ОглавлениеПРЕДИСЛОВИЕАНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ § 1. Понятие о предмете аналитической геометрии § 2. Координаты § 3. Прямоугольная система координат § 4. Прямоугольные координаты § 5. Координатные углы § 6. Косоугольная система координат § 7. Уравнение линии § 8. Взаимное расположение линии и точки § 9.  § 10. Расстояние между двумя точками § 11. Деление отрезка в данном отношении § 11а. Деление отрезка пополам § 12. Определитель второго порядка § 13. Площадь треугольника § 14. Прямая линия; уравнение, разрешенное относительно ординаты (с угловым коэффициентом) § 15. Прямая, параллельная оси § 16. Общее уравнение прямой § 17. Построение прямой по ее уравнению § 18. Условие параллельности прямых § 19. Пересечение прямых § 20. Условие перпендикулярности двух прямых § 21. Угол между двумя прямыми § 22. Условие, при котором три точки лежат на одной прямой § 23. Уравнение прямой, проходящей через две точки § 24. Пучок прямых § 25. Уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно данной прямой § 27. Взаимное расположение прямой и пары точек § 28. Расстояние от точки до прямой § 29. Полярные параметры прямой § 30.  2+bx+c§ 51. Директрисы эллипса и гиперболы § 52. Общее определение эллипса, гиперболы и параболы § 53. Конические сечения § 54. Диаметры конического сечения § 55. Диаметры эллипса § 56. Диаметры гиперболы § 57. Диаметры параболы § 58. Линии второго порядка § 60. Упрощение уравнения второй степени; общие замечания § 61. Предварительное преобразование уравнения второй степени § 62. Завершающее преобразование уравнения второй степени § 63. О приемах, облегчающих упрощение уравнения второй степени § 64. Признак распадения линий второго порядка § 65. Нахождение прямых, составляющих распадающуюся линию второго порядка § 66. Инварианты уравнения второй степени § 67. Три типа линий второго порядка § 68. Центральные и нецентральные линии второго порядка § 69. Нахождение центра центральной линии второго порядка § 70. Упрощение уравнения центральной линии второго порядка  Равносторонняя гипербола как график уравнения y=k/x§ 72. Равносторонняя гипербола как график уравнения y=(mx+n)/(px+q) § 73. Полярные координаты § 74. Связь между полярными и прямоугольными координатами § 75. Архимедова спираль § 76. Полярное уравнение прямой § 77. Полярное уравнение конического сечения АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ § 78. Понятие о векторах и скалярах § 79. Вектор в геометрии § 80. Векторная алгебра § 81. Коллинеарные векторы § 82. Нуль-вектор § 83. Равенство векторов § 84. Приведение векторов к общему началу § 86. Сложение векторов § 87. Сумма нескольких векторов § 88. Вычитание векторов § 89. Умножение и деление вектора на число § 90. Взаимная связь коллинеарных векторов (деление вектора на вектор) § 91. Проекция точки на ось § 92. Проекция вектора на ось § 93. Основные теоремы о проекциях вектора § 94. Прямоугольная система координат в пространстве § 95.  Координаты точки§ 96. Координаты вектора § 97. Выражения вектора через компоненты и через координаты § 98. Действия над векторами, заданными своими координатами § 100. Длина вектора. Расстояние между двумя точками § 101. Угол между осью координат и вектором § 102. Признак коллинеарности (параллельности) векторов § 103. Деление отрезка в данном отношении § 104. Скалярное произведение двух векторов § 104а. Физический смысл скалярного произведения § 105. Свойства скалярного произведения § 106. Скалярные произведения основных векторов § 107. Выражение скалярного произведения через координаты сомножителей § 108. Условие перпендикулярности векторов § 109. Угол между векторами § 110. Правая и левая системы трех векторов § 111. Векторное произведение двух векторов § 112. Свойства векторного произведения § 114.  Выражение векторного произведения через координаты сомножителей§ 115. Компланарные векторы § 116. Смешанное произведение § 117. Свойства смешанного произведения § 118. Определитель третьего порядка § 119. Выражение смешанного произведения через координаты сомножителей § 120. Признак компланарности в координатной форме § 121. Объем параллелепипеда § 122. Двойное векторное произведение § 123. Уравнение плоскости § 124. Особые случаи положения плоскости относительно системы координат § 126. Условие перпендикулярности плоскостей § 127. Угол между двумя плоскостями § 128. Плоскость, проходящая через данную точку параллельно данной плоскости § 129. Плоскость, проходящая через три точки § 130. Отрезки на осях § 131. Уравнение плоскости в отрезках § 132. Плоскость, проходящая через две точки перпендикулярно данной плоскости § 133. Плоскость, проходящая через данную точку перпендикулярно двум плоскостям § 134.  Точка пересечения трех плоскостей§ 135. Взаимное расположение плоскости и пары точек § 137. Полярные параметры плоскости § 138. Нормальное уравнение плоскости § 139. Приведение уравнения плоскости к нормальному виду § 140. Уравнения прямой в пространстве § 141. Условие, при котором два уравнения первой степени представляют прямую § 142. Пересечение прямой с плоскостью § 143. Направляющий вектор § 144. Углы между прямой и осями координат § 145. Угол между двумя прямыми § 146. Угол между прямой и плоскостью § 147. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости § 148. Пучок плоскостей § 149. Проекции прямой на координатные плоскости § 150. Симметричные уравнения прямой § 152. Параметрические уравнения прямой § 153. Пересечение плоскости с прямой, заданной параметрически § 154. Уравнения прямой, проходящей через две данные точки § 155.  Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой§ 156. Уравнения прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной плоскости § 157. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и данную прямую § 158. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и параллельной двум данным прямым § 160. Уравнение плоскости, проходящей через данную прямую и перпендикулярной данной плоскости § 161. Уравнения перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную прямую § 162. Длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную прямую § 163. Условие, при котором две прямые пересекаются или лежат в одной плоскости § 164. Уравнения общего перпендикуляра к двум данным прямым § 165. Кратчайшее расстояние между двумя прямыми § 165а. Правые и левые пары прямых § 166. Преобразование координат § 167. Уравнение поверхности § 168.  § 169. Уравнения линии § 170. Проекция линии на координатную плоскость § 171. Алгебраические поверхности и их порядок § 172. Сфера § 173. Эллипсоид § 174. Однополостный гиперболоид § 175. Двуполостный гиперболоид § 176. Конус второго порядка § 177. Эллиптический параболоид § 178. Гиперболический параболоид § 179. Перечень поверхностей второго порядка § 180. Прямолинейные образующие поверхностей второго порядка § 181. Поверхности вращения § 182. Определители второго и третьего порядков § 183. Определители высших порядков § 185. Практический прием вычисления определителей § 186. Применение определителей к исследованию и решению системы уравнений § 187. Два уравнения с двумя неизвестными § 188. Два уравнения с двумя неизвестными § 189. Однородная система двух уравнений с тремя неизвестными § 190.  Два уравнения с двумя неизвестными§ 190а. Система n уравнений с n неизвестными ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА § 192. Рациональные числа § 193. Действительные (вещественные) числа § 194. Числовая ось § 195. Переменные и постоянные величины § 196. Функция § 197. Способы задания функции § 198. Область определения функции § 199. Промежуток § 200. Классификация функций § 201. Основные элементарные функции § 202. Обозначение функции § 203. Предел последовательности § 204. Предел функции § 205. Определение предела функции § 206. Предел постоянной величины § 207. Бесконечно малая величина § 208. Бесконечно большая величина § 209. Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми величинами § 210. Ограниченные величины § 211. Расширение понятия предепа § 212. Основные свойства бесконечно малых величин § 213. Основные теоремы о пределах § 214. Число е § 215. Предел sinx/x при x стремящемся к 0 § 216.  Эквивалентные бесконечно малые величины§ 217. Сравнение бесконечно малых величин § 217а. Приращение переменной величины § 218. Непрерывность функции в точке § 219. Свойства функций, непрерывных в точке § 219а. Односторонний предел; скачок функции § 220. Непрерывность функции на замкнутом промежутке § 221. Свойства функций, непрерывных на замкнутом промежутке ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ § 223. Скорость § 224. Определение производной функции § 225. Касательная § 226. Производные некоторых простейших функций § 227. Свойства производной § 228. Дифференциал § 229. Механический смысл дифференциала § 230. Геометрический смысл дифференциала § 231. Дифференцируемые функции § 232. Дифференциалы некоторых простейших функций § 233. Свойства дифференциала § 234. Инвариантность выражения f'(x)dx § 235. Выражение производной через дифференциалы § 236. Функция от функции (сложная функция) § 237. Дифференциал сложной функции § 238.  Производная сложной функции§ 239. Дифференцирование произведения § 240. Дифференцирование частного (дроби) § 241. Обратная функция § 242. Натуральные логарифмы § 243. Дифференцирование логарифмической функции § 244. Логарифмическое дифференцирование § 245. Дифференцирование показательной функции § 246. Дифференцирование тригонометрических функций § 247. Дифференцирование обратных тригонометрических функций § 247а. Некоторые поучительные примеры § 248. Дифференциал в приближенных вычислениях § 249. Применение дифференциала к оценке погрешности формул § 250. Дифференцирование неявных функций § 251. Параметрическое задание линии § 252. Параметрическое задание функции § 253. Циклоида § 254. Уравнение касательной к плоской линии § 254а. Касательные к кривым второго порядка § 255. Уравнение нормали § 256. Производные высших порядков § 257. Механический смысл второй производной § 258. Дифференциалы высших порядков § 259.  Выражение высших производных через дифференциалы§ 260. Высшие производные функций, заданных параметрически § 261. Высшие производные неявных функций § 262. Правило Лейбница § 263. Теорема Ролля § 264. Теорема Лагранжа о среднем значении § 265. Формула конечных приращений § 266. Обобщенная теорема о среднем значении (Коши) § 267. Раскрытие неопределенности вида 0/0 § 268. Раскрытие неопределенности вида бесконесность на бесконечность § 269. Неопределенные выражения других видов § 270. Исторические сведения о формуле Тейлора § 271. Формула Тейлора § 272. Применение формулы Тейлора к вычислению значений функции § 273. Возрастание и убывание функции § 274. Признаки возрастания и убывания функции в точке § 274а. Признаки возрастания и убывания функции в промежутке § 275. Максимум и минимум § 276. Необходимое условие максимума и минимума § 277. Первое достаточное условие максимума и минимума § 278. Правило нахождения максимумов и минимумов § 279.  Второе достаточное условие максимума и минимума§ 280. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции § 281. Выпуклость плоских кривых; точка перегиба § 282. Сторона вогнутости § 283. Правило для нахождения точек перегиба § 284. Асимптоты § 285. Нахождение асимптот, параллельных координатным осям § 286. Нахождение асимптот, не параллельных оси ординат § 287. Приемы построения графиков § 288. Решение уравнений. Общие замечания § 289. Решение уравнений. Способ хорд § 290. Решение уравнений. Способ касательных § 291. Комбинированный метод хорд и касательных ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ § 293. Первообразная функция § 294. Неопределенный интеграл § 295. Геометрический смысл интегрирования § 296. Вычисление постоянной интегрирования по начальным данным § 297. Свойства неопределенного интеграла § 298. Таблица интегралов § 299. Непосредственное интегрирование § 300. Способ подстановки (интегрирование через вспомогательную переменную) § 301.  Интегрирование по частям§ 302. Интегрирование некоторых тригонометрических выражений § 303. Тригонометрические подстановки § 304. Рациональные функции § 304а. Исключение целой части § 305. О приемах интегрирования рациональных дробей § 306. Интегрирование простейших рациональных дробей § 307. Интегрирование рациональных функций (общий метод) § 308. О разложении многочлена на множители § 309. Об интегрируемости в элементарных функциях § 310. Некоторые интегралы, зависящие от радикалов § 311. Интеграл от биномиального дифференциала § 312. Интегралы вида … § 313. Интегралы вида S R(sinx, cosx)dx § 314. Определенный интеграл § 315. Свойства определенного интеграла § 316. Геометрический смысл определенного интеграла § 317. Механический смысл определенного интеграла § 318. Оценка определенного интеграла § 318а. Неравенство Буняковского § 319. Теорема о среднем интегрального исчисления § 320. Определенный интеграл как функция верхнего предела § 321.  Дифференциал интеграла§ 322. Интеграл дифференциала. Формула Ньютона — Лейбница § 323. Вычисление определенного интеграла с помощью неопределенного § 324. Определенное интегрирование по частям § 325. Способ подстановки в определенном интеграле § 326. О несобственных интегралах § 327. Интегралы с бесконечными пределами § 328. Интеграл функции, имеющей разрыв § 329. О приближенном вычислении интеграла § 330. Формулы прямоугольников § 331. Формула трапеций § 332. Формула Симпсона (параболических трапеций) § 333. Площади фигур, отнесенных к прямоугольным координатам § 334. Схема применения определенного интеграла § 335. Площади фигур, отнесенных к полярным координатам § 336. Объем тела по поперечным сечениям § 337. Объем тела вращения § 338. Длина дуги плоской линии § 339. Дифференциал дуги § 340. Длина дуги и ее дифференциал в полярных координатах § 341. Площадь поверхности вращения ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ПЛОСКИХ И ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ЛИНИЯХ § 342.  Кривизна§ 343. Центр, радиус и круг кривизны плоской линии § 344. Формулы для кривизны, радиуса и центра кривизны плоской линии § 345. Эволюта плоской линии § 346. Свойства эволюты плоской линии § 347. Развертка (эвольвента) плоской линии § 348. Параметрическое задание пространственной линии § 349. Винтовая линия § 350. Длина дуги пространственной линии § 351. Касательная к пространственной линии § 352. Нормальная плоскость § 353. Вектор-функция скалярного аргумента § 354. Предел вектор-функции § 355. Производная вектор-функции § 356. Дифференциал вектор-функции § 357. Свойства производной и дифференциала вектор-функции § 358. Соприкасающаяся плоскость § 359. Главная нормаль. Сопутствующий трехгранник § 360. Взаимное расположение линии и плоскости § 361. Основные векторы сопутствующего трехгранника § 362. Центр, ось и радиус кривизны пространственной линии § 363. Формулы для кривизны, радиуса и центра кривизны пространственной линии § 364.  О знаке кривизны§ 365. Кручение РЯДЫ § 367. Определение ряда § 368. Сходящиеся и расходящиеся ряды § 369. Необходимое условие сходимости ряда § 370. Остаток ряда § 371. Простейшие действия над рядами § 372. Положительные ряды § 373. Сравнение положительных рядов § 374. Признак Даламбера для положительного ряда § 375. Интегральный признак сходимости § 376. Знакопеременный ряд. Признак Лейбница § 377. Абсолютная и условная сходимость § 378. Признак Даламбера для произвольного ряда § 379. Перестановка членов ряда § 380. Группировка членов ряда § 381. Умножение рядов § 382. Деление рядов § 383. Функциональный ряд § 384. Область сходимости функционального ряда § 385. О равномерной и неравномерной сходимости § 386. Определение равномерной и неравномерной сходимости § 387. Геометрический смысл равномерной и неравномерной сходимости § 388. Признак равномерной сходимости; правильные ряды § 389. Непрерывность суммы ряда § 390.  Интегрирование рядов§ 391. Дифференцирование рядов § 392. Степенной ряд § 393. Промежуток и радиус сходимости степенного ряда § 394. Нахождение радиуса сходимости § 395. Область сходимости ряда, расположенного по степеням х – х0 § 396. Теорема Абеля § 397. Действия со степенными рядами § 398. Дифференцирование и интегрирование степенного ряда § 399. Ряд Тейлора § 400. Разложение функции в степенной ряд § 401. Разложение элементарных функций в степенные ряды § 402. Применение рядов к вычислению интегралов § 403. Гиперболические функции § 404. Обратные гиперболические функции § 405. Происхождение наименований гиперболических функций § 406. О комплексных числах § 407. Комплексная функция действительного аргумента § 408. Производная комплексной функции § 409. Возведение положительного числа в комплексную степень § 410. Формула Эйлера § 411. Тригонометрический ряд § 412. Исторические сведения о тригонометрических рядах § 413.  Ортогональность системы функций cos nx, sin nx§ 414. Формулы Эйлера-Фурье § 415. Ряд Фурье § 416. Ряд Фурье для непрерывной функции § 417. Ряд Фурье для четной и нечетной функции § 418. Ряд Фурье для разрывной функции ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ АРГУМЕНТОВ § 420. Функция трех и большего числа аргументов § 421. Способы задания функций нескольких аргументов § 422. Предел функции нескольких аргументов § 424. Непрерывность функции нескольких аргументов § 425. Частные производные § 426. Геометрический смысл частных производных для случая двух аргументов § 427. Полное и частное приращения § 428. Частный дифференциал § 429. О выражении частной производной через дифференциал § 430. Полный дифференциал § 431. Геометрический смысл полного дифференциала (случай двух аргументов) § 432. Инвариантность выражения … полного дифференциала § 433. Техника дифференцирования § 434. Дифференцируемые функции § 435.  Касательная плоскость и нормаль к поверхности§ 436. Уравнение касательной плоскости § 437. Уравнения нормали § 438. Дифференцирование сложной функции § 439. Замена прямоугольных координат полярными § 440. Формулы для производных сложной функции § 441. Полная производная § 442. Дифференцирование неявной функции нескольких переменных § 443. Частные производные высших порядков § 444. Полные дифференциалы высших порядков § 445. Техника повторного дифференцирования § 446. Условное обозначение дифференциалов § 447. Формула Тейлора для функции нескольких аргументов § 448. Экстремум (максимум и минимум) функции нескольких аргументов § 449. Правило нахождения экстремума § 450. Достаточные условия экстремума (случай двух аргументов) § 451. Двойной интеграл § 452. Геометрический смысл двойного интеграла § 453. Свойства двойного интеграла § 454. Оценка двойного интеграла § 455. Вычисление двойного интеграла (простейший случай) § 456.  Вычисление двойного интеграла (общий случай)§ 457. Функция точки § 458. Выражение двойного интеграла через полярные координаты § 459. Площадь куска поверхности § 460. Тройной интеграл § 461. Вычисление тройного интеграла (простейший случай) § 462. Вычисление тройного интеграла (общий случай) § 463. Цилиндрические координаты § 464. Выражение тройного интеграла через цилиндрические координаты § 465. Сферические координаты § 466. Выражение тройного интеграла через сферические координаты § 467. Схема применения двойного и тройного интегралов § 468. Момент инерции § 471. Криволинейный интеграл § 472. Механический смысл криволинейного интеграла § 473. Вычисление криволинейного интеграла § 474. Формула Грина § 475. Условие, при котором криволинейный интеграл не зависит от пути § 476. Другая форма условия предыдущего параграфа ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 478. Уравнение первого порядка § 479. Геометрический смысл уравнения первого порядка § 480.  Изоклины§ 481. Частное и общее решения уравнения первого порядка § 482. Уравнения с разделенными переменными § 483. Разделение переменных. Особое решение § 484. Уравнение в полных дифференциалах § 484а. Интегрирующий множитель § 485. Однородное уравнение § 486. Линейное уравнение первого порядка § 487. Уравнение Клеро § 488. Огибающая § 489. Об интегрируемости дифференциальных уравнений § 490. Приближенное интегрирование уравнений первого порядка по методу Эйлера § 491. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов § 492. О составлении дифференциальных уравнений § 493. Уравнение второго порядка § 494. Уравнение n-го порядка § 495. Случаи понижения порядка § 496. Линейное уравнение второго порядка § 497. Линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами § 498. Линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами без правой части § 498а. Связь между случаями 1 и 3 § 498 § 499.  Линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами с правой частью§ 500. Линейные уравнения любого порядка § 501. Метод вариации постоянных § 502. Системы дифференциальных уравнений. Линейные системы НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КРИВЫЕ § 503. Строфоида § 504. Циссоида Диокла § 505. Декартов лист § 506. Верзьера Аньези § 507. Конхоида Никомеда § 508. Улитка Паскаля; кардиоида § 509. Линия Кассини § 510. Лемниската Бернулли § 511. Архимедова спираль § 512. Эвольвента (развертка) круга § 513. Логарифмическая спираль § 514. Циклоиды § 515. Эпициклоиды и гипоциклоиды § 516. Трактриса § 517. Цепная линия |
Что такое скалярное произведение двух векторов, это скаляр или векторная величина? – Обзоры Вики
Скалярное произведение (также называемое внутренним произведением) двух векторов представляет собой скаляр. Он равен произведению длин векторов на косинус угла между ними.
Точно так же каково скалярное произведение i и j? Другими словами, скалярное произведение i, j или k сам с собой всегда 1, а скалярные произведения i, j и k друг на друга всегда равны 0.
Как найти скалярное произведение? О точечных произведениях
bn> мы можем найти скалярное произведение умножение соответствующих значений в каждом векторе и их сложение вместе, или (a1 * б1) + (а2 * б2) + (а3 * б3)…. + (аn * бn). Мы можем вычислить скалярное произведение для любого количества векторов, однако все векторы должны содержать равное количество членов.
Является ли произведение двух векторов скаляром? Один тип, точечный продукт, является скалярным произведением; результат скалярного произведения двух векторов является скаляром. Другой тип, называемый перекрестным произведением, представляет собой векторное произведение поскольку он дает другой вектор, а не скаляр.
Во-вторых, что такое скалярное произведение двух векторов IJK и? Поскольку стандартные единичные векторы ортогональны, мы немедленно заключаем, что скалярное произведение между парой различных стандартных единичных векторов равно нулю: я⋅j=i⋅k=j⋅k=0.
Как найти скалярное произведение?
то для чего используется скалярный продукт? Скалярный продукт по существу говорит нам, какая часть вектора силы приложена в направлении вектора движения. Скалярное произведение также может помочь нам измерить угол, образованный парой векторов, и положение вектора относительно осей координат.
Когда скалярное произведение двух векторов равно нулю, тогда эти два вектора равны? Два ненулевых вектора называются ортогональный если скалярное произведение этих векторов равно нулю.
Для чего используется точечный продукт?
Точечный продукт по существу говорит нам какая часть вектора силы приложена в направлении вектора движения.
Скалярное произведение также может помочь нам измерить угол, образованный парой векторов, и положение вектора относительно осей координат.
Что такое Dot и перекрестное произведение вектора, запишите их свойства и примеры? Скалярное произведение и векторное произведение — это два типа векторного произведения. Основное различие между скалярным произведением и скалярным произведением заключается в том, что скалярное произведение всегда дает скалярное количество, а перекрестное произведение всегда векторное количество. Чай скалярное произведение всегда используется для вычисления угла между двумя векторами.
Что значит, если скалярное произведение двух векторов равно 0?
Два ненулевых вектора называются ортогональный если скалярное произведение этих векторов равно нулю. Геометрически это означает, что угол между векторами равен или . Отсюда мы видим, что скалярное произведение двух векторов равно нулю, если эти векторы ортогональны.
Что такое IJ и K в векторах? Единичный вектор в направлении оси x равен i, единичный вектор в направлении оси y равен j, а единичный вектор в направлении оси z равен k.
Запись векторов в такой форме может упростить работу с векторами.
Как найти k по i и j?
Является ли AB BA вектором?
Векторы AB и BA одинаковые по величине, но разные по направлению. … Если векторы находятся в одном измерении (на линии), то AB и BA равны по величине, но различны по направлению.
Как работает скалярное произведение в матрице? Каждая операция скалярного произведения при умножении матриц должна следовать этому правилу. Точечные продукты между строками первой матрицы и столбцами второй матрицы. Таким образом, строки первой матрицы и столбцы второй матрицы должны иметь одинаковую длину.
Является ли матричное умножение скалярным произведением? При умножении матриц каждая запись в матрице произведения скалярное произведение строки в первой матрице и столбец во второй матрице.
Почему косинус используется в скалярном произведении?
В скалярном произведении cos используется, потому что произведение двух векторов равно нулю, когда они перпендикулярны, т. е. потому что угол между ними равен нулю..
Что значит, если скалярное произведение двух векторов равно 1? Если скалярное произведение двух векторов равно 1, это означает векторы в одном направлении а если это -1, то векторы направлены в противоположные стороны. Если скалярное произведение равно нулю, это означает, что векторы ортогональны.
То же самое, что скалярный продукт и внутренний продукт?
Следовательно, пока векторное пространство реально, скалярный продукт такой же, как внутренний продукт. Скалярное произведение (также называемое внутренним произведением) двух векторов является скаляром. Он равен произведению длин векторов на косинус угла между ними.
Когда скалярное произведение двух векторов равно нулю Что из следующего должно быть верным? Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними.
Если скалярное произведение равно 0, то длина одного или обоих равна 0, либо угол между ними составляет 90 градусов.
Что такое скалярное произведение и векторное произведение в физике?
Основное различие между скалярным произведением и перекрестным произведением состоит в том, что скалярный продукт — это произведение величины векторов и cos угла между ними., тогда как перекрестное произведение — это произведение величины вектора и синуса угла, в котором они касаются друг друга.
Что означает скалярное произведение 1? Если скалярное произведение двух векторов равно 1, это означает векторы в одном направлении а если это -1, то векторы направлены в противоположные стороны. Если скалярное произведение равно нулю, это означает, что векторы ортогональны.
Почему скалярное произведение косинусное?
В скалярном произведении cos используется, потому что два вектора имеют значение произведения, равное нулю, когда они перпендикулярны, т.е. cos угла между ними равен нулю.
Может ли скалярное произведение быть отрицательным? Отвечать: Скалярным произведением может быть любое действительное значение, включая отрицательное и нулевое.. Скалярное произведение равно 0, только если векторы ортогональны (образуют прямой угол). Если скалярное произведение равно 0, косинусное сходство также будет равно 0.
Engineering at Alberta Courses » Дополнительный продукт
Скалярное произведение и его свойства
Скалярное произведение, также называемое скалярным произведением, представляет собой операцию, которая берет два вектора и возвращает скаляр. Скалярное произведение векторов и , обозначаемое и читаемое как «точка», определяется как:
(2.14)
где угол между двумя векторами (рис. 2.24)
Рис. 2.24 Конфигурация двух векторов для скалярного произведения.Из определения очевидно, что результат скалярного произведения является скаляром. Скалярный продукт обладает тремя следующими свойствами:
- Коммутативность:
- Ассоциативность (скалярное умножение):
- Дистрибутивность:
Доказательства первых двух свойств осуществляются прямым использованием определения скалярного произведения (уравнение 2.
14). Доказательство третьего свойства заключается в расширении правой части уравнения с использованием CVN и свойств, объясненных ниже.
- Скалярное произведение вектора само по себе дает его квадрат величины: .
- Скалярное произведение двух перпендикулярных векторов равно нулю: .
- Скалярное произведение нулевого вектора равно нулю: .
Эти свойства можно легко доказать с помощью уравнения. 2.14.
Составление скалярного произведения с использованием CVN
Позвольте и быть два вектора со своими скалярными компонентами и . Используя CVN, мы можем написать:
Скалярное произведение единичных векторов на свойства скалярного произведения:
Следовательно,
(2,15)
Этот результат показывает, что скалярное произведение двух векторов, записанных в их CVN, может быть получено путем умножения их соответствующих скалярных компонентов и алгебраического суммирования этих произведений.
Уравнение 2.15 показывает, что для вычисления скалярного произведения (уравнение 2.14) не нужны величины двух векторов и угол между ними, если векторы выражены в CVN.
Применение скалярного произведения: нахождение угла между двумя векторами
Скалярное произведение можно использовать для нахождения угла между двумя векторами или двумя пересекающимися прямыми. Это особенно полезно при решении задач в трех измерениях. Угол между двумя векторами получается путем решения уравнения. 2.14 для углового члена:
(2.16)
Приведенным выше уравнением можно управлять как:
(2.17)
, в котором и являются единичными векторами и соответственно. Этот результат естественным образом утверждает, что угол между двумя векторами зависит только от их направлений, а не от их величин.
Применение скалярного произведения: ортогональная проекция вектора
Во многих задачах нам нужно разрешить вектор на определенной линии или линиях в пространстве.
Точнее, нужно найти составляющую вектора вдоль определенного направления или оси. Разложение вектора по декартовым осям уже продемонстрировано. В этом разделе мы объясняем разложение вектора на общую прямую в пространстве с помощью скалярного произведения. Использование скалярного произведения упрощает вычисления, особенно в трех измерениях.
Рассмотрим ненулевой вектор в трехмерном пространстве и прямую, пересекающую хвост вектора в точке (рис. 2.25а). Единичный вектор связан с линией, чтобы задать направление линии. Другими словами, положительное направление линии определяется . Как показано на рис. 2.25b, вектор можно записать как
(2.18)
где параллельно и перпендикулярно . Символы и обозначают параллельность и перпендикулярность соответственно.
Рис. 2.25 Ортогональная проекция. Вектор называется ортогональной проекцией (или проекцией) на линию или вдоль направления . Мы обозначаем as, чтобы указать, что это проекция вдоль направления .
Для получения достаточно заметить, что векторы и образуют прямоугольный треугольник (рис. 2.25б). Поэтому по теореме Пифагора . Это вдохновляет нас использовать уравнение 2.14 и пишем,
(2.19)
Следует отметить, что является скалярной составляющей , разрешенной вдоль направления . Использование скалярного произведения для расчета может привести к отрицательной скалярной величине, если угол между и больше, чем . В таком случае направление находится в направлении, противоположном .
Следующий интерактивный инструмент иллюстрирует ортогональную проекцию вектора на направление, определяемое единичным вектором.
Перпендикулярный компонент можно получить, написав
(2.20)
Величина перпендикулярной составляющей может быть рассчитана с помощью или .
На практике и может быть легко использовано, если известно, в противном случае , и может быть использовано, если известны компоненты векторов в CVN.
В качестве особого случая ортогональная проекция используется для нахождения скалярных компонент вектора в декартовой системе отсчета. Это делается путем записи:
(2.21)
Видео
Точечный продукт:
Угол между векторами:
Ортогональные проекции:
скалярных произведений двух векторов | Свойства и примеры
Скалярное произведение двух векторов
Скалярное скалярное произведение двух векторов: скалярное произведение двух векторов. Чтобы понять скалярное произведение двух векторов, нам нужно сначала понять, что такое проекция.
Проекцию одного вектора на другой часто называют ортогональной проекцией одного вектора на другой.
Скалярное произведение двух векторов — это скалярная величина, которая вычисляется путем умножения величины одного вектора на величину другого вектора, а затем на косинус угла между ними. Скалярное произведение является мерой сходства двух векторов и используется в физике для расчета силы между двумя объектами.
Зарегистрируйтесь, чтобы получить бесплатный пробный тест и учебные материалы
+91
Подтвердите OTP-код (обязательно)
Я согласен с условиями и политикой конфиденциальности.
Скалярное произведение двух векторов — объяснение
Скалярное произведение двух векторов — это скалярное значение, которое вычисляется путем умножения компонентов каждого вектора и последующего суммирования произведений. Результатом является число, представляющее величину векторного произведения, а направление задается углом между векторами.
Определение скалярного произведения
Скалярное произведение — это математическая операция, которая берет два вектора и умножает их вместе, чтобы получить одно скалярное значение. Скалярный продукт обозначают символом . Два вектора располагаются рядом, первый вектор слева, а второй справа. Скалярный продукт вычисляется путем умножения каждого компонента первого вектора на соответствующий компонент второго вектора, а затем сложения всех полученных продуктов вместе.
Формула скалярного произведения
Скалярное произведение — это математическая формула, которая вычисляет произведение двух векторов. Формула:
Вектор a точка Вектор b = |a| |б| cos(θ)
В этой формуле a и b — векторы, |a| является величиной a, а |b| является величиной b. θ — угол между a и b.
Определение геометрии скалярного произведения
В математике скалярное произведение — это операция, которая берет два вектора в трехмерном пространстве и возвращает одно число.
Скалярный продукт определяется как сумма произведений соответствующих компонентов векторов.
Определение алгебры скалярных произведений
Определение алгебры скалярных произведений — это математическая операция, которая вычисляет произведение двух векторов. Обозначается символом «.» и обычно рассчитывается в декартовой системе координат.
Свойства скалярного произведения двух векторов
В математике скалярное произведение — это бинарная операция, которая берет два вектора, u и v, и дает скалярную величину, часто обозначаемую 〈u, v〉, то есть произведение величина u и величина v, а также косинус угла между ними.
Скалярное произведение является дистрибутивным, т. е. 〈u, (v + w)〉 = 〈u, v〉 +
Скалярное произведение векторнозначных функций
Позвольте быть векторнозначной функцией на открытом подмножестве . Скалярное произведение и определяется как
, где норма .
Покажем, что это линейная функция. То есть для любых двух векторов и и любых действительных чисел и ,
Доказательство проводится индукцией по .
Базовый случай прост, так как
Индуктивный шаг также прост, так как
для всех векторов и всех действительных чисел.
Решенные примеры
Вопрос:
В чем разница между открытой и закрытой экономикой?
Открытая экономика – это экономика, в которой правительство позволяет иностранцам инвестировать в страну и покупать ее активы. Закрытая экономика — это экономика, в которой правительство не позволяет иностранцам инвестировать в страну и покупать ее активы.
Учебные материалы NCERT
NCERT — это государственная организация, предоставляющая учебные материалы учащимся классов с I по XII. Учебный материал NCERT очень полезен для учащихся, так как помогает им лучше понять концепции, преподаваемые в школе.
Учебный материал NCERT доступен на хинди и английском языках. Он очень хорошо организован и прост для понимания. Учебный материал NCERT включает учебники, рабочие тетради, пособия для учителей и рабочие тетради.
Учебники написаны
Связанный контент
| NCERT Solutions для упражнения по обработке данных по математике класса 6 |
.  |