| Теорема Остроградского-Гаусса для электростатического поля

Очевидно, что первый интеграл будет равен 0. Тогда

Подставляя в выражение для , получаем:

.

Теперь, подставляя в выражение поляризации,:

.

Запишем кратко:

Итак, для полярного диэлектрика в предположении независимых дипольных моментов, слабых полей и высоких температур диэлектрическая восприимчивость:

Изотропным называется диэлектрик, диэлектрическая восприимчивость которого представляет собой скаляр. Значит, в изотропных диэлектриках поляризация всегда направлена в одну сторону с напряжённостью. В анизотропных диэлектриках восприимчивость представляет собой тензор. Их рассмотрение выходит за пределы нашего курса.

§15.5. Теорема Остроградского-Гаусса для электростатического поля в диэлектрической среде

Если в поляризованной диэлектрической среде мысленно или реально провести плоскость разреза, непараллельную к направлению поляризации (рис.

15.5), то с одной стороны на плоскости будет сосредоточено макроскопическое количество отрицательного, а с другой стороны − положительного заряда с поверхностной плотностью s . При этом объёмная плотность связанного заряда поляризованного диэлектрика везде будет равна 0.

Рис.15.5

Такое расположение поверхностных плотностей заряда обязательно получается, если следовать следующему правилу: все молекулярные диполи, пересекаемые плоскостью, в равных количествах делятся между «левым» и «правым» полупространствами. Дело в том, что нож, который разрезает диэлектрик, никогда не разрушает его молекулы, а только раздвигает их по разные стороны плоскости разреза. На макроскопической поверхности количество молекул, отодвинутых влево от неё, должно быть равно количеству отодвинутых вправо. Ситуация проясняется на рисунке 15.6, где изображены четыре молекулярных диполя около плоскости разреза.

Выделим в толще поляризованного диэлектрика косоугольный параллелепипед такой малый, что везде внутри него поляризацию можно считать постоянной (рис. 15.7). При этом две его грани не параллельны вектору , а остальные четыре параллельны.

Рис.15.7

Из чертежа видно, что объём параллелепипеда . Дипольный момент элемента объёма dV равен:

С другой стороны, систему можно представить, как диполь с плечом и зарядом

sS. Следовательно, дипольный момент параллелепипеда

.

Тогда имеем равенство:

.

Если равны векторы, то равны их модули, тогда

,

и отсюда получаем:

,

где a − угол между вектором поляризации и перпендикуляром к поверхности с данной поверхностной плотностью связанного заряда.

Если отсутствуют свободные заряды, то все силовые линии поверхностных зарядов боковых граней параллелепипеда будут начинаться на положительной грани и заканчиваться на отрицательной. При этом очевидно, что идти они будут параллельно линии поляризации. Это значит, что все силовые линии «не покидают» объём параллелепипеда, и заряды граней параллелепипеда не влияют на связанные заряды других областей.

Но тогда и другие области не влияют на параллелепипед. Следовательно, напряжённость поля связанных зарядов внутри параллелепипеда создаётся поверхностными зарядами только этого параллелепипеда. И, поскольку силовые линии, начинаясь на грани +s, заканчиваются на грани , то поле направлено против вектора поляризации .

Рис.15.8

Поток , через гауссову поверхность, указанную на рисунке 15.8 пунктиром, равен , а по теореме ОГ он равен . Тогда получаем равенство:

Отсюда имеем с учётом направления:

.

Если есть свободные заряды, то напряжённость полного поля внутри диэлектрика по принципу суперпозиции равна

.

Для любой замкнутой поверхности внутри диэлектрика поток вектора напряженности имеет вид:

Следовательно,

.

Введём по определению вектор электрического смещения (электрической индукции) :

.

Тогда получаем одну из возможных формулировок теоремы ОГ в диэлектрике:

Поток вектора электрического смещения через замкнутую поверхность равен охваченному этой поверхностью свободному заряду.

Проведём подстановку в выражении электрического смещения:

.

Введём определение: 1+c=e − диэлектрическая проницаемость среды. Диэлектрическая проницаемость среды является безразмерной величиной. Поскольку, и в полярных, и в неполярных диэлектриках поляризация всегда направлена по вектору напряжённости, то диэлектрическая восприимчивость c>1. Следовательно, e всегда больше 1. Единственная «среда», в которой диэлектрическая проницаемость равна 1 − это вакуум.

Теперь связь между векторами и мы можем записать так:

,

и дать ещё одну формулировку теоремы ОГ в диэлектрике:

,

следовательно,

Поток вектора напряжённости электростатического поля через замкнутую поверхность в диэлектрической среде равен охваченному этой поверхностью свободному заряду, делённому на произведение электрической постоянной вакуума на диэлектрическую проницаемость среды.

Лекция 2. Теорема Остроградского – Гаусса

Невозможно отобразить презентацию

Похожие презентации:

Теорема Остроградского-Гаусса

Теорема Остроградского-Гаусса

Теорема Остроградского-Гаусса

Теорема Остроградского-Гаусса для электростатических полей

Расчет потенциалов простейших электростатических полей

Основные уравнения электростатики в вакууме

Электрическое поле системы неподвижных зарядов в вакууме. Теорема Гаусса для электростатического поля

Электростатика, как раздел электродинамики

Связь поляризованности диэлектрика в электростатическом поле с плотностью связанных зарядов

Электричество и магнетизм

Лекция 2.

Теорема Остроградского – Гаусса 2013 Историческая справка3 Теорема Остроградского — Гаусса – основная теорема электродинамики;

применяется для расчета электрических полей;

входит в систему уравнений Максвелла.

1826 г.

– акад.

М.В.

Остроградский, вывел общую формулу, связанную с преобразованием объемного интеграла к поверхностному.

1844 г.

– К.Ф.

Гаусс, установил взаимосвязь потока вектора напряженности электрического поля с зарядом в объеме, ограниченным этой поверхностью.

Поток вектора напряженности электрического поля Элементарный потокd Ф вектора напряженностиE через площадкуdS( силовая характеристика):- число линий напряженности электрического поля, пронизывающих площадкуdS.- проекция вектора напряженности на направление нормали.4α⋅=⋅=ΦcosdSEdSESdEdn 3ndSSd ⋅=α⋅=cosEn [Ф] = B∙мdS Вектор Е меняется от точки к точке на большой поверхности, но практически однороден на малой площадкеdS.

Если вектора образуют острый угол, поток положительный.

Поток вектора напряженности через произвольную поверхность: через замкнутую поверхность: однородного поля ( E=const) через поверхностьS α – угол между нормалью к поверхности и линиями напряженности электрического поля. 5∫=Φ=SnSdSESdEdФ 4∫=Φ=SnSdSESdEdФ α⋅=⋅=⋅=cosSESESEФn Принцип суперпозиции2 Расчет напряженности протяженных заряженных тел их разбивают на бесконечно малые части, считая их точечными зарядами;

1.

расчет напряженности поля, создаваемого отдельными частями;

2.

суммирование напряженностей согласно принципу суперпозиции;

3.

суммирование → интегрирование.nE +=…21 Полный поток вектора напряженностиE через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме всех зарядов, заключенных внутри этой поверхности, деленной на ε0.6 Теорема Гаусса (1844) внутрSqSdE⋅ε=∫01 Поток напряженности поляЕ через любую замкнутую поверхность, внутри которой полный заряд равен нулю, также равен нулю.ε0 — диэлектрическая проницаемость вакуума Телесный угол – часть пространства, ограниченная некоторой конической поверхностью.7 Предварительные обозначения2cosrdSdθ⋅=Ωr ср стерадиан=Ω][ 1 стерадиан – телесный угол, вырезающий на сфере, описанной вокруг вершины угла, поверхность, площадь которой равна квадрату радиуса сферыπ=π=Ω42) max(r полныйΩd Напряженность поля точечного заряда:8 Доказательство теоремы Гаусса2041rqE⋅ πε=Ω⋅ πε=α⋅ πε=ΦdqdSrqSdEd0204cos41 04ε=Ω πε=Φ=Φ∫qdqdS∫ρε=ε=VSdVqSdE01 Непрерывное распределение заряда: ρ – объемная плотность распределения заряда.

С точки зрения физики, теорема Гаусса и закон Кулона эквиваленты, это один и тот же физический закон, облаченный в разные математические оболочки.

Применяется для расчета электрических полей в задачах со специальной симметрией.

1.

Напряженность электрического поля бесконечной равномерно заряженной плоскости с поверхностной плотностью заряда σ: 2.

Напряженность поля двух бесконечных равномерно заряженных разноименными зарядами параллельных плоскостей: напряженности полей обеих плоскостей между плоскостями направлены в одну сторону, сл-но, их геометрическая сумма явл.

их арифметической суммой в вакууме:9 Применение теоремы Гаусса02εσ=E Поле однородно однородно (в каждой точке поля E=const) 3.

Напряженность электрического поля цилиндра (нити) радиусом R, равномерно заряженного с линейной плотностью τ.10 Применение теоремы ГауссаrERr приERr приτ⋅ πε=≥=<0210 4.

Напряженность электрического поля равномерно заряженной сферы радиусом R с зарядом q. 11 Применение теоремы Гаусса20410rqERr приERr при⋅ πε=≥=< 5.Напряженность электрического поля равномерно заряженного по объему шара радиусом R с зарядом q.12 Применение теоремы Гаусса20304141rqERr приRqrERr при⋅ πε=≥⋅ πε=< Теорема Гаусса в интегральной форме: или V→0 (плотность в объеме можно считать постоянной) — дивергенция13 Теорема Гаусса в дифференциальной формеVdVqSdEVSρε=ρε=ε=∫01 ρε=∫01SdEV ρε=∫→01limSVSdEV ∫→=SVSdEVEdiv 1lim0 операция дифференцирования, в результате применения которой к векторному полю получается скалярное поле Дивергенция векторного поля в декартовых координатах: Дивергенция — это линейный дифференциальный оператор на векторном поле, характеризующий поток данного поля через поверхность малой окрестности каждой внутренней точки области определения поля.

Векторный дифференциальный оператор набла в прямоугольных декартовых координатах: Теорема Гаусса в дифференциальной форме:14 Теорема Гаусса в дифференциальной формеzEyExEdivzyx∂+∂+∂= zkyjxi∂+∂+∂=∇ 0ερ=⋅∇=Ediv насколько расходится входящее и исходящее из малой окрестности данной точки поле напряженности В дифференциальной форме она является локальной теоремой, связывающей объемную плотность заряда ρ и divE в одной и той же точке поля.

Во всех точках поля, где divЕ >0 имеются источники поля – положительные заряды, а где divЕ <0, находятся отрицательные заряды – стоки поля, а где divE=0, силовые линии проходят, но не рождаются и не исчезают (зарядов нет).

Теорема Гаусса в интегральной форме устанавливает связь между физическими величинами в сколь угодно далеких точках пространства в один и тот же момент времени.

ρ – объемная плотность распределения заряда.15

English     Русский Правила

Теорема о дивергенции — Викиверситет

Новичку будет легче следовать доказательству, если мы сильно ограничим условия теоремы, но тщательно объясним каждый шаг. По этой причине мы доказываем теорему о расходимости для прямоугольного ящика, используя векторное поле, которое зависит только от одной переменной.

Рис. 1: Область V, ограниченная поверхностью S = ∂ V с нормалью к поверхности n

Рис. 2: Используя только фундаментальную теорему исчисления в одном измерении, учащиеся могут проверить теорему о дивергенции путем прямого интегрирования.

---

• Более строгие доказательства см. в Википедии :Теорема о расходимости .
• См. подстраницу Теорема о расходимости/Доказательство для другого доказательства.

---

Теорема о расходимости (Гаусса-Остроградского) связывает интеграл по объему V {\ displaystyle {\ mathsf {V}}} от расходимости векторной функции F → ​​{\ displaystyle \ mathbf {\ vec {F}} } и интеграл от той же функции по поверхности объема: 9) dS⏟двойной интеграл. ,dV} _{\text{тройной интеграл}}=\oint _{\mathsf {S}}\underbrace {\left(\mathbf {\vec {F}} \cdot \mathbf {\шляпа {n}} \ справа) \,dS} _{\text{двойной интеграл}}.}

(1)

Частный случай поля, зависящего только от одной переменной:[edit | изменить источник] 9{\ displaystyle \ mathbf {\ vec {F}} = F_ {x} (x) \ mathbf {\ hat {i}} + F_ {y} (x) \ mathbf {\ hat {j}}}

(2)

, где FX {\ DisplayStyle F_ {X}} и Fy {\ DisplayStySty F_ {x {x}} и Fy {\ displayStySty F_ {x}} и Fy {\ displayStySty f_ {x}} in of a of a of a of a of a displayStyL . {\displaystyle x.} Z-компоненту, Fz(x){\displaystyle F_{z}(x)}, можно включить в (2), не усложняя доказательство, за исключением того, что третья компонента не может легко изобразить в Рисунок 2 .

Интеграл по объему[править | править код]

Наша первая задача — использовать фундаментальную теорему исчисления для вычисления этого интеграла по объему коробки. Несмотря на то, что векторное поле указывает в двух направлениях, оператор дивергенции ∇→{\displaystyle \mathbf {\vec {\nabla}}} устраняет любое участие y-компоненты, поскольку поле не зависит от y{\ стиль отображения у}:

∇→⋅F→=∂Fx∂x= функция только от x.{\displaystyle \mathbf {{\vec {\nabla}}\cdot {\vec {F}}} ={\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}={\text{функция}}x{\text{только}}}

(3)

Интегралы по трехмерным прямоугольникам легко выполнить: 9{z_{2}}dz\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}\right)}

(4)

с ∂fx/∂x {\ displaystyle \ partial f_ {x ∂fx/∂x {\ displayStyle \ y. z, {\ displaystyle z,} частную производную можно рассматривать как константу по отношению к переменным. Интеграции в (4) структурированы так, что их можно выполнять в любом порядке, что позволяет нам написать: 9{z_ {2}} dz} _ {z_ {2} -z_ {1}} \,}

= [Fx (x2) − Fx (x1)] ⋅ A {\ Displaystyle = \, \ влево [F_ {x }(x_{2})-F_{x}(x_{1})\right]\cdot A},

(5)

where A=(y2−y1)(z2−z1){\displaystyle A=(y_{2}-y_{1})(z_ {2}-z_{1})} – это площадь двух сторон в точках x=x1{\displaystyle x=x_{1}} и x=x2{\displaystyle x=x_{2}}, как показано на рисунке . 2 .

Поверхностные интегралы[править | править источник]

Теперь мы вычисляем поверхностный интеграл и убеждаемся, что он дает тот же результат, что и (5) . Поверхностный интеграл по ящику включает шесть прямоугольников. {\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {n}}}} внешняя единичная нормаль, а dS = | dA → |. {\ displaystyle d \ mathbf {S} = \ left | d {\ vec {A}} \ вправо|.} 9{\текст{z-пара}}}

(6)

Интегрирование по поверхностям x-пары править исходный код]

Две наиболее важные поверхности — это уже обсуждавшаяся пара с площадью A{\displaystyle A} и внешними единичными нормалями в направлении x, показанными как левый и правый концы прямоугольника, показанного на рисунке 2. . Поскольку x {\ displaystyle x} постоянен на каждой из этих двух поверхностей, поверхностный интеграл всего, что зависит только от F → (x) {\ displaystyle \ mathbf {\ vec {F}} (x)}, тривиален, и зависит только от площади, которая является той же площадью, A {\ displaystyle A}, что и на рисунке 9.)⏟−Fx(x1)⋅∫dS⏟A=−Fx(x1)⋅A{\displaystyle \underbrace {\int \left(\mathbf {\vec{F}} \cdot \mathbf {\шляпа {n} } \right)dS} _{x=x_{1}}=\underbrace {\left(\mathbf {\vec {F}} \cdot \mathbf {\шляпа {n}} \right)} _{-F_ {x}(x_{1})}\cdot \underbrace {\int \,dS} _{A}=-F_{x}(x_{1})\cdot A}

. {\ DisplayStyle \ Math } был оценен в 9{\displaystyle \mathbf {\hat {n}}} указывает в противоположном направлении, так что объединение (5) с (7) устанавливает, что (1) верно, но только если мы можем установить, что остальные четыре поверхностных интеграла равны нулю.

Интеграция по y-парам и z-парам поверхностей[edit | править исходный код]

Начнем с y-пары поверхностей, т. е. тех, которые занимают часть y = y1 {\ displaystyle y = y_ {1}} или y = y2 {\ displaystyle y = y_ {2 }} самолетов. Поскольку векторное поле F→(x,y,z){\displaystyle \mathbf {\vec {F}} (x,y,z)} зависит от переменной x{\displaystyle x}, интеграл нетривиален . По рассуждениям, использованным в 9равны и противоположны с обеих сторон, пара поверхностных интегралов в точке (9) сокращается. Тем же аргументом может быть z {\ displaystyle z} -пара поверхностей.

Заключение[править | править источник]

Хотя мы доказали теорему о расходимости прямоугольного ящика для небольшого подмножества всех возможных дифференцируемых векторных полей F→(r→){\displaystyle {\vec {F}}({\vec{r}} )} мы установили существенную роль основной теоремы исчисления в одномерном пространстве. По сути, мы разместили две конечные точки отрезка вдоль оси x шестью поверхностями, которые образуют границу трехмерного прямоугольника. Кроме того, читатель, который может понять это доказательство, вероятно, способен разработать доказательство для любого векторного поля, для которого расходимость хорошо определен. Просто нужно много алгебры. 9) {\ displaystyle (\ mathbf {\ hat {i}} , \ mathbf {\ hat {j}}, \ mathbf {\ hat {k}})} относятся к единичным векторам в (x, y, z) { \displaystyle (x,y,z)} направлений соответственно.

Подстраницы:

• Доказательство

Теорема о расходимости

В векторном исчислении теорема о дивергенции , также известная как теорема Гаусса или теорема Остроградского-Гаусса , является результатом, который связывает дивергенцию векторного поля со значением поверхностных интегралов потока, определяемого полем.

Теорема о расходимости является важным результатом для математики физики, в частности, в электростатике и гидродинамике. Впервые он был открыт Жозефом-Луи Лагранжем (1736–1813) в 1762 году, затем независимо переоткрыт Карлом Фридрихом Гауссом (1777–1855) в 1813 году, Джорджем Грином (1793–1841) в 1825 году и Михаилом Васильевичем Остроградским (1801–1801). 1862) в 1831 г., который также дал первое доказательство теоремы.

Определение дивергенции

Пусть x,y,z — система декартовых координат в трехмерном евклидовом пространстве, и пусть i , j , k — соответствующий базис единичных векторов.

Дивергенция непрерывно дифференцируемого векторного поля

F = F ¹ I + F ² J + F ³ 35 J + F ³ 35 K + F ³ 535 K + F ³ 35 K + F ³ 535 K + F ³ K + F ^{5 J + F . F = ∂F 1 /∂x + ∂F 2 /∂y + ∂F 3 /∂z}

Другим общепринятым обозначением дивергенции является · F , удобная мнемоника. См. дель для более подробной информации.

Физическая интерпретация дивергенции

С физической точки зрения, дивергенция векторного поля — это степень, в которой поток векторного поля ведет себя как источник или сток в данной точке. Действительно, альтернативное, но логически эквивалентное определение дает дивергенцию как производную чистого потока векторного поля через поверхность небольшой сферы по отношению к площади поверхности сферы. А именно,

где S обозначает сферу радиуса r вокруг точки p в R ³ , а интеграл представляет собой поверхностный интеграл, взятый относительно N , нормали к этой сфере.

Небесконечно малая интерпретация дивергенции дается теоремой Гаусса. Эта теорема представляет собой закон сохранения, утверждающий, что общий объем всех стоков и источников, то есть объемный интеграл дивергенции, равен чистому потоку через границу объема.