1.3. Основные действия с векторами – кратко, с чертежами



В школьном курсе геометрии рассматривается ряд действий и правил с векторами, и для начала мы повторим наиболее важные из них:

Правило сложения векторов по правилу треугольников

Рассмотрим два произвольных ненулевых вектора  и :

Требуется найти их сумму. В силу того, что все векторы свободны, отложим вектор  от конца вектора :

Суммой векторов  и  является вектор . Для лучшего понимания правила в него целесообразно вложить физический смысл: пусть некоторое тело совершило путь по вектору , а затем по вектору . Тогда сумма векторов  представляет собой вектор результирующего пути  с началом в точке отправления и концом в точке прибытия.

Векторы перестановочны:  – мысленно отложите вектор  от конца вектора  (см. рисунок выше), и вы поймёте, что получится тот же самый вектор .

Аналогичное правило справедливо для суммы любого количества векторов. Как говорится, тело может пройти свой путь по зигзагу, а может и на автопилоте по результирующему вектору суммы.

Кстати, если вектор  отложить от начала вектора , то получится эквивалентное правило параллелограмма сложения векторов.

Умножение вектора на число

Произведением ненулевого вектора  на число  является такой вектор , длина которого равна , причём при  векторы   и  сонаправлены, а при  направлены противоположно.

Правило умножения вектора на число легче понять с помощью рисунка:

Разбираемся более детально:

1) Направление. Если множитель  отрицательный,  то полученный вектор будет направлен в противоположную сторону – смотрим на векторы  и .

2) Длина. Если множитель заключен в пределах , то длина вектора соразмерно уменьшается. Так, длина вектора  в два раза меньше длины вектора . Если множитель  по модулю больше единицы, то длина вектора увеличивается в  раз. Так, длина вектора  в два раза больше длины вектора .

3) Очевидно, что все векторы

коллинеарны, при этом один вектор линейно* выражен через другой, например, . Обратное тоже справедливо: если один вектор можно линейно выразить через другой, то такие векторы обязательно коллинеарны. Таким образом: если мы умножаем вектор на число, то получится коллинеарный (по отношению к исходному) вектор.

* Справка: линейно – это значит, через множитель-константу.

4) Векторы  сонаправлены. Векторы  и  тоже сонаправлены.

Любой вектор первой группы противоположно направлен по отношению к любому вектору второй группы.

1.4. Координаты вектора на плоскости и в пространстве

1.2. Коллинеарность векторов

| Оглавление |



Автор: Aлeксaндр Eмeлин

Примеры решения задач с векторами

Векторы используются во многих науках, таких как: математика, физика, геометрия и многие другие прикладные науки. На практике они позволяют не выполнять ненужных операций и сокращают время на выполнение задач. Поэтому для будущих специалистов очень важно понять теорию векторов и научиться решать с ними проблемы.

Прежде чем изучать примеры решения проблем, советуем вам изучить теоретический материал по векторам, прочитать все определения и свойства. Список тем находится в правом меню.

Векторные координаты

пример

Запись \(\ \overline{a}=(5 ;-2) \) означает, что вектор \(\ \overline{a} \) имеет следующие координаты: абсцисса равна 5, ордината равна -2. {\circ} \)

Разложение вектора по ортам координатных осей

пример

Задание.

Зная разложение вектора \(\ \overline{a} \) на базисной системе векторов: \(\ \overline{a}=3 \overline{i}-\overline{k} \)запишите координаты этого вектора в пространстве.

Решение.

Коэффициенты ортов являются координатами вектора, поэтому из того, что \(\ \overline{a}=3 \overline{i}-0 \cdot \overline{j}-\overline{k} \) мы получаем \(\ \overline{a}=(3 ; 0 ;-1) \)

Пример

Задание.

Вектор \(\ \overline{a} \) определяется его координатами: \(\ \overline{a}=(2 ;-1 ; 5) \) запишите разложение этого вектора по осям осей.

Решение.

Координаты вектора представляют собой коэффициенты по осям координатных осей при разложении вектора в основную систему векторов, поэтому требуется разложение:

\(\ \overline{a}=2 \overline{i}-\overline{j}+5 \overline{k} \)

Скалярное произведение векторов

Пример

Задание.

Рассчитайте скалярное произведение векторов \(\ \overline{a} \) и \(\ \overline{b} \) , если их длины равны 2 и 3 соответственно, а угол между ними равен 60 °. {\circ}=6 \cdot \frac{1}{2}=3 \)

Пример

Задание.

Найти скалярное произведение векторов \(\ \overline{a}=(3 ;-1) \) и \(\ \overline{b}=(-2 ; 7) \)

Решение.

Скалярное произведение

\(\ \overline{a} \overline{b}=3 \cdot(-2)+(-1) \cdot 7=-6-7=-13 \) Векторное произведение векторов пример

Задание.

Найти векторное произведение векторов \(\ \overline{a}=(6 ; 7 ; 10) \) и \(\ \overline{b}=(8 ; 5 ; 9) \)

Решение.

Составляем определитель и вычисляем его:

\(\ \overline{a} \times \overline{b}=\left| \begin{array}{ccc}{\overline{i}} & {\overline{j}} & {\overline{k}} \\ {6} & {7} & {10} \\ {8} & {5} & {9}\end{array}\right|=\overline{i} \left| \begin{array}{cc}{7} & {10} \\ {5} & {9}\end{array}\right|-\overline{j} \left| \begin{array}{cc}{6} & {10} \\ {8} & {9}\end{array}\right|+\overline{k} \left| \begin{array}{cc}{6} & {7} \\ {8} & {5}\end{array}\right|= \)

\(\ =\overline{i}(7 \cdot 9-5 \cdot 10)-\overline{j}(6 \cdot 9-8 \cdot 10)+\overline{k}(6 \cdot 5-8 \cdot 7)= \)

\(\ =13 \overline{i}+26 \overline{j}-26 \overline{k}=(13 ; 26 ;-26) \)

Смешанное произведение векторов

Пример

Задание.

Рассчитать объем пирамиды, построенной на векторах \(\ \overline{a}=(2 ; 3 ; 5), \overline{b}=(1 ; 4 ; 4), c=(3 ; 5 ; 7) \)

Решение.

Мы находим смешанное произведение указанных векторов, для этого составляем определитель, в строки которого записываем координаты векторов \(\ \overline{a}, \overline{b} \) и \(\ \overline{c} \):

\(\ (\overline{a}, \overline{b}, \overline{c})=\left| \begin{array}{ccc}{2} & {3} & {5} \\ {1} & {4} & {4} \\ {3} & {5} & {7}\end{array}\right|=2 \cdot 4 \cdot 7+1 \cdot 5 \cdot 5+3 \cdot 4 \cdot 3- \)

\(\ -3 \cdot 4 \cdot 5-5 \cdot 4 \cdot 2-1 \cdot 3 \cdot 7=-4 \)

\(\ V_{\mathrm{пир}}=\frac{1}{6}|(\overline{a}, \overline{b}, \overline{c})|=\frac{1}{6} \cdot 4=\frac{2}{3}(\mathrm{куб} . \mathrm{ед.}) \)

Физика

166

Реклама и PR

31

Педагогика

80

Психология

72

Социология

7

Астрономия

9

Биология

30

Культурология

86

Экология

8

Право и юриспруденция

36

Политология

13

Экономика

49

Финансы

9

История

16

Философия

8

Информатика

20

Право

35

Информационные технологии

6

Экономическая теория

7

Менеджент

719

Математика

338

Химия

20

Микро- и макроэкономика

1

Медицина

5

Государственное и муниципальное управление

2

География

542

Информационная безопасность

2

Аудит

11

Безопасность жизнедеятельности

3

Архитектура и строительство

1

Банковское дело

1

Рынок ценных бумаг

6

Менеджмент организации

2

Маркетинг

238

Кредит

3

Инвестиции

2

Журналистика

1

Конфликтология

15

Этика

9

Формулы дифференцирования Действия над векторами и свойства векторов Смешанное произведение векторов Векторное произведение векторов Скалярное произведение векторов

Узнать цену работы

Узнай цену

своей работы

Имя

Выбрать тип работыЧасть дипломаДипломнаяКурсоваяКонтрольнаяРешение задачРефератНаучно — исследовательскаяОтчет по практикеОтветы на билетыТест/экзамен onlineМонографияЭссеДокладКомпьютерный набор текстаКомпьютерный чертежРецензияПереводРепетиторБизнес-планКонспектыПроверка качестваЭкзамен на сайтеАспирантский рефератМагистерскаяНаучная статьяНаучный трудТехническая редакция текстаЧертеж от рукиДиаграммы, таблицыПрезентация к защитеТезисный планРечь к дипломуДоработка заказа клиентаОтзыв на дипломПубликация в ВАКПубликация в ScopusДиплом MBAПовышение оригинальностиКопирайтингДругое

Принимаю  Политику  конфиденциальности

Подпишись на рассылку, чтобы не пропустить информацию об акциях

R Vector (с примерами)

В этой статье вы узнаете о векторе в программировании на R. Вы научитесь создавать их, получать доступ к их элементам с помощью различных методов и изменять их в своей программе.

Вектор — это базовая структура данных в R. Она содержит элементы того же типа. Типы данных могут быть логическими, целочисленными, двойными, символьными, сложными или необработанными.

Тип вектора можно проверить с помощью typeof() функция.

Еще одним важным свойством вектора является его длина. Это количество элементы в векторе и могут быть проверены с помощью функции длина() .

---

Как создать вектор в R?

Векторы обычно создаются с помощью функции c() .

Так как вектор должен иметь элементы одного типа, эта функция попытается и приводить элементы к одному и тому же типу, если они разные.

Приведение — от низших типов к высшим, от логического к целочисленному, к двойному, к характер.

 > х <- с(1, 5, 4, 9, 0)
> тип(х)
[1] «двойной»
> длина (х)
[1] 5
> x <- c(1, 5. 4, ИСТИНА, "привет")
> х
[1] «1» «5.4» «ИСТИНА» «привет»
> тип(х)
[1] "персонаж" 

Если мы хотим создать вектор последовательных чисел, Оператор : очень полезен.

Пример 1: Создание вектора с использованием: оператора

 > x <- 1:7; Икс
[1] 1 2 3 4 5 6 7
> у <- 2:-2; у
[1] 2 1 0 -1 -2 

Более сложные последовательности можно создавать с помощью функции seq() , например, определение количества точек в интервале или размера шага.

Пример 2. Создание вектора с помощью функции seq()

> seq(1, 3, by=0.2) # указать размер шага
[1] 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0
> seq(1, 5, length.out=4) # указать длину вектора
[1] 1,000000 2,333333 3,666667 5,000000
 

---

Как получить доступ к элементам вектора?

Доступ к элементам вектора можно получить с помощью векторной индексации. Используемый вектор для индексации может быть логическим, целочисленным или вектором символов.

---

Использование целочисленного вектора в качестве индекса

Индекс вектора в R начинается с 1, в отличие от большинства языков программирования, где индекс начать с 0.

Мы можем использовать вектор целых чисел в качестве индекса для доступа к определенным элементам.

Мы также можем использовать отрицательные целые числа, чтобы вернуть все элементы, кроме тех, которые указано.

Но мы не можем смешивать положительные и отрицательные целые числа при индексировании и реальном числа, если они используются, усекаются до целых чисел.

 > х
[1] 0 2 4 6 8 10
> x[3] # доступ к третьему элементу
[1] 4
> x[c(2, 4)] # доступ ко 2-му и 4-му элементам
[1] 2 6
> x[-1] # доступ ко всем элементам, кроме 1-го
[1] 2 4 6 8 10
> x[c(2, -4)] # нельзя смешивать положительные и отрицательные целые числа
Ошибка в x[c(2, -4)]: только 0 могут быть смешаны с отрицательными нижними индексами
> x[c(2.4, 3.54)] # действительные числа усекаются до целых
[1] 2 4
 

---

Использование логического вектора в качестве индекса

Когда мы используем логический вектор для индексации, позиция, в которой логический вектор равен ИСТИНА возвращается.

Эта полезная функция помогает нам фильтровать вектор, как показано ниже.

 > х[с(ИСТИНА, ЛОЖЬ, ЛОЖЬ, ИСТИНА)]
[1] -3 3
> x[x < 0] # фильтрация векторов по условиям
[1] -3 -1
> х [х > 0]
[1] 3
 

В приведенном выше примере выражение x>0 даст логический вектор (ЛОЖЬ, ЛОЖЬ, ЛОЖЬ, ИСТИНА) , который затем используется для индексация.

---

Использование вектора символов в качестве индекса

Этот тип индексации полезен при работе с именованными векторами. Мы можем назвать каждый элемент вектора.

 > x <- c("первый"=3, "второй"=0, "третий"=9)
> имена(х)
[1] "первый" "второй" "третий"
> х["секунда"]
второй
0
> х[с("первый", "третий")]
первая треть
3 9
 

---

Как изменить вектор в R?

Мы можем изменить вектор с помощью оператора присваивания.

Мы можем использовать методы, описанные выше, для доступа к определенным элементам и изменить их.

Если мы хотим обрезать элементы, мы можем использовать переназначения.

 > х
[1] -3 -2 -1 0 1 2
> х[2] <- 0; x # изменить 2-й элемент
[1] -3 0 -1 0 1 2
> х[х<0] <- 5; x # изменить элементы меньше 0
[1] 5 0 5 0 1 2
> х <- х[1:4]; x # обрезать x до первых 4 элементов
[1] 5 0 5 0
 

---

Как удалить вектор?

Мы можем удалить вектор, просто назначив NULL к нему.

 > х
[1] -3 -2 -1 0 1 2
> х <- NULL
> х
НУЛЕВОЙ
> х[4]
НУЛЕВОЙ
 

Как создать вектор в R и получить к нему доступ?

Распространяйте любовь

Вы можете создать вектор в R, используя c() примитивную функцию. В программировании на R вектор содержит элементы одного и того же типа, и типы могут быть логическими, целочисленными, двойными, символьными, сложными или необработанными. Помимо c() вы также можете создать вектор, используя функции vector(), character().

В этой статье рассматриваются следующие способы создания векторов в R.

• Создать вектор в R с помощью функции c()
• Создать именованный вектор
• Создать вектор из списка
• Вектор нулей
• Вектор заданной длины
• Числовой вектор со значениями от 0 до 10
• Использование вектора()

FUN в R — использование в примере

Пожалуйста, включите JavaScript

FUN в R — использование в примере

1.

Создайте вектор в R с помощью функции c()

Вектор в R — это фундаментальная структура данных, которая используется для хранения элементов одного и того же типа данных. и типы могут быть логическими, целочисленными, двойными, символьными, сложными или необработанными. R Vector создается с помощью комбинированной функции c(). Давайте посмотрим на синтаксис этой функции и на то, как создать вектор.

1.1. Синтаксис c()

Ниже приведен синтаксис функции c(), которая используется для создания вектора в R.

# Синтаксис функции c()
с(...)
 

1.2. Создание вектора Пример

Использование функции c() является наиболее часто используемым и распространенным способом создания вектора в R. На самом деле c() — это комбинированная функция, которая используется для объединения элементов в вектор или список. В следующем примере создаются числовой вектор, вектор символов и вектор даты с именами переменных id , name и dob соответственно.

# Создать векторы
идентификатор <- с (10,11,12,13)
имя <- c('сай','рам','дипика','сахити')
доб <- as.Date(c('1990-10-02','1981-3-24','1987-6-14','1985-8-16'))
 

Здесь переменные

• id — числовой вектор, в котором хранятся числовые значения.
• имя — Вектор символов, в котором хранятся значения символов.
• доб – Вектор даты, который хранит значения даты.

В приведенном выше примере создаются 3 вектора, теперь давайте отобразим тип этих векторных переменных с помощью функции typeof() . вы можете получить размер вектора, используя length().

# Типы векторов
> тип (идентификатор)
#[1] "двойной"
> тип (имя)
#[1] "персонаж"
> тип(доб)
#[1] "двойной"
 

2. Создать именованный вектор

Вы также можете назначать имена значениям при создании вектора, если у вас есть имена, он называется именованным вектором. В следующем примере создается вектор с именами C1 , C2 и C3 .

# Создать именованный вектор
x <- c(C1='A',C2='B',C3='C')
печать (х)
# Выход
# С1 С2 С3
#"А" "Б" "С"
 

3. Создать вектор из списка

Если у вас есть список, вы можете легко создать вектор из списка в R с помощью функции unlist() . Эта функция принимает список в качестве аргумента и преобразует его в вектор. Используя is.vector() , проверьте, имеет ли преобразованный вектор тип vector.

# Создать вектор из списка
li <- список('A','B','C')
v <- удалить из списка (li)
печать (v)
печать (тип (v))
печать (is.vector (v))
# Выход
#[1] «А» «Б» «В»
#[1] "персонаж"
#[1] ИСТИНА
 

4. Вектор нулей

Чтобы создать вектор нулей, используйте функцию integer(). вектор.

# Создать вектор нулей
v <- целое число (6)
печать (v)
# Выход
#[1] 0 0 0 0 0 0
 

5. Вектор длины N

Допустим, вы хотите создать вектор в R заданной длины N со значениями по умолчанию. В приведенном выше примере создается числовой вектор со значением 0 и указанной длиной. Точно так же, чтобы создать вектор символов с указанными пустыми местами, используйте символ(N) .

# Создать вектор заданной длины
v <- символ(5)
печать (v)
# Выход
#[1] "" "" "" "" ""
 

6. Вектор от 1 до 10

Если вам нужен вектор с порядковыми номерами от 1 до 10, используйте либо функцию seq(1,10) , либо функцию 1:10 .

# Создать числовой вектор со значениями от 0 до 10
v <- 1:10
v <- последовательность (1, 10)
печать (v)
# Выход
# [1] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
 

7. Использование Vector()

Вектор () 9Функция 0008 используется для создания вектора любого типа. Он принимает параметр , режим и длину. режим используется для указания типа, а длина используется для указания длины вектора со значениями по умолчанию. В следующем примере создается логический вектор с 5 элементами.

# Создать вектор с помощью vector()
x <- вектор (режим = 'логический', длина = 5)
печать (х)
печать (есть. вектор (х))
печать (тип (х))
# Выход
#[1] ЛОЖЬ ЛОЖЬ ЛОЖЬ ЛОЖЬ ЛОЖЬ ЛОЖЬ
#[1] ИСТИНА
#[1] "логический"
 

8. Полный пример создания вектора

Ниже приведен полный пример различных способов создания вектора в R. Полный пример из этой статьи можно найти в Github R Programming Examples Project.

# Создать вектор с помощью c()
идентификатор <- с (10,11,12,13)
имя <- c('сай','рам','дипика','сахити')
доб <- as.Date(c('1990-10-02','1981-3-24','1987-6-14','1985-8-16'))
# Создать именованный вектор
x <- c(C1='A',C2='B',C3='C')
# Создать вектор с помощью vector()
x <- вектор (режим = 'логический', длина = 5)
# Создать вектор символов
х <- символ(5)
# Создать вектор из списка
li <- список('A','B','C')
v <- удалить из списка (li)
# Создать вектор нулей
v <- целое число (6)
# Создать вектор заданной длины
v <- символ(5)
# Создать числовой вектор со значениями от 0 до 10
v <- последовательность (1, 10)
v <- 1:10
# Создать вектор с помощью vector()
x <- вектор (режим = 'логический', длина = 5)
 

9.