Булева алгебра (алгебра логики)

На этом уроке знакомимся с алгеброй логики (булевой алгеброй). Одним из её основателей стал английский математик Джордж Буль (1815-1864), который был из довольно бедной семьи, а в юности зарабатывал переводами сочинений древнегреческих философов. За этим занятием его и посетила мысль о том, что высказываниям можно присваивать значения 1 («истина») и 0 «ложь».

Итак, алгебра логики (булева алгебра) — это раздел математики, изучающий высказывания, рассматриваемые со стороны их логических значений (истинности или ложности) и логических операций над ними. Алгебра логики позволяет закодировать любые утверждения, истинность или ложность которых нужно доказать, а затем манипулировать ими подобно обычным числам в математике.

Создание алгебры логики в середине ХIХ века в трудах Джорджа Буля представляло собой попытку решать традиционные логические задачи алгебраическими методами.

Пусть функция от n переменных и любой из её аргументов могут принимать значения только из множества {0, 1}. Тогда эта функция называется логической, или булевой, или переключательной, или функцией алгебры логики. Описанную функцию часто называют также булевым вектором. Количество функций от n переменных равно 2 в степени n. То же самое можно сказать и иначе: число различных n-мерных булевых векторов равно 2 в степени n. А число различных функций алгебры логики от этих векторов равно уже .

Значениям переменной в булевой алгебре соответствуют состояниям элементов микросхем компьютера или любого другого электронного устройства: сигнал присутствует (логическая «1») или сигнал отсутствует (логический «0»).

На логических элементах, реализующих булевы функции, строятся логические схемы электронных устройств.

Законы булевой алгебры применяются и в программировании — при написании сложных логических условий и сложных запросов к базе данных. Один пример со скриптом на PHP приведён здесь (это статья о системе многокритериального поиска по сайту с базой данных). Ещё один пример — применение алгебры логики в создании многоуровневого меню сайта, в котором были бы открыты все пункты всех уровней, по которому пролегает путь к конечному открытому пункту меню.

Часто оказывается, что изначально построенное логическое выражение можно упростить, используя аксиомы, теоремы и законы алгебры логики.

Логические функции одной переменной

 

Переменная	Логические функции
x
0	0	0	1	1
1	0	1	0	1

 

Логические функции двух переменных

Ниже дана таблица истинности для логических функций от двух переменных.

В логических схемах функции могут быть реализованы с произвольных количеством входных переменных, примеры — в материале Логические схемы и таблицы истинности.

Ответить на контрольные вопросы, а затем посмотреть ответы

Контрольный вопрос 1. Даны две переменные x1 и x2. Число различных булевых векторов и различных ФАЛ от полученных векторов равны соответственно:

• 8 и 16
• 8 и 32
• 4 и 8
• 4 и 16

Контрольный вопрос 2. Какие из функций не являются ФАЛ одной переменной (и одна, и вторая в варианте ответа):

• отрицание и сложение по модулю два
• эквивалентность и повторение x
• отрицание и импликация
• функция Шеффера и эквивалентность
• запрет по x2 и отрицание

Правильные ответы на вопрос 1 и вопрос 2.

Любую булеву функцию с произвольным количеством аргументов можно построить через подстановку элементарных функции вместо аргументов (суперпозицию). Набор простейших функций, с помощью которого можно выразить любые другие, сколь угодно сложные логические функции, называется функционально полным набором, или логическим базисом.

Инверсия (логическое отрицание, «НЕ»)

.

0	1
1	0

Конъюнкция (логическое умножение, «И»)

.

Дизъюнкция (логическое сложение, «ИЛИ»)

.

В булевом базисе обычно строятся логические схемы, которые реализуют сколь угодно сложные логические функции, примеры — в материале Логические схемы и таблицы истинности.

В качестве исходного описания сложных логических функций обычно используется таблица истинности, однако упрощение функций удобнее производить в аналитической форме. При аналитической записи функция алгебры логики представляется либо в виде логической суммы элементарных логических произведений (дизъюнкции элементарных конъюнкций), либо в виде логического произведения элементарных логических сумм (конъюнкции элементарных дизъюнкций). Первая форма записи имеет название дизъюнктивной нормальной формы (ДНФ), вторая — конъюнктивной нормальной формы (КНФ). В этих названиях термин «нормальная» означает отсутствие общей инверсии (отрицания) над несколькими перемнными сразу.

Дизъюнктивная нормальная форма

.

Конъюнктивная нормальная форма

.

Применяются следующие способы описания логических функций:

• словесный;
• табличный;
• числовой;
• аналитический;
• координатный;
• графический.

Пример табличного описания функций алгебры логики. В верхней таблице под набором подразумевается набор значений логических переменных (1 или 0), а f — это значение функции алгебры логики, заданной определённой формулой. Нижняя таблица несёт в себе более подробную информацию о наборах, поскольку в ней указаны значения переменных.

Номер набора	f
0	0
1	1
2	0
3	0
4	1
5	1
6	0
7	1

 

X1	X2	X3	f
0	0	0	0
0	0	1	1
0	1	0	0
0	1	1	0
1	0	0	1
1	0	1	1
1	1	0	0
1	1	1	1

Приведённые выше таблицы имеют название таблиц истинности. Такие таблицы в практике необходимо строить для любой, сколь либо сложной булевой функции. Примеры таблиц истинности для булевых функций, реализованных в логических схемах — в материале Логические схемы и таблицы истинности.

Пример числового описания логических функций

или .

Пример аналитического описания логических функций

Пример координатного описания логических функций

Карта Карно

Пример графического описания логических функций

Аксиомы конъюнкции

.

Аксиомы дизъюнкции

.

Аксиомы отрицания

если , то ; если , то .

Теоремы исключения констант

.

Теоремы идемпотентности (тавтологии, повторения)

.

для n переменных

.

Теорема противоречия

.

Теорема «исключённого третьего»

.

Теорема двойного отрицания (инволюции)

.

Ассоциативный (сочетательный) закон

.

Коммутативный (переместительный) закон

.

Дистибутивный (распределительный) закон

.

.

Законы де Моргана (законы общей инверсии или дуальности)

.

.

Закон поглощения (элиминации)

.

Закон склеивания (исключения)

.

▶▷▶ алгебра логики логические законы таблица истинности

▶▷▶ алгебра логики логические законы таблица истинности

Интерфейс	Русский/Английский
Тип лицензия	Free
Кол-во просмотров	257
Кол-во загрузок	132 раз
Обновление:	26-11-2018

алгебра логики логические законы таблица истинности — Yahoo Search Results Yahoo Web Search Sign in Mail Go to Mail» data-nosubject=»[No Subject]» data-timestamp=’short’ Help Account Info Yahoo Home Settings Home News Mail Finance Tumblr Weather Sports Messenger Settings Want more to discover? Make Yahoo Your Home Page See breaking news more every time you open your browser Add it now No Thanks Yahoo Search query Web Images Video News Local Answers Shopping Recipes Sports Finance Dictionary More Anytime Past day Past week Past month Anytime Get beautiful photos on every new browser window Download Логические законы и правила преобразования логических mir-logikiru/log_zakoni Cached Законы алгебры логики и правила преобразования логических выражений Равносильные преобразования логических формул имеют то же назначение, что и преобразования формул в обычной алгебре Основы логики и логические основы компьютера studfilesnet/preview/5024724 Cached Базовые знания математической логики , логические элементы и таблицы истинности swf 05022016 111 Mб 14 Урок 2 Порядок выполнения логических выражений Презентация по информатике на тему «Алгебра логики» videourokinet/razrabotki/prezentatsiya-po-in Cached Алгебра логики — это раздел математики, изучающий высказывания, рассматриваемые со стороны их логических значений ( истинности или ложности) и логических операций над ними Алгебра Логики Логические Законы Таблица Истинности — Image Results More Алгебра Логики Логические Законы Таблица Истинности images iMath Wiki — Алгебра логики Основные логические операции и wikilividppru/students/cs/lectures/6html Cached Алгебра логики Основные логические операции и их таблицы истинности Основные законы алгебры логики Составление таблиц истинности — YouTube wwwyoutubecom/watch?v=xK0b4ruRtjY Cached Алгебра логики : Таблицы истинности Центр онлайн-обучения «Фоксфорд» — Duration: 10:16 Онлайн-школа с 3 по 11 класс тема: «Алгебра логики Основные логические операции Таблицы открытыйурокрф/статьи/660961/prilpptx Законы и категории логики В формальной логике законы имеют абстрактную форму, в математической логике они конкретны, обладают строгой определенностью и реализуются на практике Логические выражения и логическая таблица истинности Правила mir-logikiru/virag_tabl Cached Логические выражения и таблица истинности Таблица истинности – таблица , показывающая, какие значения принимает составное высказывание при всех сочетаниях (наборах) значений входящих в него простых высказываний Презентация на тему «Алгебра логики» по информатике для 8 класса pptcloudru/informatika/algebra-logiki-112548 Cached Алгебра логики — это раздел математики, изучающий высказывания, рассматриваемые со стороны их логических значений ( истинности или ложности) и логических операций над ними Презентация на тему Основы логики логические основы prezentaciiorg › … › Информатика Таблица истинности логического отрицания Слайд 10 Логические законы и правила преобразования логических выражений Булева алгебра (алгебра логики) function-xru/buleva_algebrahtml Cached Итак, алгебра логики (булева алгебра ) — это раздел математики, изучающий высказывания, рассматриваемые со стороны их логических значений ( истинности или ложности) и логических операций над ними Promotional Results For You Free Download | Mozilla Firefox ® Web Browser wwwmozillaorg Download Firefox — the faster, smarter, easier way to browse the web and all of Yahoo 1 2 3 4 5 Next 14,500 results Settings Help Suggestions Privacy (Updated) Terms (Updated) Advertise About ads About this page Powered by Bing™

• для логической функции F=A?B?C (дизъюнкции) трех логических переменных А
• В
• и С таблица истинности будет иметь вид

для логической функции F=A?B?C (дизъюнкции) трех логических переменных А

и С таблица истинности будет иметь вид

• рассматриваемые со стороны их логических значений ( истинности или ложности) и логических операций над ними Promotional Results For You Free Download | Mozilla Firefox ® Web Browser wwwmozillaorg Download Firefox — the faster
• обладают строгой определенностью и реализуются на практике Логические выражения и логическая таблица истинности Правила mir-logikiru/virag_tabl Cached Логические выражения и таблица истинности Таблица истинности – таблица
• в математической логике они конкретны

алгебра логики логические законы таблица истинности — Все результаты § 3 Законы алгебры логики — ЗФТШ, МФТИ Истинность этих и всех последующих законов легко можно установить, построив таблицу истинности для левого и правого логического выражения Законы алгебры логики — Дистанционная подготовка по информатике informatics-lessonru/logic/laws-logicphp Для преобразования логических формул к равносильным используются законы Докажем второй закон де Моргана с помощью таблицы истинности Таблицы истинности Законы алгебры логики Задачи, решаемые Задачи, решаемые с использованием таблиц истинности — Основы логики В алгебре логики изучаются логические операции, производимые над Законы логики на уроках информатики и ИКТ открытыйурокрф/статьи/574565/ В алгебре высказываний логические законы выражаются в виде равенства на ПК доказательство законов де Моргана, построив таблицу истинности Основные законы алгебры логики — Автор24 › Все предметы › Алгебра логики Логика как наука Рейтинг: 4,4 — ‎2 212 отзывов — ‎Бесплатно — ‎Android — ‎Обучение В алгебре высказываний логические законы выражаются в виде равенства с применением законов алгебры логики таблицы истинности совпадают Видео 10:16 Информатика Алгебра логики: Таблицы истинности Центр Онлайн-школа с 3 по 11 класс YouTube — 16 сент 2014 г 2:40 Алгебра логики: таблицы истинности Образовательный канал «Сам!» YouTube — 27 апр 2017 г 26:39 алгебра логики таблицы истинности Roman Parshykov YouTube — 31 окт 2016 г Все результаты Формулы и законы логики — MathProfi mathprofiru/formuly_i_zakony_logikihtml Похожие При выполнении логического сложения удобно использовать В алгебре высказываний такие формулы называются равносильными или тождественными: Составить таблицу истинности для формулы и убедиться в Основы алгебры логики mschoolkubsuru/mmf/indexphp?option=com_content&viewid Похожие 26 мая 2014 г — Определены аксиомы ( законы ) алгебры логики для выполнения этих таблица истинности одноместной логической операции состоит Основы формальной логики Информатика, Архив — ЯКласс › Архив › Информатика › Средняя школа Логика — наука, изучающая законы и формы мышления; учение о способах Объектами алгебры логики или булевой алгебры являются высказывания Таблица истинности логической функции n аргументов содержит 2 n строк, Урок 5 Логические законы и противоречия — 4Brain Похожие Перейти к разделу Таблицы истинности — Логики придумали для этого очень удобный метод, который получил название « таблиц истинности » Законы алгебры логики и таблицы истинности — Инфоурок › Информатика 19 сент 2016 г — 1 слайд ЗАКОНЫ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ ТАБЛИЦЫ ИСТИННОСТИ 6 слайд Составим таблицу истинности логической функции F = (AVB) Логические законы и правила преобразования логических mir-logikiru/log_zakoni/ Законы алгебры логики и правила преобразования логических выражений Высказывание не может быть одновременно истинным и ложным Алгебра логики Основные логические операции и их таблицы wikilividppru/students/cs/lectures/6html Перейти к разделу Законы алгебры логики — Оказывается, алгебра логики хорошо подходит для либо составляется таблица истинности для него Таблица истинности — Википедия Похожие Таблица истинности — это таблица, описывающая логическую функцию Под « логической Особенно часто таблицы истинности применяются в булевой алгебре и в аналогичных системах многозначной логики Содержание 1 Таблицы истинности для основных двоичных логических функций; 2 Таблицы Булева алгебра (алгебра логики) Перейти к разделу Законы алгебры логики — Законы де Моргана ( законы общей инверсии или Логические схемы и таблицы истинности [PDF] Алгебра логики mospolytechru/storage/files/kaf/ite/algebra_logikipdf Похожие автор: НТ Катанаев — ‎ Похожие статьи 21 Законы , теоремы, постулаты и тождества булевой алгебры 11 действительно, из таблицы истинности логического произведения можно увидеть [PDF] ОСНОВЫ ЛОГИКИ www239ru/userfiles/file/Конспект_ОСНОВЫ%20ЛОГИКИ(3)pdf Похожие Алгебра логики определяет правила выполнения операций с логическими Таблица истинности – задает логическую функцию, то есть правила Основы логики infsusuacru/Klinachev/lc_sga_36htm Похожие Основные понятия и операции формальной логики; Логические выражения и их преобразование; Построение таблиц истинности логических выражений; Основные В алгебре логики , как и в элементарной, справедливы законы [PPT] Элементы алгебры логики lbzru/metodist/authors/informatika/3/files/eor8/presentations/8-1-3ppt алгебра логики ; высказывание; логическая операция; конъюнкция; дизъюнкция; отрицание; логическое выражение; таблица истинности ; законы логики [DOC] ГБОУ Гимназия № 1505 — Портал Гимназии №1505 — Гимназия 1505 oldgym1505ru/files/referat/ref-16869/prod20734-diplom_0doc С помощью таблиц истинности можно устанавливать эквивалентность выражений и справедливость равенств законов алгебры логики Логические основы математической логики wwwidorudnru/nfpk/inf/inf7html Похожие Мы научились составлять таблицу истинности для логической функции Попробуем Полученную формулу можно упростить, применив законы логики : Алгебра логики Таблицы истинности логической функции двух wwwinformatika-1332ru/al/al_04html Похожие Алгебра логики Таблицы истинности логической функции двух переменных Информатика Электронный учебник Помощь ученику Булева алгебра — Национальная библиотека им Н Э Баумана Алгебра логики (булева алгебра) — это раздел математики, изучающий высказывания, рассматриваемые со стороны их логических значений ( истинности или ложности) 3) Правила выполнения логического умножения (конъюнкции) Логические схемы и таблицы истинности / Дата обращения: 260616 [PDF] Основные сведения из алгебры логики wwwccasru/wwwusers/an/dto/docs/chap4pdf Похожие основные законы формирования и преобразования логических функций от значения аргумента х в виде специальной таблицы истинности (табл 1) Таблица истинности онлайн — Онлайн-калькулятор › › Умножение двоичных чисел Построение таблицы истинности онлайн Правила ввода логической функции Вместо символа v В алгебре логики можно выделить три основные логические функции: «НЕ» (отрицание), «И» (конъюнкция), «ИЛИ» ( дизъюнкция) [PDF] ТАБЛИЦЫ ИСТИННОСТИ, ЛОГИКА, ДОКАЗАТЕЛЬСТВА wwwwilliamspublishingcom/PDF/5-8459-0498-6/partpdf ВЫСКАЗЫВАНИЯ И ЛОГИЧЕСКИЕ СВЯЗКИ В этом разделе рассматриваются таблицы истинности , знакомство с которыми будет для нас первым Основы логики Логические операции и таблицы истинности Похожие Также мы рассмотрим порядок выполнения данных логических операций в сложных логических выражениях и представим таблицы истинности для каждой Те, кому лень учить эти законы , должны вспомнить алгебру , где знание Алгебра логики synsetcom/logic/ru/intro/02_logic_algebrahtml В многзначной логике для логического ИЛИ будем использоваться всех результирующих значений в таблице истинности к сумме максимальных Кроме этого, справедливы законы поглощения (следующие 4 тождества), Примерные ответы на профильные билеты Похожие Законы логики Логические переменные Логические выражения и их преобразования Построение таблиц истинности логических выражений Алгебра Законы алгебры логики — PDF — DocPlayerru Это сделать нетрудно, так как все законы записываются для одной или двух, максимум, для трех логических переменных Поэтому таблицы истинности Алгебра логики Логические законы — Видеоуроки Самостоятельная работа по информатике » Алгебра логики Логические законы » Постройте таблицу истинности по логическому выражению МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ по дисциплине «Математика и edutltsuru/er/book_viewphp?book_id=14aa&page_id=11240 Похожие который первым систематизировал формы и правила мышления, обстоятельно Он вывел для логических построений особую алгебру ( алгебру логики ) Таблица истинности для основных бинарных логических операций Информатика — Логика Основные сведения ege-goru › Темы Похожие Для каждого логического выражения можно составить таблицу истинности , которая описывает, какое значение принимает соответствующая логическая Картинки по запросу алгебра логики логические законы таблица истинности «id»:»ZNIRE-TJUazBpM:»,»ml»:»600″:»bh»:90,»bw»:118,»oh»:182,»ou»:»http://%D0%BE%D1%82%D0%BA%D1%80%D1%8B%D1%82%D1%8B%D0%B9%D1%83%D1%80%D0%BE%D0%BA%D1%80%D1%84/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/574565/img7jpg»,»ow»:472,»pt»:»%D0%BE%D1%82%D0%BA%D1%80%D1%8B%D1%82%D1%8B%D0%B9%D»,»rh»:»xn--i1abbnckbmcl9fbxn--p1ai»,»rid»:»yGmGk_x—YtKDM»,»rt»:0,»ru»:» «,»sc»:1,»st»:»Фестиваль педагогических идей»,»th»:90,»tu»:» \u003dtbn:ANd9GcQ2cnD2TSJKLKTI25toRbbXOWAa2eVm081NEDU56j_tgGAPuP3PckfWhU2R»,»tw»:233 «id»:»kI3yh5xXSaG2_M:»,»ml»:»600″:»bh»:90,»bw»:62,»oh»:675,»ou»:» «,»ow»:471,»pt»:»markxnarodru/bool/zalogjpg»,»rh»:»markxnarodru»,»rid»:»Vqy0kFvizuR2OM»,»rt»:0,»ru»:» «,»sc»:1,»th»:100,»tu»:» \u003dtbn:ANd9GcRkHm9vlvOp3YpRHzVPcG9DWOafUOt93Wld9lXYOQyve3d2a8BgnlUgIQ»,»tw»:69 «id»:»cMnPqwG_VpbpSM:»,»ml»:»600″:»bh»:90,»bw»:101,»oh»:392,»ou»:» «,»ow»:449,»pt»:»infolikenarodru/img/pin16gif»,»rh»:»mschoolkubsuru»,»rid»:»GhE0WOn3OXz_wM»,»rt»:0,»ru»:» \u003dcom_content\u0026view\u003darticle\u0026id\u003d211:2014-05-26-04-25-04\u0026catid\u003d27\u0026Itemid\u003d64″,»sc»:1,»th»:90,»tu»:» \u003dtbn:ANd9GcQJTdEU7j7UKHojJ-X-5PpwNoSPZ_DU9eAyRYTxc1dASbmBASkLj0Ifd0g»,»tw»:103 «cl»:3,»cr»:3,»id»:»LOuLCjsDWaXERM:»,»ml»:»600″:»bh»:90,»bw»:101,»oh»:461,»ou»:» «,»ow»:556,»pt»:»konspektanet/studopediaorg/baza14/3632097686744f»,»rh»:»studopediaorg»,»rid»:»zOEN9BP9iexaBM»,»rt»:0,»ru»:» «,»sc»:1,»st»:»СтудопедияОрг»,»th»:90,»tu»:» \u003dtbn:ANd9GcSh4Wyf9UfeAxx34zmkXqMMHW0uWvhEzMn7ac1PkFX5XOjHk3D-Z0fEyQ»,»tw»:109 «id»:»zckeGp_dLdhg1M:»,»ml»:»600″:»bh»:90,»bw»:80,»oh»:720,»ou»:» «,»ow»:652,»pt»:»inf1info/sites/default/files/inline-images/logic»,»rh»:»inf1info»,»rid»:»9hav3HwTH0I7mM»,»rt»:0,»ru»:» «,»sc»:1,»th»:90,»tu»:» \u003dtbn:ANd9GcRq0FwOVXOmuTnAseMLTZIyRiT1SN_CazixykpW8mg3xC_L8aFzSPg5Fw»,»tw»:82 «id»:»q_JJh7My1vWGsM:»,»ml»:»600″:»bh»:90,»bw»:118,»oh»:190,»ou»:» «,»ow»:496,»pt»:»mir-logikiru/sites/default/files/pictures/virag_t»,»rh»:»mir-logikiru»,»rid»:»Y3rJC9lP1uek2M»,»rt»:0,»ru»:» «,»sc»:1,»st»:»Мир логики»,»th»:90,»tu»:» \u003dtbn:ANd9GcT8_e1KiFZusWy4hVU_lWfrE781hXDF75bs53X7xMTFJo6xf8k21GyQTqTK»,»tw»:235 Другие картинки по запросу «алгебра логики логические законы таблица истинности» Жалоба отправлена Пожаловаться на картинки Благодарим за замечания Пожаловаться на другую картинку Пожаловаться на содержание картинки Отмена Пожаловаться Все результаты Урок Законы алгебры логики lunina21205s09edusiteru/p21aa1html Похожие Тема урока: Логические законы и правила преобразования логических С помощью таблиц истинности доказать законы поглощения и склеивания Логические основы построения компьютера иванов-амрф/informatika_09/informatika_materialy_zanytii_09_31html Похожие что изучает алгебра логики ; — какие операции возможны над высказываниями; — как составляется таблица истинности ; — каким законам подчиняются Формулы алгебры логики — СтудопедияОрг Логические операции подчиняются определенным законам Все эти формулы получаются простой проверкой по таблице истинности с учетом Глава 5 — Логические основы компьютеров bookkbsuru/theory/chapter5/1_5html Похожие Работу логических элементов описывают с помощью таблиц истинности В алгебре логики выполняются следующие основные законы , позволяющие [PPT] Основные логические операции ou30omskobr55ru/LOGICAppt Алгебра логики — это математический аппарат, с помощью которого Таблица истинности логической формулы выражает соответствие между Переместительный (коммутативный) закон : A V B = B V A и A&B = B&A 3 Основы логики — Образовательный портал города Апатиты eduapatityru/?page_id=6760 Познакомьтесьс основными понятиями алгебры логики : логические константы, переменные, функции, Научитесь строить таблицу истинности по заданному логическому выражению Изучите законы алгебры логики Используя Составление таблиц истинности для логических высказываний mtcolru/elt/logics/project/p13aa1html Логические законы и правила преобразований логических выражений Решение логических выражений принято записывать в виде таблиц истинности – таблиц, При составлении таблицы истинности для логического выражения Равносильность двух формул алгебры логики обозначается символом Логические устройства » Школа для электрика: статьи, советы electricalschoolinfo/electronica/1152-logicheskie-ustrojjstvahtml Похожие В основу алгебры логики положено понятие «событие», которое может Этот закон называется логической функцией, а переменные – аргументами удобно представить в виде таблицы состояний ( таблицы истинности ), где Элементы математической логики Читать бесплатно онлайн в windoweduru/catalog/pdf2txt/847/54847/26699 Похожие Рассматривваются понятие алгебры логики , история логики, понятие » высказывание», таблицы истинности , логические функции, основные законы логики, упрощение логических выражений, решение логических уравнений, Элементы алгебры логики — Учитель информатики murnikru/elementyi-algebryi-logikihtml 19 янв 2017 г — Алгебра логики определяет правила записи, вычисления значений Значение логических операций отражается в таблице истинности ОАЛ: Основные законы алгебры логики › › Озинский район › МОУ «СОШ рп Озинки» › ОАЛ 14 мар 2015 г — Основы алгебры логики В алгебре высказываний логические законы выражаются в виде Для этого построим таблицу истинности : Алгебра логики и логические основы компьютера 14 мар 2010 г — Законы и аппарат алгебры логики стал использоваться при проектировании Во-первых, она изучает методы установления истинности или ложности сложных логических высказываний с Таблицы истинности Логика, таблицы истинности markxnarodru/bool/tabisthtml Похожие Логика, таблицы истинности ЛОГИЧЕСКИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЯ · Законы алгебры логики (jpg) | Законы алгебры логики (doc) · Основные законы логики Постройте таблицы истинности для логических формул и › 10 — 11 классы › Информатика Похожие Постройте таблицы истинности для логических формул и упростите формулы, используя законы алгебры логики : a·b·c… Посмотри ответы прямо Содержание и методика изучения темы «Алгебра логики» в автор: АА Федюкова — ‎2016 — ‎ Похожие статьи Изучение основных законов логики способствует развитию логического мышления у и таблицы истинности инверсия, импликация, эквивалентность Элементы алгебры логики — Информатика — Studmeorg Алгебра логики оперирует с логическими высказываниями, которые принимают значение истинности или ложности Логическое высказывание Вместе с алгебра логики логические законы таблица истинности часто ищут законы алгебры логики информатика законы алгебры логики примеры все законы алгебры логики законы алгебры логики доказательства законы алгебры логики таблица основные законы алгебры логики закон склеивания законы алгебры логики задачи Навигация по страницам

Яндекс Яндекс Найти Поиск Поиск Картинки Видео Карты Маркет Новости ТВ онлайн Знатоки Коллекции Музыка Переводчик Диск Почта Все Ещё Дополнительная информация о запросе Показаны результаты для Нижнего Новгорода Москва 1 iMath Wiki — Алгебра логики Основные логические wikilividppru › students/cs/lectures/6html Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Алгебра логики Основные логические операции и их таблицы истинности Основные законы алгебры логики Читать ещё Алгебра логики Основные логические операции и их таблицы истинности Основные законы алгебры логики Алгебра логики Логические операции Законы алгебры логики Формальное решение логических задач Алгебра логики Мы выяснили, как информация представляется в памяти вычислительных устройств и установили алгоритмы проведения операций над этими представлениями Теперь, давайте попробуем разобраться, как именно реализуются операции над двоичными представлениями Для этого, для начала, нам придется разобраться с алгеброй логики Алгебра логики является частью дискретной математики – раздела матема Скрыть 2 ОАЛ: Основные законы алгебры логики edusarsoiroru › mod/page/viewphp… Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Законы алгебры высказываний Алгебра высказываний ( алгебра логики ) — раздел математической логики , изучающий логические операции над высказываниями и правила преобразования сложных высказываний При решении многих логических задач часто приходится упрощать формулы, полученные при Читать ещё Законы алгебры высказываний Алгебра высказываний ( алгебра логики ) — раздел математической логики , изучающий логические операции над высказываниями и правила преобразования сложных высказываний При решении многих логических задач часто приходится упрощать формулы, полученные при формализации их условий Упрощение формул в алгебре высказываний производится на основе эквивалентных преобразований, опирающихся на основные логические законы Законы алгебры высказываний ( алгебры логики ) — это тавтологии Иногда эти законы называются теоремами В алгебре высказываний логические законы выражаются в в Скрыть 3 Алгебра логики логические Законы таблица истинности — смотрите картинки ЯндексКартинки › алгебра логики логические законы таблица Пожаловаться Информация о сайте Ещё картинки 4 Таблицы истинности , с формулами и примерами rusolverbookcom › Справочник › Таблицы › Таблицы истинности Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Значения логических функций определяются с помощью таблица истинности Таблицы истинности для основных двоичных логических функций 1 Конъюнкция ( логическое умножение) – сложное логическое выражение, которое является истинным только в том случае, когда истинны оба входящих в него Читать ещё Значения логических функций определяются с помощью таблица истинности Таблицы истинности для основных двоичных логических функций 1 Конъюнкция ( логическое умножение) – сложное логическое выражение, которое является истинным только в том случае, когда истинны оба входящих в него простых выражения Обозначение: 2 Дизъюнкция ( логическое сложение) – это сложное логическое выражение, которое истинно, если хотя бы одно из простых логических выражений истинно и ложно, если оба простых логических выражения ложны Обозначение Скрыть 5 Логические законы и правила преобразования mir-logikiru › log_zakoni/ Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Применим законы алгебры логики Покажем на примере как можно упростить логическое выражение, используя Логические законы и правила преобразования логических выражений Логические выражения и таблица истинности Законы и правила преобразования логических выражений Читать ещё Применим законы алгебры логики Покажем на примере как можно упростить логическое выражение, используя Логические законы и правила преобразования логических выражений Логические выражения и таблица истинности Законы и правила преобразования логических выражений Решение логических задач Логические основы работы компьютера Скрыть 6 Основы алгебры логики mschoolkubsuru › Малый математический факультет › indexphp?Itemid=64… Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Сайт – выбор пользователей Подробнее о сайте Определены аксиомы ( законы ) алгебры логики для выполнения этих операций Таблица истинности определяет результат выполнения операции для всех возможных логических значений исходных высказываний Читать ещё Определены аксиомы ( законы ) алгебры логики для выполнения этих операций Действия, которые производятся над высказываниями, записываются в виде логических выражений Логические выражения могут быть простыми и сложными Таблица истинности определяет результат выполнения операции для всех возможных логических значений исходных высказываний Количество вариантов, отражающих результат применения операций, будет зависеть от количества высказываний в логическом выражении, например: таблица истинности одноместной логической операции состоит из двух строк: два различных значения аргумента — «истина» (1) и «ложь» (0) и два соответствующих им значения функции Скрыть 7 Основные законы алгебры логики spravochnickru › informatika…zakony_algebry_logiki/ Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Законы алгебры логики называют иногда теоремами В алгебре высказываний логические законы выражаются в виде равенства эквивалентных формул В справедливости всех законов можно убедиться, построив таблицы истинности для левой и правой частей записанного закона После упрощения Читать ещё Законы алгебры логики называют иногда теоремами В алгебре высказываний логические законы выражаются в виде равенства эквивалентных формул В справедливости всех законов можно убедиться, построив таблицы истинности для левой и правой частей записанного закона После упрощения выражения с применением законов алгебры логики таблицы истинности совпадают Справедливость части законов можно доказать, применяя инструментарий таблиц истинности Рисунок 1 Примеры Составим таблицу истинности для выражения Рисунок 2 Скрыть 8 Основы формальной логики Информатика, Архив yaklassru › materiali… Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Логика — наука, изучающая законы и формы мышления ; учение о способах рассуждений и доказательств Обоснование истинности или ложности простых высказываний решается вне алгебры логики Читать ещё Логика — наука, изучающая законы и формы мышления ; учение о способах рассуждений и доказательств Законы мира, сущность предметов, общее в них мы познаем посредством абстрактного мышления Основными формами абстрактного мышления являются понятия, суждения и умозаключения Обоснование истинности или ложности простых высказываний решается вне алгебры логики Например, истинность или ложность высказывания: «Сумма углов треугольника равна 180 градусов» устанавливается геометрией, причем — в геометрии Евклида это высказывание является истинным, а в геометрии Лобачевского — ложным Истинному высказыванию ставится в соответствие 1, ложному — 0 Таким образом, А = 1, В = 0 Скрыть 9 § 13 Элементы алгебры логики иванов-амрф › informatika_08_fgos/informatika_… Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте таблица истинности законы логики 131 Высказывание Алгебра в широком смысле этого слова — наука об общих операциях, аналогичных сложению и умножению, которые могут выполняться над разнообразными математическими объектами Многие математические объекты (целые и рациональные Читать ещё таблица истинности законы логики 131 Высказывание Алгебра в широком смысле этого слова — наука об общих операциях, аналогичных сложению и умножению, которые могут выполняться над разнообразными математическими объектами Многие математические объекты (целые и рациональные числа, многочлены, векторы, множества) вы изучаете в школьном курсе алгебры , где знакомитесь с такими разделами математики, как алгебра чисел, алгебра многочленов, алгебра множеств и т д Для информатики важен раздел математики, называемый алгеброй логики ; объектами алгебры логики являются высказывания Скрыть 10 Таблица истинности онлайн mathsemestrru › Таблица истинности Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Таблица истинности – таблица содержащая все возможные комбинации входных переменных и соответствующее им значения на выходе Функция алгебры логики называется полностью определённой если заданы все 2n её значения, где n – число выходных переменных Если определены не все значения, функция Читать ещё Таблица истинности – таблица содержащая все возможные комбинации входных переменных и соответствующее им значения на выходе Таблица истинности содержит 2n строк, где n – число входных переменных, и n+m – столбцы, где m – выходные переменные Решение онлайн Видеоинструкция Функция алгебры логики называется полностью определённой если заданы все 2n её значения, где n – число выходных переменных Если определены не все значения, функция называется частично определённой Устройство называется логическим , если его состояние описывается с помощью функции алгебры логики Для представления функции алгебры логики используется следующие способы Скрыть Основные законы алгебры логики , Таблицы studwoodru › 970591/filosofiya…zakony…logiki Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте В алгебре логики имеются законы , которые записываются в виде соотношений Например, для логической функции F=A?B?C (дизъюнкции) трех логических переменных А, В, и С таблица истинности будет иметь вид, показанный на рис 11 Для записи значений логических переменных и логической функции Читать ещё В алгебре логики имеются законы , которые записываются в виде соотношений Логические законы позволяют производить равносильные (эквивалентные) преобразования логических выражений Например, для логической функции F=A?B?C (дизъюнкции) трех логических переменных А, В, и С таблица истинности будет иметь вид, показанный на рис 11 Для записи значений логических переменных и логической функции данная таблица истинности содержит 8 строк и 4 столбца, т е число строк для записи значений аргументов и функции любой таблицы истинности будет равно 2n, где n — число аргументов логической функции, а число столбцов равно n + 1 [1] Скрыть Вместе с « алгебра логики логические законы таблица истинности » ищут: алгебра логики логические операции алгебра логики логические переменные и логические высказывания 9 класс алгебра логики логические высказывания алгебра логики логические схемы алгебра логики логические переменные и логические высказывания презентация алгебра логики логические переменные и логические высказывания алгебра логики логические выражения и функции алгебра логики логические операции законы алгебры логики алгебра логики логические выражения алгебра логики логические законы 1 2 3 4 5 дальше Bing Google Mailru Нашлось 79 млн результатов Дать объявление Регистрация Войти 0+ ЯндексБраузер: голосовое управление компьютером Установить Закрыть Попробовать еще раз Включить Москва Настройки Клавиатура Помощь Обратная связь Для бизнеса Директ Метрика Касса Телефония Для души Музыка Погода ТВ онлайн Коллекции Яндекс О компании Вакансии Блог Контакты Мобильный поиск © 1997–2018 ООО «Яндекс» Лицензия на поиск Статистика Поиск защищён технологией Protect Алиса в ЯндексБраузере Выключит компьютер по голосовой команде 0+ Установить

iMath Wiki — Алгебра логики. Основные логические операции и их таблицы истинности. Основные законы алгебры логики.

Мы выяснили, как информация представляется в памяти вычислительных устройств и установили алгоритмы проведения операций над этими представлениями.

Теперь, давайте попробуем разобраться, как именно реализуются операции над двоичными представлениями. Для этого, для начала, нам придется разобраться с алгеброй логики.

Алгебра логики является частью дискретной математики – раздела математики, изучающего свойства структур конечного характера.

Сама алгебра логики изучает свойства функций, у которых значения как аргументов, так и самих функций ограничены двумя значениями, например, \(\{0,1\}\).

Отцом алгебры логики считается английский математик Джордж Буль (1815-1864), поэтому алгебру логики иногда называют булевой алгеброй.

Долгое время алгебра логики была известна лишь узкому кругу специалистов, и только в 1938 году американский математик Клод Шеннон (1916-2001), стоявший у истоков современной информатики, показал, что алгебра логики применима для описания самых разных процессов, в том числе релейных и транзисторных схем.n\] Не имеет решений в целых ненулевых числах \(a,\,b,\,c\)

Как известно, сформулированная Пьером Ферма в 1637 году, была окончательно доказана только в 1994.

Введем не совсем формальное, но достаточное для наших целей определение

Высказывание

это языковое образование, в отношении которого имеет смысл говорить о его истинности или ложности.

Это определение было предложено Аристотелем.

Проблема языковых образований в рамках алгебры логики в том, что они могут иметь весьма своеобразную структуру. Например, фраза “это высказывание является ложным” не может считаться высказыванием, поскольку бессмысленно говорить о его истинности или ложности. Причиной парадокса является структура фразы: она ссылается сама на себя. Подобные парадоксы могут быть устранены введением следующего определения:

Элементарное высказывание

это такое высказывание, никакая часть которого не является высказыванием.

Следует заметить, что высказыванием в строгом смысле является только утверждение о конкретных объектах. Если речь идет о неких переменных, например, “x – рациональное число”, то мы говорим о неких функциях, имеющих значение “истина” или “ложь”. Такие функции называются предикатами.

Так же следует заметить, что алгебра логики отвлекается от смыслового содержания высказываний, и занимается скорее связями между высказываниями. Если мы договоримся считать за аксиому, что “солнце светит ночью”, то есть, договоримся что это высказывание истинно, то в рамках нашей аксиоматики сможем делать какие-то обоснованные выводы. Эти выводы, конечно, не будут иметь много общего с действительностью.

Примерами таких отвлеченных, на первый взгляд, систем, может служить, например, геометрия Лобачевского, которая имеет не слишком много общего с нашим псевдоевклидовым пространством.

Различные языковые связки, такие, как “не”, “если …, то …”, “или”, “и”, и т.п. позволяют строить из элементарных высказываний более сложные.

В алгебре логики существуют соответствующие подобным связкам операции.

Введем некоторые из них.

Конъюнкция, или логическое умножение

логическая операция, ставящая в соответствие двум элементарным высказываниям новое высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания истинны.

Конъюнкция обозначается различными способами, в частности, амперсандом \(a \,\&\,b\), точкой \(a \cdot b\), или “крышкой” \(a \wedge b\), и соответствует языковой связке “и”. Мы будем в основном использовать амперсанд.

Поскольку оба исходных высказывания имеют по два возможных значения, и конъюнкция имеет два возможных значения, мы можем записать это определение в виде таблицы истинности:

Дизъюнкция, или логическое сложение

логическая операция, ставящая в соответствие двум элементарным высказываниям новое высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда хотя бы одно из исходных высказываний истинно.

Дизъюнкция соответствует союзу “или”, и обозначается плюсом \(a+b\), или “галочкой” \(a\vee b\). Мы будем использовать в основном второй вариант.

Таблица истинности дизъюнкции, по определению:

Строгая дизъюнкция, или сложение по модулю 2

логическая операция, ставящая в соответствие двум элементарным высказываниям новое высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда только одно из исходных высказываний истинно.

Строгая дизъюнкция соответствует связке “либо …, либо …”, и обозначается плюсом в кружочке \(a\oplus b\), или треугольником \(a\vartriangle b\). Будем в основном пользоваться первым обозначением.

Таблица истинности, по определению:

Импликация

логическая операция, ставящая в соответствие двум элементарным высказываниям новое высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда первое из исходных высказываний (условие) истинно, а второе (следствие) – ложно.

Импликация соответствует связке “если …, то …”, и обозначается стрелкой \(a \rightarrow b\), или \(a \Rightarrow b\)

Таблица истинности, по определению:

Импликация, на первый взгляд, имеет не очевидное определение: как вдруг из ложных условий получается истинное следствие. Однако, в математике это никакая не новость. Например, возьмем очевидно ложное утверждение “один равен двум”:

\[1 = 2\] \[2 = 1\]

Складывая эти равенства, получим очевидно истинный результат:

\[3=3.\]

С другой стороны, из заведомо истинных посылок формально нельзя вывести ложный результат (конечно, человеческий фактор никто не отменял, но человеческий фактор выходит за пределы рассмотрения формальной логики).

Эквивалентность

логическая операция, ставящая в соответствие двум элементарным высказываниям новое высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания одновременно истинны или одновременно ложны.

Эквивалентность соответствует связке “тогда и только тогда, когда”, и обозначается \(a \Leftrightarrow b\), или \(a \equiv b\), или \(a \sim b\), или \(a \leftrightarrow b\). Будем в основном пользоваться первыми двумя обозначениями.

Таблица истинности, по определению:

Инверсия, или отрицание

логическая операция, ставящая в соответствие элементарному высказыванию новое высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, исходное ложно.

Инверсия соответствует связке “не”, и обозначается \(\neg a\), или \(\;\overline{a}\;\), или \(!a\). Будем в основном пользоваться первыми двумя обозначениями.

Таблица истинности, по определению:

В заключение, таблица истинности основных логических операций:

0	0	1	0	0	0	1	1
0	1	1	0	1	1	1	0
1	0	0	0	1	1	0	0
1	1	0	1	1	0	1	1

Законы алгебры логики

Введем некоторые определения, аналогичные алгебре действительных чисел, для алгебры логики.

Логическая переменная

Переменная, значением которой может быть любое высказывание. Обозначать будем маленькими латинскими буквами.

Логическая формула

любая переменная, а так же любая из констант “0” (“ложь”) и “1” (“истина”)

Любая комбинация логических формул, составленная с помощью логических операций.

Эквивалентные формулы

такие формулы, которые зависят от одного и того же набора переменных, и при одинаковых значениях этих переменных, формулы так же имеют одинаковые значения. Обозначать будем знаком равенства.

Существуют следующие “законы” алгебры логики, определяющие некий набор эквивалентных формул:

Законы коммутативности

\[x \,\&\,y = y \,\&\,x\] \[x \vee y = y\vee x\]

Законы ассоциативности

\[ (x \,\&\,y) \,\&\,z = x \,\&\,(y \,\&\,z)\] \[ (x \vee y) \vee z = x \vee(y \vee z)\]

Законы поглощения

\[x\vee 0 = x\] \[x\,\&\,1 = x\]

Законы дистрибутивности

\[ x\,\&\,(y\vee z) = (x\,\&\,y) \vee(x\,\&\,z)\] \[ x\vee(y\,\&\,z) = (x \vee y) \,\&\,(x\vee z)\]

Закон противоречия

\[ x \,\&\,\;\overline{x}\; = 0\]

Закон исключения третьего

\[ x \vee\;\overline{x}\; = 1\]

Закон равносильности

\[ x \,\&\,x = x\] \[ x \vee x = x \]

Закон двойного отрицания

\[\;\overline{\;\overline{x}\;}\; = x \]

Законы де Моргана

\[ \;\overline{x\,\&\,y}\; = \;\overline{x}\; \vee\;\overline{y}\; \] \[ \;\overline{x\vee y}\; = \;\overline{x}\; \,\&\,\;\overline{y}\; \]

Законы поглощения

\[ x\vee(x\,\&\,y) = x\] \[ x\,\&\,(x\vee y) = x\]

Все перечисленные законы элементарно доказываются составлением таблиц истинности.

Например, первый закон де Моргана:

0	0	0	1	1	1	1
0	1	0	1	1	0	1
1	0	0	1	0	1	1
1	1	1	0	0	0	0

3 и 6 столбец одинаковы, следовательно, соответствующие формулы эквивалентны.

Введем еще одно определение

Тавтология

логическая формула, которая всегда истинна.

Например, тавтологией является формула, выражающая закон исключения третьего.

Оказывается, алгебра логики хорошо подходит для решения логических задач. Решение логических задач, конечно, умеренно бессмысленное времяпрепровождение (исключая случаи, когда на их примере рассматриваются более сложные вопросы), однако это хороший способ поработать с алгеброй логики и осмыслить основные концепции.

Итак, формальный способ решения логических задач:

1. Из условий задачи выделяются простые высказывания и обозначаются как логические переменные.
2. Условия задачи записываются в виде логических формул
3. Составляется единое логическое выражение, соответствующее условию задачи. По условию задачи оно является истинным.
4. Полученное выражение упрощается, либо составляется таблица истинности для него (либо и то, и другое)
5. Выбирается решение задачи (случаи, когда условие истинно)
6. Решение формулируется в исходных терминах задачи.

Пример: (источник)

На весеннем фестивале, четыре садовника показывали выращенные ими розы.

Всего розы были четырех цветов и у каждого садовника было по две розы.

Известно, что

• У первого была желтая роза
• У второго не было красной розы
• У третьего была синяя роза, но не было зеленой
• У одного из садовников с зеленой розой не было красной
• Ни у одного из садовников с желтой розой не было зеленой
• Ни у кого нет роз двух одинаковых цветов

Введем переменные, в которых название переменной соответствует цвету, а индекс – садовнику (номеру). Это автоматически учитывает условие “Ни у кого нет роз двух одинаковых цветов”. Тогда условия задачи запишутся в виде:

• \(y_1\)
• \(\;\overline{r_2}\;\)
• \(b_3 \,\&\,\;\overline{g_3}\;\)
• \((g_1\rightarrow\;\overline{r_1}\;) \oplus(g_2\rightarrow\;\overline{r_2}\;)\oplus(g_3\rightarrow\;\overline{r_3}\;)\oplus(g_4\rightarrow\;\overline{r_4}\;)\)
• \((y_1\rightarrow\;\overline{g_1}\;) \,\&\,(y_2\rightarrow\;\overline{g_2}\;)\,\&\,(y_3\rightarrow\;\overline{g_3}\;)\,\&\,(y_4\rightarrow\;\overline{g_4}\;)\)

Дополнительно, у каждого садовника по условиям задачи по две розы: Поэтому, если у садовника есть розы двух цветов, то роз двух других цветов у него нет. Учтем подразумеваемые импликации постфактум.

Далее для простоты записи, амперсанды опускаются (если между переменными нет ничего – значит там амперсанд). В случае отсутствия скобок, сначала применяется конъюнкция, потом все остальное.

Рассматривая последнее условие:

\((y_1\rightarrow\;\overline{g_1}\;) (y_2\rightarrow\;\overline{g_2}\;)(y_3\rightarrow\;\overline{g_3}\;)(y_4\rightarrow\;\overline{g_4}\;)\)

Первая импликация истинна, только если \(\;\overline{g_1}\;\) истинно. Предпоследняя импликация истинна всегда, \(\;\overline{g_3}\;\). Можем переписать в виде:

\(y_1 \;\overline{g_1}\; (y_2\rightarrow\;\overline{g_2}\;) (y_4\rightarrow\;\overline{g_4}\;)\)

Рассмотрим предпоследнее условие

\[ (g_1 \rightarrow\;\overline{r_1}\;) \oplus(g_2 \rightarrow\;\overline{r_2}\;) \oplus(g_3 \rightarrow\;\overline{r_3}\;) \oplus(g_4 \rightarrow\;\overline{r_4}\;) \]

Первая импликация всегда истинна, поскольку \(\;\overline{g_1}\;\), вторая всегда истинна, поскольку \(\;\overline{r_2}\;\), третья всегда истинна, поскольку \(\;\overline{g_3}\;\). Получаем:

\[ 1 \oplus 1 \oplus 1 \oplus(g_4 \rightarrow\;\overline{r_4}\;) \]

\[ 1 \oplus(g_4 \rightarrow\;\overline{r_4}\;) \]

Легко показать, что \(1 \oplus x = \;\overline{x}\;\). Тогда условие принимает вид

\[ \;\overline{g_4 \rightarrow\;\overline{r_4}\;}\; \]

Импликацию можно представить в виде \(x \rightarrow y = \;\overline{x}\; \vee y\)

Применяя закон де Моргана,

\[ r_4 g_4 \]

Записывая все условия вместе:

\[ y_1 \;\overline{g_1}\; \;\overline{r_2}\; (\;\overline{y_2}\; \vee\;\overline{g_2}\;) (\;\overline{y_4}\; \vee\;\overline{g_4}\;) b_3 \;\overline{g_3}\; g_4 r_4 \]

Учитывая \(g_4 (\;\overline{y_4}\; \vee\;\overline{g_4}\;) = g_4 \;\overline{y_4}\;\),

\[ y_1 \;\overline{g_1}\; \;\overline{r_2}\; (\;\overline{y_2}\; \vee\;\overline{g_2}\;) b_3 \;\overline{g_3}\; \;\overline{y_4}\; g_4 r_4 \]

Известно, что зеленые розы должны быть у двух садовников:

\[ \;\overline{g_1}\; \;\overline{g_2}\; g_3 g_4 \vee\;\overline{g_1}\; g_2 \;\overline{g_3}\; g_4 \vee\;\overline{g_1}\; g_2 g_3 \;\overline{g_4}\; \vee g_1 \;\overline{g_2}\; \;\overline{g_3}\; g_4 \vee g_1 \;\overline{g_2}\; g_3 \;\overline{g_4}\; \vee g_1 g_2 \;\overline{g_3}\; \;\overline{g_4}\; \]

А так как \(\;\overline{g_3}\;\) и \(\;\overline{g_1}\;\)

\[ \;\overline{g_1}\; g_2 \;\overline{g_3}\; g_4 \]

Получаем \(g_2\), тогда \(g_2 (\;\overline{y_2}\; \vee\;\overline{g_2}\;) = g_2 \;\overline{y_2}\;\)

Аналогично для желтых:

\[ y_1 \;\overline{y_2}\; y_3 \;\overline{y_4}\; \]

Получаем \(y_3\). Поскольку \(y_3 b_3\), можно утверждать \(\;\overline{r_3}\; \;\overline{g_3}\;\)

Для красных тогда:

\[ r_1 \;\overline{r_2}\; \;\overline{r_3}\; r_4 \]

Получаем \(r_1\). Поскольку \(r_1 y_1\), можем утверждать \(\;\overline{b_1}\; \;\overline{g_1}\;\)

Для синих:

\[ \;\overline{b_1}\; b_2 b_3 \;\overline{b_4}\; \]

Получаем \(b_2\).

Итого

\[ y_1 r_1 g_2 b_2 b_3 y_3 g_4 r_4 \]

Алгебра логики и логические основы компьютера

☰

Алгебра логики

Алгебра логики, или булева алгебра, – это раздел математики, возникший в XIX веке благодаря работам английского математика Джорджа Буля. Поначалу булева алгебра не имела практического значения. Однако уже в XX веке ее положения нашли применение в описании функционирования и разработке различных электронных схем.

Законы и аппарат алгебры логики стали применяться при проектировании различных частей компьютеров, в частности памяти и процессора. Хотя это не единственная сфера применения данной науки.

Что же собой представляет алгебра логики? Во-первых, она изучает методы определения истинности или ложности сложных логических высказываний с помощью алгебраических методов.

Во-вторых, булева алгебра делает это таким образом, что сложное логическое высказывание описывается функцией, результатом вычисления которой может быть либо истина, либо ложь. Истине сопоставляется 1, лжи – 0. При этом аргументами функций выступают простые высказывания, которые также могут иметь только два значения – 0 или 1.

Фразы «два больше одного», «5.8 является целым числом» будем считать примерами простых логических высказываний. Анализируя эти высказывания, мы делаем вывод, что первая фраза правдивая, вторая – ложная. Это и есть результат выполнения простого логического выражения.

Алгебра логики не касается сути высказываний. Она занимается вычислениями результата сложных логических высказываний на основе заранее известных значений простых высказываний.

Логические операции. Дизъюнкция, конъюнкция и отрицание

Так как же связываются между собой простые логические высказывания, образуя сложные? В естественном языке мы используем различные союзы и другие части речи: и, или, либо, не, если, то, тогда. С их помощью создаем сложные высказывания: «у него есть знания и навыки», «она приедет во вторник, либо в среду», «я буду смотреть телевизор, когда наступит вечер», «5 не равно 6″.

Как мы решаем, что нам сказали правду или нет? Логически, где-то неосознанно, исходя из предыдущего жизненного опыта, мы понимает, что правда при союзе «и» наступает в случае истинности обоих простых высказываний. Стоит одному стать ложью и все сложное высказывание будет таковым. А вот при связке «либо» должно быть правдой только одно простое высказывание, и тогда все выражение станет истинным.

Булева алгебра переложила этот жизненный опыт на аппарат математики, формализовала его, ввела жесткие правила получения однозначного результата. Союзы стали называться здесь логическими операторами.

Алгебра логики предусматривает множество логических операций. Однако три из них заслуживают особого внимания, так как с их помощью можно описать все остальные, и, следовательно, использовать меньше разнообразных устройств при конструировании схем.

Базовыми операциями являются конъюнкция И, дизъюнкция ИЛИ и отрицание НЕ. Часто конъюнкцию обозначают &, дизъюнкцию — ||, а отрицание — чертой над переменной, обозначающей высказывание.

При конъюнкции истина сложного выражения возникает лишь в случае истинности всех простых выражений, из которых состоит сложное. Во всех остальных случаях сложное выражение будет ложно.

При дизъюнкции истина сложного выражения наступает при истинности хотя бы одного входящего в него простого выражения или двух сразу. Бывает, что сложное выражение состоит более, чем из двух простых. В этом случае достаточно, чтобы одно простое было истинным и тогда все высказывание будет истинным.

Отрицание – это унарная операция, так как выполняется по отношению к одному простому выражению или по отношению к результату сложного. В результате отрицания получается новое высказывание, противоположное исходному.

Таблицы истинности

Логические операции удобно описывать так называемыми таблицами истинности, в которых отражают результаты вычислений сложных высказываний при различных значениях исходных простых высказываний. Простые высказывания обозначаются переменными, например, A и B.

Логические основы компьютера

В ЭВМ используются различные устройства, работу которых описывает алгебра логики. К таким устройствам относятся группы переключателей, триггеры, сумматоры.

Кроме того, связь между булевой алгеброй и компьютерами лежит и в используемой в ЭВМ системе счисления. Как известно, она двоичная. Поэтому в устройствах компьютера можно хранить и преобразовывать как числа, так и значения логических переменных.

Переключательные схемы

В ЭВМ применяются электрические схемы, состоящие из множества переключателей. Один переключатель может находиться только в двух состояниях: замкнутом и разомкнутом. В первом случае – ток проходит, во втором – нет. Описывать работу таких схем очень удобно с помощью алгебры логики. В зависимости от положения переключателей можно получить или не получить сигналы на выходах.

Вентили, триггеры и сумматоры

Вентиль представляет собой логический элемент, который принимает одни двоичные значения и выдает другие в зависимости от своей реализации. Так, например, есть вентили, реализующие логическое умножение (конъюнкцию), сложение (дизъюнкцию) и отрицание.

Триггеры и сумматоры – это относительно сложные устройства, состоящие из более простых элементов – вентилей.

Триггер способен хранить один двоичный разряд, за счет того, что может находиться в двух устойчивых состояниях. В основном триггеры используется в регистрах процессора.

Сумматоры широко используются в арифметико-логических устройствах (АЛУ) процессора и выполняют суммирование двоичных разрядов.

Основные законы алгебры логики

Для преобразования функций, упрощения формул, полученных при формализации условий логических задач, в алгебре логики производятся эквивалентные преобразования, опирающиеся на основные логические законы. Некоторые из этих законов формулируются и записываются так же, как аналогичные законы в арифметике и алгебре, другие выглядят непривычно.

Законы алгебры логики называют иногда теоремами.

В алгебре высказываний логические законы выражаются в виде равенства эквивалентных формул.

В справедливости всех законов можно убедиться, построив таблицы истинности для левой и правой частей записанного закона. После упрощения выражения с применением законов алгебры логики таблицы истинности совпадают.

Справедливость части законов можно доказать, применяя инструментарий таблиц истинности.

Рисунок 1.

Помощь со студенческой работой на тему

Основные законы алгебры логики

Примеры

• Составим таблицу истинности для выражения

  Рисунок 2.

  В первые два столбца таблицы запишем четыре возможных пары значений $x$ и $y$, в последующих столбцах — значения промежуточных выражений, а в последнем столбце — значение исходного выражения. В результате получим таблицу:

Рисунок 3.

Упростим исходное выражение, используя основные законы алгебры логики:

Рисунок 4.

(закон Де Моргана, распределительный закон для И, закон идемпотенции, операция переменной с её инверсией).

Из таблицы видно, что при всех наборах значений переменных $x$ и $y$ формула на рис.2 принимает значение $1$, то есть является тождественно истинной.

• Составим таблицу истинности для выражения:

  Рисунок 5.

  , которое содержит две переменные $x$ и $y$. В первые два столбца таблицы запишем четыре возможных пары значений $x$ и $y$, в последующих столбцах — значения промежуточных выражений, а в последнем столбце — значение исходного выражения. В результате получим таблицу:

Рисунок 6.

Из таблицы видно, что Исходное выражение принимает такие же значения, что и Упрощенное выражение на соответствующих значениях переменных $x$ и $y$.

Упростим выражение на рис.5, применяя основные законы алгебры логики.

Рисунок 7.

(закон Де Моргана, закон поглощения, распределительный закон для И).

• Составим таблицу истинности для выражения

  Рисунок 8.

Рисунок 9.

Из таблицы видно, что при всех наборах значений переменных $x$ и $y$ формула на рис.8 принимает значение $0$, то есть является тождественно ложной.

Упростим выражение, применяя законы алгебры логики:

Рисунок 10.

• Упростим выражение:

  Рисунок 11.

Рисунок 12.

(закон Де Могргана, распределительный).

Составим таблицу истинности для выражения на рис.11:

Рисунок 13.

Из таблицы видно, что выражение на рис.11 в некоторых случаях принимает значение $1$, а в некоторых — $0$, то есть является выполнимым.

(правило де Моргана, выносим за скобки общий множитель, правило операций переменной с её инверсией).

• Упростить выражение используя законы алгебры логики:

  Рисунок 15.

(повторяется второй сомножитель, что возможно используя закон идемпотенции; затем комбинируются два первых и два последних сомножителя и используется закон склеивания).

• Упростить выражение используя законы алгебры логики:

  Рисунок 16.

(вводим вспомогательный логический сомножитель

Рисунок 17.

Введение в таблицы, утверждения и связки истинности

Таблица истинности — одна из тех вещей в математике, которую гораздо легче понять, если посмотреть, как она выглядит и как работает, чем изучать ее через определение. В любом случае, мы попытаемся определить это, чтобы иметь базовый уровень или базовое понимание того, что это такое.

---

Таблица определения истины

В математической логике таблица истинности — это таблица строк и столбцов, показывающая значение истинности (либо «T» для истины, либо «F» для ложной информации) каждой возможной комбинации данных утверждений (обычно представленных заглавными буквами P , Q и R) как управляемые логическими связками.

---

Два компонента таблицы истины

I. Заявление

Определение: Утверждение — это предложение или математическое выражение, которое либо определенно истинно, либо определенно ложно, но не то и другое вместе. Обычно обозначается прописной буквой или переменной. Распространенными являются P, Q, R и S.

II. Логический соединительный элемент

Определение: Логическая связка — это слово, обычно записываемое как символ, который несет определенную логическую инструкцию о том, как работать с оператором или составным оператором.Логические связки также могут использоваться для объединения или объединения двух или более операторов для формирования нового оператора.

---

Примеры заявлений

• Определенно верные утверждения.

• Определенно ложные утверждения.

ОТКРЫТОЕ ПРЕДЛОЖЕНИЕ

Открытое предложение — это предложение, которое является истинным или ложным в зависимости от значения переменной (переменных). Такое предложение НЕ является утверждением, потому что оно должно быть определенно истинным или определенно ложным.2 = 0. Помните, что 0 не является ни положительным, ни отрицательным. Таким образом, это предложение НЕ является утверждением, а представляет собой простой случай открытого предложения.

---

Общие логические соединители

В этой части урока моя цель — кратко познакомить вас с пятью общими логическими связками, которые также известны как логические операторы. Вы также будете знать символ, используемый для каждого оператора, и его значение.

Примечание. \ large {P} и \ large {Q} — это инструкции.

1) Отрицание

• Символ: ~ или \ neg читается как НЕ
• Пример: ~ P или \ neg P переводится как «не P» или «неверно, что P»

2) Соединение

• Символ: \ клин читается как И
• Пример: P \ клин Q переводится как «P и Q»

3) Дизъюнкция или включающая ИЛИ

• Символ: \ vee читается как OR
• Пример: P \ vee Q переводится как «P или Q»

4) Импликация или условная

• Символ: \ Rightarrow читается как IMPLIES
• Пример: P \ Rightarrow Q означает утверждение «P подразумевает Q»

5) Двойное следствие или Biconditional

• Символ: \ Leftrightarrow читается как ЕСЛИ И ТОЛЬКО ЕСЛИ
• Пример: P \ Leftrightarrow Q означает выражение «P тогда и только тогда, когда Q»

---

Таблицы истинности для отрицания, соединения и разъединения

Я собираюсь охватить только три основных логических оператора, а именно: отрицание, соединение и дизъюнкцию.Эта часть урока даст вам предварительный обзор того, как может выглядеть таблица истинности.

У меня есть отдельный урок, в котором я подробно обсуждаю, как построить таблицы истинности логических связок, упомянутых здесь, и остальных из них.

А пока давайте сосредоточим наше внимание на приведенных ниже таблицах истинности:

1. Таблица отрицания истинности

Правило для логического оператора отрицания

Значение истинности отрицаемого утверждения прямо противоположно значению истинности исходного утверждения.

---

2. Таблица истинности соединения

Правило соединения или логического оператора «И»

Составной оператор P и Q, записанный как P \ wedge Q, имеет значение ИСТИНА, если оба утверждения P и Q истинны. В противном случае утверждение P \ wedge Q ЛОЖНО.

---

3. Таблица истинности дизъюнкции

Правило дизъюнкции или логического оператора «ИЛИ»

Составной оператор P или Q, записанный как P \ vee Q, является ИСТИННЫМ, если только одно из утверждений P и Q истинно.Кроме того, поскольку это «включающее ИЛИ», утверждение P \ vee Q также истинно, если и P, и Q истинны. Следовательно, это ЛОЖЬ, только если и P, и Q ложны.

---

Вас также может заинтересовать:

Таблицы истинности пяти (5) общих логических связок или операторов

Обратное, обратное и противоположное условному утверждению

таблиц истинности | Блестящая вики по математике и науке

У мистера и миссис Тан пятеро детей — Альфред, Бренда, Чарльз, Дариус, Эрик — предположительно разного возраста.

1. Если Чарльз не самый старший, то Альфред.

2. Если Эрик не самый младший, то Бренда.

3. Если Дарий не самый старший, то он сразу же младше Чарльза.

4. Если Альфред старше Бренды, то Дариус — самый старший.

Определите порядок рождения пятерых детей с учетом вышеуказанных фактов.

---

Сдаем

• aaa — предположение, что Чарльз не самый старый;
• bbb — предположение, что Альфред — самый старший;
• ccc означает, что Эрик не самый молодой;
• ddd означает, что Бренда самая младшая;
• eee быть предположением, что Дарий не самый старый;
• fff — это утверждение, что Дарий просто моложе Карла;
• ggg — это предположение, что Альфред старше Бренды.

Из утверждения 1, a → ba \ rightarrow ba → b.
Из утверждения 2, c → dc \ rightarrow dc → d.
Из утверждения 3, e → fe \ rightarrow fe → f.
Из утверждения 4, g → ¬eg \ rightarrow \ neg eg → ¬e, где ¬e \ neg e¬e обозначает отрицание eee.

Обратите внимание, что если Альфред самый старший (b) (b) (b), он старше всех своих четырех братьев и сестер, включая Бренду, поэтому b → gb \ rightarrow gb → g. Поскольку g → ¬eg \ rightarrow \ neg eg → ¬e (утверждение 4), b → ¬eb \ rightarrow \ neg eb → ¬e по транзитивности. Но если у нас есть b, b, b, что означает, что Альфред самый старший, из этого логически следует, что eee, потому что Дарий не может быть самым старым (только один человек может быть самым старым).Переводя это, мы имеем b → eb \ rightarrow eb → e.

Следовательно, (b → e) ∧ (b → ¬e) = (¬b∨e) ∧ (¬b∨¬e) = ¬b∨ (e∧¬e) = ¬b∨C = ¬b, ( b \ rightarrow e) \ клин (b \ rightarrow \ neg e) = (\ neg b \ vee e) \ wedge (\ neg b \ vee \ neg e) = \ neg b \ vee (e \ wedge \ neg e) = \ neg b \ vee C = \ neg b, (b → e) ∧ (b → ¬e) = (¬b∨e) ∧ (¬b∨¬e) = ¬b∨ (e∧¬e) = ¬b∨C = ¬b, где CCC означает противоречие. Единственно возможный вывод — ¬b \ neg b¬b, где Альфред не самый старший. Из утверждения 1, a → ba \ rightarrow ba → b, поэтому по модулю tollens ¬b → ¬a \ neg b \ rightarrow \ neg a¬b → ¬a.Следовательно, Чарльз — самый старый .

Обратите внимание, что по чистой логике ¬a → e \ neg a \ rightarrow e¬a → e, где Чарльз, будучи самым старым, означает, что Дарий не может быть самым старым. Из утверждения 4, g → ¬eg \ rightarrow \ neg eg → ¬e, поэтому по модулю tollens, e = ¬ (¬e) → ¬ge = \ neg (\ neg e) \ rightarrow \ neg ge = ¬ (¬e ) → ¬g. Из утверждения 3, e → fe \ rightarrow fe → f, поэтому по модусу ponens наш вывод eee приводит к другому выводу fff. С fff, поскольку Чарльз является самым старым, Дарий должен быть вторым по возрасту .

Поскольку ggg означает, что Альфред старше Бренды, ¬g \ neg g¬g означает Альфред моложе Бренды , поскольку они не могут быть одного возраста. Поскольку есть кто-то моложе Бренды, она не может быть самой младшей, поэтому у нас ¬d \ ​​neg d¬d. Поскольку c → dc \ rightarrow dc → d из утверждения 2, по модулю tollens ¬d → ¬c \ neg d \ rightarrow \ neg c¬d → ¬c. Следовательно, Эрик — самый молодой .

Учитывая все вычеты, выделенные жирным шрифтом, единственно возможный порядок рождения — Чарльз, Дариус, Бренда, Альфред, Эрик .□ _ \ квадрат □

Генератор таблицы истинности

— онлайн-калькулятор булевой алгебры для таблиц

Поиск инструмента

Таблица истинности

Инструмент для создания логических таблиц истинности. В булевой алгебре или электронике логические таблицы истинности позволяют определять функцию / вентиль / элемент / компонент в соответствии с его входами и выходами.

Результаты

Таблица истинности — dCode

Тег (ы): Символьные вычисления, Электроника

Поделиться

dCode и другие

dCode является бесплатным, а его инструменты являются ценным подспорьем в играх, математике, геокешинге, головоломках и задачах, которые нужно решать каждый день!
Предложение? обратная связь? Жук ? идея ? Запись в dCode !

Рекламные объявления

Ответы на вопросы (FAQ)

Что такое таблица истинности?

Таблица истинности — это таблица, представляющая выходные логические значения логического выражения на основе их записей.Таким образом, в таблице представлены все возможные комбинации входных логических переменных (обычно 0 / ЛОЖЬ и 1 / ИСТИНА) и результат уравнения в качестве выходных данных.

Пример: Таблица функции логического НЕ:

Каждая электронная схема связана с таблицей истинности , которая ее описывает.

Как работает калькулятор таблицы истинности?

dCode Таблица истинности Генератор интерпретирует логическое логическое выражение и вычисляет, используя булеву алгебру, все возможные комбинации 0 и 1 для каждой переменной (среди запрошенных логических переменных), чтобы преобразовать логическое выражение и создать таблицу истинности .

dCode также позволяет найти функцию / выражение логической логики из таблицы истинности .

Как найти уравнение из таблицы истинности?

Есть 2 метода найти логическое уравнение из таблицы истинности , либо начав со значений 0 (вычисление Maxterms), либо начав со значений 1 (вычисление Minterms).

Пример: Таблица истинности :

вот различные вычисления (которые дают тот же результат)

Расчет на основе значений 1 таблицы истинности (Minterms): для каждой 1 запишите в строке значения соответствующих записей, разделенных логическим И, затем сгруппируйте эти строки с помощью логического ИЛИ.

Пример: Строки 2 и 3 равны 1, строка 2 записывается как A AND NOT (B), строка 3 записывается как NOT (A) AND B и, следовательно, уравнение (A AND NOT (B) ) OR (NOT (A) AND B), что, возможно, упрощается до A XOR B

Расчет из значений 0 таблицы истинности (Maxterms): для каждого 0 запишите в строке значения соответствующих входов, разделенных логическим ИЛИ, затем каждую строку, разделенную логическим И.

Пример: Строки 1 и 4 равны 0, строка 1 записывается как A OR B, строка 4 записывается как NOT (A) OR NOT (B), и поэтому уравнение имеет вид (A OR B) AND ( NOT (A) OR NOT (B)), что, возможно, упрощается до A XOR B

Что такое таблица истинности для логического И?

Таблица истинности для функции И:

Что такое таблица истинности для логического ИЛИ?

Таблица истинности для функции ИЛИ:

Что такое таблица истинности для логического XOR?

Таблица истинности для функции XOR:

Что такое таблица истинности для логической И-НЕ?

Таблица истинности для функции И-НЕ:

Что такое таблица истинности для логического ИЛИ?

Таблица истинности для функции ИЛИ:

Что такое минтермы?

Minterms $ m $ — это номера строк таблицы, которые имеют выход логической 1 (нумерация строк от 0).

Пример: $ X = a + b $ таблица истинности имеет 1 выход TRUE в 3-й строке, поэтому $ X = \ sum {m (3)} $

Что такое maxterms?

maxterms $ M $ — это номера строк таблицы, которые имеют логический выход 0 (нумерация строк от 0).

Пример: $ X = a + b $ таблица истинности имеет 3 вывода FALSE в 3 первых строках, отмеченных 0, 1 и 2, поэтому $ X = \ sum {M (0,1,2)} $

Задайте новый вопрос

Исходный код

dCode сохраняет за собой право собственности на исходный код онлайн-инструмента «Таблица истинности».За исключением явной лицензии с открытым исходным кодом (обозначенной CC / Creative Commons / free), любого алгоритма, апплета или фрагмента «Таблица истинности» (конвертер, решатель, шифрование / дешифрование, кодирование / декодирование, шифрование / дешифрование, переводчик) или любой «Таблицы истинности» ‘функция (вычислить, преобразовать, решить, расшифровать / зашифровать, расшифровать / зашифровать, декодировать / закодировать, перевести) написана на любом информатическом языке (Python, Java, PHP, C #, Javascript, Matlab и т. д.) и без загрузки данных, скрипт , копипаст или доступ к API для «Таблицы истинности» будут бесплатными, то же самое для автономного использования на ПК, планшете, iPhone или Android! dCode распространяется бесплатно и онлайн.

Нужна помощь?

Пожалуйста, посетите наше сообщество dCode Discord для получения помощи!
NB: для зашифрованных сообщений проверьте наш автоматический идентификатор шифра!

Вопросы / комментарии

Сводка

Похожие страницы

Поддержка

Форум / Справка

Ключевые слова

истина, таблица, логическое, логическое, электронное, логическое

Ссылки

Источник: https://www.dcode.fr/boolean-truth-table

© 2021 dCode — Идеальный «инструментарий» для решения любых игр / загадок / геокэшинга / CTF.

математических единиц за минуту: логическая алгебра

A	B	A И B
Истина	Истина	Истина
Истина	Ложь	Ложь	Ложь	Ложь	Ложь	Ложь	Ложь
Ложь	Ложь	Ложь

Простая таблица истинности, показывающая все
возможных значений « A И B ».

Каждый раз, когда вы используете компьютер, вы полагаетесь на логическую логику : систему логики, созданную задолго до появления компьютеров, названную в честь английского математика Джорджа Буля (1815–1864). В логической логике утверждения могут быть либо истинными, либо ложными (например, в данный момент «я хочу чашку чая» ложно, но «я хочу кусок торта» всегда истинно), и вы можете связать их вместе, используя слова И , ИЛИ и НЕ. Чтобы установить, являются ли эти составные утверждения истинными или ложными, вы можете создать так называемую таблицу истинности , в которой перечислены все возможные значения, которые могут принимать базовые операторы, а затем все соответствующие значения, которые может принимать составной оператор.(Вы можете узнать больше в математике через минуту: таблицы истинности.)

Таблицы истинности полезны для простых логических утверждений, но быстро становятся утомительными и подверженными ошибкам для более сложных утверждений. Буль пришел на помощь, гениально осознав, что бинарные логические операции ведут себя поразительно похоже на наши обычные арифметические операции, но с некоторыми особенностями.

В этом новом виде арифметики (называемом булевой алгеброй ) переменные представляют собой логические утверждения (грубо говоря, предложения, которые либо истинны, либо ложны).Поскольку они могут принимать только два значения, мы можем написать 0 для утверждения, которое, как мы знаем, ложно, и 1 для утверждения, которое, как мы знаем, истинно. Затем мы можем переписать OR как своего рода дополнение, используя только нули и единицы:

0 + 0 = 0 (поскольку «ложь ИЛИ ложь» — ложь)
1 + 0 = 0 + 1 = 1 (поскольку «истина ИЛИ ложь» и «ложь ИЛИ истина» оба истинны)
1 + 1 = 1 (поскольку «истина ИЛИ истина» верно).

Мы можем переписать AND как своего рода умножение:

0 x 1 = 1 x 0 = 0 (поскольку «ложь И истина» и «истина И ложь» оба ложны)
0 x 0 = 0 (поскольку «ложь И ложь» — ложь)
1 x 1 = 1 (поскольку «правда И правда» верно).

Поскольку переменные могут иметь только значения 0 и 1, мы можем определить операцию НЕ как дополнение, взяв число, противоположное его значению:

Если A = 1, то НЕ A = 0
Если A = 0, то НЕ A = 1
A + НЕ A = 1 (поскольку «истина ИЛИ ложь» истинна)
A x НЕ A = 0 (поскольку «истина И ложь» — ложь).

Наша новая версия этих операций во многом похожа на наши более знакомые понятия сложения и умножения, но есть несколько ключевых отличий.Части уравнений могут удобно исчезать в булевой алгебре, что может быть очень удобно. Например, переменная B в

A + A x B

не имеет значения, независимо от того, какое значение имеет B или какое логическое утверждение оно представляет. Это потому, что если A истинно (или, что эквивалентно A = 1), то A OR ( A И B ) истинно независимо от того, истинно ли утверждение B или нет.И если A ложно (то есть A = 0), то ( A И B ) ложно независимо от значения B , и поэтому A OR ( A AND B ) неверно. Итак, логическая алгебра предоставляет нам исчезающий акт: выражение A + A x B равно простому маленькому A :

A + A x B = A .

Кроме того, в булевой алгебре существует своего рода обратная двойственность между сложением и умножением:

( A + B ) ‘= A ‘ x B ‘и ( A x B )’ = A ‘+ B ‘.

Эти два равенства известны как законы Де Моргана в честь британского математика Августа де Моргана (1806–1871). (Вы можете убедиться, что они верны, используя эквивалентные таблицы истинности.)

Это всего лишь два трюка, которые булева алгебра использует для упрощения сложных логических выражений — спасибо, Джордж!

Таблицы истинности булевой алгебры и логические выражения

Цифровые схемы реализуют логику с помощью «if-операторов».Простейшие логические операции — И, ИЛИ, НЕ.

Операция И обозначается знаком «*», операция ИЛИ — символом «+», операция НЕ — операцией «¯».

Пример оператора И: Z = X AND Y, это означает, что если X истинно И Y истинно, то Z истинно, в противном случае Z ложно. Утверждение верно, когда оба элемента X и Y верны.

Пример ИЛИ: Z = X ИЛИ Y, если X истинно или Y истинно, то Z истинно, иначе Z ложно. Утверждение верно, когда один из элементов X или Y истинен.

Каждое логическое выражение может быть описано с помощью таблицы истинности. Таблица истинности нумерует все возможные входные значения и все возможные выходные значения с использованием логических функций. Каждое ИСТИНА соответствует логической «1», каждое ЛОЖЬ соответствует логическому «0». Итак, если мы рассмотрим логическое утверждение C = A + B¯, это означает, что C истинно («1»), если A истинно («1»), ORB ложно («0»), в противном случае C ложно (« 0 ”). Таблица истинности для этого утверждения показывает все возможности этого утверждения в его логическом представлении, т.е.е.

Давайте посмотрим, что происходит в таблице истинности выше:

1 строка: A — истина («1»), B — истина («1»), затем C — истина («1»).

2 строка: A — истина («1»), B — ложь («0»), затем C — истина («1»).

3 строка: A ложно («0»), B неверно («0»), затем C истинно («1»).

4 строка: A — ложь («0»), B — истина («1»), затем C — ложь («0»).

Таблица истинности для утверждения B = A¯, что означает, что B истинно («1»), если A ложно («0»), иначе B ложно («0»).

1 строка: A истинно («1»), затем B ложно («0»).

2 строка: A ложно («0»), затем B истинно («1»).

Таблица истинности для A + B = C. Здесь, если A истинно («1») или B истинно («1»), тогда C истинно («1»), иначе C ложно («0»).

1 строка: A верно («1»), B верно («1»), затем C верно («1»).

2 строка: A истинно («1»), B ложно («0»), затем C истинно («1»).

3 строка: A ложно («0»), B верно («1»), затем C истинно («1»).

4 строка: A — ложь («0»), B — ложь («0»), затем C — ложь («0»).

Таблица истинности может содержать любое количество входных значений, она создаст большее количество выходных значений. Большее количество входных значений — большее количество выходных значений.

Логическая алгебра с использованием справочных таблиц (LUT)

В предыдущей статье мы обсудили основы булевой алгебры, а именно, как работают вентили AND, OR, NOT, XOR и NAND. Обсуждалась концепция таблиц истинности .На этой странице мы расширим тему того, как работают таблицы истинности, и обсудим более сложные уравнения булевой алгебры.

Во-первых, следует отметить, что все те дискретные логические элементы, которые мы обсуждали ранее (И, ИЛИ, и т.д.), на самом деле , а не , физически существуют внутри FPGA! Однако эти функции можно выполнять. Способ, которым FPGA могут выполнять логическую алгебру, заключается в использовании Look-Up Tables (LUT) .= XOR

Таким образом, на словах логическое уравнение Q = A * B + A ‘может быть прочитано: «Выход Q получает A и B или не A». Давайте посмотрим на таблицу истинности и схему, созданную этим уравнением. Как видно из изображения ниже, для создания этой схемы требуется всего три затвора.

Таблица истинности — A * B + A ‘
Вход A	Вход B	Выход Q
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

Таблица истинности в приведенном выше примере имеет два входа (A и B), что означает, что существует четыре возможных выхода.(количество входов). Давайте теперь рассмотрим еще один пример с тремя входами. Вот уравнение, для которого мы собираемся создать таблицу истинности: Q = A + (C * B ‘). Обратите внимание, что круглые скобки указывают на то, что операция C AND NOT B выполняется до операции OR.

Таблица истинности — A + (C * B ‘)
Вход A	Вход B	Вход C	Выход Q
0	0	0	0
0	0	1	1
0	1	0	0
0	1	1	0
1	0	0	1
1	0	1	1
1	1	0	1
1	1	1	1

Как упоминалось в начале этой статьи, дискретных логических вентилей внутри ПЛИС фактически не существует.Вместо этого FPGA используют справочные таблицы или LUT. LUT запрограммирован Digital Designer для выполнения уравнения булевой алгебры , подобного двум, которые мы видели выше. Как и следовало ожидать, все возможные комбинации логических выражений должны быть запрограммированы в справочной таблице. Я скажу это снова по-другому: Одна LUT с 3 входами может составить любое уравнение булевой алгебры, которое вы можете представить, используя 3 входных сигнала. Потрясающе!

LUT могут иметь разные размеры в зависимости от используемой FPGA, но все они ведут себя одинаково.Не так давно LUT с 3 входами были нормой, но сегодня LUT с 4 и даже 5 входами являются обычным явлением. Если вам нужно составить более сложное выражение, вы можете просто использовать больше справочных таблиц. LUT — это один из двух самых фундаментальных компонентов FPGA. Одна ПЛИС состоит из тысяч этих компонентов. Теперь, когда вы более знакомы с этими удивительно универсальными компонентами, пришло время обсудить другой наиболее важный элемент внутри ПЛИС:

. Флип-флоп (AKA Register)

Примечание для читателя: во многих учебниках и классных комнатах значительное количество времени будет уделяться обсуждению того, как LUT могут быть связаны для создания оптимального решения для логического выражения.Оптимальный означает, что он использует наименьшее возможное количество ворот. Такие темы, как закон Де Моргана, карты Карно, метод Куайна-МакКласки и другие, как правило, подробно обсуждаются и описывают, как оптимизировать цифровую логику. Однако я считаю, что для начала изучения ПЛИС в этом нет необходимости. Я пропущу эти темы, чтобы как можно скорее научить вас программировать FPGA. Возможно, когда-нибудь я напишу о них, чтобы, если студенту понадобится сторонняя ссылка, он мог прочитать здесь больше, но пока я буду придерживаться того, что, по моему мнению, является минимальным объемом знаний, необходимым для начала проектирования FPGA.

Помогите мне создавать отличный контент! Поддержите меня на Patreon! Купите доску Go!

Пожалуйста, включите JavaScript, чтобы просматривать комментарии от Disqus.

Wolfram | Примеры альфа: булева алгебра

---

Булева алгебра

Выполняет булеву алгебру, вычисляя различные свойства и формы и создавая различные диаграммы.

Проанализируйте логическое выражение:

Другие примеры

---

Таблицы истинности

Создает полные таблицы истинности для булевой функции многих логических переменных.

Вычислить таблицу истинности для логической функции:

Другие примеры

---

Логические схемы

Визуализируйте логическую схему произвольного логического выражения.

Вычислите логическую схему для логической функции:

Другие примеры

---

Нормальные формы

Вычисляет различные нормальные формы логического выражения.

Преобразуйте логическое выражение в дизъюнктивную нормальную форму:

Преобразуйте логическое выражение в конъюнктивную нормальную форму:

Преобразуйте логическое выражение в алгебраическую нормальную форму:

Другие примеры

---

Общие логические функции

Вычисление с помощью логических функций, заданных целочисленным индексом и количеством переменных.

Задайте логическую функцию по номеру:

Укажите минимальный или максимальный срок по номеру:

Другие примеры

.