Решение задач на силу лоренца: Задачи на силу Лоренца с решением — RC74 — интернет-магазин радиоуправляемых моделей

Содержание

Задачи на силу Лоренца с решением

Решение задач – обязательная практика в жизни всех студентов-технарей. В сегодняшней статье разберемся, как решать задачи на силу Лоренца.

Если вам скучно читать про решение задач, переходите в наш телеграм-канал. Там найдется интересная информация и новости для всех специальностей. А еще, у нас есть второй канал, где мы рассказываем об акциях нашего сервиса и дарим приятные скидки. Проверьте — и не упустите выгоду!

Задачи по теме «сила Лоренца»

Даже если вы не новичок, прежде чем решать задачи, прочтите общую памятку и на всякий случай держите под рукой полезные формулы.

Задача на силу Лоренца №1

Условие

Электрон с энергией 300 эВ движется перпендикулярно линиям индукции однородного магнитного поля напряженностью 465 А/м. Определить силу Лоренца, скорость и радиус траектории электрона.

Решение

Скорость электрона можно найти из формулы кинетической энергии:

Eк=m·v22v=2Eкm

Сила Лоренца является центростремительной силой, значит, по второму закону Ньютона, можно записать:

Магнитная индукция равна напряженности, умноженной на магнитную постоянную. Подставив ранее найденное выражение для скорости в формулу для радиуса и силы Лоренца, запишем:

R=m2Eктqμ0H=2Eктqμ0HFл=q2Eктμ0H

Теперь осталось только подставить значения и вычислить:

v=2·4,8·10-169,1·10-31=3,25·107 мсFл=4·3,14·10-7·465·1,6·10-19·3,25·107=3·10-15НR=2·4,8·10-16·9,1·10-314·3,14·10-7·465·1,6·10-19=0,32 м

Ответ: v=3,25·107 мс; Fл=3·10-15Н; R=0,32 м.

Задача на силу Лоренца №2

Условие

Альфа-частица влетает в магнитное поле с индукцией 1 Тл перпендинулярно силовым линиям. Найти момент импульса частицы относительно центра окружности, по которой она будет двигаться.

Решение

Когда частица влетает в поле перпендикулярно силовым линиям, на нее начинает действовать сила Лоренца, которая выполняет роль центростремительной силы. Радиус окружности, по которой будет двигаться частица:

R=mvQBm=6,65·10-27 кг — масса альфа частицыQ=2e=3,2·10-19Кл — заряд альфа частицы

Момент импульса частицы относительно центра окружности найдем по формуле:

L=mvR=m2v2QB=6,65·10-272·0,35·10723,2·10-19·1=5,42·10-21кг·м2с

Ответ: 5,42·10-21 кг·м2с.

Задача на силу Лоренца №3

Условие

В однородном магнитном поле с индукцией В = 0,5 Тл вращается с частотой n = 10 с-1 стержень длиной l = 20 см. Ось вращения параллельна линиям индукции и проходит через один из концов стержня перпендикулярно его оси. Определите разность потенциалов U на концах стержня.

Решение

Рассмотрим физическую суть процессов, проходящих в стержне. Когда стержень движется в магнитном поле, в нем возникает ЭДС индукции, которая обусловлена действием силы Лоренца на заряды стержня.

Под действием этой силы в стержне происходит разделение зарядов: свободные электроны перемещаются вверх и между концами стержня возникает разность потенциалов.

Заряды на концах стержня создают поле E, препятствующее дальнейшему разделению зарядов. В какой-то момент сила Лоренца уравновесится с силой возникающего поля:

Fл=e·ЕЕ=Fле=evBe=vB

Скорость нижнего конца стержня, а значит, и скорость электронов в нем, можно найти, зная частоту вращения и длину стержня:

v=2π·n·l

C учетом этого, перепишется выражения для напряженности электрического поля:

Е=2πnlB

Индуцируемая разность потенциалов, по определению, равна:

U=Е·lU=2πnl2B=2·3,14·10-1·0,22·0,5=1,3В

Ответ: 1,3 В.

Задача на силу Лоренца №4

Условие

Какая сила действует на заряд 0,005 Кл, движущийся в магнитном поле с индукцие 0,5 Тл со скоростью 150 м/с под углом 45 градусов к вектору магнитной индукции?

Решение

Это простейшая задача на определение силы Лоренца. Вспомним формулу и запишем, что на заряд действует сила Лоренца, равная:

F=q·v·B·sinα

Подставим значения и вычислим:

F=0,005·150·0,5·22=0,26 Н

Ответ: 0,26 Н.

Задача на силу Лоренца №5

Условие

На тело с зарядом 0,8 мКл, движущееся в магнитном поле, со стороны поля действует сила, равная 32Н. Какова скорость тела, если вектор магнитного поля перпендикулярен ей?

Решение

Это классическая задача на применение формулы силы Лоренца. Так как векторы скорости и магнитной индукции перпендикулярны, можно записать:

F=qvBsinα=qvBv=FqB=320,8·10-3·2=20·103 мс

Ответ: 20000 м/с.

Проходите магнитостатику? Вам также может быть интересно:

Задачи на закон Био-Савара-Лапласа.
Задачи на теорему о циркуляции магнитного поля.

Вопросы на тему «Сила Лоренца»

Вопрос 1. Что такое сила Лоренца?

Ответ. Сила Лоренца — это сила, с которой магнитное поле действует на заряженную частицу, движущуюся в нем.

Сила Лоренца действует только на движущиеся заряды.

Вопрос 2. Как определить направление силы Лоренца?

Ответ. Направление силы Лоренца определяется по правилу левой руки:

Если левую руку расположить так, чтобы составляющая вектора

В, перпендикулярная скорости заряда, входила в ладонь, а четыре вытянутых пальца были направлены по движении положительного заряда (= против движения отрицательного заряда), то отогнутый на 90 градусов большой палец покажет направление действующей на заряд силы Лоренца.

Вопрос 3. Зависит ли сила Лоренца от знака заряда?

Ответ. Да, зависит. Для противоположных зарядов сила Лоренца будет направлена в противоположные стороны.

Вопрос 4. Совершает ли сила Лоренца работу?

Ответ. Нет. Сила Лоренца не совершает работу, т.к., являясь перпендикулярной вектору скорости частицей, может изменить лишь направление скорости, но не ее значение. Работа силы Лоренца всегда равна нулю!

Вопрос 5. По какой траектории движется частица, попадающая в магнитное поле, перпендикулярное вектору скорости?

Ответ. Частица, влетающая в магнитное поле перпендикулярно линиям магнитной индукции, будет двигаться в этом поле по окружности определенного радиуса под действием силы Лоренца.

Нужна помощь в решении задач и других заданий по учебе? Профессиональный сервис для студентов посодействует, обращайтесь в любое время!

Задачи на силу Лоренца с решением

Задачи по теме «сила Лоренца»

Задача на силу Лоренца №1

Условие

Решение

Скорость электрона можно найти из формулы кинетической энергии:

Eк=m·v22v=2Eкm

Сила Лоренца является центростремительной силой, значит, по второму закону Ньютона, можно записать:

R=m2Eктqμ0H=2Eктqμ0HFл=q2Eктμ0H

Теперь осталось только подставить значения и вычислить:

v=2·4,8·10-169,1·10-31=3,25·107 мсFл=4·3,14·10-7·465·1,6·10-19·3,25·107=3·10-15НR=2·4,8·10-16·9,1·10-314·3,14·10-7·465·1,6·10-19=0,32 м

Ответ: v=3,25·107 мс; Fл=3·10-15Н; R=0,32 м.

Задача на силу Лоренца №2

Условие

Решение

R=mvQBm=6,65·10-27 кг — масса альфа частицыQ=2e=3,2·10-19Кл — заряд альфа частицы

Момент импульса частицы относительно центра окружности найдем по формуле:

L=mvR=m2v2QB=6,65·10-272·0,35·10723,2·10-19·1=5,42·10-21кг·м2с

Ответ: 5,42·10-21 кг·м2с.

Задача на силу Лоренца №3

Условие

Решение

Fл=e·ЕЕ=Fле=evBe=vB

v=2π·n·l

C учетом этого, перепишется выражения для напряженности электрического поля:

Е=2πnlB

Индуцируемая разность потенциалов, по определению, равна:

U=Е·lU=2πnl2B=2·3,14·10-1·0,22·0,5=1,3В

Ответ: 1,3 В.

Задача на силу Лоренца №4

Условие

Решение

F=q·v·B·sinα

Подставим значения и вычислим:

F=0,005·150·0,5·22=0,26 Н

Ответ: 0,26 Н.

Задача на силу Лоренца №5

Условие

Решение

F=qvBsinα=qvBv=FqB=320,8·10-3·2=20·103 мс

Ответ: 20000 м/с.

Проходите магнитостатику? Вам также может быть интересно:

Задачи на закон Био-Савара-Лапласа.
Задачи на теорему о циркуляции магнитного поля.

Вопросы на тему «Сила Лоренца»

Вопрос 1. Что такое сила Лоренца?

Ответ. Сила Лоренца — это сила, с которой магнитное поле действует на заряженную частицу, движущуюся в нем.

Сила Лоренца действует только на движущиеся заряды.

Вопрос 2. Как определить направление силы Лоренца?

Ответ. Направление силы Лоренца определяется по правилу левой руки:

Если левую руку расположить так, чтобы составляющая вектора В, перпендикулярная скорости заряда, входила в ладонь, а четыре вытянутых пальца были направлены по движении положительного заряда (= против движения отрицательного заряда), то отогнутый на 90 градусов большой палец покажет направление действующей на заряд силы Лоренца.

Вопрос 3. Зависит ли сила Лоренца от знака заряда?

Ответ. Да, зависит. Для противоположных зарядов сила Лоренца будет направлена в противоположные стороны.

Вопрос 4. Совершает ли сила Лоренца работу?

Задачи на силу Лоренца с решением

Задачи по теме «сила Лоренца»

Задача на силу Лоренца №1

Условие

Решение

Скорость электрона можно найти из формулы кинетической энергии:

Eк=m·v22v=2Eкm

Сила Лоренца является центростремительной силой, значит, по второму закону Ньютона, можно записать:

R=m2Eктqμ0H=2Eктqμ0HFл=q2Eктμ0H

Теперь осталось только подставить значения и вычислить:

v=2·4,8·10-169,1·10-31=3,25·107 мсFл=4·3,14·10-7·465·1,6·10-19·3,25·107=3·10-15НR=2·4,8·10-16·9,1·10-314·3,14·10-7·465·1,6·10-19=0,32 м

Ответ: v=3,25·107 мс; Fл=3·10-15Н; R=0,32 м.

Задача на силу Лоренца №2

Условие

Решение

R=mvQBm=6,65·10-27 кг — масса альфа частицыQ=2e=3,2·10-19Кл — заряд альфа частицы

Момент импульса частицы относительно центра окружности найдем по формуле:

L=mvR=m2v2QB=6,65·10-272·0,35·10723,2·10-19·1=5,42·10-21кг·м2с

Ответ: 5,42·10-21 кг·м2с.

Задача на силу Лоренца №3

Условие

Решение

Fл=e·ЕЕ=Fле=evBe=vB

v=2π·n·l

C учетом этого, перепишется выражения для напряженности электрического поля:

Е=2πnlB

Индуцируемая разность потенциалов, по определению, равна:

U=Е·lU=2πnl2B=2·3,14·10-1·0,22·0,5=1,3В

Ответ: 1,3 В.

Задача на силу Лоренца №4

Условие

Решение

F=q·v·B·sinα

Подставим значения и вычислим:

F=0,005·150·0,5·22=0,26 Н

Ответ: 0,26 Н.

Задача на силу Лоренца №5

Условие

Решение

F=qvBsinα=qvBv=FqB=320,8·10-3·2=20·103 мс

Ответ: 20000 м/с.

Проходите магнитостатику? Вам также может быть интересно:

Задачи на закон Био-Савара-Лапласа.
Задачи на теорему о циркуляции магнитного поля.

Вопросы на тему «Сила Лоренца»

Вопрос 1. Что такое сила Лоренца?

Ответ. Сила Лоренца — это сила, с которой магнитное поле действует на заряженную частицу, движущуюся в нем.

Сила Лоренца действует только на движущиеся заряды.

Вопрос 2. Как определить направление силы Лоренца?

Ответ. Направление силы Лоренца определяется по правилу левой руки:

Вопрос 3. Зависит ли сила Лоренца от знака заряда?

Ответ. Да, зависит. Для противоположных зарядов сила Лоренца будет направлена в противоположные стороны.

Вопрос 4. Совершает ли сила Лоренца работу?

Сила Лоренца

«Великая книга природы

написана языком математики».

Галилео Галилей

Данная тема посвящена решению задач на силу Лоренца.

Задача 1. Протон влетает в однородное магнитное поле с начальной скоростью 20 Мм/с под углом 45º к направлению линий магнитной индукции. Найдите модуль вектора магнитной индукции этого поля, если на протон действует сила 4×10^–13 Н.

ДАНО:

СИ

РЕШЕНИЕ

Сила Лоренца определяется по формуле

Тогда модуль вектора магнитной индукции равен

Ответ: 177 мТл.

Задача 2. Электрон влетает в магнитное поле с индукцией 25 мкТл. Определите радиус кривизны траектории, по которой электрон будет двигаться, если направление его начальной скорости перпендикулярно направлению линий магнитной индукции. Начальная скорость электрона равна 630 км/с.

ДАНО:

СИ

РЕШЕНИЕ

Применим правило левой руки: если расположить левую руку так, что линии магнитной индукции входят в ладонь, а четыре пальца указывают направление скорости, то отогнутый большой палец укажет направление силы Лоренца, которая будет действовать на положительный заряд. Электрон имеет отрицательный заряд, поэтому сила Лоренца направлена в противоположную сторону.

Сила Лоренца определяется по формуле

Согласно второму закону Ньютона

Центростремительное ускорение равно отношению квадрата скорости к радиусу кривизны траектории, а синус девяноста градусов равен единице, тогда получаем, что

Тогда радиус кривизны траектории равен

Ответ: 14 см.

Задача 3. Частица влетает в однородное магнитное поле и пролетает сквозь него без изменения траектории. В каких случаях это возможно?

РЕШЕНИЕ

Траектория движения частицы не будет изменяться если сила Лоренца будет равна нулю.

Запишем формулу для определения силы Лоренца

Таким образом,

Данное произведение будет равно нулю в том случае, если один из множителей равен нулю. По условию задачи скорость и индукция поля не равны нулю. Следовательно,

При этом

Ответ: либо частица двигается параллельно линиям магнитной индукции, либо она не имеет заряда.

Задача 4. В однородном магнитном поле с индукцией 0,2 мТл по окружности движется частица. Найдите время, за которое направление скорости частицы изменится на противоположное, если заряд частицы равен 60 нКл, а масса – 2×10^–13 кг.

ДАНО:

СИ

РЕШЕНИЕ

Запишем формулу, по которой вычисляется сила Лоренца

При любом криволинейном движении тело движется с центростремительным ускорением.

Запишем второй закон Ньютона

С учётом того, что центростремительное ускорение равно отношению квадрата скорости к радиусу кривизны траектории, получим

Приравняем выражения для определения радиуса кривизны

Т.к время есть отношение пройденного пути к скорости, то

Ответ: 52 мс.

Задача 5. Протон, пройдя ускоряющую разность потенциалов 60 В, влетел в однородное магнитное поле с индукцией 5×10^–2 Тл. Считая, что протон вращается в плоскости, перпендикулярной линиям магнитной индукции, найдите радиус кривизны траектории и частоту вращения.

ДАНО:

РЕШЕНИЕ

Запишем формулу для определения силы Лоренца

При любом криволинейном движении тело двигается с центростремительным ускорением. Исходя из этого, запишем второй закон Ньютона

Любое движущееся тело обладает кинетической энергией

Работа электрического поля по переносу заряда определяется как

Именно работа электрического поля, в данном случае, переходит в кинетическую энергию протона. Поэтому получаем

Выразим скорость и подставим её в формулул для определения радиуса кривизны траектории

Частота вращения определяется по формуле

Тогда

Проверим размерности

Ответ: радиус кривизны траектории – 2,24 см; частота вращения – 760 кГц.

Решение задач по теме «Сила Лоренца» ❤️

Цель урока: формировать умения определять направление силы Лоренца и вычислять ее значение, развивать навыки логического мышления.

Ход урока

Проверка домашнего задания методом фронтального опроса

1. Какая сила называется силой Лоренца?

2. По какому правилу определяется направление силы Лоренца?

3. Получить (на доске) формулу, по которой можно определить силу Лоренца.

4. По какой причине сила Лоренца не совершает работу?

5. Как движется заряженная частица в однородном магнитном поле?

6. Что

изменяется под действием силы Лоренца?

7. Чуму равна полная сила, действующая на заряженную частицу со стороны электромагнитного поля?

8. Каким образом можно пронаблюдать за действием силы Лоренца?

9. Получить (на доске) формулу для вычисления радиуса окружности, по которой движется в магнитном поле заряженная частица.

10. Где используют в современной технике силу Лоренца?

Рассказ учащихся об устройстве кинескопа и масс – спектрографа. Оформленные в виде рефератов.

Решение вычислительных и графических задач

№ 1. Циклотрон предназначен для ускорения

протонов до энергии 5 МэВ. Определить наибольший радиус орбиты, по которой движется протон, если индукция магнитного поля 1Тл.

Дано: Wk= 5 МэВ = 5·106 ·1,6 ·10-19= 8 ·10-13Дж; B = 1 Тл; R- ?

FЛ= q V B; F= may; ay= aц= V2/R; так как F= FЛ; q V B= mV2/R; R= mV/qB; Wk =mV2/2;

V2= 2WK/m; R= QUOTE K/q B; R= 0,32 (м)

№ 2. В направлении, перпендикулярном линиям магнитной индукции влетает электрон, скорость которого 10 Мм/с. Электрон описал в магнитном поле окружность радиусом 1 см. Чему равна индукция этого магнитного поля?

Дано: α = 90˚; V= 107 м/с; r= 10-2м; В -?

Решение. r= mV/ qB; B= mV/ qr; B= 5,6·10-3Тл = 5,6 мТл

№ 3.Электрон движется в однородном магнитном поле с индукцией 4 мТл. Чему равен период обращения электрона?

Дано: В= 4·10-3Тл; q= 1,6·10-19Кл; m= 9,1·10-31кг; Т — ?

Решение. R= mV/q B; V=2πR/T; R=2πmR/TqB; T= 2π m/qB; T= 9·10-3c.

№ 4. Можно ли неизолированный провод намотав, на железный сердечник получить самодельный электромагнит? ( Ответ: нет)

№ 5. Почему магнитное действие катушки, по которой идет ток, усиливается, если в нее ввести железный сердечник?

№ 6. Почему корпус компаса делают из меди, алюминия, пластмассы и других материалов, но никогда не делают его из железа?

№ 7. Если магнит дугообразный, то гвоздь одним концом притягивается к одному полюсу, а другим – к другому. Почему?

Подведем итоги урока

Домашнее задание: § 5, 6 повторить, № 851, 847.

Магнетизм задачи с решением и примерами

Прежде чем изучать готовые решения задач по магнетизму, нужно знать теорию, поэтому для вас я подготовила краткую теорию по разделу «магнетизм в физике», и примеры решения в которых подробно решены задачи.

Эта страница подготовлена для школьников и студентов.

Если что-то непонятно — вы всегда можете написать мне в WhatsApp и я вам помогу!

Магнетизм. Определения, понятия и законы

Магнитное поле. Индукция магнитного поля (магнитная индукция)

Силовое поле, действующее на движущиеся электрические заряды, электрические токи и намагниченные тела (магниты), называется магнитным полем. В свою очередь, магнитное поле создается движущимися зарядами, токами и магнитами. Силовой характеристикой магнитного поля является вектор магнитной индукции . Понятие о векторе магнитной индукции вводится на основании следующих опытных фактов: а) ориентирующее действие магнитного поля на замкнутый плоский контур (рамку) с током, б) существование силы, действующей на проводник с током в магнитном поле, в) отклонение пучка заряженных частиц в магнитном поле.

Действие магнитного поля на рамку с током

На плоскую рамку с током, подвешенную на нити в однородном магнитном поле, действует момент сил, который стремится развернуть ее определенным образом.

Рис. 3.3.1. Выбор направления вектора магнитной индукции

Ориентирующее действие поля на рамку используется для выбора направления вектора магнитной индукции. С этой целью вводят понятие положительной нормали к рамке, которая определяется как единичный вектор, перпендикулярный плоскости рамки и направленный в сторону перемещения буравчика (винта), если вращать его по направлению тока в рамке (рис. 3.3.1). За направление вектора магнитной индукции в данной точке пространства принимается направление положительной нормали к рамке, свободно устанавливающейся в магнитном поле в окрестности данной точки. Это направление совпадает с направлением от южного полюса к северному полюсу свободно вращающейся магнитной стрелки.

Замкнутый контур площадью с током создает магнитный момент

(3.3.1)

Направление магнитного момента рамки с током, свободно устанавливающейся в магнитном поле, совпадает с направлением вектора магнитной индукции.

Линии магнитной индукции

Графически магнитное поле изображают с помощью линий магнитной индукции, которые представляют собой линии, касательные к которым направлены так же, как вектор в данной точке, а густота которых пропорциональна величине поля в данной точке. В качестве примера на рис. 3.3.2 изображены линии магнитной индукции, создаваемой постоянным магнитом. Линии магнитной индукции всегда замкнуты. Представленные на рис. 3.3.2 линии замыкаются внутри магнита.

Для вычисления магнитного поля электрического тока используют формулу Био-Савара-Лапласа. Согласно этой формуле, магнитная

Рис. 3.3.2. Линии магнитной индукции, создаваемой постоянным магнитом

индукция, создаваемая отрезком проводника длиной , по которому течет ток , равна:

(3.3.2)

где — радиус-вектор, проведенный от элемента , в точку наблюдения, — угол между векторами и — магнитная проницаемость среды, — магнитная постоянная.

Картины линий индукции магнитного поля прямого тока и соленоида

Формула (3.3.2) позволяет рассчитать магнитную индукцию , созданную проводником с током любой формы. Так, величина магнитной индукции бесконечно длинного проводника с током на расстоянии от него равна

(3.3.3)

Линии магнитной индукции представляют собой концентрические окружности в плоскостях, перпендикулярных проводнику (рис. 3.3.3). Направление магнитной индукции тока определяется правилом буравчика: если поступательное движение буравчика совпадает с направлением тока, то вращение рукоятки буравчика указывает направление магнитного поля.

Магнитное поле внутри длинного соленоида (катушки с током) вдали от его концов является однородным (рис. 3.3.4). Магнитная индукция внутри соленоида в точках, удаленных от его концов, равна

(3.3.4)

где — ток, протекающий по виткам, — число витков, — длина соленоида. Магнитное поле вне соленоида подобно магнитному полю полосового постоянного магнита (ср. с рис. 3.3.2). Конец катушки, из которого выходят линии индукции, аналогичен северному полюсу магнита; другой конец аналогичен южному магнитному полюсу. Расположение полюсов катушки и направление магнитного поля

Рис. 3.3.3. Линии магнитной индукции бесконечно длинного прямого проводника с токомРис. 3.3.4. Линии магнитной индукции соленоида

определяется по правилу буравчика: если вращать рукоятку буравчика по току, то перемещение буравчика укажет направление линий магнитной индукции.

Понятие о магнитном поле Земли

Земной шар является естественным постоянным магнитом, вокруг которого существует магнитное поле. Средняя величина магнитной индукции вблизи земной поверхности равна .

Рис. 3.3.5. Геомагнитное поле Земли

Согласно современным представлениям, основная часть магнитного поля Земли (геомагнитного поля) имеет внутриземное происхождение. Это поле создается электрическими токами, протекающими в жидком металлическом ядре планеты. На расстояниях, не превышающих ( — радиус Земли), геомагнитное поле имеет структуру, изображенную на рис. 3.3.5. Она близка к структуре магнитного поля намагниченного шара (магнитного диполя). Радиус диполя порядка , его центр отстоит от центра Земли в сторону Тихого океана примерно на 450 км, ось диполя наклонена к оси вращения Земли на угол, равный 11,5°.
Магнитные полюса Земли смещены относительно географических, причем в северном полушарии находится южный магнитный полюс с координатами 75°53′ северной широты, 100 °23′ западной долготы, а в южном полушарии — северный магнитный полюс N с координатами 66°06′ южной широты, 139°36′ восточной долготы.
Незначительная часть (около 1 %) магнитного поля, окружающего Землю, создается электрическими токами, текущими в ионосфере — ионизованной части верхней атмосферы Земли.

На расстояниях, превышающих , структура магнитного поля Земли усложняется. Совместно с солнечным ветром (потоком заряженных частиц, испускаемым Солнцем), магнитное поле Земли формирует магнитосферу — многосвязную систему электрических и магнитных полей и потоков заряженных частиц. Магнитосфера несимметрична относительно дневной и ночной стороны Земли. С дневной стороны магнитосфера сжата солнечным ветром до расстояния , с ночной стороны она образует вытянутый «хвост», простирающийся на многие миллионы километров.

Рис. 3.3.6. Движение заряженных частиц в магнитном поле Земли

Магнитное поле Земли играет роль своеобразного «щита», защищающего все живое от потоков заряженных космических частиц (космических лучей). На больших расстояниях от Земли магнитное поле невелико, но захватывает громадные области пространства. Действуя на заряженные частицы длительное время, оно существенно изменяет их траектории, отклоняя потоки частиц от Земли. На расстояниях примерно от 500 до 60 000 км заряженные частицы движутся, навиваясь на линии индукции магнитного поля Земли (рис. 3.3.6). Они совершают колебания от одного магнитного полюса к другому с периодом от 0,1 до 1 с. Эта область космического пространства называется радиационным поясом Земли.
Лишь в полярных областях небольшая часть таких частиц вторгается в верхние слои атмосферы из радиационного пояса Земли и вызывает полярные сияния.

Сила, действующая на проводник с током в магнитном поле. Закон Ампера

На проводник с током, находящийся в магнитное поле, действует сила Ампера:

(3.3.5)Рис. 3.3.7. Взаимодействие двух параллельных проводников с током

где — длина отрезка проводника с током , — угол
между направлениями отрезка проводника и вектора магнитной индукции, — проекция вектора магнитной индукции на нормаль к проводнику. Направление силы Ампера определяется правилом буравчика: рукоятку буравчика вращают от вектора к вектору , тогда направление его поступательного движения определяет направление силы , или правилом левой руки: если левую руку расположить так, чтобы перпендикулярная к проводнику составляющая вектора магнитной индукции входила в ладонь, а четыре вытянутых пальца были направлены по току, то отогнутый на 90° большой палец покажет направление действующей на участок проводника силы.

Между двумя параллельно расположенными бесконечно длинными проводниками, по которым протекают постоянные токи (рис. 3.3.7), возникает сила взаимодействия, направление и величина которой могут быть найдены из закона Ампера. Поскольку проводник с током находится в поле с индукцией , созданным проводником с током , сила Ампера направлена, как показано на рисунке. Проводники с одинаково направленными токами притягиваются, с противоположно направленными — отталкиваются. Модуль силы взаимодействия между участками единичной длины двух бесконечных параллельных проводников, расположенных на расстоянии друг от друга, равен

(3.3.6)

Действие магнитного поля на движущийся заряд. Сила Лоренца

На заряд , движущийся в магнитном поле со скоростью , действует сила Лоренца:

(3.3.7)

где — проекция вектора магнитной индукции на нормаль к скорости частицы. Направление силы Лоренца также определяется правилом левой руки или правилом буравчика.
В однородном магнитном поле, вектор индукции которого перпендикулярен скорости заряженной частицы, она движется по окружности постоянного радиуса .

(3.3.8)

где — масса частицы, — абсолютное значение ее заряда, — скорость частицы, — индукция магнитного поля. Движение частицы происходит в плоскости, перпендикулярной вектору . Сила Лоренца в этом случае играет роль центростремительной силы. Ее работа всегда равна нулю, поскольку сила Лоренца в каждый момент времени перпендикулярна вектору мгновенной скорости частицы.

Магнитные свойства вещества. Гипотеза Ампера

Магнитные взаимодействия зависят от свойств среды, в которой они происходят. Физическая величина, показывающая, во сколько раз индукция магнитного поля в однородном веществе отличается от индукции магнитного поля в вакууме, называется магнитной проницаемостью вещества:

(3.3.9)

Согласно гипотезе Ампера магнитные свойства вещества определяются замкнутыми электрическими токами внутри него. В соответствии с современными представлениями, эти токи связаны с движением электронов в атомах вещества. Каждый электрон, движущийся в атоме вокруг ядра по замкнутой орбите, представляет собой элементарный электронный ток, магнитный момент которого, называемый орбитальным магнитным моментом, перпендикулярен плоскости орбиты.

Орбитальный магнитный момент атома равен векторной сумме орбитальных магнитных моментов его электронов. Если вещество состоит из молекул, то магнитный момент молекулы является векторной суммой орбитальных магнитных моментов ее атомов. Таким образом, атомы и молекулы в общем случае имеют магнитные моменты и могут создавать магнитное поле.

Магнетиками называются вещества, способные намагничиваться во внешнем магнитном поле, т.е. создавать собственное (внутреннее) магнитное поле самого вещества. По своим свойствам магнетики подразделяются на слабомагнитные и сильномагнитные вещества. К слабомагнитным веществам относятся диамагнетики и парамагнетики. Основную группу сильномагнитных веществ составляют ферромагнетики.

Диамагнетиками называются вещества, у которых атомы или молекулы в отсутствие внешнего магнитного поля не имеют магнитных моментов. Диамагнетиками являются инертные газы, ряд металлов (золото, серебро, ртуть, цинк, медь), вода, стекло, многие органические соединения. При внесении диамагнитного вещества в магнитное поле в каждом его атоме (или молекуле) индуцируется дополнительный атомный (или молекулярный) ток с некоторым магнитным моментом. Этот ток имеет такое направление, что создаваемое им магнитное поле противоположно внешнему полю. Вектор магнитной индукции внутреннего поля направлен против внешнего поля и ослабляет его. В этом и состоит намагничивание диамагнетиков, для которых . Диамагнетизм является очень слабым эффектом. Магнитная проницаемость даже самых сильных диамагнетиков отличается от единицы не более, чем десятитысячные доли.

Атомы (или молекулы), обладающие в отсутствие внешнего поля небольшим магнитным моментом, называются парамагнитными, а состоящие из них вещества — парамагнетиками. К парамагнетикам относятся кислород, окись азота, алюминий, платина, щелочные и щелочноземельные металлы и др. В отсутствие внешнего магнитного поля тепловое движение атомов (молекул) парамагнетика препятствует возникновению упорядоченного расположения магнитных моментов отдельных атомов (молекул), и собственного магнитного поля в веществе не возникает. При внесении парамагнетика во внешнее магнитное поле атомные (молекулярные) токи стремятся расположиться так, чтобы их магнитные моменты были параллельны вектору индукции внешнего поля. Совместное действие магнитного поля и теплового движения приводит к тому, что возникает преимущественная ориентация магнитных моментов атомов (молекул) по направлению внешнего поля. В парамагнитном веществе создается собственное (внутреннее) магнитное поле, вектор индукции которого направлен одинаково с вектором индукции внешнего поля. Для парамагнетиков , но эффект парамагнетизма очень слаб; магнитная проницаемость даже для наиболее сильных парамагнетиков отличается от единицы не более, чем на тысячные доли.

Ферромагнетики

Ферромагнетиками называется группа веществ в твердом кристаллическом состоянии, обладающих магнитными свойствами, обусловленными особым взаимодействием атомных носителей магнетизма. К ферромагнетикам относятся железо, никель, кобальт, а также ряд сплавов. Ферромагнетизм объясняется квантовыми магнитными свойствами электронов. Дело в том, что электрон, независимо от его пребывания в какой-либо системе частиц (атом, молекула, кристалл), обладает собственным моментом импульса (спином) и связанным с ним собственным (спиновым) магнитным моментом. Важная особенность спина электрона состоит в том, что в магнитном поле (как внешнем, так и созданном атомными и молекулярными токами) спин может быть ориентирован так, чтобы его проекция на направление вектора магнитной индукции принимала только два значения, равные по модулю и противоположные по знаку.

В результате этого, в некоторых кристаллах, например в кристаллах железа, возникают условия для параллельной ориентации собственных магнитных моментов электронов группы атомов.

Внутри кристалла ферромагнетика образуются намагниченные области размером порядка см, в которых спины электронов параллельны. Эти самопроизвольно намагниченные области называются доменами. В отдельных доменах магнитные поля имеют различные направления и в большом кристалле взаимно компенсируют друг друга. При внесении ферромагнитного образца во внешнее магнитное поле происходит частичное упорядочение ориентации магнитных моментов отдельных доменов и результирующая магнитная индукция в веществе растет. С увеличением магнитной индукции внешнего поля степень упорядоченности доменов повышается. При некотором значении индукции внешнего поля наступает полное упорядочение ориентации доменов и возрастание магнитной индукции в веществе прекращается. Это явление называется магнитным насыщением. В состоянии насыщения магнитная проницаемость ферромагнетиков имеет очень большие значения; например, для железа , для пермаллоя (сплав никеля с железом) .

При отключении внешнего магнитного поля значительная часть доменов в ферромагнитном образце сохраняет упорядоченную ориентацию — образец становится постоянным магнитом.
Упорядоченность ориентации доменов в ферромагнетике нарушается тепловыми колебаниями атомов в кристалле. Чем выше температура, тем интенсивнее разрушается порядок в ориентации доменов, в результате чего образец размагничивается. Температура, выше которой вещество теряет свойства ферромагнетика, называется температурой Кюри. Температура Кюри у железа 770 °C, у никеля 356 °C, у кобальта 1130 °C.

Указания по решению задач

Большинство задач данного раздела связано либо с равновесием, либо с движением тел под действием различных сил, включая силу Ампера и силу Лоренца. Поэтому, наряду с законами магнетизма и электромагнитной индукции, при решении задач необходимо использовать законы механики.

Примеры решения задач

Задача №3.3.1.

Частица массой г, несущая заряд Кл, движется в плоскости, перпендикулярной однородному магнитному полю с индукцией Тл. Найти период обращения частицы Т. Силу тяжести не учитывать.

Решение:

Со стороны магнитного поля на частицу действует сила Лоренца, перпендикулярная скорости частицы и индукции .

Под действием этой силы частица совершает движение по окружности радиусом , описываемое уравнением

где — масса частицы. Учитывая, что период обращения частицы связан с ее скоростью и радиусом окружности соотношением

получаем ответ:

Задача №3.3.2.

Заряженная частица массой кг влетает со скоростью в область с постоянным и однородным магнитным полем, вектор индукции которого перпендикулярен . На какой угол отклонится частица, если область, занимаемая магнитным полем, в котором движется частица, ограничена плоскостями, перпендикулярными , расстояние между которыми ? Заряд частицы , индукция магнитного поля В = 0,01 Тл. Силу тяжести не учитывать.

Решение:

Как только частица окажется в области, занимаемой магнитным полем, на нее начнет действовать сила Лоренца, направленная перпендикулярно скорости частицы. Под действием этой силы частица будет двигаться по дуге окружности радиусом R, который легко найти из уравнения движения (см. решение задачи 3.3.1): .Из рисунка видно, что угол а, на который отклонится частица, определяется

соотношением между радиусом дуги R и длиной L области, занимаемой магнитным полем. В частности, при R > L

Если , то частица опишет в области, занимаемой полем, полуокружность, и . Таким образом, ответ к задаче может быть сформулирован следующим образом:

При числовых данных из условия задачи .

Задача №3.3.3.

Квадратная проволочная рамка может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, совпадающей с одной из ее сторон. Рамка помещена в однородное магнитное поле с индукцией , направленной вертикально. Когда по рамке течет ток , она отклоняется от вертикальной плоскости на угол . Определить индукцию магнитного поля В, если площадь сечения проволоки, из которой изготовлена рамка, , а плотность материала проволоки . Ускорение свободного падения принять .

Решение:

Силы, действующие на отдельные отрезки рамки со стороны магнитного поля (силы Ампера ), изображены на рисунке а. Видно, что отклонение рамки от вертикали вызывает сила , приложенная к нижнему горизонтальному отрезку. Сила приложена к оси, на которой вращается рамка, а силы и действуют в плоскости рамки и могут вызвать только ее деформацию.
Таким образом, рамка находится в равновесии под действием сил, изображенных на рисунке б, где — сила Ампера, — масса рамки, — длина одной из ее сторон, — сила реакции оси. Уравнение моментов относительно оси вращения рамки имеет вид:

Объединяя записанные выражения, после несложных преобразований получаем ответ:

Электромагнитная индукция. определения, понятия и законы

Опыты Фарадея. Явление электромагнитной индукции

Английский физик М. Фарадей в 1831 г. обнаружил, что при изменении магнитного поля, пронизывающего замкнутый проводящий контур, в нем возникает электрический ток. Этот ток был назван индукционным током. В своих опытах Фарадей наблюдал возникновение индукционного тока в катушке из металлической проволоки при вдвигании в нее и выдвигании из нее постоянного магнита, а также при изменении силы тока во второй катушке, магнитное поле которой пронизывает первую катушку.
Явление возникновения электрического тока в замкнутом проводящем контуре при изменениях магнитного поля, пронизывающего контур, называется электромагнитной индукцией.

Магнитный поток

Для количественного описания этого явления вводится понятие магнитного потока. Потоком магнитной индукции (магнитным потоком) через некоторую поверхность площадью называется величина

(3.4.1)Рис. 3.4.1. К вычислению потока магнитной индукции

где — угол между вектором и нормалью к поверхности (рис. 3.4.1).
Поток магнитной индукции через контур с током будет положительным, если составляющая вектора вдоль нормали к контуру совпадает с положительным направлением нормали, и отрицательным, если составляющая противоположна положительному направлению нормали.
Для любого контура положительное направление нормали связано с положительным направлением обхода контура правилом буравчика: если рукоятку буравчика вращать по направлению обхода, то перемещение буравчика укажет положительное направление нормали.

Закон электромагнитной индукции. Правило Ленца

Появление электрического тока в замкнутом контуре при изменениях магнитного поля, пронизывающего контур, свидетельствует о действии в контуре сторонних сил неэлектрической природы, или о возникновении ЭДС индукции. Опыты показывают, что направление ЭДС индукции (и, следовательно, индукционного тока) зависит от того, возрастает или убывает магнитный поток через контур, а также от знака магнитного потока. Общее правило, позволяющее определить направление индукционного тока в контуре, было установлено в 1833 г. русским физиком Э.Х. Ленцем. Согласно правилу Ленца, возникающий в замкнутом контуре индукционный ток имеет такое направление, что созданный им магнитный поток через площадь, ограниченную контуром, стремится компенсировать то изменение магнитного потока, которым вызван данный ток.
Экспериментальные исследования зависимости ЭДС индукции от характера изменения магнитного потока привели к установлению закона электромагнитной индукции’. При изменении магнитного потока через поверхность, ограниченную замкнутым контуром, в нем возникает ЭДС индукции , которая численно равна и противоположна по знаку скорости изменения магнитного потока:

(3.4.2)

где — изменение магнитного потока за время . Знак « —» отражает правило Ленца: если , то ЭДС индукции в контуре направлена против положительного направления обхода контура, если , то направление ЭДС индукции совпадает с положительным направлением обхода контура.

В Международной системе единиц закон электромагнитной индукции используют для установления единицы магнитного потока.

Эту единицу называют вебером (Вб) и определяют следующим образом: магнитный поток через площадь, ограниченную замкнутым контуром, равен 1 Вб, если при равномерном убывании этого потока до нуля за 1 с в контуре возникает ЭДС индукции 1B: 1 Вб = 1 В • 1 с.
Единицу магнитной индукции устанавливают на основе соотношения (3.4.1). Если вектор перпендикулярен поверхности S, то Ф = BS. Отсюда магнитная индукция равна единице, если она создает через площадь магнитный поток 1 Вб. Эту единицу магнитной индукции называют тесла (Тл): .

ЭДС индукции возникает как в неподвижном контуре, помещенном в изменяющееся магнитное поле, так и в проводнике, движущемся в магнитном поле, которое может не меняться со временем. Значение ЭДС индукции в обоих случаях определяется законом (3.4.2), но происхождение ЭДС различно.

Если магнитное поле постоянно во времени, но магнитный поток через контур изменяется из-за движения отдельных проводников, образующих контур, то причиной возникновения ЭДС индукции является сила Лоренца, действующая на свободные заряды в движущемся проводнике. При использовании закона электромагнитной индукции в форме (3.4.2) нужно иметь в виду, что изменение магнитного потока связано с изменением площади контура. При движении незамкнутого проводника в магнитном поле, на концах проводника также возникает ЭДС индукции, величина которой определяется магнитным потоком через площадь, «заметаемую» проводником в единицу времени. В частности, при движении в магнитном поле прямолинейного проводника длиной со скоростью , перпендикулярной проводнику, ЭДС индукции на концах проводника равна

(3.4.3)

где — проекция вектора магнитной индукции на направление, перпендикулярное скорости движения проводника.

Вихревое электрическое поле

Физической причиной возникновения ЭДС индукции в неподвижном контуре является действие вихревого электрического поля, всегда возникающего в пространстве при изменении магнитного поля. Работа вихревого электрического поля по перемещению единичного заряда в проводнике и представляет собой ЭДС индукции.
Вихревое электрическое поле отличается от электростатического (кулоновского) поля тем, что оно создается не электрическими зарядами, а переменным магнитным полем, причем его силовые линии замкнуты сами на себя, а не начинаются и заканчиваются на зарядах, как в случае кулоновского поля. Работа вихревого электрического поля при перемещении заряда по замкнутой траектории отлична от нуля.

Самоиндукция. Индуктивность. ЭДС самоиндукции

Если магнитное поле вызвано током , протекающим по какому-либо контуру, то магнитный поток через поверхность, ограниченную этим контуром, пропорционален току, т. е. , где — индуктивность контура, которая зависит от его формы и размеров и от магнитных свойств окружающей среды. При изменении магнитного потока через контур вследствие изменения тока, протекающего по этому контуру, в нем возникает ЭДС самоиндукции

(3.4.4)

Единица индуктивности в СИ называется генри (Гн). Индуктивность контура равна 1 Гн, если в нем при изменении силы тока на 1 А за 1 с возникает ЭДС самоиндукции 1 В: 1 Гн = 1 В • 1 с/1 А.

Энергия магнитного поля

Для создания тока в контуре с индуктивностью необходимо совершить работу по преодолению ЭДС самоиндукции. Собственной энергией тока называется величина, равная этой работе. Если среда, в которой находится контур, не ферромагнитна, то

(3.4.5)

Собственная энергия тока сосредоточена в магнитном поле, созданном проводником с током, причем эта энергия распределена по всему пространству, где имеется магнитное поле. Энергия однородного магнитного поля, сосредоточенного в объеме изотропной и неферромагнитной среды,

(3.4.6)

Объемной плотностью энергии магнитного поля называется энергия, заключенная в единице объема поля

(3.4.7)

Это выражение справедливо не только для однородного поля, но и для произвольных, в том числе неоднородных в пространстве и переменных во времени магнитных полей.

Примеры решения задач

Задача №3.4.1.

Замкнутый проводник в виде прямоугольной трапеции находится в магнитном поле с индукцией Тл, направленной перпендикулярно плоскости трапеции от нас. Сопротивление единицы длины проводника Ом/м. Найти величину и направление тока , текущего в проводнике при равномерном уменьшении поля до нуля в течение . Размеры отрезков проводника .

Решение:

Для определения направления ЭДС индукции выберем нормаль к плоскости контура, совпадающую по направлению с магнитным полем (от нас). Тогда магнитный поток через контур будет положительным. Выбранной нормали соответствует направление обхода контура по часовой стрелке. Поскольку поле убывает со временем, изменение магнитного потока отрицательно: . Из закона электромагнитной индукции

вытекает, что ЭДС индукции положительна, т.е. направлена по часовой стрелке. Туда же будет направлен и индукционный ток. Величина тока определяется отношением ЭДС индукции и сопротивления проводника . Здесь — площадь трапеции, а — ее периметр. Окончательно получаем:

Ток течет по часовой стрелке.

Задача №3.4.2.

Катушка из одинаковых витков с площадью присоединена к баллистическому гальванометру. Вначале катушка находилась между полюсами магнита в однородном магнитном поле с индукцией , параллельной оси катушки. Затем катушку переместили в пространство, где магнитное поле отсутствует. Какое количество электричества протекло через гальванометр? Сопротивление всей цепи .

Решение:

Магнитный поток, пронизывающий катушку в начальный момент, равен . Пусть катушка удаляется из магнитного поля за время . Поскольку изменение магнитного потока за это время , величина ЭДС индукции . Ток в цепи , протекший за время заряд Это количество электричества и будет зарегистрировано баллистическим гальванометром, который измеряет прошедший через него заряд.

Задача №3.4.3.

При равномерном изменении силы тока через проволочную катушку в ней возникает ЭДС самоиндукции Е = 10 В. Катушка содержит N = 1000 витков. Какой заряд q протечет за время = 0,05 с через замкнутый проволочный виток, надетый на катушку так, что его плоскость перпендикулярна оси катушки? Сопротивление витка R = 0,2 Ом.

Решение:

Величина ЭДС самоиндукции равна , где — индуктивность катушки. Поскольку пропорционально числу витков катушки, индуктивность одного витка . Поэтому индукционный ток в витке . Заряд, протекший через виток за время .

Задача №3.4.4.

По двум вертикальным проводящим рейкам АВ и CD (см. рисунок), находящимся на расстоянии и соединенным сопротивлением R, под действием силы тяжести начинает скользить проводник, длина которого и масса . Система находится в однородном магнитном поле, индукция которого перпендикулярна плоскости рисунка. Какова установившаяся скорость v движения проводника, если сопротивлением самого проводника и реек, а также трением можно пренебречь? Ускорение свободного падения .

Решение:

Предоставленный самому себе проводник начнет под действием силы тяжести двигаться вниз. В результате этого возникнет изменение магнитного потока через контур, образованный рейками, резистором и проводником, и, как следствие, ЭДС индукции и индукционный ток в контуре. Этот ток, протекая по подвижному проводнику, приведет к появлению силы Ампера , которая, как нетрудно убедиться, будет направлена против скорости проводника. Таким образом, уравнение движения проводника запишется следующим образом:

Учитывая, что , а , где — ЭДС индукции, находим, что величина силы Ампера пропорциональна скорости проводника :

Движение проводника установится, т.е. ускорение проводника обратится в ноль, когда сила Ампера сравняется по величине с силой тяжести. Объединяя записанные выражения, находим, что скорость установившегося движения .

Задача №3.4.5.

В магнитном поле с индукцией = 1 Тл, направленной вертикально вниз, по горизонтальным рельсам равномерно движется проводящий стержень длины = 0,4 м со скоростью = 5 м/с. Концы рельсов присоединены к батарее с ЭДС = 10, 1 В и внутренним сопротивлением = 0, 1 Ом. Какое количество теплоты выделится в стержне за время = 10 с, если его сопротивление = 10 Ом? Сопротивлением рельсов и соединительных проводов пренебречь.

Решение:

При движении стержня возникает ЭДС индукции = , направление которой, как нетрудно убедиться, при конкретных условиях задачи противоположно направлению ЭДС источника. По закону Ома для полной цепи индукционный ток

Количество теплоты, выделяющееся в стержне за время . Объединяя записанные выражения, получаем ответ:

Задача №3.4.6.

Прямоугольный контур .4ВСР перемещается поступательно с постоянной скоростью v в магнитном поле тока , текущего по длинному прямому проводу ОО’. Стороны AD и ВС параллельны проводу. Определить величину и направление тока, индуцированного в контуре в тот момент, когда сторона AD находится на расстоянии от провода. AD = ВС = а, АВ = DC = b. Сопротивление контура R.

Решение:

Линии магнитной индукции, создаваемой током , текущим в проводе ОО’, представляют собой концентрические окружности, охватывающие этот провод. Следовательно, магнитная индукция перпендикулярна плоскости контура и в занимаемой им области направлена от нас. Величина магнитной индукции в окрестности отрезков контура AD и ВС равна, соответственно:

При движении контура со скоростью на концах отрезков A.D и ВС возникает ЭДС индукции, обусловленная действием силы Лоренца на свободные заряды в движущихся проводниках. Направления сил Лоренца в обоих отрезках одинаковы: от D к А и от С к В, а величины создаваемых ими ЭДС индукции различны:

Очевидно, что , поэтому суммарная работа сил Лоренца положительна при обходе контура по часовой стрелке. В этом же направлении будет течь индукционный ток, величина которого

Объединяя записанные выражения, получаем ответ:

Задача №3.4.7.

По двум металлическим параллельным рейкам, расположенным в горизонтальной плоскости к замкнутым на конденсатор , может без трения двигаться проводник массой и длиной . Вся система находится в однородном магнитном поле с индукцией , направленной вверх. К середине проводника перпендикулярно ему и параллельно рейкам приложена сила . Определить ускорение подвижного проводника. Сопротивлением реек и подводящих проводов пренебречь. В начальный момент скорость проводника равна нулю.

Решение:

При движении проводника в контуре возникает ЭДС индукции Е, которая в каждый момент времени равна напряжению на конденсаторе , где — заряд конденсатора. Индукционный ток в контуре с одной стороны заряжает конденсатор, с другой — приводит к появлению силы Ампера, действующей на проводник в направлении, противоположном силе . Следовательно, уравнение движения проводника (второй закон Ньютона) имеет вид:

Поскольку , ток в контуре . Здесь точкой обозначена производная по времени и учтено, что ускорение проводника . Объединяя записанные выражения, получаем ответ:

Задача №3.4.8.

Катушка индуктивностью с сопротивлением обмотки = 2 Ом подключена параллельно с резистором сопротивлением = 8 Ом к источнику с ЭДС = 6 В и внутренним сопротивлением = 0,2 Ом. Какое количество тепла выделится в сопротивлении после отключения источника?

Решение:

При замкнутом ключе через источник течет ток
Этот ток разветвляется на два тока и , протекающих, соответственно, через катушку и резистор и удовлетворяющих системе уравнений:

Отсюда

После отключения источника (размыкания ключа) возникающая в катушке ЭДС самоиндукции будет какое-то время поддерживать в цепи, образованной катушкой и резистором , ток

При этом полная мощность , выделяющаяся в этой цепи, распределится между катушкой и резистором пропорционально их сопротивлениям:

Следовательно, мощность, выделяющаяся на резисторе, составляет от полной мощности, выделяющейся в этой цепи, следующую долю:

Поскольку данное отношение мощностей не зависит от времени, очевидно, что такую же долю составит и энергия, выделившаяся на резисторе за время существования ЭДС самоиндукции, от полной энергии, выделившейся в цепи. В свою очередь, полная выделившаяся энергия равна энергии магнитного поля в катушке в момент отключения источника. Таким образом, количество тепла, выделившегося на резисторе после отключения источника, равно:

Подставляя в это равенство найденный ранее ток через катушку, получаем ответ:

Возможно эти дополнительные страницы вам будут полезны:

Сила Лоренца 1

В статье представлены “начальные” задачи: самые простые, для того, чтобы “попробовать” тему. Более продвинутые задачи вы найдете в этой же рубрике.

Задача 1. Точечный заряд Кл влетает со скоростью м/с в однородное магнитное поле (рис. 1). Вектор скорости заряда и вектор индукции магнитного поля взаимно перпендикулярны. Найти величину и направление силы, действующей на заряд. Индукция магнитного поля Тл.

К задаче 1

По формуле вычисляем:

Ответ: 0,1 мН

Задача 2. Точечный заряд Кл влетает со скоростью м/с в однородное магнитное поле. На заряд действует сила Н, направленная вертикально вверх (рис. к задаче 2 ). Определить модуль и направление индукции магнитного поля.

К задаче 2

По формуле вычисляем:

Направление определяем с помощью левой руки: расположим руку так, чтобы большой палец совпадал с вектором силы, а остальные пальцы – с направлением полета частицы. Вектор магнитной индукции втыкался бы прямо нам в ладонь, будь частица положительно заряженная, но, так как заряд частицы отрицателен, то и выберем противоположное направление.

Ответ: 1,25 Тл, направлена из плоскости рисунка на наблюдателя.

Задача 3. Точечный заряд Кл влетает со скоростью м/с в однородное магнитное поле с индукцией Тл. Векторы скорости и магнитной индукции составляют угол (рис. к задаче 3). Определить модуль и направление силы, действующей на заряд.

К задаче 3

По формуле вычисляем:

Направление определяем с помощью левой руки: расположим руку так, чтобы пальцы указывали направление полета частицы (так как она положительно заряжена). Вектор магнитной индукции должен при этом втыкаться прямо нам в ладонь. Так как частица положительно заряженная, то выберем направление, которое указывает большой палец.

Ответ: 0,141 мН
Задача 4. Протон движется со скоростью м/с перпендикулярно однородному магнитному полю с индукцией Тл. Найти силу, действующую на протон, и радиус окружности, по которой он движется.

Силу определим по формуле:

Теперь определим радиус. Сила все время направлена перпендикулярно скорости, следовательно, она и будет «заворачивать» траекторию полета частицы в окружность. Противостоять этой силе будет сила инерции, природа которой – центростремительная сила.

Тогда:

Ответ: , см.
Задача 5. Электрон описывает в магнитном поле окружность радиусом мм. Скорость электрона м/с. Найти индукцию магнитного поля.

Как и в предыдущей задаче, приравниваем силу Лоренца и силу инерции (центростремительную):

Ответ: 5 мТл.

Сила Лоренца: решенные примеры задач

1. Сила, действующая на движущийся заряд в магнитном поле:

Решенные примеры задач

ПРИМЕР 3.20

Частица заряда q движется вдоль положительного направления y в магнитном поле. Вычислите силу Лоренца, испытываемую частицей (a), когда магнитное поле направлено вдоль положительного направления y (b), когда магнитное поле указывает в положительном направлении z — (c), когда магнитное поле находится в плоскости zy и составляет угол θ со скоростью частицы.Отметьте направление магнитной силы в каждом случае.

Решение

Скорость частицы

(a) Магнитное поле направлено в положительном направлении y, это означает,

Из силы Лоренца,

Таким образом, на частицу не действует сила, когда она движется. направление магнитного поля.

(b) Магнитное поле направлено в положительном направлении z, это означает, что

Из силы Лоренца,

Следовательно, величина силы Лоренца равна qvB, а направление — положительное направление x.

Исходя из силы Лоренца,

ПРИМЕР 3.21

Вычислить совершенная работа и мощность, передаваемая силой Лоренца частице заряда q, движущейся со скоростью. Рассчитайте угол между силой Лоренца и скоростью заряженной частицы, а также интерпретируйте результат.

Решение

Для заряженной частицы, движущейся в магнитном поле,

Работа, выполняемая магнитным полем, равна

Так как перпендикулярно и, следовательно, это означает, что сила Лоренца не действует на частицу. .Из рабочей теоремы о кинетической энергии (см. Раздел 4-й главы XI-го стандартного тома I)

Т.к., и перпендикулярны друг другу. Угол между силой Лоренца и скоростью заряженной частицы составляет 90º. Таким образом, сила Лоренца изменяет направление скорости, но не величину скорости. Следовательно, сила Лоренца не работает, а также не изменяет кинетическую энергию частицы.

2. Движение заряженной частицы в однородном магнитном поле:

Решенный пример задачи

ПРИМЕР 3.22

Электрон, движущийся перпендикулярно однородному магнитному полю 0,500 Тл, совершает круговое движение радиусом 2,80 мм. Какая скорость электрона?

Раствор

Заряд электрона q = -1,60 × 10-19 Кл

⟹ | q | = 1,60 × 10−19 C

Величина магнитного поля B = 0,500 Тл

Масса электрона, м = 9,11 × 10-31 кг

Радиус орбиты, r = 2,50 мм = 2,50 × 10-3 м

Скорость электрона, v = | q | рБ / м

v = 2.195 × 108 м с − 1

ПРИМЕР 3.23

Протон движется в однородном магнитном поле силой 0,500 Тл. Магнитное поле направлено вдоль оси x. В начальный момент времени t = 0 с протон имеет скорость. Найдите

(а) Каково ускорение протона в начальный момент времени.

(b) Траектория круглая или винтовая ?. Если спиральная, рассчитайте радиус спиральной траектории, а также вычислите шаг спирали (Примечание: шаг спирали — это расстояние, пройденное вдоль оси спирали за один оборот).

Решение

Шаг спирали — это расстояние, пройденное по оси x за время T, которое равно P = vx T

Но время,

Протон испытывает заметное ускорение в магнитном поле. , следовательно, шаг спирали почти в шесть раз больше ее радиуса.

ПРИМЕР 3.24

Два однократно ионизированных изотопа урана 23592U и 23892U (изотопы имеют одинаковый атомный номер, но разное массовое число) отправляются со скоростью 1.00 × 105 м / с в нормальном магнитном поле напряженностью 0,500 Тл. Вычислите расстояние между двумя изотопами после того, как они сделают полукруг. Также вычислите время, необходимое каждому изотопу, чтобы пройти один полукруглый путь. (Дано: массы изотопов: m235 = 3,90 x 10-25 кг и m238 = 3,95 x 10-25 кг)

Раствор

Поскольку изотопы ионизируются однократно, они имеют одинаковый заряд, равный заряду электрона q = — 1,6 · 10-19 Кл. Масса урана 23592U и 23892U равна 3.90 × 10-25 кг и 3,95 × 10-25 кг соответственно. Приложенное магнитное поле, B = 0,500 Т. Скорость электрона составляет 1,00 × 105 м / с, тогда

(а) радиус пути 23592U равен r235

Диаметр полукруга из-за до 23892U составляет d238 = 2r238 = 98,8 см

Следовательно, расстояние между изотопами составляет Δd = d238 — d235 = 1,2 см

(b) Время, необходимое каждому изотопу для прохождения одного полукруглого пути, составляет

Обратите внимание, что даже несмотря на то, что разница между массами двух изотопов очень мала, такое расположение помогает нам преобразовать эту небольшую разницу в легко измеримое расстояние разделения.Такое устройство известно как масс-спектрометр. Масс-спектрометр используется во многих областях науки, особенно в медицине, космической науке, геологии и т. Д. Например, в медицине анестезиологи используют его для измерения дыхательных газов, а биологи используют его для определения механизмов реакции в фотосинтезе.

3. Движение заряженной частицы под скрещенными электрическим и магнитным полями (селектор скорости):

Решенный пример задачи

ПРИМЕР 3.25

Пусть E будет электрическим полем величиной 6.0 × 106 Н C-1 и B — величина магнитного поля 0,83 Тл. Предположим, что электрон ускоряется с потенциалом 200 В, покажет ли он нулевое отклонение ?. Если нет, то при каком потенциале он покажет нулевой прогиб.

Решение:

Электрическое поле, E = 6,0 × 106 Н C-1 и магнитное поле, B = 0,83 Т.

Тогда

Когда электрон движется с этой скоростью, он показывает нулевое отклонение. Поскольку ускоряющий потенциал составляет 200 В, электрон приобретает кинетическую энергию из-за этого ускоряющего потенциала.Следовательно,

Поскольку масса электрона m = 9,1 × 10−31 кг и заряд электрона | q | = e = 1,6 × 10−19 C. Скорость за счет ускоряющего потенциала 200 В

Поскольку скорость v200> v, электрон отклоняется в направлении силы Лоренца. Итак, чтобы иметь нулевое отклонение, потенциал, который мы должны предоставить, равен

В = 148 65 В

4. Циклотрон:

Решенные примерные задачи

ПРИМЕР 3.26

Предположим, что циклотрон работает для ускорения протонов с магнитным полем силой 1 Тл. Вычислите частоту, с которой электрическое поле между двумя Ди может быть изменено на противоположное.

Раствор

Магнитное поле B = 1 Тл

Масса протона, mp = 1,67 × 10−27 кг

Заряд протона, q = 1,60 × 10−19 C

5. Сила на проводнике с током, помещенном в магнитное поле:

Решенные задачи примера

ПРИМЕР 3.27

Металлический стержень с линейной плотностью 0,25 кг м-1 лежит горизонтально на гладкой наклонной плоскости, составляющей угол 45º с горизонтом. Стержень не может скользить вниз, пропуская через него ток, когда на него действует магнитное поле силой 0,25 Тл в вертикальном направлении. Рассчитайте электрический ток, протекающий в стержне, чтобы он оставался неподвижным.

Решение

Линейная плотность стержня, т.е. масса на единицу длины стержня равна 0.25 кг м-1

⇒ м / л = 0,25 кг м − 1

Пусть I будет током, протекающим в металлическом стержне. Направление электрического тока — внутрь бумаги. Направление магнитной силы IB1 задается правилом левой руки Флеминга.

Для равновесия,

мг sin 45º = IBl cos 45 º

⇒ I = I / B м / л g tan 45 º

⇒ I =

Итак, нам нужно подать ток 9.8 А, чтобы металлический стержень оставался неподвижным.

домашних заданий и упражнений — Движение частиц под действием силы Лоренца

Вы ошиблись в кросс-продуктовом бизнесе. Перекрестное произведение — это векторная операция: она отображает два вектора в третий вектор. Однако вы, кажется, воображаете, что в ваших трех уравнениях для $ F_x $, $ F_y $ и $ F_z $ есть перекрестное произведение, но они не могут, потому что эти уравнения содержат только скаляры.

Уравнение Лоренца в таком виде

$$ \ vec {F} = q (\ vec {E} + \ vec {v} \ times \ vec {B}) $$

содержит перекрестное произведение между $ \ vec {v} = (v_x, v_y, v_z) $ и $ \ vec {B} = (0, 0, B_z) $.Вы не можете использовать перекрестное произведение между $ v_x $ и $ B_z $, потому что это скалярные компоненты вектора, а не сами векторы.

Вместо этого вы хотите разделить это векторное уравнение Лоренца на три скалярных уравнения. Для этого вам нужно понять, как вычислить перекрестное произведение: $$ \ vec {v} \ times \ vec {B} = \ left (\ begin {matrix} v_y B_z — v_z B_y \\ v_z B_x — v_x B_z \\ v_x B_y — v_y B_x \\ \ end {matrix} \ right) $$

Это можно значительно упростить, поскольку мы знаем, что магнитное поле полностью направлено по оси z:

$$ \ vec {B} = \ left (\ begin {matrix} 0 \\ 0 \\ B_z \\ \ end {matrix} \ right) $$

, поэтому $ B_x = 0 $ и $ B_y = 0 $.Следовательно, $$ \ vec {v} \ times \ vec {B} = \ left (\ begin {matrix} v_y B_z \\ — v_x B_z \\ 0 \\ \ end {matrix} \ right) $$

Теперь мы можем создать наше полное векторное уравнение Лоренца:

$$ \ left (\ begin {matrix} F_x \\ F_y \\ F_z \\ \ end {matrix} \ right) = q \ left [\ left (\ begin {matrix} 0 \\ E_y \\ 0 \\ \ end {matrix} \ right) + \ left (\ begin {matrix} v_y B_z \\ — v_x B_z \\ 0 \\ \ end {matrix} \ right) \ right] $$

Теперь мы можем разделить это уравнение на три уравнения, по одному для каждого компонента:

$$ F_x = q v_y B_z $$ $$ F_y = q (E_y — v_x B_z) $$ $$ F_z = 0 $$

Теперь вы можете применить 2-й закон Ньютона, чтобы фактически создать уравнения движения; в векторной форме,

$$ \ left (\ begin {matrix} F_x \\ F_y \\ F_z \\ \ end {matrix} \ right) = m \ left (\ begin {matrix} а_х \\ а_у \\ a_z \\ \ end {matrix} \ right) = m \ frac {d} {dt} \ left (\ begin {matrix} v_x \\ v_y \\ v_z \\ \ end {matrix} \ right) $$

Объединяя это с нашими компонентными уравнениями Лоренца,

$$ m \ frac {dv_x} {dt} = q v_y B_z $$ $$ m \ frac {dv_y} {dt} = q (E_y — v_x B_z) $$ $$ m \ frac {dv_z} {dt} = 0 $$

Это система уравнений, которую можно интегрировать с помощью некоторых дальнейших алгебраических и математических манипуляций в сочетании друг с другом!

Добавление — обозначение в вашей попытке сбивает с толку — предполагается ли, что $ V_0x $ является начальной скоростью в направлении x? Если да, то это должен быть $ v_x (t) $, а не $ v_ {0x} $, поскольку вы хотите вычислить движение во времени, а не только в начале.После того, как вы решили для движения, вы должны использовать вашу начальную скорость в качестве начального условия для интегрирования:

$$ \ vec {v} (t = 0) = \ left (\ begin {matrix} v_0 \\ 0 \\ 0 \\ \ end {matrix} \ right) $$

Примечание: я знаю, что вы сказали установить заряд и массу равными единице, но это кажется пустой тратой совершенно хорошего вывода, чтобы добраться до конца и не иметь возможности сказать, как заряд и масса влияют на движение. Я надеюсь, что нехватка чернил будет быстро решена, где бы ни жил ваш профессор.

3.1: Преобразование Лоренца и сила Лоренца

Основное значение алгебры Паули состоит в том, чтобы предоставить нам ступеньку для теории спинорных пространств, к которой мы обратимся в разделе 5. Тем не менее, полезно остановиться на этом, чтобы показать что уже разработанный формализм предоставляет нам эффективную основу для ограниченных, но важных аспектов классической электродианмики (CED).

На странице 26 мы видели, что влияние электрического поля на пробный заряд, «ускорение», можно рассматривать как активное преобразование Лоренца, в соответствии с которым поле пропорционально «гиперболической угловой скорости \ (\ dot {μ} \).”

Это аналогично хорошо известной связи между магнитным полем и циклотронной частотой, то есть «круговой угловой скоростью» \ (\ dot {\ phi} \). Эти результаты были получены в особых условиях. Алгебра Паули хорошо подходит, чтобы сформулировать их в гораздо большей общности.

Тесная связь между алгеброй группы Лоренца и алгеброй электромагнитного поля хорошо известна. Однако вместо того, чтобы развивать две алгебры по отдельности и отмечать изоморфизм результатов, мы используем математические свойства группы Лоренца, развитые в разделе 3, и переводим их на язык электродинамики.Определение электромагнитного поля, подразумеваемое этой процедурой, является, конечно, гипотетическим, и мы обращаемся к опыту, чтобы установить его масштабы и пределы. Правильное понимание ограниченности этой концепции особенно важно, поскольку она служит для определения направления для углубления теории. Стандартное рабочее определение электромагнитного поля предполагает использование испытательного заряда. Соответственно, мы предполагаем существование частиц, которые могут действовать в таком качестве.Частица должна нести заряд e, постоянную массу покоя m, и действие поля, действующего в течение времени dt, должно проявляться в изменении только 4-импульса, без каких-либо изменений внутренней структуры.

Это означает, что поле имеет достаточно низкую частоту в системе покоя частицы, чтобы не влиять на ее внутреннюю структуру. Это согласуется с уже упомянутым временным исключением радиационного взаимодействия.

Пусть испытательный заряд подвергнется воздействию электромагнитного поля в течение небольшого времени dt.Мы предлагаем описать результирующее изменение четырехимпульса \ (P \ rightarrow P ‘= P + dP \) как бесконечно малое преобразование Лоренца. В этой предварительной форме утверждение может показаться тривиальным, поскольку оно справедливо для любой силы, не влияющей на внутреннюю структуру, например, для комбинации сил гравитации и трения. Чтобы конкретно охарактеризовать силу Лоренца, мы должны добавить, что характеристика поля не зависит от четырех импульсов пробного заряда, более того, она не зависит от системы отсчета наблюдателя.Формально эти условия можно выразить следующим образом.

Постулат 1

Действие силы Лоренца на частицу (пробный заряд) представлено как преобразование четырехимпульсного пространства частицы в себя, причем преобразования являются элементами активной группы Лоренца. Более того, представления матриц в разных фреймах Лоренца связаны преобразованиями подобия. (См. Раздел 2.4.4.)

Теперь перейдем к демонстрации того, что этот постулат влечет известные свойства силы Лоренца.

Во-первых, мы показываем, что бесконечно малое преобразование Лоренца действительно сводится к силе Лоренца, если мы устанавливаем «словарь» между параметрами преобразования и электромагнитным полем (см. Ниже уравнение \ ref {EQ3.1.12}). Рассмотрим чистое преобразование Лоренца вдоль \ (\ hat {h} \)

\ [\ begin {array} {c} {p ‘= p \ cosh \ mu + p_ {0} \ sinh \ mu} \ end {array} \]

\ [\ begin {array} {c} {p_ {0} ‘= p \ sinh \ mu + p_ {0} \ cosh \ mu} \ end {array} \]

, где \ (\ vec {p} = p \ hat {h} + \ vec {p} \) с \ (\ vec {p} \ cdot \ vec {h} = 0 \).Для бесконечно малых преобразований \ (\ mu \ rightarrow d \ mu \):

\ [\ begin {array} {c} {p’-p = p_ {0} d \ mu} \ end {array} \]

\ [\ begin {array} {c} {p_ {0} ‘- p_ {0} = pd \ mu} \ end {array} \]

или

\ [\ begin {array} {c} {\ dot {\ vec {p}} = p_ {0} \ dot {\ mu} \ hat {h}} \ end {array} \]

\ [\ begin {array} {c} {\ dot {p_ {0}} = \ vec {p} \ cdot \ hat {h} \ dot {\ mu}} \ end {array} \]

Используя

\ [\ begin {array} {c} {\ vec {p} = mc \ sinh \ mu = \ gamma m \ vec {v}} \ end {array} \ label {EQ3.1.7} \]

\ [\ begin {array} {c} {p_ {0} = mc \ cosh \ mu = \ gamma mc} \ end {array} \ label {EQ3.1.8} \]

получаем

\ [\ begin {array} {c} {\ dot {\ vec {p}} = pmc \ hat {h} \ dot {\ mu}} \ end {array} \ label {EQ3.1.9} \]

\ [\ begin {array} {c} {\ dot {p_ {0}} = pm \ frac {\ vec {v}} {c} \ cdot \ hat {h} \ dot {\ mu}} \ end {array} \]

Переходя к вращению, мы получаем из уравнения 5.8 Приложения 5 (см. Примечание на стр. 51).

\ [\ begin {array} {c} {\ vec {p} _ {\ perp} ‘= \ vec {p} _ {\ perp} \ cos \ phi + \ hat {u} \ times \ vec {p } _ {\ perp} \ sin \ phi} \ end {array} \]

Для бесконечно малого вращения \ (\ phi \ simeq d \ phi \) и с помощью уравнения \ ref {EQ3.1.7} получаем, поскольку \ (\ vec {p} _ {\ parallel} ‘= \ vec {p} _ {\ parallel} \) и \ (\ vec {p} _ {\ parallel} \ times \ hat { u} = 0 \)

\ [\ begin {array} {c} {\ vec {p} ‘- \ vec {p} = — \ vec {p} \ times \ hat {u} d \ phi = — \ gamma m \ vec {v } \ times \ hat {u} d \ phi} \ end {array} \ label {EQ3.1.12} \]

или,

\ [\ begin {array} {c} {\ dot {\ vec {p}} = — \ gamma m \ vec {v} \ times \ hat {u} d \ phi} \ end {array} \]

С определениями 2.3.28 и 2.3.29 на странице 26, написанными векторно:

\ [\ begin {array} {c} {\ vec {E} = \ frac {\ gamma mc} {e} \ dot {\ mu} \ hat {h}} \ end {array} \]

\ [\ begin {array} {c} {\ vec {B} = \ frac {- \ gamma mc} {e} \ dot {\ phi} \ hat {u}} \ end {array} \ label {EQ3 .1.15} \]

Уравнения \ ref {EQ3.1.8} и \ ref {EQ3.1.9} сводятся к уравнениям силы Лоренца.

Рассмотрим теперь бесконечно малое преобразование Лоренца, порожденное

\ [\ begin {array} {c} {V = 1+ \ frac {\ mu} {2} \ hat {h} \ cdot \ vec {\ sigma} — \ frac {i \ phi} {2} \ шляпа {u} \ cdot \ vec {\ sigma}} \ end {array} \ label {EQ3.1.16} \]

\ [\ begin {array} {c} {= 1+ \ frac {edt} {2 \ gamma mc} (\ vec {E} + i \ vec {B}) \ cdot \ vec {\ sigma}} \ конец {массив} \]

\ [\ begin {array} {c} {= 1+ \ frac {edt} {2 \ gamma mc} F} \ end {array} \ label {EQ3.1.18} \]

\ [\ begin {array} {cc} {\ vec {f} = \ vec {E} + i \ vec {B}} & {F = \ vec {f} \ cdot \ vec {\ sigma}} \ конец {массив} \]

Из уравнений \ ref {EQ3.1.15} и \ ref {EQ3.1.16} очевидно, что свойства преобразования V и F идентичны (3.1.16). Поскольку преобразование V было получено уже в разделе 2.4.4, мы можем сразу записать преобразование поля \ (\ vec {f} \). {\ dagger}} \ end {array} \]

где S унимодулярный.{2} \ vec {f} _ {\ perp} \ cdot \ vec {\ sigma}} \ end {array} \]

\ [\ begin {array} {c} {= (\ ch \ mu- \ sinh \ mu \ hat {h} \ cdot \ vec {\ sigma}) \ vec {f} _ {\ perp} \ cdot \ vec {\ sigma}} \ end {array} \]

Отсюда

\ [\ begin {array} {c} {\ vec {f} _ {\ perp} ‘= \ vec {f} _ {\ perp} \ cosh \ mu + i \ sinh \ mu \ hat {h} \ раз \ vec {f} _ {\ perp}} \ end {array} \]

\ [\ begin {array} {c} {= \ cosh \ mu (\ vec {f} _ {\ perp} + i \ tanh \ mu \ hat {h} \ times \ vec {f} _ {\ perp }} \ end {array} \]

\ [\ begin {array} {c} {= \ gamma (\ vec {f} _ {\ perp} + i \ frac {\ vec {v}} {c} \ times \ vec {f} _ {\ perp}} \ end {array} \]

, где мы использовали уравнение \ ref {EQ3.1.22}. Вставляя из уравнения \ ref {EQ3.1.16}, получаем

\ [\ begin {array} {c} {\ vec {E} _ {\ perp} ‘= \ gamma (\ vec {E} _ {\ perp} + \ frac {\ vec {v}} {c} \ times \ vec {B} _ {\ perp})} \\ {\ vec {B} _ {\ perp} ‘= \ gamma (\ vec {B} _ {\ perp} — \ frac {\ vec {v }} {c} \ times \ vec {E} _ {\ perp})} \ end {array} \ label {EQ3.1.31} \]

\ [\ begin {array} {cc} {\ vec {E} _ {\ parallel} ‘= \ vec {E} _ {\ parallel}} & {\ vec {B} _ {\ parallel}’ = \ vec {B} _ {\ parallel}} \ nonumber \ end {array} \]

Интересно сравнить две компактные формы \ ref {EQ3.{2} = 0 \)

Эти случаи могут быть связаны с классами подобия таблицы 2.2. В случае (i) F унимодулярный аксиальный, в (ii) неаксиальный сингулярный. (Поскольку F не имеет следов, две другие записи в таблице не применяются.) Сначала мы избавляемся от случая (ii). Поле, обладающее этим свойством инварианта Лоренца, называется нулевым полем. Матрица F порождает исключительное преобразование Лоренца (раздел 2.4.4). В этой конфигурации поля \ (\ vec {E} \) и \ (\ vec {B} \) перпендикулярны и имеют одинаковый размер.Это релятивистски инвариантное свойство, характерное для плоских волн, которое будет обсуждаться в разделе 3.2.

В «нормальном» случае (i) можно найти каноническую систему отсчета Лоренца, в которой электрическое и магнитное поля расположены вдоль одной линии, они параллельны или антипараллельны. Винт Лоренца соответствует гаечному ключу Максвелла. Он задается единичным вектором \ (\ hat {s} n \) и значениями полей в канонической рамке \ (E_ {can} \) и \ (B_ {can} \). Гаечный ключ может вырождаться can can с \ (E_ {can} = 0 \) или \ (B_ {can} = 0 \).{2} \ sin 2 \ psi} \ end {array} \]

Отсюда получается

\ [\ begin {array} {c} {E_ {can} = g \ cos \ psi} \ end {array} \]

\ [\ begin {array} {c} {B_ {can} = g \ sin \ psi} \ end {array} \]

Инвариантность поля определяется соотношением

\ [\ begin {array} {c} {\ frac {B_ {can}} {E_ {can}} = \ tan \ psi} \ end {array} \]

, который Synge назвал его питчем (op. Cit. P. 333), который обсудил проблему канонических рамок электромагнитного поля стандартным тензорным методом.

Определение высоты звука в задаче № 8 является обратным тому, что дано здесь, и должно быть изменено, чтобы соответствовать формуле. (20)

Закон силы Лоренца — обзор

1.2 Фундаментальные и конститутивные модели

Хотя четкой разделительной линии нет, математические модели физических явлений бывают двух основных типов: фундаментальные и конститутивные. Фундаментальные модели выводятся с верностью физическим законам; например, сохранение массы, сохранение количества движения, законы электромагнетизма или законы гравитации.Конститутивные модели имитируют физические законы с упрощающими предположениями, которые согласуются с экспериментом или наблюдениями в некотором ограниченном диапазоне приложений.

Как упоминалось ранее, законы Ньютона на самом деле не являются законами природы, но они настолько широко применимы, что почти для всей практической науки их можно считать фундаментальными. Таким образом, модель Ньютона для движения двух массивных тел считается фундаментальной моделью; он выводится из двух законов природы: второго закона Ньютона и его закона всемирного тяготения.

Читатель может задаться вопросом о действительно фундаментальных моделях задачи двух тел. Есть по крайней мере три важных случая: движение двух массивных тел, движение двух заряженных частиц и движение двух массивных заряженных частиц. Фундаментальные модели будут использовать теорию гравитации Эйнштейна (общая теория реальности) или законы электродинамики Максвелла и закон силы Лоренца. Не говоря уже о квантовой природе реальности. Никто не знает, как записывать такие модели в манере, открытой для математического анализа.Таким образом, эти проблемы — как на самом деле движутся две массивные или заряженные частицы согласно фундаментальной физике — не решены. Сложность применения фундаментальной физики к реалистичным ситуациям — одна из причин, почему действительно фундаментальные модели редко используются на практике.

Наиболее полезные модели используют конституционные законы. Знакомый пример — это обычная модель движения массы, прикрепленной к свободному концу пружины. Пусть м обозначает массу, а x смещение пружины из положения равновесия.Второй закон Ньютона гласит, что md ² x / dt ² = F , где F — это сумма сил, действующих на массу. Хотя полная сила может содержать гравитационное слагаемое, наиболее важным слагаемым является возвращающая сила пружины. На фундаментальном уровне эта сила является электромагнитной и включает атомную структуру материала пружины. Возвращающая сила никогда не моделируется с помощью закона силы Лоренца и уравнений электромагнетизма Максвелла; вместо этого модели строятся на основе конститутивного (также называемого феноменологическим) закона Гука: величина возвращающей силы пружины пропорциональна ее смещению от равновесия и действует в направлении, противоположном смещению.Закон Гука не является фундаментальным законом природы. Это приводит к математической модели md ² x / dt ² = — kx , где k — константа пропорциональности в законе Гука. Эта модель, часто называемая уравнением пружины или гармоническим осциллятором, широко используется в физике и технике. Возможно, это самое важное дифференциальное уравнение в этих дисциплинах. Хотя это не является фундаментальным, предсказания модели пружины Гука очень хорошо аппроксимируют экспериментальные измерения для малых смещений.

Представьте себе природу фундаментальной модели движения пружины. Это потребовало бы, по крайней мере, связанной системы дифференциальных уравнений в частных производных для учета электромагнитной силы и, возможно, связанных уравнений движения для всех атомов в пружине. Правильно построенная модель этого типа теоретически даст более точные предсказания движения пружины. Но дополнительная сложность фундаментальной модели, безусловно, потребует сложной (возможно, еще неизвестной) математики или обширных численных вычислений (возможно, за пределами существующих компьютеров) для прогнозирования.Кроме того, фундаментальная модель, вероятно, будет зависеть от многих параметров, некоторые из которых нелегко измерить. В настоящее время никто не знает, как построить фундаментальную модель движения пружины. Современная теория упругости, включающая модель пружины Гука, основана на основных законах. Теория несовершенна, но правильно применена, предсказания, сделанные на ее основе, согласуются с экспериментальными измерениями.

За исключением теоретической физики, где целью дисциплины является определение фундаментальных законов природы, конститутивные модели повсеместно используются в науке, потому что фундаментальные законы часто слишком сложно применить.Во многих ситуациях, представляющих практический интерес, никто не знает, как построить фундаментальную модель. В других случаях, когда может быть построена фундаментальная модель, конститутивные модели обычно предпочтительнее, потому что они проще, обеспечивают понимание и часто являются достаточно близкими представлениями реальности, чтобы давать прогнозы, которые согласуются с экспериментами с точностью до текущей экспериментальной точности. Самая простая модель, которая обеспечивает понимание и согласованность экспериментов, обычно является лучшей.

Многие ученые говорят, что они понимают природное явление, которое можно измерить, если существует модель, основанная на фундаментальных или основных законах, предсказания которых всегда согласуются с экспериментальными измерениями.Другими словами, понимание в этом смысле означает, что измерения явления можно предсказать, используя теорию, которая применима в более общем смысле. Модели, полученные из закона движения Ньютона, закона всемирного тяготения или закона Гука, являются яркими примерами.

Когда конститутивная модель предсказывает поведение, которое не согласуется с физическими экспериментами, что-то следует изменить. Обычно требуется более точная модель. Например, движение пружины может не соответствовать модели Гука с высокой точностью при тщательных измерениях.Возможно, нелинейная модель вида mx¨ = −kx − ℓx3, которая обобщает закон Гука, включая нелинейные эффекты, или одну из форм mx¨ + ϵx. = — kx − ℓx3, которая учитывает диссипацию энергии, также называемую затуханием, было бы точнее. Возможно, масса на пружине движется в воздухе слишком быстро, чтобы вязкое демпфирование было достаточно точным. Вместо этого рассеяние энергии можно было бы лучше смоделировать с помощью выражения вида ϵx. + Δ | x. | X .. Включение таких модификаций для повышения точности не означает кризиса в физике; скорее, процесс — это процесс уточнения основных законов.Иначе обстоит дело, если прогноз, сделанный на основе фундаментальной модели, не согласуется с экспериментом. Когда это происходит, — это кризис в физике; новое понимание фундаментальной физики требуется для построения моделей, согласующихся с природой. Уже упоминавшийся классический пример — второй закон Ньютона mx¨ = Fx. Этот закон не является фундаментальным: он просто не согласуется с экспериментами, когда скорость частицы с положением x близка к скорости света c .Новый, более фундаментальный закон (впервые данный Лоренцем и Эйнштейном при разработке специальной теории относительности):

ddtmx.1 − x.2 / c2 = Fx.

Когда модели движения электронов в атомах, основанные на физике Ньютона, не соответствовали экспериментам, была открыта квантовая механика и так далее.

Математические модели никогда не являются точным отображением природы. Чтобы быть полезными, им не обязательно быть верными фундаментальной физике. Действительно, создание, анализ и построение прогнозов на основе конститутивных моделей — это ядро прикладной математики и основная тема этой книги.

Оценка силы Лоренца — Digitale Bibliothek Thüringen

Разработка новых материалов, а также растущие стандарты качества и безопасности требуют неразрушающих методов оценки высокого разрешения при производстве и обслуживании. В новом методе, называемом оценкой силы Лоренца, постоянный магнит перемещается относительно проводящего образца. Благодаря этому движению внутри проводника индуцируются вихревые токи. Взаимодействие вихревых токов с магнитным полем приводит к силе Лоренца, действующей на проводник.Сила такой же величины, но в противоположном направлении действует на постоянный магнит, где и измеряется. При наличии дефекта вихревые токи возмущаются. Следовательно, возмущаются и компоненты силы Лоренца. Свойства дефекта определяются из измеренных составляющих силы Лоренца путем решения некорректной обратной задачи. Диссертация направлена на разработку нового прямого решения, сравнение различных прямых решений, разработку новых методов обратного расчета и создание метода для улучшения оценки глубины дефекта для оценки силы Лоренца.Далее было проведено качественное сравнение с классической оценкой вихревых токов. Существующие прямые решения в оценке силы Лоренца: приближенное прямое решение и более требовательный вычислительный подход с расширенной площадью сравнивались в отношении их эффективности восстановления дефектов. В качестве обратного метода использовался метод сканирования целевой функции, чтобы напрямую сравнить влияние обоих прямых решений на результат восстановления дефекта, избегая смещения параметров настройки обратных методов.Использование подхода расширенной площади в качестве прямого решения дало более точные оценки глубины дефекта и протяженности по сравнению с приближенным прямым решением. Однако оба прямых решения ограничиваются дефектами регулярной геометрии. Таким образом, было разработано новое прямое решение, называемое подходом с одним вокселем. Он основан на суперпозиции сигналов силовых возмущений мелких элементарных дефектов. Для численного моделирования различных размеров, глубины и формы дефектов новое прямое решение показало наименьшее отклонение по сравнению с двумя другими существующими прямыми решениями.Для восстановления свойств дефекта к данным измерения силы Лоренца алюминиевого образца применялась оценка минимальной нормы с упругой сетчатой регуляризацией. Обоснование использования упругой сетчатой регуляризации дается априорным знанием непроводящего дефекта, окруженного проводником с постоянной проводимостью. Для сравнения была применена широко используемая регуляризация Тихонова-Филлипса. С помощью обоих методов регуляризации были получены воспроизводимые и правильные оценки глубины и адекватного размера.Те же обратные методы были применены для реконструкции дефектов при измерениях вихретоковой оценки алюминиевого образца. Реконструированные дефекты были размытыми и менее устойчивыми для глубоких дефектов по сравнению с оценкой силы Лоренца. И наоборот, с помощью вихретоковой оценки стало возможным восстановление дефектов более сложной формы. В качестве другого обратного метода была введена адаптированная итерация Ландвебера для оценки силы Лоренца. Итерация Ландвебера была выбрана из-за многообещающих результатов визуализации в области электрической емкостной томографии.Адаптированная итерация Ландвебера дала адекватные оценки размера дефекта. Положения глубинных дефектов оценивались выше правильных. Оценка силы Лоренца характеризуется трудностью, заключающейся в том, что небольшой дефект вблизи поверхности образца и более крупный и более глубокий дефект генерируют аналогичные сигналы возмущения силы. Это затрудняет оценку правильной глубины дефекта. Для поддержки оценки глубины дефекта был введен новый принцип, называемый оценкой силы Лоренца в зависимости от скорости.Сигналы возмущения силы Лоренца оцениваются при высокой скорости (10 м / с) по сравнению с низкой скоростью (0,1 м / с). Изменения амплитуды и сдвиги сигналов используются для определения глубины дефекта с учетом скин-эффекта, вызванного движением. Общая осуществимость этого нового метода была показана на моделированных данных.

Die Entwicklung neuer Materialien sowie die ansteigenden Anforderungen an Qualität und Sicherheit erfordern die Entwicklung hochauflösender, zerstörungsfreier Werkstoffevaluierungsverfahren für die Produktion und Wartung.Im neuen Lorentzkraftevaluierungsverfahren wird ein Permanentmagnet relativ zu einem elektrisch leitenden Prüfkörper bewegt. Aufgrund der Bewegung werden Wirbelströme im Prüfkörper Industziert. Die Wechselwirkung der Wirbelströme mit dem Magnetfeld führt zur Lorentzkraft, welche auf den Prüfkörper wirkt. Eine Kraft derselben Größe aber in entgegengesetzte Richtung wirkt auf den Permanentmagneten, wo sie gemessen wird. Bei Vorliegen eines Defekts sind die Wirbelstromverteilung und entsprechend die Lorentzkraft verändert.Die Defekteigenschaften werden aus den gemessenen Lorentzkraftkomponenten mittels der Lösung eines schlecht gestellten incsen Problems bestimmt. Die Ziele der Диссертация umfassen die Entwicklung einer neuen Vorwärtslösung, den Vergleich verschiedener Vorwärtslösungen, die Entwicklung neuer Inserser Verfahren sowie die Erarbeitung einer Methode zur verbesserten Defekttiefüenfbestimmm. Des Weiteren wurde ein qualitativer Vergleich mit der klassischen Wirbelstromevaluierung umgesetzt.Die existierenden Vorwärtslösungen für die Lorentzkraftevaluierung: «Приблизительное перспективное решение» и «Расширенный территориальный подход» wurden hinsichtlich der Defektrekonstruktionsgüte verglichen. Es wurde ein Zielfunktionsscanningverfahren angewandt um den Einfluss der beiden Vorwärtslösungen direkt zu vergleichen. Damit wurde eine Verzerrung durch die sonst notwendige Parameterwahl bei Inversen Methoden vermieden. Die Verwendung der Vorwärtslösung «Подход с расширенной территорией» — это настоящее решение Schätzungen der Defekttiefe und -abmessungen im Vergleich zur «Приближенное перспективное решение».Die beiden Vorwärtslösungen sind jedoch auf Defekte mit gleichmäßiger Geometrie beschränkt. Aus diesem Grund wurde die neue Vorwärtslösung «Single Voxel Approach» entwickelt. Sie basiert auf der Superposition von Kraftveränderungssignalen von kleinen elementaren Defekten. Bei numerischen Simulationen mit Defekten Verschiedener Größen, Tiefen und Formen zeigte der «Single Voxel Approach» умирают, когда Abweichung im Vergleich zu den beiden existierenden Vorwärtslösungen. Eine Minimum-Norm-Schätzung mit Elastic-Net-Regularisierung wurde auf die Lorentzkraftmessdaten eines Aluminiumprüfkörpers zur Rekonstruktion der Defekteigenschaften angewandt.Die Motivation zur Nutzung der Elastic-Net-Regularisierung stammt aus dem a priori Wissen, dass ein nicht-leitender Defekt von einem Prüfstück mit konstanter Leitfähigkeit umgeben ist. Die weit verbreitete Tikhonov-Phillips-Regularisierung wurde zu Vergleichszwecken angewandt. Mit beiden Regularisierungsmethoden konnte duplicierbar eine korrekte Defekttiefenschätzung und eine adäquate Größenschätzung erzielt werden. Dasselbe inverse Verfahren wurde für die Defektrekonstruktion aus Wirbelstromevaluierungsmessdaten eines Aluminiumprüfkörpers angewandt.Die Defektrekonstruktionsergebnisse stellten sich für tiefer liegende Defekte verschwommen und weniger stable im Vergleich zur Lorentzkraftevaluierung dar. Im Gegensatz war mit der Wirbelstromevaluierung die Rekonstruktion komplexerer Defektgeometrien möglich. Als weitere inverse Methode, wurde die adaptierte Landweber-Iteration für die Lorentzkraftevaluierung eingeführt. Die Landweber-Iteration wurde ausgewählt, da sich im Bereich der elektrischen Kapazitätstomographie vielversprechende Rekonstruktionsergebnisse gezeigt haben.Die adaptierte Landweber-Iteration erzielte adäquate Defektgrößenschätzungen. Die Position von tief liegenden Defekten wurde zu hoch rekonstruiert. Die Lorentzkraftevaluierung ist gekennzeichnet durch die Schwierigkeit, dass ein kleiner Defekt nahe der Prüfkörperoberfläche und ein größerer tiefer liegender Defekt ähnliche Kraftveränderungssignale zeigen. Das erschwert die Bestimmung der korrekten Defekttiefe. Das neue Prinzip der geschwindigkeitsabhängigen Lorentzkraftevaluierung wurde eingeführt um die Defekttiefenbestimmung zu unterstützen.Die Lorentzkraftveränderungssignale werden bei einer hohen Geschwindigkeit (10 м / с) relativ zu den Signalen bei einer niedrigen Geschwindigkeit (0,1 м / с) ausgewertet. Amplitudenveränderungen und Signalverschiebungen werden genutzt um die Defekttiefe zu bestimmen. Dabei wird der bewegungsinduzierte Skineffekt ausgenutzt. Die Plausibilität dieser neuen Methode wurde für Simulationsdaten gezeigt.

PHY5200 лекция 10

Глава 2: Снаряды и частицы

Чтение

Тейлор 2.5-2.7 (сегодня) и 3.1-3.2 (пятница)

Движение заряда в однородном магнитном поле

Заряженная частица, движущаяся в магнитном поле, подвержена действию силы Лоренца.

F = q v × B

, где q — заряд частицы, v — скорость частицы в точке r , а B — магнитное поле в точке r . Магнитное поле может меняться в зависимости от положения, но мы рассмотрим относительно простой случай, когда магнитное поле постоянно, и выберем ось z нашей системы координат параллельной магнитному полю, B = B zhat .Это странная сила, во-первых, потому что она зависит от скорости, а во-вторых, потому что она перпендикулярна направлению движения. Но вы, вероятно, уже знакомы с результатом для движения заряженной частицы в однородном магнитном поле. Мы рассмотрим, как решить эту проблему, используя изученные вами методы, с одним дополнительным поворотом.

Уравнение движения заряженной частицы, движущейся в однородном магнитном поле, имеет вид

м v [точка] = q v × B

Компонентные уравнения (при условии, что B точек в направлении + z)

м d _t v _x = qBv _y

м d _t v _y = -qBv _x

м d _t v _z = 0

Из последнего уравнения имеем v _z = v _z0 = константа.Компонентные уравнения x и y представляют собой линейные связанные дифференциальные уравнения. Их решение — возможность продемонстрировать метод замены переменных.

Определите ω = qB / m. Величина ω известна как циклотронная частота по причинам, которые будут объяснены немного позже. Мы можем переписать уравнения x и y с ω как

d _t v _x = ωv _y

d _t v _y = -ωv _x

Из вводной физики вы должны знать, что движение по x-y является круговым.Чтобы продемонстрировать, что это так, и продемонстрировать технику замены переменных для решения дифференциального уравнения, мы запишем новую комплексную переменную

η = v _x + i v _y.

Причина выбора этой переменной станет понятной, мы продолжим — опыт привел к этому выбору. Я рассмотрю комплексные числа через мгновение.

Производная η по времени равна

d _t η = d _t v _x + i d _t v _y = ωv _y — i ωv _x = — i ω (v _x + i v _y) = — i ωη

При таком выборе переменной мы перешли от пары связанных дифференциальных уравнений к одному (комплексному) дифференциальному уравнению.Несмотря на использование комплексных чисел, это уравнение легко решается, как мы уже делали. Уравнение говорит, что η — это функция, производная которой равна исходной функции, умноженной на константу, и мы видели, что эта функция является экспоненциальной,

η = Ae ^{— i ωt}.

просто, за исключением того, что аргумент экспоненты — комплексное число. Мы посмотрим, что значит иметь сложную экспоненту.

Комплексные экспоненты

Комплексное число i = (- 1) ^½, поэтому очевидно, что i ² = -1.Произвольное комплексное число записывается z = x + i y и может быть представлено в комплексной плоскости , двумерной системе координат, в которой действительная часть числа x отложена по горизонтальной оси (или x). а мнимая часть y отложена по вертикальной оси (или y). Комплексные числа можно складывать, вычитать, умножать и делить, если нужно следить как за действительной, так и с комплексной частью. В этом смысле комплексные числа напоминают двумерные векторы.

Напомним, что экспоненциальная функция эквивалентна бесконечному ряду

e ^z = 1 + z + z² / 2! + z³ / 3! + … = ∑ _{n = 0} ^∞ z ⁿ / n!

, а производная —

(d / dz) (Ae ^kz) = k (Ae ^kz).

Эти соотношения верны как для комплексных, так и для действительных чисел.

Но что значит возвести в степень сложную силу? Для исследования полезно рассмотреть простейший случай комплексной экспоненциальной

e ^{i θ} = 1 + i θ + ( i θ) ² / 2! + ( i θ) ³ / 3! +…

Это выражение можно упростить, используя i ² = -1 и сгруппировав все четные степени i в действительную часть, а все нечетные степени в мнимую часть:

e ^{i θ} = [1 — θ² / 2! + θ ⁴/4! -…] + i [θ — θ³ / 3! + …].

Эти две части должны выглядеть знакомо: реальная часть — это ряд Тейлора для cosθ, а мнимая часть — i sinθ.

e ^{i θ} = cosθ + i sinθ.

Это выражение известно как формула Эйлера. Это чрезвычайно полезно в физике и может быть полезно для быстрого (повторного) получения тригонометрических соотношений, таких как синус или косинус суммы углов.

Используя комплексную экспоненту, мы можем записать общее решение как (даже если A — комплексное число)

η = Ae ^{— i ωt} = ae ^{i δ} e ^{— i ωt} = ae ^{i (δ-ωt)}

Решение для заряда в поле B

Теперь, когда мы вычислили скорость как функцию времени, мы можем определить положение.Для этого удобно определить другую комплексную переменную ξ, произносимую как xi,

ξ = x + i y.

Взяв производную от ξ, мы видим, что она равна η

d _t ξ = d _t x + i d _t y = v _x + i v _y = η

, поэтому мы можем найти ξ и, следовательно, позиции x и y, интегрируя η

ξ = ∫ ηdt = ∫ Ae ^-iωt dt = (iA / ω) e ^-iωt + константа.

Поскольку x — действительная часть ξ, а y — мнимая часть, мы можем написать, опуская константу, поскольку она в основном соответствует смещению движения:

х + iy = Ce ^-iωt

Когда t = 0, экспонента равна 1, поэтому C соответствует положению частицы в этот момент,

C = x ₀ + i y ₀

В общем, заряд движется по спирали, определяемой постоянной скоростью по z и круговым движением по x-y.Если скорость по оси z равна нулю, движение превращается в круг с центром в начале координат. Радиус кругового движения равен тангенциальной скорости (скорость x-y), деленной на угловую скорость, ω (напомним, что v = rω)

г = v / ω = (mv) / (qB) = p / (qB).

Этот механизм лежит в основе многих устройств, в частности, циклотрона.

5.5 Преобразование Лоренца — University Physics Volume 3

Мы использовали постулаты относительности, чтобы исследовать, на конкретных примерах, как наблюдатели в разных системах отсчета измеряют разные значения длин и временных интервалов.Мы можем получить более глубокое понимание того, как постулаты относительности меняют ньютоновский взгляд на время и пространство, исследуя уравнения преобразования, которые дают пространственные и временные координаты событий в одной инерциальной системе отсчета в терминах координат в другой. Сначала мы исследуем, как координаты положения и времени преобразуются между инерциальными системами отсчета в соответствии с точкой зрения ньютоновской физики. Затем мы исследуем, как это нужно изменить, чтобы согласиться с постулатами относительности. Наконец, мы исследуем полученные уравнения преобразования Лоренца и некоторые из их следствий в терминах четырехмерных пространственно-временных диаграмм, чтобы поддержать точку зрения о том, что последствия специальной теории относительности являются результатом свойств самого времени и пространства, а не электромагнетизма.

Уравнения преобразования Галилея

Событие определяется его местоположением и временем ( x , y , z , t ) относительно одной конкретной инерциальной системы отсчета S . Например, ( x , y , z , t ) может обозначать положение частицы в момент времени t , и мы могли бы смотреть на эти положения много раз, чтобы следить за движением. частицы.Предположим, что вторая система отсчета S’S ‘движется со скоростью v относительно первой. Для простоты предположим, что эта относительная скорость соответствует оси x . Соотношение между временем и координатами в двух системах отсчета тогда составляет

. x = x ′ + vt, y = y ′, z = z′.x = x ′ + vt, y = y ′, z = z ′.

В этих уравнениях подразумевается предположение, что измерения времени, выполненные наблюдателями как в S, , так и в S’S ‘, одинаковы. То есть

Эти четыре уравнения вместе известны как преобразование Галилея.

Мы можем получить уравнения преобразования скорости и ускорения Галилея, дифференцируя эти уравнения по времени. В этой главе мы используем и для скорости частицы, чтобы отличить ее от v , относительной скорости двух систем отсчета. Обратите внимание, что для преобразования Галилея приращение времени, используемое при дифференцировании для вычисления скорости частицы, одинаково в обоих кадрах, dt = dt′.dt = dt ′. Выход дифференцирования

ux = ux ′ + v, uy = uy ′, uz = uz′ux = ux ′ + v, uy = uy ′, uz = uz ′

ax = ax ′, ay = ay ′, az = az ′.ax = ax ′, ay = ay ′, az = az ′.

Мы обозначаем скорость частицы как u , а не v , чтобы избежать путаницы со скоростью v одной системы отсчета относительно другой. Скорости в каждом кадре отличаются скоростью, которую имеет один кадр, если смотреть из другого кадра. Наблюдатели в обеих системах отсчета измеряют одно и то же значение ускорения. Поскольку при преобразовании масса не изменяется, а расстояния между точками не заряжены, наблюдатели в обеих системах отсчета видят одни и те же силы F = maF = ma, действующие между объектами, и одинаковую форму второго и третьего законов Ньютона во всех инерциальных системах отсчета.Законы механики согласуются с первым постулатом относительности.

Уравнения преобразования Лоренца

Тем не менее преобразование Галилея нарушает постулаты Эйнштейна, поскольку уравнения скорости утверждают, что импульс света, движущийся со скоростью c по оси x , будет перемещаться со скоростью c − vc − v в другой инерциальной системе отсчета. В частности, сферический импульс имеет радиус r = ctr = ct в момент времени t в нештрихованном кадре, а также имеет радиус r ‘= ct’r’ = ct ‘в момент времени t’t’ в штриховом кадре.Выражение этих соотношений в декартовых координатах дает

x2 + y2 + z2 − c2t2 = 0x′2 + y′2 + z′2 − c2t′2 = 0. x2 + y2 + z2 − c2t2 = 0x′2 + y′2 + z′2 − c2t′2 = 0.

Левые части двух выражений можно приравнять, поскольку оба они равны нулю. Поскольку y = y′y = y ′ и z = z ′, z = z ′, получаем

x2 − c2t2 = x′2 − c2t′2.x2 − c2t2 = x′2 − c2t′2.

5.5

Это не может быть выполнено для ненулевой относительной скорости v двух кадров, если мы предположим, что преобразование Галилея приводит к t = t′t = t ′ с x = x ′ + vt ′.х = х ′ + vt ′.

Чтобы найти правильный набор уравнений преобразования, предположим две системы координат S, и S′S ′ на рисунке 5.13. Сначала предположим, что событие происходит в (x ′, 0,0, t ′) (x ′, 0,0, t ′) в S′S ′ и в (x, 0,0, t) (x, 0, 0, t) в S , как показано на рисунке.

Фигура 5,13 Событие происходит в ( x , 0, 0, t ) в S и в (x ′, 0,0, t ′) (x ′, 0,0, t ′) в S′.S ′. Уравнения преобразования Лоренца связывают события в двух системах.

Предположим, что в тот момент, когда начало систем координат в S, и S′S ′ совпадают, лампа-вспышка излучает сферически распространяющийся импульс света, начиная с начала координат. В момент времени t наблюдатель в S обнаруживает, что начало координат S′S ′ находится в точке x = vt.x = vt. С помощью друга в S′S ′ наблюдатель S также измеряет расстояние от события до начала координат S′S ′ и находит, что оно равно x′1 − v2 / c2.x′1 − v2. / c2. Это следует потому, что мы уже показали, что постулаты относительности подразумевают сокращение длины.Таким образом, позиция события в S равна

. х = vt + x′1 − v2 / c2x = vt + x′1 − v2 / c2

x ′ = x − vt1 − v2 / c2.x ′ = x − vt1 − v2 / c2.

Постулаты относительности подразумевают, что уравнение, связывающее расстояние и время фронта сферической волны:

x2 + y2 + z2 − c2t2 = 0x2 + y2 + z2 − c2t2 = 0

должен применяться как с штрихованными, так и с незаштрихованными координатами, что, как было показано выше, приводит к уравнению 5.5:

x2 − c2t2 = x′2 − c2t′2.x2 − c2t2 = x′2 − c2t′2.

Мы объединяем это с уравнением, связывающим x и x′x ′, чтобы получить соотношение между t и t ′: t ′:

t ′ = t − vx / c21 − v2 / c2.t ′ = t − vx / c21 − v2 / c2.

Уравнения, связывающие время и положение событий, как показано в S , тогда равны

t = t ′ + vx ′ / c21 − v2 / c2x = x ′ + vt′1 − v2 / c2y = y′z = z′.t = t ′ + vx ′ / c21 − v2 / c2x = x ′ + vt ′ 1 − v2 / c2y = y′z = z ′.

Эта система уравнений, связывающая положение и время в двух инерциальных системах отсчета, известна как преобразование Лоренца. Названы в честь Х.А. Лоренц (1853–1928), который первым их предложил. Интересно, что он обосновал преобразование тем, что в конечном итоге оказалось ошибочной гипотезой.Правильная теоретическая основа — специальная теория относительности Эйнштейна.

Обратное преобразование выражает переменные в S через переменные в S’.S ‘. Простая замена переменных со штрихом и без него и подстановка дает:

t ′ = t − vx / c21 − v2 / c2x ′ = x − vt1 − v2 / c2y ′ = yz ′ = zt ′ = t − vx / c21 − v2 / c2x ′ = x − vt1 − v2 / c2y ′ = yz ′ = Z.

Пример 5,6

Использование преобразования Лоренца для времени

Космический корабль S′S ′ находится в состоянии покоя и в конечном итоге направляется к Альфе Центавра, когда космический аппарат S проходит мимо него с относительной скоростью c /2.Капитан S’S ‘посылает радиосигнал длительностью 1,2 с по часам этого корабля. Используйте преобразование Лоренца, чтобы найти временной интервал сигнала, измеренный офицером связи космического корабля S .

Решение

Определите известное: Δt ′ = t2′ − t1 ′ = 1,2 с; Δx ′ = x′2 − x′1 = 0. Δt ′ = t2′ − t1 ′ = 1,2 с; Δx ′ = x′2− х′1 = 0.
Определите неизвестное: Δt = t2 − t1.Δt = t2 − t1.
Выразите ответ в виде уравнения. Сигнал времени начинается как (x ′, t1 ′) (x ′, t1 ′) и заканчивается в (x ′, t2 ′).(x ′, t2 ′). Обратите внимание, что координата x′x ′ обоих событий одинакова, потому что часы находятся в состоянии покоя в S′.S ′. Запишите первое уравнение преобразования Лоренца в терминах Δt = t2 − t1, Δt = t2 − t1, Δx = x2 − x1, Δx = x2 − x1 и аналогичным образом для координат со штрихом: Δt = Δt ′ + vΔx ′ / c21 − v2c2.Δt = Δt ′ + vΔx ′ / c21 − v2c2. Поскольку положение часов в S′S ′ фиксировано, Δx ′ = 0, Δx ′ = 0, а временной интервал ΔtΔt становится: Δt = Δt′1 − v2c2.Δt = Δt′1 − v2c2.
Сделайте расчет.
При Δt ′ = 1,2 сΔt ′ = 1,2 с это дает: Δt = 1,2s1− (12) 2 = 1.4 с. Δt = 1,2 с 1 — (12) 2 = 1,4 с. Обратите внимание, что преобразование Лоренца воспроизводит уравнение замедления времени.

Пример 5,7

Использование преобразования Лоренца для длины

Геодезист измеряет длину улицы L = 100mL = 100 м на земном кадре S. Используйте преобразование Лоренца, чтобы получить выражение для ее длины, измеренной от космического корабля S ‘, S’, движущегося со скоростью 0,20 c , предполагая, что Координаты x двух кадров совпадают в момент времени t = 0.т = 0.

Решение

Определите известные: L = 100 м; v = 0.20c; Δτ = 0.L = 100m; v = 0.20c; Δτ = 0.
Определите неизвестное: L′.L ′.
Выразите ответ в виде уравнения. Геодезист в кадре S одновременно измерил два конца палки и обнаружил, что они неподвижны в точках x2x2 и x1x1 на расстоянии L = x2 − x1 = 100mL = x2 − x1 = 100 м друг от друга. Экипаж космического корабля измеряет одновременное расположение концов клюшек в их каркасе. Чтобы связать длины, записанные наблюдателями в S′S ′ и S, соответственно, запишите второе из четырех уравнений преобразования Лоренца как: x2 − x1 = x′2 + vt1− (v2 / c2) –x′1 + vt1− (v2 / c2) x2 − x1 = x′2 − x′11− (v2 / c2).x2 − x1 = x′2 + vt1− (v2 / c2) –x′1 + vt1− (v2 / c2) x2 − x1 = x′2 − x′11− (v2 / c2).
Сделайте расчет. Поскольку x2 − x1 = 100 м, x2 − x1 = 100 м, длина подвижной ручки равна: L ′ = x′2 − x′1 = (L) 1− (v2 / c2) = (100m) 1− (0.20) 2L ′ = 98.0mL ′ = x′2 − x′1 = (L) 1− (v2 / c2) = (100 м) 1 — (0,20) 2L ′ = 98,0 м.

Пример 5,8

Преобразование Лоренца и одновременность

Наблюдатель, показанный на рис. 5.14, стоящий у железнодорожных путей, видит, как две лампочки одновременно мигают на обоих концах 26-метрового пассажирского вагона, когда его середина проезжает мимо него со скоростью c /2.Найдите промежуток во времени между вспышками лампочек, которые видит пассажир поезда, сидящий в центре вагона.

Фигура 5,14 Человек, наблюдающий за поездом, видит, как две лампочки одновременно мигают на противоположных концах пассажирского вагона. Другой пассажир в машине наблюдает за теми же вспышками, но с другой точки зрения.

Решение

Определите известное: Δt = 0.Δt = 0.
Обратите внимание, что пространственное разделение двух событий происходит между двумя лампами, а не расстояние от лампы до пассажира.
Определите неизвестное: Δt ′ = t2′ − t1′.Δt ′ = t2′ − t1 ′.
Опять же, обратите внимание, что интервал времени — это между вспышками фонарей, а не между временем прибытия для достижения пассажира.
Выразите ответ в виде уравнения: Δt = Δt ′ + vΔx ′ / c21 − v2 / c2.Δt = Δt ′ + vΔx ′ / c21 − v2 / c2.
Выполните расчет: 0 = Δt ′ + c2 (26m) / c21 − v2 / c2Δt ′ = — 26m / s2c = −26m / s2 (3.00 × 108m / s) Δt ′ = — 4.33 × 10−8s. 0 = Δt ′ + c2 ( 26 м) / c21 − v2 / c2Δt ′ = — 26 м / с2c = −26 м / с2 (3,00 × 108 м / с) Δt ′ = — 4,33 × 10–8 с.

Значение

Знак указывает, что событие с большими x2 ‘, x2’, а именно вспышка справа, как видно, происходит первым в кадре S’S ‘, как было обнаружено ранее для этого примера, так что t2 Пространство-время

Релятивистские явления можно анализировать с точки зрения событий в четырехмерном пространстве-времени. Когда такие явления, как парадокс близнецов, замедление времени, сокращение длины и зависимость одновременности от относительного движения рассматриваются таким образом, они рассматриваются как характерные для природы пространства и времени, а не для конкретных аспектов электромагнетизма.

В трехмерном пространстве позиции задаются тремя координатами на наборе декартовых осей, а смещение одной точки от другой определяется выражением:

(Δx, Δy, Δz) = (x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1).(Δx, Δy, Δz) = (x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1).

Расстояние ΔrΔr между точками

Δr2 = (Δx) 2+ (Δy) 2+ (Δz) 2.Δr2 = (Δx) 2+ (Δy) 2+ (Δz) 2.

Расстояние ΔrΔr не зависит от поворота осей. Если используется новый набор декартовых осей, повернутых вокруг начала координат относительно исходных осей, каждая точка в пространстве будет иметь новые координаты в терминах новых осей, но расстояние Δr′Δr ′, заданное формулой

Δr′2 = (Δx ′) 2+ (Δy ′) 2+ (Δz ′) 2. Δr′2 = (Δx ′) 2+ (Δy ′) 2+ (Δz ′) 2.

Имеет то же значение, что и Δr2Δr2.Нечто подобное происходит с преобразованием Лоренца в пространстве-времени.

Определите разделение между двумя событиями, каждое из которых задается набором x , y , z¸ и ct вдоль четырехмерной декартовой системы осей в пространстве-времени, как

(Δx, Δy, Δz, cΔt) = (x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1, c (t2 − t1)). (Δx, Δy, Δz, cΔt) = (x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1, c (t2 − t1)).

Также определите пространственно-временной интервал ΔsΔs между двумя событиями как

Δs2 = (Δx) 2+ (Δy) 2+ (Δz) 2− (cΔt) 2.Δs2 = (Δx) 2+ (Δy) 2+ (Δz) 2− (cΔt) 2.

Если два события имеют одинаковое значение ct в рассматриваемой системе отсчета, ΔsΔs будет соответствовать расстоянию ΔrΔr между точками в пространстве.

Путь частицы в пространстве-времени состоит из событий ( x , y , z¸ ct ), определяющих местоположение в каждый момент ее движения. Путь в пространстве-времени называется мировой линией частицы. Мировая линия частицы, которая остается неподвижной в том же месте, представляет собой прямую линию, параллельную оси времени.Если частица движется с постоянной скоростью параллельно оси x , ее мировая линия будет наклонной линией x = vt, x = vt, что соответствует простому графику зависимости смещения от времени. Если частица ускоряется, ее мировая линия искривляется. Приращение с вдоль мировой линии частицы задается в дифференциальной форме как

. ds2 = (dx) 2+ (dy) 2+ (dz) 2 − c2 (dt) 2. ds2 = (dx) 2+ (dy) 2+ (dz) 2 − c2 (dt) 2.

Так же, как расстояние ΔrΔr инвариантно относительно вращения пространственных осей, пространственно-временной интервал:

Δs2 = (Δx) 2+ (Δy) 2+ (Δz) 2− (cΔt) 2.Δs2 = (Δx) 2+ (Δy) 2+ (Δz) 2− (cΔt) 2.

инвариантен относительно преобразования Лоренца. Это следует из постулатов относительности, и это можно увидеть также путем подстановки предыдущих уравнений преобразования Лоренца в выражение для пространственно-временного интервала:

Δs2 = (Δx) 2+ (Δy) 2+ (Δz) 2− (cΔt) 2 = (Δx ′ + vΔt′1 − v2 / c2) 2+ (Δy ′) 2+ (Δz ′) 2− (cΔt ′ + VΔx′c21 − v2 / c2) 2 = (Δx ′) 2+ (Δy ′) 2+ (Δz ′) 2- (cΔt ′) 2 = Δs′2.Δs2 = (Δx) 2+ (Δy) 2+ (Δz) 2− (cΔt) 2 = (Δx ′ + vΔt′1 − v2 / c2) 2+ (Δy ′) 2+ (Δz ′) 2− (cΔt ′ + vΔx′c21 − v2 / c2) 2 = (Δx ′) 2+ (Δy ′) 2+ (Δz ′) 2- (cΔt ′) 2 = Δs′2.

Кроме того, преобразование Лоренца изменяет координаты события во времени и пространстве аналогично тому, как трехмерное вращение меняет старые координаты на новые:

Преобразование Лоренца Ось – вращение вокруг оси z (координаты x, t) 🙁 координаты x, y): x ′ = (γ) x + (- βγ) ctx ′ = (cosθ) x + (sinθ) yct ′ = (- βγ) x + (γ ) cty ′ = (- sinθ) x + (cosθ) yПреобразование Лоренца Ось – вращение вокруг оси z (координаты x, t) 🙁 x, координаты y): x ′ = (γ) x + (- βγ) ctx ′ = (cosθ) x + ( sinθ) yct ′ = (- βγ) x + (γ) cty ′ = (- sinθ) x + (cosθ) y

где γ = 11 − β2; β = v / c.γ = 11 − β2; β = v / c.

Преобразования Лоренца можно рассматривать как обобщение пространственных вращений на пространство-время. Однако есть некоторые различия между вращением трехмерной оси и преобразованием Лоренца, включающим ось времени, из-за различий в том, как различаются метрика или правило для измерения смещений ΔrΔr и Δs, Δs. Хотя ΔrΔr инвариантен относительно пространственных вращений, а ΔsΔs инвариантен также при преобразовании Лоренца, преобразование Лоренца, включающее ось времени, не сохраняет некоторые особенности, такие как оси, остающиеся перпендикулярными, или масштаб длины вдоль каждой оси, оставшийся неизменным.

Обратите внимание, что величина Δs2Δs2 может иметь любой знак, в зависимости от координат задействованных пространственно-временных событий. Для пар событий, которые придают ему отрицательный знак, полезно определить c2Δτ2c2Δτ2 как −Δs2. − Δs2. Значение c2Δτc2Δτ, как только что определено, следует из того, что в системе отсчета, где два события происходят в одном и том же месте, мы имеем Δx = Δy = Δz = 0Δx = Δy = Δz = 0 и, следовательно, (из уравнения для Δs2 = −c2Δτ2): Δs2 = −c2Δτ2):

c2Δτ2 = −Δs2 = (cΔt) 2. c2Δτ2 = −Δs2 = (cΔt) 2.

Следовательно, c2Δτc2Δτ — это временной интервал c2Δtc2Δt в системе отсчета, где оба события происходят в одном и том же месте. Это тот же интервал собственного времени, о котором говорилось ранее. Из связи между ΔsΔs и c2Δτc2Δτ также следует, что, поскольку ΔsΔs лоренц-инвариантно, собственное время также лоренц-инвариантно. Все наблюдатели во всех инерциальных системах отсчета согласны с точными интервалами времени между одними и теми же двумя событиями.

Проверьте свое понимание 5.5

Покажите, что если для наблюдателя, который видит частицу, движущуюся со скоростью v , истекает приращение времени dt , это соответствует собственному приращению частицы времени для частицы dτ = γdt.dτ = γdt.

Световой конус

Мы можем справиться с трудностью визуализации и рисования графиков в четырех измерениях, вообразив, что три пространственные координаты вместе представлены горизонтальной осью, а вертикальная ось — осью ct- . Начиная с конкретного события в пространстве-времени в качестве источника графа пространства-времени, мировая линия частицы, которая остается в состоянии покоя в исходном местоположении события в начале координат, становится осью времени.Любая плоскость, проходящая через ось времени, параллельную пространственным осям, содержит все события, которые одновременны друг с другом и с пересечением плоскости и оси времени, как видно в кадре покоя события в начале координат.

Полезно изобразить световой конус на графике, образованный мировыми линиями всех световых лучей, проходящих через исходное событие A , как показано на рисунке 5.15. Световой конус, согласно постулатам относительности, имеет стороны под углом 45 ° 45 °, если ось времени измеряется в единицах ct , и, согласно постулатам относительности, световой конус остается таким же в все инерциальные системы.Поскольку событие A является произвольным, с каждой точкой на пространственно-временной диаграмме связан световой конус.

Фигура 5,15 Световой конус состоит из всех мировых линий, за которыми следует свет от события A в вершине конуса.

Рассмотрим теперь мировую линию частицы в пространстве-времени. Любая мировая линия за пределами конуса, например, проходящая от A до C , будет иметь скорости выше c и, следовательно, будет невозможна.Говорят, что такие события, как C , которые лежат вне светового конуса, имеют пространственное разделение от события A . Они характеризуются в одном измерении следующим образом:

ΔsAC2 = (xA − xC) 2+ (yA − yC) 2+ (zA − zC) 2− (cΔt) 2> 0. ΔsAC2 = (xA − xC) 2+ (yA −yC) 2+ (zA − zC) 2− (cΔt) 2> 0.

Событие типа B , которое находится в верхнем конусе, достижимо, не превышая скорости света в вакууме, и характеризуется в одном измерении как

ΔsAB2 = (xA − xB) 2+ (yA − yB) 2+ (zA −zB) 2− (cΔt) 2 <0. ΔsAB2 = (xA − xB) 2+ (yA − yB) 2+ (zA − zB) 2− (cΔt) 2 <0.

Говорят, что событие имеет временное отделение от A . Подобные времени события, которые попадают в верхнюю половину светового конуса, происходят при больших значениях t , чем время события A в вершине и находятся в будущем относительно A . События, которые имеют временное отделение от A и попадают в нижнюю половину светового конуса, остались в прошлом и могут повлиять на событие в начале координат. Область за пределами светового конуса не помечена ни как прошлое, ни как будущее, а скорее как «где-то еще».”

Для любого события, которое имеет пространственное разделение от события в источнике, можно выбрать ось времени, которая заставит два события происходить одновременно, так что два события будут одновременными в некоторой системе отсчета. . Следовательно, какое из событий с пространственным разделением наступает раньше другого во времени, также зависит от системы координат наблюдателя. Поскольку пространственно-подобные разделения можно пройти, только превысив скорость света; это нарушение того, какое событие может вызвать другое, дает еще один аргумент в пользу того, почему частицы не могут двигаться быстрее скорости света, а также потенциальный материал для научной фантастики о путешествиях во времени.Точно так же для любого события с временным отделением от события в источнике можно найти систему отсчета, которая заставит события происходить в одном и том же месте. Поскольку отношения

ΔsAC2 = (xA − xC) 2+ (yA − yC) 2+ (zA − zC) 2− (cΔt) 2> 0ΔsAC2 = (xA − xC) 2+ (yA − yC) 2+ (zA − zC) 2 — (cΔt) 2> 0

ΔsAB2 = (xA − xB) 2+ (yA − yB) 2+ (zA − zB) 2− (cΔt) 2 <0. ΔsAB2 = (xA − xB) 2+ (yA − yB) 2+ (zA − zB) ) 2− (cΔt) 2 <0.

являются инвариантами Лоренца, независимо от того, являются ли два события подобными времени и могут ли они происходить в одном и том же месте или подобны пространству и могут происходить в одно и то же время, одинаково для всех наблюдателей.Все наблюдатели в разных инерциальных системах отсчета согласны с тем, есть ли у двух событий временное или пространственное разделение.

Парадокс близнецов в пространстве-времени

Обсуждаемый ранее парадокс близнецов включает в себя близнеца-астронавта, который путешествует со скоростью, близкой к световой, к далекой звездной системе и возвращается на Землю. По прогнозам, из-за замедления времени возраст космического близнеца будет намного меньше возраста близнеца, связанного с Землей. Это кажется парадоксальным, потому что на первый взгляд мы могли ожидать, что относительное движение будет симметричным, и наивно полагали, что можно также утверждать, что связанный с Землей близнец должен стареть меньше.

Чтобы проанализировать это с точки зрения пространственно-временной диаграммы, предположим, что начало координат используемых осей зафиксировано на Земле. Мировая линия связанного с Землей близнеца проходит вдоль оси времени.

Мировая линия близнеца-космонавта, который путешествует к далекой звезде, а затем возвращается, должна отклоняться от прямой линии, чтобы позволить обратный путь. Как видно на рис. 5.16, обстоятельства двух близнецов вовсе не симметричны. Их пути в пространстве-времени явно различаются по длине.В частности, мировая линия связанного с Землей двойника имеет длину 2cΔt, 2cΔt, что затем дает собственное время, которое истекает для привязанного к Земле двойника, как 2Δt.2Δt. Расстояние до далекой звездной системы Δx = vΔt.Δx = vΔt. Собственное время, которое проходит для космического двойника, равно 2Δτ2Δτ, где

c2Δτ2 = −Δs2 = (cΔt) 2− (Δx) 2. c2Δτ2 = −Δs2 = (cΔt) 2- (Δx) 2.

Это значительно короче, чем собственное время для земного двойника на коэффициент

. cΔτcΔt = (cΔt) 2− (Δx) 2 (cΔt) 2 = (cΔt) 2− (vΔt) 2 (cΔt) 2 = 1 − v2c2 = 1γ.cΔτcΔt = (cΔt) 2− (Δx) 2 (cΔt) 2 = (cΔt) 2− (vΔt) 2 (cΔt) 2 = 1 − v2c2 = 1γ.

в соответствии с формулой замедления времени. Таким образом, парадокс близнецов вовсе не парадокс. Положение двух близнецов на пространственно-временной диаграмме несимметрично. Единственное удивление, возможно, состоит в том, что кажущийся более длинным путь на пространственно-временной диаграмме соответствует меньшему собственному временному интервалу из-за того, как ΔτΔτ и ΔsΔs зависят от ΔxΔx и Δt.Δt.

Фигура 5,16 Космический близнец и связанный с Землей близнец, в примере с парадоксом близнецов, следуют мировым линиям разной длины в пространстве-времени.

Преобразования Лоренца в пространстве-времени

Мы уже отметили, как преобразование Лоренца оставляет

Δs2 = (Δx) 2+ (Δy) 2+ (Δz) 2− (cΔt) 2Δs2 = (Δx) 2+ (Δy) 2+ (Δz) 2− (cΔt) 2

неизменен и соответствует вращению осей в четырехмерном пространстве-времени. Если кадры S и S’S ‘находятся в относительном движении в их общем направлении x , пространственные и временные оси S’S’ поворачиваются на угол αα, если смотреть со стороны S, как показано на рисунке. 5.17, где:

Это отличается от вращения в обычном трехмерном смысле, поскольку две оси пространства-времени вращаются друг к другу симметрично, как показано на рисунке.Вращение временной и пространственной осей происходит на один и тот же угол. Сетка из пунктирных линий, параллельных двум осям, показывает, как координаты события будут считываться по осям со штрихом. Это можно сделать, проведя линию, параллельную оси x′x ′, и линию, параллельную оси t′t′, как показано пунктирными линиями. Масштаб длины обеих осей изменен на:

ct ′ = ct1 + β21 − β2; x ′ = x1 + β21 − β2.ct ′ = ct1 + β21 − β2; x ′ = x1 + β21 − β2.

Линия, обозначенная «v = c» «v = c» под углом 45 ° 45 ° к оси x , соответствует краю светового конуса и не подвержена влиянию преобразования Лоренца в соответствии со вторым постулатом относительность.Линия «v = c», «v = c» и световой конус, который она представляет, одинаковы для систем отсчета S и S′S ′.

Фигура 5,17 Преобразование Лоренца приводит к появлению новых осей пространства и времени, вращающихся как ножницы по отношению к исходным осям.

Одновременность

Одновременность событий в разных местах зависит от системы отсчета, используемой для их описания, которая задается подобным ножницам «вращением» к новым координатам времени и пространства, как описано.Если два события имеют одинаковые значения t в нештрихованной системе отсчета, они не обязательно должны иметь одинаковые значения, измеренные по оси ct′, ct′-оси, и тогда они не будут одновременными в штрихованном кадре.

В качестве конкретного примера рассмотрим поезд со скоростью, близкой к скорости света, в котором лампы-вспышки на двух концах вагона одновременно вспыхнули в системе отсчета наблюдателя на земле. График пространства-времени показан на рис. 5.18. Вспышки двух ламп представлены точками с надписью «Левая вспышка» и «Правая вспышка», которые раньше лежали на световом конусе.Мировая линия обоих импульсов проходит по краю светового конуса и одновременно достигает наблюдателя на земле. Их прибытие — это событие в источнике. Следовательно, они должны были быть переданы одновременно в незаштрихованном кадре, что представлено точкой, обозначенной как t (оба). Но время измеряется по оси ct′-axisct′-оси в системе отсчета наблюдателя, сидящего в середине вагона. Таким образом, в ее системе координат событие выброса лампочек, обозначенных как t′t ′ (слева) и t′t ′ (справа), не было одновременным.

Фигура 5,18 Вернемся к примеру с поездом. Вспышки происходят одновременно t (обе) вдоль оси времени наземного наблюдателя, но в разное время вдоль оси времени t′t ′ пассажира.

С точки зрения пространственно-временной диаграммы, два наблюдателя просто используют разные оси времени для одних и тех же событий, потому что они находятся в разных инерциальных системах отсчета, и выводы обоих наблюдателей одинаково верны.

Задачи на силу Лоренца с решением

Задачи по теме «сила Лоренца»

Задача на силу Лоренца №1

Задача на силу Лоренца №2

Задача на силу Лоренца №3

Задача на силу Лоренца №4

Задача на силу Лоренца №5

Вопросы на тему «Сила Лоренца»

Задачи на силу Лоренца с решением

Задачи по теме «сила Лоренца»

Задача на силу Лоренца №1

Задача на силу Лоренца №2

Задача на силу Лоренца №3

Задача на силу Лоренца №4

Задача на силу Лоренца №5

Вопросы на тему «Сила Лоренца»

Задачи на силу Лоренца с решением

Задачи по теме «сила Лоренца»

Задача на силу Лоренца №1

Задача на силу Лоренца №2

Задача на силу Лоренца №3

Задача на силу Лоренца №4

Задача на силу Лоренца №5

Вопросы на тему «Сила Лоренца»

Сила Лоренца

Решение задач по теме «Сила Лоренца» ❤️

Магнетизм задачи с решением и примерами

Сила Лоренца 1

Сила Лоренца: решенные примеры задач

1. Сила, действующая на движущийся заряд в магнитном поле:

2. Движение заряженной частицы в однородном магнитном поле:

3. Движение заряженной частицы под скрещенными электрическим и магнитным полями (селектор скорости):

ПРИМЕР 3.25

Решение:

4. Циклотрон:

5. Сила на проводнике с током, помещенном в магнитное поле:

ПРИМЕР 3.27

Решение

домашних заданий и упражнений — Движение частиц под действием силы Лоренца

3.1: Преобразование Лоренца и сила Лоренца

Постулат 1

Закон силы Лоренца — обзор

1.2 Фундаментальные и конститутивные модели

Оценка силы Лоренца — Digitale Bibliothek Thüringen

PHY5200 лекция 10

Глава 2: Снаряды и частицы

Чтение

Движение заряда в однородном магнитном поле

Комплексные экспоненты

Решение для заряда в поле B

5.5 Преобразование Лоренца — University Physics Volume 3

Уравнения преобразования Галилея

Уравнения преобразования Лоренца

Пример 5,6

Использование преобразования Лоренца для времени

Решение

Пример 5,7

Использование преобразования Лоренца для длины

Решение

Пример 5,8

Преобразование Лоренца и одновременность

Решение

Значение

Проверьте свое понимание 5.5

Световой конус

Парадокс близнецов в пространстве-времени

Преобразования Лоренца в пространстве-времени

Одновременность

alexxlab

Добавить комментарий Отменить ответ

Рубрики