Результирующее перемещение равно векторной сумме: Результирующее перемещение — Большая Энциклопедия Нефти и Газа, статья, страница 2 — RC74 — интернет-магазин радиоуправляемых моделей

Содержание

Результирующее перемещение — Большая Энциклопедия Нефти и Газа, статья, страница 2

Результирующее перемещение

Cтраница 2

Если В перемещается в новое положение С, то результирующее перемещение может быть получено движением точки Л в положение С. [16]

Если складываемые перемещения происходят вдоль одной прямой, то результирующее перемещение равно алгебраической сумме складываемых перемещений. Отсюда вытекает и графический способ сложения колебаний, которым мы будем сейчас пользоваться. [17]

На рис. 375, я и б показано, что результирующее перемещение тела не зависит от последовательности, в которой осуществляются составляющие перемещения: Перемещение треугольника из положения ABC в положение AiB d ( рис. 375, б) можно осуществить путем поворота его вокруг оси, проходящей через точку А, до положения АВ С, в первую очередь, и поступательного перемещения вместе с полюсом А из положения АВ С ь положение AiB i — во вторую очередь. [18]

Работа силы на совокупности последовательных перемещений равна работе силы на результирующем перемещении. [19]

Если точка совершила последовательно два перемещения АВ и ВС, то ее результирующим перемещением будет АС. Из рис. 11 видно, что в случае, когда складываемые перемещения имеют одинаковое направление ( рис. 11, а), направление результирующего перемещения совпадает с направлением слагаемых, а модуль результирующего перемещения равен сумме модулей слагаемых. Если же складываемые перемещения направлены в противоположные стороны ( рис. 11, б и в), направление результирующего перемещения совпадает с направлением того из слагаемых, у которого модуль больше. [21]

Он обладает тем свойством, что его звенья имеют угловые движения, а результирующее перемещение конца манипулятора происходит в прямоугольной системе координат. [23]

Так как на рычаг 4 действуют измерительная мембрана 1 и сильфоны измерения производной, то результирующее перемещение рычага происходит под действием двух составляющих: пропорциональной и дифференциальной. Поэтому перемещение затвора регулирующего органа ПД-регулятора пропорционально отклонению и скорости отклонения регулируемого параметра от заданного значения. [24]

Перемещения поршней сервомоторов 24 и 28 суммируются рычагом 27, поэтому рейка 8 топливного насоса получает результирующее перемещение под действием обоих импульсов регулятора. [25]

В кинематике имеет место закон независимости движений: если материальная точка одновременно участвует в нескольких движениях, то результирующее перемещение точки равно векторной сумме перемещений, совершаемых ею в каждом из движений. [26]

Если точка, движущаяся по прямолинейной траектории, совершила последовательно два перемещения АВ и ВС, то ее результирующим перемещением будет АС. [28]

Если выполнить теперь сначала данное перемещение с осью В, а затем — данное перемещение с осью А, то результирующее перемещение будет равносильно двум последовательным транспозициям относительно осей D и D2 и будет поэтому иметь своей осью С2 общий перпендикуляр к этим двум прямым. [29]

Если данные перемещения представляют собой поступательные перемещения, то прямые Д, Д, Z2 будут параллельны между собой, и

результирующее перемещение также будет поступательным перемещением. [30]

Страницы: 1 2 3 4

Кинематика

Абсолютно твердое тело — это тело, взаимное расположение частиц которого при движении не меняется.

Материальной точкой называется тело, размерами которого в данной задаче можно пренебречь.

Система отсчета — это совокупность тела отсчета, системы координат и способа измерения времени.

Тело отсчета — это тело, условно принятое за неподвижное.

Траектория — это линия, вдоль которой движется тело.

Поступательным называется движение, при котором все точки тела движутся по одинаковым траекториям.

Пройденный путь l — это скалярная величина, численно равная длине траектории, пройденной телом за данный промежуток времени.

Перемещение — вектор, соединяющий начало и конец движения.

Скорость — векторная величина, характеризующая направление и быстроту перемещения материальной точки:

Ускорение — векторная величина, характеризующая направление и быстроту изменения скорости:

Равномерное прямолинейное движение — это движение с постоянной по модулю и направлению скоростью:

Равноускоренное прямолинейное движение — движение с постоянным по модулю и направлению ускорением:

Графическое изображение равномерного движения

Рис. 7

Рис. 8

Графическое изображение равноускоренного движения

Рис. 9

Рис. 10

Рис. 11

Рис. 12

По графику скорости можно определить путь, рассчитав площадь фигуры, образовавшейся между графиком скорости и осью времени.

Равномерное движение по окружности

Частота

Угловая скорость

Линейная скорость

Центростремительное ускорение

Рис. 13

Закон сложения скоростей:

скорость U движении тела относительно неподвижной системы отсчета равна векторной сумме скорости U₁тела относительно неподвижной системы отсчета и скорости U₂ самой подвижной системы относительно неподвижной.

Принцип независимости движений: если тело одновременно участвует в двух движениях, то результирующее перемещение равно векторной сумме перемещений:

Свободное падение — это движение в безвоздушном пространстве под действием силы тяжести с ускорением свободного падения , направленным к земле.

Равноускоренное движение

Свободное падение

Движение тела, брошенного вертикально вверх

Движение тела, брошенного горизонтально

Рис. 14

1) по горизонтали:

2) по вертикали:

В любой точке траектории:

Движение тела, брошенного под углом к горизонту

Это криволинейное движение, траектория которого — парабола, имеющая восходящую» и нисходящую ветви:

Рис. 15

Исходя из принципа независимости движений, сложное движение по параболе можно разложить на два простых:

1) по горизонтали:

2) по вертикали:

3) в момент падения:

4) учитывая, что обе ветви параболы одинаковы:

Пути, проходимые телом, движущимся с ускорением, в равные, последовательные промежутки времени, пропорциональны ряду нечетных чисел:

s₁: s₂: s₃:… ; s_n= 1 : 3 : 5 :…: (2n — 1)

Путь, проходимый телом в первую секунду падения:

Динамика

Сила — это векторная величина, характеризующая действие одного тела на другое и сообщающая ускорение или деформацию последнему.

Масса тела — это мера его инертности и гравитации.

Инертность (бездействие) характеризует способность тел сохранять свое предыдущее состояние.

Первый закон Ньютона

Второй закон Ньютона

в проекциях на оси ОХ, ОУ, OZ:

F_x = ma_x; F_y — ma_y; F_z = ma_z

Основное уравнение динамики

Третий закон Ньютона

Наклонная плоскость

Рис. 16

В вектором виде:

в скалярном виде в проекциях на оси:

Движение тела в лифте

Рис. 17

Движение по выпуклому и вогнутому мостам

Рис. 18

Закон всемирного тяготения

Вес тела на высоте

Вес тела при опускании в шахту

Закон Гука

Напряжение материала

Относительная деформация

Виды деформации:

продольного растяжения;
продольного сжатия;
всестороннего сжатия;
поперечного изгиба
продольного изгиба;
сдвига;
кручения.

Рис. 19

Импульс тела

Импульс силы

Сила трения

Закон сохранения импульса

Второй закон Ньютона

Рис. 20

В векторной форме (рис. 20):

в скалярной форме с учетом знаков проекций на выбранную ось ОХ:

m₁V₁ — m₂V₂ = (m₁ +m₂)v

Первая космическая скорость

Вторая космическая скорость

Движение спутника будет:

если v < v₁ — тело упадет на Землю;
если — становится искусственным спутником Земли и движется в случае равенства v = v₁ no окружности, а в случае v > v₁ — по эллипсу;
если — тело преодолевает земное тяготение и уходит в космическое пространство по параболе или гиперболе (V >V_II)

Механическая работа

Мощность

Работа положительна, если < а между векторами силы F и перемещения s равен нулю => cos = 1 => А — Fs > О

Работа отрицательна, если < =180° => cos = -1 => А= — Fs < 0:

работа силы трения всегда отрицательна

Рис. 21

Работа численно равна площади под графиком зависимости между силой и перемещением

Работа равна нулю, если < = 90° => cos = 0 => A_mg = 0 => Работа силы тяжести при горизонтальном перемещении тела равна О

Консервативными называются силы, работа которых не зависит от вида траектории, а определяется только начальным и конечным положениями тела.

Работа консервативных сил по замкнутому контуру равна нулю.

Потенциальная энергия

Закон сохранения механической энергии

E = E_k + E_n = const

Кинетическая энергия

КПД

Помогите решить / разобраться (Ф)

hum_, по-моему, достаточно первой формулировки, учитывая, что на всякую материальную точку в конкретных условиях действует одна сила.

Ну какая же одна. Возьмите тот же пружинный маятник — как минимум на тело действуют две силы — сила упругости и сила тяжести. И без дополнительных предположений непонятно, как учитывать их совместное действие.

1) силы зависят не только от положения точки, но и от ее скорости, а также от времени.

Не совсем понял, к чему этот момент. Ведь закон же формулируется для каждого фиксированного момента времени, а тогда какая разница, от чего зависит сила. Важно, что в данный момент времени она имеет определенную величину, которой (в этот же момент времени) по закону, соответствует определенная величина ускорения.

2) принцип суперпозиции во 2 закон Ньютона включать не принято, это отдельный постулат

То есть, в принципе, второй закон Ньютона формулируется только для одной силы, а потом добавляется принцип суперпозиции сил (независимого действия), который позволяет:
1) ввести на множестве сил структуру векторного пространства;
2) сформулировать «расширенную версию» закона Ньютона, в которой под силой понимается равнодействующая приложенных к м.т. сил сила
?Зачем вообще мучаться с этими словесными формулировками? и всё.
Чтобы понять, сколько отдельных независимых фактов включено в эту конечную формулировку закона.
Например, закон независимости движения есть уже в кинематике. Резонно задаться вопросом — какую роль он играет в том, что силы оказываются векторами (в смысле, что допускают содержательное введение векторных операций), и какое отношение имеют ко второму закону Ньютона.

(Оффтоп)

(Вообще, этот вопрос возник из спора с одним товарищем — он пытался мне доказать, что суть второго закона Ньютона в том, что силы можно складывать, а я настаивал на том, что сложение сил тут не главное — главное, это связь силы как причины изменения состояния движения с ускорением как следствием действия этой силы.)

Можете прокомментировать?

Не совсем понял, что Вы хотели сказать.

Блок 1 механическое движение волны звук законы ньютона силы кинематика прямолинейного движения

Блок 1. Механическое движение. Волны. Звук. Законы Ньютона. Силы.

КИНЕМАТИКА ПРЯМОЛИНЕЙНОГО ДВИЖЕНИЯ

Движение в Природе. Механическое движение – изменение пространственного положения тела относительно других тел с течением времени. Кинематика даёт математическое описание движения тел.
Материальная точка как физическая модель – это тело, размерами которого можно пренебречь.
Тело отсчёта – тело, относительно которого рассматривается движение.
Система отсчёта – это совокупность тела отсчёта и связанной с ним системы координат и часов.
Траектория – линия вдоль которой движется тело.
Перемещение показывает на какое расстояние и в каком направлении смещается тело за данное время. Перемещение – вектор, проведённый из начального положения материальной точки в конечное.

Результирующее перемещение равно векторной сумме последовательных перемещений.

Путь – длина участка траектории, пройденного материальной точкой за данный промежуток времени.

Путь равен модулю перемещения только при прямолинейном движении в одном направлении.

Скорость

Средняя скорость равна отношению пройденного пути ко времени, за которое этот путь пройден. V = S/ t
Мгновенная скорость – средняя скорость за бесконечно малый интервал времени. Мгновенная скорость направлена так же, как и перемещение в данный момент времени.

Ускорение характеризует изменение скорости.

Ускорение показывает, как изменяется скорость за единицу времени.
Ускорение – векторная физическая величина, равная отношению изменения скорости к промежутку времени, за которое это изменение произошло. а = (V – V₀)/t
Вектор ускорения при прямолинейном движении параллелен или антипараллелен вектору скорости.

Прямолинейное равноускоренное движение. а = (V – V₀)/t; a – const.

Скорость при прямолинейном равнопеременном движении V = V₀ + at.

График зависимости скорости при равнопеременном движении представляет собой прямую линию. Если скорость не меняется, то эта линия параллельна оси времени.

Свободное падение – это движение тела в гравитационном поле Земли с постоянным

ускорением g = 9,8 м/сек². Время движения вверх и время падения равны. Скорость бросания равна конечной скорости падения.

Перемещение при равнопеременном движении

Перемещение всегда равно площади фигуры ограниченной графиком скорости и осью времени.

Уравнение движения. x= x₀+ S_х, где x и x₀— конечная и начальная координаты S_х – проекция перемещения.

КРИВОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ.

Примеры криволинейного движения: равномерное и неравномерное движение по окружности (когда на тело действует перпендикулярная сила), движение по параболе (баллистическое движение, когда скорость тела направлена под углом к горизонту), колебания маятника, или груза на пружине.

Равномерное движение тела по окружности – периодическое движение с постоянной по модулю скоростью. Путь по дуге. Перемещение по хорде. Скорость направлена по касательной. Ускорение к центру окружности Центростремительное ускорение a = υ² /R. Скорость равна отношению пройденного пути ко времени. υ = S/t = 2 πR /T где 2 πR – путь, пройденный за один поворот, Т — период – время одного полного поворота. Частота – число поворотов в единицу времени ν = 1/Т .

Координата вращающейся точки находится по уравнению x = Rcos φ, где R – радиус окружности при движении тела по окружности, а φ – угол поворота радиуса, соединяющего тело с началом отсчёта (центром окружности).

2. Колебательное движение является периодическим и

описывается такими же законами, что и движение по окружности. Классическими колебательными системами, способными совершать свободные колебания, являются математический маятник и груз на пружине. Колебания, совершаемые благодаря начальному запасу энергии, называются свободными. Колебания, происходящие под действием внешней периодической силы, называются вынужденными.

Если частота внешней периодической силы совпадает с частотой свободных колебаний, то наступает резонанс – явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при совпадении частоты свободных колебаний с частотой внешней периодической силы. Резонанс является причиной разрушения зданий, мостов, обрыва проводов, поломки двигателей и т.д.

При колебаниях происходят изменения энергии – потенциальная переходит в кинетическую и обратно. Но, если колебания незатухающие, то полная механическая энергия остаётся неизменной E = mv²/2 + mgh = mv²_max/2 = mgh_max

Координата колеблющейся точки находится по уравнению x = Rcos φ, где R – длина маятника, или максимальная

координата (амплитуда) при колебаниях, а φ – угол отклонения маятника – фаза колебания. Колебания, в которых

изменение координаты от времени описываются синусоидой, или косинусоидой называются гармоническими.

Период колебаний маятника определяется по формуле где l – длина нити.

Период колебаний груза на пружине по формуле , где m – масса груза, а k — жёсткость пружины.

Движение по параболе (баллистическое движение)

Происходит под действием силы тяжести. Ускорение во всех точках траектории направлено, как и сила тяжести, вертикально вниз. Скорость во всех точках траектории направлена по касательной.

В верхней точке траектории скорость направлена горизонтально.

По законам баллистики движутся снаряды, пули, брошенные под углом к горизонту тела.

ЗАКОНЫ НЬЮТОНА.

Высказывания Галилея. «Нет действия, нет изменения скорости. Есть действие, есть изменение скорости. Каждому действие есть противодействие.»

Инерция – явление сохранения скорости тел при отсутствии действия со стороны других тел.

Первый закон Ньютона: «Тело сохраняет состояние покоя или равномерного

прямолинейного движения, пока на него не действуют другие тела».

Сила – физическая величина, характеризующая действие одного тела на другое, в результате которого возникает ускорение, или деформация. Чем больше сила, тем больше ускорение. F = ma. Измеряется в Ньютонах Н

Инертность – свойство тел сопротивляться изменению скорости.

Масса – мера инертности. m = Vρ. Измеряется в кг ρ – плотность тела (масса в 1 м³)

Зависимость изменения скорости от массы. Чем больше масса, тем меньше изменение скорости.

Равнодействующая сила равна векторной сумме всех, действующих на тело сил.

Второй закон Ньютона: «В инерциальной системе отсчёта ускорение тела прямо

пропорционально равнодействующей силе и обратно пропорционально массе тела».

Третий закон Ньютона: «Силы, с которыми два тела действуют друг на друга, равны по модулю,

противоположны по направлении и действуют вдоль прямой, соединяющей эти тела».

Эти силы направлены вдоль прямой, соединяющей центры тел, они всегда одной природы

СИЛЫ.

Сила упругости – сила, возникающая при деформации и направлена противоположно смещению частиц при деформации. F_упр= — kx, х – деформация тела, k – жёсткость, которая определяется упругими свойствами тела.

Сила нормального давления – сила упругости, действующая на тело со стороны опоры, перпендикулярно её поверхности.

Сила натяжения – сила упругости, действующая на тело со стороны нити или пружины.

Закон Гука: Сила упругости, возникающая при деформации, пропорциональна деформации и направлена в сторону, противоположную деформации. F_упр= — kx

Сила трения покоя – сила, препятствующая возникновению движения одного тела по поверхности другого. (Она всегда по модулю равна силе, приложенной к телу, но противоположна ей по направлению). Максимальная сила трения покоя равна силе трения скольжения.

Сила трения скольжения – сила, возникающая при движении и направленная в сторону, противоположную движению. Она прямо пропорциональна силе нормального давления Fmp = μN. μ – коэффициент трения, который зависит от качества обработки соприкасающихся поверхностей и материала, из которого они изготовлены

Вес тела – сила, с которой тело действует на опору или подвес.

— вес тела в случае горизонтального движения на горизонтальной опоре P = mg;

движение вниз с ускорением P = m(g-a), без ускорения P = mg.

Невесомость. Вес тела равен нулю, когда тело свободно падает, т.е. на него действует только сила тяжести.

Перегрузки. Вес тела возрастает в несколько раз.

5. Закон всемирного тяготения: все тела во Вселенной притягиваются друг к другу с силой прямо пропорциональной массам этих тел и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними. Эта сила называется силой всемирного тяготения F = G M m/R² G = 6,67 ∙ 10^-11 Нм²/кг²– гравитационная постоянная, которая показывает, с какой силой два тела массой по 1 кг притягиваются друг к другу на расстоянии 1 м.

6. Сила тяжести – сила, с которой Земля притягивает к себе тела. На Земле и на различных планетах

F_m =mg, где g – ускорение свободного падения на планете

Для преодоления силы тяжести телу необходимо сообщить скорости:

7,8 км/сек – 1-я космическая скорость (тело становится спутником Земли).
11,2 км/сек – 2-я космическая скорость (тело становится спутником Солнца).
42 км/сек – 3-я космическая скорость (тело покидает Солнечную систему).

ВОЛНЫ. ЗВУК.

Колеблющееся тело вовлекает в колебательный процесс частицы окружающей среды. В среде возникает механическая волна – возмущение, распространяющееся в упругой среде. При этом происходит передача энергии без переноса вещества. Существую продольные и поперечные волны. Их вид определяется направлением колебания частиц среды.

Продольная волна (частицы колеблются вдоль распространения возмущения) – возникает во всех средах.

Поперечная волна (частицы колеблются перпендикулярно распространению возмущения) – возникает в твёрдых средах и на поверхности жидкости.

Скорость механической волны – скорость распространения возмущения в среде.

Длина волны – расстояние, на которое распространяется волна за время, равное периоду колебаний её источника (расстояние между двумя соседними гребнями) λ =υT = / ν, где λ- длина волны, υ – скорость, Т – период. На графике Т = 8 сек. Амплитуда х_мах=0,5 м

2. Звук. Всякое звучащее тело колеблется, но не всякое колеблющееся тело звучит. Частота звуковых колебаний 20 – 20000 Гц. Эти колебания создают в упругой среде звуковые волны, которые вызывают у человека слуховые ощущения. Ниже 20Гц – инфразвуки, выше 20000 – ультразвуки.

Звуковая волна является продольной волной, поэтому распространяется во всех упругих средах. Самая большая скорость распространения звука в твёрдых телах, самая маленькая – в газах. Причина – упругие свойства среды.

Высота звука определяется частотой. Тембр звука определяется наличием обертонов.

Громкость звука определяется амплитудой колебаний давлений в звуковой волне. Порог слышимости – при 1 кГц 10^-5Па . Болевой порог – 10 Па. Звуковые волны отражаются от препятствий. Это явление называется ЭХО. Используется в эхолотах – приборах для определения глубины. Время движения до дна и обратно t = 2S/v_зв

Обычно в эхолотах используется ультразвук.

.Решение задач

1 . Найти путь и перемещение часовой стрелки за 3,6,12 часов.

S₁= R

S₂= 2R

S₃= 0 – перемещение,

S₁= πR /2, S₂ = πR, S₃ = 2πR – путь.

2. Самолёт пролетел первую треть пути со скоростью 1100км/час, а оставшийся путь со скоростью 800км/час. Найти среднюю скорость его полёта.

Методика решения задач на расчёт средней скорости – вводится величина, о которой ничего неизвестно, по этой величине составляется уравнение, затем эта величина выражается через известные величины.

Решение. t = t₁ + t₂ , t = S/V, t₁ = S/3V₁ , t₂ = 2S/3V₂ ,

3. По графику зависимости скорости от времени найти параметры движения и написать уравнение движения.

Решение. Рисунок 1. V_o = 6м/с , a = (V – V_o)/t = (12 – 6) /6 = 1м/с²

x = x_o +V_ot + at²/2, x = 6t + t²/2,

Рисунок 2. самостоятельно.

4. По уравнению движения х = t + 2 t² найти параметры движения и построить график зависимости скорости, координаты и ускорения от времени. Ответ: х₀= 0, V₀ = 1м/с, а = 4 м/с². Выражение для скорости V = 1 +4t

5 По уравнению движения найти параметры движения, записать закон

изменения скорости и построить график зависимости скорости от времени:

а) х = t — 0,5 t², б)х = 2t + t²

а) V_o = 1м/с , a = — 1м/с², V = 1 – t.

б — самостоятельно

6. Дано уравнение движения катера x = 8t – 0,5t² и теплохода x = – 10t .

Найти начальные скорости и ускорения каждого тела. Написать закон изменения скорости для каждого и построить графики зависимости скорости от времени

7.. По графику зависимости скорости от времени найти параметры движения и написать уравнение движения. Найти перемещение за 3 сек.

8 Автомобиль движется со скоростью 72км/час. Найти его ускорение и тормозной путь перед светофором , если время торможения 4 сек. Решение по алгоритму.

9. На рисунке указано направление скорости движущегося тела и силы, действующей на него.

1. Укажите направление ускорения тела.

2. По какой траектории движется тело? Почему?

3. Когда тело будет находиться в состоянии невесомости:

на подъёме, на спуске, в верхней точке траектории.

10. Автомобиль массой 2 тонны проходит по выпуклому мосту, имеющему радиус кривизны 40 м. ср скоростью 36 км /час. С какой силой автомобиль давит на мост в его середине.? С какой скоростью должен двигаться автомобиль, чтобы в середине моста водитель оказался в состоянии невесомости?

Решение: mg — N = ma. a = v²/R, P = N. При невесомости вес тела равен 0, следовательно и N = 0

11. Мяч массой 200г брошен вертикально вверх со скоростью 20 м/с.

A. Найти максимальную высоту и время подъёма.

B. С какой скоростью и через сколько секунд мяч упадёт на землю?

C. Найти силу тяжести и вес мяча в верхней точке траектории.

12. Спутник массой 600 кг движется на высоте 1600 км над поверхностью Земли со скоростью 8 км/с. Радиус Земли 6400 км.

A. С какой силой притягивается спутник к Земле?

B. Что произойдёт с орбитой спутника, если скорость спутника увеличить до 9 км/с?

C. Чему равен вес спутника во время полёта

13. Лодка качается на волнах, длина которых 5 м. Каждые 4 секунды лодка

поднимается на гребне.

Найти: A. Период и частоту колебаний.

B. Скорость волны.

C. Изменится ли расстояние от лодки до берега при отсутствии ветра?

14. Плот качается на волнах, длина которых 6 м. Наблюдатель видит как плот каждые 5 секунд поднимается на гребне.

Найти: A. Период и частоту колебаний. Скорость волны.

B. Изменится ли расстояние от плота до берега при отсутствии ветра?

1

t c

B) Какие колебания представлены на графике?

16. Волны, создаваемые винтом корабля, набегают на берег через каждые 5 с. Корабль находится в 50 м. от берега и волна проходит расстояние от корабля до берега за 10 с.

Найти: A. Частоту и период колебаний волн.

B. Скорость волны

C. Приблизится ли корабль к берегу. Ветра нет.

Формулы кинематики и динамики

Скорость

V = S/ t – средняя скорость,

V = V₀+ at – мгновенная скорость при равноускоренном движении.

V_ср= (V + V₀)/2 — средняя скорость при равноускоренном движении.

Ускорение a = (V–V₀)/t – ускорение при равноускоренном движении.

Перемещение S = Vt – при равномерном движении,

При равноускоренном движении:

Уравнение движения x= x₀+ S_х
Законы равноускоренного движения (v_o = 0)

1. L₁: L₂ :L₃:L₄ … = 1:3:5:7:9… L_1,L₂, L_3,L₄ – пути, проходимые телом за равные последовательные промежутки времени (за первую, вторую, третью, и т. д. секунду).

2. S₁ : S₂ : S₃ : S₄ : S₅ = 1:4:9:16:25… – пути, проходимые телом за одну, две, три, четыре и так далее секунд.

Свободное падение

Используются те же формулы, что и при равноускоренном движении, только ускорение постоянно и равно 9,8 м/с²

Движение по окружности

L = 2πR – длина окружности,

V = 2πR/T – линейная скорость при движении по окружности,

Т – период, т. е. время одного оборота.

ν = 1/T – частота, т.е. число оборотов в 1 сек.

a =V²/R – центростремительное ускорение.

x = Rcos φ координата колеблющегося тела, или тела, движущегося по окружности

— равнодействующая сила.

— ньютоновская сила

F_m =mg — сила тяжести

F_тр = μN — сила трения

F_упр= — kx — сила упругости

F = G M m/R² – сила всемирного тяготения

x = Rcos φ – уравнение гармонических колебаний

λ = υ T = υ/ ν — длина волны. υ – скорость, T — период

Период колебаний математического маятника

Период колебаний груза на пружине

Кинематика прямолинейного движения. Равномерное прямолинейное движение определение Равномерное прямолинейное движение формула ускорения

Механическим движением тела (точки) называется изменение его положения в пространстве относительно других тел с течением времени.

Виды движений:

А) Равномерное прямолинейное движение материальной точки: Начальные условия

. Начальные условия

Г) Гармоническое колебательное движение. Важным случаем механического движения являются колебания, при которых параметры движения точки (координаты, скорость, ускорение) повторяются через определенные промежутки времени.

О писания движения . Существуют различные способы описания движения тел. При координатном способе задания положения тела в декартовой системе координат движение материальной точки определяется тремя функциями, выражающими зависимость координат от времени:

x = x (t ), y =у(t ) и z = z (t ) .

Эта зависимость координат от времени называется законом движения (или уравнением движения).

При векторном способе положение точки в пространстве определяется в любой момент времени радиус-вектором r = r (t ) , проведенным из начала координат до точки.

Существует еще один способ определения положения материальной точки в пространстве при заданной траектории ее движения: с помощью криволинейной координаты l (t ) .

Все три способа описания движения материальной точки эквивалентны, выбор любого из них определяется соображениями простоты получаемых уравнений движения и наглядности описания.

Под системой отсчета понимают тело отсчета, которое условно считается неподвижным, систему координат, связанную с телом отсчета, и часы, также связанные с телом отсчета. В кинематике система отсчета выбирается в соответствии с конкретными условиями задачи описания движения тела.

2. Траектория движения. Пройденный путь. Кинематический закон движения.

Линия, по которой движется некоторая точка тела, называется траекторией движения этой точки.

Длина участка траектории, пройденного точкой при ее движении, называется пройденным путем .

Изменение радиус- вектора с течением времени называют кинематическим законом :
При этом координаты точек будут являться координатами по времени:x = x (t ), y = y (t ) и z = z (t ).

При криволинейном движении путь больше модуля перемещения, так как длина дуги всегда больше длины стягивающей её хорды

Вектор, проведенный из начального положения движущейся точки в положение ее в данный момент времени (приращение радиус-вектора точки за рассматриваемый промежуток времени), называется перемещением . Результирующее перемещение равно векторной сумме последовательных перемещений.

При прямолинейном движении вектор перемещения совпадает с соответствующим участком траектории, и модуль перемещения равен пройденному пути.

3. Скорость. Средняя скорость. Проекции скорости.

Скорость — быстрота изменения координаты. При движении тела (материальной точки) нас интересует не только его положение в выбранной системе отсчета, но и закон движения, т. е. зависимость радиус-вектора от времени. Пусть моменту времени соответствует радиус-вектордвижущейся точки, а близкому моменту времени- радиус-вектор. Тогда за малый промежуток времени
точка совершит малое перемещение, равное

Для характеристики движения тела вводится понятие средней скорости его движения:
Эта величина является векторной, совпадающей по направлению с вектором
. При неограниченном уменьшенииΔt средняя скорость стремится к предельному значению, которое называется мгновенной скоростью :

Проекции скорости.

А) Равномерное прямолинейное движение материальной точки:
Начальные условия

Б) Равноускоренное прямолинейное движение материальной точки:
. Начальные условия

В) Движение тела по дуге окружности с постоянной по модулю скоростью:

Если положение данного тела относительно окружающих пред-метов с течением времени изменяется, то данное тело движется. Если положение тела остается неизменным, то тело находится в покое. За единицу времени в механике принимается 1 сек. Под промежутком времени подразумевается число t сек, отделяющих два каких-нибудь последовательных явления.

Наблюдая движение какого-нибудь тела, часто можно видеть, что движения различных точек тела различны; так при качении колеса по плоскости центр колеса движется по прямой линии, а точка, лежащая на окружности колеса, описывает кривую (циклоиду) ; пути, пройденные этими двумя точками за одно и то же время (за 1 оборот), также различны. Поэтому изучение движения тела начинают с изучения движения отдельной точки.

Линия, описываемая движущейся точкой в пространстве, называется траекторией этой точки.

Прямолинейным движением точки называется такое движение, траектория которого —прямая линия .

Криволинейное движение — это движение, траектория которого не является прямой линией.

Движение определяется направлением, траекторией и пройденным за определенный промежуток времени (период) путем.

Равномерным движением точки называется такое движение, при котором отношение пройденного пути S к соответствующему промежутку времени сохраняет постоянную величину для любого промежутка времени, т. е.

S/t = const (постоянная величина).(15)

Это постоянное отношение пути ко времени называется скоростью равномерного движения и обозначается буквой v. Таким образом, v= S/t. (16)

Решая уравнение относительно S, получим S = vt , (17)

т. е. величина пути, пройденного точкой при равномерном движении, равна произведению скорости на время. Решая уравнение относительно t, находим, что t = S/v ,(18)

т. е. время, в течение которого точка при равномерном движении проходит данный путь, равно отношению этого пути к скорости движения.

Эти равенства являются основными формулами равномерного движения. По этим формулам определяется одна из трех величин S, t, v, когда две других известны.

Размерность скорости v = длина / время = м/сек.

Неравномерным движением называется такое движение точки, при котором отношение пройденного пути к соответствующему промежутку времени не является постоянной величиной.

При неравномерном движении точки (тела) часто удовлетворяются нахождением средней скорости, которая характеризует быстроту движения за данный промежуток времени, но не дает представления о скорости движения точки в отдельные моменты, т. е. об истинной скорости.

Истинная скорость неравномерного движения — это та скорость, с которой движется точка в данный момент.

Средняя скорость движения точки определяется по формуле (15).

Практически часто удовлетворяются средней скоростью, принимая ее как истинную. Например, скорость стола у продольно-строгального станка постоянная, за исключением моментов начала рабочего и начала холостого ходов, но этими моментами в большинстве случаев пренебрегают.

У поперечно-строгального станка, у которого вращательное движение преобразуется в поступательное кулисным механизмом, скорость ползуна неравномерна. В начале хода она равна нулю, затем возрастает до какой-то наибольшей величины в момент вертикального положения кулисы, после чего начинает уменьшаться и к концу хода становится опять равной нулю. В большинстве случаев при расчетах пользуются средней скоростью v ср ползуна, которую принимают как истинную скорость резания.

Скорость ползуна поперечно-строгального станка с кулисным механизмом можно охарактеризовать как равномерно-переменную.

Равномерно-переменное движение — это движение, при котором за одинаковые промежутки времени скорость увеличивается или уменьшается на одинаковую величину.

Скорость равномерно-переменного движения выражается формулой v = v 0 + at, (19)

где v—скорость равномерно-переменного движения в данный момент, м/сек;

v 0 — скорость в начале движения, м/сек; а — ускорение, м/сек 2 .

Ускорением называется изменение скорости в единицу времени.

Ускорение а имеет размерность скорость / время = м / сек 2 и выражается формулой a = (v-v 0)/t. (20)

При v 0 = 0, a = v/t.

Путь, пройденный при равномерно-переменном движении, выражается формулой S= ((v 0 +v)/2)* t = v 0 t+(at 2)/2. (21)

Поступательным движением твердого тел а называется такое движение, при котором всякая прямая, взятая на этом теле, перемещается параллельно самой себе.

При поступательном движении скорости и ускорения всех точек тела одинаковы и в любой точке являются скоростью и ускорением тела.

Вращательным движением называется такое движение, при котором все точки некоторой прямой линии (оси), взятой в этом теле, остаются неподвижными.

При равномерном вращении в равные промежутки времени тело поворачивается на одинаковые углы. Угловая скорость характеризует величину вращательного движения и обозначается буквой ω (омега).

Связь между угловой скоростью ω и числом оборотов в минуту выражается уравнением: ω =(2πn)/60 = (πn)/30 град/сек. (22)

Вращательное движение является частным случаем криволинейного движения.

Скорость вращательного движения точки направлена по касательной к траектории движения и по величине равна длине дуги, пройденной точкой за соответствующий промежуток времени.

Скорость движения точки вращающегося тела выражается уравнением

v = (2πRn)/(1000*60)= (πDn)/(1000*60) м/сек, (23)

где п — число оборотов в минуту; R — радиус окружности вращения.

Угловое ускорение характеризует увеличение угловой скорости в единицу времени. Обозначается оно буквой ε (эпсилон) и выражается формулой ε =(ω — ω 0) / t. (24)

Равномерное движение — это движение с постоянной скоростью, то есть когда скорость не изменяется (v = const) и ускорения или замедления не происходит (а = 0).

Прямолинейное движение — это движение по прямой линии, то есть траектория прямолинейного движения — это прямая линия.

Это движение, при котором тело за любые равные промежутки времени совершает одинаковые перемещения. Например, если мы разобьём какой-то временной интервал на отрезки по одной секунде, то при равномерном движении тело будет перемещаться на одинаковое расстояние за каждый из этих отрезков времени.

Скорость равномерного прямолинейного движения не зависит от времени и в каждой точке траектории направлена также, как и перемещение тела. То есть вектор перемещения совпадает по направлению с вектором скорости. При этом средняя скорость за любой промежуток времени равна мгновенной скорости:

Скорость равномерного прямолинейного движения — это физическая векторная величина, равная отношению перемещения тела за любой промежуток времени к значению этого промежутка t:

= / t

Таким образом, скорость равномерного прямолинейного движения показывает, какое перемещение совершает материальная точка за единицу времени.

Перемещение при равномерном прямолинейном движении определяется формулой:

Пройденный путь при прямолинейном движении равен модулю перемещения. Если положительное направление оси ОХ совпадает с направлением движения, то проекция скорости на ось ОХ равна величине скорости и положительна:

Проекция перемещения на ось ОХ равна:

где x 0 — начальная координата тела, х — конечная координата тела (или координата тела в любой момент времени)

Уравнение движения , то есть зависимость координаты тела от времени х = х(t), принимает вид:

Если положительное направление оси ОХ противоположно направлению движения тела, то проекция скорости тела на ось ОХ отрицательна, скорость меньше нуля (v х = x0 — vt

Равномерное прямолинейное движение — это частный случай неравномерного движения.

Неравномерное движение — это движение, при котором тело (материальная точка) за равные промежутки времени совершает неодинаковые перемещения. Например, городской автобус движется неравномерно, так как его движение состоит в основном из разгонов и торможений.

Равнопеременное движение — это движение, при котором скорость тела (материальной точки) за любые равные промежутки времени изменяется одинаково.

Ускорение тела при равнопеременном движении остаётся постоянным по модулю и по направлению (a = const).

Равнопеременное движение может быть равноускоренным или равнозамедленным.

Равноускоренное движение — это движение тела (материальной точки) с положительным ускорением, то есть при таком движении тело разгоняется с неизменным ускорением. В случае равноускоренного движения модуль скорости тела с течением времени возрастает, направление ускорения совпадает с направлением скорости движения.

Равнозамедленное движение — это движение тела (материальной точки) с отрицательным ускорением, то есть при таком движении тело равномерно замедляется. При равнозамедленном движении векторы скорости и ускорения противоположны, а модуль скорости с течением времени уменьшается.

В механике любое прямолинейное движение является ускоренным, поэтому замедленное движение отличается от ускоренного лишь знаком проекции вектора ускорения на выбранную ось системы координат.

Средняя скорость переменного движения определяется путём деления перемещения тела на время, в течение которого это перемещение было совершено. Единица измерения средней скорости — м/с.

Это скорость тела (материальной точки) в данный момент времени или в данной точке траектории, то есть предел, к которому стремится средняя скорость при бесконечном уменьшении промежутка времени Δt:

Вектор мгновенной скорости равнопеременного движения можно найти как первую производную от вектора перемещения по времени:

= »

Проекция вектора скорости на ось ОХ:

это производная от координаты по времени (аналогично получают проекции вектора скорости на другие координатные оси).

Это величина, которая определяет быстроту изменения скорости тела, то есть предел, к которому стремится изменение скорости при бесконечном уменьшении промежутка времени Δt:

Вектор ускорения равнопеременного движения можно найти как первую производную от вектора скорости по времени или как вторую производную от вектора перемещения по времени:

= » = » Учитывая, что 0 — скорость тела в начальный момент времени (начальная скорость), — скорость тела в данный момент времени (конечная скорость), t — промежуток времени, в течение которого произошло изменение скорости, будет следующей:

Отсюда формула скорости равнопеременного движения в любой момент времени:

0 + t Если тело движется прямолинейно вдоль оси ОХ прямолинейной декартовой системы координат, совпадающей по направлению с траекторией тела, то проекция вектора скорости на эту ось определяется формулой:

Знак «-» (минус) перед проекцией вектора ускорения относится к равнозамедленному движению. Аналогично записываются уравнения проекций вектора скорости на другие оси координат.

Так как при равнопеременном движении ускорение является постоянным (a = const), то график ускорения — это прямая, параллельная оси 0t (оси времени, рис. 1.15).

Рис. 1.15. Зависимость ускорения тела от времени.

Зависимость скорости от времени — это линейная функция, графиком которой является прямая линия (рис. 1.16).

Рис. 1.16. Зависимость скорости тела от времени.

График зависимости скорости от времени (рис. 1.16) показывает, что

При этом перемещение численно равно площади фигуры 0abc (рис. 1.16).

Площадь трапеции равна произведению полусуммы длин её оснований на высоту. Основания трапеции 0abc численно равны:

Высота трапеции равна t. Таким образом, площадь трапеции, а значит, и проекция перемещения на ось ОХ равна:

В случае равнозамедленного движения проекция ускорения отрицательна и в формуле для проекции перемещения перед ускорением ставится знак «-» (минус).

График зависимости скорости тела от времени при различных ускорениях показан на рис. 1.17. График зависимости перемещения от времени при v0 = 0 показан на рис. 1.18.

Рис. 1.17. Зависимость скорости тела от времени для различных значений ускорения.

Рис. 1.18. Зависимость перемещения тела от времени.

Скорость тела в данный момент времени t 1 равна тангенсу угла наклона между касательной к графику и осью времени v = tg α, а перемещение определяют по формуле:

Если время движения тела неизвестно, можно использовать другую формулу перемещения, решая систему из двух уравнений:

Поможет нам вывести формулу для проекции перемещения:

Так как координата тела в любой момент времени определяется суммой начальной координаты и проекции перемещения, то будет выглядеть следующим образом:

Графиком координаты x(t) также является парабола (как и график перемещения), но вершина параболы в общем случае не совпадает с началом координат. При а x

Виды движения (равномерное, равноускоренное) и их графическое описание

По форме траектории движение делится на криволинейное (траектория движения тела кривая линия) и прямолинейное (траектория движения тела прямая линия).

При движении тела по прямолинейной траектории модуль вектора перемещения всегда совпадает с пройденным путём. При движении тела по криволинейной траектории модуль вектора перемещения всегда меньше пройденного пути

Равномерное прямолинейное движение.

Прямолинейным равномерным движением называют движение, при котором тело за любые равные промежутки времени совершает одинаковые перемещения.

Скорость равномерного прямолинейного движения — это физическая векторная величина, равная отношению перемещения тела S за любой промежуток времен к значению этого промежутка t:

v х =S/t

Скорость — это физическая величина, показывающая быстроту изменения координаты.

Единицы измерения скорости — метры в секунду

Уравнение равномерного движения (перемещение тела при равномерном движении):

S=v х ·t

Уравнение координаты тела:

х=х 0 +v х ·t

Обозначения:

х — координата движущегося тела

х 0 — начальная координата движущегося тела

v ср -Средняя скорость равномерного прямолинейного движения

v х — Скорость равномерного прямолинейного движения

S — Перемещение тела (расстояние, на которое передвинулось тело)

t — Промежуток времени перемещения (время)

Графическое представление равномерного прямолинейного движения

Зависимость ускорения от времени . Так как при равномерном движении ускорение равно нулю, то зависимость a(t) — прямая линия, которая лежит на оси времени.

Так как тело движется прямолинейно и равномерно (v =const), т.е. скорость со временем не изменяется, то график с зависимостью скорости от времени v (t) — прямая линия, параллельная оси времени.

Проекция перемещения тела численно равна площади прямоугольника под графиком, так как величина вектора перемещения равна произведению вектора скорости на время, за которое было совершено перемещение.

при прямолинейном равномерном движении модуль вектора перемещения равен площади прямоугольника под графиком скорости.

Зависимость перемещения от времени. График s(t) — наклонная линия:

Зависимость координаты от времени. График х(t) — наклонная линия:

Из графика видно, что проекция скорости равна:

v х =S/t=tga

Рассмотрев эту формулу, мы можем сказать, чем больше угол a , тем быстрей движется тело и оно проходит больший путь за меньшее время.

Правило определения скорости по графику s(t) и x(t): Тангенс угла наклона графика к оси времени равен скорости движения.

Неравномерное прямолинейное движение.

Равномерное движение это движение с постоянной скоростью. Если скорость тела меняется, говорят, что оно движется неравномерно.

Движение, при котором тело за равные промежутки времени совершает неодинаковые перемещения, называют неравномерным илипеременным движением .

Для характеристики неравномерного движения вводится понятие средней скорости.

Средняя скорость движения равна отношению всего пути, пройденного материальной точкой к промежутку времени, за который этот путь пройден.

В физике наибольший интерес представляет не средняя, а мгновенная скорость , которая определяется как предел, к которому стремится средняя скорость за бесконечно малый промежуток времени Δt :

Мгновенной скоростью переменного движения называют скорость тела в данный момент времени или в данной точке траектории .

Мгновенная скорость тела в любой точке криволинейной траектории направлена по касательной к траектории в этой точке.

Различие между средней и мгновенной скоростями показано на рисунке.

Движение тела, при котором его скорость за любые равные промежутки времени изменяется одинаково, называют равноускоренным или равнопеременным движением .

Ускорение — это векторная физическая величина, характеризующая быстроту изменения скорости, численно равная отношению изменения скорости к промежутку времени, в течение которого это изменение произошло.

Если скорость изменяется одинаково в течение всего времени движения, то ускорение можно рассчитать по формуле:

Обозначения:

v х — конечная скорость тела при равноускоренном движении по прямой

v 0х — начальная скорость тела

a — ускорение тела

t — время движения тела

Ускорение показывает, как быстро изменяетcя скорость тела. Если ускорение положительно, значит скорость тела увеличивается, движение ускоренное. Если ускорение отрицательно, значит скорость уменьшается, движение замедленное.

Единица измерения ускорения в СИ [м/с 2 ].

Ускорение измеряют акселерометром

Уравнение скорости для равноускоренного движения:

Уравнение равноускоренного прямолинейного движения (перемещение при равноускоренном движении):

Обозначения:

Перемещение тела при равноускоренном движении по прямой

Начальная скорость тела

Скорость тела при равноускоренном движении по прямой

Ускорение тела

Время движения тела

Еще формулы, для нахождения перемещения при равноускоренном прямолинейном движении, которые можно использовать при решении задач:

— если известны начальная, конечная скорости движения и ускорение.

— если известны начальная, конечная скорости движения и время всего движения

Графическое представление неравномерного прямолинейного движения

Механическое движение представляют графическим способом. Зависимость физических величин выражают при помощи функций. Обозначают:

v (t) — изменение скорости со временем

S(t) — изменение перемещения (пути) со временем

a(t) — изменение ускорения со временем

Зависимость ускорения от времени. Ускорение со временем не изменяется, имеет постоянное значение, график a(t) — прямая линия, параллельная оси времени.

Зависимость скорости от времени . При равномерном движении скорость изменяется, согласно линейной зависимости .

Графиком является наклонная линия.

Правило определения пути по графику v(t): Путь тела — это площадь треугольника (или трапеции) под графиком скорости.

Правило определения ускорения по графику v(t): Ускорение тела — это тангенс угла наклона графика к оси времени. Если тело замедляет движение, ускорение отрицательное, угол графика тупой, поэтому находим тангенс смежного угла.

Зависимость пути от времени. При равноускоренном движении путь изменяется, согласно квадратичной зависимости

В координатах зависимость имеет вид .

Графиком является ветка параболы.

Заключается в том, что, рассматривая того или иного тела, следует учитывать, что все его точки движутся в одном и том же направлении с абсолютно одинаковой скоростью. Именно поэтому необязательно давать характеристику движения всего данного тела, можно ограничиться лишь одной его точкой.

К основным характеристикам любого движения относятся его траектория, перемещение и скорость. Траектория — это всего лишь существующая только в воображении линия, вдоль которой осуществляется движение данной материальной точки в пространстве. Перемещение представляет собой вектор, направленный от начальной точки к конечной. Наконец, скорость является общим показателем движения точки, который характеризует не только ее направление, но и быстроту перемещения относительно какого-либо тела, принятого за точку отсчета.

Равномерное прямолинейное движение — это во многом воображаемое понятие, которое характеризуется двумя основными факторами — равномерностью и прямолинейностью.

Равномерность движения означает, что оно осуществляется с постоянной скоростью без какого-либо ускорения. Прямолинейность движения подразумевает, что оно происходит вдоль прямой линии, то есть его траектория — это абсолютно прямая линия.

Исходя из всего вышеперечисленного, можно сделать вывод, что равномерное прямолинейное движение — это особый вид движения, в результате которого тело за абсолютно равные промежутки времени осуществляет одно и то же перемещение. Так, разбив определенный интервал на равные промежутки (например, по одной секунде), можно будет увидеть, что при указанном выше движении тело будет за каждый из этих отрезков проходить одно и то же расстояние.

Скорость равномерного прямолинейного движения есть которая в численном выражении равна отношению пути, пройденного телом за тот или иной промежуток времени, к числовому значению этого промежутка. Эта величина никаким образом не зависит от времени, более того, стоит отметить, что скорость равномерного прямолинейного движения в любой точке траектории абсолютно совпадает с перемещением тела. При этом количественное значение за взятый произвольно промежуток времени равно

Равномерное прямолинейное движение характеризуется особым подходом к пути, которое проходит тело за определенный промежуток времени. Пройденный путь при таком есть не что иное, как модуль перемещения. Перемещение же, в свою очередь, представляет собой произведение скорости, с которой двигалось тело, на время, в течение которого это перемещение осуществлялось.

Вполне естественно, что если вектор перемещения совпадает с положительным направлением оси абсцисс, то проекция рассчитанной скорости будет не только положительной, но и совпадать с величиной скорости.

Равномерное прямолинейное движение можно представить, в том числе, и в виде уравнения, в котором будет отражаться зависимость между координатами тела и времени.

Физика — 10

Определите перемещение и скорость второго рыбака относительно наблюдателя, стоящего на берегу.

Решение. Исследуем движение второго рыбака с разных позиций. С этой целью используем две системы отсчета:

Неподвижная система отсчета (XOY) — связанная с наблюдателем на берегу. Она неподвижна относительно Земли.

Подвижная система отсчета (X’O’Y) — связанная с сидящим рыбаком. Она связана с плотом, движущимся со скоростью течения реки (см: a).

Сидящий рыбак является телом отсчета в движущейся системе отсчета. Ему кажется, что его товарищ переходит с одного края плота на другой со скоростью и совершает перемещение . В это время плот вместе с сидящим рыбаком совершает перемещение со скоростью относительно наблюдателя в неподвижной системе отсчета. Таким образом, по правилу сложения двух векторов методом параллелограмма получаем, что результирующее перемещение второго рыбака относительно неподвижной системы отсчета равно сумме перемещений и .

Если каждую из двух сторон выражения (1.31) разделим на время движения t, то получим:

Отсюда получим обобщенный закон сложения скоростей:

(1.32)

● Скорость движения тела относительно неподвижной системы отсчета равна геометрической (векторной) сумме скорости этого тела () относительно подвижной системы отсчета и скорости () подвижной системы относительно неподвижной.

Используя закон сложения скоростей, вычисляется скорость шагающего по поверхности плота рыбака относительно наблюдателя, стоящего на берегу. Как видно по чертежу, скорости

Творческое применение. Исследование-2. Проверка закона “Сложение скоростей”.

Задача 3:

Примечание: Запишите формулу сложения векторов скорости. Решите уравнение в проекциях скоростей на координатную ось ОХ (см: c и d).

Виды прямолинейного движения в физике. Прямолинейное движение. При таком движении для вычисления перемещения формулой пользоваться нельзя, поскольку скорость изменяется во времени и речь уже идет не о какой-то определенной скорости, значение которой можно

Виды движений:

А) Равномерное прямолинейное движение материальной точки: Начальные условия

. Начальные условия

x = x (t ), y =у(t ) и z = z (t ) .

Эта зависимость координат от времени называется законом движения (или уравнением движения).

2. Траектория движения. Пройденный путь. Кинематический закон движения.

Линия, по которой движется некоторая точка тела, называется траекторией движения этой точки.

Длина участка траектории, пройденного точкой при ее движении, называется пройденным путем .

3. Скорость. Средняя скорость. Проекции скорости.

Проекции скорости.

А) Равномерное прямолинейное движение материальной точки:
Начальные условия

Б) Равноускоренное прямолинейное движение материальной точки:
. Начальные условия

В) Движение тела по дуге окружности с постоянной по модулю скоростью:

Виды движения (равномерное, равноускоренное) и их графическое описание

Равномерное прямолинейное движение.

v х =S/t

Скорость — это физическая величина, показывающая быстроту изменения координаты.

Единицы измерения скорости — метры в секунду

Уравнение равномерного движения (перемещение тела при равномерном движении):

S=v х ·t

Уравнение координаты тела:

х=х 0 +v х ·t

Обозначения:

х — координата движущегося тела

х 0 — начальная координата движущегося тела

v ср -Средняя скорость равномерного прямолинейного движения

v х — Скорость равномерного прямолинейного движения

S — Перемещение тела (расстояние, на которое передвинулось тело)

t — Промежуток времени перемещения (время)

Графическое представление равномерного прямолинейного движения

Зависимость перемещения от времени. График s(t) — наклонная линия:

Зависимость координаты от времени. График х(t) — наклонная линия:

Из графика видно, что проекция скорости равна:

v х =S/t=tga

Неравномерное прямолинейное движение.

Для характеристики неравномерного движения вводится понятие средней скорости.

Различие между средней и мгновенной скоростями показано на рисунке.

Обозначения:

v х — конечная скорость тела при равноускоренном движении по прямой

v 0х — начальная скорость тела

a — ускорение тела

t — время движения тела

Единица измерения ускорения в СИ [м/с 2 ].

Ускорение измеряют акселерометром

Уравнение скорости для равноускоренного движения:

Уравнение равноускоренного прямолинейного движения (перемещение при равноускоренном движении):

Обозначения:

Перемещение тела при равноускоренном движении по прямой

Начальная скорость тела

Скорость тела при равноускоренном движении по прямой

Ускорение тела

Время движения тела

— если известны начальная, конечная скорости движения и ускорение.

— если известны начальная, конечная скорости движения и время всего движения

Графическое представление неравномерного прямолинейного движения

v (t) — изменение скорости со временем

S(t) — изменение перемещения (пути) со временем

a(t) — изменение ускорения со временем

Графиком является наклонная линия.

В координатах зависимость имеет вид .

Графиком является ветка параболы.

Чтобы найти координаты движущегося тела в любой момент времени, нужно знать проекции вектора перемещения на оси координат, а значит, и сам вектор перемещения. Что для этого нужно знать. Ответ зависит от того, какое движение совершает тело.

Рассмотрим сначала самый простой вид движения — прямолинейное равномерное движение .

Движение, при котором тело за любые равные промежутки совершает одинаковые перемещения, называют прямолинейным равномерным движением.

Чтобы найти перемещение тела в равномерном прямолинейном движении за какой-то промежуток времени t , надо знать, какое перемещение совершает тело за единицу времени, поскольку за любую другую единицу времени оно совершает такое же перемещение.

Перемещение, совершаемое за единицу времени, называют скоростью движения тела и обозначают буквой υ . Если перемещение на этом участке обозначить через , а промежуток времени через t , то скорость можно выразить отношением к . Поскольку перемещение — векторная величина, а время — скалярная , то скорость тоже векторная величина. Вектор скорости направлен так же, как и вектор перемещения.

Скоростью равномерного прямолинейного движения тела называют величину, равную отношению перемещения тела к промежутку времени, в течение которого это перемещение произошло:

Таким образом, скорость показывает, какое перемещение совершает тело в единицу времени. Следовательно, чтобы найти перемещение тела, надо знать его скорость . Перемещение тела вычисляется по формуле:

Вектор перемещения направлен так же, как и вектор скорости, время t — величина скалярная.

По формулам, написанным в векторной форме, вычисления вести нельзя, поскольку векторная величина имеет не только численное значение, но и направление. При вычислениях пользуются формулами, в которые входят не векторы, а их проекции на оси координат, так как над проекциями можно производить алгебраические действия.

Поскольку векторы равны, то равны и их проекции на ось X , отсюда:

Теперь можно получить формулу для вычисления координаты x точки в любой момент времени. Нам известно, что

Из этой формулы видно, что при прямолинейном равномерном движении координата тела линейно зависит от времени, а это значит, что с ее помощью можно описать прямолинейное равномерное движение.

Кроме того, из формулы следует, что для нахождения положения тела в любой момент времени при прямолинейном равномерном движении нужно знать начальную координату тела x 0 и проекцию вектора скорости на ось, вдоль которой движется тело.

Необходимо помнить, что в этой формуле v x — проекция вектора скорости, следовательно, как всякая проекция вектора, она может быть положительной и отрицательной.

Прямолинейное равномерное движение встречается редко. Чаще приходится иметь дело с движением, при котором за равные промежутки времени перемещения тела могут быть различными. Это значит, что скорость тела с течением времени как-то изменяется. С переменной скоростью движутся автомобили, поезда, самолеты и т. д., брошенное вверх тело, падающие на Землю тела.

При таком движении для вычисления перемещения формулой пользоваться нельзя, поскольку скорость изменяется во времени и речь уже идет не о какой-то определенной скорости, значение которой можно подставить в формулу. В таких случаях пользуются так называемой средней скоростью, которая выражается формулой:

Средняя скорость показывает, чему равно перемещение, которое тело в среднем совершает за единицу времени.

Однако, при помощи понятия средней скорости основную задачу механики — определить положение тела в любой момент времени — решить нельзя.

1) Аналитический способ.

Считаем шоссе прямолинейным. Запишем уравнение движения велосипедиста. Так как велосипедист двигался равномерно, то его уравнение движения:

(начало координат помещаем в точку старта, поэтому начальная координата велосипедиста равна нулю).

Мотоциклист двигался равноускоренно. Он также начал движение с места старта, поэтому его начальная координата равна нулю, начальная скорость мотоциклиста также равна нулю (мотоциклист начал двигаться из состояния покоя).

Учитывая, что мотоциклист начал движение на позже, уравнение движения мотоциклиста:

При этом скорость мотоциклиста изменялась по закону:

В момент, когда мотоциклист догнал велосипедиста их координаты равны, т.е. или:

Решая это уравнение относительно , находим время встречи:

Это квадратное уравнение. Определяем дискриминант:

Определяем корни:

Подставим в формулы числовые значения и вычислим:

Второй корень отбрасываем как несоответствующий физическим условиям задачи: мотоциклист не мог догнать велосипедиста через 0,37 с после начала движения велосипедиста, так как сам покинул точку старта только через 2 с после того, как стартовал велосипедист.

Таким образом, время, когда мотоциклист догнал велосипедиста:

Подставим это значение времени в формулу закона изменения скорости мотоциклиста и найдем значение его скорости в этот момент:

2) Графический способ.

На одной координатной плоскости строим графики изменения со временем координат велосипедиста и мотоциклиста (график для координаты велосипедиста — красным цветом, для мотоциклиста — зеленым). Видно, что зависимость координаты от времени для велосипедиста — линейная функция, и график этой функции — прямая (случай равномерного прямолинейного движения). Мотоциклист двигался равноускоренно, поэтому зависимость координаты мотоциклиста от времени — квадратичная функция, графиком которой является парабола.

Сообщение от администратора:

Ребята! Кто давно хотел выучить английский?
Переходите по и получите два бесплатных урока в школе английского языка SkyEng!
Занимаюсь там сам — очень круто. Прогресс налицо.

В приложении можно учить слова, тренировать аудирование и произношение.

Попробуйте. Два урока бесплатно по моей ссылке!
Жмите

Прямолинейное равномерное движение — это такое движение, при котором за одинаковые промежутки времени, тело проходит одинаковое расстояние.

Равномерное движение — это такое движение тела, при котором его скорость остается постоянной (),то есть все время движется с одной скоростью, а ускорение или замедление не происходит ().

Прямолинейное движение — это движение тела по прямой линии, то есть траектория у нас получается — прямая.

Скорость равномерного прямолинейного движения не зависит от времени и в каждой точке траектории направлена также, как и перемещение тела. То есть вектор скорости совпадает с вектором перемещения. При всем этом средняя скорость в любой промежуток времени равна начальной и мгновенной скорости:

Скорость равномерного прямолинейного движения — это физическая векторная величина, равная отношению перемещения тела за любой промежуток времен к значению этого промежутка t:

Из данной формулы. мы легко можем выразить перемещение тела при равномерном движении:

Рассмотрим зависимость скорости и перемещения от времени

Так как тело у нас движется прямолинейно и равноускоренно (), то график с зависимостью скорости от времени будет выгладить, как параллельная прямая оси времени.

В зависимости проекции скорости тела от времени ничего сложного нет. Проекция перемещения тела численно равна площади прямоугольника АОВС, так как величина вектора перемещения равна произведению вектора скорости на время, за которое было совершено перемещение.

На графике мы видим зависимость перемещения от времени .

Из графика видно, что проекция скорости равна:

Как найти площадь параллелограмма с вершинами

Площадь параллелограмма с заданными вершинами в прямоугольных координатах может быть вычислена с использованием векторного векторного произведения. Площадь параллелограмма равна произведению его основания и высоты. Используя векторные значения, полученные из вершин, произведение основания параллелограмма и высоты равно перекрестному произведению двух его смежных сторон. Вычислите площадь параллелограмма, найдя векторные значения его сторон и вычислив перекрестное произведение.

Найдите векторные значения двух смежных сторон параллелограмма, вычитая значения x и y двух вершин, образующих сторону. Например, чтобы найти длину DC параллелограмма ABCD с вершинами A (0, -1), B (3, 0), C (5, 2) и D (2, 1), вычтите (2, 1) из (5 , 2), чтобы получить (5-2, 2-1) или (3, 1). Чтобы найти длину AD, вычтите (2, 1) из (0, -1), чтобы получить (-2, -2).

Запишите матрицу из двух строк по три столбца. Заполните первую строку векторными значениями одной стороны параллелограмма (значение x в первом столбце и значение y во втором) и запишите ноль в третьем столбце.Заполните значения второй строки векторными значениями другой стороны и нулями в третьем столбце. В приведенном выше примере напишите матрицу со значениями {{3 1 0}, {-2 -2 0}}.

Найдите значение x перекрестного произведения двух векторов, заблокировав первый столбец матрицы 2 x 3 и вычислив определитель полученной матрицы 2 x 2. Определитель матрицы 2 x 2 {{a b}, {c d}} равен ad — bc. В приведенном выше примере значение x перекрестного произведения является определителем матрицы {{1 0}, {-2 0}}, которая равна 0.

Найдите значение y и значение z перекрестного произведения, заблокировав второй и третий столбцы матрицы, соответственно, и вычислив определитель результирующих матриц 2 x 2. 2).2), что равно 4.

Когда это полезно?

Определение площади параллелограмма может быть полезно во многих областях обучения, включая математику, физику и биологию.

Изучение математики, вероятно, является наиболее очевидным способом определения площади параллелограмма. Знание того, как найти площадь параллелограмма в координатной геометрии, часто является одним из первых вещей, которые вы сделаете, прежде чем переходить к более сложным формам. Это также может познакомить вас с более сложной математикой на основе графиков и векторов / вершин, которую вы увидите в математических классах верхнего уровня, геометрии, координатной геометрии, исчислении и многом другом.

Физика и математика идут рука об руку, и это, безусловно, верно в отношении вершин. Знание того, как найти площадь параллелограмма таким способом, может распространиться на поиск других областей, а также на задачу, которая требует от вас найти площадь треугольника с вершинами в физической задаче, например, о скорости или электромагнитной силе. Та же концепция координатной геометрии и расчета площади может применяться к ряду физических задач.

Векторов смещения

В евклидовом пространстве вектор представляет собой геометрический объект со звездной величиной и направлением .Мы можем представить вектор, начинающийся в точке $ p $ и заканчивающийся в точке $ q $, в виде стрелки, как показано ниже, и называть его вектором смещения , $ \ vec {v} $ .

Величина вектора смещения равна его длине и обозначается как $ || \ vec {v} || $ . Направление вектора смещения является направлением стрелки . Если величина описывается просто числом (или величиной) без направления, то мы называем это скаляром .

По умолчанию 1: Два вектора смещения $ \ vec {v} $ и $ \ vec {w} $ равны, если они имеют одинаковую величину и направлены в одном направлении.

Вектор $ \ overrightarrow {PQ} $ обозначает вектор смещения от точки $ P $ к точке $ Q $. Для двух точек $ P = (p_1, p_2) $ и $ Q = (q_1, q_2) $ вектор смещения $ \ overrightarrow {PQ} $ равен $ \ langle q_1-p_1, q_2-p_2 \ rangle $.

Пример : Пусть $ \ vec {v} $ — вектор из точки $ (1,2) $ в $ (3,5) $, и пусть $ \ vec {w} $ — вектор из точки $ (1,5) $ до (3,8) $.Тогда векторы смещения $ \ vec {v} $ и $ \ vec {w} $ равны $ \ vec {v} = \ langle 2,3 \ rangle $ и $ \ vec {w} = \ langle 2,3 \ rangle $. Обратите внимание, что $ \ vec {v} = \ vec {w} $, но они не совпадают.

Две важные алгебраические операции с векторами — это векторная сумма и скалярное умножение . Векторная сумма $ \ vec {v} + \ vec {w} $ может быть представлена как смещение объекта в результате применения сначала $ \ vec {v} $, а затем $ \ vec {w} $. Это также то же самое, что применить $ \ vec {w} $, а затем $ \ vec {v} $, i.д., векторное сложение коммутативно: $ \ vec {v} + \ vec {w} = \ vec {w} + \ vec {v} $.

Геометрически векторная сумма $ \ vec {v} + \ vec {w} $ является диагональю параллелограмма, как показано ниже. Представьте, что вы начинаете с точки $ p $, двигаетесь по $ \ vec {v} $, а затем по $ \ vec {w} $. Результирующая позиция равна $ q $, которая задается векторной суммой $ \ vec {v} + \ vec {w} $. Вы также можете начать с точки $ p $ и двигаться по $ \ vec {w} $, а затем по $ \ vec {v} $, чтобы добраться до точки $ q $. Результирующая позиция задается векторной суммой $ \ vec {w} + \ vec {v} $.

Скалярное умножение — это алгебраическая операция умножения вектора $ \ vec {v} $ на скаляр $ \ lambda $, то есть $ \ lambda \ vec {v} $. Геометрически мы можем представить скалярное умножение как операцию, которая изменяет длину или направление вектора или длину и направление.

Особым вектором без величины и направления является нулевой вектор $ \ vec {0} $. Нулевой вектор — это аддитивная единица, подобная нулевому числу. Нам необходимо рассмотреть аддитивный обратный $ \ vec {v} + (- \ vec {v}) = \ vec {0} $.Аддитивное обратное, $ \ vec {v} + (- \ vec {v}) $, является примером нулевого полного смещения.

С помощью операции скалярного умножения мы можем определять параллельные векторы.

По умолчанию 2: Два вектора $ \ vec {v} $ и $ \ vec {w} $ называются параллельными, если существует скаляр $ \ lambda $ такой, что $ \ vec {w} = \ lambda \ vec {v} $ . Другими словами, два вектора параллельны, если они являются скалярным кратным друг другу.

На рисунке 4 показано скалярное умножение.В частности, для вектора $ \ vec {v} $ наблюдается следующее:

$ \ lambda \ vec {v} $ — вектор, параллельный $ \ vec {v} $, и указывает в том же направлении, что и $ \ vec {v} $, если $ \ lambda> 0 $, и указывает в противоположном направлении. если $ \ lambda <0 $.
Длина $ \ lambda \ vec {v} $ в $ \ lambda $ раз больше длины $ \ vec {v} $. Это следует из свойства $ || \ lambda \ vec {v} || = | \ lambda ||| \ vec {v} ||. $

Положение и перемещение

Многие предметы, с которыми мы сталкиваемся в повседневной жизни, находятся в движении или состоят из частей. которые находятся в движении.Движение — это правило, а не исключение. Физические законы, управляющие движением этих объектов универсальны, т.е. все объекты движутся по одним и тем же правилам, и одна из целей этого класса — понять эти правила.

Когда объект движется, его положение изменяется как функция времени.

Положение объекта дано относительно некоторой согласованной точки отсчета. Недостаточно просто укажите расстояние от ориентир.Мы также должны указать направление . Расстояние — это скалярная величина , это число, выраженное в каких-то единицах . Позиция — это вектор кол-во. У него тоже есть величина как направление. Величина векторной величины — это число (в единицах измерения). сообщая вам, сколько существует количества, и направление сообщает вам, какие как он указывает. Единичный вектор — это направление показатель. Это безразмерный вектор с величиной 1, используемый для определения направление.В тексте векторные величины обычно выделяются жирным шрифтом. введите или со стрелкой над символом. Таким образом, в то время как d = расстояние, d = смещение.

Ссылки:
Скаляры и векторы (пожалуйста, исследуйте!)
Направление вектора

Позиция

Удобный способ указать положение объекта с помощью системы координат . Мы выбираем фиксированную точку, которая называется исходной точкой и три направленные линии, которые проходят через начало координат и являются перпендикулярны друг другу.Эти линии называются осями координат трехмерной прямоугольной (декартовой) системы координат и помечены оси x, y и z. Три числа с единицами измерения определяют положение точка P. Эти числа представляют собой координаты x, y и z точки P. Координаты точки P в На диаграмме справа находятся (a, b, c).

Координаты точки P — это компоненты вектора положения.Единичный вектор указание в направлении x имеет x-компоненту 1, а y- и z- компоненты нуль. Обозначается он i . Аналогично единичный вектор указывающий в направлении y, обозначается j , а единичный вектор направление в направлении z обозначается k . Единичные векторы указатели поворота.

Компоненты любого вектора складываются, чтобы сформировать вектор. Вектор положения точки P с координатами (a, b, c) может быть записано в терминах его компонентов как r = a i + b j + c к .

Амплитуда вектора положения равна его длине r. Это зависит от выбора начала системы координат. Это расстояние по прямой от точки P до начала координат.

Ниже приведено трехмерное представление вектора положения. r = a i + b j + c k . Пожалуйста, нажмите на изображении!
(Используйте современный браузер. 3D-приложения не работают в Internet Explorer. или более старые браузеры.)
Чтобы получить наилучший вид, измените область просмотра, перетащив мышь и увеличивайте или уменьшайте масштаб по мере необходимости.
Нажмите кнопки, чтобы выбрать другой вектор или другая схема добавления составляющих векторов.

Пример:

Вектор положения здания Nielsen Physics Building на небольшой карте с левым нижним углом в качестве начала координат.

Рабочий объем

Изменение положения называется смещением .На диаграмме ниже показан позиции P ₁ и P ₂ игрока в два разных момента времени.

Стрелка, указывающая от P ₁ к P ₂, — это вектор смещения .
Его величина прямолинейная. расстояние между P ₁ и P ₂.
Компоненты вектора смещения от P ₁ до P ₂ — это (x ₂ — x ₁) вдоль оси x, (y ₂ — y ₁) по оси y.
Вектор смещения d от P ₁ до P ₂ май можно записать как d = (x ₂ — x ₁) i + (y ₂ — y ₁) j .
Смещение d составляет (x ₂ — x ₁) единиц в Направление x плюс (y ₂ — y ₁) единиц в направлении y.
Величина смещения равна d = ((x ₂ — x ₁) ₂ + (y ₂ — y ₁) ²) ^½.Это следует из Пифагорейский теорема.

Расстояние между двумя точками P ₁ с координатами (x ₁, y ₁, z ₁) и P ₂ с координатами (x ₂, y ₂, z ₂) равно
d = ((x ₂ — x ₁) ² + (y ₂ — y ₁) ² + (z ₂ — z1) ^{²) ½}.

Расстояние d — это величина вектора смещения d .
г. направление вектора смещения d — это направленный отрезок от P ₁ к P ₂.
Мы называем этот направленный отрезок геометрической или графической представление вектора d .
Нарисуем острие стрелки на P ₂, чтобы указать что сегмент линии начинается в точке P ₁ и заканчивается в точке P ₂.

Тройка действительных чисел d _x = (x ₂ — x ₁), d _y = (y ₂ — y ₁), d _z = (z ₂ — z ₁) называются декартовыми компонентами d .

Ссылка: Расстояние и смещение (пожалуйста, исследуйте!)

Проблема:

Футбольный защитник пробегает 15,0 м прямо по игровому полю (в положительное направление x) за 2,50 с. Затем его ударили и толкнули на 3,00 м. прямо назад за 1,75 с. Он ломает подкат и бежит прямо вперед еще 21,0 м за 5,20 с. Рассчитайте его вектор смещения и общее пройденное расстояние.

Решение:

Рассуждение:
Выберите систему координат, чтобы вы могли отслеживать игрока.
Детали расчета:
Выберите свою систему координат, чтобы игрок начинает с x = 0. После 2,5 с, он попадает на х = 15 м.
Затем он отступает на 3 м и заканчивает вверх при x = 12 м еще через 1,75 с.
Он продвигается вперед на 21 метр в следующем 5,2 с и заканчивается на x = 12 м + 21 м. = 33 м.
Его смещение вектор d = (33 m) i , то есть 33 м вперед.
Его общее пройденное расстояние — 15 м. + 3 м + 21 м = 39 м.
Примечание: общее пройденное расстояние НЕ ЯВЛЯЕТСЯ расстоянием по прямой. от начальной до конечной точки, если объект не движется по прямой линия без изменения направления.

Проблема:

Путешествуя по прямой автомагистрали между штатами, вы обратите внимание, что отметка мили показывает 260.Вы путешествуете, пока не достигнете 150-мильной маркер, а затем вернитесь к маркеру длиной 175 миль. Что величина вашего результирующего смещения от 260-мильной отметки?

Решение:

Рассуждение:
Результирующее смещение — это вектор d , сумма двух векторов д ₁ и d ₂, которые указывают в противоположных направлениях.
Детали расчета:
Результирующее смещение — это вектор d , сумма двух векторов д ₁ и d ₂, которые указывают в противоположных направлениях.

Проблема:

Острие лопасти вертолета 5,00 м от центра вращения. За один оборот лезвия вычислить вектор смещения и общее расстояние, пройденное наконечником лезвия.

Решение:

Рассуждение:
После одного оборота наконечник возвращается в исходное положение. Его вектор смещения d = 0.
Детали расчета:
Общее пройденное расстояние на кончике равна окружности окружности радиуса r = 5 м.
Окружность = 2πr = 31,42 м.
Общее расстояние, пройденное чаевые 31.42 мес.

Вектор смещения имеет одинаковую величину и направление, независимо от выбор начала координат системы координат. Величина и направление вектор смещения, однако, зависит от системы отсчета , в которой система координат закреплена и находится в состоянии покоя.

Пример:

Автомобиль двинулся вперед расстояние 6 м, пока ребенок переместился с заднего сиденья вперед сиденье на расстоянии 1 м.

Использование автомобиля в качестве системы отсчета и привязка системы координат в машине смещение ребенка d (машина) = (1 м) i .
Использование дороги в качестве системы отсчета и привязка системы координат на дороге смещение ребенка составляет d (дорога) = (6 м) i + (1 м) i = (7 м) i .

8.8: Векторы — математика LibreTexts

Пример \ (\ PageIndex {2B} \): показывает, что два вектора равны

Покажите, что вектор \ (\ vec {v} \) с начальной точкой в \ ((5, −3) \) и конечной точкой в \ ((- 1,2) \) равен вектору \ (\ vec { u} \) с начальной точкой в \ ((- 1, −3) \) и конечной точкой в \ ((- 7,2) \).Нарисуйте вектор положения в той же сетке, что и \ (\ vec {v} \) и \ (\ vec {u} \). Затем найдите величину и направление каждого вектора.

Решение

Как показано на рисунке \ (\ PageIndex {8} \), нарисуйте вектор \ (\ vec {v} \), начиная с начальной \ ((5, −3) \) и конечной точки \ ((- 1,2 ) \). Нарисуйте вектор \ (\ vec {u} \) с начальной точкой \ ((- 1, −3) \) и конечной точкой \ ((- 7,2) \). 2} \\ [4pt] & = \ sqrt {36 + 25} \\ [4pt] & = \ sqrt {61} \ end {align *} \]

Поскольку звездные величины равны, теперь нам нужно проверить направление.{−1} \ left (- \ dfrac {5} {6} \ right) \\ [4pt] & = −39,8 ° \ end {align *} \]

Однако мы видим, что вектор положения заканчивается во втором квадранте, поэтому мы добавляем \ (180 ° \). Таким образом, направление равно \ (- 39,8 ° + 180 ° = 140,2 ° \).

Рисунок \ (\ PageIndex {8} \)

Как найти вектор смещения — стенограмма видео и урока

Что такое вектор смещения?

В этом уроке вы научитесь складывать два вектора смещения.Вектор смещения сообщает вам, как изменилось положение объекта. Этот вектор смещения включает не только то, как далеко вы прошли, но и в каком направлении вы путешествовали. Например, вы начинаете дома и идете в школу. Ваш вектор смещения начинается дома и заканчивается в вашей школе. Это одна прямая линия. Он не идет по тому пути, который вы выбрали. С другой стороны, если вы начнете дома и прогуляетесь по кварталу со своей собакой, ваша конечная точка все еще будет дома, поэтому ваш вектор смещения будет равен 0, так как ваши начальная и конечная позиции совпадают.Что касается перемещения, вы никуда не пошли.

Этот вектор смещения можно нарисовать на координатной плоскости. Тогда вектор смещения задается координатой конечной точки следующим образом:

Итак, когда вы ходили из дома в школу, ваш вектор смещения, показанный на графике, равен (3, 4). Да, вы можете записать свой вектор смещения в виде точки на координатной плоскости, если он начинается в начале координат. Если эти точки указаны в милях, это означает, что ваша школа расположена в 3 милях к востоку и в 4 милях к северу.Вот насколько изменилась ваша позиция.

А теперь предположим, что вы идете из школы в местный магазин мороженого, чтобы перекусить с друзьями. Теперь у вас будет другой вектор смещения.

Этот второй вектор смещения равен (-1, 2). Помните, что ваши векторы смещения всегда имеют начало в начале координат.

Чтобы сложить эти два вектора смещения, выполните следующие действия:

Шаг 1: Найдите координаты двух ваших векторов смещения

Если вам дан график без координат, вам сначала нужно найти точки координат концы обоих векторов смещения, когда каждый вектор смещения начинается в начале координат.

Для ваших двух перемещений из дома в школу и из школы в завод по производству мороженого вы уже определили точки координат векторов смещения. От дома до школы — это (3, 4). От школы до мороженого это (-1, 2).

Шаг 2. Переместите второй вектор смещения так, чтобы он начинался там, где закончился первый вектор смещения.

Затем вы захотите переместить векторы смещения, чтобы они соединялись друг с другом. Где заканчивается одно, начинается другое.

Для ваших двух векторов смещения (переход от дома к школе, а затем от школы к мороженому) вы соедините вектор смещения, который начинается в школе и заканчивается в мороженом, с первым вектором смещения, который начинается дома. и заканчивается в школе.

Шаг 3. Нарисуйте новый вектор, который является сложением двух векторов смещения

Этот новый вектор будет иметь то же начало, что и ваш первый вектор смещения, и заканчиваться там, где заканчивается второй вектор смещения.

Для вашей поездки в школу, а затем в мороженое ваш новый вектор смещения будет выглядеть следующим образом:

Ваш новый вектор смещения — зеленый вектор. Посмотрите, как он начинается там, где начинается первый вектор смещения, и заканчивается там, где заканчивается второй вектор смещения.

Шаг 4: Найдите координаты нового вектора смещения

Вы можете найти координаты, посмотрев на свой график координат, чтобы увидеть, где заканчивается второй вектор смещения.

Глядя на ваш график, кажется, что он заканчивается на (2, 6).

векторов положения и смещения — GeeksforGeeks

Вектор — это величина, которая имеет как величину, так и направление. Векторы позволяют нам описывать величины, которые имеют как направление, так и величину. Например, скорость и положение. Эти величины полезны при описании движения и положения частицы, движущейся в плоскости. Все векторы подчиняются законам сложения параллелограммов и треугольников.Эти законы позволяют нам выполнять арифметические операции с векторами. Положение и изменение положения (обозначаемые смещением) — это сущности, которые используют эти концепции для описания движения частицы. Давайте разберемся с ними подробнее.

Скаляры и векторы

В физике величины классифицируются в терминах векторов и скаляров. Разница между ними в том, что величины, имеющие направления и связанные с ними величины, называются векторами. Скалярная величина — это просто величина.В случае скалярных величин арифметические операции, такие как сложение, вычитание или умножение, выполняются так же, как и с действительными числами. Например, сумма двух скалярных величин со значениями 0,1 и 0,3 задается как 0,4. Эти правила не применяются к векторным величинам. Их сложение и вычитание не так просты, как скалярные величины.

Вниманию читателя! Все, кто говорит, что программирование не для детей, просто еще не встретили подходящих наставников. Присоединяйтесь к демонстрационному классу для курса «Первый шаг к программированию», специально разработан для учащихся 8–12 классов.

Студенты узнают больше о мире программирования в этих бесплатных классах , которые определенно помогут им сделать правильный выбор карьеры в будущем.

В приведенной ниже таблице показаны некоторые примеры скалярных и векторных величин.

Скалярные величины	Векторные величины
Длина	Скорость
Скорость	Сила	Давление
Энергия	Ускорение

Законы сложения и вычитания векторов

Два вектора нельзя сложить обычными арифметическими процедурами, поскольку векторы содержат направления.Эти векторы можно складывать, используя законы сложения векторов. Для двух векторов P и Q их сложение задается вектором R,

Если угол между двумя векторами равен θ, то величина результирующего вектора определяется как,

R ² = | P | ² + | Q | ² + 2 | P || Q | cos (θ)

Угол, который результирующий вектор образует с вектором P, равен,

Θ = tan ^-1 (

Векторное умножение на константу

Умножение вектора на константу не меняет его направления.Вместо этого такое умножение служит для масштабирования вектора. Если постоянная, умноженная на вектор, больше 1, длина вектора увеличивается, а длина уменьшается, когда константа меньше 1.

Движение в плоскости

Когда объект движется в плоскости, он изменяется его положение, и важно определить величины, которые можно использовать для описания положения объекта на плоскости. Движение также требует направления. Например, предположим, что объект движется, как показано на рисунке ниже.Теперь, чтобы описать положение объекта, требуются две вещи — направление и расстояние от начала координат. Недостаточно просто сказать, что объект находится на расстоянии 5 м от начала координат.

Этот объект будет описан как 5 м в северо-восточном направлении. Таким образом, для обозначения положения объекта необходим вектор. Этот вектор называется вектором положения . На схеме ниже показана траектория объекта, движущегося в плоскости. Пусть P и P ’будут положениями объекта в момент времени« t »и« t ’».На приведенном ниже рисунке показаны положения P и P ’относительно начала координат.

Когда точки P и P ’соединены прямой линией с началом O. Сегменты OP и OP’ обозначают векторы положения. Вектор OP обозначается r, а OP ’обозначается r’. Если объект перемещается из точки P в точку P ’за время« t ». Тогда смещение определяется изменением вектора положения. Вектор, обозначающий изменение вектора положения, также называется вектором смещения.

Примечание: Вектор смещения зависит только от векторов начального и конечного положения.Если объект перемещается по траектории и возвращается в то же исходное положение, в этом случае смещение считается нулевым. На рисунке выше показан объект, путешествующий по большому пути и возвращающийся в ту же точку. В этом случае смещение равно нулю.

Величина вектора смещения меньше или равна расстоянию, пройденному частицей между ее начальным и конечным положениями.

Предположим, что частица перемещается из точки A в точку B по пройденному пути, как показано на рисунке выше.В этом случае смещение задается линией, соединяющей две точки. Таким образом, можно сказать, что смещение между двумя точками — это кратчайшее расстояние между этими точками.

Примеры задач

Вопрос 1. Допустим, A = 4i + 3j и B = 5i + 4j. Найдите вектор, полученный сложением этих двух векторов.

Ответ:

Дано:
A = 4i + 3j
B = 5i + 4j.
Результат этих двух векторов равен,
Подставляя векторы в это уравнение,

Вопрос 2. Допустим, A = 5i + 5j и B = 3i + 3j.Найдите вектор, полученный сложением этих двух векторов.

Ответ:

Дано:
A = 5i + 5j
B = 3i + 3j.
Результат этих двух векторов равен,
Подставляя векторы в это уравнение,

Вопрос 3: Допустим, есть два вектора A и B, где | A | = 3 и | B | = 4, а угол между ними равен 60 °. Найдите величину и направление результирующего вектора.

Ответ:

Дано:
| A | = 3
| B | = 4.
θ = 60 °
Результат этих двух векторов равен,
R ² = | A | ² + | B | ² + 2 | A || B | cos (θ)
Угол определяется как, θ = tan ^-1 (
Подставляя векторы в эти уравнения,
R ² = | A | ² + | B | ² + 2 | A || B | cos (θ)
⇒ R ² = 3 ² + 4 ² + 2 (3) (4) cos (60 )
⇒ R ² = 25 + 12
⇒ R ² = 37
⇒ R = √37
θ = tan ^-1 (
⇒ θ = tan ^-1 (
)
⇒ θ = 53 °

Вопрос 4: Допустим, есть два вектора A и B, где | A | = 24 и | B | = 10, а угол между ними равен 90 °.Найдите величину и направление результирующего вектора.

Ответ:

Дано:
| A | = 24
| B | = 10.
θ = 90 °
Результат этих двух векторов равен,
R ² = | A | ² + | B | ² + 2 | A || B | cos (θ)
Угол определяется как, θ = tan ^-1 (
Подставляя векторы в эти уравнения,
R ² = | A | ² + | B | ² + 2 | A || B | cos (θ)
⇒ R ² = 24 ² + 10 ² + 2 (24) (10) cos (90 )
⇒ R ² = 576 + 100
⇒ R ² = 676
⇒ R = 26
θ = tan ^-1 (
⇒ θ = tan ^-1 (

Вопрос 5: Вектор положения частицы, движущейся в плоскости, определяется как:

r = t ² i + 3tj

Найдите смещение между t = 1 и t = 4 секунды.

Ответ:

Смещение зависит только от начального и конечного положения частицы.
Дано:
r = t ² i + 3tj
при t = 1
r _i = i + 3j
При t = 4
r _f = 16i + 12j
Смещение между этими положениями будет дана разница их векторов положения.
r = r _f — r _i
⇒r = 16i + 12j — (i + 3j)

⇒ r = 15i + 9j

Вопрос 6: Вектор положения движущейся частицы в плоскости:

r = t ² i + 3tj

Найдите смещение между t = 1 и t = 4 секундами.

Ответ:

Смещение зависит только от начального и конечного положения частицы.
Дано:
r = t ² i + 3tj
при t = 1
r _i = i + 3j
При t = 4
r _f = 16i + 12j
Смещение между этими положениями будет дана разница их векторов положения.
r = r _f — r _i
⇒r = 16i + 12j — (i + 3j)
⇒ r = 15i + 9j

Векторное разрешение и компоненты — Практика — Физический гипертекст

Практика

практическая задача 1

Направлен лазерный луч 15.95 ° над горизонтом в зеркале на расстоянии 11 648 м. Он смотрит в зеркало и продолжает движение еще 8570 м под углом 11,44 ° над горизонтом, пока не попадает в цель. Каково результирующее смещение луча к цели?

раствор

Необходимо работать с векторами, расположенными под неправильным углом. Разбейте их на составляющие.

x ₁ = r ₁ cos θ ₁
x ₁ = (11,648 м) cos (15.95 °)
x ₁ = 11200 м

y ₁ = r ₁ sin θ ₁
y ₁ = (11648 м) sin (15.95 °)

5 1 6

x ₂ = r ₂ cos θ ₂
x ₂ = (8,570 м) cos (11,44 °) 2 = (8,570 м) cos (11,44 °) 2
9102 8400 м

y ₂ = r ₂ sin θ ₂
y ₂ = (8,570 м) sin (11.44 °)
y ₂ = 1700 м

Складываем векторы в одном направлении «обычным» сложением.

x = 11 200 м + 8 400 м
x = 19 600 м

y = 3200 м + 1700 м
y = 4900 м

Сложите векторы под прямым углом с помощью комбинации теоремы Пифагора для величины…

r = √ ( x ² + y ²)
r = √ [(19 600 м) ² + (4900 м) ²] r = 20 200 м 90 5 10

и касательная для направления.

тангенс угла θ =	y	=	4900 м
	x		19 600 м
θ =	14,04 °

Не забудьте ответить на вопрос.

Цель лазерного луча находится на расстоянии 20 200 м под углом возвышения 14,04 ° .

Да, и не забудьте нарисовать рисунок.Я, наверное, должен был сказать тебе об этом раньше. Мне плохо, что я сделал это дважды в разделах о векторах. Я должен подать лучший пример. Позвольте мне компенсировать это, предоставив вам анимированный рисунок.

Если вы чувствуете дежавю , не пугайтесь. Матрица в порядке. Я переработал решение этой проблемы из более раннего. Идея заключалась в том, чтобы показать общий метод решения проблем, используемый в физике. По возможности возьмите сложную проблему, которую вы еще не решили, и уменьшите ее до решенной.

Как складывать параллельные векторы? Просто — добавьте их. Как складывать антипараллельные векторы? Тоже просто — вычтите их. Как складывать векторы под прямым углом. Достаточно просто — используйте теорему Пифагора и касательную. Как добавить векторы, отличные от 0 °, 180 ° или 90 °? Жестоко просто — разложите их на компоненты. Не позволяйте векторам заставлять вас работать усерднее. Сделайте так, чтобы они указывали в удобном для вас направлении. Сделайте из них более простые векторы.

А потом студенты узнали, что «плохого» вектора действительно не существует и все жили долго и счастливо.Конец.

практическая задача 2

На точку действуют три силы: 3 Н при 0 °, 4 Н при 90 ° и 5 Н при 217 °. Что такое чистая сила?

раствор

Разложите векторы на их компоненты по осям x и y . (Следите за знаками.) Затем сложите компоненты по каждой оси, чтобы получить компоненты результирующего. Используйте их, чтобы получить величину и направление результата. С проблемами, связанными с большим количеством компонентов, легче работать, если значения записаны в табличной форме, как это…

	величина	направление	Х-компонент	Y-компонент
первая сила	3 N	0 °	+3 Н	0 N
вторая сила	4 N	90 °	0 N	+4 N
третья сила	5 N	217 °	−4 N	−3 N
результат	1.4 Н	135 °	-1 N	+1 н.

Рисунок или анимация могут быть полезны.

практическая задача 3

Этот ветер больше похож на встречный или попутный?
Какая скорость встречного / попутного ветра?
Какая скорость бокового ветра?

раствор

Начните с диаграммы.Вы можете нарисовать этого велосипедиста сверху, как я, но в этом нет необходимости. Однако нарисуйте стрелку вправо, чтобы обозначить направление велосипедиста. Направление ветра отсчитывается по часовой стрелке с севера. Север 0 °, восток 90 °, юг 180 ° и запад 270 °. Ветер дует с 248 °, что находится где-то между югом и западом. Нарисуйте стрелку из нижнего левого угла в верхний правый угол, чтобы обозначить ветер. Угол между двумя стрелками составляет…

270 ° — 248 ° = 22 °

Добавьте эту информацию к диаграмме.

Вот почему вам нужна диаграмма. Так легко увидеть ответ. Этот ветер больше похож на встречный ветер , чем на попутный ветер.
Встречный ветер задается компонентом «x».
v _x = v cos θ
v _x = (10 м / с) cos (22 °)
v _x = 9,2 м / с
Боковой ветер задается составляющей «y».
v _y = v sin θ
v _y = (10 м / с) sin (22 °)
v _y = 3,7 м / с

практическая задача 4

В один злополучный зимний день я случайно поскользнулся на обледеневшей рампе, наклоненной на 37 ° к горизонту. Найдите мое ускорение при спуске с рампы, учитывая, что ускорение силы тяжести указывает прямо вниз и имеет значение 9,8 м / с ².(Предположим, что лед абсолютно не имеет трения.)

раствор

Это пример задачи наклонной плоскости — что-то общее на вводных уроках физики. Решение…

Начните с диаграммы. Проведите диагональную линию, обозначающую пандус. Нарисуйте наклонную коробку, изображающую меня беднягу. Нарисуйте стрелку, указывающую вниз, и обозначьте ее g для ускорения свободного падения.

Я не могу разогнаться с до в этой задаче, так как твердая поверхность рампы мешает, но я могу разогнаться с по рампе ; то есть параллельно пандусу.Это задает естественное направление для повернутой системы координат .

x ′	параллельно поверхности
y ′	перпендикулярно поверхности

Добавьте на чертеж повернутые оси координат, затем спроецируйте на них вектор ускорения. (Я нарисовал это пунктирными линиями.) Используя некоторые геометрические соображения, можно показать, что угол между горизонтальной линией и параллельной осью (также известный как угол наклона) равен углу между вертикальная линия и перпендикулярная ось.Это дает нам прямоугольный треугольник со следующими сторонами…

г	гипотенуза
г _{x ′}	противоположная сторона
г _{г ′}	смежная сторона

, что означает…

г _{x ′}	= г sin θ
г _{г ′}	= г cos θ

Добавление этих деталей к диаграмме позволяет увидеть все в перспективе.

Результирующее перемещение — Большая Энциклопедия Нефти и Газа, статья, страница 2

Результирующее перемещение

Кинематика

Динамика

Помогите решить / разобраться (Ф)

Блок 1 механическое движение волны звук законы ньютона силы кинематика прямолинейного движения

1

B) Какие колебания представлены на графике?

Кинематика прямолинейного движения. Равномерное прямолинейное движение определение Равномерное прямолинейное движение формула ускорения

2. Траектория движения. Пройденный путь. Кинематический закон движения.

3. Скорость. Средняя скорость. Проекции скорости.

Физика — 10

2. Траектория движения. Пройденный путь. Кинематический закон движения.

3. Скорость. Средняя скорость. Проекции скорости.

Как найти площадь параллелограмма с вершинами

Когда это полезно?

Векторов смещения

Положение и перемещение

Положение и перемещение

Позиция

Пример:

Рабочий объем

Проблема:

Проблема:

Проблема:

Пример:

8.8: Векторы — математика LibreTexts

Как найти вектор смещения — стенограмма видео и урока

Что такое вектор смещения?

Шаг 1: Найдите координаты двух ваших векторов смещения

Шаг 2. Переместите второй вектор смещения так, чтобы он начинался там, где закончился первый вектор смещения.

Шаг 3. Нарисуйте новый вектор, который является сложением двух векторов смещения

Шаг 4: Найдите координаты нового вектора смещения

векторов положения и смещения — GeeksforGeeks

Скаляры и векторы

Движение в плоскости

Примеры задач

Векторное разрешение и компоненты — Практика — Физический гипертекст

Практика

практическая задача 1

раствор

практическая задача 2

раствор

практическая задача 3

раствор

практическая задача 4

раствор

alexxlab

Добавить комментарий Отменить ответ

Рубрики