|
Алгебра логики. Таблицы истинности. Круги Эйлера. | Самостоятельная учеба. САМ
Всем привет! Сегодня рассмотрим основные логические операции. Составим для каждой операции таблицу истинности, и для наглядного представления каждой логической операции нарисуем Круги Эйлера. Звучит страшно, особенно если вы видите все это впервые, но вы читайте дальше и все станет понятно! А еще не забывайте подписываться на мой канал, чтобы не пропустить новые полезные публикации.
Алгебра логики (булева алгебра) — это раздел математики, который изучает логические высказывания с точки зрения их истинности или ложности, и логические операции над ними.
1.
КонъюнкцияКонъюнкция — логическое умножение. Логическое высказывание истинно тогда и только тогда, когда истины оба исходных высказывания.
Способы обозначения:
- А и В
- А ∧ В
- А * В
- А & В
Таблица истинности для логического И
Из таблицы истинности видно, что логическое выражение из двух переменных истинно только в одном случае, когда обе переменные истины.
На кругах Эйлера мы можем наглядно продемонстрировать отношения между подмножествами. Например у нас есть два подмножества А и В и нам нужно найти такое значение которое будет принадлежать подмножеству А и подмножеству В.
А ∧ В. Круги ЭйлераА ∧ В. Круги Эйлера
Такие значения для конъюнкции находятся на заштрихованной части.
2.
ДизъюнкцияДизъюнкция — логическое сложение. Выражение истинно, если истинно хотя бы одно исходное высказывание
Способы обозначения:
- А или В
- А ∨ В
- А + В
- А I В
Таблица истинности для логического ИЛИ
Из таблицы мы видим, что выражение ложно тогда, когда ложны оба исходных высказывания.
Если рассматривать на примере подмножеств, то все что находится вне наших подмножеств, нам не подойдет. ∨ В. Круги Эйлера
3.
ИмпликацияИмпликация — логическое следование «Если.., то…». Обозначается А→В. Истинно во всех случаях, кроме 1→0, т.е. если из истины следует ложь, то мы получим ложь.Таблица истинности для Импликации
Таблица истинности для Импликации
Вообще импликация, достаточно сложная для понимания. И если вы не совсем разобрались, то ничего страшного. Пока я советую заучить, что если первое высказывание истинно, а второе ложно, то будет Ложь. Во всех остальных случаях будет Истина.
А → В. Круги ЭйлераА → В. Круги Эйлера
4.
ЭквиваленцияЭквиваленция — логическое высказывание истинно тогда, когда оба исходных высказывания равны. Обозначается А ↔ В, либо тройным знаком равенства.Таблица истинности для Эквиваленции
Таблица истинности для Эквиваленции
Проще говоря, если А и Б — Ложь, то будет Истина. И если А и В — Истина, то будет Истина. В остальных случаях будет Ложь.
А ↔ В. Круги ЭйлераА ↔ В. Круги Эйлера
5.
ИнверсияИнверсия — отрицание или логическое НЕ. Если логическое высказывание А истинно, то «не А» — ложно, и наоборот. Обозначается ¬А или А с чертой сверху.
Сегодня мы узнали пять простых логических операций. В дальнейшем мы с разберем законы алгебры логики и научимся решать задачи по этой теме! А пока совету проверить как вы усвоили материал из этой статьи и пройти небольшой тест.
Построить таблицу истинности следующих логических выражений
Проблема определения истинности выражения встаёт перед многими науками. Любая доказательная дисциплина должна опираться на некоторые критерии истинности доказательств. Наука, изучающая эти критерии, называется алгеброй логики. Основной постулат алгебры логики заключается в том, что любое самое витиеватое утверждение может быть представлено в виде алгебраического выражения из более простых утверждений, истинность или ложность которых легко определить.
Для любого «алгебраического» действия над утверждением задаётся правило определения истинности или ложности измененного утверждения, исходя из истинности или ложности исходного утверждения. Эти правила записываются через таблицы истинности выражения. Прежде, чем составлять таблицы истинности, надо поближе познакомиться с алгеброй логики.
Алгебраические преобразования логических выражений
Любое логическое выражение, как и его переменные (утверждения), принимают два значения: ложь или истина. Ложь обозначается нулём, а истина — единицей. Разобравшись с областью определения и областью допустимых значений, мы можем рассмотреть действия алгебры логики.
Отрицание
Отрицание и инверсия — самое простое логическое преобразование. Ему соответствует частица «не.» Это преобразование просто меняет утверждение на противоположное. Соответственно, значение утверждения тоже меняется на противоположное. Если утверждение А истинно, то «не А» — ложно. Например, утверждение «прямой угол — это угол, равный девяносто градусов» — истина. Тогда его отрицание «прямой угол не равен девяноста градусам» — ложь.
Таблица истинности для отрицания будет такова:
Конъюнкция
Конъюнкция аналогична умножению и соответствует союзу «и». Такое выражение будет верно, только если верны все утверждения, объединённые конъюнкцией. То есть, утверждение «А и Б» будет истинным, только если А — истина и Б — истина. Во всех остальных случаях выражение «А и Б» ложно. Например, высказывание «Земля круглая и плоская» будет ложно, так как первая часть истина, а вторая — ложь.
Таблица истинности конъюнкции
| А | Б | А и Б |
| Л | Л | Л |
| Л | И | Л |
| И | Л | Л |
| И | И | И |
Дизъюнкция
Эта операция может быть обычной или строгой, их результаты будут различаться.
Обычная дизъюнкция или логическое сложение соответствует союзу «или». Она будет истинной если хотя бы одно из утверждений, входящих в неё — истина. Например, выражение «Земля круглая или стоит на трёх китах» будет истинным, так как первое утверждение — истинно, хоть второе и ложно.В таблице это будет выглядеть так:
| А | Б | А или Б |
| Л | Л | Л |
| Л | И | И |
| И | Л | И |
| И | И | И |
Строгую дизъюнкцию или сложение по модулю также называют «исключающим или»
Таблица значений исключающего или
| А | Б | либо А, либо Б |
| Л | Л | Л |
| Л | И | И |
| И | Л | И |
| И | И | Л |
Импликация и эквивалентность
Импликация представляет собой
В математике (и других доказательных дисциплинах) импликация используется для указания необходимого условия. Например, утверждение А — «точка О — экстремум непрерывной функции», утверждение Б — «производная непрерывной функции в точке О обращается в ноль». Если О, действительно, точка экстремума непрерывной функции, то производная в этой точке будет, и вправду, равна нулю. Если же О не является точкой экстремума, то производная в этой точке может быть нулевой, а может не быть. То есть Б необходимо для А, но не достаточно.
Таблица истинности для импликации выглядит следующим образом:
| А | Б | из А следует Б |
| Л | Л | И |
| И | И | |
| И | Л | Л |
| И | И | И |
Логическая операция эквивалентность, по сути, является взаимной импликацией. «А эквивалентно Б» означает, что «из А следует Б» и «из Б следует А» одновременно. Эквивалентность верна, когда оба утверждения либо одновременно верные, либо одновременно неверные.
| А | Б | А эквивалентно Б |
| Л | Л | И |
| Л | И | Л |
| И | Л | Л |
| И | И |
В математике эквивалентность используется для определения необходимого и достаточного условия. Например, утверждение А — «Точка О является точкой экстремума непрерывной функции», утверждение Б — «В точке О производная функции обращается в ноль и меняет знак». Эти два утверждения эквивалентны. Б содержит необходимое и достаточное условие для А. Обратите внимание, что в данном примере утверждений Б на самом деле является конъюнкцией двух других: «производная в точке О обращается в ноль» и «производная в точке О меняет знак».
Прочие логические функции
Выше были рассмотрены основные логические операции, которые часто используются. Есть и другие функции, которые используются:
- Штрих Шеффера или несовместимость представляет собой отрицание конъюнкции А и Б
- Стрелка Пирса представляет сбой отрицание дизъюнкции.
Построение таблиц истинности
Чтобы построить таблицу истинности для какого-либо логического выражения, надо действовать в соответствии с алгоритмом:
- Разбить выражение на простые утверждения и обозначить каждое из них как переменную.
- Определить логические преобразования.
- Выявить порядок действий этих преобразований.
- Сосчитать строки в будущей таблице. Их количество равно два в степени N, где N — число переменных, плюс одна строка для шапки таблицы.
- Определить число столбцов. Оно равно сумме количества переменных и количества действий. Можно представлять результат каждого действия в виде новой переменной, если так будет понятней.
- Шапка заполняется последовательно, сначала все переменные, потом результаты действий в порядке их выполнения.
- Заполнение таблицы надо начать с первой переменной. Для неё количество строк делится пополам. Одна половина заполняется нулями, вторая — единицами.
- Для каждой следующей переменной нули и единицы чередуются вдвое чаще.
- Таким образом заполняются все столбцы с переменными и для последней переменной значение меняется в каждой строке.
- Потом последовательно заполняются результаты всех действий.
В итоге последний столбец отобразит значение всего выражения в зависимости от значения переменных.
Отдельно следует сказать о порядке логических действий. Как его определить? Здесь, как и в алгебре, есть правила, задающие последовательность действий. Они выполняются в следующем порядке:
- выражения в скобках;
- отрицание или инверсия;
- конъюнкция;
- строгая и обычная дизъюнкция;
- импликация;
- эквивалентность.
Примеры
Для закрепления материала можно попробовать составить таблицу истинности для ранее упомянутых логических выражений. Рассмотрим три примера:
- Штрих Шеффера.
- Стрелка Пирса.
- Определение эквивалентности.
Штрих Шеффера
Штрих Шеффера — это логическое выражение, которое можно записать в виде «не (А и Б)». Здесь две переменные, и два действия. Конъюнкция в скобках, значит, она выполняется первой. В таблице будет шапка и четыре строки со значениями переменных, а также четыре столбца. Заполним таблицу:
| А | Б | А и Б | не (А и Б) |
| Л | Л | Л | И |
| Л | И | Л | И |
| И | Л | Л | И |
| И | И | И | Л |
Отрицание конъюнкции выглядит как дизъюнкция отрицаний. Это можно проверить, если составить таблицу истинности для выражения «не А или не Б». Проделайте это самостоятельно и обратите внимание, что здесь будет уже три операции.
Стрелка Пирса
Рассматривая Стрелку Пирса, которая представляет собой отрицание дизъюнкции «не (А или Б)», сравним её с конъюнкцией отрицаний «не А и не Б». Заполним две таблицы:
| А | Б | А или Б | не (А или Б) |
| Л | Л | Л | И |
| Л | И | И | Л |
| И | Л | И | И |
| И | И | И | Л |
| А | Б | не А | не Б | не А и не Б |
| Л | Л | И | И | И |
| Л | И | И | Л | Л |
| И | Л | Л | И | И |
| И | И | Л | Л | Л |
Значения выражений совпали. Изучив два эти примера, можно прийти к выводу, как раскрывать скобки после отрицания: отрицание применяется ко всем переменным в скобках, конъюнкция меняется на дизъюнкцию, а дизъюнкция — на конъюнкцию.
Определение эквивалентности
Про утверждения А и Б можно сказать, что они эквивалентны, тогда и только тогда, когда из А следует Б и из Б следует А. Запишем это как логическое выражение и построим для него таблицу истинности. «(А эквивалентно Б) эквивалентно (из А следует Б) и (из Б следует А)».
Здесь две переменных и пять действий. Строим таблицу:
| А | Б | В = (из А следует Б) | Г = (из Б следует А) | Д = А эквивалентно Б | Е = В и Г | Д эквивалентно Е |
| Л | Л | И | И | И | И | И |
| Л | И | И | Л | Л | Л | И |
| И | Л | Л | И | Л | Л | И |
| И | И | И | И | И | И | И |
В последнем столбце все значения истинные. Это значит, что приведенное определение эквивалентности верно при любых значениях А и Б. Значит, оно всегда истинно. Именно так с помощью таблицы истинности можно проверить корректность любых определений и логических построений.
Анализ таблиц истинности
Можно наоборот анализировать таблицы истинности, когда они уже построены (ссылку на предыдущий урок).
Например, дана таблица истинности:
И необходимо выяснить, какое выражение подходит для данной таблицы:
1. (A ˅ C) & B
2. (A ˅ B) & (C → A)
3. (A & B ˅ C) & (B → A & C)
4. (A → B) ˅ (C ˅ A → B)
F — это то, чему равно всё логическое выражение (истине или лжи)
Начинаем подставлять единицы и нули из таблицы в формулы:
(сверяйтесь с этим уроком, чтобы вспомнить операции: Основные логические операции):
И вспоминайте последовательность операций: (опираясь на этот урок: Логические выражения в информатике)
1) (A ˅ C) & B
A | B | C | F |
1 | 0 | 1 | (1 ˅ 1) & 0 = 1 & 0 = 0 |
1 | 1 | 0 | (1 ˅ 0) & 1 = 1 & 1 = 1 |
1 | 1 | 1 | (1 ˅ 1) & 1 = 1 & 1 = 1 |
Все значения в выражении соответствуют данной таблице!
2) (A ˅ B) & (C → A)
A | B | C | F |
1 | 0 | 1 | (1 ˅ 0) & (1 → 1) = 1 & 1 = 1 (а по таблице должно получится 0) |
1 | 1 | 0 | |
1 | 1 | 1 |
В первой же подстановке мы видим, что значение не совпадает с указанным значением в таблице истинности, поскольку в выражении получается 1, а должен получиться 0
Логическое выражение не подходит.
3) (A & B ˅ C) & (B → A & C)
A | B | C | F |
1 | 0 | 1 | (A & B ˅ C) & (B → A & C) = (1 & 0 ˅ 1) & (0 → 1 & 1) = 1 & 1 = 1 (а по таблице должно получится 0) |
1 | 1 | 0 | |
1 | 1 | 1 |
Снова такая же ситуация — значение не совпадает с указанным значением в таблице истинности, поскольку в выражении получается 1, а должен получиться 0
Логическое выражение не подходит.
4) (A → B) ˅ (C ˅ A → B)
A | B | C | F |
1 | 0 | 1 | (A → B) ˅ (C ˅ A → B) = (1 → 0) ˅ (1 ˅ 1 → 0) = 0 |
1 | 1 | 0 | (A → B) ˅ (C ˅ A → B) = (1 → 1) ˅ (0 ˅ 1 → 1) = 1 |
1 | 1 | 1 | (A → B) ˅ (C ˅ A → B) = (1 → 1) ˅ (1 ˅ 1 → 1) = 1 |
Здесь полное совпадение с таблицей истинности.
Таким образом, нам подходят 1 и 4 выражения.
Можно действовать наоборот и составить выражение по таблице истинности.
При работе с логическими выражениями, их удобно преобразовывать, учитывая определенные законы алгебры логики:
Добавить интересную новость
Виды формул по истинности — Логика
Поможем написать любую работу на аналогичную тему
Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Узнать стоимостьСегодня мы научимся записывать логическую формулу по таблице истинности.
Правило 1. По каждому набору двоичных переменных, на которых функция принимает значение единицы записать элементарную конъюнкцию n ранга (логическое произведение всех двоичных переменных, при этом инвертируются те переменные, которые имеют значение нуля) и полученные конъюнкции объединить знаком дизъюнкции. Такая форма функции называется ДНФ (совершенная дизъюнктивно — нормальная форма).
Правило 2. По каждому набору двоичных переменных, на которых функция принимает значение нуля записать элементарную дизъюнкцию всех n переменных (логическая сумма всех двоичных переменных, при этом инвертируются те переменные, которые имеют значение единицы) и полученные дизъюнкции объединить знаком конъюнкции. Такая форма функции называется КНФ (совершенная конъюнктивно — нормальная форма).
ДНФ (правило 1) | Таблица истинности | КНФ (правило 2) | |||||||||||||||
| |||||||||||||||||
Слева и справа от таблицы истинности — две формы одной и той же логической функции. Она была задана своей таблицей истинности, в которой перечислены все возможные значения логических переменных и те значения, которые принимает функция на каждом из них.
Рассмотрим более сложный пример. Во — первых, рассматриваемая функция имеет три аргумента (логических переменных) F(A, B, C), во — вторых, условие задачи задано не просто таблицей истинности, а сформулировано следующим образом: «Заданная функция трех переменных принимает значение единицы на наборах 2, 3, 6».
Что это означает? Если функция имеет три аргумента, то возможных значений будет 8! Нарисуем сами таблицу истинности по заданному условию. В ней будет 9 строк, 8 — для значений аргументов и одна строка для заголовков. Заполняем первый столбец — четыре 0, четыре 1. Второй столбец — два нуля, две единицы, опять два нуля и две единицы. Третий столбец — 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1. Если внимательно посмотреть, то увидим в нашей таблице двоичное представление цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. А теперь заполняем четвертый столбец, ведь по условию функция принимает значение единицы там, где записаны цифры 2, 3 и 6. А это комбинация 0 1 0 (2), 0 1 1 (3) и 1 1 0 (6). поэтому ставим единицы в соответствующих строках, а в остальных запишем нули.
A | B | C | F(A, B, C) |
0 | 0 | 0 | 0 |
0 | 0 | 1 | 0 |
0 | 1 | 0 | 1 |
0 | 1 | 1 | 1 |
1 | 0 | 0 | 0 |
1 | 0 | 1 | 0 |
1 | 1 | 0 | 1 |
1 | 1 | 1 | 0 |
Часто условие бывает задано уже нарисованной таблицей истинности. Тогда сразу по ней можно записать либо ДНФ логической функции, либо КНФ. Так как в нашем случае в значениях функции меньше единиц, то запишем дизъюнктивную форму логической функции по правилу 1.
и согласно законам алгебры логики произведем преобразования:
Подсказка: сумма переменной С и ее отрицания равна 1, далее в выражении используем второй дистрибутивный закон, затем в одной из скобок имеем опять сумму переменной А и ее отрицания, что дает 1.
Построим таблицу истинности полученного логического выражения для того, чтобы убедиться в правильности проведенных преобразований. Видим, что последний столбец таблицы совпадает с последним столбцом исходной таблицы истинности. Тем самым мы доказали правильность проведенных преобразований! |
|
Таблица истинности — это таблица, устанавливающая соответствие между всеми возможными наборами логических переменных, входящих в логическую функцию и значениями функции.
Таблицы истинности применяются для:
— вычисления истинности сложных высказываний;
— установления эквивалентности высказываний;
— определения тавтологий.
1. Установление истинности сложных высказываний.
Пример 1. Установить истинность высказывания · С
Решение. В состав сложного высказывания входят 3 простых высказывания: А, В, С. В таблице заполняются колонки значениями (0, 1). Указываются все возможные ситуации. Простые высказывания от сложных отделяются двойной вертикальной чертой.
При составлении таблицы надо следить за тем, чтобы не перепутать порядок действий; заполняя столбцы, следует двигаться “изнутри наружу”, т.е. от элементарных формул к более и более сложным; столбец, заполняемый последним, содержит значения исходной формулы.
А | В | С | А+ | · С | ||
0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
Из таблицы видно, что данное высказывание истинно только в случае, когда А=0, В=1, С=1. Во всех остальных случаях оно ложно.
2. Эквивалентность высказываний.
С помощью таблиц истинности можно установить эквивалентность двух или нескольких высказываний.
Высказывания называются эквивалентными, если соответствующие значения каждого из них совпадают в таблице истинности.
Пример 2. Утверждается, что высказывание А+В· С эквивалентно высказыванию (А+В)· (А+С)
Решение. Проверка ведется путем составления таблицы истинности.
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
А | В | С | В С | А+В· С | А+В | А+С | (А+В)· (А+С) |
0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Сравнивая 5-ю и 8-ю колонки убеждаемся, что все значения, получаемые по формуле А+В· С, совпадают со значениями, получаемыми по формуле (А+В)· (А+С), т.е. высказывания эквивалентны (равносильны). Одно может заменить другое.
Эквивалентные (равносильные) высказывания соединяют знаком º А + В·Сº (А+В)· (А+С).
Отметим различие между эквивалентностью и эквиваленцией.
Эквиваленция является логической операцией, позволяющей по двум заданным высказываниям А и В построить новое А« В.
Эквивалентность же является отношением между двумя составными высказываниями, состоящим в том, что их значения истинности всегда одни и те же.
3. Тавтология.
Пусть дано высказывание А· и необходимо составить таблицу истинности.
Высказывание А· ложно, истинность его не зависит от истинности высказывания А.
А | А· | |
1 | 0 | 0 |
0 | 1 | 0 |
Рассмотрим высказывание В+.
В этом случае высказывание В+ всегда истинно, независимо от истинности В.
В | В+ | |
1 | 0 | 1 |
0 | 1 | 1 |
Высказывания, истинность которых постоянна и не зависит от истинности входящих в них простых высказываний, а определяется только их структурой, называются тождественными или тавтологиями.
Различают тождественно-истинные и тождественно-ложные высказывания.
В формулах каждое тождественно-истинное высказывание заменяется 1, а тождественно-ложное — 0.
Закон исключенного третьего.
A· º 0
В+º 1
Пример 3. Докажите тавтологию (XÙ Y)® (XÚ Y)
Решение.
X | Y | XÙ Y | XÚ Y | (XÙ Y)® (XÚ Y) |
0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Т.к. высказывание (XÙ Y)® (XÚ Y) всегда истинно, то оно является тавтологией.
Пример 4. Докажите тавтологию ((X® Y)Ù (Y® Z))® (X® Z)
Решение.
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ F1 _ _ _ _ F2 _ _ _ _ _ F
X | Y | Z | X® Y | Y® Z | X® Z | F1Ù F2 | (F1Ù F2) ® F3 |
0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 |
1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Из таблицы видно, что исследуемое высказывание — тавтология, т.к. оно истинно постоянно.
Логические выражения
Каждое составное высказывание можно выразить в виде формулы (логического выражения), в которую войдут логические переменные, обозначающие высказывания, и знаки логических операций, обозначающие логические функции. Для записи составных высказываний в виде логических выражений на формальном языке (языке алгебры логики) в составном высказывании нужно выделить простые высказывания и логические связи между ними. Истинность или ложность составных высказываний можно определять чисто формально, руководствуясь законами алгебры высказываний, не обращаясь к смысловому содержанию высказываний.
Приоритет логических операций: 1) инверсия, 2) конъюнкция, 3) дизъюнкция.
Например, А= «2х2=5» =0
В= «2х2=4» =1
F=(AvB)&( ¬Av¬B)=(0v1)&(1v0)=1&1=1
ТАБЛИЦЫ ИСТИННОСТИ Для каждого составного высказывания (логического выражения) можно построить таблицу истинности, которая определяет его истинность или ложность при всех возможных комбинациях исходных значений простых высказываний (логических переменных).
При этом целесообразно руководствоваться
- определить количество строк в ТИ, которое равно количеству возможных комбинаций значений логических переменных, входящих в логическое выражение: кол-во строк = 2n, где n — количество логических переменных. В нашем случае кол-во строк = 22 = 4;
- определить количество столбцов в ТИ, равное количеству логических переменных плюс количество логических операций. Кол-во столбцов = 2 + 5 = 7;
- построить ТИ с указанным количеством строк и столбцов, обозначить столбцы и внести возможные наборы значений исходных логических переменных
A B AvB ¬A ¬B ¬Av¬B (AvB)&( ¬Av¬B)
0 0 0 1 1 1 0
0 1 1 1 0 1 1
1 0 1 0 1 1 1
1 1 1 0 0 0 0
4. заполнить ТИ по столбцам, выполняя базовые логические операции в необходимой последовательности и в соответствии с их ТИ. Теперь мы можем определить значение логической функции для любого набора значений логических переменных.
РАВНОСИЛЬНЫЕ ЛОГИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ. Логические выражения, у которых ТИ совпадают, называются равносильными (эквивалентными). Обозначение — знак «=».
Например, доказать, что ¬A&¬B=¬(AvB).
A B ¬A ¬B ¬A& ¬B
0 0 1 1 1
0 1 1 0 0
1 0 0 1 0
1 1 0 0 0
A B AvB ¬(AvB)
0 0 0 1
0 1 1 0
1 0 1 0
1 1 1 0
Таблицы истинности совпадают, следовательно, логические выражения равносиьны: ¬A&¬B=¬(AvB)
Импликация и эквиваленция
В обыденной и научной речи кроме базовых логических связок «и», «или», «не», используются и некоторые другие: «если… то…», «тогда… и только тогда, когда…» и др. Некоторые из них имеют свое название и свой символ и им соответствуют определенные логические функции.
Логическое следование (импликация) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью оборота речи «если…, то..,».
Логическая операция импликации «если А то В», обозначается А ® B и выражается с помощью логической функции F14. которая задается соответствующей таблицей истинности.
Таблица истинности логической функции импликация
A | B | А ®B |
0 | 0 | 1 |
0 | 1 | 1 |
1 | 0 | 0 |
1 | 1 | 1 |
Составное высказывание, образованное с помощью операции логического следования (импликации), ложно тогда и только тогда, когда из истинной предпосылки (первого высказывания) следует ложный вывод (второе высказывание).
Например, высказывание «Если число делится на 10, то оно делится на 5» истинно, т.к. истинны и первое высказывание (предпосылка), и второе высказывание (вывод).
Высказывание «Если число делится на 10, то оно делится на З» ложно, т.к. из истинной предпосылки делается ложный вывод.
Однако операция логического следования несколько отличается от обычного понимания слова «следует». Если первое высказывание (предпосылка) ложно, то вне зависимости от истинности или ложности второго высказывания (вывода) составное высказывание истинно.
Это можно понимать таким образом, что из неверной предпосылки может следовать что угодно.
В алгебре высказываний все логические функции могут быть сведены путем логических преобразований к трем базовым: логическому умножению, логическому сложения и логическому отрицанию.
Докажем методом сравнения таблиц истинности, что операция импликации А ® B равносильна логическому выражению ¬AvB.
Таблица истинности логического выражения ¬AvB
A | B | ¬A | ¬AvB |
0 | 0 | 1 | 1 |
0 | 1 | 1 | 1 |
1 | 0 | 0 | 0 |
1 | 1 | 0 | 1 |
Таблицы истинности совпадают, что и требовалось доказать.
Логическое равенство (эквивалентность) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью оборота речи «… тогда и только тогда, когда…».
Логическая операция эквивалентности «А эквивалентно В» обозначается А~В и выражается с помощью логической функции , которая задается соответствующей таблицей истинности.
Таблица истинности логической функции эквивалентности
А | В | А~В |
0 | 0 | 1 |
0 | 1 | 0 |
1 | 0 | 0 |
1 | 1 | 1 |
Составное высказывание, образованное с помощью логической операции эквивалентности истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания одновременно либо ложны, либо истинны.
Рассмотрим, например, два высказывания А = «Компьютер может производить вычисления» и В = «Компьютер включен». Составное высказывание, полученное с помощью операции эквивалентности истинно, когда оба высказывания либо истинны, либо ложны:
«Компьютер может производить вычисления тогда и только тогда, когда компьютер включен».
«Компьютер не может производить вычисления тогда и только тогда, когда компьютер не включен».
Составное высказывание, полученное с помощью операции эквивалентности ложно, когда одно высказывание истинно, а другое — ложно:
«Компьютер может производить вычисления тогда и только тогда, когда компьютер не включен».
Внимание!
Если вам нужна помощь в написании работы, то рекомендуем обратиться к профессионалам. Более 70 000 авторов готовы помочь вам прямо сейчас. Бесплатные корректировки и доработки. Узнайте стоимость своей работы.
«Компьютер не может производить вычисления тогда и только тогда, когда компьютер включен».
Sceptic-Ratio. ДМ 1-1b. Объединение. Таблицы истинности
Дискретная математика:
логика, группы, графы, фракталы
Акимов О.Е.
1.1. Операции логики Буля
Объединение. Таблицы истинности
Объединением множеств A = {1, 2, 4, 6} и B = {2, 3, 4, 8, 9}
назовем множество
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9},
где ∪ — символ объединения множеств. Таким образом, объединением охватываются три класса элементов — C1, C2 и C3, которые на диаграмме (рис. 1.3) заштрихованы.
Рис. 1.3
Логически операцию объединения двух множеств можно охарактеризовать словами: элемент x принадлежит множеству A или множеству B. При этом связка «или» одновременно означает и связку «и». Факт принадлежности элемента x множеству A обозначается как x ∈ A. Поэтому то, что x принадлежит A или/и B, выражается формулой:
x ∈ A ∪ B = (x ∈ A) ∨ (x ∈ B),
где ∨ — символ логической связки или, которая называется дизъюнкцией.
С точки зрения логики, вместо одной предметной переменной x удобно ввести две логические переменные x1 и x2. Областью определения x1 и x2 будут уже не числа натурального ряда, а только два логических значения: 1 для истинного значения и 0 для ложного.
Допустим, что x = 7. Поскольку это число не принадлежит ни множеству A, ни множеству B, то и логические значения переменных будут: x1 = 0, x2 = 0. Эта комбинация переменных отвечает классу C0. Теперь предположим, что выбрано число 4. Оно входит как в A, так и в B. Следовательно, x1 = 1, x2 = 1, что соответствует классу C3. Существуют еще два варианта, например, для числа x = 6 имеем x1 = 1, x2 = 0 и для x = 8 имеем x1 = 0, x2 = 1, которые отвечают классам C1 и C2.
Переменные x1 и x2 определяют некоторую логическую функцию:
y = f (x1, x2),
которая, в случае дизъюнкции, записывается как
y = x1 ∨ x2.
Легко усматривается, что число 7 не входит в объединенное множество A ∪ B, поэтому при x1 = 0, x2 = 0 значение логической функции y равно нулю. Когда же выбираются числа 4, 6 или 8, то все они непременно попадут в заштрихованную область диаграммы, следовательно, при этих значениях функция y равна единице. Все это удобно оформить таблицей (табл. 1.1), которую называют таблицей истинности.
Таблица 1.1
|
x1 |
x2 |
y = x1 ∨ x2 |
|
0 |
0 |
0 |
|
1 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
Между таблицей истинности и диаграммой Эйлера — Венна существует взаимно однозначное соответствие. Поэтому число единиц для y всегда будет совпадать с числом заштрихованных областей на диаграмме. Четыре комбинации аргументов x1 и x2 отвечают четырем областям Ci. Кроме того, нетрудно подсчитать, что число комбинаций нулей и единиц для функции y равно 16, значит и общее число возможных операций на двух множествах, т.е. число возможных функций y = f (x1, x2) тоже равно этому же числу.
Таблицы истинности — презентация онлайн
1. Таблицы истинности.
2. Решение логических выражений принято записывать в виде таблиц истинности – таблиц , в которых показано, какие значения
принимаетлогическое выражение при
всех возможных наборах его
переменных.
3. Для составления таблицы необходимо:
1.2.
3.
4.
5.
Выяснить количество строк в таблице
(вычисляется как 2^n+1, где n – количество
переменных)
Выяснить количество столбцов = количество
переменных + количество логических операций.
Установит последовательность выполнения
логических операций.
Построить таблицу, указывая названия
столбцов и возможные наборы значений
исходных логических переменных.
Заполнить таблицу истинности по столбцам.
4. Постройте таблицу истинности для выражения F=(A v B) (A v B)
Постройте таблицуистинности для выражения
F=(A v B) ( A v B)
5. Постройте таблицу истинности для выражения F=X v Y Z
Постройте таблицуистинности для выражения
F=X v Y Z
6. Составьте таблицы истинности для следующих логических выражений
1.2.
3.
4.
5.
6.
F=(X Y) v Z
F=X Y v X
F= (X v Y) (Y v X)
F= ((X v Y) (Z v X)) (Z v Y)
F=A B C D
F=(A v B) ( B v A v B)
7. Составьте таблицы истинности для следующих логических выражений и определите значение логического выражения при заданных
значениях переменных1.
2.
3.
4.
5.
F=АvВ С , А=1, В=1, С=1
F= (Аv В С), А=0, В=1, С=1
F= А v В С, А=1, В=0, С=1
F= (А v В) (С v В), А=0, В=1, С=0
F= (A B C), А=0, В=0, С=1
8. Составьте таблицы истинности для следующих логических выражений и определите значение логического выражения при заданных
значениях переменных5.
6.
F= (A B C) v (В Сv А, А=1, В=1,
С=0
F=В А v В А, А=0, В=0
Символом F обозначено одно из указанных
ниже логических выражений от трех
аргументов: X, Y, Z. Дан фрагмент таблицы
истинности выражения:
X
0
0
1
Y
0
1
1
Z
0
0
1
F
0
1
1
Какое выражение соответствует F:
1. XvYvZ
2. X&Y&¬Z
3. ¬X&Y&¬Z
4. Xv¬YvZ
Символом F обозначено одно из указанных
ниже логических выражений от трех
аргументов: X, Y, Z. Дан фрагмент таблицы
истинности выражения:
X
0
0
1
Y
0
1
0
Z
F
1
1
0
0
0
1
Какое выражение соответствует F:
1. XvYvZ
2. X&¬Y&¬Z
3. Xv¬YvZ
4. ¬X&Y&¬Z
Символом F обозначено одно из указанных
ниже логических выражений от трех
аргументов: X, Y, Z. Дан фрагмент таблицы
истинности выражения:
X
0
0
0
Y
1
1
0
Z
F
1
1
0
1
1
1
Какое выражение соответствует F:
1. ¬X&Y&Z
2. Xv¬YvZ
3. ¬XvYv¬Z
4. ¬X&Y&¬Z
таблиц истинности и анализ аргументов: примеры
Таблицы истинности
Поскольку сложные логические утверждения могут быть сложными для размышления, мы можем создать таблицу истинности , чтобы отслеживать, какие значения истинности для простых утверждений делают сложное утверждение истинным, а какое ложным
Таблица истинности
Таблица, показывающая, каково результирующее значение истинности сложного утверждения для всех возможных значений истинности для простых утверждений.
Пример 1
Предположим, вы выбираете новый диван, и ваша вторая половинка говорит: «Купите что-нибудь секционное или с шезлонгом.”
Это сложное утверждение, состоящее из двух более простых условий: «является секционным» и «имеет шезлонг». Для простоты воспользуемся S для обозначения «является секционным» и C для обозначения «имеет шезлонг». Условие S выполняется, если кушетка секционная.
Таблица истинности для этого будет выглядеть так:
| S | С | S или C |
|---|---|---|
| т | т | т |
| т | F | т |
| F | т | т |
| F | F | F |
В таблице T означает истину, а F — ложь.В первой строке, если S истинно и C также истинно, то комплексное утверждение « S или C » истинно. Это будет секция, у которой тоже есть шезлонг, что соответствует нашему желанию.
Помните также, что или в логике не исключают; если диван имеет обе функции, он соответствует условию.
Для дальнейшего сокращения наших обозначений мы собираемся ввести некоторые символы, которые обычно используются для и , или , а также , а не .
Символы
Символ ⋀ используется для и : A и B обозначен как A ⋀ B .
Символ ⋁ используется для или : A или B обозначается A ⋁ B
Символ ~ используется для , а не : не A обозначается ~ A
Вы можете запомнить первые два символа, связав их с формами объединения и пересечения. A ⋀ B — это элементы, которые существуют в обоих наборах, в A ⋂ B.Аналогично, A ⋁ B будут элементами, которые существуют в любом наборе, в A ⋃ B.
В предыдущем примере таблица истинности на самом деле просто обобщала то, что мы уже знаем о работе операторов или . Таблицы истинности для базовых операторов и , или и , а не показаны ниже.
Основные таблицы истинности
| А | B | A ⋀ B |
|---|---|---|
| т | т | т |
| т | F | F |
| F | т | F |
| F | F | F |
| А | B | A ⋁ B |
|---|---|---|
| т | т | т |
| т | F | т |
| F | т | т |
| F | F | F |
Таблицы истинности действительно становятся полезными при анализе более сложных логических операторов.
Пример 2
Создайте таблицу истинности для утверждения A ⋀ ~ ( B ⋁ C )
Это помогает работать изнутри при создании таблиц истинности и создавать таблицы для промежуточных операций. Начнем с перечисления всех возможных комбинаций значений истинности для A , B и C . Обратите внимание, что первый столбец содержит 4 Ts, за которыми следуют 4 F, второй столбец содержит 2 Ts, 2 F, затем повторяется, а последний столбец чередуется.Этот шаблон обеспечивает учет всех комбинаций. Наряду с этими начальными значениями мы перечислим значения истинности для самого внутреннего выражения: B ⋁ C .
| А | В | С | B ⋁ C |
| т | т | т | т |
| т | т | F | т |
| т | F | т | т |
| т | F | F | F |
| F | т | т | т |
| F | т | F | т |
| F | F | т | т |
| F | F | F | F |
Далее мы можем найти отрицание B ⋁ C , отработав только что созданный столбец B ⋁ C .
| А | В | С | B ⋁ C | ~ ( B ⋁ C ) |
| т | т | т | т | F |
| т | т | F | т | F |
| т | F | т | т | F |
| т | F | F | F | т |
| F | т | т | т | F |
| F | т | F | т | F |
| F | F | т | т | F |
| F | F | F | F | т |
Наконец, мы находим значения A и ~ ( B ⋁ C )
| А | В | С | B ⋁ C | ~ ( B ⋁ C ) | A ⋀ ~ ( B ⋁ C ) |
| т | т | т | т | F | F |
| т | т | F | т | F | F |
| т | F | т | т | F | F |
| т | F | F | F | т | т |
| F | т | т | т | F | F |
| F | т | F | т | F | F |
| F | F | т | т | F | F |
| F | F | F | F | т | F |
Оказывается, это сложное выражение истинно только в одном случае: если A истинно, B ложно, а C ложно.
Когда мы обсуждали условия ранее, мы обсуждали тип, при котором мы предпринимаем действие, основанное на значении условия. Теперь мы поговорим о более общей версии условного выражения, которое иногда называют импликацией .
Последствия
Последствия — это логические условные предложения, в которых говорится, что утверждение p , называемое антецедентом, подразумевает следствие q .
Последствия обычно записываются как p → q
Последствия аналогичны условным операторам, которые мы рассматривали ранее; p → q обычно записывается как «если p, то q» или «p, следовательно, q.«Разница между импликациями и условными предложениями заключается в том, что условные выражения, которые мы обсуждали ранее, предполагают действие — если условие истинно, то в результате мы предпринимаем какое-то действие. Последствия — это логическое утверждение, которое предполагает, что следствие должно логически следовать, если антецедент верен.
Пример 3
Английское утверждение «Если идет дождь, то есть облака, это небо» является логическим следствием. Это веский аргумент, потому что если предшествующее утверждение «идет дождь» верно, то следствие «в небе облака» также должно быть верным.
Обратите внимание, что это утверждение ничего не говорит нам о том, чего ожидать, если не будет дождя. Если антецедент ложен, то импликация становится неактуальной.
Пример 4
Друг говорит вам, что «если вы загрузите эту фотографию в Facebook, вы потеряете работу». Есть четыре возможных исхода:
- Вы загружаете картинку и сохраняете свою работу
- Вы загружаете фотографию и теряете работу
- Вы не загружаете картинку и сохраняете свою работу
- Вы не загрузите картинку и потеряете работу
Есть только один возможный случай, когда ваш друг лгал — первый вариант, когда вы загружаете изображение и сохраняете свою работу.В последних двух случаях ваш друг ничего не сказал о том, что произойдет, если вы не загрузите изображение, поэтому вы не можете сделать вывод, что его утверждение недействительно, даже если вы не загрузили изображение и все равно потеряли свое работа.
В традиционной логике импликация считается действительной (истинной) до тех пор, пока нет случаев, в которых антецедент истинен, а следствие ложно. Важно помнить, что символическая логика не может охватить все тонкости английского языка.
Истинные значения для последствий
| p | q | p → q |
| т | т | т |
| т | F | F |
| F | т | т |
| F | F | т |
Пример 5
Постройте таблицу истинности для утверждения ( м ⋀ ~ p ) → r
Начнем с построения таблицы истинности для антецедента.
| м | п | ~ п. | м ⋀ ~ p |
| т | т | F | F |
| т | F | т | т |
| F | т | F | F |
| F | F | т | F |
Теперь мы можем построить таблицу истинности для импликации
| м | п | ~ п. | м ⋀ ~ p | р | ( м ⋀ ~ p ) → r |
| т | т | F | F | т | т |
| т | F | т | т | т | т |
| F | т | F | F | т | т |
| F | F | т | F | т | т |
| т | т | F | F | F | т |
| т | F | т | т | F | F |
| F | т | F | F | F | т |
| F | F | т | F | F | т |
В этом случае, когда m истинно, p ложно и r ложно, тогда антецедент m ⋀ ~ p будет истинным, но последствие ложным, что приведет к недействительное следствие; любой другой случай дает верное значение.
Для любого импликации есть три связанных утверждения: обратное, обратное и противоположное.
Заявления по теме
Исходное значение: «если p , то q »: p → q
Обратное: «если q , то p »: q → p
Обратное выражение: «если не p , то не q »: ~ p → ~ q
Контрапозитив: «если не q , то не p »: ~ q → ~ p
Пример 6
Снова рассмотрим действительный вывод: «Если идет дождь, то в небе облака.”
Обратное выражение: «Если на небе облака, значит, идет дождь». Это, конечно, не всегда так.
Обратное будет: «Если не идет дождь, то на небе нет облаков». Точно так же это не всегда так.
Контрапозитив будет: «Если на небе нет облаков, значит, не идет дождь». Это утверждение верно и эквивалентно исходному выводу.
Глядя на таблицы истинности, мы можем видеть, что исходное условное и контрпозитивное логически эквивалентны, а обратное и обратное логически эквивалентны.
| Последствия | Конверс | обратный | Контрапозитив | ||
|---|---|---|---|---|---|
| p | q | p → q | q → p | ~ p → ~ q | ~ q → ~ p |
| т | т | т | т | т | т |
| т | F | F | т | т | F |
| F | т | т | F | F | т |
| F | F | т | т | т | т |
Эквивалентность
Условное утверждение и его контрпозитив логически эквивалентны.
Обратное и обратное утверждения логически эквивалентны.
Аргументы
Логический аргумент — это утверждение, что набор предпосылок поддерживает заключение. Есть два основных типа аргументов: индуктивные и дедуктивные.
Типы аргументов
Индуктивный аргумент использует набор конкретных примеров в качестве предпосылок и использует их, чтобы предложить общий вывод.
Дедуктивный аргумент использует набор общих утверждений в качестве предпосылок и использует их, чтобы предложить конкретную ситуацию в качестве заключения.
Пример 7
Аргумент «когда я ходил в магазин на прошлой неделе, я забыл свой кошелек, а когда я пошел сегодня, я забыл свой кошелек. Я всегда забываю свой кошелек, когда иду в магазин », — это индуктивный аргумент.
Помещения:
Я забыл свой кошелек на прошлой неделе
Я забыл свой кошелек сегодня
Вывод:
Я всегда забываю свой кошелек
Обратите внимание, что предпосылки — это конкретные ситуации, а заключение — это общее утверждение.В данном случае это довольно слабый аргумент, поскольку он основан всего на двух примерах.
Пример 8
Аргумент «каждый день в течение последнего года над моим домом в 14:00 пролетает самолет. Самолет будет пролетать над моим домом каждый день в 2 часа дня », — это более сильный индуктивный аргумент, поскольку он основан на большем количестве доказательств.
Оценка индуктивных аргументов
Индуктивный аргумент никогда не может доказать истинность вывода, но он может предоставить либо слабые, либо убедительные доказательства того, что это может быть правдой.
Многие научные теории, такие как теория большого взрыва, никогда не могут быть доказаны. Напротив, это индуктивные аргументы, подкрепленные множеством свидетельств. Обычно в науке идея считается гипотезой до тех пор, пока она не будет хорошо проверена, после чего она становится теорией. Общеизвестные научные теории, такие как теория гравитации Ньютона, выдержали годы испытаний и доказательств, хотя иногда их нужно корректировать на основе новых данных.Что касается гравитации, это произошло, когда Эйнштейн предложил общую теорию относительности.
Дедуктивный аргумент является более достоверным или нет, что упрощает их оценку.
Оценка дедуктивных аргументов
Дедуктивный аргумент считается действительным, если все посылки верны, и вывод логически следует из этих посылок. Другими словами, посылки верны, и вывод обязательно следует из этих посылок.
Пример 9
Аргумент «Все кошки — млекопитающие, а тигр — это кошка, значит, тигр — это млекопитающее» — действенный дедуктивный аргумент.
Помещения:
Все кошки — млекопитающие
Тигр — это кошка
Вывод:
Тигр — млекопитающее
Оба предположения верны. Чтобы увидеть, что посылки должны логически вести к заключению, можно использовать диаграмму Венна. Исходя из первой предпосылки, мы можем заключить, что набор кошек — это подмножество множества млекопитающих. Из второй посылки нам говорят, что тигр находится внутри множества кошек. Исходя из этого, мы можем видеть на диаграмме Венна, что тигр также находится внутри группы млекопитающих, так что вывод верен.
Анализ аргументов с помощью диаграмм Венна
Анализ аргумента с помощью диаграммы Венна
- Нарисуйте диаграмму Венна на основе посылок аргумента
- Если помещения недостаточно, чтобы определить, что определяет расположение элемента, укажите это.
- Аргумент действителен, если ясно, что заключение должно быть верным
Пример 10
Предпосылка: все пожарные знают CPR
Предпосылка: Джилл знает CPR
Заключение: Джилл — пожарный
Исходя из первой предпосылки, мы знаем, что все пожарные входят в группу тех, кто знает СЛР.Из второй посылки мы знаем, что Джилл является членом этого большего набора, но у нас недостаточно информации, чтобы знать, является ли она также членом меньшего подмножества, то есть пожарных.
Поскольку вывод не обязательно следует из предпосылок, это неверный аргумент, независимо от того, действительно ли Джилл является пожарным.
Важно отметить, что то, действительно ли Джилл — пожарный, не имеет значения для оценки обоснованности аргумента; нас интересует только то, достаточно ли предпосылок, чтобы доказать вывод.
В дополнение к этим предпосылкам категориального стиля в форме «все ___», «некоторые ____» и «нет ____» также часто можно увидеть посылки, которые имеют значение.
Пример 11
Предпосылка: Если вы живете в Сиэтле, вы живете в Вашингтоне.
Предпосылка: Маркус не живет в Сиэтле
Заключение: Маркус не живет в Вашингтоне
Из первой предпосылки мы знаем, что множество людей, живущих в Сиэтле, находится внутри множества тех, кто живет в Вашингтоне.Из второй посылки мы знаем, что Маркус не находится в множестве Сиэтла, но у нас недостаточно информации, чтобы знать, живет ли Маркус в Вашингтоне или нет. Это недопустимый аргумент.
Пример 12
Рассмотрим аргумент «Вы женатый мужчина, значит, у вас должна быть жена».
Это неверный аргумент, поскольку есть, по крайней мере, в некоторых частях мира, мужчины, состоящие в браке с другими мужчинами, поэтому посылка не является недостаточной, чтобы сделать вывод.
Некоторые аргументы лучше анализировать с помощью таблиц истинности.
Пример 13
Рассмотрим аргумент:
Помещение: Если вы купили хлеб, то вы пошли в магазин
Помещение: вы купили хлеб
Вывод: вы пошли в магазин
Хотя мы надеемся, что этот пример является довольно очевидным аргументом, мы можем проанализировать его с помощью таблицы истинности, представив каждую из посылок символически. Затем мы можем взглянуть на импликацию, что все предпосылки вместе подразумевают заключение. Если таблица истинности является тавтологией (всегда верно), то аргумент действителен.
Мы получим, что B означает «вы купили хлеб», а S — «вы пошли в магазин». Тогда аргумент принимает вид:
Помещение: B → S
Помещение: B
Заключение: S
Чтобы проверить достоверность, мы смотрим, подразумевает ли комбинация обеих предпосылок вывод; правда ли, что [( B → S ) ⋀ B ] → S ?
| B | S | B → S | ( B → S ) ⋀ B | [( B → S ) ⋀ B ] → S |
| т | т | т | т | т |
| т | F | F | F | т |
| F | т | т | F | т |
| F | F | т | F | т |
Поскольку таблица истинности для [( B → S ) ⋀ B ] → S всегда истинна, это допустимый аргумент.
Анализ аргументов с использованием таблиц истинности
Чтобы проанализировать аргумент с помощью таблицы истинности:
- Изобразите каждое из помещений символически
- Создайте условное утверждение, соединив все посылки с антецедентом и образуя его, и используя заключение как следствие.
- Создайте таблицу истинности для этого утверждения. Если это всегда правда, то аргумент действителен.
Пример 14
Предпосылка: если я пойду в торговый центр, то куплю новые джинсы
Предпосылка: если я куплю новые джинсы, я куплю к ним рубашку
Вывод: если я приду в торговый центр, я куплю рубашка.
Пусть M = иду в торговый центр, J = покупаю джинсы, а S = покупаю рубашку.
Предпосылки и заключение можно изложить как:
Помещение: M → J
Помещение: J → S
Заключение: M → S
Мы можем построить таблицу истинности для [( M → J ) ⋀ ( J → S )] → ( M → S )
| M | Дж | S | M → Дж | Дж → Ю | ( M → J ) ⋀ ( J → S ) | M → S | [( M → J ) ⋀ ( J → S )] → ( M → S ) |
| т | т | т | т | т | т | т | т |
| т | т | F | т | F | F | F | т |
| т | F | т | F | т | F | т | т |
| т | F | F | F | т | F | F | т |
| F | т | т | т | т | т | т | т |
| F | т | F | т | F | F | т | т |
| F | F | т | т | т | т | т | т |
| F | F | F | т | т | т | т | т |
Из таблицы истинности мы видим, что это действительный аргумент.
|
|
| |||
11.4.1: Таблицы истинности — Гуманитарные науки LibreTexts
Давайте разработаем то, что называется формальной семантикой Sentential Logic. Семантика, помимо прочего, касается того, как истинность одних предложений влияет на истинность других предложений. Говорят, что истина и ложь — это две ценности истинности, которые могут иметь предложения. Но предложение не может содержать их обоих одновременно.
Вот таблица истинности, которая дает представление о том, как работает отрицание:
Эта таблица подразумевает, среди прочего, что (A & B) и ~ (A & B) имеют противоположные истинностные значения, как вы можете видеть, позволяя P сокращать «(A & B)» в таблице истинности.
Вот таблица истинности того, как ‘v’ влияет на истинностные значения предложения:
Последняя строка этой таблицы подразумевает, что если предложение A (при замене на P) было ложным, а предложение B (замененное на Q) было ложным, то предложение A v B должно быть ложным. Но таблица применяется не только к простым буквам предложения. Последняя строка также подразумевает, что если предложение C & A ложно, а предложение C & B ложно, то предложение (C & A) v (C & B) также ложно.
Вот таблица истинности для &
& -таблица сообщает вам, что единственный способ, чтобы & предложение было истинным, — это чтобы оба его составных предложения были истинными. Например, единственный способ, чтобы (A v B) & (C v A) было истинным, — это чтобы (A v B) было истинным, а (C v A) было истинным.
Вот таблица истинности для →
Вы можете построить большие таблицы истинности, которые помогут вам вычислить истинностные значения сложных предложений, зная истинностные значения составляющих их букв предложения.Вот таблица истинности для (A & (A → B)) → B. Промежуточные столбцы для A → B и для A & (A → B) — это наша «предварительная работа», чтобы помочь нам выяснить истинность большее предложение.
Вам нужна строка таблицы истинности для каждого способа присвоения Ts и Fs составляющим буквам предложения. Если бы в формальном предложении была третья буква предложения, такая как C, то для его таблицы истинности потребовалось бы восемь строк вместо четырех. Как мы выяснили, что буква T находится в последней строке последнего столбца в приведенной выше таблице? Мы использовали тот факт, что предложение (A & (A → B)) → B в основном является → предложением, если-часть которого равна F [как мы обнаружили, выполнив начальную работу], а тогда-часть — F.Затем мы заметили, что таблица истинности для P → Q говорит, что, когда P имеет значение истинности F, а Q имеет значение F, мы должны назначить T для P → Q. Вот почему буква T находится в нижней строке правого столбца приведенной выше таблицы.
Упражнение \ (\ PageIndex {1} \)
Каково истинностное значение E v (F и G) в строке таблицы истинности, где E ложно, а F и G истинны?
- Ответ
Это правда. Если F и G верны, то F&G должно быть правдой.Но это делает правую часть «v» истинной, и тогда таблица истинности для «v» требует, чтобы все предложение было истинным.
Для каждого предложения Sentential Logic, независимо от его длины, мы можем построить его таблицу истинности таким образом и вычислить условия (строки), при которых оно истинно, и условия, при которых оно ложно. Эта функция Sentential Logic называется функциональностью истинности Sentential Logic.
Чтобы сказать немного больше о семантике, мы можем определить логически истинное предложение или тавтологию в Sentential Logic как предложение, которое истинно независимо от того, каковы истинностные значения его простых букв.Например, A v ~ A — тавтология, а A v B — нет. A v B может быть истинным или ложным в зависимости от того, какие значения имеют A и B. Он окажется ложным, если A и B оба ложны, как вы можете проверить, составив таблицу истинности. Предложение, которое всегда является ложным, не больше, чем истинность его простых букв, называется противоречием. A & ~ A — противоречие. Большинство предложений Sentential Logic не являются ни тавтологиями, ни противоречиями. Мы называем такие предложения условными. Например, предложение A v B условно.То же самое и с C. В некоторых условиях они истинны, а в других — ложны.
Давайте ненадолго вернемся к английскому языку и сравним то, что мы только что сказали о условных предложениях Sentential Logic с условными предложениями английского языка. 4 Предложение «Президент Эйзенхауэр был генералом» условно, потому что оно могло быть правдой, а могло быть и ложью. Но на самом деле это правда; это не совсем ложь. Оно могло быть ложным, но не в том смысле, что оно могло бы стать ложным, но только в том смысле, что оно могло бы быть ложным, если бы факты в мире были другими.Фраза «Президент Эйзенхауэр был генералом или нет» является логической истиной, и вы могли бы понять, что это правда, даже если никогда не слышали о президенте Эйзенхауэре. Невозможно изменить условия или факты в мире, чтобы сделать это предложение чем-то другим, кроме истинного. Вы понимаете это, просто глядя на лежащую в основе логическую форму и зная, как «или» и «отрицание» работают в английском языке. Теперь предположим, что есть человек, о котором вы никогда не слышали, скажем Сен-Чу. Вы знаете, верно ли следующее предложение?
Сен-Чу был и не был генералом.
Вы можете сказать, что это неверно, только из-за его семантической структуры, из-за того, как работают слова «и» и «не». Независимо от того, кто этот человек Сен-Чу, приговор должен быть ложным. Это понимание семантической структуры отражается в Sentential Logic, когда вы выясняете, что сложное предложение A & ~ A должно быть ложным, даже если вы не знаете истинностное значение A.
Упражнение \ (\ PageIndex {1} \)
Одно из этих предложений — тавтология, одно — случайное, а третье — противоречие.Что есть что?
F & (~ F v G)
~ F v (B & (B → F))
(C → D) v ~ (C → D)
- Ответ
контингент, противоречие, тавтология.
Отрицание предложения p — это другое предложение q, имеющее значение истинности, противоположное p, в любой ситуации, то есть при любом присвоении Ts и Fs буквам основного предложения. Легко видеть, что ~ A является отрицанием A.
Два утверждения считаются семантически эквивалентными (или просто эквивалентными), если они согласуются в своих истинностных значениях независимо от ситуации, то есть независимо от того, какое назначение Ts и Fs их основным буквам предложения.A эквивалентно ~~ A. B эквивалентно B v B. ~ A эквивалентно A → (B & ~ B).
Упражнение \ (\ PageIndex {1} \)
Предложение C v ~ B эквивалентно одному и только одному из следующих предложений. Который из?
а. С → В
б. B → C
c. ~ B → C
г. B → ~ C
e. ~ B → ~ C
- Ответ
г.
8.3 Таблицы истинности для анализа аргументов
Таблица истинности аргументов
Мы почти закончили с таблицами истинности.Следующее, для чего мы можем использовать их в логике, — это определить, является ли аргумент в логике высказываний действительным или недействительным.
Ключ состоит в том, чтобы знать, что значит сказать, что аргумент действителен, и знать, как отобразить это в таблице истинности.
Это означает, что , если все посылки верны, невозможно, чтобы заключение было ложным . Это не означает, что все посылки верны, но что , если они верны, потребуют истинного заключения.
К этому можно также плодотворно подойти со стороны недействительности. «Недействительный» означает, что даже если все предпосылки верны, они не требуют, чтобы заключение было верным.
Итак, если вы нашли строку в таблице истинности для аргумента, по которому заключение было F, но все посылки были T, аргумент будет недействительным. И если вы найдете линию, на которой заключение было T, и все посылки также были T, но затем на другой строке, вывод был F, а посылки были T, аргумент также был бы неверным.То есть не должно быть без строки , на которой были бы все помещения T и вывод F, чтобы таблица показывала, что он действителен.
Подход с использованием таблицы истинности означает, что если аргумент недействителен, он действителен. Поэтому вам следует проверить аргумент на недействительность, и для этого вы должны четко понимать, что искать.
Что, по вашему мнению, вы должны сказать о аргументе, имеющем противоречивые посылки?
Давайте посмотрим на несколько примеров.
Во-первых, обратите внимание, что я ввел косые черты.Это указывает на то, что здесь у нас есть аргумент. Для отделения помещений друг от друга используется одинарная косая черта. Перед заключением ставится двойная косая черта, которая всегда будет отображаться как самое правое утверждение.
| (п. | > | к) | / ~ | // ~ д |
| т | т | т | Факс | f |
| т | Факс | F | Факс | т |
| F | т | т | т | f |
| F | т | F | т | т |
Это правильно заполнено.Значения для помещений выделены жирным шрифтом , , а значения заключения — строчными. Есть четыре варианта, то есть четыре строки для чтения. В первой строке не обе посылки верны, поэтому вывод F еще не означает, что он недействителен. Во второй строке обе посылки — F, поэтому эта строка нам ничего не говорит. В третьей строке обе посылки обозначены буквой T, а вывод — буквой F, что означает, что он неверен, потому что это случай, когда истинный вывод не генерируется, несмотря на то, что все предпосылки истинны.Это все, что нам нужно знать, мы можем перестать это читать. Но давайте все равно зачитаем четвертую строчку, потому что она поучительна. В четвертой строке обе посылки — буква Т, как и заключение. Что мы об этом думаем?
Ничего. Это ничего не значит, поскольку третья строка показывает, что этот аргумент не гарантирует T выводов из T предпосылок, но допускает возможность F выводов. Это делает форму ненадежной, не на сто процентов надежной, недействительной.
Надеюсь, вы узнали эту форму; он известен по фразе, описывающей то, что делают его помещения.(Отрицая антецедент.)
[youtube] [/ youtube]
У этого есть имя, которое вы также должны знать:
| (п. | > | к) | / q | // п. |
| т | т | т | т | т |
| т | F | F | F | т |
| F | т | т | т | F |
| F | т | F | F | F |
Недействительность здесь также показана в третьей строке, где обе посылки — T, а заключение — F.Первая строка, в которой и посылки, и заключение являются T, не указывает ничего, что могло бы противодействовать тому, что показывает третья строка, а именно, что эта форма допускает возможность T посылок и F вывода.
Это Подтверждающее .
Вот еще что нужно учитывать:
| ~ | (G | ∙ | м) | / М | в | ~ | г// ~ G |
| Ф | т | т | т | т | т | F | F |
| т | т | F | F | F | Факс | F | F |
| т | F | F | т | т | т | т | т |
| т | F | F | F | F | т | т | т |
В помещении сказано: «Не одновременно G и M.Либо M, либо G — ложь ». Вывод: «Не Г.».
Это может быть
Неверно, что и Гарфилд, и Мармадьюк — собаки. Либо Мармадьюк — собака, либо не Гарфилд. Следовательно, Гарфилд не один.
Что показывает таблица? Это показывает, что всякий раз, когда вывод — F, по крайней мере, одна посылка тоже F. В первой и второй строках вывод — F. Но в первой строке первая посылка — это F (смотрите под знаком ~), а во второй строке вторая посылка — F (смотрите под v).Это показывает, что он не недействителен, следовательно, действителен.
В следующих двух строках показаны все посылки T и заключение T. Но даже если мы не будем внимательно смотреть на них, мы можем сказать, что оно верное, потому что единственный шанс на то, что он недействителен, — это когда вывод F, и мы уже видел все возможности этого.
8 Таблицы истинности аргументов
Вот несколько упражнений, над которыми вы можете практиковаться:
1. P ≡ ~ N // N v P
2.K ≡ ~ L / ~ (L ∙ ~ K) // K> L
3. Z // E> (Z> E)
4. C ≡ D / E v ~ D // E> C
5. A> (B v C) / ~ C v B // A> B
6. J> (K> L) / K> (J> L) // (J v K)> L
7. Если Сартр экзистенциалист, то Витгенштейн написал Трактат, следовательно, если Витгенштейн написал Трактат, Сартр экзистенциалист.
8. Херли — президент, так что либо он президент, либо Аккерманн — декан.
9.Если «время летит» — это метафора, это не совсем так. Если это не совсем так, тогда время не летит, поэтому если «время летит» — это метафора, то время не летит.
10. Если аргумент, исходящий от дизайна, слаб, это слабая аналогия. Чтобы быть слабой аналогией, оно должно проводить неоправданное сравнение, поэтому аргумент от дизайна дает неоправданное сравнение.
11. Зима холодная, а лето жаркое, поэтому либо лето жаркое, либо луна сделана из зеленого сыра.
12.Рассел был либо реалистом, либо эмпириком. Если первое, то он не был идеалистом, значит, он не был эмпириком.
13. Если он любит ее, он женится на ней. Поэтому, если он не любит ее, он не женится на ней.
14. Если люди смогут поселиться на Луне, они смогут поселиться на Марсе. Если они смогут поселиться на Марсе, они смогут поселиться на Юпитере. Итак, если Луна может быть заселена, то и Юпитер может.
15. Этот аргумент недействителен тогда и только тогда, когда он может иметь истинные посылки и ложный вывод.Следовательно, он недействителен, поскольку имеет ложное заключение.
16. Тот факт, что животные менее умны, чем мы, не означает, что мы можем пренебрегать их благополучием. Если мы пренебрегаем их благополучием, то мы бесчеловечны и ничем не лучше самих животных. Таким образом, если мы пренебрегаем их благополучием, будет ошибкой считать, что они менее умны, чем мы.
17. Если Швеция находится в Северной Африке, то либо египтяне голубоглазые, либо шведы смуглые и красивые. Швеция находится не в Северной Африке, поэтому египтяне не голубоглазые.
18. Если у вас нет саней и клина, вы не будете рубить дрова. У вас есть сани, но у вас нет клина, поэтому вы либо не собираетесь рубить дрова, либо купите их.
19. Если она любит его, она выйдет за него замуж, поэтому, если она не выйдет за него замуж, она не любит его.
таблиц истины: что это такое? (Таблицы истинности для различных логических вентилей)
Что такое таблица истинности?
Таблица истинности — это математическая таблица, в которой перечислены выходные данные конкретной цифровой логической схемы для всех возможных комбинаций ее входов.Эти таблицы истинности могут использоваться для вывода логического выражения для данной цифровой схемы и широко используются в булевой алгебре.
Таблица истинности имеет один столбец для каждой входной переменной (обычно представленной как P и Q, x и y или a и b) и один последний столбец, показывающий все возможные результаты логической операции, которую представляет таблица (для например, P И Q).
Каждая строка таблицы истинности содержит одну возможную конфигурацию входных переменных (например, P = false [0] Q = true [1]) и результат операции для этих значений (продолжая пример, P AND Q = ложь [0]).
Вопросы по логическим воротам — отличный способ проверить свои знания по теме таблиц истинности.
Шлюз НЕ или таблица истинности инвертора
Шлюз НЕ — это логическое устройство с одиночным входом и выходом, выход которого всегда будет дополнительной формой входа.
Это означает, что выход равен 0 для входа, равного 1, и наоборот, как указано в таблице истинности. Это символически записывается как Y = X̅.
Таблица истинности логического элемента AND
Логический элемент AND — это базовый вентиль с несколькими входами и одним выходом.Этот вентиль имеет высокий выход только в том случае, если все его входы равны единице, в противном случае выход будет нулевым, как показано в таблице истинности . Логическое выражение, соответствующее этому вентилю, дается как Y = I 1 .I 2 .
OR Gate Truth Table
OR — это тип базового логического элемента с характеристиками с несколькими входами и одним выходом. Здесь выход равен нулю, только если все его входные биты равны нулю, как указано в таблице истинности логического элемента ИЛИ с 2 входами. Логическое выражение для логического элемента ИЛИ дается как
Таблица истинности логического элемента И-НЕ
Элемент И-НЕ логически эквивалентен элементу И, за которым следует элемент НЕ.Таблица истинности для этого логического элемента показывает, что выход логического элемента И-НЕ имеет низкий уровень, только если все его входы имеют высокий уровень (в противном случае он равен единице).
Это означает, что выход логического элемента И-НЕ является инвертированным выходом логического элемента И, представленного промежуточным результатом M в приведенной выше таблице истинности. Логическое выражение логического элемента И-НЕ задается формулой
Таблица истинности шлюза ИЛИ
Шлюз ИЛИ является результатом объединения элемента НЕ с элементом ИЛИ. Таким образом, его выход является отрицанием выхода логического элемента ИЛИ, что означает, что он имеет высокий выход только в том случае, если все его входы низкие.
Однако для любой другой комбинации входов выход будет низким, как показано в таблице истинности. Логическое выражение для того же самого может быть дано как
Таблица истинности логического элемента XOR
Элемент XOR — это логическое устройство, выход которого имеет высокий уровень только тогда, когда его входы различны, как показано в таблице истинности. Это означает, что неидентичные входы приводят к высокому выходному сигналу затвора, в то время как идентичные входные биты вызывают низкий уровень выходного сигнала затвора.
Логически это дается далее в развернутой форме, получается
В общем, вентиль XOR используется как средство проверки четности и может иметь несколько входов.
Таблица истинности шлюза XNOR
Элемент XNOR является результатом объединения элемента XOR с элементом NOT, что означает, что выход будет инвертированной формой выходов XOR. {k} \ to \ mathbb {A},} где k {\ displaystyle k} — неотрицательное целое число, а A {\ displaystyle \ mathbb {A}} — область логических значений {false, true} .{k} \ to \ mathbb {B},} где k {\ displaystyle k} — неотрицательное целое число, а B {\ displaystyle \ mathbb {B}} — логический домен {0,1}. {\ displaystyle \ {0,1 \}.} В большинстве приложений false {\ displaystyle \ mathrm {false}} представлено как 0 {\ displaystyle 0}, а true {\ displaystyle \ mathrm {true}} представлено как 1 {\ displaystyle 1}. но возможно и обратное представление, в зависимости от общего представления функций истинности как булевых функций. Остальная часть статьи предполагает обычное представление, принимая как должное уравнения F = 0 {\ displaystyle \ mathrm {F} = 0} и T = 1 {\ displaystyle \ mathrm {T} = 1}.
Логическое отрицание
Логическое отрицание — это операция над одним логическим значением, обычно значением предложения, которая дает значение истинно, , когда его операнд ложно, и значение ложь, , когда его операнд истинен.
Таблица истинности НЕ p, {\ displaystyle \ mathrm {NOT} ~ p,} также записывается как ¬p, {\ displaystyle \ lnot p,} отображается ниже:
Отрицание предложения p {\ displaystyle p} может быть обозначено различными способами в различных контекстах применения, часто просто для удобства типографского изображения.Среди этих вариантов можно выделить следующие:
Логическая связь
Логическое соединение — это операция над двумя логическими значениями, обычно значениями двух предложений, которая дает значение истинно тогда и только тогда, когда оба его операнда истинны.
Таблица истинности p AND q, {\ displaystyle p ~ \ mathrm {AND} ~ q,} также записывается как p∧q {\ displaystyle p \ land q} или p⋅q, {\ displaystyle p \ cdot q, } появляется ниже:
Логическая дизъюнкция
Логическая дизъюнкция , также называемая логическим чередованием , представляет собой операцию над двумя логическими значениями, обычно значениями двух предложений, которая производит значение false тогда и только тогда, когда оба его операнда ложны.
Таблица истинности p OR q, {\ displaystyle p ~ \ mathrm {OR} ~ q,} также записывается как p∨q, {\ displaystyle p \ lor q,}, появляется ниже:
Логическое равенство
Логическое равенство — это операция над двумя логическими значениями, обычно значениями двух предложений, которая дает значение истинно тогда и только тогда, когда оба операнда ложны или оба операнда истинны.
Таблица истинности p EQ q, {\ displaystyle p ~ \ mathrm {EQ} ~ q,} также записывается как p = q, {\ displaystyle p = q,} p⇔q, {\ displaystyle p \ Leftrightarrow q, } или p≡q, {\ displaystyle p \ Equiv q,} появляется ниже:
Эксклюзивная дизъюнкция
Исключительная дизъюнкция , также известная как логическое неравенство или симметричная разность , представляет собой операцию над двумя логическими значениями, обычно значениями двух предложений, которая дает значение истинное на случай, если ровно один из его операндов правда.
Таблица истинности p XOR q, {\ displaystyle p ~ \ mathrm {XOR} ~ q,} также записывается как p + q {\ displaystyle p + q} или p ≠ q, {\ displaystyle p \ neq q,} появляется ниже:
Затем могут быть выведены следующие эквиваленты:
п + q знак равно (p∧¬q) ∨ (¬p∧q) = (p∨q) ∧ (¬p∨¬q) = (p∨q) ∧¬ (p∧q) {\ displaystyle {\ begin {matrix} p + q & = & (p \ land \ lnot q) & \ lor & (\ lnot p \ land q) \\ [6pt] & = & (p \ lor q) & \ land & (\ lnot p \ lor \ lnot q) \\ [6pt] & = & (p \ lor q) & \ land & \ lnot (p \ land q) \ end {matrix}}} |
Логическое следствие
Отношение логического следствия и материальная условная функция связаны с операцией над двумя логическими значениями, обычно значениями двух предложений, которая дает значение ложь тогда и только тогда, когда первый операнд истинен и второй операнд ложный.
Таблица истинности, связанная с материальным условным условием, если p, то q, {\ displaystyle {\ text {if}} ~ p ~ {\ text {then}} ~ q,} символизирует p → q, {\ displaystyle p \ rightarrow q,} и из логического следствия p следует q, {\ displaystyle p ~ {\ text {implies}} ~ q,} символизированный p⇒q, {\ displaystyle p \ Rightarrow q,} появляется ниже:
Логическая И-НЕ
Логическая И-НЕ — это операция над двумя логическими значениями, обычно значениями двух предложений, которая дает значение ложь тогда и только тогда, когда оба ее операнда истинны.Другими словами, он выдает значение true тогда и только тогда, когда хотя бы один из его операндов ложный.
Таблица истинности p NAND q, {\ displaystyle p ~ \ mathrm {NAND} ~ q,} также записывается как p⋏∘q {\ displaystyle p {\ stackrel {\ circ} {\ curlywedge}} q} или p ⊼q, {\ displaystyle p \ barwedge q,} появляется ниже:
Логический NNOR
Логический NNOR («Ни то, ни другое») — это операция над двумя логическими значениями, обычно значениями двух предложений, которая дает значение true тогда и только тогда, когда оба его операнда ложны.Другими словами, он выдает значение false тогда и только тогда, когда хотя бы один из его операндов истинен.
Таблица истинности p NNOR q, {\ displaystyle p ~ \ mathrm {NNOR} ~ q,}, также записанная как p⋏q, {\ displaystyle p \ curlywedge q,}, показана ниже:
Ресурсы
История документа
Части приведенной выше статьи были адаптированы из следующих источников в соответствии с лицензией GNU Free Documentation License, другими применимыми лицензиями или с разрешения правообладателей.
Показать таблицы истинности для логических выражений
Логические выражения
Логическое выражение — это выражение, состоящее из переменных и значений истинности ( истина, и ложь, ), связанных с различными логическими операторами. Основными операторами являются и , или и , а не (отрицание), из которых могут быть получены все остальные операторы.
Есть много разных способов написать одно и то же выражение. В следующей таблице перечислены все символы, распознаваемые инструментом, и показано, для каких целей они используются.Если выражение содержит слово, которого нет в списке, оно будет рассматриваться как переменная.
| Истинно: | Т, 1, правда | |
| Ложь: | F, 0, ложь | |
| Отрицание: | ¬,!, ~, -, а не | ′, ‘ |
| И: | ∧, ·, *, &&, & и | |
| или: | ∨, +, ||, | или | |
| Эксклюзив или: | ⊕,! =, ^, Xor | |
| Эквивалентность: | ⇔, <=>, ==, = | |
| Значение: | ⇒, => | |
Таблицы истинности
Таблица истинности показывает оценку логического выражения для всех комбинаций возможных значений истинности, которые могут иметь переменные выражения.Таблицы истинности часто упрощают понимание логических выражений и могут очень помочь при упрощении выражений. Его также можно использовать для сравнения двух разных выражений, показывая их бок о бок в одной таблице.
Не (отрицание)
Оператор , а не используется для отрицания выражения. Это означает, что истина становится ложью, а ложь становится истиной.
А (соединение)
Операторы и — это бинарный оператор, результатом которого является истина, если оба операнда истинны.Если один или оба операнда ложны, результат будет ложным.
Или (дизъюнкция)
Результат оператора или верен, если хотя бы один из операндов верен. Результат будет ложным, только если оба операнда ложны.
Эксклюзив или
Exclusive или аналогичен оператору или с той лишь разницей, что результат будет ложным, если оба операнда верны. Другой способ думать об этом состоит в том, что результат будет истинным, если два операнда имеют разные значения, иначе результат будет ложным.
| a | b | a ⊕ b | ( a ¬ b ) ∨ (¬ a ∧ b | 900)
ЭквивалентностьДва выражения эквивалентны, если они приводят к одному и тому же значению истинности.
ЗначениеИмпликация ложна, если первый операнд истинен, а второй операнд ложен.  |