Site Loader

Содержание

Определение результирующий вектор общее значение и понятие. Что это такое результирующий вектор

В контексте физики величина, которая определяется его направлением, точкой приложения, количеством и значением, называется вектором . По его характеристикам можно говорить о разных видах векторов.

В латыни мы можем найти этимологическое происхождение этого термина, которое происходит именно от «vector-vectoris», что можно перевести как «тот, который ведет».

Результирующая векторная идея может появиться при выполнении операции сложения с векторами. Используя так называемый полигональный метод, вы должны поместить векторы, которые вы хотите добавить, один рядом с другим в граф, чтобы начало каждого вектора совпадало с концом следующего вектора. Результирующий вектор называется вектором, который имеет совпадающее начало с первым вектором и который заканчивается в конце вектора, расположенного в последнем месте .

VR — это аббревиатуры, которые используются для обозначения результирующего вектора, который, как и остальные векторы, при анализе требует учета трех элементов, которые придают ему форму. Мы имеем в виду следующее:

-Модуль, который используется, чтобы упомянуть, какова интенсивность его величины и который представлен тем, что является размером вектора.
Направление, которое относится к тому, что такое наклон линии.
Смысл, который имеет особенность, которая представлена ​​тем, что является вершиной стрелки рассматриваемого вектора.

Добавление векторов с помощью этого метода включает перемещение векторов, заставляя их соединяться своими концами. Итак, мы возьмем вектор и поместим его рядом с другим, чтобы начало одного связывалось с другим концом. Результирующий вектор

«рождается» в начале первого вектора, который мы взяли, и «заканчивается» в конце вектора, который мы поместили в последнее пространство.

Следует иметь в виду, что для добавления векторов с помощью полигонального метода важно не изменять свойства : векторы следует только перемещать.

Важно иметь в виду, что, когда речь заходит о возможности взять эту сумму, которая нас занимает, что нужно сделать, это прибегнуть к некоторым фундаментальным элементам в математике и алгебре. Мы имеем в виду оси координат X и Y. По сути, из них и их соответствующих сумм получается, как получить вышеупомянутый результирующий вектор.

Мы также говорим о результирующем векторе со ссылкой на тот, который в системе генерирует тот же эффект, что и векторы, составляющие его. Вектор, имеющий то же направление и величину, но противоположное направление, квалифицируется как уравновешивающий вектор.

Этот вышеупомянутый уравновешивающий вектор, который также называется VE, как мы упоминали, имеет противоположное значение, противоположен тому, что составляет 180º.
В дополнение к упомянутым существует много других типов векторов, таких как копланарные, параллельные, противоположные, параллельные, коллинеарные, фиксированные векторы …

результирующий вектор — это… Что такое результирующий вектор?

результирующий вектор
resultant vector

Большой англо-русский и русско-английский словарь. 2001.

  • результирующий адрес
  • результирующий ветер

Полезное


Смотреть что такое «результирующий вектор» в других словарях:

  • результирующий вектор — — [Я.Н.Лугинский, М.С.Фези Жилинская, Ю.С.Кабиров. Англо русский словарь по электротехнике и электроэнергетике, Москва, 1999 г.] Тематики электротехника, основные понятия EN resultant vector …   Справочник технического переводчика

  • результирующий вектор — atstojamasis vektorius statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. resultant vector vok. resultierender Vektor, m rus. результирующий вектор, m pranc. résultante, f; vecteur somme, m …   Fizikos terminų žodynas

  • ВЕКТОР — В физике и математике вектор это величина, которая характеризуется своим численным значением и направлением. В физике встречается немало важных величин, являющихся векторами, например сила, положение, скорость, ускорение, вращающий момент,… …   Энциклопедия Кольера

  • РЕЗУЛЬТИРУЮЩИЙ ВЕТЕР — средний вектор скорости ветра, т. е. векторная сумма составляющих векторов ветра или средняя из скоростей (с учетом на< правлений). Вычисляется для данного пункта или уровня за некоторый период времени …   Словарь ветров

  • главный вектор дисбалансов ротора — главный вектор дисбалансов Ндп. результирующий вектор дисбалансов суммарный вектор дисбалансов Вектор, перпендикулярный оси ротора, проходящий через центр его масс и равный произведению массы ротора на ее эксцентриситет. Примечания 1. Главный… …   Справочник технического переводчика

  • главный вектор дисбалансов — 3.5 главный вектор дисбалансов : Векторная сумма всех дисбалансов, распределенных вдоль оси ротора. Примечания 1 См. примечание 1 к 3.6. 2 Данная величина может быть представлена в виде где   векторы локальных дисбал …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

  • Главный вектор дисбалансов ротора — 26. Главный вектор дисбалансов ротора Главный вектор дисбалансов Ндп. Результирующий вектор дисбалансов Суммарный вектор дисбалансов D. Hauptunwuchtsvektor Е. Basic (main) unbalance vector F. Vecteur de desequilibre resultant Вектор,… …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

  • МАГНЕТИЗМ МИКРОЧАСТИЦ — магн. свойства молекул, атомов, атомных ядер и субъядерных частиц (т. н. элементарных частиц). Магн. свойства элементарных частиц обусловлены наличием у них спина, а более сложных систем (ядер, атомов, молекул) особенностями их строения и вкладом …   Физическая энциклопедия

  • главный — 3.4.18. главный [генеральный] подрядчик : Подрядчик, несущий полную ответственность за выполнение контракта. Обеспечивает координацию и объединение действий множества субподрядчиков. Источник …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

  • ГОСТ 19534-74: Балансировка вращающихся тел. Термины — Терминология ГОСТ 19534 74: Балансировка вращающихся тел. Термины оригинал документа: 2. n опорный ротор D. n Lagerrotor Е. n support rotor Single support rotor F. Rotor a n support Ротор, имеющий n опор Определения термина из разных документов:… …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

  • Формула поворота Родрига — формула, связывающая два вектора с общим началом, один из которых получен поворотом другого на известный угол вокруг оси, проходящей через их общее начало: где исходный вектор, результирующий вектор, единичный вектор оси поворо …   Википедия

перевод на английский, синонимы, антонимы, примеры предложений, значение, словосочетания

Результирующий вектор силы параллелен вектору электрического поля в этой точке, причем этот точечный заряд удален. The resulting force vector is parallel to the electric field vector at that point, with that point charge removed.
Я испробовал каждую математическую модель, логарифм и вектор. I’ve tried every mathematical model, logarithm and vector.
Ну и разумеется, все хотели, чтобы результирующая система проверки обеспечивала высочайшую степень эффективности и действенности… And, of course, everybody wanted the resulting verification system to provide the highest degree of effectiveness and efficiency…
Хорошо известно, что вектор остатков наименьших квадратов е ортогонален по отношению к столбцам Ш; т.е. мы имеем:. It is well known that the vector of least squares residuals e is orthogonal to the columns of W; i.e., we have:.
До 2003 года общий мировой объем производства урана составил около 2 миллионов тонн, при этом результирующая масса образовавшихся хвостов составила 2 миллиарда тонн. Until 2003, the total world production of uranium was about 2 million tons while the resultant tailings totalled over 2 billion tons.
Если ввести В?ктор, то будут найдены Виктор и Вектор Sm?th finds Smith and Smyth
Вектор определенный тут, выделяется в своем пространстве векторов. Your vector is defined by an origin, but above all by size in vectorial space.
Направляющая ракета может придать скорости снаряда боковой вектор на столько-то метров в секунду. A guidance rocket can give a load so many meters per second of side vector.
Если я правильно помню Вектор, колебание, гипотенуза… If I remember correctly, vector, variance, hypotenuse…
Это будет скользящий вектор. Now, this is referred to as a portable vector.
47.3 вектор 799, в пределах 7 секунд. 47.3 vector 799, in seven seconds.
Изменяю вектор… сейчас. I’m altering the vector now.
Вектор генетической изменчивости во взаимной, антагонистической эволюции организмов носителя и паразита. Vector genetic variations in host-parasite antagonistic coevolution.
Это вектор. Просто умножаешь на N. It’s a factorial, so you multiply each one by N.
Я испробовал каждую математическую модель, логарифм и вектор. I’ve tried every mathematical model, logarithm and vector.
Меняем вектор, 30°. We’re changing direction, 30 degrees!
Вам дается разрешение на вектор 79, на 195… You are cleared on Vector 79, on 195…
Мы потеряли вектор движения. We’ve lost flying attitude.
Вектор x представляет собой набор из n переменных состояния, описывающих различные состояния внутренней памяти устройства. The vector x represents a set of n state variables describing the different internal memory states of the device.
Эти различные координаты и соответствующие базисные векторы представляют один и тот же вектор положения. These different coordinates and corresponding basis vectors represent the same position vector.
Это может быть, скажем, вектор в направлении x или радиальное направление R. It could be, say, a vector in the x direction, or the radial r direction.
Наш первый шаг-вычислить остаточный вектор r0, связанный с x0. Этот остаток вычисляется по формуле r0 = b-Ax0 и в нашем случае равен. Our first step is to calculate the residual vector r0 associated with x0. This residual is computed from the formula r0 = b — Ax0, and in our case is equal to.
Поскольку это первая итерация, мы будем использовать остаточный вектор r0 в качестве начального направления поиска p0; метод выбора pk изменится в последующих итерациях. Since this is the first iteration, we will use the residual vector r0 as our initial search direction p0; the method of selecting pk will change in further iterations.
В качестве итерационного метода нет необходимости явно формировать ATA в памяти, а только выполнять умножение матрица-вектор и транспонирование матрица-вектор. As an iterative method, it is not necessary to form ATA explicitly in memory but only to perform the matrix-vector and transpose matrix-vector multiplications.
Умножьте этот вектор на случайное число x, лежащее между 0 и 1. Добавьте его к текущей точке данных, чтобы создать новую, синтетическую точку данных. Multiply this vector by a random number x which lies between 0, and 1. Add this to the current data point to create the new, synthetic data point.
Тогда вектор единичной оси может быть записан. Then the unit axis vector can be written.
Используя точечные и поперечные произведения, вектор v можно разложить на компоненты, параллельные и перпендикулярные оси k,. Using the dot and cross products, the vector v can be decomposed into components parallel and perpendicular to the axis k,.
Вектор k × v можно рассматривать как копию v⊥, повернутого против часовой стрелки на 90° вокруг k, поэтому их величины равны, но направления перпендикулярны. The vector k × v can be viewed as a copy of v⊥ rotated anticlockwise by 90° about k, so their magnitudes are equal but directions are perpendicular.
Кроме того, поскольку k-единичный вектор, K имеет единичную 2-норму. Moreover, since k is a unit vector, K has unit 2-norm.
Это создает волну, вектор электрического поля, который колеблется только в одной плоскости, порождая классическую синусоидальную форму волны, когда свет проходит через пространство. This produces a wave, the electric field vector, which oscillates in only one plane, giving rise to a classic sinusoidal wave shape as the light travels through space.
Нормальный вектор, иногда называемый вектором кривизны, указывает на отклонение кривой от прямой линии. The normal vector, sometimes called the curvature vector, indicates the deviance of the curve from being a straight line.
Математически это говорит о том, что вектор состояния ограничен одним из двух собственных пространств P и не может распространяться на все гильбертово пространство. Mathematically, this says that the state vector is confined to one of the two eigenspaces of P, and is not allowed to range over the entire Hilbert space.
На самом деле, шум на финансовых рынках означает, что невозможно найти P, которое точно решает это уравнение, и наша цель состоит в том, чтобы найти вектор P такой, что. Actually, noise in the financial markets means it is not possible to find a P that solves this equation exactly, and our goal becomes to find a vector P such that.
Поскольку up-единичный вектор, его величина фиксирована, и он может изменяться только в направлении, то есть его изменение dup имеет компонент только перпендикулярный up. Because uρ is a unit vector, its magnitude is fixed, and it can change only in direction, that is, its change duρ has a component only perpendicular to uρ.
И этот алгоритм был распространен на прямоугольные массивы и произвольные радики, что является общим алгоритмом вектор-радикс. And this algorithm has been extended to rectangular arrays and arbitrary radices, which is the general vector-radix algorithm.
Повторно ввести модифицированный бинарный вектор в кишечную палочку для усиления. Re-introduce engineered binary vector into E. coli to amplify.
В геометрии перемещение-это вектор, длина которого равна кратчайшему расстоянию от начального до конечного положения точки P, находящейся в движении. In geometry, a displacement is a vector whose length is the shortest distance from the initial to the final position of a point P undergoing motion.
Поскольку Принципал Р-это просто коэффициент, его часто опускают для простоты, и вместо него используется результирующая функция накопления. Since the principal P is simply a coefficient, it is often dropped for simplicity, and the resulting accumulation function is used instead.
Интерпретировав вектор сопряженного состояния как опережающую волну, показано, что происхождение правила Борна естественным образом вытекает из описания транзакции. Having interpreted the conjugate state vector as an advanced wave, it is shown that the origins of the Born rule follow naturally from the description of a transaction.
Когда каждая составляющая вектора делится на эту длину, новый вектор будет единичным вектором, указывающим в том же направлении. When each component of the vector is divided by that length, the new vector will be a unit vector pointing in the same direction.
На языке линейной алгебры это преобразование рассматривается как отображение сдвига и описывается матрицей, действующей на вектор. In the language of linear algebra, this transformation is considered a shear mapping, and is described with a matrix acting on a vector.
Когда вектор в евклидовом пространстве параллельно перемещается по петле, он снова будет указывать в исходном направлении после возвращения в исходное положение. When a vector in a Euclidean space is parallel transported around a loop, it will again point in the initial direction after returning to its original position.
Вектор положения центра масс определяется,. The position vector of the center of mass is defined by,.
В распознавании образов и машинном обучении вектор признаков — это n-мерный вектор числовых признаков, представляющих некоторый объект. In pattern recognition and machine learning, a feature vector is an n-dimensional vector of numerical features that represent some object.
Следовательно, КЭД выглядит точно так же, как обычный кригинг, за исключением того, что ковариационная матрица/вектор расширены значениями вспомогательных предикторов. Hence, KED looks exactly as ordinary kriging, except the covariance matrix/vector are extended with values of auxiliary predictors.
В геометрии перемещение-это вектор, длина которого равна кратчайшему расстоянию от начального до конечного положения точки P, находящейся в движении. In geometry, a displacement is a vector whose length is the shortest distance from the initial to the final position of a point P undergoing motion.
Когда программист использует вектор, он создает его экземпляр с определенным типом данных, например, int, string или double. When a programmer uses a vector, one instantiates it with a specific data type, for example, int, string or double.
Он кажется нормальным к вектору напряжений, а пьезоэлектрический вектор, я полагаю, имеет отношение к симметрии. It seems to be normal to the stress vector, and the piezoelectric vector, I imagine this has to do with symmetry.
Результирующая синусоидальная волна переменного тока демодулируется в сигнал постоянного тока с помощью встроенного усилителя. The resulting ac sine wave is demodulated to a dc signal through the use of a lock-in amplifier.
Например, если аудиосигнал с компакт-диска со скоростью 44 100 сэмплов в секунду будет уменьшен в 5/4 раза, то результирующая частота дискретизации составит 35 280. For example, if compact disc audio at 44,100 samples/second is decimated by a factor of 5/4, the resulting sample rate is 35,280.
Я думаю, что это повлияет только на людей, использующих вектор. I think that this will only affect people using Vector.
Учитывая матрицу вращения R 3 × 3, вектор u, параллельный оси вращения, должен удовлетворять. Given a 3 × 3 rotation matrix R, a vector u parallel to the rotation axis must satisfy.
Отсюда следует, что общая матрица вращения в трех измерениях имеет, вплоть до мультипликативной постоянной, только один действительный собственный вектор. It follows that a general rotation matrix in three dimensions has, up to a multiplicative constant, only one real eigenvector.
Чтобы найти угол поворота, после того, как ось вращения известна, выберите вектор v, перпендикулярный оси. To find the angle of a rotation, once the axis of the rotation is known, select a vector v perpendicular to the axis.
Поскольку только половина напряжения источника падает на любом из этих резисторов, результирующая мощность шума задается. Since only half of the source voltage drops across any one of these resistors, the resulting noise power is given by.
Примером может служить W. bancrofti, чей вектор-комар; ночь-предпочтительное время для сбора крови. Examples are W. bancrofti, whose vector is a mosquito; night is the preferred time for blood collection.
Вектор Лоа Лоа — оленья муха; дневная коллекция предпочтительнее. Loa loa’s vector is the deer fly; daytime collection is preferred.
Выбрасываемые балансовые массы смещают центр масс капсулы, что позволяет генерировать вектор подъемной силы во время атмосферной фазы. The ejectable balance masses shift the capsule center of mass enabling generation of a lift vector during the atmospheric phase.
Поляризационные скремблеры обычно изменяют нормированный вектор Стокса поляризационного состояния по всей сфере Пуанкаре. Polarization scramblers usually vary the normalized Stokes vector of the polarization state over the entire Poincaré sphere.
В неособой точке это ненулевой нормальный вектор. At a non-singular point, it is a nonzero normal vector.

Чему равна сумма двух векторов. Как вычитать и складывать векторы

Вектор — это математический объект, который характеризуется величиной и направлением (например, ускорение, перемещение), чем и отливается от скаляров, у которых направления нет (например, расстояние, энергия). Скаляры можно складывать, сложив их значения (например, 5 кДж работы плюс 6 кДж работы равно 11 кДж работы), а вот векторы складывать и вычитать не так просто.

Шаги

Сложение и вычитание векторов с известными компонентами

    Так как векторы имеют величину и направление, то их можно разложить на компоненты, основываясь на размерностях х, у и/или z. Они, как правило, обозначаются так же, как точки в системе координат (например, ). Если компоненты известны, то сложить/вычесть векторы так же просто, как сложить/вычесть координаты x, y, z.

  • Обратите внимание, что векторы могут быть одномерными, двумерными или трехмерными. Таким образом, векторы могут иметь компонент «х», компоненты «х» и «у» или компоненты «х», «у», «z». Ниже рассмотрены трехмерные векторы, но процесс аналогичен для одномерных и двумерных векторов.
  • Предположим, что вам даны два трехмерных вектора — вектор А и вектор B. Запишите эти векторы в векторной форме: А = и B = , где a1 и а2 — компоненты «х», b1 и b2 — компоненты «у», c1 и c2 — компоненты «z».
  • Для сложения двух векторов сложите их соответствующие компоненты. Другими словами, сложите компонент «х» первого вектора с компонентом «х» второго вектора (и так далее). В результате вы получите компоненты х, у, z результирующего вектора.

    • A+B = .
    • Сложим векторы A и B. A = и B = . A + B = , или .
  • Для вычитания одного вектора из другого необходимо вычесть соответствующие компоненты.

    Как будет показано ниже, вычитание можно заменить сложением одного вектора и вектора, обратного другому. Если компоненты двух векторов известны, вычтите соответствующие компоненты одного вектора из компонентов другого.

    • A-B =
    • Вычтем векторы A и B. A = и B = . A — B = , or .

    Графическое сложение и вычитание

    1. Так как векторы имеют величину и направление, то у них есть начало и конец (начальная точка и конечная точка, расстояние между которыми равно значению вектора). При графическом отображении вектора он рисуется в виде стрелки, у которой наконечник — конец вектора, а противоположная точка — начало вектора.

      • При графическом отображении векторов стройте все углы очень точно; в противном случае вы получите неправильный ответ.
    2. Для сложения векторов нарисуйте их так, чтобы конец каждого предыдущего вектора соединялся с началом следующего вектора. Если вы складываете только два вектора, то это все, что вам нужно сделать, прежде чем найти результирующий вектор.

      • Обратите внимание, что порядок соединения векторов не важен, то есть вектор А + вектор B = вектор B + вектор А.
    3. Для вычитания вектора просто прибавьте обратный вектор, то есть измените направление вычитаемого вектора, а затем соедините его начало с концом другого вектора. Другими словами, чтобы вычесть вектор, поверните его на 180 o (вокруг точки начала) и сложите его с другим вектором.

      Если вы складываете или вычитаете насколько (больше двух) векторов, то последовательно соедините их концы и начала. Порядок, в котором вы соединяете векторы, не имеет значения. Этот метод можно использовать для любого числа векторов.

    4. Нарисуйте новый вектор, начиная от начала первого вектора и заканчивая концом последнего вектора (при этом число складываемых векторов не важно). Вы получите результирующий вектор, равный сумме всех складываемых векторов. Обратите внимание, что этот вектор совпадает с вектором, полученным путем сложения компонентов «х», «у», «z» всех векторов.

      • Если вы нарисовали длины векторов и углы между ними очень точно, то вы можете найти значение результирующего вектора, просто измерив его длину. Кроме того, вы можете измерить угол (между результирующим вектором и другим указанным вектором или горизонтальной/вертикальной прямыми), чтобы найти направление результирующего вектора.
      • Если вы нарисовали длины векторов и углы между ними очень точно, то вы можете найти значение результирующего вектора при помощи тригонометрии, а именно теоремы синусов или теоремы косинусов. Если вы складываете несколько векторов (более двух), сначала сложите два вектора, затем сложите результирующий вектор и третий вектор и так далее. Смотрите следующий раздел для получения дополнительной информации.
    5. Представьте результирующий вектор, обозначив его значение и направление. Как отмечалось выше, если вы нарисовали длины складываемых векторов и углы между ними очень точно, то значение результирующего вектора равно его длине, а направление — это угол между ним и вертикальной или горизонтальной прямой. К значению вектора не забудьте приписать единицы измерения, в которых даны складываемые/вычитаемые вектора.

      • Например, если вы складываете векторы скорости, измеряемые в м/с, то и к значению результирующего вектора припишите «м/с», а также укажите угол результирующего вектора в формате « o к горизонтальной прямой».

    Сложение и вычитание векторов через нахождение значений их компонентов

    1. Чтобы найти значения компонентов векторов необходимо знать значения самих векторов и их направление (угол относительно горизонтальной или вертикальной прямой). Рассмотрим двумерный вектор. Сделайте его гипотенузой прямоугольного треугольника, тогда катетами (параллельными осям Х и Y) этого треугольника будут компоненты вектора. Эти компоненты можно рассматривать как соединенные два вектора, которые при сложении дают исходный вектор.

      • Длины (значения) двух компонентов (компонентов «х» и «у») исходного вектора можно вычислить при помощи тригонометрии. Если «х» — это значение (модуль) исходного вектора, то компонент вектора, прилежащий к углу исходного вектора, равен xcosθ, а компонент вектора, противолежащий углу исходного вектора, равен xsinθ.
      • Важно отметить направление компонентов. Если компонент направлен противоположно направлению одной из осей, то его значение будет отрицательным, например, если на двумерной плоскости координат компонент направлен влево или вниз.
      • Например, дан вектор с модулем (значением) 3 и направлением 135 o (по отношению к горизонтали). Тогда компонент «х» равен 3cos 135 = -2,12, а компонент «у» равен 3sin135 = 2,12.
    2. После того, как вы нашли компоненты всех складываемых векторов, просто сложите их значения и найдете значения компонентов результирующего вектора. Сначала сложите значения всех горизонтальных компонентов (то есть компонентов, параллельных оси Х). Затем сложите значения всех вертикальных компонентов (то есть компонентов, параллельных оси Y). Если значение компонента отрицательное, то оно вычитается, а не прибавляется.

      • Например, сложим вектор и вектор . Результирующий вектор будет таким или .
    3. Вычислите длину (значение) результирующего вектора, используя теорему Пифагора: c 2 =a 2 +b 2 (так как треугольник, образованный исходным вектором и его компонентами является прямоугольным). В этом случае катетами являются компоненты «х» и «у» результирующего вектора, а гипотенузой — сам результирующий вектор.

      • Например, если в нашем примере вы складывали силу, измеряемую в Ньютонах, то ответ запишите так: 7,79 Н под углом -61,99 o (к горизонтальной оси).
    • Не путайте векторы с их модулями (значениями).
    • Векторы, у которых одно направление, можно складывать или вычитать, просто сложив или отняв их значения. Если складываются два противоположно направленных вектора, то их значения вычитаются, а не складываются.
    • Векторы, которые представлены в виде xi + yj + zk можно сложить или вычесть, просто сложив или вычтя соответствующие коэффициенты. Ответ также запишите в виде i,j,k.
    • Значение вектора в трехмерном пространстве можно найти с помощью формулы a 2 =b 2 +c 2 +d 2 , где a — значение вектора, b, c, и d — компоненты вектора.
    • Векторы-столбцы можно складывать/вычитать, сложив/вычтя соответствующие значения в каждой строке.
  • X и y называется вектор z такой, что z+y=x .

    Вариант 1. Начальные точки всех векторов совпадают с началом координат.

    Построим разность векторов и .

    Для построения разницы векторов z=x-y , нужно сложить вектор x с противоположным к y вектором . Противоположный вектор строится просто:

    Вектор является противоположным к вектору y , так как y+y»= 0, где 0 — нулевой вектор соответствующего размера. Далее выполняется сложение векторов x и :

    Из выражения (1) видно что для построения разницы векторов достаточно вычислить разницы соответствующих координатов векторов x и y .

    Рис. 1

    На рисунке Рис. 1 в двухмерном пространстве представлен разность векторов x =(10,3) и y =(2,4).

    Вычислим z=x-y =(10-3,3-4)=(7,-1). Сравним полученный результат с геометрической интерпретацией. Действительно, после построения вектора и параллельного перемещения начальной точки вектора на конечную точку вектора x , получим вектор y»» , а после сложения векторов x и y»» , получим вектор z .

    Вариант 2. Начальные точки векторов произвольные.

    Рис. 2

    На рисунке Рис. 2 в двухмерном пространстве представлен разность векторов x =AB и y =CD , где A (1,0), B (11,3), C (1,2), D (3,6). Для вычисления вектора z=x-y , построен противоположный к вектору y вектор :

    Далее нужно сложить векторы x и . Вектор перемещается параллельно так, чтобы точка совпала с точкой B . Для этого вычисляются разницы координатов точек B и С .

    Пусть $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ — два вектора (рис.1, а).

    Возьмем произвольную точку О и построим вектор $\overrightarrow{ОА} = \overrightarrow{a}$ . Затем от точки А отложим вектор $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b}$. Вектор $\overrightarrow{OB}$, соединяющий начало первого слагаемого вектора с концом второго (рис.1, б), называется суммой этих векторов и обозначается $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$$ (правило треугольника ).

    Ту же самую сумму векторов можно получить иным способом. Отложим от точки О векторы $\overrightarrow{ОА} = \overrightarrow{a} \,и\, \overrightarrow{ОС} = \overrightarrow{b} $ (рис.1, в). Построим на этих векторах как на сторонах параллелограмм ОABC. Вектор $\overrightarrow{ОВ}$, служащий диагональю этого параллелограмма, проведенной из вершины О, является, очевидно, суммой векторов $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$ {правило параллелограмма ).2} = \sqrt{9 + 16} = 5 \\ т.е.\, |\overrightarrow{АВ} + \overrightarrow{ВС}| = 5. $$

    Понятие суммы векторов можно обобщить на случай любого конечного числа слагаемых векторов.

    Пусть, например, даны три вектора $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b} \,и\, \overrightarrow{c}$ (рис.2).

    Построив сначала сумму векторов $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$ , а затем прибавив к этой сумме вектор $\overrightarrow{c}$, получим вектор $(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) + \overrightarrow{c}$ . На рисунке 2 $$ \overrightarrow{ОА} = \overrightarrow{a}\,; \overrightarrow{АВ} = b\,; \overrightarrow{ОВ} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}\,; \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{c} \\ и \\ \overrightarrow{ОС} = \overrightarrow{ОВ} + \overrightarrow{ВС} = (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) + \overrightarrow{c} $$ Из рисунка 2 видно, что тот же вектор $\overrightarrow{ОС}$ мы получим, если к вектору $\overrightarrow{ОА} = \overrightarrow{a}$ прибавим вектор $\overrightarrow{АВ} = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$ . Таким образом, $(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) + \overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} + (\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c})$ , т. е. сумма векторов обладает сочетательным свойством. Поэтому сумму трех векторов $\overrightarrow{a}\,\,\overrightarrow{b}\,\,\overrightarrow{c}$ записывают просто $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$ .

    Разностью двух векторов $\overrightarrow{a} \,и\, \overrightarrow{b}$ называется третий вектор $\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} — \overrightarrow{b}$ , сумма которого с вычитаемым вектором $\overrightarrow{b}$ дает вектор $\overrightarrow{a}$. Таким образом, если $\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} — \overrightarrow{b}\,\, то\, \overrightarrow{c} + \overrightarrow{b} = \overrightarrow{a}$ .

    Из определения суммы двух векторов вытекает правило построения вектора-разности (рис.3).

    Откладываем векторы $\overrightarrow{ОА} = \overrightarrow{a} \,и\, \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{b}$ из общей точки О. Вектор $\overrightarrow{BA}$ , соединяющий концы уменьшаемого вектора $\overrightarrow{a}$ и вычитаемого вектора $\overrightarrow{b}$ и направленный от вычитаемого к уменьшаемому, является разностью $\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} — \overrightarrow{b}$ . Действительно, по правилу сложения векторов $\overrightarrow{ОВ} + \overrightarrow{ВА} = \overrightarrow{ОА} \text{ , или } \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} = \overrightarrow{a}$ .

    Пример 2. Сторона равностороннего треугольника ABC равна а. Найти: $а) |\overrightarrow{ВА} — \overrightarrow{ВС}|\,;\,\ б)\,\,\ |\overrightarrow{АВ} — \overrightarrow{АС}|$ .

    Решение а) Так как $\overrightarrow{ВА} — \overrightarrow{ВС} = \overrightarrow{СА}\text{ , а }|\overrightarrow{СА}| = а\text{ , то }|\overrightarrow{ВА} — \overrightarrow{ВС}| = а$ .

    б) Так как $\overrightarrow{АВ} — \overrightarrow{АС} = \overrightarrow{СВ}\text{ , а }|\overrightarrow{СВ}| = а\text{ , то }|\overrightarrow{АВ} — \overrightarrow{АС}| = а$ .

    Произведением вектора $\overrightarrow{a}$(обозначается $=\lambda\overrightarrow{a}$ или $\overrightarrow{a}\lambda$) на действительное число $\lambda$ называется вектор $\overrightarrow{b}$, коллинеарный вектору $\overrightarrow{a}$, имеющий длину, равную $|\lambda||\overrightarrow{a}|$, и то же направление, что и вектор $\overrightarrow{a}$, если $\lambda > 0$ , и направление, противоположное направлению вектора $\overrightarrow{a}$, если $\lambda

    В случае, когда $\lambda = 0$ или $\overrightarrow{a} = 0$ , произведение $\lambda\overrightarrow{a}$ представляет собой нулевой вектор. Противоположный вектор $-\overrightarrow{a}$ можно рассматривать как результат умножения вектора $\overrightarrow{a}$ на $\lambda = -1$ (см. рис.4): $$ -\overrightarrow{a} = \ (-1)\overrightarrow{a} $$ Очевидно, что $\overrightarrow{a} + (-\overrightarrow{a}) = \overrightarrow{0}$ .

    Пример 3. Доказать, что если О, А, В и С — произвольные точки, то $\overrightarrow{ОА} + \overrightarrow{АВ} + \overrightarrow{ВС} + \overrightarrow{СО} = 0$ .

    Решение. Сумма векторов $\overrightarrow{ОА} + \overrightarrow{АВ} + \overrightarrow{СВ} = \overrightarrow{ОС}$ , вектор $\overrightarrow{CO}$ — противоположный вектору $\overrightarrow{ОС}$ . Поэтому $\overrightarrow{ОС} + \overrightarrow{СО} = \overrightarrow{0}$ .

    Пусть дан вектор $\overrightarrow{a}$. Рассмотрим единичный вектор $\overrightarrow{a_0}$ , коллинеарный вектору $\overrightarrow{a}$ и одинаково с ним направленный. Из определения умножения вектора на число следует, что $$ \overrightarrow{a} = |\overrightarrow{a}|\,\ \overrightarrow{a_0} $$ , т.е. каждый вектор равен произведению его модуля на единичный вектор того же направления. Далее из того же определения следует, что если $\overrightarrow{b} = \lambda\overrightarrow{a}$ , где $\overrightarrow{a}$ — ненулевой вектор, то векторы $\overrightarrow{a} \,и\, \overrightarrow{b}$ коллинеарны. Очевидно, что и обратно, из коллинеарности векторов $\overrightarrow{a} \,и\, \overrightarrow{b}$ следует, что $\overrightarrow{b} = \lambda\overrightarrow{a}$.

    Пример 4. Длина вектора AB равна 3, длина вектора AC равна 5. Косинус угла между этими векторами равен 1/15. Найдите длину вектора AB + AC.

    Видео-решение.

    Определение

    Сложение векторов иосуществляется поправилу треугольника .

    Суммой двух векторов иназывают такой третий вектор, начало которого совпадает с началом, а конец — с концомпри условии, что конец вектораи начало векторасовпадают (рис. 1).

    Для сложения векторов применяется также правило параллелограмма.

    Определение

    Правило параллелограмма — если два неколлинеарных вектора ипривести к общему началу, то векторсовпадает с диагональю параллелограмма, построенного на векторахи(рис. 2). Причем начало векторасовпадает с началом заданных векторов.

    Определение

    Вектор называетсяпротивоположным вектором к вектору , если онколлинеарен вектору , равен ему по длине, но направлен в противоположную сторону вектору.

    Операция сложения векторов обладает следующими свойствами:

    Определение

    Разностью векторов иназывается вектортакой, что выполняется условие:(рис. 3).

    Умножение вектора на число

    Определение

    Произведением вектора на число называется вектор, удовлетворяющий условиям:

    Свойства умножения вектора на число:

    Здесь и- произвольные векторы,,- произвольные числа.

    Евкли́дово простра́нство (также Эвкли́дово простра́нство ) — в изначальном смысле, пространство, свойства которого описываются аксиомами евклидовой геометрии . В этом случае предполагается, что пространство имеет размерность равную 3.

    В современном понимании, в более общем смысле, может обозначать один из сходных и тесно связанных объектов: конечномерное вещественное векторное пространство с введённым на нём положительно определённымскалярным произведением , либо метрическое пространство , соответствующее такому векторному пространству. В этой статье за исходное будет взято первое определение.

    Мерное евклидово пространство обозначается также часто используется обозначение(если из контекста ясно, что пространство обладает евклидовой структурой).

    Для определения евклидова пространства проще всего взять в качестве основного понятие скалярного произведения . Евклидово векторное пространство определяется как конечномерное векторное пространство над полем вещественных чисел , на векторах которого задана вещественнозначная функция обладающая следующими тремя свойствами:

    Аффинное пространство , соответствующее такому векторному пространству, называется евклидовым аффинным пространством, или просто евклидовым пространством .

    Пример евклидова пространства — координатное пространство состоящее из всевозможныхn -ок вещественных чисел скалярное произведение в котором определяется формулой

      Базис и координаты вектора

    Ба́зис (др.-греч. βασις, основа) — множество таких векторов в векторном пространстве , что любой вектор этого пространства может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации векторов из этого множества — базисных векторов .

    В случае, когда базис бесконечен, понятие «линейная комбинация» требует уточнения. Это ведёт к двум основным разновидностям определения:

      Базис Га́меля , в определении которого рассматриваются только конечные линейные комбинации. Базис Гамеля применяется в основном в абстрактной алгебре (в частности в линейной алгебре).

      Базис Ша́удера , в определении которого рассматриваются и бесконечные линейные комбинации, а именно — разложение в ряды . Это определение применяется в основном в функциональном анализе, в частности для гильбертова пространства ,

    В конечномерных пространствах обе разновидности базиса совпадают.

    Координа́ты ве́ктора ― коэффициенты единственно возможной линейной комбинации базисных векторов в выбранной системе координат , равной данному вектору.

    где — координаты вектора.

      Скалярное произведение.

    операция над двумя векторами , результатом которой является число [когда рассматриваются векторы, числа часто называют скалярами ], не зависящее от системы координат и характеризующее длины векторов-сомножителей и угол между ними. Данной операции соответствует умножение длины вектора x на проекцию вектора y на вектор x . Эта операция обычно рассматривается как коммутативная и линейная по каждому сомножителю.

    Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений их соответствующих координат:

      Векторное произведение

    это псевдовектор , перпендикулярный плоскости, построенной по двум сомножителям, являющийся результатом бинарной операции «векторное умножение» над векторами в трёхмерном евклидовом пространстве . Векторное произведение не обладает свойствами коммутативности и ассоциативности (является антикоммутативным ) и, в отличие от скалярного произведения векторов , является вектором. Широко используется во многих технических и физических приложениях. Например, момент импульса и сила Лоренца математически записываются в виде векторного произведения. Векторное произведение полезно для «измерения» перпендикулярности векторов — модуль векторного произведения двух векторов равен произведению их модулей, если они перпендикулярны, и уменьшается до нуля, если векторы параллельны либо антипараллельны.

      Векторное произведение двух векторов можно вычислить с помощью определителя матрицы

      Смешанное произведение

    Сме́шанное произведе́ние векторов скалярное произведение вектора навекторное произведение векторов и:

    Иногда его называют тройным скалярным произведением векторов, по всей видимости из-за того, что результатом является скаляр (точнее — псевдоскаляр ).

    Геометрический смысл: Модуль смешанного произведения численно равен объёму параллелепипеда , образованного векторами .смешанное произведение трех векторов можно найти через определитель

      Плоскость в пространстве

    Плоскость алгебраическая поверхность первого порядка: в декартовой системе координат плоскость может быть задана уравнением первой степени.

    Некоторые характеристические свойства плоскости

      Плоскость — поверхность , содержащая полностью каждую прямую , соединяющую любые её точки ;

      Две плоскости являются либо параллельными, либо пересекаются по прямой.

      Прямая либо параллельна плоскости, либо пересекает ее в одной точке, либо находится на плоскости.

      Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны друг другу.

      Две плоскости, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны друг другу.

    Аналогично отрезку и интервалу , плоскость, не включающую крайние точки, можно назвать интервальной плоскостью, или открытой плоскостью.

    где и- постоянные, причёмиодновременно не равны нулю; ввекторной форме:

    где — радиус-вектор точки, векторперпендикулярен к плоскости (нормальный вектор).Направляющие косинусы вектора :

    Для правильного отображения законов природы в физике требуется соответствующий математический инструментарий.

    В геометрии и физике есть величины, характеризующиеся и числовым значением, и направлением.

    Их целесообразно изображать направленными отрезками или векторами .

    У таких величин есть начало (отображается точкой) и конец, обозначаемый стрелкой. Длина отрезка называется (длиной).

    • скорость;
    • ускорение;
    • импульс;
    • сила;
    • момент;
    • силы;
    • перемещение;
    • напряженность поля и др.

    Координаты на плоскости

    Зададим на плоскости отрезок, направленный из точки, А (x1,y1) в точку В (x2,y2). Его координатами a (a1, a2) являются числа а1=x2-x1, а2=y2-y1.

    Модуль рассчитывается по теореме Пифагора:

    У нулевого вектора начало совпадает с концом. Координаты и длина равны 0.

    Сумма векторов

    Существуют несколько правил для расчета суммы

    • правило треугольника;
    • правило многоугольника;
    • правило параллелограмма.

    Правило сложения векторов можно объяснить на задачах из динамики и механики. Рассмотрим сложение векторов по правилу треугольника на примере сил, воздействующих на точечное тело и последовательных перемещений тела в пространстве.

    Допустим, тело переместилось сначала из точки A в точку B, а затем из точки B в точку C. Итоговое перемещение есть отрезок, направленный от начальной точки A к конечной точке C.

    Результат двух перемещений или их сумма s = s1+ s2. Такой способ называется правилом треугольника .

    Стрелки выстраивают в цепочку одну за другой, при необходимости осуществляя параллельный перенос. Суммарный отрезок замыкает последовательность. Его начало совпадает с началом первого, конец — с концом последнего. В иностранных учебниках данный метод называется «хвост к голове» .

    Координаты результата c = a + b равны сумме соответствующих координат слагаемых c (a1+ b1, a2+ b2).

    Сумма параллельных (коллинеарных) векторов также определяется по правилу треугольника.

    Если два исходных отрезка перпендикулярны друг другу, то результат их сложения представляет собой гипотенузу построенного на них прямоугольного треугольника. Длина суммы вычисляется по теореме Пифагора.

    Примеры :

    • Скорость тела, брошенного горизонтально, перпендикулярна ускорению свободного падения.
    • При равномерном вращательном движении линейная скорость тела перпендикулярна центростремительному ускорению.

    Сложение трех и более векторов производят по правилу многоугольника , «хвост к голове»

    Предположим, что к точечному телу приложены силы F1 и F2.

    Опыт доказывает, что совокупное воздействие этих сил равнозначно действию одной силы, направленной по диагонали построенного на них параллелограмма. Эта равнодействующая сила равна их сумме F = F1 + F 2. Приведенный способ сложения называется правилом параллелограмма .

    Длина в этом случае вычисляется по формуле

    Где θ – угол между сторонами.

    Правила треугольника и параллелограмма взаимозаменяемы. В физике чаще применяют правило параллелограмма, так как направленные величины сил, скоростей, ускорений обычно приложены к одному точечному телу. В трехмерной системе координат применяется правило параллелепипеда.

    Элементы алгебры

    1. Сложение является двоичной операцией: за один раз можно сложить только пару.
    2. Коммутативность : сумма от перестановки слагаемых не изменяется a + b = b + a. Это ясно из правила параллелограмма: диагональ всегда одна и та же.
    3. Ассоциативность : сумма произвольного числа векторов не зависит от порядка их сложения (a + b)+ c = a +(b + c).
    4. Суммирование с нулевым вектором не меняет ни направление, ни длину: a +0= a .
    5. Для каждого вектора есть противоположный . Их сумма равна нулю a +(-a)=0, а длины совпадают.

    Вычитание направленного отрезка равносильно прибавлению противоположного. Координаты равны разности соответствующих координат. Длина равна:

    Для вычитания можно использовать видоизмененное правило треугольника.

    Умножение на скаляр

    Результатом умножения на скаляр будет вектор.

    Координаты произведения получаются перемножением на скаляр соответствующих координат исходного.

    Скаляр — числовая величина со знаком плюс или минус, больше или меньше единицы.

    Примеры скалярных величин в физике:

    • масса;
    • время;
    • заряд;
    • длина;
    • площадь;
    • объем;
    • плотность;
    • температура;
    • энергия.

    Примеры :

    • Перемещение равномерно движущегося тела равно произведению времени и скорости s = vt .
    • Импульс тела — масса, умноженная на скорость p = mv .
    • Второй закон Ньютона . Произведение массы тела на ускорение равно приложенной равнодействующей силе ma=F.
    • Сила, действующая на заряженную частицу в электрическом поле, пропорциональна заряду F = qE.

    Скалярное произведение направленных отрезков a и b равно произведению модулей на косинус угла между ними. Скалярное произведение взаимно перпендикулярных отрезков равно нулю.

    Пример :

    Работа является скалярным произведением силы и перемещения A = Fs .

    Скалярное сложение двух векторов — Знай свой компьютер

    Сложение векторов по правилу треугольника (суммой векторов и называется вектор , начало которого совпадает с началом вектора , а конец – с концом вектора , при условии, что начало вектора приложено к концу вектора ) даёт возможность упрощать выражение перед вычислением произведений векторов.

    Сложение векторов, заданных координатами (при сложении одноимённые координаты складываются) даёт возможность узнать, как расположен относительно начала координат вектор, являющийся суммой слагаемых векторов. Подробно эти две операции разбирались на уроке «Векторы и операции над векторами».

    Теперь же нам предстоит узнать, как найти длину вектора, являющегося результатом сложения векторов. Для этого потребуется использовать теорему косинусов. Такую задачу приходится решать, например, когда дорога из пункта A в пункт С – не прямая, а отклоняется от прямой, чтобы пройти ещё через какой-то пункт B, а нужно узнать длину предполагаемой прямой дороги. Кстати, геодезия – одна из тех сфер деятельности, где тригонометрические функции применяются во всех их полноте.

    При сложении векторов для нахождения длины суммы векторов используется теорема косинусов. Пусть и – векторы, – угол между ними, а – сумма векторов как результат сложения векторов по правилу треугольника. Тогда верно следующее соотношение:

    ,

    где – угол, смежный с углом . У смежных углов одна сторона общая, а другие стороны лежат на одной прямой (см. рисунок выше).

    Поэтому для сложения векторов и определения длины суммы векторов нужно извлечь квадратный корень из каждой части равенства, тогда получится формула длины:

    .

    В случае вычитания векторов () происходит сложение вектора с вектором , противоположным вектору , то есть имеющим ту же длину, но противоположным по направлению. Углы между и и и между и являются смежными углами, у них, как уже было отмечено, одна сторона общая, а другие стороны лежат на одной прямой. В случае вычитания векторов для нахождения длины разности векторов нужно знать следующее свойство косинусов смежных углов:

    косинусы смежных углов равны по абсолютной величине (величине по модулю), но имеют противоположные знаки.

    Перейдём к примерам.

    Пример 1. Векторы и образуют угол . Их длины: и . Выполнить сложение векторов и найти их сумму . Выполнить вычитание векторов и найти их разность .

    Решение. Из элементарной тригонометрии известно, что .

    Шаг 1. Выполняем сложение векторов. Находим длину суммы векторов, поставляя в формулу длины косинус угла, смежного с углом между векторами:

    Шаг 2. Выполняем вычитание векторов. Находим длину разности векторов, подставляя в формулу косинус «изначального» угла:

    Выполнить сложение и вычитание векторов самостоятельно, а затем посмотреть решение

    Пример 2. Векторы и образуют угол . Их длины: и . Выполнить сложение векторов и найти их сумму . Выполнить вычитание векторов и найти их разность .

    Пример 3. Даны длины векторов и длина их суммы . Найти длину их разности .

    Шаг 1. По теореме косинусов составляем уравнение, чтобы найти косинус угла, смежного с углом между векторами и находим его:

    Не забываем, что косинус смежного угла получился со знаком минус. Это значит, что косинус «изначального» угла будет со знаком плюс.

    Шаг 2. Выполняем вычитание векторов. Находим длину разности векторов, подставляя в формулу косинус «изначального» угла:

    Пример 4. Даны длины векторов и длина их разности . Найти длину их суммы .

    Шаг 1. По теореме косинусов составляем уравнение, чтобы найти косинус «изначального» угла (задача обратная по отношению к примеру 1) и находим его:

    Шаг 2. Меняем знак косинуса и получаем косинус смежного угла между и :

    Шаг 3. Выполняем сложение векторов. Находим длину суммы векторов, подставляя в формулу косинус смежного угла:

    Пример 5. Векторы и взаимно перпендикулярны, а их длины . Найти длину их суммы и и длину их разности .

    Два смежных угла, как нетрудно догадаться из приведённого в начале урока определения, в сумме составляют 180 градусов. Следовательно, смежный с прямым углом (90 градусов) угол – тоже прямой (тоже 90 градусов). Косинус такого угла равен нулю, то же самое относится и к косинусу смежного угла. Поэтому, подставляя это значение в выражения под корнем в формуле длины суммы и разности векторов, получаем нули как последние выражения – произведения под знаком корня. То есть длины суммы и разности данных векторов равны, вычисляем их:

    Пример 6. Какому условию должны удовлетворять векторы и , чтобы имели место слелующие соотношения:

    1) длина суммы векторов равна длине разности векторов, т. е. ,

    2) длина суммы векторов больше длины разности векторов, т. е. ,

    3) длина суммы векторов меньше длины разности векторов, т. е. ?

    Находим условие для первого соотношения. Для этого решаем следующее уравнение:

    То есть, для того, чтобы длина суммы векторов была равна длине их разности, необходимы, чтобы косинус угла между ними и косинус смежного ему угла были равны. Это условие выполняется, когда углы образуют прямой угол.

    Находим условие для второго соотношения. Решаем уравнение:

    Найденное условие выполняется, когда косинус угла между векторами меньше косинуса смежных углов. То есть, чтобы длина суммы векторов была больше длины разности векторов, необходимо, чтобы углы образовали острый угол (пример 1).

    Находим условие для третьего соотношения. Решаем уравнение:

    Найденное условие выполняется, когда косинус угла между векторами больше косинуса смежных углов. То есть, чтобы длина суммы векторов была меньше длины разности векторов, необходимо, чтобы углы образовали тупой угол.

    Сложение векторов. Векторная сумма. Правила сложения векторов. Геометрическая сумма. Он-лайн калькулятор

    В механике существуют два типа величин:

    • скалярные величины, задающие некоторое числовое значение – время, температура, масса и т.д.
    • векторные величины, которые вместе с некоторым числовым значением задают направление – скорость, сила и т.д..

    Рассмотрим сначала алгебраический подход к сложению векторов.

    Покоординатное сложение векторов.

    Пусть даны два вектора, заданные покоординатно ( чтобы вычислить координаты вектора, нужно вычесть из соответствующих координат его конца соответствующие координаты его начала, т.е. из первой координаты – первую, из второй – вторую и т.д.):

    Тогда координаты вектора, получившегося при сложении этих двух векторов вычисляются по формуле:

    В двумерном случае все абсолютно анологично, просто отбрасываем третью координату.

    Теперь перейдем к геометрическому смыслу сложения двух векторов: .

    При сложении векторов нужно учитывать и их числовые значения, и направления. Есть несколько широко используемых методов сложения:

    • правило параллелограмма
    • правило треугольника
    • тригонометрический способ

    Правило параллелограмма.

    Процедура сложения векторов по правилу параллелограмма заключается в следующем:

    • нарисовать первый вектор, учитывая его величину и направление
    • от начала первого вектора нарисовать второй вектор, также используя и его величину, и его направление
    • дополнить рисунок до параллелограмма, считая, что два нарисованных вектора – это его стороны
    • результирующим вектором будет диагональ параллелограмма, причем его начало будет совпадать с началом первого (а, значит, и второго) вектора.

    Правило треугольника

    Сложение векторов по правилу треугольника заключается в следующем:

    • нарисовать первый вектор, используя данные о его длине ( числовой величине) и направлении
    • от конца первого вектора нарисовать второй вектор, также учитывая и его размер, и его направление
    • результирующим вектором будет вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец – с концом второго.

    Тригонометрический способ

    Результирующий вектор сложения двух компланарных векторов может быть вычислен с помощью теоремы косинусов:

    F = числовое значение вектора

    α = угол между векторами 1 и 2

    Угол между результирующим вектором и одним из исходных векторов может быть вычислен по теореме синусов:

    α = угол между исходными векторами

    Пример – сложение векторов.

    Сила 1 равна 5кН и воздействует на тело в направлении, на 80 o отличающемся от направления действия второй силы, равной 8 кН.

    Результирующая сила вычисляется следующим образом:

    Fрез = [ (5 кН) 2 + (8 кН) 2 – 2 (5 кН)(8 kН) cos(180 o – (80 o )) ] 1/2

    Угол между результирующей силой и первой силой равен:

    А угол между второй и результирующей силой можно посчитать следующим образом: as

    α = arcsin [ (5 кН) sin(180 o – (80 o )) / (10,2 кН) ]

    Он-лайн калькулятор сложения векторов.

    Калькулятор ниже может быть использован для любвых векторных величин ( силы, скорости и т.д.) Точка начала вектора совпадает с началами обоих исходных векторов.

    Консультации и техническая
    поддержка сайта: Zavarka Team

    Формула

    Чтобы складывать вектора нужно найти суммы соответствующих координат данных векторов. Например, пусть есть векторы на плоскости $ overline = (x_1;y_1) $ и $ overline=(x_2;y_2) $, тогда их сумму можно найти по формуле: $$ overline+overline = (x_1+x_2;y_1+y_2)$$

    При сложении первая координата первого вектора складывается с первой координатой второго вектора, вторая координата первого вектора складывается со второй координатой второго вектора и так далее в зависимости от размерности векторов. Стоит отметить, что складывать векторы можно только одинаковой размерности.

    Примеры решений

    Итак, как складывать вектора по координатам? К первой прибавляем первую, вторую ко второй:

    В этой задаче векторы заданы в двумерном пространстве и имеют только две координаты. Если бы координат было бы три, то применять нужно вторую формулу для трехмерной задачи.

    Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

    Пример
    Даны два вектора $ overline = (1,3) $ и $ overline = (2,4) $. Нужно сложить два вектора.
    Решение

    Расчет векторного произведения онлайн

    Заданные вектора и результирующий вектор

    Умножение двух векторов в пространстве

    Достаточно простая задача которая встречается в школьных учебниках: Найти  векторное произведение двух векторов

    Например:  и 

    Одним из способов решения   является матричный метод

    Таким образом наш результирующий вектор имеет значения 

    Все вычисления проивзодятся в правой системе координат. Если же вам надо умнодить вектора в левой системе координат, то каждый результирующее значение надо взять с обратным знаком. 

    В левой системе координат наш ответ будет 

    Расширение исходной темы

    Рассмотрим более общую задачу  как вычислить «результирующий вектор»  когда есть матрица без одной верхней строки. Вернее, каждый элемент верхней строки является неизвестной величиной- переменной.

    Когда у нас есть вот такая матрица 

    И необходимо разложить её  в «вектор» 

    Практического применения я пока еще не нашел, но сама идея интересная и главное, при возникновении такой задачи  для вас упрощаются все вычисления.

    Update 04.01.2019. Практическое применение найдено, с помощью  такого «расширенного вектора» достаточно легко решаются неоднородные линейные системы уравнений. Кому интересно просьба ознакомится: Общее решение неоднородной системы уравнений

    Итоговым решением заданной матрицы будет выражение.

    Естественно все это работает и в поле комплексных чисел.

    То есть если у нас есть матрица 

    То результирующий вектор имеет вид

    Ограничение опять же одно —  матрица не более чем 10 на 10.

    Надеюсь это поможет кому то в работе.

    • Расчет детерминанта комплексной матрицы >>

    Операции с векторами в MS Excel | Piter Melnikov

    Как вычислить сумму векторов?

    Как вычислить сумму векторов?

    Как вычислить сумму векторов?

    Вектора и матрицы в электронной таблице хранятся в виде массивов.

    Известно, что сумма векторов – это вектор, координаты которого равны суммам соответствующих координат исходных векторов:

    Для вычисления суммы векторов нужно выполнить следующую последовательность действий:

    — В диапазоны ячеек одинаковой размерности ввести значения числовых элементов каждого вектора.

    — Выделить диапазон ячеек для вычисляемого результата такой же размерности, что и исходные векторы.

    — Ввести в выделенный диапазон формулу перемножения диапазонов

    = Адрес_Вектора_1 + Адрес_Адрес_Вектора_2

    — Нажать комбинацию клавиш [Ctrl] + [Shift] +[Enter].

    Пример.

    Даны два вектора:

    Требуется вычислить сумму этих векторов.

    Решение:

    — В ячейки диапазона А2:A4 введем значения координат вектора a1, а в ячейки диапазона С2:С4 – координаты вектора a2.

    — Выделим ячейки диапазона, в которых будет вычисляться результирующий вектор С (E2:E4) и введем в выделенный диапазон формулу:

    =A2:A4+C2:C4

    — Нажмем комбинацию клавиш [Ctrl] + [Shift] +[Enter]. В ячейках диапазона E2:E4 будут вычислены соответствующие координаты результирующего вектора.

    Как вычислить произведение вектора на число?

    Произведением вектора на число является вектор, координаты которого получаются умножением соответствующих координат исходного вектора на это число:

    Для вычисления произведения вектора на число нужно выполнить следующую последовательность операций:

    — В диапазон ячеек рабочего листа ввести числовые значения элементов вектора.

    — В ячейку ввести значение числа, на которое нужно умножить вектор — λ.

    — Выделить диапазон ячеек такой же размерности, что и исходный вектор для вычисляемого результата.

    — Ввести в выделенный диапазон формулу перемножения диапазонов:

    = Адрес_Вектора_1 * Адрес_Числа

    — Нажать комбинацию клавиш [Ctrl] + [Shift] +[Enter].

    Как вычислить скалярное произведение векторов?

    Известно, что скалярное произведение векторов – это сумма произведений соответствующих координат этих векторов:

    Для вычисления скалярного произведения векторов нужно применить следующую последовательность операций:

    — В диапазоны ячеек одинаковой размерности ввести значения числовых элементов каждого вектора.

    — Выделить диапазон ячеек для вычисляемого результата такой же размерности, что и исходные диапазоны.

    — Ввести в выделенный диапазон формулу перемножения диапазонов:

    = СУММ(Адрес_Вектора_1 * Адрес_Вектора_2)

    Пример.

    Даны два вектора:

    Требуется вычислить скалярное произведение этих векторов.

    Решение:

    — В ячейку, в которой нужно получить результат, например Е2, введем формулу =СУММ(A2:A4*C2:C4) и нажмем комбинацию клавиш [Ctrl] + [Shift] +[Enter]. В результате вычисления будет получен результат – 4.

    Формула результирующего вектора — научитесь находить результирующий вектор.

    Формула результирующего вектора используется для получения результирующего значения двух или более векторов. Это получается путем вычисления векторов на основе направлений относительно друг друга. Результирующая векторная формула имеет множество приложений в физике, технике. Примером этого является взаимодействие множества векторов силы на теле, где эта формула используется для получения результирующего вектора.

    Что такое результирующая векторная формула?

    Результирующая векторная формула бывает трех видов в зависимости от направления векторов.Эти формулы предназначены для векторов в одном направлении, для векторов в противоположном направлении и для векторов, наклоненных друг к другу.

    Формула 1
    Векторы в одном направлении можно просто сложить, чтобы получить результирующий вектор. Здесь A, B — векторы в одном направлении, а R — результирующий вектор.

    R = А + В


    Формула 2
    Векторы в противоположном направлении вычитаются друг из друга, чтобы получить результирующий вектор.Здесь вектор B противоположен по направлению вектору A, а R — результирующий вектор.

    R = А — В


    Формула 3
    Векторы, наклоненные друг к другу, вычисляются по приведенной ниже формуле для получения результирующего вектора. Hre векторы A и B наклонены под углом Ø друг к другу, а R — результирующий вектор.

    R

    2 = A 2 + B 2 + 2ABCos Ø


    Разбивайте сложные концепции с помощью простых визуальных элементов.

    Математика больше не будет сложным предметом, особенно если вы понимаете концепции посредством визуализации.

    Забронируйте бесплатную пробную версию Класс

    Давайте попробуем несколько примеров, чтобы понять, как применить полученную векторную формулу

    1. Пример 1. Найти равнодействующую векторов 4i + 3j -5k и 8i + 6j — 10k.

      Решение:

      Даны два вектора:
      A = 4i + 3j — 5k и B = 8i + 6j — 10k
      Отношения направлений двух векторов равны, и, следовательно, два вектора находятся в одном направлении.
      Здесь можно использовать следующую результирующую векторную формулу.
      R = A + B
      = (4i + 3j — 5k) + (8i + 6j — 10k)
      = 12i + 9j — 15k

      Ответ: Следовательно, результат двух векторов равен 12i + 9j — 15k.

    2. Пример 2: Найдите равнодействующую векторов, имеющих величину 5 единиц, 6 единиц и наклоненных друг к другу под углом 60 градусов.

      Решение:

      Два вектора: A = 5 единиц, B = 6 единиц и угол Ø = 60 °.
      Результирующий вектор может быть получен по следующей формуле.
      R 2 = A 2 + B 2 + 2ABCosØ
      = 5 2 + 6 2 + 2 × 5 × 6 × Cos60 °
      = 25 + 36 + 60 × 1/2
      = 61 + 30
      R 2 = 91
      R = √91

      Ответ: Следовательно, результирующий вектор равен √91.

    перейти к слайду

    Результирующий вектор. Что это? Как это рассчитать?

    Когда мы имеем дело с несколькими измерениями, нам часто требуется вычислить результирующий вектор, чтобы понять их совокупный эффект.Что мы имеем в виду под этим? А как вычислить результирующий вектор?

    Мы можем различать величины, которые имеют только величину, и те, которые имеют величину и также связаны с направлением в пространстве. Первые называются скалярами, например, масса и температура. Последние называются векторами, например, ускорением, скоростью и перемещением.

    В данной статье вектор представлен жирным шрифтом . Величина любого вектора r (также называемая модулем r ) обозначается r.Величина — это мера размера вектора. Компонент направления указывает, что вектор направлен из одного места в другое. Скаляры можно просто сложить вместе, но при сложении векторов необходимо учитывать направления векторов.

    Несколько векторов могут быть сложены вместе для получения результирующего вектора. Этот результат представляет собой единственный вектор, эффект которого эквивалентен чистому комбинированному эффекту набора векторов, которые были добавлены вместе.

    Использование системы координат позволяет нам описывать положение точки в пространстве по отношению к другим точкам.Простейшей системой отсчета является прямоугольная декартова система координат. Он состоит из трех взаимно перпендикулярных (трехосных x, y и z) прямых, пересекающихся в точке O, которую мы называем началом координат. Линии Ox, Oy и Oz называются осью x, осью y и осью z соответственно.

    Для удобства рассмотрим двумерную систему координат x, y с осью x и осью y. В этой конфигурации любая точка P относительно начала координат может быть связана с этими осями числами x и y, как показано на рисунке 1.Эти числа называются координатами точки P и представляют собой перпендикулярные расстояния точки P от осей.

    Рисунок 1: Объединение векторов в результирующий вектор

    Если эти два измерения представляют векторные величины, например смещение x и y , измеренное в направлениях x и y соответственно, то мы можем использовать векторное сложение, чтобы объединить их в один результирующий вектор r , как показано на рисунке 1. В векторных терминах

    [латекс] \ mathbf {r} = \ mathbf {x} + \ mathbf {y} [/ latex]

    Любой вектор можно записать как [latex] \ mathbf {r} = (\ mathbf {r} / r) * r [/ latex], где [latex] (\ mathbf {r} / r) [/ latex] — это единичный вектор в том же направлении, что и r .Единичный вектор — это просто вектор с единичной величиной. По соглашению мы назначаем три единичных вектора i , j и k в направлениях x, y и z соответственно. Итак, мы можем написать

    [латекс] \ mathbf {r} = \ mathbf {x} + \ mathbf {y} = x \ mathbf {i} + y \ mathbf {j} [/ латекс]

    , где x — величина вектора x , а y — величина вектора y .

    Иногда нас интересует только величина или размер результирующего вектора.{0.5} [/ латекс]

    Его можно расширить до трехосной (x, y, z) конфигурации. Например, если у нас есть три измерения x, y и z, представляющие ускорения, измеренные трехосным акселерометром в направлениях x, y и z соответственно, тогда результирующий вектор r будет равен

    .

    [латекс] \ mathbf {r} = x \ mathbf {i} + y \ mathbf {j} + z \ mathbf {k} [/ latex]

    , где i , j и k — единичные векторы в направлениях x, y и z.{0.5} [/ латекс]

    В программном обеспечении DATS есть специальный модуль, который принимает трехосную группу сигналов (три сигнала) и генерирует результирующую величину, как показано ниже. В этом примере ускорения по осям x, y и z были зафиксированы и проанализированы для определения величины результирующего чистого ускорения.

    Рисунок 2: Ускорение в направлении X Рисунок 3: Ускорение в направлении Y Рисунок 4: Ускорение в направлении Z Рисунок 5: Величина результирующего ускорения X, Y, Z Следующие две вкладки изменяют содержимое ниже.

    Майк окончил Саутгемптонский университет в 1979 году, а в 1982 году защитил докторскую диссертацию по сейсмической рефракции. Майк присоединился к Просигу в качестве специалиста по прикладным программам. В настоящее время он исследует и разрабатывает новые алгоритмы для программного обеспечения DATS Prosig и помогает клиентам с проблемами анализа данных.

    Нахождение величины и угла вектора результирующей силы — Криста Кинг Математика

    Обратите внимание, как мы построили векторные уравнения для ??? F_1 ??? и ??? F_2 ??? в этом последнем примере.\ circ ???.

    И мы всегда будем рассматривать угол между вектором и горизонтальной осью как положительный угол. Таким образом, даже для векторов в третьем и четвертом квадрантах мы все равно будем измерять положительный угол от горизонтальной оси.

    Итак, хотя мы всегда оставляем углы положительными, нам все же нужно изменить знаки коэффициентов на ??? \ bold i ??? и ??? \ bold j ???, в зависимости от квадранта вектора. Рассмотрим общий вектор,

    ??? F_V = F_ {V_x} \ cos {\ theta} \ \ bold i + F_ {V_y} \ sin {\ theta} \ \ bold j ???

    Знаки, которые мы используем для ??? F_ {V_x} ??? и ??? F_ {V_y} ??? зависят от квадранта.\ circ} \ \ bold j ???.

    Векторов

    Векторов

    Векторов


    Вектор — это величина, которая имеет такие свойства, как величина (размер) и направление. Чтобы представить это, мы рисуем векторы в виде стрелок, где величина вектора указывается длиной стрелки, а направление вектора указывается ориентацией стрелки. Общие векторы, которые возникают в двигательной установке, — это силы (например, тяга и сопротивление), скорость и ускорение.


    Сложение векторов

    Часто в проблему вовлечено несколько векторов, и нам нужно найти их «чистый» или «результирующий» эффект.Чтобы найти результирующий вектор, мы должны использовать векторное сложение (суммирование). Сложение векторов отличается от сложения двух чисел, потому что мы должны учитывать как величину, так и направление векторов.

    Типичный пример — это суммирование сил, действующих на объект, для определения результирующей или «чистой» силы на объект. Это показано на рисунке ниже, где две силы воздействуют на блок. Одна сила имеет величину 30 Н в направлении x , а другая сила имеет величину 40 Н в направлении y .Поскольку эти силы направлены в разные стороны, мы не можем просто сложить их величины, чтобы получить результирующую силу.

    Схема сил на блоке

    Вместо этого мы можем сложить эти векторы графически, как показано на рисунке ниже. Сложение графических векторов происходит путем совмещения двух векторов «голова к хвосту». Тогда векторная сумма или результирующий вектор — это вектор, проведенный от хвоста первого вектора к голове последнего вектора.

    Общая задача сложения векторов

    Математически мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти величину результирующей силы.Точно так же мы можем использовать тригонометрию, чтобы найти направление результирующей силы, выраженное как угол силы, θ, относительно горизонтали. Соответствующие расчеты приведены ниже.


    Векторное обозначение: Иногда неудобно представлять векторы графически в виде стрелок. Вместо этого мы часто представляем векторы символически, используя векторные обозначения. Один из распространенных методов — представить вектор как комбинацию его компонентов в направлении x или « i » и направлении y или « j ».В приведенном выше случае коэффициент чистой силы выражается как

    .

    , где символы i и j служат для напоминания нам о направлении, связанном с каждой величиной компонента, а маленькая стрелка над F net указывает, что это вектор.

    В качестве альтернативы мы можем просто указать величину и направление вектора напрямую как

    Обратите внимание, что величина вектора может быть представлена ​​либо размещением вертикальных полос вокруг вектора, либо использованием символа вектора курсивом без стрелки над ним.


    Разложение векторов

    Разложение вектора — это деконструкция вектора, который не лежит только в одном направлении, на несколько векторов в разных направлениях. По сути, векторное разложение — это векторное сложение в обратном порядке. Обычно мы разлагаем векторы на составляющие векторы, которые ортогональны. Это должно быть сделано таким образом, чтобы составляющие векторы суммировались с исходным вектором.

    Для иллюстрации рассмотрим вектор скорости ниже, который составляет 10 м / с при 53.1 ° относительно горизонтали. Мы хотели бы разложить этот вектор на его горизонтальную и вертикальную составляющие.

    Общая задача разложения векторов

    Используя базовую тригонометрию, мы можем напрямую вычислить величину составляющих векторов как в горизонтальном ( i ), так и вертикальном ( j ) направлениях. Используя синусоидальную функцию, величина вертикальной составляющей может быть определена как

    .

    Тогда, используя теорему Пифагора, можно определить оставшийся катет векторного треугольника следующим образом:

    В качестве альтернативы можно снова использовать тригонометрию для определения третьего отрезка треугольника, а именно

    Часто бывает удобно разложить векторы на их компоненты, когда только один из компонентов важен для задачи.Кроме того, знание горизонтальной и вертикальной составляющих вектора позволяет нам представить вектор в векторной нотации. Используя наши результаты, вектор скорости, рассмотренный выше, можно записать в векторной записи как


    Относительное движение и векторы

    Векторы также полезны для понимания концепции относительного движения. Чтобы проиллюстрировать, как векторы используются при определении относительного движения, мы определим относительную скорость ветра, наблюдаемую с движущегося парусника.

    Парусник, показанный ниже, идет на северо-восток со скоростью 20 узлов, а ветер дует с востока со стабильной скоростью 10 узлов. Какое направление и величина скорости ветра ощущают (наблюдают) моряки на борту парусника?

    Рисунок относительной скорости ветра

    Чтобы определить скорость ветра, наблюдаемую моряками, мы должны рассмотреть проблему с их точки зрения. В частности, они видят, как океан движется мимо них со скоростью 20 узлов от носа лодки к корме, а это означает, что они видят, как океан движется в юго-западном направлении со скоростью 20 узлов.Добавление юго-западного движения, наблюдаемого моряками, к западному движению ветра на 10 узлов дает скорость ветра, наблюдаемую моряками. Графическое сложение векторов показано на рисунке ниже.

    Поскольку скорость парусника находится под углом 45 °, будет легче найти величину ( W ) и направление относительной скорости ветра, если мы сначала разложим вектор скорости парусника на его горизонтальную и вертикальную составляющие. Компонентные векторы показаны на рисунке выше.Поскольку скорость парусного судна находится под углом 45 °, величины его горизонтальной и вертикальной составляющих равны и легко определяются из теоремы Пифагора как

    .

    После разложения скорости парусника на составляющие становится очевидным, что горизонтальная составляющая относительной скорости ветра является суммой двух горизонтальных составляющих (10 м / с и 14,1 м / с), а вертикальная составляющая такой же. как вертикальная составляющая скорости парусника. Итак, в векторной нотации имеем

    Векторные вычисления

    Обратите внимание, что знаки «-» используются для обозначения того, что вертикальный компонент указывает нечетное число, а горизонтальный компонент указывает влево.Аналогично, величина и направление W могут быть определены как


    Расчет величины и направления

    Как найти результирующее смещение в физике

    Обновлено 13 декабря 2020 г.

    Томас Бурдин

    Многим студентам может быть сложно понять концепцию смещения, когда они впервые сталкиваются с ней в курсе физики. В физике смещение отличается от концепции расстояния, с которой у большинства студентов есть предыдущий опыт.Смещение — это векторная величина, поэтому она имеет как величину, так и направление. Он определяется как векторное (или прямое) расстояние между начальной и конечной позицией. Таким образом, результирующее смещение зависит только от знания этих двух положений.

    TL; DR (слишком долго; не читал)

    Чтобы найти результирующее смещение в физической задаче, примените формулу Пифагора к уравнению расстояния и используйте тригонометрию, чтобы найти направление движения.

    Определить две точки

    Определить положение двух точек в заданной системе координат.2

    , где c — расстояние, которое вы решаете, а x 2 -x 1 и y 2 -y 1 — разности координат x, y между двумя точками, соответственно. В этом примере вы вычисляете значение x, вычитая 2 из 7, что дает 5; для y вычтите 5 в первой точке из 20 во второй, что даст 15.

    Решить для расстояния

    Подставьте числа в уравнение Пифагора и решите.2}

    Решение вышеуказанной проблемы дает c = 15,8. Это расстояние между двумя объектами.

    Вычислить направление

    Чтобы найти направление вектора смещения, вычислите арктангенс отношения компонентов смещения в направлениях y и x. В этом примере соотношение составляющих смещения составляет 15 ÷ 5, и вычисление арктангенса этого числа дает 71,6 градуса. Следовательно, результирующее смещение равно 15.8 единиц, с направлением 71,6 градуса от исходного положения.

    Видео с вопросом: Измерение величины результирующего вектора

    Стенограмма видео

    Некоторые векторы нарисованы в масштабе линейки на схеме. Квадраты сетки имеют длину стороны один сантиметр. Красный вектор является результатом синего и зеленого векторов. Какова длина результирующего вектора, измеренная с точностью до сантиметра?

    Хорошо, в этом вопросе нам дается диаграмма с тремя векторами в.Нам говорят, что красный вектор является результатом синего и зеленого векторов. Нам также говорят, что квадраты на диаграмме имеют длину стороны в один сантиметр. И нас просят найти длину результирующего вектора. Напомним, что результат двух векторов — это вектор, который мы получаем, когда складываем эти два вектора вместе. Когда у нас есть векторы, нарисованные на масштабной диаграмме, мы можем сложить эти векторы, нарисовав их кончик к хвосту.

    Мы можем идентифицировать хвост и кончик вектора следующим образом.Хвост — это то место, где этот вектор начинается, а кончик — это то место, куда этот вектор указывает или до чего простирается. Итак, рисование двух векторов кончик к хвосту означает рисование хвоста одного вектора, начиная с кончика другого. Тогда результат — это то, что мы получим, когда сложим эти два вектора вместе. Он начинается с хвоста первого вектора и продолжается до конца второго вектора. Итак, в этом примере результирующий вектор — это синяя стрелка. И мы видим, что 𝑥-компонента нашего результирующего вектора дается суммой 𝑥-компоненты нашего первого вектора и 𝑥-компоненты нашего второго вектора.И аналогично,-компонента нашего результирующего вектора дается суммой 𝑦-компоненты первого вектора и 𝑦-компоненты второго вектора.

    Возвращаясь к вопросу, мы видим, что нас просили найти длину красного вектора, который, как нам сказали, является равнодействующим синего и зеленого векторов на диаграмме. И если мы посмотрим на нашу диаграмму, мы увидим, что этот красный вектор действительно начинается с хвоста синего вектора и продолжается до конца зеленого вектора. В этом вопросе синий вектор полностью горизонтален, а зеленый вектор полностью вертикален.Это означает, что угол между этими двумя векторами составляет 90 градусов. Это упрощает нашу работу. Поскольку мы знаем, что наш красный результирующий вектор начинается с хвоста синего вектора и продолжается до конца зеленого вектора, и теперь мы знаем, что угол между синим и зеленым векторами составляет 90 градусов, то мы знаем, что наши три векторы должны образовывать прямоугольный треугольник.

    Нас попросили найти длину этого результирующего вектора, что означает, что нам нужно найти длину гипотенузы этого прямоугольного треугольника.Если мы обозначим длины сторон этого треугольника как, 𝑏 и 𝑐, где 𝑐 — гипотенуза, то теорема Пифагора говорит нам, что в квадрате равно в квадрате плюс в квадрате. Если мы извлечем квадратный корень из обеих частей этого уравнения, то мы можем переписать это как, длина гипотенузы, равная квадратному корню из в квадрате плюс в квадрате.

    Теперь, в нашем случае, 𝑎 и 𝑏 — это длины синего вектора и зеленого вектора соответственно, а 𝑐 — длина красного вектора, результирующего вектора, который мы пытаемся найти.Итак, это уравнение говорит о том, что для того, чтобы найти длину этого результата, нам нужно знать длины 𝑎 и синего вектора и зеленого вектора. К счастью для нас, на нашей диаграмме есть шкала. И поскольку синий вектор и зеленый вектор оба указывают вдоль линий на этой диаграмме, это позволяет легко определить их длину. Мы знаем, что каждый квадрат имеет длину один сантиметр. Это означает, что если мы посчитаем, сколько квадратов простирается каждый из этих векторов, это число будет равно длине этого вектора в сантиметрах.

    Для нашего зеленого вектора это действительно просто, потому что у нас есть линейка, расположенная в том направлении, куда указывает зеленый вектор. Если мы посмотрим на хвост этого зеленого вектора и проследим его до нашей линейки, мы увидим, что он начинается на высоте 0 сантиметров. И если мы посмотрим на кончик этого вектора, мы увидим, что он попадает на высоту 10 сантиметров. Таким образом, мы можем сказать, что 𝑏 равно 10 сантиметрам.

    Если мы теперь посмотрим на наш синий вектор, мы увидим, что у нас нет линейки, расположенной на диаграмме, чтобы просто считывать его длину.Так что нам действительно нужно посчитать квадраты. Если мы сделаем это, мы обнаружим, что наш синий вектор равен одному, двум, трем, четырем, пяти, шести, семи, восьми, девяти, 10 квадратам в длину. А поскольку мы знаем, что один квадрат равен одному сантиметру в длину, мы можем сказать, что длина нашего синего вектора 𝑎 равна 10 сантиметрам.

    Итак, теперь мы можем взять эти значения 𝑎 и 𝑏 и подставить их в наше уравнение для 𝑐. Так как 𝑎 и 𝑏 равны 10 сантиметрам, то 𝑐 дается квадратным корнем из 10 сантиметров в квадрате плюс 10 сантиметров в квадрате.Теперь нам нужно немного позаботиться о единицах измерения при выполнении этого вычисления, потому что, если мы вычислим квадрат в 10 сантиметров, мы получим 100 сантиметров в квадрате. Если сложить вместе 100 сантиметров в квадрате и 100 сантиметров в квадрате, мы получим 200 сантиметров в квадрате.

    Последним шагом для вычисления значения, которое дает нам длину результирующего вектора, является вычисление этого квадратного корня. Если мы возьмем квадратный корень из величины, измеренной в сантиметрах в квадрате, то получим величину в сантиметрах.И если мы извлечем квадратный корень из 200, мы получим значение 14,142 и так далее с дополнительными десятичными знаками. Итак, эта величина здесь, 𝑐, которую мы вычислили, является длиной результирующего вектора, который нас попросили найти. Но если мы оглянемся на вопрос, то увидим, что нас просят дать ответ с точностью до сантиметра. Таким образом, наш результат округляется до 14 сантиметров.

    И вот, наконец, мы получили ответ на вопрос, что длина результирующего вектора на диаграмме с точностью до сантиметра равна 14 сантиметрам.

    Результирующая скорость — обзор

    II.B.2 Экспериментальные методы

    II.B.2.a Ударные волны, возбуждаемые взрывом

    Интерес к воздействию взрывчатых веществ на материалы возник из соображений военных по поводу стабильной работы этих устройств и позже связанный с этим вопрос о бронепробиваемости. В последнем случае серьезной проблемой стало выкрашивание. Это разрушение части мишени на противоположной стороне от удара из-за разрыва при растяжении внутри, где встретились две волны высвобождения.Интерес к этой области был заметно увеличен необходимостью предсказуемого, хорошо контролируемого использования взрывчатых веществ в исходной последовательности срабатывания атомной бомбы. Именно этот фактор стимулировал накопление большого количества данных о воздействии ударов на различные материалы и стал основой для многих исследовательских программ, проводимых в настоящее время.

    Существует два способа взрывного генерирования ударных волн: один, при котором взрывчатое вещество находится в непосредственном контакте с целью, и другой, при котором взрывчатое вещество запускает летучую пластину, которая затем поражает цель.В первом случае важно, чтобы взрывное воздействие достигло всех точек на передней части цели одновременно. Поскольку детонация обычно начинается в точке или вдоль линии, взрывное горение будет происходить вдоль сферического или цилиндрического фронта соответственно. Некоторые коммерческие поставщики взрывчатых веществ предоставляют линейные генераторы треугольных листов, которые перфорированы множеством отверстий, которые служат для разделения криволинейного фронта ударной волны на серию множества меньших фронтов, которые приблизительно образуют линию.

    Один из видов генератора плоских волн называется «мышеловка» (см. Рис. 7). Он состоит из листа взрывчатого материала, уложенного на тонкую инертную (стеклянную или металлическую) пластину привода, которая наклонена над основным зарядом под углом θ, так что sin (θ) равен v / d , где d — это скорость детонации по листу над приводной пластиной, а v — результирующая скорость пластины от давления, создаваемого взорвавшимися газами. Запущенная на своей верхней кромке, приводная пластина поражает основной заряд одновременно во всех точках и инициирует плоскую детонационную волну, если скорость пластины достаточно велика.Краевые эффекты и вариации конструкции ограничивают плоскостность этого устройства.

    РИСУНОК 7. Генератор плоских ударных волн «мышеловка». Взрывчатое вещество A детонирует вдоль его верхнего края и горит в направлении шарнира, генерируя продукты детонации D и движущуюся пластину B к цели C, которая может быть основным зарядом взрывчатого вещества. Угол между ведущей пластиной и мишенью выбирается таким образом, чтобы его синус составлял v / d , где v — скорость пластины, полученная при детонации A со скоростью d .

    Могут быть изготовлены конические линзы взрывчатого вещества, которые будут производить одновременное детонацию на ведущей поверхности с точностью до 0,1 мкс, но результирующий импульс может быть неоднородным. Эти линзы образованы либо конусом взрывчатого вещества над инертным конусом большего угла, либо аналогичным внутренним конусом взрывчатого вещества с меньшей скоростью детонации (см. Рис. 8). В последнем случае базовый угол внутреннего, более медленного взрывчатого вещества α определяется соотношением скоростей детонации (т.е. sin α = [ d out / d in ]).

    РИСУНОК 8. Пластинчатый генератор конической ударной волны. Детонатор A воспламеняет быстро горящее взрывчатое вещество B., которое, в свою очередь, воспламеняет медленно горящее взрывчатое вещество C. Конический угол выбирается таким образом, чтобы его синус был равен отношению скорости C к скорости B, в результате чего в формировании фронта детонации в C параллельно основанию.

    Мишень может быть непосредственно прикреплена к поверхности взрывчатого вещества, или она может быть установлена ​​на небольшом расстоянии с помощью летящей пластины, прикрепленной к взрывчатому веществу.Самая простая форма последнего случая — мышеловка, в которой ударная пластина поражает цель, а не основной заряд.

    Давление, которое может быть получено с помощью этих методов, составляет до нескольких десятков гаусс-паскалей. Основное преимущество — относительно простая установка и, соответственно, низкая стоимость.

    II.B.2.b Guns

    Метательные пистолеты, первоначально разработанные для военных целей, представляют собой особый пример летательного аппарата с приводом от взрывчатого вещества. Они также обеспечивают несколько более управляемый механизм, чем описанные выше взрывные методы.Результирующее давление, возникающее при ударе снаряда с плоской головкой о цель, несколько больше, чем давление, достигаемое с помощью летающей пластины.

    Легкие газовые пистолеты позволяют лучше контролировать условия удара. В этих устройствах снаряд направляется вниз по опорожненному стволу к цели за счет расширения сжатого легкого газа, такого как H 2 или He. Газ внезапно выходит из резервуара высокого давления в результате разрыва диска за снарядом в казённой части орудия.Эти устройства также могут работать в два этапа, используя снаряд сжимающего газа большего диаметра для второй, меньшей пушки. Снаряды этих устройств могут развивать скорость до 7 км / сек, что приводит к целевому давлению более 150 ГПа.

    II.B.2.c Взрывающаяся проволока или фольга

    Сила в этой системе создается за счет взрыва тонкой металлической фольги при прохождении чрезвычайно высокого электрического тока. Резистивный нагрев металла вызовет испарение фольги; это, в свою очередь, ускоряет прилегающую тонкую диэлектрическую пластину к цели.Могут возникнуть серьезные проблемы с выравниванием планарности пластины, поскольку она ударяет по цели с серьезным ухудшением результирующего давления. Соответствующее электрическое оборудование также сильно зависит от электромагнитного шума, создаваемого системой.

    Взрывающиеся фольги использовались для зарядки стрелкового оружия со стволами длиной всего несколько миллиметров. Используя листовую пластину, состоящую из пластика и металла, было достигнуто давление, превышающее 1 ТПа, с указанными характеристиками до 5 ТПа.Такие системы просты по концепции и относительно недороги в установке.

    II.B.2.d Ударные волны, возбуждаемые лазером

    Лазерные лучи высокой энергии, падающие на поверхность цели, вызывают очень быстрый нагрев, вплоть до образования плазмы. Эти очень высокие температуры образуются довольно быстро, и, поскольку материал или тепловой поток относительно медленный, недостаточно времени для рассеивания этой энергии, в результате чего ударные волны запускаются в материал. Хотя для этого процесса также можно использовать пучки частиц, например электронов, внимание будет сосредоточено исключительно на лазерных ударах.

    Одним из преимуществ лазерного инициирования является то, что энергия, выделяемая лазерным лучом, приводит к возникновению ударной волны, которая инициируется одновременно по облучаемой области. Обычно лазерный луч фокусируется в размер пятна диаметром до 1 мм. Для зажигания плазмы и создания ударной волны требуется освещенность более 10 8 Вт / см 2 . Эти небольшие области воздействия приводят к большим потерям энергии из-за двумерного расширения плазмы. Краевые эффекты также будут значительными при оценке шока.Тот факт, что лазерные импульсы обычно длятся не более нескольких сотен наносекунд и плазма очень быстро рассеивается после прекращения подачи энергии, приводит к запуску вышеупомянутой волны высвобождения, которая быстро догоняет и разрушает ударный фронт. В результате этих ограничений эффективная толщина образца была ограничена несколькими десятками микрометров, хотя давление, достигаемое с помощью этих систем, может достигать 10 ТПа. Этот диапазон давлений представляет значительный интерес при разработке уравнений состояния.

    Не вся энергия лазера эффективна для генерации ударной волны; часть теряется при образовании плазмы, часть уносится с плазмой, а часть отражается без эффекта. Эффективность поглощения большинства материалов увеличивается с увеличением энергии фотонов, в диапазоне от примерно 30% в ближнем инфракрасном диапазоне до примерно 90% в ближнем ультрафиолете. Короткие волны дают еще одно преимущество, а именно уменьшение образования надтепловых электронов. Это, в свою очередь, уменьшает предварительный нагрев мишени электронами перед прохождением ударного фронта.Однако производство рентгеновского излучения увеличивается на более коротких длинах волн и для материалов с более высоким Z, что может вызвать некоторый предварительный нагрев мишени. Лазерные лучи могут иметь локальные флуктуации плотности энергии или «горячие точки», которые могут привести к непланарности фронта ударной волны. Эти эффекты сводятся к минимуму на более длинных волнах за счет теплопроводности, но более выражены на более коротких длинах волн, поскольку энергия выделяется ближе к поверхности абляции.

    Концепция листовой пластины также применялась к лазерным ударам.Углеродные диски облучались лазерным импульсом длительностью 3 нсек, создавая ударное давление 0,5 ТПа и разгоняя диск до скорости 100 км / с. Удар этого диска по второму диску передает энергию за гораздо более короткое время, что приводит к возникновению ударного давления 2 ТПа.

    Обычный прибор для диагностики удара электрическим током. Интенсивная электромагнитная буря, создаваемая лазером и лучами частиц, является чрезвычайно враждебной средой для этих чувствительных детекторов.Однако лазеры предлагают свое собственное решение. Поскольку синхронизация лазерного импульса может быть точно установлена, входящий лазерный импульс может использоваться для отключения оптической диагностики, или часть самого лазерного луча может использоваться для диагностических целей на цели.

    Плазма также генерирует рентгеновское излучение с длиной волны, изменяющейся в зависимости от состава цели. Это излучение можно использовать либо напрямую, регистрируя удар на рентгеновской камере, либо косвенно, возбуждая рентгеновские лучи от второй мишени, которые затем используются для наблюдения за прохождением ударной волны.Скорость удара может быть определена путем наблюдения за светом, генерируемым, когда удар достигает задней поверхности цели, с помощью полосовой камеры.

    II.B.2.e Ядерные ударные волны

    Ядерные взрывы использовались для получения данных по уравнениям состояния в течение многих лет. Давление, полученное с помощью этого метода, приблизилось к 7 ТПа, и хотя это кажется меньше, чем достижимое с помощью лазерных лучей, площадь мишени была около 30 см в диаметре, а ядерное устройство взорвалось около 3.5 м от образца.

    Оптические методы предпочтительнее для генерации начального сигнала, поскольку электромагнитные помехи очень сильны. Обычно скорость ударной волны измеряется для эталонного материала и нескольких образцов, установленных на пластине-мишени эталонного материала. Согласование импеданса используется для получения скоростей частиц в образцах из известного уравнения состояния эталонного материала.

    Доступ к ядерным испытаниям затруднен, и хотя методика кажется сравнительно простой, в процессе теряется не только образец, но и большая часть дорогостоящего оборудования для обработки сигналов; таким образом, эксперименты ограничиваются материалами, представляющими наибольший интерес.

    alexxlab

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.