Векторы. Основные сведения. Скалярное произведение векторов. Свойства скалярного произведения

§ 6. Векторы

Основные сведения

Длина вектора  вычисляется по формуле

.

Если ,  то вектор  имеет координаты

.

Пусть .  Тогда

,       , .

Косинусы углов, образованных вектором  с положительными координатными полуосями, называют направляющими косинусами вектора,

.

Вектор с координатами  сонаправлен с вектором  и имеет единичную длину.

Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением вектора  на вектор  называют число, обозначаемое ,

, где  – угол между векторами  и . Если даны координаты векторов, то скалярное произведение можно вычислить следующим образом:

.

Угол между векторами можно найти, используя формулу

.

Свойства скалярного произведения.

.

Векторное произведение векторов

Векторным произведением вектора  на вектор  называют вектор  со свойствами:

 Векторы   образуют правую тройку.

Векторное произведение вектора  на вектор  обозначают 

Свойства векторного произведения

;

Векторное произведение можно вычислить по формуле:

.

Примеры решения задач

Пример 1. . Найти направляющие косинусы вектора  .

Решение. .

.

Пример 2. Векторы  неколлинеарные, т.к. коллинеарность означает линейную зависимость этих векторов: , т.е. . Полученная система очевидно несовместна. Поэтому можно утверждать, что векторы  и  образуют

базис на плоскости. Пусть . Разложить вектор  по базису .

Решение.  .

Следовательно, вектор  имеет в базисе  координаты .

Пример 3. Даны точки . Найти косинус .

Решение. .

,

.

Пример 4. Даны точки . Найти площадь треугольника .

Решение.  

.

.

.

Задания для самостоятельного решения

1.  Векторы  и заданы геометрически. Построить векторы  

2.  Пусть  Вкаком случае вектор  параллелен биссектрисе угла  в треугольнике?

3.  В треугольнике   записать какой-либо вектор, параллельный биссектрисе угла .

4. Найти длину вектора  если:

1)  ;

2)  ;

3)  ;

4)  .

5. Найти координаты вектора если:

1)  ;

2)  ;

3)  ;

4)  ;

5)  .

6. Найти координаты точки, если:

1)  ;

2)  ;

3)  .

7. Пусть . Проверить справедливость равенства  .

8. Вычислить направляющие косинусы векторов .

9. Найти координаты векторов , если:

.

10. При каком  коллинеарны векторы  и ?

1) 

2) 

3) 

11. Убедиться в том, что векторы ,  образуют базис на плоскости. Найти разложение по базису  и  векторов

12. Найти скалярное произведение векторов  и , образующих угол :

1) 

2) 

3) 

4) 

13. Известно, что  Вычислить скалярные произведения векторов:

14. Вычислить скалярное произведение векторов  и :

1) 

2) 

3) 

4) 

5) 

15. Вычислить угол между векторами  и :

1) 

2) 

3)  .

16. Вычислить, при каком  векторы  и  перпендикулярны:

1) 

2) 

17. Найти углы треугольника , если:

1) 

2) 

18. Вычислить  если:

1)   и угол между ними ;

2) 

3) 

4) 

19. Вычислить    и  ,  если:

1) 

2) 

3) 

20. Найти площадь треугольника, если:

1) 

2) 

3) 

Свойства скалярного произведения или скалярного произведения

Свойство 1 :

Скалярное произведение двух векторов коммутативно.

При обычном определении

a вектор ⋅ b вектор  = |a||b|cos θ  = |b||a|cos θ = b ⋅ a

b = b ⋅ a

Свойство 2 :

Природа скалярного произведения.

Мы знаем, что 0 ≤ θ ≤ π

Если θ = 0, то a ⋅ b = ab

[Два вектора параллельны в одном направлении, тогда θ = 0]

Если θ = π, то a ⋅ b = −ab

[Два вектора параллельны в противоположных направлениях θ = π/2

• Если θ = π/2, то вектор ⋅ b вектор[Два вектора перпендикулярны θ = π/2].
• Если 0 < θ < π/2, то cos θ положителен и, следовательно, a ⋅ b положителен.
• Если π/2 < θ < π тогда cos отрицательно и, следовательно, a ⋅ b отрицательно.

Это вектор ⋅ вектор b равен

Свойство 3 :

Когда скалярное произведение двух векторов равно нулю?

вектор a ⋅ вектор b  =  0

, когда |a вектор| =  0 |(или) |b вектор| = 0 или θ = π/2

Свойство 4 :

Если скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю, то векторы перпендикулярны.

Для любых двух ненулевых векторов a вектор и вектор b, a ⋅ b = 0 вектор a перпендикулярен вектору b.

Свойство 5 :

Различные способы представления вектора ⋅ вектор b

вектор ⋅ вектор =|a вектор| ² = (вектор) ² = (вектор) ² = a ²

Эти представления необходимы при решении задач

Свойство 6 :

вектор ⋅ вектор b) = (вектор λμa) ⋅ вектор b = вектор ⋅ (вектор λμb)

Свойство 7 :

Скалярное произведение является дистрибутивным при сложении векторов.

То есть для любых трех векторов a, b, c.

вектор a (вектор b + вектор c) = a ⋅ b + a ⋅ c (левая дистрибутивность)

(вектор a + вектор b) ⋅ вектор c  = a ⋅ c + b ⋅ c (Правая дистрибутивность)

Затем

вектор ⋅ (вектор b − вектор c) = вектор ⋅ вектор b — вектор ⋅ вектор c

и (вектор a − вектор b) ⋅ вектор c = вектор a вектор ⋅ вектор c − вектор b ⋅ вектор c

Они могут быть расширены до любого количества векторов

Свойство 8 :

Тождества векторов :

Свойство 9 :

Рабочее правило для нахождения скалярного произведения двух векторов.

Пусть

Следовательно, скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений их соответствующих прямоугольных компонент.

Свойство 10 :

Угол между двумя векторами

Свойство 11 :

Для любых двух векторов и вектора b вектор

|a вектор + b вектор| ≤ |вектор| + |b вектор|

Мы знаем, что если вектор и вектор b являются двумя сторонами треугольника, то сумма вектора a + вектора b представляет собой третью сторону треугольника. Следовательно, по свойству треугольности |a вектор + b вектор| ≤ |вектор| + |b вектор|

Свойство 12 :

Для любых двух векторов и |a вектор ⋅ b вектор| ≤  |вектор| |b вектор|.

Если один из них нулевой вектор, то выполняется равенство. Итак, предположим, что оба вектора ненулевые.

Помимо всего вышеперечисленного, если вам нужны какие-либо другие материалы по математике, воспользуйтесь нашим пользовательским поиском Google здесь.

Пожалуйста, отправьте ваш отзыв на v4formath@gmail. com

Мы всегда ценим ваши отзывы.

©Все права защищены. онлайнmath5all.com

векторов — Свойства скалярного произведения

Задать вопрос

спросил 2 года, 2 месяца назад

Изменено 2 года, 2 месяца назад

Просмотрено 2к раз

$\begingroup$

Предположим, у нас есть три вектора $\textbf{A}$, $\textbf{B}$ и $\textbf{C}$. Если $\textbf{A}\cdot\textbf{C}=\textbf{B}\cdot\textbf{C}$, означает ли это, что $\textbf{A}$ должен быть равен $\textbf{B} $? Если да, то можно ли доказать это свойство?

Хотя вопрос в основном математический, он приходил мне в голову несколько раз, когда я изучал физику, и мне нужно хорошее объяснение.

\textbf{b}\textbf{E}\cdot д \ textbf {л}. $$ Так как, наконец, это верно для любые точка $\textbf{a}$ и $\textbf{b}$, подынтегральные выражения должны быть равны: $$ \bbox[10px,border:1px сплошной черный]{\textbf{E} = -\nabla V.}\tag{2.23} $$

В качестве примера такого случая я добавил отрывок из «Введения Гриффитса в электродинамику». При расчетах предполагалось, что ${\textbf{E}}$ равно $-\nabla V$, исходя из того, что $\textbf{E}\cdot d\textbf{l}=-(\nabla V)\cdot d\textbf{l}$ .

• векторы
• геометрия

$\endgroup$

11

$\begingroup$

От $$\vec{A}\cdot\vec{C}=\vec{B}\cdot\vec{C}$$ вы можете заключить $$\vec{A}\cdot\vec{C}-\vec{B}\cdot\vec{C}=0$$ или $$(\vec{A}-\vec{B})\cdot\vec{C}=0.$$ Однако это не обязательно означает $\vec{A}-\vec{B}=\vec{0}$.

Можно только сделать вывод (из определения скалярного произведения) что $\vec{A}-\vec{B}$ перпендикулярно $\vec{C}$.

$\endgroup$

1

$\begingroup$

Вот доказательство. Если $\mathbf{A}\cdot\mathbf{C} =\mathbf{B}\cdot\mathbf{C}$ для всех $\mathbf{C}$, то $(\mathbf{A}-\mathbf{ B})\cdot\mathbf{C} = 0$ для всех $\mathbf{C}$. В частности, мы можем выбрать $\mathbf{C} = \mathbf{A}-\mathbf{B}$ так, чтобы $(\mathbf{A}-\mathbf{B})\cdot(\mathbf{A}-\ mathbf{B})=0$. Поскольку скалярное произведение положительно определено, $\mathbf{v} \cdot \mathbf{v} = 0$, только если $\mathbf{v} = 0$. Мы заключаем, что $\mathbf{A} — \mathbf{B} = 0$, поэтому $\mathbf{A} = \mathbf{B}$.

$\endgroup$

1

$\begingroup$

Если для данных $\vec A$ и $\vec B$ справедливо равенство $\vec A\cdot\vec C = \vec B\cdot\vec C$ для всех векторов $\vec C$, или хотя бы для набора образующих (скажем, базиса), то мы можем заключить, что два вектора равны, иначе мы не можем.

Я попытаюсь сделать это правдоподобным: если взять стандартный базис $\{\vec e_x, \vec e_y, \vec e_z\}$ для вектора $\vec C$, то мы получим

$$\vec A\cdot\vec e_x = \vec B\cdot\vec e_x$$ $$\vec A\cdot\vec e_y = \vec B\cdot\vec e_y$$ $$\vec A\cdot\vec e_z = \vec B\cdot\vec e_z$$

Но $\vec A \cdot \vec e_i=A_i$, i-я компонента вектора. Итак, мы только что показали, что $A_x = B_x$, $A_y=B_y$ и $A_z=B_z$ и, следовательно, $\vec A = \vec B$.

С другой стороны, предположим, что равенство имеет место для первых двух базисных векторов, но не для последнего, $\vec e_z$, тогда мы знаем, что первые две компоненты $\vec A$ и $\vec B$ совпадают, но компоненты z не совпадают, поэтому два вектора не равны.

Подход работает для любой базы, не обязательно стандартной. Тогда вы получите компоненты относительно заданного базиса — если они все совпадают, то совпадают и векторы.

Это не строгое доказательство, но, возможно, поможет сделать утверждение интуитивно понятным.