Site Loader

Содержание

PhysBook:Электронный учебник физики — PhysBook

Содержание

  • 1 Учебники
  • 2 Механика
    • 2.1 Кинематика
    • 2.2 Динамика
    • 2.3 Законы сохранения
    • 2.4 Статика
    • 2.5 Механические колебания и волны
  • 3 Термодинамика и МКТ
    • 3.1 МКТ
    • 3.2 Термодинамика
  • 4 Электродинамика
    • 4. 1 Электростатика
    • 4.2 Электрический ток
    • 4.3 Магнетизм
    • 4.4 Электромагнитные колебания и волны
  • 5 Оптика. СТО
    • 5.1 Геометрическая оптика
    • 5.2 Волновая оптика
    • 5.3 Фотометрия
    • 5.4 Квантовая оптика
    • 5.5 Излучение и спектры
    • 5. 6 СТО
  • 6 Атомная и ядерная
    • 6.1 Атомная физика. Квантовая теория
    • 6.2 Ядерная физика
  • 7 Общие темы
  • 8 Новые страницы

Здесь размещена информация по школьной физике:

  1. материалы из учебников, лекций, рефератов, журналов;
  2. разработки уроков, тем;
  3. flash-анимации, фотографии, рисунки различных физических процессов;
  4. ссылки на другие сайты

и многое другое.

Каждый зарегистрированный пользователь сайта имеет возможность выкладывать свои материалы (см.

справку), обсуждать уже созданные.

Учебники

Формулы по физике – 7 класс – 8 класс – 9 класс – 10 класс – 11 класс –

Механика

Кинематика

Основные понятия кинематики – Прямолинейное движение – Криволинейное движение – Движение в пространстве

Динамика

Законы Ньютона – Силы в механике – Движение под действием нескольких сил

Законы сохранения

Закон сохранения импульса – Закон сохранения энергии

Статика

Статика твердых тел – Динамика твердых тел – Гидростатика – Гидродинамика

Механические колебания и волны

Механические колебания – Механические волны


Термодинамика и МКТ

МКТ

Основы МКТ – Газовые законы – МКТ идеального газа

Термодинамика

Первый закон термодинамики – Второй закон термодинамики – Жидкость-газ – Поверхностное натяжение – Твердые тела – Тепловое расширение


Электродинамика

Электростатика

Электрическое поле и его параметры – Электроемкость

Электрический ток

Постоянный электрический ток – Электрический ток в металлах – Электрический ток в жидкостях – Электрический ток в газах – Электрический ток в вакууме – Электрический ток в полупроводниках

Магнетизм

Магнитное поле – Электромагнитная индукция

Электромагнитные колебания и волны

Электромагнитные колебания – Производство и передача электроэнергии – Электромагнитные волны


Оптика.

СТО

Геометрическая оптика

Прямолинейное распространение света. Отражение света – Преломление света – Линзы

Волновая оптика

Свет как электромагнитная волна – Интерференция света – Дифракция света

Фотометрия

Фотометрия

Квантовая оптика

Квантовая оптика

Излучение и спектры

Излучение и спектры

СТО

СТО


Атомная и ядерная

Атомная физика. Квантовая теория

Строение атома – Квантовая теория – Излучение атома

Ядерная физика

Атомное ядро – Радиоактивность – Ядерные реакции – Элементарные частицы


Общие темы

Измерения – Методы решения – Развитие науки- Статья- Как писать введение в реферате- Подготовка к ЕГЭ — Репетитор по физике

Новые страницы

Запрос не дал результатов.

Геометрия Сложение и вычитание векторов

Материалы к уроку

Конспект урока

3. Сложение и вычитание векторов

Введем правило сложения двух векторов.

Пусть нам даны два неколлинеарных вектора  a и b. Отложим от произвольной точки пространства А вектор АВ, равный вектору а. Затем от точки В отложим вектор ВС, равный вектору b. Вектор АС называется суммой векторов а и b.

Нужно отметить, что сумма векторов не зависит от выбора точки А.

Это правило сложения векторов называется правилом треугольника.

Текст

Сложение двух векторов

Рисунок двух неколлинеарных векторов, треугольник, две стороны параллельны данным векторам

 

 

При сложении неколлинеарных векторов можно воспользоваться правилом параллелограмма.

Пусть даны векторы а и b. От произвольной точки А отложим векторы АВ и АС, равные соответственно а и b. Достроим до параллелограмма, проведя дополнительные линии, параллельно данным векторам. Вектор AD являющийся диагональю параллелограмма, выходящий из точки А есть сумма векторов а и b.

Текст

Правило треугольника

Рисунок параллелепипеда

 

 

Решим задачу №327 под буквой а.

На рисунке  изображен параллелепипед ABCDA1B1C1D1.Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов    AB и  A1D1 .

Воспользуемся правилом параллелограмма. К вектору АВ прибавим вектор АD, равный вектору A1D1.

    Суммой этих векторов будет диагональ основания параллелепипеда, то есть вектор АС.

Текст №327(а)

Рисунок параллелепипеда

 

По правилу параллелограмма

,

Напомним свойства сложения векторов, так как они ни чем не отличаются от свойств сложения векторов в планиметрии:

Для любых трех векторов а, бэ и це, выполняются равенства

1) переместительный закон

2) сочетательный закон

Введем определение противоположных векторов.

Два вектора называются противоположными, если их длины равны и они противоположно направлены

Вектор минус а противоположен вектору а

 

Вектор DF противоположен вектору FD, и равен минус вектор FD

 

 

Противоположные векторы

 

Если  и – противоположные, то | |=| |,     .

 

 

 и – противоположные,

 = –

Определим вычитание векторов

 

Текст

Вычитание векторов

Разностью векторов    a  и   b  называется такой вектор, сумма которого с вектором  b    равна вектору a.

 

Разность можно найти как сумму вектора      с противоположным вектором вектору   .

Существует правило для трех точек.

 

Любой вектор можно представить как разность двух векторов, проведенных из одной точки.

Добавляем третью точку (любую) и задаем разность из  вектора, проведенного из этой точки в конец данного вектора минус вектор, проведенный в начало.

Текст

Правило трех точек

 

 

 

Рисунок разности векторов

 

(по ходу правила строить сначала вектор ВК затем вектор АК и АВ)

Решим задачу №332

На рисунке изображен параллелепипед ABCDA1B1C1D1 Представьте векторы АВ1 и DK в виде разности двух векторов, начала и концы которых совпадают с отмеченными на рисунке точками.

 

Текст

Задача №332

Рисунок параллелепипеда

 

Решение.

Рассмотрим вектор АВ1 и воспользуемся правилом трех точек.  Третьей точкой удобно взять точку А1. Вектор, проведенный  в конец то есть в точку В1   будет А1В1 и в начало точку А – вектор А1А. Получаем АВ1 равно А1В1 минус А1А.

Текст

Задача №332

Решение.

Рисунок прежний

 

Выполним это же задание для вектора DK.  Здесь третьей точкой удобно взять точку D1. Вектор в конец ­ — D1K, в начало — D1D. Получим вектор DK равен D1K минус  D1D.

Текст

Задача №332

 

Комментарий, было упущено свойства сложения векторов, и определение противоположного вектора.

 

Остались вопросы по теме? Наши репетиторы готовы помочь!

  • Подготовим к ЕГЭ, ОГЭ и другим экзаменам

  • Найдём слабые места по предмету и разберём ошибки

  • Повысим успеваемость по школьным предметам

  • Поможем подготовиться к поступлению в любой ВУЗ

Выбрать репетитора

Сложение векторов — свойства, правила и примеры решения задач » Kupuk.net

Отрезок, который имеет направление, называется вектором. По сути, эта линия, характеризующаяся определённой длиной. Так как с математической точки зрения это выражение, то с ним можно выполнять различные операции. Простейшими являются действия вычитания двух и более векторов и их сложение. Выполняются они по правилам геометрии и алгебры.

Общие сведения

Понятие вектор используется как в физике, так и в математике. С его помощью обозначают действие различных сил, указывают их направление, определяют движение. По сути, это величина, противопоставляемая массе, объёму, плотности, температуре, то есть «скалярам». Согласно определению вектор — это отрезок, имеющий строгое направление. Точку, из которой он выходит, называют начальной, а в которой заканчивается — конечной.

Обозначают отрезок помощью заглавных латинских букв, сверху которых ставится чёрточка. Рисуют же его с помощью прямой ограниченной линии.

Например, запись AB обозначает, что точка A является началом, а B концом. В некоторых случаях для кратности отрезки допустимо обозначать одной маленькой буквой, так: AB = a.

Векторная запись используется тогда, когда невозможно величины описать с помощью одного числа. Численное значение выражение определяется длиной отрезка или его модулем. Эта величина является скалярной. В том случае если начало и конец ограниченной линии совпадают, то говорят о нулевой линии. Обозначают её цифрой 0.

Векторы, расположенные на плоскости или в пространстве, по отношению друг к другу могут быть:

  • коллинеарными — отрезки лежат на одной линии или ей параллельны;
  • соноправленными — замкнутые линии направление которых одинаковое;
  • противоположными — вектора направлены в разные стороны;
  • ортогональными — перпендикулярными друг другу;
  • компланарными — лежащими на одной плоскости или ей параллельные;
  • равными — ограниченными прямыми, совпадающими как по направлению, так и по величине.

Так как вектора — это выражения, то с ними можно выполнять различные действия. Их возможно складывать, вычитать, умножать на число. При работе с векторными величинами используют декартовую систему координат. В ней прямую замкнутую линию раскладывают по базису и определяют координаты её точек. Другими словами, выполняют проекции отрезков на оси. Непосредственно за базис берут орты.

Если известны начальные координаты и конечные, то текущие вычисляют путём вычитания из последних первые. Существующая возможность записать любое геометрическое свойство, используя координаты, позволяет отойти от геометрии и использовать для вычислений алгебру.

Сложение координат

Существует простое правило применимое для направленных отрезков и позволяющее найти их сумму. Заключается оно в следующем: если необходимо прибавить один вектор к другому описывающийся каждый своими координатами, достаточно сложить соответствующие их орты. Например, предположим есть два вектора a и b. Первый отрезок имеет координаты (ax; ay), а второй (bx;by). При их сложении получится новый вектор c. В результате действия его координаты будут c (ax + bx; ay + by).

Это теорема доказывается просто. Пусть даны отрезки f (x 1; y 1) и g (x 2; y 2). В системе координат относительно рассматриваемых векторов получится: f = x 1 a + y 1 b; g = x 2 a + y 2 b. Тогда искомая сумма будет: f + g = x1a + y1b + x2a + y2b = a (x 1 + x 2) + b (y 1 + y 2). Что и нужно было доказать. Это правило применимо к векторам имеющим любые координаты. Например, пусть есть a (1; 2), b (-3; 1). Нужно найти их сумму. С помощью формулы сложения получится новый направленный отрезок с координатами a + b = (1 — 3; 2 + 1) = (-2; 3).

Как и при операциях с простыми числами при работе с векторными выражениями используют различные их свойства. Существует три правила сложения векторов:

  • При выполнении операции очерёдность слагаемых значения не имеет: a + b = b + a. То есть от перемены мест слагаемых результат не изменится.
  • Если необходимо к сумме векторов прибавить третий, то сложение можно выполнить в любой очерёдности: (a + b) + c = a + (b + c) = (a + c) + b.
  • При сложении векторного выражения с вектором, не имеющим длины и направления, исходные координаты не изменятся: a + 0 = a, где 0 (0; 0).
  • Приведённые свойства соответственно называют переместительным, сочетательным, нулевым законом. Например, предположим есть два направленных отрезка a (2; 2) и b (-4; 1). Согласно первому свойству, очерёдность значения не имеет, поэтому что при прибавлении b к a, что при a к b результат будет одинаковый: a + b = (2 -4; 2 + 1) = (-2; 3), b + a = (-4 + 2; 1 +2) = (-2; 3). По аналогии можно проверить правильность утверждения и двух оставшихся свойств.

    Следует отметить, что при сложении двух противоположных ограниченных прямых сумма будет равняться нуль-вектору: a + (-a) = 0. Это утверждение не требует доказательства, так как здесь используется фундаментальный закон алгебры — правило знаков.

    Правило параллелограмма

    По сути, все операции с векторными выражениями сводятся к их приращению или уменьшению. Если координаты точек неизвестны, то алгебраический метод складывания не подходит. В таком случае используют геометрические операции. Одним из способов, позволяющих сложить два неколлинеарных вектора, является правило параллелограмма или прямоугольника при перпендикулярном направлении складываемых отрезков.

    Сформулировать способ можно следующим образом: если имеются два отрезка не лежащие на параллельной прямой и не принадлежащие ей, то нужно достроить данные вектора до параллелограмма. Для этого необходимо взять произвольную точку и отложить от неё отрезок AB равный первому вектору, и AD совпадающий со вторым. При этом необходимо придерживаться соотношения геометрии наклона. Затем достроить необходимые параллельные прямые таким образом, чтобы образовался параллелограмм ABCD. Если в такой фигуре провести диагональ, то её длина и будет равняться сумме складываемых отрезков.

    Доказать правильность утверждения можно следующими доводами. Пусть имеются две ограниченные линии a и b. От точки A можно отложить первый отрезок конец, которого обозначить как B, и второй, с точкой D. Теперь через D и B возможно провести соответственно параллельные прямые AB и AD. Место, в которой они пересекутся, пусть будет обозначено как С. Тогда используя признак параллельности двух пар прямых в фигуре ABCD, можно утверждать, что это параллелограмм. Вектор AC = a + b. Это следует из равенства отрезков AD = BC и теоремы о подобных треугольниках.

    Пример задания. Определить, чему равна сумма двух отрезков длиной 2 см и 1 см расположенные друг к другу под углом 45. Для того чтобы воспользоваться правилом, нужно взять листочек в клеточку и построить два вектора, исходящие из одной точки O. Тогда первый отрезок будет OA, а второй OB. Затем достроить прямые таким образом, чтобы на рисунке получился параллелограмм. Новая полученная точка пусть будет D. Теперь с помощью линейки можно измерить диагональ фигуры, длина которой и будет искомой суммой. В ответе должно получиться, что OA + OB = OD = 3 см.

    Простыми словами это правило можно рассказать так: сумма двух отрезков будет равняться диагонали параллелограмма, построенного на исходных векторах. Эта теорема чаще используется не в геометрии, а физике, например, при сложении сил.

    Альтернативные методы

    Операцию по сложению двух векторов можно выполнить и с помощью правила треугольника. Делается это так. Выбирается любая точка на плоскости, от которой откладываются два вектора. При этом необходимо соблюдать их размерность и наклон по отношению друг к другу. Затем две конечные точки соединяют прямой. Её длина и будет искомой величиной. То есть в итоге должна получиться равнобедренная фигура.

    Применение метода сложения векторов по правилу треугольника позволяет довольно легко находить сумму для трёх и более отрезков. Для этого сначала вычисляют результат сложения для двух любых линий, а после прибавляют к полученной ограниченной прямой третью и так далее.

    При сложении нескольких векторов удобно выполнять следующую последовательность построений:

    • от выбранной точки пространства рисуется вектор, равняющийся первому слагаемому;
    • от конечной точки откладывается вектор, совпадающий со вторым слагаемым;
    • приведённая последовательность потеряется необходимое число раз;
    • прямой линией соединяется точка, с которой началось построение с конечной последнего вектора;
    • длина полученного отрезка и будет являться результатом сложения.

    Этот способ получил название метод многоугольника. Он довольно часто применяется на практике, позволяя, довольно просто выполнить нахождение суммы. Из правила треугольника, а, следовательно, и многоугольника, вытекает следствие, которое подтверждает, что если складывается отрезок с нулевым векторным выражением, то в ответе получится длина, совпадающая со значимым слагаемым.

    Следует отметить, что методы используются только, если направление отрезков является сонаправленным.

    Если же отрезки неколлинеарные, то от конца одного откладывается другой. Тогда искомая сумма будет равняться длине линии, первой точкой которой будет начало одной векторной прямой, а конец совпадать с точкой, завершающей другую. То есть сумма — это отрезок, начало которого совпадает с началом обеих линий, а длина равна разности их длин, при этом направление его будет совпадать с тем что больше по длине.

    Сложение и вычитание векторов

    Сумма векторов

    Пусть даны два вектора а = \(\overrightarrow{OA}\) и b = \(\overrightarrow{OB}\) (рис. 5).

    От точки А отложим отрезок АС такой, что \(\overrightarrow{AC}\) = b. Тогда, вектор с = \(\overrightarrow{OC}\) называется суммой векторов а и b и
    обозначается а + b.

    Таким образом, \(\overrightarrow{OA}\) + \(\overrightarrow{AC}\) = \(\overrightarrow{OC}\). Это равенство называют
    правилом треугольника сложения двух векторов.

    Oчевидно, что это правило справедливо и в том случае, когда точки О, А и В лежат на одной прямой (рис. 6, 7). В частности, а + 0 = а.

    Сложение векторов обладает следующими свойствами:

    1. Свойство коммутативности (перестановочности): для любых векторов а и b

    а + b = b + а. (1)

    2. Свойство ассоциативности (сочетательности): для любых векторов а, b и с

    (а + b) + с = а + (b + с). (2)

    1. Пусть a = \(\overrightarrow{OA}\), b = \(\overrightarrow{OB}\). Рассмотрим случай, когда точки О, А и В не лежат на одной прямой. На отрезках ОА и ОВ построим параллелограмм OACB (рис. 8).

    Тогда |ОА| = |ВС|, (ОА) || (ВС) и |ОВ| = |АС|, (ОВ) || (АС), как противоположные стороны параллелограмма. Следовательно,

    а = \(\overrightarrow{OA}\)= \(\overrightarrow{BC}\), b = \(\overrightarrow{OB}\) = \(\overrightarrow{AC}\),

    и поэтому

    а + b = \(\overrightarrow{OA}\)+ \(\overrightarrow{AC}\) = \(\overrightarrow{OC}\),
    b + а = \(\overrightarrow{OB}\) + \(\overrightarrow{BC}\) = \(\overrightarrow{OC}\),

    что и доказывает равенство (1).

    Для случая, когда точки О, А, В лежат на одной прямой, доказательство можно провести самостоятельно.

    2. От некоторой точки О отложим вектор \(\overrightarrow{OA}\) = а, от точки А отложим вектор \(\overrightarrow{AB}\) = b и, наконец, от точки В отложим вектор \(\overrightarrow{BC}\) = с (рис. 9, 10).

    Соединим точки О и С отрезком ОС. Тогда, с одной стороны (см. рис. 9),

    (а + b) + с = (\(\overrightarrow{OA}\) + \(\overrightarrow{AB}\)) + \(\overrightarrow{BC}\) =
    \(\overrightarrow{OB}\) + \(\overrightarrow{BC}\)= \(\overrightarrow{OC}\)

    и, с другой стороны (см. рис. 10),

    а + (b + с) = \(\overrightarrow{OA}\) + (\(\overrightarrow{AB}\)+ \(\overrightarrow{BC}\)) = \(\overrightarrow{OA}\) + \(\overrightarrow{AC}\) = \(\overrightarrow{OC}\),

    что и доказывает равенство (2).

    Из риc. 8 видно, что сумма векторов а = \(\overrightarrow{OA}\) и b = \(\overrightarrow{OB}\) равна направленной диагонали \(\overrightarrow{OC}\) параллелограмма OACB, построенного на отрезках ОА и ОВ, т.е.

    \(\overrightarrow{OA}\) + \(\overrightarrow{OB}\) = \(\overrightarrow{OC}\).

    Это равенство называется правилом параллелограмма сложения двух векторов.

    Так как сложение векторов ассоциативно, то сумма трех и большего числа векторов записывается без скобок. Например, вместо (а + b) + с или а + ( b + с ) пишут а + b + с.

    Если требуется найти сумму трех или большего числа векторов, то применяют так называемое правило многоугольника. Оно состоит в следующем.

    Пусть даны векторы а, b, с, d и требуется найти их сумму.

    Выберем некоторую точку О (рис. 11) и построим отрезок ОА такой, что \(\overrightarrow{OA}\) = а,
    затем построим отрезок АВ такой, что \(\overrightarrow{AB}\) = b, и т. д.

    Построение продолжается до тех пор, пока не будут исчерпаны все векторы-слагаемые. Направленный отрезок \(\overrightarrow{OD}\), замыкающий полученную ломаную, будет равен сумме данных векторов.

    Противоположные векторы. Вычитание векторов.

    Любые два вектора, сумма которых равна нулевому вектору, называются противоположными. Вектор, протипоположный вектору а, обозначается — а. Следовательно, по определению

    а + (- а) = 0.

    Из определения следует, что если а = \(\overrightarrow{AB}\), то — а = \(\overrightarrow{BA}\), т. е. противоположные векторы имеют одинаковую длину и противоположные направления.

    Например, если ABCD — параллелограмм, то векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{CD}\) противоположные (рис. 15). Векторы \(\overrightarrow{AD}\) и \(\overrightarrow{CB}\) тоже противоположные.

    Для любых двух векторов а и b вектор с = а + (- b) называется разностью векторов а и b и обозначается аb. Таким образом, по определению

    аb = а + (- b).

    Если а = \(\overrightarrow{OA}\) и b = \(\overrightarrow{OB}\) (рис. 16), то

    аb = \(\overrightarrow{OA}\) — \(\overrightarrow{OB}\) = \(\overrightarrow{OA}\) + \(\overrightarrow{BO}\) = \(\overrightarrow{BO}\)+ \(\overrightarrow{OA}\) = \(\overrightarrow{BA}\).

    Следовательно,

    \(\overrightarrow{OA}\) — \(\overrightarrow{OB}\) = \(\overrightarrow{BA}\) (1)

    Из рисунка видно, что \(\overrightarrow{BA}\) — это направленная диагональ параллелограмма ОАСВ, построенного на отрезках ОА и ОВ. Другая диагональ \(\overrightarrow{OC}\) изображает сумму векторов \(\overrightarrow{OA}\) и \(\overrightarrow{OB}\).

    Нетрудно заметить, что формулу (1) можно применять, не прибегая к чертежу: для этого достаточно внимательно проследить за порядком расположения букв в записи данных и искомого векторов. Так, например,

    $$ \overrightarrow{PQ} — \overrightarrow{PN} = \overrightarrow{NQ}\;\; (2)$$

    Калькулятор сложения и вычитания векторов


    Укажите размерность пространства 23

    Укажите форму представления первого вектора
    Координаты точек начала и конца первого вектораКоординаты первого вектора

    Укажите форму представления второго вектора
    Координаты точек начала и конца второго вектораКоординаты второго вектора

    Задайте координаты первого вектора
    a̅ = { ; }

    Задайте координаты второго вектора
    b̅ = { ; }

    + —

    Как сложить или вычесть два вектора

    Сложение векторов по правилу треугольника

    Чтобы сложить два вектора a и b по правилу треугольника, необходимо:

    1. Параллельно перенести векторы a и b, так чтобы начало одного из векторов совпадало с концом другого.
    2. Из начала вектора a в конец вектора b провести вектор c.

    Вектор c – есть сумма векторов a и b

    a + b = c

    Вычитание векторов по правилу треугольника

    Чтобы вычесть два вектора a и b по правилу треугольника, необходимо:

    1. Параллельно перенести векторы a и b, так чтобы начало одного из векторов совпадало с началом другого.
    2. Из конца вектора b в конец вектора a провести вектор c.

    Вектор c – есть разность векторов a и b

    ab = c


    Как сложить два вектора, координаты которых заданы точками

    Найдем сумму векторов плоскости. Координаты обоих векторов заданны точками:

    Координаты точки А вектора AB: (5 ; 9)
    Координаты точки B вектора AB: (-2 ; 11)
    Координаты точки C вектора CD: (0 ; 12)
    Координаты точки D вектора CD: (-3 ; 1)

    Для того, чтобы сложить два вектора необходимо сложить их координаты. Результатом сложения векторов AB и CD будет вектор c

    Вычислим координаты первого вектора по двум точкам A и B:

    AB = {Bx — Ax  ; By — Ay} = {-2 — 5 ; 11 — 9} = {-7 ; 2}

    Вычислим координаты второго вектора по двум точкам C и D:

    CD = {Dx — Cx  ; Dy — Cy} = {-3 — 0 ; 1 — 12} = {-3 ; -11}
    c = AB + CD = {ABx + CDx ; ABy + CDy} = {-7 + (-3) ; 2 + (-11)} = {-10 ; -9}

    c = AB + CD
    Как вычесть два вектора, координаты которых заданы точками

    Пример. Найдем разность векторов пространства. Координаты обоих векторов заданны точками.

    Координаты точки А вектора AB: (7; 0.2 ; 69)
    Координаты точки B вектора AB: (-1 ; 0 ; 2/8)
    Координаты точки C вектора CD: (-4 ; -6 ; 2)
    Координаты точки D вектора CD: (3 ; 0 ; 9)

    Для того, чтобы вычесть два вектора необходимо вычесть их координаты. Результатом вычитания векторов AB и CD будет вектор c.

    Вычислим координаты первого вектора по двум точкам A и B:

    AB = {Bx — Ax  ; By — Ay; Bz — Az} = {-1 — 7 ; 0 — 0.2 ; 2/8 — 69} = {-8 ; -1/5 ; -275/4}

    Вычислим координаты второго вектора по двум точкам C и D:

    CD = {Dx — Cx  ; Dy — Cy; Dz — Cz} = {3 — (-4) ; 0 — (-6) ; 9 — 2} = {7 ; 6 ; 7}

    c = ABCD = {ABx — CDx ; ABy — CDy ; ABz — CDz} = {-8 — 7 ; -1/5 — 6 ; -275/4 — 7} = {-15 ; -31/5 ; -303/4}= {-15 ; -6. 2 ; -75.75}


    Вычитание векторов в координатном представлении

    Найдем разность векторов плоскости.

    Координаты вектора a: (5 ; 9)
    Координаты вектора b: (-1 ; 7)

    Для того, чтобы вычесть два вектора необходимо вычесть их координаты. Результатом вычитания векторов a и b будет вектор c

    c = ab = {ax — bx ; ay — by} = {5 — (-1) ; 9 — 7} = {6 ; 2}

    c = ab
    Сложение векторов в координатном представлении

    Пример. Найдем сумму векторов пространства.

    Координаты вектора a: (5 ; 1 ; 7)
    Координаты вектора b: (2 ; 4 ; 6)

    Для того, чтобы сложить два вектора необходимо сложить их координаты. Результатом сложения векторов a и b будет вектор c

    c = a + b = {ax + bx ; ay + by ; az + bz} = {5 + 2 ; 1 + 4 ; 7 + 6} = {7 ; 5 ; 13}

    Что такое сложение векторов?


    Что такое сложение векторов?

    Суммой двух векторов u и v называется третий вектор w, проведенный из начала u к концу v, если начало вектора v совпадает с концом вектора u. Сложение векторов выполняется по правилу треугольника или по правилу параллелограмма.

    Какой из векторов является суммой векторов?

    Соединяем начало первого вектора и конец второго. Получившийся вектор, начало которого совпадает с началом вектора a → , а конец — с концом вектора b → , называется суммой этих векторов.

    Как складывать и вычитать векторы?

    Если складываются два противоположно направленных вектора, то их значения вычитаются, а не складываются. Векторы, которые представлены в виде xi + yj + zk можно сложить или вычесть, просто сложив или вычтя соответствующие коэффициенты.

    Какое равенство выражает правило треугольника для нахождения суммы векторов?

    Правило треугольника (рис. 3). Нужно от конца вектора отложить вектор . Тогда сумма a → + b → – это вектор, начало которого совпадает с началом вектора , а конец – с концом вектора

    Как выполнить вычитание векторов?

    Легче запомнить, как найти разность векторов a → и b → , следующим образом:

    1. векторы нужно привести к общему началу A;
    2. соединить конечные точки B и C;
    3. отметить направление вектора разности от конечной точки уменьшителя к конечной точке уменьшаемого вектора.

    Как сложить два вектора с координатами?

    При сложении первая координата первого вектора складывается с первой координатой второго вектора, вторая координата первого вектора складывается со второй координатой второго вектора и так далее в зависимости от размерности векторов.

    Как сложить два вектора по правилу параллелограмма?

    Такой приём сложения векторов называется правилом параллелограмма. Так как DC → = AB → = b → , то a → + b → = AD → + DC → = AC → = c → ; выполняя сложение по правилу треугольника, убедимся, что суммой остаётся тот же вектор c → .

    Как сложить 3 вектора по правилу параллелограмма?

    Правило треугольника и правило параллелограмма находят сумму двух векторов, но как сложить несколько векторов? Чтобы сложить несколько векторов, необходимо сложить первый вектор со вторым, затем сложить их сумму с третьим вектором и так далее.

    Как определяется сумма векторов по правилу треугольника по правилу параллелограмма?

    Такой приём сложения векторов называется правилом параллелограмма. Так как DC → = AB → = b → , то a → + b → = AD → + DC → = AC → = c → ; выполняя сложение по правилу треугольника, убедимся, что суммой остаётся тот же вектор c → .

    Как сложить четыре вектора по правилу многоугольника?

    Сумму нескольких векторов получаем так: складываем первый и второй вектор, затем к их сумме прибавляем третий вектор и т. д. Из закона сложения векторов следует, что сумма нескольких векторов не зависит от того, в каком порядке они складываются.

    Чему равна сумма нескольких векторов Если при сложении их по правилу многоугольника начало первого вектора совпадает с концом последнего?

    Его суть заключается в том, что векторы-слагаемые последовательно откладывают друг от друга, суммой является вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора-слагаемого, а конец совпадает с концом последнего вектора-слагаемого. Если эти точки совпадают, то сумма данных векторов равна нулевому вектору.

    Что такое координаты вектора чему равны?

    Координатами вектора являются координаты конечной точки этого вектора, если вектор расположен так, что его начало находится в начале координат. Если вектор находится на координатной плоскости, то каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала.

    Как находить координаты векторов?

    Чтобы найти координаты вектора AB, зная координаты его начальной точки А и конечной точки В, необходимо из координат конечной точки вычесть соответствующие координаты начальной точки. Смотрите также справочник: координаты вектора по двум точкам.

    Как определяется положение точки на плоскости?

    На плоскости положение точки чаще всего определяется расстояниями от двух прямых (координатных осей), пересекающихся в одной точке (начале координат) под прямым углом; одна из координат называется ординатой, а другая — абсциссой. … Географические координаты.

    Как найти уравнение медианы в треугольнике?

    Медиана — отрезок, соединяющий вершину с серединой противоположной стороны. Уравнение прямой по двум точкам (x−x1)/(x2−x1)=(y−y1)/(y2−y1), координаты середины отрезка x=(x1+x2)/2;y=(y1+y2)/2. Например для медианы AM,M — середина BC, имеем M:x=(−2−6)/2=−4,y=(−8+2)/2=−3.

    Как найти Ортоцентр треугольника?

    Ортоцентр — точка пересечения высот треугольника или их продолжений. Традиционно обозначается латинской буквой H….Метод расчета ортоцентра треугольника

    1. Наклон AB (m) = 5-3/0-4 = -1/2.
    2. Наклон BC (m) = -6-5/3-0 = -11/3.
    3. Наклон CA (m) = 3+6/4-3 = 9.

    Как найти сторону треугольника если известна только одна сторона?

    Теорема синусов: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Если известны одна сторона и два прилежащих угла, то с помощью теоремы синусов можно вычислить остальные две стороны треугольника.

    Добавление векторов — Science Pickle

    Добавление векторов немного сложнее, чем добавление скалярных величин (имеющих только величину), поскольку мы не можем добавлять направления и величины по отдельности. Чтобы добавить векторы точно , используйте их осевые компоненты. Если векторы имеют форму величины и направления, то вычислить их осевые составляющие. Чтобы быстро оценить сумму векторов, вы можете графически сложить их в любой форме: по величине и направлению или по осевым компонентам. Даже при математическом добавлении векторов полезно проверять свои результаты, добавляя их графически, поскольку при сложении векторов довольно часто встречаются ошибки со знаком.

    Визуальное добавление векторов

    Добавление векторов в веб-приложение

    Если вы знакомы с добавлением векторов, нажмите одну из кнопок, чтобы запустить приложение. Ниже приведена вспомогательная информация о добавлении векторов, запуске приложений и дополнительных кнопках для запуска приложений.

    Преимущества запуска веб-приложений

    Хотя вы можете просматривать следующие иллюстрации и анимации, созданные с помощью веб-приложений, их самостоятельное выполнение имеет ряд преимуществ:

      1. Изображения будут больше.
      2. Вы можете сколько угодно рассматривать любое изображение, чтобы изучить и/или нарисовать то, что вам больше всего поможет.
      3. Есть дополнительные визуализации и действия для изучения.
      4. Проверьте свое понимание, предсказав результат новых настроек до внесения изменений в приложение.
      5. Вы можете сохранять скриншоты созданных вами визуализаций.

    Предложение : Если вы перевели экран/компьютер в спящий режим с коротким интервалом времени, вы потеряете то, что просматриваете при запуске веб-приложения. Рассмотрите возможность изменения настроек, чтобы дать себе время работать с приложением по своему усмотрению.

    Математическое сложение векторов

    Чтобы математически сложить векторы, сложите их соответствующие компоненты , затем используйте теорему Пифагора для вычисления величины и тригонометрических функций для вычисления направления равнодействующей.

    Например, предположим, что вы прошли 8 миль на восток (90°), а затем 4 мили на север (0°) (рис. 1). Вы не находитесь в 8 + 4 или 12 милях или 0 + 90 или 90º от исходной точки. В этом примере каждый вектор находится в направлении одной из осей, поэтому нам не нужно разбивать векторы на составляющие их значения. Мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы вычислить, как далеко мы находимся от того места, где мы начали, и использовать арктангенс, чтобы вычислить направление, в котором мы находимся от нашей начальной точки. Дополнительные сведения см. в следующих разделах.

    Рис. 1: Эти два вектора добавлены на основе принятого в навигации соглашения о направлении: 0° соответствует северу, а направление увеличивается по часовой стрелке. Оба вектора взяты из начала координат. Совет: Если векторы заданы в виде величины и направления, используйте полярную сетку для построения векторов от начала координат.

    Рассчитайте величину равнодействующей

    Используя теорему Пифагора:

    Величина = √(8² + 4²) = 8,9

    Рассчитайте направление равнодействующей

    Направление = 90º – tan¯¹(4/8) = 63,4º (используйте рис. 3)

    = tan¯¹(8/4) = 63,4º (используйте рис. 4)

    Графическое дополнение «Хвост к кончику»

    «Хвост к кончику» — это графическая форма сложения векторов, основанная на концепции, согласно которой векторы можно перемещать по графику. Два решения при графическом добавлении двух векторов, показанных на рисунке 1, показаны ниже. Красный вектор — это 8 миль к востоку (90º), а зеленый — 4 мили к северу (0 º).

    В этом решении сдвиньте конец второго вектора к кончику первого вектора. Направления и величины обоих векторов остаются прежними.

    Если есть третий вектор, сдвиньте конец третьего вектора к вершине суммы первых двух векторов.

    Рис. 2. Сдвиньте конец одного вектора к кончику второго вектора. Совет: прямоугольная сетка удобна для построения осевых компонентов.

    Нарисуйте результирующий вектор от начала координат до вершины суммы двух векторов.

    При использовании этой техники создайте масштаб для рисования векторов, чтобы пропорции величин были согласованными. Нарисуйте величины и направления векторов как можно точнее, чтобы результат был концептуально полезен и обеспечивал ценную проверку при математическом сложении векторов.

    Рис. 3. Нарисуйте результирующий вектор (пурпурный) от начала координат до вершины суммы двух векторов.

    Имеет ли значение, в каком порядке добавлять векторы? В приведенном выше примере имеет ли значение, идете ли вы сначала на восток или на север? Если на одном из ваших путей нет огненного болота, Горы Рока или колючей ивы, вы все равно окажетесь на том же расстоянии и в том же направлении, откуда начали. Подобно сложению чисел, сложение векторов в любом порядке дает тот же результат.

    Рисунок 4: Сложение двух векторов в обратном порядке дает один и тот же результирующий вектор.

    Анимации добавления векторов

    Чтобы увидеть, как перемещаются векторы при добавлении двух или трех векторов, используйте веб-приложение Визуальное добавление векторов для создания случайных векторов, а затем переместите их в положение, где вектор хвосты совпадают с кончиками. Два примера использования приложения показаны на следующих анимациях.

    Визуальное добавление векторов

    Нажмите кнопку, чтобы запустить веб-приложение, Визуальное добавление векторов .

    Благодарности

    Большое спасибо Брендану Кроули, Алану Гулду, Максу Холлу и Матти Хорну за тестирование приложения во время бета-тестирования.

    В анимации сложения двух векторов методом «хвост к кончику» обратите внимание, что при перемещении зеленого вектора к кончику красного вектора его длина и ориентация остаются прежними.

    В анимации сложения трех векторов методом «хвост к кончику» обратите внимание, что при перемещении зеленого и синего векторов их длина и ориентация остаются прежними.

    Представление и ясность

    Существует несколько способов графического сложения векторов. Некоторые из них могут иметь для вас смысл; другие могут ввести в заблуждение. Понятны ли вам векторы и результирующий вектор из начала координат (рисунок 5)? Это обычный способ отображения векторов при их добавлении.

    Чем полезно графическое добавление векторов?

    Концептуальная работа с векторами так же важна, как и математическая. Если вы работаете с векторами математически, вычерчивание решения выявляет математические ошибки, особенно опечатки при работе с калькулятором или компьютерной программой и ошибки знаков.

    Векторы широко используются в науке, математике и технике, и ошибки могут быть более чем досадными; человеческие жизни зависят от точных расчетов построенных сооружений, навигации, передовых технологий, прогнозов погоды, поисково-спасательных операций и т.  д.

    Большинство оставшихся разделов Земных систем требуют твердого концептуального понимания и применения векторов. Научитесь графически работать с векторами.

    Рис. 5: График добавляемых векторов и результирующего вектора из исходной точки.

    Чем полезно математическое сложение векторов?

    Работа с векторами, например, сложение векторов, необходима в технике и многих областях науки и математики. Эти дисциплины были бы резко ограничены без использования векторов. Например, для проектирования и строительства безопасных, устойчивых сооружений (зданий, мостов, дорог, плотин и т. д.), а также для анализа и прогнозирования движущихся объектов (самолеты, реактивные самолеты, ракеты и т. д.) требуются векторные вычисления. Высоко точный и точный 9Расчеты 0055 необходимы для значительной части человеческих технологий.

    Математическое сложение трех векторов

    Концептуально сложение трех векторов ничем не отличается от сложения двух. Осталось только организовать.

    В следующем примере добавляются три вектора, определяемые величиной и направлением.

    Вектор Величина Направление
    1 4,0 45,0º
    2 8.1 310,0º
    3 6,0 180,0º

    Преобразуйте модуль и направление вектора в осевые компоненты, а затем сложите их, чтобы найти результирующие компоненты.

    Вектор Х Д
    1  4,0 sin(45) = 2,8 4,0 cos(45) = 2,8
    2 8,1 sin(310) = -6,2 8,1 cos(310) = 5,2
    3 6 sin(180) = 0,0 6 cos(180) = -6,0
    Сумма -3,4 2,0

    Рис. 6: Необходимо добавить три вектора. Показаны компоненты каждого вектора. Значения находятся в тех же значениях, что и соответствующий им вектор. X представляет Восток, когда положительный, и Запад, когда отрицательный. Y представляет север, когда положительный, и юг, когда отрицательный.

    См. Прямоугольные треугольники и векторы  для получения подробной информации о том, как компоненты вектора рассчитываются по величине и направлению.

    Рассчитайте величину результирующей величины

    , используя теорему Pythagorean:

    величина = √ (2,0² + (-3,4) ²) = 3,9

    Рассчитайте направление результирующего

    = 270º + tan¯ (2.0/3.4 ) = 300,4º (Используйте рис. 8)

    Разница между этим направлением и направлением, показанным на рис. 8, связана с ошибкой округления при использовании значений компонентов, ограниченных десятыми долями, по сравнению с использованием более точных значений в функции арктангенса.

    Графическое добавление трех векторов

    Рис. 7. Сначала нарисуйте красный вектор (вектор 1) из начала координат, затем нарисуйте зеленый вектор (вектор 2) из ​​вершины первого и, наконец, нарисуйте синий вектор (вектор 3) ) от кончика суммы первых двух.

    Нарисуйте результат (пурпурный) от начала координат до вершины суммированных векторов.

    Рисунок 8: Сложите векторы в другом порядке, результаты будут теми же. Есть шесть возможных способов сложить три вектора. Попробуйте нарисовать их самостоятельно.

    Больше практики?

    Нажмите кнопку «Добавление векторов в веб-приложение», чтобы получить неограниченное количество практических задач на добавление 2 или 3 векторов графически или математически. Для каждой проблемы предоставляется визуальная и числовая обратная связь.

    Добавление веб-приложения Vectors

    Нажмите кнопку, чтобы запустить веб-приложение.

    Веб-приложение использует триггерное соглашение для направления, тогда как в приведенных выше примерах используется соглашение о навигации.

    Снимок экрана веб-приложения «Добавление векторов». При использовании «Добавить графически» для создания результирующего вектора щелкните график или введите величину и направление в текстовые поля. При математическом сложении для обеспечения необходимой точности введите значения.

    Как найти сумму трех векторов?

    Предварительный расчет

    Наука
    • Анатомия и физиология
    • астрономия
    • Астрофизика
    • Биология
    • Химия
    • науки о Земле
    • Наука об окружающей среде
    • Органическая химия
    • Физика
    Математика
    • Алгебра
    • Исчисление
    • Геометрия
    • Преалгебра
    • Предварительный расчет
    • Статистика
    • Тригонометрия
    Гуманитарные науки
    • Английская грамматика
    • История США
    • Всемирная история
      .
      .. и не только
    • Сократическая мета
    • Избранные ответы

    Темы

    Влияние этого вопроса

    11414 просмотров по всему миру

    Вы можете повторно использовать этот ответ
    Лицензия Creative Commons

    Основные операции с векторами

    Основные операции с векторами
    Для векторной величины должны быть указаны как величина, так и направление, в отличие от скалярной величины, которую можно количественно определить только числом. Любое количество векторных величин одного типа (т. е. одинаковых единиц измерения) может быть объединено с помощью основных векторных операций.
    Внимание! Это большой HTML-документ. Вам нужно дождаться его полной загрузки, чтобы все ссылки выше заработали.
    Индекс

    Математика векторов

      5 5 5
    Гиперфизика***** Механика R Ступица
    Назад

    Сложение двух векторов A и B графически можно представить как два последовательных обхода, где сумма векторов представляет собой векторное расстояние от начальной до конечной точки. Представляя векторы стрелками, нарисованными в масштабе, начало вектора B помещается в конец вектора A. Сумма векторов R может быть изображена как вектор от начала до конечной точки.

    Этот процесс можно выполнить математически, найдя компоненты A и B, объединив компоненты R и затем преобразовав их в полярную форму.

    Индекс

    Векторные концепции

      0
    Гиперфизика***** Механика R Ступица 9003

    90

    Назад

    Нахождение компонентов векторов для сложения векторов включает формирование прямоугольного треугольника из каждого вектора и использование стандартной тригонометрии треугольника.

    Сумму векторов можно найти, объединив эти компоненты и преобразовав их в полярную форму.

    Индекс

    Векторные концепции

     
    Гиперфизика***** Механика R Ступица
    Назад

    После нахождения компонентов векторов A и B и их объединения для нахождения компонентов результирующего вектора R результат может быть представлен в полярной форме с помощью

    Следует проявлять некоторую осторожность при вычислении угла с помощью калькулятора из-за неоднозначности арктангенса на калькуляторах.

    Индекс

    Векторные концепции

      0 0
    Гиперфизика***** Механика R Ступица 9 101690
    Назад

    После нахождения компонентов векторов A и B эти компоненты можно просто сложить, чтобы найти компоненты результирующего вектора R.

    Компоненты полностью определяют результирующую векторного сложения, но часто желательно представить результирующую в полярной форме.

    Индекс

    Векторные концепции

      0
    Гиперфизика***** Механика R Ступица 9003

    90

    Назад

    Векторы разлагаются на компоненты с помощью отношений триггера треугольника. Вы можете изменить длину или угол полярной формы вектора, и компоненты будут рассчитаны ниже.

    Для вектора А=
    в градусах угла,

    горизонтальная составляющая
    =
    а вертикальная составляющая
    =
    Ввод в поля для единиц произвольный; они служат для того, чтобы подчеркнуть, что процесс сложения векторов не зависит от единиц вектора.

    Примечание: эта процедура Javascript не работает для угла, точно равного 90°.
    Индекс

    Векторные концепции

     
    Гиперфизика***** Механика R Ступица
    Назад

    Если известны компоненты вектора, то его величина и направление могут быть рассчитаны с использованием соотношения Пифагора и триггера треугольника. Это называется полярной формой вектора.

    Если горизонтальная составляющая равна
    =
    а вертикальная составляющая
    = ,

    тогда звездная величина
    =
    а угол
    = градусов.

    Ввод в поля для единиц произвольный; они служат для того, чтобы подчеркнуть, что процесс сложения векторов не зависит от единиц вектора.

    Следует проявлять некоторую осторожность при вычислении угла с помощью калькулятора из-за неоднозначности арктангенса на калькуляторах.

    Индекс

    Векторные концепции

      0 0
    Гиперфизика***** Механика R Ступица 9 101690
    Назад

    Сложение векторов включает в себя поиск компонентов вектора, их сложение и нахождение полярной формы результирующего.

    Примечание. Существуют некоторые комбинации углов и значений, например, когда ожидается точно нулевой результат или угол ровно 90 градусов, когда процедура Javascript нестабильна и выдает ошибочные значения. Обычно вы можете попробовать значения, очень близкие к таким условиям, чтобы проверить точность.
    Индекс

    Векторные концепции

     
    Гиперфизика***** Механика R Ступица
    Назад

    Сложение векторов включает в себя поиск компонентов вектора, их сложение и нахождение полярной формы результирующего.

    Индекс

    Векторные концепции

      0
    Гиперфизика***** Механика R Ступица 9003

    90

    Назад
    Сложение векторов включает в себя поиск компонентов вектора, их сложение и нахождение полярной формы результата.
    Индекс

    Векторные концепции

      5 5
    Гиперфизика***** Механика R Ступица
    Назад

    Сложение векторов – объяснение и примеры

    Как и скалярное сложение, сложение векторов включает в себя сложение двух или более векторов. В частности, когда вы добавляете векторы, вы:

    «Сложение двух или более векторов с использованием операции сложения для получения нового вектора, равного сумме двух или более векторов».

    В этом разделе мы обсудим сложение векторов со следующих аспектов:

    • Что такое сложение векторов?
    • Как складывать векторы графически
    • Как складывать два вектора

     

    Что такое сложение векторов?

    Два вектора, A и B , можно сложить вместе, используя сложение векторов, и результирующий вектор можно записать как:

    R = A + B

    Как добавлять векторы графически

    При использовании сложения векторов мы должны учитывать оба компонента вектора, а именно направление и величину.

    Имейте в виду, что два вектора с одинаковыми величиной и направлением могут быть сложены как скаляры.

    В этом разделе мы рассмотрим графические и математические методы сложения векторов, в том числе:

    1. Сложение векторов с использованием правила «голова к хвосту»
    2. Сложение векторов с использованием метода параллелограмма
    3. Сложение векторов с использованием компонентов

    Сложение векторов с использованием правила «голова к хвосту»

    Сложение векторов может быть выполнено с использованием известного метода «голова к хвосту». Согласно этому правилу, два вектора можно сложить, поместив их вместе так, чтобы голова первого вектора соединилась с хвостом второго вектора. Результирующий вектор суммы может быть получен путем соединения хвоста первого вектора с головой второго вектора. Иногда его также называют треугольным методом сложения векторов.

    Сложение векторов по правилу «голова к хвосту» показано на рисунке ниже. Два вектора P и Q складываются методом «голова к хвосту», и мы можем видеть треугольник, образованный двумя исходными векторами и вектором суммы.

    Сначала два вектора P и Q размещаются вместе так, что начало вектора P соединяется с хвостом вектора Q . Далее, чтобы найти сумму, результирующий вектор R нарисован так, что он соединяет хвост P с головкой Q .

    Математически сумма или результирующий вектор R, на изображении ниже может быть выражена как:

    R   = P + Q сложение векторов методом параллелограмма мы рассмотрим и поясним на рисунке ниже.

    Сначала нарисуйте заданные векторы, A и B, , чтобы иметь ту же начальную точку, как показано на изображении ниже. Затем нарисуйте параллелограмм, используя копии данных векторов.

    Во-вторых, нарисуйте копию вектора B с именем B’, и поместите ее параллельно вектору B, чтобы  соединился с началом первого вектора, A . Точно так же нарисуйте копию вектора A с именем A’, и поместите ее параллельно A так, чтобы ее хвост соединился с вершиной вектора 9.0054 B.

    Наконец, равнодействующая двух векторов, равная сумме векторов A и B , будет диагональю параллелограмма. Его можно нарисовать, соединив начальную точку двух векторов A и B с головками векторов A’ и B’ .

    Таким образом, для выполнения сложения векторов методом параллелограмма требуется три шага:

    Шаг 1: Поместите два вектора так, чтобы они имели общую начальную точку

    Шаг 2: Нарисуйте и завершите параллелограмм, используя копии двух исходных векторов

    Шаг 3: Тогда диагональ параллелограмма будет равна сумме двух векторов

    Сложение векторов с использованием компонентов

    Как мы Известно, что векторы, заданные в декартовых координатах, можно разложить на горизонтальную и вертикальную составляющие. Например, вектор P под углом Φ, как показано на изображении ниже, можно разложить на составляющие как:

    P x , который представляет компонент вектора P по горизонтальной оси (ось x), и

    P y , который представляет компонент вектора P по вертикали. ось (ось Y).

    Можно видеть, что три вектора образуют прямоугольный треугольник и что вектор P может быть выражен как:0913

    Математически компоненты вектора также могут быть рассчитаны с использованием величины и угла данного вектора.

    P x = P cos Φ

    P y = P sin Φ

    Кроме того, мы можем также определить результирующий вектор, если известны его горизонтальная и вертикальная компоненты. Например, если даны значения P x   и P y   , то мы можем вычислить модуль и угол вектора P следующим образом: 92

    А угол можно найти как:

    Φ = tan -1 (P y / P x )

    Таким образом, в итоге мы можем определить результирующий вектор, если его компоненты заданы. В качестве альтернативы, если задан сам вектор, мы можем определить компоненты, используя приведенные выше уравнения.

    Аналогично, если векторы представлены упорядоченными парами (векторы-столбцы), мы можем выполнить операцию сложения векторов, используя их компоненты. Например, рассмотрим два вектора M и N задаются как:

    M = (m1, m2)

    N = (n1, n2)

    компоненты x и y. Это дает результирующий вектор S :

    S = M + N

    S = (m1+n1, m2+ n2).

    Можно явно записать так:

    Sx = m1 + n1

    Sy = m2 + n2. 92

    И угол можно вычислить как:

    Φ = tan -1 (S y / S x ).

    Как сложить два вектора

    В этом разделе обсуждаются примеры сложения векторов и их пошаговые решения, чтобы попрактиковаться в использовании различных методов, описанных выше.

    Примеры

    Пример 1

    Учитывая, что два вектора, A и B, как показано на изображении ниже, графически определяют их сумму, используя метод «голова к хвосту».

    Решение

    Первый шаг прямого метода заключается в размещении данных векторов A и B таким образом, чтобы хвост вектора B соединялся с вектором 90 54 начала 54 A, , как показано на изображении ниже. Далее, чтобы найти их сумму, рисуем результирующий вектор R так, чтобы он соединял хвост вектора A с головой вектора B . Математически результирующая может быть выражена как: 9Пример 2 правило «голова к хвосту».

    Решение

    AB + BC = (3, 2) + (2, 2)

    AB + BC = (3 + 2, 2 + 2)

    9002 4444 = (3 + 2, 2 + 2)

    9002 4444 АВ + ВС = (5, 4).

    Или, как показано на изображении ниже, результирующий вектор можно записать как: 92

    | АС | =   √ 25 + 16

    | АС | =   6,403 единицы (приблизительно).

    Угол результирующего вектора AC можно найти следующим образом: )

    Φ = tan -1 (4/5)

    Φ = 38,66 градуса

    Пример 30054 T = 20м, Φ = 60 градусов, определить их сумму. Затем вычислите величину и угол результирующего вектора с помощью метода компонентов.

    Решение

    Пусть R — результирующий вектор, равный сумме заданных векторов, который может быть выражен как: , мы сначала посмотрим на составные части данных векторов. Горизонтальная составляющая S IS:

    SX = S COS φ

    SX = 10 COS 30

    SX = 8,660 м (приблизительно)

    Аналогично, для вертикального компонента:

    4. SIN φ

    SY = 10 SIN 30

    SY = 5 м

    Далее мы рассчитываем компоненты вектора T:

    TX = T COS φ

    TY = T COS φ

    TY .0055 = t sin φ

    , где,

    TX = 20 COS 60

    TX = 10M

    TY = 20 SIN 60

    TY = 17,320 (приблизительно

    . Вычислите вектор суммы, добавив индивидуальные компоненты X и Y вектор S и T . Rx = 16,660 м 92

    |Р| = 23,292 м (приблизительно)

    φ = TAN -1 (RY/RX)

    φ = TAN -1 (22,32/16,66)

    φ = 53,26 градуа вектор суммы:

    R = 23,292 м, Φ = 53,26 градуса.

    Пример 4

    Путешественник идет P = 20 м прямо на запад, а затем Q = 10 м прямо на север. Определить, как далеко путешественник находится от начальной точки. Также укажите величину и угол результирующего вектора.

    Решение

    Сначала мы графически представляем заданные векторы смещения P и Q, а затем рисуем их результирующий вектор, используя правило «голова к хвосту», как показано на рисунке ниже. Из изображения видно, что путешественник преодолел расстояние, равное модулю вектора R от начальной точки.

    Теперь, чтобы математически вычислить результирующий вектор, мы используем следующие формулы:

    R = P + 92

    |Р| = 22,36 м (Приблизительно)

    И угол можно вычислить как: исходная точка под углом 26,57 градусов к северо-западу.

    Пример 5

    Определите результирующий вектор суммы для двух векторов A = (-5, -1) и B = (2, -1).

    Решение

    Данные векторы уже находятся в компонентной форме, поэтому сначала определим их углы.

    Для вектора A:

    Φ = tan -1 (Ay/Ax)

    Φ = tan -1 (-1/-5)

    Φ1 = 11,3 градуса

    Для вектора B:

    Φ = tan -1 (By/Bx)

    Φ = tan -1 (-1/2)

    Φ = -26,5 градуса

    Затем мы находим результирующий вектор, складывая отдельные компоненты:

    S = A + B

    Sx = Ax + Bx

    Sx = -5 + 2

    Sx = -3

    Sy = Ay + By

    Sy = -1 -1

    Sy = -2

    Результирующий вектор S может быть выражен как вектор-столбец:

    -3-5 S 90,004 9005 .

    Наконец, величина и угол результирующего вектора: 92

    |С| =  3,605 единиц (приблизительно)

    Φ = тангенс -1 (Sy/Sx)

    Φ = тангенс -1 (-2/-3)

    Φ = 33,67 градусов, сумма

    вектор:

    S = 3,605 единицы, Φ = 33,69 градуса. Пример 6

    92

    | PR | =   √ 17

    | PR | = 4,123 единиц (приблизительно)

    Угол результирующего вектора PR можно найти следующим образом:

    φ = TAN -1 (1/4)

    φ = 14,04 градусов

    .
    1. Имея два вектора, V = (2, 5) и C = (3, -2), определите их сумму, используя правило «голова к хвосту». Кроме того, определите модуль и угол результирующего вектора, Р .
    2. Имея два вектора G = (5, 5) и H = (4, -10), определите их сумму, используя правило «голова-лет-решка». Кроме того, определите модуль и угол результирующего вектора P .
    3. Даны векторы OA, , где O = (-1, 3) и A = (5,2), и вектор UV, , где U = (1, -2) и V = (-2,2), определить результирующий вектор суммы S. Затем найти его модуль и угол.
    4. Учитывая четырехугольник ABCD, определите следующее:
    • DC + CA = ?
    • BD + DC = ?
    • AD + DC = ?

    1. M = 10 м на восток и N = 15 м на север. Определите сумму двух векторов, затем найдите модуль и угол результирующего вектора.

    Ответы

    1. Результирующий вектор R равно R = (5, 3), величина R равна | Р | = 5,830 единиц, а угол Φ = 30,96 градуса.
    2. Результирующий вектор P равен P = (9, 5), величина P равна | Р | = 10,30 ед., а угол Φ = 29,05 градуса.
    3. Векторы OA = (6, -1) и UV = (-3, 4), результирующий вектор суммы S задается как S = (3, 3), величина S есть | С | = 4,242 единицы, а угол Φ = 45 градусов.
    4. В данном четырехстороннем, сумма вычисляется как:

    DC + CA = DA

    + DC = BC

    444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444. 400544444444444444444444444444444444444444444444444449. AC

    1. Результат двух векторов:

    R = M + N

    |R| = 18,027 м,

    И угол можно вычислить как:

    Φ = tan -1 (15/10)

    Φ = 56,30 градуса.

    Таким образом, результирующий вектор равен R = 18,027 м , Φ = 56,30 градусов на северо-восток.

    Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

    5.2 Сложение и вычитание векторов: аналитические методы

    Цели обученияКомпоненты векторовАналитический метод сложения и вычитания векторовИспользование аналитического метода сложения и вычитания векторов для решения задачПроверьте свое понимание

    Цели обучения

    К концу этого раздела вы сможете делать следующее:

    • Определять компоненты векторов
    • Описать аналитический метод сложения и вычитания векторов
    • Использовать аналитический метод сложения и вычитания векторов для решения задач
    Компоненты векторов

    Для аналитического метода сложения и вычитания векторов мы используем простую геометрию и тригонометрию вместо использования линейки и транспортира, как в графических методах. Однако графический метод все же пригодится для визуализации задачи путем рисования векторов методом «голова к хвосту». Аналитический метод более точен, чем графический метод, который ограничен точностью чертежа. Чтобы освежить в памяти определения синуса, косинуса и тангенса угла, см. рис. 5.18.

    Рисунок 5.18 Для прямоугольного треугольника синус, косинус и тангенс θ определяются в терминах прилежащей стороны, противолежащей стороны или гипотенузы. На этом рисунке х — прилежащая сторона, х — противолежащая сторона, а х — гипотенуза.

    Поскольку по определению cosθ=x/hcosθ=x/h, мы можем найти длину x , если мы знаем h и θθ, используя x=hcosθx=hcosθ. Точно так же мы можем найти длину y , используя y=hsinθy=hsinθ. Эти тригонометрические отношения полезны для сложения векторов.

    Когда вектор действует более чем в одном измерении, полезно разбить его на компоненты x и y. Для двумерного вектора компонент — это часть вектора, которая указывает либо в направлении x, либо в направлении y. Каждый двумерный вектор может быть выражен как сумма его компонентов x и y.

    Например, имея такой вектор, как  A  A на рис. 5.19, мы можем захотеть найти, какие два перпендикулярных вектора,  Ax  Ax  и  Ay  Ay , нужно сложить, чтобы получить его. В этом примере  Ax  Ax  и  Ay  Ay  образуют прямоугольный треугольник, а это означает, что угол между ними равен 90 градусов. Это обычная ситуация в физике, и с точки зрения тригонометрии это наименее сложная ситуация.

    Рис. 5.19 Вектор  A A с хвостом в начале системы координат x y показан вместе с его компонентами x и y ,  Ax  Ax и Ay. Ай. Эти векторы образуют прямоугольный треугольник.

    Ax Ax  и  Ay  Ay  определяются как компоненты  A  A  вдоль осей x и y . Три вектора,  A A,  Ax Ax и  Ay Ay, образуют прямоугольный треугольник.

    Ax + Ay = AAx + Ay = A

    Если вектор  A  A известен, то известны его величина A  A (его длина) и его угол θ  θ (его направление). Чтобы найти Ax  Ax и Ay Ay, его компоненты x и y , мы используем следующие соотношения для прямоугольного треугольника:

    Ax=AcosθAx=Acosθ

    и

    Ay=Asinθ,Ay=Asinθ,

    , где Ax  Ax – величина A в направлении x , Ay  Ay – величина A в направлении y , а  θ  θ  — это угол равнодействующей по отношению к оси x , как показано на рисунке 5. 20.

    Рис. 5.20 Величины компонентов вектора  Ax  Ax  и  Ay  Ay можно связать с результирующим вектором A  A и углом θ  θ тригонометрическими тождествами. Здесь мы видим, что  Ax=Acosθ  Ax=Acosθ и Ay=Asinθ. Ay=Asinθ.

    Предположим, например, что  A  A  — это вектор, представляющий общее перемещение человека, идущего по городу, как показано на рис. 5.21.

    Рисунок 5.21 Мы можем использовать отношения Ax=AcosθAx=Acosθ и Ay=AsinθAy=Asinθ для определения величины векторов горизонтальной и вертикальной составляющих в этом примере.

    Тогда A = 10,3 блока и θ=29,1∘θ=29,1∘, так что

    5,6Ax=Acosθ=(10,3 блока)(cos29,1∘)=(10,3 блока)(0,874)=9,0 блока.Ax=Acosθ=(10,3 блока)(cos29,1∘)=(10,3 блока)(0,874) =9,0 блоков.

    Эта величина указывает на то, что пешеход прошел 9 кварталов на восток, другими словами, 9- блокировать смещение на восток. Аналогично,

    5,7 Ay=Asinθ=(10,3 блока)(sin29,1∘)=(10,3 блока)(0,846)=5,0 блока,Ay=Asinθ=(10,3 блока)(sin29,1∘)=(10,3 блока)(0,846)=5,0 блоки,

    , указывающее, что ходок переместился на 5 блоков к северу — смещение на 5 блоков к северу.

    Аналитический метод сложения и вычитания векторов

    Вычисление результирующего вектора (или сложения векторов) является обратным разбиением результирующего на его компоненты. Если известны перпендикулярные компоненты AxAx и AyAy вектора AA, то AA можно найти аналитически. как нам это сделать? Поскольку по определению

    tanθ=y/x (или в этом случае tanθ=Ay/Ax),tanθ=y/x (или в этом случае tanθ=Ay/Ax),

    мы находим θθ, чтобы найти направление равнодействующей.

    θ=tan-1(Ay/Ax)θ=tan-1(Ay/Ax)

    Поскольку это прямоугольный треугольник, для нахождения гипотенузы применима теорема Пифагора (x 2 + y 2 = h 2 ). В этом случае получается

    A2=Ax2+Ay2.A2=Ax2+Ay2.

    Решение для A дает

    А=Ах2+Ау2.А=Ах2+Ау2.

    Таким образом, чтобы найти величину AA и направление θθ вектора по его перпендикулярным компонентам AxAx и AyAy, как показано на рис. 5.22, мы используем следующие соотношения:

    A=Ax2+Ay2θ=tan−1(Ay/ Ax)A=Ax2+Ay2θ=tan−1(Ay/Ax)

    Рисунок 5. 22. Величина и направление результирующего вектора  A  A  могут быть определены после определения горизонтальных составляющих  Ax  Ax  и  Ay  Ay .

    Иногда добавляемые векторы не идеально перпендикулярны друг другу. Примером этого является приведенный ниже случай, когда векторы AA и BB складываются для получения результирующих R,R, как показано на рис. 5.23.

    Рис. 5.23 Векторы A  A и B  B являются двумя участками ходьбы, а R  R является результирующим или полным перемещением. Вы можете использовать аналитические методы для определения величины и направления  R R.

    Если A  A и B  B представляют два этапа ходьбы (два перемещения), то R  R является полным перемещением. Человек, совершающий прогулку, оказывается на вершине  R R. Есть много способов добраться до одной и той же точки. Человек мог идти прямо сначала в направлении x , а затем в г -направление. Эти пути являются x — и y -компонентами результирующего,  Rx  Rx и Ry. Рай. Зная Rx  Rx и Ry Ry, мы можем найти R  R и θ  θ используя уравнения R=Rx2+Ry2  R=Rx2+Ry2 и θ=tan–1(Ry/Rx) θ=tan–1(Ry/Rx) θ=tan–1(Ry/Rx) θ=tan–1(Ry/Rx) θ=tan–1(Ry/Rx) θ=tan–1 ).

    1. Нарисуйте компоненты x и y каждого вектора (включая результирующий) пунктирной линией. Используйте уравнения  Ax=Acosθ  Ax=Acosθ и Ay=Asinθ  Ay=Asinθ , чтобы найти компоненты. На рис. 5.24 этими компонентами являются  Ax Ax,  Ay Ay,  Bx Bx и  By. По. Вектор A  A составляет угол θA  θA  с x -ось, а вектор  B  B составляет угол  θB  θB  со своей собственной осью x (которая немного выше оси x , используемой вектором A ).

      Рисунок 5.24. Чтобы сложить векторы  A  A и B,  B, сначала определите горизонтальную и вертикальную составляющие каждого вектора. Это точечные векторы  Ax,   Ax,  Ay Ay By By , показанные на изображении.

    2. Найдите компонент результирующего размера x путем сложения компонентов векторов размером x .

      Rx=Ax+BxRx=Ax+Bx

      и найдите компонент y результирующей (как показано на рис. 5.25) путем сложения компонентов y векторов.

      Ry=Ay+By.Ry=Ay+By.

      Рисунок 5.25 Векторы Ax  Ax и Bx  Bx в сумме дают величину результирующего вектора в горизонтальном направлении, Rx. Rx. Точно так же векторы  Ay  Ay  и  By  By в сумме дают величину результирующего вектора в вертикальном направлении Ry. Рай.

      Теперь, когда мы знаем компоненты R,R, мы можем найти его величину и направление.

    3. Чтобы получить величину равнодействующей R, используйте теорему Пифагора.

      R=Rx2+Ry2R=Rx2+Ry2

    4. Чтобы получить направление результирующего

      θ=tan-1(Ry/Rx) . θ=tan-1(Ry/Rx) .

    Смотреть физику

    Классификация векторов и величин Пример

    В этом видеоролике сравниваются три вектора с точки зрения их величины, положения и направления.

    Проверка захвата

    Три вектора u→, v→ и w→ имеют одинаковую величину 5 единиц. Вектор v→ указывает на северо-восток. Вектор w→ указывает на юго-запад точно напротив вектора u→. Вектор u→ указывает на северо-запад. Если сложить векторы u→, v→ и w→, какой будет величина результирующего вектора? Почему?

    1. 0 шт. Все они будут компенсировать друг друга.
    2. 5шт. Два из них будут компенсировать друг друга.
    3. 10шт. Два из них будут складываться вместе, чтобы дать равнодействующую.
    4. 15 шт. Все они будут складываться вместе, чтобы дать равнодействующую.

    Советы по достижению успеха

    В видео векторы были представлены стрелкой над ними, а не жирным шрифтом. Это обычное обозначение на уроках математики.

    Использование аналитического метода сложения и вычитания векторов для решения задач

    На рис. 5.26 для добавления векторов используется аналитический метод.

    Рабочий пример

    Ускоряющийся поезд метро

    Добавьте вектор  A  A  к вектору  B  B , показанному на рис. 5.26, используя шаги, описанные выше. Ось x проходит в направлении восток-запад, а ось y — в направлении север-юг. Сначала человек проходит 53,0 м  53,0 м в направлении 20,0°  20,0° к северу от востока, представленному вектором A.  A.  Затем человек проходит 34,0 м  34,0 м в направлении 63,0°   к востоку от вектора B, °0  63. Б.

    Рисунок 5.26 Для добавления векторов можно использовать аналитические модели.

    Стратегия

    Компоненты  A  A  и  B  B  вдоль осей x и y представляют собой движение строго на восток и строго на север, чтобы добраться до одной и той же конечной точки. Мы найдем эти компоненты, а затем добавим их в направлениях x и y, чтобы найти результат.

    Решение

    Сначала находим компоненты  A  A  и  B  B  вдоль осей x и y . Из задачи мы знаем, что A=53,0 м A=53,0 м, θA=20,0∘ θA=20,0∘, B  B = 34,0 м 34,0 м, и θB=63,0∘ θB=63,0∘. Мы находим x -компоненты с использованием Ax=Acosθ Ax=Acosθ, что дает

    Ax=AcosθA=(53,0 м)(cos20,0∘)=(53,0 м)(0,940)=49,8 мAx=AcosθA=(53,0 м) (cos20,0∘)=(53,0 м)(0,940)=49,8 м

    и

    Bx=BcosθB=(34,0 м)(cos63,0∘)=(34,0 м)(0,454)=15,4 м.Bx= BcosθB=(34,0 м)(cos63,0∘)=(34,0 м)(0,454)=15,4 м.

    Аналогично, y -компоненты находятся с использованием Ay=AsinθA Ay=AsinθA

    Ay=AsinθA=(53,0 m)(sin20,0∘)=(53,0 m)(0,342)=18,1 mAy=AsinθA 53,0 м)(sin20,0∘)=(53,0 м)(0,342)=18,1 м

    и

    By=BsinθB=(34,0 м)(sin63,0∘)=(34,0 м)(0,891)=30,3 м. By=BsinθB=(34,0 м)(sin63,0∘)=(34,0 м) (0,891)=30,3 м.

    x — и y -компоненты равнодействующей равны

    Rx=Ax+Bx=49,8 м+15,4 м=65,2 mRx=Ax+Bx=49,8 м+15,4 м=65,2 м

    и

    Ry=Ay+By=18,1 м+30,3 м=48,4 м .Ry=Ay+By=18,1 м+30,3 м=48,4 м .

    Теперь мы можем найти величину равнодействующей по теореме Пифагора.

    , так что

    R=6601 м=81,2 м.R=6601 м=81,2 м.

    Наконец, мы находим направление результирующей 48,4/65,2) .

    Это

    θ=tan−1(0,742)=36,6∘ .θ=tan−1(0,742)=36,6∘ .

    Обсуждение

    В этом примере показано сложение векторов с использованием аналитического метода. Вычитание вектора с использованием аналитического метода очень похоже. Это просто добавление отрицательного вектора. То есть  A−B≡A+(−B) A−B≡A+(−B). Компоненты –B B являются минусами компонентов B B. Следовательно, x — и y -компоненты равнодействующей  A−B=R  A−B=R  составляют

    Rx=Ax+-BxRx=Ax+-Bx

    и

    Ry+007Ay+-ByRy=

    , а в остальном метод, описанный выше, идентичен методу добавления.

    Практические задачи

    Какова величина вектора, у которого x -компонента равна 4 см, а y -компонента равна 3 см?

    1. 1 см
    2. 5 см
    3. 7 см
    4. 25 см

    Какова величина вектора, составляющего угол 30° с горизонтом и чья x -компонента равна 3 единицам?

    1. 2,61 шт.
    2. 3,00 шт.
    3. 3,46 шт.
    4. 6,00 шт.

    Проверьте свое понимание

    Упражнение 3

    Между аналитическим и графическим методами сложения векторов, что точнее? Почему?

    1. Аналитический метод менее точен, чем графический, поскольку первый включает геометрию и тригонометрию.
    2. Аналитический метод является более точным, чем графический метод, поскольку последний включает в себя некоторые обширные вычисления.
    3. Аналитический метод менее точен, чем графический метод, так как первый включает рисование всех фигур в правильном масштабе.
    4. Аналитический метод более точен, чем графический, поскольку последний ограничен точностью чертежа.

    Упражнение 4

    Что является компонентом двумерного вектора?

    1. Компонент — это часть вектора, которая указывает либо в направлении x , либо в направлении y .
    2. Компонент — это часть вектора, которая имеет половину величины исходного вектора.
    3. Компонент — это часть вектора, указывающая в направлении, противоположном исходному вектору.
    4. Компонент — это часть вектора, указывающая в том же направлении, что и исходный вектор, но с удвоенной величиной.

    Упражнение 5

    Как мы можем определить глобальный угол θ (отсчитываемый против часовой стрелки от положительного x), если мы знаем Ax и Ay?

    1. θ=cos−1⁡AyAx
    2. θ=кроватка−1⁡AyAx
    3. θ=sin−1⁡AyAx
    4. θ=tan−1⁡AyAx

    Упражнение 6

    Как мы можем определить величину вектора, если мы знаем величины его компонентов?

    1. |A→|=Ax+Ay|A→|=Ax+Ay
    2. |A→|=Ax2+Ay2|A→|=Ax2+Ay2
    3. |A→|=Ax2+Ay2|A→|=Ax2+Ay2
    4. |A→|=(Ax2+Ay2)2|A→|=(Ax2+Ay2)2
    • Печать
    • Поделиться

    Показать, что порядок сложения трех векторов не равен

    Учебники / Физика / Колледж физики 1 / Глава 3 / Задача 8PE

    4 5 1 345 Отзывы

    Задача 8PE

     Задача 8PE

    Показать, что порядок сложения трех векторов не влияет на их сумму. Покажите это свойство, выбрав любые три вектора A, B и C, имеющие разные длины и направления. Найдите сумму A + B + C , затем найдите их сумму при сложении в другом порядке и покажите, что результат тот же. (Есть еще пять заказов, в которые можно добавить A, B и C; выберите только один.)

    Пошаговое решение:

    Шаг 1 из 3

    Решение 8PE

    Мы должны показать, что порядок сложения трех векторов не влияет на их сумму, а также показать это свойство, выбрав любые три вектора A, B и C разной длины и направления.

    Проиллюстрируем это свойство на примере.

    Ученик проходит 2 квартала на север от своей школы, затем поворачивает направо и проходит 4 квартала на восток. Наконец, учащийся поворачивает налево и проходит квартал на север, чтобы добраться до своего дома. Какова величина общего смещения учащегося.

    Величина общего смещения учащегося может быть рассчитана путем графического сложения векторов методом «голова к хвосту».

    Графически изобразите каждый вектор смещения стрелкой, обозначив первую А, вторую В и третью С, сделав длины пропорциональными расстоянию и направлениям, указанным относительно линии восток-запад.

    A = 2 квартала на север, B = 4 квартала на восток, C = 1 блок на север

    Как видно, сумму трех векторов в порядке A, B и C (результирующий вектор) нелегко найти . Таким образом, чтобы найти результирующий вектор, мы перерисуем фигуру, взяв векторы в другом порядке, как A, C и B.

    найти с помощью теоремы Пифагора.

    =

            =

    25

    5 блоков

    Мы могли бы также перерисовать фигуру, взяв векторы в другом порядке, как C, A и B, как показано ниже.

    Результирующий вектор (R) снова является гипотенузой прямоугольного треугольника, которую можно найти с помощью теоремы Пифагора.

    =

            =

    25

    5 блоков

    Мы видели, что сумма векторов A , B и C, взятых в двух разных порядках, дает один и тот же результат.

    Таким образом, мы показали, что порядок сложения трех векторов не влияет на их сумму.

    Шаг 2 из 3

    Глава 3, проблема 8PE решена
    Просмотреть полное решение

    Шаг 3 из 3

    Другие растворы
    • 3PE: Найдите северную и восточную составляющие смещения для похода…

      Физика Колледж физики 1 издание

      3 / 5 из 10 отзывов

      Посмотреть весь материал

    исчисление: ранние трансцендентальные функции: Полярные уравнения коник и законы Кеплера
    ?В упражнениях 7–12 сопоставьте полярное уравнение с правильным графиком. [Графики обозначены (a), (b), (c), (d), (e) и (f).]


    Исчисление: ранние трансцендентальные функции: Скорость и ускорение
    ?Нахождение скорости и ускорения вдоль плоской кривой В упражнениях 1-8 вектор положения описывает путь объекта, движущегося в плоскости xy.


    Химия: центральная наука: Термохимия
    ?Какую работу (в Дж) совершает химическая реакция, если объем уменьшается с 5,00 до 1,26 л при постоянном давлении 0,857 атм?


    Химия: центральная наука: Электронная структура атомов
    Некоторая квантово-механическая система имеет энергетические уровни, показанные на прилагаемой диаграмме. Энергетические уровни индексируются одним квантовым числом


    Химия: Центральная наука: Химическая кинетика
    На следующем графике показаны два разных пути одной и той же общей реакции при одинаковой температуре. Является ли каждое из следующих утверждений t


    Химия: центральная наука: Chemical Kinetics
    ?Рассмотрите следующую реакцию: \(2 \mathrm{NO}(g)+2 \mathrm{H}_{2}(g) \longrightarrow \mathrm{N}_{2}(g)+2 \mathrm{H}_{2} \mathrm{O}(г)\)


    Химия: центральная наука: Химическая термодинамика
    ?Прилагаемая диаграмма показывает, как свободная энергия G изменяется во время гипотетической реакции \(\mathrm{A}(g)+\mathrm{B}(g) \longrightarrow \mathrm{C} 9{\circ} \mathrm{C}\). S


    Статистика: обоснованные решения с использованием данных: Дискретные распределения вероятностей
    ?Случайная величина X подчиняется процессу Пуассона с ? = 0,05 и t = 8. Найдите каждое из следующего: (а) Р(3) (б) Р(Х < 3) (c)


    Статистика: обоснованные решения с использованием данных: Тесты на независимость и гомогенность пропорций
    ?Целебрекс Целебрекс, препарат, производимый компанией Pfizer, Inc., используется для облегчения симптомов, связанных с остеоартритом и ревматоидным артритом, у взрослых.


    Химия: центральная наука: Электрохимия
    ?Из каждой из следующих пар веществ используйте данные в Приложении E, чтобы выбрать то, которое является более сильным восстановителем: (a) Fe(s) или Mg


    Люди также купили
    • 3BSC: В упражнении? используйте следующие перечисленные измерения замедления грудной клетки. ..

      Статистика Элементарная статистика 12 издание

      3 / 5 из 3 отзывов

      Посмотреть весь материал

    • 26E: Можете ли вы сказать, что никакая сила не действует на покоящееся тело? Или это правильно…

      Физика Концептуальная физика 12 издание

      5 / 5 из 4 отзывов

      Посмотреть весь материал

    • 55E: Двадцать процентов всех телефонов определенного типа сдаются на. ..

      Статистика Вероятность и статистика для инженеров и ученых 9 издание

      3 / 5 из 4 отзывов

      Посмотреть весь материал

    • 18P: Напишите сбалансированные уравнения для трех предыдущих реакций.

      Химия Органическая химия 8 издание

      5 / 5 из 4 отзывов

      Просмотреть весь материал

    • 11Q: Объясните разницу между испарением ниже точки кипения. ..

      Химия Введение в химию 5 издание

      3 / 5 из 3 отзывов

      Просмотреть весь материал

    • 60P: Определите, является ли каждая молекула аминокислотой.

      Химия Введение в химию 5 издание

      3 / 5 из 4 отзывов

      Посмотреть весь материал

    Родственные разделы
    • Глава 3: Концептуальная физика | 12-е издание

      Физика Концептуальная физика 12 издание

      5 / 5 из 71 отзывов

      Посмотреть весь материал

    • Глава 17: Концептуальная физика | 12-е издание

      Физика Концептуальная физика 12 издание

      5 / 5 из 71 отзывов

      Посмотреть весь материал

    • Глава 4.

      alexxlab

      Добавить комментарий

      Ваш адрес email не будет опубликован.