Аналитическая геометрия. Методическое пособие для студентов физико-математического факультета, страница 13

Математика \ Математика

                                                            А                     

                                       В        О   ·                       ·                              О ·                                                                                               

О              Рис.2.5                                              В      

                                                         В

 

                                                                                                            В₁

 

                                                            А                  

                                                                                            А₁

               О              К                                                                                 

                                                                             О

Рис. 2.6                                              Рис. 2.7                         О₁

Доказательство запишем символически:

            

В местах, отмеченных цифрами 1, 2, 4 применена теорема предыдущего параграфа, стрелка 3 поставлена на основании транзитивности равенства векторов. Теорема доказана.

Рассмотрим свойства сложения векторов.

Свойство 1. Модуль суммы двух векторов не превосходит сумму их модулей:

                                        (2.2.2)

Если , то из треугольника ОАВ (рис. 2.5а) OB<OA+AB, то есть

                                        (2.2.3)

Если , то OB=OA+AB (рис. 2.5б) и потому

                                        (2.2.4)

Если , то OB=|OA-AB| (рис. 2.5в) и потому

                                                 (2.2.5)

Как видим, неравенство (2.2.2) верно во всех случаях.

Доказанное свойство можно сформулировать более детально: модуль суммы двух неколлинеарных векторов меньше суммы их модулей; модуль суммы двух коллинеарных векторов равен сумме или абсолютной величине разности модулей этих векторов, смотря по тому, сонаправлены или противонаправлены слагаемые.

Заметим также, что сумма двух коллинеарных векторов всегда направлена в сторону большего (по длине) слагаемого.

Свойство 2.        

                    (2.2.6)

В самом деле, если , то по правилу треугольника (2.2.1)

 и

Свойство 3. Сложение векторов коммутативно:

                                         (2.2.7)

Доказательство. Пусть сначала . От произвольной точки О отложим векторы  и . Через А проведем прямую параллельно ОВ, через В – параллельно ОА, С – точка их пересечения. Получился параллелограмм ОАСВ (рис. 2.8).

По правилу треугольника (2.2.1) имеем:

, откуда и вытекает требуемое.

Пусть теперь . Тогда длины векторов  и  выражаются в случае  формулой (2.2.4), а в случае  — (2.2.5), но в обоих случаях будет . Кроме того, , так как оба эти вектора сонаправлены с большим из векторов  и . По определению равенства отсюда следует (2.2.7).

На доказанном свойстве основан способ сложения двух векторов, называемый правилом параллелограмма. Суть его видна из того же рис. 2.8. Параллелограмм ОАСВ называют

параллелограммом, построенным на векторах  и .

Свойство 4. Сложение векторов ассоциативно:

                           (2.2.8)

Доказательство. Возьмем произвольную точку О и построим векторы ,  (Рис. 2.9.). Тогда по правилу треугольника

 и далее

Из последних двух равенств следует (2.2.8).

Определение. Вектор  называется разностью векторов   и , если его сумма с вектором  равна .

Это определение означает, что формулы  и  выражают одно и то же.

На рис. 2.10 , . Так как , то по определению . Отсюда вытекает правило:

чтобы построить разность двух векторов, надо построить эти векторы из одной точки и конец второго соединить с концом первого.

Свойство 5. Векторы  и  противоположны:

                                     (2.2.9)

Скачать файл

Коллинеарность векторов, условия коллинеарности векторов.

Навигация по странице:

• Определение коллинеарности векторов
• Условия коллинеарности векторов
• Примеры задач на коллинеарность векторов
  • плоские задачи
  • пространственные задачи

Смотрите также онлайн калькулятор для проверки коллинеарности векторов.

Онлайн упражнения на тему коллинеарность векторов на плоскости.

Онлайн упражнения на тему коллинеарность векторов в пространстве.

Определение.

Вектора, параллельные одной прямой или лежащие на одной прямой называют коллинеарными векторами (рис. 1).

рис. 1

Условия коллинеарности векторов

Два вектора будут коллинеарны при выполнении любого из этих условий:

Условие коллинеарности векторов 1. Два вектора a и b

коллинеарны, если существует число n такое, что

a = n · b

Условия коллинеарности векторов 2. Два вектора коллинеарны, если отношения их координат равны.

N.B. Условие 2 неприменимо, если один из компонентов вектора равен нулю.

Условия коллинеарности векторов 3. Два вектора коллинеарны, если их векторное произведение равно нулевому вектору.

N.B. Условие 3 применимо только для трехмерных (пространственных) задач.

Доказательство третего условия коллинеарности

Пусть есть два коллинеарные вектора a = {a_x; a_y; a_z} и b = {na

x; na_y; na_z}. Найдем их векторное произведение

a × b =

ijka_xa_ya_zb_xb_yb_z

= i (a_yb_z — a_zb_y) — j (a_xb_z — a_zb_x) + k (a_xb_y — a_yb_x) =
= i (a_yna_z — a_zna_y) — j (a_xna_z — a_zna_x) +

k (a_xna_y — a_yna_x) = 0i + 0j + 0k = 0

Примеры задач на коллинеарность векторов

Примеры задач на коллинеарность векторов на плоскости

Пример 1. Какие из векторов a = {1; 2}, b = {4; 8}, c = {5; 9} коллинеарны?

Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности, которое в случае плоской задачи для векторов a и b примет вид:

ax	=	ay	.
bx		by

Значит:

Вектора a и b коллинеарны т.к.	1	=	2	.
	4		8

Вектора a и с не коллинеарны т.к.	1	≠	2	.
	5		9

Вектора с и b не коллинеарны т.к.	5	≠	9	.
	4		8

Пример 2. Доказать что вектора a = {0; 3} и b = {0; 6} коллинеарны.

Решение: Так как вектора содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся первым условием коллинеарности, найдем существует ли такое число n при котором:

b = na.

Для этого найдем ненулевой компонент вектора a в данном случае это a_y. Если вектора колинеарны то

n =	by	=	6	= 2
	ay		3

Найдем значение na:

na = {2 · 0; 2 · 3} = {0; 6}

Так как b = na, то вектора a и b коллинеарны.

Пример 3. найти значение параметра n при котором вектора a = {3; 2} и b = {9; n} коллинеарны.

Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности

ax	=	ay	.
bx		by

Значит:

3	=	2	.
9		n

Решим это уравнение:

n =	2 · 9	= 6
	3

Ответ: вектора a и b коллинеарны при n = 6.

Примеры задач на коллинеарность векторов в пространстве

Пример 4. Какие из векторов a = {1; 2; 3}, b = {4; 8; 12}, c = {5; 10; 12} коллинеарны?

Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности, которое в случае пространственной задачи для векторов a и b примет вид:

ax	=	ay	=	az	.
bx		by		bz

Значит:

Вектора a и b коллинеарны т. к. 14 = 28 = 312

Вектора a и с не коллинеарны т.к.  15 = 210 ≠ 312

Вектора с и b не коллинеарны т.к. 54 = 108 ≠ 1212

Пример 5. Доказать что вектора a = {0; 3; 1} и b = {0; 6; 2} коллинеарны.

Решение: Так как вектора содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся первым условием коллинеарности, найдем существует ли такое число n при котором:

b = na.

Для этого найдем ненулевой компонент вектора a в данном случае это a_y. Если вектора колинеарны то

n =	by	=	6	= 2
	ay		3

Найдем значение na:

na = {2 · 0; 2 · 3; 2 · 1} = {0; 6; 2}

Так как b = na, то вектора a и b коллинеарны.

Пример 6. найти значение параметров n и m при которых вектора a = {3; 2; m} и b = {9; n; 12} коллинеарны.

Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности

ax	=	ay	=	az	.
bx		by		bz

Значит:

3	=	2	=	m
9		n		12

Из этого соотношения получим два уравнения:

3	=	2
9		n

3	=	m
9		12

Решим эти уравнения:

n =	2 · 9	= 6
	3

m =	3 · 12	= 4
	9

Ответ: вектора a и b коллинеарны при n = 6 и m = 4.

Вектора Вектор: определение и основные понятия Определение координат вектора заданного координатами его начальной и конечной точки Модуль вектора. Длина вектора Направляющие косинусы вектора Равенство векторов Ортогональность векторов Коллинеарность векторов Компланарность векторов Угол между векторами Проекция вектора Сложение и вычитание векторов Умножение вектора на число Скалярное произведение векторов Векторное произведение векторов Смешанное произведение векторов Линейно зависимые и линейно независимые вектора Разложение вектора по базису

Онлайн калькуляторы с векторами

Онлайн упражнения с векторами на плоскости

Онлайн упражнения с векторами в пространстве

п.2.4 Сумма векторов. Разработка методики обучения учащихся по теме «Векторы на плоскости»

Разработка методики обучения учащихся по теме «Векторы на плоскости»

курсовая работа

Остановимся на трудностях, которые возникают при знакомстве со свойствами суммы векторов. Если ученики, работая по учебнику Погорелова, научились пользоваться приведенным здесь формальным и поэтому весьма трудным определением суммы векторов, то знакомство со свойствами сложения трудностей не вызовет.

Иная ситуация при, работе по учебнику Л.С. Атанасяна. Попробуйте спросить учеников, почему при доказательстве переместительного свойства сложения предлагается самостоятельно, рассмотреть случаи, когда слагаемыми являются коллинеарные векторы, а при доказательстве сочетательного свойства ограничиваются рассмотрением неколлинеарных векторов. Обычно такие вопросы ставят в тупик, и поэтому нуждаются в разъяснении.

Все дело в том, что доказательство переместительного свойства, если рассматриваются неколлинеарные векторы, нельзя повторить для коллинеарных векторов. А при доказательстве сочетательного свойства безразлично, какие именно векторы рассматриваются. Правда, увидеть это в тексте, который дан в учебнике, практически невозможно. Чтобы стало очевидным, что никакие различные случаи здесь рассматривать не следует, предлагаю вообще отказаться при доказательстве от рисунка, построить доказательство исключительно на использовании правила трех точек. Доказательство может быть таким:

Дано: векторы

Доказать:

Дополнение традиционной записи сочетательного свойства первым равенством представляется весьма Полезным, так как подчеркивает: выполняя сложение, можно вообще не ставить скобки, а можно ставить их как угодно. К тому же это подсказывает способ доказательства.

В соответствии с принятым в этом учебнике определением, для отыскания суммы , надо отложить: от произвольной точки А вектор от точки В вектор; от точки С вектор. Суммой является вектор .

Сумма в этом случае равна

Сумма

Все три рассматриваемые суммы равны одному и тому же вектору. Теорема доказана.

п.2.5 Законы сложения векторов

Самым главным в этом параграфе является правило треугольника, на котором будут основываться все основные действия с векторами, поэтому этому правилу необходимо уделить основное время.

В конце урока можно провести ещё одну обучающую самостоятельную работу на предмет усвоения сложения двух векторов и законов сложения векторов. Данную работу не обязательно оценивать, тем не менее положительные оценки можно занести в классный журнал, а с учениками, у которых что-то не получилось провести анализ работы, разобрав каждую ошибку.

Делись добром 😉

Разработка методики обучения учащихся по теме «Векторы на плоскости»

п.1.2 Равенство векторов

Прежде чем дать определение равных векторов, обратимся к примеру. Рассмотрим движение тела, при котором все его точки движутся с одной и той же скоростью и в одном и том же направлении. Скорость каждой точки М тела является векторной величиной…

Разработка методики обучения учащихся по теме «Векторы на плоскости»

§ 2. Сложение и вычитание векторов

…

Разработка методики обучения учащихся по теме «Векторы на плоскости»

п.2.1 Сумма двух векторов

Все сказанное пока еще не дает понятие вектора достаточно содержательным и полезным. Большую содержательность и богатую возможность приложений понятие вектора получает тогда. ..

Разработка методики обучения учащихся по теме «Векторы на плоскости»

п.2.2 Законы сложения векторов. Правило параллелограмма

Теорема. Для любых векторов , и справедливы равенства: 1. +=+ (переместительный закон) 2. (+) + =+ (+) (сочетательный закон) Докажем это. 1. Рассмотрим случай, когда векторы и неколлинеарны…

Разработка методики обучения учащихся по теме «Векторы на плоскости»

п.2.3 Сумма нескольких векторов

Сложение нескольких векторов производится следующим образом: первый вектор складывается со вторым, затем их сумма складывается с третьим вектором и т.д. Из закона сложения векторов следует, что сумма нескольких векторов не зависит от того…

Разработка методики обучения учащихся по теме «Векторы на плоскости»

п.2.4 Вычитание векторов

Определение. Разностью векторов и называется такой вектор, сумма которого с вектором равна вектору . Разность векторов и с обозначается так: -. Пусть — произвольный ненулевой вектор. Вектор называется противоположным вектору…

Разработка методики обучения учащихся по теме «Векторы на плоскости»

п.2.2 Равенство векторов

Договорившись, что такое направленный отрезок, можно дать определение равных направленных отрезков. Направленные отрезки называют равными…

Разработка методики обучения учащихся по теме «Векторы на плоскости»

п.2.6 Вычитание векторов

Урок следует начать с повторения прошлых тем: сложение векторов, откладывание вектора от данной точки (5-7 минут), а затем перейти к основной теме урока — вычитание векторов. Основываясь на материале школьного учебника…

Разработка методики обучения учащихся по теме «Векторы на плоскости»

п.2.8 Скалярное произведение векторов

В учебнике Л.С. Атанасяна скалярное произведение векторов определяется как произведение модулей векторов па косинус угла между ними, а затем доказывается теорема о том, как можно выразить скалярное произведение через координаты векторов. ..

Разработка методики обучения учащихся по теме «Векторы на плоскости»

п.2.9 Свойства скалярного произведения векторов

Полезно предложить записать, какими свойствами обладает произведение чисел и указать, какими из этих свойств может обладать скалярное произведение векторов…

Разработка методики обучения учащихся по теме «Векторы на плоскости»

п.2.11 Использование векторов при знакомстве с тригонометрическими функциями

Учитывая, что тригонометрические функции к моменту изучения векторов рассмотрены на примере прямоугольных треугольников, данный материал можно использовать как в качестве дополнительного изучения более сильными учениками…

Коллинеарные векторы — определения, условия, примеры

Коллинеарные векторы считаются одним из важных понятий в векторной алгебре. Когда два или более заданных вектора лежат вдоль одной и той же заданной прямой, то их можно рассматривать как коллинеарные векторы. Мы можем рассматривать два параллельных вектора как коллинеарные векторы, поскольку эти два вектора указывают точно в одном и том же направлении или в противоположном направлении.

В этой статье давайте узнаем о коллинеарных векторах, их определении, условиях коллинеарности векторов на решенных примерах.

1.	Что такое коллинеарные векторы?
2.	Условия коллинеарных векторов
3.	Часто задаваемые вопросы о коллинеарных векторах

Что такое коллинеарные векторы?

Любые два заданных вектора можно рассматривать как коллинеарные векторы, если эти векторы параллельны одной и той же заданной прямой. Таким образом, мы можем рассматривать любые два вектора как коллинеарные векторы тогда и только тогда, когда эти два вектора либо лежат на одной прямой, либо эти векторы параллельны друг другу. Чтобы любые два вектора были параллельны друг другу, условие состоит в том, что один из векторов должен быть скалярно кратным другому вектору.

На приведенной выше диаграмме векторы, параллельные одной и той же прямой, коллинеарны друг другу, а пересекающиеся векторы неколлинеарны.

Условия коллинеарных векторов

Для того чтобы любые два вектора были коллинеарными, они должны удовлетворять определенным условиям. Вот важные условия коллинеарности векторов:

• Условие 1: Два вектора \(\overrightarrow{p}\) и \(\overrightarrow{q}\) считаются коллинеарными векторами, если существует скаляр ‘n’ такое, что \(\overrightarrow{p}\) = n · \(\overrightarrow{q}\)
• Условие 2. Два вектора \(\overrightarrow{p}\) и \(\overrightarrow{q}\) считаются коллинеарными тогда и только тогда, когда отношения их соответствующих координат равны. Это условие не выполняется, если одна из компонент данного вектора равна нулю.
• Условие 3. Два вектора \(\overrightarrow{p}\) и \(\overrightarrow{q}\) считаются коллинеарными векторами, если их векторное произведение равно нулевому вектору. Это условие применимо только к трехмерным или пространственным задачам.

Доказательство условия 3:

Рассмотрим два коллинеарных вектора \(\overrightarrow{a}\) = {\(a_{x}\),\(a_{y}\),\(a_{z}\ )} и \(\overrightarrow{b}\) = {n\(a_{x}\),n\(a_{y}\),n\(a_{z}\)}. Мы можем найти перекрестное произведение между ними как:

\(\overrightarrow{a}\) × \(\overrightarrow{b}\) = \(\left|\begin{array}{ccc}
\boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\
а_{х} и а_{у} и а_{г} \\
b_{x} & b_{y} & b_{z}
\end{массив}\right|\)

= i (\(a_{y}\)\(b_{z}\) — \(a_{z}\)\(b_{y}\)) — j (\(a_{x}\)\(b_{z}\) — \(a_{z}\)\(b_{x}\)) + k (\(a_{x}\)\(b_ {y}\) — \(a_{y}\)\(b_{x}\))

= i (\(a_{y}\)n\(a_{z}\) — \(a_{ z}\)n\(a_{y}\)) — j (\(a_{x}\)n\(a_{z}\) — \(a_{z}\)n\(a_{x} \)) + k (\(a_{x}\)n\(a_{y}\) — \(a_{y}\)n\(a_{x}\))

= 0i + 0j + 0k = \(\overrightarrow{0}\) [Поскольку разные компоненты одного и того же вектора перпендикулярны друг другу и, следовательно, их произведение равно 0.]

Похожие статьи о коллинеарных векторах

Ознакомьтесь со следующими страницами, посвященными коллинеарным векторам

• Добавление калькулятора векторов
• Калькулятор угла между двумя векторами
• Обработка векторов, указанных в форме i-j
• Неравенство треугольников в векторах
• Вычитание двух векторов

Важные примечания о коллинеарных векторах

Вот несколько моментов, которые следует помнить при изучении коллинеарных векторов

• Любые два заданных вектора можно рассматривать как коллинеарные векторы, если эти векторы параллельны одной и той же заданной прямой.
• Таким образом, мы можем считать любые два вектора коллинеарными тогда и только тогда, когда эти два вектора либо лежат на одной прямой, либо эти векторы параллельны друг другу.

 

Примеры коллинеарных векторов

1. Пример 1: Определите, являются ли заданные векторы коллинеарными векторами. \(\overrightarrow{P}\) = (3,4,5), \(\overrightarrow{Q}\) = (6,8,10).

   Решение: Два вектора считаются коллинеарными, если отношения их соответствующих координат равны.

   P ₁ /Q ₁ = 3/6 = 1/2

   P ₂ /Q ₂ ​​​​= 4/8 = 1/2

   1 4 9 0012 P 3 /Q ₃  = 5/10 = 1/2

   Поскольку P ₁ /Q ₁ = P ₂ /Q ₂ = P ₃ /Q 901 \overrightarrow{P}\) и \(\overrightarrow{Q}\) можно рассматривать как коллинеарные векторы.

2. Пример 2: Определите, являются ли заданные векторы коллинеарными векторами. \(\overrightarrow{P}\) = i + j + k, \(\overrightarrow{Q}\) = — i — j — k

   Решение: Два вектора считаются коллинеарными, если один вектор скаляр, кратный другому вектору.

   Вектор Q = — i — j — k = — (i + j + k) = — (Вектор P)

   ⇒ Вектор Q является скалярным множителем вектора P.

   Кроме того, поскольку P ₁ /Q ₁ = P ₂ /Q ₂ = P ₃ /Q ₃ = -1, векторы \(\overrightarrow{P}\) и \(\overrightarrow{Q}\) могут быть рассматриваются как коллинеарные векторы.

перейти к слайдуперейти к слайду

Есть вопросы по основным математическим понятиям?

Станьте чемпионом по решению проблем, используя логику, а не правила. Узнайте, почему стоит математика, с нашими сертифицированными экспертами

Запишитесь на бесплатный пробный урок

Практические вопросы по коллинеарным векторам

 

перейти к слайдуперейти к слайду

Часто задаваемые вопросы о коллинеарных векторах

Что такое коллинеарные векторы?

Любые два заданных вектора можно рассматривать как коллинеарные векторы, если эти векторы параллельны одной и той же заданной прямой. Таким образом, мы можем считать любые два вектора коллинеарными тогда и только тогда, когда эти два вектора либо лежат на одной прямой, либо эти векторы параллельны друг другу. Чтобы любые два вектора были параллельны друг другу, условие состоит в том, что один из векторов должен быть скалярно кратным другому вектору.

Как узнать, является ли вектор коллинеарным?

Для того чтобы любые два вектора были коллинеарными, они должны удовлетворять определенным условиям. Вот важные условия коллинеарности векторов:

• Условие 1: Два вектора \(\overrightarrow{p}\) и \(\overrightarrow{q}\) считаются коллинеарными векторами, если существует число ‘n’ такое, что \(\overrightarrow{p}\) = n · \(\overrightarrow{q}\)
• Условие 2. Два вектора \(\overrightarrow{p}\) и \(\overrightarrow{q}\) считаются коллинеарными тогда и только тогда, когда отношения их соответствующих координат равны. Это условие не выполняется, если одна из компонент данного вектора равна нулю.
• Условие 3. Два вектора \(\overrightarrow{p}\) и \(\overrightarrow{q}\) считаются коллинеарными векторами, если их векторное произведение равно нулевому вектору. Это условие применимо только к трехмерным или пространственным задачам.

Параллельные и коллинеарные векторы — одно и то же?

Да, параллельные и коллинеарные векторы — это одно и то же. Два вектора называются коллинеарными, если они имеют одинаковое направление, параллельны или антипараллельны. Два вектора параллельны, если они имеют одинаковое или противоположное направление.

Как доказать, что вектора трех положений лежат на одной прямой?

Рассмотрим три отрезка PQ, QR и PR. Если PQ + QR = PR, то мы можем считать эти три точки коллинеарными. Три заданных сегмента линии могут быть переведены в соответствующие векторы PQ, QR и PR. Величины этих трех векторов равны длине трех отрезков, упомянутых здесь.

Приведите пример коллинеарных векторов

Рассмотрим два вектора \(\overrightarrow{P}\) = (3,4,5), \(\overrightarrow{Q}\) = (6,8,10). Два вектора считаются коллинеарными, если отношения их координат равны.

P ₁ /Q ₁ = 3/6 = 1/2

P ₂ /Q ₂ ​​​​= 4/8 = 1/2

1 4 9 0012 P 3 /Q ₃  = 5/10 = 1/2

Поскольку P ₁ /Q ₁ = P ₂ /Q ₂ = P ₃ /Q 901 \overrightarrow{P}\) и \(\overrightarrow{Q}\) можно рассматривать как коллинеарные векторы.

Что такое неколлинеарные векторы?

Векторы считаются неколлинеарными, если они расположены в одной плоскости, но не действуют вдоль одной и той же линии действия.

Как найти коллинеарные векторы в трех измерениях?

Два вектора \(\overrightarrow{P}\) и \(\overrightarrow{Q}\) считаются коллинеарными векторами, если их векторное произведение равно нулевому вектору. Это условие применимо только к трехмерным или пространственным задачам.

Значение и условие с примерами и часто задаваемыми вопросами

Что такое коллинеарные векторы? Когда два или более двух векторов параллельны друг другу, независимо от величины или направления, говорят, что векторы коллинеарны. Векторы задаются как объект, включающий величину плюс направление. Он изображает перемещение объекта из одного места в другое.

Существуют различные типы векторов, а именно: нулевой вектор, единичный вектор, ко-начальный вектор, вектор положения, подобный и отличный вектор, коллинеарный вектор, равный вектор, копланарный вектор, вектор смещения, отрицательный вектор и так далее. В этой статье мы постараемся узнать о коллинеарности векторов, о том, как находить коллинеарные векторы, с примерами, условиями и многим другим.

Что такое коллинеарные векторы?

Если рассматривать векторы как прямую линию, то протяженность линии обозначает величину, а указатель на этой линии — направление, в котором движется вектор. Следовательно, мы можем оценить любые два заданных вектора в векторной алгебре как коллинеарные тогда и только тогда, когда эти два вектора либо лежат на одной линии, либо векторы параллельны друг другу в одном / противоположном направлении.

Параллельность векторов указывает на то, что они никогда не встречаются и не пересекаются друг с другом. Рассмотрим изображение ниже, чтобы понять то же самое. Поэтому коллинеарные векторы также известны как параллельные векторы.

Формула коллинеарных векторов

В соответствии с определением теперь мы можем утверждать, что два параллельных вектора являются коллинеарными по той причине, что эти два вектора указывают в одинаковом направлении или в противоположном направлении. Если два вектора представлены как \(\vec{a}=a_1\hat{i}+a_2\hat{j}+a_3\hat{k}\text{ и }\vec{b}=b_1\hat{ i}+b_2\hat{j}+b_3\hat{k}\)

Тогда два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда: \(\frac{b_1}{a_1}=\frac{b_2}{a_2}= \фракция{b_3}{a_3}\)

Условие коллинеарности векторов

Перейдем к тому, как узнать, коллинеарны два вектора или нет, то есть каковы условия коллинеарности двух данных векторов в математике. Чтобы любые 2 вектора были коллинеарными, они должны удовлетворять указанным ниже условиям.

Условие 1: Два вектора \(\vec{a}\text{ и }\vec{b}\) называются коллинеарными, если существует ненулевой скаляр ‘n’ такой, что:

\(\ vec{b}=n\vec{a}\)

Условие 2: Два вектора \(\vec{a}\text{ и }\vec{b}\) считаются коллинеарными тогда и только тогда, когда пропорции их связанных координат идентичны. То есть, если:

\(\vec{a}=a_1\hat{i}+a_2\hat{j}+a_3\hat{k}\text{ и }\vec{b}=b_1\hat{i }+b_2\hat{j}+b_3\hat{k}\) два вектора:

Тогда

\(b_1\hat{i}+b_2\hat{j}+b_3\hat{k}= n\left(a_1\шляпа{i}+a_2\шляпа{j}+a_3\шляпа{k}\право)\)

\(b_1=na_1\text{,}\ b_2=na_2\text{ и } \ b_3=na_3\)

Условие 2 неверно, если любой из элементов предоставленного вектора аналогичен нулю.

Условие 3: Два вектора \(\vec{a}\text{ и }\vec{b}\) также называются коллинеарными, если их векторное произведение эквивалентно нулевому вектору. Это если: \(\vec{a}\text{ и }\vec{b}\) два ненулевых вектора. Тогда \(\vec{a}\times\vec{b}=\vec{0}\) тогда и только тогда, когда \(\vec{a}\text{ и }\vec{b}\) параллельны или коллинеарны друг к другу, т. е. \(\vec{a}\times\vec{b}=\vec{0}\Leftrightarrow\vec{a}\text{ || }\vec{b}\).

Условие 3 можно использовать только в трехмерных или пространственных ситуациях

Как доказать, что векторы коллинеарны?

Теперь давайте узнаем, как показать, что два вектора коллинеарны, или как доказать коллинеарность векторов. Чтобы два заданных вектора были коллинеарными, мы можем проверить три важных условия, как обсуждалось выше. Давайте возьмем пример, чтобы понять то же самое.

Чтобы проверить коллинеарность, мы можем получить перекрестное произведение между ними, как показано:

Если \(\vec{a}=a_1\шляпа{i}+a_2\шляпа{j}+a_3\шляпа{k}\text{ и }\vec{b}=b_1\шляпа{i}+b_2 \hat{j}+b_3\hat{k}\) — это два вектора. Затем:

\(\vec{a}\times\vec{b}=\begin{vmatrix}i&j&k

a_1&a_2&a_3

b_1&b_2&b_3\end{vmatrix}\)

\(=i\left(a_2b_2-a_3-a_3 \right)-j\left(a_1b_3-a_3b_1\right)+k\left(a_1b_2-a_2b_1\right)\)

\(=i\left(a_2na_3-a_3na_2\right)-j\left(a_1na_3-a_3na_1 \право)+к\лево(а_1на_2-а_2на_1\право)\)

\(\vec{a}\times\vec{b}=i\left(0\right)-j\left(0\right)+k\left(0\right)=\vec{0}\)

Узнайте больше о комплексных числах здесь.

Результат равен нулю, так как разные компоненты вектора одного и того же вектора перпендикулярны друг другу и, следовательно, их произведение равно нулю.

Примеры решения коллинеарных векторов

Зная все о коллинеарных векторах и о том, как доказать их коллинеарность, давайте попрактикуемся в некоторых задачах на коллинеарные вектора для большей ясности.

Решенный Пример 1: Какой из заданных векторов \(\vec{a}\)= {2, 3}, \(\vec{b}\)= {4, 6}, \(\vec{ c}\)= {6, 12} коллинеарны друг другу?

Решение: Для проверки коллинеарности воспользуемся следующим условием:

Если \(\vec{a}=a_1\hat{i}+a_2\hat{j}+a_3\hat{k}\text { и }\vec{b}=b_1\шляпа{i}+b_2\шляпа{j}+b_3\шляпа{k}\) тогда:

\(\frac{b_1}{a_1}=\frac{b_2 }{a_2}=\frac{b_3}{a_3}\) для коллинеарности векторов.

Рассмотрим

\(\vec{a}\text{ и }\vec{b}\)

Дано:

\(\vec{a}\)= {2, 3} и \(\vec{b}\ )= {4, 6}

\(\frac{2}{4}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)

Следовательно, векторы a и b коллинеарны.

Теперь рассмотрим

\(\vec{a}\text{ и }\vec{c}\)

\(\vec{a}\)= {2, 3} и \(\vec{c }\)= {6, 12}

\(\frac{2}{6}=\frac{3}{12}\Rightarrow\frac{1}{3}\ne\frac{1}{4} \)

Следовательно, векторы а и с неколлинеарны.

Теперь рассмотрим

\(\vec{b}\text{ и }\vec{c}\)

\(\vec{b}\)= {4, 6} и \(\vec{c}\)= { 6, 12}

\(\frac{4}{6}=\frac{6}{12}\Rightarrow\frac{2}{3}\ne\frac{1}{2}\)

Отсюда векторы b и c неколлинеарны.

Узнайте о различных свойствах векторов здесь.

Решено Пример 2: Показать, что векторы \(\vec{a}=\left(3,5,7\right)\text{,}\vec{b}=\left(6,10,14 \справа)\) коллинеарны.

Решение:

Чтобы проверить коллинеарность векторов, применим условия коллинеарности векторов.

Для \(\vec{a}=\left(3,5,7\right)\text{,}\vec{b}=\left(6,10,14\right)\)

\( \frac{3}{6}=\frac{5}{10}=\frac{7}{14}\Rightarrow\frac{1}{2}=\frac{1}{2}=\frac{1 }{2}\)

Следовательно, векторы коллинеарны.

Ознакомьтесь с этой статьей о точечном продукте.

Решенный Пример 3: Определите значение n, при котором векторы \(\vec{a}=\left(2,5\right)\text{ и }\vec{b}=\left(4, n\right)\) коллинеарны.

Решение:

Применяя условие коллинеарности:

\(\frac{b_1}{a_1}=\frac{b_2}{a_2}=\frac{b_3}{a_3}\)

\(\frac{2}{4}=\frac{5} {n}\)

Решите приведенное выше уравнение:

\(n=\frac{5\times4}{2}=\frac{20}{2}=10\)

Мы надеемся, что приведенная выше статья о Коллинеарные векторы полезны для вашего понимания и подготовки к экзаменам. Оставайтесь с нами в приложении Testbook, чтобы получать больше обновлений по связанным с математикой темам и другим подобным предметам. Кроме того, обратитесь к серии тестов, доступных для проверки ваших знаний по нескольким экзаменам.

Часто задаваемые вопросы о коллинеарных векторах

В.1 Что такое вектор?

Ответ 1 Вектор можно интерпретировать как линию с указателем, направленным в ее направлении, а ее длина определяет величину вектора.

Q.2 Как мы определяем коллинеарные векторы?

Ответ 2 Когда два или более вектора параллельны друг другу, независимо от величины или направления, говорят, что векторы коллинеарны.

Q.3 Коллинеарны ли параллельные векторы?

Ответ 3 Да, любые два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда эти два вектора либо лежат на одной прямой, либо параллельны друг другу в одном и том же направлении/противоположном направлении. Следовательно, коллинеарные векторы также известны как параллельные векторы.

Q.4 В чем разница между параллельными и коллинеарными векторами?

Отв.4 Параллельные векторы включают одинаковые или параллельные опоры. Эти векторы могут иметь одинаковую или неравную величину, а также их направления могут быть одинаковыми или противоположными. Однако два вектора считаются коллинеарными, если они сохраняют одно и то же направление, параллельны или антипараллельны.

Q.5 Что такое неколлинеарные векторы?

Ответ 5 Векторы, параллельные одной и той же прямой, считаются коллинеарными друг другу, а пересекающиеся векторы называются неколлинеарными.

Q.6 Каковы условия коллинеарности векторов?

Ответ 6 Три важных условия коллинеарности векторов: Во-первых, предполагается, что два вектора «p» и «q» являются коллинеарными векторами, если существует скаляр «k» такой, что p = кг Во-вторых, два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда доли их связанных координат эквивалентны. В-третьих, два вектора коллинеарны, если их векторное произведение равно нулевому вектору.

Q.7 Что такое единичный вектор в физике?

Ответ 7 Единичный вектор в физике имеет величину, равную единице, и определенное направление. Он также распознается как вектор направления.

Скачать публикацию в формате PDF

Дополнительные сведения на testbook.

com

Дополнение набора: определение, символ, диаграмма Венна, свойства с использованием решаемых примеров
Обратные функции: значение, график и способы нахождения с примерами
Сложение и вычитание алгебраических выражений: изучите горизонтальный метод и метод столбцов на примерах!
Решение линейного дифференциального уравнения: первый и второй порядок DE
Теорема Муавра: выучить формулу, доказать с помощью математической индукции, использовать и решить примеры!

Как происходит вычитание векторов в физике. Правила сложения коллинеарных векторов

стандартное определение: «Вектор — это направленный отрезок прямой». Обычно это предел знаний выпускника о векторах. Кому нужны какие-то «направленные сегменты»?

А на самом деле, что такое векторы и зачем они?
Прогноз погоды. «Ветер северо-западный, скорость 18 метров в секунду». Согласитесь, и направление ветра (откуда дует), и модуль (то есть абсолютная величина) его скорости.

Величины, не имеющие направления, называются скалярами. вес, работа, электрический заряд никуда не отправлены. Они характеризуются только числовым значением – «сколько килограммов» или «сколько джоулей».

Физические величины, имеющие не только абсолютное значение, но и направление, называются векторными.

Скорость, сила, ускорение — векторы. Для них важно «сколько» и важно «где». Например, ускорение свободного падения направлено к поверхности Земли, а его величина равна 9,8 м/с 2. Импульс, напряженность электрического поля, индукция магнитного поля также являются векторными величинами.

Вы помните, что физические величины обозначаются латинскими или греческими буквами. Стрелка над буквой указывает на то, что количество является вектором:

Вот еще один пример.
Автомобиль движется из А в Б. Конечным результатом является его движение из точки А в точку Б, т.е. движение по вектору.

Теперь понятно, почему вектор является направленным отрезком. Обратите внимание, конец вектора там, где стрелка. Длина вектора называется длиной этого отрезка. Обозначение: или

До сих пор мы работали со скалярными величинами по правилам арифметики и элементарной алгебры. Векторы — это новая концепция. Это другой класс математических объектов. У них свои правила.

Когда-то мы даже не знали о числах. Знакомство с ними началось в младших классах. Оказалось, что числа можно сравнивать друг с другом, складывать, вычитать, умножать и делить. Мы узнали, что есть число один и число ноль.
Теперь мы познакомимся с векторами.

Для векторов не существует понятий «больше» и «меньше» — ведь их направления могут быть разными. Сравнивать можно только длины векторов.

Но понятие равенства для векторов есть.
Равными называются векторы, имеющие одинаковую длину и одинаковое направление. Это означает, что вектор можно перемещать параллельно самому себе в любую точку плоскости.
single называется вектором, длина которого равна 1 . Ноль — вектор, длина которого равна нулю, то есть его начало совпадает с концом.

Удобнее всего работать с векторами в прямоугольной системе координат — той самой, в которой мы рисуем графики функций. Каждой точке в системе координат соответствуют два числа — ее координаты x и y, абсцисса и ордината.
Вектор также задается двумя координатами:

Здесь в скобках записаны координаты вектора — по x и по y.
Их легко найти: координата конца вектора минус координата его начала.

Если координаты вектора заданы, то его длина находится по формуле

Сложение векторов

Существует два способа сложения векторов.

один . правило параллелограмма. Чтобы сложить векторы и , мы поместим их начало в одну и ту же точку. Завершаем параллелограмм и проводим диагональ параллелограмма из той же точки. Это будет сумма векторов и .

Помните басню про лебедя, рака и щуку? Они очень старались, но так и не сдвинули телегу. Ведь векторная сумма сил, приложенных ими к тележке, была равна нулю.

2. Второй способ сложения векторов — правило треугольника. Возьмем одинаковые векторы и . Добавляем начало второго к концу первого вектора. Теперь соединим начало первой и конец второй. Это сумма векторов и .

По этому же правилу можно добавить несколько векторов. Прикрепляем их по очереди, а затем соединяем начало первой с концом последней.

Представьте, что вы едете из точки А в точку Б, из В в С, из С в D, затем в Е и потом в F. Конечным результатом этих действий является перемещение из А в F.

При сложении векторов и получаем:

Вычитание вектора

Вектор направлен противоположно вектору . Длины векторов и равны.

Теперь понятно, что такое вычитание векторов. Разность векторов и есть сумма вектора и вектора .

Умножение вектора на число

Умножение вектора на число k дает вектор, длина которого в k раз отличается от длины . Он сонаправлен вектору, если k выше нуля, и направлен в противоположную сторону, если k меньше нуля.

Скалярное произведение векторов

Векторы можно умножать не только на числа, но и друг на друга.

Скалярное произведение векторов — это произведение длин векторов на косинус угла между ними.

Обратите внимание — мы перемножили два вектора, и получили скаляр, то есть число. Например, в физике механическая работа равна скалярному произведению двух векторов — силы и перемещения:

Если векторы перпендикулярны, их скалярное произведение равно нулю.
А вот как скалярное произведение выражается через координаты векторов и:

Из формулы скалярного произведения можно найти угол между векторами:

Эта формула особенно удобна в стереометрии. Например, в задаче 14 профильного ЕГЭ по математике нужно найти угол между пересекающимися прямыми или между прямой и плоскостью. Задача 14 зачастую решается векторным методом в несколько раз быстрее, чем классическим.

В школьной программе по математике изучается только скалярное произведение векторов.
Оказывается, кроме скаляра есть еще векторное произведение, когда вектор получается в результате перемножения двух векторов. Кто сдает ЕГЭ по физике, знает, что такое сила Лоренца и сила Ампера. Формулы для нахождения этих сил включают именно векторные произведения.

Векторы — очень полезный математический инструмент. Вы убедитесь в этом на первом курсе.

Определение

Сложение векторов и осуществляется по правило треугольника .

сумма два вектора и называется такой третий вектор, начало которого совпадает с началом, а конец с концом при условии, что конец вектора и начало вектора совпадают (рис. 1).

Для добавления векторов Также применяется правило параллелограмма.

Определение

Правило параллелограмма — если два неколлинеарных вектора u ведут в общее начало, то вектор совпадает с диагональю параллелограмма, построенного на векторах u (рис. 2). При этом начало вектора совпадает с началом заданных векторов.

Определение

Вектор называется противоположным вектору вектору, если он коллинеарен вектору , равному ему по длине, но направленному в противоположную вектору сторону.

Операция сложения векторов имеет следующие свойства:

Определение

разность векторов и называется вектор такой, что выполняется условие: (рис. 3).

Умножить вектор на число

Определение

работа вектор на число называется вектором, удовлетворяющим условиям:

Свойства умножения вектора на число:

Здесь u — произвольные векторы, а — произвольные числа.

Евклидово пространство (также Евклидово пространство ) — в исходном смысле пространство, свойства которого описаны аксиомами евклидова геометрия . В этом случае предполагается, что пространство имеет размерность равна 3.

В современном понимании, в более общем смысле может обозначать один из подобных и тесно связанных объектов: конечномерный реальный векторное пространство с положительно определенным скалярным произведением или метрическое пространство , соответствующее такому векторному пространству. В данной статье первое определение будет принято за исходное.

Также часто используется размерное евклидово пространство (если из контекста ясно, что пространство имеет евклидову структуру).

Для определения евклидова пространства проще всего взять в качестве основного понятия скалярное произведение . Евклидово векторное пространство определяется как конечномерных векторное пространство выше поле действительных чисел , на векторах которых действительнозначная функция со следующими тремя свойствами:

аффинное пространство , соответствующее такому векторному пространству, называется евклидовым аффинным пространством, или просто евклидовым пространством .

Примером евклидова пространства является координатное пространство, состоящее из всех возможных n -ок действительных чисел, скалярное произведение в котором определяется по формуле

Базис и координаты вектора

Основание ( др. греч. βασις, базис) — множество таких векторов в векторном пространстве , что любой вектор этого пространства может быть однозначно представлен в виде линейных комбинаций векторов из этого множества — базисных векторов .

В случае, когда базис бесконечен, необходимо уточнить понятие «линейная комбинация». Это приводит к двум основным типам определения:

Базис Хамеля , определение которого рассматривает только конечные линейные комбинации. Базис Гамеля используется в основном в абстрактной алгебре (в частности, в линейной алгебре).

Базис Шаудера , определение которого также рассматривает бесконечные линейные комбинации, а именно разложение по занимает место . Это определение используется в основном в функциональном анализе, в частности для гильбертова пространства ,

В конечномерных пространствах оба типа базиса совпадают.

Векторные координаты являются коэффициентами единственно возможной линейной комбинации базовый векторов в выбранной системе координат равны заданному вектору.

где координаты вектора.

Скалярное произведение.

операция над двумя векторами , результатом которой является число [при рассмотрении векторов числа часто называют скалярами ], которое не зависит от системы координат и характеризует длины фактор-векторов и впрыск между ними. Эта операция соответствует умножению длины вектора x на проекцию вектора y на вектор x . Эта операция обычно считается коммутативной и линейной для каждого фактора.

Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений их соответствующих координат:

векторное произведение

Этот псевдовектор , перпендикулярная плоскость, построенная двумя факторами, являющаяся результатом бинарной операции «умножение векторов» на векторов в трехмерном евклидовом пространстве . Векторное произведение не обладает свойствами коммутативности и ассоциативности (является антикоммутативностью ) и, в отличие от скалярного произведения векторов , является вектором. Широко используется во многих технических и физических приложениях. Например, угловой момент и силы Лоренца математически записываются в виде векторного произведения. Взаимное произведение полезно для «измерения» перпендикулярности векторов — модуль векторного произведения двух векторов равен произведению их модулей, если они перпендикулярны, и уменьшается до нуля, если векторы параллельны или антипараллельны.

смешанный продукт

Смешанный продукт векторов — скалярное произведение вектор на векторном произведении векторов и:

Иногда его называют тройным скалярным произведением векторов, видимо из-за того, что результатом является скалярное (точнее — псевдоскалярное ).

Геометрический смысл: Модуль смешанного произведения численно равен объему параллелепипеда образованных векторов . смешанное произведение три вектора можно найти через определитель

Самолет в космосе

Самолет — алгебраическая поверхность первого порядка: в декартовой системе координат плоскости можно задать уравнение первой степени.

Некоторые характерные свойства самолета

Плоскость — поверхность , содержащая полностью каждую прямую , соединяющую любые точки ;

Две плоскости либо параллельны, либо пересекаются по прямой.

Прямая либо параллельна плоскости, либо пересекает ее в одной точке, либо лежит на плоскости.

Две прямые, перпендикулярные одной плоскости, параллельны друг другу.

Две плоскости, перпендикулярные одной прямой, параллельны друг другу.

Аналогично сегменту и интервалу плоскость, не включающая крайние точки, может называться плоскостью интервала или открытой плоскостью.

где и — константы, и при этом не равны нулю; в вектор форма:

где радиус-вектор точки, вектор перпендикулярный плоскости (вектор нормали). Направляющие косинусы вектор:

Вектор \(\overrightarrow(AB)\) можно рассматривать как перемещение точки из положения \(A\) (начало движения) в положение \(B\) (конец движения). То есть траектория движения в данном случае не важна, важны только начало и конец!

\(\blacktriangleright\) Два вектора коллинеарны, если они лежат на одной прямой или на двух параллельных прямых.
В противном случае векторы называются неколлинеарными.

\(\blacktriangleright\) Два коллинеарных вектора называются сонаправленными, если их направления совпадают.
Если их направления противоположны, то они называются противоположно направленными.

Правила сложения коллинеарных векторов:

сонаправленный конец первый. Тогда их сумма представляет собой вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец совпадает с концом второго (рис. 1).

\(\blacktriangleright\) Чтобы сложить два вектора противоположных направлений , можно отложить второй вектор из начать первым. Тогда их сумма представляет собой вектор, начало которого совпадает с началом обоих векторов, длина равна разности длин векторов, направление совпадает с направлением более длинного вектора (рис. 2).

Правила сложения неколлинеарных векторов \(\overrightarrow (a)\) и \(\overrightarrow(b)\) :

\(\blacktriangleright\) Правило треугольника (рис. 3).

Необходимо отложить вектор \(\overrightarrow (b)\) от конца вектора \(\overrightarrow (a)\) . Тогда сумма представляет собой вектор, начало которого совпадает с началом вектора \(\overrightarrow (a)\) , а конец совпадает с концом вектора \(\overrightarrow (b)\) .

\(\blacktriangleright\) Правило параллелограмма (рис. 4).

Необходимо отложить вектор \(\overrightarrow (b)\) от начала вектора \(\overrightarrow (a)\) . Тогда сумма \(\overrightarrow (a)+\overrightarrow (b)\) есть вектор, совпадающий с диагональю параллелограмма, построенного на векторах \(\overrightarrow (a)\) и \(\overrightarrow (b)\ ) (начало которого совпадает с началом обоих векторов).

\(\blacktriangleright\) Чтобы найти разность двух векторов \(\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)\), нужно найти сумму векторов \(\overrightarrow (a)\) и \(-\overrightarrow(b)\) : \(\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)=\overrightarrow(a)+(-\overrightarrow(b))\)(рис. 5).

Задание 1 #2638

Уровень задания: Сложнее экзамена

Дан прямоугольный треугольник \(ABC\) с прямым углом \(A\), точка \(O\) является центром треугольника описанную окружность вокруг данного треугольника. Координаты вектора \(\overrightarrow(AB)=\(1;1\)\), \(\overrightarrow(AC)=\(-1;1\)\). Найдите сумму координат вектора \(\overrightarrow(OC)\) .

Так как треугольник \(ABC\) прямоугольный, то центр описанной окружности лежит в середине гипотенузы, т.е. \(O\) является серединой \(BC\) .

обратите внимание, что \(\overrightarrow(BC)=\overrightarrow(AC)-\overrightarrow(AB)\), следовательно, \(\overrightarrow(BC)=\(-1-1;1-1 \)=\(-2;0\)\).

Поскольку \(\overrightarrow(OC)=\dfrac12 \overrightarrow(BC)\), то \(\overrightarrow(OC)=\(-1;0\)\).

Следовательно, сумма координат вектора \(\overrightarrow(OC)\) равна \(-1+0=-1\) .

Ответ: -1

Задание 2 #674

Уровень задания: Сложнее экзамена

\(ABCD\) — четырехугольник, стороны которого содержат векторы \(\overrightarrow(AB)\) , \(\overrightarrow(BC)\) , \(\overrightarrow(CD)\) , \(\overrightarrow(DA ) \) . Найдите длину вектора \(\overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BC) + \overrightarrow(CD) + \overrightarrow(DA)\).

\(\overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BC) = \overrightarrow(AC)\), \(\overrightarrow(AC) + \overrightarrow(CD) = \overrightarrow(AD)\), затем
\(\overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BC) + \overrightarrow(CD) + \overrightarrow(DA) = \overrightarrow(AC) + \overrightarrow(CD) + \overrightarrow(DA)= \overrightarrow(AD) + \overrightarrow(DA) = \overrightarrow(AD) — \overrightarrow(AD) = \vec(0)\).
: Нулевой вектор имеет длину, равную \(0\) .

Вектор можно рассматривать как смещение, затем \(\overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BC)\)- перемещение из \(A\) в \(B\) , а затем из \(B\ ) в \(C\) — в конце концов, это ход из \(A\) в \(C\) .

При такой интерпретации становится ясно, что \(\overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BC) + \overrightarrow(CD) + \overrightarrow(DA) = \vec(0)\), поскольку в результате здесь мы переместились из точки \(А\) в точку \(А\) , то есть длина такого движения равна \(0\) , а значит, сам вектор такого движения равен \( \vec(0)\) .

Ответ: 0

Задание 3 #1805

Уровень задания: Сложнее экзамена

Дан параллелограмм \(ABCD\) . Диагонали \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(O\). Пусть тогда \(\overrightarrow(OA) = x\cdot\vec(a) + y\cdot\vec(b)\)

\[\overrightarrow(OA) = \frac(1)(2) \overrightarrow(CA) = \frac(1)(2)(\overrightarrow(CB) + \overrightarrow(BA)) = \frac(1)( 2)(\overrightarrow(DA) + \overrightarrow(BA)) = \frac(1)(2)(-\vec(b) — \vec(a)) = — \frac(1)(2)\vec (a) — \frac(1)(2)\vec(b )\]\(\Стрелка вправо\) \(x = — \frac(1)(2)\) , \(y = — \frac(1)(2)\) \(\Стрелка вправо\) \(x + у = — один\) .

Ответ: -1

Задание 4 #1806

Уровень задания: Сложнее экзамена

Дан параллелограмм \(ABCD\) . Точки \(K\) и \(L\) лежат на сторонах \(BC\) и \(CD\) соответственно, причем \(BK:KC = 3:1\) и \(L\) это середина \ (CD\) . Пусть \(\overrightarrow(AB) = \vec(a)\), \(\overrightarrow(AD) = \vec(b)\), тогда \(\overrightarrow(KL) = x\cdot\vec(a ) + y\cdot\vec(b)\), где \(x\) и \(y\) — некоторые числа. Найдите число, равное \(x + y\) .

\[\overrightarrow(KL) = \overrightarrow(KC) + \overrightarrow(CL) = \frac(1)(4)\overrightarrow(BC) + \frac(1)(2)\overrightarrow(CD ) = \frac (1)(4)\overrightarrow(AD) + \frac(1)(2)\overrightarrow(BA) = \frac(1)(4)\vec(b) — \frac(1)( 2)\vec (a)\]\(\Стрелка вправо\) \(x = -\frac(1)(2)\) , \(y = \frac(1)(4)\) \(\Стрелка вправо\ ) \(х + у = -0 ,25\) .

Ответ: -0.25

Задание 5 #1807

Уровень задания: Сложнее экзамена

Дан параллелограмм \(ABCD\) . Точки \(M\) и \(N\) лежат на сторонах \(AD\) и \(BC\) соответственно, где \(AM:MD = 2:3\) и \(BN:NC = 3 ): один\) . Пусть \(\overrightarrow(AB) = \vec(a)\), \(\overrightarrow(AD) = \vec(b)\), тогда \(\overrightarrow(MN) = x\cdot\vec(a ) + у\cdot\vec(b)\)

\[\overrightarrow(MN) = \overrightarrow(MA) + \overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BN) = \frac(2)(5)\overrightarrow(DA) + \overrightarrow(AB) + \frac(3 )(4)\overrightarrow(BC) = — \frac(2)(5)\overrightarrow(AD) + \overrightarrow(AB) + \frac(3)(4)\overrightarrow(BC) = — \frac(2 )(5)\vec(b) + \vec(a) + \frac(3)(4)\vec(b) = \vec(a) + \frac(7)(20)\vec (b)\ ]\(\Стрелка вправо\) \(x = 1\) , \(y = \frac(7)(20)\) \(\Стрелка вправо\) \(x\cdot y = 0,35\) .

Ответ: 0,35

Задание 6 #1808

Уровень задания: Сложнее экзамена

Дан параллелограмм \(ABCD\) . Точка \(P\) лежит на диагонали \(BD\) , точка \(Q\) лежит на стороне \(CD\) , где \(BP:PD = 4:1\) , и \( CQ:QD = 1:9 \) . Пусть \(\overrightarrow(AB) = \vec(a)\), \(\overrightarrow(AD) = \vec(b)\), тогда \(\overrightarrow(PQ) = x\cdot\vec(a ) + y\cdot\vec(b)\), где \(x\) и \(y\) — некоторые числа. Найдите число, равное \(x\cdot y\) .

\[\begin(собраны) \overrightarrow(PQ) = \overrightarrow(PD) + \overrightarrow(DQ) = \frac(1)(5)\overrightarrow(BD) + \frac(9)(10)\overrightarrow( DC) = \frac(1)(5)(\overrightarrow(BC) + \overrightarrow(CD)) + \frac(9)(10)\overrightarrow(AB) =\\ = \ frac(1)(5) (\overrightarrow(AD) + \overrightarrow(BA)) + \frac(9)(10)\overrightarrow(AB) = \frac(1)(5)(\overrightarrow(AD) — \overrightarrow(AB)) + \frac(9)(10)\overrightarrow(AB) = \frac(1)(5)\overrightarrow(AD) + \frac(7)(10)\overrightarrow(AB) = \ frac(1)(5) \vec(b) + \frac(7)(10)\vec(a)\end(собранный)\]

\(\Rightarrow\) \(x = \frac(7) (10)\) , \(y = \frac(1)(5)\) \(\Стрелка вправо\) \(x\cdot y = 0, четырнадцать\) . и \(ABCO\) — параллелограмм; \(AF \parallel BE\) и \(ABOF\) – параллелограмм \(\Rightarrow\) \[\overrightarrow(BC) = \overrightarrow(AO) = \overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BO) = \overrightarrow (AB) + \overrightarrow(AF) = \vec(a) + \vec(b)\]\(\Rightarrow\) \(x = 1\) , \(y = 1\) \(\Rightarrow\) \(х + у = 2\) .

Ответ: 2

Старшеклассникам, готовящимся к сдаче ЕГЭ по математике и при этом рассчитывающим на получение достойных баллов, необходимо обязательно повторить тему «Правила сложения и вычитания нескольких векторов». Как видно из многолетней практики, такие задания ежегодно входят в аттестационный тест. Если у выпускника возникают трудности с заданиями из раздела «Геометрия на плоскости», например, в которых требуется применять правила сложения и вычитания векторов, ему обязательно следует повторить или заново понять материал, чтобы успешно выполнить сдать экзамен.

Образовательный проект «Школково» предлагает новый подход в подготовке к аттестационным испытаниям. Наш ресурс построен таким образом, чтобы студенты могли выделить для себя самые сложные разделы и восполнить пробелы в знаниях. Специалисты Школково подготовили и систематизировали весь необходимый материал для подготовки к сертификационному испытанию.

Для того чтобы задания ЕГЭ, в которых необходимо применять правила сложения и вычитания двух векторов, не вызывали затруднений, рекомендуем прежде всего освежить в памяти основные понятия. Студенты могут найти этот материал в разделе «Теоретическая справка».

Если вы уже запомнили правило вычитания векторов и основные определения по данной теме, предлагаем вам закрепить свои знания, выполнив соответствующие упражнения, которые были подобраны экспертами образовательного портала «Школково». Для каждой задачи сайт представляет алгоритм решения и дает правильный ответ. В теме «Правила сложения векторов» представлены различные упражнения; после выполнения двух-трех относительно легких заданий учащиеся могут последовательно переходить к более сложным.

Оттачивать собственные навыки в таких заданиях, например, как у школьников есть возможность онлайн, находясь в Москве или любом другом городе России. При необходимости задание можно сохранить в разделе «Избранное». Благодаря этому можно быстро найти интересующие примеры и обсудить с преподавателем алгоритмы поиска правильного ответа.

В математике и физике у студентов и школьников часто встречаются задачи на векторные величины и на выполнение над ними различных операций. Чем отличаются векторные величины от привычных нам скалярных величин, единственной характеристикой которых является числовое значение? Потому что у них есть направление.

Использование векторных величин наиболее ясно объясняется в физике. наиболее простыми примерами являются силы (сила трения, сила упругости, вес), скорость и ускорение, так как помимо числовых значений они имеют еще и направление действия. Для сравнения возьмем примеров скаляров : это может быть расстояние между двумя точками или масса тела. Почему необходимо выполнять операции над векторными величинами, такие как сложение или вычитание? Это необходимо для того, чтобы можно было определить результат действия векторной системы, состоящей из 2-х и более элементов.

Определения векторной математики

Введем основные определения, используемые при реализации линейных операций.

1. Вектор – это направленный (имеющий начальную и конечную точки) отрезок.
2. Длина (модуль) — длина направленного отрезка.
3. Коллинеарные векторы — это два вектора, которые либо параллельны одной прямой, либо лежат на ней одновременно.
4. Разнонаправленные векторы называются коллинеарными и при этом направлены в разные стороны. Если их направление совпадает, то они сонаправлены.
5. Векторы равны, если они сонаправлены и имеют одинаковое абсолютное значение.
6. Сумма двух векторов a и b есть такой вектор c , начало которого совпадает с началом первого, а конец — с концом второго при условии, что b начинается в той же точке, где заканчивается и .
7. Разность векторов a и b вызов суммы a и ( — б ) , где ( — б ) — напротив вектора b . Также определение разности двух векторов можно дать следующим образом: разностью c пары векторов a и b назовем этим c , который при сложении с вычитаемым b образует приведенный а.

Аналитический метод

Аналитический метод предполагает получение координат разности по формуле без построения. Возможен расчет для плоского (2D), объемного (3D) или n-мерного пространства.

Для двумерного пространства и векторных величин a { a₁; а₂ ) и б { б₁; б₂ } вычисления будут иметь следующий вид: c { c₁; с₂ } = { а₁ – b₁; а₂ – б₂ }.

В случае добавления третьей координаты расчет будет вестись аналогично, а для а { а₁; а₂ ; а₃ ) и б { б₁; б₂; b₃ ) координаты разности также получатся попарным вычитанием: c { c₁; с₂; с₃ } = { а₁ – b₁; а₂ – б₂; а₃–б₃ }.

Графическое вычисление разности

Для графического построения разности используйте правило треугольника. Для этого необходимо выполнить следующую последовательность действий:

1. По заданным координатам построить векторы, для которых нужно найти разность.
2. Соедините их концы (т.е. постройте два равных заданным направленных отрезка, которые будут заканчиваться в одной точке).
3. Соединить начала обоих направленных отрезков и указать направление; результирующий будет начинаться в той же точке, где начинался вычитаемый вектор, и заканчиваться в начальной точке вычитаемого вектора.

Результат операции вычитания показан на рисунке ниже. .

Существует также способ построения разности, немного отличающийся от предыдущего. Суть его заключается в применении теоремы о разности векторов, которая формулируется следующим образом: чтобы найти разность пары направленных отрезков, достаточно найти сумму первого из них с противоположным отрезком ко второму. Алгоритм построения будет выглядеть так:

1. Построить начальные направленные сегменты.
2. Тот, что вычитается, надо отразить, т. е. построить противоположно направленный и равный отрезок; затем совместите его начало с сокращенным.
3. Постройте сумму: соедините начало первого отрезка с концом второго.

Результат этого решения показан на рисунке:

Решение задач

Для закрепления навыка разберем несколько задач, в которых требуется вычислить разницу аналитически или графически.

Задача 1 . На плоскости 4 точки: А (1; -3), В (0; 4), С (5; 8), D (-3; 2). Определить координаты вектора q = AB — CD, а также вычислить его длину.

Решение . Сначала нужно найти координаты AB и CD . Для этого из координат конечных точек вычтем координаты начальных точек. Для АВ начало А (1;-3), а конец — Б (0; 4). Вычислить координаты направленного отрезка:

АВ {0 — 1; 4 — (- 3)} = {- 1; 7}

Аналогичный расчет выполняется для CD :

CD {- 3 — 5; 2 — 8} = {- 8; — 6}

Теперь, зная координаты, можно найти разность векторов. Формула для аналитического решения плоской задачи обсуждалась ранее: c = a — b координаты имеют вид ( с₁; с₂ } = { а₁ – b₁; а₂ – б₂ ). Для конкретного случая можно написать:

q = {- 1 — 8; 7 — (- 6)} = { — 9; — 1}

Чтобы найти длину q , мы используем формулу | q | = √( q₁² + q ₂²) = √((- 9)² + (- 1)²) = √(81 + 1) = √82 ≈ 9,06.

Задача 2 . На рисунке показаны векторы m, n и p.

По ним необходимо построить разности: п — н; м — н; м -н — с. Определите, у какого из них наименьший модуль.

Решение . Задача требует трех построений. Рассмотрим каждую часть задачи более подробно.

Часть 1. Чтобы изобразить p -n, Воспользуемся правилом треугольника. Для этого с помощью параллельного переноса соединяем отрезки так, чтобы их конечная точка совпадала. Теперь давайте соединим начальные точки и определим направление. В нашем случае разностный вектор начинается там же, где и вычитаемый. н.

Часть 2. Изобразим м-н . Теперь для решения воспользуемся теоремой о разности векторов. Для этого построим вектор напротив n, и затем найдем его сумму с m. Результат будет выглядеть так:

Часть 3 Чтобы найти разность m-n-p, разобьем выражение на два шага. Поскольку в векторной алгебре действуют законы, аналогичные законам арифметики, то возможны следующие варианты:

• m-(n+p) : в этом случае сначала строится сумма n+p , которая затем вычитается из m ;
• (m-n)-p : здесь сначала нужно найти m-n , а потом из этой разницы p вычесть ;
• (m-p)-n : первым действием определяется m-p , после чего из результата нужно вычесть n .

Так как в предыдущей части задачи мы уже нашли разницу m-n , мы можем только вычесть из него p . Построим разность двух заданных векторов с помощью разностной теоремы. Ответ показан на изображении ниже (красный цвет указывает на промежуточный результат, а зеленый — на окончательный).

Осталось определить, какой из отрезков имеет наименьший модуль. Напомним, что понятия длины и модуля в векторной математике идентичны. Оцените визуально длины р — н, м -н и м -н -р . Очевидно, что ответ в последней части задачи самый короткий и имеет наименьший модуль, а именно m -n -p .

Сумма векторов. Длина вектора. Дорогие друзья, есть группа заданий с векторами в типах экзамена. Довольно широкий круг задач (важно знать теоретическую базу). Большинство решается устно. Вопросы связаны с нахождением длины вектора, суммы (разности) векторов, скалярного произведения. Так же есть множество задач, при решении которых необходимо производить действия с координатами векторов.

Теория векторов проста и должна быть хорошо понята. В этой статье мы разберем задачи, связанные с нахождением длины вектора, а также суммы (разности) векторов. Некоторые теоретические моменты:

Концепция вектора

Вектор — это направленный отрезок прямой.

Все векторы, имеющие одинаковое направление и одинаковую длину, равны.

*Все четыре приведенных выше вектора равны!

То есть, если мы используем параллельный перенос для перемещения заданного нам вектора, мы всегда будем получать вектор, равный исходному. Таким образом, может быть бесконечное количество одинаковых векторов.

Векторное представление

Вектор можно обозначать латинскими заглавными буквами, например:

При такой форме записи сначала пишется буква, обозначающая начало вектора, затем буква, обозначающая конец вектора.

Другой вектор обозначается одной буквой латинского алфавита (заглавной):

Возможно также обозначение без стрелок:

Сумма двух векторов AB и BC будет вектором AC.

Записывается как AB+BC=AC.

Это правило называется — правило треугольника .

То есть, если у нас есть два вектора — назовем их условно (1) и (2), и конец вектора (1) совпадает с началом вектора (2), то сумма этих векторов будет — вектор, начало которого совпадает с началом вектора (1), а конец совпадает с концом вектора (2).

Вывод: если у нас есть два вектора на плоскости, мы всегда можем найти их сумму. С помощью параллельного переноса можно переместить любой из этих векторов и соединить его начало с концом другого. Например:

Переместим вектор b , или по-другому — построим равные ему:

Как находится сумма нескольких векторов? По тому же принципу:

* * *

правило параллелограмма

Это правило является следствием предыдущего.

Для векторов с общим началом их сумма представлена ​​диагональю параллелограмма, построенного на этих векторах.

Построим вектор равный вектору b так, чтобы его начало совпадало с концом вектора a , и мы можем построить вектор, который будет их суммой:

Еще немного важной информации, необходимой для решения задач.

Вектор, равный по длине исходному, но противоположно направленный, также обозначается, но имеет противоположный знак:

Эта информация чрезвычайно полезна для решения задач, в которых стоит вопрос о нахождении разности векторов. Как видите, разность векторов — это одна и та же сумма в модифицированном виде.

Пусть даны два вектора, найдите их разность:

Построили вектор, противоположный вектору b, и нашли разность.

Координаты вектора

Чтобы найти координаты вектора, нужно из конечных координат вычесть соответствующие начальные координаты:

То есть координаты вектора представляют собой пару чисел.

Если

И координаты векторов выглядят так:

Тогда c 1 = a 1 + b 1 c 2 = a 2 + b 2

Если a

Тогда c 1 = a 1 — b 1 c 2 = a 2 — b 2

Модуль вектора

Модуль вектора – это его длина, определяемая по формуле:

Формула определения длины вектора, если известны координаты его начала и конца:

Рассмотрим задачи:

Две Стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Диагонали пересекаются в точке O. Найдите длину разности векторов AO и BO.

Найдем вектор, который будет результатом АО — ВО:

АО -ВО = АО + (-ВО) = АВ

То есть разность между векторами АО и ВО будет вектор АВ. И длина его восемь.

Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16. Найдите длину вектора AB +AD.

Найдем вектор, который будет суммой векторов AD и AB BC равным вектору AD. Таким образом, AB+AD=AB+BC=AC

AC — это длина диагонали ромба AC , равно 16.

Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O и равны 12 и 16. Найдите длину вектора AO + BO.

Найдем вектор, который будет суммой векторов AO и BO BO равен вектору OD,

AD длина стороны ромба. Задача состоит в том, чтобы найти гипотенузу прямоугольного треугольника AOD. Рассчитаем ноги:

По теореме Пифагора:

Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O и равны 12 и 16.