Теорема Гаусса-Остроградского

Теорема Гаусса-Остроградского

[ •• ]

Теорема Гаусса-Остроградского

Поток вектора через произвольную замкнутую поверхность S равен интегралу от дивергенции этого вектора по объему V, охваченному поверхностью.

Умножим каждый интеграл на малый промежуток времени ∆ t.

Если вектор трактовать как вектор скорости, то, как видно из рисунка, . То есть левый интеграл равен увеличению объема области за промежуток времени ∆ t.

С другой стороны, дивергенция скорости равна относительному изменению объема в единицу времени. Если разбить область V на бесконечно малые области d V, то изменение объема каждой такой малой области можно рассчитать по формуле:

.

Следовательно интеграл справа тоже дает приращение объема области V за промежуток времени ∆ t, что и доказывает теорему для вектора скорости. Очевидно, что теорема будет справедлива и для любого другого вектора, поскольку его всегда можно трактовать, как вектор скорости.

Следовательно для любого вектора справедлива теорема Гаусса-Остроградского

.

В декартовой системе координат

Координаты вектора можно заменить на три произвольные непрерывные и дифференцируемые функции.

Обобщим теорему Остроградского на тензоры второго ранга. Для этого в качестве произвольных функций выберем координаты тензора . Запишем три равенства

Откуда следует, что в декартовой системе координат будет выполняться равенство

, или .

Поскольку под знаками интегралов записаны инвариантные выражения, то равенство будет выполняться в любой координатной системе.

Для механики особый интерес представляет случай, когда тензор является тензором напряжений. Если вектор напряжения обозначать , то . Следовательно интеграл слева представляет собой сумму сил, приложенных к поверхности области. Обозначим эту сумму

P. Откуда . На замкнутую область кроме поверхностных сил могут действовать и объемные силы. Главный вектор объемных сил обозначим F.

Рассмотрим бесконечно малый элемент области и покажем на нем только те напряжения, которые приводят к появлению сил в направлении оси x.

– составляющая объемных сил в направлении оси

x.

Проекция всех сил на ось x.

Проинтегрировав по всей области, получим

– сумма проекций на ось x всех внешних сил (как поверхностных так и объемных), действующих на область.

Аналогично можно записать, что

Из чего следует, что .

И мы снова доказали, что . Поскольку тензор напряжений симметричен, можно записать и так .

Поток тензора напряжения через произвольную замкнутую поверхность равен интегралу от дивергенции тензора по объему, заключенному внутри поверхности.

Страница не найдена — РОО «Ассоциация победителей олимпиад»

Ваши ФИО*

Ваш email*

Ваш номер телефона*

Какой предмет вы хотели бы преподавать?*

Расскажите кратко о своих олимпиадных достижениях*

Приложите резюме*
Объём файлов не должен превышать 20 Мбайт / Доступные форматы: doc / docx / rtf / pdf / html / txt

Please leave this field empty.

Нажимая на кнопку, вы принимаете положение и согласие на обработку персональных данных.

Ваша электронная почта*

Из какого вы региона?*

Расскажите, как мы могли бы сотрудничать*

Please leave this field empty.

Нажимая на кнопку, вы принимаете положение и согласие на обработку персональных данных.

ФИО*

Ваша электронная почта*

Ваш номер телефона*

Образовательное учреждение*

Расскажите кратко, какая у вас сложилась ситуация с олимпиадным движением в школе и какого результата вы ожидаете от сотрудничества с АПО*

Please leave this field empty.

Нажимая на кнопку, вы принимаете положение и согласие на обработку персональных данных.

Ваш email

Каким предметом вы интересуетесь

Выберите наиболее подходящий статус Статус не выбранУченикРодительПредставитель школыПедагог

Нажимая на кнопку, вы принимаете положение и согласие на обработку персональных данных.

ФИО ученика

Дата рождения ученика

Класс

Образовательное учреждение

Город образовательного учреждения

ФИО родителя

Телефон родителя

Email родителя

Выберите группу Группа не выбрана

Нажимая на кнопку, вы принимаете положение и согласие на обработку персональных данных.

ФИО ученика

Дата рождения ученика

Класс

Образовательное учреждение

Город образовательного учреждения

ФИО родителя

Телефон родителя

Email родителя

Выберите группу Группа не выбрана

Мотивационное письмо Объём файла не должен превышать 2 Мбайт / Доступные форматы: doc / docx / rtf / pdf / html / txt

Нажимая на кнопку, вы принимаете положение и согласие на обработку персональных данных.

ФИО

Телефон

Email

Образовательное учреждение

Город образовательного учреждения

Нажимая на кнопку, вы принимаете положение и согласие на обработку персональных данных.

ФИО

Телефон

Email

Проект / отдел

Должность

Нажимая на кнопку, вы принимаете положение и согласие на обработку персональных данных.

ФИО ребенка

Название образовательного учреждения

Город образовательного учреждения

ФИО родителя

Телефон родителя

Email родителя

Нажимая на кнопку, вы принимаете положение и согласие на обработку персональных данных.

Войти

---

Родитель

Буду покупать курсы для своего ребёнка Зарегистрироваться

---

Обучающийся

Сам буду проходить курсы Зарегистрироваться

---

Представитель школы

Буду заказывать услуги для своего образовательного учреждения и контролировать их исполнение Зарегистрироваться

Теорема о дивергенции (Гаусса, Остроградского) для измерения потока — Обмен файлами

Сейчас вы подписаны на это сообщение

Вы можете получать электронные письма, в зависимости от ваших предпочтений в общении

Версия 1. 0.0 (2,62 КБ) от Roche de Guzman

Пример, показывающий, что интеграл по объему дивергенции f = поверхностный интеграл от величины f по нормали к поверхности (f точка n)

145 загрузок За все время: 145 дюймов data-original-title=»Загрузки» aria-describedby=»popover506129″>

Обновлено 23 фев 2019

Посмотреть лицензию

• Обзор
• Функции
• История версий
• Отзывы (0)
• Обсуждения (0)

%% Теорема расходимости для измерения потока в контрольном объеме (прямоугольная призма)
% Пример Доказательство: поток = объемный интеграл дивергенции f (плотность потока * dV) = поверхностный интеграл величины f по нормали к поверхности (f точка n) (поток * dS)
% Проф.

Рош К. де Гусман

Цитировать как

Рош де Гусман (2023). Теорема дивергенции (Гаусса, Остроградского) для измерения потока (https://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/70371-divergence-theorem-gauss-ostrogradsky-s-to-measure-flow), MATLAB Central File Exchange. Получено 5 января 2023 г. .

Совместимость версий MATLAB

Created with R2018b

Совместимость с любой версией

Совместимость с платформами

Windows macOS Linux

Категории

• МАТЛАБ > Графика > 2-D и 3-D графики > Поверхности, объемы и полигоны > Объемная визуализация >

Теги Добавить теги

дивергенция теорема дивергенции поток поток плотность потока поверхность интеграл вектор функция объем интеграл

Охота за сокровищами сообщества

Найдите сокровища в MATLAB Central и узнайте, как сообщество может вам помочь!

На охоту!

Версия	Опубликовано	Примечания к выпуску
1. 0.0	23 фев 2019

Выберите сеть Сайт

Выберите веб-сайт, чтобы получить переведенный контент, где он доступен, и посмотреть местные события и предложения. На основе ваше местоположение, мы рекомендуем вам выбрать: .

Вы также можете выбрать веб-сайт из следующего списка:

Европа

Свяжитесь с местным офисом

ca.классический анализ и оды — Обобщенная теорема Гаусса-Грина

спросил 11 лет, 7 месяцев назад

Изменено 11 лет, 6 месяцев назад

Просмотрено 3к раз

$\begingroup$

Я ищу обобщенную версию теоремы Гаусса-Грина, также известную как теорема о дивергенции: 9п)$.

Вопрос: Какие условия мы должны наложить на $\Omega$ (или $f$), чтобы гарантировать, что теорема о дивергенции верна?

---

Чтобы уточнить мой вопрос: я знаю, что требование кусочно-регулярной границы $\Omega$ достаточно для того, чтобы теорема Гаусса-Грина была верна. Я задался вопросом, является ли это условие также необходимым. Если да, то есть ли другая «версия» Гаусса-Грина (например, приведенная выше), которая справедлива при более слабых условиях и особенно подходит для случая открытой и ограниченной области

• ca.классический-анализ-и-оды
• интеграция

$\endgroup$

3

$\begingroup$

Сочувствую «аппарату». Известно, что общая теорема Стокса работает с довольно большим количеством особенностей на границе. Я знаю об этом только из (пытаясь прочитать об этом) тома 9 объемистого трактата Дьедонне об анализе, XXIV. 14. Есть некоторые критерии для множеств, чтобы они были «дифференциально незначительными», как он это называет, поэтому их можно выбросить за границу. И критерии, которые он дает для этого, довольно широки: один в терминах меры малых окрестностей, другой говорит, что все в коразмерности 2 не имеет значения. Подход не очень абстрактный, и он убедил меня в том, что разумные результаты о «Стоксе с особенностями», вероятно, могут быть доказаны.

Говоря более абстрактно, в терминах токов Де Рама вы пытаетесь вычислить производную характеристической функции открытого множества. С привкусом теории распределения производная — это то, что будет существовать, и вы обнаружите, что она поддерживается на границе во многом, как вы и ожидали, если только вы не сделали достаточно, чтобы построить «контрпример» к Стоксу; это будет что-то более экзотическое, но все же поддающееся описанию. Это для меня калибрует вопрос. (Я не знаком с общей теорией, но вполне уверен, что гораздо больше, чем все это, содержится в книгах Уитни и др. по геометрической теории меры.)

$\endgroup$

$\begingroup$

Довольно общие версии этих теорем были установлены для «множеств конечного периметра». Вы можете найти недавнюю статью на эту тему здесь: http://www.math.northwestern.edu/~gqchen/10-Papers/ChenTorresZiemer.pdf

С другой стороны, вы говорите, что вам не нужна «тяжелая техника», так что трудно догадаться, кто вы находясь в поиске.

$\endgroup$

$\begingroup$

В этих конспектах лекций вы найдете утверждение для множества конечного периметра, которое, насколько мне известно, является наиболее общей формой, которую вы можете получить.

$\endgroup$

$\begingroup$

Я думаю, что вы посмотрите на анализ Сержа Ланга I. там вы можете получить достаточно общий ответ, который требует ограниченного оборудования.