PhysBook:Электронный учебник физики — PhysBook
Содержание
- 1 Учебники
- 2 Механика
- 2.1 Кинематика
- 2.2 Динамика
- 2.3 Законы сохранения
- 2.4 Статика
- 2.5 Механические колебания и волны
- 3 Термодинамика и МКТ
- 3.1 МКТ
- 3.2 Термодинамика
- 4 Электродинамика
- 4.
1 Электростатика - 4.2 Электрический ток
- 4.3 Магнетизм
- 4.4 Электромагнитные колебания и волны
- 4.
- 5 Оптика. СТО
- 5.1 Геометрическая оптика
- 5.2 Волновая оптика
- 5.4 Квантовая оптика
- 5.5 Излучение и спектры
- 5. 6 СТО
- 6 Атомная и ядерная
- 6.1 Атомная физика. Квантовая теория
- 6.2 Ядерная физика
- 7 Общие темы
- 8 Новые страницы
Здесь размещена информация по школьной физике:
- материалы из учебников, лекций, рефератов, журналов;
- разработки уроков, тем;
- flash-анимации, фотографии, рисунки различных физических процессов;
- ссылки на другие сайты
и многое другое.
Каждый зарегистрированный пользователь сайта имеет возможность выкладывать свои материалы (см.
Учебники
Формулы по физике – 7 класс – 8 класс – 9 класс – 10 класс – 11 класс –
Механика
Кинематика
Основные понятия кинематики – Прямолинейное движение – Криволинейное движение – Движение в пространстве
Динамика
Законы Ньютона – Силы в механике – Движение под действием нескольких сил
Законы сохранения
Закон сохранения импульса – Закон сохранения энергии
Статика
Статика твердых тел – Динамика твердых тел – Гидростатика – Гидродинамика
Механические колебания и волны
Механические колебания – Механические волны
Термодинамика и МКТ
МКТ
Основы МКТ – Газовые законы – МКТ идеального газа
Термодинамика
Первый закон термодинамики – Второй закон термодинамики – Жидкость-газ – Поверхностное натяжение – Твердые тела – Тепловое расширение
Электродинамика
Электростатика
Электрическое поле и его параметры – Электроемкость
Электрический ток
Постоянный электрический ток – Электрический ток в металлах – Электрический ток в жидкостях – Электрический ток в газах – Электрический ток в вакууме – Электрический ток в полупроводниках
Магнетизм
Магнитное поле – Электромагнитная индукция
Электромагнитные колебания и волны
Электромагнитные колебания – Производство и передача электроэнергии – Электромагнитные волны
Оптика.
СТОГеометрическая оптика
Прямолинейное распространение света. Отражение света – Преломление света – Линзы
Волновая оптика
Свет как электромагнитная волна – Интерференция света – Дифракция света
Фотометрия
Фотометрия
Квантовая оптика
Квантовая оптика
Излучение и спектры
Излучение и спектры
СТО
СТО
Атомная и ядерная
Атомная физика. Квантовая теория
Строение атома – Квантовая теория – Излучение атома
Ядерная физика
Атомное ядро – Радиоактивность – Ядерные реакции – Элементарные частицы
Общие темы
Измерения – Методы решения – Развитие науки- Статья- Как писать введение в реферате- Подготовка к ЕГЭ — Репетитор по физике
Новые страницы
Запрос не дал результатов.
Геометрия Сложение и вычитание векторов
Материалы к уроку
Конспект урока
3. Сложение и вычитание векторов
|
Введем правило сложения двух векторов. Пусть нам даны два неколлинеарных вектора a и b. Отложим от произвольной точки пространства А вектор АВ, равный вектору а. Затем от точки В отложим вектор ВС, равный вектору b. Вектор АС называется суммой векторов а и b. Нужно отметить, что сумма векторов не зависит от выбора точки А. Это правило сложения векторов называется правилом треугольника. |
Текст Сложение двух векторов Рисунок двух неколлинеарных векторов, треугольник, две стороны параллельны данным векторам
|
|
При сложении неколлинеарных векторов можно воспользоваться правилом параллелограмма. Пусть даны векторы а и b. От произвольной точки А отложим векторы АВ и АС, равные соответственно а и b. Достроим до параллелограмма, проведя дополнительные линии, параллельно данным векторам. |
Текст Правило треугольника Рисунок параллелепипеда
|
|
Решим задачу №327 под буквой а. На рисунке изображен параллелепипед ABCDA1B1C1D1.Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов AB и A1D1 . Воспользуемся правилом параллелограмма. К вектору АВ прибавим вектор АD, равный вектору A1D1. Суммой этих векторов будет диагональ основания параллелепипеда, то есть вектор АС. |
Текст №327(а) Рисунок параллелепипеда
По правилу параллелограмма , |
|
Напомним свойства сложения векторов, так как они ни чем не отличаются от свойств сложения векторов в планиметрии: Для любых трех векторов а, бэ и це, выполняются равенства 1) переместительный закон 2) сочетательный закон |
|
|
Введем определение противоположных векторов. Два вектора называются противоположными, если их длины равны и они противоположно направлены Вектор минус а противоположен вектору а
Вектор DF противоположен вектору FD, и равен минус вектор FD
|
Противоположные векторы
Если и – противоположные, то | |=| |, .
и – противоположные, = – |
|
Определим вычитание векторов
|
Текст Разностью векторов a и b называется такой вектор, сумма которого с вектором b равна вектору a.
|
|
Разность можно найти как сумму вектора с противоположным вектором вектору . |
|
|
Существует правило для трех точек.
Любой вектор можно представить как разность двух векторов, проведенных из одной точки. Добавляем третью точку (любую) и задаем разность из вектора, проведенного из этой точки в конец данного вектора минус вектор, проведенный в начало. |
Текст Правило трех точек
Рисунок разности векторов
(по ходу правила строить сначала вектор ВК затем вектор АК и АВ) |
|
Решим задачу №332 На рисунке изображен параллелепипед ABCDA1B1C1D1 Представьте векторы АВ1 и DK в виде разности двух векторов, начала и концы которых совпадают с отмеченными на рисунке точками.
|
Текст Задача №332 Рисунок параллелепипеда
|
|
Решение. Рассмотрим вектор АВ1 и воспользуемся правилом трех точек. Третьей точкой удобно взять точку А1. Вектор, проведенный в конец то есть в точку В1 будет А1В1 и в начало точку А – вектор А1А. Получаем АВ1 равно А1В1 минус А1А. |
Текст Задача №332 Решение. Рисунок прежний
|
|
Выполним это же задание для вектора DK. Здесь третьей точкой удобно взять точку D1. Вектор в конец — D1K, в начало — D1D. Получим вектор DK равен D1K минус D1D. |
Текст Задача №332
|
Комментарий, было упущено свойства сложения векторов, и определение противоположного вектора.
Остались вопросы по теме? Наши репетиторы готовы помочь!
Подготовим к ЕГЭ, ОГЭ и другим экзаменам
Найдём слабые места по предмету и разберём ошибки
Повысим успеваемость по школьным предметам
Поможем подготовиться к поступлению в любой ВУЗ
Выбрать репетитора
Сложение векторов — свойства, правила и примеры решения задач » Kupuk.net
Отрезок, который имеет направление, называется вектором. По сути, эта линия, характеризующаяся определённой длиной. Так как с математической точки зрения это выражение, то с ним можно выполнять различные операции. Простейшими являются действия вычитания двух и более векторов и их сложение. Выполняются они по правилам геометрии и алгебры.
Общие сведения
Понятие вектор используется как в физике, так и в математике. С его помощью обозначают действие различных сил, указывают их направление, определяют движение. По сути, это величина, противопоставляемая массе, объёму, плотности, температуре, то есть «скалярам». Согласно определению вектор — это отрезок, имеющий строгое направление. Точку, из которой он выходит, называют начальной, а в которой заканчивается — конечной.
Обозначают отрезок помощью заглавных латинских букв, сверху которых ставится чёрточка. Рисуют же его с помощью прямой ограниченной линии.
Например, запись AB обозначает, что точка A является началом, а B концом. В некоторых случаях для кратности отрезки допустимо обозначать одной маленькой буквой, так: AB = a.
Векторная запись используется тогда, когда невозможно величины описать с помощью одного числа. Численное значение выражение определяется длиной отрезка или его модулем. Эта величина является скалярной. В том случае если начало и конец ограниченной линии совпадают, то говорят о нулевой линии. Обозначают её цифрой 0.
Векторы, расположенные на плоскости или в пространстве, по отношению друг к другу могут быть:
- коллинеарными — отрезки лежат на одной линии или ей параллельны;
- соноправленными — замкнутые линии направление которых одинаковое;
- противоположными — вектора направлены в разные стороны;
- ортогональными — перпендикулярными друг другу;
- компланарными — лежащими на одной плоскости или ей параллельные;
- равными — ограниченными прямыми, совпадающими как по направлению, так и по величине.
Так как вектора — это выражения, то с ними можно выполнять различные действия. Их возможно складывать, вычитать, умножать на число. При работе с векторными величинами используют декартовую систему координат. В ней прямую замкнутую линию раскладывают по базису и определяют координаты её точек. Другими словами, выполняют проекции отрезков на оси. Непосредственно за базис берут орты.
Если известны начальные координаты и конечные, то текущие вычисляют путём вычитания из последних первые. Существующая возможность записать любое геометрическое свойство, используя координаты, позволяет отойти от геометрии и использовать для вычислений алгебру.
Сложение координат
Существует простое правило применимое для направленных отрезков и позволяющее найти их сумму. Заключается оно в следующем: если необходимо прибавить один вектор к другому описывающийся каждый своими координатами, достаточно сложить соответствующие их орты. Например, предположим есть два вектора a и b. Первый отрезок имеет координаты (ax; ay), а второй (bx;by). При их сложении получится новый вектор c. В результате действия его координаты будут c (ax + bx; ay + by).
Это теорема доказывается просто. Пусть даны отрезки f (x 1; y 1) и g (x 2; y 2). В системе координат относительно рассматриваемых векторов получится: f = x 1 a + y 1 b; g = x 2 a + y 2 b. Тогда искомая сумма будет: f + g = x1a + y1b + x2a + y2b = a (x 1 + x 2) + b (y 1 + y 2). Что и нужно было доказать. Это правило применимо к векторам имеющим любые координаты. Например, пусть есть a (1; 2), b (-3; 1). Нужно найти их сумму. С помощью формулы сложения получится новый направленный отрезок с координатами a + b = (1 — 3; 2 + 1) = (-2; 3).
Как и при операциях с простыми числами при работе с векторными выражениями используют различные их свойства. Существует три правила сложения векторов:
То есть от перемены мест слагаемых результат не изменится.Приведённые свойства соответственно называют переместительным, сочетательным, нулевым законом. Например, предположим есть два направленных отрезка a (2; 2) и b (-4; 1). Согласно первому свойству, очерёдность значения не имеет, поэтому что при прибавлении b к a, что при a к b результат будет одинаковый: a + b = (2 -4; 2 + 1) = (-2; 3), b + a = (-4 + 2; 1 +2) = (-2; 3). По аналогии можно проверить правильность утверждения и двух оставшихся свойств.
Следует отметить, что при сложении двух противоположных ограниченных прямых сумма будет равняться нуль-вектору: a + (-a) = 0. Это утверждение не требует доказательства, так как здесь используется фундаментальный закон алгебры — правило знаков.
Правило параллелограмма
По сути, все операции с векторными выражениями сводятся к их приращению или уменьшению. Если координаты точек неизвестны, то алгебраический метод складывания не подходит. В таком случае используют геометрические операции. Одним из способов, позволяющих сложить два неколлинеарных вектора, является правило параллелограмма или прямоугольника при перпендикулярном направлении складываемых отрезков.
Сформулировать способ можно следующим образом: если имеются два отрезка не лежащие на параллельной прямой и не принадлежащие ей, то нужно достроить данные вектора до параллелограмма. Для этого необходимо взять произвольную точку и отложить от неё отрезок AB равный первому вектору, и AD совпадающий со вторым. При этом необходимо придерживаться соотношения геометрии наклона. Затем достроить необходимые параллельные прямые таким образом, чтобы образовался параллелограмм ABCD. Если в такой фигуре провести диагональ, то её длина и будет равняться сумме складываемых отрезков.
Доказать правильность утверждения можно следующими доводами. Пусть имеются две ограниченные линии a и b. От точки A можно отложить первый отрезок конец, которого обозначить как B, и второй, с точкой D. Теперь через D и B возможно провести соответственно параллельные прямые AB и AD. Место, в которой они пересекутся, пусть будет обозначено как С. Тогда используя признак параллельности двух пар прямых в фигуре ABCD, можно утверждать, что это параллелограмм. Вектор AC = a + b. Это следует из равенства отрезков AD = BC и теоремы о подобных треугольниках.
Пример задания. Определить, чему равна сумма двух отрезков длиной 2 см и 1 см расположенные друг к другу под углом 45. Для того чтобы воспользоваться правилом, нужно взять листочек в клеточку и построить два вектора, исходящие из одной точки O. Тогда первый отрезок будет OA, а второй OB. Затем достроить прямые таким образом, чтобы на рисунке получился параллелограмм. Новая полученная точка пусть будет D. Теперь с помощью линейки можно измерить диагональ фигуры, длина которой и будет искомой суммой. В ответе должно получиться, что OA + OB = OD = 3 см.
Простыми словами это правило можно рассказать так: сумма двух отрезков будет равняться диагонали параллелограмма, построенного на исходных векторах. Эта теорема чаще используется не в геометрии, а физике, например, при сложении сил.
Альтернативные методы
Операцию по сложению двух векторов можно выполнить и с помощью правила треугольника. Делается это так. Выбирается любая точка на плоскости, от которой откладываются два вектора. При этом необходимо соблюдать их размерность и наклон по отношению друг к другу. Затем две конечные точки соединяют прямой. Её длина и будет искомой величиной. То есть в итоге должна получиться равнобедренная фигура.
Применение метода сложения векторов по правилу треугольника позволяет довольно легко находить сумму для трёх и более отрезков. Для этого сначала вычисляют результат сложения для двух любых линий, а после прибавляют к полученной ограниченной прямой третью и так далее.
При сложении нескольких векторов удобно выполнять следующую последовательность построений:
- от выбранной точки пространства рисуется вектор, равняющийся первому слагаемому;
- от конечной точки откладывается вектор, совпадающий со вторым слагаемым;
- приведённая последовательность потеряется необходимое число раз;
- прямой линией соединяется точка, с которой началось построение с конечной последнего вектора;
- длина полученного отрезка и будет являться результатом сложения.
Этот способ получил название метод многоугольника. Он довольно часто применяется на практике, позволяя, довольно просто выполнить нахождение суммы. Из правила треугольника, а, следовательно, и многоугольника, вытекает следствие, которое подтверждает, что если складывается отрезок с нулевым векторным выражением, то в ответе получится длина, совпадающая со значимым слагаемым.
Следует отметить, что методы используются только, если направление отрезков является сонаправленным.
Если же отрезки неколлинеарные, то от конца одного откладывается другой. Тогда искомая сумма будет равняться длине линии, первой точкой которой будет начало одной векторной прямой, а конец совпадать с точкой, завершающей другую. То есть сумма — это отрезок, начало которого совпадает с началом обеих линий, а длина равна разности их длин, при этом направление его будет совпадать с тем что больше по длине.
Сложение и вычитание векторов
Сумма векторов
Пусть даны два вектора а = \(\overrightarrow{OA}\) и b = \(\overrightarrow{OB}\) (рис. 5).
От точки А отложим отрезок АС такой, что \(\overrightarrow{AC}\) = b. Тогда, вектор с = \(\overrightarrow{OC}\) называется суммой векторов а и b и
обозначается а + b.
Таким образом, \(\overrightarrow{OA}\) + \(\overrightarrow{AC}\) = \(\overrightarrow{OC}\). Это равенство называют
правилом треугольника сложения двух векторов.
Oчевидно, что это правило справедливо и в том случае, когда точки О, А и В лежат на одной прямой (рис. 6, 7). В частности, а + 0 = а.
Сложение векторов обладает следующими свойствами:
1. Свойство коммутативности (перестановочности): для любых векторов а и b
а + b = b + а. (1)
2. Свойство ассоциативности (сочетательности): для любых векторов а, b и с
(а + b) + с = а + (b + с). (2)
1. Пусть a = \(\overrightarrow{OA}\), b = \(\overrightarrow{OB}\). Рассмотрим случай, когда точки О, А и В не лежат на одной прямой. На отрезках ОА и ОВ построим параллелограмм OACB (рис. 8).
Тогда |ОА| = |ВС|, (ОА) || (ВС) и |ОВ| = |АС|, (ОВ) || (АС), как противоположные стороны параллелограмма. Следовательно,
а = \(\overrightarrow{OA}\)= \(\overrightarrow{BC}\), b = \(\overrightarrow{OB}\) = \(\overrightarrow{AC}\),
и поэтому
а + b = \(\overrightarrow{OA}\)+ \(\overrightarrow{AC}\) = \(\overrightarrow{OC}\),
b + а = \(\overrightarrow{OB}\) + \(\overrightarrow{BC}\) = \(\overrightarrow{OC}\),
что и доказывает равенство (1).
Для случая, когда точки О, А, В лежат на одной прямой, доказательство можно провести самостоятельно.
2. От некоторой точки О отложим вектор \(\overrightarrow{OA}\) = а, от точки А отложим вектор \(\overrightarrow{AB}\) = b и, наконец, от точки В отложим вектор \(\overrightarrow{BC}\) = с (рис. 9, 10).
Соединим точки О и С отрезком ОС. Тогда, с одной стороны (см. рис. 9),
(а + b) + с = (\(\overrightarrow{OA}\) + \(\overrightarrow{AB}\)) + \(\overrightarrow{BC}\) =
\(\overrightarrow{OB}\) + \(\overrightarrow{BC}\)= \(\overrightarrow{OC}\)
и, с другой стороны (см. рис. 10),
а + (b + с) = \(\overrightarrow{OA}\) + (\(\overrightarrow{AB}\)+ \(\overrightarrow{BC}\)) = \(\overrightarrow{OA}\) + \(\overrightarrow{AC}\) = \(\overrightarrow{OC}\),
что и доказывает равенство (2).
Из риc. 8 видно, что сумма векторов а = \(\overrightarrow{OA}\) и b = \(\overrightarrow{OB}\) равна направленной диагонали \(\overrightarrow{OC}\) параллелограмма OACB, построенного на отрезках ОА и ОВ, т.е.
\(\overrightarrow{OA}\) + \(\overrightarrow{OB}\) = \(\overrightarrow{OC}\).
Это равенство называется правилом параллелограмма сложения двух векторов.
Так как сложение векторов ассоциативно, то сумма трех и большего числа векторов записывается без скобок. Например, вместо (а + b) + с или а + ( b + с ) пишут а + b + с.
Если требуется найти сумму трех или большего числа векторов, то применяют так называемое правило многоугольника. Оно состоит в следующем.
Пусть даны векторы а, b, с, d и требуется найти их сумму.
Выберем некоторую точку О (рис. 11) и построим отрезок ОА такой, что \(\overrightarrow{OA}\) = а,
затем построим отрезок АВ такой, что \(\overrightarrow{AB}\) = b, и т. д.
Построение продолжается до тех пор, пока не будут исчерпаны все векторы-слагаемые. Направленный отрезок \(\overrightarrow{OD}\), замыкающий полученную ломаную, будет равен сумме данных векторов.
Противоположные векторы. Вычитание векторов.
Любые два вектора, сумма которых равна нулевому вектору, называются противоположными. Вектор, протипоположный вектору а, обозначается — а. Следовательно, по определению
а + (- а) = 0.
Из определения следует, что если а = \(\overrightarrow{AB}\), то — а = \(\overrightarrow{BA}\), т. е. противоположные векторы имеют одинаковую длину и противоположные направления.
Например, если ABCD — параллелограмм, то векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{CD}\) противоположные (рис. 15). Векторы \(\overrightarrow{AD}\) и \(\overrightarrow{CB}\) тоже противоположные.
Для любых двух векторов а и b вектор с = а + (- b) называется разностью векторов а и b и обозначается а — b. Таким образом, по определению
а — b = а + (- b).
Если а = \(\overrightarrow{OA}\) и b = \(\overrightarrow{OB}\) (рис. 16), то
а — b = \(\overrightarrow{OA}\) — \(\overrightarrow{OB}\) = \(\overrightarrow{OA}\) + \(\overrightarrow{BO}\) = \(\overrightarrow{BO}\)+ \(\overrightarrow{OA}\) = \(\overrightarrow{BA}\).
Следовательно,
\(\overrightarrow{OA}\) — \(\overrightarrow{OB}\) = \(\overrightarrow{BA}\) (1)
Из рисунка видно, что \(\overrightarrow{BA}\) — это направленная диагональ параллелограмма ОАСВ, построенного на отрезках ОА и ОВ. Другая диагональ \(\overrightarrow{OC}\) изображает сумму векторов \(\overrightarrow{OA}\) и \(\overrightarrow{OB}\).
Нетрудно заметить, что формулу (1) можно применять, не прибегая к чертежу: для этого достаточно внимательно проследить за порядком расположения букв в записи данных и искомого векторов. Так, например,
$$ \overrightarrow{PQ} — \overrightarrow{PN} = \overrightarrow{NQ}\;\; (2)$$
Калькулятор сложения и вычитания векторов
Укажите размерность пространства 23
Укажите форму представления первого вектора
Координаты точек начала и конца первого вектораКоординаты первого вектора
Укажите форму представления второго вектора
Координаты точек начала и конца второго вектораКоординаты второго вектора
Задайте координаты первого вектора
a̅ =
{
;
}
Задайте координаты второго вектора
b̅ =
{
;
}
+ —
Как сложить или вычесть два вектора
Сложение векторов по правилу треугольника
Чтобы сложить два вектора a и b по правилу треугольника, необходимо:
1. Параллельно перенести векторы a и b, так чтобы начало одного из векторов совпадало с концом другого.
2. Из начала вектора a в конец вектора b провести вектор c.
a + b = c
Вычитание векторов по правилу треугольника
Чтобы вычесть два вектора a и b по правилу треугольника, необходимо:
1. Параллельно перенести векторы a и b, так чтобы начало одного из векторов совпадало с началом другого.
2. Из конца вектора b в конец вектора a провести вектор c.
a − b = c
Как сложить два вектора, координаты которых заданы точками
Найдем сумму векторов плоскости. Координаты обоих векторов заданны точками:
Координаты точки А вектора AB: (5 ; 9)
Координаты точки B вектора AB: (-2 ; 11)
Координаты точки C вектора CD: (0 ; 12)
Координаты точки D вектора CD: (-3 ; 1)
Для того, чтобы сложить два вектора необходимо сложить их координаты. Результатом сложения векторов AB и CD будет вектор c
Вычислим координаты первого вектора по двум точкам A и B:
AB = {Bx — Ax ; By — Ay} = {-2 — 5 ; 11 — 9} = {-7 ; 2}
Вычислим координаты второго вектора по двум точкам C и D:
CD = {Dx — Cx ; Dy — Cy} = {-3 — 0 ; 1 — 12} = {-3 ; -11}
c = AB + CD = {ABx + CDx ; ABy + CDy} = {-7 + (-3) ; 2 + (-11)} = {-10 ; -9}
Как вычесть два вектора, координаты которых заданы точками
Пример. Найдем разность векторов пространства. Координаты обоих векторов заданны точками.
Координаты точки А вектора AB: (7; 0.2 ; 69)
Координаты точки B вектора AB: (-1 ; 0 ; 2/8)
Координаты точки C вектора CD: (-4 ; -6 ; 2)
Координаты точки D вектора CD: (3 ; 0 ; 9)
Для того, чтобы вычесть два вектора необходимо вычесть их координаты. Результатом вычитания векторов AB и CD будет вектор c.
Вычислим координаты первого вектора по двум точкам A и B:
AB = {Bx — Ax ; By — Ay; Bz — Az} = {-1 — 7 ; 0 — 0.2 ; 2/8 — 69} = {-8 ; -1/5 ; -275/4}
Вычислим координаты второго вектора по двум точкам C и D:
CD = {Dx — Cx ; Dy — Cy; Dz — Cz} = {3 — (-4) ; 0 — (-6) ; 9 — 2} = {7 ; 6 ; 7}
c = AB — CD = {ABx — CDx ; ABy — CDy ; ABz — CDz} = {-8 — 7 ; -1/5 — 6 ; -275/4 — 7} = {-15 ; -31/5 ; -303/4}= {-15 ; -6. 2 ; -75.75}
Вычитание векторов в координатном представлении
Найдем разность векторов плоскости.
Координаты вектора a: (5 ; 9)
Координаты вектора b: (-1 ; 7)
Для того, чтобы вычесть два вектора необходимо вычесть их координаты. Результатом вычитания векторов a и b будет вектор c
c = a — b = {ax — bx ; ay — by} = {5 — (-1) ; 9 — 7} = {6 ; 2}
c = a — bСложение векторов в координатном представлении
Пример. Найдем сумму векторов пространства.
Координаты вектора a: (5 ; 1 ; 7)
Координаты вектора b: (2 ; 4 ; 6)
Для того, чтобы сложить два вектора необходимо сложить их координаты. Результатом сложения векторов a и b будет вектор c
c = a + b = {ax + bx ; ay + by ; az + bz} = {5 + 2 ; 1 + 4 ; 7 + 6} = {7 ; 5 ; 13}
Что такое сложение векторов?
Что такое сложение векторов?
Суммой двух векторов u и v называется третий вектор w, проведенный из начала u к концу v, если начало вектора v совпадает с концом вектора u. Сложение векторов выполняется по правилу треугольника или по правилу параллелограмма.
Какой из векторов является суммой векторов?
Соединяем начало первого вектора и конец второго. Получившийся вектор, начало которого совпадает с началом вектора a → , а конец — с концом вектора b → , называется суммой этих векторов.
Как складывать и вычитать векторы?
Если складываются два противоположно направленных вектора, то их значения вычитаются, а не складываются. Векторы, которые представлены в виде xi + yj + zk можно сложить или вычесть, просто сложив или вычтя соответствующие коэффициенты.
Какое равенство выражает правило треугольника для нахождения суммы векторов?
Правило треугольника (рис. 3). Нужно от конца вектора отложить вектор . Тогда сумма a → + b → – это вектор, начало которого совпадает с началом вектора , а конец – с концом вектора
Как выполнить вычитание векторов?
Легче запомнить, как найти разность векторов a → и b → , следующим образом:
- векторы нужно привести к общему началу A;
- соединить конечные точки B и C;
- отметить направление вектора разности от конечной точки уменьшителя к конечной точке уменьшаемого вектора.
Как сложить два вектора с координатами?
При сложении первая координата первого вектора складывается с первой координатой второго вектора, вторая координата первого вектора складывается со второй координатой второго вектора и так далее в зависимости от размерности векторов.
Как сложить два вектора по правилу параллелограмма?
Такой приём сложения векторов называется правилом параллелограмма. Так как DC → = AB → = b → , то a → + b → = AD → + DC → = AC → = c → ; выполняя сложение по правилу треугольника, убедимся, что суммой остаётся тот же вектор c → .
Как сложить 3 вектора по правилу параллелограмма?
Правило треугольника и правило параллелограмма находят сумму двух векторов, но как сложить несколько векторов? Чтобы сложить несколько векторов, необходимо сложить первый вектор со вторым, затем сложить их сумму с третьим вектором и так далее.
Как определяется сумма векторов по правилу треугольника по правилу параллелограмма?
Такой приём сложения векторов называется правилом параллелограмма. Так как DC → = AB → = b → , то a → + b → = AD → + DC → = AC → = c → ; выполняя сложение по правилу треугольника, убедимся, что суммой остаётся тот же вектор c → .
Как сложить четыре вектора по правилу многоугольника?
Сумму нескольких векторов получаем так: складываем первый и второй вектор, затем к их сумме прибавляем третий вектор и т. д. Из закона сложения векторов следует, что сумма нескольких векторов не зависит от того, в каком порядке они складываются.
Чему равна сумма нескольких векторов Если при сложении их по правилу многоугольника начало первого вектора совпадает с концом последнего?
Его суть заключается в том, что векторы-слагаемые последовательно откладывают друг от друга, суммой является вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора-слагаемого, а конец совпадает с концом последнего вектора-слагаемого. Если эти точки совпадают, то сумма данных векторов равна нулевому вектору.
Что такое координаты вектора чему равны?
Координатами вектора являются координаты конечной точки этого вектора, если вектор расположен так, что его начало находится в начале координат. Если вектор находится на координатной плоскости, то каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала.
Как находить координаты векторов?
Чтобы найти координаты вектора AB, зная координаты его начальной точки А и конечной точки В, необходимо из координат конечной точки вычесть соответствующие координаты начальной точки. Смотрите также справочник: координаты вектора по двум точкам.
Как определяется положение точки на плоскости?
На плоскости положение точки чаще всего определяется расстояниями от двух прямых (координатных осей), пересекающихся в одной точке (начале координат) под прямым углом; одна из координат называется ординатой, а другая — абсциссой. … Географические координаты.
Как найти уравнение медианы в треугольнике?
Медиана — отрезок, соединяющий вершину с серединой противоположной стороны. Уравнение прямой по двум точкам (x−x1)/(x2−x1)=(y−y1)/(y2−y1), координаты середины отрезка x=(x1+x2)/2;y=(y1+y2)/2. Например для медианы AM,M — середина BC, имеем M:x=(−2−6)/2=−4,y=(−8+2)/2=−3.
Как найти Ортоцентр треугольника?
Ортоцентр — точка пересечения высот треугольника или их продолжений. Традиционно обозначается латинской буквой H….Метод расчета ортоцентра треугольника
- Наклон AB (m) = 5-3/0-4 = -1/2.
- Наклон BC (m) = -6-5/3-0 = -11/3.
- Наклон CA (m) = 3+6/4-3 = 9.
Как найти сторону треугольника если известна только одна сторона?
Теорема синусов: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Если известны одна сторона и два прилежащих угла, то с помощью теоремы синусов можно вычислить остальные две стороны треугольника.
Добавление векторов — Science Pickle
Добавление векторов немного сложнее, чем добавление скалярных величин (имеющих только величину), поскольку мы не можем добавлять направления и величины по отдельности. Чтобы добавить векторы точно , используйте их осевые компоненты. Если векторы имеют форму величины и направления, то вычислить их осевые составляющие. Чтобы быстро оценить сумму векторов, вы можете графически сложить их в любой форме: по величине и направлению или по осевым компонентам. Даже при математическом добавлении векторов полезно проверять свои результаты, добавляя их графически, поскольку при сложении векторов довольно часто встречаются ошибки со знаком.
Визуальное добавление векторов
Добавление векторов в веб-приложение
Если вы знакомы с добавлением векторов, нажмите одну из кнопок, чтобы запустить приложение. Ниже приведена вспомогательная информация о добавлении векторов, запуске приложений и дополнительных кнопках для запуска приложений.
Преимущества запуска веб-приложений
Хотя вы можете просматривать следующие иллюстрации и анимации, созданные с помощью веб-приложений, их самостоятельное выполнение имеет ряд преимуществ:
- Изображения будут больше.
- Вы можете сколько угодно рассматривать любое изображение, чтобы изучить и/или нарисовать то, что вам больше всего поможет.
- Есть дополнительные визуализации и действия для изучения.
- Проверьте свое понимание, предсказав результат новых настроек до внесения изменений в приложение.
- Вы можете сохранять скриншоты созданных вами визуализаций.
Предложение : Если вы перевели экран/компьютер в спящий режим с коротким интервалом времени, вы потеряете то, что просматриваете при запуске веб-приложения. Рассмотрите возможность изменения настроек, чтобы дать себе время работать с приложением по своему усмотрению.
Математическое сложение векторов
Чтобы математически сложить векторы, сложите их соответствующие компоненты , затем используйте теорему Пифагора для вычисления величины и тригонометрических функций для вычисления направления равнодействующей.
Например, предположим, что вы прошли 8 миль на восток (90°), а затем 4 мили на север (0°) (рис. 1). Вы не находитесь в 8 + 4 или 12 милях или 0 + 90 или 90º от исходной точки. В этом примере каждый вектор находится в направлении одной из осей, поэтому нам не нужно разбивать векторы на составляющие их значения. Мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы вычислить, как далеко мы находимся от того места, где мы начали, и использовать арктангенс, чтобы вычислить направление, в котором мы находимся от нашей начальной точки. Дополнительные сведения см. в следующих разделах.
Рис. 1: Эти два вектора добавлены на основе принятого в навигации соглашения о направлении: 0° соответствует северу, а направление увеличивается по часовой стрелке. Оба вектора взяты из начала координат. Совет: Если векторы заданы в виде величины и направления, используйте полярную сетку для построения векторов от начала координат.
Рассчитайте величину равнодействующей
Используя теорему Пифагора:
Величина = √(8² + 4²) = 8,9
Рассчитайте направление равнодействующей
Направление = 90º – tan¯¹(4/8) = 63,4º (используйте рис. 3)
= tan¯¹(8/4) = 63,4º (используйте рис. 4)
Графическое дополнение «Хвост к кончику»
«Хвост к кончику» — это графическая форма сложения векторов, основанная на концепции, согласно которой векторы можно перемещать по графику. Два решения при графическом добавлении двух векторов, показанных на рисунке 1, показаны ниже. Красный вектор — это 8 миль к востоку (90º), а зеленый — 4 мили к северу (0 º).
В этом решении сдвиньте конец второго вектора к кончику первого вектора. Направления и величины обоих векторов остаются прежними.
Если есть третий вектор, сдвиньте конец третьего вектора к вершине суммы первых двух векторов.
Рис. 2. Сдвиньте конец одного вектора к кончику второго вектора. Совет: прямоугольная сетка удобна для построения осевых компонентов.
Нарисуйте результирующий вектор от начала координат до вершины суммы двух векторов.
При использовании этой техники создайте масштаб для рисования векторов, чтобы пропорции величин были согласованными. Нарисуйте величины и направления векторов как можно точнее, чтобы результат был концептуально полезен и обеспечивал ценную проверку при математическом сложении векторов.
Рис. 3. Нарисуйте результирующий вектор (пурпурный) от начала координат до вершины суммы двух векторов.
Имеет ли значение, в каком порядке добавлять векторы? В приведенном выше примере имеет ли значение, идете ли вы сначала на восток или на север? Если на одном из ваших путей нет огненного болота, Горы Рока или колючей ивы, вы все равно окажетесь на том же расстоянии и в том же направлении, откуда начали. Подобно сложению чисел, сложение векторов в любом порядке дает тот же результат.
Рисунок 4: Сложение двух векторов в обратном порядке дает один и тот же результирующий вектор.
Анимации добавления векторов
Чтобы увидеть, как перемещаются векторы при добавлении двух или трех векторов, используйте веб-приложение Визуальное добавление векторов для создания случайных векторов, а затем переместите их в положение, где вектор хвосты совпадают с кончиками. Два примера использования приложения показаны на следующих анимациях.
Визуальное добавление векторов
Нажмите кнопку, чтобы запустить веб-приложение, Визуальное добавление векторов .
Благодарности
Большое спасибо Брендану Кроули, Алану Гулду, Максу Холлу и Матти Хорну за тестирование приложения во время бета-тестирования.
В анимации сложения двух векторов методом «хвост к кончику» обратите внимание, что при перемещении зеленого вектора к кончику красного вектора его длина и ориентация остаются прежними.
В анимации сложения трех векторов методом «хвост к кончику» обратите внимание, что при перемещении зеленого и синего векторов их длина и ориентация остаются прежними.
Представление и ясность
Существует несколько способов графического сложения векторов. Некоторые из них могут иметь для вас смысл; другие могут ввести в заблуждение. Понятны ли вам векторы и результирующий вектор из начала координат (рисунок 5)? Это обычный способ отображения векторов при их добавлении.
Чем полезно графическое добавление векторов?
Концептуальная работа с векторами так же важна, как и математическая. Если вы работаете с векторами математически, вычерчивание решения выявляет математические ошибки, особенно опечатки при работе с калькулятором или компьютерной программой и ошибки знаков.
Векторы широко используются в науке, математике и технике, и ошибки могут быть более чем досадными; человеческие жизни зависят от точных расчетов построенных сооружений, навигации, передовых технологий, прогнозов погоды, поисково-спасательных операций и т. д.
Большинство оставшихся разделов Земных систем требуют твердого концептуального понимания и применения векторов. Научитесь графически работать с векторами.
Рис. 5: График добавляемых векторов и результирующего вектора из исходной точки.
Чем полезно математическое сложение векторов?
Работа с векторами, например, сложение векторов, необходима в технике и многих областях науки и математики. Эти дисциплины были бы резко ограничены без использования векторов. Например, для проектирования и строительства безопасных, устойчивых сооружений (зданий, мостов, дорог, плотин и т. д.), а также для анализа и прогнозирования движущихся объектов (самолеты, реактивные самолеты, ракеты и т. д.) требуются векторные вычисления. Высоко точный и точный 9Расчеты 0055 необходимы для значительной части человеческих технологий.
Математическое сложение трех векторов
Концептуально сложение трех векторов ничем не отличается от сложения двух. Осталось только организовать.
В следующем примере добавляются три вектора, определяемые величиной и направлением.
| Вектор | Величина | Направление |
| 1 | 4,0 | 45,0º |
| 2 | 8.1 | 310,0º |
| 3 | 6,0 | 180,0º |
Преобразуйте модуль и направление вектора в осевые компоненты, а затем сложите их, чтобы найти результирующие компоненты.
| Вектор | Х | Д |
| 1 | 4,0 sin(45) = 2,8 | 4,0 cos(45) = 2,8 |
| 2 | 8,1 sin(310) = -6,2 | 8,1 cos(310) = 5,2 |
| 3 | 6 sin(180) = 0,0 | 6 cos(180) = -6,0 |
| Сумма | -3,4 | 2,0 |
Рис. 6: Необходимо добавить три вектора. Показаны компоненты каждого вектора. Значения находятся в тех же значениях, что и соответствующий им вектор. X представляет Восток, когда положительный, и Запад, когда отрицательный. Y представляет север, когда положительный, и юг, когда отрицательный.
См. Прямоугольные треугольники и векторы для получения подробной информации о том, как компоненты вектора рассчитываются по величине и направлению.
Рассчитайте величину результирующей величины
, используя теорему Pythagorean:
величина = √ (2,0² + (-3,4) ²) = 3,9
Рассчитайте направление результирующего
= 270º + tan¯ (2.0/3.4 ) = 300,4º (Используйте рис. 8)
Разница между этим направлением и направлением, показанным на рис. 8, связана с ошибкой округления при использовании значений компонентов, ограниченных десятыми долями, по сравнению с использованием более точных значений в функции арктангенса.
Графическое добавление трех векторов
Рис. 7. Сначала нарисуйте красный вектор (вектор 1) из начала координат, затем нарисуйте зеленый вектор (вектор 2) из вершины первого и, наконец, нарисуйте синий вектор (вектор 3) ) от кончика суммы первых двух.
Нарисуйте результат (пурпурный) от начала координат до вершины суммированных векторов.
Рисунок 8: Сложите векторы в другом порядке, результаты будут теми же. Есть шесть возможных способов сложить три вектора. Попробуйте нарисовать их самостоятельно.
Больше практики?
Нажмите кнопку «Добавление векторов в веб-приложение», чтобы получить неограниченное количество практических задач на добавление 2 или 3 векторов графически или математически. Для каждой проблемы предоставляется визуальная и числовая обратная связь.
Добавление веб-приложения Vectors
Нажмите кнопку, чтобы запустить веб-приложение.
Веб-приложение использует триггерное соглашение для направления, тогда как в приведенных выше примерах используется соглашение о навигации.
Снимок экрана веб-приложения «Добавление векторов». При использовании «Добавить графически» для создания результирующего вектора щелкните график или введите величину и направление в текстовые поля. При математическом сложении для обеспечения необходимой точности введите значения.
Как найти сумму трех векторов?
Предварительный расчет
Наука
- Анатомия и физиология
- астрономия
- Астрофизика
- Биология
- Химия
- науки о Земле
- Наука об окружающей среде
- Органическая химия
- Физика
Математика
- Алгебра
- Исчисление
- Геометрия
- Преалгебра
- Предварительный расчет
- Статистика
- Тригонометрия
Гуманитарные науки
- Английская грамматика
- История США
- Всемирная история
- Сократическая мета
- Избранные ответы
.
.. и не толькоТемы
Влияние этого вопроса
11414 просмотров по всему миру
Вы можете повторно использовать этот ответ
Лицензия Creative Commons
Основные операции с векторами
Основные операции с векторами| Для векторной величины должны быть указаны как величина, так и направление, в отличие от скалярной величины, которую можно количественно определить только числом. Любое количество векторных величин одного типа (т. е. одинаковых единиц измерения) может быть объединено с помощью основных векторных операций. | Индекс Математика векторов | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
