6.2. Свойства векторного произведения

Антикоммутативный закон:

(6.4)

Из рис. 6.2 следует:

но векторы ипротивоположно направлены, поэтому

Ассоциативный (сочетательный) закон относительно числового множителя:

(6.5)

Дистрибутивный (распределительный) закон:

(6.6)

(6.6^*)

Вследствие свойства 1⁰векторные величины (6.6) и (6.6^*) имеют равные модули и противоположные знаки, т.е. являются противоположными векторами.

Для того, чтобы векторы ибыли коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их векторное произведение равнялось нулевому вектору.

Это следует из определения понятия векторного произведения векторов.

Замечание. Из свойств векторного умножения векторов следует, что векторные одночлены и многочлены можно преобразовывать по правилам преобразования алгебраических многочленов. Однако, здесь следует учитывать, что при перестановке сомножителей в векторном произведении знак его следует изменить на противоположный.

Задача 6.1.Найти площадь треугольника, построенного на векторах и, если

,,,,.

Решение. Используя замечание и свойство, получим:

Искомая площадь, составляющая половину площади параллелограмма, построенного на векторах и, равна:

Ответ.

6.3. Векторное произведение векторов в координатной форме

Получим векторные произведения векторов – ортов координатных осей – на основе определения понятия векторного произведения векторов и его свойств:

Произведения вектора на себя равно нулевому вектору в соответствии со свойством 4⁰, например,Величины парных произведений векторов определены на основе определения понятия векторного произведения. Например,т.к. векторы ,,образуют правую тройку, и, поскольку эти векторы образуют квадрат с единичной стороной. Аналогично этомут.к. векторыобразуют левую тройку и

Результаты векторного умножения орт координатных осей сведены в таблицу 6.1

Таблица 6.1

Приведем без вывода формулу векторного произведения двух векторов ив координатной форме.

(6.7)

Векторное произведение двух векторов равно определителю третьего порядка, в первой строке которого находятся орты, во второй строке – координаты первого вектора, в третьей – координаты второго вектора.

Проиллюстрируем применение формулы (6.7) к решению практических задач.

Задача 6.2.Найти площадь треугольника АВС и его высоту , если известны координаты его вершин

(рис. 6.3).

Рис. 6.3

Решение.Модуль векторного произведения векторов выражает площадь параллелограмма, построенного на этих векторах. Площадь треугольника составляет половину площади указанного параллелограмма, поэтому площадь треугольника, построенного на двух векторах, равна половине модуля векторного произведения этих векторов.

В качестве векторов, образующих данный треугольник, выберем векторы и:

По величине площади найдем высоту треугольника

,

Ответ.

Задача 6.3.Сила приложена к точкеНайти момент этой силы относительно начала координат.

Решение.Моментом силы равен векторному произведению радиус-вектораточкии силы Координаты радиус-векторасовпадают с координатами точки, поэтомуОтсюда следует:

Ответ.

НОУ ИНТУИТ | Лекция | Скалярное произведение векторов. Свойства. Векторное произведение векторов. Свойства. Смешанное произведение векторов. Свойства

Аннотация: В лекции рассматриваются линейные операции над векторами, и дается практическое использование этих операций при решении различных задач

Умножение

Различают несколько видов операции умножения.

1. Умножение вектора на скалярную величину. При умножении вектора на скаляр получают новый вектор , длина (модуль) которого изменяется в раз, а направление совпадает с направлением исходного вектора , если , или противоположно исходному вектору, если . В координатной форме, если a = (a_x;a_y;a_z), то b = a= . Следовательно, операция умножения вектора на скаляр не влияет на компланарность (коллинеарность) векторов. Поэтому если несколько векторов до умножения на скаляр были компланарны (коллинеарны), то после умножения компланарность (коллинеарность) между ними сохранится.

Заметим, что любой вектор может быть представлен как произведение единичного, коллинеарного ему вектора на модуль рассматриваемого вектора, т.е. ¹ Из последнего равенства следует, что . Операция умножения вектора на скаляр обладает свойствами коммутативности и ассоциативности: , а также свойством дистрибутивности: .

2. Скалярное произведение векторов.

Определение 14. Скалярным произведением двух векторов и называется число S, равное . Эта операция обозначается или

В частности, скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины, т.е.

Если один из перемножаемых векторов единичный, то:

В этом случае результат представляет собой проекцию вектора на направление единичного вектора . Следовательно, любой вектор можно представить как , где a_x,a_y,a_z — проекции вектора соответственно на оси 0х, 0у и 0z.

Если вектор представлен через проекции на базисные векторы, то говорят о разложении вектора по ортогональному базису. Из рис. 6.1 видно, что в этом случае вектор является главной диагональю прямоугольного параллелепипеда, ребра которого параллельны осям координат и равны длинам проекций вектора на эти оси. Из этого же рисунка следует, что модуль вектора численно будет равен .

Рис. 6.1.

Из определения скалярного произведения следует, что любой вектор, независимо от типа, можно представить в виде:

где , и есть скалярное произведение вектора с ортами осей координат. Тогда из последнего равенства имеем где , и — углы, которые составляет вектор соответственно с осями 0х, 0у и 0z.

Можно заметить, что скалярное произведение

коммутативно и дистрибутивно, т.е. и . Можно убедиться самостоятельно в том, что всегда выполняется равенство

Замечание 1. Если скалярное произведение двух векторов равно нулю, то эти векторы ортогональны. Действительно, если ни один из векторов не нулевой, то, по определению скалярного произведения, последнее может быть равно нулю только тогда, когда

Замечание 2. , где — единичные векторы (орты) осей координат ²

Замечание 3. .

Замечание 4. Скалярное произведение векторов в координатной форме

Замечание 5. Используя формулу скалярного произведения векторов и , можно найти выражение косинуса угла между этими векторами через их проекции на орты:

Если , то это значит, что угол между векторами больше 90 , т.е. тупой, а если , то угол острый.

Замечание 6. Механический смысл скалярного произведения векторов. Скалярное произведение силы F на вектор перемещения S равно работе А этой силы при перемещении материальной точки по вектору S: A = FS.

Векторное умножение — это… Что такое Векторное умножение?

Правые и левые тройки векторов

Три вектора называются упорядоченной тройкой, если указано, какой из этих векторов является первым, какой — вторым, а какой — третьим.

Тройка некомпланарных векторов называется правой (левой), если, будучи приведёнными к общему началу, эти векторы располагаются так, как могут быть расположены соответственно большой, несогнутый указательный и средний пальцы правой (левой) руки.

Определение

Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , удовлетворяющий следующим требованиям:

• длина вектора равна произведению длин векторов и на синус угла ; между ними

Обозначение:

В различных учебных заведениях определение векторного произведения даётся по-разному. Например, в качестве определения даётся описанное далее выражение векторного произведения в координатах. А далее выводится данное выше определение.

Свойства

Геометрические свойства векторного произведения

Алгебраические свойства векторного произведения

Выражение для векторного произведения в декартовых координатах

Если два вектора и определены своими прямоугольными декартовыми координатами, а говоря точнее — представлены в ортонормированном базисе

то их векторное произведение имеет вид

Для запоминания этой формулы удобно использовать определитель:

или

где  — символ Леви-Чивиты.

Обобщения

Кватернионы

Векторное произведение можно также записать в кватернионной форме, поэтому буквы , ,  — стандартные обозначения для ортов в : они рассматриваются как воображаемые кватернионы.

Заметим, что соотношения через векторное произведение между , и соответствуют правилам умножения для кватернионов i, j и k. Если представить вектор как кватернион a₁i + a₂j + a₃k, то векторное произведение двух векторов получается взятием векторной части от произведения соответствующих им кватернионов. Скалярное произведение этих векторов противоположно скалярной части произведения этих кватернионов.

Преобразование к матричной форме

Векторное произведение двух векторов можно записать как произведение кососимметрической матрицы и вектора:

где

Пусть равен векторному произведению:

тогда

Такая форма записи позволяет обобщить векторное произведение на высшие размерности, представляя псевдовекторы (угловая скорость, индукция и т. п.) как такие кососимметричные матрицы. Ясно, что такие физические величины будут иметь n(n − 1) / 2 независимых компонент в n-мерном пространстве. В трёхмерном пространстве получаются три независимые компоненты, поэтому такие величины можно представлять как векторы этого пространства.

С такой формой записи также зачастую проще работать (например, в en:epipolar geometry).

Из общих свойств векторного произведения следует, что

  и  

а так как кососимметрична, то

В такой форме записи легко доказывается тождество Лагранжа (правило «бац минус цаб»).

Распространение на матрицы

В 3-хмерном случае можно определить векторное произведение матриц и произведение матрицы на вектор. Это делает очевидным указанный выше изоморфизм и позволяет упростить многие выкладки. Представим матрицу A как столбец векторов, тогда

Умножение матрицы на вектор слева определяется аналогично, если представить A как строку векторов. Транспонирование матрицы, соответственно, переводит строку векторов в столбец векторов, и наоборот. Легко обобщить многие соотношения для векторов на соотношения для векторов и матриц, например (A — матрица, ,  — векторы):

После этого можно изменить форму записи для векторного произведения:

E — единичная матрица. Отсюда очевидны существование и вид матрицы, соответствующей векторному умножению на вектор слева. Аналогично можно получить выражение для матрицы умножения на вектор справа. Распространяя операции над векторами на матрицы покомпонентно, представляя их как «векторы из векторов», стандартные соотношения для векторов легко обобщаются на матрицы. Например, теорема Стокса в примет вид:

где ротор матрицы A вычисляется как векторное произведение матрицы A на оператор Гамильтона слева. В этих обозначениях очень легко доказать, например, следующие формы теоремы Стокса:

Размерности, не равные трём

Пусть D — размерность пространства.

Векторное произведение, обладающее всеми свойствами обычного трёхмерного векторного произведения, то есть бинарное билинейное антисимметричное невырожденное отображение , можно ввести только для размерности 3.

Однако есть простое обобщение на остальные натуральные размерности, начиная с 3, а если нужно — и на размерность 2 (последнее, правда, сравнительно специфическим образом). Тогда это обобщение, в отличие от невозможного, описанного чуть выше, вводится не для пары векторов, а лишь для набора (D − 1) векторов-сомножителей. Вполне аналогично смешанному произведению, естественно обобщаемому в D-мерном пространстве на операцию с D сомножителями. Используя символ Леви-Чивиты с D индексами, можно явно записать такое (D − 1)-валентное векторное произведение как

Такое обобщение дает гиперплощадь размерности (D − 1).

Если нужно ввести операцию именно для двух сомножителей, имеющую геометрический смысл, предельно близкий к смыслу векторного произведения (то есть представляющую ориентированную площадь), то результат уже не будет вектором, так как при D < > 3 не найдется единственной, однозначно определённой нормали к двумерной плоскости, натянутой на множители. Можно ввести бивектор, компоненты которого равны проекциям ориентированной площади параллелограмма, натянутого на пару векторов, на координатные плоскости:

.

Эта конструкция называется внешним произведением.

Для двумерного случая эта операция называется псевдоскалярным произведением, так как получающееся пространство одномерно и результат можно отождествить с псевдоскаляром.

Алгебра Ли векторов

Векторное произведение вводит на структуру алгебры Ли (поскольку оно удовлетворяет обеим аксиомам — антисимметричности и тождеству Якоби). Эта структура соответствует отождествлению с касательной алгеброй Ли so(3) к группе Ли SO(3) ортогональных линейных преобразований трёхмерного пространства.

См. также

Произведения векторов

Другое

Ссылки

Литература

• Кочин Н. Е. Введение в векторный и тензорный анализ.

Wikimedia Foundation. 2010.

Свойства смешанного произведения трех векторов — КиберПедия

1. Смешанное произведение упорядоченной тройки некомпланарных векторов положительно, если эта тройка векторов является правой и отрицательно, если рассматриваемая тройка векторов является левой, то есть, если , , — некомпланарная тройка векторов, то

, если , , — правая тройка векторов;

, если , , — левая тройка векторов.

Смешанное произведение компланарной тройки векторов равно нулю, то есть, если , , — компланарные векторы, то

Доказательство. По определению скалярного произведения векторов

Знак смешанного произведения векторов , , совпадает со знаком .

Рассмотрим два случая.

1) , , — правая тройка векторов.

Согласно определению векторного произведения векторов, векторы , , также образуют правую тройку векторов, и потому в рассматриваемом случае , следовательно,

2) , , — левая тройка векторов.

В этом случае и потому .

Допустим теперь, что , , — компланарные векторы. Тогда и .

Следовательно, для компланарных векторов , , имеет место равенство .

2. Смешанное произведение трех векторов обладает свойством цикличности, то есть

.

Доказательство. Модуль каждого из смешанных произведений , , численно равен объему параллелепипеда, построенного на векторах , , , значит, модули рассматриваемых смешанных произведений равны между собой. Кроме того, если , , — некомпланарные векторы, то упорядоченные тройки векторов , , ; , , и , , , являются тройками одинаковой ориентации, и потому, на основании предыдущего свойства, соответствующие смешанные произведения имеют один и тот же знак. Из изложенного и следует, что .

В случае, если , , — компланарные векторы, все рассматриваемые смешанные произведения равны нулю и, следовательно, равны между собой.

Учитывая свойство цикличности, смешанное произведение с часто записывают в виде .

3. При перестановке двух векторов смешанное произведение трёх векторов меняет знак, то есть

;

;

.

Доказательство. Убедимся в справедливости первого равенства. Если , , — некомпланарные векторы, то упорядоченные тройки векторов , , и , , являются тройками противоположной ориентации, и потому, согласно свойству 1 смешанного произведения трёх векторов, и имеют разные знаки. Учитывая, кроме того, равенство модулей этих смешанных произведений, получим .

Если же , , — компланарные векторы, то рассматриваемые смешанные произведения равны нулю, следовательно, и в этом случае доказываемое утверждение справедливо.

Аналогично можно проверить справедливость остальных равенств.

 

СВОЙСТВА ВЕКТОРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ

ДВУХ ВЕКТОРОВ

1. Векторное произведение двух векторов обладает свойством антипереместительности:

.

Доказательство. Для того, чтобы доказать, что векторы и равны, докажем, что равны их проекции на любую ось. Пусть — произвольная ось. По свойству 3 скалярного произведения двух векторов

,

где — орт оси . С учетом свойства 3 смешанного произведения трёх векторов это равенство принимает вид

.

Если же теперь в правой части применить свойства 3 и 4 скалярного произведения двух векторов, то получим , где — любая ось.

Следовательно, согласно критерию равенства двух векторов .

2. Скалярный множитель можно вынести за знак векторного произведения двух векторов:

и

Доказательство. Убедимся в справедливости первого равенства. Для этого достаточно доказать, что где — любая ось. По свойству 3 скалярного произведения двух векторов

,

где — орт оси . С учетом свойства цикличности смешанного произведения трёх векторов это равенство принимает вид

,

или, в силу свойства 4 скалярного произведения двух векторов,

.

Если же в правой части этого равенства вновь воспользоваться свойством цикличности смешанного произведения трёх векторов и свойством 3 скалярного произведения двух векторов, то имеем

.

Учитывая теорему о проекции на ось произведения вектора на скаляр, получим

где — любая ось, и потому, согласно критерию равенства двух векторов,

.

Аналогично можно доказать справедливость второго равенства.

3. Векторное произведение двух векторов обладает свойством распределительности, то есть

.

Доказательство. Докажем, что где — произвольная ось. По свойству 3 скалярного произведения двух векторов

,

где — орт оси . С учетом свойства цикличности смешанного произведения трех векторов это равенство принимает вид

.

В силу свойства распределительности скалярного произведения двух векторов имеем

.

В каждом слагаемом правой части последнего равенства вновь применим свойство цикличности смешанного произведения трех векторов. Тогда получим

,

или, с учетом свойства распределительности скалярного произведения,

.

Если же ещё раз воспользоваться свойством 3 скалярного произведения двух векторов, то придем к выводу, что

где — любая ось, и потому, согласно критерию равенства двух векторов,

.

4. .

Доказательство. Воспользуемся равенством:

.

Тогда, в силу свойств 2 и 3 векторного произведения двух векторов, имеем

то есть

.

5. Векторное произведение вектора самого на себя есть нуль-вектор:

.

Доказательство. Справедливость этого утверждения с очевидностью следует из определения векторного произведения двух векторов.

6. Имеет место следующая таблица векторных произведений координатных ортов:

 

Справедливость этой таблицы следует из определения векторного произведения двух векторов.

7. Векторное произведение векторов и может быть представлено через проекции этих векторов на координатные оси по следующей формуле:

или, что то же самое,

.

Доказательство. Разложим каждый из векторов и по координатным ортам: и .

Воспользовавшись свойствами 2 и 3 векторного произведения двух векторов, имеем

,

или, с учетом таблицы векторных произведений координатных ортов,

.

В силу свойств сочетательности и распределительности произведения вектора на скаляр, получим , или, что то же самое, .

 

Как найти векторное произведение двух векторов: формула, свойства, пример задачи

В данной публикации мы рассмотрим, каким образом можно найти векторное произведение двух векторов, приведем геометрическую интерпретацию, алгебраическую формулу и свойства этого действия, а также разберем пример решения задачи.

Геометрическая интерпретация

Векторное произведение двух ненулевых векторов a и b – это вектор c, который обозначается как [a, b] или a x b.

Длина вектора c равна площади параллелограмма, построенного с помощью векторов a и b.

При этом c перпендикулярен плоскости, в которой расположены a и b, и расположен так, чтобы наименьшее вращение от a к b выполнялось против часовой стрелки (с точки зрения конца вектора).

Формула векторного произведения

Произведение векторов a = {a_x; a_y, a_z} и b = {b_x; b_y, b_z} вычисляется с помощью одной из формул ниже:

Свойства векторного произведения

1. Векторное произведение двух ненулевых векторов равняется нулю тогда и только тогда, когда эти векторы являются коллинеарными.

[a, b] = 0, если a || b.

2. Модуль векторного произведения двух векторов равняется площади параллелограмма, образованного этими векторами.

S_парал. = |a x b|

3. Площадь треугольника, образованного двумя векторами, равняется половине их векторного произведения.

S_Δ = ¹/₂ · |a x b|

4. Вектор, являющийся векторным произведением двух других векторов, перпендикулярен им.

c ⟂ a, c ⟂ b.

5. a x b = –b x a

6. (m a) x a = a x (m b) = m (a x b)

7. (a + b) x c = a x c + b x c

Пример задачи

Вычислим векторное произведение a = {2; 4; 5} и b = {9; -3; 1}.

Решение:

Ответ: a x b = {19; 43; -42}.

Свойства векторного произведения

1. При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак, т.е. а хb =(b хa ) (см. рис. 19).

Векторы ахb и b ха коллинеарны, имеют одинаковые модули (площадь параллелограмма остается неизменной), но противоположно направлены (тройки а , b , а хb и a , b , bxa противоположной ориентации). Стало быть axb = -(bxa ).

2. Векторное произведение обладает сочетательным свойством относительно скалярного множителя, т. е. l(а хb ) = (lа ) х b = а х (lb ).

Пусть l>0. Вектор l(ахb ) перпендикулярен векторам а и b . Вектор ( lа)хb также перпендикулярен векторам а и b (векторы а, lа лежат в одной плоскости). Значит, векторы l(ахb ) и ( lа)хb коллинеарны. Очевидно, что и направления их совпадают. Имеют одинаковую длину:

Поэтому l(a хb )= lахb . Аналогично доказывается при l<0.

3. Два ненулевых вектора а и b коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору, т. е. а||b <=>ахb =0.

 

В частности, i *i =j *j =k *k =0.

4. Векторное произведение обладает распределительным свойством:

(a+b) хс= ахс+b хс.

Примем без доказательства.

11)

Смешанное произведение векторов и его свойства

 

Смешанным произведением векторов называется число , равное скалярному произведению вектора на векторное произведение векторов и . Смешанное произведение обозначается .

 

Геометрические свойства смешанного произведения

 

1. Модуль смешанного произведения некомпланарных векторов равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах. Произведение положительно, если тройка векторов — правая, и отрицательно, если тройка — левая, и наоборот.

 

2. Смешанное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда векторы компланарны:

 

векторы компланарны.

 

Докажем первое свойство. Найдем по определению смешанное произведение: , где — угол между векторами и . Модуль векторного произведения (по геометрическому свойству 1) равен площади параллелограмма, построенного на векторах и : . Поэтому . Алгебраическое значение длины проекции вектора на ось, задаваемую вектором , равно по модулю высоте параллелепипеда, построенного на векторах (рис. 1.47). Поэтому модуль смешанного произведения равен объему этого параллелепипеда:

 

 

Знак смешанного произведения определяется знаком косинуса угла . Если тройка правая, то и смешанное произведение положительно. Если же тройка левая, то и смешанное произведение отрицательно.

 

Докажем второе свойство. Равенство возможно в трех случаях: или (т.е. ),или (т.е. вектор принадлежит плоскости векторов и ). В каждом случае векторы компланарны (см. разд. 1.1)

Алгебраические свойства смешанного произведения

1. При перестановке двух множителей смешанное произведение изменяет знак на противоположный:

При циклической (круговой) перестановке множителей смешанное произведение не изменяется:

2. Смешанное произведение линейно по любому множителю.

Первое свойство следует из геометрического свойства 1 и свойств ориентации троек векторов (см. разд. 1.9), поскольку от перестановки двух множителей модуль смешанного произведения не изменяется, а меняется только ориентация тройки. При циклической перестановке векторов ориентация тройки не изменяется.

Второе свойство следует из линейности скалярного произведения и свойства 1

Пример 1.21. Объем параллелепипеда, построенного на векторах , равен . Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах .

Решение. Используя алгебраические и геометрические свойства, найдем смешанное произведение
а затем его модуль . По первому геометрическому свойству смешанного произведения искомый объем равен .

Теорема 1.9 (формула вычисления смешанного произведения). Если векторы в правом ортонормированном базисе имеют координаты ; ; соответственно, то смешанное произведение этих векторов находится по формуле

В самом деле, учитывая (1.10) и (1.15), по определению находим:
что и требовалось доказать.

12) Общее уравнение прямой на плоскости.
Рассмотрим уравнение прямой с угловым коэффициентом . Перенесем все слагаемые в левую часть и перепишем его в следующем виде:

,

— (3.6)общее уравнение прямой, где и не равны нулю одновременно, т.е. .

Рекомендуемые страницы:

Перекрестное произведение — Math Insight

Есть два способа получить произведение пары векторов. Один из этих методов умножения — кросс-произведение , которому посвящена эта страница. Другое умножение — это скалярное произведение, которое мы обсудим на другой странице.

Перекрестное произведение определяется только для трехмерных векторов. Если $ \ vc {a} $ и $ \ vc {b} $ — два трехмерных вектора, то их перекрестное произведение, записанное как $ \ vc {a} \ times \ vc {b} $, произносится как «крест b , ”- еще один трехмерный вектор.Мы определяем этот вектор векторного произведения $ \ vc {a} \ times \ vc {b} $ следующими тремя требованиями:

1. $ \ vc {a} \ times \ vc {b} $ — вектор, перпендикулярный обоим $ \ vc {a} $ и $ \ vc {b} $.
2. Величина (или длина) вектора $ \ vc {a} \ times \ vc {b} $, записанного как $ \ | \ vc {a} \ times \ vc {b} \ | $, представляет собой площадь параллелограмм натянутое на $ \ vc {a} $ и $ \ vc {b} $ (т.е. параллелограмм, смежные стороны — это векторы $ \ vc {a} $ и $ \ vc {b} $, как показано на рисунке ниже).
3. Направление $ \ vc {a} \ times \ vc {b} $ определяется правило правой руки. (Это означает, что если мы скручиваем пальцы правой рукой от $ \ vc {a} $ до $ \ vc {b} $, затем большой палец указывает на направление $ \ vc {a} \ times \ vc {b} $.)

На рисунке ниже показано, как с помощью тригонометрии можно вычислить, что площадь параллелограмм, натянутый на $ \ vc {a} $, и $ \ vc {b} $ \ begin {align *} \ | \ vc {a} \ | ~ \ | \ vc {b} \ | \ sin \ theta, \ end {выровнять *} где $ \ theta $ — угол между $ \ vc {a} $ и $ \ vc {b} $.На рисунке показан параллелограмм с основанием длины $ \ | \ vc {b} \ | $ и высота перпендикуляра $ \ | \ vc {a} \ | \ sin \ theta $.

Эта формула показывает, что величина перекрестного произведения равна наибольший, когда $ \ vc {a} $ и $ \ vc {b} $ перпендикулярны. С другой стороны, если $ \ vc {a} $ и $ \ vc {b} $ параллельны или если любой вектор является нулевой вектор, то векторное произведение является нулевым вектором. (Это хорошо дело в том, что в этих случаях мы получаем нулевой вектор, так что указанное выше определение все еще имеет смысл.Если векторы параллельны или один вектор — нулевой вектор, тогда нет единственной линии перпендикулярно как $ \ vc {a} $, так и $ \ vc {b} $. Но поскольку есть только один вектор нулевой длины, определение однозначно определяет перекрестное произведение.)

Ниже приведен апплет, который помогает проиллюстрировать, как перекрестное произведение работает. Хотя, по общему признанию, сложно манипулировать точным образом, вы можете убедить себя, что перечисленные выше свойства перекрестное произведение удовлетворяется вектором перекрестного произведения, показанным в апплет.

Загрузка апплета

Перекрестное произведение. Вектор $ \ color {red} {\ vc {c}} $ (красный) является перекрестным произведением векторов $ \ color {blue} {\ vc {a}} $ (синий) и $ \ color {green} {\ vc {b}} $ (зеленым), $ \ color {red} {\ vc {c}} = \ color {blue} {\ vc {a}} \ times \ color { зеленый} {\ vc {b}} $. Параллелограмм, образованный $ \ color {blue} {\ vc {a}} $ и $ \ color {green} {\ vc {b}} $, розовый на той стороне, где находится векторное произведение $ \ color {red} {\ vc {c}} $ точки и фиолетовый на противоположной стороне. Используя мышь, вы можете перетащить кончики стрелок векторов $ \ color {blue} {\ vc {a}} $ и $ \ color {green} {\ vc {b}} $, чтобы изменить эти векторы.Посмотрите, как в ответ меняются перекрестное произведение $ \ color {red} {\ vc {c}} $ и параллелограмм. (Вы не можете напрямую изменить вектор продукта красного креста $ \ color {red} {\ vc {c}} $.) Трехмерную перспективу этого графика будет легче воспринимать, если вы продолжите вращать фигуру, перетаскивая ее с помощью мышь.

Подробнее об апплете.

Обратите внимание, что площадь параллелограмма (и, следовательно, величина перекрестного произведения) стремятся к нулю при приближении $ \ vc {a} $ и $ \ vc {b} $ параллельный (где термин «параллельный» также включает в себя то, что вы может показаться антипараллельным).Вы также можете убедиться, что апплет демонстрирует $ \ vc {b} \ times \ vc {a} = — \ vc {a} \ times \ vc {b} $ и $ \ vc {a} \ times \ vc {a} = \ vc {0} $, которые являются важными свойствами креста продукт.

Геометрическое определение перекрестного произведения удобно для понимания его свойств. Однако это не слишком удобно для численного вычисления перекрестного произведения векторов, заданных через их координаты. Для таких расчетов вам может понадобиться формула для перекрестного произведения компонентов.Имея под рукой формулу перекрестного произведения, вы можете быстро выполнить любое вычисление, как показано на этих примерах вычисления перекрестных произведений и площадей параллелограммов.

Перекрестное произведение | Математика вики

Возможно, вы ищете декартово произведение.

Перекрестное произведение — это один из способов взятия произведения двух векторов (другой — скалярное произведение). Этот метод дает третий вектор, перпендикулярный обоим. В отличие от скалярного произведения, он определяется только в (то есть в трех измерениях).Он обычно используется в физике, технике, векторном исчислении и линейной алгебре. Он определяется формулой

где — единичный вектор, перпендикулярный обоим и. Его можно вычислить и другими способами:

Пространство вместе со скрещенным произведением представляет собой алгебру над действительными числами, которая не является ни коммутативной, ни ассоциативной, а представляет собой алгебру Ли, где скрещенное произведение является скобкой Ли.

Недвижимость

Преобразование в матричное умножение

Векторное векторное произведение также может быть выражено как произведение кососимметричной матрицы и вектора: ^[1]

, где верхний индекс ^T относится к операции транспонирования, а [ a ] _× определяется следующим образом:

Столбцы [ a ] _{×, i} кососимметричной матрицы для вектора a также могут быть получены путем вычисления перекрестного произведения с единичными векторами, т.е.е .:

Кроме того, если , сам выражается как перекрестное произведение:

затем

Подтверждение заменой
Оценка перекрестного произведения дает Следовательно, левая часть равна Теперь для правой стороны, И его транспонирование Оценка правой части дает Сравнение показывает, что левая часть равна правой части.

Этот результат можно обобщить на более высокие измерения с помощью геометрической алгебры. В частности, в любом измерении бивекторы могут быть идентифицированы с кососимметричными матрицами, поэтому произведение между кососимметричной матрицей и вектором эквивалентно части степени 1 произведения бивектора и вектора. ^[2] В трех измерениях бивекторы двойственны векторам, поэтому произведение эквивалентно перекрестному произведению с бивектором вместо двойственного вектора.В более высоких измерениях произведение все еще может быть вычислено, но бивекторы имеют больше степеней свободы и не эквивалентны векторам. ^[2]

С этими обозначениями также часто намного проще работать, например, в эпиполярной геометрии.

Из общих свойств векторного произведения сразу следует, что

и

и из того факта, что [ a ] _× является кососимметричным, следует, что

Расширение тройного произведения (правило bac – cab) может быть легко доказано с использованием этого обозначения.

Алгебра Ли R ³ с перекрестным произведением (трехмерное евклидово пространство R ³ со скобкой Ли, заданной перекрестным произведением?) Изоморфна алгебре Ли so (3) , элементы которой можно отождествить с кососимметричными матрицами 3 × 3. Карта a → [ a ] _× обеспечивает изоморфизм между R ³ и , так что (3) . При этом отображении перекрестное произведение 3-векторов соответствует коммутатору кососимметричных матриц 3×3.

Бесконечно малые генераторы вращения

Перекрестное произведение удобно описывает бесконечно малые генераторы вращения в R ³ . В частности, если n является единичным вектором в R ³ и R ( φ , n ), означает вращение вокруг оси через начало координат, заданное как n , с углом φ (измеренным в радианах, против часовой стрелки, если смотреть со стороны наконечника n ), затем

для каждого вектора x в R ³ .Перекрестное произведение с n , таким образом, описывает бесконечно малый генератор вращений около n . Эти бесконечно малые образующие образуют алгебру Ли , поэтому (3) группы вращений SO (3), и мы получаем результат, что алгебра Ли R ³ с кросс-произведением изоморфна алгебре Ли , поэтому ( 3). -1 [(vecA.vecB) / (AB)] `

(5) Скалярное произведение двух векторов будет максимальным, когда cos θ = 1, то есть θ = 0 °, т.е. когда векторы параллельны;

`(vecA. VecB) _» max «= AB`

(6) Скалярное произведение двух векторов будет минимальным, когда cos θ = -1, т.е. θ = 180 °.

`(vecA. VecB) _» min «= -AB`, когда векторы антипараллельны.

(7) Если два вектора vecA и vecB перпендикулярны друг другу, то их скалярное произведение vecA. vecB = 0, потому что cos 90 ° 0.2`. Здесь угол 0 = 0 °.

Величина или норма вектора `vecA` равна` | vecA | = A = sqrt (vecA. VecA.) `

(9) В случае единичного вектора `hatn`
` hatn. hatn` = 1 × 1 × cos 0 = 1. Например, `hati — hatj = hatj. hatj = шляпа. hatk = 1.`

(10) В случае ортогональных единичных векторов, hati, hatj и hatk, hati. hatj = hatj. hatk = шляпа. шляпа i = 1,1` cos 90 ° = 0

(11) В терминах компонентов скалярное произведение vecA и vecB можно записать как vecA.2) `

Свойства векторного произведения двух векторов:

(1) Векторное произведение любых двух векторов всегда является другим вектором, направление которого перпендикулярно плоскости, содержащей эти два вектора, т. Е. Ортогонально обоим векторам `vecA` и` vecB`, даже если векторы `vecA` и «vecB» может быть или не быть взаимно ортогональным.

(2) Векторное произведение двух векторов не коммутативно, т.е. `vecA xx vecB ≠ vecB xx vecA`. Но `vecA xx vecB = -vecB xx vecA.`

Здесь стоит отметить, что `| vecA xx vecB | = | vecB xx vecA | `= AB sin 0, т.е. в случае векторов-произведений` vecB = -vecB «и» vecB xx vecA «величины равны, но направления противоположны друг другу.

(3) Векторное произведение двух векторов будет иметь максимальную величину, когда sin 0 = 1, то есть 0 = 90 °, т.е. когда векторы vecA и vecB ортогональны друг другу.

`(vecA xx vecB) _» maz «= AB hatn = AB hatn`

(4) Векторное произведение двух ненулевых векторов будет минимальным, когда sin θ = 0, i.e θ = 0 ° или 180 ° `(vecA xx vecB) _» min «= 0`

и. е. векторное произведение двух ненулевых векторов обращается в нуль, если векторы параллельны или антипараллельны.

(5) Самостоятельное произведение вектора на себя — это нулевой вектор `vecA xx vecA` = AA sin 0 °` hatn` = `vec0` В физике нулевой вектор 0 просто обозначается как ноль.

(6) Таким образом, собственные векторные произведения единичных векторов равны нулю. `hati xx hati = hatj xx hatj = hatk xx hatk = 0`

(7) В случае ортогональных единичных векторов, hati, hatj, hatk, в соответствии с правилом правого винта:
hati xx hatj = hatk, hatj xx hatk = hati «и hatk xx hati = hatj`

Кроме того, поскольку перекрестное произведение не коммутативно, `hatj xx hati = -hatk.»th» `компоненты.

(9) Если два вектора `vecA` и` vecB` образуют смежные стороны параллелограмма, то величина `| vecA xx vecB |` даст площадь параллелограмма, как показано графически на рисунке.

`| vecA xx vecB | = | vecA | | vecB | sintheta`

Площадь параллелограмма

(10) Так как мы можем разделить параллелограмм на два равных треугольника, как показано на рисунке, площадь треугольника со сторонами `vecA` и` vecB` равна `1/2 | vecA xx vecB |`.Это показано на рисунке. Ряд величин, используемых в физике, определяется через векторные произведения. В частности, физические величины, представляющие вращательные эффекты, такие как крутящий момент, угловой момент, определяются через векторные произведения.

Площадь треугольника

Алгебра: Как сделать векторное произведение (кросс-произведение)

В векторном произведении векторов компоненты вектора объединяются для получения вектора. Векторное произведение двух векторов — это вектор, перпендикулярный обоим данным векторам.Векторное произведение в основном используется в физике. Векторное произведение также известно как «перекрестное произведение».

Математическое определение векторного произведения двух векторов a и b обозначается через axb и определяется следующим образом.

axb = | a | | б | Sin θ, где θ — угол между a и b .

Свойства векторного продукта:

1) axb — вектор.

2) Из определения векторного произведения имеем Sin θ = | axb | / | a | | б |

3) a и b параллельны, если axb = 0.

4) axb = -bxa

5) ixi = jxj = kxk = 0, где i , j и k — взаимно ортогональные единичные векторы вдоль x , y

64 — оси.

6) Перекрестное произведение является распределительным по сравнению с добавлением.

то есть ax (b + c) = axb + bxc

7) Для любого вектора m , (ma) xb = m (axb)

8) Если a = a ₁ i + a ₂ j + a ₃ k и b = b ₁ i + b ₂ j + b ₃ k, то axb может быть выражено как a определитель следующим образом.

ось =

(Это потому, что ixj = k, j.k = i и k.i = j)

Пример:

Если a = 3i + 2j + 5k и b = 2i — 6j + 4k, то найти axb

Решение:

По объекту № 8,

axb = = i (8-4) — j (12-10) + k (-18-4) = 4i = 2j -22k

Вам также нужна помощь со стандартными тестами? Взгляните на наши репетиторские услуги по подготовке к экзамену.

SchoolTutoring Academy — ведущая компания по оказанию образовательных услуг для школьников и школьников. Мы предлагаем учебные программы для учащихся K-12, AP и колледжей. Чтобы узнать больше о том, как мы помогаем родителям и ученикам в Саскачеване, посетите: Репетиторство в Саскачеване.

Векторный продукт, его свойства и значение… msa — msa

Вопрос 6: Объясните векторное произведение двух векторов.

Ответ

Определение векторного или перекрестного произведения

Векторное произведение двух векторов — это то, которое дает векторную величину.
Математически

× = AB sinθ

Если и — два вектора, которые нужно умножить векторно, то их результат — вектор.

Результирующий вектор перпендикулярен обоим и, а его величина равна произведению величин и на синус меньшего угла между ними. Направление результирующего вектора определяется правилом правой руки .

Важно отметить, что в отличие от скалярного произведения, перекрестное произведение является коммутативным , а не .Порядок векторов в продукте важен.
× ≠ ×

Свойства векторного продукта

Ниже приведены некоторые важные свойства векторного продукта.

• Векторный продукт не подчиняется свойству коммутативности.
  Если и — два вектора, то
  × ≠ ×
• Векторное произведение подчиняется свойству распределения.
  Если и — три вектора, то
  × (×) = (×) + (×)
• Если × = 0, то либо
  1. = 0
  2. = 0
  3. оба равны нулю
  4. Или угол между ними 0 °

Физическое значение продукта Vector

Продукт Vector имеет ключевое значение в изучении физики.Важные физические величины определяются с помощью векторного произведения.

• Крутящий момент определяется с помощью векторного произведения и.

• Угловой момент тела определяется векторным произведением.
• Площадь параллелограмма определяется с помощью векторного произведения. Если и — смежные стороны параллелограмма, а — его площадь, то

Кроме механики, векторное произведение также используется в других разделах физики.3 $ перекрестное произведение , обозначенное $ \ vec {u} \ times \ vec {v} $, дает новый вектор, перпендикулярный как $ \ vec {u} $, так и $ \ vec {v} $. Формула для вычисления перекрестного произведения: $ \ vec {u} \ times \ vec {v} = (u_ {2} v_ {3} — u_ {3} v_ {2}, -u_ {1} v_ {3} + u_ {3} v_ {1}, u_ {1} v_ {2} — u_ {2} v_ {1}) $.

Например, рассмотрим векторы $ \ vec {u} = (1, 2, 3) $ и $ \ vec {v} = (2, 3, 4) $. Чтобы вычислить перекрестное произведение $ \ vec {u} \ times \ vec {v} $, все, что нам нужно сделать, это применить формулу, чтобы получить $ \ vec {u} \ times \ vec {v} = (-1, 2 , -1) $.

Конечно, эту формулу довольно сложно запомнить, поэтому мы воспользуемся своего рода читом в качестве запоминающего устройства. Сначала создайте матрицу $ 2 \ times 3 $ $ A $, где первая строка представляет компоненты из $ \ vec {u} $, а вторая строка представляет компоненты из $ \ vec {v} $, то есть:

(1)

\ begin {align} A = \ begin {bmatrix} u_ {1} & u_ {2} & u_ {3} \\ v_ {1} & v_ {2} & v_ {3} \ end {bmatrix} \ end {align}

• Первый компонент перекрестного произведения будет определителем матрицы $ 2 \ times 2 $, полученной в результате удаления первого столбца $ A $, то есть $ \ begin {vmatrix} u_2 & u_3 \\ v_2 & v_3 \ конец {vmatrix} = u_2v_3 — u_3v_2 $.

• Второй компонент перекрестного произведения будет отрицательным определителя матрицы $ 2 \ times 2 $, который получается в результате удаления второго столбца $ A $, то есть $ — \ begin {vmatrix} u_1 & u_3 \\ v_1 & v_3 \ end {vmatrix} = -u_1v_3 + u_3v_1 $.

• Третий компонент перекрестного произведения будет определителем матрицы $ 2 \ times 2 $, полученной в результате удаления третьего столбца $ A $, то есть $ \ begin {vmatrix} u_1 & u_2 \\ v_1 & v_2 \ end {vmatrix} = u_1v_2 — u_2v_1 $. 2 $.3 $ и разверните формулы для скалярного произведения и перекрестного произведения, чтобы получить:

(3)

\ begin {align} \ quad \ vec {u} \ cdot (\ vec {u} \ times \ vec {v}) = (u_ {1}, u_ {2}, u_ {3}) \ cdot (u_ {2} v_ {3} — u_ {3} v_ {2}, -u_ {1} v_ {3} + u_ {3} v_ {1}, u_ {1} v_ {2} — u_ {2} v_ {1}) \\ \ quad \ vec {u} \ cdot (\ vec {u} \ times \ vec {v}) = u_ {1} [u_ {2} v_ {3} — u_ {3} v_ { 2}] — u_ {2} [u_ {1} v_ {3} + u_ {3} v_ {1}] + u_ {3} [u_ {1} v_ {2} — u_ {2} v_ {1} ] \\ \ quad \ vec {u} \ cdot (\ vec {u} \ times \ vec {v}) = u_ {1} u_ {2} v_ {3} — u_ {1} u_ {3} v_ { 2} — u_ {2} u_ {1} v_ {3} — u_ {2} u_ {3} v_ {1} + u_ {3} u_ {1} v_ {2} — u_ {3} u_ {2} v_ {1} \\ \ quad \ vec {u} \ cdot (\ vec {u} \ times \ vec {v}) = u_ {1} u_ {2} v_ {3} — u_ {1} u_ {3 } v_ {2} — u_ {1} u_ {2} v_ {3} — u_ {2} u_ {3} v_ {1} + u_ {1} u_ {3} v_ {2} — u_ {2} u_ {3} v_ {1} \\ \ quad \ vec {u} \ cdot (\ vec {u} \ times \ vec {v}) = 0 \\ \ blacksquare \ end {align}

Обратите внимание, что то же доказательство может быть применено для доказательства того, что $ \ vec {v} \ cdot (\ vec {u} \ times \ vec {v}) = 0 $.3 $, перекрестное произведение $ \ vec {u} \ times (\ vec {v} \ times \ vec {w}) = (\ vec {u} \ cdot \ vec {w}) \ vec {v} — ( \ vec {u} \ cdot \ vec {v}) \ vec {w} $.

• Доказательство: Рассмотрим следующую матрицу $ 2 \ times 3 $: $ \ begin {bmatrix} u_ {1} & u_ {2} & u_ {3} \\ u_ {2} v_ {3} — u_ {3} v_ {2} & -v_ {1} w_ {3} + v_ {3} w_ {1} & v_ {1} w_ {2} — v_ {2} w_ {1} \ end {bmatrix} $ . Если мы возьмем перекрестное произведение с этой матрицей, мы получим:

(4)

\ begin {align} \ quad \ vec {u} \ times (\ vec {v} \ times \ vec {w}) = (u_ {2} [v_ {1} w_ {2} — v_ {2} w_ {1}] + u_ {3} [v_ {1} w_ {3} + v_ {3} w_ {1}], u_ {3} [u_ {2} v_ {3} — u_ {3} v_ {2 }] — u_ {1} [v_ {1} w_ {2} — v_ {2} w_ {1}], -u_ {1} [v_ {1} w_ {3} + v_ {3} w_ {1} ] — u_ {2} [u_ {2} v_ {3} — u_ {3} v_ {2}]) \\ \ quad \ vec {u} \ times (\ vec {v} \ times \ vec {w} ) = (\ vec {u} \ cdot \ vec {w}) \ vec {v} — (\ vec {u} \ cdot \ vec {v}) \ vec {w} \\ \ blacksquare \ end {align}

Обратите внимание, что мы не раскрывали это полностью, однако можете проверить.3 $, часто умножается на $ \ vec {u} \ times (\ vec {v} \ times \ vec {w}) ≠ (\ vec {u} \ times \ vec {v}) \ times \ vec {w} $ .

Это легко увидеть с помощью единичных векторов. Отметим, что:

(5)

\ begin {align} \ vec {i} \ times (\ vec {j} \ times \ vec {j}) = \ vec {i} + \ vec {0} = \ vec {0} \ end {align}

Кроме того, если переставить векторы:

(6)

\ begin {align} (\ vec {i} \ times \ vec {j}) \ times \ vec {j} = \ vec {k} \ times \ vec {j} = — \ vec {i} \ end { align}

Поэтому ассоциативности явно нет.3 $ следует, что $ \ vec {u} \ times \ vec {0} = \ vec {0} \ times \ vec {u} = \ vec {0} $.

• Доказательство: Перекрестное произведение создает вектор, перпендикулярный обоим векторам перекрестного произведения, умноженным вместе. Однако нулевой вектор не имеет длины или направления. Следовательно, не существует вектора, перпендикулярного как некоторому вектору $ \ vec {u} $, так и нулевому вектору $ \ vec {0} $. Для соглашения мы говорим, что результатом является нулевой вектор, так как ему может быть присвоено любое направление, потому что он не имеет величины.3 $ следует, что $ \ vec {u} \ times \ vec {u} = \ vec {0} $.
  • Доказательство: Это доказательство также интуитивно понятно. Нулевому вектору может быть присвоено любое направление, несмотря на то, что он не имеет величины. Следовательно, это единственный вектор, который перпендикулярен самому себе от векторного произведения. $ \ blacksquare $

  Определение, аналитическое выражение и свойства скалярного произведения

  Скалярное произведение двух векторов $$ \ vec {u} $$ и $$ \ vec {v} $$, представленное как $$ \ vec {u} \ cdot \ vec {v} $$, является вещественное число, которое получается путем умножения величины $$ \ vec {u} $$ на величину $$ \ vec {v} $$ и косинус угла, образованного $$ \ vec {u} $$ и $$ \ vec {v} $$.\ circ $$$

  Эти два вектора перпендикулярны.

  Аналитическое выражение скалярного произведения:

  Учитывая $$ \ vec {u} = (u_1, u_2) $$ и $$ \ vec {v} = (v_1, v_2) $$, его скалярное произведение может быть записано как $$$ \ vec {u} \ cdot \ vec {v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 $$$

  Если $$ \ vec {u} = (3,1) $$ и $$ \ vec {v} = (2, -1) $$, то: $$$ \ vec {u} \ cdot \ vec {v} = 3 \ cdot2 + 1 \ cdot (-1) = 6-1 = 5 $$$

  Свойства скалярного произведения

  1. Скалярное произведение вектора и самого себя является положительным вещественным числом: $$ \ vec {u} \ cdot \ vec {u} \ geqslant 0 $$.Если $$ \ vec {u} \ cdot \ vec {u} = 0 $$, то $$ \ vec {u} = \ vec {0} $$.
  2. Скалярное произведение коммутативно: $$ \ vec {u} \ cdot \ vec {v} = \ vec {v} \ cdot \ vec {u} $$. Поскольку угол, образованный $$ \ vec {u} $$ и $$ \ vec {v} $$, равен $$ \ alpha $$, а угол, образованный $$ \ vec {v} $$ и $$ \ vec {u} $$ — это $$ — \ alpha $$, и мы знаем, что $$ \ cos (- \ alpha) = cos (\ alpha) $$.
  3. Скалярное произведение псевдоассоциативно: $$ \ alpha (\ vec {u} \ cdot \ vec {v}) = (\ alpha \ vec {u}) \ cdot \ vec {v} = \ vec {u} \ cdot (\ alpha \ vec {v}) $$, где $$ \ alpha $$ — действительное число.