Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними. Если хотя бы один из векторов нулевой, то скалярное произведение таких векторов считается равным нулю.

Скалярное произведение векторов и обозначается . По определению,

Произведение называется скалярным квадратом и обозначается Из формулы скалярного произведения следует равенство

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Для скалярного произведения векторов имеет место формула где

Физический смысл

Скалярное произведение векторов имеет простой физический смысл и связывает работу A , производимую постоянной силой при перемещении тела на вектор , составляющий с направлением силы угол , а именно, имеет место следующая формула:

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Пример 1

Дан вектор Найдите координаты перпендикулярного к нему вектора.

Решение: Для искомого вектора должно выполняться равенство ax + by = 0. Например, этому равенству удовлетворяют x = b , y = – a . Следовательно, искомый вектор имеет координаты

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

3

Пример 2

Найдите угол A треугольника с вершинами

Решение: Воспользуемся определением скалярного произведения векторов и . Имеем Вычислим это скалярное произведение через координаты векторов. Вектор имеет координаты вектор имеет координаты Следовательно, скалярное произведение данных векторов равно 3. Их длины равны соответственно 4 и 3/2. Подставляя эти данные в формулу скалярного произведения, получим

и, следовательно, A = 60 о .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

4

Упражнение 1

Вычислите скалярное произведение двух векторов и , если = 2, = 3, а угол между ними равен: а) 45°; б) 90°; в) 135°.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: а) ;

б) 0;

в) .

5

Упражнение 2

В равностороннем треугольнике АВС со стороной 1 проведена высота BD . Вычислите скалярное произведение векторов:

а) и

б) и

в) и .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: а)

б) 0;

в) 1 .

6

Упражнение 3

Найдите скалярное произведение векторов (-1, 2) и (2,-1).

Ответ: –4.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Упражнение 4

Охарактеризуйте угол  между векторами и , если :

а)

б)

в)

г)

Ответ: а) 0 о

б) 9 0 о

в)  = 90 о ;

г)  = 18 0 о .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Упражнение 5

Длины векторов и равны 1. При каком угле между ними скалярное произведение будет: а) наибольшим; б) наименьшим?

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: а)  = 0 о ;

б)  = 180 о .

Упражнение 6

Н айдите угол между векторами (1, 2) и (1, 0).

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ:

10

Упражнение 7

Какой угол образуют единичные векторы и , если известно, что и взаимно перпендикулярны.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 60 о .

Упражнение 8

При каком значении t вектор перпендикулярен вектору , если (2, -1), (4, 3).

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: t = 0.

Упражнение 9

Для прямоугольника ABCD со сторонами AB = 6 см, AD = 8 см найдите скалярное произведение:

а)

б)

в)

г)

где E и F – середины сторон AD и CD соответственно.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: а) 36;

б) 68;

в) 82;

г) 50.

Упражнение 10

Вычислите, какую работу A производит сила (-3, 4), когда ее точка приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из положения B (5, -1) в положение C (2, 1).

Ответ: A = 17.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Глава 31. Скалярное произведение векторов

Глава 31. Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними.

Скалярное произведение векторов , обозначается символом (порядок записи сомножителей безразличен, то есть ).

Если угол между векторами , обозначить через , то их скалярное произведение можно выразить формулой

(1)

Скалярное произведение векторов , можно выразить также формулой

Из формулы (1) следует, что , если — острый угол, , если — тупой угол; в том и только в том случае, когда векторы и перпендикулярны (в частности, , если или ).

Скалярное произведение называется скалярным квадратом вектора и обозначается символом . Из формулы (1) следует, что скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля:

.

Если векторы и заданы своими координатами:

, ,

то их скалярное произведение может быть вычислено по формуле

.

Отсюда следует необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов

.

Угол между векторами

, ,

дается формулой , или в координатах

.

Проекция произвольного вектора на какую-нибудь ось u определяется формулой

,

где — единичный вектор, направленный по оси u. Если даны углы , , , которые оси u составляет с координатными осями, то и для вычисления вектора может служить формула

.

Понимание точечного произведения — лучшее объяснение

Я думаю о скалярном произведении как о направленном умножении. Умножение выходит за рамки повторного подсчета: оно применяет сущность одного предмета к другому. (Например, сложное умножение — это вращение, а не повторный счет.)

При работе с простыми темпами роста умножение масштабирует один коэффициент на другой:

• «3 x 4» может означать «Возьмите свой рост в 3 раза и увеличьте его в 4 раза, чтобы получить 12x»

Имея дело с векторами («направленный рост»), мы можем выполнить несколько операций:

• Добавить векторов: Накопить рост, содержащийся в нескольких векторах.
• Умножить на константу. : Сделать существующий вектор сильнее (в том же направлении).
• Точечное произведение: Применяет направленный рост одного вектора к другому. Результат — насколько сильнее мы сделали исходный вектор (положительный, отрицательный или нулевой).

Сегодня мы научимся интуитивно понимать, как работает скалярное произведение.

Извлекаем из формулы формулу

Вы везде видели уравнение скалярного произведения:

А также оправдание: «Ну, Билли, закон косинусов (ты помнишь это, не так ли?) Гласит, что следующие вычисления одинаковы, так что они есть.«Недостаточно хорошо — не щелкает! Что это означает, помимо вычислений?

Цель состоит в том, чтобы применить один вектор к другому. Приведенное выше уравнение показывает два способа добиться этого:

• Прямоугольная перспектива: объедините компоненты x и y
• Полярная перспектива: сочетание звездных величин и углов

Уравнение «этот материал = тот материал» означает просто «Вот два эквивалентных способа« направленного умножения »векторов».

Просмотр чисел как векторов

Давайте начнем с простого и рассмотрим 3 x 4 как скалярное произведение:

Число 3 — это «направленный рост» в одном измерении (скажем, ось x), а 4 — «направленный рост» в том же направлении.3 x 4 = 12 означает, что мы получаем 12-кратный рост в одном измерении. Хорошо.

Теперь предположим, что 3 и 4 относятся к разным измерениям. Скажем, 3 означает «утроить ваши бананы» (ось x), а 4 означает «утроить ваши апельсины» (ось y). Теперь это разные числа: что произойдет, если применить рост (использовать скалярное произведение) в нашей вселенной «бананы, апельсины»?

• (3,0) означает «Утроить бананы, уничтожить апельсины»
• (0,4) означает «Уничтожь свои бананы, умножь свои апельсины в четыре раза»

Применение (0,4) к (3,0) означает «Уничтожьте рост бананов, увеличьте рост апельсинов в четыре раза».Но у (3, 0) не было оранжевого роста с самого начала, поэтому чистый результат равен 0 («Уничтожь все свои фрукты, приятель»).

Видите, как мы «применяем», а не просто добавляем? При регулярном сложении мы смешиваем векторы вместе: (3,0) + (0, 4) = (3, 4) [вектор, который утроит ваши апельсины и , четыре раза ваши бананы].

«Приложение» другое. Мы изменяем исходный вектор по правилам второго. И правила (0, 4): «Уничтожьте рост бананов и увеличьте рост апельсинов в четыре раза.»Применительно к чему-то, состоящему только из бананов, например (3, 0), у нас ничего не остается.

Конечный результат процесса скалярного произведения может быть:

• Ноль: нет роста в исходном направлении
• Положительное число: наблюдается некоторый рост в исходном направлении
• Отрицательное число: имеем отрицательный (обратный) рост в исходном направлении

Понимание расчетов

«Применение векторов» все еще немного абстрактно.Я думаю: «Сколько энергии / толчка один вектор дает другому?». Вот как я это представляю:

Прямоугольные координаты: покомпонентное перекрытие

Как при умножении комплексных чисел, посмотрите, как взаимодействуют x- и y-компоненты:

Мы перечисляем все четыре комбинации (x с x, y с x, x с y, y с y). Поскольку координаты x и y не влияют друг на друга (например, когда ведро держится боком под водопадом — ничего не падает), общее поглощение энергии равно поглощению (x) + поглощению (y):

Полярные координаты: проекция

Слово «проекция» настолько бесплодно: я предпочитаю «по пути».Сколько энергии на самом деле идет в нашем первоначальном направлении?

Вот один из способов увидеть это:

Возьмем два вектора a и b. Поверните наши координаты так, чтобы b было горизонтально: оно становится (| b |, 0), и все находится на этой новой оси x. Что сейчас за точечный продукт? (Это не должно измениться только потому, что мы наклонили голову).

Итак, вектор a имеет новые координаты (a1, a2), и мы получаем:

a1 действительно означает «Какова координата x точки a, если предположить, что b является осью x?».То есть | a | cos (θ), иначе говоря, «проекция»:

Аналогии для скалярного произведения

Распространенное толкование — «геометрическая проекция», но оно настолько мягкое. Вот несколько аналогий, которые мне понравились:

Поглощение энергии

Один вектор — это солнечные лучи, другой — куда указывает солнечная панель (да, да, нормальный вектор). Большие числа означают более сильные лучи или большую панель. Сколько энергии поглощается?

• Энергия = Перекрытие по направлению * Сила лучей * Размер панели

Если вы держите панель боком к солнцу, лучи не попадают (cos (θ) = 0).

Фото

Но … но … солнечные лучи уходят от солнца, и панель обращена к солнцу, а скалярное произведение отрицательно, когда векторы противоположны! Сделайте глубокий вдох и помните, что цель — принять аналогию (к тому же физики все время теряют из виду отрицательные знаки).

Повышение скорости Mario-Kart

В Mario Kart есть «тормозные колодки» на земле, которые увеличивают вашу скорость (Никогда не играл? Извините).

Источник фото

Представьте, что красный вектор — это ваша скорость (направление x и y), а синий вектор — это ориентация пэда ускорения (направление x и y).Чем больше число, тем больше мощность.

Насколько вы получите ускорение? Для аналогии представьте, что пэд увеличивает вашу скорость:

• Если вы войдете в 0, вы ничего не получите [если вас просто уронят на площадку, ускорения нет]
• Если вы пересечете площадку перпендикулярно, вы получите 0 [точно так же, как при уничтожении банана, это даст вам 0x ускорение в перпендикулярном направлении]

Но, если у нас есть некоторое перекрытие, наша x-скорость получит x-импульс, а наша y-скорость получит y-импульс:

Аккуратно, а? Другой способ увидеть это: ваша входящая скорость равна | a |, а максимальное ускорение — | b |.Процент повышения, который вы действительно получаете (в зависимости от того, как вы выстроились в линию) составляет $ \ cos (\ theta) $, всего $ | a || b | \ cos (\ theta) $.

Физика Физика Физика

Скалярное произведение встречается повсюду в физике: какое-то поле (электрическое, гравитационное) притягивает какую-то частицу. Мы хотели бы размножаться, и мы могли бы, если бы все было в порядке. Но это не так, поэтому мы используем скалярное произведение, чтобы учесть потенциальные различия в направлениях.

Это полезное обобщение: интегралы — это «умножение с учетом изменений», а скалярное произведение — «умножение с учетом направления».

А если ваше направление меняется? Конечно, возьмите интеграл от скалярного произведения!

Вперед и вверх

Не соглашайтесь на «Точечное произведение — это геометрическая проекция, обоснованная законом косинусов». Найдите аналогии, которые вам понравятся! Счастливая математика.

Другие статьи этой серии

1. Векторное исчисление: понимание точечного произведения
2. Векторное исчисление: понимание кросс-произведения
3. Векторное исчисление: понимание потока
4. Векторное исчисление: понимание расходимости
5. Векторное исчисление: понимание циркуляции и изгиба
6. Векторное исчисление: понимание градиента
7. Пифагорейское расстояние и градиент

Векторы и скалярные произведения — Учебники по построению изображений, вычислениям и математике

\ (\ newcommand {L} [1] {\ | # 1 \ |} \ newcommand {VL} [1] {\ L {\ vec {# 1}}} \ newcommand {R} [1] {\ operatorname {Re} \, (# 1)} \ newcommand {I} [1] {\ operatorname {Im} \, (# 1)} \)

Вектор — это упорядоченная последовательность значений:

\ [\ begin {split} \ vec {v} = [v_1, v_2, \ cdots v_n] \\\ end {split} \]

Видео

См. 2} \]

Это обобщение теоремы Пифагора на \ (n \) размерности.2} \).

Из определения длины вектора и скалярного произведения квадратный корень из скалярное произведение вектора на себя дает длину вектора:

\ [\ VL {v} = \ sqrt {\ vec {v} \ cdot \ vec {v}} \]

Свойства точечных продуктов

Мы будем использовать результаты из Some algebra с суммированием.

Коммутативный

\ [\ vec {v} \ cdot \ vec {w} = \ vec {w} \ cdot \ vec {v} \]

, потому что \ (v_i w_i = w_i v_i \).

Распределительное сверх векторного сложения

\ [\ vec {v} \ cdot (\ vec {w} + \ vec {x}) = \ vec {v} \ cdot \ vec {w} + \ vec {v} \ cdot \ vec {x} \]

потому что:

\ [\ begin {split} \ vec {v} \ cdot (\ vec {w} + \ vec {x}) = \\ \ Sigma {v_i (w_i + x_i)} = \\ \ Sigma {(v_i + w_i)} + \ Sigma {(v_i + x_i)} = \\ \ vec {v} \ cdot \ vec {w} + \ vec {v} \ cdot \ vec {x} \ end {split} \]

Скалярное умножение

Допустим, у нас есть два скаляра, \ (c \) и \ (d \):

\ [(c \ vec {v}) \ cdot (d \ vec {w}) = c d (\ vec {v} \ cdot \ vec {w}) \]

потому что:

\ [\ begin {split} (c \ vec {v}) \ cdot (d \ vec {w}) = \\ \ Sigma {c v_i d w_i} = \\ c d \ Sigma {v_i w_i} \ end {split} \]

Из свойств распределения по сложению и скалярному умножению:

\ [\ vec {v} \ cdot (c \ vec {w} + \ vec {x}) = c (\ vec {v} \ cdot \ vec {w}) + (\ vec {v} \ cdot \ vec {x}) \]

См .: свойства точечных произведений.2 = 1 \ end {split} \]

Если два вектора перпендикулярны, их скалярное произведение равно 0

Я основал это доказательство на «Введение в линейную Алгебра »4-е издание, стр. 14.

Рассмотрим треугольник, образованный двумя векторами \ (\ vec {v} \) и \ (\ vec {w} \). В длины сторон треугольника равны \ (\ VL {v}, \ VL {w}, \ L {\ vec {v} — \ vec {w}} \). Когда \ (\ vec {v} \) и \ (\ vec {w} \) перпендикулярны, это прямоугольный треугольник с длиной гипотенузы \ (\ L {\ vec {v} — \ vec {w}} \).2 \), то векторы \ (\ vec {v} \) и \ (\ vec {w} \) делают не образуют прямого угла и не перпендикулярны.

— Что представляет собой скалярный продукт двух векторов?

Как указывали другие ответы, скалярное произведение $ \ vec {a} \ cdot \ vec {b} $ связано с углом $ \ theta $ между $ \ vec {a} $ и $ \ vec {b} $ через:

$$ \ vec a \ cdot \ vec b = \ Vert \ vec a \ Vert_2 \, \ Vert \ vec b \ Vert_2 \, \ cos \ theta $$

Предполагая, что $ a $ и $ b $ указывают в одинаковых направлениях, i.е., $ \ theta \ leq 90 ° $, мы можем визуализировать, что означает эта связь (с этого момента пропуская векторные стрелки и индекс евклидовой нормы):

$ p $ — вектор, полученный в результате ортогональной проекции $ a $ на $ b $. Поскольку $ \ cos $ — это отношение между соседним катетом ($ p $) и гипотенузой ($ a $) в прямоугольном треугольнике, то есть

$$ \ cos \ theta = \ frac {\ Vert p \ Vert} {\ Vert a \ Vert}, $$

получаем за внутренний продукт:

$$ a \ cdot b = \ Vert a \ Vert \, \ Vert b \ Vert \, \ frac {\ Vert p \ Vert} {\ Vert a \ Vert} = \ Vert p \ Vert \ Vert b \ Vert $ $

Итак, внутреннее произведение — это длина вектора $ p $, проекция $ a $ на $ b $, умноженная на длину $ b $.Если $ a $ и $ b $ указывают в противоположных направлениях, то есть $ 90 ° <\ theta \ leq 180 ° $, точечное произведение будет отрицательным: $ a \ cdot b = - \ Vert p \ Vert \ Vert b \ Верт $

Проблема в том, что соотношение между скалярным произведением и углом $ \ theta $ по сути не задано. По определению:

$$ a \ cdot b = \ sum_i a_i b_i $$

Итак, нам нужно найти связь между этим и косинусом. Из определения скалярного произведения мы видим, что он масштабируется пропорционально входным векторам, поэтому для неединичных векторов $ u $ и $ v $ с соответствующими единичными векторами $ \ hat {u} $ и $ \ hat { v} $:

$$ u \ cdot v = \ Vert u \ Vert \ cdot \ Vert v \ Vert \ cdot \ hat {u} \ cdot \ hat {v} $$

Для простоты предположим, что $ a $ и $ b $ являются единичными векторами.2 \\ & = 2 — (2-2 \ sum_i b_i a_i) \\ & = 2 \ sum_i b_i a_i \\ \ Vert p \ Vert & = \ sum_i b_i a_i \ end {align}

q.e.d.

Точечное произведение векторов — формула, значение, свойства, примеры

Скалярное произведение — это один из способов умножения двух или более векторов. Результат скалярного произведения векторов — скалярная величина. Таким образом, скалярное произведение также известно как скалярное произведение. Алгебраически это сумма произведений соответствующих элементов двух последовательностей чисел.Геометрически это произведение евклидовой величины двух векторов и косинуса угла между ними. Точечный продукт векторов находит различные применения в геометрии, механике, инженерии и астрономии. Давайте подробно обсудим скалярный продукт в следующих разделах.

Что такое скалярное произведение двух векторов?

Точечное произведение векторов равно произведению величин двух векторов и косинуса угла между двумя векторами.Результат скалярного произведения двух векторов лежит в одной плоскости с двумя векторами. Скалярное произведение может быть положительным действительным числом или отрицательным действительным числом.

Формула скалярного произведения векторов

Пусть a и b — два ненулевых вектора, а θ — угол между векторами. Тогда скалярное произведение или скалярное произведение обозначается буквой a.b, которая определяется как:

\ (\ overrightarrow a. \ Overrightarrow b \) = \ (| \ overrightarrow a || \ overrightarrow b | \) cos θ .

Здесь \ (| \ overrightarrow a | \) — величина \ (\ overrightarrow a \),

\ (| \ overrightarrow b | \) — величина \ (\ overrightarrow b \), а θ — угол между ними.

Примечание: θ не определяется, если \ (\ overrightarrow a \) = 0 или \ (\ overrightarrow b \) = 0.

Геометрическое значение точечного произведения

Скалярное произведение двух векторов строится путем взятия компонента одного вектора в направлении другого и умножения его на величину другого вектора.Чтобы понять скалярное произведение векторов, нам сначала нужно знать, как найти величину двух векторов и угол между двумя векторами, чтобы найти проекцию одного вектора на другой вектор.

Величина вектора

Вектор представляет направление и величину. Величина вектора — это квадратный корень из суммы квадратов отдельных составляющих вектора. Величина вектора — положительная величина. Для вектора \ (\ overrightarrow a = a_1x + a_2y + a_3z \) величина | a | и задается формулой \ (| \ overrightarrow a | = \ sqrt {a_1 ^ 2 + a_2 ^ 2 + a_3 ^ 2} \)

Проекция вектора

Скалярное произведение полезно для нахождения компонента одного вектора в направлении другого.Проекция вектора одного вектора на другой вектор — это длина тени данного вектора на другой вектор. Он получается путем умножения величины данных векторов на косеканс угла между двумя векторами. Результатом формулы проекции вектора является скалярное значение.

Пусть OA = \ (\ overrightarrow a \), OB = \ (\ overrightarrow b \) — два вектора, а θ — угол между \ (\ overrightarrow a \) и \ (\ overrightarrow b \). Нарисуйте AL перпендикулярно OB.

Из прямоугольного треугольника OAL, cos θ = OL / OA

OL = OA cos θ = \ (| \ overrightarrow a | \) cos θ

OL — проекция вектора a на b.

\ (\ overrightarrow a. \ Overrightarrow b \) = \ (| \ overrightarrow a || \ overrightarrow b | \) cos θ = \ (| \ overrightarrow b | \) OL

= \ (| \ overrightarrow b | \) (проекция \ (\ overrightarrow a \) на \ (\ overrightarrow b \))

Таким образом, проекция \ (\ overrightarrow a \) на \ (\ overrightarrow b = \ dfrac {\ overrightarrow a.\ overrightarrow b} {| \ overrightarrow b |} \)

Аналогично, проекция вектора \ (\ overrightarrow b \) на \ (\ overrightarrow a = \ dfrac {\ overrightarrow a. \ Overrightarrow b} {| \ overrightarrow a |} \)

Угол между двумя векторами с использованием точечного произведения

Угол между двумя векторами рассчитывается как косинус угла между двумя векторами. Косинус угла между двумя векторами равен сумме произведения отдельных составляющих двух векторов, деленного на произведение величины двух векторов.2}} \)

Рабочее правило для нахождения скалярного произведения двух векторов

Если два вектора выражены через единичные векторы, i, j, k, вдоль осей x, y, z, то скалярное произведение получается следующим образом:

Если \ (\ overrightarrow a = a_1 \ hat i + a_2 \ hat j + a_3 \ hat k \) и \ (\ overrightarrow b = b_1 \ hat i + b_2 \ hat j + b_3 \ hat k \), то

\ (\ overrightarrow a. \ Overrightarrow b \) = \ ((a_1 \ hat i + a_2 \ hat j + a_3 \ hat k) (b_1 \ hat i + b_2 \ hat j + b_3 \ hat k) \)

= \ ((a_1b_1) (\ hat я.\ hat i) + (a_1b_2) (\ hat i. \ hat j) + (a_1b_3) (\ hat i. \ hat k) + \\ (a_2b_1) (\ hat j. \ hat i) + (a_2b_2) ( \ hat j. \ hat j) + (a_2b_3 (\ hat j. \ hat k) + \\ (a_3b_1) (\ hat k. \ hat i) + (a_3b_2) (\ hat k. \ hat j) + ( a_3b_3) (\ шляпа к. \ шляпа к) \)

\ (\ overrightarrow a. \ Overrightarrow b \) = \ (a_1b_1 \) + \ (a_2b_2 \) + \ (a_3b_3 \)

Матричное представление точечного произведения

Легко вычислить скалярное произведение векторов, если векторы представлены в виде матриц строк или столбцов.Матрица транспонирования первого вектора получается как матрица-строка. Умножение матриц выполнено. Матрица-строка и матрица-столбец умножаются, чтобы получить сумму произведения соответствующих компонентов двух векторов.

Свойства точечного продукта

Ниже приведены свойства скалярного произведения векторов.

• Коммутативная собственность
• Распределительная собственность
• Природный объект
• Общая недвижимость
• Векторные идентификаторы

Коммутативное свойство точечного продукта:

Согласно обычному определению, \ (\ overrightarrow a \).\ (\ overrightarrow b \) = \ (\ overrightarrow b \). \ (\ overrightarrow a \) имеем \ (| \ overrightarrow a || \ overrightarrow b | \) cos θ = \ (| \ overrightarrow b || \ overrightarrow a | \) cos θ

Распределимость точечного произведения

Пусть a, b и c — любые три вектора, тогда скалярное произведение распределительно по сложению и вычитанию. Это свойство можно распространить на любое количество векторов.

• \ (\ overrightarrow a. (\ Overrightarrow b + \ overrightarrow c) = \ overrightarrow a.\ overrightarrow b + \ overrightarrow a. \ overrightarrow c \)
• \ ((\ overrightarrow a + \ overrightarrow b). \ Overrightarrow c = \ overrightarrow a. \ Overrightarrow c + \ overrightarrow b. \ Overrightarrow c \)
• \ (\ overrightarrow a. (\ Overrightarrow b — \ overrightarrow c) = \ overrightarrow a. \ Overrightarrow b — \ overrightarrow a. \ Overrightarrow c \)
• \ ((\ overrightarrow a — \ overrightarrow b). \ Overrightarrow c = \ overrightarrow a. \ Overrightarrow c — \ overrightarrow b.\ overrightarrow c \)

Тип точечного произведения

• Мы знаем, что 0 ≤ θ ≤ π.
• Если θ = 0, то a . b = ab [Два вектора параллельны в одном направлении ⇒ θ = 0].
• Если θ = π, a . b = -ab [Два вектора параллельны в противоположном направлении ⇒ θ = π.].
• Если θ = π / 2, то a . b = 0 [Два вектора равны⇒ θ = π / 2]
• Если 0 <θ <π / 2, то cosθ положителен и, следовательно, a . b положительный.
• Если π / 2 <θ <π, то cosθ отрицателен и, следовательно, a . b отрицательный.

Другие свойства точечного продукта

• Пусть a и b — любые два вектора, а λ — любой скаляр. Тогда (λ \ (\ overrightarrow a). \ Overrightarrow b \) = λ (\ (\ overrightarrow a) \ overrightarrow b \)
• Для любых двух скаляров λ и μ, λ \ (\ overrightarrow a \). μ \ (\ overrightarrow b \) = (λμ \ (\ overrightarrow a)).\ overrightarrow b \) = \ (\ overrightarrow a \). (λμ \ (\ overrightarrow b \))
• Длина вектора — это квадратный корень из скалярного произведения самого вектора. \ (\ overrightarrow a \) = \ (\ sqrt {\ overrightarrow a. \ overrightarrow a} \)
• \ (\ overrightarrow a. \ Overrightarrow a \) = \ (| \ overrightarrow a \) | ² = (\ (\ overrightarrow a \)) ² = \ (\ overrightarrow a \) ²
• Для любых двух векторов a и b \ (| \ overrightarrow a + \ overrightarrow b | \) ≤ | \ ((\ overrightarrow a \) | + | (\ (\ overrightarrow b | \)

Векторные идентификаторы

• (\ (\ overrightarrow a + \ overrightarrow b \)) ² = \ (| \ overrightarrow a \) | ² + \ (| \ overrightarrow b | \) ² + 2 \ ((\ overrightarrow a.\ overrightarrow b) \)
• (\ (\ overrightarrow a — \ overrightarrow b \)) ² = \ (| \ overrightarrow a \) | ² + \ (| \ overrightarrow b | \) ² — 2 \ ((\ overrightarrow a. \ Overrightarrow b) \)
• \ ((\ overrightarrow a + \ overrightarrow b). (\ Overrightarrow a — \ overrightarrow b) = | \ overrightarrow a \) | ² — \ (| \ overrightarrow b | \) ² ≤ \ (| \ overrightarrow a \) | + \ (| \ overrightarrow b | \)

Точечное произведение единичных векторов

Скалярное произведение единичного вектора изучается путем взятия единичных векторов \ (\ hat i \) по оси x, \ (\ hat j \) по оси y и \ (\ hat k \) вдоль ось z соответственно.Точечное произведение единичных векторов \ (\ hat i \), \ (\ hat j \), \ (\ hat k \) следует тем же правилам, что и скалярное произведение векторов. Угол между одними и теми же векторами равен 0º, и, следовательно, их скалярное произведение равно 1. А угол между двумя перпендикулярными векторами равен 90º, а их скалярное произведение равно 0.

\ (\ hat i. \ Hat i \) = \ (\ hat j. \ Hat j \) = \ (\ hat k. \ Hat k \) = 1

\ (\ hat i. \ Hat j \) = \ (\ hat j. \ Hat k \) = \ (\ hat k. \ Hat i \) = 0

Применение точечного произведения

Применение скалярного произведения — расчет работы.Произведение приложенной силы и смещения называется работой. Если сила приложена под углом θ к смещению, проделанная работа выражается как скалярное произведение силы и смещения как W = f d cos θ. Скалярное произведение также используется для проверки того, являются ли два вектора ортогональными или нет. \ (\ overrightarrow a. \ overrightarrow b \) = \ (| \ overrightarrow a || \ overrightarrow b | \) cos 90º ⇒ \ (\ overrightarrow a. \ overrightarrow b \) = 0

Важные примечания к точечному продукту

• Скалярное произведение или скалярное произведение — это способ умножения двух векторов.
• Геометрически скалярное произведение — это произведение длины векторов на косинусоидальный угол между ними. \ (\ overrightarrow a. \ overrightarrow b \) = | a | b | cos θ
• Это скалярная величина, не имеющая направления. Его легко вычислить из суммы произведения компонентов двух векторов.
• Если \ (\ overrightarrow a \) = \ (a_1 \) i + \ (a_2 \) j + \ (a_3 \) k и \ (\ overrightarrow b \) = \ (b_1 \) i + \ (b_2 \ ) j + \ (b_3 \) k, то \ (\ overrightarrow a.\ overrightarrow b = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 \)

☛ Также проверьте:

Часто задаваемые вопросы о точечном продукте

Что такое точечное произведение двух векторов?

Скалярное произведение двух векторов имеет два определения. Алгебраически скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений отдельных компонентов двух векторов. a.b = \ (a_1b_1 \) + \ (a_2b_2 \) + \ (a_3b_3 \). Геометрически скалярное произведение двух векторов является произведением величины векторов и косинуса угла между двумя векторами.(\ (\ overrightarrow a. \ overrightarrow b \) = \ (| \ overrightarrow a || \ overrightarrow b | \) cos θ). Результат скалярного произведения векторов является скалярным значением.

Что такое скалярное произведение двух параллельных векторов?

Скалярное произведение двух параллельных векторов равно произведению величины двух векторов. Для двух параллельных векторов угол между векторами равен 0 ° и Cos0 ° = 1. Следовательно, для двух параллельных векторов a и b мы имеем \ (\ overrightarrow a. \ Overrightarrow b \) = \ (| \ overrightarrow a || \ overrightarrow b | \) cos 0 ° = | a |.| b | .1 = | a |. | b |.

В чем разница между скалярным произведением и кросс-произведением?

Скалярное произведение — это скалярное произведение, а перекрестное произведение — это векторное произведение. Скалярное произведение двух векторов равно a.b = | a |. | B | Cosθ, а перекрестное произведение двух векторов равно a × b = | a |. | B | Sinθ. Результат скалярного произведения двух векторов лежит в той же плоскости, что и два вектора, тогда как результат скалярного произведения лежит в плоскости, перпендикулярной плоскости, охватывающей два вектора.

Что такое формула скалярного продукта?

Формула скалярного произведения представляет собой скалярное произведение двух векторов как произведение двух векторов и косинуса угла, образованного между ними. Формулу скалярного произведения данных векторов можно выразить следующим образом. Здесь a и b — два вектора, | a | и | b | — их соответствующие величины, а θ — угол между двумя векторами a . b = | a || b | cos⁡θ.

Включает ли формула скалярного произведения умножение?

Умножение двух векторов — это не то же самое, что скалярное умножение.Есть два типа умножения с участием двух векторов. Скалярное произведение — это «скалярное произведение», а векторное произведение — «перекрестное произведение». Формула скалярного произведения представляет собой скалярное произведение двух векторов как произведение двух векторов и косинуса угла, образованного между ними.

Какова цель формулы скалярного произведения?

Цель скалярного произведения — сообщить нам, какое количество вектора силы приложено в направлении вектора движения. Точечный продукт также позволяет нам измерить угол, образованный парой векторов, и относительное положение вектора относительно осей координат.

Что происходит, когда точечный продукт после использования формулы скалярного продукта равен 0?

Формула скалярного произведения представляет собой скалярное произведение двух векторов как произведение двух векторов и косинуса угла, образованного между ними. Если скалярное произведение равно 0, то мы можем сделать вывод, что либо длина одного, либо обоих векторов равна 0, либо угол между ними равен 90 градусам.

Где мы используем точечный продукт?

Концепция скалярного произведения широко используется в физике и технике.Для двух величин, расположенных под углом друг к другу, скалярное произведение дает результат этих двух векторов. Давайте возьмем пример силы, приложенной к телу F, и смещение тела равно d. Если угол между вектором силы F и вектором смещения d равен θ, то выполненная работа является произведением силы и смещения. W = F.d.Cosθ.

Как рассчитать скалярное произведение?

Скалярное произведение можно рассчитать за три простых шага. Сначала найдите величину двух векторов a и b, т.е. | a | и | b |.Во-вторых, найдите косеканс угла θ между двумя векторами. Наконец, возьмите произведение величины двух векторов и косеканса угла между двумя векторами, чтобы получить скалярное произведение двух векторов. (a.b = | a |. | b | .Cosθ. Также проверьте калькулятор скалярного произведения, чтобы легко найти векторное скалярное произведение.

Почему скалярное произведение называется скалярным произведением?

Скалярное произведение — это скаляр, потому что все отдельные составляющие ответа являются скалярными значениями.В a.b = | a |. | B | .Cosθ, | a |, | b | и Cosθ — все скалярные значения. Следовательно, скалярное произведение также называется скалярным произведением.

Почему мы используем Cos в точечном произведении?

Для нахождения скалярного произведения нам нужно иметь два вектора a, b в одном направлении. Поскольку векторы a и b расположены под углом друг к другу, значение acosθ является составляющей вектора a в направлении вектора b. Следовательно, мы можем найти cosθ в скалярном произведении двух векторов.

Почему скалярное произведение ортогональных векторов равно 0?

Два ортогональных вектора перпендикулярны друг другу, а угол между двумя векторами равен 90 °.Поскольку Cos90 ° = 0, скалярное произведение двух ортогональных векторов равно 0. a.b = | a |. | B | .cos90 ° = | a |. | B | .0 = 0.

Почему точечный продукт коммутативен?

Скалярное произведение двух векторов равно произведению величины двух векторов и косеканса угла между двумя векторами. И все отдельные составляющие величины и угла являются скалярными величинами. Следовательно, a.b = b.a, и скалярное произведение векторов следует свойству коммутативности.

Может ли скалярное произведение равняться нулю?

Скалярное произведение двух векторов может быть равно нулю, если один из двух векторов равен нулю или если два вектора перпендикулярны друг другу.Для двух ненулевых векторов скалярное произведение равно нулю, если угол между двумя векторами равен 90º, потому что Cos90º = 0.

Точки и кросс-произведения на векторах

Величина, которая характеризуется не только величиной, но и направлением, называется вектором. Скорость, сила, ускорение, импульс и т. Д. — векторы.

Векторы можно умножать двумя способами:

• Скалярное произведение или скалярное произведение
• Векторное произведение или перекрестное произведение

Результат скалярного произведения / скалярного произведения двух векторов всегда является скалярной величиной.Рассмотрим два вектора a и b . Скалярное произведение вычисляется как произведение величин a, b и косинуса угла между этими векторами.

Скалярное произведение = | a || b | cos α

Здесь | a | = величина вектора a
| b | = величина вектора b
α = угол между векторами

Векторы a и b с углом α между ними

Вектор a может проецироваться на линию l, как показано ниже:

CD = проекция вектора a на вектор b

Из рисунка выше ясно, что мы можем проецировать один вектор на другой вектор.AC — величина вектора A. На рисунке выше AD нарисован перпендикулярно линии l. CD представляет собой проекцию вектора a на вектор b .

Треугольник ACD, таким образом, является прямоугольным треугольником, и мы можем применять тригонометрические формулы.

Если α является мерой угла ACD, то

cos α = CD / AC

Или CD = AC cos α

Из рисунка видно, что CD является проекцией вектора a on vector b

Итак, мы можем заключить, что один вектор может быть спроецирован на другой вектор с помощью косинуса угла между ними.

Свойства скалярного произведения:

• Скалярное произведение двух векторов всегда является действительным числом (скалярным).
• Скалярное произведение коммутативно, т.е. a.b = b.a = | a || b | cos α
• Если α равно 90 °, то скалярное произведение равно нулю, поскольку cos (90) = 0. Итак, скалярное произведение единичных векторов в направлениях x, y равно 0.
• Если α равно 0 °, то скалярное произведение равно произведение величин a и b | a || b |.
• Скалярное произведение единичного вектора на себя равно 1.
• Скалярное произведение вектора a на себя равно | a | ²
• Если α равно 180 ⁰ , скалярное произведение векторов a и b равно — | a || b |
• Скалярное произведение распределительно поверх сложения

a. ( b + c ) = a.b + a.c

• Для любых скалярных k и m тогда

l a. (m b ) = km ab

• Если компонентная форма векторов задана как:

a = a1x + a2y + a3z

b = b1x + b2y + b3z

, то скалярное произведение задается как

a.b = a1b1 + a2b2 + a3b3

• Скалярное произведение равно нулю в следующих случаях:
  • Модуль вектора a равен нулю
  • Модуль вектора b равен нулю
  • Векторы a и b перпендикулярны друг другу

Неравенство Коши — Шварца

Согласно этому принципу, для любых двух векторов a и b величина скалярного произведения всегда меньше или равняется произведению абсолютных величин вектора a и вектора b

| a.б | ≤ | а | | б |

Доказательство:

Поскольку, a.b = | a | | б | cos α

Мы знаем, что 0

Итак, мы заключаем, что | a.b | ≤ | а | | б |

Неравенство треугольника

Для любых двух векторов a и b всегда будет

| a + b | ≤ | a | + | b |

Неравенство треугольника

Доказательство:

| a + b | ² = | a + b || a + b |

= а.a + a.b + b.a + b.b

= | a | ² + 2 a.b + | b | ² (скалярное произведение коммутативно)

≤ | a | ² + 2 | a || b | + | b | ²

≤ ( | a | + | b | ) ²

Это доказывает, что | a + b | ≤ | a | + | b |

Вопрос 1.Рассмотрим два вектора такие, что | a | = 6 и | b | = 3 и α = 60 °. Найдите их точечный продукт.

Решение:

a.b = | a | | б | cos α

Итак, ab = 6.3.cos (60 °)

= 18 (1/2)

ab = 9

Вопрос 2. Докажите, что векторы a = 3i + j-4k и вектор b = 8i-8j + 4k перпендикулярны.

Решение :

Мы знаем, что векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю

a.б = (3i + j-4k) (8i-8j + 4k)

= (3) (8) + (1) (- 8) + (- 4) (4)

= 24-8 + 16 = 0

Поскольку скалярное произведение равно нулю, мы можем сделать вывод, что векторы перпендикулярны друг другу.

Читатели уже знакомы с трехмерной правой прямоугольной системой координат. В этой системе вращение оси x против часовой стрелки в положительную ось y указывает на то, что правосторонний (стандартный) винт будет продвигаться в направлении положительной оси z, как показано на рисунке.

3D Прямоугольная система координат

Векторное произведение двух векторов a и b с углом α между ними математически вычисляется как

a × b = | a | | б | sin α

Следует отметить, что векторное произведение представляет собой вектор с заданным направлением. Результирующая всегда перпендикулярна как a, так и b.

В случае, если a и b — параллельные векторы, результат должен быть равен нулю, поскольку sin (0) = 0

Свойства перекрестного произведения:

• Перекрестное произведение генерирует векторную величину.Результирующая всегда перпендикулярна как a, так и b.
• Перекрестное произведение параллельных векторов / коллинеарных векторов равно нулю, поскольку sin (0) = 0.

i × i = j × j = k × k = 0

• Перекрестное произведение двух взаимно перпендикулярных векторов с единицей величина каждого равна единице. (Поскольку sin (0) = 1)
• Перекрестное произведение не коммутативно.

a × b не равно b × a

• Перекрестное произведение распределяет над сложением

a × ( b + c ) = a × b + a × c

k (a × b) = k (a) × b = a × k (b)

• При движении по часовой стрелке и взятии векторного произведения любых двух пар из единичных векторов получаем третий и против часовой стрелки получаем отрицательный результат.

Перекрестное произведение по часовой стрелке и против часовой стрелки

Могут быть получены следующие результаты:

i × j = k j × k = i k × i = j

j × i = -k i × k = -j k × j = -i

Если вектор a представлен как a = a1x + a2y + a3z , а вектор b представлен как b = b1x + b2y + b3z

Тогда перекрестное произведение a × b может быть вычислено с использованием детерминантной формы

a × b = x (a2b3 — b2a3) + y (a3b1 — a1b3) + z (a1b2 — a2b1 )

Если a и b — смежные стороны параллелограмма OXYZ и α — угол между векторами a и b.

Тогда площадь параллелограмма равна | a × b | = | а | | b | sin.α

Векторы a и b как смежные стороны параллелограмма

Вопрос 1. Найдите векторное произведение двух векторов a и b, если их величины равны 5 и 10 соответственно. Учитывая, что угол между ними составляет 30 °.

Решение:

a × b = абсин (30) = (5) (10) (1/2)

= 25 перпендикулярно a и b

Вопрос 2.Найдите площадь параллелограмма, смежные стороны которого равны

a = 4i + 2j -3k

b = 2 i + j-4k

Решение :

Площадь вычисляется путем нахождения векторное произведение смежных сторон

a × b = x (a2b3 — b2a3) + y (a3b1 — a1b3) + z (a1b2 — a2b1)

= i (-8 + 3) + j (-6 + 16) + k (4-2)

= -5i + 10j + 2k

Следовательно, величина площади равна

=

=

Применение: Точечные произведения и перекрестные произведения широко используются в инженерных приложениях.

Вниманию читателя! Не прекращайте учиться сейчас. Примите участие в тесте на получение стипендии для курса «Первый шаг к DSA» для учащихся 9–12 классов .

Внутреннее (точечное) произведение двух векторов. Приложения в машинном обучении

Выделите : В этом посте мы рассмотрим один из основных операторов линейной алгебры. Он известен как точечное произведение или внутреннее произведение двух векторов. Большинство из вас уже знакомы с этим оператором, и на самом деле его довольно легко объяснить.И все же мы дадим некоторые дополнительные идеи, а также некоторую базовую информацию о том, как использовать его в Python.

Обзор руководства:

1. Точечный продукт :: Определение и свойства
2. Линейные функции
3. Примеры и реализация

Точечный продукт :: Определение и свойства

Прежде всего, когда вы применяете внутренний продукт к двум векторам, они должны быть одного размера.

Например, у нас есть два вектора или два упорядоченных списка векторов.Мы применяем скалярное произведение таким образом, что сначала мы поэлементно умножаем эти два упорядоченных вектора. Давайте посмотрим на пример. Умножаем поэлементно: \ (2 \ cdot 8 \), \ (7 \ cdot 2 \), \ (1 \ cdot 8 \).

Затем мы суммируем эти члены умножения. Интересно, что результатом скалярного произведения является скаляр.

Сначала, как обычно, давайте посмотрим на векторы в двухмерной плоскости. Их легко визуализировать, и они дают нам интуитивное представление о том, что такое точечный продукт. Итак, мы будем наблюдать два вектора \ (\ vec {v} \) и \ (\ vec {w} \). Скалярное произведение между этими двумя векторами можно интерпретировать как проекцию вектора \ (\ vec {w} \) на вектор \ (\ vec {v} \) . Затем мы умножаем длину спроецированного вектора \ (\ vec {w} \) на \ (\ vec {v} \) и длину \ (\ vec {v} \).

Теперь вы можете спросить: а что, если проекция находится по ту сторону \ (\ vec {v} \)? Если угол между векторами тупой? Конечно, такое бывает, и тогда результат будет отрицательным.

Итак, в зависимости от угла между двумя векторами мы можем иметь следующие сценарии.{\ circ} \) (острый угол).

Если векторы перпендикулярны, то внутреннее произведение равно нулю. Это важное свойство! Такие векторы мы называем ортогональными.

В случае, если векторы образуют тупой угол, внутреннее произведение будет отрицательным.

Есть еще одна хитрость, так сказать со скалярным произведением. Итак, мы видим, что скалярное произведение — это коммутативная векторная операция. По сути, это означает, что мы можем проецировать \ (\ vec {v} \) на \ (\ vec {w} \), в этом случае у нас будет длина проецируемого \ (\ vec {v} \), умноженная на длину of \ (\ vec {w} \), поэтому мы получим тот же результат.

Давайте подробнее рассмотрим коммутативность внутреннего продукта.

Если \ (\ vec {v} \) и \ (\ vec {w} \) имеют одинаковую длину, мы могли бы использовать симметрию. Итак, мы видим, что длина проекции \ (\ vec {w} \) на \ (\ vec {v} \) такая же, как длина проекции \ (\ vec {v} \) на \ (\ vec {w} \). Таким образом, очевидно, что внутренний продукт одинаков для обоих подходов к расчету.

Кроме того, мы можем предположить, что один из векторов, скажем, \ (\ vec {v} \), в три раза длиннее, чем \ (\ vec {w} \).Теперь мы видим, что у нас не может быть выступов одинаковой длины. Однако мы можем интерпретировать это \ (3 \ vec {v} \) как простое масштабирование вектора \ (\ vec {v} \).

Напомним, что масштабирование вектора скаляром на самом деле масштабирует его длину.

Следовательно, мы можем наблюдать вектор, имеющий тот же размер, что и \ (\ vec {w} \), масштабированный с помощью скаляра. Теперь у нас есть скаляр, умноженный на вектор \ (\ vec {v} \), и взятие скалярного произведения на \ (\ vec {w} \) будет таким же, как умножение \ (3 \) на \ (\ vec { v} \) и \ (\ vec {w} \).Это показывает, что внутреннее произведение действительно является коммутативной операцией.

Линейные функции

Теперь мы снова поговорим о линейных функциях. Но теперь мы рассмотрим функции, в которых входные и выходные размеры не совпадают. Например, у нас есть двумерный входной вектор, и с помощью функции \ (L \) он даст нам одномерный выходной вектор.

Для линейных преобразований сохраняются следующие свойства:

Например, линия с равномерно расположенными точками будет отображена на линию 1D.Здесь обратите внимание, что на самом деле мы отображаем точек с координатами ( x , y ) в одну координату (например, на какая-то линия z )! Что важно, чтобы расстояние между точками на нанесенной линии было равноудаленным. Это свойство линейного преобразования.

Теперь давайте посмотрим, что произойдет, если мы применим линейное преобразование [1-2] к вектору \ (\ vec {w} \). Он отображается так, что его значение равно \ (- 2 \). Это преобразование отображает двухмерное пространство в одномерное пространство, которое является линией.И это преобразование \ (\ begin {bmatrix} 1 & -2 \ end {bmatrix} \) показывает, как мы отображаем один базисный вектор. Таким образом, этот \ (1 \) не изменит наш вектор \ (\ hat {i} \) (останется прежним), но изменит наш вектор \ (\ hat {j} \). Вектор \ (\ hat {j} \) будет преобразован в -2. Итак, используя идею о том, что любой вектор может быть разложен на комбинацию базисных векторов, мы можем получить следующую формулу.

Все это можно пояснить на этом примере. Вы можете думать об этом: как двумерные точки будут проецироваться на одну линию.

У нас есть вектор, который идет от \ (0 \) к \ (\ hat {u} \). Кроме того, у нас есть много двумерных точек. Нас интересует, где эти двумерные точки (векторы!) Будут проецироваться на одну линию?

Давайте посмотрим, где вектор \ (\ hat {i} \) попадет на единичный вектор \ (\ hat {u} \), определяющий эту линию. Если мы воспользуемся так называемой линией симметрии, мы придем к выводу, что \ (u_ {x} \) будет проекцией \ (\ hat {i} \). Это также координата x вектора \ (\ hat {u} \).

То же самое и с вектором \ (\ hat {i} \). Он будет спроецирован в вектор, имеющий длину \ (u_ {y} \). Итак, что будет проекцией произвольного вектора, имеющего две ненулевые ( x , y ) координаты.

Мы видим, что \ (u_ {x} \) и \ (u_ {y} \) определяют нашу матрицу проекции. Они сообщат нам, где будет располагаться наш базисный вектор: \ (u_ {x} \) и \ (u_ {y} \)

Другими словами, если мы представим наш вектор, используя базисные векторы, мы получим координаты ( x , и ). Когда мы умножаем эти координаты на \ (u_ {x} \) и \ (u_ {y} \) соответственно и суммируем эти два произведения, мы получим позицию, в которой наш исходный вектор (x, y) попадет на линия, заданная вектором \ (\ hat {u} \). Эта позиция будет нашей новой координатой для одномерной системы координат \ (\ hat {u} \).

Как только мы определим это преобразование, мы сможем рассматривать каждый вектор как разложение этих двух векторов, и, следовательно, мы можем получить результат. Теперь мы видим, что матричные векторные произведения двойственны с интерпретацией скалярного произведения.

Примеры и реализация

Умножение строки на столбец является фундаментальным для всех умножений матриц. Из двух векторов получается одно число. Это число называется внутренним произведением двух векторов. Другими словами, произведение матрицы \ (1 \) на \ (n \) (вектор-строка) и матрицы \ (n \ times 1 \) (вектор-столбец) является скаляром.

Для начала приведу несколько простых примеров:

\ (\ vec {v} = \ begin {bmatrix} 1 \\ 2 \ end {bmatrix} \), \ (\ vec {w} = \ begin { bmatrix} 4 \\ 5 \ end {bmatrix} \)

Точечное произведение:

$$ \ vec {v} \ cdot \ vec {w} = 1 \ cdot 4 + 2 \ cdot 5 = 4 + 10 = 14 $$

В другом примере показаны два вектора, внутреннее произведение которых равно \ (0 \).

\ (\ vec {v} = \ begin {bmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \ end {bmatrix} \), \ (\ vec {w} = \ begin {bmatrix} 4 \\ — 4 \\ 4 \ end {bmatrix} \)

$$ \ vec {v} \ cdot \ vec {w} = 0 $$

$$ 1 \ cdot 4 + 3 \ cdot \ left (-4 \ right) +2 \ cdot 4 = 0 $$

Теперь наши векторы \ (\ vec {v} \) и \ (\ vec {w} \) имеют размер \ (3 \).

С другой стороны, мы можем вычислить длину одного вектора с помощью скалярного произведения и применить квадратный корень. Иногда это называют «нормой» вектора.

$$ \ vec {v} = \ begin {bmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \ end {bmatrix} $$

$$ \ vec {v} \ cdot \ vec {v} = 1 + 9 + 4 = 14 $$

Длина равна \ (\ left \ | \ vec {v} \ right \ | = \ sqrt {14} \)

Это может быть очень полезно, когда нам нужно нормализовать наши векторы.В этом случае мы хотим, чтобы вектор имел длину \ (1 \). В принципе, если длина нашего вектора равна \ (4 \), понятно, что нам нужно разделить его на \ (4 \). В этом случае, когда у нас есть \ (\ sqrt {14} \), и мы просто разделим каждый элемент нашего вектора на \ (\ sqrt {14} \), и это будет наш результирующий вектор:

$$ \ vec {u} = \ frac {\ vec {v}} {\ left \ | \ vec {v} \ right \ |} = \ frac {1} {\ sqrt {14}} \ begin {bmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \ end {bmatrix} $$

$$ \ left \ | \ vec {u} \ right \ | = 1 $$

$$ \ frac {1} {14} + \ frac {9} {14} + \ frac {4} {14} = 1 $$

ср. с помощью этого подхода можно также получить угол между двумя векторами. {\ circ} $$

Это уравнение доказывает, что на самом деле все значения абсолютного косинуса меньше единицы.Итак, у нас есть следующая форма, где абсолютное значение между скалярным произведением всегда меньше размера вектора \ (\ vec {v} \), умноженного на вектор \ (\ vec {w} \).

$$ \ осталось | \ cos \ theta \ right | \ leq 1 $$

$$ \ left | \ vec {v} \ cdot \ vec {w} \ right | \ leq \ left \ | \ vec {v} \ right \ | \ left \ | \ vec {w} \ right \ | $$

Один из способов определить скалярное произведение — записать его следующим образом:

$$ \ vec {v} \ cdot \ vec {w} = v_ {1} w_ {1} + v_ {2} w_ {2} $$

Кроме того, очень интересно определение единичного вектора.Например, вектор \ (\ vec {v} \) с координатами \ (\ left (1,1 \ right) \) мы можем нормализовать следующим образом. Мы можем разделить \ (\ vec {v} \) на длину \ (\ vec {v} \), и это будет наш единичный вектор с длиной \ (\ frac {1} {\ sqrt {2}} \).

С другой стороны, мы можем видеть, что векторы длины \ (1 \), которые начинаются в центре системы координат, определяют единичную окружность. Итак, каждый единичный вектор должен быть на этом круге. Также интересно, что длина — это одно, но другое свойство — если мы возьмем скалярное произведение с нашим базисным вектором \ (\ hat {i} \) и нашим единичным вектором \ (\ hat {u} \).Эта проекция — хорошо известный результат тригонометрии. Получаем \ (\ cos \ theta \) по оси \ (x \) и \ (\ sin \ theta \) по оси \ (y \). Более того, мы можем получить наши координаты единичного вектора, положив \ (\ cos \ theta \) для компонента \ (x \) и \ (\ sin \ theta \) для компонента \ (y \). Таким образом мы можем определить угол между двумя векторами.

Резюме

Вау! Действительно, мы предоставили множество идей и концепций, связанных с внутренним или точечным произведением двух векторов.Мы понимаем, насколько важна линейная алгебра. Также очень часто у нас будут похожие приложения. Например, мы будем использовать нормализацию наших данных, используя идеи скалярного произведения. Это просто название одного из огромного количества приложений для скалярных произведений. Подождите, и в следующем посте мы продолжим наше путешествие и поговорим больше о линейных преобразованиях .

Точечный продукт | Блестящая вики по математике и науке

В декартовых координатах скалярное произведение принимает удобную форму.Предположим, что a⃗ \ vec {a} a и b⃗ \ vec {b} b образуют углы α \ alpha α и β \ beta β, соответственно, с осью x x x. Напомним, что представление в декартовых координатах становится