Site Loader

Содержание

Система счисления

Система счисления

                                                 Система счисления

Система счисления — это способ записи чисел с помощью заданного набора специальных символов.

Существуют позиционные и непозиционные системы счисления.
В непозиционных системах счисления вес цифры (то есть тот вклад, который она вносит в значение числа) не зависит от ее позиции в записи числа. Так, в римской системе счисления в числе ХХХII (тридцать два) вес цифры Х в любой позиции равен просто десяти. В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число.
Например, в числе 357,6  первый символ  3 означает 3 сотни; второй символ 5 означает 5 десятков, третий символ  7 означает 7 единиц, а четвертый символ  6 означает 6 десятых долей единицы.

Любая позиционная система счисления характеризуется своим основанием.


Основание позиционной системы счисления — это количество различных символов, используемых для изображения чисел в данной системе счисления.

В настоящее время, кроме хорошо известной нам десятичной системы счисления в вычислительной технике используются  двоичная, восьмеричная, и шестнадцатеричная системы счисления. Все применяемые в настоящее время системы счисления позиционные.

В десятичной системе счисления для изображения чисел используются 10 символов: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Поэтому основанием десятичной системы счисления является число 10.

В двоичной системе счисления для изображения чисел используется 2 символа: 0,  1. Поэтому основанием двоичной системы счисления является число 2.

В восьмеричной системе счисления для изображения чисел используются 8 символов: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Поэтому основанием восьмеричной системы счисления является число 8.

В шестнадцатеричной системе счисления для изображения чисел используются 16 символов: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, B, C, D, E, F, где:

А = 10;   B = 11;  C = 12;  D = 13;  E = 14;  F = 15.

Поэтому основанием шестнадцатеричной системы счисления является число 16.

 

Перевод целого числа из десятичной системы счисления в любую другую систему счисления.

При переводе целого числа из десятичной системы счисления в любую другую систему счисления, нужно это число последовательно делить на основание новой системы счисления так, чтобы в остатках от деления были только символы новой системы счисления. Число в новой системе счисления записывается как последовательность остатков от деления, записанных в обратном порядке, начиная с последнего.

Например,  переведём число 75 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления:

                                       

 

Таким образом, число 7510 = 10010112 = 1138 = 4В16

 

Перевод дробной части числа из десятичной системы счисления в любую другую систему счисления.

При переводе дробной части числа из десятичной системы счисления в любую другую систему счисления, нужно дробную часть числа последовательно умножать на основание новой системы счисления. Дробная часть числа в новой системе счисления записывается как последовательность целых частей от умножения, записанных в прямом порядке, начиная с первого.

Например,  переведём дробное число 0, 96 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления:

                              

 

Таким образом, число 0,9610 = 0,1111012 = 0,753418 = 0.F5C28F16                                        

  

 Перевод чисел из любой системы счисления в десятичную систему счисления.

При переводе числа из любой системы счисления в десятичную систему счисления нужно каждый символ этого числа умножить на основание системы счисления, в которой записано это число, в степени соответствующей положению символа в записи числа и все произведения сложить.

 

Например:

1) переведём число 101100, 10112  из двоичной системы счисления в десятичную систему счисления:

101100, 1012 = 1*25 + 0*24 + 1*23 + 1*22 + 0*21 + 0*2+ 1*2-1 + 0*2-2 + 1*2-3  =
 = 32 + 0 + 8 + 4 + 0 + 0 + 0,5 + 0 + 0,125 = 44, 62510

 

2) переведём число 375, 624

8  из восьмеричной системы счисления в десятичную систему счисления:

375, 624

8  = 3*82 + 7*81 + 5*80 + 6*8-1 + 2*8-2 + 4*8-3 =

= 192 + 56 + 5 + 0,75 + 0,03125 + 0,00781835938 = 253, 78906835938

10

 

3) переведём число ACF, 5D

16  из шестнадцатеричной системы счисления в десятичную систему счисления:

ACF, 5D

16  = 10*162 + 12*16
1
+ 15*160 + 5*16-1 + 13*16-2 =
= 256 + 192 + 15 + 0,3125 + 0,050775 = 463, 36327510

 

    Перевод чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную систему счисления.

При переводе числа из двоичной системы счисления в восьмеричную систему счисления, нужно это число влево и вправо от запятой разбить на триады символов (группы по три символа) и каждую триаду записать в виде символа восьмеричной системы счисления. В том случае, если крайняя левая или правая триады получаются неполными, нужно в этих триадах слева добавить недостающее количество до полной триады нулей.

Например, переведём число 1101111100, 11100111

2 в восьмеричную систему счисления.

                                            

                 

 

    Перевод чисел из восьмеричной системы счисления в двоичную систему счисления.

При переводе числа из восьмеричной системы счисления в двоичную систему счисления, нужно каждый символ этого числа записать в виде триады символов двоичной системы счисления. В том случае, если при записи очередного символа триадой, триада получается неполной, нужно в этой триаде слева добавить недостающее количество до полной триады нулей.

Например, переведём число 6374, 25

8  в двоичную систему счисления.

                                             

                                            

    Перевод чисел из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную систему счисления.

При переводе числа из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную систему счисления, нужно это число влево и вправо от запятой разбить на тетрады символов (группы по три четыре) и каждую тетраду записать в виде символа шестнадцатеричной системы счисления. В том случае, если крайняя левая или правая тетрада получаются неполными, нужно в этих тетрадах слева добавить недостающее количество до полной тетрады нулей.

Например, переведём число 1101111100, 11100111

2 в шестнадцатеричную систему счисления.

                                  

                      

 

    Перевод чисел из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную систему счисления.

При переводе числа из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную систему счисления, нужно каждый символ этого числа записать в виде тетрады символов двоичной системы счисления. В том случае, если при записи очередного символа тетрадой, тетрада получается неполной, нужно в этой тетраде слева добавить недостающее количество до полной тетрады нулей.

Например, переведём число АЕС2, 3В

16  в двоичную систему счисления.

                            

                              

                                                      

     

                                               Двоичная арифметика.

 

Сложение чисел в двоичной системе счисления.

При сложении чисел в двоичной системе счисления, нужно использовать следующую таблицу сложения:

                                                    1 + 0 = 1

                                                    0 + 1 = 1

                                                    0 + 0 = 0

                                                    1 + 1 = 10

                                            

Например, сложим числа 11011112    и    10111012                                             

                                            

 

Умножение чисел в двоичной системе счисления.

При умножении чисел в двоичной системе счисления, нужно использовать следующую таблицу умножения:

                                                    1 * 0 = 0

                                                    0 * 1 = 0

                                                    0 * 0 = 0

                                                    1 * 1 = 1

 

Например, перемножим числа 111112    и    1012

                                             

 

 Вычитание чисел в двоичной системе счисления.

Вычитание чисел в двоичной системе счисления заменяется сложением уменьшаемого и  вычитаемого. Вычитаемое при этом записывается в обратном коде.

Обратный код получается из прямого кода путём замены всех нулей на 1, а всех единиц на 0.

Процесс вычитания чисел в двоичной системе счисления происходит в два этапа.

На первом этапе выравнивается количество разрядов у уменьшаемого и вычитаемого и добавляются знаковые разряды. В знаковом разряде у положительного числа записывается 1, а в знаковом разряде у отрицательного числа записывается 0.

На втором этапе вычитаемое записывается в обратном коде. Для этого все нули у вычитаемого заменяются на 1 а все единицы у вычитаемого заменяются на 0.

Затем происходит сложение уменьшаемого, записанного в прямом коде с вычитаемым, записанным в обратном коде.

На этом же этапе происходит анализ полученного ответа.

 

Вычтем из большего числа меньшее число:    110111101 – 10110112

                         

 

Анализ ответа говорит о том, что ответ положителен (так как в знаковом разряде стоит 0), и поэтому он записан в прямом коде.

Таким образом, ответ:  1011000102                             

 

Вычтем из меньшего числа большее число:      110111 – 11101101

 

                                                    

 

Анализ ответа говорит о том, что ответ отрицателен (так как в знаковом разряде стоит 1), и поэтому он записан пока что в обратном коде. Для получения окончательного ответа нужно преобразовать его в прямой код, то есть заменить все нули на 1 а все единицы на 0.

Таким образом, окончательный ответ:  — 101101102                             

 

                                                                                           В начало страницы 

 

 

 

 

 

 


Системы счисления

Основные понятия систем счисления

 

Система счисления — это совокупность правил и приемов записи чисел с помощью набора цифровых знаков. Количество цифр, необходимых для записи числа в системе, называют основанием системы счисления. Основание системы записывается в справа числа в нижнем индексе: ; ;  и т. д.

Различают два типа систем счисления:

 позиционные, когда значение каждой цифры числа определяется ее позицией в записи числа;

 непозиционные, когда значение цифры в числе не зависит от ее места в записи числа.

Примером непозиционной системы счисления является римская: числа IX, IV, XV и т.д. Примером позиционной системы счисления является десятичная система, используемая повседневно.

Любое целое число в позиционной системе можно записать в форме многочлена:

где S — основание системы счисления;

 — цифры числа, записанного в данной системе счисления;

n — количество разрядов числа.

Пример. Число  запишется в форме многочлена следующим образом:

Виды систем счисления

Римская система счисления является непозиционной системой. В ней для записи чисел используются буквы латинского алфавита. При этом буква I всегда означает единицу, буква — V пять, X — десять, L — пятьдесят, C — сто, D — пятьсот, M — тысячу и т.д. Например, число 264 записывается в виде CCLXIV. При записи чисел в римской системе счисления значением числа является алгебраическая сумма цифр, в него входящих. При этом цифры в записи числа следуют, как правило, в порядке убывания их значений, и не разрешается записывать рядом более трех одинаковых цифр. В том случае, когда за цифрой с большим значением следует цифра с меньшим, ее вклад в значение числа в целом является отрицательным. Типичные примеры, иллюстрирующие общие правила записи чисел в римской система счисления, приведены в таблице.

 

Таблица 2. Запись чисел в римской системе счисления

1

2

3

4

5

I

II

III

IV

V

6

7

8

9

10

VI

VII

VIII

IX

X

11

13

18

19

22

XI

XIII

XVIII

XIX

XXII

34

39

40

60

99

XXXIV

XXXIX

XL

LX

XCIX

200

438

649

999

1207

CC

CDXXXVIII

DCXLIX

CMXCIX

MCCVII

2045

3555

3678

3900

3999

MMXLV

MMMDLV

MMMDCLXXVIII

MMMCM

MMMCMXCIX

Недостатком римской системы является отсутствие формальных правил записи чисел и, соответственно, арифметических действий с многозначными числами. По причине неудобства и большой сложности в настоящее время римская система счисления используется там, где это действительно удобно: в литературе (нумерация глав), в оформлении документов (серия паспорта, ценных бумаг и др.), в декоративных целях на циферблате часов и в ряде других случаев.

Десятичня система счисления – в настоящее время наиболее известная и используемая. Изобретение десятичной системы счисления относится к главным достижениям человеческой мысли. Без нее вряд ли могла существовать, а тем более возникнуть современная техника. Причина, по которой десятичная система счисления стала общепринятой, вовсе не математическая. Люди привыкли считать в десятичной системе счисления, потому что у них по 10 пальцев на руках.

Древнее изображение десятичных цифр (рис. 1) не случайно: каждая цифра обозначает число по количеству углов в ней. Например, 0 — углов нет, 1 — один угол, 2 — два угла и т.д. Написание десятичных цифр претерпело существенные изменения. Форма, которой мы пользуемся, установилась в XVI веке.

 

 

Десятичная система впервые появилась в Индии примерно в VI веке новой эры. Индийская нумерация использовала девять числовых символов и нуль для обозначения пустой позиции. В ранних индийских рукописях, дошедших до нас, числа записывались в обратном порядке — наиболее значимая цифра ставилась справа. Но вскоре стало правилом располагать такую цифру с левой стороны. Особое значение придавалось нулевому символу, который вводился для позиционной системы обозначений. Индийская нумерация, включая нуль, дошла и до нашего времени. В Европе индусские приёмы десятичной арифметики получили распространение в начале ХIII в. благодаря работам итальянского математика Леонардо Пизанского (Фибоначчи). Европейцы заимствовали индийскую систему счисления у арабов, назвав ее арабской. Это исторически неправильное название удерживается и поныне.

Десятичная система использует десять цифр – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9, а также символы “+” и “–” для обозначения знака числа и запятую или точку для разделения целой и дробной частей числа.

В вычислительных машинах используется двоичная система счисления, её основание — число 2. Для записи чисел в этой системе используют только две цифры — 0 и 1. Вопреки распространенному заблуждению, двоичная система счисления была придумана не инженерами-конструкторами ЭВМ, а математиками и философами задолго до появления компьютеров, еще в ХVII — ХIХ веках. Первое опубликованное обсуждение двоичной системы счисления принадлежит испанскому священнику Хуану Карамюэлю Лобковицу (1670 г.). Всеобщее внимание к этой системе привлекла статья немецкого математика Готфрида Вильгельма Лейбница, опубликованная в 1703 г. В ней пояснялись двоичные операции сложения, вычитания, умножения и деления. Лейбниц не рекомендовал использовать эту систему для практических вычислений, но подчёркивал её важность для теоретических исследований. Со временем двоичная система счисления становится хорошо известной и получает развитие.

Выбор двоичной системы для применения в вычислительной технике объясняется тем, что электронные элементы — триггеры, из которых состоят микросхемы ЭВМ, могут находиться только в двух рабочих состояниях.

С помощью двоичной системы кодирования можно зафиксировать любые данные и знания. Это легко понять, если вспомнить принцип кодирования и передачи информации с помощью азбуки Морзе. Телеграфист, используя только два символа этой азбуки — точки и тире, может передать практически любой текст.

Двоичная система удобна для компьютера, но неудобна для человека: числа получаются длинными и их трудно записывать и запоминать. Конечно, можно перевести число в десятичную систему и записывать в таком виде, а потом, когда понадобится перевести обратно, но все эти переводы трудоёмки. Поэтому применяются системы счисления, родственные двоичной — восьмеричная и шестнадцатеричная. Для записи чисел в этих системах требуется соответственно 8 и 16 цифр. В 16-теричной первые 10 цифр общие, а дальше используют заглавные латинские буквы. Шестнадцатеричная цифра A соответствует десятеричному числу 10, шестнадцатеричная B – десятичному числу 11 и т. д. Использование этих систем объясняется тем, что переход к записи числа в любой из этих систем от его двоичной записи очень прост. Ниже приведена таблица соответствия чисел, записанных в разных системах.

 

Таблица 3. Соответствие чисел, записанных в различных системах счисления

Десятичная

Двоичная

Восьмеричная

Шестнадцатеричная

1

001

1

1

2

010

2

2

3

011

3

3

4

100

4

4

5

101

5

5

6

110

6

6

7

111

7

7

8

1000

10

8

9

1001

11

9

10

1010

12

A

11

1011

13

B

12

1100

14

C

13

1101

15

D

14

1110

16

E

15

1111

17

F

16

10000

20

10

 

Правила перевода чисел из одной системы счисления в другую

 

Перевод чисел из одной системы счисления в другую составляет важную часть машинной арифметики. Рассмотрим основные правила перевода.

1. Для перевода двоичного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 2, и вычислить по правилам десятичной арифметики:

При переводе удобно пользоваться таблицей степеней двойки:

 

Таблица 4. Степени числа 2

 

n (степень)

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

2

4

8

16

32

64

128

256

512

1024

 

 

Пример . Число  перевести в десятичную систему счисления.

2. Для перевода восьмеричного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 8, и вычислить по правилам десятичной арифметики:

 

При переводе удобно пользоваться таблицей степеней восьмерки:

Таблица 5. Степени числа 8

 

n (степень)

0

1

2

3

4

5

6

1

8

64

512

4096

32768

262144

 

 

Пример . Число  перевести в десятичную систему счисления.

3. Для перевода шестнадцатеричного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 16, и вычислить по правилам десятичной арифметики:

При переводе удобно пользоваться таблицей степеней числа 16:

Таблица 6. Степени числа 16

 

n (степень)

0

1

2

3

4

5

6

1

16

256

4096

65536

1048576

16777216

 

 

Пример . Число  перевести в десятичную систему счисления.

4. Для перевода десятичного числа в двоичную систему его необходимо последовательно делить на 2 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 1. Число в двоичной системе записывается как последовательность последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.

Пример. Число  перевести в двоичную систему счисления.

5. Для перевода десятичного числа в восьмеричную систему его необходимо последовательно делить на 8 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 7. Число в восьмеричной системе записывается как последовательность цифр последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.

Пример. Число перевести в восьмеричную систему счисления.

 

6. Для перевода десятичного числа в шестнадцатеричную систему его необходимо последовательно делить на 16 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 15. Число в шестнадцатеричной системе записывается как последовательность цифр последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.

Пример. Число перевести в шестнадцатеричную систему счисления.

 

7. Чтобы перевести число из двоичной системы в восьмеричную, его нужно разбить на триады (тройки цифр), начиная с младшего разряда, в случае необходимости дополнив старшую триаду нулями, и каждую триаду заменить соответствующей восьмеричной цифрой (табл. 3).

Пример. Число перевести в восьмеричную систему счисления.

8. Чтобы перевести число из двоичной системы в шестнадцатеричную, его нужно разбить на тетрады (четверки цифр), начиная с младшего разряда, в случае необходимости дополнив старшую тетраду нулями, и каждую тетраду заменить соответствующей восьмеричной цифрой (табл. 3).

Пример. Число  перевести в шестнадцатеричную систему счисления.

9. Для перевода восьмеричного числа в двоичное необходимо каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной триадой.

Пример. Число  перевести в двоичную систему счисления.

10. Для перевода шестнадцатеричного числа в двоичное необходимо каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной тетрадой.

Пример. Число  перевести в двоичную систему счисления.

11. При переходе из восьмеричной системы счисления в шестнадцатеричную и обратно, необходим промежуточный перевод чисел в двоичную систему.

Пример 1. Число  перевести в восьмеричную систему счисления.

Пример 2. Число  перевести в шестнадцатеричную систему счисления.

8-ная и 16-ная системы счисления | Практическая информатика

При наладке аппаратных средств ЭВМ или создании новой программы возникает необходимость «заглянуть внутрь» памяти машины, чтобы оценить ее текущее состояние. Но там все заполнено длинными последовательностями нулей и единиц двоичных чисел. Эти последовательности очень неудобны для восприятия человеком, привыкшим к более короткой записи десятичных чисел. Кроме того, естественные возможности человеческого мышления не позволяют оценить быстро и точно величину числа, представленного, например, комбинацией из 16 нулей и единиц.

Для облегчения восприятия двоичного числа решили разбивать его на группы разрядов, например, по три или четыре разряда. Эта идея оказалась очень удачной, так как последовательность из трех бит имеет 8 комбинаций, а последовательность из 4 бит — 16. Числа 8 и 16 являются степенями двойки, поэтому легко находить соответствие с двоичными числами. Развивая эту идею, пришли к выводу, что группы разрядов можно закодировать, сократив при этом длину последовательности знаков. Для кодировки трех битов требуется восемь цифр, поэтому взяли цифры от 0 до 7 десятичной системы. Для кодировки же четырех битов необходимо шестнадцать знаков; для этого взяли 10 цифр десятичной системы и 6 букв латинского алфавита: A, B, C, D, E, F. Полученные системы, имеющие основания 8 и 16, назвали соответственно восьмеричной и шестнадцатеричной.

В восьмеричной (octal) системе счисления используются восемь различных цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Основание системы — 8. При записи отрицательных чисел перед последовательностью цифр ставят знак минус. Сложение, вычитание, умножение и деление чисел, представленных в восьмеричной системе, выполняются весьма просто подобно тому, как это делают в общеизвестной десятичной системе счисления. В различных языках программирования запись восьмеричных чисел начинается с 0, например, запись 011 означает число 9.

В шестнадцатеричной (hexadecimal) системе счисления применяется десять различных цифр и шесть первых букв латинского алфавита. При записи отрицательных чисел слева от последовательности цифр ставят знак минус. Для того чтобы при написании компьютерных программ отличить числа, записанные в шестнадцатеричной системе, от других, перед числом ставят 0x. То есть 0x11 и 11 — это разные числа. В других случаях можно указать основание системы счисления нижним индексом.

Шестнадцатеричная система счисления широко используется при задании различных оттенков цвета при кодировании графической информации (модель RGB). Так, в редакторе гипертекста Netscape Composer можно задавать цвета для фона или текста как в десятичной, так и шестнадцатеричной системах счисления.

 

Таблица шестнадцатеричной системы счисления. Иллюстрированный самоучитель по цифровой графике

Шестнадцатеричная система счисления , на сегодняшний день является наиболее популярным средством компактной записи двоичных чисел. Очень широко используется при разработке и проектировании цифровой техники.

Как следует из названия, основанием данной системы является число шестнадцать 16 или в шестнадцатеричной системе 10 16 . Чтобы не было путаницы, при записи чисел в системах счисления отличных от десятичных, справа внизу от основной записи числа будем указывать основание системы счисления. Раз основанием системы является число шестнадцать, значит, для изображения чисел нам потребуется шестнадцать цифр. Первые десять цифр берутся из, привычной нам, десятичной системы (0,1,..,8,9) и еще добавляются шесть букв латинского алфавита (a,b,c,d,e,f) . Например в шестнадцатеричном числе 3f7c2 буквы «f» и «c» являются шестнадцатеричными цифрами.

Счет в шестнадцатеричной системе происходит аналогично счету в десятичной. Давайте попробуем считать и записывать числа конструируя их из имеющихся шестнадцати цифр:

Ноль 0 ;
Один 1 ;
Два 2 ;

и так далее…

Восемь 8 ;
Девять 9 ;
Десять a ;
Одиннадцать b ;
Двенадцать c ;
Тринадцать d ;
Четырнадцать e ;
Пятнадцать f ;

А что делать дальше? Все цифры кончились. Как же изобразить число Шестнадцать? Поступим аналогично тому как мы поступали в десятичной системе. Там мы вводили понятие десятка, здесь же введем понятие «шестнадцать» и скажем, что шестнадцать — это одина «шестнадцать» и ноль единиц. А это уже можно и записать — «10 16 «.

Итак, Шестнадцать 10 16 (одна «шестнадцать», ноль единиц)
Семнадцать 11 16 (одна «шестнадцать», одна единица)

и так далее…

Двадцать пять 19 16 (одна «шестнадцать», девять единиц)
Двадцать шесть 1a 16 (одна «шестнадцать», десять единиц)
Двадцать семь 1b 16 (одна «шестнадцать», одинадцать единиц)

и так далее…

Тридцать 1e 16 (одна «шестнадцать», четырнадцать единиц)
Тридцать один 1f 16 (одна «шестнадцать», пятнадцать единиц)
Тридцать два 20 16 (две «шестнадцать», ноль единиц)
Тридцать три 21 16 (две «шестнадцать», одна единица)

и так далее…

Двести пятьдесят пять ff 16 (пятнадцать по «шестнадцать», пятнадцать единиц)

Двести пятьдесят шесть 100 16 (одна «Двести пятьдесят шесть», ноль по «шестнадцать», ноль единиц)
Двести пятьдесят семь 101 16 (одна «Двести пятьдесят шесть», ноль по «шестнадцать», одна единица)
Двести пятьдесят восемь 102 16 (одна «Двести пятьдесят шесть», ноль по «шестнадцать», две единицы)

и так далее…

Всегда, когда у нас исчерпался набор цифр для отображения следующего числа, мы вводим более крупные единицы счета (т.е. считаем по «шестнадцать», по «Двести пятьдесят шесть» и т.д.) и записываем число с удлинением на один разряд.

Рассмотрим число 3e2c 16 записанное в шестнадцатиричной системе счисления. Про него можно сказать, что оно содержит: три по четыре тысячи девяносто шесть, «e» (четырнадцать) по двести пятьдесят шесть, два по шестнадцать и «c» (двенадцать) единиц. И получить его значение через входящие в него цифры можно следующим образом.

3e2c 16 = 3 *4096+14 *256+2 *16+12 *1, здесь и далее знак * (звездочка) означает умножение.

Но ряд чисел 4096, 256, 16, 1 есть не что иное, как целые степени числа шестнадцать (основания системы счисления) и поэтому можно записать:

3e2c 16 = 3 *16 3 +14 *16 2 +2 *16 1 +12 *16 0

Подобным образом для шестнадцатиричной дроби (дробного числа) например: 0.5a2 16 про него можно сказать, что оно содержит: пять шестнадцатых, «a» (десять) двести пятьдесят шестых и две четыретысячи девяносто шестых долей. И его значение можно вычислить следующим образом:

0.5a2 16 = 5 *(1/16) + 10 *(1/256) + 2 *(1/4096)

И здесь ряд чисел 1/16; 1/256 и 1/4096 есть не что иное, как целые степени числа шестнадцать и мы также можем записать:

0.5a2 16 = 5 *16 -1 + 10 *16 -2 + 2 *16 -3

Для смешанного числа 7b2.1f9 аналогичным образом можем записать:

7b2.1f9 = 7 *16 2 +11 *16 1 +2 *16 0 +1 *16 -1 +15 *16 -2 +9 *16 -3

Пронумеруем разряды целой части некоторого шестнадцатиричного числа, справа налево, как 0,1,2…n (нумерация начинается с нуля!). А разряды дробной части, слева направо, как -1,-2,-3…-m, то значение некоторого шестнадцатиричного числа может быть вычислено по формуле:

N = d n 16 n +d n-1 16 n-1 +…+d 1 16 1 +d 0 16 0 +d -1 16 -1 +d -2 16 -2 +…+d -(m-1) 16 -(m-1) +d -m 16 -m

Где: n — количество разрядов в целой части числа минус единица;
m — количество разрядов в дробной части числа
d i — цифра стоящая в i -м разряде

Эта формула называется формулой поразрядного разложения шестнадцатиричного числа, т.е. числа записанного в шестнадцатиричной системе счисления. Если мы в этой формуле заменим число шестнадцать на некоторое произвольное число q , то получим формулу разложения для числа записанного в q-й системе счисления, т.е. с основанием q :

N = d n q n +d n-1 q n-1 +…+d 1 q 1 +d 0 q 0 +d -1 q -1 +d -2 q -2 +…+d -(m-1) q -(m-1) +d -m q -m

По этой формуле всегда можно вычислить значение числа записанного в любой позиционной системе счисления с основанием q .

С другими системами счисления можно познакомиться на нашем сайте по следующим ссылкам.

Результат уже получен!

Системы счисления

Существуют позиционные и не позиционные системы счисления. Арабская система счисления, которым мы пользуемся в повседневной жизни, является позиционной, а римская − нет. В позиционных системах счисления позиция числа однозначно определяет величину числа. Рассмотрим это на примере числа 6372 в десятичном системе счисления. Пронумеруем это число справа налево начиная с нуля:

Тогда число 6372 можно представить в следующем виде:

6372=6000+300+70+2 =6·10 3 +3·10 2 +7·10 1 +2·10 0 .

Число 10 определяет систему счисления (в данном случае это 10). В качестве степеней взяты значения позиции данного числа.

Рассмотрим вещественное десятичное число 1287.923. Пронумеруем его начиная с нуля позиции числа от десятичной точки влево и вправо:

Тогда число 1287.923 можно представить в виде:

1287.923 =1000+200+80 +7+0.9+0.02+0.003 = 1·10 3 +2·10 2 +8·10 1 +7·10 0 +9·10 -1 +2·10 -2 +3·10 -3 .

В общем случае формулу можно представить в следующем виде:

Ц n ·s n +Ц n-1 ·s n-1 +…+Ц 1 ·s 1 +Ц 0 ·s 0 +Д -1 ·s -1 +Д -2 ·s -2 +…+Д -k ·s -k

где Ц n -целое число в позиции n , Д -k — дробное число в позиции (-k), s — система счисления.

Несколько слов о системах счисления.Число в десятичной системе счисления состоит из множества цифр {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, в восьмеричной системе счисления — из множества цифр {0,1,2,3,4,5,6,7}, в двоичной системе счисления — из множества цифр {0,1}, в шестнадцатеричной системе счисления — из множества цифр {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F}, где A,B,C,D,E,F соответствуют числам 10,11,12,13,14,15.В таблице Таб.1 представлены числа в разных системах счисления.

Таблица 1
Система счисления
10 2 8 16
0 0 0 0
1 1 1 1
2 10 2 2
3 11 3 3
4 100 4 4
5 101 5 5
6 110 6 6
7 111 7 7
8 1000 10 8
9 1001 11 9
10 1010 12 A
11 1011 13 B
12 1100 14 C
13 1101 15 D
14 1110 16 E
15 1111 17 F

Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Для перевода чисел с одной системы счисления в другую, проще всего сначала перевести число в десятичную систему счисления, а затем, из десятичной системы счисления перевести в требуемую систему счисления.

Перевод чисел из любой системы счисления в десятичную систему счисления

С помощью формулы (1) можно перевести числа из любой системы счисления в десятичную систему счисления.

Пример 1. Переводить число 1011101.001 из двоичной системы счисления (СС) в десятичную СС. Решение:

1 ·2 6 +0 ·2 5 +1 ·2 4 +1 ·2 3 +1 ·2 2 +0 ·2 1 +1 ·2 0 +0 ·2 -1 +0 ·2 -2 +1 ·2 -3 =64+16+8+4+1+1/8=93.125

Пример 2. Переводить число 1011101.001 из восьмеричной системы счисления (СС) в десятичную СС. Решение:

Пример 3 . Переводить число AB572.CDF из шестнадцатеричной системы счисления в десятичную СС. Решение:

Здесь A -заменен на 10, B — на 11, C — на 12, F — на 15.

Перевод чисел из десятичной системы счисления в другую систему счисления

Для перевода чисел из десятичной системы счисления в другую систему счисления нужно переводить отдельно целую часть числа и дробную часть числа.

Целую часть числа переводится из десятичной СС в другую систему счисления — последовательным делением целой части числа на основание системы счисления (для двоичной СС — на 2, для 8-ичной СС — на 8, для 16-ичной — на 16 и т.д.) до получения целого остатка, меньше, чем основание СС.

Пример 4 . Переведем число 159 из десятичной СС в двоичную СС:

159 2
158 79 2
1 78 39 2
1 38 19 2
1 18 9 2
1 8 4 2
1 4 2 2
0 2 1
0

Как видно из Рис. 1, число 159 при делении на 2 дает частное 79 и остаток 1. Далее число 79 при делении на 2 дает частное 39 и остаток 1 и т.д. В результате построив число из остатков деления (справа налево) получим число в двоичной СС: 10011111 . Следовательно можно записать:

159 10 =10011111 2 .

Пример 5 . Переведем число 615 из десятичной СС в восьмеричную СС.

615 8
608 76 8
7 72 9 8
4 8 1
1

При приведении числа из десятичной СС в восьмеричную СС, нужно последовательно делить число на 8, пока не получится целый остаток меньшее, чем 8. В результате построив число из остатков деления (справа налево) получим число в восьмеричной СС: 1147 (см. Рис. 2). Следовательно можно записать:

615 10 =1147 8 .

Пример 6 . Переведем число 19673 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную СС.

19673 16
19664 1229 16
9 1216 76 16
13 64 4
12

Как видно из рисунка Рис.3, последовательным делением числа 19673 на 16 получили остатки 4, 12, 13, 9. В шестнадцатеричной системе счисления числе 12 соответствует С, числе 13 — D. Следовательно наше шестнадцатеричное число — это 4CD9.

Для перевода правильных десятичных дробей (вещественное число с нулевой целой частью) в систему счисления с основанием s необходимо данное число последовательно умножить на s до тех пор, пока в дробной части не получится чистый нуль, или же не получим требуемое количество разрядов. Если при умножении получится число с целой частью, отличное от нуля, то эту целую часть не учитывать (они последовательно зачисливаются в результат).

Рассмотрим вышеизложенное на примерах.

Пример 7 . Переведем число 0.214 из десятичной системы счисления в двоичную СС.

0.214
x 2
0 0.428
x 2
0 0.856
x 2
1 0.712
x 2
1 0.424
x 2
0 0.848
x 2
1 0.696
x 2
1 0.392

Как видно из Рис.4, число 0.214 последовательно умножается на 2. Если в результате умножения получится число с целой частью, отличное от нуля, то целая часть записывается отдельно (слева от числа), а число записывается с нулевой целой частью. Если же при умножении получиться число с нулевой целой частью, то слева от нее записывается нуль. Процесс умножения продолжается до тех пор, пока в дробной части не получится чистый нуль или же не получим требуемое количество разрядов. Записывая жирные числа (Рис.4) сверху вниз получим требуемое число в двоичной системе счисления: 0.0011011 .

Следовательно можно записать:

0.214 10 =0.0011011 2 .

Пример 8 . Переведем число 0.125 из десятичной системы счисления в двоичную СС.

0.125
x 2
0 0.25
x 2
0 0.5
x 2
1 0.0

Для приведения числа 0.125 из десятичной СС в двоичную, данное число последовательно умножается на 2. В третьем этапе получилось 0. Следовательно, получился следующий результат:

0.125 10 =0.001 2 .

Пример 9 . Переведем число 0.214 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную СС.

0.214
x 16
3 0.424
x 16
6 0.784
x 16
12 0.544
x 16
8 0.704
x 16
11 0.264
x 16
4 0.224

Следуя примерам 4 и 5 получаем числа 3, 6, 12, 8, 11, 4. Но в шестнадцатеричной СС числам 12 и 11 соответствуют числа C и B. Следовательно имеем:

0.214 10 =0.36C8B4 16 .

Пример 10 . Переведем число 0.512 из десятичной системы счисления в восьмеричную СС.

0.512
x 8
4 0.096
x 8
0 0.768
x 8
6 0.144
x 8
1 0.152
x 8
1 0.216
x 8
1 0.728

Получили:

0.512 10 =0.406111 8 .

Пример 11 . Переведем число 159.125 из десятичной системы счисления в двоичную СС. Для этого переведем отдельно целую часть числа (Пример 4) и дробную часть числа (Пример 8). Далее объединяя эти результаты получим:

159.125 10 =10011111.001 2 .

Пример 12 . Переведем число 19673.214 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную СС. Для этого переведем отдельно целую часть числа (Пример 6) и дробную часть числа (Пример 9). Далее объединяя эти результаты получим.

Шестнадцатеричная система счисления (также — шестнадцатеричный код) является позиционной системой счисления с целочисленным основанием 16. Иногда в литературе также используется термин hex (произносится «хекс», сокращение от англ. hexadecimal). Цифрами данной системы счисления принято использовать арабские цифры 0—9, а также первые символы латинского алфавита A—F. Буквы соответствуют следующим десятичным значениями:

  • * A —10;
  • * B —11;
  • * C —12;
  • * D —13;
  • * E — 14;
  • * F — 15.

Таким образом, десять арабских цифр вкупе с шестью латинскими буквами и составляют шестнадцать цифр системы.

Кстати, на нашем сайте вы можете перевести любой текст в десятичный, шестнадцатеричный, двоичный код воспользовавшись Калькулятором кодов онлайн .

Применение . Шестнадцатеричный код широко применяется в низкоуровневом программировании, а также в различных компьютерных справочных документах. Популярность системы обоснована архитектурными решениями современных компьютеров: в них в качестве минимальной единицы информации установлен байт (состоящий из восьми бит) — а значение байта удобно записывать с помощью двух шестнадцатеричных цифр. Значение байта может ранжироваться с #00 до #FF (от 0 до 255 в десятичной записи) — другими словами, используя шестнадцатеричный код , можно записать любое состояние байта, при этом не остаётся «лишних» не используемых в записи цифр.

В кодировке Юникод для записи номера символа используется четыре шестнадцатеричных цифры. Запись цвета стандарта RGB (Red, Green, Blue — красный, зелёный, синий) также часто использует шестнадцатеричный код (например, #FF0000 — запись ярко-красного цвета).

Способ записи шестнадцатеричного кода.

Математический способ записи . В математической записи основание системы записывают в десятичном виде в нижнем индексе справа от числа. Десятичную запись числа 3032 можно записать как 3032 10 , в шестнадцатеричной системе данное число будет иметь запись BD8 16 .

В синтаксисе языков программирования . Синтаксис различных языков программирования по-разному устанавливает формат записи числа, использующего шестнадцатеричный код :

* В синтаксисе некоторых разновидностей языка ассемблера используется латинская буква «h», которая ставится справа от числа, например: 20Dh. Если число начинается с латинской буквы, то перед ним ставится ноль, например: 0A0Bh. Это сделано для того, чтобы отличать от констант значения, использующие шестнадцатеричный код ;

* В прочих разновидностях ассемблера, а также в Pascal (и его разновидностях, таких как Delphi) и некоторых диалектах Basic, применяют префикс «$»: $A15;

* В языке разметки HTML, а также в каскадных файлах CSS, для указания цвета в формате RGB с шестнадцатеричной системой записи, используется префикс «#»: #00DC00.

Как перевести шестнадцатеричный код в другую систему?

Перевод из шестнадцатеричной системы в десятичную. Для совершения операции перевода из шестнадцатеричной системы в десятичную, требуется представить исходное число как сумму произведений цифр в разрядах шестнадцатеричного числа на степень основания.

Двоичная СС

шестнадцатеричная СС

Например, требуется выполнить перевод шестнадцатеричного числа A14: в нём три цифры. Используя правило, запишем его в виде суммы степеней с основанием 16:

A14 16 = 10.16 2 + 1.16 1 + 4.16 0 = 10.256 + 1.16 + 4.1 = 2560 + 16 + 4 = 2580 10

Перевод чисел из двоичной в шестнадцатеричную систему и наоборот.

Для перевода используется таблица тетрад. Чтобы выполнить перевод числа из двоичной в десятичную систему, необходимо произвести разбиение его на отдельные тетрады справа налево, после чего, используя таблицу, выполнить замену каждой тетрады на соответствующую шестнадцатеричную цифру. При этом, если количество цифр не кратно четырём, то необходимо добавить соответствующее количество нулей справа от числа, для того, чтобы общее число двоичных цифр стало кратно четырём.

Таблица тетрад для перевода.

Для перевода из шестнадцатеричной системы в двоичную, необходимо выполнить обратную операцию: выполнить замену каждой цифры на тетраду из таблицы.

Двоичная СС

Восьмеричная СС

Пример перевода из шестнадцатеричной системы в двоичную : A5E 16 = 1010 0101 1110 = 101001011110 2

Пример перевода из двоичной системы в шестнадцатеричную : 111100111 2 = 0001 1110 0111 = 1E7 16

В этом примере количество цифр в исходном двоичном числе не было равным четырём (9), поэтому были добавлены незначащие нули — общее число цифр стало 12.

Автоматический перевод . Быстрый перевод из шестнадцатеричной системы счисления в одну из трёх популярных систем (двоичную, восьмеричную и десятичную), как и обратный перевод, можно выполнить, используя стандартный калькулятор из комплекта поставки ОС Windows. Откройте калькулятор, выберите в меню Вид -> Программист. В данном режиме можно устанавливать систему счисления, используемую в данный момент (см. меню слева: Hex, Dec, Oct, Bin). При этом изменение текущей системы счисления автоматически производит перевод.

Всем, кто общается с компьютером или другой цифровой техникой, приходилось встречать загадочные записи типа 10FEF, которые кажутся непосвященным каким-то шифром. Что скрывается за этими символами? Оказывается, это просто цифры. Те, которые использует шестнадцатиричная

Системы счисления

Каждый школьник знает или хотя бы где-то слышал, что все цифры, которые мы обычно используем, образуют Это название она носит просто потому, что различных символов в ней всего десять (от 0 до 9). Любое число в нашей привычной системе может быть записано с их помощью. Однако, оказывается, использовать ее удобно бывает далеко не всегда. Например, при обмене информацией между цифровыми устройствами проще всего применять систему счисления, в которой есть только две цифры: «0» — нет сигнала — или «1» — есть сигнал (напряжение или что-то еще). Она называется двоичной. Однако, чтобы описать процессы внутри таких устройств с ее помощью, придется выполнять слишком длинные и трудные для понимания записи. Поэтому была придумана шестнадцатиричная система счисления.

Понятие шестнадцатеричной системы

Почему же для цифровых устройств используется именно система, которая содержит шестнадцать разных символов? Как известно, информация в компьютерах передается в виде байтов, которые обычно содержат 8 бит. А единица данных — машинное слово — включает в себя 2 байта, то есть 16 бит. Таким образом, с помощью шестнадцати разных символов можно описать ту информацию, которая является мельчайшей частицей при обмене. Шестнадцатиричная система счисления включает наши привычные цифры (естественно, от 0 до 9), а также первые буковки (A, B, C, D, E, F). Именно с помощью этих символов принято записывать любую единицу информации. С ними можно производить любые арифметические действия. То есть сложение, вычитание, умножение, деление. Результатом также будет шестнадцатеричное число.

Где применяется

Шестнадцатиричная система используется для записи кодов ошибок. Они могут возникать при работе различных программных продуктов. Например, так кодируются ошибки операционной системы. Каждое число при этом стандартное. Можно выяснить, какая именно ошибка произошла в процессе работы, расшифровав его с помощью инструкции. Также применяются такие символы при написании программ на языках низкого уровня, например ассемблере. Шестнадцатиричная система счисления любима программистами еще и потому, что ее составляющие очень легко могут быть переведены в двоичные, которые являются «родными» для всей цифровой техники. С помощью таких символов описывают также цветовые схемы. Кроме того, абсолютно все файлы в компьютере (и текстовые, и графические, и даже музыкальные или видео) представляются после трансляции в виде последовательности Просматривать исходный удобнее всего как раз в виде шестнадцатеричных символов.

Конечно, любое число можно записать в различных системах счисления. Это и десятичная, и двоичная, и шестнадцатеричная. Чтобы перевести слово из одной из них в другую, следует воспользоваться таким сервисом, как переводчик систем счисления, или сделать это самостоятельно с помощью определенного алгоритма.

Для написания программ на Ассемблере, необходимо разобраться с шестнадцатеричной системой счисления. Ничего сложного в ней нет. Мы используем в жизни десятичную систему. Уверен, что вы все ее знаете, поэтому я постараюсь объяснить шестнадцатеричную систему, проводя аналогию с десятичной.

Итак, в десятичной системе если мы к какому-нибудь числу справа добавим нуль, то это число увеличится в 10 раз. Например: 1 х 10 = 10; 10 х 10 = 100; 100 х 10 = 1000 и т.д. В этой системе мы используем цифры от 0 до 9, т.е. десять разных цифр (собственно, поэтому она и называется десятичная).

В шестнадцатеричной системе мы используем, соответственно, шестнадцать «цифр». Я специально написал слово «цифр» в кавычках, т.к. в ней используются не только цифры. Да и в самом деле как так? Объясняю: от 0 до 9 мы считаем так же, как и в десятичной, а вот дальше будет так: A, B, C, D, E, F. Число F, как не трудно посчитать, будет равно 15 в десятичной системе (см. табл. 1).

Десятичное число

Шестнадцатеричное число

Таблица 1. Десятичная и шестнадцатеричная системы.

Т.о., если мы к какому-нибудь числу в шестнадцатеричной системе добавим справа нуль, то это число увеличится в 16 раз.

Пример 1: 1 х 16 = 10; 10 х 16 = 100; 100 х 16 = 1000 и т.д.

Вы смогли отличить в Примере 1 шестнадцатеричные числа от десятичных? А из этого ряда: 10, 12, 45, 64, 12, 8, 19? Это могут быть как шестнадцатеричные, так и десятичные. Для того, чтобы не было путаницы, и компьютер смог бы однозначно отличить одни числа от других, в Ассемблере принято после шестнадцатеричного числа ставить символ h или H (H это сокращение от англ. hexadecimal (шестнадцатеричное). Для краткости его иногда называют просто Hex ) . А после десятичного ничего не ставить. Т.к. числа от 0 до 9 в обоих системах имеют одинаковые значения, то числа, записанные как 5 и 5h одно и тоже.

Т.о. Пример 1 (см. выше) правильнее будет записать так: 1 х 16 = 10h; 10h x 16 = 100h; 100h x 16 = 1000h. Либо так: 1h x 10h = 10h; 10h x 10h = 100h; 100h x 10h = 1000h.

Для чего нужна шестнадцатеричная система, мы рассмотрим в последующих выпусках. А в данный момент для нашего примера программы, который будет рассмотрен ниже, нам необходимо знать о существовании шестнадцатеричных чисел.

Итак, подведем итог. Шестнадцатеричная система счисления состоит из 10 цифр (от 0 до 9) и 6 букв латинского алфавита (A, B, C, D, E, F). Если к какому-нибудь числу в шестнадцатеричной системе добавим справа нуль, то это число увеличится в 16 раз. Очень важно уяснить данную тему , так как мы будем постоянно использовать ее при написании программ.

Теперь немного о том, как я буду строить примеры на Ассемблере. Не совсем удобно приводить их в HTML-формате, поэтому сперва будет сам код программы с пронумерованными строчками, а сразу же после него объяснения и примечания.

Примерно так:

строк Код программы
(1) mov ah,9

Объяснения:

В строке (1) мы делаем то-то, а в строке (15) то-то.

Огромная просьба: НЕ копируйте программы со страницы в буфер, а затем не вставляйте их в Блокнот (или еще куда-нибудь)! Перепечатывайте их вручную в текстовом редакторе. Если есть принтер, то выделите программу, распечатайте выделенный фрагмент, а затем перебейте в редактор с бумаги. Все примеры нужно набирать самостоятельно! Это ускорит запоминание операторов.

И еще. Строчные и ПРОПИСНЫЕ буквы в Ассемблере не различаются. Записи вида:

Ассемблером воспринимаются одинаково. Можно, конечно, заставить Ассемблер различать строчные и ПРОПИСНЫЕ символы, но мы пока этого делать не будем. Для удобства чтения программы лучше всего операторы печатать строчными буквами, а названия подпрограмм и меток начинать с прописной. Но это как кому будет удобно.

Итак, переходим к нашей первой программе:

(1) CSEG segment

(2) org 100h

(4) Begin:

(6) mov ah,9

(7) mov dx,offset Message

(8) int 21h

(10) int 20h

(11)

(12) Message db «Hello, world!$»

(13) CSEG ends

(14) end Begin

Для того, чтобы объяснить все операторы данного примера, нам потребуется несколько выпусков. Поэтому описание некоторых команд мы просто опустим на данном этапе. Просто считайте, что так должно быть. В самое ближайшее время мы рассмотрим эти операторы подробно. Итак, строки с номерами (1), (2) и (13) вы просто игнорируете.

Строки (3), (5), (9) и (11) остаются пустыми. Это делается для наглядности. Ассемблер их будет просто опускать.

Теперь перейдем к рассмотрению остальных операторов. Со строки (4) начинается код программы. Это метка, указывающая Ассемблеру на начало кода. В строке (14) стоят операторы end Begin ( Begin англ. начало; end конец). Это конец программы. Вообще вместо слова Begin можно было бы использовать что-нибудь другое. Например, Start:. В таком случае, нам пришлось бы и завершать программу End Start (14).

Строки (6) (8) выводят на экран сообщение Hello, world!. Здесь придется вкратце рассказать о регистрах процессора (более подробно эту тему мы рассмотрим в следующем выпуске).

Регистр процессора это специально отведенная память для хранения какого-нибудь числа.

Например:

Если мы хотим сложить два числа, то в математике запишем так:

A, B и C это своего рода регистры (если говорить о компьютере), в которых могут хранится некоторые данные. А=5 можно прочитать как: Присваиваем А число 5 .

Для присвоения регистру какого-нибудь значения, в Ассемблере существует оператор mov (от англ. move загрузить). Строку (6) следует читать так: Загружаем в регистр AH число 9 (проще говоря, присваиваем AH число 9). Ниже рассмотрим зачем это надо.

В строке (7) загружаем в регистр DX адрес сообщения для вывода (в данном примере это будет строка Hello, world!$ ).

Прерывания будут подробно рассматриваться в последующих выпусках. Здесь я скажу несколько слов.

Прерывание MS-DOS это своего рода подпрограмма (часть MS-DOS) , которая находится постоянно в памяти и может вызываться в любое время из любой программы.

Рассмотрим вышесказанное на примере (мелким шрифтом выделим примечания ):

Программа сложения двух чисел

НачалоПрограммы

A=5 в переменную A заносим значение 5

B=8 в переменную B значение 8

ВызовПодпрограммы Сложение

теперь С равно 13

A=10 тоже самое, только другие числа

B=25

ВызовПодпрограммы Сложение

теперь С равно 35

КонецПрограммы

Подпрограмма Сложение

C=A+B

ВозвратИзПодпрограммы возвращаемся в то место, откуда вызывали

КонецПодпрограммы

В данном примере мы дважды вызвали подпрограмму Сложение , которая сложила два числа, переданные ей в переменных A и B. Результат помещается в переменную С. Когда вызывается подпрограмма, компьютер запоминает с какого места она была вызвана, а затем, когда закончила работу подпрограмма, компьютер возвращается в то место, откуда она вызывалась. Т.о. можно вызывать подпрограммы неопределенное количество раз с любого места.

При выполнении строки (8) программы на Ассемблере мы вызываем подпрограмму (в данном случае это называется прерывание), которая выводит на экран строку. Для этого мы, собственно, и помещаем необходимые значения в регистры. Всю необходимую работу (вывод строки, перемещение курсора) берет на себя подпрограмма. Эту строку можно прочитать так: вызываем двадцать первое прерывание ( int от англ. interrupt прерывание). Обратите внимание, что после числа 21 стоит буква h. Это, как мы уже знаем, шестнадцатеричное число (33 в десятичной системе). Конечно, нам ничего не мешает заменить строку int 21h на int 33. Программа будет работать корректно. Просто в Ассемблере принято указывать номер прерывания в шестнадцатеричной системе.

В строке (10) мы, как вы уже догадались, вызываем прерывание 20 h. Для вызова данного прерывания не нужно указывать какие-либо значения в регистрах. Оно выполняет только одну задачу: выход из программы (выход в DOS). В результате выполнения прерывания 20h, программа вернется туда, откуда ее запускали (загружали, вызывали). Например, в Norton Commander или DOS Navigator.

Строка (12) содержит сообщение для вывода. Первое слово ( message сообщение) название сообщения. Оно может быть любым (например, mess или string и пр.). Обратите внимание на строку (7), в которой мы загружаем в регистр DX адрес нашего сообщения.

Можно создать еще одну строку, которую назовем Mess2. Затем, начиная со строки (9) вставим следующие команды:

(10) mov dx,offset Mess2

(13) Message db «Hello, world!$»

(14) Mess2 db «Это Я! $»

и ассемблировать нашу программу заново. Надеюсь, что вы догадались, что произойдет

Обратите внимание на последний символ в строках Message и Mess2 — $. Он указывает на конец строки. Если мы его уберем, то 21 h прерывание продолжит вывод до тех пор, пока не встретится где-нибудь в памяти символ $. На экране мы увидим мусор .

Если у вас есть отладчик, то можно посмотреть как будет работать наша программа.

Целю настоящего выпуска не было разобраться подробно с каждым оператором . Это невозможно, т.к. у вас еще недостаточно знаний. Я полагаю, что уже через 3-4 выпуска вы поймете принцип и структуру программы на Ассемблере. Может быть, вам показался язык Ассемблера чрезвычайно сложным, но это, поверьте, с первого взгляда.

16 в шестнадцатеричной системе. Системы счисления. Позиционная система счисления шестнадцатеричная

Шестнадцатеричная запись («Hex») — удобный способ представления двоичных значений. Так же, как десятичная система счисления имеет основание десять, а двоичная — два, шестнадцатеричная система имеет основание шестнадцать.

Система счисления с основанием 16 использует числа от 0 до 9 и буквы от A до F. Рисунок показывает эквивалентные десятичные, двоичные и шестнадцатеричные значения для двоичных чисел от 0000 до 1111. Для нас легче выражать значение в виде одной шестнадцатеричной цифры, чем в виде четырех битов.

Понимание Байтов

Учитывая, что 8 битов (байт) являются стандартной двоичной группировкой, двоичные числа от 00000000 до 11111111 могут быть представлены в шестнадцатеричной записи как числа от 00 до FF. Начальные нули всегда отображаются, чтобы завершить 8-разрядное представление. Например, двоичное значение 0000 1010 в шестнадцатеричном виде будет 0A.

Представление Шестнадцатеричных Значений

Отметьте: Важно отличать шестнадцатеричные значения от десятичных значений для символов от 0 до 9, как показано на рисунке.

Шестнадцатеричные значения обычно представляются в тексте значением, которому предшествует 0x (например 0x73), или с помощью нижнего индекса 16. Реже, они могут сопровождаться буквой H, например 73H. Однако, поскольку текст нижнего индекса не распознается ни в командной строке, ни в средах программирования, в техническом представлении шестнадцатеричных чисел им предшествует «0x» (нуль X). Поэтому, примеры выше были бы показаны в виде 0x0A и 0x73 соответственно.

Шестнадцатеричная запись используется, чтобы представлять MAC-адреса Ethernet и адреса IP Версии 6.

Шестнадцатеричные Преобразования

Преобразования чисел между десятичными и шестнадцатеричными значениями являются простыми, но быстрое деление или умножение на 16 не всегда удобно. Если такие преобразования необходимы, обычно легче преобразовать десятичное или шестнадцатеричное значение в двоичное, а затем преобразовать двоичное значение в десятичное или шестнадцатеричное, в зависимости от того, что требуется получить.

С практикой возможно распознать двоичные шаблоны битов, которые соответствуют десятичным и шестнадцатеричным значениям. Рисунок показывает эти шаблоны для некоторых 8-разрядных значений.

Всем, кто общается с компьютером или другой цифровой техникой, приходилось встречать загадочные записи типа 10FEF, которые кажутся непосвященным каким-то шифром. Что скрывается за этими символами? Оказывается, это просто цифры. Те, которые использует шестнадцатиричная

Системы счисления

Каждый школьник знает или хотя бы где-то слышал, что все цифры, которые мы обычно используем, образуют Это название она носит просто потому, что различных символов в ней всего десять (от 0 до 9). Любое число в нашей привычной системе может быть записано с их помощью. Однако, оказывается, использовать ее удобно бывает далеко не всегда. Например, при обмене информацией между цифровыми устройствами проще всего применять систему счисления, в которой есть только две цифры: «0» — нет сигнала — или «1» — есть сигнал (напряжение или что-то еще). Она называется двоичной. Однако, чтобы описать процессы внутри таких устройств с ее помощью, придется выполнять слишком длинные и трудные для понимания записи. Поэтому была придумана шестнадцатиричная система счисления.

Понятие шестнадцатеричной системы

Почему же для цифровых устройств используется именно система, которая содержит шестнадцать разных символов? Как известно, информация в компьютерах передается в виде байтов, которые обычно содержат 8 бит. А единица данных — машинное слово — включает в себя 2 байта, то есть 16 бит. Таким образом, с помощью шестнадцати разных символов можно описать ту информацию, которая является мельчайшей частицей при обмене. Шестнадцатиричная система счисления включает наши привычные цифры (естественно, от 0 до 9), а также первые буковки (A, B, C, D, E, F). Именно с помощью этих символов принято записывать любую единицу информации. С ними можно производить любые арифметические действия. То есть сложение, вычитание, умножение, деление. Результатом также будет шестнадцатеричное число.

Где применяется

Шестнадцатиричная система используется для записи кодов ошибок. Они могут возникать при работе различных программных продуктов. Например, так кодируются ошибки операционной системы. Каждое число при этом стандартное. Можно выяснить, какая именно ошибка произошла в процессе работы, расшифровав его с помощью инструкции. Также применяются такие символы при написании программ на языках низкого уровня, например ассемблере. Шестнадцатиричная система счисления любима программистами еще и потому, что ее составляющие очень легко могут быть переведены в двоичные, которые являются «родными» для всей цифровой техники. С помощью таких символов описывают также цветовые схемы. Кроме того, абсолютно все файлы в компьютере (и текстовые, и графические, и даже музыкальные или видео) представляются после трансляции в виде последовательности Просматривать исходный удобнее всего как раз в виде шестнадцатеричных символов.

Конечно, любое число можно записать в различных системах счисления. Это и десятичная, и двоичная, и шестнадцатеричная. Чтобы перевести слово из одной из них в другую, следует воспользоваться таким сервисом, как переводчик систем счисления, или сделать это самостоятельно с помощью определенного алгоритма.

0123456789ABCDEF. Приняв за основание число 16, получаем шестнадцатеричную систему счисления. Здесь мы можем воспользоваться 10 знаками десятичной системы, добавив еще 6 знаков – буквы латинского алфавита (A, B, C, D, E, F): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F 10 11 12 13 14 15 Всего 16 разных знаков составляют алфавит шестнадцатеричной системы счисления. Можно записать любое число включая все эти знаки: А37, 1В45, F302, 1A3C5… — обратите внимание: используем знаки от 0 до F. Для шестнадцатеричной системы счисления q=16. Содержание.

Слайд 32 из презентации «История счёта и систем счисления» . Размер архива с презентацией 2292 КБ.

Информатика 9 класс

краткое содержание других презентаций

««Моделирование» 9 класс» — Моделирование как метод познания. Файловая система ПК. Тест завершён. Птолемей построил модель мира. Модель человека в виде детской куклы. Удобнее всего при описании траектории движения объекта использовать информационную модель. Существующие признаки объекта. Описание дерева. Удобнее всего использовать информационную модель. Список депутатов государственной Думы. Список учащихся школы; план классных комнат.

«История счёта и систем счисления» — Основание системы счисления. Десятки. Десятичное число. Славянская кириллическая нумерация. Нумерация. Цветок лотоса. Позиция цифры в числе называется разрядом. Положение цифры. В древние времена люди ходили босиком. Позиционная система счисления характеризуется своим основанием. Деление на основание. Запись чисел нового типа. Умножение двоичных чисел. Перевод десятичного числа. Арифметические действия.

«Сортировка в электронных таблицах» — Сортировка и поиск данных в электронных таблицах. Поиск данных в ЭТ. Порядок проведения вложенной сортировки. Отдел. Условия поиска записей. Запишите фамилии. Практическая работа. Сортировка по возрастанию. Порядок следования строк. Сортировка и поиск данных. Оклад и возраст. Рефлексивный экран. Сортировка данных. Выберите примеры баз данных. Сортировка записей. Разница между записью и полем. Порядок использования автофильтра.

«Циклические программы» — Составить программу. Найти сумму. Введите целое число. Найти количество трехзначных натуральных чисел. Найти сумму натуральных чисел. Вычислить. Цикл с постусловием. Напечатать на экране таблицу. Первоначальный взнос. Цикл с предусловием. Делители. Циклические программы. Информатика. Табулирование функции. Понятие цикла. Цикл с параметром. Ввод исходных данных. Таблица перевода долларов. Найти количество чисел.

«Моделирование как метод научного познания» — Таблица типа «объекты-объекты-один». Описания объекта. Метод познания окружающего мира. Решение задач. Образовательные ресурсы. Пятеро ребят. Формализация. Этапы моделирования. Мальчик. Иерархическая модель. Описание объекта моделирования. Юра. Сирень. Обозначения серверов. Технические модели. Ярусные диаграммы. Диаграмма. Тип. Моделирование как метод познания. Модели на графах. Задачи, решаемые с помощью графов.

«Что такое электронная почта» — Адрес электронной почты. Маршутизация почты. Письмо. Как работает электронная почта. X-mailer. Вопрос появления электронной почты. Дата. Копия. Электронное письмо. Структура письма. История электронной почты. Отправитель. Электронная почта.

Привычная для человека система счисления – десятичная. В ее основу входят десять цифр от 0 до 9. Шестнадцатеричную систему отличает наличие в ней первых шести букв латинского алфавита для записи чисел помимо основных цифр. То есть после цифры 9 следует символ «A», который соответствует числу 10 для десятичной системы. Соответственно, F в шестнадцатеричной системе – это 16 в десятичной. Использование шестнадцати символов в системе – неслучайный выбор.

Единица информации – бит. Восемь бит образуют байт. Существует понятие, как машинное слово – это единица данных, представляющая собой два , то есть шестнадцать бит. Таким образом, используя шестнадцать различных символов, можно описывать любую информацию, которая при обмене данных будет наименьшей частицей. С ними можно производить любые арифметические действия, результат, соответственно, получится тоже в шестнадцатеричной системе.

Для того чтобы отличать, что число записано в шестнадцатеричной системе, после него записывают букву «h» или нижний индекс «16».

Применение

Наиболее широкое применение шестнадцатеричной системы счисления – это коды ошибок программных продуктов, например, операционной системы. Числа, заложенные в этих кодах, стандартизированы. Имея специальную таблицу, всегда можно определить, что именно означает та или иная ошибка.

В языках низкого уровня, максимально приближенным к машинным кодам шестнадцатеричная система применяется для написания программ. Многие программисты используют ее и при работе с языками высокого уровня, потому что числа в этой системе при помощи специальной таблицы соответствия легко переводятся в двоичную систему, на которой основана работа всей цифровой техники. Любая информация в компьютере, будь то музыкальный файл или текстовый документ, после трансляции представлена последовательностью исходного двоичного кода, а его удобнее просматривать представленным символами шестнадцатеричной системы.

Также одно из применений шестнадцатеричных символов – описание цветовых схем, то есть три компонента R, G, B описываются соответствующим данной системе способом. Данный подход к записи получил название шестнадцатеричный цвет

Возможность просмотреть программу в шестнадцатеричном коде позволяет отладить ее, внести изменения, а злоумышленниками данный подход используется для взлома программ.

Шестнадцатеричная система счисления (также — шестнадцатеричный код) является позиционной системой счисления с целочисленным основанием 16. Иногда в литературе также используется термин hex (произносится «хекс», сокращение от англ. hexadecimal). Цифрами данной системы счисления принято использовать арабские цифры 0—9, а также первые символы латинского алфавита A—F. Буквы соответствуют следующим десятичным значениями:

  • * A —10;
  • * B —11;
  • * C —12;
  • * D —13;
  • * E — 14;
  • * F — 15.

Таким образом, десять арабских цифр вкупе с шестью латинскими буквами и составляют шестнадцать цифр системы.

Кстати, на нашем сайте вы можете перевести любой текст в десятичный, шестнадцатеричный, двоичный код воспользовавшись Калькулятором кодов онлайн .

Применение . Шестнадцатеричный код широко применяется в низкоуровневом программировании, а также в различных компьютерных справочных документах. Популярность системы обоснована архитектурными решениями современных компьютеров: в них в качестве минимальной единицы информации установлен байт (состоящий из восьми бит) — а значение байта удобно записывать с помощью двух шестнадцатеричных цифр. Значение байта может ранжироваться с #00 до #FF (от 0 до 255 в десятичной записи) — другими словами, используя шестнадцатеричный код , можно записать любое состояние байта, при этом не остаётся «лишних» не используемых в записи цифр.

В кодировке Юникод для записи номера символа используется четыре шестнадцатеричных цифры. Запись цвета стандарта RGB (Red, Green, Blue — красный, зелёный, синий) также часто использует шестнадцатеричный код (например, #FF0000 — запись ярко-красного цвета).

Способ записи шестнадцатеричного кода.

Математический способ записи . В математической записи основание системы записывают в десятичном виде в нижнем индексе справа от числа. Десятичную запись числа 3032 можно записать как 3032 10 , в шестнадцатеричной системе данное число будет иметь запись BD8 16 .

В синтаксисе языков программирования . Синтаксис различных языков программирования по-разному устанавливает формат записи числа, использующего шестнадцатеричный код :

* В синтаксисе некоторых разновидностей языка ассемблера используется латинская буква «h», которая ставится справа от числа, например: 20Dh. Если число начинается с латинской буквы, то перед ним ставится ноль, например: 0A0Bh. Это сделано для того, чтобы отличать от констант значения, использующие шестнадцатеричный код ;

* В прочих разновидностях ассемблера, а также в Pascal (и его разновидностях, таких как Delphi) и некоторых диалектах Basic, применяют префикс «$»: $A15;

* В языке разметки HTML, а также в каскадных файлах CSS, для указания цвета в формате RGB с шестнадцатеричной системой записи, используется префикс «#»: #00DC00.

Как перевести шестнадцатеричный код в другую систему?

Перевод из шестнадцатеричной системы в десятичную. Для совершения операции перевода из шестнадцатеричной системы в десятичную, требуется представить исходное число как сумму произведений цифр в разрядах шестнадцатеричного числа на степень основания.

Двоичная СС

шестнадцатеричная СС

Например, требуется выполнить перевод шестнадцатеричного числа A14: в нём три цифры. Используя правило, запишем его в виде суммы степеней с основанием 16:

A14 16 = 10.16 2 + 1.16 1 + 4.16 0 = 10.256 + 1.16 + 4.1 = 2560 + 16 + 4 = 2580 10

Перевод чисел из двоичной в шестнадцатеричную систему и наоборот.

Для перевода используется таблица тетрад. Чтобы выполнить перевод числа из двоичной в десятичную систему, необходимо произвести разбиение его на отдельные тетрады справа налево, после чего, используя таблицу, выполнить замену каждой тетрады на соответствующую шестнадцатеричную цифру. При этом, если количество цифр не кратно четырём, то необходимо добавить соответствующее количество нулей справа от числа, для того, чтобы общее число двоичных цифр стало кратно четырём.

Таблица тетрад для перевода.

Для перевода из шестнадцатеричной системы в двоичную, необходимо выполнить обратную операцию: выполнить замену каждой цифры на тетраду из таблицы.

Двоичная СС

Восьмеричная СС

Пример перевода из шестнадцатеричной системы в двоичную : A5E 16 = 1010 0101 1110 = 101001011110 2

Пример перевода из двоичной системы в шестнадцатеричную : 111100111 2 = 0001 1110 0111 = 1E7 16

В этом примере количество цифр в исходном двоичном числе не было равным четырём (9), поэтому были добавлены незначащие нули — общее число цифр стало 12.

Автоматический перевод . Быстрый перевод из шестнадцатеричной системы счисления в одну из трёх популярных систем (двоичную, восьмеричную и десятичную), как и обратный перевод, можно выполнить, используя стандартный калькулятор из комплекта поставки ОС Windows. Откройте калькулятор, выберите в меню Вид -> Программист. В данном режиме можно устанавливать систему счисления, используемую в данный момент (см. меню слева: Hex, Dec, Oct, Bin). При этом изменение текущей системы счисления автоматически производит перевод.

Системы счисления


Что это такое?

Есть много способов для представления одного и того же числового значения. В давние времена люди использовали палочки для подсчета. Позднее научились рисовать палочки на земле и в конечном счете на бумаге. Так что число 5 вначале представлялось как: |    |    |    |    |    (пять палочек).

Еще позднее римляне начали использовать различные символы для большого количества палочек:|    |    |   означало три палочки,  а    V   означало пять палочек, и наконец   X   использовалось для представления 10-ти палочек!

Использование палочек для счета было хорошей идеей для того времени. А использование символов вместо реальных палочек было еще лучше.   Одним из наиболее удобных современных способов представления чисел является десятичная система. Почему? Потому что она использует основное свое достижение — идею использования символа для подсчета ничего.   Около 1500 лет назад в Индии ноль (0) был впервые использован как число!   Позднее он был использован на Ближнем Востоке как арабский sifr. И наконец, представлен на западе как латинский zephiro.  Вскоре вы увидите, какое большое значение имеет эта идея во всех современных системах счисления.



Десятичная система

Большинство людей сегодня используют десятичное представление числа. В десятичной системе 10 цифр:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Этими цифрами можно представить любое значение, например:

754.

Значение формируется путем суммирования всех цифр, умноженных на основание (в нашем случае основание равно 10, т.к. в десятичной системе 10 цифр) в степени, равной позиции цифры (отсчет ведется с нуля):

Позиция каждой цифры — очень важный фактор! Например, если вы поместите «7» в конец:

547

то это будет уже другое значение:

Важное замечание: любое число в нулевой степени равно единице, даже ноль в нулевой степени равен 1:



Двоичная система

Компьютеры не такие умные, как люди (во всяком случае пока). Легко сделать электронную машину с двумя состояниями: включено и выключено, или 1 и 0.
Компьютеры используют двоичную систему, которая использует всего две цифры:

0, 1

И поэтому основание в двоичной системе равно 2.

Каждая цифра в двоичном числе называется БИТ, 4 бита — это ПОЛУБАЙТ, 8 битов это БАЙТ, два байта — это СЛОВО, два слова — это ДВОЙНОЕ СЛОВО (используется редко):

В конец двоичного числа принято добавлять букву «b». Таким образом мы можем определить, что 101b — это двоичное число, которое соответствует десятичному значению 5.

Двоичное число 10100101b эквивалентно десятичному значению 165:



Шестнадцатиричная система

Шестнадцатиричная система использует 16 цифр:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

И поэтому основание в шестнадцатиричной системе равно 16.

Шестнадцатиричные числа являются компактными и легкими для чтения.
Их легко преобразовать в двоичную систему и наборот. Каждый полубайт (4 бита) можно преобразовать в шестнадцатиричную цифру, пользуясь этой таблицей:

 

Десятичное
(основание 10)
Двоичное
(основание 2)
Шестнадцатиричное
(основание 16)
0 0000 0
1 0001 1
2 0010 2
3 0011 3
4 0100 4
5 0101 5
6 0110 6
7 0111 7
8 1000 8
9 1001 9
10 1010 A
11 1011 B
12 1100 C
13 1101 D
14 1110 E
15 1111 F

Принято в конец шестнадцатиричного числа добавлять букву «h», таким образом мы можем определить, что 5Fh — это шестнадцатиричное число, которому соответствует десятичное значение 95.
Мы также добавляем «0» (ноль) в начало шестнадцатиричного числа, если оно начинается с буквы (A..F), например 0E120h.

Шестнадцатиричное число 1234h эквивалентно десятичному 4660:



Преобразование значений десятичной системы в другие

Чтобы преобразовать число из десятичной системы в какую-либо другую, необходимо выполнить целое деление десятичного значения на основание нужной системы счисления. Получим результат и остаток. Затем будем делить результат на основание системы, пока результат не будет равен нулю.

Остатки используются для представления значения в новой системе счисления.

Давайте преобразуем число 39 (основание 10) в шестнадцатиричную систему (основание 16):

Вы видите, что мы получили шестнадцатиричное число 27h.
Все остатки в этом примере меньше 10, поэтому мы не используем буквы.

Здесь приведен пример перевода числа с большим количеством цифр:
Давайте преобразуем десятичное число 43868 в шестнадцатиричную форму:

Результат получаем такой: 0AB5Ch, используя описанную выше таблицу для преобразования остатков больше 9 в соответствующую букву.

Используя тот же принцип мы можем преобразовать число в двоичную форму (используя 2 как делитель), или преобразовать шестнадцатиричное число в двоичное число, используя описанную выше таблицу:

Вы видите, что мы получили следующее двоичное число: 1010101101011100b



Числа со знаком

Нет никакой уверенности в том, каким является шестнадцатиричное число 0FFh — отрицательным или положительным. Оно может быть представлено двумя десятичными значениями: «255» или «— 1«.

8 бит можно использовать для создания 256 комбинаций (включая ноль), поэтому мы просто предполагаем, что первые 128 комбинаций (0..127) будут представлять положительные числа, а следующие 128 комбинаций (128..256) будут представлять отрицательные числа.

Чтобы получить число «— 5«, мы должны вычесть 5 из максимально возможного числа комбинаций (256). Так мы получим: 256 — 5 = 251.

Использование этого способа для представления отрицательных чисел имеет определенный смысл. В математике, если вы прибавите «— 5» к «5«, вы должны получить ноль.
То же самое случается, когда процессор складывает два байта: 5 и 251. Результат превышает значение 255, поэтому из-за переполнения процессор получает ноль!

Когда используется комбинация 128..256, то старший бит всегда равен 1. Это используется для определения знака.

Тот же самый принцип используется для слов (16-ти битовых значений). С шестнадцатью битами можно создать 65536 комбинаций, первые 32768 комбинаций (0..32767) используются для представления положительных чисел, а следующие 32768 комбинаций (32767..65535) представляют отрицательные числа.



В Emu8086 имеются некоторые удобные инструменты для преобразования чисел и вычисления любых числовых выражений. Все их можно увидеть, выбрав пункт меню Math:

Number Convertor — преобразователь чисел позволяет вам преобразовывать числа из любой системы в любую систему. Просто напечатайте значение в любом текстовом поле и это значение будет автоматически преобразовано во все другие системы. Вы можете работать как с 8-ми битовыми, так и с 16-ти битовыми значениями.

Expression Evaluator — вычисление выражений может быть использовано для вычислений выражений, в котороых имеются числа, представленные в различных системах счисления, и преобразования чисел из одной системы в другую. Напечатайте выражение и нажмите ENTER. Результат появится в выбранной системе счисления. Вы можете работать со значениями до 32 битов. Если установлен флажок Signed, то программа будет считать все значения знаковыми (+ или -), кроме десятичных чисел и двойных слов. Двойное слово всегда расценивается как знаковое значение, поэтому 0FFFFFFFFh преобразуется в -1.
Например, вы хотите вычислить: 0FFFFh * 10h + 0FFFFh (максимальное местоположение памяти, доступное процессору 8086). Если вы установите флажки Signed и Word, вы получите -17 (потому что выражение будет вычислено как (-1) * 16 + (-1) . исключающее ИЛИ. | логическое ИЛИ.
Двоичные числа должны иметь суффикс «b«, например:
00011011b

Шестнадцатиричные числа должны иметь суффикс «h«, и начинаться с нуля
если первая цифра — это буква (A..F), например:
0ABCDh

Восмеричные (основа 8) числа должны иметь суффикс «o«, например:
77o


>>> Следующий урок >>>

Новости за 7 дней.

Универсальный и незаменимый прожектор Gauss Elementary созданный для экстерьерной общей подсветки зданий и сооружений, освещения складов, промышленных и торговых объектов, а также ландшафтных объектов, теперь имеет улучшенную модификацию корпуса. ⠀ Корпус прожектора Elementary изготовлен из прочног….

Многие профессии подразумевают использование инструментов. Кровельщики, сантехники, столяры, слесари пользуются большим количеством инструментов. И, чтобы было удобно эти инструменты хранить и использовать, чтобы всё лежало на своих местах и можно было бы с легкостью найти нужные инструменты, испо….

Тренд 2021 года в дизайне интерьеров: черные акценты. Последние годы черный цвет в интерьере становится все более востребованным и в 2021 году он актуален, как никогда. Не бойтесь использовать черные детали в интерьерах. Несколько черных акцентов способны в корне преобразить интерьер, объединить ….

Этот отель на берегу Средиземного моря с лучшим видом на Дальт-Вила стал одним из самых эксклюзивных на острове благодаря своему футуристичному фасаду, инновационным установкам и персонализированным услугам. Ibiza Corso Hotel & Spa, задуманный как оазис дизайна и благополучия, является одним из….

Два латунных профиля соединяются и формируют новую оригинальную ручку – Cavity. Стиль этой ручки сложно определить; кажется, её форма вдохновлена стилем 60-ых годов, но в то же время ручка имеет «технический» и строгий вид. Именно в этом многообразии и заключается красота и неповторимость Cavity: ….

Ручка Kuba – одна из «нестареющих», устойчивых к тенденциям изменчивой моды моделей. Благодаря мягким линиям подходит практически ко всем типам дверей, от ламинированных до деревянных. Это ручка, которую можно «легко взять», она очень удобна для руки и гарантирует надёжный уверенный захват. Мод….

Компания группы PORCELANOSA Grupo вернулась к традиционному дизайну керамики и модернизировала его, создав новую серию, в которой объем каждого изделия повышается за счет разнотонности. Керамика обретает новое прочтение в последней коллекции Win от Lac (PORCELANOSA Grupo), воссоздающей традиционну….

Светодиодные ленты становятся умными — праздник на каждый день для любителей интерактивного и красивого освещения. Представляем 5 новых типов контроллеров! — Управляйте лентой дистанционно: через приложение Minimir Home или Яндекс.Алису. — Настройте режимы автоматического включения и выключен….

Шестнадцатеричный — learn.sparkfun.com

Добавлено в избранное Любимый 30

Введение

Вы когда-нибудь чувствовали себя ограниченными при формировании чисел всего из 10 цифр? Или хотели представлять большие числа меньшим количеством цифр? Или легко идентифицировать байтовые значения, не глядя на гипнотическую строку двоичного файла из единиц и нулей? Для подобных приложений шестнадцатеричная система чисел часто становится системой счисления, которую предпочитает инженер.

Как только вы поймете шестнадцатеричный код, следующим шагом будет декодирование матрицы!

Шестнадцатеричный — также известный как шестнадцатеричный или base 16 — это система, которую мы можем использовать для записи и обмена числовыми значениями. В этом смысле она ничем не отличается от самой известной системы счисления (той, которую мы используем каждый день): десятичной. Decimal — это система счисления с основанием 10 (идеально подходит для существ с 10 пальцами), и в ней используется набор из 10 уникальных цифр, которые можно комбинировать для позиционного представления чисел.

Hex, как и десятичное, объединяет набор цифр для создания больших чисел. Так уж получилось, что шестнадцатеричный код использует набор из 16 уникальных цифр . В шестнадцатеричном формате используются стандартные 0-9, но он также включает шесть цифр, которые вы обычно не ожидаете увидеть при создании чисел: A, B, C, D, E и F.

Есть много (бесконечное!) Других систем счисления. Двоичный код (основание 2) также популярен в мире инженерии, потому что это язык компьютеров. В двоичной системе с основанием 2 для представления чисел используются только двухзначные значения (0 и 1).

Шестнадцатеричная система, наряду с десятичной и двоичной, является одной из наиболее часто встречающихся систем счисления в мире электроники и программирования. Важно понимать, как работает шестнадцатеричный формат, потому что во многих случаях имеет больше смысла представлять число в базе 16, чем в двоичном или десятичном формате.

, описанные в этом учебном пособии

В этом руководстве рассматривается все, что связано с шестнадцатеричным кодом, с которым вы можете столкнуться в электронике или программировании. Он разделен на следующие разделы:

  • Hex Basics — Обзор шестнадцатеричного.На этой странице рассказывается о 16-значном шестнадцатеричном формате, о том, как мы представляем шестнадцатеричные числа и как считать в шестнадцатеричном формате.
  • Преобразование в / из десятичного числа — На этой странице описаны наши предпочтительные методы преобразования между шестнадцатеричным и десятичным числами.
  • Преобразование в / из двоичного кода — на этой странице показано, как можно преобразовать двоичный код в шестнадцатеричный.
  • Калькуляторы преобразования
  • — Здесь вы найдете простой автоматический калькулятор для переключения между шестнадцатеричным, двоичным и десятичным числами.

Рекомендуемая литература

Вы должны кое-что узнать о десятичных числах, прежде чем углубляться в это руководство.Помните длинное деление? Остатки? Коэффициенты? Продукты? Суммы? Экспоненты? Все они возвращаются, чтобы преследовать вас, когда вы узнаете о шестнадцатеричной системе счисления и ее отношении к десятичной системе счисления.

Помимо освежения в арифметике, мы бы порекомендовали прочитать наше двоичное руководство перед этим (или параллельно).


Учебник по двоичным и шестнадцатеричным числам

Учебник по двоичным и шестнадцатеричным числам

К документам

Учебное пособие по системам счисления

Первичная ссылка: Википедия
http: // en.wikipedia.org/wiki/Category:Positional_numeral_systems

A. Позиционные системы счисления

С начала начальной школы дети используют десятичную дробь количество система. Узнаем, что число 365 представляет 3 сотни, 6 десятков и 5. единицы. Формально это записывается как 365 = 3 × 10 2 + 6 × 10 1 + 3 × 10 0 . В значение каждой цифры определяется отсчетом справа: 5 на справа — единицы (10 0 ).Следующий, 6 представляет собой разряды десятков (10 1 ), а 3 представляет собой разряды сотен (10 0 ). Значение цифр в больших числах определяется этим Таблица степеней десяти.

Десятичная система счисления — одна из многих позиционных систем счисления, которые использовались исторически. На самом деле любое целое число больше единицы может использоваться в качестве основы позиционной системы счисления. Например, 124 в базе 7 представляет

    1 × 7 2 + 2 × 7 1 + 4 × 7 0 = 49 + 14 + 4 = 67
в базе 10.Более короткое обозначение для этого: 124 7 = 67 10 . Позиционное число с основанием n системе требуется n цифр: основание 10 требует десяти цифр
    0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Base-7 требует семи цифр
    0 1 2 3 4 5 6
Когда база больше 10, больше десяти цифры обязательны, поэтому цифры нужно придумывать. Вот цифры для база 12:
    0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Икс E
X обозначает 10; E обозначает 11.Вот цифры для основания 16: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 А B C D E F

От A до F обозначают от 10 до 15 соответственно.

Однако не все системы счисления полезны. Вот некоторые из наиболее важных позиционных систем счисления, как исторически, так и в современной технологии:

    Base-2 (Binary) Двоичная система счисления имеет решающее значение для проектирование и производство современных электронных цифровых вычислительных машин. Двоичный требуется только две цифры 0 и 1.Фактически термин бит , впервые использован Джоном Тьюки в 1946 году, используется для обозначения двоичной цифры. Немного может удобно представляют собой логические значения False или True, Выкл. Или Вкл., Отсутствует или присутствует и т. Д. Биты важны в Булева алгебра, которая используется для проектирования современных компьютеров. См. Раздел B (Двоичная система счисления) ниже для получения более подробной информации.

    Base-3 (Tertiary) Цифры: 0, 1, 2. Третичное число. Система важна в теоретической логике и информатике.А третичная логика использует трехзначные логические значения False, True и Неопределенный (возможно). Исторически сложилось так, что система положений рук base-3 Средневековые приверженцы ислама использовали его для подсчета молитв. Используя эту систему, человек мог сосчитать до 100 на один. рука. В 1940 году Томас Фаулер построил механический деревянный высшая вычислительная машина; в конце 1950-х годов электронное высшее учебное заведение компьютер был построен в МГУ. Однако после этого интерес к третичным электронным компьютерам угас, потому что двоичные компьютеры было проще спроектировать.

    Основание-4 (четвертичное) Цифры: 0, 1, 2, 3. Использование генетической ДНК система четвертичного кодирования для представления биологической информации. Генетики традиционно используют цифры A, C, G, T для записи этой информации. Использование кодировки

    нуклеотидная последовательность GATTACA может быть представлена ​​как 2033010 4 .

    Base-5 (Пятеричный) Цифры: 0, 1, 2, 3, 4. Пятеричное число. система естественна для человека, потому что на одном пять пальцев рука. В двадцатом веке только народ луо в Кении и Йоруба из Нигерии по-прежнему использовали пятизначную систему счисления.

    Древние римляне использовали модифицированную версию этой системы; это было бы точнее называется пятерично-десятичной системой. Здесь символы, которые они использовали:

    Nucleotide Base-4 Digit
    A 0
    C 1
    G

    Римская цифра Значение
    I 1
    V 5
    X 10
    L 50
    C M 1000

    Китайская версия счётов также использует эту пятидесятичную систему.

    Base-8 (восьмеричный) Цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Юки родной американский язык в Калифорнии и памейский язык в Мексике используются восьмеричные системы счисления. Совсем недавно использование восьмеричного числа было распространено в 1960-е и 1970-е годы для представления компьютерных данных. Это было потому, что длина компьютерного слова на компьютерах в то время (например, Мэйнфрейм IBM) использовали слова, состоящие из 24 двоичных цифр. В то время восьмеричный был удобен, потому что группа три цифры легко переводятся в одну восьмеричную цифру с помощью следующая таблица:

    двоичный восьмеричный
    000 0
    001 1
    010 2
    011 3
    9011 9011

    9011

    100 110 6
    111 7

    Например, используя эту таблицу, двоичная последовательность 011111101110 0100001 101111 2 переводит в 37562157 8 .Пользователи компьютера Unix, работающего знакомы с восьмеричной системой, потому что они используют ее для установки права доступа к файлам.

    Base-10 (десятичный) Цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Десятичная система счисления обсуждается в начале этой книги. раздел. Читателям этого документа это хорошо известно.

    Base-12 (двенадцатеричная или дюжинальная) Цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, X, E. Поскольку для двенадцатеричной системы требуется двенадцать цифр, а для десятичной — только десять, Необходимо придумать еще две цифры, а именно X для десяти и E для одиннадцати.Чудесная организация под названием Общество дюжины, которое думает, что мир должен отказаться от от базы 10 до базы 12. Прочтите информацию на их веб-сайте, чтобы узнать больше. Детали. Одна веская причина того, что двенадцатеричная система — это , а не . хорошая идея — это несовместимо с метрической системой.

    Base-16 (шестнадцатеричный) Цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, где от A до F представляют от десяти до пятнадцати соответственно. Поскольку современные цифровые компьютеры используют слова, содержащие 32 или 64 двоичных цифры, четыре двоичных цифры легко переводятся в одну шестнадцатеричную или шестнадцатеричную цифру.Использовать этот Таблица шестнадцатеричных цифр для выполнения перевода. Например, 0110 1101 1110 1001 1011 0111 1000 1010 2 переводится как 6DE9B78A 16 .

    Base-20 (Vigesimal) Цифры являются 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, G, H, I, J. Модифицированная система использует 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, G, H, J, K, чтобы избежать путаница между 1 и I. В культурах майя и ацтеков использовались десятичные системы счисления. Другой культуры (например, кельтская, баскская и бретонская) использовали модифицированное основание 20 системы счисления.Системы Base-20 сегодня используются редко.

    Base-60 (шестидесятеричная) Требуется шестьдесят различных цифр. Древние вавилоняне использовали базу 60 система счисления. См. Эту статью о Вавилонские цифры для подробностей, в том числе символы, которые использовались для представления шестидесяти цифр. Наша система времени, где 60 секунд составляют минуту, а 60 минут составляют час даты вплоть до древних вавилонян.

    Base-64 (Quadrosexagesimal) Цифры: A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O, P, Q, R, S, T, U, V, W, X, Y, Z.a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, +, /. В настоящее время base-64 используется для передача двоичных данных в различных приложения, например, клиент / сервер, криптография, XML. Система MIME (Multipurpose Internet Mail Extensions) — это кодировка base-64. система для вложений электронной почты, таких как изображения и звуковые файлы. На отрицательном стороны, спамеры могут иногда использовать base-64 в своих интересах, потому что программное обеспечение для защиты от спама часто не декодирует base-64 и, следовательно, не будет обнаружить, что в сообщении присутствует закодированный спам.

Практические задачи

  1. Преобразуйте следующие числа различных оснований в десятичные:
      1011 2 1201 3 2310 4 7325 8 53XE 12
  2. Почему каждый из этих номеров является незаконным?
      1598 8 1111 0102 0101 0110 2 21240110 3

Б. Беззнаковые двоичные числа

Двоичные числа используются для представления целочисленных данных в современных цифровых компьютерах. В этом разделе описывается, как использовать двоичные числа для представления неотрицательных чисел. целые числа.В разделе C мы увидим, как отрицательные целые числа представлены в компьютерные данные. Используйте следующее Степень двойки таблицы. Определен бит как одна двоичная цифра. Один байт определяется как восемь бит.

Пример: Преобразование однобайтового беззнакового двоичного числа 01101101 2 в десятичной системе:
01101101 2 = 0 × 2 7 + 1 × 2 6 + 1 × 2 5 + 0 × 2 4 + 1 × 2 3 + 1 × 2 2 + 0 × 2 1 + 1 × 2 0 = 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 1 = 123.

Это вычисление можно сократить до 01101101 2 = 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 1 = 123.

Пример: Преобразовать 59 10 в беззнаковый один байт двоичный.
Несколько раз вычесть наибольшую степень двойки, которая меньше или равно оставшемуся количеству. Остановитесь, когда дойдете до 0:
59 — 32 = 27; 27 — 16 = 11; 11-8 = 3; 3 — 2 = 1; 1-1 = 0.
Таким образом, 59 = 32 + 16 + 8 + 2 + 1 = 00111011 2 .

Практические задачи

  1. Преобразуйте эти числа в десятичное:
      00101101 2 01010101 2 10011110 2
  2. Преобразуйте эти числа в однобайтовые двоичные числа без знака.

C. Двоичное сложение

При двоичном сложении используются следующие арифметические факты:

Если сложение дает двухбитовый результат, переносится крайний левый бит. слева так же, как цифра переносится при десятичном сложении.

Пример: Выполнить двоичное сложение 00111001 2 + 00101011 2 . Начните справа и получите следующее:

Carry 0 1 1 1 0 1 1 0
Значение 1 0 0 1 1 1 0 0 1
Значение 2 0 0 1 0 1 0 1 1
Результат 0 1 1 0 0 1 0 0

Практические проблемы

  1. Выполните эти двоичные сложения:
      00001111 2 + 00000110 2
      00101001 2 + 00011011 2
      00101001 2 + 00011011 2

Д.Преобразование двоичного кода в шестнадцатеричный

Преобразование между двоичным и шестнадцатеричным (основание 16) особенно легко, потому что каждая группа из четырех двоичных разрядов соответствует одной шестнадцатеричной цифре. Вот шестнадцатеричные цифры в шестнадцатеричном, двоичном формате и десятичный.

Пример: Преобразование шестнадцатеричного числа 2AE9 16 в двоичный. Найдите каждую шестнадцатеричную цифру в таблице шестнадцатеричных цифр, чтобы получить 2 -> 0010; А -> 1010; E -> 1110; 9 -> 1001. Собираем их вместе дает 0010101011101001 2 .

Пример: Преобразование двоичного числа 10111010 2 в шестнадцатеричный.Найдите каждую группу из четырех цифр в таблице шестнадцатеричных цифр. дать 1011 -> B; 1010 -> C. Объединение всего этого дает БК 16 .

E. Двоичные числа со знаком

Бинарное представление без знака может использоваться только для неотрицательных целые числа. Для отрицательных целых чисел необходимы целые числа со знаком. Для целые числа со знаком, двоичное число с крайним левым битом, установленным на 0, представляет положительное целое число или ноль. Двоичное число с крайним левым битом значение 1 представляет собой отрицательное целое число.Вот значения Значения знаковых и беззнаковых целых чисел. Обратите внимание, что половина целых чисел со знаком (от 00000000 до 01111111) являются положительный, а другая половина (от 11111111 до 10000000) отрицательная.

Целые числа со знаком работают как одометр автомобиля, который едет. назад, если автомобиль движется задним ходом. Если автомобиль с десятичным одометром начинается с 000000 и отступает на одну милю от автостоянки автосалона, одометр покажет 999999; знаковое представление -1 — 999999.Точно так же, если машина с двоичным одометром начинает с 00000000 и показывает один миля вне участка, одометр покажет 11111111; подписанный однобайтовое представление -1 — это 11111111. Если отступить еще на милю от стоянка приводит к тому, что двоичный одометр показывает 11111110, поэтому знаковое представление -2 — 11111110. (Посмотрите еще раз на таблица сравнения подписанных и целые числа без знака.)

Алгоритм отрицания двоичного числа

  1. Дополнить каждый бит двоичного числа (изменить 0 на 1 и От 1 до 0).
  2. Поиск справа, найти первый 0 в позиции p.
  3. Измените этот бит (в позиции p) на 1.
  4. Измените каждый бит справа от позиции p на 0.
Пример: Вычислить знаковое представление -45.
  1. 45 в двоичном формате это 32 + 8 + 4 + 1 = 00101101 2 .
  2. Поразрядное дополнение 00101101 2 11010010 2 .
  3. Первый 0, поиск справа, находится в позиции 8.
  4. Измените 0 в позиции 8 на 1, чтобы получить 11010011 2 .
  5. Больше нет битов справа для изменения на 1.
Пример: Вычислить знаковое представление -96.
  1. 96 в двоичном формате это 64 + 32 = 01100000 2 .
  2. Поразрядное дополнение 01100000 2 10011111 2 .
  3. Первый 0, поиск справа, находится в позиции 3.
  4. Измените 0 в позиции 8 на 1, чтобы получить 10111111 2 .
  5. Измените бит 1 справа от позиции 3 на 0: 10100000 2 .

Практические задачи

  1. Преобразовать в однобайтовый двоичный код со знаком:
  2. Преобразовать в десятичный формат:
      11111100 2 , г. 11111001 2 , г. 11110111 2

F. Максимальные и минимальные значения

Практические задачи

  1. Какое наибольшее возможное однобайтное двоичное число без знака?
  2. Какое наибольшее возможное беззнаковое двухбайтовое двоичное число?
  3. Какое наибольшее возможное четырехбайтовое двоичное число без знака?
  4. Какое наибольшее из возможных однобайтовых двоичных чисел со знаком?
  5. Какое наибольшее возможное двухбайтовое двоичное число со знаком?
  6. Какое наибольшее возможное четырехбайтовое двоичное число со знаком?

Ф.Системы кодирования двоичных символов

Хотя представление целых чисел в двоичном формате очень важно, компьютеры должны также работают с нечисловой информацией, например с символами. ASCII (Американская система обмена компьютерной информацией) двоичные коды используется для хранения и передачи символьной информации. Эта система способен кодировать все символы на стандартном американском компьютерная клавиатура.

В этих двух таблицах показаны стандартные коды ASCII:

  1. Коды ASCII для печатаемых символов
  2. Коды ASCII для непечатаемых символов
Пример: символов в двоичный ASCII

Чтобы преобразовать символы «!% TUNA9 *> ~» в двоичный ASCII, сначала преобразовать символы в шестнадцатеричный ASCII, просмотрев их в Таблица ASCII для печатаемых символов.Получаются следующие коды:

21 25 54 55 4E 41 39 2A 3C 7E

Переведите каждый символ в двоичный с помощью Таблица шестнадцатеричных цифр.

00100001 00100101 01011000 01010101 01001110 01000001 00111001 00101010 00111100 01111110

Пример: Двоичный код ASCII в символ

Чтобы преобразовать двоичные коды ASCII 00110010 00111010 00110011 00110000 в символы, сначала преобразуйте в шестнадцатеричный (четыре бита на шестнадцатеричную цифру): 32 3A 33 30. Теперь найдите эти коды в Таблица ASCII для печатаемых символов для получения «2:30»

Хотя ASCII предназначен исключительно для кодирования символов американского английского языка, компьютеры обычно кодируют символы всех основных языков (древних и современные) в мире.Лучшая система для кодирования символов для языков, отличных от английского, используется система Unicode. Дополнительные сведения см. На веб-сайте Unicode. сайт www.unicode.org.

Практические задачи

  1. Преобразуйте эту фразу в двоичные коды ASCII:
  2. Преобразуйте эти двоичные коды ASCII в символы:
      01000111 01110010 01101111 01101111 01110110 01111001

Восьмеричная и шестнадцатеричная нумерация | Системы счисления

Поскольку для двоичной системы счисления требуется очень много битов для представления относительно небольших чисел по сравнению с экономией десятичной системы, анализ числовых состояний внутри цифровых электронных схем может быть утомительной задачей.

Компьютерные программисты, разрабатывающие последовательности числовых кодов, указывающие компьютеру, что делать, столкнулись бы с очень сложной задачей, если бы им пришлось работать только с длинными строками из единиц и нулей, «родным языком» любой цифровой схемы.

Чтобы инженерам, техническим специалистам и программистам было легче «говорить» на этом языке цифрового мира, были созданы другие системы счисления, взвешенные по размеру, которые очень легко преобразовать в двоичную систему и обратно.

Одна из этих систем счисления называется восьмеричной , потому что это система с десятичным взвешиванием и основанием восемь.Допустимые шифры включают символы 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7. Вес каждого места отличается от следующего в восемь раз.

Другая система называется в шестнадцатеричной системе счисления , потому что это система с позиционным взвешиванием с основанием из шестнадцати.

Допустимые шифры включают обычные десятичные символы 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9, а также шесть буквенных символов A, B, C, D, E и F, чтобы получить общее из шестнадцати.

Как вы уже могли догадаться, вес каждого места отличается от предыдущего в шестнадцать раз.

Давайте снова посчитаем от нуля до двадцати, используя десятичную, двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы, чтобы сопоставить эти системы счисления:

Число Десятичное Двоичное Восьмеричное Шестнадцатеричное
------ ------- ------- ----- -----------
Ноль 0 0 0 0
Один 1 1 1 1
Два 2 10 2 2
Три 3 11 3 3
Четыре 4 100 4 4
Пять 5 101 5 5
Шесть 6 110 6 6
Семь 7 111 7 7
Восемь 8 1000 10 8
Девять 9 1001 11 9
Тен 10 10 10 12 А
Одиннадцать 11 1011 13 B
Двенадцать 12 1100 14 C
Тринадцать 13 1101 15 D
Четырнадцать 14 1110 16 E
Пятнадцать 15 1111 17 F
Шестнадцать 16 10000 20 10
Семнадцать 17 10001 21 11
Восемнадцать 18 10010 22 12
Девятнадцать 19 10011 23 13
Двадцать 20 10100 24 14
 

Восьмеричные и шестнадцатеричные системы счисления были бы бессмысленны, если бы не их способность легко преобразовывать в двоичную систему счисления и обратно.Их основная цель в бытии — служить в качестве «сокращенного» метода обозначения числа, представленного в электронном виде в двоичной форме.

Поскольку основания восьмеричной системы (восемь) и шестнадцатиричные числа (шестнадцать) даже кратны основанию двоичной системы (два), двоичные биты могут быть сгруппированы вместе и напрямую преобразованы в соответствующие восьмеричные или шестнадцатеричные числа или наоборот. В восьмеричной системе двоичные биты группируются по три (потому что 2 3 = 8), а в шестнадцатеричной системе двоичные биты группируются по четыре (потому что 2 4 = 16):

Двоичное преобразование в восьмеричное

Двоичное преобразование в восьмеричное
Преобразование 10110111.1  2  в восьмеричной системе:
.
. подразумеваемый ноль подразумеваемые нули
. | ||
. 010 110 111 100
Преобразуйте каждую группу битов ### ### ###. ###
в восьмеричном эквиваленте: 2 6 7 4
.
Ответ: 10110111,1  2  = 267,4  8 
 

Нам пришлось сгруппировать биты по три, начиная с двоичной точки слева и с двоичной точки справа, добавляя (подразумеваемые) нули по мере необходимости для создания полных 3-битных групп.Каждая восьмеричная цифра была переведена из 3-битных двоичных групп.

Двоичное преобразование в шестнадцатеричное

Преобразование двоичного числа в шестнадцатеричное почти такое же:

Двоичное преобразование в шестнадцатеричное.
Преобразование 10110111,1  2  в шестнадцатеричное:
.
. подразумеваемые нули
. |||
. 1011 0111 1000
Преобразуйте каждую группу битов ---- ----.----
в его шестнадцатеричный эквивалент: B 7 8
.
Ответ: 10110111,1  2  = B7,8  16 
 

Здесь мы должны были сгруппировать биты по четыре, начиная с двоичной точки слева и с двоичной точки справа, добавляя (подразумеваемые) нули по мере необходимости для создания полных 4-битных групп:

Аналогичным образом преобразование восьмеричной или шестнадцатеричной системы в двоичную осуществляется путем преобразования каждой восьмеричной или шестнадцатеричной цифры в ее эквивалентную двоичную (3- или 4-битную) группу с последующим объединением всех двоичных групп битов.

Между прочим, шестнадцатеричное представление более популярно, потому что двоичные битовые группы в цифровом оборудовании обычно кратны восьми (8, 16, 32, 64 и 128 бит), которые также кратны 4. Восьмеричный, основанный на двоичных группах битов. из 3, не работает равномерно с этими общими размерами группы битов.

СВЯЗАННЫЕ РАБОЧИЕ ЛИСТЫ:

Система счисления

— определение, типы, примеры, правила преобразования

Число — это математическое значение, используемое для подсчета и измерения объектов, а также для выполнения арифметических вычислений.У чисел есть различные категории, такие как натуральные числа, целые числа, рациональные и иррациональные числа и так далее. Точно так же существуют различные типы систем счисления, которые имеют разные свойства, такие как двоичная система счисления, восьмеричная система счисления, десятичная система счисления и шестнадцатеричная система счисления.

Что такое системы счисления?

Система счисления — это система, представляющая числа. Ее также называют системой счисления, и она определяет набор значений для представления количества.Эти числа используются как цифры, и наиболее распространенными являются 0 и 1, которые используются для представления двоичных чисел. Цифры от 0 до 9 используются для обозначения других типов систем счисления.

Определение систем счисления

Система счисления определяется как представление чисел с помощью последовательного использования цифр или других символов. Значение любой цифры в числе может быть определено цифрой, ее положением в числе и основанием системы счисления. Числа представлены уникальным образом и позволяют нам выполнять арифметические операции, такие как сложение, вычитание и деление.

Типы систем счисления

Существуют различные типы систем счисления, в которых четыре основных типа:

Мы изучим каждую из этих систем по порядку.

Двоичная система счисления

В двоичной системе счисления используются только две цифры: 0 и 1. Числа в этой системе имеют основание 2. Цифры 0 и 1 называются битами, а 8 битов вместе составляют байт. Данные в компьютерах хранятся в битах и ​​байтах.Двоичная система счисления не работает с другими числами, такими как 2,3,4,5 и так далее. Например: \ (10001_2, 111101_2, 1010101_2 \) — примеры чисел в двоичной системе счисления.

Восьмеричная система счисления

В восьмеричной системе счисления используются восемь цифр: 0,1,2,3,4,5,6 и 7 с основанием 8. Преимущество этой системы состоит в том, что она имеет меньшее количество цифр по сравнению с несколькими другими системами, следовательно, было бы меньше вычислительных ошибок.Такие числа, как 8 и 9, не входят в восьмеричную систему счисления. Как и двоичная, в миникомпьютерах используется восьмеричная система счисления, но с цифрами от 0 до 7. Например: \ (35_ {8}, 923_ {8}, 141_ {8} \) — некоторые примеры чисел в восьмеричной системе счисления. система счисления.

Десятичная система счисления

В десятичной системе счисления используется десять цифр: 0,1,2,3,4,5,6,7,8 и 9 с основным числом 10. Десятичная система счисления — это система, которую мы обычно используем для представления чисел в реальная жизнь.Если какое-либо число представлено без основания, это означает, что его основание равно 10. Например: \ (723_ {10}, 32_ {10}, 4257_ {10} \) — некоторые примеры чисел в десятичной системе счисления.


Шестнадцатеричная система счисления

Шестнадцатеричная система счисления использует шестнадцать цифр / алфавитов: 0,1,2,3,4,5,6,7,8, 9 и A, B, C, D, E, F с основным числом 16. Здесь , AF в шестнадцатеричной системе счисления означает числа 10-15 десятичной системы счисления соответственно.Эта система используется в компьютерах для уменьшения больших строк двоичной системы. Например: \ (7B3_ {16}, 6F_ {16}, 4B2A_ {16} \) — некоторые примеры чисел в шестнадцатеричной системе счисления.

Правила преобразования числовых систем

Число может быть преобразовано из одной системы счисления в другую. Подобно тому, как двоичные числа могут быть преобразованы в восьмеричные числа и наоборот, восьмеричные числа могут быть преобразованы в десятичные числа и наоборот, и так далее.Давайте посмотрим, какие шаги необходимы для преобразования этих систем счисления.

Преобразование двоичной / восьмеричной / шестнадцатеричной системы счисления в десятичную систему счисления

Чтобы преобразовать число из двоичной / восьмеричной / шестнадцатеричной системы в десятичную, мы используем следующие шаги. Шаги показаны на примере числа в двоичной системе счисления.

Пример:

Преобразовать \ (100111_2 \) в десятичную систему.

Решение:

Шаг 1: Определите основание данного числа.Здесь основание \ (100111_2 \) равно 2.

Шаг 2: Умножьте каждую цифру данного числа, начиная с крайней правой цифры, на степень основания. Показатели должны начинаться с 0 и увеличиваться на 1 каждый раз при движении справа налево. Поскольку основание здесь равно 2, мы умножаем цифры данного числа на 2 0 , 2 1 , 2 2 и так далее справа налево.

Шаг 3: Мы просто упрощаем каждый из перечисленных выше продуктов и добавляем их.0) \ [0,3 см]
& = (1 \ times 32) + (0 \ times 16) + (0 \ times 8) + (1 \ times 4) + (1 \ times 2) + (1 \ times 1) \\ [0,3 см]
& = 32 + 0 + 0 + 4 + 2 + 1 \ [0,3 см]
& = 39
\ end {align} \]
Таким образом,

\ (\, следовательно, 100111_2 = 39_ {10} \)

Преобразование десятичной системы счисления в двоичную / восьмеричную / шестнадцатеричную систему счисления

Чтобы преобразовать число из десятичной системы счисления в двоичную / восьмеричную / шестнадцатеричную систему счисления, мы используем следующие шаги.Показаны шаги по преобразованию числа из десятичной системы в восьмеричную.

Пример:

Преобразует \ (4320_ {10} \) в восьмеричную систему.

Решение:

Шаг 1: Определите основание необходимого числа. Поскольку мы должны преобразовать данное число в восьмеричную систему, основание требуемого числа — 8.

Шаг 2: Разделите полученное число на основание требуемого числа и запишите частное и остаток в форме частного остатка.Повторите этот процесс (снова разделив частное на основание), пока мы не получим частное меньше, чем основание.

Шаг 3: Данное число в восьмеричной системе счисления получается простым чтением всех остатков и последнего частного снизу вверх.

\ (\ следовательно 4320_ {10} = 10340_ {8} \)

Преобразование одной системы счисления в другую систему счисления

Чтобы преобразовать число из одной из двоичных / восьмеричных / шестнадцатеричных систем в одну из других систем, мы сначала преобразуем его в десятичную систему, а затем преобразуем его в требуемые системы, используя вышеупомянутые процессы.

Пример:

Преобразовать \ (1010111100_2 \) в шестнадцатеричную систему.

Решение:

Шаг 1: Преобразуйте это число в десятичную систему счисления, как описано выше.

Таким образом, \ [1010111100_2 = 700_ {10} \ rightarrow (1) \]

Шаг 2: Преобразуйте указанное выше число (в десятичной системе) в требуемую систему счисления.

Здесь мы должны преобразовать \ (700_ {10} \) в шестнадцатеричную систему, используя вышеупомянутый процесс.Следует отметить, что в шестнадцатеричной системе числа 11 и 12 записываются как B и C соответственно.

Таким образом, \ [700_ {10} = 2BC_ {16} \ rightarrow (2) \]

Из уравнений (1) и (2) \ (1010111100_2 = 2BC_ {16} \)

Рекомендуемые темы:

Ниже приведены несколько рекомендуемых тем, связанных с концепцией систем счисления:

применений шестнадцатеричного | Шестнадцатеричные и символьные наборы

Шестнадцатеричная система KS3 (14-16 лет)

  • Редактируемая презентация урока PowerPoint
  • Редактируемые раздаточные материалы для исправлений
  • Глоссарий, который охватывает ключевые термины модуля
  • Тематические карты памяти для визуализации ключевых понятий
  • Карточки для печати, чтобы помочь учащимся активнее вспоминать и повторять на основе уверенности
  • Викторина с сопровождающим ключом ответов для проверки знаний и понимания модуля

Шестнадцатеричные ресурсы A-уровня (16-18 лет)

  • Редактируемый PowerPoint презентация урока
  • Редактируемые раздаточные материалы для исправлений
  • Глоссарий, охватывающий ключевые термины модуля
  • Тематические карты разума для визуализации ключевых понятий
  • Печатные карточки, помогающие учащимся активнее вспоминать и повторять на основе уверенности
  • Викторина с сопроводительным ответом ключ к проверке знаний и понимание модуля

Шестнадцатеричная система счисления

Шестнадцатеричная система счисления — это система счисления по основанию 16, которая состоит из 16 цифр: 0–9 и еще шесть, то есть от A до F.
В таблице ниже показано, как работает шестнадцатеричная система счисления и ее эквивалентное десятичное число:

) + 1 + 16 9 0121 7 (2 x 16) + 0 901 21
Шестнадцатеричное Десятичное Шестнадцатеричное Десятичное
0 11 0 17
1 1 12 = (1 x 16) + 2 18
2 2 13 = (1 x 16 3 19
3 3 14 = (1 x 16) + 4 20
4 4 15 = 21
5 5 16 = (1 x 16) + 6 22
6 6 17 = (1 x 9012) + 7
7 18 = (1 x 16) + 8 24
8 8 19 = (1 x 16) + 9 25
9 1A = (1 x 16) + 10 26
A 10 1B = (1 x 16) + 11 27
11 1C = (1 x 16) + 12 28
C 12 1D = (1 x 16) + 13 29
D 13 1E = (1 x 16) + 14 30
E 14 1F = (1 x 16) + 15 31
F 15 20 = 32
10 = (1 x 16) + 0 16

Разрядное значение

Если десятичные числа имеют разрядные значения, такие как единицы, десятки, сотни, тысячи и т. Д., Шестнадцатеричные числа также имеют разрядные значения.Десятичные числа имеют степень 10, а шестнадцатеричные числа имеют степень 16.
В таблице ниже показано, как разряды работают в шестнадцатеричной системе счисления:

Показатель степени 16 3 16 2 16 1 16 0
Значение 4,096 256 16 1
Шестнадцатеричный 9011 9011 9011 9011 9011 9011 9011 9011 256
1000 4,096

Использование шестнадцатеричной системы счисления

Шестнадцатеричная система счисления часто используется программистами для упрощения двоичной системы счисления.Поскольку 16 эквивалентно 2 4 , существует линейная зависимость между числами 2 и 16.
Это означает, что одна шестнадцатеричная цифра эквивалентна четырем двоичным цифрам. Компьютеры используют двоичную систему счисления, в то время как люди используют шестнадцатеричную систему счисления, чтобы сократить двоичную систему и упростить понимание.
Шестнадцатеричные числа используются в следующих случаях:

  • Для определения ячеек в памяти . Шестнадцатеричные числа могут характеризовать каждый байт только как две шестнадцатеричные цифры по сравнению с восемью цифрами при использовании двоичного кода.
  • Для определения цветов на веб-страницах . Каждый основной цвет — красный, зеленый и синий — характеризуется двумя шестнадцатеричными цифрами. Используемый формат — #RRGGBB. RR означает красный, GG означает зеленый, а BB означает синий.
  • Для представления адресов управления доступом к среде (MAC). MAC-адреса состоят из 12-значных шестнадцатеричных чисел. Используемый формат: MM: MM: MM: SS: SS: SS или MMMM-MMSS-SSSS. Первые 6 цифр MAC-адреса представляют собой идентификатор производителя адаптера, а последние 6 цифр представляют собой серийный номер адаптера.
  • Для отображения сообщений об ошибках. Шестнадцатеричные числа используются для определения места в памяти ошибки. Это полезно для программистов при поиске и исправлении ошибок.

Преимущества шестнадцатеричной системы

Вот некоторые преимущества использования шестнадцатеричной системы:

  • Это очень кратко, и использование базы 16 означает, что количество цифр, используемых для обозначения данного числа, обычно меньше, чем в двоичном или десятичном виде. Это позволяет хранить больше информации, занимая меньше места.
  • Это быстрое и простое преобразование между шестнадцатеричными числами и двоичными числами. Шестнадцатеричный формат можно использовать для записи больших двоичных чисел всего несколькими цифрами.
  • Это упрощает жизнь, поскольку позволяет группировать двоичные числа, что упрощает чтение, запись и понимание. Он более удобен для человека, поскольку люди привыкли группировать числа и вещи для облегчения понимания. Кроме того, меньшее количество цифр снижает вероятность возникновения ошибки.

Джон Максуини — Шестнадцатеричная система счисления

23 августа 2021 г.

Шестнадцатеричная система счисления

Система счисления с основанием 16 (основание 16), т.е.е. возрастающие степени 16. Введены от IBM — легенда гласит, что компания отказалась поддерживать более точные шестнадцатеричное имя.

Помимо чисел 0 ..9, в шестнадцатеричном формате используются буквы A, B, C, D, E и F для обозначения десятичные эквиваленты 10, 11, 12, 13, 14 и 15 (см. правила).
Например, десятичное значение 31 имеет шестнадцатеричное значение 1F

16 3 = 4096 16 2 = 256 16 1 = 16 16 0 = 1
0 0 1 F

1F = 1 лот из 16 плюс F лотов из 1

Шестнадцатеричная цифра представляет 4 двоичных цифры (от 0000 до 1111) и две шестнадцатеричные цифры. может представлять один байт.Это простое сегментирование двоичного кода в шестнадцатеричный является улучшением о восьмеричном представлении как средстве просмотра двоичных данных в современных машинах. Однако стоит иметь в виду, что если бы в компьютерах все еще использовался 6-значный байт, а не вездесущий 8-битный байт, затем восьмеричная система, где восьмеричная цифра эквивалентна 3 битам, лучше для сегментации и просмотр двоичных чисел.
См. DEC PDP-10, в котором использовался размер слова 36 бит. http://www.encyclopedia4u.com/p/pdp-10.html

Пример использования

Hex имеет множество приложений, из которых лишь несколько:

Следующая страница »Правила конвертации между системы счисления

Предыдущая страница «Восьмеричная система счисления

⇑ В начало страницы

Что такое шестнадцатеричная система счисления? — Двоичное в шестнадцатеричное, восьмеричное в шестнадцатеричное и значение шестнадцатеричного

Шестнадцатеричная система счисления образует основу цифровой системы , такой как микропроцессоры, микроконтроллеры и т. Д.Это система счисления, состоящая из 16 элементов, в которых используются 10 цифр от 0 до 9 и 6 алфавитов от A до F. Любое другое число может быть представлено в шестнадцатеричной системе счисления с помощью комбинации этих 16 элементов.

Шестнадцатеричное слово состоит из двух слов: «HEX» и «DECIMAL» . Шестнадцатеричный означает 6, а среднее десятичное — 10, сумма этих двух равна 16, что означает его основание. Таким образом, шестнадцатеричная система счисления также известна как система счисления «Base-16» .

Причина этого в том, что основание или основание шестнадцатеричной системы счисления равно 16. В нашей предыдущей статье мы уже обсуждали, что основание системы счисления — это количество элементов, составляющих эту систему счисления.

Значение шестнадцатеричных чисел

Шестнадцатеричное число — излюбленная альтернатива исследователям, работающим над цифровыми системами. Они предпочитают шестнадцатеричные числа двоичным и восьмеричным числам.

Вы сталкиваетесь с таким же вопросом ????

Это связано с тем, что двоичное представление малых чисел является простым и коротким по длине.Но как насчет больших чисел, то есть чисел с 32 цифрами, 64 цифрами или даже больше. В этом случае представление двоичного числа будет длинной строкой из нулей и единиц. Может возникнуть возможность ошибки как при чтении числа, так и при его записи.

Эту проблему можно решить с помощью шестнадцатеричной системы счисления. Каждую группу из четырех цифр двоичных чисел можно записать в одну цифру шестнадцатеричного числа. Таким образом, шестнадцатеричное число уменьшает длину представления числа на 1/4 -го .

В нашей предыдущей статье в категории «Цифровая электроника» мы обсуждали, что восьмеричные числа также уменьшают длину числовой строки, но сокращают длину на 1/3. Хотя шестнадцатеричный формат более эффективен, поскольку нам нужна только одна цифра в шестнадцатеричном числе для представления 4 цифр двоичного числа.

Счет в шестнадцатеричной системе счисления

Подсчет в шестнадцатеричной системе счисления начинается с 0. Остальные числа можно понять с помощью приведенной ниже таблицы.Число 10 в шестнадцатеричной системе счисления обозначается буквой A, затем 11 буквой B и так далее. Этот тип алфавитного представления используется в шестнадцатеричной системе счисления, чтобы отличать его от десятичной системы счисления.

Если мы напишем число 10 напрямую, это сделает систему нумерации сложной и запутанной. Мы не сможем определить, является ли эта 10 десятичной или шестнадцатеричной.

Таким образом, чтобы понять, имеем ли мы дело с десятичной системой счисления и шестнадцатеричной системой счисления, мы используем алфавиты A, B, C, D, E и F для обозначения 10, 11, 12, 13, 14, 15 соответственно. .

Преобразование из шестнадцатеричной системы счисления в другую и наоборот

Шестнадцатеричное в десятичное

Чтобы преобразовать шестнадцатеричное число в десятичное, нам нужно умножить каждую цифру шестнадцатеричного числа на 16 в степени позиционного значения цифры. В случае наличия десятичной точки, позиционная мощность будет увеличиваться соответственно от 0 до более высоких значений при перемещении влево от десятичной точки. Точно так же оно будет увеличиваться в отрицательной степени при движении вправо от десятичной дроби.

Рассмотрим пример.

(131.F2) 16 = 1 * 16 2 + 3 * 16 1 + 1 * 16 0 + 15 * 16 -1 + 2 * 16 -2

= 256 + 48 + 1 + (15/16) + (2/256)

= (305,9453125) 10

Десятичное в шестнадцатеричное

Десятичное число можно преобразовать в шестнадцатеричное, непрерывно разделив число на 16 и записав все остатки в обратном порядке. Если десятичное число состоит из десятичной точки, то целая часть будет преобразована отдельно, а дробная часть будет преобразована отдельно.

Целая часть будет преобразована путем последовательного деления числа на 16, поскольку это основание системы счисления. Дробная часть будет преобразована путем последовательного умножения дробной части на 16 и отдельной записи переносимой части.

Весь процесс преобразования десятичного числа в шестнадцатеричное можно понять на приведенном ниже примере.

из шестнадцатеричного в двоичное

Преобразование из шестнадцатеричного в двоичное очень просто и может быть выполнено за один шаг.Каждую цифру шестнадцатеричной системы счисления можно записать в ее 4-значном двоичном эквиваленте. Вы можете добавить нули, если двоичный эквивалент состоит из 3 цифр. Таким образом, все двоичные цифры записываются в последовательности, чтобы получить двоичный эквивалент шестнадцатеричных чисел.

Более наглядно процесс конвертации можно понять на примере. Рассмотрим шестнадцатеричное число (A6B.F5) 16 . Теперь, чтобы преобразовать это число в двоичное, нам нужно записать двоичный эквивалент каждой цифры.

из двоичного в шестнадцатеричный

Преобразование из двоичного в шестнадцатеричное может быть достигнуто путем формирования группы из 4 цифр двоичного числа и последующей записи шестнадцатеричного эквивалента двоичной группы. Мы можем добавить несколько нулей по своему усмотрению, чтобы завершить группу из 4 цифр. Мы должны формировать группы, начиная с LSB и двигаясь в сторону MSB.

Разберемся в этом на примере

Шестнадцатеричное в восьмеричное

Шестнадцатеричное число можно преобразовать в восьмеричное в два этапа.Сначала преобразовав шестнадцатеричное число в двоичное. Во-вторых, преобразовав двоичное число в восьмеричное. Мы хорошо знакомы с преобразованием двоичного кода в восьмеричный. Во-первых, сформировав группу из трех двоичных цифр, начиная с LSB и заканчивая MSB, а затем записав его восьмеричный эквивалент.

Таким образом, можно получить восьмеричный эквивалент шестнадцатеричного числа.

Например: рассмотрим шестнадцатеричное число (IE9C) 16

Восьмеричное в шестнадцатеричное

Восьмеричное число можно преобразовать в шестнадцатеричное, преобразовав его сначала в двоичное, а затем в шестнадцатеричное.Двоичные числа сгруппированы по 4 бита каждое. Таким образом, шестнадцатеричный эквивалент 4-битного двоичного числа может быть записан за один шаг.

Рассмотрим восьмеричное число (2715) 8

С помощью этих методов преобразования вы можете легко преобразовать шестнадцатеричную систему счисления в двоичную, восьмеричную и двоичную десятичную систему счисления. Шестнадцатеричный формат широко используется в программировании микропроцессоров и микроконтроллеров.

.

alexxlab

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.