Site Loader

Содержание

Таблица истинности логических операций — алгоритм построения » Kupuk.net

Используя таблицы истинности логических операций, можно точно определить, верна ли функция при определённых значениях. В перечень заносят всевозможные комбинации переменных появляющихся на входе и соответствующие им состояния на выходе. Чаще всего таблицы применяют при проектировании и анализе цифровых схем. При этом в интернете существуют сервисы, с помощью которых построить такого рода сводку не составит труда даже слабо разбирающемуся в этой сфере пользователю.

Определения и понятия

Под таблицей истинности понимают свод значений, которые может принять высказывание при сочетании различных входящих комбинаций. Другими словами, каждому набору функций или сигналам, присутствующим на входе чего-либо, соответствует строго определённые показатели на выходе. Все значения, являющиеся всевозможными высказываниями, называют логическими выражениями. Если в таблице последние столбцы логичных выражений идентичны, то рассматриваемый объект считается равносильным.

Любое выражение можно описать формулой, в которую будут включаться переменные, характеризующие состояния, и обозначающие функции знаки логических операций. Поэтому используя язык математики, в частности, алгебры, любое сложное высказывание можно разделить на несколько простых, а затем объединить логической связью.

Обычно значениями истинности описывают логическую функцию, у которой показатели параметров определяют верность. Раздел математики рассматривающий их на правдивость или ложность называется булевым. В 1854 году английский учёный Джордж Буль предложил метод, позволяющий проводить анализ классов и высказываний. Согласно ему, любое значение может принимать одно из двух состояний — истина или ложь.

Эти состояния принято обозначать арабскими цифрами один либо ноль или словами true и false. Это возможно из-за того, что для математики важна только истинность высказываний, а конкретное содержание второстепенно. Простые высказывания принято считать логическими переменными, а сложные — функциями логики. Выражения для упрощения записи обозначают латинскими буквами A, B, C.

Применение двух цифр подчёркивает соответствие между двоичной системой счисления и математической логикой. В итоге с помощью последней стало удобным описывать работу цифровых схем радиоэлектронной аппаратуры, алгоритмы в программировании, проводить синтез и анализ результата выполнения операций.

Суждение о правильности построения таблиц истинности для логических выражений основано на учёте всех переменных и операций, последовательно выполняющихся в рассматриваемой функции. Обычно для начертания используют 2n+1 строк, где n обозначает количество входных переменных, и n+m столбцов, m — число значений на выходе.

Виды логических операций

В качестве наименьшей единицы измерения объёма данных принято считать бит. В него заносится одно из двух значений — ложь (0) или правда (1). Каждая ячейка, соответствующая биту, находится лишь в одном из этих состояний. Существуют определённые операции, используемые для действий с ячейками:

  • AND (И) — применяется для сравнения двух бит. Результатом действия будет единица, но лишь в том случае, если значения двух ячеек одинаковое. При остальных вариантах итог будет иметь устойчивое нулевое состояние.
  • OR (ИЛИ) — по сути, операция обратная AND. Результат становится нулевым, если содержимое двух сравниваемых бит одинаковое. В остальных случаях он равный единице.
  • XOR (ИЛИ) — если значения, содержащиеся в двух сравниваемых битах противоположны, при выполнении логического действия результат будет равный единице. Во всех остальных случаях он будет равняться нулю.
  • NOT (НЕ) — действие, используемое для одного бита. Если первоначально ячейка находилась в нулевом состоянии, то после выполнения над ней операции она станет равной единице и наоборот. Фактические это логическая инверсия.
  • Эти операции являются основными элементами при составлении таблиц истинности и получения возможного результата. На основании их построена алгебра Буля. Некоторые элементы получаются путём объединения нескольких операций. Так, существует состояние: NAND (И-НЕ) и NOR (ИЛИ-НЕ). Первый элемент является инверсией операции «И», а второй — «ИЛИ». На основании рассмотренных операторов строится работа всех цифровых интегральных схем.

    В информатике существует своя терминология, обозначающая то или иное логическое действие. Так, AND называют операцией конъюнкции, OR — дизъюнкции, XOR — сложение по модулю 2, NOT — отрицание. Задача инженера при анализе схем или алгоритма сводится к выполнению булевой арифметики и упрощению выражений. Для этого используют различные правила и положения не требующих доказательства.

    Аксиомы и законы

    Построение таблиц в удобной форме позволяет определить, когда определённое действие или высказывание принимает верное значение, а в каком случае нет. В верхней строчке записывают логическую форму высказывания, а в столбцах — истинные значения. Некоторые комбинации высказываний всегда будут истинными или ложными, независимо от содержания. Поэтому и были сформулированы следующие законы:

  • Торжества. Записывается в виде утверждения: А = А. В этом случае таблица будет состоять из двух комбинаций: ложной и правдивой. Бинарная логическая связка «Если А, то А» является материальной импликацией. Для такого варианта всегда можно сказать, что А есть А. Этот закон обозначает то, что нельзя подменять одно понятие другим, иначе возникнут логические ошибки.
  • Противоречия. Согласно ему, утверждение, что А и НЕ-А, неверно: A & A = 0. Другими словами, если А истинное значение, то его отрицание не может быть ложным. То есть их перемножение будет всегда фальшивой операцией. Этот закон довольно часто применяется для упрощения сложных логических суждений.
  • Третьего исключённого. Закон записывается в виде A v A = 1 и обозначает, что в один и тот же момент высказывание может быть только правдивым или ложным. То есть третьего не дано.
  • Эти три закона фундаментальны. Без их соблюдения сделать любое правильное утверждение невозможно.

    Для решения логических задач с помощью таблиц истинности используют различные формулы, соответствующие разного вида операциям. Одно из них логическое умножение (конъюнкция). В этом случае считается, что функция истинная лишь тогда, когда оба выражения являются верными: F = A & B. Другое логическое сложение (дизъюнкция). Оно гласит, что если оба выражения ложны, то и логическая функция будет неверной.

    Кроме того, используется закон:

    • инверсии (отрицания) — если логическое высказывание истинно, то отрицание его будет ложным выражением;
    • импликации (следования) — для всегда истинного сложного логического выражения ложь будет тогда, когда из верности следует отрицание;
    • эквивалентности (равнозначности) — выражение будет истинным лишь тогда, когда оба высказывания имеют одинаковое значение.

    При построении таблиц нужно придерживаться установленного порядка выполнения упрощения операций. Вначале считают инверсию и конъюнкцию, а затем дизъюнкцию, импликацию и эквиваленцию. При изменении же порядка выполнения действий в описании логических операций используют скобки.

    Алгоритм построения

    Таблицы истинности показывают, какой вид может принять выражение при различных входящих в него значениях переменных. Для того чтобы их правильно построить и выполнить вычисление логического выражения нужно придерживаться установленного алгоритма. Построение таблиц выполняют в следующей последовательности:

    • подсчитывают количество переменных n;
    • вычисляют число строк для будущей таблицы используя формулу m = 2n+1;
    • определяют число логических операций;
    • устанавливают порядок выполнения операций в соответствии со скобками и приоритетами;
    • строят таблицу с указанием столбцов и наборов значений, заданных логических операций;
    • заполняют оставшиеся ячейки в таблице.

    Для заполнения таблиц нужно упрощать выражения с учётом последовательности выполнения операций. При этом учитывать, что если значение какого-то из аргументов функции в соответствующей строке таблицы будет равное нулю, то записывать его нужно в виде отрицания.

    Пример задания

    Пусть необходимо построить таблицу для логического выражения F = (A → B) * (A + B). Эта формула состоит из двух логических переменных A и B и нескольких операций. Начинают построение с определения строк. Используя формулу 2n+1 для рассматриваемого примера можно установить, что их число будет: x = 22 + 1 = 5.

    Теперь следует определить число столбцов. Для этого используется формула, в которой учитывается количество переменных и операций. Последние можно просто посчитать, сложив количество разных знаков, используемых в записи формулы. Но правильней сначала расставить порядок операций, а затем посчитать. Согласно порядку действия над операциями их нумерацию можно представить в следующей очерёдности:

  • Импликация в первой скобке.
  • Инверсия во второй скобке переменной A.
  • Отрицание во второй скобке неизвестной B.
  • Сложение во втором члене.
  • Конъюнкция.
  • В итоге получится, что столбцов будет: Y = 2 + 5 = 7. Теперь нужно построить таблицу 7Х5. В шапку первого и второго столбца вписывают переменные, а затем операции над ними. Затем в строках, соответствующих A и B нужно записать всё, что с ними может произойти. В итоге останется только правильно посчитать последний столбец.

    Для этого нужно использовать законы. Необходимо выполнить логическое умножение значений в скобках. Первой и второй строчке будет соответствовать операция произведения один на один, что в ответе даст единицу. Третьей и четвёртой — ноль на один, что в итоге даст ноль. Последний столбец является главным для рассматриваемой логической функции. По нему можно узнать значение логической функции для любых форм переменных A и B.

    Это довольно простая задача, содержащая всего две переменных. Но в реальности, например, в программировании, их может быть намного больше. Решать такие задания методом перебора проблематично. Поэтому при решении сложных примеров функцию вначале пытаются упростить.

    Например, заданно выражение (x + y + z) * (x + y). По сути, оно записано в совершенно нормальной конъюнктивной форме. Но для приведения его к этому виду нужно, чтобы во втором выражении стояла z. Для того чтобы её добавить необходимо обратить внимание на то, что внутри скобок стоит логическое сложение. Поэтому дописав к нему ноль, результат не изменится. Добавить ноль через z можно, как ноль умножить на НЕ z. В итоге получится выражение (x + y + z) * (x + y + z + z), для которого, используя алгоритм составить таблицу уже не так и сложно.

    Вычисления онлайн

    В интернете есть сервисы, автоматически строящие таблицы истинности. Такие сайты предлагают свои услуги бесплатно и доступны даже тем, кто слабо ориентируется в теме. С их помощью можно находить таблицы для довольно сложных выражений, решение которых требует скрупулёзности в расчёте. В основе онлайн-вычислений заложены принципы логических законов, поэтому за достоверность результата можно не переживать. Тем более расчёт занимает совсем небольшое количество времени.

    Для того чтобы воспользоваться сайтами-калькуляторами пользователю необходимо знать обозначение операций, иметь подключение к интернету и установленный веб-обозреватель, поддерживающий Flash-технологию. Регистрацию, указание личных данных сервисы, предлагающие такого рода услуги, не требуют.

    Из различных порталов можно отметить три наиболее популярных калькулятора:

  • Allcalc.
  • Programforyou.
  • Uchim.
  • Эти сайты имеют интуитивно понятный интерфейс и что довольно полезно, на своих страницах содержат краткую теорию, используемую для составления таблиц истинности и даже примеры решений.

    Что такое таблица истинности? Приведите примеры — презентация на Slide-Share.

    ru 🎓

    1

    Первый слайд презентации

    Что такое таблица истинности? Приведите примеры

    Изображение слайда

    2

    Слайд 2: Пример:

    Изображение слайда

    3

    Слайд 3: Логические схемы и выражения

    Раздел 9.1А: Архитектура компьютера суббота, 22 сентября 2018 г.

    Изображение слайда

    4

    Слайд 4: Цели обучения

    9.4.2.1 строить логические схемы и логические выражения Критерии оценивания Знать обозначения и определение логических операций Уметь составлять таблицу истинности и строить схему по предложенному выражению Составлять выражение и таблицу истинности исходя из логической схемы

    Изображение слайда

    5

    Слайд 5

    Цель обучения 9. 4.2.1 строить логические схемы и логические выражения Критерий оценивания: Знать обозначения и определение логических операций Задание 1. (И) Используя поисковую систему найдите определение и обозначения логическим операциям. Оценивание : — Самооценивание. Отмечаем в листах самооценивания — Взаимооценивание. оценка другой группе через комментарий **+ пожелание Дескриторы : Определяет логический элемент и обозначение Определяет таблицу истинности Записывает определение логической операции Определяет логический элемент и обозначение Использует — предметную лексику : дизъюнкция, конъюнкция и инверсия; — фразу для диалога : К логическим функциям относятся…

    Изображение слайда

    6

    Слайд 6

    6 Элемент « Дизъюнктор » « ИЛИ» ( OR) Элемент « Конъюктор » «И » ( AND) Элемент «Инвертор» « НЕ» ( NOT)

    Изображение слайда

    7

    Слайд 7

    Цель обучения 9. 4.2.1 строить логические схемы и логические выражения Критерий оценивания: Уметь составлять таблицу истинности и строить схему по предложенному выражению Задание 2. ( И,ф ) Построить таблицу истинности и логическую схему: (¬А v ¬ В) & С Оценивание : — Самооценивание. Отмечаем в листах самооценивания — Обратная связь учителя. Дескриторы : Правильно определил последовательность выполнения логических операции Правильно заполнил таблицу истинности Правильно построил схему Проверил схему в онлайн симуляторе логических схем (www.logic.ly/ demo )

    Изображение слайда

    8

    Слайд 8

    Цель обучения 9.4.2.1 строить логические схемы и логические выражения Критерий оценивания: Составлять выражение и таблицу истинности исходя из логической схемы Задание 3. ( И,ф ) По схеме напишите логическое выражение и постройте таблицу истинности.

    Оценивание : — Самооценивание. Отмечаем в листах самооценивания — Обратная связь учителя. Дескриторы : Правильно записал логическое выражение Правильно определил последовательность выполнения логических операции Правильно заполнил таблицу истинности

    Изображение слайда

    9

    Слайд 9

    Обозначьте своё мнение по изучению темы в свои индивидуальные листы

    Изображение слайда

    10

    Слайд 10: Цели обучения

    9.4.2.1 строить логические схемы и логические выражения Критерии оценивания Знать обозначения и определение логических операций Уметь составлять таблицу истинности и строить схему по предложенному выражению Составлять выражение и таблицу истинности исходя из логической схемы

    Изображение слайда

    11

    Слайд 11

    Изображение слайда

    12

    Слайд 12

    Изображение слайда

    13

    Слайд 13: Логические схемы и выражения

    Раздел 9. 1А: Архитектура компьютера суббота, 22 сентября 2018 г.

    Изображение слайда

    14

    Слайд 14: Цели обучения

    9.4.2.1 строить логические схемы и логические выражения Критерии оценивания Составлять выражение и таблицу истинности исходя из логической схемы

    Изображение слайда

    15

    Слайд 15: Повторение тем

    5 (мин)

    Изображение слайда

    16

    Слайд 16: Знакомство с рубрикой

    2 мин

    Изображение слайда

    17

    Слайд 17: СОР «Архитектура компьютера»

    20 мин

    Изображение слайда

    18

    Слайд 18: (И) Поиграйте в игру Logic Gate Puzzler в онлайн режиме, составляя логические схемы и изучая логические операции https://goo.

    gl/iWsPqA

    Изображение слайда

    19

    Слайд 19

    Обозначьте своё мнение по изучению темы в свои индивидуальные листы

    Изображение слайда

    20

    Слайд 20: Цели обучения

    9.4.2.1 строить логические схемы и логические выражения Критерии оценивания Составлять выражение и таблицу истинности исходя из логической схемы

    Изображение слайда

    21

    Последний слайд презентации: Что такое таблица истинности? Приведите примеры: Подведение итогов урока

    Рефлексия

    Изображение слайда

    Шифраторы.

    Составление таблиц истинности шифраторов

    Лабораторная работа 2.2 Шифраторы

    Основные теоретические положения

    Шифраторомназывается устройство, предназначенное для преобразования чисел, например, из десятичной системы в двоичную систему счисления. Основное применение шифраторов – это введение информации с клавиатуры. Обозначение CD(nm), где n – количество входов, m – число выходов.

    Схема и таблица истинности CD

    (4 – 2) представлены на рис. 1 и в табл. 1, где X0, X1X3 входные сигналы, номер которых представляет десятичный код. Выходные значения Y0, Y1 в двоичном коде, старший разряд Y1.

    Файлы для моделирования этих элементов расположены в папке Lab_2_2\Модели.

    Таблица истинности CD(4 – 2)                         Таблица 1

    Номер входа X (

    N10)

    Выходной код Y (N2)

    Y1

    Y0

    0

    0

    0

    1

    0

    1

    2

    1

    0

    3

    1

    1

    Рис. 1 Шифратор CD(4-2) на логических элементах ИЛИ

    Уравнения работы шифратора CD(4-2):

     

    Задание 1. С помощью комбинаций входных сигналов изучить работу CD(4-2) файл L2_CD_01.ewb, и его таблицу истинности.

    Задание 2. Составить таблицу истинности (табл. 2) шифратора CD(4-2), изображенного на рис. 2.

    Таблица истинности CD(4 – 2)                         Таблица 2

    Номер входа X (N10)

    Выходной код Y (N2)

    Y1

    Y0

    0

    1

    2

    3

    Рис. 2 Шифратор CD(4-2) на логических элементах ИЛИ-НЕ (файл L2_CD_04.ewb)

    1 Приоритетный шифратор

    Шифратор называют приоритетным, если он формирует код, определяющий номер единицы, стоящей в старшем разряде, из других имеющихся единиц.

    Таким шифратором является CD(8-3) выполненный на микросхеме (рис. 3), файл L2_CD_02.ewb.

    Шифратор имеет служебные входы и выходы:

    • Разрешающий вход (инверсный) EI=0 – шифратор преобразует входной код, если  EI =1, то на всех информационных выходах шифратора появляются единицы.
    • Выход GS в данном шифраторе указывает на использование всех разрядов шифратора и его переполнение (все единицы).
    • Выход EO= 1 определяет отсутствие сигналов на всех информационных выходах.

    Особенность данной схемы: номер старшей единицы преобразуется в код, если имеются единицы во всех младших разрядах. Область применения – аналого-цифровые преобразователи (АЦП).

    Рис. 3 Приоритетный шифратор CD (8-3)

    Задание 3. Заполнить таблицу истинности (табл. 3) приоритетного шифратора CD(8-3) используя модель: файл L2_CD_02.ewb.

    Клетки таблицы в разделе «Информационные входы», где может находиться 0 или 1, не оказывая влияния на результат шифрации в разделе «Выходы», заполнить знаком «Х».

    Таблица истинности CD(8 – 3)                                                                        Таблица 3

    Служебный

    вход

    Информационные входы

    Выходы

    EI

    X7

    X6

    X5

    X4

    X3

    X2

    X1

    X0

    EO

    Y2

    Y1

    Y0

    0

    0

    1

    0

    0

    0

    1

    0

    1

    0

    0

    1

    2

    0

    1

    0

    1

    0

    3

    0

    1

    0

    1

    1

    4

    0

    1

    1

    0

    0

    5

    0

    1

    1

    0

    1

    6

    0

    1

    1

    1

    0

    7

    0

    1

    1

    1

    1

    8

    0

    0

    1

    1

    1

    9

    1

    1

    1

    1

    Вывод:

    — Если при достижении амплитудного значения изменяющегося во времени аналогового сигнала уровней 1, 2…7 (столбец «№» табл. 3) будет замыкаться соответствующий ключ – на выходе приоритетного шифратора получим цифровой код для этого значения сигнала. Этот принцип использован в параллельных АЦП.Вход EI в таблице 3 и модели инверсный.

    — Шифраторы являются преобразователями кодов, причем результирующий код более компактен, чем исходный.

    2 Указатель старшей единицы

    Приоритетный шифратор CD(8-3) выполнен на микросхеме (рис. 4), файл L2_CD_03.ewb. Шифратор выявляет старшую (левую) единицу, в отличие от предыдущей схемы в младших разрядах, при этом, могут быть также нули, и формирует двоичный код соответствующего единице десятичного номера.

    Он называется указателем старшей единицы и исключает ошибки, например, при одновременном нажатии двух клавиш клавиатуры, применяется в работе светофоров и т.д.

    Выход GSшифратора, указывает на наличие информационного сигнала хотя бы на одном входе. Для разрешения работы на вход подается единица EI=1.

    Рис. 4 Указатель старшей единицы CD (8-3)

    Задание 4

    Заполнить таблицу истинности (табл. 4) указателя старшей единицы CD(8-3), используя модель: файл L2_CD_03.ewb.

    Клетки таблицы в разделе «Информационные входы», где может находиться 0 или 1, не оказывая влияния на результат шифрации в разделе «Выходы», заполнить знаком «Х».

    Таблица истинности CD(8 – 3)                                                                           Таблица 4

    Служебный

    вход

    Информационные входы

    Служебные выходы

    Информационные выходы

    EI

    X7

    X6

    X5

    X4

    X3

    X2

    X1

    X0

    EO

    GS

    Y2

    Y1

    Y0

    0

    1

    0

    0

    0

    1

    1

    0

    0

    0

    2

    1

    0

    0

    1

    3

    1

    0

    1

    0

    4

    1

    0

    1

    1

    5

    1

    1

    0

    0

    6

    1

    1

    0

    1

    7

    1

    1

    1

    0

    8

    1

    1

    1

    1

    9

    0

    Задание 5. Перечислить, где и для каких целей применяются шифраторы.

    Выводы:          

    Шифраторы являются преобразователями кодов, причем результирующий код более компактен, чем исходный.

    Служебные входы и выходы шифраторов используются для расширения их функциональных возможностей:

    — вход EI(бывает прямым или инверсным) служит для определения момента времени, когда шифратор должен преобразовать код. Это позволяет согласовать его работу с другими устройствами, когда они готовы передавать и считывать информацию с шифратора.

    — выходы GSи EO  используются с целью увеличения разрядности путем выработки сигналов для подключения  дополнительных шифраторов.  

    Шифраторы применяются, например, для преобразования десятичного кода двоичный при вводе информации с клавиатуры в компьютер (калькулятор, сотовый телефон), в аналового-цифровых преобразователях и т. д.   

    Методическое пособие Электронный вариант Преподавателю и

    Главная

    Другое
    Экономика
    Финансы
    Маркетинг
    Астрономия
    География
    Туризм
    Биология
    История
    Информатика
    Культура
    Математика
    Физика
    Философия
    Химия
    Банк
    Право
    Военное дело
    Бухгалтерия
    Журналистика
    Спорт
    Психология
    Литература
    Музыка
    Медицина


    страница 1страница 2страница 3страница 4

    III. Изложение нового материала

    1. Таблицы истинности

    Решение логических выражений принято записывать в виде таблиц ис­тинности — таблиц, в которых по действиям показано, какие значения при­нимает логическое выражение при всех возможных наборах его перемен­ных.

    Для составления таблицы необходимо:


    1. Выяснить количество строк в таблице (вычисляется как 2n, где n — ко­личество переменных).

    2. Выяснить количество столбцов = количество переменных + количес­тво логических операций.

    3. Установить последовательность выполнения логических операций.

    4. Построить таблицу, указывая названия столбцов и возможные наборы значений исходных логических переменных.

    5. Заполнить таблицу истинности по столбцам.
      Пример 1

    Построим таблицу истинности для выражения F = (AvB)&(¬Av¬B).

    Количество строк = 22 (2 переменных) + 1 (заголовки столбцов) = 5.

    Количество столбцов = 2 логические переменные (А, В) + 5 логических операций (v, &, ¬, v,) = 7.

    Расставим порядок выполнения операций:

    1 5 2 4 3

    (A v B) & (A vB)

    Построим таблицу:

    А

    В

    A v B

    А


    В


    AvB


    (A v B) & (A vB)


    0

    0

    0

    1

    1

    1

    0

    0

    1

    1

    1

    0

    1

    1

    1

    0

    1

    0

    1

    1

    1

    1

    1

    1

    0

    0

    0

    0

    Пример 2

    Построим таблицу истинности для логического выражения X v Y& ¬ Z



    1. Количество строк = 23+1 = 9.

    1. Количество столбцов = 3 логические переменные + 3 логических опера­ций = 6.

    1. Укажем порядок действий:

    3 2 1

    X v Y&¬Z

    4. Нарисуем и заполним таблицу:

    X

    Y

    Z

    Z


    Y&Z

    X v Y&Z


    0

    0

    0

    1

    0

    0

    0

    0

    1

    0

    0

    0

    0

    1

    0

    1

    1

    1

    1

    0

    0

    1

    0

    1

    1

    0

    1

    0

    0

    1

    1

    1

    0

    1

    1

    1

    1

    1

    1

    0

    0

    1

    2. Логические схемы

    Над возможностями применения логики в технике ученые и инженеры задумывались уже давно. Например, голландский физик Пауль Эренфест (1880 — 1933), кстати, несколько лет, работавший в России, писал еще в 1910 году: «…Пусть имеется проект схемы проводов автоматической те­лефонной станции. Надо определить: 1) будет ли она правильно функци­онировать при любой комбинации, могущей встретиться в ходе деятель­ности станции; 2) не содержит ли она излишних усложнений. Каждая та­кая комбинация является посылкой, каждый маленький коммутатор есть логическое «или-или», воплощенное в эбоните и латуни; все вместе — сис­тема чисто качественных… «посылок», ничего не оставляющая желать в отношении сложности и запутанности… правда ли, что, несмотря на су­ществование алгебры логики, своего рода «алгебра распределительных схем» должна считаться утопией?». Созданная позднее М.А.Гавриловым (1903 — 1979) теория релейно-контактных схем показала, что это вовсе не утопия.

    Посмотрим на микросхему. На первый взгляд ничего того, что нас уди­вило бы, мы не видим. Но если рассматривать ее присильном увеличении она поразит нас своей стройной архитектурой. Чтобы понять, как она ра­ботает, вспомним, что компьютер работает на электричестве, то есть любая информация представлена в компьютере в виде электрических импульсов. Поговорим о них.

    С точки зрения логики электрический ток либо течет, либо не течет; электрический импульс есть или его нет; электрическое напряжение есть или его нет… В связи с этим поговорим о различных вариантах управления включением и выключением обыкновенной лампочки (лампочка также работает на электричестве). Для этого рассмотрим электрические контак­тные схемы, реализующие логические операции.

    Пояснение: для наглядности приготовьте электрические схемы и проде­монстрируйте их в действии. Для этого используйте: источник питания, лам­почки, ключи, провода.

    На рисунках контакты обозначены латинскими буквами А и В. Введем обозначения: 1 -контакт замкнут, 0 — контакт разомкнут. Цепь на схеме 1 с последовательным соединением контактов соответствует логической опе­рации «И». Цепь на схеме 2 с параллельным соединением контактов соот­ветствует логической операции «ИЛИ». Цепь на схеме 3 (электромагнитное реле) соответствует логической операции «НЕ».

    Заполняем таблицу по ходу объяснения материала.


    Конъюнкция

    Дизъюнкция

    Инверсия




    А

    1

    1

    0

    0


    В

    1

    0

    1

    0


    Результат

    1

    0

    0

    0


    А

    1

    1

    0

    0


    В

    1

    0

    1

    0


    Результат

    1

    1

    1

    0


    А

    1

    0



    ¬А

    0

    1



    Конъюнктор

    Дизъюнктор

    Инвертор



    Докажем это, рассмотрев состояния схем при различных состояниях контактов.

    Схема 1 (составляем в основной таблице таблицу истинности).



    1. Оба контакта в положении «включено». Тогда ток через лампочку идет и она горит.

    2. Первый контакт в положении «включено» второй в положении «выключено». Ток не идет, лампочка не горит.

    3. Обратная ситуация. Лампочка не горит.

    4. Оба контакта в положении «выключено». Тока нет. Лампочка не горит.

    Вывод: первая схема действительно реализует логическую операцию «И».

    Схема 2 (составляем в основной таблице таблицу истинности).



    1. Оба контакта в положении «включено». Тогда ток через лампочку идет и она горит.

    2. Первый контакт в положении «включено» второй в положении «выключено». Ток идет, лампочка не горит.

    3. Обратная ситуация. Лампочка горит.

    4. Оба контакта в положении «выключено». Тока нет. Лампочка не горит.

    Вывод: вторая схема действительно реализует логическую операцию «ИЛИ».

    Схема 3 (составляем в основной таблице таблицу истинности).

    В этом устройстве в качестве переключателя используется автоматический ключ. когда тока на нем нет, пластинка замыкает контакты и лампочка горит. если на ключ подать напряжение, то вследствие явления электромагнитной индукции пластинка прижимается и цепь размыкается. Лампочка не горит.

    Вывод: третья схема действительно реализует логическую операцию «НЕ».

    Недостатками контактных схем являлись их низкая надежность и быс­тродействие, большие размеры и потребление энергии. Поэтому попытка использовать такие схемы в ЭВМ не оправдала себя. Появление вакуумных и полупроводниковых приборов позволило создавать логические элементы с быстродействием от 1 миллиона переключений в секунду. Именно такие электронные схемы нашли свое применение в качестве элементной базы ЭВМ. Вся теория, изложенная для контактных схем, была перенесена на электронные схемы. Элементы, реализующие базовые логические опера­ции, назвали базовыми логическими элементами или вентилями и характеризуются они не состоянием контактов, а наличием сигналов на входе и выходе элемента. Их названия и условные обозначения являются стандартными и используются при составлении и описании логических схем компьютера.

    Почему необходимо уметь строить логические схемы?

    Дело в том, что из вентилей составляют более сложные схемы, которые позволяют выполнять арифметические операции и хранить информацию. Причем схему, выполняющую определенные функции, можно построить из различных по сочетанию и количеству вентилей. Поэтому значение формального представления логической схемы чрезвычайно велико. Оно необходимо для того, чтобы разработчик имел возможность выбрать на­иболее подходящий ему вариант построения схемы из вентилей. Процесс разработки общей логической схемы устройства (в том числе и компьютера в целом) таким образом, становится иерархическим, причем на каждом следующем уровне в качестве «кирпичиков» используются логические схемы, созданные на предыдущем этапе.

    Алгебра логики дала в руки конструкторам мощное средство разработки, анализа и совершенствования логических схем. В самом деле, гораздо про­ще, быстрее и дешевле изучать свойства и доказывать правильность работы схемы с помощью выражающей ее формулы, чем создавать реальное техни­ческое устройство. Именно в этом состоит смысл любого математического моделирования.

    Логические схемы необходимо строить из минимально возможного ко­личества элементов, что в свою очередь, обеспечивает большую скорость работы и увеличивает надежность устройства.

    3. Построение логических схем

    Правило построения логических схем:



    1. Определить число логических переменных.

    2. Определить количество базовых логических операций и их порядок.

    3. Изобразить для каждой логической операции соответствующий ей вентиль.

    4. Соединить вентили в порядке выполнения логических операций.

    Пример 1

    Пусть X = истина, Y = ложь. Составить логическую схему для следующего логического выражения: F = X v Y & X.



    1. Две переменные — X и Y.

    2. Две логические операции:

    2 1

    X v Y & X.

    3) Строим схему:



    1. Ответ: 1v 0 & 1 = 1.

    Пример 2

    Постройте логическую схему, соответствующую логическому выраже­нию F=X&Yv¬(YvX). Найдите значение логического выражения для X=1, Y=0.



    1. Переменных две: X и Y;

    2. Логических операций четыре: конъюнкция, две дизъюнкции и инверсия:

    1 4 3 2

    X&Yv ¬ (YvX)



    1. Схему строим слева направо в соответствии с порядком логических операций:



    1. Вычислим значение выражения: F=1&0v ¬ (0v1) =0.

    1. Закрепление изученного материала

    1

    Составьте таблицы истинности для следующих логических выражений:



    1. F=(X&Y)vZ.

    2. F=X&YvZ.

    3. F= ¬ (XvY) & (YvX).

    4. F= ¬ ((XvY) & (ZvX)) & (ZvY).

    5. F= A&B&C&D.

    6. F= (AvB) & (BvAvB).

    2

    Заполните пустые ячейки таблицы истинности:



    A

    B

    C

    CvA

    (CvA)→B

    0

    0

    0

    1

    0

    0

    0

    1

    0

    1

    1

    0

    1

    1

    1

    1

    3

    Постройте логическое выражение по логической схеме:


    А)


    B)



    C
    А

    В

    С


    )

    D)

    Ответ:


    1. F=A&(BvC),

    2. F= B&((A&B)v A),

    3. F=DvA&B&C&(BvC),

    4. F=(C&A) v ¬ (A&BvB&C).

    4

    Постройте логическую схему, соответствующую логическому выраже­нию, и найдите значение логического выражения:



    1. F = AvB& C, если А = 1, В=1, С=1 (1).

    2. F = ¬ (AvB&C), если А=0, В=1, С=1 (1).

    3. F = AvB&C, если А=1, В=0, С=1 (0).

    4. F = (AvB) & (CvB), если А=0, В=1, С=0 (1).

    5. F = ¬ (А&В&С), если А=0, В=0, С=1 (1).

    6. F = ¬ (A&B&C) v (B & C vA), если А=1, В=1, С=0 (1).

    7. F = B&AvB&A, если А=0, В=0 (0).

    Ответ: логические схемы:


    A)



    B)



    C)


    D)



    E)


    F)

    G)

    V. Итоги урока

    Оцените работу класса и назовите учащихся, отличившихся на уроке.

    Домашнее задание

    Уровень знания: знать, что такое таблица истинности, логическая схема, что такое «вентиль», как его изобразить, почему необходимо уметь строить логические схемы, порядок построения схем.

    Уровень понимания:

    1

    Составьте таблицы истинности и определите истинность формулы:

    1) F = ((Av B)→B)&(AvB).

    2)F = ¬(AvB)≡(AvB).


    1. F = ¬ ((А В) ≡ (B →Ā)).

    2

    Составьте логические схемы к следующим логическим выражениям:

    A) F = Bv(C&A) v (A&B).

    B) F= ¬ (A&B) vC&D.

    3

    Постройте логические выражения к логическим схемам:


    A)


    B)

    Уровень применения: составьте все возможные соединения в схеме следу­ющих вентилей:

    назад к оглавлению

    Урок 3. Логические законы и правила преобразования логических выражений

    Презентация

    Цели: познакомить учащихся с законами логики; сформулировать пра­вила преобразования логических выражений; научить учащихся приводить логическое выражение к нормальной форме.

    Требования к знаниям и умениям:

    Учащиеся должны знать:


    • правила преобразования логических выражений и законы логики.
      Учащиеся должны уметь:

    • приводить логические выражения к нормальной форме;

    • уметь решать логические задачи, сформулированные на обычном языке.

    Программно-дидактическое обеспечение: ПК, карточки с заданиями, таб­лица с формулами преобразования.

    Ход урока

    I. Постановка целей урока


    1. Существуют ли законы логики? Каковы они?

    2. Как из достаточно сложного выражения F = ¬ ((А vВ) → (В &С))получить простое F=В v A & С?

    3. Кто же из учеников А, В, С или D играет в шахматы?

    4. Как найти правду, если кто-то все время лжет?

    II. Проверка домашнего задания


    1. Проверить выполнение заданий уровня понимания у доски.

    2. Ученики, выполнившие задание уровня применения, выполняют взаимопроверку.

    3. Карточки с заданиями для индивидуального опроса.

    Вариант 1

    1. Составьте логическую схему к выражению: F= (A v B) &¬ (A &B).

    2. Cоставьте логическое выражение по схеме:



    Вариант 1

    1. Составьте логическую схему к выражению: F= ¬ (Av B) & (A &B).

    2. Cоставьте логическое выражение по схеме:



    Вариант 1

    1. Составьте логическую схему к выражению: F= ¬ (A&B&С) v D.

    2. Cоставьте логическое выражение по схеме:



    Вариант 1

    1. Составьте логическую схему к выражению: F= ¬ (Av B) & ¬A .

    2. Cоставьте логическое выражение по схеме:




      А≡ А

      (А≡А)

      Закон тождества

      A&Ā=0

      (А ∙ А= 0)

      Закон непротиворе­чия

      A v Ā=l

      (A+ А= 1)

      Закон исключающего третьего

      _

      Ā=A


      Закон двойного отрицания

      А& 0= 0

      Av0=A


      А∙ 0= 0

      A+0=A


      А& 1= A

      Аv 1= 1


      А∙ 1= A

      А+ 1= 1


      А& A= A

      Аv A= A


      А ∙A= A

      А+ A= A


      Аv Ā= 1

      А+ Ā= 1

      Закон Моргана

      ______ _

      (A→B)=A&B



      ______ _

      (A→B)=A∙B



      A→B=Ā v B

      A→B=Ā+B

      A&(A v B)=A

      A∙(A+B)=A

      Закон поглощения

      A v A&B = A

      A+A∙B = A

      Закон поглощения

      Ā&(AvB) = Ā&B

      Ā∙(A+B) = Ā∙B

      AvĀ&B = AvB

      A+Ā∙B = A+B

      (AvB) vC =Av(BvC)

      (A&B)&C = A&(B&C)



      (A+B)+C=A+(B+C)

      (A∙B)∙C = A∙(B∙C)



      Правило ассоциативности

      (A&B) v(A&C) = A&(BvC)

      (A∙B) +(A∙C) = A∙(B+C)

      Правило дистрибутивности

      AvA = A

      A&A = A


      A+A = A

      A∙A = A


      Правило идемпотентности

      A v B=B v A

      A&B=B&A


      A+B=B+A

      A∙B=B∙A


      Правило коммутативности

      ____

      A≡B = A &B v A& В = (Ā+B) &(A+B)


      Изложение нового материала. Законы логики

    Если логическое выражение содержит большое число операций, то составлять для него таблицу истинности достаточно сложно, так как приходится перебирать большое количество вариантов. В таких случаях формулы удобно привести к нормальной форме.

    Формула имеет нормальную форму, если в ней отсутствуют знаки эквивалентности, импликации, двойного отрицания, при этом знаки от­рицания находятся только при логических переменных.

    Для приведения формулы к нормальной форме используют законы логики и правила логических преобразований.


      следующая страница >>
    Смотрите также:

    Методическое пособие Электронный вариант Преподавателю и

    737.68kb.

    4 стр.

    Методическое пособие по дисциплине «Статистика» для специальности «Экономика и бухгалтерский учет (по отраслям): Методическое пособие /Под редакцией В. Ю. Ершовой

    1269.9kb.

    12 стр.

    Практикум по курсу «Электронный маркетинг» Технологии создания Web-сайтов Москва 2003 Составители: Н. Б. Завьялова

    643.92kb.

    1 стр.

    Учебно-методическое пособие Ижевск 2012 резьбовые соединения учебно-методическое пособие Ижевск 2012 (075)

    420.54kb.

    3 стр.

    Методическое пособие для студентов высших и средних сельскохозяйственных заведений

    1135.14kb.

    6 стр.

    Методическое пособие по выполнению курсовых работ по курсу

    153.17kb.

    1 стр.

    Методическое пособие по курсам «Электрическая часть электростанций и подстанций»

    344.65kb.

    1 стр.

    Учебно-методическое пособие для курсового проектирования Барнаул 2009 (072) Скребковые конвейеры: Учебно-методическое пособие для курсовогоо проектирования / Сост. : И. Л. Новожилов, В. Н. Самородова, Барнаул, 2009. 25 с

    403.45kb.

    2 стр.

    Методическое пособие и описание лабораторной работы (препринт) Составители: д т. н. Кирьянов К. Г. аспирант Семенчуков И. В

    326.55kb.

    3 стр.

    Методическое пособие «От простого к сложному»

    151.3kb.

    1 стр.

    Учебно-методическое пособие москва военное издательство 1987

    961.99kb.

    6 стр.

    Учебно-методическое пособие Краснодар: Кубанский гос ун-т, 2004, 104 с

    61.49kb.

    1 стр.

    Таблица истинности логических операций — алгоритм построения

    Используя таблицы истинности логических операций, можно точно определить, верна ли функция при определённых значениях. В перечень заносят всевозможные комбинации переменных появляющихся на входе и соответствующие им состояния на выходе. Чаще всего таблицы применяют при проектировании и анализе цифровых схем. При этом в интернете существуют сервисы, с помощью которых построить такого рода сводку не составит труда даже слабо разбирающемуся в этой сфере пользователю.

    Содержание

    • Определения и понятия
    • Виды логических операций
    • Аксиомы и законы
    • Алгоритм построения
    • Пример задания
    • Вычисления онлайн

    Определения и понятия

    Под таблицей истинности понимают свод значений, которые может принять высказывание при сочетании различных входящих комбинаций. Другими словами, каждому набору функций или сигналам, присутствующим на входе чего-либо, соответствует строго определённые показатели на выходе. Все значения, являющиеся всевозможными высказываниями, называют логическими выражениями. Если в таблице последние столбцы логичных выражений идентичны, то рассматриваемый объект считается равносильным.

    Любое выражение можно описать формулой, в которую будут включаться переменные, характеризующие состояния, и обозначающие функции знаки логических операций. Поэтому используя язык математики, в частности, алгебры, любое сложное высказывание можно разделить на несколько простых, а затем объединить логической связью.

    Обычно значениями истинности описывают логическую функцию, у которой показатели параметров определяют верность. Раздел математики рассматривающий их на правдивость или ложность называется булевым. В 1854 году английский учёный Джордж Буль предложил метод, позволяющий проводить анализ классов и высказываний. Согласно ему, любое значение может принимать одно из двух состояний — истина или ложь.

    Эти состояния принято обозначать арабскими цифрами один либо ноль или словами true и false. Это возможно из-за того, что для математики важна только истинность высказываний, а конкретное содержание второстепенно. Простые высказывания принято считать логическими переменными, а сложные — функциями логики. Выражения для упрощения записи обозначают латинскими буквами A, B, C.

    Применение двух цифр подчёркивает соответствие между двоичной системой счисления и математической логикой. В итоге с помощью последней стало удобным описывать работу цифровых схем радиоэлектронной аппаратуры, алгоритмы в программировании, проводить синтез и анализ результата выполнения операций.

    Суждение о правильности построения таблиц истинности для логических выражений основано на учёте всех переменных и операций, последовательно выполняющихся в рассматриваемой функции. Обычно для начертания используют 2n+1 строк, где n обозначает количество входных переменных, и n+m столбцов, m — число значений на выходе.

    Виды логических операций

    В качестве наименьшей единицы измерения объёма данных принято считать бит. В него заносится одно из двух значений — ложь (0) или правда (1). Каждая ячейка, соответствующая биту, находится лишь в одном из этих состояний. Существуют определённые операции, используемые для действий с ячейками:

  • AND (И) — применяется для сравнения двух бит. Результатом действия будет единица, но лишь в том случае, если значения двух ячеек одинаковое. При остальных вариантах итог будет иметь устойчивое нулевое состояние.
  • OR (ИЛИ) — по сути, операция обратная AND. Результат становится нулевым, если содержимое двух сравниваемых бит одинаковое. В остальных случаях он равный единице.
  • XOR (ИЛИ) — если значения, содержащиеся в двух сравниваемых битах противоположны, при выполнении логического действия результат будет равный единице. Во всех остальных случаях он будет равняться нулю.
  • NOT (НЕ) — действие, используемое для одного бита. Если первоначально ячейка находилась в нулевом состоянии, то после выполнения над ней операции она станет равной единице и наоборот. Фактические это логическая инверсия.
  • Эти операции являются основными элементами при составлении таблиц истинности и получения возможного результата. На основании их построена алгебра Буля. Некоторые элементы получаются путём объединения нескольких операций. Так, существует состояние: NAND (И-НЕ) и NOR (ИЛИ-НЕ). Первый элемент является инверсией операции «И», а второй — «ИЛИ». На основании рассмотренных операторов строится работа всех цифровых интегральных схем.

    В информатике существует своя терминология, обозначающая то или иное логическое действие. Так, AND называют операцией конъюнкции, OR — дизъюнкции, XOR — сложение по модулю 2, NOT — отрицание. Задача инженера при анализе схем или алгоритма сводится к выполнению булевой арифметики и упрощению выражений. Для этого используют различные правила и положения не требующих доказательства.

    Аксиомы и законы

    Построение таблиц в удобной форме позволяет определить, когда определённое действие или высказывание принимает верное значение, а в каком случае нет. В верхней строчке записывают логическую форму высказывания, а в столбцах — истинные значения. Некоторые комбинации высказываний всегда будут истинными или ложными, независимо от содержания. Поэтому и были сформулированы следующие законы:

  • Торжества. Записывается в виде утверждения: А = А. В этом случае таблица будет состоять из двух комбинаций: ложной и правдивой. Бинарная логическая связка «Если А, то А» является материальной импликацией. Для такого варианта всегда можно сказать, что А есть А. Этот закон обозначает то, что нельзя подменять одно понятие другим, иначе возникнут логические ошибки.
  • Противоречия. Согласно ему, утверждение, что А и НЕ-А, неверно: A & A = 0. Другими словами, если А истинное значение, то его отрицание не может быть ложным. То есть их перемножение будет всегда фальшивой операцией. Этот закон довольно часто применяется для упрощения сложных логических суждений.
  • Третьего исключённого. Закон записывается в виде A v A = 1 и обозначает, что в один и тот же момент высказывание может быть только правдивым или ложным. То есть третьего не дано.
  • Эти три закона фундаментальны. Без их соблюдения сделать любое правильное утверждение невозможно.

    Для решения логических задач с помощью таблиц истинности используют различные формулы, соответствующие разного вида операциям. Одно из них логическое умножение (конъюнкция). В этом случае считается, что функция истинная лишь тогда, когда оба выражения являются верными: F = A & B. Другое логическое сложение (дизъюнкция). Оно гласит, что если оба выражения ложны, то и логическая функция будет неверной.

    Кроме того, используется закон:

    • инверсии (отрицания) — если логическое высказывание истинно, то отрицание его будет ложным выражением;
    • импликации (следования) — для всегда истинного сложного логического выражения ложь будет тогда, когда из верности следует отрицание;
    • эквивалентности (равнозначности) — выражение будет истинным лишь тогда, когда оба высказывания имеют одинаковое значение.

    При построении таблиц нужно придерживаться установленного порядка выполнения упрощения операций. Вначале считают инверсию и конъюнкцию, а затем дизъюнкцию, импликацию и эквиваленцию. При изменении же порядка выполнения действий в описании логических операций используют скобки.

    Алгоритм построения

    Таблицы истинности показывают, какой вид может принять выражение при различных входящих в него значениях переменных. Для того чтобы их правильно построить и выполнить вычисление логического выражения нужно придерживаться установленного алгоритма. Построение таблиц выполняют в следующей последовательности:

    • подсчитывают количество переменных n;
    • вычисляют число строк для будущей таблицы используя формулу m = 2n+1;
    • определяют число логических операций;
    • устанавливают порядок выполнения операций в соответствии со скобками и приоритетами;
    • строят таблицу с указанием столбцов и наборов значений, заданных логических операций;
    • заполняют оставшиеся ячейки в таблице.

    Для заполнения таблиц нужно упрощать выражения с учётом последовательности выполнения операций. При этом учитывать, что если значение какого-то из аргументов функции в соответствующей строке таблицы будет равное нулю, то записывать его нужно в виде отрицания.

    Пример задания

    Пусть необходимо построить таблицу для логического выражения F = (A → B) * (A + B). Эта формула состоит из двух логических переменных A и B и нескольких операций. Начинают построение с определения строк. Используя формулу 2n+1 для рассматриваемого примера можно установить, что их число будет: x = 22 + 1 = 5.

    Теперь следует определить число столбцов. Для этого используется формула, в которой учитывается количество переменных и операций. Последние можно просто посчитать, сложив количество разных знаков, используемых в записи формулы. Но правильней сначала расставить порядок операций, а затем посчитать. Согласно порядку действия над операциями их нумерацию можно представить в следующей очерёдности:

  • Импликация в первой скобке.
  • Инверсия во второй скобке переменной A.
  • Отрицание во второй скобке неизвестной B.
  • Сложение во втором члене.
  • Конъюнкция.
  • В итоге получится, что столбцов будет: Y = 2 + 5 = 7. Теперь нужно построить таблицу 7Х5. В шапку первого и второго столбца вписывают переменные, а затем операции над ними. Затем в строках, соответствующих A и B нужно записать всё, что с ними может произойти. В итоге останется только правильно посчитать последний столбец.

    Для этого нужно использовать законы. Необходимо выполнить логическое умножение значений в скобках. Первой и второй строчке будет соответствовать операция произведения один на один, что в ответе даст единицу. Третьей и четвёртой — ноль на один, что в итоге даст ноль. Последний столбец является главным для рассматриваемой логической функции. По нему можно узнать значение логической функции для любых форм переменных A и B.

    Это довольно простая задача, содержащая всего две переменных. Но в реальности, например, в программировании, их может быть намного больше. Решать такие задания методом перебора проблематично. Поэтому при решении сложных примеров функцию вначале пытаются упростить.

    Например, заданно выражение (x + y + z) * (x + y). По сути, оно записано в совершенно нормальной конъюнктивной форме. Но для приведения его к этому виду нужно, чтобы во втором выражении стояла z. Для того чтобы её добавить необходимо обратить внимание на то, что внутри скобок стоит логическое сложение. Поэтому дописав к нему ноль, результат не изменится. Добавить ноль через z можно, как ноль умножить на НЕ z. В итоге получится выражение (x + y + z) * (x + y + z + z), для которого, используя алгоритм составить таблицу уже не так и сложно.

    Вычисления онлайн

    В интернете есть сервисы, автоматически строящие таблицы истинности. Такие сайты предлагают свои услуги бесплатно и доступны даже тем, кто слабо ориентируется в теме. С их помощью можно находить таблицы для довольно сложных выражений, решение которых требует скрупулёзности в расчёте. В основе онлайн-вычислений заложены принципы логических законов, поэтому за достоверность результата можно не переживать. Тем более расчёт занимает совсем небольшое количество времени.

    Для того чтобы воспользоваться сайтами-калькуляторами пользователю необходимо знать обозначение операций, иметь подключение к интернету и установленный веб-обозреватель, поддерживающий Flash-технологию. Регистрацию, указание личных данных сервисы, предлагающие такого рода услуги, не требуют.

    Из различных порталов можно отметить три наиболее популярных калькулятора:

  • Allcalc.
  • Programforyou.
  • Uchim.
  • Эти сайты имеют интуитивно понятный интерфейс и что довольно полезно, на своих страницах содержат краткую теорию, используемую для составления таблиц истинности и даже примеры решений.

    Предыдущая

    ИнформатикаКак рисовать в Паскале АВС — команды, алгоритмы и примеры

    Следующая

    ИнформатикаРеляционные базы данных — определение, структура, примеры

    Построение СКНФ и СДНФ по таблице истинности

    1. СКНФ
    2. СДНФ

    Нормальной форме логической формулы не свойственна эквивалентность, отрицание формул неэлементарного типа и знаки импликации.

    Выделяют такие виды формы нормального типа:

    • КНФ (конъюнктивная нормальная форма), где подразумевается конъюнкция того или иного количества дизъюнкций, как пример, ;
    • ДНФ (дизъюнктивная нормальная форма), где осуществляется дизъюнкция конъюнкций, как пример, .

    СКНФ

    Совершенная КНФ является разновидностью конъюнктивной нормальной формы, удовлетворяющей такие условия:

    • отсутствие одинаковых элементарных дизъюнкций;
    • дизъюнкции не содержат одинаковые переменные;
    • все дизъюнкции содержат каждую переменную из входящих в конъюнктивную НФ такого типа.

    Построение СКНФ согласно таблице истинности

    Если функция равна нулю, то в случае каждого набора записывают сумму, причем с отрицанием берутся те переменные, которые равны единице.

    СДНФ

    Совершенная ДНФ является разновидностью дизъюнктивной нормальной формы, удовлетворяющей следующие условия:

    • отсутствие одинаковых элементарных конъюнкций;
    • конъюнкции не свойственно обладать одинаковыми переменными;

    в случае любой конъюнкции элементарного типа имеет место быть переменная, входящая в такую нормальную дизъюнктивную форму. При этом в одинаковом порядке.

    Все формулы булевого типа, которые не относятся к тождественно ложным, могут быть представлены в совершенной разновидности ДНФ, при этом в единственном возможном варианте.

    Построение СДНФ согласно таблице истинности

    Если функция соответствует единице, то в случае каждого набора записывается произведение, причем с отрицанием берутся те переменные, которые равны нулю.

    Нахождение СКНФ и СДНФ: примеры

    Пример

    Согласно таблице истинности записать логическую функцию:

    Рисунок 1.

    Решение:

    Прибегнем к правилу построения совершенной ДНФ

    Рисунок 2.

    Получаем такую СДНФ

    Задействовав правило её построения:

    Рисунок 3.

    Получаем СКНФ:

    Пример

    Представить функцию как СДНФ и СКНФ, при том, что она задаётся таблицей истинности.

    Рисунок 4.

    Решение

    Для начала нужно записать логическую функцию в СДНФ. Чтобы упростить решение, добавляем к таблице столбец. Прибегнув к правилу составления СДНФ, вводим знак отрицания для переменных с нулевым значением. Инвертирование нулевых значений переменных имеет большое значение, поскольку без этого значения конъюнкций будут преобразованы в нули ключевой функции.

    Рисунок 5.

    Вычисленные конъюнкции из вспомогательного столбца необходимо объединить знаком дизъюнкции и получим необходимую логическую функцию, имеющую вид совершенной конъюнктивной формы нормального типа:

    Запишем логическую функцию в СКНФ.

    Прибегнув к правилу, по которому составляется СКНФ, нужно помнить о введения знака отрицания для переменных с единицей. Инвертирование единичных значений имеет большое значение, поскольку без этого значения дизъюнкций будут преобразованы в единицы ключевой функции.

    Рисунок 6.

    Вычисленные дизъюнкции из вспомогательного столбца необходимо объединить знаком конъюнкции, так как таким образом и можно получить необходимую логическую функцию, имеющую вид совершенной нормальной формы конъюнктивного типа.

    Физика

    166

    Реклама и PR

    31

    Педагогика

    80

    Психология

    72

    Социология

    7

    Астрономия

    9

    Биология

    30

    Культурология

    86

    Экология

    8

    Право и юриспруденция

    36

    Политология

    13

    Экономика

    49

    Финансы

    9

    История

    16

    Философия

    8

    Информатика

    20

    Право

    35

    Информационные технологии

    6

    Экономическая теория

    7

    Менеджент

    719

    Математика

    338

    Химия

    20

    Микро- и макроэкономика

    1

    Медицина

    5

    Государственное и муниципальное управление

    2

    География

    542

    Информационная безопасность

    2

    Аудит

    11

    Безопасность жизнедеятельности

    3

    Архитектура и строительство

    1

    Банковское дело

    1

    Рынок ценных бумаг

    6

    Менеджмент организации

    2

    Маркетинг

    238

    Кредит

    3

    Инвестиции

    2

    Журналистика

    1

    Конфликтология

    15

    Этика

    9

    Устройства хранения информации Алфавитный подход к оценке количества информации. Формула Хартли Информационные процессы и информация Прикладное программное обеспечение Архитектура персонального компьютера

    Узнать цену работы

    Узнай цену

    своей работы

    Имя

    Выбрать тип работыЧасть дипломаДипломнаяКурсоваяКонтрольнаяРешение задачРефератНаучно — исследовательскаяОтчет по практикеОтветы на билетыТест/экзамен onlineМонографияЭссеДокладКомпьютерный набор текстаКомпьютерный чертежРецензияПереводРепетиторБизнес-планКонспектыПроверка качестваЭкзамен на сайтеАспирантский рефератМагистерскаяНаучная статьяНаучный трудТехническая редакция текстаЧертеж от рукиДиаграммы, таблицыПрезентация к защитеТезисный планРечь к дипломуДоработка заказа клиентаОтзыв на дипломПубликация в ВАКПубликация в ScopusДиплом MBAПовышение оригинальностиКопирайтингДругое

    Принимаю  Политику  конфиденциальности

    Подпишись на рассылку, чтобы не пропустить информацию об акциях

    Как составить таблицу истинности

    Как составить таблицу истинности

    philosophy. lander.edu

    Домашняя страница > Логика > Символическая логика > Таблицы истинности        

     

    Викторины
    Тесты
    Часто задаваемые вопросы
    Ссылки
    Поиск
    Показания
    Архивы
    Учебный план

     

    Философия 103: Введение в логику
    Как составить таблицу истинности

    Аннотация: Объясняются и иллюстрируются общие принципы построения таблиц истинности.

    1. Как построить направляющие столбцы:
      1. Запишите количество переменных (соответствующее количеству утверждений) в алфавитном порядке.
      2. Необходимое количество строк: 2 n , где n — количество переменных. ( Например, , с тремя переменными, 2 3 = 8).
      3. Начните с правой колонки и чередуйте T s и F ​​, пока не закончатся линии.
      4. Затем перейдите влево к следующему столбцу и чередуйте пары T и F ​​, пока не закончатся линии.
      5. Затем перейдите к следующей левой колонке и удвойте номера T и F ​​ до завершения.
    2. Пример: составить таблицу истинности для p (к р )

      Строка

       

      I, А переменные в алфавитном порядке
      заказ
       
      III, A
      Первая
      линия
      все T

      р q р q   r р (к р)
      1 Т Т Т Т Т
      I, B
      количество строк
      = 2 n

      III, D
      половина T
      половина F
      2 Т Т Ф Т Т
      3 Т Ф Т Т Т
      4 Т Ф Ф Ф Т
      5 Ф Т Т Т Т
      6 Ф Т Ф Т Т
      7 Ф Ф Т Т Т
      8 Ф Ф Ф Ф Ф
      III, B
      последняя
      строка
      все F

      I, E
      альтернативный
      двойной по сравнению с предыдущим
      T и F

      I, D
      альтернативные
      пары
      T и F

      I, C
      альтернативный
      T и F
    3. В качестве проверки правильности выполнения направляющих столбцов:
      1. Первая горизонтальная линия будет состоять из всех T х.
      2. Последняя горизонтальная линия будет состоять из всех F ​​.
      3. Крайний левый столбец будет разделен поровну; первая половина все T и вторая половина всех F ​​.


    Отправляйте исправления или предложения по адресу [email protected]
    Прочитайте отказ от ответственности относительно этой страницы.
    26.12.04 2004 г. Лицензия GFDL


    Аргументы | Язык | Заблуждения | Предложения  | Силлогизмы | Перевод | Символический

    .

    [произошла ошибка при обработке этой директивы]

    таблиц истинности

    таблица истинности

    Мы научились брать предложения на английском языке и переводить их в логические утверждения, используя буквы и символы для логических связок. Мы говорили о том, когда утверждение, составленное из двух простых утверждений, соединенных одной логической связкой, истинно и когда ложно. Теперь нам нужен систематический способ найти истинностное значение более сложных утверждений, содержащих несколько логических символов. Итак, как мы это сделаем?

    Прежде всего, нам нужен какой-то порядок операций: если у нас есть оператор с несколькими логическими символами, как мы узнаем, какой из них должен стоять первым? Логики решили использовать тот же порядок операций, который мы изучили в теории множеств.

    Как и в теории множеств, нам обычно нужны круглые скобки, чтобы указать, что делать в первую очередь. Итак, вот порядок, в котором мы должны делать что-то в логике:

    Логический порядок операций
    1. Сначала делаем скобки, работая изнутри наружу.
    2. Внутри круглых скобок или после того, как круглые скобки исчезли, мы всегда делаем отрицание, прежде чем делать любую другую логическую связку.
    3. Если у нас есть какие-либо другие логические связки, у нас должны быть круглые скобки, говорящие нам, что делать в первую очередь.

     

    Давайте рассмотрим пример:

    (~ р к )∨ р

    Если бы мы хотели посмотреть, какова истинность этого утверждения, когда с =T и q =F, то нам пришлось бы шаг за шагом выполнять оператор, выполняя каждый логический квантификатор один за другим.


    Что бы мы сделали в первую очередь? Скобки.
    Что делать в скобках? ~ р д

    Итак, что мы должны сделать первым, отрицание (~) или или (∨)?
    Поскольку первыми всегда идут отрицания, мы начинаем с нахождения истинного значения ~ p .

    Если p =T, то должно быть ~ р =F.
    Теперь, когда мы сделали ~ p , мы можем объединить его истинное значение с q истинным значением, чтобы найти истинное значение ~ p q .
    (Помните, что оператор «и» истинен только тогда, когда оба утверждения по обе стороны от него истинны.)

    В этом случае у нас есть ~ p слева, что, как мы знаем, ложно, и q справа, что, как мы также знаем, ложно.
    Итак, поскольку у нас нет утверждений по обе стороны от символа «и», которые оба верны, утверждение ~ p q неверно.
    So ~ p q =F.


    Теперь, когда мы знаем истинное значение всего в скобках (~ p q ), мы можем соединить это утверждение с ∨ p , чтобы получить окончательное утверждение (~ p q ). )∨ р .


    Когда утверждение «или» верно?
    Всякий раз, когда хотя бы одно из отдельных утверждений по обе стороны от него верно.
    В этом случае два утверждения по обе стороны от знака или (~ p q ) и p .

    Мы знаем, что ~ p q ложно, и мы знаем, что p истинно.
    Поскольку хотя бы одно из этих двух верно, мы знаем, что наше утверждение «или» (~ p q )∨ p должно быть истинным.


    Так (~ p∧q ) ∨p =T.

    Другой способ пошаговой записи этой задачи будет выглядеть так:
    (~ p∧q )∨ p
    =(~T∧F)∨T
    =(F∧F)∨T
    =F∨T
    =T

    Мы часто хотим найти систематический способ найти все возможные значения истинности утверждения. Для этого составим таблицу истинности. Таблица истинности — это таблица, которая начинается со всех возможных комбинаций значений истинности для букв в составном утверждении; затем он разбивает составное утверждение и шаг за шагом определяет значения истинности для каждой из частей логического утверждения.

    Давайте рассмотрим пример, чтобы это определение имело больше смысла:

    Одна из простейших таблиц истинности, которые мы можем построить, — это таблица истинности для выражения ~ p .
    Вот как мы это делаем:
    1. Сначала мы начнем с построения таблицы с буквой p в верхней части первого столбца:

    2. Затем мы заполняем все возможные значения истинности p в этом столбце. Поскольку p может быть только истинным или ложным, столбец заполняется так:
    3. Затем мы помещаем выражение ~ p вверху следующего столбца.

      р

      ~ р

      Т

      Ф

    4. Теперь смотрим на каждую строку; мы смотрим, каково значение истинности p в этой строке, а затем мы заполняем соответствующее значение истинности ~ p для данного значения истинности p .
      1. Если мы посмотрим на первую строку, истинное значение p равно T. Таким образом, в этой строке истинное значение ~ p должно быть F.
        Чтобы понять, почему это так, просто вспомните определение отрицание ~. Подумайте об этом так: предположим, что p представляет утверждение «Идет дождь». Тогда ~ p представляет утверждение «Дождя нет». Всякий раз, когда правда, что идет дождь ( стр. =T), то должно быть ложным, что идет дождь , а не (~ p =F).

        р

        Т

        Ф

        Ф

        Т

      2. Если мы посмотрим на вторую строку, истинное значение p равно F. Таким образом, в этой строке истинное значение ~ p должно быть T.
        Чтобы понять, почему это так, просто вспомните определение отрицания ~. Подумайте об этом так: предположим, что p представляет утверждение «Идет дождь». Тогда ~ p представляет утверждение «Дождя нет». Всякий раз, когда ложно, что идет дождь ( p = F), тогда должно быть правдой, что идет , а не дождь (~ p = T).

        р

        Т

        Ф

        Ф

        Т

    Итак, наша окончательная таблица истинности выглядит так:

    р

    Т

    Ф

    Ф

    Т

     

    Теперь составим таблицу истинности для каждой из основных логических связок:

    • р к Сначала настраиваем таблицу:

      р

      q

      п∧q

      Т

      Т

      Т

      Ф

      Ф

      Т

      Ф

      Ф

      Обратите внимание, что теперь, когда у нас есть две буквы, p и q , вместо одной буквы у нас есть четыре возможных комбинации значений истинности для p и q :

      1. p может быть правдой, а q может быть правдой
      2. p может быть правдой, а q может быть ложью
      3. p может быть ложным, а q может быть истинным
      4. p может быть ложным, а q может быть ложным
    • Мы знаем, что p q верно только тогда, когда оба p и q верны.
      Итак, мы можем заполнить таблицу истинности следующим образом:

      р

      q

      п∧q

      Т

      Т

      Т

      Т

      Ф

      Ф

      Ф

      Т

      Ф

      Ф

      Ф

      Ф

      Чтобы увидеть, как мы это сделали, мы можем шаг за шагом заполнить таблицу:
    1. Когда p =T и q =T, тогда p∧q =T:

      р

      q

      п∧q

      Т

      Т

      Т

      Т

      Ф

      Ф

      Ф

      Т

      Ф

      Ф

      Ф

      Ф

    2. Когда p =T и q =F, тогда p∧q =F:

      р

      q

      п∧q

      Т

      Т

      Т

      Т

      Ф

      Ф

      Ф

      Т

      Ф

      Ф

      Ф

      Ф

    3. Когда p =F и q =T, тогда p∧q =F:

      р

      q

      п∧q

      Т

      Т

      Т

      Т

      Ф

      Ф

      Ф

      Т

      Ф

      Ф

      Ф

      Ф

    4. Когда p =F и q =F, тогда p∧q =F:

      р

      q

      п∧q

      Т

      Т

      Т

      Т

      Ф

      Ф

      Ф

      Т

      Ф

      Ф

      Ф

      Ф

    Итак, окончательная таблица истинности:

    р

    q

    п∧q

    Т

    Т

    Т

    Т

    Ф

    Ф

    Ф

    Т

    Ф

    Ф

    Ф

    Ф

  • п∨к Сначала настраиваем таблицу:

    р

    q

    p∨q

    Т

    Т

    Т

    Ф

    Ф

    Т

    Ф

    Ф

    Помните, что теперь, когда у нас есть две буквы, p и q , вместо одной буквы у нас есть четыре возможных комбинации значений истинности для p и q :

    1. p может быть правдой, а q может быть правдой
    2. p может быть истинным, а q может быть ложным
    3. p может быть ложным и q может быть правдой
    4. p может быть ложным, а q может быть ложным
  • Мы знаем, что p∨q истинно только тогда, когда хотя бы одно из p или q истинно.
    Итак, мы можем заполнить таблицу истинности следующим образом:

    р

    q

    p∨q

    Т

    Т

    Т

    Т

    Ф

    Т

    Ф

    Т

    Т

    Ф

    Ф

    Ф

    Чтобы увидеть, как мы это сделали, мы можем шаг за шагом заполнить таблицу:
    1. Когда p =T и q =T, тогда p∨q =T:

      р

      q

      p∨q

      Т

      Т

      Т

      Т

      Ф

      Т

      Ф

      Т

      Т

      Ф

      Ф

      Ф

    2. Когда p =T и q =F, тогда p∨q =T:

      р

      q

      p∨q

      Т

      Т

      Т

      Т

      Ф

      Т

      Ф

      Т

      Т

      Ф

      Ф

      Ф

    3. Когда p =F и q =T, тогда p∨q =T:

      р

      q

      p∨q

      Т

      Т

      Т

      Т

      Ф

      Т

      Ф

      Т

      Т

      Ф

      Ф

      Ф

    4. Когда p =F и q =F, тогда p∨q =F:

      р

      q

      p∨q

      Т

      Т

      Т

      Т

      Ф

      Т

      Ф

      Т

      Т

      Ф

      Ф

      Ф

    Итак, окончательная таблица истинности:

    р

    q

    p∨q

    Т

    Т

    Т

    Т

    Ф

    Т

    Ф

    Т

    Т

    Ф

    Ф

    Ф

  • п→к Сначала настраиваем таблицу:

    р

    q

    п→к

    Т

    Т

    Т

    Ф

    Ф

    Т

    Ф

    Ф

     

  • Мы знаем, что p→q только ложно , когда оба p верно и q ложно .
    Итак, мы можем заполнить таблицу истинности следующим образом:

    р

    q

    п→к

    Т

    Т

    Т

    Т

    Ф

    Ф

    Ф

    Т

    Т

    Ф

    Ф

    Т

    Чтобы увидеть, как мы это сделали, мы можем шаг за шагом заполнить таблицу:
    1. Когда p =T и q =T, тогда p→q =T:

      р

      q

      п→к

      Т

      Т

      Т

      Т

      Ф

      Ф

      Ф

      Т

      Т

      Ф

      Ф

      Т

    2. Когда p =T и q =F, тогда p→q =Ф:

      р

      q

      п→к

      Т

      Т

      Т

      Т

      Ф

      Ф

      Ф

      Т

      Т

      Ф

      Ф

      Т

    3. Когда p =F и q =T, тогда p→q =T:

      р

      q

      п→к

      Т

      Т

      Т

      Т

      Ф

      Ф

      Ф

      Т

      Т

      Ф

      Ф

      Т

    4. Когда p =F и q =F, тогда p→q =T:

      р

      q

      п→к

      Т

      Т

      Т

      Т

      Ф

      Ф

      Ф

      Т

      Т

      Ф

      Ф

      Т

    Итак, окончательная таблица истинности:

    р

    q

    п→к

    Т

    Т

    Т

    Т

    Ф

    Ф

    Ф

    Т

    Т

    Ф

    Ф

    Т

     

  • р↔q Сначала настраиваем таблицу:

    р

    q

    п↔к

    Т

    Т

    Т

    Ф

    Ф

    Т

    Ф

    Ф

     

  • Мы знаем, что p↔q верно только тогда, когда оба p и q верны или когда оба p и q являются ложными.
    Итак, мы можем заполнить таблицу истинности следующим образом:

    р

    q

    п↔к

    Т

    Т

    Т

    Т

    Ф

    Ф

    Ф

    Т

    Ф

    Ф

    Ф

    Т

    Чтобы увидеть, как мы это сделали, мы можем шаг за шагом заполнить таблицу:
    1. Когда p =T и q =T, то p↔q =Т:

      р

      q

      п↔к

      Т

      Т

      Т

      Т

      Ф

      Ф

      Ф

      Т

      Ф

      Ф

      Ф

      Т

    2. Когда p =T и q =F, то p↔q =F:

      стр.

      q

      п↔к

      Т

      Т

      Т

      Т

      Ф

      Ф

      Ф

      Т

      Ф

      Ф

      Ф

      Т

    3. Когда p =F и q =T, то p↔q =F:

      р

      q

      п↔к

      Т

      Т

      Т

      Т

      Ф

      Ф

      Ф

      Т

      Ф

      Ф

      Ф

      Т

    4. Когда p =F и q =F, то p↔q =F:

      р

      q

      п↔q

      Т

      Т

      Т

      Т

      Ф

      Ф

      Ф

      Т

      Ф

      Ф

      Ф

      Т

    Итак, окончательная таблица истинности:

    р

    q

    п↔к

    Т

    Т

    Т

    Т

    Ф

    Ф

    Ф

    Т

    Ф

    Ф

    Ф

    Т

     

    Теперь наша конечная цель состоит в том, чтобы иметь возможность заполнять таблицы истинности большим количеством составных утверждений, содержащих более одной логической связки.
    Выражения типа q→~s или (r∧~p)→r или (q&rarr~p)∧(p↔r) имеют несколько логических связок, поэтому нам нужно будет выполнять их по одному шагу за раз используя порядок операций, которые мы определили в начале этой лекции.

    Давайте сделаем несколько примеров, чтобы увидеть, как выполнять эти сложные операторы шаг за шагом :
    1. q→~s
      1. Сначала мы начнем с написания таблицы со всеми возможными комбинациями значений истинности для каждой буквы в выражении. Поскольку здесь у нас есть 2 буквы, q и s, у нас будет 2 столбца в начале таблицы истинности, помеченные q и s:

        q

        с

        Т

        Т

        Т

        Ф

        Ф

        Т

        Ф

        Ф

      2. Потому что порядок операций гласит, что если у нас нет круглых скобок, мы всегда сначала делаем отрицание .
        Итак, мы помечаем первый пустой столбец ~s.
        Затем, поскольку s — единственная буква в выражении ~s, мы используем заданные значения истинности s в таблице, чтобы заполнить соответствующие значения истинности для ~s:

        q

        с

        Т

        Т

        Ф

        Т

        Ф

        Т

        Ф

        Т

        Ф

        Ф

        Ф

        Т

        Напомним, что утверждение с символом ~ в нем является только истинным , если то, что следует за символом ~, является ложным , и наоборот .
        • Первое истинное значение в столбце ~s равно F, потому что когда s=T, ~s=F.
        • Вторым значением истинности в столбце ~s является T, потому что когда s=F, ~s=T.
        • Третье истинное значение в столбце ~s равно F, потому что когда s=T, ~s=F.
        • Четвертым значением истинности в столбце ~s является T, потому что, когда s=F, ~s=T.
      3. Теперь, когда мы позаботились о знаке ~ в выражении, осталось побеспокоиться только о символе → в q→~s. Символ → всегда объединяет ровно два выражения; два выражения, которые он соединяет, сами по себе могут быть более сложными утверждениями, но нас не волнует, насколько они сложны, до тех пор, пока у нас уже есть столбец в таблице истинности с этим логическим выражением вверху 9.0663 . В этом выражении символ → объединяет 2 выражения: q и ~s.
        И q, и ~s находятся в верхней части столбцов таблицы истинности, поэтому мы можем использовать эти два столбца, чтобы заполнить столбец для q→~s, просто используя определение символа →:

        q

        с

        Т

        Т

        Ф

        Ф

        Т

        Ф

        Т

        Т

        Ф

        Т

        Ф

        Т

        Ф

        Ф

        Т

        Т

        Будьте осторожны! В отличие от других логических связок, условная делает , а не , обрабатывает первое и второе утверждения, которые она соединяет таким же образом, как !
        Когда вы работаете с условной связкой (→), вы должны
        отметить столбец, соответствующий первому утверждению иначе, чем так, как вы отмечаете второе колонка. При заполнении столбца условного оператора убедитесь, что вы не перепутали столбец первого оператора со столбцом второго оператора !
        В этих примерах мы различаем их, окрашивая столбец, содержащий , первый оператор , желтый , и столбец, содержащий , второй оператор , , голубой . Помните, что оператор, содержащий символ →, равен 9.0662 только ложь
        , если первое утверждение (то, что перед знаком →) является истинным , а второе утверждение (тот, что после знаком →) является ложным !
        • Первым значением истинности в столбце q→~s является F, потому что, когда q=T и ~s=F, q→~s=F.
        • Вторым значением истинности в столбце q→~s является T, потому что, когда q=T и ~s=T, q→~s=T.
        • Третьим значением истинности в столбце q→~s является F, потому что, когда q=F и ~s=T, q→~s=T.
        • Четвертым значением истинности в столбце q→~s является T, потому что, когда q=F и ~s=T, q→~s=T.
      4. Таким образом, окончательная таблица истинности для этого утверждения будет выглядеть так:

        q

        с

        q→~s

        Т

        Т

        Ф

        Ф

        Т

        Ф

        Т

        Т

        Ф

        Т

        Ф

        Т

        Ф

        Ф

        Т

        Т

    2. (r∧~p)→r
      1. Сначала мы начнем с написания таблицы со всеми возможными комбинациями значений истинности для каждой буквы в выражении. Поскольку здесь у нас есть 2 буквы, p и r, у нас будет 2 столбца в начале таблицы истинности, помеченные p и r:

        р

        р

        Т

        Т

        Т

        Ф

        Ф

        Т

        Ф

        Ф

      2. Порядок операций гласит, что мы всегда делаем круглые скобки первыми . Итак, смотрим, что находится внутри скобок: r∧~p.
        В скобках два символа: ∧ и ~.
        Порядок операций гласит, что мы всегда делаем сначала отрицания .
        с Поэтому мы помечаем первый пустой столбец как ~p. Затем, поскольку p — единственная буква в выражении ~p, мы используем заданные значения истинности p в таблице, чтобы заполнить соответствующие значения истинности для ~p:

        р

        р

        Т

        Т

        Ф

        Т

        Ф

        Ф

        Ф

        Т

        Т

        Ф

        Ф

        Т

        Напомним, что утверждение с символом ~ в нем является только истинным , если то, что следует за символом ~, является ложным , и наоборот .
        • Первым значением истинности в столбце ~p является F, потому что когда p=T, ~p=F.
        • Вторым значением истинности в столбце ~p является T, потому что когда p=T, ~p=F.
        • Третье истинное значение в столбце ~p равно F, потому что когда p=F, ~p=T.
        • Четвертым значением истинности в столбце ~p является T, потому что когда p=T, ~p=F.
      3. Теперь, когда мы позаботились о знаке ~ в выражении внутри круглых скобок, все, о чем нам осталось позаботиться внутри круглых скобок, — это символ ∧ в r∧~p. Символ ∧ всегда соединяет ровно два выражения; два выражения, которые он соединяет, сами по себе могут быть более сложными операторами, но нам все равно, насколько они сложны, , если у нас уже есть столбец в таблице истинности с этим логическим выражением вверху . В этом выражении символ ∧ соединяет 2 выражения: r и ~p.
        И r, и ~p находятся в верхней части столбцов таблицы истинности, поэтому мы можем использовать эти два столбца, чтобы заполнить столбец для r∧~p, просто используя определение символа ∧:
        906:30

        р

        р

        ~ стр.

        Т

        Т

        Ф

        Ф

        Т

        Ф

        Ф

        Ф

        Ф

        Т

        Т

        Т

        Ф

        Ф

        Т

        Ф

        Помните, что утверждение, содержащее символ ∧, верно только , если оба утверждения верны !
        • Первым значением истинности в столбце r∧~p является F, потому что, когда r=T и ~p=F, r∧~p=F.
        • Вторым значением истинности в столбце r∧~p является F, потому что, когда r=F и ~p=F, r∧~p=F.
        • Третьим значением истинности в столбце r∧~p является T, потому что, когда r=T и ~p=T, r∧~p=T.
        • Четвертым значением истинности в столбце r∧~p является F, потому что, когда r=F и ~p=T, r∧~p=F.
      4. Теперь, когда мы позаботились о скобках, все, о чем нам осталось побеспокоиться, это символ, оставшийся за скобками: символ → в (r∧~p)→r. Символ → всегда объединяет ровно два выражения; два выражения, которые он соединяет, сами по себе могут быть более сложными операторами, но нам все равно, насколько они сложны, , если у нас уже есть столбец в таблице истинности с этим логическим выражением вверху . В этом выражении символ → объединяет 2 выражения: r∧~p и r.
        Оба r∧~p и r находятся в верхней части столбцов таблицы истинности, поэтому мы можем использовать эти два столбца, чтобы заполнить столбец для (r∧~p)→r, просто используя определение → символ:

        р

        р

        ~ стр.

        р∧~р

        Т

        Т

        Ф

        Ф

        Т

        Т

        Ф

        Ф

        Ф

        Т

        Ф

        Т

        Т

        Т

        Т

        Ф

        Ф

        Т

        Ф

        Т

        Будьте осторожны! В отличие от других логических связок, условная не , а относится к первой и второй 9Операторы 0663 объединяются тем же способом, что и !
        Когда вы работаете с условной связкой (→), вы должны пометить столбец, соответствующий первому оператору иначе, чем пометку второго столбца
        . При заполнении столбца условного оператора убедитесь, что вы не перепутали столбец первого оператора со столбцом второго оператора !
        В этих примерах мы различаем их, окрашивая столбец, содержащий первый оператор желтый и столбец, содержащий второй оператор цвет морской волны . Помните, что утверждение, содержащее символ →, является ложным только тогда, когда первое утверждение (то, что перед знаком →) является истинным , а второе утверждение (то, что после знаком →) является ложь !
        • Первым значением истинности в столбце (r∧~p)→r является T, потому что, когда (r∧~p)=F и r=T, (r∧~p)→r=T.
        • Вторым значением истинности в столбце (r∧~p)→r является T, потому что, когда (r∧~p)=F и r=F, (r∧~p)→r=T.
        • Третьим значением истинности в столбце (r∧~p)→r является T, потому что, когда (r∧~p)=T и r=T, (r∧~p)→r=T.
        • Четвертым значением истинности в столбце (r∧~p)→r является T, потому что, когда (r∧~p)=F и r=F, (r∧~p)→r=T.
      5. Таким образом, окончательная таблица истинности для этого утверждения будет выглядеть так:

        р

        р

        р∧~р

        (r∧~p)→r

        Т

        Т

        Ф

        Ф

        Т

        Т

        Ф

        Ф

        Ф

        Т

        Ф

        Т

        Т

        Т

        Т

        Ф

        Ф

        Т

        Ф

        Т

    3. г∧(~р→г)
      1. Сначала мы начнем с написания таблицы со всеми возможными комбинациями значений истинности для каждой буквы в выражении.

        Поскольку здесь у нас есть 2 буквы, p и r, у нас будет 2 столбца в начале таблицы истинности, помеченные p и r:

        р

        р

        Т

        Т

        Т

        Ф

        Ф

        Т

        Ф

        Ф

      2. Порядок операций гласит, что мы всегда делаем круглые скобки первыми . Итак, смотрим, что находится внутри скобок: ~p→r.
        Внутри скобок два символа: ~ и →.
        Порядок операций гласит, что мы всегда делаем сначала отрицания .
        Итак, мы помечаем первый пустой столбец как ~p.

         

        Затем, поскольку p — единственная буква в выражении ~p, мы используем заданные значения истинности p в таблице, чтобы заполнить соответствующие значения истинности для ~p:

        р

        р

        Т

        Т

        Ф

        Т

        Ф

        Ф

        Ф

        Т

        Т

        Ф

        Ф

        Т

        Напомним, что утверждение с символом ~ в нем является только истинным , если то, что следует за символом ~, является ложным , и наоборот .
        • Первым значением истинности в столбце ~p является F, потому что когда p=T, ~p=F.
        • Вторым значением истинности в столбце ~p является T, потому что когда p=T, ~p=F.
        • Третье истинное значение в столбце ~p равно F, потому что когда p=F, ~p=T.
        • Четвертым значением истинности в столбце ~p является T, потому что когда p=T, ~p=F.
      3. Теперь, когда мы позаботились о знаке ~ в выражении внутри круглых скобок, все, о чем нам осталось беспокоиться внутри круглых скобок, — это символ → в ~p→r. Символ → всегда объединяет ровно два выражения; два выражения, которые он соединяет, сами по себе могут быть более сложными утверждениями, но нас не волнует, насколько они сложны, до тех пор, пока у нас уже есть столбец в таблице истинности с этим логическим выражением вверху 9.0663 . В этом выражении символ → объединяет 2 выражения: ~p и r.
        И ~p, и r находятся вверху столбцов в таблице истинности, поэтому мы можем использовать эти два столбца, чтобы заполнить столбец для ~p→r, просто используя определение символа →:

        р

        р

        ~ стр.

        Т

        Т

        Ф

        Т

        Т

        Ф

        Ф

        Т

        Ф

        Т

        Т

        Т

        Ф

        Ф

        Т

        Ф

        Будьте осторожны! В отличие от других логических связок, условная делает , а не , обрабатывает первое и второе утверждения, которые она соединяет таким же образом, как !
        Когда вы работаете с условной связкой (→), вы должны пометить столбец, соответствующий первому оператору иначе, чем пометку второго столбца
        . При заполнении столбца условного утверждения убедитесь, что вам 9 лет.0662 не перепутать столбец для первого оператора со столбцом для второго оператора
        !
        В этих примерах мы различаем их, окрашивая столбец, содержащий , первый оператор , желтый , и столбец, содержащий , второй оператор , , голубой . Помните, что утверждение, содержащее символ → , является ложным только в том случае, если первое утверждение (то, что перед знаком →) является истинным и второй оператор (тот, что после знака →) false !
        • Первым значением истинности в столбце ~p→r является T, потому что, когда ~p=F и r=T, ~p→r=T.
        • Вторым значением истинности в столбце ~p→r является T, потому что, когда ~p=F и r=F, ~p→r=T.
        • Третьим значением истинности в столбце ~p→r является T, потому что, когда ~p=T и r=T, ~p→r=T.
        • Четвертым значением истинности в столбце ~p→r является F, потому что, когда ~p=T и r=F, ~p→r=F.
      4. Теперь, когда мы позаботились о скобках, все, о чем нам осталось беспокоиться, это символ, оставшийся за скобками: это символ ∧ в r∧(~p→r). Символ ∧ всегда соединяет ровно два выражения; два выражения, которые он соединяет, сами по себе могут быть более сложными утверждениями, но нас не волнует, насколько они сложны, до тех пор, пока у нас уже есть столбец в таблице истинности с этим логическим выражением наверху . В этом выражении символ ∧ соединяет 2 выражения: r и ~p→r.
        И r, и ~p→r находятся в верхней части столбцов таблицы истинности, поэтому мы можем использовать эти два столбца, чтобы заполнить столбец для r∧(~p→r), просто используя определение ∧ символ:

        р

        р

        ~ стр.

        ~п→р

        Т

        Т

        Ф

        Т

        Т

        Т

        Ф

        Ф

        Т

        Ф

        Ф

        Т

        Т

        Т

        Т

        Ф

        Ф

        Т

        Ф

        Ф

        Помните, что утверждение, содержащее символ ∧, верно только , если оба утверждения верны !
        • Первым значением истинности в столбце r∧(~p→r) является T, потому что, когда r=T и ~p→r=T, r∧(~p→r)=T.
        • Вторым значением истинности в столбце r∧(~p→r) является F, потому что, когда r=F и ~p→r=T, r∧(~p→r)=F.
        • Третьим значением истинности в столбце r∧(~p→r) является T, потому что, когда r=T и ~p→r=T, r∧(~p→r)=T.
        • Четвертым значением истинности в столбце r∧(~p→r) является F, потому что, когда r=F и ~p→r=F, r∧(~p→r)=F.
        Таким образом, окончательная таблица истинности для этого утверждения будет выглядеть так:

        р

        р

        ~п→р

        г∧(~п→г)

        Т

        Т

        Ф

        Т

        Т

        Т

        Ф

        Ф

        Т

        Ф

        Ф

        Т

        Т

        Т

        Т

        Ф

        Ф

        Т

        Ф

        Ф

    4. ~(p∨q)↔r
      1. Сначала мы начнем с написания таблицы со всеми возможными комбинациями значений истинности для каждой буквы в выражении.

        Поскольку здесь у нас есть 3 буквы, p, q и r, у нас будет 3 столбца в начале таблицы истинности, помеченные p, q и r:

        906:30

        стр.

        q

        р

        Т

        Т

        Т

        Т

        Т

        Ф

        Т

        Ф

        Т

        Т

        Ф

        Ф

        Ф

        Т

        Т

        Ф

        Т

        Ф

        Ф

        Ф

        Т

        906:30

        Ф

        Ф

        Ф

      2. Порядок операций гласит, что мы всегда делаем круглые скобки первыми . Итак, мы смотрим на то, что находится внутри скобок: p∨q.
        Внутри скобок у нас есть один символ: ∨.

        Символ ∨ всегда соединяет ровно два выражения; два выражения, которые он соединяет, сами по себе могут быть более сложными операторами, но нам все равно, насколько они сложны, , если у нас уже есть столбец в таблице истинности с этим логическим выражением вверху .

        В этом выражении символ ∨ объединяет 2 выражения: p и q.
        Оба столбца p и q находятся в верхней части столбцов таблицы истинности, поэтому мы можем использовать эти два столбца, чтобы заполнить столбец для p∨q, просто используя определение символа ∨:

        р

        q

        р

        Т

        Т

        Т

        Т

        Т

        Т

        Ф

        Т

        Т

        Ф

        Т

        Т

        Т

        Ф

        Ф

        Т

        Ф

        Т

        Т

        Т

        Ф

        Т

        Ф

        Т

        Ф

        Ф

        Т

        Ф

        Ф

        Ф

        Ф

        Ф


        Помните, что утверждение, содержащее символ ∨, верно , если хотя бы одно из утверждений верно !
        • Первым значением истинности в столбце p∨q является T, потому что, когда p=T и q=T, p∨q=T.
        • Вторым значением истинности в столбце p∨q является T, потому что, когда p=T и q=T, p∨q=T.
        • Третье истинное значение в столбце p∨q равно T, потому что, когда p=T и q=F, p∨q=T.
        • Четвертым значением истинности в столбце p∨q является T, потому что, когда p=T и q=F, p∨q=T.
        • Пятое истинное значение в столбце p∨q равно T, потому что, когда p=F и q=T, p∨q=T.
        • Шестое значение истинности в столбце p∨q равно T, потому что, когда p=F и q=T, p∨q=T.
        • Седьмое истинное значение в столбце p∨q равно F, потому что, когда p=F и q=F, p∨q=F.
        • Восьмое значение истинности в столбце p∨q равно F, потому что, когда p=F и q=F, p∨q=F.
      3. Теперь, когда мы позаботились обо всем, что находится внутри круглых скобок, мы можем позаботиться о символе ~, находящемся вне круглых скобок: ~(p∨q). Поскольку p∨q — это утверждение в выражении ~(p∨q), мы используем заданные значения истинности p∨q в таблице, чтобы заполнить соответствующие значения истинности для ~(p∨q):
        906:30

        стр.

        q

        р

        p∨q

        Т

        Т

        Т

        Т

        Ф

        Т

        Т

        Ф

        Т

        Ф

        Т

        Ф

        Т

        Т

        Ф

        Т

        Ф

        Ф

        Т

        Ф

        Ф

        Т

        Т

        Т

        Ф

        Ф

        Т

        Ф

        Т

        Ф

        Ф

        Ф

        Т

        Ф

        Т

        Ф

        Ф

        Ф

        Ф

        Т

        Напомним, что оператор с символом ~ в нем всего true , если за символом ~ следует false , и наоборот .
        • Первым значением истинности в столбце ~(p∨q) является F, потому что, когда p∨q=T, ~(p∨q)=F.
        • Вторым значением истинности в столбце ~(p∨q) является F, потому что, когда p∨q=T, ~(p∨q)=F.
        • Третье истинное значение в столбце ~(p∨q) равно F, потому что, когда p∨q=T, ~(p∨q)=F.
        • Четвертым значением истинности в столбце ~(p∨q) является F, потому что, когда p∨q=T, ~(p∨q)=F.
        • Пятое значение истинности в столбце ~(p∨q) равно F, потому что, когда p∨q=T, ~(p∨q)=F.
        • Шестое значение истинности в столбце ~(p∨q) равно F, потому что, когда p∨q=T, ~(p∨q)=F.
        • Седьмое истинное значение в столбце ~(p∨q) равно T, потому что, когда p∨q=F, ~(p∨q)=T.
        • Восьмое значение истинности в столбце ~(p∨q) равно T, потому что, когда p∨q=F, ~(p∨q)=T.
      4. Теперь, когда мы позаботились о скобках, все, о чем нам осталось побеспокоиться, — это символ, оставшийся за скобками: символ ↔ в ~(p∨q)↔r. Символ ↔ всегда соединяет ровно два выражения; два выражения, которые он соединяет, сами по себе могут быть более сложными операторами, но нам все равно, насколько они сложны, , если у нас уже есть столбец в таблице истинности с этим логическим выражением вверху . В этом выражении символ ↔ соединяет 2 выражения: ~(p∨q) и r.
        Оба ~(p∨q) и r находятся в верхней части столбцов таблицы истинности, поэтому мы можем использовать эти два столбца, чтобы заполнить столбец для ~(p∨q)↔r, просто используя определение символ ↔:

        р

        q

        р

        p∨q

        ~(p∨q)

        Т

        Т

        Т

        Т

        Ф

        Ф

        Т

        Т

        Ф

        Т

        Ф

        Т

        Т

        Ф

        Т

        Т

        Ф

        Ф

        Т

        Ф

        Ф

        Т

        Ф

        Т

        Ф

        Т

        Т

        Т

        Ф

        Ф

        Ф

        Т

        Ф

        Т

        Ф

        Т

        Ф

        Ф

        Т

        Ф

        Т

        Т

        Ф

        Ф

        Ф

        Ф

        Т

        Ф

        Помните, что утверждение, содержащее символ ↔, верно , если оба утверждения верны или оба утверждения ложны !
        • Первым значением истинности в столбце ~(p∨q)↔r является F, потому что, когда r=T и ~(p∨q)=F, ~(p∨q)↔r=F.
        • Вторым значением истинности в столбце ~(p∨q)↔r является T, потому что, когда r=F и ~(p∨q)=F, ~(p∨q)↔r=T.
        • Третьим значением истинности в столбце ~(p∨q)↔r является F, потому что, когда r=T и ~(p∨q)=F, ~(p∨q)↔r=F.
        • Четвертым значением истинности в столбце ~(p∨q)↔r является T, потому что, когда r=F и ~(p∨q)=F, ~(p∨q)↔r=T.
        • Пятым значением истинности в столбце ~(p∨q)↔r является F, потому что, когда r=T и ~(p∨q)=F, ~(p∨q)↔r=F.
        • Шестое значение истинности в столбце ~(p∨q)↔r равно T, потому что, когда r=F и ~(p∨q)=F, ~(p∨q)↔r=T.
        • Седьмым значением истинности в столбце ~(p∨q)↔r является T, потому что, когда r=T и ~(p∨q)=T, ~(p∨q)↔r=T.
        • Восьмое значение истинности в столбце ~(p∨q)↔r равно F, потому что, когда r=F и ~(p∨q)=T, ~(p∨q)↔r=F.
        Таким образом, окончательная таблица истинности для этого утверждения будет выглядеть так:

        р

        q

        р

        p∨q

        ~(p∨q)

        ~(p∨q)↔r

        Т

        Т

        Т

        Т

        Ф

        Ф

        Т

        Т

        Ф

        Т

        Ф

        Т

        Т

        Ф

        Т

        Т

        Ф

        Ф

        Т

        Ф

        Ф

        Т

        Ф

        Т

        Ф

        Т

        Т

        Т

        Ф

        Ф

        Ф

        Т

        Ф

        Т

        Ф

        Т

        Ф

        Ф

        Т

        Ф

        Т

        Т

        Ф

        Ф

        Ф

        Ф

        Т

        Ф

    5. (~r∧(p→~q))→p
      1. Сначала мы начнем с написания таблицы со всеми возможными комбинациями значений истинности для каждой буквы в выражении.

        Поскольку здесь у нас есть 3 буквы, p, q и r, у нас будет 3 столбца в начале таблицы истинности, помеченные p, q и r:

        р

        q

        р

        Т

        Т

        Т

        906:30

        Т

        Т

        Ф

        Т

        Ф

        Т

        Т

        Ф

        Ф

        Ф

        Т

        Т

        Ф

        Т

        Ф

        906:30

        Ф

        Ф

        Т

        Ф

        Ф

        Ф

      2. Порядок операций гласит, что мы всегда делаем скобки сначала . Итак, смотрим, что находится внутри скобок: p→~q.
        Внутри скобок два символа: → и ~.
        Порядок операций гласит, что мы всегда делаем отрицания сначала .
        Итак, мы помечаем первый пустой столбец как ~q.

         

        Поскольку q — это утверждение в выражении ~q, мы используем заданные значения истинности q в таблице, чтобы заполнить соответствующие значения истинности для ~q:

        р

        q

        р

        Т

        Т

        Т

        Ф

        Т

        Т

        Ф

        Ф

        Т

        Ф

        Т

        Т

        Т

        Ф

        Ф

        Т

        Ф

        Т

        Т

        Ф

        Ф

        Т

        Ф

        Ф

        Ф

        Ф

        Т

        Т

        Ф

        Ф

        Ф

        Т


        Напомним, что утверждение с символом ~ в нем является только истинным , если то, что следует за символом ~, является ложным , и наоборот .
        • Первое истинное значение в столбце ~q равно F, потому что когда q=T, ~q=F.
        • Второе истинное значение в столбце ~q равно F, поскольку при q=T ~q=F.
        • Третье истинное значение в столбце ~q равно T, потому что когда q=F, ~q=T.
        • Четвертым значением истинности в столбце ~q является T, потому что когда q=F, ~q=T.
        • Пятое истинное значение в столбце ~q равно F, поскольку при q=T ~q=F.
        • Шестое значение истинности в столбце ~q равно F, поскольку при q=T ~q=F.
        • Седьмое истинное значение в столбце ~q равно T, потому что когда q=F, ~q=T.
        • Восьмое истинное значение в столбце ~q равно T, потому что когда q=F, ~q=T.
      3. Теперь, когда мы позаботились об отрицании внутри самого внутреннего набора скобок, мы можем позаботиться о символе →, единственном оставшемся символе в выражении внутри скобок: p→~q. Символ → всегда объединяет ровно два выражения; два выражения, которые он соединяет, сами по себе могут быть более сложными операторами, но нам все равно, насколько они сложны, , если у нас уже есть столбец в таблице истинности с этим логическим выражением вверху . В этом выражении символ → объединяет 2 выражения: p и ~q.
        И p, и ~q находятся в верхней части столбцов таблицы истинности, поэтому мы можем использовать эти два столбца, чтобы заполнить столбец для p→~q, просто используя определение символа →:
        906:30

        р

        q

        р

        ~q

        Т

        Т

        Т

        Ф

        Ф

        Т

        Т

        Ф

        Ф

        Ф

        Т

        Ф

        Т

        Т

        Т

        Т

        Ф

        Ф

        Т

        Т

        Ф

        Т

        Т

        Ф

        Т

        Ф

        Т

        Ф

        Ф

        Т

        Ф

        Ф

        Т

        Т

        Т

        Ф

        Ф

        Ф

        Т

        Т

        Будьте осторожны! В отличие от других логических связок, условные не , а относятся к первым и вторые операторы соединяются тем же способом!
        Когда вы работаете с условной связкой (→), вы должны пометить столбец, соответствующий первому оператору иначе, чем пометку второго столбца
        . При заполнении столбца условного оператора убедитесь, что вы не перепутали столбец первого оператора со столбцом второго оператора !
        В этих примерах мы различаем их, окрашивая столбец, содержащий , первый оператор , , желтый , и столбец, содержащий , второй оператор , , голубой . Помните, что утверждение, содержащее символ →, является ложным только в том случае, если первое утверждение (то, что перед знаком →) является истинным , а второе утверждение (то, что после знаком →) является ложь !
        • Первым значением истинности в столбце p→~q является F, потому что, когда p=T и ~q=F, p→~q=F.
        • Вторым значением истинности в столбце p→~q является F, потому что, когда p=T и ~q=F, p→~q=F.
        • Третьим значением истинности в столбце p→~q является T, потому что, когда p=T и ~q=T, p→~q=T.
        • Четвертым значением истинности в столбце p→~q является T, потому что, когда p=T и ~q=T, p→~q=T.
        • Пятым значением истинности в столбце p→~q является T, потому что, когда p=F и ~q=F, p→~q=T.
        • Шестое значение истинности в столбце p→~q равно T, потому что, когда p=F и ~q=F, p→~q=T.
        • Седьмое значение истинности в столбце p→~q равно T, потому что, когда p=F и ~q=T, p→~q=T.
        • Восьмое значение истинности в столбце p→~q равно T, потому что, когда p=F и ~q=T, p→~q=T.
      4. Теперь, когда мы позаботились о самом внутреннем наборе скобок, нам нужно посмотреть, что находится в следующем наборе скобок: ~r∧(p→~q).
        В этом большом наборе скобок осталось 2 символа: символ ~ и символ ∧. Порядок операций говорит, что мы всегда делаем отрицания сначала .
        Итак, мы помечаем первый пустой столбец как ~r.

         

        Поскольку r — это утверждение в выражении ~r, мы используем заданные значения истинности r в таблице, чтобы заполнить соответствующие значения истинности для ~r:

        р

        q

        р

        ~q

        п→~к

        Т

        Т

        Т

        Ф

        Ф

        Ф

        Т

        Т

        Ф

        Ф

        Ф

        Т

        Т

        Ф

        Т

        Т

        Т

        Ф

        Т

        Ф

        Ф

        Т

        Т

        Т

        Ф

        Т

        Т

        Ф

        Т

        Ф

        Ф

        Т

        Ф

        Ф

        Т

        Т

        Ф

        Ф

        Т

        Т

        Т

        Ф

        Ф

        Ф

        Ф

        Т

        Т

        Т

        Напомним, что оператор с символом ~ в нем всего true , если за символом ~ следует false , и наоборот .
        • Первым значением истинности в столбце ~r является F, поскольку при r=T ~r=F.
        • Второе истинное значение в столбце ~r равно T, потому что когда r=F, ~r=T.
        • Третье истинное значение в столбце ~r равно F, поскольку при r=T ~r=F.
        • Четвертым значением истинности в столбце ~r является T, потому что, когда r=F, ~r=T.
        • Пятое истинное значение в столбце ~r равно F, потому что при r=T ~r=F.
        • Шестое истинное значение в столбце ~r равно T, потому что когда r=F, ~r=T.
        • Седьмое истинное значение в столбце ~r равно F, поскольку при r=T ~r=F.
        • Восьмое истинное значение в столбце ~r равно T, потому что когда r=F, ~r=T.
      5. Теперь, когда мы позаботились о знаке ~ в выражении внутри круглых скобок, все, о чем нам осталось беспокоиться в больших скобках, — это символ ∧ в ~r∧(p→~q). Символ ∧ всегда соединяет ровно два выражения; два выражения, которые он соединяет, сами по себе могут быть более сложными операторами, но нам все равно, насколько они сложны, , если у нас уже есть столбец в таблице истинности с этим логическим выражением вверху . В этом выражении символ ∧ объединяет 2 выражения: ~r и p→~q.
        И ~r, и p→~q находятся вверху столбцов в таблице истинности, поэтому мы можем использовать эти два столбца, чтобы заполнить столбец для ~r∧(p→~q), просто используя определение символ ∧:

        р

        q

        р

        ~q

        п→~к

        ~r

        Т

        Т

        Т

        Ф

        Ф

        Ф

        Ф

        Т

        Т

        Ф

        Ф

        Ф

        Т

        Ф

        Т

        Ф

        Т

        Т

        Т

        Ф

        Ф

        Т

        Ф

        Ф

        Т

        Т

        Т

        Т

        Ф

        Т

        Т

        Ф

        Т

        Ф

        Ф

        Ф

        Т

        Ф

        Ф

        Т

        Т

        Т

        Ф

        Ф

        Т

        Т

        Т

        Ф

        Ф

        Ф

        Ф

        Ф

        Т

        Т

        Т

        Т

        Помните, что оператор, содержащий символ ∧, равен верно только если оба утверждения верны !
        • Первым значением истинности в столбце ~r∧(p→~q) является F, потому что, когда ~r=F и p→~q=F, ~r∧(p→~q)=F.
        • Вторым значением истинности в столбце ~r∧(p→~q) является F, потому что, когда ~r=F и p→~q=T, ~r∧(p→~q)=F.
        • Третьим значением истинности в столбце ~r∧(p→~q) является F, потому что, когда ~r=T и p→~q=F, ~r∧(p→~q)=F.
        • Четвертым значением истинности в столбце ~r∧(p→~q) является T, потому что, когда ~r=T и p→~q=T, ~r∧(p→~q)=T.
        • Пятым значением истинности в столбце ~r∧(p→~q) является F, потому что, когда ~r=T и p→~q=F, ~r∧(p→~q)=F.
        • Шестое значение истинности в столбце ~r∧(p→~q) равно T, потому что, когда ~r=T и p→~q=T, ~r∧(p→~q)=T.
        • Седьмое значение истинности в столбце ~r∧(p→~q) равно F, потому что, когда ~r=T и p→~q=F, ~r∧(p→~q)=F.
        • Восьмое значение истинности в столбце ~r∧(p→~q) равно T, потому что, когда ~r=T и p→~q=T, ~r∧(p→~q)=T.
      6. Теперь, когда мы закончили со всеми скобками, у нас остался еще один символ: →, который соединяет два выражения ~r∧(p→~q) и p. Когда мы соединяем эти два выражения вместе с символом →, мы получаем окончательное выражение: (~r∧(p→~q))→p. Символ → всегда объединяет ровно два выражения; два выражения, которые он соединяет, сами по себе могут быть более сложными операторами, но нам все равно, насколько они сложны, , если у нас уже есть столбец в таблице истинности с этим логическим выражением вверху . В этом выражении символ → объединяет 2 выражения: ~r∧(p→~q) и P.
        Оба ~r∧(p→~q) и P находятся в верхних столбцах таблицы истинности, поэтому мы можем использовать эти два столбца, чтобы заполнить столбец для (~r∧(p→~q))→P, просто используя определение символа →:

        р

        кв.

        р

        ~q

        п→~к

        ~r∧(p→~q)

        Т

        Т

        Т

        Ф

        Ф

        Ф

        Ф

        Т

        Т

        Т

        Ф

        Ф

        Ф

        Т

        Ф

        Т

        Т

        Ф

        Т

        Т

        Т

        Ф

        Ф

        Т

        Т

        Ф

        Ф

        Т

        Т

        Т

        Т

        Т

        Ф

        Т

        Т

        Ф

        Т

        Ф

        Ф

        Т

        Ф

        Т

        Ф

        Ф

        Т

        Т

        Т

        Ф

        Ф

        Ф

        Т

        Т

        Т

        Ф

        Ф

        Т

        Ф

        Ф

        Ф

        Т

        Т

        Т

        Т

        Ф

        Будьте осторожны! В отличие от других логических связок, условная обрабатывает , а не , , первый и , второй оператор , который он объединяет, таким же образом, как !
        Когда вы работаете с условной связкой (→), вы должны пометить столбец, соответствующий первому оператору иначе, чем пометку второго столбца
        . Убедитесь, что при заполнении столбца для условного оператора вы не путаете столбец для первого оператора со столбцом для второго оператора !
        В этих примерах мы различаем их, окрашивая столбец, содержащий , первый оператор , желтый , и столбец, содержащий , второй оператор , , голубой . Помните, что утверждение, содержащее символ →, является ложным только в том случае, если первое утверждение (то, что перед знаком →) является истинным , а второе утверждение (то, что после знаком →) является ложь !
        • Первым значением истинности в столбце (~r∧(p→~q))→P является T, потому что, когда (~r∧(p→~q))=F и P=T, (~r∧(p →~q))→P=T.
        • Вторым значением истинности в столбце (~r∧(p→~q))→P является T, потому что, когда (~r∧(p→~q))=F и P=T, (~r∧(p→ ~q))→P=T.
        • Третьим значением истинности в столбце (~r∧(p→~q))→P является T, потому что, когда (~r∧(p→~q))=F и P=T, (~r∧(p→ ~q))→P=T.
        • Четвертым значением истинности в столбце (~r∧(p→~q))→P является T, потому что, когда (~r∧(p→~q))=T и P=T, (~r∧(p→ ~q))→P=T.
        • Пятым значением истинности в столбце (~r∧(p→~q))→P является T, потому что, когда (~r∧(p→~q))=F и P=F, (~r∧(p→ ~q))→P=T.
        • Шестое значение истинности в столбце (~r∧(p→~q))→P равно F, потому что, когда (~r∧(p→~q))=T и P=F, (~r∧(p→ ~q))→P=F.
        • Седьмое значение истинности в столбце (~r∧(p→~q))→P равно T, потому что, когда (~r∧(p→~q))=F и P=F, (~r∧(p→ ~q))→P=T.
        • Восьмое значение истинности в столбце (~r∧(p→~q))→P равно F, потому что, когда (~r∧(p→~q))=T и P=F, (~r∧(p→ ~q))→P=F.
        Таким образом, окончательная таблица истинности для этого утверждения будет выглядеть так:

        р

        q

        р

        ~q

        п→~к

        ~r∧(p→~q) (~r∧(p→~q))→p

        Т

        Т

        Т

        Ф

        Ф

        Ф

        Ф

        Т

        Т

        Т

        Ф

        Ф

        Ф

        Т

        Ф

        Т

        Т

        Ф

        Т

        Т

        Т

        Ф

        Ф

        Т

        Т

        Ф

        Ф

        Т

        Т

        Т

        Т

        Т

        Ф

        Т

        Т

        Ф

        Т

        Ф

        Ф

        Т

        Ф

        Т

        Ф

        Ф

        Т

        Т

        Т

        Ф

        Ф

        Ф

        Т

        Т

        Т

        Ф

        Ф

        Т

        Ф

        Ф

        Ф

        Т

        Т

        Т

        Т

        Ф

    Готовы ли вы теперь попробовать составить свои собственные таблицы истинности?

    Теперь вернитесь к Blackboard, чтобы ответить на вопросы второй лекции по логике: создание таблиц истинности!

    [SL04] Комплексные таблицы истинности

    §1.

    Что мы делаем?

    В этом уроке вы узнаете, как нарисовать 90 465 полных (или полных) 90 466 таблиц истинности для более сложных WFF. Что мы хотим сделать, так это использовать таблицу истинности, чтобы сказать нам, когда WFF является истинным, а когда ложным. Вот аналогия, которая поможет вам понять, что мы хотим сделать.

    Предположим, у нас есть две стрелки, и они могут указывать только вверх или вниз. Тогда есть только четыре возможных способа их выравнивания:

    Теперь рассмотрим предложение «левая стрелка указывает вверх, а правая стрелка указывает вверх». Очевидно, что предложение истинно в первой ситуации и ложно в остальных трех ситуациях. Если мы рассмотрим другое предложение, например, «правая стрелка указывает вниз», то оно истинно во второй и четвертой ситуации. Наконец, как насчет такого предложения, как «стрелка влево указывает вверх, а стрелка влево указывает вниз»? Это противоречивое утверждение, и очевидно, что оно ложно во всех четырех ситуациях.

    Точно так же, когда мы рисуем таблицу истинности для WFF в SL, мы пытаемся перечислить набор возможных ситуаций, чтобы определить, когда WFF истинна (если когда-либо) и когда она ложна (если вообще).

    §2. Составление таблицы истинности

    Чтобы нарисовать таблицу истинности для WFF, выполните следующую процедуру. Во-первых, помните, что в полной таблице истинности есть четыре области:

    Регион №1
    Регион № 2

     

    Регион № 3

     

     

    Регион №4

     

    Чтобы заполнить таблицу истинности для WFF, вам необходимо заполнить четыре региона в соответствии с этой процедурой:

    Этап 1

    Запишите WFF в области № 2.

    Этап 2

    Определите буквы предложений, которые появляются в WFF, и напишите их. вниз один за другим в одной строке в регионе № 1. Вам нужно только запишите письмо-предложение один раз, даже если оно состоит из нескольких События в WFF.

    Так, например, при наличии WFF «(P→(PvQ))» таблица истинности будет выглядеть вот так после первых двух шагов:

     П   Q 
     (П→(ПвК))

     

    Регион № 3

     

     

    Регион №4

     

    Этап 3

    Область 3 представляет собой список всех возможных комбинаций значений истинности, которые могут принимать буквы предложения в области № 1. Каждая строка в области № 3 определяет комбинацию, и каждая комбинация называется 9.0465 присвоение значений истинности. Эти назначения соответствуют различным возможным ситуациям в примере со стрелкой вверху.

    Если в области №1 n букв предложений, каждая из которых может иметь значение истинности T или F, то мы знаем, что существует 2 n возможные назначения значений истинности (2 1 =2, 2 2 =4, 2 3 =8, 2 4 =16 и т. д.). Таким образом, в приведенной выше таблице истинности должно быть четыре назначения. Записываем их по одному на каждом строка в области № 3:

     П   Q 
     (П→(ПвК))
    T   T 
     T   F 
     F   T 
     F   F
    Регион № 4

    В каждом ряду пишем под каждым предложением букву истинностное значение, которое является истинностным значением, которое получает буква предложения под это задание. Таким образом, «TF» во второй строке указывает на присвоение где «P» — это T, а «Q» — это F, а «FT» в третьей строке указывает на присвоение, где «P» — это F, а «Q» — это T.

    При написании заданий важно систематизировать способ перечислить их все. Без такого метода легко промахнуться некоторые из них, если в таблице истинности много строк. Когда вы сравниваете таблицы истинности двух или более WFF, важно использовать тот же метод для перечисления значений истинности в такой же порядок.

    Стандартный метод следующим образом: начните с самой правой буквы предложения в регионе № 1. Напишите «T» под буквой в первом ряду области № 3, а затем «F» в второй ряд, чередуя в каждом ряду до последнего ряда. Затем перейдите ко второй букве предложения и снова начните с «Т». Но на этот раз чередуйте истинностное значение только каждые два ряда . Если там есть буква третьего предложения, чередующаяся между буквами «T» и «F» через каждые четыре ряды. В общем то для n -го письма предложения (начиная с справа), чередуйте «Т» и «Ф» через каждые 2 п -1 ряд.

    Этап 4

    Оставшаяся задача при заполнении таблицы истинности состоит в том, чтобы заполнить область № 4 путем вычисления истинностного значения WFF для каждого задания.

    Во-первых, давайте определим длина WFF как количество символов SL это содержит. Учитывается каждое появление соединительной буквы или буквы предложения. как один символ, а открывающая и закрывающая скобки — разные символы. Таким образом, «P» имеет длину 1, «~~Q» имеет длину 3, а «((P&Q)→R)» имеет длину 9 (не 10).

    Затем мы применяем эту процедуру. Во-первых, напишите ниже каждая буква предложения WFF истинностное значение, которое оно имеет по каждому заданию:

     П   Q 
    (П→(ПвК))
    T   T 
     T   F 
     F   T 
     F   F
    T     T  T  
     T     T  F  
     F     F  T  
     F     F  F  

    Буквы предложений, конечно, являются WFF длины 1. Затем мы ищем следующие кратчайшие WFF, которые являются частью всего WFF, и вычислить их значения истинности по каждому заданию. Следующие кратчайшие WFF должны быть длина 2, например «~Q», но поскольку таких WFF нет, следующий кратчайший WFF есть «(PvQ)» длины 5. Запишем его истинностное значение для каждого задания под его главный оператор . Помните, что основным оператором WFF является появление связки, которая имеет самый широкий размах.

     П   Q 
    (П→(ПвК))
    T   T 
     T   F 
     F   T 
     F   F
    T     TTT  
     T     TTF  
     F     FTT  
     F     FFF  

    Затем мы повторяем эту процедуру со следующим кратчайшим WFF, пока не получим закончил со всем WFF:

     П   Q 
    (П→(ПвК))
    T   T 
     T   F 
     F   T 
     F   F
    T  T  TTT  
     T  T  TTF  
     F  T  FTT  
     F  T  FFF  

    Последний столбец значений истинности, который мы записываем, указывает на значения истинности. всего WFF по каждому из заданий. Эта конкретная таблица истинности мы завершили показывает, что WFF верно во всех четырех возможных задания.

    Если вы можете быстро произвести в уме вычисления истинностных значений, вы можете не записывать истинностные значения частей WFF и просто записывать истинностные значения всего WFF под каждым заданием. Тогда вы получите эту таблицу истинности.

     П   Q 
    (П→(ПвК))
    T   T 
     T   F 
     F   T 
     F   F
    T      
    T      
    T      
    T      

    Нарисуйте следующие полные таблицы истинности, а затем нажмите WFF, чтобы проверить, правильно ли вы это сделали.

    1. (P&~Q)
    2. ((P&Q)→R)
    3. (~(P∨Q)→R)
    4. ~(~(П↔(~П∨Q))→~R)
    5. ~(S↔(~(P&Q)→R))

    §3. Кронштейны

    Теперь, когда вы знаете, как строить сложные таблицы истинности, вы можете понять, зачем нужны скобки. Например, (A&B→C) является двусмысленным между ((A&B)→C) и (A&(B→C)). Однако таблицы истинности двух WFF сильно различаются:

    A B C ((A&B)→C)
    T T T T
    T T F F
    T F T T
    T F F T
    F T T T
    F T F T
    F F T T
    F F F T

    A B C (A&(B→C))
    T T T T
    T T F F
    T F T T
    T F F T
    F T T F
    F T F F
    F Ф Т Ф
    Ф Ф Ф Ф

    Конечно, есть случаи, когда скобки не имеют значения. Например, должно быть очевидно, что с P&Q&R&S, независимо от того, где вы поместите скобки, чтобы превратить его в WFF, результирующая таблица истинности всегда будет одной и той же.

    предыдущий урок следующий урок

    2.8: Таблицы истинности — K12 LibreTexts

    1. Последнее обновление
    2. Сохранить как PDF
  • Идентификатор страницы
    2146
  • На данный момент мы знаем эти символы для логики:

    • \(\sim\) не (отрицание)
    • \(\стрелка вправо\) если-то
    • \(\поэтому\) поэтому

    Еще два символа:

    • \(\клин\) и
    • \(\лор\) или

    Мы бы написали «\(p\) и \(q\)» как \(p\клин q\) и «\(p\) или \(q\)» как \(p\lor q\) .

    Таблицы истинности используют эти символы и представляют собой еще один способ анализа логики. Во-первых, давайте свяжем p и \sim p. Чтобы было проще, установите p как: Четное число. Следовательно, \sim p равно Нечетное число . Составьте таблицу истинности, чтобы узнать, верны ли они оба. Начните со всех «истин» p, истинных (T) или ложных (F).

    Далее мы записываем соответствующие значения истинности для \(\sim p\). \(\sim p\) имеет значения истинности, противоположные \(p\). Итак, если \(p\) истинно, то \(\sim p\) ложно, и наоборот.

    стр \sim p
    Т Ф
    Ф Т

    Резюме:

    • Начать таблицы истинности со всеми возможными комбинациями истин. Для 2 переменных есть 4 комбинации, для 3 переменных есть 8. Вы всегда начинаете таблицу истинности таким образом.
    • Выполните отрицание любой из переменных.
    • Любые комбинации в скобках.
    • Завершите выполнение того, о чем просила проблема.
    Составление таблицы истинности

    1. Нарисуйте таблицу истинности для \(p\), \(q\) и \(p \клин q\).

    Сначала создайте столбцы для p и q. Заполните столбцы всеми возможными истинными и ложными комбинациями для этих двух.

    стр к
    Т Т
    Т Ф
    Ф Т
    Ф Ф

    Обратите внимание на все комбинации p и q. Каждый раз, когда у нас есть таблицы истинности с двумя переменными, это всегда , как мы заполняем первые два столбца.

    Далее нам нужно выяснить, когда \(p\wedge q\) истинно, основываясь на первых двух столбцах. p \wedge q может быть истинным только в том случае, если ОБА p и q истинны. Итак, заполненная таблица выглядит так:

    Рисунок \(\PageIndex{1}\)

    Так всегда заполняется таблица истинности с двумя переменными и их столбцом «и».

    2. Нарисуйте таблицу истинности для \(p\), \(q\) и \(p \lor q\).

    Сначала создайте столбцы для \(p \lor q\) и \(q\), как в примере A.

    стр к
    Т Т
    Т Ф
    Ф Т
    Ф Ф

    Далее нам нужно выяснить, когда \(p \или q\) истинно, основываясь на первых двух столбцах. \(p \lor q\) истинно, если \(p\) ИЛИ \(q\) истинны, или оба истинны. Итак, заполненная таблица выглядит так:

    Рисунок \(\PageIndex{2}\)

    Разница между \(p \wedge q\) и \(p \lor q\) во второй и третьей строках. Для «и» оба \(p\) и \(q\) должны быть истинными, но для «или» только одно должно быть истинным.

    Определение истинности переменных

    Определите истинность для \(p \клин(\sim q \lor r)\).

    Во-первых, есть три переменных, поэтому нам понадобятся все комбинации их истинности. Для трех переменных всегда есть 8 возможных комбинаций.

    \(р\) \(к\) \(р\)
    Т Т Т
    Т Т Ф
    Т Ф Т
    Т Ф Ф
    Ф Т Т
    Ф Т Ф
    Ф Ф Т
    Ф Ф Ф

    Далее адрес \(\sim q\). Это будут просто противоположности столбца \(q\).

    \(р\) \(к\) \(р\) \(\sim q\)
    Т Т Т Ф
    Т Т Ф Ф
    Т Ф Т Т
    Т Ф Ф Т
    Ф Т Т Ф
    Ф Т Ф Ф
    Ф Ф Т Т
    Ф Ф Ф Т

    Теперь давайте сделаем то, что указано в скобках, \(\sim q\lor r\). Помните, что для «или» должно быть верно только \(\sim q\) OR \(r\). Используйте только столбцы \(\sim q\) и \(r\) для определения значений в этом столбце.

    \(р\) \(к\) \(р\) \(\sim q\) \(\sim q\lor r\)
    Т Т Т Ф Т
    Т Т Ф Ф Ф
    Т Ф Т Т Т
    Т Ф Ф Т Т
    Ф Т Т Ф Т
    Ф Т Ф Ф Ф
    Ф Ф Т Т Т
    Ф Ф Ф Т Т

    Наконец, мы можем решить всю проблему, \(p \wedge(\sim q \lor r)\). Используйте \(p\) и \(\sim q\lor r\) для определения значений. Помните, что для «и» оба \(p\) и \(\sim q\lor r\) должны быть истинными.

    \(р\) \(к\) \(р\) \(\sim q\) \(\sim q\lor r\) \(p \клин(\sim q \lor r)\)
    Т Т Т Ф Т Т
    Т Т Ф Ф Ф Ф
    Т Ф Т Т Т Т
    Т Ф Ф Т Т Т
    Ф Т Т Ф Т Ф
    Ф Т Ф Ф Ф Ф
    Ф Ф Т Т Т Ф
    Ф Ф Ф Т Т Ф