Свойства векторного произведения
Некоторые из них мы уже рассмотрели, но, тем не менее, включу их в данный список. Для произвольных векторов и произвольного числа справедливы следующие свойства:
1) В других источниках информации данный пункт обычно не выделяют в свойствах, но он очень важен в практическом плане. Поэтому пусть будет.
2) – антикоммутативность векторного произведения; об этом свойстве я тоже рассказал выше. Иными словами, порядок векторов имеет значение.
3) – сочетательные или ассоциативные законы векторного произведения. Константы беспроблемно выносятся за пределы векторного произведения. Действительно, чего им там делать?
4) – распределительные или дистрибутивные
законы. Как видите, с раскрытием скобок тоже нет проблем.
В качестве демонстрации рассмотрим коротенький пример:
Задача 48
Найти , если
Решение: по условию снова требуется найти длину векторного произведения. Распишем миниатюру:
(1) Согласно ассоциативным законам, выносим константы за переделы векторного произведения.
(2) Выносим константу за пределы модуля, при этом модуль «съедает» знак «минус». Длина же не может быть отрицательной.
(3) Дальнейшее понятно.
Ответ:
Пора подбросить дров в огонь…, а позже добавим уютную атмосферу и даже сказочных персонажей! – я глубоко убеждён, что высшую математику, тем более геометрию, нельзя излагать сухо и занудно!
Задача 49
Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах , если
Решение: площадь треугольника рассчитывается по формуле ,
но загвоздка состоит в том, что векторы «цэ» и «дэ» сами представлены в виде сумм векторов.
Алгоритм здесь стандартен и чем-то напоминает Задачи
17, 18 из темы Скалярное произведение векторов. Решение для ясности разобьём на три этапа:
1) На первом шаге выразим векторное произведение через векторное произведение , по сути, выразим вектор через вектор. О длинах пока ни слова!
(1) Подставляем выражения векторов .
(2) Используя дистрибутивные законы, раскрываем скобки по правилу умножения многочленов (каждый член одного многочлена нужно умножить на каждый член другого).
(3) Используя ассоциативные законы, выносим все константы за пределы векторных произведений. При маломальском опыте действия 2-3 можно выполнять за один шаг.
(5) Приводим подобные слагаемые.
В результате вектор оказался выражен через вектор, чего и требовалось достичь:
2) На втором шаге найдем длину нужного нам векторного произведения. Данное действие напоминает недавнюю Задачу 48:
3) Найдём площадь искомого треугольника:
, этапы 2-3 можно было оформить «одной строкой»
Ответ:
Рассмотренная задача достаточно распространена в контрольных работах, вот пример для самостоятельного решения:
Задача 50
Найти , если
Посмотрим, насколько вы были внимательны при изучении предыдущих примеров 😉
1.9.3. Векторное произведение в координатах
1.9.1. Векторное произведение векторов. Определение и его смысл
| Оглавление |
Автор: Aлeксaндр Eмeлин
СВОЙСТВА ВЕКТОРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ДВУХ ВЕКТОРОВ — Студопедия
Поделись
1.
Векторное произведение двух векторов обладает свойством антипереместительности:
.
Доказательство. Для того, чтобы доказать, что векторы и равны, докажем, что равны их проекции на любую ось. Пусть — произвольная ось. По свойству 3 скалярного произведения двух векторов
,
где — орт оси . С учетом свойства 3 смешанного произведения трёх векторов это равенство принимает вид
.
Если же теперь в правой части применить свойства 3 и 4 скалярного произведения двух векторов, то получим , где — любая ось.
Следовательно, согласно критерию равенства двух векторов .
2. Скалярный множитель можно вынести за знак векторного произведения двух векторов:
и
Доказательство. Убедимся в справедливости первого равенства. Для этого достаточно доказать, что где — любая ось. По свойству 3 скалярного произведения двух векторов
,
где — орт оси . С учетом свойства цикличности смешанного произведения трёх векторов это равенство принимает вид
,
или, в силу свойства 4 скалярного произведения двух векторов,
.
Если же в правой части этого равенства вновь воспользоваться свойством цикличности смешанного произведения трёх векторов и свойством 3 скалярного произведения двух векторов, то имеем
.
Учитывая теорему о проекции на ось произведения вектора на скаляр, получим
где — любая ось, и потому, согласно критерию равенства двух векторов,
.
Аналогично можно доказать справедливость второго равенства.
3. Векторное произведение двух векторов обладает свойством распределительности, то есть
.
Доказательство. Докажем, что где — произвольная ось. По свойству 3 скалярного произведения двух векторов
,
где — орт оси . С учетом свойства цикличности смешанного произведения трех векторов это равенство принимает вид
.
В силу свойства распределительности скалярного произведения двух векторов имеем
.
В каждом слагаемом правой части последнего равенства вновь применим свойство цикличности смешанного произведения трех векторов.
,
или, с учетом свойства распределительности скалярного произведения,
.
Если же ещё раз воспользоваться свойством 3 скалярного произведения двух векторов, то придем к выводу, что
где — любая ось, и потому, согласно критерию равенства двух векторов,
.
4. .
Доказательство. Воспользуемся равенством:
.
Тогда, в силу свойств 2 и 3 векторного произведения двух векторов, имеем
.
5. Векторное произведение вектора самого на себя есть нуль-вектор:
.
Доказательство. Справедливость этого утверждения с очевидностью следует из определения векторного произведения двух векторов.
6. Имеет место следующая таблица векторных произведений координатных ортов:
Второй множитель
Справедливость этой таблицы следует из определения векторного произведения двух векторов.
7. Векторное произведение векторов и может быть представлено через проекции этих векторов на координатные оси по следующей формуле:
или, что то же самое,
.
Доказательство. Разложим каждый из векторов и по координатным ортам: и .
Воспользовавшись свойствами 2 и 3 векторного произведения двух векторов, имеем
,
или, с учетом таблицы векторных произведений координатных ортов,
.
В силу свойств сочетательности и распределительности произведения вектора на скаляр, получим , или, что то же самое, .
me338_s03.ppt
%PDF-1.6 % 286 0 объект > эндообъект 283 0 объект >поток 2012-09-30T18:01:47Zpdftopdf filter2012-09-30T11:07:24-07:002012-09-30T11:07:24-07:00application/pdf
2]1ut}C)cɱ&32uΧGdpI0AI’t2[TJjAOԳ굷nF=»Z_!Ɲ$?>Q.gt.@6
8]%S$,{cFiTʒ=>A-Vd ‘a[e
‘N8}vT$i|ٸoG.F~)$K —Скалярное тройное произведение
Скалярное тройное произведениеНавигация по страницам:
- Определение скалярного тройного произведения
- Скалярная формула тройного произведения
- Свойства скалярного тройного произведения
- Примеры скалярного тройного произведения
Калькулятор скалярного тройного произведения
Определение. Скалярное тройное произведение векторов ( векторное произведение ) — это скалярное произведение вектора a на векторное произведение векторов b и c.
Формула скалярного тройного произведения
Скалярное тройное произведение векторов равно определителю матрицы, составленной из этих векторов.
Скалярное тройное произведение векторов a = {a x ; а и ; а z }, б = {б х ; б у ; б я } и с = {с х ; с у ; c z } в декартовой системе координат можно рассчитать по следующей формуле:
| а · [б × с] = | а x | y | z |
| б x | б у | б z | |
| c x | c y | c z |
Свойства скалярного тройного произведения
Геометрическая интерпретация.
Модуль скалярного тройного произведения векторов a, b и c равен объему параллелепипеда, образованного этими векторами:
V параллелепипед = |a · [b × c]|
Геометрическая интерпретация.
Объем пирамиды, образованной тремя векторами a, b и c, равен одной шестой модуля скалярного тройного произведения этих векторов:
V пирамида = 1 | а · [б × с]| 6 Если смешанное произведение трех ненулевых векторов равно нулю, то эти векторы компланарны.
а · [б × с] = б · (а · в) — в · (а · б)
а · [б × с] = б · [с × а] = с · [а × b] = -а · [с × b] = -б · [а × с] = -c · [b × a]
a · [b × c] + b · [c × a] + c · [a × b] = 0 — Тождество Якоби .
Примеры скалярного тройного произведения
Пример 1. Найти скалярное тройное произведение векторов a = {1; 2; 3}, б = {1; 1; 1}, с = {1; 2; 1}.
Решение:
| а · [б × с] = | 1 | 2 | 3 | = |
| 1 | 1 | 1 | ||
| 1 | 2 | 1 |
= 1·1·1 + 1·1·2 + 1·2·3 — 1·1·3 — 1·1·2 — 1·1·2 = 1 + 2 + 6 — 3 — 2 — 2 = 2
Пример 2.
Найти объем пирамиды, построенной на векторах a = {1; 2; 3}, б = {1; -1; 1}, с = {2; 0; -1}.
Решение: Вычислить скалярное тройное произведение векторов:
| a · [b × c] = | 1 | 2 | 3 | = |
| 1 | -1 | 1 | ||
| 2 | 0 | -1 |
= 1·(-1)·(-1) + 2·1·2 + 3·1·0 — 3·(-1)·2 — 2·1·(-1) — 1·1·0 =
= 1 + 4 + 0 + 6 + 2 — 0 = 13
Вычислите объем пирамиды, используя следующие свойства:
| V пирамида = | 1 | |a · [b × c]| = | 13 | = 2 | 1 |
| 6 | 6 | 6 |
Векторы
Определение векторов.
Основная информация
Компонентная форма вектора с начальной и конечной точками
Длина вектора
Направленные косинусы вектора
Равные векторы
Ортогональные векторы
Коллинеарные векторы
Компланарные векторы
Угол между двумя векторами
Векторная проекция
Сложение и вычитание векторов
Скалярно-векторное умножение
Скалярное произведение двух векторов
Перекрестное произведение двух векторов (векторное произведение)
Скалярное тройное произведение (смешанный продукт)
Линейно зависимые и линейно независимые векторы
Разложение вектора по базису
Онлайн калькуляторы с векторами
Задания и упражнения с вектором 2D
Задания и упражнения с векторным 3D
© 2011-2022 Довжик Михаил
Добро пожаловать в OnlineMSchool . Владелец этого сайта — математик Довжик Михаил. Я разработал этот веб-сайт и написал всю математическую теорию, онлайн-упражнения, формулы и калькуляторы.
Если вы хотите связаться со мной, возможно, у вас есть какие-либо вопросы, напишите мне по электронной почте support@onlinemschool.
