Site Loader

Содержание

Момент силы — это… Что такое Момент силы?

Момент силы, приложенный к гаечному ключу. Направлен от зрителя

Момент силы (синонимы: крутящий момент, вращательный момент, вертящий момент, вращающий момент) — векторная физическая величина, равная векторному произведению радиус-вектора, (проведенного от оси вращения к точке приложения силы — по определению), на вектор этой силы. Характеризует вращательное действие силы на твёрдое тело.

Понятия «вращающий» и «крутящий» моменты в общем случае не тождественны, так как в технике понятие «вращающий» момент рассматривается как внешнее усилие, прикладываемое к объекту, а «крутящий» — внутреннее усилие, возникающее в объекте под действием приложенных нагрузок (этим понятием оперируют в сопротивлении материалов).

Общие сведения

В физике момент силы можно понимать как «вращающая сила». В системе СИ единицами измерения для момента силы является Ньютон-метр. Момент силы иногда называют моментом пары сил, это понятие возникло в трудах Архимеда над рычагами. В простейшем случае, если сила приложена к рычагу перпендикулярно ему, момент силы определяется как произведение величины этой силы на расстояние до оси вращения рычага. Например, сила в 3 ньютона, приложенная к рычагу на расстоянии 2 метров от его оси вращения, создаёт такой же момент, что и сила в 1 ньютон, приложенная к рычагу на расстоянии 6 метров до оси вращения. Более точно, момент силы частицы определяется как векторное произведение:

где  — сила, действующая на частицу, а  — радиус-вектор частицы.

Предыстория

Строго говоря, вектор, обозначающий момент сил, введен искусственно, так как является удобным при вычислении работы по криволинейному участку относительно неподвижной оси и удобен при вычислении общего момента сил всей системы, так как может суммироваться. Для того, чтобы понять откуда появилось обозначение момента сил и как до него додумались, стоит рассмотреть действие силы на рычаг, поворачивающийся относительно неподвижной оси.

Работа, совершаемая при действии силы на рычаг , совершающий вращательное движение вокруг неподвижной оси, может быть рассчитана исходя из следующих соображений.

Пусть под действием этой силы конец рычага смещается на бесконечно малый отрезок , которому соответствует бесконечно малый угол . Обозначим через вектор, который направлен вдоль бесконечно малого отрезка и равен ему по модулю. Угол между вектором силы и вектором равен , а угол между вектором и вектором силы .

Следовательно, бесконечно малая работа , совершаемая силой на бесконечно малом участке равна скалярному произведению вектора и вектора силы, то есть .

Теперь попытаемся выразить модуль вектора через радиус-вектор , а проекцию вектора силы на вектор , через угол .

Так как для бесконечно малого перемещения рычага , можно считать, что траектория перемещения перпендикулярна рычагу , используя соотношения для прямоугольного треугольника, можно записать следующее равенство: , где в случае малого угла справедливо и следовательно

Для проекции вектора силы на вектор , видно, что угол , а так как , получаем, что .

Теперь запишем бесконечно малую работу через новые равенства или .

Теперь видно, что произведение есть не что иное как модуль векторного произведения векторов и , то есть , которое и было принято обозначить за момент силы или модуль вектора момента силы .

Теперь полная работа записывается очень просто: или .

Единицы

Момент силы имеет размерность сила на расстояние, и в системе СИ единицей момента силы является ньютон-метр. Джоуль, единица СИ для энергии и работы, тоже определяется как 1Н·м, но эта единица не используется для момента силы. Когда энергия представляется как результат «сила на расстояние», энергия скалярная, тогда как момент силы — это «сила, векторно умноженная на расстояние» и таким образом она (псевдо) векторная величина. Конечно, совпадение размерности этих величин не простое совпадение; момент силы 1Н·м, приложенный через целый оборот, требует энергии как раз 2*π джоулей. Математически

,

где Е — энергия, M— вращающий момент, θ — угол в радианах.

Специальные случаи

Формула момента рычага

Момент рычага

Очень интересен особый случай, представляемый как определение момента силы в поле:

= МОМЕНТ_РЫЧАГА * СИЛА

Проблема такого представления в том, что оно не дает направления момента силы, а только его величину, поэтому трудно рассматривать в.м. в 3-хмерном случае. Если сила перпендикулярна вектору r, момент рычага будет равен расстоянию до центра и момент силы будет максимален

= РАССТОЯНИЕ_ДО_ЦЕНТРА * СИЛА

Сила под углом

Если сила F направлена под углом θ к рычагу r, то M = r*F*sinθ, где θ это угол между рычагом и приложенной силой

Статическое равновесие

Для того чтобы объект находился в равновесии, должна равняться нулю не только сумма всех сил, но и сумма всех моментов силы вокруг любой точки. Для 2-хмерного случая с горизонтальными и вертикальными силами: сумма сил в двух измерениях ΣH=0, ΣV=0 и момент силы в третьем измерении ΣM=0.

Момент силы как функция от времени

Момент силы — производная по времени от момента импульса,

,

где L — момент импульса. Момент импульса твердого тела может быть описан через произведение момента инерции и угловой скорости.

,

То есть, если I постоянная, то

,

где α — угловое ускорение, измеряемое в радианах в секунду за секунду.

Отношение между моментом силы и мощностью

Если сила совершает действие на каком-либо расстоянии, то она совершает механическую работу. Также если момент силы совершает действие через угловое расстояние, он совершает работу.

= МОМЕНТ_СИЛЫ * УГЛОВАЯ_СКОРОСТЬ

В системе СИ мощность измеряется в Ваттах, момент силы в ньютон-метрах, а УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ в радианах в секунду.

Отношение между моментом силы и работой

= МОМЕНТ_СИЛЫ * УГОЛ

В системе СИ работа измеряется в Джоулях, момент силы в Ньютон * метр, а УГОЛ в радианах.

Обычно известна угловая скорость в радианах в секунду и время действия МОМЕНТА .

Тогда совершенная МОМЕНТОМ силы РАБОТА рассчитывается как:

= МОМЕНТ_СИЛЫ * *

Момент силы относительно точки

Если имеется материальная точка , к которой приложена сила , то момент силы относительно точки равен векторному произведению радиус-вектора , соединяющего точки и , на вектор силы :

.

Момент силы относительно оси

Моментом силы относительно оси называется момент проекции силы на плоскость, перпендикулярную оси, относительно точки пересечения оси с этой плоскостью.

Единицы измерения

Момент силы измеряется в ньютон-метрах. 1 Н·м — момент силы, который производит сила 1 Н на рычаг длиной 1 м. Сила приложена к концу рычага и направлена перпендикулярно ему.

Измерение момента

На сегодняшний день измерение момента силы осуществляется с помощью тензометрических, оптических и индуктивных датчиков нагрузки. В России при решении задач измерения момента в основном используется оборудование зарубежных производителей (HBM, Lorenz (Германия), Kyowa (Япония), Dacell (Корея) и ряда других).

Ссылки

См. также

Момент силы — это… Что такое Момент силы?

Момент силы, приложенный к гаечному ключу. Направлен от зрителя

Момент силы (синонимы: крутящий момент, вращательный момент, вертящий момент, вращающий момент) — векторная физическая величина, равная векторному произведению радиус-вектора, (проведенного от оси вращения к точке приложения силы — по определению), на вектор этой силы. Характеризует вращательное действие силы на твёрдое тело.

Понятия «вращающий» и «крутящий» моменты в общем случае не тождественны, так как в технике понятие «вращающий» момент рассматривается как внешнее усилие, прикладываемое к объекту, а «крутящий» — внутреннее усилие, возникающее в объекте под действием приложенных нагрузок (этим понятием оперируют в сопротивлении материалов).

Общие сведения

В физике момент силы можно понимать как «вращающая сила». В системе СИ единицами измерения для момента силы является Ньютон-метр. Момент силы иногда называют моментом пары сил, это понятие возникло в трудах Архимеда над рычагами. В простейшем случае, если сила приложена к рычагу перпендикулярно ему, момент силы определяется как произведение величины этой силы на расстояние до оси вращения рычага. Например, сила в 3 ньютона, приложенная к рычагу на расстоянии 2 метров от его оси вращения, создаёт такой же момент, что и сила в 1 ньютон, приложенная к рычагу на расстоянии 6 метров до оси вращения. Более точно, момент силы частицы определяется как векторное произведение:

где  — сила, действующая на частицу, а  — радиус-вектор частицы.

Предыстория

Строго говоря, вектор, обозначающий момент сил, введен искусственно, так как является удобным при вычислении работы по криволинейному участку относительно неподвижной оси и удобен при вычислении общего момента сил всей системы, так как может суммироваться. Для того, чтобы понять откуда появилось обозначение момента сил и как до него додумались, стоит рассмотреть действие силы на рычаг, поворачивающийся относительно неподвижной оси.

Работа, совершаемая при действии силы на рычаг , совершающий вращательное движение вокруг неподвижной оси, может быть рассчитана исходя из следующих соображений.

Пусть под действием этой силы конец рычага смещается на бесконечно малый отрезок , которому соответствует бесконечно малый угол . Обозначим через вектор, который направлен вдоль бесконечно малого отрезка и равен ему по модулю. Угол между вектором силы и вектором равен , а угол между вектором и вектором силы .

Следовательно, бесконечно малая работа , совершаемая силой на бесконечно малом участке равна скалярному произведению вектора и вектора силы, то есть .

Теперь попытаемся выразить модуль вектора через радиус-вектор , а проекцию вектора силы на вектор , через угол .

Так как для бесконечно малого перемещения рычага , можно считать, что траектория перемещения перпендикулярна рычагу , используя соотношения для прямоугольного треугольника, можно записать следующее равенство: , где в случае малого угла справедливо и следовательно

Для проекции вектора силы на вектор , видно, что угол , а так как , получаем, что .

Теперь запишем бесконечно малую работу через новые равенства или .

Теперь видно, что произведение есть не что иное как модуль векторного произведения векторов и , то есть , которое и было принято обозначить за момент силы или модуль вектора момента силы .

Теперь полная работа записывается очень просто: или .

Единицы

Момент силы имеет размерность сила на расстояние, и в системе СИ единицей момента силы является ньютон-метр. Джоуль, единица СИ для энергии и работы, тоже определяется как 1Н·м, но эта единица не используется для момента силы. Когда энергия представляется как результат «сила на расстояние», энергия скалярная, тогда как момент силы — это «сила, векторно умноженная на расстояние» и таким образом она (псевдо) векторная величина. Конечно, совпадение размерности этих величин не простое совпадение; момент силы 1Н·м, приложенный через целый оборот, требует энергии как раз 2*π джоулей. Математически

,

где Е — энергия, M— вращающий момент, θ — угол в радианах.

Специальные случаи

Формула момента рычага

Момент рычага

Очень интересен особый случай, представляемый как определение момента силы в поле:

= МОМЕНТ_РЫЧАГА * СИЛА

Проблема такого представления в том, что оно не дает направления момента силы, а только его величину, поэтому трудно рассматривать в.м. в 3-хмерном случае. Если сила перпендикулярна вектору r, момент рычага будет равен расстоянию до центра и момент силы будет максимален

= РАССТОЯНИЕ_ДО_ЦЕНТРА * СИЛА

Сила под углом

Если сила F направлена под углом θ к рычагу r, то M = r*F*sinθ, где θ это угол между рычагом и приложенной силой

Статическое равновесие

Для того чтобы объект находился в равновесии, должна равняться нулю не только сумма всех сил, но и сумма всех моментов силы вокруг любой точки. Для 2-хмерного случая с горизонтальными и вертикальными силами: сумма сил в двух измерениях ΣH=0, ΣV=0 и момент силы в третьем измерении ΣM=0.

Момент силы как функция от времени

Момент силы — производная по времени от момента импульса,

,

где L — момент импульса. Момент импульса твердого тела может быть описан через произведение момента инерции и угловой скорости.

,

То есть, если I постоянная, то

,

где α — угловое ускорение, измеряемое в радианах в секунду за секунду.

Отношение между моментом силы и мощностью

Если сила совершает действие на каком-либо расстоянии, то она совершает механическую работу. Также если момент силы совершает действие через угловое расстояние, он совершает работу.

= МОМЕНТ_СИЛЫ * УГЛОВАЯ_СКОРОСТЬ

В системе СИ мощность измеряется в Ваттах, момент силы в ньютон-метрах, а УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ в радианах в секунду.

Отношение между моментом силы и работой

= МОМЕНТ_СИЛЫ * УГОЛ

В системе СИ работа измеряется в Джоулях, момент силы в Ньютон * метр, а УГОЛ в радианах.

Обычно известна угловая скорость в радианах в секунду и время действия МОМЕНТА .

Тогда совершенная МОМЕНТОМ силы РАБОТА рассчитывается как:

= МОМЕНТ_СИЛЫ * *

Момент силы относительно точки

Если имеется материальная точка , к которой приложена сила , то момент силы относительно точки равен векторному произведению радиус-вектора , соединяющего точки и , на вектор силы :

.

Момент силы относительно оси

Моментом силы относительно оси называется момент проекции силы на плоскость, перпендикулярную оси, относительно точки пересечения оси с этой плоскостью.

Единицы измерения

Момент силы измеряется в ньютон-метрах. 1 Н·м — момент силы, который производит сила 1 Н на рычаг длиной 1 м. Сила приложена к концу рычага и направлена перпендикулярно ему.

Измерение момента

На сегодняшний день измерение момента силы осуществляется с помощью тензометрических, оптических и индуктивных датчиков нагрузки. В России при решении задач измерения момента в основном используется оборудование зарубежных производителей (HBM, Lorenz (Германия), Kyowa (Япония), Dacell (Корея) и ряда других).

Ссылки

См. также

Конвертер момента силы • Механика • Компактный калькулятор • Онлайн-конвертеры единиц измерения

Конвертер длины и расстоянияКонвертер массыКонвертер мер объема сыпучих продуктов и продуктов питанияКонвертер площадиКонвертер объема и единиц измерения в кулинарных рецептахКонвертер температурыКонвертер давления, механического напряжения, модуля ЮнгаКонвертер энергии и работыКонвертер мощностиКонвертер силыКонвертер времениКонвертер линейной скоростиПлоский уголКонвертер тепловой эффективности и топливной экономичностиКонвертер чисел в различных системах счисления.Конвертер единиц измерения количества информацииКурсы валютРазмеры женской одежды и обувиРазмеры мужской одежды и обувиКонвертер угловой скорости и частоты вращенияКонвертер ускоренияКонвертер углового ускоренияКонвертер плотностиКонвертер удельного объемаКонвертер момента инерцииКонвертер момента силыКонвертер вращающего моментаКонвертер удельной теплоты сгорания (по массе)Конвертер плотности энергии и удельной теплоты сгорания топлива (по объему)Конвертер разности температурКонвертер коэффициента теплового расширенияКонвертер термического сопротивленияКонвертер удельной теплопроводностиКонвертер удельной теплоёмкостиКонвертер энергетической экспозиции и мощности теплового излученияКонвертер плотности теплового потокаКонвертер коэффициента теплоотдачиКонвертер объёмного расходаКонвертер массового расходаКонвертер молярного расходаКонвертер плотности потока массыКонвертер молярной концентрацииКонвертер массовой концентрации в раствореКонвертер динамической (абсолютной) вязкостиКонвертер кинематической вязкостиКонвертер поверхностного натяженияКонвертер паропроницаемостиКонвертер плотности потока водяного параКонвертер уровня звукаКонвертер чувствительности микрофоновКонвертер уровня звукового давления (SPL)Конвертер уровня звукового давления с возможностью выбора опорного давленияКонвертер яркостиКонвертер силы светаКонвертер освещённостиКонвертер разрешения в компьютерной графикеКонвертер частоты и длины волныОптическая сила в диоптриях и фокусное расстояниеОптическая сила в диоптриях и увеличение линзы (×)Конвертер электрического зарядаКонвертер линейной плотности зарядаКонвертер поверхностной плотности зарядаКонвертер объемной плотности зарядаКонвертер электрического токаКонвертер линейной плотности токаКонвертер поверхностной плотности токаКонвертер напряжённости электрического поляКонвертер электростатического потенциала и напряженияКонвертер электрического сопротивленияКонвертер удельного электрического сопротивленияКонвертер электрической проводимостиКонвертер удельной электрической проводимостиЭлектрическая емкостьКонвертер индуктивностиКонвертер реактивной мощностиКонвертер Американского калибра проводовУровни в dBm (дБм или дБмВт), dBV (дБВ), ваттах и др. единицахКонвертер магнитодвижущей силыКонвертер напряженности магнитного поляКонвертер магнитного потокаКонвертер магнитной индукцииРадиация. Конвертер мощности поглощенной дозы ионизирующего излученияРадиоактивность. Конвертер радиоактивного распадаРадиация. Конвертер экспозиционной дозыРадиация. Конвертер поглощённой дозыКонвертер десятичных приставокПередача данныхКонвертер единиц типографики и обработки изображенийКонвертер единиц измерения объема лесоматериаловВычисление молярной массыПериодическая система химических элементов Д. И. Менделеева

Двутавровые балки в конструкции здания

Общие сведения

Момент силы — это физическая величина, характеризующая насколько сила, приложенная к телу, вызывает вращение тела вокруг оси. В английском и некоторых других языках это явление называют разными словами, в зависимости от контекста. Поскольку эта статья написана для сайта переводчиков, мы немного поговорим о терминологии в других языках. Величина момента силы равна векторному произведению силы, приложенной к телу на вычисленное по перпендикуляру расстояние между осью вращения и точкой приложения силы, которая вызывает вращение. В английском языке для момента силы используют два термина, момент силы (moment of force) и отдельный термин, torque. Английский термин torque используют для обозначения физической величины, которую измеряют так же, как и момент силы (в английском), но только в контексте, в котором сила, ответственная за это свойство, обязательно вызывает вращение тела. Эту величину также измеряют, умножив силу на расстояние между осью вращения и точкой приложения силы. В русском языке термину «torque» соответствуют термины «вращающий момент» и «вращательный момент», которые являются синонимами. Русский термин «крутящий момент» относится к внутренним усилиям, возникающим в объектах под действием приложенных к ним нагрузок. Этому термину соответствуют английские термины «torsional movement», «torque effect», «torsional shear» и некоторые другие.

Вращающий момент (torque в английской терминологии) — результат приложения двух сил, которые рука прилагает к отвертке, а отвертка, в свою очередь — к головке винта

Как уже упоминалось выше, в этой статье мы уделяем много внимания контексту, в котором используется тот или иной английский термин. Наша задача — объяснить разницу, чтобы помочь читателю, если он в будущем столкнется с этими терминами в английском тексте. Самое главное, что следует помнить — оба термина, момент силы и torque, используют для одной и той же физической величины, но в разных контекстах. Во многих языках, как и в русском, используют только один термин. Ниже рассмотрим в каком же контексте используют каждый из этих терминов.

Терминология в английском языке

Как мы уже упоминали выше, английские термины «момент силы» и «torque» используют для одного и того же понятия, но в разных контекстах. В этом разделе обсудим, когда в английском наиболее часто используют термин «момент силы» и почти не используют «torque». Часто о понятии «torque» говорят в контексте, когда сила, действующая на тело вызывает изменение углового ускорения тела. С другой стороны, когда в английском языке говорят о моменте силы, то сила, действующая на тело не обязательно вызывает такое ускорение. То есть, «torque» — это частный пример момента силы, но не наоборот. Можно также сказать, что «torque» — это момент силы, но момент силы — не «torque».

Ниже рассмотрим несколько примеров. Стоит еще раз напомнить, что разница в использовании этих двух терминов зависит от контекста, но используют их для одного и того же физического явления. Нередко оба эти термина используют попеременно.

На вороток действует пара сил от рук, в результате чего возникает вращающий момент, (по-английски torque).

Чтобы понять, что такое момент силы, рассмотрим вначале, что такое момент в общем. Момент — это интенсивность, с которой сила действует на тело на определенном расстоянии относительно тела. Величина момента силы зависит от величины силы, которая действует на тело, и от расстояния от точки приложения силы до точки на теле. Как мы увидели из определения выше, эта точка часто находится на оси вращения.

Момент силы пропорционален силе и радиусу. Это значит, что если сила приложена к телу на определенном расстоянии от оси вращения, то вращательное действие этой силы умножается на радиус, то есть чем дальше от оси вращения приложена сила, тем более вращающее действие она оказывает на тело. Это принцип используется в системах рычагов, шестерней и блоков, чтобы получить выигрыш в силе. В этом контексте чаще всего говорят о моменте силы и о его использовании в различных системах, например в системах рычагов. Примеры работы рычагов показаны в статье «Подробнее о вращающем моменте». Стоит заметить, что в этой статье мы в основном обсуждаем вращающий момент, что соответствует английскому термину «torque».

Изгибающий момент. В данной ситуации нет кручения, поэтому здесь лучше говорить о моменте силы, а не о вращающем моменте.

Иногда понятия момент силы и вращающий момент различают с помощью понятия «пары сил». Пара сил — это две силы одинаковой величины, действующие в противоположном направлении. Эти силы вызывают вращение тела, и их векторная сумма равна нулю. То есть, термин «момент силы» используют в более общем контексте, чем вращающий момент.

В некоторых случаях термин «вращающий момент» используют, когда тело вращается, в то время как термин «момент силы» используют, когда тело не вращается, например, если речь идет об опорных балках и других конструктивных элементах зданий в строительстве. В таких системах концы балки либо жестко закреплены (жесткая заделка), либо крепление позволяет балке вращаться. Во втором случае говорят, что эта балка закреплена на шарнирной опоре. Если на эту балку действует сила, например, перпендикулярно ее поверхности, то в результате образуется момент силы. Если балка не фиксирована, а прикреплена на шарнирной опоре, то она свободно движется в ответ на действующие на нее силы. Если же балка фиксирована, то в противодействие моменту силы образуется другой момент, известный как изгибающий момент. Как видно из этого примера, термины момент силы и вращающий момент различаются тем, что момент силы не обязательно изменяет угловое ускорение. В этом примере угловое ускорение не изменяется потому, что силам извне, действующим на балку, противодействуют внутренние силы.

Примеры момента силы

Здесь момент силы каждого ребенка равен весу этого ребенка, умноженному на его расстояние от оси вращения. Девочка сидит ближе к точке опоры, но прилагает больше силы к качелям, чем мальчик, поэтому качели — в равновесии.

Хороший пример момента силы в быту — это действие на тело одновременно момента силы и изгибающего момента, о котором мы говорили выше. Момент силы часто используют в строительстве и в проектировании строительных конструкций, так как, зная момент силы, можно определить нагрузку, которую должна выдержать эта конструкция. Нагрузка включает нагрузку от собственного веса, нагрузку, вызванную внешними воздействиями (ветром, снегом, дождем, и так далее), нагрузку от мебели и нагрузку, вызванную посетителями и обитателями здания (их вес). Нагрузка, вызванная людьми и интерьером, называется в строительстве полезной нагрузкой, а нагрузка, вызванная весом самого здания и окружающей средой называется статической или постоянной нагрузкой.

При постройке в 1900 году моста Александры через реку Оттава использовано много двутавровых балок

Если на балку или другой конструктивный элемент действует сила, то в ответ на эту силу возникает изгибающий момент, под действием которого некоторые части этой балки сжимаются, в то время как другие, наоборот, растягиваются. Представим, к примеру, балку, на которую действует сила, направленная вниз и приложенная по центру. Под воздействием этой силы балка принимает вогнутую форму. Верхняя часть балки, на которую действует сила, сжимается под воздействием этой силы, в то время как нижняя, наоборот, растягивается. Если нагрузка больше, чем этот материал может выдержать, то балка разрушается.

Наибольшая нагрузка — на самый верхний и самый нижний слои балки, поэтому в строительстве и при проектировании сооружений эти слои часто укрепляют. Хороший пример — использование двутавровых конструкций. Двутавр — конструктивный элемент с поперечным сечением в форме буквы Н или латинской буквы “I” с верхней и нижней засечками (поэтому английском языке используют термин I-beam, Такая форма очень экономична, так как она позволяет упрочнить самые слабые части балки, используя при этом наименьшее количество материала. Чаще всего двутавровые балки сделаны из стали, но для прочной балки двутавровой конструкции вполне можно использовать и другие материалы. На YouTube можно найти видеосюжеты испытания двутавровых балок, сделанных из материалов, менее прочных, чем сталь, например из пенопласта и фанеры (нужно искать plywood beam test). Двутавровые балки из фанеры и древесностружечных плит появились на российском рынке стройматериалов относительно недавно, хотя они давно и очень широко применяются при строительстве каркасных домов в Северной Америке.

Если на конструкцию действует изгибающий момент, то двутавровые балки — решение проблем, связанных с прочностью. Двутавровые балки также используют в конструкциях, которые подвергаются напряжению сдвига. Края двутавровой балки противодействуют изгибающему моменту, в то время как центральная опора противостоит напряжению сдвига. Несмотря на ее достоинства, двутавровая балка не может противостоять крутящим нагрузкам. Чтобы уменьшить эту нагрузку на поверхность конструкции, ее делают круглой и полируют поверхность, чтобы предотвратить скопление нагрузки в точках с неровной поверхностью. Увеличение диаметра и изготовление такой конструкции полой внутри может помочь уменьшить ее вес.

Турбовинтовые двигатели с воздушными винтами создают крутящий момент, который действует на фюзеляж этого турбовинтового самолета; по-английски в данном случае могут говорить о моменте силы (moment of force) или о возникновении напряжения при кручении (torsional stress), так как вращение отсутствует

Заключение

В это статье мы рассмотрели, чем отличаются термины «момент силы» и «вращающий момент», а также английские термины «moment of force» и «torque», и увидели несколько примеров момента силы. В основном мы говорили о случаях, когда момент силы создает проблемы в строительстве, но часто бывает наоборот и момент силы приносит пользу. Примеры использования момента силы на практике — в статье «Подробнее о вращающем моменте». Стоит также упомянуть, что разница в терминологии в английском языке чаще всего значительна в американском и британском машиностроении и строительстве, в то время как в физике эти термины часто взаимозаменяемы.

Литература

Автор статьи: Kateryna Yuri

Вы затрудняетесь в переводе единицы измерения с одного языка на другой? Коллеги готовы вам помочь. Опубликуйте вопрос в TCTerms и в течение нескольких минут вы получите ответ.

Multitran dictionary

English-Russian forum   EnglishGermanFrenchSpanishItalianDutchEstonianLatvianAfrikaansEsperantoKalmyk ⚡ Forum rules
✎ New thread | Private message Name Date
14 149  Выделенный шрифт/ жирный шрифт  qp  31.08.2021  15:59
2 35  disposed through  amateur-1  31.08.2021  22:46
43 977  OFF: БП и тп, зачем запрашивать ставки, если вы их уже установили?  | 1 2 all omni  26.08.2021  15:49
7 120  named nerves  ochernen  30.08.2021  22:05
28 1048  1/2 OFF: Новые возможности  Val61  25.08.2021  21:29
7 87  break audit tril  Bill Board1  30.08.2021  22:27
4 151  OFF: названия столбцов таблицы  adelaida  31.08.2021  10:11
3 66  C-to-T single-base transition mutations  ochernen  30.08.2021  14:11
2 75  Помогите понять смысл фразы 2-е предложение пожалуйста  ochernen  30.08.2021  23:24
2 154  Пожалуйста, помогите с проверкой перевода  Zhandos  28.08.2021  14:44
544 9980  Ошибки в словаре  | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 all 4uzhoj  23.02.2021  13:36
5 82  trade financing facilities  Alex16  29.08.2021  15:12
11 162  Изменение бизнес-модели в сторону …  Cat111  30.08.2021  11:59
3 150  prep and drape  bnvl  28.08.2021  14:07
1 43  under a credit link term loan through  Alex16  29.08.2021  17:49
1 39  borrowing base facility  Alex16  29.08.2021  19:14
16 157  for the refinancing of existing power plant project loans  Alex16  28.08.2021  0:45
2 40  oil margin loan financing  Alex16  29.08.2021  14:47
7 119  a super senior RCF  Alex16  27.08.2021  1:24
4 132  Chemical Process Technician  Zhandos  27.08.2021  20:37
5 101  if 5% of all the readings are as low as 80% of  Александр Рыжов  28.08.2021  15:47
11 251  Пожалуйста помогите с вычиткой переведенного мной текста  Zhandos  27.08.2021  22:30
1 58  Certificate of constancy of performance  jadronovka  28.08.2021  15:43
14 761  Словари Шломана  niccolo  23.10.2020  16:35
1 88  «Оплата в пунктах приёма платежей» «Итого начислено»  Aleksey11  27.08.2021  22:37
4 129  юные в анализе крови  Aleksey11  27.08.2021  16:29

Формула вращающий момент


Момент силы, формулы 📙 — Физика

1. Основные понятия
2. Формулы для нахождения момента силы
3. Момент нескольких сил

Момент силы – это характеристика вращательного воздействия силы на объект. Момент силы рассчитывают, как векторное произведение вектора силы и радиус-вектора, опущенного от центра вращения до точки, к которой приложена сила.

Определение 1

Момент силы есть вращательным или крутящим моментом, представляющим собой векторную величину.

При этом понятия «крутящий» и «вращающий» нельзя отождествлять, потому что технически вращающим моментом принято считать внешнее усилие, которое прикладывается к телу, а крутящий момент обозначает внутреннее усилие, появляющееся в теле при нагрузке. Данное понятие применимо при расчете сопротивления материалов.

Не нашли что искали?

Просто напиши и мы поможем

Момент силы – это вращающая сила. По международной системе СИ единицей измерения момента вращающей силы есть ньютон-метр. Архимед при работе с рычагами отмечал, что моментом силы также считается момент пары сил.

Замечание 1

При перпендикулярном прикладывании силы к рычагу, момент данной силы прямо пропорционален ее величине и расстоянию до оси вращения этого рычага.

Таким образом, сила в \(3 Н\), что действует на рычаг в точке, отдаленной на 2 м от оси вращения, формирует момент, что равняется силе в \(1 Н\), что действует в точке, отдаленной на 6 м. Наиболее точным определением момента силы есть следующее выражение:
\(\vec {M}=\vec{r}\vec{F}\),
где \(\vec {F}\)– сила, что действует на объект;
       \(\vec {r}\)– радиус-вектор объекта.

С точки зрения физики момент силы есть псевдо векторной величиной, в отличие от энергии, которая есть величиной скалярной. Но совпадение их размерности не случайно. Момент силы величиной \(1 Н∙м\), что приложена через целый оборот при совершении механической работы, передает энергию в \(2π\) Джоуля:
\(E=Mθ\),
где \(E\) – энергия;
      \(θ\) – угол;
     \(M\) – вращающий момент.      

На сегодняшний день момент силы измеряют при помощи оптических, индуктивных и тензометрических приборов нагрузки.

Момент силы рассчитывают таким образом:
\(\vec{M} = \vec{M_1}\vec{F}\),
где \(\vec{M_1}\) – момент рычага;
       \(\vec{F}\)– сила действия.

Данная формула позволяет определить только значение момента силы, но не его направление. Когда сила перпендикулярна вектору \(r ⃗,\) то момент рычага равняется расстоянию от центра вращения до точки действия силы, а момент силы имеет наибольшее значение:
\(\vec{T}=\vec{r}\vec{F}\)

Сложно разобраться самому?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Если сила воздействует на определённом расстоянии, это значит, что она делает механическую работу. Момент силы тоже делает работу, выполняя действие через угловое расстояние.
\(P = \vec {M}\omega\)
где \(P\) – мощность, Ватт;
     \(\vec{M}\)– момент силы, ньютон-метр;
      \(ω\) – угловая скорость, радиан/секунда.

Замечание 2

Если на тело воздействуют две равных силы, что направлены противоположно и не лежат на одной прямой, тело пребывает в неравновесном состоянии. Это происходит по причине того, что результирующий момент данных сил по отношению к любой оси не равен нулю, поскольку они представлены моментами с одинаковым направлением. То есть, это пара сил.

Если тело закрепить на оси, то под воздействием пары сил оно будет вращаться вокруг этой оси. Если же пару сил приложить к свободному телу, то его вращение будет вокруг оси, проходящей через его центр тяжести.

Момент пары сил одинаков по отношению к любой оси, перпендикулярной плоскости пары. Суммарный момент M пары равняется произведению одной силы \(F\) на отдаленность этих сил \(L\), то есть плечо пары, в независимости от длины отрезков, на которые плечо делит ось.

\(M=FL_1+FL_2=F(L_1+L_2 )=FL\)

Если равнодействующая момента нескольких сил равняется нулю, то он будет одинаковым по отношению ко всем параллельным между собой осям. Поэтому действие на объект данных сил можно заменить воздействием одной пары сил с таким же моментом.
 

 

Момент силы. Формула, определение и примеры расчета

Моментом силы называют вращательное усилие создаваемое вектором силы относительно другого объекта (оси, точки).

Размерность — [Н∙м] (Ньютон на метр) либо кратные значения [кН∙м]

Аналогом момента силы является момент пары сил.

Обязательным условием возникновения момента является то, что точка, относительно которой создается момент не должна лежать на линии действия силы.

Определение

Момент определяется как произведение силы F на плечо h:

M(F)=F∙h

Плечо силы h, определяется как кратчайшее расстояние от точки до линии действия силы.

Наш короткий видеоурок про момент силы с примерами:

Например, сила величиной 7 кН приложенная на расстоянии 35см от рассматриваемой точки дает момент M=7×0,35=2,45 кНм.

Пример момента силы

Наиболее наглядным примером момента силы может служить поворачивание гайки гаечным ключом.

Гайки заворачиваются вращением, для этого к ним прикладывается момент, но сам момент возникает при воздействии нашей силы на гаечный ключ.

Вы конечно интуитивно понимаете — для того чтобы посильнее закрутить гайку надо взяться за ключ как можно дальше от нее.

В этом случае, прикладывая ту же силу, мы получаем большую величину момента за счет увеличения её плеча (h4>h3).

Плечом при этом служит расстояние от центра гайки до точки приложения силы.

Плечо момента силы

Рассмотрим порядок определения плеча h момента:

Пусть заданы точка A и некоторая произвольная сила F, линия действия которой не проходит через эту точку. Требуется определить момент силы.

Покажем линию действия силы F (штриховая линия)

Проведем из точки A перпендикуляр h к линии действия силы

Длина отрезка h есть плечо момента силы F относительно точки A.

Момент принимается положительным, если его вращение происходит против хода часовой стрелки (как на рисунке).

Так принято для того, чтобы совпадали знаки момента и создаваемого им углового перемещения.

Примеры расчета момента силы

Сила расположена перпендикулярно оси стержня

Расстояние между точками A и B — 3 метра.

Момент силы относительно точки A:

МA=F×AB=F×3м

Сила расположена под углом к оси стержня

Момент силы относительно точки B:

MB=F×cos300×AB=F×cos300×3м

Известно расстояние от точки до линии действия силы

Момент силы относительно точки B:

MB=F×3м


См. также:

Формула момента силы в физике

Определение и формула момента силы

Определение

Векторное произведение радиус – вектора ($\bar{r}$), который проведен из точки О (рис.1) в точку к которой приложена сила $\bar{F}$ на сам вектор $\bar{F}$ называют моментом силы ($\bar{M}$) по отношению к точке O:

$$\bar{M}=\bar{r} \times \bar{F}(1)$$

На рис.1 точка О и вектор силы ( $\bar{F}$)и радиус – вектор $\bar{r}$ находятся в плоскости рисунка. В таком случае вектор момента силы ($\bar{M}$) перпендикулярен плоскости рисунка и имеет направление от нас. Вектор момента силы является аксиальным. Направление вектора момента силы выбирается таким образом, что вращение вокруг точки О в направлении силы и вектор $\bar{M}$ создают правовинтовую систему. Направление момента сил и углового ускорения совпадают.

Величина вектора $\bar{M}$ равна:

$$M=r F \sin \alpha=l F$$

где $\alpha$ – угол между направлениями радиус – вектора и вектора силы, $l=r \sin \alpha$– плечо силы относительно точки О.

Момент силы относительно оси

Моментом силы по отношению к оси является физическая величина, равная проекции вектора момента силы относительно точки избранной оси на данную ось.{\prime}}$ — радиус-вектор, который проведен из точки О к точке О’, $\bar{F}$ – главный вектор системы сил.

В общем случае результат действия на твердое тело произвольной системы сил такое же, как действие на тело главного момента $\bar{M}$ системы сил и главного вектора системы сил, который приложен в центре приведения (точка О).

Основной закон динамики вращательного движения

$$\bar{M}=\frac{d \bar{L}}{d t}$$

где $\bar{L}$ – момент импульса тела находящегося во вращении.

Для твердого тела этот закон можно представить как:

$$\bar{M}=I \bar{\varepsilon}(6)$$

где I – момент инерции тела, $\bar{\varepsilon}$ – угловое ускорение.

Единицы измерения момента силы

Основной единицей измерения момента силы в системе СИ является: [M]=Н•м

В СГС: [M]=дин•см

Примеры решения задач

Пример

Задание. На рис.1 показано тело, которое имеет ось вращения OO’. Момент силы, приложенный к телу относительно заданной оси, будет равен нулю? Ось и вектор силы расположены в плоскости рисунка.{\circ}$), следовательно, векторное произведение (1.1) нулю не равно. Значит, момент силы отличен от нуля.

Ответ. $\bar{M} \neq 0$

Пример

Задание. Угловая скорость вращающегося твердого тела изменяется в соответствии с графиком, который представлен на рис.2. В какой из указанных на графике точек момент сил, приложенных к телу равен нулю?

Решение. Момент сил, приложенных к вращающемуся твердому телу можно найти при помощи основного закона вращательного движения:

$$M=I \varepsilon(2.1)$$

где $\varepsilon$ угловое ускорение вращения тела.его в свою очередь можно выразить через угловую скорость вращения тела как:

$$\varepsilon=\frac{d \omega}{d t}(2.2)$$

Перепишем (2.1), используя (2.2), имеем:

$$M=I \frac{d \omega}{d t}(2.3)$$

Так как $I \neq 0$ (момент инерции не равен нулю), то для выполнения условия M=0 должна быть равна нулю производная от угловой скорости по времени. Производная равна нулю в экстремуме. На рис. экстремумом является точка 3.

Ответ. M=0 в точке 3.

Читать дальше: Формула мощности.

Вы поняли, как решать? Нет?

Помощь с решением

Мощность и вращающий момент электродвигателя. Что это такое?


Мощность и вращающий момент электродвигателя

Данная глава посвящена вращающему моменту: что это такое, для чего он нужен и др. Мы также разберём типы нагрузок в зависимости от моделей насосов и соответствие между электродвигателем и нагрузкой насоса.

Вы когда-нибудь пробовали провернуть вал пустого насоса руками? Теперь представьте, что вы поворачиваете его, когда насос заполнен водой. Вы почувствуете, что в этом случае, чтобы создать вращающий момент, требуется гораздо большее усилие.

А теперь представьте, что вам надо крутить вал насоса несколько часов подряд. Вы бы устали быстрее, если бы насос был заполнен водой, и почувствовали бы, что потратили намного больше сил за тот же период времени, чем при выполнении тех же манипуляций с пустым насосом. Ваши наблюдения абсолютно верны: требуется большая мощность, которая является мерой работы (потраченной энергии) в единицу времени. Как правило, мощность стандартного электродвигателя выражается в кВт.

Вращающий момент (T) — это произведение силы на плечо силы. В Европе он измеряется в Ньютонах на метр (Нм).

Как видно из формулы, вращающий момент увеличивается, если возрастает сила или плечо силы — или и то и другое. Например, если мы приложим к валу силу в 10 Н, эквивалентную 1 кг, при длине рычага (плече силы) 1 м, в результате, вращающий момент будет 10 Нм. При увеличении силы до 20 Н или 2 кг, вращающий момент будет 20 Нм. Таким же образом, вращающий момент был бы 20 Нм, если бы рычаг увеличился до 2 м, а сила составляла 10 Н. Или при вращающем моменте в 10 Нм с плечом силы 0,5 м сила должна быть 20 Н.


Работа и мощность

Теперь остановимся на таком понятии как «работа», которое в данном контексте имеет особое значение. Работа совершается всякий раз, когда сила — любая сила — вызывает движение. Работа равна силе, умноженной на расстояние. Для линейного движения мощность выражается как работа в определённый момент времени.

Если мы говорим о вращении, мощность выражается как вращающий момент (T), умноженный на частоту вращения (w).

Частота вращения объекта определяется измерением времени, за которое определённая точка вращающегося объекта совершит полный оборот. Обычно эта величина выражается в оборотах в минуту, т.е. мин-1 или об/мин. Например, если объект совершает 10 полных оборотов в минуту, это означает, что его частота вращения: 10 мин-1 или 10 об/мин.

Итак, частота вращения измеряется в оборотах в минуту, т.е. мин-1.

Приведем единицы измерения к общему виду.

Для наглядности возьмём разные электродвигатели, чтобы более подробно проанализировать соотношение между мощностью, вращающим моментом и частотой вращения. Несмотря на то, что вращающий момент и частота вращения электродвигателей сильно различаются, они могут иметь одинаковую мощность.

Например, предположим, что у нас 2-полюсный электродвигатель (с частотой вращения 3000 мин-1) и 4-полюсной электродвигатель (с частотой вращения 1500 мин-1). Мощность обоих электродвигателей 3,0 кВт, но их вращающие моменты отличаются.

Таким образом, вращающий момент 4-полюсного электродвигателя в два раза больше вращающего момента двухполюсного электродвигателя с той же мощностью.

Как образуется вращающий момент и частота вращения?

Теперь, после того, как мы изучили основы вращающего момента и скорости вращения, следует остановиться на том, как они создаются.

В электродвигателях переменного тока вращающий момент и частота вращения создаются в результате взаимодействия между ротором и вращающимся магнитным полем. Магнитное поле вокруг обмоток ротора будет стремиться к магнитному полю статора. В реальных рабочих условиях частота вращения ротора всегда отстаёт от магнитного поля. Таким образом, магнитное поле ротора пересекает магнитное поле статора и отстает от него и создаёт вращающий момент. Разницу в частоте вращения ротора и статора, которая измеряется в %, называют скоростью скольжения.

Скольжение является основным параметром электродвигателя, характеризующий его режим работы и нагрузку. Чем больше нагрузка, с которой должен работать электродвигатель, тем больше скольжение.

Помня о том, что было сказано выше, разберём ещё несколько формул. Вращающий момент индукционного электродвигателя зависит от силы магнитных полей ротора и статора, а также от фазового соотношения между этими полями. Это соотношение показано в следующей формуле:

Сила магнитного поля, в первую очередь, зависит от конструкции статора и материалов, из которых статор изготовлен. Однако напряжение и частота тока также играют важную роль. Отношение вращающих моментов пропорционально квадрату отношения напряжений, т.е. если подаваемое напряжение падает на 2%, вращающий момент, следовательно, уменьшается на 4%.


Потребляемая мощность электродвигателя

Ток ротора индуцируется через источник питания, к которому подсоединён электродвигатель, а магнитное поле частично создаётся напряжением. Входную мощность можно вычислить, если нам известны данные источника питания электродвигателя, т.е. напряжение, коэффициент мощности, потребляемый ток и КПД.

В Европе мощность на валу обычно измеряется в киловаттах. В США мощность на валу измеряется в лошадиных силах (л.с.).

Если вам необходимо перевести лошадиные силы в киловатты, просто умножьте соответствующую величину (в лошадиных силах) на 0,746. Например, 20 л.с. равняется (20 • 0,746) = 14,92 кВт.

И наоборот, киловатты можно перевести в лошадиные силы умножением величины в киловаттах на 1,341. Это значит, что 15 кВт равняется 20,11 л.с.


Момент электродвигателя

Мощность [кВт или л.с.] связывает вращающий момент с частотой вращения, чтобы определить общий объём работы, который должен быть выполнен за определённый промежуток времени.

Рассмотрим взаимодействие между вращающим моментом, мощностью и частотой вращения, а также их связь с электрическим напряжением на примере электродвигателей Grundfos. Электродвигатели имеют одну и ту же номинальную мощность как при 50 Гц, так и при 60 Гц.

Это влечёт за собой резкое снижение вращающего момента при 60 Гц: частота 60 Гц вызывает 20%-ное увеличение числа оборотов, что приводит к 20%-ному уменьшению вращающего момента. Большинство производителей предпочитают указывать мощность электродвигателя при 60 Гц, таким образом, при снижении частоты тока в сети до 50 Гц электродвигатели будут обеспечивать меньшую мощность на валу и вращающий момент. Электродвигатели обеспечивают одинаковую мощность при 50 и 60 Гц.

Графическое представление вращающего момента электродвигателя изображено на рисунке.

Иллюстрация представляет типичную характеристику вращающий момент/частота вращения. Ниже приведены термины, используемые для характеристики вращающего момента электродвигателя переменного тока.

Пусковой момент (Мп): Механический вращающий момент, развиваемый электродвигателем на валу при пуске, т.е. когда через электродвигатель пропускается ток при полном напряжении, при этом вал застопорен.

Минимальный пусковой момент (Ммин): Этот термин используется для обозначения самой низкой точки на кривой вращающий момент/частота вращения электродвигателя, нагрузка которого увеличивается до полной скорости вращения. Для большинства электродвигателей Grundfos величина минимального пускового момента отдельно не указывается, так как самая низкая точка находится в точке заторможенного ротора. В результате для большинства электродвигателей Grundfos минимальный пусковой момент такой же, как пусковой момент.

Блокировочный момент (Мблок): Максимальный вращающий момент — момент, который создаёт электродвигатель переменного тока с номинальным напряжением, подаваемым при номинальной частоте, без резких скачков скорости вращения. Его называют предельным перегрузочным моментом или максимальным вращающим моментом.

Вращающий момент при полной нагрузке (Мп.н.): Вращающий момент, необходимый для создания номинальной мощности при полной нагрузке.


Нагрузка насосов и типы нагрузки электродвигателя

Выделяют следующие типы нагрузок:

Постоянная мощность

Термин «постоянная мощность» используется для определённых типов нагрузки, в которых требуется меньший вращающий момент при увеличении скорости вращения, и наоборот. Нагрузки при постоянной мощности обычно применяются в металлообработке, например, сверлении, прокатке и т.п.

Постоянный вращающий момент

Как видно из названия — «постоянный вращающий момент» — подразумевается, что величина вращающего момента, необходимого для приведения в действие какого- либо механизма, постоянна, независимо от скорости вращения. Примером такого режима работы могут служить конвейеры.

Переменный вращающий момент и мощность

«Переменный вращающий момент» — эта категория представляет для нас наибольший интерес. Этот момент имеет отношение к нагрузкам, для которых требуется низкий вращающий момент при низкой частоте вращения, а при увеличении скорости вращения требуется более высокий вращающий момент. Типичным примером являются центробежные насосы.

Вся остальная часть данного раздела будет посвящена исключительно переменному вращающему моменту и мощности.

Определив, что для центробежных насосов типичным является переменный вращающий момент, мы должны проанализировать и оценить некоторые характеристики центробежного насоса. Использование приводов с переменной частотой вращения обусловлено особыми законами физики. В данном случае это законы подобия, которые описывают соотношение между разностями давления и расходами.

Во-первых, подача насоса прямо пропорциональна частоте вращения. Это означает, что если насос будет работать с частотой вращения на 25% больше, подача увеличится на 25%.

Во-вторых, напор насоса будет меняться пропорционально квадрату изменения скорости вращения. Если частота вращения увеличивается на 25%, напор возрастает на 56%.

В-третьих, что особенно интересно, мощность пропорциональна кубу изменения скорости вращения. Это означает, что если требуемая частота вращения уменьшается на 50%, это равняется 87,5%-ному уменьшению потребляемой мощности.

Итак, законы подобия объясняют, почему использование приводов с переменной частотой вращения более целесообразно в тех областях применения, где требуются переменные значения расхода и давления. Grundfos предлагает ряд электродвигателей со встроенным частотным преобразователем, который регулирует частоту вращения для достижения именно этой цели.

Так же как подача, давление и мощность, потребная величина вращающего момента зависит от скорости вращения.

На рисунке показан центробежный насос в разрезе. Требования к вращающему моменту для такого типа нагрузки почти противоположны требованиям при «постоянной мощности». Для нагрузок при переменном вращающем моменте потребный вращающий момент при низкой частоте вращения — мал, а потребный вращающий момент при высокой частоте вращения — велик. В математическом выражении вращающий момент пропорционален квадрату скорости вращения, а мощность — кубу скорости вращения.

Это можно проиллюстрировать на примере характеристики вращающий момент/частота вращения, которую мы использовали ранее, когда рассказывали о вращающем моменте электродвигателя:

Когда электродвигатель набирает скорость от нуля до номинальной скорости, вращающий момент может значительно меняться. Величина вращающего момента, необходимая при определённой нагрузке, также изменяется с частотой вращения. Чтобы электродвигатель подходил для определённой нагрузки, необходимо чтобы величина вращающего момента электродвигателя всегда превышала вращающий момент, необходимый для данной нагрузки.

В примере, центробежный насос при номинальной нагрузке имеет вращающий момент, равный 70 Нм, что соответствует 22 кВт при номинальной частоте вращения 3000 мин-1. В данном случае насосу при пуске требуется 20% вращающего момента при номинальной нагрузке, т.е. приблизительно 14 Нм. После пуска вращающий момент немного падает, а затем, по мере того, как насос набирает скорость, увеличивается до величины полной нагрузки.

Очевидно, что нам необходим насос, который будет обеспечивать требуемые значения расход/напор (Q/H). Это значит, что нельзя допускать остановок электродвигателя, кроме того, электродвигатель должен постоянно ускоряться до тех пор, пока не достигнет номинальной скорости. Следовательно, необходимо, чтобы характеристика вращающего момента совпадала или превышала характеристику нагрузки на всём диапазоне от 0% до 100% скорости вращения. Любой «избыточный» момент, т.е. разница между кривой нагрузки и кривой электродвигателя, используется как ускорение вращения.


Соответствие электродвигателя нагрузке

Если нужно определить, отвечает ли вращающий момент определённого электродвигателя требованиям нагрузки, Вы можете сравнить характеристики скорости вращения/вращающего момента электродвигателя с характеристикой скорости вращения/ вращающего момента нагрузки. Вращающий момент, создаваемый электродвигателем, должен превышать потребный для нагрузки вращающий момент, включая периоды ускорения и полной скорости вращения.

Характеристика зависимости вращающего момента от скорости вращения стандартного электродвигателя и центробежного насоса.

Если мы посмотрим на характеристику , то увидим, что при ускорении электродвигателя его пуск производится при токе, соответствующем 550% тока полной нагрузки.

Когда двигатель приближается к своему номинальному значению скорости вращения, ток снижается. Как и следовало ожидать, во время начального периода пуска потери на электродвигателе высоки, поэтому этот период не должен быть продолжительным, чтобы не допустить перегрева.

Очень важно, чтобы максимальная скорость вращения достигалась как можно точнее. Это связано с потребляемой мощностью: например, увеличение скорости вращения на 1% по сравнению со стандартным максимумом приводит к 3%-ному увеличению потребляемой мощности.

Потребляемая мощность пропорциональна диаметру рабочего колеса насоса в четвертой степени.

Уменьшение диаметра рабочего колеса насоса на 10% приводит к уменьшению потребляемой мощности на (1- (0.9 * 0.9 * 0.9 * 0.9)) * 100 = 34%, что равно 66% номинальной мощности. Эта зависимость определяется исключительно на практике, так как зависит от типа насоса, конструкции рабочего колеса и от того, насколько вы уменьшаете диаметр рабочего колеса.


Время пуска электрдвигателя

Если нам необходимо подобрать типоразмер электродвигателя для определённой нагрузки, например для центробежных насосов, основная наша задача состоит в том, чтобы обеспечить соответствующий вращающий момент и мощность в номинальной рабочей точке, потому что пусковой момент для центробежных насосов довольно низкий. Время пуска достаточно ограниченно, так как вращающий момент довольно высокий.

Нередко для сложных систем защиты и контроля электродвигателей требуется некоторое время для их пуска, чтобы они могли замерить пусковой ток электродвигателя. Время пуска электродвигателя и насоса рассчитывается с помощью следующей формулы:

tпуск = время, необходимое электродвигателю насоса, чтобы достичь частоты вращения при полной нагрузке

n = частота вращения электродвигателя при полной нагрузке

Iобщ = инерция, которая требует ускорения, т.е. инерция вала электродвигателя, ротора, вала насоса и рабочих колёс.

Момент инерции для насосов и электродвигателей можно найти в соответствующих технических данных.

Мизб = избыточный момент, ускоряющий вращение. Избыточный момент равен вращающему моменту электродвигателя минус вращающий момент насоса при различных частотах вращения.

Мизб можно рассчитать по следующим формулам:

Как видно из приведённых вычислений, выполненных для данного примера с электродвигателем мощностью 4 кВт насоса CR, время пуска составляет 0,11 секунды.


Число пусков электродвигателя в час

Современные сложные системы управления электродвигателями могут контролировать число пусков в час каждого конкретного насоса и электродвигателя. Необходимость контроля этого параметра состоит в том, что каждый раз, когда осуществляется пуск электродвигателя с последующим ускорением, отмечается высокое потребление пускового тока. Пусковой ток нагревает электродвигатель. Если электродвигатель не остывает, продолжительная нагрузка от пускового тока значительно нагревает обмотки статора электродвигателя, что приводит к выходу из строя электродвигателя или сокращению срока службы изоляции.

Обычно за количество пусков, которое может выполнить электродвигатель в час, отвечает поставщик электродвигателя. Например, Grundfos указывает максимальное число пусков в час в технических данных на насос, так как максимальное количество пусков зависит от момента инерции насоса.


Мощность и КПД (eta) электродвигателя

Существует прямая связь между мощностью, потребляемой электродвигателем от сети, мощностью на валу электродвигателя и гидравлической мощностью, развиваемой насосом.

При производстве насосов используются следующие обозначения этих трёх различных типов мощности.

P1 (кВт) Входная электрическая мощность насосов — это мощность, которую электродвигатель насоса получает от источника электрического питания. Мощность P! равна мощности P2, разделённой на КПД электродвигателя.

P2 (кВт) Мощность на валу электродвигателя — это мощность, которую электродвигатель передает на вал насоса.

Р3 (кВт) Входная мощность насоса = P2, при условии, что соединительная муфта между валами насоса и электродвигателя не рассеивает энергию.

Р4 (кВт) Гидравлическая мощность насоса.

что такое, формула и в чем измеряется

Мощность двигателя – важнейший его показатель. Как в плане эксплуатации, так и в плане начисления налогов на авто. Крутящий момент нередко путают с мощностью или упускают его из виду в процессе оценки ходовых качеств авто. Многие упрощают автомобиль, считая, что большое количество лошадиных сил – главное преимущество любого мотора. Однако, вращающий момент – более важный показатель. Особенно, если автомобиль не предполагается использовать в качестве спортивного.

Что такое крутящий момент

Крутящим моментом называют единицу силы, которая необходима для поворота коленчатого вала ДВС. Эта не «лошадиная сила», которой должна обозначаться мощность.

ДВС вырабатывает кинетическую энергию, вращая таким образом коленвал. Показатель мощности двигателя (сила давления) зависит от скорости сгорания топлива. Крутящий момент – результат от действия силы на рычаг. Эта сила в физике считается в ньютонах. Длина плеча коленвала считается в метрах. Поэтому обозначение крутящего момента – ньютон-метр.

Технически, крутящий момент – это усилие, которое должно осуществляться двигателем для разгона и движения машины. При этом сила, оказывающая действие на поршень, пропорциональна объему двигателя.

Маховик – одна из важнейших деталей, которая должна через редуктор передавать вращательный момент от мотора к коробке передач, от стартера на коленвал, от коленвала на нажимной диск. Собственно, крутящий момент – итог давления на шатун.

Формула расчета крутящего момента

Показатель КМ рассчитывается так: мощность (в л. с.) равно крутящий момент (в Нм) умножить на обороты в минуту и разделить на 5,252. При меньших чем 5,252 значениях крутящий момент будет выше мощности, при больших – ниже.

В пересчете на принятую в России систему (кгм – килограмм на метр) – 1кг = 10Н, 1 см = 0,01м. Таким образом 1 кг х см = 0,1 Н х м. Посчитать вращательный момент в разных системах измерений ньютоны/килограммы и т.д. поможет конвертер – в практически неизменном виде он доступен на множестве сайтов, с его помощью можно определять данные по практически любому мотору.

График:

На графике изображена зависимость крутящего момента двигателя от его оборотов

От чего зависит крутящий момент

На КМ будут влиять:

  • Объем двигателя.
  • Давление в цилиндрах.
  • Площадь поршней.
  • Радиус кривошипа коленвала.

Основная механика образования КМ заключается в том, что чем больше двигатель по объему, тем сильней он будет нагружать поршень. То есть – будет выше значение КМ. Аналогична взаимосвязь с радиусом кривошипа коленвала, но это вторично: в современных двигателях этот радиус сильно изменить нельзя.

Давление в камере сгорания – не менее важный фактор. От него напрямую зависит сила, давящая на поршень.

Для снижения потерь крутящего момента при тряске машины во время резкого газа можно использовать компенсатор. Это специальный (собранный вручную) демпфер, компенсация которого позволит сохранить вращающий момент и повысить срок эксплуатации деталей.

На что влияет крутящий момент

Главная цель КМ – набор мощности. Часто мощные моторы обладают низким показателем КМ, поэтому не способны разогнать машину достаточно быстро. Особенно это касается бензиновых двигателей.

ВАЖНО! При выборе авто стоит рассчитать оптимальное соотношение вращательного момента с количеством оборотов, на которых чаще всего мотор будет работать. Если держать вращательный момент на соответствующем уровне, это позволит оптимально реализовать потенциал двигателя.

Высокий КМ также может влиять на управляемость машины, поэтому при резком увеличении скорости не лишним будет использование системы TSC. Она позволяет точнее направлять авто при резком разгоне.

Широко распространенный 8-клапанный двигатель ВАЗ выдает вращательный момент 120 (при 2500-2700 оборотах). Ручная коробка или АКПП стоит на машине – не принципиально. При использовании КПП немаловажен опыт водителя, на автоматической коробке плавный старт обеспечивает преобразователь.

Как увеличить крутящий момент

Увеличение рабочего объема. Чтобы повышать КМ используются разные методы: замена установленного коленвала на вал с увеличенным эксцентриситетом (редко встречающаяся запчасть, которую трудно находить) или расточка цилиндров под больший диаметр поршней. Оба способа имеют свои плюсы и минусы. Первый требует много времени на подбор деталей и снижает долговечность двигателя. Второй, увеличение диаметра цилиндров с помощью расточки, более популярен. Это может сделать практически любой автосервис. Там же можно настроить карбюратор для повышения КМ.

Изменение величины наддува. Турбированные двигатели позволяют достичь более высокого показателя КМ благодаря особенностям конструкции – возможности отключить ограничения в блоке управления компрессором, который отвечает за наддув. Манипуляции с блоком позволят повысить объем давления выше максимума, указанного производителем при сборке автомобиля. Способ можно назвать опасным, поскольку у каждого двигателя есть лимитированный запас нагрузок. Кроме того, часто требуются дополнительные усовершенствования: увеличение камеры сгорания, приведение охлаждения в соответствие повышенной мощности. Иногда требуется отрегулировать впускной клапан, иногда – сменить распредвал. Может потребоваться замена чугунного коленвала на стальной, замена поршней.

Изменение газодинамики. Редко используемый вариант, поскольку двигатель – сложная конструкция, созданием которого занимаются профессионалы. Теоретически можно придумать, как убрать ограничения, заложенные конструкторами для увеличения срока эксплуатации двигателя и его деталей. Но на практике, если убрать ограничитель, результат не гарантирован, поскольку поменяются все характеристики: например, динамика вырастет, но шина не будет цепляться за дорогу. Чтобы усовершенствовать двигатель такие образом надо быть не просто автомобильным конструктором, но и математиком, физиком и т.д.

ВАЖНО! Простой способ повысить КМ – использовать масляный фильтр. Он снизит засорение двигателя и продлит срок эксплуатации всех деталей.

Определение крутящего момента на валу

Для измерения крутящего момента на валу автомобильного двигателя применяется множество методик. Это может быть показатель подачи топлива, температуры выхлопных газов и т.д. Такие методы не гарантируют высокой точности.

Распространенный метод повышенной точности – применение тензометрического моста. На вал крепятся тензометры, электрически соединенные по мостовой схеме. Сигнал передается на считывающее устройство.

Измеритель крутящего момента

Главная сложность в измерителе крутящего момента, использующего тензометры, является точность передачи данных. Применявшиеся ранее контактные, индукционные и светотехнические устройства не гарантировали необходимой эффективности. Сейчас данные передаются по цифровым радиоканалам. Измеритель представляет собой компактный радиопередатчик, который крепится на вал и передает данные на приемник.

Сейчас такие устройства доступны по стоимости и просты в эксплуатации. Применяются в основном в СТО.

Датчик крутящего момента

Аналогичные устройства, измеряющие КМ, в автомобиле могут быть установлены не только на коленвал, но и на рулевое колесо. Он ставится на модели машин с электроусилителем руля и позволяет отслеживать работу системы управление автомобилей. При выходе датчика из строя, усилитель, как правило, отключается.

Максимальный крутящий момент

Максимальным называется крутящий момент, представляющий пик, после которого момент не растет, несмотря на количество оборотов. На малых оборотах в цилиндре скапливается большой объем остаточных газов, в результате чего показатель КМ значительно ниже пикового. На средних оборотах в цилиндры поступает больше воздуха, процент газов снижается, крутящий момент продолжает расти.

При высоких оборотах растут потери эффективности: от трения поршней, инерционных потерь в ГРМ, разогрева масла и т.д. будет зависеть работа мотора. Поэтому рост качества работы двигателя прекращается или само качество начинает снижаться. Максимальный крутящий момент достигнут и начинает снижаться.

В электродвигателях максимальный вращательный момент называется «критический».

Таблица марок автомобилей с указанием крутящего момента:

Модели автомобиля ВАЗКрутящий момент (Нм, разные марки двигателей)
210793 – 176
210879-186
210978-118
2110104-196
2112104-162
2114115-145
2121 (Нива)116-129
2115103-132
210692-116
210185-92
210585-186
Двигатели ЗМЗ
406181,5-230
409230
Других популярные в России марки автомобилей
Ауди А6500-750
БМВ 5290-760
Бугатти Вейрон1250-1500
Дэу Нексия123-150
КАМАЗ~650-2000+
Киа Рио132-151
Лада Калина127-148
Мазда 6165-420
Мицубиси Лансер143-343
УАЗ Патриот217-235
Рено Логан112-152
Рено Дастер156-240
Тойота Королла128-173
Хендай Акцент106-235
Хендай Солярис132-151
Шевроле Каптив220-400
Шевроле Круз118-200

Какому двигателю отдать предпочтение

Сегодня множество моделей производители оснащают разными типами моторов: бензиновым или дизельным. Эти модели идентичны только по цене и другим характеристикам.

Из-за разных типов мотора одна и та же модель может отличаться по показателям мощности мотора и крутящему моменту, при этом разница может быть значительной.

Бензиновый двигатель

Бензиновый двигатель формирует воздушно-топливную смесь, заполняющую цилиндр. Температура внутри него поднимается до примерно 500 градусов. У таких моторов номинальный коэффициент сжатия составляет порядка 9-10, реже 11 единиц. Поэтому, когда происходит впрыск необходимо использование свечей зажигания.

Дизельный двигатель

В цилиндрах работающего на дизеле движка коэффициент сжатия смеси может достигать показателя в 25 единиц, температура – 900 градусов. Поэтому смесь зажигается без использования свечи.

Электродвигатель

Автомобильный трехфазный асинхронный электродвигатель работает по совершенно другим законам, поэтому его мощность и КМ отличаются от традиционных кардинально. Электромотор состоит из ротора и статора, кратность которых позволяет выдавать пиковый КМ (600 Нм) на любой скорости. При этом мощность электродвигателя, например, у Теслы, составляет 416 л. с.

Чтобы ответить на вопрос – дизельный, бензиновый или электродвигатель лучше, надо сначала исключить третий вариант, поскольку электродвигатели пока не так распространены, как первые два типа.

ВАЖНО! Что касается выбора между бензиновым и дизельным двигателями, они в первую очередь отличаются мощностью и крутящим моментом. На практике это означает, что при одинаковом объеме двигателя дизельный быстрее разгоняется, а бензиновый позволяет давать более высокую скорость.


Кроме того, благодаря большему крутящему момент автомобиль, использующийся как грузовой, обладает большей грузоподъемностью за счет двигателя. Особенно если двигатель дизель-генераторный.

Улучшение разгона авто за счет изменения момента вращения

Чем выше показатель крутящего момента – тем быстрее двигатель набирает мощность. Таким образом, вырастет скорость движения. На практике это означает, что, например, во время разгона крутящий момент позволит быстрее обогнать едущий впереди автомобиль.

Чтобы улучшить разгон автомобиля за счет изменения момента вращения, достаточно повысить показатели последнего. Как это сделать – описано выше.

Зависимость мощности от крутящего момента

Крутящий момент, как говорилось выше, это показатель того, с какой скоростью двигатель может набирать обороты. По сути, мощность мотора – прямая производная от КМ на коленвале. Чем больше оборотов – тем выше показатель мощности.

Зависимость мощности от вращательного момента выражается формулой: Р = М*n (Р – мощность, М – крутящий момент, n – количество оборотов коленвала/мин).

7.2: Классическая механика

Область классической механики включает изучение тел в движении, особенно физические законы, касающиеся тел, находящихся под воздействием сил. Большинство механических аспектов проектирования роботов тесно связано с концепциями из этой области. В данном блоке описываются несколько ключевых применяемых концепций классической механики.

СКОРОСТЬ — это мера того, насколько быстро перемещается объект. Обозначает изменение положения во времени (проще говоря, какое расстояние способен преодолеть объект за заданный период времени). Данная мера представлена в единицах расстояния, взятых в единицу времени, например, в количестве миль в час или футов в секунду.

ЧАСТОТА ВРАЩЕНИЯ – Скорость может также выражаться во вращении, то есть насколько быстро объект движется по кругу. Измеряется в единицах углового перемещения во времени (то есть в градусах в секунду), или в циклах вращения в единицу времени (например, в оборотах в минуту). Когда измерения представлены в оборотах в минуту (RPM), речь идет о частоте вращения. Есть речь идет об об/мин автомобильного двигателя, это означает, что измеряется скорость вращения двигателя.

УСКОРЕНИЕ – Изменение скорости во времени представляет собой ускорение. Чем больше ускорение, тем быстрее изменяется скорость. Если автомобиль развивает скорость от 0 до 60 миль в час за две секунды, в этом случае ускорение больше, чем когда он развивает скорость от 0 до 40 миль в час за тот же период времени. Ускорение — это мера изменения скорости. Отсутствие изменения означает отсутствие ускорения. Если объект движется с постоянной скоростью — ускорение отсутствует.

СИЛА — Ускорение является следствием воздействия сил, которые провоцируют изменение в движении, направлении или форме. Если вы нажимаете на объект, это означает, что вы прикладываете к нему силу. Робот ускоряется под воздействием силы, которую его колеса прикладывают к полу. Сила измеряется в фунтах или ньютонах.

Например, масса объекта воздействует на объект как сила вследствие гравитации (ускорение объекта в направлении центра Земли).

КРУТЯЩИЙ МОМЕНТ – Сила, направленная по кругу (вращение объекта), называется крутящим моментом. Крутящий момент — это вращающая сила. Если к объекту приложен крутящий момент, на границе первого возникает линейная сила. В примере с колесом, катящемся по земле, крутящий момент, приложенный к оси колеса, создает линейную силу на границе покрышки в точке ее контакта с поверхностью земли. Так и определяется крутящий момент — как линейная сила на границе круга. Крутящий момент определяется величиной силы, умноженной на расстояние от центра вращения (Сила х Расстояние = Крутящий момент). Крутящий момент измеряется в единицах силы, умноженной на расстояние, например, фунто-дюймах или ньютон-метрах.

В примере с колесом, катящемся по земле, если известен крутящий момент, приложенный к оси с закрепленным на ней колесом, мы можем рассчитать количество силы, прикладываемой колесом к поверхности. В этом случае, радиус колеса является расстоянием силы от центра вращения.

Сила = Крутящий момент/Радиус колеса

В примере с рукой робота, удерживающей объект, мы можем рассчитать крутящий момент, требуемый для поднятия объекта. Если объект обладает массой, равной 1 ньютону, а рука имеет длину 0,25 метра (объект располагается на расстоянии 0,25 метра от центра вращения), тогда

Крутящий момент = Сила х Расстояние = 1 ньютон х 0,25 метра = 0,25 ньютон-метров.

Это означает, что для удержания объекта в неподвижном положении, необходимо применить крутящий момент, равный 0,25 ньютон-метров. Чтобы переместить объект вверх, роботу необходимо приложить к нему крутящий момент, значение которого будет превышать 0,25 ньютон-метров, так как необходимо преодолеть силу гравитации. Чем больше крутящий момент робота, тем больше силы он прикладывает к объекту, тем больше ускорение объекта, и тем быстрее рука поднимет объект.

Пример 7.2

Пример 7.3

Для данных примеров, мы можем рассчитать крутящий момент, необходимый для подъем этих объектов.

Пример 7.2 — Крутящий момент = Сила х Расстояние = 1 ньютон х 0,125 метра = 0,125 ньютон-метров.

Для данного примера, длина рука равна половине длины руки из Примера 1, поэтому значение требуемого крутящего момента также в два раза меньше. Значение длины руки пропорционально значению требуемого крутящего момента. При равных исходных характеристиках объекта, чем короче рука, тем меньший крутящий момент необходим для подъема.

Пример 7.3 — Крутящий момент = Сила * Расстояние = 1 ньютон х 0,5 метра = 0,5 ньютон-метров.

Для данного примера, длина рука равна удвоенной длине руки из Примера 1, поэтому значение требуемого крутящего момента также в два раза больше.

Еще одна точка зрения относительно ограниченного крутящего момента в соединении руки робота заключается в следующем: более короткая рука сможет поднять объект большей массы, чем более длинная рука; однако, для первой доступная высота подъема объекта будет меньше, чем для второй.

Пример 7.4

Пример 7.5

Эти примеры иллюстрируют руку робота, поднимающую объекты разной массы. Какова взаимосвязь с требуемым количеством крутящего момента?

Пример 4 — Крутящий момент = Сила х Расстояние = ½ ньютона х 0,25 метра = 0,125 ньютон-метров.

Пример 5 — Крутящий момент = Сила х Расстояние = 2 ньютона х 0,25 метра = 0,5 ньютон-метров.

Эти примеры иллюстрируют уменьшение значения требуемого крутящего момента по мере снижения массы объекта. Масса пропорциональна крутящему моменту, необходимому для ее подъема. Чем тяжелее объект, тем больше крутящий момент, требуемый для его подъема.

Проектировщики роботов должны обратить внимание на ключевые взаимосвязи между значениями крутящего момента, длины руки и массы объекта.

РАБОТА – Мера силы, приложенной на расстоянии, называется работой. Например, для удерживания объекта необходимо 10 фунтов силы. Далее, чтобы поднять этот объект на высоту 10 дюймов, требуется определенное количество работы. Количество работы, требуемое для подъема объекта на высоту 20 дюймов, удваивается. Работа также понимается как изменение энергии.

МОЩНОСТЬ — Большинство людей полагает, что мощность является термином из области электрики, но мощность также относится и к механике.

Мощность — это количество работы в единицу времени. Насколько быстро кто-то может выполнить работу?

В робототехнике принято понимать мощность как ограничение, так как соревновательные робототехнические системы имеют ограничения в части выходной мощности. Если роботу требуется поднять массу в 2 ньютона (прилагая 2 ньютона силы), скорость подъема будет ограничиваться количеством выходной мощности робота. Если робот способен произвести достаточное количество мощности, он сможет быстро поднять объект. Если он способен произвести лишь малое количество энергии, подъем объекта будет производиться медленно (либо не будет производиться вообще!).

Мощность определяется как Сила, умноженная на Скорость (насколько быстро выполняется толчок при постоянной скорости), и обычно выражается в Ваттах.

Мощность [Ватты] = Сила [Ньютоны] х Скорость [Метры в секунду]

1 Ватт = 1 (Ньютон х Метр) / Секунда

Как это применяется в соревновательной робототехнике? К проектам роботов применяются определенные ограничения. Проектировщики соревновательных роботов, использующие систему проектирования VEX Robotics Design, также должны учитывать физические ограничения, связанные с применением электромоторов. Электромотор обладает ограниченной мощностью, поэтому он может производить только определенное количество работы с заданной скоростью.

Примечание: все перспективные концепции имеют базовое описание. Более глубоко обсуждать эти физические свойства учащиеся будут в процессе обучения в ВУЗах, если выберут область STEM в качестве направления обучения.

 

Формула крутящего момента (момент инерции и угловое ускорение)

При вращательном движении крутящий момент требуется для создания углового ускорения объекта. Величина крутящего момента, необходимого для создания углового ускорения, зависит от распределения массы объекта. Момент инерции — это величина, описывающая распределение. Его можно найти путем интегрирования по массе всех частей объекта и их расстояниям до центра вращения, но также можно найти моменты инерции для общих форм.Крутящий момент на данной оси является произведением момента инерции и углового ускорения. Единицы крутящего момента — ньютон-метры (Н ∙ м).

крутящий момент = (момент инерции) (угловое ускорение)

τ = Iα

τ = крутящий момент вокруг определенной оси (Н ∙ м)

I = момент инерции (кг ∙ м 2 )

α = угловое ускорение (радиан / с 2 )

Формула крутящего момента Вопросы:

1) Момент инерции твердого диска равен, где M — масса диска, а R — радиус.Каждое колесо игрушечной машинки имеет массу 0,100 кг и радиус 20,0 см. Если угловое ускорение колеса составляет 1,00 радиан / с 2 , каков крутящий момент?

Ответ: Крутящий момент можно найти с помощью формулы крутящего момента и момента инерции твердого диска. Крутящий момент:

τ = Iα

τ = 0,0020 Н ∙ м

Крутящий момент, прилагаемый к одному колесу, составляет 0,0020 Н ∙ м.

2) Момент инерции тонкого стержня, вращающегося на оси, проходящей через его центр, равен, где M — масса, а L — длина стержня.Предположим, что лопасть вертолета представляет собой тонкий стержень массой 150,0 кг и длиной 8,00 м. Какой крутящий момент требуется для достижения углового ускорения 18,00 радиан / с 2 ?

Ответ: Крутящий момент можно найти с помощью формулы крутящего момента и момента инерции тонкого стержня. Крутящий момент:

τ = Iα

τ = 14 400 Н ∙ м

Требуемый крутящий момент составляет 14 400 Н ∙ м.

.

Формула крутящего момента (сила на расстоянии)

Формула крутящего момента (сила на расстоянии)

Вопросы по формуле крутящего момента:

1) Автомеханик прикладывает усилие 800 Н к гаечному ключу, чтобы ослабить болт. Она прикладывает силу перпендикулярно рычагу гаечного ключа. Расстояние от болта до руки — 0,40 м. Какова величина прилагаемого крутящего момента?

Ответ: Угол между моментным плечом (рычагом гаечного ключа) и силой равен 90 °, а sin 90 ° = 1.Крутящий момент:

Величина крутящего момента 320 Н ∙ м.

2) Анемометр — это прибор для измерения скорости ветра. Он имеет несколько металлических чашек, установленных на горизонтальных стержнях, которые вращают центральный стержень. Ветер ловит одну из чашек перпендикулярно ее турнику. Ветер оказывает на чашу силу 70,0 Н на расстоянии 0,30 м от центральной оси. Какова величина крутящего момента, создаваемого ветром?

Ответ: Угол между рычагом момента (горизонтальной штангой) и силой равен 90 °, а sin 90 ° = 1.Крутящий момент:

Величина крутящего момента 21,0 Н ∙ м.

Формула крутящего момента (сила на расстоянии)

.

Соотношение крутящего момента и мощности

    • БЕСПЛАТНАЯ ЗАПИСЬ КЛАСС
    • КОНКУРСНЫЕ ЭКЗАМЕНА
      • BNAT
      • Классы
        • Класс 1-3
        • Класс 4-5
        • Класс 6-10
      • Класс 110003 CBSE
        • Книги NCERT
          • Книги NCERT для класса 5
          • Книги NCERT, класс 6
          • Книги NCERT для класса 7
          • Книги NCERT для класса 8
          • Книги NCERT для класса 9
          • Книги NCERT для класса 10
          • NCERT Книги для класса 11
          • NCERT Книги для класса 12
        • NCERT Exemplar
          • NCERT Exemplar Class 8
          • NCERT Exemplar Class 9
          • NCERT Exemplar Class 10
          • NCERT Exemplar Class 11
          • 9plar
        • RS Aggarwal
          • RS Aggarwal Решения класса 12
          • RS Aggarwal Class 11 Solutions
          • RS Aggarwal Решения класса 10
          • Решения RS Aggarwal класса 9
          • Решения RS Aggarwal класса 8
          • Решения RS Aggarwal класса 7
.

Какова размерная формула крутящего момента и его вывод?

    • БЕСПЛАТНАЯ ЗАПИСЬ КЛАСС
    • КОНКУРСНЫЕ ЭКЗАМЕНА
      • BNAT
      • Классы
        • Класс 1-3
        • Класс 4-5
        • Класс 6-10
      • Класс 110003 CBSE
        • Книги NCERT
          • Книги NCERT для класса 5
          • Книги NCERT, класс 6
          • Книги NCERT для класса 7
          • Книги NCERT для класса 8
          • Книги NCERT для класса 9
          • Книги NCERT для класса 10
          • NCERT Книги для класса 11
          • NCERT Книги для класса 12
        • NCERT Exemplar
          • NCERT Exemplar Class 8
          • NCERT Exemplar Class 9
          • NCERT Exemplar Class 10
          • NCERT Exemplar Class 11
          • 9plar
        • RS Aggarwal
          • RS Aggarwal Решения класса 12
          • RS Aggarwal Class 11 Solutions
          • RS Aggarwal Решения класса 10
          • Решения RS Aggarwal класса 9
          • Решения RS Aggarwal класса 8
          • Решения RS Aggarwal класса 7
          • Решения RS Aggarwal класса 6
        • RD Sharma
          • RD Sharma Class 6 Решения
          • RD Sharma Class 7 Решения
          • Решения RD Sharma Class 8
          • Решения RD Sharma Class 9
          • Решения RD Sharma Class 10
          • Решения RD Sharma Class 11
          • Решения RD Sharma Class 12
        • PHYSICS
          • Механика
          • Оптика
          • Термодинамика
          • Электромагнетизм
        • ХИМИЯ
          • Органическая химия
          • Неорганическая химия
          • Периодическая таблица
        • MATHS
          • Статистика
          • Числа
          • Числа Пифагора Тр Игонометрические функции
          • Взаимосвязи и функции
          • Последовательности и серии
          • Таблицы умножения
          • Детерминанты и матрицы
          • Прибыль и убыток
          • Полиномиальные уравнения
          • Разделение фракций
        • Microology
    • FORMULAS
      • Математические формулы
      • Алгебраические формулы
      • Тригонометрические формулы
      • Геометрические формулы
    • КАЛЬКУЛЯТОРЫ
      • Математические калькуляторы
      • 000E
      • 000
      • 000
      • 000 Калькуляторы
      • 000 Образцы документов для класса 6
      • Образцы документов CBSE для класса 7
      • Образцы документов CBSE для класса 8
      • Образцы документов CBSE для класса 9
      • Образцы документов CBSE для класса 10
      • Образцы документов CBSE для класса 1 1
      • Образцы документов CBSE для класса 12
    • Вопросники предыдущего года CBSE
      • Вопросники предыдущего года CBSE, класс 10
      • Вопросники предыдущего года CBSE, класс 12
    • HC Verma Solutions
      • HC Verma Solutions Класс 11 Физика
      • HC Verma Solutions Класс 12 Физика
    • Решения Лакмира Сингха
      • Решения Лакмира Сингха класса 9
      • Решения Лахмира Сингха класса 10
      • Решения Лакмира Сингха класса 8
    • 9000 Класс
9000BSE 9000 Примечания3 2 6 Примечания CBSE
  • Примечания CBSE класса 7
  • Примечания
  • Примечания CBSE класса 8
  • Примечания CBSE класса 9
  • Примечания CBSE класса 10
  • Примечания CBSE класса 11
  • Примечания 12 CBSE
  • Примечания к редакции 9000 CBSE 9000 Примечания к редакции класса 9
  • CBSE Примечания к редакции класса 10
  • CBSE Примечания к редакции класса 11
  • Примечания к редакции класса 12 CBSE
  • Дополнительные вопросы CBSE
    • Дополнительные вопросы по математике класса 8 CBSE
    • Дополнительные вопросы по науке 8 класса CBSE
    • Дополнительные вопросы по математике класса 9 CBSE
    • Дополнительные вопросы по науке
    • CBSE Вопросы
    • CBSE Class 10 Дополнительные вопросы по математике
    • CBSE Class 10 Science Extra questions
  • CBSE Class
    • Class 3
    • Class 4
    • Class 5
    • Class 6
    • Class 7
    • Class 8 Класс 9
    • Класс 10
    • Класс 11
    • Класс 12
  • Учебные решения
  • Решения NCERT
    • Решения NCERT для класса 11
      • Решения NCERT для класса 11 по физике
      • Решения NCERT для класса 11 Химия
      • Решения NCERT для биологии класса 11
      • Решение NCERT s Для класса 11 по математике
      • NCERT Solutions Class 11 Accountancy
      • NCERT Solutions Class 11 Business Studies
      • NCERT Solutions Class 11 Economics
      • NCERT Solutions Class 11 Statistics
      • NCERT Solutions Class 11 Commerce
    • NCERT Solutions for Class 12
      • Решения NCERT для физики класса 12
      • Решения NCERT для химии класса 12
      • Решения NCERT для биологии класса 12
      • Решения NCERT для математики класса 12
      • Решения NCERT, класс 12, бухгалтерия
      • Решения NCERT, класс 12, бизнес-исследования
      • NCERT Solutions Class 12 Economics
      • NCERT Solutions Class 12 Accountancy Part 1
      • NCERT Solutions Class 12 Accountancy Part 2
      • NCERT Solutions Class 12 Micro-Economics
      • NCERT Solutions Class 12 Commerce
      • NCERT Solutions Class 12 Macro-Economics
    • NCERT Solut Ионы Для класса 4
      • Решения NCERT для математики класса 4
      • Решения NCERT для класса 4 EVS
    • Решения NCERT для класса 5
      • Решения NCERT для математики класса 5
      • Решения NCERT для класса 5 EVS
    • Решения NCERT для класса 6
      • Решения NCERT для математики класса 6
      • Решения NCERT для науки класса 6
      • Решения NCERT для класса 6 по социальным наукам
      • Решения NCERT для класса 6 Английский язык
    • Решения NCERT для класса 7
      • Решения NCERT для математики класса 7
      • Решения NCERT для науки класса 7
      • Решения NCERT для социальных наук класса 7
      • Решения NCERT для класса 7 Английский язык
    • Решения NCERT для класса 8
      • Решения NCERT для математики класса 8
      • Решения NCERT для науки 8 класса
      • Решения NCERT для социальных наук 8 класса ce
      • Решения NCERT для класса 8 Английский
    • Решения NCERT для класса 9
      • Решения NCERT для класса 9 по социальным наукам
    • Решения NCERT для математики класса 9
      • Решения NCERT для математики класса 9 Глава 1
      • Решения NCERT для математики класса 9, глава 2
      • Решения NCERT
      • для математики класса 9, глава 3
      • Решения NCERT для математики класса 9, глава 4
      • Решения NCERT для математики класса 9, глава 5
      • Решения NCERT
      • для математики класса 9, глава 6
      • Решения NCERT для математики класса 9 Глава 7
      • Решения NCERT
      • для математики класса 9 Глава 8
      • Решения NCERT для математики класса 9 Глава 9
      • Решения NCERT для математики класса 9 Глава 10
      • Решения NCERT
      • для математики класса 9 Глава 11
      • Решения
      • NCERT для математики класса 9 Глава 12
      • Решения NCERT
      • для математики класса 9 Глава 13
      • NCER Решения T для математики класса 9 Глава 14
      • Решения NCERT для математики класса 9 Глава 15
    • Решения NCERT для науки класса 9
      • Решения NCERT для науки класса 9 Глава 1
      • Решения NCERT для науки класса 9 Глава 2
      • Решения NCERT для науки класса 9 Глава 3
      • Решения NCERT для науки класса 9 Глава 4
      • Решения NCERT для науки класса 9 Глава 5
      • Решения NCERT для науки класса 9 Глава 6
      • Решения NCERT для науки класса 9 Глава 7
      • Решения NCERT для науки класса 9 Глава 8
      • Решения NCERT для науки класса 9 Глава 9
      • Решения NCERT для науки класса 9 Глава 10
      • Решения NCERT для науки класса 9 Глава 12
      • Решения NCERT для науки класса 9 Глава 11
      • Решения NCERT для науки класса 9 Глава 13
      • Решения NCERT
      • для науки класса 9 Глава 14
  • .

    Простая английская Википедия, бесплатная энциклопедия

    Взаимосвязь между векторами силы, крутящего момента и импульса во вращающейся системе

    В физике крутящий момент — это тенденция силы к повороту или скручиванию. Если сила используется, чтобы начать вращать объект или остановить вращение объекта, создается крутящий момент.

    Сила, приложенная к рычагу, умноженная на расстояние от точки опоры рычага, снова умноженная на синус созданного угла, описывается как крутящий момент.Это также известно как «r cross f» или «сила, умноженная на расстояние опоры, умноженное на синус тета».

    Точка опоры — это ось вращения или точка опоры, на которой рычаг поворачивается при подъеме или перемещении чего-либо.

    Уравнение крутящего момента:

    τ = r × F {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ tau}} = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {F} \, \!}

    , где F — вектор чистой силы, а r — вектор от оси вращения до точки, в которой действует сила.Греческая буква Тау используется для обозначения крутящего момента.

    Единицы измерения крутящего момента — это сила, умноженная на расстояние. [1] В системе СИ единицей измерения крутящего момента является ньютон-метр. Самая распространенная английская единица — фут-фунт.

    1. Хольцнер, Стивен (2010). Основы физики для чайников . Wiley Publishing. п. 122. ISBN 978-0-470-61841-7 .
    .

    Угловое движение — мощность и крутящий момент

    Мощность и момент тела при угловом движении

    Сила вращающегося тела может быть выражена как

    P = T ω

    = T 2 π n об / с

    = T π n об / мин /30 (1)

    где

    P = мощность (Вт)

    T = крутящий момент или момент (Нм)

    = угловая скорость (рад / с)

    π = 3.14 …

    n об / с = оборотов в секунду (об / с, 1 / с)

    n об / мин = оборотов в минуту (об / мин, 1 / мин)

    • 1 рад = 360 o /2 π = ~ 57,29578 .. o

    Примечание! — объект, такой как электродвигатель, может иметь активный момент без вращения, но без вращения ( ω = 0 ) не вырабатывается энергия.

    В имперских единицах

    P = T n об / мин /5252 (1b)

    где

    P = мощность (л.с.)

    T = крутящий момент (фут-фунт f )

    Пример — момент, создаваемый вращающимся двигателем

    Электродвигатель работает со скоростью 3600 об / мин с измеренной потребляемой мощностью 2000 Вт .Момент, создаваемый двигателем (без потерь), можно рассчитать, переставив (1) на

    T = 30 P / (π n об / мин )

    = 30 (2000 Вт) / (π ( 3600 об / мин))

    = 5,3 Нм

    Калькулятор моментов

    P — мощность (Вт)

    n м — обороты (об / мин)

    Крутящий момент тела в угловом движении

    T = I α (2)

    где

    I = момент инерции (кг · м 2 , фунт f фут · с 2 )

    α = угловое ускорение (рад / с 2 )

    .

    41. Как определить направление момента силы?

    Для описания динамики вращательного движения твердого тела необходимо ввести понятие момента силы. Момент силы относительно некоторой точки — это векторное произведение силы на кратчайшее расстояние от этой точки до линии действия силы. Момент силыаксиальный вектор. Он направлен вдоль оси вращения. Направление вектора момента силы определяется правилом буравчика, а величина его равна M. При этом надо различать понятия момента силы относительно точки и относительно оси. Если сила f приложена к материальной точке А, то моментом силы М относительно произвольной точки О называется векторное произведение радиуса-вектора r, проведенного из точки О к точке А, и вектора силы:  М = [ r f ] .  Модуль векторного произведения  = r f sin a, а  направление вектора М определяется правилом правого буравчика: направление первого вектора r по кратчайшему пути вращается к направлению второго вектора f, а движение оси буравчика при этом вращении показывает направление вектора М. Моментом силы относительно произвольной оси z называется векторное произведение радиуса-вектора r и составляющей f  силы f , приложенной в точке А:  М = [ r  f  ] где составляющая f   представляет собой проекцию силы f на плоскость, перпендикулярную оси z  и проходящую через точку А , а r — радиус- вектор точки А, лежащий в этой плоскости. M=Fd, т. е. момент силы равен произведению силы F на длину перпендикуляра d, опущенного из оси на направление силы. Длину перпендикуляра, опущенного из оси на направление силы, называют плечом силы. Значит, момент силы равен произведению величины силы на плечо силы. Ясно, что перенесение точки приложения силы вдоль ее направления не меняет ее момента (рис. 120). Если направление силы проходит через ось вращения, то плечо силы равно нулю; следовательно, равен нулю и момент силы этом случае сила не вызывает вращения тела: сила, момент которой относительно данной оси равен нулю, не вызывает вращения вокруг этой оси. Пользуясь понятием момента силы, мы можем по-новому сформулировать условия равновесия тела, закрепленного на оси и находящегося под действием двух сил. Как мы видели, для равновесия необходимо, чтобы силы стремились вращать тело в противоположных направлениях и чтобы произведения сил на их расстояния до оси были равны. Значит, при равновесии моменты обеих сил должны быть равны по величине и противоположны по знаку. Таким образом, для равновесия тела, закрепленного на оси, алгебраическая сумма моментов действующих на него сил должна быть равна нулю. Так как момент силы определяется произведением величины силы на плечо, то единицу момента мы получим, взяв силу, равную единице, плечо которой также равно единице. Значит, в системе СИ единицей момента силы является момент силы в 1 н, действующей на плече в 1 м, т. е. 1 н*м, в системе СГС —1 дин*см, в системе МКСС— 1 кГ*м. Пользуясь данными § 45, найдем соотношения между этими единицами:1 дин*см = 10-7 н*м;   1 кГ*м = 9,8 н*м.

    42. Как определить направление угловой скорости?

    Углова́я ско́рость — векторная физическая величина, характеризующая скорость вращения тела. Вектор угловой скорости по величине равен углу поворота тела в единицу времени:

    ,

    а направлен по оси вращения согласно правилу буравчика, то есть, в ту сторону, в которую ввинчивался бы буравчик с правой резьбой, если бы вращался в ту же сторону. Единица измерения угловой скорости, принятая в системах СИ и СГС) — радианы в секунду. (Примечание: радиан, как и любые единицы измерения угла, — физически безразмерен, поэтому физическая размерность угловой скорости — просто [1/секунда]).Определим угловую скорость как вектор, величина которого численно равна угловой скорости, b направленный вдоль оси вращения, причем, если смотреть с конца этого вектора, то вращение направлено против часовой стрелки. Исторически сложилось, что положительным направлением вращения считается вращение «против часовой стрелки», хотя, конечно, выбор этого направления абсолютно условен. Для определения направления вектора угловой скорости можно также воспользоваться «правилом буравчика» (которое также называется «правилом правого винта») — если направление движения ручки буравчика (или штопора) совместить с направлением вращения, то направление движения всего буравчика совпадет с направлением вектора угловой скорости.

    43. Как определить направление углового ускарения? Угловое ускорение — векторная физическая величина, характеризующая быстроту изменения угловой скорости твёрдого тела.Угловое ускорение равно первой производной от угловой скорости по времени.Формула угловой скорости:

    Единица углового ускорения — радиан в секунду в квадрате.

    Углово́е ускоре́ние — псевдовекторная физическая величина, характеризующая быстроту изменения угловой скорости твёрдого тела.

    При вращении тела вокруг неподвижной оси, угловое ускорение по модулю равно[1]:

    Вектор углового ускорения α направлен вдоль оси вращения (в сторону при ускоренном вращении и противоположно  — при замедленном).

    При вращении вокруг неподвижной точки вектор углового ускорения определяется как первая производная от вектора угловой скорости ω по времени[2], то есть

    ,

    и направлен по касательной к годографу вектора в соответствующей его точке.

    44. При каком условии мы имеем право считать в лабораторной работе №4 «Изучение основного закона динамики вращательного движения» линейное ускорение точек на ободе щкива равным ускорению поступательного движения груза?

    Момент сил создается грузом m, привязанным к нити Н, ко­торая навита на один из шкивов. Если момент сил трения Mтр, при­ложенный к оси маятника, мал по сравнению с моментом силы натяжения нити, то проверка уравнения не представляет труда. Действи­тельно, измеряя время t, в течение которого груз из состояния покоя опустится на расстояние h, можно легко найти ускорение груза а, в проекции на координатную ось, совпадающую с направлением движения:

    , которое связано с угловым ускорением  (при отсутствии проскальзывания нити относительно обода шкива) очевидным соотношением

    , где r — радиус шкива.

    Размерность — обобщенная сила — Большая Энциклопедия Нефти и Газа, статья, страница 1

    Размерность — обобщенная сила

    Cтраница 1

    Размерность обобщенной силы полностью определяется написанным уравнением.  [1]

    Размерность обобщенной силы зависит от размерности соответствующей обобщенной координаты.  [2]

    Размерность обобщенной силы зависит от размерности соответствующей ей обобщенной координаты и размерности работы. При вычислении обобщенных сил учитываются только активные силы, приложенные к системе.  [3]

    Размерность обобщенной силы зависит от размерности соответствующей обобщенной координаты.  [4]

    Размерность обобщенной силы, вообще говоря, не совпадает с размерностью силы. Если координата jy имеет размерность длины, то обобщенная сила имеет размерность силы. В тех случаях, когда координатой qt является угол, размерность обобщенной силы совпадает с размерностью момента силы.  [5]

    Размерность обобщенной силы равна размерности работы, поделенной на размерность обобщенной координаты, а эта последняя обычно имеет размерность длины или угла. Следовательно, обобщенная сила может иметь размерность силы или же размерность момента силы в зависимости от размерности соответствующей обобщенной координаты.  [6]

    Размерность обобщенной силы равна размерности работы, поделенной на размерность обобщенной координаты, а эта последняя обычно имеет размерность длины или угла. Следовательно, обобщенная сила обычно имеет размерность силы или же размерность момента силы в зависимости от размерности соответствующей обобщенной координаты.  [7]

    Заметим, что размерность обобщенной силы, отнесенной к единице длины нити, зависит от размерности соответствующей обобщенной координаты.  [8]

    Отметим, что размерность обобщенной силы равна размерности работы, деленной на размерность обобщенной координаты.  [9]

    Отсюда видим, что размерность обобщенной силы вообще не совпадает с размерностью силы.  [10]

    Отсюда видим, что размерность обобщенной силы вообще не совг падает с размерностью силы.  [11]

    Отсюда видим, что размерность обобщенной силы вообще не совпадает с размерностью силы.  [12]

    Если за обобщенную координату принимается линейное перемещение, то размерность обобщенной силы соответствует размерности силы; если за обобщенную координату принимается угловое перемещение, то размерность обобщенной силы соответствует размерности момента.  [13]

    Если за обобщенную координату принимается линейное перемещение х, имеющее измерение длины, то размерность обобщенной силы соответствует размерности силы; при обобщенной координате, равной углу закручивания какой-либо массы системы, за обобщенную силу принимается крутящий момент, так как только произведение момента на величину изменения угла соответствует работе.  [14]

    Если за обобщенную координату q принять угол ф, измеряемый в радианах, то размерность обобщенной силы Q совпадает с размерностью момента. Так как каждой обобщенной координате соответствует обобщенная сила, то число обобщенных сил механической системы равно числу обобщенных координат, причем размерность каждой из обобщенных сил соответствует размерности соответствующей обобщенной координаты.  [15]

    Страницы:      1    2

    Какова размерная формула момента f класс 11 физика JEE_Main

    Подсказка: Момент силы — это мера ее тенденции заставить тело вращаться вокруг определенной точки или оси.
    Выражения или формулы, которые говорят нам, как и какие из фундаментальных величин присутствуют в физической величине, известны как размерная формула физической величины.
    Теория:
    Предположим, что существует физическая величина X, которая зависит от основных измерений M (масса), L (длина) и T (время) с соответствующими степенями a, b и c, тогда ее размерная формула представлена ​​как: \ [ \ left [{{M ^ a} {L ^ b} {T ^ c}} \ right] \]
    Формула размерности для основных физических величин,
    Масса = $ \ left [M \ right] $
    Расстояние = \ [ \ left [L \ right] \]
    Time = $ \ left [T \ right] $

    Полное решение:
    Рассмотрим свободно вращающееся тело. {- 2}}} \ right] .$

    Примечание: Размерная формула любой величины может быть выведена для основных величин, если связь между ними известна. Размерные формулы используются для проверки правильности заданной формулы по размерам. Формулы размерностей не определяются в случае тригонометрических, логарифмических и экспоненциальных функций, поскольку они не являются физическими величинами.

    3.2: Момент силы — Physics LibreTexts

    Во-первых, давайте посмотрим на знакомую двумерную ситуацию.На рисунке III.1 я нарисовал силу \ (\ textbf {F} \) и точку O. Момент силы по отношению к O можно определить как

    Сила, умноженная на перпендикулярное расстояние от O до линии действия \ (\ textbf {F} \).

    В качестве альтернативы (рисунок III.2) момент может быть так же хорошо определен с помощью

    Поперечная составляющая силы, умноженная на расстояние от точки O до точки приложения силы.

    В любом случае величина момента силы, также известная как крутящий момент , равна \ (rF \ sin \ theta \). Мы можем рассматривать его как вектор, \ (\ boldsymbol \ tau \), перпендикулярный к самолет из бумаги:

    \ begin {уравнение} \ \ boldsymbol \ tau = \ textbf {r} \ times \ textbf {F} \ tag {3.2.1} \ label {eq: 3.2.1} \ end {equal}

    Теперь позвольте мне задать вопрос. Правильно ли говорить о моменте силы относительно (или «около») точки или относительно (или «около») оси ?

    В приведенном выше двумерном примере это не имеет значения, но теперь позвольте мне перейти к трехмерным измерениям и я постараюсь внести ясность.

    На рисунке III.3 я нарисовал набор прямоугольных осей и силу \ (\ textbf {F} \), вектор положения которой относительно начала координат равен \ (\ textbf {r} \).

    Момент или крутящий момент \ (\ textbf {F} \) относительно начала координат является вектором

    \ begin {уравнение} \ \ boldsymbol \ tau = \ textbf {r} \ times \ textbf {F} \ tag {3.2.2} \ label {eq: 3.2.2} \ end {уравнение}

    Компоненты \ (x-, y- \) и \ (z \) — из \ (\ boldsymbol \ tau \) являются моментами \ (\ textbf {F} \) относительно \ (x-, y- \) и оси z. Вы можете легко найти компоненты \ (\ boldsymbol \ tau \), развернув перекрестное произведение \ (\ ref {eq: 3.2.2} \):

    \ [\ boldsymbol \ tau = \ hat {\ textbf {x}} (yF_ {z} -zF_ {y}) + \ hat {\ textbf {y}} (yF_ {x} -xF_ {z}) + \ hat {\ textbf {z}} (xF_ {y} -yF_ {x}) \ tag {3.2.3} \ label {eq: 3.2.3} \]

    , где \ (\ bf \ hat {x}, \ hat {y}, \ hat {z} \) — единичные векторы вдоль осей \ (x, y, z \). На рисунке III.4 мы смотрим вниз по оси \ (x \), и я нарисовал компоненты \ (F_ {y} \) и \ (F_ {z} \), и вы действительно можете увидеть, что , \ (\ tau_ {x} = yF_ {z} -zF_ {y} \).

    Размеры момента силы или крутящего момента равны ML 2 T -2 , а единицы СИ — Н · м.(Лучше оставить единицы измерения в Н · м, а не выражать крутящий момент в джоулях.)

    Размеры и единицы

    Механическая система, испытывающая одномерные демпфированные колебания, может быть моделируется уравнением

    , где \ (m \) — масса системы, \ (b \) — некоторый коэффициент демпфирования, \ (k \) — жесткость пружины, а \ (u (t) \) — смещение система. Это уравнение, выражающее баланс трех физических эффекты: \ (mu » \) (масса, умноженная на ускорение), \ (bu ‘\) (демпфирующая сила) и \ (ку \) (сила пружины).Различные физические величины, такие как \ (m \), \ (u (t) \), \ (b \) и \ (k \), все имеют разные размеры , измеренные в разные единиц , но \ (mu » \), \ (bu ‘\) и \ (ku \) должны иметь одинаковые размерность, иначе добавлять их не было бы смысла.

    Основные концепции

    Базовые блоки и размеры

    Базовые единицы обладают важным свойством, которое получают все остальные единицы. от них. В системе СИ таких базовых единиц семь и соответствующих физические величины: метр (м) на длину, килограмм (кг) для массы, секунды на время, кельвин (K) для температуры, ампер (А) для электрического тока, кандела (кд) для силы света, и моль (моль) для количества вещества. {- 2}] \)

    Префиксы для единиц

    Единицы часто имеют префиксы.9 \) Па.

    Теорема Букингема Пи

    Почти все тексты о масштабировании имеют трактовку знаменитого Букингема. Теорема Пи, которую можно использовать для вывода физических законов на основе единицы измерения совместимость, а не лежащие в основе физические механизмы. Этот буклет сосредоточен на моделях, в которых физические механизмы уже выражены через дифференциальные уравнения. Тем не менее, Pi Теорема занимает заметное место в литературе по масштабированию, и поскольку мы время от времени будем на него ссылаться, теорема такова: кратко обсуждается ниже.

    Сама теорема просто состоит из двух частей. Во-первых, если проблема включает \ (n \) физические параметры, в которых \ (m \) независимые типы единиц (например, длина, масса и т. д.), тогда параметры могут быть в сочетании с ровно \ (n-m \) независимыми безразмерными числами, отнесенными как Пи. Во-вторых, любое безразмерное отношение между исходным \ (n \) параметры могут быть преобразованы в отношение между \ (n-m \) безразмерные числа. Такие отношения могут быть идентичностями или неравенства, указывающие, например, является ли данный эффект незначительный.Более того, преобразование системы уравнений в безразмерная форма соответствует выражающим коэффициентам, а также как свободные и зависимые переменные в единицах числа Пи.

    В качестве примера представьте тело, движущееся с постоянной скоростью \ (v \). Какие расстояние \ (s \), пройденное за время \ (t \)? Теорема Пи приводит к одна безразмерная переменная \ (\ pi = vt / s \) и приводит к формуле \ (s = Cvt \), где \ (C \) — неопределенная константа. Результат очень близко к известной формуле \ (s = vt \), возникающей из дифференциала уравнение \ (s ‘= v \) в физике, но с дополнительной константой.

    На первый взгляд теорема Пи может показаться граничащей с тривиально. Тем не менее, это может привести к значительному прогрессу для избранных проблемы, такие как турбулентные струи, ядерные взрывы или сходство решения, без детального знания математических или физических модели. Следовательно, новичку в масштабировании это может показаться чем-то особенным. очень глубокий, если не волшебный. Во всяком случае, если перейти к более сложным задач со многими параметрами, использование теоремы дает сравнительно меньший выигрыш по мере увеличения числа Пи.Многие Пи также могут быть рекомбинированы разными способами. Итак, хорошо физическое понимание и / или информация, передаваемая через набор уравнений, требуется для выбрать полезные безразмерные числа или соответствующее масштабирование упомянутый набор уравнений. Иногда изучение уравнений также показывает, что некоторые числа Пи, полученные в результате применения теоремы, на самом деле может быть удалено из проблемы. Как следствие, когда моделирование сложной физической задачи, реальная оценка масштабирования и безразмерные числа так или иначе будут включены в анализ основных уравнений вместо того, чтобы быть отдельной проблемой с теоремой Пи.И в учебниках, и в статьях обсуждение масштабирование в контексте уравнений слишком часто отсутствует или представлен в нерешительности. Следовательно, внимание авторов будет об этом процессе, хотя мы не приводим много примеров по теореме Пи. Мы не говорим, что теорема Пи мало ценить. В ряде случаев, например, в экспериментах, он может предоставить ценные и даже важные рекомендации, но в частности В учебнике мы стремимся рассказать дополнительную историю о масштабировании.Кроме того, как будет показано в этом буклете, безразмерные числа в проблема также возникает очень естественным образом из-за масштабирования дифференциальные уравнения. Если есть модель, основанная на дифференциальных уравнений, в классических размерный анализ.

    Абсолютные ошибки, относительные ошибки и единицы

    Математически не имеет значения, какие единицы мы используем для физического количество. Однако когда мы имеем дело с приближениями и ошибками, единицы важны.{-3} \) независимо от того, измеряется ли длина в километрах или миллиметрах.

    Тем не менее, вместо того, чтобы полагаться исключительно на относительные ошибки, лучше масштабировать проблему так, чтобы количества, входящие в вычисления имеют размер единицы (или, по крайней мере, умеренные), а не очень большой или очень маленький. Техника этих заметок показывает, как это может быть сделано.

    Агрегаты и компьютеры

    Традиционные числовые вычисления включают только числа и, следовательно, требует безразмерных математических выражений.Обычно неявный используется тривиальное масштабирование. Можно, например, просто масштабировать всю длину величин на 1 м, всех временных величин на 1 с и всех массовых величин на 1 кг, чтобы получить необходимые для расчетов безразмерные числа. Это наиболее распространенный подход, хотя он очень редко используется в явном виде. заявил.

    Пакеты символьных вычислений, такие как Mathematica и Maple, позволяют вычисления с величинами, имеющими размерность. Это тоже возможно в популярных компьютерных языках, используемых для числовых вычислений (раздел PhysicalQuantity: инструмент для вычислений с помощью единиц предоставляет конкретный пример на Python).{-3} \)). Хотя таблицы преобразования единиц измерения часто встречаются в школе, ошибки при пересчете единиц измерения, вероятно, ранжируют самый высокий среди всех ошибок, совершаемых учеными и инженерами (и когда из-за ошибки преобразования единиц в самолете заканчивается топливо, это серьезно!). Наличие хороших программных инструментов для помощи в подразделении поэтому конверсия имеет первостепенное значение, что мотивирует лечение этого тема в разделах PhysicalQuantity: инструмент для вычислений с единицами измерения и Parampool: пользовательские интерфейсы с автоматическим преобразованием единиц измерения.Читатели, которые в первую очередь заинтересованы в методе математического масштабирования. смело пропустите этот материал и сразу перейдите к разделу Задачи экспоненциального распада.

    Пример проблем, связанных с системами единиц

    Слегка проработанный пример масштабирования в реальном научный / инженерный проект может стимулировать читателя мотивация. В полном объеме исследование цунами пролетов геофизика, геология, история, гидродинамика, статистика, геодезия, инженерия и гражданская защита.Эта сложность отражается в разнообразие практик использования единиц, весов и концепции. Если сузить рамки до моделирования цунами распространение, аспект масштабирования, по крайней мере, может показаться простым, поскольку мы в основном касается продолжительности и времени. Тем не менее, даже здесь неоднородность физических единиц является препятствием.

    Незначительной проблемой является случайное использование единиц, не относящихся к системе СИ, таких как дюймы или в старых диаграммах, даже саженях. Более важна неоднородность величина различных переменных и различия в присущие, в частности, горизонтальные и вертикальные масштабы.Обычно отметки поверхности указаны в метрах или меньше. Для дальних водоемов распространения, а также небольшие цунами (которые до сих пор остаются научными интереса) отметки поверхности часто указываются в см или даже мм. В глубоком океане характерная глубина порядка величина больше этой, обычно \ (5000 \, \ hbox {m} \). Распространение расстояния, с другой стороны, составляют сотни или тысячи километров. Часто лучше всего описываются местоположения и вычислительные сети. в географических координатах (долгота / широта), которые связаны с Единицы СИ на 1 минуту широты составляют примерно одну морскую милю. (\ (1852 \, \ hbox {m} \)), и 1 минута долготы составляет это количество раз косинус широты.Периоды волн цунами в основном колеблются от от минут до часа, надеюсь, достаточно коротких, чтобы их можно было хорошо разделить из полусуточного периода приливов и отливов. Время распространения обычно часы или, может быть, лучшая часть дня, когда Тихий океан Океан пройден.

    Ученые, инженеры и бюрократы в сообществе цунами имеют тенденцию быть конкретными и не соответствовать форматам и единицам измерения, поскольку а также тип требуемых данных. Чтобы удовлетворить эти требования, Разработчик модели цунами должен производить разнообразные данные, которые представлены в единицах измерения. и форматы, которые нельзя использовать в ее моделях.На с другой стороны, она также должна быть готова принять входные данные в разнообразные формы. Некоторые наборы данных могут быть большими, что означает ненужное дублирование с другими единицами измерения или масштабированием должно быть избегали. Кроме того, модели цунами часто маркируются по сравнение с экспериментальными данными. Лабораторный масштаб обычно \ (\ hbox {cm} \) или \ (\ hbox {m} \), самое большее, что подразумевает, что измеренные данные представлены в единицах, отличных от используемых в реальных событиях земного масштаба, или даже в вольтах, с информацией о преобразовании, полученной от измерительных приборов.

    Все подробности устройства в различных форматах файлов явно мешают и порождают ряд заблуждений и ошибок, которые могут вызвать потеря драгоценного времени или усилий. Чтобы уменьшить такие проблемы, разработчики вычислительных средств должны сочетать разумную гибкость относительно единиц ввода и вывода с четким и последовательным соглашение о масштабировании в инструментах. Фактически, это также относится к академические инструменты для внутреннего использования.

    Приведенное выше обсуждение указывает на некоторые передовые методы, которые продвигает.Во-первых, всегда выполняйте вычисления с помощью масштабированного дифференциального уравнения. модели. В этом буклете рассказывается, как это сделать. Во-вторых, пользователи программного обеспечения часто хотят указать входные данные с измерением и получить выходные данные с размером. Затем программное обеспечение должно применить такие инструменты, как PhysicalQuantity (раздел PhysicalQuantity: инструмент для вычислений с единицами) или более сложный пакет Parampool (раздел Parampool: пользовательские интерфейсы с автоматическим преобразованием единиц измерения), чтобы разрешить ввод с явными размерами и при необходимости преобразуйте размеры в нужные типы.Эти инструменты тривиально применять, если вычислительное программное обеспечение написан на Python, но это просто, если программное обеспечение написаны на скомпилированных языках, таких как Fortran, C или C ++. В последнем случай, когда вы просто создаете модуль чтения ввода в Python, который захватывает данные из пользовательский интерфейс и передает их в вычислительное программное обеспечение, либо через файлы или вызовы функций (вызываемые соответствующие функции должны быть обернуты в Python с такими инструментами, как f2py, Cython, Ткать SWIG, Мгновенный, или аналогичный, см. [Ref03] (Приложение C) для основных примеры обертывания кода C и Fortran в f2py и Cython).

    PhysicalQuantity: инструмент для вычислений с модулями

    Эти заметки содержат довольно много компьютерного кода, чтобы проиллюстрировать, как теория подробно отображает работающее программное обеспечение. Python — это язык программирования используется, прежде всего потому, что это легко читаемый, мощный, полноценный язык, позволяющий использовать MATLAB-подобный код а также код на основе классов, обычно используемый в Java, C # и C ++. Экосистема Python для научных вычислений за последние годы выросла. быстро набирает популярность и заменяет более специализированные инструменты как MATLAB, R и IDL.Примеры кодирования в этом буклете требуют только знания основных процедурное программирование на Python.

    Читатели без знания переменных Python, функций, тестов if, и при импорте модулей следует обращаться, например, к краткому руководству по научным Python, конспекты научных лекций Python, или полный учебник [Ref04] параллельно с чтением о Код Python в настоящих заметках.

    Эти примечания относятся к Python 2.7

    Python существует в двух несовместимых версиях, пронумерованных 2 и 3.Различия можно сделать небольшими, и есть инструменты для написания код, работающий под обеими версиями.

    Поскольку Python версии 2 все еще доминирует в научных вычислениях мы придерживаемся этой версии, но написать код версии 2.7, максимально приближенный к версии 3.4 и позже. В большинстве наших программ отличается только оператор print . между версиями 2 и 3.

    Вычисления с модулями в Python хорошо поддерживаются очень полезный инструмент PhysicalQuantity из пакета ScientificPython от Конрада Хинсен.К сожалению, ScientificPython не поддерживает писать, работать с NumPy версии 1.9 или новее, поэтому мы изолировали PhysicalQuantity объект в модуле PhysicalQuantities и сделал его общедоступным доступно на GitHub. Также существует альтернативный пакет Unum для вычислений с числами с единиц, но здесь мы будем придерживаться первого модуля.

    Продемонстрируем использование объекта PhysicalQuantity с помощью вычисляя \ (s = vt \), где \ (v \) — скорость, указанная в единицах измерения ярдов на минута , а \ (t \) — время в часах.Сначала нам нужно знать, что единицы называются в PhysicalQuantities . Для этого запустите pydoc Физические количества или

     Терминал> pydoc Scientific.Physics.PhysicalQuantities
     

    , если у вас установлен весь пакет ScientificPython. В итоговая документация показывает имена единицы. Особенно, ярды задаются ярдами , минуты мин и часы по ч . Теперь мы можем вычислить \ (s = vt \) следующим образом:

     >>> # С ScientificPython:
    >>> от Науч.Physics.PhysicalQuantities import \
    ... PhysicalQuantity как PQ
    >>> # С PhysicalQuantities как отдельным / автономным модулем:
    >>> из PhysicalQuantities импортировать PhysicalQuantity как PQ
    >>>
    >>> v = PQ ('120 ярдов / мин') # скорость
    >>> t = PQ ('1 h') # время
    >>> s = v * t # расстояние
    >>> print s # s - строка
    120,0 ч * ярд / мин
     

    Нечетная единица ч * ярд / мин лучше преобразовать в стандартную единицу СИ, например как метр:

     >>> с.convertToUnit ('м')
    >>> print s
    6583,68 м
     

    Обратите внимание, что s — это объект PhysicalQuantity со значением и Ед. изм. Для математических вычислений нам нужно извлечь значение как объект с плавающей точкой . Мы также можем извлечь единицу в виде строки:

     >>> print s.getValue () # float
    6583,68
    >>> print s.getUnitName () # строка
    м
     

    Вот пример того, как преобразовать единицу нечетной скорости ярды на минута к чему-то более стандартному:

     >>> v.{-1} \)
    где джоуль заменяет калорийность? 

     >>> c = PQ ('1 кал / (г * К)')
    >>> c.convertToUnit ('Дж / (г * К)')
    >>> печать c
    4,184 Дж / К / г
     

    Parampool: пользовательские интерфейсы с автоматическим преобразованием единиц измерения

    Пакет Parampool позволяет создание пользовательских интерфейсов с поддержкой юнитов и юнитов конверсия. Значения параметров можно задать в виде числа с Ед. изм. Параметры могут быть зарегистрированы заранее с предпочтительным единица измерения, и все, что предписывает пользователь, значение и единица измерения преобразован так, что единица станет зарегистрированной единицей.2 \), \ (t \) быть время измеряется в с, и, следовательно, \ (с \) будет расстоянием, измеренным в м.

    Пул параметров

    Во-первых, Parampool требует от нас определения пула всех входных данных. параметры, которые здесь просто представлены списком словарей, где каждый словарь содержит информацию об одном параметре. Возможно организовать входные параметры в древовидной структуре с подпулами, которые сами могут иметь субпулы, но для нашего простого приложения нам просто нужна плоская структура с три входных параметра: \ (v_0 \), \ (a \) и \ (t \).Эти параметры помещаются в подпул под названием "Главный". Пул создается по коду

     def define_input ():
        бассейн = [
            'Главный', [
                dict (name = 'начальная скорость', по умолчанию = 1.0, unit = 'm / s'),
                dict (name = 'acceleration', по умолчанию = 1.0, unit = 'm / s ** 2'),
                dict (name = 'time', по умолчанию = 10.0, unit = 's')
                ]
            ]
    
        из parampool.pool.UI import listtree2Pool
        pool = listtree2Pool (pool) # преобразовать список в объект Pool
        возвратный бассейн
     

    Для каждого параметра мы можем определить логическое имя, например, начальная скорость , значение по умолчанию и единица измерения.Дополнительные свойства также разрешены, см. документацию Parampool.

    Совет: укажите значения чисел по умолчанию как объекты с плавающей запятой

    Обратите внимание, что мы пишем не просто 1, а 1.0 по умолчанию. Если бы использовалось 1, Parampool интерпретировал бы наш параметр как целое число и поэтому преобразует ввод, например, 2,5 м / с в 2 м / с . Чтобы гарантировать, что параметр с действительным знаком становится объектом с плавающей запятой внутри пула, мы должны указать значение по умолчанию как действительное число: 1. или 1,0 . (Тип входного параметра может быть также установлен явно с помощью свойство str2type , например, str2type = float .)

    Получение данных пула для вычислений

    Мы можем сделать небольшую функцию для извлечения значений из пула и вычисление \ (s \):

     дистанция def (бассейн):
        v_0 = pool.get_value ('начальная скорость')
        a = pool.get_value ('ускорение')
        t = pool.get_value ('время')
        s = v_0 * t + 0.5 * а * т ** 2
        вернуть s
     

    Функция pool.get_value возвращает числовое значение названный параметр, после того, как единица была преобразована из того, что Пользователь указал, что было зарегистрировано в пуле. Например, если пользователь предоставляет аргумент командной строки - время '2 ч' , Parampool преобразует это количество в секунды и pool.get_value ('time') вернет 7200.

    Чтение параметров командной строки

    Для запуска вычислений мы определяем пул, загружаем значения из командная строка и вызов расстояние :

     пул = define_input ()
    из Parampool.menu.UI import set_values_from_command_line
    pool = set_values_from_command_line (пул)
    
    s = расстояние (бассейн)
    print 's =% g'% s
     

    В именах параметров с пробелами должен использоваться символ подчеркивания вместо пробела. в параметре командной строки, например, в --Initial_velocity . Теперь мы можем запустить

     Терминал> python distance.py --initial_velocity '10 km / h '\
              - ускорение 0 - время '1 ч
    s = 10000
     

    Обратите внимание на ответ ( с ), что 10 км / ч преобразуется в м / с, а 1 ч - в с.

    Также можно получить значения параметров как PhysicalQuantity объекты из пула по телефону

     v_0 = pool.get_value_unit ('Начальная скорость')
     

    Следующий вариант функции расстояние вычисляет с значений и единиц:

     def distance_unit (пул):
        # Вычислить с помощью единиц
        из parampool.PhysicalQuantities импортировать PhysicalQuantity как PQ
        v_0 = pool.get_value_unit ('начальная скорость')
        a = pool.get_value_unit ('ускорение')
        t = бассейн.get_value_unit ('время')
        s = v_0 * t + 0,5 * a * t ** 2
        вернуть s.getValue (), s.getUnitName ()
     

    Затем мы можем сделать

     с, s_unit = Distance_unit (пул)
    print 's =% g'% s, s_unit
     

    и получите результат с правильным блоком.

    Установка значений по умолчанию в файле

    В больших приложениях с большим количеством входных параметров часто нравится для определения (огромного) набора значений по умолчанию для конкретного случая, а затем переопределите некоторые из них в командной строке.Такие наборы значений по умолчанию может быть установлен в файле с использованием синтаксиса типа

     подпул Главный
    начальная скорость = 100! ярд / мин
    ускорение = 0! м / с ** 2 # ускорение падения
    конец
     

    Аппарат можно отдать после ! Символ (и перед символом комментария # ).

    Для чтения таких файлов мы должны добавить строки

     из parampool.pool.UI import set_defaults_from_file
    pool = set_defaults_from_file (пул)
     

    перед вызовом на set_defaults_from_command_line .

    Если приведенные выше команды сохранены в файле distance.dat , мы даем информация об этом файле в программу через option --poolfile distance.dat . Бег только

     Терминал> python distance.py --poolfile distance.dat
    s = 15,25 м
     

    сначала загружает скорость 100 ярдов / мин преобразовано в 1,524 м / с и нулевое ускорение в систему пула и затем мы вызываем distance_unit , что загружает эти значения из пула вместе со значением по умолчанию для время, установленное на 10 с.Тогда расчет будет \ (s = 1,524 \ cdot 10 + 0 = 15,24 \). с блоком м. Мы можем изменить время и / или два других параметры в командной строке:

     Терминал> python distance.py --poolfile distance.dat --time '2 h'
    s = 10972,8 м
     

    В результате вычислений будет \ (s = 1,524 \ cdot 7200 + 0 = 10972,8 \). Предлагаем вам поиграть с программой distance.py.

    Указание нескольких значений входных параметров

    Parampool имеет интересную особенность: можно назначить несколько значений. к входному параметру, тем самым облегчая приложению пройти через все комбинации всех параметров.Мы можем продемонстрировать эту особенность, составив таблицу из \ (v_0 \), \ (a \), \ (t \) и \ (s \) значения. В функции вычисления нам нужно вызвать pool.get_values ​​ вместо pool.get_value , чтобы получить список всех значений, которые были указаны для рассматриваемого параметра. Путем вложенности петель поверх все параметры, мы посещаем все комбинации всех параметров как указано пользователем:

     def Distance_table (бассейн):
        "" "Получение нескольких значений параметров из пула." ""
        таблица = []
        для v_0 в пуле.get_values ​​('начальная скорость'):
            для a в pool.get_values ​​('ускорение'):
                для t в pool.get_values ​​('time'):
                    s = v_0 * t + 0,5 * a * t ** 2
                    table.append ((v_0, a, t, s))
        таблица возврата
     

    Если для параметра было указано только одно значение, pool.get_values ​​ возвращает только это значение, и будет только один проход в связанном петля.

    После загрузки аргументов командной строки в наш объект пула , мы можем вызвать Distance_table вместо Distance или Distance_unit и напишите красиво отформатированную таблицу результатов:

     таблица = Distance_table (бассейн)
    print '| ----------------------------------------------- ------ | '
    печать '| v_0 | а | т | с | '
    print '| ----------------------------------------------- ------ | '
    для v_0, a, t, s в таблице:
        печать '|% 11.3f | % 10.3f | % 10.3f | % 12.3f | ' % (v_0, a, t, s)
    print '| ----------------------------------------------- ------ | '
     

    Вот пример выполнения,

     Терминал> python distance.py --time '1 ч и 2 ч и 3 ч' \
              - ускорение '0 м / с ** 2 и 1 м / с ** 2 и 1 ярд / с ** 2' \
          --initial_velocity '1 и 5'
    | ------------------------------------------------- ---- |
    | v_0 | а | т | s |
    | ------------------------------------------------- ---- |
    | 1.000 | 0,000 | 3600.000 | 3600.000 |
    | 1.000 | 0,000 | 7200.000 | 7200.000 |
    | 1.000 | 0,000 | 10800.000 | 10800.000 |
    | 1.000 | 1.000 | 3600.000 | 6483600.000 |
    | 1.000 | 1.000 | 7200.000 | 25927200.000 |
    | 1.000 | 1.000 | 10800.000 | 58330800.000 |
    | 1.000 | 0,914 | 3600.000 | 5928912.000 |
    | 1.000 | 0,914 | 7200.000 | 23708448.000 |
    | 1.000 | 0,914 | 10800.000 | 53338608.000 |
    | 5.000 | 0,000 | 3600.000 | 18000.000 |
    | 5.000 | 0,000 | 7200.000 | 36000.000 |
    | 5.000 | 0,000 | 10800.000 | 54000.000 |
    | 5.000 | 1.000 | 3600.000 | 6498000.000 |
    | 5.000 | 1.000 | 7200.000 | 25956000.000 |
    | 5.000 | 1.000 | 10800.000 | 58374000.000 |
    | 5.000 | 0,914 | 3600.000 | 5943312.000 |
    | 5.000 | 0,914 | 7200.000 | 23737248.000 |
    | 5.000 | 0,914 | 10800.000 | 53381808.000 |
    | ------------------------------------------------- ---- |
     

    Обратите внимание, что некоторые из нескольких значений имеют разные размеры из зарегистрированного измерения для этого параметра, а таблица показывает, что преобразование в правильное измерение имело место.

    Создание графического пользовательского интерфейса

    Для удовольствия мы можем легко создать графический пользовательский интерфейс. через Parampool. Мы оборачиваем функцию distance_unit в функцию, которая возвращает результат в красивом HTML-коде:

     def distance_unit2 (пул):
        # Перенести результат из distance_unit в HTML
        s, s_unit = Distance_unit (пул)
        return ' Distance: % .2f% s'% (s, s_unit)
     

    Кроме того, мы должны сделать файл generate_distance_GUI.py с простое содержание

     из импорта parampool.generator.flask сгенерировать
    с расстояния импорт distance_unit2, define_input
    
    генерировать (distance_unit2, pool_function = define_input, MathJax = True)
     

    Запуск generate_distance_GUI.py создает веб-сайт на основе Flask. интерфейс для нашей функции distance_unit , см. Рисунок Web GUI, где параметры могут быть указаны с единицами измерения. Текстовые поля в этом графическом интерфейсе позволяют указывать параметры с числа и единицы, e.g., ускорение с единицей измерения ярдов в минуту в квадрате, как показано на рисунке. Слегка наведя указатель мыши слева от текстовое поле вызывает появление маленького черного окошка с зарегистрированным устройством этого параметра.

    Веб-интерфейс, в котором параметры могут быть указаны с помощью единиц

    С примерами, показанными выше, читатель должен уметь использовать PhysicalQuantity объект и пакет Parampool в программах и тем самым безопасно работать с юнитами. В следующем тексте, где мы обсуждаем умение масштабировать подробно, мы просто будем работать в стандартных единицах СИ и избегайте преобразования единиц измерения, чтобы больше не использовать PhysicalQuantity и Parampool.

    Объяснитель урока: Момент силы относительно точки в 2D: Векторы

    В этом объяснении мы узнаем, как найти момент плоской системы сил, действующих на тело вокруг точки как вектор.

    Мы знаем, что сила или система сил может оказывать вращательное воздействие на тело, которое описывается моментом сила или система сил вокруг точки. Напомним, что при плоском движении момент силы 𝑀 Относительно точки определяется как скаляр, величина которого определяется выражением | 𝑀 | = ‖‖⃑𝐹‖‖𝑑, ⟂ где 𝑑⟂ - расстояние по перпендикуляру между точкой и линией действия силы ⃑𝐹.Затем мы можем определить знак момента, рассмотрев, является ли эффект вращения по часовой стрелке или против часовой стрелки. По соглашению мы определяем момент с эффектом против часовой стрелки как положительный, что означает, что момент с эффектом вращения по часовой стрелке определяется как отрицательный.

    Хотя это определение хорошо работает для плоского движения, его недостаточно, когда мы рассматриваем движение с трехмерным движением. пробел, потому что понятие записи по часовой стрелке или против часовой стрелки здесь не выполняется.Следовательно, мы хотели бы расширить определение момента к трехмерному движению из скалярного момента, определенного для плоского движения. Чтобы сохранить Понятие ориентации вращения, мы определяем момент как вектор следующим образом.

    Определение: Момент силы

    Момент силы ⃑𝐹, действующей на тело, взятый около точки 𝑂, определяется выражением 𝑀 = ⃑𝑟 × ⃑𝐹, где 𝑟 - вектор положения точки, точка приложения силы ⃑𝐹.

    В этом определении мы видим, что система координат выбрана так, что ее начало совпадает с точкой около что мы пользуемся моментом.Если бы мы хотели вычислить момент силы ⃑𝐹 о точке 𝑃, который не является источником, то мы просто заменим ⃑𝑟 на 𝑃𝐴: 𝑀 = 𝑃𝐴 × ⃑𝐹.

    Буква 𝑃 была добавлена ​​в качестве нижнего индекса к 𝑀, чтобы указать, что момент взят около точки.

    В нашем первом примере мы будем использовать эту формулу для вычисления векторного момента силы на плоскости вокруг точки.

    Пример 1: Нахождение момента вектора силы относительно точки

    Если сила ⃑𝐹 = −5⃑𝑖 + 𝑚⃑𝑗 действует в точке 𝐴 (7,3), определить момент ⃑𝐹 относительно точки 𝐵 (7, −2).

    Ответ

    В этом примере нам нужно найти момент плоской силы относительно точки. Напомним, что векторный момент силы ⃑𝐹, действующее в точке 𝐴 относительно точки, задается формулой 𝑀 = 𝐵𝐴 × ⃑𝐹.

    Начнем с поиска вектора 𝐵𝐴: 𝐵𝐴 = (7,3,0) - (7, −2,0) = (0,5,0).

    Мы можем записать ⃑𝐹 как ⃑𝐹 = −5⃑𝑖 + 𝑚⃑𝑗 + 0⃑𝑘 = (- 5, 𝑚, 0).

    Взяв векторное произведение, 𝐵𝐴 × ⃑𝐹 = |||| ⃑𝑖⃑𝑗⃑𝑘050−5𝑚0 |||| = (5 × 0−0 × 𝑚) ⃑𝑖− (0 × 0−0 × (−5)) ⃑𝑗 + (0 × 𝑚 − 5 × ( −5)) ⃑𝑘 = 25⃑𝑘.

    Отметим, что неизвестная константа 𝑚 в силе сокращается, когда мы вычислили перекрестное произведение. Следовательно, момент относительно точки равен 25⃑𝑘.

    В предыдущем примере мы вычислили векторный момент плоской силы относительно точки по формуле 𝑀 = ⃑𝑟 × ⃑𝐹.

    Мы видим, что результирующий вектор перекрестного произведения содержал только компонент ⃑𝑘, и компоненты ⃑𝑖 и ⃑𝑗 исчезли. Это не Удивительно, если мы рассмотрим геометрическое свойство перекрестного произведения.Напомним, что вектор, полученный в результате перекрестного произведения двух векторов должны быть перпендикулярны двум векторам. Поскольку 𝑀 определяется как крест произведение векторов ⃑𝑟 и ⃑𝐹, оно должно быть перпендикулярно обоим векторы. Мы знаем, что и ⃑𝐹 лежат на -плоскость, поэтому должна быть перпендикулярна 𝑥𝑦-плоскости. Вектор, перпендикулярный плоскости, должен быть параллелен единичному вектору ⃑𝑘 в трехмерной системе координат. Это означает ⃑𝑟 × ⃑𝐹 = 𝑐⃑𝑘 для некоторого скаляра 𝑐.Поскольку это всегда так, мы можем упростить вычисление этого перекрестного произведения с помощью используя кросс-произведение 2D.

    Определение: 2D-перекрестное произведение

    Даны два 2D-вектора (𝑎, 𝑏) и (𝑐, 𝑑), 2D кросс-произведение определяется как (𝑎, 𝑏) × (𝑐, 𝑑) = (𝑎𝑑 − 𝑏𝑐) ⃑𝑘.

    Как мы видим, двумерное векторное произведение вычисляется быстрее. Мы будем использовать эту формулу для вычисления перекрестного произведения между 2D векторы для оставшейся части этого объяснителя.

    Далее, давайте обсудим величину момента, которая равна величине векторного произведения: ‖‖𝑀‖‖ = ‖‖⃑𝑟 × ⃑𝐹‖‖.

    Напомним, что перекрестное произведение двух векторов дает площадь параллелограмма, две смежные стороны которого образованы два вектора. Давайте посмотрим на это, используя следующую диаграмму.

    На приведенной выше диаграмме область выделенной области представляет величину перекрестного произведения ⃑𝑟 × ⃑𝐹 и, следовательно, величину импульса 𝑀. Мы также можем найти площадь этого параллелограмма геометрически, используя геометрическую формулу длина перпендикулярной высоты основания ×.

    На схеме основание этого параллелограмма образовано вектором ⃑𝐹, а высота равна перпендикулярное расстояние от начала координат до линии действия, которое обозначается 𝑑⟂.

    Это приводит к следующей формуле для величины векторного момента для двумерной силы вокруг точки.

    Свойство: Величины векторного момента силы

    Величина векторного момента плоской силы ⃑𝐹 относительно точки определяется выражением ‖‖𝑀‖‖ = ‖‖⃑𝐹‖‖𝑑, ⟂ где 𝑑⟂ - перпендикулярное расстояние между точкой и линией действия силы. ⃑𝐹.

    Мы видим, что величина векторного момента, указанная выше, равна величине скалярного момента. Следовательно, величина векторного момента согласуется с величиной скалярного момента для плоского движения.

    Когда мы переформулируем это уравнение, мы получаем полезную формулу для вычисления перпендикулярного расстояния между точкой и линией. действия силы.

    Формула: расстояние по перпендикуляру между точкой и линией действия

    Пусть 𝑀 будет векторным моментом силы или системой сил на плоскости вокруг точки.Тогда расстояние по перпендикуляру между точкой и линией действия силы равно 𝑑 = ‖‖𝑀‖‖‖‖⃑𝐹‖‖.⟂

    В следующем примере мы вычислим момент плоской силы вокруг точки, а затем воспользуемся этой формулой, чтобы найти расстояние по перпендикуляру между точкой и линией действия силы.

    Пример 2: Нахождение вектора момента силы, действующей в точке и перпендикуляре между моментом и линией Действие Силы

    При условии, что сила ⃑𝐹 = 4⃑𝑖 − 3⃑𝑗 действует через точку 𝐴 (3,6), определить момент о происхождение 𝑂 силы ⃑𝐹.Также рассчитайте перпендикуляр расстояние 𝐿 между 𝑂 и линией действия силы.

    Ответ

    В этом примере нам нужно сначала найти момент 𝑀 примерно 𝑂 силы ⃑𝐹, а затем рассчитайте перпендикулярное расстояние между 𝑂 и линией действие ⃑𝐹. Начнем с поиска момента. Напомним, что векторный момент силы , Действующее в точке 𝐴 относительно начала координат, задается формулой 𝑀 = 𝑂𝐴 × ⃑𝐹.

    Нам даны координаты 𝐴, что означает, что 𝑂𝐴 - это положение вектор, заданный 𝑂𝐴 = (3,6).

    Мы можем записать ⃑𝐹 в компонентной форме как ⃑𝐹 = 4⃑𝑖 − 3⃑𝑗 = (4, −3).

    Теперь мы готовы вычислить векторное произведение 𝑂𝐴 × ⃑𝐹. Напомним, что векторное произведение двумерных векторов определяется формулой (𝑎, 𝑏) × (𝑐, 𝑑) = (𝑎𝑑 − 𝑏𝑐) ⃑𝑘.

    Применяя эту формулу, получаем 𝑂𝐴 × ⃑𝐹 = (3,6) × (4, −3) = (3 × (−3) −6 × 4) ⃑𝑘 = −33⃑𝑘.

    Следовательно, момент ⃑𝐹 относительно начала координат равен −33⃑𝑘.

    Теперь давайте найдем перпендикулярное расстояние между началом координат и линией действия для ⃑𝐹. Напомним, что величина векторного момента плоской силы ⃑𝐹 относительно точки определяется выражением ‖‖𝑀‖‖ = ‖‖⃑𝐹‖‖𝐿, где 𝐿 - перпендикулярное расстояние между точкой и линией действия силы ⃑𝐹.Мы можем переписать это уравнение, чтобы записать 𝐿 = ‖‖𝑀‖‖‖‖⃑𝐹‖‖.

    Поскольку мы знаем 𝑀 = −33⃑𝑘, мы можем получить ‖‖𝑀‖‖ = 33. Найдем ‖‖⃑𝐹‖‖: ‖‖⃑𝐹‖‖ = 4 + (- 3) = √25 = 5.

    Подставляя эти значения в формулу для, получаем 𝐿 = 335 = 6,6.

    Следовательно, = −33⃑𝑘, 𝐿 = 6.6.lengthunits

    Мы отметили, что момент силы вокруг точки дает вектор, параллельный единичному вектору ⃑𝑘. Другими словами, существует некоторый скаляр такой, что 𝑀 = 𝑐⃑𝑘.

    Кроме того, мы заметили, что величина момента равна величине скалярного момента. | 𝑀 |.Это означает, что либо 𝑐 = 𝑀, либо 𝑐 = −𝑀. Чтобы определить, какой из них истинен, нам нужно проверить, совпадает ли знак 𝑐 со знаком скалярного момента. 𝑀.

    Свойства векторного произведения позволяют нам сначала заключить, что 𝑀 - вектор, перпендикулярный плоскость, определяемая и. Направление 𝑀 задается правилом правой руки. Это правило иногда объясняют, ссылаясь на ротацию винта: направление вектора ⃑𝐴 × ⃑𝐵 соответствует направление движения (вверх или вниз) крышки бутылки или гайки, которое можно было бы повернуть в том же направлении вращения, что и при движении от От ⃑𝐴 до ⃑𝐵, как показано на следующей диаграмме.

    Помните, что у нас 𝑀 = ⃑𝑟 × ⃑𝐹 = 𝑐⃑𝑘.

    Если 𝑐> 0, вектор момента будет выходить из плоскости (вверх), что соответствует против часовой стрелки. вращение согласно рисунку выше. Если бы 𝑐0, вектор момента уходил бы в плоскость (вниз), что указывает вращение по часовой стрелке. Напомним, что для скалярного момента 𝑀 ориентация против часовой стрелки соответствует к положительному знаку, а вращение по часовой стрелке - к отрицательному. Это говорит нам о том, что знак скалярного импульса 𝑀 совпадает со знаком скаляра.Таким образом, мы показали, что 𝑐 = 𝑀.

    Свойство: 2D-векторный момент силы

    Пусть 𝑀 и 𝑀 будут скалярными и векторными моментами силы или системой силы, на плоскости около точки. Потом, 𝑀 = 𝑀⃑𝑘.

    Это свойство твердо устанавливает, почему этот векторный момент является разумным расширением скалярного момента для плоской силы. Кроме того, векторный момент можно обобщить, чтобы представить момент общей трехмерной силы относительно точки, поскольку он получается используя кросс-произведение.

    Из этого свойства можно вывести несколько полезных наблюдений. Во-первых, мы знаем, что скалярный момент не зависит от местоположение точки, на которую действует сила, пока точка находится на той же линии действия силы. Это потому что скалярный момент получается только с использованием величины силы ‖‖⃑𝐹‖‖ и перпендикулярное расстояние 𝑑⟂. Это означает, что векторный момент также не зависит от положения точки, в которой действует сила.Мы сможем лучше понять это, если сравним величину импульса, когда мы переместите эту точку по линии действия.

    Мы видим, что площади обоих параллелограммов равны, так как длина основания ‖‖⃑𝐹‖‖ и высота 𝑑⟂ одинаковы для обоих параллелограммы. Это говорит нам о том, что величина импульса для этих двух систем одинакова. Кроме того, мы можем видеть что обе системы будут вызывать вращение по часовой стрелке вокруг начала координат, а это означает, что знак момента будет одинаковым для обе системы.Следовательно, векторный момент для этих двух систем одинаков. Это приводит к следующему полезному свойству.

    Свойство: векторный момент силы

    Векторный момент силы 𝑀 относительно точки не зависит от точки, в которой сила действует до тех пор, пока точка лежит на той же линии действия.

    В следующем примере мы найдем векторный момент плоской силы относительно точки, когда начальная точка 𝐴 не дано.

    Пример 3: Нахождение момента вектора силы, действующего в точке

    Конец 𝐴 из 𝐴𝐵 находится в точке (−6,7) и 𝐴𝐵 имеет середину 𝐷 (−7,1).Если линия действий силы ⃑𝐹 = −2⃑𝑖 − 6⃑𝑗 биссектрисы 𝐴𝐵, определить момент ⃑𝐹 около точки 𝐵.

    Ответ

    В этом примере нам нужно найти момент плоской силы относительно точки. Напомним, что векторный момент силы ⃑𝐹, действующее в точке 𝑃 относительно точки, задается формулой 𝑀 = 𝑂𝑃 × ⃑𝐹.

    Хотя нам не дается точка, в которой действует сила, нам дается, что линия действия силы ⃑𝐹 пополам 𝐴𝐵.Это означает, что линия действий проходит через середину 𝐷 из 𝐴𝐵. Напомним, что векторный момент 𝑀 силы вокруг точки не зависит от начальной точки, пока точка лежит в том же направлении действий. Следовательно, мы можем вычислить момент, считая, что начальная точка находится в 𝐷 (−7,1). Это означает, что момент ⃑𝐹 о 𝐵 дается 𝑀 = 𝐵𝐷 × ⃑𝐹.

    Начнем с поиска вектора 𝐵𝐷. Поскольку 𝐷 - середина 𝐴, мы знаем, что ‖‖𝐴𝐷‖‖ = ‖‖𝐵𝐷‖‖.

    Также эти векторы имеют противоположное направление, что означает 𝐵𝐷 = −𝐴𝐷.

    Мы можем найти, используя координаты точек 𝐴 и 𝐷: 𝐴𝐷 = (- 7,1) - (- 6,7) = (- 1, −6).

    Следовательно, 𝐵𝐷 = - (- 1, −6) = (1,6).

    Теперь мы готовы вычислить векторное произведение 𝐵𝐷 × ⃑𝐹. Напомним, что векторное произведение двумерных векторов определяется формулой (𝑎, 𝑏) × (𝑐, 𝑑) = (𝑎𝑑 − 𝑏𝑐) ⃑𝑘.

    Применяя эту формулу, получаем 𝐵𝐷 × ⃑𝐹 = (1,6) × (−2, −6) = (1 × (−6) −6 × (−2)) ⃑𝑘 = 6⃑𝑘.

    Следовательно, момент ⃑𝐹 относительно точки 𝐵 равен 6⃑𝑘.

    В следующем примере мы найдем момент системы плоских сил, действующих в одной точке относительно другой точки, сначала нахождение равнодействующей сил.

    Пример 4: Расчет момента трех сил, действующих на единственную точку относительно данной точки и расстояния между точками

    Учитывая, что ⃑𝐹 = −2⃑𝑖 + 2⃑𝑗, ⃑𝐹 = −3⃑𝑖 − ⃑𝑗, и ⃑𝐹 = ⃑𝑖 − 4⃑𝑗 действуют в точке 𝐴 (2,3), определить момент ⃑𝑚 равнодействующей сил относительно точки 𝐵 (−2, −1), и вычислим длину перпендикулярной прямой 𝐿 присоединение точки 𝐵 к результирующей линии действий.

    Ответ

    В этом примере нам дана система плоских сил, действующих в одной и той же точке. Начнем с нахождения равнодействующей силы. Напомним, что равнодействующая системы сил, действующих в одной и той же точке, является суммой всех векторов сил в система. Следовательно, результирующая ⃑𝐹 имеет вид ⃑𝐹 = ⃑𝐹 + ⃑𝐹 + ⃑𝐹 =  − 2⃑𝑖 + 2⃑𝑗 +  − 3⃑𝑖 − ⃑𝑗 + ⃑𝑖 − 4⃑𝑗 =  − 2⃑𝑖 − 3⃑𝑖 + ⃑𝑖 + 2⃑𝑗 − ⃑𝑗 − 4⃑𝑗 = −4⃑𝑖 − 3⃑𝑗. 

    Это говорит нам, что равнодействующая сил равна ⃑𝐹 = −4⃑𝑖 − 3⃑𝑗.Далее найдем момент ⃑𝑚 равнодействующей относительно точки 𝐵 (−2, −1). Напомним, что векторный момент силы ⃑𝐹, действующий в точке 𝐴 относительно точки определяется выражением 𝑀 = 𝐵𝐴 × ⃑𝐹.

    Используя координаты 𝐴 и 𝐵, можно найти 𝐵𝐴 = (2,3) - (- 2, −1) = (4,4).

    Теперь мы готовы вычислить векторное произведение 𝐵𝐴 × ⃑𝐹. Напомним, что перекрестное произведение двумерных векторов определяется как (𝑎, 𝑏) × (𝑐, 𝑑) = (𝑎𝑑 − 𝑏𝑐) ⃑𝑘.

    Это приводит к 𝐵𝐴 × ⃑𝐹 = (4,4) × (−4, −3) = (4 × (−3) −4 × (−4)) ⃑𝑘 = 4⃑𝑘.

    Следовательно, момент равнодействующей сил относительно точки 𝐵 равен 4⃑𝑘.

    Теперь найдем длину перпендикулярной линии 𝐿, соединяющей точку 𝐵 с результирующая линия действий. Эта длина 𝐿 также известна как перпендикулярное расстояние между точками 𝐵 и действия в результате. Чтобы вычислить эту длину, напомним, что величина векторный момент плоской силы относительно точки определяется выражением ‖‖𝑀‖‖ = ‖‖⃑𝐹‖‖𝐿, где 𝐿 - перпендикулярное расстояние между точкой и линией действия для ⃑𝐹.Мы можем переписать это уравнение, чтобы записать 𝐿 = ‖‖𝑀‖‖‖‖⃑𝐹‖‖.

    Так как мы знаем 𝑀 = 4⃑𝑘, мы можем получить ‖‖𝑀‖‖ = 4. Найдем ‖‖⃑𝐹‖‖: ‖‖⃑𝐹‖‖ =  (−4) + (- 3) = √25 = 5.

    Подставляя эти значения в формулу для 𝐿, получаем 𝐿 = 45 = 0,8.

    Следовательно, = 4⃑𝑘, 𝐿 = 0.8.lengthunits

    В предыдущем примере мы нашли момент системы плоских сил, действующих в одной и той же точке относительно другой точки. Мы можем отметить что процесс нахождения момента для системы сил такой же, как и для одной силы, если силы действуют в та же точка.

    Давайте теперь рассмотрим задачу нахождения момента системы плоских сил, когда силы не действуют в одной и той же точке.

    Определение: Момент системы плоских сил

    Рассмотрим систему сил ⃑𝐹, ⃑𝐹,…, и ⃑𝐹 действует в 𝐴, 𝐴,…, и 𝐴 соответственно. Чтобы найти момент этой системы сил относительно точки, мы нужно найти моменты 𝑀, 𝑀,…, и 𝑀 сил ⃑𝐹, ⃑𝐹, …, И ⃑𝐹 о точке 𝑂.Тогда момент система 𝑀 относительно точки задается формулой 𝑀 = 𝑀 + 𝑀 + ⋯ + 𝑀.

    Это определение говорит нам, что момент системы сил равен сумме отдельных моментов каждой силы в система примерно в той же точке.

    В нашем последнем примере мы найдем неизвестные постоянные силы в системе, действующей в разных точках, когда нам задано момент системы сил о двух разных точках.

    Пример 5: Нахождение неизвестных компонентов двух сил по сумме их моментов относительно двух точек

    ⃑𝐹 = 𝑚⃑𝑖 + ⃑𝑗 и ⃑𝐹 = 𝑛⃑𝑖 − 5⃑𝑗, где ⃑𝐹 и ⃑𝐹 - две силы, действующие в точках 𝐴 (3,1) и 𝐵 (−1, −1) соответственно.Сумма моментов относительно исходной точки равна нулю. В сумма моментов относительно точки 𝐶 (1,2) также равна нулю. Определите значения 𝑚 и 𝑛.

    Ответ

    В этом примере нам нужно найти неизвестные константы 𝑚 и 𝑛 в силах ⃑𝐹 и ⃑𝐹, когда нам дано, что сумма моменты двух сил относительно начала координат, а также относительно точки равны нулю. Мы можем найти неизвестные константы путем определения пары одновременных уравнений, включающих и.Мы получим первое уравнение, вычислив сумму моментов и ⃑𝐹 о начале координат и установив их равными нулю.

    Напомним, что вектор момента силы ⃑𝐹, действующей в точке 𝑃 около точка 𝑄 задается 𝑀 = ⃑𝑟 × ⃑𝐹, где ⃑𝑟 - вектор из точки 𝑄 в точку. Позволь нам сначала найдите момент ⃑𝐹 о начале координат. Поскольку ⃑𝐹 действует в точке 𝐴, можно записать ⃑𝑟 = 𝑂𝐴 = (3,1).

    Мы можем записать ⃑𝐹 в компонентной форме как ⃑𝐹 = 𝑚⃑𝑖 + ⃑𝑗 = (𝑚, 1).

    Теперь мы готовы вычислить перекрестное произведение 𝑂𝐴 × ⃑𝐹. Напомним, что перекрестное произведение двумерных векторов определяется как (𝑎, 𝑏) × (𝑐, 𝑑) = (𝑎𝑑 − 𝑏𝑐) ⃑𝑘.

    Это приводит к ⃑𝑟 × ⃑𝐹 = (3,1) × (𝑚, 1) = (3 × 1−1 × 𝑚) ⃑𝑘 = (3 − 𝑚) ⃑𝑘.

    Теперь найдем момент ⃑𝐹 относительно начала координат. . Поскольку ⃑𝐹 действует в точке 𝐵, можно записать ⃑𝑟 = 𝑂𝐵 = (- 1, −1).

    Мы можем записать ⃑𝐹 в компонентной форме как ⃑𝐹 = 𝑛⃑𝑖 − 5⃑𝑗 = (𝑛, −5) .

    Взяв векторное произведение, ⃑𝑟 × ⃑𝐹 = (- 1, −1) × (𝑛, −5) = (- 1 × (−5) - (- 1) × 𝑛) ⃑𝑘 = (5 + 𝑛) ⃑𝑘.

    Тогда сумма этих двух моментов относительно начала координат равна (3 − 𝑚) ⃑𝑘 + (5 + 𝑛) ⃑𝑘 = (8 − 𝑚 + 𝑛) ⃑𝑘.

    Поскольку дано, что сумма этих моментов должна равняться нулю, получаем

    Это дает нам одно уравнение, включающее и 𝑛. Мы можем повторить это вычисление на данный момент относительно точки 𝐶, чтобы получить другое уравнение, но мы также можем найти второе уравнение, используя свойства моменты. Найдем момент ⃑𝐹 относительно точки: ⃑𝑟 = 𝐶𝐴 = (3,1) - (1,2) = (2, −1).

    Взяв векторное произведение, ⃑𝑟 × ⃑𝐹 = (2, −1) × (𝑚, 1) = (2 × 1 - (- 1) × 𝑚) ⃑𝑘 = (2 + 𝑚) ⃑𝑘.

    Далее, на момент ⃑𝐹 о 𝐶, ⃑𝑟 = 𝐶𝐵 = (- 1, −1) - (1,2) = (- 2, −3).

    Взяв векторное произведение, ⃑𝑟 × ⃑𝐹 = (- 2, −3) × (𝑛, −5) = (- 2 × (−5) - (- 3) × 𝑛) ⃑𝑘 = (10 + 3𝑛) ⃑𝑘.

    Суммируя эти два моменты про 𝐶, (2 + 𝑚) ⃑𝑘 + (10 + 3𝑛) ⃑𝑘 = (12 + 𝑚 + 3𝑛) ⃑𝑘.

    Поскольку дано, что сумма этих моментов должна равняться нулю, получаем

    Теперь, когда мы получили два уравнения для и 𝑛, запишем уравнения (1) и (2) здесь: 8 − 𝑚 + 𝑛 знак равно 0,12 + 𝑚 + 3𝑛 = 0.

    Мы можем просуммировать два уравнения, чтобы исключить 𝑚. Это ведет к 20 + 4𝑛 = 0.

    Переставив это уравнение так, чтобы 𝑛 было объектом, мы получим 𝑛 = −5. Мы можем заменить это значение в уравнение (1) для записи 8 − 𝑚 − 5 = 0.

    Преобразование этого уравнения так, чтобы являлось предметом, приводит к 𝑚 = 3. Следовательно, мы имеем 𝑚 = 3, 𝑛 = −5.

    Давайте закончим повторением нескольких важных концепций из этого объяснителя.

    Ключевые точки

    • Векторный момент силы ⃑𝐹, действующий в точке 𝐴 относительно точки 𝑂 дается 𝑀 = ⃑𝑟 × ⃑𝐹, где ⃑𝑟 - вектор из точки 𝑂 в точку.
    • Величина векторного момента плоской силы ⃑𝐹 относительно точки определяется выражением ‖‖𝑀‖‖ = ‖‖⃑𝐹‖‖𝑑, ⟂ где 𝑑⟂ - перпендикулярное расстояние между точкой и линией действия силы. ⃑𝐹.
    • Векторный момент силы 𝑀 вокруг точки не зависит от начальной точки, до тех пор, пока точка находится в той же линии действия.
    • Пусть 𝑀 и 𝑀 - скалярный и векторный моменты силы, или система сил, на плоскости около точки.Потом, 𝑀 = 𝑀⃑𝑘.
    • Вычисление векторного произведения ⃑𝑟 × ⃑𝐹 для вычисления момент 𝑀 плоской силы вокруг точки можно упростить, используя двумерное векторное произведение, которое определяется как (𝑎, 𝑏) × (𝑐, 𝑑) = (𝑎𝑑 − 𝑏𝑐) ⃑𝑘.
    • Рассмотрим систему сил ⃑𝐹, ⃑𝐹, …, И ⃑𝐹 действующие в точках 𝐴, 𝐴,… и 𝐴 соответственно. Чтобы найти момент этой системы сил относительно точки, нам нужно найти моменты 𝑀, 𝑀,… и 𝑀 сил ⃑𝐹, ⃑𝐹, …, И ⃑𝐹 о точке 𝑂.Тогда момент система 𝑀 относительно точки задается формулой 𝑀 = 𝑀 + 𝑀 + ⋯ + 𝑀.

    Единицы и размеры - обзор

    1.1

    Проверьте размеры и единицы, указанные в таблице 1.1.

    1,2

    Постоянная гравитации G определяется как

    F = GmMr2F = Gm1m2r2

    , где F - сила тяжести между двумя массами m1 и m2, центры масс которых находятся на расстоянии r друг от друга.Найдите размеры G и его единиц в системе СИ и британской системе мер.

    (ответ : MT 2 L −3 , кгм −3 с 2 , снаряд −3 с 2 )

    1,3

    Предполагая период колебаний простой маятник τ в зависимости от массы объекта, длины маятника l и ускорения свободного падения g , используйте теорию размерного анализа, чтобы показать, что масса объекта не на самом деле актуально.Затем найдите подходящее выражение для периода колебаний через другие переменные.

    ( Ответ : τ = cl ∕ g, где c - постоянная)

    1,4

    Тонкий плоский диск диаметром D вращается вокруг шпинделя через его центр со скоростью ω радиан в секунду, в жидкости с плотностью ρ и кинематической вязкостью ν . Покажите, что мощность P , необходимая для вращения диска, может быть выражена как

    (a)

    P = ρω3D5fvωD2

    (b)

    P = ρv3DhωD2v

    Примечание: a) решите через индекс ν , а для (b) решите через индекс ω .

    Далее, покажите, что ωD2 / ν , PD / ρν3 и P / ρω3D5 - все безразмерные величины.

    1,5

    Сферы различного диаметра D и плотности σ могут свободно падать под действием силы тяжести через различные жидкости (представленные их плотностями ρ и кинематической вязкостью ν ) и их конечными скоростями В. измерены. Найдите рациональное выражение, связывающее V с другими переменными, и, следовательно, предложите подходящий график, в котором могут быть представлены результаты.

    Примечание: Будет пять неизвестных индексов, поэтому два должны остаться неопределенными, что даст две неизвестные функции в правой части. Сделайте неизвестные индексы аналогичными σ и ν .

    ( Ответ : V = DgfσρhDvDg; поэтому построите кривые зависимости VDg от DVDg для различных значений σ / ρ .)

    1,6

    Самолет весит 60 000 Н и имеет размах крыла 17 м. Модель в масштабе 1/10 с опущенными створками испытывается в туннеле со сжатым воздухом при давлении 15 атмосфер и температуре 15 ° C на различных скоростях.Максимальный подъем модели измеряется на различных скоростях с приведенными результатами:

    Скорость (мс -1 ) 20 21 22 23 24
    Максимальная подъемная сила (Н) 2960 3460 4000 4580 5200

    Оцените минимальную скорость полета самолета на уровне моря (т. Е. Скорость, при которой достигается максимальная подъемная сила самолета. равен его весу).

    (ответ : 33 мс −1 )

    1,7

    Распределение давления по сечению двумерного крыла под углом 4 градусов может быть аппроксимировано следующим образом: Верхняя поверхность: постоянная Cp при –0,8 от передней кромки до 60% хорды, затем линейно увеличивается до + 0,1 на задней кромке. Нижняя поверхность: постоянная Cp при –0,4 от передней кромки до 60% хорды, затем линейно увеличивается до + 0,1 на задней кромке. Оцените коэффициент подъемной силы и коэффициент момента тангажа относительно передней кромки за счет подъемной силы.

    (ответ : 0,3192; –0,13)

    1,8

    Статическое давление измеряется в нескольких точках на поверхности длинного круглого цилиндра диаметром 150 мм с осью, перпендикулярной потоку эталона. плотность при 30 мс −1 . Точки давления определяются углом θ , который представляет собой угол, образованный в центре дугой между точкой давления и передней точкой торможения. В следующей таблице приведены значения для p –p0, где p - давление на поверхности цилиндра, а p0 - невозмущенное давление набегающего потока, для различных углов θ , все давления даны в Нм. −2 .Показания для верхней и нижней половин цилиндра идентичны. Оцените сопротивление опалубки давлением на метр пробега и соответствующий коэффициент сопротивления.

    –660
    θ
    p - p 0
    (градусы)
    (Н · м −2 )
    0 10 20 30 40 60
    +569 +502 +301 –57 –392 –597 –721
    θ
    78 967 967 78 967 - 0 (градусы)
    (Н · м −2 )
    70 80 90 100 110 120
    –726 –707 –588 –569

    Для значений θ между 120 и 180 градусами p –p0 является постоянным при –569 Нм –2 .

    (ответ : CD = 0,875, D = 7,25 Нм −1 )

    1,9

    Планер имеет размах крыла 18 м и удлинение 16. Ширина фюзеляжа составляет 0,6 м при корень крыла, а коэффициент конусности крыла составляет 0,3 с законцовками крыла квадратного сечения. При истинной воздушной скорости 115 км / ч −1 на высоте с относительной плотностью 0,7 подъемная сила и лобовое сопротивление составляют 3500 Н и 145 Н соответственно. Коэффициент тангажа крыла относительно точки четверти хорды равен –0.03 на основе полной площади крыла и средней аэродинамической хорды. Рассчитайте коэффициенты подъемной силы и сопротивления на основе общей площади крыла и момента тангажа относительно точки четверти хорды.

    (ответ : CL = 0,396, CD = 0,0169, M = -322 Нм, так как c¯A≈1,245 м)

    1,10

    Опишите качественно результаты, ожидаемые от построения графика давления обычного симметричного тихоходный двумерный профиль. Обозначьте ожидаемые изменения и обсудите процессы определения результирующих сил.Требуются ли какие-либо дополнительные испытания для определения общих сил подъемной силы и сопротивления? Включите в обсуждение ожидаемый порядок величины для различных описанных распределений и сил.

    1.11

    Покажите, что для геометрически подобных аэродинамических систем безразмерные силовые коэффициенты подъемной силы и сопротивления зависят только от числа Рейнольдса и числа Маха. Кратко обсудите важность этой теоремы для испытаний в аэродинамической трубе и простой теории характеристик.

    1.12

    «Пинта - фунт для всего мира» - старинное стихотворение, описывающее вес воды. Учитывая, что пинта составляет одну восьмую галлона, что составляет 231,8 кубических дюйма, а плотность пресной воды (не морской воды) составляет 1,93 пули на кубический фут, решите процентную ошибку в старой рифме.

    1,13

    В физике средней школы W = mg показывает, что 1 пуля весит 32,174 фунта. Тем не менее, 1 пуля = 1 фунт2 фут. Точно так же 1 кг весит 9,8 Н. Чему равен 1 кг? Обратите внимание на разницу между «весит» и «равно», которую мы часто упускаем из виду во время домашних заданий и экзаменов.Также обратите внимание, что рабочая система slug-ft-sec идентична единицам mks. Необычна именно система фунт-фут-сек.

    1,14

    На графике в верхней части следующей страницы показаны данные по общедоступным значениям максимальной тяги в сравнении с максимальной взлетной массой для широкого спектра двухмоторных самолетов бизнес-класса. Самолеты из рынка «очень легких реактивных самолетов» находятся внизу слева, а бизнес-джет 737 - вверху справа. Покажите, что максимальное отношение подъемной силы к лобовому сопротивлению для всех этих самолетов составляет примерно 6, если предположить, что они могут взлетать с одним выключенным двигателем.Вы должны предположить, что крен на взлете горизонтальный и что создается достаточная подъемная сила, чтобы начать ускорение по вертикали. Точно так же предположим, что разбег при взлете имеет незначительное ускорение, то есть почти постоянную скорость.

    1,15

    Одним из важных показателей эффективности коммерческого авиалайнера является «долларов за кресло-милю» или стоимость полета одного пассажира на одну милю. Чем меньше это число, тем лучше летные характеристики самолета. Это число не просто функция формы крыла и двигателя; это зависит от того, насколько сильно загружен самолет.Если вы можете управлять маленьким парапланом из бальзового дерева или пенопласта с повторяемой высоты (лестница, балкон, вершина холма и т. Д.), Вы можете оптимизировать для него «долларов на сиденье-милю». Увеличение количества долларов на одно сиденье-милю для планера - это задача минимизировать знаменатель: количество мест, умноженное на мили, или произведение полезной нагрузки и расстояния. Загрузите в свой планер различные полезные нагрузки и запишите пройденное расстояние (вы должны сохранять хорошую дифферентность, поэтому закрепите грузы в центре масс планера). Какая полезная нагрузка обеспечивает продукт с максимальной полезной нагрузкой? Минимум?

    1.Четырехмерный анализ - Университетская физика, том 1

    Цели обучения

    К концу этого раздела вы сможете:

    • Найдите размерность математического выражения, содержащего физические величины.
    • Определите, согласовано ли уравнение с физическими величинами по размерам.

    Измерение любой физической величины выражает свою зависимость от базовых величин как произведение символов (или степеней символов), представляющих базовые величины.(Рисунок) содержит список основных величин и символов, используемых для их измерения. Например, считается, что измерение длины имеет размер L или L 1 , измерение массы имеет размер M или M 1 , а измерение времени имеет размер T или T 1 . Как и единицы измерения, размеры подчиняются правилам алгебры. Таким образом, площадь является произведением двух длин и поэтому имеет размер L 2 или длину в квадрате. Точно так же объем представляет собой произведение трех длин и имеет размер L 3 или длину в кубе.Скорость имеет размерную длину во времени, L / T или LT –1 . Объемная массовая плотность имеет размерность M / L 3 или ML –3 , или массу в кубе длины. В общем, размерность любой физической величины можно записать как

    .

    для некоторых мощностей

    и г . Мы можем записать размеры длины в этой форме с

    .

    и остальные шесть степеней все равны нулю:

    Любая величина, размерность которой может быть записана так, что все семь степеней равны нулю (то есть ее размерность

    ) называется безразмерным (или иногда «размерностью 1», потому что все, что возведено в нулевую степень, равно единице).Физики часто называют безразмерные величины чистыми числами .

    Базовые величины и их размеры
    Базовое количество Обозначение размера
    Длина л
    Масса M
    Время Т
    Текущий I
    Термодинамическая температура Θ
    Количество вещества N
    Сила света Дж

    Физики часто используют квадратные скобки вокруг символа физической величины, чтобы представить размеры этой величины.Например, если

    - радиус цилиндра, а

    -

    - его высота, тогда пишем

    и

    для обозначения размеров радиуса и высоты - это и длина, или L. Точно так же, если мы используем символ

    для площади цилиндра и

    для его объема, тогда [ A ] = L 2 и [ V ] = L 3 .Если использовать символ

    по массе цилиндра и

    для плотности материала, из которого изготовлен цилиндр, затем

    и

    Важность концепции измерения проистекает из того факта, что любое математическое уравнение, связывающее физические величины, должно быть размерно согласованным, , что означает, что уравнение должно подчиняться следующим правилам:

    • Каждый член в выражении должен иметь одинаковые размеры; нет смысла складывать или вычитать количества разных размеров (вспомните старую поговорку: «Вы не можете добавлять яблоки и апельсины»).В частности, выражения на каждой стороне равенства в уравнении должны иметь одинаковые размеры.
    • Аргументы любых стандартных математических функций, таких как тригонометрические функции (такие как синус и косинус), логарифмы или экспоненциальные функции, которые появляются в уравнении, должны быть безразмерными. Этим функциям требуются чистые числа в качестве входных данных и выдают чистые числа в качестве выходных данных.

    Если любое из этих правил нарушается, уравнение не является согласованным по размерам и не может быть правильной формулировкой физического закона.Этот простой факт можно использовать для проверки опечаток или алгебраических ошибок, чтобы помочь запомнить различные законы физики и даже предложить форму, которую могут принять новые законы физики. Это последнее использование измерений выходит за рамки этого текста, но вы, несомненно, узнаете об этом позже в своей академической карьере.

    Пример

    Использование размеров для запоминания уравнения

    Предположим, нам нужна формула площади круга для некоторых вычислений. Подобно многим людям, которые слишком давно изучали геометрию, чтобы их можно было вспомнить с какой-либо уверенностью, мы можем вспомнить два выражения, когда мы думаем о кругах:

    и

    Одно выражение - это длина окружности радиуса r , а другое - его площадь.Но что есть что?

    Стратегия

    Одна из естественных стратегий - поискать информацию, но это может занять время, чтобы найти информацию из авторитетного источника. Кроме того, даже если мы думаем, что источник заслуживает доверия, мы не должны доверять всему, что читаем. Приятно иметь возможность перепроверить, просто подумав об этом. Кроме того, мы можем оказаться в ситуации, когда не можем найти информацию (например, во время теста). Таким образом, стратегия состоит в том, чтобы найти размерности обоих выражений, используя тот факт, что размерности подчиняются правилам алгебры.Если какое-либо выражение не имеет тех же размеров, что и площадь, то это не может быть правильным уравнением для площади круга.

    Решение

    Мы знаем, что размер площади составляет L 2 . Теперь размерность выражения

    это

    с константы

    - чистое число, а радиус

    - это длина. Следовательно,

    имеет размерность площади.Аналогично размерность выражения

    это

    , так как константы

    и

    безразмерны и радиус

    - это длина. Мы видим, что

    имеет размер длины, а это значит, что это не может быть площадь.

    Исключаем

    , потому что размер не соответствует площади.Мы видим, что

    размерно согласован с областью, поэтому, если нам придется выбирать между этими двумя выражениями,

    - это тот, который стоит выбрать.

    Значение

    Это может показаться глупым примером, но идеи очень общие. Пока мы знаем размеры отдельных физических величин, которые появляются в уравнении, мы можем проверить, является ли уравнение размерно согласованным. С другой стороны, зная, что истинные уравнения размерно согласованы, мы можем сопоставить выражения из наших несовершенных воспоминаний с величинами, для которых они могут быть выражениями.Это не поможет нам запомнить безразмерные факторы, которые появляются в уравнениях (например, если вы случайно соединили два выражения из примера в

    , то размерный анализ не поможет), но он помогает нам запомнить правильную базовую форму уравнений.

    Проверьте свое понимание

    Предположим, нам нужна формула для объема сферы. В элементарных обсуждениях сфер обычно упоминаются два выражения:

    и

    Один - это объем сферы радиусом r , а другой - площадь его поверхности.Какой объем?

    [show-answer q = ”fs-id1168328152709 ″] Показать решение [/ show-answer]

    [скрытый-ответ a = ”fs-id1168328152709 ″]

    [/ hidden-answer]

    Пример

    Проверка уравнений на соответствие размеров

    Рассмотрим физические величины

    и

    с размерами

    и

    Определите, согласовано ли каждое из следующих уравнений по размерам: (a)

    (б)

    и (c)

    Стратегия

    По определению размерной согласованности, нам необходимо проверить, что каждый член в данном уравнении имеет те же размеры, что и другие члены в этом уравнении, и что аргументы любых стандартных математических функций безразмерны.

    Решение
    1. В этом уравнении нет тригонометрических, логарифмических или экспоненциальных функций, о которых следует беспокоиться, поэтому нам нужно только взглянуть на размеры каждого члена, фигурирующего в уравнении. Есть три члена, один в левом выражении и два в выражении справа, поэтому мы рассмотрим каждый по очереди:

      Все три члена имеют одинаковую размерность, поэтому это уравнение согласовано по размерам.

    2. Опять же, нет тригонометрических, экспоненциальных или логарифмических функций, поэтому нам нужно только взглянуть на размеры каждого из трех членов, входящих в уравнение:

      Ни один из трех терминов не имеет такого же измерения, как любой другой, так что это далеко не так, чтобы быть размерно согласованным, насколько это возможно.Технический термин для такого уравнения - чепуха .

    3. В этом уравнении есть тригонометрическая функция, поэтому сначала мы должны проверить, что аргумент синусоидальной функции безразмерен:

      Аргумент безразмерен. Все идет нормально. Теперь нам нужно проверить размеры каждого из двух членов (то есть левого выражения и правого выражения) в уравнении:

    Два члена имеют разные размеры - это означает, что уравнение не согласовано по размерам.Это уравнение - еще один пример «чепухи».

    Значение

    Если мы доверяем людям, эти типы размерных проверок могут показаться ненужными. Но будьте уверены, любой учебник по количественному предмету, например физике (включая этот), почти наверняка содержит некоторые уравнения с опечатками. Регулярная проверка уравнений с помощью анализа размеров избавляет нас от затруднений, связанных с использованием неправильного уравнения. Кроме того, проверка размерностей уравнения, которое мы получаем с помощью алгебраических манипуляций, - отличный способ убедиться, что мы не допустили ошибки (или обнаружить ошибку, если мы ее допустили).

    Проверьте свое понимание

    Согласовано ли уравнение v = при по размерам?

    [show-answer q = ”fs-id1168328194212 ″] Показать решение [/ show-answer]

    [скрытый-ответ a = ”fs-id1168328194212 ″]

    да

    [/ hidden-answer]

    Еще один момент, который необходимо упомянуть, - это влияние операций исчисления на измерения. Мы видели, что измерения подчиняются правилам алгебры, как и единицы, но что происходит, когда мы берем производную одной физической величины по отношению к другой или интегрируем одну физическую величину по другой? Производная функции - это просто наклон касательной к ее графику линии, а наклоны - это отношения, поэтому для физических величин v и t мы имеем, что размерность производной v относительно t - это просто отношение размера v к t :

    Точно так же, поскольку интегралы - это просто суммы произведений, размерность интеграла v относительно t - это просто размерность v , умноженная на размерность t :

    По тем же соображениям аналогичные правила справедливы для единиц физических величин, полученных из других величин путем интегрирования или дифференцирования.

    Сводка

    • Размерность физической величины - это просто выражение основных величин, из которых она получена.
    • Все уравнения, выражающие физические законы или принципы, должны быть согласованными по размерам. Этот факт можно использовать как помощь в запоминании физических законов, как способ проверить, возможны ли заявленные отношения между физическими величинами, и даже вывести новые физические законы.

    Проблемы

    Студент пытается запомнить формулы из геометрии.В дальнейшем предположим, что

    площадь,

    - это объем, а все остальные переменные - длины. Определите, какие формулы согласованы по размерам. (а)

    (б)

    (в)

    (г)

    e)

    Рассмотрим физические величины s , v, a, и t с размерами

    и

    Определите, согласовано ли каждое из следующих уравнений по размерам.(а)

    (б)

    (в)

    (г)

    [show-answer q = ”fs-id1168328201713 ″] Показать решение [/ show-answer]

    [скрытый-ответ a = ”fs-id1168328201713 ″]

    а. Да, оба члена имеют размер L 2 T -2 b. Нет. Да, оба термина имеют размер LT -1 d. Да, оба термина имеют размер LT -2

    [/ hidden-answer]

    Рассмотрим физические величины

    и

    с размерами [ м ] = M, [ s ] = L, [ v ] = LT –1 , [ a ] = LT –2 и [ t ] = Т.Предполагая, что каждое из следующих уравнений согласовано по размерам, найдите размерность величины в левой части уравнения: (a) F = ma ; (б) K = 0,5 мв 2 ; (c) p = mv ; (d) W = mas ; (e) L = mvr .

    Предположим количество

    - длина и количество

    - это время. Предположим, что количества

    и

    определяются как v = ds / dt и a = dv / dt .а) Каков размер против ? б) Каков размер количества a ? Какие габариты у (c)

    (г)

    и (e) da / dt ?

    [Показать-ответ q = ”fs-id1168328204280 ″] Показать решение [/ раскрыть-ответ]

    [скрытый-ответ a = ”fs-id1168328204280 ″]

    а. [v] = LT –1 ; б. [a] = LT –2 ; c.

    г.

    e.

    [/ hidden-answer]

    Предположим, [V] = L 3 ,

    и [t] = T. (a) Каков размер

    (b) Каков размер dV / dt ? (c) Какой размер у

    Формула длины дуги говорит о длине

    дуги, образуемой углом

    по окружности радиуса

    задается уравнением

    Каковы размеры (a) s , (b) r и (c)

    [show-answer q = ”fs-id1168327948973 ″] Показать решение [/ show-answer]

    [скрытый-ответ a = ”fs-id1168327948973 ″]

    а.L; б. L; c. L 0 = 1 (то есть безразмерно)

    [/ hidden-answer]

    Глоссарий

    размер
    выражение зависимости физической величины от основных величин как произведение степеней символов, представляющих основные величины; в общем случае размерность величины имеет вид

    для некоторых степеней a, b, c, d, e, f и g.

    без изменения размеров
    уравнение, в котором все члены имеют одинаковые размеры, а аргументы любых математических функций, входящих в уравнение, безразмерны
    безразмерный
    количество с размером

    также называется количеством размерности 1 или чистым числом

    Из следующих пар, у которых нет одинаковых размеров,

    Knockout JEE Main 2021 (один месяц)

    Персонализированный наставник AI и адаптивное расписание, Материал для самообучения, Уроки выходного дня, Неограниченные пробные тесты и персонализированные аналитические отчеты, Круглосуточная поддержка в чате сомнений.

    14000 ₹ / - 4999 / -

    купить сейчас
    Нокаут JEE Main 2021

    Персонализированный наставник AI и адаптивное расписание, Материал для самообучения, Уроки выходного дня, Неограниченные пробные тесты и персонализированные аналитические отчеты, Круглосуточная поддержка в чате сомнений.

    22999 9999 ₹ / -

    купить сейчас
    Серия тестов JEE Main 2021

    Глава / Тема / Полные пробные тесты для JEE Main, Персонализированный отчет об эффективности, Лист слабых мест, Полный ключ ответа.

    6999 / - 2999 / -

    купить сейчас
    Нокаут JEE Main 2022

    Персонализированный наставник AI и адаптивное расписание, Материал для самообучения, Живые занятия (занятия начнутся с последней недели сентября), Неограниченные пробные тесты и персонализированные аналитические отчеты, Круглосуточная поддержка в чате сомнений.

    34999 ₹ / - 24999 ₹ / -

    купить сейчас
    Ускоритель основного ранга JEE 2021

    Booster и видео лекции по Kadha, Неограниченный полный пробный тест, Адаптивная таблица времени, Круглосуточная поддержка в чате сомнений.

    alexxlab

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *