Синусоидальные сигналы | Основы электроакустики

Синусоидальные сигналы распространены наиболее широко, именно с помощью этих сигналов обеспечивается сетевое питающее напряжение 220 В. 

Математическое выражение, описывающее синусоидальное напряжение, имеет вид: u = U_msin2πƒt,   

где U_m – амплитуда сигнала, f – частота в циклах в секунду или в герцах. Синусоидальный сигнал показан на рис. 1.1.

Иногда бывает полезно переместить начало координат (t=0) в точку, соответствующую произвольному моменту времени, в этом случае в выражение для синусоидального напряжения следует включить фазу: u = U_msin(2πƒt + φ).       

Можно также воспользоваться понятием угловая частота и переписать выражение для синусоидального сигнала в другом виде: u = U_msinωt,   где ω – угловая частота в радианах в секунду, причем ω=2πƒ. Основное достоинство синусоидальной функции (а также основная причина столь широкого распространения синусоидальных сигналов) состоит в том, что эта функция является решением целого ряда линейных дифференциальных уравнений, описывающих как физические явления, так и свойства линейных цепей.

Линейная цепь обладает следующим свойством: выходной сигнал, порожденный суммой двух входных сигналов, равен сумме двух выходных сигналов, каждый из которых порожден входными сигналами, действующими не в совокупности, а отдельно: иначе говоря, если Вых. (А) – выходной сигнал, порожденный сигналом А, то для линейной цепи справедливо следующее равенство: Вых. (А + В) = Вых. (А) + Вых. (В). Если на входе линейной цепи действует синусоидальный сигнал, то на выходе также получим синусоидальный сигнал, но в общем случае его амплитуда и фаза будут другими. Это утверждение справедливо только для синусоидального сигнала. На практике принято оценивать поведение схемы по ее амплитудно-частотной характеристике, показывающей, как изменяется амплитуда синусоидального сигнала в зависимости от частоты. Усилитель звуковой частоты, например, имеет «плоскую» амплитудно-частотную характеристику в диапазоне от 20 Гц до 20 кГц.

Частота синусоидальных сигналов, с которыми чаще всего приходится работать, лежит в диапазоне от нескольких герц до нескольких мегагерц. Для получения очень низких частот, от 0,0001 Гц и ниже, достаточно аккуратно построить нужную схему. Получение более высоких частот, например до 2000 МГц, также не вызывает принципиальных трудностей, но для сигналов такой частоты нужны специальные линии передач и специальные приемы передачи. Кроме того, здесь приходится иметь дело с микроволновыми сигналами, для которых не подходят привычные схемы, состоящие из отдельных элементов, соединенных между собой проводами, а нужны специальные волноводы.

 

 

3. Сигналы. Виды сигналов и их параметры. Введение в специальность

Характеристики различных сигналов

Все сигналы могут быть подразделены на периодические и непериодические.

Периодическим называется сигнал, значения которого повторяются через определенные равные промежутки времени, называемые периодом повторения сигнала, или просто

периодом. Для непериодического сигнала это условие не выполняется.

Простейшим периодическим сигналом является гармоническое колебание.

,

где S, w – амплитуда и угловая частота колебания.

Другим примером периодического сигнала является последовательность прямоугольных импульсов (рис. 3.2, а). Как вы думаете, из чего состоит эта последовательность импульсов? Оказывается, из синусоид. Взгляните на рис. 3.2. В качестве исходной синусоиды выберем такую, у которой период колебаний совпадает с периодом

T прямоугольных импульсов (рис. 3.2, б)

, (3.1)

где – амплитуда синусоиды, а .

Колебание (3.2.) заданной частоты и амплитуды можно представить в виде графика: на оси частот отметить значение и изобразить вертикальную линию высотой, равной амплитуде сигнала (см. рис. 3.2, б).

Следующая синусоида имеет частоту колебаний в 3 раза большую, а амплитуду – в 3 раза меньшую.

Сумма этих двух синусоид пока еще мало похожа на прямоугольные импульсы (рис. 3.2, в). Но если мы добавим к ним синусоиды с частотами колебаний в 5, 7, 9, 11, и т.д. раз большими, а с амплитудами в 5, 7, 9, 11, и т.д. раз меньшими, то сумма всех этих колебаний:

Рис. 3.2. Периодическая последовательность прямоугольных импульсов (а) и формирование ее сигнала (б–д)

где , будет не так уже сильно отличатся от прямоугольных импульсов (рис. 3.2, г и д). Таким образом, степень “прямоугольности” импульсов определяется тем, сколько синусоид со все более высокими частотами колебаний мы будем суммировать.

Может показаться, что представление прямоугольных импульсов в виде совокупности синусоид есть не более чем математический прием и не имеет никакого отношения к реальности. Однако это не так. Радиоинженерам хорошо знакомы приборы (они называются анализаторами спектров), которые позволяют выделить каждую входящую в сложный сигнал синусоиду.

Тот факт, что сигнал произвольной формы (а не только прямоугольные импульсы) можно “разложить” на сумму обыкновенных синусоид, впервые доказал в 20-х годах прошлого века французский математик Ж. Фурье. Такой набор синусоид получил название спектра сигнала. Каждый сигнал (отличающийся от других по форме) имеет свой сугубо индивидуальный спектр, т.е. может быть получен только из синусоид со строго определенными частотами и амплитудами.

Непериодический сигнал легко получить из периодического, увеличивая период вплоть до (рис. 3.3,

а–г). Спектр амплитуд для сигналов с разными периодами показаны на рис. 3.4, а–в.

Рис. 3.3. Увеличение периода последовательности прямоугольных импульсов

При увеличении периода сигнала частота первой гармоники понижается. Спектральные линии становятся гуще. Амплитуды гармоник уменьшаются. Последнее становится понятным, если учесть, что энергия сигнала, оставаясь неизменной, перераспределяется теперь между возросшим числом гармоник. Естественно, доля каждой гармоники в общем сигнале падает.

Следовательно, при переходе к непериодическому сигналу (например, к одиночному импульсу) мы получаем в спектре такого сигнала вместо отдельных гармоник бесконечно большое число синусоидальных колебаний с бесконечно близкими частотами, заполняющими всю шкалу частот. Причем амплитуда каждого такого колебания становится исчезающе малой, потому что на его долю приходится бесконечно малая часть энергии сигнала. Другими словами, в любой бесконечно узкой полосе частот мы всегда обнаружим синусоидальное колебание, правда, бесконечно малой амплитуды.

Рис. 3.4. Спектры амплитуд периодических последовательностей импульсов с разными периодами а–в см. в тексте

Поскольку сравнивать между собой бесконечно малые величины неудобно, то вместо амплитуд по оси ординат откладывают произведение , которое с увеличением периода

Т остается постоянным. В новых координатах спектры, показанные на рис. 3.4, а–в, будут выглядеть так, как показано на рис. 3.5, а–г. Понятие спектра амплитуд здесь лишено смысла и заменяется понятием спектральной плотности амплитуд, которая указывает, по сути, на удельный вес бесконечно малой амплитуды синусоидального колебания в любой бесконечно узкой полосе частот. Понятие спектра фаз заменяется понятием спектральной плотности фаз. Таким образом, спектр непериодического сигнала является в общем случае не дискретным, а непрерывным.

Рис. 3.5. Переход к спектральной плотности (г) одиночного прямоугольного импульса а–в см. в тексте

Уровни сигналов

Для сравнения мощностей сигналов, передаваемых по системе электросвязи, часто пользуются логарифмическими единицами – децибелами. Децибел (русское обознач. ДБ, международное – dB), как показывает приставка “деци”, составляет десятую часть другой, более крупной единицы, названной белом в честь А.Г. Белла – изобретателя телефона. Бел – это десятичный логарифм отношения двух мощностей. Если известны две мощности: Р₁ и Р₂, то их отношение, выраженное в белах, определяется формулой p=lg(P₂/P₁).

Для практики бел – слишком крупная величина. Обычно отношение мощностей выражают в децибелах, для чего при расчетах пользуются формулой p=10lg(p₂/p₁).

Динамический диапазон и пик-фактор сигналов. Мгновенная мощность сигналов связи может принимать различные значения в самых широких пределах. Чтобы охарактеризовать эти пределы, вводят понятия динамического диапазона и пик-фактора сигналов.

Динамический диапазон сигнала, дБ, определяется выражением:

D_c=10lg(P_max/P_min),

где P_max, P_min – максимальное и минимальное значения мгновенной мощности.

Пик-фактором сигнала называют отношение его максимальной мощности к средней, выраженное в логарифмических единицах:

Q=10lg(P_max/P_ср).

Пример. Пусть имеется периодический прямоугольный сигнал

Он может быть разложен на составляющие с частотами f₁=1/T, f₃=3/T, f₅=5/T и т.д. Число составляющих бесконечно, но чем выше частота, тем меньше амплитуда. Следовательно, теоретически полоса частот, которую занимает данный сигнал, стремится к Ґ .

Для передачи такого сигнала требуется канал, имеющий бесконечную полосу пропускания. Во-первых, таких каналов нет, во-вторых, чем шире полоса пропускания канала, тем он дороже. Но т.к. чем выше частота составляющей, тем ниже амплитуда, то составляющими с частотой і f_n можно пренебречь.

Возьмём только составляющие f₁, f₃, f₅. Полоса частот, которую занимают эти составляющие, f₅ – f₁=D f_c.

Пусть f₁=1000 Гц, f₃=3000 Гц, f₅=5000 Гц.

Занимаемая этими составляющими, полоса частот:

5000-1000 = 4000 Гц.

Уменьшим длительность единичного элемента в 3 раза, тогда f₁=3000 Гц, f₃=9000 Гц, f₅=15000 Гц и занимаемая полоса 12000 Гц.

Вывод. Чем меньше длительность единичного элемента (t ₀), тем шире полоса частот, занимаемая сигналом!

Отсюда следствие: чем больше скорость телеграфирования В, тем шире полоса частот, занимаемая сигналом, и тем шире требуется канал и, следовательно, тем дороже доставка информации.

Сигналы электросвязи и их спектры. Рассмотрим наиболее часто встречающиеся сигналы электросвязи и обсудим их спектры.

Телефонные (речевые) сигналы. Человек набрал в легкие воздух и издал звук. Что же произошло? Воздух, выходя из легких, заставляет вибрировать голосовые связки. От них колебания воздуха передаются через гортань голосовому аппарату, заканчивающемуся ротовой и носовой полостями (рис. 3.6).

Рис. 3.6. Кривая звукового давления при произнесении звука «а» мужским голосом

Последние выполняют роль резонаторов – они усиливают колебания воздуха, подобно тому, как полый корпус гитары или скрипки, также являясь резонатором, усиливает звуки струн. Колебания воздуха из голосового аппарата человека передаются окружающему воздуху. Возникает звуковая волна. Характер издаваемого звука определяется натяжением голосовых связок, формой ротовой полости, положением языка, губ и т.д.Из описания голосового аппарата человека нетрудно понять, что голосовые связки играют роль своеобразных струн, они создают основной тон и обильное количество обертонов. Частота основного тона речи лежит в пределах от 50…80 Гц (очень низкий голос – бас) до 200…250 Гц (женский и детский голоса). При разговоре частота основного тона меняется в значительных пределах, особенно при переходе от гласных звуков к согласным и наоборот.

В совместном звучании основной тон и обертоны создают соответствующую окраску звука или тембр. Один тембр отличается от другого числом и силой обертонов. При преобладании в человеческом голосе высоких обертонов над низкими мы слышим в нем “звучание металла”. Люди, у которых в голосе преобладают низкие обертоны, говорят мягким, бархатным голосом.

Для получения формы кривой звукового давления, создаваемого речью человека, нужно сложить синусоидальные кривые основного тона и обертонов. Из-за наличия большого числа обертонов форма результирующей кривой будет сложной. На рис. 3.6 показано, какое давление создает звук “а”, произнесенный мужским голосом с частотой основного тона 200 Гц (период основного тона 5 мс). Для передачи звука на расстояние он в телефонном аппарате превращается в сигнал. Для этой цели служит микрофон.

Рис. 3.7. Превращение звука в электрический сигнал с помощью микрофона

Телефон был изобретен А.Г. Беллом, учителем в школе глухонемых в американском городе Бостоне в 1876 г. С тех пор в его конструкцию было внесено много усовершенствований. В частности, в современном телефоне используется чувствительный угольный микрофон (рис. 3.7). В нем мембрана соприкасается с угольным порошком. Пока в микрофон не говорят, сопротивление порошка остается неизменным и через него от батареи в линию (провода) протекает постоянный ток. Стоит произнести в микрофон какое-нибудь слово, порошок под действием колеблющейся мембраны будет то спрессовываться, то разрыхляться. Изменение плотности порошка приводит к изменению его электрического сопротивления, а значит, и к изменению тока, текущего через порошок. В проводах, идущих от микрофона, рождается электрический ток, повторяющий форму звукового давления.

Изучение речи показывает, что речь – это процесс, частотный спектр которого находится в пределах от 50…100 до 8000…10000 Гц. Установлено однако, что качество речи остается вполне удовлетворительным, если ограничить спектр снизу и сверху частотами 300 и 3400 Гц. Эти частоты приняты Международным союзом электросвязи (МСЭ) в качестве границ эффективного спектра речи. При указанной полосе частот сохраняется хорошая разборчивость речи и удовлетворительная натуральность ее звучания.

Рис. 3.8. Спектр человеческой речи

На рис. 3.8 показан спектр речи. Как видно из рисунка, некоторые частотные составляющие речи усилены, а другие ослаблены. Усиленные области спектра частот называются формантами. Звуки речи различных людей отличаются числом формант и их расположением в частотном спектре. Отдельные звуки могут иметь до шести формант, из которых только одна или две являются определяющими. Они обязательно находятся в диапазоне частот 300…3400 Гц. Между формантами лежат менее мощные составляющие звуковых частот. Однако именно они придают голосу каждого человека индивидуальность, позволяющую узнавать говорящего.

Сигналы звукового вещания. Источниками звука при передаче программ вещания обычно являются музыкальные инструменты или голос человека. Формирование сигналов звукового вещания и их прием осуществляется так же, как и телефонных сигналов. Используются лишь другие типы микрофонов.

Спектр звукового сигнала занимает полосу частот 20…20000 Гц. Однако в зависимости от требований к качеству воспроизведения ширина спектра сигнала вещания может быть ограничена. Для достаточно высокого качества (каналы вещания первого класса) полоса частот должна составлять 50…10000 Гц, для безукоризненного воспроизведения программ вещания (каналы высшего класса) – 30…15000 Гц.

Факсимильные сигналы. Обратите внимание на то, как вы читаете книгу. Ваши глаза скользят по строке слева направо, затем вы переходите к началу другой строки и т.д. до конца страницы. Словом вы “просматриваете” все элементы строки последовательно. Можно сказать, что при чтении книги происходит построчная развертка текстового изображения.

Именно по такому принципу “просматривается” изображение в современных факсимильных аппаратах, предназначенных для передачи на расстоянии различного рода неподвижных изображений (документов, чертежей, рисунков, фотографий). Для этого с помощью источника света и системы оптических линз формируют световое пятно так, чтобы освещать на передаваемом изображении площадку размером, скажем, 0,2ґ 0,2 мм. Это световое пятно перемещается сначала вдоль одной строки, затем переходит на другую и движется по ней – и так до конца последней строки. Свет, отражаясь от каждой элементарной площадки, попадает на фотоэлемент и вызывает в его цепи ток (рис. 3.9). Значение этого тока зависит от яркости отраженного света, а последняя – от яркости освещенной площадки. Таким образом, при переходе светового пятна на изображении от одной элементарной площадки к другой ток в цепи фотоэлемента меняется пропорционально яркости площадок: мы получаем точную электрическую копию изображения.

Рис. 3.9. Преобразование изображения в электрический сигнал в факсимильном аппарате

Рассмотрим изображение, состоящее только из двух цветов: черного и белого, например, страницу книги, какой-либо чертеж и т.п. Очевидно, каждый элемент изображения (напомним, что размером он всего 0,2ґ 0,2 мм) будет представлять собой либо черную, либо белую площадку, напоминая чередованием шахматную доску. Черные площадки практически полностью поглощают падающий на них свет. Яркость отраженного ими света при этом настолько ничтожна, что при просмотре черных площадок ток в цепи фотоэлемента не возникает. Наоборот, площадки белого цвета почти полностью отражают падающий на них свет, и при попадании на них светового луча ток в цепи фотоэлемента скачком принимает максимальное значение. Таким образом, перемещая световое пятно, а вслед за ним и фотоэлемент вдоль каждой строки изображения, получаем на выходе фотоэлемента последовательность импульсов (рис. 3.9).

При таком “шахматном” чередовании элементов изображения спектр факсимильного сигнала будет шире, чем для любого другого изображения, поскольку круче фронтов импульсов, чем у прямоугольных, не бывает.

Ширина спектра факсимильного сигнала зависит от скорости развертки изображения и размеров светового пятна.

На стандартном листе бумаги формата А4 в строке помещается примерно 1000 черно-белых элементов изображения при ширине пятна 0,2 мм. Если в факсимильном аппарате скорость развертки составляет 60 строк/мин, т.е. каждая строка считывается за 1 с, то за эту секунду 500 раз будет осуществлен переход с черного на белое, или наоборот. Это означает, что максимальная частота чередования импульсов равна 500 Гц. При ширине светового пятна 0,1 мм в строке будет в 2 раза больше элементов изображения, и максимальная частота чередования импульсов повысится до 1000 Гц. Так как для сохранения хорошей степени “прямоугольности” импульсов нужно передавать кроме основной гармоники еще и несколько высших, то ширина спектра факсимильного сигнала может простираться до 1,5…3,0 кГц.

При увеличении скорости развертки изображения черные и белые площадки будут считываться чаще и, следовательно, спектр факсимильного сигнала будет шире. При передаче изображений с полутонами получается сигнал сложной формы, спектр которого является непрерывным и соединяет все частоты от нуля до максимальной.

Факсимильная связь широко используется для передачи газетных полос (т.е. их изображений) в пункты централизованного печатания. Для передачи газет используют специальные высокоскоростные факсимильные аппараты с шириной светового пятна 0,05 мм. Повышенная скорость развертки позволяет передавать одну газетную полосу за 2–3 минуты. Это приводит к расширению спектра факсимильного сигнала до 180 кГц.

Телевизионные сигналы. Любое подвижное изображение – это, как правило, смена через каждые 40 мс одного неподвижного изображения другим (25 кадров в 1 с). За время между сменой кадров нужно успеть просмотреть все неподвижное изображение, которое содержит полмиллиона элементарных площадок или элементов изображения (625 строк по 833 элемента в строке). Значит, каждый элемент изображения придется рассматривать в течение одной полумиллионной доли от отведенных на весь кадр 40 мс. Это непостижимо короткий отрезок времени – всего две десятимиллиардных доли секунды! Ясно, что ни одно механическое устройство не способно перемещать световое пятно и фотоэлемент по строкам изображения с такой скоростью.

Вы никогда не задумывались над тем, что вы видите на экране телевизора, когда усаживаетесь перед ним в свободный вечер? Изображение? Нет, в действительности на экране никакого изображения нет, абсолютно никакого! Если бы мы сумели открыть глаза на какую-то ничтожную долю секунды (а речь идет о миллионных и даже миллиардных долях), то увидели бы на экране всего одну светящуюся точку. Это она бежит с невероятной скоростью по экрану, оставляя в нашем глазу след (мы видим то, чего уже нет, еще в течение 0,1 с), изменяющийся по яркости.

Что же заставляет светящуюся точку перемещаться с такой головокружительной быстротой? Электронный луч. Это он способен почти мгновенно отклоняться под действием изменяющегося магнитного поля и развертывать “картинки”. Это его можно очень точно сфокусировать с помощью специальных электрических “линз”. Первые опыты с электронным лучом начались в самом начале XX в. Еще в 1907 г. профессор Петербургского технологического института Б.Л. Розинг сконструировал первую электронно-лучевую трубку и получил на ней изображение, правда, невысокого качества. Изобретение в начале 30-х годов этого столетия первых качественных передающих трубок связано с именами советских ученых, пионеров отечественного телевидения С.И. Катаева и П.И. Шмакова.

Как бы не отличались конструкции передающих телевизионных трубок разных лет, все они в чем-то имитируют глаз. Роль хрусталика выполняет объектив, роль зрачка – диафрагма. Имеется в трубке и своя “сетчатка” – пластинка, напоминающая пчелиные соты, в ячейках которых располагаются микроскопические фотоэлементы. Конечно, их намного меньше, чем фоторецепторов в глазу: всего около 0,5 млн. Изображение, которое нужно превратить в серию электрических импульсов, проектируется с помощью объектива на эту искусственную “сетчатку”. Каждый микроскопический фотоэлемент (представляющий собой капельку светочувствительного серебряно-цезиевого сплава) получает свою порцию света и, если его подключить к внешней цепи, создаст ток, пропорциональный освещенности. Что касается электронного луча, то он как раз и подключает поочередно каждый из 500000 фотоэлементов к внешней цепи трубки, причем отводится ему на это всего 40 мс, пока не сменится кадр. Таким образом, на одном элементе изображения луч “задерживается” не более 80 миллиардных долей секунды (т.е. 80 нс). Величина тока во внешней цепи трубки отражает в каждый момент времени яркость соответствующего элемента изображения, спроектированного объективом на “сетчатку” передающей трубки, и является точной электронной копией передаваемого изображения.

Подсчитаем ширину спектра телевизионного сигнала. Пусть и на этот раз чередуются черные и белые площадки (элементы). Всего таких элементов будет 625 строк ґ 833 элемента = 520 625. В секунду меняется 25 кадров, т.е. 25 ґ 520 625 = 133 015 625 элементов. Значит переход с черного на белое, или наоборот, происходит примерно 6500000 раз в 1 с. Максимальная частота повторения импульсов равна 6,5 мГц, что и принято за верхнюю границу ширины спектра телевизионного сигнала. Нижней границей считают 50 Гц (нижняя граница сигнала звукового сопровождения).

Во время смены строк и кадров развертывающий луч приемной трубки должен быть погашен. Кроме того, необходимо синхронизировать лучи приемной и передающей трубок. Таким образом, кроме сигнала изображения необходимо передавать вспомогательные управляющие импульсы (гасящие и синхронизирующие). Электрический сигнал, включающий в себя сигнал изображения и управляющие импульсы, называется полным телевизионным сигналом.

В системах цветного телевидения передаваемое изображение расчленяется с помощью светофильтров на три одноцветных изображения – красное, зеленое и синее. Красные, зеленые и синие лучи попадают каждый на свою телевизионную трубку. В приемном устройстве путем сложения трех одноцветных изображений воспроизводится передаваемое цветное изображение.

Таким образом, спектр телевизионного сигнала простирается от 50 Гц до 6,5 мГц.

Телеграфные сигналы и сигналы передачи данных. Все рассматриваемые до сих пор сообщения и сигналы являются непрерывными. Сообщения и сигналы телеграфии и передачи данных относятся к дискретным.

Устройства преобразования телеграфных сообщений и данных в электрический сигнал представляют каждый знак сообщения (букву, цифру) в виде определенной комбинации импульсов и пауз одинаковой длительности. Импульс соответствует наличию тока на выходе устройства преобразования (например, телеграфного аппарата), пауза – отсутствию тока.

В телеграфии таблица, которая ставит в соответствие буквам, цифрам и другим знакам комбинации импульсов и пауз, называется телеграфным кодом. Если обозначить импульс через 1, а паузу через 0 и воспользоваться международным телеграфным кодом МТК-2, то можно, например, знак А записать в виде 11000, знак В – в виде 10011 и т.д.

Для передачи данных используют более сложные коды, которые позволяют обнаруживать и исправлять ошибки в принятой комбинации импульсов, возникающие от действия помех.

Устройства преобразования сигналов телеграфии и передачи данных в сообщения по принятым комбинациям импульсов и пауз восстанавливают в соответствии с таблицей кода знаки сообщения (буквы, цифры и др.) и выдают их на печатающее устройство либо на экран дисплея.

Рис. 3.10. Представление потока импульсов (а) в виде регулярной (б) и случайной (в) составляющих

Заметим, что чем меньше длительность импульсов, отображающих сообщения, тем больше их будет передано в единицу времени. Величина, обратная длительности импульса, называется скоростью телеграфирования: , где – длительность импульса, с.

В честь французского инженера Ж. Бодо единицу скорости телеграфирования назвали бодом. При длительности импульса = 1 с скорость В = 1 Бод. В телеграфии используются импульсы длительностью 0,02 с, что соответствует стандартной скорости телеграфирования 50 Бод. Применяются и другие скорости телеграфирования (например, 75 Бод). Скорости передачи данных существенно выше. Существует аппаратура передачи данных со скоростями 200, 600, 1200 Бод и более.

Сигналы телеграфии и передачи данных обычно имеют вид последовательностей прямоугольных импульсов.

Посмотрите внимательно на рис. 3.10. Можно представить (разумеется, чисто условно) поток импульсов в виде суммы двух последовательностей: регулярной и случайной. Спектр регулярной последовательности дискретный и создает нечетные гармоники тактовой частоты (т.е. частоты следования), а случайная последовательность имеет непрерывный заштрихованный спектр. Эти спектры показаны на рис. 3.11.

Рис. 3.11. Спектры случайной (а) и регулярной (б) составляющей потока импульсов

При передаче двоичных сигналов (т.е. 0 и 1) нет необходимости восстанавливать в приемнике импульсы без искажений, т.е. сохранять их форму; для восстановления информации достаточно зафиксировать только знак импульса при двуполярном сигнале либо наличие или отсутствие при однополярном сигнале. Расчеты показывают, что импульсы можно уверенно зафиксировать, если для их передачи используется ширина полосы частот, численно равная скорости передачи в бодах. Так, для стандартной скорости телеграфирования 50 Бод ширина спектра телеграфного сигнала составит 50 Гц. При скорости 2400 Бод (среднескоростная система передачи данных) ширина спектра сигнала равна примерно 2400 Гц.

Для удобства спектры основных сигналов электросвязи сведены в табл. 3.1. Даже беглый взгляд на табл. 3.1 позволяет понять, что для передачи разных видов сигналов требуется различная ширина полосы пропускания системы электросвязи.

Таблица 3.1. Ширина спектров сигналов электросвязи

Вид сигнала	Ширина спектра, Гц
Телеграфный	0…100
Передачи данных со скоростью 2 400 Бод	0…2 400
Телефонный	300…3 400
Звукового вещания	50…10 000
Факсимильный – при скорости 120 мин-1 – при передаче газет	0…1 465 0…180 000
Телевизионный	50…6 000 000

Контрольные вопросы

1. На какие простейшие составляющие “раскладывается” периодически повторяющийся прямоугольный импульс?
2. Чем отличается спектр периодического сигнала от спектра непериодического сигнала?
3. У какого импульса амплитуда спектральных составляющих убывает быстрее: а) более короткого или более длинного? б) с более крутым фронтом или с более пологим? в) повторяющегося чаще или реже?
4. Какие частотные диапазоны занимают спектры основных сигналов электросвязи

Список литературы

1. Бакалов В.П., Дмитриков В.Ф., Крук Б.И. Основы теории цепей: Учебник для вузов; Под ред. В.П.Бакалова. – М.: Радио и связь, 2000. – 592 с.
2. Бакалов В.П., Воробиенко П.П., Крук Б.И. Теория электрических цепей. Учебник для вузов: под ред. В.П. Бакалова – М.: Радио и связь. 1998. – 444 с.
3. Бакалов В.П., Журавлева О.Б., Крук Б.И. Анализ линейных электрических цепей: Учебное пособие для дистанционного обучения. – Новосибирск: СибГУТИ. 2001г.

Исследование сигналов с применением спектрального анализа цифровых осциллографов; Эквивалентная дискретизация цифровых осциллографов LeCroy

Исследование сигналов с применением спектрального анализа цифровых осциллографов; Эквивалентная дискретизация цифровых осциллографов LeCroy

Сравнение функциональных возможностей ЦЗО Tektronix DPO4000 и LeCroy WaveRunner

Дедюхин А.А. АО «ПриСТ»

Часть 1. Спектральный анализ

Вообще запугивание клиента фразами типа «Кроме этого хотелось бы отметить следующее, для улучшения характеристик своих осциллографов LeCroy применяет большое количество различного рода обработок сигнала, включая адаптивные. Хорошо это или плохо?»   или «Любой разработчик вам скажет, что применение сложных алгоритмов обработки требует огромного количества времени для оценки их влияния на работу прибора  в различных режимах и при разных условиях» несколько лукаво и не этично, хотя бы с точки зрения грамотного инженера. Пользователь приобретает осциллограф, чтобы пользоваться, а не для «оценки влияния на работу прибора  в различных режимах и при разных условиях» и этот прибор ему дает LeCroy (Tektronix, Agilent или Белвар). Попытка представить осциллографы LeCroy или Agilent сборищем  «большого количество различного рода обработок сигнала, включая адаптивные», а   Tektronix простым и ясным как топор, из которого можно сварить любую кашу, честно говоря, лживы.  Не настало ли время открыть народу страшную правду, что, начиная с самого начала эры цифровых осциллографов, они всегда были концентратом «различного рода обработок сигнала»? Применение матриц ПЗС, технологий X-Stream, FISO, DPO; оцифровка сигнала методом параллельных АЦП и поиск путей их корректного сопряжения и увеличения частоты дискретизации; использование программной и аппаратной интерполяций и эквивалентное увеличение разрешения АЦП; аппаратное и программное  снижение шумов АЦП;  расширение полосы пропускания осциллографа используя метод DSP; внедрение программных алгоритмов измерений параметров сигнала; технологии послесвечения сигнала и цветовое распределение послесвечения; технологии быстрого преобразования Фурье, цифровых программируемых фильтров, анализ джиттера, обработка статистики, построение графиков и трендов. А если сюда еще приплюсовать и математические способности цифрового осциллографа вычислять интегралы, дифференциалы, проценты или, корни квадратные и прочие обработки сигнала, то желание заставить пользователя все это проверить на собственном опыте уже становится маниакальным… Бесспорно, что-то не проходит бесследно, для исходного сигнала – ограниченная полоса пропускания, нелинейность амплитудной характеристики входного усилителя, ограниченная частота дискретизации, ограниченное число  разрядов АЦП, собственный джиттер и пр. Но большей частью, при грамотном использовании, ЛЮБОГО цифрового осциллографа пользователь этого не замечает. Как не может человек на глаз увидеть различия в коэффициенте гармоник сигнала 0,1% и 1%; как не может он на глаз различить погрешность частоты 1 ppm, 100 ppm или даже 1% . Конечно, как не раз мы видели, если умышленно подать на вход осциллографа сигнал частотой 500 МГц, а частоту дискретизации ограничить значением 1 ГГц, то искажения возникают и их очень хорошо видно глазом, поэтому еще раз отметим, что при ГРАМОТНОМ использовании ЛЮБОГО цифрового осциллографа пользователь не замечает результатов сложных алгоритмов обработки сигнала. Автор #source_1 class=l>[1] не приводит ни одного достоверного факта такого злонамеренного заговора против пользователя. А может, хранит их в запасе для следующих «сенсационных» публикаций и разоблачений? Ну что ж подождем.

Приведенные в качестве примера иллюстрации осциллографа LeCroy WR6051A в режиме спектрального анализа (частотный анализ, быстрое преобразование Фурье или БПФ, все это выражения синонимы) несостоятельны, поскольку приведенные осциллограммы и попытка объяснения явлений на них описывают вовсе не те явления, которые на самом происходят в осциллографе. Налицо явное желание подвести собственную теорию под имеющейся результат.

Я думаю, А.Б. очень сильно расстроится осознанием, того, что во всех  осциллографах LeCroy серии Wave Runner, начиная  от осциллографов с полосой 350 МГц и заканчивая 2 ГГц, цифровая коррекция АЧХ, с целью расширения полосы пропускания осциллографа, не применяется. И в осциллографах LeCroy серии Wave Pro с полосой до 3 ГГц не применяется тоже. Цифровую коррекцию АЧХ LeCroy начинает применять в старших моделях (WaveMaster и SDA) с полосой пропускания свыше 3 ГГц. Расширять полосу пропускания и поднимать АЧХ на частоте 1500 МГц на 20 dB (в 10 раз) для 500 МГц осциллографа вообще глупо! Напомним, что на частоте полосы пропускания АЧХ снижается на 3 dB и это норма, зачем на частоте в три раза превышающей полосу пропускания вообще что-то усиливать?  Сделать хорошо клиенту? Спасибо он не скажет – ведь покупал-то он 500 МГц осциллограф. А если ему нужна более широкая полоса пропускания, то для этого есть осциллографы с полосой пропускания 1 ГГц или 2 ГГц! Известно, что для более-менее достоверного отображения сигналов систем передач, необходимо, что бы осциллограф обеспечивал захват третьей гармоники. Для отображения сигнала 625Мбит\с, который А.Б. использовал далее для демонстрации развертки RIS, третья гармоника сигнала составляет 625/2*3=937,5 МГц, а пятая = 1562,5МГц. Может как раз желание на 500 МГц осциллографе исследовать 625 Мбит/с потоки подвигло А.Б. на стремление убедить LeCroy использовать технологии DSP для этих моделей? Но А.Б. за всю историю LeCroy в России приобрел только один осциллограф LeCroy, как раз и тот самый  WR-6050A используемых для своих опытов. А.Б., Вы очень маленький клиент для LeCroy, что бы ради Вас изменять всю технологию разработки и производства осциллографов LeCroy!

А насчет коррекции АЧХ в полосе частот осциллографов LeCroy (именно в полосе частот) – так это необходимый процесс достижения идентичности АЧХ различных каналов. А одинаковые АЧХ разных каналов одного осциллографа необходимы для дифференциальных измерений с пользованием 2-х каналов, в противном случае возникнут искажения. И процесс коррекции АЧХ подробно изложен в #source_3 class=l>[3].    

В «заблуждение» А.Б. ввела полученная им спектрограмма в режиме БПФ, которую почему-то он упорно называет АЧХ осциллографа и эту дезинформацию он пытается внушить своим читателям. Аналогичный трюк А.Б. уже использовал при сравнении «Agilent 54855A и Tektronix TDS6604» (http://www.mаstеr-tооl.ru/index.php?action=showarticle&ID=1140438627) Кстати, в этом манускрипте очень забавно проигнорирован анализ джиттера осциллографа Tektronix TDS6604 и как-то нелепо продемонстрирован «фокус – программная коррекция» (чего?). Вы что, серьезно не видите, что у  Agilent 54855A точка запуска находится на первом делении экрана по–горизонтали, там, где джиттер и должен быть нулевым и он есть нулевой? А у Tektronix TDS6604 точка запуска находится в центре экрана и джиттер в этой точке как минимум на глаз 1/3 деления, а должен быть ноль? Вот они реальные фокусы, которые не всегда получаются!

Итак,  что же такое спектр сигнала? Известно, что абсолютно любой сигнал можно представить в виде суммы бесконечного множества гармонических колебаний, каждая из которых имеет свою собственную частоту, амплитуду и фазу. Так называемый ряд Фурье. Если ряд Фурье отобразить в декартовой системе координат, где ось Х представляет собой частотную ось, а по оси Y отсчитываются амплитуда частотных компонент, составляющих входной сигнал, то такая картинка и называется спектрограмма или спектр сигнала. Что такое АЧХ (амплитудно-частотная характеристика)? Это характеристика 4-х полюсника (имеет вход и выход), полученная при следующих условиях: на вход 4-х полюсника подается гармонический сигнал фиксированной амплитуды и увеличивающейся частоты, на выходе 4-х полюсника измеряется амплитуда выходного сигнала, далее по результатам строится график в декартовой системе координат, где ось Х представляет собой частотную ось, а по оси Y отсчитываются амплитуда выходного сигнала. Разницу между этими двумя явлениями уловить не трудно. АЧХ является свойством 4-х полюсника, а спектр является свойством сигнала. Если мы говорим об осциллографе, то бесспорно есть связь между АЧХ осциллографа и спектром сигнала, который он отображает на экране. Ограниченная АЧХ любого осциллографа будет уменьшать амплитуду высших гармоник сигнала, и если для исследования одного и того же сложного сигнал применять осциллограф с разной полосой пропускания, то на осциллографе с большей полосой сигнал будет отображен более достоверно, за счет наличия более полного ряда Фурье. Но не существует в природе  осциллографов с бесконечной полосой пропускания, способных отобразить весь ряд Фурье, поэтому как не печально, но любой осциллограф, существующий в этом мире, не способен полностью достоверно отобразить входной сигнал, если это только не идеальная синусоида, имеющая только одну частотную компоненту.

А.Б. для получения спектрограммы на WR-6100A использовал «ничего на входе». Но как при «ничего на входе» можно получить АЧХ осциллографа? Никак! Но на входе любого  цифрового осциллографа всегда живут маленькие паразиты — шумы. Это шумы входного усилителя, шумы АЦП, шумы цепей питания, электромагнитный шум  и многие другие шумы. Шум то же имеет свой спектр, ему даже придумали красивые названия «белый» или «розовый». В зависимости от типа происхождения шума, он может иметь концентрации в тех или иных частотных доменах. Шум даже можно использовать для определения АЧХ 4-х полюсников, но в этом случае шум должен быть «белым», т.е. имеющим калиброванный бесконечный и равномерный спектр. Может А.Б. пытался тепловым шумом входного усилителя осциллографа построить его (осциллографа) АЧХ, используя БПФ? Просто прелестно! Только суммарный шум  цифрового осциллографа немножко не «белый» и даже не «серый», он «черный» и не годится в качестве источник сигнала для построения АЧХ. Ошибка А.Б. состоит в том, что бы получить «ничего на входе» не достаточно просто ничего не подключать на вход осциллографа, надо как минимум закоротить вход осциллографа, по крайней мере, у осциллографов LeCroy это позволяет исключить влияние входного усилителя. Но кроме паразитных шумов в чреве осциллографа гуляют и паразитные гармонические составляющие – гармоники опорного генератора и генератора тактовой частоты, включая  АЦП,  гармоники импульсных блоков питания и т.д., что в конечном счете должно где-то вылезти наружу. И вылезает именно при спектральном анализе.  Итак, две картинки. Одна «ничего на входе» по А.Б. ( #img_1>рис. 1), вторая с закороченным входом по А.Д. ( #img_2>рис. 2), В настоящий момент мы так же используем осциллограф LeCroy WR-6051A, как и А.Б. ранее, что бы факты и результаты снимались с однотипных приборов.

Рисунок 1 (здесь и далее щелчок по изображению — увеличение)

Рисунок 2

Бросается в глаза, то, что на рисунке 2 отсутствует «горбик» в левой части спектрограммы, а правая часть приподнялась, да и флуктуации исчезли (почему? причины – неправильный выбор окна, неправильный выбор алгоритма расчета БПФ и игнорирование алгоритма подавления постоянной составляющей, но как это все влияет на конечный спектр — объясним несколько ниже). Объяснение Рисунок  2 просто – именно сейчас на входе осциллографа «ничего нет»,  поскольку входной усилитель со всеми его шумами отключен, нет и информации о входном сигнале (читай шуме), а результат работы БПФ – это обработка оставшейся части паразитного сигнала.

А может быть я все таки лукавлю? И стараюсь прикрыть «большое количество различного рода обработок сигнала»  у осциллографов LeCroy и «включение мощного адаптивного корректирующего фильтра»? Попробуем аналогичные спектрограммы снять с осциллографа Tektronix TDS-5054B. #img_3>Рис. 3 — «ничего на входе», #img_4>рис. 4 — вход закорочен (в меню управления каналом). И даже ни сколько не удивительно, что амплитуда БПФ на глаз на высоких частотах изменялась самопроизвольно с частотой примерно 3-5 Гц, только с амплитудой около 30 дБ. Все как у LeCroy.

Рисунок 3

Рисунок 4

 

Схожесть уловили? Только закорачивание входа у Tektronix ни к чему не приводит, ну да ладно каждый производитель волен самостоятельно выбирать алгоритм, что и как он там закорачивает на входе – до или после…

Насчет флуктуаций, измеренных на глаз, не смотря на то, что мы свято верим в то, что глаз у А.Б. очень точный прибор, все же воспользуемся режимом послесвечения, включенным у обоих осциллографов, что бы за некоторое, достаточно длительное время зафиксировать диапазон этих флуктуаций, и добавим температурную градацию, что бы увидеть диапазон наиболее стабильных состояний. #img_5>Рис. 5 — LeCroy (вход открыт ), #img_6>рис. 6 — Tektronix, и, естественно, максимально приблизим установки двух приборов друг к другу (мы же не собираемся подтасовать факты!!!).

Рисунок 5

Рисунок 6

Попробуем получить аналогичные картинки спектра с осциллографа Agilent Technologies MSO8064A (полоса пропускания 600 МГц, частота дискретизации 4 Гвыб/с).

На #img_7>рис. 7 представлен БПФ при полной полосе пропускания, а правая часть спектрограммы опять же предательски ходит вверх вниз с частотой 5-6 Гц!

Рисунок 7

А на рисунке 8 спектр того же отсутствующего входного сигнала, но в режиме послесвечения  «бесконечность».

Рисунок 8

Спектрограммы, в общем, очень похожи друг на друга. Проведем так же измерения диапазона «болтанки» в правой части спектра, используя курсоры. В стабильной части спектра LeCroy демонстрирует «болтанку» в 32 dB (на не 20 dB, как на глаз у А.Б.), Tektronix  46 dB,  Agilent Technologies около 30 dB, но и эти цифры не сильно отличаются друг от друга.   

Так что же индицируют эти спектрограммы? Спектр шума цифрового осциллографа, включая, как уже упоминалось ранее шумы входного усилителя, шумы АЦП, шумы цепей питания, электромагнитный шум  и прочее,  а также гармоники различных внутренних сигналов  самого осциллографа. И как показывают факты это шумовое явление «косит» всех производителей цифровых осциллографов. Его нельзя избежать, о нем надо знать и учитывать его влияние при использовании осциллографа.

Но и это не все. Если это паразитный шум, то есть ряд способов как с ним бороться или ряд условий, при который шумы уменьшаются. И это должно отображаться на спектре сигнала полученного БПФ.

Какие это способы?

• Ограничение полосы пропускания канала вертикального отклонения.
• Использование эквивалентного увеличения разрешения АЦП до 11 бит, что так же является фильтром и ограничивает полосу частот.
• Усреднение  сигнала 

Итак, на рисунках, приведенных далее внизу, параметры БПФ остаются без изменения, но изменяются некоторые параметры канала вертикального отклонения и это сказывается на  отображении и измерении спектра БПФ.

Рисунок 9

На рисунке 9 значение коэффициента отклонения установлено 2 мВ/дел. Это минимальное значение коэффициента отклонения  и большинство осциллографов в этом режиме имеет ограниченную полосу пропускания (у LeCroy WR-6050A и WR-6051A это 350 МГц), соответственно спектра входного шума изменяется.

Рисунок 10

На рисунке 10 значение коэффициента отклонения установлено 20 мВ/дел, но полоса пропускания ограничена значением 200 МГц, соответственно спектра входного шума изменяется.

Рисунок 11

На рисунке 11 в тракте вертикального отклонения применено увеличение разрядности АЦП на 1 бит, что привело к ограничению полосы пропускания до 602,5 МГц и «горб» спектра сдвинулся вправо.

Рисунок 12

На рисунке 12 в тракте вертикального отклонения применено увеличение разрядности АЦП на 1,5 бит, что привело к ограничению полосы пропускания уже до 302,5 МГц и «горб» спектра сдвинулся еще правее, что вполне логично.

А если применить математическую функцию усреднения спектра БПФ, для исключения влияния случайного шума (есть и такая адаптивная обработка), то предстанет картина спектра статических помех в тракте осциллографа,  (см. #img_13>рис. 13).

Рисунок 13

Рисунок 14

На рисунке 14, приведена спектрограмма «ничего» осциллографа Tektronix, когда в тракте вертикального отклонения закорочен вход и применено ограничение полосы пропускания до 20 МГц. Как видно из рисунка 14, после 27 обновлений экрана спектрограмма не изменилась абсолютно никак. А это уже очень интересный вопрос «ПОЧЕМУ?». Похоже, это яркий пример, к чему приводит игнорирование «различного рода обработок сигнала, включая адаптивные».

Итак, на домыслы и интуитивные ощущения автора #source_1 class=l>[1], представлены вполне достоверные факты, что и как происходит в трактах цифровых осциллографах на физическом уровне, когда на входе осциллографа якобы «ничего нет».

Но, в общем понятии, все что было описано выше это мелочи БПФ, не отражающие его математической сути и лишь попытка бегло описать то, что может видеть пользователь в спектре сигнала и как это может быть связанно с параметрами канала отклонения.

Итак, все же, что такое Быстрое преобразование Фурье, применительно к цифровому запоминающему осциллографу? Господа, далее наберитесь немного терпения, для ознакомления с теоретическими основами БПФ, а кого математические выкладки и формулы склоняют ко сну, может сразу перейти к чтению выводов, как грамотно использовать БПФ.

Зачем же все–таки нужно БПФ?

В широком классе сигналов более четкое представление о природе происходящих процессов дает спектральное, а не временное представление. Например, сигналы, обнаруживаемые в частотных характеристиках усилителей, фазовый шум генераторов и механические вибрации легче наблюдать в частотной области. Если частота дискретизации достаточно высока, чтобы достоверно аппроксимировать исходную форму сигнала (обычно в пять раз выше самой высокой частотной компоненты сигнала), результирующая дискретная последовательность точек будет уникальным образом описывать аналоговый сигнал. Это особенно ценно при работе с переходными процессами, поскольку, в отличие от БПФ, обычные анализаторы спектра на базе ГКЧ не способны их регистрировать.

Теория спектрального анализа подразумевает, что преобразуемый сигнал имеет бесконечную длительность. Поскольку ни один физический сигнал не может удовлетворить этому условию, то для согласования теории и практики полезно представить сигнал в виде бесконечной последовательности повторений самого себя. Эти повторения умножаются на прямоугольное окно (сетку), которое равно нулю вне области исследования. Для целого числа циклов (1,2,3,…) временной сигнал начинается и заканчивается на одном и том же уровне и в форме сигнала отсутствуют разрывы. При нецелом числе циклов во временном сигнале начальная и конечная точки имеют разные уровни. Переход от начальной к конечной точке приводит в разрыву в форме сигнала, что в свою очередь приводит к появлению паразитных высокочастотных переходных составляющих в спектре сигнала (но в реальном входном сигнале они, конечно же не присутствуют). Так на рисунке 15, приведен пример кратного числа циклов на экране, а на рисунке 16 повторение  этих же экранов слева и справа и они не имеют разрывов.

Рисунок 15

Рисунок 16

Рисунок 17 демонстрирует сигнал с нецелыми числом периодов на экран и при повторении экранов появляются отчетливо видные разрывы ( #img_18>рис. 18).

Рисунок 17

Рисунок 18

Применение окна к сигналу во временной области должно изменять форму сигнала таким образом, что бы начальные и конечные значения сближались, в результате чего уменьшается величина разрыва. Так на рисунке 19 приведена осциллограмма исходного синусоидального сигнала, имеющего не кратное число периодов на экране осциллографа (осциллограмма С1), ниже приведена осциллограмма этого же сигнала, но при наложении окна Хэмминга (осциллограмма F1). Из рисунка 19 видно, при использовании окна для сигнала величина разрыва будет существенно уменьшена.

Рисунок 19

Операцию быстрого преобразования Фурье на дискретной выборке сигнала во временной области, состоящей из N точек, можно сравнить с пропусканием сигнала через гребенчатый фильтр, представляющий собой набор из N/2 фильтров. Все эти фильтры имеют характеристики одинаковой формы и ширины и центрированы на N/2 дискретных частотах. Каждый фильтр забирает энергию сигнала в непосредственной близости от его средней частоты. Таким образом, можно сказать, что имеется N/2 частотных интервалов. Расстояние в Гц между двумя соседними интервалами всегда одинаково и равно Δf.

Спектр (плотности) мощности

Поскольку для показа величины спектральных компонент используются линейные единицы, компоненты с меньшей амплитудой часто оказываются незаметны среди преобладающих компонент. Кроме функций, обеспечивающих амплитудно-фазовое представление, БПФ предлагает функции плотности мощности и спектральной плотности мощности. Эти функции еще лучше приспособлены для анализа спектров. Спектр мощности (В2) представляет собой квадрат амплитудного спектра (0 дБм эквивалентно напряжению, дающему 1 мВт на нагрузке 50 Ом). Это оптимальное представление для сигналов, имеющих изолированные пики — например, для периодических сигналов.

Спектр плотности мощности (В2/Гц) — это спектр мощности, деленный на эквивалентную шумовую полосу частот фильтра, связанного с БПФ. Это представление лучше всего подходит для описания широкополосных сигналов, таких как шум.

Память для БПФ

Количество доступной памяти для оцифровки определяет границу диапазона (частоту Найквиста или Котельникова), в котором будет возможно наблюдение компонентов сигнала. Рассмотрим задачу определения длины окна наблюдения и размера буфера оцифровки, если требуемая частота Найквиста равна 500 МГц, а разрешение по частоте — 10 кГц. Чтобы получить разрешение 10 кГц, время регистрации должно составлять как минимум

T = 1 / Δf = 1 / 10 кГц = 100 мс

Для цифрового осциллографа с объемом памяти, например, 100 кбайт самая высокая частота, доступная для наблюдения, составит:

Δf × N / 2 = 10 кГц × 100 кбайт / 2 = 500 МГц

Из этих выкладок следует вывод, что для уменьшения значения Δf или же увеличения разрешения по частоте следует использовать по возможности как можно более длинную память осциллографа и, как не парадоксально, уменьшать частоту дискретизации . Но, сделаем оговорку, что например для LeCroy использование БПФ ограниченно объемом памяти 24М, и даже если выбрать память осциллографа 100М или 500М, то БПФ все равно будет производить построение спектра исходя из расчета 24М внутренней памяти.

Ловушки БПФ, которых следует избегать

Хоть БПФ и призвано отображать сигнал в частотой области, но цифровой осциллограф, это всё-таки не полноценный анализатор спектра. Тут необходимо четко соблюдать ряд условий.

• Следить за тем, чтобы сигналы правильно регистрировались на экране осциллографа: неправильное положение осциллограммы внутри окна (экрана) наблюдения приведет к искажению спектра.
• Недостаточная частота дискретизации является наиболее частой причиной искажения, вывивающей краевые разрывы, отсечение или эффект частокола.
• Поскольку БПФ действует как набор полосно-пропускающих фильтров, центрированных на частотах, кратных разрешению, компоненты, не являющиеся в точности кратными этой частоте, попадут в два соседних фильтра. Это приведет к ослаблению истинной амплитуды данных компонент.

Частокол и гребешковые искажения

Наивысшая точка спектра может оказаться на 3,92 дБ ниже, если частота исходного сигнала находится посередине между двумя дискретными частотами. Эта вариация амплитуды спектральных составляющих носит название эффекта частокола. Соответствующие потери на ослабление известны как гребешковые потери. Осциллографы LeCroy автоматически компенсируют гребешковый эффект, гарантируя, что амплитуда спектральных линий будет соответствовать истинным ее значениям во временной области.

Если сигнал содержит частотную компоненту, превышающую частоту Найквиста, в спектре будут наблюдаться артефакты — зеркальные и ложные частоты. Идентификация частотных артефактов часто бывает затруднена, поскольку они могут накладываться на реальные гармоники. Простой способ проверки — изменить частоту дискретизации и посмотреть, изменится ли частотное распределение.

Утечка

БПФ предполагает, что сигнал, содержащийся во временной сетке, воспроизводится бесконечно за пределами окна наблюдения. Поэтому, если на краях сигнала имеются разрывы, в спектральной области появятся псевдочастоты, искажающие реальный спектр. Когда начальная и конечная фаза сигнала отличаются, частота сигнала попадает в два интервала, тем самым расширяя спектр сигнала.

Расширение базы, распространяющееся на множество соседних частотных интервалов, называется утечкой. Для противодействия этому необходимо следить за тем, чтобы в сетке содержалось целое число периодов или чтобы по краям не было разрывов. Еще один способ борьбы с утечкой — использовать функцию окна, сглаживающую края сигнала.

Выбор окна

Выбор спектрального окна диктуется характеристиками сигнала. Весовые функции определяют форму характеристики фильтра и влияют на шумовую полосу частот, а также на уровни боковых лепестков. В идеальном случае основной лепесток должен быть как можно более узким и плоским, чтобы эффективно дискриминировать все частотные компоненты, а побочные лепестки должны иметь бесконечное ослабление. Тип окна определяет полосу частот и форму характеристики эквивалентного фильтра, который используется при обработке БПФ.

Точно так же, как для съемки определенного кадра выбирают подходящий объектив, так и для определения наиболее подходящего окна обычно требуется поэкспериментировать. Однако следующие общие рекомендации могут помочь вам в выборе окна.

Прямоугольные окна обеспечивают максимальное разрешение по частоте и полезны, таким образом, для оценки типа гармоник, присутствующих в сигнале. Поскольку затухание прямоугольного окна в частотной области описывается функцией (SinX)/X, они вводят некоторое ослабление. Альтернативные функции с меньшим ослаблением (с Плоской вершиной и Блэкмана-Харриса) дают максимальную амплитуду, жертвуя разрешением по частоте. Окна Хэмминга и фон Хана (Хэннинга) наиболее приемлемы для общего применения на непрерывных сигналах.

Тип окна	Область применения и ограничения
Прямоугольное	Обычно используется, когда сигнал представляет собой переходный процесс (полностью содержится в окне временной области) или про него известно, что он имеет фундаментальную частотную компоненту, кратную фундаментальной частоте окна. Сигналы прочих типов будут демонстрировать различную степень спектральной утечки и гребешковых потерь, которые можно скомпенсировать, выбрав другой тип окна.
Хэннинга (фон Ханна)	Снижает утечку и повышает точность воспроизведения амплитуды. Однако при этом снижается разрешение по частоте.
Хэмминга	Снижает утечку и повышает точность воспроизведения амплитуды. Однако при этом снижается разрешение по частоте.
С плоской вершиной	Обеспечивает очень высокую точность воспроизведения амплитуды с умеренным снижением утечки, но с более низким разрешением по частоте.
Блэкмана-Харриса	Сводит к минимуму утечку, но дает сниженное разрешение по частоте.

Увеличение динамического диапазона

Функция 11 битного расширения (ERES) использует методику низкочастотной фильтрации, которая потенциально способна обеспечить три дополнительных бита (18 дБ) разрешения, если шум равномерно распределен в спектре сигнала (является «белым»). Вариант низкочастотной фильтрации следует рассматривать в том случае, когда высокочастотные компоненты не представляют интереса. Характерным преимуществом этой методики является то, что она работает как для периодических, так и для переходных сигналов. Рост отношения сигнал/шум определяется частотой среза ФНЧ функции ERES и формой частотного распределения шума.

В цифровых осциллографах компании LeCroy используются цифровые фильтры с конечной импульсной характеристикой (КИХ), имеющие постоянный сдвиг фазы. Благодаря этому информация о фазе не теряется в процессе фильтрации.

Длина записи

Благодаря своей универсальности БПФ стало популярным методом анализа. Однако пользоваться им следует аккуратно. В большинстве случаев неправильное положение сигнала в сетке дисплея может значительно изменить спектр. Чтобы извлечь осмысленные заключения из результатов БПФ, необходимо иметь представление о таких эффектах, как спектральная утечка и наложение спектров.

Эффективный способ снизить их влияние — это использовать максимально возможную длину записи. Длина записи напрямую определяет эффективную частоту дискретизации осциллографа, а тем самым и разрешение по частоте и диапазон, в котором можно проводить спектральный анализ. Но, еще раз сделаем оговорку, что использование БПФ ограниченно объемом памяти 24М, и даже если выбрать память осциллографа 100М или 500М, то БПФ все равно будет производить построение спектра исходя из расчета 24М внутренней памяти.

Алгоритмы БПФ

Ниже приводится краткое пошаговое описание алгоритмов, используемых осциллографом при расчете БПФ:

1. Данные умножаются на выбранную функцию окна.
2. Рассчитывается БПФ с помощью быстрой реализации дискретного Фурье-преобразования:

   , где:

   
   xk — это комплексный массив, вещественная часть которого представляет собой модифицированную осциллограмму во временной области, а мнимая равна 0;
   Xn — результирующая комплексная кривая в частотной области;
   W = e-2πj/N;
   N — количество точек в xk и Xn.
   Обобщенный алгоритм БПФ в том виде, как он реализован здесь, не требует, чтобы N являлось степенью двойки.
3. Результирующий комплексный вектор Xn делится на когерентное усиление оконной функции, чтобы скомпенсировать потерю энергии сигнала из-за обработки оконной функцией. Эта компенсация дает точные значения амплитуды изолированных спектральных пиков.
4. Вещественная часть Xn симметрична относительно частоты Найквиста, то есть Rn = RN-n, в то время как мнимая часть асимметрична, то есть In = –IN-n.
   Энергия сигнала на частоте n распределена равномерно между первой и второй половинами спектра; энергия на нулевой частоте полностью содержится в нулевом слагаемом.
   Первая половина спектра (Re, Im), от 0 до частоты Найквиста, сохраняется для последующей обработки и удваивается по амплитуде:
   R’n = 2 × Rn_0, n < N/2
   I’n = 2 × In_0, n < N/2
5. По получившейся кривой рассчитывается спектр выбранного типа. Если выбран амплитудный (Magnitude) спектр, величина комплексного вектора определяется как

.

Шаги 1–5 приводят к следующему результату:

Синусоидальный сигнал амплитудой 1,0 В и целым числом периодов Np во временном окне, преобразованный с помощью прямоугольного окна, образует фундаментальный пик амплитудой 1,0 В на частоте Np × Δf. Постоянная составляющая величиной 1,0 В, преобразованная с помощью прямоугольного окна, образует пик амплитудой 2,0 В на частоте 0 Гц.

Кривые для спектров других типов рассчитываются следующим образом:

Фазовый спектр:

, где.

Mmin — это минимальная амплитуда, фиксированная на уровне около 0,001 от полной шкалы при любом значении усиления, ниже которого угол четко не определен.

Спектр мощности (дБм):

, где.

Mref = 0,316 В (т. е. 0 дБм определено как синусоидальная волна с амплитудой 0,316 В или действующим напряжением 0,224 В, дающая 1 мВт на нагрузке 50 Ом).

Как показывает последняя формула, спектр мощности (дБм) — это то же самое, что амплитудный спектр (дБм).

Плотность мощности (дБм):

, где.

ENBW — это эквивалентная шумовая полоса частот фильтра, соответствующего выбранному окну, а Δf — текущее разрешение по частоте (ширина интервала).

6. Чтобы получить среднюю мощность, для каждого спектра, полученного на шаге 5, берутся комплексные данные из частотной области R’n и I’n, и по ним вычисляется квадрат длины комплексного вектора:
   Mn2 = R’n2 + I’n2,
   затем вычисляется сумма Mn2 с добавлением накопленных спектров. Сумма нормализуется на количество спектров и преобразуется к выбранному типу результата по тем же формулам, которые используются для преобразования Фурье.

Словарь терминов

Ниже даны определения терминов, часто используемых в спектральном анализе с использованием БПФ, в их связи с осциллографом.

Гребешковые потери — Это потери, связанные с эффектом частокола.

Диапазон частот — Диапазон рассчитываемых и отображаемых частот простирается от 0 Гц (отображается на левом краю экрана) до частоты Найквиста (Котельникова) и отображается на правом крае  экрана.

Когерентное усиление — Нормализованное когерентное усиление фильтра, соответствующего каждой из оконных функций, равно 1,0 (0 дБ) для прямоугольного окна и меньше 1,0 для вех остальных видов окон. Оно определяет потерю энергии сигнала из-за умножения на оконную функцию. Эта потеря компенсируется осциллографом. В следующей таблице перечислены параметры реализованных окон.

Параметры частотной области различных видов окон
Тип окна	Наивысший боковой лепесток, дБ	Гребешковые потери, дБ	Экв. шумовая полоса частот (интервалов)	Когерентное усиление, дБ
Прямоугольное	-13	3,92	1,0	0,0
фон Ханна	-32	1,42	1,5	-6,02
Хэмминга	-43	1,78	1,37	-5,35
С плоской вершиной	-44	0,01	2,96	-11,05
Блэкмана-Харриса	-67	1,13	1,71	-7.53

Наложение спектров —  Если входной сигнал на входе осциллографа содержит компоненты, частота которых выше частоты Найквиста (половина частоты дискретизации), на один период сигнала будет менее двух точек. В результате вклад этих компонент в итоговую кривую будет неотличим от вклада компонент, находящихся ниже частоты Найквиста.

Коэффициент развертки и размер преобразования следует выбрать так, чтобы результирующая частота Найквиста была выше, чем наивысшая значимая компонента во временной области.

Функции Окна — Все функции окна принадлежат к косинусоидальному семейству с количеством ненулевых косинусоидальных слагаемых от одного до трех:

, где.

M = 3 — максимальное количество слагаемых, am — коэффициенты, N — количество точек децимированной исходной кривой, а k — временной индекс.

Коэффициенты am перечислены в приведенной ниже таблице коэффициентов оконных функций. Оконные функции, видимые во временной области, симметричны относительно точки k = N/2.

Коэффициенты оконных функций
Тип окна	a0	a1	a2
Прямоугольное	1,0	0,0	0,0
Хэннинга (фон Ханна)	0.5	–0,5	0,0
Хэмминга	0,54	–0,46	0,0
С плоской вершиной	0,281	–0,521	0,198
Блэкмана-Харриса	0,423	–0,497	0,079

Разрешение по частоте — Упрощенно говоря, разрешение по частоте равно ширине интервала Δf . То есть, если частота входного сигнала меняется на Δf , соответствующий пик спектра будет смещен на Df. Для меньших по величине изменений частоты изменится лишь форма пика.

Однако эффективное разрешение по частоте (т. е., возможность различать два сигнала с примерно равными частотами) ограничивается из-за применения оконных функций. Эквивалентная шумовая полоса частот всех окон, отличных от прямоугольного, превышает Δf  и ширину интервала. В таблице параметров оконных функций приведены значения эквивалентной шумовой полосы частоты для всех реализованных в осциллографе оконных функций.

Спектр мощности — Спектр мощности (В2) представляет собой квадрат амплитудного спектра.

Спектр мощности отображается в дБм. 0 дБм соответствует: Vref2 = (0,316 Vpeak)2, где Vref — это пиковое значение синусоидального напряжения, эквивалентное 1 мВт на нагрузке 50 Ом.

Спектр плотности мощности— Спектр плотности мощности (В2/Гц) — это спектр мощности, деленный на эквивалентную шумовую полосу частот фильтра, связанного с БПФ. Спектр плотности мощности отображается в дБм, где 0 дБм соответствует (Vref2/Гц).

Утечка — В спектре мощности синусоидального сигнала с целым числом периодов в прямоугольном временном окне (т. е., частота источника равняется одной из частот интервалов) имеется острый пик, амплитуда которого в точности соответствует амплитуде исходной кривой. Для промежуточных входных частот эта спектральная компонента оказывается ниже и шире.

Уширение основания пика, распространяющееся на несколько соседних интервалов носит название утечки. Оно обусловлено относительно мощными боковыми лепестками фильтра, связанного с каждым из частотных интервалов.

Боковые лепестки фильтра и результирующая утечка уменьшаются при применении одной из оконных функций. Самое сильное уменьшение обеспечивают окно Блэкмана-Харриса и с плоской вершиной. Однако при этом уширяется основной лепесток фильтра.

Фильтры — Вычисление N-точечного БПФ эквивалентно пропусканию входного сигнала во временной области через N/2 фильтров и построению графика амплитуды их выходных сигналов в зависимости от частоты. Расстояние между фильтрами составляет Δf = 1 / T, а полоса частот зависит от используемой оконной функции.

Частота дискретизации — Оцифровка сигнала во временной области производится на частотах, зависящих от установленного коэффициента развертки. Перед вычислением БПФ может понадобиться децимация записи во временной области. Если выбранное максимальное число точек меньше, чем число точек в исходном сигнале, эффективная частота дискретизации снижается. Эффективная частота дискретизации равна удвоенной частоте Найквиста.

Частота Найквиста  (или Котельникова)- Частота Найквиста равняется половине эффективной частоты дискретизации (после децимации): Δf × N/2.

Частотные интервалы — Алгоритм БПФ принимает на входе дискретизированную осциллограмму, определенную в N точках, и вычисляет N комплексных коэффициентов Фурье, которые интерпретируются как гармонические компоненты входного сигнала.

Для вещественной исходной кривой (мнимая часть равна 0) имеется лишь N/2 независимых гармонических компонент.

БПФ соответствует анализу входного сигнала с помощью набора из N/2 фильтров, имеющих одинаковые по ширине и форме характеристики и центрированных на N/2 дискретных частотах. Каждый фильтр забирает энергию сигнала, подпадающую в непосредственную близость от средней частоты фильтра. Таким образом, можно сказать, что имеется N/2 частотных интервалов.

Расстояние в Гц между средними частотами двух соседних интервалов всегда равняется Δf = 1 / T, где T — это длина записи во временной области в секундах.

Ширина основного лепестка фильтра, центрированного в каждом интервале, зависит от используемой оконной функции. Прямоугольное окно имеет номинальную ширину в 1,0 интервал. Другие окна имеют более широкие боковые лепестки.

Число точек — БПФ вычисляется по определенному числу точек (размеру преобразования), верхней границей которого является количество точек исходного сигнала, а также максимальное количество точек, выбранное в меню. На выходе БПФ генерирует спектр из N/2 точек.

Эквивалентная шумовая полоса частот — Эквивалентная шумовая полоса частот (EBNW) — это полоса пропускания прямоугольного фильтра (одинаковое усиление на средней частоте), который забирает мощность, эквивалентную мощности фильтра, связанного с другим видом оконной функции . В таблице ранее приведены эквивалентная шумовая полоса частот (в единицах количества интервалов)  для каждой реализованной в осциллографе оконной функции.

Эффект частокола — Если синусоидальный сигнал имеет целое число периодов во временной области, спектр мощности такого сигнала, полученный с прямоугольным окном, будет иметь острый пик, в точности соответствующий исходной синусоидальной волне по амплитуде и частоте. В остальных случаях спектральный пик, полученный с прямоугольным окном, будет ниже и шире.

Наивысшая точка спектра может оказаться на 3,92 дБ (в 1,57 раз) ниже, если частота исходного сигнала находится посередине между двумя дискретными частотами. Эта вариация амплитуды спектральных составляющих носит название эффекта частокола (соответствующие потери на ослабление называются гребешковыми потерями).

Все оконные функции в той или иной мере компенсируют эти потери, но наилучшая компенсация достигается с плоским окном.

Итак, перейдем к выводам.

Как правильно пользоваться БПФ в цифровом осциллографе (я умышленно не пишу в «осциллографе LeCroy» поскольку это касается абсолютно всех цифровых осциллографов) для получения достоверного отображения спектра сигнала?

1. На осциллографе необходимо установить частоту дискретизации в два раза превышающей максимальную частоту, наличие которой предполагается в спектре исследуемого сигнала. Не стоит чрезмерно увлекаться увеличением частоты дискретизации, поскольку разрешение по частоте Δf прямо пропорционально памяти осциллографа и обратно пропорционально частоте дискретизации.  
2. Установить максимально возможную длину памяти для данного осциллографа, но учитывая то обстоятельство, что БПФ не может обрабатывать память более 24М, использование различного рода интерполяций (например sin(x)/x) нисколько не улучшит отображение спектра.
3. Использовать по возможности более медленные развертки (не нарушая условий п.1 и п.2 ), это позволит значительно снизить влияние разрывов при использовании окна.
4. В зависимости от того, что пользователь предпочитает исследовать в спектре полученного сигнала – амплитуду, частоту или компромисс между амплитудой и частотой, необходимо выбирать конкретный тип окна.
5. При получении сомнительных результатов или наоборот, для удостоверения правильности полученных результатов изменить частоту дискретизации (не нарушая условий вывода 1) и сравнить два спектра.
6. При отсутствии необходимости исследовать ВЧ сигналы использовать ограничение полосы пропускания канала вертикального отклонения или использовать эквивалентное увеличение разрядности АЦП.
7. Необходимо учитывать, что большинство осциллографов используют 8-и битные АЦП, что определяет теоретический динамически диапазон БПФ в 49,7 dB, на частотах свыше 500 МГц число эффективных бит составляет не более 6.5, что определяет теоретический динамически диапазон БПФ в 37,7 dB.    
8. При анализе спектра, полученного с использованием БПФ, нужно так же учитывать, влияние собственного шума и гармонических наводок самого цифрового осциллографа.

И, наконец, что заставило А.Б. сделать ложные выводы о «способностях» построения спектра осциллографами LeCroy:

1. Большое желание плюнуть в сторону LeCroy (как основного конкурента на российском рынке цифровых осциллографов), но не знание как это лучше сделать, + с «заумное» зомбировнием клиентов фразами типа: «при подаче полезного сигнала имеет место включение мощного адаптивного корректирующего фильтра, обеспечивающего с одной стороны НЧ фильтрацию на частотах выше примерно 1.5 ГГц и подъем АЧХ примерно на 20 дБ в том же диапазоне». Вроде бы и слова-то правильные, и уже как бы слышен смачный звук мощных реле, включающих не менеe мощные адаптивные корректирующие фильтры, но как начнешь вдумываться в смысл фразы, то понимаешь, что смысла-то в ней нет — один набор несвязанных технических слов!

2. Спектрограмма, полученная А.Б., характерна для абсолютно любого цифрового осциллографа и не играет роли его производитель – LeCroy, Tektronix или Agilent Technologies, поскольку спектрограмма получена при следующих условиях:

• Частота дискретизации выбрана в 10 раз выше полосы пропускания осциллографа, что не нарушает условий теоремы Котельникова, но за счет собственной полосы пропускания, осциллограф ограничивает спектр сигнала, который приводит к появлению возвышенного горба в левой части спектрограммы.
• Использование  прямоугольного окна (а именно это окно использовал А.Б.) для исследования спектра сигнала в пять раз превышающего полосу пропускания осциллографа – не самое лучшее окно для измерений амплитуд гармоник.  И это дрожание опять же в полной мере характерно и для осциллографов LeCroy, и для Tektronix, и для Agilent Technologies. Если бы А.Б. использовал окно фон Хана или Хемминга, то дрожание в правой части спектрограмм исчезло. Но почему он это не делал? См. вывод 1.
• Использование упрощенного алгоритма БПФ 2N, предназначенного для первичной оценки спектр сигнала. Использование алгоритма 2N *5K значительно повышает точность измерений.
• Весьма посредственные способности осциллографа DPO-4000 (а с этого все и началось!), а именно его вычислительные способности при БПФ, которые жутко тормозят вычисление спектра, а как видно из описания алгоритма БПФ рассчитывать приходится достаточно много, и привели А.Б. к желанию убедить клиентов, что и у LeCroy с этим не все в порядке.
• Но осциллографы LeCroy обладают прекрасными вычислительными возможностями (в отличие от осциллографов Tektronix), которые дают пользователю уникальные возможности построения и исследования спектра входного сигнала.

Теперь от теории перейдем аргументам и фактам.

Пример 1. Измерение спектра частотно-модулированного сигнала.

С генератора Agilent Technologies (почему уже А.Б. так упорно все недостатки осциллографов Tektronix пытается списать на генераторы Agilent Technologies?..) подадим сигнал частотой 100 МГц, уровнем 0 dB на вход осциллографа LeCroy WR-6050A и включим режим  частотной модуляции с девиацией 200 кГц, модулирующим синусоидальным сигналом и частотой 1 кГц. На осциллографе установим частоту дискретизации 1 Гвыб/с, длину памяти 10М и развертку 1 мс/дел, применим алгоритм БПФ 2N. Это позволит нам получить сектор в пределах от 0 до 500 МГц с разрешением по частоте 100 Гц и использованием 5 миллионов фильтров (это не предел, но для сигнала 100 МГц этих параметров вполне хватит). Осциллограмма приведена на рисунке 20.

Рисунок 20

Учитывая то, что осциллографы LeCroy обладают прекрасными вычислительными возможностями, могут одновременно выполнять до 8 математических операций, и в зависимости от модели осциллографа LeCroy способны отображать до 8 независимых экранов, усложним задачу. Зададим режим построения спектра одного и того же исходного сигнала с использованием прямоугольного окна, что бы получить наилучшее разрешение по частоте  (осциллограмма F1), и окна с плоской вершиной, что бы получить наилучшее разрешение по амплитуде (осциллограмма F2). А так же произведем растяжку спектра обоих сигналов с целью наблюдения гармоник ЧМ сигнала. На спектрограммах F4 (прямоугольного окна) и F3  (окна с плоской вершиной) отчетливо видна разница при использовании того или иного окна. Произведем измерения параметров модуляции, для этого на осциллограмме F4 (дающей наилучшее разрешение по частоте) включим режим автоматического измерения частоты и это есть частота модулирующего колебания, результат составляет 1,000 кГц  — как в аптеке! Измерение глубины девиации можно произвести «на глаз» с использованием курсоров – результат 196 кГц, что составляет погрешность 2 % от установленного значения — и то же неплохой результат!

Очевидно, что осциллограф способен рассчитать и вывести на экран одновременно до восьми различных параметров спектра — собственно спектра, его фазы, мнимой и действительных частей и т.д.

Пример 2. Измерение параметров амплитудно-модулированного сигнала.

На генераторе установим следующие параметры — сигнал частотой 100,0002 МГц (обращаем внимание, что частота генератора 100,0002 МГц, поскольку 0,0001МГц – это разрешение по частоте осциллографа LeCroy), уровень 0 dB Все, частота модулирующего колебания 1 кГц и глубина модуляции 50 %. На осциллографе, в отличие от предыдущего измерения, применим память 24М, алгоритм вычисления БПФ 2N *5K. На рисунке 21 представлена спектрограмма АМ-сигнала, так же с использованием двух окон.

Рисунок 19

Дополним спектрограмму режимом автоматических измерений для определения некоторых параметров АМ-сигнала. Измеряя уровня левой боковой гармоники (Р1)  и несущей (Р2), по формуле

, где.

Р1 и Р2 уровни несущей и боковой гармоники, соответственно. Используя спектрограмму БПФ с плоской вершиной (F4) и измеряя уровни боковой гармоники и несущей получаем значение коэффициента АМ.  Результат измерения коэффициента АМ составляет 50,63%, действительно прекрасный результат! При этом измерение уровня несущей составляет 0,153 dB, что тоже очень неплохо!

Измерение частоты модулирующего колебания произведем так же по спектрограмме F4 и режиме банального автоматического измерения частоты, результат 1,0000 кГц.

Измерение частоты несущего колебания произведем по спектрограмме F2, полученной с помощью прямоугольного окна, дающего наилучший результат измерения частоты.   Так же используем  автоматического измерения частоты, результат 100,0002 кГц. То есть измерение несущей АМ по спектру АМ сигнала, дало погрешность измерения 0 ppm (!!!, при этом среднеквадратическое отклонение составило 2,4 Гц). И пусть кто угодно рассказывает, что для измерения частоты есть частотомер, для измерения уровня есть вольтметр, для измерения модуляции есть «модулометр» и т.д. и т.п. осциллографы LeCroy дают прекрасную возможность комплексного измерения огромного набора параметров.

Пример 3. Измерение гармонических искажений.

Попробуем применить осциллографы LeCroy WR-6051A для  измерения гармонических составляющих треугольного сигнала и синусоидального сигнала. Контроль результатов измерений будем производить анализатором спектра. Первый сигнал  — треугольный, частота 30 МГц; тут умышленно берем не очень высокую частоту, поскольку измерения будем производить до 5 гармоники, что бы не сказывалась неравномерность АЧХ на верхних частотах. Уровень входного сигнала 0 dB.  Спектрограмма приведена на рисунке 22.

Рисунок 22

Частоту дискретизации выбрана 5 ГГц, окно с плоской вершиной; одновременно на экран выведен три гармоники треугольного сигнала 1-ю, 3-ю и 5-ю, и произведем автоматические измерения уровня гармоники. Результаты измерений приведены в поле измерения Р1, Р2 и Р3.

Контрольная спектрограмма, полученная на анализаторе спектра NEX1 в режиме измерения до 5-ой гармоники сигнала  приведена на рисунке 23.

Рисунок 23

В таблицу 1 сведены результаты измерений.

Таблица 1
Частота гармоники	WR-6050A	NEX1	разность
1-я 30 МГц	-0.008 dB	-0,03 dB	-0,022 dB
3-я 90 МГц	-18,173 dB	-17,67 dB	0,5 dB
5-я 150 МГц	-20,718 dB	-20,19 dB	-0,5 dB

Итак, показания осциллографа LeCroy WR-6051A и анализатора спектра отличаются не более чем на 0,5 dB.

Второй сигнал — синусоидальный, частота 30 МГц, спектрограмма БПФ приведена на рисунке 24

Рисунок 24

Контрольная спектрограмма синусоидального сигнала, полученная на анализаторе спектра NEX1 в режиме измерения до 5-ой гармоники сигнала  приведена на рисунке 25:

Рисунок 25

 

В таблицу 2 сведены результаты измерений.

Таблица 2
Частота гармоники	WR-6050A	NEX1	Разность
1-я 30 МГц	-0.094 dB	-0,08 dB	-0,022 dB
3-я 90 МГц	-40,445 dB	-49,94 dB	-9,495 dB
5-я 150 МГц	-54,459 dB	-64,78 dB	-10,321 dB

Итак, показания осциллографа LeCroy WR-6051A и анализатора спектра отличаются значительно на 3-й и 5-й гармониках, это связанно, как уже отмечалось ранее, с тем, что динамический диапазон БПФ цифрового осциллографа составляет всего 37,7 dB, поэтому измерение гармоник с уровнями -49,94 dB и -64,78 dB составляет очень большую погрешность измерения.

Вывод

Измерение параметров сигнал с использование БПФ, полученного с помощью осциллографов LeCroy, в пределах  динамического диапазона осциллографа дает прекрасные результаты, сопоставимые с погрешностью анализатор спектра, измерителя мощности и частотомера. При этом погрешность измерения    зависит от правильности выбора параметров БПФ. Прекрасные вычислительные возможности осциллографов LeCroy, совместно с возможностями пользовательского интерфейса дают пользователю уникальные возможности визуального наблюдения спектра сигнала.

Часть 2. Эквивалентная дискретизация.

Пару слов, что такое эквивалентная дискретизация. Очевидно, например, что  при частоте дискретизации 2,5 Гвыб/с и входном сигнале 500 МГц, на каждый период сигнала приходится только 5 точки, такая картинки приведена на рисунке 26, очевидно, что для построения спектра сигнала, такой частоты дискретизации будет вполне достаточно, но для достоверного отображения формы сигнала и измерений вовсе не достаточно.

Рисунок 26

Все разработчики и производители осциллографов в мире используют метод, позволяющий псевдо повысить частоту дискретизации. Заключатся он в том, что при неизменной реальной частоте дискретизации (пусть это останется 2,5 Гвыб/с), оцифровка входного сигнала происходит не за один проход развертки, а например за два, а что бы точки дискретизации не попадали каждый раз в одно и то же место второй проход развертки несколько смещен по времени относительно первого прохода. То есть точек дискретизации получается уже в два раза больше, что как бы соответствует уже не 2,5 Гвыб/с, а 5 Гвыб/с, а если проходов взять три, что частота дискретизации уже составит 7,5 Гвыб/с и так далее. В этом случае частоту дискретизации можно поднять до нескольких ТераГерц. Главное, что бы полоса пропускания осциллографа соответствовала частоте входного сигнала. Такой способ повышения частоты дискретизации и называется эквивалентная дискретизация, и описанный метод приведен на рисунке 27.

Рисунок 27

Очевидно, чтобы сигнал в реальной жизни выглядел так же красиво, как и реконструированный сигнал на рисунке 27 необходимо выполнить два условия:

1. Сигнал должен быть периодическим;
2. Схема запуска развертки осциллографа должна иметь нулевое значение джиттера.

Очевидно, что систем имеющих нулевое значение джиттера не существует в природе (еще один маленький паразит, отравляющий жизнь) и это влияет на отображение сигнала. На рисунке 28 схематично отображен сигнал, имеющий некоторый джиттер синхронизации, что приводит к тому, что положение сигнала на временной оси меняется, в нашем случае это всего пять положений.

Рисунок 28

Результирующий сигнал, полученный путем последовательного соединения полученных точек дискретизации, изображен на рисунке 29 красным цветом и как видно он сильно искажен. Реальный входной сигнал на этом же рисунке изображен темно-зеленым цветом

Рисунок 29

В действительности же входной сигнал, полученный в режиме эквивалентной дискретизации не имеет таких сильных искажений поскольку, реальное значение джиттера гораздо меньше, а точек дискретизации гораздо больше.  Осциллограмма импульсного сигнала с калибратора времени нарастания И1-12 (собственное время нарастания 50 пс), поданного на вход осциллографа Tektronix TDS-5054B, в режиме внешней синхронизации с выхода синхронизации калибратора И1-12, изображена на рисунке 30.

Рисунок 30

На фронте нарастания импульсного сигнала отчетливо видны искажения типа «ёжик», как раз и вызванные влиянием джиттера схемы синхронизации. Итак, применение эквивалентной дискретизации, как ожидалось, должно было улучшить отображение входного сигнала, в принципе оно произошло – точек дискретизации стало больше и это хорошо, но появились искажения отсутствующие во входном сигнале, а это уже плохо. Отображение непериодического сигнала с использованием эквивалентной дискретизации, как очевидно, должно привести к отображению хаотического набора точек, находящегося в пределах минимального и максимального уровня входного сигнала. Это и есть главный недостаток эквивалентной дискретизации  — она пригодна только для отображения периодического сигнала.

Компания LeCroy в своих осциллографах не использует, в точности, метод эквивалентной дискретизации, описанный выше. LeCroy использует тип развертки, который называется Random Interleaved Sampling (RIS) — Случайно Чередующаяся Выборка.

В чем же заключается отличие метода Случайно Чередующейся Выборки, применяемый в осциллографах LeCroy?

Во-первых, точки дискретизации, необходимые для эквивалентной дискретизации и образующие так называемый ряд точек дискретизации, смещаются по отношению к предыдущему ряду не на строго определенное время Δt, а ряды точек дискретизации выбираются по псевдо случайному алгоритму, образуя случайно чередующеюся выборки. Поскольку джиттер схемы синхронизации осциллографа  носит нормальный (случайный) закон распределения, то сумма времён случайного джиттера и псевдо случайного положения точек дискретизации стремится к нулю, за бесконечный промежуток времени. Таким алгоритмом представляет возможным частично скомпенсировать паразитное влияние джиттера. 

Во-вторых, поскольку полный цикл дискретизации в режиме эквивалентной развертки не бесконечен, а составляет порядка 10-40 проходов развертки, то полностью компенсировать джиттер синхронизации не представляется возможным. Поэтому, массив точек, полученных в результате случайно чередующейся выборки, подвергается операции математического усреднения, в результате которого из двух соседних точек образуется одна, имеющая среднее между ними значение. Так на рисунке 31 розовым цветом схематично отображен сигнал, полученный в результате полного цикла развертки RIS.

Рисунок 31

Как уже упоминалось ранее, усреднение является цифровом ВЧ фильтром, устраняющим из сигнала шумовую компоненту. Поскольку природа данной шумовой компоненты —  это сам цифровой осциллограф и входной сигнал данной компоненты не имеет, а если бы и имел, то был бы отфильтрован полосой пропускания самого осциллографа (напомним, что в настоящий момент мы рассматриваем ВЧ сигналы близкие к полосе пропускания осциллографа), то искажения формы сигнала не происходит.  Так на рисунке 32 отображен тот же сигнал и абсолютно при тех же условиях, что и сигнал на рисунке 30, но полученный с помощью осциллографа LeCroy WR-6050A

Рисунок 32

Что сразу видно, так это полное отсутствие «ёжиков» на осциллограмме. И, обратите внимание, что осциллограф Tektronix TDS-5054B показал результат измерения времени нарастания 687 пс,  а LeCroy WR-6050A 670 нс, что вполне сопоставимо, но среднеквадратическое отклонение этого же параметра у Tektronix равно 125 пс, что составляет 18% от измеренного значения, а у LeCroy всего 16 пс или 2,4%. Такое высокое значение СКО однозначно свидетельствует о бурных внутренних процессах внутри Tektronix и они явно не положительные…

Что же при таком алгоритме RIS будет отображать осциллограф LeCroy, если сигнал на входе не периодический? В качестве непериодического сигнала применим, например, сигнал системы передачи данных, где хаотическом образом чередуются нули и единицы. Такой сигнал схематически изображен на рисунке 33, где так же показаны точки случайно чередующейся выборки, которые после реконструкции сигнала случайным образом располагаются на высоком, то на низком уровне сигнала.

Рисунок 33

И все было бы просто замечательно, если бы вторая ступень алгоритма RIS не воспринимала бы этого «метания» между точками дискретизации вверх-вниз как обыкновенный паразитный шум. Между точками дискретизации рассчитывается среднее значение, что при 50% соотношении между числом нулей и единиц, должно составлять ровную прямую. Результирующая осциллограмма приведена розовым цветом на рисунке 34.

Рисунок 34

Итак, режим RIS нельзя использовать для:

• наблюдения непериодического сигнала;
• построения глазковых диаграмм;
• измерения джиттера;
• измерения параметров шума.

Что, в общем-то, и подтверждается опытами #source_1 class=l>[1] —   осциллограф LeCroy WR-6051A, находящийся в его распоряжении А.Б. был вполне исправен, полностью выполнял алгоритм, заложенный в него при разработке и был использован не по назначению для построения глазковых диаграмм. Так, что LeCroy-то знает, что делать дальше с отсчетами в режиме RIS, а вот никоторые инженеры не знают, как делать ЭТО с осциллографом. 

Хороша технология RIS или плоха, вопрос даже не философский – любую вещь нужно использовать по назначению, алгоритм эквивалентной развертки осциллографа LeCroy был разработан более 15 лет назад с учетом потребностей исследования периодических ВЧ сигналов, переходных характеристик импульсных сигналов. В те времена не стоял остро вопрос «а можно ли строить глазковые диаграммы, используя эквивалентную дискретизацию?». Тем более, что для построения глазковых диаграмм осциллографы LeCroy предлагают пользователю дискретизацию в реальном масштабе времени с применением аналогового послесвечения и температурным распределением, что является процессом абсолютно аналогичным развертке RIS, но без использования «предательского» усреднения – при необходимости усреднение можно применить отдельно. И, как видно из #source_1 class=l>[1], А.Б. вполне успешно использовал эту возможность для построения глазковых диаграмм своего 625Мбит/с потока, тем более что именно этот режим используется в приложениях LeCroy для анализа систем последовательной передачи данных, построения глазковых диаграмм, измерения джиттера систем передачи, достоверности передачи данных, построения U-кривых и т.д. и т.п. 

Впрочем, как и осциллографы Tektronix. Например, используемый нами ранее TDS-5054B,  в этом режиме тоже показывает отнюдь не глазковые диаграммы (на осциллографе Tektronix, так же как и на осциллографе LeCroy в #source_1 class=l>[1] включен режим интерполяции sin(x)/x и векторного представления сигнала). Если глаза у LeCroy «закрылись», то у Tektronix они еще «не открылись» и это наглядно демонстрирует рисунок 35, но еще раз отметим, что и это не является дефектом осциллографа Tektronix – режим эквивалентной дискретизации так же использован не по назначению.

Рисунок 35

Но, учитывая многочисленные пожелания «зарубежных трудящихся», которые в своей повседневной жизни стали использовать все больше устройств с все меньшим джиттером и перестали радоваться описанному выше алгоритму эквивалентной дискретизации, компания LeCroy в своих новых осциллографах  серий WaveRunnerXi и WaveSurferXs, использующих технологию WaveStream, частично изменила алгоритм эквивалентной развертки. Собственно сама развертка RIS как Случайно Чередующейся Выборка, осталась без изменения и частично компенсирует собственный джиттер, но алгоритм усреднения исключен. Это привело к появлению незначительных «ёжиков» на полезном сигнале, но дало возможность использовать эквивалентную развертку для наблюдения непериодического сигнала. Так на рисунке 36 приведена осциллограмма переходной характеристики осциллографа WaveRunner 44Xi (с полосой пропускания 400 МГц), на которой явно проступают помехи (но не такие явные, как у Tektronix на рисунке 30), но обращает внимание, что СКО времени нарастания осталось практически без измерения и составляет 14,68 пс или 3,14% от измеренного значения.

Рисунок 36

Если же обратиться к «нестандартному» алгоритму построения глазковых диаграмм, то глазковая диаграмма для потока 500 Мбит/с, представленная на рисунке 33 —  не идеал, но «зарубежных трудящихся» удовлетворяет.

Рисунок 37

И наконец, подведем черту под глазковыми диаграммами. Все типы осциллографов LeCroy дают возможность построения глазковых диаграмм в режиме дискретизации в реальном масштабе времени и послесвечения с цветовым распределением (см. #img_38>рис. 38).

Рисунок 38

Осциллографы LeCroy серии WaveRunner и выше, дают возможность построения глазковых диаграмм в режиме дискретизации в реальном масштабе времени, при использовании сегментированной развертки и послесвечения с цветовым распределением (см. #img_39>рис. 39). При этом обеспечивается возможность пошагового просмотра кадров потока систем последовательной передачи данных.

Рисунок 39

И, наконец, осциллографы LeCroy серии WaveRunner Xi и WaveSurfer Xs дают возможность построения глазковых диаграмм в режиме дискретизации в реальном масштабе времени и использовании технологии WaveStream, но без цветовой градации (см. #img_40>рис. 40).

Рисунок 40

Литература:

1. А.Б.Матвиенко  LeCroy WaveRunner и Tektronix DPO4000. # class=l>http://www.mаstеr-tооl.ru/index.php?action=showarticle&ID=1156238740
2. А.Б.Матвиенко  Сравнительные характеристики осциллографов Agilent и Tektronix или почему фокусы не всегда получаются, # class=l>http://www.mаstеr-tооl.ru/index.php?action=showarticle&ID=1140438627
3. Цифровая обработка сигналов в осциллографах LeCroy (LeCroy Digital Signal Processing in the LeCroy DSO), перевод https://prist.ru/info/articles/dsp.htm class=l>https://prist.ru/info/articles/dsp.htm
4. Agilent Technologies. Spectral Analysis Using a Deep-Memory Oscilloscope Fast Fourier Transform (FFT) For Use with Infiniium 54830B Series Deep-Memory Oscilloscopes Application Note 1383-1
5. Agilent Technologies. The Fundamentals of Signal Analysis Application Note 243
6. LeCroy. Random Interleaved Sampling (RIS)
7. Руководство по эксплуатации осциллографов серии WaveRunner.

Автор:  Дедюхин А.А.
Дата публикации:  08.09.2006

Развитие серии генераторов произвольных функций AFG3000 компании Tektronix и их применение — Компоненты и технологии

Генераторы с прямым цифровым синтезом сигналов типа AFG

Современные генераторы сигналов серии AFG3000 фирмы Tektronix относятся к категории генераторов произвольных функций (Arbitrary Functions Generations) (рис. 1). Они выполняют также роль функциональных генераторов и генераторов качающейся частоты, работающих в очень широком диапазоне частот — от нескольких мкГц до 240 МГц. Размеры приборов — 156х329х 168 мм, вес — 4,5 кг. Исполнение приборов настольное и для монтажа в стойку. Электропитание — 200-240 В с частотой 47-63 Гц и 100-115 В с частотой 300-440 Гц, потребляемая мощность — 120 Вт.

Рис. 1. Внешний вид генераторов Tektronix AFG3000: а) двухканальная модель; б) одноканальная модель

Приборы выполнены на основе специализированной однокристальной интегральной микросхемы, изготовленной по КМОП-тех-нологии с разрешением 0,18 мкм и реализующей прямой цифровой синтез (Direct Digital Synthesis, DDS) формы и частоты генерируемых колебаний. При умеренной для приборов этого класса цене они превосходят генераторы других фирм по скорости дискретизации (250 Мвыб/с, 1 Гвыб/c и 2 Гвыб/c) и максимальной частоте генерации (для синусоидального сигнала — до 240 МГц).

Генераторы имеют современный, простой и наглядный интерфейс, подобный тому, что применяется в цифровых осциллографах. На большом жидкокристаллическом цветном дисплее (только у модели AFG3021 он черно-белый) с размером по диагонали 5,6 дюйма отображаются крупными знаками основные параметры сигналов, режимы их работы и характерная форма создаваемых сигналов.

Поддерживается 8 языков интерфейса, включая русский. Имеется экранная справка.

На задней панели генератора расположены разъем электропитания, защитный порт Security Port, гнездо заземления, разъем сигнала, добавляемого к основному сигналу, ADD INPUT, разъемы внешней модуляции сигналов EXT MODULATION Ch2/Ch3, входной EXT REF INPUT и выходной EXT REF OUTPUT разъемы опорной (эталонной) частоты. Все эти разъемы стандартные, коаксиальные, типа BNC. Кроме того, имеются разъемы портов USB и GPIB, сети LAN.

Функциональная схема генераторов сигналов типа AFG

Генерация сигналов в этом новейшем поколении цифровых генераторов основана на использовании заранее подготовленных и хранящихся в памяти оцифрованных N выборок сигнала за его один период (рис. 2). Типичное число выборок составляет от единиц до многих тысяч. Каждая выборка представляет значение сигнала в виде числа с некоторой разрядностью 14 бит. Такт работы задается высокостабильным кварцевым генератором.

Рис. 2. Функциональная схема одноканального генератора AFG, использующего прямой цифровой синтез сигналов

Генерация сигнала заданной формы с точно заданной частотой основана на выработке адреса отсчетов сигнала с фиксацией дискретного фазового сдвига с помощью Δ-фазового регистра и уровня сигнала с помощью Δ-регистра. Как только набегает фазовый сдвиг 360°, выработка адреса прекращается (в режиме единичного запуска) или возобновляется заново (в непрерывном режиме или в режиме генерации пачки сигналов). Двухканальные генераторы при общей памяти сигналов имеют два канала выборки и два выходных усилителя.

Специфика цифрового синтеза сигналов

Переход к цифровым методам синтеза сигналов позволяет добиться значительного расширения диапазона частот, повышения стабильности частоты сигналов и задания любой формы сигналов. Но он ведет и к некоторым специфическим особенностям синтезированных сигналов. Их суть поясняет рис. 3.

Рис. 3. Синтезированный сигнал: а) в идеале; б) его дискретные отсчеты, взятые из памяти (их интерполяция — пунктирная кривая)

После преобразования каждого оцифрованного отсчета в аналоговый с помощью цифро-аналогового преобразователя (ЦАП) получается последовательность аналоговых отсчетов — импульсов с амплитудой, равной амплитуде аналогового сигнала. Запоминающий конденсатор обеспечивает формирование ступенчатого (квантованного сигнала) (рис. 4).

Рис. 4. а) Идеальный синусоидальный сигнал б) реальный сигнал на выходе ЦАП с запоминанием; в) шум квантования

Разность между идеальным сигналом на выходе генератора (рис. 4а) и реальным сигналом (рис. 4б), показанная на рис. 4в, называется шумом квантования и определяется как:

На рис. 4 видно, что амплитуда шумового сигнала составляет не более половины амплитуды ступеньки Δ. В общем случае положение ступенек от цикла к циклу сигнала имеет случайный характер, а потому e(t) воспринимается как шум.

Если считать, что e(t) описывается случайным законом с равномерным распределением в пределах от -Δ/2 до Δ/2, то среднее значение сигнала шума будет нулевым, а дисперсия равна Δ2/12. Это позволяет оценить важный шумовой параметр генераторов с цифровым синтезом сигнала — отношение сигнал/шум (signal-to-noise ratio):

где N = 2Α/Δ — число ступенек квантования, которые укладываются на двойной размах синтезируемого сигнала.

Если ЦАП имеет p двоичных разрядов, обеспечивающих N = 2^p уровней квантования, то параметр SNR можно записать в виде:

Отношение сигнал/шум можно выразить также в дБ:

Например, при 8-разрядном кодировании SNR_дБ = 52,77 дБ, а при 14-разрядном — 88,77 дБ. На рис. 4в видно, что шум создается сигналом, средняя частота которого равна частоте квантования f_k = 1/Δ_ρ где Δ_t — шаг квантования, который в N раз меньше периода синусоидального сигнала на выходе генератора. Это позволяет существенно уменьшить шум квантования, если вырезать режекторным фильтром область спектра сигнала в районе частоты f₍. Другой путь уменьшения шумов квантования заключается в применении интерполяции на основе базиса Котельникова — функции вида sin(x)/x.

Фазовый шум генераторов

В технике генерации синусоидальных сигналов большое значение имеет фазовый шум генераторов, создаваемый случайными флуктуациями частоты или фазы сигнала.

Обычно уровень фазовых шумов источника синусоидальных сигналов измеряется спектральным методом, при котором уровень шума при отстройке от несущей на частоту f_m оценивается выражением:

где P₀ — мощность несущей сигнала, P_noieCtf — мощность фазовых шумов при отстройке по частоте f_m, B_noise — шумовая полоса узкополосного фильтра анализатора, D_koTT — коэффициент корректировки. Типичное значение фазового шума у генераторов AFG3000 на частоте 20 МГц составляет -110 дБ при отстройке от несущей на 10 кГц и размахе синусоидального сигнала 1 Вп-п (межпиковое напряжение).

Состав серии генераторов AFG3000

Вначале была выпущена серия из шести генераторов (табл. 1). Два первых генератора имели только USB-порт, остальные были оборудованы также портами LAN (локальной сети) и GPIB (приборный порт). В дальнейшем они были заменены моделями AFG3021B и AFG3022B с добавленными в них портами LAN и GPIB. Наконец, недавно появилась модель AFG3011 с удвоенной амплитудой выходного напряжения — до двойной амплитуды в 20 Вп-п на нагрузке 50 Ом и 40 Вп-п на высокоомной нагрузке.

Таблица 1. Основные характеристики базовой серии генераторов AFG3000

Характеристики	Параметры	AFG3021/AFG3022	AFG3101/AFG3102	AFG3251/AFG3522
	Количество каналов	1/2	1/2	1/2
Выходные параметры	Виды выходного сигнала	Синус, меандр, импульс, пила, треугольник, sinx/x, нарастающая и спадающая экспонента, функции Гаусса, Лоренца, Хевисайда, шум
	Выходной уровень на нагрузке 50 Ом	10мВ — 10 В	20мВ — 10 В	50 мВ — 5 В (до 200 МГц) 50 мВ — 4 В (свыше 200 МГц)
	Погрешность установки частоты	±1х10-5
	Постоянное смещение	±5 Впик (AC+DC)		±2,5 Впик (AC+DC)
	Частотный диапазон	1 мГц — 25 МГц	1 мГц — 100 МГц	1 мГц — 240 МГц
	Погрешность установки уровня на 1 кГц	± (1%+1мВ)
Синусоида	Неравномерность AЧХ	±0,15 дБ до 5 МГц ±0,3 дБ до 20 МГц ±0,5 дБ до 25 МГц	±0,15 дБ до 5 МГц ±0,3 дБ до 25 МГц ±0,5 дБ до 100 МГц	±0,15 дБ до 5 МГц ±0,3 дБ до 25 МГц ±0,5 дБ до 100 МГц ±0,1 дБ до 200 МГц
	Коэффициент гармоник (выходной сигнал 1 В)	< -70 дБн до 20 кГц < -60 дБн до 1 МГц < -50 дБн до 10 МГц < -40 дБн до 25 МГц	< -60 дБн до 20 кГц < -60 дБн до 1 МГц < -37 дБн до 100 МГц	< -60 дБн до 20 кГц < -60 дБн до 1 МГц < -50 дБн до 5 МГц < -37 дБн до 25 МГц < -30 дБн до 240 МГц
Меандр	Диапазон частот	1 мГц — 12,5 МГц	1 мГц — 50 МГц	1 мГц — 120 МГц
	Время нарастания/спада, нс	18	5	2,5
	Диапазон частот	1 мГц — 12,5 МГц	1 мГц — 50 МГц	1 мГц — 120 МГц
Импульс	Длительность	30 нс — 999 с	8 нс — 999 с	4нс — 999 с
	Перестраиваемое время нарастания	18 нс — 625 с	5 нс — 625 с	2,5 нс — 625 с
Дополнительные	Диапазон частот	1 мГц — 250кГц	1 мГц — 1 МГц	1 мГц — 2,4 МГц
сигналы	Полоса шумового сигнала, МГц	25	100	240
	Диапазон частот	1 мГц — 12,5 МГц	1 мГц — 50 МГц	1 мГц — 120 МГц
Произвольная форма	Частота дискретизации и объем памяти	250 МГц, 2-64 кбайт	250 МГц, 16-128 кбайт 1 ГГц, 2-16 кбайт	250 МГц, 16-128 кбайт 2 ГГц, 2-16 кбайт
	Разрешение по вертикали, бит	14
Модуляция	Виды модуляции	АМ (0-120%), ЧМ (девиация до 120 МГц), ФМ (0-180′), ЧМн, модуляция длительности импульса (0-50% от периода), ИМ, ГКЧ (линейное/логарифмическое, время качания 10 мс — 100 с)
	Несущая	Все виды сигналов, кроме импульса, шума и постоянного напряжения
	Модулирующая	Частота: 2 мГц — 50 кГц; синус, меандр, пила, шум, произвольный сигнал

 

Повышение амплитуды выходного сигнала далось большой ценой: несмотря на ограничение максимальной частоты синусоидального сигнала значением всего в 10 МГц, «высоковольтный» генератор AFG3101 стоит почти вдвое дороже ближайшей модели — AFG3021B.

Встроенное микропрограммное обеспечение и его замена

Важным моментом в использовании генераторов серии AFG3000 является возможность обновления их микропрограммного обеспечения — Firmware — из Интернета. Это обеспечивает планомерное обновление генераторов, порою существенное улучшение их характеристик и устранение, увы, довольно многочисленных, ошибок и неточностей в их работе.

Для смены микропрограммного обеспечения следует с сайта компании Tektronix скачать ZIP-файл Firmware. Например, последний (от 28.07.2009) tekafgtb.tfb после распаковки имеет размер 4,442 Мбайт. Распакованный файл размещается в основной директории карты флэш-памяти, после чего она вставляется в гнездо в передней панели, затем с помощью кнопки «Сервис» (Utility) и ее меню запускается команда обновления. Важно во время этого процесса (он занимает несколько минут) не выключать генератор и не вынимать карту флэш-памяти. По завершении обновления надо выключить генератор и снова его включить: начнется его запуск с новым Firmware.

Поскольку в пользовании находятся генераторы с разным Firmware, отметим особенности его версий.

Версия 1.1.0

Начиная с этой версии была обеспечена поддержка в интерфейсе и справке русского языка. Исправлены ошибки в сообщениях справки на ряде языков. Устранены погрешности при установке модуляции и внешнего запуска, а также при выполнении команд кнопкой Save/Recall. Обеспечена операция замены фирменного программного обеспечения только при наличии его файла на карте флэш-памяти.

Версия 1.1.3

Устранены ошибки, связанные с разрядностью задания сигналов произвольной формы, которые наблюдались в моделях генераторов AFG3101, AFG3102, AFG3251 и AFG3252.

Устранены погрешности при внешнем запуске генераторов в режиме генерации импульсов и моностабильном режиме.

Версия 1.2.0

Одно из самых серьезных улучшений генераторов. Минимальная частота генерации (за исключением импульсного сигнала) понижена в 1000 раз и доведена до 1 мкГц (была 1 мГц). Разрешение установки по частоте также доведено до 1 мкГц. Разрешающая способность при установке длительности импульса увеличена с 4 до 5 цифр. Увеличен диапазон значений установки асимметрии импульсов — от 0,001 до 99,999% (было от 0,1 до 99,9%). Это заметно расширяет возможности в генерации импульсов. Устранена ошибка при задании логарифмического закона качания частоты. Обеспечена защита установок генератора с помощью пароля. Всего устранено около 20 ошибок и погрешностей в работе генераторов.

Версия 1.2.1

Усовершенствована функция калибровки генератора — Self Calibration. Она стала работать более корректно.

Версия 2.0.0

Обеспечена поддержка моделей генераторов AFG3021B и AFG3022B — средних в группе с полным набором интерфейсов. За счет экстраполяции более реалистичным стало представление формы произвольных сигналов на экране дисплея прибора. Устранены погрешности отображения сигналов с ши-ротно-импульсной модуляцией (PWM).

Версия 2.1.0

Минимальный интервал между запусками был снижен до 1 мкс (был 1 мс). Улучшено отображение формы модулированного сигнала. Устранена замеченная ошибка — неспособность читать некоторые USB блоки памяти. Улучшена работа ручного запуска, в частности устранена иногда возникающая блокировка прибора при нажатии кнопки ручного запуска. Всего устранено 10 ошибок и неточностей.

Версия 3.0.0

Начиная с этой версии поддерживается новая модель AFG3011 с повышенным до 20 В (на нагрузке 50 Ом) размахом выходного напряжения. Обеспечено сохранение копии экрана (команда CopyScreen) при одновременном нажатии кнопок со стрелками под поворотной ручкой. Это очень полезная команда для документирования операций работы с генераторами. В частности, она неоднократно применялась при подготовке этой статьи. Копия экрана сохраняется во флэш-карте памяти в виде файла с расширением .bmp. Двухканальные модели теперь можно сконфигурировать так, что канал Ch3 будет инвертированной копией канала Ch2. Это упрощает создание дифференциальных сигналов. Исправлена неточная форма сигнала в режиме качания частоты Sweep. Исправлено множество мелких неточностей и ошибок: достаточно отметить, что их перечень содержит 33 наименования. Многие относятся к дистанционному управлению генератором.

Версия 3.0.1

Для генераторов AFG3022B устранено расхождение сигналов между каналами. У двухканальных генераторов устранены небольшие неточности в установке начальной фазы и небольшие (около 0,2%) нестабильности амплитуды для синусоидального и треугольного сигналов при их низких частотах.

Версия 3.1.0

Расширены пределы установки фазового сдвига. Теперь они составляют от -360° до +360° (были от -180° до +180°). Устранена неточность установки сдвига (offset) для синусоидальной функции.

Версия 3.1.1

Это последняя на момент подготовки данной статьи версия Firmware. В ней устранена неточность в задании сдвига (offset) синусоидальной функции в генераторах AFG3011.

Некоторые особенности генераторов AFG3000

Управление генератором, в основном, кнопочное. Верхний ряд кнопок задает режим работы (непрерывный, модуляция и др.), а левый ряд — функцию (синус, прямоугольная и др.). Есть удобная поворотная ручка универсального манипулятора с кнопками направления (в правом верхнем углу передней панели). Эти кнопки используются для перемещения по разряду числа того или иного параметра, например, частоты, после чего поворотная ручка позволяет быстро менять число с выбранным разрядом. Пример: частота 20.00000000000 MHz (частота 20 МГц) меняется изменением сотых долей МГц (сотая часть числа подчеркивается снизу). Это очень удобно при имитации плавного изменения того или иного параметра.

Работа с прибором сводится к установке режима работы (по умолчанию это непрерывный режим) и вида генерируемого сигнала (по умолчанию синусоидальный). После этого с помощью кнопок контекстного меню или кнопок установки параметров задаются и контролируются на дисплее (рис. 5) параметры генерируемого сигнала.

Рис. 5. Дисплей генератора серии AFG3101 сразу после включения

Основные выходы сигнала (или выход в одноканальной модели) генератора изолированы от «земли» приборов, так что генератор можно использовать как «подвешенный» источник сигналов (или как два источника в двухканальных генераторах). Однако максимальное напряжение (постоянное плюс импульсное) относительно его внутренней «земли» не должно превышать ±42 В.

Генерация синусоидальных сигналов

Для оценки качества синусоидального сигнала воспользуемся 1-ГГц осциллографом DP04101, имеющим режим анализатора спектра. На рис. 6 показаны осциллограммы выходного синусоидального сигнала генератора и прямоугольных импульсов с его выхода синхронизации. Под ними красной линией показан спектр сигнала. Качество синусоидального сигнала выглядит превосходным: даже малейших намеков на искажение формы не видно. Это подтверждает и спектр сигнала: он представлен лишь одним большим пиком на частоте сигнала. Высшие гармоники в спектре не видны, и это говорит о чистоте синусоидального сигнала. Впрочем, переведя спектральный анализ с линейного в логарифмический масштаб, можно наблюдать и оценить очень небольшие по уровню высшие гармоники.

Рис. 6. Осциллограммы выходного синусоидального сигнала генератора AFG3101, его спектра и сигнала с выхода синхронизации

Генерация прямоугольных сигналов

Максимальная частота прямоугольных сигналов составляет половину от максимальной частоты синусоидальных сигналов. По умолчанию генерируются прямоугольные симметричные импульсы — меандр. Их осциллограмма и спектр показаны на рис. 7. Спектр меандра полностью соответствует теоретическому: он состоит из первой и нечетных гармоник, амплитуды которых пропорциональны 1/n, где n — номер гармоники.

Рис. 7. Осциллограммы меандра, его спектра и сигнала с выхода синхронизации

Генерация импульсных сигналов

Вид экрана генератора при генерации импульсных сигналов показан на рис. 8. Можно устанавливать задержку Delay, длительность Width, длительность переднего фронта Leading, длительность заднего фронта Trailing и коэффициент заполнения Duty (это обратная величина скважности), как и частоту, сдвиг сигнала по уровню, амплитуду или верхний и нижний уровни. Амплитудные параметры можно задавать в В, мВ и дБм (децибелл мощности). Возможны установки времен задержки, нарастания, спада и длительности импульсов. Таким образом, в этом режиме устройство становится полноценным генератором импульсов.

Рис. 8. Вид экрана генератора при генерации импульсных сигналов

По умолчанию установлен импульсный сигнал в виде меандра. На рис. 9 показана осциллограмма прямоугольного импульса со скважностью 10%. Спектр этого сигнала также соответствует теоретическому: в нем появляются четные гармоники, при этом на частотах 1/t_a, где t_a — длительность импульса, гармоники имеют нулевую амплитуду.

Рис. 9. Осциллограммы прямоугольного импульса с коэффициентом заполнения 10%, его спектра и сигнала с выхода синхронизации

Генерация пилообразных сигналов

Пилообразные сигналы могут быть симметричными и несимметричными. По умолчанию генерируются симметричные сигналы — треугольные. Их осциллограмма и спектр представлены на рис. 10. Их спектр имеет только нечетные гармоники, амплитуда которых быстро падает с ростом их номера. Практически различимы первые пять нечетных гармоник. Форма импульсов на частоте 1 МГц (это максимальная частота) безупречна.

Рис. 10. Осциллограммы симметричных пилообразных импульсов, их спектра и сигнала с выхода синхронизации

Возможна установка коэффициента симметрии от 0 до 100%, а также фиксированных значений 0 и 50% (симметричный сигнал с равными нарастанием и спадом). Осциллограмма несимметричных пилообразных импульсов с коэффициентом асимметрии 100% и их спектр показаны на рис. 11. В данном случае формируется линейно-нарастающее пилообразное напряжение. Оно имеет довольно широкий спектр, содержащий как нечеткие, так и четкие гармоники. При коэффициенте асимметрии 0% формируется линейно-падающее напряжение.

Рис. 11. Осциллограммы несимметричных пилообразных импульсов, их спектра и сигнала с выхода синхронизации

Генерация дополнительных встроенных сигналов

Нажав в меню кнопку «еще», можно вызвать меню дополнительных сигналов (2 комплекта сигналов). На рис. 12 показан экран генератора с первым набором дополнительных сигналов и выбором сигнала в виде функции Гаусса. Во втором наборе представлены функция Лоренца, нарастающая и убывающая экспоненты и гаверсинус.

Рис. 12. Экран генератора с первым набором дополнительных функций

На рис. 13 показана осциллограмма функции Гаусса и ее спектр. Последний интересен плавным спадом амплитуд гармоник. В отличие от прямоугольных импульсов (рис. 8) повторяющихся серий высших гармоник тут нет. Похожий спектр имеет функция Лоренца, а спектр гаверсинуса практически аналогичен спектру синусоидального сигнала.

Рис. 13. Осциллограммы сигнала в виде функции Гаусса, его спектра и сигнала с выхода синхронизации

Очень интересен сигнал на основе функции sin(x)/x (рис. 14). Этот сигнал, будучи периодическим, имеет ряд гармоник с одинаковой амплитудой. На практике создать такой сигнал довольно сложно, поскольку он имеет колебательно изменяющийся как спад, так и нарастание. И в том и другом случае амплитуда колебаний медленно спадает.

Рис. 14. Осциллограммы сигнала в виде функции sin(x)/x, его спектра и сигнала с выхода синхронизации

Получение модулированных сигналов

В режиме модуляции возможны четыре вида модуляции: амплитудная AM, частотная FM, фазовая FM и частотная манипуляция FSK. Они возможны для всех видов сигналов, за исключением шума и постоянного тока. На рис. 15 представлена осциллограмма амплитудно-модулированного синусоидального сигнала с 90%-ной модуляцией и ее спектр. При амплитудной модуляции она возможна с коэффициентом модуляции от 0 до 120%.

Рис. 15. Осциллограммы амплитудно-модулированного сигнала, его спектра и сигнала на выходе синхронизации

На рис. 15 отчетливо видно изменение амплитуды по синусоидальному закону. Сигнал на TTL-выходе на рис. 16 в этом случае имеет форму прямоугольных импульсов с частотой, равной частоте модуляции. Его нужно использовать для внешней синхронизации осциллографа, поскольку синхронизация осциллографа от ВЧ модулированного сигнала неустойчива.

Рис. 16. Пример считывания сигнала произвольной формы из USB-памяти

Модуляция может осуществляться разными видами сигналов: синусоидальным, прямоугольным, импульсным, шумом и произвольным. Частота внутренней модуляции может быть от 2 мГц до 50 кГц. При частотной модуляции пиковое отклонение частоты составляет половину максимально возможной частоты синусоидального сигнала. Возможна и широтно-импульсная модуляция.

Генерация сигналов произвольной формы

Генерация сигналов произвольной формы — визитная карточка генераторов серии AFG3000. Практически она снимает все ограничения на пути создания сигнала с любой нужной пользователю формой. Произвольный сигнал задается как последовательность отсчетов, заданных с частотой дискретизации генератора: у генераторов AFG3251 и AFG3152 она достигает 2 ГГц. Число точек произвольного сигнала указано в таблице 1.

Сигналы произвольной формы можно хранить в четырех разделах встроенной памяти (User 1-4), в разделе редактирования (Edit Memory) или в виде файлов на внешней флэш-памяти USB. На рис. 16 показан пример считывания из USB-памяти сигнала данных от последовательной шины I²C. На экране виден список файлов в выбранной папке, а в верхней части окна дисплея — вид сигнала.

Нажав кнопку OK у позиции экранного меню, можно загрузить сигнал в редактируемую память и получить окно дисплея с видом данного сигнала и допустимыми установками его параметров. Оно показано на рис. 17.

Рис. 17. Окно дисплея генератора для выбранного сигнала произвольной формы

На рис. 18 показана осциллограмма данного сигнала и его спектр, полученные цифровым осциллографом DPO 4101. Нетрудно заметить, что сигнал имеет очень сложный спектр, который мало помогает в оценке особенностей сигнала. Это говорит о целесообразности применения новых методов спектрального анализа, например короткого оконного преобразования Фурье или вейв-лет-анализа.

Рис. 18. Осциллограмма и спектр сигнала данных I²C последовательного интерфейса, заданного в виде произвольного сигнала

Объем данной статьи не позволяет детально описать средства задания произвольных сигналов: это тема отдельной статьи. Отметим лишь, что генератор позволяет задавать и редактировать такие сигналы по точкам, вводить исходные и редактируемые затем сигналы, использовать средства интерполяции и экстраполяции, а также применять более удобные программные средства редактирования произвольных сигналов, например программу ArbExpress или систему компьютерной математики MATLAB.

Особенности применения двухканальных генераторов

Для полноценной оценки формы импульсных сигналов двухканальных генераторов AFG3000 были использованы широкополосные осциллографы фирмы Tektronix серии TDS7000. Особенностью двухканальных моделей генераторов, например, AFG3252, является независимая генерация двух любых сигналов — по одному в каждом канале. На рис. 19 показаны осциллограммы двух синусоидальных сигналов с разной частотой.

Рис. 19. Осциллограммы синусоидальных сигналов с разной частотой

Наличие двух каналов позволяет строить фигуры Лиссажу (рис. 20). Они строятся при подаче одного сигнала на вход Y осциллографа, а другого — на вход X (осциллограф при этом переводится в режим работы XY). С помощью фигур Лиссажу можно с высокой точностью сравнивать частоты двух сигналов с малым отличием частот или с кратными частотами.

Рис. 20. Фигуры Лиссажу на экране осциллографа TDS7000

Генерация пачек сигналов

Генераторы AFG3000 позволяют получать пачки любых сигналов (режим «Пачка» или «Вспышка»). На рис. 21 показано окно дисплея в этом режиме для случая генерации пачки из N = 3 периодов синусоидального сигнала.

Рис. 21. Окно дисплея генератора AFG3101 в режиме генерации пачки из N = 3 периодов (циклов) синусоидального сигнала

Двухканальные генераторы позволяют получать пару пачек с независимой установкой формы сигналов и их параметров. На рис. 22 показано получение на выходах генератора AFG3252 пачек импульсов разной формы и длительности. Это полезно при испытании двухканальных устройств. Следует также отметить, что у генераторов AFG3252 предусмотрены возможности синхронизации нескольких устройств и их запуска для получения многоканальных импульсных последовательностей.

Рис. 22. Пример получения двух пачек импульсов разной формы и длительности

Установив одинаковую частоту обоих сигналов, можно получить дифференциальные сигналы. В этом случае второй сигнал является инверсным по отношению к первому сигналу.

Управление фазой сигнала в пачке

Интересные возможности дает управление фазой сигнала в пачке. Фаза определяет уровень сигнала между импульсами (или одним импульсом при N = 1) в пачке. Это, наряду с изменением смещения Offset, открывает возможности получения некоторых новых форм импульсов. На рис. 23 показано создание импульсов из пачки с одним периодом синусоиды. Фаза установлена на значение -120°, смещение на 500 мВ, амплитуда 1 Вп-п, период 400 мкс и интервал 1 мс. Получается образованный из периода синусоиды импульс.

Рис 23. Окно дисплея с установками параметра пачки из одного периода синусоиды с фазовым сдвигом -120°

С помощью рис. 24 можно представить, как выглядит такой сигнал на экране осциллографа. Показан также спектр сигнала. Чтобы устранить отрицательный выброс перед импульсом такого сигнала, достаточно установить фазовый сдвиг -90°.

Рис. 24. Осциллограмма импульса, показанного на рис. 23, и его спектр

Сохранение сигналов и настроек генератора

Для хранения созданных пользователем сигналов есть два вида памяти — встроен ная и внешняя. Встроенная память позволяет хранить 5 файлов. Число файлов, хранимых в карте флэш-памяти, ограничено лишь ее объемом.

Измерение емкости с помощью генератора AFG3000

Генератор AFG3000 можно использовать как измеритель малых емкостей на основе метода измерения тока заряда или разряда конденсатора при подключении его к источнику импульсов прямоугольной формы (рис. 25). Генератор серии AFG3000 используется как генератор симметричных прямоугольных импульсов (меандра) с заданной частотой f Измеряемая емкость заряжается через диод Д1 и миллиамперметр, а разряжается через диод Д2.

Рис. 25. Схема для измерения емкости методом заряда-разряда

Средний ток заряда (и разряда) емкости в данном случае равен:

где Δ U — перепад входного напряжения при заряде и разряде С. При С = 1000 пФ, Δυ = 10 В и f = 100 кГц получим I = 1 мА. Таким образом, применяя цифровой или аналоговый миллиамперметр, получим при разрешении по току 1 мкА при разрешении по емкости в 1 пФ.пФ10 МГц400,011 МГц4000,1100кГц4000110 кГц40 000101 кГц400 000100

Поскольку частота f задается в генераторах с высочайшей точностью (нестабильность менее 10^-6 в течение года работы), то основными причинами погрешности при измерениях является неточность установки перепада напряжения Δυ и погрешность самого измерителя тока (менее 0,5% у цифрового мультиметра). Погрешность установки уровней меандра у генераторов AFG3101 составляет ±1%, то есть тоже достаточно мала. Это позволяет считать основной погрешность от неидеальности диодов. Без калибровки измерительной схемы погрешность может достигать 2-3% при использовании маломощных германиевых диодов с малым остаточным напряжением (до 0,2-0,3 В).

Применение AFG3000 в роли Q-метра

Высокая стабильность амплитуды синусоидального сигнала и широкий диапазон его перестройки по частоте позволяют использовать генератор AFG3000 и в роли некогда популярного прибора — Q-метра (измерителя добротности). На рис. 26 приведена измерительная схема для исследования и настройки резонансных LCR-контуров. Основой схемы является резонансный последовательный контур, подключенный к генератору синусоидальных колебаний AFG3000 через согласующий делитель напряжения с входным сопротивлением 50 Ом и выходным 0,5 Ом. Коэффициент передачи делителя равен 1:100, так что при подаче U_z = 10 Вп-п (межпикового напряжения) на контур подается напряжение и_вх = 0,1 Вп-п. Малое выходное сопротивление делителя, которое намного меньше последовательного сопротивления r большинства контуров, позволяет оценивать реальную добротность Q радиочастотных и (тем более) низкочастотных контуров.

Рис. 26. Измерительная схема для измерения параметров LCR-контуров

Как известно, без учета R_H полное сопротивление последовательного контура:

имеет комплексныйхарактер. На резонансной частоте мнимая часть Z равна 0, что определяет резонансную частоту контура:

Другим важным параметром является добротность контура — отношение индуктивного или емкостного сопротивления на резонансной частоте к сопротивлению потерь r. Известен ряд формул для добротности, например:

где 2Δf— полоса пропускания, измеренная на уровне спада резонансной кривой до уровня 0,707 от максимума.

Схему, представленную на рис. 25, с подходящим ВЧ-вольтметром или осциллографом можно использовать для ручного снятия АЧХ. Найдя максимум выходного напряжения при резонансе контура, нетрудно с помощью (8) найти добротность контура как отношение выходного напряжения к входному.

Применение AFG3000 в ГкЧ

Для автоматического снятия АЧХ различных устройств и их испытания при изменении частоты сигналов служит режим «Качание» (кнопка Sweep). Зависимость частоты от времени представлена на рис. 27. Все указанные на этом рисунке временные и частотные параметры можно задавать в экранном меню.

Рис. 27. Зависимость частоты от времени в режиме качания (свип-генератора)

Теперь АЧХ контура можно получить, подключив осциллограф выходу цепи (рис. 26) через высокочастотный диод. Настройте осциллограф или генератор на равенство «длительность развертки осциллографа = длительность развертки генератора». Тогда на экране будет получена АЧХ контура. Такая АЧХ представлена на рис. 28. Она получена с применением осциллографа Tektronix TDS2024B.

Рис. 28. АЧХ контура и пример использования курсорных измерений

Тестирование интегральных компараторов и операционных усилителей

Есть множество типовых применений генераторов AFG3000 в роли генераторов синусоидальных или импульсных сигналов.

Например, это тестирование интегральных операционных усилителей и компараторов (рис. 29), логических и цифровых микросхем и других устройств. По искажению формы выходного импульса тестируемого устройства можно судить о качестве прибора.

Рис. 29. Схема испытания компаратора или операционного усилителя

Тестирование радиопередающих и радиоприемных устройств

Высокая стабильность частоты генераторов позволяет использовать их для проверки аналоговых и цифровых частотомеров или в роли задающих генераторов радиопередающих устройств и гетеродинов радиоприемных устройств в ходе их тестирования и исследования. Уровень и частоты генераторов AFG3000 вполне достаточны для проверки радиотрактов таких устройств вплоть до СВЧ-диапазона.

В то же время надо заметить, что генераторы не предназначены для проверки высокочувствительных радиоприемных устройств. Минимальный уровень напряжения у генераторов составляет от 10 до 50 мВ (табл. 1), тогда как для проверки радиоприемных устройств нужны достаточно точные сигналы с уровнем в доли — единицы мкВ. Уровень экранировки у генераторов AFG3000 не оговорен, поэтому к генераторам стандартных сигналов для проверки радиоприемных устройств их относить нельзя.

Тестирование индикаторной панели

На рис. 30 показано применение двухка-нального генератора AFG3252 для тестирования индикаторной панели с последовательной шиной данных. Канал Ch2 создает тактовые импульсы — меандр «Время», а канал Ch3 — импульсы данных. Зажигание того или иного элемента индикаторной панели происходит, если появляется импульс в определенное время. Практически последовательность данных должна задаваться в виде импульсов произвольной формы, отвечающих протоколу работы индикаторной панели.

Рис. 30. Пример тестирования индикаторной панели

Создание сигналов с кодоимпульсной модуляцией

Благодаря точной установке фазового сдвига между двумя синусоидальными сигналами двухканальные генераторы AFG3000 позволяют формировать I/Q сигналы, представляющие их на комплексной плоскости, с точным фазовым сдвигом в 90°. На рис. 31 показана функциональная схема создания ко-доимпульсного сигнала на основе I/Q модулятора [4]. Она позволяет исследовать такие сигналы, например, с помощью анализатора спектра с частотой модуляции до 50 МГц.

Рис. 31. Функциональная схема создания кодоимпульсного сигнала

Другие применения

Генераторы AFG3000 можно использовать в качестве генераторов опорного высокостабильного сигнала с частотой 10 МГц (выход есть на задней панели). Можно, напротив, обеспечить работу генератора от внешнего сигнала с частотой 10 МГц (область захвата при этом равна ±35 кГц). Несколько генераторов могут работать синхронно. Как уже было отмечено, есть возможность суммирования выходных сигналов с внешним сигналом. Для защиты основного выхода от коротких замыканий и перегрузок по напряжению имеется встроенная защита и внутренний плавкий предохранитель. Выпускается переходник и с внешним предохранителем.

Литература

1. Дьяконов В. П. Генерация и генераторы сигналов. М.: СОЛОН-Пресс, 2009.
2. Дьяконов В. П. Многофункциональные генераторы Tektronix AFG3000 // Контрольно-измерительные приборы и системы. 2006. № 6 (часть 1). 2007. № 1 (часть 2).
3. ZXYs of Signal Generators. Tektronix Innovation. 2007. www.tektronix.com
4. Characterization of IQ Modulators Counts On Flexible Signal Generator Stimulus. 2007. www.tektronix.com

Основные характеристики гармонических сигналов

Основные характеристики гармонических сигналов

ЦЕПИ С ИСТОЧНИКАМИ ГАРМОНИЧЕСКИХ ВОЗДЕЙСТВИЙ

Основные характеристики гармонических сигналов

Переменным током i(t) и напряжением u(t) называют токи и напряжения, изменяющиеся во времени.

Сигналы, мгновенные значения которых повторяются через определенный фиксированный промежуток времени, называются периодическими, а этот промежуток времени – периодом. Такие сигналы описываются следующим образом:

(3.1)

где Т – период, с.

Величина, обратная периоду, называется частотой :

. (3.2)

Также существует понятие угловой (циклической) частоты:

. (3.3)

В электроэнергетике нашли широкое применение синусоидальные сигналы, как наиболее экономичные. Для передачи информации в технике связи и радиотехнике используют различные модуляции синусоидальных сигналов: амплитудную, частотную, фазовую. В общем случае любой несинусоидальный сигнал может быть представлен в виде суммы синусоидальных сигналов различной частоты с помощью разложения в ряд Фурье. И, таким образом, расчет подобных цепей может быть сведен к расчету цепей синусоидального тока и напряжения.

, (3.4)

где – мгновенное значение;

– амплитуда переменного сигнала – максимальная по модулю его величина;

– фаза гармонического сигнала – аргумент при синусе в каждый момент времени;

– начальная фаза – значение аргумента в начальный момент времени (t = 0). Фаза измеряется в радианах или градусах.

В дальнейшем под переменным сигналом будем понимать гармонический (синусоидальный) сигнал (рис. 3.1).

О значениях периодических токов и напряжений обычно судят по их среднеквадратических значениях за период, которые называют действующим значением тока и напряжения и обозначают I, U:

(3.5)

 

За период Т на резисторе с сопротивлением R при синусоидальном изменении тока выделится тепловая энергия:

(3.6)

Таким образом, действующий ток численно равен такому постоянному току, который за время t = T выделяет в том же сопротивлении такое же количество тепла, что и переменный.

В действующих величинах градуируются (тарируются) амперметры и вольтметры электродинамической и электромагнитной системы. Приборы магнитоэлектрической системы показывают постоянную составляющую тока или напряжения, или среднее значение за период:

. (3.7)

Установим связь между действующим и амплитудным значением гармонического сигнала на примере тока. Если ток изменяется по закону , то

 

. (3.8)

Произведя аналогичные действия для сигнала напряжения, получим

. (3.9)

Введем понятие мощности переменного тока. Мгновенная мощность вычисляется как произведение мгновенных значений напряжения и тока Тогда

(3.10)

где j – сдвиг фазы тока по отношению к напряжению, ;

– постоянная составляющая мгновенной мощности;

– гармоническая составляющая, которая изменяется с двойной угловой частотой.

Средняя мощность за период называется активной мощностью:

. (3.11)

3.2. Элементы цепей гармонического тока

 

Электрическая цепь синусоидального тока кроме электротехнических устройств, назначение которых совпадает с назначением функционально аналогичных устройств цепи постоянного тока (источники энергии, измерительные приборы, коммутационные аппараты и др.), содержит также устройства, присущие только цепям синусоидального тока: конденсаторы и катушки индуктивности.

Для расчета режима работы электротехнических устройств необходимо перейти от принципиальной схемы цепи к ее схеме замещения (математической модели).

Элементами схем замещения цепей синусоидального тока являются источники синусоидальных тока и ЭДС (j(t), e(t)), резистивные (R), индуктивные (L) и емкостные (C) элементы.

Рассмотрим картину распределения тока и напряжения на реальных элементах.

---

Дата добавления: 2015-07-24; просмотров: 370 | Нарушение авторских прав

---

Читайте в этой же книге: Гармонический ток в емкости | Символический метод расчета цепей с гармоническими воздействиями | Понятие о комплексных числах | Законы Ома и Кирхгофа | Эквивалентное преобразование пассивных цепей | Уравнения мощности в символической форме | Баланс мощности | Метод наложения |

---

mybiblioteka.su — 2015-2021 год. (0.019 сек.)

25 простых аналоговых и цифровых функций по 25 центов каждая. Функции ШИМ

28 февраля 2019

Предлагаемый цикл состоит из 25 кратких заметок о том, как на основе микроконтроллеров MSP430FR2xxx производства Texas Instruments реализовать 25 наиболее популярных узлов, присутствующих на многих системных платах. В каждой заметке рассказано об основных особенностях той или иной функции, а также приведены ссылки на информационные ресурсы, содержащие примеры кода и базовые версии проектов, что позволяет начать работу практически за считанные минуты.

Контроллер трехцветного светодиода

(UART Software Controlled RGB LED Color Mixing With MSP430™ MCUs)

Трехцветные светодиоды (RGB LED), содержащие в одном корпусе кристаллы с излучением красного, зеленого и синего цветов, используются для индикации и подсветки во многих приложениях, например, для создания пользовательских интерфейсов или устройств освещения, ведь путем смешения основных цветов можно получить результирующее излучение практически любого цвета и интенсивности. На практике это осуществляется путем индивидуальной регулировки токов каждого светодиода, а это, в свою очередь, наиболее просто реализовать путем подачи на каждый светодиод импульсного напряжения с постоянной частотой и регулируемой длительностью импульсов (широтно-импульсной модуляции, ШИМ). При этом, чтобы исключить появление видимых человеческим глазом мерцаний, частота напряжения, подаваемого на светодиоды, должна быть не менее 60 Гц. В базовом варианте проекта, исходные файлы которого можно загрузить с официального сайта Texas Instruments, представлен пример контроллера трехцветного светодиода, позволяющего через интерфейс UART установить 12 вариантов его излучения. Особенностью предлагаемого программного обеспечения является минимум требуемых аппаратных ресурсов – всего лишь один таймер (Timer B0) с тремя регистрами сравнения/захвата (Capture Compare Registers, CCR). Кроме этого, размер прошивки не превышает 512 байт, что позволяет реализовать его на микроконтроллере MSP430FR2000 с наименьшим среди семейства MSP430™ объемом памяти программ.

Реализация

В базовом варианте проекта внешний трехцветный светодиод подключается к микроконтроллеру MSP430™ с помощью трех P-канальных MOSFET, а токи светодиодов основных цветов ограничиваются с помощью трех внешних резисторов (рисунок 11). Такая схема включения позволяет микроконтроллеру управлять светодиодами повышенной яркости, токи которых превосходят максимально допустимые значения для портов ввода-вывода микроконтроллеров данного семейства. Аппаратная часть проекта содержит два модуля: оценочную плату MSP-TS430PW20 на основе микроконтроллера MSP430FR2000, и содержащий трехцветный светодиод модуль расширения LED BoosterPack™, принципиальную схему которого вместе с остальной технической документацией можно получить, скачав исходные файлы опорного проекта TIDM-G2XXSWRGBLED. Платы соединяются между собой проводами так, как показано на рисунке 11. Для связи с компьютером через интерфейс UART может использоваться обратный канал программатора-отладчика MSP-FET или эмулятор eZ-FET из набора для разработки MSP430™ LaunchPad™. Ввод команд для установки цвета светодиода осуществляется с помощью терминальной программы, работающей на персональном компьютере.

Рис. 11. Схема контроллера трехцветного светодиода

Принцип формирования нужного излучения с помощью ШИМ подробно рассмотрен в разделах «Принцип смешения цветов» и «Управление светодиодами» «Руководства по созданию программного обеспечения для управления светодиодами» (Software RGB LED Control Design Guide). Однако в данном проекте из-за специфики используемых микроконтроллеров использован несколько иной способ формирования ШИМ-сигналов. В первоначальном варианте таймер работает в режиме инкрементирующего счета (Up Mode), а информация о длительностях импульсов хранится в регистрах TB0CCR0 (синий), TB0CCR1 (красный) и TB0CCR2 (зеленый) модуля Timer B0, хотя обычно при формировании ШИМ-сигналов регистр TB0CCR0 используется для установки длительности периода импульсов. Отказ от «классического» метода формирования ШИМ связан с тем, в некоторых моделях микроконтроллеров MSP430™, в том числе и MSP430FR2000, таймер имеет только три регистра CCR, а это значит, что используя «классический» метод, с его помощью можно сформировать всего два ШИМ-сигнала, что явно недостаточно для управления трехцветным светодиодом. Более подробно о принципах формирования нескольких ШИМ-сигналов с помощью единственного таймера и механизма прерываний можно ознакомиться, прочитав «Руководство по формированию сигналов с фиксированными временными параметрами с использованием единственного таймера микроконтроллеров MSP430» (Multiple Time Bases on a Single MSP430 Timer Module).

Для исключения видимых мерцаний частота импульсов, подаваемых на светодиоды, должна быть приблизительно равна 60 Гц. При такой незначительной частоте ШИМ-сигналов частоту тактового генератора можно оставить равной частоте, устанавливаемой по умолчанию (1,048 МГц), поскольку она намного выше минимально необходимого значения, определенного в руководстве “Multiple Time Bases on a Single MSP430 Timer Module”. ШИМ-сигналы управления светодиодами формируются путем деления вспомогательной тактовой частоты (Auxiliary Clock, ACLK) 32768 Гц, получаемой от низкочастотного опорного генератора (Low-Frequency Reference Oscillator, REFO), на 4. Таким образом, опорная частота импульсов, подаваемая на таймер Timer B0, равна 8192 Гц. Это сделано для того, чтобы максимальное значение регистров TB0CCRx не превышало 255 (0хFF) и для хранения значений было достаточно одного байта, что дополнительно экономит ресурсы микроконтроллеров с ограниченными объемами ОЗУ и памяти программ. В данном проекте для частоты 60 Гц максимальное значение регистров TB0CCRx не превышает 135. Следует также отметить, что сигналы управления светодиодами являются инверсными, и светодиоды включаются при малом значении выходного сигнала микроконтроллера, поэтому значения массива colorsLow[] фактически содержат информацию о длительности включенного состояния светодиода, а массива colorsHigh[] – о выключенном.

Результаты тестирования

Для запуска проекта необходимо соединить платы согласно принципиальной схеме, прошить микроконтроллер и подключить к нему программатор-отладчик. Отладочная палата MSP-TS430PW20 по умолчанию конфигурируется для использования UART, однако все равно необходимо проверить, что перемычки JP14 и JP15 установлены, а JP13 удалена. Во время инициализации микроконтроллера светодиод будет светиться белым, поскольку P-канальные MOSFET открываются при низком уровне управляющего сигнала, после чего его цвет свечения изменится на красный. Для установки цвета светодиода необходимо запустить на персональном компьютере программу для терминальных соединений, подключив ее к порту UART, созданному обратным каналом программатора-отладчика MSP-FET или эмулятором eZ-FET. По умолчанию модуль UART в микроконтроллере настроен на скорость обмена 9600 бод с одним стоповым битом и без использования бита четности. Для установки одного из 12 допустимых цветов через интерфейс UART необходимо передать один байт в диапазоне 0х00…0х0B. Если передать число, находящееся за пределами данного диапазона, то цвет свечения светодиода изменится на красный (рисунок 12).

Рис. 12. Цвет свечения светодиода при передаче неправильного значения через интерфейс UART

Базовая версия проекта поддерживает всего 12 фиксированных цветов светодиода, однако если использовать более мощный микроконтроллер из линейки MSP430™, то увеличение количества предустановленных цветов не вызовет никаких технических проблем. Кроме этого, базовая версия проекта ориентирована на использование платы BoosterPack, трехцветный светодиод которой имеет меньшую интенсивность излучения красного светодиода по сравнению с зеленым и синим. Это различие учтено в значениях массива colorsLow[] и colorsHigh[], оптимально подобранных для получения заданных цветов. При необходимости для более точного определения цвета излучения следует использовать рассеиватель, уменьшающий влияние пространственного разнесения оптических центров излучения светодиодов внутри корпуса прибора. Данный проект является хорошим примером управления светодиодной подсветкой с минимальным количеством внешних компонентов и жесткими требованиями к размеру программного кода, в том числе и для микроконтроллеров с максимальным объемом памяти программ, не превышающей 0,5 кбайт.

Контроллер сервопривода

(Servo Motor Controller Using MSP430™ MCUs)

Сервоприводы нашли широкое применение в большом количестве приложений, требующих точного позиционирования в пространстве каких-либо элементов, например, в устройствах автоматики, промышленной технике, роботах и многих других приложениях. Основная задача сервопривода – поддержание углового или линейного положения подвижного элемента (ротора), хотя существуют и модели, предназначенные для стабилизации его скорости вращения. Сервопривод является законченным устройством, в корпусе которого интегрированы двигатель, драйвер двигателя, датчик положения/скорости и вся необходимая дополнительная электроника. А вот управление сервоприводами осуществляется с помощью ШИМ-сигнала определенной частоты, длительность импульса которого и определяет положение подвижной части. Чаще всего для управления сервоприводами используют  ШИМ-сигналы с периодом 20 мс (частотой 50 Гц) и длительностью импульсов, находящейся в диапазоне от 1 мс (5%) до 2 мс (10%), которым соответствует угол установки ротора 0° и 180° (рисунок 13). Однако параметры ШИМ-сигнала управления и углы установки ротора зависят от модели, поэтому перед использованием конкретной модели сервопривода следует внимательно изучить его техническую документацию.

Рис. 13. Параметры ШИМ-сигнала управления сервоприводом

Базовый вариант проекта, исходные коды которого можно скачать с официального сайта Texas Instruments, позволяет управлять сервоприводом по интерфейсу UART. Этот проект является хорошим примером экономичного решения данной задачи, поскольку он реализован на микроконтроллере MSP430FR2000 с объемом памяти программ всего лишь 512 байт.

Реализация

Максимальное напряжение питания для микроконтроллеров MSP430™, а следовательно, и напряжение на выходах портов GPIO не превышает 3,6 В, в то время как амплитуда импульсов сигнала управления для большинства сервоприводов должна быть 5 В. Для согласования уровней в схеме использован N-канальный MOSFET CSD18537NKCS, включенный по схеме с общим истоком (рисунок 14), однако эту же задачу можно решить и с помощью стандартных преобразователей уровней сигналов, например, из семейства SN74LV1Txx.

Рис. 14. Схема подключения сервопривода

ШИМ-сигналы для управления сервоприводами чаше всего генерируются с помощью таймеров, в данном случае – с помощью таймера Timer_B0. По умолчанию тактовой частотой для модуля таймера, настроенного на режим инкрементирующего счета (Up Mode), является вспомогательная тактовая частота (Auxiliary Clock, ACLK) равная приблизительно 32 кГц, которая генерируется внутренним опорным генератором (Low-Frequency Reference Oscillator, REFO). В проекте используются два регистра таймера: TB0CCR0, определяющий длительность периода (20 мс), и TB0CCR1, содержащий информацию о длительности импульса ШИМ-сигнала. Выходной сигнал формируется на выводе P2.0, подключенном к выходу регистра совпадения/захвата CCR1 микроконтроллера MCP430FR2000. Для корректного управления сервоприводом длительность импульса ШИМ-сигнала управления должна находиться в диапазоне 1…2 мс.

С помощью компьютерной терминальной программы можно установить положение ротора сервопривода в одно из 16 предустановленных значений. Для связи с компьютером используется модуль асинхронного приемопередатчика микроконтроллера eUSCI_A0, конфигурируемый для работы в режиме UART. Информация с компьютера поступает в последовательном коде через вывод P1.6 и сохраняется в регистре UCA0RXD. В базовом варианте проекта используется отладочная плата MSP-TS430PW20 и программатор-отладчик MSP-FET. Информация по UART передается со скоростью 4800 бод с одним стоповым битом и без использования бита четности. Для установки положения ротора микроконтроллеру по интерфейсу UART необходимо передать число в диапазоне 0x00…0x0F, после чего длительность импульса сигнала управления, а следовательно – и положение ротора станут равными некоторым значениям, приведенным в таблице 9.

Таблица 9. Соответствие длительности импульса данным, полученным по UART

Значение принятого байта	Значение регистра TB0CCR1	Длительность импульса сигнала управления
0x00	33	1,00 мс (5,0%)
0x01	36	1,10 мс (5,5%)
0x02	38	1,16 мс (5,8%)
0x03	40	1,22 мс (6,1%)
0x04	42	1,28 мс (6,4%)
0x05	44	1,34 мс (6,7%)
0x06	46	1,41 мс (7,1%)
0x07	48	1,46 мс (7,3%)
0x08	50	1,53 мс (7,7%)
0x09	52	1,59 мс (8,0%)
0x0A	54	1,65 мс (8,3%)
0x0B	56	1,71 мс (8,6%)
0x0C	58	1,77 мс (8,9%)
0x0D	60	1,83 мс (9,2%)
0x0E	62	1,89 мс (9,5%)
0x0F	65	1,98 мс (9,9%)

Результаты тестирования

На рисунке 15 показаны три примера сигналов управления сервоприводом, генерируемых микроконтроллером при передаче по интерфейсу UART значений, указанных красным шрифтом. Как видно из рисунка, минимальное и максимальное значения длительности импульса управления находятся в диапазоне 1…2 мс, чему соответствует установка ротора сервопривода в крайние левое (0°) и правое (180°) положения. При длительности импульса 1,5 мс ротор будет установлен приблизительно в середине диапазона вращения (около 90°).

Рис. 15. Сигнал управления сервоприводом

После компиляции исходного кода первоначальной версии проекта размер прошивки равен приблизительно 200 байт. Это означает, что в памяти программ остается еще достаточно места для реализации пользовательских приложений. Так, например, задействовав регистр TB0CCR2, можно реализовать управление двумя сервоприводами, подключив его к выводу P2.1. Если же нужно обеспечить более широкую функциональность, тогда необходимо использовать микроконтроллеры семейства MSP430™ с большим объемом памяти. Если управлять сервоприводом по интерфейсу UART нет необходимости, тогда модуль eUSCI можно отключить, что позволит получать ШИМ-сигналы также и на выводах P1.6 и P1.7.

Поскольку значение регистров CCR1 хранится в энергонезависимой памяти FRAM, то после сброса микроконтроллера, например, путем установки низкого уровня на выводе RST или в результате сбоя в цепи питания микроконтроллера, положение ротора сервопривода останется прежним. Если же необходимо, чтобы после сброса ротор сервопривода всегда устанавливался в некоторое исходное (начальное) положение, то исходный код базового проекта необходимо модифицировать.

RC-генератор REFO работает на частоте ACLK, равной 32 кГц, которая является, в том числе, и опорной частотой для приемопередатчика UART. Однако для повышения стабильности тактовой частоты во всем диапазоне рабочих температур рекомендуется использовать внешний кварцевый резонатор. Кроме этого, за счет использования во время простоя энергосберегающего режима LPM3 величина потребляемого тока составляет около 17 мкА при тактировании узлов от REFO, а при использовании генератора с внешним кварцевым резонатором (LFXT) ток потребления микроконтроллера можно уменьшить до 1 мкА.

Контроллер шагового двигателя

(Stepper Motor Control Using MSP430™ MCUs)

Шаговые двигатели являются разновидностью бесколлекторых (бесщеточных) двигателей постоянного тока, особенностью которых является перемещение ротора на строго фиксированную величину. Это позволяет с высокой точностью позиционировать в пространстве подвижные элементы устройств, что в совокупности с высокой надежностью, малым временем отклика, а также широким диапазоном крутящих моментов и скоростей вращения способствует широкому распространению приводов данного типа в самых различных приложениях, начиная от бытовой электроники и заканчивая промышленными автоматизированными системами.

Для подключения шаговых двигателей к микроконтроллеру используют специальные микросхемы – драйверы, выполняющие функции не только усилителей мощности, но и преобразователей алгоритмов. Так, например, микросхема DRV8825, задействованная в данном проекте, уже содержит узлы, формирующие необходимую последовательность подачи напряжений на обмотки двигателя, в результате чего для управления шаговым двигателем необходимо сформировать всего два простых сигнала, отвечающих за направление вращения и количество шагов перемещения подвижной части привода. В базовом варианте проекта, исходные коды которого можно загрузить с официального сайта Texas Instruments, сигналы управления драйвером DRV8825 формируются микроконтроллером семейства MSP430™, при этом ШИМ-сигнал, определяющий количество шагов, формируется с помощью таймера, а сигнал направления вращения – обычным портом ввода/вывода общего назначения. Благодаря простоте формируемых сигналов размер прошивки не превышает 512 байт, что позволяет использовать в данном проекте микроконтроллеры MSP430FR2000, обладающие наименьшим объемом памяти программ.

Реализация

В микросхеме DRV8825 уже реализованы все защитные функции, необходимые для безопасной работы шагового двигателя, поэтому микроконтроллеру для начала работы необходимо сгенерировать всего лишь два сигнала: направление вращения и количество шагов. Выводы RESET и SLEEP драйвера не используются, поэтому напряжения на них имеют уровень логической единицы. Кроме этого, высокий логический уровень присутствует также и на выводе M2, поскольку в данном проекте режим микрошага (1/16 шага) также не реализован. Необходимо помнить, что диапазон рабочих напряжений питания, максимальное значение токов, требования к синхронизации, допустимые режимы работы и многие другие технические параметры зависят от конкретной модели шагового двигателя, поэтому перед подключением шагового двигателя, отличающегося от модели, используемой в базовой версии проекта, необходимо внимательно изучить его техническую документацию. В оригинальной версии проекта шаговый двигатель подключается к микроконтроллеру с помощью популярной платы на основе драйвера DRV8825, хотя сейчас уже существуют более современные микросхемы, например, DRV8886AT, содержащая кроме обновленных и улучшенных базовых функций возможность автоматической настройки и интегрированные узлы для измерения токов обмоток (рисунок 16).

Рис. 16. Схема подключения шагового двигателя

Для генерации ШИМ-сигнала, подаваемого через вывод P2.0 на контакт STEP драйвера DRV8825, используется таймер Timer_B0. Тактовый генератор микроконтроллера инициализируется на частоте 16 МГц, которая затем для исключения необходимости добавления задержек при доступе к сегнетоэлектрической памяти FRAM делится на 2. Результирующая частота MCLK, равная 8 МГц, с помощью подсистемы распределения тактовой частоты SMCLK подается ко всем периферийным устройствам микроконтроллера, в том числе к таймеру Timer_B0, работающему в режиме инкрементирующего счета. Значение регистра TB0CCR0 определяет частоту ШИМ-сигнала, а следовательно – и частоту вращения двигателя, в то время как информация в регистре TB0CCR1 рассчитывается таким образом, чтобы коэффициент заполнения импульсов управления был максимально близким к 50%, что необходимо для нормальной работы драйвера DRV8825.

Для связи с компьютером используется модуль асинхронного приемопередатчика eUSCI_A0, который конфигурируется для работы в режиме UART, при этом информация с компьютера, полученная в последовательном коде через вывод P1.6, сохраняется в регистре UCA0RXD. В базовом варианте проекта используется отладочная плата MSP-TS430PW20 на основе микроконтроллера MSP430FR2000 и программатор-отладчик MSP-FET. По умолчанию информация по UART передается со скоростью 9600 бод с одним стоповым битом и без использования бита четности, однако эти параметры могут быть легко изменены в зависимости от требований конкретного приложения. Для изменения параметров вращения шагового двигателя микроконтроллеру по интерфейсу UART необходимо передать число в диапазоне 0x00…0x0A. Передача значения 0x00 приведет к остановке двигателя, а 0x0A – к инверсии сигнала на выводе P2.1, который подключен к входу DIR драйвера DRV8825 и определяет направление вращения двигателя. Передача значений в диапазоне 0x01…0x09 приведет к изменению скорости вращения двигателя, причем чем больше число, тем больше скорость вращения. Реальное значение скорости вращения во многом зависит от конкретных моделей драйвера и шагового двигателя. Параметры сигналов, используемых в базовом проекте, приведены в таблице 10.

Таблица 10. Соответствие длительности импульса данным, полученным по UART

Значение принятого байта	Значение регистра TB0CCR1	Частота сигнала управления, кГц
0x00	0	0
0x01	8000	1
0x02	4000	2
0x03	2000	4
0x04	1000	8
0x05	500	16
0x06	250	32
0x07	125	64
0x08	64	125
0x09	32	250

Результаты тестирования

На рисунке 17 показаны три примера сигналов управления шаговым двигателем, генерируемых микроконтроллером при передаче по интерфейсу UART значений, указанных на рисунке красным шрифтом, которые подтверждают правильность таблицы 10. Работа двигателя на более высоких скоростях не тестировалась из-за ограниченного значения максимально допустимого тока, потребляемого от источника питания.

Рис. 17. Сигнал управления шаговым двигателем

После компиляции исходного кода базовой версии проекта размер прошивки равен приблизительно 250 байт. Это означает, что в памяти программ остается еще достаточно места для реализации пользовательских приложений. Так, например, задействовав регистр TB0CCR2, можно реализовать управление двумя шаговыми двигателями, подключив вход STEP второго драйвера к выводу P2.1 (в этом случае за направление вращения должен отвечать другой порт). Если же необходимо обеспечить более широкую функциональность, тогда нужно использовать микроконтроллеры из семейства MSP430™ с большим объемом памяти. Если необходимости управления по интерфейсу UART нет, то модуль eUSCI можно отключить, что позволит получать ШИМ-сигналы также и на выводах P1.6 и P1.7. Но поскольку таймер (Timer_B0) содержит всего два свободных регистра захвата/сравнения (CCR1 и CCR2), то количество одновременно генерируемых ШИМ-сигналов ограничено.

Поскольку источником опорного сигнала для таймера является подсистема распределения тактовой частоты (SMCLK), то при простое системы можно использовать только энергосберегающий режим LPM0, при котором среднее значение потребляемого тока будет равно приблизительно 300 мкА. Если же использовать частоту 8 кГц и менее, то тактирование периферийных модулей можно осуществить от вспомогательного тактового генератора (ACLK). Использование ACLK совместно с энергосберегающим режимом LPM3 позволит при использовании RC-генератора (REFO) уменьшить ток потребления системы до величины 17 мкА, а при использовании генератора с внешним кварцевым резонатором (LFXT) – 1 мкА.

Двухканальный цифро-аналоговый преобразователь

(Dual-Output 8-Bit PWM DAC Using Low-Memory MSP430™ MCUs)

Генерация аналоговых сигналов необходима во многих приложениях, начиная от детских игрушек и заканчивая музыкальными проигрывателями и различными генераторами. Обычно для этого используются специализированные цифро-аналоговые преобразователи (ЦАП), которые не всегда входят в комплект периферийных устройств недорогих микроконтроллеров. Однако при добавлении всего нескольких пассивных компонентов сформировать сигналы небольшой частоты можно с помощью обычных таймеров, поддерживающих режим широтно-импульсной модуляции (ШИМ). Это наглядно продемонстрировано в данном проекте, исходные коды которого можно загрузить с официального сайта Texas Instruments, на примере генерации сигналов постоянного и переменного токов. Данный метод можно также использовать для формирования самых различных сигналов, в том числе и произвольной формы. Перед началом работы с проектом также рекомендуется изучить руководство «Использование таймера в качестве цифро-аналогового преобразователя» (“Using PWM Timer_B as a DAC Microcontrollers”).

В этом проекте показан пример реализации двухканального восьмиразрядного ЦАП, один канал которого генерирует синусоидальное напряжение с частотой 250 Гц, а второй – постоянное напряжение. Синусоидальное напряжение формируется на основании табличных значений отсчетов значений синуса, обновляемых каждый раз после завершения периода ШИМ-сигнала, частота которого в 16 раз больше, чем требуется для сигнала с такими параметрами. Для устранения высокочастотных пульсаций сгенерированного напряжения, неизбежных при таком методе формирования, к выходам микроконтроллера подключены RC-фильтры нижних частот, поэтому повышенная частота ШИМ-сигнала также способствует лучшей фильтрации выходного напряжения.

В базовом варианте проекта ЦАП реализован на основе микроконтроллера MSP430FR2000, имеющего в семействе MSP430™ наименьшую стоимость и объем памяти программ – всего 512 байт. Однако при необходимости формирования более сложных сигналов или реализации ЦАП с расширенным функционалом можно использовать и более мощные микроконтроллеры семейства MSP430™.

На рисунке 18 видно, что коэффициент заполнения импульсов ШИМ-сигнала при формировании синусоидального напряжения изменяется в каждом цикле, в то время как при формировании постоянного напряжения он остается постоянным. Также на приведенных диаграммах можно заметить наличие небольших высокочастотных пульсаций напряжений на выходе RC-фильтров.

Рис. 18. Диаграммы работы ЦАП

Реализация

Разрешающая способность ЦАП определяется разрядностью счетчика таймера. При использовании 8-разрядных данных это значение равно 256 (2⁸ = 256). Необходимую частоту дискретизации, равную частоте выходного ШИМ-сигнала, можно определить по формуле 1, задавшись максимальным количеством отсчетов, используемым для формирования сигналов. Для синусоидального сигнала с частотой 250 Гц, генерируемого на основе таблицы из 32 отсчетов, частота ШИМ-сигнала будет равна 8 кГц:

$$32\:отчета\times 250\:(Гц)=8\:кГц\qquad{\mathrm{(}}{1}{\mathrm{)}}$$

Для понимания сути происходящих процессов необходимо просто вспомнить, что выходной RC-фильтр фактически выделяет среднее значение периодического напряжения прямоугольной формы. Таким образом, частота дискретизации является ничем иным как количеством циклов ШИМ-сигнала, необходимых для генерации периодического напряжения с частотой 250 Гц по 32-м отсчетам.

Необходимое значение опорной частоты таймера получается путем умножения частоты дискретизации на разрешающую способность таймера (формула 2):

$$f_{CLOCK}=f_{PWM}\times 2^N=8\times 2^8=2.048\:МГц,\qquad{\mathrm{(}}{2}{\mathrm{)}}$$

где N = 8 – разрешающая способность ЦАП.

В приведенном примере для получения сигнала с частотой f_CLOCK был использован внутренний генератор с цифровым управлением (DCO), выходная частота которого была выбрана равной 16 МГц. После этого с помощью делителя с коэффициентом деления 4 была получена системная тактовая частота (MCLK), которая в свою очередь была поделена на 2 подсистемой распределения тактовых импульсов (SMCLK). В результате частота импульсов на выходе SMCLK, являющаяся опорной для таймера Timer_B, равна 16: 4 : 2 = 2 МГц. Теперь для получения необходимой длительности периода осталось только единожды установить значение регистра CCR0 равным 255.

При генерации синусоидального сигнала обновление значения регистра CCR1, определяющего коэффициент заполнения ШИМ-сигнала, происходит в обработчике прерывания, генерируемого каждый раз при совпадении значений основного регистра таймера и CCR0. Каждый раз при возникновении данного прерывания происходит увеличение на единицу индекса активного элемента таблицы из 32 записей до тех пор, пока его значение не выйдет за ее границы и не будет обнулено. Поскольку второй канал ЦАП формирует постоянное напряжение, то значение регистра CCR2 в прерывании не изменяется.

Микроконтроллер настроен таким образом, что регистры CCR1 и CCR2 подключены непосредственно к выводам микроконтроллера P1.6/TB0.1 и P1.7/TB0.2 соответственно, хотя в качестве альтернативы для этих целей можно использовать также выводы P2.0 и P2.1. Выходы регистров CCR1 и CCR2 настроены для работы в триггерном режиме: при достижении таймером значения, записанного в регистре CCR0, происходит установка выходов CCR1 и CCR2 в состояние логической единицы, а при достижении значений, записанных в регистрах CCR1 (CCR2) – в состояние логического нуля. Такой метод формирования выходного сигнала обеспечивает положительную полярность импульсов ШИМ-сигнала без инверсии.

Для фильтрации высокочастотной составляющей ШИМ-сигнала в канале, формирующем синусоидальное напряжение, применен двухзвенный RC-фильтр второго порядка, значения R и C которого можно определить по формуле 3:

$$f_{C}=\frac{1}{2\pi \sqrt{RC}},\qquad{\mathrm{(}}{3}{\mathrm{)}}$$

где R⋅C = R₁⋅C₁ = R₂⋅C₂.

Частота среза f_C данного фильтра (в данном случае – 795 Гц) выбирается таким образом, чтобы она находилась достаточно далеко от верхней границы полосы пропускания, что уменьшает ослабление полезного сигнала, но была ниже, чем частота ШИМ, ведь его высокочастотную составляющую необходимо подавить. Для лучшего отклика на переходные процессы рекомендуется выполнение условия R₂ >> R₁. Схема пассивного фильтра второго порядка была выбрана в первую очередь из-за ее простоты, хоть она и требует более высокой частоты дискретизации, чем при использовании фильтров нижних частот более высоких порядков.

В канале постоянного напряжения функция фильтра фактически сводится к поддержанию постоянного заряда на выходном конденсаторе, поэтому в этой части схемы использован простейший однозвенный фильтр низких частот первого порядка.

Итоговая схема ЦАП показана на рисунке 19. В проекте была использована отладочная плата MSP-TS430PW20 с микроконтроллером MSP430FR2000, а два RC-фильтра низких частот были реализованы с помощью внешних компонентов.N,\qquad{\mathrm{(}}{4}{\mathrm{)}}$$

где N – порядок фильтра.

Альтернативным способом уменьшения уровня пульсаций является увеличение частоты среза, например, путем увеличения емкости конденсатора C₂ до 420 пФ (рисунок 19). Однако в этом случае формула 3 для расчета частоты среза уже становится некорректной (поскольку R1C1 ≠ R2C2), и необходимо использовать формулу 5:

$$f_{C}=\frac{1}{2\pi \sqrt{R_{1}C_{1}R_{2}C_{2}}}\qquad{\mathrm{(}}{5}{\mathrm{)}}$$

В данном случае f_С = 549 Гц.

Кроме того, выходной уровень канала постоянного напряжения можно регулировать путем изменения коэффициента заполнения ШИМ-сигнала (рисунки 19 и 21). Без учета ослабления в фильтре нижних частот выходное напряжение канала постоянного тока V_DC определяется по формуле 6:

$$V_{DC}=D\times V_{CC},\qquad{\mathrm{(}}{6}{\mathrm{)}}$$

где V_CC – напряжение питания микроконтроллера, D – коэффициент заполнения импульсов ШИМ-сигнала.

Рис. 21. Диаграммы работы ЦАП при C2 = 420 пФ и 100% ШИМ при U_вых канала постоянного тока = 3,32 В

Возможности предложенного ЦАП не ограничиваются только формированием простых сигналов. Так, например, сигналы постоянного и переменного токов могут суммироваться с помощью специализированного усилителя, что позволит формировать сложные пульсирующие сигналы с регулируемым смещением по постоянному току. Для генерации линейно изменяющихся сигналов, в том числе и треугольной формы, вместо хранения таблицы отсчетов можно использовать вычисление коэффициента заполнения «на лету» – в прерывании, например, с помощью следующего кода:

/**
* Обработчик прерывания таймера TimerB0 *
**/
#pragma vector=TIMER0_B0_VECTOR
__interrupt void TIMER0_B0_ISR( void)
{
 //Увеличение коэффициента заполнения на 8
 //Для изменения частоты сигнала измените величину приращения
 dutyCycle+=8;
 //Установка значения регистра CCR1 с ограничением максимального значения на уровне 255
 TB0CCR1 = dutyCycle & 0x0FF;
}

Результат выполнения приведенного кода показан на рисунке 22. Более детально эти вопросы рассмотрены в руководстве «Использование таймера в качестве цифро-аналогового преобразователя».

Также можно заметить, что теоретически табличный метод формирования сигналов позволяет генерировать сигналы любой сложности и длительности, естественно, при наличии таблицы с правильно рассчитанными значениями отсчетов. А если размер таблицы превышает 500 байт, то всегда можно взять микроконтроллер семейства MSP430™ с большим объемом памяти.

Рис. 22. Результат формирования пилообразного напряжения. Верхние диаграммы приведены в более мелких масштабах

Преобразователь «напряжение-частота»

(Analog Input to PWM Output Using the MSP430™ MCU Enhanced Comparator)

Широтно-импульсная модуляция (ШИМ) используется во многих приложениях, например, в системах управления освещением и электродвигателями. При этом в некоторых случаях источником сигнала связи, определяющим длительность импульса или частоту выходного напряжения, является непрерывно изменяющееся напряжение или ток. Обычно преобразование непрерывного (аналогового) напряжения в цифровую форму осуществляется с помощью специализированных узлов – аналого-цифровых преобразователей (АЦП). Однако в наборе периферийных устройств некоторых недорогих микроконтроллеров семейства MSP430™, в частности – MSP430FR2000, такого узла может не оказаться. Тем не менее, отсутствие АЦП не означает, что данный микроконтроллер нельзя использовать для решения данной задачи, ведь оцифровать аналоговое напряжение можно и другими способами, например, с помощью компаратора.

В этом проекте, исходные коды которого можно скачать с официального сайта Texas Instruments, показан пример реализации шестиразрядного АЦП на основе модуля компаратора с расширенными возможностями (eCOMP), содержащего программируемый источник опорного напряжения. Особенностью данного проекта является ультрамалый размер прошивки, что позволяет реализовать его на основе микроконтроллера MSP430FR2000, имеющего наименьший в семействе MSP430™ объем памяти программ – всего 512 байт.

Реализация

Логическое значение выходного сигнала модуля компаратора eCOMP зависит от разницы напряжений на неинвертирующем (V+) и инвертирующем (V–) входах. В данном проекте неинвертирующий вход компаратора подключен к выводу микроконтроллера, и на него подается подлежащий оцифровке аналоговый сигнал Vinput, а инвертирующий – к выходу встроенного программируемого шестиразрядного источника опорного напряжения, фактически являющегося цифро-аналоговым преобразователем (ЦАП).

Кроме модуля eCOMP, в проекте задействован также порт ввода/вывода общего назначения (GPIO) P1.3 (рисунок 23), к которому подключена кнопка. Нажатие на нее запускает процесс оцифровки. Для устранения возможных наводок и помех между выводом P1.3 и общим проводом включен конденсатор. Базовый вариант проекта реализован на отладочной плате MSP-TS430PW20 с микроконтроллером MSP430FR2000. Все соединения платы с источником аналогового сигнала, кнопкой и выходным устройством осуществляется с помощью проводов.

Рис. 23. Структурная схема преобразователя

Источником опорного напряжения для ЦАП является интегрированный стабилизатор с выходным напряжением 1,5 B. Оцифровка входного сигнала начинается с установки выходного напряжения ЦАП, равного половине опорного напряжения (0,75 В). Для этого в регистр CPDACDATA модуля eCOMP записывается значение 0x20, и его значение устанавливается на 32-м из 64 возможных уровней. После этого, в зависимости от состояния компаратора, содержимое регистра CPDACDATA изменяется до тех пор, пока методом деления отрезка пополам выходное напряжение ЦАП не будет установлено максимально близко к измеряемому напряжению. Поиск осуществляется по следующему алгоритму: если выходной бит компаратора находится в состоянии логического нуля (опорное напряжение больше измеряемого напряжения), то от содержимого регистра CPDACDATA отнимается половина его текущего значения, в противном случае, когда опорное напряжение меньше измеряемого напряжения, половина текущего значения CPDACDATA будет добавлена к его текущему содержимому. Несмотря на простоту и достаточно малую скорость подобного итеративного процесса, его вполне можно использовать в большом количестве приложений, не требующих высокой точности управления. После оцифровки, содержимое регистра CPDACDATA используется для расчета параметров выходного ШИМ-сигнала, которое генерируется таймером Timer_B0, подключенным к выводу P2.0 микроконтроллера. В общем случае информацию из CPDACDATA можно использовать для установки значения регистра TB0CCR0, отвечающего за длительность периода (частоту), или TB0CCR1, содержащего информацию о длительности импульсов выходного ШИМ-сигнала.

Для запуска базовой версии проекта подключите оборудование в соответствии с принципиальной схемой и запрограммируйте микроконтроллер с помощью программатора-отладчика MSP-FET. После включения питания измените управляющее напряжение на входе Vinput и запустите процесс преобразования, нажав на кнопку.

Максимальное количество уровней шестиразрядного ЦАП и, соответственно, количество состояний выходного сигнала, равно 64. В данном примере частоту выходного сигнала при заданном напряжении на входе и частоте тактирования таймера f_CLK можно определить по формуле 7:

$$f_{PWM}=\frac{f_{CLK}}{(Значение\;регистра\:CPDACDATA)\times 128}\qquad{\mathrm{(}}{7}{\mathrm{)}}$$

Коэффициент заполнения импульсов ШИМ-сигнала в базовой версии этого проекта фиксирован и составляет 50%. Частота выходного сигнала для некоторых значений входного напряжения Vinput при тактовой частоте f_CLK = 1,048 МГц приведена в таблице 11. При необходимости закон изменения частоты и длительности импульсов выходного ШИМ-сигнала можно легко изменить в соответствии с требованиями конкретного приложения.

Таблица 11. Значения частоты выходного сигнала при различных значениях V_input

Vinput, В	Значение регистра CPDACDATA	Выходная частота, кГц
0	1	8000
0,5	23	340
1	43	181
1,5	63	124

Результаты тестирования

На рисунке 24 показан пример работы преобразователя. Согласно результатам измерений, время оцифровки входного напряжения составляет приблизительно 5,95 мс. При этом, благодаря постоянному количеству итераций алгоритма оцифровки, это время не зависит от уровня входного напряжения. В приведенном примере вход преобразователя был подключен к источнику питания с напряжением 1,09 В. После завершения работы алгоритма оцифровки значение регистра, отвечающего за выходное напряжение ЦАП, стало равно 47. Минимальное разрешение полученного АЦП равно 1,5 В/64 = 0,023 В, поэтому при таком значении регистра выходное напряжение ЦАП будет равно (1,5 В * 47)/64 = 1,10 В. Таким образом, величина погрешности оцифровки равна 1,10 В – 1,09 В = 0,01 В, что меньше минимального разрешения.

Рис. 24. Результаты работы преобразователя

После компиляции размер прошивки преобразователя равен приблизительно 380 байт, что позволяет использовать оставшееся место для реализации дополнительных функций, например, обработки состояния порта GPIO или таблицы значений параметров ШИМ. Дальнейшее увеличение функционала, скорее всего, потребует увеличения необходимого объема памяти программ и перехода на более мощные контроллеры из семейства MSP430™. Поскольку источником опорного сигнала для таймера является подсистема распределения тактовой частоты (SMCLK), то при простое системы можно использовать только энергосберегающий режим LPM0. При необходимости дальнейшего уменьшения потребляемой мощности, что возможно, например, при использовании энергосберегающего режима LPM3, необходимо тактировать таймер от другого системного источника.

Список ранее опубликованных глав

•••

Наши информационные каналы

Синусоидальный сигнал — обзор

1

Синусоидальный сигнал f ( t ) = sin t дискретизируется каждый квартал, начиная с t = 0. Укажите последовательность дискретных значений.

2

Запишите первые пять членов последовательности x [ k ], определенных для k ≥ 0, как (a) x [ k ] = k , (b) x [ k ] = e ^{— k} .

3

Укажите пятый член (a) арифметической последовательности, заданной числами 4, 7, 10,…, (b) геометрической последовательности, заданной числами 12, 6, 3,….

4

Напишите уравнение для k -го члена, где k = 1, 2, 3,…, для следующих последовательностей (a) 1, −1, 1, −1,…, (b) 5, 10, 15, 20,…, (c) 2, 1, 5, 1, 0,5,…,

5

Запишите первые пять членов последовательности x [ k ] определяется для k ≥ 0 следующим образом: (a) x [ k ] = k ² , (b) x [ k ] = e ^k , (c) x [ k ] = ½ k ² + 2 k .

6

Укажите пятый член арифметической прогрессии, равной 5, 7, 9,….

7

Укажите пятый член геометрической прогрессии, задаваемый числами 8, 4, 2,….

8

Напишите уравнение для k -го члена для следующих последовательностей: (a) 14, 116, 164, ⋯, (b) −2, +2, −2,…, (c) 3.1, 3.01, 3.001,…

9

Укажите первые три члена последовательностей:

(a)

(0.1) ^к ,

(б)

5 + (0,1) ^к ,

(в)

(-1) ^к

10

Определите суммы следующего ряда, если каждый содержит 12 членов:

(a)

2 + 5 + 8 +…,

(b)

5 + 52 + 54+ ⋯,

(c)

4 + 3,6 + 3,24 +…

11

Определите суммы следующих арифметических или геометрических рядов, если каждый содержит 10 членов:

(a)

3 + 2.5 + 2.0 +…,

(б)

12 + 6 + 3 +…,

(в)

1 + 2 + 4 + 8 +…

12

Найти сумму до бесконечности ряда:

(a)

6 + 3 + 1.5 +…,

(b)

4 + 3 + 2.25 +…,

(c)

12 + 3 + 0,75 +…

13

С помощью сравнительного теста определите, сходятся или расходятся следующие ряды:

(a)

x [ k ] = 1/3 ⁿ (сравните с 1/2 ⁿ ),

(b)

x [ k ] = 1.5 ⁿ (сравните с 1 ⁿ )

14

Используя коэффициент Даламбера, определите, сходятся или расходятся следующие ряды:

(a)

x − x22 + x33 +… + (- 1) n − 1xnn +…

(b)

3 + 322 + 333 +… 3nn +…

15

Определите, какая из следующих серий является сходящиеся и расходящиеся:

(a)

−1 + 1 — 1 +… (−1) ⁿ +…,

(b)

1 e ⁻¹ + 2 e ⁻² + 3 e ⁻³ +… n e ^{— n} +…,

(c)

2 × 1 + 12 + 2 × 2 + 122 + 2 × 3 + 123 +… + 2n + 12n +…,

(г)

∑k = 0∞10nn !,

(д)

∑k = 1∞1n2 + 22,

(е)

∑k = 1∞2 n − 1110 + (n − 1),

16

Разложить по биномиальной теореме:

(a)

(1 + x ) ⁴

(b)

(1 + x ) ^3/2 ,

(c)

(1 — x ) ^−5/2 ,

(d)

(1 + 0.25) ⁻¹ для четырех членов,

(e)

(4 + x ) ^1/2 для четырех членов.

17

Используйте биномиальную теорему, чтобы записать первые четыре члена:

(a)

(1 + x ) ¹² ,

(b)

(1-2 x ) ⁻² ,

(c)

(3-2 x ) ^2/5 ,

(d)

11 − x,

(e)

(1 + 3 x ) ^−1/2 ,

(f)

1 (1 − x3) 2

18

При использовании по биномиальной теореме, найдите кубический корень из 1.04 до четырех десятичных знаков. Подсказка: запишите 1,04 как 1 + 0,04.

19

Поперечный прогиб δ колонны длиной L под действием вертикальной нагрузки F и горизонтальной нагрузки H вверху определяется по формуле:

δ = HLF (tanaLaL − 1)

, где a ² = F / EI . Покажите, что поскольку F стремится к нулевому значению, δ стремится к HL ³ /3 EI .

20

Определите расширение в ряд для cosh x , используя соотношение cosh x = ½ (e ^x + e ^{— x} ).

21

Определите расширение серии для tan x , используя tan x = sin x / cos x .

22

Используя таблицу 7.1, определите ряд для следующих функций:

(a)

y = e ^{2 x} ,

(b)

y = e ^x cos x ,

(c)

y = (1 + x ) ^−1/2 ,

(d)

y = e ^x ln (1 + x ),

(e)

y = sec x ,

(f)

y = cos ² x

23

Покажите, что если x мало:

11 + x− (1-2x) 1/2≈32×2

24

Для непрерывная лента, проходящая вокруг двух колес диаметром d и D , с центрами расстояние x друг от друга, длина L ремня, необходимая, если нет провисания, составляет:

L = 2x cos a + 12π (D + d) + (D = d) a

, где sin a = ( D — d ) / 2 x .Покажите, что:

L≈2x + 12π (D + d) + (D − d) 24x

25

Перемещение ползуна поршневого механизма x зависит от угла θ коленчатого вала, связанного соотношением

x = rcosθ + L1 − r2L2sin2θ

, где r — радиус коленчатого вала, а L — длина шатуна. Покажите, когда r / L значительно меньше 1, это:

x≈rcosθ + L − r22Lsin2θ

26

Определите приблизительное процентное изменение объема цилиндра, если его радиус уменьшается на 4%, а его высота увеличилась на 2%.

27

Резонансная частота электрической цепи, содержащей емкость C и индуктивность L , определяется выражением 1 / [2π√ ( LC )]. Определите приблизительное изменение частоты в процентах, если емкость увеличилась на 2%, а индуктивность уменьшилась на 1%.

Характеристики синусоидальных сигналов (синусоидальные волны)

В предыдущем руководстве мы определили сигналы переменного тока как напряжения, токи или числовые последовательности, которые чередуются между положительными и отрицательными значениями.Это широкое определение не накладывает никаких ограничений, связанных с формой сигнала. Например, прямоугольные и треугольные волны могут быть сигналами переменного тока.

Однако один тип сигнала занимает особое место в категории переменного тока. Для описания этих сигналов мы используем слово синусоидальный . Вы также услышите, что они называются синусоидальными волнами . Синусоидальный сигнал выглядит примерно так:

Эта диаграмма передает некоторые важные характеристики синусоид:

• Синусоидальные сигналы плавно меняются; резких изменений амплитуды нет.
• Скорость изменения амплитуды (мы называем это наклоном ) непостоянна. Фактически, наклон синусоиды изменяется синусоидальным образом.
• Синусоидальные сигналы возникают в повторяющихся циклах. Количество циклов, которые происходят за одну секунду, равно частоте сигнала в Гц (сокращенно Гц).
• Реальные синусоидальные сигналы имеют амплитуды, которые изменяются в зависимости от времени ; однако мы также можем описать горизонтальную прогрессию сигнала, используя градусы.Завершение одного полного цикла соответствует углу, который варьируется от 0 ° до 360 °, а середина цикла приходится на 180 °.

Синусоидальные и косинусоидальные волны

Мы можем математически сгенерировать синусоидальный сигнал с помощью функции sine или функции cosine . Эти функции работают с углами; например, синус 30 ° равен 0,5, а косинус 0 ° равен 1. Если бы мы вычислили значения синуса для множества углов в диапазоне от 0 ° до 360 °, мы получили бы последовательность чисел, которая при нанесении на график выглядит как синусоида, показанная на диаграмме выше.Если мы сделаем это с помощью косинуса вместо синуса, кривая будет иметь ту же синусоидальную форму, но начальное значение будет другим. Следующий график поясняет разницу между синусоидальной волной и косинусоидальной волной.

Синусоидальная амплитуда, частота и фаза

Все синусоидальные сигналы имеют одинаковую общую форму, но не идентичны. Три характеристики, которые отделяют одну синусоиду от другой, — это амплитуда, частота и фаза.

Амплитуда определяет максимальное расстояние между горизонтальной осью и вертикальным положением сигнала. Например, синусоида с амплитудой 5 В имеет максимальное значение +5 В и минимальное значение –5 В.

Частота говорит нам, как быстро синусоида завершает полные циклы. Эта важная характеристика влияет на максимальную скорость, с которой синусоидальный сигнал может передавать информацию, и определяет, как на синусоидальный сигнал будут влиять цепи, содержащие конденсаторы и катушки индуктивности.

Фаза относится к горизонтальному положению сигнала относительно одного цикла. Это легче понять в контексте сдвига фаз или разности фаз ; мы используем эти термины при описании степени смещения одного сигнала влево или вправо относительно другого сигнала или теоретического опорного сигнала. На следующей диаграмме символ θ обозначает фазовый сдвиг (который может быть измерен в градусах) между синусоидальным сигналом напряжения и синусоидальным сигналом тока.

Математическое представление синусоидальных сигналов

Неизмененное выражение типа f (x) = sin (x) или f (x) = cos (x) даст синусоидальную форму волны, но как мы можем учесть тот факт, что синусоидальные сигналы напряжения и тока имеют разные амплитуды, частоты и фазовые сдвиги? Оказывается, все три характеристики могут быть включены в качестве параметров в математические выражения, построенные на основе sin () или cos ().Это означает, что мы можем создать математический эквивалент реальных синусоид, которые мы используем в наших схемах.

Амплитуда обозначается буквой A, частота — f, а фаза — греческой буквой ϕ (phi). Независимая переменная — это время, обозначенное t. Устроено все так:

\ [f (t) = Asin (2 \ pi ft + \ phi) \]

или

\ [f (t) = Acos (2 \ pi ft + \ phi) \]

Величина 2πf равна угловой частоте , которая обозначается греческой буквой ω (омега).Таким образом, вы часто будете видеть эти выражения в следующем виде:

\ [f (t) = Asin (\ omega t + \ phi) \]

или

\ [f (t) = Acos (\ omega t + \ phi) \]

Заключение

Мы рассмотрели важную информацию, относящуюся к синусоидальным сигналам. В следующем видеоуроке мы рассмотрим, как эти сигналы используются в электрических цепях и системах.

Синусоидальный волновой сигнал | Electrical4U

Чтобы понять, что такое синусоидальный сигнал или синусоидальный волновой сигнал , сначала давайте попробуем понять, что такое сигнал.

Что такое сигнал?

В окружающем нас мире существуют различные измеримые величины. Некоторые величины постоянны, например ускорение свободного падения, скорость света, скорость звука в воздухе. Некоторые из них меняются во времени, например, напряжение переменного тока, давление, температура. Это означает, что они меняют свою ценность с течением времени. Сигнал просто означает значение любой величины, взятой за период времени. Сигналы обычно меняются во времени. Обычно строится график между значениями в разные моменты времени.Это называется графическим представлением сигнала.

Что такое синусоидальный или синусоидальный волновой сигнал?

Синусоидальный сигнал или Синусоидальный сигнал — это особый тип сигнала. Он задается функцией

Когда синусоида начинается с нуля и охватывает положительные значения, достигает нуля; и снова покрывает отрицательные значения, достигает нуля, считается, что он завершил один цикл или один цикл.
Верхняя часть синусоиды называется положительным циклом, а нижняя часть называется отрицательным циклом в одном цикле.
Для разных значений времени Сигнал дает значения количества на тот момент. Следовательно, сигнал — это функция времени. Поэтому он записывается как f (t). Максимальное значение синусоидального сигнала также называется его амплитудой (A). Здесь ω называется угловой частотой сигнала, а f — частотой сигнала. ∅ Называется разницей фаз.
Частота измеряется в Герцах (Гц). Он показывает количество циклов сигнала, которые произошли за секунду. Большое значение ω или большое значение f указывает на то, что сигнал совершает больше колебаний (т.е.е. переход от положительных значений к отрицательным) за меньшее время. Следовательно, сигнал имеет более колебательный характер.

Синусоидальный сигнал не должен начинаться с нуля. Это может начаться через определенное время. Это время, после которого начинается синусоидальный сигнал, указывается с помощью разности фаз (∅). Измеряется в радианах.
Периодические сигналы — это те, которые повторяют свой образец через определенное время. Это время, после которого шаблон повторяется, называется периодом времени (T) периодического сигнала.Это обратная частота сигнала.

Синусоидальный сигнал — это периодический сигнал, потому что шаблон продолжает повторяться после одной длины волны, как показано на рисунке выше.
Все силовые сигналы в нашем доме, офисе и на производстве являются синусоидальными сигналами переменного тока. Частота (f) в Индии и странах Великобритании составляет 50 Гц, а в странах Америки — 60 Гц.

Почему так важен синусоидальный волновой сигнал?

Синусоидальные сигналы важны как в области электротехники, так и в электронной технике.
Согласно теории рядов Фурье, любой сигнал (периодический сигнал) может быть записан только в виде синусоидальных и косинусоидальных сигналов разных частот. Таким образом, сложный сигнал можно разбить на простые синусоидальные и косинусоидальные сигналы, что упрощает математический анализ. Следовательно, он широко используется в электрическом и электронном анализе.
Кроме того, в трансформаторах выходное напряжение является производной по времени от магнитного потока. Магнитный поток сам по себе является производной от входного напряжения по времени. Но нам нужен одинаковый сигнал напряжения как на входе, так и на выходе.Единственные функции, которые удовлетворяют этому условию, — это функции синуса и косинуса. Поскольку синусоидальный сигнал начинается с нулевого значения, это предпочтительно. Поэтому сегодня большинство энергосистем в мире используют синусоидальное переменное напряжение. Вся бытовая техника также работает от синусоидального переменного напряжения.

Синусоидальная форма волны или синусоидальная волна в цепи переменного тока

Если этот однопроволочный проводник перемещается или вращается в стационарном магнитном поле, внутри проводника индуцируется «ЭДС» (электродвижущая сила) из-за движения проводника через магнитный поток.

Из этого мы можем видеть, что существует связь между электричеством и магнетизмом, что дает нам, поскольку Майкл Фарадей открыл эффект «электромагнитной индукции», и это основной принцип, который электрические машины и генераторы используют для генерации синусоидальной волны для нашей сети поставка.

В учебном пособии по электромагнитной индукции мы сказали, что когда однопроволочный проводник проходит через постоянное магнитное поле, разрезая его линии магнитного потока, в нем индуцируется ЭДС.

Однако, если проводник движется параллельно магнитному полю в случае точек A и B, никакие линии потока не обрезаются, и в проводнике не индуцируется ЭДС, но если проводник движется под прямым углом к ​​магнитному полю, как в случае точек C и D максимальное количество магнитного потока сокращается, создавая максимальное количество наведенной ЭДС.

Кроме того, поскольку проводник разрезает магнитное поле под разными углами между точками A и C, 0 и 90 ^o , величина наведенной ЭДС будет находиться где-то между этим нулевым и максимальным значением.Тогда величина ЭДС, индуцированная внутри проводника, зависит от угла между проводником и магнитным потоком, а также от силы магнитного поля.

Генератор переменного тока использует принцип электромагнитной индукции Фарадея для преобразования механической энергии, такой как вращение, в электрическую энергию, синусоидальную форму волны . Простой генератор состоит из пары постоянных магнитов, создающих фиксированное магнитное поле между северным и южным полюсами. Внутри этого магнитного поля находится одиночная прямоугольная петля из проволоки, которую можно вращать вокруг фиксированной оси, что позволяет отрезать магнитный поток под разными углами, как показано ниже.

Базовый генератор переменного тока с одной катушкой

Когда катушка вращается против часовой стрелки вокруг центральной оси, которая перпендикулярна магнитному полю, проволочная петля перерезает силовые линии магнитного поля, образованные между северным и южным полюсами, под разными углами при вращении петли. Величина наведенной ЭДС в петле в любой момент времени пропорциональна углу поворота проволочной петли.

Когда эта проволочная петля вращается, электроны в проволоке обтекают петлю в одном направлении.Теперь, когда проволочная петля повернулась за точку 180 ^o и перемещается по магнитным силовым линиям в противоположном направлении, электроны в проволочной петле изменяются и текут в противоположном направлении. Тогда направление движения электрона определяет полярность наведенного напряжения.

Итак, мы можем видеть, что когда контур или катушка физически вращаются на один полный оборот, или 360 ^o , создается одна полная синусоидальная форма волны, причем один цикл формы волны создается для каждого вращения катушки.Когда катушка вращается в магнитном поле, электрические соединения с катушкой выполняются с помощью угольных щеток и контактных колец, которые используются для передачи электрического тока, индуцированного в катушке.

Величина ЭДС, индуцированная в катушке, пересекающей магнитные силовые линии, определяется следующими тремя факторами.

• Скорость — скорость, с которой катушка вращается внутри магнитного поля.
• Strength — сила магнитного поля.
• Длина — длина катушки или проводника, проходящего через магнитное поле.

Мы знаем, что частота источника питания — это количество раз, которое цикл появляется за одну секунду, и эта частота измеряется в герцах. Поскольку один цикл наведенной ЭДС создается за каждый полный оборот катушки через магнитное поле, состоящее из северного и южного полюсов, как показано выше, если катушка вращается с постоянной скоростью, постоянное количество циклов будет производиться в секунду, что дает постоянную частота. Таким образом, при увеличении скорости вращения катушки частота также будет увеличиваться.Следовательно, частота пропорциональна скорости вращения, (ƒ ∝ Ν), где Ν = об / мин.

Кроме того, наш простой генератор с одной катушкой, показанный выше, имеет только два полюса, один северный и один южный полюс, что дает только одну пару полюсов. Если мы добавим больше магнитных полюсов к генератору выше, так что теперь он имеет всего четыре полюса, два северных и два южных, то для каждого оборота катушки будут производиться два цикла с той же скоростью вращения. Следовательно, частота пропорциональна количеству пар магнитных полюсов (ƒ ∝ P) генератора, где P = количество «пар полюсов».

Тогда из этих двух фактов мы можем сказать, что выходная частота генератора переменного тока равна:

Где: Ν — скорость вращения в об / мин. P — количество «пар полюсов», а 60 преобразует его в секунды.

Мгновенное напряжение

ЭДС, индуцированная в катушке в любой момент времени, зависит от скорости или скорости, с которой катушка пересекает линии магнитного потока между полюсами, и это зависит от угла поворота Тета (θ) генерирующего устройства.Поскольку форма сигнала переменного тока постоянно меняет свое значение или амплитуду, форма сигнала в любой момент времени будет иметь другое значение, чем в следующий момент времени.

Например, значение 1 мс будет отличаться от значения 1,2 мс и так далее. Эти значения обычно известны как мгновенные значения , или V _i . Тогда мгновенное значение формы волны, а также ее направление будут меняться в зависимости от положения катушки в магнитном поле, как показано ниже.

Смещение катушки в магнитном поле

Мгновенные значения синусоидального сигнала задаются как «Мгновенное значение = максимальное значение x sin θ», и это обобщается формулой.

Где, V _max — максимальное напряжение, индуцированное в катушке, а θ = ωt — угол поворота катушки во времени.

Если нам известно максимальное или пиковое значение сигнала, с помощью формулы, приведенной выше, можно рассчитать мгновенные значения в различных точках формы сигнала.Нанося эти значения на миллиметровую бумагу, можно построить синусоидальную форму волны.

Для простоты мы будем строить мгновенные значения для синусоидальной формы волны через каждые 45 ^o вращения, что дает нам 8 точек для построения графика. Опять же, для простоты мы примем максимальное значение напряжения, V _MAX , равное 100 В. Построение мгновенных значений через более короткие интервалы, например, каждые 30 ^o (12 точек) или 10 ^o (36 точек), например, приведет к более точному построению синусоидальной формы сигнала.

Построение синусоидальной формы волны

Угол витка (θ)	0	45	90	135	180	225	270	315 ​​	360
e = Vmax.sinθ	0	70,71	100	70,71	0	-70,71	-100	-70,71	-0

Точки на синусоидальной форме волны получаются путем проецирования поперек различных положений вращения между 0 ^o и 360 ^o на ординату формы волны, которая соответствует углу θ и когда проволочная петля или катушка вращается на единицу. полный оборот, или 360 ^o , создается одна полная форма волны.

Из графика синусоидальной формы волны мы можем видеть, что когда θ равно 0 ^o , 180 ^o или 360 ^o , генерируемая ЭДС равна нулю, поскольку катушка отсекает минимальное количество линий потока. Но когда θ равно 90 ^o и 270 ^o , генерируемая ЭДС имеет максимальное значение, поскольку максимальное количество магнитного потока сокращается.

Следовательно, синусоидальный сигнал имеет положительный пик при 90 ^o и отрицательный пик при 270 ^o .Позиции B, D, F и H генерируют значение ЭДС, соответствующее формуле: e = Vmax.sinθ.

Тогда форма сигнала, создаваемая нашим простым генератором с одним контуром, обычно называется синусоидальной волной , поскольку она, как говорят, имеет синусоидальную форму. Этот тип сигнала называется синусоидой, потому что он основан на тригонометрической синусоидальной функции, используемой в математике, (x (t) = Amax.sinθ).

При работе с синусоидальными волнами во временной области и особенно с синусоидальными волнами, связанными с током, единицей измерения, используемой вдоль горизонтальной оси формы волны, может быть время, градусы или радианы.В электротехнике чаще используется Radian в качестве углового измерения угла по горизонтальной оси, а не в градусах. Например, ω = 100 рад / с или 500 рад / с.

Радианы

Радиан , (рад) математически определяется как квадрант круга, где расстояние, нанесенное на окружность круга, равно длине радиуса (r) того же круга. Поскольку длина окружности равна 2π x радиусу, вокруг 360 ^o круга должно быть 2π радиан.

Другими словами, радиан — это единица измерения угла, и длина одного радиана (r) уместится 6,284 (2 * π) раза по всей окружности круга. Таким образом, один радиан равен 360 ^o / 2π = 57,3 ^o . В электротехнике очень часто используются радианы, поэтому важно помнить следующую формулу.

Определение радиана

Использование радиан в качестве единицы измерения для синусоидальной формы волны даст 2π радиан для одного полного цикла 360 ^o .Тогда половина синусоидального сигнала должна быть равна 1π радиан или просто π (пи). Тогда, зная, что пи, (π) равно 3,142, соотношение между градусами и радианами для синусоидальной формы волны, следовательно, дается как:

Связь между градусами и радианами

Применение этих двух уравнений к различным точкам на осциллограмме дает.

Преобразование между градусами и радианами для более распространенных эквивалентов, используемых в синусоидальном анализе, приведено в следующей таблице.

Связь между градусами и радианами

Градусов	Радианы	Градусов	Радианы	Градусов	Радианы
0 o	0	135 или	3π 4	270 или	3π 2
30 o	π 6	150 или	5π 6	300 или	5π 3
45 o	π 4	180 или	π	315 ​​ или	7π 4
60 o	π 3	210 или	7π 6	330 или	11π 6
90 o	π 2	225 или	5π 4	360 o	2π
120 o	2π 3	240 или	4π 3

Скорость, с которой генератор вращается вокруг своей центральной оси, определяет частоту синусоидального сигнала.Так как частота сигнала задается как Гц или циклов в секунду, форма сигнала также имеет угловую частоту ω (греческая буква омега) в радианах в секунду. Тогда угловая скорость синусоидального сигнала задается как.

Угловая скорость синусоидальной волны

, а в Соединенном Королевстве угловая скорость или частота сетевого питания задается как:

в США, так как их частота сети составляет 60 Гц, это может быть указано как: 377 рад / с

Итак, теперь мы знаем, что скорость, с которой генератор вращается вокруг своей центральной оси, определяет частоту синусоидальной формы волны, которую также можно назвать его угловой скоростью , ω.Но к настоящему времени мы также должны знать, что время, необходимое для завершения одного полного оборота, равно периодическому времени (T) синусоидального сигнала.

Поскольку частота обратно пропорциональна своему периоду времени, ƒ = 1 / T, мы можем, следовательно, заменить величину частоты в приведенном выше уравнении на эквивалентную периодическую величину времени, и подстановка дает нам.

Вышеприведенное уравнение утверждает, что для меньшего периодического времени синусоидального сигнала должна быть большая угловая скорость сигнала.Аналогично в приведенном выше уравнении для величины частоты, чем выше частота, тем выше угловая скорость.

Пример синусоидальной формы волны №1

Синусоидальная форма волны определяется как: V _м = 169,8 sin (377t) вольт. Рассчитайте среднеквадратичное значение напряжения сигнала, его частоту и мгновенное значение напряжения (V _i ) через шесть миллисекунд (6 мс).

Мы знаем из вышеизложенного, что общее выражение для синусоидальной формы волны:

Затем сравним это с нашим приведенным выше выражением для синусоидальной формы волны V _m = 169.8 sin (377t) даст нам пиковое значение напряжения 169,8 вольт для сигнала.

Осциллограммы Среднеквадратичное значение напряжения рассчитывается как:

Угловая скорость (ω) равна 377 рад / с. Тогда 2πƒ = 377. Итак, частота сигнала рассчитывается как:

Мгновенное значение напряжения V _и через время 6 мс задается как:

Обратите внимание, что угловая скорость в момент времени t = 6 мсек дана в радианах (радах).При желании мы могли бы преобразовать это значение в эквивалентный угол в градусах и использовать это значение вместо этого для вычисления мгновенного значения напряжения. Угол в градусах мгновенного значения напряжения, следовательно, задается как:

Синусоидальная форма волны

Тогда обобщенный формат, используемый для анализа и вычисления различных значений синусоидальной формы волны , выглядит следующим образом:

Синусоидальная форма волны

В следующем уроке о разности фаз мы рассмотрим взаимосвязь между двумя синусоидальными сигналами одной и той же частоты, но проходящими через горизонтальную нулевую ось в разные интервалы времени.

Генерация синусоидальных данных

Генерация синусоидальных данных

[Лаборатория]

Генерация одномерных и двухмерных синусоидальных волн имеет важное значение для создания тестовых шаблонов, цветовых карт, ядер фильтров и т. д. используются либо в пространственной, либо в частотной областях.

1D синусоидальные сигналы

Дискретный синусоидальный сигнал определяется его длиной ( W ), амплитуда ( A ), ее период ( T ) или частота ( f ) и фаза ( phi ). Мы можем измерить период в количестве пикселей (отсчетов), а частота — в количестве циклов на пиксель (или циклов на образец). Также можно указать период по n (количество циклов в пределах длины сигнала W ).

Синусоида, используемые параметры: A = 1, W = 50, n = 3 (или T = 50/3 пикселя), phi = 0)

Максимальный период, который мы должны заполнить для всего сигнала, — это длина сигнала (T = W). Напомним теорему выборки; минимальный период мы может дискретизировать синусоидальную волну в 2 пикселя.

а) волна максимального периода: T = W = 50; б) волна минимального периода: Т = 2, фи = 90 градусов

а)	б)

2D Синусоиды

Для 2D-изображений также может быть сгенерирована синусоидальная волна.Изображение представляет собой 2D синусоида, которая может двигаться в любом направлении. Мы можем указать это изображение путем указания параметров частоты и фазы в каждом направлении. Ниже приводится 2D волна. Его эффективный период составляет 14,14 пикселей, а волна направление 45 градусов.

Изображение синусоиды: используемые параметры: A = 1, W = 200, nw = 10 (или Tw = 20), phiw = 45, H = 100, nh = 5 (или Th = 20), phih = 90

а) первая линия двумерной синусоидальной волны; б) первый столбец двумерной синусоидальной волны

а)	б)

Волны с максимальным и минимальным периодом мы можем сгенерировать с помощью размер изображения выше T = 200 по ширине и T = 1.41 в 45 направление градусов. Важно помнить, что минимальный период не зависит от размера изображения.

а) 2D-волна максимального периода: Tw = 200, Th = 0; б) 2D-волна с минимальным периодом: Tw = Th = 2, phiw = phiw = 45 градусов.

а)	б)

Примечание: на высокочастотном изображении небольшая его часть увеличена и отображается над ним.

---

---

Главное меню DIP
Форма обратной связи DIP
Авторские права 1997–1995 KRI, ISTEC, Рамиро Джордн, Роберто Лотуфо.Все права защищены

Описание синусоидальных сигналов с помощью уравнений

Математика — это язык, который мы используем для понимания и передачи наших знаний об электрических взаимосвязях. Легко быть ошеломленным из-за некоторой сложности. Лучший подход — начать с самого фундаментального уровня и взять его оттуда.

Рассмотрим область синусоидальных сигналов. Во-первых, определение: синусоидальный сигнал соответствует:

В = A sin (2πft)

где, конечно, V = напряжение; A = максимальная амплитуда; f — частота в герцах; а t — время в секундах, поэтому f и t умножаются.Если вам нужно знать значение сигнала в произвольный момент, когда время принимается равным нулю, φ (фаза) добавляется к уравнению, чтобы получить

В = A sin (2πft + φ)

Величина 2πft известна как угловая частота и измеряется в радианах. Это обычно обозначается строчной Омегой (ω), последней буквой в классическом греческом алфавите. Уравнение:

В = А sin ωt

ω = 2πf

Это самые основные уравнения, которые характеризуют синусоидальный сигнал.В этом контексте возникают два вопроса. Во-первых, можно задаться вопросом, какое отношение π — иррациональное число, связывающее длину окружности с его диаметром и площадь круга с квадратом его радиуса, — имеет отношение к тому, как форма волны представляет колеблющийся электрический или электромагнитный сигнал. . Во-вторых, почему в уравнении есть термин, обозначающий частоту, который представляет амплитуду сигнала, изменяющуюся во времени?

Что касается повсеместности π, простой способ визуализировать отношение синусоидальной волны к окружности — это построить прямоугольный треугольник на сетке, созданной осью X-Y в двумерном пространстве, как показано на экране осциллографа.Ось X определяется как представляющая различные моменты времени (например, секунды), а ось Y определяется как сопутствующее изменение амплитуды (например, вольт).

По мере того как амплитуда колеблющегося синусоидального сигнала изменяется во времени, точки, представляющие мгновенное время и амплитуду, перемещаются вдоль соответствующих осей X и Y. Это потому, что с течением времени изменяется амплитуда синусоидального сигнала. Однако примечательно то, что соотношение величин, отображаемых на графике или на осциллографе, не является постоянным.

В частности, когда точка по оси Y удаляется от 0, скорость изменения точки по оси X падает. Если посмотреть на график синусоидальной волны во временной области, то чем выше амплитуда в вольтах, тем ниже скорость изменения этой амплитуды; чем ниже амплитуда в вольтах, тем выше скорость изменения этой амплитуды. Соотношение этих величин меняется, но поскольку течение времени постоянно, все эти изменения скорости проявляются по амплитуде. В этом суть синусоиды.

При изменении угловой скорости будет видно, что точка пересечения горизонтальной и вертикальной линий перемещается в пределах графика или дисплея, образуя идеальный круг. Синусоидальное соотношение амплитуды и скорости изменения амплитуды, когда показано на полярном графике, отображается в виде круга. Если мы проведем прямую линию между пересечением X и Y, известным как начало координат, и движущейся точкой, ее длина будет постоянной, а конечная точка образует идеальный круг, и это является обоснованием наличия π.

Синусоидальная волна может быть представлена ​​в виде амплитуды Y вращающегося единичного вектора. Точно так же косинус можно представить как амплитуду вектора по оси X.

Более того, эта линия образует гипотенузу прямоугольного треугольника, размещенного на сетке X-Y. В тригонометрии отношение стороны, противоположной углу, образованному движущейся линией, известной как вектор, и гипотенузой, является постоянным для всех прямоугольных треугольников. Это значение является синусом, и его можно найти, обратившись к книге тригонометрических значений, также доступной в Интернете.

Это подводит нас к вопросу о том, почему частотный член присутствует в форме волны, генерируемой путем построения графика зависимости амплитуды от времени.

Электромагнитный спектр состоит из излучения различных частот. Иногда более полезно думать о длине волны, а не о ее обратной частоте. Самая короткая длина волны или излучение, которое можно реалистично описать, равна планковской длине, одной дискретной зернистости квантового пространства. Он невообразимо маленький, около 1.6 × 10 ^-20 диаметров протона!

Столь же ошеломляющий, на другом конце спектра, находится самая большая длина волны: она охватывает диаметр наблюдаемой Вселенной. Частота обратно пропорциональна длине волны, и мощность, содержащаяся в любом заданном выбросе энергии, сильно меняется при изменении частоты и длины волны. Требуется большая мощность, чтобы заставить звуковые, электрические или электромагнитные волны колебаться с большей скоростью. Наиболее мощное электромагнитное излучение, гамма-излучение, не имеет нижнего предела для длины волны, кроме как налагаемое длиной Планка, поэтому они могут иметь невообразимо высокую частоту и мощность.

Синусоидальная волна — самая основная из бесконечного множества форм волны. Любая форма волны, которая не является чистой синусоидой, будет иметь часть своей мощности на частотах, отличных от основной. Джозеф Фурье (1768-1830) проанализировал это поведение в контексте распространения тепла. Его преобразование Фурье обозначает как математический процесс, так и конечный результат, когда несинусоидальный сигнал переводится из временной области в частотную. В этой операции сложная форма волны преобразуется и отображается, возможно, в виде гистограммы, как мощность синусоидальных волн на дискретных частотах.

Утверждение состоит в том, что любая несинусоидальная форма волны, независимо от ее сложности, может быть разложена на составляющие синусоидальные волны. Этот процесс обратим, и его можно пересчитывать любое количество раз без потери информации. Преобразование Фурье требует сложных вычислений. В 1960-х годах был разработан гораздо более простой способ выполнения преобразования Фурье, получивший название быстрого преобразования Фурье (БПФ). Он использует теорию матриц вместе с простыми алгоритмами, чтобы обойти всю эту сложную математику.БПФ встроено в один тип анализатора спектра и практически во все современные цифровые осциллографы, позволяя пользователям нажимать кнопку для просмотра сложного несинусоидального сигнала во временной области как суммы дискретных синусоидальных волн на различных частотах, кроме основной.

AWR Visual System Simulator Каталог системных блоков: Синусоида Источник: SINE

SINE — это блок общего назначения, который генерирует реальные или сложные сигналы SINE. Когда при работе с радиочастотными сигналами следует использовать блок TONE вместо SINE.

Имя	Тип данных	Описание	Тип агрегата	По умолчанию
ID		Идентификатор элемента	Текст	A1
FRQ	R	Частоты	Частота	1 ГГц
AMPL	R	Амплитуды	Скаляр	1
PHS	R	Сдвиги фаз	Уголок	0
CTRFRQ	R	Центральная частота	Частота
SMPFRQ	R	Частота дискретизации	Частота
* SMPSYM	I	Образцов на символ	Скаляр	_SMPSYM
* BLKSZ	I	Образцов за проход	Скаляр	_BLKSZ * _SMPSYM

* обозначает вторичный параметр

ЧТ. Частоты синусоидальной волны. Множественные синусоидальные волны может быть сгенерирован путем ввода вектора, содержащего частоты.

AMPL. Амплитуда каждой синусоидальной волны. Если есть меньше записей, чем указано в FRQ, значение последней записи в AMPL повторяется для остальных синусоид. См. Подробности реализации для примера.

PHS. Смещение фазы для каждой синусоидальной волны. Если там меньше записей, чем частот, указанных в FRQ, значение последнего запись в PHS повторяется для остальных синусоид. Обратитесь к реализации Подробности для примера.

CTRFRQ. Если генерируемый сигнал сложный, это центральная частота сигнала.Центральная частота не используется для реальных сигналов. Если оставить это поле пустым, центральная частота будет установлена ​​на среднее значение всех синусоидальных волн. частоты.

SMPFRQ. Частота дискретизации сигнала. Если оставьте пустым, это будет определено автоматически, как показано ниже. Если нет ничего другого в сигнальном тракте ниже по потоку, чтобы помочь определить частоту дискретизации, затем частота установлена ​​на _SMPFRQ = _DRATE * _SMPSYM из Параметры> Параметры системы по умолчанию меню проекта.Частота дискретизации также может передаваться обратно к синусоиде. block, если он указан где-то еще в цепочке. Например, это происходит, когда сигнал с заданной частотой дискретизации проходит через смеситель (сумматор, сумматор и т. д.) для которого SINE является LO. Затем частота дискретизации SINE устанавливается на значение обратное распространение через блок с двумя входами.

СМПСЫМ. Число выборок на связанный символ с сигналом. Хотя это напрямую не применимо к синусоидальной форме волны, выборок на символ используется различными блоками для определения полосы пропускания данных, то есть частоты дискретизации. делится на количество отсчетов на символ.

БЛКСЗ. Количество выборок, генерируемых каждый раз блок посещается.

При установке на реальные данные, SINE генерирует следующий сигнал:

, где AMPL [i], FRQ [i] и PHS [i] — i-е члены соответствующих параметров и t — текущее время моделирования.

При установке для сложных данных SINE генерирует следующий сигнал:

, где s ^~ (t) представляет собой сигнал комплексной огибающей при центральная частота CTRFRQ.

Несколько синусоидальных волн генерируются, когда FRQ задан как вектор, например:

 FRQ = {1, 2, 3} ГГц 

В этом примере синусоидальные волны будут генерироваться на частотах 1 ГГц, 2 ГГц и 3 ГГц.AMPL и Затем параметры PHS могут быть установлены в векторы, чтобы указать индивидуальные настройки для каждого частота:

 AMPL = {10, 11, 12} 

 PHS = {20, 30, 40} Deg 

Вы также можете указать меньшее количество значений для AMPL и PHS, в этом случае последнее указанное значение повторяется:

 AMPL = {10, 11} 

будет эквивалентно:

 AMPL - {10, 11, 11} 

.