Скалярное произведение векторов, онлайн калькулятор

Наш онлайн калькулятор помогает найти скалярное произведение двух векторов всего в несколько кликов. Для вычисления скалярного произведения выберите размерность векторов и форму их представления (через координаты или по точкам), заполните все координаты и нажмите кнопку «Вычислить», калькулятор выдаст детальное решение и ответ! Каждый шаг будет подробно расписан, это поможет вам проверить свое решение и понять, как был получен ответ.

Введите данные, чтобы найти скалярное произведение векторов  

Размерность векторов:

2 3

Форма представления векторов:

координатами точками

Формула :

Решили сегодня: раз, всего раз

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Векторное произведение двух векторов. Он-лайн калькулятор.

Векторное произведение двух векторов. Он-лайн калькулятор.

Векторное произведение двух векторов а и b — это операция над ними, определенная лишь в трехмерном пространстве, результатом которой является вектор со следующими свойствами: Для большей ясности приведем пример — на рисунке справа вектор [a,b] — векторное произведение векторов а и b. Как сказано в определении, мы привели все три вектора к общему началу, и тогда, если смотреть на вектора a и b с конца вектора [a,b], кратчайший поворот от вектора а до вектора b будет против часовой стрелки .

Очевидно, что в случае векторного произведения, имеет значение порядок, в котором берутся вектора, более того,

Так же, непосредственно из определения следует, что для любого скалярного множителя k (числа) верно следующее:

Векторное произведение коллинеарных векторов равно нулевому вектору. Более того, векторное произведение двух векторов равно нулю тогда и только тогда, когда они коллинеарны. (В случае, если один из них нулевой вектор необходимо вспомнить, что нулевой вектор коллинеарен любому вектору по определению).

Векторное произведение обладает распределительным свойством, то есть

Выражение векторного произведения через координаты векторов.

Пусть даны два вектора

(как найти координаты вектора по координатам его начала и конца — см. статью Скалярное произведение векторов, пункт Альтернативное определение скалярного произведения, или вычисление скалярного произведения двух векторов, заданных своими координатами.)

Тогда

Зачем нужно векторное произведение?

Существует множество способов применения векторного произведения, например, как уже написано выше, вычислив векторное произведение двух векторов можно выяснить, коллинеарны ли они.

Или же его можно использовать как способ вычисления площади параллелограмма, построенного на этих векторах. Исходя из определения, длина результирующего вектора и есть площадь данного параллелограмма.

Также огромное количество применений существует в электричестве и магнетизме.

 

Он-лайн калькулятор векторного произведения.

Чтобы найти скалярное произведение двух векторов с помощью данного калькулятора, нужно ввести в первую строку по порядку координаты первого вектора, во вторую- второго. Координаты векторов могут быть вычислены по координатам их начала и конца (см. статью

Скалярное произведение векторов, пункт Альтернативное определение скалярного произведения, или вычисление скалярного произведения двух векторов, заданных своими координатами. )

 

Смешанное произведение векторов онлайн. Смешанное произведение векторов. Онлайн калькулятор

Смешанным (или векторно-скалярным) произведением трех векторов a, b, c (взятых в указанном порядке) называется скалярное произведение вектора a на векторное произведение b x c , т. е. число a(b x c), или, что то же, (b x c)a.
Обозначение: abc .

Назначение . Онлайн-калькулятор предназначен для вычисления смешанного произведения векторов. Полученное решение сохраняется в файле Word . Дополнительно создается шаблон решения в Excel .

Признаки компланарности векторов

Три вектора (или большее число) называются компланарными, если они, будучи приведены к общему началу, лежат в одной плоскости.
Если хотя бы один из трех векторов – нулевой, то три вектора тоже считаются компланарными.

Признак компланарности . Если система a, b, c – правая, то abc>0 ; если левая, то abcГеометрический смысл смешанного произведения . Смешанное произведение abc трех некомпланарных векторов a, b, c равно объему параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c , взятому со знаком плюс, если система a, b, c – правая, и со знаком минус, если эта система левая.

Свойства смешанного произведения

1. При круговой перестановке сомножителей смешанное произведение не меняется, при перестановке двух сомножителей – меняет знак на обратный: abc=bca=cab=-(bac)=-(cba)=-(acb)
   Вытекает из геометрического смысла.
2. (a+b)cd=acd+bcd (распределительное свойство). Распространяется на любое число слагаемых.
   Вытекает из определения смешанного произведения.
3. (ma)bc=m(abc) (сочетательное свойство относительно скалярного множителя).
   Вытекает из определения смешанного произведения. Эти свойства позволяют применять к смешанным произведениям преобразования, отличающиеся от обычных алгебраических лишь тем, что менять порядок сомножителей можно только с учетом знака произведения.
4. Смешанное произведение, имеющее хотя бы два равных сомножителя, равно нулю: aab=0 .

Пример №1 . Найти смешанное произведение. ab(3a+2b-5c)=3aba+2abb-5abc=-5abc .

Пример №2 . (a+b)(b+c)(c+a)= (axb+axc+bxb+bxc)(c+a)= (axb+axc +bxc)(c+a)=abc+acc+aca+aba+bcc+bca . Все члены, кроме двух крайних, равны нулю. Кроме того, bca=abc . Поэтому (a+b)(b+c)(c+a)=2abc .

Пример №3 . Вычислить смешанное произведение трех векторов a=15i+20j+5k, b=2i-4j+14k, c=3i-6j+21k .
Решение . Чтобы вычислить смешанное произведение векторов, необходимо найти определитель системы, составленной из координат векторов. Запишем систему в виде.

На данном уроке мы рассмотрим ещё две операции с векторами: векторное произведение векторов и смешанное произведение векторов (сразу ссылка, кому нужно именно оно) . Ничего страшного, так иногда бывает, что для полного счастья, помимо скалярного произведения векторов , требуется ещё и ещё. Такая вот векторная наркомания. Может сложиться впечатление, что мы залезаем в дебри аналитической геометрии. Это не так. В данном разделе высшей математики вообще мало дров, разве что на Буратино хватит. На самом деле материал очень распространенный и простой – вряд ли сложнее, чем то же скалярное произведение , даже типовых задач поменьше будет. Главное в аналитической геометрии, как многие убедятся или уже убедились, НЕ ОШИБАТЬСЯ В ВЫЧИСЛЕНИЯХ. Повторяйте как заклинание, и будет вам счастье =)

Если векторы сверкают где-то далеко, как молнии на горизонте, не беда, начните с урока Векторы для чайников , чтобы восстановить или вновь приобрести базовые знания о векторах. Более подготовленные читатели могут знакомиться с информацией выборочно, я постарался собрать максимально полную коллекцию примеров, которые часто встречаются в практических работах

Чем вас сразу порадовать? Когда я был маленьким, то умел жонглировать двумя и даже тремя шариками. Ловко получалось. Сейчас жонглировать не придётся вообще, поскольку мы будем рассматривать только пространственные векторы

, а плоские векторы с двумя координатами останутся за бортом. Почему? Такими уж родились данные действия – векторное и смешанное произведение векторов определены и работают в трёхмерном пространстве. Уже проще!

В данной операции, точно так же, как и в скалярном произведении, участвуют два вектора . Пусть это будут нетленные буквы .

Само действие обозначается следующим образом: . Существуют и другие варианты, но я привык обозначать векторное произведение векторов именно так, в квадратных скобках с крестиком.

И сразу вопрос : если в скалярном произведении векторов участвуют два вектора, и здесь тоже умножаются два вектора, тогда в чём разница ? Явная разница, прежде всего, в РЕЗУЛЬТАТЕ:

Результатом скалярного произведения векторов является ЧИСЛО:

Результатом векторного произведения векторов является ВЕКТОР : , то есть умножаем векторы и получаем снова вектор. Закрытый клуб. Собственно, отсюда и название операции. В различной учебной литературе обозначения тоже могут варьироваться, я буду использовать букву .

Определение векторного произведения

Сначала будет определение с картинкой, затем комментарии.

Определение : Векторным произведением неколлинеарных векторов , взятых в данном порядке , называется ВЕКТОР , длина которого численно равна площади параллелограмма , построенного на данных векторах; вектор ортогонален векторам , и направлен так, что базис имеет правую ориентацию:

Разбираем определение по косточкам, тут много интересного!

Итак, можно выделить следующие существенные моменты:

1) Исходные векторы , обозначенные красными стрелками, по определению не коллинеарны . Случай коллинеарных векторов будет уместно рассмотреть чуть позже.

2) Векторы взяты в строго определённом порядке : – «а» умножается на «бэ» , а не «бэ» на «а». Результатом умножения векторов является ВЕКТОР , который обозначен синим цветом. Если векторы умножить в обратном порядке, то получим равный по длине и противоположный по направлению вектор (малиновый цвет). То есть, справедливо равенство .

3) Теперь познакомимся с геометрическим смыслом векторного произведения. Это очень важный пункт! ДЛИНА синего вектора (а, значит, и малинового вектора ) численно равна ПЛОЩАДИ параллелограмма, построенного на векторах . На рисунке данный параллелограмм заштрихован чёрным цветом.

Примечание : чертёж является схематическим, и, естественно, номинальная длина векторного произведения не равна площади параллелограмма.

Вспоминаем одну из геометрических формул: площадь параллелограмма равна произведению смежных сторон на синус угла между ними . Поэтому, исходя из вышесказанного, справедлива формула вычисления ДЛИНЫ векторного произведения:

Подчёркиваю, что в формуле речь идёт о ДЛИНЕ вектора, а не о самом векторе . Каков практический смысл? А смысл таков, что в задачах аналитической геометрии площадь параллелограмма часто находят через понятие векторного произведения:

Получим вторую важную формулу. Диагональ параллелограмма (красный пунктир) делит его на два равных треугольника. Следовательно, площадь треугольника, построенного на векторах (красная штриховка), можно найти по формуле:

4) Не менее важный факт состоит в том, что вектор ортогонален векторам , то есть . Разумеется, противоположно направленный вектор (малиновая стрелка) тоже ортогонален исходным векторам .

5) Вектор направлен так, что базис имеет правую ориентацию. На уроке о переходе к новому базису я достаточно подробно рассказал об ориентации плоскости , и сейчас мы разберёмся, что такое ориентация пространства. Объяснять буду на пальцах вашей правой руки . Мысленно совместите указательный палец с вектором и средний палец с вектором . Безымянный палец и мизинец прижмите к ладони. В результате большой палец – векторное произведение будет смотреть вверх. Это и есть правоориентированный базис (на рисунке именно он). Теперь поменяйте векторы (указательный и средний пальцы ) местами, в результате большой палец развернётся, и векторное произведение уже будет смотреть вниз. Это тоже правоориентированный базис. Возможно, у вас возник вопрос: а какой базис имеет левую ориентацию? «Присвойте» тем же пальцам левой руки векторы , и полУчите левый базис и левую ориентацию пространства (в этом случае большой палец расположится по направлению нижнего вектора) . Образно говоря, данные базисы «закручивают» или ориентируют пространство в разные стороны. И это понятие не следует считать чем-то надуманным или абстрактным – так, например, ориентацию пространства меняет самое обычное зеркало, и если «вытащить отражённый объект из зазеркалья», то его в общем случае не удастся совместить с «оригиналом». Кстати, поднесите к зеркалу три пальца и проанализируйте отражение;-)

…как всё-таки хорошо, что вы теперь знаете о право- и левоориентированных базисах, ибо страшнЫ высказывания некоторых лекторов о смене ориентации =)

Векторное произведение коллинеарных векторов

Определение подробно разобрано, осталось выяснить, что происходит, когда векторы коллинеарны. Если векторы коллинеарны, то их можно расположить на одной прямой и наш параллелограмм тоже «складывается» в одну прямую. Площадь такого, как говорят математики, вырожденного параллелограмма равна нулю. Это же следует и из формулы – синус нуля или 180-ти градусов равен нулю, а значит, и площадь нулевая

Таким образом, если , то . Строго говоря, само векторное произведение равно нулевому вектору, но на практике этим часто пренебрегают и пишут, что оно просто равно нулю.

Частный случай – векторное произведение вектора на самого себя:

С помощью векторного произведения можно проверять коллинеарность трёхмерных векторов, и данную задачу среди прочих мы тоже разберём.

Для решения практических примеров может потребоваться тригонометрическая таблица , чтобы находить по ней значения синусов.

Ну что же, разжигаем огонь:

Пример 1

а) Найти длину векторного произведения векторов , если

б) Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах , если

Решение : Нет, это не опечатка, исходные данные в пунктах условия я намеренно сделал одинаковыми. Потому что оформление решений будет отличаться!

а) По условию требуется найти длину вектора (векторного произведения). По соответствующей формуле:

Ответ :

Коль скоро спрашивалось о длине, то в ответе указываем размерность – единицы.

б) По условию требуется найти площадь параллелограмма, построенного на векторах . Площадь данного параллелограмма численно равна длине векторного произведения:

Ответ :

Обратите внимание, что в ответе о векторном произведении речи не идёт вообще, нас спрашивали о площади фигуры , соответственно, размерность – квадратные единицы.

Всегда смотрим, ЧТО требуется найти по условию, и, исходя из этого, формулируем чёткий ответ. Может показаться буквоедством, но буквоедов среди преподавателей хватает, и задание с хорошими шансами вернётся на доработку. Хотя это не особо натянутая придирка – если ответ некорректен, то складывается впечатление, что человек не разбирается в простых вещах и/или не вник в суть задания. Этот момент всегда нужно держать на контроле, решая любую задачу по высшей математике, да и по другим предметам тоже.

Куда подевалась большая буковка «эн»? В принципе, её можно было дополнительно прилепить в решение, но в целях сократить запись, я этого не сделал. Надеюсь, всем понятно, что и – это обозначение одного и того же.

Популярный пример для самостоятельного решения:

Пример 2

Найти площадь треугольника, построенного на векторах , если

Формула нахождения площади треугольника через векторное произведение дана в комментариях к определению. Решение и ответ в конце урока.

На практике задача действительно очень распространена, треугольниками вообще могут замучить.

Для решения других задач нам понадобятся:

Свойства векторного произведения векторов

Некоторые свойства векторного произведения мы уже рассмотрели, тем не менее, я их включу в данный список.

Для произвольных векторов и произвольного числа справедливы следующие свойства:

1) В других источниках информации данный пункт обычно не выделяют в свойствах, но он очень важен в практическом плане. Поэтому пусть будет.

2) – свойство тоже разобрано выше, иногда его называют антикоммутативностью . Иными словами, порядок векторов имеет значение.

3) – сочетательные или ассоциативные законы векторного произведения. Константы безпроблемно выносятся за пределы векторного произведения. Действительно, чего им там делать?

4) – распределительные или дистрибутивные законы векторного произведения. С раскрытием скобок тоже нет проблем.

В качестве демонстрации рассмотрим коротенький пример:

Пример 3

Найти , если

Решение: По условию снова требуется найти длину векторного произведения. Распишем нашу миниатюру:

(1) Согласно ассоциативным законам, выносим константы за переделы векторного произведения.

(2) Выносим константу за пределы модуля, при этом модуль «съедает» знак «минус». Длина же не может быть отрицательной.

(3) Дальнейшее понятно.

Ответ :

Пора подбросить дров в огонь:

Пример 4

Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах , если

Решение : Площадь треугольника найдём по формуле . Загвоздка состоит в том, что векторы «цэ» и «дэ» сами представлены в виде сумм векторов. Алгоритм здесь стандартен и чем-то напоминает примеры № 3 и 4 урока Скалярное произведение векторов . Решение для ясности разобьём на три этапа:

1) На первом шаге выразим векторное произведение через векторное произведение , по сути, выразим вектор через вектор . О длинах пока ни слова!

(1) Подставляем выражения векторов .

(2) Используя дистрибутивные законы, раскрываем скобки по правилу умножения многочленов.

(3) Используя ассоциативные законы, выносим все константы за пределы векторных произведений. При маломальском опыте действия 2 и 3 можно выполнять одновременно.

(4) Первое и последнее слагаемое равно нулю (нулевому вектору) благодаря приятному свойству . Во втором слагаемом используем свойство антикоммутативности векторного произведения:

(5) Приводим подобные слагаемые.

В результате вектор оказался выражен через вектор, чего и требовалось достичь:

2) На втором шаге найдем длину нужного нам векторного произведения. Данное действие напоминает Пример 3:

3) Найдём площадь искомого треугольника:

Этапы 2-3 решения можно было оформить и одной строкой.

Ответ :

Рассмотренная задача достаточно распространена в контрольных работах, вот пример для самостоятельного решения:

Пример 5

Найти , если

Краткое решение и ответ в конце урока. Посмотрим, насколько вы были внимательны при изучении предыдущих примеров;-)

Векторное произведение векторов в координатах , заданных в ортонормированном базисе , выражается формулой :

Формула и правда простецкая: в верхнюю строку определителя записываем координатные векторы, во вторую и третью строки «укладываем» координаты векторов , причём укладываем в строгом порядке – сначала координаты вектора «вэ», затем координаты вектора «дубль-вэ». Если векторы нужно умножить в другом порядке, то и строки следует поменять местами:

Пример 10

Проверить, будут ли коллинеарны следующие векторы пространства:
а)
б)

Решение : Проверка основана на одном из утверждений данного урока: если векторы коллинеарны, то их векторное произведение равно нулю (нулевому вектору): .

а) Найдём векторное произведение:

Таким образом, векторы не коллинеарны.

б) Найдём векторное произведение:

Ответ : а) не коллинеарны, б)

Вот, пожалуй, и все основные сведения о векторном произведении векторов.

Данный раздел будет не очень большим, так как задач, где используется смешанное произведение векторов, немного. Фактически всё будет упираться в определение, геометрический смысл и пару рабочих формул.

Смешанное произведение векторов – это произведение трёх векторов :

Вот так вот они выстроились паровозиком и ждут, не дождутся, когда их вычислят.

Сначала опять определение и картинка:

Определение : Смешанным произведением некомпланарных векторов , взятых в данном порядке , называется объём параллелепипеда , построенного на данных векторах, снабжённый знаком «+», если базис правый, и знаком «–», если базис левый.

Выполним рисунок. Невидимые нам линии прочерчены пунктиром:

Погружаемся в определение:

2) Векторы взяты в определённом порядке , то есть перестановка векторов в произведении , как вы догадываетесь, не проходит без последствий.

3) Перед тем, как прокомментировать геометрический смысл, отмечу очевидный факт: смешанное произведение векторов является ЧИСЛОМ : . В учебной литературе оформление может быть несколько другим, я привык обозначать смешанное произведение через , а результат вычислений буквой «пэ».

По определению смешанное произведение – это объем параллелепипеда , построенного на векторах (фигура прочерчена красными векторами и линиями чёрного цвета). То есть, число равно объему данного параллелепипеда.

Примечание : чертёж является схематическим.

4) Не будем заново париться с понятием ориентации базиса и пространства. Смысл заключительной части состоит в том, что к объёму может добавляться знак минус. Простыми словами, смешанное произведение может быть отрицательным: .

Непосредственно из определения следует формула вычисления объема параллелепипеда, построенного на векторах .

Данный онлайн калькулятор вычисляет смешанное произведение векторов. Дается подробное решение. Для вычисления смешанного произведения векторов выберите способ представления векторов (по координатам или по двум точкам) введите данные в ячейки и нажимайте на кнопку «Вычислить.»

×

Предупреждение

Очистить все ячейки?

Закрыть Очистить

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Смешанное произведение векторов (теория)

Смешанное произведение трех векторов это число, которое получается при скалярном произведении результата векторного произведения первых двух векторов на третьий вектор. Другими словами, если заданы три вектора a, b и c , то для получения смешанного произведения этих векторов, сначала векторно умножаются первые два вектора и полученный вектор [ab ] скалярно умножается на вектор c .

Смешанное произведение трех векторов a, b и c обозначается так: abc или так (a,b,c ). Тогда можно записать:

Прежде чем сформулировать теорему, представляющую геометрический смысл смешанного произведения, ознакомьтесь с понятиями правая тройка, левая тройка, правая система координат, левая система координат (определения 2, 2″ и 3 на странице векторное произведение векторов онлайн).

Для определенности, в дальнейшем мы будем рассматривать только правые системы координат.

Теорема 1. Смешанное произведение векторов ([ab ],c ) равно объему параллелипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах a, b, c , взятому со знаком плюс, если тройка a, b, c правая, и со знаком минус, если тройка a, b, c левая. Если векторы a, b, c компланарны, то ([ab ],c ) равно нулю.

Следствие 1. Имеет место следующее равенство:

Следовательно нам достаточно доказать, что

([ab ],c )=([bc ],a )

(3)

Из выражения (3) видно, что левая и правая часть равны объему параллелипеда. Но и знаки правой и левой частей совпадают, так как тройки векторов abc и bca имеют одинаковую ориентацию.

Доказанное равенство (1) позволяет записать смешанное произведение трех векторов a, b, c просто в виде abc , не указывая, какие именно два вектора перемножаются векторно первые два или последние два.

Следствие 2. Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения.

Доказательство вытекает из теоремы 1. Действительно, если векторы компланарны, то смешанное произведение этих векторов равно нулю. Обратное, если смешанное произведение равно нулю, то из теоремы 1 вытекает компланарность этих векторов (так как объем параллелипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах равно нулю).

Следствие 3. Смешанное произведение трех векторов, два из которых совпадают, равно нулю.

Действительно. Если два вектора из трех совпадают, то они компланарны. Следовательно, смешанное произведение этих векторов равно нулю.

Смешанное произведение векторов в декартовых координатах

Теорема 2. Пусть три вектора a, b и c определены своими декартовыми прямоугольными координатами

Доказательство. Смешанное произведение abc равно скалярному произведению векторов [ab ] и c . Векторное произведение векторов [ab ] в декартовых координатах вычисляется формулой ():

Последнее выражение можно записать, используя определители второго порядка:

необходимо и достаточно равенство нулю определителя, строки которой заполнены координатами этих векторов, т.е:

.

(7)

Для доказательства следствия достаточно рассмотреть формулу (4) и следствие 2.

Смешанное произведение векторов на примерах

Пример 1. Найти смешанное произведение векторов abс , где

Смешанное произведение векторов a, b, c равен определителю матрицы L . Вычислим определитель матрицы L , разложив определитель по строке 1:

Конечная точка вектора a .

Для того, чтобы подробно рассмотреть такую тему, нужно охватить еще несколько разделов. Тема напрямую связана с такими терминами, как скалярное и векторное произведение. В этой статье мы постарались дать точное определение, указать формулу, которая поможет определить произведение, используя координаты векторов. Помимо этого, статья включает в себя разделы с перечислением свойств произведения и представлены подробный разбор типовых равенств и задач.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Термин

Для того, чтобы определить, в чем заключается данный термин, нужно взять три вектора.

Определение 1

Смешанным произведением a → , b → и d → является та величина, которая равняется скалярному произведению a → × b → и d → , где a → × b → — умножение a → и b → . Операцию умножения a → , b → и d → зачастую обозначают a → · b → · d → . Можно преобразовать формулу так: a → · b → · d → = (a → × b → , d →) .

Умножение в системе координат

Мы можем умножить вектора, если они указаны на координатной плоскости.

Возьмем i → , j → , k →

Произведение векторов в данном конкретном случае будет иметь следующий вид: a → × b → = (a y · b z — a z · b y) · i → + (a z · b x + a x · b z) · j → + (a x · b y + a y · b x) · k → = a y a z b y b z · i → — a x a z b x b z · j → + a x a y b x b y · k →

Определение 2

Для выполнения скалярного произведения в системе координат необходимо сложить результаты, полученный во время умножения координат.

Из этого следует:

a → × b → = (a y · b z — a z · b y) · i → + (a z · b x + a x · b z) · j → + (a x · b y + a y · b x) · k → = a y a z b y b z · i → — a x a z b x b z · j → + a x a y b x b y · k →

Мы также можем определить смешанное произведение векторов, если в заданной системе координат указаны координаты векторов, которые умножаются.

a → × b → = (a y a z b y b z · i → — a x a z b x b z · j → + a x a y b x b y · k → , d x · i → + d y · j → + d z · k →) = = a y a z b y b z · d x — a x a z b x b z · d y + a x a y b x b y · d z = a x a y a z b x b y b z d x d y d z

Таким образом, можно сделать вывод, что:

a → · b → · d = a → × b → , d → = a x a y a z b x b y b z d x d y d z

Определение 3

Смешанное произведение можно приравнять к определителю матрицы, в качестве строк которой использованы векторные координаты. Наглядно это выглядит так: a → · b → · d = a → × b → , d → = a x a y a z b x b y b z d x d y d z .

Свойства операции над векторами Из особенностей, которые выделяются в скалярном или векторном произведении, можно вывести особенности, которые характеризуют смешанное произведение. Ниже мы приведем основные свойства.

1. (λ · a →) · b → · d → = a → · (λ · b →) · d → = a → · b → · (λ · d →) = λ · a → · b → · d → λ ∈ R ;
2. a → · b → · d → = d → · a → · b → = b → · d → · a → ; a → · d → · b → = b → · a → · d → = d → · b → · a → ;
3. (a (1) → + a (2) →) · b → · d → = a (1) → · b → · d → + a (2) → · b → · d → a → · (b (1) → + b (2) →) · d → = a → · b (1) → · d → + a → · b (2) → · d → a → · b → · (d (1) → + d (2) →) = a → · b → · d (2) → + a → · b → · d (2) →

Помимо приведенных свойств, следует уточнить, что если множитель нулевой, то результатом умножения также станет нуль.

Результатом умножения также будет нуль в том случае, если два или больше множителей равны.

Действительно, если a → = b → , то, следуя определению векторного произведения [ a → × b → ] = a → · b → · sin 0 = 0 , следовательно, смешанное произведение равно нулю, так как ([ a → × b → ] , d →) = (0 → , d →) = 0 .

Если же a → = b → или b → = d → , то угол между векторами [ a → × b → ] и d → равен π 2 . По определению скалярного произведения векторов ([ a → × b → ] , d →) = [ a → × b → ] · d → · cos π 2 = 0 .

Свойства операции умножения чаще всего требуются во время решения задач.
Для того, чтобы подробно разобрать данную тему, возьмем несколько примеров и подробно их распишем.

Пример 1

Докажите равенство ([ a → × b → ] , d → + λ · a → + b →) = ([ a → × b → ] , d →) , где λ — некоторое действительное число.

Для того, чтобы найти решение этого равенства, следует преобразовать его левую часть. Для этого необходимо воспользоваться третьим свойством смешанного произведения, которое гласит:

([ a → × b → ] , d → + λ · a → + b →) = ([ a → × b → ] , d →) + ([ a → × b → ] , λ · a →) + ([ a → × b → ] , b →)
Мы разобрали, что (([ a → × b → ] , b →) = 0 . Из этого следует, что
([ a → × b → ] , d → + λ · a → + b →) = ([ a → × b → ] , d →) + ([ a → × b → ] , λ · a →) + ([ a → × b → ] , b →) = = ([ a → × b → ] , d →) + ([ a → × b → ] , λ · a →) + 0 = ([ a → × b → ] , d →) + ([ a → × b → ] , λ · a →)

Согласно первому свойству ([ a ⇀ × b ⇀ ] , λ · a →) = λ · ([ a ⇀ × b ⇀ ] , a →) , а ([ a ⇀ × b ⇀ ] , a →) = 0 . , d →) ≤ ≤ a → · b → · 1 · d → · 1 = a → · b → · d →

Неравенство доказано.

Разбор типовых задач

Для того, чтобы определить, чему равно произведение векторов, следует знать координаты умножаемых векторов. Для операции можно использовать такую формулу a → · b → · d → = (a → × b → , d →) = a x a y a z b x b y b z d x d y d z .

Пример 3

В прямоугольной системе координат представлены 3 вектора с такими координатами: a → = (1 , — 2 , 3) , b → (- 2 , 2 , 1) , d → = (3 , — 2 , 5) . Необходимо определить, чему равно произведение указанных векторов a → · b → · d → .

Исходя из теории, представленной выше, мы можем воспользоваться правилом, которое гласит, что смешанное произведение может быть вычислено через определитель матрицы. Это будет выглядеть так: a → · b → · d → = (a → × b → , d →) = a x a y a z b x b y b z d x d y d z = 1 — 2 3 — 2 2 1 3 — 2 5 = = 1 · 2 · 5 + (- 1) · 1 · 3 + 3 · (- 2) · (- 2) — 3 · 2 · 3 — (- 1) · (- 2) · 5 — 1 · 1 · (- 2) = — 7

Пример 4

Необходимо найти произведение векторов i → + j → , i → + j → — k → , i → + j → + 2 · k → , где i → , j → , k → — орты прямоугольной декартовой системы координат.

Исходя из условия, которое гласит, что вектора расположены в данной системе координат, можно вывести их координаты: i → + j → = (1 , 1 , 0) i → + j → — k → = (1 , 1 , — 1) i → + j → + 2 · k → = (1 , 1 , 2)

Используем формулу, которая использовалась выше
i → + j → × (i → + j → — k → , (i → + j → + 2 · k →) = 1 1 0 1 1 — 1 1 1 2 = 0 i → + j → × (i → + j → — k → , (i → + j → + 2 · k →) = 0

Смешанное произведение также возможно определить с помощью длины вектора, которая уже известна, и угла между ними. Разберем этот тезис в примере.

Пример 5

В прямоугольной системе координат расположены три вектора a → , b → и d → , которые перпендикулярны между собой. Они представляют собой правую тройку, их длины составляют 4 , 2 и 3 . Необходимо умножить вектора.

Обозначим c → = a → × b → .

Согласно правилу, результатом умножения скалярных векторов является число, которое равно результату умножения длин используемых векторов на косинус угла между ними.) = c → · n p c → d → , где n p c → d → — числовая проекция вектора d → на направление вектора c → = [ a → × b → ] .

Абсолютная величина n p c → d → равняется числу, которое также является равно высоте фигуры, для которого использованы вектора a → , b → и d → в качестве сторон. Исходя из этого, следует уточнить, что c → = [ a → × b → ] перпендикулярен a → и вектору и вектору согласно определению умножения векторов. Величина c → = a → x b → равняется площади параллелепипеда, построенного на векторах a → и b → .

Делаем вывод, что модуль произведения a → · b → · d → = c → · n p c → d → равен результату умножения площади основания на высоту фигуры, которая построена на векторах a → , b → и d → .

Определение 4

Абсолютная величина векторного произведения является объемом параллелепипеда : V п а р а л л е л е п и п и д а = a → · b → · d → .

Данная формула и является геометрическим смыслом.

Определение 5

Объем тетраэдра , который построен на a → , b → и d → , равняется 1 / 6 объема параллелепипеда Получаем, V т э т р а э д а = 1 6 · V п а р а л л е л е п и п и д а = 1 6 · a → · b → · d → .

Для того, чтобы закрепить знания, разберем несколько типичных примеров

Пример 6

Необходимо найти объем параллелепипеда, в качестве сторон которого используются A B → = (3 , 6 , 3) , A C → = (1 , 3 , — 2) , A A 1 → = (2 , 2 , 2) , заданные в прямоугольной системе координат. Объем параллелепипеда можно найти, используя формулу об абсолютной величине. Из этого следует: A B → · A C → · A A 1 → = 3 6 3 1 3 — 2 2 2 2 = 3 · 3 · 2 + 6 · (- 2) · 2 + 3 · 1 · 2 — 3 · 3 · 2 — 6 · 1 · 2 — 3 · (- 2) · 2 = — 18

Тогда, V п а р а л л е л е п и п е д а = — 18 = 18 .

V п а р а л л е л е п и п и д а = 18

Пример 7

В системе координат заданы точки A (0 , 1 , 0) , B (3 , — 1 , 5) , C (1 , 0 , 3) , D (- 2 , 3 , 1) . Следует определить объем тетраэдра, который расположен на этих точках.

Воспользуемся формулой V т э т р а э д р а = 1 6 · A B → · A C → · A D → . Мы можем определить координаты векторов по координатам точек: A B → = (3 — 0 , — 1 — 1 , 5 — 0) = (3 , — 2 , 5) A C → = (1 — 0 , 0 — 1 , 3 — 0) = (1 , — 1 , 3) A D → = (- 2 — 0 , 3 — 1 , 1 — 0) = (- 2 , 2 , 1)

Дальше определяем смешанное произведение A B → · A C → · A D → по координатам векторов: A B → · A C → · A D → = 3 — 2 5 1 — 1 3 — 2 2 1 = 3 · (- 1) · 1 + (- 2) · 3 · (- 2) + 5 · 1 · 2 — 5 · (- 1) · (- 2) — (- 2) · 1 · 1 — 3 · 3 · 2 = — 7 Объем V т э т р а э д р а = 1 6 · — 7 = 7 6 .

V т э т р а э д р а = 7 6 .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Смешанное произведение векторов. Векторное произведение векторов. Смешанное произведение векторов Площадь параллелограмма онлайн калькулятор по векторам

На данном уроке мы рассмотрим ещё две операции с векторами: векторное произведение векторов и смешанное произведение векторов (сразу ссылка, кому нужно именно оно) . Ничего страшного, так иногда бывает, что для полного счастья, помимо скалярного произведения векторов , требуется ещё и ещё. Такая вот векторная наркомания. Может сложиться впечатление, что мы залезаем в дебри аналитической геометрии. Это не так. В данном разделе высшей математики вообще мало дров, разве что на Буратино хватит. На самом деле материал очень распространенный и простой – вряд ли сложнее, чем то же скалярное произведение , даже типовых задач поменьше будет. Главное в аналитической геометрии, как многие убедятся или уже убедились, НЕ ОШИБАТЬСЯ В ВЫЧИСЛЕНИЯХ. Повторяйте как заклинание, и будет вам счастье =)

Если векторы сверкают где-то далеко, как молнии на горизонте, не беда, начните с урока Векторы для чайников , чтобы восстановить или вновь приобрести базовые знания о векторах. Более подготовленные читатели могут знакомиться с информацией выборочно, я постарался собрать максимально полную коллекцию примеров, которые часто встречаются в практических работах

Чем вас сразу порадовать? Когда я был маленьким, то умел жонглировать двумя и даже тремя шариками. Ловко получалось. Сейчас жонглировать не придётся вообще, поскольку мы будем рассматривать только пространственные векторы , а плоские векторы с двумя координатами останутся за бортом. Почему? Такими уж родились данные действия – векторное и смешанное произведение векторов определены и работают в трёхмерном пространстве. Уже проще!

В данной операции, точно так же, как и в скалярном произведении, участвуют два вектора . Пусть это будут нетленные буквы .

Само действие обозначается следующим образом: . Существуют и другие варианты, но я привык обозначать векторное произведение векторов именно так, в квадратных скобках с крестиком.

И сразу вопрос : если в скалярном произведении векторов участвуют два вектора, и здесь тоже умножаются два вектора, тогда в чём разница ? Явная разница, прежде всего, в РЕЗУЛЬТАТЕ:

Результатом скалярного произведения векторов является ЧИСЛО:

Результатом векторного произведения векторов является ВЕКТОР : , то есть умножаем векторы и получаем снова вектор. Закрытый клуб. Собственно, отсюда и название операции. В различной учебной литературе обозначения тоже могут варьироваться, я буду использовать букву .

Определение векторного произведения

Сначала будет определение с картинкой, затем комментарии.

Определение : Векторным произведением неколлинеарных векторов , взятых в данном порядке , называется ВЕКТОР , длина которого численно равна площади параллелограмма , построенного на данных векторах; вектор ортогонален векторам , и направлен так, что базис имеет правую ориентацию:

Разбираем определение по косточкам, тут много интересного!

Итак, можно выделить следующие существенные моменты:

1) Исходные векторы , обозначенные красными стрелками, по определению не коллинеарны . Случай коллинеарных векторов будет уместно рассмотреть чуть позже.

2) Векторы взяты в строго определённом порядке : – «а» умножается на «бэ» , а не «бэ» на «а». Результатом умножения векторов является ВЕКТОР , который обозначен синим цветом. Если векторы умножить в обратном порядке, то получим равный по длине и противоположный по направлению вектор (малиновый цвет). То есть, справедливо равенство .

3) Теперь познакомимся с геометрическим смыслом векторного произведения. Это очень важный пункт! ДЛИНА синего вектора (а, значит, и малинового вектора ) численно равна ПЛОЩАДИ параллелограмма, построенного на векторах . На рисунке данный параллелограмм заштрихован чёрным цветом.

Примечание : чертёж является схематическим, и, естественно, номинальная длина векторного произведения не равна площади параллелограмма.

Вспоминаем одну из геометрических формул: площадь параллелограмма равна произведению смежных сторон на синус угла между ними . Поэтому, исходя из вышесказанного, справедлива формула вычисления ДЛИНЫ векторного произведения:

Подчёркиваю, что в формуле речь идёт о ДЛИНЕ вектора, а не о самом векторе . Каков практический смысл? А смысл таков, что в задачах аналитической геометрии площадь параллелограмма часто находят через понятие векторного произведения:

Получим вторую важную формулу. Диагональ параллелограмма (красный пунктир) делит его на два равных треугольника. Следовательно, площадь треугольника, построенного на векторах (красная штриховка), можно найти по формуле:

4) Не менее важный факт состоит в том, что вектор ортогонален векторам , то есть . Разумеется, противоположно направленный вектор (малиновая стрелка) тоже ортогонален исходным векторам .

5) Вектор направлен так, что базис имеет правую ориентацию. На уроке о переходе к новому базису я достаточно подробно рассказал об ориентации плоскости , и сейчас мы разберёмся, что такое ориентация пространства. Объяснять буду на пальцах вашей правой руки . Мысленно совместите указательный палец с вектором и средний палец с вектором . Безымянный палец и мизинец прижмите к ладони. В результате большой палец – векторное произведение будет смотреть вверх. Это и есть правоориентированный базис (на рисунке именно он). Теперь поменяйте векторы (указательный и средний пальцы ) местами, в результате большой палец развернётся, и векторное произведение уже будет смотреть вниз. Это тоже правоориентированный базис. Возможно, у вас возник вопрос: а какой базис имеет левую ориентацию? «Присвойте» тем же пальцам левой руки векторы , и полУчите левый базис и левую ориентацию пространства (в этом случае большой палец расположится по направлению нижнего вектора) . Образно говоря, данные базисы «закручивают» или ориентируют пространство в разные стороны. И это понятие не следует считать чем-то надуманным или абстрактным – так, например, ориентацию пространства меняет самое обычное зеркало, и если «вытащить отражённый объект из зазеркалья», то его в общем случае не удастся совместить с «оригиналом». Кстати, поднесите к зеркалу три пальца и проанализируйте отражение;-)

…как всё-таки хорошо, что вы теперь знаете о право- и левоориентированных базисах, ибо страшнЫ высказывания некоторых лекторов о смене ориентации =)

Векторное произведение коллинеарных векторов

Определение подробно разобрано, осталось выяснить, что происходит, когда векторы коллинеарны. Если векторы коллинеарны, то их можно расположить на одной прямой и наш параллелограмм тоже «складывается» в одну прямую. Площадь такого, как говорят математики, вырожденного параллелограмма равна нулю. Это же следует и из формулы – синус нуля или 180-ти градусов равен нулю, а значит, и площадь нулевая

Таким образом, если , то и . Обратите внимание, что само векторное произведение равно нулевому вектору, но на практике этим часто пренебрегают и пишут, что оно тоже равно нулю.

Частный случай – векторное произведение вектора на самого себя:

С помощью векторного произведения можно проверять коллинеарность трёхмерных векторов, и данную задачу среди прочих мы тоже разберём.

Для решения практических примеров может потребоваться тригонометрическая таблица , чтобы находить по ней значения синусов.

Ну что же, разжигаем огонь:

Пример 1

а) Найти длину векторного произведения векторов , если

б) Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах , если

Решение : Нет, это не опечатка, исходные данные в пунктах условия я намеренно сделал одинаковыми. Потому что оформление решений будет отличаться!

а) По условию требуется найти длину вектора (векторного произведения). По соответствующей формуле:

Ответ :

Коль скоро спрашивалось о длине, то в ответе указываем размерность – единицы.

б) По условию требуется найти площадь параллелограмма, построенного на векторах . Площадь данного параллелограмма численно равна длине векторного произведения:

Ответ :

Обратите внимание, что в ответе о векторном произведении речи не идёт вообще, нас спрашивали о площади фигуры , соответственно, размерность – квадратные единицы.

Всегда смотрим, ЧТО требуется найти по условию, и, исходя из этого, формулируем чёткий ответ. Может показаться буквоедством, но буквоедов среди преподавателей хватает, и задание с хорошими шансами вернётся на доработку. Хотя это не особо натянутая придирка – если ответ некорректен, то складывается впечатление, что человек не разбирается в простых вещах и/или не вник в суть задания. Этот момент всегда нужно держать на контроле, решая любую задачу по высшей математике, да и по другим предметам тоже.

Куда подевалась большая буковка «эн»? В принципе, её можно было дополнительно прилепить в решение, но в целях сократить запись, я этого не сделал. Надеюсь, всем понятно, что и – это обозначение одного и того же.

Популярный пример для самостоятельного решения:

Пример 2

Найти площадь треугольника, построенного на векторах , если

Формула нахождения площади треугольника через векторное произведение дана в комментариях к определению. Решение и ответ в конце урока.

На практике задача действительно очень распространена, треугольниками вообще могут замучить.

Для решения других задач нам понадобятся:

Свойства векторного произведения векторов

Некоторые свойства векторного произведения мы уже рассмотрели, тем не менее, я их включу в данный список.

Для произвольных векторов и произвольного числа справедливы следующие свойства:

1) В других источниках информации данный пункт обычно не выделяют в свойствах, но он очень важен в практическом плане. Поэтому пусть будет.

2) – свойство тоже разобрано выше, иногда его называют антикоммутативностью . Иными словами, порядок векторов имеет значение.

3) – сочетательные или ассоциативные законы векторного произведения. Константы безпроблемно выносятся за пределы векторного произведения. Действительно, чего им там делать?

4) – распределительные или дистрибутивные законы векторного произведения. С раскрытием скобок тоже нет проблем.

В качестве демонстрации рассмотрим коротенький пример:

Пример 3

Найти , если

Решение: По условию снова требуется найти длину векторного произведения. Распишем нашу миниатюру:

(1) Согласно ассоциативным законам, выносим константы за переделы векторного произведения.

(2) Выносим константу за пределы модуля, при этом модуль «съедает» знак «минус». Длина же не может быть отрицательной.

(3) Дальнейшее понятно.

Ответ :

Пора подбросить дров в огонь:

Пример 4

Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах , если

Решение : Площадь треугольника найдём по формуле . Загвоздка состоит в том, что векторы «цэ» и «дэ» сами представлены в виде сумм векторов. Алгоритм здесь стандартен и чем-то напоминает примеры № 3 и 4 урока Скалярное произведение векторов . Решение для ясности разобьём на три этапа:

1) На первом шаге выразим векторное произведение через векторное произведение , по сути, выразим вектор через вектор . О длинах пока ни слова!

(1) Подставляем выражения векторов .

(2) Используя дистрибутивные законы, раскрываем скобки по правилу умножения многочленов.

(3) Используя ассоциативные законы, выносим все константы за пределы векторных произведений. При маломальском опыте действия 2 и 3 можно выполнять одновременно.

(4) Первое и последнее слагаемое равно нулю (нулевому вектору) благодаря приятному свойству . Во втором слагаемом используем свойство антикоммутативности векторного произведения:

(5) Приводим подобные слагаемые.

В результате вектор оказался выражен через вектор, чего и требовалось достичь:

2) На втором шаге найдем длину нужного нам векторного произведения. Данное действие напоминает Пример 3:

3) Найдём площадь искомого треугольника:

Этапы 2-3 решения можно было оформить и одной строкой.

Ответ :

Рассмотренная задача достаточно распространена в контрольных работах, вот пример для самостоятельного решения:

Пример 5

Найти , если

Краткое решение и ответ в конце урока. Посмотрим, насколько вы были внимательны при изучении предыдущих примеров;-)

Векторное произведение векторов в координатах , заданных в ортонормированном базисе , выражается формулой :

Формула и правда простецкая: в верхнюю строку определителя записываем координатные векторы, во вторую и третью строки «укладываем» координаты векторов , причём укладываем в строгом порядке – сначала координаты вектора «вэ», затем координаты вектора «дубль-вэ». Если векторы нужно умножить в другом порядке, то и строки следует поменять местами:

Пример 10

Проверить, будут ли коллинеарны следующие векторы пространства:
а)
б)

Решение : Проверка основана на одном из утверждений данного урока: если векторы коллинеарны, то их векторное произведение равно нулю (нулевому вектору): .

а) Найдём векторное произведение:

Таким образом, векторы не коллинеарны.

б) Найдём векторное произведение:

Ответ : а) не коллинеарны, б)

Вот, пожалуй, и все основные сведения о векторном произведении векторов.

Данный раздел будет не очень большим, так как задач, где используется смешанное произведение векторов, немного. Фактически всё будет упираться в определение, геометрический смысл и пару рабочих формул.

Смешанное произведение векторов – это произведение трёх векторов :

Вот так вот они выстроились паровозиком и ждут, не дождутся, когда их вычислят.

Сначала опять определение и картинка:

Определение : Смешанным произведением некомпланарных векторов , взятых в данном порядке , называется объём параллелепипеда , построенного на данных векторах, снабжённый знаком «+», если базис правый, и знаком «–», если базис левый.

Выполним рисунок. Невидимые нам линии прочерчены пунктиром:

Погружаемся в определение:

2) Векторы взяты в определённом порядке , то есть перестановка векторов в произведении , как вы догадываетесь, не проходит без последствий.

3) Перед тем, как прокомментировать геометрический смысл, отмечу очевидный факт: смешанное произведение векторов является ЧИСЛОМ : . В учебной литературе оформление может быть несколько другим, я привык обозначать смешанное произведение через , а результат вычислений буквой «пэ».

По определению смешанное произведение – это объем параллелепипеда , построенного на векторах (фигура прочерчена красными векторами и линиями чёрного цвета). То есть, число равно объему данного параллелепипеда.

Примечание : чертёж является схематическим.

4) Не будем заново париться с понятием ориентации базиса и пространства. Смысл заключительной части состоит в том, что к объёму может добавляться знак минус. Простыми словами, смешанное произведение может быть отрицательным: .

Непосредственно из определения следует формула вычисления объема параллелепипеда, построенного на векторах .

Площадь параллелограмма, построенного на векторах, равняется произведению длин этих векторов на угол угла, который лежит между ними.

Хорошо, когда по условиям даны длины этих самых векторов. Однако бывает и так, что применить формулу площади параллелограмма, построенного на векторах можно только после расчетов по координатам.
Если повезло, и по условиям даны длины векторов, то нужно просто применить формулу, которую мы уже подробно разбирали в статье . Площадь будет равняться произведению модулей на синус угла между ними:

Рассмотрим пример расчета площади параллелограмма построенного на векторах.

Задача: параллелограмм построен на векторах и . Найдите площадь, если , а угол между ними 30°.
Выразим вектора через их значения:

Возможно, у вас возник вопрос – откуда взялись нули? Стоит вспомнить, что мы работаем с векторами, а для них . также обратите внимание, что если в результате мы получаем выражение ,то оно будет преобразовано в. Теперь проводим итоговые вычисления:

Вернемся к проблеме, когда длины векторов не указаны в условиях. Если ваш параллелограмм лежит в декартовой системе координат, то потребуется сделать следующее.

Расчет длин сторон фигуры, заданной координатами

Для начала находим координаты векторов и отнимаем от координат конца соответствующие координаты начала. Допустим координаты вектора a (x1;y1;z1), а вектора b (x3;y3;z3).
Теперь находим длину каждого вектора. Для этого каждую координату необходимо возвести в квадрат, потом сложить полученные результаты и из конечного числа извлечь корень. По нашим векторам будут следующие расчеты:


Теперь потребуется найти скалярное произведение наших векторов. Для этого их соответствующие координаты множатся и складываются.

Имея длины векторов и их скалярное произведение, мы можем найти косинус угла, лежащего между ними .
Теперь можем найти синус этого же угла:
Теперь у нас есть все необходимые величины, и мы можем запросто найти площадь параллелограмма построенного на векторах по уже известной формуле.

Вспомним в начале, что такое векторное произведение.

Замечание 1

Векторным произведением для $\vec{a}$ и $\vec{b}$ является $\vec{c}$, представляющий собой некоторый третий вектор $\vec{c}= ||$, причём этот вектор обладает особенными свойствами:

• Cкаляр полученного вектора — произведение $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ на синус угла $\vec{c}= ||= |\vec{a}| \cdot |\vec{b}|\cdot \sin α \left(1\right)$;
• Все $\vec{a}, \vec{b}$ и $\vec{c}$ образуют правую тройку;
• Полученный вектор ортогонален к $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Если для векторов присутствуют некоторые координаты ($\vec{a}=\{x_1; y_1; z_1\}$ и $\vec{b}= \{x_2; y_2; z_2\}$), то их векторное произведение в декартовой системе координат можно определить по формуле:

$ = \{y_1 \cdot z_2 – y_2 \cdot z_1; z_1 \cdot x_2 – z_2 \cdot x_1; x_2 \cdot y_2 – x_2 \cdot y_1\}$

Легче всего запомнить эту формулу записав в форме определителя:

$ = \begin{array} {|ccc|} i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \\ \end{array}$.

Эта формула весьма удобна для использования, но чтобы понимать, как её использовать, для начала следует ознакомиться с темой матриц и их определителей.

Площадь параллелограмма , стороны которого определяются двумя векторами $\vec{a}$ и $vec{b}$ равна скаляру векторного произведения данных двух векторов.

Это соотношение совсем несложно вывести.

Вспомним формулу для нахождения площади обычного параллелограмма, который можно охарактеризовать образующими его отрезками $a$ и $b$:

$S = a \cdot b \cdot \sin α$

При этом длины сторон равны скалярным значениям векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, что вполне себе подходит нам, то есть, скаляр векторного произведения данных векторов и будет площадью рассматриваемой фигуры.2} = \sqrt{1878} ≈ 43, 34$.

Данный ход рассуждений справедлив не только для нахождения площади в 3-хмерном пространстве, но и для двухмерного. Познакомьтесь со следующей задачкой на эту тему.

Пример 2

Вычислить площадь параллелограмма, если его образующие отрезки задаются векторами $\vec{m}$ с координатами $\{2; 3\}$ и $\vec{d}$ с координатами $\{-5; 6\}$.

Решение:

Эта задача представляет собой частный пример задачки 1, решённой выше, но при этом оба вектора лежат в одной плоскости, а это значит, что третью координату, $z$, можно принять за нуль.

Подведём итоги по всему вышесказанному, площадь параллелограмма составит:

$S = \begin{array} {||cc||} 2 & 3\\ -5 & 6 \\ \end{array} = \sqrt{12 + 15} =3 \sqrt3$.

Пример 3

Даны векторы $\vec{a} = 3i – j + k; \vec{b}= 5i$. Определите площадь образуемого ими параллелограмма.

$[ \vec{a} \times \vec{b}] = (3i – j + k) \times 5i = 15 – 5 + $

Упростим согласно приведённой таблице для единичных векторов:

Рисунок 1.2} = 5\sqrt{2}$.

Предыдущие задачи были о векторах, координаты которых заданы в декартовой системе координат, но рассмотрим также случай, если угол между базисными векторами отличается от $90°$:

Пример 4

Вектор $\vec{d} = 2a + 3b$, $\vec{f}= a – 4b$, длины $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равны между собой и равны единице, а угол между $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равен 45°.

Решение:

Вычислим векторное произведение $\vec{d} \times \vec{f}$:

$[\vec{d} \times \vec{f} ]= (2a + 3b) \times (a – 4b) = 2 – 8 + 3 – 12 $.

Для векторных произведений согласно их свойствам справедливо следующее: $$ и $$ равны нулю, $ = — $.

Используем это для упрощения:

$[\vec{d} \times \vec{f} ]= -8 + 3 = -8 — 3 =-11$.

Теперь воспользуемся формулой $(1)$ :

$[\vec{d} \times \vec{f} ] = |-11 | = 11 \cdot |a| \cdot |b| \cdot \sin α = 11 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac12=5,5$.

Скалярное произведение 3 векторов онлайн. Смешанное произведение векторов

Смешанным (или векторно-скалярным) произведением трех векторов a, b, c (взятых в указанном порядке) называется скалярное произведение вектора a на векторное произведение b x c , т. е. число a(b x c), или, что то же, (b x c)a.
Обозначение: abc .

Назначение . Онлайн-калькулятор предназначен для вычисления смешанного произведения векторов. Полученное решение сохраняется в файле Word . Дополнительно создается шаблон решения в Excel .

Признаки компланарности векторов

Три вектора (или большее число) называются компланарными, если они, будучи приведены к общему началу, лежат в одной плоскости.
Если хотя бы один из трех векторов – нулевой, то три вектора тоже считаются компланарными.

Признак компланарности . Если система a, b, c – правая, то abc>0 ; если левая, то abcГеометрический смысл смешанного произведения . Смешанное произведение abc трех некомпланарных векторов a, b, c равно объему параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c , взятому со знаком плюс, если система a, b, c – правая, и со знаком минус, если эта система левая.

Свойства смешанного произведения

1. При круговой перестановке сомножителей смешанное произведение не меняется, при перестановке двух сомножителей – меняет знак на обратный: abc=bca=cab=-(bac)=-(cba)=-(acb)
   Вытекает из геометрического смысла.
2. (a+b)cd=acd+bcd (распределительное свойство). Распространяется на любое число слагаемых.
   Вытекает из определения смешанного произведения.
3. (ma)bc=m(abc) (сочетательное свойство относительно скалярного множителя).
   Вытекает из определения смешанного произведения. Эти свойства позволяют применять к смешанным произведениям преобразования, отличающиеся от обычных алгебраических лишь тем, что менять порядок сомножителей можно только с учетом знака произведения.
4. Смешанное произведение, имеющее хотя бы два равных сомножителя, равно нулю: aab=0 .

Пример №1 . Найти смешанное произведение. ab(3a+2b-5c)=3aba+2abb-5abc=-5abc .

Пример №2 . (a+b)(b+c)(c+a)= (axb+axc+bxb+bxc)(c+a)= (axb+axc +bxc)(c+a)=abc+acc+aca+aba+bcc+bca . Все члены, кроме двух крайних, равны нулю. Кроме того, bca=abc . Поэтому (a+b)(b+c)(c+a)=2abc .

Пример №3 . Вычислить смешанное произведение трех векторов a=15i+20j+5k, b=2i-4j+14k, c=3i-6j+21k .
Решение . Чтобы вычислить смешанное произведение векторов, необходимо найти определитель системы, составленной из координат векторов. Запишем систему в виде.

Данный онлайн калькулятор вычисляет смешанное произведение векторов. Дается подробное решение. Для вычисления смешанного произведения векторов выберите способ представления векторов (по координатам или по двум точкам) введите данные в ячейки и нажимайте на кнопку «Вычислить.»

×

Предупреждение

Очистить все ячейки?

Закрыть Очистить

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Смешанное произведение векторов (теория)

Смешанное произведение трех векторов это число, которое получается при скалярном произведении результата векторного произведения первых двух векторов на третьий вектор. Другими словами, если заданы три вектора a, b и c , то для получения смешанного произведения этих векторов, сначала векторно умножаются первые два вектора и полученный вектор [ab ] скалярно умножается на вектор c .

Смешанное произведение трех векторов a, b и c обозначается так: abc или так (a,b,c ). Тогда можно записать:

Прежде чем сформулировать теорему, представляющую геометрический смысл смешанного произведения, ознакомьтесь с понятиями правая тройка, левая тройка, правая система координат, левая система координат (определения 2, 2″ и 3 на странице векторное произведение векторов онлайн).

Для определенности, в дальнейшем мы будем рассматривать только правые системы координат.

Теорема 1. Смешанное произведение векторов ([ab ],c ) равно объему параллелипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах a, b, c , взятому со знаком плюс, если тройка a, b, c правая, и со знаком минус, если тройка a, b, c левая. Если векторы a, b, c компланарны, то ([ab ],c ) равно нулю.

Следствие 1. Имеет место следующее равенство:

Следовательно нам достаточно доказать, что

([ab ],c )=([bc ],a )

(3)

Из выражения (3) видно, что левая и правая часть равны объему параллелипеда. Но и знаки правой и левой частей совпадают, так как тройки векторов abc и bca имеют одинаковую ориентацию.

Доказанное равенство (1) позволяет записать смешанное произведение трех векторов a, b, c просто в виде abc , не указывая, какие именно два вектора перемножаются векторно первые два или последние два.

Следствие 2. Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения.

Доказательство вытекает из теоремы 1. Действительно, если векторы компланарны, то смешанное произведение этих векторов равно нулю. Обратное, если смешанное произведение равно нулю, то из теоремы 1 вытекает компланарность этих векторов (так как объем параллелипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах равно нулю).

Следствие 3. Смешанное произведение трех векторов, два из которых совпадают, равно нулю.

Действительно. Если два вектора из трех совпадают, то они компланарны. Следовательно, смешанное произведение этих векторов равно нулю.

Смешанное произведение векторов в декартовых координатах

Теорема 2. Пусть три вектора a, b и c определены своими декартовыми прямоугольными координатами

Доказательство. Смешанное произведение abc равно скалярному произведению векторов [ab ] и c . Векторное произведение векторов [ab ] в декартовых координатах вычисляется формулой ():

Последнее выражение можно записать, используя определители второго порядка:

необходимо и достаточно равенство нулю определителя, строки которой заполнены координатами этих векторов, т.е:

.

(7)

Для доказательства следствия достаточно рассмотреть формулу (4) и следствие 2.

Смешанное произведение векторов на примерах

Пример 1. Найти смешанное произведение векторов abс , где

Смешанное произведение векторов a, b, c равен определителю матрицы L . Вычислим определитель матрицы L , разложив определитель по строке 1:

Конечная точка вектора a .

На данном уроке мы рассмотрим ещё две операции с векторами: векторное произведение векторов и смешанное произведение векторов (сразу ссылка, кому нужно именно оно) . Ничего страшного, так иногда бывает, что для полного счастья, помимо скалярного произведения векторов , требуется ещё и ещё. Такая вот векторная наркомания. Может сложиться впечатление, что мы залезаем в дебри аналитической геометрии. Это не так. В данном разделе высшей математики вообще мало дров, разве что на Буратино хватит. На самом деле материал очень распространенный и простой – вряд ли сложнее, чем то же скалярное произведение , даже типовых задач поменьше будет. Главное в аналитической геометрии, как многие убедятся или уже убедились, НЕ ОШИБАТЬСЯ В ВЫЧИСЛЕНИЯХ. Повторяйте как заклинание, и будет вам счастье =)

Если векторы сверкают где-то далеко, как молнии на горизонте, не беда, начните с урока Векторы для чайников , чтобы восстановить или вновь приобрести базовые знания о векторах. Более подготовленные читатели могут знакомиться с информацией выборочно, я постарался собрать максимально полную коллекцию примеров, которые часто встречаются в практических работах

Чем вас сразу порадовать? Когда я был маленьким, то умел жонглировать двумя и даже тремя шариками. Ловко получалось. Сейчас жонглировать не придётся вообще, поскольку мы будем рассматривать только пространственные векторы , а плоские векторы с двумя координатами останутся за бортом. Почему? Такими уж родились данные действия – векторное и смешанное произведение векторов определены и работают в трёхмерном пространстве. Уже проще!

В данной операции, точно так же, как и в скалярном произведении, участвуют два вектора . Пусть это будут нетленные буквы .

Само действие обозначается следующим образом: . Существуют и другие варианты, но я привык обозначать векторное произведение векторов именно так, в квадратных скобках с крестиком.

И сразу вопрос : если в скалярном произведении векторов участвуют два вектора, и здесь тоже умножаются два вектора, тогда в чём разница ? Явная разница, прежде всего, в РЕЗУЛЬТАТЕ:

Результатом скалярного произведения векторов является ЧИСЛО:

Результатом векторного произведения векторов является ВЕКТОР : , то есть умножаем векторы и получаем снова вектор. Закрытый клуб. Собственно, отсюда и название операции. В различной учебной литературе обозначения тоже могут варьироваться, я буду использовать букву .

Определение векторного произведения

Сначала будет определение с картинкой, затем комментарии.

Определение : Векторным произведением неколлинеарных векторов , взятых в данном порядке , называется ВЕКТОР , длина которого численно равна площади параллелограмма , построенного на данных векторах; вектор ортогонален векторам , и направлен так, что базис имеет правую ориентацию:

Разбираем определение по косточкам, тут много интересного!

Итак, можно выделить следующие существенные моменты:

1) Исходные векторы , обозначенные красными стрелками, по определению не коллинеарны . Случай коллинеарных векторов будет уместно рассмотреть чуть позже.

2) Векторы взяты в строго определённом порядке : – «а» умножается на «бэ» , а не «бэ» на «а». Результатом умножения векторов является ВЕКТОР , который обозначен синим цветом. Если векторы умножить в обратном порядке, то получим равный по длине и противоположный по направлению вектор (малиновый цвет). То есть, справедливо равенство .

3) Теперь познакомимся с геометрическим смыслом векторного произведения. Это очень важный пункт! ДЛИНА синего вектора (а, значит, и малинового вектора ) численно равна ПЛОЩАДИ параллелограмма, построенного на векторах . На рисунке данный параллелограмм заштрихован чёрным цветом.

Примечание : чертёж является схематическим, и, естественно, номинальная длина векторного произведения не равна площади параллелограмма.

Вспоминаем одну из геометрических формул: площадь параллелограмма равна произведению смежных сторон на синус угла между ними . Поэтому, исходя из вышесказанного, справедлива формула вычисления ДЛИНЫ векторного произведения:

Подчёркиваю, что в формуле речь идёт о ДЛИНЕ вектора, а не о самом векторе . Каков практический смысл? А смысл таков, что в задачах аналитической геометрии площадь параллелограмма часто находят через понятие векторного произведения:

Получим вторую важную формулу. Диагональ параллелограмма (красный пунктир) делит его на два равных треугольника. Следовательно, площадь треугольника, построенного на векторах (красная штриховка), можно найти по формуле:

4) Не менее важный факт состоит в том, что вектор ортогонален векторам , то есть . Разумеется, противоположно направленный вектор (малиновая стрелка) тоже ортогонален исходным векторам .

5) Вектор направлен так, что базис имеет правую ориентацию. На уроке о переходе к новому базису я достаточно подробно рассказал об ориентации плоскости , и сейчас мы разберёмся, что такое ориентация пространства. Объяснять буду на пальцах вашей правой руки . Мысленно совместите указательный палец с вектором и средний палец с вектором . Безымянный палец и мизинец прижмите к ладони. В результате большой палец – векторное произведение будет смотреть вверх. Это и есть правоориентированный базис (на рисунке именно он). Теперь поменяйте векторы (указательный и средний пальцы ) местами, в результате большой палец развернётся, и векторное произведение уже будет смотреть вниз. Это тоже правоориентированный базис. Возможно, у вас возник вопрос: а какой базис имеет левую ориентацию? «Присвойте» тем же пальцам левой руки векторы , и полУчите левый базис и левую ориентацию пространства (в этом случае большой палец расположится по направлению нижнего вектора) . Образно говоря, данные базисы «закручивают» или ориентируют пространство в разные стороны. И это понятие не следует считать чем-то надуманным или абстрактным – так, например, ориентацию пространства меняет самое обычное зеркало, и если «вытащить отражённый объект из зазеркалья», то его в общем случае не удастся совместить с «оригиналом». Кстати, поднесите к зеркалу три пальца и проанализируйте отражение;-)

…как всё-таки хорошо, что вы теперь знаете о право- и левоориентированных базисах, ибо страшнЫ высказывания некоторых лекторов о смене ориентации =)

Векторное произведение коллинеарных векторов

Определение подробно разобрано, осталось выяснить, что происходит, когда векторы коллинеарны. Если векторы коллинеарны, то их можно расположить на одной прямой и наш параллелограмм тоже «складывается» в одну прямую. Площадь такого, как говорят математики, вырожденного параллелограмма равна нулю. Это же следует и из формулы – синус нуля или 180-ти градусов равен нулю, а значит, и площадь нулевая

Таким образом, если , то . Строго говоря, само векторное произведение равно нулевому вектору, но на практике этим часто пренебрегают и пишут, что оно просто равно нулю.

Частный случай – векторное произведение вектора на самого себя:

С помощью векторного произведения можно проверять коллинеарность трёхмерных векторов, и данную задачу среди прочих мы тоже разберём.

Для решения практических примеров может потребоваться тригонометрическая таблица , чтобы находить по ней значения синусов.

Ну что же, разжигаем огонь:

Пример 1

а) Найти длину векторного произведения векторов , если

б) Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах , если

Решение : Нет, это не опечатка, исходные данные в пунктах условия я намеренно сделал одинаковыми. Потому что оформление решений будет отличаться!

а) По условию требуется найти длину вектора (векторного произведения). По соответствующей формуле:

Ответ :

Коль скоро спрашивалось о длине, то в ответе указываем размерность – единицы.

б) По условию требуется найти площадь параллелограмма, построенного на векторах . Площадь данного параллелограмма численно равна длине векторного произведения:

Ответ :

Обратите внимание, что в ответе о векторном произведении речи не идёт вообще, нас спрашивали о площади фигуры , соответственно, размерность – квадратные единицы.

Всегда смотрим, ЧТО требуется найти по условию, и, исходя из этого, формулируем чёткий ответ. Может показаться буквоедством, но буквоедов среди преподавателей хватает, и задание с хорошими шансами вернётся на доработку. Хотя это не особо натянутая придирка – если ответ некорректен, то складывается впечатление, что человек не разбирается в простых вещах и/или не вник в суть задания. Этот момент всегда нужно держать на контроле, решая любую задачу по высшей математике, да и по другим предметам тоже.

Куда подевалась большая буковка «эн»? В принципе, её можно было дополнительно прилепить в решение, но в целях сократить запись, я этого не сделал. Надеюсь, всем понятно, что и – это обозначение одного и того же.

Популярный пример для самостоятельного решения:

Пример 2

Найти площадь треугольника, построенного на векторах , если

Формула нахождения площади треугольника через векторное произведение дана в комментариях к определению. Решение и ответ в конце урока.

На практике задача действительно очень распространена, треугольниками вообще могут замучить.

Для решения других задач нам понадобятся:

Свойства векторного произведения векторов

Некоторые свойства векторного произведения мы уже рассмотрели, тем не менее, я их включу в данный список.

Для произвольных векторов и произвольного числа справедливы следующие свойства:

1) В других источниках информации данный пункт обычно не выделяют в свойствах, но он очень важен в практическом плане. Поэтому пусть будет.

2) – свойство тоже разобрано выше, иногда его называют антикоммутативностью . Иными словами, порядок векторов имеет значение.

3) – сочетательные или ассоциативные законы векторного произведения. Константы безпроблемно выносятся за пределы векторного произведения. Действительно, чего им там делать?

4) – распределительные или дистрибутивные законы векторного произведения. С раскрытием скобок тоже нет проблем.

В качестве демонстрации рассмотрим коротенький пример:

Пример 3

Найти , если

Решение: По условию снова требуется найти длину векторного произведения. Распишем нашу миниатюру:

(1) Согласно ассоциативным законам, выносим константы за переделы векторного произведения.

(2) Выносим константу за пределы модуля, при этом модуль «съедает» знак «минус». Длина же не может быть отрицательной.

(3) Дальнейшее понятно.

Ответ :

Пора подбросить дров в огонь:

Пример 4

Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах , если

Решение : Площадь треугольника найдём по формуле . Загвоздка состоит в том, что векторы «цэ» и «дэ» сами представлены в виде сумм векторов. Алгоритм здесь стандартен и чем-то напоминает примеры № 3 и 4 урока Скалярное произведение векторов . Решение для ясности разобьём на три этапа:

1) На первом шаге выразим векторное произведение через векторное произведение , по сути, выразим вектор через вектор . О длинах пока ни слова!

(1) Подставляем выражения векторов .

(2) Используя дистрибутивные законы, раскрываем скобки по правилу умножения многочленов.

(3) Используя ассоциативные законы, выносим все константы за пределы векторных произведений. При маломальском опыте действия 2 и 3 можно выполнять одновременно.

(4) Первое и последнее слагаемое равно нулю (нулевому вектору) благодаря приятному свойству . Во втором слагаемом используем свойство антикоммутативности векторного произведения:

(5) Приводим подобные слагаемые.

В результате вектор оказался выражен через вектор, чего и требовалось достичь:

2) На втором шаге найдем длину нужного нам векторного произведения. Данное действие напоминает Пример 3:

3) Найдём площадь искомого треугольника:

Этапы 2-3 решения можно было оформить и одной строкой.

Ответ :

Рассмотренная задача достаточно распространена в контрольных работах, вот пример для самостоятельного решения:

Пример 5

Найти , если

Краткое решение и ответ в конце урока. Посмотрим, насколько вы были внимательны при изучении предыдущих примеров;-)

Векторное произведение векторов в координатах , заданных в ортонормированном базисе , выражается формулой :

Формула и правда простецкая: в верхнюю строку определителя записываем координатные векторы, во вторую и третью строки «укладываем» координаты векторов , причём укладываем в строгом порядке – сначала координаты вектора «вэ», затем координаты вектора «дубль-вэ». Если векторы нужно умножить в другом порядке, то и строки следует поменять местами:

Пример 10

Проверить, будут ли коллинеарны следующие векторы пространства:
а)
б)

Решение : Проверка основана на одном из утверждений данного урока: если векторы коллинеарны, то их векторное произведение равно нулю (нулевому вектору): .

а) Найдём векторное произведение:

Таким образом, векторы не коллинеарны.

б) Найдём векторное произведение:

Ответ : а) не коллинеарны, б)

Вот, пожалуй, и все основные сведения о векторном произведении векторов.

Данный раздел будет не очень большим, так как задач, где используется смешанное произведение векторов, немного. Фактически всё будет упираться в определение, геометрический смысл и пару рабочих формул.

Смешанное произведение векторов – это произведение трёх векторов :

Вот так вот они выстроились паровозиком и ждут, не дождутся, когда их вычислят.

Сначала опять определение и картинка:

Определение : Смешанным произведением некомпланарных векторов , взятых в данном порядке , называется объём параллелепипеда , построенного на данных векторах, снабжённый знаком «+», если базис правый, и знаком «–», если базис левый.

Выполним рисунок. Невидимые нам линии прочерчены пунктиром:

Погружаемся в определение:

2) Векторы взяты в определённом порядке , то есть перестановка векторов в произведении , как вы догадываетесь, не проходит без последствий.

3) Перед тем, как прокомментировать геометрический смысл, отмечу очевидный факт: смешанное произведение векторов является ЧИСЛОМ : . В учебной литературе оформление может быть несколько другим, я привык обозначать смешанное произведение через , а результат вычислений буквой «пэ».

По определению смешанное произведение – это объем параллелепипеда , построенного на векторах (фигура прочерчена красными векторами и линиями чёрного цвета). То есть, число равно объему данного параллелепипеда.

Примечание : чертёж является схематическим.

4) Не будем заново париться с понятием ориентации базиса и пространства. Смысл заключительной части состоит в том, что к объёму может добавляться знак минус. Простыми словами, смешанное произведение может быть отрицательным: .

Непосредственно из определения следует формула вычисления объема параллелепипеда, построенного на векторах .

Как найти скалярное произведение векторов

ФОРМУЛА

Чтобы найти скалярное произведение двух векторов, заданных их координатами, необходимо вычислить сумму произведений соответствующих координат этих векторов. Для случая, если векторы заданы на плоскости координатами \(\ \overline{a}=\left(a_{x} ; a_{y}\right) \quad{и}\quad \overline{b}=\left(b_{x} ; b_{y}\right) \), формула верна:

\(\ (\overline{a}, \overline{b})=a_{x} \cdot b_{x}+a_{y} \cdot b_{y} \)

Если векторы заданы в пространстве их координатами: \(\ \overline{a}=\left(a_{x} ; a_{y} ; a_{z}\right) \quad{и}\quad \overline{b}=\left(b_{x} ; b_{y} ; b_{z}\right) \) , соответственно, их скалярное произведение вычисляется по формуле:

\(\ (\overline{a}, \overline{b})=a_{x} \cdot b_{x}+a_{y} \cdot b_{y}+a_{z} \cdot b_{z} \)

ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА СКАЛЯРНОЙ ПРОДУКЦИИ ВЕКТОРОВ

ПРИМЕР

Задание: Найти скалярное произведение векторов \(\ \overline{a}=(1 ;-3) \quad{и}\quad \overline{b}=(-2 ;-3) \)

Решение: Векторы даны на плоскости, поэтому для вычисления их скалярного произведения воспользуемся формулой

\(\ (\overline{a}, \overline{b})=a_{x} \cdot b_{x}+a_{y} \cdot b_{y} \)

Подставляя координаты указанных векторов, получим

\(\ (\overline{a}, \overline{b})=1 \cdot(-2)+(-3) \cdot(-3)=-2+9=7 \)

Ответ: \(\ (\overline{a}, \overline{b})=7 \)

ПРИМЕР

Задание: Есть точки в пространстве \(\ A(-1 ;-2 ; 5), B(-3 ; 2 ; 1) \quad{и}\quad C(0 ; 1 ;-1) \) . Найти скалярное произведение векторов \(\ \overline{A B} и \overline{A C} \)

Решение: Сначала мы находим координаты векторов \(\ \overline{A B} {и} \overline{A C} \) . Для этого из координат конца мы вычисляем соответствующие координаты начала, получаем:

\(\ \overline{A B}=(-3-(-1) ; 2-(-2) ; 1-5)=(-2 ; 4 ;-4) \)

\(\ \overline{A C}=(0-(-1) ; 1-(-2) ;-1-5)=(1 ; 3 ;-6) \)

Далее мы используем формулу для вычисления скалярного произведения векторов, заданных в пространстве:

\(\ (\overline{a}, \overline{b})=a_{x} \cdot b_{x}+a_{y} \cdot b_{y}+a_{z} \cdot b_{z} \)

Получите

\(\ (\overline{A B}, \overline{A C})=(-2) \cdot 1+4 \cdot 3+(-4)(-6)=-2+12+24=34 \)

Ответ: \(\ (\overline{A B}, \overline{A C})=34 \)

Находим скалярное произведение и угол между векторами…

За последнее время ко мне поступает не мало вопросов по Аналитической геометрии, поэтому я решил немножко зацепить эту тему и упростить для вас решения задач по этому предмету. И одни из основных понятий здесь именно скалярное произведение векторов, поэтому для его использования и вычисления я сделал онлайн программу.

Сначала, немножко напомню вам о главных понятиях. Скалярное произведение векторов – это число, которое равно произведению длины векторов на косинус угла между ними. На этом понятии основываются много разных других понятий, которые широко используются в математике. Вот, например, есть теорема:

«Скалярное произведение двух векторов равно нулю тогда и только тогда, когда угол между ними прямой, то есть когда эти векторы перпендикулярны (ортогональны)».

На основе этой теоремы и проверяют ортогональность векторов, прямых, плоскостей.

Также с помощью определения скалярного произведения находят угол между векторами или прямыми в ортонормированном базисе. Потому что в этом базисе скалярное произведение можно найти, просто сложив произведения соответствующих координат и также легко найти длину векторов, если есть их координаты.

Думаю, вы поняли, что эта программа может находить, не только скалярное произведение векторов двумя способами, но косинус угла между векторами, если они заданы координатами в ортонормированном базисе. Вам просто надо перейти на страницу программы, выбрать там подходящий для вас вариант, ввести свои данные и нажать кнопку «Решить». После чего перед вами будет подробное решение со всеми формулами и вычислениями.

Эта программка, не просто сможет решить за вас выше перечисленные задачи, но и поможет вам разобраться в решении и лучше понять теорию по данной теме. Так что переходите и опробуйте новую онлайн программу.

Материалы по теме:

Поделиться с друзьями:

Загрузка…

Калькулятор скалярного произведения векторов — [100% бесплатно]

Калькулятор скалярных произведений — удобный инструмент для всех, кому нужно решать задачи умножения с использованием векторов. Вместо того, чтобы вручную вычислять скалярное произведение, вы можете просто ввести требуемые значения (два или более вектора здесь) в этот калькулятор векторного скалярного произведения, и он произведет математические вычисления, чтобы определить скалярное (внутреннее) произведение.

Как использовать калькулятор скалярного произведения?

Калькулятор скалярного произведения — очень простой инструмент, который легко понять.Если у вас есть требуемые значения, вы можете использовать их для автоматических расчетов. Вот шаги, которые необходимо выполнить для этого калькулятора скалярного произведения матриц:

• Сначала введите значения для вектора a: X1 , Y1 и Z1 .
• Затем введите значения для вектора b: X2 , Y2 и Z2 .
• После ввода всех этих значений решатель скалярного произведения автоматически генерирует для вас значения для скалярного произведения и угла между векторами.

Что такое скалярное произведение двух векторов?

Несмотря на удобство калькулятора скалярного произведения, который также известен как калькулятор скалярного произведения двух векторов или калькулятор скалярного произведения матриц, вы можете выполнить вычисление вручную. Для этого необходимо нарисовать оба вектора и разделить их под углом.

Затем, если вы попытаетесь выяснить изображение скалярного произведения, вы обнаружите, что вам нужно умножить две части, а именно проекцию одного из векторов в направлении второго вектора вместе с этим вектором.Поскольку эти части параллельны, результат получается произведением длин обеих частей.

Хотя есть два способа выполнить эту операцию, вы все равно получите тот же результат. Другими словами, скалярное произведение получается путем умножения длины векторов, проецируемых в направлении одного из этих векторов.

Как рассчитать скалярное произведение?

Как упоминалось выше, существует два вида умножения векторов, а именно скалярное произведение или скалярное произведение, представленное как «•», и перекрестное произведение, представленное как «×.” Самая большая разница между этими произведениями состоит в том, что произведение точечной операции всегда является одним числом, а произведение перекрестной операции всегда является вектором.

Чтобы вычислить скалярное произведение без калькулятора векторного скалярного произведения, предположим, что мы будем выполнять наши вычисления в трехмерном пространстве. В таком случае вы можете записать каждый из векторов, используя 3 компонента:

a = [a₁, a₂, a₃] b = [b₁, b₂, b₃]

Геометрически говоря, скалярное произведение представляет собой произведение модулей векторов, умноженных на значение косинуса угла между векторами. Это можно выразить следующим уравнением:

a • b = | a | * | b | * cosα

Если вы не уверены в величине вектора или в том, как проводить вычисления, вам лучше использовать калькулятор скалярного произведения двух векторов. Но если вы хотите приложить усилия для расчета вручную, давайте продолжим.

Если у вас есть угол 90˚ между двумя векторами, то вы всегда получите скалярное произведение, равное нулю, независимо от того, каковы величины векторов.Точно так же, если у вас угол 0˚, что означает, что у вас есть коллинеарные векторы, вы можете найти скалярное произведение, только умножив множества.

Алгебраически говоря, скалярное произведение относится к сумме произведений компонентов векторов. Следовательно, если у вас есть вектор с 3 компонентами, ваша формула скалярного произведения будет:

a • b = a₁ * b₁ + a₂ * b₂ + a₃ * b₃

В любом месте, которое содержит более 3 измерения, добавьте больше терминов к вашему суммированию.Но если вы умножаете векторы в двухмерном пространстве, удалите третий член в формуле скалярного произведения.

Вы также можете использовать калькулятор скалярного произведения для определения угла между двумя заданными векторами, где косинус — это отношение величин векторов и скалярных произведений. Для этого вам понадобится следующая формула:

cosα = a • b / (| a | * | b |).

Если вам интересно, как работает решатель скалярного произведения, вам нужно выполнить несколько шагов. Чтобы лучше понять это, рассмотрим пример:

• Выберите значения для вектора a. Возьмем a = [4, 5, -3] .
• Выберите значения для вектора b. Возьмем b = [1, -2, -2] .
• Найдите произведение первых компонентов каждого вектора. В этом примере решение выглядит следующим образом: 4 * 1 = 4.
• Найдите произведение средних компонентов каждого вектора. Для этого примера решение выглядит так: 5 * (-2) = -10.
• Найдите произведение третьих компонентов каждого вектора. Для этого примера решение выглядит следующим образом: (-3) * (-2) = 6.
  • Теперь сложите все значения вместе, чтобы найти скалярное произведение: 4 + (-10) + 6 = 0.

Для чего используется точечный продукт?

Скалярное произведение имеет несколько применений, включая:

• Доказательство закона косинусов с использованием скалярного произведения. Когда вы рисуете треугольник, используя 3 вектора, вы можете записать формулу как c = b — a .Если вам нужно решить для c2 , вы можете расширить это уравнение как c² = (b-a) • (b-a) = b • b — b • a — a • b + a • a = a² + b² — | b | * | а | * cosa — | a | * | b | * cosa = a² + b² — 2 * | a | * | b | * cosα . Кстати, так можно доказать закон косинусов.
• Используя его, чтобы узнать, перпендикулярны ли два заданных вектора друг другу.
• Определение различных видов физических величин как скалярных произведений.
• Работает как скалярное произведение смещения и силы.
• Использование мощности как скалярного произведения скорости и силы.
• Использование магнитного или электрического потока в качестве скалярного произведения магнитного или электрического поля вместе с поверхностью, через которую он протекает.
• Использование потенциальной энергии магнитного поля как скалярного произведения магнитного поля и магнитного момента.

Калькулятор точечного произведения — Расчет векторов

Описание:

Калькулятор скалярного произведения позволяет вычислять скалярное произведение двух векторов в режиме онлайн.

dot_product в сети

---

Описание:

1. Аналитическое определение скалярного произведения

Можно вычислить скалярное произведение двух векторов по их координатам. В плане в ортонормированной системе `(O, vec (i), vec (j))`, vec (u) — вектор координат (x, y), а vec (v) — вектор координат (x, y), скалярное произведение определяется по формуле хх ‘+ уу’ = 0.
Это определение можно распространить на космос. В прямой ортонормированной системе `(O, vec (i), vec (j), vec (k))`, vec (u) — вектор координат (x, y, z), а vec (v) — вектор координат (x ‘, y’, z ‘), скалярное произведение определяется по формуле хх ‘+ уу’ + zz ‘= 0.

2. Свойство

Если vec (u) и vec (v) ортогональны, то скалярное произведение равно нулю.

3. Онлайн-расчет скалярного произведения.

Калькулятор скалярного произведения позволяет вычислить скалярное произведение двух векторов по их координатам.Вычисление скалярного произведения онлайн может быть выполнено с помощью чисел или буквальных выражений.

1. Расчет точечного произведения по числовым координатам.

Чтобы вычислить скалярное произведение следующих векторов `vec (v)` [1; 5] и `vec (u)` [1; 3], введите dot_product (`[1; 5]; [1; 3]`). После расчета возвращается результат 16.

2. Расчет точечного произведения по буквальным координатам.2` возвращается.

Калькулятор скалярного произведения позволяет вычислять скалярное произведение двух векторов в режиме онлайн.

---

Синтаксис:

dot_product (вектор; вектор)

---

Примеры:

dot_product (`[1; 5]; [1; 3]`), возвращает 16,

dot_product (`[1; 5; 3]; [1; 3; 3]`), возвращает 25

Рассчитайте онлайн с dot_product (рассчитайте точечный продукт) Калькулятор точечного произведения

— Calculator Academy

Введите координаты x, y и z двух разных векторов a и b для вычисления скалярного произведения.

Формула скалярного произведения

Следующая формула используется указанным выше калькулятором для вычисления скалярного произведения двух векторов равной длины.

Где n — общее количество пробелов или чисел в векторе, а a и b — векторы или последовательности одинаковой длины. Это также можно рассчитать геометрически с помощью следующего уравнения.

Где a и b — векторы одинаковой длины, ‖ a ‖ и ‖ b ‖ — величины векторов a и b, а θ — угол между a и b.

Определение точечного произведения

Скалярное произведение, также известное как скалярное произведение, представляет собой алгебраическую операцию между двумя последовательностями чисел, которая возвращает одно число. В большинстве случаев эти последовательности представлены векторами. Однако скалярное произведение можно вычислить с помощью любых двух последовательностей равной длины.

С математической точки зрения, скалярное произведение двух последовательностей равной длины представляет собой сумму произведений соответствующих записей этих двух последовательностей.Его также можно вычислить геометрически по формуле, включающей величины двух векторов и угол между ними.

Как рассчитать скалярное произведение

Следующий пример представляет собой пошаговое руководство по вычислению скалярного произведения двух последовательностей чисел одинаковой длины.

1. Сначала мы должны определить длину и значения последовательности или вектора. Мы рассмотрим два вектора a и b из трех пространств. То есть каждый будет иметь координаты x, y и z. В этом примере мы примем значения [1,2.3] и [4,5,6] соответственно.
2. Затем мы хотим вычислить произведения каждого соответствующего пространства / координаты. Для x это будет 1 * 4 = 4. Для y это будет 2 * 5 = 10. Для z это будет 3 * 6 = 18.
3. Наконец, мы должны просуммировать все эти произведения вместе, так что 4 + 10 + 18 = 32.
4. Точечный продукт между векторами a и b в этом примере равен 32.

FAQ

Что такое точечный продукт?

Скалярное произведение — это величина двух последовательностей чисел.

Калькулятор скалярного произведения

Калькулятор скалярного произведения вычисляет скалярное произведение (скалярное произведение), величины и угол между двумя векторами. Калькулятор можно использовать для скалярного произведения расчет 2D или 3D векторов.

Расчет точечного произведения может выполняться для двух различных векторных форм: векторных компонентов или величины и угол между векторами.

Формулы скалярного произведения, использованные для расчетов, приведены ниже.

Калькулятор точечного произведения:

Примечание. Используйте точку «.» как десятичный разделитель.

РЕЗУЛЬТАТЫ
Параметр	Символ	Значение	Отряд
Точечное произведение векторов A и B		—	—
Величина вектора A	| A |	—
Величина вектора B	| B |	—
Угол между векторами	θ	—	град

Точечное произведение: Тип умножения векторов, результат является скалярным и больше не имеет направления.

Калькулятор двумерного векторного скалярного произведения

«Калькулятор двумерного векторного скалярного произведения» пригодится, когда вы пытаетесь решить проблемы, связанные со скалярным произведением векторов. Вместо того, чтобы вычислять скалярное произведение (также известное как скалярное произведение) вручную, вы можете использовать этот онлайн-калькулятор, чтобы вычислить за вас, просто поместив компоненты двух векторов в калькулятор.

Результаты калькулятора скалярного произведения 2D-векторов

Скалярное произведение:

★ ★ ★ ★ ★ [14 голосов]

Базовый 2D-калькулятор продукта Вам необходимо знать

Если вы хотите узнать больше об этом калькуляторе, его использовании и различных терминах, связанных с ним, эта статья для вас.

Типы векторного умножения

Существует два типа векторного умножения:

1. перекрестное произведение (обозначается символом ‘x’)
2. скалярное произведение, которое также известно как скалярное произведение (обозначается символом ‘. ‘)

Основное различие между этими двумя типами умножения состоит в том, что результатом произведения перекрестной операции является вектор, в то время как произведение операции с точкой дает единственное число, т. Е. Только величину.

Что представляет собой скалярное произведение двух векторов?

Скалярное произведение двух векторов дает нам представление о количестве одного вектора, который идет в направлении другого вектора.

Давайте разберемся в этом на примере:

Например, если вы потянули объект на двадцать метров под наклоном, в вашем векторе силы будет как вертикальная, так и горизонтальная составляющая. Если вы вычислите скалярное произведение в этом случае, оно даст вам количество силы, действующей в направлении движения объекта i.е., направление смещения.

Что такое формула скалярного произведения?

Все наши вычисления будут выполняться в двухмерном пространстве, что означает, что каждый вектор может быть представлен с использованием двух компонентов:

a = [a1, a2]

b = [b1, b2]

Скалярное произведение двух векторов может быть определенным как произведение величины двух векторов на косинус угла между ними. Если вы хотите рассчитать угол между двумя векторами, вы можете использовать 2D-калькулятор угла вектора.

Формула для нахождения скалярного произведения двух векторов имеет вид:

a.b = | a | × | b | × cosθ

Где:

• a.b — скалярное произведение двух векторов, а именно ‘a’ и ‘b’
• | a | и | b | — величина векторов соответственно
• θ — угол между двумя векторами

Из приведенной выше формулы мы можем сделать вывод, что если угол между двумя векторами, т.е. θ, составляет 90 градусов, то скалярное произведение двух векторов будет равно нулю (так как cos90 = 0 градусов).Точно так же, если угол между двумя векторами равен 0 градусов, скалярное произведение даст максимальное значение, то есть умножение только величин (так как cos0 = 1).

В некоторых случаях вы можете использовать скалярное произведение как инструмент для определения угла между двумя векторами. В то время косинус будет равен отношению скалярного произведения и величины векторов, т.е.

cosθ = a × b / (| a | × | b |)

Вы можете получить значение угла θ, найдя значение, обратное значению, которое вы получили в правой части уравнения.

Алгебраическое представление скалярного произведения

Алгебраически скалярное произведение двух векторов в 2D может быть представлено как —

ab = a1 × b1 + a2 × b2

Где

• ab — скалярное произведение двух векторов а именно ‘a’ и ‘b’,
,
• a1 и a2 — величина векторов в направлениях «x» и «y» соответственно.
• b1 и b2 — величины векторов в направлениях «x» и «y» соответственно

Как пользоваться калькулятором двумерного векторного скалярного произведения?

Первый шаг — ввести компоненты двух векторов соответственно в обязательные поля, а именно Вектор V1 и Вектор V2.

Первое поле — это значение x-компоненты вектора, а второе поле будет содержать y-компоненту вектора (только в случае 2D-векторов).

Следующим шагом является нажатие клавиши ВВОД, и калькулятор выполнит свою работу. Результат будет представлен как скалярное произведение двух векторов.

Векторы могут содержать десятичные и целые числа, но не функции, дроби или переменные.

Приложения скалярного произведения

• Если вы хотите выяснить, перпендикулярны ли два вектора друг другу или нет, скалярное произведение — самый простой и простой способ найти то же самое.
• Закон косинусов можно доказать с помощью скалярного произведения.
• Многие физические величины определяются как скалярное произведение. Работа определяется как скалярное произведение смещения и силы. Мощность определяется как скалярное произведение скорости и силы.

Сводка

В эту современную эпоху технологий используется больше формул и их быстрое применение вместо того, чтобы тратить время на ручные математические вычисления. Этот простой пользовательский интерфейс в форме «2D-векторного скалярного калькулятора произведения» может предоставить вам желаемые результаты. Зачем вам полагаться на ручное вычисление математических формул и тратить много времени?

Математические калькуляторы

Вам также могут пригодиться следующие математические калькуляторы.

Калькулятор перекрестных произведений | Лучший векторный калькулятор

Что такое перекрестное произведение?

Перекрестное произведение — это двоичная операция двух векторов в трехмерном пространстве. Она представлена ​​знаком x. Два линейно независимых вектора a и b, вектор перекрестного произведения находится под прямым углом (перпендикулярно) обоим к плоскости, окружающей их.

Формула перекрестного произведения

Формула перекрестного произведения:

$$ c = a * b = | a | \; * \; | b | \; * \; sinθ * n $$

Здесь c представляет вновь созданную величину, а a и b — начальные векторы.В то время как Ɵ обозначает угол, а n обозначает единичный вектор, перпендикулярный a и b.

Используйте другие наши инструменты, чтобы узнать правила логарифмов и что такое обратная логарифмическая функция? и как их вычислить.

Что такое вектор?

Вектор — это величина, имеющая как величину, так и направление, и всегда приводит к скалярной величине. От массы к силе и от ускорения к энергии — все связано с вектором.

Узнайте, что такое квадратные корни? а как рассчитать стандартное отклонение? с помощью нашего онлайн-калькулятора.

Как умножить векторы?

Точечное произведение и перекрестное произведение — это два способа умножения вектора. Разница между перекрестным произведением и скалярным произведением состоит в том, что при скалярном произведении получается другой вектор, а скалярное произведение дает скалярное значение.

Использование калькулятора кросс-умножения сэкономит вам много времени. Нажмите на руководство по кросс-продукту, чтобы узнать больше.

Как получить произведение двух векторов?

Согласно формуле, каждый модуль обозначает путь в пространстве, а число обозначает длину объекта на определенной траектории.Три измерения обозначаются как x, y, z и в единицах измерения представлены как i, j и k.

Согласно этой номенклатуре вектор u может быть выражен как:

$$ u = (4i + 5j + 2k) $$

$$ u = (4, 5, 2) $$

Рассмотрим два вектора u и v, имеющих следующие координаты:

u = (4, 5, 2) и v = (4, 6, 3)

$$ \ begin {matrix} i & j & k \\ 4 & 5 & 2 \\ 4 & 6 & 3 \\ \ end {matrix} = u * v $$

$$ = (3, -4,4) $$

Нажмите, чтобы узнать периметр трапеции и как найти длину дуги? с помощью наших онлайн-калькуляторов.

Правило правой руки

Правило правой руки используется, чтобы понять, сколько возможных ориентаций осей у нас есть в трехмерном пространстве. Правило перекрестного произведения также предсказывает направление результирующего объекта.

Два пальца на изображении выше указывают на путь двух векторов, а большой палец представляет направление результирующего вектора.

Воспользуйтесь нашими онлайн-инструментами, чтобы изучить производные правила и что такое интеграция ?.

Что такое калькулятор перекрестных продуктов?

Калькулятор перекрестных произведений

— лучший вариант, если у вас возникли проблемы с ручными вычислениями.Калькулятор векторов использует перекрестный вектор и правила перекрестного произведения для вычисления точных результатов.

Как пользоваться калькулятором кросс-продуктов?

Калькулятор векторных произведений — лучший вариант для решения уравнения кросс-произведений. Все, что вам нужно сделать, это ввести значения x, y, z в вектор A и значения x, y, z в вектор B и нажать кнопку «РАСЧЕТ» . Наш векторный калькулятор мгновенно даст вам точные результаты.

У нас также есть другие калькуляторы, которыми вы можете пользоваться бесплатно. Узнайте, что такое арифметическая последовательность? а как рассчитать лимиты? с помощью наших онлайн-калькуляторов.

Калькулятор перекрестного произведения — перекрестное произведение двух векторов

Правило правой руки в перекрестном произведении

Воспользуйтесь нашим векторным калькулятором перекрестного произведения, чтобы вычислить перекрестное произведение двух векторов. Укажите форму, в которой измеряются оба вектора; по координатам или по точке. Введите значение трех переменных X, Y и Z для каждого вектора в указанные поля ввода.Если вы выбираете форму вектора по точкам, вам необходимо ввести начальную и конечную точки для каждого вектора. Нажмите кнопку « Calculate », чтобы увидеть результат.

Калькулятор умножения векторов мгновенно вычислит перекрестное произведение заданных векторов. С помощью этого векторного калькулятора можно вычислить перекрестное произведение любого из векторов, даже не беспокоясь об этом.

---

Что такое вектор?

Термин вектор в английском языке имеет много разных значений, но в математике и физике вектор — это нечто иное. Вектор представляет собой физическую величину, которая имеет направление и величину, как вы можете видеть на рисунке. Его также можно разделить на компоненты, которые показывают величину вектора в каждом направлении. Наш калькулятор векторов нормалей вычисляет перекрестное произведение между этими типами векторов.

---

Что такое правило правой руки?

Физики используют ручную мнемонику, называемую правилом правой руки, для отслеживания направления магнитных сил. Сделайте L-образную форму большим пальцем и двумя первыми двумя пальцами правой руки, чтобы сформировать мнемонику.Расположите средний палец в направлении, противоположном направлению указательного и большого пальца, как показано на рисунке.

Правило правой руки относится к магнитному полю и силам, которые магнитное поле прикладывает к движущимся зарядам. Для физиков это просто простой способ запомнить, в каком направлении все было раньше. Иногда ученый, использующий левую руку, ошибочно предполагает, что магнитная сила движется в противоположных направлениях.

---

Что такое кросс-произведение?

Умножение векторов относится к перекрестному произведению и может выполняться двумя способами.Перекрестное произведение показывает, как разные измерения взаимодействуют друг с другом.

Перекрестное произведение векторов A и B — это еще один перпендикулярный вектор к A и B. Если вы знаете величину вектора A и B, то величина векторного произведения (A x B) может быть вычислена путем умножения величин. вектора A и B с синусоидальным углом, образующимся между обоими векторами.

A x B = | A | | B | sinθ

Это уравнение рассчитает величину нового вектора A x B .Мы также можем найти направление вектора перекрестного произведения.

Поднимите правую руку, чтобы использовать правило правой руки. Необходимо использовать правую руку, потому что левая рука даст вам противоположные результаты. Поместите средний, указательный и большой пальцы так, чтобы все они образовывали систему координат X, Y и Z, перпендикулярно друг другу. Затем переместите руку в точку, в которой указательный палец указывает на вектор A, а средний палец — на вектор B. Большой палец укажет направление вектора перекрестного произведения A x B.

---

Формула перекрестного произведения

Векторы в трех измерениях:

i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1)

Из определения перекрестного произведения находятся следующие равенства.

i × j = k

j × k = i

k × i = j

j × i = -k

k × j = -i

i × k = -j

i × i = j × j = k × k = 0

Поскольку каждый вектор описывается как трехбазовый вектор, его можно записать как:

a = ( x ₁ , y ₁ , z ₁ ), b = (x ₂ , y ₂ , z ₂ )

a = x ₁ i + y ₁ j + z ₁ k, b = x ₂ i + y ₂ j + z ₂ k

Итак, векторное произведение обоих векторов будет:

a × b = (x ₁ i + y ₁ j + z ₁ k) × (x ₂ i + y ₂ j + z ₂ k)

Его также можно записать как

9000 7

Вы также можете использовать наш калькулятор декартовых произведений, чтобы найти векторное произведение двух векторов.

---

Как сделать кросс-произведение?

Давайте узнаем, как произвести векторное произведение двух векторов на примере. Предположим, у нас есть два вектора a = -i + 2j — 2k и b = 3i + j + 2k. Мы вычислим векторное произведение этих двух векторов, используя формулу для перекрестного произведения.

Подставьте значения в приведенное выше уравнение.

Расширяя его, мы получаем:

a × b = i (-2 + 2) — + k (-1-6) = 6i -4j -7k

Итак, векторное произведение обоих векторов a и b равно 6i -4j -7k.

---

Точечное произведение и кросс-произведение

Точка и кросс-произведение имеют похожие названия, но фактически представляют собой разные геометрические концепции. Кроме того, возможно, проще вычислить скалярное произведение, чем вычислить перекрестное произведение. Вы можете использовать наш калькулятор перекрестного умножения , , который может вычислить перекрестное произведение двух векторов.

Давайте взглянем на формулу для скалярного произведения, чтобы полностью понять, что такое скалярное произведение и разница между скалярным произведением и перекрестным произведением.

a · b = | a | * | b | * cosθ

Перекрестное произведение и скалярное произведение отличаются из-за тригонометрической функции, и это скалярное произведение является числом, а не вектором.

Эти небольшие различия могут заставить вас подумать, что они очень похожи, но по своей природе они сильно различаются. Скалярное произведение дает число без направления, а перекрестное произведение — это процедура, которая берет два вектора и возвращает перпендикулярный вектор.Скалярное произведение легче обобщить на большие или меньшие измерения, в то время как перекрестное произведение даже не доступно в двух измерениях.

---

Некоторые идеи о движущихся зарядах

Когда заряды остаются бездействующими, на них не влияет магнитное поле, но магнитное поле прикладывает к ним силу, как только они начинают ускоряться. Однако направление, в котором сила толкает заряды, отличается от направления силовых линий магнитного поля. Вы можете видеть на картинке:

Если положительный заряд движется в направлении указательного пальца и среднего пальца к магнитному полю, большой палец будет указывать на магнитную силу, которая толкает заряды.Сила направлена ​​в противоположных направлениях при работе с отрицательными зарядами, такими как движущиеся электроны.

---

Ток в проводе

Ток в проводе означает, что в этом проводе движутся положительные заряды. Поскольку мы знаем, что ток — это движение зарядов, провод также будет иметь то же воздействие, что и непрерывно движущийся заряд, магнитным полем, но только если через него проходит ток.

Здесь, как и ранее, можно использовать правило правой руки.