В этой статье описаны синтаксис формулы и использование DECIMAL  в Microsoft Excel.

Описание

Преобразует текстовое представление числа с указанным основанием в десятичное число.

Синтаксис

ДЕС(текст;основание)

Синтаксис функции ДЕС имеет аргументы, указанные ниже.

• Текст    Обязательный аргумент.

• Основание.    Обязательный аргумент. Основание системы счисления должно быть целым числом. 53, может привести к потере точности.

• Основание системы счисления должно быть больше или равно 2 (двоичная система) или меньше или равно 36 (36-ричная система).
  Для основания более 10 используются числовые значения 0–9 и буквы A–Z. Например, для основания 16 (шестнадцатеричного) используются цифры 0–9 и буквы A–F, а для основания 36 — цифры 0–9 и буквы A–Z.

• Если хотя бы один из аргументов находится за пределами своих ограничений, то decIMAL может вернуть #NUM! или значение ошибки #ЗНАЧ!.

Пример

Скопируйте образец данных из следующей таблицы и вставьте их в ячейку A1 нового листа Excel. Чтобы отобразить результаты формул, выделите их и нажмите клавишу F2, а затем — клавишу ВВОД. При необходимости измените ширину столбцов, чтобы видеть все данные.

К началу страницы

Преимущества двенадцатеричной системы над десятичной | Техночтиво

Привет любителям математики!

Не забудьте поставить лайк. Приятного прочтения!

Считаем до 12 на пальцах одной руки

Очень занятную для себя находку я не так давно сделал. Двенадцатеричная система счисления.

Честно сказать, никогда я о ней не слышал. Двоичную знаю, десятичную, шестнадцатеричную, но двенадцать…

Но, несмотря на то, что о ней я почти ничего не знал, сталкивался ежедневно. Те же часы как пример.

Как оказалось, многие бытовые вещи с ней считать куда проще! Но, обо всем поподробнее.

Сначала, познакомимся с самими числами.

Так выглядит стандартная десятичная система. Все последующие цифры создаются именно из этих 10

Цифры десятичной системы

А теперь, взглянем на дюжину.

Цифры двенадцатиричной системы счисления

Дальше, как ни странно, идет 10, только произносится она не «десять», а «До». Далее пойдет 11 — «Два до один», 12 — «Два до два» и так далее.

Последние две цифры имеют такие названия:

Кое где их пишут просто как «А» и «В»

Двузначные и трехзначные числа получаются возведением десяти в соответствующие степени, с двенадцатью — то же самое.

Красным — числа в десятичной системе

По сути, если смотреть с точки зрения математики, не изменится ничего. Нужно только привыкнуть к «новым» цифрам. Математические законы останутся прежними. Вот только у такой системы есть ряд преимуществ.

Если в десятичной системе, десятка кратна четырем числам:

То в двенадцатеричной уже шести!

Представьте себе дробь 1/3. В десятичной системе это число будет выглядеть как то так — 0,333(3).

В двенадцатеричной — никаких троек в периоде!

«Четыре двенадцатеричных» 🙂

С 1/6 также не получится никаких бесконечных цифр после запятой, это будет просто 0,2.

Согласитесь, в бытовом плане довольно удобно. Правда, уже те же 1/5 будет выглядеть не совсем презентабельно:

Бесконечная двенадцатеричная дробь…

Да, бесконечные дроби здесь тоже есть, но их меньше.

Стоит отметить, что некоторые малые народы Тибета и Нигерии пользуются такой системой. Да и в давние времена она была распространена из-за своего удобства. Но, в какой-то момент ее просто вытеснили.

Если честно, несмотря на некоторые свои преимущества, переход на эту систему, как по мне, не возможен и не нужен. А потому, забивать ею голову не стоит. Воспринимайте это просто как интересную информацию к размышлению.

Спасибо, что дочитали до конца. Подписывайтесь, ставьте лайки и не болейте!

parseInt() — JavaScript | MDN

Функция parseInt() принимает строку в качестве аргумента и возвращает целое число в соответствии с указанным основанием системы счисления.

The source for this interactive example is stored in a GitHub repository. If you’d like to contribute to the interactive examples project, please clone https://github.com/mdn/interactive-examples and send us a pull request.

Параметры

string

Значение, которое необходимо проинтерпретировать. Если значение параметра string не принадлежит строковому типу, оно преобразуется в него (с помощью абстрактной операции ToString). Пробелы в начале строки не учитываются.

radix

Целое число в диапазоне между 2 и 36, представляющее собой основание системы счисления числовой строки string, описанной выше. В основном пользователи используют десятичную систему счисления и указывают 10. Всегда указывайте этот параметр, чтобы исключить ошибки считывания и гарантировать корректность исполнения и предсказуемость результата. Когда основание системы счисления не указано, разные реализации могут возвращать разные результаты.

Возвращаемое значение

Целое число, полученное парсингом (разбором и интерпретацией) переданной строки. Если первый символ не получилось сконвертировать в число, то возвращается NaN. 

Функция parseInt преобразует первый переданный ей аргумент в строковый тип, интерпретирует его и возвращает целое число или значение NaN. Результат (если не NaN) является целым числом и представляет собой первый аргумент (string), рассматривающийся как число в указанной системе счисления (radix). Например, основание 10 указывает на преобразование из десятичного числа, 8 — восьмеричного, 16 — шестнадцатеричного и так далее. Если основание больше 10, то для обозначения цифр больше 9 используются буквы. Например, для шестнадцатеричных чисел (основание 16) используются буквы от A до F.

Если функция parseInt встречает символ, не являющийся числом в указанной системе счисления, она пропускает этот и все последующие символы (даже, если они подходящие) и возвращает целое число, преобразованное из части строки, предшествовавшей этому символу. parseInt отсекает дробную часть числа. Пробелы в начале и конце строки разрешены.

Так как некоторые числа включают символ e в своём строковом представлении (например, 6.022e23), то использование parseInt для усечения числовых значений может дать неожиданные результаты, когда используются очень малые или очень большие величины. parseInt не должна использоваться как замена для Math.floor().

Если основание системы счисления имеет значение undefined (не определено) или равно 0 (или не указано), то JavaScript по умолчанию предполагает следующее:

• Если значение входного параметра string начинается с «0x» или «0X«, за основание системы счисления принимается 16, и интерпретации подвергается оставшаяся часть строки.
• Если значение входного параметра string начинается с «0», за основание системы счисления принимается либо 8, либо 10, в зависимости от конкретной реализации. В спецификации ECMAScript 5 прописано использование 10 (десятичная система), но это поддерживается ещё не всеми браузерами, поэтому необходимо всегда указывать основание системы счисления при использовании функции parseInt.
• Если значение входного параметра string начинается с любого другого символа, система счисления считается десятичной (основание 10).

Если первый символ строки не может быть преобразован в число, parseInt возвращает значение NaN.

С точки зрения математики, значение NaN не является числом в какой-либо системе счисления. Чтобы определить, вернёт ли parseInt значение NaN в качестве результата, можно вызвать функцию isNaN. Если NaN участвует в арифметических операциях, результатом также будет NaN.

Для преобразования числа в строку в указанной системе счисления, используйте intValue.toString(radix).

Пример: Использование

Все следующие примеры возвращают 15:

parseInt(" 0xF", 16);
parseInt(" F", 16);
parseInt("17", 8);
parseInt(021, 8);
parseInt("015", 10);  
parseInt(15.99, 10);
parseInt("FXX123", 16);
parseInt("1111", 2);
parseInt("15*3", 10);
parseInt("15e2", 10);
parseInt("15px", 10);
parseInt("12", 13);

Все следующие примеры возвращают NaN:

parseInt("Hello", 8); 
parseInt("546", 2);   

Все следующие примеры возвращают -15:

parseInt("-F", 16);
parseInt("-0F", 16);
parseInt("-0XF", 16);
parseInt(-15.1, 10)
parseInt(" -17", 8);
parseInt(" -15", 10);
parseInt("-1111", 2);
parseInt("-15e1", 10);
parseInt("-12", 13);

Все следующие примеры возвращают 4:

parseInt(4.7, 10);
parseInt(4.7 * 1e22, 10); 
parseInt(0.00000000000434, 10); 

Следующий пример возвращает 224:

parseInt("0e0", 16);

Хотя это не поощряется в спецификацией ECMAScript 3 и запрещено в ECMAScript 5, многие реализации интерпретируют числовую строку, начинающуюся с 0, как восьмеричную. Следующий пример может иметь как восьмеричный, так и десятичный результат. Чтобы избежать непредвиденного результата, всегда указывайте основание системы счисления.

parseInt("0e0"); 
parseInt("08"); 

ECMAScript 5 устраняет восьмеричную интерпретацию

Спецификация ECMAScript 5 функции parseInt больше не разрешает трактовать в восьмеричной системе счисления строки, начинающиеся с 0. ECMAScript 5 провозглашает:

Функция parseInt производит целочисленное значение в результате интерпретации содержимого строкового аргумента в соответствии с указанным основанием системы счисления.(\-|\+)?([0-9]+|Infinity)$/.test(value)) return Number(value); return NaN; } console.log(filterInt(‘421’)); console.log(filterInt(‘-421’)); console.log(filterInt(‘+421’)); console.log(filterInt(‘Infinity’)); console.log(filterInt(‘421e+0’)); console.log(filterInt(‘421hop’)); console.log(filterInt(‘hop1.61803398875’)); console.log(filterInt(‘1.61803398875’));

BCD tables only load in the browser

Перевод чисел из десятичной системы счисления в восьмеричную и наоборот.

Скачать урок в pdf формате.

В этом уроке информатики мы рассмотрим как перевести любое число из десятичной системы счисления в восьмеричную, а затем переведем произвольное число из восьмиричной системы счисления в десятичную, то есть сделаем обратное действие.

Итак в десятичной системе счисления мы пользуемся 10 цифрами с помощью которых можем составить любое число. Это цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

В восьмеричной системе счисления у нас только восемь цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, с помощью которых мы можем составлять любые числа.

В восьмеричной системе счисления после семерки идет цифра 10 т.к. цифры 8 в ней нет. Почему? А потому что когда мы работаем в десятичной системе счисления то когда доходим до 9 то при прибавлении к ней единицы 9+1 получаем, что 9 заменяется на ноль, слева от которого добавляется 1 (к старшему разряду).

Таким образом мы можем попробовать составить небольшую таблицу соответствия чисел десятичной и восьмиричной системы счисления.

То есть, смотрите, когда мы выписывали правый столбец (числа в восьмеричной системе счисления) мы руководствовались тем правилом, которое описали выше таблицы. Как только у нас заканчиваются цифры системы счисления мы пишем ноль и добавляем единицу к старшему разряду.

А теперь рассмотрим как перевети число из десятичной системы счисления в восьмеричную. Давайте возьмем число 259 в десятичной системе счисления.

Число в десятичной системе счисления делим на основание степени (восьмерку). Получаем какую то целую часть и остаток. Если целая часть больше либо равна 8, то опять делим на основание степени и получаем целую часть и остаток. Как только целая часть становится меньше восьми, начинаем выписывать, сначала последнюю целую часть, а затем все остатки в обратном порядке. Это и будет число в новой системе счисления, в нашем случае в восьмиричной.

И сделаем обратное преобразование переведем число 403 в восьмеричной системе счисления в десмятичную.

То есть вначале мы нумеруем числа справа налево для того, чтобы затем каждое из чисел в восьмиричной системе счисления умножить на восьмерку в соответствующей степени. Сложив все, мы получим результат в десятичной системе счисления.

Скачать урок в pdf формате.

Числа: целые, вещественные, комплексные | Python 3 для начинающих и чайников

Числа в Python 3: целые, вещественные, комплексные. Работа с числами и операции над ними.

Целые числа (int)

Числа в Python 3 ничем не отличаются от обычных чисел. Они поддерживают набор самых обычных математических операций:

Также нужно отметить, что целые числа в python 3, в отличие от многих других языков, поддерживают длинную арифметику (однако, это требует больше памяти). yПобитовое исключающее илиx & yПобитовое иx << nБитовый сдвиг влевоx >> yБитовый сдвиг вправо~xИнверсия битов

Дополнительные методы

int.bit_length() — количество бит, необходимых для представления числа в двоичном виде, без учёта знака и лидирующих нулей.

>>> n = -37
>>> bin(n)
'-0b100101'
>>> n.bit_length()
6

int.to_bytes(length, byteorder, *, signed=False) — возвращает строку байтов, представляющих это число.

>>> (1024).to_bytes(2, byteorder='big')
b'\x04\x00'
>>> (1024).to_bytes(10, byteorder='big')
b'\x00\x00\x00\x00\x00\x00\x00\x00\x04\x00'
>>> (-1024).to_bytes(10, byteorder='big', signed=True)
b'\xff\xff\xff\xff\xff\xff\xff\xff\xfc\x00'
>>> x = 1000
>>> x.to_bytes((x.bit_length() // 8) + 1, byteorder='little')
b'\xe8\x03'

classmethod int.from_bytes(bytes, byteorder, *, signed=False) — возвращает число из данной строки байтов.

>>> int.from_bytes(b'\x00\x10', byteorder='big')
16
>>> int.from_bytes(b'\x00\x10', byteorder='little')
4096
>>> int.from_bytes(b'\xfc\x00', byteorder='big', signed=True)
-1024
>>> int.from_bytes(b'\xfc\x00', byteorder='big', signed=False)
64512
>>> int.from_bytes([255, 0, 0], byteorder='big')
16711680

Системы счисления

Те, у кого в школе была информатика, знают, что числа могут быть представлены не только в десятичной системе счисления. К примеру, в компьютере используется двоичный код, и, к примеру, число 19 в двоичной системе счисления будет выглядеть как 10011. Также иногда нужно переводить числа из одной системы счисления в другую. Python для этого предоставляет несколько функций:

• int([object], [основание системы счисления]) — преобразование к целому числу в десятичной системе счисления. По умолчанию система счисления десятичная, но можно задать любое основание от 2 до 36 включительно.
• bin(x) — преобразование целого числа в двоичную строку.
• hex(х) — преобразование целого числа в шестнадцатеричную строку.
• oct(х) — преобразование целого числа в восьмеричную строку.

Примеры:

>>> a = int('19') # Переводим строку в число
>>> b = int('19.5')  # Строка не является целым числом
Traceback (most recent call last):
  File "", line 1, in
ValueError: invalid literal for int() with base 10: '19.5'
>>> c = int(19.5)  # Применённая к числу с плавающей точкой, отсекает дробную часть
>>> print(a, c)
19 19
>>> bin(19)
'0b10011'
>>> oct(19)
'0o23'
>>> hex(19)
'0x13'
>>> 0b10011  # Так тоже можно записывать числовые константы
19
>>> int('10011', 2)
19
>>> int('0b10011', 2)
19

Вещественные числа (float)

Вещественные числа поддерживают те же операции, что и целые. Однако (из-за представления чисел в компьютере) вещественные числа неточны, и это может привести к ошибкам:

>>> 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1
0.9999999999999999

Для высокой точности используют другие объекты (например Decimal и Fraction)).

Также вещественные числа не поддерживают длинную арифметику:

>>> a = 3 ** 1000
>>> a + 0.1
Traceback (most recent call last):
  File "", line 1, in
OverflowError: int too large to convert to float

Простенькие примеры работы с числами:

>>> c = 150
>>> d = 12.9
>>> c + d
162.9
>>> p = abs(d - c)  # Модуль числа
>>> print(p)
137.1
>>> round(p)  # Округление
137

Дополнительные методы

float.as_integer_ratio() — пара целых чисел, чьё отношение равно этому числу.

float.is_integer() — является ли значение целым числом.

float.hex() — переводит float в hex (шестнадцатеричную систему счисления).

classmethod float.fromhex(s) — float из шестнадцатеричной строки.

>>> (10.5).hex()
'0x1.5000000000000p+3'
>>> float.fromhex('0x1.5000000000000p+3')
10.5

Помимо стандартных выражений для работы с числами (а в Python их не так уж и много), в составе Python есть несколько полезных модулей.

Модуль math предоставляет более сложные математические функции.

>>> import math
>>> math.pi
3.141592653589793
>>> math.sqrt(85)
9.219544457292887

Модуль random реализует генератор случайных чисел и функции случайного выбора.

>>> import random
>>> random.random()
0.15651968855132303

Комплексные числа (complex)

В Python встроены также и комплексные числа:

>>> x = complex(1, 2)
>>> print(x)
(1+2j)
>>> y = complex(3, 4)
>>> print(y)
(3+4j)
>>> z = x + y
>>> print(x)
(1+2j)
>>> print(z)
(4+6j)
>>> z = x * y
>>> print(z)
(-5+10j)
>>> z = x / y
>>> print(z)
(0.44+0.08j)
>>> print(x.conjugate())  # Сопряжённое число
(1-2j)
>>> print(x.imag)  # Мнимая часть
2.0
>>> print(x.real)  # Действительная часть
1.0
>>> print(x > y)  # Комплексные числа нельзя сравнить
Traceback (most recent call last):
  File "", line 1, in
TypeError: unorderable types: complex() > complex()
>>> print(x == y)  # Но можно проверить на равенство
False
>>> abs(3 + 4j)  # Модуль комплексного числа
5.0
>>> pow(3 + 4j, 2)  # Возведение в степень
(-7+24j)

Для работы с комплексными числами используется также модуль cmath.

Что такое система счисления по основанию 10?

Если вы когда-либо считали от 0 до 9, значит, вы использовали base-10, даже не зная, что это такое. Проще говоря, основание 10 — это способ присвоения числовым значениям разрядных значений. Иногда ее называют десятичной системой, потому что значение цифры в числе определяется ее положением относительно десятичной точки.

Силы 10

В системе base-10 каждая цифра числа может иметь целочисленное значение от 0 до 9 (10 возможных вариантов) в зависимости от ее положения.Позиции или позиции чисел основаны на степени 10. Каждая позиция числа в 10 раз больше значения справа от нее, отсюда и термин основание-10. Превышение числа 9 в позиции инициирует отсчет в следующей наивысшей позиции.

Цифры больше 1 появляются слева от десятичной точки и имеют следующие разрядные значения:

• Единицы
• Десятки
• Сот
• тыс.
• Десятки тысяч
• Сотни тысяч и т. Д.

Справа от десятичной точки отображаются значения, составляющие долю или меньше 1:

• Десятые
• сотых
• тысячных
• Десятитысячные
• Стотысячные и так далее

Каждое действительное число может быть выражено в десятичной системе счисления.Каждое рациональное число, знаменатель которого состоит только из 2 и / или 5 в качестве простых множителей, может быть записано как десятичная дробь. Такая дробь имеет конечное десятичное разложение. Иррациональные числа могут быть выражены как уникальные десятичные числа, в которых последовательность не повторяется и не заканчивается, например π. Начальные нули не влияют на число, хотя конечные нули могут иметь значение при измерениях.

Использование Base-10

Давайте посмотрим на пример большого числа и воспользуемся основанием 10 для определения разрядного значения каждой цифры.Например, если использовать целое число 987 654 125, положение каждой цифры будет следующим:

• 9 имеет номинальную стоимость 900 000
• 8 имеет значение 80 000
• 7 имеет значение 7000
• 6 имеет значение 600
• 5 имеет значение 50
• 4 имеет значение 4
• 1 имеет значение 1/10
• 2 имеет значение 2/100
• 5 имеет значение 5/1000-е

Происхождение Base-10

База-10 используется в большинстве современных цивилизаций и была наиболее распространенной системой для древних цивилизаций, скорее всего, потому, что у людей 10 пальцев.Египетские иероглифы, датируемые 3000 годом до нашей эры. показать свидетельство десятичной системы. Эта система была передана Греции, хотя греки и римляне также обычно использовали base-5. Десятичные дроби впервые стали использоваться в Китае в I веке до нашей эры.

Некоторые другие цивилизации использовали другие системы счисления. Например, майя использовали основание 20, возможно, из-за счета пальцев рук и ног. В калифорнийском языке юки используется основание 8 (восьмеричное), при котором считается, что расстояние между пальцами, а не цифры.

Другие системы счисления

Базовые вычисления основаны на двоичной системе счисления или системе счисления с основанием 2, в которой всего две цифры: 0 и 1. Программисты и математики также используют систему счисления с основанием 16 или шестнадцатеричную систему, которая, как вы, вероятно, догадались, имеет 16 различных цифровых символов. . Компьютеры также используют основание 10 для выполнения арифметических операций. Это важно, поскольку позволяет производить точные вычисления, что невозможно при использовании дробных двоичных представлений.

Числовые основы: введение и двоичные числа

Purplemath

Преобразование между различными системами счисления на самом деле довольно просто, но идея, лежащая в основе этого, поначалу может показаться немного запутанной.И хотя тема различных основ может показаться вам несколько бессмысленной, рост компьютеров и компьютерной графики увеличил потребность в знаниях о том, как работать с различными (недесятичными) базовыми системами, особенно с двоичными системами (с единицами и нулями) и шестнадцатеричная система (числа от нуля до девяти, за которыми следуют буквы от A до F).

MathHelp.com

В нашей обычной десятичной системе у нас есть цифры для чисел от нуля до девяти. У нас нет однозначного числа для «десяти». (Римляне использовали иероглиф «X».) Да, мы пишем «10», но это означает «1 десять и 0 единиц». Это две цифры; у нас нет единственной цифры, обозначающей «десять».

Вместо этого, когда нам нужно считать на единицу больше девяти, мы обнуляем столбец единиц и добавляем единицу к столбцу десятков. Когда мы становимся слишком большими в столбце десятков — когда нам нужно на один больше, чем девять десятков и девяти единиц («99»), мы обнуляем столбцы десятков и единиц и добавляем единицу к десятикратным или сотням. , столбец. Следующий столбец — это столбец десять, десять, десять, или тысячи. И так далее, причем каждый столбец большего размера в десять раз больше предыдущего. Мы помещаем цифры в каждый столбец, сообщая нам, сколько копий этой степени десяти нам нужно.

Единственная причина, по которой математика по основанию десять кажется «естественной», а другие — нет, заключается в том, что вы использовали десятичную систему с детства. И (почти) каждая цивилизация использовала математику по основанию десять, вероятно, по той простой причине, что у нас десять пальцев. Если бы вместо этого мы жили в мире мультфильмов, где у нас было бы только четыре пальца на каждой руке (сосчитайте их в следующий раз, когда вы смотрите телевизор или читаете комиксы), тогда «естественной» базовой системой, вероятно, была бы система с основанием восемь, или «восьмеричный».

двоичный

Давайте посмотрим на числа с основанием два или двоичные. Как бы вы записали, например, 12 ₁₀ («двенадцать по основанию десять») в виде двоичного числа? Вам нужно будет преобразовать в столбцы с основанием два, аналог столбцов с основанием десять. В десятичной системе счисления у вас есть столбцы или «места» для 10 ⁰ = 1, 10 ¹ = 10, 10 ² = 100, 10 ³ = 1000 и так далее. Точно так же в основании два у вас есть столбцы или «места» для 2 ⁰ = 1, 2 ¹ = 2, 2 ² = 4, 2 ³ = 8, 2 ⁴ = 16 и т. Д. вперед.

Первый столбец в математике с основанием два — это столбец единиц. Но в столбце единиц может быть только «0» или «1». Когда вы дойдете до «два», вы обнаружите, что нет ни одной единственной цифры, которая обозначает «два» в математике с основанием два. Вместо этого вы помещаете «1» в столбец двоек и «0» в столбец единиц, указывая «1 два и 0 единиц». Двойка по основанию десять (2 ₁₀ ) записывается в двоичной системе как 10 ₂ .

«Тройка» в основании два на самом деле означает «1, два и 1, один», поэтому записывается как 11 ₂ .«Четыре» на самом деле означает дважды два, поэтому мы обнуляем столбец двоек и столбец единиц и помещаем «1» в столбец четверок; 4 ₁₀ записывается в двоичной форме как 100 ₂ . Вот список первых чисел:

Преобразование между двоичными и десятичными числами довольно просто, если вы помните, что каждая цифра в двоичном числе представляет собой степень двойки.

• Преобразует 101100101

  ₂ в соответствующее десятичное число.

Я перечислю цифры по порядку, так как они появляются в номере, который они мне дали. Затем в другом ряду я отсчитываю эти цифры от ПРАВА, начиная с нуля:

Первая строка выше (помеченная как «цифры») содержит цифры из двоичного числа; вторая строка (обозначенная как «нумерация») содержит степень двойки (основание), соответствующую каждой цифре. Я буду использовать этот список для преобразования каждой цифры в степень двойки, которую он представляет:

1 × 2 ⁸ + 0 × 2 ⁷ + 1 × 2 ⁶ + 1 × 2 ⁵ + 0 × 2 ⁴ + 0 × 2 ³ + 1 × 2 ² + 0 × 2 ¹ + 1 × 2 ⁰

= 1 × 256 + 0 × 128 + 1 × 64 + 1 × 32 + 0 × 16 + 0 × 8 + 1 × 4 + 0 × 2 + 1 × 1

= 256 + 64 + 32 + 4 + 1

= 357

Затем 101100101 ₂ преобразуется в 357 ₁₀ .

Преобразование десятичных чисел в двоичные почти так же просто: просто разделите на 2.

• Преобразует 357

  ₁₀ в соответствующее двоичное число.

Чтобы выполнить это преобразование, мне нужно несколько раз делить на 2, отслеживая остатки по ходу дела. Смотрите ниже:

Приведенный выше рисунок анимирован на «живой» веб-странице.

Как видите, после многократного деления на 2 я получил следующие остатки:

Эти остатки говорят мне, что такое двоичное число. Я читаю числа с внешней стороны деления, начиная сверху с конечного значения и его остатка, и заканчиваю свой путь вокруг и вниз по правой части последовательного деления. Тогда:

357 ₁₀ преобразуется в 101100101 ₂ .

Партнер

Этот метод преобразования работает для преобразования в любое недесятичное основание. Только не забудьте включить эту первую цифру вверху, перед списком остатков. Если вам интересно, объяснение того, почему этот метод работает, доступно здесь.

Вы можете преобразовать десятичную систему счисления в любую другую. Когда вы изучаете эту тему в классе, вы, вероятно, должны будете преобразовывать числа в различные другие основы, поэтому давайте рассмотрим еще несколько примеров …

URL: https://www.purplemath.com/modules/numbbase.htm

Системы счисления и основы — Лучшее объяснение

Базовые системы, такие как двоичная и шестнадцатеричная, сначала кажутся немного странными.Ключ в понимании того, как разные системы «работают», как одометр, когда они заполнены. База 10, наша десятичная система, «переключает», когда она получает 10 элементов, создавая новую цифру. Мы ждем 60 секунд, прежде чем «перейти» к новой минуте. Шестнадцатеричный и двоичный значения похожи, но отметьте галочкой каждые 16 и 2 элемента соответственно.

Попробуйте преобразовать числа в шестнадцатеричное и двоичное здесь:

Путь назад, когда: унарные числа

Раньше у нас не было базовых систем! Он шел в обе стороны, сквозь снег и палящую жару.Если вы хотите сосчитать один, вы пишете:

л

Если вам нужно 5, вы должны написать

lllll

И ясно, 1 + 5 = 6

l + lllll = llllll

Это самый простой способ подсчета.

Введите римлян

В римских цифрах два означает один, дважды. Три было один, трижды:

 один = я
два = II
три = III
 

Однако они решили, что могут добиться большего успеха, чем старая традиция линий на песке. Для пяти мы могли бы использовать V для представления lllll и получить что-то вроде

л + V = Vl

Неплохо, а? И, конечно же, есть еще много символов (L, C, M и т. Д.) ты можешь использовать.

Ключевым моментом является то, что V и lllll — это два способа кодирования числа 5.

Дайте каждому номеру имя

Еще одним прорывом стало осознание того, что каждое число может быть отдельной концепцией. Вместо того, чтобы представлять три как ряд единиц, дайте ему собственный символ: «3 ″. Проделайте это от одного до девяти, и вы получите символы:

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Римляне были близки, так близки, но давали уникальные символы только 5, 10, 50, 100, 1000 и т. Д.

Используйте свою позицию

Теперь ясно, что вы не можете давать каждому номеру свой собственный символ. Их просто слишком много.

Но обратите внимание на одну особенность римских цифр: они используют позицию символов для обозначения значения.

IV означает «вычесть 1 из 5»

и VI означает «прибавить 1 к 5».

В нашей системе счисления мы используем позицию аналогичным образом. Мы всегда прибавляем и никогда не вычитаем. И каждая позиция на 10 больше, чем предыдущая.

Итак, 35 означает «прибавить 3 * 10 к 5 * 1 », а 456 означает 4 * 100 + 5 * 10 + 6 * 1 . Эта «позиционная десятичная» система исчисления является индуистско-арабской системой счисления, которую мы используем сегодня.

Наш выбор базы 10

Почему мы решили каждый раз умножать на 10? Скорее всего потому, что у нас 10 пальцев.

Следует понимать, что вам нужно достаточно цифр, чтобы «заполнить», пока вы не наберете следующее число. Позвольте мне продемонстрировать.

Если мы хотим, так сказать, проверять одометр каждые 10, нам нужны символы для чисел от одного до девяти; мы еще не достигли десяти.Представьте, что числа медленно тикают вверх — в какой момент вы переворачиваете следующую единицу и начинаете с нуля?

Введите ноль

А что будет, когда мы дойдем до десяти? Как показать, что мы хотим ровно одну «десять» и ничего в столбце «единицы»?

Мы используем ноль, число, которого не существует. Ноль — это довольно концептуальная концепция, это заполнитель, пробел, пробел и многое другое. Достаточно сказать, что Зеро — одно из величайших изобретений всех времен.

Zero позволяет нам иметь пустой заполнитель, чего не было у римлян.Посмотрите, как без него их численность огромна.

Знаменитый роман Джорджа Оруэлла «1984» будет «MCMLXXXIV»! Слетает с языка, не так ли?

С учетом других баз

Помните, что мы, , выбрали , чтобы проверять одометр каждые десять. Наш подсчет выглядит так:

 1
2
3
4
5
6
7
8
9 (ох, я наелась!)
10 (отмечено галочкой - начало новой цифры)
 

Что, если бы мы отметили 60, когда считаем, как мы делаем секунды и минуты?

 1 секунда
2
3
4
5
…
58
59
1:00 (60 секунд или 1 минута.Мы начали новую цифру.)
 

Пока все в порядке, верно? Обратите внимание, что мы используем двоеточие (:), указывающее, что мы находимся на новой «цифре». В базе 10 каждая цифра может стоять сама по себе.

Пробная база 16

Если нам нужна основа 16, мы могли бы сделать что-то подобное:

 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15 (мы набираемся)
1:00 (16 - мы начали новую цифру)
 

Однако мы не хотим записывать шестнадцатеричные числа с двоеточием (хотя мы могли бы).Мы лучше приготовим отдельные символы для 10–15, чтобы можно было просто писать числа, как мы привыкли. У нас закончились числа (1–9 уже использованы, 0 в качестве заполнителя), поэтому нам нужны другие символы. Мы могли бы использовать какие-то волнистые линии или другие формы, но обычно используются буквы в римском стиле. Так же, как 5 превратилось в V, программисты используют буквы A-F, чтобы получить достаточно цифр до 16. То есть

1
2
3
4
5
6
7
8
9
A (10 - мы используем символ «A»)
В (11)
С (12)
D (13)
E (14)
F (15 - ох, мы набираемся)
10 (16 - начинаем новую цифру)
 

Ага! Теперь мы можем использовать одну цифру для каждого «места», и мы знаем, что 10 на самом деле означает, что мы «перешли на 16 ″ один раз.

20 означает, что мы дважды отметили 16 (32).

25 означает, что мы дважды повысили до 16 (что дает нам 32) и получили еще 5. Итого 32 + 5 = 37.

Быстрый просмотр

Со мной так далеко? Это круто, правда? Мы можем считать в любой системе, какой захотим. Также обратите внимание, что основание 16 более экономно по пространству в том смысле, что мы можем записать число вроде 11 одной цифрой: B.

База 16 не сильно отличается от базы 10, просто нам нужно больше времени для заполнения.

Удивительный мир двоичной системы

Мы видели множество базовых систем, от очень простых унарных до несвязных римских цифр, устойчивой базы 10 и компактной базы 16.

Что хорошего в двоичном формате? В духе простоты это самая простая система счисления, в которой есть понятие «тиканье». Унарный, где мы просто пишем 1, 11, 111 … просто продолжается вечно. Бинарный, с двумя вариантами (1 и 0) выглядит так:

1: 1
2:10 (мы полны - отметьте галочкой)
3: 11
4: 100 (мы снова наелись - отметьте галочкой)
5: 101
6: 110
7: 111
8: 1000 (отметьте еще раз)
…

 

и так далее.

Поскольку двоичный файл настолько прост, его очень легко встроить в оборудование. Вам просто нужны вещи, которые могут включаться или выключаться (представляющие 1 и 0), а не вещи, которые имеют 10 возможных состояний (для представления десятичных чисел).

Благодаря своей простоте двоичный файл устойчив к ошибкам. Если ваш сигнал «частично включен» (допустим, 0,4), вы можете считать, что это ноль. А если в основном он (скажем, 0,8), то вы можете предположить, что это 1. Если вы используете систему с 10 возможными состояниями, трудно определить, когда произошла ошибка.Это одна из причин, по которой цифровые сигналы настолько устойчивы к шумам.

Другие примеры баз

Мы постоянно используем другие базы, даже динамически меняющиеся. Обычно мы так не думаем:

Часы, минуты, секунды: 1:32:04

• Мы знаем, что это 1 час 32 минуты 4 секунды. В секундах это 1 60 60 + 32 * 60 + 4.

Футы и дюймы: 3 фута 5 дюймов

• Это 3 фута, 5 дюймов или 3 * 12 + 5 дюймов.

Фунты и унции: 8 фунтов, 5 унций

• Поскольку фунт равен 16 унциям, это 8 * 16 + 5 унций.Мы все время использовали систему счисления с основанием 16!

Расставания

«10» в любой системе счисления означает основание и означает, что мы один раз отметили галочкой. 10 в двоичной системе счисления означает два, 10 в десятичной системе счисления означает десять, а 10 в шестнадцатеричной системе счисления означает шестнадцать.

Как вы разделяете эти числа? Программисты часто пишут «0b» перед двоичными числами. Итак, 2 в двоичном формате — это

0b10

Точно так же они пишут 0x перед шестнадцатеричными числами. Итак, 16 в шестнадцатеричном формате:

0 × 10

Если впереди нет никаких символов (0b или 0x), мы предполагаем, что это обычное число с основанием 10.

А теперь вперед и наслаждайтесь новыми знаниями!

Другие сообщения этой серии

1. Системы счисления и базы
2. Краткое руководство по GUID
3. Понимание быстрого обратного квадратного корня Quake
4. Простое введение в компьютерные сети
5. Поменять местами две переменные с помощью XOR
6. Общие сведения о порядке байтов с прямым и обратным порядком байтов
7. Юникод и вы
8. Немного о форматах двоичных файлов
9. Алгоритмы сортировки

Системы счисления (двоичная, восьмеричная, десятичная, шестнадцатеричная)

Прежде чем мы сможем объяснить некоторые конкретные системы счисления, нам нужно знать, что такое система счисления.Проще говоря, система счисления — это способ представления чисел.

Мы можем классифицировать системы счисления по типу нотации в зависимости от того, используют ли они позиционную нотацию (также известную как нотация с числовыми значениями), и произвести дальнейшую категоризацию по основанию или основанию.

1. Непозиционная система счисления

Для объяснения непозиционной системы счисления возьмем в качестве примера римские цифры. В таблице ниже вы можете найти десятичные значения для основных символов римской системы счисления.

Вы можете спросить, есть ли какой-то узор для формирования всех остальных символов? Ответ положительный.

• Когда символ с меньшим значением помещается на после символа, имеющего такое же или большее значение, значения складываются. Примеры приведены в таблице ниже.

• Когда символ с меньшим значением помещается перед символом, имеющим большее значение, меньшее значение вычитается из большего. Примеры приведены в таблице ниже.

2. Система позиционных чисел

Позиционная система счисления позволяет расширить исходный набор символов, чтобы их можно было использовать для представления любого произвольно большого (или маленького) значения.В разных системах число может быть представлено по-разному.
Например, два числа $ (2A) _ {16} $ и $ (52) _ {8} $ оба относятся к одному и тому же количеству, $ (42) _ {10} $.

Система счисления, которую мы используем каждый день, называется десятичной системой счисления или системой счисления с основанием десять. Как видно из названия системы счисления, основание определяет всю систему.

Десятичная система счисления имеет основание 10, потому что мы работаем с 10 цифрами (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), и любое другое большее число может быть составлено из этих 10 цифр.{0}

$ = 3 \ cdot 100 + 4 \ cdot 10 + 2 \ cdot 1 $

$ = 300 + 40 + 2 $

В этом уроке мы не будем подробно объяснять десятичную систему, так как на странице, посвященной ей, есть много уроков.

Помимо десятичной системы счисления, существует множество других систем счисления. Мы упомянем только три из них, так как это наиболее часто используемые системы счисления после десятичной. Это: двоичная система счисления, восьмеричная система счисления и шестнадцатеричная система счисления. Мы дадим краткое объяснение каждой из них и узнаем, как преобразовывать числа из одной системы в другую.

2.1. Двоичная система счисления

Двоичная система счисления содержит две уникальные цифры (0 и 1). Таким образом, эта система является системой счисления с основанием 2. Относительные величины символов равны 0 <1. Символы в этой системе часто называются двоичными цифрами или просто битами. Двоичная система счисления - это позиционная система счисления. Позже мы увидим, что, например, $ 1010_ {2} \ neq 1100_ {2} $.

2.2. Восьмеричная система счисления

Восьмеричная система счисления содержит 8 уникальных цифр (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7).Таким образом, эта система является системой счисления с основанием 8. Относительные величины символов: 0 <1 <2 <3 <4 <5 <6 <7. Восьмеричная система счисления - еще один пример позиционной системы счисления.

2.3. Шестнадцатеричная система счисления

Шестнадцатеричная система счисления содержит 16 уникальных цифр. Поскольку в десятичной системе всего 10 арабских цифр, нам нужно использовать другие символы для представления оставшихся 6 цифр. Мы используем буквенные
символы A – F, чтобы расширить систему до 16 цифр.16 цифр в шестнадцатеричной системе: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E и F. Относительные величины символов равны
0. <1 <2 <3 <4 <5 <6 <7 <8 <9 Шестнадцатеричная система счисления также является позиционной системой счисления.

3. Базовое преобразование

Каждая позиция цифры в числе с основанием b представляет степень $ b $. Итак, когда мы пишем число с основанием b, каждая цифра с основанием b умножается на соответствующую степень $ b $ в зависимости от позиции в числе.

3.1. Преобразование в десятичное число

Преобразовать число из любой системы счисления в десятичную довольно просто. Мы знаем, что значение каждой цифры в числе основано на индивидуальном значении цифры и позиции цифры. Мы узнали это, когда узнали о десятичных числах. Используя это правило, мы можем преобразовать число из любой системы счисления в десятичное число.

Давайте посмотрим на общий пример:

Представьте, что у нас есть число $ d_ {2} d_ {1} d_ {0}.{-2} = 3 \ cdot 8 + 4 \ cdot 1 + 1 \ cdot \ displaystyle {\ frac {1} {8}} + 5 \ cdot \ displaystyle {\ frac {1} {64}} = 28.203125 $

3.2. Преобразование из десятичного числа в любое другое основание

Мы можем преобразовать десятичное число в любое другое, используя всего несколько простых шагов:

1. Разделите десятичное число, которое нужно преобразовать, на значение нового основания.
2. Запишите остаток в сторону
3. Разделите частное от предыдущего деления на новое основание.
4. Запишите остаток в сторону
5. Повторяйте шаги 3 и 4, пока частное на шаге 3 не станет равным нулю.

Требуемое число состоит из остатков, записываемых снизу вверх, слева направо.

Пример 2. Преобразуйте 25 в двоичное число.

Согласно правилу преобразования десятичных чисел в любое другое основание, необходимое число — $ 11001_ {2} $.

Пример 3. Преобразует 2489 в шестнадцатеричное число.

Помните, что эквивалент числа 11 в шестнадцатеричной системе счисления — буква B.

Согласно правилу преобразования десятичных чисел в любое другое основание, необходимое число — $ 9B9_ {16} $.

3.3. Эквивалентность различных систем счисления

4. Быстрые клавиши для переключения между основанием 2 и основанием 8 и между основанием 2 и основанием 16

Мы узнали, что можно преобразовать число из любого основания в число из любого основания, предварительно преобразовав его в десятичное. Например, если мы хотим преобразовать число с основанием 3 в число с основанием 7, сначала нужно преобразовать число с основанием 3 в десятичное, а затем преобразовать это десятичное число в число с основанием 7.

Мы можем использовать ту же процедуру для преобразования двоичного числа в восьмеричное или шестнадцатеричное, но есть несколько полезных сокращений, которые упростят этот процесс. Давайте посмотрим на следующий пример:

Пример 4. Преобразует $ 100100010101111_ {2} $ в шестнадцатеричное число.

Чтобы преобразовать двоичное число в шестнадцатеричное, мы могли бы просто разбить двоичное число на группы из 4 цифр (начиная справа и добавляя ведущие нули, если цифры заканчиваются), а затем заново интерпретировать эти группы из 4 как перечисленные шестнадцатеричные значения в таблице выше.При этом у нас есть:

$ 100100010101111_ {2} = 0100 1000 1010 1111 $

$ 0100 = 4 $, 1000 $ = 8 $, 1010 $ = A $, 1111 $ =