Таблицы истинности и логические выражения: Информатика — Логика. Основные сведения. — RC74 — интернет-магазин радиоуправляемых моделей

«Основы логики» — 9 класс

Таблица истинности логических выражений с примерами решения

(курс 68 ч.) §11. Логические выражения

Тема таблицы истинности логические схемы

Логические выражения и таблицы истинности

Логические выражения и таблицы истинности

Таблицы истинности

Свойства логических операций

Законы алгебры логики могут быть доказаны с помощью таблиц истинности

Примеры с решением

Содержание урока

Пример 1.

Задача 1

Задача 2

Задача 4

Задача 5

Содержание

Логические выражения. Каждое составное высказывание можно выразить в виде формулы (логического выражения), в которую входят логические переменные, обозначающие высказывания, и знаки логических операций, обозначающие логические функции.

Для записи составного высказывания в виде логического выражения на формальном языке (языке алгебры логики) в составном высказывании нужно выделить простые высказывания и логические связи между ними.

Запишем в форме логического выражения составное высказывание «(2 • 2 = 5 или 2 • 2 = 4) и (2 • 2= 5 или 2 • 2=4)». Проанализируем составное высказывание. Оно содержит два простых высказывания:

А = «2 • 2 = 5» — ложно (0), В = «2 • 2 = 4» — истинно (1).

Тогда составное высказывание можно записать в следующей форме:

«(А или В) и (А или В)».

Теперь необходимо записать высказывание в форме логического выражения с учетом последовательности выполнения логических операций. При выполнении логических операций определен следующий порядок их выполнения: инверсия, конъюнкция, дизъюнкция. Для изменения указанного порядка могут использоваться скобки:

F = (А v В) & (А v В).

Истинность или ложность составных высказываний можно определять чисто формально, руководствуясь законами алгебры высказываний, не обращаясь к смысловому содержанию высказываний.

Подставим в логическое выражение значения логических переменных и, используя таблицы истинности базовых логических операций, получим значение логической функции:

F = (А v В)&(А v В) = (О v 1)&(1 v 0) = 1 & 1 = 1.

Таблицы истинности. Для каждого составного высказывания (логического выражения) можно построить таблицу истинности, которая определяет его истинность или ложность при всех возможных комбинациях исходных значений простых высказываний (логических переменных).

При построении таблиц истинности целесообразно руководствоваться определенной последовательностью действий.

Во-первых, необходимо определить количество строк в таблице истинности. Оно равно количеству возможных комбинаций значений логических переменных, входящих в логическое выражение. Если количество логических переменных равно п, то: количество строк = 2n.

В нашем случае логическая функция F — (АvВ)&(АvВ) имеет 2 переменные и, следовательно, количество строк в таблице истинности должно быть равно 4.

Во-вторых, необходимо определить количество столбцов в таблице истинности, которое равно количеству логических переменных плюс количество логических операций.

В нашем случае количество переменных равно двум, а количество логических операций — пяти, то есть количество столбцов таблицы истинности равно семи.

В-третьих, необходимо построить таблицу истинности с указанным количеством строк и столбцов, обозначить столбцы и внести в таблицу возможные наборы значений исходных логических переменных.

В-четвертых, необходимо заполнить таблицу истинности по столбцам, выполняя базовые логические операции в необходимой последовательности и в соответствии с их таблицами истинности (табл. 3.4). Теперь мы можем определить значение логической функции для любого набора значений логических переменных.

Таблица 3.4. Таблица истинности логической функции

Равносильные логические выражения. Логические выражения, у которых последние столбцы таблиц истинности совпадают, называются равносильными. Для обозначения равносильных логических выражений используется знак «=».

Докажем, что логические выражения !(А & В) и !(АvВ) равносильны. Построим сначала таблицу истинности логического выражения А & В (табл. 3.5).

Таблица 3.5. Таблица истинности логического выражения А & В

A	B	!A	!B	!(А&В)
0	0	1	1	1
0	1	1	0	0
1	0	0	1	0
1	1	0	0	0

Теперь построим таблицу истинности логического выражения АvВ (табл. 3.6).

Таблица 3.6. Таблица истинности логического выражения АvВ

A	B	АVВ	!(АvВ)
0	0	0	1
0	1	1	0
1	0	1	0
1	1	1	0

Значения в последних столбцах таблиц истинности совпадают, следовательно, логические выражения равносильны:

!(А&В) = !(АvВ).

Логическое следование (импликация). Логическое следование (импликация) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью оборота речи «если…, то…».

Логическая операция импликации «если А, то В», обозначается А -> В и выражается с помощью логической функции F14, которая задается соответствующей таблицей истинности (табл. 3.8).

Таблица 3.8. Таблица истинности логической функции «импликация»

A	B	F14 = A->В
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

Составное высказывание, образованное с помощью операции логического следования (импликации), ложно тогда и только тогда, когда из истинной предпосылки(первого высказывания) следует ложный вывод (второе высказывание).

Например, высказывание «Если число делится на 10, то оно делится на 5» истинно, так как истинны и первое высказывание (предпосылка), и второе высказывание (вывод).

Высказывание «Если число делится на 10, то оно делится на 3» ложно, так как из истинной предпосылки делается ложный вывод.

Однако операция логического следования несколько отличается от обычного понимания слова «следует». Если первое высказывание (предпосылка) ложно, то вне зависимости от истинности или ложности второго высказывания (вывода) составное высказывание истинно. Это можно понимать таким образом, что из неверной предпосылки может следовать что угодно.

В алгебре высказываний все логические функции могут быть сведены путем логических преобразований к трем базовым: логическому умножению, логическому сложению и логическому отрицанию.

Докажем методом сравнения таблиц истинности (табл. 3.8 и 3.9), что операция импликации А -> В равносильна логическому выражению А vВ.

Таблица 3.9. Таблица истинности логического выражения АvВ

A	B	!A	!Аv В
0	0	1	1
0	1	1	1
1	0	0	0
1	1	0	1

Таблицы истинности совпадают, что и требовалось доказать.

Логическое равенство (эквивалентность). Логическое равенство (эквивалентность) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью оборота речи «… тогда и только тогда, когда …».

Логическая операция эквивалентности «А тогда и только тогда, когда В» обозначается А~В и выражается с помощью логической функции .F10, которая задается соответствующей таблицей истинности (табл. 3.10).

Таблица 3.10. Таблица истинности логической функции эквивалентности

A	B	F10
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Составное высказывание, образованное с помощью логической операции эквивалентности истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания одновременно либо ложны, либо истинны.

Рассмотрим, например, два высказывания: А = «Компьютер может производить вычисления» и В = «Компьютер включен». Составное высказывание, полученное с помощью операции эквивалентности, истинно, когда оба высказывания либо истинны, либо ложны:

«Компьютер может производить вычисления тогда и только тогда, когда компьютер включен».

«Компьютер не может производить вычисления тогда и только тогда, когда компьютер не включен».

Составное высказывание, полученное с помощью операции эквивалентности, ложно, когда одно высказывание истинно, а другое — ложно:

«Компьютер может производить вычисления тогда и только тогда, когда компьютер не включен».

«Компьютер не может производить вычисления тогда и только тогда, когда компьютер включен».

Содержание:

Свойства логических операций
Законы алгебры логики могут быть доказаны с помощью таблиц истинности
Примеры с решением

Построение таблиц истинности для логических выражений

Для логического выражения можно построить таблицу истинности, показывающую, какие значения принимает выражение при всех наборах значений входящих в него переменных. Для построения таблицы истинности следует:

подсчитать п — число переменных в выражении;
подсчитать общее число логических операций в выражении;
установить последовательность выполнения логических операций с учётом скобок и приоритетов;
определить число столбцов в таблице: число переменных + число операций;
заполнить шапку таблицы, включив в неё переменные и операции в соответствии с последовательностью, установленной в п. 3;
определить число строк в таблице (не считая шапки таблицы): ;
выписать наборы входных переменных с учётом того, что они представляют собой ряд целых п-разрядных двоичных чисел от 0 до ;
провести заполнение таблицы по столбцам, выполняя логические операции в соответствии с установленной последовательностью.

Построим таблицу истинности для логического выражения нём две переменные, две операции, причём сначала выполняется конъюнкция, а затем — дизъюнкция. Всего в таблице будет четыре столбца:

Наборы входных переменных — это целые числа от 0 до 3, представленные в двухразрядном двоичном коде: 00, 01, 10, 11.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Заполненная таблица истинности имеет вид:

Обратите внимание, что последний столбец (результат) совпал со столбцом А. В таком случае говорят, что логическое выражение равносильно логической переменной А.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Рассмотрим основные свойства логических операций, называемые также законами алгебры логики.

1. Переместительный (коммутативный) закон:

• для логического умножения:

• для логического сложения:

2. Сочетательный (ассоциативный) закон:

• для логического умножения:

• для логического сложения:

При одинаковых знаках операций скобки можно ставить произвольно или вообще опускать.

3. Распределительный (дистрибутивный) закон:

• для логического умножения:

• для логического сложения:

4. Закон двойного отрицания:

Двойное отрицание исключает отрицание.

5. Закон исключённого третьего:

• для логического умножения:

• для логического сложения:

Из двух противоречивых высказываний об одном и том же предмете одно всегда истинно, а второе — ложно, третьего не дано.

6. Закон повторения:

• для логического умножения:

• для логического сложения:

7. Законы операций с 0 и 1:

• для логического умножения:

• для логического сложения:

8. Законы общей инверсии:

• для логического умножения:

• для логического сложения:

Докажем распределительный закон для логического сложения:

Совпадение значений в столбцах, соответствующих логическим выражениям в левой и правой частях равенства, доказывает справедливость распределительного закона для логического сложения.

Найдём значение логического выражения для числа X = 0.

Решение:

При X = 0 получаем следующее логическое выражение: . Так как логические выражения 0 < 3, 0 < 2 истинны, то, подставив их значения в логическое выражение, получаем:

Для решения задач вам понадобится знание таблиц истинности логических операций:

А также, вы должны знать:

Порядок выполнения логических операций задается круглыми скобками

Сначала выполняется операция отрицания НЕ

затем И

после И выполняется ИЛИ

затем следование

и в последнюю очередь — эквивалентность.

Дан фрагмент таблицы истинности выражения F:

Какое выражение соответствует F?

Решение:

Чтобы определить верное выражение, надо значения А,В,С каждой из строк таблицы подставить в очередное выражение, определить его результат выполнения и сравнить со значением F соответствующей строки.

То выражение, значения которого совпадут со значениями столбца F, и будет искомым. Решение:

Ответ: 4

Дан фрагмент таблицы истинности выражения F:

Каким выражением может быть F?

Решение:

Обратите внимание:

1) В каждом из приведенных выражений логические переменные связывает только один тип логической операции. В 1 и 3 вариантах это операция И (), во 2 и 4 вариантах это операция ИЛИ ().

2) По столбцу F видно, что выражение для двух комбинаций данных истинно, а для одной — ложно. Следовательно, выражение не может быть логическим умножением (И), так как логическое умножение истинно только для одной комбинации данных, а в таблице две истины. Следовательно, искомое выражение является логическим сложением (ИЛИ) значений логических переменных.

Поэтому, в качестве ответа может быть 2 или 4 вариант. Рассмотрим их.

1) 2-й вариант: В первой строке таблицы истинности отображены только значения х1, хЗ, х5, и все они равны 0. Но в формуле 2го варианта у нас х5 отрицается, то есть значение х5 будет изменено на 1, и в результате всё выражение должно быть истинным. Что не соответствует заданной таблице. Остаётся 4-й вариант.

2) Как мы видим, переменные х1, хЗ и х5 в 4-м варианте ответа не отрицаются, что соответствует первой строке заданной таблицы.

Ответ: 4

Какое из приведенных имен сказочных героев удовлетворяет логическому условию:

1) АРТЕМОН

2) БАЗИЛИО

3) БУРАТИНО

4) МАЛЬВИНА

Решение:

Составим для каждого из предложенных ответов схему соответственно заданной логической формуле. Ищем истинное значение.

1) АРТЕМОН

Первая буква согласная — НЕТ (0)

Вторая буква не А — ДА (1)

Последняя буква гласная — НЕТ (0) \ / \ у

Предпоследняя буква гласная — ДА (1) X» ‘»X X»

Подставляем полученные значения в формулу и решаем ее: н 0 ->1 ) л 0 -> 1 ),= О

И так с каждым вариантом ответа, пока не найдете истину.

Логическая функция F задаётся выражением

Определите, какому столбцу таблицы истинности функции F соответствует каждая из

переменных X, Y, Z

Решение 1:

Последней операцией выполнения является операция . Поэтому выражение имеет значение ИСТИНА, когда

Рассмотрим все случаи, когда F = 1 (это значения в строках 1 и 3): — не рассматриваем, т.к. в табл, нет строки, где все значения логических переменных = 1.

Рассматриваем только 1 и 3 строки таблицы:

две единицы в 3-м столбце => это значения X
два нуля в 1-м столбце => это значения Y
ноль единица во 2-м столбце => это значения Z

Ответ: YZX

Решение 2:

Последней операцией выполнения является операция . Поэтому выражение

имеет значение ИСТИНА, когда

Выражение F равно 1 в 1й и Зй строках, в этих же строках только “Перем.3”=1, следовательно, значение X находится в 3-м столбце.

Теперь рассмотрим построчно значения 1-х двух столбцов:

(помним, что 1 -> 0 = 0, в остальных комбинациях =1)

1 строка: 0 и О, Y = Z. Поэтому Y и Z для столбцов не определить.

2 строка: 0 и 1. Независимо будет ли Y=0 Z=1 или Y=1 Z=0, функция F=0 т.к. уже

Х=0. Поэтому Y и Z для столбцов не определить.

3 строка: 0 и 1. В этой строке функция F=1, значит Комбинация

невозможна, иначе F будет = 0. Комбинация то, что надо. Следовательно, значение Y находится в 1-м столбце а значение Z во 2-м.

Ответ: YZX

Формализация

Таблицы истинности

Составление условий

Логические схемы

Выводы

Вопросы и задания

Любую логическую функцию можно задать с помощью таблицы истинности, которая показывает, чему равно значение логического выражения при всех возможных комбинациях значений исходных переменных. Построим таблицу истинности для выражения

X = А и не В или не А и B,

которое можно также записать в виде

X = А • B + А • В.

Сколько строк в таблице истинности выражения с двумя переменными?

Будем вычислять выражение по частям: добавим в таблицу истинности дополнительные столбцы А • B и А • В, а потом выполним операцию ИЛИ с этими значениями (рис. 2.18).

Рис. 2.18

Из этой таблицы истинности видно, что при некоторых значениях переменных значение X истинно, а при некоторых — ложно. Такие выражения называют вычислимыми.

Высказывание «Вася — школьник или он не учится в школе» всегда истинно (для любого Васи). Выражение, истинное при любых значениях переменных, называется тождественно истинным или тавтологией.

Высказывание «Сегодня безветрие, и дует сильный ветер» никогда не может быть истинным. Соответствующее логическое выражение всегда ложно, оно называется тождественно ложным или противоречием.

Выполните формализацию высказываний, о которых шла речь в последних двух абзацах. Запишите формулы для упрощения каждого из них.

Постройте самостоятельна таблицу истинности логического выражения X = (А + В) • (A + B). Сравните её с таблицей на рис. 2.18. Истинно ли высказывание «Разные логические выражения могут определять одну и ту же логическую функцию»?

Если два выражения принимают одинаковые значения при всех значениях переменных, они называются равносильными или тождественно равными. Равносильные выражения определяют одну и ту же логическую функцию, т. е. при одинаковых исходных данных приводят к одинаковым результатам.

Сколько строк в таблице истинности выражения с тремя переменными?

Постройте таблицу истинности логического выражения

Х = А • В + А • С + В • С.

Предположим, что нам известна только часть таблицы истинности для функции трёх переменных (рис. 2.19).

Рис. 2.19

Как вы думаете, можно ли по такой части таблицы истинности определить логическую функцию? Почему?

Всего в таблице истинности функции от трёх переменных 2³ = 8 строк, для каждой из них нужно знать, чему равно значение функции. В нашем примере пять значений функции неизвестны, причём каждое из них может быть равно 0 или 1, т. е. у нас есть 5 свободных бит.

Сколько различных значений можно закодировать с помощью 5 бит?

Как вы нашли это значение?

Итак, таблице на рис. 2.19 могут соответствовать 32 различные логические функции. Проверим, подходят ли следующие варианты:

а) А + В + C;

б) A • С + В;

в) А + B • С;

г) А • В • C;

д) A • B + C.

Прежде всего, заметим, что в столбце значений функции два нуля и одна единица. Следовательно, вариант а) не подходит, потому что цепочка операций ИЛИ со всеми переменными (или их инверсиями, обратными значениями) даст только один ноль — в случае, когда все слагаемые равны нулю.

Проверяем вариант б), подставляя значения переменных А, В и С сначала из первой строки таблицы, потом из второй и третьей. В первой строке получаем A • С + В = 1 • 1 + 0 = 1, этот результат совпадает со значением функции в этой строке. Для второй строки A • С + В = 1 • 1 + 1 = 1, значит, эта функция тоже не подходит.

Проверьте самостоятельно, подходят ли остальные варианты.

Скажите без вычислений, сколько нулей и сколько единиц должно быть в последнем столбце таблицы истинности функций с тремя переменными:

а) А + B + C;

б) A • С • В;

в) А • B • C;

г) A + В + С;

д) A + B + C.

Теперь предположим, что нам известна часть таблицы какой-то логической функции, причём с пропусками (рис. 2.20).

Рис. 2.20

Выясним, какие из следующих функций могут соответствовать этой таблице:

а) A + В + C;

б) A • С • В;

в) А + B + C;

г) А • B • С;

д) А + В + C.

Во-первых, обратим внимание, что в столбце значений функции две единицы, поэтому сразу делаем вывод, что это не могут быть цепочки двух операций И (ответы б) и г) неверные). Остались три цепочки из операций ИЛИ, причём для верхней строки (при А = 0 и С = 1) мы должны получить 0 при каком-то выборе неизвестного значения В. Подставляем А = 0 и С = 1 в формулы-кандидаты:

а) 1 + В + 0;

в) 0 + B + 0;

д) 0 + В + 0.

Видим, что в случае а) сумма не может быть равна нулю, это неверный ответ. А варианты в) и д) подходят: в первом из них нужно в первой строке поставить в пустую ячейку 1, а во втором — 0.

Кратко решение можно записать так:

1) поскольку в столбце значений функции один ноль, это не может быть цепочка операций И; остаются только цепочки операций ИЛИ;

2) для того чтобы получить нулевое значение функции в первой строке таблицы, нужно, чтобы переменная А (равная 0 в этой строке) входила в логическую сумму без инверсии (к ней не должна применяться операция НЕ) а переменная С (равная 1) — с инверсией;

3) этим условиям удовлетворяют функции в) и д).

Известна часть таблицы какой-то логической функции с пропусками (рис. 2.21).

Рис. 2.21

Выясните, какие из следующих функций могут соответствовать этой таблице:

а) А • B + C;

б) A • С • В;

в) А + B + C;

г) А • B • С;

д) А + B + C.

Следующая страница Составление условий

Cкачать материалы урока

Тема: Таблицы истинности. Логические схемы.

(конспект рассчитан на 2 академических часа)

Цели: сформировать навыки построения таблиц истинности; сформировать у учащихся представление об устройствах элементной базы компьютера; сформировать навыки построения логических схем.

Требования к знаниям и умениям:

Учащиеся должны знать:

— этапы составления таблиц истинности;

— основные базовые элементы логических схем;

— правила составления логических схем.

Учащиеся должны уметь:

— составлять таблицы истинности;

— составлять логические схемы.

Тип урока – комбинированный.

Программно-дидактическое обеспечение: ПК, карточки с заданиями, элементы для сборки электрических цепей, доска.

Ход урока

I. Постановка целей урока

1. Таблица истинности сложного логического выражения. Как ее правильно составить и использовать?

2. Каким образом алгебра логики связана с компьютером?

3. Почему компьютер не был изобретен раньше?

II. Проверка домашнего задания

Решение задач проверьте у доски. В это время устно проверьте выполнение задания уровня применения.

Задание на карточках

1. Соедините правильные определения или обозначения:

1. Логика 1.А→В

2. Высказывание 2. Логическое сложение

3. Алгебра логики 3. Наука о формах и способах мышления

4. Логическая константа 4. Логическое отрицание

5. Дизъюнкция 5. ИСТИНА и ЛОЖЬ

6. Инверсия б.А↔В

7. Конъюнкция 7.&

8. Импликация 8. Наука об операциях над высказываниями

9. Эквивалентность 9. Повествовательное предложение, в кото

ром что-либо утверждается или отрицается

2. По мишеням произведено три выстрела. Рассмотрено высказывание: Pk = «Мишень поражена k-ым выстрелом», где k =1,2,3. Что означают следующие высказывания:

А) Р1+Р1+РЗ;

Б) Р1•Р2• РЗ;

В) Р₁+Р₂+Р₃.

3. Даны высказывания: А = {3•3 = 9}, В = {3•3 =10}. Определите истинность высказываний:

1) А, 2) ¬В, 3)А&В, 4)В, 5)¬А, 6)AvB.

4. Даны высказывания А = {5+7=13}, В ={5+7=12}. Определите истинность высказываний:

1) А , 2) ¬В, 3) А&В, 4) В, 5) ¬А, 6) AvB.

5. Запишите логические выражения, соответствующие следующим высказываниям:

A) Ботаника изучает растения и ботаника изучает животных;

Б) В состав атома входят электроны или в состав электронов входят атомы;

B) Гелий — это жидкость и вода — это газ;

Г) Неверно, что положительный ион — это лишившийся электронов атом.

6. Запишите логические выражения, соответствующие следующим высказываниям:

A) Зоология изучает растения или ботаника изучает животных;

Б) Электрон — это часть атома и электроны есть в любом веществе;

B) Напряжение — это сила тока, умноженная на сопротивление;

Г) Неверно, что спутник — это летательный аппарат.

III. Изложение нового материала

1. Таблицы истинности

Решение логических выражений принято записывать в виде таблиц истинности — таблиц, в которых по действиям показано, какие значения принимает логическое выражением при всех возможных наборах его переменных.

Для составления таблицы необходимо:

Выяснить количество строк в таблице (вычисляется как 2ⁿ, где n — количество переменных).
Выяснить количество столбцов = количество переменных + количество логических операций.
Установить последовательность выполнения логических операций.
Построить таблицу, указывая названия столбцов и возможные наборы значений исходных логических переменных.
Заполнить таблицу истинности по столбцам.

Пример 1

Построим таблицу истинности для выражения F = (AvB)&(¬Av¬B).

Количество строк = 2²(2 переменных) + 1 (заголовки столбцов) = 5.

Количество столбцов = 2 логические переменные (А, В) + 5 логических операций { v, &, ¬, v, ¬) = 7.

Расставим порядок выполнения операций: 1 5 2 4 3

Построим таблицу:

А	В	A v B	¬А	¬В	¬A_V¬B	(AvB)&(¬Av ¬B)
0	0	0	1	1	1	0
0	1	1	1	0	1	1
1	0	1	0	1	1	1
1	1	1	0	0	0	0

Пример 2

Построим таблицу истинности для логического выражения X v Y& ¬ Z.

Количество строк = 2³+1 = 9.
Количество столбцов = 3 логические переменные + 3 логических операций = 6.
Укажем порядок действий: 3 2 1

X _VY& ¬ Z

Нарисуем и заполним таблицу:

X	Y	Z	¬ Z	Y& ¬ Z	X_VY& ¬Z
0	0	0	1	0	0
0	0	1	0	0	0
0	1	0	1	1	1
1	0	0	1	0	1
1	0	1	0	0	1
1	1	0	1	1	1
1	1	1	0	0	1

2. Логические схемы

Над возможностями применения логики в технике ученые и инженеры задумывались уже давно. Например, голландский физик Пауль Эренфест (1880 — 1933), кстати несколько лет работавший в России, писал еще в 1910 году: «…Пусть имеется проект схемы проводов автоматической телефонной станции. Надо определить:

1) будет ли она правильно функционировать при любой комбинации, могущей встретиться в ходе деятельности станции;

2) не содержит ли она излишних усложнений. Каждая такая комбинация является посылкой, каждый маленький коммутатор есть логическое «или-или», воплощенное в эбоните и латуни; все вместе — система чисто качественных… «посылок», ничего не оставляющая желать в отношении сложности и запутанности… правда ли, что, несмотря на существование алгебры логики, своего рода «алгебра распределительных схем» должна считаться утопией?». Созданная позднее М.А. Гавриловым 1903 — 1979) теория релейно-контактных схем показала, что это вовсе не утопия.

Посмотрим на микросхему. На первый взгляд ничего того, что нас удивило бы, мы не видим. Но если рассматривать ее при сильном увеличении она поразит нас своей стройной архитектурой. Чтобы понять, как она работает, вспомним, что компьютер работает на электричестве, то есть любая Информация представлена в компьютере в виде электрических импульсов. Поговорим о них.

С точки зрения логики электрический ток либо течет, либо не течет; электрический импульс есть или его нет; электрическое напряжение есть или его нет… В связи с этим поговорим о различных вариантах управления включением и выключением обыкновенной лампочки (лампочка также работает на электричестве). Для этого рассмотрим электрические контактные схемы, реализующие логические операции.

Пояснение: для наглядности приготовьте электрические схемы и продемонстрируйте их в действии. Для этого используйте: источник питания, лампочки, ключи, провода.

Схема 1. Схема. 2. Схема. 3. (автоматический ключ)

На рисунках контакты обозначены латинскими буквами А и В. Введем обозначения: 1 — контакт замкнут, 0 — контакт разомкнут. Цепь на схеме I с последовательным соединением контактов соответствует логической операции «И». Цепь на схеме 2 с параллельным соединением контактов соответствует логической операции «ИЛИ». Цепь на схеме 3 (электромагнитное реле) соответствует логической операции «НЕ».

Попросите детей приготовить в тетради таблицу:

Конъюнкция	Дизъюнкция	Инверсия

Заполняем ее по ходу объяснения материала.

Заполненная таблица

Конъюнкция (Логическое умножение) и	Дизъюнкция (Логическое сложение) или	Инверсия (Логическое отрицание) не

A B A&B 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0	A B AvB 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 A 0 1 1 0
Конъюнктор	Дизъюнктор	Инвертор

Докажем это, рассмотрев состояния схем при различных состояниях контактов.

Схема 1 (составляем в основной таблице таблицу истинности).

Оба контакта в положении «включено». Тогда ток через лампочку идет и она горит,
Первый контакт в положении «вкл», второй — в положении «выкл». Ток не идет, лампочка не горит.
Обратная ситуация. Лампочка не горит.
Оба контакта в положении «выкл». Тока нет. Лампочка не горит. Вывод: первая схема действительно реализует логическую операцию «И».

Схема 2 (составляем в основной таблице таблицу истинности).

Оба контакта в положении «включено». Ток через лампочку идет и она горит.
Первый контакт в положении «вкл», второй — в положении «выкл». Ток идет, лампочка горит.
Обратная ситуация. Лампочка горит.
Оба контакта в положении «выкл». Тока нет. Лампочка не горит.

Вывод: вторая схема действительно реализует логическую операцию «ИЛИ».

Схема 3 (составляем в основной таблице таблицу истинности).

В этом устройстве в качестве переключателя используется автоматический ключ. Когда тока на нем нет, пластинка замыкает контакты и лампочка горит. Если на ключ подать напряжение, то вследствие явления электромагнитной индукции пластинка прижимается и цепь размыкается. Лампочка не горит.

Вывод: схема 3 действительно реализует логическую операцию «НЕ».

Недостатками контактных схем являлись их низкая надежность и быстродействие, большие размеры и потребление энергии. Поэтому попытка использовать такие схемы в ЭВМ не оправдала себя. Появление вакуумных и полупроводниковых приборов позволило создавать логические элементы с быстродействием от 1 миллиона переключений в секунду. Именно такие электронные схемы нашли свое применение в качестве элементной базы ЭВМ. Вся теория, изложенная для контактных схем, была перенесена на электронные схемы. Элементы, реализующие базовые логические операции, назвали базовыми логическими элементами или вентилями и характеризуются они не состоянием контактов, а наличием сигналов на входе и выходе элемента. Их названия и условные обозначения являются стандартными и используются при составлении и описании логических схем компьютера.

Пояснение: историю развития элементной базы компьютера смотрите в дополнительном материале.

Почему необходимо уметь строить логические схемы?

Дело в том, что из вентилей составляют более сложные схемы, которые позволяют выполнять арифметические операции и хранить информацию. Причем схему, выполняющую определенные функции, можно построить из различных по сочетанию и количеству вентилей. Поэтому значение формального представления логической схемы чрезвычайно велико. Оно необходимо для того, чтобы разработчик имел возможность выбрать наиболее подходящий ему вариант построения схемы из вентилей. Процесс разработки общей логической схемы устройства (в том числе и компьютера в целом) таким образом становится иерархическим, причем на каждом следующем уровне в качестве «кирпичиков» используются логические схемы, созданные на предыдущем этапе.

Алгебра логики дала в руки конструкторам мощное средство разработки, анализа и совершенствования логических схем. В самом деле, гораздо проще, быстрее и дешевле изучать свойства и доказывать правильность работы схемы с помощью выражающей ее формулы, чем создавать реальное техническое устройство. Именно в этом состоит смысл любого математического моделирования.

Логические схемы необходимо строить из минимально возможного количества элементов, что в свою очередь, обеспечивает большую скорость работы и увеличивает надежность устройства.

3. Построение логических схем

Правило построения логических схем:

Определить число логических переменных.
Определить количество базовых логических операций и их порядок.

3) Изобразить для каждой логической операции соответствующий ей вентиль.

Соединить вентили в порядке выполнения логических операций.

Пример 1

Пусть X = истина, Y = ложь. Составить логическую схему для следующего логического выражения: F = XvY&X.

Две переменные — X и Y.

2) Две логические операции: 2 1

XvY&X.

3) Строим схему:

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

4) Ответ: l v 0 & 1= 1.

Пример 2

Постройте логическую схему, соответствующую логическому выражению

F = X&Yv ¬(YvX). Вычислить значения выражения для X = 1, Y = 0.

1) Переменных две: X и Y;

2) Логических операций три: конъюнкция и две дизъюнкции: 1432

X&Yv¬(YvX).

Схему строим слева направо в соответствии с порядком логических операций:

4) Вычислим значение выражения: F= l&0v¬ (0vl) = 0.

IV. Закрепление изученного

№1

Составьте таблицы истинности для следующих логических выражений:

1) А&(ВvB&C)

2) Аv (В&BvC)

№2 Заполните пустые ячейки таблицы истинности:

А	B	C	CvA	(CvA)B
0	0		0	1
0		0	0	1
	0	1	1	0
1	1	1	1

Подвидение итогов:

Цели урока:

Обучающие:

Научить составлять логические выражения из высказываний
Ввести понятие “таблица истинности”
Изучить последовательность действий построения таблиц истинности
Научить находить значение логических выражений посредством построения таблиц истинности
Ввести понятие равносильности логических выражений.

Развивающие:

Развивать логическое мышление
Развивать внимание
Развивать память
Развивать речь учащихся

Воспитательные:

Воспитывать умение слушать учителя и одноклассников
Воспитывать дисциплинированность
Формировать интеллектуальную и эмоциональную активность учащихся.
Воспитывать чувства ответственности за результаты своего труда.

Вид урока: Урок — деловая игра.

Тип урока: проверка знаний и изучение нового материала

Методы организации учебной деятельности: фронтальная, групповая, метод проектов.

Система оценивания: по ходу урока руководитель группы на “Оценочных листах» отмечает долю участия ученика на уроке при выполнении каждого задания

Оборудование урока: Презентация урока, плакаты “Таблица истинности функции логического сложения”, “Таблица истинности функции логического умножения”, “Таблица истинности функции логического отрицания”, маркеры, “Оценочный лист”, карточки с заданиями, карточка “Вопросники” для “Собеседования”, файл “Логические микросхемы”, мультимедийный проектор.

Место проведения урока: компьютерный класс

Участники: ученики 10-х классов.

Ход урока

1. Организационный момент
(2 минуты)

На экране проецируется первый слайд презентации – надпись “Логические выражения. Таблицы истинности”.

— Здравствуйте, ребята. Мы продолжаем изучать основы логики и тема нашего сегодняшнего урока “Логические выражения. Таблицы истинности”. Изучив данную тему, вы научитесь, как из высказываний составляются логические выражения, и определять их истинность посредством составления таблиц истинности. ( Второй слайд презентации)

Эпиграфом к уроку являются слова Б.Паскаля: “ВЕЛИЧИЕ ЧЕЛОВЕКА — В ЕГО СПОСОБНОСТИ МЫСЛИТЬ”. ( Третий слайд презентации)

— Сегодня мы проведем с вами необычный урок, урок — деловая игра “Устраиваюсь на работу”.

Дадим волю нашим фантазиям:

завод “Микрон” объявил набор агентов для проведения рекламной кампании по продвижению своих чипов на рынке. Но нужно пройти несколько ступенек проверки профессиональной пригодности:

Проверка умения презентовать своё выступление. (Презентация. 10 минут)
Проверка знания в области логических микросхем. (Собеседование. 5 минут)
Проверка умения слушать других и поддерживать разговор. (Объяснение новой темы.15 минут)
Проверка умения применять полученные знания на практике. (Закрепление изученного материала. 10 минут)

И все эти умения и знания нужно показать за 40 минут!

2. Проверка домашнего задания (10 минут)

Перейдём к 1 проверке — демонстрации групповых домашних работ на экране. Каждая группа подготовила презентацию по теме “Базовые логические операции”.

Слово предоставляется 1 группе.

Первую группу меняет вторая, вторую группу – третья.

Оценивается групповая работа учеников.

— Ребята, вы прошли первую проверку, все приглашаетесь к 2 испытанию – к “Собеседованию”.

— Для предварительной подготовки каждая группа получает “Вопросник”

Образец вопросника

Работа за компьютером!

Юный друг!

Наше агентство от завода “Микрон” объявляет набор специалистов для проведения рекламной кампании по продвижению своих чипов на рынок. Мы рады видеть тебя в своих рядах, но сначала ответь, пожалуйста, на следующие вопросы:

Что знаешь о заводе “Микрон”?

Знаешь ли, что такое чип?

Что знаешь о чипах?

Используются ли знания в области алгебры логики при разгадке схемы “чипа”?

Информацию можешь найти в файле “Логические микросхемы”.

Путь к файлу:

Рабочий стол – К уроку – Логические микросхемы

Текст в файле “Логические микросхемы”

ВСЁ О ЧИПАХ

Еще несколько лет назад различные электронные устройства собирали из отдельных элементов электронных ламп, реле, трансформаторов, резисторов, конденсаторов, долго и ненадежно, да и размеры аппаратуры получались весьма внушительными. Например, электронная вычислительная машина (ЭВМ) первого поколения содержала около 10 000 электронных ламп и, хотя срок службы каждой лампы составлял 2000 ч, работала с постоянными сбоями, каждые 6 мин одна из ламп выходила из строя. К тому же эта аппаратура занимала площадь огромного цеха и потребляла столько же электроэнергии, сколько небольшой завод. На смену электронным лампам пришел более долговечный транзистор. Электронные вычислительные машины (теперь уже второго поколения) заметно похудели и стали работать без остановки 56 дней, хотя срок службы транзисторов миллионы часов. Такая ненадежность ЭВМ объяснялась недостаточно высоким качеством паяных соединений. Миллионы таких соединений в блоках ЭВМ стали главной причиной отказов. Перед конструкторами встали две задачи: как увеличить надежность ЭВМ и уменьшить ее объем. Решить их, создать высоконадежные, миниатюрные и экономичные устройства позволила микроэлектроника — новое направление электроники. Теперь отдельные детали, соединяемые друг с другом проводами, заменили микросхемы: на маленьком полупроводниковом кристалле размером несколько квадратных миллиметров (его еще часто называют чипом, от англ. chip, что означает чешуйка) размещают тончайший узор микроячеек. Каждая микро ячейка представляет собой законченную радиоэлектронную схему, состоящую из множества элементов, транзисторов, резисторов, конденсаторов и, конечно, межсоединений…

Цифровые микросхемы. Типы логики, корпуса. Ну сначала скажем так: микросхемы делятся на два больших вида: аналоговые и цифровые. Аналоговые микросхемы работают с аналоговым сигналом, а цифровые, соответственно – с цифровым.

От chip – щепка

Центральные процессоры: первые ЦП, Intel 4004, Intel 8008

В 1959 г. Роберт Нойс, 31-летний директор и научный руководитель фирмы Fairchild Semiconductors, разработал первую в мире интегральную схему – совокупность нескольких планарных транзисторов. До этого каждый компонент электронной схемы изготавливался отдельно, а затем они спаивались вручную. С 1962 г. интегральные схемы, прозванные “чипами”, были пущены в массовое производство.

В Зеленограде на заводе микрочипов «Микрон» произошло знаменательное событие: с официальным визитом приехал Владимир Путин. Руководство завода торжественно встретило президента. Хотелось показать все, чем богат завод. А гордиться действительно есть чем. Крупнейший производитель чипов в России и СНГ, образованный в 1964 году, «Микрон» выполняет полный цикл их изготовления. На «Микроне» делают микросхемы для ракет «Тополь» и «Булава», компоненты для МКС. Еще недавно чипы для банковских и SIМ-карт или биометрических паспортов были для производства неподвластны, но теперь святая святых завода, так называемая «чистая комната» модернизируется. Предприятие уже выпускает и SIМ-карты, и жидкокристаллические экраны. В «чистой комнате» поддерживается полная стерильность, одного белого халата мало, так что Путину показывали ее через специальное стеклянное окно.

«Чип» или, другими словами, логическая микросхема. И, конечно, много усилий нужно приложить для того, чтобы разгадать секрет и выяснить устройство этого «чипа». При разгадке схемы такого устройства используется алгебра логики. И на сегодняшнем уроке мы и познакомимся с методами помогающими решить такого рода задачи.

— Какие будут ответы? (Ученики высказывают своё мнение)

— “Собеседование” показало, что вы осведомлены о логических микросхемах и о заводе “Микрон”. Какая связь между алгеброй логики и компьютером? Как используются элементы алгебры логики в вычислительной технике? – вы частично ответили на эти вопросы. Логические основы устройства мы будем затрагивать позже, когда научимся решать логические задачи разными способами.

А вторую проверку вы прошли, перейдём к следующей – умеете ли вы слушать других и поддерживать разговор.

С помощью рассуждений мы умеем решать логические задачи с первого класса. А вот с помощью таблиц истинности научимся решать сегодня.

3. Решение задач с помощью рассуждения

Пример. Для формулы

— Сколько переменных содержит данная формула? 3

— Сколько строк и столбцов будет в таблице?

8 строк (Логических переменных 3, следовательно, 2³=8) и 8 столбцов (Логических операций в формуле 5, следовательно, 3+5=8)

— Какова будет в нашем примере последовательность операций? (инверсия, операции в скобках, операцию за скобкой)

Мы уже несколько уроков подряд используем понятие “таблица истинности”, а что же такое таблица истинности, как вы думаете?

Таблица истинности – это таблица, устанавливающая соответствие между возможными наборами значений логических переменных и значениями функций.

При построении таблиц истинности есть определенная последовательность действий.

Необходимо определить количество строк в таблице истинности.
количество строк = 2ⁿ, где n – количество логических переменных
Необходимо определить количество столбцов в таблице истинности, которое равно количеству логических переменных плюс количество логических операций.
Необходимо построить таблицу истинности с указанным количеством строк и столбцов, ввести названия столбцов таблицы в соответствии с последовательностью выполнения логических операций с учетом скобок и приоритетов;
Заполнить столбцы входных переменных наборами значений
Провести заполнение таблицы истинности по столбцам, выполняя логические операции в соответствии с установленной последовательностью.

Всё это найдёте на 130 странице учебника. Откройте, ребята, эту страницу. Найдите этот алгоритм. Он нужен нам при решении задач.

Решение задач

Пример 1. Получить таблицы истинности логической функции

Записали. Строим таблицу истинности

— Что мы делаем во-первых?

Определить количество столбцов в таблице

— Как мы это делаем?

Считаем количество переменных. В нашем случае логическая функция содержит 2 переменных.

— Какие?

А и В

— Значит сколько строк будет в таблице?

Количество строк в таблице истинности должно быть равно 4.

— А если 3 переменных?

Количество строк = 2³ = 8

— Верно. Что делаем дальше?

Определяем количество столбцов = количеству логических переменных плюс количество логических операций.

— Сколько будет в нашем случае?

В нашем случае количество переменных равно двум, а количество логических операции — пяти, то есть количество столбцов таблицы истинности равно семи.

— Хорошо. Дальше?

Строим таблицу с указанным количеством строк и столбцов, обозначаем столбцы и вносим в таблицу возможные наборы значений исходных логических переменных и заполняем таблицу истинности по столбцам.

— Какую операцию будем выполнять первой? Только учитывайте скобки и приоритеты.

Можно сначала выполнить логическое отрицание или найти значение сначала в первой скобке, затем инверсию и значение во второй скобке, затем значение между этими скобками

Пример 2. Получить таблицу истинности логического выражения

Теперь построим таблицу истинности логического выражения .

Сколько строк будет в таблице? 4

Сколько столбцов будет в таблице? 5

Пример 3. Получить таблицу истинности логического выражения

Построили таблицы. Теперь давайте, сравним значения в последних столбцах таблиц истинности примера 2 и 3, т.к. именно последние столбцы являются результирующими.

Логические выражения, у которых последние столбцы таблиц истинности совпадают, называются равносильными. Таким образом, вы доказали равносильность каких выражений?

Домашнее задание
. Получить таблицу истинности логического выражения

Итог урока.

— Вы познакомились с новым способом решения логических задач – с помощью таблиц истинности. Справились и с заданиями.

— Поднимите оценочные листы те учащиеся, у кого общий балл больше или равно 12. Поздравляю Вас – Вы приняты на работу. Значит, Вы хорошо работали на уроке и поняли тему.

ВЫВОД В КОНЦЕ УРОКА.

Кем бы вы ни стали после окончания школы, вам всегда будут нужны знания и хорошая память, сообразительность и аккуратность, наблюдательность и фантазия, внимательность, умение логически мыслить, умение анализировать, сопоставлять и обобщать факты.

При проведении рефлексии следует попросить ребят выразить свое мнение о работе на уроке, путем ответов на вопросы:

Довольны ли вы своей работой на уроке?
Работой группы?

(АvВ)&(АvВ)

9 класс Урок по информатике: Логические выражения и таблицы истинности Цели: построение таблиц истинности логических выражений. Задачи: 1. Научить составлять логические выражения из высказываний; 2. Ввести понятие “таблица истинности логического выражения”; 3. Изучить последовательность действий построения таблиц истинности; 4. Научить находить значение логических выражений посредством построения таблиц истинности; 5. Ввести понятие равносильности логических выражений; 6. Научить доказывать равносильность логических выражений, используя таблицы истинности; 7. Закрепить навыки нахождения значений логических выражений посредством построения таблиц истинности. Ожидаемые результаты обучения: Учащиеся должны знать:  таблицы истинности логических операций;  этапы составления таблиц истинности логических выражений;  понятие равносильные логические выражения. Учащиеся должны уметь:  строить и заполнять таблицу истинности логического выражения;  находить значение логических выражений посредством построения таблиц истинности;  доказывать равносильность логических выражений, используя таблицы истинности. Ход урока I. Оргмомент. Здравствуйте, ребята. Мы продолжаем изучать основы логики и тема нашего сегодняшнего урока «Составление логических выражений. Таблицы истинности». Изучив данную тему, вы научитесь, как из высказываний составляются логические формы, и определять их истинность посредством составления таблиц истинности. II. Проверка домашнего задания. III. Изложение нового материала. 1. Построение таблиц истинности. Мы уже несколько уроков используем понятие “таблица истинности”, определим же его. Опр.1 Таблица истинности — это таблица, устанавливающая соответствие между возможными наборами значений логических переменных и значениями функций. При построении таблиц истинности есть определенная последовательность действий: 1. Необходимо определить количество строк в таблице истинности: количество строк равно 2n, где n — количество логических переменных. 2. Необходимо определить количество столбцов в таблице истинности, которое равно количеству логических переменных плюс количество логических операций. 3. Необходимо построить таблицу истинности с указанным количеством строк и столбцов, ввести названия столбцов таблицы в соответствии с последовательностью выполнения логических операций с учетом скобок и приоритетов; 4. Заполнить столбцы входных переменных наборами значений; 5. Провести заполнение таблицы истинности по столбцам, выполняя логические последовательностью. операции в соответствии с установленной Пример. Построить таблицу истинности для составного высказывания: ( BA  ()  BA ) 1). Определим количество строк в таблице. Для этого: считаем количество переменных, в нашем случае логическая функция содержит 2 переменные: А и В. Количество строк в таблице истинности должно быть равно 22=4. 2). Определяем количество столбцов. Это количество логических переменных плюс количество логических операций. В нашем случае количество переменных равно двум, а количество логических операции — пяти, то есть количество столбцов таблицы истинности равно семи. 3). Строим таблицу с указанным количеством строк и столбцов, обозначаем столбцы и вносим в таблицу возможные наборы значений исходных логических переменных и заполняем таблицу истинности по столбцам. Можно сначала выполнить логическое отрицание или найти значение сначала в первой скобке, затем инверсию и значение во второй скобке, затем значение между этими скобками. A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 BA  0 1 1 1 A 1 1 0 0 B 1 0 1 0 BA  ( BA  1 1 1 0 ) BA  () 0 1 1 0 Теперь мы можем определить значение логической функции для любого набора значений логических переменных. 2. Равносильные логические выражения. Логические выражения, у которых последние столбцы таблиц истинности совпадают, называются равносильными. Для обозначения равносильных логических выражений используется знак “ = “. Пример. Докажем, что логические выражения BA  и BA  равносильны. Построим сначала таблицу истинности логического выражения: BA  1). Определим количество строк в таблице. Для этого: считаем количество переменных, в нашем случае логическая функция содержит 2 переменные: А и В. Количество строк в таблице истинности должно быть равно 22=4. 2). Определяем количество столбцов. Это количество логических переменных плюс количество логических операций. В нашем случае количество переменных равно двум, а количество логических операции — трем, то есть количество столбцов таблицы истинности равно пяти. 3). Строим таблицу с указанным количеством строк и столбцов, обозначаем столбцы и вносим в таблицу возможные наборы значений исходных логических переменных и заполняем таблицу истинности по столбцам. Сначала необходимо выполнить логическое отрицание А, а затем логическое отрицание В. Последним действием выполним логическое сложение. A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 A 1 1 0 0 B 1 0 1 0 BA  1 0 0 0 Теперь построим таблицу истинности логического выражения: BA  1). Определим количество строк в таблице. Для этого: считаем количество переменных, в нашем случае логическая функция содержит 2 переменные: А и В. Количество строк в таблице истинности должно быть равно 22=4. 2). Определяем количество столбцов. В нашем случае количество переменных равно двум, а количество логических операции — двум, то есть количество столбцов таблицы истинности равно четырем. 3). Строим таблицу с указанным количеством строк и столбцов, обозначаем столбцы и вносим в таблицу возможные наборы значений исходных логических переменных и заполняем таблицу истинности по столбцам. Сначала необходимо выполнить действие в скобках, а затем логическое отрицание. A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 BA  0 1 1 1 BA  1 0 0 0 Построили таблицы. Теперь давайте, сравним значения в последних столбцах таблиц истинности, т.к. именно последние столбцы являются результирующими: IV. Закрепление изученного материала. BA  = BA  1. Построить таблицу истинности для формулы: A  ( BB  C ) . 1). Определим количество строк в таблице. Для этого: считаем количество переменных, в нашем случае логическая функция содержит 3переменные: А, В и С. Количество строк в таблице истинности должно быть равно 23=8. 2). Определяем количество столбцов. В нашем случае количество переменных равно трем, а количество логических операции — пяти, то есть количество столбцов таблицы истинности равно восьми. 3). Строим таблицу с указанным количеством строк и столбцов, обозначаем столбцы и вносим в таблицу возможные наборы значений исходных логических переменных и заполняем таблицу истинности по столбцам. Последовательность операций: инверсия, операции в скобках, операция за скобкой. A B 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 C B C 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 BB  1 1 1 1 1 1 1 1  BB 1 0 1 1 0 1 0 0 C A  ( C ) BB  1 0 1 1 0 1 1 1 2. Докажите с помощью таблиц истинности равносильность следующих логических выражений: A  и B BA  . Построим сначала таблицу истинности логического выражения: A  . B 1). Определим количество строк в таблице: 22=4. 2). Определяем количество столбцов: 2+1=3. 3). Строим таблицу с указанным количеством строк и столбцов. A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 B A  1 1 0 1 Построим таблицу истинности логического выражения: BA  . 1). Определим количество строк в таблице: 22=4. 2). Определяем количество столбцов: 2+2=4. 3). Строим таблицу с указанным количеством строк и столбцов. A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 B 1 0 1 0 BA  1 0 1 1 Вывод: данные логические выражения не равносильны. V. Итог урока. Обобщить пройденный материал, оценить работу активных учеников. VI. Домашнее задание. 1. Доказать, используя таблицы истинности, что логические выражения BA  и BA  равносильны. Построить таблицу истинности для формулы: (( QP  ) ( P  R ))  . P