Простая английская Википедия, бесплатная энциклопедия

В физике крутящий момент — это тенденция силы к повороту или скручиванию. Если сила используется, чтобы начать вращать объект или остановить вращение объекта, создается крутящий момент.

Сила, приложенная к рычагу, умноженная на расстояние от точки опоры рычага, снова умноженная на синус созданного угла, описывается как крутящий момент.Это также известно как «r cross f» или «сила, умноженная на расстояние опоры, умноженное на синус тета».

Точка опоры — это ось вращения или точка опоры, на которой рычаг поворачивается при подъеме или перемещении чего-либо.

Уравнение крутящего момента:

τ = r × F {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ tau}} = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {F} \, \!}

, где F — вектор чистой силы, а r — вектор от оси вращения до точки, в которой действует сила.Греческая буква Тау используется для обозначения крутящего момента.

Единицы измерения крутящего момента — это сила, умноженная на расстояние. ^[1] В системе СИ единицей измерения крутящего момента является ньютон-метр. Самая распространенная английская единица — фут-фунт.

1. ↑ Хольцнер, Стивен (2010). Основы физики для чайников . Wiley Publishing. п. 122. ISBN 978-0-470-61841-7 .

Угловое движение — мощность и крутящий момент

Мощность и момент тела при угловом движении

Сила вращающегося тела может быть выражена как

P = T ω

= T 2 π n _{об / с}

= T π n _{об / мин} /30 (1)

где

P = мощность (Вт)

T = крутящий момент или момент (Нм)

= угловая скорость (рад / с)

π = 3.14 …

n _{об / с} = оборотов в секунду (об / с, 1 / с)

n _{об / мин} = оборотов в минуту (об / мин, 1 / мин)

• 1 рад = 360 ^o /2 π = ~ 57,29578 .. ^o

Примечание! — объект, такой как электродвигатель, может иметь активный момент без вращения, но без вращения ( ω = 0 ) не вырабатывается энергия.

В имперских единицах

P = T n _{об / мин} /5252 (1b)

где

P = мощность (л.с.)

T = крутящий момент (фут-фунт _f )

Пример — момент, создаваемый вращающимся двигателем

Электродвигатель работает со скоростью 3600 об / мин с измеренной потребляемой мощностью 2000 Вт .Момент, создаваемый двигателем (без потерь), можно рассчитать, переставив (1) на

T = 30 P / (π n _{об / мин} )

= 30 (2000 Вт) / (π ( 3600 об / мин))

= 5,3 Нм

Калькулятор моментов

P — мощность (Вт)

n _м — обороты (об / мин)

Крутящий момент тела в угловом движении

T = I α (2)

где

I = момент инерции (кг · м ² , фунт _f фут · с ² )

α = угловое ускорение (рад / с ² )

41. Как определить направление момента силы?

Для описания динамики вращательного движения твердого тела необходимо ввести понятие момента силы. Момент силы относительно некоторой точки — это векторное произведение силы на кратчайшее расстояние от этой точки до линии действия силы. Момент силы — аксиальный вектор. Он направлен вдоль оси вращения. Направление вектора момента силы определяется правилом буравчика, а величина его равна M. При этом надо различать понятия момента силы относительно точки и относительно оси. Если сила f приложена к материальной точке А, то моментом силы М относительно произвольной точки О называется векторное произведение радиуса-вектора r, проведенного из точки О к точке А, и вектора силы:  М = [ r f ] .  Модуль векторного произведения  = r f sin a, а  направление вектора М определяется правилом правого буравчика: направление первого вектора r по кратчайшему пути вращается к направлению второго вектора f, а движение оси буравчика при этом вращении показывает направление вектора М. Моментом силы относительно произвольной оси z называется векторное произведение радиуса-вектора r и составляющей f  силы f , приложенной в точке А:  М = [ r  f  ] где составляющая f   представляет собой проекцию силы f на плоскость, перпендикулярную оси z  и проходящую через точку А , а r — радиус- вектор точки А, лежащий в этой плоскости. M=Fd, т. е. момент силы равен произведению силы F на длину перпендикуляра d, опущенного из оси на направление силы. Длину перпендикуляра, опущенного из оси на направление силы, называют плечом силы. Значит, момент силы равен произведению величины силы на плечо силы. Ясно, что перенесение точки приложения силы вдоль ее направления не меняет ее момента (рис. 120). Если направление силы проходит через ось вращения, то плечо силы равно нулю; следовательно, равен нулю и момент силы этом случае сила не вызывает вращения тела: сила, момент которой относительно данной оси равен нулю, не вызывает вращения вокруг этой оси. Пользуясь понятием момента силы, мы можем по-новому сформулировать условия равновесия тела, закрепленного на оси и находящегося под действием двух сил. Как мы видели, для равновесия необходимо, чтобы силы стремились вращать тело в противоположных направлениях и чтобы произведения сил на их расстояния до оси были равны. Значит, при равновесии моменты обеих сил должны быть равны по величине и противоположны по знаку. Таким образом, для равновесия тела, закрепленного на оси, алгебраическая сумма моментов действующих на него сил должна быть равна нулю. Так как момент силы определяется произведением величины силы на плечо, то единицу момента мы получим, взяв силу, равную единице, плечо которой также равно единице. Значит, в системе СИ единицей момента силы является момент силы в 1 н, действующей на плече в 1 м, т. е. 1 н*м, в системе СГС —1 дин*см, в системе МКСС— 1 кГ*м. Пользуясь данными § 45, найдем соотношения между этими единицами:1 дин*см = 10^-7 н*м;   1 кГ*м = 9,8 н*м.

42. Как определить направление угловой скорости?

Углова́я ско́рость — векторная физическая величина, характеризующая скорость вращения тела. Вектор угловой скорости по величине равен углу поворота тела в единицу времени:

,

а направлен по оси вращения согласно правилу буравчика, то есть, в ту сторону, в которую ввинчивался бы буравчик с правой резьбой, если бы вращался в ту же сторону. Единица измерения угловой скорости, принятая в системах СИ и СГС) — радианы в секунду. (Примечание: радиан, как и любые единицы измерения угла, — физически безразмерен, поэтому физическая размерность угловой скорости — просто [1/секунда]).Определим угловую скорость как вектор, величина которого численно равна угловой скорости, b направленный вдоль оси вращения, причем, если смотреть с конца этого вектора, то вращение направлено против часовой стрелки. Исторически сложилось, что положительным направлением вращения считается вращение «против часовой стрелки», хотя, конечно, выбор этого направления абсолютно условен. Для определения направления вектора угловой скорости можно также воспользоваться «правилом буравчика» (которое также называется «правилом правого винта») — если направление движения ручки буравчика (или штопора) совместить с направлением вращения, то направление движения всего буравчика совпадет с направлением вектора угловой скорости.

43. Как определить направление углового ускарения? Угловое ускорение — векторная физическая величина, характеризующая быстроту изменения угловой скорости твёрдого тела.Угловое ускорение равно первой производной от угловой скорости по времени.Формула угловой скорости:

Единица углового ускорения — радиан в секунду в квадрате.

Углово́е ускоре́ние — псевдовекторная физическая величина, характеризующая быстроту изменения угловой скорости твёрдого тела.

При вращении тела вокруг неподвижной оси, угловое ускорение по модулю равно^[1]:

Вектор углового ускорения α направлен вдоль оси вращения (в сторону при ускоренном вращении и противоположно  — при замедленном).

При вращении вокруг неподвижной точки вектор углового ускорения определяется как первая производная от вектора угловой скорости ω по времени^[2], то есть

,

и направлен по касательной к годографу вектора в соответствующей его точке.

44. При каком условии мы имеем право считать в лабораторной работе №4 «Изучение основного закона динамики вращательного движения» линейное ускорение точек на ободе щкива равным ускорению поступательного движения груза?

Момент сил создается грузом m, привязанным к нити Н, ко­торая навита на один из шкивов. Если момент сил трения M_тр, при­ложенный к оси маятника, мал по сравнению с моментом силы натяжения нити, то проверка уравнения не представляет труда. Действи­тельно, измеряя время t, в течение которого груз из состояния покоя опустится на расстояние h, можно легко найти ускорение груза а, в проекции на координатную ось, совпадающую с направлением движения:

, которое связано с угловым ускорением  (при отсутствии проскальзывания нити относительно обода шкива) очевидным соотношением

, где r — радиус шкива.

Размерность — обобщенная сила — Большая Энциклопедия Нефти и Газа, статья, страница 1

Размерность — обобщенная сила

Cтраница 1

Размерность обобщенной силы полностью определяется написанным уравнением.  [1]

Размерность обобщенной силы зависит от размерности соответствующей обобщенной координаты.  [2]

Размерность обобщенной силы зависит от размерности соответствующей ей обобщенной координаты и размерности работы. При вычислении обобщенных сил учитываются только активные силы, приложенные к системе.  [3]

Размерность обобщенной силы зависит от размерности соответствующей обобщенной координаты.  [4]

Размерность обобщенной силы, вообще говоря, не совпадает с размерностью силы. Если координата jy имеет размерность длины, то обобщенная сила имеет размерность силы. В тех случаях, когда координатой qt является угол, размерность обобщенной силы совпадает с размерностью момента силы.  [5]

Размерность обобщенной силы равна размерности работы, поделенной на размерность обобщенной координаты, а эта последняя обычно имеет размерность длины или угла. Следовательно, обобщенная сила может иметь размерность силы или же размерность момента силы в зависимости от размерности соответствующей обобщенной координаты.  [6]

Размерность обобщенной силы равна размерности работы, поделенной на размерность обобщенной координаты, а эта последняя обычно имеет размерность длины или угла. Следовательно, обобщенная сила обычно имеет размерность силы или же размерность момента силы в зависимости от размерности соответствующей обобщенной координаты.  [7]

Заметим, что размерность обобщенной силы, отнесенной к единице длины нити, зависит от размерности соответствующей обобщенной координаты.  [8]

Отметим, что размерность обобщенной силы равна размерности работы, деленной на размерность обобщенной координаты.  [9]

Отсюда видим, что размерность обобщенной силы вообще не совпадает с размерностью силы.  [10]

Отсюда видим, что размерность обобщенной силы вообще не совг падает с размерностью силы.  [11]

Отсюда видим, что размерность обобщенной силы вообще не совпадает с размерностью силы.  [12]

Если за обобщенную координату принимается линейное перемещение, то размерность обобщенной силы соответствует размерности силы; если за обобщенную координату принимается угловое перемещение, то размерность обобщенной силы соответствует размерности момента.  [13]

Если за обобщенную координату принимается линейное перемещение х, имеющее измерение длины, то размерность обобщенной силы соответствует размерности силы; при обобщенной координате, равной углу закручивания какой-либо массы системы, за обобщенную силу принимается крутящий момент, так как только произведение момента на величину изменения угла соответствует работе.  [14]

Если за обобщенную координату q принять угол ф, измеряемый в радианах, то размерность обобщенной силы Q совпадает с размерностью момента. Так как каждой обобщенной координате соответствует обобщенная сила, то число обобщенных сил механической системы равно числу обобщенных координат, причем размерность каждой из обобщенных сил соответствует размерности соответствующей обобщенной координаты.  [15]

Страницы:      1    2

Какова размерная формула момента f класс 11 физика JEE_Main

Полное решение:
Рассмотрим свободно вращающееся тело. {- 2}}} \ right] .$

Примечание: Размерная формула любой величины может быть выведена для основных величин, если связь между ними известна. Размерные формулы используются для проверки правильности заданной формулы по размерам. Формулы размерностей не определяются в случае тригонометрических, логарифмических и экспоненциальных функций, поскольку они не являются физическими величинами.

3.2: Момент силы — Physics LibreTexts

Во-первых, давайте посмотрим на знакомую двумерную ситуацию.На рисунке III.1 я нарисовал силу \ (\ textbf {F} \) и точку O. Момент силы по отношению к O можно определить как

Сила, умноженная на перпендикулярное расстояние от O до линии действия \ (\ textbf {F} \).

В качестве альтернативы (рисунок III.2) момент может быть так же хорошо определен с помощью

Поперечная составляющая силы, умноженная на расстояние от точки O до точки приложения силы.

В любом случае величина момента силы, также известная как крутящий момент , равна \ (rF \ sin \ theta \). Мы можем рассматривать его как вектор, \ (\ boldsymbol \ tau \), перпендикулярный к самолет из бумаги:

\ begin {уравнение} \ \ boldsymbol \ tau = \ textbf {r} \ times \ textbf {F} \ tag {3.2.1} \ label {eq: 3.2.1} \ end {equal}

Теперь позвольте мне задать вопрос. Правильно ли говорить о моменте силы относительно (или «около») точки или относительно (или «около») оси ?

В приведенном выше двумерном примере это не имеет значения, но теперь позвольте мне перейти к трехмерным измерениям и я постараюсь внести ясность.

На рисунке III.3 я нарисовал набор прямоугольных осей и силу \ (\ textbf {F} \), вектор положения которой относительно начала координат равен \ (\ textbf {r} \).

Момент или крутящий момент \ (\ textbf {F} \) относительно начала координат является вектором

\ begin {уравнение} \ \ boldsymbol \ tau = \ textbf {r} \ times \ textbf {F} \ tag {3.2.2} \ label {eq: 3.2.2} \ end {уравнение}

Компоненты \ (x-, y- \) и \ (z \) — из \ (\ boldsymbol \ tau \) являются моментами \ (\ textbf {F} \) относительно \ (x-, y- \) и оси z. Вы можете легко найти компоненты \ (\ boldsymbol \ tau \), развернув перекрестное произведение \ (\ ref {eq: 3.2.2} \):

\ [\ boldsymbol \ tau = \ hat {\ textbf {x}} (yF_ {z} -zF_ {y}) + \ hat {\ textbf {y}} (yF_ {x} -xF_ {z}) + \ hat {\ textbf {z}} (xF_ {y} -yF_ {x}) \ tag {3.2.3} \ label {eq: 3.2.3} \]

, где \ (\ bf \ hat {x}, \ hat {y}, \ hat {z} \) — единичные векторы вдоль осей \ (x, y, z \). На рисунке III.4 мы смотрим вниз по оси \ (x \), и я нарисовал компоненты \ (F_ {y} \) и \ (F_ {z} \), и вы действительно можете увидеть, что , \ (\ tau_ {x} = yF_ {z} -zF_ {y} \).

Размеры момента силы или крутящего момента равны ML ² T ^-2 , а единицы СИ — Н · м.(Лучше оставить единицы измерения в Н · м, а не выражать крутящий момент в джоулях.)

Размеры и единицы

Механическая система, испытывающая одномерные демпфированные колебания, может быть моделируется уравнением

, где \ (m \) — масса системы, \ (b \) — некоторый коэффициент демпфирования, \ (k \) — жесткость пружины, а \ (u (t) \) — смещение система. Это уравнение, выражающее баланс трех физических эффекты: \ (mu » \) (масса, умноженная на ускорение), \ (bu ‘\) (демпфирующая сила) и \ (ку \) (сила пружины).Различные физические величины, такие как \ (m \), \ (u (t) \), \ (b \) и \ (k \), все имеют разные размеры , измеренные в разные единиц , но \ (mu » \), \ (bu ‘\) и \ (ku \) должны иметь одинаковые размерность, иначе добавлять их не было бы смысла.

Основные концепции

Базовые блоки и размеры

Базовые единицы обладают важным свойством, которое получают все остальные единицы. от них. В системе СИ таких базовых единиц семь и соответствующих физические величины: метр (м) на длину, килограмм (кг) для массы, секунды на время, кельвин (K) для температуры, ампер (А) для электрического тока, кандела (кд) для силы света, и моль (моль) для количества вещества. {- 2}] \)

Префиксы для единиц

Единицы часто имеют префиксы.9 \) Па.

Теорема Букингема Пи

Почти все тексты о масштабировании имеют трактовку знаменитого Букингема. Теорема Пи, которую можно использовать для вывода физических законов на основе единицы измерения совместимость, а не лежащие в основе физические механизмы. Этот буклет сосредоточен на моделях, в которых физические механизмы уже выражены через дифференциальные уравнения. Тем не менее, Pi Теорема занимает заметное место в литературе по масштабированию, и поскольку мы время от времени будем на него ссылаться, теорема такова: кратко обсуждается ниже.

Сама теорема просто состоит из двух частей. Во-первых, если проблема включает \ (n \) физические параметры, в которых \ (m \) независимые типы единиц (например, длина, масса и т. д.), тогда параметры могут быть в сочетании с ровно \ (n-m \) независимыми безразмерными числами, отнесенными как Пи. Во-вторых, любое безразмерное отношение между исходным \ (n \) параметры могут быть преобразованы в отношение между \ (n-m \) безразмерные числа. Такие отношения могут быть идентичностями или неравенства, указывающие, например, является ли данный эффект незначительный.Более того, преобразование системы уравнений в безразмерная форма соответствует выражающим коэффициентам, а также как свободные и зависимые переменные в единицах числа Пи.

В качестве примера представьте тело, движущееся с постоянной скоростью \ (v \). Какие расстояние \ (s \), пройденное за время \ (t \)? Теорема Пи приводит к одна безразмерная переменная \ (\ pi = vt / s \) и приводит к формуле \ (s = Cvt \), где \ (C \) — неопределенная константа. Результат очень близко к известной формуле \ (s = vt \), возникающей из дифференциала уравнение \ (s ‘= v \) в физике, но с дополнительной константой.

На первый взгляд теорема Пи может показаться граничащей с тривиально. Тем не менее, это может привести к значительному прогрессу для избранных проблемы, такие как турбулентные струи, ядерные взрывы или сходство решения, без детального знания математических или физических модели. Следовательно, новичку в масштабировании это может показаться чем-то особенным. очень глубокий, если не волшебный. Во всяком случае, если перейти к более сложным задач со многими параметрами, использование теоремы дает сравнительно меньший выигрыш по мере увеличения числа Пи.Многие Пи также могут быть рекомбинированы разными способами. Итак, хорошо физическое понимание и / или информация, передаваемая через набор уравнений, требуется для выбрать полезные безразмерные числа или соответствующее масштабирование упомянутый набор уравнений. Иногда изучение уравнений также показывает, что некоторые числа Пи, полученные в результате применения теоремы, на самом деле может быть удалено из проблемы. Как следствие, когда моделирование сложной физической задачи, реальная оценка масштабирования и безразмерные числа так или иначе будут включены в анализ основных уравнений вместо того, чтобы быть отдельной проблемой с теоремой Пи.И в учебниках, и в статьях обсуждение масштабирование в контексте уравнений слишком часто отсутствует или представлен в нерешительности. Следовательно, внимание авторов будет об этом процессе, хотя мы не приводим много примеров по теореме Пи. Мы не говорим, что теорема Пи мало ценить. В ряде случаев, например, в экспериментах, он может предоставить ценные и даже важные рекомендации, но в частности В учебнике мы стремимся рассказать дополнительную историю о масштабировании.Кроме того, как будет показано в этом буклете, безразмерные числа в проблема также возникает очень естественным образом из-за масштабирования дифференциальные уравнения. Если есть модель, основанная на дифференциальных уравнений, в классических размерный анализ.

Абсолютные ошибки, относительные ошибки и единицы

Математически не имеет значения, какие единицы мы используем для физического количество. Однако когда мы имеем дело с приближениями и ошибками, единицы важны.{-3} \) независимо от того, измеряется ли длина в километрах или миллиметрах.

Тем не менее, вместо того, чтобы полагаться исключительно на относительные ошибки, лучше масштабировать проблему так, чтобы количества, входящие в вычисления имеют размер единицы (или, по крайней мере, умеренные), а не очень большой или очень маленький. Техника этих заметок показывает, как это может быть сделано.

Агрегаты и компьютеры

Традиционные числовые вычисления включают только числа и, следовательно, требует безразмерных математических выражений.Обычно неявный используется тривиальное масштабирование. Можно, например, просто масштабировать всю длину величин на 1 м, всех временных величин на 1 с и всех массовых величин на 1 кг, чтобы получить необходимые для расчетов безразмерные числа. Это наиболее распространенный подход, хотя он очень редко используется в явном виде. заявил.

Пакеты символьных вычислений, такие как Mathematica и Maple, позволяют вычисления с величинами, имеющими размерность. Это тоже возможно в популярных компьютерных языках, используемых для числовых вычислений (раздел PhysicalQuantity: инструмент для вычислений с помощью единиц предоставляет конкретный пример на Python).{-3} \)). Хотя таблицы преобразования единиц измерения часто встречаются в школе, ошибки при пересчете единиц измерения, вероятно, ранжируют самый высокий среди всех ошибок, совершаемых учеными и инженерами (и когда из-за ошибки преобразования единиц в самолете заканчивается топливо, это серьезно!). Наличие хороших программных инструментов для помощи в подразделении поэтому конверсия имеет первостепенное значение, что мотивирует лечение этого тема в разделах PhysicalQuantity: инструмент для вычислений с единицами измерения и Parampool: пользовательские интерфейсы с автоматическим преобразованием единиц измерения.Читатели, которые в первую очередь заинтересованы в методе математического масштабирования. смело пропустите этот материал и сразу перейдите к разделу Задачи экспоненциального распада.

Пример проблем, связанных с системами единиц

Слегка проработанный пример масштабирования в реальном научный / инженерный проект может стимулировать читателя мотивация. В полном объеме исследование цунами пролетов геофизика, геология, история, гидродинамика, статистика, геодезия, инженерия и гражданская защита.Эта сложность отражается в разнообразие практик использования единиц, весов и концепции. Если сузить рамки до моделирования цунами распространение, аспект масштабирования, по крайней мере, может показаться простым, поскольку мы в основном касается продолжительности и времени. Тем не менее, даже здесь неоднородность физических единиц является препятствием.

Незначительной проблемой является случайное использование единиц, не относящихся к системе СИ, таких как дюймы или в старых диаграммах, даже саженях. Более важна неоднородность величина различных переменных и различия в присущие, в частности, горизонтальные и вертикальные масштабы.Обычно отметки поверхности указаны в метрах или меньше. Для дальних водоемов распространения, а также небольшие цунами (которые до сих пор остаются научными интереса) отметки поверхности часто указываются в см или даже мм. В глубоком океане характерная глубина порядка величина больше этой, обычно \ (5000 \, \ hbox {m} \). Распространение расстояния, с другой стороны, составляют сотни или тысячи километров. Часто лучше всего описываются местоположения и вычислительные сети. в географических координатах (долгота / широта), которые связаны с Единицы СИ на 1 минуту широты составляют примерно одну морскую милю. (\ (1852 \, \ hbox {m} \)), и 1 минута долготы составляет это количество раз косинус широты.Периоды волн цунами в основном колеблются от от минут до часа, надеюсь, достаточно коротких, чтобы их можно было хорошо разделить из полусуточного периода приливов и отливов. Время распространения обычно часы или, может быть, лучшая часть дня, когда Тихий океан Океан пройден.

Ученые, инженеры и бюрократы в сообществе цунами имеют тенденцию быть конкретными и не соответствовать форматам и единицам измерения, поскольку а также тип требуемых данных. Чтобы удовлетворить эти требования, Разработчик модели цунами должен производить разнообразные данные, которые представлены в единицах измерения. и форматы, которые нельзя использовать в ее моделях.На с другой стороны, она также должна быть готова принять входные данные в разнообразные формы. Некоторые наборы данных могут быть большими, что означает ненужное дублирование с другими единицами измерения или масштабированием должно быть избегали. Кроме того, модели цунами часто маркируются по сравнение с экспериментальными данными. Лабораторный масштаб обычно \ (\ hbox {cm} \) или \ (\ hbox {m} \), самое большее, что подразумевает, что измеренные данные представлены в единицах, отличных от используемых в реальных событиях земного масштаба, или даже в вольтах, с информацией о преобразовании, полученной от измерительных приборов.

Все подробности устройства в различных форматах файлов явно мешают и порождают ряд заблуждений и ошибок, которые могут вызвать потеря драгоценного времени или усилий. Чтобы уменьшить такие проблемы, разработчики вычислительных средств должны сочетать разумную гибкость относительно единиц ввода и вывода с четким и последовательным соглашение о масштабировании в инструментах. Фактически, это также относится к академические инструменты для внутреннего использования.

Приведенное выше обсуждение указывает на некоторые передовые методы, которые продвигает.Во-первых, всегда выполняйте вычисления с помощью масштабированного дифференциального уравнения. модели. В этом буклете рассказывается, как это сделать. Во-вторых, пользователи программного обеспечения часто хотят указать входные данные с измерением и получить выходные данные с размером. Затем программное обеспечение должно применить такие инструменты, как PhysicalQuantity (раздел PhysicalQuantity: инструмент для вычислений с единицами) или более сложный пакет Parampool (раздел Parampool: пользовательские интерфейсы с автоматическим преобразованием единиц измерения), чтобы разрешить ввод с явными размерами и при необходимости преобразуйте размеры в нужные типы.Эти инструменты тривиально применять, если вычислительное программное обеспечение написан на Python, но это просто, если программное обеспечение написаны на скомпилированных языках, таких как Fortran, C или C ++. В последнем случай, когда вы просто создаете модуль чтения ввода в Python, который захватывает данные из пользовательский интерфейс и передает их в вычислительное программное обеспечение, либо через файлы или вызовы функций (вызываемые соответствующие функции должны быть обернуты в Python с такими инструментами, как f2py, Cython, Ткать SWIG, Мгновенный, или аналогичный, см. [Ref03] (Приложение C) для основных примеры обертывания кода C и Fortran в f2py и Cython).

PhysicalQuantity: инструмент для вычислений с модулями

Эти заметки содержат довольно много компьютерного кода, чтобы проиллюстрировать, как теория подробно отображает работающее программное обеспечение. Python — это язык программирования используется, прежде всего потому, что это легко читаемый, мощный, полноценный язык, позволяющий использовать MATLAB-подобный код а также код на основе классов, обычно используемый в Java, C # и C ++. Экосистема Python для научных вычислений за последние годы выросла. быстро набирает популярность и заменяет более специализированные инструменты как MATLAB, R и IDL.Примеры кодирования в этом буклете требуют только знания основных процедурное программирование на Python.

Читатели без знания переменных Python, функций, тестов if, и при импорте модулей следует обращаться, например, к краткому руководству по научным Python, конспекты научных лекций Python, или полный учебник [Ref04] параллельно с чтением о Код Python в настоящих заметках.

Эти примечания относятся к Python 2.7

Python существует в двух несовместимых версиях, пронумерованных 2 и 3.Различия можно сделать небольшими, и есть инструменты для написания код, работающий под обеими версиями.

Поскольку Python версии 2 все еще доминирует в научных вычислениях мы придерживаемся этой версии, но написать код версии 2.7, максимально приближенный к версии 3.4 и позже. В большинстве наших программ отличается только оператор print . между версиями 2 и 3.

Вычисления с модулями в Python хорошо поддерживаются очень полезный инструмент PhysicalQuantity из пакета ScientificPython от Конрада Хинсен.К сожалению, ScientificPython не поддерживает писать, работать с NumPy версии 1.9 или новее, поэтому мы изолировали PhysicalQuantity объект в модуле PhysicalQuantities и сделал его общедоступным доступно на GitHub. Также существует альтернативный пакет Unum для вычислений с числами с единиц, но здесь мы будем придерживаться первого модуля.

Продемонстрируем использование объекта PhysicalQuantity с помощью вычисляя \ (s = vt \), где \ (v \) — скорость, указанная в единицах измерения ярдов на минута , а \ (t \) — время в часах.Сначала нам нужно знать, что единицы называются в PhysicalQuantities . Для этого запустите pydoc Физические количества или

 Терминал> pydoc Scientific.Physics.PhysicalQuantities
 

, если у вас установлен весь пакет ScientificPython. В итоговая документация показывает имена единицы. Особенно, ярды задаются ярдами , минуты мин и часы по ч . Теперь мы можем вычислить \ (s = vt \) следующим образом:

 >>> # С ScientificPython:
>>> от Науч.Physics.PhysicalQuantities import \
... PhysicalQuantity как PQ
>>> # С PhysicalQuantities как отдельным / автономным модулем:
>>> из PhysicalQuantities импортировать PhysicalQuantity как PQ
>>>
>>> v = PQ ('120 ярдов / мин') # скорость
>>> t = PQ ('1 h') # время
>>> s = v * t # расстояние
>>> print s # s - строка
120,0 ч * ярд / мин
 

Нечетная единица ч * ярд / мин лучше преобразовать в стандартную единицу СИ, например как метр:

 >>> с.convertToUnit ('м')
>>> print s
6583,68 м
 

Обратите внимание, что s — это объект PhysicalQuantity со значением и Ед. изм. Для математических вычислений нам нужно извлечь значение как объект с плавающей точкой . Мы также можем извлечь единицу в виде строки:

 >>> print s.getValue () # float
6583,68
>>> print s.getUnitName () # строка
м
 

Вот пример того, как преобразовать единицу нечетной скорости ярды на минута к чему-то более стандартному:

 >>> v.{-1} \)
где джоуль заменяет калорийность? 

 
 >>> c = PQ ('1 кал / (г * К)')
>>> c.convertToUnit ('Дж / (г * К)')
>>> печать c
4,184 Дж / К / г
 
 Parampool: пользовательские интерфейсы с автоматическим преобразованием единиц измерения 
 Пакет Parampool позволяет
создание пользовательских интерфейсов с поддержкой юнитов и юнитов
конверсия. Значения параметров можно задать в виде числа с
Ед. изм. Параметры могут быть зарегистрированы заранее с предпочтительным
единица измерения, и все, что предписывает пользователь, значение и единица измерения
преобразован так, что единица станет зарегистрированной единицей.2 \), \ (t \) быть
время измеряется в с, и, следовательно, \ (с \) будет расстоянием, измеренным в м.
 Пул параметров 
 Во-первых, Parampool требует от нас определения  пула  всех входных данных.
параметры, которые здесь просто представлены списком словарей, где каждый
словарь содержит информацию об одном параметре. Возможно
организовать входные параметры в древовидной структуре с подпулами, которые
сами могут иметь
субпулы,
но для нашего простого приложения нам просто нужна плоская структура с
три входных параметра:
\ (v_0 \), \ (a \) и \ (t \).Эти параметры помещаются в подпул под названием
"Главный". Пул создается по коду
 def define_input ():
    бассейн = [
        'Главный', [
            dict (name = 'начальная скорость', по умолчанию = 1.0, unit = 'm / s'),
            dict (name = 'acceleration', по умолчанию = 1.0, unit = 'm / s ** 2'),
            dict (name = 'time', по умолчанию = 10.0, unit = 's')
            ]
        ]

    из parampool.pool.UI import listtree2Pool
    pool = listtree2Pool (pool) # преобразовать список в объект Pool
    возвратный бассейн
 
 Для каждого параметра мы можем определить логическое имя, например,  начальная скорость ,
значение по умолчанию и единица измерения.Дополнительные свойства
также разрешены, см. документацию Parampool.
 Совет: укажите значения чисел по умолчанию как объекты с плавающей запятой
 Обратите внимание, что мы пишем не просто 1, а 1.0 по умолчанию.
Если бы использовалось 1, Parampool интерпретировал бы наш параметр как
целое число и поэтому преобразует ввод, например,  2,5 м / с  в  2 м / с .
Чтобы гарантировать, что параметр с действительным знаком становится объектом  с плавающей запятой  внутри
пула, мы должны указать значение по умолчанию как действительное число:  1. или  1,0 .
(Тип входного параметра может быть также установлен  явно  с помощью
свойство  str2type , например,  str2type = float .)
 Получение данных пула для вычислений 
 Мы можем сделать небольшую функцию для извлечения значений из пула
и вычисление \ (s \):
 дистанция def (бассейн):
    v_0 = pool.get_value ('начальная скорость')
    a = pool.get_value ('ускорение')
    t = pool.get_value ('время')
    s = v_0 * t + 0.5 * а * т ** 2
    вернуть s
 
 Функция  pool.get_value  возвращает числовое значение
названный параметр, после того, как единица была преобразована из того, что
Пользователь указал, что было зарегистрировано в пуле.
Например, если пользователь предоставляет аргумент командной строки  - время '2 ч' , Parampool преобразует это количество в секунды и  pool.get_value ('time')  вернет 7200.
 Чтение параметров командной строки 
 Для запуска вычислений мы определяем пул, загружаем значения из
командная строка и вызов  расстояние :
 пул = define_input ()
из Parampool.menu.UI import set_values_from_command_line
pool = set_values_from_command_line (пул)

s = расстояние (бассейн)
print 's =% g'% s
 
 В именах параметров с пробелами должен использоваться символ подчеркивания вместо пробела.
в параметре командной строки, например, в  --Initial_velocity .
Теперь мы можем запустить
 Терминал> python distance.py --initial_velocity '10 km / h '\
          - ускорение 0 - время '1 ч
s = 10000
 
 Обратите внимание на ответ ( с ), что 10 км / ч преобразуется в м / с, а 1 ч - в с.
 Также можно получить значения параметров как  PhysicalQuantity  объекты из пула по телефону
 v_0 = pool.get_value_unit ('Начальная скорость')
 
 Следующий вариант функции  расстояние  вычисляет с
значений и единиц:
 def distance_unit (пул):
    # Вычислить с помощью единиц
    из parampool.PhysicalQuantities импортировать PhysicalQuantity как PQ
    v_0 = pool.get_value_unit ('начальная скорость')
    a = pool.get_value_unit ('ускорение')
    t = бассейн.get_value_unit ('время')
    s = v_0 * t + 0,5 * a * t ** 2
    вернуть s.getValue (), s.getUnitName ()
 
 Затем мы можем сделать
 с, s_unit = Distance_unit (пул)
print 's =% g'% s, s_unit
 
 и получите результат с правильным блоком.
 Установка значений по умолчанию в файле 
 В больших приложениях с большим количеством входных параметров часто нравится
для определения (огромного) набора значений по умолчанию для конкретного случая, а затем
переопределите некоторые из них в командной строке.Такие наборы значений по умолчанию
может быть установлен в файле с использованием синтаксиса типа
 подпул Главный
начальная скорость = 100! ярд / мин
ускорение = 0! м / с ** 2 # ускорение падения
конец
 
 Аппарат можно отдать после ! Символ  (и перед символом комментария  # ).
 Для чтения таких файлов мы должны добавить строки
 из parampool.pool.UI import set_defaults_from_file
pool = set_defaults_from_file (пул)
 
 перед вызовом на  set_defaults_from_command_line .
 Если приведенные выше команды сохранены в файле  distance.dat , мы даем
информация об этом файле в программу через
option  --poolfile distance.dat . Бег только
 Терминал> python distance.py --poolfile distance.dat
s = 15,25 м
 
 сначала загружает скорость
100 ярдов / мин преобразовано в 1,524 м / с и нулевое ускорение
в систему пула и затем мы вызываем  distance_unit , что
загружает эти значения из пула вместе со значением по умолчанию для
время, установленное на 10 с.Тогда расчет будет \ (s = 1,524 \ cdot 10 + 0 = 15,24 \).
с блоком м. Мы можем изменить время и / или два других
параметры в командной строке:
 Терминал> python distance.py --poolfile distance.dat --time '2 h'
s = 10972,8 м
 
 В результате вычислений будет \ (s = 1,524 \ cdot 7200 + 0 = 10972,8 \).
Предлагаем вам поиграть с программой distance.py.
 Указание нескольких значений входных параметров 
 Parampool имеет интересную особенность: можно назначить несколько значений.
к входному параметру, тем самым облегчая приложению
пройти через все комбинации всех параметров.Мы можем продемонстрировать эту особенность, составив таблицу из \ (v_0 \), \ (a \), \ (t \) и
\ (s \) значения. В функции вычисления нам нужно вызвать  pool.get_values ​​ вместо  pool.get_value , чтобы получить список всех значений, которые
были указаны для рассматриваемого параметра. Путем вложенности петель поверх
все параметры, мы посещаем все комбинации всех параметров как
указано пользователем:
 def Distance_table (бассейн):
    "" "Получение нескольких значений параметров из пула." ""
    таблица = []
    для v_0 в пуле.get_values ​​('начальная скорость'):
        для a в pool.get_values ​​('ускорение'):
            для t в pool.get_values ​​('time'):
                s = v_0 * t + 0,5 * a * t ** 2
                table.append ((v_0, a, t, s))
    таблица возврата
 
 Если для параметра было указано только одно значение,  pool.get_values ​​ возвращает только это значение, и будет только один проход в связанном
петля.
 После загрузки аргументов командной строки в наш объект  пула , мы можем вызвать  Distance_table  вместо  Distance  или  Distance_unit  и
напишите красиво отформатированную таблицу результатов:
 таблица = Distance_table (бассейн)
print '| ----------------------------------------------- ------ | '
печать '| v_0 | а | т | с | '
print '| ----------------------------------------------- ------ | '
для v_0, a, t, s в таблице:
    печать '|% 11.3f | % 10.3f | % 10.3f | % 12.3f | ' % (v_0, a, t, s)
print '| ----------------------------------------------- ------ | '
 
 Вот пример выполнения,
 Терминал> python distance.py --time '1 ч и 2 ч и 3 ч' \
          - ускорение '0 м / с ** 2 и 1 м / с ** 2 и 1 ярд / с ** 2' \
      --initial_velocity '1 и 5'
| ------------------------------------------------- ---- |
| v_0 | а | т | s |
| ------------------------------------------------- ---- |
| 1.000 | 0,000 | 3600.000 | 3600.000 |
| 1.000 | 0,000 | 7200.000 | 7200.000 |
| 1.000 | 0,000 | 10800.000 | 10800.000 |
| 1.000 | 1.000 | 3600.000 | 6483600.000 |
| 1.000 | 1.000 | 7200.000 | 25927200.000 |
| 1.000 | 1.000 | 10800.000 | 58330800.000 |
| 1.000 | 0,914 | 3600.000 | 5928912.000 |
| 1.000 | 0,914 | 7200.000 | 23708448.000 |
| 1.000 | 0,914 | 10800.000 | 53338608.000 |
| 5.000 | 0,000 | 3600.000 | 18000.000 |
| 5.000 | 0,000 | 7200.000 | 36000.000 |
| 5.000 | 0,000 | 10800.000 | 54000.000 |
| 5.000 | 1.000 | 3600.000 | 6498000.000 |
| 5.000 | 1.000 | 7200.000 | 25956000.000 |
| 5.000 | 1.000 | 10800.000 | 58374000.000 |
| 5.000 | 0,914 | 3600.000 | 5943312.000 |
| 5.000 | 0,914 | 7200.000 | 23737248.000 |
| 5.000 | 0,914 | 10800.000 | 53381808.000 |
| ------------------------------------------------- ---- |
 
 Обратите внимание, что некоторые из нескольких значений имеют разные размеры
из зарегистрированного измерения для этого параметра, а таблица
показывает, что преобразование в правильное измерение имело место.
 Создание графического пользовательского интерфейса 
 Для удовольствия мы можем легко создать графический пользовательский интерфейс.
через Parampool. Мы оборачиваем функцию  distance_unit  в функцию, которая
возвращает результат в красивом HTML-коде:
 def distance_unit2 (пул):
    # Перенести результат из distance_unit в HTML
    s, s_unit = Distance_unit (пул)
    return ' Distance: % .2f% s'% (s, s_unit)
 
 Кроме того, мы должны сделать файл  generate_distance_GUI.py  с
простое содержание
 из импорта parampool.generator.flask сгенерировать
с расстояния импорт distance_unit2, define_input

генерировать (distance_unit2, pool_function = define_input, MathJax = True)
 
 Запуск  generate_distance_GUI.py  создает веб-сайт на основе Flask.
интерфейс
для нашей функции  distance_unit , см. Рисунок Web GUI, где параметры могут быть указаны с единицами измерения.
Текстовые поля в этом графическом интерфейсе позволяют указывать параметры с
числа и единицы, e.g., ускорение с единицей измерения ярдов в минуту в квадрате,
как показано на рисунке. Слегка наведя указатель мыши слева от
текстовое поле вызывает появление маленького черного окошка с зарегистрированным устройством
этого параметра.
  Веб-интерфейс, в котором параметры могут быть указаны с помощью единиц 
 С примерами, показанными выше, читатель должен уметь использовать  PhysicalQuantity  объект и пакет Parampool в программах
и тем самым безопасно работать с юнитами. В следующем тексте, где мы обсуждаем
умение масштабировать подробно, мы просто будем работать в стандартных единицах СИ
и избегайте преобразования единиц измерения, чтобы больше не использовать  PhysicalQuantity  и Parampool.
 Объяснитель урока: Момент силы относительно точки в 2D: Векторы 
 В этом объяснении мы узнаем, как найти момент плоской системы сил, действующих на тело вокруг точки как
 вектор.
 Мы знаем, что сила или система сил может оказывать вращательное воздействие на тело, которое описывается моментом
 сила или система сил вокруг точки. Напомним, что при плоском движении момент силы 𝑀
 Относительно точки определяется как скаляр, величина которого определяется выражением
 | 𝑀 | = ‖‖⃑𝐹‖‖𝑑, ⟂
 где 𝑑⟂ - расстояние по перпендикуляру между точкой и линией действия силы
 ⃑𝐹.Затем мы можем определить знак момента, рассмотрев, является ли эффект вращения
 по часовой стрелке или против часовой стрелки. По соглашению мы определяем момент с эффектом против часовой стрелки как положительный,
 что означает, что момент с эффектом вращения по часовой стрелке определяется как отрицательный.
 Хотя это определение хорошо работает для плоского движения, его недостаточно, когда мы рассматриваем движение с трехмерным движением.
 пробел, потому что понятие записи по часовой стрелке или против часовой стрелки здесь не выполняется.Следовательно, мы хотели бы расширить
 определение момента к трехмерному движению из скалярного момента, определенного для плоского движения. Чтобы сохранить
 Понятие ориентации вращения, мы определяем момент как вектор следующим образом.
 Определение: Момент силы 
 Момент силы ⃑𝐹, действующей на тело, взятый около точки 𝑂, определяется выражением
 𝑀 = ⃑𝑟 × ⃑𝐹,
 где 𝑟 - вектор положения точки, точка приложения силы
 ⃑𝐹.
 В этом определении мы видим, что система координат выбрана так, что ее начало совпадает с точкой около
 что мы пользуемся моментом.Если бы мы хотели вычислить момент силы ⃑𝐹 о точке
 𝑃, который не является источником, то мы просто заменим ⃑𝑟 на
 𝑃𝐴:
 𝑀 = 𝑃𝐴 × ⃑𝐹.
 Буква 𝑃 была добавлена ​​в качестве нижнего индекса к 𝑀, чтобы указать, что
 момент взят около точки.
 В нашем первом примере мы будем использовать эту формулу для вычисления векторного момента силы на плоскости вокруг точки.
 Пример 1: Нахождение момента вектора силы относительно точки 
 Если сила ⃑𝐹 = −5⃑𝑖 + 𝑚⃑𝑗 действует в точке
 𝐴 (7,3), определить момент ⃑𝐹 относительно точки
 𝐵 (7, −2).
 Ответ 
 В этом примере нам нужно найти момент плоской силы относительно точки. Напомним, что векторный момент силы
 ⃑𝐹, действующее в точке 𝐴 относительно точки, задается формулой
 𝑀 = 𝐵𝐴 × ⃑𝐹.
 Начнем с поиска вектора 𝐵𝐴:
𝐵𝐴 = (7,3,0) - (7, −2,0) = (0,5,0).
 Мы можем записать ⃑𝐹 как
 ⃑𝐹 = −5⃑𝑖 + 𝑚⃑𝑗 + 0⃑𝑘 = (- 5, 𝑚, 0).
 Взяв векторное произведение,
𝐵𝐴 × ⃑𝐹 = |||| ⃑𝑖⃑𝑗⃑𝑘050−5𝑚0 |||| = (5 × 0−0 × 𝑚) ⃑𝑖− (0 × 0−0 × (−5)) ⃑𝑗 + (0 × 𝑚 − 5 × ( −5)) ⃑𝑘 = 25⃑𝑘.
 Отметим, что неизвестная константа 𝑚 в силе сокращается, когда
 мы вычислили перекрестное произведение. Следовательно, момент относительно точки равен
 25⃑𝑘.
 В предыдущем примере мы вычислили векторный момент плоской силы относительно точки по формуле
𝑀 = ⃑𝑟 × ⃑𝐹.
 Мы видим, что результирующий вектор перекрестного произведения содержал только компонент ⃑𝑘,
 и компоненты ⃑𝑖 и ⃑𝑗 исчезли. Это не
 Удивительно, если мы рассмотрим геометрическое свойство перекрестного произведения.Напомним, что вектор, полученный в результате перекрестного произведения
 двух векторов должны быть перпендикулярны двум векторам. Поскольку 𝑀 определяется как крест
 произведение векторов ⃑𝑟 и ⃑𝐹, оно должно быть перпендикулярно обоим
 векторы. Мы знаем, что и ⃑𝐹 лежат на
 -плоскость, поэтому должна быть перпендикулярна 𝑥𝑦-плоскости. Вектор, перпендикулярный плоскости, должен быть параллелен единичному вектору
 ⃑𝑘 в трехмерной системе координат. Это означает
 ⃑𝑟 × ⃑𝐹 = 𝑐⃑𝑘
 для некоторого скаляра 𝑐.Поскольку это всегда так, мы можем упростить вычисление этого перекрестного произведения с помощью
 используя кросс-произведение 2D.
 Определение: 2D-перекрестное произведение 
 Даны два 2D-вектора (𝑎, 𝑏) и (𝑐, 𝑑),
 2D кросс-произведение определяется как
 (𝑎, 𝑏) × (𝑐, 𝑑) = (𝑎𝑑 − 𝑏𝑐) ⃑𝑘.
 Как мы видим, двумерное векторное произведение вычисляется быстрее. Мы будем использовать эту формулу для вычисления перекрестного произведения между 2D
векторы для оставшейся части этого объяснителя.
 Далее, давайте обсудим величину момента, которая равна величине векторного произведения:
 ‖‖𝑀‖‖ = ‖‖⃑𝑟 × ⃑𝐹‖‖.
 Напомним, что перекрестное произведение двух векторов дает площадь параллелограмма, две смежные стороны которого образованы
 два вектора. Давайте посмотрим на это, используя следующую диаграмму.
 На приведенной выше диаграмме область выделенной области представляет величину перекрестного произведения ⃑𝑟 × ⃑𝐹 и, следовательно, величину импульса 𝑀. Мы также можем найти площадь этого параллелограмма геометрически, используя геометрическую формулу
 длина перпендикулярной высоты основания ×.
 На схеме основание этого параллелограмма образовано вектором ⃑𝐹, а высота равна
 перпендикулярное расстояние от начала координат до линии действия, которое обозначается
 𝑑⟂.
 Это приводит к следующей формуле для величины векторного момента для двумерной силы вокруг точки.
 Свойство: Величины векторного момента силы 
 Величина векторного момента плоской силы ⃑𝐹 относительно точки определяется выражением
 ‖‖𝑀‖‖ = ‖‖⃑𝐹‖‖𝑑, ⟂
где 𝑑⟂ - перпендикулярное расстояние между точкой и линией действия силы.
 ⃑𝐹.
 Мы видим, что величина векторного момента, указанная выше, равна величине скалярного момента. Следовательно,
 величина векторного момента согласуется с величиной скалярного момента для плоского движения.
 Когда мы переформулируем это уравнение, мы получаем полезную формулу для вычисления перпендикулярного расстояния между точкой и линией.
 действия силы.
 Формула: расстояние по перпендикуляру между точкой и линией действия 
 Пусть 𝑀 будет векторным моментом силы или системой сил на плоскости вокруг точки.Тогда расстояние по перпендикуляру между точкой и линией действия силы равно
 𝑑 = ‖‖𝑀‖‖‖‖⃑𝐹‖‖.⟂
 В следующем примере мы вычислим момент плоской силы вокруг точки, а затем воспользуемся этой формулой, чтобы найти
расстояние по перпендикуляру между точкой и линией действия силы.
 Пример 2: Нахождение вектора момента силы, действующей в точке и перпендикуляре между моментом и линией
 Действие Силы 
 При условии, что сила ⃑𝐹 = 4⃑𝑖 − 3⃑𝑗 действует через
 точку 𝐴 (3,6), определить момент о
 происхождение 𝑂 силы ⃑𝐹.Также рассчитайте перпендикуляр
 расстояние 𝐿 между 𝑂 и линией действия силы.
 Ответ 
 В этом примере нам нужно сначала найти момент 𝑀 примерно 𝑂 силы
 ⃑𝐹, а затем рассчитайте перпендикулярное расстояние между 𝑂 и линией
 действие ⃑𝐹. Начнем с поиска момента. Напомним, что векторный момент силы
 , Действующее в точке 𝐴 относительно начала координат, задается формулой
 𝑀 = 𝑂𝐴 × ⃑𝐹.
 Нам даны координаты 𝐴, что означает, что 𝑂𝐴 - это положение
вектор, заданный
𝑂𝐴 = (3,6).
 Мы можем записать ⃑𝐹 в компонентной форме как
 ⃑𝐹 = 4⃑𝑖 − 3⃑𝑗 = (4, −3).
 Теперь мы готовы вычислить векторное произведение 𝑂𝐴 × ⃑𝐹. Напомним, что векторное произведение двумерных векторов определяется формулой
 (𝑎, 𝑏) × (𝑐, 𝑑) = (𝑎𝑑 − 𝑏𝑐) ⃑𝑘.
 Применяя эту формулу, получаем
𝑂𝐴 × ⃑𝐹 = (3,6) × (4, −3) = (3 × (−3) −6 × 4) ⃑𝑘 = −33⃑𝑘.
 Следовательно, момент ⃑𝐹 относительно начала координат равен −33⃑𝑘.
 Теперь давайте найдем перпендикулярное расстояние между началом координат и линией действия для ⃑𝐹. Напомним, что величина векторного момента плоской силы ⃑𝐹 относительно точки определяется выражением
 ‖‖𝑀‖‖ = ‖‖⃑𝐹‖‖𝐿,
 где 𝐿 - перпендикулярное расстояние между точкой и линией действия силы
 ⃑𝐹.Мы можем переписать это уравнение, чтобы записать
 𝐿 = ‖‖𝑀‖‖‖‖⃑𝐹‖‖.
 Поскольку мы знаем 𝑀 = −33⃑𝑘, мы можем получить ‖‖𝑀‖‖ = 33. Найдем ‖‖⃑𝐹‖‖:
 ‖‖⃑𝐹‖‖ = 4 + (- 3) = √25 = 5.
 Подставляя эти значения в формулу для, получаем
𝐿 = 335 = 6,6.
 Следовательно,
= −33⃑𝑘, 𝐿 = 6.6.lengthunits
 Мы отметили, что момент силы вокруг точки дает вектор, параллельный единичному вектору
 ⃑𝑘. Другими словами, существует некоторый скаляр такой, что
 𝑀 = 𝑐⃑𝑘.
 Кроме того, мы заметили, что величина момента равна величине скалярного момента.
 | 𝑀 |.Это означает, что либо 𝑐 = 𝑀, либо 𝑐 = −𝑀. Чтобы определить, какой из них истинен, нам нужно проверить, совпадает ли знак 𝑐 со знаком скалярного момента.
 𝑀.
 Свойства векторного произведения позволяют нам сначала заключить, что 𝑀 - вектор, перпендикулярный
 плоскость, определяемая и. Направление
 𝑀 задается правилом правой руки. Это правило иногда объясняют, ссылаясь на ротацию
 винта: направление вектора ⃑𝐴 × ⃑𝐵 соответствует
 направление движения (вверх или вниз) крышки бутылки или гайки, которое можно было бы повернуть в том же направлении вращения, что и при движении от
 От ⃑𝐴 до ⃑𝐵, как показано на следующей диаграмме.
 Помните, что у нас
𝑀 = ⃑𝑟 × ⃑𝐹 = 𝑐⃑𝑘.
 Если 𝑐> 0, вектор момента будет выходить из плоскости (вверх), что соответствует против часовой стрелки.
вращение согласно рисунку выше. Если бы 𝑐0, вектор момента уходил бы в плоскость (вниз), что
указывает вращение по часовой стрелке. Напомним, что для скалярного момента 𝑀 ориентация против часовой стрелки соответствует
к положительному знаку, а вращение по часовой стрелке - к отрицательному. Это говорит нам о том, что знак скалярного импульса
𝑀 совпадает со знаком скаляра.Таким образом, мы показали, что 𝑐 = 𝑀.
 Свойство: 2D-векторный момент силы 
 Пусть 𝑀 и 𝑀 будут скалярными и векторными моментами силы или системой
 силы, на плоскости около точки. Потом,
𝑀 = 𝑀⃑𝑘.
 Это свойство твердо устанавливает, почему этот векторный момент является разумным расширением скалярного момента для плоской силы. Кроме того, векторный момент можно обобщить, чтобы представить момент общей трехмерной силы относительно точки, поскольку он получается
используя кросс-произведение.
 Из этого свойства можно вывести несколько полезных наблюдений. Во-первых, мы знаем, что скалярный момент не зависит от
местоположение точки, на которую действует сила, пока точка находится на той же линии действия силы. Это потому что
скалярный момент получается только с использованием величины силы ‖‖⃑𝐹‖‖
и перпендикулярное расстояние 𝑑⟂. Это означает, что векторный момент также не зависит от положения
точки, в которой действует сила.Мы сможем лучше понять это, если сравним величину импульса, когда мы
переместите эту точку по линии действия.
 Мы видим, что площади обоих параллелограммов равны, так как длина основания
‖‖⃑𝐹‖‖ и высота 𝑑⟂ одинаковы для обоих
параллелограммы. Это говорит нам о том, что величина импульса для этих двух систем одинакова. Кроме того, мы можем видеть
что обе системы будут вызывать вращение по часовой стрелке вокруг начала координат, а это означает, что знак момента будет одинаковым для
обе системы.Следовательно, векторный момент для этих двух систем одинаков. Это приводит к следующему полезному свойству.
 Свойство: векторный момент силы 
 Векторный момент силы 𝑀 относительно точки не зависит от точки, в которой
 сила действует до тех пор, пока точка лежит на той же линии действия.
 В следующем примере мы найдем векторный момент плоской силы относительно точки, когда начальная точка 𝐴
 не дано.
 Пример 3: Нахождение момента вектора силы, действующего в точке 
 Конец 𝐴 из 𝐴𝐵 находится в точке (−6,7) и
 𝐴𝐵 имеет середину 𝐷 (−7,1).Если линия действий
 силы ⃑𝐹 = −2⃑𝑖 − 6⃑𝑗 биссектрисы
 𝐴𝐵, определить момент ⃑𝐹 около точки
 𝐵.
 Ответ 
 В этом примере нам нужно найти момент плоской силы относительно точки. Напомним, что векторный момент силы
 ⃑𝐹, действующее в точке 𝑃 относительно точки, задается формулой
 𝑀 = 𝑂𝑃 × ⃑𝐹.
 Хотя нам не дается точка, в которой действует сила, нам дается, что линия действия силы
 ⃑𝐹 пополам 𝐴𝐵.Это означает, что линия действий
 проходит через середину 𝐷 из 𝐴𝐵. Напомним, что векторный момент
 𝑀 силы вокруг точки не зависит от начальной точки, пока точка лежит
 в том же направлении действий. Следовательно, мы можем вычислить момент, считая, что начальная точка находится в
 𝐷 (−7,1). Это означает, что момент ⃑𝐹 о
 𝐵 дается
 𝑀 = 𝐵𝐷 × ⃑𝐹.
 Начнем с поиска вектора 𝐵𝐷. Поскольку 𝐷 - середина
 𝐴, мы знаем, что
 ‖‖𝐴𝐷‖‖ = ‖‖𝐵𝐷‖‖.
 Также эти векторы имеют противоположное направление, что означает
 𝐵𝐷 = −𝐴𝐷.
 Мы можем найти, используя координаты точек 𝐴 и 𝐷:
 𝐴𝐷 = (- 7,1) - (- 6,7) = (- 1, −6).
 Следовательно,
𝐵𝐷 = - (- 1, −6) = (1,6).
 Теперь мы готовы вычислить векторное произведение 𝐵𝐷 × ⃑𝐹. Напомним, что векторное произведение двумерных векторов определяется формулой
 (𝑎, 𝑏) × (𝑐, 𝑑) = (𝑎𝑑 − 𝑏𝑐) ⃑𝑘.
 Применяя эту формулу, получаем
𝐵𝐷 × ⃑𝐹 = (1,6) × (−2, −6) = (1 × (−6) −6 × (−2)) ⃑𝑘 = 6⃑𝑘.
 Следовательно, момент ⃑𝐹 относительно точки 𝐵 равен 6⃑𝑘.
 В следующем примере мы найдем момент системы плоских сил, действующих в одной точке относительно другой точки, сначала
 нахождение равнодействующей сил.
 Пример 4: Расчет момента трех сил, действующих на единственную точку относительно данной точки и расстояния между точками 
 Учитывая, что ⃑𝐹 = −2⃑𝑖 + 2⃑𝑗,
 ⃑𝐹 = −3⃑𝑖 − ⃑𝑗, и
 ⃑𝐹 = ⃑𝑖 − 4⃑𝑗 действуют в точке
 𝐴 (2,3), определить момент ⃑𝑚 равнодействующей сил
 относительно точки 𝐵 (−2, −1), и вычислим длину перпендикулярной прямой
 𝐿 присоединение точки 𝐵 к результирующей линии действий.
 Ответ 
 В этом примере нам дана система плоских сил, действующих в одной и той же точке. Начнем с нахождения равнодействующей
 силы. Напомним, что равнодействующая системы сил, действующих в одной и той же точке, является суммой всех векторов сил в
 система. Следовательно, результирующая ⃑𝐹 имеет вид
 ⃑𝐹 = ⃑𝐹 + ⃑𝐹 + ⃑𝐹 =  − 2⃑𝑖 + 2⃑𝑗 +  − 3⃑𝑖 − ⃑𝑗 + ⃑𝑖 − 4⃑𝑗 =  − 2⃑𝑖 − 3⃑𝑖 + ⃑𝑖 + 2⃑𝑗 − ⃑𝑗 − 4⃑𝑗 = −4⃑𝑖 − 3⃑𝑗. 
 Это говорит нам, что равнодействующая сил равна ⃑𝐹 = −4⃑𝑖 − 3⃑𝑗.Далее найдем момент ⃑𝑚 равнодействующей относительно точки
 𝐵 (−2, −1). Напомним, что векторный момент силы ⃑𝐹, действующий в точке
 𝐴 относительно точки определяется выражением
 𝑀 = 𝐵𝐴 × ⃑𝐹.
 Используя координаты 𝐴 и 𝐵, можно найти
𝐵𝐴 = (2,3) - (- 2, −1) = (4,4).
 Теперь мы готовы вычислить векторное произведение 𝐵𝐴 × ⃑𝐹. Напомним, что
 перекрестное произведение двумерных векторов определяется как
 (𝑎, 𝑏) × (𝑐, 𝑑) = (𝑎𝑑 − 𝑏𝑐) ⃑𝑘.
 Это приводит к
𝐵𝐴 × ⃑𝐹 = (4,4) × (−4, −3) = (4 × (−3) −4 × (−4)) ⃑𝑘 = 4⃑𝑘.
 Следовательно, момент равнодействующей сил относительно точки 𝐵 равен 4⃑𝑘.
 Теперь найдем длину перпендикулярной линии 𝐿, соединяющей точку 𝐵 с
результирующая линия действий. Эта длина 𝐿 также известна как перпендикулярное расстояние между точками
𝐵 и действия в результате. Чтобы вычислить эту длину, напомним, что величина
векторный момент плоской силы относительно точки определяется выражением
‖‖𝑀‖‖ = ‖‖⃑𝐹‖‖𝐿,
где 𝐿 - перпендикулярное расстояние между точкой и линией действия для ⃑𝐹.Мы можем переписать это уравнение, чтобы записать
𝐿 = ‖‖𝑀‖‖‖‖⃑𝐹‖‖.
 Так как мы знаем 𝑀 = 4⃑𝑘, мы можем получить ‖‖𝑀‖‖ = 4. Найдем ‖‖⃑𝐹‖‖:
 ‖‖⃑𝐹‖‖ =  (−4) + (- 3) = √25 = 5.
 Подставляя эти значения в формулу для 𝐿, получаем
𝐿 = 45 = 0,8.
 Следовательно,
 = 4⃑𝑘, 𝐿 = 0.8.lengthunits
 В предыдущем примере мы нашли момент системы плоских сил, действующих в одной и той же точке относительно другой точки. Мы можем отметить
 что процесс нахождения момента для системы сил такой же, как и для одной силы, если силы действуют в
 та же точка.
 Давайте теперь рассмотрим задачу нахождения момента системы плоских сил, когда силы не действуют в одной и той же точке.
 Определение: Момент системы плоских сил 
 Рассмотрим систему сил ⃑𝐹, ⃑𝐹,…,
 и ⃑𝐹 действует в 𝐴, 𝐴,…,
 и 𝐴 соответственно. Чтобы найти момент этой системы сил относительно точки, мы
 нужно найти моменты 𝑀, 𝑀,…,
 и 𝑀 сил ⃑𝐹, ⃑𝐹,
 …, И ⃑𝐹 о точке 𝑂.Тогда момент
 система 𝑀 относительно точки задается формулой
𝑀 = 𝑀 + 𝑀 + ⋯ + 𝑀.
 Это определение говорит нам, что момент системы сил равен сумме отдельных моментов каждой силы в
 система примерно в той же точке.
 В нашем последнем примере мы найдем неизвестные постоянные силы в системе, действующей в разных точках, когда нам задано
момент системы сил о двух разных точках.
 Пример 5: Нахождение неизвестных компонентов двух сил по сумме их моментов относительно двух точек 
 ⃑𝐹 = 𝑚⃑𝑖 + ⃑𝑗 и ⃑𝐹 = 𝑛⃑𝑖 − 5⃑𝑗, где ⃑𝐹 и
 ⃑𝐹 - две силы, действующие в точках 𝐴 (3,1) и
 𝐵 (−1, −1) соответственно.Сумма моментов относительно исходной точки равна нулю. В
 сумма моментов относительно точки 𝐶 (1,2) также равна нулю. Определите значения
 𝑚 и 𝑛.
 Ответ 
 В этом примере нам нужно найти неизвестные константы 𝑚 и 𝑛 в силах
 ⃑𝐹 и ⃑𝐹, когда нам дано, что сумма
 моменты двух сил относительно начала координат, а также относительно точки равны нулю. Мы можем найти
 неизвестные константы путем определения пары одновременных уравнений, включающих и.Мы получим первое уравнение, вычислив сумму моментов и
 ⃑𝐹 о начале координат и установив их равными нулю.
 Напомним, что вектор момента силы ⃑𝐹, действующей в точке 𝑃 около
 точка 𝑄 задается
 𝑀 = ⃑𝑟 × ⃑𝐹,
 где ⃑𝑟 - вектор из точки 𝑄 в точку. Позволь нам
 сначала найдите момент ⃑𝐹 о начале координат. Поскольку ⃑𝐹
 действует в точке 𝐴, можно записать
 ⃑𝑟 = 𝑂𝐴 = (3,1).
 Мы можем записать ⃑𝐹 в компонентной форме как
 ⃑𝐹 = 𝑚⃑𝑖 + ⃑𝑗 = (𝑚, 1).
 Теперь мы готовы вычислить перекрестное произведение 𝑂𝐴 × ⃑𝐹. Напомним, что
 перекрестное произведение двумерных векторов определяется как
 (𝑎, 𝑏) × (𝑐, 𝑑) = (𝑎𝑑 − 𝑏𝑐) ⃑𝑘.
 Это приводит к
⃑𝑟 × ⃑𝐹 = (3,1) × (𝑚, 1) = (3 × 1−1 × 𝑚) ⃑𝑘 = (3 − 𝑚) ⃑𝑘.
 Теперь найдем момент ⃑𝐹 относительно начала координат. . Поскольку ⃑𝐹
 действует в точке 𝐵, можно записать
 ⃑𝑟 = 𝑂𝐵 = (- 1, −1).
 Мы можем записать ⃑𝐹 в компонентной форме как
 ⃑𝐹 = 𝑛⃑𝑖 − 5⃑𝑗 = (𝑛, −5) .
 Взяв векторное произведение,
⃑𝑟 × ⃑𝐹 = (- 1, −1) × (𝑛, −5) = (- 1 × (−5) - (- 1) × 𝑛) ⃑𝑘 = (5 + 𝑛) ⃑𝑘.
 Тогда сумма этих двух моментов относительно начала координат равна
 (3 − 𝑚) ⃑𝑘 + (5 + 𝑛) ⃑𝑘 = (8 − 𝑚 + 𝑛) ⃑𝑘.
 Поскольку дано, что сумма этих моментов должна равняться нулю, получаем
 Это дает нам одно уравнение, включающее и 𝑛. Мы можем повторить это вычисление на данный момент
 относительно точки 𝐶, чтобы получить другое уравнение, но мы также можем найти второе уравнение, используя свойства
 моменты. Найдем момент ⃑𝐹 относительно точки:
 ⃑𝑟 = 𝐶𝐴 = (3,1) - (1,2) = (2, −1).
 Взяв векторное произведение,
⃑𝑟 × ⃑𝐹 = (2, −1) × (𝑚, 1) = (2 × 1 - (- 1) × 𝑚) ⃑𝑘 = (2 + 𝑚) ⃑𝑘.
 Далее, на момент ⃑𝐹 о 𝐶,
 ⃑𝑟 = 𝐶𝐵 = (- 1, −1) - (1,2) = (- 2, −3).
 Взяв векторное произведение,
⃑𝑟 × ⃑𝐹 = (- 2, −3) × (𝑛, −5) = (- 2 × (−5) - (- 3) × 𝑛) ⃑𝑘 = (10 + 3𝑛) ⃑𝑘.
 Суммируя эти два моменты про 𝐶,
 (2 + 𝑚) ⃑𝑘 + (10 + 3𝑛) ⃑𝑘 = (12 + 𝑚 + 3𝑛) ⃑𝑘.
 Поскольку дано, что сумма этих моментов должна равняться нулю, получаем
 Теперь, когда мы получили два уравнения для и 𝑛, запишем уравнения
 (1) и (2) здесь:
 8 − 𝑚 + 𝑛 знак равно 0,12 + 𝑚 + 3𝑛 = 0.
 Мы можем просуммировать два уравнения, чтобы исключить 𝑚. Это ведет к
 20 + 4𝑛 = 0.
 Переставив это уравнение так, чтобы 𝑛 было объектом, мы получим 𝑛 = −5. Мы можем заменить это
 значение в уравнение (1) для записи
 8 − 𝑚 − 5 = 0.
 Преобразование этого уравнения так, чтобы являлось предметом, приводит к 𝑚 = 3. Следовательно, мы имеем
 𝑚 = 3, 𝑛 = −5.
 Давайте закончим повторением нескольких важных концепций из этого объяснителя.
 Ключевые точки 
 Векторный момент силы ⃑𝐹, действующий в точке 𝐴 относительно точки
 𝑂 дается
 𝑀 = ⃑𝑟 × ⃑𝐹,
 где ⃑𝑟 - вектор из точки 𝑂 в точку.
 Величина векторного момента плоской силы ⃑𝐹 относительно точки определяется выражением
 ‖‖𝑀‖‖ = ‖‖⃑𝐹‖‖𝑑, ⟂
 где 𝑑⟂ - перпендикулярное расстояние между точкой и линией действия силы.
 ⃑𝐹.
 Векторный момент силы 𝑀 вокруг точки не зависит от начальной точки,
 до тех пор, пока точка находится в той же линии действия.
 Пусть 𝑀 и 𝑀 - скалярный и векторный моменты силы, или
 система сил, на плоскости около точки.Потом,
 𝑀 = 𝑀⃑𝑘.
 Вычисление векторного произведения ⃑𝑟 × ⃑𝐹 для вычисления
 момент 𝑀 плоской силы вокруг точки можно упростить, используя двумерное векторное произведение, которое определяется как
 (𝑎, 𝑏) × (𝑐, 𝑑) = (𝑎𝑑 − 𝑏𝑐) ⃑𝑘.
 Рассмотрим систему сил ⃑𝐹, ⃑𝐹,
 …, И ⃑𝐹
 действующие в точках 𝐴, 𝐴,… и 𝐴 соответственно. Чтобы найти момент этой системы сил относительно точки, нам нужно найти моменты
 𝑀, 𝑀,… и
 𝑀 сил ⃑𝐹, ⃑𝐹,
 …, И ⃑𝐹 о точке 𝑂.Тогда момент
 система 𝑀 относительно точки задается формулой
 𝑀 = 𝑀 + 𝑀 + ⋯ + 𝑀.
 Единицы и размеры - обзор 
 1.1
 Проверьте размеры и единицы, указанные в таблице 1.1.
 1,2
 Постоянная гравитации  G  определяется как
 F = GmMr2F = Gm1m2r2
, где  F  - сила тяжести между двумя массами m1 и m2, центры масс которых находятся на расстоянии  r  друг от друга.Найдите размеры  G  и его единиц в системе СИ и британской системе мер.
 (ответ  : MT  2  L  −3 , кгм  −3  с  2 , снаряд  −3  с  2 )
 1,3
 Предполагая период колебаний простой маятник  τ  в зависимости от массы объекта, длины маятника  l  и ускорения свободного падения  g , используйте теорию размерного анализа, чтобы показать, что масса объекта не на самом деле актуально.Затем найдите подходящее выражение для периода колебаний через другие переменные.
 ( Ответ : τ = cl ∕ g, где  c  - постоянная)
 1,4
 Тонкий плоский диск диаметром  D  вращается вокруг шпинделя через его центр со скоростью  ω  радиан в секунду, в жидкости с плотностью  ρ  и кинематической вязкостью  ν . Покажите, что мощность  P , необходимая для вращения диска, может быть выражена как
 (a)
 P = ρω3D5fvωD2
 (b)
 P = ρv3DhωD2v
  Примечание:  a) решите через индекс  ν , а для (b) решите через индекс  ω .
 Далее, покажите, что ωD2 /  ν ,  PD  / ρν3 и  P  / ρω3D5 - все безразмерные величины.
 1,5
 Сферы различного диаметра  D  и плотности  σ  могут свободно падать под действием силы тяжести через различные жидкости (представленные их плотностями  ρ  и кинематической вязкостью  ν ) и их конечными скоростями  В.  измерены. Найдите рациональное выражение, связывающее  V  с другими переменными, и, следовательно, предложите подходящий график, в котором могут быть представлены результаты.
  Примечание:  Будет пять неизвестных индексов, поэтому два должны остаться неопределенными, что даст две неизвестные функции в правой части. Сделайте неизвестные индексы аналогичными  σ  и  ν .
 ( Ответ : V = DgfσρhDvDg; поэтому построите кривые зависимости VDg от DVDg для различных значений  σ / ρ .)
 1,6
 Самолет весит 60 000 Н и имеет размах крыла 17 м. Модель в масштабе 1/10 с опущенными створками испытывается в туннеле со сжатым воздухом при давлении 15 атмосфер и температуре 15 ° C на различных скоростях.Максимальный подъем модели измеряется на различных скоростях с приведенными результатами:
 Скорость (мс  -1 )
 20
 21
 22
 23
 24
 Максимальная подъемная сила (Н)
 2960
 3460
 4000
 4580
 5200
 Оцените минимальную скорость полета самолета на уровне моря (т. Е. Скорость, при которой достигается максимальная подъемная сила самолета. равен его весу).
 (ответ  : 33 мс  −1 )
 1,7
 Распределение давления по сечению двумерного крыла под углом 4 градусов может быть аппроксимировано следующим образом: Верхняя поверхность: постоянная Cp при –0,8 от передней кромки до 60% хорды, затем линейно увеличивается до + 0,1 на задней кромке. Нижняя поверхность: постоянная Cp при –0,4 от передней кромки до 60% хорды, затем линейно увеличивается до + 0,1 на задней кромке. Оцените коэффициент подъемной силы и коэффициент момента тангажа относительно передней кромки за счет подъемной силы.
 (ответ  : 0,3192; –0,13)
 1,8
 Статическое давление измеряется в нескольких точках на поверхности длинного круглого цилиндра диаметром 150 мм с осью, перпендикулярной потоку эталона. плотность при 30 мс  −1 . Точки давления определяются углом  θ , который представляет собой угол, образованный в центре дугой между точкой давления и передней точкой торможения. В следующей таблице приведены значения для  p  –p0, где  p  - давление на поверхности цилиндра, а p0 - невозмущенное давление набегающего потока, для различных углов  θ , все давления даны в Нм.  −2 .Показания для верхней и нижней половин цилиндра идентичны. Оцените сопротивление опалубки давлением на метр пробега и соответствующий коэффициент сопротивления.
–660
 θ 
  p  -  p  0  
 (градусы) 
 (Н · м  −2 )
 0
 10
 20
 30
 40
 60
 +569
 +502
 +301
 –57
 –392
 –597
 –721
 θ 
 78 967 967 78 967   - 0 (градусы) 
 (Н · м  −2 )
 70
 80
 90
100
 110
 120
 –726
–707
 –588
 –569
 Для значений  θ  между 120 и 180 градусами  p  –p0 является постоянным при –569 Нм –2 .
 (ответ  : CD = 0,875,  D  = 7,25 Нм  −1 )
 1,9
 Планер имеет размах крыла 18 м и удлинение 16. Ширина фюзеляжа составляет 0,6 м при корень крыла, а коэффициент конусности крыла составляет 0,3 с законцовками крыла квадратного сечения. При истинной воздушной скорости 115 км / ч  −1  на высоте с относительной плотностью 0,7 подъемная сила и лобовое сопротивление составляют 3500 Н и 145 Н соответственно. Коэффициент тангажа крыла относительно точки четверти хорды равен –0.03 на основе полной площади крыла и средней аэродинамической хорды. Рассчитайте коэффициенты подъемной силы и сопротивления на основе общей площади крыла и момента тангажа относительно точки четверти хорды.
 (ответ  : CL = 0,396, CD = 0,0169, M = -322 Нм, так как c¯A≈1,245 м)
 1,10
 Опишите качественно результаты, ожидаемые от построения графика давления обычного симметричного тихоходный двумерный профиль. Обозначьте ожидаемые изменения и обсудите процессы определения результирующих сил.Требуются ли какие-либо дополнительные испытания для определения общих сил подъемной силы и сопротивления? Включите в обсуждение ожидаемый порядок величины для различных описанных распределений и сил.
 1.11
 Покажите, что для геометрически подобных аэродинамических систем безразмерные силовые коэффициенты подъемной силы и сопротивления зависят только от числа Рейнольдса и числа Маха. Кратко обсудите важность этой теоремы для испытаний в аэродинамической трубе и простой теории характеристик.
 1.12
 «Пинта - фунт для всего мира» - старинное стихотворение, описывающее вес воды. Учитывая, что пинта составляет одну восьмую галлона, что составляет 231,8 кубических дюйма, а плотность пресной воды (не морской воды) составляет 1,93 пули на кубический фут, решите процентную ошибку в старой рифме.
 1,13
 В физике средней школы W = mg показывает, что 1 пуля весит 32,174 фунта. Тем не менее, 1 пуля = 1 фунт2 фут. Точно так же 1 кг весит 9,8 Н. Чему равен 1 кг? Обратите внимание на разницу между «весит» и «равно», которую мы часто упускаем из виду во время домашних заданий и экзаменов.Также обратите внимание, что рабочая система slug-ft-sec идентична единицам mks. Необычна именно система фунт-фут-сек.
 1,14
 На графике в верхней части следующей страницы показаны данные по общедоступным значениям максимальной тяги в сравнении с максимальной взлетной массой для широкого спектра двухмоторных самолетов бизнес-класса. Самолеты из рынка «очень легких реактивных самолетов» находятся внизу слева, а бизнес-джет 737 - вверху справа. Покажите, что максимальное отношение подъемной силы к лобовому сопротивлению для всех этих самолетов составляет примерно 6, если предположить, что они могут взлетать с одним выключенным двигателем.Вы должны предположить, что крен на взлете горизонтальный и что создается достаточная подъемная сила, чтобы начать ускорение по вертикали. Точно так же предположим, что разбег при взлете имеет незначительное ускорение, то есть почти постоянную скорость.
 1,15
 Одним из важных показателей эффективности коммерческого авиалайнера является «долларов за кресло-милю» или стоимость полета одного пассажира на одну милю. Чем меньше это число, тем лучше летные характеристики самолета. Это число не просто функция формы крыла и двигателя; это зависит от того, насколько сильно загружен самолет.Если вы можете управлять маленьким парапланом из бальзового дерева или пенопласта с повторяемой высоты (лестница, балкон, вершина холма и т. Д.), Вы можете оптимизировать для него «долларов на сиденье-милю». Увеличение количества долларов на одно сиденье-милю для планера - это задача минимизировать знаменатель: количество мест, умноженное на мили, или произведение полезной нагрузки и расстояния. Загрузите в свой планер различные полезные нагрузки и запишите пройденное расстояние (вы должны сохранять хорошую дифферентность, поэтому закрепите грузы в центре масс планера). Какая полезная нагрузка обеспечивает продукт с максимальной полезной нагрузкой? Минимум?
 1.Четырехмерный анализ - Университетская физика, том 1 
 Цели обучения 
 К концу этого раздела вы сможете:
 Найдите размерность математического выражения, содержащего физические величины.
 Определите, согласовано ли уравнение с физическими величинами по размерам.
 Измерение   любой физической величины выражает свою зависимость от базовых величин как произведение символов (или степеней символов), представляющих базовые величины.(Рисунок) содержит список основных величин и символов, используемых для их измерения. Например, считается, что измерение длины имеет размер L или L  1 , измерение массы имеет размер M или M  1 , а измерение времени имеет размер T или T  1 . Как и единицы измерения, размеры подчиняются правилам алгебры. Таким образом, площадь является произведением двух длин и поэтому имеет размер L  2  или длину в квадрате. Точно так же объем представляет собой произведение трех длин и имеет размер L  3  или длину в кубе.Скорость имеет размерную длину во времени, L / T или LT  –1 . Объемная массовая плотность имеет размерность M / L  3  или ML  –3 , или массу в кубе длины. В общем, размерность любой физической величины можно записать как
.
 для некоторых мощностей
 и  г . Мы можем записать размеры длины в этой форме с
.
 и остальные шесть степеней все равны нулю:
 Любая величина, размерность которой может быть записана так, что все семь степеней равны нулю (то есть ее размерность
) называется  безразмерным  (или иногда «размерностью 1», потому что все, что возведено в нулевую степень, равно единице).Физики часто называют безразмерные величины  чистыми числами .
 Базовые величины и их размеры
  Базовое количество 
  Обозначение размера 
 Длина
 л
 Масса
 M
 Время
 Т
 Текущий
 I
 Термодинамическая температура
 Θ
 Количество вещества
 N
 Сила света
 Дж
 Физики часто используют квадратные скобки вокруг символа физической величины, чтобы представить размеры этой величины.Например, если
 - радиус цилиндра, а
 -
 - его высота, тогда пишем
 и
 для обозначения размеров радиуса и высоты - это и длина, или L. Точно так же, если мы используем символ
 для площади цилиндра и
 для его объема, тогда [ A ] = L  2  и [ V ] = L  3 .Если использовать символ
 по массе цилиндра и
 для плотности материала, из которого изготовлен цилиндр, затем
 и
 Важность концепции измерения проистекает из того факта, что любое математическое уравнение, связывающее физические величины, должно быть  размерно согласованным, , что означает, что уравнение должно подчиняться следующим правилам:
 Каждый член в выражении должен иметь одинаковые размеры; нет смысла складывать или вычитать количества разных размеров (вспомните старую поговорку: «Вы не можете добавлять яблоки и апельсины»).В частности, выражения на каждой стороне равенства в уравнении должны иметь одинаковые размеры.
 Аргументы любых стандартных математических функций, таких как тригонометрические функции (такие как синус и косинус), логарифмы или экспоненциальные функции, которые появляются в уравнении, должны быть безразмерными. Этим функциям требуются чистые числа в качестве входных данных и выдают чистые числа в качестве выходных данных.
 Если любое из этих правил нарушается, уравнение не является согласованным по размерам и не может быть правильной формулировкой физического закона.Этот простой факт можно использовать для проверки опечаток или алгебраических ошибок, чтобы помочь запомнить различные законы физики и даже предложить форму, которую могут принять новые законы физики. Это последнее использование измерений выходит за рамки этого текста, но вы, несомненно, узнаете об этом позже в своей академической карьере.
 Пример 
 Использование размеров для запоминания уравнения 
 Предположим, нам нужна формула площади круга для некоторых вычислений. Подобно многим людям, которые слишком давно изучали геометрию, чтобы их можно было вспомнить с какой-либо уверенностью, мы можем вспомнить два выражения, когда мы думаем о кругах:
 и
 Одно выражение - это длина окружности радиуса  r , а другое - его площадь.Но что есть что?
 Стратегия 
 Одна из естественных стратегий - поискать информацию, но это может занять время, чтобы найти информацию из авторитетного источника. Кроме того, даже если мы думаем, что источник заслуживает доверия, мы не должны доверять всему, что читаем. Приятно иметь возможность перепроверить, просто подумав об этом. Кроме того, мы можем оказаться в ситуации, когда не можем найти информацию (например, во время теста). Таким образом, стратегия состоит в том, чтобы найти размерности обоих выражений, используя тот факт, что размерности подчиняются правилам алгебры.Если какое-либо выражение не имеет тех же размеров, что и площадь, то это не может быть правильным уравнением для площади круга.
 Решение 
 Мы знаем, что размер площади составляет L  2 . Теперь размерность выражения
 это
 с константы
 - чистое число, а радиус
 - это длина. Следовательно,
 имеет размерность площади.Аналогично размерность выражения
 это
, так как константы
 и
 безразмерны и радиус
 - это длина. Мы видим, что
 имеет размер длины, а это значит, что это не может быть площадь.
 Исключаем
, потому что размер не соответствует площади.Мы видим, что
 размерно согласован с областью, поэтому, если нам придется выбирать между этими двумя выражениями,
 - это тот, который стоит выбрать.
 Значение 
 Это может показаться глупым примером, но идеи очень общие. Пока мы знаем размеры отдельных физических величин, которые появляются в уравнении, мы можем проверить, является ли уравнение размерно согласованным. С другой стороны, зная, что истинные уравнения размерно согласованы, мы можем сопоставить выражения из наших несовершенных воспоминаний с величинами, для которых они могут быть выражениями.Это не поможет нам запомнить безразмерные факторы, которые появляются в уравнениях (например, если вы случайно соединили два выражения из примера в
, то размерный анализ не поможет), но он помогает нам запомнить правильную базовую форму уравнений.
 Проверьте свое понимание 
 Предположим, нам нужна формула для объема сферы. В элементарных обсуждениях сфер обычно упоминаются два выражения:
 и
 Один - это объем сферы радиусом  r , а другой - площадь его поверхности.Какой объем?
 [show-answer q = ”fs-id1168328152709 ″] Показать решение [/ show-answer]
 [скрытый-ответ a = ”fs-id1168328152709 ″]
 [/ hidden-answer]
 Пример 
 Проверка уравнений на соответствие размеров 
 Рассмотрим физические величины
 и
 с размерами
 и
 Определите, согласовано ли каждое из следующих уравнений по размерам: (a)
 (б)
 и (c)
 Стратегия 
 По определению размерной согласованности, нам необходимо проверить, что каждый член в данном уравнении имеет те же размеры, что и другие члены в этом уравнении, и что аргументы любых стандартных математических функций безразмерны.
 Решение 
 В этом уравнении нет тригонометрических, логарифмических или экспоненциальных функций, о которых следует беспокоиться, поэтому нам нужно только взглянуть на размеры каждого члена, фигурирующего в уравнении. Есть три члена, один в левом выражении и два в выражении справа, поэтому мы рассмотрим каждый по очереди:
 Все три члена имеют одинаковую размерность, поэтому это уравнение согласовано по размерам.
 Опять же, нет тригонометрических, экспоненциальных или логарифмических функций, поэтому нам нужно только взглянуть на размеры каждого из трех членов, входящих в уравнение:
 Ни один из трех терминов не имеет такого же измерения, как любой другой, так что это далеко не так, чтобы быть размерно согласованным, насколько это возможно.Технический термин для такого уравнения -  чепуха .
 В этом уравнении есть тригонометрическая функция, поэтому сначала мы должны проверить, что аргумент синусоидальной функции безразмерен:
 Аргумент безразмерен. Все идет нормально. Теперь нам нужно проверить размеры каждого из двух членов (то есть левого выражения и правого выражения) в уравнении:
 Два члена имеют разные размеры - это означает, что уравнение не согласовано по размерам.Это уравнение - еще один пример «чепухи».
 Значение 
 Если мы доверяем людям, эти типы размерных проверок могут показаться ненужными. Но будьте уверены, любой учебник по количественному предмету, например физике (включая этот), почти наверняка содержит некоторые уравнения с опечатками. Регулярная проверка уравнений с помощью анализа размеров избавляет нас от затруднений, связанных с использованием неправильного уравнения. Кроме того, проверка размерностей уравнения, которое мы получаем с помощью алгебраических манипуляций, - отличный способ убедиться, что мы не допустили ошибки (или обнаружить ошибку, если мы ее допустили).
 Проверьте свое понимание 
 Согласовано ли уравнение  v  =  при  по размерам?
 [show-answer q = ”fs-id1168328194212 ″] Показать решение [/ show-answer]
 [скрытый-ответ a = ”fs-id1168328194212 ″]
 да
 [/ hidden-answer]
 Еще один момент, который необходимо упомянуть, - это влияние операций исчисления на измерения. Мы видели, что измерения подчиняются правилам алгебры, как и единицы, но что происходит, когда мы берем производную одной физической величины по отношению к другой или интегрируем одну физическую величину по другой? Производная функции - это просто наклон касательной к ее графику линии, а наклоны - это отношения, поэтому для физических величин  v  и  t  мы имеем, что размерность производной  v  относительно  t  - это просто отношение размера  v  к  t :
 Точно так же, поскольку интегралы - это просто суммы произведений, размерность интеграла  v  относительно  t  - это просто размерность  v , умноженная на размерность  t :
 По тем же соображениям аналогичные правила справедливы для единиц физических величин, полученных из других величин путем интегрирования или дифференцирования.
 Сводка 
 Размерность физической величины - это просто выражение основных величин, из которых она получена.
 Все уравнения, выражающие физические законы или принципы, должны быть согласованными по размерам. Этот факт можно использовать как помощь в запоминании физических законов, как способ проверить, возможны ли заявленные отношения между физическими величинами, и даже вывести новые физические законы.
 Проблемы 
 Студент пытается запомнить формулы из геометрии.В дальнейшем предположим, что
 площадь,
 - это объем, а все остальные переменные - длины. Определите, какие формулы согласованы по размерам. (а)
 (б)
 (в)
 (г)
 e)
 Рассмотрим физические величины  s ,  v, a,  и  t  с размерами
 и
 Определите, согласовано ли каждое из следующих уравнений по размерам.(а)
 (б)
 (в)
 (г)
 [show-answer q = ”fs-id1168328201713 ″] Показать решение [/ show-answer]
 [скрытый-ответ a = ”fs-id1168328201713 ″]
 а. Да, оба члена имеют размер L  2  T -2  b. Нет. Да, оба термина имеют размер LT -1  d. Да, оба термина имеют размер LT -2 
 [/ hidden-answer]
 Рассмотрим физические величины
 и
 с размерами [ м ] = M, [ s ] = L, [ v ] = LT –1 , [ a ] = LT –2  и [ t ] = Т.Предполагая, что каждое из следующих уравнений согласовано по размерам, найдите размерность величины в левой части уравнения: (a)  F  =  ma ; (б)  K  = 0,5  мв   2 ; (c)  p  =  mv ; (d)  W  =  mas ; (e)  L = mvr .
 Предположим количество
 - длина и количество
 - это время. Предположим, что количества
 и
 определяются как  v  =  ds / dt  и  a  =  dv / dt .а) Каков размер  против ? б) Каков размер количества  a ? Какие габариты у (c)
 (г)
 и (e)  da / dt ?
 [Показать-ответ q = ”fs-id1168328204280 ″] Показать решение [/ раскрыть-ответ]
 [скрытый-ответ a = ”fs-id1168328204280 ″]
 а. [v] = LT  –1 ; б. [a] = LT  –2 ; c.
 г.
 e.
 [/ hidden-answer]
 Предположим, [V] = L  3 ,
 и [t] = T. (a) Каков размер
 (b) Каков размер  dV / dt ? (c) Какой размер у
 Формула длины дуги говорит о длине
 дуги, образуемой углом
 по окружности радиуса
 задается уравнением
 Каковы размеры (a)  s , (b)  r  и (c)
 [show-answer q = ”fs-id1168327948973 ″] Показать решение [/ show-answer]
 [скрытый-ответ a = ”fs-id1168327948973 ″]
 а.L; б. L; c. L  0  = 1 (то есть безразмерно)
 [/ hidden-answer]
 Глоссарий 
 размер
 выражение зависимости физической величины от основных величин как произведение степеней символов, представляющих основные величины; в общем случае размерность величины имеет вид
 для некоторых степеней a, b, c, d, e, f и g.
 без изменения размеров
 уравнение, в котором все члены имеют одинаковые размеры, а аргументы любых математических функций, входящих в уравнение, безразмерны
 безразмерный
 количество с размером
 также называется количеством размерности 1 или чистым числом
 Из следующих пар, у которых нет одинаковых размеров, 
 Knockout JEE Main 2021 (один месяц) 
 Персонализированный наставник AI и адаптивное расписание,
Материал для самообучения,
Уроки выходного дня,
Неограниченные пробные тесты и персонализированные аналитические отчеты,
Круглосуточная поддержка в чате сомнений.
 14000 ₹ / - 
 4999 / -
 купить сейчас
 Нокаут JEE Main 2021 
 Персонализированный наставник AI и адаптивное расписание,
Материал для самообучения,
Уроки выходного дня,
Неограниченные пробные тесты и персонализированные аналитические отчеты,
Круглосуточная поддержка в чате сомнений.
 22999 
 9999 ₹ / -
 купить сейчас
 Серия тестов JEE Main 2021 
 Глава / Тема / Полные пробные тесты для JEE Main,
Персонализированный отчет об эффективности,
Лист слабых мест,
Полный ключ ответа.
 6999 / - 
 2999 / -
 купить сейчас
 Нокаут JEE Main 2022 
 Персонализированный наставник AI и адаптивное расписание,
Материал для самообучения,
Живые занятия (занятия начнутся с последней недели сентября),
Неограниченные пробные тесты и персонализированные аналитические отчеты,
Круглосуточная поддержка в чате сомнений.
 34999 ₹ / - 
 24999 ₹ / -
 купить сейчас
 Ускоритель основного ранга JEE 2021 
 Booster и видео лекции по Kadha,
Неограниченный полный пробный тест,
Адаптивная таблица времени,
Круглосуточная поддержка в чате сомнений.