Сложение векторов на плоскости: Построение вектора на плоскости и в пространстве. Векторы на плоскости и в пространстве. Базис системы векторов — RC74 — интернет-магазин радиоуправляемых моделей

Содержание

Сложение и вычитание векторов | matematicus.ru

Сложение векторов по правилу параллелограмма

Правило параллелограмма

Если слагаемые a и b не коллинеарны, то

c=a+b

Сложение векторов по правилу треугольника

Правило треугольника

Суммой векторов a (на рисунке зелёный вектор) и b (на рисунке синий вектор) называется третий вектор c (на рисунке красный вектор) , получаемый следующее построение:

Примечание
Нельзя смешивать понятие «сумма отрезков» с понятием «сумма векторов».

Правило параллелепипеда

Если три вектора a, b, c после приведения к общему началу не лежат в одной плоскости , то их сумма равна диагонали параллелепипеда

d=a+b+c

Сложение противоположных векторов

Сумма противоположных векторов равна нуль-вектору, т.е.

a+(-a)=0

Свойство переместительности (переместительный закон)

От перестановки слагаемых сумма векторов не меняется.

с=a+b= b+a

Сочетательное свойство (сочетательный закон)

Слагаемые векторы можно группировать как угодно.

a+(b+c+d) = a+b+c+d

Вычесть вектор а (вычитаемое) из вектора b (уменьшаемое) значит найти новый вектор

x (разность), который в сумме с вектором а даёт вектор b.
Разность векторов обозначается: a-b
Вычитание есть действие обратное сложению (сложение векторов).
Вычитание векторов показаны на рисунках ниже:

Примечание
Модуль разности может быть меньше модуля «уменьшаемого», но может быть и больше или равен ему. Эти случаи показаны на рисунке выше.

Векторы на плоскости — презентация онлайн

1. Векторы на плоскости

2. Примеры из физики

F- сила
v- скорость
s- перемещение

3. Понятие вектора

Отрезок, для которого указано,
какой из
его концов считается началом,
а какой – концом, называется
вектором.
В
А
АВ
n

4. Нулевой вектор

Любая точка на плоскости
может
рассматриваться
как вектор.
Такой вектор называется
нулевым.
М
ММ =

5. Длина вектора

Длиной ненулевого
вектора АВ
называется длина отрезка
АВ.
В
|АВ|=|а|
а
А
0
|0|=

6. Коллинеарность векторов

Два ненулевых вектора называются
коллинеарными, если они лежат на
одной
прямой или на параллельных
прямых.
q
р
r

7. Сонаправленные векторы

Два коллинеарных вектора
называются сонаправленными,
если у них совпадают
направления.
q
р
q↑↑

8. Противоположно направленные векторы

Два коллинеарных вектора
называются
противоположно направленными,
если
они не сонаправлены.
а
b
a↑↓
b

9. Равные векторы

Векторы называются равными,
если
они сонаправлены и их длины
равны.
q
р
q↑↑
р
|q|=|р|
q=р

10. Откладывание вектора от данной точки

От любой точки М можно
отложить вектор, равный данному
вектору а, и притом только один.
А
a
М
В
N

11. Сложение векторов

q
O
р
р
q
р+
q
Правило треугольника

12. Правило треугольника

В
А
С
АВ + ВС = АС

13. Сложение векторов

q
q
O
р
р
р+
q
Правило параллелограмма

14. Сложение нескольких векторов

р
+
р
r
q
O
q
q
r
+
r
р
Правило многоугольник

15. Свойства сложения

а+ =b+
− переместительный закон
b
a
(а + b) + = (b + с) +
−
сочетательный
закон
с
a
а − = a +(−
− разность векторов

16. Вычитание векторов

р
q−
p
q
O
−
р
q
Правило треугольника

17. Вычитание векторов

q
O
р
р
q−
p
q
Правило треугольника

18. Умножение вектора на число

q
2
q
—
q
5
,
0
Свойства
умножения
(k
k(n
=
− сочетательный
n)а
a) закон
k(а + = ka +
− первый
распределительный
b)
kb
закон
(k +
ka
+
=
− второй распределительный

20. Применение векторов к решению задач

21. Задача 1.

Доказать:
ОВ)
А
1
ОС =
2
М
С
О
Дано: АВ,
С АВ, АС = ВС,
О – произв.
точка
(ОА +
плоскости
В
1
ОС = ОМ
2
=
1
2
= (ОА +
ОВ)

22. Задача 2.

Доказать:
MN AВ DC =
O
В
A
Дано:
АВСD –
трапеция,
М ВС, N AD,
О BM = MC, AN =
ND
M
N
C
D

23. Средняя линия трапеции

Теорема линия
Средняя
трапеции
параллельна основаниям и равна их
полусумме.
B
M
A
C
N
D

Линейное пространство

Мысль изреченная есть ложь.

(Ф.И. Тютчев «Silentium!» 1830 г.)

Линейное пространство.

Линейное пространство обобщает понятие векторного пространства

, порожденного, в свою очередь, множеством обычных векторов на плоскости или в пространстве (обычном трехмерном) и действия с ними!

1. Векторы на плоскости или в пространстве. Напомним определение и действия с обычными векторами. Вектором является прямолинейный отрезок АB, имеющий определенную величину – длину отрезка |АB| и определенное направление – от начальной точки A к конечной точке В.

Часто вектор обозначается одной буквой, например, . В литературе буквы, обоз-

начающие вектор, могут быть набраны полужирным шрифтом без стрелки сверху: a. На рисунке вектор изображается отрезком, имеющим длину, равную длине вектора, а направление вектора показывается стрелкой, указывающей на конец вектора:

Мы будем обозначать длину вектора так: , . В литературе встречаются и такие виды записи: AB, a.

Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной прямой или на параллельных прямых. Коллинеарность векторов и будем обозначать так: . Если коллинеарные векторы имеют одно направление, то мы будем называть их сонаправ-ленными и записывать это так: , в противном случае векторы – противонаправлены, что записывается так: .

Определение. Два вектора называются равными, если они сонаправлены и равны по длине.

Отсюда вытекает, что если = то параллельный перенос, переводящий точку

A в точку А′, переведет точку B в точку B′, и наоборот.

Вектор , у которого начало и конец совпадают, мы будем называть нулевым, обозначать и считать его направление произвольным. Длина его, конечно, равна нулю. Из определения равенства векторов следует, что все нулевые векторы равны между собой, т.е. нулевой вектор один, что оправдывает запись.

Пример. Рассмотрим параллелограмм ABCD. Можно легко увидеть из построения, что = , = , = , = , = = = = (проверьте).

2. Линейные операции над векторами. Введем, теперь, две линейные операции: умножение вектора на число и сложение (вычитание) векторов.

Определение. Произведением вектора на число α называется вектор , у которого длина определяется произведением:

| | = | α |∙||,

а направление выбирается так:

, если α ≥ 0 и , если α ≤ 0.

В этом случае мы пишем = α или = α ∙.

Из этого определения сразу следует, что 1∙= , 0∙= и почти сразу, что α∙(β)= (α∙β).

Задача. ||=3. Найдите : и ||=2. Для получения нужной длины, вектор надо умножить либо на , либо на . Ответ: , , причем , а .

В общем случае, получаем связь коллинеарности и умножения вектора на число:

Возьмем произвольный вектор . Тогда

причем множитель λ однозначно соответствует вектору ( см. задачу).

Определение. Вектор называется единичным или ортом, если || = 1.

Если нам дан вектор ≠ , то из него можно получить сонаправленный единичный вектор (отнормировать), разделив его на длину: .

Введем теперь операцию сложения векторов:

Определение. Суммой двух векторов и называется вектор, который получается из данных так: начало первого вектора помещают в произвольную точку A, затем начало второго вектора помещают в конец первого — точку B и, наконец, проводят суммарный вектор из точки A в конец второго вектора — точку C , замыкая треугольник ∆ABC. Вектор и есть сумма векторов и :

Легко видеть, что прибавление нулевого вектора к некоторому вектору не меняет последнего, т.е. .

Ясно, что определению сложения соответствует, известное в физике, правило параллелограмма: сумма двух неколлинеарных векторов и представляет собой диагональ

параллелограмма, построенного на этих векторах и , как на сторонах:

Самостоятельно проверяются следующие свойства сложения векторов.

Следствие. Сложение векторов коммутативно (перестановочно), т.е. для любых двух векторов .

Следствие. Сложение векторов ассоциативно (сочетательно), т.е. всегда . Это значит, что при сложении трех (и более) векторов скобки можно

опускать и писать просто :

Следствие. Сложение дистрибутивно (распределительно) по отношению к умножению на число, т.е. всегда

Для доказательства достаточно сослаться на подобие треугольников на рисунке (здесь):

Два вектора всегда параллельны какой-либо плоскости, а большее число — не обязательно. Совместное рассмотрение нескольких векторов приводит к выделению следующей ситуации:

Определение. Векторы называются компланарными, если они параллельны какой-либо плоскости. Если такую плоскость найти нельзя, то векторы, естественно, некомпланарны.

Полезна такая наглядная интерпретация сложения трех векторов, как правило параллелепипеда. Сумма трех некомпланарных векторов , и , приведенных к общему началу A, представляется вектором – диагональю параллелепипеда:

И, наконец, вычитание векторов.

Определение. Вектор, противонаправленный данному вектору и равный ему по длине (иными словами, вектор ) называется противоположным вектором для вектора и обозначается . Противоположный вектор обладает очевидным свойством:

+()=

Определение. Разностью векторов и называется сумма векторов и , т.е. = + ():

Можно сформулировать, кроме того, геометрическое правило: для того, чтобы из вектора вычесть вектор , надо, приведя их к одному началу, из конца вектора-вычитаемого () провести вектор в конец вектора-уменьшаемого ():

Замечание. Ясно, что разность векторов удовлетворяет соотношению т.е. вычитание векторов оказывается операцией обратной сложению. Это помогает понять, как выбрать направление на третьей стороне треугольника, для получения вектора разности .

Следствие. Умножение вектора на отрицательное число λ можно записать так: = .

Следствие. Всегда выполнено следующее равенство .

Резюме: операции сложения, вычитания векторов и умножения их на числа введены так, что раскрытие скобок происходит по обычным правилам!

Предостережение. При сложении (вычитании) векторов их длины не складываются (не вычитаются): , причем , только если .

3. Координаты вектора. Напомним, как находятся координаты вектора на плоскости (в пространстве аналогично). Введем единичные векторы , , идущие по направлению координатных осей Ox, Oy, соответственно (и вектор в пространстве по направлению оси Oz). Тогда любой вектор на плоскости однозначно получается сложением векторов, коллинеарных векторам и . Множители у векторов и — коэффициенты в этой сумме и дают искомые координаты. Так, на рисунке вектор .

Полученную пару координат (тройку для пространства) можно писать непосредственно после вектора или вместо него. В итоге, получаем: .

Координаты вектора можно также получать по координатам его начала и конца. Возьмем, для примера, вектор с началом в точке A(-1;3) и концом в точке B(2;1). Из рисунка видно, что (OABP — параллелограмм).

Следствие. Координаты вектора получаются вычитанием из координат конца вектора соответствующих координат его начала (2 — (-1) = 3; 1 – 3 = -2).

Операции сложения векторов и умножения их на числа можно выполнять непосредственно через координаты. Действительно, пусть векторы и заданы через координаты: , . Но тогда и . Следовательно, , т.е. при сложении векторов соответствующие координаты складываются. Аналогично, , т.е. при умножении вектора на число все координаты умножаются на это число.

4. Векторное пространство . Обобщая запись геометрического вектора через координаты, получаем вектор в n—мерном пространстве . Вектор задается упорядоченным набором n координат (“энок”!):

Все n—мерное пространство получится, если в множестве всех векторов-энок задать линейные операции сложения и умножения на число:

;

Для этих векторов также задаются нулевой вектор , вектор противоположный вектору и разность векторов = + ().

Можно проверить, что для действий с этими векторами выполнены все те же свойства, что и для действий с обычными геометрическими векторами от перестановочности слагаемых до раскрытия скобок по обычным правилам.

Аналогом векторов , и будут энки: , , …, , называемые естественным базисом в . Действительно

и мы получаем полную аналогию получения координат на плоскости геометрического вектора !

Пример. Выделим в векторном пространстве четверок множество V векторов, у которых, скажем, сумма четных координат равна сумме нечетных:

Ясно, что при сложении любых векторов из V также получается вектор из V, равно как и при умножении на любое число. Все свойства для действий с векторами из V выполняются автоматически, т.к. они выполнены для векторов из , а . Тем самым, множество V, являющееся подмножеством , можно назвать векторным подпространством векторного пространства .

Пример. Выделим в векторном пространстве четверок два множества и векторов, у которых сумма всех координат равна нулю и единице:

, .

Множество является подпространством, т.к. при сложении (и умножении на число) векторов из сумма координат остается равной нулю и мы получаем опять вектор из . Напротив, множество подпространством не является, т.к. указанные действия изменяют сумму координат и полученные в результате сложения или умножения на число векторы не попадают в .

5. Линейное пространство. Линейное пространство состоит из элементов – объектов, достаточно разнообразной природы, которые допускают линейные операции: сложение (вычитание) и умножение на число. При этом должны выполняться все указанные выше свойства (перестановочность, раскрытие скобок, наличие нулевого и противоположных элементов). Для того, чтобы отличать элементы от чисел, будем выделять их жирным шрифтом (на письме – надчеркиванием). Так, например, 0 – это число, а 0 – это нулевой элемент: 0∙x = 0 и x + 0 = x, где x – произвольный элемент линейного пространства. Элементами линейного пространства могут быть, например, векторы, матрицы и функции, удовлетворяющие условиям, допускающим возможность сложения и умножения на число.

Примеры.

Все векторы в пространстве, параллельные заданной прямой;
Все векторы в пространстве, параллельные заданной плоскости;
Векторное пространство ;
Подпространство в ;
Функции вида ;
Многочлены вида ;
Многочлены , удовлетворяющие условию .

6. Линейная зависимость и независимость элементов линейного пространства.

Определение. Линейной комбинацией совокупности элементов называется элемент, полученный при помощи линейных операций. Числа – коэффициенты линейной комбинации.

Если элемент b является линейной комбинацией элементов , то говорят, что b линейно выражается через эти элементы, разлагается по этим элементам.

Пример. Функция и, следовательно, линейно выражается через функции и с коэффициентами и .

Определение 1. Система (совокупность) элементов линейно независима, если линейная комбинация этих элементов равна нулю (нулевому элементов) только при равенстве нулю всех ее коэффициентов. То есть из равенства:

следует, что . Если же, напротив, существует линейная комбинация этих элементов равная нулю, у которой не все коэффициенты равны нулю (т.е. среди коэффициентов есть ненулевые), то такая система элементов линейно зависима.

Следствие. Ни один элемент линейно независимой системы нельзя представить в виде линейной комбинации остальных элементов этой системы. Действительно, пусть элемент является линейной комбинацией элементов . Тогда из равенства следует, что и мы имеем линейную комбинацию равную нулю при ненулевом коэффициенте у – это значит, что система линейно зависима.

Замечание. Данное следствие может служить альтернативным определением.

Определение 2. Если какой-либо элемент системы линейно выражается через остальные, то такая система линейно зависима. Если ни один из элементов системы нельзя линейно выразить через остальные, то такая система линейно независима.

Достарыңызбен бөлісу:

§ 2. Сложение и вычитание векторов. Разработка методики обучения учащихся по теме «Векторы на плоскости»

ВЕКТОРЫ НА ПЛОСКОСТИ — Документ

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И СВОЙСТВА

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕКТОРА

Вектором называется направленный отрезок, то есть отрезок, у которого указаны начало (наз. также точкой приложения вектора) и конец.

МОДУЛЬ ВЕКТОРА

Длина направленного отрезка, изображающего вектор, называется длиной, или модулем, вектора. Длина вектора обозначается .

НУЛЬ-ВЕКТОР

Нуль-вектор () — вектор, начало и конец которого совпадают; его модуль равен 0, а направление неопределенное.

КООРДИНАТНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ

Пусть на плоскости задана декартова система координат XOY.

Тогда вектор может быть задан двумя числами:

Эти числа и в геометрии называют координатами вектора, а в физике – проекциями вектора на соответствующие оси координат.

При таком определении вектора его модуль , а направление задается углом , который однозначно определяется соотношениями:

Нуль-вектор: и

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ В СИСТЕМЕ КООРДИНАТ, ЗАДАННОЙ ЕДИНИЧНЫМИ ВЕКТОРАМИ (ОРТАМИ)

Пусть на плоскости задана декартова система координат при помощи единичных векторов и :

Тогда вектор может быть задан следующим образом:

Очевидно, что:

Нуль-вектор:

КОЛЛИНЕАРНЫЕ ВЕКТОРЫ

Векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых.

РАВЕНСТВО ВЕКТОРОВ

Два вектора называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и одинаково направлены.

Все нуль-векторы считаются равными.

СУММА ВЕКТОРОВ

Суммой векторов и называют вектор , идущий из начала вектора в конец вектора при условии, что начало вектора приложено к концу вектора . Происхождение этого правила связано с правилом параллелограмма сложения векторов, источником которого является экспериментальный факт сложения сил (векторных величин) по этому правилу.

Правило треугольника Правило параллелограмма

Координаты коллинеарных векторов удовлетворяют соотношению:

Координаты равных векторов удовлетворяют соотношениям:

Координаты вектора суммы двух векторов удовлетворяют соотношениям:

Координаты коллинеарных векторов удовлетворяют соотношению:

Координаты равных векторов удовлетворяют соотношениям:

Вектор суммы двух векторов:

Построение суммы нескольких векторов ясно из рисунка.

ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО

Произведением вектора на число  называют вектор, коллинеарный вектору , имеющий длину, равную , и направление, совпадающее с направлением при > 0 и противоположное при < 0.

ПРОТИВОПОЛОЖНЫЕ ВЕКТОРЫ

Вектор называется противоположным вектору и обозначается .

СВОЙСТВА ДЕЙСТВИЙ НАД ВЕКТОРАМИ

Операции сложения векторов и умножения вектора на число обладают след. свойствами:

1) ,

2) ,

3) ,

4),

5) ,

6) ,

7) ,

8).

Координаты вектора суммы нескольких векторов удовлетворяют соотношениям:

Координаты вектора произведения вектора на число удовлетворяют соотношениям:

Координаты противоположных векторов удовлетворяют соотношениям:

Сумма нескольких векторов:

Произведение вектора на число:

Вектор, противоположный :

Скалярное произведение векторов и (обозначается ) — скаляр, определяемый равенством , где — угол между векторами и , приведенными к общему началу:

Скалярное произведение векторов:

ДОПОЛНЕНИЕ: ТИПЫ ВЕКТОРНЫХ ВЕЛИЧИН В ФИЗИКЕ.

Векторами называются такие геометрические и физические величины, которые однозначно определяются отрезками с заданным положением, направлением и длиной независимо от системы отсчета и подчиняются правилам I – IV (см. далее).

Вектор называется полярным в том случае, когда положение и направление изображающего его отрезка непосредственно дает положение и направление представляемой величины (радиус-вектор, скорость, ускорение, сила, импульс).

Вектор называется осевым (аксиальным) в том случае, если соотношение между представляемой величиной и изображающим ее отрезком устанавливается посредством задания некоторой оси и определенного направления вращения вокруг этой оси. Принято, чтобы направление выбранного на оси отрезка составляло с осью вращения правый винт (угловая скорость, момент сил, вращательные импульсы).

Длина отрезка – модуль вектора в определенном масштабе.

Различают свободные, скользящие и связанные векторы:

Свободные векторы можно произвольно переносить в любое другое параллельное положение, сохраняя при этом их направление и длину (напр., вектор скорости при поступательном движении тела).

Скользящие векторы неотделимы от несущей их прямой, от так называемой линии действия, но вдоль этой прямой они могут перемещаться произвольным образом (напр., угловая скорость; сила, приложенная к твердому телу).

Связанные векторы неотделимы от определенной точки, от так называемой точки приложения вектора (напр., скорость точки тела, движущегося произвольным образом).

Правила выполнения операций над векторами:

I. Два вектора, и равны друг другу, если они имеют одинаковое направление и одинаковую длину; равные скользящие векторы должны иметь, кроме этого, общую линию действия, а равные связанные векторы – общую точку приложения.

II. Вектор получается из вектора следующим образом: из точки приложения вектора откладывается в противоположном направлении отрезок с такой же длиной, как у вектора .

III. Вектор : при m  0 – модуль в m раз больше, при m  0 – по правилу II/

IV. Два вектора, и , имеющие общую точку приложения, складываются по правилу параллелограмма. Разность векторов: .

Правила сложения применимы без ограничения к свободным векторам, к скользящим – только в случае наличия у линий действия векторов общей точки. Во всех остальных случаях действуют другие правила сложения (см., например, условие равновесия твердого тела).

Физическая величина считается векторной, если она подчиняется правилам I – IV. В частности, такому требованию удовлетворяют две скорости, которым одновременно обладает одна и та же материальная точка, или угловые скорости твердого тела, одновременно вращающееся вокруг двух пересекающихся осей.

Векторы на плоскости Определение вектора

Сложение векторов

Параллельный перенос

Под параллельным переносом вдоль векторапонимают перемещение всех точек пространства в одном направлении на одинаковое расстояние. Определим сложение векторов так, чтобы последовательные сдвиги вдоль двух векторов соответствовали сдвигу вдоль суммы этих векторов.

Пусть даны два вектора и. Приложим векторк некоторой точке, получим. Приложим векторк точке, получим. Тогда векторбудем называтьсуммойвекторов:.

Докажем, что данное определение не зависит от выбора точки .

Приложим вектор к другой точке, получим. Приложим векторк точке, получим.

Рассмотрим направленные отрезки и. Они, очевидно, равны (см. рис.), поскольку— параллелограмм.

Умножение на число

Произведением вектора на числоназывается вектор, который:

коллинеарен вектору ;
сонаправлен ему, если , или противоположнонаправлен, если;
длины связаны следующим соотношением: .

Данное определение согласовано с определением сложения:

для любого натурального .

Свойства линейных операций

Коммутативность сложения векторов

Ассоциативность сложения векторов

Сложение векторов коммутативно: .

Сложение векторов ассоциативно: .

Прибавление нулевого вектора к любому не меняет последнего: . Очевидно,.

Для любого вектора существует вектортакой, чтоили.

Умножение вектора на число ассоциативно: . Умножение вектора на число дистрибутивно относительно сложения чисел:.

Доказательство сводится к перечислению всех возможных знаков и, в каждом случае утверждение очевидно.

Дистрибутивность умножения векторов относительно сложения

Умножение вектора на число дистрибутивно относительно сложения векторов: . Это следует из подобия треугольниковина рисунке.

Очевидно, умножение на единицу не меняет вектор: .

Примечание

В алгебре изучаются так называемые алгебраические структуры. Это множества математических объектов, для которых определены некоторые операции, удовлетворяющие некоторым системам аксиом.

Пример такой структуры, изучаемой в линейной алгебре, — так называемое векторное (линейное) пространство. Это множество векторов, для которых определены операции сложения и умножения на элементы некоторого поля (например, поля вещественных чисел), причем эти операции удовлетворяют указанным выше свойствам.

В линейной алгебре изучаются общие свойства таких множеств, их элементы (их называют абстрактными векторами) не обязаны быть геометрическими векторами (хотя чаще всего именно их приводят в качестве наглядного примера).

В аналитической геометрии векторы нужны, в первую очередь для введения системы координат (см. ниже). Благодаря этому удается описать геометрические фигуры при помощи аналитических формул.

2.1 Векторы на плоскости — том исчисления 3

Цели обучения

2.1.1 Опишите плоский вектор, используя правильные обозначения.
2.1.2 Выполните основные векторные операции (скалярное умножение, сложение, вычитание).
2.1.3 Выразите вектор в виде компонентов.
2.1.4 Объясните формулу величины вектора.
2.1.5 Выразите вектор через единичные векторы.
2.1.6 Приведите два примера векторных величин.

При описании движения самолета в полете важно передавать две части информации: направление, в котором летит самолет, и скорость самолета. При измерении силы, такой как тяга двигателей самолета, важно описать не только силу этой силы, но и направление ее приложения. Некоторые величины, такие как скорость или сила, определяются как размером (также называемым величиной , величиной ) и направлением.Величина, имеющая величину и направление, называется вектором. В этом тексте мы обозначаем векторы жирными буквами, например v .

Определение

Вектор — это величина, которая имеет как величину, так и направление.

Векторное представление

Вектор на плоскости представлен направленным отрезком линии (стрелкой). Конечные точки отрезка называются начальной и конечной точкой вектора. Стрелка от начальной точки к конечной указывает направление вектора.Длина отрезка представляет его величину. Мы используем обозначение ‖v‖‖v‖ для обозначения модуля вектора v.v. Вектор с одинаковой начальной и конечной точками называется нулевым вектором и обозначается 0,0. Нулевой вектор — единственный вектор без направления, и по соглашению можно считать, что он имеет любое направление, удобное для рассматриваемой задачи.

Векторы с одинаковой величиной и направлением называются эквивалентными векторами. Мы рассматриваем эквивалентные векторы как равные, даже если они имеют разные начальные точки.Таким образом, если vv и ww эквивалентны, мы пишем

Определение

Векторы называются эквивалентными векторами, если они имеют одинаковую величину и направление.

Стрелки на Рисунке 2.2 (b) эквивалентны. Каждая стрелка имеет одинаковую длину и направление. Тесно родственное понятие — идея параллельных векторов. Два вектора называются параллельными, если они имеют одинаковое или противоположное направление. Мы рассмотрим эту идею более подробно позже в этой главе. Вектор определяется своей величиной и направлением, независимо от того, где находится его начальная точка.

Фигура 2.2 (a) Вектор представлен направленным отрезком линии от его начальной точки до конечной точки. (b) Векторы с v1v1 по v5v5 эквивалентны.

Использование полужирных строчных букв для именования векторов — обычное представление в печати, но есть альтернативные обозначения. Например, при написании имени вектора от руки легче нарисовать стрелку над переменной, чем имитировать жирный шрифт: v → .v →. Когда вектор имеет начальную точку PP и конечную точку Q, Q, обозначение PQ → PQ → полезно, поскольку оно указывает направление и местоположение вектора.

Пример 2.1

Создание векторных эскизов

Нарисуйте вектор на плоскости от начальной точки P (1,1) P (1,1) до конечной точки Q (8,5) .Q (8,5).

Решение

См. Рисунок 2.3. Поскольку вектор идет из точки PP в точку Q, Q, мы назовем его PQ → .PQ →.

Фигура 2.3 Вектор с начальной точкой (1,1) (1,1) и конечной точкой (8,5) (8,5) называется PQ → .PQ →.

Контрольно-пропускной пункт 2.1

Нарисуйте вектор ST → ST →, где SS — точка (3, −1) (3, −1), а TT — точка (−2,3).(−2,3).

Объединение векторов

У векторов

есть множество реальных приложений, включая ситуации, связанные с силой или скоростью. Например, рассмотрим силы, действующие на лодку, пересекающую реку. Двигатель лодки создает силу в одном направлении, а течение реки создает силу в другом направлении. Обе силы — векторы. Мы должны учитывать как величину, так и направление каждой силы, если мы хотим знать, куда пойдет лодка.

Второй пример с векторами — квотербек, бросающий футбольный мяч.Квотербек не бросает мяч параллельно земле; вместо этого он целится в воздух. Скорость его броска может быть представлена вектором. Если мы знаем, с какой силой он бросает мяч (величина — в данном случае скорость) и угол (направление), мы можем сказать, как далеко мяч пройдет по полю.

Действительное число в математике и физике часто называют скаляром. В отличие от векторов, считается, что скаляры имеют только величину, но не направление. Умножение вектора на скаляр изменяет величину вектора.Это называется скалярным умножением. Обратите внимание, что изменение величины вектора не означает изменения его направления. Например, ветер, дующий с севера на юг, может увеличивать или уменьшать скорость, сохраняя свое направление с севера на юг.

Определение

Произведение kvkv вектора v и скаляра k представляет собой вектор с величиной, равной | k || k | умноженное на величину v, v, и с направлением, которое совпадает с направлением vv, если k> 0, k> 0, и противоположным направлению vv, если k <0.к <0. Это называется скалярным умножением. Если k = 0k = 0 или v = 0, v = 0, то kv = 0. kv = 0.

Как и следовало ожидать, если k = −1, k = −1, мы обозначим произведение kvkv как

kv = (- 1) v = −v.kv = (- 1) v = −v.

Обратите внимание, что -v-v имеет ту же величину, что и v, v, но имеет противоположное направление (рисунок 2.4).

Фигура 2,4 (a) Исходный вектор v имеет длину n единиц. (б) Длина 2v2v равна 2n2n единицам. (c) Длина v / 2v / 2 составляет n / 2n / 2 единиц. (d) Векторы vv и −v − v имеют одинаковую длину, но противоположные направления.

Другая операция, которую мы можем выполнить с векторами, — это сложение их вместе при сложении векторов, но поскольку каждый вектор может иметь собственное направление, процесс отличается от сложения двух чисел. Наиболее распространенный графический метод сложения двух векторов — поместить начальную точку второго вектора в конечную точку первого, как показано на рисунке 2.5 (a). Чтобы понять, почему это имеет смысл, предположим, например, что оба вектора представляют смещение. Если объект движется сначала из начальной точки в конечную точку вектора v, v, а затем из начальной точки в конечную точку вектора w, w, общее смещение будет таким же, как если бы объект совершил всего одно движение из от начальной точки до конечной точки вектора v + w.v + w. По понятным причинам такой подход называется методом треугольника. Обратите внимание: если бы мы поменяли порядок так, чтобы ww был нашим первым вектором, а v был нашим вторым вектором, мы оказались бы в том же месте. (Снова см. Рисунок 2.5 (a).) Таким образом, v + w = w + v.v + w = w + v.

Второй метод сложения векторов называется методом параллелограмма. С помощью этого метода мы размещаем два вектора так, чтобы они имели одну и ту же начальную точку, а затем рисуем параллелограмм с векторами в качестве двух смежных сторон, как на рисунке 2.5 (б). Длина диагонали параллелограмма равна сумме. Сравнивая рис. 2.5 (b) и рис. 2.5 (a), мы видим, что мы получаем один и тот же ответ, используя любой из методов. Вектор v + wv + w называется векторной суммой.

Определение

Сумма двух векторов vv и ww может быть построена графически, поместив начальную точку ww в конечную точку v.v. Тогда векторная сумма v + w, v + w — это вектор с начальной точкой, которая совпадает с начальной точкой vv, и имеет конечную точку, которая совпадает с конечной точкой w.ш. Эта операция известна как сложение векторов.

Фигура 2,5 (a) При сложении векторов методом треугольника начальная точка ww является конечной точкой v.v. (б) При сложении векторов методом параллелограмма векторы vv и ww имеют одинаковую начальную точку.

Здесь также уместно обсудить векторное вычитание. Определим v − wv − w как v + (- w) = v + (- 1) w.v + (- w) = v + (- 1) w. Вектор v − wv − w называется векторной разностью. Графически вектор v-wv-w изображается путем рисования вектора от конечной точки ww до конечной точки vv (рисунок 2.6).

Фигура 2,6 (a) Разность векторов v − wv − w изображается путем проведения вектора от конечной точки ww к конечной точке v.v. (b) Вектор v − wv − w эквивалентен вектору v + (- w) .v + (- w).

На рисунке 2.5 (a) начальная точка v + wv + w является начальной точкой v.v. Конечная точка v + wv + w является конечной точкой w.w. Эти три вектора образуют стороны треугольника. Отсюда следует, что длина любой одной стороны меньше суммы длин остальных сторон.Итак, у нас есть

‖V + w‖≤‖v‖ + ‖w‖.‖v + w‖≤‖v‖ + ‖w‖.

Это более широко известно как неравенство треугольника. Однако есть один случай, когда результирующий вектор u + vu + v имеет ту же величину, что и сумма величин uu и v.v. Это происходит только тогда, когда uu и vv имеют одинаковое направление.

Пример 2.2

Объединение векторов

Для векторов vv и ww, показанных на рисунке 2.7, нарисуйте векторы

3w3w
v + wv + w
2в − w2v − w
Фигура 2.7 Векторы vv и ww лежат в одной плоскости.

Решение

Вектор 3w3w имеет то же направление, что и w; w; он в три раза длиннее, чем w.w.

Вектор 3w3w имеет то же направление, что и ww, и в три раза длиннее.
Используйте любой метод сложения, чтобы найти v + w.v + w.
Фигура 2,8 Чтобы найти v + w, v + w, выровняйте векторы в их начальных точках или поместите начальную точку одного вектора в конечную точку другого.(a) Вектор v + wv + w — это диагональ параллелограмма со сторонами vv и ww. (b) Вектор v + wv + w — это третья сторона треугольника, образованного ww, помещенным в конечную точку v.v.
Чтобы найти 2v − w, 2v − w, мы можем сначала переписать выражение как 2v + (- w) .2v + (- w). Затем мы можем нарисовать вектор −w, −w, а затем добавить его к вектору 2v.2v.
Фигура 2,9 Чтобы найти 2v − w, 2v − w, просто добавьте 2v + (- w) .2v + (- w).

Контрольно-пропускной пункт 2.2

Используя векторы vv и ww из Примера 2.2 нарисуйте вектор 2w − v.2w − v.

Компоненты вектора

Работать с векторами на плоскости проще, когда мы работаем в системе координат. Когда начальные и конечные точки векторов заданы в декартовых координатах, вычисления становятся простыми.

Пример 2.3

Сравнение векторов

Эквивалентны ли векторы vv и ww?

vv имеет начальную точку (3,2) (3,2) и конечную точку (7,2) (7,2)
ww имеет начальную точку (1, −4) (1, −4) и конечную точку ( 1,0) (1,0)
vv имеет начальную точку (0,0) (0,0) и конечную точку (1,1) (1,1)
ww имеет начальную точку (−2,2) (- 2,2) и конечную точку (- 1,3) (- 1,3)

Решение

Каждый вектор имеет длину 44 единицы, но ориентирован в разных направлениях.Таким образом, vv и ww не эквивалентны (рис. 2.10).
Фигура 2,10 Эти векторы не эквивалентны.
На основании рисунка 2.11 и с использованием некоторой геометрии ясно, что эти векторы имеют одинаковую длину и одинаковое направление, поэтому vv и ww эквивалентны.
Фигура 2.11 Эти векторы эквивалентны.

Контрольно-пропускной пункт 2.3

Какие из следующих векторов эквивалентны?

Мы видели, как построить вектор, когда нам даны начальная и конечная точки.Однако, поскольку вектор может быть размещен в любом месте на плоскости, может быть проще выполнять вычисления с вектором, когда его начальная точка совпадает с началом координат. Мы называем вектор с его начальной точкой в начале координат вектором стандартной позиции. Поскольку начальная точка любого вектора в стандартной позиции известна как (0,0), (0,0), мы можем описать вектор, глядя на координаты его конечной точки. Таким образом, если вектор v имеет свою начальную точку в начале координат и его конечную точку в (x, y), (x, y), мы запишем вектор в компонентной форме как

Когда вектор записывается в форме компонентов, подобной этой, скаляры x и y называются компонентами v.Версия

Определение

Вектор с начальной точкой (0,0) (0,0) и конечной точкой (x, y) (x, y) может быть записан в компонентной форме как

Скаляры xx и yy называются компонентами v.v.

Напомним, что векторы именуются строчными буквами жирным шрифтом или путем рисования стрелки над их именем. Мы также узнали, что мы можем назвать вектор по форме его компонента, с координатами его конечной точки в угловых скобках. Однако при написании компонентной формы вектора важно различать 〈x, y〉〈x, y〉 и (x, y).(х, у). Первая упорядоченная пара использует угловые скобки для описания вектора, тогда как вторая использует скобки для описания точки на плоскости. Начальная точка 〈x, y〉〈x, y〉 — это (0,0); (0,0); конечная точка 〈x, y〉〈x, y〉 — это (x, y). (x, y).

Когда у нас есть вектор, который еще не находится в стандартном положении, мы можем определить его компонентную форму одним из двух способов. Мы можем использовать геометрический подход, при котором мы нарисуем вектор в координатной плоскости, а затем нарисуем эквивалентный вектор стандартного положения.Как вариант, мы можем найти его алгебраически, используя координаты начальной и конечной точек. Чтобы найти его алгебраически, мы вычитаем координату x начальной точки из координаты x конечной точки, чтобы получить компонент x , и мы вычитаем координату y начальной точки из y — координата конечной точки, чтобы получить компонент y .

Правило: компонентная форма вектора

Пусть v будет вектором с начальной точкой (xi, yi) (xi, yi) и конечной точкой (xt, yt).(xt, yt). Тогда мы можем выразить v в компонентной форме как v = 〈xt − xi, yt − yi〉 .v = 〈xt − xi, yt − yi〉.

Пример 2,4

Выражение векторов в форме компонентов

Выразите вектор vv с начальной точкой (−3,4) (- 3,4) и конечной точкой (1,2) (1,2) в компонентной форме.

Решение

Геометрический
1. Нарисуйте вектор в координатной плоскости (рисунок 2.12).
2. Конечная точка находится на 4 единицы вправо и на 2 единицы ниже начальной точки.
3. Найдите точку, которая на 4 единицы правее и на 2 единицы ниже исходной точки.
4. В стандартном положении этот вектор имеет начальную точку (0,0) (0,0) и конечную точку (4, −2) 🙁 4, −2):
  v = 〈4, −2〉. v = 〈4, −2〉.
  Фигура 2,12 Эти векторы эквивалентны.
Алгебраические
В первом решении мы использовали набросок вектора, чтобы увидеть, что конечная точка находится на 4 единицы вправо. Мы можем сделать это алгебраически, найдя разность координат x :
xt − xi = 1 — (- 3) = 4.xt − xi = 1 — (- 3) = 4.
Точно так же разница координат y показывает длину вектора по вертикали.
yt − yi = 2−4 = −2.yt − yi = 2−4 = −2.
Итак, в компонентном виде
v = 〈xt − xi, yt − yi〉 = 〈1 — (- 3), 2−4〉 = 〈4, −2〉. v = 〈xt − xi, yt − yi〉 = 〈1 — (- 3 ), 2−4〉 = 〈4, −2〉.

Контрольно-пропускной пункт 2,4

Вектор ww имеет начальную точку (−4, −5) (- 4, −5) и конечную точку (−1,2). (- 1,2). Выразите ww в виде компонентов.

Чтобы найти величину вектора, мы вычисляем расстояние между его начальной точкой и конечной точкой.Величина вектора v = 〈x, y〉 v = 〈x, y〉 обозначается ‖v‖, ‖v‖ или | v |, | v | и может быть вычислена по формуле

‖V‖ = x2 + y2.‖v‖ = x2 + y2.

Обратите внимание, что, поскольку этот вектор записан в форме компонентов, он эквивалентен вектору в стандартной позиции с его начальной точкой в начале координат и конечной точкой (x, y). (X, y). Таким образом, достаточно вычислить величину вектора в стандартном положении. Используя формулу расстояния для вычисления расстояния между начальной точкой (0,0) (0,0) и конечной точкой (x, y), (x, y), мы имеем

‖V‖ = (x − 0) 2+ (y − 0) 2 = x2 + y2.‖V‖ = (x − 0) 2+ (y − 0) 2 = x2 + y2.

На основании этой формулы ясно, что для любого вектора v, v, v‖≥0, ‖v‖≥0 и ‖v‖ = 0‖v‖ = 0 тогда и только тогда, когда v = 0. v = 0.

Величину вектора можно также вычислить с помощью теоремы Пифагора, как показано на следующем рисунке.

Фигура 2,13 Если вы используете компоненты вектора для определения прямоугольного треугольника, величина вектора равна длине гипотенузы треугольника.

Мы определили скалярное умножение и сложение векторов геометрически.Выражение векторов в форме компонентов позволяет нам выполнять те же операции алгебраически.

Определение

Пусть v = 〈x1, y1〉 v = 〈x1, y1〉 и w = 〈x2, y2〉 w = 〈x2, y2〉 — векторы, и пусть kk — скаляр.

Скалярное умножение: kv = 〈kx1, ky1〉 kv = 〈kx1, ky1〉

Сложение векторов: v + w = 〈x1, y1〉 + 〈x2, y2〉 = 〈x1 + x2, y1 + y2〉 v + w = 〈x1, y1〉 + 〈x2, y2〉 = 〈x1 + x2, y1 + y2〉

Пример 2,5

Выполнение операций с компонентами Форма

Пусть vv — вектор с начальной точкой (2,5) (2,5) и конечной точкой (8,13), (8,13), и пусть w = 〈- 2,4〉.w = 〈- 2,4〉.

Выразите vv в виде компонентов и найдите ‖v‖.‖v‖. Затем с помощью алгебры найдите
в + ш, в + ш,
3В, 3В и
v − 2w.v − 2w.

Решение

Чтобы поместить начальную точку vv в начало координат, мы должны переместить вектор на 22 единицы влево и на 55 единиц вниз (рис. 2.15). Используя алгебраический метод, мы можем выразить vv как v = 〈8−2,13−5〉 = 〈6,8〉: v = 〈8−2,13−5〉 = 〈6,8〉:
‖V‖ = 62 + 82 = 36 + 64 = 100 = 10.‖V‖ = 62 + 82 = 36 + 64 = 100 = 10.
Фигура 2,14 В компонентной форме v = 〈6,8〉 .v = 〈6,8〉.
Чтобы найти v + w, v + w, добавьте компоненты x и компоненты y по отдельности:
v + w = 〈6,8〉 + 〈- 2,4〉 = 〈4,12〉. v + w = 〈6,8〉 + 〈- 2,4〉 = 〈4,12〉.
Чтобы найти 3v, 3v, умножьте vv на скаляр k = 3: k = 3:
3v = 3 · 〈6,8〉 = 〈3 · 6,3 · 8〉 = 〈18,24〉. 3v = 3 · 〈6,8〉 = 〈3 · 6,3 · 8〉 = 〈18,24 〉.
Чтобы найти v − 2w, v − 2w, найдите −2w − 2w и добавьте его к v: v:
v − 2w = 〈6,8〉 −2 · 〈−2,4〉 = 〈6,8〉 + 〈4, −8〉 = 〈10,0〉.v − 2w = 〈6,8〉 −2 · 〈−2,4〉 = 〈6,8〉 + 〈4, −8〉 = 〈10,0〉.

Контрольно-пропускной пункт 2,5

Пусть a = 〈7,1〉 a = 〈7,1〉 и пусть bb — вектор с начальной точкой (3,2) (3,2) и конечной точкой (−1, −1). (- 1, −1).

Найдите a‖.‖a‖.
Express bb в компонентном виде.
Найдите 3a − 4b.3a − 4b.

Теперь, когда мы установили основные правила векторной арифметики, мы можем сформулировать свойства векторных операций. Мы докажем два из этих свойств.Остальные доказываются аналогично.

Теорема 2.1

Свойства векторных операций

Пусть u, v и wu, v иw — векторы на плоскости. Пусть r, sr и s — скаляры.

i.u + v = v + u Коммутативное свойство ii. (u + v) + w = u + (v + w) Ассоциативное свойство iii.u + 0 = u Аддитивное свойство идентичности iv.u + (- u) = 0 Аддитивное обратное свойство v.r (su) = (rs) uАссоциативность скалярного умножения vi. (r + s) u = ru + suРаспределительное свойствоvii.r (u + v) = ru + rvРаспределительное свойствоviii.1u = u, 0u = 0 Идентичность и нулевые свойстваi.u + v = v + u Коммутативное свойство ii. (u + v) + w = u + (v + w) Ассоциативное свойство iii. u + 0 = u Аддитивное свойство идентичности iv.u + (- u) = 0 Аддитивное обратное свойство v.r (su) = ( rs) u Ассоциативность скалярного умножения vi. (r + s) u = ru + su Распределительное свойство vii.r (u + v) = ru + rv Распределительное свойство viii.1u = u, 0u = 0 Идентичность и нулевые свойства

Доказательство коммутативности

Пусть u = 〈x1, y1〉 u = 〈x1, y1〉 и v = 〈x2, y2〉 .v = 〈x2, y2〉. Примените свойство коммутативности для действительных чисел:

u + v = 〈x1 + x2, y1 + y2〉 = 〈x2 + x1, y2 + y1〉 = v + u.u + v = 〈x1 + x2, y1 + y2〉 = 〈x2 + x1, y2 + y1 〉 = V + u.

□

Доказательство распределительной собственности

Примените распределительное свойство для вещественных чисел:

r (u + v) = r · 〈x1 + x2, y1 + y2〉 = 〈r (x1 + x2), r (y1 + y2)〉 = 〈rx1 + rx2, ry1 + ry2〉 = 〈rx1, ry1〉 + 〈Rx2, ry2〉 = ru + rv.r (u + v) = r · 〈x1 + x2, y1 + y2〉 = 〈r (x1 + x2), r (y1 + y2)〉 = 〈rx1 + rx2 , ry1 + ry2〉 = 〈rx1, ry1〉 + 〈rx2, ry2〉 = ru + rv.

□

Контрольно-пропускной пункт 2,6

Докажите аддитивное обратное свойство.

Мы нашли компоненты вектора по его начальной и конечной точкам. В некоторых случаях у нас могут быть только величина и направление вектора, а не точки.Для этих векторов мы можем идентифицировать горизонтальные и вертикальные компоненты с помощью тригонометрии (рис. 2.15).

Фигура 2,15 Компоненты вектора образуют катеты прямоугольного треугольника с вектором в качестве гипотенузы.

Рассмотрим угол θθ, образованный вектором v и положительной осью x . Из треугольника видно, что компоненты вектора vv суть 〈‖v‖cosθ, ‖v‖sinθ〉. 〈‖V‖cosθ, ‖v‖sinθ〉. Следовательно, учитывая угол и величину вектора, мы можем использовать косинус и синус угла, чтобы найти компоненты вектора.

Пример 2,6

Нахождение компонентной формы вектора с помощью тригонометрии

Найдите форму компонента вектора с величиной 4, который образует угол -45 ° -45 ° с осью x .

Решение

Пусть xx и yy представляют компоненты вектора (рисунок 2.16). Тогда x = 4cos (−45 °) = 22x = 4cos (−45 °) = 22 и y = 4sin (−45 °) = — 22.y = 4sin (−45 °) = — 22. Компонентная форма вектора 〈22, −22〉. 〈22, −22〉.

Фигура 2.16 Используйте тригонометрические отношения, x = ‖v‖cosθx = ‖v‖cosθ и y = ‖v‖sinθ, y = ‖v‖sinθ, чтобы идентифицировать компоненты вектора.

Контрольно-пропускной пункт 2,7

Найдите компонентную форму вектора vv с величиной 1010, которая образует угол 120 ° 120 ° с положительной осью x .

Единичные векторы

Единичный вектор — это вектор с величиной 1,1. Для любого ненулевого вектора v, v мы можем использовать скалярное умножение, чтобы найти единичный вектор uu, который имеет то же направление, что и v.v. Для этого мы умножаем вектор на обратную величину:

Напомним, что при определении скалярного умножения мы отметили, что ‖kv‖ = | k | · ‖v‖.‖kv‖ = | k | · ‖v‖. Если u = 1‖v‖v, u = 1‖v‖v, то ‖u‖ = 1‖v‖ (‖v‖) = 1.‖u‖ = 1‖v‖ (‖v‖) = 1. Мы говорим, что uu — это единичный вектор в направлении vv (рисунок 2.17). Процесс использования скалярного умножения для нахождения единичного вектора с заданным направлением называется нормализацией.

Фигура 2,17 Вектор vv и связанный с ним единичный вектор u = 1‖v‖v.u = 1‖v‖v. В этом случае v‖> 1.‖v‖> 1.

Пример 2,7

Нахождение единичного вектора

Пусть v = 〈1,2〉 .v = 〈1,2〉.

Найдите единичный вектор с тем же направлением, что и v.v.
Найдите вектор ww с тем же направлением, что и vv, такой, что ‖w‖ = 7.‖w‖ = 7.

Решение

Сначала найдите величину v, v, затем разделите компоненты vv на величину:
V‖ = 12 + 22 = 1 + 4 = 5‖v‖ = 12 + 22 = 1 + 4 = 5
u = 1‖v‖v = 15 〈1,2〉 = 〈15,25〉.u = 1‖v‖v = 15 〈1,2〉 = 〈15,25〉.
Вектор uu находится в том же направлении, что и vv, и ‖u‖ = 1.‖u‖ = 1. Используйте скалярное умножение, чтобы увеличить длину uu без изменения направления:
w = 7u = 7 〈15,25〉 = 〈75,145〉. w = 7u = 7 〈15,25〉 = 〈75,145〉.

Контрольно-пропускной пункт 2,8

Пусть v = 〈9,2〉 .v = 〈9,2〉. Найдите вектор с величиной 55 в направлении, противоположном v.v.

Мы видели, насколько удобно может быть запись вектора в компонентной форме. Однако иногда удобнее записать вектор как сумму горизонтального вектора и вертикального вектора.Чтобы упростить эту задачу, давайте посмотрим на стандартные единичные векторы. Стандартными единичными векторами являются векторы i = 〈1,0〉 i = 〈1,0〉 и j = 〈0,1〉 j = 〈0,1〉 (рисунок 2.18).

Фигура 2,18 Стандартные единичные векторы ii и j.j.

Применяя свойства векторов, можно выразить любой вектор через ii и jj в том, что мы называем линейной комбинацией :

v = 〈x, y〉 = 〈x, 0〉 + 〈0, y〉 = x 〈1,0〉 + y 〈0,1〉 = xi + yj. v = 〈x, y〉 = 〈x, 0 〉 + 〈0, y〉 = x 〈1,0〉 + y 〈0,1〉 = xi + yj.

Таким образом, vv представляет собой сумму горизонтального вектора с величиной x, x и вертикального вектора с величиной y, y, как показано на следующем рисунке.

Фигура 2,19 Вектор vv представляет собой сумму xixi и yj.yj.

Пример 2,8

Использование стандартных единичных векторов

Выразите вектор w = 〈3, −4〉 w = 〈3, −4〉 через стандартные единичные векторы.
Вектор uu — это единичный вектор, который образует угол 60 ° 60 ° с положительной осью x . Используйте стандартные единичные векторы для описания u.u.

Решение

Преобразование вектора ww в вектор с нулевой компонентой y и вектор с нулевой компонентой x :
w = 〈3, −4〉 = 3i − 4j.w = 〈3, −4〉 = 3i − 4j.
Поскольку uu является единичным вектором, конечная точка лежит на единичной окружности, когда вектор помещается в стандартное положение (рисунок 2.20).
u = 〈cos60 °, sin60 °〉 = 〈12,32〉 = 12i + 32j.u = 〈cos60 °, sin60 °〉 = 〈12,32〉 = 12i + 32j.
Фигура 2,20 Конечная точка uu лежит на единичной окружности (cosθ, sinθ). (Cosθ, sinθ).

Контрольно-пропускной пункт 2,9

Пусть a = 〈16, −11〉 a = 〈16, −11〉 и пусть bb будет единичным вектором, который образует угол 225 ° 225 ° с положительной осью x .Выразите aa и bb через стандартные единичные векторы.

Приложения векторов

Поскольку векторы имеют как направление, так и величину, они являются ценными инструментами для решения проблем, связанных с такими приложениями, как движение и сила. Вспомните пример с лодкой и пример защитника, которые мы описали ранее. Здесь мы подробно рассмотрим два других примера.

Пример 2,9

Нахождение результирующей силы

Машина Джейн застряла в грязи. Лиза и Джед едут на грузовике, чтобы помочь вытащить ее.Они прикрепляют один конец буксирного ремня к передней части автомобиля, а другой конец — к сцепному устройству грузовика, и грузовик начинает тянуть. Тем временем Джейн и Джед садятся за машину и толкаются. Грузовик создает на автомобиль горизонтальную силу в 300300 фунтов. Джейн и Джед толкаются под небольшим углом вверх и создают на машине силу в 150–150 фунтов. Эти силы могут быть представлены векторами, как показано на рисунке 2.21. Угол между этими векторами составляет 15 ° 0,15 °. Найдите результирующую силу (векторную сумму) и укажите ее величину с точностью до десятых долей фунта и угол направления от положительной оси x .

Фигура 2,21 Две силы действуют на автомобиль в разных направлениях.

Решение

Чтобы найти эффект объединения двух сил, сложите их репрезентативные векторы. Во-первых, выразите каждый вектор в форме компонентов или в терминах стандартных единичных векторов. Для этого проще всего выровнять один из векторов с положительной осью x . Таким образом, горизонтальный вектор имеет начальную точку (0,0) (0,0) и конечную точку (300,0).(300,0). Это может быть выражено как 〈300,0〉〈300,0〉 или 300i.300i.

Второй вектор имеет величину 150150 и составляет угол 15 ° 15 ° с первым, поэтому мы можем выразить его как 〈150cos (15 °), 150sin (15 °)〉, 〈150cos (15 °), 150sin (15 °). °)〉, или 150cos (15 °) i + 150sin (15 °) j.150cos (15 °) i + 150sin (15 °) j. Тогда сумма векторов или результирующий вектор будет r = 〈300,0〉 + 〈150cos (15 °), 150sin (15 °)〉, r = 〈300,0〉 + 〈150cos (15 °), 150sin (15 °)〉, и имеем

R‖ = (300 + 150cos (15 °)) 2+ (150sin (15 °)) 2≈446,6. R‖ = (300 + 150cos (15 °)) 2+ (150sin (15 °)) 2≈ 446.6.

Угол θθ, образованный rr и положительной осью x , имеет tanθ = 150sin15 ° (300 + 150cos15 °) ≈0.09, tanθ = 150sin15 ° (300 + 150cos15 °) ≈0.09, поэтому θ≈tan − 1 (0,09 ) ≈5 °, θ≈tan − 1 (0,09) ≈5 °, что означает, что результирующая сила rr имеет угол 5 ° 5 ° над горизонтальной осью.

Пример 2,10

Нахождение результирующей скорости

Самолет летит строго на запад со скоростью 425425 миль в час. Ветер дует с северо-востока, скорость 4040 миль в час. Какая путевая скорость у самолета? Какой пеленг у самолета?

Решение

Давайте начнем с наброска описанной ситуации (Рисунок 2.22).

Фигура 2,22 Первоначально самолет летит строго на запад. Ветер северо-восточный, поэтому дует юго-западный. Угол между курсом самолета и ветром составляет 45 ° 0,45 °. (Рисунок не в масштабе.)

Создайте эскиз так, чтобы начальные точки векторов лежали в начале координат. Тогда вектор скорости самолета p = −425i.p = −425i. Вектор, описывающий ветер, составляет угол 225 ° 225 ° с положительной осью x :

w = 〈40cos (225 °), 40sin (225 °)〉 = 〈- 402, −402〉 = — 402i − 402j.w = 〈40cos (225 °), 40sin (225 °)〉 = 〈- 402, −402〉 = — 402i − 402j.

Когда воздушная скорость и ветер действуют вместе на самолет, мы можем сложить их векторы, чтобы найти результирующую силу:

p + w = −425i + (- 402i − 402j) = (- 425−402) i − 402j.p + w = −425i + (- 402i − 402j) = (- 425−402) i − 402j.

Величина результирующего вектора показывает влияние ветра на путевую скорость самолета:

‖P + w‖ = (- 425−402) 2 + (- 402) 2≈454,17 миль / ч‖p + w‖ = (- 425−402) 2 + (- 402) 2≈454,17 миль / ч

В результате ветра самолет движется со скоростью примерно 454454 миль / ч относительно земли.

Чтобы определить пеленг самолета, мы хотим найти направление вектора p + w: p + w:

tanθ = −402 (−425−402) ≈0,06θ≈3,57 ° .tanθ = −402 (−425−402) ≈0,06θ≈3,57 °.

Общее направление плоскости 3,57 ° 3,57 ° к югу от запада.

Контрольно-пропускной пункт 2,10

Самолет летит строго на север со скоростью 550550 миль в час. Ветер дует с северо-запада, скорость 5050 миль / ч. Какая путевая скорость у самолета?

Раздел 2.1 Упражнения

Для следующих упражнений рассмотрим точки P (−1,3), P (−1,3), Q (1,5), Q (1,5) и R (−3,7).R (-3,7). Определите требуемые векторы и выразите каждый из них a. в виде компонентов и b. используя стандартные единичные векторы.

6 .

PQ → −PR → PQ → −PR →

7 .

2PQ → −2PR → 2PQ → −2PR →

8 .

2PQ → + 12PR → 2PQ → + 12PR →

9 .

Единичный вектор в направлении PQ → PQ →

10 .

Единичный вектор в направлении PR → PR →

11 .

Вектор vv имеет начальную точку (−1, −3) (- 1, −3) и конечную точку (2,1). (2,1).Найдите единичный вектор в направлении v.v. Выразите ответ в виде компонентов.

12 .

Вектор vv имеет начальную точку (−2,5) (- 2,5) и конечную точку (3, −1). (3, −1). Найдите единичный вектор в направлении v.v. Выразите ответ в виде компонентов.

13 .

Вектор vv имеет начальную точку P (1,0) P (1,0) и конечную точку QQ, которая находится на оси y и выше начальной точки. Найдите такие координаты конечной точки QQ, что величина вектора vv равна 5.5.

14 .

Вектор vv имеет начальную точку P (1,1) P (1,1) и конечную точку QQ, которая находится на оси x слева от начальной точки. Найдите координаты конечной точки QQ такие, что величина вектора vv равна 10,10.

Для следующих упражнений используйте указанные векторы aa и b.b.

Определите векторную сумму a + ba + b и выразите ее как в компонентной форме, так и с использованием стандартных единичных векторов.
Найдите разность векторов a − ba − b и выразите ее как в компонентной форме, так и с использованием стандартных единичных векторов.
Убедитесь, что векторы a, a, b, b и a + b, a + b и, соответственно, a, a, b, b и a − ba − b удовлетворяют неравенству треугольника.
Определите векторы 2a, 2a, −b, −b и 2a − b. 2a − b. Выразите векторы как в форме компонентов, так и с использованием стандартных единичных векторов.

15 .

a = 2i + j, a = 2i + j, b = i + 3jb = i + 3j

16 .

a = 2i, a = 2i, b = −2i + 2jb = −2i + 2j

17 .

Пусть aa будет вектором стандартного положения с конечной точкой (−2, −4). (- 2, −4). Пусть bb — вектор с начальной точкой (1,2) (1,2) и конечной точкой (−1,4).(-1,4). Найдите модуль вектора −3a + b − 4i + j. − 3a + b − 4i + j.

18 .

Пусть aa будет вектором стандартного положения с конечной точкой в (2,5). (2,5). Пусть bb — вектор с начальной точкой (−1,3) (- 1,3) и конечной точкой (1,0). (1,0). Найдите модуль вектора a − 3b + 14i − 14j.a − 3b + 14i − 14j.

19 .

Пусть uu и vv — два неэквивалентных вектора, отличных от нуля. Рассмотрим векторы a = 4u + 5va = 4u + 5v и b = u + 2vb = u + 2v, определенные через uu и v.v. Найдите скаляр λλ такой, что векторы a + λba + λb и u − vu − v эквивалентны.

20 .

Пусть uu и vv — два неэквивалентных вектора, отличных от нуля. Рассмотрим векторы a = 2u − 4va = 2u − 4v и b = 3u − 7vb = 3u − 7v, определенные через uu и v.v. Найдите скаляры αα и ββ такие, что векторы αa + βbαa + βb и u − vu − v эквивалентны.

21 год .

Рассмотрим вектор a (t) = 〈cost, sint〉 a (t) = 〈cost, sint〉 с компонентами, которые зависят от действительного числа t.t. При изменении числа tt компоненты a (t) a (t) также меняются в зависимости от функций, которые их определяют.

Запишите векторы a (0) a (0) и a (π) a (π) в компонентной форме.
Покажите, что величина ‖a (t) ‖‖a (t) ‖ вектора a (t) a (t) остается постоянной для любого действительного числа t.t.
При изменении tt покажите, что конечная точка вектора a (t) a (t) описывает окружность с центром в начале радиуса 1.1.

22 .

Рассмотрим вектор a (x) = 〈x, 1 − x2〉 a (x) = 〈x, 1 − x2〉 с компонентами, зависящими от действительного числа x∈ [−1,1] .x∈ [−1, 1]. Поскольку число xx изменяется , , компоненты a (x) a (x) также меняются в зависимости от функций, которые их определяют.

Запишите векторы a (0) a (0) и a (1) a (1) в компонентной форме.
Покажите, что величина ‖a (x) ‖‖a (x) ‖ вектора a (x) a (x) остается постоянной для любого действительного числа xx
При изменении xx покажите, что конечная точка вектора a (x) a (x) описывает окружность с центром в начале радиуса 1.1.

23 .

Покажите, что векторы a (t) = 〈cost, sint〉 a (t) = 〈cost, sint〉 и a (x) = 〈x, 1 − x2〉 a (x) = 〈x, 1 − x2〉 являются эквивалентно для x = 1x = 1 и t = 2kπ, t = 2kπ, где kk — целое число.

24 .

Покажите, что векторы a (t) = 〈cost, sint〉 a (t) = 〈cost, sint〉 и a (x) = 〈x, 1 − x2〉 a (x) = 〈x, 1 − x2〉 являются напротив, если x = rx = r и t = π + 2kπ, t = π + 2kπ, где kk — целое число.

Для следующих упражнений найдите вектор vv с заданной величиной и в том же направлении, что и вектор u.u.

25 .

‖V‖ = 7, u = 〈3,4〉 ‖v‖ = 7, u = 〈3,4〉

26 год .

‖V‖ = 3, u = 〈- 2,5〉 ‖v‖ = 3, u = 〈- 2,5〉

27 .

V‖ = 7, u = 〈3, −5〉 ‖v‖ = 7, u = 〈3, −5〉

28 год .

V‖ = 10, u = 〈2, −1〉 ‖v‖ = 10, u = 〈2, −1〉

Для следующих упражнений найдите компонентную форму вектора u, u, учитывая его величину и угол, который вектор образует с положительной осью x .По возможности дайте точные ответы.

29 .

‖u‖ = 2, ‖u‖ = 2, θ = 30 ° θ = 30 °

30 .

‖u‖ = 6, ‖u‖ = 6, θ = 60 ° θ = 60 °

31 год .

u‖ = 5, ‖u‖ = 5, θ = π2θ = π2

32 .

u‖ = 8, ‖u‖ = 8, θ = πθ = π

33 .

‖u‖ = 10, u‖ = 10, θ = 5π6θ = 5π6

34 .

u‖ = 50, ‖u‖ = 50, θ = 3π4θ = 3π4

Для следующих упражнений задается вектор uu. Найдите угол θ∈ [0,2π) θ∈ [0,2π), который вектор uu образует с положительным направлением оси x против часовой стрелки.

37 .

Пусть a = 〈a1, a2〉, a = 〈a1, a2〉, b = 〈b1, b2〉, b = 〈b1, b2〉 и c = 〈c1, c2〉 c = 〈c1, c2〉 три ненулевых вектора. Если a1b2 − a2b1 ≠ 0, a1b2 − a2b1 ≠ 0, то покажите, что существуют два скаляра αα и β, β, такие что c = αa + βb.c = αa + βb.

38 .

Рассмотрим векторы a = 〈2, −4〉, a = 〈2, −4〉, b = 〈- 1,2〉, b = 〈- 1,2〉 и c = 0 Определим скаляры αα и ββ такие, что c = αa + βb.c = αa + βb.

39 .

Пусть P (x0, f (x0)) P (x0, f (x0)) будет фиксированной точкой на графике дифференциальной функции ff с областью определения, которая является набором действительных чисел.

Определите действительное число z0z0 так, чтобы точка Q (x0 + 1, z0) Q (x0 + 1, z0) находилась на прямой, касательной к графику ff в точке P.P.
Определите единичный вектор uu с начальной точкой PP и конечной точкой Q.Q.

40 .

Рассмотрим функцию f (x) = x4, f (x) = x4, где x∈ℝ.x∈ℝ.

Определите действительное число z0z0 так, чтобы точка Q (2, z0) Q (2, z0) s располагалась на прямой, касательной к графику ff в точке P (1,1) .P (1,1).
Определите единичный вектор uu с начальной точкой PP и конечной точкой Q.Q.

41 год .

Рассмотрим две функции ff и gg, определенные на одном и том же наборе действительных чисел D.D. Пусть a = 〈x, f (x)〉 a = 〈x, f (x)〉 и b = 〈x, g (x)〉 b = 〈x, g (x)〉 два вектора, описывающие графики функции, где x∈Dx∈D. Покажите, что если графики функций ff и gg не пересекаются, то векторы aa и bb не эквивалентны.

42 .

Найдите x∈ℝx∈ℝ такое, что векторы a = 〈x, sinx〉 a = 〈x, sinx〉 и b = 〈x, cosx〉 b = 〈x, cosx〉 эквивалентны.

43 год .

Вычислить координаты точки DD так, чтобы ABCDABCD был параллелограммом с A (1,1), A (1,1), B (2,4), B (2,4) и C (7,4). .С (7,4).

44 год .

Рассмотрим точки A (2,1), A (2,1), B (10,6), B (10,6), C (13,4), C (13,4) и D (16 , −2) .D (16, −2). Определить компонентную форму вектора AD → .AD →.

45 .

Скорость объекта — это величина связанного с ним вектора скорости. Футбольный мяч, брошенный квотербеком, имеет начальную скорость 7070 миль в час и угол возвышения 30 ° 0,30 °. Определите вектор скорости в милях в час и выразите его в виде компонентов. (Округляем до двух десятичных знаков.)

46 .

Бейсболист бросает бейсбольный мяч под углом 30 ° 30 ° к горизонтали.Если начальная скорость мяча составляет 100–100 миль в час, найдите горизонтальную и вертикальную составляющие вектора начальной скорости бейсбольного мяча. (Округляем до двух десятичных знаков.)

47 .

Пуля выстреливается с начальной скоростью 1500–1500 фут / с под углом 60 ° 60 ° к горизонтали. Найдите горизонтальную и вертикальную составляющие вектора скорости пули. (Округляем до двух десятичных знаков.)

48 .

[T] Спринтер весом 65 кг прикладывает силу 798798 Н под углом 19 ° 19 ° по отношению к земле на стартовой колодке в момент начала забега.Найдите горизонтальную составляющую силы. (Округляем до двух десятичных знаков.)

49 .

[T] Две силы, горизонтальная сила 4545 фунтов и еще одна 5252 фунтов, действуют на один и тот же объект. Угол между этими силами составляет 25 ° 0,25 °. Найдите величину и угол направления от положительной оси x результирующей силы, действующей на объект. (Округляем до двух десятичных знаков.)

50 .

[T] Две силы, вертикальная сила 2626 фунтов и еще одна 4545 фунтов, действуют на один и тот же объект.Угол между этими силами составляет 55 ° 0,55 °. Найдите величину и угол направления от положительной оси x результирующей силы, действующей на объект. (Округляем до двух десятичных знаков.)

51 .

[T] На объект действуют три силы. Две из этих сил имеют величины 5858 Н и 2727 Н и составляют углы 53 ° 53 ° и 152 °, 152 °, соответственно, с положительной осью x . Найдите величину и угол направления от положительной оси x третьей силы так, чтобы результирующая сила, действующая на объект, была равна нулю.(Округляем до двух десятичных знаков.)

52 .

Три силы с величинами 8080 фунтов, 120120 фунтов и 6060 фунтов действуют на объект под углами 45 °, 45 °, 60 ° 60 ° и 30 °, 30 °, соответственно, с положительной осью x . Найдите величину и угол направления от положительной оси x результирующей силы. (Округляем до двух десятичных знаков.)

53 .

[T] Самолет летит в направлении 43 ° 43 ° к востоку от севера (также сокращенно N43E) N43E) со скоростью 550550 миль в час.Ветер со скоростью 2525 миль / ч дует с юго-запада в пеленге N15E.N15E. Какая путевая скорость и новое направление полета самолета?

54 .

[T] Лодка движется по воде со скоростью 3030 миль в час в направлении N20EN20E (то есть 20 ° 20 ° к востоку от севера). Сильное течение движется со скоростью 1515 миль в час в направлении N45E.N45E. Какая новая скорость и направление движения лодки?

55 .

[T] Груз весом 50 фунтов подвешивается на тросе таким образом, чтобы две части троса образовывали углы 40 ° 40 ° и 53 °, 53 ° соответственно с горизонтом.Найдите величины сил натяжения T1T1 и T2T2 в тросах, если результирующая сила, действующая на объект, равна нулю. (Округляем до двух десятичных знаков.)

56 .

[T] Груз весом 62 фунта свисает с троса, который образует углы 29 ° 29 ° и 61 °, 61 ° соответственно с горизонтом. Найдите величины сил натяжения T1T1 и T2T2 в тросах, если результирующая сила, действующая на объект, равна нулю. (Округляем до двух десятичных знаков.)

57 год .

[T] Лодка весом 1500 фунтов припаркована на аппарели, которая составляет угол 30 ° 30 ° с горизонтом.Вектор веса лодки направлен вниз и представляет собой сумму двух векторов: горизонтального вектора v1v1, параллельного пандусу, и вертикального вектора v2v2, перпендикулярного наклонной поверхности. Величины векторов v1v1 и v2v2 представляют собой соответственно горизонтальную и вертикальную составляющие вектора веса лодки. Найдите величины v1v1 и v2.v2. (Округлить до ближайшего целого.)

58 .

[T] Ящик весом 85 фунтов находится в покое на уклоне 26 ° 26 °. Определите величину силы, параллельной наклону, необходимой для предотвращения скольжения коробки.(Округлить до ближайшего целого.)

59 .

Оттяжка поддерживает столб высотой 7575 футов. Один конец провода прикрепляют к верху столба, а другой конец прикрепляют к земле на расстоянии 5050 футов от основания столба. Определите горизонтальную и вертикальную составляющие силы натяжения в тросе, если ее величина составляет 5050 фунтов (округлите до ближайшего целого числа).

60 .

Растяжка телефонного столба имеет угол подъема 35 ° 35 ° по отношению к земле.Сила натяжения троса составляет 120–120 фунтов. Найдите горизонтальную и вертикальную составляющие силы натяжения. (Округлить до ближайшего целого.)

Движение в плоскости Сложение векторов Одиннадцатый класс физики

Скаляры и векторы

Величина, имеющая только величину, называется скалярной величиной. Величина, имеющая как величину, так и направление, называется векторной величиной.

Положение и перемещение

На следующем рисунке показано положение объекта в разное время.Пусть O — начало координат. Пусть P и P ‘- положения объекта в моменты времени t и t’ соответственно. Соединим точки O и P прямой линией. Тогда OP — это вектор положения объекта в момент времени t. Точно так же OP ‘- это вектор положения объекта в момент времени t’. Пусть OP представляет собой r, а OP ‘представляет собой r’. Если объект перемещается из P в P ‘, то PP’ является вектором смещения объекта. Вектор смещения — это прямая линия, соединяющая начальную и конечную позиции.

На втором рисунке показаны различные пути объекта, которые являются PABCQ, PDQ и PBEFQ.Независимо от того, по какому пути следует объект, его вектор смещения всегда будет PQ. Таким образом, можно сказать, что величина смещения меньше или равна длине пути объекта между двумя точками.

Равенство векторов: Два вектора A и B равны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую величину и одинаковое направление.

На первом рисунке показаны два вектора A и B, которые показаны параллельными линиями OP и QS. Если мы переместим OP в сторону QS, наступит время, когда O совпадет с Q, а P совпадет с S, это покажет, что OP и QS могут совпадать.Это также покажет, что A равно B.

На втором рисунке показаны два вектора A ‘и B’, которые имеют одинаковую величину, но разные направления. Как бы мы ни двигали один вектор по направлению к другому, их головы и хвосты не совпадают одновременно. Итак, A ‘и B’ не равны.

Умножение векторов на действительные числа

Когда мы умножаем вектор A на положительное число λ, мы получаем вектор, величина которого изменяется на коэффициент λ, но направление остается прежним.

| λA | = λ | A | если λ> 0

Когда мы умножаем данный вектор на отрицательное число, мы получаем другой вектор с направлением, противоположным направлению данного вектора, а величина в λ раз больше данного вектора.

Сложение и вычитание векторов:

Графический метод

Векторы подчиняются закону сложения треугольника или, что эквивалентно, закону сложения параллелограмма .

Предположим, есть два вектора A и B, лежащих в одной плоскости.Поместим B так, чтобы его хвост находился во главе вектора A. Теперь соединим хвост A с головой B линией OQ, которая представляет вектор R. В этом случае R = A + B. Третья фигура показывает R = B + A

Сложение векторов является коммутативным, что означает:

А + В = В + А

Сложение векторов подчиняется закону ассоциативного свойства, что означает:

(А + В) + С = А + (В + С)

Когда мы складываем два равных и противоположных вектора, мы получаем нулевой результат.

А — А = 0

| 0 | = 0

Нельзя указать направление нулевого вектора. Когда мы умножаем вектор на ноль, мы получаем нулевой результат.

Эти рисунки иллюстрируют параллелограммный закон сложения векторов. Рисунки b и c показывают, что закон параллелограмма эквивалентен закону сложения треугольника. Если два вектора A и B расположены так, что их хвосты совпадают, мы получим параллелограмм OQSP; как показано на рисунке. В этом случае диагональная ОС (обозначенная буквой R) дает сумму векторов A и B.Если голова A совпадает с хвостом B, то R дает третью сторону треугольника OPS. В этом случае соблюдается закон сложения треугольника.

векторов на плоскости: представление и примеры

Свойства векторов

Сложение

Мы можем складывать векторы вместе. Нам просто нужно добавить к каждой координате.

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)

Вычитание

Мы также можем вычитать векторы, вычитая каждую координату.

(a, b) — (c, d) = (a — c, b — d)

Умножение

Мы можем умножить вектор на скаляр, умножив каждую координату на этот скаляр.

Если c — скаляр, (a, b) * c = (a * c, b * c)

Мы также можем умножать между векторами, но мы рассмотрим это в другом уроке.

Деление

Мы можем разделить вектор на скаляр, разделив каждую координату на скаляр.

Если скаляр c не равен нулю, (a, b) / c = (a / c, b / c)

В отличие от умножения, мы не можем разделить два вектора.

Расчет звездной величины

Если мы думаем о векторе как о гипотенузе треугольника, мы можем использовать теорему Пифагора:

Затем,

Векторные величины

В физике есть два типа величин.

те, которые описываются числом и, в конечном итоге, единицей измерения, например, время, температура или масса
описываются величиной, направлением и смыслом, например положением, смещением и скоростью.Их называют векторными величинами , потому что они обладают всеми свойствами векторов.

Позиция:

Положение объекта в системе координат определяется как вектор, связывающий место, занимаемое объектом, с началом координат системы координат. Итак, мы можем установить его как:

или:

где P ( x , y ) — позиция объекта.

Например, если мы хотим определить вектор положения для точки A (2, 3). Это будет

Смещение:

Смещение — это вектор, который определяет положение объекта относительно источника A относительно положения B. Таким образом, вектор будет определен как

Например, если человек перемещается на 3 км на восток, а затем на 2 км на север, каков вектор смещения и каково общее пройденное расстояние?

Мы можем представить его по оси координат:

Чтобы вычислить вектор смещения, мы должны вычесть начальную точку из конечной точки.Итак, получаем:

С другой стороны, чтобы вычислить общее расстояние, нам нужно вычислить величину вектора:

Тогда общее расстояние 3,065 км.

Скорость:

Скорость — это скорость изменения во времени смещения.

Например, предположим, что автомобиль стартует на (2, 3) км и через 2 часа езды по прямой достигает точки (6, 5) км.Что такое вектор скорости?

Сначала нам нужно вычислить вектор смещения.

Тогда вектор скорости будет вектором смещения, деленным на время, затем

Резюме урока

Вектор — это отрезок линии с направлением, величиной и смыслом.

направление задается линией, содержащей вектор
чувство определяет начальную и конечную точки
— это длина вектора

Свойства:

Сложение: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)

Вычитание: (a, b) — (c, d) = (a — c, b — d)

Умножение (со скаляром): (a, b) * c = (a * c, b * c), где c — скаляр.

Деление: (a, b) / c = (a / c, b / c), если c не равно нулю. Мы не можем разделить 2 вектора.

Расчет величины:

Положение объекта в системе отсчета определяется как вектор, связывающий место, занимаемое объектом, с началом отсчета системы отсчета.

Смещение — это вектор, который определяет положение объекта относительно источника A на позиции B.

Скорость определяется как скорость изменения смещения во времени.

4. Сложение векторов — в 2-х измерениях

Давайте сначала поиграем. Следующий интерактивный апплет включает в себя Cessna, которая пытается приземлиться на взлетно-посадочной полосе, но боковой ветер довольно сильный.

Инструкции

Вы пилот. Если вы правильно выстроили Cessna, вы сможете приземлиться. Если нет, вам нужно обойти и попробовать еще раз. Вы можете приземлиться только на север (взлетно-посадочная полоса 36, направляясь к вершине).

Выберите направление ветра и вперед.Вы можете управлять с помощью клавиш со стрелками вправо и влево, на клавиатуре. Вы можете в любой момент поставить на паузу, чтобы увидеть, что происходит с различными задействованными векторами.

На планшете или смартфоне наклоните экран для поворота.

Развлечения

Сначала облетите, чтобы почувствовать элементы управления
Попробуйте лететь на север или, возможно, на восток
А теперь попытайтесь приземлиться. Задача состоит в том, чтобы поставить его точно в центре взлетно-посадочной полосы, рядом с цифрой «36», летя строго на север.

Удачи.

Восток Запад Пауза

Для начала выберите направление ветра (вверху).

Ветер:
0 kt

Скорость полета и курс:
0 узлов

Скорость грунта:
0 узлы

Примечание 1: В навигации (на кораблях и самолетах) углы отсчитываются от прямого севера (0 ° = 360 °) в направлении по часовой стрелке .Так, например, восток равен 090 °, а юг — 180 °.

Примечание 2: Маркировка взлетно-посадочной полосы не включает последнюю цифру направления взлетно-посадочной полосы, поэтому «ВПП 36» означает, что воздушное судно приземляется в направлении 360 °, а «ВПП 18» означает 180 °.

О чем это было?

В ходе работы над Cessna мы добавили векторы в двух измерениях.

Пример — Посадка при боковом ветре

Во время мероприятия мы приближались к аэропорту на самолете, который летел по воздуху со скоростью 120 узлов.Мы говорим, что его скорость полета составляет 120 узлов.

( Примечание: узлов = узел , или морская миля в час, является официальной единицей измерения скорости самолета).

Был сильный западный боковой ветер 20 уз (на что указывал ветроуказатель).

Если направить нос самолета прямо на аэропорт, ветер оттолкнет нас от взлетно-посадочной полосы.
На схеме
W — вектор ветра (черный),
H — это заголовок воздушного судна (направление указывает нос самолета — синим цветом) и
D — это результирующее направление , по которому летательный аппарат фактически движется по земле (красным).
Показывать нос прямо в аэропорту — не лучший вариант. Нам явно нужно направить нос по ветру, чтобы мы пошли прямо к зоне приземления.

Самолет направлен против бокового ветра, так что теперь мы действительно идем туда, куда хотим (прямо к зоне приземления).
В этом примере приземления при боковом ветре мы видели добавление векторов . Мы добавили вектор W, (ветер) с вектором H (курс), чтобы получить наш результирующий вектор D (где фактически летит самолет относительно земли).
Мы могли бы записать это как:
Д = Ш + В
Примечание 1: В полете и морской навигации Север рассматривается как 0 ° = 360 °, а углы на компасе измеряются по часовой стрелке . Итак,
90 ° — восток,
180 ° — юг и
270 ° — запад.
Примечание 2: На самом деле, Cessna не может приземлиться, если есть прямой боковой ветер 20 узлов (обычно верхний предел составляет около 15 узлов), а большинство маленьких Cessnas приземляются на скорости около 70 узлов).Фигуры, использованные в упражнении, были выбраны так, чтобы эффект бокового ветра был более выраженным.
Добавление векторов с помощью параллелограмма
В приведенном выше упражнении с апплетом вы могли бы заметить параллелограмм сил, которые изменились с изменением курса самолета или направления ветра.
Параллелограмм — это альтернативный метод использования треугольников. Если мы сложим синий вектор (направление) и черный вектор (ветер), то результирующий вектор будет красным вектором направления на землю .На изображении направление земли строго на север.
Единичные векторы и компоненты вектора (2-D)
Мы встречали идею «единичного вектора» раньше в 1. Концепции вектора. Теперь мы расширим идею для двумерных векторов.
На схеме показан единичный вектор в направлении x (называемый вектором i ) и другой в направлении y (называемый вектором j ).
Мы можем записать любой двумерный вектор в терминах единичных векторов i и j .
Пример
В предыдущем примере у нас был следующий вектор:
Мы могли бы записать компонент вектора V следующим образом.
В _x = 6 i
V _y = 3 j
Итак, мы можем записать вектор V с использованием единичных векторов следующим образом:
`» V «= 6 \» i «+ 3 \» j «`
Сложение и вычитание векторов
Рис 3.- вычесть 2 вектора.
Пример 2
Модули двух векторов U и V равны 5 и 8 соответственно. Вектор U составляет угол 20 с положительным направлением оси x, а вектор V составляет угол 80 с положительным направлением оси x. Оба угла измеряются против часовой стрелки. Найдите величины и направления векторов U + V и U — V.
Решение
Давайте сначала воспользуемся величинами и направлениями, чтобы найти компоненты векторов U и V.
U → = (5 cos (20), 5 sin (20))
V → = (10 cos (80), 10 sin (80))
Величина и направление вектора U + V
U → + V → = (5 cos (20), 5 sin (20)) + (10 cos (80), 10 sin (80))
= (5 cos (20) + 10 cos (80), 5 sin (20) +10 sin (80))
Теперь, когда у нас есть компоненты вектора U + V, мы можем вычислить величину следующим образом:
| U → + V → | знак равно √ (5 cos (20) + 10 cos (80)) ² + (5 sin (20) +10 sin (80)) ² = 5√7 ≈ 13.22
Если θ — угол в стандартном положении (угол между вектором U + V и положительным направлением оси x) вектора U + V, то
tan (θ) =
y-компонента U + V / x-компонента U + V
=
5 sin (20) +10 sin (80) / 5 cos (20) + 10 cos (80)
Относительный угол α к углу θ определяется как
α = arctan | (
5 sin (20) +10 sin (80) / 5 cos (20) + 10 cos (80)
) | ≈ 60,9
Теперь аппроксимируем компоненты вектора U + V, чтобы определить квадрант U + V
U → + V → = (5 cos (20) + 10 cos (80), 5 sin (20) +10 грех (80)) ≈ (6.43, 11.6)
Поскольку обе компоненты вектора U + V положительны, конечная сторона угла θ находится в квадранте I и, следовательно,
θ = α = 60,9
Направление вектора U + V задается углом приблизительно равно 60,9. Этот угол измеряется против часовой стрелки от положительной оси x.
Величина и направление вектора U — V U → — V → = (5 cos (20), 5 sin (20)) — (10 cos (80), 10 sin (80))
= (5 cos (20) — 10 cos (80), 5 sin (20) — 10 sin (80))
Теперь, когда у нас есть компоненты вектора U — V, мы можем вычислить величину следующим образом:
|
U → — V → | знак равно √ (5 cos (20) — 10 cos (80)) ² + (5 sin (20) — 10 sin (80)) ² = 5√3 ≈ 8.66
Если β — угол в стандартном положении (угол между вектором U — V и положительным направлением оси x) вектора U — V, то
tan (β) =
y-компонента U-V / x-составляющая U-V
=
5 sin (20) — 10 sin (80) / 5 cos (20) — 10 cos (80)
Относительный угол α к углу β определяется как
α = arctan | (
5 sin (20) — 10 sin (80) / 5 cos (20) — 10 cos (80)
) | = 70
Теперь мы аппроксимируем компоненты вектора U — V так, чтобы мы могли определить квадрант U — V
U → — V → = (5 cos (20) — 10 cos (80), 5 sin (20) — 10 грехов (80)) ≈ (2.96, -8.13)
Знаки компонент вектора U — V указывают, что конечная сторона угла β находится в квадранте IV и, следовательно,
β = 360 — α = 360 — 70 = 290
Направление вектора U — V задается углом, равным 290. Этот угол измеряется против часовой стрелки от положительной оси x.
Пример 3
Компоненты трех векторов A, B и C задаются следующим образом: A → = (2, -1), B → = (-3, 2) и C → = (13, — 8).Найдите действительные числа a и b такие, что C → = a A → + b B →.
Решение
Сначала перепишем уравнение C → = a A → + b B → используя компоненты векторов.
(13, — 8) = a (2, -1) + b (-3, 2)
Перепишите уравнение для каждого компонента
13 = 2 a — 3 b и — 8 = — a + 2 b
Решите приведенные выше уравнения в a и b, чтобы получить
a = 2 и b = -3.
Векторы в плоскости | Суперпроф
Что такое вектор?
Вектор — это величина, имеющая величину и направление. Значит, вектору нужны и то, и другое. Без направления вектор будет прямой, без величины вектора даже не будет. Обозначим векторы на основе головы и хвоста. По сути, вектор — это отрезок прямой, идущий от точки A (хвост) до точки B (голова).
Каждый раз, когда мы рисуем вектор, мы рисуем его от хвоста к голове.Хвост представляет собой начальную точку вектора, а голова — конечную точку вектора. Направление представлено головкой вектора, поэтому мы рисуем стрелку, указывающую в определенном направлении, на головке вектора. Длина представляет собой величину, поэтому на сленговом языке, чем длиннее вектор, тем выше величина.
Лучшие репетиторы по математике
Первый урок бесплатно
Свойства вектора
Направление вектора
Это направление линии, содержащей вектор, или любой линии, параллельной ему.
Величина вектора
Величина вектора
— это длина отрезка прямой. Обозначается он.
Величина вектора всегда является положительным числом или нулем, потому что материя всегда положительна, вы не можете превратить положительный 1 кг риса в отрицательный 1 кг риса, не так ли? Значит ли это, что вектор вообще не может быть отрицательным? Является ли вектор положительной сущностью? Нет, вектор может иметь отрицательный знак, что это значит? Он представляет направление. Если вы посмотрите на стандартную ось, то чем больше вы будете двигаться слева направо, тем больше положительных значений вы увидите, а если вы переместитесь справа налево, вы увидите переход положительных значений в отрицательные значения, и, возможно, вы не можете даже увидеть положительное значение при движении влево.Векторы работают одинаково, в основном отрицательный знак работает в соответствии с осью, что означает, что ось становится системой отсчета для вектора. Вектор также может иметь свою собственную систему отсчета, и чтобы объяснить, что он заслуживает отдельного блога об этом, давайте пока придерживаемся направления и величины вектора.
Величину вектора можно вычислить, если известны координаты конечных точек:
Вычислите величину следующих векторов:
Вычислите значение k зная, что величина вектора
равна 5.
Типы векторов
Вектор положения
Вектор
, который соединяет исходные координаты O с точкой P , является вектором положения точки P
Компоненты или координаты вектора
Если координаты A и B равны:
Найдите компоненты вектора
:
Вектор
имеет компоненты. Найдите координаты точки A, если конечная точка известна как.
Следовательно,
Вычислите координаты точки D так, чтобы четырехугольник точек:
и D образовал параллелограмм.
Следовательно,
Хамза
Привет! Я Хамза и я из Пакистана. Мои хобби — чтение, письмо и игра в шахматы.В настоящее время я учусь на программе бакалавриата по химической инженерии.
Векторов
Мы рисовали точки в Rn как точки на линии, плоскости, пространстве и т. Д. Мы также можем нарисовать их как стрелок . Поскольку мы имеем в виду две геометрические интерпретации, мы теперь обсудим взаимосвязь между двумя точками зрения.
Точки и векторы
Опять же, точка в Rn рисуется как точка.
Вектор — это точка в Rn, нарисованная в виде стрелки.
Разница чисто психологическая: точек и вектора — это просто списки чисел .
Когда мы думаем о точке в Rn как о векторе, мы обычно записываем ее вертикально, как матрицу с одним столбцом:
v = E13F.
Мы также запишем 0 для нулевого вектора.
Зачем нужно различать точки и векторы? Вектор не обязательно должен начинаться в начале координат: он может располагаться где угодно ! Другими словами, стрелка определяется ее длиной и направлением, а не местоположением.Например, все эти стрелки представляют вектор E12F.
Если не указано иное, мы будем предполагать, что все векторы начинаются в начале координат.
Векторы имеют смысл в реальном мире: многие физические величины, такие как скорость, представлены в виде векторов. Но разумнее думать о скорости автомобиля как о приближении к машине.
Здесь мы узнаем, как складывать векторы вместе и как умножать векторы на числа, как алгебраически, так и геометрически.
Сложение векторов и скалярное умножение
Мы можем сложить два вектора:
CabcD + CxyzD = Ca + xb + yc + zD.
Мы можем умножить или масштабировать вектор на действительное число c:
cCxyzD = Cc · xc · yc · zD.
Мы называем c скаляром , чтобы отличить его от вектора. Если v — вектор, а c — скаляр, то cv называется скалярным числом , кратным v.
Сложение и скалярное умножение работают одинаково для векторов длины n.
Закон параллелограмма для сложения векторов
Геометрически сумма двух векторов v, w получается следующим образом: поместите хвост w в начало v. Тогда v + w — это вектор, хвост которого является хвостом v, а голова — головой w. В обоих случаях получается параллелограмм. Например,
E13F + E42F = E55F.
Почему? Ширина v + w — это сумма ширин, а также высот.
vwwvv + w5 = 1 + 4 = 4 + 15 = 2 + 3 = 3 + 2
Вычитание вектора
Геометрически разность двух векторов v, w получается следующим образом: поместите хвосты v и w в одну и ту же точку.Тогда v − w — это вектор от вершины w к вершине v. Например,
E14F-E42F = E-32F.
Почему? Если вы добавите v − w к w, вы получите v.
Скалярное умножение
Скалярное кратное вектора v имеет то же (или противоположное) направление, но разную длину. Например, 2v — это вектор в направлении v, но в два раза длиннее, а -12v — вектор в направлении, противоположном v, но вдвое короче. Обратите внимание, что набор всех скалярных кратных (ненулевого) вектора v представляет собой строку .
Somemultiplesofv.v2v − 12v0vAllmultiplesofv.
Мы можем складывать и масштабировать векторы в одном уравнении.
Определение
Пусть c1, c2, …, ck — скаляры, и пусть v1, v2, …, vk — векторы в Rn. Вектор в Rn
c1v1 + c2v2 + ··· + ckvk
называется линейной комбинацией векторов v1, v2, …, vk с весами или коэффициентами c1, c2, …, ck.
Геометрически линейная комбинация получается растяжением / сжатием векторов v1, v2 ,…, vk согласно коэффициентам, а затем сложить их вместе по закону параллелограмма.
Рисунок 17: Линейные комбинации двух векторов в R2: перемещайте ползунки, чтобы изменить коэффициенты v1 и v2. Обратите внимание, что любой вектор на плоскости может быть получен как линейная комбинация v1, v2 с подходящими коэффициентами.
Пример (линейные комбинации одного вектора)
Линейная комбинация одного вектора v = A12B — это просто скалярное кратное v. Поэтому некоторые примеры включают
v = E12F, 32v = E3 / 23F, −12v = E − 1 / 2−1F ,…
Набор всех линейных комбинаций — это строки от до v . (Если v = 0, и в этом случае любое скалярное кратное v снова равно 0.)
Пример (линейные комбинации коллинеарных векторов)
Множество всех линейных комбинаций векторов
v1 = E22F и v2 = E − 1−1F
— это строка , содержащая оба вектора.
Разница между этим и предыдущим примером заключается в том, что оба вектора лежат на одной линии.

Сложение и вычитание векторов | matematicus.ru

Сложение векторов по правилу параллелограмма

Сложение векторов по правилу треугольника

Правило параллелепипеда

Сложение противоположных векторов

Свойство переместительности (переместительный закон)

Сочетательное свойство (сочетательный закон)

Векторы на плоскости — презентация онлайн

1. Векторы на плоскости

2. Примеры из физики

3. Понятие вектора

4. Нулевой вектор

5. Длина вектора

6. Коллинеарность векторов

7. Сонаправленные векторы

8. Противоположно направленные векторы

9. Равные векторы

10. Откладывание вектора от данной точки

11. Сложение векторов

12. Правило треугольника

13. Сложение векторов

14. Сложение нескольких векторов

15. Свойства сложения

16. Вычитание векторов

17. Вычитание векторов

18. Умножение вектора на число

20. Применение векторов к решению задач

21. Задача 1.

22. Задача 2.

23. Средняя линия трапеции

Линейное пространство

§ 2. Сложение и вычитание векторов. Разработка методики обучения учащихся по теме «Векторы на плоскости»

Похожие главы из других работ:

1.1 Сложение и вычитание с позиций аксиоматической теории и теоретико-множественного подхода к построению множества целых неотрицательных чисел

3.3.1 Сложение

2.1 Характеристика ошибок, допускаемых учениками, при выполнении письменных заданий на сложение и вычитание

п.1.2 Равенство векторов

п.2.1 Сумма двух векторов

п.2.2 Законы сложения векторов. Правило параллелограмма

п.2.3 Сумма нескольких векторов

п.2.4 Вычитание векторов

п.2.2 Равенство векторов

п.2.4 Сумма векторов

п.2.6 Вычитание векторов

п.2.8 Скалярное произведение векторов

п.2.9 Свойства скалярного произведения векторов

п.2.11 Использование векторов при знакомстве с тригонометрическими функциями

ВЕКТОРЫ НА ПЛОСКОСТИ — Документ

Векторы на плоскости Определение вектора

Сложение векторов

Умножение на число

Свойства линейных операций

Примечание

2.1 Векторы на плоскости — том исчисления 3

Цели обучения

Определение

Векторное представление

Определение

Пример 2.1

Создание векторных эскизов

Решение

Контрольно-пропускной пункт 2.1

Объединение векторов

Определение

Определение

Пример 2.2

Объединение векторов

Решение

Контрольно-пропускной пункт 2.2

Компоненты вектора

Пример 2.3

Сравнение векторов

Решение

Контрольно-пропускной пункт 2.3

Определение

Правило: компонентная форма вектора

Пример 2,4

Выражение векторов в форме компонентов

Решение

Контрольно-пропускной пункт 2,4