Сумма нескольких векторов — презентация на Slide-Share.ru 🎓

1

Первый слайд презентации

Сумма нескольких векторов

Изображение слайда

2

Слайд 2

Сложение и вычитание векторов Правило треугольника Правило параллелограмма Разность векторов

Изображение слайда

3

Слайд 3

Правило многоугольника

Изображение слайда

4

Слайд 4

Задача. Построить вектор суммы попарно неколлинеарных векторов,,, и. Построение.

Изображение слайда

5

Слайд 5

Правило многоугольника

Изображение слайда

6

Слайд 6

Правило многоугольника

Изображение слайда

7

Слайд 7

а) Задача. Упростить выражения. б) в) г)

Изображение слайда

8

Слайд 8

Задача.,,, произвольные точки пространства. Представить вектор в виде алгебраической суммы векторов: а ),, б),, в),, Решение. а),, б),, в),,

Изображение слайда

9

Слайд 9

параллелепипед. а) б) в) г)

Изображение слайда

10

Слайд 10

параллелепипед. б) а)

Изображение слайда

11

Слайд 11

параллелепипед. б) а) в)

Изображение слайда

12

Слайд 12

параллелепипед. б) а) в) г)

Изображение слайда

13

Последний слайд презентации: Сумма нескольких векторов

Сумма нескольких векторов Правило многоугольника

Изображение слайда

Как найти сумму трех векторов

Сумма нескольких векторов

а ₁, а ₂, а ₃, … , а _n, это вектор, получающийся после ряда последовательных сложений: к вектору а ₁ прибавляется вектор а ₂, к полученному вектору прибавляется вектор а ₃ и т.д.

Из определения вытекает такое построение

Правило многоугольника или правило цепи

Из произвольного начала О строим вектор ОА ₁ = а ₁, из точки А ₁, как из начала, строим вектор А ₁ А ₂ = а ₂, из точки А ₂ строим вектор А ₂ А ₃ = а ₃ и т.д. Вектор ОА _n (на рисунке n = 6) есть сумма векторов а ₁, а

2, … , а _n.

Свойство сочетательности

Слагаемые векторы можно группировать как угодно.

Так, если найти сначала сумму векторов

и к ней прибавить вектор а ₁ ( ОА ₁), то получим то же вектор:

Правило параллелепипеда

Если три вектора а , b , с после приведения к общему началу не лежат в одной плоскости, то сумму а + b + c можно найти таким построением:

Из любого начала О строим векторы ОА = а , ОВ = b , ОС = с , на отрезках ОА , ОВ , ОС , как на ребрах, строим параллелепипед. Вектор диагонали OD есть сумма векторов a , b , и c (так как ОА = а , АК = ОВ = b , KD = OC = c и OD = OA + AK + KD ).

К векторам, которые (после приведения к общему началу) лежат в одной плоскости, это построение неприменимо.

Сложение векторов. Векторная сумма. Правила сложения векторов. Геометрическая сумма. Он-лайн калькулятор

В механике существуют два типа величин:

• скалярные величины, задающие некоторое числовое значение — время, температура, масса и т.д.
• векторные величины, которые вместе с некоторым числовым значением задают направление — скорость, сила и т.д..

Рассмотрим сначала алгебраический подход к сложению векторов.

Покоординатное сложение векторов.

Пусть даны два вектора, заданные покоординатно ( чтобы вычислить координаты вектора, нужно вычесть из соответствующих координат его конца соответствующие координаты его начала, т.е. из первой координаты — первую, из второй — вторую и т.д.):

Тогда координаты вектора, получившегося при сложении этих двух векторов вычисляются по формуле:

В двумерном случае все абсолютно анологично, просто отбрасываем третью координату.

Теперь перейдем к геометрическому смыслу сложения двух векторов: .

При сложении векторов нужно учитывать и их числовые значения, и направления. Есть несколько широко используемых методов сложения:

• правило параллелограмма
• правило треугольника
• тригонометрический способ

Правило параллелограмма.

Процедура сложения векторов по правилу параллелограмма заключается в следующем:

• нарисовать первый вектор, учитывая его величину и направление
• от начала первого вектора нарисовать второй вектор, также используя и его величину, и его направление
• дополнить рисунок до параллелограмма, считая, что два нарисованных вектора — это его стороны
• результирующим вектором будет диагональ параллелограмма, причем его начало будет совпадать с началом первого (а, значит, и второго) вектора.

Правило треугольника

Сложение векторов по правилу треугольника заключается в следующем:

• нарисовать первый вектор, используя данные о его длине ( числовой величине) и направлении
• от конца первого вектора нарисовать второй вектор, также учитывая и его размер, и его направление
• результирующим вектором будет вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец — с концом второго.

Тригонометрический способ

Результирующий вектор сложения двух компланарных векторов может быть вычислен с помощью теоремы косинусов:

F = числовое значение вектора

α = угол между векторами 1 и 2

Угол между результирующим вектором и одним из исходных векторов может быть вычислен по теореме синусов:

α = угол между исходными векторами

Пример — сложение векторов.

Сила 1 равна 5кН и воздействует на тело в направлении, на 80 o отличающемся от направления действия второй силы, равной 8 кН.

Результирующая сила вычисляется следующим образом:

F_рез = [ (5 кН) 2 + (8 кН) 2 — 2 (5 кН)(8 kН) cos(180 o — (80 o )) ] 1/2

Угол между результирующей силой и первой силой равен:

А угол между второй и результирующей силой можно посчитать следующим образом: as

α = arcsin [ (5 кН) sin(180 o — (80 o )) / (10,2 кН) ]

Он-лайн калькулятор сложения векторов.

Калькулятор ниже может быть использован для любвых векторных величин ( силы, скорости и т.д.) Точка начала вектора совпадает с началами обоих исходных векторов.

Консультации и техническая
поддержка сайта: Zavarka Team

На данном уроке мы изучим операции сложения и вычитания векторов, сформулируем правила треугольника и параллелограмма, кроме того, выведем законы сложения векторов.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Векторы и координаты»

Тема: Векторы

Урок: Сложение и вычитание векторов

1. Сумма двух векторов, правило треугольника

На предыдущем уроке мы определили понятие вектора, сказали, какие векторы называются равными, коллинеарными, сонаправленными и противонаправленными.

Теперь пусть задано два вектора – вектора

Данное определение можно объяснить так: пусть был задан груз, и сначала на него подействовала сила Для любых векторов – переместительный закон.

Доказательство: отложим из точки сначала вектор Теперь отложим из точки А сначала вектор

Читайте также:  Как получить максимальную скидку на вайлдберриз

закон сложения векторов и получили правило параллелограмма (см. Рис. 3).

Чтобы получить сумму двух векторов, нужно из произвольной точки отложить эти два вектора и построить на них параллелограмм. Диагональ параллелограмма, исходящая из начальной точки, и будет суммой заданных векторов.

В правой части выражения мы сначала получили сумму векторов

Чтобы сложить несколько векторов, нужно из произвольной точки отложить первый вектор, из его конца отложить второй вектор, из конца второго вектора отложить третий и так далее; когда все векторы отложены, соединив начальную точку с концом последнего вектора, получим сумму нескольких векторов (см. Рис. 6).

По аналогии с действительными числами после того, как мы научились их складывать, нужна обратная операция – вычитание.

Пусть задано два вектора – векторы Разностью двух векторов Если задан вектор Отложим из произвольной точки вектор

Рассмотрим вычитание векторов на параллелограмме. Из точки А отложим векторы

Итак, на данном уроке мы вывели правила сложения и вычитания векторов при помощи треугольника и параллелограмма, сформулировали законы сложения векторов.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Векторы в пространстве. Направление и модуль вектора. Равенство векторов. Действия над векторами. Сложение и вычитание векторов. Сумма нескольких векторов. Умножение вектора на число. П1

Данный модуль состоит из 5 заданий различного уровня сложности. Задания предназначены на отработку умений и навыков выделять равные и противоположные векторы, знать способы задания векторов, оперировать с ними и применять арифметические законы, выражать векторы через другие различными способами. При решении заданий Пользователю предоставляется возможность использовать подсказки. Все задания данного учебного модуля параметризированы. Это позволяет формировать индивидуальные задания для каждого учащегося.

Категория пользователей
Обучаемый, Преподаватель

Дисциплины
Математика / Векторы в пространстве. Направление и модуль вектора. Равенство векторов. Действия над векторами. Сложение и вычитание векторов. Сумма нескольких векторов. Умножение вектора на число

Уровень образования
Профессионально-техническая подготовка, повышение квалификации

Статус
Завершенный вариант (готовый, окончательный)

Тип ИР сферы образования
информационный модуль

Ключевые слова
стереометрия, векторы в пространстве, направление и

Издатель

ООО «Кирилл и Мефодий»

ООО «Кирилл и Мефодий»

Россия, 127549, Москва, стр.1, ул. Пришвина, 8

Тел. — +7-495- 787-2610, +7-495- 787-2610
Сайт — http://www.nmg.ru

Правообладатель

ООО «Кирилл и Мефодий»

ООО «Кирилл и Мефодий»

Россия, 127549, Москва, стр.1, ул. Пришвина, 8

Тел. — +7-495- 787-2610, +7-495- 787-2610
Сайт — http://www.nmg.ru

Внимание! Для воспроизведения модуля необходимо установить на компьютере проигрыватель ресурсов.

Характеристики информационного ресурса

Тип используемых данных:
text/plain, text/html, image/jpeg

Объем цифрового ИР
1 102 855 байт

Проигрыватель

Категория модифицируемости компьютерного ИР

Признак платности
бесплатный

Наличие ограничений по использованию
нет ограничений

Рубрикация

Ступени образования
Основное общее образование

Целевое назначение
Учебное

Тип ресурса
Открытая образовательная модульная мультимедийная система (ОМС)

Классы общеобразовательной школы
10

Уровень образовательного стандарта
Федеральный

Характер обучения
Базовое

Сложение векторов

ГЕОМЕТРИЯ.

УРОК: «СЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ»

Предмет: Геометрия

Тема: Сложение векторов

Класс: 9 класс
Педагог: Аширбекова Лариса Александровна, заместитель директора по воспитательной работе, учитель математики и информатики.

Учреждение образования: МОУ Шуринская средняя общеобразовательная школа Кемеровской области
Город: Кемеровская область

Учащиеся должны:
Знать, как находится сумма двух и нескольких векторов, законы сложения векторов; какие векторы называются противоположными.

Уметь строить сумму данных векторов, пользуясь правилом треугольника и параллелограмма, применять правила при решении задач.
Ход урока.

1. 
   Организационный момент: объяснить цели урока
   
2. 
   Проверка пройденного материала:
   

Тестирование:

1. Верно ли утверждение:

Если = , то и коллинеарны

да нет

2. № 751 (б). Определите вид четырехугольника АВСD, если:

, а векторы и не коллинеарны. (трапеция)

3. №748 (в).

В параллелограмме АВСD диагонали пересекаются в точке О. Равны ли векторы и

Да нет

III. Объяснение нового материала

План объяснения

1. Противоположные векторы

Определение:

Два вектора, имеющие равные модули и противоположные направления, называются противоположными.

Вектор, противоположный вектору , обозначается (- ) и (произносится «минус »).

На рисунке изображены противоположные векторы и , т.е. = и . Если =, то = —

2. Правило треугольника

Если переместить тело из точки А в точку В, а потом из точки В в точку С (Рисунок1), то суммарное перемещение из А в С представляется вектором . Так складывают векторы и :

+ =

В рассмотренном случае конец первого вектора является началом второго вектора . В общем случае векторы и складываются следующим образом ( рисунок справа). Сначала откладывают от какой-либо точки А вектор = , а потом от точки В вектор=. Тогда вектор представляет сумму векторов и : + = + =

3. Сумма двух векторов.

Итак, суммой двух векторов называется вектор, построенный по правилу треугольника.

В частности, если вектор складывается с противоположным ему вектором (-), то в сумме получается нулевой вектор: + (-) = 0. Складывая векторы и по правилу треугольника, мы поступали так:

Выбирали точку А, откладывали от нее =, затем от точки В откладывали вектор = и получали вектор = +. Покажем, что полученный таким образом результат, т.е. сумма векторов и не зависит от выбора точки А. Для этого выберем какую-нибудь точку А₁, отличную от точки А. По правилу треугольника построили векторы = и = .Требуется проверить, что векторы и АС равны. Действительно, т.к. = и =, то =, тогда АВВ₁А₁ — параллелограмм, отсюда АА₁ = ВВ₁. Аналогично из векторного равенства = вытекает, что = . Тогда т.к. два вектора и равны третьему вектору, то =. Следовательно,АСС₁А₁ — параллелограмм, отсюда =

При сложении векторов и имеют место следующие неравенства для модулей этих векторов:

 +     +  и  +    —  причем равенство  + =  —  достигается только в случае противоположно направленных векторов и .

Эти неравенства вытекают из неравенства треугольника для любых точек А,В и С ( в том числе и лежащих на одной прямой).

Анимация двух векторов.

4. Сложение векторов

При сложении векторов, как и при сложении чисел, выполняются переместительный и сочетательный законы. Кроме этого вы познакомитесь с правилом, по которому можно построить сумму двух неколлинеарных векторов.

5. Переместительный закон сложения.

Теорема: (Переместительный закон сложения векторов или коммутативность сложения)

Для любых векторов и справедливо равенство: + = +

Доказательство: Рассмотрим сначала случай коллинеарных векторов и . Тогда либо , либо . Если , то отложим на прямой а от произвольной точки А вектор = , а затем от точки В отложим вектор = . Тогда по определению = + . Теперь на прямой b а от произвольной точки А₁ отложим вектор =, затем =. Тогда по определению = +. , т.к.  =  +  =   +  и  =  + =  +.   и — скаляры, то

  + = +, поэтому =.

Если , то отложим на прямой а от произвольной точки А вектор = , а затем от точки В отложим вектор = . Тогда по определению = + . Теперь на прямой b а от произвольной точки А₁ отложим вектор =, затем =. Тогда по определению = +. , т.к.  =  +  =   - и  =  + =   - .   и — скаляры, то

   - =  - , поэтому =.

6. Правило параллелограмма

Правило параллелограмма.

Раньше, чтобы получить сумму векторов и , мы пользовались правилом треугольника. В доказательстве предыдущей теоремы мы получили правило параллелограмма: Если два вектора не коллинеарны, то их сумма представляется диагональю построенного на них параллелограмма. Итак, чтобы сложить неколлинеарные векторы и , нужно отложить от произвольной точки О вектор = и = и построить параллелограмм ОАСВ. Тогда = +

Тренажер

Укажи вектор, равный сумме двух векторов

7.Сочетательный закон умножения

Операция сложения векторов, как и операция сложения чисел, обладает и сочетательным свойством.

Теорема: (Сочетательный закон сложения, или ассоциативность сложения).Для любых , и справедливо равенство: ( + )+ = + (+)

Доказательство: Отложим от точки А вектор = , а затем от точки В — вектор = и от точки С — вектор=. Т.к. по правилу треугольника + =+=

И + =+=, то ( + )+ = (+)+=+ =

И + (+) = +(+)=+=. Итак, ( + )+ = + (+)

Теорема доказана.

Замечание: Сочетательный закон сложения векторов справедлив для любого числа векторов

Тренажер (отрабатываются навыки законов сложения)

Укажите недостающие значения в формулах.

8. Сумма нескольких векторов

Суммой нескольких векторов называется вектор, получающийся после ряда последовательных сложений: к первому вектору прибавляется второй, к полученному вектору прибавляется третий и т.д. Сумма векторов , , и обозначается так: ++ +. Из определения вытекает способ построения суммы нескольких векторов.

Построим, например, сумму ++ + векторов , , и. От произвольной точки О отложим вектор =, от точки А отложим вектор =, а затем от точки В — вектор =, наконец, от точки С — вектор =. Тогда, по определению, вектор — сумма векторов , , и или = ++ +.

Тренажер (показ анимации сложения пяти и семи векторов)
Выводы по теме:

1. Два вектора, имеющие равные модули и противоположно направленные, называются противоположными.

2. Суммой двух векторов называется вектор, построенный по правилу треугольника.

3. Правилом треугольника называется следующее последовательное построение: сначала откладывают от произвольной точки А вектор =, а потом от точки В — вектор =. Тогда = +

4. Если вектор складывается с противоположным ему вектором, то в сумме получится нулевой вектор.

5. Теорема (Переместительный закон сложения): Для любых векторов и справедливо равенство: +=+

6. Правило параллелограмма: если два вектора не коллинеарны, то их сумма представляется диагональю построенного параллелограмма.

7. Теорема(Сочетательный закон сложения): Для любых векторов и справедливо равенство: ( +)+ = +(+ ).

8. Суммой нескольких векторов называется вектор, получающийся после ряда последовательных сложений: к первому вектору прибавляется второй, к полученному вектору прибавляется третий.

9. Способ построения суммы нескольких векторов называется правилом многоугольника.

10. Если начало первого вектора совпадает с концом последнего, то суммой таких векторов будет нулевой вектор.

IV. Закрепление полученных знаний:

Тестирование:

1. Дан треугольник АВС. Выразите через векторы = и = вектор

А) —

Б) —

В) +

2. Векторы и отложены от точек А и А₁, причем = =, ==. Как называется фигура АСС₁А₁?

А) трапеция

б) параллелограмм

в) ромб

3. №770. Дан параллелограмм АВСD. Выразите вектор через векторы и, если =, =
а) =-
б) = —
в) =+
4. Какой вектор является суммой векторов , , и ?

А) Вектор

Б) Вектор

В) Вектор

V. Подведение итогов.
VI. Задание на дом: п.79-81, №№ 759, 761, 762 (а,в,г,д)

Свойства сложения векторов

{(x₁ + x₂) + x₃; (y₁ + y₂) + y₃}, т. е. {x₁ + x₂ + x₃; y₁ + y₂ + y₃}.

Такие же координаты имеет вектор + ( + ). Следовательно, ( + ) + = + ( + ). Теорема доказана.

Ненулевые векторы называют коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых; нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

Рассмотрим еще один способ обоснования справедливости равенства 1 для неколлинеарных векторов и .

Обратимся к рисунку 60, на котором от точки A отложены векторы = и = и построен параллелограмм ABCD. По правилу треугольника = + = + и = + = + . Следовательно, + = + .

Это доказательство дает нам еще один способ построения суммы двух неколлинеарных векторов и , который называется правилом параллелограмма: нужно отложить от какой-нибудь точки A векторы = и = и построить параллелограмм ABCD (см. рис. 60). Тогда вектор будет равен + . Это правило часто используется в физике, например при сложении двух сил.

Замечание. Из доказанной теоремы следует, что сумма нескольких векторов не зависит от того, в каком порядке они складываются. На рисунке 61 показано построение суммы трех векторов: от произвольной точки A отложен вектор = , от точки B отложен вектор = , а от точки C отложен вектор = . В результате получился вектор, равный
+ +

Аналогичным образом можно построить сумму четырех, пяти, шести (рис. 62) и вообще любого числа векторов. Такой способ построения суммы нескольких векторов называется правилом многоугольника.

Правило многоугольника можно сформулировать и так: если A₁, A₂, …, A_n — произвольные точки плоскости, то

Подчеркнем, что это равенство справедливо для любых точек A₁, A₂, …, A_n, в частности, в том случае, когда некоторые из них совпадают. Например, если точка A₁ совпадает с точкой A_n, то сумма данных векторов равна нулевому вектору.

Пользуясь правилами сложения векторов упростите выражение мс

Прежде чем приступить к тематике статьи, напомним основные понятия.

Вектор – отрезок прямой, характеризующийся численным значением и направлением. Вектор обозначается строчной латинской буквой со стрелкой сверху. При наличии конкретных точек границ обозначение вектора выглядит как две прописные латинские буквы (маркирующие границы вектора) также со стрелкой сверху.

Нулевой вектор – любая точка плоскости, обозначается как нуль со стрелкой сверху.

Длина вектора – величина, равная или большая нуля, определяющая длину отрезка, составляющего вектор.

Коллинеарные векторы – лежащие на одной прямой или на параллельных прямых. Не выполняющие это условие векторы называют неколлинеарными.

Сложение двух векторов

Исходные данные: векторы a → и b → . Для выполнения над ними операции сложения необходимо из произвольной точки undefined отложить вектор A B → , равный вектору а → ; из полученной точки undefined – вектор В С → , равный вектору b → . Соединив точки undefined и C , получаем отрезок (вектор) А С → , который и будет являться суммой исходных данных. Иначе описанную схему сложения векторов называют правилом треугольника.

Геометрически сложение векторов выглядит так:

– для неколлинеарных векторов:

– для коллинеарных (сонаправленных или противоположнонаправленных) векторов:

Сложение нескольких векторов

Взяв за основу описанную выше схему, мы получаем возможность произвести операцию сложения векторов в количестве более 2: поочередно прибавляя каждый последующий вектор.

Исходные данные: векторы a → , b → , c → , d → . Из произвольной точки А на плоскости необходимо отложить отрезок (вектор), равный вектору a → ; затем от конца полученного вектора откладывается вектор, равный вектору b → ; далее – по тому же принципу откладываются последующие векторы. Конечной точкой последнего отложенного вектора будет точка B , а полученный отрезок (вектор) A B → – суммой всех исходных данных. Описанную схему сложения нескольких векторов называют также правилом многоугольника .

Геометрически оно выглядит следующим образом:

Отдельной схемы действия по вычитанию векторов нет, т.к. по сути разность векторов a → и b → есть сумма векторов a → и – b → .

Умножение вектора на число

Чтобы произвести действие умножения вектора на некое число k , необходимо учитывать следующие правила:
– если k > 1 , то это число приведет к растяжению вектора в k раз;
– если 0 k 1 , то это число приведет к сжатию вектора в 1 k раз;
– если k 0 , то это число приведет к смене направления вектора при одновременном выполнении одного из первых двух правил;
– если k = 1 , то вектор остается прежним;
– если одно из множителей – нулевой вектор или число, равное нулю, результатом умножения будет нулевой вектор.

Исходные данные:
1) вектор a → и число k = 2 ;
2) вектор b → и число k = – 1 3 .

Геометрически результат умножения в соответствии с указанными выше правилами будет выглядеть следующим образом:

Свойства операций над векторами

Описанным выше операциям над векторами присущи свойства, некоторые из которых очевидны, а прочие можно обосновать геометрически.

Исходные данные: векторы a → , b → , c → и произвольные действительные числа λ и μ .

1. Свойство коммутативности: a ⇀ + b → = b → + a → .
   
2. Свойство ассоциативности: ( a → + b → ) + c → = a → + ( b → + c → ) .
   
3. Свойство использования нейтрального элемента по сложению (нулевой вектор 0 → ⃗). Это очевидное свойство: a → + 0 → = a →
4. Свойство использования нейтрального элемента по умножению (число, равное единице): 1 · a → = a → . Это очевидное свойство, не предполагающее никаких геометрических преобразований.
5. Любой ненулевой вектор a → имеет противоположный вектор – a → и верным является равенство: a → + ( – a → ) = 0 → . Указанное свойство – очевидное.
6. Сочетательное свойство операции умножения: ( λ · µ ) · a → = λ · ( µ · a → ) . Например, растяжение вектора при умножении на число 10 можно произвести, сначала растянув вектор в 2 раза, а затем полученный результат еще в 5 раз. Также возможен вариант умножения на число 10 при сжатии вектора в 5 раз и последующего растяжения полученного результата в 50 раз.
7. Первое распределительное свойство (очевидно): ( λ + µ ) · a → = λ · a → + µ · a → .
8. Второе распределительное свойство: λ · ( a → + b → ) = λ · a → + λ · b → .
   Геометрически это свойство определяется подобием треугольников:
   

Свойства коммутативности и ассоциативности дают возможность складывать векторы в произвольном порядке.

Перечисленные свойства операций позволяют осуществлять необходимые преобразования векторно-числовых выражений аналогично привычным числовым. Рассмотрим это на примере.

Задача: упростить выражение a → – 2 · ( b → + 3 · a → )
Решение
– используя второе распределительное свойство, получим: a → – 2 · ( b → + 3 · a → ) = a → – 2 · b → – 2 · ( 3 · a → )
– задействуем сочетательное свойство умножения, выражение приобретет следующий вид: a → – 2 · b → – 2 · ( 3 · a → ) = a → – 2 · b → – ( 2 · 3 ) · a → = a → – 2 · b → – 6 · a →
– используя свойство коммутативности, меняем местами слагаемые: a → – 2 · b → – 6 · a → = a → – 6 · a → – 2 · b →
– затем по первому распределительному свойству получаем: a → – 6 · a → – 2 · b → = ( 1 – 6 ) · a → – 2 · b → = – 5 · a → – 2 · b → Краткая запись решения будет выглядеть так: a → – 2 · ( b → + 3 · a → ) = a → – 2 · b → – 2 · 3 · a → = 5 · a → – 2 · b →
Ответ: a → – 2 · ( b → + 3 · a → ) = – 5 · a → – 2 · b →

Reshak.ru – сборник решебников для учеников старших классов. Здесь можно найти решебники, ГДЗ, переводы текстов по школьной программе. Практически весь материал, собранный на сайте – сделанный для людей. Все решебники выполнены качественно, с приятной навигацией. Вы сможете скачать гдз, решебник английского, улучшить ваши школьные оценки, повысить знания, получить намного больше свободного времени.

Главная задача сайта: помогать школьникам в решении домашнего задания. Кроме того, весь материал гдз совершенствуется, добавляются новые сборники решений.

Информация

© adminreshak.ru

Ответ оставил Гость

Если твой вопрос не раскрыт полностью, то попробуй воспользоваться поиском на сайте и найти другие ответы по предмету Геометрия.

Как складывать много векторов?

Как складывать много векторов?

Вам уже известны правила сложения и вычитания двух векторов. Чтобы сложить два неколлинеарных вектора и по правилу треугольника, нужно от некоторой точки А отложить вектор , равный вектору . Далее от точки B отложить вектор , равный вектору . Вектор является вектором суммы двух векторов и .

В чем заключается правило многоугольника сложения двух векторов?

Сумму нескольких векторов получаем так: складываем первый и второй вектор, затем к их сумме прибавляем третий вектор и т. … Из закона сложения векторов следует, что сумма нескольких векторов не зависит от того, в каком порядке они складываются. Такой приём сложения нескольких векторов называется правилом многоугольника.

В чем заключается правило многоугольника когда его используют?

Из закона сложения векторов следует, что сумма нескольких векторов не зависит от того, в каком порядке они складываются. Такой приём сложения нескольких векторов называется правилом многоугольника.

В чем заключается правило параллелограмма сложения двух неколлинеарных вектора?

Два неколлинеарных вектора откладываются из одной точки(О), на их основе стороится параллелограмм (т. е. параллельно данным векторам строятся 2 отрезка), тогда его диагональ и является искомым вектором, начало которого находится в точке О.

Как называется правило сложения двух неколлинеарных векторов?

Правило сложение двух векторов, получаемое из определения суммы векторов обычно называют «правилом треугольника». Рис. … Из определения суммы можно получить правило сложения для неколлинеарных векторов, именуемое «правилом параллелограмма», если вектор параллельно перенести в начало вектора (рис. 2.

Как называется правила сложения двух неколлинеарных векторов?

Два коллинеарных вектора называются сонаправленными, если их направления совпадают. Если их направления противоположны, то они называются противоположно направленными. Правила сложения коллинеарных векторов: … Тогда их сумма – вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец – с концом второго (рис.

Как построить сумму векторов по правилу треугольника?

Если векторы a → и b → отложить последовательно друг за другом (начало вектора b → попадает в конец вектора a → ), то вектор суммы c → соединяет начало одного вектора с концом второго вектора. Запись: a → + b → = c → или AB → + BC → = AC → .

Как найти сумму векторов по правилу треугольника параллелограмма?

Правило треугольника и правило параллелограмма находят сумму двух векторов, но как сложить несколько векторов? Чтобы сложить несколько векторов, необходимо сложить первый вектор со вторым, затем сложить их сумму с третьим вектором и так далее.

Как найти сумму векторов по правилу параллелограмма?

Правило параллелограмма Чтобы получить сумму двух векторов, нужно из произвольной точки отложить эти два вектора и построить на них параллелограмм. Диагональ параллелограмма, исходящая из начальной точки, и будет суммой заданных векторов.

Как найти разность векторов по правилу треугольника?

Легче запомнить, как найти разность векторов a → и b → , следующим образом:

1. векторы нужно привести к общему началу A;
2. соединить конечные точки B и C;
3. отметить направление вектора разности от конечной точки уменьшителя к конечной точке уменьшаемого вектора.

Как изобразить разность векторов?

Легче запомнить, как найти разность векторов a → и b → , следующим образом:

1. векторы нужно привести к общему началу A;
2. соединить конечные точки B и C;
3. отметить направление вектора разности от конечной точки уменьшителя к конечной точке уменьшаемого вектора.

Какой вектор называют разницей двух векторов?

Разностью x-y векторов x и y называется вектор z такой, что z+y=x.

Как умножать вектора друг на друга?

Векторы можно умножать не только на числа, но и друг на друга. Скалярным произведением векторов называется произведение длин векторов на косинус угла между ними. Обратите внимание — перемножили два вектора, а получился скаляр, то есть число.

Как найти середину координат?

Формулы вычисления расстояния между двумя точками:

1. Формула вычисления координат середины отрезка с концами A(xa, ya) и B(xb, yb) на плоскости: xc = xa + xb yc = ya + yb …
2. Формула вычисления координат середины отрезка с концами A(xa, ya, za) и B(xb, yb, zb) в пространстве: xc = xa + xb yc = ya + yb zc = za + zb

Как найти середину отрезка на координатной плоскости?

Расстояние между точками определяется модулем разницы их координат, т. е. Из первого равенства выведем формулу для координаты точки C : xC=xA+xB2 x C = x A + x B 2 (полусумма координат концов отрезка). Полученная формула будет основой для определения координат середины отрезка на плоскости или в пространстве.

Как найти середину отрезка 7 класс?

Из концов отрезка как из центров радиусом больше половины отрезка циркулем чертят полуокружности. Так как радиус больше половины отрезка, полуокружности пересекаются по обе стороны от отрезка. Место пересечения отрезка, соединяющего точки пересечения полуокружностей, и заданного отрезка, и есть середина.

Как найти середину отрезка?

Для нахождения середины отрезка на плоскости можно сначала построить две дуги равного (и достаточно большого) радиуса с центрами в концах отрезка, а затем через точки пересечения этих дуг провести прямую. Точка, где полученная прямая пересекает отрезок, является его серединой.

Как найти середину отрезка с помощью циркуля и линейки?

Циркулем проводим окружности с центром в точках A и B радиусом AB. Находим точки пересечения P и Q двух построенных окружностей (дуг). По линейке проводим отрезок или линию, проходящую через точки P и Q. Находим искомую середину отрезка AB — точку пересечения AB и PQ.

Как найти длину отрезка?

Исходя из теоремы Пифагора, делаем вывод: для того чтобы найти длину данного отрезка, нужно найти длины проекций на две оси координат. Найдем длины проекций (X и Y) исходного отрезка на координатные оси. Их вычислим путем нахождения разницы координат точек по отдельной оси: X = X2-X1, Y = Y2-Y1.

Сложение векторов

С векторами и над векторами можно выполнять множество математических операций. Одна из таких операций — сложение векторов. Два вектора можно сложить вместе, чтобы определить результат (или результирующий). Этот процесс добавления двух или более векторов уже обсуждался в предыдущем разделе. Вспомните в нашем обсуждении законов движения Ньютона, что чистая сила , испытываемая объектом, была определена путем вычисления векторной суммы всех индивидуальных сил, действующих на этот объект.То есть чистая сила была результатом (или результатом) сложения всех векторов силы. Во время этого блока правила суммирования векторов (например, векторов силы) оставались относительно простыми. Обратите внимание на следующие суммы двух векторов силы:

Эти правила суммирования векторов были применены к диаграммам свободного тела, чтобы определить результирующую силу (т. Е. Векторную сумму всех отдельных сил). Примеры приложений показаны на схеме ниже.

В этом модуле задача суммирования векторов будет расширена на более сложные случаи, когда векторы направлены в направлениях, отличных от чисто вертикального и горизонтального направлений. Например, вектор, направленный вверх и вправо, будет добавлен к вектору, направленному вверх и влево. Векторная сумма будет определена для более сложных случаев, показанных на диаграммах ниже.

Существует множество методов для определения величины и направления результата сложения двух или более векторов.В этом уроке будут обсуждаться два метода, которые будут использоваться на протяжении всего модуля:

Теорема Пифагора

Теорема Пифагора — полезный метод для определения результата сложения двух (и только двух) векторов , образующих прямой угол друг к другу. Этот метод не применим для добавления более двух векторов или для сложения векторов , а не под углом 90 градусов друг к другу.Теорема Пифагора — это математическое уравнение, которое связывает длину сторон прямоугольного треугольника с длиной гипотенузы прямоугольного треугольника.

Чтобы увидеть, как работает метод, рассмотрим следующую задачу:

Эрик покидает базовый лагерь и отправляется в поход на 11 км на север, а затем на 11 км на восток. Определите результирующее смещение Эрика.

В этой задаче требуется определить результат сложения двух векторов смещения, расположенных под прямым углом друг к другу.Результат (или результат) ходьбы на 11 км на север и 11 км на восток — это вектор, направленный на северо-восток, как показано на диаграмме справа. Поскольку смещение на север и смещение на восток расположены под прямым углом друг к другу, теорема Пифагора может использоваться для определения результирующей (то есть гипотенузы прямоугольного треугольника).

Результат сложения 11 км, север плюс 11 км, восток — вектор с величиной 15,6 км. Позже будет обсуждаться метод определения направления вектора.

Давайте проверим ваше понимание с помощью следующих двух практических задач. В каждом случае используйте теорему Пифагора, чтобы определить величину векторной суммы . По завершении нажмите кнопку, чтобы просмотреть ответ.

Использование тригонометрии для определения направления вектора

Направление результирующего вектора часто можно определить с помощью тригонометрических функций.Большинство студентов вспоминают значение полезной мнемоники SOH CAH TOA из своего курса тригонометрии. SOH CAH TOA — мнемоника, которая помогает запомнить значение трех общих тригонометрических функций — синуса, косинуса и тангенса. Эти три функции связывают острый угол в прямоугольном треугольнике с отношением длин двух сторон прямоугольного треугольника. Функция синуса связывает меру острого угла с отношением длины стороны, противоположной углу, к длине гипотенузы.Функция косинуса связывает меру острого угла с отношением длины стороны, прилегающей к углу, к длине гипотенузы. Функция касательной связывает меру угла с отношением длины стороны, противоположной углу, к длине стороны, примыкающей к углу. Три уравнения ниже суммируют эти три функции в форме уравнения.

Эти три тригонометрические функции могут быть применены к задаче туриста, чтобы определить направление общего перемещения туриста.Процесс начинается с выбора одного из двух углов (кроме прямого) треугольника. После выбора угла любую из трех функций можно использовать для определения меры угла. Напишите функцию и выполните соответствующие алгебраические шаги, чтобы найти меру угла. Работа представлена ​​ниже.

После определения меры угла можно определить направление вектора. В этом случае вектор составляет угол 45 градусов относительно востока.Таким образом, направление этого вектора записывается как 45 градусов. (Вспомните ранее в этом уроке, что направление вектора — это угол поворота против часовой стрелки, который вектор совершает относительно востока.)

Расчетный угол не всегда соответствует направлению

Мера угла, определенная с помощью SOH CAH TOA, равна , а не всегда направлению вектора. Следующая векторная диаграмма сложения является примером такой ситуации.Обратите внимание, что угол внутри треугольника определен как 26,6 градуса с использованием SOH CAH TOA. Этот угол представляет собой угол поворота на юг, который вектор R делает по отношению к Западу. Тем не менее, направление вектора, выраженное условным обозначением CCW (против часовой стрелки с востока), составляет 206,6 градуса.

Проверьте свое понимание использования SOH CAH TOA для определения направления вектора, попробовав следующие две практические задачи.В каждом случае используйте SOH CAH TOA для определения направления результирующего. По завершении нажмите кнопку, чтобы просмотреть ответ.

В приведенных выше задачах величина и направление суммы двух векторов определяется с помощью теоремы Пифагора и тригонометрических методов (SOH CAH TOA). Процедура ограничивается добавлением двух векторов, образующих прямые углы друг к другу .Когда два вектора, которые должны быть добавлены, не находятся под прямым углом друг к другу, или когда необходимо сложить более двух векторов, мы будем использовать метод, известный как метод сложения векторов голова к хвосту. Этот метод описан ниже.

Использование масштабированных векторных диаграмм для определения результата

Величину и направление суммы двух или более векторов можно также определить с помощью точно нарисованной масштабированной векторной диаграммы.Используя масштабированную диаграмму, метод «голова к хвосту» используется для определения векторной суммы или результата. Обычная физическая лаборатория включает векторной прогулки . Либо используя смещения сантиметрового размера на карте, либо смещения метрового размера на большой открытой местности, ученик выполняет несколько последовательных смещений, начиная с назначенной начальной позиции. Предположим, вам дали карту вашего района и 18 направлений, по которым вам нужно следовать. Начиная с исходной базы , эти 18 векторов смещения могут быть добавлены вместе последовательно, чтобы определить результат сложения набора из 18 направлений.Возможно, первый вектор измеряется 5 см, восток. Когда это измерение закончится, начнется следующее измерение. Процесс будет повторяться для всех 18 направлений. Каждый раз, когда одно измерение заканчивалось, начиналось следующее измерение. По сути, вы использовали бы метод сложения векторов «голова к хвосту».

Метод «голова к хвосту» включает рисование вектора для масштабирования на листе бумаги, начиная с заданной начальной позиции.Там, где заканчивается голова этого первого вектора, начинается хвост второго вектора (таким образом, метод «голова-к-хвосту» ). Процесс повторяется для всех добавляемых векторов. После того, как все векторы были добавлены по направлению «голова к хвосту», результирующий результат протягивается от хвоста первого вектора к началу последнего вектора; т.е. от начала до конца. Как только результат нарисован, его длину можно измерить и преобразовать в реальных единиц, используя заданный масштаб. Направление полученного результата можно определить, используя транспортир и измерив его угол поворота против часовой стрелки с востока.

Пошаговый метод применения метода «голова к хвосту» для определения суммы двух или более векторов приведен ниже.

1. Выберите масштаб и укажите его на листе бумаги. Наилучший выбор масштаба — такой, при котором диаграмма будет как можно больше, но при этом умещается на листе бумаги.
2. Укажите начальную точку и нарисуйте первый вектор в масштабе в указанном направлении. Обозначьте величину и направление шкалы на диаграмме (например,г., МАСШТАБ: 1 см = 20 м).
3. Начиная с того места, где заканчивается голова первого вектора, нарисуйте второй вектор для масштабирования в указанном направлении. Обозначьте величину и направление этого вектора на диаграмме.
4. Повторите шаги 2 и 3 для всех добавляемых векторов
5. Нарисуйте результат от хвоста первого вектора к началу последнего вектора. Обозначьте этот вектор как Resultant или просто R .
6. Используя линейку, измерьте длину полученного результата и определите его величину путем преобразования в действительные единицы с помощью шкалы (4.4 см х 20 м / 1 см = 88 м).
7. Измерьте направление результирующей, используя условные обозначения против часовой стрелки, о которых говорилось ранее в этом уроке.

Пример использования метода «голова к хвосту» проиллюстрирован ниже. Задача заключается в сложении трех векторов:

20 м, 45 град. + 25 м, 300 град. + 15 м, 210 град.

МАСШТАБ: 1 см = 5 м

Метод «голова к хвосту» используется, как описано выше, и определяется результат (выделен красным).Его величина и направление обозначены на схеме.

МАСШТАБ: 1 см = 5 м

Интересно, что порядок, в котором добавляются три вектора, не влияет ни на величину, ни на направление результирующего. Результирующий по-прежнему будет иметь ту же величину и направление. Например, рассмотрим сложение тех же трех векторов в другом порядке.

15 м, 210 град.+ 25 м, 300 град. + 20 м, 45 град.

МАСШТАБ: 1 см = 5 м

При сложении в этом другом порядке эти же три вектора по-прежнему дают результат с той же величиной и направлением, что и раньше (20. м, 312 градусов). Порядок, в котором векторы добавляются с использованием метода «голова к хвосту», не имеет значения.

МАСШТАБ: 1 см = 5 м

Дополнительные примеры сложения векторов методом «голова к хвосту» приведены на отдельной веб-странице.

Мы хотели бы предложить … Иногда просто прочитать об этом недостаточно. Вы должны с ним взаимодействовать! И это именно то, что вы делаете, когда используете один из интерактивных материалов The Physics Classroom. Мы хотели бы предложить вам совместить чтение этой страницы с использованием нашего интерактивного приложения «Назови этот вектор», интерактивного элемента «Сложение векторов» или «Интерактивной игры по угадыванию векторов». Все три интерактивных элемента можно найти в разделе «Интерактивная физика» на нашем веб-сайте и обеспечить интерактивный опыт с навыком добавления векторов.

Добавление векторов — свойства, законы, решенные примеры

Добавление векторов означает объединение двух или более векторов. В дополнение к векторам мы добавляем два или более вектора, используя операцию сложения, чтобы получить новый вектор, равный сумме двух или более векторов.Сложение векторов находит свое применение в физических величинах, где векторы используются для представления скорости, смещения и ускорения.

В этой статье давайте узнаем о сложении векторов, их свойствах и различных законах с решенными примерами.

Что такое сложение векторов?

Векторы представлены как комбинация направления и величины и написаны с помощью алфавита и стрелки над ними. Два вектора, \ (\ vec a \) и \ (\ vec b \), могут быть сложены вместе с помощью векторного сложения, и результирующий вектор может быть записан как \ (\ vec a \) + \ (\ vec b \ ).Прежде чем изучать свойства сложения векторов, нам нужно знать об условиях, которые должны соблюдаться при добавлении векторов. Условия следующие:

• Векторы можно добавлять только в том случае, если они имеют одинаковую природу. Например, к ускорению нужно добавить только ускорение, а не массу
.
• Мы не можем складывать векторы и скаляры вместе

Рассмотрим два вектора C и D. Где C = Cxi + Cyj + Czk и D = Dxi + Dyj + Dzk.Тогда результирующий вектор R = C + D = (Cx + Dx) i + (Cy + Dy) j + (Cz + Cz) k

Свойства сложения векторов

Сложение векторов отличается от алгебраического сложения. Вот некоторые из важных свойств, которые следует учитывать при сложении векторов:

Свойство	Пояснение
Наличие идентичности	Для любого вектора \ (\ vec v \), \ [\ vec v + \ vec 0 = \ vec v \] Здесь вектор \ (\ vec 0 \) — аддитивная единица.
Наличие инверсии	Для любого вектора \ (\ vec v \), \ [\ vec v + \ left ({- \ vec v} \ right) = \ vec 0 \] и, следовательно, аддитивный обратный существует для каждого вектора.
Коммутативность	Сложение коммутативно; для любых двух произвольных векторов \ (\ vec c \, \, {\ rm {and}} \, \, \ vec d \), \ [\ vec c \, + \ vec d \, = \ vec d + \ vec c \]
Ассоциативность	Сложение ассоциативное; для любых трех произвольных векторов \ (\ vec i, \ vec j \, \, {\ rm {and}} \, \, \ vec k \), \ [\ vec i + \ left ({\ vec j + \ vec k \,} \ right) = \ left ({\ vec i + \ vec j} \ right) + \, \, \ vec k \] и.д, порядок добавления значения не имеет.

Добавление векторов графически

Сложение векторов может быть выполнено с использованием графических и математических методов. Эти методы следующие:

1. Сложение векторов с использованием компонентов
2. Закон сложения векторов треугольника
3. Параллелограмм Закон сложения векторов

Сложение векторов с использованием компонентов

Векторы, представленные в декартовых координатах, можно разложить на вертикальные и горизонтальные составляющие.Например, вектор \ (\ vec A \) под углом Φ, как показано на приведенном ниже изображении, может быть разложен на его вертикальные и горизонтальные компоненты как:

На изображении выше

• \ (A_ {x} \), представляет компонент вектора \ (\ vec A \) вдоль горизонтальной оси (ось x), а
• \ (A_ {y} \), представляет компонент вектора \ (\ vec A \) вдоль вертикальной оси (ось y).

Мы можем отметить, что три вектора образуют прямоугольный треугольник и что вектор \ (\ vec A \) может быть выражен как:

\ (\ vec A \) = \ (A_ {x} \) + \ (A_ {y} \)

Математически, используя величину и угол данного вектора, мы можем определить компоненты вектора.

\ (A_ {x} \) = A cos Φ

\ (A_ {y} \) = грех Φ

Для двух векторов, если заданы его горизонтальная и вертикальная составляющие, то результирующий вектор может быть вычислен. Например, если указаны значения \ (A_ {x} \) и \ (A_ {y} \), то мы сможем вычислить угол и величину вектора \ (\ vec A \) как следует:

| \ (\ vec A \) | = √ ((\ (A_ {x} \)) 2 + (\ (A_ {y} \)) 2)

А угол можно найти как:

Φ = загар-1 (\ (A_ {y} \) / \ (A_ {x} \))

Отсюда можно сделать вывод, что:

• Если компоненты вектора предоставлены, то мы можем определить результирующий вектор
• Аналогичным образом мы можем определить компоненты вектора, используя приведенные выше уравнения, если вектор предоставлен

Аналогично, мы можем выполнить сложение векторов, используя их компоненты, если эти векторы выражены в упорядоченных парах i.e векторов-столбцов. Например, рассмотрим два вектора \ (\ vec P \) и \ (\ vec Q \).

\ (\ vec P \) = (p1, p2)

\ (\ vec Q \) = (q1, q2)

Результирующий вектор \ (\ vec M \) может быть получен путем сложения векторов двух векторов \ (\ vec P \) и \ (\ vec Q \) путем сложения соответствующих компонент x и y этих двух векторов. .

\ (\ vec M \) = \ (\ vec P \) + \ (\ vec Q \)

\ (\ vec M \) = (p1 + q1, p2 + q2).

Это можно явно выразить как:

\ (M_ {x} \) = p1 + q1

\ (M_ {y} \) = p2 + q2.

Формула величины для определения величины результирующего вектора \ (\ vec M \): | \ (\ vec M \) | = √ ((\ (M_ {x} \)) 2 + (\ (M_ {y} \)) 2)

И угол можно вычислить как Φ = tan-1 (\ (M_ {y} \) / \ (M_ {x} \))

Закон сложения векторов треугольника

Известный закон треугольника можно использовать для сложения векторов, и этот метод также называется методом «голова к хвосту». Согласно этому закону, два вектора можно сложить вместе, поместив их вместе таким образом, чтобы голова первого вектора соединялась с хвостом второго вектора.Таким образом, соединив хвост первого вектора с головой второго вектора, мы можем получить вектор результирующей суммы. Сложение векторов по закону треугольника может производиться следующими шагами:

• Сначала два вектора \ (\ vec M \) и \ (\ vec N \) помещаются вместе таким образом, что голова вектора \ (\ vec M \) соединяет хвост вектора \ (\ vec N \).
• Затем, чтобы найти сумму, результирующий вектор \ (\ vec S \) рисуется таким образом, чтобы он соединял хвост \ (\ vec M \) с головой \ (\ vec N \ ).
• Таким образом, математически сумма или результирующий вектор \ (\ vec S \) на приведенном ниже изображении может быть выражена как \ (\ vec S \) = \ (\ vec M \) + \ (\ vec N \).

Таким образом, когда два вектора \ (\ vec M \) и \ (\ vec N \) складываются с использованием закона треугольника, мы видим, что треугольник образован двумя исходными векторами \ (\ vec M \) и \ (\ vec N \) и вектор суммы \ (\ vec S \).

Параллелограмм Закон сложения векторов

Другой закон, который можно использовать для сложения векторов, — это параллелограммный закон сложения векторов.Возьмем два вектора \ (\ vec p \) и \ (\ vec q \), как показано ниже. Они образуют две смежные стороны параллелограмма по своей величине и направлению. Сумма \ (\ vec p \) + \ (\ vec q \) представлена ​​по величине и направлению диагональю параллелограмма, проходящей через их общую точку. Это параллелограммный закон сложения векторов.

На приведенном выше рисунке, используя закон треугольника, можно сделать следующие выводы:

Вектор OP + Вектор PR = Вектор OR

Vector OP + Vector OQ = Vector OR, так как Vector PR = Vector OQ

Отсюда можно сделать вывод, что треугольные законы сложения векторов и параллелограммные законы сложения векторов эквивалентны друг другу.

Как найти сумму векторов в R

Чтобы вычислить сумму векторов в R, используйте функцию sum (). Метод sum () возвращает сумму всех элементов, присутствующих в его аргументах. Если это вектор, он вернет сумму всех элементов вектора.

Сумма в R

Функция sum () в R вычисляет сумму числового входного вектора. Метод sum () помогает найти сумму группы, сумму определенного столбца фрейма данных.

Синтаксис

  sum (x, na.rm = FALSE,…)  

Параметры

1. x: числовой вектор.
2. RM: следует ли удалять NA; в противном случае возвращается NA.

Пример функции суммы в R

Начнем с вектора. Вектор в R — это тип данных для сохранения нескольких элементов в R. Давайте найдем сумму векторов.

  rv <- c (11, 19, 21, 18, 46)

# вычисляет сумму значений
sum (rv)  

Здесь мы определили вектор и использовали метод sum () для вычисления суммы всех элементов вектора.Смотрите вывод.

Передача значения NA в функцию sum ()

Если NA присутствует в элементах вектора, вы не можете получить желаемый результат.

  rv <- c (11, 19, NA, 18, 46)

# вычисляет сумму rv вектора
сумма (rv)
  

Вывод

Что ж, мы не ожидали вывода NA . Иногда ваш набор данных может содержать значения « NA », то есть « Not Available ».

Итак, если вы сложите значения, включая NA , метод sum () вернет NA вместо вывода числового суммирования.

Но мы можем решить эту проблему, минуя na.rm = TRUE.

  rv <- c (11, 19, NA, 18, 46)

# Вычисляет сумму значений
sum (rv, na.rm = TRUE)  

Выход

sum () DataFrame в R

Чтобы найти сумму кадра данных в R, используйте функцию sum (). Определите data.frame и выполните функцию sum () для столбца.

  студент <- data.frame (name = c («Солнечный», «Миа», «Кортни», «Оливия», «Святой»),
                      enrollno = c (11, 18, 19, 29, 46),
                      возраст = c (32, 31, 32, 27, 30))


печать (студент)
  

Выход

  RScript Pro.р
   имя записаться без возраста
1 Солнечный 11 32
2 миа 18 31
3 Кортни 19 32
4 Оливия 29 27
5 Святой 46 30
  

Найдем сумму столбца enrollno (переменная).

  студент <- data.frame (name = c («Солнечный», «Миа», «Кортни», «Оливия», «Святой»),
                       enrollno = c (11, 18, 19, 29, 46),
                       возраст = c (32, 31, 32, 27, 30))

сумма (студент $ enrollno)  

Чтобы получить доступ к столбцу, введите $ , а затем имя столбца .Здесь мы находим сумму значений столбца enrollno . См. Вывод ниже.

Вычислить сумму по столбцам

Если вы хотите получить сумму определенных столбцов, используйте функцию mapply () . Функция mapply () вычисляет сумму необходимых столбцов.

  студент <- data.frame (name = c («Солнечный», «Миа», «Кортни», «Оливия», «Святой»),
                      enrollno = c (11, 18, 19, 29, 46),
                      возраст = c (32, 31, 32, 27, 30))

mapply (сумма, студент [, c (2, 3)])
  

Выход

Сумма столбца enrollno составляет 123, а возраст - 152.В нашем фрейме данных у нас есть два столбца с числовыми значениями; поэтому это не дало нам ошибки. Если каждый столбец не является числовым, он выдаст ошибку.

Сумма столбца по группе в R

В R используется встроенная функция aggregate () для нахождения суммы столбца по группе.

  студент <- data.frame (name = c («Солнечный», «Миа», «Кортни», «Оливия», «Святой»),
                      enrollno = c (11, 18, 19, 29, 46),
                      возраст = c (32, 31, 32, 27, 30))

совокупный (x = студент $ enrollno,
 by = list (имя студента $),
 FUN = сумма)  

Выход

  Группа.1 х
1 Святой 46
2 Кортни 19
3 Миа 18
4 Оливия 29
5 Солнечный 11
  

В этом примере функция aggregate () вместе с функцией sum () вычисляет сумму группы. Здесь вычисляется сумма столбца «enrollno» для «name» .

Заключение

Метод R sum () используется для нахождения суммы элементов в векторе. В этом руководстве показано, как найти сумму векторов, фрейма данных и его различных вариантов.

Просмотры сообщений: 495

Сложение векторов и матриц

Термин вектор применяется к элементам пространства, для которых определены две операции - сложение и умножение на скаляр. Определение кажется круглым, но на самом деле это не так. Сначала устанавливаются аксиомы векторного пространства для двух операций, определенных для его элементов. Потом, когда-нибудь позже (и мимоходом 🙂 упоминается, что принято называть элементы векторного пространства векторов.

Существенная часть изучения векторных пространств посвящена существованию базисов и представлению векторов в различных базисах. Для данного векторного пространства все базы имеют одинаковую мощность. Когда базисы конечны (и, следовательно, имеют одинаковое количество элементов), пространство называется конечномерным, а его элементы можно отождествить с $ n- \ mbox {tuples} $ $ (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}).

долларов США.

Было бы гораздо менее интересно, но все же возможно, начать с n -элементов и определить сложение покомпонентно, как это было сделано для комплексных чисел.При таком определении сразу становится очевидным, что комплексные числа могут быть отождествлены с $ 2- \ mbox {vectors}. $ Компонентное сложение имеет очень простую физическую и геометрическую интерпретацию. Если вектор рассматривается как стрелка, исходящая из одной из его конечных точек, то для добавления вектора к вектору нужно сдвигать один вектор до тех пор, пока его начало не совпадет с концом другого вектора. Их сумма - это вектор, соединяющий их свободные концы - от начала одного до конца другого. Это называется правилом параллелограмма.Правило параллелограмма подразумевает, что сложение векторов коммутативно.

Матрицы - это векторы, компоненты которых расположены в прямоугольном массиве, а не в одной строке или столбце. Матрица $ m \ times n $ (читается как "$ m $ by $ n $"), таким образом, представляет собой массив $ (a_ {ij}) $, где $ i $ изменяется от $ 1 $ до $ m $, тогда как $ j $ колеблется от От $ 1 $ до $ n. $ Более подробно:

$ \ begin {массив} a_ {11} & a_ {12} & a_ {13} & \ ldots & a_ {1n} \\ a_ {21} & a_ {22} & a_ {23} & \ ldots & a_ {2n} \\ a_ {31} & a_ {32} & a_ {33} & \ ldots & a_ {3n} \\ & \ ldots \\ a_ {m1} и a_ {m2} и a_ {m3} & \ ldots & a_ {mn} \ end {array} $

, в котором есть $ m $ строк и $ n $ столбцов.Понятно, что если мы снова определим сложение матриц покомпонентно, операция будет как ассоциативной, так и коммутативной. Нулевая матрица - это матрица со всеми компонентами $ 0. $

Определение только сложения векторов и матриц является несправедливым как для векторных, так и для матричных пространств. Оба имеют гораздо более глубокую алгебраическую структуру. Как я уже упоминал, векторы можно умножать на скаляры. Кроме того, существует скалярных , векторных и тензорных произведений. Для матриц у нас есть матричные и тензорные произведения, а также умножение на вектор.

Прямая сумма векторных пространств

Сбор чисел в n-кортежи можно абстрагировать еще одним способом. Пусть это два векторных пространства $ X_ {1} $ и $ X_ {2}. $ Тогда мы можем рассматривать пары элементов $ (x_ {1}, x_ {2}) $ с первым компонентом из первого пространства и вторым со второго. Набор всех таких кортежей известен как прямая сумма пробелов $ X_ {1} $ и $ X_ {2}. $ Количество пробелов может конечно быть произвольным. Если мы решим рассматривать кортеж кортежей как один длинный кортеж, полученный путем исключения скобки от «внутренних» кортежей, операция прямой суммы станет ассоциативной.Если, кроме того, мы соглашаются идентифицировать векторные пространства, базы которых имеют одинаковую мощность, операция прямой суммы станет коммутативным. В другом месте мы рассмотрели прямую сумму Булевы алгебры.

Добавление функций

Функция - это соответствие $ f $ между элементами пространства $ X $ и элементами пространства $ Y $, такое, что любой элемент $ x $ из $ X $ имеет уникальный соответствующий элемент $ y $ из $ Y $, который обозначается $ y = f (x). $ Если $ Y $ - это набор чисел, функция называется numeric .Если $ Y = \ mathbb {R}, $ набор всех действительных чисел, функция называется real . Ниже приводится широко используемое сокращение для «функции $ f $ от $ X $ до $ Y $»

.

$ f: X \, \ rightarrow Y. $

Две функции $ f $ и $ g $ равны, если они определяют одно и то же соответствие, $ f (x) = g (x), $ для всех $ x \ in X. $ Можно добавлять числовые функции. Например, пусть

$ f, g: \, X \ rightarrow \ mathbb {R} $

- две действительные функции. Тогда

$ f + g: \, X \ rightarrow \ mathbb {R} $

по определению является другой действительной функцией $ (f + g) $ такой, что

$ (е + д) (х) = е (х) + д (х).$

Значение суммы - это сумма значений. Обратите внимание, что, как правило, для произвольной функции $ f, $ ее значение в одной точке никоим образом не зависит от ее значений в других точках. Говорят, что сумма функций определяется поточечно . Из-за этого некоторые свойства сложения чисел наследуются добавлением функций. Коммутативность является одним из примеров:

$ (е + г) (х) = е (х) + г (х) = г (х) + е (х) = (г + е) (х) $.

Следовательно,

$ f + g = g + f $.

Ассоциативность показана аналогичным образом. Также легко определить $ -f $, обратный элемент для $ f $. В самом деле, если $ (- f) (x) = -f (x), $, то $ f + (-f) = 0, $, где $ 0 $ - это функция нуля , то есть функция, которая принимает одно значение $ 0 $ для всех $ x: $ 0 (x) = 0. $

Стоит отметить, что векторы - это функции, определенные на конечных множествах. Если $ \ mathbf {f} = (f_ {1}, \ ldots, f_ {n}), $, тогда

$ \ mathbf {f}: \ {1, \ ldots, n \} \ rightarrow Y, $

, и мы можем рассматривать $ f_ {i}, $ $ i = 1, \ ldots, n $, как более распространенное в этом контексте, чем $ f (i) $.(Существует Java-апплет, иллюстрирующий операции сложения и вычитания функций.)

Стоит отметить, что определения точечно, и , покомпонентно, на самом деле совпадают. Действительно, предположим, что $ X = {1, 2, \ ldots, n}. $ Тогда функция $ f: X \ rightarrow \ mathbb {R} $ однозначно определяется своими $ n $ значениями $ f (1), f (2), \ ldots, f (n). $ Мы должны обозначить их как $ f_ {1}, f_ {2}, \ ldots, f_ {n} $ и записать их в строке как вектор $ (f_ {1}, f_ {2}, \ ldots, f_ {n}).{X}.

долларов США

Следует также отметить, что функции становятся интересными, когда пространства $ X $ и $ Y $ топологичны. В этом случае можно указать, что значения, которые функция принимает в около точек в $ X $, равны около друг друга в $ Y. $ Функции, удовлетворяющие этому условию, называются непрерывными . Для непрерывных функций значения $ f (x) $ больше не являются независимыми. Сумма двух непрерывных функций снова непрерывна.

Функции

Что можно добавить?

1. Что такое дополнение?
2. Добавление цепей
3. Сложение уравнений
4. Добавление функций
5. Сложение чисел
6. Добавление наборов
7. Добавление фигур
8. Добавление пространств
9. Добавление строк
10. Добавление векторов

| Контакты | | Первая страница | | Содержание | | Вверх |

Copyright © 1996-2018 Александр Богомольный

Страница не найдена | MIT

Перейти к содержанию ↓

• Образование
• Исследовательская работа
• Инновации
• Прием + помощь
• Студенческая жизнь
• Новости
• Выпускников
• О Массачусетском технологическом институте
• Подробнее ↓
  • Прием + помощь
  • Студенческая жизнь
  • Новости
  • Выпускников
  • О Массачусетском технологическом институте

Меню ↓ Поиск Меню Ой, похоже, мы не смогли найти то, что вы искали!
Попробуйте поискать что-нибудь еще! Что вы ищете? Увидеть больше результатов

Предложения или отзывы?

векторная сумма

векторная сумма Сложение векторов Лаборатория

Часть I - онлайн

Назначение: В этом Поэкспериментируя сложите два вектора.A и B. Вы выполните это дополнение на компьютерном моделировании, тогда вы проверите свои ответы с расчетом по тригонометрии. Нажмите здесь для теоретического фона.

Уравнения

Нажмите здесь для примера триггера

	Ax = -50 Ay = 0 Bx = -50cos (60) = - 25 By = 50 sin (60) = 50 (0.87) = 43,6

---

---

Направление:

1. Существует два метода формирования вектора
   1. 1. Щелкните левой кнопкой мыши в любом месте внутри окна для формирования вектора A или B
      1. исходят из центра окна

      2. Перетащите левую мышь и поднимите ее. кнопка для формирования вектора A или B

      1. исходят из того места, где вы впервые нажали кнопку

         Вектор переместится в центр окна.

2. Программа покажет вам, как сложить два вектора A, и B в C
3. нажмите кнопку сбросить или щелкните правой кнопкой мыши кнопку мыши сбросить.
   1. Параметры сбрасываются до значений по умолчанию.
4. установите флажок информация , чтобы показать больше информации.
   1. Компоненты X, Y каждого вектора...

Процедура

Сила A = 50 г при 0 градусах Сила B = 100 г при 120 градусах

Сила A = 50 г при 30 градусах Сила B = 100 г при 240 градусах

Найдите R векторов A + B.Используйте компьютер. моделирование, чтобы найти сумму. Проверьте свои ответы с помощью аналитический метод.Для каждой проблемы заполните таблицу данных. Для аналитическим методом, обрисуйте каждую проблему и то, как использовались все уравнения и расчеты.

Метод	Magintude	Направление
Экспериментальный:
Компонент:
Графический:

---

Метод	Magintude	Направление
Экспериментальный:
Компонент:
Графический:

Часть II - Эксперимент в классе с таблицей силы

---

Учебное пособие по сложению векторов

Чтобы просмотреть КАЛЬКУЛЯТОР сложения векторов, щелкните здесь.Учебное пособие по сложению векторов Скалярные величины имеют только величина. (Примеры - температура и объем). Величины вектора имеют звездную величину и направление . (Примеры скорость и сила). Физическое сложение векторов На диаграмме внизу слева мы видим 3 вектора с соответствующими величинами и углами. Чтобы добавить их, мы всегда должны соединять векторы «голова к хвосту» и результат вектор (который представляет собой векторную сумму) рисуется от хвоста первого вектора к голове последнего вектора (см. справа сторона диаграммы ниже).В этом примере, используя линейку и транспортир, мы можем получить Результирующий вектор величиной около 11 и углом 102 °. В приведенном выше примере мы продемонстрировали добавление векторов физически путем их рисования и измерения. В реальном мире нам нужна гораздо большая точность. (Однако вы узнали важную концепцию из , визуализирующих добавление вектора ). Математическое сложение векторов В этом разделе мы добавим те же векторы математически .Для этого мы сначала должны разложить каждый вектор на его горизонтальный и вертикальные компоненты. На графике слева мы видим, что: X = горизонтальная составляющая = величина * Cos (θ) Y = вертикальная составляющая = величина * Sin (θ) (Примечание: на этой диаграмме угол представлен греческим буква θ или «тета». В математике и естественных науках углы обычно обозначаются как таковые). X = 3 * Cos (45 °) X = 3 * 0,707106781186547 ... = 2.12132034355964 Y = 3 * Sin (45 °) Y = 3 * 0.707106781186547 ... = 2.12132034355964 Переход к следующему вектору: В данном случае горизонтальная составляющая отсутствует. X = 6 * Cos (90 °) X = 6 * 0 = 0 Y = 6 * Sin (90 °) Y = 6 * 1 = 6 А для конечного вектора: X = 5 * Cos (150 °) X = 5 * -0,866025403784439 = -4,33012701892219 Y = 5 * Sin (150 °) Y = 5 * 0,5 = 2,5 Теперь суммируем горизонтальные компоненты (значения X): X sum = 2.12132034355964 + 0 -4,33012701892219 = -2,20880667536255 Суммируя вертикальные компоненты (значения Y): Сумма Y = 2,12132034355964 + 6 + 2,5 = 10,62132034355964 Мы определяем звездную величину результирующий вектор по теореме Пифагора: Величина 2 = X 2 + Y 2 Величина 2 = -2,20880667536255 2 + 10,62132034355964 2 87882692912616 + 112.812445840514 Звездная величина 2 = 117.69127276964 Звездная величина = 10.848560861683 Теперь нам нужно определить направление результирующий вектор и формула: ArcTangent (Результирующий вектор) = (Ysum / Xsum) ArcTangent (результирующего вектора) = 10,62132034355964 -2,20880667536255) ArcTangent (результирующего вектора) = -4.8086237976514 Теперь мы всего в одном шаге от определения направления вектора. На этом этапе мы должны осторожно выбирайте правильный угол для результирующего вектора . Например, если мы найдем арктангенс -4,8086237976514, обычный калькулятор даст ответ -78,25222928 градусов. Глядя на диаграмму, мы видим, что этот угол равен расположен в квадранте IV. (То есть, головка угла или вектора указывает на квадрант IV.) Конечно, мы знаем, что когда мы добавили векторы физически , мы обнаружили, что голова вектор должен лежать в квадранте II.Так как функция касательной повторяется каждые 180 °, добавляя это к -78,25222928, мы получаем 101,74777070718541 градус, что действительно лежит в Квадранте II и, следовательно, это правильный угол. Другой способ определить квадрант, в котором точки результирующего вектора - посмотреть на арктангенс формула. Эта формула делит значение «Y» на значение «X». Итак, если «Y» и «X» положительны, это квадрант. I. Если «Y» положительно, а «X» отрицательно (как в случае этого примера), головка вектора указывает на Квадрант II.Итак, мы уверены, что ответ - . Угол = 101,747770718541 градус Вернуться к векторному калькулятору Вернуться на главную страницу Авторские права © 1999 - 1728 Программные системы

.