Онлайн калькулятор: Скалярное произведение

Калькулятор ниже вычисляет скалярное произведение двух векторов по векторным координатам, используя алгебраическое определение. Определения скалярного произведения, геометрическое и алгебраическое, вы можете найти ниже под калькулятором.

Векторное произведение

Первый вектор

Второй вектор

Точность вычисления

Знаков после запятой: 2

Векторное произведение

 

save Сохранить share Поделиться extension Виджет

Скалярное произведение

Скалярное произведение двух векторов a и b определяется по формуле

где
обозначает величину вектора a,
это угол между векторами a и b

Алгебраическое определение скалярного произведения выглядит следующим образом:

где
a_i это i-тая координата,
n это измерение векторного пространства.

Геометрическое и алгебраическое определения эквивалентны, но алгебраическое проще в вычислении.

Вычислить скалярное произведение векторов онлайн

Отрезок прямой, имеющий численное значение и направление, называется вектором, обозначается латинской буквой со стрелкой сверху. Над векторами можно совершать различные линейные операции, в том числе умножение. Помимо умножения векторов на числа, вектора можно перемножать друг с другом. Произведение длин векторов на косинус угла между ними называется скалярным произведением векторов.

a · b = |a| · |b| cos α

В результате перемножения двух векторов получаем положительное или отрицательное число (скаляр). Знак зависит лишь от значения косинуса, т.к. длина ненулевого вектора всегда величина положительная.

Скалярное произведение можно записать через координаты векторов а и b. Скалярное произведение векторов равняется сумме попарных произведений соответствующих координат этих векторов.
На плоскости.
Пусть координаты векторов: a = {a_x ; a_y} и b = {b_x ; b_y}, тогда скалярное произведение определяем по формуле:

a · b = a_x · b_x + a_y · b_y,

В пространстве.
Пусть векторы а и b заданы координатами: a = {a_x ; a_y ; a_z} и b = {b_x ; b_y ; b_z}, вычисляем скалярное произведение векторов:

a · b = a_x · b_x + a

y · b_y + a_z · b_z,

Скалярное произведение n — мерных векторов определяем по формуле:

a · b = a₁ · b₁ + a₂ · b₂ + … + a_n · b_n,

где a = {a₁ ; a₂ ; … ; a_n} и b = {b₁ ; b₂ ; … ; b_n}

Свойства скалярного произведения векторов:
1. скалярное произведение вектора на себя равно квадрату его модуля и всегда будет больше или равно нулю.
2. скалярное произведение нулевого вектора на себя равно нулю.
3. a · b = b · a — коммуникативный или переместительный закон скалярного произведения.

4. скалярное произведение не нулевых векторов равняется нулю, если векторы ортогональны.
5. (аa) · b = а(a · b) — константу можно вынести из скалярного произведения.
6. (a + b) · c = a · c + b · c — скобки можно раскрывать.
Кроме скалярного произведения существует векторное произведение. В этом случае результатом перемножения двух векторов является вектор.

Быстро рассчитать скалярное произведение векторов вам поможет онлайн калькулятор.

Размерность векторов: 23 Форма представления первого вектора: КоординатамиТочками Форма представления второго вектора: КоординатамиТочками Введите значения векторов Первый вектор Второй вектор

Скалярное произведение векторов через координаты. Онлайн калькулятор.

Как найти скалярного произведения векторов плоскости и пространства

Пример №1
Найдем скалярное произведение векторов плоскости. Координаты обоих векторов заданны точками.
Координаты точки А вектора AB: (5 ; 9)
Координаты точки B вектора AB: (-2 ; 11)
Координаты точки C вектора CD: (0 ; 12)
Координаты точки D вектора CD: (-3 ; 1)

Решение:

Вычислим координаты первого вектора по двум точкам A и B:

AB = {x_B — x_A  ; y_B — y_A} = {-2 — 5 ; 11 — 9} = {-7 ; 2}

Вычислим координаты второго вектора по двум точкам C и D:

CD = {x_D — x_C  ; y_D — y_C} = {-3 — 0 ; 1 — 12} = {-3 ; -11}

Найдем скалярное произведение векторов: AB и CD

AB ⋅ CD = AB_xCD_x + AB_yCD_y = -7 ⋅ (-3) + 2 ⋅ (-11) = 21 + (-22) = -1

Пример №2
Найдем скалярное произведение векторов плоскости.
Координаты вектора a: (5 ; 9)
Координаты вектора b: (-1 ; 7)

Решение:

Найдем скалярное произведение векторов: a и b

a ⋅ b = a_xb_x + a_yb_y = 5 ⋅ (-1) + 9 ⋅ 7 = -5 + 63 = 58

Пример №3
Найдем скалярное произведение векторов пространства. Координаты обоих векторов заданны точками.

Координаты точки А вектора AB: (7; 0.2 ; 69)
Координаты точки B вектора AB: (-1 ; 0 ; 2/8)
Координаты точки C вектора CD: (-4 ; -6 ; 2)
Координаты точки D вектора CD: (3 ; 0 ; 9)

Решение:

Вычислим координаты первого вектора по двум точкам A и B:

AB = {x_B — x_A  ; y_B — y_A; z_B — z_A} = {-1 — 7 ; 0 — 0.2 ; 2/8 — 69} = {-8 ; -1/5 ; -275/4}

Вычислим координаты второго вектора по двум точкам C и D:

CD = {x_D — x_C  ; y_D — y_C; z

D — z_C} = {3 — (-4) ; 0 — (-6) ; 9 — 2} = {7 ; 6 ; 7}

Найдем скалярное произведение векторов: AB и CD

AB ⋅ CD = AB_xCD_x + AB_yCD_y + AB_zCD_z = -8 ⋅ 7 + (-1/5) ⋅ 6 + (-275/4) ⋅ 7 = -56 + (-6/5) + (-1925/4) = -10769/20 = -538.45

Пример №4
Найдем скалярное произведение векторов пространства.
Координаты вектора a: (5 ; 1 ; 7)
Координаты вектора b: (2 ; 4 ; 6)

Решение:

Найдем скалярное произведение векторов: a и b

a ⋅ b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = 5 ⋅ 2 + 1 ⋅ 4 + 7 ⋅ 6 = 10 + 4 + 42 = 56

Скалярное произведение векторов, онлайн калькулятор

Наш онлайн калькулятор помогает найти скалярное произведение двух векторов всего в несколько кликов. Для вычисления скалярного произведения выберите размерность векторов и форму их представления (через координаты или по точкам), заполните все координаты и нажмите кнопку «Вычислить», калькулятор выдаст детальное решение и ответ! Каждый шаг будет подробно расписан, это поможет вам проверить свое решение и понять, как был получен ответ.

Введите данные, чтобы найти скалярное произведение векторов  

Размерность векторов:

2 3

Форма представления векторов:

координатами точками

Формула :

Решили сегодня: раз, всего раз

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Скалярное произведение векторов. Онлайн калькуляторы скалярного произведения и угла между векторами по координатам.

Скалярное произведение векторов. Онлайн калькуляторы скалярного произведения и угла между векторами по координатам.

Скалярное произведение векторов — это операция над двумя векторами, результатом которой является число (не вектор).

Определяется скалярное произведение, как правило, следующим образом:

Иными словами, скалярное произведение векторов равно произведению длин этих векторов на косинус угла между ними . Необходимо заметить, что угол между двумя векторами — это угол, который они образуют, если отложить их от одной точки, то есть начала векторов должны совпадать.

Непосредственно из определения следуют следующие простейшие свойства:

1. Скалярное произведение произвольного вектора а на себя же (скалярный квадрат вектора а) всегда неотрицательно, и равно квадрату длины этого вектора. Причем скалярный квадрат вектора равен нулю тогда и только тогда, когда данный вектор — нулевой.

2.Скалярное произведение любых перпендикулярных векторов a и b равно нулю.

3. Скалярное произведение двух векторов равно нулю тогда и только тогда, когда они перепендикулярны или хотя бы один из них — нулевой.

4. Скалярное произведение двух векторов a и b положительно тогда и только тогда, когда между ними острый угол.

5.Скалярное произведение двух векторов a и b отрицательно тогда и только тогда, когда между ними тупой угол.

Альтернативное определение скалярного произведения, или вычисление скалярного произведения двух векторов, заданных своими координатами.

(Вычислить координаты вектора, если заданы координаты его начала и его конца очень просто —

Пусть есть вектор AB, А — начало вектора, В — конец, и координаты этих точек

А=(a₁,a₂,a₃),        В=(b₁,b₂,b₃)

Тогда координаты вектора АВ:

АВ={b₁-a₁, b₂-a₂, b₃-a₃}.

Аналогично в двухмерном пространстве — просто отсутствуют третьи координаты)

Итак, пусть даны два вектора, заданные набором своих координат:

а) В двухмерном пространстве(на плоскости).

Тогда их скалярное произведение можно вычислить по формуле:

б) В трехмерном пространстве

Аналогично двухмерному случаю, их скалярное произведение вычисляется по формуле:

Вычисление угла между векторами с помощью скалярного произведения.

Самое распространенное математическое приложение скалярного произведения двух векторов — это вычисление угла между векторами, заданными своими координатами. Для примера возьмем трехмерный случай. (Если вектора заданы на плоскости, то есть двумя координатами, во всех формулах просто отсутствуют третьи координаты.)

Итак, пусть у нас есть два вектора:

И нам нужно найти угол между ними. С помощью их координат найдем их длины, а затем просто приравняем две формулы для скалярного произведения. Таким образом мы получим косинус искомого угла.

Длина вектора а вычисляется как корень из скалярного квадрата вектора а, который мы вычислим по формуле для скалярного произведения векторов, заданных координатами:

Аналогично вычисляется длина вектора b.

Итак,

Значит,

Искомый угол найден.

Он-лайн калькулятор скалярного произведения двух векторов.

Чтобы найти скалярное произведение двух векторов с помощью данного калькулятора, нужно ввести в первую строку по порядку координаты первого вектора, во вторую- второго. Координаты векторов могут быть вычислены по координатам их начала и конца (см. выше Альтернативное определение скалярного произведения, или вычисление скалярного произведения двух векторов, заданных своими координатами. )

Если вектора заданы двумя координатами, то на месте третьей координаты каждого вектора нужно поставить ноль.

Он-лайн калькулятор угла между векторами.

Аналогично предыдущему калькулятору, необходимо ввести координаты обоих векторов по порядку, и если вектора заданы двумя координатами — на месте третьих координат следует поставить ноль.

Оценка статьи:

Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением ненулевых векторов x и y называется произведение

(1)

где |·|-модуль вектора, φ -угол между векторами.

Если x=0 или y=0, то скалярное произведение равно нулю.

Пусть в n-мерном пространстве задан ортонормированный базис

Вариант 1. Начальные точки всех векторов совпадают с началом координат.

Пусть заданы векторы

тогда скалярное произведение (x,y) векторов x и y определяется соотношением:

(2)

 

Рис. 1

На рисунке Рис. 1 в двухмерном пространстве представлены векторы x=(7,0) и y=(5,5).

Для вычисления скалярного произведения методом (1), вычислим нормы векторов x и y:

Учитывая что , получим:

Теперь вычислим скалярное произведение векторов x и y используя выражение (2):

Получили одинаковые результаты, но посдедний вариант вычисления проще и не требует знания угла между векторами.

Вариант 2. Начальные точки векторов произвольные.

Пусть заданы векторы x=AB и y=CD, где ,,,.

Переместим векторы x и y так, чтобы начальные точки векторов совпали с началом координат. Получим векторы x’ и y’ с координатами (т.е. с конечными точками):

где

Из выражения (1) видно, что скалярное произведение векторов x и y зависит только от нормы векторов и от угла между ними. Так как |x’|=|x| , |y’|=|y| и угол между векторами x’ и y’ равен углу между векторами x и y, следовательно

Учитывая (2) получаем:

 

Рис. 2

На рисунке Рис. 2 в двухмерном пространстве представлены векторы x=AB и y=CD, где A(4,1), B(9,-2), C(1,2), D(5,6).

Из выражения (1) видно, что скалярное произведение векторов x и y зависит только от нормы векторов и от угла между ними. Переместим параллельно векторы так, что их начальные точки совпали с началом координат. Тогда x’=(9-4, -2-1)=(5, -3), y’=(5-1, 6-2)=(4,4), |x’|=|x| , |y’|=|y| и угол между векторами x’ и y’ равен углу между векторами x и y. Следовательно

 

• Скалярное произведение обладает следующими свойствами:
•  
• 1. (x,y)=(y,x) ( коммутативность) .
• 2. (x,y+z)=(x,y)+(x,z) (дистрибутивность относительно сложения векторов).
• 3. λ(x,y)=(λx,y)=(x,λy) (ассоциативность относительно умножения на число).