b). Мы говорим, что вектор находится в стандартном положении и ссылаемся на него как на радиус-вектор. Обратите внимание, что пара точек определяет этот вектор. Таким образом, мы можем использовать это для обозначения вектора. Чтобы подчеркнуть, что мы имеем в виду вектор, и, чтобы избежать путаницы, как правило, пишут:

v = .

Координата a есть скаляром горизонтальной компоненты вектора, и координата b есть скаляром вертикальной компоненты вектора. Под скаляром мы подразумеваем численное количество, а не векторную величину. Таким образом, это рассматривается как компонентная форма v. Обратите внимание, что a и b НЕ вектора и их не надо путать с определением компонента вектора.

Теперь рассмотрим с A = (x₁, y₁) и C = (x₂, y₂). Давайте рассмотрим, как найти радиус вектор, эквивалентный . Как Вы видите на рисунке внизу, начальная точка A перемещена в начало координат (0, 0). Координаты P находятся вычитанием координат A из координат C. Таким образом, P = (x

2 — x₁, y₂ — y₁) и радиус вектор есть .

Можно показать, что и имеют одну и ту же величину и направление, и поэтому эквивалентны. Таким образом, = = 2 — x₁, y₂ — y₁ >.

Компонентная форма с A = (x₁, y₁) и C = (x₂, y₂) есть
= 2 — x₁, y₂ — y₁ >.

Пример 1 Найдите компонентную форму если C = (- 4, — 3) и F = (1, 5).

Решение Мы имеем
= = .

Обратите внимание, что вектор есть равным радиус-вектору , как показано на рисунке вверху.

Теперь, когда мы знаем, как записать вектор в компонентной форме, давайте изложим некоторые определения.
Длину вектора v легко определить, когда известны компоненты вектора. Для v = 1, v₂ >, мы имеем
|v|² = v²₁ + v²₂          Используя теорему Пифагора
|v| = √v²₁ + v²₂.

Длина, или величина ветктора v = 1, v₂ > находится как |v| = √v²₁ + v²₂.

Два вектора равны или эквивалентны, если они имеют одну и ту же величину и одно и то же направление.

Пусть u = 1, u₂ > и v = 1, v₂ >. Tогда
1, u₂ > = 1, v₂ >          только если u₁ = v₁ and u₂ = v₂.

Операции с векторами

Чтобы умножить вектор V на положительное число, мы умножаем его длину на это число. Его направление остается прежним. Когда вектор V умножается на 2, например, его длина увеличивается в два раза, но его направление не изменяется. Когда вектор умножается на 1,6, его длина увеличивается на 60%, а направление остается прежним. Чтобы умножить вектор V на отрицательное действительное число, умножаем его длину на это число и изменяем направление на противоположное. Например, Когда вектор умножается на (-2), его длина увеличивается в два раза и его направление изменяется на противоположное. Так как действительные числа работают как скалярные множители в умножении векторов, мы называем их

скаляры и произведение kv называется скалярные кратные v.

Для действительного числа k и вектора v = 1, v₂ >, скалярное произведение k и v есть
kv = k.1, v₂ > = 1, kv₂ >.
Вектор kv есть скалярным кратным вектора v.

Пример 2 Пусть u = и w = . Найдите — 7w, 3u и — 1w.

Решение
— 7w = — 7. = ,
3u = 3. = ,
— 1w = — 1. = .

Теперь мы можем сложить два вектора, используя компоненты. Чтобы сложить два вектора в компонентной форме, мы складываем соответствующие компоненты. Пусть u = 1, u

2 > и v = 1, v₂ >. Тогда
u + v = 1 + v₁, u₂ + v₂ >

Например, если v = и w = , тогда
v + w = =

Если u = 1, u₂ > и v = 1, v₂ >, тогда
u + v = 1 + v₁, u₂ + v₂ >.

Перед тем, как мы определим вычитание векторов нам нужно дать определение — v. Противоположный вектору v = 1, v₂ >, изображенному внизу, есть
— v = (- 1).v = (- 1)1, v₂ > = 1, — v₂ >

Вычитание векторов, такое как u — v вовлекает вычитание соответствующих компонент. Мы покажем это представлением u — v как u + (- v). Если u = 1, u

2 > и v = 1, v₂ >, тогда
u — v = u + (- v) = 1, u₂ > + 1, — v₂ > = 1 + (- v₁), u₂ + (- v₂) > = 1 — v₁, u₂ — v₂ >

Мы можем проиллюстрировать вычитание векторов с помощью параллелограмма , как мы это делали для сложения векторов.

Вычитание векторов

Если u = 1, u₂ > и v = 1, v₂ >, тогда
u — v = 1 — v₁, u₂ — v₂ >.

Интересно сравнить суммы двух векторов с разницей тех же двух векторов в одном параллелограмме. Векторы u + v и u — v есть диагоналями параллелограмма.

Пример 3 Сделайте следующие вычисления, где u = и v = .
a) u + v
b) u — 6v
c)3u + 4v
d)|5v — 2u|

Решение
a) u + v = + = = ;
b)u — 6v = — 6. = — = ;
c) 3u + 4v = 3. + 4. = + = ;
d) |5v — 2u| = |5. — 2.| = | — | = || = √(- 29)² + 21² = √1282 ≈ 35,8

Прежде чем сформулировать свойства векторного сложения и умножения, мы должны дать определение еще одному специальному вектору — нулевому вектору. Вектор, чья начальная точка совпадает с конечной точкой, называется нулевым вектором, обозначается O, или . Его величина равна 0. В сложении векторов:
v + O = v.          1, v₂ > + = 1, v₂ >
Операции над векторами обладают те же самыми свойствами, что и операции над вещественными числами.

Свойства векторного сложения и умножения

Для всех векторов u, v, и w, и для всех скаляров b и c:
1. u + v = v + u.
2. u + (v + w) = (u + v) + w.
3. v + O = v.
4 1.v = v;          0.v = O.
5. v + (- v) = O.
6. b(cv) = (bc)v.
7. (b + c)v = bv + cv.
8. b(u + v) = bu + bv.

Орты

Вектор величиной, или длиной 1 называется орт. Вектор v = есть орт, потому что
|v| = || = √(- 3/5)² + (4/5)² = √9/25 + 16/25 = √25/25 = √1 = 1.

Пример 4 Найдите орт, который имеет то же самое направление, что и вектор w = .

Решение Найдем сначала длину w:
|w| = √(- 3)² + 5² = √34. Таким образом, мы ищем вектор, с длиной 1/√34 от w и с таким же самым направлением, что и вектор w. Этот вектор есть
u = w/√34 = /√34 = 34, 5/√34 >.
Вектор u есть орт, потому что
|u| = |w/√34| = = √34/34 = √1 = 1.

Если v есть вектор и v ≠ O, тогда
(1/|v|)• v,          or          v/|v|,
есть орт в направлении v.

Хотя орты могут иметь любое направление, орты, параллельные осям x и y особенно полезны. Они определяются как
i =          and          j = .

Любой вектор может быть выражен как линейная комбинация орта i и j. Например, пусть v = 1, v₂ >. Tогда
v = 1, v₂ > = 1, 0 > + 2 > = v₁ + v₂ = v₁i + v₂j.

Пример 5 Выразите вектор r = как линейную комбинацию i и j.

Решение
r = = 2i + (- 6)j = 2i — 6j.

Пример 6 Запишите вектор q = — i + 7j в компонентной форме.

Решениеq = — i + 7j = -1i + 7j =

Векторные операции могут быть также выполнены, когда векторы записаны как линейные i и j.

Пример 7 Если a = 5i — 2j и b = -i + 8j, найдите 3a — b.

Решение
3a — b = 3(5i — 2j) — (- i + 8j) = 15i — 6j + i — 8j = 16i — 14j.

Углы обзора

Конечная точка P орты в стандартной позиции есть точкой на единичной окружности, определенной (cosθ, sinθ). Таким образом, орт может быть выражен в компонентной форме,
u = ,
или как линейная комбинация орт i и j,
u = (cosθ)i + (sinθ)j,
где компоненты u есть функциями угла обзора θ измеряемого против часовой стрелки от оси x к этому вектору. Так как θ изменяется от 0 до 2π, точка P отслеживает круг x² + y² = 1. Это охватывает все возможные направления ортов и тогда уравнение u = (cosθ)i + (sinθ)j описывает каждый возможный орт на плоскости.

Пример 8 Вычислите и сделайте эскиз орта u = (cosθ)i + (sinθ)j для θ = 2π/3. Изобразите единичную окружность на эскизе.

Решение
u = (cos(2π/3))i + (sin(2π/3))j = (- 1/2)i + (√3/2)j

Пусть v = 1, v₂ > с углом обзора θ. Используя определение функции тангенса, мы можем определить угол обзора их компонент v:

Пример 9 Определите угол обзора θ вектора w = — 4i — 3j.

Решение Мы знаем, что
w = — 4i — 3j = .
Таким образом, имеем
tanθ = (- 3)/(- 4) = 3/4          и θ = tan^{— 1}(3/4).
Так как w находится в третьем квадранте, мы знаем, что θ есть углом третьего квадранта. Соответствующий угол есть
tan^{— 1}(3/4) ≈ 37°,          и          θ ≈ 180° + 37°, или 217°.

Это удобно для работы с прикладными задачами, а в последующих курсах, чтобы иметь способ выразить вектор так, чтобы его величина и направление могли быть легко определены или прочитаны. Пусть v это вектор. Тогда v/|v| есть орт в том же самом направлении, что и v. Таким образом, мы имеем
v/|v| = (cosθ)i + (sinθ)j
v = |v|[(cosθ)i + (sinθ)j]              Умножая на |v|
v = |v|(cosθ)i + |v|(sinθ)j.

Углы между векторами

Когда вектор умножается на скаляр, результатом есть вектор. Когда складываются два вектора, результатом также есть вектор. Таким образом, мы могли бы ожидать, что произведение двух векторов есть вектор, но это не так. Скалярное произведение двух векторов есть действительное число или скаляр. Этот результат полезен в нахождении угла между двумя векторами и в определении, являются ли два вектора перпендикулярными.

Скалярное произведение двух векторов u = 1, u₂ > и v = 1, v₂ > is
u • v = u₁.v₁ + u₂.v₂
(Обратите внимание, что u₁v₁ + u₂v₂ есть скаляром, а не вектором.)

Пример 10Найдите скалярное произведение, когда
u = , v = и w = .
a)u • w
b)w • v

Решение
a) u • w = 2(- 3) + (- 5)1 = — 6 — 5 = — 11;
b) w • v = (- 3)0 + 1(4) = 0 + 4 = 4.

Скалярное произведение может быть использовано для нахождения угла между двумя векторами. Угол между двумя векторами это самый маленький положительный угол, образованный двумя направленными отрезками. Таким образом, θ между u и v это тот же самый угол, что и между v и u, и 0 ≤ θ ≤ π.

Если θ есть углом между двумя ненулевыми векторами u и v, тогда
cosθ = (u • v)/|u||v|.

Пример 11Найдите угол между u = и v = .

Решение Начнем с нахождения u • v, |u|, и |v|:
u • v = 3(- 4) + 7(2) = 2,
|u| = √3² + 7² = √58, and
|v| = √(- 4)² + 2² = √20.
Tогда
cosα = (u • v)/|u||v| = 2/√58.√20
α = cos^{— 1}(2/√58.√20)
α ≈ 86,6°.

Равновесие сил

Когда несколько сил действуют на одну и ту же точку на объекте, их векторная сумма должна быть равна нуля, для того, чтобы был баланс. Когда есть баланс сил, то объект является стационарным или движется по прямой линии, без ускорения. Тот факт, что векторная сумма должна быть равна нулю вывода для получения баланса, и наоборот, позволяет решать нам многие прикладные задачи с участием сил.

Пример 12 Подвесной блок 350- фунтовый блок подвешен с помощью двух кабелей. осталось. В точке А есть три силы, действующие так: W блок тянет вниз, а R и S (два кабеля) тянут вверх и наружу. Найдите нагрузку каждого кабеля.

Решение Нарисуем диаграмму с начальными точками каждого вектора в начале кооординат. Для баланса, сумма векторов должна быть равна О:

R + S + W = О.
Мы можем выразить каждый вектор через его величину и угол обзора :
R = |R|[(cos125°)i + (sin125°)j],
S = |S|[(cos37°)i + (sin37°)j], и
W = |W|[(cos270°)i + (sin270°)j]
= 350(cos270°)i + 350(sin270°)j
= -350j          cos270° = 0; sin270° = — 1.
Заменяя R, S, и W in R + S + W + O, мы имеем
[|R|(cos125°) + |S|(cos37°)]i + [|R|(sin125°) + |S|(sin37°) — 350]j = 0i + 0j.
Это дает нам систему уравнений:
|R|(cos125°) + |S|(cos37°) = 0,
|R|(sin125°) + |S|(sin37°) — 350 = 0.
Решая эту систему, мы получаем
|R| ≈ 280 и |S| ≈ 201.
Таким образом, нагрузка на кабели 280 фунтов и 201 фунт.

32. Операция умножения вектора на число и ее свойства

Определение 13. Произведением вектора A на число L Называется такой вектор B, что

1) | B | = | L || A |

2) если l > 0, то A­­B, если l < 0, то A­¯B, если l = 0 или A = 0, то B = 0.

Произведение вектора A на число l обозначается символом L A. Числа называют также Скалярными величинами или Скалярами.

Теорема 8. Вектора A ≠ 0 Коллинеарен вектору B тогда и только тогда, когда найдется такое число, что B = L A.

Доказательство. Если, то по определения 13 следует, что векторы коллинеарны. Обратно, пусть вектора коллинеарны. Тогда, полагая L = ±|B|/|A|, где стоит знак «+», если A­­B, стоит знак «-«, если A­¯B, по определению 13 получим B = L A.

Теорема 9. Для любых векторов A, B и для любых чисел l, m Справедливы свойства:

1) l(m A) = (lm) A — Смешенный ассоциативный закон;

2) (l + m) A = l A+ m A — Дистрибутивный закон;

3) l (A + B) = l A + l B — Дистрибутивный закон;

4) 1 A = A — Свойство умножения на единицу.

Доказательство. 1. Если векторы A или B равны 0 Или числа m равны нулю, то равенства 1-3 теоремы почти очевидны (проверте их). Также по определению равенства векторов проверяется равенство 4. Поэтому дальше будем считать, что A ≠ 0, B ≠ 0, lm ≠ 0.

1. Длины векторов l(m A), (lm) A равны |l||m| |A|, и поэтому равны между собой. Далее оба эти вектора коллинеарны вектору A. Если числа l и m одного знака, то направление векторов l(m A), (lm) A совпадает с направлением вектора A. Если числа l и m противоположных знаков, то эти векторы противоположны вектору A. Отсюда по определению векторы l(m A), (lm) A равны.

2. Если числа l и m одного знака, то векторы (l + m) A, l A, m A сонаправлены и |l A+m A| = |l A|+|m A|= |l ||A| + | m|| A| = (| l | + | m | )| A|.

Так как в этом случае |l + m | = | l | + | m |, то |(l + m) A| = || l A + m A|.

Отсюда, по определению равенства векторов (l + m) A = l A + m A.

Случай, когда числа l и m противоположного знака рассмотрите самостоятельно.

3. Если векторы A и B коллинеарны, то по теореме 8 его можно представить в виде B = m A. Тогда по свойствам 1, 2 и 4 имеем

L (A + B) = l (1A + m A) = l (1A) + l (m A) =l A + l (m A) = l A + l B.

Если векторы A и B неколлинеарны, то построим сумму A + B = = +.

Построим вектор l A =, l (A + B) = (см. рис. 15 при l > 0 и рис. 16 при l < 0). Получим, что треугольники ОAB и OCD подобны. Из подобия треугольников и определения 13 получаем, что = l A. Отсюда находим, что l (A + B) = = =+=lA + l B.

Пространство геометрических векторов. Множество V3 всех геометрических векторов пространства является векторным пространством на полем действительных чисел относительно операций сложения векторов и умножения вектора на число (см. теоремы 6 и 9 § 1).. Также векторным пространством является множество V2 (V1) всех векторов плоскости (прямой).

Множество всех геометрических векторов, коллинеарных данному вектору A образует подпространство пространства V3 всех геометрических векторов.

< Предыдущая		Следующая >

Произведение вектора на число

Вам уже знакомы правило треугольника, правило параллелограмма и правило многоугольника сложения векторов.

Чтобы сложить неколлинеарные векторы  и  по правилу треугольника, нужно от некоторой точки А отложить вектор , равный вектору . Далее от точки B отложить вектор , равный вектору . Вектор  является вектором суммы двух векторов  и .

Для сложения этих же векторов можно использовать правило параллелограмма. При этом нужно отложить от произвольной точки А векторы  и , равные векторам А и  соответственно, и построить на них параллелограмм ABCD. Тогда вектор AC равен сумме векторов  и .

Для сложения нескольких векторов применяют правило многоугольника. При этом от некоторой точки последовательно откладывают векторы друг за другом, и вектором их суммы является вектор, проведённый от начала первого вектора к концу последнего.

Также вы владеете двумя способами построения вектора разности.

Можно от некоторой точки О отложить векторы   и , равные векторам  и . При этом вектором их разности будет вектор , направленный от конца вектора-вычитаемого к концу вектора-уменьшаемого.

Так же, пользуясь теоремой о разности двух векторов, разность векторов  и  можно представить в виде суммы вектора   и вектора, противоположного вектору .

Тогда, отложив от некоторой точки О вектор  =    , а от точки А — вектор  = -, по правилу треугольника получим вектор .

Он является вектором суммы вектора  и вектора, противоположного вектору . И, соответственно, вектором разности векторов  и .

Сегодня мы познакомимся с ещё одним действием над векторами — умножением вектора на число.

Но, для начала, рассмотрим пример.

Парусник дрейфует прямолинейно с одной и той же скоростью, а один из лайнеров движется в попутном направлении со скоростью в пять раз большей. Второй лайнер движется им на встречу, то есть в противоположном направлении, с той же скоростью, что и первый лайнер.

Если изобразить скорость парусника вектором , то скорость первого лайнера, движущегося в попутном направлении, нужно изобразить в виде сонаправленного вектора, длина которого в пять раз больше. И выразить эту скорость можно через скорость b умножением на 5.

Вектор скорости второго лайнера должен иметь такую же длину, как и вектор скорости первого лайнера, но он должен быть ему противоположно направленным. Значит, его можно выразить через вектор  умножением на -5.

Этот пример поможет нам ввести понятие произведения вектора на число.

Определение. Произведением ненулевого вектора  на число  называется такой вектор , длина которого равна . Причем , .

Произведение числа  обозначают так .

Следствия.

1.     Произведение вектора  на ноль, равно нулевому вектору .

2.     Ненулевой вектор  коллинеарен вектору, заданному произведением данного вектора  на число k   коллинеарны.

Ведь, если , то полученный вектор сонаправлен вектору , а если , то он противоположно направлен ему. Но в каждом из этих случаев они будут коллинеарны.

По данному вектору  построить векторы: ; ; ; .

 Длина вектора  должна быть в три раза больше длины вектора . И этот вектор будет сонаправлен вектору , ведь k в данном случае равно трём, а это больше нуля.

; .

Далее изобразим вектор , .

Длина вектора , .

Последним построим вектор .

, .

Чтобы умножить вектор  на произведение чисел k и l, можно вектор  сначала умножить на число l, а затем на число k: . Этот закон называют сочетательным, и его можно проиллюстрировать так.

Рассмотрим случай, когда , : .

Вторым свойством запишем, что . Это первый распределительный закон.

Проиллюстрируем его.

Также рассмотрим случай, когда , : .

Запишем второй распределительный закон .

Например, если рассмотреть подобные треугольники  с коэффициентом подобия k, то можно записать, что вектор , вектор , а вектор .

С другой стороны вектор . Отсюда получаем, что произведение .

Данные свойства произведения вектора на число позволяют выполнять преобразования в выражениях, содержащих суммы, разности векторов и произведения векторов на числа, так же как и в числовых выражениях.

Преобразуем выражения с векторами с помощью известных свойств.

Можно сделать вывод, что над выражениями с векторами можно выполнять все те же преобразования, что и над алгебраическими выражениями.

Задача. Начертить попарно неколлинеарные векторы ,  и . Построить векторы ,  и .

Построение.

 

Подведём итоги нашего урока.

Сегодня вы познакомились с новым действием над векторами: умножением вектора на число.

Произведением ненулевого вектора  на число k называется такой вектор , длина которого равна произведению модуля числа k и длины данного вектора . Причем векторы  и  сонаправлены, если k больше либо равно 0, и противоположно направлены, если k меньше 0.

Также записали два следствия из определения:

произведение вектора  на ноль, равно ;

ненулевой вектор  коллинеарен вектору, заданному произведением данного вектора  на число k.

Исходя из того, что произведение вектора на число обладает тремя свойствами, мы получили сочетательный закон, а также первый и второй распределительные законы.

Они позволяют выполнять преобразования в выражениях, содержащих суммы, разности векторов и произведения векторов на числа, так же как и в числовых выражениях.

Основные правила и свойства умножения вектора на число и их применение на стандартных заданиях

При обучении математике и физике в старших классах средней школы, а также в высших учебных заведениях постоянно приходится сталкиваться с понятием вектора. Учащиеся и студенты обязаны уметь проводить с векторами простейшие арифметические действия.

В статье будет показано, как умножать их на постоянные числа.

Основные понятия и определения

Чтобы в дальнейшем упростить работу со статьёй, введём некоторые формулировки и договорённости:

1. Постоянная — любое обычное число, которое может принимать определённые фиксированные значения, быть положительным, отрицательным или нулевым. Обозначать будем латинской буквой С (от греческого слова constanta, то есть постоянная).
2. Вектор — участок прямой, ограниченный двумя точками и имеющий заданное направление. Обозначать будем как (АВ). Причём точка, А является его началом, В — концом. Направление будем считать от точки, А к точке В. Допустима замена на (CD).
3. Вектора называются параллельными (коллинеарными), если они лежат на коллинеарных прямых или на одной прямой.
4. Нулевым вектором называется такой, у которого конец и начало совпадают. Называется нуль-вектор и обозначается (0).
5. Координатами (АВ) называются числа, равные его протяжённости относительно каждой из оси координат в Декартовой системе. Они находятся вычитанием из координат конца вектора координат его начала. Знак минус перед этим числом означает, что вектор направлен против направления данной оси.
6. Модулем (АВ) называется длина отрезка АВ.
7. Квадратный корень из числа или выражения условимся обозначать латинским буквосочетанием SQRT.
8. (АВ) с координатами (x, y, z) будем обозначать как (АВ) (x, y, z).

Это интересно: Как найти разность чисел в математике?

Правила умножения вектора на число

Рассмотрим, как умножить вектор на число:

1. Прежде всего отметим, что при умножении на отрицательную постоянную меняется направление на противоположное.
2. Если constanta больше -1, но меньше 1, то модуль (АВ) уменьшится. Проще говоря — отрезок станет короче.
3. Если постоянная равна нулю, С=0, то результатом вычислений окажется (0).
4. Для умножения (АВ) (x, y, z) на некую постоянную, нужно найти произведение каждой из координат с этой постоянной. Получится (А1В1) (С*x, С*y, С*z).

Интересно знать: Модуль числа в математике.

Алгебраический и геометрический смысл действия

Любое математическое действие имеет некий смысл, причём в разных науках он различается. Рассмотрим, что нам даёт этот вид умножения:

1. Геометрический смысл: (АВ)*С — это вектор, коллинеарный данному, модуль которого отличается в С раз от исходного, направление может совпадать или меняться на противоположное в зависимости от знака постоянной.
2. Алгебраический смысл: (АВ) (x, y, z)*С — это новый (А1В1) с координатами равными (С*x, С*y, С*z).
3. Физический смысл: уменьшение или увеличение в С раз силы действующей на тело или материальную точку.

Это интересно: как разложить на множители квадратный трехчлен?

Формулы умножения

При умножении проще всего использовать заранее заученные на память формулы, которые вполне можно применять по шаблону, выполняя действия буквально на полном автомате:

• С*(АВ) (x, y, z) = (А1В1) (С*x, С*y, С*z).
• 0*(АВ) = (0).

Для начала возьмём физическую задачу воздействия силы на материальную точку. Пусть на неё действует сила, описываемая (АВ) (57,63,28). Как изменится эта сила по координатам при её десятикратном увеличении?

Прежде всего следует отметить, что направление воздействия силы не изменится, а сама сила возрастёт десятикратно. При раскладке по координатам получим следующее:

10*(АВ) (57,63,28) = (А1В1) (10*57,10*63,10*28) = (А1В1) (570,630,280).

Вторую задачу возьмём аналогичную: как изменится сила, действующая на материальное тело, описываемая (АВ) (46,59,-43) при её увеличении в -0,5 раза.

Прежде всего заметим, что знак у постоянной отрицательный, следовательно, направление самой силы изменится на противоположное. Воспользуемся пунктом 2 вышеизложенных правил умножения, тогда сразу станет понятно, что численное выражение силы уменьшится вдвое. Проведём вычисления по шаблону:

-0,5*(АВ) (46,59,-43) = (А1В1) (-0,5*46,-0,5*59,-0,5*(-43)) = (А1В1) (-23,-29,5,21,5).

Следует заметить, что приведённые выше задачи решались для векторов, размещённых в пространстве и имеющих три координаты. В случае плоскостного размещения количество координат уменьшается до двух, а в случае линейного — до одной. Рассмотрим математические примеры для этих случаев:

• 33*(CD) (11,10) = (C1D1) (33*11,33*10) = (C1D1) (363,330).
• -0,2*(АВ) (-0,3,25) = (А1В1) (-0,2*(-0,3), -0,2*25) = (А1В1) (0,06, -5).
• 67*(CD) (2) = (C1D1) (67*2) = (C1D1) (134).
• 0*(АВ) (65,-87) = (0).

Возможные действия с векторами

Не следует думать, что все возможные действия ограничиваются умножениям на число. Прежде всего можно определить длину (АВ) — модуль. Он будет равняться SQRT из суммы квадратов координат. Поясним это на примере:

• модуль (АВ) (3,4) = SQRT (3 2+ 4 2) = SQRT (9 + 16) = SQRT25 = 5.

Кроме этого, из курса школьной математики и физики известно, что вектора можно слагать один с другим и вычитать друг из друга. При этом проводится сложение и вычитание соответствующих координат.

Наконец, высшая математика вводит понятия числового (скалярного) и векторного умножения двух векторов. В первом случае получится некое число, во втором — третий вектор, направленный перпендикулярно плоскости, содержащей два первых.

В данной статье приведены основы умножения вектора на число. Исходя из её материала, можно утверждать, что действие это простое и доступное любому школьнику с удовлетворительной успеваемостью. Рекомендуется изучить формулы и в своих вычислениях действовать по изложенному в тексте шаблону.

Как умножить вектор на число и что получим в результате

Вектор можно умножать на число (скалярную величину).
Что получится в результате? Легко запомнить так:
\[ \large \boxed {  \text{вектор} \cdot \text{число} = \text{вектор} } \]

То есть, умножив вектор на число, получим новый вектор.

Как умножить вектор на число

Умножая вектор на число, изменяем его длину.

Как изменится длина вектора

Длина вектора увеличивается, когда число превышает единицу (по модулю).
Если же, число меньше единицы (по модулю), длина вектора уменьшается.

Когда:
— число положительное, результат сонаправлен с начальным вектором.
— число отрицательное, результат развернется в противоположную сторону.

Рис. 1. Вектор и результаты умножения его на числа 2,5; -2,5; и 0,5; -0,5

Примечание:
Операция умножения вектора на число не поворачивает вектор на какой-либо угол относительно начального положения. То есть, начальный и конечный векторы останутся параллельными.

Когда известны координаты вектора

Зная координаты вектора, умножить его на число можно умножением каждой координаты на это число.

​\( \vec{a} = \{ a_{x}; a_{y}\} \)​ — координаты вектора \( \vec{a}\)
​\[ \large \boxed { k \cdot \vec{a} = \{ k \cdot a_{x}; k \cdot a_{y} \} }\]​

Пример из физики

Одним из примеров умножения вектора на число в физике может служить второй закон Ньютона.
Домножив обе части закона Ньютона на массу тела, получим формулу
\[ m \cdot \vec{a} = \vec{F} \]
Умножив массу этого тела – скаляр \( m \), на ускорение тела – вектор \( \vec{a} \), мы получим новый вектор \( m \cdot \vec{a} \). Этот вектор обозначим символом \( \vec{F} \) и назовем силой.
Сила, действующая на тело, придает ему ускорение.

Рис. 2. Вектор ускорения a и результат умножения его на число m

Формула \( m \cdot \vec{a} = \vec{F} \) записана в векторном виде. Такая запись означает, что речь идет не только о модулях (длинах) векторов. Векторный вид позволяет передать информацию направлении вектора.
Как отмечено выше, мы не можем повернуть вектор на какой-либо угол относительно начального положения, умножая его на число. После умножения изменится лишь длина вектора.
Значит, векторы \( \vec{F} \) и \( \vec{a} \) сонаправлены, но имеют различную длину. Длина векторов отличается в \( m \) раз.

Умножение векторов

Векторы — что это такое? дает введение в предмет.

Есть два полезных определения умножения векторов в в одном произведение — скаляр, а в другом — произведение вектор. Нет операции деления векторов. В некоторых школьные программы вы встретите скалярные произведения, но не векторные продуктов, но мы обсуждаем оба типа умножения векторов в в этой статье, чтобы дать более полное представление об основах субъект

Скалярное умножение

Скалярное произведение векторы $ {\ bf u} = (u_1, u_2, u_3) $ и $ {\ bf v} = (v_1, v_2, v_3) $ является скаляром, определяемым как $$ {\ bf u.2 \ quad (2), $$ и если $ {\ bf i, j, k} $ — единичные векторы вдоль оси тогда $$ {\ bf i.i} = {\ bf j.j} = {\ bf k.k} = 1, \ quad {\ rm и} \ quad {\ bf i.j} = {\ bf j.k} = {\ bf k.i} = 0 \ quad (3). $$ Это оставлено читателю, чтобы проверить из определения, что $$ {\ bf u.v} = {\ bf v.u}, \ {\ rm и} \ ({\ bf u + v}). {\ bf w} = {\ bf u.w} + {\ bf v.w}. $$ Это показывает, что мы можем расширять или умножать $$ {\ bf u.v} = (u_1 {\ bf i} + u_2 {\ bf j} + u_3 {\ bf k}). (v_1 {\ bf i} + v_2 {\ bf j} + u_3 {\ bf k}) $$ дает девять терминов. Используя уравнение (3), шесть из этих членов равны ноль, а остальные три дают выражение $ u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3 $ в соответствии с определением в уравнении (1).{-1} \ left ({{\ bf u.v} \ over | {\ bf u} ||| {\ bf v} |} \ right) \ quad (7). $$ В трех измерениях мы можем использовать более интуитивное определение угла с точки зрения поворота, но в более высокие размеры необходимо иметь определение угла например, формула (7). Если мы используем эту формулу для определения угла, то Правило косинуса следует прямо, поскольку они эквивалентны.

Обратите внимание, что произведение вектора-строки и вектора-столбца равно определяется в терминах скалярного произведения, и это согласуется с матричное умножение.$$ (u_1 \ u_2 \ u_3) \ left (\ begin {array} {cc} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \ end {array} \ right) = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3. $$

Векторное умножение

Векторное произведение двух векторы $ {\ bf b} $ и $ {\ bf c} $, записываемые как $ {\ bf b} \ times {\ bf c} $ (и иногда называют крестом product), это вектор $$ {\ bf b} \ times {\ bf c} = \ left ( \ begin {array} {cc} b_2c_3-b_3c_2 \\ b_3c_1 -b_1c_3 \\ b_1c_2 -b_2c_1 \ end {array} \ right) \ quad (8). $$ Существует альтернативное определение векторного произведения, а именно, что $ {\ bf b} \ times {\ bf c} $ является вектор величины $ | {\ bf b} || {\ bf c} | \ sin \ theta $ перпендикулярно $ {\ bf b} $ и $ {\ bf c} $ и подчиняясь «правилу правой руки», и докажем, что этот результат следует из данного определения и что эти два определения эквивалентны.Приведено доказательство позже для полноты, но сначала мы рассмотрим $ {\ bf b} \ times {\ bf c} $ выражается через компоненты в направлениях $ {\ bf i, j, k} $.

Из этого определения видно, что $ {\ bf b} \ times {\ bf c} = — {\ bf c} \ times {\ bf b} $, поэтому эта операция не коммутативна. Если $ {\ bf i, j, k} $ — единичные векторы вдоль осей, тогда из этого определения: $$ {\ bf i} \ times {\ bf i} = {\ bf j} \ times {\ bf j} = {\ bf k} \ times {\ bf k}, $$ и $$ \ eqalign {{\ bf i} \ times {\ bf j} & = {\ bf k}, \ quad {\ bf j} \ times {\ bf i} = — {\ bf k} \ cr {\ bf j} \ times {\ bf k} & = {\ bf i}, \ quad {\ bf k} \ times {\ bf j} = — {\ bf i} \ cr {\ bf k} \ times {\ bf i} & = {\ bf j}, \ quad {\ bf i} \ times {\ bf k} = — {\ bf j}.} $$ Из определения следует, что $$ k ({\ bf b} \ times {\ bf c}) = (k {\ bf b}) \ times {\ bf c} = {\ bf b} \ times (k {\ bf c}), \ quad \ quad ({\ bf a + b}) \ times {\ bf c} = ({\ bf a} \ times {\ bf c}) + ({\ bf b} \ times {\ bf c}). $$ Расширение выражения $$ {\ bf b} \ times {\ bf c} = (b_1 {\ bf i} + b_2 {\ bf j} + b_3 {\ bf k}) \ times (c_1 {\ bf i} + c_2 {\ bf j} + c_3 {\ bf k}) $$ дает $$ (b_2c_3-b_3c_2) {\ bf i} + (b_3c_1-b_1c_3) {\ bf j} + (b_1c_2-b_2c_1) {\ bf k} \ quad (9) $$ который — формула для векторного произведения, заданная в уравнении (8).

Теперь мы докажем, что два определения умножения векторов эквивалент. На схеме показаны направления векторов $ {\ bf b} $, $ {\ bf c} $ и $ {\ bf b} \ times {\ bf c} $, которые образуют правую вручил набор ».

Вы можете закончить чтение здесь, и это действительно больше важно понимать, что есть два определения вектора продукт, который может быть доказан как эквивалентный, чем он механически проработать детали доказательства.

Теорема Вектор произведение двух векторов $ {\ bf b} $ и $ {\ bf c} $ является вектором $ {\ bf b} \ times {\ bf c} $ со следующими свойствами:

(i) $ {\ bf b} \ times {\ bf c} $ имеет величина $ | {\ bf b} || {\ bf c} | \ sin \ theta $, где $ \ theta $ — угол между направлениями $ {\ bf b} $ и $ {\ bf c} $;

(ii) $ {\ bf b} \ times {\ bf c} $ — это перпендикулярно $ {\ bf b} $ и $ {\ bf c} $ с направлением, таким, что векторы $ {\ bf b} $, $ {\ bf c} $ и $ {\ bf b} \ times {\ bf c} $ образуют правый набор, как на схеме, так что $ {\ bf b} \ times {\ bf c} $ и $ {\ bf c} \ times {\ bf b} $ направлены в противоположные стороны. 2 $.2} \ cr & = | {\ bf b} \ times {\ bf c} |. } $$

Доказательство части (ii) Кому показать, что $ {\ bf b} $ и $ {\ bf b} \ times {\ bf c} $ перпендикулярны покажем, что скалярное произведение равно нулю: $$ {\ bf b}. {\ bf b} \ times {\ bf c} = b_1 (b_2c_3-b_3c_2) + b_2 (b_3c_1-b_1c_3) + b_3 (b_1c_2-b_2c_1) = 0, $$ и аналогично скалярное произведение $ {\ bf c} $ и $ {\ bf b} \ times {\ bf c} $ равен нулю, поэтому эти векторы перпендикулярны.

Объяснитель урока: скалярное умножение и единичные векторы

В этом пояснителе мы узнаем, как умножить вектор на скаляр и как найти единичный вектор в Направление любой заданный вектор путем деления вектора на скаляр.

Вектор — это величина, которая имеет как величину, так и направление. Сочетание этих функций делает vector — универсальный инструмент, имеющий множество применений. Несколько примеров включать описание положения точки в пространство относительно другой точки и выражающее скорость движущегося тела.

Векторы часто выражаются связью их с набором координат и, следовательно, имеют больше чем один компонент. А Трехмерный вектор ⃑𝑉 часто выражается через декартовы координаты 𝑥, 𝑦 и 𝑧, ⃑𝑉 = (𝑥, 𝑦, 𝑧), или используя единичные векторы, ⃑𝑉 = 𝑥⃑𝑖 + 𝑦⃑𝑗 + 𝑧⃑𝑘.

В отличие от этого, скаляр — это величина, имеющая величину но нет направления. Скаляр часто можно представить по одному номеру, без дополнительной информации.

Умножить два скаляра вместе просто, но в этом пояснении мы собираемся исследовать скалярное умножение вектор. Как следует из названия, это включает в себя умножение вектора на скаляр.

Рассмотрим частицу, движущуюся со скоростью. Если частица продолжает двигаться в том же направлении, но ее скорость удваивается по величине, как это описать? Простой ответ — 2⃑𝑉.Поскольку мы умножили скаляр на вектор, это пример скалярного умножения.

Давайте посмотрим, как это соотносится с компонентами вектора.

Определение: скалярное умножение

Умножение скаляра на вектор известно как скалярное умножение.

Рассмотрим вектор ⃑𝑉 и скаляр 𝑘: ⃑𝑉 = (𝑥, 𝑦, 𝑧).

При выполнении скалярного умножения скаляр можно распределить по компонентам вектора: 𝑘⃑𝑉 = 𝑘 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑘𝑥, 𝑘𝑦, 𝑘𝑧).

Результатом скалярного умножения также является вектор, где величина исходного вектора умножается на значение, представленное скаляром.

Мы рассмотрим простой пример, прежде чем перейти к более интуитивным интерпретациям скалярного умножения.

Пример 1: Умножение двумерного вектора на скаляр

Учитывая, что ⃑𝐴 = (- 1, −8), найти 3⃑𝐴.

Ответ

На этот вопрос нам дали двумерный вектор и попросили произвести умножение на скалярную величину. из 3.

Для этого мы можем просто умножить 𝑥 а 𝑦-компонента вектора заданными скаляр: 3⃑𝐴 = 3 (−1, −8) = (3 (−1), 3 (−8)) = (- 3, −24).

После некоторого упрощения мы находим, что наш результат представляет собой вектор с 𝑥 компонент −3 и 𝑦 составляющая −24.

Обратите внимание, что вектор 3⃑𝐴 имеет то же направление, что и ⃑𝐴, но его величина теперь больше, после того, как фактор 3.

Вопрос выше дает нам числовой пример скалярного умножения на положительное число. Поскольку векторы часто представлены в виде стрелок, давайте рассмотрим несколько наглядных примеров.

Как мы видели, умножение вектора на положительный скаляр не изменить направление результирующего вектора, но масштабирует его величину.

Рассмотрим визуальное представление вектора ⃑𝑉, при различных формах скалярного умножения.

Обратите внимание на часть (A) диаграммы.Умножающий вектор ⃑𝑉 на 1 даст нам тот же результат, что и исходный вектор, и его величина не изменится; однако, умножая на 3 увеличило бы величину в 3 раза.

Раздел (B) диаграммы показывает, что важно понимать, что умножение вектора на отрицательное число не изменяет направление . Рассмотрим простейший случай, когда вектор ⃑𝑉 умножается на -1. Величина вектор останется неизменным, но его направление будет обратным поскольку все компоненты поменяют знак: ⃑𝑉 = (𝑥, 𝑦) −⃑𝑉 = (- 𝑥, −𝑦).

Умножение на отрицательное число, отличное от -1 изменит направление, а также масштабирует величину вектора.

Наконец, для раздела (C) диаграммы отметим, что скалярное умножение не ограничивается целыми числами или числами которые больше 1. Если величина скаляра меньше 1, скалярное умножение приведет к вектору с меньшей величиной (или меньшей длиной), чем оригинал.

Пример 2: Графическое умножение двумерного вектора на скаляр

⃑𝐴 представлен на следующем графике.

Какой из следующих графиков представляет −2⃑𝐴?

Ответ

Давайте сначала рассмотрим менее формальное решение этой проблемы.

Вопрос дает нам вектор ⃑𝐴 и просит нас выполнить скаляр умножение на коэффициент −2. С мы имеем дело с отрицательным скаляром, мы знаем, что эта операция изменит направление нашего исходного вектора.

Вектор ⃑𝐴 имеет начальную точку в исходной точке и ее конечной точке в верхнем правом квадранте.Если бы результирующий вектор был чтобы также начать с начала координат (как показано во всех вариантах), мы знаем, что его конечная точка должна находиться внизу слева квадрант, так как направление обратное.

Единственный график, который соответствует этому описанию, — это вариант (а), и так что кажется, что это правильный ответ.

Мы также можем рассмотреть величину нашего скаляра. С | −2 | = 2, вектор, который получается из нашего скалярного умножение будет иметь удвоенную длину оригинала.Визуально осматривая вариант (а), кажется, что это дело!

Для дальнейшей проверки нашего решения мы можем использовать более формальный подход. определив сначала вектор ⃑𝐴. От нашего график, мы видим, что начальная точка ⃑𝐴 — начало координат, имеющее координаты (0,0), а конец лежит в точке (1,1). Отсюда следует, что ⃑𝐴 = (1,1) — (0,0) = (1,1).

Теперь, когда мы определили вектор ⃑𝐴, мы можем выполнить скалярное умножение следующим образом: −2⃑𝐴 = −2 (1,1) = (- 2 (1), — 2 (1)) = (- 2, −2).

Как уже упоминалось, все варианты с множественным выбором, которые у нас есть, включают вектор, который начинается в начале координат. Если вектор (−2, −2), начинается в начале координат, его конечная точка будет в координатах (−2, −2).

График, соответствующий этому описанию, представляет собой вариант (а), и, следовательно, мы подтвердили, что это правильный ответ.

Еще одно важное понятие, которое может быть связано со скалярным умножением. это единичный вектор. Мы знакомы с единичными векторами ⃑𝑖, ⃑𝑗, и ⃑𝑘.Это векторы величины 1 в 𝑥-, 𝑦- и 𝑧-направления соответственно.

Фактически любой вектор длины 1 можно рассматривать как единичный вектор! Таким образом, мы можем определить единичный вектор в любом заданном направлении или для любого набора координат. Давайте формально обобщить это понятие.

Определение: Единичные векторы

Единичный вектор — это вектор, имеющий величину длины 1.

Мы можем найти единичный вектор, обозначенный ⃑𝑣, в направлении ⃑𝑉 разделив вектор на его величину: ⃑𝑣 = ⃑𝑉‖‖⃑𝑉‖‖.

Напомним, что величина вектора ⃑𝑉 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) определяется выражением ‖‖⃑𝑉‖‖ = √𝑥 + 𝑦 + 𝑧.

Учитывая приведенное выше определение единичного вектора, мы должны отметить, что эквивалент математическое утверждение ⃑𝑣 = ⃑𝑉‖‖⃑𝑉‖‖.

Обратите внимание, что величина ‖‖⃑𝑉‖‖ не имеет чувства направления и поэтому является скаляром. Это значит, что 1‖‖⃑𝑉‖‖ также является скаляром.

Оглядываясь на нашу формулу, мы теперь можем признать, что она включает в себя умножение скаляра 1‖‖⃑𝑉‖‖ и вектор ⃑𝑉.Процесс поиска юнита вектор в заданном направлении, следовательно, можно рассматривать как «Частный случай» скалярного умножения!

Вместо того, чтобы умножать вектор на заданный скаляр, мы находим скаляр, который даст нашему результату желаемый величина. В случае ⃑𝑉 = (𝑥, 𝑦, 𝑧), наш расчет может выглядеть так: ⃑𝑣 = 1‖‖⃑𝑉‖‖⃑𝑉 = 1√𝑥 + 𝑦 + 𝑧 (𝑥, 𝑦, 𝑧) .

Поскольку скалярное умножение на положительное число не меняет направления вектора, результат будет новый вектор, который указывает в том же направлении ⃑𝑉 но имеет величину 1.Это определение ⃑𝑉.

В качестве небольшого примечания, в то время как стандартным является использование акцент с циркумфлексом (или «шляпа»), например 𝑉 для обозначения единичного вектора, вы обычно будет ̂𝑖, ̂𝑗, и ̂𝑘 без этого обозначения. Поскольку эти три единичных вектора широко используются, они часто представлены как всего ⃑𝑖, ⃑𝑗, и ⃑𝑘.

Давайте посмотрим на пример поиска единичного вектора.

Пример 3: Нахождение единичного вектора в терминах исходного вектора

Найдите единичный вектор в том же направлении, что и вектор ⃑𝑖 − ⃑𝑗 − ⃑𝑘.

Ответ

Этот вопрос дал нам вектор ⃑𝑖 − ⃑𝑗 − ⃑𝑘 и попросил нас найти единичный вектор в том же направлении. Это будет вектор величины 1. Обратите внимание, что нам дано наш вектор через единичные векторы ⃑𝑖, ⃑𝑗, и ⃑𝑘 но это не влияет на метод, который мы будем использовать.

Нашим первым шагом будет определение величины ⃑𝑖 − ⃑𝑗 − ⃑𝑘. Обратите внимание, что в то время как отдельные компоненты этого вектора в 𝑥-, 𝑦- и 𝑧-направления все равны 1, это не означает, что сам вектор имеет величину 1: ‖‖⃑𝑖 − ⃑𝑗 − ⃑𝑘‖‖ = 1 + (- 1) + (- 1) = √1 + 1 + 1 = √3.

Теперь вспомним, что для нахождения единичного вектора некоторого вектора ⃑𝑉, делим его по величине: ⃑𝑣 = ⃑𝑉‖‖⃑𝑉‖‖ = 1‖‖⃑𝑉‖‖⃑𝑉.

Чтобы найти единичный вектор для заданного вопроса, поэтому мы можем выполнить следующий расчет: 1√3⃑𝑖 − ⃑𝑗 − ⃑𝑘 = √33⃑𝑖 − ⃑𝑗 − ⃑𝑘.

На вышеуказанных этапах мы выполнили общую технику рационализации знаменатель, чтобы получить ответ. Эта форма ответа совершенно верна, поскольку она выражает единичный вектор как кратное исходному вектору.

Эквивалентное выражение можно получить, умножив индивидуальную компоненты вектора по скаляру: = √33⃑𝑖 − √33⃑𝑗 − √33⃑𝑘.

В нашем последнем примере мы объединим наши навыки скалярного умножения вместе с другими векторными операциями в чтобы решить задачу единичного вектора.

Пример 4: Объединение скалярного умножения, векторных операций и вычислений единичного вектора

Дано ⃑𝐴 = (2,0; −2) и ⃑𝐵 = (1, −1,1), определить единичный вектор в направлении 2⃑𝐵 − ⃑𝐴.

Ответ

Этот вопрос просит нас найти единичный вектор в направлении 2⃑𝐵 − ⃑𝐴, и для этого нам понадобится величина вектора 2⃑𝐵 − ⃑𝐴.

Чтобы найти эту величину, давайте сначала найдем компоненты 2⃑𝐵 − ⃑𝐴.Для этого потребуется комбинация скалярных умножение и вычитание векторов: 2⃑𝐵 − ⃑𝐴 = 2 (1, −1,1) — (2,0, −2).

Мы можем составить уравнение, используя векторы ⃑𝐴 и ⃑𝐵 задано в вопросе. Обратите внимание, что первый член в правой части — это скалярное умножение. Скаляр 2 может быть распределены между компонентами ⃑𝐵. Следующий это мы сможем выполнить вычитание вектора: 2⃑𝐵 − ⃑𝐴 = (2, −2,2) — (2,0, −2) = (0, −2,4).

Теперь, когда у нас есть компоненты 2⃑𝐵 − ⃑𝐴, мы можем найти его величину: ‖‖2⃑𝐵 − ⃑𝐴‖‖ = 0 + (- 2) + 4 = √0 + 4 + 16 = √20 = 2√5.

Обратите внимание, что на нашем последнем шаге мы упростили нашу величину взяв множитель 2 вне радикала.

Теперь, когда мы нашли компоненты 2⃑𝐵 − ⃑𝐴 и его величину, мы можем найти единичный вектор в направлении из 2⃑𝐵 − ⃑𝐴 применяя следующее правило: ⃑𝑣 = ⃑𝑉‖‖⃑𝑉‖‖ = 1‖‖⃑𝑉‖‖⃑𝑉.

Чтобы найти наш единичный вектор, разделим 2⃑𝐵 − ⃑𝐴 по своей величине. Другой способ выразить это — умножить величина, обратная величине исходного вектора: 1‖‖2⃑𝐵 − ⃑𝐴‖‖2⃑𝐵 − ⃑𝐴 = 12√5 (0, −2,4) = √510 (0, −2,4) = 0, −2√510,4√510 = 0, −√55,2√55.

После нескольких шагов упрощения мы пришли к нашему ответу.

В качестве последнего примечания, можно выполнить быструю проверку, убедившись, что наш ответ является вектором величины 1: 0 +  − √55 + 2√55 = 525 + 2025 = 2525 = 1.

Конечно, в этом случае этот шаг необязателен, но иногда он может быть полезен при работе с более длинными расчеты.

Давайте подытожим некоторые ключевые моменты, касающиеся скалярного умножения и единичных векторов.

Ключевые моменты

• Умножение скаляра на вектор называется скалярным умножением.
• При выполнении скалярного умножения скаляр может быть распределены по компонентам вектора: 𝑘⃑𝑉 = 𝑘 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑘𝑥, 𝑘𝑦, 𝑘𝑧).
• Результатом скалярного умножения также является вектор, в котором умножается величина исходного вектора. значением, представленным скаляром.
• Когда скаляр является положительным числом, результирующий вектор имеет то же направление, что и исходный. Когда скаляр отрицательный, результирующий вектор противоположен исходному.
• Единичный вектор — это вектор, величина которого равна 1.
• Мы можем найти единичный вектор, обозначенный ⃑𝑣, в направлении ⃑𝑉 разделив исходный вектор на его величину: ⃑𝑣 = ⃑𝑉‖‖⃑𝑉‖‖ = 1‖‖⃑𝑉‖‖⃑𝑉.

Вектор по математике | Определение, умножение и примеры (видео)

Векторы в математике — это величины с двумя атрибутами: , величина и направление , . Здесь вы можете узнать о векторах, как складывать и вычитать векторы, как умножать векторы на скалярные величины и как векторы указывают путь в реальной жизни.

Содержание

1. Векторное определение
2. Векторный символ
3. Сложение и вычитание векторов
4. Векторы смещения
5. Умножение векторов на скаляр
6. Примеры векторных изображений

Векторное определение

Вектор — это величина в математике, которая имеет величину , (расстояние, скорость или размер) и направление , (как на стрелке компаса, например, запад, вверх, юго-восток, вниз или север на северо-запад) .

Гребя на лодке через залив, вы можете подумать, что гребете строго на юг со скоростью 3 узла, но если приливы отступают, вы можете двигаться со скоростью 5 узлов на юго-восток.

Вектор или несколько векторов, работающих вместе, будут учитывать расстояние, на которое вы гребете, вашу скорость и ваше фактическое направление.

Векторный символ

Для представления векторов математики, физики и инженеры используют лучи, помечая их строчными или прописными буквами, например:

Советы по маркировке векторов:

• Все векторы называются от хвоста (начальной точки) до стрелки, поэтому у нас есть вектор AB, а не вектор BA
• Если вы маркируете свои векторы, решение использовать прописные или строчные буквы остается за вами; если вам заданы векторы, обратите внимание на направление вектора (посмотрите на стрелки)
• Векторы могут быть параллельны и указывать в одном или противоположных направлениях (посмотрите на стрелки)
• Векторы одинаковой величины, но направленные в противоположные стороны, являются противоположными, поэтому вектор b также можно записать как -a , что отрицает величину a

Вектор единичной длины называется единичным вектором и обозначается так называемой шляпой: v ^

Сложение и вычитание векторов

Простая векторная математика не слишком сложна.

Чтобы сложить векторы, мы соединяем хвост одного вектора с головой другого, используя стрелку. Прямолинейный луч, соединяющий два вектора, является результирующим r, как на этом рисунке:

Добавляем вектор CD к вектору EF и получаем r.

Вот загвоздка: дает ли эта цифра те же результаты, что и предыдущая?

Здесь мы добавляем вектор EF к вектору CD, и по-прежнему получаем результирующий r. Векторы подчиняются тем же правилам арифметики, что и целые числа (здесь свойство коммутативности).

В реальном мире два путешествия по векторам могут показать вам совершенно разные пейзажи. В математике, поскольку два вектора не изменили своего направления или величины, результирующие идентичны: CD + EF = EF + CD = r.

Вычитание вектора занимает всего два шага:

1. инвертирует вектор, который вы хотите вычесть
2. затем сложите два вектора вместе

Вот векторы SA и IL, показывающие маршрут, который, как мы думали, мы ехали на парусной лодке:

Мы не осознавали, что течение было сильным; мы заблудились в тумане; солнце слепило.По какой-то причине, вместо того, чтобы следовать вектору IL, мы пошли в направлении , противоположном направлению . Поэтому вместо того, чтобы добавлять вектор IL, нам нужно его вычесть. Мы делаем это, инвертируя вектор IL и добавляя его к вектору SA:

.

SA + (-IL) = r

Умножение векторов на скаляр

Умножение вектора на скаляр (действительное число) называется скалярным умножением .

Векторы состоят из двух частей (величины и направления), но мы не можем умножить направление.В этом нет смысла: два «юга» не более обращены на юг, чем один «юг». Но мы, , можем на умножить величину вектора:

• Умножение вектора на положительный скаляр целого числа > 1 дает вектор большего размера
• Умножение вектора на отрицательный скаляр целого числа <-1 дает больший вектор в , противоположном направлению
• Умножение вектора на 1 возвращает тот же вектор (смещение 0)
• Умножение вектора на положительный дробный скаляр <1 дает меньший вектор
• Умножение вектора на отрицательный дробный скаляр > -1 дает меньший вектор в направлении , противоположном направлению

Два вектора также можно умножить друг на друга с помощью перекрестного произведения или скалярного произведения.

Перекрестное произведение двух векторов дает новый вектор, а скалярное произведение дает число, иногда известное как скалярное произведение.

Величина вектора

Величина вектора отображается как абсолютное значение: a, или двумя линиями, чтобы не путать его с абсолютным значением: ∥a∥.

Если вы знаете значения по оси x и оси y вектора (как если бы он был на карте или в декартовой системе координат), вы можете легко вычислить его величину, применив теорему Пифагора к изменению положения от хвоста к стрелке:

Итак, здесь, с хвостом в (1, 4) и стрелкой в ​​(7, 8), у нас есть изменение значения x на 6 и изменение значения y на 4, поэтому:

∥u∥ = 62 + 42

∥u∥ = 36 + 16

∥u∥ = 52

∥u∥ = 7.2111 шт.

Величина вектора составляет 7,2111 единиц.

Единица измерения определяется тем, что вы измеряете; дюймы, километры, мили в час (миль / ч) и т. д. Итак, если бы мы просто измерили расстояние в милях, то длина вектора составила бы 7,2111 мили.

Скаляр в сравнении с векторами

Для ясности, скалярные величины — это только величины: масса, температура, скорость, объем, расстояние, энергия, работа и так далее. Думайте о них как о чистых числах.

Слушайте или читайте внимательно : Слушайте или читайте две величины, например скорость и направление ? Тогда вы имеете дело с вектором.Не читаете и не слышите две величины? Вероятно, вы имеете дело со скаляром.

Векторы смещения

Летающие супергерои редко выбирают кратчайший путь от Daily Bugle или Daily Planet до бедствия того дня. Они прыгают, петляют, прыгают и перекатываются, прежде чем наконец прибывают в самый последний момент.

Если бы мы использовали векторы для построения курса летающего супергероя, нам могло бы потребоваться пять или шесть векторов, чтобы учесть все эти обходные пути. Вектор смещения разрезает от начала до конца по прямой линии:

Смещение в этом смысле исходит из физики, что означает изменение положения относительно исходного положения.

Вы вставляете правую руку; вы вытягиваете правую руку: нулевое смещение. Вы ча-ча-ча три шага влево и два шага вправо: вектор смещения на один шаг влево.

На этом рисунке мы видим, что вектор смещения также является результирующим.

Расчет смещения по-прежнему осуществляется вектором n + вектором v = r, потому что векторы a и y отрицают друг друга!

Вы можете подумать, что мы потратили много усилий, чтобы переместиться на такое небольшое расстояние, но что, если бы мы были на корабле ВМФ и должны были обогнуть пристань или охраняемый заповедник? Тогда мы видим, что это действительно был кратчайший маршрут

.

Векторные примеры

Все эти измерения являются примерами векторов, потому что все они включают расстояние или величину силы и направление:

• Скорость
• Сила
• Разгон
• Импульс
• Рабочий объем

Коммерческие авиалайнеры, истребители, лодки, автомобили, велосипедисты, бегуны, падающие объекты, ракеты, воздушные шары, бумажные самолетики и подводные лодки — все это примеры движущихся объектов, которые используют векторы в повседневной жизни.

Пилоты и штурманы должны использовать векторы, чтобы добраться до места назначения. Ракетчики и аэрокосмические инженеры используют векторы для управления ракетами.

Есть одно исключение из векторов, имеющих длину и направление, и это нулевой вектор. У нулевого вектора нет длины, поэтому он не указывает в каком-либо конкретном направлении. Это означает, что нулевой вектор имеет неопределенное направление.

Основные векторные задачи

1. Что будет, если мы умножим вектор на 4?

Надеемся, вы сказали, что он будет указывать в том же направлении, но будет в четыре раза длиннее!

2. «25 узлов к югу на юго-запад» — это скаляр или вектор?

Это вектор, поскольку он дает величину и направление.

3. Что будет с вектором, если мы умножим его на -12?

Надеемся, вы сказали, что он будет вдвое короче и пойдет в обратном направлении!

4. Два вектора параллельны, но указывают в противоположных направлениях. Один из них — вектор z. Какой другой вектор?

Мы надеемся, что вы вспомнили об отрицании векторов, обозначив его -z.

Следующий урок:

Поперечные линии (углы и определение)

Умножение вектора

Умножение вектора на вектор дает некоторые интересные результаты, называется векторным внутренним произведением и векторным внешним произведением.

Предварительные требования: Этот материал предполагает знакомство с матричное умножение.

Внутреннее произведение вектора

Предположим, что a и b являются векторы, каждый с одинаковым количеством элементов. Затем внутренний продукт из и и b равно s .

а ‘ б = b ‘ a = с

где
a и b — векторы-столбцы, каждый имеет n элементов,
a ‘ — это транспонирование a , что делает a ‘ вектор-строка,
b ‘ — это транспонирование b , что делает b ‘ вектор-строка, а
s — скаляр; то есть s — действительное число, а не матрица.

Обратите внимание на этот интересный результат. Произведение двух матриц обычно другая матрица. Однако внутреннее произведение двух векторов разное. В результате получается действительное число, а не матрица. Это проиллюстрировано ниже.

Тогда

a ‘ b = 1 * 4 + 2 * 5 + 3 * 6 = 4 + 10 + 18 = 32

Таким образом, внутреннее произведение a’ b равно равно 32.

Примечание. Внутренний продукт также известен как скалярное произведение или как скалярное произведение .

Внешний продукт вектора

Предположим, что a и b являются векторов. Затем внешний продукт из и и b — это C .

a b ‘ = C

где
a — вектор-столбец, имеющий m элементов,
b — вектор-столбец, содержащий n элементов,
b ‘ — это транспонирование b , что делает b ‘ вектор-строка, а
C представляет собой прямоугольную матрицу m x n

В отличие от внутреннего произведения, внешнее произведение двух векторов дает прямоугольная матрица, а не скаляр.Это проиллюстрировано ниже.

Тогда,

C = a b ‘ =

906 906 906 906 906 v * x v * y v * z w * y w * z

Обратите внимание, что элементы Matrix C состоят из произведение элементов вектора A , скрещенных с элементы из вектора B .Таким образом, Matrix C оказывается матрицей перекрестных произведений двух векторов.

Проверьте свое понимание

Проблемы

Рассмотрите векторы, показанные ниже — a , b , и c

Используя a , b и c , ответить на вопросы ниже.

1. Найдите a ‘ b , внутреннее произведение a и b .
2. Найдите b c ‘, внешнее произведение b и c .
3. Верно или неверно: b c ‘ = c b’

Решения

1. Термин a ‘ b является внутренним продуктом, что равно 3. Решение представлено ниже.

   a ‘ b =

   *

   
   

   a’ b =

   903 0 * 3 Термин b c ‘ является внешним продуктом.Вот матрица 2 x 3, как показано ниже. b c ‘ = * 2 Заявление b c ‘ = c b ‘ ложно. Обратите внимание, что b — это вектор 2 x 1, а c вектор 3 x 1.Следовательно, b c ‘ представляет собой матрицу 2 x 3, а c b ‘ представляет собой Матрица 3 x 2. Потому что b c ‘ и c b ‘ имеют разные Габаритные размеры, они не могут быть равны. Скаляр — вектор, умножение, векторы и направление Скаляр — это число или мера, обычно представляющая физическую величину, не зависящую от направления. Например, расстояние — это скалярная величина, поскольку она может быть полностью выражена как чистое число без ссылки на пространственные координаты.Другие примеры скалярных величин включают массы , температуры и времени . Термин «скаляр» первоначально относился к любой величине, которую можно измерить по шкале. Возьмем, к примеру, числа на шкале термометра , которые измеряют температуру. Эти значения требуют положительного или отрицательного знака , чтобы указать, больше они или меньше нуля , но они не требуют указания направления, потому что у них нет компонента, который описывает их местоположение в пространстве.Такие физические величины, которые можно полностью описать чистым числом и не требующие направленного компонента, называются скалярными величинами или скалярами. С другой стороны, есть другие физические измерения, которые имеют не только величину (скалярную) компоненту, но также и компонент направления. Например, хотя мы обычно не думаем об этом как о таковом, скорость описывается не только скоростью, но и направлением движения. Точно так же другие физические величины, такие как сила , , вращение и магнетизм, , также включают пространственную ориентацию.Математическое выражение, используемое для описания такой комбинации величины и направления — вектор от латинского слова «носитель». В простейшей форме вектор можно описать как направленный отрезок линии. Например, если A и B — две разные точки, а AB — это отрезок прямой, идущий от A до B, то AB также можно назвать вектором, v. Скаляры — это компоненты векторов, которые описывают его величину, они предоставляют информацию о размере векторов. Например, для вектора, представляющего скорость, скаляр, который описывает величину движения, называется скоростью.Направление движения описывается углом , обычно обозначаемым как θ (тета). Способность отделять скалярные компоненты от соответствующих им векторов важна, поскольку позволяет математически манипулировать векторами. Двумя распространенными математическими манипуляциями с использованием скаляров и векторов являются скалярное умножение , и векторное умножение. Скалярное умножение достигается путем умножения скаляра и вектора вместе, чтобы получить другой вектор с другой величиной.Это похоже на умножение числа на коэффициент масштабирования для увеличения или уменьшения его значения пропорционально его исходному значению. В приведенном выше примере, если скорость описывается вектором v и если c — положительное число , то cv — это другой вектор, направление которого совпадает с направлением v, а длина — c | v |. Следует отметить, что отрицательное значение для c приведет к вектору с направлением, противоположным v. Когда вектор умножается на скаляр, его можно сделать больше или меньше, или его направление может быть изменено на противоположное, но угол его направление относительно другого вектора не изменится.Скалярное умножение также используется в алгебре матриц , где векторы выражаются в прямоугольных массивах, известных как матрицы. В то время как скалярное умножение приводит к другому вектору, умножение векторов (в котором два вектора умножаются вместе) приводит к скалярному произведению. Например, если u и v — два разных вектора с углом между ними q, то умножение двух дает следующее: u . v = | uv | cosq. В этой операции значение cos θ отменяется, и результатом является просто скалярное значение uv.Скалярное произведение иногда называют скалярным произведением, поскольку точка используется для обозначения операции. Умножение вектора на скаляр Умножение вектора на скаляр Вектор, умноженный на скаляр λ, дает другой вектор, λ. Если λ — положительное число, то λ также находится в направлении. Если λ — отрицательное число, λ — направление, противоположное вектору. Скалярный Произведение двух векторов Определение скалярное произведение (или скалярное произведение) двух векторов определяется как произведение величины обоих векторов и косинус угла между ними. Таким образом если есть два вектора и угол θ между ними, то их скалярное произведение определяется как ⋅ = AB cos θ. Здесь A и B — величины и. Недвижимость количество товара ⋅ составляет всегда скаляр. Положительно, если угол между векторами острый (т. е. <90 °) и отрицательное, если угол между ними тупой (т.е.е. 90 ° <θ <180 °). выполненная работа — это, по сути, скалярное произведение между вектором силы и вектор смещения. Помимо проделанной работы, существуют и другие физические величины. которые также определяются через скалярные произведения. The Векторное произведение двух векторов Определение Векторное произведение или кросс-произведение двух векторов определяется как другой вектор, имеющий величину, равную произведение величин двух векторов и синуса угла между их.Направление вектора произведения перпендикулярно плоскости содержащий два вектора, в соответствии с правилом правого винта или линейка для большого пальца правой руки (рис. 2.22) . Свойства векторного (перекрестного) произведения. А количество величин, используемых в физике, определяется через векторные произведения. В частности, физические величины, представляющие вращательные эффекты, такие как крутящий момент, угловой момент, определяются через векторные произведения. Недвижимость компонент векторов Если два вектора и равны, то их отдельные компоненты также равны. Решено Примеры задач умножения вектора на скаляр Решенные Примеры задач для скалярного произведения двух векторов Решено Примеры задач для векторного произведения двух векторов Решено Примеры задач для свойств компонентов векторов Учебный материал, конспекты лекций, задания, ссылки, объяснение описания Wiki, краткая деталь 11-я физика: кинематика: умножение вектора на скаляр | с решенными примерами задач b c’ = Скалярное и матричное умножение Скалярный и матричное умножение (стр. 1 из 3) Есть два типа умножение для матриц: скалярное умножение и умножение матриц.Скалярное умножение — это просто. Вы просто набираете обычный номер (называется «скаляр») и умножьте его на каждую запись в матрице. Для следующей матрицы А , найти 2 A и 1 A . Сделать первый скаляр умножение, чтобы найти 2 А , Я просто умножаю 2 на каждую запись в матрице: Другое скалярное умножение, найти 1 A , работает аналогично: Итак, окончательный ответ: авторское право Элизабет Стапель 2003-2011 Все права защищены Скалярное умножение легко.Однако умножение матриц — это совсем другая история. По факту, это королевская боль. Ваш текст, вероятно, дал вам сложную формулу для процесс, и эта формула, вероятно, не имела для вас никакого смысла. Это хорошо. Процесс грязный, и эта сложная формула — лучшее, что они может пригодиться для объяснения в формальной обстановке, например, в учебнике. Вот как работает процесс: Найти продукт AB для следующих матриц: Для расчета AB , Записываю А и B рядом друг с другом вот так: Теперь мне нужно умножить РЯД А КОЛОННАМИ B .Под этим я подразумеваю, что сначала беру первый ряд A и первый столбец B , и я умножаю первые записи, затем вторые записи, а затем третьи записи, а затем я добавляю три продукта. Сумма одна запись в матрице продуктов AB ; фактически, будучи произведением строки 1 и столбец 1, результатом является 1,1-запись из AB .Затем я продолжаю в том же духе. Например, сумма произведений из 2-го ряда из А и столбец 1 из B 2,1-запись из AB . Когда я умножаю матрицы, Я использую пальцы, чтобы следить за тем, что я делаю. Следующая анимация это моя попытка проиллюстрировать этот процесс. (Не смейтесь, я не художник!) (Итак, класс; что я сказать про смех?) Окончательный ответ: Как вы видели в приведенном выше примере, по общему правилу продукт i -й ряд А и j -й колонка Б это i , j -й запись в матрице продуктов AB .Это общее правило по большей части представляет собой сложную формулу в ваш текст был о. Например, когда я, в в приведенном выше примере сначала умножили на ряд (из А ) и второй столбец (из B ), это дало мне первая строка — второй столбец запись в матрице продуктов AB . Вверх | 1 | 2 | 3 | Вернуться к указателю Далее >> Цитируйте эту статью как: Стапель, Елизавета.«Скалярное и матричное умножение». Purplemath . Доступно по номеру https://www.purplemath.com/modules/mtrxmult.htm . Дата обращения [Дата] [Месяц] 2016 г. . alexxlab Добавить комментарий Отменить ответ Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены * Комментарий * Имя * Email * Сайт Рубрики Прост Радио Разное Своими руками Советы Схем Схемы Транзист Транзисторы Электрон Электроника